2014-15Licence 3 de MécaniqueUniversité Paris-Sud Mécanique des fluides

Travaux Dirigés

I- Pression - Hydrostatique - Archimède

Exercice: Barrage

On étudie ici la force s’exerçant sur un barrage qui retient une hauteur H = 100 m d’eau.On supposera que le barrage a une largeur L = 500 m et que la pression au sommet dubarrage est la pression atmosphérique pa. On négligera les variations de pression de l’airdue à l’altitude. On utilisera le système de coordonnées cartésiennes. Dans ce système lebarrage est parallèle au plan yOz et l’eau retenue par le barrage est à x < 0 (fig. 1a). Labase du barrage se trouve dans le plan z = 0.

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Figure 1:

1) Question de cours:a) rappeler la loi de l’hydrostatique dans un fluide à l’équilibre de densité ρ soumis

à la pesanteur ~g = −g ~ez. Ecrire cette loi sous la forme d’une équation différentiellepermettant de calculer la pression p dans le fluide.

b) Intégrer cette équation pour exprimer la pression p en tout point du fluide àl’équilibre. On supposera que p = pa en z = H.

c) En appliquant le résultat précédent, tracer l’évolution de la pression dans l’eau entrela base et le sommet du barrage.

On cherche maintenant à exprimer la force de pression qui s’exerce sur le barrage. Danstoute la suite on néglige les forces de pression dues à l’air.

2) a) Soit dS un élément de surface du barrage autour du point P et d~S = dS ~ex le vecteurassocié. Exprimer alors la force de pression d~F qui s’exerce sur le barrage au travers dedS.

b) Sur un schéma indiquer le sens de d~F .c) Comment est défini dS dans le système de coordonnées cartésiennes ? En dé-

duire l’expression de la force de pression totale ~F qui s’exerce sur le barrage. Calculernumériquement la norme de cette force.

3) En réalité le barrage a une section trapézoidale symétrique d’angle α = 20o (fig. 1b).a) Soit P un point en surface du barrage en contact avec l’eau, sur un schéma représen-

ter le vecteur surface d~S en P .

b) Exprimer puis calculer numériquement les composantes de la force de pression surle barrage ~Ft.

c) Quel peut être l’intérêt de cette forme de barrage ?

Exercice: L’expérience de Magdebourg

Soit un cube métallique d’arête a qu’on scinde en 2 morceaux égaux. Après avoir recon-stitué le cube, on y fait le vide. La pression extérieure est p0 = 105 Pa.

1) Quel est l’effet du vide ? Représenter les forces de pression.2) Calculer la force nécessaire pour séparer le cube en 2 moitiés suivant un plan vertical(a = 10 cm).3) Mêmes questions avec une sphère métallique de même surface que le cube.4) Mêmes questions lorsque la sphère est immergée dans l’eau à 10 m de profondeur.

Exercice: Entonnoir renversé

On considère un entonnoir, constitué d’un cône d’angle au sommet α et de hauteur H,prolongé par un tube de petite section. L’entonnoir est renversé et repose sur un planhorizontal. Par le tube de l’entonnoir, on verse lentement de l’eau de masse volumiqueρ, jusqu’à une hauteur h (h ≤ H), dans des conditions où les lois de l’hydrostatiquesont vérifiées. On choisit l’axe Oz parallèle à l’axe du tube, orienté suivant la verticaleascendante. On note ~F la résultante des forces de pression exercées sur l’entonnoir parles fluides en présence (air et eau).

1) Quels sont la direction et le sens de ~F ? Justifier votre réponse.2) Soit dS l’élément de surface du cône compris entre les cotes z et z + dz. Etablirl’expression de d~F , résultante des forces de pression exercées sur cet élément de surface.3) En déduire l’expression de ~F en fonction de ρ, g, h, H et α. 4) On suppose le cône del’entonnoir rempli d’eau (h = H). Montrer que l’entonnoir doit avoir une masse minimumMe, à exprimer en fonction de la masse de liquide Ml. Que se passe-t-il si la masse del’entonnoir est plus petite ?

Exercice: Mesure d’une pression par un tube piézométrique

Soit un point M d’un liquide en équilibre dans un réservoir fermé. On fait déboucheren M un tube transparent dans lequel la surface libre du liquide se fixe à la hauteurverticale z au-dessus de M . Le niveau A atteint par le liquide dans le tube s’appelleniveau piézométrique. La pression atmosphérique régnant à la surface libre du liquidedans le tube est pa. Montrer que la mesure de la pression pM en M peut se faire par lamesure de la hauteur z en donnant la relation qui relie les deux variables. A.N. Quellessont les hauteurs de fluide correspondant à une différence de pression de 1 atm dans lesdeux cas suivants : le fluide est du mercure (ρ = 13 600 kg/m3) ; le fluide est de l’eau (ρ= 1 000 kg/m3).

Exercice: Equilibre dans un tube en U

Un tube en U contient de l’eau et du mercure à l’equilibre. A partir de la surface deséparation entre les liquides, on lit les hauteurs d’eau h = 20, 4 cm et de mercure h′ = 1, 5cm. Quelles sont la densité et la masse volumique du mercure ?

Exercice: Manomètre simple dérivé du tube de Torricelli

L’appareil représenté sur la figure ci-contre permet de mesurer la pression p d’un fluide,un gaz par exemple, en contact avec un seul liquide (en noir sur le schéma). Exprimerla pression p en fonction de la longueur L représentée sur le schéma. Montrer que lasensibilité ∆L/∆p augmente si le liquide a une faible masse volumique (eau, alcool aulieu du mercure) et si l’angle α du tube avec l’horizontale diminue.

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Exercice: Répartition de pression dans l’océan

Considérons un océan en équilibre isotherme. La masse volumique de l’eau varie avec lapression selon la loi ρ = ρ0[1 + a(p− p0)] où a = 10−10 Pa−1. La profondeur est notée h.Pour h = 0, p = p0 = 105 Pa et ρ = ρ0 = 103 kg/m3.Donner la loi p(h). Que devient cette loi pour des profondeurs faibles ? A.N. : h = 1 km.Quelle est l’erreur relative commise en utilisant la loi approchée ?

Exercice: L’atmosphère terrestre

On s’intéresse ici aux propriétés de la basse atmosphère terrestre, d’altitude inférieureà 10 km (la troposphère). Le gaz atmosphérique est supposé parfait et en équilibrehydrostatique. La masse molaire de l’aire est M = 29 g. Pour décrire l’atmosphère onse place dans le référentiel terrestre supposé galiléen muni d’un repère cartésien Oxyz oùOz est l’axe vertical orienté vers le haut de l’atmosphère. La pression au niveau du solest p0 = 1 atm et l’altitude correspondante est z = 0.

On suppose dans un premier temps que l’atmosphère est isotherme de température T = T0.

1) A partir du principe hydrostatique, déterminer le profil vertical de pression p(z). Ondéfinit h = RT0

Mg: quelle est la dimension de h ? Quelle est sa signification ? Calculer h

pour T0 = 300 K.

On suppose à présent que l’atmosphère est adiabatique et que p = Kργ avec γ = cp/cv etK une constante.

2) Etablir une relation entre p et T .

3) De même qu’au 1), établir l’expression de p(z). En déduire l’expression de T (z).

4) Quelle est alors l’expression du gradient de température as = dT/dz ? Exprimez-la enfonction de h. Calculer sa valeur numérique sachant que γ = 1, 4.

5) En basse atmosphère, le gradient de température dT/dz est à peu près constant égal à-7 K/km. Dans ces conditions des mouvements de convection peuvent-ils se développer ?

Exercice: Principe d’Archimède

On considère un glaçon de forme cubique de côté h=4 cm et flottant en équilibre dans unverre d’eau à ras bord. On notera ρg la densité du glaçon, ρe celle de l’eau et ρa celle del’air. On a ρg/ρe ' 0,92.1) Retrouver le principe d’Archimède (dans l’air et dans l’eau) en exprimant la conditiond’équilibre du glaçon.2) Quelle est la hauteur immergée a du glaçon ?3) Lorsque le glaçon fond, le verre déborde-t-il ?

Exercice: Corps flottant

Un glaçon flotte dans un verre d’eau plein à ras bord. Le glaçon fond, le verre déborde-t-il? Quelle proportion du volume total d’un iceberg représente la partie immergée, sachantque la masse volumique de la glace est de 900 kg/m3 et celle de l’eau salée 1 025 kg/m3

? Que pensez-vous de l’augmentation de l’eau des océans due à la fonte des icebergs ?

Exercice: Gazomètre

Le gaz de ville est souvent stocké dans une enceinte appelée gazomètre que vous allezmaintenant étudier. Un gazomètre est formé d’une cloche cylindrique en acier à fond platde masse volumique ρ1, de rayon intérieur R, de hauteur H et d’épaisseur faible e. Onnote V le volume de l’acier constituant la cloche. On prendra H = R. Cette cloche estrenversée sur une cuve à eau de surface libre fixe. Elle est en partie immergée et contientdu gaz. On donne: e = 4 mm et ρ1 = 7800 kg/m3, densité de l’acier.

