travaux diriges mecanique des fluides 2013 2014

5/21/2018 Travaux Diriges Mecanique Des Fluides 2013 2014

1/32

ECOLE NATIONALE DELINDUSTRIE MINERALE

RABAT - MAROC

TRONC COMMUN 1reANNEE

MODULE : MECANIQUE DES FLUIDESELEMENT DE MODULE : MECANIQUE DES FLUIDES

TRAVAUX DIRIGES DE

MECANIQUE DES FLUIDES

ANNEE UNIVERSITAIRE : 2013 - 2014


2/32

TRONC COMMUN 1reANNEE ANNEE UNIVERSITAIRE 2013 - 2014

TRAVAUX DIRIGES DE MECANIQUE DES FLUIDES Page 2 sur 32

TABLE DES MATIERES

STATIQUE DES FLUIDES .................................................................................................... 4

EXERCICE N1 .................................................... ............................................................ .................................... 5

EXERCICE N2 .................................................... ............................................................ .................................... 5

EXERCICE N3 .................................................... ............................................................ .................................... 6

EXERCICE N4 .................................................... ............................................................ .................................... 7

EXERCICE N5 .................................................... ............................................................ .................................... 7

EXERCICE N6 .................................................... ............................................................ .................................... 8

EXRECICE N7 .................................................... ............................................................ .................................... 8

EXERCICE N8 .................................................... ............................................................ .................................... 9

EXERCICE N9 .................................................... ............................................................ .................................... 9EXERCICE N10 .................................................. ............................................................ .................................. 10

DYNAMIQUE DES FLUIDES............................................................................................. 11

EXERCICE N2 .................................................... ............................................................ .................................. 12

EXERCICE N3 .................................................... ............................................................ .................................. 13

EXERCICE N4 .................................................... ............................................................ .................................. 14

EXERCICE N5 .................................................... ............................................................ .................................. 14

EXERCICE N6 .................................................... ............................................................ .................................. 15

EXERCICE N7 .................................................... ............................................................ .................................. 15

EXERCICE N8 .................................................... ............................................................ .................................. 16

EXERCICE N9 .................................................... ............................................................ .................................. 17

EXERCICE N10 .................................................. ............................................................ .................................. 18

EXERCICE N11 .................................................. ............................................................ .................................. 19

EXERCICE N12 .................................................. ............................................................ .................................. 20

EXERCICE N13 .................................................. ............................................................ .................................. 20

EXERCICE N14 .................................................. ............................................................ .................................. 21

EXERCICE N15 .................................................. ............................................................ .................................. 22EXERCICE N16 .................................................. ............................................................ .................................. 23

EXERCICE N17 .................................................. ............................................................ .................................. 24

EXERCICE N18 .................................................. ............................................................ .................................. 25

EXERCICE N19 .................................................. ............................................................ .................................. 25

DIAGRAMME DE MOODY................................................................................................ 27

CINEMATIQUE DES FLUIDES .........................................................................................29

EXERCICE N1 .................................................... ............................................................ .................................. 30EXERCICE N2 .................................................... ............................................................ .................................. 30


3/32



EXERCICE N3 .................................................... ............................................................ .................................. 30

EXERCICE N4 .................................................... ............................................................ .................................. 31

EXERCICE N5 .................................................... ............................................................ .................................. 31

EXERCICE N6 .................................................... ............................................................ .................................. 31


4/32



STATIQUE DES FLUIDES


5/32



EXERCICE N1

Un rservoir ferm contient de lessence et de la glycrine (Figure S.1). Les pressions en D et

en E sont gales la pression atmosphrique. La pression dans le rservoir est inconnue.

Calculer la pression au point ( )mzA D 7= ; Calculer la pression au point B ;

Calculer la hauteur Ez .

Application numrique: ;bar013.1P;mkg1260;mkg750 atm3

glycrine

3

essence ===

.sm81.9g 2=

Figure S.1EXERCICE N2

Un manomtre diffrentiel est constitu de deux rcipients cylindriques, de sections droites

respectives 21 SetS , relis par un tube de section intrieure s constante (Figure S.2).

L'ensemble contient deux liquides non miscibles de masses volumiques 21 et .

Figure S.2

Initialement, la pression au-dessus des deux liquides est la mme et gale 0P , la surface

de sparation est dfinie par 21 HetH . En dduire une relation entre 2121 ,, HetH ;

On provoque au-dessus du liquide 1 une surpression P , et la surface de sparation des

deux liquides se dplace de h . En dduire la sensibilitP

h

.

Application numrique : sSSmkgmkg 100;1024;998 213

2

3

1 ==== .


