trasmissione del calore - irraggiamento.pdf

Università di L’AquilaFacoltà di Ingegneria

Corso di Laurea Edile-Architettura

Anno Accademico 2011- 2012

Ap

pu

nti

da

lle L

ezi

on

i di F

isic

a T

ec

nic

a

TR

AS

MIS

SIO

NE

DE

L C

AL

OR

EP

arte

I:

Irra

gg

iam

en

to

Appunti dalle Lezioni di

Fisica Tecnica

Fisica Tecnica Ambientale

Fondamenti di

Trasmissione del Calore

Parte III - Irraggiamento

Prof. F. Marcotullio

A.A. 2011-2012

Indice

Testi consigliati iii

1 Note introduttive e definizioni 11.1 L’energia raggiante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 L’intensità di radiazione ed i poteri emissivi . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1 Intensità di radiazione spettrale i!! . . . . . . . . . . . . . 41.2.2 Intensità di radiazione totale i! . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.3 Potere emissivo emisferico spettrale e! . . . . . . . . . . . 61.2.4 Potere emissivo emisferico totale e . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Assorbimento dell’energia raggiante . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.1 Coe!ciente di assorbimento spettrale direzionale . . . . . 111.3.2 Coe!ciente di assorbimento totale direzionale . . . . . . . 111.3.3 Coe!ciente di assorbimento emisferico spettrale . . . . . 121.3.4 Coe!ciente di assorbimento emisferico totale. . . . . . . . 12

2 Il corpo nero 142.1 La radiazione del corpo nero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.1 Emissione spaziale del corpo nero . . . . . . . . . . . . . . 142.1.2 Emettitore perfetto in ogni direzione . . . . . . . . . . . . 152.1.3 Emettitore perfetto ad ogni lunghezza d’onda . . . . . . . 16

2.2 Prototipo di corpo nero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3 Le leggi del corpo nero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3.1 Legge di Plank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3.2 Legge di Stephan-Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3.3 Legge dello spostamento di Wien . . . . . . . . . . . . . . 202.3.4 Funzioni per l’emissione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Le superfici reali e il corpo grigio 253.1 Caratteristiche radiative dei corpi reali . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.1 Emissività direzionale spettrale . . . . . . . . . . . . . . . 253.1.2 Emissività direzionale totale . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.1.3 Emissività emisferica spettrale . . . . . . . . . . . . . . . 273.1.4 Emissività emisferica totale . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2 Il corpo grigio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

i

INDICE ii

4 Lo Scambio Termico Radiativo 334.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.2 I fattori di vista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2.1 Equazione generale dei fattori di vista . . . . . . . . . . . 344.2.2 Proprietà dei fattori di vista . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.3 Scambio termico radiativo in cavità . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.3.1 Equazioni di base per cavità grigie . . . . . . . . . . . . . 404.3.2 Metodo dell’analogia elettrica . . . . . . . . . . . . . . . . 424.3.3 Metodo matriciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5 L’rraggiamento solare 505.1 Parete irraggiata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.2 Lastra di vetro irraggiata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.3 Schermi radiativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.4 E"etto serra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Testi consigliati

La presente dispensa didattica è rivolta agli allievi del Corso di Fisica TecnicaAmbientale, Corso di Laurea in Ingegneria Edile Architettura e costituisce laraccolta completa degli argomenti svolti in aula.

Disporre della dispensa tuttavia non esime né dai doverosi approfondimentisui testi consigliati, né soprattutto dalla frequenza delle lezioni e delle esercita-zioni.

Saranno graditi suggerimenti nonché la segnalazione di errori ed inesattezze.

Testi consigliati in lingua italiana:

1. Kreith F., Principi di Trasmissione del calore, Liguori, Napoli 1975

2. Guglielmini G., Pisoni C., Elementi di Trasmissione del Calore, Masson,Milano 1996

3. Bonacina C., Cavallini A., Mattarolo L., Trasmissione del Calore, Cleup,Padova 1989

4. Cammarata G., Fisica Tecnica Ambientale, McGraw-Hill, Milano 2007

Testi consigliati in lingua inglese:

1. Özi#ik M.N., Heat Transfer - A Basic Approach, McGraw-Hill, New York1985

2. Chapman A.J., Heat Transfer - Fourth Edition, Mcmillan, New York 1987

3. Lienhard J.H. IV, Lienhard J.H. V, A Heat Transfer Textbook, 3rd edition,20011

1Il testo può essere scaricato gratuitamente in formato PDF dal sitohttp://web.mit.edu/lienhard/www/ahtt.html

iii

Capitolo 1

Note introduttive e definizioni

1.1 L’energia raggiante

L’esperienza mostra che qualunque corpo (solido, liquido o aeriforme) che sitrovi ad una temperatura al di sopra dello zero assoluto emette continuamenteenergia in forma di onde elettromagnetiche o, come spesso si dice, di energiaraggiante (emissione per temperatura).

Grandezze caratteristiche di un’onda elettromagnetica sono la lunghezzad’onda ! (nel seguito misurata in µm1), la frequenza " (s"1) e il periodo T(s) che è legato a sua volta alla frequenza dalla T = 1

" . La lunghezza d’onda e lafrequenza sono legate alla velocità c con cui l’onda si propaga nel mezzo dalla:

c = !" = !1

T

Poiché delle tre grandezze citate una soltanto è indipendente, la caratterizza-zione dell’onda può essere e"ettuata attraverso ad una qualunque di esse. Nelseguito, seguendo la consuetudine, si farà riferimento alla lunghezza d’onda !.

L’energia raggiante è in grado di propagarsi anche nello spazio vuoto aduna velocità elevatissima che, nel vuoto appunto, vale c0 = 2.998 ! 108 m/sindipendentemente dalla lunghezza d’onda !.

Questa particolarità fa sì che quello radiativo sia l’unico meccanismo discambio termico che non richiede la presenza di un mezzo interposto tra i corpiche vi prendono parte. La presenza di un mezzo materiale, anzi, ostacola latrasmissione e, in casi particolari, la impedisce del tutto (mezzi opachi allaradiazione). Infatti, la velocità di propagazione c della radiazione in un mezzoqualsiasi è sempre inferiore a quella c0 nel vuoto. Esse sono legate dalla:

n =c0c

in cui con n si è indicato l’indice di rifrazione del mezzo considerato. Essodipende sia dalla lunghezza d’onda della radiazione che dallo stato del mezzoovvero dalla relativa temperatura e pressione. Le sostanze in fase gassosa pre-sentano valori di n molto prossimi all’unità; l’aria, ad esempio, alla temperaturae alla pressione ambiente presenta un valore dell’indice di rifrazione pari a circa

11 µm= 10!6 m

1

CAPITOLO 1. NOTE INTRODUTTIVE E DEFINIZIONI 2

1.0003 nei riguardi di una radiazione luminosa. Al contrario, valori nettamentemaggiori dell’unità sono propri delle sostanze allo stato liquido; per l’acqua allecondizioni di temperatura e pressione ambiente si ha n " 1.3 per una radiazionedi lunghezza d’onda prossima a 0.6 µm.

L’osservazione dello spettro di emissione di un corpo, ossia la modalità concui la potenza raggiante P globalmente emessa dal corpo si distribuisce in funzio-ne della lunghezza d’onda !, consente di evidenziare una sostanziale di"erenzatra i corpi condensati (solidi e liquidi) e i gas (Fig.1.1).

Figura 1.1: Spettro di emissione di aeriformi (a) e mezzi condensati (b)

Mentre i primi presentano uno spettro di emissione continuo (contenentecioè tutte le lunghezze d’onda teoricamente comprese tra ! = 0 e ! = #), isecondi presentano uno spettro discontinuo contenente cioè un numero limitatodi frequenze.

1 1010 1010 1010 1010 1010 2!2 4!4 6!6 8!8 10!10

",

#

m$

Raggi cosmici Onde radio

Onde Hertziane

Raggi X

UV

m$

0.4

m$

0.7

Infrarosso

Visibile

Radiazionetermica

Radiaz.solare

Raggi

Figura 1.2: Classificazione delle radiazioni elettromagnetiche

Comunque sia, al variare di ! le radiazioni elettromagnetiche mostrano ca-ratteristiche e proprietà profondamente diversificate. Se osservate dal punto divista dei fenomeni che esse sono capaci di provocare in natura e che più da vicinointeressano l’uomo, scaturisce lo schema di Fig.1.2 nel quale si riconoscono:

• Le radiazioni hertziane che presentano lunghezze d’onda superiori a 100µm e che sono in grado di provocare fenomeni elettromagnetici facilmentepercettibili. Esse comprendono le onde radio.

• Le radiazioni infrarosse caratterizzate da lunghezze d’onda comprese tra100 µm e 0.7 µm. Sono quelle che in misura preponderante sono emesse dai


corpi condensati alla temperatura ambiente e comunque alle temperatureproprie dei fenomeni termici che interessano l’ingegneria.

• Le radiazioni visibili che presentano lunghezze d’onda comprese tra 0.7µm e 0.4 µm. Sono dette visibili perché capaci di impressionare l’occhioumano. All’interno dello stesso campo si può operare una ulteriore suddi-visione in quanto le radiazioni vengono percepite di colori diversi; passandoda 0.7 µm a 0.4 µm i colori passano dal rosso al viola.

• Le radiazioni ultraviolette che si estendono da 0.4 µm fino a 0.05 µm.Sono capaci di provocare fenomeni di natura chimica, fisica e fisiologica.

• Le radiazioni di lunghezza inferiore a 0.05 µm. In questo intervallo so-no presenti i raggi X e le radiazioni emesse dalle cosiddette sostanzeradioattive (raggi # e raggi cosmici).

Sebbene, come si è appena detto, i corpi emettano per temperatura in un in-tervallo di lunghezze d’onda 0 ÷ #, alle temperature che si incontrano nelleusuali applicazioni di trasmissione del calore di interesse per l’ingegneria granparte della radiazione emessa da un corpo cade nell’intervallo 0.1 - 100 µm. Pertale motivo l’energia raggiante di lunghezza d’onda compresa tra 0.1 e 100 µmviene comunemente denominata radiazione termica. Tale regione comprende,pertanto, le radiazioni infrarosse, quelle visibili e solo una ridotta porzione del-l’ultravioletto. All’interno della radiazione termica è compresa la radiazionesolare che si estende tra 0.1 e 3 µm.

Il meccanismo dello scambio termico per irraggiamento possiede alcune pe-culiarità che lo distinguono dalle altre modalità di trasmissione del calore.

In primo luogo la dipendenza della radiazione emessa dalla temperatura.Nella conduzione e nella convezione il calore trasmesso tra due punti di un corpodipende approssimativamente dalla prima potenza delle temperature nei duepunti considerati2. Nella trasmissione del calore per irraggiamento, al contrario,la quantità di calore trasmesso tra due corpi a di"erente temperatura dipendedalla di"erenza delle temperature assolute dei due corpi ciascuna elevata aduna potenza variabile tra 4 e 5. Per questo motivo si può a"ermare che latrasmissione del calore per irraggiamento diviene preponderante rispetto allealtre due modalità in sistemi caratterizzati da elevate temperature. In e"etti,l’irraggiamento contribuisce in misura preponderante nello scambio di caloreall’interno delle fornaci o delle camere di combustione. E’ per irraggiamentoche il calore si trasferisce dalle regioni più interne del Sole verso quelle piùesterne.

Lo scambio di calore per irraggiamento, a di"erenza della altre due moda-lità, non richiede la presenza di un mezzo in quanto l’onda elettromagnetica sipropaga anche nel vuoto. Pertanto, quando due corpi a di"erente temperatu-ra sono separati dal vuoto, l’irraggiamento è l’unico meccanismo che permetteil trasferimento del calore tra essi. Così, è per irraggiamento che il calore sitrasferisce dal Sole alla Terra attraverso lo spazio vuoto.

L’irraggiamento è importante anche in applicazioni caratterizzate da bassetemperature e in presenza di altri meccanismi di scambio termico. L’irraggia-mento è responsabile, ad esempio, della formazione di superfici ghiacciate nelle

2Considerando ovviamente la dipendenza dalla temperatura delle proprietà termofisichedel mezzo.


notti invernali serene anche se la temperatura dell’aria è superiore allo zerocentigrado. L’rraggiamento è anche responsabile di condizioni di discomfortsegnalate in ambienti in cui sono presenti superfici fredde come, ad esempio,ampie superfici vetrate.

1.2 L’intensità di radiazione ed i poteri emissivi

Si è già detto che la radiazione emessa per temperatura da parte dei corpi(condensati o aeriformi) non è, in genere, ugualmente distribuita alle diverselunghezze d’onda; allo stesso modo si osserva che l’energia raggiante viene, ingenere, emessa in una misura che varia al variare della direzione.

La radiazione emessa in una certa direzione viene definita in termini di in-tensità. Vi sono due tipi di intensità: l’intensità spettrale (i!!) e l’intensità totale(i!)3. La prima si riferisce alla radiazione emessa in una certa direzione compre-sa in un intervallo infinitesimo d! costruito nell’intorno di una data lunghezzad’onda !; la seconda, al contrario, si riferisce alla radiazione emessa in una certadirezione comprendente l’intero intervallo (0$#) di lunghezze d’onda. In molticasi è più utile riferirsi all’energia raggiante complessivamente emessa nel semi-spazio che sovrasta la sorgente. In questa eventualità si parla di potere emissivo.Vi sono due poteri emissivi: quello spettrale (e!) e quello totale (e).

