tugas individu stokastik
DESCRIPTION
Proses StokastikTRANSCRIPT
Model Regresi Linear
Model regresi merupakan suatu metode yang digunakan untuk
menganalisis hubungan antar variabel. Hubungan tersebut dapat
diekspresikan dalam bentuk persamaan yang menghubungkan veriabel
terikat X dan variabel bebas Y. Analisis regresi merupakan analisis
statistika yang digunakan untuk mengetahui hubungan antara variabel
dependen dengan variabel independen. Apabila hanya terdapat satu
variabel dependen dan satu variabel independen disebut analisis regresi
sederhana, sedangkan apabila terdapat beberapa variabel independen
disebut analisis regresi ganda.
A) Model Regresi Linear Sederhana
Dalam perkembangannya ada dua jenis regresi yang sangat
terkenal, yaitu regresi linear sederhana dan regresi linera berganda.
Regresi linear sederhana dapat digunakan untuk menggambarkan
hubungan antara satu peubah bebas (X) dan peubah tak bebas (Y) dalam
bentuk persamaan linear sederhana yang dapat dituliskan dalam bentuk
sebagai berikut :
Y = β0+β1 X1+ε (1)
Denagn ε = error
B) Model Regresi Linear Berganda
Model regresi linear sederhana merupakan perluasan dari model
regresi linear sederhana. Dengan memperluas model regresi linear dua
atau tiga variabel, maka model regresi dengan variabel terikat Y dan k
variabel bebas X1 , X2 , X3 ,… Xk dapat dituliskan sebagai berikut :
Y i=β0+B1 X1 i+B2 X2 i+…+Bk X xi+u (2)
Dimana i = 1, 2, ... , n dan u N(0,σ 2)
Dengan :
β0=¿ berpotongan
β1 = koefisien kemiringan parsial ke-1
βk= koefien kemiringan parsiak ke-k
Model taksiran untuk persamaan (2) adalah sebagai berikut :
Y i= β0+ β1 X1 i+ β2 X2 i …+ βk Xki+ε (3)
Dengan :
β0=¿ taksiran dari β0
β1=¿ taksiran dari β1
βk=¿taksiran dari βk
ε = taksiran dari u
n = jumlah observasi
Persamaan (3) diatas adalah bentuk ringkas dari sekumpulan n persamaan
simultan sebagai berikut :
Y 1=β0+B1 X11+B2 X21+…+Bk Xk 1+ε1
Y 2=β0+B1 X12+B2 X22+…+Bk Xk 2+ε2
..............................................................................
Y n=β0+B1 X21+B2 X2 n+…+Bk X kn+εn (4)
Persamaan-persamaan 3 diatas dapat disusun matriks sebagai berikut :
Dengan Y adalah vektor pengamatan berukuran n ×1
X adalah matriks variabel bebas berukuran n × k
β adalah vektor parameter yang akan ditaksir berukuran n ×1
ε adalah vektor random error berukuran n ×1
i=¿1,2,3 .... , n menunjukkan banyaknya pengamatan.
C) Estimasi Parameter Dengan OLS
Untuk membuat penaksiran parameter regresi yang sebenarnya
digunakan metode kuadrat terkecil biasa atau yang biasa disebut dengan
ordinary leats square (OLS).
Y i= β0+ β1 X1 i+ β2 X2 i+…+ βk X ki+εi (5)
Yang dapat ditulis dalam notasi matriks secara ringkas sebagai berikut :
Y=X β + ε (6)
Untuk menaksir parameter model regresi berganda, digunakan
metode kuadrat terkecil biasa. Prosedur kuadrat terkecil biasa dilakukan
dengan memilih nilai parameter yang tidak diketahui sehingga jumlah
kuadrat kesalahan didapat ∑ εi2 sekecil mungkin, sehingga dapat
dinyatakan dengan :
∑ εi2=∑ (Y i− β0− β1 X1 i− β2 X2i−…− βk X ki)
2 (7)
Dimana ∑ εi adalah jumlah kuadrat residual (SRR). Dalam notasi matriks, ini
sama dengan meminimumkan ε ' ε karena :
Dari persamaan (7) diperoleh :
ε=Y−X β (8)
Dan dari persamaan (6) dan (7) diperoleh persamaan:
ε ε '=¿ )’(Y−X β )
¿Y ' Y −2 β' X ' Y + β' X ' X β (9)
Dengan menggunskan sifat-sifat transpons suatu matriks, yaitu
( X β )'= β ' X ' dan β ' X ' Y adalah suatu skalar atau angka real, sehingga bentuk itu
sama dengan transponsnya. Y ' X β .
Persamaan (8) adalah penyajian secara matriks dari persamaan (6). dalam
notasi metode kuadrat terkecil biasa ercapai dalam menaksir β0 , β1 , β2 , …, βk
sehingga ∑ εi2sekecil mungkin. Ini tercapai dengan menurunkan persamaan 2.12
secara parsial terhadap β0 , β1 , β2 , …, βkdan menyamakan hasil yang diperoleh
dengan nol. Proses ini menghasilkan k persamaan normal teori kuadrat terkecil,
persamaan-persamaan tersebut adalah sebagai berikut :
(10)
Dengan menjumlahkan persamaan Y i= β0+ β1 X1 i+ β2 X2 i+…+ βk X ki
untuk seluruh pengamatan n memberikan persamaan pertama pada persamaan (9),
kemudian mengalikannya dengan X1 pada kedua sisinya dan menjumlahkan untuk
sluruh n, maka menghasilkan persamaan kedua. Begitu juga persamaan ketiga
dalam persamaan (9) mengalihkan kedua sisinya X2 dan mengalikannya denga
seluruh n dan begitu seterusnya.
Persamaan (9) bsa dibuat dalam bentuk matriks sebagai berikut :
Dalam hal ini β adalah vektor kolom k unsur dari penaksir-penaksir kuadrat
terkecil parameter regresi, atau secara ringkas dapat dinyataka dengan :
( X ' X ) β=X ' Y (11)
Persamaan (10) diperoleh dengan menurunkan persamaan (9) terhadap β, maka
diperoleh :
∂(ε ' ε )∂ β
=−2 X ' Y +2 X ' X β (12)
Kemudian samakan hasi dari persamaan (12) dengan nol sehingga diperoleh :
−2 X ' Y +2 X ' X β = 0
X ' X β=X '=X ' Y (13)
Kaliak persamaan matriks (13) dengan ¿ pada kedua sisinya, maka diperoleh :
¿¿
I β=¿
β=¿
Dimana :
Referensi :
Tugas Individu
PEMODELAN STATISTIK
“Estimasi Parameter Regresi Linear Dengan OLS Melalui Bentuk Vektor Dan Matriks”
Oleh :
Nama : Ulnawia
Nim : H12112002
Prodi Statistik Jurusan MatematikaFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Hasanuddin
2015