Lucrarea 7. Minimizarea cheltuielilor de transport. Problema clasică

7.1. Activitatea de transport. Generalităţi

La baza activităţii de transport stau următoarele principii: reducerea la maxim posibil a operaţiilor de transport; mecanizarea operaţiilor de transport şi asigurarea cerinţelor de eficienţă

economică a acestora; deplasarea materialelor prin gravitaţie, ori de câte ori este posibil; asigurarea unui flux simplu şi rectiliniu al materialelor cu deplasări cât mai

scurte, rapide şi fără încrucişări sau blocarea circulaţiei; alegerea sistemelor de transport uşor adaptabile (elastice).În sistemele de producţie organizate pentru producţia de masă sau de serie

mare, cu flux de transport stabil, transportul se face, de regulă, pe bază de grafic, de itinerariu şi marşruturi constante. În celelalte situaţii (producţie de serie mică sau individuală, caz în care fluxurile de transport sunt variabile) transportul se face pe bază de programe zilnice sau la cerere.

Creşterea coeficientului de folosire a cursei determină reducerea necesarului de material rulant, creşterea productivităţii activităţii de transport şi reducerea costurilor în activitatea de transport. Analiza costurilor trebuie să arate abaterile de la costul normat şi, eventual, mărimea pierderilor.

Căile de îmbunătăţire a activităţii de transport intern sunt: mecanizarea lucrărilor de încărcare-descărcare; centralizarea lucrărilor de transport; crearea bazei de reparaţii şi întreţinere a mijloacelor de transport; sporirea volumului transporturilor care se repetă (aplicarea sistemului

pendular şi mai ales a sistemului circular); repartizarea judicioasă a personalului de deservire şi organizarea folosirii

raţionale a mijloacelor de transport.Pentru programarea activităţii de transport trebuie să se cunoască

următoarele date:- programul de producţie al întreprinderii pe perioada considerată;- necesarul de materiale pentru îndeplinirea sarcinilor de plan (se extrage

din planul de aprovizionare).Întocmirea unui program de transport intern presupune o pregătire

minuţioasă prin parcurgerea următoarelor etape:Întocmirea sub formă matricială a unei situaţii cu privire la cantităţile de

materiale (pe sortimente) ce urmează a se asigura secţiilor de producţie (consumatorii C1, C2, C3,..., Cn) de la sursele de aprovizionare (depozitele D1, D2, D3,..., Dm), aşa cum este exemplificat în tabelul 7.1.

Tabelul 7.1. Modelul matematic corespunzător unei probleme de transportNecesar

consumatorib1 b2 b3 ... bj ... bm

Cantităţi în

depozite

Consumator

Depozit

C1 C2 C3 ... Cj ... CmTotal materiale

extrase din depozite

A1 D1 x11 x12 x13 ... x1j ... x1m

A2 D2 x21 x22 x23 ... x2j ... x2m

A3 D3 x31 x32 x33 ... x3j ... x3m

... ... ... ... ... ... ... ...

ai Di xi1 xi2 xi3 ... xij ... xim

... ... ... ... ... ... ... ...

an Dn xn1 xn2 xn3 ... xnj ... xnm

Total transportat la consumatori

... ...

1. Se determină distanţele dintre obiective în tone-metri, distanţele medii de transport, numărul mediu de cicluri de transport, coeficientul mediu de manipulare

2. Se întocmeşte balanţa capacităţii de transport care evidenţiază plusul sau deficitul de capacitate de transport pentru fiecare obiectiv în parte;

3. Se determină necesarul de mijloace de transport, ţinând cont de capacitatea de transport a fiecărui mijloc şi de coeficientul de folosire al acestuia.

7.2 Elaborarea planului optim de transport

Elaborarea planului optim de transport face parte din clasa mult mai largă a problemelor modelate prin reţele de transport.

O reţea de transport modelează o situaţie economică în care, dintr-un număr de puncte, numite surse (depozitele) trebuie transportată o anumită cantitate dintr-o substanţă, într-un alt număr de puncte denumite destinaţii (consumatori). Situaţia extrem de generală expusă, poate fi concretizată într-un număr deosebit de mare de moduri, specificând dacă există sau nu puncte intermediare între surse şi destinaţii, modul în care se face transportul (care sunt rutele posibile, costul transportului pe rute, limite maxime sau minime pentru cantitatea transportată pe fiecare rută, timpul necesar transportului), scopurile urmărite etc.