1.2.1 Intensità di radiazione spettrale i!!

Consideriamo la superficie A di Fig.1.3 che emette energia raggiante in tutte ledirezioni e a tutte le lunghezze d’onda. Sia P un punto di A, dA l’intorno diP e $n la normale ad A in P . Indichiamo inoltre con % e & l’angolo azimutale(misurato rispetto ad un qualsiasi asse posto sul piano orizzontale) e zenitale(misurato dalla normale n) che individuano una assegnata direzione nello spazio.Consideriamo nell’intorno di questa direzione un angolo solido d'4.

Sia d3Q!! la potenza emessa dalla superficie di area dA cos& (disposta cioè

normalmente alla direzione di propagazione) all’interno dell’angolo solido d' edi lunghezza d’onda compresa tra ! e !+ d!5.

Si definisce intensità di radiazione spettrale (o monocromatica) nella dire-zione %,& il rapporto:

i!! =d3Q!

!

dA cos& d' d!(1.1)

L’intensità di radiazione spettrale rappresenta, quindi, la potenza emessa perunità di superficie (disposta normalmente alla direzione considerata), per unitàdi angolo solido e per unità di lunghezza d’onda. Essa si misura in W

m2srµm

3E’ prassi aggiungere al nome della grandezza l’aggettivo spettrale o totale se la grandez-za medesima si riferisce ad una sola lunghezza d’onda o all’intero intervallo delle lunghezzed’onda. Inoltre, allo scopo di impiegare una simbologia chiara ed essenziale, è consuetudineimpiegare l’apice " ed il pedice ! per indicare che la grandezza si riferisce ad una data direzionee lunghezza d’onda rispettivamente.

4Un angolo solido " è definito come la porzione continua di spazio occupata dalle semiretteuscenti da un punto P che costituisce il vertice dell’angolo solido considerato. L’unità di misuradell’angolo solido è lo steradiante (sr) definito come l’angolo solido che intercetta su una sferadi raggio r una superficie pari a r2. L’angolo solido che intercetta tutta la superficie di unasfera vale 4# steradianti.

5La d3Q"

! costituisce, quindi, un infinitesimo del terzo ordine.


%

"

%

dA

3

P

AdA

dA cos

d

d Qn

n

&%

%

%

Figura 1.3: Emissione in una assegnata direzione

e dipende dalla natura del corpo, dalla sua temperatura, dalla direzione, dallalunghezza d’onda e dal punto P considerato:

i!! = i!!(corpo, T , P,&, %, !)

Mediante la (1.1) è possibile risalire alla potenza Q!! emessa da una certa su-

perficie di area finita A all’interno di un angolo solido finito ' e in un intervallodi lunghezze d’onda compreso tra !1 e !2 come:

Q!! =

!

A

!

#

!2!

!1

i!! cos& dAd'd! (1.2)

1.2.2 Intensità di radiazione totale i!

Indichiamo con d2Q! la potenza emessa a tutte le lunghezze d’onda (0 < ! < #)dall’area dA cos& (disposta normalmente alla direzione considerata) all’internodell’angolo solido d'. In analogia a quanto visto in precedenza, si definisceintensità di radiazione totale il rapporto:

i! =d2Q!

dA cos& d'(1.3)

Essa rappresenta la potenza emessa dall’unità di superficie (disposta normal-mente alla direzione di propagazione), per unità di angolo solido, si misura in

W

m2sre dipende dalla natura del corpo, dalla sua temperatura dal punto e dalla

direzione:i! = i!(corpo, T, P , &, %)

La potenza Q! emessa da una superficie di area A all’interno di un’angolo solido' si può calcolare mediante la:

Q! =

!

A

!

#

i! cos& dAd' (1.4)


L’intensità di radiazione totale è legata alla intensità di radiazione spettrale.Infatti:

d2Q! =

#!

0

d3Q!!

ovvero, dalla (1.1):

d2Q! =

#!

0

i!! cos&dAd'd!

Sostituendo nella (1.3) e semplificando si ottiene il legame cercato:

i! =

#!

0

i!!d! (1.5)

"d Qn

2

P

AdA

Figura 1.4: Emissione emisferica.

Se l’angolo solido è tale da comprendere l’intero emisfero che sovrasta lasorgente (' = 2( steradianti), allora si introducono le due ulteriori grandez-za caratteristiche dell’emissione denominate potere emissivo spettrale e potereemissivo totale.

1.2.3 Potere emissivo emisferico spettrale e!

Si indichi con d2Q! la potenza irradiata dall’area dA in tutte le direzioni compre-se nella semisfera che sovrasta la sorgente all’interno dell’intervallo di lunghezzed’onda compreso tra ! e !+ d! (vedi Fig.1.4).

Si definisce potere emissivo emisferico spettrale il rapporto:

e! =d2Q!

dAd!(1.6)

Esso si misura, pertanto, in W

m2µme dipende dalle caratteristiche del corpo, dalla

temperatura, dal punto e dalla lunghezza d’onda:

e! = e!(corpo,T, P,!)


L’andamento tipico della e! in funzione di ! per un corpo condensato ad unadata temperatura è mostrato in Fig.1.5. Come si vede, partendo da ! = 0, la fun-zione cresce rapidamente fino ad un massimo per ! = !max da cui rapidamentedecresce portandosi asintoticamente a zero per ! % #.

"

"E

"max

Figura 1.5: Andamento tipico del potere emissivo spettrale di un corpocondensato

Se è noto il potere emissivo emisferico spettrale è possibile risalire alla poten-za Q! emessa da una sorgente di area A in un assegnato intervallo di lunghezzed’onda (!1 < ! < !2) mediante la:

Q! =

!

A

!2!

!1

dAe!d! (1.7)

Il potere emissivo emisferico spettrale e! si può ricavare se è nota la intensitàspettrale di radiazione i!!. Infatti vale la:

d2Q! =

!

2$

d3Q!!

ovvero, dalla (1.1):

d2Q! =

!

2$

i!! cos&dAd'd!

Sostituendo nella (1.6) e semplificando si ottiene:

e! =

!

2$

i!! cos&d' (1.8)

Poiché (vedi Fig.1.6) l’angolo solido d' è pari a:

d' =rd& · r sin& d%

r2= sin& d&d% (1.9)


si ottiene infine:

e! =

2$!

0

d%

!2

!

0

i!! cos& sin& d& (1.10)

In numerosi casi di interesse è lecito ipotizzare che sia i!! = costante (una sorgen-te che approssima questo comportamento si dice di!usa); in queste circostanzela precedente fornisce:

e! = 2(i!!

!2

!

0

cos& sin& d& = (i!! (1.11)

per cui il potere emissivo emisferico spettrale di una superficie di!usa è pari a( volte l’intensità di emissione spettrale.

'

'

%

%

n

d

d

r

%r sin '%d d %r sin 2

Figura 1.6: Definizione dell’angolo solido infinitesimo d'

1.2.4 Potere emissivo emisferico totale e

Indichiamo con dQ la potenza irraggiata da una porzione infinitesima dA diuna superficie A in tutte le direzioni dell’emisfero che la sovrasta nell’interointervallo di lunghezze d’onda 0$#. Il rapporto:

e =dQ

dA(1.12)

viene definito Potere Emissivo Emisferico Totale di A. Esso si misura in W

m2

e dipende solo dalla natura della superficie emittente, dal punto e dalla suatemperatura (T ):

e = e(corpo, P, T )

Se si vuole conoscere la potenza raggiante Q emessa da una superficie di area Anell’intero emisfero che sovrasta la sorgente e nell’intero intervallo di lunghezze


d’onda si avrà:Q =

!

A

e dA (1.13)

La stessa Q si può ricavare dal potere emissivo emisferico spettrale. Infatti:

dQ =

#!

0

d2Q!

Ricavando d2Q! dalla (1.6), sostituendo nella (1.12) e semplificando si ottieneche:

e =

#!

0

e!d! (1.14)

la quale mostra che il potere emissivo emisferico totale è rappresentato dall’areasottesa dalla curva che rappresenta e!.

La Q si può anche ricavare dall’intensità di radiazione totale tenuto contoche:

dQ =

!

2$

d2Q!

Ricavando d2Q! dalla (1.3), sostituendo nella (1.12) e semplificando si puòscrivere:

e =

!

2$

i! cos&d' (1.15)

Tenuto conto della (1.9) si ottiene:

e =

2$!

0

d%

!2

!

0

i! cos& sin& d& (1.16)

Se la superficie è di!usa la precedente fornisce:

e = 2(i!

!2

!

0

cos& sin& d& = (i! (1.17)

per cui il potere emissivo emisferico totale di una superficie di!usa è pari a (volte l’intensità di emissione totale.

1.3 Assorbimento dell’energia raggiante

Quando la superficie di un corpo viene irradiata, una parte dell’energia incidenteviene riflessa, mentre la parte restante penetra nel corpo. Quest’ultima, pro-cedendo nella massa, subisce un assorbimento progressivo cosicché, in relazionealla lunghezza del percorso che la radiazione compie nel mezzo, possono darsidue casi:


1. l’assorbimento della radiazione è completo; in questo caso si dice che ilmezzo è opaco alla radiazione di quella lunghezza d’onda. Se il regime ter-mico è stazionario, il principio di conservazione dell’energia ci assicura chela somma della potenza raggiante riflessa e la potenza raggiante assorbitauguaglia quella incidente.

2. l’assorbimento della radiazione è parziale; in questa ipotesi una certa po-tenza raggiante riesce ad attraversare il mezzo che si dice trasparente allaradiazione di quella lunghezza d’onda. Ancora in condizioni stazionarie lasomma della potenza raggiante assorbita, riflessa e trasmessa uguaglia lapotenza raggiante incidente.

La potenza riflessa e quella eventualmente trasmessa non prendono parte albilancio energetico della superficie irradiata e come tali non concorrono alloscambio termico radiativo. Per tale motivo esse sono state citate qui solo percompletezza di trattazione. Per stabilire quale sia il valore della potenza assorbi-ta da parte di una superficie irradiata, si usa introdurre il cosiddetto coe"cientedi assorbimento (o assorptività) definito come il rapporto tra la potenza assor-bita e la totale potenza incidente. Il coe!ciente di assorbimento, pertanto, èuna grandezza adimensionale il cui valore è evidentemente compreso tra zero euno.

'

"

%

3

,i

P

AdA

d

d Qn

&

Figura 1.7: Intensità della radiazione incidente in un punto di una superficieirradiata

Poiché la potenza raggiante assorbita dipende, oltre che dallo stato dellasuperficie irradiata, anche dall’angolo d’incidenza della radiazione e dalla sualunghezza d’onda, possono essere definiti quattro coe!cienti di assorbimento,due direzionali (spettrale e totale) e due emisferici (spettrale e totale) comedescritto nel seguito.


1.3.1 Coe!ciente di assorbimento spettrale direzionale

Il coe"ciente di assorbimento spettrale direzionale a!! (o assorptività spettraledirezionale) è definito dal rapporto:

a!! =d3Q!

!,a

d3Q!!,i

dove d3Q!!,a rappresenta la porzione assorbita della potenza raggiante d3Q!

!,idi lunghezza d’onda !, localizzata all’interno dell’angolo solido d' che incidesull’area dAcos& della superficie irradiata (vedi Fig.1.7). Se con i!!,i si indica laintensità di radiazione spettrale incidente l’equazione precedente si può scrivereanche come:

a!! =d3Q!

!,a

i!!,i dAcos&d'd!(1.18)

Vale la pena di osservare che l’assorptività spettrale direzionale, data una lun-ghezza d’onda e fissata una direzione della radiazione incidente, dipende solodallo stato della superficie irradiata A. Ciò equivale a dire che l’assorptivitàspettrale direzionale è una grandezza caratteristica della superficie irradiata.

1.3.2 Coe!ciente di assorbimento totale direzionale

Il coe"ciente di assorbimento totale direzionale (o l’assorptività totale direzio-nale) è definito dal rapporto:

a! =d2Q!

a

d2Q!i

dove d2Q!a rappresenta la parte assorbita della potenza d2Q!

i localizzata all’in-terno dell’angolo solido d', incidente sull’area dAcos& della superficie irradiatae comprendente tutte le lunghezze d’onda presenti nell’intervallo teorico 0$#.L’assoptività totale direzionale si può ricavare da quella spettrale direzionalea!!. Infatti è semplice ricavare che:

d2Q!a =

! #

0d3Q!

!,a

d2Q!i =

! #

0d3Q!

!,i = dAcos&d'

! #

0i!!,id!

Il termine d3Q!!,a presente nella prima delle equazioni precedenti può essere

ottenuto dalla (1.18); operando le sostituzioni e semplificando si ha in definitivache6:

a! =

"#

0 a!!i!!,id!

"#

0 i!!,id!(1.19)

Come si vede, a! dipende non solo dallo stato della superficie, ma anche dallecaratteristiche della sorgente che irradia. L’assorptività totale direzionale noncostituisce, pertanto, una grandezza caratteristica della superficie irradiata.

6Si tenga in conto che dAcos$d" è indipendente dalla lunghezza d’onda.


",id Q n2

P

AdA

Figura 1.8: Irradiazione emisferica spettrale.

1.3.3 Coe!ciente di assorbimento emisferico spettrale

Il coe"ciente di assorbimento emisferico spettrale (o assorptività emisfericaspettrale) a! è definita dal rapporto (vedi Fig.1.8):

a! =d2Q!,a

d2Q!,i

ovvero:

a! =

"

2$ d3Q!

!,a

dAd!"

