transparencias de g.a

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Geometria Analítica para os cursos de

Engenharia e Licenciatura Eurípedes MACHADO Rodrigues

→ →

→

→

→→

→

→→

→

→ → →

→

→

→

→

→

→

→ →

Produto (ou multiplicação) de um escalar (um número real) por um vetor

Seja v um vetor não nulo e α um número real não nulo. O produto do número real α

pelo vetor v resulta num outro vetor w = α . v, cujas características são:

Módulo de w : | w | = | α | . | v | Direção de w : a mesma direção de v , portanto w e v são paralelos.

Sentido de w : o mesmo sentido de v , se α for positivo (α > 0) e sentido contrário de v, se for α negativo (α < 0). Exemplos: Observações:

• Se v = 0 ou α = 0, então w = α . v será o vetor nulo, ou seja, w = 0

• Se α = −1 , então w = α . v será o vetor oposto de v , ou seja, w = −v

• O versor de um vetor v ≠ 0 é o vetor unitário u = |v|

1. v ou u =

|v|

v

Propriedades do produto de escalar por vetor

Sendo u e v vetores quaisquer e αααα e ββββ números reais, temos:

EXERCÍCIOS

1. Dados os vetores u, v e w , de acordo com a figura, construir o vetor r = 2 u – 3 v + 2

1w

u

v w

I) Identidade: 1 u = u

II) Associativa: (α . β) u = α (β . u ) = β (α . u )

III) Cancelamento: α . u = β . u, implica α = β, se u for não nulo (u ≠ 0 )

IV) Distributiva em relação à adição de vetores: α (u + v) = α u + α v

V) Distributiva em relação à adição de escalares: (α + β) u = α u + β u

u

u

2 u

−3 u

½ w −3 v

2 u r

2



→

→

→

ESPAÇOS VETORIAIS 1. COMBINAÇÃO LINEAR

a) Definição: Dados n vetores v1, v2, v3, ..., vn e n números reais α1, α2, α3, ... ,αn

com n ≥ 1, dizemos que o vetor v é uma combinação linear dos n vetores dados quando é escrito na forma :

b) Exemplos:

2. DEPENDÊNCIA LINEAR a) Definição 1: Dois ou mais vetores são linearmente dependentes (LD) se pelo menos um deles é combinação linear dos restantes; b) Definição 2: Dois ou mais vetores são linearmente independentes (LI) se eles não são linearmente dependentes, ou seja, nenhum deles é combinação linear dos restantes. Obs.: LI é a negação de LD e vice-versa. 3. CONCLUSÕES IMPORTANTES SOBRE DEPENDÊNCIA LINEAR

a) Se num conjunto de n vetores, um deles for combinação linear dos outros, então todos os vetores desse conjunto são linearmente dependentes (LD).

b) Se num conjunto de n vetores, alguns deles forem LD, então todos os vetores

desse conjunto serão LD.

→V2

V1

V2

V3

V1 →

2

α

V = 2

1 v1 + 3 v2 4

3− v3

1α

2α

α 3α

nnvvvvv ⋅++⋅+⋅+⋅= αααα ...

332211

V

3. v2 →

→

2 V1

P

A O

v = 2.v1 + 3. v2

1α

2

1.V1

3. v2

4

3− .V3

→

→

→

O

P

B V

A

3



c) Um único vetor é LD se, e somente se ele é nulo.

d) Para que dois vetores u e v sejam LD, basta que eles sejam paralelos, ou seja,

u = α . v ou v = β . u , ∀α,β∈ℜ.

e) Para que três vetores sejam LD, basta que eles sejam coplanares.

4. BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL

a) Definição: base de um espaço vetorial é um conjunto mínimo de vetores LI que geram todos os vetores desse espaço.

Exemplos: 1) Um único vetor não nulo (e1) de uma reta gera todos os vetores dessa reta

(espaço unidimensional ou ℜℜℜℜ).

