TRANSFORMASI LAPLACE DAN FUNGSI ALIH

TUGAS MEKATRONIK

(Fungsi Ahli)

D

I

S

U

S

U

N

OLEH :

Randini Pasaribu

5133321023

Dosen Pengampu : Dr Lisyanto M.Si

UNIVERSITAS NEGERI MEDAN

TAHUN PELAJARAN 2014/2015

FUNGSI ALIH

Dalam teori kontrol, fungsi alih digunakan untuk mencirikan hubungan masukan dan keluaran dari komponen atau sistem yang dapat digambarkan dengan persamaan diferensial linear, invarian-waktu. Fungsi alih persamaan diferensial linear, invarian-waktu suatu sistem didefinisikan sebagai perbandingan antara transformasi Laplace keluaran (fungsi tanggapan) terhadap transformasi Laplace masukan (fungsi penentu dengan anggapan bahwa semua syarat awal nol.Perhatikan persamaan diferensial linear, invarian-waktu sistem yang didefinisikan dengan persamaan diferensial berikut: dengan

Dengan y adalah keluaran sistem dan x masukan. Fungsi alih sistem mi diperoleh dengan mengambil transformasi Laplace kedua sisi Persamaan (5) dengan anggapan semua syarat awal nol atau

Dengan menggunakan konsep fungsi alih dapat dinyatakan sistem dinamik dengan persamaan aljabar dalam s. Jika pangkat tertinggi dan s dalam penyebut fungsi alih sama dengan n, maka sistem disebut sistem orde ke-n.

Kegunaan konsep fungsi alih terbatas pada sistem linear persamaan diferensial, waktu tidak berubah. Namun pendekatan fungsi alih digunakan secara ekstensif dalam analisis dan desain sistem demikian. Berikut ini kita akan mendaftar komentar penting mengenai fungsi alih. (Perhatikan bahwa dalam daftar tersebut sebuah sistem adalah sistern linear yang dijelaskan oleh persamaan diferensial, waktu tidak berubah).

1. Fungsi alih dari sistem adalah model matematika yang merupakan metode operasional dari pernyataan persamaan diferensial yang menghubungkan variabel keluaran dengan variabel masukan.

2. Fungsi alih adalah sifat dari sistem tersebut sendiri, tidak tergantung dari besaran dan sifat dari masukan atau fungsi penggerak.

3. Fungsi alih termasuk unit yang diperlukan untuk menghubungkan masukan dengan keluaran; namun, ia tidak memberikan informasi apapun mengenai struktur fisik dari sistem tersebut. (Fungsi alih dari banyak sistem yang secara fisik berbeda dapat identik).

4. Jika fungsi alih dari sistem diketahui, keluaran atau tanggapan dapat ditelaah untuk berbagai macam bentuk masukan dengan pandangan terhadap pengertian akan sifat dari sistem tersebut.

5. Jika fungsi alih dari sistem tidak diketahui, ia mungkin dapat diadakan secara percobaan dengan menggunakan masukan yang diketahui dan menelaah keluaran dari sistem tersebut. Sekali diadakan, fungsi alih memberikan penjelasan penuh dan karakteristik dinamika dari sistem, yang berbeda dan penjelasan fisiknya.1. Automatic Gain Control (AGC) Automatic Gain Control (AGC) merupakan suatu rangkaian yang mampu mengatur penguatan pada suatu sistem dan mengontrolnya secara automatis.

AGC berfungsi untuk membatasi besar daya yang tertangkap agar tidak terjadi kelebihan beban & distorsi karena penguat biasanya dirancang untuk mendeteksi sinyal terlemah dan mempunyai linearitas terbatas.

