trigonometrìa 2013 - i8

Universidad Nacional “San Luis Gonzaga” de Ica

1

UNIDAD ACADÉMICA DE MATEMÁTICAS

UNIVERSIDAD NACIONAL "SAN LUIS GONZAGA” DE ICA

CICLO I – 2012

CENTRO DE ESTUDIOS

PREUNIVERSITARIOS

Centro de Estudios Preuniversitarios de la U.N.ICA CICLO I – 2013

Unidad Académica deMatemática

2


3

AUTORIDADES UNIVERSITARIAS

Dr. Alejandro Gabriel ENCINAS FERNÁNDEZ Rector

Dr. Mario Gustavo REYES MEJÍA Vice - Rector Académico

Dr. Máximo Isaac SEVILLANO DÍAZ Vice - Rector de Investigación y Desarrollo



4

UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” DE ICA

CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS

DIRECTORIO

Dr. Pedro Marcelino VELÁSQUEZ RUBIO DIRECTOR GENERAL

Mg. Javier Eduardo MAGALLANES YUI

DIRECTOR ACADÉMICO

Mg. Carlos Víctor BENAVIDES RICRA DIRECTOR ADMINISTRATIVO


5

UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA

CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS

COORDINADORES DE UNIDADES ACADÉMICAS

Mg. César LOZA ROJAS U.A. DE MATEMÁTICAS

Mg.Juan PISCONTE VILCA U.A. DE CIENCIAS NATURALES

Ing. ArcadioBenito PARVINA CARRASCO

U.A. DE RAZONAMIENTO

Lic. Frediberto MALDONADO ESPINOZA U.A. DE HUMANIDADES



6

CONTENIDO PAGINA

UNIDAD 9 ANGULO TRIGONOMÉTRICO Y SISTEMAS DE MEDIDAS AN-GULARES

08

9.1. ANGULO TRIGONOMÉTRICO 08

9.2. SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES 08

9.3. RELACIÓN DE CONVERSIÓN DE LOS TRES SISTEMAS 09

9.4. RELACIÓN SISTEMA SEXAGESIMAL Y CENTESIMAL 10

9.5. LONGITUD DE ARCO 11

9.6. ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR 12

9.7. ÁREA DE UN TRAPECIO CIRCULAR 12

9.8. ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS, SUPLEMENTARIOS 12

9.9. ÁNGULOS COTERMINALES 12

9.10. RUEDAS: NÚMERO DE VUELTAS Y VELOC. ANGULAR 12

9.11. POLEAS Y ENGRANAJES 13

UNIDAD 10 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 26

10.1. FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA (F.T.) 26

10.2. RAZONES GEOMÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECT. 26

10.3. F. T. DE UN ÁNGULO AGUDO EN UN TRIÁNGULO REC 27

10.4. F.T. RECÍPROCAS DE UN ÁNGULO AGUDO 27

10.5. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS COMPLEMENTARIA 28

10.6. PROPIEDADES DE LA TANGENTE Y COTANGENTE 28

10.7. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES Y APROX. 29

10.8. ÁREA DE LA REGIÓN TRIANGULAR 29

UNIDAD 11 IDENTIDADES TERIGONOMÉTRICAS 38

11.1. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 38

11.2. SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES 40

11.3. ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL 40

11.4. F.T. DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL 41

11.5. SIGNO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 41

11.6. ÁNGULOS CUADRANTALES 41

11.7. F.T. DE ÁNGULOS NEGATIVOS 42

11.8. CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA 42

UNIDAD 12 REDUCCIÓN DE ÁNGULOS. FUNCIONES TRIGONOMÉTRI-CAS DE ÁNGULOS COMPUESTOS

50

12.1. REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL PRIMER CUADRANTE 50

12.2. F.T. DE ÁNGULOS COMPUESTOS 51

UNIDAD 13 TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS 64

13.1 TRANSF. DE SUMA O DIFERENCIA A PRODUCTO 64

13.2 TRANSF. DE PRODUCTO A SUMA O DIFERENCIA 64

CONTENIDO

BLOQUE II – UNIDADES 9- 16


7

13.3 SERIES TRIGONOMÉTRICAS 64

13.4 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS 65

13.5 RES. DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Y OBLICUANG. 66

UNIDAD 14 ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS. LÍMITES TRIGONOMÉ-TRICOS

78

14.1 ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS 78

14.2 ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS ELEMENTALES 78

14.3 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA 78

14.4 TIPOS DE SOLUCIONES GENERALES 78

14.5 METODO PARA HALLAR SOLUCIÓN GENERAL 79

14.6 SISTEMAS DE ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS 79

14.7 LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS 80

14.8 LÍMITES UNILATERALES 80

14.9 LÍMITES NOTABLES 81

UNIDAD 15 NOCIONES DE GEOMETRÍA ANALÍTICA. LA RECTA 90

15.1 POSTULADOS DE LA GEOMETRÍA 90

15.2 SISTEMA DE COORDENADAS EN 2 DIMENSIONES 91

15.3 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS. PUNTO MEDIO 91

15.4 DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA 92

15.5 ÁREA DE UN POLÍGONO 92

15.6 ÁNGULO DE INCLINACIÓN DE UNA RECTA 93

15.7 PENDIENTE DE UNA RECTA 93

15.8 ECUACIONES DE LA RECTA 93

15.9 ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA 95

15.10RECTAS PARALELAS 95

15.11RECTAS PERPENDICULARES 95

15.12 ANGULO FORMADO POR DOS RECTAS 95

15.13 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA 95

15.14ECUACIÓN. DE LA BISECTRIZ DEL ÁNGULO ENTRE

DOS RECTAS 96

UNIDAD 16 ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA Y PARÁBOLA 104

16.1 LA CIRCUNFERENCIA 104

16.2 ECUACIONES DE AL CIRCUNFERENCIA 104

16.3 LA PARÁBOLA 104

16.4 ECUACIONES DE LA PARÁBOLA 105



8

9.1. ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO

Es la figura que se genera por la rotación de un rayo alrededor de un punto fijo (vértice), desde su posición inicial (lado inicial), hasta su posición final (lado final). La medida de un ángulo es la amplitud de rotación que efectúa el rayo al gi-rar en torno a su vértice, desde su posición inicial hasta su posición final. Esta medida será un número positivo si la rotación se efectúa en sentido antihorario y negativo en caso contrario.

ELEMENTOS:

Vértice : O

Lado inicial : OA

Lado final : 'OA ''OA

Medidas angulares : ;

NOTA: La medida del ángulo trigonométrico no tiene límite.

9.2. SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES

A. Sistema sexagesimal

Llamado también sistema Inglés, considera al ángulo de una vuelta dividido en 360 partes iguales y a cada parte se le denomina un gra-do sexagesimal, y a cada grado se le divide en 60 partes iguales y a cada parte se le denomina un minuto sexagesimal, a su vez a cada

minuto se le divide en 60 partes iguales y a cada parte se le denomina un segundo sexagesimal.

Notación Equivalencias

Un grado sexagesimal = 1° Un minuto sexagesimal = 1’ Un segundo sexagesimal = 1’’

1° = 60’

1’= 60’’

1°=3600’’

m de una vuelta = 360°

B. Sistema Centesimal

Denominado también sistema francés, considera al ángulo de una vuelta dividido en 400 partes iguales y cada parte se denomina un grado centesimal, y cada grado se le divide en 100 partes iguales y cada parte se denomina un minuto centesimal, a su vez a cada mi-nuto se le divide en 100 partes iguales y cada parte se denomina un segundo centesimal.

UNIDAD

09 ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO Y SISTEMAS DE ME-

DIDAS ANGULARES

+

–

O

A’’

A

A’


9


Un grado centesimal = 1g

Un minuto centesimal = 1m

Un segundo centesimal = 1s

1g= 100

m

1m= 100

s

1g= 10 000

s

m de una vuelta = 400g

C. Sistema radial

Denominado también sistema circular o sistema internacional, consi-dera como unidad angular el radián. Un radian se define como el ángulo central que subtiende en cualquier circunferencia un arco de longitud igual a la longitud del radio.

radián1


Un radián = 1 rad.

m de una vuelta = 2 rad.

3,1416 7

2223 3,14

Observaciones:

- 1 rad.= 57°17’44,81’’= 63g66

m19,77

s1rad.= 57°17’45’’ = 63

g66

m20

s

- 1 rad. > 1° > 1g

- 1’> 1m ; 1’’ > 1

s

9.3. RELACIÓN DE CONVERSIÓN DE LOS TRES SISTEMAS

Sean S, C y R los números que representan la medida de un ángulo en los sistemas sexagesimal, centesimal y radial respectivamente. Se tiene:

S C R

360° = 400g= 2 rad.

2

R

400

C

360

S

2

R

400

C

360

S

................ (1)

O

r r

r



10

Además: k2

R

400

C

360

S

kRk200Ck180S

9.3.1. Conversiones de unidades angulares

De un sistema a otro

Se utilizan los siguientes factores de conversión:

180

.rad

9

101

g

200

.rad

10

91

g g200180

.rad1

En un sistema:

Grados Minutos

Minutos Segundos

Grados Segundos

Segundos Minutos

Minutos Grados

segundos Grados

donde :

9.4. RELACIONES ENTRE LOS SISTEMAS SEXAGESIMAL Y CENTESIMAL

Sabemos que:200

C

180

S, Simplificando se obtiene:

x 60

x 60

x 100

x 100

x 3 600

x 10 000

÷ 60

÷ 100

÷ 100

÷ 3 600

÷ 10 000

÷ 60

SISTEMA SEXAGESIMAL

SISTEMA CENTESIMAL


11

10

C

9

S

Donde S: # de grados sexagesimales

C: # de grados centesimale

50

b

27

a

Donde a: # de minutos sexagesimales

b: # de minutos centesimales

250

q

81

p

Donde p: # de segundos sexagesimales

q: # de segundos centesimales

9.5. LONGITUD DE ARCO

Es una de las muchas aplicaciones del radián como unidad angular, que se utiliza para calcular la medida de un arco en unidades lineales. L : Longitud de arco r : Radio de la circunferencia

: Número de radianes del ángulo central que subtiende el arco AB.

Se cumple: r.L

9.6. ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR

Se denomina sector circular a una porción de círculo limitada por dos ra-dios. El Área (A) de dicha región se determina:

2r

2

1S

Lr2

1S

2L

2

1S

A

B

L

r

r

S

r

r

L S

r

r

L S

r

r



12

Figura (a)

Lado final

Lado inicial

θ

Figura (b)

2400 =

0 Lado inicial

Lado Final -120

0 =

9.7. ÁREA DEL TRAPECIO CIRCULAR

d2

baS 2

ba

)AOB.(C.S)COD.(C.S

SSS

9.8. ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS, SUPLEMENTARIOS Y COTERMINA-LES

210090)(C

g

g200180)(S

9.9. LOS ÁNGULOS COTERMINALES

Son aquellos ángulos que tienen el mismo lado inicial, el lado terminal y el mismo vértice, pero que se diferencian en un múltiplo de 360

0.

Zk,k.º360

º360

o

9.10. RUEDAS: NÚMERO DE VUELTAS Y VELOCIDAD ANGULAR (aV )

a) El número de vueltas que da una rueda sobre cualquier terreno, esta

dada por: r2

LN CV

donde: vN = número de vueltas que da la rueda al desplazarse, desde

A hacía B

CL = Longitud recorrida por el centro de la rueda

= L ( )

A

B

C

C

O

C

D

d

b

d

A

B

S a


13

r = longitud del radio de la rueda

También:

=∡ girado por la rueda ó ∡ barrido

r = longitud del radio

2N

v r

LC

r2

L

N C

r t

360.N

tV v

a

NOTA: está expresado en radianes

t = tiempo del recorrido b) Si se trata de una bicicleta con dos ruedas

21CyC ,

21CC , de radio

21rr y número de vueltas

21VyV , respectivamente.

i) 2121

rr (inversamente proporcionales)

1

2

2

1

r

r

ii) 2121VVrr (inversamente proporcionales)

1

2

2

1

V

V

r

r

De i) y ii) se tiene :

1

2

1

2

V

V

9.11. POLEAS Y ENGRANAJES

Se cumple que:

BBAABAr.r.LL

BBAAr.Vr.V

BBAAr.nr.n

Donde:

BAVyV son velocidades de A y B, respectivamente

BAnyn son números de vueltas de A y B, respectivamente

Si A y B son engranajes, se tiene que:

BBAAV.dV.d ,

Ad = Nº de dientes de A

Bd = Nº de dientes de B

Donde:BA

dd

A B

rA

rA

θA

C

θB rB

A = Rueda menor B = Rueda mayor



14

PREGUNTAS RESUELTAS Nº 9

1. Las medidas de los ángulos de un cuadrilátero sonogo

)35x2(y300

x;x;)x3( ,

entonces la medida del ángulo mayor en radianes, es:

P) rad5

Q) rad5

3 R) rad

4

5 S) rad

2

3 T) rad

6

5

RESOLUCIÓN:

rad?A:max360DCBA)i

360)35x2(300

xx)x3(

g

360)35x2(300

x180x

10

9x3

3600350x20x6x9x30 50x

180

.150150)x3(A)ii rad6

5

Rpta: T

2. Si la suma del doble del número de grados sexagesimales con el número de gra-dos centesimales de un ángulo es igual a 70 entonces la medida radial de dicho ángulo, es:

P) 6 Q)1

8 R) 3 S)3

5 T)

3

7

RESOLUCIÓN:

i )?k

20R

k10Ck9S70CS2

70k2870k10)k9(22

5k

Luego:82

5

20k

20R

18

Rpta: Q

3. La medida radial de un ángulo, donde la suma y la diferencia de sus medidas centesimal y sexagesimal son las dimensiones de un rectángulo cuya área es de

, es:

P) rad4

Q) rad3

R) rad3

2 S) rad

6 T) rad

12


15

RESOLUCIÓN:

i ) S = 475 = b . h

(C + S)(C – S ) = 475 C = 10k ; S = 9k ; ?k20

R

475k19475)k9k10)(k9k10(2

5k

Luego: )5(20

R rad4

Rpta: P

4. Si se sabe que S y R son los números de grados sexagesimales y radianes de un

ángulo y se cumple: 1508

R20S

20

R20S, entonces el valor de “R”, es:

P) 6 Q) 5 R) 4 S) 2 T) 3 RESOLUCIÓN:

i ) k10C;k9S;?k20

R1508

R20S

20

R20S

150k2

3150

8

k8

20

k10150

8

2020k9

20

k20

20k9

150k

Luego: 20

100k

20R 5R

Rpta: Q

5. En la figura adjunta OB = BC = 6 cm y DBC es un sector circular cuyo centro es B; entonces el área de la parte sombreada, es:

P)2

cm8

Q)2

cm10

R)2

cm14

S)2

cm12

T)2

cm13

A

B C

D

O



16

A

B C

D

O

RESOLUCIÓN:

226.

3

2:

2

1r.

2

1))CBD(SC(S

Luego: S=2

cm12

Rpta: S

6. La longitud de arco en metros de la circunferencia de 9 metros de radio que sub-tiende un ángulo central tal que si sumamos su complemento y su suplemento, expresados en grados sexagesimales, nos da 16 veces el valor del ángulo, es :

P)5

Q) 3 R) 4 S)4

3 T) 2

RESOLUCIÓN:

i ) ?L16)(S)(C

1618090

12

15

ii) 9.12

r.L4

3L

Rpta: S

7. En el gráfico, el arco menor AB, es de igual longitud que el arco mayor CD. Si el punto “A” pasa a la posición del punto “B”, el número de vueltas que da la otra rueda, es:

P)3

2

Q)2

1

R)3

6

S)2

3

A

B

C

D

4 2


17

T)3

4

RESOLUCIÓN:

2.)2(4.3

2

3

22

A 3

4

2.4.3

422.4.

AA 3

8

iii) 2

38

2n

v 3

4

Rpta: T

8. Una rueda de radio 2, se encuentra sobre una pista rectilínea, tal como se muestra

en el gráfico, la distancia de P a su posición final luego de girar la rueda , es:

P) 61292

Q) 81292

R) 61092

S) 41292

T) 21092

RESOLUCIÓN:

2

32702r

En el ∆PCP’

2L'CP)'CP()'PP(C

22

'CP 23

C

D

B

A

.E F.

