tugas besar probabilitas dan statistika
DESCRIPTION
PROBABILITAS DAN STATISTIKATRANSCRIPT
TUGAS BESARPROBABILITAS DAN STATISTIKA(DOSEN : Heru Dibyo Laksono. MT)
OLEH:FAKHRI HAKIM1310951020
JURUSAN TEKNIK ELEKTROFAKULTAS TEKNIKUNIVERSITAS ANDALASPADANG2014
BAB 3DISTRIBUSI FREKUENSISoal :Berikut nilai ujian akhir mata pelajaran geografi dari 60 siswa kelas XII IPS 2 SMA N 7 Kota Salatiga:
25619020557354728345
87738592436195845873
51126379732983938063
40788358657083697241
65736972834580891377
30601784617662828763
Tentukan :1. Tabel distribusi frekuensi2. Distribusi frekuensi relatif dan kumulatif3. Histogram, poligon frekuensi dan ogif
Jawab :
1. Tabel distribusi frekuensi
A. Daerah Jangkauan (R)
R = Xmax - Xmin
R = Xmax - Xmin = 95-12 = 83
B. Banyaknya kelasAturan SturgesK = 1 + 3,3 log n
K= 1 + 3,3 log n = 1 + 3,3 log 60 = 1 + 3,3 (1,778) = 1 + 5.87 = 6.87 (dibulatkan menjadi 7)
C. Interval Kelas
P =
P = = 11.8 = 12
D. Tabel Distribusi FrekuensiBanyaknya data pada masing-masing kelas :
Distribusi frekuensinya :
2. Frekuensi kumulatif dan relative
A. Frekuensi Kumulatif Kurang dari
B. Frekuensi Kumulatif Lebih Dari
C. Frekuensi Relatif
3. Histogram, Poligon Frekuensi dan Ogif
A. Histogram
B. Poligon
C. Ogive
BAB 4UKURAN PEMUSATAN DAN LETAK DATA
Soal :Berikut nilai ujian akhir mata pelajaran geografi dari 60 siswa kelas XII IPS 2 SMA N 7 Kota Salatiga:
25619020557354728345
87738592436195845873
51126379732983938063
40788358657083697241
65736972834580891377
30601784617662828763
Tentukan :1. Rata-rata hitung2. Median3. Modus4. Rata-rata ukur5. Rata-rata harmonik6. Kuartil 1, desil 2, presentil 5
Jawab :
1. Rata-rata hitung
A. Cara Biasa
= = 65.5B. Cara Koding
Ambil xo = 53.5
= 53.5 + 12 = 53.5 + 12 = 65.5C. Cara Step Deviasi
= 53.5 + = 53.5 + 12 = 65.5
2. Median
n = 60Median terletak pada kelas 60 - 71b = 59.5P = 12F = 5 + 5 + 3 + 4 = 17f = 13
Me = b + P
= 59.5 + 12 = 59.5 + 12 = 59.5 + 12 = 71.53. ModusModus terletak pada kelas 72 83b = 71.5P = 12s1 = 20 13 = 7s2 = 20 10 = 10
Mo = b + P
= 71.5 + 12 = 71.5 + = 71.5 + 4.94 = 76.4
4. Rata-rata Harmonis
= = 54.05
5. Rata-rata Ukur
= = 1.78 RU = anti log 1.78 = 60.79
6. Quartil 1, desil 9, persentil 10
A. Quartil 1
Letak Q1 = = = = 15Q1 terletak pada kelas : 48-59b = 47.5F = 5 + 3 + 4 = 12f = 5P = 12
Q1 = b + P = 47.5 + 12 = 47.5 + 7.2 = 54.7
b. Desil 9
Letak D9 = = = 53D9 terletak pada kelas : 84 -95b = 83,5F = 4 + 3 + 5 + 5 + 13 + 20 = 50f = 10P = 12
D9 = b + P = 83.5 + 12 = 83.5 + 4.8 = 88.3c. Persentil 10
Letak P10 = = = 6P10 terletak pada kelas : 24 35b = 23.5F = 4f = 3P = 12
P10 = b + P = 23.5 + 12 = 23.5 + 8 = 31.5
BAB 5PENGUKURAN DISPERSI, KEMIRINGAN DAN KERUNCINGAN DATASoal :Berikut nilai ujian akhir mata pelajaran geografi dari 60 siswa kelas XII IPS 2 SMA N 7 Kota Salatiga:
25619020557354728345
87738592436195845873
51126379732983938063
40788358657083697241
65736972834580891377
30601784617662828763
Tentukan :1. Simpangan rata-rata2. Variansi3. Standar deviasi4. Koefisien Variasi5. Kemiringan distribusi data dan jenisnya6. Keruncingan distribusi data dan jenisnya
Jawab :
1. Simpangan rata rata
SR = = = 162. Variansi
S2 = = =
3. Standar deviasi
S = =
4. Koefisien variasiKV = .100%
= 65.5SD = 20.73
Jadi KV= x 100%= 31.65
5. Kemiringan distribusi data dan jenisnya
= 122
= = 429.56
Maka standar deviasi S = = 20.73Derajat kemiringan distribusinya adalah
= 0.19 (5.1 11.8 +2) = -0.893Karena derajat kemiringan distribusi data tersebut negative, maka distribusi miring ke kiri6. Keruncingan Distribusi Data dan JenisnyaDerajat kemiringan distribusinya adalah
= 0.11 (25.33 20.4 + 23.6 3) =2.808
Karena = 2.808 kurang dari 3, maka distribusi data mempunyai derajat kemiringan platikurtis
BAB 6ANALISA DATA BERKALASoalDiberikan penjualan mobil pada showroom CV.RIKAMOTOR dalam 21 tahun terakhir
Tentukan :1. Nilai trend dengan metode tangan bebas2. Nilai tren dengan metode setengah rata-rata3. Rata-rata bergerak selama 5 tahun4. Nilai trend dengan metode kuadrat minimum5. Persamaan trend kuadrat
Jawab :1. Nilai trend dengan metode tangan bebasY = a + bXUntuk titik (4;178) maka diperoleh:178 = a + 4b ....(1)Untuk titik (3;170) maka diperoleh:170 = a + 3b ....(2)
Dengan menggunakan metode eliminasi antara persamaan 1 dan 2, maka didapatkana = 146b = 8
2. Nilai trend dengan metode setengah rata-rata
Kelompok 1:
=171.2Kelompok 2 :
=212.9Maka :
Persamaannya menjadi :171.2 = a + 5.5b ..(1)212.9 = a + 15.5b (2)
Menggunakan eliminasi didapatkan nilaia = 148.265b = 4.17
Nilai trend:
3. Rata-rata bergerak selama 16 tahun
=182.1875
=186.5625
=188.5625
=194.75
=198.3125
=203
4. Persamaan trend dengan metode kuadrat minimum
a = 192.43
b =4.11Nilai trend :
5. Persamaan Trend Kuadrat
Y = a + bx + cx2
a =
= = -235.54
b = = =4.114
c = == -0.001
Persamaan trend kuadrat ialahY = -235.54 + 4.114X -0.001X2
BAB 7REGRESI DAN KORELASI
Berikut merupakan table yang menunjukkan berat badan dan tinggi dari 20 siswa
Tinggi Badan (X)Berat Badan (Y)
16863
17381
16254
15749
16052
16562
16356
17078
16864
16361
18066
17460
16345
16048
16551
17073
17380
18375
17865
16248
Tentukan:1. Persamaan regresi dari data tersebut2. Kesalahan baku penaksiran 3. Koefisien korelasi r dan artinya4. Koefisien determinasi r2 dan artinya
Jawaban :
Tinggi Badan (X)Berat Badan (Y)
1686328224396910584
1738129929656114013
162542624429168748
157492464924017693
160522560027048320
1656227225384410230
163562656931369128
1707828900608413260
1686428224409610752
163612656937219943
1806632400435611880
1746030276360010440
163452656920257335
160482560023047680
165512722526018415
1707328900532912410
1738029929640013840
1837533489562513725
1786531684422511570
162482624423047776
3357123156444978201207742
1. Persamaan regresi
b= ==1.15
a= = = -129.8Jadi persamaan regresinya adalah = -129.8 + 1.15X
2. Kesalahan baku penaksiran Tinggi Badan (X)Berat Badan (Y)(Y - )2
1686363.40.16
1738169.15140.4225
1625456.56.25
1574950.753.0625
1605254.24.84
1656259.954.2025
1635657.652.7225
1707865.7151.29
1686463.40.36
1636157.6511.2225
1806677.2125.44
1746070.3106.09
1634557.65160.0225
1604854.238.44
1655159.9580.1025
1707365.753.29
1738069.15117.7225
1837580.6531.9225
1786574.998.01
1624856.572.25
335712311264.551207.8225
==7.77
3. Koefisien korelasi
r=
==0.79Karena nilai r = 0.79 terletak antara 0.7-0.9 maka terdapat hubungan positif yang kuat antara tinggi badan siswa dengan berat siswa
4. Koefisien determinasi yaitu r2=0.792=0.62=62, artinya variasi berat badan yang dapat dijelaskan oleh variasi tinggi badan (X) mahasiswa oleh persamaan regresi = -129.8 + 1.15X adalah sebesar 62 selebihnya dijelaskan oleh factor lain selain regresi tersebut
BAB 9KONSEP DASAR PROBABILITAS1. Perumusan klasik
Dua buah dadu dilempar ke atas secara bersamaan. Tentukan probabilitas munculnya angka berjumlah 3.
Penyelesaian :Hasil yang dimaksud (x) = 4, yaitu (1,2), (2,1),Hasil yang mungkin (n) = 36, yaitu (1,1), (1,2), (1,3). .., (6,5), (6,6).
= 0.06
2. Perumusan dengan frekuensi relative
Dari hasil ujian matematika 65 siswa SMA 5, didapat nilai-nilai sebagai berikut.
X5,06,57,48,38,89,5
F1114131575
x = nilai statistik.Tentukan probabilitas salah seorang siswa yang nilai matematikanya 8,3.
Penyelesaian :Frekuensi siswa dengan nilai 8,3 (f) = 15Jumlah siswa (n) = 65.
= 0,23
3. Dua kejadian saling lepas
Sebuah dadu dilemparkan ke atas, tentukan probabilitas mata dadu 1 dan lebih dari 3 munculA = peristiwa mata dadu 1 munculB = mata dadu lebih dari 3 munculTentukan probabilitasnya dari kejadian P (A U B) :
P (A) = dan P (B) = P ( A U B) = P (A) + P (B)
=+=0.67
4. Kejadian tidak saling meniadakan
Dua buah dadu dilemparkan bersamaan, apabila :A = peristiwa dadu kembar muncul.B = peristiwa jumlah dadu kecil dari 4 muncul.
Tentukan probabilitas P(A atau B) !
Penyelesaian :P(A) = 6/36P(B) = 3/36P(A B) = 0P(A atau B) = P(A) + P(B) P(A B) = 6/36 + 3/36 1/36 = 0,11
5. Dua kejadian saling bepas
Dari 100 barang yang diperiksa terdapat 30 barang rusak. Berapa probabilitasnya dalam :a. tiga kali pengambilan terdapat rusak 1b. empat kali pengambilan terdapat bagus 1
jawab : dimisalkan A = bagus B = rusakMaka P(A) = 0,70 P(B) = 0,30P (AB) = P(A) x P(B)=0.21
6. Probabilitas bersyarat
Jika dipilih salah satu dari seseorang untuk menjadi brand ambassador sebuah produk, berapakah probabilitas jika yang terpilih ialah laki-laki?
BEKERJATAK BEKERJA
PRIA46040
WANITA140260
M = Pria terpilihE = Orang terpilih berstatus bekerja
P(E) = 600/900P(E M) = 360/900
P(M/E) = = 23/30
7. Rumus Bayes
Tiga kotak masing-masing memiliki dua laci. Didalam laci-laci tersebut terdapat sebuah bola. Didalam kotak I terdapat bola emas, dalam kotak II terdapat bola perak, dan dalam kotak III terdapat bola emas dan perak. Jika diambil sebuah kotak dan isinya bola emas, berapa probabilitas bahwa laci lain berisi bola perak?
Penyelesaian :Misalkan : A1 peristiwa terambil kotak I A2 peristiwa terambil kotak II A3 peristiwa terambil kotak III X peristiwa laci yang dibuka berisi bola emasKotak yang memenuhi pertanyaan adalah kotak III (P(A3/X)).P(A1) = 1/3 P(X/A1) = 1P(A2) = 1/3 P(X/A2) = 0P(A3) = 1/3 P(X/A3) =
=
BAB 10DISTRIBUSI TEORITIS
1. Distribusi probabilitas
Pada sebuah eksperimen untuk menghitung probabilitas dari satu kali melempar dua buah dadu secara bersamaan diperoleh distribusi probabilitas dari jumlah mata dadu yang muncul sebagai berikut:
Ruang sampel eksperimen adalah pasangan mata dadu yang mungkin: (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (2,5) (4,6)(2,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
Jika X adalah variabel acak diskrit yang menyatakan jumlah mata dadu yang mungkin muncul, maka X = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} Distribusi probabilitas untuk masing-masing nilai variabel X adalah membentuk fungsi probabilitas sebagai berikut:P(X=2) = p(2) = 1/36 P(X=8) = p(8) = 5/36 P(X=3) = p(3) = 2/36 P(X=9) = p(9) = 4/36 P(X=4) = p(4) = 3/36 P(X=10) = p(10) = 3/36 P(X=5) = p(5) = 4/36 P(X=11) = p(11) = 2/36 P(X=6) = p(6) = 5/36 P(X=12) = p(12) = 1/36 P(X=7) = p(7) = 6/36
2. Distribusi fungsi x dan distribusi kumulatif xSuatu koin dilantunkan empat kali.
Tentukan:a. formula sebaran peluang munculnyaHyaituf(x)b. sebaran kumulatifF(x) nya
Jawab:a. Jumlah titik cuplik anada 24 = 16. Jikaxmenyatakan banyaknya munculH, akan ada kombinasi sebanyakC(4,x). Dengan demikianf(x) =C(4,x)/16, dimanax= 0, 1, 2, 3, 4f(0) = (4!/4!)/16 =1/16f(1)=(4!/3!)/16 = 4/16f(2) = (4!/(2!2!))/16 = 6/16f(3) =f(1)f(4)=f(0);b. Berdasarkan Def.2.5, diperoleh:F(0) =f(0) = 1/16;F(1) =f(0) +f(1) = 5/16; ... dst3. Nilai harapan matematis
Tentukan nilai harapan banyaknya wanita dalam panitia yang terdiri dari 3 orang dipih secara acak 4 orang wanita dan 3 orang pria !
Jawab :
Misalkan X menyatakan banyaknya wanita yang terpilih, maka rumus peluang X adalah : , x = 0,1,2,3
Sehingga, f(0)= dan
Jadi, E(X) = 0.
Ini artinya, bahwa, jika pemilihan tersebut diulang bekali-kali, maka rata-rata wanita terpilih adalah tiap pemilihan.
BAB 11DISTRIBUSI BINOMIAL, POISSON DAN HIPERGEOMETRIK1. Distribusi binomialSuatu eksperimen Binomial, yang terdiri dari pengambilan satu bola secara acak dari kotak yang berisi 30 bola merah(= 30M) dan 70 bola putih(= 70P). tentukan probabilitas bola merah yang terambil jika diambil 4 buah bola. Y adalah variabel acak dengan nilai sebagai berikut.
P(M) = p = probabilitas untuk mendapat bola merah (sukses)
= = 0,30P(P) = q = probabilitas untuk mendapat bola putih (gagal)
= = 0,70P(3M dan 1P) = P(MMMP) + P(MMPM) + P(MPMM) + P(PMMM) = (0,3)(0,3)(0,3)(0,7) + (0,3)((0,3)(0,7)(0,3) + (0,3)(0,7)(0,3)(0,3) + (0,7)(0,3)(0,3)(0,3) = 0,07562. Distribusi poisson Rata-rata seorang sekretaris baru melakukan 5 kesalahan ketik per halaman. Berapa peluang bahwa pada halaman berikut ia membuat:a. tidak ada kesalahan?(x = 0)b. tidak lebih dari 3 kesalahan?( x 3)c. lebih dari 3 kesalahan?(x >3)d. paling tidak ada 3 kesalahan (x 3)
Jawab: = 5
a. x = 0 dengan rumus? hitung poisson(0; 5) atau dengan Tabel Distribusi Poisson di bawah x:0 dengan = 5.0 (0; 5.0) = 0.0067
b. x 3 dengan Tabel Distribusi Poisson hitung poisson(0; 5.0) + poisson(1; 5.0) + poisson(2; 5.0) + poisson(3; 5.0) = 0.0067 + 0.0337 + 0.0842 + 0.1404 = 0.2650
c. x 3 poisson( x 3; 5.0) = poisson(4; 5.0) + poisson(5; 5.0) + poisson (6; 5.0) + poisson(7; 5.0) + ... + poisson(15; 5.0)atau
poisson(x >3) = 1 - poisson(x3) = 1 - [poisson(0; 5.0) + poisson(1; 5.0) + poisson(2; 5.0) + poisson(3; 5.0)] = 1 - [0.0067 + 0.0337 + 0.0842 + 0.1404] = 1 - 0.2650 = 0.7350
3. Distribusi hipergeometrikaDari 10 pengemudi motor, 3 orang mengemudikan motor merk "S", 4 orang memggunakan motor merk "Y" dan sisanya mengemudikan motor merk "H". Jika secara acak diambil 5 orang, berapa peluang 1 orang mengemudikan motor merk "S", 2 orang merk "Y" dan 2 orang merk "H"?
Jawab :N = 10,n = 5a1 = 3, a2 = 4, a3= 3x1 = 1, x2 = 2, x3= 2
BAB 12DISTRIBUSI NORMAL1. Probabilitas P(a 8.30) = P(z > 0.50) = 0.5 - 0.1915 = 0.3085 (Gambarkan!)
Banyak buruh yang menerima upah/jam lebih dari $ 8.30 = 0.3085 x 1 000 = 308.5 = 309 orangc.7.80 < x < 8.30z1 = -0.33z2 = 0.50P(7.80 < x < 8.30) = P(-0.33 < z < 0.50) = 0.1915 + 0.1293 = 0.3208 (Gambarkan)Banyak buruh yang menerima upah/jam dari $ 7.80 sampai $ 8.30 = 0.3208 x 1 000 = 320.8 = 321 orang
2. Fungsi distribusi kumulatif
PT Work Electric, memproduksi Bohlam Lampu yang dapat hidup 900 jam dengan standar deviasi 50 jam. PT Work Electric ingin mengetahui berapa persen produksi pada kisaran antara 800-1.000 jam, sebagai bahan promosi bohlam lampu. Hitung berapa probabilitasnya!
0,4772 0,4772
Penyelesaian :P(800