törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjukbevezetés modellek, a megoldandó egyenlet...
TRANSCRIPT
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
Izsák FerencELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &
ELTE-MTA NumNet Kutatócsoport
munkatárs: Szekeres Béla János
Alkalmazott Analízis Szeminárium, BMEBudapest, 2016. október 27.
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Diffúzió
A leggyakrabban megfigyelhető dinamika.
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Diffúzió
A leggyakrabban megfigyelhető dinamika.
Szinte minden (részletes) folytonos modellben szerepel:transzportfolyamatok, kémiai reakciók, folyadékdinamika,populációdinamika . . . .
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Diffúzió
A leggyakrabban megfigyelhető dinamika.
Szinte minden (részletes) folytonos modellben szerepel:transzportfolyamatok, kémiai reakciók, folyadékdinamika,populációdinamika . . . .
Hogy lehet kísérletileg ellenőrizni?
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Diffúzió
A leggyakrabban megfigyelhető dinamika.
Szinte minden (részletes) folytonos modellben szerepel:transzportfolyamatok, kémiai reakciók, folyadékdinamika,populációdinamika . . . .
Hogy lehet kísérletileg ellenőrizni?
Egyes részecskék τ idő alatti x(τ) elmozdulására:
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Diffúzió
A leggyakrabban megfigyelhető dinamika.
Szinte minden (részletes) folytonos modellben szerepel:transzportfolyamatok, kémiai reakciók, folyadékdinamika,populációdinamika . . . .
Hogy lehet kísérletileg ellenőrizni?
Egyes részecskék τ idő alatti x(τ) elmozdulására:
x(τ) normális eloszlású,
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Diffúzió
A leggyakrabban megfigyelhető dinamika.
Szinte minden (részletes) folytonos modellben szerepel:transzportfolyamatok, kémiai reakciók, folyadékdinamika,populációdinamika . . . .
Hogy lehet kísérletileg ellenőrizni?
Egyes részecskék τ idő alatti x(τ) elmozdulására:
x(τ) normális eloszlású,
E(|x(τ)|2) ∼ τ vagy E(|x(τ)|) ∼ √τ .
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Diffúzió
A leggyakrabban megfigyelhető dinamika.
Szinte minden (részletes) folytonos modellben szerepel:transzportfolyamatok, kémiai reakciók, folyadékdinamika,populációdinamika . . . .
Hogy lehet kísérletileg ellenőrizni?
Egyes részecskék τ idő alatti x(τ) elmozdulására:
x(τ) normális eloszlású,
E(|x(τ)|2) ∼ τ vagy E(|x(τ)|) ∼ √τ .
Tényleg ezt figyelték meg?
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Törtrendű diffúzió - megfigyelések
Sok esetben nem - E (|x(τ)|2) ∼ τ s , ahol s > 1.
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Törtrendű diffúzió - megfigyelések
Sok esetben nem - E (|x(τ)|2) ∼ τ s , ahol s > 1.
• Szuperdiffúzió.
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Törtrendű diffúzió - megfigyelések
Sok esetben nem - E (|x(τ)|2) ∼ τ s , ahol s > 1.
• Szuperdiffúzió.
Populációdinamika: ragadozók, táplálékkereső állatokmozgása.
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Törtrendű diffúzió - megfigyelések
Sok esetben nem - E (|x(τ)|2) ∼ τ s , ahol s > 1.
• Szuperdiffúzió.
Populációdinamika: ragadozók, táplálékkereső állatokmozgása.
• Kékcápák: az adott idő alatti elmozdulás sűrűségfüggvényepolinomiális – ∼ 1
x2.46 [Humphries et al., 2010].
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Törtrendű diffúzió - megfigyelések
Sok esetben nem - E (|x(τ)|2) ∼ τ s , ahol s > 1.
• Szuperdiffúzió.
Populációdinamika: ragadozók, táplálékkereső állatokmozgása.
• Kékcápák: az adott idő alatti elmozdulás sűrűségfüggvényepolinomiális – ∼ 1
x2.46 [Humphries et al., 2010].
Koncentrációváltozás plazma-halmazállapotban.
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Törtrendű diffúzió - megfigyelések
Sok esetben nem - E (|x(τ)|2) ∼ τ s , ahol s > 1.
• Szuperdiffúzió.
Populációdinamika: ragadozók, táplálékkereső állatokmozgása.
• Kékcápák: az adott idő alatti elmozdulás sűrűségfüggvényepolinomiális – ∼ 1
x2.46 [Humphries et al., 2010].
