tratamietno de senales

Sistemas de Tasa Múltiple y Bancos de Filtros

2009

Fernando Cruz Roldán

17/03/2009

Tema 1. Introducción al procesado digital de tasa múltiple. 1

Tema 2. Bancos de filtros de diezmado máximo. 38

Tema 3. Bancos de filtros modulados. 60

Referencias bibliográficas. 73

1

1 Introducción al procesado digital de tasa múltiple

1. Introducción

A lo largo del capítulo se van a introducir los sistemas básicos y diversas interconexiones para realizar procesado digital de tasa múltiple.

1.1 Sistemas de diezmado

La relación entrada-salida de un diezmador viene representada por la expresión (1.1). La salida en el instante n es igual a la entrada en el instante Mn. Es decir, sólo aparecen en la salida las muestras de entrada pertenecientes a los instantes múltiplos de M. El bloque que realiza dicha operación se representa en la figura 1.1, donde también se muestra un ejemplo de diezmado de orden 2.

[ ] [ ]Dy n = x nM (1.1)

En el dominio z, la relación obtenida en el sistema de diezmado viene establecida por la expresión (1.2), donde W e j M= − 2πb g . El término que se corresponde para k=0 es la versión expandida de ( )jX e ω , y el resto se corresponde con versiones desplazadas. Los M términos

juntos forman una función periódica con período 2π, siendo los correspondientes a k>0 los responsables del solapamiento. Para evitar dicho problema, basta con que [ ]x n sea una señal de banda limitada a ω π< M .

( ) ( )1

1/

0

1 MM k

D Mk=

Y z = X z WM

−−∑ (1.2)

Sistemas de Tasa Múltiple 2

figura 1.1: sistema de diezmado y ejemplo para M=2

figura 1.2: sistema de diezmado con filtro

En la mayoría de las aplicaciones, un diezmador va precedido de un filtro limitador de banda cuyo objetivo es evitar el solapamiento. A esta interconexión en cascada se le conoce como filtro para diezmado. Así, si la señal no tiene su banda limitada a las frecuencias indicadas con anterioridad, se puede evitar el solapamiento empleando un filtro caracterizado por una respuesta en frecuencia ( )j

DH e ω dada por

( ) 10

jD

MH e

restoω ω π⎧ ≤

= ⎨⎩

(1.3)

tal y como se indica en la figura 1.2. En dicha figura, la relación entrada salida se obtiene en el dominio del tiempo como

[ ] [ ] [ ]0

Dk

v n h k v n k∞

=

= −∑ (1.4a)

[ ] [ ] [ ] [ ]0

D Dk

y n v Mn h k x nM k∞

=

= = −∑ (1.4b)

y en el dominio z del siguiente modo:

( )2 1 2 11

0

1 k kM j jM M M M

D Dk

Y z H e z X e zM

π π− − −

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ (1.5)

Si ω ωx y y son las frecuencias de la señal [ ]x n e [ ]Dy n respectivamente, la relación que existe entre ambas es ω ωy xM= . Si no hay solapamiento, la señal que abarca el rango de frecuencias 0 ≤ ≤ω πx M se expande al rango 0 ≤ ≤ω πy . En este caso se satisface

( )2 21

0

1 1y y y

y

k kM j j jj M M MD D

kY e H e X e X e

M M

ω π ω π ωω

− −−−

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ (1.6)


figura 1.3: sistema de interpolación y ejemplo para L=2

figura 1.4: sistema de interpolación con filtro

1.2 Sistemas de interpolación

Un interpolador de orden L se caracteriza por la relación entrada salida indicada en la expresión (1.7). En la figura 1.3 se representa el bloque que realiza dicha operación y un ejemplo de interpolación de orden 2. Al igual que el diezmador, el interpolador es un sistema lineal variante en el tiempo.

Si se observa como un incremento de la frecuencia de muestreo según un factor L, por cada muestra anterior deben aparecer L-1 muestras nuevas. Para ello, se intercalan L-1 ceros entre muestras consecutivas de [ ]x n , como indica la expresión (1.7).

[ ] [ ]/0,I

x n L , n = Ly n =

caso contrario⎧⎨⎩

(1.7)

La transformada z de la salida del sistema interpolador viene dada por

( ) ( )LIY z = X z (1.8)

La transformada de Fourier sería ( ) ( )j jL

IY e = X eω ω , lo cual significa que el espectro de la salida es una versión comprimida del espectro de la entrada. La aparición de múltiples copias del espectro base se llama efecto imagen, y las copias extra son imágenes creadas por el interpolador.

De todas las componentes frecuenciales de la señal interpolada sólo resultan de interés la banda comprendida en el intervalo 0 ≤ ≤ω πy L . Si deseamos eliminar las imágenes aparecidas de X ( )ω , se puede añadir al sistema interpolador un filtro para seleccionar la parte de interés. A esta interconexión en cascada se le conoce como filtro para interpolación (figura 1.4). El nuevo filtro añadido se podría caracterizar por una respuesta en frecuencia de tipo paso bajo como indica la expresión (1.9). La constante C es un factor de escala que se emplea para normalizar la secuencia de salida [ ]y n . Normalmente se suele elegir de forma que [ ] [ ]0 0y x= .


figura 1.5: ejemplo de interconexión para M=2

figura 1.6: ejemplos de interconexiones en cascada

( )0,

jL

C , LH e =

restoω ω π⎧ ≤

⎨⎩

(1.9)

La relación entrada salida viene dada por

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]I L Lk k

y n h n k v k h m kL x k∞ ∞

=−∞ =−∞

= − = −∑ ∑ , (1.10)

ya que [ ] [ ]v kL x k= . Se debe prestar especial atención a la diferencia entre solapamiento y la aparición de imágenes, ya que el primer efecto puede ocasionar pérdida de información.

1.3 Interconexiones

Es interesante considerar el comportamiento de diferentes interconexiones. La figura 1.5 muestra una conexión en cascada y un ejemplo para M=2. En este caso la señal [ ]v n es igual a [ ]x n para instantes múltiplos de M, y cero en el resto. La relación en el dominio z es

( ) ( )1

0

1 Mk

kV z X zW

M

−

=

= ∑ . (1.11)


figura 1.7: identidades Noble

figura 1.8: sistemas equivalentes para diezmadores

figura 1.9: sistemas equivalentes para interpoladores

Si ninguna de las imágenes solapa el espectro original (comprimido) de [ ]x n , se puede recuperar X e j( )ω a partir de V e j( )ω . No habrá solapamiento si el ancho de banda total de X e j( )ω es menor que 2π M . Las señales paso banda se pueden diezmar por un factor M si tienen la energía situada entre a a M≤ ≤ +ω π2 .

Otros tipos de interconexiones en cascada son las mostradas en la figura 1.6. Hay que tener cuidado con los sistemas presentados en dicha figura, ya que en general no se cumple que

[ ] [ ]1 2y n y n= , es decir, no son equivalentes.

1.4 Las identidades Noble

Estas identidades resultan de gran aplicación en aquellos sistemas que lleven a cabo realizaciones eficientes de filtros y bancos de filtros [Vai93]. Serán de gran utilidad cuando se empleen estructuras polifásicas, como se verá más adelante. Si ( )G z es racional, se puede demostrar que los sistemas representados en la figura 1.7 son equivalentes.

De las propiedades aplicables a los diagramas de flujo de señal podemos obtener sistemas equivalentes mediante la propiedad de conmutación. Se pueden conmutar sistemas LTI así como constantes escalares con operaciones lineales variantes en el tiempo. En el caso específico de los diezmadores e interpoladores, estrictamente habría que hablar de sistemas identidad o de sistemas equivalentes. En las figuras 1.8 y 1.9 se representan algunas de las más características para diezmadores e interpoladores respectivamente.


figura 1.10: sistema de conversión fraccional de la frecuencia de muestreo

figura 1.11: ejemplo de conversión fraccional (3/2) de la frecuencia de muestreo


1.5 Conversión fraccional de la frecuencia de muestreo

La figura 1.10 muestra un diagrama de bloques que modifica la relación de muestreo de forma no entera, es decir, mediante un número fraccional L/M, siendo M y L enteros. Esta reducción puede llevar consigo una compresión de datos, sin pérdida de información. En la figura 1.11 se muestran los efectos de una conversión de la frecuencia de muestreo según un factor de 3/2, en el dominio de la frecuencia. Tratándose de operaciones de filtrado paso bajo, el sistema requerido ( )H z puede presentar una respuesta en frecuencia como se indica en la expresión (1.12), siendo k=máx(M,L). Si M>L se pierde información de la señal comprendida en la banda π π⋅ L M ,b g.

( ) 10,

j , kH e =

kω ω π

π ω π⎧ <⎪⎨ < <⎪⎩

(1.12)

2. Estructuras simples

2.1 Sistemas FIR

En este apartado se muestran estructuras eficientes para realizar los filtros de diezmado y de interpolación. Para ello se combinarán las clásicas estructuras mediante formas directas, traspuestas y fase lineal F.I.R. [Opp99, Ife93] con modelos en cascada para diezmado e interpolación.

2.1.1 Formas directas

La realización más sencilla se obtiene a partir de la ecuación en diferencias

[ ] [ ] [ ] ( ) [ ]1 N-1

1

0 n=0 con =

N

ky n h k x n k H z h n z

−−

=

= ⋅ − ⋅∑ ∑ (2.1)

que relaciona la entrada con la salida, donde [ ]h k son los coeficientes del filtro que se corresponden con la respuesta al impulso.

En el caso de un diezmador, el diagrama de bloques básico para una conversión con cambios enteros es el mostrado en la figura 2.1, suponiendo que el filtro [ ]h n presenta N coeficientes. La estructura según la forma directa es la más simple pero la más ineficiente, ya que en el proceso de diezmado solamente una de cada M muestras son seleccionadas para calcular la salida. Es decir, en el modelo indicado se trabaja a una frecuencia fx, y M-1 muestras de cada M de salida son descartadas.


figura 2.1: diezmador básico según realización directa

figura 2.2: diagramas de bloques eficiente para diezmado

Una solución lógica consiste en introducir el diezmador en la estructura del filtro, como se indica en la red de la figura 2.2. En esta, todas las multiplicaciones y sumas se realizan a una relación menor. Las operaciones asociadas a los coeficientes se realizan a una frecuencia fx/M, reduciéndose el número de operaciones total por un factor de M. De cada M muestras de [ ]x n sólo se calcula una salida. Esta estructura se puede representar mediante

[ ] [ ] [ ]1

0

N

ny m h n x M m n

−

=

= ⋅ ⋅ −∑ (2.2)


figura 2.3: interpolador de orden L según realización directa

figura 2.4: diagrama de bloques eficiente para interpolación

En el caso del interpolador, el modelo inicial es el mostrado en la figura 2.3, donde [ ]h n caracteriza a un filtro F.I.R.. El interpolador introduce L-1 ceros entre muestra y muestra. Si los cálculos se efectuaban a una velocidad fx, el problema consiste en que ahora al aumentar la relación a L·fx, van a aparecer bloques de retardo fraccionales que no son realizables. Para evitarlo, si partimos de la forma directa y aplicamos la propiedad de transposición al filtro F.I.R., podemos introducir los interpoladores dentro del filtro, realizando todas las multiplicaciones a una relación fx. La nueva estructura (figura 2.4) requiere L veces menos tiempo que la de la figura 2.3.

La estructura del interpolador se puede obtener aplicando la propiedad de transposición a la del diezmador, considerando como dual del diezmador el interpolador, y viceversa. Una propiedad muy importante resulta del hecho de que al aplicar transposición, para la red resultante no se modifican ni el número de multiplicaciones ni la velocidad a la que éstas se realizan, lo cual implica que si una red está minimizada con respecto a la relación de multiplicaciones, su traspuesta también lo estará.


figura 2.5: estructura de fase lineal para diezmado

figura 2.6: estructura de fase lineal para interpolación

2.1.2 Estructuras de fase lineal

Una de las propiedades más importantes que pueden presentar los filtros F.I.R. es la posibilidad de disponer de una característica o respuesta en fase exactamente lineal. Para profundizar más en el tema se pueden consultar diversos textos como [Opp99], donde clasifica los filtros F.I.R. de fase lineal en cuatro grandes grupos.

Si los coeficientes del filtro presentan determinadas simetrías, éste tiene fase lineal, pudiéndose además llevar a cabo una reducción mayor de los cálculos a realizar y obtener estructuras más eficientes para diezmado e interpolación. Como podemos reducir a la mitad el número de coeficientes del filtro en sistemas de orden par, y a la mitad más uno si el orden es impar, se vienen a reducir las multiplicaciones aproximadamente por un factor de 2. Sólo tenemos que sumar las células de retardo de dos en dos antes de multiplicar por los coeficientes de [ ]h n . Las estructuras de fase lineal del diezmador y del interpolador se representan en la figuras 2.5 y 2.6 respectivamente.


figura 2.7: diagrama de bloques para generar componentes polifase.

2.1.3 Estructuras polifase

Permiten obtener estructuras eficientes de filtros para diezmado e interpolación mediante la descomposición de un filtro ( )H z en un juego de pequeños filtros que posteriormente se asociarán en paralelo.

Desarrollemos la idea para el caso de dos estructuras. Partiendo del filtro ( )H z , se pueden separar los coeficientes pares de los impares, tal y como se indica a continuación

( ) [ ] [ ] [ ]2 1 22 2 1 n n n

n n nH z h n z h n z z h n z

∞ ∞ ∞− − ⋅ − − ⋅

=−∞ =−∞ =−∞

= ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅∑ ∑ ∑ (2.3)

Si se considera ( )0E z y ( )1E z definidas como

( ) [ ] ( ) [ ]0 12 y 2 1 n n

n nE z h n z E z h n z

∞ ∞− −

=−∞ =−∞

= ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅∑ ∑ , (2.4)

tendremos una nueva expresión para la función del sistema:

( ) ( ) ( )2 1 20 1H z E z z E z−= + ⋅ (2.5)

Si se realiza una separación de la respuesta al impulso en M diferentes se obtendrá la expresión generalizada que define la representación polifase Tipo 1 de M ramas:

[ ] [ ] ( ) [ ]11( ) 1 1Mn M n M n M

n n nH z h n M z z h n M z z h n M M z

∞ ∞ ∞− −− ⋅ − − ⋅ − ⋅

=−∞ =−∞ =−∞

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + − ⋅∑ ∑ ∑ , (2.6)

( )1

0( )

MMH z z E z

−−

=

= ⋅∑ , (2.7)

siendo ( )E z las componentes polifase del sistema:

( ) [ ] [ ] [ ] y para 0 1n

nE z e n z e n h n M M

∞−

=−∞

= ⋅ = ⋅ + ≤ ≤ −∑ (2.8)

Otro tipo de representación polifase es la denominada Tipo 2 (expresión (2.10)), la cual se obtiene realizando un cambio de variable en la anterior.

( ) ( )1MR z E z− −= (2.9)

( ) ( )1

1

0( )

MM MH z z R z

−− − −

=

= ⋅∑ (2.10)

Para la realización práctica son especialmente útiles los denominados modelos de conmutadores. Se deducen observando que en los filtros para diezmado existen unos retardos seguidos del bloque diezmador. En la figura 2.8 vemos un ejemplo para M=3.


figura 2.8: circuito con conmutadores de filtros para diezmado

figura 2.9: circuito con conmutadores de filtros para interpolación

Por otro lado, en la figura 2.9 se representa un ejemplo de circuito equivalente para filtros de interpolación. Se basan en el hecho de que los interpoladores van seguidos de lazos de retardo. En estos sistemas aparecen unos conmutadores que se posicionan en una rama en función del instante de tiempo considerado, pudiendo girar en el mismo sentido o contrario al de las agujas del reloj. Dicho sentido de giro se suele indicar en las figuras correspondientes.

Particularicemos el estudio en los interpoladores. Se pueden lograr estructuras eficientes descomponiendo el filtro de longitud N en un juego de pequeños filtros de longitud K N L= , donde se suele hacer coincidir N como múltiplo de L. Como ya vimos, dado el filtro de la figura 2.10, el proceso de interpolación introduce L-1 ceros entre valores consecutivos de [ ]x n . Entonces, sólo K valores de salida de cada N de entrada almacenados en el filtro F.I.R. son distintos de cero. En un instante concreto, estos valores no nulos coinciden con los registros que van a ser multiplicados por los coeficientes [ ]0h , [ ]h L , [ ]2h L , ... . En el siguiente instante, estos valores no nulos de la secuencia de entrada serán multiplicados por los coeficientes [ ]1h ,

[ ]1h L + , [ ]2 1h L + , ... , y así sucesivamente. Es decir, la realización del filtro según la forma directa es muy ineficaz ya que, como mucho, el (100/L)% de las muestras de entrada a ( )H z son distintas de cero, lo que significa que en el cualquier instante sólo el (100/L)% de los multiplicadores del filtro tienen entradas distintas de cero, y el resto está en reposo. Además, los multiplicadores que no están en reposo deben concluir su trabajo rápidamente (en 1/L unidades de tiempo), ya que las salidas de los elementos de retardo cambian en ese tiempo. Basándose en esta observación se definen una serie de filtros menores, llamados filtros polifase, cuyas respuestas al impulso se pueden calcular como


figura 2.10: diagrama básico de un filtro para interpolación

figura 2.11: descomposición polifase tipo 2 para interpolación

figura 2.12: filtro para interpolación según modelo de conmutadores

[ ] [ ] para 0 1 y 0 1e n h n L L n K= ⋅ + ≤ ≤ − ≤ ≤ − , (2.11)

siendo K un número entero. Esta realización polifase se construye como una asociación paralelo de las K componentes, representándose en la figura 2.11 una descomposición polifase de Tipo 2, donde cada componente polifase se obtiene como

[ ] [ ] para 0 1 y 0 1r n h n L L n K= ⋅ − ≤ ≤ − ≤ ≤ − . (2.12)

Cada ( )R z opera a la misma frecuencia de entrada, y ninguno de los multiplicadores está en reposo. Cada multiplicador tiene una unidad de tiempo para finalizar su trabajo. Al final, el sistema desarrolla N multiplicaciones por unidad de tiempo (MPUs) y N-2 sumas por unidad de tiempo (APUs). El sumador final no cuenta ya que la señal de salida [ ]y n se obtiene intercalando las salidas de cada rama. En la figura 2.12 se representa un modelo equivalente con conmutadores.


figura 2.13: descomposición polifase tipo 1 para diezmado

Las componentes polifase operan a una velocidad fx, y la frecuencia de conversión de salida resultante (L·fx) se obtiene del hecho de que con cada muestra de entrada se obtienen L muestras de salida. Se pueden definir modelos donde los conmutadores giren en sentido contrario al de las agujas del reloj, pero el anterior modelo es más frecuente para filtros de interpolación.

figura 2.14: realización polifase con conmutadores

Uno de los motivos por el que se denominan componentes polifase es el que sigue. Cada componente se obtiene diezmando la respuesta al impulso empleando un factor L. Si la respuesta en frecuencia original ( )jH e ω es constante en los intervalos 0 ≤ ≤ω π L , cada filtro polifase tendrá una respuesta constante en el intervalo 0 ≤ ≤ω π . Es decir, serán filtros paso-todo que se diferenciarán en su respuesta de fase.

