VIII.- TURBINA KAPLAN

VIII.1.- INTRODUCCIN

La importancia de las turbinas Hlice y Kaplan en pequeos saltos con grandes caudales, las

hacen idneas tanto en posicin horizontal como vertical; por su similitud con las turbinas Bulbo,

empleadas tanto en centrales maremotrices como en algunas minicentrales hidrulicas, presenta-

mos este somero estudio que permite comprender su funcionamiento y campos de aplicacin.

La tendencia a la construccin de turbinas cada vez ms rpidas, para velocidades especficas

ns mayores de 450, conduce a las turbinas hlice y Kaplan, ya que en las turbinas Francis con ns

del orden de 400, el agua no se puede guiar y conducir con precisin.

El rodete est compuesto por unas pocas palas, que le confieren forma de hlice de barco;

cuando stas sean fijas, se llama turbina hlice, mientras que si son orientables se denominan tur-

binas Kaplan; en ambos casos las turbinas funcionan con un nico sentido de giro de rotacin; son

pues turbinas irreversibles.

Si adems de tener las palas orientables, las turbinas funcionan en los dos sentidos de rotacin

(turbinas reversibles), y asimismo pueden actuar como bombas hlice accionadas por el propio

generador, se las denomina turbinas Bulbo.

En lo que sigue, vamos a exponer una teora relativa al clculo de turbinas Kaplan, que se

puede aplicar directamente a las turbinas hlice y Bulbo.

Para una turbina hlice del tipo que sea, si se supone una velocidad de entrada r c 1 uniforme

para toda la altura del perfil, las distintas curvaturas de las palas se deducen de las distintas velo-

cidades perifricas u que tiene la rueda en los diversos puntos, Fig VIII.2, de forma que siempre se

cumpla que:

r u = Cte

Si la entrada del agua (1) se efecta sin choque, la superficie del labe debe estar en una direc-

TK.VIII.-109

cin tangente a la velocidad relativa de entrada del agua r w 1 , por lo que el labe tiene que ser, por lo

que respecta a su altura, en la parte central e inicial, bastante vertical.

Fig VIII.1.- Seccin transversal de una central hidrulica con turbina Kaplan

En la parte final del labe, a la salida, ste se presenta ms aplanado y la velocidad r c 2 debe

ser prcticamente axial, siendo la velocidad w2y

DistribuidorEntradadel agua

Salida del agua

Fig VIII.3.- Rotor de una turbina Kaplan

En el interior del cubo se encuentra el mecanismo de giro de las palas del rodete, lo que obliga a

que el nmero de las mismas sea pequeo, que puede aumentar al crecer el salto y las dimensiones

del rodete.

Tabla VIII.1.- Nmero de palas Z en funcin del nmero especfico de revoluciones ns

400-500 500-600 600-750 750-900 > 900Z 7 a 8 6 5 4 3

60 50 40 20 5Relacin de cubo 0,6 0,55 0-5 0,4 0,3

ns

Hn (metros)

En la Tabla VIII.1 se indica el nmero de palas Z en funcin del nmero especfico de revolucio-

nes ns que condiciona el salto neto Hn y la relacin entre los dimetros del cubo y exterior del rodete

n, observndose que un aumento del nmero de palas supone una disminucin del ns.

A medida que aumenta Hn aumentan los esfuerzos que tienen que soportar los labes, por lo

que el cubo ha de tener mayor dimetro, tanto para poder alojar los cojinetes de los pivotes de los

labes, como para poder alojar el mayor nmero de labes. Para alturas netas superiores a los 10

metros, la turbina Kaplan empieza a ser ms voluminosa que la turbina Francis, aunque man-

tiene la ventaja de tener los labes orientables.

VIII.2.- REGULACIN DE LAS TURBINAS

A las turbinas hlice se las regula mediante labes mviles en la corona directriz, (distribuidor),

en forma anloga a como se hace en las turbinas Francis. A la entrada del rodete se origina una

prdida por choque y a la salida resulta una r c 2 mayor en magnitud, pero de direccin ms inclina-

da; ambas circunstancias contribuyen a la disminucin del rendimiento, de forma que ste des-

ciende tanto ms rpidamente, cuanto mayor sea la velocidad de la turbina. Una caracterstica

negativa de las turbinas hlice es el bajo rendimiento de las mismas a cargas distintas de la nomi-

nal o diseo. En las turbinas Kaplan, las paletas directrices del distribuidor tambin son mviles lo

cual permite mejorar la regulacin, pues al cambiar la inclinacin de los labes del rodete se consi-

gue mantener bastante elevado el rendimiento para un extenso margen del grado de apertura del

distribuidor.