Koncentrációváltozás plazma-halmazállapotban.
• Szubdiffúzió - E (|x(τ)|2) ∼ τ s , ahol 0 < s < 1:
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Törtrendű diffúzió - megfigyelések
Sok esetben nem - E (|x(τ)|2) ∼ τ s , ahol s > 1.
• Szuperdiffúzió.
Populációdinamika: ragadozók, táplálékkereső állatokmozgása.
• Kékcápák: az adott idő alatti elmozdulás sűrűségfüggvényepolinomiális – ∼ 1
x2.46 [Humphries et al., 2010].
Koncentrációváltozás plazma-halmazállapotban.
• Szubdiffúzió - E (|x(τ)|2) ∼ τ s , ahol 0 < s < 1:
Folyadékdinamika: vízkoncentráció változása a talajban.
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Törtrendű diffúzió - megfigyelések
Sok esetben nem - E (|x(τ)|2) ∼ τ s , ahol s > 1.
• Szuperdiffúzió.
Populációdinamika: ragadozók, táplálékkereső állatokmozgása.
• Kékcápák: az adott idő alatti elmozdulás sűrűségfüggvényepolinomiális – ∼ 1
x2.46 [Humphries et al., 2010].
Koncentrációváltozás plazma-halmazállapotban.
• Szubdiffúzió - E (|x(τ)|2) ∼ τ s , ahol 0 < s < 1:
Folyadékdinamika: vízkoncentráció változása a talajban.
Biokémia: fehérjekoncentráció egyes oldatokban.
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Törtrendű diffúzió - megfigyelések
Sok esetben nem - E (|x(τ)|2) ∼ τ s , ahol s > 1.
• Szuperdiffúzió.
Populációdinamika: ragadozók, táplálékkereső állatokmozgása.
• Kékcápák: az adott idő alatti elmozdulás sűrűségfüggvényepolinomiális – ∼ 1
x2.46 [Humphries et al., 2010].
Koncentrációváltozás plazma-halmazállapotban.
• Szubdiffúzió - E (|x(τ)|2) ∼ τ s , ahol 0 < s < 1:
Folyadékdinamika: vízkoncentráció változása a talajban.
Biokémia: fehérjekoncentráció egyes oldatokban.
A fenti arányosság tapasztalati; valójában gyakran nincs isértelme.
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Aktuális téma
Különszámok: Computers and Mathematics with Applications(3x); Journal of King Saud University; Journal of OptimizationTheory and Applications; Journal of Computational Physics;Analysis: International mathematical journal of analysis and itsapplications; Advances in Pure Mathematics; Journal ofComputational and Applied Mathematics; Chaos, Solition &Fractals ...
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Aktuális téma
Különszámok: Computers and Mathematics with Applications(3x); Journal of King Saud University; Journal of OptimizationTheory and Applications; Journal of Computational Physics;Analysis: International mathematical journal of analysis and itsapplications; Advances in Pure Mathematics; Journal ofComputational and Applied Mathematics; Chaos, Solition &Fractals ...
Mathscinet: 2015-ben: "fractional" - 2651 cikk; "Runge–Kutta" - 271 cikk
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Aktuális téma
Különszámok: Computers and Mathematics with Applications(3x); Journal of King Saud University; Journal of OptimizationTheory and Applications; Journal of Computational Physics;Analysis: International mathematical journal of analysis and itsapplications; Advances in Pure Mathematics; Journal ofComputational and Applied Mathematics; Chaos, Solition &Fractals ...
Mathscinet: 2015-ben: "fractional" - 2651 cikk; "Runge–Kutta" - 271 cikk
2016-ban: "fractional" - 1773 cikk; "Runge–Kutta" - 126 cikk.
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Szemléletes kép, fő kérdés
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Szemléletes kép, fő kérdés
Hogyan szimuláljuk ezt a jelenséget?
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Matematikai modellek
A szokásos megközelítés:
u(t, x) - az ismeretlen koncentráció t időpontban x-ben,
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Matematikai modellek
A szokásos megközelítés:
u(t, x) - az ismeretlen koncentráció t időpontban x-ben,
x ∈ Ω - a vizsgált térfogat, u(0, x) - adott kezdeti érték.
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Matematikai modellek
A szokásos megközelítés:
u(t, x) - az ismeretlen koncentráció t időpontban x-ben,
x ∈ Ω - a vizsgált térfogat, u(0, x) - adott kezdeti érték.