1) a) Quelles sont les forces qui agissent sur la cloche ? Représentez les sur un schéma.b) Dans la limite où e << R, montrer que le volume de la cloche s’exprime comme

V = 3πR2e.c) En étudiant l’équilibre de la cloche, exprimer la pression à l’intérieur de la cloche

pi en fonction de e, ρ1, g et p0.

2) a) Rappeler la loi de l’hydrostatique.b) Appliquer cette loi dans l’eau pour exprimer pi. En déduire l’expression de la

variation de hauteur ∆h en fonction de e, ρ1 et ρ (densité de l’eau). Calculer ∆h.c) Retrouver ce résultat en appliquant directement le principe d’Archimède à un sys-

tème que vous préciserez.d) Pourquoi ∆h est-il indépendant de pi − p0 ?

Exercice: Submersible

On s’intéresse à l’immersion d’une boîte cubique de côté a dans de l’eau. Le cube, rigideet creux, est rempli d’air à la pression atmosphérique p0. Chaque face du cube a uneépaisseur fixe e et on notera ρs la densité du matériau constituant le cube et M sa masse.Sauf mention contraire, la densité de l’eau ρ est supposée constante et on fait l’hypothèseque l’eau est un fluide parfait. L’axe Oz est pris vertical et orienté vers le haut.

1) Enoncer le théorème d’Archimède.

En déposant le cube dans l’eau, une face parallèle à la surface de l’eau, on constate qu’àl’équilibre sa face supérieure se trouve à une distance h au-dessus de la surface de l’eaude cote z = 0.

z

O

a h

e

2) a) Exprimer la poussée d’Archimède que subit le cube.b) A l’équilibre, exprimer la hauteur émergée h en fonction de M , ρ et a. A quelle

condition le cube flottera-t-il ?c) Sachant que e << a, exprimer la masse M du cube en fonction de a, e et ρs. Quelle

est alors la condition sur a pour que le cube flotte ? Exprimer numériquement cettecondition pour ρs/ρ = 10 et e = 5 cm.

3) On suppose que le cube flotte à l’équilibre avec une hauteur émergée h = 0. Onlui rajoute une masse m qui n’augmente pas son volume (par exemple en le remplissantd’eau). Que va-t-il alors se passer ? Le mouvement du cube pourra-t-il s’arrêter ?

4) Au cours du mouvement du cube, on prend maintenant en compte la variation de ladensité de l’eau avec la profondeur, ρ(z) = ρ0(1 + αz) avec ρ0 = 103 kg/m3.

a) Quel doit être le signe de α pour que le cube s’arrête ? Quelle est sa dimension? Sachant que m + M = (1 + k)ρ0a

3 (k nombre sans dimension) exprimer la cote ze oùles forces sur le cube s’équilibreront. Faire l’application numérique pour |α| = 10−6 SI etk = 10−3.

b) Cet équilibre est-il stable ?

Exercice: Aréomètre

Un aréomètre sert à mesurer la densité d’un liquide. C’est une sphère de volume Vsurmontée d’un tube capillaire gradué de section s et de longueur l. L’ensemble estétanche et lesté de façon que, lorsque l’appareil est plongé dans l’eau pure (de massevolumique ρ0), le niveau de l’eau arrive à la graduation 0. Si on le plonge dans un liquidede masse volumique ρ, l’appareil flotte et s’enfonce d’une hauteur x. La masse volumiqueρ est-elle plus grande ou plus petite que ρ0 ? Exprimer la densité d = ρ/ρ0 en fonction dex et en déduire la sensibilité de l’appareil σ = ∆z/∆d. Pour quel liquide le densimètreest-il le plus précis ? Préciser le domaine de validité de l’appareil.A.N. : V = 10−5 m3; s = 10−5 m2 ; l = 12 cm.

Exercice: Mouvement d’un ballon sous l’eau

Soit un ballon indéformable contenant un litre d’air à la pression 2p0 (p0 = 105 Pa) et àla température T = 300 K qu’on immerge dans l’eau à la pression 2p0 (on suppose qu’àla surface de l’eau la pression est p0). La température dans l’eau est supposée uniformeégale à 300 K.

1) Calculer la masse d’air mb contenue dans le ballon. Quel est son rayon R0 ? A quelleprofondeur h faut-il l’immerger ?

2) Représenter sur un schéma les forces de pression s’appliquant au ballon. Que vaut lemodule de ces forces ?

On suppose que le ballon est soumis de la part de l’eau à une force de frottement fluideα~v.

3) après avoir fait le bilan des forces en présence, écrire l’équation d’évolution du ballonet la résoudre. On prendra α = 6πηR (formule de Stokes) avec η = 1.2 10−3 Pa.s.

4) Le mouvement du ballon est-il altéré par la variation de pression statique ?

5) On s’intéresse maintenant au mouvement du ballon dans le cas où il se déforme tout enrestant sphérique. On supposera que la pression dans tout le ballon est égale à la pressionen son centre. Dans tout ce qui suit on négligera la masse du ballon mb.

a) Comment évolue le rayon du ballon alors qu’il remonte vers la surface de l’eau ?b) Déduire l’évolution du rayon du ballon R(z) de la loi des gaz parfaits.c) Calculer le rayon du ballon alors qu’il arrive à la surface de l’eau R(z = 0). Calculer

la variation de vitesse du mouvement du ballon entre z = −h et z = 0.

II- Cinématique des fluides. Débit.

Exercice: Trajectoires et lignes de courant

Un écoulement est défini par les composantes du vecteur vitesse :u = u0, v = v0 + at, w = 0

Représenter les lignes de courant et les trajectoires des particules fluides.

Exercice: Rotation et déformation

On considère un écoulement permanent dont le champ de vitesse admet comme com-posantes en coordonnées cylindriques et pour r 6= 0 :

vr = 0, vϕ = Ar +B/r, vz = 0où A et B sont deux constantes. Le mouvement se fait-il de façon isovolume ? Calculerles composantes du rotationnel et du tenseur des vitesses de déformation. Après avoiridentifié les lignes de courant, discuter les cas particuliers A = 0 et B = 0 et interpréterphysiquement les résultats.

Exercice: Cinématique d’un écoulement

Soit un écoulement bidimensionnel, défini dans la région x > 0 et y > 0 du plan xOy parles composantes du champ de vitesses (k désigne une constante positive) :

vx = −kx, vy = ky1) a) Déterminer la nature des lignes de courant de l’écoulement. Les représenter.

b) Quelles sont les trajectoires des particules fluides ? Donner l’équation horaire(x(t), y(t)) de la trajectoire de la particule qui à l’instant t = 0 est située au point M0 decoordonnées (x0, y0).2) L’écoulement est-il incompressible ? Est-il rotationnel ? (Justifier vos réponses)3) Déterminer l’accélération ~a d’une particule fluide située à la position de coordonnées(x, y) à un instant t donné. Est-ce que ~a dépend de t ?4) a) Déterminer les composantes du tenseur des taux de déformation.

b) Comment se déforme une particule dont la forme initiale est rectangulaire, de côtésξx et ξy parallèles aux axes Ox et Oy ? Illustrer votre réponse par un schéma représentantégalement quelques lignes de courant.

Exercice: Conservation de la masse et de l’énergie

On examine une partie fixe Ω de l’espace, constamment emplie de fluide. On note sonvolume V , sa surface A et m(t) la masse de fluide que Ω contient à l’instant t.1) En faisant un bilan de masse sur le volume V , exprimer le taux de variation de la massepar rapport au temps, dm/dt.On applique ce qui précède au cas où Ω est un élément de conduite de section d’entréeA1 et de section de sortie A2. L’écoulement sera considéré unidimensionnel en entrée eten sortie. La vitesse dans la section Ai est notée vi.

2) Quelle est alors l’expression de dm/dt? Que devient cette expression lorsque l’écoulementest stationnaire ? Que devient cette expression lorsque l’écoulement est stationnaire etincompressible ?3) En appliquant le théorème de l’énergie cinétique, montrer que la quantité p/ρ+v2/2+gzest conservée au cours de l’écoulement (on supposera que le fluide est incompressible).4) Généraliser ce résultat au cas où le fluide est compressible. Application au cas du gazparfait.

Exercice: Champ de vitesse

Soit un fluide incompressible, de masse volumique ρ, s’écoulant dans un tuyau horizontald’axe Ox de section circulaire, avec un rétrécissement. Le champ de vitesse est:

~v = vx~ex − αr~eroù α est une constante donnée.1) L’écoulement est-il en régime permanent ?2) En vous aidant de l’équation de continuité (équation traduisant la conservation de lamasse) d’un fluide incompressible, calculer vx(x) sachant que vx(0) = v0.3) Calculer le débit massique à travers l’entrée du tuyau de rayon R. Calculer le débit àla sortie du tuyau.4) Calculer le champ d’accélération du fluide.5) L’écoulement est-il rotationnel ou irrotationnel ?

Exercice: Tourbillon

On considère l’écoulement défini par le champ vitesse suivant, défini en coordonnées cylin-driques par −→v = vc

−→eϕ:vc(r ≤ R) = v0 r/Rvc(r > R) = v0R/r

avec v0 > 0. L’axe Oz est pris vertical orienté vers le haut. On suppose que cet écoulementa une épaisseur finie h suivant Oz.