TK.VIII.-111

s= 1050 (curva en gancho) ; (b) Turbina hlice: ns= 650 ; (c) Turbina Francis: ns= 500 ;

(d) Turbina Francis: ns= 250 ; (e) Turbina Kaplan: ns= 230 ; (f) Turbina Kaplan: ns= 500 ; (g) Turbina Pelton: ns= 10 a 30 (curva plana)

Fig VIII.4.- Rendimiento total de los diferentes tipos de turbinas en funcin del grado de la carga

La regulacin ms favorable se consigue cuando al girar las palas se conserva el mismo valor

de r c 1n y a la salida de las mismas se mantiene

r c 2 perpendicular a

r u 2 .

En el caso ideal se tiene que cumplir la ecuacin fundamental de las turbinas:

hmang Hn = c1u1cos a 1 - c2u2 cos a 2

que para a2 = 90 u1 c1n = hman g Hn, para cualquier grado de admisin, alcanzndose elevados

rendimientos en toda la zona de regulacin, lo que se puede conseguir actuando al mismo tiempo

sobre las palas del distribuidor y de la rueda. La forma de conseguir este aumento de rendimiento

variando la posicin de los labes se explica a la vista de las Fig VIII.5 como sigue:

La velocidad relativa de entrada r w 1 tiene que ser tangente al labe, por lo que ste tiene que

quedar en la direccin de ella, a fin de que la entrada de agua tenga lugar sin choque; a la salida r c 2

tiene que alcanzar un valor razonable procurando sea perpendicular a r u 2 o formar un ngulo pr-

ximo a los 90.

Al cambiar la posicin de los labes, disminuyendo por ejemplo la admisin, las velocidades se

modifican; r c 1 ser ahora menor que con admisin plena, porque el espacio libre existente encima

del rodete resulta entonces excesivamente grande para un caudal menor, lo que origina una dismi-

nucin de la velocidad; a la entrada, las paletas del rodete se pueden poner, aproximadamente, en

la direccin r w 1 suavizndose as las prdidas por choque.

TK.VIII.-112

A la salida se tiene la ventaja de que al ser b 2 ms pequeo, la velocidad r c 2 es tambin ms

pequea, que es precisamente lo que interesa para aprovechar al mximo la energa puesta a

disposicin de la mquina; como dato curioso, para caudales pequeos, menores que los de diseo,

el tubo de aspiracin quedar siempre lleno, en forma anloga a cuando se trabaja con el caudal de

proyecto, pero saliendo a una velocidad r c 2 menor.

AbiertoGirado

Fig VIII.5.- Modificacin de los tringulos de velocidades al variar el ngulo de ataque

Fig VIII.6.- Curva de rendimiento de una turbina Kaplan

La doble regulacin de una turbina Kaplan hace que sta sea ms cara que una Francis de

igual potencia, por lo que se utilizan en aquellas instalaciones en que se desee conseguir rapidez de

giro y mxima facilidad de regulacin.

Si esta ltima condicin no es muy precisa, es decir, si la turbina ha de funcionar casi siempre

con poca variacin de carga, es preferible utilizar una turbina hlice, que por su sencillez, es muy

superior a la Francis.

La curva de rendimiento de una turbina Kaplan es una curva plana, y su rendimiento a cargas

intermedias es superior no slo al de las turbinas hlice, sino al de todas las turbinas Francis,

siendo su curva de rendimiento comparable con las curvas planas caractersticas de las turbinas

Pelton.

Esta curva de rendimiento plana, como se muestra en la Fig VIII.6, es la envolvente de las cur-

vas que se obtendran con un nmero infinito de rodetes de turbina hlice de ns crecientes. Esta

curva slo se obtiene utilizando una combinacin ptima del ngulo del rodete y de la apertura del

distribuidor.

TK.VIII.-113

VIII.3.- MECANISMO DE REGULACIN EN LAS TURBINAS KAPLAN

En la Fig VIII.7 se presenta un esquema del mecanismo de regulacin de las palas mviles del

rodete, dispuesto en el interior del cubo. Cada pala se prolonga mediante un eje, que penetra en el

cubo, perpendicular al eje de giro de la rueda. Cada eje de pala pivota en dos palieres P1 y P2 entre

los que se encuentra calada una palanca L que es la que regula la orientacin de la pala, y que a su

vez va sujeta al eje de la rueda.

La fuerza centrfuga de la pala se transmite a la palanca L mediante bieletas, y en turbinas

muy importantes, por un sistema de anillo incrustado en el eje y apoyado sobre L.

Las bieletas X colocadas en la extremidad de la palanca L van sujetas al rbol mediante un

soporte E; todo ello est dirigido por un vstago que pasa por el interior del rbol A, de forma que

cualquier desplazamiento axial de este vstago provoca una rotacin simultnea de todas las

palas. Todo el mecanismo de regulacin est baado en aceite a una cierta presin, (en las Bulbo

del orden de 2 a 3 atm), proporcionando la lubricacin necesaria a todos los cojinetes y conexiones,

y no permitiendo la entrada del agua en el interior del cubo.

