FACOLTArsquo di SCIENZE MOTORIE Corso di FISICA APPLICATA ed ELEMENTI DI ELABORAZIONE INFORM ATICA

Appunti delle

Lezioni di FISICA redatte da Paola Brocca Laura Cantugrave e Mario Corti con lrsquoaiuto di Domenica Garoffolo

PERCHErsquo FISICA A SCIENZE MOTORIE Atleti dilettanti bambini imparano ldquoistintivamenterdquo a spingere lrsquoaltalena da su da giugrave o ad andare in bicicletta sanno che per andare senza mani bisogna essere veloci ma imparano dal maestro a curvare con gli sci Imparano dal ldquopreparatore atleticordquo i ldquogiusti gestirdquo per ottimizzare il risultato che in realtagrave non sono altro che lrsquoapplicazione di varie leggi fisiche - Ginnasta alza le braccia prima del salto non egrave puramente estetico - Cosa distingue il lancio ldquogiustordquo o ldquosbagliatordquo del giavellotto o del peso a parte la potenza

dellrsquoatleta - Percheacute i blocchi di partenza - Jumping si fa con lrsquoelastico e non con una corda di acciaio o di canapa - Dove sono montati gli scalmi della barca a remi - Trottola del pattinatore - Salti mortali rannicchiati e non distesi - Mal di schiena tendiniti Tutte queste sono situazioni che richiamano temi di fisica ed in particolare di meccanica CINEMATICA Cominciamo con cose semplici Movimenti di un punto materiale ( ad es un punto rappresentativo di un corpo) che si sposta su di un percorso - Percorso rarr traiettoria Es percorso della maratona o di una corsa - molti atleti si muovono nella stessa traiettoria in modi diversi ( uno vince uno perdehellip) cioegrave con leggi orarie diverse ndash Legge oraria egrave quella che mi dice ad ogni istante dove sono stato e dove sarograve lungo il percorso In allenamento si prepara una legge oraria adatta alle caratteristiche dellrsquoatleta che poi verragrave il piugrave possibile mantenuta nella gara (CONDOTTA DI GARA) ldquoForzare lrsquoandaturardquo ldquoimporre lrsquoandaturardquo significa che un atleta impone agli altri la sua legge oraria quella adatta alle sue caratteristiche o comunque che lui riesce a reggere O anche un gregario ldquoleprerdquo che ha una legge oraria che non puograve sopportare per tutta la corsa fa ldquogioco di squadrardquo per favorire il suo compagno e ldquospomparerdquo gli avversari - Velocitagrave media si misureragrave a fine gara - Velocitagrave istantanea - Accellerazione media e istantanea - Unitagrave di misura in MKS o SI ( 100m10 s rarr 36 Kmh ) 10ms x 3600 sech = 36000 mh Per definire la posizione di un corpo nello spazio egrave necessario introdurre un sistema di riferimento cioegrave una terna di assi mutualmente ortogonali uscenti da un punto O chiamato origine (sistema cartesiano a tre dimensioni) Per il moto che si sviluppa in un piano basta un sistema di riferimento con due assi Per il moto unidimensionale rettilineo basta una retta orientata come sistema di riferimento Moti semplici regolari Per intraprendere lo studio del moto dei corpi nello spazio riduciamo il problema complesso (moto di roto-traslazione in uno spazio a tre dimensioni) ad un problema piugrave semplice in grado di fornirci perograve gli elementi necessari a comprendere le leggi che lo governano In questo capitolo confiniamo la nostra trattazione al moto di corpi puntiformi che avvengono lungo una retta Velocitagrave e accelerazione

Si definisce la grandezza fisica velocitagrave media come lo spostamento realizzato durante il moto diviso per il tempo impiegato a realizzare tale spostamento

if ttv

minus=

x-x if

Se si indica con s lo spostamento e con ∆t lrsquointervallo di tempo scrive v = t

s

∆

La velocitagrave istantanea saragrave definita come lim∆trarr0 t

s

∆

Si definisce accelerazione media la grandezza fisica

i

if

tt

vva

minusminus

= anche scritta t

va

∆∆=

che rappresenta la variazione della velocitagrave nellrsquounitagrave di tempo

La accelerazione istantanea saragrave definita come lim∆trarr0 t

v

∆∆

Nel seguito considereremo sempre lrsquoistante iniziale del moto ti uguale a zero ti = 0 cosigrave che il tempo impiegato per la realizzazione del moto che si studia saragrave semplicemente indicato con t invece che ∆t Moto rettilineo uniforme Consideriamo un moto che avviene lungo una traiettoria rettilinea a velocitagrave costante Lrsquoequazione che lega lo spazio percorso al tempo trascorso dallrsquoinizio del moto deriva direttamente dalla definizione di velocitagrave Legge oraria s(t) = vi t dove s(t) = x (t)-xi egrave lo spostamento Esercizi 1) ndash Se Carl Lewis mantenesse la sua velocitagrave sui 100 m ( supponiamo che percorra 100m in 10 sec) per una intera maratona (42 km) che tempo realizzerebbe (anzicheacute 2h 10min) v = 10 ms (36 kmh) t = sv = 42 103m10ms = 4200 s = 3600s + 600s = h e 10 min 2) ndash Ridotta la velocitagrave limite in autostrada da 140 a 130 Kmh quanto tempo si impiega in piugrave a percorrere i 560 Km da Milano a Roma t1 = sv1 = 560km(140kmh) = 4h t2 = sv2 = 560 km(130 kmh) = 4308 h = 4h 18 min ∆t = t2 ndash t1 = 18 min 3) Un automobilista starnutisce per 05 s guidando a 90 kmh Quanto spazio percorre mentre starnutisce v = 90kmh = 90000m3600s = 25ms s = vt = 25ms 05s = 125 m

