tro_-_metode_simpleks.pdf

8/16/2019 TRO_-_Metode_Simpleks.pdf

1/7

METODE SIMPLEKS Teknik Riset OperasionalSTMIK Budi Darma Medan

Oleh : Tonni Limbong, S.Kom,M.Kom -1-

PEMROGRAMAN LINIERMETODE SIMPLEKS

Metode simpleks dalam penggunaannya perlu diperhatikan cara mengonversi constraintyang masih dalam bentuk pertidaksamaan menjadi persamaan dengan menggunakan

bantuan variabel slack . Dan nilai di sisi kanan harus non negatif. Dalam constraint yangmenggunakan tanda


2/7



"*% + *- + r % = "2, r % &=

/elanjutnya kedua sisi dikalikan dengan "%, sehingga sisi kanan bernilai positif $*% " *- " r % = 2

-. Menambahkan variabel slack ke fungsi tujuan dengan koefisien nol ada kasusmodel 3eddy Mikks, fungsi tujuan 4 = 5*% + *- dengan variabel slack menjadi 4= 5*% + *- + s% + s- + s2 + s.

2. Memindahkan komponen sisi kanan fungsi tujuan ke sisi kanan ada kasus model3eddy Mikks, fungsi tujuan 4 = 5*% + *- + s% + s- + s2 + s menjadi 4 " 5*% "*- " s% " s- " s2 " s = .

Dalam menyelesaikan kasus pemrograman linier, metode simpleks memberikanlangkah"langkah penyelesaian sebagai berikut $ %. Menentukan a#al basis solusi layak-. Memilih variabel masuk menggunakan syarat keoptimalan. 6erhenti jika tidak ada

lagi variabel masuk, solusi terakhir adalah solusi optimal. 7ika tidak maka kelangkah 2.

2. Memilih variabel keluar menggunakan syarat kelayakan.. Menentukan solusi dasar yang baru menggunakan perhitungan 8auss"7ordan.

0embali ke langkah -.

/yarat keoptimalan (optimality condition). 9ariabel masuk dalam kasus pemaksimalan(peminimalan) adalah variabel nonbasis yang mempunyai koefisien negatif terbesar(pemaksimalan) atau positif terbesar (peminimalan) dalam baris :"ro#. /yarat optimaldicapai pada iterasi dimana semua koefisien :"ro# dari variabel nonbasis tidak negatif(pemaksimalan) atau tidak positif (peminimalan).

/yarat kelayakan (feasibility condition). 'ntuk kedua masalah pemaksimalan danpeminimalan, variabel keluar adalah variabel basis yang dikaitkan dengan rasio nonnegatif terkecil.

;perasi baris 8auss"7ordan $%. Menentukan baris kunci $

a. 8antilah variabel keluar dalam kolom basis dengan variabel masuk b. 6aris kunci baru = 6aris kunci elemen kunci

-. Mengganti nilai baris yang lain $6aris baru = 6aris lama koefisien kolom kunci > 6aris kunci baru9ariabel basis adalah variabel yang berkontribusi (mempunyai nilai) memberikan

solusi yang diminta. 9ariabel nonbasis adalah variabel yang tidak berkontribusi(bernilai ) dalam pemberian solusi. ?nisialisasi dalam metode simpleks $%. *%, *-, @ adalah variabel non basis-. s%, s-, @ adalah variabel basisDalam iterasi metode simpleks, satu persatu variabel slack akan berubah menjadivariabel non basis karena keluar dari solusi dasar (variabel keluar), dan variabelkeputusan akan berubah menjadi variabel basis karena masuk ke basis solusi(variabel masuk).

Contoh


3/7



erusahaan Mujur erus memproduksi cat interior dan e*terior dari dua bahan baku,M% dan M-. abel diba#ah ini adalah informasi mengenai kebutuhan bahan baku,ketersediaan, dan keuntungannya.

Kebutuhan Bahan Baku(Ton)

Produk

M1 M

Keuntun!an(" R#$ 1%%%)

Aat B*ternal % 5

Aat ?nternal -

Ka#a&'ta& *

/urvey pasar menunjukkan bah#a kebutuhan perhari untuk cat interior tidak bolehmelebihi cat e*terior lebih dari % ton, juga kebutuhan harian maksimal untuk cat interioradalah - ton.Mujur erus ingin menentukan jumlah optimal (terbaik) produk antara cat interior dane*terior dengan memaksimalkan total keuntungan harian.

