tugas matematika buku calculus
TRANSCRIPT
POLITEKNIK MANUFAKTUR NEGERI BANGKA BELITUNG
TUGAS MATEMATIKA“Buku Calculus Hal. 61-66”
DISUSUN
Oleh :
Kelompok 8Nama : 1. Harlin Saputra
2. Kuntoro3. M. Habiburrakhman4. M. Wahyu Utama
Prodi : Teknik ElektronikaKelas : 1E ASemester : 2 (Dua)
POLITEKNIK MANUFAKTUR NEGERI BANGKA BELITUNGKawasan Industri Air Kantung Sungailiat, Bangka 33211
Telp. (0717) 93586, Fax. (0717) 93585Email : [email protected] : www.polman-babel.ac.id
TAHUN AJARAN 2014/2015INTEGRAL TENTU
Tugas Buku Calculus hal. 61-66 Page 1
POLITEKNIK MANUFAKTUR NEGERI BANGKA BELITUNG
Definisi integral tentu dan asas pertama teorema kalkulus.
Jika sebuah fungsi f didefinisikan pada sebuah interfal tertutp [a,b], maka integral tentu dari f dari a ke b didefinisikan sebagai pembatas jumlah yang diberikan oleh :
∫a
b
f (x )dx= limmax∆ xi → 0
∑i=1
n
f (ci)∆ x i , dimana [a,b] dibagi menjadi n subinterval (tidak perlu
sama dengan), ci adalah nilai di-i subinterval [ xi−1 , x i ], dan ∆ x i=x i−x i−1, dengan syarat limit ini ada.
Pembatas jumlah, ∑i=1
n
f (ci)∆ xi, pada definisi integral tentu disebut penjumlahan
Riemann. Penjumlahan ini adalah hasil angka.
Untungnya, dalil berikutnya mengartikan bahwa fungsi yang terus menerus memiliki sebuah metode yang jitu untuk memeriksa integral lebih baik dari metode Riemann.
Asas pertama theorem kalkulus : jika f terus menerus pada integral tertutup [a,b] dan
F adalah antiderivative dari f pada [a,b] maka evaluasi dari integral tentu ∫a
b
f (x )dx
diberikan oleh ∫a
b
f (x )dx=F (b )−F (a).
Teorema ini mengartikan bahwa kamu dapat mengevaluasi integral tentu, ∫a
b
f (x )dx,
melalui empat langkah proses :
1. Tentukan F sebuah antiderivative dari f.2. Cari F(b).3. Cari F(a).4. Hitung F(b)-F(a).
Catatan : Pengintegralan yang terus menerus dikurang ketika sebuah integral pasti diperiksa. Untuk itu kamu bisa menghilangkannya dari perhitungan.
Notasi beriku ini digunakan ketika mengaplikasikan teorema dasar kalkulus. untuk mengevaluasi integral tentu,
Catatan : Selanjutnya, symbol ≈ akan digunakan untuk mengartikan “kira-kira sama dengan.”
Tugas Buku Calculus hal. 61-66 Page 2
POLITEKNIK MANUFAKTUR NEGERI BANGKA BELITUNG
Latihan 9.1
Selesaikan integral tentu berikut ini.(Berikan jawaban kira-kira untuk hasil akhir.)
1. ∫−10
10
(3 x2+4 x−5 ) dx
2. ∫−50
30
8 dx
3. ∫2
7 x5
x2 dx
4. ∫6
36 1t
dt
5. ∫0,5 π
π
sec( 56
θ) tan (56
θ)dθ
6. ∫1
√3dx
√4−x2
7. ∫1
2
( 3 x4−5 x3−21 x2+36 x−10 ) dx
8. ∫3
5
( x3 . ln x ) dx
9. ∫1
√3
cot−1 (x ) dx
10. ∫2
5 11+ex dx
Sifat yang berguna dari integral tentu.
Integral tentu memiliki sifat yang berguna berikut ini.