E se stesse viaggiando su una Ferrari a 300kmh s = vsdott = 833ms 05 = 417m Moto rettilineo uniformemente accelerato Consideriamo un moto che avviene lungo una traiettoria rettilinea con accelerazione a costante rArr velocitagrave varia continuamente in modo uniforme e ricaviamo la legge oraria a = cost rArr v = v(t) non egrave piugrave costante ma varia in modo proporzionale allrsquoaccelerazione

v(t) ndashvi= a t equazione che non egrave altro che la definizione di accelerazione media ( t

vva if minus

= )

applicata al caso a = cost Lo spazio percorso egrave stabilito dalla seguente legge oraria del moto uniformemente accelerato

s(t) =2

1 asdot t2 + visdott

Cioegrave in ogni istante la posizione saragrave data dalla somma della posizione iniziale e di tutti gli incrementi dovuti alla velocitagrave che perograve non egrave costante perchegrave anchrsquoessa subisce a sua volta incrementi a causa dellrsquoaccelerazione Nota La dipendenza quadratica nel tempo si comprende risolvendo il seguente sistema

sdot=

minus=

minus=

tvs

vvv

t

vva

media

ifmedia

if

2 rArr s(t) =

2

1 asdot t2

che egrave composto da equazioni semplici dove si usa il trucco per cui lo spostamento si calcola come avvenuto ad una velocitagrave costante pari al valor medio tra la viniziale e la vfinale del moto reale

Esercizi 1 Prestazione di una vettura da 0 a 100hmh in 10 sec

Cosa significa Che la velocitagrave della vettura puograve essere aumentata da 0 a 100 Kmh in 10 secondi quindi egrave una indicazione sulle sue capacitagrave di accelerazione Quanto vale lrsquoaccelerazione media in quei 10 s

a =t

v∆=

t

vv if minus=

s

hkm

10

100 =

s

sm

10

3600100000= 277ms2

Come si confronta la ldquoprestazionerdquo della forza di gravitagrave con quella del motore della macchina Se la macchina accelerasse con a = +98 ms2 in quanto tempo raggiungerebbe i 100 kmh

a = t

v∆ t =

a

v∆ t=3

3

1063

10100

sdotsdot

89

1

sm

ms2

= 283s

In 10 secondi quanto spazio percorre nei due casi Devo utilizzare la legge oraria del moto uniformemente accelerato s(t) = frac12 a t2 +vi t con partenza da ferma cioegrave vi = 0 s(10 s) = frac12 at2 = frac12 sdot277 sdot 100 = 140m e s(10 s) = frac12 sdot98 sdot 100 = 490m 2 Un giocatore di pallacanestro salta verticalmente fino a 76 cm di quota Per quanto tempo si trattiene nella fascia di quota piugrave elevata e ampia 15 cm (da 61 cm a 76 cm) e quanto nella fascia a piugrave bassa quota dai 15 cm a terra

Fig1

Ogni moto di volo verticale (salita e caduta) vicino alla superficie della terra soddisfa le leggi del moto uniformemente accelerato con a = -98ms2 Il moto da studiare in questo esempio egrave il moto di volo dal decollo (istante iniziale) al raggiungimento della quota massima (istante finale trsquo ) alla quale la velocitagrave si annulla vf = 0 Essendo soggetto alla stessa a il moto di ri-discesa egrave assolutamente simmetrico a quello di salita Devo nuovamente applicare la legge oraria del moto uniformemente accelerato s(t) = frac12 a t2 +vi t che lega lo spostamento verticale al tempo Non conosco perograve con quale velocitagrave vi (velocitagrave iniziale) il giocatore egrave partito da terra (decollato) per sollevarsi di 76 cm = 076m Posso ricavarla risolvendo lrsquoequazione della legge oraria nellrsquoistante finale utilizzando il tempo di

volo di salita ricavato dallrsquoequazione a =t

vv if minus che egrave la definizione stessa di accelerazione media

e la metto a sistema con la legge oraria Si cerca il tempo trsquo che il giocatore impiega ad arrivare allrsquoaltezza massima di 76cm s = h=076 m con agravitagrave = -98 ms2

-98 ms2 =

0

t

viminus

trsquo = vig drsquoora in poi indicheremo con g lrsquointensitagrave dellrsquoaccelerazione di gravitagrave g = 98ms2 sostituendo h = vi trsquo ndash frac12 gtrsquo2

h = vi vi g ndash frac12 g (vig)2 h = frac12 vi2g vi = gh2 = 076) 98 (2 sdotsdot ms = 386ms

Partendo con velocitagrave iniziale vi il giocatore arriva allrsquoaltezza di 61cm = 061m al tempo t- e poi passando per lrsquoaltezza massima ripassa allrsquoaltezza di 061m al tempo t+ Il tempo richiesto ∆t di permanenza al di sopra di 061m egrave dato da

∆t = t+ - t- dove t+ e t- sono le radici dellrsquoequazione di secondo grado

061 = 386 t - frac12 98 t2 49t2 ndash 386t + 061 = 0 tplusmn = 89

946104863863 2 sdotsdot+plusmn

e quindi t+ = 89

711863 + = 0568s e t- =

89

711863 minus = 0219s

perciograve ∆t = 0568 ndash 0219 = 0349sec Si confronti questo tempo ∆t con il tempo t che il giocatore impiega a percorrere gli ultimi 15 cm prima di ritoccare il suolo dopo il salto

(spazio da h al suolo) = 076m = frac12 gt02 t0 =

89

2760 sdot = 0394 s e

(spazio da h a 15cm dal suolo) = 061m = frac12 gt2 t = 89

2610 sdot= 0353 s quindi

t = t0 ndash t = 0041s ltlt di ∆t Il cestista trascorre 35 centesimi di secondo nel tratto alto e solo 4 centesimi nel tratto basso (15cm) I cestisti sembrano rimanere ldquoappesirdquo al canestro Descrizione vettoriale del movimento In questo capitolo estendiamo lo studio del moto dei corpi al moto di corpi sempre puntiformi (trascuro le rotazioni) ma che si muovono in uno spazio a piugrave dimensioni In particolare saragrave sufficiente trattare il moto in due dimensioni Per descrivere i moti che avvengono su di un piano o nello spazio dobbiamo considerare la natura vettoriale delle grandezze fisiche spostamento velocitagrave ed accelerazione che abbiamo introdotto Tali grandezze sono caratterizzate da modulo (o intensitagrave) direzione e verso Quando si usano le relazioni e le leggi che coinvolgono le grandezze vettoriali bisogna calcolare somme e prodotti tra vettori Consideriamo il caso particolare di vettori in due dimensioni cioegrave in un piano Per rappresentare un vettore utilizzeremo le sue componenti in un piano cartesiano Supponiamo che Soldini debba comunicarci la sua posizione nellrsquooceano cioegrave deve descrivere il suo vettore posizione Egli puograve dare la sua longitudine e latitudine rispetto al meridiano ( Greenwich) e parallelo (equatore) di riferimento Fig 2

