tsükliliste arvutuste programmeerimine...– negatiivsed arvud võidakse lugeda ka positiivsetest...

1

Tsükliliste arvutusteprogrammeerimine

1 Rekursioon 2

Rekursioon

1 Rekursioon 3

Rekursioon

Rekursiivne on definitsioon (või definitsioonide rühm), mis määratlebdefineeritava objekti (või objektide rühma) tema enda (või tsükliliseltrühma liikmete endi) kaudu.

– Mh definitsiooni paremas pooles võib esineda sama muutuja misvasakus.

Vastavat nähtust nimetatakse rekursiooniks.

1 Rekursioon 4

Liigid

• Otsene rekursioon.Definitsioon on otseselt rekursiivne, kui ta kasutab paremas poolestema enda poolt defineeritud objekti.

• Kaudne rekursioon.Definitsioon on kaudselt rekursiivne, kui ta on üks liige järjendistx0, . . . , xl−1, kus l > 1 ja iga xi korral xi+1 definitsioon kasutab pa-remas pooles xi-d (loeme xl = x0).

• Vastastikrekursioon.Kui kaudses rekursioonis definitsioonide arv on 2, siis öeldakse, etneed definitsioonid on vastastikku rekursiivsed.

1 Rekursioon 5

Rekursiivne kutse

Rekursiivseks kutseks nimetatakse

– arvutussammu, kus muutuja asendatakse samast definitsioonist,mille kaudu selle sammuni on jõutud;

– ka muutuja esinemist oma otseselt rekursiivse definitsiooni pare-mas pooles.

1 Rekursioon1.1 Funktsiooni määratlemine rekursiivselt

6

Funktsiooni määratlemine rekursiivselt


7

Põhimõte

Funktsiooni defineerimisel rekursiivselt tuleb kirjeldada:

– funktsiooni väärtuse leidmine suurematel argumentidel samafunktsiooni väärtuste kaudu väiksematel argumentidel;

– funktsiooni väärtus vähimatel argumentidel ilma rekursiivsete kut-seteta.

∗ Viimased on nn baasjuhud.


8

Arvutus

Kui funktsioon on defineeritud vastavalt sellele põhimõttele, siis arvu-tuse käigus

– igal rekursiivsel kutsel argumendi väärtus väheneb,

– kuni saab triviaalselt väikseks ja käiku lähevad baasjuhud.


9

Tavalised argumenditüübid

• Rekursioon täisarvudel.Järjestus on standardne (vähemalt mittenegatiivsetel täisarvudel).

– Negatiivsed arvud võidakse lugeda ka positiivsetest suuremaks,kui funktsiooni väärtus negatiivsel argumendil määratleda väärtu-se kaudu nt vastandarvul.

• Struktuurne rekursioon (andmestruktuuridel).Järjestus on alamstruktuurijärjestus.

– Näiteks listist väiksemad listid on tema saba, saba saba jne.


10

Standardne rekursioon

Kõige standardsemal juhul kirjeldatakse funktsiooni väärtus mittetri-viaalsel argumendil funktsiooni väärtuse kaudu talle järjestuses vahetulteelneval andmel.

– Funktsiooni väärtus positiivsel täisarvulisel argumendil n kirjelda-takse funktsiooni väärtuse kaudu argumendil n− 1.

– Funktsiooni väärtus mittetühjal listil x : l kirjeldatakse funktsiooniväärtuse kaudu listil l.

1 Rekursioon1.2 Protseduuri määratlemine rekursiivselt

11

Protseduuri määratlemine rekursiivselt


12

Definitsioon funktsiooni kaudu

Kui protseduur sõltub mingist parameetrist, siis formaalselt on tegufunktsiooniga, mille väärtusteks on protseduurid.


13

Otsene defineerimine

Pole põhimõttelisi takistusi protseduure määratleda puhtalt protseduuri-tasemel (mitte läbi funktsioonide).

– Kuna puudub parameeter, mis võiks rekursiivsel kutsel väheneda,siis lõpetamine sõltub muudest asjaoludest (keskkonnast loetud in-fost).