2$ i!!,icos&d'

Ancora la (1.18) consente di scrivere:

a! =

"

2$ a!! i!!,icos&d'

"

2$ i!!,icos&d'

(1.20)

1.3.4 Coe!ciente di assorbimento emisferico totale.

Il coe!ciente di assorbimento emisferico totale (o l’assorptività emisferica tota-le) è definito come il rapporto tra porzione assorbita (dQa) della totale (dQi)incidente sull’area dA proveniente da tutte le direzioni del semispazio che sovra-sta la superficie irradiata e comprendente l’intero intervallo di lunghezze d’onda0$#. Ossia:

a =dQa

dQi

La dQi si può scrivere in termini intensità totale:

dQi = dA

!

2$i! cos&d'

ovvero in termini di intensità spettrale:

dQi = dA

!

2$

#! #

0i!!,id!

$

cos&d'


La dQa si può scrivere in termini di assoptività spettrale direzionale mediantela (1.18):

dQa = dA

!

2$

#! #

0a!!i

!!,id!

$

cos&d'

Si ricava, in definitiva che:

a =

"

2$

%

"#

0 a!!i!!,id!

&

cos&d'"

2$

%

"#

0 i!!,id!&

cos&d'(1.21)

Capitolo 2

Il corpo nero

2.1 La radiazione del corpo nero

Caratterizzare i corpi reali nei riguardi dell’emissione e dell’assorbimento dell’e-nergia raggiante attraverso l’impiego delle grandezze finora definite può esserefortemente semplificato introducendo il concetto di corpo nero.

Il corpo nero è un corpo ideale il quale assorbe completamente l’energiaraggiante che lo investe qualunque sia la lunghezza d’onda e la direzione diincidenza. Ne deriva che il corpo nero è un corpo opaco per il quale valgono le1:

a!!b = a!b = a!b = ab = 1

da cui discende che nessun corpo assorbe più del corpo nero a parità di ognialtra condizione, ossia:

a & ab a! & a!b a! & a!b a!! & a!!b

Per tale motivo il corpo nero è anche detto assorbitore perfetto.Altre importanti proprietà del corpo nero possono essere dedotte dalla sua

definizione.

2.1.1 Emissione spaziale del corpo nero

I due elementi di corpo nero mostrati in Fig.2.1 presentano la stessa temperaturaed area dAb1 e dAb2 rispettivamente. La potenza raggiante d2Q!

b1che viene

emessa da dAb1 nella direzione di dAb2 può essere espressa impiegando l’intensitàdi radiazione totale come:

d2Q!b1 = i!b1dAb1 cos&1d'

La porzione di d2Q!b1

che cade su dAb2 , e da questa totalmente assorbita, si ricava

facilmente ponendo d' =dAb2 cos%2

r2 . Si ottiene:

d2Q!b1$b2 = i!b1

cos&1 cos&2dAb1dAb2

r2

1Le grandezze che si riferiscono al corpo nero prevedono l’aggiunta, nel pedice, della letterab.

14

CAPITOLO 2. IL CORPO NERO 15

dA

r

b1

1

dAb2

2

Figura 2.1: Emissione spaziale del corpo nero.

Allo stesso modo la potenza d2Q!b2$b1

che emessa da dAb2 incide su dAb1 , e daquesta completamente assorbita, è:

d2Q!b2$b1 = i!b2

cos&1 cos&2dAb1dAb2

r2

Poiché, per ipotesi, le due areole sono all’equilibrio termico, deve essere costan-temente che:

d2Q!b1$b2 = d2Q!

b2$b1

da cui segue immediatamente che i!b1 = i!b2 . Se si avvolge dAb1 e dAb2 con unfiltro che si lascia attraversare da una sola radiazione ! la trattazione precedenteporta alla i!!b1 = i!!b2 .

Poiché i risultati sono stati ottenuti con la sola ipotesi che Tb1 = Tb2 , laloro validità prescinde dalla posizione relativa delle due superfici. Ne deriva chel’intensità della radiazione totale e spettrale di un corpo nero sono indipendentidalla direzione per cui:

i!!b = i!!b (T,!) e i!b = i!b (T )

Se ne conclude che la radiazione del corpo nero è di!usa e per esso valgono le:

i!b =eb$ e i!!b =

e"b

$

2.1.2 Emettitore perfetto in ogni direzione

Si supponga che una delle due superfici (ad esempio la 1 ) di Fig.2.1 appartengaad un corpo reale C (non nero). In questa ipotesi la superficie reale (la dAc)si mantiene isoterma se la potenza raggiante che essa emette in una certa dire-zione è uguale alla porzione assorbita di quella che la investe proveniente dallamedesima direzione:

a!c · d2Q!

b$c = d2Q!c$b


dove con a!c si è indicato il coe!ciente di assorbimento totale della superficiereale nella direzione considerata. Con riferimento alla Fig.2.1 si ha che:

d2Q!b$c = i!b

cos&1 cos&2dAbdAc

r2

d2Q!c$b = i!c

cos&1 cos&2dAcdAb

r2

ed in definitiva:a!c · i

!b = i!c (2.1)

Essendo sempre a!c & 1 consegue che è sempre:

i!c & i!b (2.2)

Poiché il risultato espresso dalla (2.2) è stato ottenuto con la sola ipotesi cheTb = Tc, la sua validità prescinde dalla posizione relativa delle due superfici. Sipuò a"ermare, pertanto, che l’intensità di radiazione totale di un corpo nero èsempre maggiore dell’intensità di radiazione totale di un corpo reale a parità ditemperatura.

Si moltiplichino ora entrambi i membri della (2.2) per cos&1d'1 e succes-sivamente si integrino sull’intero semispazio che sovrasta il corpo reale. Siottiene:

!

2$i!c cos&1d'1 &

!

2$i!b cos&1d'1

ovvero, ricordando le (1.15, 1.9) si ha:

e &eb(

!

2$cos&1 sin&1 d&d%

ed in definitiva:e(T ) & eb(T )

essendo l’integrale a secondo membro pari a (. Ne deriva che il potere emissivoemisferico totale di un corpo nero è sempre maggiore o uguale del potere emissivoemisferico totale di un corpo reale a parità di temperatura.

2.1.3 Emettitore perfetto ad ogni lunghezza d’onda

Un risultato analogo alla (2.2) si ottiene interponendo tra le areole di Fig.2.1un filtro che si lascia attraversare da una sola radiazione di lunghezza d’onda!. Assumendo pari a a!!c il coe!ciente di assorbimento spettrale del corporeale nella direzione scelta e ripetendo le considerazioni del precedente punto siottiene che:

a!!c · i!!b = i!!c

Inoltre, essendo sempre a!!c & 1, si ha:

i!!c & i!!b

per cui l’intensità di radiazione spettrale di un corpo nero è sempre maggioredell’intensità di radiazione spettrale di un corpo reale a parità di temperatura elunghezza d’onda.


Allo stesso modo si ottiene la:

e!c & e!b

la quale permette di a"ermare che il potere emissivo emisferico spettrale di uncorpo nero è sempre maggiore o uguale del potere emissivo emisferico spettraledi un corpo reale a parità di temperatura.

2.2 Prototipo di corpo nero

Anche se un corpo nero non esiste nella realtà, è possibile approssimarne moltoda vicino il comportamento mediante il dispositivo descritto nel seguito.

(b)(a)

1

1

2

c

c

1

2c

Cavitànon nera

Cavitànon nera

Cavitànera

T

T

q

q T

Figura 2.2: Prototipo di corpo nero

Si consideri la cavità non nera, isoterma ed adiabatica di Fig.2.2.a sulla cuiparete è praticato un foro. Se l’area della superficie del foro è molto piccolarispetto all’area della superficie interna della cavità, una qualunque radiazioneche attraversa il foro subirà, da parte della parete interna della cavità stessa,un parziale assorbimento ed una prima riflessione. La porzione riflessa incideràancora sulla superficie interna della cavità e subirà un ulteriore assorbimentoed una seconda riflessione e così via. Poiché, come è semplice immaginare, èestremamente improbabile che la radiazione incidente possa fuoriuscire primaancora che sia stata, in pratica, totalmente assorbita il foro si comporta comeun corpo nero nei confronti di una qualunque radiazione incidente.

Allo scopo di stabilire la natura della radiazione q1 ( W

m2 ) che fuoriesce dalforo della cavità 1, si supponga di congiungerla, attraverso lo stesso foro, conuna seconda cavità questa volta nera (indicata con 2 in Fig.2.2.b) anch’essaadiabatica e alla temperatura della prima (Tc).

La radiazione q2 proveniente dalla cavità 2 (quella nera) penetra nella 1attraverso il foro e da questa viene totalmente assorbita. Allo stesso modo, laradiazione proveniente dalla cavità 1 (quella originaria non nera) penetra nella2 attraverso il foro e da questa viene totalmente assorbita. Ora, tenuto conto


che per ipotesi la cavità formata dall’insieme delle due è isoterma, dovrà esserecostantemente che:

q1 = q2

Si può concludere, quindi, che la radiazione, che per unità di tempo e per unitàdi area, fuoriesce dal foro praticato sulla superficie di una cavità isoterma eadiabatica è indipendente dalla natura del materiale che la costituisce. Essadipende solo dalla temperatura della cavità Tc ed uguaglia quella emessa da uncorpo nero alla stessa temperatura.

Si supponga, ora, di porre in corrispondenza del foro un filtro che si lasciaattraversare dalla sola radiazione di lunghezza d’onda !. Ripetendo le precedenticonsiderazioni si ricava che:

q1,! = q2,!

la quale consente di a"ermare che anche la radiazione spettrale che attraversa ilforo praticato su una cavità adiabatica e isoterma è indipendente dalla naturadel materiale che costituisce la cavità ed uguaglia quella del corpo nero allatemperatura Tc della cavità.

Sono usualmente realizzabili cavità che riproducono il comportamento dicorpo nero con errori generalmente inferiori all’1%.

2.3 Le leggi del corpo nero

Le grandezze che caratterizzano l’emissione del corpo nero sono state ricavateteoricamente e verificate dal punto di vista sperimentale. Esse sono riportate ecommentate nel seguito.

W/m

m

10

10T = 4450 K

T = 2200 K

T = 1100 K

T = 550 K

T = 280 K

10

, m

10

10

10

10

20 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

2

3

4

5

6

7

2

Figura 2.3: Potere emissivo spettrale del corpo nero al variare della temperatura


2.3.1 Legge di Plank

Il potere emissivo spettrale del corpo nero dipende dalla temperatura e dallalunghezza d’onda secondo la:

e!b(!, T ) = (i!!b(!, T ) =c1

!5'

ec2"T $ 1

( (2.3)

che esprime la legge di Plank del corpo nero. Nella precedente T rappresenta latemperatura assoluta e:

c1 = 2(hc20 = 3.74! 108Wµm4

m2

c2 =hc0k

= 1.44! 104 µm K

con h = 6.6260755! 10"34 J·s e k = 1.380658! 10"23 J/K le costanti di Plancke Boltzmann rispettivamente. L’andamento di e!b in funzione della lunghezzad’onda è mostrato in Fig.2.3. La medesima figura mostra che al crescere del-la temperatura le curve relative alle temperature più elevate contengono com-pletamente quelle a temperatura più bassa ossia l’emissione aumenta con latemperatura relativamente a tutte le lunghezze d’onda.

2.3.2 Legge di Stephan-Boltzmann

Esprime il potere emissivo totale eb del corpo nero. Poiché vale la:

eb =

! #

0e!bd!

la legge di Stephan-Boltzmann si ricava sostituendo nella precedente la (2.3).Si ottiene2:

eb = )T 4 Wm2

(2.4)

nella quale T rappresenta la temperatura assoluta mentre la costante di propor-zionalità ), detta costante di Stephan-Boltzmann, vale:

) = 5.67! 10"8 Wm2K4

) = 4.88! 10"8 kcalh m2K4

2Infatti si ottiene eb =#!

0

c1

!5

!

e

c2"T !1

"d!. Moltiplicando poi numeratore e denominatore

per T 4 e tenuto conto che d! = 1

Td(!T ) si ha:

eb = T 4

#"

0

c1

(!T )5#

ec2"T " 1

$d (!T )


nelle unità del Sistema Internazionale e Pratico rispettivamente. Per comoditàla relazione precedente può scriversi come:

eb = 5.67 ·

)

T

100

*4 Wm2

eb = 4.88 ·

)

T

100

*4 kcalh m2

2.3.3 Legge dello spostamento di Wien1000

10000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

20000

"T ($mK)

0

5

10

15

20

25

e "b(",T

)/(

T5

)10-5

Figura 2.4: Potere emissivo spettrale del corpo nero come funzione di !T (µm·K)

La Fig.2.3 mostra che all’aumentare della temperatura assoluta il massimodi emissione tende a spostarsi verso lunghezze d’onda sempre più piccole. Lalegge che esprime il luogo dei massimi in funzione di T ossia la !max = !max(T )si può ricavare evidentemente dalla (2.3). Si ottiene:

!max =c3T

nota come legge dello spostamento di Wien. La costante c3 vale 2898 µm K.

2.3.4 Funzioni per l’emissione

L’equazione (2.3) può essere posta in una forma che elimina la necessità difornire una curva separata per ogni temperatura (vedi Fig. 2.3). Ciò può esserefacilmente ottenuto dividendone entrambi i membri per )T 5:

e!b)T 5

=c1/)

(!T )5'

ec2

("T ) $ 1( µm"1 K"1

ottenendo in tal modo una funzione del solo prodotto !T come mostra la Fig2.4.Valori discreti di tale funzione sono riportati in Tab.2.1.