Aplicando transposición a las estructuras para interpolación se deducen las de diezmado. También se pueden obtener representando directamente el filtro con sus componentes polifase y empleando las identidades Noble. Cada respuesta al impulso se puede calcular en función de si se desea un modelo de conmutadores Tipo 1 (expresión (2.13)) o Tipo 2 (expresión (2.14)). En este caso K N M= , eligiendo N como múltiplo entero de M. La figura 2.13 representa un esquema general para diezmado de orden M Tipo 1, y la 2.14 su equivalente empleando un modelo con conmutadores

[ ] [ ] para 0 1 y 0 1e n h n M M n K= ⋅ + ≤ ≤ − ≤ ≤ − (2.13)

[ ] [ ] para 0 1 y 0 1r n h n M M n K= ⋅ − ≤ ≤ − ≤ ≤ − (2.14)


2.1.4 Relación entre el filtro original y las componentes polifase

Si se conocen las componentes polifase, se puede determinar la respuesta al impulso [ ]h n del sistema total equivalente expandiendo las secuencias polifase, desplazándolas, y sumándolas. Si [ ]e n es la secuencia expandida, dada por

[ ] n=0, , 2 , ...

0 resto

ne L Le n L

⎧ ⎡ ⎤ ± ± ⋅⎪ ⎢ ⎥= ⎣ ⎦⎨⎪⎩

(2.15)

la función [ ]h n se puede calcular como

[ ] [ ]1

0

L

h n e n−

=

= −∑ (2.16)

y la función del sistema

( ) ( )1

0

LLH z z E z

−−

=

= ⋅∑ (2.17)

Finalmente, la función del sistema de cada componente polifase se puede relacionar con la función de sistema del filtro total equivalente como [Cro83]

( )2 2 11

0

1 p pL j jL L L L

pE z e z H e z

L

π π− − −

=

⎛ ⎞= ⋅ ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ (2.18)

Si el sistema es estable la respuesta en frecuencia se puede obtener sustituyendo en la expresión de la función de sistema z por je ω . La expresión (2.19) muestra la relación deseada entre las respuestas en frecuencia del filtro prototipo y las correspondientes a cada componente polifase.

( ) ( ) ( )21 2

0

1 0,1,... 1pL j p jj L L

pE e e H e L

L

ω πω πω

−− −

=

⎛ ⎞= ⋅ = −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ (2.19)

2.2 Sistemas IIR

El objetivo de este apartado es similar al del apartado anterior: se pretende encontrar estructuras eficientes para realizar diezmadores e interpoladores, empleando en este caso sistemas de respuesta al impulso infinita.

En general, un sistema I.I.R. viene caracterizado por la función de sistema indicada en la expresión (2.20). Como se vio anteriormente, las estructuras más eficientes para diezmado e interpolación son aquellas donde las funciones de sistema presentan en el denominador ( )D z sólo potencias de Kz , donde K será el factor de diezmado o de interpolación. Este tipo de estructuras están directamente relacionadas con las polifase.

( ) ( )( )

1

0

11

Nr

rr

Rr

rr

b z N zH z

D za z

−−

=

−

=

⋅= =

− ⋅

∑

∑ (2.20)


figura 2.15: diagrama de bloques para diezmado

2.2.1 Formas directas

Veamos el caso de un diezmador. Para el filtro I.I.R. podemos elegir una estructura según la forma directa II. En este caso es más conveniente conmutar los coeficientes del numerador con el bloque diezmador (figura 2.15). Así, los lazos no recursivos del filtro se pueden ejecutar como en el caso de un filtro F.I.R., empleando una velocidad de muestreo menor.

Sin embargo, el diezmador no puede conmutarse con los coeficientes del denominador, ya que los retardos se convertirán en retardos fraccionales, los cuales serían no realizables. Nos encontramos con que la parte recursiva de la estructura debe operar a una velocidad mayor que la no recursiva, obteniendo un resultado poco eficiente. Es decir, si aplicamos los diseños convencionales, vemos que aparece una dificultad añadida al desarrollo de estructuras I.I.R. eficientes para diezmado e interpolación.

En este caso concreto, como se verá más adelante, están relacionados entre sí el diseño del filtro (cálculo de los coeficientes) con la elección de la estructura óptima.

2.2.2 Estructuras polifase

Como se estudió con anterioridad, existen modelos de conmutadores que giran en el mismo sentido o contrario al de las agujas del reloj. En ambos casos, la idea consiste en descomponer el filtro diseñado [ ]h n en un conjunto de K subfiltros polifase, con la salvedad de que en este caso concreto cada componente presenta también duración infinita en el tiempo.

Partimos de que ( ) ( ) ( )H z N z D z= es una función racional, [ ]h n es la respuesta al

impulso que caracteriza al sistema, [ ]p n ( = 0, 1, 2, ...K-1) son las componentes polifase y

( )P z sus transformadas z. Si, por ejemplo, se conociesen las componentes polifase, se podría determinar dicha respuesta al impulso [ ]h n expandiendo las secuencias polifásicas,


desplazándolas, y sumándolas, tal y como ya se ha indicado. Es decir, si [ ]p n es la secuencia expandida

[ ] n=0, , 2 , ...

0 resto

np K Kp n K

⎧ ⎡ ⎤ ± ±⎪ ⎢ ⎥= ⎣ ⎦⎨⎪⎩

(2.21)

la función [ ]h n se podría calcular como

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1

0 1 10

1 ... 1K

Kh n p n p n p n K p n−

−=

= + − + + − + = −∑ , (2.22)

o si se desea la función del sistema, como establece la expresión (2.24).

( ) ( )KP z P z= (2.23)

( ) ( ) ( ) ( )( )

1 1 1

0 0 0

KK K KK

K

z N zH z z P z z P z

D z

−− − −− −

= = =

⋅= ⋅ = ⋅ =∑ ∑ ∑ (2.24)

El sumatorio de la expresión (2.24) se puede agrupar en una sola fracción para obtener la función del sistema expresada de forma racional del siguiente modo:

( )

( ) ( )

( )( )( )

11

0 0

1

0

KKK K

iii

KK

z N z D zN z

H zD zD z

−−−

= =≠

−

=

⎡ ⎤⎢ ⎥⋅ ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦= =

∑ ∏

∏. (2.25)

El denominador es un polinomio de Mz , mientras el numerador es un polinomio de potencias de z . Cuando los denominadores de los filtros polifase son todos iguales, se reducen los cálculos a realizar. La nueva expresión de ( )H z resulta

( ) ( )( )

( )( )

1

0

KK

K

z N zN zH z

D z D z

−−

=

⋅= =

∑, (2.26)

donde se puede comprobar que el orden del denominador de ( )H z es K veces el orden de los denominadores de los filtros polifase, y el orden de ( )N z es K veces el orden de los numeradores de los filtros polifase más K-1:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 1...K K K KKD z D z D z D z D z−= = = = = (2.27)

La causa más inmediata que se desprende del formato que adquiere ( )H z es que se necesitan diseños especiales para la construcción de estructuras eficientes. En este caso están estrictamente ligados el método de diseño a emplear con la elección de la estructura óptima.

Sin embargo, si el filtro presenta una función de sistema como la indicada en la expresión (2.26), sí se pueden obtener directamente los coeficientes de ( )P z . Si ( )H z y ( )P z se presentan como


figura 2.16: estructuras polifase para diezmado

( ) ( )( )

1

0

11

Nr

rr

Rr K

rKr

b zN zH z

D z a z

−−

=

− ⋅

=

⋅= =

− ⋅

∑

∑, (2.28)

( ) ( )( )

1

,0

1

=0, 1, 2,... -11

Nr

rr

Rr

rr

d zN zH z K

D z c z

−−

=

−

=

⋅= =

− ⋅

∑

∑, (2.29)

se pueden obtener los coeficientes de los filtros polifase siguiendo las expresiones

para 1,2,...r rKc a r R= = , (2.30)

, para 0,1,... 1 y 0,1,... 1r rKd b r N K+= = − = − , (2.31)


figura 2.17: estructura polifase eficientes para diezmado

figura 2.18: estructura según forma directa IV

donde N -1 es el orden del numerador y R es el orden del denominador. Las expresiones anteriores indican que los coeficientes de los numeradores de los filtros polifase son simplemente versiones diezmadas de los coeficientes del numerador del filtro prototipo ( )H z , al igual que ocurría con los filtros F.I.R..

Una vez obtenidos los coeficientes se pueden ya representar las estructuras. En la figura 2.16 se muestran estructuras para sistemas diezmadores. Los bloques numerador ocasionan estructuras no recursivas y los denominadores son los que introducen los lazos recursivos. Ambos bloques se conectan entre sí en cascada para formar la función del sistema deseada.

Si los denominadores de todos los filtros polifase son idénticos, entonces la parte recursiva de los filtros puede ser intercambiada con la no recursiva (hay que recordar que son sistemas lineales e invariantes en el tiempo) para obtener una estructura más compacta (figura 2.16). Sin embargo, al emplear aritmética de precisión finita [Cro83, Opp99, Din02] esta última estructura ocasiona más problemas.

Cada filtro polifase se puede realizar empleando, por ejemplo, la forma directa IV (figura 2.18). Ésta presenta la ventaja de que las unidades de retardo para todos los filtros polifase pueden ser compartidos, necesitándose para su construcción un menor número de registros de almacenamiento.

La estructura del interpolador se puede obtener aplicando transposición a la del diezmador (figura 2.19).


figura 2.19: estructura polifase para interpolación

3. Estructuras multietapa

3.1 Realizaciones

Hay diseños en los que los factores de diezmado o de interpolación son mucho mayores que la unidad (por ejemplo, un cambio en la relación de muestreo empleando un factor de 69 50 ). Teóricamente puede ser construido y ejecutado directamente, pero una realización óptima requeriría un banco de 69 filtros polifase, el cual puede ser ineficiente. En estos casos se introduce el concepto de realización en múltiples etapas, muy empleado en sistemas de diseño reales para no imponer requisitos demasiado estrictos a los filtros antisolapamiento o anti-imágenes. El proceso de conversión por un factor L o M se descompone en J etapas de factores enteros.

Las realizaciones multietapa pueden proporcionar frente a las de etapa única una serie de ventajas. Pueden reducir de manera considerable el número total de operaciones (la complejidad computacional) y el de registros de almacenamiento del sistema, empleando filtros con unas características menos estrictas (simplificación en el diseño de los filtros de cada etapa) y con menor sensibilidad a los efectos de longitud de palabra finita. Sin embargo, la dificultad en el diseño y la realización del sistema total se puede ver aumentada, ya que es necesario un control más complejo para realizar todo el proceso multietapa. Además es muy difícil elegir los valores más idóneos para el número de etapas y los factores de diezmado o de interpolación para cada una de ellas.

La realización multietapa es generalmente más eficiente que la simple en los siguientes casos:

• L>>1 (M=1)

• M>>1 (L=1)

• L M ≈ 1 con L>>1 y M>>1


figura 3.1: interpolador de una etapa

figura 3.2: descomposición del interpolador en J bloques

figura 3.3: interpolador de J etapas

Consideremos que se desea diseñar un interpolador simple de factor L. Si la frecuencia de muestreo de la señal original es Fo, la de la señal interpolada será L·Fo, tal y como se muestra en la figura 3.1. Si el factor de interpolación puede ser factorizado y representado como un producto de números enteros:

1

J

ii

L L=

= ∏ , (3.1)

la estructura simple se puede realizar como se representa en la figura 3.2. Esta estructura no presenta ninguna ventaja sobre la de la figura 3.1, pero si se introducen los filtros entre los bloques de interpolación, como se indica en la figura 3.3, la nueva estructura presenta J etapas totalmente independientes. Las estructuras correspondientes a los diezmadores se muestran en las figuras 3.4 y 3.5, siempre y cuando se satisfaga

1

J

ii

M M=

= ∏ (3.2)

También se puede obtener directamente empleando la propiedad de transposición.

Si deseamos sistemas diezmadores, el estudio y la realización serían similares. Como se ha comentado con anterioridad, se pueden calcular los diezmadores a partir de los interpoladores (y viceversa) aplicando transposición. En el caso que nos ocupa, la relación de muestreo se expresa como un producto de números enteros (expresión (3.2)), y se representa la estructura simple (figura 3.4) como una asociación en cascada de J etapas (figura 3.5).


figura 3.4: diezmador de una etapa

figura 3.5: diezmador de J etapas

figura 3.6: sistemas equivalentes

Las funciones de sistema de los filtros paso bajo son ( )iH z , para i=1,2,...J. Veamos qué relación mantiene con la función de sistema del diezmador total. Consideremos las dos primeras etapas de la figura 3.5. Si se conmuta el diezmador de la primera con el filtro ( )2H z , se puede obtener otro sistema equivalente (figura 3.6). Si se repite el proceso para cada una de las etapas, se obtiene un sistema equivalente que nos conduce a

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 11 1 21 2 3

JM M MM M MJH z H z H z H z H z −⋅ ⋅⋅⋅⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (3.3)

Cada filtro ( )iH z es idealmente un filtro paso bajo, con una banda de paso ( )0,π Mi y

una banda eliminada ( )π πMi , . Es muy importante observar que ( )1 2 1JM M MiH z −⋅ para 2 ≤ ≤i J

tiene múltiples bandas de paso (filtro peine), y que sin embargo, el filtro total ( )H z es un filtro paso bajo con su banda de paso ( )0,π M y eliminada ( )π πM , .

3.2 Consideraciones de Diseño

En este apartado se van a repasar brevemente cómo suelen venir indicadas las especificaciones en el dominio de la frecuencia de los filtros para interpolación y diezmado.

Consideremos que las especificaciones de un filtro ideal para diezmado vienen dadas por

( )1

0

j MH e

M

ω

πω

π ω π

⎧ <⎪⎪= ⎨⎪ ≤ ≤⎪⎩

(3.4)


figura 3.7: plantilla de especificación tipo A (M par) para diezmado

figura 3.8: plantilla de especificación tipo B (M par) para diezmado

figura 3.9: plantilla de especificación tipo C (M par) para diezmado

donde habría que añadir un factor de escala si se tratase de interpolación. Esta respuesta en frecuencia ideal no puede ser realizada en la práctica, permitiendo ciertas desviaciones en las bandas de paso y eliminada e introduciendo una banda de transición.

Dependiendo de la aplicación, se suelen dar tres tipos de especificaciones, tal y como se muestra en las figuras 3.7, 3.8 y 3.9, suponiendo M par. Se supone que la respuesta al impulso va a ser real, y por lo tanto sólo se matiza el intervalo [ ]0, π para el módulo de la respuesta en frecuencia.

El primer tipo, denominado tipo A (figura 3.7), se suele emplear en procesos de interpolación cuando la transformada de Fourier de la señal a interpolar es distinta de cero en el intervalo [ ],π π− . La respuesta del filtro asegura que el espectro de la señal interpolada tiene


todas las réplicas de la banda base adecuadamente suprimidas en la banda [ ],Mπ π . En el caso de diezmado la respuesta del filtro asegura que el solapamiento es inapreciable en la zona de baja frecuencia.

El módulo de la respuesta en frecuencia mostrado en la figura 3.8 se usa en numerosas ocasiones en diseño de filtros para diezmado e interpolación multietapa. Se emplea en interpolación cuando la transformada de Fourier de la señal es cero o despreciable en el intervalo [ ],απ π , con 0 1α< < . Si este filtro se emplea en diezmado puede producirse solapamiento en dicha banda de frecuencias para la señal diezmada. Sin embargo, sí puede ser aceptable en aplicaciones tales como estimación espectral en la banda [ ]0, απ . Este tipo de especificación se suele usar porque la tipo A conlleva el diseño estricto de filtros paso bajo, y en algunas ocasiones es más restrictivo de lo necesario, sobre todo en las primeras etapas de los diezmadores o en las últimas de los interpoladores. La señal inicial suele tener prácticamente la información en la banda [ ]0, απ , de forma que al diezmarla aparecerá además sólo en determinadas bandas, las que serán eliminadas. El resto de bandas de frecuencia, dadas en la expresión (3.5), son bandas "no importa".

( ) ( )2 2 2 M, =0, 1, ... 12

K KK

M Mα π α π⎡ ⋅ + ⋅ ⋅ + − ⋅ ⎤ ⎢ ⎥ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

(3.5)

Por último, las especificaciones mostradas en la figura 3.9 se denominan tipo C. Se emplea en diezmado cuando se permite el solapamiento sólo en la banda

( )( ), 2M Mπ α π⎡ ⎤−⎣ ⎦ de la señal diezmada, ya que con las especificaciones tipo B dicho solapamiento puede ser excesivo si M es muy grande.

De las figuras observamos que la principal diferencia se encuentra en que la especificación tipo A tiene una sola banda de transición en [ ],M Mαπ π , con 0 1α< < , la respuesta tipo B

contiene múltiples bandas de transición según la expresión (3.5), mientras que la tipo C tiene una banda de transición centrada en Mπ y comprendida en ( )( ), 2M Mαπ α π⎡ ⎤−⎣ ⎦ . La notación

⎣ ⎦p indica el mayor entero menor o igual que p.