1) a) Tracer la courbe de vc(r).b) Représenter cet écoulement en traçant et en orientant quelques lignes de courant

autour de l’axe vertical Oz.c) Cet écoulement est-il compressible ? Exprimer le vecteur tourbillon

−→Ω de cet

écoulement et donner alors l’expression de vc en fonction de Ω.d) Exprimer le moment cinétique d’une particule de fluide de masse dm, en déduire le

moment cinétique par unité de masse de l’écoulement,−→J . Tracer J(r).

2) a) Rappeler la définition du débit volumique. Exprimer alors le débit Qi au traversd’une section verticale appartenant au plan y = 0 et d’extension radiale 0 ≤ r ≤ R.

b) Exprimer de même le débit Qe pour R ≤ r ≤ Re et trouver α = Re/R tel queQi = Qe. Exprimer alors les vitesses moyennes correspondantes dans les 2 régions del’écoulement.

c) Mêmes questions pour les moments cinétiques−→Li et

−→Le de l’écoulement central

(r ≤ R) et extérieur (R ≤ r ≤ αR). Comparer Le et Li

III- Fluides parfaits et réels

Exercice: La clepsydre

Dans l’Antiquité, les grecs mesuraient le temps en observant la hauteur h d’eau dans unrécipient (clepsydre) en train de se vider et cet exercice a pour but d’étudier ce phénomène.

On suppose dans un premier temps que la clepsydre est un récipient cylindrique de sectionS constante avec à sa base un orifice de section s par lequel l’eau peut s’échapper à l’airlibre. Cet orifice est d’abord bouché pour remplir la clepsydre jusqu’à la hauteur h0. At = 0 on libère l’orifice et le vidage commence. Les valeurs numériques sont: h0 = 1 m,s = 1 cm2 et S = 0, 5 m2.On suppose que l’eau est un fluide parfait, incompressible et en écoulement permanent.On négligera les variations de pression dans l’air. La pression atmosphérique est p0 = 105

Pa.

1) Soient vB et vA les vitesses de l’eau au sommet de la clepsydre et dans l’orifice de sortie.Que vaut vA/vB ?

2) Exprimez vA à t = 0 et faîtes l’application numérique.

3) Exprimez vB au cours du vidage et déduisez-en h(t).

Les mesures de temps seront simples si la hauteur est une fonction affine du temps, soith = at + b (les différences de hauteur sont alors proportionnelles au temps écoulé) et onrecherche la forme de clepsydre correspondante.

4) Soit D le diamètre de la clepsydre: comment doit varier D en fonction de h pour queh varie comme at+ b ? Calculer alors numériquement le temps de vidage de la clepsydre.

Exercice: Mesure de débit avec un Venturi incliné

Une des méthodes peu couteuses employées pour la mesure du débit dans une canalisationest l’utilisation d’un tube de Venturi. On démontre ici qu’avec cet instrument il estpossible - en supposant que l’écoulement (stationnaire) est unidimensionnel au moinsdans les sections A0 et A1 et que le fluide circulant est sans viscosité - de calculer ledébit de ce fluide, sans qu’intervienne l’inclinaison éventuelle de l’appareil. Le fluide enécoulement est une huile incompressible de masse volumique ρ = 820 kg/m3. La sectionA0 d’entrée dans le Venturi est caractérisée par son diamètre D0 = 125 mm. La secondeprise de pression statique est en section A1 de diamètre D1 = 50 mm. A l’intérieur dutube en U où aboutissent les prises de pression est placé un fluide de mesure de massevolumique ρm = 13,600 g/cm3 (mercure). L’inclinaison du tube et les différentes cotes deniveaux sont repérées par rapport à une base horizontale arbitraire. En supposant qu’uneligne de courant (au moins) passe par des points voisins de chacun des orifices de prise depression, calculer la valeur du débit volumique d’huile, lorsque la dénivellation observéedans le tube en U est ∆h = 200 mm. On prendra g = 9,81 m/s2.

Exercice: Siphon

Un liquide (ρ = 103 kg/m3) s’écoule par un siphon formé d’un tube en U de sectionconstante. Le haut du tube est à une hauteur h au dessus du niveau de la surface libredans le récipient et à une hauteur h′ de l’orifice de sortie A. Le niveau du liquide (C)dans le réservoir de large section est maintenu constant grâce à l’apport de liquide par lerobinet R et on supposera que v(C) = 0.1) Exprimer la vitesse vA d’écoulement du liquide en A.2) Déduire du résultat une condition nécessaire au fonctrionnement du siphon. CalculervA pour h′ − h = 1 m. On prendra g = 10 m/s2.3) Calculer la pression en B pour h′ =1,5 m et h′ =15 m.4) Commenter le signe de la pression en B.

5) A partir de quelle valeur limite de h′ le siphon cessera-t-il de fonctionner ?

Exercice: Trompe à eau

Une trompe à eau est un dispositif servant à faire le vide. Elle est en général constituéed’un réservoir ouvert de grande section dont le niveau en D est maintenu constant. L’eaus’écoule par un tube de section constante s sauf en un point B où il présente un rétré-cissement et où la section est s1 = s/4. En B, le tube est mis en communication avecun récipient C initialement rempli d’air à la pression atmosphérique. En fonctionnementl’eau ne pénètre pas dans C. On étudie maintenant ce dispositif lorsque le régime perma-nent est établi. On supposera que l’eau est un fluide parfait et incompressible. On notep0 la pression atmosphérique et on prendra p0 = 105 Pa. On supposera que la pression enD et A est p0.

1) Calculer les vitesses vA et vB de l’eau aux points A et B. On donne H = 50 cm, h = 10cm, s = 1 cm2 et g = 10 m/s2.2) Evaluer la pression en C.

Exercice: Pompe à effet Venturi

On considère un tube cylindrique horizontal et de section variable dans lequel s’écoule del’eau en régime permanent (Fig.1a). On note SA et SB les sections droites perpendiculairesà l’axe d’écoulement et passant par les points A et B. L’eau débouche ensuite dansune cavité et l’on supposera que la section de l’écoulement reste constante égale à SB.L’écoulement dans le tube d’entrée (par exemple au niveau du point A) a une vitesse vet un débit volumique Q. On notera vs la vitesse en sortie au niveau du point B.On suppose que l’eau est un fluide parfait de masse volumique constante ρ. On donne lesvaleurs numériques suivantes: Q = 2 litres/s, pA = p0, SA = 10−3 m2 et α = SA/SB = 4.

1) a) Dans cet écoulement (Fig. 1a), comment se traduit la conservation de la masse ?b) Exprimer v en fonction de Q et établir la relation entre v et vs. Calculer v.

2) a) En appliquant le théorème de Bernoulli, exprimer la différence de pression pA − pBen fonction de α, v et ρ.

Lorsque la pression pB est proche de la pression de vapeur saturante de l’eau, pV = 2340Pa, des bulles se forment et viennent perturber l’écoulement: c’est le phénomène decavitation qu’on cherche à éviter.

b) Comparer pB à pV . Montrer que pour qu’il n’y ait pas cavitation, il faut que v < vm.Exprimer et calculer vm.

3) On utilise à présent ce dispositif pour pomper de l’eau à partir d’un puits (Fig. 1b).On suppose que la surface de l’eau du puits est à une profondeur constante d et que lapression qui y règne est p0. En régime permanent, l’eau du puits circule dans un tuyaude section constante SB jusqu’à la cavité où règne la pression pB. A la sortie du tuyau depompage, l’eau a la vitesse ve. On supposera que l’arrivée d’eau pompée ne change pasla valeur de pB trouvée au 2).

a) A l’aide du théorème de Bernoulli, exprimer ve. En déduire la profondeur maximale,dm, à laquelle on pourra prélever de l’eau. Calculer dm.

b) Calculer ve pour d = 2 m. En déduire la valeur numérique du débit volumique Qe

dans le tuyau de pompage. Comparer à Q et discuter.

4) Sachant que le débit Q dans le tube de section SA est établi grâce à une turbine qui faitpasser l’eau d’une vitesse nulle à la vitesse v = 2 m/s à pression constante p0, exprimeret calculer la puissance P fournie par la turbine (on utilisera le théorème de Bernoulligénéralisé aux écoulements comportant des machines).