2) Dois vetores LI (e1, e2) de um plano geram todos os vetores desse plano

(espaço bidimensional ou ℜℜℜℜ2). base B = { e1 , e2}

3) Três vetores LI ( e1 , e2 , e3 ) do espaço geram todos os vetores desse espaço

(espaço tridimensional ou ℜℜℜℜ3)

2 vetores LD 2 vetores LI 3 vetores LD 3 vetores LI

ℜ v = 2 . e1 u = −3 . e1 w = 1,5 . e1

e1

w = −2.e1 + 3.e2 e1

e2

2.e1

1.e2

v = 2.e1 + 1. e2

−2.e1

3.e2

u = 0.e1 + 2.e2 α

base B = { e1 }

4



→

→

b) Componentes ou coordenadas de um vetor: Como foi visto, todo vetor de um

espaço vetorial (ℜ,ℜ2 ou ℜ3) é escrito como uma combinação linear dos vetores de uma

base desse espaço. Os coeficientes reais ααααi dessa combinação linear são chamados de componentes ou coordenadas do vetor.

Exemplo:

1) v = 7. e1 – 4 . e2 é um vetor do espaço R2, ou seja, v = x e1 + y e2. As coordenadas

são 7 e – 4. Podemos representar o vetor v por v = (7; − 4).

2) v = 2. e1 + 3⋅⋅⋅⋅ e2 – 5⋅⋅⋅⋅ e3 é um vetor do espaço R3 e suas coordenadas são 2, 3 e −5. Podemos representar o veto v por v = (2; 3; −5). Em resumo: v = x e1 + y e2 = (x ; y) e v = x e1 + y e2 + z e3 = (x; y; z) c) Bases Ortonormais: Uma base de um espaço vetorial é chamada ortonormal se os vetores que a compõem são unitários e ortogonais entre si. Em geral, indicamos por

{e1, e2} uma base ortonormal do espaço R2, com e1⊥e2 e por {e1, e2, e3} uma base

ortonormal do espaço R3, com e1⊥e2, e1⊥e3, e2⊥e3 e | e1 | = | e2 | = | e3 | = 1. NOTA: As bases formadas por vetores representados por segmentos orientados com origem em O e extremidade nos pontos: (1; 0) e (0; 1) do espaço R2 e (1; 0; 0), (0; 1; 0) e (0; 0; 1) do espaço R3 são chamadas canônicas. Esses vetores são simbolizados com i e j e as bases por { i , j } no R2 e { i , j , k } no R3

v = x i + y j = (x, y)

Exemplo

v = 3 i + 2 j → → →

2 j

3 i v

e1 e2

e3

base: B = {e1, e2, e3 }

2.e1 3.e2

2.e3

v

v = 2.e1 + 3.e2 + 2.e3

α

Base de espaço ℜ2

⊡ i

j

= (1; 0)

= (0; 1)

x

y

j =1

i =1

5



v = x i + y j + z k = (x, y, z) OBS.: “Na prática, as bases mais utilizadas são as bases ortonormais.” d) Notação simplificada de um vetor: Uma vez especificada a base ortonormal de um espaço vetorial, podemos escrever seus vetores indicando apenas seus componentes ou coordenadas. Por exemplo:

Vetores do espaço ℜ2: Vetores do espaço ℜ3:

v = 2 i + 3 j ou v = (2; 3) v = 2 i + j – 3 k ou v = (2; 1; −3) v = 3 i + 2 j ou v = (3; 2) v = 2 i + 5 k ou v = (2; 0; 5)

v = 2 i ou v = (2; 0) v = 3 j – 2 k ou v = (0; 3; −2) v = −3 j ou v = (0; −3) v = 3 j ou v = (0; 3; 0)

OPERAÇÕES COM VETORES dados por suas coordenadas.

