transmission properties of an electron in one dimensional crystals with periodic potentials

8/6/2019 Transmission Properties of an Electron in One Dimensional Crystals with Periodic Potentials

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Transmission Properties of an Electron in

One Dimensional Crystalswith Periodic

Potentials

David Boxi Hu(880304-6518), Dan von Martens (871013-7574)[email protected], [email protected]

SA104X Degree Project in Engineering Physics, First Level

Department of Theoretical Physics

Royal Institute of Technology (KTH)

Supervisor: Patrik Henelius

13 May, 2011

Theoretical Physics


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A b s t r a c t

I n 2 0 1 0 , R . O l s e n a n d G . V i g n a l e , p u b l i s h e d a p a p e r p r e s e n t i n g a r e c u r s i v e m e t h o d f o r

c a l c u l a t i n g e l e c t r o n t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y f o r o n e d i m e n s i o n a l p e r i o d i c p o t e n t i a l s . B a s e d

o n t h e i r m e t h o d , t h i s t h e s i s s t u d i e s e l e c t r o n t r a n s m i s s i o n i n a o n e d i m e n s i o n a l l a t t i c e o f

p e r i o d i c p o t e n t i a l b a r r i e r s b o t h u s i n g a c l a s s i c a l a n d q u a n t u m m e c h a n i c a l d e s c r i p t i o n . T h e

t r a n s m i s s i o n i s m e a s u r e d b y t h e t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y o f t h e s y s t e m . T h e t r a n s m i s s i o n

p r o b a b i l i t i e s a r e c o m p u t e d w i t h r e g a r d s t o t w o s e p a r a t e v a r i a b l e s , n a m e l y t h e n u m b e r

o f p o t e n t i a l b a r r i e r s , i . e . t h e l e n g t h o f t h e l a t t i c e , a n d t h e w a v e n u m b e r o f t h e i n c i d e n t

e l e c t r o n . T h e s e c o m p u t a t i o n s a r e m a d e u s i n g r e c t a n g u l a r a n d D i r a c d e l t a p o t e n t i a l b a r r i e r s

r e s p e c t i v e l y . L a s t l y , t h e p a p e r e x p a n d s o n t h e a r e a o f d i s o r d e r e d s y s t e m s o f p e r i o d i c

p o t e n t i a l s b y i n t r o d u c i n g i r r e g u l a r i t i e s i n p o t e n t i a l s i z e a n d s e p a r a t i o n .


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A b s t r a c t

r 2 0 1 0 , p u b l i s e r a d e R . O l s e n o c h G . V i g n a l e e n a r t i k e l d r d e p r e s e n t e r a d e e n r e k u r -

s i v m e t o d f r b e r k n i n g a v t r a n s m i s s i o n s s a n n o l i k h e t e n f r e l e k t r o n e r i e n d i m e n s i o n e l l a

p e r i o d i s k a p o t e n t i a l e r . B a s e r a t p d e r a s m e t o d , s t u d e r a r d e n n a a r t i k e l e l e k t r o n t r a n s m i s -

s i o n i e t t e n d i m e n s i o n e l l t g i t t e r m e d p e r i o d i s k a p o t e n t i a l e r u t i f r n b d e e t t k l a s s i s k t - o c h

k v a n t m e k a n i s k t p e r s p e k t i v . T r a n s m i s s i o n e n m t s m e d h j l p a v s y s t e m e t s t r a n s m i s s i o n -

s s a n n o l i k h e t . T r a n s m i s s i o n s s a n n o l i k h e t e n r b e r k n a d u t i f r n t v o l i k a v a r i a b l e r . D e n

f r s t a r a n t a l e t p o t e n t i a l b a r r i r e r , d . v . s l n g d e n a v g i t t r e t , o c h d e n a n d r a r d e n i n k o m -

m a n d e e l e k t r o n e n s v g t a l . D e s s a b e r k n i n g a r r u t f r d a m e d r e k t a n g u l r a - o c h D i r a c d e l t a

p o t e n t i a l b a r r i r e r i t a n k e . S l u t l i g e n , g r a r t i k e l n v i d a r e i n p o o r d n a d e s y s t e m a v p e r i -

o d i s k a p o t e n t i a l e r g e n o m a t t i n t r o d u c e r a o r e g e n l b u n d e n h e t i b d e p o t e n t i a l b a r r i r s t o r l e k

o c h s e p a r a t i o n s a v s t n d m e l l a n p o t e n t i a l b a r r i r e r .


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C o n t e n t s

1 I n t r o d u c t i o n 2

1 . 1 C o n c e p t s , H i s t o r y a n d T h e o r i e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 P r e v i o u s R e s e a r c h a n d B a c k g r o u n d 8

2 . 1 M o d e l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 M e t h o d o l o g y 1 0

3 . 1 R e c u r s i v e A l g o r i t h m f o r t h e T r a n s m i s s i o n t h r o u g h a n a r r a y o f p e r i o d i c p o -

t e n t i a l s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0

3 . 2 T h e E n e r g y E i g e n v a l u e E q u a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1

3 . 3 I m p l e m e n t a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3

4 R e s u l t s a n d D i s c u s s i o n 1 6

4 . 1 T r a n s m i s s i o n a n d N u m b e r o f P o t e n t i a l s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6

4 . 2 T r a n s m i s s i o n a n d W a v e N u m b e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7

4 . 3 R e c t a n g u l a r P o t e n t i a l s w i t h d i e r i n g w i d t h s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7

4 . 4 R a n d o m D i s t u r b a n c e i n P o t e n t i a l W i d t h a n d S e p a r a t i o n . . . . . . . . . . . 2 0

5 C o n c l u s i o n s 2 2

5 . 1 C l a s s i c T r a n s m i s s i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2

5 . 2 Q u a n t u m M e c h a n i c a l T r a n s m i s s i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2

5 . 3 D i s o r d e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3

B i b l i o g r a p h y 2 4

1


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C h a p t e r 1

I n t r o d u c t i o n

T h i s t h e s i s i n v e s t i g a t e s t h e t r a n s m i s s i o n p r o p e r t i e s o f a n e l e c t r o n i n c i d e n t o n a o n e d i m e n -

s i o n a l c r y s t a l . T h e c r y s t a l w i l l b e d e s c r i b e d u s i n g a r e g u l a r o n e d i m e n s i o n a l l a t t i c e , w i t h

p o t e n t i a l b a r r i e r s a t e a c h l a t t i c e p o i n t . I n s u c h a s y s t e m , t h e r e a r e c e r t a i n c h a r a c t e r i s t i c s

t h a t r e v e a l i n t e r e s t i n g p r o p e r t i e s p e r t a i n i n g t o t h e t r a n s m i s s i o n o f t h e e l e c t r o n . T o t h e

e x t e n t o f t h i s t h e s i s , t h o s e v a r i a b l e s w i l l b e t h e s h a p e a n d d i m e n s i o n s o f t h e p o t e n t i a l

b a r r i e r s , a n d t h e l e v e l o f d i s o r d e r i n t h e o n e d i m e n s i o n a l l a t t i c e . A d d i t i o n a l l y , g i v e n t h e

s u b a t o m i c s c a l e o f t h e s y s t e m a n d t h e w a v e p a r t i c l e d u a l i t y o f t h e e l e c t r o n , t h e t r a n s m i s -

s i o n p r o b a b i l i t i e s a n d p r o p e r t i e s a r e l i k e l y t o d i e r d e p e n d i n g o n w h e t h e r a s s e s s e d f r o m a

c l a s s i c a l o r q u a n t u m m e c h a n i c a l v i e w p o i n t .

F o r m a l l y , t h i s t h e s i s s t u d i e s e l e c t r o n t r a n s m i s s i o n i n f o u r d i e r e n t r e p r e s e n t a t i o n s o f a o n e

d i m e n s i o n a l c r y s t a l , a n a l y z e d b o t h c l a s i c a l l y a n d q u a n t u m m e c h a n i c a l l y :

1 . A o n e d i m e n s i o n a l l a t t i c e w i t h p e r i o d i c a l p o t e n t i a l b a r r i e r s i n t h e s h a p e o f D i r a c

d e l t a p o t e n t i a l s

2 . A o n e d i m e n s i o n a l l a t t i c e w i t h p e r i o d i c a l r e c t a n g u l a r p o t e n t i a l b a r r i e r s

3 . A o n e d i m e n s i o n a l l a t t i c e w i t h n o n e q u i d i s t a n c e d r e c t a n g u l a r p o t e n t i a l b a r r i e r s ,

t h e r e b y i n t r o d u c i n g a d i m e n s i o n o f d i s o r d e r t o t h e s y s t e m .

4 . A o n e d i m e n s i o n a l l a t t i c e w i t h p e r i o d i c a l e q u i d i s t a n c e d r e c t a n g u l a r p o t e n t i a l b a r r i -

e r s , w i t h d i e r i n g w i d t h s .

T h e s e f o u r s y s t e m s r e p r e s e n t s c r y s t a l s a s o n e d i m e n s i o n a l l a t t i c e s e n d o w e d w i t h p o t e n -

t i a l b a r r i e r s , a n d s y s t e m s 1 a n d 2 i n p a r t i c u l a r , a l s o a s s u m e a p e r f e c t c r y s t a l s t r u c t u r e ,

c o n s i s t e n t w i t h t h e c r y s t a l c o m p l e t e l y l a c k i n g a n y s t r u c t u r a l i m p e r f e c t i o n s . S y s t e m 3 , i s

e n d o w e d w i t h a l e v e l o f i m p u r i t y b y r e l a x i n g t h e c o n t r a i n t o f p e r f e c t p o t e n t i a l b a r r i e r p e -

r i o d i c i t y i n t e r m s o f p o t e n t i a l s e p a r a t i o n . S y s t e m 4 a s s u m e s e q u i d i s t a n c e , b u t r e p r e s e n t s

d i s o r d e r i n t h e d i e r i n g s h a p e s o f t h e p o t e n t i a l b a r r i e r s . A n i m p l i c i t a s s m p t i o n t o a l l

f o u r s y s t e m s i s t h a t o f z e r o t e m p e r a t u r e , s o t h a t e v e r y p u r e p e r i o d i c p o t e n t i a l b a r r i e r i s a

p e r f e c t c o n d u c t o r w i t h z e r o r e s i s t a n c e w h e n a s s e s s e d f r o m q u a n t u m m e c h a n i c a l v i e w p o i n t .

T r a n s m i s s i o n i s s t u d i e d b y c o m p u t i n g t h e t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y o f t h e e l e c t r o n s a s a

f u n c t i o n o f c e r t a i n s y s t e m v a r i a b l e s . P e r t a i n i n g t o t h e s e r e l a t i o n s h i p a n d t o t h e e x t e n t o f

t h i s t h e s i s , t h e s e v a r i a b l e s , w i l l b e t h e n u m b e r o f p o t e n t i a l b a r r i e r s , i . e . t h e l e n g t h o f t h e

s y s t e m a n d t h e w a v e n u m b e r o f t h e i n c i d e n t e l e c t r o n . I t w i l l b e o f i n t e r e s t t o u n d e r s t a n d

h o w t r a n s m i s s i o n b e h a v e s a s a f u n c t i o n o f t h e c r y s t a l l e n g t h , e s p e c i a l l y i n t h e u p p e r l i m i t

o f i n n i t e l e n g t h . A l s o , i n t u i t i o n t e l l s u s t h a t t h e i n c o m i n g e n e r g y o f t h e e l e c t r o n s h o u l d

2


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a e c t t h e t r a n s m i s s i o n o f t h e s a m e . T h e e n e r g y o f t h e i n c i d e n t e l e c t r o n i s c o n t a i n e d i n t h e

w a v e n u m b e r

F o l l o w i n g s t u d i e s o n p e r f e c t p e r i o d i c a l p o t e n t i a l s t h e t h e s i s w i l l a l s o e x p a n d t o c o v e r i m -

p e r f e c t p e r i o d i c i t y b y i n t r o d u c i n g d i s o r d e r t o t h e s y s t e m . D i s o r d e r w i l l b e i n t r o d u c e d b y

i m p l e m e n t i n g r a n d o m n e s s i n t h e p o t e n t i a l w i d t h , r e l e v a n t t o r e c t a n g u l a r p o t e n t i a l s , a n d

t h e p o t e n t i a l s e p a r a t i o n m e a s u r e . T h e s t u d y o n t r a n s m i s s i o n i n a d i s o r d e r e d s y s t e m w i l l

a l s o b e f o c u s e d o n t h e r e l a t i o n t o t h e n u m b e r o f p o t e n t i a l s a n d t h e w a v e n u m b e r .