Exercice: Formation d’un jet d’eau

Un jet d’eau est alimenté par un réservoir. Un tuyau horizontal de diamètre D et delongueur L amène l’eau du réservoir au jet d’eau. Le trou par lequel s’échappe l’eaudu jet a un diamètre d. Dans toute la suite la vitesse de l’eau au passage par ce trouest constante et on la notera v. Les dimensions du réservoir sont très grandes devantD et d. L’altitude H à laquelle se trouve la surface libre de l’eau dans le réservoir seradonc considérée comme constante. La pression qui règne au sommet du réservoir est lapression atmosphérique p0. On négligera les variations de pression dans l’air. Le diamètredu tuyau sera négligé dans les calculs d’altitude. Données numériques: D=2 cm, L=1

km, d=3 mm et v=10 m/s.

h

L

H

D dv

1) Dans toute cette première question on néglige les forces de viscosité.a) Enoncez le théorème de Bernoulli.b) En négligeant la vitesse de l’eau dans le tube horizontal (d << D), exprimez la

pression ph dans le tube horizontal pour que l’eau soit expulsée avec la vitesse v. Calculezph − p0.

c) A quelle altitude h s’élève le jet d’eau ? (on négligera l’effet de la résistance del’air sur jet). Calculez numériquement h. Le diamètre du jet change-t-il en fonction del’altitude ?

d) A quelle altitude H (expressions littérale et numérique) doit s’élever l’eau dans leréservoir pour imposer la vitesse v ?

2) On prend maintenant en compte les forces de viscosité dans le tuyau horizontal.a) On rappelle la loi de Poiseuille:

Q =πa4

8ηl∆P (1)

Que représentent Q, a, η, l et ∆P ? Précisez les unités utilisées pour chacune de cesgrandeurs.

b) Exprimez la vitesse moyenne V dans le tuyau horizontal en fonction de d, D et v.Pourquoi raisonne-t-on à l’aide d’une vitesse moyenne et comment est-elle définie ?

c) Exprimez la différence de pression entre la base du réservoir et l’extrémité du tuyauhorizontal où se trouve le trou laissant passer le jet d’eau. Faîtes l’application numérique.

d) Calculez numériquement l’altitude H à laquelle doit maintenant se situer le niveaude l’eau dans le réservoir pour que v ait la même valeur numérique qu’au 1). Pourquoicette valeur est-elle supérieure à celle du 1) ?

Exercice: Vidage d’un réservoir au travers d’une turbine

Un réservoir cylindrique de rayon Ra contient de l’eau de masse volumique ρ. Sa base estreliée par une canalisation de rayon Rb à une turbine dont l’entrée est située à une hauteurh au dessous du niveau du réservoir. L’eau s’écoule en régime permanent dans le tuyauet au travers de la turbine. On notera pb et pc les pressions à l’entrée et à la sortie de laturbine. Tant que pb > pc, la turbine maintient le débit constant. A la sortie C dela turbine, le liquide s’écoule dans un tuyau horizontal de rayon Rc et de longueur L puissort en D. La pression dans l’air est la pression atmosphérique p0. Données numériques:Q = 1 litre/s, Ra = 80 cm, Rb=8 cm, Rc=4 cm, h0 = 1, 50 m, L=10 m.

1) Dans toute cette première question on considérera que le fluide est parfait.a) Expliquez pourquoi on peut faire l’hypothèse vA = 0.b) En utilisant le théorème de Bernoulli, exprimez les pressions pb et pc.c) Exprimez la puissance P absorbée par la turbine.

Dc

Rb

vb

Ra

rayon

vc

p0

Turbine

L

h

A

CB

R

d) Calculez numériquement les vitesses vb et vc puis pb et P pour h = h0

2) On remplace l’eau par un liquide de forte viscosité η = 1 Pa× s mais de même massevolumique. On suppose que les forces de viscosité interviennent uniquement dans letronçon CD et que le débit reste le même qu’à la question précédente.

a) On rappelle la loi de Poiseuille:

Q =πa4

8ηl∆p

Dans le système présent, que représentent a, η, l et ∆p ? Précisez les dimensions dechacune de ces grandeurs.

b) Définissez la vitesse moyenne d’écoulement vm dans le tuyau CD. Est-elle modifiéepar la prise en compte des forces de viscosité ?

c) L’écoulement dans CD est-il turbulent ? (on rappelle le nombre de ReynoldsRe = ρvd

η)

d) Exprimez alors pc et P et faîtes l’application numérique pour h = h0. Comparez Pau résultat obtenu en 1)d) et interprétez.

3) On considère à présent que le niveau du réservoir baisse (va 6= 0) et on cherche àdéterminer comment évoluent en fonction du temps la hauteur h, les pressions pb et pcainsi que la puissance P absorbée par la turbine.

a) Comment s’exprime la vitesse va ?b) En supposant que h = h0 à t = 0 et que le débit reste constant, exprimez h(t) et

P(t).c) Quelle est la relation entre pb et pc lorsque le débit ne peut plus être maintenu par

la turbine ? En déduire la hauteur h1 et le temps t1 à partir desquels le débit n’est plusrégulé. Calculez les valeurs numériques de h1 et t1.

d) Que vaut la puissance absorbée P lorsque t > t1 (expressions littérale et numérique)?

e) Exprimez, après l’instant t1 et en fonction de h, le débit Q et la vitesse vc dans letuyau CD.

Exercice: Tube de Pitot et pompe

Un réservoir de large diamètre contient de l’eau (densité ρ) et est relié à sa base à unecanalisation cylindrique horizontale de rayon R terminée par un embout de rayon R/2qui débouche sur l’air libre. Dans la canalisation est placé un dispositif de Pitot constituéde 2 tubes A et B. On note A (point d’arrêt) et B (prise de pression) 2 points dansl’écoulement à la base des tubes de Pitot. En leur extrémité supérieure, ces deux tubessont ouverts à la pression atmosphérique p0. En régime permanent l’eau s’écoule par lacanalisation et on note h, a et b les hauteurs des niveaux d’eau du réservoir, du tube Aet du tube B respectivement (voir figure). On supposera que l’eau est un fluide parfait,incompressible et on négligera les variations de pression dans l’air. On supposera que lavitesse hydrodynamique est constante dans toute section droite de la canalisation.

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1) a) Dans un tel écoulement, comment exprime-t-on la conservation de la masse ? Endéduire la relation entre v et vi

b) Enoncer le théorème de Bernoulli en précisant les conditions d’application.

2) On cherche dans un premier temps à exprimer la vitesse dans la canalisation, vi.Puisque B est une prise de pression, on a vB = vi. On notera pi la pression dans lacanalisation.

a) En utilisant le théorème de Bernoulli et en précisant à chaque fois entre quels pointsvous l’appliquez, exprimer en fonction de h la vitesse v de sortie du liquide en E puis enfonction de h et p0 la pression pi à l’intérieur de la canalisation.

b) Quelle est la vitesse de l’eau en A ? Exprimer la pression en ce point en fonctionde h et p0.

c) En appliquant le principe hydrostatique aux tubes de Pitot, exprimer les pressionsaux points A et B en fonction de p0 et a puis b respectivement.

d) L’utilisateur du dispositif de Pitot n’a accès qu’à la valeur de a− b. Exprimez alorsen fonction de a− b les grandeurs h, vi, QV (débit volumique) et pi.

e) Calculer les valeurs numériques de h, vi, QV et pi sachant que a − b = 20 cm etR = 2 cm.

3) On remplace le réservoir par une pompe qui maintient le même débit QV . L’eau estalors prélevée par la pompe à une profondeur d = 3 m dans un bassin de grand diamètreoù règne la pression atmosphérique p0 et elle est ensuite refoulée dans la canalisationprécédente avec les mêmes pression pi et vitesse vi. Les sections d’entrée et de sortie dela pompe sont égales à celles de la canalisation et on supposera que les lignes de couranttraversent la pompe sans être trop affectées.

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Pompe

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Exprimer la puissance P de la pompe en fonction de d et a−b. Calculer P avec les valeursnumériques de la question précédente.

Exercice: Jacuzzi

On s’intéresse ici au fonctionnement d’un jacuzzi alimenté par un réservoir en sous-solà une profondeur H = 20 m (fig. 2b). On suppose que l’eau est prélevée à la pressionatmosphérique pa et que le jet final débouche à l’air libre où règne également pa. Onsuppose que le débitQV est de 3,6 m3/h. Le réservoir où l’eau est prélevée est suffisammentgrand pour que l’on puisse négliger la vitesse à sa surface. On se place en régime permanentet on considèrera que l’eau est un fluide incompressible et parfait. On négligera toutes lespertes de charge dues à la forme de l’écoulement.

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Figure 2:

1) On commence par définir le tube délivrant le jet d’eau (fig. 2a). Pour des questionsde confort, on souhaite maintenir l’énergie cinétique du jet à 0.1 Joule pour un volumed’eau de 30 cm3.

a) Quelle doit alors être la valeur de la vitesse du jet en sortie vs ?

Dans toute la suite de l’exercice, on prendra vs = 2 m/s.b) Exprimer et calculer le diamètre de sortie d du jet.c) Sachant que le diamètre du tube qui amène l’eau de la pompe au point C vaut 2d,

donner la relation entre vC et vs.d) En appliquant le théorème de Bernoulli, exprimer la pression au point C, pC , en

fonction de pa, ρ et vs. Calculer pC .