ϑ s

S

Xs longitudine di Soldini Ys latitudine di Soldini

Longitudine e latitudine dicono quali sono le componenti cartesiane del vettore orientato rarrR s

vettore posizione di Soldini Xs = Rs cos ϑ s Ys = Rs sin ϑ s dove ϑ s ( sin e cos sono funzioni che variano tra ndash1 e 1 cosigrave che il massimo valore di Xs o Ys egrave Rs giustamente)

e | rarrR s | = Rs = (X2

s +Y2s )

12 (Pitagora ) Operazioni con i vettori Somma con regola del parallelogramma spostare i vettori lungo la loro retta di applicazione finchegrave si trovano coda contro coda e costruire il parallelogramma Fig3 oppure con componenti cartesiane si sommmano le componenti cartesiane corrispondenti dopo aver disposto i vettori in un insieme di riferimento cartesiano e calcolato le componenti con cosϑ e sinϑ

Prodotto per uno scalare c middot rarra tra un vettore ed uno scalare egrave un vettore che ha la stessa

direzione e il modulo moltiplicato per lo scalare In particolare moltiplicando per ndash1 si trova il vettore opposto La somma di un vettore con lrsquoopposto di un altro equivale a fare la differenza fra i due vettori

Prodotto scalare rarra middot

rarrb tra due vettori dagrave luogo ad uno scalare si moltiplica lrsquointensitagrave

dellrsquouno per la proiezione dellrsquoaltro nella direzione del primo ( o viceversa)

rarra middot

rarrb = |

rarra | middot |

rarrb | cos ϑ =

rarrb middot

rarra

poicheacute cos ϑ egrave simmetrico rispetto a ϑ = 0 cos ϑ = cos-ϑ (proprietagrave commutative del prodotto scalare)

rarra middot

rarrb egrave

max quando cos ϑ = 1 rArr rarra e

rarrb equiversi e paralleli

=0 quando cosϑ = 0 rArrrarra e

rarrb sono perpendicolari ( non crsquoegrave componente di

rarrb lungo

rarra )

Si useragrave ad esempio per il lavoro meccanico L = rarrF middot

rarrs

Prodotto vettoriale rarra ^

rarrb tra due vettori dagrave luogo ad un vettore di intensitagrave

| rarra ^

rarrb | = |

rarra | middot |

rarrb | sin ϑ = - |

rarrb ^

rarra |

non commutativo sin ϑ egrave antisimmetrico rispetto a ϑ = 0 sin ϑ = - sin -ϑ

Il vettore rarra ^

rarrb egrave diretto perpendicolarmente al piano che contiene

rarra e

rarrb e col verso dato

dalla regola della mano destra se rarra ruota verso

rarrb lungo lrsquoangolo minore

Fig 4

Il vettore prodotto rarra ^

rarrb esce dal foglio Questo tipo di prodotto si incontreragrave ad esempio nel

calcolo del momento di una forza quando una forza genera rotazioni anzicheacute traslazioni rarrM = R

r ^

rarrF

Esercizio disporre due vettori di intensitagrave 3 e 4 (spostamenti di 3m e 4m) in modo che la somma sia 7m 1m 5m a) consecutivi nella stessa direzione stesso verso Fig 5 b) consecutivi nella stessa direzione versi opposti Fig 6 c) Perpendicolari Pitagora | 32 + 42 | = | 52 | Fig 7

Moto del proiettile Descriviamo il moto di un punto materiale (rappresentativo di un corpo) che viene lanciato e dunque segue una traiettoria in due dimensioni lungo una delle quali (quella verticale) sperimenta unrsquoaccelerazione diretta verso il basso agravitagrave = -98 ms2 (caduta libera) e nellrsquoaltra orizzontale no (accelerazione orizzontale = 0)

La velocitagrave iniziale vettoriale rarr

iv e la successiva velocitagrave rarrv (t) sono considerate

opportunamente in un sistema di riferimento cartesiano in cui un asse egrave diretto verticalmente e il verso positivo egrave verso lrsquoalto Sia ϑ lrsquoalzo cioegrave lrsquoangolo di emissione Fig 8 Lrsquoesperienza insegna che il proiettile (oggetto lanciato) cade Se lanciato verso lrsquoalto sale fino ad

unrsquoaltezza massima e poi scende In ogni istante t del moto la velocitagrave rarrv (t) saragrave diretta come la

tangente alla traiettoria

Le componenti di rarrv (t) lungo gli assi di riferimento vx(t) e vy(t) dipendono da tempo t ma sono

fra loro indipendenti Si puograve dunque separare il moto in due dimensioni in due moti unidimensionali Verifica dellrsquoindipendenza dei due moti egrave nel fatto che filmati stroboscopici di due palline una lasciata cadere lrsquoaltra lanciata orizzontalmente mostrano che dopo tempi uguali le due palline si trovano alla stassa quota Fig 9 Il moto orizzontale non influenza il moto verticale

V ix V iy=0

Esercizi 1 Problema della scimmia Quando la scimmia si accorge che il cacciatore le spara si lascia cadere Fig10 Dove deve mirare il cacciatore per prenderla Lrsquoaccelerazione egrave in generale un vettore Nel moto su un piano lrsquoaccelerazione egrave definita da due

componenti rarra equiv (ax ay )

- moto orizzontale ndash lungo lrsquoasse orizzontale il corpo in moto non sperimenta alcuna accelerazione

ax = 0 dunque la componente orizzontale della velocitagrave egrave costante

se rarr

iv aveva componente orizzontale non nulla vi x = vi sdotcos ϑ questa si mantiene e saragrave

x(t) = vi x t + xi

x(t) ndash xi = ( vi cos ϑ )t spostamento orizzontale sx = ( vi cos ϑ )sdott -moto verticale ndash accelerazione costante agravitagrave dunque moto uniformemente accelerato se crsquoera

una componente iniziale v0y della velocitagrave rarrv allora

y(t) = 2

1(-g)t2 + viy sdott + yi

y(t)-yi = (vi sin ϑ )t-2

1gt2 spostamento verticale sy=(vi sin ϑ )sdott-

2

1gt2

Traiettoria del proiettile Abbiamo visto le leggi orarie in x e y ma la traiettoria egrave in due dimensioni disegnamola in un riferimento cartesiano vedendo per ogni posizione in x quanto vale y cioegrave ricavando y = y(x) Mettiamo a sistema supponiamo di partire da xi = 0 e yi = 0 per semplicitagrave

x = ( vi cosϑ )t rArr t =ϑcosiv

x

y =( vi sinϑ )t - 2

1 gt2

y = sinϑ middot ϑcos

x -

2

1g

2

2

)cos(

)(

ϑiv

x = x tgϑ -

2)cos(2 ϑiv

g x2

(tgϑ egrave costante percheacute egrave lrsquoalzo iniziale 2)cos(2 ϑiv

g egrave costante percheacute g egrave costante vi pure

ϑ pure) Questa egrave lrsquoequazione di una parabola del tipo y = ax2 + bx La traiettoria egrave dunque una parabola Ha importanza sapere la gittata orizzontale cioegrave a quale distanza D il proiettile toccheragrave il suolo (che misura farograve nel lancio)

