travaux pratiques de mécanique des fluides 0

Mécanique des fluides / 1

Master de Sciences de l’Univers (M1) Master de Physique et Applications (M1) Université Paul Sabatier, Toulouse III

Travaux pratiques de

Mécanique des fluides

Objectifs :

1- Utiliser un débitmètre simple : diaphragme inclus dans une conduite de liquide. Cet

appareillage est utilisé dans les chromatographes en phase gazeuse ou liquide. Mettre en évidence la différence entre le débit théorique et le débit mesuré.

2- Etudier et visualiser l’écoulement de l’eau dans un tube cylindrique. 3- Mettre en évidence les limites de l’hypothèse fluide parfait et évaluer les pertes de

charges régulières et singulières en canalisation. 4- Observer, mesurer et expliquer le fonctionnement d’un siphon naturel.


1 Généralités

1.1 Définition du fluide Un fluide peut être considéré comme étant formé d'un grand nombre de particules matérielles,

très petites et libres de se déplacer les unes par rapport aux autres. On le définit donc comme un milieu matériel continu, déformable, sans rigidité et qui peut s'écouler. Parmi les fluides, il est classique de faire la distinction entre les liquides et les gaz.

1.2 Liquides et gaz

Les liquides et les gaz habituellement étudiés, sont isotropes, mobiles et visqueux. La propriété physique qui permet de faire la différence entre les deux est la compressibilité.

� L'isotropie du milieu assure que les propriétés sont identiques dans toutes les directions de l'étude. � la mobilité fait qu'ils n'ont pas de forme propre et qu'ils prennent la forme du récipient qui les

contient. � la viscosité caractérise le fait que tout changement de forme s'accompagne (fluide réel) ou non

(fluide parfait) d'une résistance. � la compressibilité d'un liquide est pratiquement nulle, du moins dans les domaines de pressions et

de températures habituels. Donc, pour un liquide, le principe de conservation de la masse, peut être transformé en principe de conservation du volume.

1.3 Mesure d'une pression

1.3.1 Unité de pression

L'unité de pression du système SI est le Pascal (Pa) ou N.m-2.. Toutefois, les unités de pression employées sont très variées et dépendent des domaines où elles sont utilisées. Il faudra n'utiliser, dans les formules, que des unités cohérentes et pratiques. La pression absolue est toujours positive.

1.3.2 Pression absolue, pression effective Il est habituel de choisir la pression atmosphérique P0 comme origine des pressions. La

pression correspondante est la pression effective ou relative : Pe = P – P0. La pression effective peut être positive ou négative. La grande majorité des manomètres sont gradués en pression effective.

1.3.3 Mesure d'une pression par une colonne de liquide

Soit M un point d'un liquide en équilibre. A la côte de M, un piquage est effectué, sur lequel est relié un tube dont la seconde extrémité débouche à l'air libre. Le niveau de liquide atteint le point A de cote H. Appelons PM la pression en M et P0 la pression atmosphérique. On a alors :

Hg

PPgHPP M

M =−

=−ρ

ρ 00 soit

avec ρ la masse volumique du liquide et g l’accélération de la pesanteur.

La différence de pression entre le point M et l'atmosphère est donnée par H, exprimée en hauteur de liquide de poids volumique ρg. Le niveau atteint par le liquide est appelé le niveau piézométrique. Il est indépendant de l'inclinaison du tube par rapport à la verticale. Le tube transparent permettant la lecture du niveau piézométrique s'appelle tube piézométrique.


1.3.4 Notion de pression dans une conduite

La conduite peut être assimilée à un filet de courant (voir définition au paragraphe suivant) et la vitesse est la même dans toute la section droite. Lorsque la conduite est cylindrique, notamment, les lignes de courant sont parallèles aux génératrices et la répartition des pressions est hydrostatique dans une section droite. Donc :

P + ρgh = cste Si l'on branche une série de tubes piézométriques dans la section droite, tous les niveaux piézométriques sont identiques. Ils mesurent, par rapport au plan de référence, la quantité :

H ZP

gAM= +

ρ

qui ne dépend pas de la position de la prise de pression dans la section droite. En effet, en A, il est raisonnable de penser que la pression P ne subit pas de discontinuité lorsque l'on passe de la conduite au tube piézométrique.

