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Transport durch QuantenpunkteKilian Rosbach
Transport durchQuantenpunkte
Seminarvortrag von Kilian Rosbach
im Rahmen des Seminars“Nanoskopische Physik”
von Prof. M. Giersig und Prof H. Kroha
Freitag, 29. Juli 2005
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Transport durch Quantenpunkte
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Kilian Rosbach
Übersicht● Quantenpunkte, Erläuterung und Beispiele
● Landauer Formel
● Herleitung verbesserte “Landauer-ähnliche” Formel
● Keldysh-Formalismus
● Anderson-Modell
● Coulomb-Blockade
● Leitwert-Quantisierung
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Kilian Rosbach
Quantenpunkt● Mesoskopisches System, d.h.
Größe des Systems vergleichbar mit anderen wichtigen Größen
(zum Beispiel mittlere freie Weglänge)
● Wellennatur wichtig, Quantenmech. Behandlung erforderlich
● “Null-Dimensionales” System, daher Bezeichnung als “Punkt”
● Experimentell realisiert als kleiner Bereich von Fermionen
● z.B. in einem Single Electron Transistor (SET) (etwa 50 e- )
● oder in einem sog. künstlichen Atom
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Abbildungen Quantenpunkte
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Kilian Rosbach
Was bisher geschah...● Theoretisches Werkzeug bekannt, lange bevor experimentelle Realisierung möglich war
● Erste konkrete Anwendungen auf mesoskopische Systeme bereits Anfang der 1970er von französischen Wissenschaftlern (Caroli, Combescot, Nozieres, Saint-James)
● Viele dieser Ergebnisse Mitte 1990er wieder aufgegriffen, Mesoskopik wird eigenständiges Feld
● Grundlegend: Landauer Formel (R. Landauer, 1957)
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Landauer Formel● Beschreibt System aus zwei Leitern und einem zentralen Bereich
● Viele gute Ergebnisse, verschiedenste Anwendungsgebiete
● Ermöglicht Aussagen anhand lokaler Eigenschaften, als Beispiel
Einschränkungen der Landauer Formel:● Nur ein Niveau im Quantensystem● Niedrige angelegte Spannung● Keine inneren Wechselwirkungen (z.B. Coulomb-WW, Spin-Spin-WW)
Leitwert beschrieben durch Transmissions-Amplitude des zentralen (Quanten-)Bereichs
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“Landauer-ähnliche” Formel (Meir, Wingreen)● Einschränkungen störend – i.b. fehlende Wechselwirkungen
● Sehr allgemeine Lösung 1992 von Y. Meir und N. Wingreen
● Ausgangspunkt ist folgendes Modell:● Zwei Leiter, in denen sich Elektronen frei bewegen● Mittlerer Bereich mit WW● Unterschiedl. chem. Pot. μ
L>µ
R verursachen Strom J
● Strom jedoch gering, Niveaus der Leiter bleiben ungestört
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Vergleich Modell vs. Realisierung
Single Electron Transistor (SET):Unterhalb der aufgedampften Elektroden ist das Elektronengas verarmt – Leitung nur in den schwarzen Bereichen.
Etwa 50 Elektronen, Durchmesser 150nm
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Ansatz in 2. Quantisierung
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Erläuterung● 1. Term beschreibt innere Energie der beiden Leiter
● Für jeden Zustand Energie mit Besetzungszahl multiplizieren
● 2. Term beschreibt allgemein Energie des Quantenpunkts● Durch geeignete Wahl entstehen verschiedene Modelle
● 3. Term beschreibt “Hopping”: Zustand im Quantenpunkt wird vernichtet und einer im Leiter erzeugt und umgekehrt
Aus diesem Hamilton-Operator können nun verschiedene weitere Operatoren (und Erwartungswerte) bestimmt werden. Die wichtigste Größe ist der Strom. Wir berechnen zunächst den Strom vom linken Leiter in den Quantenpunkt.
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Strom JL (von L→QP)
● Definition:
● Wähle Heisenberg-Bild, nur Operatoren zeitabhängig
● Heisenberg-Bewegungsgleichung:
● Antikommutator-Relationen:
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Strom JL (Ergebnis)
● Strom soll nun wie in der ursprünglichen Landauer Formel ausgedrückt werden durch Fermi-Verteilungen der beiden Leiter und lokale Eigenschaften des Quantenpunktes.
● Offensichtlich liegt Nicht-Gleichgewicht vor, wenn Strom fließt
● Definitionen aus dem Keldysh-Formalismus hilfreich
EXKURS: GREENS-FUNKTIONEN FÜR GLEICHGEWICHT UND NICHT-
GLEICHGEWICHT
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Wiederholung: 2-Zeiten-Greensfkt., Gleichgewicht
● Bekannt aus Quantenmechanik II:
● Retardierte, avancierte und kausale Greensfunktion
● Zeitordnungsop. T ordnet chronologisch von rechts nach links● Dabei evtl. Vorzeichen-Änderung!