1 . 1 C o n c e p t s , H i s t o r y a n d T h e o r i e s

T h e e l d o f s t u d y i n t h i s t h e s i s , w h i l e i t s e l f b e i n g r a t h e r n a r r o w a n d s p e c i e d , e n t a i l s

m a n y d i e r e n t a r e a s o f p h y s i c s t h a t a r e e s s e n t i a l f o r a c o m p l e t e u n d e r s t a n d i n g a n d d e -

s c r i p t i o n . T h u s , w e d i s c u s s s o m e c o n c e p t u a l , h i s t o r i c a l a n d t h e o r e t i c a l b a c k g r o u n d t h a t i s

o f r e l e v a n c e . R e a d e r s f a m i l i a r w i t h t h e c o n c e p t s o f w a v e p a r t i c l e d u a l i t y , t h e S c h r d i n g e r

e q u a t i o n , p o t e n t i a l b a r r i e r s , B l o c h ' s t h e o r e m a n d t h e o c c u r e n c e a n d c o n d i t i o n s f o r e n e r g y

b a n d s w i t h i n t h e c o n t e x t o f e l e c t r o n t r a n s m i s s i o n , m i g h t s k i p t h i s s e c t i o n .

W a v e P a r t i c l e D u a l i t y

T h e w a v e p a r t i c l e d u a l i t y , p o s t u l a t e s t h a t m a t t e r h a s b o t h t h e p r o p e r t i e s o f w a v e s a n d

p a r t i c l e s .

H i s t o r i c a l l y , o n e c a n t r a c e t h e d e b a t e o f w a v e p a r t i c l e d u a l i t y b a c k t o t h e 1 7 t h c e n t u r y w h e n

S i r I s a a c N e w t o n a n d C h r i s t i a n H u y g e n s p r o p o s e d c o m p e t i n g t h e o r i e s o f l i g h t . H u y g e n s

b e l i e v e d t h a t l i g h t c o n s i s t e d o f w a v e s , w h i l e N e w t o n c l a i m e d t h a t i t c o n s i s t e d o f c o r p u s c l e s .

I t w a s n o t u n t i l Y o u n g a n d F r e s n e l , i n t h e e a r l y 1 9 t h c e n t u r y p e r f o r m e d t h e i r d o u b l e - s l i t

e x p e r i m e n t t h a t e v i d e n c e r s t e m e r g e d i n f a v o u r o f H u y g e n ' s w a v e t h e o r i e s . I n t h e l a t e

1 9 t h c e n t u r y , J a m e s C l e r k M a x w e l l ' s M a x w e l l e q u a t i o n s c o n c l u d e d t h a t e l e c t r o m a g n e t i c

w a v e s p r o p a g a t e s a t t h e s p e e d o f l i g h t , t h u s p o s t u l a t i n g t h a t l i g h t d i s p l a y s w a v e - l i k e p r o p -

e r t i e s . Y o u n g a n d F r e s n e l v e r i e d t h i s n o t i o n s t h r o u g h t h e i r d o u b l e s l i t e x p e r i m e n t i n 1 8 8 7

f o r t i f y i n g t h e w a v e t h e o r y o f l i g h t r e n d e r i n g i t t o b e c o m e w i d e l y a c c e p t e d . I n 1 9 0 5 A l b e r t

E i n s t e i n e x p l a i n e d t h e p h o t o e l e c t r i c e e c t [ 5 ] ( p g . 7 5 - 7 8 ) , t h u s p r o p o s i n g t h e e x i s t e n c e o f

p h o t o n s a s q u a n t a s o f l i g h t w i t h p a r t i c l e p r o p e r t i e s . E i n s t e i n p o s t u l a t e d t h a t t h e e n e r g y

o f t h e s e q u a n t a s , t h e p h o t o n s , w a s r e l a t e d t o t h e i r f r e q u e n c y , f

, b y

E = hf,

w h e r e h i s P l a n c k ' s c o n s t a n t . T h u s , E i n s t e i n ' s n o t i o n o f p h o t o n s l e d t o a w a v e p a r t i c l e

d u a l i t y f o r l i g h t . A d d i n g t o E i n s t e i n ' s d i s c o v e r y , L o u i s - V i c t o r d e B r o g l i e , i n 1 9 2 4 , f o r m u -

l a t e d w h a t i s k n o w n a s t h e d e B r o g l i e h y p o t h e s i s [ 5 ] ( p g . 7 3 , 8 7 - 9 0 , 9 8 - 9 9 ) , s t a t i n g t h a t a l l

m a t t e r , n o t j u s t l i g h t t h a t , h a d w a v e - l i k e p r o p e r t i e s . T h e d e B r o g l i e h y p o t h e s i s r e l a t e d

t h e w a v e l e n g t h , ,

a p r o p e r t y o f w a v e s a n d m o m e n t u m , p

, a p r o p e r t y o f m a t t e r u s i n g t h e

r e l a t i o n

= h/p,

u s i n g P l a n c k ' s c o n s t a n t , h

. T h e r e i s d e b a t e a s t o w h o c o n r m e d d e B r o g l i e s h y p o t h e s i s

e x p e r i m e n t a l l y , b u t t h e o b s e r v a t i o n o f e l e c t r o n d i r a c t i o n i n a n e x p e r i m e n t a t B e l l L a b s b y

C l i n t o n J o s e p h D a v i s s o n a n d L e s t e r H a l b e r t G e r m e r i s u s u a l l y a t t r i b u t e d t h a t d i s c o v e r y [ 1 ] .

3


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T h e S c h r d i n g e r E q u a t i o n a n d P o t e n t i a l B a r r i e r s

C o n s i d e r e d t o b e o n e o f t h e m o s t c e n t r a l c o n c e p t s i n q u a n t u m m e c h a n i c s , t h e S c h r d i n g e r

w a v e e q u a t i o n b e a r s t h e s a m e i m p o r t a n c e t o q u a n t u m m e c h a n i c s a s d o e s N e w t o n ' s l a w s

f o r c l a s s i c a l m e c h a n i c s . I t w a s f o l l o w i n g t h e d i s c o v e r y o f t h e w a v e p a r t i c l e d u a l i t y a n d

d e B r o g l i e ' s h y p o t h e s i s t h a t E r w i n S c h r d i n g e r d e c i d e d t o n d a w a v e e q u a t i o n f o r t h e

e l e c t r o n . T h e e q u a t i o n t h a t h e f o r m u l a t e d w a s

i

t(x, t) =

2

2m2(x, t) + V(x)(x, t),

a n d i s k n o w n a s t h e t i m e - d e p e n d e n t S c h r d i n g e r e q u a t i o n . B e l o w t h e S c h r d i n g e r e q u a t i o n

i s s t a t e d u s i n g t h e H a m i l t o n i a n o p e r a t o r f o r a s i n g l e p a r t i c l e i n a p o t e n t i a l V(x)

,

H =2

2m2 + V(x),

s o t h a t t h e S c h r d i n g e r e q u a t i o n a b o v e t r a n s l a t e s t o

i

t(x, t) = H(x, t).

H e r e (x, t)

r e p r e s e n t s t h e w a v e f u n c t i o n , w h i c h s t r i c t l y i s t o b e i n t e r p r e t e d a s a p r o b a b i l i t y

a m p l i t u d e [ 5 ] ( p g . 1 0 3 ) , f o r i t i s t h e a m p l i t u d e o f t h e w a v e t h a t , w h e n s q u a r e d , t e l l s u s t h e

p r o b a b i l i t y . I n q u a n t u m m e c h a n i c s , t h e p r o b a b i l i t y a m p l i t u d e i s a c o m p l e x n u m b e r . I t w a s

f r o m t h e d o u b l e - s l i t e x p e r i m e n t t h a t Y o u n g a n d F r e s n e l f o u n d t h a t o n l y c o m p l e x n u m b e r s

c o u l d c o n t a i n t h e i n f o r m a t i o n n e c e s s a r y t o d e s c r i b e t h e n o t i o n o f c l a s s i c p r o b a b i l i t y i n a

q u a n t u m m e c h a n i c a l s y s t e m . T h e r e l a t i o n b e t w e e n t h e t w o r e a d s t h a t a p r o b a b i l i t y c a n b e

o b t a i n e d b y s q u a r i n g t h e m o d u l u s o f t h e p r o b a b i l i t y a m p l i t u d e [ 6 ] . T h i s d i s t i n c t i o n b e t w e e n

p r o b a b i l i t y i n t h e c l a s s i c r e a l m a n d t h e p r o b a b i l i t y a m p l i t u d e i n t h e q u a n t u m r e a l m w i l l b e

o f c e n t r a l i m p o r t a n c e t o t h e c o m p u t a t i o n s i n o u r s t u d y . F u r t h e r m o r e , V(x)

, i s a c o e c i e n t

t h a t d e s c r i b e s t h e p o t e n t i a l e n e r g y o f t h e s y s t e m . F o r e x a m p l e , w h e n c o n s i d e r i n g t h e

i n t e r a c t i o n b e t w e e n a n e l e c t r o n a n d a p o t e n t i a l b a r r i e r , V(x)

, w i l l r e p r e s e n t t h e p o t e n t i a l

o f t h e b a r r i e r .

F u r t h e r t o t h e S c h r d i n g e r e q u a t i o n , t h i s s e c t i o n i n c l u d e s a t r e a t m e n t o f a n e l e c t r o n i n -

c i d e n t o n a p o t e n t i a l b a r r i e r . E s s e n t i a l l y , t h i s t h e s i s i s b u i l t a r o u n d t h i s p a r t i c u l a r p h e -

n o m e n o n . H o w e v e r , f o r t h e s a k e o f r e l e v a n c e w e w i l l n o t p r o v i d e d e t a i l e d d e r i v a t i o n s b u t

r a t h e r s t a t e t h e f o r m u l a s t h a t a r e i m p o r t a n t t o o u r s t u d y . S i m p l y s t a t e d , t h e s e f o r m u l a s

p e r t a i n t o a o n e d i m e n s i o n a l t i m e i n d e p e n d e n t S c h r d i n g e r e q u a t i o n f o r a p a r t i c l e i n d i c e n t

o n a r e c t a n g u l a r p o t e n t i a l e n e r g y b a r r i e r . O u r s t u d y f o c u s e s o n t h e p r o b a b i l i t y o f t h e

t r a n s m i s s i o n o f t h a t p a r t i c l e , i n o u r c a s e a n e l e c t r o n , w h i c h f o r m a l l y i s g i v e n b y a t r a n s -

m i s s i o n c o e c i e n t . A n a l o g o u s l y , t h e p r o b a b i l i t y o f r e e c t i o n i s c o n t a i n e d i n t h e r e e c t i o n

c o e c i e n t . B y s o l v i n g t h e S c h r d i n g e r e q u a t i o n f o r a g i v e n p o t e n t i a l b a r r i e r f u n c t i o n ,

V(x), t h e s e t w o c o e c i e n t s c a n b e c o m p u t e d . I n t h e c a s e o f a s i n g l e r e c t a n g u l a r p o t e n t i a l

b a r r i e r t h e r e s u l t i s

t = e2ika2k

2k cosh 2a i(k2 2)sinh2a,

( 1 . 1 )

T =| t |2= (2k)2

(k2 + 2)2 sinh2(2a) + (2k)2,

( 1 . 2 )

4


8/27

r = ie2ika(2 + k2)sin2qa

2k cosh 2a i(k2 2)sinh2a.

( 1 . 3 )

T h e v a l u e o f R

i s g i v e n b y t h e c o n s e r v a t i o n o f p r o b a b i l i t i e s .

I n t h e a b o v e e x p r e s s i o n s ,

tr e p r e s e n t t h e p r o b a b i l i t y a m p l i t u d e f o r t h e t r a n s m i t t e d p a r t o f t h e w a v e

rr e p r e s e n t t h e p r o b a b i l i t y a m p l i t u d e f o r t h e r e e c t e d p a r t o f t h e w a v e

Tr e p r e s e n t t h e p r o b a b i l i t y o f t r a n s m i s s i o n

Rr e p r e s e n t t h e p r o b a b i l i t y o f r e e c t i o n

kr e p r e s e n t s t h e w a v e n u m b e r f o r t h e i n c o m i n g e l e c t r o n w a v e ,

V0 i s t h e p o t e n t i a l e n e r g y d e d u c e d f r o m t h e p o t e n t i a l b a r r i e r ,

Ei s t h e e n e r g y o f t h e i n c i d e n t w a v e a n d

ai s t h e w i d t h o f t h e p o t e n t i a l b a r r i e r .

T h e o t h e r p o t e n t i a l b a r r i e r s h a p e t h a t i s o f i n t e r e s t t o o u r s t u d y i s t h e D i r a c d e l t a p o t e n t i a l .

