trigonometria/geometria arcos e ângulos · resumo trigonometria/geometria denominados 1º, 2º,...
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Nome: no:
Ensino: Médio Série: 2ª. Turma: Data:
Professor: Márcio
DEFINIÇÃO
DEFINIÇÃO
1–Arcos e ângulos
1.1–Elementos:
C: centro da circunferência
CB = CA = R: raio da circunferência
ˆACB : ângulo central
AB : arco
1.2–Medida do arco:
A medida de um arco é igual à medida do seu ângulo central.
AB
1.3–Comprimento do arco:
medida comprimento360 2 R
360 2 R comp AB 2 R360comp AB
comp AB
1.3–Medida do arco em radianos:
O arco em que o comprimento é igual ao raio tem medida igual a 1
radiano
medida comprimento
360 2 R 2 R
1 rad R
360R 2 360 rad 180
2–Ciclo trigonométrico
Em um sistema de eixos perpendiculares
construímos uma circunferência de raio unitário e
com centro na interseção (origem) desses eixos.
O ponto A é a origem dos arcos e a partir dele
são feitas as medidas desses arcos.
A circunferência intersecta os eixos nos pontos
A, B, C e D e fica dividida em quatro setores.
Resumo
TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA
+
-
III
III IV
o A
B
C
D
+
-
III
III IV
++
--
IIIIII
IIIIII IVIV
o A
B
C
D
Resumo
TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA
EXEMPLO
Os setores indicados por I, II, III e IV são respectivamente
denominados 1º, 2º, 3º e 4º quadrantes.
Se um arco for medido no sentido horário, então a essa medida será
atribuído o sinal negativo ( ).
Se um arco for medido no sentido anti-horário, então a essa medida
será atribuído o sinal positivo ( ).
O arco com extremos em A e B no sentido anti-horário mede 90º.
O arco com extremos em A e C no sentido horário mede –180º.
O arco com extremos em A e D no sentido anti-horário mede 270º.
O arco com extremo em A e dá uma volta no sentido anti-horário mede
360º.
O arco com extremo em A e dá uma volta no sentido anti-horário e
continua até o ponto B mede 450º.
O arco com extremo em A e dá duas voltas no sentido horário e
continua até o ponto C mede -900º.
2.1–Arcos notáveis no ciclo trigonométrico:
o 0º 0 rad
360º 2 rad
90º2
rad
180º rad
3270º
2rad
30º6
rad
5
150º6
rad
7210º
6rad
11330º
6rad
o 0º 0 rad
360º 2 rad
90º2
rad
180º rad
3270º
2rad
30º6
rad
5
150º6
rad
7210º
6rad
11330º
6rad
o 0º 0 rad
360º 2 rad
90º2
rad
180º rad
3270º
2rad
45º4
rad
3
135º4
rad
5225º
4rad
7315º
4rad
o 0º 0 rad
360º 2 rad
90º2
rad
180º rad
3270º
2rad
45º4
rad
3
135º4
rad
5225º
4rad
7315º
4rad
0º 0 rad
360º 2 rad
90º2
rad
180º rad
3270º
2rad
60º3
rad
o
2120º
3rad
4240º
3rad
5300º
3rad
0º 0 rad
360º 2 rad
90º2
rad
180º rad
3270º
2rad
60º3
rad
oo
2120º
3rad
4240º
3rad
5300º
3rad
Resumo
TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA
DEFINIÇÃO
3–Funções trigonométricas
3.1–Função Seno
Considere no ciclo trigonométrico da figura abaixo o arco AP , de
comprimento x e OS a ordenada do ponto P.
Seno do arco x é a razão entre a ordenada do ponto P e o raio OP da
circunferência, assim: sen x OS .
Na função seno, associamos cada arco do ciclo trigonométrico a um
número real. Assim:
: f IR IR tal que f x sen x .
3.1.1–Variação da função seno.
Ix
AO S
sen x o
P
Ix
AO S
sen x o
P
IIIx
AO
decrescente
sen x o
SP
IIIx
AO
decrescente
sen x o
SP
3
2x
AO
S P
1sen x
mínimo
3
2x
AO
S P
1sen x
mínimo
1sen x
mínimo
IVx
AO
crescente
sen x o
S P
IVx
AO
crescente
sen x o
S P
O A
P
comp AP x
R
S
eixo dos senos
0 ou 2x x
A P
O S
0sen x
0 ou 2x x
A P
O S
0sen x
P
Ix
AO
0
crescente
sen x
S P
Ix
AO
0
crescente
sen x
S
2x
AO
1sen x
S P
máximo
2x
AO
1sen x
S P
2x
AO
1sen x
S P
máximo
IIx
AO
decrescente
sen x o
SP
IIx
AO
decrescente
sen x o
SP
Resumo
TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA
3.1.2–Gráfico
Conjunto imagem: Im f 1;1
Valor máximo que f assume: 1
Valor mínimo que f assume: - 1
Período: p 2
3.2–Função Cosseno
Considere no ciclo trigonométrico da figura abaixo o arco AP , de
comprimento x e OS a abscissa do ponto P.