Pen+e,e&a'an

0onversi model Mujur erus menjadi $0endala $

*% + *- + s% = - (bahan baku M%) @@@@@@ (%)*% + -*- + s- = (bahan baku M-) @@@@@@ (-)"*% + *- + s2 = % (batas pasar) @@@@@@@.. (2)*- + s = - (batas kebutuhan) @@@@@.. ()*%, *-, s%, s-, s2, s C

Maksimalkan 4 = 5*% + *- + s% + s- + s2 +s

9ariabel s%, s-, s2, dan s adalah variabel slack yang dikaitkan dengan constraint yangbersangkutan.

ungsi tujuan diubah menjadi $4 " 5*% " *- " s% " s- " s2 " s =

abel a#al simpleks dapat dilihat sebagai berikut $Ba&'& * -1 - S1 S S. S So,u&'

* 1 /0 / % % % % % 4"ro#

S1 - /%"ro#

S % - % % /-"ro#

S. "% % % % /2"ro#

S % % - /"ro#

?nformasi dari tabel diatas adalah bah#a sejumlah variabel basis dan nonbasis telahdimasukkan pada a#al iterasi. ?terasi a#al simplekas dimulai pada titik (*%,*-) = (,)yang jika dikaitkan dengan himpunan variabel basis dan nonbasis adalah $9ariabel nonbasis (nol) $ E*%,*-F9ariabel basis $ Es%, s-, s2, sF


4/7



Dengan mensubstitusikan variabel nonbasis (*%,*-) = (,) pada constraint dan fungsitujuan maka variabel basis (s%, s-, s2, s) didapatkan $4 = s% = -s- = s2 = %s = -

?nformasi diatas ditunjukkan dalam tabel pada kolom 6asis dan nilainya di kolom /olusisebelah kanan. erlu diingat bah#a variabel basis adalah variabel yang mempunyaihubungan dengan nilai fungsi tujuan 4. /edangkan variabel nonbasis sellau bernilai nol(tidak ada dalam kolom 6asis).

/olusi dari fungsi * 0"1 2 " yang ditunjukkan oleh tabel dapat ditingkatkan denganmeningkatkan *% dan *-. 'ntuk variabel yang akan masuk sebagai variabel basis dipilihnilai variabel nonbasis yang mempunyai nilai koefisien positif terbesar . 0arena fungsitujuan dalam tabel simpleks adalah * 3 0"1 3 " %, variabel masuk akan dikaitkan

pada variabel dengan koefisien negatif terbesar dalam fungsi tujuan. Gturan ini disebutdengan syarat optimal .

Mekanisme penentuan variabel keluar dari tabel simpleks dilakukan dengan menghitungrasio non negatif dari sisi kanan persamaan (kolom /olusi) pada koefisien constraintyang bersangkutan dengan variabel masuk seperti yang ditunjukkan diba#ah ini $

Ba&'& Ma&uk(-1)

So,u&' Rat'o

S1 - -1 4 M'n'5a,

S % H%=I% =

S. "% % H%=%I"% = "% Diabaikan

S - H%=-I=ω DiabaikanKe&'5#u,an 6 -1 Ma&uk dan S1 Ke,uar

Dari tabel diatas dapat dilihat bah#a rasio nonnegative minimal didapatkan padavariabel basis s%. /olusi yang baru didapatkan dengan menukar *% sebagai variabelmasuk (menjadi variabel basis) dengan s% sebagai variabel keluar (menjadi variabelnonbasis). /ehingga himpunan variabel basis dan nonbasis menjadi $9ariabel nonbasis (nol) $ Es%, *-F9ariabel basis $ E*%, s-, s2, sF

roses penukaran didasarkan pada operasi 8auss"7ordan. ;perasi ini menjadikankolom variabel masuk sebagai ko,o5 kun7' dan variabel keluar sebagai bar'& kun7'.

Blemen yang tepat menjadi anggota kolom kunci dan baris kunci disebut e,e5en kun7'.abel akan diupdate berdasarkan baris dan kolom yang dihighlight.


5/7



Ma&uk

Ba&'& * -1 - S1 S S. S So,u&'

* 1 /0 / % % % % %

S1 - Bar'& Kun7'

S % - % %

S. "% % % %

Ke,uar

S % % -

Ko,o5Kun7'

;perasi 8auss"7ordan untuk menghasilkan solusi baru $%. 6aris kunci

8anti s% pada kolom 6asis dengan *%6aris *% baru = Bar'& &1 8 e,e5en kun7'

= J % -K I = 9% 1 4. 14 % % % :

-. 6aris yang lain6aris : baru = Bar'& ; 3 (/0) < Bar'& "1 baru

= J% "5 " K ("5) > J % -I2 %I K= J% "5 " K J "5 "%I2 "5I "-K= 91 % /4. 04 % % % %:

6aris s- baru = Bar'& & 3 (1) < Bar'& "1 baru = J % - % K (%) > J % -I2 %I K= J % - % K J % -I2 %I K= 9% % 4. /14 1 % % :