C

P 1

P

r = 2 r = 2

P’

270 C’

CL

P



18

También: 2r2

L

n C

v3L

C

41294)23(2'PP222

8129'PP2

Rpta: Q

9. Del gráfico, el valor de “x”, es: P) 9

Q) 10

R) 48

S) 20

T) 36

RESOLUCIÓN:

i ) 360x30x99036030x6010

9.)x10(10

480x10 48x

Rpta: R

10. El número de vueltas que da una rueda de radio , respecto a su centro es

)26(8 , entonces la longitud de la trayectoria que genera su centro, es:

P) 36 Q) 32 R) 34 S)28 T) )23(16

RESOLUCIÓN:

(L)AB(LLC

)26(8.2.2n.)v

2.)23()23(.216LC

32LC

Rpta: Q

C C

A

A’ A’’ A’’’ 2r 2r

L( )

1 vuelta

L( )

2 vuelta

L( )

3 vuelta

B


19

PREGUNTAS PROPUESTAS Nº 9

1. En un país de Europa, crean un sistema “N” dondeN

720 equivalen a 360°. El

número de radianes a que equivalenN

80 , es:

P) rad9

Q) rad9

4 R) rad

92 S) rad

9

5 T) rad

9

3

2. La medida circular de un ángulo, si:n

2

2

n19C;

n

2

2

n19S siendo “S” y “C”, lo

conocido para dicho ángulo, es:

P) rad20

Q) rad10

R) rad5

S) rad4

T) rad3

3. Si la medida de un ángulo se expresa como ab y también comog

0)1a( , el ma-

yor valor que toma su medida circular, es:

P) rad5

Q) rad2

R) rad4

S) rad20

7 T) rad

20

9

4. Sean dos ángulos. El primero mide p grados sexagesimales y el segundo q grados centesimales. La diferencia numérica de estas medidas es 15. Si la suma de estos ángulos en el sistema sexagesimal es 129, los ángulos tal como estaban medidos originalmente, son:

P) 90 y 75 Q) 30 y 15 R) 60 y 45 S) 45 y 30 T) 75 y 60

5. El ángulo en radianes que satisface la siguiente condición: La medida geométrica de los números que representan la medida de ese ángulo, en grados centesimales y sexagesimales, multiplicada por la suma de las inversas de los mismos es igual

a300

19 veces la semidiferencia de esos números, es:

P) 11 Q) 10 R)10 S) 10 T)10

6. Se crea un sistema de medición angular “MOSHE”, cuya unidad es 1*, verificando

En un triángulo, las medidas de sus ángulos están en la relación de 2,5 y 8. La medida del menor, en el sistema “MOSHE”, es: P) 7,2* Q) 4,8* R) 6,4* S) 5,6* T) 3,2*



20

7. En un triángulo, dos de sus ángulos se expresan como:go2

x20y)5x8x5( .

La relación entre ellos es mínima (1ero y 2do ángulo). La medida del tercer ángulo,

es:

P) rad3

2 Q) rad

5

4 R) rad

5

3 S) rad

4

3 T) rad

5

2

8. La medida sexagesimal de un ángulo que cumple:

2C

C2C

C2C

C2C

2S

S2S

S2S

S2S

Siendo S y C lo convencional para dicho ángulo, es:

P)o3

2,7 Q) 0,9° R)o3

6,1 S)o3

1,8 T) 9°

9. Un tramo de una vía férrea curvilínea está formado por dos arcos sucesivos. El

primer arco corresponde a un ángulo central de 20° con un radio de 2500 pies y el

segundo corresponde a un ángulo central de 25° con un radio de 3000 pies, la

longitud total de la vía, es:

P) 2188 Q) 2184 R) 2186 S) 2182 T) 2183

10. Dos postulantes a la UNI, observan un reloj eléctrico cuyas agujas están deteni-

das. Luego de la falla eléctrica de Miraflores, uno de los estudiantes dice que el

área que hacen las agujas es de 7,2 pulgadas cuadradas. Si el reloj tiene un radio

de 6 pulgadas, la medida del arco entre las agujas, es:

P) lgpu11

5 Q) lgpu

5

12 R) lgpu

5

11 S) lgpu

12

5 T) lgpu

7

12

11. Los radios de las ruedas de una bicicleta son entre sí como 4 es a 10, el número

de vueltas que da la rueda mayor cuando la menor barre un ángulo de1840 ra-

dianes, es:

P) 390 Q) 184 R) 368 S) 736 T) 286


21

A

B C

D E

F

M

N

12. La figura ABCD es un paralelogramo dondem∡BCD = 30°, BC = 2t, BC = t, , y

son arcos de circunferencia cuyos centros son A y C, respectivamente, el área

sombreada, es:

P)2

t)6(4

1

Q)2

t)6(12

1

R)2

t)6(12

1

S)2

t)6(6

1

T)2

t)6(4

1

13. La longitud de la correa de transmisión de tres ruedas tangentes exteriores, cuyos

diámetros son 42cm; 14cm y3

14 cm respectivamente , es:

P) 33

112

9

266

Q) 33

111

9

256

R) 39

112

3

266

S) 35

112

4

266

T) 33

112

8

266

14. La longitud del radio de una circunferencia en la que el ángulo central, que com-

prende un arco que mide50

61, tiene una medida en grados centesimales repre-

sentada por un número entero y en grados sexagesimales representada en la for-

ma 'xxo

, es:

P) 3,5 m Q) 2 m R) 4 m S) 3 m T) 2,5 m



22

15. En la figura se tiene un ángulo central de medida radianes y arcos de longitudes

b y c respectivamente. Entonces el área de la región sombreada mide:

P)

22bc

2

1

Q)

22bc

2

1

R)2

bc

2

122

S)2

bc

2

122

T)2

b2

c2

1

16. Se tiene dos poleas de igual diámetro, conectadas por una faja de longitud igual a

“m” veces ( m ℕ ) la longitud de la circunferencia de una de las poleas, el diáme-

tro de las poleas, si se sabe que la longitud de la parte de la faja que no hace con-tacto con las poleas es 2 l, es:

P))1m(

2l Q)

m

2l R)

m

l2 S)

)1m(

l2 T)

)1m(2

l

17. La figura muestra un monta carga con un tambor de 60cm de diámetro, si el monta

carga gira4

7 radianes, entonces la carga se lleva aproximadamente a una altura

de: P) 1,68 m

Q) 1,67 m

R) 1,66 m

S) 1,65 m

T) 1,63 m

b c

X

Y

.


23

A

B

C

18. Si el triángulo ABC es equilátero de lado 2cm; donde tomando a y como

diámetros se han dibujado semicircunferencias; además:, tiene su centro en

“B”, el área de la región sombreada, es:

P)2

cm32

Q)2

cm22

R)2

cm2

S)2

cm)223(

T)2

cm)232(

19. Una faja de 60 cm de longitud es colocada alrededor de dos líneas circulares

cuyo diámetro es 10cm, la distancia entre los centros de la ruedas (00’) , es: P) 17,5 cm Q) 20 cm R) 22,5 cm S) 25 cm T) 27,5 cm

20. Los móviles A y B de la figura se mueven con “p” y “q” m/s respectivamente. Si

después de “t” segundos la distancia que los separa es igual a “r”, el valor de “x”, es:

P)qpsenp2

)qp(

Q)qpcosp2

q

R)qpcosq2

p

S)cosq2p

q2 cos

T)qpsenq2

)qp(

21. La suma y la diferencia de dos ángulos son respectivamente6

rad y 15°. La medi-

da de la mitad del mayor en grados centesimales, es:

P)g

25 Q)mg

522 R)mg

5012 S)mg

512 T)mg

3012



24

A

C

B

r r

22. R, C y S son los números que indican la medida de un ángulo. Si se verifica que:

)119(RSCSC . La medida del ángulo en radianes, es:

P)1

Q)20

R)40

S)2

T)10

23. Al calcular:140

33.

990...332211

rad630...rad21rad14rad7

gggg, se obtiene:

P) 10 Q) 20 R) 30 S) 40 T) 50 24. Si “C” es el equivalente en grados centesimales y además:

C200.

R

RR

RR

RR

, entonces el valor de R, es:

P)2

Q)1 R)2

2

1

S)180

.10

9g

T)

g

10

9

25. El número de vueltas que da la rueda de ir de A hasta C. Si:BC = 2 AB = 3 r cm,

es: P) 1,5 Q) 2,5 R) 1,25 S) 1,9 T) 2,4 26. El área de la región sombreada, es:

P) 2

m3

Q)2

m5

R)2

m20

S) 2

m15

T) 2

m10

O


25

27. En la figura la longitud del arco AB mide 14m, “x” mide 1 radián. La longitud del arco BC, es: P) 20

Q) 40

R) 25

S) 30

T) 35

28. Un ciclista recorre una cueva de medio kilómetro de radio, con una velocidad de

h/km20 . El ángulo aproximado en sexagesimales que recorre en 10seg, es:

P) 4°21’58’’ Q) 6°21’58’’ R) 3°21’58’’ S) 1°21’58’’ T) 5°1’58’’

29. Del siguiente sistema de poleas, la polea de radio3

r gira 240°

El número de radianes que gire la polea de radio , es:

P) Q)2

3 R) 2 S) 3 T) 4

30. En la figura, A y B son centros de los sectores circulares, el valor de en radianes

si el área de la región sombreada es u22AB,u3

5 2, es:

P) / 6

Q) / 4

R) 5 / 24

S) / 12

T)5 / 12

O A

B

C

Faja

Faja

A B

C



26

10.1. FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA (F T)

Es una regla o relación que hace corresponder a un número real, un único número real. Lo que simbolizamos:

10.1.1. Clases de funciones trigonométricas 1. Directas (6)

seno, coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante. 2. Inversas (6)

arco seno, arco coseno, arco tangente, arco cotangente, arco cotangente, arco secante, arco cosecante

10.1.2. Dominio y rango de una F T directa

)sen(Dom ℝ y 1;1)sen(Ran

(cos)Dom ℝ y 1;1)sen(Ran

(tan)Dom ℝ n,2

)1n2(x/x ℤ y (tan)Ran ℝ

(cot)Dom ℝ n,nx/x ℤ

y (cot)Ran ℝ

(sec)Dom ℝ n,2

)1n2(x/x ℤ

y (sec)Ran ℝ 1;1

(csc)Dom ℝ n,nx/x ℤ

y (csc)Ran ℝ 1;1

10.2. RAZONES GEOMÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Son cocientes indicados de números reales que se establecen entre las medi-das de 2 lados de un triángulo rectángulo y son seis. Así tenemos: Dado un triángulo rectángulo ACB, las 6 razones geométricas que se obtienen son:

a

c ;

b

c ;

a

b ;

b

a ;

c

b ;

c

a = G . R

UNIDAD

10 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

B

A

c

b C

a

β

F. T. : ℝ ℝ F. T ( )


27

10.3. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO ACB.

Las 6 funciones trigonométricas directas con sus reglas que las definen se dan en el cuadro siguiente:

FT directas

Notación

Reglas de las (FT)

Angulo agudo

F.T.( ) = R G.

seno sen CO

H

c

asen

coseno cos CA

H

c

bcos

tangente tan CO

CA

b

atg

cotangente cot CA

CO

a

bcot

secante sec H

CA

b

csec

cosecante csc H

CO

a

ccsc

10.4. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS DE UN ÁNGULO AGUDO

Dos funciones trigonométricas de un mismo ángulo agudo son reciprocas o in-versas multiplicativas si su producto es uno.

csc

1sen

sen

1csc1csc.sen

sec

1cos

cos

1sec1sec.cos

tan

1cot

cot

1tan1cot.tan



28

Observación: Sí x e y son ángulos agudos se tiene:

1ycsc.xsen

ysenxsen

1ysec.xcos

yx

ycosxcos

1ycot.xtan

ytanxtan

10.5. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS COMPLEMENTARIAS

La función trigonométrica de un ángulo agudo es igual a la co- función trigo-nométrica de su complemento, es decir:

)º90(.T.COF)(.T.F

)º90(cossen

)º90(sencos

)º90(cottan

10.6. PROPIEDADES DE LA TANGENTE Y COTANGENTE

cos

sentan

sen

coscot


29

10.7. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES Y APROXIMACIONES

10.8. ÁREA DE LA REGIÓN TRIANGULAR

sen2

c.aS

sen2

c.bS

sen2

b.aS

( )2 -6 k 25k

16°

74°

24 k

7k 4k

54°

36° 4k

87°

3°

k

19k

17 k

76°

14°

k

4k 4

18°

72°

5210

15

k

15°

75° ( 26 )k

15°

75°

k

14°

76°

4

1 22,5°

67,5°

1

k5210

k15

(2 + 3 )k

( 26 )k

(2 - 3 )k

224

2 -1

k362

15°

75°

2 6 k

3 k

10 k

18.5° k

5 k

26,5°

2k

k

k 30°

60° 2k

k 3

k 2

45°

45°

k

k

5k

37°

53°

4k

3k 5 2 k

8°

82°

7 k

k

75°

15° +1

1

17

b

A C

c

B

a



30


1. En un triángulo ABC recto en A, se tiene un área igual 20 2m , entonces el valor

de

2 2 2

2 2

( ) tg( )sen ( )

cos ( ) cos ( )

c b B CQ

B C, es:


bc

a

b

a

c

a

c

c

b)bc(

Q

2

2

2

2

2

222

40)20(2Q

Rpta: “S”

2. Del gráfico mostrado, el valor de tg( ) , es:

P) 2

Q) 2

1

R) 3

1

S) 3 T) 4

RESOLUCIÓN:

Sea hBH y HBCBAC

:AHB 3

h

3

BH)(tg y 9h81273BHh

22.

Luego: 33

9)(tg .

Rpta: “S”

3. Si en un triángulo ABC, AB mide 6,5 y AC mide 12. Si 5

tg( )12

A , entonces el

área del triángulo, es: P) 10 Q) 15 R) 20 S) 25 T) 30

A

B

C H 3 27

A B

C

a

b

c


31

RESOLUCIÓN:

2

1k5,6k13

k30)k5)(12(2

1S:Area

2

u15)2

1)(30(S:Area

Rpta: “Q”

4. Si en un triángulo rectángulo ABC, la 3

2)A(tg y la longitud del cateto mayor es

21 u . Entonces, el área del triángulo, es:

P) 2

u144 Q) 2

u147 R) 2

u130 S) 2

u120 T) 2

u140

RESOLUCIÓN:

Cateto mayor: 7k21k3

222

u147)7(3k3)k3)(k2(2

1)ABC(Area

Rpta: “Q”

5. Si 3

3)(tg y

3

32)125(csc , entonces el valor de

)62(tg , es:

P) 2/1 Q) 4/3 R) 2 S) 3/5 T) 5/4

RESOLUCIÓN:

0

303

3)(tg y

00060125

3

32)125csc(

Resolviendo ambas ecuaciones se tiene: 00

13y17 .

Luego: 5

4)53(tg)61334(tg)62(tg

00000

Rpta: “T”

6. Del gráfico, el valor de )(tg)(tg

)(tg)(tgJ , es:

P) 7/5 Q) 6/7 R)5/6 S) 12/11 T)5/3

A

B

C 2 1 1 6

A B

C

k2

k3

A C

B

H 6k2 6

k135,6



32

RESOLUCIÓN:

2yx1yx12mediana:BH

Pero: 6yx

Resolviendo: 4y;2x

10

h7

12

h7

5

h

2

h

4

h

3

h

)(tg)(tg

)(tg)(tgJ

6

5J

12

10J

Rpta: “R”

7. Si )90(cot)353(tg y 152 , entonces la suma de los ángulos

agudos “ ” y “ ”, es:

P) 33º Q) 35º R) 30º S) 23º T) 40º

RESOLUCIÓN:

00000

90)90()353()90cot()353(tg

00

152y353

Resolviendo: 000

3316y17

Rpta: “P”

8. Si “ ” es un ángulo agudo para el cual se cumple:

143

1

99

1

63

1

35

1

15

1

3

sen, entonces el valor de: )cot()csc(M , es:

P) 1 Q) 2 R) 3 S) 4 T) 5

Resolución: 1311

2

119

2

97

2

75

2

53

2)(sen

3

2

13

1

11

1

11

1

9

1

9

1

7

1

7

1

5

1

5

1

3

1)(sen

3

2

13

5)(sen

39

10

2

3

13

1

3

1

2

3)(sen

Luego: 5M5

12

5

13)cot()csc(M

Rpta: “T”

9. En un triángulo ABC de área S, el valor de )Ccsc()Bcsc()Acsc(

abcM , es:

P) S2S2 Q) SS R) S2S S) 2

SS T) S2

h

2 1 1 6

A

B

C x y H


33

Resolución: )Ccsc()Bcsc()Acsc(

abcM

)A(sen2

bc)B(sen

2

ac)C(sen

2

abS)ABC(Area

S2)C(absen

S2)B(acsen

S2)A(bcsen

Multiplicando: S2S4)Ccsc(

1

)Bcsc(

1

)Acsc(

1cba

2222

Luego: S2S2MS2S2)Ccsc()Bcsc()Acsc(

abcM

Rpta: “P”

10. Si en el gráfico AOB es un cuadrante, entonces el valor de )(sen130E , es:

P) 3/1

Q) 3

R) 3

S) 1302

T) 1

RESOLUCIÓN:

r10ACrr9AC222

r13ADr4r9AD222

)(sen)r13)(r10(2

1

2

r3r)CAD(Area

)(sen1303

3E

Rpta: “R”

O

A

B

C A

B

S

O

A

B C D

S

r r r

r3



34


1. En un triángulo ABC (recto en C), la hipotenusa mide 24 cm, el valor del área de

dicho triángulo si8

3)B(sen)A(sen , es:

P) 2

cm27 Q) 2

cm54 R) 2

cm108 S) 2

cm216 T) 2

cm124

2. En el triángulo rectángulo ABC se tiene que: c3

)A(sen)Ccot(

a2

)C(cot)A(tg22

, el

valor de )C(sen2)A(tg5K , es:

P) 2 Q) 3 R) 4 S) 5 T) 6

3. Se tiene un cuadrado ABCD donde se traza AE ("E" en CD ), tal que

053EABm , se traza después CN ("N" en AE ), tal que )NE(2AN y

BCNm . Entonces el valor de )(tg , es:

P) 2 Q) 3 R) 3,5 S) 2,5 T) 1,5

4. Sabiendo que: 000

50sec50cos40sen2)(tg ; "" agudo. Entonces el

valor de: cotcsc10C , es:

P) 3/7 Q) 2 R) 1 S) 3/5 T) 3

5. En un triángulo rectángulo ABC se sabe que: )Acsc(32

Ccot

2

Acot , enton-

ces el valor de CcsctgAL , es:

P) 1 Q) 2 R) 3 S) 3 T) 2

6. En un triángulo isósceles los ángulos congruentes miden "" cada uno y el lado

desigual mide "L" . Entonces el valor del área del triángulo, es:

P) )(tgL2

Q) )(tg2

L2

R) )(tg4

L2

S) )(tg2

L 22

T) )(tg4

L 22

7. En el triángulo rectángulo BAC, se cumple que: 7

3CcosBcos , entonces el valor

de tgCtgB , es:

Q) 4

5 Q)

3

8 R)

3

5 S)

3

7 T)

2

7


35

8. El valor de )yx( en las siguientesrelaciones: )20cot()yx2(tg

)xycos()y2x(sen0 , es:

P) 0

80 Q) 0

60 R) 0

20 S) 0

70 T) 0

50

9. En un triángulo rectángulo, es uno de sus ángulos agudos, si 3

1cos , enton-

ces el valor de cotcsc2M , es:

P) 2 Q) 1 R) 2 S) 2

1 T) 3

10. En un triángulo ABC, recto en A, se cumple que:

BcosCcsc27senBCsec . Entonces el valor de tgC , es:

P) 3/1 Q) 2/1 R) 3 S) 2 T) 1

11. Teniendo en cuenta la relación: 0)ky4cot()2ky(tg , el valor de:

)2cot()4cos(

)2(tg)2(senE , es:

P) 1 Q) 2 R) 4/1 S) 4 T) 2/3

12. Si )xcsc(n)xsec(m , entonces el valor de )x(tg)x(sen

)xsec(M , es:

P) n

m Q)

m

n R)

n

mn S)

m

nm T)

n

nm

13. Si y, son ángulos que se relacionan por: 0)85cos()(sen0

y

1)3(tg)2(tg , entonces el valor de: )(tg)112(tgM0

, es:

P) 7/1 Q) 12/7 R) 7/6 S) 7/2 T) 5/7

14. Si 0)(tg)90(tg7)90csc(2)cos(1500

; es un ángulo agudo,

entonces el valor de )(sen , es:

P) 5/3 Q) 5/2 R) 5/62 S) 5/32 T) 5/23

15. Si: En un triángulo ABC recto en B la hipotenusa mide 7 metros y la mediana rela-

tiva al cateto mayor mide 5 metros y que con dicho cateto forma un ángulo agudo

, el valor de )cos( , es:

P) 5/7 Q) 5/22 R) 3/5 S) 3/7 T) 7/7



36

16. Los lados de un triángulo rectángulo están en progresión aritmética. El coseno del

mayor ángulo agudo de ese triángulo, es:

P) 3/2 Q) 3/4 R) 5/3 S) 2 T) 4/5

17. En un triángulo rectángulo ABC se cumple que la diferencia de la medida de la

hipotenusa con uno de sus catetos es 8 m y con el otro cateto 9 m. Entonces el va-lor de la tangente del mayo ángulo de dicho triangulo, es:

P) 20/21 Q) 21/20 R) 21/5 S) 9/8 T) 8/9

18. Si se cumple que 4)(tg.b ; 37b10b2)csc(.)b6(2

, donde y son

ángulos complementarios, el valor de )csc()sec(E

P) 7/3 Q) 3/10 R) 8/3 S) 3 T) 3/1

19.Si y son ángulos agudos complementarios tales que:

0)4

(tg)csc(2)2

(sen3 . Entonces el valor

de )(tg)cot(2)cos(3 , es:

P) 5 Q) 52 R) 53 S) 54 T) 55

20. En un cuadrilátero ABCD, donde 2

CmAm , 0

120Bm , 312AB y

38BC , entonces el valor de CDADM , es:

P) 40 Q) 50 R) 60 S) 70 T) 80

21. Sea ABC un triángulo acutángulo donde AH es la altura, T es un punto de AH y

N de BH tal que AB//TN , 0

45)NTH(m . Si HCNHBN . El valor de la tan-

gente de )BAN(m , es:

P) 4/3 Q) 3/1 R) 5/3 S) 3/5 T) 3/2

22. En un triángulo rectángulo ABD se traza AC (C en BD ) tal que el área del trián-

gulo ACD es igual al área del triángulo ABC, si )CAB(m)ADB(m ,

entonces el valor de )(tg , es:

P) 2/1 Q) 2 R) 2/2 S) 3/1 T) 3

23. Un cuadrado MNPQ cuyos lados miden u22 , está inscrito en una circunfe-

rencia, la distancia del punto Q al punto medio del arco MN es:

P) 2/1 Q) 2 R) 2/2 S) 3/1 T) 3


37

24. Los valores de "x", 2;0x , para los cuales se cumle )xcos( )x(sen , es:

P) 4

x0 Q) 4

5x0 R)

4

3x0 S)

4

5x

4 T)

4

7x0

25. Marque lo incorrecto. El periodo de la función:

P) )x(seny es 2 Q) )x3(tgy7

es 3/ R) )x4(seny es

3/

S) )x3(cscy3

es 3/2 T) )x2sec(y es 4

26. Si la función f está definida por 1)x2(tg

2)x2(tg)x(f , 8/;0[D

f, entonces el

rango de f esta dado por:

P) 2;1 Q) 2;2/3[ R) 2;1[ S) ]2;1 T) ]2;2/3

27. Si )a1,x(P es un punto que pertenece a la grafica de la función seno, enton-

ces el valor de )xcsc()x(sen1)x(senA , es:

P) a1 Q) 2/a R) a/1 S) a T) 1a

28. Si )x(csc)x(sec)x(cot)x(tgf4422

, entonces el valor de )3(f)2(f , es:

P) 20 Q) 21 R) 22 S) 23 T) 24

29. El valor máximo que toma la función Rx),x(cos4)x(sen3)x(f22

, es:

P) 3 Q) 4 R) 5 S) 6 T) 7

30. El rango de )x(sen)xcot()x(f , es:

P) 1;1 Q) ]1;1[ R) ]1;1 S) 1;1R T) 1;1[



38

11.1. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Son aquellas igualdades que relacionan funciones trigonométricas de uno o más ángulos; las cuales se verifican para cualquier valor que se le asigne al ángulo. En la RESOLUCIÓN de problemas trigonométricos es frecuente el uso

de las llamadas identidades fundamentales.

Las identidades trigonométricas se clasifican de la siguiente manera.

cscA =Asen

1 secA =

Acos

1 tanA =

Acot

1

senA =Acsc

1 cosA =

Asec

1 cotA =

Atan

1

sen

2A = 1 – cos

2A tan

2A = sec

2A – 1 cot

2A = csc

2A – 1

cos

2A = 1 – sen

2A sec

2 A - tan

2A = 1 csc

2A – cotg

2A = 1

UNIDAD

11 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

1AcosAsen22

IDENTIDADES PITAGÓRICAS

III

AsecAtan122

AcscAcot122

tgA.cotA= 1 senA.cscA = 1

I

IDENTIDADES RECÍPROCAS

cosA.secA = 1

IDENTIDADES POR DIVISIÓN

II

Acos

AsenAtan

Asen

AcosAcot


39

I1. Acos.Asen21)AcosAsen(

2

I2. Acos.Asen21AcosAsen

2244

I3. Acos.Asen31AcosAsen

2266

I4. Acos.Asen2)1AcosAsen()1AcosAsen(

I5. )Acos1()Asen1(2)AcosAsen1(

2

I6. Atan.Asec21AtanAsec

2244

I7. Atan.Asec31AtanAsec

2266

I8. Acot.Acsc21AcotAcsc

2244

I9. Acot.Acsc31AcotAcsc

2266

I10. AcotAtanAcsc.Asec

I11.

22222)AcotAtan(Acsc.AsecAcscAsec

IV

IDENTIDADES AUXILIARES



40

P(x, y)

I C II C

III C IV C

X'

Y

X

y

x’

Y’

11.2. SISTEMA DE COORDENADAS RECTÁNGULARES

Este sistema consta de dos rectas dirigidas (rectas númericas) perpendiculares entre sí, llamadas ejes coordenados.

ELEMENTOS:

'XX : Eje de las X

Eje de las abscisas

'YY : Ejes de las Y

Eje de las ordenadas O: Origen de coordenadas

P(x, y): Punto P de coordenadas x, y X: abscisa Y: ordenada.

IC: Primer cuadrante, IIC: segundo cuadrante, IIIC: tercer cuadrante, IVC: cuarto cuadrante.

11.3. ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL

Es todo ángulo trigonométrico cuyo lado inicial está sobre el semieje positivo X, su vértice coincide con el orígen de coordenadas y su lado final se encuentra en cualquier parte del plano

y son ángulos en posición normal.

X’

Y’

Y

X


41

11.4. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN NOR-MAL

Sea P(x; y) un punto que pertenece al lado final de un ángulo en posición

normal, OP = P = Radio vector, se tiene:

OP = r = 22 yx , además: POPOP

r

ysen

y

xcot

r

xsen

x

rsec

x

ytan

y

rcsc

11.5. SIGNO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÈTRICAS

sen

cos

tan cot

sec

csc

0< < 90º

P I C + + + + + +

90º< <180º

P II C + – – – – +

180º< <270º

P III C – – + + – –

270º< <360º

P IV C – + – – + –

11.6. ÀNGULOS CUADRANTALES

Son aquellos ángulos en posiciòn normal cuyo lado final coincide con algunos semiejes del sistema de coordenadas.

sen cos tan cot sec csc

0º 0 1 0 ∞ 1 ∞

90º 1 0 ∞ 0 ∞ 1

180º 0 – 1 0 ∞ – 1 ∞

270º – 1 0 ∞ 0 ∞ – 1

360º 0 1 0 ∞ 1 ∞

P = (x, y)

O

X

Y

Razones

Grados

F.T. (α) Ángulos



42

11.7. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NEGATIVOS

sen(– ) = – sen cot(– ) = – cot

cos(– ) = cos sec(– ) = sec

tan(– ) = – tan csc(– ) = – csc

11.8. CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA

Es aquella circunferencia cuyo centro es el origen “O” del sistema de coordenadas cartesianas y la medida de su radio (radio vector) es uno.

P = ( x ; y) = (cosα ; senα)

x y

α y r

x O A

1

-1

180º

90º

270º -∞

+∞ Y

360º X

+∞ -1

-∞

1 P


43

PREGUNTAS RESUELTAS N° 11

1. Al reducir: a )xcot()xcsc()xcot(

)x(tg)x(senM , el valor que se obtiene, es:

P) 1 Q) )x(sen R) )xcos( S) 2 T) 0

RESOLUCIÓN:

)x(sen

1)xcos()x(sen

1

1)xcos(M

Rpta: “Q”

2. Si: )x(cos2

1)x(cos)x(sen1

244 y IICx , el valor de )x(tg)x(senJ , es:

P) 6/2 Q) 3/2 R) 6/3 S) 1 T) 0

RESOLUCIÓN:

)x(cos

2

1)]x(cos)x(sen[1

244

IICx4

1)x(sen)x(cos

2

1)x(cos)x(sen2

2222

3

1)x(tg

2

1)x(sen . Luego:

6

3

3

1

2

1)x(tg)x(senJ

Rpta: “R”

3. Si: 7)(cot)(tg22

, entonces el valor de )(tg , es:

P) 3

53 Q)

2

53 R) 53 S) 53 T) 5

RESOLUCIÓN:

3)cot()(tg9)cot()(tg7)(cot)(tg 222

2

53

2

493)(tg01)(tg3)(tg

2

Rpta: “Q”

4. Si 2

3;

4

3x , el intervalo a donde pertenece 1

3

xsen2A , es:

P) Q) 1;1[ R) ]1;1 S) 1;1 T) ]1;2

1



44

RESOLUCIÓN:

0000

903

x45270x135

2

3;

4

3x

]1;1[A113

xsen212

3

xsen2090

3

x0

0

Rpta: “P”

5. Si: IIIC;5/3)(sen ; IVC;5/3)cos( , entonces el valor de:

)(tg)(tg1

)(tg)(tgE , es:

P) 24/7 Q) 25/7 R) 23/7 S) 23/7 T) 24/7

RESOLUCIÓN:

5r;4x;3yIIIC;5/3)(sen

5r;4y;3xIVC;5/3)cos(

24

7

2

12

7

3

4

4

31

3

4

4

3

E

Rpta: “T”

6. En la figura mostrada, el valor de )cot( , es:

P) 12/7

Q) 7/12

R) 5/12

S) 12/5

T) 5/12

RESOLUCIÓN:

12

5

12

5)cot(

Rpta: “S”

7. El valor de la expresión:

)(sen)(tg)2/csc(

)2/3cos()2sec()cos()2/(senM , es:

P) -1 Q) 1 R) 2 S) 1/2 T) -2 RESOLUCIÓN:

1M001

0111M

Rpta: “Q”

5

12 13


45

8. Si: 1)(cosM)(sen)(cos244

, entonces el valor de M, es:


1)(cosM)(sen)(cos)(sen)(cos22222

1)(cosM)1()(sen)(cos222

2M1)(cosM1)(cos222

Rpta: “Q”

9. Si: )(Bsen)sec(A1)(tg22)(tg)cos( , entonces el valor de BA ,

es: P) 7 Q) 8 R) 9 S) 10 T) 12

RESOLUCIÓN:

)(Bsen)sec(A2)(tg5)(tg2)cos(2

)(Bsen)sec(A)(tg51)(tg2)cos(2

)(Bsen)sec(A)(tg5)(sec2)cos(2

7BA)(Bsen)sec(A)(sen5)sec(2 Rpta: “P”

10. Si: 3)xcot()x(tg , entonces el valor de )x(cot)x(tgM33

, es:


)x(cot1)x(tg)xcot()x(tgM22

9)xcot()x(tg33)x(cot)xcot()x(tg2)x(tg3M 222

18927933M2

Rpta: “S”



46


1. Si 2

1)xcos()x(sen , entonces el valor de:

)xcos(1)x(sen1)xcos(1)x(sen1E , es:

P) -1 Q) -1/3 R) 1 S) 1/3 T) ½ 2. Indicar la verdad o falsedad de las proposiciones en el orden indicado:

I. 2

sen2

sen3600

II. )2cos()2cos(1800

III. )cot()(tg2700

P) VVV Q) VFF R) FVV S) FVF T) FFF 3. Dos ángulos coterminales están en la relación de 8 a 3. Si el mayor esta en el

intervalo de 0

1870 y 0

2450 , entonces la medida del menor, es:

P) 0

864 Q) 0

373 R) 0

273 S) 0

237 T) 0

1152

4. Siendo "" y "" ángulos cuadrantales positivos y menores que 0

360 , además

1)(sen y 1)cos( , entonces el valor de 4

cos26

sen2E , es:

P) 1 Q) 4 R) 2 S) 7 T) 9

5. Si: osminter...222)(tg , tal que IIIC , el valor de:

)cos()(sen5 , es:

P) -3 Q) -2 R) -1 S) 1 T) 3

6. El valor numérico aproximado de 12

sen12

5tg

4

2E , es:

P) 1,06 Q) 1,56 R) 2,11 S) 2,14 T) 2,56

7. Al simplificar la expresión 1)(csc)(csc)(cot)(csc)(cotM22224

, se

obtiene:

P) 1 Q) )(tg2

R) )(cot2

S) )(cot6

T) )(tg6


47

8. La raíz cuadrada de: 2

7;5x;

)x(tg)x(cot

)x(csc)x(sec31M

42

22

, es:

P) )x(sen Q) )xcos( R) )x(sen S) )xcos( T) )xsec(

9. Si 22)cos()sec( , entonces el valor de 2

45sen , es:

P) 4/1 Q) 2/1 R) 4/3 S) 12 T) 123

10. Si )cot()(tgK , entonces el valor de )(csc)(sec66

, es:

P) 46

k2k Q) 64

kk2 R) 64

kk3 S) 46

k3k T) 6

k

11. Al eliminar el sistema dado: 21

)cos()(senb

)csc()cos(2)csc(a

, se obtiene:

P) 1ba Q) 1ba R) 1ba22

S) 1ba T) 1ba

12. El valor de "m" para que E sea independiente de "x", si:

)x(sen.m)xcos()x(sen1)xcos()x(sen1E 22, es:

P) -4 Q) -3 R) 2 S) 1 T) 5

13. Si )cos()x(tg)ysec(

)(sen)y(tg)xsec(, entonces el valor de )cos()x(tg)x(tg)y(tgM ,

es:

P) 2/1 Q) 2/1 R) 2/3 S) 2/3 T) 2

14. En la igualdad: )x(tg.A)xcot()xcos()x(tg)x(sen2

, el valor de A, es:

P) )x(sec2

Q) )xsec( R) )xcsc( S) )xcsc()xsec( T) )x(csc2

15. Siendo )x(tg)xsec(

)x(tg)x(tg)xsec(f , el valor de )3(f)5(f , es:

P) 12 Q) 16 R) 17 S) 18 T) 20

16. Siendo: 8)xcos()x(sen1

)xcos()x(sen1

)xcos()x(sen1

)xcos()x(sen122

, el valor de

ICx),xcot()xcsc(Q , es:



48

P) 1002,0 Q) 102,0 R) 103,0 S) 1003,0 T) 1015,0

17. Si: ab

ba)xcos(

b

1)x(sen

a

1, el valor de )x(tg.a)x(cot.bL

22es:

P) ba Q) ba R) ab S) )ba(ab T) ab

18. Si: 1)sec(2)(tg2

1)sec(2)(tg2, entonces el valor de

)cos(.)cos(

)cos()cos(M , es:

P) 2/23 Q) 2/1 R) 22 S) 3

23 T)

2

22

19. Si: 13

)(tg

4

)(sec44

, el valor de 27

)(tg

64

)(secM

38

, es:

P) 1 Q) 6/1 R) 12/1 S) -1 T) 0

20. En un triangulo rectángulo ABC, se tiene que: 7)Csec(2)A(sen3 , entonces el

valor de )Acot( , es:

P) 32 Q) 2 R) 1 S) 22 T) 23

21. Si el lado terminal del ángulo "" en posición normal pasa por el punto )5;4(P ,

entonces el valor de la expresión )cot(

)sec()csc(41E , es:

P) 16

630 Q)

19

630 R)

16

369 S)

16

396 T)

16

359

22. Una forma equivalente de )xcsc()xsec()xcos()xcsc()xsec()x(sen , es:

P) )x(tg)xsec( Q) )xcot()xcsc( R) )x(tg S) )xcsc()xsec( T) )xcot(

23. La forma más simple de: )xcot()xcot()xcsc(

1, es:

P) )x(sen Q) )xcos( R) )xsec( S) )xcsc( T) )xcot(

24. Al simplificar la expresión:

1)x(tg)x(sec3)x(tg

1)x(cot)x(csc3)x(cotM

226

226

, el valor que se ob-

tiene, es:

P) )x(tg4

Q) )x(cot)x(sen5

R) )x(cot)xsec(3

S) )x(sec5

T) )x(cot6


49

25. Sabiendo que se verifica: 3

33

)xcsc()xsec(

)x(csc)x(sec

2)xcot()x(tg

m)xcot()x(tg, el valor de “m”,

es: P) 2 Q) 3 R) -1 S) 5 T) 4

26. Si: )b(tg)a(tg)x(tg

)b(tg

)x(tg

)a(tg 222

, entonces el valor de )xcos( , es:

P) )b(tg)acot( Q) )bsec()acos(2 R) )b(tg S) )b(tg)a(sen T) )b(tg)acos(

27. Si: )xsec(41)xcsc(

)x(cot

1)xsec(

)x(tg22

, entonces el valor de )xcsc()x(sen , es:

P) 3/2 Q) 5/3 R) -5/3 S) 5/2 T) -2/7

28. Si: )xsec(41)xcsc(

)x(cot

1)xsec(

)x(tg22

, entonces el valor de )xcsc()x(sen , es:

P) 3/2 Q) 5/3 R) -5/3 S) 5/2 T) -2/7

29. Si: 02

3)x(sen)x(sen

2, entonces el valor de )x(tg

4

3)x(cosD

22, es:

P) 1/4 Q) 0 R) 3 S) 2 T) -5/4

30. Si: ba

1

b

)x(cos

a

)x(sen44

, entonces el valor de 3

8

3

8

b

)x(cos

a

)x(sen, es:

P) 2

)ba(

1 Q)

3)ba(

1 R)

4)ba(

1 S)

2)ba(

a T)

2)ba(

b



50

12.1. REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL PRIMER CUADRANTE.

Consiste en comparar el valor de las funciones trigonométricas de un ángulo de cualquier magnitud respecto al valor de la función trigonométrica de un ángulo del primer cuadrante.

a) CASO I. Reducción para ángulos positivos menores de una vuelta:

Si: 0º <IC

< 90º se tiene:

).(T.F)180.(T.F).(T.FCICIICII

).(T.F)180.(T.F).(T.FCICIIICIII

).(T.F)360.(T.F).(T.FCICIVCIV

b) CASO II. Reducción para ángulos positivos mayores de una vuelta:

)R(T.F)360.(T.F

Donde:

c) CASO III. Para ángulos de la forma n,)n( ℤ

)(T.F)180.(T.F

)(T.F)360.(T.F

GENERALIZANDO:

)(T.F)n.(T.F

d) CASO IV. Para ángulos de la forma 2

1n4 ó 2

3n4

)(T.F.CO)90(T.F

)(T.F.CO)270(T.F

UNIDAD

12 REDUCCIÓN DE ÁNGULOS. FUNCIONES TRIGO-

NOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPUESTOS

Rq

360


51

GENERALIZANDO:

PROPIEDADES:

P1) x+y+z = 180º.k , k ℤ

ztan.ytan.xtanztanytanxtan

1xcot.zcotzcot.ycotycot.xcot

P2) x+y+z = 90º.(2k+1) , k ℤ

zcot.ycot.xcotzcotycotxcot

1xtan.ztanztan.ytanytan.xtan

P3) x+y = 180º

ysenxsen ; ycosxcos ;

ytanxtan ; ycotxcot

P4) x+y = 360º

ysenxsen ; ycosxcos ; ytanxtan ; ycotxcot

12.2. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS COMPUESTOS

12.2.1. Funciones trigonométricas de la suma y diferencia de dos ángulos:

a) Bsen.AcosBcos.Asen)BA(sen

b) Bsen.AcosBcos.Asen)BA(sen

c) Bsen.AsenBcos.Acos)BA(cos

d) Bsen.AsenBcos.Acos)BA(cos

).(T.F.CO2

1n4.T.F

).(T.F.CO2

3n4.T.F



52

e) Btan.Atan1

BtanAtan)BA(tan f) Btan.Atan1

BtanAtan)BA(tan

g) BcotAcot

1Bcot.Acot)BA(cot

h) AcotBcot

1Bcot.Acot)BA(cot

Identidades auxiliares:

I1 BsenAsen)BA(sen.)BA(sen

22

I2 BsenAcos)BA(cos.)BA(cos

22

BcosAcos)BA(cos.)BA(cos1

22

BsenAsen)BA(cos.)BA(cos1

22

12.2.2. Funciones trigonométricas del ángulo doble:

a) Acos.Asen2A2sen

b) AsenAcosA2cos22

)b1

Asen21A2cos2

)b2

1Acos2A2cos2

c) Atg1

tgA2A2tg

2

d) Acot2

1AcotA2cot

2

Fórmulas de degradación:

e) A4cos4

1

4

3AcosAsen

44

f) A4cos8

3

8

5AcosAsen

66


53

Fórmulas auxiliares:

g) A2cot2AtanAcot

h) Acsc.AsecA2csc2AtanAcot

12.2.3. Funciones trigonométricas en el triángulo rectángulo de ángulo

doble:

1. 2tg1

tg22sen

2. 2

2

tg1

tg12cos

12.2.4. Funciones trigonométricas del ángulo triple:

a. Asen4Asen3A3sen3

b. )Asen43(AsenA3sen2

c. )1A2cos2(AsenA3sen d. Acos3Acos4A3cos

3

e. )3Acos4(AcosA3cos2

f. )1A2cos2(AcosA3cos

g. Atg31

AtgAtg3A3tg

2

3

h. Acot31

AcotAcot3A3cot

2

3

Fórmula de degradación:

i. 4

A3senAsen3Asen

3

j. 4

A3cosAcos3Acos

3

2

2tg

1 – tg2

1 + tg2



54

Fórmula auxiliar:

k. )A60(sen.)A60(sen.Asen4A3sen

)A60(cos.)A60(cos.Acos4A3cos

l. )A60(tan.)A60(tan.AtanA3tan

12.2.5. Funciones trigonométricas del ángulo mitad:

a. 2

Acos1

2

Asen

b. 2

Acos1

2

Acos

c. Acos1

Acos1

2

Atan

d. Acos1

Acos1

2

Acot

Fórmulas auxiliares:

e. Asen

Acos1

2

Atan

f. Acos1

Asen

2

Atan

g. AcotAcsc2

Atan h. Asen

Acos1

2

Acot

i. Acos1

Asen

2

Acot j. AcotAcsc

2

Acot


55


1. Al reducir la expresión: )x5sec(

)x4sec(

)xcot(

x2

3tg

x2

cos

)x(senL , se obtiene:

P) 1 Q) -1 R) 2 S) -2 T) 3 RESOLUCIÓN:

1L111)xsec(

)xsec(

)xcot(

)xcot(

)x(sen

)x(senL

Rpta: “P”

2. El valor de: )10(sen3)20(sen2M00

, es:

P) )10(sen0

Q) )10cos(0

R) )10sec(0

S) )20(sen0

T) )20cos(0

RESOLUCIÓN:

)10(sen3)1030(sen2M000

→

)10(sen3)10(sen2

3)10cos(

2

12M

000

)10cos(M)10(sen3)10(sen3)10cos(M0000

Rpta: “Q”

3. Al reducir )x3(sen)x(cos)x3cos()x(senK33

, el valor que se obtiene, es:

P) )x2(sen4

3 Q) )x3(sen

4

3 R) )x2(sen S) )x3cos( T) )x4(sen

4

3

RESOLUCIÓN:

)x(sen4)x(sen3)x(cos)xcos(3)x(cos4)x(senK3333

)x(cos)x(sen4)x(cos)x(sen3)xcos()x(sen3)x(cos)x(sen4K333333

)x4(sen4

3K)x2cos()x2(sen

2

3)x(sen)x(cos)xcos()x(sen3K

22

Rpta: “T”

4. Al simplificar:

)x360(tg)x270(sen)x540cos(

)x180(tg)90xcos()x180(senE

000

000

, se obtiene:

P) )x(tg2

Q) )x(sen2

R) )x(cos2

S) )x(sen2

T) )x(tg2

RESOLUCIÓN:



56

)x(tgE

)x(cos

)x(sen

)x(tg)xcos()xcos(

)x(tg)x(sen)x(senE

2

2

2

Rpta: “P”

5. Si: 0)26(bsen)26cos(a00

, entonces el valor de

)10(tgba

b)10(tgaR

0

0

aproxima-

damente, es:

P) 5/14 Q) 25/24 R) 7/24 S) 24/7 T) 7/1

RESOLUCIÓN:

)64(tg)26cot(a

b)26(bsen)26cos(a

0000

ii) 7

24)74(tg)6410(tg

)10(tg)64(tg1

)64(tg)10(tg

)10(tga

b1

a

b)10(tg

R000

00

00

0

0

Rpta: “R”

6. En un triángulo ABC, si )C(sen)CBcos(2)BA(sen , entonces el valor de

)C4(sen)B4(sen)A4(sen1

)A2cos()C2cos()B2cos(1W , es:

P) 1 Q) 2 R) 4 S) 1 T) 2/1 RESOLUCIÓN:

i) C180BA180CBA00

)C(sen)CBcos(2)C180(sen)C(sen)CBcos(2)BA(sen0

2

A2

CB0)CBcos(2)C(sen)CBcos(2)C(sen

ii))C4(sen)C4(sen)2(sen1

)1()C2cos()C2cos(1

)C4(sen)C42(sen)A4(sen1

)cos()C2cos()C2cos(1W

2W1

11W .

Rpta: “Q”

7. Si: 1)cos(

)3cos(7

)(sen

)3(sen3, entonces el valor de )6cos( , es:

P) 5/11 Q) 16/11 R) 15/11 S) 16/11 T) 11/16

RESOLUCIÓN:

11)2cos(2)cos(

)cos(71)2cos(2

)(sen

)(sen3


57

4

1)2cos(5)2cos(20 .

Luego: )2cos(3)2(cos4)2(3cos)6cos(3

16

11)6cos(

16

121

4

3

16

1

4

13

4

14)6cos(

3

Rpta: “S”

8. Al simplificar la expresión: )cot(2

)(cot1

)45(tg1

)45(tg1H

2

02

0

, se obtiene:

P) 0 Q) 1 R) 2 S) 3 T) 4

RESOLUCIÓN:

Sea: 0

45x )cot(2

)(cot1

)x(tg1

)x(tg1H

2

2

2

)2csc()45(2sec)2csc()x2sec(H0

0H)2csc()2csc()2csc()290sec(H0

Rpta: “P”

9. Si: 7/4)x2cos( , entonces el valor de )x60(sen)x60(senN0202

, es:

P) 5/3 Q) 7/9 R) 3/7 S) 5/4 T) 8/7

RESOLUCIÓN:

)x60(sen2)x60(sen2N20202

)x60(2cos1)x60(2cos1N200

7

9N

7

10

7

42)x2cos()

2

1(22)x2cos()120cos(22N2

0

Rpta: “Q”

10. Si: m

)mx(senx

4senx

4sen)x2(sen , entonces el valor de “m”, es:

P) 2 Q) 4 R) 8 S) 16 T) 3

Resolución:

)x(sen2

1)x2(sen)x(sen

4sen)x2(sen

m

)mx(sen 222



58

)x2cos()x2(sen2

1)x(sen21)x2(sen

2

1

m

)mx(sen 2

4m)x4(sen4

1

m

)mx(sen

Rpta: “Q”


59

PREGUNTAS PROPUESTAS N° 12

1. Si: 3,0)25(sen0

; entonces el valor de )115cos()205(senK00

, es:

P) 0,3 Q) 0,9 R) -0,3 S) 0,09 T) -0,09

2. Si se cumple: 1

)300(tg

)x270cos()x180(sen

0

00

, entonces el valor de “x”, es:

P) 0

15 Q) 0

30 R) 0

37 S) 0

60 T) 0

75

3. Al simplificar la siguiente expresión:

)x40cot(

)x50(tg)x230(tgM

0

00

, el valor que se

obtiene, es:

P) 1 Q) 2 R) -1 S) )x(tg T) )xcot(

4. Si:

)91cos()97cos()103cos()109cos(

)161(sen)167(sen)173(sen)179(senM

0000

0000


1M , es: P) 2 Q) 0 R) 1 S) 3 T) -1

5. El valor de: )397csc(3)4440sec()2925(tgE000

, es:

P) -2 Q) - 1 R) 1 S) 5 T) 8

6. El valor de:

)290(sen)520cos(

)340(sen)200(senM

00

00

, es:

P) )20(tg0

Q) )170cot(0

R) )100cot(0

S) )300cot(0

T) )160(tg0

7. Si: 0

270BA y 3x)A(sen ,x

2)Bcos( , entonces el valor de “x”, es:

P) -1 Q) 2 R) -1 S) -2 T) 3

8. Si:000

27018090 . Además: )20(sen)cos(0

; )20cot()(tg0

,

entonces el valor de: , es:

P) 0

120 Q) 0

130 R) 0

140 S) 0

150 T) 0

160



60

9. Si: 2

143cot

)990(tg2

39cos

2

99sec

)501(tg2

103csc

2

49sen 0

y 22

3, enton-

ces el valor de , es:

P) 4

7 Q)

3

5 R)

7

13 S)

8

9 T)

6

11

10. Siendo y las medidas de los ángulos que cumplen:

)cos(3

1)cos()(sen)(sen , entonces el valor de )cos( , es:

P) 3

2 Q)

4

3 R)

3

22 S)

3

3 T)

3

2

11. El valor de:

200

200

)20(sen)80(sen)20cos()80cos(M

P) 2 Q) 3 R) 2

5 S)

2

7 T) 4

12. El valor de:

)50(tg

)20(tg)70(tgE

0

00

P) 0,5 Q) 1 R) 2 S) 2,5 T) 3

13. De la figura, el valor de )(tg

P) 2 Q) 3

R) 2

5

S) 2

7

T) 4

14. Si: )x2cos(45

32)x30(tg)x30(tg

00, entonces el valor de )x2cos( , es:

P) 3/1 Q) 3/2 R) 1 S) 3/4 T) 3/5

5 2

3


61

15. Al simplificar la expresión:

)x3cos()x(cos

)x(sen)x3(senF

3

3

, el valor que se obtiene, es:

P) )x(tg Q) )xcot( R) )x(sen S) )xcos( T) )xsec(

16. El valor de )82(cos)8(cosM0404

, es:

P) 0,92 Q) 0,93 R) 0,94 S) 0,96 T) 0,68

17. Si: 01)x(tg)x(tg2

, entonces el valor de )x4cos()x4(senE , es:

P) 2/1 Q) 3/1 R) 4/1 S) 5/1 T) 6/1

18. Si: 25,1)xcsc( ; entonces el valor de )2/xcot()2/x(tg

)2/x(cot)2/x(tgE

33

P) 3,50 Q) 3,25 R) 5,25 S) 1,75 T) 4,50

19. En la figura: DC2BD3AB2 , el valor de )(tg , es:

P) 19

5

Q) 19

6

R) 19

7

S) 19

8

T) 19

9

20. Si A es el máximo valor de )30xcos()60x(sen)x(g00

y B es su mínimo

valor, entonces el valor de A + B, es:

P) 0 Q) 2

1 R)

3

1 S)

2

1 T)

4

5

21. Si conocemos 2x17

tg , entonces el valor de x68

21cotM

P) 3 Q) 3

1 R)

3

1 S) 3 T)

2

1



62

22. Sabiendo que a)x2cos( , entonces el valor de )x(tg)x3(tg3

)x(tg3)x3(tgE , es:

P) a-1

a1 Q)

1-a

a R)

a1

a1 S)

a1

a T) 1-a2

23. Si 7

3)x26(tg

0, entonces el valor de )x19(tg

0, es:

P) 0,3 Q) 0,4 R) 0,6 S) 0,7 T) 2

1

24. En un triángulo rectángulo ABC recto en C, entonces el valor de:

2

Ctg1

2

Btg1

2

Atg1M , es:

P) 3 Q) 4 R) 2 S) 1 T) 2

1

25. Si: 1n

1n

)x(tg

)x3(tg, entonces

)x3(sen

)x(sen en términos de “n”, es:

P) 1n Q) 1

)1n( R) n/2 S) 1n T) 1

)1n(

26. Del grafico la medida del ángulo , es:

0

0

0

0

0

48)T

51)S

36)R

17)Q

39)P

H A

B

C

D

E

a

a4

017

043

013


63

27. El triangulo ABC es rectángulo isósceles. Si NBMNAM ; entonces )(tg , es:

28. Si: )x5,52(tg)x5,52(tg)5,7(tg0002

, entonces el valor de )"x(tg"2

, es:

a) 3

3 b) 1 c) 3 d)

6

3 e) -1

29. Dada la ecuación: 01x6x3x223

, si una de las raíces es )(tg , entonces

el valor de )6(tg , es:

P) 4

7 Q)

3

5 R)

7

3 S)

3

4 T)

4

3

30. Al reducir la expresión: )x10cos()x8cos()x6cos()x4cos()x2cos(1

)x10(sen)x8(sen)x6(sen)x4(sen)x2(senE ,

se obtiene:

P) )x3(tg Q) )x5(tg R) )x3(sen S) )x5(sen T) )x5cot(

B

D A

M

N

E

D

11

6)T

11

5)S

11

4)R

11

3)Q

11

2)P



64

13.1. TRANSFORMACIONES DE SUMA O DIFERENCIA A PRODUCTO

2

BAcos.