T h e D i r a c d e l t a p o t e n t i a l i s f o r m u l a t e d a s

V(x) = (x),

w h e r e (x)

i s t h e D i r a c d e l t a f u n c t i o n . W h e n > 0,

t h e p o t e n t i a l i s a b a r r i e r . T h e

t r a n s m i s s i o n a n d r e e c t i o n c o e c i e n t o f t h e D i r a c d e l t a p o t e n t i a l a r e d e r i v e d b y s o l v i n g

t h e o n e d i m e n s i o n a l t i m e - i n d e p e n d e n t S c h r d i n g e r e q u a t i o n a n d s u b s e q u e n t l y e v a l u a t i n g

t h e r e q u i r e m e n t o f t h e w a v e f u n c t i o n t h a t i t s d e r i v a t i v e i s t o b e c o n t i n u o u s a t t h e b a r r i e r

b o u n d a r i e s . T h e o b t a i n e d e x p r e s s i o n f o r t h e t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y i s [ 4 ]

t =1

1 (/2ika)( 1 . 4 )

T =| t |2=1

1 + (m/22E)( 1 . 5 )

r = t 1( 1 . 6 )

R = 1 T( 1 . 7 )

I n t h e m e t h o d o l o g y s e c t i o n , w e w i l l d e s c r i b e h o w t h e s e f o r m u l a s a r e a p p l i e d t o s t u d y t h e

t r a n s m i s s i o n o f a w a v e a s s o c i a t e d w i t h a n e l e c t r o n .

T h e B l o c h T h e o r e m

H a v i n g e x p l a i n e d t h e c o n c e p t o f m a t t e r w a v e s , t h e S c h r d i n g e r e q u a t i o n a n d p o t e n t i a l

b a r r i e r s , w e n o w i n t r o d u c e a t h e o r e m t h a t d e s c r i b e s t h e w a v e f u n c t i o n i n t h e p r e s e n c e o f

p e r i o d i c p o t e n t i a l s . F o r t h e s a k e o f t h e a r g u m e n t s b e l o w , w e a s s u m e a c r y s t a l b u i l t a r o u n d

a p e r f e c t l a t t i c e , m e a n i n g t h a t t h e i o n s a r e s p a c e d e q u a l l y a n d c o n s i s t o f i d e n t i c a l p o t e n t i a l

b a r r i e r s .

5


9/27

G o i n g b a c k t o t h e S c h r d i n g e r e q u a t i o n , a n d t h e H a m i l t o n i a n o p e r a t o r , w e r s t i m p o s e

p e r i o d i c i t y o n t h e p o t e n t i a l s r e q u i r i n g t h a t

V(x + a) = V(x).( 1 . 8 )

T h e k i n e t i c c o m p o n e n t o f t h e H a m i l t o n i a n ,

2

2m d2

dx2, i s a l r e a d y i n v a r i a n t u n d e r l a t t i c e t r a n s -

l a t i o n , i . e . t h e c h a n g e x x + a

, w h i c h m e a n s t h a t g i v e n t h e p e r i o d i c i t y o f t h e p o t e n t i a l

e n e r g y , t h e e n t i r e H a m i l t o n i a n b e c o m e s i n v a r i a n t u n d e r d i s p l a c e m e n t s b y a . F r o m t h i s p e -

r i o d i c i t y o f t r a n s l a t i o n w e c a n d e r i v e a r e s u l t k n o w n a s B l o c h ' s t h e o r e m . S u c h a d e r i v a t i o n

c a n b e f o u n d i n [ 3 ] . I n o n e d i m e n s i o n t h e B l o c h t h e o r e m s t a t e s t h a t

(x) = eiqxu(x),( 1 . 9 )

w h i c h i s a r e s t r i c t i v e c o n d i t i o n o f t h e S c h r d i n g e r w a v e f u n c t i o n i n t h e p r e s e n c e o f p e r i o d i c

p o t e n t i a l s . H e r e u(x)

i s a p e r i o d i c f u n c t i o n o b e y i n g u(x + a) = u(x)

a n d t h e f a c t o r

eiqxr e p r e s e n t s a p l a n e w a v e f u n c t i o n . I n t h i s c o n t e x t t h e S c h r d i n g e r w a v e f u n c t i o n i s

s o m e t i m e s c a l l e d a B l o c h w a v e o r B l o c h s t a t e , n a m e d a f t e r F e l i x B l o c h . F o r m a l l y , E q .

( 1 . 9 ) a p p l i e s t o t h e w a v e f u n c t i o n f o r a p a r t i c l e p l a c e d i n a p e r i o d i c p o t e n t i a l . F o r f r e e

e l e c t r o n s w e h a v e q = k,

w h e r e a s f o r t h e g e n e r a l c a s e t h e r e l a t i o n b e t w e e n q

, w h i c h i s a

c r y s t a l p r o p e r t y , a n d k

, t h e p l a n e w a v e n u m b e r , i s m u c h m o r e c o m p l i c a t e d . W e w i l l a r r i v e

a t s u c h a r e l a t i o n w h e n s t u d y i n g t h e p r o p a g a t i o n o f a n e l e c t r o n w a v e t h r o u g h p e r i o d i c

p o t e n t i a l s .

Q u a n t u m M e c h a n i c a l W a v e P r o p a g a t i o n a n d E n e r g y B a n d s

I n t h e c l a s s i c a l m e c h a n i c s c a s e o f a n e l e c t r o n i n c i d e n t o n p e r i o d i c p o t e n t i a l b a r r i e r s , w e

s h o u l d e x p e c t t h e t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y t o d e c r e a s e a s t h e n u m b e r o f p o t e n t i a l s i n c r e a s e

u n t i l t h e e l e c t r o n i s c o m p l e t e l y r e e c t e d . T h i s k i n d o f b e h a v i o u r i s s o m e w h a t i n l i n e w i t h

o u r i n t u i t i o n o f h o w t h e w o r l d w o r k s .

H o w e v e r , c o n s i d e r i n g q u a n t u m m e c h a n i c a l e e c t s , m e a n i n g t h a t w e c o n s i d e r t h e e l e c t r o n

a w a v e , w i t h a w a v e n u m b e r , k , t h e r e a r e r a n g e s f o r k , t h e r e a r e c e r t a i n e n e r g y b a n d s f o r

w h i c h t h e e l e c t r o n w a v e t r a n s m i s s i o n i s n o n z e r o f o r a n y g i v e n n u m b e r o f p o t e n t i a l s . B y

c o m b i n i n g t h e B l o c h T h e o r e m s t a t e d a b o v e w i t h p e r i o d i c b o u n d a r y c o n d i t i o n s o n D i r a c

d e l t a p o t e n t i a l s , t h e c o n d i t i o n f o r a w a v e t o b e i n s i d e a b a n d i s [ 6 ]

cos(ka + )

|t|= cos qa

( 1 . 1 0 )

w h e r e t

i s t h e p a r t o f t h e w a v e t h a t i s t r a n s m i t t e d t h r o u g h t h e b a r r i e r , t = |t| ei

. H e r e

i s t h e r e l a t i v e p h a s e g a i n e d b y a n e l e c t r o n b y t r a n s m i t t i n g t h r o u g h a s i n g l e b a r r i e r .

ka

i s t h e g e o m e t r i c p h a s e g a i n e d b y a n e l e c t r o n w i t h w a v e v e c t o r k t h a t t r a v e l s a d i s t a n c e a

b e t w e e n t h e b a r r i e r s .

F o r r e a d e r s f a m i l i a r w i t h t h e K r o n i g - P e n n e y m o d e l , a p p l y i n g t h e s a m e t y p e o f d e r i v a t i o n s ,

a v e r y s i m i l a r r e l a t i o n f o r t h e c o n d i t i o n o f b e i n g i n s i d e t h e b a r r i e r c a n b e f o r m u l a t e d . T h e

b e l o w e x p r e s s i o n i s , h o w e v e r , d e r i v e d f o r o n l y D i r a c d e l t a p o t e n t i a l s [ 3 ]

cos qa = cos ka +

2

sin ka

ka( 1 . 1 1 )

H e r e

i s a p a r a m e t e r a n d n o t t o b e c o n f u s e d w i t h w a v e l e n g t h . q i s t h e w a v e n u m b e r

a s s o c i a t e d w i t h t h e c r y s t a l . F r o m t h e e n e r g y w a v e n u m b e r r e l a t i o n , E =

2k2

2m , w e s e e t h a t

6


10/27

t h e c o n s t r i c t i o n s o n

kt r a n s l a t e s t o c o n s t r i c t i o n s o n E , a r r i v i n g a t t h e n o t i o n o f a l l o w e d

e n e r g y b a n d s f o r t h e i n d i c e n t w a v e .

T h e b a n d g a p r e g i o n r e p r e s e n t s t h e e n e r g i e s o u t s i d e t h e b a n d f o r a n e l e c t r o n t h a t i s

l o c a l i z e d , w h i c h m e a n s t h a t i t m o s t p r o b a b l y i s l i m i t e d t o o n l y a p a r t o f t h e c r y s t a l .

H a v i n g i n t r o d u c e d t h e a b o v e c o n c e p t s , w e f e e l t h a t w e h a v e p e r p a r e d t h e r e a d e r s u c i e n t l y

i n b e i n g a b l e t o f o l l o w o u r r e a s o n i n g a n d d e d u c t i o n s e x p a n d i n g a n d t i e i n g t o g e t h e r t h e

v a r i o u s a r e a s . W i t h t h e p u r p o s e o f t h i s t h e s i s t o m a i n l y e x a m i n e e l e c t r o n w a v e p r o p a g a t i o n

t h r o u g h p e r i o d i c p o t e n t i a l s , w e w i l l n o w t a k e t h e r e a d e r t h r o u g h p r e v i o u s r e s e a r c h m a d e

o n t h e s u b j e c t , a n d d e l v e m o r e i n t o t h e s p e c i c s o f o u r r e s e a r c h t o p i c .

7


11/27

C h a p t e r 2

P r e v i o u s R e s e a r c h a n d B a c k g r o u n d

2 . 1 M o d e l

O u r r e s e a r c h o n t h i s t o p i c i s p r i m a r i l y b a s e d o n t h e w o r k o f R a i n a O l s e n & G i o v a n n i V i g n a l e

i n t h e i r 2 0 1 0 p a p e r T h e Q u a n t u m M e c h a n i c s o f E l e c t r i c C o n d u c t i o n i n C r y s t a l s . I n t h e i r

a r t i c l e , O l s e n a n d V i g n a l e i n t r o d u c e d a n a l g o r i t h m w h e r e t h e b e h a v i o u r o f a n e l e c t r o n

i n c i d e n t o n a o n e d i m e n s i o n a l c r y s t a l w i t h p e r i o d i c p o t e n t i a l s c a n b e d e s c r i b e d r e c u r s i v e l y .

F o rN+1

p o t e n t i a l b a r r i e r s , t h e a l g o r i t h m r e c u r s i v e l y d e s c r i b e s t h e p a r t i c l e / w a v e p o t e n t i a l

b a r r i e r i n t e r a c t i o n i n s u c h a w a y t h a t i t c a n b e d e s c r i b e d b y a g e o m e t r i c s u m t h a t i s s i m p l e

t o b o t h i n t e r p r e t a n d i m p l e m e n t . W i t h a d j u s t m e n t s f o r a q u a n t u m m e c h a n i c a l s y s t e m ,

t h e r e c u r s i v e a l g o r i t m c a n b e a p p l i e d t o b o t h a c l a s s i c a l i n t e r p r e t a t i o n a n d a q u a n t u m

m e c h a n i c a l o n e

F o r t h e s a k e o f r e a d e r c o m p r e h e n s i o n , w e w i l l l i m i t t h i s s e c t i o n t o a c o n c e p t u a l d e s c r i p t i o n

o f t h e a l g o r i t h m i n O l s e n a n d V i g n a l e , p r e s e n t i n g t h e i d e a b e h i n d t h e m e t h o d , a n d a l s o

t h e n a l e x p r e s s i o n s u s e d f o r c o m p u t a t i o n . I n t h e m e t h o d o l o g y s e c t i o n , t h e r e a d e r w i l l

n d a m o r e i n d e p t h d e s c r i p t i o n o f t h e i n t u i t i o n b e h i n d t h e a l g o r i t h m a n d t h e d e r i v a t i o n s

b e h i n d t h e m a t h e m a t i c a l r e s u l t s o f t h e s a m e .