3.3 Procedimiento de Diseño Subóptimo

Es un método de realización de filtros multietapa cuando se proporciona la factorización de M o L. Como para ambos casos es similar, se va a desarrollar el caso de diezmado en J etapas empleando un factor M.

Sean las desviaciones de las bandas de paso y eliminadas del sistema total pδ y sδ respectivamente. Es conveniente que todas las etapas tengan los mismos límites de desviación para las bandas de paso y eliminada ( pJδ y sJδ ). En éstas se debe cumplir

( ) ( )1

1 1 1 1J J

p pJ pJ pδ δ δ δ+ = + ⇒ = + − (3.6)

( )( )1

1

ssJ J

Jp

δδ

δ−

=+

(3.7)


En la práctica se suelen cumplir dos condiciones: que el número de etapas es pequeño (J<4) y que 1pδ << . En estos casos se emplean las aproximaciones

ppJ J

δδ ≈ (3.8)

sJ sδ δ≈ (3.9)

Si el módulo de la respuesta en frecuencia de los filtros no debe ser mayor que la unidad, las expresiones indicadas definen las especificaciones para cada etapa. Con éstas, y para una factorización de M dada, la tarea de diseño consiste en elegir la banda de paso y la banda eliminada para cada etapa de forma que el sistema total cumpla las especificaciones iniciales.

La función de sistema se puede expresar como

( ) ( )1

i

J

ii

H z H zΔ

=

= ∏ , (3.10)

con Δ1 1= y Δ i iM M M+ = ⋅ ⋅ ⋅1 1 2 ... con i=1, 2, ..., J. Hay que observar que Δ J M+ =1 y que Δ Δi i iM+ = ⋅1 . La banda eliminada del filtro ideal ( )iH z satisface

,di

i

SBMπ π

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦. (3.11)

El módulo de la respuesta en frecuencia ideal de ( )iiH zΔ tiene múltiples bandas

eliminadas debido al escalado en frecuencia por 1 Δ i . La primera banda eliminada viene expresada por

1

, ,i i i i iMπ π π π

+

⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⋅ Δ Δ Δ Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(3.12)

Puesto que crece con i, sólo la última etapa atenúa en la banda indicada en (3.13), jugando esta etapa un papel muy importante.

1

, , J

J J

MM M

ππ π π

+

⎡ ⎤ ⋅⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ Δ ⎣ ⎦⎣ ⎦ (3.13)

Los requisitos se pueden resumir como se indican a continuación.

• Última etapa (J):

Banda de paso: [ ]0, JMαπ

Banda eliminada:

Tipo A: [ ],JMπ π

Tipo B: ( ) ( ) [ ]2

1

2 , 2 0,

JM

J Jk

k M k Mα π α π π

⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

=

⎡− − + ⎤ ∩⎣ ⎦∪

Tipo C: ( )2 ,JMα π π⎡ − ⎤⎣ ⎦

• Etapas anteriores (i= 1, 2, ... J-1):

Banda de paso: [ ]0, i iMα π


Banda eliminada: ( ) ( ) [ ]2

1

2 , 2 0,

iM

i i i ik

k M k Mα π α π π

⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

=

⎡ − + ⎤ ∩⎣ ⎦∪

definiendo el parámetro iα de forma diferente para cada tipo de especificación:

Tipo A: 1i i Mα += Δ

Tipo B: 1i i Mα α += ⋅ Δ

Tipo C: ( ) 12i i Mα α += − Δ

3.4 Procedimiento de Diseño Óptimo

Este procedimiento indica algunos métodos de optimización de diferentes etapas para filtros FIR e IIR, donde, a diferencia del anterior, no se ha indicado la factorización de M o L. Cuando se desea descomponer un proceso de diezmado o interpolación en diferentes etapas, aparecen diversos problemas. Uno de ellos es el número de etapas J en que se va a realizar. Por otro lado, si J es conocido pueden existir múltiples formas de factorizarlo, obteniéndose resultados de mayor o menor complejidad. Es tarea del diseñador elegir la más eficaz, basándose en criterios de carga computacional, número mínimo de elementos de almacenamiento o comportamiento del sistema cuando se emplea una longitud de palabra finita, entre otros. Es muy útil realizar simulaciones como ayuda para obtener curvas de diseño y comparar los resultados obtenidos.

En este apartado se van a describir brevemente algunos métodos basados en la medida de la complejidad considerando el número medio de multiplicaciones necesarias para calcular cada muestra de salida. La menor relación de multiplicaciones va acompañada de un incremento de la complejidad en el control del sistema, debiendo elegirse de forma equilibrada considerando ambos aspectos. Es el caso de procesado de señales de baja frecuencia (como la voz), donde una reducción de los requisitos computacionales no lleva consigo necesariamente una simplificación del hardware, sobre todo si se emplean procesadores digitales de señal que suelen operar a velocidades considerables con abundantes complementos en la circuitería: multiplicadores, registros de almacenamiento, memoria interna, etc. . Sin embargo, cuando se trabaja con señales de alta frecuencia sí es necesario reducir la carga computacional.

Un método propuesto para obtener sistemas eficientes (Viscito, Allebach, 1988) consiste en variar el número de etapas J, y para cada caso factorizarlo de diferentes maneras, buscando la mejor solución. Así, una vez elegidos los parámetros J y M1, M2, ...MJ se optimiza la repuesta en frecuencia del sistema total siguiendo procedimientos diferentes para filtros FIR e IIR.

• Filtros FIR: se emplea este tipo de sistemas para realizar las J etapas. Si la longitud del filtro i-ésimo es Ni, el número de multiplicaciones por muestra de salida vendrá dado por la expresión (3.14), sin considerar la posible existencia de simetría, pues en este caso se reduciría el número obtenido.

1 1

Ji

FIRi i

N MMPOS= +

⋅=

Δ∑ (3.14)

Para optimizar el sistema total se elige el mejor valor de J y el mejor juego de valores Mi. A su vez, también se puede jugar con los posibles valores Ni en función de las especificaciones de los filtros. Las desviaciones en la banda de paso y eliminada aún se pueden optimizar, pero introduciéndolas como variables proporcionan un grado de complejidad considerable.


• Filtros IIR: el procedimiento es similar al de los filtros FIR. No existen expresiones cerradas cuando se emplean estructuras polifase, por lo que la dificultad debe ser medida directamente sobre el filtro diseñado. Sin embargo, cuando se elige un número de etapas pequeño, sí se puede optimizar las respuestas de los filtros para cada Mi sin excesiva complejidad, sobre todo si se emplean filtros polifase paso-todo.

3.5 Consideraciones Prácticas de Diseño

A la hora de diseñar estructuras multietapa hay que considerar una serie de aspectos:

• El número de etapas más eficiente para realizar el diezmado o la interpolación de forma completa.

• La elección más apropiada de diezmado o interpolación para cada etapa.

• Los tipos de filtros digitales que se deben emplear en cada etapa.

• La estructura del filtro empleada en cada etapa.

• El orden del filtro requerido en cada etapa.

• La cantidad de operaciones, elementos de almacenamiento y unidades de retardo que se necesitan para cada etapa y para la estructura total.

La adecuada selección de los factores anteriores no es un problema simple de solución única. De hecho en la actualidad sólo existen una serie de consejos establecidos y unas estrategias a seguir para obtener el mejor diseño.

3.5.1 Especificaciones del filtro global

Es el punto de partida del diseño. Para la realización de la estructura es necesario especificar los requisitos del filtro total antisolapamiento o antiimágenes. Tanto para diezmado como para interpolación se puede optar por filtros FIR o IIR. Los primeros se emplean más debido a que pueden presentar una respuesta de fase lineal, baja sensibilidad a los efectos de longitud de palabra finita y facilidad de realización, ya que las estructuras que llevan asociados son menos complejas que en los IIR. Para calcular los coeficientes se puede usar cualquier método de diseño.

Si Fs es la frecuencia de muestreo inicial y Fp es la máxima frecuencia de interés de la señal original, para evitar el solapamiento (en diezmado F F Mp s< 2b g) o las imágenes (en interpolación F Fp s< 2 ), los requisitos del filtro total deben cumplir lo indicado en la tabla 3.1. Hay que indicar que en el proceso de interpolación la banda de paso debe tener una ganancia de L para compensar la reducción de amplitud sufrida. Por otro lado, hay procesos en los que sí se permite el solapamiento en las frecuencias superiores de la banda de transición, como se especificaba en la plantilla tipo C. En estos habría que retocar los parámetros indicados en la tabla 3.1.

3.5.2 Requisitos de los filtros de cada etapa

En esta etapa normalmente se indican los esquemas de tolerancias para el filtro, exigiéndose que a la hora de descomponer el diezmador o el interpolador en J etapas cada una de ellas cumpla unos requisitos concretos. Por ejemplo, los parámetros para una etapa diezmadora serían:


Tabla 3.1: requisitos establecidos para el filtro total

REQUISITOS DEL FILTRO DIEZMADO INTERPOLACIÓN

Banda de paso 0 ≤ ≤F Fp 0 ≤ ≤F Fp

Banda eliminada ( )F M F Fs s2 2≤ ≤ F F L Fs s2 2≤ ≤ ⋅

Desviación banda de paso δp δp

Desviación banda eliminada δs δs

Banda de paso: 0 ≤ ≤F Fp

Banda de eliminada: F F M F F ii s i− ≤ ≤ −2 21b g = 1,2,...J

Rizado de la banda de paso: δ p J

Rizado de la banda eliminada: δ s

Orden del filtro: ( )

( ) ( ) ( ),

,p sp s i

i

DN F F

Fδ δ

δ δ∞≈ − ⋅ ΔΔ

(3.15)

con Fi y (ΔFi) la frecuencia de muestreo de salida de la etapa i y la anchura de la banda de transición normalizada con respecto a la frecuencia de muestreo de entrada, respectivamente. Los parámetros D p s∞ δ δ,d i y F p sδ δ,d i se calculan como:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2210 1 10 2 10 3 4 10 5 10 6, log log log log logp s s p p pD a p a a a a aδ δ δ δ δ δ δ∞

⎡ ⎤= ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ +⎣ ⎦ (3.16)

( ) ( )10 10, 11'01217 0'51244 log logp s p sF δ δ δ δ= + ⋅ − (3.17)

a1=5'309·10-3 a2=7'114·10-2

a3=-4'761·10-1 a4=-2'66·10-3

a5=-5'941·10-1 a6=-4'278·10-1

1 1,2,...,ii

FF i JM

−= = (3.18)

En diezmado multietapa, para asegurar que la desviación total de la banda de paso sea δp,

cada etapa debe tener un valor inferior. La δs para cada etapa es la misma aproximadamente que la total, ya que al atravesar la señal cada etapa las componentes de la banda eliminada son cada vez más atenuadas. Además, para asegurar que no existe solapamiento en el proceso total de diezmado, se puede diseñar cada etapa de forma que evite el solapamiento en la banda de frecuencias de interés. Diseñando los filtros en cada etapa cumpliendo los requisitos indicados con anterioridad se asegura que no ocurre solapamiento en la banda de frecuencias deseada.

La longitud de cada uno de los filtros se reduce si se aumenta la anchura de la banda de transición. Diezmando en múltiples etapas se incrementa dicha anchura y se reduce además en cada etapa la relación de muestreo.


3.5.3 Determinación del número de etapas óptimo

El número de etapas óptimo es aquel que conduce a un menor esfuerzo computacional, el cual se puede medir como el número de multiplicaciones por segundo (MPS) o el de requisitos de almacenamiento total (TSR: total storage requirements) para los coeficientes. También, como se ha indicado en el apartado 3.4, existen otros criterios similares. Para un filtro FIR los podemos calcular según

1

J

i ii

MPS N F=

= ⋅∑ , (3.19)

1

J

ii

TSR N=

= ∑ , (3.20)

sin considerar la posible existencia de simetría del filtro y siendo Ni el número de coeficientes para la etapa i. En la práctica el número de etapas no supera a cuatro.

La elección del número de etapas no es trivial. Un método empleado para obtener los factores de interpolación o diezmado consiste en llevar a cabo un problema de diseño definiendo las variables matemáticamente y tratándolas como variables continuas. La función se minimiza y se expresa como una medida analítica de la eficiencia, encontrándose posteriormente la mejor solución para cada valor del número de etapas.

Para un valor de M (diezmado) sólo hay un número limitado de valores posibles. Un algoritmo a seguir para alcanzar una solución aproximada puede ser:

• Especificar los parámetros del filtro total (Fs, M, Fp, δs, δp).

• Para cada valor de J (J=1,2,..., Jmáx) obtener todos los posibles factores de diezmado.

• Para cada juego de factores de diezmado determinar los requisitos del filtro, el MPS y el TSR.

• Para cada valor de J, seleccionar el factor de diezmado dando el diseño más eficiente en términos de requisitos de almacenamiento.

• Seleccionar el más eficiente

3.5.4 Cálculo de los factores de diezmado o de interpolación de cada etapa

El problema de diseño más importante es que existen distintos modos de expresar los factores M o L como un producto de enteros. Para obtener el óptimo factor de diezmado según el MPS o el TSR se debe cumplir (Crochiere, Rabiner, 1983)

1 2 ... JM M M> > > , (3.21)

donde los Mi deberían ser continuos. El problema es que además deben ser factores enteros, y no siempre es posible cumplir la relación indicada.

Para dos etapas de diezmado, los valores óptimos que minimizan el TSR son

( )1 1 2

22 2

optMM

F M F⋅

=− Δ + ⋅ ⋅ Δ

(3.22)


21

optopt

MMM

= , (3.23)

donde ΔF es la anchura de la banda de transición normalizada con respecto a Fs. Para J>2 no se obtienen expresiones simples. Además se cumple que los valores Mi que minimizan los requisitos de almacenamiento también minimizan el MPS. El problema surge cuando a estos valores además se les exige que sean números enteros. La mejor solución se suele obtener inspeccionando los resultados obtenidos. En la práctica, cada Mi se suele elegir como números enteros pequeños.

Puede ocurrir incluso que la mejor solución tenga incluso un filtro de orden excesivo para una de sus etapas. Incrementándose el número de etapas se puede reducir la complejidad de uno de sus filtros a costa de aumentar ligeramente la longitud de los filtros restantes, siendo los más adecuado para el resultado final.

3.5.5 Diseño del filtro para cada etapa

En esta última etapa se procede al diseño específico de cada filtro. Para ello, y como se verá en los siguientes capítulos, se podrán emplear diversos métodos. Entre los más utilizados se encuentran los métodos de la ventana o el método de Parks-McClellan. Sin embargo, hay procedimientos de diseño específicos para este tipo de realizaciones.

Por ejemplo, cuando la relación total de interpolación o diezmado es potencia de dos se pueden usar filtros de media banda con relaciones de diezmado o interpolación de 2 en todas las etapas con la posible excepción de la última. Estos filtros tienen como ventaja que aproximadamente la mitad de los coeficientes son nulos, y además, al aparecer etapas repetitivas son fácilmente realizables con arquitecturas pipeline.

Otro criterio de diseño combina, si es posible, el uso de filtros peine simples en las etapas iniciales de los diezmadores (o finales de los interpoladores) multietapa seguidos de filtros de media banda y otros filtros especiales. En este caso se trata de emplear un gran número de etapas para producir un gran cambio en la frecuencia de muestreo y usar sencillos filtros FIR de fase lineal cuando se pueda. Se emplean en especificaciones de diseño que exigen mucho rizado y para arquitecturas donde la realización de multiplicaciones sea mucho más costoso que los desplazamientos o las sumas.

Es muy importante evaluar también en el diseño si es viable el coste que supone controlar y diseñar las nuevas estructuras de etapas múltiples. Es un problema de difícil respuesta pero que, en función de los resultados obtenidos en un diseño concreto, nos animarán a emplear estas nuevas estructuras. Se ha de contar con que siempre se podrá optar por un diseño más simple, según se ha visto en el capítulo anterior, ya que el hecho de usar dos o más etapas en numerosas ocasiones no conlleva una reducción considerable de la complejidad.


4. Filtros Especiales

4.1 Filtros de Media Banda

Un filtro de media banda de fase cero presenta una respuesta al impulso que satisface la expresión (4.1), donde normalmente la constante c se suele tomar como 0'5. Son filtros cuyas muestras de orden par (excepto n=0) son nulas.

[ ]⎩⎨⎧

±±==

=,...4,20

0nnc

nh (4.1)

El término media banda especifica funciones de sistema de la forma (4.2), y si la función de sistema ( )H z se puede descomponer como dos términos polifase, la primera componente

( )0E z es constante de valor c (4.3). Estos filtros cumplen la igualdad indicada en (4.4). Si ( )H z es un filtro paso bajo, ( )H z− caracterizará a un sistema paso alto.

( ) ( )21 zTzczH −+= (4.2)

( ) ( )21

1 zEzczH −+= (4.3)

( ) ( ) czHzH 2=−+ (4.4)

Por tanto, los filtros FIR de media banda de fase cero y con coeficientes reales deben satisfacer la relación (4.5), suponiendo c=0'5. Esto significa que tenemos simetría con respecto a la banda de frecuencias que llega hasta π/2, estando las pulsaciones de corte de las bandas de paso y eliminada ωp y ωs equidistantes de dicho punto. Además, las desviaciones de las bandas de paso y eliminada δp y δs suelen coincidir.

( ) ( )( ) 1=+ −ωπω jj eHeH (4.5)

La condición de los coeficientes nulos (4.1) si el número de muestra es par (excepto en el origen) puede conducirnos a realizaciones eficientes donde se reduzca el número de operaciones necesarias para el cálculo de la salida.

Para obtener filtros FIR de media banda simétricos los métodos que más se emplean son el de la ventana y el método de Parks-McClellan. Si se desean construir filtros con respuesta en frecuencia máximamente plana, los coeficientes de número de muestra impar del filtro de longitud 2K pueden calcularse según se indica en la expresión (4.7) [Gum78].