D = x-xi = (vi cosϑ )t rArr t = ϑcosiv

D

Suolo rarr 0 = y ndash yi = (vi sinϑ )t - 2

1 gt2

0 = vi sinϑ ϑcosiv

D -

2

1g

2

2

)cos( ϑiv

D

dividendo per D

0 = ϑϑ

cos

sin-

2

1g

2)cos( ϑiv

D rArr D =

ϑϑ

cos

sin

g

vi ϑ22 cos2 = sinϑ cosϑ

g

vi22

darr sin2ϑ (trigonometria 2 sinϑ cosϑ = sin2ϑ )

D = g

vi2

sin2ϑ

Questa equazione mi dice che misura farograve a partire dalla velocitagrave iniziale che riesco ad imprimere allrsquoattrezzo e allrsquoalzo del tiro La funzione sin ha un andamento a max e min rArr si avragrave un max quando sin 2ϑ =1 rArr 2ϑ = 90deg ϑ = 45deg Lrsquoalzo iniziale di 45deg daragrave il risultato migliore (assenza di vento assenza di attrito problema semplificato) Attenzione sin 2ϑ egrave simmetrico intorno a 2ϑ = 90deg e dunque si avranno gittate uguali per angoli equidistanti da 2ϑ = 90deg rArr ϑ = 45deg (osservazione di Galileo) Fig 11 Esercizi 1 ndash Copione di un film cascatore deve saltare da un terrazzo sul terrazzo di un palazzo vicino distante 62m e piugrave basso di 48m la sua velocitagrave sul terrazzo puograve essere 45 msec Accetta la parte

Fig12

Per cadere di 48 m impiega un tempo tc tale che y(tc) ndash yi = -48m = -2

1 gt2c

tc = 89

)2()84( minuslowastminus = 099sec

Nel tempo di caduta tc = 099s quale distanza potragrave coprire con la velocitagrave iniziale ( e poi costante) vix =45 msec d = x-xi = vix t = 45 middot 099 = 45m d = 45m egrave meno dei 62m che separano i due palazzi Il cascatore faragrave bene a rifiutare la parte Quale velocitagrave iniziale min dovrebbe avere per avere delle chances

V ix = 990

26 = 62 msec

2 ndash Salto di Bob Beamon a cittagrave del Mexico nel 1968 salto in lungo di 890m Supponendo che la velocitagrave del decollo sia stata 95 ms come per un centometrista quanto vicino arrivograve alla gittata max (per assenza di resistenza aria)

Dmax = g

v20 per sin 2ϑ 0 = 1 (rArr ϑ 0 = 45deg)

= 789

)59( 2

= 9228m

∆ D = 9228 ndash 890 = 0328m

3 ndash Cestista

Fig15 Quale velocitagrave iniziale v0 deve avere la palla affinchegrave il cestista possa fare canestro se lrsquoalzo iniziale egrave di 55deg rispetto allrsquoorizzontale (le varie distanze sono indicate in Figura) Definisco sistema di assi cartesiano con origine nel centro della palla e assi paralleli agli assi originari In questo sistema di riferimento la posizione del canestro egrave xc = 42 ndash 03 = 39m yc = 3 ndash 21 = 09m Lrsquo equazione della traiettoria egrave

y = x tgϑ 0 - 200 )cos(2 ϑv

g x2

Introduco nellrsquoequazione i valori di yc xc tg 55deg = 1428 e ricavo il valore dellrsquounica incognita v0

09 = 39 x 1428 - 2

0 )5740(2

89

xv x (39)2

09 = 5569 - 2

0 )5740(

5374

xv

(09 ndash 5569) (v0 x 0574)2 = -7453

v0 = 6694

5374

5740

1 = 696msec

Forze e moto Quando un oggetto cambia il suo stato di moto (da fermo si muove o si ferma se si stava muovendo accelera o frena o curva) per esperienza sappiamo che egrave avvenuta unrsquointerazione dellrsquooggetto con un altro corpo dellrsquoambiente circostante al contatto o a distanza Il concetto di interazione prevede sempre la presenza di due corpi unrsquointerazione viene scambiata tra due corpi A questa interazione associamo il concetto di forza Questa associazione non egrave solo qualitativa ma viene quantificata tramite una legge che collega forze e cambiamenti dello stato di moto dei corpi rendendo la forza una grandezza derivata nel sistema SI Ciograve avviene introducendo una grandezza fisica fondamentale chiamata massa (m) che egrave caratteristica di ogni corpo materiale e che esprime lrsquoinerzia al moto propria del corpo quando viene sottoposto alla sollecitazione di una forza Diciamo che due corpi hanno masse diverse se assumono accelerazioni diverse quando sottoposte allrsquoazione della medesima forza Questa massa si dice anche inerziale Si misura in kilogrammi (kg) ed egrave una grandezza scalare positiva