F i r s t t h e i r p a p e r p r e s e n t s t h e i n t e r a c t i o n b e t w e e n t h e e l e c t r o n s a n d t h e p o t e n t i a l b a r r i e r s

u s i n g c l a s s i c a l m e c h a n i c s . I n c l a s s i c a l m e c h a n i c s , w e a s s u m e t h a t e a c h p o t e n t i a l i s e n d o w e d

w i t h a k n o w n p r o b a b i l i t y o f t r a n s m i s s i o n , T

, a n d r e e c t i o n , R

. C o n s e r v a t i o n o f p r o b a b i l i t e s

i m p l y t h a t T+R = 1

. T o d e d u c e t h e s a m e p r o b a b i l i t i e s f o r a s y s t e m o f N

p o t e n t i a l s , O l s e n

& V i g n a l e g o a b o u t r e c u r s i v e l y , b y c o m p u t i n g t h e c a s e f o r N

p o t e n t i a l s , f r o m t h e b a s e c a s e

o fT

a n dR

f o r e a c h i n d i v i d u a l p o t e n t i a l . W h e n d o i n g t h i s , t h e y n d t h a t f o r N

p o t e n t i a l s

t h e r e c u r s i v e a l g o r i t h m f o r t r a n s m i s s i o n a n d r e e c t i o n c o n v e r g e s t o a g e o m e t r i c a l s u m

TN+1 =TNT

1RNR,

( 2 . 1 )

RN+1 = 1 TN+1. ( 2 . 2 )

F o r t h e q u a n t u m m e c h a n i c a l s y s t e m t h e e q u a t i o n s a r e s i m i l a r b u t w i t h a c o u p l e o f a d j u s t -

m e n t s . F i r s t l y , w e p r e s e n t t h e e x p r e s s i o n s f o r t h e t r a n s m i t t e d a n d r e e c t e d p a r t s f o r t h e

w a v e . I f w e l e t t

, d e n o t e t h e t r a n s m i t t e d p a r t o f t h e w a v e a n d r

, d e n o t e t h e r e e c t e d p a r t

o f t h e w a v e , w e c a n f o r m u l a t e t h e c o r r e s p o n d i n g r e l a t i o n s , f o r t h e q u a n t u m m e c h a n i c a l

c a s e

t = |t| ei, r = i |r| ei,( 2 . 3 )

8


12/27

|t|2 + |r|2 = 1.( 2 . 4 )

H e r e w e s e e t h a t t h e r e a r e t w o c o m p o n e n t s t o t h e p r o b a b i l i t y a m p l i t u d e i n q u a n t u m

m e c h a n i c s , a m a g n i t u d e a n d a p h a s e . W h e n , i n t e r a c t i n g w i t h a p o t e n t i a l b a r r i e r , t h e w a v e

f u n c t i o n d e s c r i b i n g t h e e l e c t r o n i s c o u p l e d w i t h a p r o b a b i l i t y o f b e i n g e i t h e r t r a n s m i t t e d

o r r e e c t e d .

H o w e v e r , w h e n c o n s i d e r i n g a w a v e p r o p a g a t i n g t h r o u g h a b a r r i e r , o n e h a s t o m a k e a n o t h e r

a d j u s t m e n t . T h i s a d j u m e n s t a c c o u n t s f o r t h e g e o m e t r i c p h a s e g a i n e d b y a n e l e c t r o n w i t h

a w a v e v e c t o r , k , a s i t t r a v e l s a d i s t a n c e a

, b e t w e e n t h e b a r r i e r s . I n t h e c a s e o f D i r a c d e l t a

p o t e n t i a l s , a

i s j u s t t h e d i s t a n c e t r a v e l l e d , s i n c e t h e d e l t a p o t e n t i a l h a s a w i d t h c l o s e t o

z e r o . T h e e x p r e s s i o n s f o r t o t a l t r a n s m i s s i o n a n d r e e c t i o n a r e

t = |t| eika and r = |r| eika.( 2 . 5 )

A p p l y i n g t h e r e c u r s i v e a l g o r i t h m p r e s e n t e d i n t h e a r t i c l e w e a r r i v e a t t w o r e c u r s i v e e x p r e s -

s i o n s f o r t o t a l t r a n s m i s s i o n a n d r e e c t i o n p r o b a b i l i t i y a m p l i t u d e s f o r N + 1

b a r r i e r s

tN+1 =tNt

1 rNr( 2 . 6 )

rN+1 = rNt2Nr

1 rNr.

( 2 . 7 )

9


13/27

C h a p t e r 3

M e t h o d o l o g y

3 . 1 R e c u r s i v e A l g o r i t h m f o r t h e T r a n s m i s s i o n t h r o u g h a n a r -

r a y o f p e r i o d i c p o t e n t i a l s

I n t h i s s e c t i o n w e w i l l o u t l i n e a n d e x p l a i n t h e a l g o r i t m u s e d t o c o m p u t e t r a n s m i s s i o n

p r o b a b i l i t i e s f o r a o n e d i m e n s i o n a l l a t t i c e o f p e r i o d i c p o t e n t i a l b a r r i e r s . T h e a l g o r i t m

d i e r s f o r t h e c l a s s i c a l a n d q u a n t u m m e c h a n i c a l c a s e , a n d t h u s b o t h w i l l b e p r e s e n t e d .

T h e C l a s s i c a l S y s t e m a n d t h e Q u a n t u m M e c h a n i c a l S y s t e m

C l a s s i c a l l y , a n e l e c t r o n i n c i d e n t u p o n a p o t e n t i a l b a r r i e r i s e i t h e r t r a n s m i t t e d o r r e e c t e d .

I t i s a s s u m e d t h a t , w i t h i n t h e s y s t e m , t h e t r a n s m i s s i o n a n d r e e c t i o n a r e a s s o c i a t e d w i t h

k n o w n p r o b a b i l i t i e s ,

Tf o r t r a n s m i s s i o n a n d

Rf o r r e e c t i o n . F o r t h e s a k e o f s i m p l i c i t y , w e

b e g i n b y d e c r i b i n g t h e a l g o r i t m s f o r t w o p o t e n t i a l b a r r i e r s , a n d t h e n e x p a n d i t t o i n c l u d e

a n a r b i t r a r y n u m b e r o f b a r r i e r s .

C o n s i d e r , c l a s s i c a l l y , t h e c a s e i n w h i c h a n e l e c t r o n i s i n c i d e n t u p o n t w o i d e n t i c a l p o t e n -

t i a l b a r r i e r s e n d o w e d w i t h k n o w n t r a n s m i s s i o n a n d r e e c t i o n p r o b a b i l i t i e s , T

a n dR

. T h e

p o s s i b l e s c e n a r i o s f o r t h e p r o p a g a t i o n o f t h e e l e c t r o n a r e e n d l e s s . F o r e x a m p l e , t h e e l e c -

t r o n m i g h t b e t r a n s m i t t e d t h r o u g h t h e r s t b a r r i e r , r e e c t e d b a c k a n d f o r t h b e t w e e n t h e

t w o b a r r i e r s a n y n u m b e r o f t i m e s b e f o r e t h e n t r a n s m i t t i n g t h r o u g h t h e s e c o n d b a r r i e r .

C l a s s i c a l l y , a d d i n g t h e p r o b a b i l i t i e s f o r a l l t h e p o s s i b l e p a t h s t h e e l e c t r o n c a n t a k e b e f o r e

t r a n s m i t t i n g t h r o u g h t h e s e c o n d b a r r i e r s h o u l d p r o v i d e t h e p r o b a b i l i t y f o r n a l t r a n s m i s -

s i o n . M a t h e m a t i c a l l y , w h e r e t h e s u b s c r i p t i n d i c a t e s t w o b a r r i e r s , t h e a b o v e r e a s o n i n g i s

t r a n s l a t e d i n t o

T2 = T T + TRRT + TRRRRT + TRRRRRRT +

= T2

1 + R2 + R4 +

=T2

1R2.

E s s e n t i a l l y , t h e s u m o f t h e e n d l e s s p a t h s o f t r a n s m i s s i o n t h r o u g h t w o b a r r i e r s c o n v e r g e

i n t o a g e o m e t r i c s e r i e s , f o r w h i c h w e k n o w t h e e x p r e s s i o n .

N o w , c o n s i d e r a p e r i o d i c a r r a y c o n s i s t i n g o f N

i d e n t i c a l p e r i o d i c p o t e n t i a l b a r r i e r s . A g a i n ,

l e tT

a n dR

d e n o t e t r a n s m i s s i o n a n d r e e c t i o n p r o b a b i l i t y f o r e a c h b a r r i e r . T h e t o t a l

p r o b a b i l i t y o f t r a n s m i s s i o n a n d r e e c t i o n p r o b a b i l i t y t h r o u g h N b a r r i e r s w i l l b e d e n o t e d TN

a n d

RN. B a s e d o n t h e s a m e r e a s o n i n g a s f o r t h e c a s e o f t w o p o t e n t i a l b a r r i e r s , t h e t o t a l

p r o b a b i l i t y o f t r a n s m i s s i o n t h r o u g h a b a r r i e r a d d e d a t t h e e n d o f t h e a r r a y c a n t h e n b e

d e s c r i b e d m a t h e m a t i c a l l y a s

1 0


14/27

TN+1 = TNT + TNRRNT + TNR2RN

2T + =TNT

1RNR.

( 3 . 1 )

T h u s , w e h a v e o b t a i n e d a r e c u r s i v e f o r m u l a , t h a t m a k e s i t p o s s i b l e t o c o m p u t e t h e t r a n s m i s -

s i o n p r o b a b i l i t y f o r a n y g i v e n n u m b e r o f i d e n t i c a l p o t e n t i a l b a r r i e r s , w h e n t h e t r a n s m i s s i o n

p r o b a b i l t i y T a n d r e e c t i o n p r o b a b i l i t y R i s k n o w n . F r o m t h e c o n s e r v a t i o n o f p r o b a b i l i t y i t f o l l o w s t h a t

RN = 1 TN. ( 3 . 2 )

I n t h e q u a n t u m m e c h a n i c a l c a s e , w h e r e i n s t e a d , t h e p r o b a b i l i t y a m p l i t u d e s a r e c o m p l e x

n u m b e r s , t h e s a m e r e a s o n i n g f o r d e d u c i n g E q . ( 3 . 1 ) s t i l l h o l d s , w i t h t h e e x c e p t i o n o f t h e

i n v a l i d i t y o f E q . ( 3 . 2 ) . T h u s , i n f o r m u l a , E q . ( 3 . 1 ) , o n e c a n e x c h a n g e t h e c o e c i e n t s T

a n dR

w i t h t h e t o t a l t r a n s m i s s i o n a n d r e e c t i o n a m p l i t u d e s , d e n o t e d t

a n dr

, a s i n E q .

( 2 . 6 ) . H o w e v e r , t h e r e e c t i o n c o e c e n t w i l l h a v e t o b e c a l c u l a t e d b y a d d i n g t o g e t h e r t h e

p r o b a b i l i t y o f t h e i n c o m i n g w a v e b e i n g r e e c t e d f r o m t h e i n i t a l c h a i n a n d a l l t h e p a t h s

o f b e i n g t r a n s m i t t e d t h r o u g h t h e i n i t i a l c h a i n , r e e c t e d b a c k a n d f o r t h w i t h i n c h a i n a n d

a n a d d i t i o n a l b a r r i e r , u l t i m a t e l y b e i n g t r a n s m i t t e d t h o r u g h t h e i n i t a l c h a i n . T h e f o r m u l a

r e a d s ,

rN+1 = rN + tN2r + t2Nr

2rN + = rNt2Nr

1 rNr.

( 3 . 3 )

D i s o r d e r e d S y s t e m s

D u e t o d i s o r d e r , i n a q u a n t u m m e c h a n i c a l s y s t e m , t h e r e e c t i o n c o e c i e n t i s n o l o n g e r t h e

s a m e f o r a n e l e c t r o n i n c i d e n t f r o m t h e d i e r e n t s i d e s o f a n c h a i n o f p o t e n t i a l b a r r i e r s . B y

a d d i n g a n e w p o t e n t i a l b a r r i e r a t t h e b e g i n n i n g o f a n a r r a y o f

Nn o n i d e n t i c a l p o t e n t i a l

b a r r i e r s , w e c a n a g a i n c a l c u l a t e t h e t r a n s m i s s i o n a n d r e e c t i o n c o e c i e n t f o r t h e e x t e n d e d

c h a i n b y a d d i n g u p t h e p r o b a b i l i t y f o r a l l t h e p o s s i b l e p a t h s t h e w a v e m i g h t t r a v e l . W e

h a v e u s e d t h e f o l l o w i n g f o r m u l a t i o n

tN+1 = ttN + trrNl t + tr2r2NltN + =

ttN1 rrNl

,( 3 . 4 )

rN+1l = r + t2rNl + t

2r2Nlr + = r +t2rNl

1 rrNl,

( 3 . 5 )

w h e r e t

a n dr

a r e t h e t r a n s m i s s i o n a n d r e e c t i o n c o e c i e n t f o r t h e a d d e d p o t e n t i a l , a n d rNl

t h e t o t a l r e e c t i o n c o e c i e n t f o r a n e l e c t r o n i n c i d e n t o n t h e l e f t u p o n t h e a r r a y c o m p o s e d

o f t h e N

p o t e n t i a l s a t t h e e n d . [ 6 ] T h e t w o a b o v e f o r m u l a s a r e d e d u c e d u s i n g t h e s a m e

i n t u i t i o n a s t h e a b o v e c a s e s f o r c o m p l e t e l y o r d e r e d s y s t e m s .