En conclusion, la lecture d'un piézomètre, relié à une prise de pression, fournit une valeur de la pression motrice

H ZP

gMM= +

ρ

exprimée en hauteur de colonne de liquide de masse volumique ρ. L'origine de la règle graduée détermine le plan horizontal de référence et la mesure fournit une valeur de pression effective,puisque le tube est ouvert à l'atmosphère.


2 Quelques éléments de dynamique des fluide 2.1 Equation de continuité

Les caractéristiques décrites ci-dessous concernent les liquides en écoulements incompressibles, isentropiques et enfin permanents.

2.1.1 Ligne de courant Une ligne de courant est la trajectoire d'une

particule fluide dans un écoulement permanent. La vitesse, au point M de l'écoulement est alors égale à la vitesse de la particule lorsqu'elle passe en M. Lorsque l'écoulement n'est pas permanent, lignes de courant et trajectoires ne sont pas confondues.

2.1.2 Filet et tube de courant Considérons autour du point M une surface élémentaire perpendiculaire à la direction du vecteur vitesse de M. L'ensemble des lignes de courant la traversant constitue un filet de courant. Soit maintenant un ensemble de filets de courant traversant une section droite S autour de M, nous définissons alors un tube de courant, limité par une surface latérale s'appuyant sur le contour de S et constitué par une infinité de lignes de courant.

Le filet de courant est la limite vers laquelle tend le tube de courant lorsque S tend vers O. La surface latérale peut être matérialisée par la paroi solide d'une canalisation cylindrique.

2.1.3 Débit en volume Soit un tube de courant de section transversale constante, le débit volumique d'écoulement à

travers le tube de courant est la quantité de liquide, en volume, qui traverse l'une quelconque des sections de ce tube de courant pendant l'unité de temps. Cette grandeur, notée Q, s'exprime en m3.s-1. Cette quantité de liquide occupe un volume cylindrique de base S et de longueur égale à V, correspondant à la longueur du trajet effectué pendant l'unité de temps, par une particule fluide, traversant S. Il en résulte que : Q = V.S.

Cette relation implique toutefois que toutes les particules fluides traversant la section S du tube de courant ont même vitesse V. Le profil des vitesses, à travers la section S, est dit uniforme.

Cependant, la relation précédente se généralise pour un profil des vitesses non uniforme (cas d'écoulement de liquide visqueux) en considérant que V est une vitesse moyenne d'écoulement. Cette vitesse, aussi appelée vitesse débitante, peut être calculée en divisant le débit moyen par la section de la conduite.

2.1.4 Equation de continuité Si la section transversale S varie le long du tube de courant, il est possible d'écrire : 2211 VSVSQ == (1)

� V1 désignant la vitesse d'écoulement dans la section S1 � V2 désignant la vitesse d'écoulement dans la section S2

En effet, pour un écoulement permanent d'un liquide incompressible, le débit d'écoulement est constant. La quantité de liquide traversant la section S, pendant un intervalle de temps unitaire est donc égale à quantité de liquide traversant la section S2 pendant le même intervalle de temps.


2.2 Conservation de l’énergie et théorème de Bernoulli

2.2.1 Fluide parfait

Un fluide est dit parfait si sa tension de surface et sa viscosité sont nulles.

2.2.2 Théorème de Bernoulli en écoulement de fluide parfait

a) Enoncé

Pour l’écoulement d’un fluide parfait, le théorème de Bernoulli résulte de la conservation de l'énergie. L’écoulement est supposé permanent, isentropique et incompressible. Considérons à un instant donné une portion de tube de courant ABCD. Soient P1 et V1 la pression et la vitesse du liquide dans la section AB de surface S1 et de cote moyenne z1. Soient P2 et V2 la pression et la vitesse du liquide dans la section CD de surface S2 et de cote moyenne z2. Les altitudes sont repérées par rapport à un plan de référence, horizontal.