A koncentráció változására:
∂tu(t, x) = Au(t, x) + f (t, x),
ahol
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Matematikai modellek
A szokásos megközelítés:
u(t, x) - az ismeretlen koncentráció t időpontban x-ben,
x ∈ Ω - a vizsgált térfogat, u(0, x) - adott kezdeti érték.
A koncentráció változására:
∂tu(t, x) = Au(t, x) + f (t, x),
ahol
A egy megfelelő differenciáloperátor,
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Matematikai modellek
A szokásos megközelítés:
u(t, x) - az ismeretlen koncentráció t időpontban x-ben,
x ∈ Ω - a vizsgált térfogat, u(0, x) - adott kezdeti érték.
A koncentráció változására:
∂tu(t, x) = Au(t, x) + f (t, x),
ahol
A egy megfelelő differenciáloperátor,
f egy (esetleges) forrástagot jelent.
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Matematikai modellek: de mi legyen A? - nemkorlátos eset
Ha Ω = Rn, akkor egységesen az −(−∆)
α
2 operátortjavasolják, ahol
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Matematikai modellek: de mi legyen A? - nemkorlátos eset
Ha Ω = Rn, akkor egységesen az −(−∆)
α
2 operátortjavasolják, ahol
• (−∆)α
2 f = F−1(IdαF f )
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Matematikai modellek: de mi legyen A? - nemkorlátos eset
Ha Ω = Rn, akkor egységesen az −(−∆)
α
2 operátortjavasolják, ahol
• (−∆)α
2 f = F−1(IdαF f )
Levezetés: folytonos sztochasztikus modellben azátmenetvalószínűségekre.
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Matematikai modellek: de mi legyen A? - nemkorlátos eset
Ha Ω = Rn, akkor egységesen az −(−∆)
α
2 operátortjavasolják, ahol
• (−∆)α
2 f = F−1(IdαF f )
Levezetés: folytonos sztochasztikus modellben azátmenetvalószínűségekre.
• (−∆)α
2 f (x) = −C(n,α)2
∫
Rn
u(x+y)−2u(x)+u(x−y)|y|n+α
dy
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Matematikai modellek: de mi legyen A? - nemkorlátos eset
Ha Ω = Rn, akkor egységesen az −(−∆)
α
2 operátortjavasolják, ahol
• (−∆)α
2 f = F−1(IdαF f )
Levezetés: folytonos sztochasztikus modellben azátmenetvalószínűségekre.
• (−∆)α
2 f (x) = −C(n,α)2
∫
Rn
u(x+y)−2u(x)+u(x−y)|y|n+α
dy
Levezetés: diszkrét sztochasztikus modellben (+határátmenet) az átmenetvalószínűségekre.
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Matematikai modellek: de mi legyen A? - nemkorlátos eset
Ha Ω = Rn, akkor egységesen az −(−∆)
α
2 operátortjavasolják, ahol
• (−∆)α
2 f = F−1(IdαF f )
Levezetés: folytonos sztochasztikus modellben azátmenetvalószínűségekre.
• (−∆)α
2 f (x) = −C(n,α)2
∫
Rn
u(x+y)−2u(x)+u(x−y)|y|n+α
dy
Levezetés: diszkrét sztochasztikus modellben (+határátmenet) az átmenetvalószínűségekre.
(−∆)α
2 f (x) = C (n, α) PV∫
Rn
u(x)−u(y)|y|n+α
dy
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Matematikai modellek: de mi legyen A? - nemkorlátos eset
Ha Ω = Rn, akkor egységesen az −(−∆)
α
2 operátortjavasolják, ahol
• (−∆)α
2 f = F−1(IdαF f )
Levezetés: folytonos sztochasztikus modellben azátmenetvalószínűségekre.
• (−∆)α
2 f (x) = −C(n,α)2
∫
Rn
u(x+y)−2u(x)+u(x−y)|y|n+α
dy
Levezetés: diszkrét sztochasztikus modellben (+határátmenet) az átmenetvalószínűségekre.
(−∆)α
2 f (x) = C (n, α) PV∫
Rn
u(x)−u(y)|y|n+α
dy
A fentiek mind ekvivalensek: Ten equivalent definitions ..,[Kwasnicki, ’15]
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Mi legyen A? - korlátos egydimenziós eset
Ha Ω ⊂ R korlátos, akkor többféle javaslat (n = ⌈α⌉):
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Mi legyen A? - korlátos egydimenziós eset
Ha Ω ⊂ R korlátos, akkor többféle javaslat (n = ⌈α⌉):
A Riemann–Liouville-derivált:
∂αRLf (x) = ∂n
(
1Γ(n − α)
∫ x
a
(x − τ)n−α−1f (τ) dτ
)
.