7.3 Minimizarea cheltuielilor de transport (problema clasică de transport)

Se consideră aprovizionarea a m consumatori, C1, C2, ..., Cm din n depozite D1,D2,..., Dn cu o singură marfă.

În fiecare depozit Di se găseşte cantitatea de marfă ai, i 1, 2, ..., n iar fiecare consumator Cj are nevoie de cantitatea de marfă bj, j 1, 2, ..., m.

Costul transportului unei unităţi de marfă de la Di la Cj este cij.Scopul modelului este determinarea cantităţilor xij de marfă transportată de la

depozitul Di la consumatorul Cj astfel încât costul transportului întregii cantităţi de marfă să fie minim. În situaţia în care c ij este infinit (foarte mare), transportul de marfă de la Di la Cj este imposibil.

Problemele în care este îndeplinită relaţia:

, (7.3)

se numesc echilibrate.Modelele matematice ale problemei conţin ca restricţii următoarele două

condiţii:4. totalul mărfii extrase dintr-un depozit să nu depăşească existentul în acel

depozit, adică:

(7.4)

5. cantitatea totală primită de un consumator să nu fie mai mică decât necesarul acelui consumator, adică

(7.5)

Costul total de transport (funcţia obiectiv) este dat de relaţia:

(7.6)

Cu cele de mai sus rezultă următoarele modele ale problemei clasice de transport:6. problema echilibrată:

(7.7)

7. problema neechilibrată:

(7.8)

Problema echilibrată este o problemă de programare liniară în forma standard şi se poate rezolva folosind algoritmul simplex (după o re-notare corespunzătoare a necunoscutelor) care se găseşte sub formă de produse program (soft) ca de exemplu AB/QM sau WINQSB.

Pentru rezolvarea problemei neechilibrate trebuiesc aplicate regulile de aducere a ei la forma standard (folosirea variabilelor de compensare).

Exemplul 1. Se consideră rezolvarea problemei de transport a unei mărfi de la două depozite D1 şi D2 în care se găsesc cantităţile de marfă a1 respectiv a2

către trei consumatori C1, C2, C3 care au necesarul b1, b2, b3. se consideră cazul problemei echilibrate, deci a1 a2 b1 b2 b3.Costurile transportului cij de la depozitul i la consumatorul j sunt date de

matricea următoare:Consumator

DepozitC1 C2 C3

D1 c11 c12 c13

D2 c21 c22 c23

Problema trebuie să determine valorile xij ale cantităţilor transportate de la depozitul i la consumatorul j care să asigure costuri minime:

Consumator

DepozitC1 C2 C3

D1 x11 x12 x13

D2 x21 x22 x23

Modelul matematic al problemei este:

(7.9)

Prin re-notarea necunoscutelor modelul matematic devine:

(7.10)

Se constată că acesta este un model de programare liniară în forma standard care are 6 necunoscute cu matricea A de forma:

(7.11)

Se poate constata că o astfel de problemă devine foarte repede uriaşă. De exemplu o problemă de transport cu n = 10 furnizori şi m = 10 consumatori va avea m · n = 100 necunoscute, iar matricea A a sistemului: m + n = 20 linii şi m · n = 100 coloane.

Se observă uşor că rangul matricei r(A) < m + n ceea ce face imposibilă aplicarea algoritmului simplex (nu există o bază de m + n, numărul de linii, vectori coloană liniari independenţi necesari în primul pas). Problema se poate rezolva numai prin scrierea problemei extinse.

Dacă se consideră următoarele valori numerice pentru exemplul dat:Consumator

Depozit

C1:b1 = 5

C2:b2 = 7

C3:b3 = 3

D1:a1 = 8

c1 = 2 c2 = 5 c3 = 7

D2:a2 = 7

c4 = 4 c5 = 6 c6 = 2

Rezolvarea problemei se va face utilizând modulul Linear and Integer Programming din pachetul WINQSB şi este prezentată în imaginile următoare care reprezintă: fereastra iniţială pentru introducerea datelor sub formă tabelară, primul tabel simplex şi soluţia problemei sub formă tabelară.