6/32



EXERCICE N3

Un manomtre diffrentiel est ralis en plaant un tube cylindrique vertical dans une cuvette

de grandes dimensions contenant du mercure. Ce tube est ensuite rempli dune certaine

quantit de ptrole (Figure S.3).

Figure S.3

La partie suprieure du tube tant mise la pression atmosphrique 0p , dterminer la

relation entre 00 hetH ;

La partie suprieure du tube tant mise une pression absolue suprieure 0p , on mesure

H dont a vari le niveau du ptrole dans la partie suprieure du tube ;

De quelle hauteur h a vari la surface de sparation ptrole mercure ?;

Exprimer p en fonction de la hauteur H et des constantes HgpDd ,,, ;

Quelle doit tre la masse volumique eq dun liquide qui plac dans un manomtre

diffrentiel en U et soumis la diffrence de pression ( )0pp donne une

dnivellation H ?.

Application numrique : 3800 = mKgp ;

33106.13 = mKgHg .

Quelle doit tre la valeur deDd pour que 34000 = mKgeq ;

Lappareil tant destin mesurer des pressions relatives dans la gamme bar 5.01.0 ,

quelle doit tre la hauteur minimale de la portion de tube de diamtre d? Cest dire

quelle doit tre la valeur de H pour cette gamme de ( )0pp .

Remarque: Si 0pp> (partie suprieure du tube) 0h devient hhh += 0'

0 et 0H devient

HhHH += 0'

0 .


7/32



EXERCICE N4

Un mur vertical spare deux rservoirs o la profondeur de leau est 1h et 2h . On dcoupe

dans ce mur une ouverture carre dont les arrtes horizontales haute et basse sont situes aux

cotes 1z et 2z au dessus du fond horizontal. Elle est obture par une porte plane de mme

dimension (Figure S.4).

Pour les valeurs ci dessus de 1h et 2h :

Calculer la force hydrostatique sexerant sur la porte ;

Dterminer la position du centre de pousse par rapport au fond horizontal ;

Tracer le profil des forces de pressions sur la porte.

Que devient les rsultats prcdents force hydrostatique ; position du centre de pousse ;

profil des forces si 1h est gal m5.0 et 2h inchange.

Application numrique : mh 5.21 = ; mh 42 = ; mz 11 = ; mz 22 = .

Figure S.4

EXERCICE N5

Un bassin contenant de leau sur une profondeur h = 9 m est ferm par une porte verticale

(Figure S.5) constitue par trois panneaux plans superposs (AB, BC et CD).

Quelle doit tre la hauteur de chaque panneau pour que chacun supporte la mme force

hydrostatique? Chaque panneau doit tre renforc au centre de pousse. Dterminer la position de ces

renforts.

Quelle est la force par unit de largeur agissant sur chaque panneau ?

Si la porte tait constitue dun seul panneau et quon veuille la consolider par troisrenforts identiques supportant le mme effort, dduire du calcul prcdent la position que

ces renforts devraient occuper.

Application numrique: g = 10 m /s2

et eau=103kg /m

3.


8/32



Figure S.5

EXERCICE N6

La porte rectangulaire CD (Figure S.6) a pour longueur mL 2= et largeur ml 8.1= (suivant

la perpendiculaire au plan de la figure). Son paisseur tant ngligeable, on donne la masse

surfacique du matriau homogne la constituant : 25110 = mKg . Cette porte a la possibilit

de pivoter autour de l'axe C. On se propose de dterminer la hauteur d'eau H partir de

laquelle la porte s'ouvre pour laisser l'eau s'couler.

Dterminer la force de pression hydrostatique s'exerant sur la porte ; Dterminer la position du point d'application de cette force ; Calculer, d'une part le moment de la force hydrostatique par rapport l'axe de rotation, et

d'autre part le moment du poids de la porte par rapport l'axe de rotation. En dduire lahauteur d'eau Hncessaire pour qu'il y ait ouverture automatique de la porte.

Application numrique : 25110;8.1;2 === mkgmlmL .

Figure S.6

EXRECICE N7

Une vanne constitue dune tle trs mince (de poids ngligeable) a la forme dune cornire

angle droit ; elle est libre de pivoter sans frottement autour de son axe Oz, comme indiqu sur

la figure S.7. La paroi horizontale de la vanne (OB) ferme lentre dune canalisation

circulaire de diamtre 0,3 m, en contact avec lair ambiant pression atmosphrique. Les

deux parois de la vanne (OA)et (OB)ont les mmes dimensions.