● Stufenfunktion
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Jetzt: Keldysh-Formalismus, Nicht-Gleichgewicht
● Bei t = -∞ keine Verbindung zwischen Systemen, Gleichgewicht
● Verbindung (Störung) wird bei t = 0 “adiabatisch” eingeschaltet
● Problem: Neuer Gleichgewichts-Zustand bei t = +∞ unbekannt
● Idee: Zustand in der Zeit zurückentwickeln
● Zeitachse → Keldysh - Kontur
t = -∞t = +∞
Keldysh - Kontur
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Keldysh-Formalismus (Seite 2/5)
● Zusätzliche Angabe erforderlich, um Zeitpunkt festzulegen
● Index - für obere Zeitachse, + für untere
● Beispiel: t1+ zeitlich vor t
2-, auf der Kontur t
1+ nach t
2-
● Zeitordnung T wird durch Konturordnung TC ersetzt
● 4 Kombinationen - - -+ +- ++ werden unterschieden
t = -∞t = +∞
t1+
t2-
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Keldysh-Formalismus (Seite 3/5)
● Betrachte kausale Greensfunktion. Benutze zur Abkürzung:
● Matrixschreibweise:
● Alle 4 Greensfkt. so wie vorher definiert, ausser:
● Zeitordnung geht in Konturordnung über
● Erwartungswert bzgl. beliebiger Zustände
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Keldysh-Formalismus (Seite 4/5)
● Konkret:
● Man kann sich dies leicht mit einer kleinen Skizze klarmachen.
● Vergleich (mit den ursprünglichen Definitionen) ergibt:
Die 4 Matrix-Elemente sind voneinander abhängig.Man muss nicht alle kennen.
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Keldysh-Formalismus (Abschluss, Zusammenfassung)
● Im Folgenden: Frequenz- bzw. Energiedarstellung (Fouriertrafo)
● Greensfunktionen für die Leiter: Gkα,k'α'(ω)● Greensfunktionen für den Quantenpunkt: Gm,n(ω)● Übergangs-Greensfunktionen: Gkα,n(ω)
● Man zeigt folgende Dyson-Gleichungen:
● Zur Erinnerung:
Zusätzlich zuIndices noch
Matrix-Charakter!
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Strom (Fortsetzung)
● Nun haben wir fast alle Zutaten zusammen!
● Konkrete Form der freien Greensfunktionen fehlt noch
● Aus Spektraldarstellung:
● fL(ω): Fermi-Verteilung des linken Leiters
● Alternative Herleitung: Landau-Lifschitz Band X, §92
● Jetzt muss nur noch eingesetzt werden, hier nur Kurzfassung
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Skizze des Rechenweges für JL
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Zwischenergebnis
● Gesamtstrom J als Mittelwert
● Verwende Matrixschreibweise für die Indices n,m
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Ergebnis: Landauer-ähnliche Formel
wobei:
Überlegungen:● Vereinfachung: ΓL=αΓR oder ΓL=ΓR
● Was passiert im Gleichgewicht?
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Anderson-Modell
● Beschreibt einzelne magnetische Verunreinigung in Metall
● Auch für SET verwendbar
● Nur ein freier Platz! Summen über m,n nicht mehr nötig
● Summen über α → Summen über Spin up, down
● Energie gegeben durch #Teilchen
● PLUS Energie U um Coulomb-Abstoßung zu überwinden
(hiermit wird H zum sog. Anderson-Hamiltonoperator)
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Warum beschreibt das einen SET?● Energie, um N Teilchen im Quantenpunkt (SET) zu haben:
● Energie, um N+1 Teilchen im Quantenpunkt zu haben:
● Energiedifferenz:
● Makroskopisch!
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Betrachte nur zwei Niveaus● Nur die nächsten Niveaus zur Fermi-Kante des Leiters relevant
● Kann mit Anderson-Hamiltonoperator beschrieben werden!
EnergieschemaAnderson-Modell
Linker Leiter Rechter LeiterQuantenpunkt
ΔE+εd
µL
µR
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Leitwert-Quantisierung● Anderson-Modell
●
vereinfacht sich zu
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Untersuche GR-GA :
Verbreiterung durch endliche Lebensdauer, hängt von Kopplungs- stärke ab
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Schematische Darstellung
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Untersuche fL-f
R:
● Fermi-Verteilungen:
● Betrachte T=0:fL
ε
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Leitwert-Quantisierung● Leitwert:
● Spannung:
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Leitwert-Quantisierung (Fortsetzung)
● Für µL=µ
R ergibt sich:
● An den Peaks gilt:
Der maximale Leitwert ist unabhängig von der Kopplungsstärke.
Leitwert-Quantisierung● für T=0 und Symmetrie● Leitung nur nahe der Peaks
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Ergebnis, Coulomb-Blockade● Falls Leiterniveau und innere Niveaus nicht gleich, wird Leitung durch Coulomb-Abstoßung verhindert
● Aufweichung durch endliche Temperatur und Übergänge ● Experimentell werden innere Niveaus durch eine zusätzliche Gate-Spannung verschoben● Periodische Wiederholung im Abstand ΔE
● Für noch tiefere Temperaturen: Kondo-Effekt – nächster Vortrag
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Transport durch Quantenpunkte
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Quellen● Y. Meir, N. Wingreen, Phys. Rev. Lett. 68, 2512 (1992)
● D. Goldhaber-Gordon, J. Göres, M. A. Kastner, H. Shtrikman,
D. Mahalu, U. Meirav, Phys. Rev. Lett. 81, 5225 (1998)
● A.-P. Jauho, Nonequilibrium Green Function Modelling of
Transport in Mesoscopic Systems (August 2002)● L.D. Landau, E.M. Lifschitz – Lehrbuch der Theoretischen Physik X
● Nolting – Grundkurs Theoretische Physik 7