xij C1 C2 C3

D1 5 3 0D2 0 4 3

a. fereastra iniţială pentru introducerea datelor sub formă tabelară

b. primul tabel simplex

c. soluţia problemei sub formă tabelarăFigura 7.3. Minimizarea cheltuielilor de transport cu ajutorul modulul

Linear and Integer Programming din pachetul WINQSB

7.3.1. Dualitatea simetrică

Considerându-se scrierea unei probleme de programare liniară sub formă matricială, prin definiţie modelul primal I se află în dualitate simetrică cu modelul dual II, conform relaţiilor:

I. (7.12)

II. (7.13)

Prin convenţie se spune că fiecare model este simetricul celuilalt.Legătura dintre soluţiile celor două modele este dată de următoarele două

teoreme:Teorema 1. Fie o soluţie posibilă a modelului I şi o soluţie posibilă a

modelului II, atunci

Consecinţă: Dacă soluţiile , au proprietatea atunci este

optimă pentru modelul I, iar - optimă pentru modelul II.

Teorema 2 (teorema ecarturilor complementare). Fie , soluţii ale modelelor I respectiv II. Ele sunt optime dacă şi numai dacă:

(7.14)

Dualitatea simetrică se aplică atunci când rezolvarea modelului dual este mai simplă.

7.3.2. Dualitatea nesimetrică

Un model de programare liniară care nu are nici una din formele I sau II nu se află în dualitate cu nici un alt model.

Similar dualităţii simetrice, s-au conceptul regulile prezentate mai jos pentru scrierea modelului dual pentru orice model de programare liniară. La scrierea modelului dual se consideră următoarea clasificare a restricţiilor:

8. pentru criteriul de tip MIN:

- restricţia este concordantă

- restricţia este neconcordantă9. pentru criteriul de tip MAX:

- restricţia este concordantă

- restricţia este neconcordantăModel (primal) dat Model dual

Număr de variabile Număr de restricţiiNumăr de restricţii Număr de variabileMinim MaximMaxim MinimTermenii liberi ai restricţiilor Coeficienţii funcţiei obiectivCoeficienţii funcţiei obiectiv Termenii liberi ai restricţiilorColoanele matricei restricţiilor Liniile matricei restricţiilor

Restricţieconcordantă

Variabilănenegativă

neconcordantă nepozitivăegalitate liberă

Variabilănenegativă

Restricţieconcordantă

nepozitivă neconcordantăliberă egalitate

În ceea ce priveşte legătura dintre soluţiile (optime sau nu) ale celor două modele, sunt valabile rezultate asemănătoare celor din cazul dualităţii simetrice.

7.3.3. Rezolvarea problemelor de transport echilibrate prin utilizarea dualităţii

Pentru modelul problemei de transport modelul dual se scrie astfel:

(7.15)

Se constată că scrierea modelului dual implică adoptarea variabilelor u1, u2

corespunzătoare numărului de depozite, respectiv v1, v2, v3 – corespunzătoare numărului de consumatori.

Rezolvarea modelului dual şi obţinerea soluţiei optime a modelului primal a condus la stabilirea următorului algoritm pentru rezolvarea problemelor de transport:

Pas 1. Se alege o soluţie de bază având numărul de componente

nenule egal cu .

Pas 2. Se rezolvă sistemul determinând o soluţie

particulară .

Pas 3. Dacă pentru o componentă xαβ 0 avem se caută o altă

soluţie, pentru care xαβ’ să devină nenulPas 4. Soluţia optimă s-a atins atunci când:

(7.16)

Exemplul 2. Pentru exemplul rezolvat clasic prin aplicarea algoritmului simplex utilizând pachetul de programe WINQSB, aplicarea algoritmului de mai sus este următoarea:

Pas 1: se alege următoarea soluţie de bază cu m + n – 1 = 4 componente nenule:

xij C1 C2 C3D1 5 3 0D2 0 4 3

Pas 2: se obţine următorul sistem de 4 ecuaţii cu 5 necunoscute:

a cărui rezolvare conduce la următoarea soluţie:

Pas 3: - pentru: x13 = 0, u1 + v3 = 1 < c13 = 7; - pentru: x21 = 0, u2 + v1 = 3 < c21 = 4.