Szimmetrikus verzió:
1
2Γ(n − α)∂n
Z
x
a
(x − τ)n−α−1f (τ) dτ + (−1)nZ
b
x
(τ − x)n−α−1f (τ) dτ
!
.
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Mi legyen A? - korlátos egydimenziós eset
Ha Ω ⊂ R korlátos, akkor többféle javaslat (n = ⌈α⌉):
A Riemann–Liouville-derivált:
∂αRLf (x) = ∂n
(
1Γ(n − α)
∫ x
a
(x − τ)n−α−1f (τ) dτ
)
.
Szimmetrikus verzió:
1
2Γ(n − α)∂n
Z
x
a
(x − τ)n−α−1f (τ) dτ + (−1)nZ
b
x
(τ − x)n−α−1f (τ) dτ
!
.
A Caputo-derivált:
∂αCf (x) =
1Γ(n − α)
∫ x
a
(x − τ)n−α−1∂nf (τ) dτ.
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Mi legyen A? - korlátos egydimenziós eset
A Grünwald–Letnikov-derivált:
∂αGLf (x) = lim
h→0
1hα
∞∑
k=0
(−1)k(
α
k
)
f (x + (α − k)h).
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Mi legyen A? - korlátos egydimenziós eset
A Grünwald–Letnikov-derivált:
∂αGLf (x) = lim
h→0
1hα
∞∑
k=0
(−1)k(
α
k
)
f (x + (α − k)h).
Dirichlet–Laplace α2
rendű hatványa: (−∆D)α
2 .
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Mi legyen A? - korlátos egydimenziós eset
A Grünwald–Letnikov-derivált:
∂αGLf (x) = lim
h→0
1hα
∞∑
k=0
(−1)k(
α
k
)
f (x + (α − k)h).
Dirichlet–Laplace α2
rendű hatványa: (−∆D)α
2 .
(−∆D)−1 : L2(Ω) → L2(Ω) pozitív, kompakt, önadjungált,vagyis a fenti értelmes.
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Mi legyen A? - korlátos egydimenziós eset
A Grünwald–Letnikov-derivált:
∂αGLf (x) = lim
h→0
1hα
∞∑
k=0
(−1)k(
α
k
)
f (x + (α − k)h).
Dirichlet–Laplace α2
rendű hatványa: (−∆D)α
2 .
(−∆D)−1 : L2(Ω) → L2(Ω) pozitív, kompakt, önadjungált,vagyis a fenti értelmes.
Ezek már nem ekvivalensek.
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Mi legyen A? - korlátos többdimenziós eset
Ha Ω ⊂ Rn korlátos, akkor
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Mi legyen A? - korlátos többdimenziós eset
Ha Ω ⊂ Rn korlátos, akkor
Pl. 2 dimenzióban
∂αx u(t, x , y) + ∂α
y u(t, x , y)
ahol ∂αx valamelyik fenti definíció.
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Mi legyen A? - korlátos többdimenziós eset
Ha Ω ⊂ Rn korlátos, akkor
Pl. 2 dimenzióban
∂αx u(t, x , y) + ∂α
y u(t, x , y)
ahol ∂αx valamelyik fenti definíció.
Dirichlet–Laplace α2
rendű hatványa: −(−∆D)α
2 .
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Mi legyen A? - korlátos többdimenziós eset
Ha Ω ⊂ Rn korlátos, akkor
Pl. 2 dimenzióban
∂αx u(t, x , y) + ∂α
y u(t, x , y)
ahol ∂αx valamelyik fenti definíció.
Dirichlet–Laplace α2
rendű hatványa: −(−∆D)α
2 .
Miért ez a sokféleség?
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Mi legyen A? - korlátos többdimenziós eset
Ha Ω ⊂ Rn korlátos, akkor
Pl. 2 dimenzióban
∂αx u(t, x , y) + ∂α
y u(t, x , y)
ahol ∂αx valamelyik fenti definíció.
Dirichlet–Laplace α2
rendű hatványa: −(−∆D)α
2 .
Miért ez a sokféleség?
Melyik modell a jó?
