treewidth polyhedral studies

7/21/2019 Treewidth polyhedral studies

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Jefferson L. Gurguri

Estudo poliedrico de decomposic ao emarvore

Fortaleza CE

Janeiro/2015


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Jefferson L. Gurguri


Dissertacao de mestrado apresentada como re-

quisito para obtencao do ttulo de mestre em

Ciencia da Computacao pela Universidade Fe-

deral do Ceara.

Orientador:

Prof. Dr. Victor Almeida Campos

UNIVERSIDADEF EDERAL DOC EA RA

DEPARTAMENTO DE C OMPUTACAO

MESTRADO ED OUTORADO EM C IENCIA DAC OMPUTACAO

PAR GO - PARALELISMO , GRAFOS E OTIMIZACAO C OMBINATORIA

Fortaleza CE

Janeiro/2015


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Jefferson Lourenco Gurguri


Dissertacao de mestrado apresentada como re-

quisito para obtencao do ttulo de mestre em

Ciencia da Computacao pela Universidade Fe-

deral do Ceara.

Aprovada em: / / .

Banca examinadora:

Prof. Dr. Victor Almeida Campos (Orientador)

Universidade Federal do Ceara (UFC)

Prof. Dr. Ana Shirley F. da Silva


Prof. Dr. Manoel Bezerra Campelo Neto


Prof. Dr. Yuri Abitbol de Menezes Frota

Universidade Federal Fluminense (UFF)


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Quantas noites cortei?

E importante dizer

Quee preciso amar,e preciso lutar

E resistir at e morrer.

Quanta dor cabe num peito

Ou numa vida so?

E preciso n ao ter medo.

E preciso ser maior.

Emicida/Felipe Vassao


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Agradecimentos

A Deus por me amparar em todos os momentos, dar forca interior para superar as dificul-

dades, mostrar os caminho nas horas incertas e me oferecer o suficiente em todas as minhas

necessidades.

Ao meu orientador Victor Almeida Campos, por acreditar em mim, por estar disponvel para

ouvir meus questionamentos e me instruir com bons comentarios e sugestoes fundamentais para

a pesquisa.

A todos professores do ParGO pela docencia exemplar, pelo incentivo, apoio e paciencia,

em especial aos professores Victor Campos, Ana Shirley e Manoel Campelo.

A minha famlia que e a base da minha de sustentacao e que me acompanha com carinho e

amor em toda minha formacao pessoal e profissional.

A minha companheira, Ingrid, pela paciencia, carinho e compreensao nos meus momentosde ausencia, enquanto estava mergulhado na pesquisa.

Finalmente, ao CNPq - Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientfico e Tecnologico -

pelo financiamento da bolsa de estudos para a realizacao da presente dissertacao.


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Resumo

O conceito de Largura em Arvore (treewidth) foi introduzido por Robertson e Seymour.

A largura em arvore de um grafo G e o mnimo k tal que G pode ser decomposto em uma

Decomposicao em Arvore (DEA) com cada subconjunto de vertice com no maximo k+1vertices.

Resultados recentes demonstram que varios problemas NP-Completos podem ser resolvido

em tempo polinomial, ou ainda linear, quando restritos a grafos com largura em arvore pequena.Em nossa pesquisa bibliografica, focamos a atencao no calculo de limites inferiores para a

largura emarvore e descrevemos em nossa dissertacao alguns dos resultados ja disponveis na

literatura.

Nos percebemos que formulacoes lineares-inteiras para a determinacao da largura emarvore

sao limitados na literatura e nao ha estudos disponveis sobre os poliedros associados a elas.

A formulacao por ordem de eliminacao (EOF) foi proposta por Koster e Bodlaender. Ela e

baseada na eliminacao ordenada de vertices e na relacao entre a largura emarvore de um grafo

e suas cordalizacoes.

Como resultado de nosso estudo, apresentamos uma simplificacao da formulacao EOF,

demonstramos que o poliedro associado a simplificacao e afim-isomorfico ao da formulacao

EOF, verificamos a dimensao do poliedro associadoa simplificacao, apresentamos brevemente

um rol de facetas muito simples desse poliedro e, em seguinte, introduzimos, analisamos e

demonstramos ser faceta algumas desigualdades mais complexas.

PALAVRAS-CHAVE:Largura emarvore, Formulacao por Ordem de Eliminacao, Facetas

e Combinatoria Poliedrica.


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Abstract

The concept of treewidth was introduced by Robertson and Seymour. Treewidth may be

defined as size of the largest vertex set in a tree decomposition.

Recent results show that several NP-Complete problems can be solved in polynomial time,

or linear, when restricted to graphs with small treewidth.

In our bibliographic research, we focus attention on the calculation of lower bounds for the

treewidth and we described, in our dissertation, some of the principal results already availablein the literature.

We realize that linear-integer formulations for determining the treewidth are very limited in

the literature and there are no studies available on the polyhedra associated with them.

The Elimination Order Formulation (EOF) has been proposed by Koster and Bodlaender.

It is based on orderly disposal of vertices and the relationship between the treewidth of a graph

and its chordalizations.

As a result of our study, we present a simplification of EOF formulation, we show that

the polyhedron associated with this simplification is affine isomorphic to the EOF formulation.

We determine the dimension of the polyhedron associated with the simplification, we briefly

present a set of very simple facets and we introduce, analyze and demonstrate be a facet, some

more complex inequalities.

KEYWORDS: Treewidth, Elimination Order Formulation, facets, and Polyhedral Combi-

natorics.


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Lista de Figuras

2.1 Exemplo de DEA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 15

3.1 He G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 26

3.2 Cord(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 27

3.3 restricao (3.9) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 28

4.1 Cord(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 33

4.2 Observacoes sobrev1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 39

4.3 P4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 43

4.4 Casos 1,2 e 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 44

4.5 Cordalizacoes para buracos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 45

4.6 H[V(C)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 46

4.7 Caminhos entrevi,vj e vk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 47

4.8 Caminho de u a v. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 49

4.9 Subciclos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 52

4.10 Representacao dass1 es2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 53

4.11 Casos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 53

4.12 3-fence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 56

4.13 Ciclo orientado paral 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 57

4.14 Ciclo das estacasu1l1e u2l2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 58

4.15 D(s1)e D(s2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 58


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Sumario

1 Introducao p.10

1.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 10

2 Fundamentacao Teorica p.12

2.1 Conceitos em Teoria dos Grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 12

2.2 Conceitos em Combinatoria Poliedrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 15

3 Limites Inferiores p.19

3.1 Baseados em graus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 19

3.2 Baseados na tomada de subgrafos e/ou menores . . . . . . . . . . . . . . . . p. 20

3.3 Baseados em grafos melhorados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 22

3.4 Maximum Cardinality Search. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 23

3.5 Baseados em Esquemas Perfeitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 24

3.6 Formulacao por Ordem de Eliminacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 26

4 Estudo Poliedrico da Formulacao EOF p.29

4.1 Uma simplificacao para a formulacao EOF . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 29

4.2 Introducao ao estudo poliedrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 32

4.3 Dimensao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 34

4.4 Facetas basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 36

4.5 Facetas geradas por Caminhos Induzidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 38

4.6 Facetas geradas por Buracos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 45

4.7 Observacoes sobre as desigualdades fence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 55


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5 Conclusao p.60

Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 60

Indice Remissivo p.61

Referencias Bibliograficas p.62

Apendice A -- Demonstracao de facetas basicas p.64


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1 Introducao

1.1 Introducao

O conceito de Largura em Arvore (treewidth) foi introduzido por Robertson e Seymour

[24, 25] em sua serie de artigos sobre menores de grafos.

Para problemas computacionalmente complexos, e.g. problemas N P-Completos,e impor-

tante saber para quais instancias estao disponiveis algoritmos eficientes. Varios problemas NP-

Completos podem ser resolvidos em tempo polinomial, ou ainda linear, quando restritos a gra-

fos com largura em arvore pequena, veja em [1, 2]. De acordo com Bodlaender [6], grafos com

largura em arvore limitada ocorrem com frequencia em problemas praticos como: Sistemas

especialistas, Resistencia de redes eletricas, Processamento de linguagem natural e etc.

Determinar a largura em arvore de um grafo arbitrario e um problema NP-Difcil [2], assim

o que podemos esperare obter bons limites. Obter limites superiorese relativamente simples,

por exemplo, escolhendo uma triangulacao para G e avaliando o numero-clique de G menos

uma unidade ((G) 1) [11]; entretanto, obter bons limites inferiores vem sendo uma tarefa

mais desafiadora.

Determinar bons limites inferiores para largura emarvore de um grafo tem diversas aplicacoes

como: Limites inferiores podem ser usado como subrotinas para algoritmos de Branch-And-Bound; Na resolucao de problemas combinatorios, um limite inferior alto para largura em arvore

pode indicar a inviabilidade no tempo de computacao utilizando DEA; Limites inferiores podem

indicar a qualidade de limites superiores por um gap reduzido.

Tecnicas conhecidas para achar limites inferiores simples podem ser encontradas em Koster

et al [17], Ramachandramurthi [23] e Lucena [19]. Foi demonstrando, tambem, que todo limite

inferior pode ser modificado de forma a ser tomado como o maximo limite inferior sobre todos

os subgrafos ou menores de grafo [4, 5].

Contudo, estudos sobre a largura emarvore com abordagens de programacao linear inteira


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(PLI) sao limitados na literatura. Observando essa carencia, nos apresentamos novos resultados

sobre formulacao por ordem de eliminacao (EOF). Determinamos a dimensao e demonstramos

novas classes de facetas para o poliedro associado a esta formulacao.

No Captulo2, apresentamos brevemente a notacao em Teoria dos Grafos utilizada e as

definicoes especficas para a compreensao desde trabalho, tambem, apresentamos algumas definicoes

e proposicoes classicas em Combinatoria Poliedrica que serao utilizadas no Captulo4.

No Captulo3, exploramos os limites inferiores disponveis na literatura, finalizamos ao

apresentar a formulacao linear inteira denominada formulacao por ordem de eliminacao a qual

e o alvo do nosso estudo poliedrico.

No Captulo4, apresentamos uma simplificacao da formulacao EOF, demonstramos queo poliedro associado a simplificacao e afim-isomorfico ao da formulacao EOF. Verificamos a

dimensao do poliedro associado a simplificacao, apresentamos brevemente um rol de facetas

muito simples desse poliedro e, em seguida, introduzimos, analisamos e demonstramos ser

faceta algumas desigualdades mais complexas.

Finalmente, no Captulo5listamos nossas conclusoes e propomos alguns trabalhos futuros.


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2 Fundamentacao Teorica

Nesta captulo iremos expor alguns conceitos basicos, notacoes e propriedades utilizadas

no restante do texto, contudo, para sermos objetivos, assumimos que o leitor possui alguma

familiaridade com Teoria dos Grafos, Combinatoria Poliedrica e Teoria da Computacao.

2.1 Conceitos em Teoria dos Grafos

A notacao que adotamos em Teoria dos Grafos provem de (Diestel [14]).

Vamos denotar porG= (V(G),E(G))um grafo simples,n= |V(G)|o numero de vertices

deG e m = |E(G)|o numero de arestas de G. Denotamos, tambem, E(G)o conjunto de nao-

arestas deG, ou seja, E(G) = {uv:u,v V(G)e uv /E(G)} e m= | E(G)|.

Umgrafo direcionadoou digrafo D= (V(D),A(D))consiste em um grafo onde as arestas

sao orientadas, e sao ditas arcos. Um arco(u,v) A(D) e representado por uma seta partindo

deu em direcao a v e o denotamos por conveniencia, tambem, poruv.