9/32



Figure S.7

- Dterminer le moment des forces rsultantes sur la paroi verticale par rapport laxe (Oz).

- Dterminer le moment des forces rsultantes sur la paroi horizontale par rapport laxe

(Oz).

- A lquilibre mcanique de la vanne, calculer la hauteur h.

Application numrique : eau= 1000 kg.m-3, L = 1,5 m , D = 0,3 m , a = 1 m.

EXERCICE N8

Une porte dcluse de largeur L retient de leau liquide suppose incompressible de masse

volumique (Figure S.8).

Calculer la rsultante et le moment rsultant des forces de pressions sexerant sur cetteporte ;

Dterminer la position du centre de pousse par rapport au fond horizontal ;

Application numrique: mLetmhmH 42;6 === .

Figure S.8

EXERCICE N9

On considre un canal rectiligne, de section rectangulaire constante de largeurL . Il est divis

en deux parties par une vanne mobile autour de laxe horizontal O perpendiculaire au canal.

Cette vanne est constitue par une portion de cylindre de rayon R admettant laxe O pour axe

de rvolution. Cet axe se trouve la hauteur l au dessus du fond du canal. Leau contenue

dans la partie A cot gauche de la vanne est suppos au repos. La partie B droite de

la vanne ne contient pas deau (Figure S.9). La vanne ferme compltement le canal, son

arte infrieure tant en contact avec le fond.

Axe de

Rotation

Oz

x

y

D = 0,3 m

Patm

Patma = 1 m

h

Largeur:

L = 1,5 m

Eau

Axe de

Rotation

Oz

x

y

D = 0,3 m

Patm

Patma = 1 m

h

Largeur:

L = 1,5 m

Eau

A

B

Eau

O

Patm


10/32



La hauteur deau dans la partie A tant lh= , dterminer la rsultante des forces de

pousse exerces par leau sur la vanne on calculera son intensit et on dterminera sa

direction ;

Mme question dans le cas o la hauteur deau est mH 5= .Application numrique : mL 4= ; mR 5= ; ml 5.2= ; 210 = smg ; 3310 = mKgeau .

Figure S.9EXERCICE N10

Un barrage poids est form par un prisme triangulaire de bton de densit ddont larte

amont est verticale (Figure S.10).

Quelle condition doit remplir langle au sommet i pour que le barrage nait pas tendance

basculer vers laval autour de O , lorsque leau, de masse spcifique , atteint le haut du

barrage, on supposera que la pression le long de AO est la pression atmosphrique ;

Mme question en supposant que la pression dcrot linairement depuis la pression dans

leau en A jusqu la pression atmosphrique en O Cest ce qui se produirait peu prssi le barrage tait pos sur une couche mince de sable ;

Dans lhypothse de la rpartition de la pression de la premire question, si le barrage tait

de forme rectangulaire, quelle paisseur e devrait il avoir ? Quelle conomie en %

fait on en ralisant un barrage triangulaire ?;

Mme question en se plaant dans lhypothse de la rpartition de pression de la deuxime

question le long de AO .

Application numrique : 2.2=d ; 31 = cmg .

Figure S.10


11/32



DYNAMIQUE DES FLUIDES


12/32



EXERCICE N1

Une conduite deau verticale de section rectangulaire de m40,0m50,0 , parcourue par un

courant deau vitesse uniforme V0, prsente un rtrcissement qui la raccorde une

deuxime conduite rectangulaire de m20,0m50,0 de section. En deux sections AA et BB dece rtrcissement se trouvent deux prises de pression statique relies deux manomtres

mtalliques (Figure D.1). Leau sera considre comme un fluide parfait incompressible et on

supposera que lcoulement est stationnaire.

Quelle diffrence de pression pA-pB indique par les deux manomtres sachant que lavitesse en A est de 0,7 V0, en B de 2,3 V0et le dbit total de 0,6 m

3/s ?

Quelle dnivellation h lirait-on sur un tube en U renvers, surmont dair, branch surces mmes prises de pression?

On prendra g = 10 m /s2et eau=10

3kg /m

3.

Figure D.1

EXERCICE N2

On place dans une canalisation incline de mm150 de diamtre un tube de VENTURI dont le

diamtre du col est de mm60 (Figure D.2). Les prises de pression en 0A et 1A sont relies

un manomtre mercure de masse volumique3

13600 = mKgm . Linclinaison du tube et

les diffrentes ctes de niveaux sont repres par rapport une base horizontale arbitraire. Le

fluide en coulement est une huile incompressible de masse volumique 3830 = mKg .

