transormadas de la place
DESCRIPTION
transormadas de laplace, solucion de ecuaciones diferenciales para sistemas de contol en tiempo continuo mediante el metodo de la transformada de LaplaceTRANSCRIPT
Universidad de Guanajuato
División de Ingenierias CampusIrapuato-Salamanca
Circuitos en Frecuencia
Transformadas de Laplace
Mario Andrew Hernández Bravo
Carretera Salamanca-Valle de Santiago Km 3.5+1.8 Km
Comunidad de Palo Blanco, C.P. 36885 Salamanca, Gto.
Guanajuato - 9 de febrero de 2015
Índice
1. Transformada de Laplace de la función seno 3
2. Transformada de Laplace de la función coseno 3
3. Transformada de Laplace de la función exponencial 4
4. Transformada de Laplace de la funcion seno amortiguado 5
5. Transformada de Laplace de la función coseno amortiguado 6
6. Transformada de Laplace de la función rampa amortiguada 7
2
1. Transformada de Laplace de la función seno
f(t) = sinωt =1
2j(ejωt − e−jωt) (1)
F (s) = L[f(t)] =∫ ∞0−
f(t)e−stdt
F (s) = L[f(t)] = L[sinωt]
F (s) =
∫ ∞0−
sin (ωt)e−stdt =1
2j
∫ ∞0−
(ejωt − e−jωt)e−stdt
F (s) =1
2j
∫ ∞0−
ejωte−stdt− 1
2j
∫ ∞0−
e−jωte−stdt
F (s) =1
2j
∫ ∞0−
e−t(s−jω)dt− 1
2j
∫ ∞0−
e−t(s+jω)dt
F (s) = − 1
2j(s− jω)e−t(s−jω)|∞0− +
1
2j(s+ jω)e−t(s+jω)|∞0−
1
2j(s− jω)− 1
2j(s+ jω)=
ω
s2 + ω2
F (s) = L[sinωt] = ω
s2 + ω2
2. Transformada de Laplace de la función coseno
f(t) = cosωt =1
2(ejωt + e−jωt) (2)
3
F (s) = L[f(t)] =∫ ∞0−
f(t)e−stdt
F (s) =
∫ ∞0−
cosωte−stdt =
∫ ∞0−
1
2(ejωt + e−jωt)e−stdt
F (s) =1
2
∫ ∞0−
e−t(s−jω)dt+1
2
∫ ∞0−
e−t(s+jω)dt
F (s) =1
2[s− jω]e−t(s−jω)|∞0− +
1
2[s+ jω]e−t(s+jω)|∞0−
F (s) = − 1
2(s− jω)− 1
2(s+ jω)=
s
s2 + ω2
F (s) = L[cosωt] = s
s2 + ω2
3. Transformada de Laplace de la función exponen-cial
f(t) = eαt (3)
F (s) = L[f(t)] =∫ ∞0−
f(t)e−stdt
F (s) =
∫ ∞0−
eαte−stdt
F (s) =
∫ ∞0−
e−t(s−α)dt
F (s) = − 1
s− αe−t(s−α)|∞0− =
1
s− α
F (s) = L[eαt] = 1
s− α
4
4. Transformada de Laplace de la funcion seno amor-tiguado
f(t) = sinωteαt (4)
F (s) = L[f(t)] =∫ ∞0−
f(t)e−stdt
F (s) =
∫ ∞0−
sin (ωt)eαte−stdt =
∫ ∞0−
1
2j(ejωt − e−jωt)eαte−stdt
F (s) =1
2j
∫ ∞0−
ejωteαte−stdt− 1
2j
∫ ∞0−
e−jωteαte−stdt
F (s) =1
2j
∫ ∞0−
e−t(s−jω−α) − 1
2j
∫ ∞0−
e−t(s+jωt−α)dt
F (s) = − 1
2j
1
(s− α) + jωe−t(s−α−jω|∞0− +
1
2j
1
(s− α) + jωe−t(s−α−jω|∞0−
1
2j
1
(s− α)− jω− 1
2j
1
(s− α) + jω=
ω
(s− α)2 + ω2
5
5. Transformada de Laplace de la función cosenoamortiguado
f(t) = cosωteαt (5)
F (s) = L[f(t)] =∫ ∞0−
f(t)e−stdt
F (s) =
∫ ∞0−
sin (ωt)eαte−stdt =
∫ ∞0−
1
2(ejωt + e−jωt)eαte−stdt
F (s) =1
2
∫ ∞0−
ejωteαte−stdt+1
2
∫ ∞0−
e−jωteαte−stdt
F (s) =1
2
∫ ∞0−
e−t(s−jω−α) +1
2
∫ ∞0−
e−t(s+jωt−α)dt
F (s) = −1
2
1
(s− α) + jωe−t(s−α−jω|∞0− −
1
2
1
(s− α) + jωe−t(s−α−jω|∞0−
1
2
1
(s− α)− jω+
1
2
1
(s− α) + jω=
s− α(s− α)2 + ω2
6
6. Transformada de Laplace de la función rampaamortiguada
f(t) = teαt (6)
F (s) = L[f(t)] =∫ ∞0−
f(t)e−stdt
F (s) =
∫ ∞0−
teαte−stdt
F (s) =
∫ ∞0
te−t(s−α)dt
Integrandoporpartes
− 1
(s− α)2e−t(s−α)|∞0− =
1
(s− α)2
7