La teoria del moto egrave riassunta dalle tre leggi formulate da Isaac Newton fondate sulle basi del genio di Galileo Galilei Prima legge del moto Ogni corpo rimane nel suo stato di quiete o mantiene il suo stato di moto a velocitagrave costante se nessuna forza agisce su di esso o se la risultante delle forze ad esso applicate egrave nulla Questa proprietagrave del moto egrave detta anche ldquoprincipio di inerziardquo o ldquoprimo principio della dinamicardquo Velocitagrave costante significa che il vettore velocitagrave egrave costante cioegrave non variano modulo direzione e verso Quindi lrsquounico moto possibile in assenza di forze applicate egrave quello rettilineo uniforme (Tale legge non puograve essere verificata se si prende in considerazione un sistema di riferimento che si muove di moto accelerato Per esempio se utilizzo un sistema di riferimento solidale con lrsquoabitacolo di unrsquoautomobile o di un aereo che stanno accelerando o frenando i corpi possono scivolare lrsquoacqua contenuta in un bicchiere vi si puograve rovesciare addosso come soggetta ad una forza In realtagrave ciograve avviene proprio perchegrave questi corpi tendono a mantenere il loro stato di moto e lsquodisubbidisconorsquo alla variazione di velocitagrave che ciograve che egrave solidale col sistema di riferimento sta subendo I sistemi di riferimento nei quali si verifica la prima legge della dinamica si chiamano sistemi di riferimento inerziali e sono da essa implicitamente definiti) Seconda legge del moto Questa legge formulata inizialmente da Galileo e poi riproposta da Newton egrave detta anche ldquolegge fondamentale della dinamicardquo

rarrF = m

rarra

La forza rarrF egrave un vettore dato dal prodotto del vettore accelerazione

rarra per uno scalare m ed egrave

diretto come rarra Questa legge come si vede egrave una legge vettoriale Se piugrave forze agiscono sul

corpo di massa m la legge vale per il ldquovettore risultanterdquo che egrave la somma vettoriale di tutte le forze che agiscono sul corpo Lrsquoaccelerazione egrave diretta come il vettore risultante delle forze

Si possono definire le componenti di rarrF lungo gli assi del sistema di riferimento e la legge del

moto vale componente per componente Fx = max Fy = may Fz = maz

Lrsquounitagrave di misura della forza egrave il newton (N) 1N = 1Kg m s2

E la relazione dimensionale egrave[ ]N = [ ]2minusmlt Se la forza (o la risultante delle forze) applicata al corpo egrave nulla egrave anche nulla lrsquoaccelerazione e visto che lrsquoaccelerazione egrave definita come la variazione della velocitagrave divisa per il tempo la variazione della velocitagrave saragrave anchrsquoessa nulla Ciograve significa che la velocitagrave si mantiene costante Quindi in assenza di forze applicate il corpo rimane fermo se inizialmente era fermo e continua a muoversi con velocitagrave costante se inizialmente si muoveva come giagrave affermato dalla prima legge Terza legge del moto Dal concetto di forza che esprime lrsquointerazione tra i corpi deriva anche quello che viene comunemente detto ldquoil principio di azione e reazionerdquo o ldquoterzo principio della dinamicardquo ad ogni azione corrisponde sempre una reazione uguale e contraria cioegrave se due corpi A e B interagiscono in

modo che il corpo A eserciti una forza rarrF sul corpo B allora il corpo B esercita sul corpo A una

forza rarr

F = - rarrF Si noti che le due forze NON sono applicate allo stesso corpo

rarrF agisce su

B e rarr

F agisce su A Lrsquoapplicazione di questo principio egrave molto importante quando si considerano le forze che si realizzano al contatto tra due corpi e in particolare per le forze applicate da muscoli tendini legamenti e ossa del corpo umano Forze particolari Forza gravitazionale Newton nel descrivere il moto dei corpi celesti ha stabilito la presenza di una forza di interazione a distanza tra due corpi che chiamiamo forza di gravitagrave e ha fornito lrsquoespressione che la governa

FG = -G 2

21

R

mm GG ( legge di attrazione universale)

dove mG 1 e mG 2 sono le masse gravitazionali dei due corpi R egrave la distanza tra le due masse (considerate puntiformi) e G egrave una costante numerica che vale 667 x 10-11 Nm2kg2 1 Nm2kg2 egrave anche 1m3kg s2 Il segno meno sta a indicare che la forza egrave attrattiva La forza gravitazionale viene rappresentata con un vettore il cui modulo egrave dato dalla legge di Newton e che ha la direzione della congiungente i centri di massa delle due masse La forza di attrazione lsquosentitarsquo dalla massa mG 2 dovuta a mG 1 ha il verso che punta su mG 1 e contemporaneamente la forza di attrazione misurata dalla massa mG 1 dovuta a mG 2 ha il verso che punta su mG 2m (le due forze sono lrsquoazione e la reazione della terza legge della dinamica Perchegrave nellrsquoesperienza comune non si osserva che una matita attiri unrsquoaltra matita su un tavolo La forza attrattiva gravitazionale esiste fra di loro ma egrave molto piccola (la costante G egrave molto piccola) ed egrave contrastata completamente dalle forze di attrito (che discuteremo fra breve) La Terra su cui viviamo ha invece una massa molto grande M = 597 x 1024 kg e quindi puograve esercitare una forza piugrave che apprezzabile su altre masse anche se piccole come quella della matita (la matita cade dal tavolo) Chiamiamo forza peso la forza di gravitagrave FG esercitata dalla Terra su ogni corpo ad essa vicino e che origina dallrsquointerazione gravitazionale per la quale tutti i corpi si attirano fra di loro La forza peso viene spesso indicata con P che agisce su un corpo di massa mG vale

P = -G 2T

GGTerra

R

mM equiv - g mG con g equiv G

2T

GTerra

R

M

Dove MG Terra egrave la massa della Terra ed RT egrave il raggio della Terra (RT = 6370km) Il valore di g risulta

g = 667 x 10-11 2

3

kgs

m223

24

)106379(

10975

mx

kgx = 98 ms2 e ha le dimensioni di unrsquo accelerazione

La forza di attrazione gravitazionale alla quale una massa mG egrave soggetta vicino alla superficie di un altro pianeta egrave diversa Infatti la massa e il raggio degli altri pianeti sono diversi da quelli della Terra e quindi g assume un altro valore Si puograve dire che il peso di un corpo cambia sui diversi pianeti o sulla Luna mentre la massa gravitazionale egrave la grandezza fisica fondamentale propria di ogni corpo