2

BAsen2BsenAsen

2

BAcos.

2

BAsen2BsenAsen

2

BAcos.

2

BAcos2BcosAcos

2

BAsen.

2

BAsen2BcosAcos

13.2. TRANSFORMACIONES DE PRODUCTO A SUMA Ó DIFERENCIA

)BA(sen)BA(senBcos.Asen2

)BA(sen)BA(senAcos.Bsen2

)BA(cos)BA(cosBsen.Asen2

)BA(cos)BA(cosBcos.Acos2

13.3. SERIES TRIGONOMÉTRICAS

2

UPsen.

2

rsen

2

rnsen

r)1n(xsen...)r2x(sen)rx(senxsen

2

UPcos.

2

rsen

2

rnsen

r)1n(xcos...)r2x(cos)rx(cosxcos

n: Número de términos r: razón U: Último ángulo P: Primer ángulo

UNIDAD

13 Transformaciones Trigonométricas


65

Propiedades: P.1 Si: A + B + C = 180º, se cumple:

a) 2

Ccos.

2

Bcos.

2

Acos4CsenBsenAsen

b) 12

Csen.

2

Bsen.

2

Asen4CcosBcosAcos

P.2 Si: A + B + C = 360º, se cumple:

a) 2

Csen.

2

Bsen.

2

Asen4CsenBsenAsen

b) 12

Ccos.

2

Bcos.

2

Acos4CcosBcosAcos

P.3 0)120x(senxsen)120x(sen

0)120x(cosxcos)120x(cos

P.4 2/3)120x(senxsen)120x(sen222

2/3)120x(cosxcos)120x(cos222

P.5 8/9)120x(senxsen)120x(sen444

8/9)120x(cosxcos)120x(cos444

P.6 2

1

1n2

n2cos...

1n2

6cos

1n2

4cos

1n2

2cos



66

P.7 2

1

1n2

)1n2(cos...

1n2

5cos

1n2

3cos

1n2cos

P.8 n2

1n2

1n2

nsen...

1n2

3sen

1n2

2sen

1n2sen

P.9 n2

1

1n2

ncos...

1n2

3cos

1n2

2cos

1n2cos

P.10 1n21n2

ntan.....

1n2

3tan.

1n2

2tan.

1n2tan

13.4. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

Se sabe que todo triángulo tiene seis elementos básicos, tres lados y tres ángulos. Además otros elementos auxiliares como alturas, medianas, bi-sectrices, etc.

Resolver un triángulo consiste en hallar los elementos básicos de este, para lo cual debemos conocer por lo menos tres de sus elementos (nece-sariamente uno de ellos no angular).

13.4.1.Ángulos verticales.

Se denominan ángulos verticales a aquellos contenidos en un plano vertical, el cual a su vez deberá contener al observador, a la recta horizontal y al objeto observado. Existen dos tipos de ángu-los verticales.

Ángulo de elevación.

Ángulo de depresión:

OBSERVADOR

RECTA HORIZONTAL

LÍNEA VISUAL

ÁNGULO DE ELEVACIÓN

OBJETO

OBSERVADOR

RECTA HORIZONTAL

LÍNEA VISUAL

ÁNGULO DE DEPRESIÓN

OBJETO


67

13.4.2.Ángulos horizontales.

En la superficie de la tierra es frecuente definir las direcciones que marcan la aguja magnética en el compás náutico o brújula. Dichas direcciones llamadas rumbo del compás, se obtienen dividiendo en ocho partes cada uno de los cuadrantes comprendidos entre los cuatro puntos cardinales: Norte (N), sur (S), Este (E) y Oeste (O). estos cuatro rumbos y los correspondientes a las bisectrices de los cuadrantes: Nor – Este, Sur – Este, Sur – Oeste y Nor – Oeste, constituyen los rumbos principales, se consideran otros cuatro a los que llamaremos cuartos del compás. En total la Rosa Náutica tiene 32 cuartos. El menor ángulo formado por dos direcciones contigúas mide 11º15’

PROPIEDADES: P.11 La dirección NE es equivalente a escribir N 45º E y viceversa, la direc-

ción S 1/4 SO es equivalente a S 11º15’ O, la dirección NO 1/4 O es equivalente a N 56º15’ O y viceversa.

P.12 Cuando se dan problemas con ambos ángulos (verticales y horizonta-

les), se resolveráasumiendo un diagrama tridimensional para conjugar ambos aspectos.

13.5. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTANGULOS Y OBLICUANGULOS

Resolver un triángulo es conocer las medidas de sus lados, angulos, líneas notables, perímetro, area, etc.

13.5.1. Resolución de triángulos rectángulos.

Como en un triángulo rectángulo hay un dato que es el ángulo recto, entonces basta con conocer dos de sus elementos (al menos un la-do) para hallar los restantes.

13.5.2. Fórmulas para el cálculo de las líneas notables utilizando trigo-nometría

NE

E

SE

S

NO

O

SO

NNE

OSO

SSO

ESE

ENE

NNO

ONO

SSE

N



68

1. ALTURA (Es una ceviana)

bh altura relativa al lado AC

Asen.chb

bmnncmab.h222

b

2. MEDIANA (Es una ceviana)

bm mediana relativa al lado AC

Bcos.ac2cam4222

b

2

bcam2

2222

b

3. BISECTRIZ INTERIOR (Es una ceviana)

bx Bisectriz relativa al lado

AC

2

Bcos.

ca

ac2x

b

n.mc.axd2

b

2

4. BISECTRIZ EXTERIOR

bx Bisectriz relativa a la prolonga-

ción de AC

2

Bsen.

ac

ca2x

b

c.an.mxd2

b

2

A

B

C M

c a

b

d = mb

A

B

C P

c a

b

d = xb

m n

A

B

C P

c a

b

xb=d

n

m

B

C H

c a

m n

b

d = hb

A


69

5. CEVIANA

bx Ceviana relativa al lado de AC

bmnmancb.d222

13.5.2. Resolución de triángulos oblicuángulos. Para la resolución: de triángulos oblicuángulos es importante el es-

tudio de las siguientes leyes:

A. Ley de los senos.-

Csen

c

Bsen

b

Asen

a

B. Ley de los cosenos.

Acos.cb2cba222

Bcos.ca2cab222

Ccos.ba2bac222

A

c

b

a

C

B

A

B

C D

c a

b

d = xb

m n

A

c

b

a

C

B



70


1. Si las medidas de los lados de un triángulo son )1n2( , )1n2( y )3n2( , el

ángulo mayor mide 0

120 , entonces el valor de “n”, es:


A mayor Angulo mayor lado; Usando la ley de cosenos:

)120cos()1n2)(1n2(2)1n2()1n2()3n2(0222

)2

1)(1n4(22n89n12n4

222

2n02n3n208n12n8

22

Rpta: “P”

2. El valor de )31sec()14cos()14(senP000

, es:

P) 2/3 Q) 3 R) 2/1 S) 2/2 T) 2

RESOLUCIÓN:

)31sec()76(sen)14(senP000

2P2

22)31sec()31cos()45(sen2P

000

Rpta: “T”

3. En un triángulo ABC se cumple: ;aBC ;bAC ;cAB entonces el valor de:

)B(sen

)A(sen

b

aM , es:


Por Ley de Senos: )B(sen

)A(sen

b

a

)B(sen

b

)A(sen

a

Luego: 0Mb

a

b

aM

Rpta: “P”


71

4. De la figura mostrada, el valor de sen( ) , es:

P) 2

3

Q) 3

3

R) 2/1

S) 2/1

T) 2/3

RESOLUCIÓN:

0

180ADB

:BCD )cos(3034)cos()3)(5(235a222

:ABD )cos(8089)180cos()5)(8(258a0222

Luego: 2

1)cos()cos(11055)cos(8089)cos(3034

120 . De aquí: 2

3)120(sen)(sen

0

Rpta: “P”

5. Al simplificar: )x(sen

)x3(sen

)xcos(

)x3cos(Q , se obtiene:

P) 1 Q) -2 R) )x(sen S) )x3cos( T) )x3(tg

RESOLUCIÓN:

)xcos()x(sen

)x2(sen

)xcos()x(sen

)xcos()x3(sen)x(sen)x3cos(Q

2Q)xcos()x(sen

)xcos()x(sen2Q

Rpta: “Q”

6. Si: 9

4sen

9

2sen

9senM

222, entonces el valor de 2M + 1, es:

P) Q) 4 R) 5 S) 6 T) 8

RESOLUCIÓN:

9

4sen2

9

2sen2

9sen2M2

222

)9

8cos(1)

9

4cos(1)

9

2cos(1M2

8 3

5

a a

A

B

C D



72

S

O 36

24

037

N

20

220

x

045

4

)9

8cos()

9

4cos()

9

2cos(3M2

)9

2cos()

3

2cos(2)

9

2cos(3M2

)9

2cos()

9

2cos(3)

9

2cos()

2

1(2)

9

2cos(3M2

41M23M2 Rpta: “Q”

7. Un móvil recorre 5 km en la dirección O37N0

, luego recorre 220 km en la di-

rección NE y finalmente recorre 19 km al este; entonces la distancia que se en-cuentra la móvil con respecto a su posición inicial, es:

P) km10 Q) km20 R) km15 S) km25 T) km1174

RESOLUCIÓN:

222

3624x

1171618722

x

1174x

8. En un triángulo ABC se cumple: ;52AC 53AB y 0

60Cm , entonces la

medida del lado BC , es:

P) 35 Q) 7 R) 19 S) 17 T) 21

Resolución: Usando la Ley de cosenos:

)60cos()52)(53(2)52()53(x0222

35x35)2

1(602045x

2

Rpta: “ P”

E


73

9. En la siguiente identidad: 1)x4cos(M)x3(sen)x2(sen)x(sen

)x7(sen)x6(sen)x5(sen, el valor de

M , es:

P) 1 Q) 5 R) 2 S) 3 T) 6

Resolución:

1)xcos(2)x2(sen

1)xcos(2)x2(3sen

)x2(sen)xcos()x2(sen2

)x6(sen)xcos()x6(sen21)x4cos(M

2M1)x4cos(2)x2(sen

1)x4cos(2)x2(sen

)x2(sen

)x2(3sen1)x4cos(M

Rpta: “R”

10. Al simplificar x3

2senx

3

2sen)x(senY

222, se obtiene:

P) - 1 Q) 1 R) 3/2 S) 2/1 T) 2/3

RESOLUCIÓN:

22002

)x(sen2

1)xcos(

2

3)120cos()x(sen)xcos()120(senx

3

2sen

... (1)

22002

)x(sen2

1)xcos(

2

3)120cos()x(sen)xcos()120(senx

3

2sen

. . . (2)

Luego: 2

3Y)x(cos)x(sen

2

3)x(sen

2

1)x(cos

2

3)x(senY

22222

Rpta: “T”



74


1. Al reducir: J =Sen7x Sen5x

Sen6x Sen4x

+

+, el valor que se obtiene, es:

P) Sen5xSen4x

Q)Sen6xSen5x

R)Sen7xSen5x

S)Sen7xSenx

T) Sen12xSe10x

2. Al simplificar: J = Sen80 Sen20

Cos20 Cos80

° + °

° - °, el valor que se obtiene, es:

P) 3 Q) 3 /3 R) Tg50 S) Ctg50 T) - 3

3. Al reducir: L = Senθ Sen5θ Sen9θ

Cosθ Cos5θ Cos9θ

+ +

+ +, se obtiene:

P) Tg Q) Tg5 R) Tg9 S) Ctg9 T) Ctg5

4. Si: 6

1)x(sen , entonces el valor de

)x(sen)x5(sen

)x4cos()x(sen)x(cosA

44

, es:

P) 5

6

Q)

4

6 R)

2

6 S) 6 T) 62

5. Al simplificar la expresión

)2/x(sen)x2(sen4)x3(sen

)x(sen)xcos()x(sen4F

2, el valor que se obtie-

ne, es:

P) 1 Q) 2/1 R) 2/1 S) 1 T) 2

6. Si: )x3(tg5)x4cot( , entonces el valor de )xsec()x7cos( , es:

P) 1 Q) 2/1 R) 2/3 S) 3/1 T) 3/2

7. Si:

)34(sen1

)17(sen

)34(sen1

)17cos(M

0

0

0

0

, entonces el valor que se obtiene al simpli-

ficarlo, es:

P) )17sec(0

Q) )34sec(0

R) )17(tg0

S) )34(tg0

T) )17cot(0

8. Si: p)y(sen)x(sen y q)ycos()xcos( , ( 0qp22

), entonces el valor de

)yxcos( , es:


75

P) 22

qp

pq2 Q)

22qp

pq2 R)

22

22

qp

q3p S)

22

22

qp

pq T)

pq2

qp22

9. Un cuadrilátero, inscrito en una circunferencia, tiene dos lados consecutivos igua-

les la diagonal que une los extremos de los lados iguales mide 223 ; el ángu-

lo opuesto, en el cuadrilátero, al ángulo comprendido entre dichos lados iguales,

mide 0

135 . Entonces la medida de uno de los lados iguales, es

P) 3 Q) 4 R) 5 S) 6 T) 7

10. Sea el triangulo ABC de lados AB = AC y 2BC . Si la bisectriz del ángulo B

corta al lado opuesto en D y BD = 1, entonces los ángulos A y B son:

P) 00

45y120 Q) 00

45y105 R) 00

30y120 S) 00

60y120 T)00

10y125

11. Si: )xcos()x3(cos83)x2cos(3)x2(cos6)x8cos()x10cos(W32

,

entonces el valor de 2W, es: P) 2 Q) 1 R) 0 S) 4 T) -1

12. Si:

)42(sen)24cos(

)84cos()30(sen)12cos(W

00

000

, entonces el valor de W + 1, es:

P) 2 Q) 3/2 R) 1/2 S) 1 T) 3 13. En la figura mostrada, ABCD es un cuadrilátero,

,x3EABm,xDAEm ,CADC,CABE

kADAB , entonces el área de la región BCDE, en términos de k, y “x”, es: 14. A partir de la figura que se muestra, la medida del ángulo , es:

A

B

C E

D )x2(senk)T

)x2(senk2)S)x2(senk)R

)x2(ksen2)Q)x2(ksen)P

32

322

33

0

00

00

8)T

12)S18)R

15)Q10)P

2 3



76

15. Si: 0

0CBA , entonces el valor de "m" para que se cumpla que:

2

Csen

2

Bsen

2

Amsen)C(sn)B(sen)A(sen , es:

P) 4 Q) 2 R) 1 S) -2 T) -4

16. El valor de

)28cos()66(sen

)4cos(

)38cos()62(sen

)10cos(

)24cos()52(sen

)14cos(K

00

0

00

0

00

0

, es:

P) -3 Q) -3/2 R) 3/2 S) 3 T) 4

17. Se sabe que:

)x(cos1

)x(sen1

)x(tg

)(tg

2

2


)x3(sen)xcsc(W , es:

P) )xcos( Q) )xcos(2 R) )x3cos( S) )x3cos(2 T) )x2cos(2

18. Un avión pasa sobre una ciudad a 4 km de altura, 3 minutos después el ángulo de

elevación del avión es de 0

53 . La velocidad del avión en km/h, es:

P) 1 km/h Q) 3 km/h R) 6 km/h S) 60 km/h T) 12 km/h

19. Un árbol quebrado por el viento forma un triangulo rectángulo con el suelo. La altura del árbol, si la parte que ha caído hacia el suelo forma con este un ángulo

de 0

37 y la parte del tronco que ha quedado en pie tiene una altura de 30 me-

tros, es:

P) 10 m Q) 60 m R) 80 m S) 50 m T) 90 m

20. Un niño está volando su cometa soltándole cuerda, la misma que se mantiene

tensa y haciendo un ángulo con la horizontal. A 120m detrás del niño hay un hombre, cuando la cometa se encuentra a 20m de la altura, el hombre la observa

con un ángulo respecto a la horizontal. ¿A cuántos metros de altura se encon-

trará la cometa para que sea observada por el hombre con un ángulo de 2 ? Con-

sidere 3

1)(tg .