Fig VIII.7.- Mecanismo de regulacin de las palas de una turbina Kaplan

El vstago T es accionado por un servomotor S que gira solidario con el rbol; por encima de

ste va situado un depsito fijo R, en el que las cmaras C1 y C2 estn comunicadas con una vl-

vula de regulacin de aceite D de una entrada y dos salidas. En el interior del rbol A existen dos

tubos concntricos T1 y T2 por los que pasa el aceite a presin; el conducto entre el rbol y T1 pone

en comunicacin la cmara C1 con la parte inferior del servomotor a travs del agujero t1 practi-

cado en el pistn P que acta directamente sobre el vstago T de regulacin.

Como se trata de piezas giratorias, hay que procurar en g2, g3 y g4 evitar prdidas o fugas de

aceite entre las diversas cmaras que estn a presiones diferentes; asimismo, como el conjunto

TK.VIII.-114

formado por el pistn P el vstago T y los tubos T1 y T2 situados en el interior del rbol A tienen

que ir tambin engrasados, hay que disponer una junta

de estancamiento en g1 de forma que se evite la comu-

nicacin desde la parte interior del cubo de la rueda

hacia la parte inferior del pistn P del servomotor, que

est a presin variable.

Segn sea la posicin del distribuidor de aceite D se

puede colocar una de las caras del pistn P en comuni-

cacin con la llegada de aceite a la presin de la tubera

de entrada e, mientras que el otro lado del pistn P est

a la presin de descarga.

El interior del tubo T2 pone en comunicacin la parte

superior del depsito R (cmara C3), con el interior del

cubo de la rueda, por medio de un agujero t2 practicado

en la cruceta de mando T de orientacin de las palas.

Esta cmara C3, que est a la presin atmosfrica,

contiene aceite a un cierto nivel y juega el papel de

depsito de expansin del aceite contenido en el cubo,

siendo este volumen de aceite funcin de la posicin de las palas.

Esta cmara se debe situar en un nivel tal que la presin esttica que asegura la presencia de

aceite en el cubo, sea suficiente para evitar la entrada del agua en el interior del cubo. El servomo-

tor S puede estar colocado en una posicin cualquiera del rbol, como en la parte superior, o por

encima del alternador, o bien entre el alternador y la turbina, o por debajo del mecanismo de orien-

tacin de las palas cuando el espacio lo permita, como en la Fig VIII.8, etc.

Momento hidrulico.- La reaccin del agua sobre las palas de la rueda provoca en cada una de

ellas un esfuerzo dR que a su vez se puede descomponer en otros dos, Fig VIII.9, dFx y dFy la posi-

cin de dR, es decir, su brazo de palanca a, con relacin al eje de la articulacin elegido O, no se

puede determinar ms que a partir de un estudio terico o experimental del movimiento del agua,

capaz de crear presiones en todos los puntos del

labe.

El momento hidrulico dC = a dR vara con la

posicin de las palas y es imposible situar el eje de

la articulacin en un punto en que para cualquier

posicin del labe este momento sea nulo, lo cual

implica el que en una posicin determinada de la

pala, sta tenga tendencia hacia la apertura o

hacia el cierre; en la mayora de los casos el eje

est situado de forma que tienda a reducirse el

par de maniobra todo lo que sea posible.

En algunos casos, el eje del labe se sita de

TK.VIII.-115

Fig VIII.9.- Reaccin del agua sobre las palas

Fig VIII.8.- Disposicin del cubo y la pala (Kaplan)

forma que exista una tendencia al cierre, lo que constituye una medida de seguridad contra el

embalamiento, ante la eventualidad de un fallo en el mecanismo de regulacin.

El servomotor se tiene que calcular para vencer el par hidrulico maximal de la pala, teniendo

tambin en cuenta los efectos de rozamiento de los diversos mecanismos que conforman el sis-

tema de regulacin.

VIII.4.- TEORA AERODINMICA DE LAS TURBOMAQUINAS AXIALES

Si se considera una seccin cilndrica del rodete, coaxial, de radio R, desarrollada sobre un plano

(x,y), de forma que sobre el mismo se encuentren las trayectorias relativas al fluido y las secciones

de las palas formando lo que se conoce como persiana, parrilla o enrejado de labes, de paso t y

cuerda l, se puede obtener una solucin aproximada del problema considerando un movimiento

plano y permanente a travs de dicha persiana, Fig VIII.10.

El contorno (ABCDA) se puede suponer formado por dos lneas de corriente (CD) y (AB)

deducidas la una de la otra mediante la traslacin t igual al paso tangencial de la persiana.

