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Prof. Jonathan Brenes S. 1
TRIGONOMETRÍA
La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y
los ángulos de los triángulos. Etimológicamente la palabra trigonometría proviene del griego
Tri (tres), gono (ángulos) y metría (medida); con lo cual significa “medida de tres ángulos”
o “medida de triángulos”.
Para el estudio de dichas relaciones entre lados y ángulos se utilizan triángulos rectángulos
como el siguiente.
A partir de él, se definen las razones (fracciones) trigonométricas.
Seno de α = 𝑠𝑒𝑛(𝛼) = 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
Coseno de α = 𝑐𝑜𝑠(𝛼) = 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
Tangente de α = 𝑡𝑎𝑛(𝛼) = 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
Cosecante de α = 𝑐𝑠𝑐(𝛼) = 𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
Secante de α = 𝑠𝑒𝑐(𝛼) = 𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
Cotangente de α = 𝑐𝑜𝑡(𝛼) = 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
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Es común dibujar tales triángulos sobre un plano cartesiano, dentro de una circunferencia
trigonométrica.
Circunferencia trigonométrica.
Es una circunferencia en un plano cartesiano con centro en el origen de coordenadas, asociada
a un círculo de radio una unidad. Es utilizada para estudiar las razones y funciones
trigonométricas.
En trigonometría los ángulos pueden tener medidas superiores a 180°, diferente a Geometría
plana.
Ángulos
Un ángulo es una porción de plano que está limitada por dos rayos que parten de un mismo
punto.
Los ángulos se miden en grados o radianes.
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Para pasar de grados a radianes se utiliza la fórmula.
Ejemplo.
Convertir 150º en radianes.
Radianes = 150°𝜋
180°
= 5𝜋
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Para pasar de radianes a grados se utiliza la fórmula.
Ejemplo.
Convertir 3𝜋
2 rad en grados.
Grados =
3𝜋
2 ∙180°
𝜋
= 270°
También puede tomar en cuenta que 𝜋 equivale a 180º.
Ejemplo.
Convertir 2𝜋
3 rad a grados.
⅔𝜋 𝑟𝑎𝑑 = ⅔ · 180° = 120°
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Ángulo en posición estándar o posición normal: Ángulo cuyo lado inicial está sobre el
semi-eje x positivo.
Positivo: Ángulo en posición estándar cuyo recorrido es contrario al de las manecillas del
reloj.
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Negativo: Ángulo en posición estándar cuyo recorrido es en el mismo sentido al de las
manecillas del reloj.
Cuadrantal: Ángulo en posición estándar cuyo lado terminal queda ubicado sobre uno de
los semi-ejes coordenados.
Para que un ángulo sea cuadrantal debe cumplirse que al dividir su mediada por 90º resulte
un número entero.
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Ángulos Coterminales: Ángulos en posición estándar que tienen el mismo lado terminal.
Para que dos ángulos sean coterminales, al restar sus medidas y dividirla por 360º debe dar
un número entero.
Ángulo de referencia: Un ángulo de referencia de un ángulo en posición estándar no
cuadrantal, es aquel ángulo cuyo lado inicial es el terminal del ángulo dado y su lado final
está sobre el semi-eje x positivo o negativo. El ángulo de referencia es siempre agudo y
positivo.
Sea α un ángulo dado, no cuadrantal, y de medida entre ]0, 360°[, su ángulo de referencia δ
está en función del lado terminal de α de la siguiente forma.
Si 𝛼 ∈ ]0,𝜋
2[ Si 𝛼 ∈ ]
𝜋
2, 𝜋[
𝛿 = 𝛼 𝛿 = 180° − 𝛼
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Si 𝛼 ∈ ]𝜋,3𝜋
2[ Si 𝛼 ∈ ]
3𝜋
2, 2𝜋[
𝛿 = 𝛼 − 180° 𝛿 = 360° − 𝛼
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Identidades Trigonométricas
tan(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
cos (𝑥) 𝑠𝑒𝑐(𝑥) =
1
𝑐𝑜𝑠 (𝑥)
csc(𝑥) = 1
sen(𝑥) 𝑐𝑜𝑡(𝑥) =
1
𝑡𝑎𝑛(𝑥)=
cos (𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
Pitagóricas
𝑠𝑒𝑛2(𝑥) + 𝑐𝑜𝑠2(𝑥) = 1
𝑠𝑒𝑐2(𝑥) − 𝑡𝑎𝑛2(𝑥) = 1 ⇒ 𝑡𝑎𝑛2(𝑥) + 1 = 𝑠𝑒𝑐2(𝑥)
𝑐𝑠𝑐2(𝑥) − 𝑐𝑜𝑡2(𝑥) = 1 ⇒ 𝑐𝑜𝑡2(𝑥) + 1 = 𝑐𝑠𝑐2(𝑥)
Suma y diferencia de ángulos.