]12[][][1 +== nhntnh (4.6)

( ) ( )

( ) ( ) ( )nnKnK

iKnh

K

i

Kn

−+−−

−+−=

∏=

+

21!1!

211][

2

11 (4.7)

Los métodos de diseño de filtros IIR de media banda son bastante más complicados. Se suelen simplificar cuando ( )2T z es un sistema paso todo con polos en el eje imaginario (4.8). En este caso, si se exige un módulo de la respuesta en frecuencia con característica máximamente plana los coeficientes iα vendrán especificados por la expresión (4.9).


( ) ∏=

−

−

⋅++

=L

i i

i

zzzT

12

22

1 αα (4.8)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

12cot2

Li

iπα (4.9)

Si los filtros IIR deben tener una característica de rizado constante el procedimiento de diseño propuesto en [Ans85] es el que sigue :

• Dadas la desviación de la banda de paso y eliminada δp y δs, se calcula δ según

{ }22,min pps δδδδ −= (4.10)

• Calcular los valores de k y k' como

( ) 22 1'2tan kkk p −== ω (4.11)

• Obtener p y q de las expresiones (4.12) y (4.13).

( )'12'1

kkp

+−

= (4.12)

1395 150152 ppppq +++≈ (4.13)

• Estimar el orden del filtro según1

( )( )( ) Oq

L ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=+

ln14ln212

22 δδ (4.14)

• Calcular las frecuencias extremas iΩ y obtener el valor de ri a partir de

( )( )kkr iii22 11 Ω−Ω⋅−= (4.15)

• Encontrar los coeficientes siguientes.

( )( ) Li

i

ii ,...2,1

cos1cos1

=+−

=θθα (4.16)

( ) ( )2

1

11cos

i

ii

ir

Ω+⋅−

=+

θ (4.17)

Los filtros de media banda son, en particular aprovechables como filtros paso bajo con frecuencia de corte ωc a π/2. Además se emplean cuando el factor de diezmado o interpolación es dos (como suele ocurrir al realizar la transformada de Wavelet), siendo también ampliamente utilizados en bancos de filtros.

1[ ]O significa el entero impar más pequeño igual o superior al argumento


4.2 Filtros de 1/M de Banda

Un filtro de 1/M de banda es una extensión de un filtro de media banda. Uno de fase cero se define un filtro FIR cuya respuesta al impulso satisface

[ ]⎩⎨⎧

≠=

=000

nnc

Mnh (4.18)

La constante c se toma como 1/M. Los filtros que cumplen dicha expresión se dice que cumplen la propiedad de Nyquist (M). Si se representa ( )H z en función de M componentes polifase, y puesto que se sigue satisfaciendo que ( )0E z c= , se tiene

( ) ( ) ( ) ( ) ( )MM

MMM zEzzEzzEzczH 11

22

11 ... −

−−−− ++++= (4.19)

Con ( )0E z c= , sabiendo que se cumple la relación

( )∑−

=

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1

00

2M

k

MkM

jzMEzeH

π

, (4.20)

el sumatorio se reduce a

zMczeHM

k

kM

j∀=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑

−

=

−1

0

2π

(4.21)

En la mayoría de las aplicaciones, como en diseño de filtros para interpolación o el de filtros multinivel, el filtro de 1/M de banda debe ser un paso bajo que tenga fase lineal y pulsación de corte π/M. El procedimiento de diseño más simple que garantiza la propiedad de 1/M de banda es el método de la ventana, en la cual los coeficientes de [ ]h n se obtienen como

[ ] ( )( ) [ ]nwn

Mnsennh ⋅=ππ . (4.22)

La función [ ]w n es la ventana. Si es la de Kaiser, se puede elegir cualquier atenuación deseada en la banda de paso y de transición variando el parámetro β. La ventaja que proporciona el método de la ventana es que la definición impuesta para el filtro de 1/M de banda (4.18) se satisface plenamente, ya que la función ( )( ) ( )sen n M nπ π obtenida es cero cuando n es simultáneamente distinta de cero y múltiplo de M. El problema es que los filtros diseñados no son óptimos en ningún sentido.

Un conjunto de funciones de transferencia son estrictamente complementarias si la suma de todas ellas es un retardo:

( ) 01

0≠= −

−

=∑ cczzH onM

kk (4.23)

Un ejemplo de esto es H z H ze k Mk

jM

kb g =FHG

IKJ ≤ ≤ −

−2

0 1π

, donde ( )H z es un filtro de 1/M

de banda. Si dividimos la señal [ ]x n en M subbandas empleando un conjunto de filtros, entonces las señales subbanda pueden ser simplemente sumadas para obtener la señal original sin distorsión, pero con un posible retardo.


Por otro lado, un conjunto de M funciones de transferencia son complementarias en potencia (PC) si satisfacen

( ) ceHM

k

jk =∑

−

=

1

0

2ω , (4.24)

donde c es una constante distinta de cero.

Un conjunto de funciones de transferencia son complementarias paso todo (AC) si cumplen

( ) ( )zAzHM

kk =∑

−

=

1

0

, (4.25)

donde ( )A z es una función paso-todo. Un conjunto de funciones de transferencia son doblemente complementarias (DC) si son AC y PC.

Los filtros de 1/M de banda son idealmente buenos como filtros para interpolación, ya que la entrada a un filtro para interpolación tiene M-1 ceros entre muestras adyacentes distintas de cero (con L=M), y que el propósito de ( )H z es rellenar estos valores nulos con una suma ponderada de muestras no nulas. Claramente, es deseable rellenar estas muestras con las originales de la señal, sin que existan cambios. Esto se cumple si [ ]h n es un filtro de 1/M de banda.

4.3 Filtros FIR Interpolados (IFIR)

Estos sistemas se emplean para diseñar de forma eficiente filtros FIR de banda estrecha. Para explicar el método de construcción vamos a suponer que se pretende diseñar el filtro paso bajo

( )H z de la figura 4.1. Las especificaciones de partida son:

Frecuencia de corte de la banda de paso: 47 Hz

Frecuencia de corte de la banda eliminada: 50 Hz

Atenuación mínima de la banda eliminada: 40 dB

Desviación de la banda de paso: 0'05

Frecuencia de muestreo: 250 Hz

El orden requerido para este filtro es 123. La figura 4.2 representa el módulo de la respuesta en frecuencia de otro filtro ( )G z , denominado modelo, y que es una versión extendida del anterior. El orden requerido para su realización es de 71.

En la figura 4.3 nos encontramos con el módulo de la respuesta en frecuencia del filtro cuya función de sistema es ( )2G z . Este tiene dos bandas de paso, de las cuales la que está

próxima al origen es similar a la del filtro deseado ( )H z y es la única de interés. Para suprimir la restante se puede colocar en cascada el sistema ( )I z cuyo módulo de la respuesta en frecuencia se muestra en la figura 4.4. A éste se le suele denominar filtro interpolador o filtro supresor de imágenes.


0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

frecuencia normalizada

ampl

itud

figura 4.1: módulo de la respuesta en frecuencia del filtro deseado

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


ampl

itud

figura 4.2: módulo de la respuesta en frecuencia del filtro modelo

0 6

0.8

1

1.2

litud

figura 4.3: módulo de la respuesta en frecuencia de G(z2)


0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


ampl

itud

figura 4.4: módulo de la respuesta en frecuencia del filtro supresor de imágenes.

figura 4.5: diagrama de bloques propuesto para el sistema IFIR.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


ampl

itud

figura 4.6: módulo de la respuesta en frecuencia del sistema equivalente total.

El módulo de la respuesta en frecuencia del sistema equivalente a ( )H z diseñado con el sistema IFIR se encuentra representada en la figura 4.6. El número de multiplicadores requerido para este último es 72+16=88, frente a los 124 necesarios en el inicial. Con respecto al número de sumadores, la cifra asciende en el diseño directo a 123, mientras que con el sistema IFIR son 71+15=86.

Si δp=0.05 es el rizado inicial de la banda de paso, para realizar un ajuste en las dos etapas se ha exigido que en cada una de ellas (para ( )I z y ( )2G z ) el valor no sobrepase δp/2, garantizando así los requisitos del sistema.


figura 4.7: diagrama de bloques extendido a M bandas para el sistema IFIR.

figura 4.8: realización de un filtro para diezmado empleando la aproximación IFIR.

Se puede llevar a cabo una extensión para diseños multietapa, o también en sistemas que presentan M-1 imágenes (figura 4.7). Si este filtro diseñado se va a emplear para una etapa de diezmado, aplicando las identidades Noble se puede obtener una realización eficiente como se muestra en la figura 4.8.

38

2 Bancos de Filtros de Diezmado Máximo

2.0 Introducción

Los bancos de filtros de M canales de diezmado máximo con estructura en paralelo, son sistemas que principalmente se destinan a aplicaciones de descomposición subbanda para codificación, almacenamiento y/o transmisión de señales, así como para multiplexación en los dominios de la frecuencia y del tiempo. Estos bancos de filtros constan de una etapa de análisis y otra de síntesis. El banco de análisis separa la señal de entrada en subbandas empleando un conjunto de filtros. La información más importante se extrae de dichas señales subbanda en un bloque intermedio de procesamiento, cuya forma depende de la aplicación. Del mismo modo, el banco de síntesis reconstruye la señal de salida a partir de las señales subbanda procesadas mediante un conjunto de filtros conectados en paralelo. Las características de estos filtros dependen de las aplicaciones y del problema que se pretenda resolver.

2.0.1 Trabajos Previos

El esquema básico de descomposición subbanda fue inicialmente introducido en [Cro76], donde se muestra un esquema de descomposición subbanda mediante un sistema de análisis/síntesis. Este trabajo permitió a otros investigadores desarrollar métodos y técnicas que inicialmente sólo permitían la reconstrucción aproximada de la señal de entrada. Nussbaumer propuso un método de obtener bancos de filtros basándose en un esquema de modulación coseno, de forma que se producía una cancelación de las componentes más significativas del solapamiento [Nus81].

La teoría general de reconstrucción perfecta para el caso de 2 y M canales ha sido desarrollada por un gran número de autores. Smith y Barnwell [Smi86] y Mintzer [Min85] presentaron por separado la teoría de los bancos de filtros ortogonales de dos canales con la característica de reconstrucción perfecta. Estos métodos de diseño se basan en la selección de determinados ceros de la función del sistema de un filtro de media banda inicial. Sin embargo,

Bancos de Filtros de Diezmado Máximo 39

cuando este filtro de media banda es de orden elevado, la distribución de ceros puede traer consigo graves problemas numéricos. La generalización a los bancos de filtros de M canales, fue desarrollada por Vetterli [Vet86] y Vaidyanathan [Vai87b]. Ambos demostraron independientemente, que el uso de componentes polifase permite simplificar considerablemente la teoría de diseño. De hecho, en [Vai87b, Vai87c] se desarrolló una técnica basada en las matrices polifase para diseñar sistemas de reconstrucción perfecta paraunitarios.

La paraunitariedad es una propiedad muy interesante para el diseño de bancos de filtros de M canales, ya que en el proceso de diseño no es necesario invertir matrices y si los filtros de análisis son FIR, los de síntesis también son FIR de igual longitud. Además, si se emplean estructuras en cascada para realizar los filtros, se puede mantener la propiedad de reconstrucción perfecta aún cuando se lleve a cabo un proceso de cuantificación en los coeficientes del filtro. Estas ideas de paraunitariedad y sin pérdidas, fueron tomadas de la teoría clásica de redes eléctricas y han sido aplicadas al diseño de estructuras de filtros digitales robustos [Vai84, Vai85a, Vai85b]. Posteriormente, se aplicaron las matrices de transferencia paraunitarias al diseño de sistemas de reconstrucción perfecta [Vai87b, Vai87c]. Además, los sistemas paraunitarios se han empleado para diseñar bancos de filtros coseno modulado, que ofrecen gran simplicidad en el diseño y en la realización [Mal90b, Koi91, Ram91].

Otros métodos alternativos de diseño incluyen la aproximación con estructuras en celosía [Vai88a, Ngu89], la aproximación en el dominio del tiempo [Nay92] y la aproximación por mínimos cuadrados con restricciones cuadráticas [Ngu93].

2.0.2 Organización del Capítulo

En este capítulo sólo se va a estudiar la teoría básica del diseño de bancos de filtros de M canales de diezmado máximo y estructura en paralelo. En el primer punto se muestra la relación entrada salida de este tipo de sistemas y se lleva a cabo una clasificación de los anteriores, basándonos en la semejanza entre la señal de salida y la original.

El siguiente apartado del capítulo se dedica a los bancos de filtros de dos canales y se analiza alguna solución propuesta por diversos autores para que el sistema presente la propiedad PR. El diseño de bancos de 2 canales es un problema bien resuelto, dónde las soluciones obtenidas son relativamente asequibles. Sin embargo, cuando se analizan los sistemas de M canales, se comprueba que su diseño resulta más complicado, especialmente al poder necesitar llevar a cabo la inversión de matrices, que o bien, puede no ser realizable, o bien, puede conducir a sistemas inestables o de elevada longitud. Para evitar lo anterior se pueden emplear sistemas paraunitarios.

2.1 Relación Entrada Salida en un Banco de Filtros

Un banco de filtros de M canales de diezmado máximo [Str96, Vai93] con estructura en paralelo (figura 2.1), se compone de una etapa de análisis y otra de síntesis. El banco de análisis consta de M filtros ( )( )kH z que realizan una separación uniforme de la señal de entrada en M bandas de frecuencia para su tratamiento en una etapa intermedia. Una aplicación habitual en esta etapa, es la codificación de las señales diezmadas [ ]kv n , almacenando y/o transmitiendo a continuación las señales resultantes. La aplicación concreta de la etapa intermedia puede afectar al diseño de los filtros del banco. Por ejemplo, en codificación subbanda de señales de voz, los filtros FIR que se emplean tienen longitudes muy superiores al número de bandas que aparecen


en el banco y particularmente, cuando el número de bandas es pequeño, mientras que en codificación de imágenes, se prefieren filtros de una longitud inferior para evitar los efectos de borde.

A la entrada del banco de síntesis se tiene una representación aproximada [ ]'kv n de la

señal original [ ]kv n codificada. El error [ ] [ ]'k kv n v n− es una distorsión no lineal que se denomina

error de cuantificación subbanda. El estudio y modelado de este error de cuantificación subbanda es analizado con detalle en el apéndice C de [Vai93] y desarrollado por diversos autores [Vai98, Kir98a, Kir 98b]. En este trabajo se ignorará dicho error, asumiendo que [ ] [ ]'

k kv n v n= .

A partir de dichas señales subbanda procesadas, el banco de síntesis ( )( )kF z lleva a cabo la reconstrucción de la señal original. La respuesta impulsiva en la asociación en cascada de los filtros de análisis y de síntesis debe ser una delta desplazada, de modo que los errores se deban sólo al ruido de cuantificación.

fig. 2.1: banco de filtros de M canales de diezmado máximo.

Se va a considerar un sistema ideal en el que no hay ningún bloque de procesamiento entre los bancos de análisis y de síntesis. Para obtener la relación entre las señales de entrada y salida de un banco de filtros de M canales, se definen previamente las matrices del banco de análisis ( )zh , de modulación de los bancos de análisis ( )zH y de síntesis ( )zF , de las componentes de la señal de entrada ( )zX y el vector del banco de síntesis ( )zf :

( )

( )( )

( )( )1

M

MM

X zX zW

z

X zW −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

X ( )

( )( )

( )

0

1

1M

H zH z

z

H z−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

h

( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

10 0 0

11 1 1

11 1 1

MM M

MM M

MM M M M M

H z H zW H zW

H z H zW H zWz

H z H zW H zW

−

−

−− − −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

H


( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

0 1 1

0 1 1

1 1 10 1 1

M

M M M M

M M MM M M M

F z F z F zF zW F zW F zW

z

F zW F zW F zW

−

−

− − −−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

F

( ) ( ) ( ) ( )0 1 1Mz F z F z F z−= ⎡ ⎤⎣ ⎦f

2.1.1 Banco de filtros de análisis

La figura 2.2 muestra un banco de filtros de análisis de M canales. Este banco de filtros constará de M filtros individuales uniformemente distribuidos en frecuencia con el mismo ancho de banda. El espectro de la señal de entrada ( )X z puede ocupar el rango de frecuencias

πω ≤≤0 . El banco de filtros descompone este espectro en un conjunto de subespectros adyacentes, todos con un ancho de banda Mπ .

fig. 2.2: banco de análisis de M canales.

El filtro ( )0H z es paso bajo, los filtros de ( )1H z a ( )2MH z− son paso banda y ( )1MH z− es paso alto. Se asume que todas las señales de entrada y las respuestas al impulso de los filtros son reales. Puesto que el ancho de banda de las señales filtradas es aproximadamente Mπ , la relación de muestreo después del filtrado, se puede reducir por un factor M.

( ) ( ) ( ) ( )1

1 1

0

1 0,1,2, , 1M

M k M ki i M M

kV z H z W X z W i M

M

−

=

= ⋅ = −∑ … (2.1)

La expresión (2.1) se puede escribir en forma matricial como:

( ) ( ) ( )1 11z z zM

= ⋅ ⋅iV H XM M

donde la matriz de las señales subbanda es:


( )

( )( )

( )

0

1

1

i

M

V zV z

z

V z−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

V

Si el factor de diezmado es el mismo que el número de canales M, se denomina banco de análisis críticamente muestreado. En este caso, el número total de valores muestreados por unidad de tiempo de todas las subbandas de manera conjunta es el mismo que el número de muestras por unidad de tiempo de la señal de entrada [ ]x n .

2.1.2 Banco de filtros de síntesis

El dual del banco de filtros de análisis de M canales es el banco de filtros de síntesis de M canales de la figura 2.3. Los filtros de ( )0F z a ( )1MF z− tienen básicamente las mismas características que los filtros de análisis de ( )0H z a ( )1MH z− .

fig. 2.3: banco de síntesis de M canales.