Ersquo molto importante ora applicare la seconda legge della dinamica o legge fondamentale della dinamica F = m a ad un corpo soggetto alla sola forza peso sulla superficie della Terra cioegrave quando F egrave la forza peso P ora definita F = m a P = m a -g mG = m a Abbiamo voluto lasciare indicato il pedice G percheacute in principio non crsquoegrave ragione percheacute la grandezza con le dimensioni di una massa che compare nella legge di gravitazione sia uguale alla massa implicitamente definita dalla relazione di proporzionalitagrave tra la F applicata e lrsquoaccelerazione subita da un corpo data dalla seconda legge della dinamica Si egrave tuttavia dimostrato sperimentalmente che la massa gravitazionale mG (introdotta nella legge di attrazione universale e la massa m che si dice massa inerziale ed egrave definita tramite la seconda legge della dinamica sono uguali hanno lo stesso valore Questo permette di semplificare le due masse nellrsquoequazione e di ottenere -g = a che significa che lrsquoaccelerazione di una corpo soggetto alla forza peso sulla superficie della terra vale a = ndashg equiv -98 ms2 NB lrsquoaccelerazione vale 98 ms2 per tutti i corpi di qualsiasi massa Infatti sui corpi con massa maggiore vengono esercitate forze maggiori in modo proporzionale alla loro massa (corpi con massa maggiore lsquopesano di piugraversquo) cosigrave da produrre sempre la stessa accelerazione Si egrave soliti assumere che g sia costante e che non dipenda dalla quota h alla quale ci si trovi al di sopra della superficie terrestre Questa egrave unrsquoapprossimazione molto buona nei limiti in cui hltlt RT Infatti g diminuisce con la quota per esempio se h = 8000m (circa sul monte Everest) lrsquoaccelerazione di gravitagrave g si riduce a

2

2

)6378000(

)6370000( x g = 099749 x g = 97754 m s2 (meno del 25 per mille)

Forze di superficie Forze di contatto Alla superficie di contatto tra due corpi si realizzano le forze che chiamiamo appunto di superficie e che si dividono in forze di contatto e forze di attrito Le forze di contatto

La forza normalerarr

NF egrave la forza che un corpo sperimenta quando egrave appoggiato su di una superficie

Si chiama normale percheacute egrave sempre diretta perpendicolarmente alla superficie Se la superficie egrave orizzontale Fig16

Fc

FN

Piano orizzontale Calcolare lrsquointensitagrave della forza normale applicata ad un oggetto di massa m fermo su un tavolo orizzontale Per il primo principio della dinamica (principio di inerzia) se un corpo e fermo la risultante delle forze ad esso applicate egrave nulla cioegrave

rarrP +

rarr

NF = 0

In questo caso la forza normale rarr

NF egrave un vettore che ha lo stesso modulo e la stessa direzione del

vettore forza pesorarrP ma ha verso opposto Quindi il modulo di

rarr

NF vale |rarr

NF | = mg

Piano inclinato

Nel caso di un piano inclinato dovrograve tenere conto che rarr

NF puograve compensare solo la parte di rarrP

diretta normalmente al piano (infatti se non crsquoegrave attrito il corpo scivola lungo il piano inclinato) Se ϑ egrave lrsquoangolo che il piano inclinato forma con lrsquoorizzontale il piano inclinato fornisce al corpo una

forza normale che in modulo vale | rarr

NF | = m g cosϑ

Fig 17 4 ndash Salto con molleggio Un uomo con massa m = 70kg salta da unrsquoaltezza L = 2m Arrivando al suolo molleggia sulle ginocchia per un tratto l = 02 m Si calcoli la forza di reazione che il suolo esercita sui piedi durante il molleggio Si consideri il molleggio come una frenata che avviene con accelerazione (negativa) costante Fig 18

F

FN

Cadendo da unrsquoaltezza L allrsquoistante in cui il piede tocca il suolo la velocitagrave Vs egrave data dalla risoluzione del sistema di equazioni cinematiche per il moto uniformemente accelerato con t0 il tempo di caduta Vs = gt0 L = frac12 gt0

2 Vs = (2gL) frac12 La forza di reazione che esercita il suolo sul piede durante il molleggio egrave quella che imprime lrsquoaccelerazione (negativa) a di frenata (piugrave il peso del corpo mg)Il corpo si ferma in un tratto l Questa frenata si tratta con le equazioni del moto uniformemente accelerato 0 = Vs ndash at l = Vs t ndash frac12 at2 (essendo t il tempo di frenata) dalla prima equazione t = Vs a che introdotto nella seconda equazione permette di calcolare a a = frac12 Vs

2l e con Vs = (2gL) frac12 si ottiene a = g (Ll) e quindi la forza di reazione Fr = mg + ma egrave data da Fr = mg (Ll + 1) = 70 x 98 x (202 + 1) N = 7546Newton Si noti che al peso si aggiunge una forza che egrave il peso moltiplicato per un fattore (ldquofattore di cadutardquo) dato dal rapporto tra lrsquoampiezza del salto e il tratto di molleggio Questa forza si trasmette dal piede allrsquoarticolazione delle ginocchia e cosigrave via Tensione

Quando una corda egrave attaccata ad un corpo e viene tirata si dice che la corda egrave sotto tensione

La tensione rarrT cui egrave sottoposta la corde in ogni sua parte egrave una forza pari alla forza che si applica

sia al corpo sia alla mano che lo tira ai due estremi della corda ed egrave sempre diretta lungo la corda Fig 19 Anche con una carrucola cioegrave con la corda che si curva intorno ad una rotella la tensione ha intensitagrave T lungo la corda Una corda egrave utile in questo caso per cambiare la direzione e il verso di applicazione di una forza la mano tira verso il basso ma la massa egrave sottoposta ad una forza verso lrsquoalto

Fig20 I tendini del corpo umano sono corde e vengono utilizzati anche per variare la direzione di applicazione delle forze esercitate dai muscoli Forza di attrito

Lrsquoattrito fa parte dellrsquoesperienza quotidiana nel bene e nel male Da una parte fa consumare piugrave benzina (20 per motore e trasmissione) ma anche la suola delle scarpe il battistrada delle gomme e i gomiti del maglione dallrsquoaltra consente il movimento i nodi tengono i chiodi fissano etc Un libro che scivola su un tavolo orizzontale si fermerebbe se non mantenessi una forza costante che contrasta lrsquoattrito su una superficie ruvida il movimento genera lui stesso una forza che decelera il moto Per mantenere in moto rettilineo uniforme un corpo che scivola sopra un piano bisogna applicare al corpo una forza che serva a neutralizzare questa forza ldquospontaneardquo(detta di attrito) in modo che la risultante delle forze applicate sia nulla Anche lrsquoinizio del moto egrave contrastato dalla forza di attrito (statico) che assume un valore uguale e contrario a quello della forza che applico fino a raggiungere un valore massimo (valore limite) Il corpo non si muove resiste al moto Oltre quel valore limite cioegrave se applico una forza sufficientemente intensa il corpo inizia a muoversi Situazione