!!

!

!

!

!

!

! ! !

!

!e

e

e TF��-F=�(��)

d

d

1

1

2

0

b

b

b 0- 0-

4

2 1

2

Figura 2.5: Potenza emessa dall’unità di area di una superficie nera nella banda!1 $ !2

In alcuni calcoli capita spesso di dover valutare la potenza raggiante emessada un corpo nero ad una data temperatura in un predefinito intervallo di lun-ghezze d’onda !1 ÷ !2 (vedi Fig. 2.5). Questa quantità, che indichiamo coneb(!1 $ !2), vale:

eb(!1 $ !2) =

!2!

!1

e!bd! =

!2!

0

e!bd!$

!1!

0

e!bd!

si misura in Wm2 e può essere calcolata con facilità disponendo della funzione

eb(0$ !):

eb(0$ !) =

!!

0

e!bd! =

!!

0

c1

!5'

ec2"T $ 1

(d!

La eb (0$ !) dipende dalla temperatura e dalla lunghezza d’onda. Tuttavia,dividendo entrambi i membri per eb = )T 4, si ottiene:

F0"! =eb(0 $ !)

)T 4=

!T!

0

c1/)

(!T )5'

ec2"T $ 1

(d (!T )

essendo evidentemente d! = d(!T )T . L’equazione precedente mostra che la fun-

zione F0"! è adimensionale e dipende solo dal prodotto !T . Inoltre, essa tendea zero per !T % 0 e si porta asintoticamente a 1 per !T % # (vedi Fig.2.6).Valori discreti della F0"! sono riportati in Tab.2.1.

Alcune interessanti considerazioni quantitative riguardanti l’emissione emi-sferica del corpo nero sono possibili dall’esame della Fig.2.6 ovvero dei dati diTab.2.1. In primo luogo si osserva che nell’intervallo 1500 < !T < 2980 µm ·Kil corpo nero (ovvero un corpo reale che presenta comportamento di corpo ne-ro alla stessa temperatura e lunghezza d’onda) emette circa il 30% del potere


1000

10000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

20000

30000

40000

50000

"T ($mK)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

F0

-"

Figura 2.6: Andamento della F0"! in funzione del prodotto !T (µm·K)

emissivo alla temperatura considerata3. Quasi il restante 70% viene emesso nel-l’intervallo 2980 < !T < 20 000 µm ·K. A tutti gli e"etti pratici, quindi, circa il95% della totale potenza emessa da un corpo nero è concentrata nell’intervallo1500 < !T < 20 000 µm ·K. I corrispondenti intervalli di lunghezza d’ondavariano con la temperatura. Infatti:

• alla temperatura ambiente (300 K) il corpo nero emette la quasi totalitàdel suo potere emissivo nell’intervallo 5 < ! < 65 µm con il massimocollocato a !max

'= 10 µm.

• alla temperatura a cui lo scambio termico radiativo assume valori significa-tivi (ad esempio 500 K) l’intervallo nel quale si concentra la quasi totalitàdell’emissione si restringe (3 < ! < 40 µm) spostandosi verso lunghezzed’onda inferiori (!max

'= 6 µm).

• alle temperature a cui si portano i dispositivi finalizzati all’emissione nelvisibile (circa 3000 K per il filamento di una lampada ad incandescenza)l’intervallo di lunghezza d’onda in cui si concentra il potere emissivo sirestringe ulteriormente (0.5 < ! < 7 µm) con un massimo collocato in-torno a 1 µm. E’ semplice verificare che, in questo caso, è molto limitata(inferiore al 3%) la percentuale della potenza raggiante emessa nel visibilerispetto alla totale.

Esempio Dato un corpo nero alla temperatura di 800 K, si vuole determinare:(a) il potere emissivo totale; (b) il potere emissivo spettrale per ! = 3 µm; (c)la potenza raggiante emessa tra 1.5 e 4.0 µm.

Il potere emissivo totale si ricava dalla legge di Stephan-Boltzmann (2.4):

eb(800 K) = 5.67!

)

800

100

*4

= 23220W

m2

3Ricordando la legge di Wien, 2980 µm ·K è il valore di !T a cui la funzione F0!! presentail massimo.


In corrispondenza del prodotto:

!T = 800! 3 = 2400 µm K

si legge dalla tabella 2.1 che:

e!b)T 5

= 0.207! 10"3 µm"1 K"1

per cui:

e!b(800K; 3 µm) =+

0.207! 10"3,

·+

5.67! 10"8 · 8005,

= 3846W

m2 µm.

In corrispondenza di:!T = 800! 4 = 3200µm K

la tabella fornisce 2.1 che:

F0"4µm =eb(0$ 4µm)

)T 4= 0.318

da cui

eb(0$ 4µm) = 0.318 · 5.67! 10"8 · 8004 = 0.318 · 23220 = 7384Wm2

Allo stesso modo per

!T = 800! 1.5 = 1200 µm K

si ha:

F0"1.5µm =eb(0$ 1.5µm)

)T 4= 0.213! 10"2

che moltiplicato per il potere emissivo fornisce

eb(0$ 1.5µm) = 0.213! 10"2 · 23220 = 50Wm2

Infine si ricava:

eb(0 $ 4µm)$ eb(0$ 1.5µm) = 7385$ 50 = 7335Wm2

Esempio Il filamento di una lampada ad incandescenza è assimilabile, dalpunto di vista dell’emissione di energia raggiante, ad un corpo nero a 2400 K.Verificare che è circa il 2.7% della totale potenza emessa dal filamento quellache cade nel campo del visibile (0.4-0.7 µm).


!T e"b%105

&T 5eb(0"!)

&T 4 !T e"b%105

&T 5eb(0"!)&T 4 !T e"b%105

&T 5eb(0"!)

&T 4

600 0.0003276 9.2997E-08 4000 18.17660 4.80888E-01 7400 4.96995 8.29503E-01

800 0.031196 1.64431E-05 4100 17.58393 4.98752E-01 7600 4.61835 8.39078E-01

1000 0.37290 3.20891E-04 4200 16.99191 5.16023E-01 7800 4.29545 8.47979E-01

1100 0.85635 9.11540E-04 4300 16.40424 5.32705E-01 8000 3.99875 8.56261E-01

1200 1.64838 2.13485E-03 4400 15.82392 5.48803E-01 8200 3.72594 8.63975E-01

1300 2.77828 4.31764E-03 4500 15.25341 5.64326E-01 8400 3.47491 8.71166E-01

1400 4.22833 7.79232E-03 4600 14.69464 5.79285E-01 8600 3.24375 8.77875E-01

1500 5.94156 1.28530E-02 4700 14.14916 5.93692E-01 8800 3.03071 8.84141E-01

1600 7.83651 1.97232E-02 4800 13.61813 6.07561E-01 9000 2.83422 8.89998E-01

1700 9.82264 2.85396E-02 4900 13.10239 6.20907E-01 9200 2.65282 8.95477E-01

1800 11.81286 3.93491E-02 5000 12.60255 6.33746E-01 9400 2.48523 9.00608E-01

1900 13.73163 5.21167E-02 5100 12.11898 6.46094E-01 9600 2.33024 9.05417E-01

2000 15.51919 6.67400E-02 5200 11.65189 6.57967E-01 9800 2.18679 9.09929E-01

2100 17.13257 8.30651E-02 5300 11.20131 6.69382E-01 10000 2.05390 9.14164E-01

2200 18.54454 1.00903E-01 5400 10.76718 6.80354E-01 10200 1.93069 9.18143E-01

2300 19.74146 1.20045E-01 5500 10.34932 6.90901E-01 10400 1.81635 9.21885E-01

2400 20.72063 1.40274E-01 5600 9.94747 7.01039E-01 10600 1.71014 9.25407E-01

2500 21.48770 1.61374E-01 5700 9.56131 7.10783E-01 10800 1.61141 9.28725E-01

2600 22.05420 1.83139E-01 5800 9.19046 7.20149E-01 11000 1.51955 9.31852E-01

2700 22.43556 2.05377E-01 5900 8.83451 7.29151E-01 11500 1.31646 9.38920E-01

2800 22.64946 2.27910E-01 6000 8.49304 7.37806E-01 12000 1.14564 9.45058E-01

2900 22.71451 2.50582E-01 6100 8.16557 7.46126E-01 13000 0.87860 9.55097E-01

3000 22.64940 2.73251E-01 6200 7.851642 7.54126E-01 14000 0.68425 9.62854E-01

3100 22.47219 2.95799E-01 6300 7.55077 7.61819E-01 15000 0.54033 9.68937E-01

3200 22.19988 3.18120E-01 6400 7.26247 7.69218E-01 16000 0.43207 9.73769E-01

3300 21.84817 3.40129E-01 6500 6.98627 7.76335E-01 17000 0.34944 9.77655E-01

3400 21.43128 3.61753E-01 6600 6.72170 7.83182E-01 18000 0.28554 9.80814E-01

3500 20.96197 3.82933E-01 6700 6.46829 7.89770E-01 19000 0.23553 9.83407E-01

3600 20.45151 4.03622E-01 6800 6.22557 7.96110E-01 20000 0.19596 9.85555E-01

3700 19.90976 4.23786E-01 6900 5.99312 8.02213E-01 30000 0.04416 9.95289E-01

3800 19.34531 4.43396E-01 7000 5.77048 8.08088E-01 50000 0.00634 9.98883E-01

3900 18.76549 4.62434E-01 7200 5.35301 8.19195E-01 # 0 1

Tabella 2.1: Funzioni per il calcolo della radiazione del corpo nero

Capitolo 3

Le superfici reali e il corpogrigio

3.1 Caratteristiche radiative dei corpi reali

Per il calcolo della potenza termica scambiata per irraggiamento è necessaria laconoscenza delle caratteristiche radiative dei corpi che prendono parte al pro-cesso. Tali proprietà dipendono da numerosi fattori tutti riconducibili allo statodella superficie del corpo considerato e alla direzione e contenuto spettrale dellaradiazione emessa o incidente. Ciò nonostante, se si considera che qualunquecorpo reale emette e assorbe meno del corpo nero a parità di ogni altra condi-zione, si può pensare di descrivere le caratteristiche radiative di un corpo realerapportandole alle analoghe del corpo nero mediante l’introduzione di grandezzeadimensionali denominate emissività. L’emissività di una superficie reale va-ria tra zero e uno e dipende dalla temperatura della superficie, dalla lunghezzad’onda e dalla direzione della radiazione emessa. Per una data superficie pos-sono quindi definirsi diverse emissività: l’emissività direzionale spettrale, quelladirezionale totale, l’emisferica spettrale e l’emisferica totale.

3.1.1 Emissività direzionale spettrale

Consideriamo una superficie dA ad una assegnata temperatura che presentauna intensità di radiazione monocromatica i!! ed una superficie nera dAb allastessa temperatura che presenta l’intensità di radiazione monocromatica i!!b. Lapotenza raggiante d3Q!

! emessa da dA nell’intervallo di lunghezze d’onda d! eall’interno dell’angolo solido d' è:

d3Q!! = i!!dA cos&d'd! (3.1)

Allo stesso modo la potenza d3Q!!b emessa da dAb nelle stesse condizioni è:

d3Q!!b = i!!bdA cos&d'd! (3.2)

Si definisce emissività direzionale spettrale *!! il rapporto:

*!! =d3Q!

!

d3Q!!b

(3.3)

25

CAPITOLO 3. LE SUPERFICI REALI E IL CORPO GRIGIO 26

Figura 3.1: Gustav Robert Kirchho" (1824 – 1887)

da cui:

*!! =i!!i!!b

= (i!!e!b

(3.4)

essendo i!!b = e!b/( in virtù della (1.11).L’emissività direzionale spettrale è legata al coe!ciente di assorbimento di-

rezionale spettrale. Infatti, si è visto a suo tempo che la porzione assorbita dellapotenza raggiante che incide su dA proveniente dalla medesima direzione e conil medesimo contenuto spettrale di d3Q!

! è:

d3Q!!,a = a!! i!!,idAcos&d'd!

A!nché la temperatura di dA si mantenga costante deve essere che d3Q!! =

d3Q!!,a. Ciò comporta che:

a!! i!!,i = i!!

ovvero:

i!!,i =i!!a!!

Se il procedimento appena descritto si ripete cambiando solo il corpo, il risultatofinale resta inalterato. Ciò equivale a dire che il rapporto tra l’intensità diradiazione spettrale e il coe!ciente di assorbimento spettrale dipende dalla solatemperatura ed è indipendente dal corpo considerato. Poiché per il corpo nero(i!! = i!!b; a

!! = 1), lo stesso rapporto vale i!!b e l’equazione precedente equivale

alla:i!!a!!

= i!!b

ed in definitiva alla:a!! = *!! (3.5)

essendo, per definizione, *!! = i!!/i!!b. La (3.5) vale senza restrizioni e costituisce

la forma più generale della legge di Kirchho!.


3.1.2 Emissività direzionale totale

L’emissività direzionale totale *! è definita come il rapporto tra la radiazioned2Q! emessa da dA all’interno dell’angolo solido d' e quella d2Q!

b emessa dadAb nelle stesse condizioni:

*! =d2Q!

d2Q!b

ovvero:

*! =i!

i!b= (

i!

eb(3.6)

essendo i!b = eb/( per la (1.17). L’emissività totale direzionale *! si può ricavaredalla emissività direzionale spettrale *!! ricordando la (1.5) che riportiamo percomodità:

i! =

#!

0

i!! d!