𝑠𝑒𝑛(𝑥 ± 𝑦) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)cos (𝑦) ± cos (𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑦)
𝑐𝑜𝑠(𝑥 ± 𝑦) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥)cos (𝑦) ∓ sen (𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑦)
𝑡𝑎𝑛(𝑥 ± 𝑦) =tan (𝑥) ± tan (𝑦)
1 ∓ tan (𝑥)tan (𝑦)
De ángulo opuesto
𝑠𝑒𝑛(−𝑥) = −𝑠𝑒𝑛(𝑥) ⇒ csc(−𝑥) = −csc (𝑥)
𝑐𝑜𝑠(−𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) ⇒ sec(−𝑥) = sec (𝑥)
𝑡𝑎𝑛(−𝑥) = −𝑡𝑎𝑛(𝑥) ⇒ cot(−𝑥) = −cot (𝑥)
De ángulo complementario
𝑠𝑒𝑛 (𝜋
2− 𝑥) = cos (𝑥) ⇒ 𝑐𝑠𝑐 (
𝜋
2− 𝑥) = sec (𝑥)
𝑐𝑜𝑠 (𝜋
2− 𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ⇒ 𝑠𝑒𝑐 (
𝜋
2− 𝑥) = csc (𝑥)
𝑡𝑎𝑛 (𝜋
2− 𝑥) = cot (𝑥) ⇒ 𝑐𝑜𝑡 (
𝜋
2− 𝑥) = tan (𝑥)
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Funciones Trigonométricas
Seno
𝑓: ℝ → [−1,1], con 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥).
Propiedades:
Ámbito: [-1,1]
Intersección con el eje 𝑥: (𝑘𝜋, 0), con 𝑘 ∈ ℤ.
Intersección con el eje y: (0,0)
Periodo: 2𝜋
Coseno
𝑓: ℝ → [−1,1], con 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥).
Propiedades:
Ámbito: [-1,1]
Intersección con el eje 𝑥: (2𝑘+1
2𝜋, 0), con 𝑘 ∈ ℤ.
Intersección con el eje y: (0,1)
Periodo: 2𝜋
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Tangente
𝑓: ℝ − {2𝑘+1
2𝜋, 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ ℤ} → ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛(𝑥).
Propiedades:
Ámbito: ℝ
Intersección con el eje 𝑥: (𝑘𝜋, 0), con 𝑘 ∈ ℤ.
Intersección con el eje y: (0,0)
Periodo: 𝜋
𝑓 es estrictamente creciente en todo su dominio.
Asíntotas en 𝑥 =2𝑘+1
2𝜋, con 𝑘 ∈ ℤ.
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Cosecante
𝑓: ℝ − {𝑘𝜋, 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ ℤ} →] − ∞, −1] ∪ [1, +∞[, 𝑓(𝑥) = 1
𝑠𝑒𝑛(𝑥) = 𝑐𝑠𝑐(𝑥).
Propiedades:
Ámbito: ] − ∞, −1] ∪ [1, +∞[
Intersección con el eje 𝑥: No tiene.
Intersección con el eje y: No tiene.
Periodo: 2𝜋
Asíntotas en 𝑥 = 𝑘𝜋, con 𝑘 ∈ ℤ.
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Secante
𝑓: ℝ − {2𝑘+1
2𝜋, 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ ℤ} →] − ∞, −1] ∪ [1, +∞[, 𝑓(𝑥) =
1
𝑐𝑜𝑠(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐(𝑥).
Propiedades:
Ámbito: ] − ∞, −1] ∪ [1, +∞[
Intersección con el eje 𝑥: No tiene.
Intersección con el eje y: (0,1).
Periodo: 2𝜋
Asíntotas en 𝑥 =2𝑘+1
2𝜋, con 𝑘 ∈ ℤ.
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Cotangente
𝑓: ℝ − {𝑘𝜋, 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ ℤ} → ℝ, 𝑓(𝑥) = 1
𝑡𝑎𝑛(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡(𝑥).