Intercalando ceros en las señales ( )iV z se producen las señales ( )MV zi , con i=0, 1, ..., M-1. Estas

son filtradas por ( )kF z y finalmente sumadas todas ellas para obtener la señal de salida:

( ) ( ) ( )1

0

ˆM

Mk k

kX z F z V z

−

=

= ⋅∑

Esta expresión se puede escribir como

( ) ( ) ( )ˆ MiX z z z= ⋅f V

2.1.3 Banco de Filtros de Diezmado Máximo

Si se combina un banco de filtros de análisis con otro de filtros de síntesis, se obtiene un banco de filtros de M canales como el de la figura 2.1. El banco de filtros de análisis separa la señal de entrada ( )X z en M señales subbanda ( )1X z , ( )2X z , ..., ( )1MX z− de igual ancho de banda. Estas se pueden codificar, almacenar y/o transmitir. Finalmente, el banco de filtros de síntesis se emplea para conformar la señal de salida ( )X z , la cual -si no existiera procesado intermedio- se debería aproximar a la señal de entrada ( )X z tanto como fuese posible.


Vamos a analizar el banco de filtros para establecer la relación entrada salida y las condiciones para que el sistema esté libre de solapamiento e incluso sea de reconstrucción perfecta.

Las versiones moduladas de la señal de salida se pueden calcular como:

( ) ( ) ( ) ( )ˆ 0,1,2, , 1i i MM M iX zW zW z i M= ⋅ = −f V (2.2)

Agrupando todas ellas, se puede obtener la matriz de modulación de la señal de salida:

( ) ( ) ( ) ( )( )1ˆ ˆ ˆ ˆ TM

M Mz X z X zW X zW −⎡ ⎤= ⎣ ⎦X

De (2.2), se tiene que:

( ) ( ) ( )ˆ Miz z z= ⋅X F V

Sustituyendo la matriz ( )Mi zV de las señales subbanda, se obtiene la relación entre las señales de

entrada y de salida en el banco de filtros:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1ˆ z z z z z zM

= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅X F H X T X

La matriz de transferencia ( )zT es el producto de la matriz de modulación del banco de filtros de síntesis y la matriz de modulación del banco de filtros de análisis. Esta matriz de transferencia relaciona la señal de entrada ( )X z y todas sus réplicas desplazadas en frecuencia, con la señal de salida ( )X z y sus réplicas desplazadas. Cada elemento de la matriz ( )zT se obtiene como

( ) ( ) ( )1

1 1,

0

1 1 ,M

t rt r k M k M

kT z F zW H zW t r M

M

−− −

=

= ⋅ ⋅ ≤ ≤∑

Las componentes más importantes son las de la primera fila que denominaremos ( )zt (vector de dimensiones 1 M× ). Las componentes de este vector son las que realmente relacionan la señal de entrada ( )X z con la de salida ( )X z . La notación para estas componentes, por defecto, será la que sigue:

( ) ( ) ( )1,

0,1, , 11,2, ,r

MT z T z

r M⎧ = −

= ⎨=⎩

2.1.4 Función Distorsión y Función Solapamiento

La matriz de transferencia ( )zT relaciona la matriz de modulación ( )ˆ zX en la salida del banco de filtros con la matriz ( )zX en la entrada. La primera fila de la matriz ( )zt proporciona la señal de salida ( )X z :


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1

0 0 0 0

1ˆ

1 1M M M M

k k M M k k M Mk k

X z z z z z zM

F z H zW X zW F z H zW X zWM M

− − − −

= = = =

= ⋅ ⋅ = ⋅ =

⎡ ⎤= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥

⎣ ⎦∑ ∑ ∑ ∑

f H X Xt

La señal de salida ( )X z depende de la señal original de entrada ( )X z y de sus componentes de solapamiento ( )MX zW , con ( )1,2, , 1M= − .

( ) ( ) ( )1

0

ˆM

MX z T z X zW−

=

= ⋅∑

( )0T z es la función de transferencia de distorsión global [Str96] y las ( )T z , con ( )1 1M≤ ≤ − , representan las funciones de transferencia debidas a las componentes de

solapamiento ( )MX zW . Ambas se definen en las expresiones (2.3) y (2.4) respectivamente, donde

( )k zH representa la columna k-ésima de la matriz de modulación ( )zH .

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

00

1 1M

k kk

T z F z H z z zM M

−

=

= = ⋅ ⋅∑ f h (2.3)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

10

1 1 1 1M

k k Mk

T z F z H zW z z MM M

−

+=

= = ⋅ ⋅ ≤ ≤ −∑ f H (2.4)

2.1.5 Errores Generados en el Banco de Filtros

Partiendo de un entorno ideal en el que no existe la etapa intermedia de procesamiento, en la salida se pueden encontrar los siguientes errores:

• Distorsión de Amplitud. Este error está presente cuando el módulo de la respuesta en frecuencia de la función de transferencia de distorsión total ( )0

jT e ω no es constante, con el mismo valor para toda la banda de frecuencias, es decir:

( )0jT e c cω +≠ ∈ℜ

• Distorsión de fase. Aparece cuando la función de fase de la respuesta en frecuencia de la función de distorsión total ( )0T z no es lineal.

• Solapamiento. Debido al proceso de filtrado y diezmado producido en el banco de análisis, en la salida de una determinada subbanda del banco de síntesis pueden aparecer componentes de la señal que pertenecen a otra banda distinta de la considerada. Se puede afirmar la presencia de solapamiento en el sistema cuando para cualquier valor de , con ( )1 1M≤ ≤ − , se cumple que ( ) 0T z ≠ . Es decir, el banco de filtros está libre de componentes de solapamiento en la salida si y solo si la matriz ( )zT es diagonal y tiene la forma

( ) ( ) ( ) ( )( ){ }10 0 0

MM Mz diag T z T zW T zW −=T


En relación con los tres errores anteriores pueden distinguirse dos grandes grupos de bancos de filtros:

1. Bancos de filtros de reconstrucción perfecta (PR). Se caracterizan por la ausencia total de distorsión y solapamiento. Para ello debe cumplirse que ( )0T z represente un retardo puro en el dominio del tiempo y que todas las funciones ( )T z sean nulas [Vai93, Str96, Fli94].

2. Bancos de filtros pseudo-QMF. Surgen como alternativa a los sistemas de reconstrucción perfecta para soslayar las grandes dificultades que éstos presentan en la fase de diseño. Las dificultades se reducen considerablemente, si se elimina totalmente alguno de los errores, pero se tolera un valor mínimo, aunque no nulo, en los restantes. Por ejemplo, los bancos de filtros coseno modulado pseudo-QMF próximos a la reconstrucción perfecta ("Near Perfect Reconstruction") [Ngu94] no presentan distorsión de amplitud ni de fase y el error de solapamiento es comparable con el valor de la ganancia en la banda atenuada del módulo de la respuesta en frecuencia del filtro prototipo.

2.2 Bancos de Filtros de Dos Canales

El sistema de la figura 2.4 se corresponde con un banco de filtros de 2 canales con estructura en paralelo:

fig. 2.4: banco de filtros de 2 canales de diezmado máximo.

La relación en el dominio z entre la señal de salida [ ]x n y la de entrada [ ]x n es:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 1 1 0 0 1 11 12 2

X z H z F z H z F z X z H z F z H z F z X z∧

= ⎡ ⋅ + ⋅ ⎤ ⋅ + ⎡ − ⋅ + − ⋅ ⎤ ⋅ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1X z T z X z T z X z∧

= ⋅ + ⋅ − (2.5)

Un sistema de reconstrucción perfecta (PR) debe cumplir que [ ] [ ]0x n c x n n= ⋅ − , pero ello implica la supresión de los errores de solapamiento, distorsión de amplitud y distorsión de fase. Vamos a estudiar soluciones para suprimir aisladamente cada uno de estos errores.

• Solapamiento (AL):

El solapamiento en la salida se debe a la componente de ( )X z− . Para eliminar este error se debe cumplir que


( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 1 11 02

T z H z F z H z F z= ⋅ ⎡ − ⋅ + − ⋅ ⎤ =⎣ ⎦

Este resultado se alcanza si se satisface la siguiente relación:

( )( )

( )( )

0 1

1 0

F z H zF z H z

−= −

−

Se pueden encontrar diferentes soluciones. Una de las más habituales consiste en elegir los filtros de síntesis de manera que:

( ) ( ) ( ) ( )0 1 1 02 2F z H z y F z H z= − = − − (2.6)

Se pueden definir los filtros ( )0P z y ( )1P z que van a servir posteriormente para la realización de sistemas de reconstrucción perfecta:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

0 0 0

1 1 1

P z F z H z

P z F z H z

= ⋅

= ⋅

Si se elimina el solapamiento con la solución (2.6), se cumple que:

( ) ( ) ( ) ( )1 0 1 02P z H z H z P z= − ⋅ − ⋅ = − −

Si no existe solapamiento, la relación entre las señales de entrada y de salida del banco de filtros de dos canales es:

( ) ( ) ( )0X z T z X z∧

= ⋅

con

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )0 0 0 1 1 0 1 0 01 1 12 2 2

T z H z F z H z F z P z P z P z P z= ⋅ ⎡ ⋅ + ⋅ ⎤ = ⋅ + = ⋅ − −⎣ ⎦

En este caso, el sistema lineal variante en el tiempo (LTV), puede ser considerado LTI cuya función de sistema es ( )0T z , de manera que si ( )0T z no es paso todo, existe distorsión de amplitud (AMD), y si ( )0T z no es de fase lineal, existe distorsión de fase (PHD).

• Distorsión de fase (PHD).

Los filtros especulares en cuadratura (QMF) introducidos en [Est77] aportaron una primera solución para la supresión conjunta del solapamiento y de la distorsión de fase. Partiendo de un filtro prototipo paso bajo ( )H z , los restantes cuatro filtros se obtienen como

( ) ( )0H z H z= (2.7)

( ) ( )1H z H z= − (2.8)

( ) ( )0 2F z H z= (2.9)


( ) ( )1 2F z H z= − − (2.10)

El filtro ( )H z− es paso alto si ( )H z es paso bajo. Sustituyendo estas expresiones en (2.5) se satisface la condición ( )1 0T z = , es decir, las componentes de solapamiento se cancelan unas a otras. Cabe destacar de este resultado, que el teorema de muestreo no se respeta en ninguno de los canales del banco de filtros, pero sí se satisface en el banco de filtros en su conjunto. La función de distorsión resulta en este caso:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 20 0 1 1 0T z H z H z H z H z H z H z⎡ ⎤= ⎡ ⋅ − − ⋅ − ⎤ = − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (2.11)

Si ( )H z es FIR de fase lineal, ( )0T z también lo es y se elimina la PHD. Además, dicho filtro ( )H z tiene que ser de fase lineal tipo II. El razonamiento es el que sigue.

Por un lado, si es paso bajo, se descarta la antisimetría en el filtro, es decir, se debe satisfacer que [ ] [ ]1h n h N n= − − . Entonces, su respuesta en frecuencia se puede expresar:

( )( )

( )1

2N

jj jH e e A eωω ω

−−

= ⋅

donde ( )jA e ω es la función de amplitud, real para todo ω. Sustituyendo la anterior en (2.11), y

sabiendo que ( )jH e ω es una función par, se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )11 2 20 1 Nj N jj jT e e A e A eω π ωω ω −− − −= ⋅ − − ⋅

Si el filtro ( )H z es paso bajo y de orden (N-1) par, la función ( )0jT e ω se haría nula en

2πω = , e introduciría una gran atenuación a dicha pulsación. Esto obliga a que (N-1) sea impar, de modo que se cumpla que:

( ) ( ) ( ) ( )( )( )1 2 20

j N jj jT e e A e A eω π ωω ω− − −= ⋅ +

• Distorsión de amplitud (AMD).

Es posible cumplir el objetivo de eliminar los errores AL y AMD, minimizando la PHD con un igualador paso todo. Para ello, también se podría realizar la misma elección del sistema QMF (2.7-2.8). Entonces se cumple que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 2 20 0 0 0 12T z H z H z z E z E z−⎡ ⎤= − − = ⋅ ⋅ ⋅⎣ ⎦

Si los sistemas ( )0E z y ( )1E z son IIR paso todo, la función distorsión ( )0T z es también paso-todo. Las respuestas de fase de ( )0E z y ( )1E z determinan la distorsión de fase, que se puede reducir mediante una igualación con un sistema posterior. En [Vai93] se abordan diferentes diseños como los anteriores, en los que el filtro ( )0H z proviene de prototipos según las aproximaciones de Butterworth, Chebyshev o elíptica.


• Optimización numérica.

Además de las técnicas comentadas con anterioridad, en [Joh80] y [Jai83] se proporcionan otros métodos de diseño de filtros, que para una longitud de filtro predeterminada N, se consigue de manera simultánea hacer máxima la atenuación de la banda eliminada y mínimo el error de reconstrucción.

Normalmente, cuando se emplean técnicas de optimización numérica, se utiliza una función objetivo cuyo error viene establecido del siguiente modo:

r sE E Eα= + ⋅

Éste tiene en consideración el error de reconstrucción rE

( ) ( )( ) 22

02 1jj

rE H e H e dπ ω πω

ωω−

=

⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠∫

y el error sE de la banda eliminada, que considera el módulo de la respuesta en frecuencia de valor finito en la banda eliminada πωω ≤≤c

( ) 22

c

jsE H e d

π ω

ω ωω

== ∫

donde:

1 24cω π⎛ ⎞= + Δ ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

El parámetro α es un factor de ponderación, que permite modificar la importancia relativa de las dos fuentes de error. Para obtener una selectividad máxima, la pulsación de corte

cω debe estar lo más próxima posible al centro de la banda 2c πω = , o de manera análoga, el valor Δ debe ser tan pequeño como sea posible.

En [Cro83] se publican una serie de listados de filtros prototipos FIR que han sido optimizados en este sentido.

Aunque estos filtros QMF numéricamente optimizados no conducen a la reconstrucción perfecta, proporcionan buenas soluciones en cuanto a la realización práctica del sistema. Los errores de reconstrucción se pueden hacer mínimos incrementando la longitud del filtro. Además, en gran cantidad de aplicaciones es admisible un error pequeño.

2.2.1 Bancos de Filtros de Reconstrucción Perfecta

Empleando las técnicas apropiadas, es posible realizar bancos de filtros en los que la señal de salida es una réplica exacta (salvo un retardo) de la señal de entrada. Éstos se denominan bancos de filtros de reconstrucción perfecta. Veamos las condiciones necesarias para que se cumpla la citada propiedad.

La relación entrada salida del banco de dos canales se puede expresar de forma matricial como sigue:

( )( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )

0 1 0 0

0 1 1 1

ˆ 1ˆ 2X z F z F z H z H z X z

F z F z H z H z X zX z

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ − ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −−⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦


( ) ( ) ( ) ( )12

z z z z∧

= ⋅ ⋅ ⋅X F H X (2.12)

La propiedad de reconstrucción perfecta requiere que la señal de salida sea la de entrada retardada. Es decir, es necesario que se cumpla:

( ) ( )( ) ( )

( )( )

0

0

ˆ 0ˆˆ 0

n

n

zX z X zz

X zX z z

−

−

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−− −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

X (2.13)

De esta manera, la señal de entrada aparece en la salida inalterada en amplitud y fase y sin componentes de solapamiento, después de un retardo finito. La anterior expresión es equivalente a:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

0

0

0 1 0 0

0 1 1 1

02

0

n

n

zF z F z H z H zF z F z H z H z z

−

−

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ − ⎤⋅ = ⋅ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

El problema de diseño de los bancos de filtros de reconstrucción perfecta consiste en encontrar pares de bancos de filtros de análisis y de síntesis de modo que se satisfaga la expresión anterior. Normalmente se elige en primer lugar el banco de análisis, y después se encuentra el banco de síntesis para satisfacer la condición de PR.

Si se conocen los filtros de análisis, se pueden emplear las relaciones anteriores para obtener los filtros de síntesis:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

01 0

1 0

2det

n H z H zzzH z H zz

− ⎡ − − − ⎤⋅= ⋅ ⎢ ⎥−⎣ ⎦

FH

(2.14)

donde se asume que 0n es un número impar y que el determinante viene dado por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 0 1det z H z H z H z H z= − − −H (2.15)

De este modo, cada uno de los filtros de síntesis debe satisfacer las siguientes relaciones:

( ) ( ) ( )0

0 12

det

nzF z H zz

−⋅= ⋅ −

H (2.16)

( ) ( ) ( )0

1 02

det

nzF z H zz

−⋅= − ⋅ −

H (2.17)

Si para los filtros de análisis ( )0H z y ( )1H z se eligen filtros FIR o IIR estables, de (2.16) y (2.17) se deduce que los filtros de síntesis ( )0F z y ( )1F z son en general filtros IIR (y posiblemente inestables) debido al polinomio ( )det zH que aparece en el denominador.

Si nos centramos en el caso de filtros FIR, la única posibilidad de encontrar filtros de síntesis ( )0F z y ( )1F z con respuestas al impulso finitas, consiste en conseguir filtros de análisis donde se cumpla que:

( )det ,z c z c Z−= ⋅ ∈ℜ ∈H (2.18)


Por tanto, el diseño de un banco de filtros FIR con la característica de reconstrucción perfecta exige encontrar filtros de análisis ( )0H z y ( )1H z , de modo que siendo ( )det zH el indicado en (2.15), se satisfaga la condición (2.18). Una solución al anterior problema es:

( ) ( )00 1

2 nF z z H zc

− += ⋅ ⋅ − (2.19)

( ) ( )01 0

2 nF z z H zc

− += − ⋅ ⋅ − (2.20)

Los métodos de diseño más habituales de bancos de filtros FIR de 2 canales se basan en la distribución de ceros de un filtro de media banda inicial. Sin embargo, cuando este filtro de media banda es de orden elevado, la distribución puede traer consigo graves problemas numéricos. Otros métodos de diseño alternativos incluyen la aproximación con estructuras en celosía [Vai88a, Ngu89], la aproximación en el dominio del tiempo [Nay92] y la aproximación por mínimos cuadrados con restricciones cuadráticas [Ngu93].