Umgrafo orientado D= (V(D),A(D))difere de um digrafo apenas por nao possuir arcos

simetricos, ou seja, temos no maximo um dos arcosuve vuemA(D).

Para o grafoG= (V,E)e um conjunto de vertices W V, o subgrafo de G induzido por W

e denotado porG[W] = (W,{uv E| u,v W}).

Umpasseio em um grafo simples G e uma sequencia finita e nao-nulaP = [v0,v1, . . . ,vn]

tal que para 1 i n,ei=vi1vi e uma aresta emG. Otamanho (comprimento) de um passeio

e o numero de arestas contidas nele.

Umcaminho e um passeio que nao contem vertices repetidos. Sejamu,v V, u =v. Um

uv-caminhoe um caminho que comeca emue termina emv. SejamP,Qdoisuv-caminhos. P e

Qsao disjuntos em vertices se eles nao possuem vertices internos em comum.

Se C= [v0,v1, . . . ,vn] e um passeio com todos os vertices distintos, exceto por v0=vn,


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dizemos que Ce um ciclo.

A vizinhanca de um vertice v em G sera denotada porNG(v) e para S V(G) temosNG(S) =

(

vSNG(v)) \ S. O grau de um vertice vemG e denotado pordG(v).

QuandoGestiver implcito iremos suprimi-lo nos subscritos em nossa notacao.

Um buraco e um ciclo induzido de tamanho pelos menos 4. Denotamos por Cn o ciclo

induzido comn vertices. Um grafoecompletose todos os vertices deste grafos saoadjacentes

entre si. O grafo completo comn verticese denotado por Kn. Uma clique de um grafo G e

um subconjuntoS V(G)tal que G[S] e um subgrafo completo de G. O n umero cliquede G,

denotado por(G), e o tamanho da maior clique em G.

Uma partic ao de um conjunto Se uma famlia de subconjuntos, tambem ditos partes ou

classes, = {Si:i I}, tais que iISi=Se Si Sj= /0, para todo {i,j} I.

Um grafoG ebipartidose seu conjunto de vertices pode ser particionado em dois subcon-

juntosX eY tais que toda aresta tem uma extremidade emXe outra emY. Se todo vertice de

Xe adjacente a todo vertice em Y, entaoG e um grafo bipartido completo e e denotado porKr,s

comr= |X| es= |Y|.

Uma relacao binariaR e uma ordem parcial sobre um conjunto Use : R e reflexiva, ou seja,

para todo u U temos(u,u) R; R e antisimetrica, ou seja, para todo uv V se(u,v) R e

(v,u) R, entaou=v; eR e transitiva, ou seja, para todo u,v,w Use(u,v) Re(v,w) R,

entao(u,w) R. SejaRuma ordem parcial sobre V eu,v U. Se(u,v)dizemos queuprecede

vou, equivalentemente ,bsucede (oue posterior) au. Se(u,v) /Re (v,u) /R, dizemos queu

ev sao incomparaveis.

Iremos representar uma ordem parcial sobreV atraves da sequencia = S1, . . . ,Sk. Os

termo dessa sequencia sao subconjuntos deVmultuamente disjuntos. Os vertices emSi, para

i {1, . . . ,k}, sao incomparaveis entre si. SeSiprecedeSj na sequencia, entao todos os vertices

em Siprecedem os vertices em Sj. Seja S= i{1,...,k}Si. Os vertices em V\Ssao incomparaveis

entre si e sucedem os vertices emS.

Seja uma ordem parcial sobreV. Se para todo a,b V temosaRb ou bRa dizemos que

e uma ordem total. Usamos a notacaov wpara expressar(v,w) . Quando a ordem

estiver implcita denotaremos simplesmentev w.

Dizemos que uma ordem (total) respeita uma ordem parcial , quando .

Sejauma ordem dos vertices de G tal que se dG(v) dG(w), entaov w, ou seja, os

vertices sao ordenados pelo valor de seu graus em ordem crescente e vamos denotar por k(G)


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ok-esimo vertice nessa ordem.

Definicao 2.1.1 (Contracao). Uma contrac ao (de arestas) e uma relac ao entre um grafo G=

(V,E), uma aresta e = uv E e um novo grafo G

= (V

,E

), denotado por G/e. Para obtermosG/e a partir de G, n os substituimos os vertices u e v por um novo vertice vequee feito adjacente

a todos os vizinhos de u e v em G, ou seja, V = (V\ {u,v}) {ve} e E = {wt E : {w, t}

{u,v} = /0} {vew:uw E e} {vew:vw E e} .

Definicao 2.1.2(Menor). Um menor de Ge um grafo H , obtido por operac oes de: eliminac ao

de vertices e/ou arestas e contracoes de arestas sobre G.

Definicao 2.1.3 (Grafo Cordal). Um grafo e cordal se, e somente se, nao cont em qualquer

buraco.

Definicao 2.1.4 (Cordalizacao). Um grafo H= (V,E) e uma cordalizac ao de um grafo G=

(V,E)se G e subgrafo gerador de H e H e cordal. E \E e dito uma triangulac ao de G. H e dito

uma k-cordalizac ao de G see uma cordalizac ao cujo tamanho da maior cliquee no maximo k.

Definicao 2.1.5 (Decomposicao Em Arvore). Um par ({Xi | i I},T = (I,F)) e chamado

Decomposicao Em Arvore (DEA) para um grafo G= (V,E), onde{Xi| i I} e uma famlia

de subconjuntos (mochilas) de V , e T uma arvore com conjuntos de nos I e arestas F tal que:

1.iI

Xi= V .

2. uv E,i I: u,v Xi

3. Para todo v V, o conjunto Iv= {i I|v Xi} induz uma subarvore de T, ou equivalen-

temente, i,j,kI:Se j est a em algum caminho de i para k em T, temos Xi Xk Xj.

Podemos ver um exemplo de DEA na Figura2.1. A parte superior apresenta o grafo que

est a sendo decomposto e a parte inferior apresenta as mochilas dispostas de acordo com os nos

daarvore de decomposic ao aos quais est ao associados.

Definicao 2.1.6(Largura emarvore). A largura emarvore (treewidth) de uma decomposicao

D= ({Xi| i I},T= (I,F)) para G= (V,E) e definida como twD(G):=maxiI

{|Xi| 1} e a

largura emarvore de Ge a largura mnima dentre todas as decomposicoes emarvore possveis

para G. Logo, temos t w(G) =min{twD(G) |D uma DEA de G}.

Lema 2.1.7( [9]). Seja G = (V,E)um grafo com largura emarvore no maximo k. G possui umadecomposic ao em arvore({Xi| i I},T= (I,F))com largura no maximo k tal que para toda

aresta ij F: XiXj ou XjXi. As decomposicoes com tal propriedade s ao ditas pr oprias.


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Figura 2.1: Exemplo de DEA

2.2 Conceitos em Combinatoria Poliedrica

Nesta secao, apresentamos algumas definicoes e proposicoes bem conhecidas em Combi-

natoria Poliedrica. Um material mais profundo sobre Combinatoria Poliedrica pode ser obtido

em [28].

Seja m> 0, S= {x1, . . . ,xm} Rn e 1, . . . ,m R. Uma combinac ao linear

mi=1ixi

e dita uma combinac ao afim se mi=1i=1, ou ainda, combinac ao convexa se

mi=1i= 1 e

i 0, parai=1, . . . ,m.

O fecho afim (convexo) de Se definido como o conjunto de todas as combinacoes afins

(convexas) de elementos deSe o denotamos por aff(S)( conv(S)).

O conjuntoSe ditolinearmente indepedente(LI) se mi=1ixi= 0 implica quei= 0 para

i=1, . . . ,m. Caso contrario, elee ditolinearmente dependente(LD).

O conjunto Se dito afim indepedente (AI) se mi=1ixi=0 e

mi=1i = 0 implicam que

i=0, parai=1, . . . ,m. Caso contrario, elee ditoafim dependente(AI).

O Lema 2.2.1afirma que podemos utilizar um conjunto afim-independente em Rn para

obter um conjunto afim-independente em Rn+1 de mesma dimensao.

Lema 2.2.1. Se S= {s1, . . . , sn} e um conjunto afim-independente, ent ao para qualquer y Rn

temos que o conjunto S+ = {(si ,yi) :i=1, . . . ,n}e afim-independente.


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Demonstracao. Vamos determinar as solucoes para o sistema a seguir:

i=1,...,n

isiyi=0

i=1,...,n

i=0

ComoSe um conjunto afim-independente, temos que a unica solucao parano subsistema

ni=1isi=0 e

ni=1i e=

0.

O posto (resp. posto-afim) de S um conjunto nao-vazioe o maior numero de vetores li-

nearmente independentes (resp. afim independentes) emSe o denotamos por rank(S) (resp.

arank(S)).

Para a Rn \{0} e a0 R o conjunto {x Rn : ax = a0} e chamado hiperplano. Um hiper-

plano define umsemiespaco {x Rn : ax a0}. Umpoliedroe definido como a interseccao de

um numero finito de semiespacos ou equivalentemente ao conjunto de solucoes de um sistema

finito de inequacoes lineares.

Mais precisamente,Pe um poliedro, se existem uma matrizA Rmn e um vetorb Rm tal

queP= {x:Ax b}. Observe que algumas inequacoes emAx bpodem atuar conjuntamente

como equacoes. Vamos definir o sistema Mx= dcomo o sistema de equacoes presentes em

Ax be para enfatizar essas equacoes vamos escreverP= {x:Ax b,Mx=d}.

A dimensaode um conjunto Se definido como dim(S) = arank(S) 1 (o conjunto vazio

possui dimensao 1).

SejaP = {x: Ax b,Mx= d} Rn um poliedro. Podemos determinar a dimensao de P

como dim(P) = n posto(M)[20], onde posto(M)e o numero maximo de colunas linearmente

independentes deM.

Um poliedro P Rn possui dimensao plena se dim P= n. Caso um poliedro possua di-

mensao plena, nao existe qualquer equacaoax= a0, coma =0, que seja satisfeita em todos

os pontos deP [20].

Uma desigualdadea a0,a = 0,evalidapara um poliedroPseP {x : ax a0}. Caso

a a0 seja valida paraP o conjunto F= {x P:ax= a0}dito umafacede P essa face e

denominada pr opriase /0 =F P. Uma face de dimensaoke dita umak-face.

A face Fe denominadafacetase dim(F) = dim(P) 1 e dizemos que a desigualdadeax a0induz facetaemP.


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Para um poliedro de dimensao plena se duas desigualdadesax a0 ebx b0 induzem

a mesma faceta, entao elas diferem por um multiplo positivo como pode ser visto no teorema

seguinte.

Teorema 2.2.2 ( [20]). Seja P um poliedro de dimensao plena e ax a0 uma desigualdade

valida tal que sua face F={x P : ax= a0} seja pr opria. As seguintes proposicoes sao

equivalentes.

F e faceta de P.

dim(F) =dim(P) 1.

Se F {x P : bx = b0} onde bx = b0 e desigualdade valida para P, ent ao(a

,a0) =

(b,b0), para 0.

Uma transformacao afim f : U Wconsiste de uma transformacao linear (Ax) seguida de

um translacao por um vetor (b), ou seja, f(x) =Ax + b.

Dois poliedrosP Rn,Q Rm sao ditos afim-isomorficos se existem transformacoes afins

f : Rn Rm,g: Rm Rn que definem uma bijecao entre os pontos dos dois poliedros. Ou

seja, se existem

f :x Fx + F0,F Rmn,F0 R

m,

g:y Gy + G0,G Rnm,G0 R

n,

tais que

f(x) Q, x P

g(y) P, y Q

g(f(x)) =x, x P

f(g(y)) =y, y Q

Intuitivamente, dois poliedros sao afim-isomorficos se podemos obter um a partir do outro

atraves de transformacoes afins como translacao, rotacao, escala, reflexao ou projecao orto-

gonal. O afim-isomorfismo e uma relacao de equivalencia entre dois poliedros. Se dois po-

liedros sao afim-isomorficos, nos podemos relacionar de forma imediata suas desigualdades

validas (resp. faces, facetas) atraves das proposicoes a seguir, as demonstracoes podem ser

vista em [29].