Cossseno do arco x é a razão entre a abscissa do ponto P e o raio OP
da circunferência, assim: cos x OS .
Na função cosseno, associamos cada arco do ciclo trigonométrico a
um número real. Assim:
: f IR IR tal que cosf x x .
3.2.1–Variação da função cosseno.
x
A
O
cos 1x
S P
mínimo
x
A
O
cos 1x
S P
mínimo
IIIx
A
O
cos 0x
S
crescente
P
IIIx
A
O
cos 0x
S
crescente
P
O
comp AP x
S
P
A
eixo dos
cossenos
O
comp AP x
S
P
A
eixo dos
cossenos
0 ou 2x x
S PO
cos 1x
0 ou 2x x
S PO
cos 1x
Ix
A
O
cos 0x
S
decrescente
P
Ix
A
O
cos 0x
S
decrescente
P
Resumo
TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA
DEFINIÇÃO
3.2.2–Gráfico
Conjunto imagem: Im f 1;1
Valor máximo que f assume: 1
Valor mínimo que f assume: - 1
Período: p 2
3.3–Função Tangente
Considere no ciclo trigonométrico da figura abaixo o arco AP com
P B e P D e sendo S a intersecção da reta OP com o eixo das
tangentes.
Tangente do arco x é a razão entre a medida do segmento AS e o
raio AO da circunferência, assim: tg x AS .
Na função tangente, associamos cada arco do ciclo trigonométrico,
com exceção de ;2
x n n , a um número real. Assim:
: ;2
f IR x n n IR tal que f x tg x .
2x
A
O S
cos 0x
P
2x
A
O S
cos 0x
P
IIx
A
O
cos 0x
S
decrescente
P
IIx
A
O
cos 0x
S
decrescente
P
3
2x
AO S
cos 0x
P
3
2x
AO S
cos 0x
P
IVx
A
O
cos 0x
S
crescente
P
IVx
A
O
cos 0x
S
crescente
P
O
SP
A
eixo das
tangentes
x
B
C
D
O
SP
A
eixo das
tangentes
x
B
C
D
Resumo
TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA
3.3.1–Variação da função tangente.
x
A S
O
0tg x
P
x
A S
O
0tg x
P
IIIx
AO
0tg x
S
crescente
P
IIIx
AO
0tg x
S
crescente
P
3
2x
AO
P
S tg x
3
2x
AO
P
S tg x
IVx
AO
0tg x S
crescente
P
IVx
AO
0tg x S
crescente
P
3.3.2–Gráfico
Conjunto imagem: Im f IR
Não tem valor máximo e nem mínimo.
Período: p
0 ou 2x x
A P S
O
0tg x
S
0 ou 2x x
A P S
O
0tg x
S
Ix
AO
0tg x
S
crescente
P
Ix
AO
0tg x
S
crescente
P
2x
AO
S tg x
2x
AO
S tg x
IIx
AO
0tg x S
crescente
P
IIx
AO
0tg x S
crescente
P
Resumo
TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA
3.3–Resumo
4–Relações trigonométricas fundamentais
4.1– Relações trigonométricas fundamentais
2 2
2 2
2 2
sen θ = 1 - cos θsen θ + cos θ = 1
cos θ = 1 - sen θ
senθ
tgθ = cosθ
1
secθ = cosθ
1
cossecθ = senθ
1 cosθ
cotgθ = = tgθ senθ
0º
30º
45º
60º
180º
120º
135º
150º
180º
210º
225º
240º
270º
300º
315º
330º
360º
3
3
1
1
3
3
3
3
2 / 2
3 / 2
1/ 2
1
2
1/ 2
2 / 2
3 / 2
2
2
3
2
1
2
2
2
3
2
sen x
cos x
tg x
1
1-1
-1
0º
30º
45º
60º
180º
120º
135º
150º
180º
210º
225º
240º
270º
300º
315º
330º
360º
3
3
1
1
3
3
3
3
2 / 2
3 / 2
1/ 2
1
2
1/ 2
2 / 2
3 / 2
2
2
3
2
1
2
2
2
3
2
sen x
cos x
tg x
1
1-1
-1
Resumo
TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA
4.2–Relações trigonométricas auxiliares
2 2sec θ = 1 + tg θ
2 2cossec θ = 1 + cotg θ
5–Relações trigonométricas em um triângulo qualquer
5.1–Lei dos senos
a b c2R
ˆ ˆsen  sen B sen C
5.2–Lei dos cossenos
2 2 2
2 2 2
2 2 2
a b c 2 b c cos Â
ˆb a c 2 a c cosB
ˆc a b 2 a b cosC
6–Transformações
6.1–Adição e Subtração de arcos
.cos .cos
.cos .cos
sen a b sen a b sen b a
sen a b sen a b sen b a
cos cos .cos .
cos cos .cos .
a b a b sen a sen b
a b a b sen a sen b
1 .