1 Rekursioon1.3 Listi määratlemine rekursiivselt

14

Listi määratlemine rekursiivselt


15

Listid on tsüklilised

Listid on olemuselt tsüklilised struktuurid: mittetühja listi saba on oma-korda list.

Seetõttu tuleb pikemate listide defineerimisel kasutada rekursiooni.

– Võimalik defineerida funktsiooni kaudu

– ja ka otse.


16

Otsene defineerimine

Listi määratlemisel tuleb

– kirjeldada listi algus (vähemalt üks element) ilma rekursiivsetekutseteta (n-ö baasjuht)

– ja kirjeldada ülejäänud osa rekursiivselt sama listi kaudu nii, et igaelemendi arvutamisel läheks vaja ainult eespool seisvaid elemente.


17

Erinevused funktsioonirekursioonist

• Jaotus baasiks ja sammuks toimub väärtuse, mitte argumendi järgi.

• Iga rekursiivset kutset rekursiivselt defineeritava listi poole kasutatak-se ülimalt üks kord.

– Ühekordsest sidumisest piisab, kuna puuduvad parameetrid, muu-tuv keskkond vms, mis võiks arvutuse käiku muuta.


18

Lõpmatud ja lõplikud listid

Otsese rekursiooniga on võimalik defineerida nii lõplikke kui ka lõpma-tuid liste.

– Lõpmatute listide defineerimine on lihtsam, sest puuduvad lõpeta-mistingimused.

1 Rekursioon1.4 Muud näited rekursioonist

19

Muud näited rekursioonist


20

Rekursioon suvalisel andmestruktuuril

Rekursiivselt on võimalik defineerida mida iganes.

– Nt puud.

– Ka staatilised andmestruktuurid nagu paarid.

– . . . .


21

Paradoksaalne rekursioon

Abistruktuure rekursiivselt defineerides on võimalik programmeerida ar-vutus, mis

– läbib listi vaid ühe korra, kuid

– loeb kõiki listi elemente mitu korda.

2 Programmeerimisvõtted 22

Programmeerimisvõtted

2 Programmeerimisvõtted2.1 Arvutamine rekursiivse funktsiooni argumentidel

23

Arvutamine rekursiivse funktsiooniargumentidel


24

Imperatiivset programmeerimist jäljendav stiil

Imperatiivse programmeerimise jäljendamiseks võib defineerida rekur-siivselt abifunktsiooni, mille parameetrid vastavad imperatiivse prog-rammi vahetulemusi hoidvatele muutujatele.

– Rekursiivsel kutsel antakse edasi muudetud väärtused, esimeselväljakutsel algväärtused.


25

Akumulaatorid

Akumulaator on rekursiivselt defineeritud operaatori parameeter, misarvutuse käigus kogub ja akumuleerib infot.

– Igal rekursiivsel kutsel lisatakse sinna midagi juurde.


26

Akumulaatorite liigid

• Loendurid.

• Ehitajad.

• Arvutajad.

• . . . .


27

Järjehoidjad

Järjehoidja on muutuja (tavaliselt akumulaator), mille väärtus näitabtööjärge.

– Tsükliindeksid.

– Läbivaadatud elementide nimekirjad.

– . . .

2 Programmeerimisvõtted2.2 Sabarekursioon

28

Sabarekursioon


29

Sabarekursioon

Funktsiooni rekursiivset definitsiooni nimetatakse sabarekursiivseks,kui tema järgi arvutades läheb rekursiivse kutse tulemus alati kogu arvu-tuse tulemuseks (ilma vaheteisendusteta).

– Rekursiivne kutse (kui see vaadeldavas harus esineb) on konkreet-se rekursioonitaseme viimasena lõpetav tegevus.


30

Sabarekursiooni ja akumulaatoritehnika seos

Üleminekul akumulaatoristiilile tekib tüüpiliselt sabarekursiivne definit-sioon.

– Kui kõik arvutus viia argumentidesse, ei jäägi midagi rekursioonisttagasipöördumise järel teha.

Kasutust leiab ka segastiil, kus arvutust jätkub nii akumulaatoritesse kuika rekursiivse kutse järele.

– Lõpmatuid liste akumulaatoris arvutada ei saa.