Considerando os vetores dados na mesma base, temos:

a) ADIÇÃO NO ℜℜℜℜ2: Dados os vetores u = ( x1 ; y1) e v = ( x2 ; y2) , temos:

u + v = ( x1 + x2 ; y1 + y2 )

ex.: u = (2 ; 0) e v = (3 ; −5)

u + v = (2 + 3 ; 0 − 5) = (5 ; −5)

b) ADIÇÃO NO ℜℜℜℜ3:

Sejam u = ( x1 ; y1 ; z1) e v = ( x2 ; y2 ; z2) , então:

u + v = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ; z1 + z2)

ex.: u = ( 2 ; 0; −1) e v = (0 ; 3 ; −5)

u + v = ( 2 + 0 ; 0 + 3 ; −1 − 5) = ( 2 ; 3 ; −6)

c) MULTIPLICAÇÃO POR UM ESCALAR:

α . u = (α . x ; α . y ; α . z ; ...) , α∈IR

ex.: Dado o vetor u = ( 2 ; 0 −3) , determine:

Base de espaço ℜ3

Exemplo

x

⊡ · · i

j

k

= (1,0,0) = (0,1,0)

= (0,0,1)

y

z

⊡ · ·

2 i

v

y

z

4 j

3 k

x v = 2 i + 4 j + 3 k

6



−2 . u = −2 . ( 2 ; 0 ; −3) = (−4 ; 0 ; 6)

3 . u = 3 . (2 ; 0 ; −3) = (6 ; 0 ; −9)

2

1 . u =

2

1 . (2 ; 0 ; -3) =

−

2

3 ; 0 ; 1

d) IGUALDADE DE VETORES:

I. Os vetores u = (x1 , y1) e v = (x2 , y2) são iguais se, e somente se, x1 = x2 e

y1 = y2;

II. Os vetores u = (x1, y1, z1) e v = (x2 , y2 , z2) são iguais se, e somente se,

x1 = x2 , y1 = y1 e z1 = z2.

EXERCÍCIOS

1. Seja B = { e1 , e2 } base do ℜ2, u = (2; −3) e v = (3 ; 1), determine:

a) u + v =

b) 2 u + v =

2. Seja B = { e1 , e2 , e3} base do ℜ3, u = (2; −1; 3) , v = (0; 1; 2) e w = (3; 0; −2).

Determine:

a) u + 2 v =

b) 2 u + v + w =

c) u + 0 =

d) u – v =

3. Determine os valores de x e y para que os vetores u = (x – y, 2, 3) e v = (3, x, y + 4)

Sejas iguais.

VETOR DEFINIDO POR DOIS PONTOS

No espaço R2, considere o vetor AB de origem A (x1 , y1) e extremidade em B(x2, y2).

Temos: OA + AB = OB AB = OB – OA

AB = (x2 , y2) – (x1 , y1)

AB = (x2 – x1, y2 – y1)

No espaço R3, considere o vetor AB de origem A(x1, y1 , z1) e extremidade em B(x2, y2, z2)

Temos: OA + AB = OB AB = OB – OA

AB = (x2 , y2 , z2) – (x1 , y1 , z1)

AB = (x2 – x1, y2 – y1 , z2 – z1)

A

B

x1 O x2

y1

y2

x

y

A

B

x1 O x2

y1 y2

x

y

•

z

z1

z2

7



Exemplos:

a) Se A(3, −6) e B(2, 4), então AB = B – A = (2 – 3, 4 + 6) = (−1, 10).

b) Se A(3, 2, −1) e B(5, 0, −2), então AB = B – A = (5 – 3, 0 – 2, −2 +1) = (2, −2, −1)

PONTO MÉDIO

1. No espaço R2, considere os pontos A (x1 , y1) e B(x2, y2). O ponto médio de AB é

Temos: xM é média aritmética de x1 e x2 xM = 2

xx 21 + ;

yM é média aritmética de y1 e y2 yM = 2

yy 21 + .