Gambar 3. Blok Diagram Proses Sistem AGC [9]Berdasarkan blok diagram diatas dapat dituliskan rumus-rumus sebagai berikut:

=decay/attack rate

R = referensi

Error = R-energi

decay = alpha ()*error

gain = gain

y(n) = sinyal keluaran

x(n) = sinyal inputan

Input pada sistem ini adalah berupa gelombang sinus sebagai testing pointnya, dimana setelah dilakukan pengecekan pada gelombang sinus akan di uji coba pada sinyal suara dengan frekuensi yang berkisar dari 20Hz ~ 20kHz maupun pada file audio yang berformat mp3.

a. Perencanaan Sistem Dalam gambar sistem, pada bagian sinyal input (berasal dari Function Generator, sinyal suara dan file audio dalam format mp3), DSK TMS320C6713 (terdiri dari DSP TMS320C6713, ADC, DAC, dan Flash ROM) dan oscilloscope merupakan bagian sistem proyek yang akan dikerjakan oleh penulis pada proyek akhir ini.

Gambar 4. Perencanaan Sistem AGC [9]

Didalam DSP terdapat proses dari sistem AGC yang ditunjukkan pada blok diagram gambar 3.2. Fungsi Transfer orde 1 a. Sistem Mekanik

Dalam gambar 1. ditunjukkan secara skematis sebuah sistem mekanik rotasi (Gambar 1).

Gambar 1 Sistem MekanikDalam sistem ini, masukan sistem berbentuk torsi T yang menggerakkan beban dengan momen inersia J. Karena adanya gaya gesek dengan koefisien gesekan sebesar f maka akan terjadi torsi lawan sebesar f.w. Keluaran dari sistem ini adalah kecepatan sudut (w).Menurut Hukum Newton untuk dinamika sistem mekanik rotasi adalah :

Ja =( T

dimana :

J = Momen Inersia [Kg-Meter2]

a = Percepatan sudut [Rad.det-2]

T = Torsi [Newton-Meter]Berdasarkan hukum Newton diatas maka untuk sistem mekanik rotasi yang ditunjukkan dalam gambar 1.1, didapatkan:

Atau

Dalam bentuk Laplace (perhatikan kesederhanaan perubahan dari Pers. 1.3 menjadi Pers.1.4. J.sW(s) + f .W(s) = T(s) atau

DimanaW(s) = L [(t)]T(s) = L[T(t)]Diagram blok hubungan masukan dan keluaran sistem di atas ditunjukkan dalam Gambar:.

Gambar 2 Diagram Blok dari Gambar 1

b. Rangkaian RC

Gambar 3 Rangkaian RC

c. Rangkaian RC dengan OP AMP

d. Analisis Kawasan WaktuSistem Orde 1Secara umum, dari konsep analogi yang telah kita pelajari, model fungsi transfer yang menyatakan hubungan masukan keluaran sebuah sistem orde satu dapat dinyatakan dalam

Bentuk standar sebagai berikut :

Contoh soalTentukan tanggapan sistem untuk laju satuan dengan fungsi alih

Jawab :

Pole dari fungsi alih pada s = -1 memberikan konstanta waktu = 0.75 detik . Nilai keadaan tunak tanggapan adalah . dengan konstanta waktu sistem sebesar 0.75 maka keluaran mencapai keadaan tunak kira-kira dalam 3 detik.

3. Fungsi Transfer orde 2Untuk memahami, merancang atau memperbaiki suatu sistem kendali, seringkali lebi hefektif jika digunakan tiruan karakteristik dari sistem yang ditangani. Hal ini berkaitan dengan alasan keselamatan, kecepatan perancangan, kemudahan dan biaya perancangan.

Selain itu, hasil percobaannya dapat mendukung perencanaan sistem yang akan dibuat. Proses peniruan karakteristik sistem ini disebut SIMULASI. Dalam analisis sistem kendali, harus lebih dulu mengetahui karateristik sistem yang akan diatur (plant) dan karateristik alat kendali yang akan digunakan. Dalam kasus system kendali linier, time-invariant, single-input-single output, karakteristik yang penting adalah Transfer Function (Fungsi Transfer). Fungsi transfer didefinisikan sebagai perbandingan antara transformasi Laplace keluaran (output) sistem dengan transformasi Laplace masukan (input) sistem dengan asumsi kondisi awal sama dengan nol.