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Mi legyen A? - korlátos többdimenziós eset
Ha Ω ⊂ Rn korlátos, akkor
Pl. 2 dimenzióban
∂αx u(t, x , y) + ∂α
y u(t, x , y)
ahol ∂αx valamelyik fenti definíció.
Dirichlet–Laplace α2
rendű hatványa: −(−∆D)α
2 .
Miért ez a sokféleség?
Melyik modell a jó?
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Matematikai modellek: közös tulajdonságok
Minden Ω ⊂ Rn bármelyik definíció alapján α 6= 2 esetén:
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Matematikai modellek: közös tulajdonságok
Minden Ω ⊂ Rn bármelyik definíció alapján α 6= 2 esetén:
A nem lokális operátor - azaz (−∆)α
2 u(t, x) értéke nem adhatómeg tetszőleges W (x) egy környezet esetén u|W (x) alapján.
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Matematikai modellek: közös tulajdonságok
Minden Ω ⊂ Rn bármelyik definíció alapján α 6= 2 esetén:
A nem lokális operátor - azaz (−∆)α
2 u(t, x) értéke nem adhatómeg tetszőleges W (x) egy környezet esetén u|W (x) alapján.
A fizikában használt kauzalitás elvének ez ellentmond - többennem fogadják el.
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Matematikai modellek: közös tulajdonságok
Minden Ω ⊂ Rn bármelyik definíció alapján α 6= 2 esetén:
A nem lokális operátor - azaz (−∆)α
2 u(t, x) értéke nem adhatómeg tetszőleges W (x) egy környezet esetén u|W (x) alapján.
A fizikában használt kauzalitás elvének ez ellentmond - többennem fogadják el.
Van szép matematikai modell, ahol a diffúzióban használtx-beli fluxus nem csak az x-beli deriválttól függ:
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Matematikai modellek: közös tulajdonságok
Minden Ω ⊂ Rn bármelyik definíció alapján α 6= 2 esetén:
A nem lokális operátor - azaz (−∆)α
2 u(t, x) értéke nem adhatómeg tetszőleges W (x) egy környezet esetén u|W (x) alapján.
A fizikában használt kauzalitás elvének ez ellentmond - többennem fogadják el.
Van szép matematikai modell, ahol a diffúzióban használtx-beli fluxus nem csak az x-beli deriválttól függ:
nem lokális kalkulus – Du, Gunzburger ’13, SIREV
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Fő problémák
Peremfeltételek.
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Fő problémák
Peremfeltételek.
• Egy térrészben adott u, de a törtrendű derivált kiszámításáhozkellene az értéke a térrészen kívül is.
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Fő problémák
Peremfeltételek.
• Egy térrészben adott u, de a törtrendű derivált kiszámításáhozkellene az értéke a térrészen kívül is.
• Hogyan különböztessük meg / vegyük figyelembe a no-flux(homogén Neumann) peremfeltételt?
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Fő problémák
Peremfeltételek.
• Egy térrészben adott u, de a törtrendű derivált kiszámításáhozkellene az értéke a térrészen kívül is.
• Hogyan különböztessük meg / vegyük figyelembe a no-flux(homogén Neumann) peremfeltételt?
A fenti probléma homogén Dirichlet- ésNeumann-peremfeltétel esetén 1 dimenzióban kezelhető.
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Fő problémák
Peremfeltételek.
• Egy térrészben adott u, de a törtrendű derivált kiszámításáhozkellene az értéke a térrészen kívül is.
• Hogyan különböztessük meg / vegyük figyelembe a no-flux(homogén Neumann) peremfeltételt?
A fenti probléma homogén Dirichlet- ésNeumann-peremfeltétel esetén 1 dimenzióban kezelhető.
Hogy kell egy véges differencia vagy végeselem-közelítéstkonstruálni?
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Véges differenciás (VD) közelítés
Hagyományos VD közelítés:
∂2xu(t, x) = lim
h→0
u(t, x − h) − 2u(t, x) + u(t, x + h)
h2.
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Véges differenciás (VD) közelítés
Hagyományos VD közelítés:
∂2xu(t, x) = lim
h→0
u(t, x − h) − 2u(t, x) + u(t, x + h)
h2.
VD közelítés törtrendű deriváltra:
∂αx u(t, x)
= limh→0
· · · + c−2u(t, x − 2h) + c−1u(t, x − h) + c0u(t, x) + c1u(t, x + h) + . . .
hα
,
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Véges differenciás (VD) közelítés
Hagyományos VD közelítés:
∂2xu(t, x) = lim
h→0
u(t, x − h) − 2u(t, x) + u(t, x + h)
h2.