Portanto:

++2

yy ,

2

xx M 2121

2. De modo análogo, no espaço R3, considerando os pontos A(x1, y1 , z1) e B(x2, y2, z2),

teremos: xM = 2

xx 21 + , yM = 2

yy 21 + e zM = 2

zz 21 +

Portanto:

+++2

zz ,

2

yy ,

2

xx M 212121

Exemplos:

a) Se A(2, −6) e B(4, 8), então o ponto M, médio de AB é M

+−+

2

86 ,

2

42 = (3, 1)

b) Se A(3, 2, −4) e B(5, 0, −2), então o ponto M, médio de AB é:

−−++

2

24 ,

2

02 ,

2

53 M = (4, 1, −3)

DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR (LD E LI)

utilizando as coordenadas dos vetores dados:

a) PARA DOIS VETORES:

Dois vetores u = ( x1 ; y1 ; z1 ; ...) e v = ( x2 ; y2 ; z2 ; ...) são LD se, e

somente se, suas coordenadas são proporcionais, ou seja:

2

1

2

1

2

1

z

z

y

y

x

x== = ... = k ,

Caso contrário, u e v são LI.

k = constante de proporcionalidade (nº real).

A

B

x1 O x2

y1

y2

x

y

xM

yM M

8



Lembrete: se u e v são LD , então u e v são paralelos, logo, são

proporcionais, ou seja, podemos obter o vetor como: v = α . u

Ex.: u = (1 ; 2 ; 3) e v = (2 ; 4 ; 6)

Temos: 6

3

4

2

2

1== u e v são LD

Veja que: v = (2 ; 4 ; 6) = 2 . (1 ; 2 ; 3) = 2 . u u // v

b) PARA TRÊS VETORES:

Três vetores u = ( x1 ; y1 ; z1) , v = ( x2 ; y2 ; z2) e w = ( x3 ; y3 ; z3) são LD

quando o determinante (∆) formado por eles é NULO, ou seja:

∆ =

zyx

zyx

zyx

333

222

111

= 0

Se o determinante ∆ ≠ 0, então os vetores dados são LI.

Ex.: verificar se os vetores são LD ou LI nos seguintes casos:

(1) u = (1 ; 1 ; 2) , v = (0 ; 2 ; 2) e w = (3 ; 1 ; 4)

1 3

2 0

1 1

4 1 3

2 2 0

2 1 1

=∆ = 8 + 6 + 0 – 12 – 2 – 0 = 0

Como ∆ = 0 , concluímos que u , v e w são LD .

(2) u = (1 ; 4 ; 3) , v = (2 ; -1 ; -1) e w = (0 ; 1 ; 2)

1 0

1 2

4 1

2 1 0

1- 1- 2

3 4 1

−=∆ = -2 + 0 + 6 - 0 + 1 - 16 = −11

Como ∆ ≠ 0 , concluímos que os vetores u , v e w são LI.

MÓDULO DE UM VETOR

O módulo ou comprimento do vetor v é um número real não negativo, definido por:

A) Se v ∈ R2, ou seja, v = (x ; y), temos:

| v | = v . v = y) (x, . y) ,x( = y. . yxx + | v | = 22 yx +

produto escalar

9



B) Se v ∈ R3, ou seja, v = (x; y; z), temos:

| v | = . v . v = z) y, (x, . z) y, ,x( = zzyyxx . . . ++ | v | = 222 zyx ++

Exemplo:

Determine o módulo do vetor:

a) v = ( 3; −4)

| v | = 22 yx + | v | = 22 )4( 3 −+ = 16 9 + = 25 | v | = 5

b) u = (2; 1; −2)

| u | = 222 zyx ++ = 222 212 )(−++ = 414 ++ = 9 | u | = 3

Vetor unitário

Vetor unitário é todo vetor que tem o módulo igual a 1, ou seja, | u | = 1.

Existem dois vetores unitários que formam a base canônica para o espaço ℜ2, que são dados por:

i = (1,0) j = (0,1)

Exemplo:

Determine o valor real de αααα para que o vetor v = (αααα; 1/3; −2/3) seja unitário.