Proposicao 2.2.3. Se x1, . . . ,xp P sao afim independentes, entao f(x1), . . . ,f(xp) Q sao

afim independentes.


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Proposicao 2.2.4. P e Q possuem a mesma dimens ao.

Proposicao 2.2.5. Se a desigualdadex 0 e v alida para P, ent ao a desigualdadeGy

0 G0 e v alida para Q.

Proposicao 2.2.6. Se R= {x P:x=0}, ent ao f(R) = {y Q:Gy=0

G0}.

Proposicao 2.2.7. Se R e uma k-face de P, entao f(R) e uma k-face de Q.

Proposicao 2.2.8. Sex 0induz faceta de P, ent aoGy 0

G0em Q.


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3 Limites Inferiores

Neste captulo, iremos apresentar alguns limites inferiores disponveis na literatura. Tenta-

mos, o quanto possvel, fazer uma aprensentacao linear, passando de ideias simples ate as mais

rebuscadas. Optamos, tambem, por nao apresentar aqui todos os limites inferiores que encon-

tramos disponveis na literatura ora devido a baixa performance do limite excludo, ora para nos

manter noambito da Teoria dos Grafos.

3.1 Baseados em graus

O parametro de Ramachandramurthi,R(G), e um limite inferior para a largura em arvore

calculado utilizando o grau de vertices especficos e fundamentado pelos seguintes lemas.

Lema 3.1.1(Carvalho, [12]). Seja D uma DEA de G= (V,E). Se W V e uma clique em G,

ent ao W deve estar contido em alguma mochila de D.

Lema 3.1.2. Se G = (V,E)e um grafo n ao completo com largura emarvore no maximo k, ent ao

existe dois vertices u,v V , nao adjacentes, com grau no m aximo k.

Demonstracao. Seja uma decomposicaoD = ({Xi: i I},T= (I,F)) com largura em arvore

no maximok. Suponha, sem perda de generalidade, queD seja uma decomposicao propria. Se

a decomposicao possui apenas uma mochila i, entao o lema vale trivialmente, pois Xi= V e

|Xi| k+ 1. Assim, todo vertice v Vpossui grau no maximoke como G naoe completo,

temos que existem ao menos dois desses vertices.

Se a decomposicao possui ao menos duas mochilas, entao existeiuma mochila quee folha

naarvore da decomposicao e j o seu vizinho. Tomev Xi \Xj= /0. Pela definicao de DEA

temos quev nao pode pertencer a qualquer outra mochila, pois nao pertence a mochila j. As

arestas estao distribudas entre as mochilas da decomposicao, logo todos os vizinhos devestaona mochilai com |Xi| maxkI|Xk| k+ 1, portantod(v) k.


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Como toda arvore possui ao menos duas folhas, temos dois vertices nao adjacentes com

grau no maximok.

Baseado nisso, Ramachandramurthi definiu R(G) como n 1 se, G e completo, ou o

mnimo entre todos os pares de vertices nao adjacentes do maximo grau dos vertices, caso

contrario. Formalmente,

Definicao 3.1.3. Seja G= (V,E)um grafo. N os definimos porR(G)como

R(G):=

|V| 1, Se G for clique

minuv E

max(d(u),d(v)), c.c.

Lema 3.1.4(Ramachandramurthi [23]). Para todo grafo G= (V,E), temos

1(G) 2(G) R(G) tw(G)

E trivial o c alculo de 1(G),2(G)e tambeme possvel calcularR(G)em tempoO(n+ m).

3.2 Baseados na tomada de subgrafos e/ou menores

Os limites inferiores baseados em graus sao sensveis a vertices com baixo grau. Sabe-se

pelo Lema3.2.1(Lema3.2.4), a seguir, que podemos utilizar uma decomposicaootima de um

grafo como base para construir decomposicoes para os seus subgrafos (menores) de modo a

nao aumentar a largura em arvore. Logo, podemos utilizar da estrategia de tomar subgrafos

(menores) do grafo original e utilizar o maximo do limite inferior sobre eles.

Lema 3.2.1. Seja G= (V,E)um grafo e W V. Temos que tw(G[W]) tw(G).

Demonstracao. Seja D= ({Xi| i I},T= (I,F)) a decomposicao em arvore otima para G,

podemos construir a decomposicao({Yi= Xi W|i I},T= (I,F))paraG[W].

Definicao 3.2.2(Degeneracao). Seja G= (V,E)

A degenerac ao de G, denotado porD(G),e o maximo1(H)para qualquer H subgrafo

de G.

A 2-degenerac ao de G, denotado por 2D(G), e o maximo 2(H) para qualquer H

subgrafo de G.

A R-degenerac ao de G, denotado por RD(G), e o maximo R(H) para qualquer H

subgrafo de G.


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Lema 3.2.3. Para qualquer grafo G= (V,E),tw(G) RD(G) 2D(G) D(G).

Foi demonstrado por Koster, Wolle e Bodlaender em [17] queD(G),2D(G) podem ser

computados em tempo O(nm) e que, para um grafo G= (V,E) e um dado k, e NP-completo

decidir seRD(G) e no mnimo k.

Lema 3.2.4. Seja H= (W,E)um menor de G= (V,E). Temos que tw(H) tw(G).

Demonstracao. Pela definicao de menor (2.1.2), basta mostrar que as operacoes: eliminacao de

aresta; eliminacao de vertice; contracao de aresta. Nao aumentam a largura em arvore de um

grafo.

SejaD= ({Xi| i I},T= (I,F))a decomposicao emarvoreotima paraG.

Observe que a eliminacao de arestas sobre G, obtendo H, nao altera a usabilidade de D

como DEA para H, visto que as arestas restantes continuam distribudas entre as mochilas da

decomposicao.

Suponha que realizamos apenas eliminacoes de vertices sobreG, obtendoH. Assim, He

subgrafo induzido de G e pelo lema3.2.1podemos obter uma DEA D com largura emarvore

no maximot wD(G). Podemos ainda operar eliminacoes de arestas sobre H. Logo, basta de-

monstrar que a largura em arvore deGnao aumenta com a contracao de aresta.

Suponha a contracao da aresta uv Egerando o verticex. Vamos construir uma decomposicao

D para o menorHobtido. Vamos substituir a ocorrencia deuouvnas mochilas (subconjuntos)

porx e definirXi =Xi seXi {u,v} = /0 eXi = (Xi {x}) {u,v}se Xi {u,v} = /0. Como a

cardinalidade das mochilas nao aumentam, temos que twD (H) twD(G).

Assim, podemos calcular os limites inferiores baseados em graus como o maximo limite

sobre todos os menores de um grafo.

Definicao 3.2.5. Seja G= (V,E)um grafo.

A degenerac ao por contrac ao de G, denotado porC(G), e o maximo de 1(H) para

qualquer H menor de G.

A2-degeneracao por contracao de G, denotado por2C(G),e o maximo de2(H)para


AR-degeneracao por contracao de G, denotado porRC(G),e o maximo deR(H)para


Lema 3.2.6. Para qualquer grafo G= (V,E),tw(G) RC(G) 2C(G) C(G).


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3.3 Baseados em grafos melhorados

Ainda buscando superar a fragilidade dos limites inferiores apresentados em relacao aos

vertices de pequeno grau, iremos expor uma condicao que permite adicionar arestas ao grafo

sem alterar a largura emarvore.

Identificar tais condicoes e interessante pois nos permite aumentar a densidade do grafo e

possivelmente aumentar o valor de nossos limites inferiores ja conhecidos.

A seguir, temos o lema que detalha a condicao sugerida.

Lema 3.3.1 (Em [7, 13]). Seja G= (V,E) um grafo com tw(G) k. Seja v,w dois vertices

nao-adjacentes em G. Suponha que existe ao menos k+ 1 caminhos disjuntos em vertices de

v at e w. Ent ao, o grafo obtido pelo acr escimo da aresta vw em G, G = (V,E {vw}), possui

largura emarvore no maximo k.

Considere o seguinte procedimento, dado um grafo G= (V,E) e um inteiro k. Enquanto

existirem verticesv e w nao-adjacentes ligados por pelo menos k+ 1 caminhos disjuntos em

vertices emG, adicionamos a arestavw no grafoG corrente. O grafo resultantee denominado

grafo(k+ 1)-caminho melhorado.

Portanto, a largura em arvore de G e no maximokse, e somente se, a largura em arvore

do(k+ 1)-caminho melhorado de G tem largura em arvore no maximok. Mais estritamente,

temos o seguinte resultado:

Teorema 3.3.2. Seja Gno grafo(k+ 1)-caminho melhorado de G= (V,E). Ent ao,

tw(G) k tw(Gn) k

.

Baseado no Teorema3.3.2,Clautiaux et al. [13] desenvolveram o AlgoritmoLBP. O algo-

ritmo utiliza outro algoritmoXpara calcular limites inferiores como subrotina.

Vamos argumentar a corretude do Algoritmo LBP (algoritmo1). Em cada iteracao, nos

calculamos o limite inferior para a largura emarvore do grafo(low + 1)-caminho melhorado de

G. Como tw(H) X(H). Se X(H) for maior quelow, temos que a largura emarvore deH

e maior quelow. Assim, pelo teorema3.3.2temos que tw(G)>low. Logo, podemos adicionar

uma unidade alow.


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Algorithm 1:LBP(X)(Grafo)

1 HtEntrada: G= (V,E): um grafo,X: Algoritmo para limites inferiores paratw(G)Sada: l ow: limite inferior

2 low X(G);3 repita

4 H (low + 1)-caminho melhorado deG;5 lowH X(H);6 changed false;7 selowH> lowentao8 low low + 1;9 changed true;

10 atenot(changed);

3.4 Maximum Cardinality Search

O algoritmo Maximum Cardinality Search (MCS) foi introduzido por Tarjan e Yannakakis

[27] para o reconhecimento de grafos cordais. Elee utilizado frequentemente como heurstica

para limites superiores para a largura em arvore, contudo, pode ser utilizado como mecanismo

de calculo para limites inferiores como demonstrado por Lucena [18,19].

O algoritmo MCSe um algoritmo de percurso sobre grafos. O algoritmo inicia sem nenhum

vertice visitado. Ele, iterativamente, visita algum vertice nao visitado, tendo como criterio de

escolha o vertice nao visitado como o maior numero de vizinho ja visitados. Observe que o

algoritmo gera uma ordem sobre os vertices deG.

Essas ordens geradas pelo algoritmo MCS sao denominadas MCS-ordens de G= (V,E).

Lucena demonstrou que qualquer MCS-ordem produz um limite inferior para a largura em

arvore deG.

Lema 3.4.1(Lucena [19])

.Suponha que o algoritmo Maximum Cardinality Search sobre o

grafo G= (V,E)visita um vertice v V tal que, no instante da visita, N(v)contem k vertices

ja visitados. Ent ao, tw(G) k.

Alem disso,

Teorema 3.4.2 (Lucena [18, 19]). Para qualquer grafo G= (V,E) e MCS-ordem de G, a

largura emarvore de Ge limitada inferiormente por

MCSLB(G,) =maxvV |{vw E: w v}|

Observe que MCSLB(G,) e o maximo numero de vertices ja visitados adjacentes ao


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vertice sendo visitado em cada iteracao.