Pas 4: se verifică uşor că este îndeplinită condiţia

, rezultând, deci că soluţia de bază adoptată

este cea optimăProblema principală în cazul aplicării algoritmului de mai sus este găsirea

unei soluţii iniţiale de bază. Există o multitudine de metode care încearcă nu numai găsirea unei soluţii iniţiale de bază, ci chiar găsirea uneia cât mai bună. Se expun în continuare următoarele metode:

Metoda nord-vest; Metoda minimului pe linii; Metoda minimului pe coloane; Metoda costului minim; Metoda diferenţelor maxime.

Schema comună a acestor metode este următoarea:Pas 1: Se alege o rută iniţială după o anumită regulă.

Această regulă diferă în funcţie de metoda folosită, astfel:Metoda nord-vest - ruta din colţul stânga sus al tabelului

Metoda minimului pe linii - ruta de cost minim de pe prima linie (dacă minimul este multiplu se ia prima din stânga)

Metoda minimului pe coloane - ruta de cost minim de pe prima coloană (dacă minimul este multiplu se ia cea mai de sus)

Metoda costului minim - ruta de cost minim din întregul tabel (dacă minimul este multiplu se ia una la întâmplare)

Metoda diferenţelor maxime - Pentru fiecare linie şi fiecare coloană se calculează diferenţa dintre cele mai mici două costuri ale rutelor acesteia (diferenţa poate fi şi 0 dacă minimul este multiplu) şi se găseşte maximul dintre aceste diferenţe;- Dintre toate rutele de pe liniile şi coloanele corespunzătoare acestui maxim se alege ruta de cost minim (dacă minimul este multiplu se ia una la întâmplare).

Pas 2: Se transportă pe această rută maximul posibil. Acest maxim este egal cu minimul dintre cantitatea care mai e disponibilă la furnizorul corespunzător acestei rute şi cantitatea care mai e necesară la consumatorul corespunzător rutei, în momentul alegerii acestei rute.

Pas 3: După folosirea unei rute este clar că fie se epuizează disponibilul furnizorului corespunzător, fie se asigură întregul necesar al consumatorului corespunzător, fie ambele. Dacă se epuizează disponibilul furnizorului este clar că nici o rută care pleacă de la acesta nu va mai fi folosită şi analog, dacă se asigură întregul necesar al consumatorului, nici o rută spre acesta nu va mai fi folosită. Rutele care nu vor mai fi folosite se numesc rute blocate, sunt cele nefolosite încă de pe linia sau/şi coloana ultimei rute folosite şi se evidenţiază în tabel prin haşurare.

Pas 4: Se alege ruta următoare, folosind una dintre următoarele metode:Metoda nord-vest cea mai apropiată rută de ultima aleasă dintre

cele neblocateMetoda minimului pe linii ruta de cost minim de pe prima linie pe care

mai sunt încă rute neblocate (dacă minimul este multiplu se ia prima din stânga)

Metoda minimului pe coloane ruta de cost minim de pe prima coloană pe care mai sunt încă rute neblocate (dacă minimul este multiplu se ia cea mai de sus)

Metoda costului minim ruta de cost minim din întregul tabel dintre cele neblocate încă (dacă minimul este multiplu se ia una la întâmplare)

Metoda diferenţelor maxime se repetă procedeul de la pas 1 pentru rutele neblocate încă

Pas 5: Se reia algoritmul de la pas 2 până când nu mai rămâne nici o rută nefolosită sau neblocată.

Rezolvare:Cei doi algoritmi prezentaţi mai sus sunt folosiţi pentru rezolvarea

problemelor de transport şi de modulul Network Modeling/Transportation Problem din pachetul de programe WINQSB aşa cum se exemplifică în imaginile din figura 7.4.

7.3.4 Rezolvarea problemelor de transport neechilibrate

Problemele de transport neechilibrate se rezolvă prin echilibrarea lor considerându-se, după caz, un depozit sau consumator fictiv care să echilibreze problema. Evident că se va considera valoarea zero pentru costul transportului de la depozitul fictiv către orice consumator respectiv de la orice depozit către consumatorul fictiv.

a. fereastra principală pentru alegerea tipului de problemă

b. tabelul pentru introducerea datelor

c. rezultatele obţinute prin rularea modeluluiFigura 7.4. Rezolvarea problemelor de transport cu ajutorul modulului

Network Modeling/Transportation Problem din pachetul de programe WINQSB