En supposant que lcoulement, stationnaire et unidimensionnel au moins dans les sections

0A et 1A et que le fluide est parfait, calculer le dbit de ce fluide, et ceci sans quintervienne

linclinaison ventuelle de lappareil.


13/32



Figure D.2

EXERCICE N3

Un rservoir R de grandes dimensions est lalimentation dun tuyau darrosage de diamtre

cm8= dont lentre E se trouve m10 au dessous de la surface libre du rservoir.

Lextrmit du tuyau est situe m30 au dessous de la surface libre du rservoir. Elle se

termine par une tuyre Tdont le diamtre de sortie est cmD 4= (Figure D.3). Le coefficient

de contraction du jet sortant est 1.

On suppose que lcoulement se fait sans pertes de charge et on prendra 210 = smg . Ondemande:

Valeur de la vitesse TV la sortie de la tuyre?;

Quel est le dbit de leau?; Quelle est, dans le tuyau, la valeur de la pression statique en E dbut du tuyau ainsi

quen S, juste en amont de la tuyre?;

Tracer les lignes de charge et pizomtrique de linstallation.

Figure D.3


14/32



EXERCICE N4

Une turbine est alimente par une retenue d'eau (Figure D.4). L'eau sera considre comme un

fluide parfait incompressible et on supposera que le niveau de l'eau dans la retenue est

constant.

Figure D.4

Calculer, dans ces hypothses, la vitesse d'coulement Vcdu fluide au point C (c'est--dire l'entre de la turbine) ;

En dduire le dbit-volume qv de l'eau dans la conduite ;

Justifier que les vitesses d'coulement en B et en C sont gales ; Calculer la pression pB l'entre de la conduite ; Calculer la puissance fournie par l'eau la turbine ;

Application numrique

Diamtre d de la conduite d'alimentation et de dversoir : d = 700 mm ; Pression aux points A, C et D : pA = pD =1,01 bar pC = 1, 1 bar ; Cote des points A, B et C : zA = 363 m zB = 361 m zC = 353 m

EXERCICE N5

Une pompe dbite 9000 litres deau par minute (Figure D.5). Sa conduite daspiration

horizontale a un diamtre de m30.0 . Sur laxe rgne une pression barP 728.01 = , sa

conduite de refoulement horizontal a un diamtre de m20.0 . Sur laxe situ m22.1 plus

haut que le prcdent, rgne une pression barP 7.12 = . En supposant que le rendement de la

pompe est gal 8.0 , quelle puissance mcanique doit - on lui fournir ?. On prendra210 = smg .


15/32



Figure D.5EXERCICE N6

Une conduite circulaire dans le plan horizontal (x,y) (la gravit est suivant laxe z), de

diamtre intrieur 150mm, comporte un coude 120 (Figure D.6). La pression de leau est

de 7bar. Le fluide est considr dans le problme comme tant parfait, et les variations de

pression hydrostatique dans une section droite de la conduite seront ngliges.

Quelle est la projection suivant x de la rsultante des forces sexerant sur le coude quandla vitesse du fluide est ngligeable ?

Quelle est la valeur de cette rsultante lorsque la vitesse de dbit de lcoulementcorrespond un dbit volumique de 100 l.s

-1?

x

y

Diamtre 150mm

120v

Figure D.6: Schma du coude

EXERCICE N7

Etude thorique du rendement dune olienne : Une olienne a pour fonction de convertir

une partie de lnergie mcanique du vent en nergie lectrique. A cet effet, elle comporte un

certain nombre de pales montes sur un arbre qui est mis en rotation sous leffet du vent. Cet

arbre est coupl mcaniquement un alternateur qui produit llectricit. A laide de quelques

hypothses simplificatrices et en appliquant diffrents bilans, cet exercice a pour objectif de

montrer que le rendement mcanique thorique dune olienne ne peut pas excder une

certaine valeur limite proche de 0,6 (loi de BETZ). Pour ce faire, on va modliserglobalement les changes nergtiques entre lolienne et lair (diminution de pression) par

laction dune force rsistante F qui sapplique au fluide dans le plan S des pales ;

inversement, la force exerce par le fluide sur les pales de lolienne est F ; cette force est

dirige dans le sens du vent. La puissance v.F r

est donc la puissance mcanique tW& cdepar le vent lolienne, puissance rcupre sur larbre de rotation qui permet dentraner


16/32



lalternateur.

On assimile lair un fluide parfait, incompressible, non pesant et on suppose que

lcoulement est stationnaire (ce qui peut paratre paradoxal pour une olienne qui induit une

instationnarit priodique ; on considre donc quon moyenne dans le temps ce qui se passe

dans le plan des pales).