Los caudales que atraviesan esta seccin cilndrica desarrollada sobre el plano, son:

a) A travs de (AB) y (CD), nulos.

b) A travs de (AC) y (BD) tienen que ser

iguales, por la ecuacin de continuidad; sto

implica que w1x = w1m y w2x= w2m, normales a

la direccin de u y, por lo tanto, componen-

tes meridianas de la velocidad relativa a la

entrada y salida, tienen que ser iguales:

w1x = w2x ; w1m = w2m

La circulacin G es igual a la suma alge-

braica de las intensidades de todos los torbe-

llinos que existan en la regin interior a la

curva cerrada (ABCDA); la circulacin G a lo largo de (ABCDA), o lo que es lo mismo, la circulacin

alrededor de un labe, al ser la misma a lo largo de (AB) y (DC) es:

G = t (w2y - w1y ) = t (w2n - w1n )

Las componentes de la resultante F de las fuerzas que actan sobre el labe, en las direcciones

(x, y), son la fuerza axial Fx (paralela al eje de giro) y la fuerza de par Fy (en un plano normal al eje

de giro):

Sobre el eje Ox se tiene la fuerza axial:

Fx = t (p1 - p2 )

TK.VIII.-116

Fig VIII.10.- Persiana de labes

en la que t (paso), es la seccin de entrada del agua entre dos labes por unidad de altura del labe,

y p1 y p2 las presiones del fluido aguas arriba y aguas abajo del rodete, es decir, a la entrada y a la

salida de los labes.

Si se considera que el fluido es perfecto e incompresible, el Teorema de Bernoulli proporciona:

p1 + r

w12

2 = p2 + r w2

2

2 ; p1 + r w1x

2 + w1y2

2 = p2 + r w2x

2 + w2y2

2

y teniendo en cuenta que w1x = w2x se puede poner:

p1 - p2 = r

w2y2 - w1y

2

2 = r Gt

w2y + w1y2

valor que sustituido en Fx proporciona:

Fx = r

Gt

(w2y + w1y ) = r Gt

(w2n + w1n )

Sobre el eje Oy se obtiene la fuerza de par (radial); aplicando el Teorema de la Cantidad de

Movimiento:

Fy = r G w1x(w1y - w2y ) = - r w1x G = w1x = w2x

w1x = w1x + w2x

2

= - r w1x + w2x

2 G = - r

w1m + w2m2

G

La fuerza resultante F es perpendicular a la cuerda; la velocidad relativa media del agua r w m a

su paso por los labes es, Figs VIII.11.12:

r w m=

r w 1 +

r w 2

2

F = r wm G

Si el paso t aumenta indefinidamente, la circulacin G permanece constante y la diferencia de

velocidades, w2y - w1y, tiende a cero, pero los resultados subsisten, obtenindose la formulacin de

Kutta-Joukowski, en la que wm se reemplaza por la velocidad w , velocidad sin perturbar:

F = r w G

Para el caso de un fluido real, hay que tener en cuenta las prdidas de energa experimentadas

por el fluido al atravesar la persiana de labes; dicha persiana viene determinada, geomtricamen-

te, por:

.TK.VIII.-117

Fig VIII.12

Fig VIII.13.- Fuerza de sustentacin Z y de arrastre X

a) La forma del perfil del labe

b) El paso relativo,

tl

= Seccin de entrada

Longitud de la cuerda

c) La inclinacin q que es el ngulo que forma la velocidad relativa r w m con el eje de giro definido

por la direccin x

La accin de la corriente fluida sobre el perfil viene representada por la fuerza F por unidad de

longitud del labe l que se puede descomponer en una componente Z perpendicular a wm, fuerza de

sustentacin y una componente X paralela a wn, fuerza de arrastre, Fig VIII.13.

Las velocidades perifricas a la entrada y a la salida r u 1 y

r u 2 son iguales.

La componente X de la resultante F es la fuerza de arrastre de la forma:

X =

12 r Cwx l wm

2 = cm = wm cos q = 12 r Cwxl

cm2

cos 2 q

La componente Z es la fuerza de sustentacin:

TK.VIII.-118

Z =

12 r Cwz l wm

2 = c m = wm cos q = 12 r Cwzl

c m2

cos 2 q

en las que Cwx y Cwz son los coeficientes de arrastre y sustentacin, respectivamente.

Los valores de r F x y

r F y componentes de

r F en las direcciones (x,y), son:

Fuerza axial:

Fx = X cos q - Z sen q = ( p1 - p2 ) t

Fuerza radial o fuerza de par:

Fy = X sen q + Z cos q = r cm t (w1 sen q 1 - w2 sen q 2 ) = - r cmt D wn

que se puede poner en la forma:

Fy = 12 Cwx l

c m2

cos 2 q sen q +

12 Cwz l

c m2

cos 2 q cos q =

CwxCwz

= tg e

cm= wm cos q =

=

12

Cwz l tg e cm

cos 2 q sen q +

12

Cwz l c m

cos q

La esbeltez aerodinmica del perfil viene caracterizada por el valor de cotg e ; para los labes

normalmente empleados, cotg q vara entre 10 y 80, por lo que en primera aproximacin se puede

despreciar el valor de tg e obtenindose:

D wnwm

= Cwz l

2 t

que es la ecuacin fundamental de la Teora de persianas de labes y de la que se puede obtener el

coeficiente de empuje ascensional Cwz.