6aris s2 baru = Bar'& &. 3 (/1) < Bar'& "1 baru

= J "% % % %K ("%) > J % -I2 %I K= J "% % % %K J "% "-I2 "%I "K= 9% % 04. 14 % 1 % 0:

6aris s baru = Bar'& & 3 (%) < Bar'& "1 baru = J % % -K () > J % -I2 %I K= J % % -K J K= 9% % 1 % % % 1 :

/olusi baru adalah (*%, s-, s2, s) dan tabel simpleks berubah menjadi $

Ba&'& * -1 - S1 S S. S So,u&'

* 1 % /4. 04 % % % %

-1 1 -I2 %I

S I2 "%I % -

S. 5I2 %I % 5

S % % -

Dari tabel diatas, terlihat bah#a fungsi tujuan 4 = -. /elanjutnya dicari lagi variabelmasuk pada baris 4 (fungsi tujuan) yang mempunyai koefisien negatif terbesar,


6/7



ditemukan *- dengan koefisien "-I2 sebagai variabel masuk. /yarat optimal ditunjukkanbah#a *- adalah variabel masuk. /yarat layak ditunjukkan diba#ah ini $

Ba&'& Ma&uk(")

So,u&' Rat'o

-1 -I2 H- = I(-I2) =

S I2 - -4(4.) .4 M'n'5a, S. 5I2 5 H-=5I(5I2) = 2

S % - H-=-I%=- Ke&'5#u,an 6 - Ma&uk dan S Ke,uar

Lilai rasio positif terkecil menjadi baris kunci dan kolom pada fungsi tujuan dengankoefisien negatif terbesar menjadi kolom kunci.

Ma&uk

Ba&'& * -1 - S1 S S. S So,u&'

* 1 % /4. 04 % % % %

-1 1 -I2 %I S 4. "%I % - Bar'& Kun7'

S. 5I2 %I % 5

Ke,uar

S % % -

Ko,o5Kun7'

;perasi 8auss"7ordan untuk menghasilkan solusi baru $%. 6aris kunci

8anti s- pada kolom 6asis dengan *-6aris *- baru = Bar'& & 8 e,e5en kun7'

= J I2 "%I % -K I (I2)

= 9% % 1 /14= .4 % % .4:

-. 6aris yang lain6aris : baru = Bar'& ; 3 (/4.) < Bar'& " baru

= J% "-I2 5I -K ("-I2) > J % "%I1 2I 2I-K= J% "-I2 5I -K J "-I2 %I%- "%I- "%K= J1 % % > ? % % 1:

6aris *% baru = Bar'& "1 3 (4.) < Bar'& " baru = J % -I2 %I K (-I2) > J % "%I1 2I- K= J % -I2 %I K J -I2 "%I%- N %K

= 9% 1 % 14 /14 % % .:

6aris s2 baru = Bar'& &. 3 (04.) < Bar'& "1 baru = J 5I2 %I % 5K (5I2) > J % "%I1 2I-K= J 5I2 %I % 5K J 5I2 "5I- 5I 5I-K= 9% % % .4= /04 1 % 04:


7/7



6aris s baru = Bar'& & 3 (%) < Bar'& "1 baru= J % % -K (%) > J % "%I1 2I 2I-K= J % % -K J % "%I1 2I 2I-K= 9% % % 14= /.4 % 1 14:

/olusi baru adalah (*%, *-, s2, s) dan tabel simpleks berubah menjadi $Ba&'& * -1 - S1 S S. S So,u&'

* 1 % % .4 14 % % 1

-1 1 %I "%I- .- % "%I1 2I .4S. 2I1 "5I % 5I-

S %I1 "2I % %I-

6erdasarkan pada syarat optimal, tidak ada dalam koefisien :"ro# yang variabelnonbasis (s% dan s-) nilainya negatif. /ehingga tabel diatas sudah mencapai optimal. /olusi optimal bisa dibaca dari tabel simpleks dengan cara berikut $ Lilai optimal

variabel dikolom 6asis diberikan disisi kanan. 0olom /olution dapat diartikan sebagaiberikut $

@ar'abe, Ke#utu&an N',a' O#t'5a, Reko5enda&'H% 2 roduksi 2 on Aat B*terior I OariH- 2I- roduksi %.5 on Aat ?nterior I Oari4 -% 0euntungan Oarian adalah -% (*%)

0ita bisa melakukan verifikasi bah#a nilai s% = , s- = , s2 = 5I-, dan s = N adalahsesusi dengan nilai yang yang diberikan oleh *% dan *- seperti diatas denganmemasukannya kedalam constraint.

tro_-_metode_simpleks.pdf

Documents