P) 637/123 Q) 1285/17 R) 1080/13 S) 1561/19 T) 637/13 21. Desde lo alto de un árbol se ve lo alto de un edificio con un ángulo de elevación de

37°, y se ve también la parte baja con un ángulo de depresión de 53°. Si la distan-cia del árbol al edificio es de 12 m, la suma de las alturas del árbol y el edificio es:

P) 37 m Q) 38 m R) 39 m S) 40 m T) 41 m


77

22. Desde un punto en tierra ubicado a una distancia de 20 m de una torre, se divisa

su parte más alta con un ángulo de elevación " " (Tg = 1,5), entonces la altura de la torre, es:

P) 15 m Q) 30 m R) 60 m S) 40 m T) 45 m 23. Un avión que vuela en línea recta y horizontalmente, antes de pasar sobre los

puntos en tierra "A" y "B", las observa con ángulos de depresión " " y " " respecti-vamente. Cuando está sobre "A" es visto desde "B" con un ángulo de elevación

" ". Si: Ctg = 1/3 ; Ctg = 1/2, el valor de Ctg , es: P) 1 Q) 2/5 R) 1/5 S) 1/4 T) 2 24. Un niño está ubicado en el punto medio entre un poste y un árbol. Si el niño divisa

lo alto del poste, cuya altura es el triple de su estatura, con un ángulo de elevación que es el complemento del ángulo de elevación con que mira al árbol, siendo la altura del árbol cinco veces su estatura. El producto de cotangen-tes de los ángulos de depresión con que se ve los pies del niño desde lo alto del poste y lo alto del árbol es:

P) 1/5 Q) 2/15 R) 2/5 S) 4/5 T) 8/15

25. En un triangulo ABC:a b c3 5 7

= = ; entonces la medida del ángulo C, es:

P) 60° Q) 120° R) 135° S) 30° T) 45°} 26. En un triangulo ABC de perímetro 20cm, el valor de: K = (a+b)CosC+(b+c)CosA+(c+a)CosB, es: P) 10cm Q) 20 cm R) 30 cm S) 40 cm T) 50 cm

27. En un triangulo ABC: A = 30° ; C = 45º y c = 2 2 , entonces el valor de “a”, es:

P) 2 Q) 2 R) 4 S) 1 T) 4 2 }

28. En un triangulo ABC: a = 3 y b = 4, el valor de Q = 2SenB SenA

2SenB SenA

+

-, es:

P) 1,2 Q) 2,1 R) 2,2 S) 2,3 T) 2,4

29. En un triangulo ABC: 2 2 2a b c ac= + - , entonces la medida del ángulo “B”,

es: P) 30° Q) 60° R) 45° S) 37° T) 53°

30. En un triangulo ABC, al reducir: Q = aSenB bSenA

aSenC cSenA

+

+, el valor que se obtiene,

es:

P) senBsenC

Q) senAsenC

R) senCsenA

S) senCsenB

T) senAsenB



78

14.1. ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS.

Son igualdades condicionales de modo que la variable angular representada por “x” u otra letra o arcos de la forma “ax+b” se encuentran afectados de algún operador trigonométrico, es decir de las algunas de las 6 funciones tri-gonométricas directas o inversa.

14.2. ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS ELEMENTALES

Son ecuaciones de la forma FT (ax+b) = N, donde N Ran (FT), a y b son constantes reales con a≠0 y ax+b = arc F.T(N).

14.3. SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA

1. Solución Principal (Sp)

Es el menor valor angular no negativo del ángulo dado que verifica la ecuación trigonométrica dada.

Ejemplo: Cos x = 1/2 Sp = 60º

2. Solución Básica (Sb)

Es el conjunto de valores angulares que satisfacen la ecuación trigo-

nométrica dada y se encuentran en el intervalo 2;0

Ejemplo : Cos x = 0,5 Sb = º300;º60

3. Solución General (Sg)

Es el conjunto de todos los valores angulares (Positivos, negativos o ce-ro) que satisfacen la ecuación trigonométrica dada.

14.4. TIPOS DE SOLUCIONES GENERALES

a. Senx = N , con N 1;1 k,S.)1(kS

p

k

gℤ

b. Cosecx = N , con N ℝ 1;1

k,S.)1(kSp

k

gℤ

c. Cosx = N , con N 1;1 k,Sk2S

pgℤ

d. Secx = N , con N ℝ 1;1

k,Sk2Spg

ℤ

e. Tanx = N , con N ℝ k,SkSpg

ℤ

f. Cotx = N , con N ℝ k,SkSpg

ℤ

UNIDAD

14 ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS.- LIMITES

TRIGONOMÉTRICOS


79

14.5. MÉTODO PARA HALLAR LA SOLUCIÓN GENERAL DE UNA ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA ELEMENTAL.

Para usar este método se realizan los siguientes pasos:

a. Se determina la Sp de la ecuación trigonométrica elemental. b. Se iguala el ángulo o arco a una de las expresiones generales, según sea

el caso, luego se despeja la variable “x” obteniéndose la solución general de la ecuación trigonométrica elemental.

Ejemplo 1

La solución general de2

1=x2Sen es :

RESOLUCIÓN:

i. 6

πS

2

1arcSenS

pp

ii. luego aplicamos el método general

k,S)1(kx2p

kℤ

K π2x Kπ ( 1) , K Z

6

K π,

12

Kπx ( 1) K Z

2

14.6. SISTEMA DE ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Un sistema de ecuaciones trigonométricas es un conjunto de ecuaciones de las cuales al menos una es trigonométrica donde intervienen dos o más incógnitas.

Observaciones.

1O . Para resolver un sistema de ecuaciones trigonométricas deben haber

tantas ecuaciones como incógnitas tenga el sistema.

2O . No existe un método a seguir para la RESOLUCIÓN de un sistema de

ecuación trigonométrica, por tanto es aconsejable aplicar ciertos con-ceptos algebraicos trigonométricos que nos permitan llegar a determinar alguna relación simple entre las incógnitas o el conjunto SOLUCIÓN de

ellas.

3O . En un sistema de ecuaciones trigonométricas se debe tener mucho cui-

dado al expresar el conjunto SOLUCIÓN de cada una de las incógnitas

puesto que al remplazar a la vez en cualquiera de las ecuaciones deben satisfacer la igualdad.



80

14.7. LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS

Sea funa función definida en todo punto de algún intervalo abierto I ℝ que

contenga a “p”, excepto posiblemente en el número “p” Si el límite de f(x)

cuando “x” se aproxima a p es “L”, entonces se denota por: Lxflimpx

y se

define de la siguiente manera:

L)x(fpx0/0,0)x(flimLpx

Teorema

Sean f, g y h tres funciones de variable real y el punto “p”

Si LxflimentoncesLxhlimxglimxhxfxgpxpxpx

14.8. LÍMITES UNILATERALES

14.8.1. Definición. Sea funa función definida en todo punto de algún inter-

valo abierto I = p;q . Si el limite de f(x) cuando “x” se aproxima a

“p” por la izquierda es “L” entonces se denota por: )x(flim

px

y se

define como:

L)x(fpx0/0,0)x(flimL

px

14.8.2. Definición. Sea f una función definida en todo punto de algún in-

tervalo abierto I = p;q . Si el limite de )x(f cuando “x” se aproxi-

ma a “p” por la derecha es L entonces se denota por: )x(flim

px

y

se define como:

L)x(fpx0/0,0)x(flimL

px

Teorema:

L)x(flim)x(flimL)x(flim

pxpxpx


81

14.9. LÍMITES NOTABLES Nota: x representa una variable

a. 1x

xsenlim

0x

b. 1x

xtglim

0x

c. 1x

xarcsenlim

0x

d. 0xsenlim0x

e. 1xcoslim0x

f. 0x

xcos1lim

0x

g. 2

1

x

cos1lim

20x

h. 0)xarcsen(lim0x

i. 2)xcosarc(lim

0x

j. 1x

1elim

x

0x

k. e)x1(limx/1

0x

l. ex

11lim

x

0x



82

NOTAS:

i. 2

x1

xtgarcsenxarc

ii. xy1

yxtgarcytgarcxtgarc

iii. xy1

yxtgarcytgarcxtgarc


83


1. Si: 1)x2cos()x2(sen , entonces el menor valor positivo de “x”, mayor que

2/ es:

P) 4/ Q) 6/ R) 7/ S) 4/3 T) 12/

RESOLUCIÓN:

0)x4(sen1)x4(sen1)1()x2cos()x2(sen22

;...4

3;

2;

4x,...3;2;x4 . Solo

4

3x

Rpta: “S”

2. Si: 01)x(csec)x(tg22

, entonces la suma de las soluciones positivas meno-

res que 0

360 , es:

P) 0

120 Q) 0

150 R) 0

180 S) 0

210 T) 0

240

RESOLUCIÓN:

01)xsec()x(sec201)x(csec1)x(sec222

0

180x1)xsec(01)x(sex1)xsec(2 Rpta: “R”

3. Al resolver: 4

13tg)x3(tg)x5(tg , la menor solución positiva, es:

P) 12/ Q) 6/ R) 16/ S) 8/3 T) 15/2

RESOLUCIÓN:

)x3cos()x5cos(2)x3(sen)x5(sen21)x3cos(

)x3(sen

)x5cos(

)x5(sen

16

x2

x80)x8cos(2)x8cos()x2cos()x2cos()x8cos(

Rpta: “R”

4. Al resolver la ecuación: 2)x2(tgx4

tg ; donde x0 , entonces el

número de soluciones, es: P) 2 Q) 5 R) 6 S) 4 T) 7



84

RESOLUCIÓN:

2

)x(tg1

)x(tg2)x(tg12

)x(tg1

)x(tg2

)x(tg1

)x(tg1

2

2

2

3

3)x(tg1)x(tg3)x(tg22)x(tg1

222

i) 6

7;

6x

3

3)x(tg ii)

6

11;

6

5x

3

3)x(tg

Luego: 6

5;

6x (hay dos soluciones)

Rpta: “P”

5. El valor de “x” que satisface la ecuación: 3)x(sen3)xcos( , es:

P) 0

120 Q) 0

37 R) 0

53 S) 0

60 T) 0

30

RESOLUCIÓN:

2

3)x(sen)60(sen)xcos()60cos(

2

3)x(sen

2

3)xcos(

2

1 00

0000

30x30x602

3)x60cos( .

También: 000

90x3060x Rpta: “T”

6. Si: 20x x

)xcos(1limL , entonces el valor de “L + 1”, es:

P) 2/1 Q) 2/3 R) 0 S) 2/1 T) 1

RESOLUCIÓN:

2

31L

2

1

x

)xcos(1limL

20x Rpta: “Q”

7. El valor de )x(xsen

)xcos(1limL

0x, es:

P) 1 Q) 2 R) 2/1 S) 4/1 T) 1 RESOLUCIÓN:

2

1L

11

1)1(

)xcos(1

1

x

)x(senlimL

)x(xsen

)xcos(1limL

0x0x

Rpta: “R”


85

8. Al calcular:

)x3(xsen

)x2(senlimL

2

3

0x, se obtiene:

P) 9/1 Q) 9/8 R) 9/8 S) 2/3 T) 0

RESOLUCIÓN:

9

8L

x

)x3(sen

x

)x2(sen

lim

)x3(xsen

)x2(senlimL

2

2

3

3

0x2

3

0x

Rpta: “R”

9. El valor de )x(senx

)x(senxlimL

0x, es:

P) 0 Q) 1 R) 1

1 S)

1

1 T) 2/1

RESOLUCIÓN:

1

1

x

)x(sen1

x

)x(sen1

lim)x(senx

)x(senxlimL

0x0x

Rpta: “R”

10. Si: 2

2

0xx

24xsen

limL , entonces el valor de L, es:

P) 3/4 Q) 4/1 R) 2/1 S) 5/1 T) 4/3

RESOLUCIÓN:

2

2

2

2

0x2

2

0xx

24x

24x

24xsen

lim

x

24xsen

limL

4

1

24x

1lim

24xx

xlim

24x

24x

x

24xlim)1(L

20x22

2

0x2

2

2

2

0x

Rpta: “Q”



86


1.- Al resolver la ecuación 4 4 1

cos5

sen x x , se obtiene:

P)1

5 Q)

2

5 R)

2 1arccos

3 5 S)

1 1arccos

4 5 T)

1 1arccos

2 5

2.- Al resolver la ecuación .cot 7cos 4senx x x , se obtiene:

P) 060 Q)

030 R) 037 S)

053 T) 075

3.- Al resolver la ecuación 1

.cos .cos 216

senx x x , se obtiene :

P)1

4arcsen Q)

1 1

5 4arcsen R)

1 1

8 4arcsen S)

1 1

2 4arcsen

T) 1 1

4 4arcsen

4.-Al resolver la ecuación 5 cos 2sen x senx x , 0 00 ;180x , la suma de

los valores de x; es:

P) 0210 Q)

0220 R) 0240 S)

0230 T) 0250

5.-Al resolver la ecuación tan cot 4x x , el menor valor positivo de x , es :

P) 018 Q)

060 R) 053 S)

015 T) 045

6.- Al resolver la ecuación 2 2 2 22 cos cos 2sen x sen x x x , la suma de los

valores de 0;2x , es.

P) 0335 Q)

0325 R) 0310 S)

0340 T) 0390

7.-La suma de las dos primeras soluciones positivas que satisface la ecuación

2 22 3cos 2,5sen x x ; es .

P) 0180 Q)

0160 R) 0120 S)

0190 T) 0210

8.-La suma de las soluciones que satisface la ecuación

5 cos5 cossen x senx x x , 0 00 :300x , es .

P) 0455 Q)

0405 R) 0415 S)

0425 T) 0450


87

9.- Al resolver la ecuación cos3 cos11 0x x ,el menor valor positivo de “x” , es

P) 3

Q) 4

R) 5

S) 14

T) 13

10.-Al resolver la ecuación 2 5 5cos 1 0sen x senx x ,la menor solución

positiva de “x” , es :

P) 4

3 Q)

3

4 R)

3

2 S)

5

6 T)

2

3

11.- Las soluciones básicas de la ecuación 22tan sec , es :

P)0 045 ;225 Q)

0 045 ;230 R) 0 030 ;210

S) 0 037 ;217 T)

0 075 ;235

12.-El conjunto de soluciones básicas de la ecuación csc csc

8csc 1 csc 1

x x

x x , es :

P) 2 4

; ; ;2 5 3 3

Q) 2 4

; ; ;3 3 3 5

R) 2 4

; ; ;8 3 5 6

S) 2 4 5

; ; ;3 3 3 3

T) 5 3 2 2

; ; ;2 5 3 5

13.- Al resolver la ecuación 1Senx Cosx , el valor de “x” , es :

P) 2

Q) 3

R) 4

S) 3

4 T)

14.- Si 2 0Cosx Cos x , entonces el número de soluciones comprendidos en

0,2 , es :

P) 1 Q) 2 R) 3 S) 4 T) 5

15.- El valor de “x” que satisface la ecuación 3 3Cosx Senx , es :

P)6

Q) 3

R) 4

S) 3

4 T)

3

8

16.- Si 23 2 2Tg Cos , entonces el menor valor positivo , es:

P) 6

Q) 3

R) 4

S) 5

T) 8



88

17.- El valor de 2 21 1(arccos ) cos ( )

3 3E sen arcsen , es .

P) 1

9 Q)

14

11 R)

13

4 S)

13

9 T)

14

9

18.- El valor de 2 21 5 1( arctan ) cos ( arctan 2 2)2 2 2

Q sen , es :

P) 1

6 Q)

5

6 R)

2

3 S)

7

9 T)

8

9

19.-El valor de ( 1) ( ( 2))arcsen sen arcsen sen , es :

P) Q) 2 R) 1 S) 2 T) 3

20.- El valor de 1 7

arctan( ) arctan( )8 9

, es .

P) 2

3 Q)

5 R)

2 S)

4 T)

3

21.- El valor de N si 4 arccosarcsenN N , es .

P) 5 1

2 Q)

5 1

2 R)

5 1

4 S)

5 2

4 T)

5 1

4

22.-Si arctan arctan arctana b c entonces el valor de . .

a b cP

a b c ,

es

P)1 Q) 2 R)3 S) 1

2 T)

1

4

23.- El valor de arctan 3 arctan 2 , es .