222

32

31

−+

+α = 1

94

912 ++α = 1

952 +α = 1

22

95

+α = 12

952 +α = 1 2α = 1 −

95 2α =

94

32

±=α

Versor de um vetor

Para construir um vetor unitário u que tenha a mesma direção e sentido que um outro vetor v, basta dividir o vetor v pelo seu módulo, isto é:

. Neste caso, u será o versor de ν

Exemplo:

Determine o versor do vetor v = (2; 1; −2).

| v | = 222 zyx ++ = 222 )2(12 −++ = 414 ++ = 9 | v | = 3.

Seja u o versor de v , então:

u = | v |

v =

322 ) 1; ;( −

= 31 . (2; 1; −2) u =

−

32

32

;3

1 ; é o versor de v

produto escalar

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PRODUTOS DE VETORES

1. PRODUTO ESCALAR

Chama-se produto escalar (ou produto interno) de dois vetores u = x1 i + y1 j + z1 k e

v = x2 i + y2 j + z2 k, e se representa por u . v, ao número real:

u . v = x1 . x2 + y1 . y2 + z1 . z2

O produto escalar de u por v também é indicado por < u , v > e se lê: “ u escalar v “.

OBS.: A notação u . v é devida ao físico norte-americano Josiah W. Gibbs (1839 – 1903).

Exemplo:

1) Se u = 3 i – 5 j + 8 k e v = 4 i – 2 j – k , temos que:

< u , v > = u . v = 3 . 4 + (–5) . (–2) + 8 . (–1) = 12 + 10 – 8 = 14

2) Dados os vetores u = (4; α; –1) e v = (α; 2; 3) e os pontos A(4; –1; 2) e B(3; 2; –1),

determinar o valor de α de modo que u . ( v + BA ) = 5

Solução:

I) BA = A – B = (4; –1; 2) – (3; 2; –1) = (4 – 3; –1 – 2; 2 + 1) = (1; –3; 3)

II) v + BA = (α; 2; 3) + (1; –3; 3) = (α + 1; 2 – 3; 3 + 3) = (α + 1; –1; 6)

III) u . ( v + BA ) = 5 (4; α; –1) . (α + 1; –1; 6) = 5

4 . (α + 1) + α . (–1) + (–1) . 6 = 5 4α + 4 −α – 6 = 5 3α = 7 αααα = 37

Propriedades do produto escalar

Quaisquer que sejam os vetores, u, v e w e k escalar, temos:

I) v . w = w . v II) v . v = | v | . | v | = | v |2

III) u . ( v + w ) = u . v + u . w IV) ( k . v ) . w = v. ( k . w ) = k . ( v . w ) V) | k. v | = | k |.| v | VI) | u . v | ≤≤≤≤ | u | . | v | (desigualdade de Schwarz) VII) | u + v | ≤≤≤≤ | u | + | v | (desigualdade triangular)

11



2. ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES

O produto escalar entre os vetores u e v pode ser escrito na forma: u.v = |u|.|v|.cos(θθθθ), onde 0º ≤ θ ≤ 180º é o ângulo formado entre suas direções, levando-se em consideração os sentidos de u e v.

Exemplos:

NOTA: A operação de multiplicação escalar foi criada por Hermann GRASSMANN.

SINAL DO PRODUTO ESCALAR:

1. Se u . v > 0, então cosθ > 0 0º ≤ θ < 90º (θ é ∢ agudo)

2. Se u . v < 0, então, cosθ < 0 90º < θ ≤ 180º (θ é ∢ obtuso) 3. Se u . v = 0, então: I) Um dos vetores é nulo ou

II) Os dois vetores são ortogonais, ou seja, se cosθ = 0 θ = 90º e u . v = 0

OBS.: Condição de ORTOGONALIDADE DE DOIS VETORES:

“Dois vetores são ortogonais se, e somente se, o produto escalar deles é nulo, isto é, u . v = 0”.