Patm, v1

Patm, v2

Plan des

pales

v1v2

v

P1=Patm

P2=Patm

vitesse

pression

Patm, v1

Patm, v2

Plan des

pales

v1v2

v

P1=Patm

P2=Patm

v1v2

vv1v2

v

P1=Patm

P2=Patm

P1=Patm

P2=Patm

vitesse

pression

Figure D.7

- Dfinir un volume de contrle (Figure D.7).

- Effectuer un bilan de masse pour relier S1,S2, v1et v2.

- En effectuant un bilan de quantit de mouvement, exprimer F en fonction du dbit

massique m& qui traverse lolienne, de v1et de v2. En dduire une premire expression de

la puissance mcanique tW& cde par lair au passage de lolienne.

- En effectuant un bilan dnergie cintique, trouver une autre expression de tW& . En dduire

que : v= (v1+v2)/2.- En dduire lexpression du rendement thoriquede lolienne en fonction du paramtrex

= v2/v1.

- Montrer que ne peut pas excder une valeur limite gale 15/27 ~ 0,6.

Application numrique 1 : on suppose que lolienne fonctionne son rendementmaximum (donc pour x=1/3) avec une vitesse de vent v1 = 15 m.s

-1. Le diamtre de

lolienne est 25 m.

Application numrique 2: on suppose que lolienne fonctionne son rendementmaximum (donc pour x=1/3) avec une vitesse de vent v1 = 15 m.s

-1. Le diamtre de

lolienne est 126 m.

EXERCICE N8

Un liquide de masse volumique scoule travers une conduite qui se termine par 2

ramifications (Figure D.8). Les deux rejets dans les deux tronons sortent avec une

vitesse 32 VV = . Les axes de la conduite et des tronons sont situs dans un mme plan

horizontal.

Hypothses: Fluide idal, incompressible et coulement permanent.

Donnes:1

32

33

321 210;5.7;15 ====== smVVetmKgcmDDcmD .


17/32



Calculer la vitesse1

V ;

Dterminer la force (intensit, sens et direction) exerce par le liquide sur cette conduite.

Figure D.8

EXERCICE N9

La sortie Tdune conduite BTde longueur mL 10= se trouve m21 sous la surface libre

dun rservoir R de grandes dimensions (Figure D.9). La vitesse la sortie de la conduite est120 = smVT .

Dterminer la hauteur dun jet jh (on ngligera les frottements avec lair);

En dduire les pertes de charge H ;

Quelle est la pression en C(Longueur mBC 5= ).

On considre un coulement rel, et on prendra2

10

= smg .

N.B.: Lexprience montre que les pertes de charge dans une conduite ( )DL, o la vitesse

moyenne de lcoulement est V sont proportionnelles

Dg2

LV2

Dg

VLH

2

2

= .

Figure D.9


18/32



EXERCICE N10

Ecoulement rel dans un siphon cavitation : Pour soutirer de l'eau dans un rservoir degrandes dimensions, on utilise un tuyau de 100 mm de diamtre. L'eau dbite, en jet libre, la

sortie du tuyau situe 6 m au-dessous du niveau de la surface libre du rservoir. Le tuyau

qui, par rapport au rservoir, prsente une zone en siphon a la forme et la longueur indiques

sur la figure D.10. Les trois coudes (1, 2 et 3) sont angles droit et vifs (coefficient de pertede charge de chaque coude : 1K ). La perte de charge singulire la sortie (en S) a un

coefficient 1K et celle lentre (en E) est ngligeable. On prendra g = 10 m /s2, eau=10

3

kg /m3et eau=10

-6m

2/s.

En admettant que l'coulement soit turbulent, hydrauliquement rugueux, et que lacanalisation ait une rugosit = 0,1 mm.

Calculer la vitesse du fluide dans la canalisation ainsi que le dbit d'eau obtenu avec un

tel systme.

Calculer le nombre de Reynolds Re et vrifier que l'hypothse de l'coulement

turbulent, hydrauliquement rugueux est acceptable.

Calculer les pertes de charge dans chaque tronon (JE1, J12, J23, J3S, Jsortie et Jcoudes) Reprsenter, sur un diagramme "en ligne", l'volution de la charge moyenne relative

du fluide dans la canalisation, l'volution de la hauteur pizomtrique relative du

fluide dans la canalisation ainsi que celle de l'altitude des diffrentes sections droites.