Uma heurstica para limites inferiores pode ser baseada na geracao de uma MCS-ordem

e a avaliacao deMCSLB. Infelizmente, a determinacao da MCS-ordem que maximizaMCSLB

e um problemaNP-Difcil.

3.5 Baseados em Esquemas Perfeitos

Esta secao apresenta os resultados teoricos que alicercam a formulacao por Ordem de

Eliminacao quee defina na seccao 3.6, cujo estudo poliedricoe nosso principal objeto de estudo.

Podemos utilizar relaxacoes dessa formulacao para obter limites inferiores. Iremos exibir

duas caracterizacoes para os grafos cordais, sendo a ultima utilizada para gerar cordalizacoes

do grafo original.

A caracterizacao de grafos cordais exibida no teorema3.5.1afirma que podemos construir

uma decomposicao em arvore para um grafo cordal atraves da famlia de cliques maximais

desse grafo.

Teorema 3.5.1 (Carvalho [12]). Um grafo G= (V,E) e cordal se e somente se admite umadecomposic ao emarvoreotima D= (X,T)onde X correspondea famlia de cliques maximais

de G.

Observando conjuntamente os teoremas 3.1.1 e 3.5.1, notamos que a decomposicao em

cliques maximais e otima para um grafo cordal e portanto a largura em arvore de um grafo

cordal e bem conhecida.

Lema 3.5.2. Se G e um grafo cordal, entao tw(G) =(G) 1

As cordalizacoes de um grafo podem ser utilizadas para obter limites superiores para a

largura emarvore. Alem disso, existe uma cordalizacao otima que determina a largura em

arvore do grafo original, como podemos ver no teorema3.5.4.

Lema 3.5.3. Sejam G um grafo e H uma cordalizac ao de G, ent aotw(G) tw(H) = (H) 1.

Teorema 3.5.4 (Bodlaender [8]). A largura em arvore tw(G) e a mnima largura de uma

cordalizacao de G.


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Vamos mostrar como obter uma cordalizacao de um grafo a partir de uma ordem sobre os

seus vertices.

Uma caracterizacao de grafos cordais de interesse algortmico envolve uma ordem sobre osvertices do grafo. Um verticev G e dito simplicialse NG(v) induz uma clique em G. Uma

ordem =v1,v2, . . . ,vn dos vertices de G e denominado esquema de eliminac ao perfeito

(esquema perfeito) se cadavi e um vertice simplicial do subgrafo induzidoG[{vi, . . . ,vn}].

Os lemas3.5.5e3.5.6sugerem que a partir de uma ordem qualquer dos vertices podemos

obter um grafo cordal ao garantir que cada vertice seja simplicial no subgrafo induzido pelos

vertices que o sucedem na ordem e isso pode ser feito por meio de acrescimos de arestas ao

grafo original.

Lema 3.5.5( Dirac [15] ). Todo grafo cordal G tem um v ertice simplicial. Alem disso, se G n ao

e completo, ent ao ele tem dois vertices simpliciais nao adjacentes.

Lema 3.5.6(Carvalho [12]). G e um grafo cordal se, e somente se, G admite um esquema de

eliminac ao perfeito. Alem disso, qualquer vertice simplicial pode iniciar um esquema perfeito.

Formalmente, podemos obter a partir de um grafo G = (V,E) um supergrafo cordal H=

(V,E) por acrescimos de arestas em G. H e dito cordalizac ao de G e E \E e dito uma

triangulac ao do grafo G resultando emH.He dito uma k-cordalizacao de G see uma cordalizacao

cujo tamanho da maior cliquee no maximok. Seja = v1, . . . ,vn uma ordem dos vertices de

Gdefinimos avizinhanca posterior de v em G, por , comoN(v) = {w V : vw E,v w}.

O Algoritmo2gera uma cordalizacao minimal, denotado por G= (V,E), deG= (V,E)

que admita a ordem como esquema perfeito. O conjunto minimal de arestas para gerar uma

cordalizacao de um grafo a partir de uma ordem sobre os vertices e descrito pelo conjunto

E \E.

Algorithm 2:Cordalizacao(G,)

Entrada: G = (V,E): um grafo, : uma ordem sobre V

Sada: G= (V,E): uma cordalizacao deG

1 fori=1to n 2do

2 AtualizeG tornandoN((i))uma clique emG;

Teorema 3.5.7. Seja G = (V,E)um grafo, uma ordem sobre V e G= (V,E)a cordalizac ao

obtida pelo Algoritmo2.

O conjunto E \E e uma triangulac ao para G, a largura em arvore de G e m axima cardi-

nalidade entre os vertices de sua vizinha posterior, tw(G) = maxvV |N(v)|, e pelo teorema


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3.5.4temos que

tw(G) = minordem

maxvV

|N(v)|

(3.1)

A seguir, fazemos um comparativo entre as MCS-ordens e os esquemas perfeitos.

Note o algoritmo MCS pode ser entendido como uma heur stica para geracao de uma

decomposicao em cliques maximais. Se alterarmos o algoritmo para que, al em do passos usu-

ais, cada visitacao do algoritmo tornar a vizinha ja visitada desse vertice em uma clique pela

adicao de arestas. Obtemos uma aproximacao de uma decomposicao deGem cliques maximais

o que pelo Teorema3.5.1corresponde a achar uma cordalizacao desse grafo.

Tais observacoes sugerem que ha uma grande uma relacao entre as ordens inversas as MCS-

ordens e os esquemas perfeitos, discutidos na secao3.5. Foi demonstrado que toda ordem que

naoe esquema perfeito, tambem naoe MCS-ordem. Mais detalhes sobre essa relacao podem

ser obtido em [3].

Figura 3.1: He G

Na Figura3.1,podemos ver a aproximacao da cordalizacao obtida pela MCS-ordem =

v5,v4,v3,v2,v1,H, e a cordalizacao obtida pela ordem inversa a atraves do algoritmo2,G .

Observe que para essa ordem os resultados sao distintos. Isto decorre do fato de que os

esquemas perfeitos avaliam vizinhancas posteriores possivelmente maiores que as respecti-

vas vizinhas na estrategia MCS, devido as arestas que sao adicionadas ao grafo para gerar a

cordalizacao.

3.6 Formulacao por Ordem de Eliminacao

Relaxacoes de programas lineares inteiros para o problema de DEA podem ser utilizadas

para obtencao de limites inferiores paratw(G).


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A formulacao por ordem de eliminacao (EOF),LPEOF, foi introduzida por Campos e Silva

[10]. Ela determina a largura emarvore deGidentificando uma cordalizacaootima.

Umacordalizac ao orientadae uma cordalizacao gerada a partir de uma ordem atraves daadicao de arestas de forma que seja esquema perfeito. Na cordalizacao orientada, as arestas

(arcos) sao orientados conforme a precedencia entre suas extremidades. Assim, a vizinhanca de

sada de um vertice em uma cordalizacao orientadae justamente sua vizinhanca posterior por

.

Uma solucao viavel s para a formulacao corresponde a uma cordalizacao orientada de G

[16]. Nos denotaremos Cord(s) = (V,Fs)essa cordalizacao orientada.

Na formulacao existem 3 subconjuntos de variaveis de decisao. Para todo{u,v} V, avariavelzuvmodela a precedencia entreu e v na ordem e a variavelxuv indica a existencia do

arcouvna cordalizacao orientada. A variavelcalcula a maxima |N(v)| dentre os vertices.

Por exemplo, seja G =C4 comV={v1,v2,v3,v4} e =v1,v2,v3,v4. Sejas tal que as

variaveis(zv1v2,zv1v3,zv1v4,zv2v3,zv2,v4,zv3v4 )e(xv1v2,xv1v3,xv2v3,xv2v4,xv3v4 )sao iguais a 1, = 2

e as demais variaveis sao nulas. Podemos ver na Figura3.2a cordalizacao orientada represen-

tada pors, ou seja, Cord(s).

Figura 3.2: Cord(s)


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Formalmente, podemos descrever as variaveis de decisao como

zuv= 1, u v0, c.c.

{u,v} V

xuv=

1, u veuv cordalizacao

0, c.c.{u,v} V

A formulacao EOF, denotada porLPEOF, e exibida a seguir.

LPEOF : (3.2)

min (3.3)

s.t. vV\uxuv, u V (3.4)

zuv+zvu=1, {u,v} V (3.5)

zuv+zvw zuw+ 1, {u,v,w} V (3.6)

xuv=zuv, uv E (3.7)

xuv zuv, uv E (3.8)

xuv+xuw 1 xvw+xwv, u V,vw E (3.9)

xuv {0,1},zuv {0,1}, {u,v} V (3.10)

A funcao objetivo minimiza , onde e o maximo dentre os graus de sada dos vertices

deG pela restricao (3.4).

As restricoes (3.5), (3.6) e (3.10) garante quez determina uma ordem total, (3.7) orienta as

arestas do grafo original, (3.8) garante que podemos adicionar somente arcos que respeitem a

orientacao e (3.9) impoe que se uv e uw estao na triangulacao comu precedendov e w, entao

deve existir uma arestavwouwvcomo mostrado na Figura3.3, ou seja, para todo verticev V

a vizinhanca positiva dev,N(v),e um orientacao de clique.

Figura 3.3: restricao (3.9)


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4 Estudo Poliedrico da Formulac aoEOF

Neste captulo, estudaremos o poliedro definido pela envoltoria convexa dos pontos inteiros

da formulacao EOF. Por simplicidade, nos denotaremos por PEOFesse poliedro.

Vamos apresentar uma simplificacao de LPEOF. Demonstraremos que PEOF e o poliedro

associado a essa simplificacao sao afim-isomorfico. Determinaremos a dimensao desses polie-

dros e iremos apresentar varias classes de desigualdades que induzem faceta nesses poliedros.

4.1 Uma simplificacao para a formulacao EOF

Observe as restricoes de antisimetria (3.5) e orientacao de arestas (3.7) em LPEOF. Elas

estabelecem funcoes entre as suas variaveis.

Por exemplo, a restricao xuv = zuv, para todo uv E, nos permite deduzir o valor das

variaveis xuv tendo conhecimento apenas das variaveis zuv, quando uv E. Assim, podemos

substituir as variaveis xuv na formulacao pelas variaveiszuv , quando uv E. A esse processo

no chamamos de eliminacao das variaveisxuvutilizando a restricaoxuv=zuv. Podemos utilizar

a mesma estrategia para eliminar exatamente uma variavel para cada par zuv,zvu utilizando a

restricaozuv=1 zvu.

Nossa simplificacao, denotada por LP, consiste em uma nova formulacao resultante do

processo de eliminacao de variaveis.

Vamos formalizar essas ideias. Seja VPEOF o conjunto de variaveis do modelo LPEOF e

VP VPEOF, tal que:

VP.

xuv VP, para todouv E.

Exatamente uma entre as variaveiszuv e zvupertence a VP, para todo {u,v} V.


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xuvnao pertence a VP, para todouv E.

Vamos definir LP como a formulacao obtida a partir do seguinte processo sob a formulacao

LPEOF. Para toda variavelxuv comuv Esubstitua as ocorrencias dexuv na formulacao pela

variavelzuv. Em seguinda, para cada variavelzuvque nao estiver no conjunto V P, substitua suas

ocorrencias na formulacao pelo valor 1 zvu. Elimine da formulacao as restricoes do3.7e3.5.

Vamos denotar a envoltoria convexa dos pontos inteiros em LP por P.

Iremos demonstrar que os poliedros PEOF e P sao afim-isomorficos.

Teorema 4.1.1. Os poliedros PEOFe P sao afim-isomorficos.

Demonstracao. Vamos exibir duas transformacoes afins F : R| VPEOF | R| VP | e G: R| VP |

R| VPEOF | e demonstrar que elas definem bijecoes entre os pontos de PEOFe P.