Exemplo: Dados os vetores u = (−2; −3; −2) e v = (−1; −2; 4), temos:

u . v = (−2).( −1) + (−3).( −2) + (−2). 4 = 2 + 6 – 8 = 0 u . v = 0

Portanto, u é ortogonal à v.

v

θ u

0º < θ < 90º (θ é ∢ agudo)

90º < θ < 180º (θ é ∢ obtuso)

θ

u

v ⊡ θ

θ = 90º (θ é ∢ reto) u e v são ortogonais

u

v

u v

θ = 0º u e v são equiversos

θ

u v

θ = 180º u e v são contraversos

θ u

v

0º < θ < 90º

v

θ u

θ

u

v

⊡ θ

u

v u . v = 0 (θ é ∢ reto)

12



CÁLCULO DO ÂNGULO DE DOIS VETORES

Através desta última definição de produto escalar, podemos obter o ângulo θ entre dois vetores genéricos u e v, não nulos, isolando o cosθ, ou seja:

u.v = |u|.|v|.cos(θ) cosθ = | v | . | u |

v . u, 0 ≤ θ ≤ π

Exemplo:

1) Calcular o ângulo entre os vetores u = (1; 1; 4) e v = (−1; 2; 2).

Solução:

I) u . v = 1 . (−1) + 1 . 2 + 4 . 2 = −1 + 2 + 8 = 9

II) | u | = 222 411 ++ = 1611 ++ = 18 = 2 . 9 = 3 2

III) | v | = ( ) 222 221 ++− = 441 ++ = 9 = 3

IV) cosθ = | v | . | u |

v . u =

3 . 23

9 =

29

9 =

2

1 =

22 cosθ =

22

Portanto, θ = arc cos

22

, ou seja, θθθθ = 45º ou θθθθ = 4π

2) Sabendo que o vetor u = (2; 1; −1) forma um ângulo de 60º com o vetor v = (1; −1; m), calcule o valor de m.

Solução:

I) u . v = 2 . 1 + 1 . (−1) + (−1) . m = 2 − 1 – m = 1 – m

II) | u | = 222 )1(12 −++ = 114 ++ = 6

III) | v | = 222 m)1(1 +−+ = 2m11 ++ = 2m2 +

IV) cos60º = | v | . | u |

v . u

21 =

2m2 . +

−

6

m1

2

21

=

2

6

m1

+

−2m2 .

41 =

)m(2 . 2+

+−

6

mm21 2 12 + 6m2 = 4 – 8m + 4m2 2m2 + 8m + 8 = 0

m2 + 4m + 4 = 0

=−= 4P4S

−=−= 2m 2m

2

1 m = −−−−2

13



PRODUTO VETORIAL

1. ORIENTAÇÃO DO ESPAÇO VETORIAL ℜℜℜℜ3 (OU V3)

Adotando todas as bases B = { w ; v ; u } do espaço ℜ3 como Bases de

orientação positiva na qual, todos os vetores estão referidos a uma base ortonormal

positiva B = { k ; j ; i } (regra da mão esquerda):

k j mão esquerda i 2. PRODUTO VETORIAL Dados os vetores u = x1 i + y1 j + z1 k e v = x2 i + y2 j + z2 k chama-se produto vetorial de u por v, e se representa por u x v ou u ∧∧∧∧ v (que se lê: “ u vetorial v” ), o produto:

u x v = k yxyx

j zxzx

i zyzy

22

11

22

11

22

11 +−

Um modo mais fácil de memorizar esta fórmula é a utilização de um único

determinante de ordem 3 dado por:

zyxzyx

k j i

v x u

222

111=

OBSERVAÇÕES:

1) Se u e v são LD, então u x v = 0 ou u ∧ v = 0;

2) Se u e v são LI, então u ∧ v tem :

a) mesma direção de (u ∧ v ) ⊥ u e ( u ∧ v ) ⊥ v ;

•

(Teorema de Laplace)

0 • θ

z y

x

z’

u

v u ∧ v

v ∧ u

14



b) mesmo sentido da base { u , v , u ∧ v } ;

c) comprimento :| u ∧ v | = | u | . | v | . senθ , θ = âng.( u , v ) e ( 0o ≤ θ ≤ 180o )