2) On cherche maintenant à caractériser la pompe qui permet au jacuzzi de fonctionner.On note P la puissance mécanique fournie par la pompe au fluide. Le diamètre dutube qui amène l’eau jusqu’au jacuzzi est partout 2d sauf dans la partie finale décriteprécédemment.

a) Quelle est la dimension de P/QV ?b) En utilisant le théorème de Bernoulli généralisé aux écoulements incluant des ma-

chines, exprimer P en fonction de QV , vs et H. Calculer P .c) En déduire l’expression de la différence de pression ∆p entre l’entrée et la sortie

de la pompe en fonction de H et vs. Comment peut-on interpréter cette expression d’unpoint de vue énergétique (on pourra multiplier les deux membres par le volume d’uneparticule fluide τ) ?

d) Sachant que ∆p est une constante caractérisant la pompe indépendamment de QV ,tracer la courbe de H en fonction de QV pour la valeur de ∆p calculée précédemment.Pour quelle valeur de QV , H est-elle maximale ? Quelle est la valeur maximale de QV

possible ?

Pour un type de pompe donné, cette courbe permet de déterminer le débit possible pourH donné.

Exercice: Eolienne

On modélise ici de façon simple le fonctionnement d’une éolienne. L’éolienne est placéedans un écoulement uniforme de vitesse V . L’hélice de l’éolienne couvre une aire A. Onétudie l’écoulement dans un tube de courant cylindrique représenté en tirets sur la figure.L’air en dehors du tube de courant est à une pression p0.

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Figure 3: Ecoulement autour de l’éolienne. La zone délimitée par les tirets est un tubede courant.

Les conditions aux limites de l’écoulement sont les suivantes:• loin en amont, au point 0, la vitesse est V , la pression p0 et le tube de courant a unesection droite d’aire C × A avec C < 1.• Loin en aval, au point 3, la vitesse vaut fV , avec f < 1 (car l’éolienne récupère enpartie l’énergie cinétique de l’air qui la traverse).

On négligera l’effet de la pesanteur et on considèrera l’air comme un fluide parfait, in-compressible. On supposera les vitesses constantes dans les sections droites du tube decourant. On ne tiendra pas compte des mouvement de gyration de l’air au voisinage del’hélice. La masse volumique de l’air sera notée ρ.

1) a) A l’aide du théorème de Bernoulli, estimer en fonction de V , ρ et C la différencede pression p1 − p0 entre les points 0, loin en amont, et 1, immédiatement avant l’hélicedans l’écoulement.

b) En fonction de V , f , ρ et C, estimez de même p3 − p2 différence de pression entreles points 2, immédiatement après l’hélice dans l’écoulement et 3, loin en aval.

c) Sachant que dans la section droite du point 3, l’écoulement est unidirectionnel etparallèle à Ox, montrer en utilisant l’équation d’Euler que p3 = p0.

d) En déduire p1−p2 et l’expression de la résultante des forces de pression Fe, exercéespar le tube de courant sur l’éolienne. Représentez-la sur un schéma.

2) a) En fonction du débit et des vitesses, évaluer la variation de quantité de mouvementdq de l’écoulement pendant dt au travers des sections droites 0 et 3.

b) En déduire l’expression de la résultante des forces Ft subie par le fluide dans le tubede courant. Représentez-la sur un schéma.

c) En appliquant le principe fondamental de la dynamique au tube de courant montrerque Fe +Ft = 0 (on négligera la force sur le tube due à l’air extérieur au tube). Exprimer

alors C en fonction de f .

3) a) En appliquant le théorème de Bernoulli généralisé aux écoulements incluant desmachines, exprimer la puissance mécanique récupérée par l’éolienne en fonction de ρ, V ,A et f .

b) Exprimer la valeur du facteur f correspondant à la puissance maximale. Ce facteurdépend de la conception et du régime de fonctionnement adoptés pour l’éolienne : dessindes pales, vitesse de rotation, réglage du pas des pales, etc...

c) En déduire l’expression de la puissance maximale théorique en fonction de ρ, V etA. Calculer numériquement cette puissance maximale pour ρ = 1, 3 kg/m3, A = 15 m2

et V = 10 m/s.

Exercice: Lance à incendie

On s’intéresse à un écoulement cylindrique convergent. Un exemple classique est celuide la lance à incendie représentée sur la figure. L’eau passe d’abord par un tuyau dediamètre D1 avec la vitesse moyenne v1 puis par un manchon conique de longueur L etde diamètre de sortie D2. A la sortie du manchon, l’eau débouche dans l’air à la pressionatmosphérique pa et avec la vitesse moyenne v2. On notera QV le débit volumique de cetécoulement.On suppose que l’eau a une masse volumique ρ constante et que l’écoulement est enrégime permanent. On négligera les variations de pression de l’air dues aux différences dehauteur.

Données numériques: D1 = 6, 5 cm, D2 = 2, 2 cm, L = 50 cm , QV = 5 l/s et η = 10−3

Pa.s.

1) a) Exprimer et calculer v2 en fonction des données du problème. En déduire v1.b) Exprimer le nombre de Reynolds R2 à la sortie du tuyau convergent et calculez-

le: l’écoulement est-il turbulent ? Mêmes questions pour le nombre de Reynolds R1 del’écoulement avant la partie conique.

Dans la suite on négligera les effets de la viscosité.

2) a) Rappeler le théorème de Bernoulli ainsi que ses conditions d’application (on négligerales pertes de charge).

b) Exprimer alors la pression moyenne p1 dans le tuyau de diamètre D1. Calculer p1.

On cherche à estimer la force de recul ressentie par un pompier tenant la lance. Pour cefaire, on définit un volume de fluide ∆ pour lequel on va faire le bilan des forces.

3) a) Exprimer la force de pression ~F1 exercée sur ∆ au travers de la section droite enx = 0. Même question pour la force de pression ~F2 exercée sur ∆ au travers de la sectiondroite en x = L.

b) Calculer la force de pression motrice résultante ~F1 + ~F2.c) On note ~Fp la force de pression exercée sur ∆ par les parois du manchon. Pourquoi

~Fp est-elle parallèle à Ox ?

La force totale exercée sur le fluide dans ∆ est donc ~F∆ = ~F1 + ~F2 + ~Fp. On cherchemaintenant à estimer la variation de quantité de mouvement du fluide dans ∆ pendantdt.

4) a) Exprimer en fonction du débit massique la quantité de mouvement qui entre dans∆ par unité de temps, d~q1/dt.

b) Exprimer de même la quantité de mouvement qui sort de ∆ par unité de temps,d~q2/dt.

c) En déduire alors une expression de ~F∆. Calculer F∆. Dans quel sens la force est-elleorientée ?

d) En déduire ~Fp et la force de recul ~Fr ressentie par le pompier tenant la lance.Calculer ~Fr.

Exercice: Coude dans un écoulement

On considère un écoulement comportant un coude (voir figure). Cette forme d’écoulementva induire une perte de charge pour le fluide ainsi qu’une force sur la conduite entourantle fluide qu’on cherche à décrire. On définit un volume de contrôle ∆ enceint par lessections droites S1 et S2 ainsi que par la surface latérale Sl.On supposera que l’écoulement est en régime satationnaire et que le fluide est de l’eaude masse volumique ρ = 1 kg/l. On néglige les effets de la viscosité ainsi que ceux de lapesanteur.

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1) Après avoir expliqué pourquoi l’impulsion change dans l’écoulement, exprimer la vari-ation d’impulsion d~q/dt du volume de contrôle fluide ∆.

2) a) En appliquant le principe fondamental de la dynamique à ∆, exprimer la force depression ~Fs que la conduite exerce sur le fluide à l’intérieur de ∆.

b) Retrouver ce résultat à partir du théorème d’Euler.c) Calculer le module de ~Fs ainsi que ses composantes pour p1 = 4 bars, p2 = 3.95

bars, S1 = S2 = 0, 6 m2, v1 = 5 m/s et α = 60o. Représenter ~Fs sur un schéma.d) Exprimer la perte de charge induite par le coude (perte de charge singulière) sous

la forme ∆p = kρv2/2. Calculer k et commenter.

3) Exprimer la résultante ~R des forces s’appliquant à la canalisation. Faire l’applicationnumérique et commenter.

On prend maintenant en compte les effets de la viscosité sur une longueur L = 1 kmautour du coude. On rappelle que η = 10−3 Pa.s.

4) a) En utilisant la loi de Poiseuille, exprimer la perte de charge (régulière) due à la vis-cosité en fonction de la pression dynamique et d’un coefficient kv à expliciter. Commenterla valeur de kv.

b) Comment peut-on alors estimer la perte de charge totale dans cet écoulement ?

5) Quel serait l’effet de la pesanteur sur les résultats précédents ?

Exercice: Poussée d’un moteur à réaction

La figure ci-dessous représente le modèle du moteur qui sert de base à l’analyse. Le débitde masse rentrant dans le moteur est ma et le débit sortant est la somme du débit d’airet du débit de carburant, me = mf + ma . L’énergie thermique fournie dans la chambrede combustion est transformée en énergie cinétique après le passage du gaz dans uneturbine et sa détente dans la tuyère. On se place dans le système de coordonnées entranslation uniforme avec le moteur: dans ce système, le moteur est au repos et le fluidesitué en amont se dirige vers le moteur à la vitesse v0. Les conditions qui règnent dansla section d’éjection du moteur sont pe, ve. En appliquant la conservation de la quantitéde mouvement, exprimer la force de poussée développée par le moteur. On négligera lesforces de pesanteur.Indication : considérer le volume de contrôle de fluide schématisé sur la figure; la sectiond’entrée est placée suffisamment en amont du moteur de telle sorte que la pression et lavitesse qui y règnent soient respectivement p0 et v0 (les conditions à l’infini amont dansl’écoulement libre) ; la section de sortie du fluide est la section de sortie du moteur.A.N. : Un turboréacteur propulse un avion à une vitesse constante de 300 m/s. Le débitd’air qui passe dans le turboréacteur est de 90 kg/s, le débit de carburant est de 2 kg/s.La vitesse d’éjection des gaz est de 620 m/s et la pression d’éjection est égale à la pressionambiante.