Infatti ricavando la i!! dalla (3.4) e la i! dalla (3.6), la precedente diventa:

eb*!

(=

1

(

#!

0

*!!e!b d!

ed in definitiva:

*! =1

eb

#!

0

*!!e!b d! (3.7)

3.1.3 Emissività emisferica spettrale

Allo stesso modo si ricava che l’emissività emisferica spettrale è data dal rap-porto tra il potere emissivo spettrale della generica superficie e!(corpo, T , !)e quello del corpo nero relativo alla stessa temperatura e lunghezza d’ondae!b(T,!):

*! =e!e!b

(3.8)

L’emissività spettrale si può ricavare dalla emissività monocromatica direziona-le. Infatti ricordando la (1.10) che riportiamo:

e! =

2$!

0

d%

!2

!

0

i!! cos& sin& d&

e ricavando la i!! dalla (3.4) e la e! dalla (3.8) si ottiene:

e!b*! =1

(

2$!

0

d%

!2

!

0

e!b *!! cos& sin& d&

Essendo e!b(T,!) indipendente dalla direzione, si ricava facilmente che:

*! =1

(

2$!

0

d%

!2

!

0

*!! cos& sin& d& (3.9)


L’esperienza mostra che l’emissività spettrale *!(corpo, T,!) presenta una di-pendenza dalla temperatura generalmente debole e quindi trascurabile nelleusuali applicazioni. Più problematica si presenta la dipendenza dalla lunghezzad’onda come è chiaramente mostrato dalla Fig.3.2 che riporta la *! per alcunetipiche superfici solide di interesse ingegneristico. Come si vede vi sono superficiche presentano un legame tra *! = *!(!) molto complesso mentre altre, al con-trario, sembrano mostrare una quasi indipendenza di *! dalla lunghezza d’onda.Una ulteriore complicazione può essere rappresentata dalla forte dipendenza di*! dallo stato superficiale intendendo con ciò sia il tipo di lavorazione ed il gra-do di finitura e, per le superfici metalliche, il livello di ossidazione che influenzapositivamente l’emissività spettrale.

Lunghezza�d’onda�(��m)

Em

issi

vit

àem

isfe

rica

spet

tra

leE

mis

siv

ità

emis

feri

casp

ettr

ale

Lunghezza�d’onda�(��m)0.50

0.50

A

A

C

C

B

B

0

0

0.20

0.20

0.40

0.40

0.60

0.60

0.80

0.80

1.00

1.00

1.0

1.0

3.0

3.0

5.0

5.0

7.0

7.0

11.0

11.0

15.0

15.0

19.0

19.0

23.0

21.0

A

B

C

:�Alluminio�1100-0Commercialmente�puro

:�Alluminio�24S-T81�anodizzatocon�acido�solforico

:�Alluminio�6061-T6�conanodizzazione�spessa�(1�mil)

A

B

C

:�Vernice�al�silicone�alluminatosu�acciaio�inossidabile�321

:�Acciaio�inossidabile�tipo�301:�Vernice�epossidica�bianca

su�alluminio

Figura 3.2: Emissività spettrale di alcune superfici (da Chapman A.J., HeatTransfer - Fourth Edition, Maxwell Macmillan International Editions, New York1989)


3.1.4 Emissività emisferica totale

E’ data dal rapporto tra il potere emissivo totale e di una data superficie equella eb del corpo nero alla stessa temperatura:

* =e

eb(3.10)

Ricordando la (1.14) la precedente si può anche scrivere come:

* =1

eb

#!

0

e!d!

e dalla (3.8) si ottiene che:

* =1

eb

#!

0

*!e!bd! (3.11)

Analogamente alla emissività spettrale, l’emissività totale si può ricavare an-che partendo dalla conoscenza della emissività totale direzionale ricordandol’equazione (1.16):

e =

2$!

0

d%

!2

!

0

i! cos& sin& d&

Ricavando la i dalla (3.6) si ottiene:

eb* =1

(

2$!

0

d%

!2

!

0

eb *! cos& sin& d&

Essendo eb(T ) indipendente dalla direzione, si ricava facilmente che:

* =1

(

2$!

0

d%

!2

!

0

*! cos& sin& d& (3.12)

La Fig.3.3 riporta la * relativamente ad alcuni materiali metallici. Comesi vede l’emissività totale cresce proporzionalmente alla temperatura con unacostante di proporzionalità che, a sua volta, cresce con la resistività elettrica.Si osserva altresì che a parità di temperatura l’aumento è più pronunciato persuperfici che presentano un certo grado di ossidazione mentre lo è meno permateriali che presentano una superficie molto lucida. Superfici lucidate e nonossidate, infatti, presentano valori della emissività totale che variano tra 0.03 e0.05 alla temperatura ambiente e aumentano di un ordine di grandezza (0.4-0.7)per temperature elevate (1000&C o più). Superfici rugose e/o ossidate aumenta-no di molto la loro emissività; alla temperatura ambiente si supera normalmente* = 0.6 fino a raggiungere valori pari a 0.9. Alle alte temperature si osservanoper * valori compresi tra 0.9 e 0.95. Una raccolta di emissività emisferiche totaliper alcune superfici sono riportate in Tab. 3.1 a pagina 32.


Em

issi

vit

à em

isfe

rica

to

tale

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.00

0

250

2500 3000 3500

500

500

750 1000

1000

1250 1500

1500

1750 2000

2000

Temperatura, °C

°F

Nickel ossidato

Zinco ossidato

Alluminio ossidato a 1110 °F

Acciaio inossidabile 301

Acciaio inossidabile 347ossidato a 2000°F

Rame ossidato

Lega di alluminio lucidataZinco puro lucidato

Ottone lucidato

Ottoneossidato

Rame lucidato

Nikel lucidato

Disco bianco diossido di Berillio

Disco nero di ossidodi Berillio

Figura 3.3: Emissività totale per alcuni solidi metallici (da Özi#ik M.N., HeatTransfer - A Basic Approach, McGraw-Hill, New York 1985)

I materiali non conduttori (elettrici), al contrario, presentano una emissivitàtotale che diminuisce con la temperatura e, a parità di questa, è più elevatadi quella dei materiali conduttori. Alla temperatura ambiente i materiali nonconduttori presentano valori di * che generalmente superano 0.8.

L’emissività totale, al pari di quella spettrale, si determina sperimentalmen-te. In alternativa la * si può ricavare analiticamente dalla conoscenza della*! = *!(!) applicando la (3.11). Il procedimento data la generale complessitàdella dipendenza della emissività spettrale dalla lunghezza d’onda deve esserecondotto per via numerica.

3.2 Il corpo grigio

Come sarà visto nel prossimo capitolo, una ipotesi che viene comunemente ac-cettata nello studio dello scambio termico radiativo è che le superfici siano grigiee di!use.


"

"E T

T

Corpo nero

Corpo grigio

Figura 3.4: Potere emissivo spettrale del corpo nero e del corpo grigio alla stessatemperatura

Una superficie grigia e di"usa è caratterizzata da una emissività direzionalespettrale ed una assorptività direzionale spettrale indipendenti dalla direzionee dalla lunghezza d’onda1. Pertanto, una superficie grigia e di"usa assorbe unafrazione fissa della radiazione incidente qualunque sia la direzione e la lunghezzad’onda. Allo stesso modo la medesima superficie emette una frazione fissa dellaradiazione del corpo nero in ogni direzione ed ad ogni lunghezza d’onda (vediFig.3.4).

Dalla definizione di corpo grigio e di"uso discende immediatamente che peresso è valida la legge di Kirchho" nelle sue varie forme ossia2:

a = * = a! = *! = a! = *! = a!! = *!!

Per quanto detto finora si comprende bene che il corpo nero è un particolarecorpo grigio; osserviamo inoltre che un corpo grigio è, al pari di quello nero, uncorpo ipotetico non esistente in natura. Ciò nonostante, esistono in natura corpiche approssimano il comportamento del corpo grigio in intervalli anche estesi dilunghezze d’onda. L’utilità pratica del concetto di corpo grigio risiede proprionel fatto che nelle applicazioni quasi mai interessa il comportamento di unasuperficie sull’intero spettro delle lunghezze d’onda, ma solo in corrispondenzadi intervalli relativamente ristretti (nel caso dello scambio termico l’intervallo dilunghezze d’onda si estende tra 0.1 e 100 µm).

1Le stesse grandezze dipendono, tuttavia, dalla temperatura.2Per convincersi di ciò è su!ciente riconsiderare la (3.5) unitamente:

- alla (1.19) dalla quale si ottiene che a" = a"! = %"!;

- alla (1.20) dalla quale si ottiene che a! = a"! = %"!;

- alla (1.21) dalla quale si ottiene che a = a"! = %"!;

- alla (3.7) dalla quale si ottiene che %" = %"! = a"!;

- alla (3.9) dalla quale si ottiene che %! = %"! = a"!;

- alla (3.11) dalla quale si ottiene che % = %! = a"!;


Tabella 3.1: Emissività emisferica totale per alcune superficiMateriale Temperatura

38 &C 260 &C 540 &C 1370 &C

MetalliAlluminio

Lucidato 0.04 0.05 0.08 0.19Ossidato 0.11 0.12 0.18

OttoneLucidato 0.10 0.10Ossidato 0.61

RameLucidato 0.04 0.05 0.18 0.17Ossidato 0.87 0.83 0.77

ZincoLucidato 0.02 0.03 0.04 0.06Lamiera zincata 0.25

IsolantiAmianto in fogli 0.93 0.93Carta, bianca 0.95 0.82 0.25Cartone per copertura 0.93

Materiali da costruzioneMattoni

Argilla refrattaria 0.90 0.70 0.75Silice 0.90 0.75 0.84

Intonaco 0.91Marmo bianco 0.95 0.93Pitture

Lacca di alluminio 0.65 0.65Rossa 0.96Gialla 0.95 0.50

VarieAcqua 0.96Legno 0.93Vetro 0.90

Capitolo 4

Lo Scambio TermicoRadiativo

4.1 Introduzione

Lo scambio termico radiativo dipende da numerosi fattori; tra essi i principalisono rappresentati dalle caratteristiche dei corpi che vi prendono parte, dallaloro posizione reciproca, dalla natura del mezzo tra essi interposto.

Tuttavia, in numerosi problemi di interesse ingegneristico il mezzo interpo-sto è costituito da gas mono o biatomici o da miscele di essi (come l’aria), iquali influenzano in modo del tutto marginale il processo di scambio. E’ pertale motivo che nel seguito verrà impostata, per pure ragioni di brevità, unatrattazione che prescinde dalla presenza del mezzo interposto1.

Alcune ulteriori ipotesi semplificative del tutto lecite possono, altresì, essereintrodotte. In particolare:

1. i corpi sono grigi e di!usi ;

2. le caratteristiche radiative delle superfici sono considerate uniformi ;

3. le superfici sono considerate isoterme;

4. il regime è permanente.

4.2 I fattori di vista

Definiamo fattore di vista F1,2 tra una superficie A1 e una superficie A2 ilrapporto adimensionale:

F1,2 =QA1$A2

QA1

(4.1)

nella quale si è indicato con QA1 la potenza raggiante emessa dalla superficieA1 e con QA1$A2 la porzione di QA1 che cade sulla superficie A2. Il fattoredi vista è compreso tra 0 e 1. Se A1 e A2 coincidono, il fattore di vista F1,1

1La trattazione dello scambio termico radiativo che contempli anche gli e"etti della presenzadel mezzo è stato approfonditamente studiato ed è presente nella letteratura specializzata.

33

CAPITOLO 4. LO SCAMBIO TERMICO RADIATIVO 34

rappresenta la frazione di QA1 che ricade direttamente sulla stessa superficieA1. Perché F1,1 (= 0 la superficie deve essere concava.

r

r

%

%

%

cos( )

dA

A1

A2

2

dA2

dA2

d&

2

2

%2

1

dA1

Figura 4.1: Schema per il calcolo dei fattori di vista

4.2.1 Equazione generale dei fattori di vista

Consideriamo le due superfici A1 e A2 di Fig.4.1 e di esse le porzioni infinitesimedA1 e dA2 a distanza r. La potenza globalmente emessa da dA1 e incidentesu dA2 può esprimersi facilmente facendo ricorso alla intensità di radiazionetotale. Infatti, ricordando la (1.3), la potenza emessa da dA1 nell’angolo solidoinfinitesimo d' costruito nell’intorno di una direzione assegnata vale:

d2Q!dA1

= i!1 cos&1dA1d' (4.2)

L’angolo solido d', nel caso specifico, è quello sotto cui dA2 è vista da dA1 equindi , come evidenziato dalla Fig.4.1, deve essere tale che:

d' =dA2 cos&2

r2

Sostituendo la precedente nella (4.2) si ottiene in definitiva che:

d2Q!dA1$dA2

=i!1 cos&1 cos&2

r2dA1dA2

Integrando su entrambe le superfici A1 e A2 si ricava la potenza raggiante che,emessa da A1, incide su A2:

QA1$A2 =

!

A1

!

A2

i!1cos&1 cos&2

r2dA1dA2


0 1 2 3 4 5 6 7

a/c

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

F12

b/c = �

10

4.0

2.0

1.0

0.6

0.4

0.20.1

c

ab

1

2

Figura 4.2: Fattori di vista per due superfici rettangolari a"acciate

che costituisce il numeratore della (4.1). Essendo il denominatore delle medesi-ma formula QA1 = A1e1 si ottiene che:

F1,2 =

"

A1

"

A2

i!1cos%1 cos%2

r2 dA1dA2

A1e1(4.3)

La (4.3) mostra che il fattore di vista F1,2 dipende sia dalla geometria del sistemache dalle caratteristiche radiative della sorgente (e1 e i!1).