La prdida de energa hr que experimenta el fluido al atravesar la persiana de labes se obtiene

teniendo en cuenta que, la energa perdida es igual al trabajo de las fuerzas de rozamiento, de la for-

ma, wm X, es decir:

g wmt hr cos q = wmX ; h r =

Xg t cos q

En general es preciso modificar estos valores mediante unos coeficientes de correccin, ya que

al no considerar un solo labe, sino varios, se produce una interaccin. Estas modificaciones son

pequeas cuando t/l > 3, pero en caso contrario hay que introducir unos factores de correccin de

los valores de Cwx y Cwz.

TK.VIII.-119

VIII.5.- PARMETROS DE DISEO DEL RODETE KAPLAN

Relacin de dimetros .- Los dimetros nominales, exterior De de las palas e interior (cubo) Di,

cuya relacin n =

DiDe

, debe cumplir los valores de n comprendidos en el intervalo 0,38 < n < 0,63

Solidez .- La solidez de la persiana de labes oscila entre los siguientes valores:

(

lt )e = 1 0,7 ; (

lt ) i = 1,8 3

Nmero de palas .- El nmero de palas es:

Z =

p Det

Tringulos de velocidades.- Los tringulos de velocidades para la turbina Kaplan son los indi-

cados en las Fig VIII.14a.b, en los que q es el ngulo que forma r w m con la direccin del eje de giro de

la turbina.

Fig VIII.14a.b.- Tringulos de velocidades a la entrada y a la salida

Rendimiento manomtrico

El rendimiento manomtrico para cualquier turbomquina es de la forma:

h m= u D cng Hn

= Hn

Hn + hr =

D c n = c1n - c 2n

Hn = ug

(c1n - c2n ) = ug

(c1 cos a 1 - c2cos a 2 )

hr = X

g t cos q = 1

2 r Cwxl wm

2

g t cos q = 1

2 g Cwxl

t

wm2

cos q

=

=

ug

(c1n - c2n )

ug

(c1n - c2n ) + 1

2 g Cwx l

t

wm2

cos q

= 1

1 + Cwx l

2 t

wm2

D wn 1u cos q

=

TK.VIII.-120

=

2 tl

D wnwn

= - Cwz (tg e tg q + 1)

12 t D wn

= 1

c wz wn (tg e tg q + 1)

= 1

1 + Cwx wm

2

c wz wn (tg e tg q + 1) u cos q

=

= 1

1 + tg e wm

(tg e tg q + 1) u cos q

= 1

1 + sen e wm

(cos e cos q + sen e sen q ) u

= 1

1 + sen e wm

cos( q - e ) u

Fig VIII.15.- ngulo de ataque a Fig VIII.16.- Factor de correccin k del coeficiente Cwz

ngulo de ataque a ..- Si llamamos j 0 el ngulo de inclinacin de los labes, (ngulo que formala cuerda del perfil con la direccin u), el valor del ngulo de ataque a , que es el ngulo que forma la

cuerda del perfil con la velocidad media del agua r w m, (relativa o aparente) , es:

a = b - j 0 = e

Haciendo:

Cwz=

2 t D wnl wn

= 2 p k sen a = 2 p k sen ( b - j 0 )

en la que k es un coeficiente corrector que viene dado en la Fig VIII.15 y que hay que introducir al

considerar que el labe no est aislado, determinndose su valor de forma experimental en funcin

de la relacin,

tl.

Por lo tanto:

TK.VIII.-121

tl

lp D wnwm

= cm = wm cos q = wm sen b ; wm =

c msen b

D wn = D cn = c1n - c2n = c m (cotg b 1 - cotg b 2 ) =

=

tl

lp

c m (cotg b 1 - cotg b 2 )c m

sen b = K sen ( b - j 0 )

cotg b 1 = cotg b 2+

K l pt

sen ( b - j 0 )

sen b = cotg b 2 +

K l pt sen j 0 (cotg j 0 - cotg b ) =

= cotg b =

cotg b 1 + cotg b 22 = cotg b 2 +

K l pt sen j 0 (cotg j 0 -

cotg b 1 + cotg b 22 )

cotg b 1 (1 +

K l p2 t sen j 0 ) = cotg b 2 (1 -

K l p2 t sen j 0 ) +

K l pt cos j 0

El valor, d =

K l p2 t sen j 0 , es una constante para cada enrejado de labes, por lo que,

cotg b 1 (1 + d ) = cotg b 2(1 - d ) + 2 d cotg j 0

cotg b 1 = cotg b 2

1 - d1 + d

+ 2 d

1 + d cotg j 0

a partir de los cuales se puede hallar el valor del ngulo de ataque a = b 1 - j 0

VIII.6.- CALCULO DEL CAUDAL

El flujo a nivel de distribuidor, en una turbina Kaplan, se presenta radial, mientras que pasa a

ser axial al alcanzar el rodete.