VD közelítés törtrendű deriváltra:
∂αx u(t, x)
= limh→0
· · · + c−2u(t, x − 2h) + c−1u(t, x − h) + c0u(t, x) + c1u(t, x + h) + . . .
hα
,
ahol például
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Véges differenciás (VD) közelítés
Hagyományos VD közelítés:
∂2xu(t, x) = lim
h→0
u(t, x − h) − 2u(t, x) + u(t, x + h)
h2.
VD közelítés törtrendű deriváltra:
∂αx u(t, x)
= limh→0
· · · + c−2u(t, x − 2h) + c−1u(t, x − h) + c0u(t, x) + c1u(t, x + h) + . . .
hα
,
ahol például
c2 = c−2 = −(
α3
)
, c1 = c−1 =(α
2)+(α
0)
2, c0 = −
(
α1
)
.
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
VD közelítések: 5 × 5-ös példák
Hagyományos VD közelítés:
∆ ≈1h2
−2 1 0 0 0
1 −2 1 0 0
0 1 −2 1 0
0 0 1 −2 1
0 0 0 1 −2
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
VD közelítések: 5 × 5-ös példák
Hagyományos VD közelítés:
∆ ≈1h2
−2 1 0 0 0
1 −2 1 0 0
0 1 −2 1 0
0 0 1 −2 1
0 0 0 1 −2
Törtrendű VD közelítés:
−(−∆)α
2 ≈1hα
−(α
1)
(α
2)+(α
0)2
−(α
3) (α
4) −(α
5)
(α
2)+(α
0)2
−(α
1)
(α
2)+(α
0)2
−(α
3) (α
4)
−(α
3)
(α
2)+(α
0)2
−(α
1)
(α
2)+(α
0)2
−(α
3)
(α
4) −(α
3)
(α
2)+(α
0)2
−(α
1)
(α
2)+(α
0)2
−(α
5) (α
4) −(α
3)
(α
2)+(α
0)2
−(α
1)
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
VD közelítések: részletesebben
Közelítések egyoldali törtrendű deriváltakra.
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
VD közelítések: részletesebben
Közelítések egyoldali törtrendű deriváltakra.
Nem szabad egyoldali közelítést alkalmazni. [Meerschaert &Tadjeran ’04]
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
VD közelítések: részletesebben
Közelítések egyoldali törtrendű deriváltakra.
Nem szabad egyoldali közelítést alkalmazni. [Meerschaert &Tadjeran ’04]
Ezek átlagát kell venni - elsőrendű közelítés.
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
VD közelítések: részletesebben
Közelítések egyoldali törtrendű deriváltakra.
Nem szabad egyoldali közelítést alkalmazni. [Meerschaert &Tadjeran ’04]
Ezek átlagát kell venni - elsőrendű közelítés.
Több különböző eltolt VD súlyozott átlaga - magasabbrendűközelítés. [sok cikk]
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
VD közelítések: részletesebben
Közelítések egyoldali törtrendű deriváltakra.
Nem szabad egyoldali közelítést alkalmazni. [Meerschaert &Tadjeran ’04]
Ezek átlagát kell venni - elsőrendű közelítés.
Több különböző eltolt VD súlyozott átlaga - magasabbrendűközelítés. [sok cikk]
Feltételek a közelítendő függvény simaságára, α értékére:
f ,F f , ∂2+α
RLf ,F(∂2+α
RLf ) ∈ L1(R), 1 < α < 2.
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
VD közelítések: részletesebben
Közelítések egyoldali törtrendű deriváltakra.
Nem szabad egyoldali közelítést alkalmazni. [Meerschaert &Tadjeran ’04]
Ezek átlagát kell venni - elsőrendű közelítés.
Több különböző eltolt VD súlyozott átlaga - magasabbrendűközelítés. [sok cikk]
Feltételek a közelítendő függvény simaságára, α értékére:
f ,F f , ∂2+α
RLf ,F(∂2+α
RLf ) ∈ L1(R), 1 < α < 2.
Minden esetben teli mátrixok: sok idő a feltöltés, de van gyors(Nlog N) megoldó. [Wang & Basu ’12]
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
VD közelítések: egy alternatív ötlet
Mártixtranszformációs módszer (MTM):
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
VD közelítések: egy alternatív ötlet
Mártixtranszformációs módszer (MTM):
Ha −∆D ≈ A, akkor legyen (−∆D)α
2 ≈ Aα
2 .