Fig 21 Un blocco appoggiato sul piano orizzontale egrave fermo rarrP

verso il basso e rarr

NF verso lrsquoalto sono uguali in modulo

Se applico una forza rarrF per spostare il corpo verso destra insorge una forza di attrito statico

P

FN

il cui modulo vale |rarr

sattF _ | = smicro |

rarr

NF | ( smicro egrave il coefficiente di attrito statico il suo valore dipende

dalla natura dei materiali a contatto) esercitata orizzontalmente dal piano che uguaglia in

intensitagraverarrF ma di verso opposto in modo che il corpo non si muove Se aumento

rarrF aumenta

anche rarr

sattF _

Fig22 Diagramma delle forze applicate al blocco

Raggiunto un certo valore di rarrF il corpo ha uno ldquostrappordquo e comincia a muoversi nella direzione

di rarrF verso destra ostacolato dalla una forza di attrito dinamico

rarr

dattF _ generalmente inferiore al

valore max di rarr

sattF _ (egrave piugrave facile mantenere un corpo in moto che muoverlo da fermo)

(Il passaggio da un regime allrsquoaltro egrave allrsquoorigine degli stridii da attrito ndash quello ad esempio del gesso sulla lavagna - o anche del suono del violino) - Proprietagrave dellrsquoattrito riassunte

1 ndash Corpo fermo la forza di attrito statica rarr

sattF _e la componente di

rarrF parallela alla superficie

hanno uguale intensitagrave e si annullano 2 ndash limite di scivolamento la massima forza di attrito per due materiali posti a contatto egrave proporzionale alla forza normale tramite un coefficiente di attrito statico smicro

| rarr

sattF _(max)| = smicro |

rarr

NF |

smicro egrave un coefficiente adimensionale che assume valori diversi per diverse coppie di materiali

3 ndash il corpo inizia a muoversi il valore della forza di attrito decresce rapidamente fino a

|rarr

kattF _ | = kmicro |rarr

NF | proporzionale alla forza normale tramite un coefficiente di attrito dinamico kmicro

adimensionale e dipendente dalla coppia di materiali in considerazione

P

FN

F Fatt

Attenzione |rarr

sattF _| e

rarr

kattF _ | sono proporzionali non a |

rarrP | ma a |

rarr

NF | quindi nel caso di un

piano inclinato bisogna considerare la componente di rarrP perpendicolare al piano

rarr

NF equilibra

solo la parte di rarrP perpendicolare al piano

Attenzione le equazioni per |rarr

sattF _| e |

rarr

kattF _| non sono vettoriali le forze di attrito non sono

dirette come la forza normale rarr

NF ma parallele al piano

Durante una corsa allo scatto si usano i blocchi di partenza per sfruttare la reazione del blocco alla forza muscolare di spinta Data lrsquoinclinazione dei blocchi la forza di reazione del blocco sul atleta si massimizza nella direzione del moto

rArr si fa uso della ldquoazione-reazionerdquo Fig 23 Durante la corsa si sfrutta il coefficiente di attrito statico per mantenere un piede fermo a terra mentre lrsquoaltro avanza Per non superare il limite di scivolamento allrsquoindietro del piede di appoggio la forza che si esercita sul terreno deve avere una componente normale al terreno di intensitagrave opportunamente elevata In ogni caso se smicro egrave basso si ha lrsquoeffetto del camminare sul ghiaccio

Lrsquouso di scarpette chiodate non aumenta il valore di smicro che egrave il coefficiente drsquoattrito tra due

superfici ldquoliscerdquo piuttosto hanno una funzione simile a quella di mini blocchi di partenza permettono di esercitare una forza sul tartan lungo la direzione del moto cioegrave parallelamente alla pista Resistenza del mezzo Consideriamo un corpo che si muove in aria Esso incontra una resistenza da parte dellrsquoaria che agisce in modo da opporsi al movimento del corpo cioegrave ha la stessa direzione e verso opposto a quella del moto

rarrD forza di resistenza del mezzo o forza aerodinamica (detta anche forza viscosa) si

|rarrD | =

2

1 cρAv2 (limite di alte velocitagrave eo alte viscositagrave)

D egrave proporzionale al quadrato della velocitagrave (termine v2 ) Inoltre D egrave proporzionale ad A lrsquoarea efficace della sezione trasversa (lrsquoarea presentata dal corpo nella direzione del moto vedi la posizione a uovo dei discesisti di sci o dei ciclisti) ρ egrave la densitagrave del mezzo Ersquo intuitivo che la resistenza D dipenda dalla densitagrave del mezzo infatti il corpo per procedere deve ldquofarsi stradardquo spostando le molecole del mezzo Quindi piugrave il mezzo egrave rarefatto piugrave egrave facile ldquofarsi stradardquo e inferiore egrave la resistenza D Con c si indica il coefficiente di penetrazione (il cosiddetto cx che dipende dalla forma geometrica del corpo) La forma (oltre che

lrsquoarea efficace A) influenza la resistenza opposta dal mezzo percheacute una ottimizzazione della forma (affusolata migliorare il Cx) porta a ridurre la formazione di turbolenze nellrsquoaria intorno al corpo Casco dei ciclisti o discesisti con forma a punta posteriore

non riduce la sezione trasversa A ma piuttosto migliora il Cx

Fig 24 Nel nuoto lo sbattere i piedi serve soprattutto per mantenere il corpo orizzontale e quindi a ridurre la sezione A Il lavoro viene fatto per lo piugrave dalle braccia (75) In acqua anche se la velocitagrave v egrave bassa D egrave significativa percheacute la viscositagrave del mezzo egrave grande Per ridurre le turbolenze negli sport di velocitagrave diventa essenziale utilizzare accorgimenti quali nascondere dadi e cavi nelle biciclette togliere cerchietti delle racchette da sci Tagliare i capelli o rasarsi le gambe sono sempre modi di ridurre anche le piccole turbolenze Velocitagrave limite di caduta di un grave in aria