Paray PEOF,F(y) =s e uma copia do vetoryrestrita as variaveis que estao em VP. Para

s P,G(s) =ye uma copia do vetorsacrescida das variaveis eliminadas na simplificacao que

sao recalculadas utilizando as restricoes de antisimetria e orientacao de arestas.

Vamos particionary R| VPEOF | es R| VP | conforme as variaveis em VPEOFe VP respecti-

vamente.

Iremos exibir a transformacaoF(resp. G) atraves das funcoes afins que determinam cada

uma das componentes deF(y)(resp. G(s)) existente em VP (resp. VPEOF).

Vamos denotar por F(y)xuv (resp. F(y), F(y)zuv) o valor da variavelxuv (resp. , zuv) de

F(y)e denotaremos de forma analoga os valores das variaveis emG(s). Tambem utilizaremos

essa notacao para diferenciar os valores da mesma variavel em vetores distintos, por exemplo

yxuve sxuv.

Vamos definirFconforme o sistema afim a seguir.

F(y) =

F(y)zuv=zuv, para todozuv VP

F(y)xuv=xuv para todoxuv VP

Vamos definirGconforme o sistema afim a seguir.


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G(s) =

G(s)zuv=zuv sezuv VP

G(s)zuv=1 zuv sezuv / VP

G(s)xuv=xuv seuv E

G(s)xuv=zuv seuv Eezuv VP

G(s)xuv=1 zuv seuv Eezuv / VP

Vamos demonstrar que essas transformacoes definem bijecoes entre PEOFe P.

Primeiro, vamos demonstrar as contencoesF(PEOF) P eG(P) PEOF.

Observe que a transformacao Fapenas copia os valores das variaveis de y que estao no

conjunto VP. Assim,F(y)pertence a P pela forma que definimos a formulacao LP. Portanto,

para todoy PEOF temos queF(y) P.

Observe que G copia os valores das variaveis de s que estao no conjunto VP e para as

variaveis em VPEOF \ VP,G calcula os valores dessas variaveis utilizando as restricoes de iden-

tidade (3.5) e (3.7). Portanto, para todos P temos queG(s) PEOF.

Agora, vamos demonstrar que as transformacoesFeGsao inversas. Para tal vamos mostrar

que o valor das respectivas componentes emy e(GF)(y), e tambems e(FG)(s), sao iguais.

Sejay PEOF, vamos analisar o valor das componentes do vetor(GF)(y).

Para, temosG(F(y)) =F(y) =.

Para zuv VP, temos G(F(y))zuv = F(y)zuv = zuv. Para zuv /VP, temos G(F(y))

zuv=1

F(y)zvu=1 zuv. Comozuv+zvu= 1, temosG(F(y))zuv=zuv.

Para uv E, temos G(F(y))xuv= F(y)xuv=xuv. Para uv Eezuv VP, temos que G(F(y))

xuv=

F(y)zuv= zuv. Comoxuv= zuv pela restricao de orientacao de arestas, temos G(F(y))xuv= xuv.

Para uv E e zuv / VP, temos que G(F(y))xuv = 1 F(y)

zvu = 1 zvu. Como xuv = zuv e

zuv+zvu=1, temosG(F(y))xuv=xuv.

Portanto,(GF)(y) =y.

Sejas P, vamos analisar o valor das componentes do vetor(FG)(s).

Para , temos F(G(s))

=G(s)

=. Parazuv VP, temos F(G(s))zuv= G(s)

zuv= zuv.

Parauv E, temosF(G(s))xuv=G(s)xuv=xuv.


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Portanto,(FG)(s) =s.

Observe que para escolhas distintas do conjunto VP obtemos poliedros distintos e afim-

isomorficos entre si.

Algumas consequencias do afim-isomorfismo entre poliedros sao exibidas em2.2.

4.2 Introducao ao estudo poliedrico

Nas secoes a seguir trabalharemos com o poliedroPe atraves da relacao de afim-isomorfismo

poderemos determinar a dimensao, desigualdades validas e facetas do poliedro PEOF. Justifi-

camos nossa preferencia em trabalhar com poliedro P pelo menor numero de variaveis e a

relativa flexibilidade que teremos na escolha de quais variaveis preservar em VP.

No decorrer de nossas demonstracoes, iremos adotar o conjunto VP que nos permita maior

naturalidade na interpretacao das relacoes matematicas em estudo. Por exemplo, nas demonstracoes

de facetas, iremos adotar VP de modo a conter as vari aveis existentes na desigualdade em inte-

resse.

Ainda buscando facilidar a exposicao dos nossos estudos, em algumas desigualdades para

o poliedro P que exibiremose possvel que aparecam variaveis que foram eliminadas, ou seja,

nao pertencem ao conjunto VP utilizado. Formalmente, deveriamos substituir essas variaveis

por expressoes em funcao das variaveis em VP utilizando as restricoes adequadas.

Por exemplo, sejamu,v,w Ve VP tal quezuv,zuw / VP ezvw VP. Comozuv,zuw / VP,

temos quezvu,zwu VP. Assim, a desigualdade zuv+zvw zuw+ 1e formalmente expressada

por(1 zvw) +zvw (1 zwu) + 1.

Vamos particionar as solucoes em PEOF na forma s= (,x,z) onde x corresponde as

variaveis do tipoxuve z as variaveis do tipozuv.

Uma forma eficiente de exibir uma solucao inteira viavel s= (,x,z) em PEOF e exibir

a ordem modelada nas variaveis do tipo z e definir as variaveis emx como constantes ou em

funcao das variaveis emz. Diremos que uma ordem total sobreV definez quando para todo

u,v V seu v entao zuv= 1. Alem disso, diremos que uma ordem parcial define z caso

exista alguma ordem total t tal que t defineze t.

Por exemplo, sejaG= C4com V= {v1,v2,v3,v4} es= (,x,z)uma solucao inteira viavel

com= v1,v2,v3,v4 definindoz,xuv:=zuv, para todouv =v1v4e xv1v4:=0. Podemos ver na


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Figura4.1a cordalizacao orientada representada pors, ou seja, Cord(s).

Figura 4.1: Cord(s)

O teorema a seguir identifica a triangulacao mnima para gerar uma cordalizacao deG que

admita uma ordem como esquema perfeito.

O teorema a seguir afirma a triangulacao mnima para gerar uma cordalizacao de G queadmita uma ordem como esquema perfeito e justamente aquela fornecida pelo Algoritmo2

que discutimos na secao3.5, pagina25.

Teorema 4.2.1(Rose, Tarjan e Lueker [26]). Seja G = (V,E)um grafo, uma ordem sobre V e

Gp= (V,E)a cordalizac ao de G por, obtida pelo Algoritmo2na pagina25. Se H= (V,F)

e uma cordalizac ao de G onde e esquema perfeito, temos que E F.

Uma caracterizacao das arestas emG pode ser vista no teorema4.2.2.

Teorema 4.2.2 (Rose, Tarjan e Lueker [26]). Um par v1vi e aresta em G, se, e somente se,

existe um caminho P= [v1, . . . ,vi]cujos vertices internos precedem ambos v1e vi, ou seja, para

todo u V(P), temos u v1e u vi.

Assim, seuve aresta emG , entao qualquer cordalizacao que admita como esquema per-

feito possui a arestauv. Logo, em qualquer solucao inteira viavels= (,x,z)com definindo

z, temos que uv deve estar presente em Cord(s)na formam dos arcos uv ou vu e, dependendo

da precedencia entreu e v, ou seja,xuv=zuv.

Em varias situacoes futuras, ira nos interessar apenas identificar variacoes isoladas de

variaveis em uma face , ou seja, vetores viaveis que se diferenciam apenas por um conjunto

apropriado de variaveis. Isso sera feito para demonstrar que o coeficientes dessas variaveis na

desigualdade que induz a face e nulo ou os coeficientes se relacionam por alguma equacao.

Nas faces consideradas, nao tratamos o coeficiente associado a variavel. Isto decorre do

fato de que, nestas faces, podemos pegar um vetor qualquer e acrescentar uma unidade ao valor

de. Assim, o coeficiente dee nulo.

Uma observacao sobre tais situacoese que podemos utilizar quaisquer majorantes para

para obter as variacoes desejadas em ja quepossui apenas restricoes de limite inferior.


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4.3 Dimensao

Investiguemos a dimensao do poliedro P, ou equivalentemente, do poliedro PEOF.

Note que | VP | =2 m +

n2

+ 1. Nos mostraremos que P possui dimensao plena e portanto

dimP=2 m +

n2

+ 1.

Lema 4.3.1. P R| VP | tem dimensao plena.

Demonstracao. Iremos tomar VP contendo as variaveis zuv tal que u v para uma ordem

qualquer. Vamos demonstrar que se

PH:=

s R| VP | :s=0

entao=0 e0= 0, ou seja, P nao esta contido em nenhum hiperplano e portanto P tem

dimensao plena.

1. uv E,xuv=0.

Sejaz dada pela ordem total p= u,v,v2, . . . ,vn,xrs= zrs para toda nao aresta diferente

deuv. Obtemos duas solucoes viaveis para P com valores dexuv {0,1}. Logo, temos

quexuv=0.

2. uv(u v),zuv=0.

Seja p1= u,v,v2, . . . ,vn, e p2= v,u,v2, . . . ,vn, xrs= zrs, xrs= zrs parars =uv, com

sz1e sz2, dados respectivamentes pelas ordens p1e p2

(a) Se uv E, defina s1xuv =s2

xuv =0, assim s1e s2 P e diferem em apenas uma

componente.

(b) Seuv E, observe que s1e s2 Pe diferem nas componentes xuv ezuv, contudo

uv E, assimxuvnao esta presente em P. Logo,zuv=0.

Lema 4.3.2. dimPEOF=2 m +

n2

+ 1.

Demonstracao. Pelo corolario2.2temos que dimPEOF

= dimP. Como P possui dimensao

plena, temos que

dimPEOF= | VP | =2 m +

n

2

+ 1


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4.4 Facetas basicas

Nesta secao apresentaremos uma coletanea de desigualdades que induzem facetas em P.

Devido a simplicidade dessas desigualdades, nos iremos apresenta-las como um unico

resultado no teorema 4.4.1. Mostraremos que estas desigualdades sao validas para P e as

demonstracoes de que elas induzem facetas podem ser obtidas no apendice.

Teorema 4.4.1(Facetas Basicas). As seguintes desigualdades sao validas e induzem faceta em

P.

1. xuv 0induz faceta, para todo uv E.

2. zuv 0induz faceta se, e somente se, uv E,N(v) \ {u} N(u).

3. zuv 1induz faceta se uv E,N(u) \ {v} N(v).

4. zuv+zvwzuw+ 1induz faceta, para todo {u,v,w} V .

5. xuv+xuw 1 xvw+xwvinduz faceta, para todo uv,uw,vw E.

6. zuv+xuw 1 xvw+xwvinduz faceta, para todo uv E e uw,vw E.

7. zuw+xwuxvw induz faceta, para todo uv E e uw,vw E.

8. zvu+xvwzvwinduz faceta, para todo uv,uw E e vw E.

Vamos argumentar a validade das desigualdades do teorema4.4.1.

As desigualdades nos itens 1 a 5 sao viaveis, pois sao restricoes da relaxacao linear da

formulacao LPEOF.

Como xuv= zuv para uv E. A desigualdade no item6 e equivalente a xuv+xuw 1

xvw+xwv a qual e uma restricao da formulacao LPEOF. Portanto, a desigualdade no item6e

valida.