1. Jika f didefinisikan di x=a, maka ∫a
a
f ( x )dx=0
2. Jika f diintegralkan pada [a,b], maka ∫a
b
f ( x )dx=−∫b
a
f ( x )dx
Tugas Buku Calculus hal. 61-66 Page 3
POLITEKNIK MANUFAKTUR NEGERI BANGKA BELITUNG
3. Jika f diintegralkan pada [a,b], [a,c], dan [c,b], maka ∫a
b
f ( x )dx=∫a
c
f ( x )dx+∫c
b
f ( x ) dx
4. Jika f diintegralkan pada [a,b] dan k adalah sebuah konstanta, maka
∫a
b
kf (x ) dx=k∫a
b
f ( x ) dx
5. Jika f dan g diintegralkan pada [a,b], maka ∫a
b
[ f ( x ) ± g ( x ) ] dx=∫a
b
f ( x ) dx±∫a
b
g ( x )dx
6. Jika f diintegralkan dan tidak negatif pada [a,b], maka ∫a
b
f ( x )dx ≥0
7. Jika f dan g diintegralkan pada [a,b] dan jika f ( x ) ≥ g ( x ) untuk setiap x di [a,b], maka
∫a
b
f ( x )dx ≤∫a
b
g ( x ) dx
Latihan 9.2
Tugas Buku Calculus hal. 61-66 Page 4
POLITEKNIK MANUFAKTUR NEGERI BANGKA BELITUNG
Untuk soal 1-6, selesaikan integral tentu, diberikan ∫−2
0
f (x)dx=12 dan ∫0
2
f (x )dx=15.
Benarkan jawabanmu.
1. ∫2
2
f ( x )dx
2. ∫0
−2
f ( x ) dx
3. ∫1
1
f ( x )dx
4. ∫−2
2
f ( x ) dx
5. ∫−2
0
5 f ( x ) dx
6. ∫2
−2
10 f ( x ) dx
Untuk soal 7-10, selesaikan integral tentu, diberikan ∫1
5
f (x )dx=−8 dan ∫1
5
g (x)dx=22.
Benarkan jawabanmu.
7. ∫1
5
[ f ( x )+g ( x ) ] dx
8. ∫1
5
[ f ( x )−g (x ) ] dx
9. ∫1
5 12
f (x ) dx
10. ∫1
5
2 g ( x )dx+∫1
5
3 f ( x ) dx
Asas kedua teorema kalkulus
Asas kedua teorema kalkulus berbunyi bahwa jika f terus menerus pada interval tertutup [a,b], maka fungsi f didefinisikan oleh :
F (x)=∫a
x
f (t )dt , dimana x ada di [a,b]
Diturunkan pada [a,b] dan merupakan sebuah antiderivative dari f : itulah yang dikatakan, untuk setiap x di [a,b],
F ' ( x )= ddx [∫a
x
f ( t ) dt ]=f (x )
Catatan : untuk menghindari kebingungan, sejak variabel x digunakan sebagai batas
atas pada integral, ∫a
x
f (t)dt , variabel t digunakan sebagai variable dari integral.
Contoh berikut ini menjelaskan kegunaan teorema ini.
Tugas Buku Calculus hal. 61-66 Page 5
POLITEKNIK MANUFAKTUR NEGERI BANGKA BELITUNG
Contoh berikutnya menjelaskan penggunaan aturan rantai bersamaan dengan asas kedua teorema kalkulus.
ddx [∫0
3 x2
sin ( t ) dt ]=sin (3 x2 ). ddx
(3 x2 )=sin (3 x2 ).6 x=6x sin (3 x2)
Asas kedua teorema kalkulus menjamin bahwa jika sebuah fungsi terus menerus, maka itu memiliki sebuah antiderivative. Meskipun, antiderivative mungkin tidak dengan mudah diperoleh.
Latihan 9.3
Untuk soal 1-5, gunakan asas kedua teorema kalkulus untuk mencari derivative.