Nell’ipotesi che la A1 sia di!usa, allora i!1 = Cost = e1$ e la (4.3) si semplifica

nella:F1,2 =

1

A1

!

A1

!

A2

cos&1 cos&2

(r2dA1dA2 (4.4)

la quale mostra che se A1 è di!usa, il fattore di vista F1,2 dipende solo dallecaratteristiche geometriche del sistema. La (4.3) o anche la (4.4) costituiscono leequazioni generali per il calcolo dei fattori di vista che costituisce una operazionegeneralmente non semplice.

4.2.2 Proprietà dei fattori di vista

Fortunatamente i fattori di vista relativi a numerosi casi di pratico interessesono già stati già calcolati e sono raccolti sotto forma di grafici a doppia entrata


0.1 1 100.2 0.4 0.6 0.8 2 4 6 8

c/b

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

F12

a/c = 3

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.25

1.5

2.0

4.0

5.06.0

8.0 a

b

c

Figura 4.3: Fattori di vista per due superfici circolari a"acciate

(Fig. 4.2, 4.4, 4.3)2. Da essi è possibile ricavare i fattori di vista relativi asituazioni geometricamente più complesse sfruttando talune proprietà che sonoillustrate di seguito.

Proprietà di reciprocità Supponendo che anche la superficie A2 di Fig.4.1sia di!usa, è semplice ricavare che:

F2,1 =1

A2

!

A1

!

A2

cos&1 cos&2

(r2dA1dA2

per cui:A1F1,2 = A2F2,1 (4.5)

la quale esprime la proprietà di reciprocità dei fattori di vista già ricavata inprecedenza nell’ipotesi di due superfici nere3.

Proprietà della somma Consideriamo le due superfici di"use Ar e As diFig.4.5. La potenza raggiante che, emessa dalla prima, incide sulla seconda è

2Per una raccolta completa di configurazioni per le quali sono dati i fattori di vista siain forma grafica che analitica si consulti E.M. Sparrow, R.D. Cess, Radiation Heat Trans-fer - Augmented Edition, Series in Thermal and Fluids Engineering, Hemisphere PublishingCorporation, Washington, 1978

3La proprietà di reciprocità nella forma espressa dalla (4.5) vale solo se le due superficisono di"use.


0.1 1 100.2 0.4 0.6 0.8 2 4 6 8

Z/X

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

F12

Y/X = 0.02

0.05

0.10

0.20

0.40

0.60

1.0

2.0

4.0

1020

1

X

Z

Y

2

Figura 4.4: Fattori di vista per due superficie disposte ad angolo retto

pari a ArerFr,s. Se la superficie As fosse pensata suddivisa, ad esempio, in Nporzioni che denominiamo Ai (i = 1, 2, . . . , N) si avrebbe che l’energia raggianteche, emessa da Ar, la raggiunge è:

ArerFr,s =N-

i=1

ArerFr,i = Arer

N-

i=1

Fr,i

ed in definitiva:

Fr,s =N-

i=1

Fr,i (4.6)

Il risultato espresso dalla equazione precedente costituisce la proprietà di addi-tività dei fattori di vista.

Può risultare utile anche la valutazione del fattori di vista Fs,r della superfi-cie s (quella suddivisa) rispetto all’intera superficie Ar in funzione degli N fattoridi vista Fi,r. Allo scopo riconsideriamo l’equazione precedente e moltiplichiamoentrambi i membri per la superficie intera Ar. Si ottiene:

ArFr,s =N-

i=1

ArFr,i


Ar

As

Ai

1

2

3

Figura 4.5: Proprietà di additività e della cavità per i fattori di vista

e applicando al primo e secondo membro la proprietà di reciprocità (4.5):

AsFs,r =N-

i=1

AiFi,r da cui Fs,r =

.Ni=1 AiFi,r.N

i=1 Ai

dove si è posto As =.N

i=1 Ai.

Proprietà della simmetria La presenza di simmetrie può semplificare nonpoco la ricerca dei fattori di vista. Infatti, ricordando la definizione di fattoridi vista si comprende bene che, ad esempio, due superfici identiche (i e j)orientate in modo identico rispetto ad una terza superficie (k) intercettano,della radiazione emessa da quest’ultima, frazioni uguali e quindi Fk,i = Fk,j .Dalla proprietà di reciprocità si ottiene che vale anche la Fi,k = Fj,k.

Proprietà della cavità Si consideri ora la cavità di Fig.4.5. La superficie1 emette la potenza raggiante A1e1 di cui la frazione A1e1F1,1 incide sullasuperficie 1, la frazione A1e1F1,2 raggiunge la supeficie A2 ed, infine, la frazioneA1e1F1,3 incide su A3. Il principio di conservazione dell’energia consente discrivere:

A1e1 = A1e1 (F1,1 + F1,2 + F1,3) da cui F1,1 + F1,2 + F1,3 = 1

Per una cavità costituita da N superfici si può scrivere per la i$esima:

N-

j=1

Fi,j = 1 (4.7)

che costituisce una ulteriore proprietà dei fattori di vista relativi alle superficiche formano una cavità.

Metodo delle corde incrociate E’ particolarmente utile nei casi in cui lesuperfici a"acciate presentino una dimensione molto più grande delle altre duecome accade, ad esempio, nei condotti. Con riferimento alla Fig.4.6 il metodoprevede che:


A

A

C

B

D

L1

2

3A

L5

L1

L6

L4

L3

Figura 4.6: Nomenclatura per il metodo delle corde incrociate

1. si determinino i punti terminali delle superfici (A, B, C, D);

2. si collegano con corde ben tese.

Sempre con riferimento alla Fig.4.6 si può dimostrare che:

F1,3 =(L5 + L6)$ (L2 + L4)

2! L1

ovvero generalizzando:

Fi,j =

.

lunghezza delle corde incrociate $.

lunghezza corde non incrociate2! (lunghezza della corda sulla superficie)

Il metodo delle corde incrociate è applicabile anche quando le superfici presen-tano un estremo in comune. In questo caso l’estremo in comune può essere vistocome una corda immaginaria di lunghezza nulla. Il metodo può anche applicar-si a superfici parzialmente ostruite da altre superfici consentendo alle corde diaggirare le ostruzioni.

4.3 Scambio termico radiativo in cavità

Chiamiamo cavità una porzione di spazio limitato da superfici ognuna con ca-ratteristiche radiative note. L’introduzione del concetto di cavità consente unaelegante generalizzazione dello scambio termico radiativo. Le superfici dellacavità, infatti, possono essere reali o fittizie nel qual caso sono generalmentedenominate finestre. Attraverso una finestra la radiazione può fuoriuscire dallacavità e disperdersi nell’ambiente esterno alla cavità stessa. La finestra, in que-sto caso, può riguardarsi come una superficie nera (essa assorbe infatti tutta laradiazione che riceve senza emetterne). Qualora attraverso la finestra entri una


certa potenza raggiante, allora la finestra può venire equiparata ad un corpo ne-ro ad una temperatura tale che il suo potere emissivo globale eguagli la potenzaraggiante che attraversa l’unità di superficie della finestra.

Ciò premesso, consideriamo una cavità costituita da N superfici. La i$esimadelle predette superfici, in generale, vede se stessa e le restanti N$1. Sono in to-tale N i fattori di vista da definire per ciascuna superficie (Fi,j , j = 1, 2, . . . , N)ed N2 per l’intera cavità. Essi possono essere raccolti in una matrice quadratadel tipo:

[Fi,j ] =

/

/

/

/

/

/

/

/

/

F1,1 F1,2 · · · F1,N

F2,1 F2,2 · · · F2,N...

.... . .

...FN,1 FN,2 · · · FN,N

/

/

/

/

/

/

/

/

/

Non tutti gli N2 fattori di vista sono, però, indipendenti. Infatti tra essi esistonoi legami espressi dalla proprietà di reciprocità (4.5) che, riguardando i fattoridi vista posti in posizione simmetrica rispetto alla diagonale principale dellamatrice [Fi,j ], sono complessivamente pari a:

N2 $N

2

A questi si aggiungono ulteriori legami. Osserviamo, infatti, che per la i$esimasuperficie della cavità vale la (4.7) la quale a"erma che è pari a 1 la somma deifattori di vista della i$esima riga della matrice Fi,j . Possono, quindi, esserescritte per la cavità N equazioni del tipo (4.7) per cui sono complessivamente:

N2 $N

2+N =

N2 +N

2

i legami esistenti tra gli N2 fattori di vista della cavità. In definitiva è pari a:

N2 $N2 +N

2=

N2 $N

2=

N (N $ 1)

2

il numero massimo dei fattori di vista da calcolare per la cavità considerata.Infatti, tale numero può ulteriormente diminuire per il verificarsi di partico-

lari circostanze. Ad esempio, se alcune delle superfici della cavità sono concaveo piane i fattori di vista di tali superfici verso se stesse (Fii) sono evidentementenulli.

4.3.1 Equazioni di base per cavità grigie

La Fig.4.7 mostra le potenze termiche che, per unità di area, interessano lagenerica superficie grigia di una cavità. Con Gi si è indicata l’irradiazione dellasuperficie ossia la potenza raggiante che investe l’unità di area della superficiestessa. Della totale irradiazione solo la parte Giai = Gi*i4 viene assorbita (ecome tale prende parte al bilancio della superficie) mentre la parte restanteGi (1$ *i) viene riflessa.

Con Ji si è indicata la radiosità della superficie ovvero la potenza raggianteche lascia l’unità di area della superficie stessa. Come si vede la radiosità è

4Si è tenuto conto che per la superficie grigia e di"usa vale il principio di Kirchho" (ai = %i)


qi

Gi(1-*

i)

ii GJ

ebi*

i i iG *

Figura 4.7: Bilancio energetico su una parete di una cavità grigia

composta dall’insieme della radiazione riflessa Gi (1$ *i) e di quella emessa pertemperatura (ei = ebi*i). In generale, la potenza raggiante che raggiunge lasuperficie (AiGi) è diversa dalla potenza che lascia la stessa superficie (AiJi) inquanto c’è uno scambio netto di energia (Aiqi) tra la superficie considerata e lacavità. Ciò premesso, per la stazionarietà deve essere:

Qi = qiAi = Ai (Ji $Gi) (4.8)

Ancora dalla Fig.4.7 si vede che l’irradiazione e la radiosità non sono indipen-denti essendo, per definizione stessa di radiosità, che:

Ji = ebi*i +Gi (1$ *i)

Ne consegue che la (4.8) si può scrivere come:

Qi = AiJi $AiJi $ ebi*i1$ *i

= (ebi $ Ji)Ai*i1$ *i

(4.9)

Nella equazione precedente compaiono tre grandezze incognite (Qi, ebi e Ji)le quali possono essere univocamente determinate a patto che per la genericasuperficie vengano scritte due ulteriori equazioni.

Una di queste può essere ricavata considerando che l’irradiazione AiGi checompare nella (4.8) proviene dalla cavità ed è data dalla somma delle radiositàJj delle N superfici che compongono la cavità stessa ognuna moltiplicata perl’area Aj e per il fattore di vista Fji. In formule:

AiGi =N-

j=1

JjAjFji = Ai

N-

j=1

JjFij

nella quale si è tenuto conto della proprietà di reciprocità. Sostituendo l’espres-sione precedente nelle (4.8) si ottiene:

Qi = Ai

0

1Ji $N-

j=1

JjFij

2

3 =N-

j=1

AiFij (Ji $ Jj) =N-

j=1

Qi$j (4.10)


essendo, per una cavità,.N

j=1 Fij = 1. Con Qi$j si è indicata la potenza nettascambiata tra la i-esima e la j-esima superficie della cavità. La (4.10) mostrache la Qi$i è nulla indipendentemente dalla forma della superficie.

L’ulteriore equazione è rappresentata dalla condizione al contorno che, nelparticolare problema considerato, è assegnata alla generica superficie. Nellapratica le condizioni al contorno sono essenzialmente:

• del primo tipo. E’ pertanto assegnata, per la superficie considerata, latemperatura assoluta Ti ovvero il potere emissivo ebi.

• del secondo tipo. E’ assegnato la potenza netta Qi scambiata tra lasuperficie e la cavità.

In e"etti non esiste una condizione al contorno convettiva per l’ipotizzata assen-za di un fluido interposto tra le superfici che partecipano allo scambio termico.

Se la superficie è adiabatica (isolata) si ha che Qi = 0. In tale ipotesi, per la(4.8), la superficie emette una potenza raggiante uguale a quella ricevuta e pertale motivo è detta reirraggiante. Sono considerate reirraggianti, ad esempio, lepareti dei forni che per ovvi motivi sono adiabatiche. Infatti, sebbene nella realtàuna certa quantità di calore fluisca per conduzione e convezione dall’internoverso l’esterno, essa è a tutti gli e"etti pratici trascurabile rispetto alle potenzescambiate per irraggiamento tra le superfici interne del forno. Per le paretireirraggianti l’equazione (4.9) mostra che ebi = Ji come per una parete nera.

Le equazioni (4.9) e (4.10) unitamente a quella che esprime la condizione alcontorno, quindi, risultano su!cienti per la soluzione di un problema termicoin cavità.

4.3.2 Metodo dell’analogia elettrica

Il metodo dell’analogia elettrica ben si presta per lo studio dello scambio termicoradiativo in cavità costituite da un limitato numero di superfici (generalmenteinferiore a quattro).