Analisando as possveis atribuicoes 0-1 para as variaveis na desigualdade 7, percebemos

que a unica atribuicao que torna a desigualdade invalidae(zuw,xwu,xvw) = (0,0,1). Contudo,

essa atribuicao nao e possvel emPEOF, pois teriamoswprecedendouevcomxvu=xvw=1 e

portanto, pela restricao3.9, deveriamos terxwu=1 o quee uma contradicao.

Analisando as possveis atribuicoes 0-1 para as variaveis na desigualdade 8, percebemos

que a unica atribuicao que torna a desigualdade invalidae(zvu,xvw,zvw) = (0,0,1). Contudo,


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essa atribuicao nao e possvel emPEOF, pois teriamosuprecedendovewcomxuv=xuw=1 e

portanto, pela restricao3.9, deveriamos terxvw=1 o quee uma contradicao.

As demonstracoes de que essas desigualdades validas induzem faceta em P estao dis-ponveis no apendice (A).


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4.5 Facetas geradas por Caminhos Induzidos

Nesta secao e nas seguintes, apresentaremos desigualdades que foram desenvolvidas a partir

de observacoes sobre subgrafos especficos em G. Iremos demonstrar que elas sao validas para

P e verificaremos se induzem faceta.

SejaP= [v1,v2, . . . ,vq]um caminho emGe uma ordem tal quev2 v1 vq. Sejavicom

i {3, . . . ,q} o primeiro vertice posterior a v1 pela ordem no caminho. Pelo Teorema4.2.2

temos que a arestav1vi G . Podemos descrever esta observacao pela desigualdade em4.1.

Lema 4.5.1. Seja P= [v1,v2, . . . ,vq]um caminho em G, a desigualdade

3iq

xv1vi zv1vq+zv2v1 1 (4.1)

e v alida para P.

Demonstracao. Suponha que existe uma solucao inteira s P para qual a desigualdade e

invalida. Analisando as atribuicoes 0-1 possveis para variaveis na desigualdade, observamos

que a unica atribuicao que torna a desigualdade invalidae3iqxv1vi =0 ezv1vq =zv2v1 =1.

Assim, temos quev2 v1 vq e nao existe quaisquer arco na formav1vi com i {3, . . . ,q}

em Cord(s). Portanto, temos uma contradicao ja que pelo Teorema4.2.2alguma aresta v1vi

comi {3, . . . ,q} esta em G .

Vamos denotar por Fa face induzida pela desigualdade4.1.

F :=

s P :

3iq

xv1vi= zv1vq+zv2v1 1

.

SejaP = [v1,v2, . . . ,vq] com q 3 um caminho induzido em G. Vamos definir(k) para

k {2, . . . ,q} como a ordem sobre V tal que os vertices emV(P) precedem todos os demais

vertice do grafo e estao em ordem crescente dos seus indices, exceto pelo vertice v1 que e

imediatamente posterior ao verticesvk. Por exemplo, paraq =4 temos (4) = v2,v3,v4,v1,

(3) = v2,v3,v1,v4 e (2) = v2,v1,v3,v4.

SejaP = [v1,v2, . . . ,vq]com q 3 um caminho induzido em G. Observe que se o vertice

v1for posterior a todos os demais vertices do caminho, nao existe nenhuma arco partindo dev1

para qualquer outrovi comi {3 i q}.


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Observe tambem que se existe no maximo um vertice t V(P) \ {v2} preceda que v1 e

tseja diferente de v2 e vq nao existe nenhum caminho de v1 a qualquer outro vertice vi com

i {3 i q}cujos vertices internos precedam ambosv1 e vi, portantov1vi / G pelo Lema

4.2.2. A Figura4.2ilustra essas observacoes.

Figura 4.2: Observacoes sobrev1.

No Lema4.5.2, exibimos algumas vetores baseadas nas observacoes anteriores e nas ordens

(k). Demonstramos que estao contindos na face F, quandoP e um caminho induzido emG.

Eles sao construdos de forma que cada solucaos= (,x,z)tenhaz definido por uma ordem

dentre as que exibiremos e que as variaveis emx sejam definidas conforme cada ordem.

Lema 4.5.2. Seja P = [v1,v2, . . . ,vq] com q 3 um caminho induzido em G. Os vetores descritos

pelas seguintes ordenacoes estao em Fpara o caso P seja um caminho induzido em G:

1. Para = S1,S2 V(P) \ {v1},S3,v1 com S1,S2,S3 V(G) \V(P)subconjuntos disjun-

tos de vertices, definimos

xuv:=zuv, {u,v} V(G) (4.2)

2. Para = {v1, t},V(P) \ {v1, t} com t V(P) \ {v2,vq}, definimos

xuv:=

zuv, {u,v} V(P)

zuv, {u,v} V(P)e uv G

0, c.c.

(4.3)

3. Para(k)com k {2, . . . ,q} , definimos

xuv:=

zuv, {u,v} V(P)

zuv, {u,v} V(P)e uv G

0, c.c.

(4.4)


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Demonstracao. Primeiro, vamos demonstrar que os vetores descritos pelo itens acima sao

validos para P.

Observe que os vetores descritos nos itens1, 2e 3 tem suas partes z definidas por ordens.Assim,temos que eles respeitam as restricoes3.5e3.6.

Para os vetores descritos no item1temos um arco entre quaisquer pares de vertices orien-

tado do vertice de menor precedencia para o de maior. Portanto, as restricoes3.7, 3.8e3.9sao

respeitadas.

Para os vetores descritos nos itens2 e3,todas as variaveisxuv com um dos verticesu ou v

fora do caminho sao definidas iguais a zuv. As variaveis xuv com ambos u e v no caminho sao

definidas iguais azuv, se forem forem arestas de G , e 0, caso contrario. Portanto, as restricoes3.7e3.8sao respeitadas.

Para os vetores descritos nos itens2e3, vamos analisar a restricao3.9e mostrar que ela e

respeitada. Observe que, na ordem exibida no item2,todos os vertice no caminho precedem os

vertices que estao fora do caminho.

Para os casos seguintes mostraremos que o segundo membro da restricao3.9e pelo menos

1, como o maximo valor do primeiro membro tambeme 1 a restricao esta satisfeita.

Sejam u,v,w V com u v w. Se |{u,v,w} V(P)| 2, temos w / V(P), portanto

xvw= 1. Se |{u,v,w} V(P)| = 3 exuv=xuw= 1, entao pelo Teorema4.2.2temos quevw G .

Logo,xvw=zvw=1. Logo, a restricao3.9e respeitada.

Finalmente, vamos provar que os vetores descritos pertencem a face F, quandoP e cami-

nho induzido.

Nos vetores descritos pela ordem no item1,o verticev1 e posterior aos demais vertices no

caminho. Assim,xv1vi=0 para todo i {3 i q},zv2v1 = 1 ezv1vq = 0, logo 3iqxv1vi=

zv1vq+zv2v1 1=0.

Nos vetores descritos pelas ordens no item 2, a unica aresta em G na forma v1vi com

v1 vi ei {3, . . . ,q} e a aresta v1v2. Comov1 v2 e v1 vq, temos zv2v1 =0 ezv1vq =1 e

portanto 3iqxv1vi= zv1vq+zv2v1 1=0.

Nos vetores descritos pelas ordens no item3. Para k< q a unica aresta em G na forma

v1vi comv1 vi e i {3, . . . ,q} e a aresta v1vk. Comov2 v1 e v1 vq, temos zv2v1 =1 e

zv1

vq

=1 e portanto 3iq

xv1

vi

=zv1

vq

+zv2

v1

1=1. Parak=q nao existe aresta emG na

formav1vi comv1 vi e i {3, . . . ,q}, temos zv2v1 =1 e zv1vq =0 e portanto 3iqxv1vi =

zv1vq+zv2v1 1=0.


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Teorema 4.5.3(Caminhos Induzidos). Seja P= [v1,v2, . . . ,vq]com q 3um caminho em G, a

face

F=

s P :

3iq

xv1vi= zv1vq+zv2v1 1

e faceta se, e somente se, P e um caminho induzido em G.

Demonstracao. Vamos demonstrar que se P e um caminho induzido em G, entao F e faceta.

Suponha que

F= {s P :

3iqx

v1viz

v1vq+z

v2v1= 1} H = {s P :s=

0}.

Primeiro, vamos demonstrar que para todo rs E\ {v1vi : i {3, . . . ,q}} temos xrs= 0.

Vamos exibir dois vetores viaveis s1 = (1,x1,z1) e s2 = (2,x2,z2) pertencentes a face

que se diferenciam apenas pela variavelxrs.

1. Vamos demonstrar parar=v1.

Seja a ordem = v1,V(P) v1 definindoz1 ez2. Definimosx1 e x2 em funcao de z1

ez2, respectivamente, pela equacao (4.3). Observe quers / G , portanto podemos obter

dois vetores viaveis comxrs {0,1}. Logo,xrs=0.

2. Vamos demonstrar parar=v1.

Seja a ordem = r,V(P) v1,v1definindoz1 ez2. Definimosx1 ex2 em funcao dez1

ez2, respectivamente, pela equacao (4.2). Observe quers / G , portanto podemos obter

dois vetores viaveis comxrs {0,1}. Logo,xrs=0.

Agora, vamos demonstrar que para todo {r,s} V ers / {v1vq,v2v1} temos quezrs=0.

Vamos exibir dois vetores viaveis s1 = (1,x1,z1) e s2 = (2,x2,z2) pertencentes a face

que se diferenciam pela variavelzrs.

1. Vamos demonstrar parav1 / {r, s}.

Suponha quers E. Sejam as ordens1= r,s,V(P) v1,v1 e2= s,r,V(P) v1,v1

definindo z1 ez2, respectivamente, pela equacao (4.3). Observe quers / G1

ers / G2

,

portanto podemos fixarx1rs= x2rs= 0. Obtemos dois vetores viaveis distintos apenas por

zrs {0,1}. Logo,zrs=0.


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2. Vamos demonstrar parav1 {r, s}.

2.1. Vamos demonstrar parar=v1, s V(P) \ {v2,vq}.

Observe quers /E, poisP e caminho induzido. Sejam as ordens 1= v1,s,V(P) \

{v1,s}e 2= s,v1,V(P) \ {v1, s}definindoz1 ez2, respectivamente. Definimos

x1 e x2 em funcao de z1 e z2, respectivamente, pela equacao (4.3). Observe que

rs /G1 e rs /G2 , portanto podemos fixar x1rs= x

2rs= 0. Obtemos dois vetores

viaveis distintos apenas porzrs {0,1}. Logo,zrs=0.

2.2. Ser=v1,s/ V(P).

Suponha que rs E. Sejam as ordens1= V(P)v1,v1,s e 2= V(P)v1,s,v1

definindo z1

ez2

, respectivamente. Definimos x1

ex2

em funcao dez1

ez2

, respec-tivamente, pela equacao (4.3). Obtemos dois vetores viaveis distintos apenas por


Suponha quers /E. Sejam as ordens1= v1,s,V(P) v1e 2= s,v1,V(P)

v1 definindo z1 e z2, respectivamente. Definimosx1 e x2 em funcao de z1 e z2,

respectivamente, pela equacao (4.3). Observe quers /G1 e rs / G2 , portanto

podemos fixar x1rs =x2rs = 0. Obtemos dois vetores viaveis distintos apenas por


Assim, podemos expressar H como

H = {s P : 3iq

xv1vixv1vi zv1vq

zv1vq zv2v1

zv2v1= 0}.

Agora, vamos demonstrar que para todo v1vicom i {3, . . . ,q} temosxv1vi

= zv1vq .

Se i= q, entao v1 e posterior a todos os demais vertices do caminho. Assim, temos

3iqxv1vi= 0 ezv1vq+zv2v1 1=0. Portanto,s F.