Quelle valeur maximale de L23(dnivellation entre 2et 3) peut-on admettre sans atteindrela cavitation (passage en phase vapeur si p =psat = 23 mbar). Considrer successivement

les hypothses:

Leau est un fluide parfait,

Leau est un fluide visqueux.

Pression atmosphrique:p0= 1,013 bar.

Figure D.10Formules :

Nombre de Reynolds:

UDRe=

Charge moyenne dun fluide dans une section droite : zg2

U

g

pC

2

++=

( 1 pour un

coulement turbulent)

1

E

S

O

2

3

L23= 10 m

2 m

3 m

1 m

2 m

4 m

z = 0

p0

0


19/32



Pertes de charges rgulires:g2

U

D

LJ

2

rgulires =

Pertes de charges singulires:g2

UKJ

2

sSingulire =

Coefficient de pertes de charges rgulires:

Re > 105Ecoulement turbulent,

hydrauliquement rugueux

D71,3log2

1

, indpendant de Re

EXERCICE N11

Une turbine est installe sur une conduite rectiligne reliant deux biefs dont la diffrence de

niveau est de m30 (Figure D.11). On prendra 210 = smg .

Le dbit maximal de la turbine est de 1310 sm , pour lequel la perte de charge linaire

Dg

VLH

2

2

= dans la conduite est de m1 . Quelle est la charge consomme par la

turbine ainsi que la puissance lectrique de linstallation, sachant que le rendement de la

turbine est 8.0= ?;

Afin dobtenir une trs grande production dnergie de jour, on installe une nouvelleturbine plus puissante sans changer de conduite:

Ecrire la relation qui donne la puissance de linstallation en fonction du dbit et en

dduire la valeur du dbit qui permet dobtenir la puissance maximale. Calculer cettepuissance;

Que devient la perte de charge pour ce dbit. Le rendement tant toujours de 8.0 et on

supposera que demeure constante.

La conduite est en fonte (dimension des rugosits mm1= ) de diamtre m2 , quel est le

rgime dcoulement dune part avec lancienne turbine et dautre part avec la nouvelle?

Quelle est la longueur totale de la conduite?;

On prendra 12610 = sm et 2107.1 = .

Les deux extrmits de la conduite ont leur axe m3 au dessous des surfaces libres, la

turbine est m23 au dessous de la surface libre du bief amont, quelle est la pression

lentre de la turbine (en eaudm ' ).


20/32



Figure D.11

EXERCICE N12

La pompe P fournit une hauteur de charge de m20.42 leau vers Ecomme le montre la

figure D.12. Si la pression en Cest de bar15.0 et si la perte de charge de D Eest de

g

V

28

2

, quel est le dbit deau?.

Figure D.12EXERCICE N13

Une pompe, de puissance utile kW36 , remonte de leau entre un bassin et un rservoir

travers une conduite de diamtre mm135 (Figure D.13). La vitesse dcoulement de leau

dans la conduite est de 16 sm .


21/32



Figure D.13

Calculer le dbit volumique de leau dans la conduite ; Calculer le nombre de Reynolds pour lcoulement de leau dans la conduite ;

lcoulement est-il laminaire ou turbulent ?

Calculer la diffrence de pression entre la sortie et lentre de la pompe.

Calculer les pertes de charge linaires dans la conduite entre les points 1 et 4 ;

Calculer le coefficient de perte de charge linaire dans la conduite de longueur gale m65 ;

Le rendement de la pompe tant de %84 , calculer la puissance absorbe par la pompe.

Application numrique:

mzmzzz 35;20;0 4321 ==== (laxe Oz est vertical ascendant);

mbarpp 101341 == ;

Viscosit cinmatique de leau : 12610 = sm ;

On nglige les pertes de charge singulires dans les coudes et dans la pompe.

EXERCICE N14

On considre un coulement deau dans une canalisation horizontale (Figure D.14) qui

prsente un diamtre dentre 1D et un diamtre de sortie 2D . Entre ces deux sections, est

place une turbine qui consomme une partie de lnergie du fluide pour dlivrer une puissance

P avec un rendement . Ce rendement prend aussi en compte les pertes de charge dans

lensemble de cette canalisation. Les conditions dentre de cette conduite sont dfinies par la

pression 1P et la vitesse 1V . On supposera que lcoulement est unidimensionnel dans les

sections dentre et de sortie et que les frottements au niveau des parois sont ngligeables.


22/32



Figure D.14

Donnes : KWPmDmD 67;45.0;6.0 21 === ;1

11 6.402.1;9.0 === smVetbarP .