Si riconsiderino allo scopo le equazioni (4.9 ,4.10). La (4.9) mostra che lapotenza netta Qi scambiata tra la generica superficie e la cavità si presentaanaloga alla corrente che attraversa una resistenza Ri (resistenza superficiale)pari a:

Ri =1$ *iAi*i

che è posta tra due punti a diverso potenziale: il primo uguale al potere emissivodella superficie supposta nera (ebi) ed il secondo uguale alla radiosità dellamedesima superficie (Ji).

L’equazione (4.10) mostra che la potenza netta Qi è data dalla somma dellepotenze termiche nette che la medesima superficie i$esima scambia con le Nsuperfici che formano la cavità (principio di conservazione dell’energia). Inoltrela struttura della medesima equazione suggerisce che ciascuna di dette N poten-ze è analoga alla corrente che attraversa una resistenza Rij (resistenza spaziale)paria a:

Rij =1

AiFijj = 1, 2, . . . , N


posta tra due punti a diverso potenziale: il primo, comune a tutte le resistenze,uguale alla radiosità Ji della superficie considerata, ed il secondo uguale allaradiosità Jj riferita a ciascuna delle N superfici che formano la cavità.

Lo schema elettrico analogo allo scambio termico radiativo tra la superficiegenerica (i) e la cavità è riportato in Fig.4.8.

ni

i

1

1

22

N-1

N-1

N

N

i

ii

i

i

E

J

J

J

J

R

RR

R

R

Figura 4.8: Schema elettrico equivalente allo scambio tra la superficie i$esimae la cavità

Esempio Per gli sviluppi futuri è utile determinare la potenza scambiata tradue superfici qualsiasi che formano la cavità di Fig.4.9,a. Delle due superficisiano assegnate le aree (A1 e A2), le temperature (T1 e T2) e le emissività (*1 e*2).

La rete elettrica equivalente associata alla cavità è quella mostrata in Fig.4.9,b.Per ottenerla è su!ciente riportare per ogni superficie due punti (uno a poten-ziale uguale a eb e uno a potenziale uguale a J). Si unisce poi il punto apotenziale eb1 a quello a potenziale J1 con la resistenza superficiale R1 = 1"'1

A1'1e il punto a potenziale J1 con quello a potenziale J2 con una resistenza spazialeR12 = 1

A1F12.

Lo stesso procedimento può essere ripetuto per la seconda superficie. Unaresistenza superficiale R2 = 1"'2

A2'2viene posta tra i punti a potenziale eb2 e J2

mentre quella spaziale (R21 = 1A2F21

uguale a R12 per la proprietà di reciprocitàdei fattori di vista) è già stata collocata con riferimento alla superficie 1.

Applicando il metodo dell’analogia elettrica si costruisce la rete elettricaequivalente di Fig.4.9,b da cui è possibile ricavare immediatamente che la po-tenza termica netta Q12 scambiata tra le due superfici della cavità è datadalla:

Q12 = Q1 =eb1 $ eb2

1"'1A1'1

+ 1A1F12

+ 1"'2A2'2

=)A1

+

T 41 $ T 4

2

,

1"'1'1

+ 1F12

+ A1A2

1"'2'2

W (4.11)

L’equazione (4.11) è valida qualunque sia la forma delle due superfici che lacompongono. La forma, infatti, influisce sul risultato finale per il tramite deivalori assunti dal fattore di vista e dal rapporto A1/A2.

Alcuni casi di interesse applicativo sono riportati nella Tab.4.1.


n n

1 12

11 22

2

E EJ J

R RR

1 11

2 2

2

A T

TA

12

12

Q

Q

a)

b)

Figura 4.9: Cavità a due superfici grigie e rete elettrica equivalente.

E’ semplice verificare che per una cavità formata da tre superfici (vedi Fig.4.10.a) la rete equivalente ha la struttura mostrata in Fig.4.10.b. In tal caso lasoluzione richiede in primo luogo il calcolo delle radiosità e da queste, tramitel’equazione (4.10) si ricavano le potenze nette scambiate per irraggiamento daciascuna superficie.

12

3

a)

b)

n

n

n1

3

211

1

12

12 2313

13 23

3

2

22

3

3

E

E

EJR R

Q

Q

R

R

RR

Q Q

Q

Q

J

J

Figura 4.10: Cavità a tre superfici e schema elettrico equivalente.

Se si ipotizza, come in precedenza che siano date le temperature delle tre su-perfici, le tre radiosità possono ricavarsi tenendo conto che, per la conservazionedell’energia, valgono le:

Q1 = Q12 +Q13 ; Q2 = $Q12 +Q23 ; Q3 = $ (Q13 +Q23)


Tabella 4.1: Diversi casi di cavità formate da due superfici

Piccolo oggetto in

una grande cavità

1 1

1

2 22

AT

TA

A1A2

) 0

F12= 1Q12= )A1*1

+

T 41 $ T 4

2

,

Piani paralleli

infinitamente estesi

1

2 22

11A

A

T

T

A1= A2= AA1A2

= 1F12= 1

Q12=&A(T 4

1 "T 42 )

1#1

+ 1#2

"1

Cilindri coassiali

infinitamente lunghi

1

2

22

11

r

r

TT

A1A2

= r1r2

F12= 1Q12=

&A1(T 41 "T 4

2 )1#1

+1!#2#2

#

r1r2

$

Sfere concentriche

22T

r

r

1

2

11T

A1A2

='

r1r2

(2

F12= 1

Q12=&A1(T 4

1 "T 42 )

1#1

+1!#2#2

#

r1r2

$2

ovvero:

eb1 $ J1R1

=J1 $ J2R12

+J1 $ J3R13

eb2 $ J2R2

= $J1 $ J2R12

+J2 $ J3R23

(4.12)

eb3 $ J3R3

= $

)

J1 $ J3R13

+J2 $ J3R23

*

Esempio Una cavità grigia a forma di triangolo equilatero infinitamente lungapresenta le temperature e le emissività riportate in Fig.4.11. Calcolare i flussiscambiati da ciascuna superficie con la cavità.

Figura 4.11: Cavità a forma di triangolo equilatero


Per prima cosa si ricavano i fattori di vista. Essi sono in totale 9 tra i qualiesistono 9 equazioni (3 relazioni di reciprocità, tre di somma e le ulteriori trediscendono dal fatto che le superfici sono piane). Poiché le superfici sono tutteuguali si ha:

F11 = F22 = F33 = 0

F12 = F21; F13 = F31; F23 = F32

F12 + F13 = 1

F21 + F23 = 1

F31 + F32 = 1

Risolvendo si ottiene che:Fij = 0.5 per i (= j

per cui le resistenze che compaiono nelle (4.12) assumono i seguenti valori:

R1 =1$ *1A*1

=1$ 0.8

A 0.8=

0.25

A; R2 =

1$ *2A*2

=1$ 0.8

A 0.8=

0.25

A

R3 =1$ *3A*3

=1$ 0.5

A 0.5=

1.0

A; R12 =

1

AF12=

1

A 0.5=

2.0

A

R13 =1

AF13=

1

A 0.5=

2.0

A; R23 =

1

AF23=

1

A 0.5=

2.0

ALe tre equazioni (4.12) si scrivono:

eb1 = J1

)

1 +R1

R12+

R1

R13

*

$ J2R1

R12$ J3

R1

R13

eb2 = J2

)

1 +R2

R12+

R2

R23

*

$ J1R2

R12$ J3

R2

R23

eb3 = J3

)

1 +R3

R13+

R3

R23

*

$ J1R3

R13$ J2

R3

R23

Sostituendo i valori delle resistenze:

23224 = 1.25J1 $ 0.125J2 $ 0.125J3

7348 = $0.125J1 + 1.25J2 $ 0.125J3

459 = $0.5J1 $ 0.5J2 + 2.0J3

e risolvendo si ottiene:

J1 = 0.8514 · 23224 + 0.1242 · 7348 + 0.0976 · 459 ) 20187 W/m2

J2 = 0.1242 · 23224 + 0.8514 · 7348 + 0.0976 · 459 ) 8641 W/m2

J3 = 0.3902 · 23224 + 0.3902 · 7348 + 0.8780 · 459 ) 7436 W/m2

Le potenze termiche scambiate dalle singole superfici con la cavità si ricavanoapplicando a ciascuna di esse la (4.10). Si ottiene:

Q1 = A (20187$ 0.5 · 8641$ 0.5 · 7436) = A · 12149 W

Q2 = A (8641$ 0.5 · 20187$ 0.5 · 7436) = $A · 5171 W

Q1 = A (7436$ 0.5 · 8641$ 0.5 · 20187) = $A · 6978 W

Osserviamo che la somma dei flussi è nullo: (12149$ 5171$ 6978)A = 0. Infattiper la stazionarietà deve essere nulla la potenza accumulata o sottratta allacavità.


4.3.3 Metodo matriciale

In genere se N > 3 il calcolo manuale diventa di!coltoso per cui può essere utilescrivere il sistema di equazioni in forma matriciale. Per far ciò si riconsiderinole (4.9, 4.10) che riportiamo per comodità:

Qi = (ebi $ Ji)Ai*i1$ *i

Qi =N-

j=1

AiFij (Ji $ Jj)

E’ utile riscrivere la prima delle due equazioni precedenti in una forma che noncontempli la Qi ma il potere emissivo ebi in funzione delle sole radiosità5. Alloscopo si uguagli la prima equazione alla seconda:

(ebi $ Ji)Ai*i1$ *i

=N-

j=1

AiFij (Ji $ Jj) = AiJi $Ai

N-

j=1

FijJj

Riordinando si ottiene quanto cercato:

ebi =Ji $

.Nj=1 JjFij (1$ *i)

*i(4.13)

La seconda equazione viene riscritta come:

Qi =N-

j=1

AiFij (Ji $ Jj) = Ai

0

1Ji $N-

j=1

FijJj

2

3 (4.14)

Introducendo la funzione delta di Kronecker (+ij = 1 per i = j e +ij = 0 peri (= j), si può porre:

Ji =N-

j=1

+ijJj

Ne consegue che la (4.13) si modifica nella:

ebi =N-

j=1

+ij $ Fij (1$ *i)

*iJj (4.15)

ed allo stesso modo la (4.14) si trasforma nella:

Qi = Ai

N-

j=1

Jj (+ij $ Fij) (4.16)

Si consideri una cavità formata di N superfici. Per M di esse sia assegnatoil flusso termico qi e per le restanti N $ M la temperatura (ovvero il potereemissivo eb). In tali ipotesi si scrivono nell’ordine:

5In questo modo si dispone di un’equazione che consente di imporre la condizione alcontorno del 1$ tipo.


• M equazioni del tipo (4.16);

• N $M equazioni del tipo (4.15).

Ne risulta un sistema di N equazioni che contiene N incognite costituite dallesole radiosità J . In forma matriciale:

[K]N%N

! {J}N%1

= {C}N%1

dove la matrice [K] assume la forma:

K =

4

5

5

5

5

5

5

5

5

6

k11 k12 · · · k1j · · · k1Nk21 k22 · · · k2j · · · k2N...ki1 ki2 · · · kij · · · kiN...

kN1 kN2 · · · kNj · · · kNN

7

8

8

8

8

8

8

8

8

9

con:

kij = Ai (+ij $ Fij) i = 1, 2, . . . ,M j = 1, 2, . . . , N

kij =(ij"Fij(1"'i)

'ii = M + 1,M + 2, . . . , N j = 1, 2, . . . , N

Il vettore {J} contiene le N radiosità incognite mentre il vettore {C} ha lastruttura:

{C} =

:

{Qi}i=1,2,...,M

{ebi}i=M+1,...,N

;

Una volta che le N radiosità sono state determinate:

{J} = [K]"1 {C}

si ricavano:

• i flussi termici Qi relativi alle N$M superfici per le quali erano assegnatele temperature applicando ad esse l’equazione del tipo (4.16);

• le temperature Ti =+

ebi&

,1/4assunte dalle M superfici con i flussi termici

assegnati applicando ad ognuna di esse l’equazione del tipo (4.15).

Esempio Si ricavi il risultato espresso dalla (4.11) mediante il metodo matri-ciale.

Poiché sono assegnate le temperature delle superfici, le equazioni (due intotale) saranno del tipo (4.15). In particolare:

- per la superficie 1 (i = 1; j = 1, 2)

C1 = )T 41 = eb1; k1,1 =

+11 $ F11 (1$ *1)

*1; k1,2 =

+12 $ F12 (1$ *1)

*1


- per la superficie 2 (i = 2; j = 1, 2)

C2 = )T 42 = eb2; k2,1 =

+21 $ F21 (1$ *2)

*2; k2,2 =

+22 $ F22 (1$ *2)

*2

In forma matriciale (+11 = +22 = 1; +12 = +21 = 0):/

/

/

/

/

1"F11(1"'1)'1

"F12(1"'1)'1

"F21(1"'2)'2

1"F22(1"'2)'2

/

/

/

/

/

/

/

/

/

J1J2

/

/

/

/

=

/

/

/

/

)T 41

)T 42

/

/

/

/

Risolvendo si ottiene il vettore delle radiosità:

/

/

/

/

J1J2

/

/

/

/

=

/

/

/

/

/

/

/

&T 41

'2#

1#1

+ 1#2

"1$ $ ('1"1) &T 4

2

'1#

1#1

+ 1#2

"1$

$ ('2"1) &T 41

'2#

1#1

+ 1#2

"1$ + &T 4

2

'1#

1#1

+ 1#2

"1$

/

/

/

/

/

/

/

Il vettore delle potenze scambiate dalle superfici con la cavità è:/

/

/

/

q1q2

/

/

/

/

=

/

/

/

/

+11 $ F11 +12 $ F12

+21 $ F21 +22 $ F22

/

/

/

/

/

/

/

/

J1J2

/

/

/

/

ovvero:/

/

/

/

q1q2

/

/

/

/

=

/

/

/

/

1 $1$1 1

/

/

/

/

/

/

/

/

J1J2

/

/

/

/

e quindi:

Q1 = $Q2 = J1 $ J2 =)+

T 41 $ T 4

2

,

1'1

+ 1'2

$ 1

Capitolo 5

L’rraggiamento solare

5.1 Parete opaca sottoposta ad irraggiamento so-

lare

Ci interessa studiare il comportamento termico della parete piana di Fig.5.1.che separa due ambienti mantenuti a temperature diverse (Te e Ti) ma costantie che, sulla faccia esterna, riceve una certa potenza raggiante Wi per unità disuperficie.

i

i

1

x

TT

q

2q

iW

iirW

aW

e e

e

T T

T!