P) 3

Q) 5

3 R)

5

4 S)

4 T)

3

4

24.- El valor de 0

1limx

CosxL

xSenx , es :

P) 1 Q) 0 R) 1

2 S)

1

3 T) -

1

3


89

25.- El valor de 20

1limx

CosxL

x, es :

P) 2 Q) -1

2 R)

1

2 S)

1

4 T) -

1

4

26.- El valor de 2L , si

2

30lim

1x

Sen xL

Cos x, es

P) 1 Q) 4

25 R)

4

16 S)

9

4 T)

4

9

27.- El valor de 40

1 (1 )limx

Cos CosxL

x, es .

P) 1

3 Q)

1

4 R)

1

5 S)

1

7 T)

1

8

28.- El valor de 0

1lim

1x

Senx CosxL

senx Cosx, es :

P) -1 Q) -2 R) 0 S) 1 T) 2

29.- El valor de 0

1 ( )limx

Cos xL

x, es :

P) 0 Q) 1 R) -1 S) 2 T) -2

30.- El valor de 0

1 1limx

Senx SenxL

x, es :

P) 1 Q) -1 R) 0 S) 2 T)-2



90

15.1. POSTULADOS DE LA GEOMETRÍA

Consideremos un conjunto no vació “E” a cuyos elementos llamaremos pun-tos. En el conjunto “E” se distinguen dos familias de sub conjuntos no vacíos, la familia de las rectas y la familia de los planos. No definimos lo que es un pun-to, una recta o un plano. Estos son nuestros conceptos primitivos, luego al conjunto “E” lo llamaremos espacio que viene a ser el conjunto universal. Postulado 1.

Si “L” es una recta entonces existe una función LxL:d ℝ llamado distancia

que satisface las siguientes condiciones:

i. LQ,P,0)Q;P(d

ii. QP0)Q;P(d

iii. LQ,P,)P;Q(d)Q;P(d

iv. LS,Q,P,)S;Q(d)Q;P(d)S;P(d

Al número )Q;P(d se le llama distancia de P a Q

Postulado 2.

Si “L” es una recta y si “0

P ” y “0

Q ” son dos puntos diferentes de “L”, enton-

ces existe una biyección de “L” en “ℝ” tal que:

i. Al punto “0

P ” le hace corresponder el número real “0” y a “0

Q ” le hace

corresponder el número real “1”. ii. Si al punto “P” le corresponde el número real “x” y al punto “Q” le corres-

ponde el número real “y” entonces: xyyx)Q;P(d

Corolario. Toda recta tiene infinitos puntos. Postulado 3.

Sean “P” , “Q” y “S” puntos de “E” entonces existe un plano “ ” tal que

P, Q, S

UNIDAD

15 NOCIONES DE GEOMETRÍA ANALITICA.

LA RECTA

P

x

0P

0Q Q

0 1 y


91

X

Y

01 2

2

1

-1-1

-2

-2

Postulado 4. Sea “L” una recta y “P” un punto, entonces existe una única re-

cta “1

L ” que pasa por “P” y es paralela a “L”.

15.2. SISTEMA DE COORDENADAS EN DOS DIMENSIONES

En el plano consideremos dos rectas coordenadas perpendiculares que se in-tersecan en el origen “O”. A menos que se especifique lo contrario, en cada recta se elige la misma unidad de longitud. Entonces a las dos rectas que se cortan se les llama los ejes coordenados y el punto “O” es el origen. La recta horizontal “X” se llama eje de las abscisas y la recta vertical “Y” se llama eje de las ordenadas. Por tanto tal plano es un plano coordenado “XY” o plano cartesiano.

15.3. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Dados dos puntos P = (x1; y1) ∧ Q= ( x2 ; y2) cualquiera

La distancia de “P” a “Q”,que lo denotamos con d (P,Q), es el número real de-

finido por : d (P ; Q) =2

12

2

12)yy()xx(

P (x1 ;y1)

Q = (x2 ;y2)

x1 x2

y2

y1



92

PUNTO MEDIO

Definición: Dados los puntos )y;x(Py)y;x(P222111

entonces las coorde-

nadas del punto medio P del segmento 21

PP es: P2

yx

;2

yx2211

15.4. DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA

Definición: Si )y;x(Py)y;x(P222111

son los extremos del segmento21

PP

entonces las coordenadas del punto P que divide a este segmento en la

razón rPP

PP

2

1 , es 1r;r1

yry

;r1

xrx

)y;x(P 2121

15.5. AREA DE UN POLÍGONO

Sean los puntosP1 (x1, y1) ,P2 (x2 , y2) …. Pn (xn , yn) los vértices de un polígono convexo o no convexo de “ n ” lados, entonces el área “ S ” de dicho

polígono se determina mediante la fórmula:

11

nn

33

22

11

yx

yx......

yx

yx

yx

2

1S

X

Y

P1 (x1,y1)

P2 (x2,y2)

x1 x2

y2

y1

x

y

P (x,y) y


93

15.6. ÁNGULO DE INCLINACIÓN DE UNA RECTA

Es el ángulo formado por el eje X positivo y la recta.

15.7. PENDIENTE DE UNA RECTA.

Es la tangente del ángulo de inclinación de la recta.

15.8. ECUACIONES DE LA RECTA

14.9.1. Cuando la recta es perpendicular al eje X, es decir paralela al eje Y, su ecuación es:

Ecuación del eje Y:

X

Y

hx

0x

12

12

xx

yy

tanm

)1

y;1

x(1

P

)2

y;2

x(2

P

X

Y

O

X

Y

(h,0) O



94

ky

=k

0y

X

Y

P1(x1 ; y1)

14.9.2. Cuando la recta es perpendicular al eje Y, es decir paralela al eje X, su ecuación es:

ky:L

Ecuación del eje X:

14.9.3. Cuando la recta pasa por un punto P1(x1 ; y1) y tiene pendiente cono-cida

14.9.4. Cuando la recta pasa por dos puntos P1(x1;y1) y P2(x2;y2)

14.9.5. Cuando se conoce las coordenadas de corte a los ejes:

)xx(myy11

P1 (x1 ; y1)

P2 (x2 ; y2)

X

Y

)xx(xx

yy

yy1

12

12

1

X

Y

a

b 1b

y

a

x

(0,k)

X

Y

O


95

15.9. ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA

De esta ecuación se tiene que la pendiente es:

15.10. RECTAS PARALELAS

Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales.

15.11. RECTAS PERPENDICULARES

Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a -1

15.12. ÁNGULO FORMADO POR DOS RECTAS

15.13. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

Si la ecuación de la recta es AX + By + C = 0, la distancia del punto P1(x1,y1) a dicha recta es:

0CyBxA:L

B

Am

2121m.mL||L

1m.mLL2121

1m.mLL2121

1L

X

Y

21

12

m.m1

mm

tan

22

11

BA

CyBxA

d , ó

22

11

BA

|CyBxA|

d

22

11

BA

CByAxd

L

X

Y )1

y;1

x(1

P



96

El signo del radical es opuesto a C

15.14. ECUACIÓN DE LA BISECTRIZ DEL ÁNGULO ENTRE DOS REC-TAS:

Sean las rectas: y

que se cortan, y si (x1 ; y1 ) son las coordenadas de un punto de la bisectriz,

se tiene que la distancia a las dos rectas son iguales, esto es:

Ó 2

2

2

2

21212

2

1

2

1

11111

BA

CyBxA

BA

CyBxA

que es la ecuación de la bisectriz de un ángulo.

22

11

BA

CByAxd

0CyBxA

0CyBxA

222

111


97


1. Si las rectas 5y8kx3:L1

y 1kx4y6:L2

son perpendiculares, entonces

el valor de k, es:

P) 1 Q) 2 R) 3 S) -3 T) 8

RESOLUCIÓN:

8

k3m5y8kx3:L

11 y

3

k2

6

k4m1kx4y6:L

22

Luego: 2k13

k2

8

k31mmLL

2121

2. El área del polígono cuyos vértices son los puntos: )5;2(A , )4;3(B , )6;1(C ,

)6;3(D y )4;2(E , es:

P) 2

u44 Q) 2

u32 R) 2

u56 S) 2

u63 T) 2

u51

Resolución: Graficando:

51)12128185(2

1)151212412(

2

1

52

63

42

43

61

52

2

1A

3. Si la recta L es paralela a la recta 06y5x2:L1

y pasa por el punto )4;3(P ,

entonces la ecuación de la recta L, es:

P) 026y5x2 Q) 04y4x3 R) 013y5x2 S) 07y5x2

T) 01y10x4

Resolución: L11

m5

2m06y5x2:L

Recta: 026y5x2:L)3x(5

2)4(y:L

4. El punto que divide al segmento de extremos )5;1(A y )1;2(B en la razón de 3 a

2 es:

P) )4;2( Q) 2

3;

2

1 R)

5

7;

5

4 S)

5

7;

5

4

T) )2;3(



98

Resolución: 2

3r y )y;x(P punto que divide al segmento AB , entonces

5

7;

5

4P

5

7

2

31

)1(2

35

y;5

4

2

31

)2(2

31

x

5. Dadas las rectas 1

L y 2

L de pendientes 3m1

y 1m2

respectivamente,

entonces el ángulo que forman estas rectas, es:

P) 0

60 Q) 0

45 R) 0

30 S) 0

37 T) 0

15

Resolución: 232

3321

31

31

mm1

mm)(tg

21

12

0

160)(tg3m

0

245)(tg1m

000

154560

6 Si la distancia entre los puntos )5;a(A y )2;6(B es u5 , entonces la suma de los

posibles valores que puede tomar “a”, es: P) 9 Q) 13 R) 8 S) 12 T) 18

Resolución: 5)52()a6()B;A(d22

10a2a16)a6(259)a6(22

7. Los vértices de un cuadrilátero son: )1;3(A ; )5;2(B , )1;5(C y )1;1(D , entonces

el área del cuadrilátero ABCD, es:

P) 2

u17 Q) 2

u18 R) 2

u10 S) 2

u20 T) 2

u19

Resolución: 2

19)15251()22513(2

1

13

52

15

11

13

2

1uA


99

8. Una recta 1

L que pasa por los puntos )y;4( y )2;4( es perpendicular a la recta

2L que pasa por los puntos )6;3( y )2;3( , entonces el valor de “y”, es:

P) 2 Q) 4 R) 6 S) -6 T) 8

Resolución: 8y33

62

44

2y1mmLL

2121

9. El valor de “a” si la distancia del punto A al punto B es de u5 , siendo

)1a3;3m(A ; )a2;1m(B , es:

P) 21 Q) 3 R) 2 S) 4 T) 2

Resolución: 2222

)a21a3()1m3m()B;A(d5

4a2a16)1a()1a(162522

10. Una recta L de pendiente -2 pasa por el punto )7;2( y por los puntos )3;x(P y

)y;6(Q , entonces el valor de (x + y), es:

P) 4 Q) 3 R) 5 S) 6 T) 7

Resolución: 11yx2)2x(27y:L

4x113x2L)3;x(P y 1y11y12L)y;6(Q

Luego: 3yx



100

PREGUNTAS PROPUESTAS Nº 15 1. El punto simétrico A', del punto A (3; 2), respecto de la recta L: 2x + y - 12 = 0, es:

P) 31 18

( ; )5 5

Q) 33 18

( ; )5 5

R) 29 18

( ; )5 5

S) 31 18

( ; )4 5

T) 31 18

( ; )5 4

2. El triángulo determinado por los puntos: A(4; -3), B(3; 0) y C(0; 1)es:

P) Equilátero Q) Isósceles- rectángulo R)Isósceles-obtusángulo

S) Escaleno T)Isósceles-acutángulo

3. La ecuación de la recta perpendicular a L: 8x - y - 1 = 0 que pasa por el punto P(-3; 2),es:

P) 8x+y+13=0 Q)8x-y+13=0 R)x+8y-13=0 S)x-8y-13=0 T)8x+y-13=0

4. Si una recta de ecuación x + 2y - 9 = 0 es mediatriz de un segmento AB cuyo extremo A tiene por coordenadas (2;1) ,entonces las coordenadas del otro extre-mo, es:

P)(4;7) Q) (3;6) R)(3,5) S)(4;5) T)(4;6)

5.- El ángulo que forman las rectas que tienen por ecuaciones: L:2x+3y-5=0 y S: 3x-2y+10=0 , es:

P) 045 Q)

0145 R) 090 S)

060 T) 0120

6.- Una recta es paralela a la que tiene por ecuación L: 5x + 8y - 12 = 0, y dista 6

unidades del origen. Su ecuación general , es :

P)5x+8y 6 89 =0 Q)5x-8 6 89 =0 R)8x+5y 6 89 =0

S) 8x-5y 6 89 =0 T) 5x+8y+89=0

7. Una de las bisectrices de los ángulos determinados por la rectas: L: 24x-7y-2=0 y

S:3x+4y-4=0 , es:

P) x+3y+2=0 Q)x-3y-2=0 R)x-3y+2=0 S) x-4y+2=0 T)x+4y+2=0

8. La ecuación de la recta que pasa por el punto (2, -3) y es paralela a la recta que

une los puntos (4;1) y (-2;2).

P)6x+y+16=0 Q)x-6y+16=0 R)x+5y+16=0 S)x+6y+16=0 T)x+6y-16=0

9. Dadas las rectas L: 3x + y - 1 = 0 y S: 2 x + m y -8 = 0, el valor de “m” para que

formen un ángulo de 45°, es :

P)-3 Q)3 R)-1 S) 1 T)-2


101

10. Dado el triángulo A(-1; -1), B(7;5), C(2;7); las coordenadas del ortocentro del triángulo , es :

P) 49 154

( ; )23 23

Q) 49 155

( ; )23 23

R) 49 157

( ; )21 21

S) 49 157

( ; )21 23

T) 49 157

( ; )23 23

11. Una recta es perpendicular a la que tiene por ecuación L:5x - 7y + 12 = 0 y dista 4

unidades del origen, entonces su ecuación , es:

P) 7x+5y 4 75 =0 Q)7x+5y 4 74 =0 R) 7x+5y+74=0

S) 5x+7y-74=0 T) 7x+5y-75=0

12.-De un paralelogramo ABCD conocemos los vértices A(1;3), B(5;1), C(-2;0), las coordenadas del vértice D, es:

P) (-3;2) Q)(-6;-2) R)(-6;3) S)(-6;2) T)(6;2)

13. Al clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(6;0), B(3;0) y C(6;3), se

obtiene:

P) Escaleno Q) Isósceles-rectángulo R) Isósceles-obtusángulo

S )Equilátero T) Isósceles-acutángulo

14. El área del cuadrilátero ABCD cuyos vértices son A(3;0), B(1;4), C(-3;2) y D(-1;-2),

es :

P) 20 2u Q)22

2u R) 21 2u S) 18

2u T)19 2u

15. Los puntos A(-1;3) y B(3;-3), son vértices de un triángulo isósceles ABC que tiene su vértice C en la recta L:2 x - 4 y + 3 = 0 , siendo la longitud de los lados AC y BC iguales, entonces las coordenadas del vértice C, es :

P) 17

(4; )2

Q) 17

(5; )2

R) 17

( ;4)3

S) 17

( ;4)2

T) 17

( ;5)2

16. Si la recta L: 3x + ny - 7 = 0 pasa por el punto A( 3; 2 ) y es paralela a la recta S: mx + 2y -13 = 0, entonces el valor de m+ n, es:

P) 7 Q) -6 R) -9 S) -7 T) -8

17.-Dado el triángulo ABC, de coordenadas A(0;0), B(4;0) y C(4;4); la ecuación de la

mediana que pasa por el vértice C, es:

P)2x-3y-4=0 Q) 2x-y-4=0 R)2x+y+4=0 S)x+2y-4=0 T)x-2y-4=0



102

18. De un paralelogramo se conoce un vértice, A(8, 0), y el punto de corte de las dos diagonales, B(6, 2). También sabemos que otro vértice se encuentra en el origen de coordenadas, entonces el producto de las longitudes de las diagonales, es:

P) 32 5 Q) 16 5 R) 20 5 S)32 T) 24

19. La pendiente "m" y el ángulo de inclinación Ø de las recta determinadas por los

pares de los puntos siguientes (5;-9) y (10;-9) , son:

P) 1 y 090 Q)

1

2y

060 R) 1

3

030 S) 1 045 T) 0 y

00

20. Si las rectas 583:1 ykxL y 146:2 kxyL son perpendiculares,

entonces el valor de 2 1k , es:

P) 2 Q) 5 R) 10 S) -317 T)9

21. Una recta 1L pasa por los puntos )2;3( y )7;49( y otra recta 2L pasa por

el punto )1;6( y el punto A cuya ordenada es -5, entonces la abscisa de A sa-

biendo que 1L es perpendicular a 2L , es:

P) 12/7 Q) 7/12 R) 12/7 S) 7/12 T) 17/1

22. Dadas las rectas: 03)14(:1 ayxaL y 01:2 yaxL . Si

21 LL , entonces el valor de “a+3”, es:

P) 5/2 Q) 10 / 3 R) 7 / 2 S) 8 / 3 T) 5

23.-El área del triángulo determinado por los puntos de intersección de las rectas

242:1 yxL , 45:2 yxL y 8:3 yxL , es:

P) 25 u Q)

26 u

R) 27 u S)

28 u T) 29 u

24.- La suma de las áreas de los triángulos que las rectas 082:1 yxL y

03056:1 yxL forman con los ejes coordenados, es:

P) 222 u

Q)

231 u R) 229 u

S)

243 u T) 238 u

25. El área del triángulo limitado por las rectas L:x-2y=0 , S:2x+3y-42=0 ; y el eje de

las X , es:

P) 262 u

Q)

263 u R) 261 u S)

264 u T) 268 u


103

26. La ecuación de la mediatriz del segmento cuyos extremos son A(-a ; a-1) y B(a+1 ; 3a) , es .

P)2x-3y-2a=0 Q) 2x-y-4a=0 R)x+y-2a=0 S)x+2y-4a=0 T)x-2y-4a=0

27.- La ecuación de la recta que es perpendicular a la recta L: x-2y+8=0 y pasa por la

intersección de las rectas 2x+y+6=0 y 3x+8y-4=0 ; es:

P)2x+y+6=0 Q) 2x-y-6=0 R)x+2y-6=0 S)x+3y-2=0 T)2x+y-6=0

28. El ángulo que forma la recta que pasa por los puntos (2 ; 5) y (1 ; 2) con la recta

que pasa por los puntos (4 ; 1) y (-2; 3) , es:

P) 015 Q)

045 R) 090 S)

030 T) 053

29. La medida del mayor ángulo que forman las rectas 2x-y-3=0 ; 3x+y-7=0; es:

P) 0115 Q)

0135 R) 075 S)

0105 T) 0120

30.-El área del pentágono cuyos vértices son A(4 ; 4) , B( 1 ; 6) , C( -3 ; 5) , D(-6 ; 0) y E( 1 ; -1) , es :

P) 240,5 u

Q)

241,5u R) 242,5 u

S)

243 u T) 243,5u



104

16.1. LA CIRCUNFERENCIA (C )

Es el lugar geométrica de los puntos P = (x ; y) de un plano que equidistan de un punto C = (h;k) ubicado en el mismo plano denominado centro. La distancia “r” (r > 0) del centro C a cualquier punto “P” de la circunferencia es la longitud del

radio CP .