A continuación se propone una solución para encontrar los filtros del banco de reconstrucción perfecta.

Filtros en Cuadratura Conjugados: Signos Alternantes Rotados (Flip Alternating) [Smi86, Min85]

Se parte de un filtro prototipo ( )H z simétrico en potencia, es decir, se cumple que:

( ) ( ) ( ) ( ) 1H z H z H z H z⋅ + − ⋅ − =

Los filtros de análisis y síntesis se eligen como se indica a continuación:

( ) ( )0H z H z= (2.21)

( ) ( ) ( )11

NH z z H z− −= − − (2.22)

( ) ( ) ( )10

NF z z H z− −=

( ) ( ) ( )11 1

NF z z H z− −=

Nos centraremos en el caso de que los filtros presenten coeficientes reales. Entonces:

( ) ( )0H z H z=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 11 11 0

N NH z z H z z H z− − − −− −= − − = − −

( ) ( ) ( ) ( )1 10 1

NF z H z z H z− − −= − =

( ) ( ) ( )1 0F z H z H z= − − = − −

Para obtener el filtro de análisis ( )1H z del prototipo ( )H z son necesarias tres operaciones:


a) Cambiar el signo de la variable z, transformando el filtro paso bajo ( )H z en un filtro paso alto ( )H z− .

b) Realizar el cambio 1z z−→ , lo que ocasiona en la respuesta al impulso del filtro causal [ ]h n una reflexión con respecto a 0n = (por lo que se convierte en un filtro no

causal).

c) Multiplicar el filtro resultante por el factor ( )1Nz− − . Esta operación convierte el filtro ( )1H z en causal de nuevo.

Las correspondientes respuestas al impulso son las que siguen:

[ ] [ ]0h n h n=

[ ] ( )( ) [ ]11 1 1N nh n h N n− −= − ⋅ − −

[ ] [ ]0 1f n h N n= − −

[ ] ( ) [ ]1 1 nf n h n= − ⋅

En este caso, los filtros ( )0P z y ( )1P z se obtendrían como:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 10 0 0

NP z F z H z z H z H z− − −= ⋅ = ⋅ (2.23)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 11 1 1 0

NP z F z H z z H z H z P z− − −= ⋅ = − − = − −

Para que el sistema sea de reconstrucción perfecta, la función de transferencia de distorsión total ( )0T z debe resultar un retardo en el dominio del tiempo. Operando:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 10 0 1

1 12 2

NT z P z P z z H z H z H z H z− − − −= ⋅ + = ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ −

La propiedad de simetría en potencia implica que el filtro de fase cero ( )H z puede obtenerse mediante la factorización espectral de un filtro de media banda válido ( )0P z . Como en esta situación el filtro prototipo ( )H z es simétrico en potencia, se satisface la condición:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1H z H z H z H z− −⋅ + − ⋅ − =

Entonces resulta:

( ) ( )10

12

NT z z− −= ⋅

Así, se puede afirmar que los bancos de filtros obtenidos mediante la factorización espectral simétrica expresada en (2.23) son ortogonales con la característica de reconstrucción perfecta. Además, se puede demostrar que los filtros elegidos de la manera indicada anteriormente satisfacen las siguientes propiedades:


• Los módulos de la respuesta en frecuencia de los filtros de análisis y síntesis son iguales: ( ) ( )j j

k kH e F eω ω= .

• ( ) ( )1 0j jH e H eω ω= − . Esto implica que si ( )0H z es paso bajo, ( )1H z es paso alto

(para el caso de coeficientes reales).

• ( )H z no puede ser de fase lineal, salvo que sea de la forma 1 21 2

k kc z c z⋅ + ⋅ . Esto se debe a que tal y como están definidos ( )0H z y ( )1H z , si además deben ser complementarios en potencia, no pueden tener más de dos coeficientes no nulos [Vai85].

2.3 Bancos de Filtros de M Canales

En el apartado anterior dedicado a los bancos de filtros de dos canales se han descrito los principios y fenómenos más importantes de los bancos de filtros uniformes. La obtención de estos bancos de filtros de dos canales es un problema bien resuelto, ya que existen técnicas de diseño que permiten llegar sin demasiada dificultad a bancos QMF PR.

Los bancos de filtros de M canales uniformes constan de filtros paso bajo, paso banda y paso alto que dividen el espectro de la señal en bandas adyacentes de igual anchura, para posteriormente reconstruir la señal combinando de nuevo estas bandas de frecuencia. Todos los filtros tienen el mismo ancho de banda y las frecuencias centrales están uniformemente espaciadas en frecuencia. Si el número M es potencia de 2, entonces el banco de filtros total se puede sintetizar conectando bancos de filtros de dos canales en forma de árbol. Una ventaja de las estructuras en árbol está en que los resultados para los bancos de filtros de dos canales se pueden transferir a los bancos de filtros de M canales. Si en los bancos de filtros de dos canales no existe solapamiento, tampoco lo habrá en el banco de M canales con estructura de árbol. Del mismo modo, los bancos de filtros de dos canales de reconstrucción perfecta originan bancos de filtros de M canales con reconstrucción perfecta. Sin embargo, las principales limitaciones de las estructuras en árbol son que el número de canales M debe ser siempre potencia de 2, que la complejidad computacional es relativamente alta y que requieren una gran cantidad de memoria, lo cual a su vez incide en el tiempo de propagación de la señal [Fli94, Vet95]. La complejidad de un banco de filtros con estructura en paralelo es comparable con la del nivel más bajo de una estructura en árbol. Además, si se emplean filtros idénticos en todos los niveles, las anchuras de las bandas de transición (con respecto a la frecuencia de muestreo local) son las mismas en cualquier sitio. Las anchuras absolutas de las bandas de transición cambian de un nivel a otro por un factor de 2, lo que ocasiona diferencias entre los anchos de banda superior e inferior.

Para evitar lo anterior, se emplean los bancos de filtros de M canales con una estructura en paralelo, que permiten dividir el espectro en un número arbitrario M de subbandas. En este apartado se va a estudiar la teoría general de diseño de bancos de filtros uniformes de M canales de diezmado máximo con estructura en paralelo, considerando M>2.

La relación entrada-salida del citado banco de filtros se puede expresar como:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

01

1ˆM

MX z X z T z T z X zW z z zM

−

=

= ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅∑ f H X


El banco de análisis (sin los bloques de diezmado) es un sistema de una entrada y M salidas cuya matriz de transferencia es ( )zh , mientras que el banco de síntesis es un sistema de M entradas y una salida cuya matriz de transferencia es ( )T zf .

Si se particulariza jz e ω= en la expresión ( )MX zW , se puede escribir que:

( ) ( )( )2j MjMX e W X e ω πω −=

Este término representa para 0≠ una versión desplazada del espectro ( )jX e ω . De este modo,

el espectro reconstruido ( )ˆ jX e ω es una combinación lineal de ( )jX e ω y de sus M-1 versiones uniformemente desplazadas.

De una manera análoga al banco de filtros QMF de dos canales, la señal reconstruida [ ]x n difiere de [ ]x n debido a tres errores: el solapamiento, la distorsión de amplitud y la

distorsión de fase.

• Solapamiento (AL):

La presencia de versiones desplazadas ( )MX zW , con 0> , se debe a las operaciones de

diezmado y de interpolación. ( )MX zW es el término de solapamiento ésimo− , y ( )T z es la función de transferencia de solapamiento correspondiente a dicho término. Está claro que dicho solapamiento se puede eliminar para cada posible entrada [ ]x n si y solo si:

( ) ( )0, 1 1T z M= ≤ ≤ −

Consideremos como ejemplo el caso en que M=3. Para cancelar el solapamiento se tienen que satisfacer dos condiciones:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 2 0 1 2 1 2 2 2 0H zW F z H zW F z H zW F z⋅ + ⋅ + ⋅ =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 20 2 0 1 2 1 2 2 2 0H zW F z H zW F z H zW F z⋅ + ⋅ + ⋅ =

Puesto que los filtros ( )kF z no son ideales, en principio no consiguen eliminar completamente las replicas desplazadas ( )2kH zW y ( )2

2kH zW . Por tanto, los tres términos de cada una de las dos condiciones no son de forma individual iguales a cero. Las respuestas de

( ) ( )0 2 0H zW F z⋅ y ( ) ( )1 2 1H zW F z⋅ producen solapamiento, del mismo modo que ( ) ( )1 2 1H zW F z⋅ y ( ) ( )2 2 2H zW F z⋅ . La idea básica para cancelar el solapamiento consiste en elegir

los filtros de síntesis de modo que estos términos solapados se cancelen unos a otros de manera conjunta.

Sea ( )zt el vector 1 M× definido como:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 11

Mz z z T z T z T zM −= ⋅ ⋅ = ⎡ ⎤⎣ ⎦t f H


Dados los filtros de análisis ( )kH z , si se eligen los filtros de síntesis como se establece en la expresión (2.25), se cancela el solapamiento siempre y cuando el vector ( )zt sea el indicado en (2.26).

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

1

detAdj z

z M z z M zz

−⎡ ⎤⎣ ⎦= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦

Hf t H t

H (2.25)

( ) ( )0 0 0z T z= ⎡ ⎤⎣ ⎦t (2.26)

Esto es así si el término ( )det zH no es idéntico a cero. El problema se encuentra en que los filtros resultantes ( )kF z pueden no ser prácticos. Es decir, ( )kF z podrían ser IIR inestables aún cuando cada filtro de análisis ( )kH z fuese FIR. Los ceros de la cantidad ( )det zH están relacionados con los filtros de análisis ( )kH z de una manera muy complicada y es difícil asegurar que están dentro de la circunferencia de radio unidad (lo cual es un requisito para que los ( )kF z sean estables y causales).

La cancelación del solapamiento se puede conseguir (abandonando la idea de reconstrucción perfecta) haciendo que (2.25) sea

( ) ( ) ( )z M z Adj z= ⋅ ⋅ ⎡ ⎤⎣ ⎦f t H

de modo que la función de distorsión resulte

( ) ( )00 detnT z c z z−= ⋅ ⋅ ⎡ ⎤⎣ ⎦H

para algún 0c ≠ . Los filtros de síntesis ( )kF z serán FIR si los filtros de análisis son FIR. Pero los elementos de la matriz ( ) Adj z⎡ ⎤⎣ ⎦H son determinantes de submatrices ( ) ( )1 1M M× ⋅ × de ( )zH y pueden representar filtros FIR de orden elevado incluso si ( )kH z presenta un orden moderado. Existen otras soluciones [Vai93] basadas en la representación polifase de los filtros de análisis y de síntesis, pero también presentan como inconveniente que para valores de M elevados, los filtros de síntesis deben tener unos órdenes mucho mayores que los filtros de análisis. Otra dificultad con esta aproximación es que si la función ( )det zH tiene ceros en la circunferencia de radio unidad, entonces hay una distorsión de amplitud muy severa en los puntos cercanos a esos ceros, ya que en ellos se cumple que ( )0

0 0jT e ω = .

El siguiente teorema establece las condiciones de diseño genéricas para los filtros de análisis y de síntesis de manera que se cancelen las componentes debidas al solapamiento.

Teorema: Condición necesaria y suficiente para la cancelación del solapamiento. [Vai88b]. Sean las matrices ( )zE y ( )zR las componentes polifase de los bancos de análisis y de síntesis (figura 2.5). Sea ( )zP la matriz M M× producto ( ) ( )z z⋅R E . Se puede afirmar que el banco de filtros de diezmado máximo y M canales de la figura 2.1 (sin considerar la etapa intermedia de procesamiento) está libre de solapamiento si y solo si la matriz ( )zP es pseudocirculante.

Bajo esta condición, la señal de salida es


( ) ( ) ( )0X z T z X z= ⋅

y la función distorsión ( )0T z se puede expresar como

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 110 0 1 1

M MM M MMT z z P z z P z z P z− − − −−−= ⋅ + + + (2.27)

donde ( )mP z son los elementos de la primera fila de ( )zP .

• Distorsiones de amplitud (AMD) y de fase (PHD).

A menos que el solapamiento se cancele, el banco de filtros QMF de M canales es un sistema periódicamente variante en el tiempo (LPTV) con período M. Si los términos del solapamiento son de algún modo eliminados se tiene que:

( ) ( ) ( )0X z T z X z= ⋅

Por tanto, cuando el solapamiento se ha cancelado, el banco QMF es un sistema LTI cuya función de transferencia es ( )0T z . Si ( )0

jT e ω no es constante (es decir ( )0T z no es paso todo),

existe distorsión de amplitud. Se puede demostrar [Vai93] que ( )0T z es paso todo (es decir, no hay distorsión de amplitud) si y solo si la matriz ( )zP pseudocirculante satisface una propiedad denominada paraunitariedad. Si ( )0T z no tiene fase lineal, existe distorsión de fase.

2.3.1 Bancos de Filtros de Reconstrucción Perfecta

Si ( )kH z y ( )kF z son tales que el solapamiento es completamente cancelado y ( )0T z representa a un retardo puro en el dominio del tiempo, entonces el sistema es de reconstrucción perfecta (PR) y satisface que [ ] [ ]0x n c x n n= ⋅ − . De manera equivalente, el banco es PR si satisface:

( ) ( ) 0 0 0Tnz z z−⎡ ⎤⋅ = ⎣ ⎦f H

Partiendo de la anterior expresión, se pueden derivar distintos procedimientos para encontrar ( )kH z y ( )kF z . Las técnicas de diseño más habituales se basan en las matrices ( )zE y ( )zR que representan las componentes polifase de los bancos de análisis y de síntesis

respectivamente.

Sea el sistema de fase cero de la figura 2.5a. Si se cumple que:

( ) ( )z z⋅ =R E I (2.28)

entonces la señal de salida [ ]x n coincide con la de entrada [ ]x n . Si se desplazan los sistemas ( )zE y ( )zR (empleando las identidades Noble) se obtiene el sistema de la figura 2.5b, que

continúa teniendo la propiedad de reconstrucción perfecta.


De este modo, si se tiene un conjunto de filtros de análisis ( )kH z , con ( )0 1k M≤ ≤ − , la matriz ( )zE se encuentra determinada completamente. Asumiendo que ( )zE se puede invertir, entonces se puede obtener un sistema PR eligiendo ( )zR de modo que:

( ) ( )1z z−=R E

Hay que tener en cuenta que la invertibilidad de ( )zE no es suficiente, ya que su inversa podría conducir a filtros inestables, e incluso si los filtros de análisis son FIR, se podrían obtener filtros de síntesis IIR.

A pesar de que aparentemente se van a encontrar las mismas dificultades (incluyendo la inestabilidad) que aparecieron en la inversión de la matriz ( )zH , se puede evitar invertir directamente ( )zE de muchas maneras. Una de ellas consiste en restringirla al caso de que sea paraunitaria.

fig. 2.5: banco de filtros de M canales de diezmado máximo representado por sus matrices polifase.

Condiciones Necesarias y Suficientes para Reconstrucción Perfecta

La condición (2.28) es suficiente para reconstrucción perfecta si el sistema es FIR o IIR. Está claro que si se reemplaza esta expresión por:

( ) ( ) 0mz z c z−⋅ = ⋅ ⋅R E I (2.29)

todavía se tiene reconstrucción perfecta, pero ahora ( ) ( )0 10

Mm MT z c z− + −= ⋅ . De forma más general se puede demostrar que el sistema tiene reconstrucción perfecta si el producto ( ) ( )z z⋅R E es de la forma:

( ) ( ) ( ) 01

M rm

r

z z z c zz

−−−

⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ ⋅ ⎢ ⎥

⎣ ⎦

0 IP R E

I 0 (2.30)


para cualquier entero r con ( )0 1r M≤ ≤ − , cualquier entero 0m y cualquier constante 0c ≠ [Vai93]. Bajo esta condición, la señal reconstruida es [ ] [ ]0x n c x n n= ⋅ − , donde

0 0 1n Mm r M= + + − . Esto se debe a que un sistema PR es un sistema libre de solapamiento donde ( )0T z representa un retardo en el dominio del tiempo. La ausencia de solapamiento implica que ( )zP es pseudocirculante. Si la primera fila de ( )zP es:

( ) ( ) ( )0 1 1MP z P z P z−⎡ ⎤⎣ ⎦

( )0T z tiene la forma indicada en (2.27). Dicha función de transferencia de distorsión total representa a un retardo si ( ) 0mP z = para todos los valores de m en el rango ( )0 1m M≤ ≤ − excepto uno, que debe ser igual a 0mc z−⋅ . Es decir, un sistema libre de solapamiento es de reconstrucción perfecta si y solo si la matriz ( )zP pseudocirculante tiene la fila cero de la forma:

00 0 0 0mc z−⎡ ⎤⋅⎣ ⎦

De manera genérica, ( )zP (es decir ( ) ( )z z⋅R E ) debe satisfacer la expresión (2.30) para algún r en el intervalo ( )0 1r M≤ ≤ − . Bajo esta condición, se tiene que la función de transferencia de distorsión total es:

( ) ( ) 010

M m MrT z c z z z− − −−= ⋅ ⋅ ⋅

lo que se cumple tanto si el sistema es FIR como si es IIR. Además, se puede verificar que bajo la condición (2.30) siempre se tiene que:

( ) ( ) 00det det kz z c z−⋅ = ⋅R E

para cualquier 0c ≠ y cualquier entero 0k .

Sistema de Reconstrucción Perfecta FIR

Los bancos QMF de reconstrucción perfecta con filtros ( )kH z y ( )kF z FIR son de gran interés en la práctica debido a que es fácil garantizar la linealidad de fase en el propio filtro y en la función de transferencia de distorsión total, al mismo tiempo que está garantizada la estabilidad.

Se pueden definir tres clases de sistemas FIR de reconstrucción perfecta [Vet89]:

1. Reconstrucción perfecta genérica: La condición necesaria y suficiente para reconstrucción FIR perfecta es que el determinante de ( )zE sea un monomio [Vet 86]. Para estos sistemas, cada uno de los elementos de ( )zE y ( )zR son FIR y por tanto sus determinantes también son FIR:

( )det 0Kz z K enteroα α−= ⋅ ≠ =E (2.31)

Entonces ( )zR se puede obtener a partir de la matriz ( )zE y cumplirse la propiedad de reconstrucción perfecta. El problema de este tipo de sistemas es que las respuestas al impulso de los filtros de síntesis pueden ser de mayor duración que las de los filtros de análisis y presentar unas respuestas en frecuencia extrañas, aún cuando los filtros de análisis son un conjunto de filtros con un excelente comportamiento como filtros paso banda.