En la Bulbo el flujo es siempre axial. La zona de accin del rodete que permite pivotar a los la-

bes se encuentra comprendida, para las turbinas hlice, entre dos superficies cilndricas coaxiales,

y para las Kaplan, entre dos superficies esfricas concntricas.

En el supuesto de considerar la cmara del rodete cilndrica, el valor del caudal es:

Q =

p (De2 - Di

2 )4 c m =

p De2

4 (1 - Di

2

De2 ) c m =

p De2

4 (1 - n2 ) c m

D cn = D wn = cm (cotg b 1 - cotg b 2) = cm (

1 - d1 + d

cotg b 2 + 2 d

1 + d cotg j 0 - cotg b 2) =

= c m (

- 2 d1 + d

cotg b 2+ 2 d

1 + d cotg j 0) =

2 d1 + d

c m (cotg j 0 - cotg b 2 ) =

=

w2 sen b 2 = c2 sen a 2 = c m

w2 cos b 2 = c2 cos a 2 = u

w2 sen b 2 cotg b 2 + c2 sen a 2 cotg a 2 = u

cm cotg b 2 + cm cotg a 2 = u

= 2 d

1 + d {c m (cotg j 0 + cotg a 2 ) - u} =

TK.VIII.-122

= h man=

u D cng Hn

= h man g Hn

u cm =

h man g Hnu

1 + d2 d

+ u

cotg j 0 + cotg a 2

por lo que la expresin del caudal es,

Q =

p De2

4 (1 - n2 ) c m =

p De2

4 (1 - n2 )

h man g Hnu

1 + d2 d

+ u

cotg j 0 + cotg a 2 =

= p De

2

4 (1 - n2 )

h man g Hnp n De

1 + d2 d

+ p n De

60cotg j 0 + cotg a 2

En variables reducidas:

Q11 =

QDe2 Hn

; n11 = n De

Hn Q11 =

p4

(1 - n 2 )

60 h man g

p n11 1 + d

2 d + p n11

60cotg j 0 + cotg a 2

ecuacin que concuerda muy bien con los datos experimentales y expresa que el caudal de las tur-

binas Kaplan aumenta con:

a) El grado de apertura x del distribuidor

b) El aumento del ngulo j 0 girado por los labes mviles

c) La disminucin de la solidez del enrejado de labes l

t, es decir , con la disminucin de d

d) El aumento del rendimiento manomtrico

En las turbinas lentas, en las que el enrejado tiene una solidez elevada, (d es grande), el caudal

aumenta a partir de un cierto nmero de revoluciones n11, aunque en la prctica es para todo el

rgimen de funcionamiento de la turbina; en las turbinas rpidas, al ser el nmero de labes

menor, es decir, d ms pequeo, al aumentar el nmero de revoluciones el caudal disminuye.

La expresin del caudal para a 2 = 90 queda en la forma:

Q11(c 2n = 0) =

p4

1 - n 2cotg j 0

(60 h man gp n11

1 + d2 d

+ p n11

60 ) = p n11

60 >> 60 h man gp n11

1 + d2 d

=

= p4

1 - n 2cotg j 0

p n11

60

que aumenta al disminuir la solidez del enrejado; al aumentar la inclinacin del labe j 0 permane-

ciendo constantes el resto de las condiciones, Q11 > Q11(c 2n) = 0, la circulacin es positiva.

VIII.7.- EXPRESIN DEL PAR MOTOR EN FUNCIN DE LA CIRCULACIN

Sobre cada elemento del perfil de una turbomquina, situado a una distancia r del eje de la mis-

ma, acta una fuerza elemental que se puede descomponer en dos direcciones, de las que una, la

TK.VIII.-123

fuerza axial Fx es paralela al eje de giro, y que por lo tanto no produce ningn momento con relacin

a dicho eje; la otra componente, fuerza de par Fy, est situada en un plano normal al eje de giro, y

es la que proporciona el par motor.

Sobre un elemento de pala de espesor dr, acta una fuerza dFy en el mismo sentido que la velo-

cidad u; el momento C de esta fuerza sobre el labe en la seccin infinitesimal dr comprendida

entre r y (r + dr) es:

dC = r G c mr dr

Si z es el nmero de labes, el momento total es:

C = z r

r i

re

r G (r) c mdr = dQ = 2 p r dr c m = r z2 p 0

Q

G (r) dQ

siendo ri el radio del cubo y re el radio exterior de la pala.

Al suponer fluido ideal y flujo irrotacional, la circulacin a cada distancia r ser la misma, por lo

que:

C =

r z G

2 p

0

Q

dQ = r z G Q

2 p = g z G Q

2 p g

que es la expresin del momento en funcin de la circulacin, el nmero de palas y el caudal.

