triángulos semejantes

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TRIÁNGULOS SEMEJANTES Y SU APLICACIÓN

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TRIÁNGULOS SEMEJANTES

Y SU APLICACIÓN

TRIÁNGULOS SEMEJANTES Y SU APLICACIÓN 1. Definición de triangulo2. Triángulos semejantes 3. Criterio A.A.A4. Criterio L.L.L5. Criterio L.A.L.6. Criterio A.L.A.7. Propiedades

TRIÁNGULO:Dados tres puntos A , B y C no alineados, el conjunto AB U AC U BC , se denomina TRIÁNGULO ABC y se simboliza por Δ ABC A

B C

TRIÁNGULOS SEMEJANTES

Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son respectivamente congruentes y los lados homólogos son proporcionales.La razón contante entre un lado del primer triángulo y su homólogo en el segundo , se llama razón de semejanza.El símbolo para la semejanza es: 5

CRITERIO A.A.A. Dos triángulos son semejantes cuando

tienen sus ángulos respectivamente congruentes

EJEMPLO:

Según la figura AB ll DE , ACB DCE por ser ángulos opuestos por el vértice≮ CAB ≅ ≮ CED y ≮ ABC ≅ ≮ CDEpor ser ángulos alternos internos entre paralelas Por lo tanto Δ ABC 5 Δ EDC

CRITERIO L.L.L. Dos triángulos son semejantes, cuando

tienen sus lados homólogos proporcionados

EJEMPLO:

Según la figura los lados son proporcionales, esto es:

Por lo tanto Δ ABC 5 Δ A´B´C´

CRITERIO L.A.L. Dos triángulos son semejantes, si un

ángulo es congruente con ´ y los 𝛼lados que forman dicho ángulo son proporcionales

EJEMPLO:

Según la figura ≮ BAC = 35° y ≮ FDE= 35° , por lo tanto ≮ BAC ≅ ≮ FDE;

Y las medidas de los lados: 12 EAB= 12; AC=15 A B 10 DF=8; DE=10; 15 D 8 F CEsto es ; por lo tanto los Δ ABC 5 Δ DFE

CRITERIO A.L.A Dos triángulos son semejantes entre si

tienen un lado congruente y los ángulos con un vértice en los extremos de dicho lado también son congruentes

EJEMPLO: Según la figura el lado AC esta entre ≮A y

≮C, el lado DF esta entre el ≮D y ≮F ; ≮A = 38°; ≮D= 38° ; ≮C=72° ; ≮F=72° ; por lo tanto ≮ A≅ ≮D ; ≮ C ≅ ≮ F;

entonces Δ ABC 5 Δ DFE E B

D 4 F A 20 C

PROPIEDADES: PROPORCIONES ENTRE LAS LÍNEAS NOTABLES DE TRIÁNGULOS SEMEJANTES

si dos triángulos sin semejantes sus alturas correspondientes están en la misma razón que cualquier par de lados correspondientes. Hipótesis: Δ ABC 5Δ A´B´C´; AD CB; A´D´ C´B´

Tesis:

D D´

Si dos triángulos son semejantes los segmentos de bisectriz correspondientes están en la misma razón que cualquier par de lados correspondientes

Hipótesis: Δ ABC 5 Δ DEF; BM bisectriz de ABC ; EN bisectriz de

DEF

Tesis:

B E

D N F A M C

Si dos triángulos son semejantes , las medianas correspondientes están en la misma razón que cualquier par de lados correspondientes

BD medianas

SEMEJANZA EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS En un triangulo rectángulo la altura correspondiente a la

hipotenusa divide al triangulo en otro dos que son semejantes entre sí y semejantes también al triangulo original

Hipótesis: Δ ABC; ≮ A recto; AD ⊥ BC Tesis: Δ BDA 5 Δ BACΔ BAC 5 Δ CDAΔ BDA 5 Δ CDA

D

La altura correspondiente a la hipotenusa en un triangulo rectángulo es media geométrica (de dos números reales positivos es un numero positivo x q cumple: ) de los segmentos en los cuales dicha altura divide a la hipotenusa

Hipótesis: Δ ABC; ≮ A recto; AD ⊥ BC Tesis:

D

D

Cada cateto en un triangulo rectángulo es media geométrica entre la hipotenusa y el segmento de esta adyacente al cateto

Hipótesis: Δ ABC; ≮ A recto; AD ⊥ BCTesis:

D