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Trasformata di Laplace

Fondamenti di AutomaticaProf. Silvia Strada

Corso di Studi in Ingegneria Gestionale (Cognomi H – PO)

1

2

Idea di base

Prof. S. Strada – Fondamenti di Automatica – Trasformata di Laplace

3


Definizione di Trasformata di Laplace

[ ] ∫∞

−==0

)()( dtetff(t)sF stL

essendo l’integrale tra 0 e infinito F(s) dipende solo da f(t), t≥0.

E’ una trasformazione dal dominio di t al dominio della variabile complessa s:

4


Funzione scalino

≥<

==0100

)()(tt

tscatf

[ ]sss

edtedtsca(t)esca(t)σ(s)

ststst 110

0Re00 0

=−−

=−===>=

+∞−+∞ +∞−−∫ ∫L

5


Funzione impulso( ) 0 0

( ) ( )( ) 1

f t tf t imp t

f t dt+∞

−∞

= ≠= = =∫

Segnale di durata infinitesima e ampiezza infinitaDetto anche Delta di Dirac

Lo si può vedere come

<≤=

εεε ttf

0,/1altrove0

)(

e )()(lim0

timptf =→ εε t

fε(t)

0

1/ε

ε

[ ]

00 0

0 00

1 1 1( ) ( ) 1

1lim ( ) lim lim 1

st st st s

s s

F s f t e dt e dt e es s

e seimp(t) F ss s

εε ε

ε ε

ε ε

εε εε

ε ε ε

ε

+∞− − − −

− −

→ →→

= = = − = − −

−= = = =

∫ ∫

L

6


Legami tra imp(t) e sca(t)

t

fε(t)

0

1/ε

ε t

fε(t)

0 ε

∫t

01

0→ε

t

sca(t)

0

∫t

01

)()()()(0

tscadtdtimpdimptsca

t

∫ == ττ

7


7 Proprietà( ) ( )[ ] ( ) ( )sFsFtftf 22112211 αααα +=+L

( )[ ] )(0

sFetf sτ

ττ −

>=−L

( )[ ] )( asFtfeat −=L

( )[ ]ds

sdFttf )(−=L

( )[ ] )0()( fssFtf −=L Se f(t) è discontinua in t=0, usare invece di f(0) f(0−)=lim t0

− f(t)

( )[ ] )0()0()(2 fsfsFstf −−=L

( ) ( )ssFdf

t=

∫

L

0ττ

8


Esempi

[ ]as

tscaeat

−=

1)(L

esponenziale )()( tscaetf at=

1

[ ] [ ] [ ]

22222

211

211

21

)(21)(

21)(

2)()cos(

ωωωω

ω ωωωω

+=

+=

++

−=

+=

+= −

−

ss

ss

jsjs

tscaetscaetscaeetscat tjtjtjtj

LLLLcosinusoide )()cos()( tscattf ω=

[ ] 22)()sin(ω

ωω+

=s

tscatLsinusoide )()sin()( tscattf ω=

9


[ ] [ ] 211)()(ssds

dttscatram =

−==LL

≥<

===0,0,0

)()()(ttt

tramttscatf

10

1

ram(t)

t

rampa

[ ] [ ]( )2

11)(asasds

detramte atat

−=

−−==LL

0,)( ≥= ttetf at

1

rampa

∫=t

dscatram0

)()( ττ

10


Trasformate di Laplace notevoli

( )[ ]tfL( )tf

( )timp

( )tsca

( )tramate

( )tsen ω

( )tωcosatte

( )tseneat ω

( )teat ωcos

1

s1

21s

as −1

22 ωω+s

22 ω+ss

( )21as −

( ) 22 ωω+− as

( )( ) 22 ω+−

−as

as

11


Trasformata di Laplace ed equazioni differenziali

LL

-1Lte−4 ?

12


Trasformata di Laplace ed equazioni differenziali

-1L

( )11)(+

=ss

sF Non è una Trasformata di Laplace notevole!Però vedremo che si può scrivere come

111)(+

−=ss

sF-1L

1 te−−

0,31)( ≥+= − tety t

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Poli e zeri di una Trasformata di Laplace

• valori di s per cui F(s)=∞ POLI della trasformata• valori di s per cui F(s)=0 ZERI della trasformata

[ ])()( tfsF L=

[ ] )(),()()()()( sDsN

sDsNtfsF == LF(s) razionale polinomi in s

• valori di s per cui D(s)=0 POLI della trasformata• valori di s per cui N(s)=0 ZERI della trasformata

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Antitrasformata di Laplace

[ ])(sFf(t) -1L=

Teorema del valore iniziale

Teorema del valore finale

Sviluppo di Heaviside (solo se F(s) è razionale)

(0)f→

( )f→ ∞

Come ‘’tornare’’ alla funzione nel dominio di t dalla funzione nel dominio di s?