3 . 2 T h e E n e r g y E i g e n v a l u e E q u a t i o n

T h e o c c u r e n c e a n d s p e c i c a t i o n s o f e n e r g y b a n d s a n d g a p s , a r e e s s e n t i a l l y t r a c e d b a c k

t o t h e e n e r g y e i g e n v a l u e e q u a t i o n E q . ( 1 . 1 0 ) , w h i c h p r o v i d e s a c o n d i t i o n f o r t h e a l l o w e d

a n d f o r b i d d e n e l e c t r o n w a v e n u m b e r s . W e h a v e s o l v e d t h e e n e r g y e i g e n v a l u e e q u a t i o n

n u m e r i c a l l y i n o r d e r t o a r r i v e a t w h a t w a v e n u m b e r s h o u l d p l a c e t h e i n c i d e n t e l e c t r o n

i n s i d e o r o u t s i d e t h e a l l o w e d e n e r g y b a n d . H o w e v e r , b e l o w , i s r a t h e r t h e m o r e i m p o r t a n t

d e d u c t i o n , n o t o n l y d e s c r i b i n g t h e u n d e r l y i n g i n t u i t i o n b e h i n d e n e r g y b a n d s b u t a d d i n g a

l e v e l o f r i g o u r o s i t y t o a n i m p o r t a n t r e s u l t t h a t w e h a v e u s e d .

1 1


15/27

C o n s i d e r t h e o n e - d i m e n s i o n a l p e r i o d i c p o t e n t i a l

V (x) =

n=v (x na) .

( 3 . 6 )

L e t

vb e a n e v e n f u n c t i o n s o t h a t

v (x) = v(x). L e t a n e l e c t r o n w i t h e n e r g y

E =

2k2

2mb e i n c i d e n t f r o m t h e l e f t o n a s i n g l e p o t e n t i a l b a r r i e r

v (x). T h e n t h e t i m e - i n d e p e n d e n t

S c h r d i n g e r e q u a t i o n b e c o m e s

d2 (x)

dx2+ (v (x) k2) (x) = 0.

T h e c o r r e s p o n d i n g s o l u t i o n f o r 0 < E < v

i n t h e r e g i o n |x| > a

r e a d s

l (x) = eikx + reikx, x

a

2( 3 . 7 )

= teikx , x a

2

.( 3 . 8 )

H e r e r

a n dt

a r e t h e r e e c t i o n a n d t r a n s m i s s i o n c o e c i e n t s t h a t d e t e r m i n e t h e p r o b a b i l i t y

a m p l i t u d e t h a t t h e e l e c t r o n w i l l b e t r a n s m i t t e d o r r e e c t e d b y t h e p o t e n t i a l b a r r i e r . l (x)

w i t h t h e s u b s c r i p t l

, i n d i c a t e s t h a t t h e w a v e i s i n c i d e n t f r o m t h e l e f t . S i n c e , v (x)

i s a n

e v e n f u n c t i o n , i t i s i m p l i e d t h a t r (x) = l (x) a l s o i s a s o l u t i o n t o t h e S c h r d i n g e r

e q u a t i o n . B y s u p e r p o s i t i o n , s o i s a n y l i n e a r c o m b i n a t i o n o f l (x) a n d r (x) : (x) =

Al (x) + Br (x) . T h u s , g i v e n t h a t t h e H a m i l t o n i a n a s s o c i a t e d w i t h t h e c r y s t a l i s e q u a l t o t h a t o f a s i n g l e p o t e n t i a l b a r r i e r i n t h e i n t e r v a l

a2 x a2 , a n y s o l u t i o n t o t h e

S c h r d i n g e r e q u a t i o n f o r t h e e n t i r e s y s t e m w i t h e n e r g y E

m u s t b e a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f

l a n d r i n t h a t r e g i o n :

(x) = Al (x) + Br (x) , a

2 x

a

2.

E v a l u a t i n g (x)

i n t h e r e g i o n |x| a2 y i e l d s

(x) = Aeikx + Areikx + Bteikx, x a

2

= Ateikx + Beikx + Breikx , x a

2.

B e c a u s e o f t h e p e r i o d i c i t y o f t h e p o t e n t i a l s w e c a n a p p l y B l o c h ' s t h e o r e m , E q . ( 1 . 9 ) s t a t i n g

t h a t

(x + a) = eiq(x+a)u (x) = eiqa (x) .( 3 . 9 )

W h e n d i e r e n t i a t i n g t h e l a s t e x p r e s s i o n w e o b t a i n

d (a + x)

dx= eiqa

d (x)

dx.

( 3 . 1 0 )

N o w w e e v a l u a t e t h e l a s t t w o c o n d i t i o n s E q . ( 3 . 9 ) a n d E q . ( 3 . 1 0 ) a t x = a2 ,

Ateikaa

2 + Beika

2 + Breika

2 = eiqa Aeik a2 + Areika2 + Bteik a2ik

Ateika

2 Beika

2 + Breika

2

= eiqaik

Aeik

a

2 Areika

2 Bteika

2

.

1 2


16/27

M u l t i p l y i n g b o t h e q u a t i o n s w i t h

eika

2a n d g a t h e r i n g t h e c o e c i e n t s o f

Aa n d

Br e s p e c t i v e l y

y i e l d s A

eiqa + eiqareika teika

+ B

eiqateika reika 1

= 0

A

eiqa eiqareika teika

+ B

eiqateika reika + 1

= 0.

B y w r i t i n g t h i s s y s t e m o f e q u a t i o n o n m a t r i x f o r m w e m u s t h a v e t h e d e t e r m i n a n t o f t h e

s y s t e m m a t r i x e q u a l t o z e r o t o n d a n y n o n t r i v i a l s o l u t i o n . T h i s t r a n s l a t e s i n t o

0 =

eiqa + eiqareika teikaeiqateika reika + 1

eiqateika reika 1

eiqa eiqareika teika

= 4eiqaeika

t2 r2

2eika +

eika

2 t

eiqa + eiqa

2

B y u s i n g t h e i d e n t i t y cos = e

i+ei

2 w e a r r i v e a t

cos qa =t2 r2

2teika +

1

2teika.

( 3 . 1 1 )

I f w e r e w r i t e t h e t r a n s m i s s i o n a n d r e e c t i o n c o e c i e n t o n p o l a r f o r m a n d u s e t h e f a c t t h a t

t h e y a r e o r t h o g o n a l ( d e r i v e d i n t h e a p p e n d i x o f [ 6 ] ) w e o b t a i n t = |t| ei

r = i |r| ei.

( 3 . 1 2 )

F r o m e l e c t r o n c o n s e r v a t i o n i t f o l l o w s t h a t

1 = |r|2 + |t|2 .( 3 . 1 3 )

I n s e r t i n g t h e r e l a t i o n s E q . ( 3 . 1 2 ) a n d E q . ( 3 . 1 3 ) i n t o E q . ( 3 . 1 1 ) y i e l d s

cos qa =|t| 2 + |r| 2

2 |t|ei(ka+) +

1

2 |t|ei(ka+)

=cos(ka + )

|t|.

T h u s t h e c o n d i t i o n f o r t h e e n e r g y e i g e n v a l u e s r e a d s

cos qa =cos

|t|,

( 3 . 1 4 )

w h e r e w e h a v e i n t r o d u c e d t h e t o t a l p h a s e a r g u m e n t = ka +

w h i c h w e c a n r e l a t e t o E q .

( 1 . 1 0 ) . [ ? ]

3 . 3 I m p l e m e n t a t i o n

T o c a l c u l a t e t h e p r o b a b i l i t y o f t r a n s m i s s i o n a s a f u n c t i o n o f t h e n u m b e r o r p o t e n t i a l b a r -

r i e r s , i n t h e c l a s s i c a l c a s e , w e a p p l i e d t h e r e c u r s i o n f o r u m l a s E q . ( 2 . 1 ) a n d E q . ( 2 . 2 ) a n d

i m p l e m e n t e d t h e m u s i n g M a t l a b .

1 3


17/27

I n t h e q u a n t u m c a s e s w e i n s t e a d a p p l i e d t h e t o t a l p r o b a b i l i t y a m p l i t u d e s

t = teikd, a n d

r = reikd,w h e r e

di s t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e p o t e n t i a l s . W e i m p l e m e n t e d t h e r e c u r -

s i o n f o r m u l a s E q . ( 2 . 6 ) a n d E q . ( 2 . 7 ) f o r t h e t o t a l t r a n s m i s s i o n a n d r e e c i o n a m p l i t u d e

r e s p e c t i v e l y . T h e p r o b a b i l i t y o f t r a n s m i s s i o n f o r N p o t e n t i a l b a r r i e r s w a s c a l c u l a t e d a s

TN= |tN|2 = tN

2.

T h e i m p l e m e n t a t i o n w a s m a d e i n M a t L a b c o m p u t i n g t h e t o t a l p r o b -

a b i l i t y o f t r a n s m i s s i o n f o r t h e N : t h b a r r i e r s t a r t i n g s i m p l y w i t h t h e t r a n s m i s s i o n a n d

r e e c t i o n c o e c i e n t f o r a s i n g l e p o t e n t i a l b a r r i e r .

F o r t h e s p e c i a l c a s e o f d e l t a p o t e n t i a l s w e u s e d E q . ( 1 . 4 ) a s t h e t r a n s m i s s i o n c o e c i e n t

a l o n g w i t h E q . ( 1 . 6 ) a s a r e e c t i o n c o e c i e n t f o r a s i n g l e p o t e n t i a l . E s p e c i a l l y , w e i n c l u d e d

t h e t w o c a s e s c h o s i n g t h e w a v e n u m b e r t o b e i n s i d e a n d o u t s i d e t h e a l l o w e d b a n d r e s p e c -

t i v e l y . N e x t w e c o n s i d e r e d a r e c t a n g u l a r p o t e n t i a l b a r r i e r a n d a p p l i e d E q . ( 1 . 1 ) a s t h e

t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y a m p l i t u d e a n d E q . ( 1 . 3 ) a s t h e r e e c t i o n p r o b a b i l i t y a m p l i t u d e

f o r o n e p o t e n t i a l . T h e t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y w a s c a l c u l a t e d a n d p l o t t e d f o r a p e r i o d i c

a r r a y o f 1 0 0 i d e n t i c a l p o t e n t i a l s f o r t h r e e d i e r e n t b a r r i e r w i d t h s .

M o r e o v e r , w e a i m e d t o l o o k a t h o w t h e p r o b a b i l i t y o f t r a n s m i s s i o n d e p e n d e d o n t h e w a v e

v e c t o r o f a n e l e c t r o n i n c i d e n t o n t h e d i e r e n t k i n d s o f p o t e n t i a l b a r r i e r s . W e i m p l e m e n t e d

t h e s a m e p r i n c i p l e s a n d f o r m u l a s i n M a t l a b a s f o r c o m p u t i n g t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y

r e l a t i v e t o t h e n u m b e r o f p o t e n t i a l s , s i n c e t h e a l g o r i t m u s e d t o c a l c u l a t e t h e t r a n s m i s s i o n

p r o b a b i l i t y f o r N p o t e n t i a l s i s t h e s a m e . T h e m a i n d i e r e n c e w a s i n u s i n g a x e d n u m b e r

o f p e r i o d i c p o t e n t i a l s a n d i n s t e a d d e t e r m i n i n g t h e t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y , Tn = |tn(k)|

2,

o v e r a c e r t a i n r a n g e o f t h e w a v e n u m b e r . W e d e c i d e d t o i m p l e m e n t t h i s c o m p u t a t i o n o n

t h r e e s y s t e m s o f p e r i o d i c p o t e n t i a l s w i t h d i e r e n t n u m b e r o f p o t e n t i a l s , N , n a m e l y N =

3 , N = 6 a n d N = 1 0 0 0 .