ll a été montré par Daniel BERNOULLI en 1738 que, le long de sa trajectoire, une particule fluide conserve la quantité :

tetanconsv21

gZP 2 =ρ+ρ+ (équation en pression)

C'est le théorème de Bernoulli, qui peut encore s'écrire sous la forme :

tetanconsg2

vZ

gP 2

=++ρ

(équation en hauteur de liquide)

Remarque : en régime permanent, on peut écrire que les deux quantités précédentes se conservent le long de toutes les lignes de courant.

b) Equation en pression Les différents termes de cette équation ont la dimension d'une pression et sont :

o P : pression hydromécanique ou simplement pression, o ρgz :pression de pesanteur, o 1/2ρV2 : pression dynamique ou surpression d'arrêt.

Il faut noter que la seule pression qui existe réellement dans un courant, c'est-à-dire la contrainte créé par la force superficielle normale est la pression P.


c) Équation en hauteur de liquide

Les termes de cette équation ont la dimension d'une hauteur de colonne de liquide et sont appelés : o

g P

ρ: hauteur piézométrique

o Z : cote ou hauteur de position

o g 2

V 2: hauteur dynamique ou hauteur due à la vitesse.

En régime permanent, pour un liquide parfait en mouvement, la somme des trois hauteurs : la hauteur de position, la hauteur piézométrique et la hauteur dynamique est constante le long d'un tube de courant et s'appelle la hauteur totale H dite hauteur de charge ou hauteur du plan de charge.

d) Représentation graphique de l'écoulement.

La représentation graphique de l'écoulement est schématisée sur la figure ci-dessus où les trois hauteurs citées sont portées le long d'un tube de courant. La hauteur de position sépare le plan de référence au centre G de la section S du tube. La ligne obtenue en portant verticalement, à partir de G, une distance égale à ( )g/P ρ , s'appelle la ligne piézométrique ; elle peut être considérée comme le lieu géométrique des niveaux de liquide dans des piézomètres installés le long du tube de courant. En portant verticalement au-dessus de la ligne piézométrique une distance égale à ( )g2/V2 on obtient la ligne de charge qui, dans le cas d'un liquide parfait est horizontale.

Dans le cas où la section de la canalisation est constante, le plan de référence, la ligne piézométrique et la ligne de charge sont parallèles. En effet, la section de la veine fluide étant constante, la vitesse est constante et par suite le terme ( )g2/V2/ l'est également.


d) Sens énergétique de l'équation de Bernoulli

Appelons énergie spécifique d'un liquide son énergie mécanique rapportée à l'unité de poids :

g

Ee

ρ= (2)

Chaque terme de l'équation de BERNOULLI exprime une des formes possibles de l'énergie spécifique d'un liquide :

� Z est l'énergie spécifique de position : une particule liquide de masse ρ à une hauteur z par rapport au plan de référence, possède une énergie de position gzρ ce qui, rapporté à l'unité de

poids donne ggz

zρρ= .

� ( )g/P ρ est l'énergie spécifique de pression. Une particule de liquide de masse unité à la pression P est capable de s’élever d’une hauteur h=P/(ρg) et donc d’acquérir une énergie de

position gg

Pρ

.

� ( )g/PZ ρ+ est l'énergie potentielle spécifique du liquide. � ( )g2/V2 est l'énergie cinétique spécifique du liquide ramenée à l’unité de poids de ce

dernier.

� g2

Vg

PZH

2

+ρ

+= est l'énergie spécifique totale du liquide en mouvement.

L'équation de Bernoulli exprime le principe de la conservation de l'énergie mécanique dans un liquide parfait. Au cours du déplacement, une des formes d'énergie peut se transformer en une autre; cette transformation doit s'effectuer de telle façon que l'énergie spécifique totale reste constante. L'énergie de position et l'énergie cinétique sont propres aux corps solides et liquides. Pour ce qui est de l'énergie de pression, cette forme d'énergie n'est propre qu'aux liquides.