VIII.8.- CALCULO DE LAS PERDIDAS Y DEL DIMETRO EXTERIOR DEL RODETE De

El dimetro exterior de los labes del rodete De se puede calcular mediante datos experimenta-

les y estadsticos; sin embargo, se puede hallar analticamente un resultado ptimo haciendo que

las prdidas en el rodete y en el difusor sean mnimas.

Prdidas en el rodete.- Las prdidas en el rodete son de la forma:

h r = (

1h man

- 1) Hn

que a su vez se puede poner como:

w2w1

= y = Hn - hr

Hn

siendo y un coeficiente de reduccin de velocidad debido al rozamiento originado por el paso del agua

a travs de los labes de la turbina.

Teniendo en cuenta la expresin del h man anteriormente deducida con, q =

p2

- b

TK.VIII.-124

h man= 1

1 + wm sen e

cos ( q - e ) u

y haciendo las aproximaciones:

wm u ; sen e e ; u sen b c m ; q >> e

se deduce:

1 - h man @ 1 - 1

1 + esen e

@ e

sen b + e @

esen b

@ e ucm

hr = e u Hn

c m

Prdidas en el tubo de aspiracin.- Las prdidas hs en el tubo de aspiracin son de la forma:

hs = (1 - h dif )

cm2

2 g

Dimetro del rodete De.- Para un radio r cualquiera se tiene:

hr + hsHn

= e ucm

+ (1 - h dif ) c m

2

2 g Hn

siendo h d el rendimiento medio del difusor, cuyo valor entre los radios ri y re es:

hr + hsHn

medio = 1

p (De2 - Di

2 )

4

Di /2

De /2

{ e uc m + (1 - h dif ) cm

2

2 g Hn} 2 p r dr =

= 4

De2 - Di

2 [De

2

2 { e

c m p n

30 De6

+ ( 1 - h dif ) c m

2

4 g Hn} -

Di2

2 { e

c m p n

30 Di6

+ (1 - h dif ) cm

2

4 g Hn}] =

= 2 (1 - h dif ) c m

2

g Hn +

e p n90 c m

De

3 - Di3

De2 - Di

2 = n =

DiDe

c m = 4 Q

p De2 (1 - n 2 )

=

= 2 (1 - h dif )

c m2

g Hn +

e p n90 c m

1 - n 3

1 - n 2 De = 2 (1 - h dif )

16 Q2

p 2g Hn De4 (1 - n 2 )2 + e p 2 n De3 (1 - n 3 )

360 Q

Como el dimetro ptimo hay que obtenerlo para unas prdidas mnimas, derivando la anterior

respecto a De y despejando, se obtiene:

(1 - h dif )

16 Q2

p 2g Hn (1 - n2 )2

(- 4

De5 ) +

e p 2 n De2 (1 - n 3 )

240 Q = 0

De = 1,487 (1 - h dif )

Q3

e n Hn (1 - n3 ) (1 - n 2 )2

7

TK.VIII.-125

que es el valor del dimetro ptimo del rodete teniendo en cuenta el rendimiento medio del difusor

h d, el caudal Q, la relacin entre los dimetros a la entrada y salida n , la altura neta Hn, el nmero

de revoluciones por minuto n, y la esbeltez del labe.

VIII.9.- CURVAS CARACTERSTICAS DE LAS TURBINAS KAPLAN

Sabemos que en las turbinas Kaplan existen dos rganos reguladores del caudal, los labes del

distribuidor caracterizados por el parmetro x que determina su grado de apertura, y los labes

mviles del rodete, cuya posicin viene caracterizada por el ngulo j 0 .

Esto hace que sea posible el que la turbina funcione en un mismo punto del campo caracters-

tico con rendimientos distintos; lo que se pretende es el conseguir que la turbina Kaplan funcione en

cada punto con un rendimiento ptimo. En lugar de una sola colina de rendimientos, como en las

turbinas Francis o Pelton, se pueden trazar dos series distintas de colinas de rendimientos, Fig

VIII.17.

Regulacin del caudal del distribuidor con los labes del rodete fijos.- En la primera serie se

fijan los labes del rodete en una posicin determinada, j 0 = Cte, y se traza una colina regulando el

caudal nicamente con el distribuidor; para ngulos j 0 distintos se obtienen otras tantas colinas de

rendimientos.

Regulacin del caudal con los labes del rodete orientables y el distribuidor fijo.- En la

segunda serie se fija la apertura x del distribuidor, y se traza una colina regulando el caudal, modifi-

cando nicamente el ngulo j 0 de los labes del rodete; para distintas aperturas del distribuidor x1,

x2, x3,..., etc, se obtienen otras tantas colinas.