Propiedades:
Ámbito: ℝ
Intersección con el eje 𝑥: (2𝑘+1
2𝜋, 0), con 𝑘 ∈ ℤ.
Intersección con el eje y: No tiene.
Periodo: 𝜋
Asíntotas en 𝑥 = 𝑘𝜋, con 𝑘 ∈ ℤ.
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Arcoseno
𝑓: [−1,1] → [−𝜋
2,
𝜋
2], con 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛−1(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥).
Nota: El inverso multiplicativo (o recíproco) de 𝑠𝑒𝑛(𝑥) es 𝑐𝑠𝑐(𝑥). El criterio inverso de
𝑠𝑒𝑛(𝑥) es 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥).
Arcocoseno
𝑓: [−1,1] → [0, 𝜋], con 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠−1(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝑥).
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Arcotangente
𝑓: ℝ → ]−𝜋
2,
𝜋
2[, con 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛−1(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑥).
Asíntotas en 𝑦 =±𝜋
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Práctica
1. Considere un ángulo 𝛼 en posición estándar, tal que su lado terminal se encuentra en el
tercer cuadrante. Si 𝑠𝑒𝑛(𝛼) = −√7
4. Calcule, usando identidades trigonométricas, el valor
exacto de:
a) 𝑐𝑜𝑠(2𝛼)
b) 𝑠𝑒𝑛 (𝜋
3− 𝛼)
c) 𝑡𝑎𝑛 (𝜋
3− 𝛼)
2. Determine el valor exacto de 𝑡𝑎𝑛 (7𝜋
12), usando identidades trigonométricas y considerando
que 7𝜋
12=
𝜋
3+
𝜋
4.
3. En la circunferencia trigonométrica el valor de 𝑐𝑜𝑠(𝛼) = |𝑥|, si 𝑡𝑎𝑛(𝛼) < 0, determine:
a) Cuadrante en el que se ubica el lado terminal de 𝛼.
b) cos (𝜋 − 𝛼)
4. Simplifique los siguientes criterios de funciones definidas en su dominio máximo con
codominio ℝ.
a) 𝑓(𝑥) = tan2(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥)csc (𝑥)
b) 𝑔(𝑥) = (1 − 𝑠𝑒𝑛2(𝑥))(1 + 𝑠𝑒𝑛2(𝑥))
c) ℎ(𝑥) = cos4(𝑥)−𝑠𝑒𝑛4(𝑥)
1−𝑡𝑎𝑛4(𝑥)
d) 𝑗(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠2(𝑥)[sec2(𝑥)−𝑡𝑎𝑛2(𝑥)]+𝑠𝑒𝑛2(𝑥)[csc2(𝑥)−cot2(𝑥)]
[𝑠𝑒𝑛(𝑥)+cos (𝑥)]2+[𝑠𝑒𝑛(𝑥)−cos (𝑥)]2
e) 𝑘(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛2(𝑥)[cot(𝑥)−csc (𝑥)]
cot(𝑥)+csc (𝑥)+ 1
5. Grafique las funciones que se presentan a continuación.
a) 𝑓: [100𝜋, 102𝜋[ → ℝ, con 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
b) 𝑔: [−9𝜋, −7𝜋] → ℝ, con 𝑔(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥)
c) ℎ: ]−7𝜋
2,
−5𝜋
2[ → ℝ, con ℎ(𝑥) = tan (𝑥)
d) 𝑖: ]2𝜋, 3𝜋[ → ℝ, con 𝑖(𝑥) = csc (𝑥)
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e) 𝑗: [0,1] → ℝ, con 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝑥).
6. En cada caso escriba el nombre de la función trigonométrica a la cual hace referencia el
enunciado.
a) (200𝜋, 0) es una intersección con el eje 𝑥.
b) Es estrictamente decreciente en todo su dominio.
c) Tiene dos asíntotas horizontales.
d) Si 𝛼 = 45°, 𝑔(𝛼) = 1.
7. Considere la función 𝑓: ℝ − {𝑘+1
2𝜋, 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ ℤ} → ℝ, con 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐(𝑥). Determine:
a) Un intervalo para el cual la gráfica de 𝑠𝑒𝑐(𝑥) es convexa.
b) Un intervalo donde 𝑓 es estrictamente creciente si 𝑥 ∈ ]−31𝜋
2,
−29𝜋
2[
c) La ecuación de la asíntota vertical si 𝑥 ∈ ]10𝜋, 12𝜋[