1. ddx [∫0
x
(t 2+3 )−5 dt ]2. d
dx [∫1x
√3 t+5 dt ]3. d
dx [∫πx4
t sin t ]4. d
dx [∫−5
5 x2
3√t 2dt ]5.
ddx
¿
Untuk soal 6-10, gunakan asas kedua teorema kalkulus untuk mencari F’(x).
6. F ( x )=∫0
x
sin (3 t ) dt
7. F ( x )=∫5
4x 1t+1
dt
8. F ( x )=∫0
sin x
6 t 2 dt
9. F ( x )=∫−3
√x
2t 4 dt
10. F ( x )= ∫−8
2 x+1
3 t−7 dt
Teorema nilai rata-rata untuk integral
Tugas Buku Calculus hal. 61-66 Page 6
POLITEKNIK MANUFAKTUR NEGERI BANGKA BELITUNG
Teorema nilai rata-rata untuk integral berbunyi bahwa jika f terus menerus pada interval tertutup [a,b], maka terdapat sebuah bilangan c di [a,b] seperti berikut
∫a
b
f ( x )dx=f (c ) (b−a )
Teorema ini menjamin bahwa bilangan c ada di [a,b], tapi perhatikan bahwa teorema ini tidak menentukan nilai dari c. Banyak persoalan yang berhubungan dengan konsep ini melibatkan ditemukannya nilai c. Di sisi lain, dalam beberapa kasus, hal itu mungkin cukup untuk mengetahui sedikitnya satu bilangan di [a,b] ada.
Soal Temukan nilai c yang dijamin oleh teorema nilai rata-rata untuk integral untuk fungsi yang didefinisikan oleh f ( x )=x2+2 dan interval [0,3].
Solusi Dengan teorema nilai rata-rata untuk integral, kamu memiliki
Dari dua nilai c yang mungkin ini, hanya nilai √3 yang terletak di [0,3], jadi c=√3 adalah nilai yang dijamin oleh teorema nilai rata-rata untuk integral.
Jika f diintegralkan pada integral tertutup [a,b], nilai rata-rata dari f adalah
1b−a∫a
b
f (x ) dx
Di perkataan lain, nilai dari f (c ) diberikan di teorema nilai rata-rata untuk integral adalah rata-rata nilai dari f pada interval [a,b].
Soal Temukan nilai rata-rata dari f ( x )=x2+2 pada interval [0,3].
Solusi Nilai rata-rata diberikan oleh
Tugas Buku Calculus hal. 61-66 Page 7
POLITEKNIK MANUFAKTUR NEGERI BANGKA BELITUNG
Latihan 9.4
Untuk soal 1-5, temukan nilai c yang dijamin oleh teorema nilai rata-rata untuk integral untuk fungsi yang diberikan diatas interval yang ditunjuk.
1. f ( x )=2x+6 , dan interval [-1,1]2. f ( x )=2−5√x , dan interval [0,4]
3. f ( x )= 4x3 , dan interval [1,4]
4. f ( x )=sin x , dan interval [ 0 , π ]
5. f ( x )=1x , dan interval [1,3]
Untuk soal 6-10, temukan nilai rata-rata dari fungsi yang diberikan diatas interval yang ditunjuk.
6. f ( x )=x2 , dan interval [-2,2]
7. f ( x )=1x , dan interval [1,3]
8. f ( x )=cos x , dan interval [−π2
, π2 ]
9. f ( x )=92 √x , dan interval [1,4]
10. f ( x )=ex , dan interval [0,1]
Tugas Buku Calculus hal. 61-66 Page 8
POLITEKNIK MANUFAKTUR NEGERI BANGKA BELITUNG
JAWABAN
Latihan 9.1
1. ∫−10
10
(3 x2+4 x−5 ) dx
¿ x3+2 x2−5 x¿ (103+2.102−5.10 )−(−103+2.−102−5.−10 )¿1150−(−750 )=1900
2. ∫−50
30
8 dx
¿8 x¿ (8.30 )−(8.−50 )¿240+400=640
3. ∫2
7 x5
x2 dx
¿∫2
7
x3dx=14
x4
¿( 14
.74)−( 14
.24)¿ 2401−16
4=596,25
4. ∫6
36 1t
dt
¿ ln t=ln36−ln 6¿3,58−1,79=1,79
5. ∫0,5 π
π
sec( 56
θ) tan (56
θ)dθ
¿ 65
sec( 56
θ)¿( 6
5sec( 5
6.180 °))−(6
5sec( 5
6.90 °))
¿( 65
sec (150 ° ))−( 65
sec (75 ° ))¿ 6
5 ( 1cos150°
− 1cos75 ° )
Tugas Buku Calculus hal. 61-66 Page 9
POLITEKNIK MANUFAKTUR NEGERI BANGKA BELITUNG
¿ 65
(−1,15−3,86 )=65
(−5,01 )=−6,012
6. ∫1
√3dx
√4−x2
¿∫1
√3
( 4−x2 )−12 dx
¿ 1−2 x
. 1−12
+1. (4−x2 )
−12 +1
¿− 12 x
.2 . ( 4−x2 )12
¿−1x √4−x2
¿(−1√3
.√4−(√3 )2)−(−11
.√4−(1 )2)¿(−1
√3.√1)−(−1.√3 )
¿− 1√3
+√3=−1+3√3
¿ 2√3
. √3√3
=23 √3
7. ∫1
2
( 3x4−5 x3−21 x2+36 x−10 ) dx
¿ 35
x5−54
x4−7 x3+18 x2−10 x
¿( 35
.25−54
.24−7.23+18.22−10.2)−( 35
.15−54
.14−7.13+18.12−10.1)¿( 96
5−20−56+72−20)−( 3
5−5
4−7+18−10)
¿( 965
−24)−( 35−5
4+1)
¿ 965
−35+ 5
4−24−1
¿ 935
−25+ 54
¿ 372−500+2520
=−10320
=−5,15
8. ∫3
5
( x3 . ln x ) dx
Tugas Buku Calculus hal. 61-66 Page 10
POLITEKNIK MANUFAKTUR NEGERI BANGKA BELITUNG
u=ln x , dudx
=1x
, du=1x
dx
dv=x3 dx , v=∫dv=∫ x3 dx=14
x4
∫u .dv=u . v−∫ v du=ln x . 14
x4−∫ 14
x4 . 1x
dx
¿ 14
x4 ln x−14∫ x3 dx
¿ 14
x4 ln x−14 ( 1
4x4)
¿ 14
x4 ln x− 116
x4
¿( 14
.54 ln 5− 116
.54)−( 14
.34 ln 3− 116
.34)¿( 201
4−625
16 )−( 894
−8116 )
¿ 1124
−54416
=28−34=−6
9. ∫1
√3
cot−1 (x ) dx
¿∫1
√31
cot xdx=∫
1
√3
tan x dx=∫1
√3sin xcos x
dx=∫1
√3
sin x .cos−1 x dx
u=cos x , dudx
=−sin x ,dx= du−sin x
∫1
√3
sin x .cos−1 xdx=∫1
√3
sin x .u−1 . du−sin x
=−∫1
√3
u−1 du
¿ ln u=ln (cos x )=[ ln ( cos√3 ) ]−[ ln (cos 1 ) ]¿ ( 4,57.10−4 )− (1,52.10−4 )=3,05.10−4
10. ∫2
5 11+ex dx
¿∫2
5
(1+ex )−1dx
u=1+ex , dudx
=e x , dx=duex
∫2
5
(1+ex )−1dx=∫
2
5
u−1 . duex =
1ex ∫
2
5
u−1du
¿ 1ex . ln u= 1
ex . ln (1+e x)= ln ( 1+ex )ex
Tugas Buku Calculus hal. 61-66 Page 11
POLITEKNIK MANUFAKTUR NEGERI BANGKA BELITUNG
¿ [ ln (1+e5 )e5 ]−[ ln (1+e2 )
e2 ]¿0,0337−0,2878=−0,2541
Tugas Buku Calculus hal. 61-66 Page 12
POLITEKNIK MANUFAKTUR NEGERI BANGKA BELITUNG
Latihan 9.2
1. ∫2
2
f ( x )dx
¿0
2. ∫0
−2
f ( x ) dx
¿−∫−2
0
f ( x ) dx
¿−12
3. ∫1
1
f ( x )dx
¿0
4. ∫−2
2
f ( x ) dx
¿∫−2
0
f ( x ) dx+∫0
2
f ( x ) dx
¿12+15=27
5. ∫−2
0
5 f ( x ) dx
¿5∫−2
0
f ( x ) dx
¿5 (12 )=60
6. ∫2
−2
10 f ( x ) dx
¿10∫2
−2
f ( x ) dx=10.−∫−2
2
f ( x ) dx
¿−10(∫−2
0
f ( x )dx+∫0
2
f ( x ) dx)¿−10 (12+15 )=−270
7. ∫1
5
[ f ( x )+g ( x ) ] dx
¿∫1
5
f ( x ) dx+∫1
5
g ( x ) dx
Tugas Buku Calculus hal. 61-66 Page 13
POLITEKNIK MANUFAKTUR NEGERI BANGKA BELITUNG
¿−8+22=14
8. ∫1
5
[ f ( x )−g (x ) ] dx
¿∫1
5
f ( x ) dx−∫1
5
g ( x )dx
¿−8−22=−30
9. ∫1
5 12
f (x ) dx
¿ 12∫1
5
f ( x ) dx
¿ 12
(−8 )=−4
10. ∫1
5
2 g(x )dx+∫1
5
3 f (x)dx
¿2∫1
5
g ( x ) dx+3∫1
5
f ( x )dx
¿2 (22 )+3 (−8 )¿44−24=20
Tugas Buku Calculus hal. 61-66 Page 14
POLITEKNIK MANUFAKTUR NEGERI BANGKA BELITUNG
Latihan 9.3
1. ddx [∫0
x
(t 2+3 )−5 dt ]¿ ( x2+3 )−5
¿ 1( x2+3 )5
2. ddx [∫1
x
√3 t+5 dt ]¿√3 x+5
3. ddx [∫π
x4
t sin t ]¿ x4 sin ( x4 ) . d
dx( x 4 )
¿ x4 sin ( x4 ) .4 x3
¿4 x7 sin ( x4 )
4. ddx [∫
−5
5 x2
3√t 2dt ]¿
3√ (5 x2 )2 . ddx
( 5x2 )
¿ 3√25 x4.10 x¿10 x 3√25 x4
5.ddx
¿
¿ ( x+2 )2−2 ( x+2 )+1¿ x2+4 x+4−2 x−4+1¿ x2+2x+1
6. F ( x )=∫0
x
sin (3 t ) dt
F ' ( x )= ddx [∫0
x
sin (3 t )dt ]F ' ( x )=sin 3 x
Tugas Buku Calculus hal. 61-66 Page 15
POLITEKNIK MANUFAKTUR NEGERI BANGKA BELITUNG
7. F ( x )=∫5
4x 1t+1
dt
F ' ( x )= ddx [∫5
4 x 1t+1
dt ]F ' ( x )= 1
4 x+1
8. F ( x )=∫0
sin x
6 t 2 dt
F ' ( x )= ddx [∫0
sin x
6 t 2dt ]F ' ( x )=6 (sin x )2
F ' ( x )=6. sin2 x
9. F ( x )=∫−3
√x
2t 4 dt
F ' ( x )= ddx [∫
−3
√x
2 t 4 dt ]F ' ( x )=2 (√x )4
F ' ( x )=2 x2
10. F ( x )= ∫−8
2 x+1
3 t−7 dt
F ' ( x )= ddx [ ∫
−8
2x +1
(3 t−7 ) d t ]F ' ( x )=3 (2 x+1 )−7F ' ( x )=6 x+3−7F ' ( x )=6 x−4
11.