Figure 4: Volume de contrôle pour la détermination de la poussée d’un turboréacteur.

Exercice: Mesure de perméabilité

On réalise le montage suivant de façon à mesurer la perméabilité k du milieu poreux P .Le fluide utilisé est de l’eau, incompressible et de viscosité η. La hauteur h est maintenueconstante par un apport d’eau. L’eau et le milieu poreux sont contenus dans un tube desection circulaire constante S. La perméabilié du milieu poreux est déduite de la mesuredu débit volumique QV .Valeurs numériques: η = 10−3 Pa.s, ρ = 1 kg/l, h = 50 cm, d =10 cm, S = 10 cm2 etQV = 1 cm3/s.1) Dans un premier temps on néglige la contribution de la pesanteur sur la hauteur d dumilieu poreux.

a) Rappeler la loi de Darcy.

b) Exprimer alors la perméabilité k0 en fonction des données de l’expérience. Fairel’application numérique. De quel genre de milieu poreux s’agit-il ?

2) On prend maintenant en compte l’effet de la pesanteur.a) Exprimer alors la vitesse moyenne de l’eau dans le milieu poreux en fonction du

terme de pesanteur et du gradient de pression.b) Calculer à nouveau k. Conclusion ?

3) a) Comment procède-t-on expérimentalement pour mesurer QV ?b) Comment peut-on faire une mesure précise de k ?

Exercice: Palier lubrifié

On considère un axe de rayon R = 2 cm en rotation à N = 7200 tours/min dans un palierlubrifié. On supposera que l’espacement entre l’axe et le palier est constant et égal à h =0,04 mm. La viscosité de l’huile est 0,020 poiseuilles et sa masse volumique est ρ = 920kg/m3. La longueur du palier est L = 5 cm. On supposera que la distance h entre l’axeet le palier est petite devant le rayon moyen R. On suppose que la charge sur l’axe esttrès faible, de telle sorte que les forces de frottement associées à la viscosité sont les seulesimportantes. Calculer la contrainte agissant sur le fluide au niveau de l’axe, la force defrottement sur l’axe, le couple correspondant et la puissance nécessaire pour faire tournerl’axe.

IV- Ecoulements

Exercice: Ecoulement de Couette

On considère l’écoulement laminaire et permanent d’un fluide visqueux newtonien, incom-pressible, entre deux plaques parallèles horizontales espacées d’une distance h. La plaquesupérieure est en mouvement à la vitesse V , alors que la plaque inférieure est statique.Les deux plaques sont considérées de dimensions infinies dans les deux directions x et y.

L’écoulement est unidimensionnel, parallèle à la direction x. On note η le coefficient deviscosité dynamique du fluide et ρ sa masse volumique. On étudie le régime permanent.1) Écrire l’équation de continuité, compte tenu des hypothèses.2) Écrire les équations de bilan des quantités de mouvement. On posera, sans le démontrer,que la pression ne varie pas suivant x (plaques infinies).3) Montrer que la pression varie sur une verticale suivant la loi hydrostatique.4) Déterminer la distribution de vitesse entre les plaques en intégrant l’équation du mou-vement et en utilisant les conditions aux limites correspondantes.5) Considérons la situation pour laquelle le fluide est de l’huile pour moteur et h = 3 mm.La vitesse de la plaque en mouvement est V = 10 m/s. On suppose que les propriétés del’huile sont constantes. On donne : ρ = 888,2 kg/m3 ν = η/ρ = 900 10−6 m2/s.Déterminer les contraintes de viscosité et en déduire l’expression de la force par unité desurface nécessaire pour assurer le mouvement de la plaque supérieur

Exercice: Ecoulement de Poiseuille plan

On considère une géométrie idéale où le fluide incompressible de viscosité η s’écoule entredeux plans fixes parallèles distants d’une largeur 2h. On suppose en outre que le flu-ide est non pesant (forces de gravité négligeables) et que le mouvement est permanent(stationnaire dans le temps), rectiligne, parallèle aux plans et bidimensionnel.

Conformément aux notations de la figure, on prend l’axe Ox colinéaire à celui dumouvement, la direction normale aux plans étant prise pour axe Oy. L’axe Oz, orthogonalau plan de la figure complète le trièdre orthonormé. On désigne par vx, vy et vz lescomposantes du vecteur vitesse dans le repère ainsi constitué et par p la pression.En raison du caractère plan et stationnaire de l’écoulement on a pour toute grandeur Gle décrivant: ∂G/∂z = 0 et ∂G/∂t = 0. Le problème dynamique posé par cet écoulementse réduit donc à la détermination des quatre fonctions scalaires de (x, y): vx, vy, vz et pentre les deux plans.1) Traduisez le caractère parallèle du mouvement et écrivez l’équation de continuité.2) Écrire les équations de bilan des quantités de mouvement (en les simplifiant au maxi-mum compte tenu des hypothèses).3) Comment p varie-t-elle sur une verticale (suivant y) ? De quelle variable dépend vx? Réécrivez alors la 1re équation de Navier-Stokes sous la forme d’une égalité de deuxfonctions inconnues à variables séparées.4) En déduire la loi de variation longitudinale (suivant x) de la pression. On notera p0 lapression de référence en x = 0, et A la constante qui subsiste après l’intégration.

5) Déterminez le profil de vitesse entre les plaques en fonction de A. Que vaut la vitessemaximale en fonction de h, η et A ? Quel est le signe de A ? Que vaut la vitesse moyenne? Exprimer A en fonction du débit volumique par unité de largeur (largeur = dimensionsuivant Oz).6) Déduire des résultats précédents le tenseur des contraintes visqueuses et calculer lacontrainte de cisaillement τxy en fonction de A. Que vaut en particulier le frottement τpà la paroi supérieure ?7) Exprimer A en fonction de τp. En déduire l’expression de la perte de pression le longde l’écoulement ∂p/∂x en fonction de τp.

Exercice: Ecoulement sur un plan incliné

On cherche à caractériser l’écoulement d’un liquide incompressible et visqueux dans uncanal de largeur L formant un angle α avec l’horizontale. On supposera que l’écoulementa une épaisseur h constante et que sa largeur L suivant Oy est très grande (on n’étudiedonc pas l’écoulement sur les bords du plan incliné). On utilisera le repère cartésienreprésenté sur la figure. La viscosité de l’air et les variations de pression en fonction del’altitude dans l’air seront négligées.

Valeurs numériques: η = 0.5 SI, ρ = 1 kg/l, h = 1 cm, L =1 m et α = 300.

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1) On fait l’hypothèse d’un écoulement laminaire où la vitesse de l’écoulement s’écrit~v = v(x, z)~ex. De même, la pression dans l’écoulement sera décrite par p(x, z).

a) Pourquoi la coordonnée y n’intervient-elle pas dans ces grandeurs physiques ?b) Dans un fluide incompressible, quelle condition vérifie ~v ? Utilisez-la pour montrer

que v ne dépend que d’une seule coordonnée.c) Ecrire les composantes du vecteur ~g dans le repère choisi (pour vérifiez vos projec-

tions placez-vous dans le cas limite où α = 0).

2) L’écoulement étudié ici peut-être décrit par l’équation de Navier-Stokes stationnaire:

ρ (~v.~∇)~v = −~∇p+ ρ~g + η∆~v.

a) Rappeler les deux hypothèses sur le fluide qui ont permis d’établir cette équation.b) Comment s’appelle η ? Quelle est sa dimension ?c) Soit une surface S parallèle à xOy, rappeler l’expression du module de la force de

viscosité Fv qui s’exerce au travers de S dans le fluide.

d) Que vaut le terme d’advection (~v.~∇)~v dans le cas présent ?

3) Sachant que dans le cas présent ∆~v =d2v

dz2~ex:

a) écrire les projections de l’équation de Navier-Stokes suivant les 3 axes cartésiens.b) Intégrer d’abord l’équation où la vitesse n’intervient pas. Sachant que p = p0 en

z = h (surface du liquide), exprimer la pression p.c) Etablir alors une équation différentielle sur v.d) Que vaut la vitesse en z = 0 ? La viscosité de l’air étant négligée, la force de

viscosité dans le fluide tend vers 0 lorsque z → h: montrer alors que [dv/dz]z=h = 0.e) Intégrer l’équation du 3)c) et montrer que v = v0(2z/h − (z/h)2). Exprimer la

vitesse maximale v0. Calculer v0. Tracer la courbe de v en fonction de z.f) Exprimer le nombre de Reynolds Re de l’écoulement. Calculer Re: conclusion ?