1 .
tg a tg btg a b
tg a tg b
tg a tg btg a b
tg a tg b
, com , ,2
a b a b n n
Resumo
TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA
6.2–Arco Duplo
2 2. .cossen a sen a a
2 2
2
2
cos
cos 2 1 2
2cos 1
a sen a
a sen a
a
2
22
1
tg atg a
tg a
, com
2a n
e
4 2a n n
Observação:
2 2 2
1 2
cos cos 2 .cos
sen a
sen a a sen a a sen a a
Logo: 2
cos 1 2sen a a sen a
Resumo
TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA
1–Áreas de figuras planas
1.1–Retângulo
1.2–Quadrado
1.3–Paralelogramo
1.4–Trapézio
1.5–Losango
1.6–Triângulos
1.6.1–Triângulo qualquer
b
h .S b h
b
h
b
h .S b h
2S 2S
h
b
.S b hh
b
h
b
.S b h
b
B
h
2
B b hS
b
B
h
b
B
h
2
B b hS
D
d .
2
D dS
D
d .
2
D dS
D
d
D
d .
2
D dS
h
b
.
2
b hS h
b
h
b
.
2
b hS
Resumo
TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA
1.6.2–Triângulo equilátero
1.6.3–Triângulo qualquer
1.6.4–Triângulo qualquer (Fórmula de Hierão)
1.6.5–Triângulo qualquer
Geralmente esta relação é mais útil para determinar o raio da
circunferência inscrita no triângulo.
1.6.6–Triângulo qualquer
Geralmente esta relação é mais útil para determinar o raio da
circunferência circunscrita ao triângulo.
1.7–Hexágono Regular
2 3
4S
2 3
4S
a
b
. .
2
a b senS
a
b
a
b
. .
2
a b senS
a
bc
2
a b cp
S p p a p b p c
a
bc
a
bc
2
a b cp
S p p a p b p c
r
a
bc
2
.
a b cp
S p r
r
a
bc
r
a
bc
2
.
a b cp
S p r
a
b c
R
4
abcS
Ra
b c
R
a
b c
R
4
abcS
R
23 3
2S
23 3
2S
Resumo
TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA
1.8–Figuras circulares
1.8.1–Círculo
1.8.2–Coroa circular
1.8.3–Setor circular
1.8.4–Segmento circular
2–Prismas
2.1–Classificação
2.1.1–Prisma Oblíquo
São os prismas cujas arestas laterais são obliquas ao plano da base.
2.1.2–Prisma Reto
São os prismas cujas arestas laterais são perpendiculares ao plano da base.
2.1.3–Prisma Regular
São os prismas retos em que as bases são polígonos regulares.
R 2S RR 2S R
2 2S R r Rr 2 2S R r Rr
R
2
360ºS R
R
2
360ºS R
R
setor trianguloS S S
R
setor trianguloS S S
Prisma
Oblíquo
Prisma
Reto
Prisma
Regular
Prisma
Oblíquo
Prisma
Reto
Prisma
Regular
Resumo
TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA
2.2–Formulário:
2.2.1–Área da base (Ab):
É a área do polígono da base.
2.2.2–Área lateral (Al):
É a soma das áreas de todas as faces laterais.
2.2.3–Área total (At):
É a soma das áreas de todas as faces do prisma.
2 At Al Ab
2.2.4–Volume (V):
É um número que exprime a razão existente entre o espaço ocupado por um
sólido e o espaço ocupado por um cubo de aresta unitária.
.V Ab H
2.3–Casos particulares:
2.3.1–Paralelepípedo reto retângulo ou paralelepípedo
retângulo
É todo paralelepípedo reto cujas bases são retangulares.
Formulário:
Área total (At):
2 At ab ac bc
Volume (V):
V abc
Diagonal (D):
2 2 2 D a b c
Paralelepípedo Reto-retângulo
a
b
cD
a
b
c
a
b
cD
Resumo
TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA
2.3.2–Cubo
É todo paralelepípedo reto-retângulo cujas faces são quadradas.