3. PROPRIEDADES:

1) u ∧∧∧∧ v = − (v ∧∧∧∧ u) , ∀ u , v ∈ ℜ3 (anti-comutativa);

2) α . u ∧∧∧∧ β . v = α . β . ( u ∧ v ); ∀ u , v ∈ ℜ3 ;

3) u ∧ ( v + w ) = u ∧ v + u ∧ w

e ∀ u , v , w ∈ ℜ3

( u + v ) ∧ w = u ∧ w + v ∧ w (distributiva)

Exemplo:

Determinar um vetor unitário (versor) simultaneamente ortogonal aos

vetores u = (2 ; -6 ; 3) e v = (4 ; 3 ; 1) .

Solução:

Na observação (2-a) vimos que o produto vetorial u ∧ v e também v ∧ u, é

simultaneamente ortogonal a u e v . Logo, os versores de u ∧ v e de v ∧ u

constituem a solução do problema.

I) 3 6-

j

4 2

i

13436-2

k j i

v x u =

u x v = −6 i + 12 j + 6 k + 24 k – 9 i – 2 j

u x v = −15 i + 10 j + 30 k = (−15 ; 10 ; 30)

II) Tendo em vista que u x v = −v x u , vem:

v x u = ( 15 ; −10 ; −30 )

III) Os versores são:

a)

==

++

−=

76 ;

72 ;

73

- 30) ; 10 ; (-15 . 351

3010(-15)

) 30 ; 10 ; 15(

| v x u |

v x u 222

b)

−−=−=

76 ;

72 ;

73

| v x u |

v x u

| u x v |

u x v

15



4. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MÓDULO DO PRODUTO

VETORIAL DE DOIS VETORES.

Geometricamente, o módulo do produto vetorial dos vetores u e v mede

a área do paralelogramo ABCD determinado pelos vetores u = AB e v = AC

da figura abaixo:

I) No triângulo ACE, temos: sen θ = | v|

h h = | v | . sen θ

II) Área do paralelogramo: A▱ABCD = | u | . h

Substituindo (I) em (II) , temos: A▱ = | u | . | v | . sen θ (III)

IV) Sabamos que: | u ∧∧∧∧ v | = | u | . | v | . sen θ

De (III) e (IV), concluímos que: A▱ = | u ∧∧∧∧ v | (área do paralelogramo)

Nota: Como todo triângulo é metade de um paralelogramo, podemos obter

sua área pela fórmula:

A∆ = 21 . | u ∧∧∧∧ v |

Cuidado !!!

1) u . v = | u | . | v | . cos θ

u ≠ 0 , v ≠ 0 , θ =ang( u , v )

| u x v | = | u | . | v | . sen θ 0o ≤ θ ≤ 180o

2) u . v é um número real e u x v ou u ∧∧∧∧ v é um vetor

3) É um absurdo escrever (ou comparar):

u x v = | u | . | v | . sen θ

4) | u x v | ≠ u x v

•.

C D

A E B

θ h

u

v

vetor ≠ número real

16



EXERCÍCIOS

1) Dados os vetores u = (1 ; 2 ; -1) e v = (0 ; -1 ; 3), calcular a área do

paralelogramo determinado pelos vetores 3 u e ( v – u )

Resp.: 3 35 unid.área

2) Sejam os vetores u = (3 ; 1 ; -1) e v = (a ; 0 ; 2). Calcular o valor de a

para que a área do paralelogramo determinado por u e v seja igual a

2 6 . Resp.: a = - 4 ou a = - 2

3) Calcular a área do triângulo de vértices A(1 ; -2 ; 1), B(2; -1; 4) e

C(-1 ; -3 ; 3). Resp.: 10 23

u.a.

4) Calcule o comprimento hC , altura relativa ao vértice C do triângulo da

questão anterior (3). Resp.: 3 11 / 10 u.a.