W e f u r t h e r i n v e s t i g a t e d t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e e n e r g y o f a n e l e c t r o n p r o p a g a t i n g

t h r o u g h a p e r i o d i c p o t e n t i a l c o m p o s e d o f N i d e n t i c a l p o t e n t i a l s a n d t h e c r y s t a l w a v e

n u m b e r A n i l l u s t r a t i o n o f t h i s w a s o b t a i n e d b y s o l v i n g E q . ( 1 . 1 0 ) n u m e r i c a l l y f o r a c e r t a i n

r a n g e i n e n e r g y a n d s u b s e q u e n t l y p l o t t i n g t h e r e a l s o l u t i o n s f o r t h e c r y s t a l w a v e n u m b e r .

E x p a n d i n g f r o m o u r r s t a s s u m p t i o n o f p e r f e c t c r y s t a l s t r u c t u r e s , w e m o d i e d o u r p r e v i o u s

m o d e l f o r c e r t a i n t y p e s o f d i s o r d e r . B y d e n i n g w

a s a r a n d o m d i s o r d e r i n t h e p o t e n t i a l

w i d t h a n d c a l i b r a t i n g f o r t h i s d i s o r d e r i n o u r p r e v i o u s m o d e l w e p r o d u c e d n e w g u r e s f o r

t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y v e r s u s w a v e v e c t o r a n d t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y v e r s u s n u m b e r o f

p e r i o d i c p o t e n t i a l s . T h e m a g n i t u d e o f w

w a s d e s i g n e d t o b e h o m o g e n o u s l y d i s t r i b u t e d

a n d b o u n d e d . T h u s i n o u r m o d e l t h e p o t e n t i a l w i d t h

ai s m a d e t o b e r a n d o m l y u c t u a t i n g

a r o u n d a n m e a n v a l u e w

a c c o r d i n g t o :

w w a w +w.

A l s o w e i n t r o d u c e d a r a n d o m d i s o r d e r i n t h e p o t e n t i a l s e p a r a t i o n w h i l e k e e p i n g t h e w i d t h

o f t h e p o t e n t i a l b a r r i e r x e d . T h e l o c a t i o n o f e a c h p o t e n t i a l b a r r i e r u c t u a t e s r a n d o m l y

a r o u n d t h e p o t e n t i a l b a r r i e r p o s i t i o n i n a n e q u a l l y s p a c e d p o t e n t i a l a r r a y . F o r m a l i z i n g t h i s

y i e l d s

l l d l +l,

w h e r e d

i s t h e p o t e n t i a l s e p a r a t i o n , l

t h e m e a n s e p a r a t i o n a n d l

a u n i f o r m l y d i s t r i b u t e d

a n d b o u n d e d d i s o r d e r s u c h t h a t l l

.

W e u s e d t h e L y a p u n o v e x p o n e n t t o m e a u r e t h e d e g r e e o f l o c a l i z a t i o n [ 2 ] ,

= ln(T)

2N,

( 3 . 1 5 )

1 4


18/27

w h e r e N i s t h e n u m b e r o f p o t e n t i a l b a r r i e r s a n d T i s t h e t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y f o r t h e

e n t i r e s y s t e m o f p o t e n t i a l s . I n a d d i t i o n , f o r o u r o n e d i m e n s i o n a l m o d e l , t h e

c o r r e s p o n d s

t o t h e i n v e r s e o f t h e l o c a l i z a t i o n l e n g t h . W e i n t e n d t o i l l u s t r a t e h o w t h e d e g r e e o f l o c a l -

i z a t i o n v a r i e s w i t h p o t e n t i a l w i d t h f o r a n e l e c t r o n w i t h a w a v e n u m b e r i n s i d e a n d o u t s i d e

t h e b a n d . T h i s w a s d o n e b y c a l c u l a t i n g

a s a f u n c t i o n o f t h e p o t e n t i a l w i d t h , a , u s i n g

E q . ( 3 . 1 5 ) a n d p l o t t i n g t h e v a l u e o f

a v e r a g e d o v e r 1 0 0 s a m p l e s . T h e p o t e n t i a l w i d t h ,

a,

i s i m p l i c i t l y c o n t a i n e d i n t h e t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y , T . T h e t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y , T

i n E q . ( 3 . 1 5 ) w a s c o m p u t e d i n t h e s a m e r e c u r s i v e m a n n e r a s p r e v i o u s s t u d i e s f o r a x e d

n u m b e r o f r e c t a n g u l a r p o t e n t i a l s , p o t e n t i a l s e p a r a t i o n a n d w a v e n u m b e r .

1 5


19/27

C h a p t e r 4

R e s u l t s a n d D i s c u s s i o n

I n t h i s s e c t i o n w e w i l l p r e s e n t o u r r e s u l t s a n d a n a l y s i s . F i r s t , w e p r e s e n t t h e r e s u l t s p e r t a i n -

i n g t o t h e r e l a t i o n s b e t w e e n t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y a n d t h e n u m b e r o f p o t e n t i a l s . T h e n

w e p r e s e n t t h e r e s u l t s o f o u r s t u d i e s o n t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y

a n d w a v e n u m b e r . L a s t l y , w e p r e s e n t o u r r e s u l t s o n o u r s t u d i e s o f d i s o r d e r .

4 . 1 T r a n s m i s s i o n a n d N u m b e r o f P o t e n t i a l s

F r o m t h e t h e o r y o f q u a n t u m m e c h a n i c s , w e k n o w t h a t f o r c e r t a i n e n e r g i e s , e v e n f o r a n

i n n i t e n u m b e r o f p o t e n t i a l b a r r i e r s , t h e t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y w i l l b e n o n z e r o . H o w -

e v e r , i f t h e e l e c t r o n h a s a n e n e r g y o u t s i d e o f t h e a l l o w e d b a n d , q u a n t u m m e c h a n i c s t e l l s

u s t h a t t h e i n c i d e n t e l e c t r o n w i l l e x p e r i e n c e a d e c r e a s e i n t r a n s m i s s i o n w h e n t h e n u m b e r

o f p o t e n t i a l b a r r i e r s i n c r e a s e . F o r t h e c l a s s i c a l c a s e , k n o w i n g t h a t c l a s s i c a l m e c h a n i c s i s

a n a p p r o x i m a t i o n o f q u a n t u m m e c h a n i c s f o r l a r g e s c a l e o b j e c t s , w e w o u l d e x p e c t t h e e l e c -

t r o n t o b e h a v e l i k e a p a r t i c l e , a n d t h u s t h e t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y s h o u l d d e c r e a s e w h e n

i n c r e a s i n g t h e n u m b e r o f p o t e n t i a l s .

( a ) ( b )

F i g u r e 4 . 1 : T h e t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y T a s a f u n c t i o n o f t h e n u m b e r o f p o t e n t i a l b a r r i e r s

N w h e r e t h r e e c a s e s a r e d e p i c t e d ; w a v e n u m b e r i n s i d e t h e a l l o w e d b a n d , o u t s i d e t h e a l l o w e d

b a n d a n d c l a s s i c a l . T h e w a v e n u m b e r t o p l a c e t h e e l e c t r o n i n s i d e t h e b a n d w a s 5108m1.

T o p l a c e i t o u t i s d e t h e a l l o w e d b a n d w e s e t t h e w a v e n u m b e r t o 3.3 108m1.

I n g u r e a )

D i r a c d e l t a p o t e n t i a l s a n d b ) r e c t a n g u l a r p o t e n t i a l s . F o r b o t h g u r e s t h e p o t e n t i a l w i d t h

w a s s e t t o 2 1010m

a n d t h e p o t e n t i a l s e p a r a t i o n t o 108m

.

1 6


20/27

F o r b o t h t h e c a s e o f D i r a c d e l t a p o t e n t i a l s a n d r e c t a n g u l a r p o t e n t i a l s t h e a b o v e d e s c r i b e d

e x p e c t e d b e h a v i o u r s h o u l d b e s i m i l a r . A n a l y z i n g t h e r e s u l t s f r o m F i g . 4 . 1 w e s e e t h a t o u r

r e c u r s i v e a l g o r i t m s r e p r o d u c e r e s u l t s t h a t a r e i n l i n e w i t h e x p e c t a t i o n s f r o m t h e o r y .

H o w e v e r , t h e r e a r e d i e r e n c e s b e t w e e n a p p l y i n g D i r a c d e l t a f u n c t i o n s o r r e c t a n g u l a r p o -

t e n t i a l s . O u r r e s u l t s s h o w t h a t t h e t r a n s m i s s i o n o n a v e r a g e i s h i g h e r a p p l y i n g r e c t a n g u l a r

p o t e n t i a l s . H o w e v e r , w e d o n o t t h i n k t h a t t h a t i s a g e n e r a l r e s u l t , m e a n i n g t h a t f o r s o m e

r e c t a n g u l a r p o t e n t i a l s , t h e a v e r a g e t r a n s m i s s i o n c o u l d w e l l b e l o w e r a p p l y i n g r e c t a n g u l a r

p o t e n t i a l s i n s t e a d o f D i r a c d e l t a p o t e n t i a l s .

4 . 2 T r a n s m i s s i o n a n d W a v e N u m b e r

W h e n w e a n a l y z e t h e r e l a t i o n b e t w e e n t h e t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y a n d t h e w a v e n u m b e r o f

t h e i n c o m i n g e l e c t r o n , w e c a n s e e t h a t t h e p r o b a b i l i t y o f t r a n s m i s s i o n , o n a v e r a g e , i n c r e a s e

a s t h e w a v e n u m b e r i n c r e a s e . F r o m t h e s a m e g u r e , F i g . 4 . 2 , w e c a n o b s e r v e t h e a l l o w e d

e n e r g y b a n d s a n d t h e r e s t r i c t e d e n e r g y g a p s i n t e r m s o f e l e c t r o n w a v e n u m b e r s .

( a ) ( b )

F i g u r e 4 . 2 : T h e t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y T a s a f u n c t i o n o f t h e w a v e n u m b e r k f o r t h r e e

d i e r e n t n u m b e r o f p o t e n t i a l s , N = 3 , 6 , 1 0 0 0 . F i g u r e a ) p e r t a i n s t o D i r a c d e l t a p o t e n t i a l s

a n d b ) t o r e c t a n g u l a r p o t e n t i a l s w i t h t h e p o t e n t i a l w i d t h 2 1010m

. T h e p o t e n t i a l

s e p a r a t i o n w a s s e t t o 108

m .

W e s e e t h a t t h e e n e r g y b a n d s w i d e n a n d e n e r g y g a p s t i g h t e n a s t h e w a v e n u m b e r i s i n -

c r e a s e d . T h i s b e h a v i o u r a c c o u n t s f o r b o t h t h e c a s e o f a p p l y i n g D i r a c d e l t a - a n d r e c t a n g u l a r

p o t e n t i a l s . C o m p a r i n g t h e t w o , w e c a n , h o w e v e r , o b s e r v e t h a t t h e a l l o w e d e n e r g y b a n d s a r e

t i g h t e r f o r t h e c a s e o f r e c t a n g u l a r p o t e n t i a l s . W e c a n a l s o o b s e r v e t h a t t h e a v e r a g e t r a n s -

m i s s i o n p r o b a b i l i t y a s a f u n c t i o n o f t h e w a v e n u m b e r i s l o w e r f o r t h e c a s e o f r e c t a n g u l a r

p o t e n t i a l s .

4 . 3 R e c t a n g u l a r P o t e n t i a l s w i t h d i e r i n g w i d t h s

H e r e w e a n a l y z e t h e r e s u l t s p e r t a i n i n g t o F i g . 4 . 3 . I n F i g . 4 . 3 , w e h a v e p l o t t e d , f o r

N = 100, t h e r e l a t i o n b e t w e e n t h e t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y a n d t h e w a v e n u m b e r o f t h e

1 7


21/27

i n c i d e n t e l e c t r o n f o r t h r e e w i d t h s o f t h e r e c t a n g u l a r p o t e n t i a l s . A m e a s u r e K i s i n t r o d u c e d ,

w h e r e K = P otential Width

, a n d i s d e n e d t o b e 3 108Jm

. G e o m e t r i c a l l y , i n o n e

d i m e n s i o n i t i s t h e a r e a o f t h e p o t e n t i a l b a r r i e r . W h i l e c h a n g i n g t h e w i d t h , t h e b a r r i e r

a r e a r e m a i n s c o n s t a n t . T h u s , w h i l e i n c r e s i n g t h e w i d t h t h e p o t e n t i a l i s l o w e r e d .