Sei {3, . . .} temosv1 e posterior a todos os demais vertices do caminho. Assim, temos

3iqxv1vi= 0 ezv1vq+zv2v1 1=0. Portanto,s F.

Sejam as ordens (k)e (k+ 1)como descrito pelo Lema4.5.2no item3. Sejamz1 ez2

definidos pelas ordens(k)e(k+ 1), respectivamente, ex1 ex2 definidos respectivamente em

funcao dez1 ez2 pela equacao4.4.Podemos ver um exemplo paraG=P4na Figura4.3.


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Figura 4.3: P4

Avaliando a diferenca s1 s2 para k {2, . . . ,q2} temos zv1vk+1+xv1vk+1

xvk+1v1

xv1vk+2 =0. Observe que para todoi {3, . . . ,q}, temosxviv1

= 0, para todoi {3, . . . ,q 1}

temoszv1vi= 0. Nos podemos simplificar as equacoes e obter as seguintes identidades: xv1vi=

xv1vi+1

, para todoi {3, . . . ,q 1}

xv1vq= zv1vq

Portanto, para todov1vi comi {3, . . . ,q} temosxv1vi

= zv1vq .

Agora, vamos provar a seguinte identidade zv2v1= zv1vq

.

Sejam as ordens1= (q 1) = v2, . . . ,vq1,v1,vq e 2= v1, . . . ,vq1,v2,vq com 2

difere de 1apenas pela permuta dos verticesv1ev2. Observe que 2 e uma das ordens descritas

pelo Lema4.5.2no item2. Sejamz1 ez2 definidos pelas ordens1e 2, respectivamente, ex1

ex2 definidos respectivamente em funcao dez1 ez2 pela equacao4.4.

Avaliando a diferencas2 s1, temos que

zv2v1+ i{1,...,q1}

zv2vi+xvq1v1

+xv1vq xvq1v2

xv2vq= 0.

Eliminando os coeficientes nulos temos que

z

v2v1 =

x

v1vq . Como

x

v1vq =

z

v1vq con-clumos quezv2v1=

zv1vq

.

Assim, temos o seguinte sistema linear entre os coeficientes nao-nulo de .

xv1vi= xv1vi+1

, para todoi {3, . . . ,q 1}

xv1vq= zv1vq

zv2v1= zv1vq

(4.5)

Podemos definir= zv2v1 e resolver o sistema em4.5,atraves de substituicoes o obtendo

= xv1vi para todoi {3, . . . ,q} e= zv2v1

= zv1vq .


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Finalmente, temos que

FH = {s P :( 3

i

q

xv1vi zv1vq zv2v1 ) = 0}.

Assim, temos a desigualdade 0e u m multiplo nao-nulo da desigualdade 4.1,portanto

F e faceta seP e caminho induzido emG.

Agora, vamos demonstrar que se P naoe caminho induzido emG, entaoF naoe faceta.

Seja P= [v1, . . . ,vq] um caminho em G. Suponha que P nao e caminho induzido em G,

logo existe uma cordavivj E\E(P)comvivj V(P).

Podemos ver os possveis casos na Figura4.4.

Figura 4.4: Casos 1,2 e 3

Caso 1. Sevi=v1. Seja P = [v1, . . . ,vi,vj, . . . ,vq]. Podemos descrever a desigualdade indutora

da face Fcomo combinacao linear de desigualdades validas:

k{3,...,vi,vj,...,vq}

xv1vk zv1vq+zv2v1 1

xv1vk 0, k {i + 1, . . . ,j 1}

i{3,...,q}xv1vi zv1vq+zv2v1 1

Caso 2. Sevi= v1,vj=vq. Sejam os caminhosP1= [v1,vj, . . . ,vq], P2= [v1, . . . ,vj]. Podemos

descrever a desigualdade indutora da face Fcomo combinacao linear de desigualdades

validas:

k{j+1,...,q}

xv1vk zv1vq+zvjv1 1

k{3,...,j}xv1vk=zv1vj+zv2v1 1

k{3,...,q}

xv1vi zv1vq+zv2v1 1


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Caso 3. vi= v1,vj= vqObserve quexv1vq = zv1vq , poisv1vq E, assim

k{3,...,q}

xv1vk zv1vq+zv2v1 1 zv1vq+ k{3,...,(q1)}

xv1vk zv1vq+zv2v1 1

que pode ser expresso como combinacao das seguintes desigualdades validas:

zv1vq zv1vq

xv1vk 0 k {3, . . . ,q 1}

0 zv2v1 1

zv1vq+ k{3,...,(q1)}

xv1vk zv1vq+zv2v1 1

Logo, seP naoe caminho induzido emG, entaoF naoe faceta.

4.6 Facetas geradas por Buracos

Nesta secao iremos introduzir uma famlia de desigualdades baseadas em buracos de G.

Demonstramos que as desigualdades nessa famlia sao validas paraPEOF(P) e determinamos

as condicoes sob quais elas induzem facetas.

Podemos ver na Figura4.5algumas cordalizacoes para buracos de tamanho 3, 4 e 5, respec-

tivamente. Note que nessas cordalizacoes cada buraco de tamanhokfoi subdivido em ciclos de

tamanho 3, atraves do acrescimo dek 3 cordas. O Lema4.6.1demonstra que as triangulacoes

associadas a essas cordalizacoes sao minimais.

Figura 4.5: Cordalizacoes para buracos

Lema 4.6.1. SejaC= (V(C),E) um ciclo induzido em G e H uma cordalizacao de G que admite como esquema perfeito. Seja H[V(C))] = (V(C),E)o subgrafo induzido pelos vertices de C

na cordalizac ao e F=E \E a triangulacao do ciclo na cordalizac ao. Temos que |F| |C| 3.


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Demonstracao. Vamos demonstrar que para todo ciclo induzido CemG, temos |F| |C| 3.

Para |C| =3, temos |F| 0. Suponha que para todo Ccom |C| k tenhamos |F| |C| 3.

Se|C| =k+ 1, sejau o vertice deCcom menor precedencia em e v,w seus vizinhos emCcomo na Figura4.6. Como e esquema perfeito em H, u e simplicial no subgrafo induzido

pelos vertices posteriores a ele em , portantovw F. Assim, temos um novo ciclo, C = (C

u) + vw, com |C| =k, portanto pela hipotese de inducao temos que |F| (k 3) + 1= |C| 3.

Figura 4.6: H[V(C)]

Baseado no Lema4.6.1,desenvolvemos a desigualdade4.6.

uv E(C)

xuv |C| 3. (4.6)

Sabemos que toda solucao inteira emPEOF(P) corresponde a uma cordalizacao orientada

Cord(s) [16]. Portanto, a validade da desiguadade4.6 para PEOF (P) e consequencia direta

do Lema4.6.1.Denotaremos por Fa face induzida pela desigualdade4.6em P.

F= {s P : uv E(C)

xuv= |C| 3}

Alem disso, perceba que em qualquer cordalizacao de um buraco os ultimos 3 vertices,

segundo qualquer esquema perfeito, induzem uma clique. Provamos essa observacao no Lema

4.6.2.

Lema 4.6.2. Sejam C um ciclo em G, {vi,vj,vk} V(C)e H uma cordalizac ao de G que admite

a ordem = V(C) \ {vi,vj,vk},vi,vj,vkcomo esquema perfeito. Temos que H[{vi,vj,vk}] e

uma clique.

Demonstracao. Vamos demonstrar que vivj,vivkevjvksao arestas em G . Assim, pelo Lema

4.2.1teremos que elas sao arestas emH.


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Sejam P1 = [vi, . . . ,vj], P2 = [vj, . . . ,vk] e P3 = [vj, . . . ,vk] caminhos em C disjuntos em

vertices internos como na Figura4.7. Observe que os vertices internos ao caminhoP1precedem

os verticesvie vj, portantovivj G pelo Lema4.2.2.De forma analoga, podemos demonstrar

quevjvke vivksao arestas emG utilizando respectivamente os caminhosP2e P3.

Figura 4.7: Caminhos entrevi,vj e vk.

Utilizando os Lemas4.6.1e 4.6.2,podemos deduzir a estrutura de alguns vetores em F.

Exibiremos no Lema4.6.3os vetores em F que utilizaremos em nossas demonstracoes.

Lema 4.6.3. Seja C um buraco G. Suponha que para todo{a,b} V\ V(C) temos|NC(a)

NC(b)| 3e que G[NC(a)]e G[NC(b)]s ao caminhos induzidos em G. Vamos construir algumassoluc oes viaveis de forma que cada soluc ao s= (,x,z) tenha z definido por uma ordem

dentre as que exibiremos e que as vari aveis em x sejam definidas como descrito a seguir.

Seja k, l V, vamos definir

xuv:=

zuv, {u,v} (V(C) {k, l}) e uv G

zuv, {u,v} V(C) {k, l}

0, c.c.

(4.7)

Os vetores descritos pelas seguintes ordens estao em F, quando para todo a,b V\ V(C)

temos|NC(a) NC(b)| 3e nao existe aresta uv com u NC(a) \NC(b)e v NC(b) \NC(a).

Alem disso, se kl /E temos que k l / G .

1. Para k, l V(C)seja

= k, l,V(C) \ {k, l}.

2. Para k, l / V(C)seja

= V(C) \ (NC(k) NC(l)),NC(k) \NC(l),k,NC(l) \NC(k), l,NC(k) NC(l).


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3. Para k/ V(C)e l V(C)seja

= V(C) \ (NC(k) NC(l) {l}),NC(k) \NC(l),k, l,NC(l).

Demonstracao. Primeiro, vamos demonstrar que os vetores descritos acima estao em P.

Observe que os vetores descritos tem suas variaveis z definidas por ordens. Assim, eles

respeitam as restricoes3.5e3.6.

Nos vetores descritos todas as variaveisxuvcom um dos verticesuouvnao pertencentes ao

buraco sao definidas iguais a zuv. As variaveisxuv com ambosu e v pertencentes ao buraco sao

definidas iguais azuv, se forem forem arestas de G , e 0, caso contrario. Portanto, as restricoes

3.7e3.8sao respeitadas.

Vamos analisar a restricao3.9para os vetores descritos e mostrar que ela e respeitada.

Seja{u,v,w} V. Para os casos seguintes mostraremos que se xuv= xuw= 1 temos que

xvwou xwvsao iguais a um. Assim, a desigualdade 3.9e respeitada.

Lembramos que nas ordens exibidas os vertices em V(C) {k, l} precedem todos os demais

vertices deG.

Se w / V(C) {k, l} ou w V(C) {k, l} e v / V(C) {k, l} temos que xvw ou xwv saoiguais a um pela equacao4.7. Sew V(C) {k, l} ev V(C) {k, l} temos queu V(C), pois

u v. Alem disso, comoxuv=xuw=1 pela equacao4.7temosuv,uw G , portantovw G .

Assim, xvwou xwvsao iguais a um. Logo, a restricao3.9e respeitada.

Vamos demonstrar que nos vetores descritos sek l /Etemos quek l / G .

Nas ordens exibidas nao existe um caminho dekalemGcom vertices internos precedendo

amboske l, pois a vizinhanca del em Ce posterior ak. Logo, sek l /Etemos quek l / G .

Finalmente, vamos provar que os vetores descritos pertencem a face F, quando para todo

a,b V\ V(C) temos|NC(a) NC(b)| 3, G[NC(a)]eG[NC(b)] sao caminhos induzidos em

G.

Seja uma ordem descrita no item 1. Nos vetores descritos pelo item1, as variaveis xuv= 1

correspondem a arestas emG . Vamos demonstrar que o numero de cordas adicionadas a Cem

G e exatamente |C| 3.