2. Reconstrucción perfecta con filtros de análisis y de síntesis de igual longitud. En [Vet89] se proporciona una condición suficiente para este tipo de sistemas. Presentan el mismo problema que la clase anterior con respecto a la respuesta en frecuencia de los filtros de síntesis.

3. Reconstrucción perfecta con idénticos filtros de análisis y de síntesis (con inversión en el tiempo). Una condición necesaria y suficiente para la existencia de este tipo de filtros es que la matriz ( )zE sea paraunitaria y satisfaga:

( ) ( )z z⋅ =E E I

Esta clase de filtros es la más restringida, ya que ciertos problemas de diseño no tienen solución.

2.4 Conclusiones

• En el proceso de descomposición y reconstrucción de la señal de entrada mediante un banco de filtros pueden aparecer tres errores: solapamiento, distorsión de amplitud y distorsión de fase.

• Mediante factorización espectral, se puede diseñar un banco de filtros de dos canales PR a partir del filtro ( )0P z siguiendo los siguientes pasos:

1. Diseñar ( )0P z de manera que se cumpla ( ) ( ) 00 0

nP z P z c z−− − = ⋅ . El filtro debe ser un filtro de media banda válido.

2. Tomar un factor espectral de ( ) ( ) ( )0 0 0P z F z H z= ⋅ . Esta elección conduce a bancos de filtros biortogonales de reconstrucción perfecta. Si la factorización espectral se realiza de modo que ( ) ( ) ( ) ( )1 1

0 0 0NP z z H z H z− − −= ⋅ , el banco de filtros

resultante será ortogonal para ( )0H z .

3. A partir de ( )0H z , encontrar ( )1H z , ( )0F z y ( )1F z según las relaciones indicadas.

• Cuando una función de transferencia se divide en factores de fase lineal, la ganancia de la banda de paso de los filtros de análisis varía considerablemente con respecto a la de los filtros de síntesis.

• Otra alternativa más eficiente a la distribución de ceros pero de mayor complejidad en la fase de diseño consiste en descomponer las matrices polifase del banco de análisis como un producto de matrices, sintetizando posteriormente cada una de éstas empleando estructuras en celosía.

• Los bancos de filtros de M canales, en los que M es potencia de 2, se pueden realizar con una estructura en árbol con bancos de filtros de 2 canales. Sin embargo, la principal limitación es que las anchuras absolutas de las bandas de transición de los filtros cambian de un nivel a otro por un factor de 2.

• El banco de filtros de M canales está libre de solapamiento si y solo si la matriz ( )zP es pseudocirculante.


• El banco de filtros de M canales es de reconstrucción perfecta si la matriz ( )zP es de la forma indicada en (2.30).

• En general y para una longitud dada de un filtro, el número de coeficientes que hay que encontrar para diseñar el banco de reconstrucción perfecta es directamente proporcional a su número de canales M. Los procesos de diseño para obtener los filtros de análisis y de síntesis llevan asociados la resolución de problemas de optimización no lineales y es muy difícil encontrar buenas soluciones para bancos de filtros con un número de canales elevado.

60

3 Bancos de Filtros Modulados

3.0 Introducción

3.0.1 Trabajos Previos

Los trabajos iniciales publicados sobre bancos de filtros modulados abordaban sistemas pseudo-QMF, que ofrecían una reconstrucción aproximada de la señal de entrada. En concreto, los primeros bancos de filtros coseno modulado fueron propuestos por Nussbaumer [Nus81] y Rothweiler [Rot83]. Posteriormente, en [Chu85] se recogían las diferentes aproximaciones para diseñar bancos de filtros coseno-modulado pseudo-QMF. Chu citaba el esquema propuesto con anterioridad por Rothweiler donde, en la etapa de diseño, sólo era necesario optimizar un filtro prototipo. En el mismo artículo [Chu85], también se propuso otro método en el que la realización del banco requería el diseño de dos filtros prototipo a los que se aplicaba unas modulaciones seno y coseno.

Varios autores han formulado el problema empleando matrices de transferencia polifase y han obtenido bancos de filtros coseno-modulado (CMFB) de reconstrucción perfecta (PR). Se pueden citar como ejemplos: el banco de filtros de Princen/Bradley [Pri86], donde cada uno de los filtros era de fase lineal y se generaba a partir de un prototipo de longitud menor o igual que el número de canales; el banco propuesto en [Ram91], con filtros de análisis y de síntesis de longitud limitada a 2M; o los trabajos de Malvar [Mal90a, Mal92, Mal98], donde se presentan distintas Transformadas Solapadas. Sin embargo, uno de los avances más significativos en este campo se produjo con la publicación de [Koi92], donde se empleó un esquema de modulación basado en la Transformada Discreta del Coseno tipo IV y se introdujo un método de diseño con estructuras en celosía de dos canales sin pérdidas. En ese artículo se obtuvieron las condiciones necesarias y suficientes de las componentes polifase del filtro prototipo de longitud N=2mM (con m cualquier número entero positivo) para que la matriz de componentes polifase del banco de filtros fuese sin pérdidas y de esta manera se cumpliese la propiedad de reconstrucción perfecta.

Bancos de Filtros Modulados 61

En [Ngu96a] se generalizó la teoría anterior y se mostró el camino a seguir para obtener bancos de filtros coseno modulado PR de longitud arbitraria.

Los bancos de filtros de fase lineal coseno-modulado paraunitarios, se deben a Lin y Vaidyanathan [Lin95]. Estos autores establecieron el método de diseño de bancos de filtros de reconstrucción perfecta y aproximada, donde cada uno de los filtros de análisis y de síntesis presentaba la característica de fase lineal.

Existen varios trabajos que apuntan a la realización de wavelets bajo esquemas de modulación coseno. En [Gop96] se presenta una teoría unificada para bancos de filtros modulados y wavelets y en [Ngu96a] se indican las condiciones que hay que imponer al banco para obtener bases ortonormales coseno modulado de wavelets de soporte compacto. La realización de bases de wavelets de soporte compacto coseno-modulado biortogonales de M canales se puede encontrar en [Cha98].

Entre los diferentes métodos de diseño de bancos de filtros pseudo-QMF, se pueden citar la aproximación mediante factorización espectral [Koi93] y los bancos de filtros coseno modulado próximos a la reconstrucción perfecta (NPR) [Ngu94]. Posteriormente, Nguyen agrupó diversas técnicas de diseño de bancos pseudo-QMF y de reconstrucción perfecta bajo el mismo tipo de formulación con restricciones cuadráticas [Ngu95]. Los bancos de filtros coseno modulado diseñados bajo la formulación de mínimos cuadrados con restricciones cuadráticas (QCLS) aparecen en [Ngu96b]. En [Goh98] se muestra un nuevo algoritmo para el diseño de CMFB NPR.

En [Cha99] se desarrolla una nueva factorización para bancos de filtros coseno modulado FIR PR biortogonales, y se propone una nueva familia de Transformadas Solapadas Biortogonales útiles para aplicaciones de codificación subbanda. En [Gao99] se muestra una nueva forma de realización eficiente de bancos de filtros coseno modulado de longitud arbitraria, obtenida a partir de una nueva expresión de la matriz de componentes polifase del banco de filtros. Además, en [Hel99] se realiza una formulación general de los bancos de filtros modulados. Se deducen las condiciones necesarias y suficientes para tener PR en los bancos modulados en coseno basados en las DCT II y IV, junto con aquellos que presentan unos esquemas de modulación basados en la DFT modificada (MDFT).

3.1 Banco de filtros DFT

Los bancos de filtros modulados presentan como ventaja frente al resto de los bancos de filtros la simplicidad en las fases de diseño y de realización del banco. Todos los filtros de análisis y de síntesis se obtienen a partir de uno o dos filtros prototipo, a los que se aplica una modulación para desplazar su respuesta en frecuencia y obtener los restantes filtros del banco.

El primer y más simple banco de filtros modulados que es susceptible de ser construido con una estructura eficiente, es el banco modulado complejo, conocido como el banco de filtros DFT, ya que es básicamente una matriz DFT. Dado el filtro prototipo:

( ) 1 11 LP z z z− −= + + +

el resto de los filtros del banco se obtiene con la siguiente relación:

( ) ( ) ( )2 0 2 1kk MH z P zW k M= ≤ ≤ −


Todos los filtros son una versión desplazada de ( )P z y están uniformemente distribuidos en frecuencia. Como el filtro prototipo es una ventana rectangular, cuando su longitud coincide con el número de canales M se puede conseguir reconstrucción perfecta. Básicamente se trataría de realizar una DFT en el banco de análisis, y la IDFT en el banco de síntesis. Sin embargo, cada filtro por separado presenta una atenuación mínima en la banda eliminada de aproximadamente 13'5 dBs, valor excesivamente pequeño cuando se desea una buena separación entre las distintas bandas.

Por ello, siguiendo la idea de simplificar el diseño al de uno o dos filtros prototipos, se han propuesto diversos bancos de filtros que se obtienen mediante modulación exponencial o trigonométrica. La ventaja de los sistemas que siguen un esquema de modulación en coseno o en coseno estriba en que, si el filtro prototipo que se modula es de coeficientes reales, todos los filtros de análisis y de síntesis también tienen coeficientes reales.

Normalmente, los esquemas de modulación en coseno se basan en la transformada discreta del coseno [Wan84]. Se pueden distinguir cuatro tipos distintos de dicha transformada:

DCT I: 2 cos , 0, ,m nm nk k m n M

M Mπ⋅ ⋅⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

DCT II: ( )1 22 cos , 0, , 1m

m nk m n M

M Mπ⎛ ⋅ + ⋅ ⎞

⋅ ⋅ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

DCT III: ( )1 22 cos , 0, , 1n

n mk m n M

M Mπ⎛ ⋅ + ⋅ ⎞

⋅ ⋅ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

DCT IV: ( ) ( )1 2 1 22 cos , 0, , 1m n

m n MM M

π⎛ + ⋅ + ⋅ ⎞⋅ = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

donde:

1 0,0,1 2j

si j j Mk

si j j M⎧ ≠ ≠⎪= ⎨ = =⎪⎩

El índice m representa a la variable independiente de la señal transformada, mientras que n es la variable tiempo de la señal de entrada.

En los bancos de filtros coseno modulado se suelen emplear los esquemas de modulación Tipo II y Tipo IV, debido a que los bancos de filtros que originan cubren todo el intervalo

πω ≤≤0 y presentan el mismo ancho de banda. Sin embargo, los esquemas basados en la DCT I y DCT III no se utilizan normalmente para la construcción de bancos de filtros porque pueden originar sistemas en los que algunos filtros tienen una banda de paso que es la mitad del resto de las bandas de paso de los filtros.

Como se ha comentado con anterioridad, se pueden encontrar bancos de filtros coseno modulado pseudo-QMF o con la característica de PR.


3.2 Bancos de Filtros Coseno-Modulado de Reconstrucción Perfecta

En general, los filtros de análisis [ ]kh n y de síntesis [ ]kf n de un banco de filtros coseno modulado (CMFB) se obtienen a partir de unos filtros prototipo [ ]h n y [ ]f n con esquemas de modulación del tipo:

[ ] [ ][ ] [ ]

,*

,

0 10 1

k k n

k k n

h n h n c n Nf n f n c k M

= ⋅ ≤ ≤ −⎧⎨= ⋅ ≤ ≤ −⎩

donde M es el número de canales, N es la longitud de la respuesta al impulso de los filtros prototipo, y las secuencias de modulación son ,k nc y *

,k nc , que normalmente vienen establecidas por:

,2 1 1cos

2 2k nMc k n

M Mπ⎛ ⎞+⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ (3.1)

o

[ ] ( ) ( ),12 cos 2 1 1

2 2 4k

k nNc n k n

Mπ π⎛ ⎞−⎛ ⎞= ⋅ + − + − ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ (3.2)

Un ejemplo en el que se emplea la expresión (3.1) son las transformadas solapadas biortogonales propuestas en [Mal98] y otro correspondiente a la expresión (3.2) es el CMFB propuesto en [Koi92].

3.2.1 Transformadas Solapadas

Las Transformadas Solapadas tienen un esquema de modulación coseno; sus funciones base presentan dos características esenciales:

a) Son de mayor tamaño que la longitud del bloque de transformación.

b) Tienden suavemente hacia cero en sus extremos.

Podemos encontrar tres grandes grupos de Transformadas Solapadas Ortogonales. La Transformada Ortogonal Solapada LOT (“Lapped Orthogonal Transform”) [Mal90a], la Transformada Solapada Modulada MLT (“Modulated Lapped Transform”) [Mal90a] y la Transformada Solapada Extendida ELT (“Extended Lapped Transform”) [Mal92].

La LOT se puede calcular de manera eficiente para cualquier longitud de transformada mientras que la MLT, basada en un banco modulado QMF, se puede calcular de manera eficiente por medio de una Transformada del Seno Discreta Tipo IV (DST-IV). Ambas tienen las siguientes propiedades:

1) Los filtros de síntesis son FIR con longitudes iguales al doble del número de bandas.

2) Los filtros de análisis son idénticos a los filtros de síntesis, con una inversión en el tiempo, lo que implica que los bancos de análisis y de síntesis presentan módulos de las respuestas en frecuencia idénticos.


3) Las salidas de los bancos de filtros se pueden obtener utilizando algoritmos rápidos para las transformadas y algunos pequeños cálculos adicionales.

Las funciones base de la LOT tienen fase lineal (simetría par o impar) y una longitud de valor L=2M para bloques con M muestras. Cada función base LOT debe ser ortogonal a las funciones del mismo bloque y a las de los bloques adyacentes. La matriz P que caracteriza al bloque de transformación debe cumplir las siguientes condiciones:

T ⋅ =P P I (3.3)

y

T ⋅ ⋅ =P W P I (3.4)

donde

⎛ ⎞≡ ⎜ ⎟⎝ ⎠

0 IW

0 0

Las matrices I y 0 anteriores tienen dimensiones M M× , mientras que la matriz P es de dimensión 2M M× . Las columnas de P definen los filtros de síntesis, mientras que las de

TP definen los filtros de análisis.

La expresión (3.3) impone la ortogonalidad de las funciones base del mismo bloque, mientras que (3.4) impone la ortogonalidad de las porciones solapadas de las funciones base de los bloques adyacentes. Como las funciones base se solapan espectralmente con los bloques adyacentes en un 50 %, a estos bancos de filtros se les denomina Transformadas Solapadas.

La MLT es un caso particular de banco de filtros coseno modulado. No tienen fase lineal y es otro modo de llegar a un buen conjunto de funciones base para una transformada solapada. Se genera definiendo un filtro prototipo paso bajo adecuado para una estructura de banco de filtros modulada. Si la longitud de la respuesta al impulso del filtro prototipo se elige igual a 2M, es posible suprimir el solapamiento y obtener reconstrucción perfecta con filtros de análisis y de síntesis idénticos [Vet88].

Cada elemento de la matriz P se denomina [ ] [ ]k nkp n = P y es la respuesta al impulso del

filtro de síntesis k-ésimo. Se distingue para k par:

[ ] [ ] 2 1 1cos2 2 4k

Lp n h n k nM M

π π⎛ ⎞−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(3.5)

y para k impar:

[ ] [ ] 2 1 1sen2 2 4k

Lp n h n k nM M

π π⎛ ⎞−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(3.6)

donde 0 2n M≤ ≤ , 0 k M≤ ≤ y L es la longitud del filtro prototipo paso bajo [ ]h n .

Los autores Princen, Bradley y Johnson [Pri86, Pri87] demostraron que cuando 2M L M≤ ≤ la reconstrucción perfecta es posible si el filtro paso bajo prototipo -también

denominado función ventana- satisface las restricciones (3.7) y (3.8), donde "a" es una constante.

[ ] [ ]2 1h M n h n− − = (3.7)


[ ] [ ]2 2h n h n M a+ + = (3.8)

Para mantener la ortogonalidad de la matriz P generada mediante (3.5) y (3.6) y por simplicidad se suele elegir a=1.

El término Transformada Solapada Modulada (MLT) se reserva para usarlo cuando la ventana [ ]h n es la siguiente:

[ ] 1sen2 2

h n nMπ⎛ ⎞⎛ ⎞= ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ (3.9)

con 0,1, ,2 1n M= − .

En [Mal92] se generaliza la anterior transformada y se extienden las funciones base a una longitud de 2KM (donde K es un número entero). El nombre que recibe la nueva transformación es "Transformada Solapada Extendida ELT" (“Extended Lapped Transform”).

La LOT se emplea en sistemas de codificación de imágenes, mientras que la MLT se utiliza en sistemas de audio. Ambas tienen como ventaja que se reducen significativamente los efectos de bloque ("blocking artifacts") y como inconveniente que los efectos debidos al fenómeno de Gibbs ("ringing artifacts") se ven acentuados con respecto a otros tipos de transformaciones como la DCT. Además, ninguna de ellas puede sustituir a los bancos QMF genéricos, porque cuando se desea una separación casi definitiva entre cada subbanda, son necesarios filtros cuya banda de transición sea estrecha y presenten gran atenuación en la banda eliminada, lo que se consigue con filtros de análisis y de síntesis de orden elevado. Los filtros de la LOT y la MLT tienen una longitud L=2M y en los casos citados normalmente se suele emplear L=8M. Este problema se soluciona con la ELT, pero su longitud siempre tiene que ser un múltiplo par del número de canales (L=2KM, donde K es un número entero positivo) y, cuando se emplea una estructura eficiente para realizarla, es necesario optimizar determinados ángulos

rkθ que aparecen en las matrices de realización [Mal92].