2.3 EFFET COANDA

Le théorème de Bernoulli, sous sa forme la plus générale, permet de conclure à la conservation de l’énergie le long d’une trajectoire fluide. Il est souvent intéressant d’obtenir des information dans la direction orthogonale, i.e. orthogonalement aux trajectoires ou aux lignes de courant si l’écoulement est permanent.

Il est nécessaire pour établir cette relation de revenir un instant aux équations de Navier-Stokes en écoulement visqueux, incompressible et isentropique:

vPgradFdtvd

V

��

�∆µ+−δ=ρ=γρ (3)

� γ�

et v�

: l’accélération et la vitesse de la particule fluide,

� ρ : la masse volumique du fluide,

� VF�

δ : la résultante des forces volumiques s’appliquant sur une particule fluide de volume unité,

� P : la pression statique,

� µ: la viscosité dynamique.

L’accélération peut être décomposée en une composante parallèle à la trajectoire de la particule fluide et une composante orthogonale :

nRv

dtdv 2

��+τ=γ (4)

� ( )n,��τ : respectivement la tangente et la normale (dans le plan osculateur) à la trajectoire ( n

� est

orientée vers l’intérieur de la trajectoire),

� R : le rayon de courbure de la trajectoire de la particule (soit encore le rayon du cercle osculateur

au point considéré).

Effet Coanda:élargissement d’un jet

x

z

0

P-

n�

M1M2

Patm

A

B

Pour un écoulement de fluide parfait (ou à grand nombre de Reynolds) dans lequel il est possible localement de négliger l’effet des forces de volume, les équations de Navier-Stokes projetées sur n

�amènent :

Rv

nP 2ρ−=

∂∂

avec « n » suivant la normale.

Conclusion : Effet Coanda: la pression dans un écoulement de fluide parfait diminue vers l’intérieur

de la trajectoire.

Mécanique des fluides / 10 10

2.4 Ecoulement de fluides visqueux et pertes de charge

2.4.1 Variations de la ligne de charge Pour un écoulement réel, c'est-à-dire un courant de liquide visqueux de dimensions finies et

limité par des parois solides, il est indispensable de tenir compte de la répartition des vitesses dans les sections ainsi que des pertes d'énergie ou de charge.

Lorsqu’un liquide visqueux se déplace le long d'une paroi solide -tuyau- le courant est ralenti par l'action de la viscosité et des forces d'attraction moléculaire liquide-paroi. La répartition des vitesses est alors semblable à celle représentée sur la figure ci-dessus. La valeur de la vitesse diminue lorsqu'on se rapproche de la paroi ; elle est supposée nulle sur la paroi.

L'irrégularité de la répartition des vitesses entraîne le glissement des couches liquides les unes

par rapport aux autres, ce qui a pour résultat de créer des forces tangentielles ou de frottement. De plus, le mouvement d'un liquide visqueux s'accompagne souvent de la rotation des particules, de mouvements tourbillonnaires et de brassage. Dans un tel écoulement, l'énergie spécifique se dépense peu à peu pour vaincre la résistance au mouvement.

L'équation de Bernoulli, pour un courant réel, prend la forme :

Hg2

VZ

gP

g2V

Zg

P 22

222

21

111 ∆+α++

ρ=α++

ρ (6)


Elle diffère de l'équation analogue pour un courant élémentaire de liquide parfait par le terme ∆h qui représente la perte d'énergie spécifique - pertes de charge- entre les deux sections considérées, et par les coefficients α qui tiennent compte de l'irrégularité de la répartition des vitesses. De plus, les vitesses qui rentrent dans cette dernière équation sont des vitesses moyennes dans les sections correspondantes. Dans le cas où la répartition des vitesses est régulière (pour le présent TP), le coefficient αααα est égal à l'unité.

L'écoulement peut être représenté graphiquement par un diagramme, de la même façon que

pour un liquide parfait, mais en tenant compte de la perte de charge. Cette dernière grandeur est elle aussi une hauteur particulière qui augmente sans arrêt le long du courant.