F i g u r e 4 . 3 : T h e T r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y T a s a f u n c t i o n o f t h e w a v e n u m b e r k f o r t h r e e

d i e r e n t r e c t a n g u l a r p o t e n t i a l s i z e s , w i t h w i d t h s 1.98851010m, 1.46091010m, 1.1185

1010m. T h e p o t e n t i a l s e p a r a t i o n i s

108m.

F r o m F i g . 4 . 3 w e c a n u n d e r s t a n d t h a t i t i s h a r d t o d r a w a n y c o n c l u s i o n s o n t h e d i e r e n c e s

b e t w e e n t h e t h r e e w i d t h s . H o w e v e r , i t a p p e a r s t h a t w h e n t h e w i d t h i s i n c r e a s i n g t h e i n i t i a l

v a l u e f o r t h e w a v e n u m b e r t h a t a l l o w s f o r t r a n s m i s s i o n i s i n c r e a s e d . O t h e r w i s e , t h e t h r e e

g r a p h s l o o k v e r y s i m i l a r a p a r t f r o m t h a t p a r a l l e l s h i f t . T h e r e f o r e , i t i s r e a s o n a b l e t o t h i n k

t h a t t h e r e l a t i o n b e t w e e n t r a n s m i s s i o n b e h a v i o u r a n d p o t e n t i a l w i d t h i s d o m i n a t e d b y t h e

s i z e o f t h e p o t e n t i a l . H o w e v e r , i t s e e m s t h a t t h e w i d t h c r e a t e s a p a r a l l e l s h i f t s f o r t h e

p l o t s , i m p l y i n g t h a t f o r a g i v e n t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y , t h e w a v e n u m b e r m u s t b e h i g h e r

f o r a w i d e r p o t e n t i a l b a r r i e r .

T h e r e l a t i o n b e t w e e n t h e t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y a n d t h e n u m b e r o f p o t e n t i a l s i s p r e s e n t e d

f o r d i e r e n t p o t e n t i a l w i d t h s i n F i g . 4 . 4 .

1 8


22/27

( a ) ( b ) ( c )

F i g u r e 4 . 4 : a ) T h e t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y T a s f u n c t i o n o f n u m b e r o f p o t e n t i a l s N f o r

d i e r e n t w i d t h s ; 1.9885 1010m, 1.4609 1010m, 1.1185 1010m

f o r a n e l e c t r o n a )

i n s i d e t h e a l l o w e d b a n d , w i t h a w a v e n u m b e r o f 5 108m1

b ) o u t s i d e t h e a l l o w e d b a n d ,

w i t h a w a v e n u m b e r o f 3.3 108m1

c ) d e s c r i b e d c l a s s i c a l l y . T h e p o t e n t i a l s e p a r a t i o n i s

108mi n a l l g u r e s .

T h e t h r e e g u r e s r e p r e s e n t t h e t h r e e c a s e s o f a n e l e c t r o n b e i n g i n s i d e t h e a l l o w e d b a n d ,

o u t s i d e t h e a l l o w e d b a n d a n d b e i n g v i e w e d c l a s s i c a l l y a s a p a r t i c l e . F o r t h e e a c h c a s e

w e c a n c l e a r l y o b s e r v e t h a t t h e a v e r a g e t r a n s m i s s i o n d e c r e a s e s w i t h i n c r e a s e i n g p o t e n t i a l

w i d t h . H o w e v e r , i n n e i t h e r c a s e i s t h e n a t u r e o f t h e b e h a v i o u r d i e r e n t . W h e n t h e e l e c t r o n

i s i n s i d e t h e b a n d , F i g . 4 . 4 a ) , t h e t r a n s m i s s i o n b e h a v e s o s c i l l a t o r y f o r a l l w i d t h s . W h e n

t h e e l e c t r o n i s o u t s i d e t h e b a n d , t h e t r a n s m i s s i o n d r o p s o f i n a n e x p o n e n t i a l m a n n e r , n o

m a t t e r p o t e n t i a l w i d t h . T h e s a m e t y p e o f e x p o n e n t i a l d e c r e a s e i s o b s e r v e d i n t h e c l a s s i c a l

c a s e f o r a l l t h r e e w i d t h s . W h e n c h a n g i n g w i d t h s f o r t h e p o t e n t i a l s , w e h a v e a p p l i e d t h e

s a m e m e t h o d o l o g y a s f o r F i g . 4 . 3 .

T h e b e l o w g u r e s r e l a t e t o t h e s t u d y o f h o w t h e e n e r g y b a n d s / g a p s c h a n g e f o r d i e r e n t

w i d t h s o f t h e p o t e n t i a l b a r r i e r s .

( a ) ( b ) ( c )

F i g u r e 4 . 5 : E n e r g y E [ m e V ] o f a n e l e c t r o n v e r s u s c r y s t a l w a v e n u m b e r q f o r t h r e e d i e r e n t

p o t e n t i a l w i d t h s a ; a ) 1 b ) 5 a n d c ) 1 5 . F o r a l l g u r e s t h e p o t e n t i a l s e p a r a t i o n d = 1 0 0 .

T h e d o t t e d p a r a b o l a s r e p r e s e n t t h e f r e e p a r t i c l e .

F r o m F i g . 4 . 5 w e s e e t h a t a t a n y n o n z e r o m u l t i p l e o f

qa

e n e r g y g a p s o c c u r . I t i s c l e a r

t h a t t h e s e g a p s a r e i n c r e a s i n g w i t h i n c r e a s i n g p o t e n t i a l w i d t h . I n a d d i t i o n , t h e r a n g e o f

t h e e n e r g y b a n d s d e c r e a s e s f o r w i d e r p o t e n t i a l s . N o t i c e t h a t a s t h e w i d t h a p p r o a c h z e r o

t h e s o l u t i o n s o f E q . ( 1 . 1 0 ) t e n d s t o t h o s e o f t h e f r e e e l e c t r o n .

1 9


23/27

4 . 4 R a n d o m D i s t u r b a n c e i n P o t e n t i a l W i d t h a n d S e p a r a t i o n

F i g . 4 . 6 d e p i c t s t h e p r o b a b i l i t y o f t r a n s m i s s i o n t h r o u g h a c h a i n o f 1 0 0 r a n d o m p o t e n t i a l s

f o r t h r e e d i e r e n t l e v e l s o f d i s o r d e r ; i n F i g . 4 . 6 a ) i t i s a p p l i e d t o p o t e n t i a l w i d t h a n d

i n F i g . 4 . 6 b ) t o p o t e n t i a l s e p a r a t i o n . I n b o t h g u r e s , t h e t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y f o r

t h e d i s o r d e r e d s y s t e m s i n s i d e t h e a l l o w e d e n e r g y b a n d o s c i l l a t e s w i t h a n h i g h e r a m p l i t u d e

t h a n f o r t h e c o m p l e t e l y o r d e r e d s y s t e m ( b l u e c u r v e ) . I n t h e b a n d r e g i o n , w e o b s e r v e t h a t

t h e a v e r a g e t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y d e c r e a s e s f o r a h i g h e r o r d e r o f d i s o r d e r i n p o t e n t i a l

w i d t h a n d s e p a r a t i o n r e s p e c t i v e l y . I n F i g . 4 . 6 a ) t h e e n e r g y b a n d c o r r e s p o n d i n g t o a h i g h e r

d i s o r d e r i n p o t e n t i a l w i d t h ( r e d d o t t e d l i n e ) a r e t i g h t e r , a n d l o c a t e d i n r i g h t p a r t o f t h e

e n e r g y b a n d f o r t h e c o m p l e t e l y o r d e r e d s y s t e m . F r o m F i g . 4 . 6 b ) w e s e e t h a t t h e e e c t

o f a n i n c r e a s i n g d i s o r d e r i n t h e p o t e n t i a l s e p a r a t i o n l o w e r s t h e t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y

i n t h e b a n d r e g i o n a n d i n c r e a s e s t h e m i n i m u m t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y i n t h e g a p r e g i o n .

E s p e c i a l l y , i n t h e t h i r d g a p r e g i o n a h i g h d i s o r d e r i n p o t e n t i a l s e p a r a t i o n ( r e d d o t t e d l i n e )

s e e m s t o r e s u l t i n a n a v a r a g e t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y c l o s e t o t h a t o f t h e s u b s e q u e n t b a n d

r e g i o n .

( a ) ( b )

F i g u r e 4 . 6 : T h e t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y T

a s a f u n c t i o n o f t h e w a v e v e c t o r k

f o r t h r e e

d i e r e n t d i s o r d e r s i n a ) p o t e n t i a l w i d t h : w

= 0 ( b l u e c u r v e ) , w = 0.3w

( g r e e n d a s h e d

c u r v e ) a n d w = w

( r e d d o t t e d c u r v e ) . T h e a v e r a g e w i d t h w = 2A

a n d t h e p o t e n t i a l

s e p a r a t i o n d = 100A

. b ) p o t e n t i a l s e p a r a t i o n : l

= 0 ( b l u e c u r v e ) , l = 0.2l

( g r e e n d a s h e d

c u r v e ) a n d l = 0.5l

( r e d d o t t e d c u r v e ) . T h e m e a n p o t e n t i a l s e p a r a t i o n l = 100A

a n d t h e

p o t e n t i a l w i d t h d = 2A

. F o r g u r e s a ) a n d b ) t h e n u m b e r o f p o t e n t i a l b a r r i e r s N = 100

t h e p o t e n t i a l s t r e n g t h V = 1.1E

. E i s g i v e n b y E =

2k2

2m .

I t s h o u l d b e n o t e d t h a t t h e g e n e r a l i t y o f t h e s e c l a i m s a r e h a r d t o e s t a b l i s h s i n c e t h e p o -

t e n t i a l w i d t h a n d s e p a r a t i o n u c t u a t e s r a n d o m l y . F o r e x a m p l e , t h e r e i s a p r o b a b i l i t y ,

a l t h o u g h s m a l l , t h a t a l l t h e p o t e n t i a l w i d t h s r e l e v a t n t t o F i g . 4 . 6 a ) a n d p o t e n t i a l s e p a r a -

t i o n s r e l e v a n t t o F i g . 4 . 6 b ) a r e i d e n t i c a l f o r a s y s t e m i n t e n d e d t o b e d i s o r d e r e d . C l e a r l y

t h i s i s n o t t h e c a s e i n F i g . 4 . 6 . A l s o , i t i s m e n t i o n a b l e t h a t t h e s y s t e m c o r r e s p o n d i n g t o a

s p e c i c d i s o r d e r i s x e d f o r a l l t h e w a v e n u m b e r s .

F i g . 4 . 7 s h o w s t h e p r o b a b i l i t y o f t r a n s m i s s i o n f o r a n e l e c t r o n i n s i d e t h e b a n d v e r s u s t h e

n u m b e r o f p o t e n t i a l b a r r i e r s a v a r a g e d o v e r 1 0 0 s a m p l e s o f d i s o r d e r i n p o t e n t i a l w i d t h ,

F i g . 4 . 7 a ) , a n d p o t e n t i a l s e p a r a t i o n F i g . 4 . 7 b ) . I n t h e c o m p l e t e l y o r d e r e d s y s t e m ( b l u e

c u r v e ) t h e t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y o s c i l l a t e s w i t h a n a v a r a g e v a l u e c l o s e t o o n e . H o w e v e r ,

f r o m b o t h F i g . 4 . 7 a ) a n d F i g . 4 . 7 b ) w e o b s e r v e t h a t t h e t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y f o r a

d i s o r d e r e d s y s t e m d e c r e a s e s w i t h a n i n c r e a s e i n t h e n u m b e r o f p o t e n t i a l s .

2 0


24/27

( a ) ( b )

F i g u r e 4 . 7 : T h e t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y T

a s a f u n c t i o n o f t h e n u m b e r o f p o t e n t i a l b a r r i e r s

Nf o r t h r e e d i e r e n t d i s o r d e r s i n a ) p o t e n t i a l w i d t h :

w= 0 ( b l u e c u r v e ) ,

w = 0.5w( g r e e n

c u r v e ) a n d

w = w( r e d c u r v e ) . T h e m e a n w i d t h

w = 2Aa n d t h e p o t e n t i a l s e p a r a t i o n

d = 100A. b ) p o t e n t i a l s e p a r a t i o n : l = 0 ( b l u e c u r v e ) , l = 0.3l ( g r e e n c u r v e ) a n d l = l( r e d c u r v e ) . T h e m e a n p o t e n t i a l s e p a r a t i o n

l = 100Aa n d t h e p o t e n t i a l w i d t h

d = 2A. F o r

g u r e s a ) a n d b ) t h e w a v e v e c t o r

k = 10 108m1a n d t h e p o t e n t i a l s t r e n g t h

V = 1.1E.

E i s g i v e n b y E =

2k2

2m .