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
VD közelítések: egy alternatív ötlet
Mártixtranszformációs módszer (MTM):
Ha −∆D ≈ A, akkor legyen (−∆D)α
2 ≈ Aα
2 .
Ez jónak látszik. [Ilić, .. ’05, ’06 ]
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
VD közelítések: egy alternatív ötlet
Mártixtranszformációs módszer (MTM):
Ha −∆D ≈ A, akkor legyen (−∆D)α
2 ≈ Aα
2 .
Ez jónak látszik. [Ilić, .. ’05, ’06 ]
Ez valóban h szerint másodrendű konzisztenciát biztosít,időben implicit Euler módszerrel pedig O(δ) + O(h2)konvergenciát L2-normában minden α ∈ R
+ és max-normábanminden α ≤ 2 esetén. (Sz.B., I.F., benyújtva)
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Végeselem-közelítés
Egydimenziós eset:• kidolgozott módszer a szimmetrikus RL -esetre [Ervin–Roop
2006].
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Végeselem-közelítés
Egydimenziós eset:• kidolgozott módszer a szimmetrikus RL -esetre [Ervin–Roop
2006].
Magasabb dimenzió - kapcsolódó elliptikus feladat:
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Végeselem-közelítés
Egydimenziós eset:• kidolgozott módszer a szimmetrikus RL -esetre [Ervin–Roop
2006].
Magasabb dimenzió - kapcsolódó elliptikus feladat:
• összetett eljárás [Nochetto .. 2015, 59 oldal]:
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Végeselem-közelítés
Egydimenziós eset:• kidolgozott módszer a szimmetrikus RL -esetre [Ervin–Roop
2006].
Magasabb dimenzió - kapcsolódó elliptikus feladat:
• összetett eljárás [Nochetto .. 2015, 59 oldal]:
számolás dimenzionálisan kiterjesztett nemkorlátostartományon,
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Végeselem-közelítés
Egydimenziós eset:• kidolgozott módszer a szimmetrikus RL -esetre [Ervin–Roop
2006].
Magasabb dimenzió - kapcsolódó elliptikus feladat:
• összetett eljárás [Nochetto .. 2015, 59 oldal]:
számolás dimenzionálisan kiterjesztett nemkorlátostartományon,
Dirichlet - (törtrendű) Neumann - operátor használata,
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Végeselem-közelítés
Egydimenziós eset:• kidolgozott módszer a szimmetrikus RL -esetre [Ervin–Roop
2006].
Magasabb dimenzió - kapcsolódó elliptikus feladat:
• összetett eljárás [Nochetto .. 2015, 59 oldal]:
számolás dimenzionálisan kiterjesztett nemkorlátostartományon,
Dirichlet - (törtrendű) Neumann - operátor használata,
hibabecslés súlyozott Szoboljev-normában.
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Végeselem-közelítés
Egydimenziós eset:• kidolgozott módszer a szimmetrikus RL -esetre [Ervin–Roop
2006].
Magasabb dimenzió - kapcsolódó elliptikus feladat:
• összetett eljárás [Nochetto .. 2015, 59 oldal]:
számolás dimenzionálisan kiterjesztett nemkorlátostartományon,
Dirichlet - (törtrendű) Neumann - operátor használata,
hibabecslés súlyozott Szoboljev-normában.
Hasonló verzió időfüggő advekció - diffúziós feladatra.
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Végeselem módszer mátrixtranszformációs módszerrel
A differenciáloperátor helyett hatványozzuk a −∆-hoz tartozómátrixot:
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Végeselem módszer mátrixtranszformációs módszerrel
A differenciáloperátor helyett hatványozzuk a −∆-hoz tartozómátrixot:
• Előállítjuk a −∆ operátor diszkretizáltját: A (merevségi
mátrix).
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Végeselem módszer mátrixtranszformációs módszerrel
A differenciáloperátor helyett hatványozzuk a −∆-hoz tartozómátrixot:
• Előállítjuk a −∆ operátor diszkretizáltját: A (merevségi
mátrix).
• Kiszámítjuk az Aα mátrixot.
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Végeselem módszer mátrixtranszformációs módszerrel
A differenciáloperátor helyett hatványozzuk a −∆-hoz tartozómátrixot:
• Előállítjuk a −∆ operátor diszkretizáltját: A (merevségi
mátrix).
• Kiszámítjuk az Aα mátrixot.
• Megoldjuk (például) az alábbit lépésenként:
un+1 − un = δ · (−Aα)un+1.