4) a) Rappeler la définition du débit QV dans cet écoulement. Exprimer QV en fonctionde ρ, g, η, L, h et α.

b) Rappeler la définition de la vitesse moyenne vm de cet écoulement et exprimez-laen fonction de v0.

On s’intéresse à la partie de l’écoulement entre x = 0 et x = d. On supposera que v = vmdans toute section droite de l’écoulement.

5) a) Représenter sur un schéma quelques lignes de courant de cet écoulement.b) Soient un point A de la section droite x = 0 et un point B de la section droite

x = d, à l’aide du théorème de Bernoulli exprimer la perte de charge notée δp due à laviscosité (NB pour le terme de pesanteur on utilisera l’axe vertical Oz′).

c) Exprimer alors δp en fonction de QV .

Exercice: Ecoulement entre 2 disques

Deux disques horizontaux et parallèles sont à une distance d et ont un diamètre D tel qued << D. De l’eau, amenée par une conduite cylindrique verticale, pénètre au centre dudisque par une ouverture de diamètre d. Dans la conduite, on suppose que l’écoulementa une vitesse vc uniforme et connue. La zone −d ≤ z ≤ 0 et r ≤ d/2 est perturbéeà cause du changement de direction et on n’étudiera pas l’écoulement dans cette zone.Au-delà on supposera que l’eau s’écoule radialement avec une symétrie cylindrique pourenfin déboucher dans l’atmosphère. On appelle Oz l’axe de la conduite, O étant le centredu disque supérieur. On utilisera les coordonnées cylindriques (r, ϕ, z).On négligera la pesanteur dans tout le problème. On supposera de plus que dans la sectiondroite de sortie (située à r = D/2), la pression est égale à la pression atmosphérique p0.L’eau sera considérée comme un fluide parfait, à masse volumique constante et en régimepermanent.

1) On cherche dans un premier temps à exprimer le débit.a) Sur un schéma des disques vus de dessus, représentez les lignes de courant de

l’écoulement.b) Quelle est la direction de ~v ? De quelle(s) coordonnée(s) dépend sa valeur algébrique

v ? (on rappelle que d << D)c) A une distance r de l’axe 0z (r = HM), définissez la section droite qui vous

permettra de calculer le débit Q. Exprimez alors Q.d) En déduire, v(M) la vitesse du fluide au point M en fonction de vc.

Mv

vc

z

O

D

d

d

rH

2) On appelle pc la pression statique dans la conduite verticale. En appliquant le théorèmede Bernoulli, exprimez pc en fonction de vc et de p0.

3) De même exprimez la pression p(M) en un point M situé entre les deux plateaux ettel que d/2 < r < D/2. La comparer avec p0.

4) On cherche maintenant à déterminer les forces de pression s’exerçant sur le plateausupérieur.

a) Pour d/2 < r < D/2, exprimez la résultante des forces qui s’exercent sur le plateausupérieur de la part des fluides qui l’entourent. Y a-t-il répulsion ou attraction ?

b) Pour r ≤ d/2, on admet que la pression de l’eau sur le plateau supérieur estpc + ρv2

c/2. Exprimez alors, de même qu’à la question précédente, la résultante des forcesqui s’exercent sur le plateau supérieur.

Exercice: Fluide en rotation

On considère un récipient cylindrique de hauteur H et de rayon R qu’on remplit d’eaujusqu’à une hauteur h. On met alors ce récipient en rotation avec une vitesse angulaireconstante ~Ω = Ω ~uz. On supposera l’eau incompressible et isotherme dans tout l’exercice.L’écoulement de l’eau sera considéré comme stationnaire. Dans tout le problème, on nég-ligera les variations de pression atmosphérique. On utilisera les coordonnées cylindriques(r, ϕ, z) associées au repère tournant (~ur, ~uϕ, ~uz).

Hh

O

z

R

1) Quelles sont les grandeurs physiques qui décrivent l’état du fluide ? Au vu des symétriesdu problème, de quelle(s) coordonnée(s) dépendent ces grandeurs ?

2) A cause des forces de viscosité qui l’entraîne, l’eau suit le mouvement du récipient quiest en rotation circulaire uniforme. On repère un point M du fluide par ~OM = r~ur + z~uz.

a) Exprimez la vitesse ~v de l’eau en tout point M .

b) Représentez sur un schéma le vecteur ~v(M) ainsi que les trajectoires de quelquesparticules d’eau.

3) Afin de déterminer le champ de pression p de l’eau, on applique le principe fondamentalde la dynamique (PFD) à un élément de fluide V de volume dτ qui entoure le pointM(r, ϕ, z). Pour écrire le PFD, on utilisera des densités de force par unité de volume.

a) Rappelez (sans la démontrer) l’expression de la densité des forces de pression quis’exercent sur V .

b) Quelles sont les forces qui s’exercent sur V suivant ~uz ? Ecrire l’équilibre corre-spondant et l’équation différentielle sur p associée.

c) Mêmes questions pour l’équilibre suivant ~ur (on raisonnera dans le référentiel tour-nant).

d) On obtient ainsi deux équations différentielles couplées qu’il faut intégrer successive-ment suivant chacune des deux variables. Exprimez alors p en fonction d’une constanted’intégration.Rappel: soit une fonction f(x, y) qui vérifie ∂f/∂x = α. La primitive de cette équationdonne f(x, y) = αx+K(y) où K(y) est une fonction constante par rapport à x.

e) Sachant que la pression à la surface de l’eau est partout p0, déterminez complètementla pression p au sein du fluide (on notera z0 l’altitude de la surface de l’eau en r = 0).

4) A partir de l’expression de p, exprimez la relation entre z et r à la surface de l’eau.Tracez la courbe de z− z0 en fonction de r: quel est le nom de cette courbe ? Calculez lavitesse angulaire Ω pour laquelle l’eau commence à déborder (on donne H − z0 = 10 cmet R = 20 cm).

Exercice: Effet Magnus

Dans l’air, le déplacement d’un objet en rotation sur lui-même dans un fluide produit descomportements surprenants (cf. ping-pong, golf ou football). Afin de décrire simplementces effets, on considère l’écoulement autour d’un cylindre d’axe Oz, de rayon a et dehauteur h. Ce cylindre tourne autour de son axe Oz avec la vitesse angulaire ~Ω = −Ω~uz(Ω > 0) et est placé dans un écoulement laminaire de vitesse ~ve avec ~ve = v0~ux à l’infini(c’est-à-dire dans les zones où le cylindre ne perturbe pas l’écoulement).

Dans tout ce qui suit on se place en régime permanent. On supposera que l’air estincompressible et on négligera les variations de pression dans l’air. La pression à l’infiniest p0. On admettra qu’en tout pointM de l’écoulement la vitesse ~v de l’air peut s’écrirecomme ~v = ~ve + ~vr où ~ve est la vitesse due à l’écoulement laminaire et ~vr celle due à larotation du cylindre (principe de superposition).

1) Choisissez un système de coordonnées et représenter les coordonnées d’un point Mquelconque sur un schéma.

2) Exprimer la vitesse ~vc en un point M de la surface du cylindre. Pourquoi ~vr n’est-ellepas nulle ?

Etude qualitative: Pour les questions suivantes on se place au voisinage du cylin-dre et dans le plan yOz (x = 0). On supposera que dans ce plan ~ve = ~v0.

3) Exprimer alors les vitesses ~v(A) au point A (y = a, x = z = 0) et ~v(A′) au point A′(y′ = −a, x′ = z′ = 0).

4) En négligeant le travail des forces de viscosité, exprimer la différence de pression∆p = p(A)− p(A′).5) Quel est le signe de ∆p ? Change-t-il lorsque A et A′ parcourent la génératrice ducylindre tout en restant symétriques par rapport à xOz (x = x′ et y = −y′). Représentersur un schéma la force de pression résultante ~Fp qu’on appelle portance.

Oz ve

vr

ve O

z

h/2

h/2

x

y

Figure 5: Gauche: cylindre vu de dessus, droite: cylindre vu de côté.

Expression de la portance: Pour exprimer quantitativement la portance, il faut déter-miner le champ de vitesse puis la pression en tout point de la surface du cylindre. On vautiliser le principe de superposition et on s’intéresse tout d’abord à l’écoulement entraînéseulement par la rotation du cylindre et de vitesse ~vr. On rappelle l’équation d’Euler:

∂~v

∂t+ (~v.~∇)~v = −~∇p/ρ

où l’on a négligé la pesanteur.

6) On suppose que le cylindre est infini (h >> a). L’air étant entraîné par le cylindre,donner la direction de ~vr. En exploitant les symétries du problème, dîtes de quelle(s)variable(s) dépendent ~vr et pr la pression associée.

7) Après avoir rappelé les coordonnées du vecteur ~∇, projetez l’équation d’Euler sur les3 axes de votre référentiel. En déduire une équation différentielle sur pr.

8) a) En utilisant le théorème de Bernoulli, transformez l’équation précédente en uneéquation différentielle sur vr.

b) Déterminez alors complètement vr.

