Nama: Ni Nyoman Wulan Darma PutriKelas: IV A

NIM: 1113011007

TUGAS II

TEORI BILANGAN

KETERBAGIAN

1. Tunjukkan bahwa 4 n2 + 2 untuk sebarang n ZPenyelesaian:

Dengan bukti tidak langsung, anggaplah 4 n2 + 2.Sesuai dengan dalil algoritma pembagian, untuk n Z dapat dinyatakan sebagai n = 2q atau n = 2q + 1, q Z.Untuk n = 2q, maka n2 + 2 = (2q)2 + 2 = 4q2 + 24 n2 + 2

4 4q2 + 2

4 4q2 , maka 4 2, hal ini terjadi kontradiksi karena 4 2.Untuk n = 2q + 1, maka n2 + 2 = (2q+1)2 + 2 = 4q2 + 4q + 3= 4(q2+q) + 34 n2 + 2

4 4(q2 + q) + 3

4 4(q2 + q), maka 4 3, hal ini terjadi kontradiksi karena 4 3.Jadi anggapan bahwa 4 n2 + 2. adalah salah sehingga 4 n2 + 2.2. Jika dan , buktikan bahwa

Penyelesaian:

berarti ada bilangan bulat k sehingga

berarti ada bilangan bulat a sehingga

Eliminasi (1) dan (2) sehingga didapatkan:

(( 3) (

(( 4) (

Sehingga

Dengan adalah bilangan bulat, sesuai dengan definisi keterbagian, berarti . Bilangan bulat yang habis membagi 1 adalah (-1) dan 1, sehingga . Terbukti.

FPB1)

Penyelesaian:

2) Buktikan bahwa jika (a, b+a) = 1 jika dan hanya jika (b,a) = 1.

Penyelesaian:(a, b + a) = 1 (b,a) = 1

Misalkan (b,a) = d dengan d > 0, maka d | b dan d | a. Sehingga d | (b + a).

d | (b + a) dan d | a maka d factor persekutuan dari a dan (b + a).

(a, b + a) = 1 dan d adalah factor persekutuan dari a dan (b + a), maka d 1. Padahal d > 0, oleh karena itu d = 1. Jadi (b, a) = d =1.

(a, b) = 1 (a, b + a) = 1

Misalkan (a, b + a) = c dengan c > 0, maka c | a dan c | ( b + a). c | a dan c | b maka c adalah factor persekutuan dari a dan b. Karena (b, a) = 1 dan c adalah factor persekutuan a dan b maka c 1. Padahal c > 0, sehingga c = 1. Jadi (a, b + a) = c = 1.

KPK

1. Buktikan bahwa

Penyelesaian:

*) d | 9n + 8 berarti terdapat k ( Z sehingga 9n +8 = dk

*) d |6n + 5 berarti terdapat l ( Z sehingga 6n + 5 = dl

Jadi, nilai yang memenuhi adalah 1. Terbukti.

2. Buktikan apakah [a,b]|(a,b) benar atau salah. Jika salah, berikan contoh penyangkal.Penyelesaian:Misalkan [a,b] = d maka a|d dan b|d. karena (a,b) adalah GCD dari a dan b, berarti (a,b)|a dan (a,b)|b. didapat a|d dan (a,b)|a maka (a,b)|d serta b|d dan (a,b)|b maka (a,b)|d Karena d = [a,b] maka (a,b)|[a,b]. sehingga (a,b)|[a,b].Contoh penyangkal:(12, 24) = 12[12, 24] = 24Sehingga 12|24 dan 24|12Maka [a,b]|(a,b) adalah salah.

_1423856971.unknown

_1423857052.unknown

_1427398693.unknown

_1427399533.unknown

_1427400408.unknown

_1427401418.unknown

_1427399911.unknown

_1427399168.unknown

_1423857075.unknown

_1427398452.unknown

_1423857060.unknown

_1423857019.unknown

_1423857036.unknown

_1423857043.unknown

_1423857029.unknown

_1423856993.unknown

_1423857000.unknown

_1423857012.unknown

_1423856981.unknown

_1203528273.unknown

_1423855462.unknown

_1423856964.unknown

_1423855455.unknown

_1423850495.unknown

_1203527858.unknown

_1203528230.unknown

_1203527653.unknown