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Teorema del valore iniziale[ ])()( tfsF L=

( ) ( ) ( )finitoselim0 ∃=∞→

ssFfs

se f(t) è discontinua in t=0

( ) ( ) ( )ssFtffst ∞→→

+ ==+

limlim00

Teorema del valore finale

( ) ( ) ( ) ( )finitoselimlim0

∃=≡∞→∞→

ssFtffst

Ipotesi F(s) ha solo:• poli con parte reale negativa• poli nulli, cioè s=0

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Esempio

[ ]

......)0(

0lim)0(

)0()()(

1)(lim)0()?(?)0(

)?0()(

22

2

22

2

22

=

=+−

=

+−

=−=

==∞

+=

∞→

∞→

fs

sf

sfssFtf

ssFffff

sssF

s

s

ωω

ωω

ω

L

Poli di F(s) in ±jω il Teorema del valore finale NON è applicabile!

)(∞∃ f

17


Esempio

Poli di F(s) in ±jω il Teorema del valore finale NON è applicabile!

)(∞∃ f

Verifichiamolo

okokf

tf

0(0)f1)0(

t)sen(-(t)ft)cos()(

==

==

ωωω

ok

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Esempio

okftf

ssf

ssF

s

1)(sca(t))(Verifica

11lim)(

1)(

0

=∞=

==∞

=

→

19


Esempio

oktef(t)

ff

fss

sF

t →≥−=

=∞=

=+

=

− 0,1Verifica

1)(1)0(

0)0()1(

1)(

20


Sviluppo di Heaviside

++=

++=

<++++++

== −

−

)()()(

)()()(

)()()(

21

21

110

110

tftftf

sFsFsF

nmasasabsbsb

sDsNsF

nnn

mmm

21


n

n

jii

n

pspspssF

jipppolippspspsasD

+++

++

+=

≠≠−+++=

ααα

2

2

1

1

210

)(

,)())(()(

1) Poli reali distinti

-1L

tpe 11

−α

∑=

−=n

i

tpi

ietf1

)( α

22


( ) ( )

++

+++

++

+=

>+=

kk

k

pspspssF

kpssD

βββ2

21)(

1)()(

2) Poli reali multipli

-1L

pte−1β

-1L -1L

( )pt

k

k ekt −

−

− !1

1

βptte−2β

23


3) Poli complessi distinti

-1L?

( ) ( )

( ) ( ) 2222

2222

ωσω

ωβσγ

ωσσβ

ωσβσβσγβ

ωσγβ

+−+

++−

−=

=+−+−+

=+−

+

sss

ss

ss

-1L -1L( )te t ωσ cos ( )tsene t ωσ

( )

( )

++−

++=

±

+−−−=+−

22)(

inpoli

))(()(22

ωσγβ

ωσ

ωσωσωσ

sssF

j

jsjssDs

24


4) Poli complessi multipli

( )[ ] 1)( 22 >+−= kssDk

ωσ

( ) ( ) )cos(!1

)(!1

)(11

tekttsene

kttf

tk

tk

ωω σσ

−−

−−

contiene termini di tipo:

-1L

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Caso di F(s) con m=n

0)( α+= sF

)(0 timpα

-1L

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Esempio. Sviluppo di Heaviside – poli reali distinti

• Calcolare l’antitrasformata di: )5)(2(10)(++

−=

ssssF

Possiamo scrivere lo sviluppo di Heaviside di F(s) :

La F(s) ha i poli -2 e -5

)5()2()5)(2(10)( 21

++

+=

++−

=ssss

ssF αα

541025

121

21

21 =−=⇒

−=+=+

αααα

αα

)2()5(10 21 +++=− sss αα

che, uguagliando i coefficienti delle analoghe potenze di s dà il sistema:

In definitiva si ottiene:

0),54(])5(

5)2(

4[])5)(2(

10[)]([)( 52111 ≥+−=+

++−

=++

−== −−−−− tee

ssssssFtf ttLLL

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Esempio. Sviluppo di Heaviside – poli reali multipli

)2()1(2)( 2 ++

=ss

sF

• Possiamo quindi scrivere lo sviluppo di Heaviside di F(s) :

La F(s) è caratterizzata dai poli:-1 molteplicità r1=2-2 molteplicità r2=1

• Calcolare l’antitrasformata di:

2,2,2)1()2()2)(1(2)2()1()1()2()1(

2)(

2

22

==−=⇒++++++=

++

++

+=

++=

γβαγβα

γβα

sssssssss

sF

)2(2

)1(2

)1(2)( 2 +

++

++

−=sss

sF

( ) 0,222)( 2 ≥++−= −−− teteetf ttt

)(2)(2)(2)( 2 tscaetrametscaetf ttt −−− ++−=

-1Lo anche, in maniera del tutto equivalente

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Esempio. Sviluppo di Heaviside – poli complessi distinti

• Possiamo quindi scrivere lo sviluppo di Heaviside di F(s) :

• Calcolare l’antitrasformata di:)134)(1(

100)( 2 +++=

ssssF

La F(s) è caratterizzata dai seguenti poli: j32,1 ±−−

)134()1()( 2

1

+++

++

=ss

ss

sF γβα

)1)(()134(100 2 +++++= ssss γβα 301010 −=−== γβα

( ) ( ) 0,3sin3

103cos1010

3)2(3

31

3)2()2(10

)1(110

)134()3(

)1(110

)134()3(10

)1(10)]([)(

2

222211

21

211

≥−−

=

++

+++

+−

+

=

++

+−

+

=

+++

−+

==

−−

−−−

−−

tttee

sss

ssss

s

sss

ssFtf

tt

LLL

LL

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