I n F i g . 4 . 8 , w e s h o w b y m e a n s o f t h e L y a p u n o v e x p o n e n t t h e e e c t o f d i s o r d e r i n t h e

p o t e n t i a l w i d t h o n t h e t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y . T h e r e s u l t i s a n a v e r a g e o f 1 0 0 s a m p l e s .

F r o m F i g . 4 . 8 a ) w e s e e t h a t i n s i d e t h e e n e r g y b a n d t h e d e g r e e o f l o c a l i z a t i o n i n c r e a s e s f o r

a n i n c r e a s i n g d e g r e e o f d i s o r d e r . I n c o n t r a s t , i n t h e e n e r g y g a p r e g i o n , F i g . 4 . 8 b ) , s h o w s

t h a t t h e d e g r e e o f l o c a l i z a t i o n d e c r e a s e s f o r a n i n c r e a s i n g d e g r e e o f d i s o r d e r .

( a ) ( b )

F i g u r e 4 . 8 : T h e L y a p o n o v e x p o n e n t

a s a f u n c t i o n o f t h e l e v e l o f d i s o r d e r w

f o r a n

e l e c t r o n a ) i n s i d e t h e b a n d ( k = 5 108m1)

b ) i n t h e g a p (k = 6.5 108m1)

. T h e

m e a n w i d t h w = 2A

, t h e p o t e n t i a l s e p a r a t i o n d = 100A

, t h e n u m b e r o f p o t e n t i a l b a r r i e r s

N = 100a n d t h e p o t e n t i a l s t r e n g t h

V = 1.1E.

2 1


25/27

C h a p t e r 5

C o n c l u s i o n s

5 . 1 C l a s s i c T r a n s m i s s i o n

C l a s s i c a l l y , o u r r e s u l t s f o l l o w i n t u i t i o n . A s t h e n u m b e r o f p o t e n t i a l b a r r i e r s i n c r e a s e s t h e

t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y s t r i c t l y d e c r e a s e s . A l s o , i t s e e m s l i k e t h e w i d t h o f t h e p o t e n t i a l

b a r r i e r h a s t h e s a m e e e c t . A s t h e w i d t h o f t h e p o t e n t i a l b a r r i e r i s i n c r e a s e d , w h i l e h o l d i n g

t h e p o t e n t i a l s i z e c o n s t a n t , t h e t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y d e c r e a s e s o n a v e r a g e .

5 . 2 Q u a n t u m M e c h a n i c a l T r a n s m i s s i o n

W h i l e h a v i n g n o f o r m a l h y p o t h e s i s , f r o m t h e o r y w e k n o w t h a t q u a n t u m m e c h a n i c a l l y ,

t h e r e i s a p r e s e n c e o f e n e r g y b a n d s a n d g a p s . W e a l s o k n o w f r o m e n e r g y b a n d t h e o r y i n

c o n j u n c t i o n w i t h e l e c t r o n t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y , t h a t t h e b a n d s a n d g a p s s h o u l d p r o v i d e

c o m p l e t e l y d i e r e n t t r a n s m i s s i o n b e h a v i o u r . F r o m o u r m o d e l s , t h i s i s e x a c t l y w h a t w e h a v e

b e e n a b l e t o c o n r m . Q u a n t u m m e c h a n i c a l l y , w h e n t h e w a v e v e c t o r o f t h e i n c i d e n t e l e c t r o n

i s w i t h i n t h e a l l o w e d e n e r g y b a n d , t r a n s m i s s i o n p r o a b a b i l i t y i s n o n z e r o f o r a n y n u m b e r

o f p o t e n t i a l s . I n o t h e r w o r d s , o n e d i m e n s i o n a l p r o p a g a t i o n t h r o u g h a p e r f e c t c r y s t a l w i t h

i n n i t e l e n g t h i s p o s s i b l e , o n l y c o n t i n g e n t o n t h e e l e c t r o n w a v e n u m b e r . H o w e v e r , w h e n t h e

w a v e n u m b e r o f t h e i n c i d e n t e l e c t r o n i s o u t s i d e t h e a l l o w e d e n e r g y b a n d t h e t r a n s m i s s i o n

p r o b a b i l i t y d e c r e a s e s q u i c k l y , f a s t e r t h a n i n t h e c l a s s i c a l c a s e .

A n o t h e r c o n c l u s i o n d r a w n f r o m o u r c o m p u t a t i o n s i s t h a t t h e w i d t h o f t h e a l l o w e d e n e r g y

b a n d s i n c r e a s e a s t h e w a v e n u m b e r i n c r e a s e s . B a s e d o n o u r g u r e s o f t h e t r a n s m i s s i o n

p r o b a b i l i t y a s a f u n c t i o n o f t h e w a v e n u m b e r w i t h d i e r e n t w i d t h s w e c o u l d n o t c l e a r l y

d r a w a n y d i s t i n c t c o n c l u s i o n s . H o w e v e r , w h e n w e p l o t t e d t h e e n e r g y b a n d s a n d g a p s a s a

f u n c t i o n o f t h e c r y s t a l w a v e n u m b e r , a n d i n t r o d u c e d d i e r e n t w i d t h s , w e c o u l d d r a w t h e

c o n c l u s i o n t h a t t h e e n e r g y g a p s i n c r e a s e d w h e n t h e p o t e n t i a l w i d t h i n c r e a s e d . T h e o p p o s i t e

e e c t w a s s e e n o n t h e e n e r g y b a n d s t h a t t i g h t e n e d f o r i n c r e a s i n g p o t e n t i a l w i d t h s . T h i s w a s

i n l i n e w i t h e x p e c t a t i o n s f r o m t h e o r y , a n d a l s o t h e e n e r g y b a n d r e p r e s e n t a t i o n p r o v i d e d

a c l e a r e r d i s p l a y o f t h e b e h a v i o u r , w h i l e b e i n g e q u i v a l e n t t o p l o t t i n g t h e t r a n s m i s s i o n

p r o b a b i l i t y v e r s u s t h e w a v e n u m b e r .

2 2


26/27

5 . 3 D i s o r d e r

D i s o r d e r i n P o t e n t i a l W i d t h

T h e w a y d i s o r d e r w a s i n t r o d u c e d i n t h e p o t e n t i a l w i d t h , b y a p p l y i n g i t r a n d o m l y w i t h i n a n

i n t e r v a l a r o u n d a n a v e r a g e w i d t h , e n a b l e d a n i m p l e m e n t a t i o n o f d i s o r d e r t h r o u g h o u t t h e

e n t i r e s y s t e m . T h i s n o t o n l y p r o v i d e s m o r e i m p a c t a n d c h a n g e t o t h e o r d i n a r y c a s e , b u t

a l s o m u c h b e t t e r a p p r o x i m a t e s t h a t o f a r e a l c r y s t a l , e n d o w e d w i t h r a n d o m i m p u r i t i e s . W e

e x e c u t e d t w o d i e r e n t c o m p u t a t i o n s f o r d i s o r d e r , w h e r e w e a l l o w e d f o r d i e r e n t m a g n i t u d e s

o f v a r i a t i o n o f t h e w i d t h a r o u n d i t s a v e r a g e . O n e c o m p u t a t i o n w a s m a d e f o r a n i n t e r v a l o f

5 0 % , a n d o n e w a s m a d e f o r a n i n t e r v a l o f 1 0 0 % . T h u s o n a v e r a g e , t h e s e c o n d c o m p u t a t i o n

p o t e n t i a l l y , a n d m o s t p r o b a b l y i m p l y a h i g h e r l e v e l o f d i s o r d e r . C o m p a r i n g t h e t w o w e

w e r e a b l e t o d r a w c o n c l u s i o n s o n h o w t h e t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y c h a n g e s a s a f u n c t i o n

o f t h e l e v e l o f d i s o r d e r . I n a d d i t i o n , b y i n t r o d u c i n g a l e v e l o f r a n d o m n e s s t o t h e v a r i a t i o n s ,

w e w e r e a b l e t o c o m p u t e a n e x p e c t e d v a l u e o f t h e t r a n s m i s s i o n c o e c i e n t a p p r o x i m a t e d b y

a n a v e r a g e o v e r 1 0 0 i t e r a t i o n s o f t h e t r a n s m i s s i o n c o m p u t a t i o n . T h e a v e r a g e t r a n s m i s s i o n

p r o b a b i l i t i e s o f t h e s e 1 0 0 s a m p l e s , p r o v i d e a r o b u s t a n d g e n e r a l i z e d r e p r e s e n t a t i o n o f t h e

b e h a v i o u r o f t h e t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y , s t r e n g h t e n i n g o u r c o n c l u s i o n s .

W e f o u n d t h a t t h e i m p l e m e n t a t i o n o f d i s o r d e r i n a n a r r a y o f r e c t a n g u l a r p o t e n t i a l b a r r i e r s

y i e l d s m a n y i n t e r e s t i n g e e c t s . O u r r e s u l t s s h o w t h a t a d i s o r d e r i n p o t e n t i a l w i d t h i n d u c e s

a l o c a l i z a t i o n o f e n e r g y s t a t e s . F o r h i g h e r d e g r e e s o f d i s o r d e r i n p o t e n t i a l w i d t h t h e e n e r g y

b a n d t i g h t e n a n d t h e m i n i m u m l e v e l o f t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y i n t h e g a p i n c r e a s e s . A l s o ,

w e c o n c l u d e t h a t t h e a v e r a g e t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y i n s i d e t h e e n e r g y b a n d i s l o w e r t h a n

f o r a c o m p l e t e l y o r d e r e d s y s t e m a n d t h a t i n s i d e t h e e n e r g y b a n d t h e d e g r e e o f l o c a l i z a t i o n

i n c r e a s e s f o r a n i n c r e a s i n g d e g r e e o f d i s o r d e r . T h i s i s i n d i c a t e d f r o m o u r c o m p u t a t i o n s o f

t h e L y a p o n o v e x p o n e n t a s a m e a s u r e o f t h e d e g r e e o f d i s o r d e r . F i n a l l y , o u r r e s u l t s t o l d

u s t h a t f o r a n e n e r g y i n t h e e n e r g y g a p r e g i o n t h e d e g r e e o f l o c a l i z a t i o n d e c r e a s e s f o r a n

i n c r e a s i n g d e g r e e o f d i s o r d e r .

D i s o r d e r i n P o t e n t i a l S e p a r a t i o n

A s f o r t h e d i s o r d e r i n t h e p o t e n t i a l w i d t h , w e l e t t h e p o t e n t i a l s e p a r a t i o n v a r y r a n d o m l y

w i t h i n a s e t i n t e r v a l a r o u n d a x e d a v e r a g e v a l u e . A g a i n , t h i s r e p r e s e n t a t i o n p r o v i d e s

n o t o n l y a s t r o n g a n d w i d e s p r e a d l e v e l o f d i s o r d e r , b u t a l s o a c l o s e r a p p r o x i m a t i o n t o a

r e a l c r y s t a l , e n d o w e d w i t h r a n d o m a n d n a t u r a l i m p u r i t i e s . W e c o m p u t e d t h e t r a n s m i s s i o n

p r o b a b i l i t y b u t r e s c a l e d i t u s i n g ln(T)

b e c a u s e w e f o u n d t h a t d u e t o t h e b e h a v i o u r o f t h e

r e l a t i o n b e t w e e n t h e t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y a n d w a v e n u m b e r , t h i s r e s c a l i n g p r o v i d e d

s m o o t h e r c u r v e s t h a n t h e o r d i n a r y t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y , T . T h i s a d j u s t m e n t i n c r e a s e d

t h e l e v e l o f c l a r i t y a n d s i m p l i e d a n a l y s i s . A g a i n t w o l e v e l s o f d i s o r d e r w a s i n t r o d u c e d

i n t h e p o t e n t i a l s e p a r a t i o n , a l l o w i n g f o r r a n d o m v a r i a t i o n a r o u n d t h e a v e r a g e o f 2 0 % a n d

5 0 % . A s f o r t h e c a s e o f d i s o r d e r i n t h e p o t e n t i a l w i d t h , w e w e r e a b l e t o p e r f o r m 1 0 0

i t e r a t i o n s f o r b o t h l e v e l s o f v a r i a t i o n a n d c o m p u t e t h e e x p e c t e d v a l u e f o r t h e t r a n s m i s s i o n ,

o b t a i n i n g a m o r e r o b u s t a n d g e n e r a l i z e d b e h a v i o u r . O u r r s t c o n c l u s i o n s d r a w n f r o m t h e s e

c o m p u t a t i o n s i s t h a t i n s i d e t h e b a n d t h e a v e r a g e t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y d e c r e a s e w i t

transmission properties of an electron in one dimensional crystals with periodic potentials

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