16.2. ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA (C):

16.2.1. Ecuación Ordinaria deC:

222 rkyhx:C

Centro : k;hC

Radio: 0rCPLCP

Nota: una circunferencia está completamente determinada si se conoce su centro y su radio, o tres puntos de ella.

16.2.2. Ecuación Canónica de C:

222 ryx:C

Centro: C = (0;0) = 0

16.2.3. Ecuación General de C:

0FEyDxyx:C22

Centro: 2

Ek2

Dh2

E;2

DC

Radio:

F4ED2

1r 22

UNIDAD

16 ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA Y PARÁBOLA

y C

o

r

C = (h ; k)

P=(x;y) punto Genérico de C


105

16.3. LA PARÁBOLA (P)

Es el lugar geométrico de los puntos P = (x ; y) de un plano que equidistan de un

punto fijo “F” llamado foco y de una recta fija "L" llamada recta directriz

SL . Se cumple: L;PF;Pd

Elementos de la parábola (P):

L : recta directriz

S : eje de la parábola

F : foco V : vértice de la parábola

LR : lado recto: p.4LR

p : parámetro de la parábola (VF)

16.4. ECUACIONES DE LA PARÁBOLA (P)

16.4.1. Ecuación ordinaria de eje vertical:

kyp4hx:P 2 pk;hFk;hV

Nota: 1) Si p > 0 entonces la P abre hacia arriba a partir de V

2) Si p < 0 entonces la P abre hacia abajo a partir de V

16.4.2. Ecuación ordinaria de eje horizontal:

hxp4ky:P 2 k;phFk;hV

Nota: 1) Si p > 0 entonces la P abre hacia la derecha a partir de V

2) Si p < 0 entonces la P abre hacia la izquierda a partir de V

16.4.3. Ecuación canónica de eje vertical

y.p.4x:P 2

0 = V = (0;0)

y

F P > 0

0 = V x

P

P

y

F

P < 0

0 = V x

y

L R

P

F

p

- p V

T H

y;xP punto genérico

de la parábola P

S

0 x

S



106

16.4.4. Ecuación canónica de eje horizontal

x.p.4y:P 2

16.4.5. Ecuaciones generales de eje vertical

a) 0FEyDxAx:P 2 , 0A

b) cbxxay:P 2 , 0a

0p

0a

0p

0a

16.4.6. Ecuaciones generales de eje horizontal

c) 0FEyDxCy:P 2 , 0C

d) cbyyax:P 2 , 0a

0p

0a

0p

0a

F P > 0 0 = V

x

y

F P < 0 V = 0 x

y

a4

bac4;

a2

bV

2

p

V

F P

F

p

P

a2

b;

a4

bac4V

2

V

P

F p F

P

V p


107


1. Al transformar la ecuación de la circunferencia 03y4x6yx:C 22 a la

forma ordinaria, se obtiene:

P) 222 4)2y()3x( Q) 222 4)2y()3x( R)

222 3)2y()3x(

S) 222 3)2y()3x( T) 222 5)2y()3x(

RESOLUCIÓN:

i) 03y4x6yx:C 22

493)4y4y()9x6x(:C22 222 416))2(y()3x(:C

Rpta: “Q”

2. La ecuación general de la circunferencia de centro (4;5) y radio de longitud 6, es:

P) 05y10x82

y2

x Q) 03y6x42

y2

x R) 06y8x92

y2

x

S) 01y9x62

y2

x T) 02y9x42

y2

x

RESOLUCIÓN:

i) 222 6)5y()4x(:C

3625y10y16x8x:C 22

05y10x8yx:C 22

Rpta: “P”

3. La ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (0;0), (8;0) y (0;6), es:

P) 0y6x8yx 22 Q) 02y2x5yx 22 R)

012y7x3yx 22 S) 02yx2yx 22 T)

49)3y()5x( 22

RESOLUCIÓN:

i) 0FEyDxyx:C 22

0F0F0000)0;0(

8D64D8000D8064)0;8(

6E36E600E60360)6;0(

0y6x8yx:C 22

Rpta: “P"

4. Al calcular el área del círculo determinado por la circunferencia

0103y12x72y9x9 22 , se obtiene:

P) 5 Q) 6 R) 4 S) 8 T) 12



108

RESOLUCIÓN:

i) ?r)C(A09

103y

3

4x8yx:C 222

5r59

1034

3

48

2

1F4ED

2

1r 2

2222

ii) 5.CA 5

Rpta: P

5. La longitud del radio de la circunferencia con centro en el punto (3;4) y es tangente a la recta cuya ecuación es x + y – 5 = 0, es:

P) 2 Q) 3 R) 2 S) 1 T) 8

RESOLUCIÓN:

i) 05yx:L4;3C

ii) 22

2

11

51413L;cdr

Rpta: “R” Rpta: P

6. La ecuación de la parábola, cuyo vértice y foco son los puntos (1;4) y (3;4), res-pectivamente, es:

P) )2x(63y 2 Q) 0)4x(35y 2 R) 01y3x2x2

S) )1x(84y 2 T) 03y8x5y2

RESOLUCIÓN:

i) 4;3F)4;1(V

ii) hxp4ky:P 2

1x244y:P 2 1x84y:P 2

Rpta: S

7. La ecuación de la parábola, si el vértice y el foco son respectivamente los puntos (5;6) y (5;8), es:

P) )5y(63x 2 Q) )2x(74y 2

R) )3x(102y 2

S) )2y(44x 2 T) )6y(85x 2

RESOLUCIÓN

i) 8;5F)6;5(V

ii) 6y245x:P 2

6y85x:P 2

C

r P

o

L

L

F

o

V

1 3

4

y

p = 2

y F

o

V

8

6

5

p = 2

P


109

Rpta: “T”

8. Las coordenadas del foco de la parábola y6x:P 2 , es:

P) (-2 ; 0) Q) 2

3;0 R) (1 ; 3) S) 0;

2

1 T) 2;

2

3

RESOLUCIÓN

i) y6x:P 2

02

3py.

2

34x:P 2

00;0V

2

3;0F

Rpta: “Q”

9. La longitud del lado recto de la parábola 01y8x6x:P 2 , es:

P) 5 Q) 6 R) 8 S) 7 T) 9 RESOLUCIÓN

i) 01y8x6x:P 2

824p4LR2p2

5y243x:P 2

Rpta: “R”

10. La suma de las coordenadas del vértice con el parámetro de la parábola

32y12x4x2 , es:

P) 6 Q) 11 R) -3 S) -11 T) 2 RESOLUCIÓN

i) 32y12x4x:P 2

432y12)4x4x(:P 2

36y12)2x(:P 2

3y12)2x(:P 2

3y34)2x(:P 2

3p)3;2(V

ii) 2332

Rpta: “T

2

3p

y

F

o x

P

91y89x6x:P2



110


1. La ecuación de la circunferencia que pasa por 3;4A y es tangente a

05yx2:L en 1;2B , es:

P) 201y2x 22 Q) 153y2x 22 R)

67y5x 22

S) 125y3x 22 T) 162y3x 22

2. Si las rectas 020y2x:L1

y 0y2x:L2

determinan cuerdas iguales en

una circunferencia y el punto medio de una de las cuerdas es S = (8;6), entonces la ecuación de la circunferencia si ésta pasa por Q = (4;3), es:

P) 62y4x 22 Q) 173y3x 22 R)

153y6x 22

S) 103y1x 32 T) 52y6x 22

3. Una de las ecuaciones de la circunferencia de radio 5 que es tangente a la recta

01y2x:L1

en P = (3;1), es:

P) 161y5x 22 Q) 93yx 22 R) 53y2x 22

S) 16y2x 22 T) 44y5x 22

4. Una de las ecuaciones de la circunferencia tangente a la recta 020y3x4:L1

en el punto P = (2;4) y tangente a 015y4x3:L2

, es:

P) 92y5x 22 Q) 91y2x 22

R)

253y6x 22

S) 497y2x 23 T) 44y3x 22

5. Una de las ecuaciones de la circunferencia que pasa por A = (2;5) y B = (3;12)

sabiendo que la distancia del centro de la circunferencia a la cuerda AB es 2

5,

es:

P) 45y3x 22 Q) 92y1x 22

R) 222 323y5x S) 817y4x 22

T) 258y6x 22


111

6. Una de las ecuaciones de la circunferencia tangente a las rectas

01y4x3:L1

y 07y3x4:L2

y que pasa por A = (2;3), es:

P) 9)2y()3x( 22 Q) 8)3

2y()

2

1x( 22

R) 4)4

3y()1x( 22

S) 1)

5

12y()

5

6x( 22

T) 4)3

2y()3x( 22

7. Una de las ecuaciones de la circunferencia de radio 5 y que pasa por P = (-1;2), y

es tangente a 01y4x3:L , es:

P) 1)2y()3

1x( 22 Q) 25)2y()6x( 22

R) 8)3y()2x( 22 S) 16)5y()4x( 22

T) 9)1y()2

1x( 22

8. La circunferencia que describe un punto móvil )y;x(P , si las rectas que lo unen

a dos puntos )0;4(By)0;4(A forman un ángulo de 0

45 , es:

P) 13y10x8yx 22 Q) 124

22yxyx R) 62

22yxyx

S) 024822

yxyx T) 016822

xyx

9. Una de las ecuaciones de la circunferencia que pasa por el origen de coordenadas

y son tangentes a las rectas; 09y2x:L1

y 02yx2:L2

, es

P) 7)2()1(22

yx Q) 6222

yyx

R) 5)1()2(22

yx S) 8)3(22

yx

T) 2)4()3(22

yx

10. La ecuación ordinaria de una circunferencia que tiene centro en la recta

01y2x7:L1

y es tangente a las rectas 05y12x5:L2

y

03y3x4:L3

es

P) 222 2)3y()1x( Q)222

3)5()2( yx R)222

4)3()4( yx

S) 222

3)2()1( yx T) 222

8)9()7( yx



112

11. Determine si la ecuación dada representa una circunferencia o no:

071062222

yxyx , si lo es, su radio mide:

P) 5 Q) 5 R) 2 S) 2 T) No es circunferencia

12. Determinar si la ecuación dada representa circunferencia o no:

06361422

yxyx , si es circunferencia, su centro, es:

P) )3;7( Q) )3;7( R) No es circunferencia S) )3;7(

T) )3;7( 13. La ecuación de la circunferencia que pasa por el origen y determina en los ejes X

e Y segmentos de extremos el origen y longitudes bya 22 es:

P) 2222 ba)by()ax( Q) 222 a)by()ax(

R) 2222 ba)by()ax( S) 222 b)by()ax(

T) 1)by()ax( 22

14. Al determinar la ecuación de la circunferencia de radio 1, tangente a la recta

01y4x3:L , en el punto ordenada 1, una de sus ecuaciones, es:

P) 1)2()1(22

yx Q) 4)3()2(22

yx R) 1)5

9()

5

2(

22yx

S) 9)2()3(22

yx T) 8)4

3()

3

2(

22yx

15. El radio de la circunferencia de centro )1;3( y tangente a la circunferencia

062:22

yxyxC , mide:

P) 51642 Q) 1032 R) 10

S) 24

T) )54(2

16. Una parábola tiene por ecuación: 082

xy . Al indicar verdadero (V) o falso (F)

a cada proposición: :p su eje de simetría esta sobre el eje X

:q la ecuación de la directriz es 02x

:r el lado recto mide 10, es, En el orden dado se obtiene: P) VVV Q) VVF R) VFF S) FVV T) FFV

17. La ecuación de la parábola de foco )2;3( y directriz 01x , es:

P) )1x(8)2y( 2 Q) )1x(8)2y( 2 R) )1x(8)2y( 2

S) )1x(8)1y( 2 T) )1x(8)1y( 2


113

18. La ecuación de la parábola cuyo vértice y foco son )3;4(V y )3;1(F ,

respectivamente, es:

P) 0391262

xyy Q) 0391262

xyy

R) 0391262

xyy S) 0391262

xyy

T) 0391262

xyy

19. La suma de las coordenadas del vértice de la parábola 0y4x4x:P 2 , es:

P) -3 Q) 3 R) – 1 S) 1 T) 2

20. El valor de 0k para que las coordenadas del vértice de la parábola

0y2xk4x:P 2 sumen cero, es:

P) 5 Q) 4 R) 3 S) 2 T) 1

21. Las coordenadas del foco de la parábola 0y2x2ax:P 2 cuyo vértice perte-

nece a la recta 014: xL , son

P) )1;2

1(

Q) )0;

2

1( R) )1;

4

1( S) )0;

4

1( T) )

2

1;

2

1(

22. La distancia del foco de la parábola 019y2x4y:P 2 a un punto de ella con

ordenada igual a 3, es: P) 5 u Q) 6 u R) 7 u S) 8 u T) 9 u

23. Si )3;7(A , )3;4(B y )3;0(C son los vértices de un triangulo cuyo

baricentro es el vértice de una parábola cuya directriz es 03y , la ecuación de

la parábola, es:

P) 07822

yxx Q) 07822

yxx R) 07822

yxx

S) 07282

yxx T) 04282

yxx

24. La longitud del segmento que une el foco de la parábola 0x9y:P 2 con el

punto de intersección de ésta con la recta 01243: yxL , es:

P) 4

25 Q)

4

29 R)

4

21 S)

4

27 T)

4

23

25. La ecuación de la recta que tiene pendiente 0m y pasa por el foco de la pará-

bola 04:2

xyP , es:

P) )1x(my Q) )1x(my

R) )2x(my

S) )1x(my

T) )2x(my

26. La ecuación de la recta que pasa por la intersección de las parábolas:

y4x:P 21

; xyP 4:2

2 , es:

P) 0yx Q) 0yx

R) 02 yx S)

02yx T)

02 yx



114

27. Una recta L paralela a la recta 02534 yx determinan en la parábola

02568:2

yxyP una cuerda focal cuya longitud, es:

P) 11 u Q) 12 u R) 12,5 u S) 13 u T) 13,5 u

28. Siendo )4;2(P punto medio de una cuerda de la parábola

019y10x6y:P2

, la ecuación de dicha cuerda, es:

P) 010yx3 Q) 05yx3 R)

012yx3

S) 08yx3

T) 016yx3

29. La entrada de una iglesia tiene la forma de una parábola de 9m de alto y 12 m de base. Toda la parte superior es una ventana de vidrio cuya base es paralela al piso y mide 8 m, la altura de la ventana, es:

P) 6 u Q) 4 u R) 1 u S) 7 u T) 8 u

30. Si los puntos )4;b(By)a;3(A pertenecen a la parábola 0y9x2

, la

mayor longitud del segmento, ABes:

P) 23 Q) 33 R) 103 S) 4 T) 3

BIBLIOGRAFIA

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AYRS, J. Frank. 1989. Trigonometría Plana. Edit. Shaum. New York. E.E.Unidos.

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ALVA CABRERA, Rubén. 1998. Trigonometría. Editorial San Marcos. Lima - Perú.


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116

trigonometrìa 2013 - i8

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