Dterminer la vitesse 2V la sortie de la conduite, valeur numrique?; En utilisant le thorme de Bernoulli entre les sections dentre et de sortie, calculer la

valeur de la pression 2P la sortie tenir compte de la quantit dnergie consomme par

la turbine, c'est--dire perdue par le fluide , valeur numrique de cette pression ?;

En appliquant le thorme des quantits de mouvement un volume fluide choisi demanire appropri, dterminer la composante horizontale de la force applique par le

fluide en coulement sur llment de canalisation tudi force sur toutes les parois

solides concernes .

EXERCICE N15

La figure D.15 reprsente un schma de distribution deau. Leau est puise lintrieur dun

rservoir niveau constant par une tuyauterie horizontale relie une pompe. Leau est

ensuite leve et distribue lair libre aux points A et B . La tuyauterie comprend en Cun

convergent puis un canal de longueur CD de section 212 cmS= , suivie dune section de

longueur DP de section 2' 45 cmS = aboutissant ladmission de la pompe. Les lments de

tuyauterie NBetNAONP ,' ont pour section 212 cmS= . On supposera que la seule perte de

charge dans le circuit est due llargissement en D . Les valeurs absolues des diffrentes

ctes sont prcises sur la figure D.14, les points A et B sont sur la mme verticale.

On tudiera dabord lcoulement dans llment ONAB (Figure D.16). La branche ONest horizontale et lensemble est situ dans un plan vertical. La vitesse de leau en O et

0V , la pression en A et B est gale la pression atmosphrique. Les hauteurs AN'

et

BN'

sont respectivement gales a et b . Exprimer en fonction des donnes prcdentes

les vitesses de leau AV et BV dans les branches NA et NB ainsi que la pression 0p en

O ;

Application numrique : PapmbmasmV atm51

0 10;2.2;1.1;11 ====

.

En utilisant le thorme de quantits de mouvement appliqu un domaine de contrlejudicieusement choisi, dterminer laction du fluide sur la canalisation ONAB ;

Application numrique : mNNON 2.2' == .


23/32



Dterminer la puissance fournir par la pompe. Le coefficient de la perte de charge due

llargissement brusque est gal

2

'1

=

S

SK .

Figure D.15

Figure D.16

EXERCICE N16

Une installation de pompage (Figure D.17) alimente un rservoir partir dune nappe deau

dont le niveau peut varier. Les pertes de charge dans la crpine dpendent du dbit cest dire

de la vitesse dans le tuyau daspiration. On peut les exprimer sous la formeg

VKcr

2

2

.

Empiriquement on a trouv 8.0=crK . La rugosit des tuyaux en fonte est en moyenne

mm15.0= . Le coude en fin de ligne a la forme dun demi cercle, il entrane une perte de

charge singulire dune valeur deg

VKc

2

2

avec 2.0=cK . Le dbit de fonctionnement normal

est 170 = slQ et ceci pour une hauteur mh 5= .


24/32



Figure D.17

La viscosit cinmatique de leau 12610 = sm ( )C20 .

Quelle est la puissance du moteur de la pompe si celle ci a un rendement 9.0= ?;

On constate que la pompe commence caviter ds que la pression son entre descend endessous de bar2.0 (en pression absolue). Quelle est la valeur maximale de h pour quil

ny ait pas de cavitation ?.

Remarques: Le coefficient de perte de charge est dterminer laide du diagramme deMOODY.

EXERCICE N17

De leau scoule radialement entre deux disques situs lextrmit dun tuyau de diamtre

d(Figure D.18). On ngligera les pertes de charge dans la conduite et entre les disques.

Figure D.18


25/32



Trouver une expression pour le dbit Q en fonction de la pression en A ;

Calculer la pression ( )rP en fonction du dbit et en dduire la force sur le disque

suprieur on ngligera les pressions sur la partie centrale du disque pour

2

dr< ;

Application numrique: rsoudre les questions prcdentes en utilisant les donnes

numriques suivantes : 297000;5.2;5.1;2.1 ==== mNPcmemlmD A .

EXERCICE N18

Une conduite cylindrique de rvolution est, gauche dune section A , divise par un plan

passant par son axe. Lune des moitis est alimente par de leau, anime dune vitesse 1V .

Lautre moiti de leau est anime de la vitesse2

1V (Figure D.19).

En aval de A , aprs une zone perturbe lcoulement est redevenu uniforme dans une section

B . On admet que dans les sections A et B , la pression est constante. On nglige le

frottement entre leau et la conduite.

Calculer en fonction de 1V , la vitesse 2V dans la section B et la diffrence de pression

( )21 PP en appliquant le thorme de quantit de mouvement.