Formulário:
Área total (At):
26At a
Volume (V):
3V a
Diagonal (D):
3D a
3–Pirâmides
3.1–Classificação
3.1.1–Pirâmide Oblíqua
São as pirâmides cuja projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base
não coincide com o centro do polígono da base.
3.1.2–Pirâmide Reta
São as pirâmides cuja projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base
coincide com o centro do polígono da base. Numa pirâmide reta, as faces
laterais são triângulos isósceles.
CuboCubo
a
D
a
a
a
D
a
a
Resumo
TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA
3.1.3–Pirâmide Regular
São as pirâmides retas em que as bases são polígonos regulares. Numa
pirâmide regular, as faces laterais são triângulos isósceles e congruentes
entre si.
Pirâmide quadrangular regular:
Na pirâmide regular acima, temos:
HC = R é o raio da circunferência circunscrita à base.
VA = VB = VC = VD = L são as arestas laterais.
VH = h é a altura da pirâmide.
HE = r é o raio da circunferência inscrita ou o apótema da base.
VE = g é a altura da face lateral ou o apótema lateral ou apótema da
pirâmide.
Daí:
i) 2 2 2 2 2 2 VH HE VE h r g
ii) 2 2 2 2 2 2VH HC VC h R L
3.2–Formulário:
3.2.1–Área da base (Ab):
É a área do polígono da base.
3.2.2–Área lateral (Al):
É a soma das áreas de todas as faces laterais.
3.2.3–Área total (At):
É a soma das áreas de todas as faces do prisma.
At Al Ab
Pirâmide
oblíqua
Pirâmide
reta
Pirâmide
regularPirâmide
oblíqua
Pirâmide
reta
Pirâmide
regular
V
A
BC
D
HE
V
A
BC
D
HE
Resumo
TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA
3.2.4–Volume (V):
É um número que exprime a razão existente entre o espaço ocupado por um
sólido e o espaço ocupado por um cubo de aresta unitária.
1
3 V Ab H
3.3–Tetraedro regular
São pirâmides triangulares onde todas as faces são triângulos equiláteros.
3.3.1–Formulário:
Área total (At):
2 3At a
Altura (H):
6
3
aH
Volume (V):
3 2
12
aV
3–Cilindros
3.1–Secção meridiana do cilindro:
É a interseção do cilindro com um plano que contém o eixo do mesmo.
3.1.1–Área da secção meridiana
2SMA RH
a
aa
a a
aa
a
2R
H
2R
H
Resumo
TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA
3.2–Classificação:
3.2.1–Cilindro Oblíquo
São os cilindros cujo eixo são oblíquos as plano da base.
3.2.2–Cilindro Reto ou de Revolução
São os cilindros cujo eixo é perpendicular ao plano da base. No cilindro
circular reto, a geratriz tem a mesma medida que a altura.
3.2.3–Cilindro Equilátero
São os cilindros retos cuja secção meridiana é um quadrado.
Assim, 2H R .
3.3–Formulário:
3.3.1–Área da base (Ab):
É a área do círculo da base.
2 Ab R
3.3.2–Área lateral (Al):
É área da superfície lateral.
2 Al RH
3.3.3–Área total (At):
2 At Al Ab
3.3.4–Volume (V):
.V Ab H
Cilindro
Oblíquo
Cilindro
Reto ou de
Revolução
Cilindro
Eqüilátero
R
Superfície
lateral
R
Superfície
lateral
2 R
H
R
Eixo
Geratriz
H
Altura
Base
R
Eixo
Geratriz
H
Altura
Base
Resumo
TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA
4–Cones
4.1–Secção meridiana do cilindro:
É a interseção do cone com um plano que contém o eixo do
mesmo.
4.1.1–Área da secção meridiana
SMA RH
4.2–Classificação:
4.2.1–Cone Oblíquo
São os cones cujo eixo é oblíquo ao plano da base.
4.2.2–Cone Reto
São os cones cujo eixo é perpendicular ao plano da base.
4.2.3–Cone Equilátero
São os cones retos cuja secção meridiana é um triângulo equilátero.
Assim, 2g R .
4.3–Formulário:
4.3.1–Área da base (Ab):
É a área do círculo da base.
2 Ab R
4.3.2–Área lateral (Al):
É área da superfície lateral.
Al Rg
4.3.3–Área total (At):
At Al Ab
4.3.4–Volume (V):
1.
3V Ab H
Cone
Oblíquo
Cone
Reto ou de
Revolução
Cone
Eqüilátero
Cone
Oblíquo
Cone
Reto ou de
Revolução
Cone
Eqüilátero
2R
H
V
Raio
Eixo
Geratriz
Base
H
Altura
V
Superfície
Lateral
V
Raio
Eixo
Geratriz
Base
H
Altura
V
Superfície
Lateral
V
Superfície
Lateral