Penentuan fungsi transfer dapat dilakukan melalui dua cara yaitu :

1) Penurunan melalui persamaan matematis

Penentuan fungsi transfer yang dilakukan dengan penurunan persamaan secara matematis mempersyaratkan adanya model dinamika dari sistem fisis bersangkutan. Keakuratan fungsi transfer yang diperoleh bergantung pada keakuratan model dinamika fisis tersebut.

2) Pengukuran langsung terhadap sistem fisis sesungguhnya, Pengukuran langsung terhadap sistem fisis sesungguhnya yaitu dengan mengamati keluaran sistem fisis tersebut terhadap sinyal uji/masukan tertentu. Untuk melakukan pengukuran cara ini perlu dipahami analisis sinyal dalam kawasan(domain) waktu dan kawasan frekuensi.

Sistem Elektrik

Dalam gambar 1 ditunjukkan sebuah sistem rangkaian elektrik yang terdiri dari R, L dan C, dimana sebagai tegangan input adalah e dan arus output adalah i.

Gambar 1 Rangkaian Elektrik

Dengan menerapkan hukum Kirchoff pada rangkaian diatas diperoleh persamaan dinamika sebagai berikut :

Transformasi Laplace adalah

Dengan demikian Fungsi Transfer dari rangkaian elektrik diatas adalah :

Diagram blok hubungan input dan output dari sistem diatas ditunjukkan dalam gambar 5

Gambar 2 Diagram Blok dari Gambar 2

Sistem Suspensi

Gambar 3. Sistem Suspensi

Perhatikanlah penurunan fungsi transfer dari sistem pada gambar 3, yang terdiri darikomponen pegas, damper/peredam (piston dalam silinder yang berisi oli) dan massa. ,dimana P adalah daya yang diberikan ke massa (input), dan y adalah pergerakan tranlasiyang dihasilkan (output). Persamaan dinamika dari sistem translasi ini dapat diturunkan melalui hukum Newton pada sistem translasi yaitu :

ma =(F dimana :

m = massa [Kg]

a = percepatan [m.det-2]

F = GayaBerdasarkan hukum Newton diatas, diperoleh :

Transformasi Laplace dari persamaan (1.14) adalahm.s2 Y(s)+ f .sY(s)+ k.Y(s)= P(s)

Dengan demikian Fungsi Transfer dari rangkaian mekanik translasi pada gambar 3. adalah :

Secara umum fungsi transfer sistem orde-dua dapat dinyatakan dalam bentuk standar sebagai berikut :

Dimana wn adalah frekuensi natural dan z adalah rasio redaman (damping ratio). Rasio redaman mempunyai harga 0 < z < . Contoh :

Untuk sistem dibawah ini R(s) E(s) C(s)

Gambar 4.9 Diagram Blok Sistem Kendali Lingkar Tertutup

Dimana = 0.65 dan n = 10 rad det . Tentukan r t , p t , p M dan s t jika sistem dikenai masukan undak satuanJawab :

Waktu naik (tt)

Waktu puncak (time overshoot)(tp)

Persentase maksimum 6,8077 %4. Fungsi Transfer Orde Tinggi

Tinjau sistem yang ditunjukkan pada Gambar 4.10 dengan fungsi alih lingkar tertutupnya

Gambar 4.10 Diagram Blok Sistem Kendali

Pada umumnya G(s) dan H(s) diberikan sebagai rasio polinomial dalam s atau

Dimana p(s) , q(s) , n (s) dan d(s) adalah polinomial dalam s. Fungsi alih lingkar tertutup yang diberikan oleh persamaan (4.70) selanjutnya dapat ditulis.

_1216743011.unknown