Colina de rendimientos.- De este doblete de colinas hay una muy singular, cuyos rendimientos

son los ptimos que se pueden alcanzar en el punto correspondiente del campo caracterstico; a

esta colina es a la que normalmente se conoce como colina de rendimientos de la turbina Kaplan.

Para el trazado de las curvas caractersticas universales de las turbinas Kaplan, se pueden seguir

varios procedimientos.

Fig VIII.17.- Trazado de la colina de una turbina Kaplan

TK.VIII.-126

Mediante el primero se obtienen un nmero conveniente de colinas de la primera serie, una

colina para cada valor de x dado, regulando el caudal variando el ngulo j 0 de los labes del rodete.

Asimismo se traza un nmero conveniente de colinas de la segunda serie, cada una para un

valor de j 0 = Cte, regulndose el caudal variando la apertura x del distribuidor.

Se llevan las dos series de colinas as obtenidas a un mismo plano y se trazan las lneas de ren-

dimiento mximo que se pueden alcanzar con una combinacin adecuada de la apertura del distri-

buidor x y del ngulo j 0 de las palas del rodete, lo cual se consigue trazando las envolventes de las

isolneas de rendimientos de las diversas colinas, tal como se muestra en la Fig VIII.18.

Fig VIII.18.- Colinas de rendimientos de una turbina Kaplan para cinco valores del ngulo j

Segn sto, cada punto del campo caracterstico se puede realizar con el h (total mximo) corres-

pondiente a la isolnea de, h total = Cte, que pasa por dicho punto, con la condicin de que la apertura

del distribuidor y el ngulo de los labes del rodete sean los correspondientes a las lneas de los pun-

tos x = Cte, j 0 = Cte, que pasan por dicho punto.

Siguiendo otro procedimiento se trazan una serie de colinas de rendimientos de uno de los dos

tipos descritos anteriormente, siendo preferidos los del primero porque es ms fcil variar j 0 .

Se comprueba que al aumentar j 0 aumenta Q11 mientras que el valor ptimo de n11 vara poco,

disminuyendo para ngulos j elevados, como se muestra en las colinas de rendimientos de la tur-

bina Kaplan representada en la Fig VIII.18, obtenidas para cinco valores del ngulo j 0 de posicin

de los labes del rodete.

Se establece la condicin de situar cada punto del plano (Q11, n11) con el rendimiento ptimo,

TK.VIII.-127

obtenindose as la colina de rendimientos.

Se escoge un valor determinado de n11, se traza la vertical, n11= Cte, y se leen en las diferentes

colinas los valores mximos del rendimiento, (caracterizadas por valores distintos de j 0 ), y en la

interseccin de la vertical, n11 = Cte, con cuantos valores de Q11 se deseen, en cada caso, anotn-

dose tambin el valor de j 0 de la colina respectiva y el valor de x con el que se obtiene dicho rendi-

miento.

Para cada valor de n11 se obtienen l os tres tipos de curvas:

h total = f (Q11 ) ; x = f (Q11 ) ; j 0 = f (Q11 )

que se han representado en la Fig VIII.20, para un mismo valor de n11, obtenidas a partir de las

curvas caractersticas universales descritas anteriormente.

Para otros valores de n11 se trazan otras series de curvas de este tipo, y con estos datos se

pueden trazar las curvas caractersticas universales de las turbinas Kaplan.

Para ello, en cada punto del plano (Q11, n11) se anotan tres valores de h tot y x, obtenindose el

diagrama de dichas turbinas trazando las isolneas de igual rendimiento, las isolneas de j = Cte,

que son los valores del ngulo del rodete con los que se obtienen los rendimientos mximos, y las de

apertura, x = Cte, como se indica en la Fig VIII.18, obtenindose as un diagrama universal aplica-

ble a una serie de turbinas Kaplan geomtricamente semejantes a la turbina ensayada, Fig

VIII.19.

Fig VIII.19.- Curvas caractersticas universales de una turbina Kaplan

TK.VIII.-128

La turbina Kaplan en funcionamiento se caracteriza por un nmero de revoluciones por minuto

n, su dimetro D y altura neta Hn determinados, que a su vez proporcionan un n11 para dicha tur-

bina Kaplan, siempre que Hn se mantenga constante, por cuanto:

n11 =

n DHn

Las caractersticas particulares de la turbina Kaplan se determinan sobre el diagrama univer-

sal, trazando la vertical que pasa por el punto n11 obtenindose as los valores mximos del rendi-

miento, para diferentes caudales, y los valores de x y de j que hay que adoptar para conseguir

dichos rendimientos.

Fig VIII.20.- Curvas de h , j , x, para un mismo valor de n11,

obtenidas a partir de datos tomados de las Fig VIII.18

TK.VIII.-129

Fig VIII.21.- Turbina Kaplan de 112 MW de la Central del ro Tiet

Fig VIII.22.- Central del ro Tiet, afluente del Paran, estado de Sao Paulo

TK.VIII.-130