Figure D.19

EXERCICE N19

Ecoulement de deux fluides non miscibles : Deux liquides newtoniens, non miscibles et

incompressibles ayant des viscosits dynamiques diffrentes sont dlimits par deux parois

infinies, parallles et horizontales (Figure D.20). La paroi infrieure est fixe, tandis que la

paroi suprieure se dplace la vitesse U. Le mouvement des fluides est entirement

provoqu par le dplacement de la paroi suprieure, cest--dire quil ny a pas de gradient de

pression axial (selon x). On admettra que la vitesse et la contrainte tangentielle de cisaillement

doivent tre continues linterface entre les deux fluides.

- Dterminer la vitesse linterface entre les deux fluides.

Application Numrique: Le fluide 1 est de leau ; le fluide 2 est de lhuile de viscosit-1-12

2 .skg.m10= .


26/32



1111

U

2222h

h xy

immobile

1111

U

2222h

h

xy

immobile

Figure D.20


27/32



DIAGRAMME DE MOODY


28/32




29/32



CINEMATIQUE DES FLUIDES


30/32



EXERCICE N1

La mesure de la vitesse des gaz dans une tubulure dchappement en aval du catalyseur dun vhicule

automobile (Figure C.1) donne lexpression suivante: ( ) ( )tsinaevt,xv bx += 10 , o x est la position

du point de mesure, et tdsigne le temps ( )1110 1205005052 ==== s.rad;m.b;,a;s.m,v .Le termeen ( )tsin traduit le fonctionnement priodique du moteur, tandis que le terme en bxe traduit

lamortissement des pulsations dans la tubulure lorsquon sloigne du moteur.

Calculer numriquement lacclration du fluide aux points 0=x et m,x 51= linstant 0=t .

1,5 m

vx

Pot dchappementCatalyseur

Collecteur de gaz dchappement

1

,5 m

vx

Pot dchappementCatalyseur

Collecteur de gaz dchappement

Figure C.1

EXERCICE N2

Un coulement plan est dfini par le champ des vitesses suivant :

tyV

txU

+=

+=

O treprsente le temps.

Calculer lquation linstant 0=t de la ligne de courant qui passe par le point de

coordonnes 11 == yetx ;

Calculer lquation de la trajectoire dune particule qui passe linstant 0=t par ce point.

EXERCICE N3

Un coulement est dfini par le champ des vitesses suivant :

0

0

0

=

+=

=

W

taVV

UU

O aetVU 00 , sont des constantes.

Etudier les lignes de courant ;

Y a t il dformation ?;

Dterminer les trajectoires.


31/32



EXERCICE N4

Lcoulement dun fluide incompressible est dfini par les relations :

ykV

xkU

=

=

O 0>k

Quelles sont les lignes de courant de cet coulement ?;

Cet coulement est il irrotationnel ?;

Calculer lacclration ;

Comment se dforme une particule fluide rectangulaire.

EXERCICE N5

On considre un coulement plan stationnaire dont le tenseur gradient de vitesse est donn,

dans des axes orthonorms 21 et , par la matrice :

0

0

b

a

x

u

j

i

beta sont des constantes.

Calculer les composantes des tenseurs taux de rotation et de dformation ;

Lcoulement est-il incompressible ?;

A quelle condition liant beta lcoulement est-il irrotationnel ? ;

Quels sont les champs de vitesse qui correspondent au gradient de vitesse propos, les

constantes dintgration tant prises nulles ?;

Donner les quations du vecteur acclration en variables Eulriennes ;

Donner les quations des trajectoires et des lignes de courant ;

Quel mouvement particulier obtient on si ab = ?.

EXERCICE N6

Le tenseur gradient de vitesse dun coulement stationnaire est donn dans un repre

orthonorm ( )321 0,0,0 xxxR par :

000

00

0

a

sa

x

u

j

i

aets sont deux constantes.


32/32



Calculer les composantes des tenseurs du taux de rotation locale et taux de dformation ;

Lcoulement est il incompressible? , irrotationnel? Rappeler le sens physique, dans la

base 32,1 et des lments constituant le tenseur taux de dformation;

321 ,, UUU tant les composantes du vecteur vitesse, donner les composantes de

lacclration dans le repre R en fonction de setaUUU ,,, 321 ;

Quels sont les champs de vitesse correspondant ce gradient ? Dans la suite on se limitera

au cas o la seule constante dintgration non nulle est associe la composante 3U ;

Donner les quations des lignes de courant et des trajectoires sous la forme

( ) ( )3231 , XgXXfX == .

travaux diriges mecanique des fluides 2013 2014

Documents