31

Sabarekursiooni tähtsus

Sabarekursiivset definitsiooni saab kompileerimisel optimeerida.

– Rekursiivsel kutsel võib uue rekursioonitaseme lokaalsete muutu-jate väärtused kirjutada endiste asemele.

– Tekib tavaline tsükkel.

2 Programmeerimisvõtted2.3 Jooksev väärtustamine

32

Jooksev väärtustamine


33

Mälukasutuse optimeerimine

Mittesabarekursiivne definitsioon üldiselt ei võimalda arvutuse käigusvahetulemusi välja arvutada, tekib pikk väärtustamata avaldis.

– Arvutuse teostamiseks on tarvis rekursiivse kutse tulemust, temaväljaarvutamiseks omakorda tema rekursiivse kutse tulemust jne.

Reaalne arvutamine algab alles baasjuhuni jõudmisel.

Sabarekursioon laseb vahetulemused jooksvalt väärtustada, sest arvu-tused toimuvad argumentidel, rekursiivse kutse tulemust pole vaja.


34

Probleem laisa väärtustamisega

Haskellis on vaikimisi laisk väärtustamine.

– Ka akumulaatoreid ei väärtustata!


35

Väärtustusjärjekorra ohje

Haskellis on spetsiaalne agara väärtustamise operaator $!.

Sellega saavutame akumulaatoritega tõepoolest võidu mälutarbes.

– Väärtustatakse siiski ainult seni, kuni selgub, kas tegu on normaal-se väärtusega.

2 Programmeerimisvõtted2.4 “Jaga ja valitse”

36

“Jaga ja valitse”


37

“Jaga ja valitse”

“Jaga ja valitse” on programmeerimise strateegia, milles

– mittetriviaalne ülesanne

∗ jagatakse kaheks või enamaks mingis mõttes ühesuurusekssama tüüpi alamülesandeks,

∗ lahendatakse need samal viisil ning∗ kombineeritakse tulemused kokku terve ülesande lahen-

duseks,

– triviaalne ülesanne lahendatakse otse.


38

“Jaga ja valitse” stiili tuntud näited

• Kasvava funktsiooni väärtuse järgi argumendi otsimine (nn lõigu poo-litamise meetod e kahendotsing).

• Listis suurusjärjestuses etteantud kohal oleva elemendi leidmine (nnvaliku kiirmeetod).

• Listi järjestamine (kiirmeetod, põimemeetod).

• Hanoi tornide ülesanne.

• . . . .


39

Realiseerimise viisid

• Otsene realisatsioon:

– jagatakse vahetuteks alamülesanneteks, mis lahendatakse üldjuhulrekursiivselt pöördudes, erijuhul otse.

• Realisatsioon alamülesannete listiga:

– jagatakse kohe triviaalseteks ülesanneteks,– koostatakse nende lahendustest list,– kombineeritakse lahendused puukujuliselt kokku.


40

Dünaamiline programmeerimine

“Jaga ja valitse” strateegia korral võib sama alamülesannet tekkida kor-duvalt.

Dünaamiline programmeerimine on “jaga ja valitse” stiilis lahen-duse realiseerimine nii, et alamülesanded lahendatakse ühekordselt.

– Lahendus salvestatakse ja vajadusel korduvkasutatakse.


41

Dünaamilise programmeerimise tuntud näited

• Fibonacci arvude leidmine.

• Kiire astendamine.

• Pikima ühise osasõne leidmine.

• . . . .


42

Nõutust rohkem kirjeldamine

Laisk väärtustamine lubab koodis kirjeldada nõutust rohkem.

– Kui funktsiooni väärtus vajab väljaarvutamiseks paljusid eelne-vaid, siis defineerida lõpmatu list, milles nad kõik kirjas on.

– . . . .

Kirjeldades nõutust rohkem, saab koodi loetavamalt struktureerida.

– Kasutatakse dünaamilise programmeerimise abivõttena (kõigi ala-mülesannete lahenduste struktuuri, nt listi loomine).

tsükliliste arvutuste programmeerimine...– negatiivsed arvud võidakse lugeda ka positiivsetest...

Documents