Le plan de charge correspond à la hauteur (énergie spécifique) relative à la section de départ du circuit hydraulique. Entre deux points G1 et G2, la perte de charge est donnée par la différence de côte ∆H de la ligne de charge sur les verticales passant par ces deux points par rapport au plan de charge. Cette énergie perdue se transforme en un autre type d'énergie, l'énergie thermique, ce qui entraîne une augmentation de la température du liquide.

Le plan de charge reste horizontal s'il n'y a pas d'appareils générateurs (pompes) ou consommateurs (turbines) d'énergie dans le circuit hydraulique. Dans le cas contraire, il subit des discontinuités de cote quand le fluide traverse ces appareils.

2.4.2 Modélisation des pertes de charge a) Le coefficient de pertes de charge Les pertes d'énergie spécifique souvent dénommées pertes de charge dépendent de la forme,

des dimensions et de la rugosité du canal, de la vitesse d'écoulement et de la viscosité du liquide, mais non de la valeur absolue de la pression qui règne dans le liquide. Quoique la viscosité soit la cause première de toute perte de charge, elle n'a pas toujours une influence sensible sur la grandeur de ces pertes.

Dans la plupart des cas, on montre expérimentalement que les pertes de charge sont à peu près proportionnelles au carré de la vitesse et s'expriment sous la forme :

g2

VH

2

ζ=∆ (7)

Le coefficient de pertes de charge ξ est le rapport de la perte de charge à la hauteur dynamique. En général, on distingue deux genres de pertes de charge : les pertes de charge locales (encore

appelées pertes de charge singulières) et les pertes réparties (ou pertes de charge régulières ou linéaires).


b) Les pertes de charge régulières Les pertes réparties - pertes de charge régulières - sont des pertes d'énergie qui naissent dans

des tuyaux à section constante, c'est-à- dire quand l'écoulement est régulier. Elles augmentent proportionnellement à la longueur du tuyau. Ces pertes sont causées par les processus diffusifs à l’intérieur de l’écoulement et le frottement sur la paroi intérieure de la conduite, c'est pourquoi elles se rencontrent aussi bien dans les tuyaux rugueux que dans les tuyaux lisses.

On peut trouver dans la littérature de nombreuses formules théoriques ou plus empiriques permettant un calcul approché de ces pertes de « charge ». Le coefficient de pertes de charge ζ est tout d’abord normalisé par la longueur L et le diamètre D de la conduite :

DLλ=ζ (8)

Les formules de Poiseuille, Blasius ou encore Drew et al. permettent alors le calcul du coefficient λ à partir du nombre de Reynolds de l’écoulement, i.e. à partir des caractéristiques dynamiques de ce dernier:

Formule A : Relation de Poiseuille en régime laminaire :

Re/64=λ (9)

Formule B : Relation de Blasius ( 53 10Re10.3 << ) pour conduites lisses :

25.0Re/184.0=λ (10)

Formule C : Relation de Drew et al. ( 53 10Re10.3 << ) pour conduites lisses :

32.0Re5.00056.0 −+=λ (11)

c) Les pertes locales de charge ou pertes de charge singulières Les pertes locales de charge - pertes singulières - sont dues à ce que l'on appelle les résistances

hydrauliques locales c'est-à-dire aux variations locales de la forme et des dimensions du canal. Le passage d'un liquide à travers ces variations de forme entraîne des variations de vitesse et en général, la formation de tourbillons. Dans le circuit à étudier, les dispositifs qui causent les résistances locales sont : les vannes, le diaphragme, les coudes.

Le coefficient de pertes de charge est cette fois écrit sous la forme :

D

LEQλ=ζ (12)

avec : � λ: le coefficient de pertes de charge linéaire correspondant à cet écoulement, � LEQ : une longueur « équivalente » d’écoulement calculée à partir d’un abaque du type de celui

fourni en Annexe,


3 Manipulation

Le banc de dynamique des fluides EX400 permet la mesure des pressions et des vitesses au sein d'un fluide au repos ou en mouvement. La recherche de ces paramètres en des points spécifiques d'un fluide fait appel aux équations fondamentales de l'hydraulique c'est à dire l'équation de continuité et l'équation de Bernoulli.

Le schéma ci-dessous représente le circuit hydraulique sur lequel l'étudiant expérimentera.

Le banc fonctionne en circuit fermé : une motopompe électrique et un réservoir de stockage

assurent l'alimentation en fluide - eau teintée de fluorescéine. Un réservoir gradué se déversant dans celui de stockage est utilisé pour la mesure de débit.

Quinze prises de pression reliées par des tuyaux souples à des piézomètres rassemblés sur un tableau de mesure permettent de mesurer la pression en différents points du circuit. La différence de pression aux bornes du diaphragme B se lit sur un manomètre. Fiche technique : la fiche technique complète du banc EX400 est fournie à la fin du livret de TP.


3.1 Mise en eau du circuit Avant toute mesure, il est nécessaire de purger le circuit et les tubes du tableau de mesure.

1- Fermer les vannes A et K (entrée, sortie) 2- Mettre en route la pompe électrique 3- S'assurer que la vis de prise d'air du manomètre est fermée. Ouvrir la vanne A. L'eau s'écoule à

travers les tubes de mesure, est collectée à l'arrière du panneau et retourne dans le bac de stockage par l'intermédiaire d'un tuyau souple.

4- Ouvrir la vanne K. L 'eau s'écoule dans le circuit et dans les tubes. Agir sur A et K pour purger complètement le circuit ainsi que sur la vis d'entrée d'air se situant sur la partie de plus fort diamètre du circuit.

5- Régler A et K pour obtenir des hauteurs correctes dans les tubes piézomètriques. Lorsque l'eau ne circule plus dans le piézomètre 1, on peut ouvrir l'entrée d'air du manomètre.

6- Observer l'action des vannes A et K sur le débit et la pression dans le circuit hydraulique. Décrivez succinctement le processus expérimental en insistant sur les précautions qui vous

paraissent les plus essentielles pour la suite. Faites contrôler le bon fonctionnement du banc hydraulique.

3.2 Mesure de débit – Etude d’un diaphragme - L'équation de Bernoulli permet d'étudier et de comprendre le fonctionnement de toute une

série de dispositifs. Un diaphragme est un dispositif simple permettant de mesurer des débits. (fig. ci-contre). Il s'agit d'un orifice circulaire à bords biseautés que l'on installe dans les conduites et qui provoque un rétrécissement du courant. La continuité du débit fait que, au passage du diaphragme, la vitesse du courant augmente et la pression diminue. La différence de pression, mesurée à l'aide de piézomètres de part et d'autre de l'orifice donne accès à la valeur du débit. Pour un tel dispositif, - forme, viscosité faible du fluide - la perte de charge locale, due au frottement à l'entrée du diaphragme pourra être négligée - ζd = 0,065 -. Le fluide est donc considéré

comme parfait, les pertes de charge sont nulles. Dans ce cas, les hauteurs dans les piézométres situés dans les sections S1, A, S2 sont pratiquement identiques (Figure 1).

a) Complétez le schéma de l'écoulement sur la Figure 1 en traçant la ligne piézométrique et la ligne de

charge. b) En utilisant le récipient gradué et un chronomètre, mesurez le temps nécessaire pour recueillir un

volume donné d'eau (10 litres) pour différentes valeurs de ∆H correspondant approximativement aux 5 essais proposés dans le tableau de mesure (1). Complétez le tableau de mesures (1) au fur et à mesure. Réalisez au minimum 3 des 5 essais (pour 50, 30 et 10 cm).

c) Après avoir complété le tableau de calculs (1), tracez la courbe Qexp = f( H∆ ) sur du papier

millimétré et évaluez Kexp donné par : HKQ expexp ∆= (13)

d) Pour un débit moyen correspondant à une différence de hauteur ∆H d’environ 20 cm, calculez l’incidence d’une erreur de lecture de 0,5 cm sur la précision ∆Q avec laquelle est connue la valeur du débit. Chiffrez la valeur ∆Q/Q. Commentez ce dernier résultat.


3.3 Evaluation des limites du modèle fluide parfait

3.3.1 Pertes de charge régulières ou linéaires On étudie dans un premier temps l’écoulement dans deux tronçons rectilignes : le tronçon

situé entre les prises de pression (4) et (6) et celui situé entre les prises de pression (14) et (15).

a) Que prévoit le modèle « fluide parfait » dans ces deux configurations ? A partir d’un diagramme hydraulique expliquez rapidement pourquoi l’on parle de « pertes de charge » dans une conduite.

b) Dessinez rapidement l’allure de l’écoulement dans un des tubes étudiés. c) Après avoir complété le tableau de calculs (2), évaluez les coefficients moyens de pertes de charge

λ4−6 puis λ14-15. A quoi attribuez-vous la différence entre ces deux coefficients ? On pourra tracer

les courbes 64H −∆ en fonction de ( )gD2/VL 20 , puis 1514H −∆ en fonction de ( )gD2/VL 2

1 .

d) Calculez à partir des formules empiriques de Poiseuille, Blasius ou encore Drew et al., les

coefficients de pertes de charge linéaires et commentez les résultats obtenus pour le banc hydraulique.

3.3.2 Pertes de charge singulières On étudie maintenant l’écoulement au passage d’un changement de direction à angle droit

(tronçon 7-8).

a) Commentez le schéma de I.E.Idel’Cik (Mémento des pertes de charge) reproduit sur la Figure 2. b) Après avoir complété le tableau de calculs (3), tracez la courbe 87H −∆ en fonction de ( )g2/V2 .

Peut-on négliger les pertes de charge régulières par rapport aux pertes de charge « singulières » au passage de ce tronçon ?

c) Evaluez le coefficient moyen de pertes de charge singulières ζ. d) Evaluez ce même coefficient à partir de l’abaque trouvé dans la littérature. Commentez les

différences. Question subsidiaire : Comparez rapidement les pertes de charge singulières dans ce tronçon 7-8 avec celles observées dans les tronçons 2-3, 6-7 puis 8-9 ? Commentez les différences (vous pourrez vous aider de petits schémas décrivant l’allure de l’écoulement dans ces tronçons.


3.4 Observation de l’écoulement au passage d’un élargissement brutal

On souhaite déterminer le régime dans lequel se trouve l’écoulement à l’intérieur des tubes mais aussi étudier (qualitativement) la forme de l’écoulement au passage d’un élargissement. On injecte pour cela un liquide coloré au moyen d’une aiguille légèrement biseautée et présentant un diamètre intérieur 0.8 mm. La position de l’extrémité de l’aiguille à l’intérieur de la conduite est réglable. a) Décrivez succinctement le protocole expérimental en mettant l’accent sur les limites des

observations ainsi obtenues. b) Observez l’évolution du filet fluide dans le tube transparent de section élargie et dessinez l’allure

de l’écoulement dans au moins deux cas qui vous semblent particulièrement représentatifs. c) Commentez l’importance des pertes de charge et l’hypothèse « fluide parfait » dans le cas du

passage par un élargissement brutal.

3.5 Analyse théorique

3.5.1 Mesure du débit par diaphragme a) Écrivez l'équation de Bernoulli correspondant à l'écoulement pour les sections A et B

définies sur la Figure 1. En déduire la relation entre ∆H, différence de hauteur piézomètrique entre A et B et les vitesses VA et VB dans les sections correspondantes.

Indications : on traitera séparément l’écoulement dans la conduite (fluide en mouvement) et le fluide se trouvant dans les tubes piézométriques (fluide immobile).

b) Montrez, en faisant la synthèse de l'équation de Bernoulli pour un fluide parfait et de

l'équation de continuité, que le débit théorique en B dans le diaphragme est de la forme :

Qth = K ∆H (14)

K étant une constante dépendant de S, S1, g.

c) Tracez la courbe Qth = f( H∆ ) sur le même graphe que celui de la courbe expériementale.

Que peut-on dire du rapport Q

Qth

exp ? Ce rapport µ =

Q

Qth

exp est appelé le coefficient de débit.

d) En vous aidant de la Figure 1, montrez que la surface de la section C (s’) dans laquelle est

localisée la prise de pression est plus petite que celle de la section B (de surface s). Indications :on montrera successivement que :

� La pression statique est constante dans la section C mais pas dans la section B (Effet Coanda), � La vitesse moyenne de l’écoulement est plus faible dans la section M que dans la section C

(Théorème de Bernoulli), � La surface (s’) est plus petite que la surface s (conservation du débit).

e) Peut-on finalement trouver d’autres raisons expliquant le fait que µ soit différent de 1 ?


3.5.2 Source souterraine et vase de Tantale : « question subsidiaire »

Schéma d’une source souterraine en Siphon

De nombreuses sources s’écoulent de

façon sporadique mais régulière. C’est en particulier le cas de la source souterraine de Fontestorbes (Ariège). Afin de comprendre et expliquer son fonctionnement, vous disposez d’un vase de « Tantale » (un Becher muni d’un système de vidange coudé) et d’une éprouvette graduée.

a) Expliquez en quelques phrases le principe de fonctionnement de cette source. b) Imaginez et représentez un protocole expérimental permettant de : � mettre en évidence le fonctionnement de la source, � calculer la période de ce mécanisme en fonction du débit amont QA et de la section avale d’évacuation.

c) Après avoir clairement énoncé les hypothèses du modèle théorique d’écoulement fluide que vous avez choisi, calculez la durée ∆t1 de remplissage puis la durée ∆t2 de vidange du mécanisme en fonction de la section de sortie en M et du débit amont QA en A.

Indications : on pourra montrer successivement que : � Sous certaines hypothèses bien choisies, l’écoulement peut être considéré comme lent, � La vitesse de l’écoulement en O est négligeable, � La vitesse de l’écoulement en M est égale à ( )MOM ZZg2v −= pour ZO > ZM.

� On exprimera le débit de la source de deux façons différentes : à partir du débit en M ou à partir de la variation du niveau en O.

O

M

Z

A N

P

Vase de Tantale

Éprouvette graduée


Fiche technique du banc EX400

� Diamètres intérieurs des différents tubes et du diaphragme:

Diamètres intérieurs (mm)

Tubes opaques 19

Tubes transparents 21.2

Tubes transparents « section élargie » 42

Diaphragme 12

� Longueurs des sections droites : L4-6=L14-15=1m

� Viscosité cinématique de l’eau : ν=10-6 m2.s-1


Groupe : Nom(s) : Prénom(s) :

Tableau de mesures (1)

Essai n° 1 2 3 4 5 Gamme de débit (∆∆∆∆H) 50 40 30 20 10 H entrée diaphragme

H sortie diaphragme

∆∆∆∆H diaphragme réel (cm)

∆∆∆∆t0(s)

Mesure des hauteurs (cm)

H1

H2

H3

H4

H5

H6

H7

H8

H9

H10

H11

H12

H13

H14

H15


Tableau de calculs (1)

Essai n° 1 2 3 4 5 Gamme de débit (∆∆∆∆H) 50 40 30 20 10

Etude du débit

Q (m3.s-1)

H∆ (m1/2)



Vitesses et Reynolds

0V (m/s) (opaque)

Re0 (opaque)

1V (m/s) (transparent)

Re1 (transparent)

2V (m/s) (transp. élargi)

Re2 (trans. élargi)

Tronçon 4-6

( )gD2/VL 20

H∆ (4-6)

λ4-6

Tronçon 14-15

( )gD2/VL 21

H∆ (14-15)

λ14-15

Pertes linéaires

λ Poiseuille (A)

λ Blasius (B)

λ �Drew et al. (C)




Tronçon 7-8

( )g2/V20

H∆ (7-8)

ζ7-8

H∆ (2-3)

ζ2-3

H∆ (6-7)

ζ6-7

H∆ (8-9)

ζ8-9


Figure 1 : représentation schématique du passage par le diaphragme

Figure 2 : écoulement dans un coude (I.E.Idel’Cik, Mémento des pertes de charge).


Abaque donnant la longueur équivalente d’écoulement LE en fonction des

caractéristiques de la tuyauterie

travaux pratiques de mécanique des fluides 0

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