En [Mal98] se pueden encontrar distintas Transformadas Solapadas Biortogonales uniformes y no uniformes. Por ejemplo, dadas las relaciones:

[ ] [ ] 2 1 1, cos2 2a a

Mp n k h n k nM M

π⎛ ⎞+⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(3.10)

[ ] [ ] 2 1 1, cos2 2s s

Mp n k h n k nM M

π⎛ ⎞+⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(3.11)

se puede verificar que se genera una Transformada Biortogonal Modulada si la ventana de análisis satisface las condiciones:

[ ] [ ][ ] [ ]2 2 0,1, , 1s

as s

h nh n n M

h n h n M= = −

+ + (3.12)

[ ] [ ]2 1a ah n h M n= − − (3.13)

La ventana de síntesis viene dada por:


[ ]

11 cos2

0,1, , 12s

nM

h n n M

α

π β

β

⎡ ⎤+⎛ ⎞− +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦= = −

+

El parámetro α controla la anchura de la ventana y β sus valores finales.

Además de las anteriores transformadas, en [Mal98] también se muestran la Transformada Biortogonal Solapada Uniforme y no Uniforme. Ambas presentan ventajas e inconvenientes de diseño similares a las Transformadas Ortogonales.

3.2.2 Bancos de Filtros Coseno Modulado de Reconstrucción Perfecta y Longitud Arbitraria

Con anterioridad a la propuesta de Koilpillai y Vaidyanathan [Koi92], el diseño de bancos de filtros PR requería utilizar algoritmos de optimización de una función objetivo no lineal que presentaba un gran número de parámetros. En este artículo se presentó otro método alternativo para diseñar filtros de longitud múltiplo entero del número de canales. En [Ngu96a] se amplió esta teoría al diseño de bancos de filtros de longitud arbitraria.

Se parte de un filtro prototipo [ ]p n de fase lineal de longitud N arbitraria. El canal k de los bancos de análisis o síntesis presenta como respuesta al impulso:

[ ] [ ] ( ) ( )

[ ] [ ] ( ) ( )

12 cos 2 1 12 2 4 0 1

0 112 cos 2 1 12 2 4

kk

kk

Nh n p n k nM n N

k MNf n p n k nM

π π

π π

⎛ ⎞−⎛ ⎞= ⋅ ⋅ + − + − ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ ≤ ≤ −⎧⎝ ⎠⎝ ⎠⎨ ≤ ≤ −⎛ ⎞−⎛ ⎞ ⎩= ⋅ ⋅ + − − − ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

Con las condiciones anteriores, se cumple que [ ] [ ]1k kf n h N n= − − . Si además, el banco de filtros es paraunitario, entonces es también de reconstrucción perfecta.

Considérese el banco de filtros coseno modulado donde el filtro prototipo de fase lineal ( ) ( )2 1 2

0

M MH z z G z− −=

=∑ es de longitud 12N mM m= + y las funciones ( )G z son sus

componentes polifase Tipo I. Se puede demostrar [Koi92] que ( )zE y ( )zR se pueden expresar en función de ( )G z y C como:

( )( )( )

20

1 21

ˆz

zz z−

⎡ ⎤−⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎣ ⎦

gE C

g

( ) ( ) ( )1 2 20 1

ˆ Tz z z z−⎡ ⎤= ⋅ − − ⋅⎣ ⎦R g g C

donde:

( ) ( ) ( ) ( )0 0 1 1Mz diag G z G z G z−= ⎡ ⎤⎣ ⎦g

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 1M M Mz diag G z G z G z+ −= ⎡ ⎤⎣ ⎦g


( ),

1 1ˆ 2 cos 12 2 4

k

k

NkMπ π⎛ ⎞−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤ = ⋅ + ⋅ ⋅ + + − ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

C

A partir de las expresiones anteriores de ( )zE y ( )zR se obtiene la de la función ( ) ( ) ( )z z z= ⋅P R E como se indica a continuación:

( ) ( ) ( ) ( )( )

201 2 2

0 1 1 21

ˆ ˆTz

z z z zz z

−

−

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎡ ⎤= ⋅ − − ⋅ ⋅ ⋅⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎣ ⎦

gP g g C C

g

Si el banco es de reconstrucción perfecta, la matriz ( )zP debe satisfacer la condición (2.30). Sustituyendo las expresiones correspondientes a ˆ ˆT ⋅C C y simplificando, se pueden deducir las condiciones necesarias y suficientes para que el banco de filtros sea PR.

Teorema [Ngu96a]: Sean ( )G z las componentes polifase Tipo I de ( )P z . Debido a la propiedad de simetría del filtro prototipo, se cumple que:

( )( )( )

1

1

1 11

12 1

mm

mM m

z G z mG z

mz G z− −

−+ − −

⎧ ⋅ <⎪= ⎨ ≥⋅⎪⎩

donde ( ) ( )1G z G z−= y ( )10 2 1m M≤ ≤ − . La condición necesaria y suficiente para que se tenga reconstrucción perfecta es:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 12M MG z G z G z G z M

M+ +⋅ + ⋅ = ≤ ≤ − (3.14)

Esto significa que los pares de componentes polifase deben ser complementarios en potencia. Se puede realizar una clasificación en cuatro grupos o modos, atendiendo a las longitudes de los dos filtros ( )G z y ( )MG z+ y a la relación que existe entre ellos [Ngu96a].

La condición (3.14) es similar a la del banco de filtros de dos canales paraunitario. Por tanto, el banco de filtros coseno-modulado se puede realizar como un banco en paralelo de bancos de filtros paraunitarios de dos canales [Vai93]. Es decir, cada par de celosías que satisfacen la expresión (3.14) se factorizan empleando estructuras en celosía sin pérdidas de dos canales, similares a los bancos genéricos según la expresión:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ,0

, , 1 ,1,0

2 m mM

cG zM z z z

sG z −+

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ = ⋅Λ ⋅ ⋅Λ Λ ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎣ ⎦R R R…

donde:

, ,,

, ,

k kk

k k

c ss c⎡ ⎤

= ⎢ ⎥−⎣ ⎦R

1

1 00 z−⎛ ⎞

Λ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

, ,cosk kc θ=


, ,senk ks θ=

0,1,2, ,k m=

y m depende de las longitudes de los dos filtros. Para el caso N=2mM, todas las componentes polifase presentan la misma longitud y no existe ningún tipo de restricción para las fases ,kθ . Para el caso general, sí existen restricciones en dichos ángulos [Ngu96a].

En resumen, con estos bancos de filtros coseno modulado se ha ganado eficiencia en la fase de realización del sistema. Sin embargo, la fase de diseño presenta las mismas dificultades que los bancos de filtros genéricos.

3.2.3 Otros Bancos de Filtros Coseno Modulado de Reconstrucción Perfecta

Además de los anteriores, se pueden citar los siguientes bancos:

• Banco de filtros de fase lineal coseno-modulado paraunitarios [Lin95].

• Banco de filtros coseno-modulado FIR biortogonales [Ngu96b, Mal98, Bur98].

• Banco de filtros coseno-modulado IIR biortogonales [Ngu92a].

• Banco de filtros coseno-modulado PR IIR causales y estables [Mao99].

3.3 Bancos de Filtros de Reconstrucción Aproximada

3.3.1 Modulación trigonométrica

Los bancos de filtros coseno modulado con la propiedad de reconstrucción aproximada o pseudo-QMF son sistemas casi libres de solapamiento, ya que se eliminan las componentes más significativas de dicho error y el valor de las restantes componentes disminuye a medida que se aumenta la atenuación en la banda eliminada del filtro prototipo. Además, la función de transferencia de distorsión global ( )0T z tiene fase lineal y un módulo de la respuesta en frecuencia que aproximadamente es de valor constante.

Los métodos de diseño de bancos de filtros coseno-modulado pseudo-QMF emplean esquemas de modulación muy parecidos para la obtención de los filtros de análisis y de síntesis. Todos se basan en aplicar, a un filtro prototipo, una modulación coseno para obtener los filtros de los bancos de análisis y de síntesis. En dicha modulación puede aparecer un factor de fase.

Las primeras técnicas propuesta para diseñar un banco de filtros pseudo-QMF seguín los siguientes pasos [Rot83, Cro83]:

1. Se diseña un filtro prototipo de orden ( )1N − cuya función del sistema ( )H z sea óptima con respecto a una función objetivo similar a la expresión (3.15), que hace, de manera simultánea, mínima la ganancia en la banda eliminada de dicho filtro prototipo y la distorsión de amplitud total:

( ) ( ) ( )02 2

001

s

j nj ja d T e e d H e d

π πωω ω

ωα ω α ω− ⋅ ⋅Φ = Φ +Φ = − − +∫ ∫ (3.15)


El factor α debe cumplir que 0 1α≤ ≤ y 0n es el retardo del sistema.

2. Los filtros de análisis ( )kH z y de síntesis ( )kF z del banco se obtienen del siguiente modo:

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )

1 2 1 2* *2 2

1 2 1 2* *2 2

0 1k k

k k k M k k M

k kk k k M k k M

H z a c H zW a c H zWk M

F z a c H zW a c H zW

+ − +

+ − +

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅≤ ≤ −

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

donde los coeficientes ka y kc vienen dados por:

kjka e θ=

( ) ( )( )1 2 1 22

k Nk Mc W + −=

0 1k M≤ ≤ − Si se calcula la Transformada z inversa, las respuestas al impulso de los filtros de análisis [ ]kh n y de síntesis [ ]kf n son:

[ ] [ ] ( )

[ ] [ ] ( )

12 cos 2 12 2 0 1

0 112 cos 2 12 2

k k

k k

Nh n h n k nM n N

k MNf n h n k nM

π θ

π θ

⎛ ⎞−⎛ ⎞= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ≤ ≤ −⎧⎝ ⎠⎝ ⎠⎨ ≤ ≤ −⎛ ⎞−⎛ ⎞ ⎩= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

Los filtros de análisis [ ]kh n y de síntesis [ ]kf n se relacionan entre sí como se indica en (3.16). Si se elimina el solapamiento, esta elección asegura la linealidad de fase de la función distorsión ( )0T z .

[ ] [ ]( ) ( ) ( )1

1 0 10 1

k k

Nk k

f n h N n n Nk MF z z H z− −

⎧ = − − ≤ ≤ −⎧⎪⎨ ⎨ ≤ ≤ −= ⋅ ⎩⎪⎩

(3.16)

3. Si los ángulos kθ satisfacen la expresión (3.17), se produce la cancelación de los términos más significativos del solapamiento debidos a los canales adyacentes. Además, para asegurar que la función de transferencia de distorsión total tenga un módulo de la respuesta en frecuencia relativamente plano, se debe imponer la condición (3.18), donde y m son enteros arbitrarios.

1 0 12k k k Mπθ θ+ = ± ≤ < − (3.17)

0 4 2π πθ ⎛ ⎞= ± +⎜ ⎟⎝ ⎠

y 1 4 2M mπ πθ −⎛ ⎞= ± +⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.18)

Hay varias elecciones posibles que cumplen las condiciones anteriores. La más utilizada es


( )1 0 14

kk k Mπθ = − ≤ ≤ −

Otra posible elección para kθ es:

2

0k

k park impar

πθ

⎧⎪= ⎨⎪⎩

Para cualquier conjunto de ángulos kθ , los filtros de análisis y de síntesis no tienen fase lineal, aunque el filtro prototipo sí la tenga.

4. Cuando se han suprimido los términos más significativos del solapamiento, la función de transferencia de distorsión total (3.19) tiene fase lineal, con lo que la señal reconstruida no presenta distorsión de fase.

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )11 1

00 0

1 NM M

k k k kk k

zT z H z F z H z H zM M

− −− −

= =

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅∑ ∑ (3.19)

Sin embargo, a lo largo de los años, se han propuesto diversas técnicas de diseño de filtros prototipo que resultan ser más eficientes que la que se rige por la expresión (3.15). Algunas de estas técnicas se pueden encontrar en [Lin98, Cru08, Cru09] o en las referencias incluidas en dichos trabajos.

Por otro lado, es importante resaltar que la longitud del filtro prototipo condiciona el algoritmo rápido de realización. A modo de ejemplo, se puede indicar que para la modulación coseno mostrada anteriormente, el algoritmo rápido es diferente en función de si la longitud del filtro prototipo es N=2KM ó N=(2K+1)M, siendo K un número entero y M el número de canales, y también es diferente para el caso de que K sea un número par o impar (para más detalle de este ejemplo concreto, consultar [Koi 92, Vai93, Mit01, Vio04, Cru04]).

Aun partiendo de filtros prototipo de fase lineal, si se emplea la modulación coseno anterior se obtienen filtros de análisis y de síntesis que no satisfacen dicha propiedad. Para imponer ésta característica, se puede emplear la modulación mixta (para un sistema de 2M canales) propuesta en [Lin95]:

[ ] [ ]1 1 cosih n k p n i nMπ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠, 0,i i M= = , (3.20a)

[ ] [ ]2 1 cosih n k p n i nMπ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠, ( )1 1i M≤ ≤ − , (3.20b)

[ ] [ ] ( )'2 1ih n k p n M sen i n M

Mπ⎛ ⎞= ⋅ − ⋅ −⎜ ⎟

⎝ ⎠, ( )1 1i M≤ ≤ − , (3.20c)

[ ] [ ]i if n h N M n= + − , 0 i M≤ ≤ , (3.20d)

[ ] [ ]' 'i if n h N M n= + − , ( )1 1i M≤ ≤ − , (3.20e)


siendo [ ]ih n y [ ]'ih n son los filtros que conforman el banco de análisis, [ ]if n y [ ]'

if n los filtros que conforman el banco de síntesis, [ ]1p n el filtro prototipo, y 1k y 2k son constantes.

3.3.2 Modulación exponencial

Otra técnica conocida para el diseño de bancos de filtros consiste en aplicar una modulación de tipo exponencial al filtro prototipo. Si un filtro prototipo es útil para diseñar un banco de filtros coseno-modulado de M canales, también se puede emplear para sistemas de 2M canales obtenidos mediante una modulación exponencial.

En términos generales, se pueden obtener bancos de filtros DFT generalizado (Generalized DFT Filter Banks GDFT-FB), cuyos filtros de análisis ( [ ]kh n ) y de síntesis ( [ ]kf n ) se obtienen a partir de las siguientes expresiones:

[ ] [ ] ( )( )2 21 1 2

k k n nk Mh n c p n W − + += ⋅ ⋅ , (3.21a)

[ ] [ ] ( )( )1 12 2 2

k k n nk Mf n c p n W − + += ⋅ ⋅ , (3.21b)

donde ic , ik y in , 1 2i≤ ≤ , son constantes, y [ ]1p n y [ ]2p n son los filtros prototipo a los que se aplica la modulación.

En [Kar99, Hel99] se muestra la arquitectura de otros sistemas denominados Modified Discrete Fourier Transform (MDFT) tipo 1 y tipo 2, los cuales difieren entre sí en su estructura y en la forma de obtener los filtros de transmisión y de recepción. Si se parte de dos filtros prototipo, ( ) [ ]1

0·pL n

i inP z p n z− −

==∑ , 1 2i≤ ≤ , donde pL es la longitud de los filtros prototipo, los

filtros ( )kH z y ( )kF z se pueden obtener como

( ) ( ) ( )2 21

k D Mkk M MH z P zW W α β⋅ += ⋅ , (3.22a)

( ) ( ) ( )2 22

k D Mkk M MF z M P zW W α β⋅ −= ⋅ ⋅ , (3.22b)

donde M es el número de subbandas o canales, D es una constante que indica un retardo y que está relacionada con pL , 2j M

MW e π−= , y los parámetros α y β dependen del tipo de sistema MDFT. En numerosas ocasiones, ( ) ( ) ( )1 2zP P Pz z= = .

Otro tipo de modulación que ha sido ampliamente utilizada por diversos autores es la que da lugar al Exponentially Modulated Filter Banks -bancos de filtros modulados exponencialmente EMFB. En esta modulación [Vio04, Vio06a, Vio06b], los bancos de análisis y de síntesis se definen como

[ ] [ ] ( ) ( )( )1 2 2 1 21

2 k N n Mk Mh n p n W

M+ − + += ⋅ ⋅ , (3.23a)

[ ] [ ] ( ) ( )( )1 2 2 1 22

4 k n Mk Mf n p n W

M− + + += ⋅ ⋅ . (3.23b)


Los sistemas MDFT y EMFB están relacionados y se pueden deducir del GDFT-FB (Generalized DFT Filter Bank - banco de filtros DFT generalizado) [Vio04]. Otro caso particular de banco de filtros GDFT es la transformada solapada compleja modulada (Modulated Complex Lapped Transform -MCLT), de la que existen algoritmos rápidos de implementación basados en bancos de filtros coseno y seno modulados, cuya implementación eficiente se basa en las transformadas discretas del coseno y del seno, y otros algoritmos que se basan en algoritmos eficientes con la FFT similares a los indicados con anterioridad. Cuando el filtro prototipo es una función seno de una longitud concreta, también se pueden obtener algoritmos rápidos [Mal03].

3.4 Conclusiones

• Los bancos de filtros modulados de M canales son más fáciles de diseñar que los restantes, puesto que sólo es necesario obtener uno o dos filtros prototipos.

• Los esquemas de modulación basados en la DFT se pueden realizar empleando algoritmos rápidos de cálculo. Sin embargo, si la banda de transición del prototipo es estrecha, la atenuación en la banda eliminada es pequeña. Además los coeficientes de los filtros de análisis y de síntesis son en general números complejos.

• Las transformadas solapadas tienen filtros de análisis idénticos a los filtros de síntesis y las salidas de los bancos se pueden obtener utilizando algoritmos rápidos de cálculo basados en la DCT y la DST. El principal inconveniente que presentan se debe la limitación impuesta en las longitudes de los filtros.

• Los bancos de filtros coseno modulado de reconstrucción perfecta presentan las mismas dificultades en la etapa de diseño que los bancos de filtros generales de M canales.

• Los bancos de reconstrucción aproximada simplifican la fase de diseño del banco de filtros, tolerando de manera controlada las distorsiones de amplitud y fase (que se puede anular en función del tipo de modulación elegida) y el error de solapamiento.

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