T(x)

T'

s

i

e

aWh

Figura 5.1: Parete irraggiata

Di tale potenza incidente la frazione Wi · r viene riflessa, mentre la parterestante Wi · a viene assorbita.

Comunque sia, la porzione di potenza assorbita provoca un innalzamento del-l’energia interna della regione della lastra corrispondente alla superficie esternae quindi della sua temperatura la quale, una volta instaurata una condizionestazionaria, è assunta pari a T !. Ciò è all’origine di due flussi termici specifici:

• il primo, q1, è convettivo e viene disperso direttamente verso l’ambienteesterno (quello da cui proviene l’irraggiamento) in virtù della di"erenza di

50

CAPITOLO 5. L’RRAGGIAMENTO SOLARE 51

temperatura T ! $ Te e vale:

q1 = he (T! $ Te) (5.1)

• il secondo, q2, consegue alla di"erenza di temperatura T ! $ Ti ed è dato,per l’analogia elettrica, dalla:

q2 =T ! $ Tis! + 1

hi

(5.2)

I due flussi su richiamati non sono indipendenti in quanto vale la:

q1 + q2 = Wi · a (5.3)

Le precedenti tre equazioni possono essere opportunamente combinate alloscopo di ottenere utili indicazioni.

Dalle (5.1,5.3) si elimina q1 ricavando la temperatura superficiale T !:

T ! =Wi · a$ q2

he+ Te

la quale, sostituita nella (5.2), consente di ricavare dopo semplici passaggi che:

q2

)

1

hi+

s

!+

1

he

*

=

)

Te +Wi · a

he

*

$ Ti

ovvero:

q2 =

'

Te +Wi·ahe

(

$ Ti

1hi

+ s! + 1

he

=T̂e $ Ti.

R(5.4)

in cui la:T̂e = Te +

Wi · a

he

è detta temperatura aria-sole. Dalla (5.4) si vede che essa rappresenta la tempe-ratura che dovrebbe avere l’ambiente esterno, in assenza di irraggiamento solare,a!nché il flusso termico trasmesso verso l’ambiente interno fosse lo stesso chenella situazione reale. Pertanto detto flusso termico si può determinare comenel caso di una parete interposta tra due fluidi purché si consideri, al postodella temperatura reale Te quella fittizia T̂e. L’andamento reale e fittizio delletemperature nel fluido esterno sono mostrate in Fig.5.1.

La (5.4) mostra che q2 è tanto più basso quanto più è basso il valore dellatemperatura aria sole ovvero quanto più è basso il coe!ciente di assorbimento(l’emissività) della superficie della parete nei riguardi della radiazione solare (0.1e 3 µm), quanto più è alto il coe!ciente di adduzione e quanto più è basso ilvalore della potenza raggiante incidente.

La (5.2) mostra, anche, che q2 è tanto più piccolo quanto più è basso il valoredella temperatura T ! raggiunta dalla superficie esterna della parete. A questoscopo non solo è utile che la superficie assorba poco l’energia solare incidente(quella a bassa lunghezza d’onda), ma è anche importante che la superficie emet-ta molto ovvero che possegga una elevata emissività nei riguardi della radiazioneinfrarossa (quella a cui emettono i corpi alla temperatura ambiente compresatra 8 $ 10 µm). La parete ideale è quella trattata esternamente con latte dicalce o vernice bianca che presenta entrambe le caratteristiche ora ricordate.


5.2 Lastra di vetro sottoposta ad irraggiamento

solare

Nell’ipotesi che la lastra, irradiata ed interposta tra i due fluidi, sia trasparentealla radiazione (vetro), la potenza q che, per unità di superficie della lastra, sitrasferisce dall’ambiente esterno verso l’interno è dato dalla somma del flussotermico q2 originato dalla di"erenza di temperatura e della potenza raggianteentrante per trasparenza:

q = q2 +Wit

dove con t si è indicato il coe!ciente di trasparenza del vetro nei riguardi dellaradiazione solare (generalmente pari a 0.8). Il flusso q2 può essere ricavato attra-verso la trattazione precedente con la semplificazione che la resistenza termicadella lastra di vetro sia trascurabile rispetto a quelle adduttive. Ne consegueche:

q2 =

'

Te +Wi·ahe

(

$ Ti

1hi

+ 1he

ed in definitiva:

q =

'

Te +Wi·ahe

(

$ Ti

1hi

+ 1he

+Wi · t

E’ possibile evidenziare che dei due addendi il secondo è predominante (anche10 volte in talune situazioni) rispetto al primo in presenza di radiazione solare.

5.3 Schermi radiativi

Sono dispositivi impiegati allo scopo di limitare lo scambio termico radiativo.Al fine di mostrarne il funzionamento consideriamo due superfici grigie opachedisposte parallelamente l’una rispetto all’altra e tali da potersi ritenere infinita-mente estese. Se le due superfici presentano emissività *1 e *2 rispettivamentee sono mantenute a temperature diverse T1 e T2 si è mostrato che la potenzascambiata tra essi è data dalla (vedi Tab.4.1):

Q12 =)A

+

T 41 $ T 4

2

,

1'1

+ 1'2

$ 1W (5.5)

Supponiamo ora che tra le due lastre precedenti se ne frapponga una terza,anch’essa opaca per la quale si ipotizzerà una emissività diversa sulle due facce.Indichiamo con *31 e con *32 le emissività della superficie rivolta verso la lastra1 e 2 rispettivamente. Indichiamo poi con T3 la temperatura dello schermo.

Il sistema risultante si configura come due cavità per le quali valgono le:

Q13 =)A

+

T 41 $ T 4

3

,

1'1

+ 1'31

$ 1W (5.6)

Q32 =)A

+

T 43 $ T 4

2

,

1'32

+ 1'2

$ 1W (5.7)


Per la stazionarietà le potenze espresse dalle due equazioni precedenti debbonoessere uguali e pari a quella Q̂12 scambiata tra le due superfici 1 e 2 in presenzadello schermo:

Q13 = Q32 = Q̂12

Ne deriva che:

Q13

)

1

*1+

1

*31$ 1

*

= )A+

T 41 $ T 4

3

,

Q32

)

1

*32+

1

*2$ 1

*

= )A+

T 43 $ T 4

2

,

Sommando membro a membro si ricava che:

Q̂12 =)A

+

T 41 $ T 4

2

,

'

1'1

+ 1'31

$ 1(

+'

1'32

+ 1'2

$ 1(

o anche:

Q̂12 =)A

+

T 41 $ T 4

2

,

'

1'1

+ 1'2

$ 1(

+'

1'32

+ 1'31

$ 1(

Paragonando l’equazione precedente con la (5.5) si osserva che Q̂12 < Q12 in unamisura che dipende dalle caratteristiche radiative dello schermo. La temperaturaa cui si porta lo schermo è intermedia tra T1 e T2 e vale:

T3 =

<

T 41 $

Q̂12

)A

)

1

*1+

1

*31$ 1

*

=1/4

In particolare, se si ipotizza che *31 = *1 e *32 = *2 si ottiene:

Q̂12 =)A

+

T 41 $ T 4

2

,

2'

1'1

+ 1'2

$ 1( =

Q12

2

e:

T3 =

<

T 41 $

Q̂12

)A

)

1

*1+

1

*2$ 1

*

=1/4

=

<

+

T 41 + T 4

2

,

2

=1/4

Ripetendo un procedimento analogo nell’ipotesi di introdurre un ulteriore scher-mo si ricava che:

Q̂12 =Q12

3

e in generale per N schermi uguali:

Q̂12 =Q12

N + 1

5.4 E!etto serra

Con il termine di serra si indica un ambiente, destinato alla coltivazione dipiante di pregio, all’interno del quale vengono realizzate artificialmente specialicondizioni climatiche. Per mantenere inalterate nel tempo tali condizioni è ne-cessario fornire alla serra una certa potenza termica (in Watt), detta fabbisogno


! "( m)

0.20

400

Dis

trib

uzio

ne�s

pettra

le�d

ell’

energ

ia�r

aggia

nte

sola

re�e

ste

rnam

ente

�all’

atm

osfe

ra

800

1200

1600

2000

2400

0.60.4

W

m m2

"

0.8 1.21.0 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.62.4

Figura 5.2: Distribuzione spettrale dell’energia raggiante solare esternamenteall’atmosfera terrestre

termico della serra Q e che, in condizioni di regime stazionario, rappresenta lasomma delle potenze termiche disperse dalla serra stessa.

Poiché per le esigenze proprie delle coltivazioni (fotosintesi) le serre debbonopossedere ampie superfici permeabili alla radiazione solare (ovvero elevati valoridel coe!ciente di trasparenza alle lunghezze d’onda nell’intervallo 0.3 ÷ 3 µmcome mostrato in Fig.5.2), una parte anche rilevante del fabbisogno termicoviene automaticamente fornita alla serra in conseguenza del cosiddetto e!ettoserra. Tale fenomeno è originato dalla proprietà di alcuni materiali come il vetrocomune ed alcuni tipi di plastiche in fogli, che sono quasi totalmente trasparentialla radiazione solare (vedi Fig.5.3) e quasi totalmente opachi alle radiazioniinfrarosse (5÷ 10 µm).

La radiazione solare Ws (W/m2) che investe l’unità di area della coperturain vetro della serra dipende dall’orientamento della copertura oltre che dallaposizione geografica. Di tale radiazione una piccola parte viene riflessa (rvs ·Ws)mentre la restante (tvs · Ws) penetra all’interno della serra. E’ generalmentelecito trascurare la porzione di Ws assorbita dal vetro (avs ' 0).

Della potenza tvs ·Ws, una porzione pari a circa il 5% viene impiegata perla fotosintesi; il restante 95% viene in parte riflesso (e come tale riattraversa lacopertura fuoriuscendo dalla serra), in parte (agstvs · Ws) viene assorbita dalterreno, dalle colture e dai materiali contenuti nella serra che, di conseguenza,aumentano la propria temperatura la quale, a regime, assumerà un valore medioche indichiamo con Tg e che risulta maggiore della temperatura dell’aria esternaalla serra. Il valore di Tg si ricava dal bilancio termico seguente:

ags · tvs ·Ws = Wdisp +Wrad

il quale a"erma che la potenza radiante entrante nella serra (tvs · Ws) ed as-sorbita dai materiali presenti viene in parte dispersa verso l’esterno attraversol’involucro della serra in conseguenza della di"erenza di temperatura tra l’ariainterna (che in prima approssimazione può essere posta uguale a quella del ter-


a!

! "( m)

r!

t!

0.30

Coeffic

ienti�

em

isfe

rici

�spettra

li

0.10

0.20

0

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0.60 0.90 1.20 1.50 1.80 2.10 2.40

Figura 5.3: Valori dei coe!cienti emisferici spettrali di assorbimento riflessionee trasparenza per un vetro semplice (spessore 4 mm).

reno e delle colture) e l’aria esterna, in parte viene riemessa per irraggiamentoin larghissima misura nell’infrarosso (8 - 10 µm).

Se la copertura della serra fosse trasparente a quest’ultima radiazione, latemperatura di equilibrio Tg raggiungerebbe un valore che può essere dedottodalla1:

Wdisp =(Tg $ Te)

Rs= ags · tvs ·Ws $Wrad

per cui:Tg " Ta = Te + (ags · tvs ·Ws $Wrad)Rs

Nella realtà la copertura in vetro della serra è, al contrario, opaca alla radiazioneinfrarossa la quale subisce un assorbimento progressivo e totale. E’ evidente chein questo caso la temperatura di equilibrio della serra raggiunge il valore:

Tg = Te + (ags · tvs ·Ws)Rs

che è nettamente più elevato del valore precedente.Un comportamento analogo a quello mostrato dal vetro nei riguardi della

radiazione infrarossa è seguito anche da alcuni gas normalmente presenti nel-l’atmosfera. E’ per tale motivo che il riscaldamento progressivo registrato dalpianeta nell’ultimo secolo è stato da molti imputato ad un vero e proprio e"ettoserra provocato a livello planetario da alcuni dei gas (gas serra) prodotti dal-l’attività umana (principalmente l’anidride carbonica, il metano, gli idrocarburialogenati, il protossido di azoto).

1Si assuma in prima istanza che Tg # Ta ossia che la temperatura del terreno e delle colturesia prossima a quella dell’aria.

trasmissione del calore - irraggiamento.pdf

Documents