Tugas Buku Calculus hal. 61-66 Page 16
POLITEKNIK MANUFAKTUR NEGERI BANGKA BELITUNG
Latihan 9.4
1. f ( x )=2x+6 , dan interval [-1,1]
∫a
b
f ( x )dx=f (c ) (b−a )
∫−1
1
(2 x+6 ) dx=(2 c+6 ) (1−(−1 ) )
x2+6 x=(2c+6 ) .2(1+6 )−(1−6 )=4 c+1212−12=4 cc=0
2. f ( x )=2−5√x , dan interval [0,4]
∫a
b
f ( x )dx=f (c ) (b−a )
∫0
4
(2−5√x ) dx=(2−5√c ) ( 4−0 )
∫0
4 (2−5 x12 )dx=(2−5√c ) .4
2 x− 532
x32=8−20√c
2 x−103
x√ x=8−20√c
(8−103
.4√4)−(0−103
.0√0)=8−20√c
8−803
=8−20√c
−803
=−20√c
√c=43
c=√ 43
3. f ( x )= 4x3 , dan interval [1,4]
∫a
b
f ( x )dx=f (c ) (b−a )
∫1
4 4x3 dx= 4
c3 (4−1 )
Tugas Buku Calculus hal. 61-66 Page 17
POLITEKNIK MANUFAKTUR NEGERI BANGKA BELITUNG
∫1
4
4 x−3 dx=12c3
−2 x−2=12c3
−2x2 =12
c3
(−216 )−(−2
1 )=12c3
3016
=12c3
c3=16.1230
=325
c= 3√ 325
=1,857
4. f ( x )=sin x , dan interval [ 0 , π ]
∫a
b
f ( x )dx=f (c ) (b−a )
∫0
π
sin x dx=sin c . (π−0 )
−cos x=sin c . π(−cos π )−(−cos0 )=sin c . π1− (−1 )=sin c .π2π=sin c
c=arc sin 2π=39,54 °=0,22 π
5. f ( x )=1x , dan interval [1,3]
∫a
b
f ( x )dx= f (c ) (b−a )
∫1
3 1x
dx=1c
. (3−1 )
ln x=2c
ln 3−ln 1=2c
1,0986=2c
c= 21,0986
=1,8205
Tugas Buku Calculus hal. 61-66 Page 18
POLITEKNIK MANUFAKTUR NEGERI BANGKA BELITUNG
6. f ( x )=x2 , dan interval [-2,2]
¿ 1b−a∫a
b
f (x ) dx
¿ 12−(−2 ) ∫−2
2
x2 dx= 14 [1
3x3]
¿ 14 [( 8
3 )−(−83 )]
¿ 14
. 163
=1612
=43
7. f ( x )=1x , dan interval [1,3]
¿ 1b−a∫a
b
f (x ) dx
¿ 13−1∫1
3 1x
dx=12
[ ln x ]
¿ 12
[ ln 3−ln1 ]=12
(1,9086 )=0,5493
8. f ( x )=cos x , dan interval [−π2
, π2 ]
¿ 1b−a∫a
b
f (x ) dx
¿ 1π2−(−π
2 )∫−π
2
π2
cos x dx= 1π
[ sin x ]
¿ 1π [sin (90 ° )−sin (−90 ° ) ]= 1
π (1− (−1 ) )= 2π
9. f ( x )=92 √x , dan interval [1,4]
¿ 1b−a∫a
b
f (x ) dx
¿ 14−1∫1
4 92 √x dx=1
3∫14 9
2x
12 dx
¿ 13 [ 9
232
x32 ]=1
3[3.x √x ]=1
3[3.4 .√4−3.1 .√1 ]
¿ 13
(24−3 )=13
(21 )=7
Tugas Buku Calculus hal. 61-66 Page 19
POLITEKNIK MANUFAKTUR NEGERI BANGKA BELITUNG
10. f ( x )=ex , dan interval [0,1]
¿ 1b−a∫a
b
f (x ) dx
¿ 11−0∫0
1
ex dx=1 ( ex)
¿e1−e0=2,718−1=1,718
Tugas Buku Calculus hal. 61-66 Page 20