Note que os vertices emCprecedem os demais vertices do grafo. Assim, quando o Algo-

ritmo2tiver visitado cada vertice de Cna ordem, nenhuma nova corda sera adicionada ao grafo

ate o fim da execucao.


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Vamos analisar a construcao de G pelo o Algoritmo2enquanto ele percorre os vertices

deCna ordem . Sejam u o vertice de Ccom menor precedencia ainda nao visitado e v,w

seus unicos vizinhos emC. Se vw /G o Algoritmo2adiciona a corda vw em G e passa

ao proximo vertice. Observe que somente para os ultimos tres vertices nao existe corda a ser

adicionada. Logo, adicionamos exatamente |C| 3 cordas.

Para os vetores descritos nos itens2 e3. Vamos demonstrar que para quaisquer pares de

verticeuv se uv / Gp, entao nao existe um caminho de u a v com o vertice internok(l) e cujos

vertices internos precedemuev. Assim, a adicao dos verticeskelao grafo nao altera o numero

de cordas emG . Logo, o numero de cordas emG e |C| 3.

Iremos realizar a demonstracao por contraposicao, ou seja, se existe um caminho de u a v

com o vertice internok(l) e cujos vertices internos precedemu e v, entao existe um caminho

com as mesmas propriedades, exceto por nao conter o verticek(l).

Seja {u,v} NC(l). Seu,v NC(k) NC(l), entao pelo Lema4.6.2uv G , independente

da existencia de caminhos deu a v ondeke vertice interno e cujos vertices internos precedem

u e v. Suponha u NC(l) \NC(k). Seja P1 um caminho de u a v com o vertice interno k e

cujos vertices internos precedemu e v. Sabemos queu precede os vertices emNC(k) NC(l).

Como ke vertice interno no caminho, existem ao menos dois verticesk1 ek2 tais quek1,k2

NC(k) \NC(l). Observe na Figura4.8esses vertices.

Figura 4.8: Caminho de u a v.

Por hipotese, os vertices emNC(k) \NC(l) formam um caminho, portanto podemos tomar

P2 um caminho dek1 ak2 comV(P2) NC(k) \NC(l). Assim, existe um caminho P3 deu a v

cujos vertices internos precedemu ev que nao passa pelo verticek.

Utilizando as solucoes viaveis em F que exibimos vamos demonstrar no Teorema 4.6.4

queF e faceta.

Teorema 4.6.4 (Faceta de Buraco). Seja C um ciclo em G. A face F e faceta se, e somente

se, C nao cont em corda, para todo{a,b} V\ V(C) temos|NC(a) NC(b)| 3, G[NC(a)] e


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G[NC(b)]s ao caminhos induzidos em G.

Demonstracao (Se). Suponha que

F= {s P : uv E(C)

xuv= |C| 3} H = {s P :s=0}.

Primeiro, vamos demonstrar que para todowt E(G) \ E(C)temosxrs=0.

Nos iremos exibir dois vetores viaveis s1 = (1,x1,z1) e s2 = (2,x2,z2) pertencentes a

face que se diferenciam apenas pela variavelxrs.

1. Vamos mostrar parar V(C),s/ V(C).

Seja a ordem =r,V(C) r,s definindo z1 e z2. Observe que pertence as ordens

descritas pelo Lema4.6.3no item1. Definimos x1 e x2 em funcao de z1 e z2, respecti-

vamente, pela equacao (4.7). Observe quers / G , portanto podemos obter dois vetores

viaveis comxrs {0,1}. Logo,xrs=0.

2. Vamos mostrar parar/ V(C),s V(C).

Seja a ordem =V(C) \ (NC(s) {s}),r, s,NC(s) definindo z1 e z2. Observe que

pertence as ordens descritas pelo Lema 4.6.3no item3. Definimosx1 e x2 em funcao

dez1 ez2, respectivamente, pela equacao (4.7). Observe quers / G , portanto podemos

obter dois vetores viaveis comxrs {0,1}. Logo,xrs= 0.

3. Vamos mostrar parar,s/ V(C).

Seja a ordem = V(C)\(NC(r)NC(s)),NC(r)\NC(s), r,NC(s)\NC(r),s,NC(r)NC(s)

definindo z1 ez2. Observe que pertence as ordens descritas pelo Lema4.6.3no item2.

Definimosx1 ex2 em funcao dez1 ez2, respectivamente, pela equacao (4.7). Observe que

rs/ G , portanto podemos obter dois vetores viaveis comxrs {0,1}. Logo,xrs= 0.

Agora, vamos demonstrar que para todo {r,s} Vtemos quezrs=0.

Nos iremos exibir dois vetores viaveis s1 = (1,x1,z1) e s2 = (2,x2,z2) pertencentes a

face que se diferenciam pela variavelzrs.

1. Vamos mostrar parar,s V(C).

Sejam as ordens1= r,s,V(C) \ {r,s}e 2= s,r,V(C) \ {r,s}definindoz1 ez2, res-

pectivamente. Observe que 1 e 2 pertencem as ordens descritas pelo Lema 4.6.3no


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item 1e que rs G se, e somente se, rs E. Definimos x1 e x2 em funcao de z1 e

z2, respectivamente, pela equacao (4.7). Sers / Epodemos fixar x1rs= x2rs= 0. Assim,

podemos obter dois vetores viaveis distintos apenas porzrs {0,1}. Logo,zrs=0.

2. Vamos mostrar parar/ V(C),s V(C).

Sejam as ordens 1 =V(C) \ (NC(r) NC(s) {s}),NC(r) \NC(s),r, s,NC(s) e 2 =

V(C) \ (NC(r) NC(s) {s}),NC(r) \NC(s),s,r,NC(s) definindo z1 e z2, respectiva-

mente. Observe que 1 e 2 pertencem as ordens descritas pelo Lema 4.6.3no item3

e quers G se, e somente se, rs E. Definimosx1 ex2 em funcao dez1 ez2, respec-

tivamente, pela equacao (4.7). Sers / Epodemos fixar x1rs= x2rs= 0. Assim, podemos

obter dois vetores viaveis distintos apenas porzrs {0,1}. Logo,zrs

=0.

3. Vamos mostrar parar,s/ V(C).

Suponha rs E. Sejam as ordens 1= V(C),r,se 2= V(C),s,rdefinindoz1 ez2,

respectivamente. Observe que 1 e 2 pertencem as ordens descritas pelo Lema 4.6.3

no item1. Definimosx1 ex2 em funcao dez1 ez2, respectivamente, pela equacao (4.7).

Assim, podemos obter dois vetores viaveis distintos apenas porzrs {0,1}. Logo,zrs=

0.

Para demonstrar que zrs= 0, quando r,s / V(C) e rs /E, nos iremos utilizar o Lema4.6.5que sera provado apos o termino dessa demonstracao.

Lema 4.6.5. Para todo uv,wy E(C), temosxuv=xwy.

Vamos ao caso em que rs /E. Sejam as ordens1= V(C) \ (NC(r) NC(s)),NC(r) \

NC(s), r,NC(s)\NC(r),s,NC(r)NC(s) e 2= V(C)\(NC(r)NC(s)),NC(s)\NC(r), s,NC(r)\

NC(s), r,NC(r) NC(s)definindoz1 ez2, respectivamente. Observe que 1 e2 perten-

cem as ordens descritas pelo Lema4.6.3no item2e quers

G

se, e somente se,rs

E.

Definimos x1 ex2 em funcao de z1 e z2, respectivamente, pela equacao (4.7). Podemos

fixarx1rs=x2rs= 0. Assim, obtemos a equacao

(s1 s2)

= wNC(r)\NC(s)

tNC(s)\NC(r){s}zwt+ tNC(s)\NC(r)

zrt+

zrs+ i j E(C)

xi j pq E(C)

xpq= 0.

Podemos simplificar essa equacao eliminando os oeficientes de ja demonstrados nulose o Lema4.6.5. Assim, ficamos com


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(|C| 3)xuv (|C| 3)xuv+

zrs=

zrs=0.

Assim, para todor,s/ V(C)temoszrs=0.

Seja= xuv para algumuv E(C). Eliminando os coeficientes nulos eme utilizando

o4.6.5podemos expressar H como

FH = {s P :( uv E(C)

xuv) =0}

Assim, temos que desigualdade

0 e um multiplo nao-nulo da desigualdade4.1,portantoF e faceta seCnao contem corda, para todo{a,b} V\ V(C)temos|NC(a)

NC(b)| 3,G[NC(a)]e G[NC(b)]sao caminhos induzidos emG.

Vamos demonstrar que se existe uma corda emCpodemos expressar a desigualdade4.6

como combinacao positiva de desigualdades validas. Assim, a desigualdade nao induz faceta.

Sejavw uma corda emCe C1 eC2 os subciclos deCque compartilham a cordavw como

na Figura4.9.

Figura 4.9: Subciclos.

Podemos expressar a desigualdade4.6como

uv E(C1) |C1| 3

uv E(C2) |C2| 3

xvw+xwv= 1

xut+xtu 0, parau V(C1) \ {v,w} et V(C2) \ {v,w}

uv/ E(C)xuv |C| 3.

Vamos exibir a demonstracao do Lema4.6.5.


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Demonstracao. Primeiro, vamos demonstrar quexrs=xsrpara todouv E(C).

Seja{r,s, t} V(C) e as ordens 1= V(C) \ {r,s, t},r, s, t e 2= V(C) \ {r,s, t},s,r,t

definindo z1

e z2

, respectivamente. Observe que1 e 2 pertencem as ordens descritas peloLema4.6.3no item1. Definimosx1 ex2 em funcao dez1 ez2, respectivamente, pela equacao

(4.7). Assim, temos (s1 s2) = zrs +xrs

xsr= 0 e simplificando a equacao temos

xrs=

xsr.

Vamos demonstrar que para quaisqueruv,wy E(C), temosxuv=xwy.

Suponha {u,v} {w,y}= /0. Sejam as ordens 1 =V(C) \ {u,v,w,y},u,w,y,v, 2 =

V(C) \ {u,v,w,y},w,u,v,y definindo z1 ez2, respectivamente. Definimosx1 ex2 em funcao de

z1 ez2, respectivamente, pela equacao (4.7). Observe na Figura4.10o esquema dessas solucoes.

Temos que

(s1 s2) =xwy

xuv+

zuw+

zyv+

xuw

xwu+

xyv

xvy= 0

e simplificando a equacao obtemosxwy=xuv.

Figura 4.10: Representacao dass1 es2

Suponha que {u,v} {w,y} = /0. Nos podemos dividir esse topico em 3 casos como na

Figura4.11.

Figura 4.11: Casos.

No caso 1, temos v= w, u w e u y. As ordens 1 = V(C) \ {u,w,y,k},u,w,k,y e

2= V(C) \ {u,w,y,k},u,y,k,w, de forma semelhante ao item anterior, nos levam a relacao


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xwy=xuv.

No caso 2, temos v=y, u w,v w. Usamos as ordens 1V(C) \ {u,v,k,w},u,v,k,we

2V(C) \ {u,v,k,w},v,u,k,w para obter a relacaox

uv=x

wv.

No caso 3, temos v=y,u w v. Sabemos quexuv= xvu para todouv E(C). Assim,

pelo caso 2, temosxuv=xwv=

xvw.


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4.7 Observacoes sobre as desigualdades fence

Nesta secao iremos introduzir uma famlia de desigualdades baseadas. Demonstraremos

que as desigualdades nessa famlia sao validas paraPEOF(P).

Observe o seguinte subconjunto de restricoes da formulacao LPEOFsobre as variaveisz:

zuv+zvu=1, {u,v} V

zuv+zvw zuw+ 1, {u,v,w} V

zuv {0,1}, {u,v} V

treewidth polyhedral studies

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