C

hC

A B

5) Calcular os vetores projeção de v = 3 i – 2 j – 3 k sobre os eixos x, y e z.

Resolução dos Exercícios

Ex.1 – Temos: u = (1 ; 2 ; -1), v = (0 ; -1 ; 3)

I) 3 u = 3 . (1, 2, -1) = (3, 6, -3)

II) v – u = (0, -1, 3) – (1, 2, -1) = (-1, -3, 4)

III) x =

3 1

6 3

j i

4 31

36 3

k j i

−−−−− = 15 i – 9 j – 3 k = (15, −9, −3)

IV) A▱ =|3 u x ( v – u )| = 222 )3()9(15 −+−+ = 315 = 35 . 9 = 3 35 u.a.

Ex.2 – Temos: u = (3 ; 1 ; -1) , v = (a ; 0 ; 2) e A▱ = 2 6 u.a.

I) A▱ = | u ∧ v | |u ∧ v | = 2 6

II) u ∧ v =

0

1

j

0 a

1 3

k j

a

3i

2

1i

− = 2 i – a j – a k – 6 j

u ∧ v = 2 i + (−a – 6) j – a k = (2, −a – 6, −a)

•.

3 u

v – u

3 u ( v – u )

17



• •

III) |u ∧ v | = 2 6 222 )a()6a(2 −+−−+ = 2 6

2

22 a )6a(4

+−−+ = ( )262 4 + a2 + 12a + 36 + a2 = 24

2a2 + 12a + 16 = 0 ou a2 + 6a + 8 = 0

=−= 8P

6S

−=−=2a

4 a

2

1

Resp.: a = −−−− 4 ou a = −−−− 2

Ex.3 – Temos: A(1 ; -2 ; 1), B(2; -1; 4) e C(-1 ; -3 ; 3)

Sejam:

I) u = AB = B – A = (2, -1, 4) – (1, -2, 1)

u = (1, 1, 3)

II) v = AC = C – A = (-1, -3, 3) – (1, -2, 1) v = (-2, -1, 2)

III) u ∧ v =

1 2

1 1

j i

2 1 2

3 1 1

k j i

−−−− = 5 i – 8 j + k = (5, - 8, 1)

IV) A△ = 2

1.| u ∧ v | =

2

1. 222 1 )8(5 +−+ =

2

1. 90 =

2

1. 10 . 9

A△ = △ = △ = △ = 10 2

3 u.a.

Ex. 4 – Temos: u = (1, 1, 3) e v = (-2, -1, 2)

Sabamos que:

A△ = 2

1. base . altura

Então:

2

3. 10 =

2

1. |u| . hC 3. 10 = 222 311 ++ . hC 3. 10 = 11 . hC

hC = 11

10.3 unidades

Ex.5 – Temos: v = 3 i – 2 j – 3 k

No eixo x, temos: 3 i

No eixo y, temos: −2 j

No eixo z, temos: −3 k

A B

C D v

u

•.

B

C

A

hC v

u

•

x

y

z

3 i −2 j

−3 k

x

y

z

v

18



Ex.6 – Dados os vetores u = 2 i – 3 j e v = – i + 2 j, pede-se:

a) Determine o vetor w = 2 u + v ;

b) Calcule o módulo do vetor w ;

c) Determine o versor vw do vetor w ;

d) Determine um vetor z , com sentido contrário ao de w e com módulo

igual a 15.

Solução:

a) w = 2 . (2 i – 3 j) + 1 . (− i + 2 j) = 4 i – 6 j – i + 2 j w = 3 i – 4 j

b) |w| = 22 )4(3 −+ = 169 + = 25 |w| = 5 unidades

c) vw = |w|

1. w =

5

1 . (3 i – 4 j) vw =

5

3 i –

5

4 j

d) |z| = 15 e z = −15 . vw z = (−15).(5

3i –

5

4j) z = −−−−9 i + 12 j

transparencias de g.a

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