On tient à présent compte de l’écoulement laminaire de vitesse ~ve dont les coordonnéesobtenues à partir de l’équation d’Euler sont:

vre = v0

(1− a2

r2

)cosϕ

vϕe = −v0

(1 + a2

r2

)sinϕ

9) Représentez les lignes de courant de ~ve.

10) En appliquant le théorème de Bernoulli à l’écoulement complet ~ve + ~vr, déterminerla pression p en tout point. En déduire la pression à la surface du cylindre.

11) Calculer alors la composante suivant Oy des forces de pression (la portance) s’exerçantsur une épaisseur ∆z du cylindre centrée autour de O. Que se passe-t-il lorsque Ω aug-mente ?

12) Calculer de même la composante suivant Ox des forces de pression (la trainée). Cerésultat était-il prévisible ?

Exercice: Viscosimètre de Couette

Le viscosimètre de Couette est constitué de 2 cylindres coaxiaux pouvant tourner (voirFig.). Le liquide dont on veut mesurer la viscosité est placé entre les cylindres. Lecylindre intérieur C1 de rayon R1 est entraîné avec une vitesse angulaire Ω1 alors que lecylindre extérieur C2 de rayon intérieur R2 est maintenu fixe. On supposera le liquideincompressible et newtonien et on ne s’intéressera qu’au régime permanent. On négligerales effets de la pesanteur.On cherche à établir l’expression du couple qui va s’exercer sur C2. Pour ce faire, on vad’abord établir l’expression du champ de vitesse en utilisant l’équation de Navier-Stokes.On utilisera les coordonnées cylindriques pour décrire l’écoulement.

!"

z

!"

h

R1

R2

1) On commence par exploiter les propriétés de symétrie de l’écoulement:a) Lorsqu’on met C1 en rotation, que se passe-t-il dans le fluide ? En déduire la

direction de la vitesse ~v dans le fluide. Représenter quelques lignes de courant.b) De quelle(s) variable(s) dépend ~v ?

2) En projetant l’équation de Navier-Stokes:a) établir une équation différentielle sur v valeur algébrique du vecteur vitesse. Intégrez-

la et utilisez les conditions limites pour déterminer complètement v en fonction des donnéesdu problème. On pourra noter α = R2

2/R21.

b) Tracer la courbe de v.c) En déduire l’expression de la vitesse angulaire ω.

3) a) Exprimer la force par unité de surface (ou contrainte) σ2 qui s’exerce sur C2. Endéduire le couple Γ2 que ressent le cylindre C2.

b) Comment peut-on alors mesurer le coefficient de viscosité η du fluide ? Commentfaut-il choisir α R1 et h étant fixés) pour que cette mesure soit sensible ?

c) Sachant que Ω1 = 3 tours/s, R1 = 10 cm, α = 2 et h = 0, 5 m, calculer Γ2.

4) En utilisant une autre projection de l’équation de Navier-Stokes et l’expression de lavitesse, déterminer la pression en tout point du fluide.

Exercice: Écoulement laminaire dans une canalisation

Soit une conduite horizontale dans laquelle circule une huile de masse volumique ρ =800 kg/m3 et de viscosité η = 0,10 Pl. La longueur de la conduite est de 10 km et sondiamètre de 100 mm.1) Le débit à assurer étant de 20 m3/h, quelle est la puissance à prévoir ?On considère une canalisation inclinée de 10 m de longueur où s’écoule le même fluide queprécédemment. Le diamètre de la canalisation est de 20 mm et la différence de niveau

entre l’entrée et la sortie est de 5 m. La pression dans la section basse 1, p1, est maintenueégale à 3 bars, la pression dans la section haute p2 étant égale à 1,5 bars.2) Vérifier d’abord que l’écoulement se fait bien de bas en haut (dans le sens 1→ 2),puis calculer le débit de liquide dans la canalisation ainsi que le nombre de Reynolds del’écoulement.

Exercice: Dimensionnement d’une canalisation

Une conduite assure un débit liquide permanent de 50 l/s. Le fluide considéré est de l’eau.On supposera qu’il s’agit d’un liquide incompressible pour lequel ρ = 103 kg/m3 et η =10−3 kg m−1s−1. Pour des écoulements turbulents en conduite hydrauliquement lisses etun nombre de Reynolds inférieur ou égal à 105, le facteur de frottement (ou coefficient deperte de charge linéaire ) est donné par la formule de Blasius λ = 0, 316/R1/4

e

Pour des nombres de Reynolds supérieurs à 105, on peut utiliser la formule de Nikuradsé1√λ

= 2 log(√λRe)− 0, 8.

où le coefficient λ est défini par λ = ∆Pt/Lρv2m/(2D)

avec ∆Pt la perte de charge intervenant dansla loi de Poiseuille.1) Quel diamètre de conduite permettrait d’obtenir un Reynolds de 2000 ? Conclure.2) Faire la même évaluation en supposant cette fois que le nombre de Reynolds vaut105. Calculer le facteur de frottement dans le cas d’une conduite hydrauliquement lisse.Déterminer la longueur de la canalisation si la variation de pression entre l’entrée et lasortie vaut 106 Pa. Conclure.3) On envisage maintenant une conduite hydrauliquement lisse de 1 km de longueur. Lavariation de pression entre l’entrée et la sortie vaut 106 Pa et le débit volumique est encorede 50 l/s. Déterminer le diamètre de la canalisation.

Exercice: Coefficients de répartition

Les problèmes d’écoulement tridimensionnel en conduite sont ramenés, pour simplifica-tion, à des problèmes monodimensionnels selon l’abscisse x, en rapportant en chaque xdes grandeurs moyennes dans la section droite d’abscisse x. Pour bien peser cette ap-proximation très usuelle, nous allons en faire l’analyse sur un écoulement laminaire et unécoulement turbulent. On considère l’écoulement d’un fluide incompressible de viscositéη dans un conduit de section circulaire de rayon R et on envisage :

(a) un écoulement unidimensionnel de vitesse uniforme v0 ;(b) un écoulement laminaire de profil de vitesse dans une section droite: v(r) =

vL(1− r2/R2);(c) un écoulement correspondant à un nombre de Reynolds Re = 105. Le profil de

vitesse est bien représenté par : v(r) = vT (1− r/R)1/n avec n = 7.Pour effectuer la comparaison, on suppose que les trois écoulements assurent le mêmedébit massique m.

1) Dans le cas d’un profil de vitesse uniforme v = v0, exprimer le nombre de Reynolds del’écoulement. Dans le cas de l’eau (ρ = 103 kg/m3, η = 10−3 Pa.s) et pour un débit de 1l/s, quel est le rayon minimal qui permettra d’assurer un régime laminaire (Re < 103) ?Calculer la vitesse v0 correspondante.

2) Exprimer en fonction de R et Re l’épaisseur δ de la couche limite laminaire. Calculerδ/R lorsque Re = 103.

3) Tracer v(r) dans les cas laminaire et turbulent. Comparer les profils.

4) Déterminer les valeurs de vL et vT en fonction de v0.

5) Dans le cas du profil de vitesse uniforme, exprimer en fonction de m et v0 les débitsde quantité de mouvement et d’énergie cinétique. Exprimer les débits de quantité demouvement et d’énergie cinétique pour les profils de vitesse laminaire et turbulent.

6) En déduire les coefficients de répartition de quantité de mouvement β et d’énergiecinétique α, définis respectivement par :

β =1

mv

∫∫S

ρv2 dS, α =1

mv2

∫∫S

ρv3 dS.

Exercice: Couche limite laminaire

On place une plaque carrée, immobile et parallèle au plan xOy dans un écoulement d’airde vitesse à l’infini ~v = v0 ~ex (v0 > 0). Le bord amont ou bord d’attaque de la plaque estparallèle à Oy et se trouve en x = 0. Le bord aval correspond à x = L. On suppose quel’écoulement reste partout unidirectionnel parallèle à Ox.On donne: L = 1 m, v0 = 1 m/s et ν = 2, 5 10−5 SI.

1) Rappelez ce qu’est une couche limite laminaire et représentez-la sur un schéma.

2) a) Quel est le temps caractéristique d’advection (ou écoulement libre) sur une longueurx ?

b) Quel est la dimension du coefficient de viscosité cinématique ν ?c) Par un raisonnement aux dimensions exprimer l’épaisseur δ de la couche limite à la

distance x du bord d’attaque en fonction de x et du nombre de Reynolds Re.

3) Exprimer la force ~F exercée par le fluide sur la plaque. Que devient cette expressionlorsqu’on suppose que le gradient de vitesse est constant ?

4) A l’aide des données du problème, calculer:a) le nombre de Reynolds local au bord aval (bord de fuite),b) l’épaisseur de la couche limite au bord de fuite,c) la force F exercée sur la plaque.

5) De l’air s’écoule entre deux plaques parallèles de côté L = 1 m distantes de h = 4 mm.a) En régime d’écoulement visqueux, rappeler la forme du profil de vitesse entre les

plaques.b) Estimez la distance d’établissement du régime visqueux à partir du bord d’attaque

des plaques.c) Calculer la force s’exerçant sur une plaque et comparer à la question 4)c).