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Végeselem módszer mátrixtranszformációs módszerrel
A differenciáloperátor helyett hatványozzuk a −∆-hoz tartozómátrixot:
• Előállítjuk a −∆ operátor diszkretizáltját: A (merevségi
mátrix).
• Kiszámítjuk az Aα mátrixot.
• Megoldjuk (például) az alábbit lépésenként:
un+1 − un = δ · (−Aα)un+1.
Tétel (I. F., Sz. B. 2016. (JCAM))
A fenti eljárás optimális konvergenciarendet ad L2-normában.
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
A lineáris rendszer megoldásához
Aα hatékony kiszámítása.
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
A lineáris rendszer megoldásához
Aα hatékony kiszámítása.
• beépített MATLAB-szubrutin: gyenge,
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
A lineáris rendszer megoldásához
Aα hatékony kiszámítása.
• beépített MATLAB-szubrutin: gyenge,
• A−αf közvetlen közelítése [Ilić et al. 2010],
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
A lineáris rendszer megoldásához
Aα hatékony kiszámítása.
• beépített MATLAB-szubrutin: gyenge,
• A−αf közvetlen közelítése [Ilić et al. 2010],
• Egyéb pontos (de lassú) eljárások [Higham et al. 2011].
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
A lineáris rendszer megoldásához
Aα hatékony kiszámítása.
• beépített MATLAB-szubrutin: gyenge,
• A−αf közvetlen közelítése [Ilić et al. 2010],
• Egyéb pontos (de lassú) eljárások [Higham et al. 2011].
Igazából elég lenne A−αv vektorokat kiszámítani.
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
A lineáris rendszer megoldásához
Aα hatékony kiszámítása.
• beépített MATLAB-szubrutin: gyenge,
• A−αf közvetlen közelítése [Ilić et al. 2010],
• Egyéb pontos (de lassú) eljárások [Higham et al. 2011].
Igazából elég lenne A−αv vektorokat kiszámítani.
Nem lehetne a [Basu, Wang ’12] cikkben tárgyalt struktúráthasználni?
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
A peremfeltételekhez (ez a legfontosabb) és az elmélethez
Hogy kezeljük a homogén Neumann (no flux) peremfeltételtmagasabb dimenzióban?
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
A peremfeltételekhez (ez a legfontosabb) és az elmélethez
Hogy kezeljük a homogén Neumann (no flux) peremfeltételtmagasabb dimenzióban?
Hogy kezeljük az inhomogén Dirichlet peremfeltételt magasabbdimenzióban?
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
A peremfeltételekhez (ez a legfontosabb) és az elmélethez
Hogy kezeljük a homogén Neumann (no flux) peremfeltételtmagasabb dimenzióban?
Hogy kezeljük az inhomogén Dirichlet peremfeltételt magasabbdimenzióban?
Hogy kezeljük az inhomogén harmadfajú peremfeltételt?
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
A peremfeltételekhez (ez a legfontosabb) és az elmélethez
Hogy kezeljük a homogén Neumann (no flux) peremfeltételtmagasabb dimenzióban?
Hogy kezeljük az inhomogén Dirichlet peremfeltételt magasabbdimenzióban?
Hogy kezeljük az inhomogén harmadfajú peremfeltételt?
Unicitás-egzisztenciatételek a fentiekhez?
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
A peremfeltételekhez (ez a legfontosabb) és az elmélethez
Hogy kezeljük a homogén Neumann (no flux) peremfeltételtmagasabb dimenzióban?
Hogy kezeljük az inhomogén Dirichlet peremfeltételt magasabbdimenzióban?
Hogy kezeljük az inhomogén harmadfajú peremfeltételt?
Unicitás-egzisztenciatételek a fentiekhez?
Mennyire simít a törtrendű diffúzió (reakció-diffúzió egyenletetvagy Burgers-egyenletet)?
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Köszönet a kutatás támogatásáért:
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Köszönet a kutatás támogatásáért:
• MTA Bolyai Ösztöndíj
• MTA-ELTE Numerikus Analízis és Nagy Hálózatok (NumNet)Kutatócsoport
• OTKA 112154.
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk
BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet
Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések
Köszönet a kutatás támogatásáért:
• MTA Bolyai Ösztöndíj
• MTA-ELTE Numerikus Analízis és Nagy Hálózatok (NumNet)Kutatócsoport
• OTKA 112154.
Köszönöm a figyelmet!
Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk