transformée de laplace
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Un petit problème sur la transformée de Laplace.TRANSCRIPT
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CPGE Lissane Eddine - Laayoune Essaidi Ali [email protected]
Transforme de Laplace
Dfinitions et notationsSoit f : [0,+[ R continue par morceaux sur [0,+[. On appelle transforme de Laplace de f lapplication (lorsquelintgrale converge),L f(x) =
+0
extf(t)dt.
Pour tout ensemble A, lapplication 1A dsigne la fonction caractristique de A (i.e 1A(x) = 1 si x A et 0 sinon).
Premire partieTransforme de Laplace
Soit f : [0,+[ R continue par morceaux sur [0,+[ telle que M > 0,a R,t 0, |f(t)| Meat.1: Montrer queL f est dfinie et continue sur ]a,+[.2: Montrer queL f est de classe C 1 sur ]a,+[ et dterminer (L f).3: Montrer queL f est de classe C sur ]a,+[ et dterminer (L f)(k) pour tout k N.
Deuxime partieInjectivit de lapplication f 7 L (f)
Soit f : [0,+[ R continue et borne sur [0,+[ et soit x > 0 et (Xn)nN une suite de variables alatoires telle quen N, Xn E
(1x
).
1: Donner, pour tout n N, la loi de la variable alatoire Sn =nk=1
Xk.
2: Donner, pour tout n N, la loi de la variable alatoire Snn .3: Montrer que
(Snn
)nN converge en probabilit vers x.
4: En dduire que(f(Snn
))nN converge en probabilit vers f(x).
5: Soit > 0 et on pose n N, An =(f (Snn ) f(x) ).
5 - 1: Montrer que n N, An est un vnement etf (Snn ) f(x) 1An + f(1 1An).
5 - 2: En dduire que limn+E
(f
(Snn
))= f(x).
6: Montrer que f(x) = limn+
nn(1)n1(n 1)!xn (L f)
n1(nx
).
7: Conclure que si h et g sont deux fonctions relles continues et bornes sur [0,+[ telles queL g = L h alors h = g.
Troisime partieComportement au voisinage de 0
Soit f : [0,+[ R continue par morceaux sur [0,+[.1: On suppose que lintgrale
+0
f(t)dt converge et on pose F : x [0,+[ 7 x0
f(t)dt.
1 - 1: Montrer queL f est bien dfinie sur [0,+[ et que x > 0,L f(x) = +0
etF(t
x
)dt.
1 - 2: Montrer que F est borne sur [0,+[.1 - 3: En dduire queL f est continue sur [0,+[.2: Application : Soit g(x) =
+0
extsin t
tdt.
2 - 1: Montrer que g est de classe C 1 sur ]0,+[ et calculer g.2 - 2: Calculer lim
x+ g(x) et conclure une expression sans intgrale de g sur ]0,+[.
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2 - 3: Dduire que +0
sin t
tdt =
pi
2(Intgrale de Dirichlet).
3: On suppose que f(x) =+
(1x
)et queL f est dfinie sur ]0,+[.
3 - 1: Montrer que x > 0, x
0
f(t)dtL f(1
x
) 1x x0
1 e txtx
|tf(t)|dt+ +x
etx
t|tf(t)|dt.
3 - 2: En dduire que siL f admet une limite en 0+ alors +0
f(t)dt converge et on a +0
f(t)dt = limx0+
L f(x).
3 - 3: Montrer que ce rsultat est faux si on ne suppose pas que f(x) =+
(1x
)(considrer le cas f(x) = sinx).
Quatrime partieComportement au voisinage de +
Soit f : [0,+[ R continue par morceaux sur [0,+[. On suppose que f est continue en 0, f(0) 6= 0 et x0 [0,+[ telque t 7 ex0tf(t) soit intgrable sur [0,+[.1: Montrer que x x0,L f(x) = 1
x
10
etf(t
x
)1[0, x0x ]
(t)dt+
+x0
extf(t)dt.
2: Montrer que limx+
10
etf(t
x
)1[0, x0x ]
(t)dt = f(0).
3: Montrer que limx+
+x0
extf(t)dt = 0.
4: En dduire queL f(x) +
f(0)x .
5: Application : Montrer que +0
extsin t
tdt
+1
x.
Cinquime partieHolomorphie de la transforme de Laplace
Soit f : [0,+[ R continue par morceaux sur [0,+[ et telle que M > 0, R,a R,t a, |f(t)| Met.On considre lapplication g(x, y) =
+0
exiyf(t)dt et U = {(x, y) R2/x > }.1: Soit x > . Montrer que la fonction u(y) = g(x, y) est drivable sur R. En dduire que gy existe sur U .2: Soit y R. Montrer que la fonction v(x) = g(x, y) est drivable sur ]0,+[. En dduire que gx existe sur U .3: Montrer que g est de classe C 1 sur U .
4: En dduire que Lf(z) = +0
eztf(t)dt est holomorphe sur le demi-plan {z C/ } et dterminer (L f).
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