La forza rarrD di frenamento durante la caduta libera li un corpo in aria ha verso opposto a quello

della forza pesorarrP che accelera il corpo verso il basso Se

rarrP egrave costante il corpo accelera con

accelerazione rarrg ie aumenta la velocitagrave verso il basso ma aumentando v dunque v2 aumenta

D Ciograve prosegue fincheacute D diventa di intensitagrave uguale P con verso opposto rarrD = -

rarrP A questo

punto la risultante delle forze agenti sul corpo in caduta egrave nulla (sumrarrF =

rarrD + (-

rarrP ) e dalla

seconda legge (fondamentale) della dinamica si ha che lrsquoaccelerazione rarra del corpo egrave nulla

rArr Il corpo non accelera piugrave e mantiene velocitagrave costante massima La velocitagrave raggiunta detta velocitagrave limite vlim egrave tale da verificare lrsquouguaglianza

D = 2

1cρAv lim

2 = mg = P quindi rArr vlim = (2mg cρA) frac12

La vlim raggiunta dai paracadutisti puograve essere variata modificando A tramite dei cambiamenti dellrsquoassetto in volo Questo permette ai paracadutisti di raggiungersi per fare figure in aria Lrsquoapertura del paracadute fa aumentare di molto A rendendo la velocitagrave limite molto piugrave bassa Anche le gocce di pioggia raggiungono la velocitagrave limite (v asymp 7msec in 6m) nella loro caduta Ad esempio cadendo da 1200m le gocce di pioggia raggiungono la terra con la velocitagrave limite di circa 7msec e non con la velocitagrave di 150msec che avrebbero se non ci fosse lrsquoazione di frenamento D (dei veri proiettili)

Senza D rarr vfin = 150ms

Con D rarr vfin = vlim = 7ms Fig 25 Forza elastica La forza elastica egrave una forza non costante

L lunghezza di riposo della molla Fig 26 Una massa m egrave vincolata ad una parete con una molla Se tiro la massa la molla si estende diciamo di un tratto x La molla esercita una forza di richiamo proporzionale allrsquoallungamento x (piugrave si allunga maggiore egrave la forza F di richiamo) F = -kx ldquorichiamordquo cioegrave di verso opposto allrsquoallungamento Ecco la ragione del segno (-) Se raggiunta una certa estensione la molla viene rilasciata essa si ricomprimeragrave ritorneragrave alla lunghezza di riposo L poi si schiacceragrave di un tratto x dalla parte opposta e nuovamente agiragrave la forza di richiamo (che egrave variabile in quanto varia con il variare di x) La massa oscilla attorno alla posizione di riposo k egrave la costante elastica della molla Lrsquoespressione della forza elastica vale per i respingenti del treno (k grande) come per la molla della biro (k piccola) come per lrsquoelastico del saltatore dal ponte Impulso di una forza La legge fondamentale della dinamica F = ma puograve essere scritta esprimendo lrsquoaccelerazione con la sua relazione definitoria (vf - vi)t

F = mt

vv if minus e quindi portando il tempo t al primo membro

)( if vvmtF minussdot=sdot oppure vmtF ∆sdot=sdot

Si dice ldquoimpulso ldquo di una forza il prodotto della forza per il tempo durante il quale viene applicata tF sdot (se la forza non egrave costante lrsquoimpulso egrave lrsquointegrale della forza nel tempo in cui viene applicata)

Scritta in questo modo lrsquoequazione fondamentale della dinamica puograve essere letta cosigrave 1) Supponiamo che un corpo vari la sua velocitagrave di una quantitagrave ∆v = vf - vi tanto piugrave lungo egrave il tempo t durante il quale questa variazione avviene tanto minore egrave la forza che deve essere sviluppata per ottenere tale variazione della velocitagrave In questi termini si capisce ad esempio lrsquoutilitagrave delle cinture di sicurezza che allungando i tempi durante i quali in caso drsquoincidente la velocitagrave del passeggero (che non egrave solidale con la vettura) passa da un valore vi iniziale a zero determina una riduzione della la forza cui il passeggero stesso egrave sottoposto durante il breve tempo dellrsquoimpatto (la forza che le ossa e le articolazioni possono sopportare egrave limitata) Si vede anche come funziona lrsquoelastico del jumper finchegrave lrsquoelastico non egrave completamente svolto (ltL) la forza che agisce sul jumper egrave P (la forza peso) poi progressivamente la forza elastica di richiamo contrasta P quindi il jumper decelera progressivamente per un lungo intervallo di tempo e lo lsquostrapporsquo (F applicata) necessario per contrastare P e fermare il jumper applicato sulle sue gambe e a cascata su tutte le sue articolazioni (secondo il terzo principio) egrave di entitagrave minore 2)Lrsquoimpulso totale prodotto tF sdot nella direzione ottimale egrave la grandezza fisica che stabilisce lrsquoefficacia di un gesto di spinta o di lancio non la massima forza espressa o la durata dellrsquoazione di spinta Lavoro di una forza ndash lavoro meccanico

- 1deg caso Forza costante rarrF

Immaginiamo una forza rarrF che agisce su un corpo durante il suo spostamento Immaginiamo cosi

che il punto di applicazione di questa forza si sposti nello spazio di un tratto rarrs Viene detto

lavoro della forza rarrF la quantitagrave

L = rarrF middot

rarrs = F middot smiddot cosϑ (prodotto scalare di

rarrF per

rarrs )

(prodotto scalare tra i due vettori) Fig 27 Il lavoro egrave una quantitagrave scalare cioegrave egrave descritta completamente da un numero da un valore Tale

valore puograve essere positivo o negativo a seconda che la componente di rarrF lungo

rarrs sia equiversa o

di verso opposto a rarrs Se

rarrF e

rarrs hanno la stessa direzione e se lo spostamento avviene nel

senso di rarrF diciamo che il lavoro egrave positivo (e viceversa negativo) Lrsquointensitagrave del lavoro puograve

variare tra un valore massimo e uno minimo per gli stessi valori del modulo di rarrs e di

rarrF a

rarrs

seconda del valore di cosϑ Il lavoro egrave massimo per cosϑ = 1 (cioegrave per ϑ = 0) (rarrF diretto come

rarrs ) Il lavoro egrave minimo ( L = 0) per cosϑ = 0 cioegrave per ϑ = 90deg (

rarrF perpendicolare a

rarrs )

Puograve darsi il caso che piugrave forze agiscono sullo stesso punto Allora si puograve calcolare il lavoro totale egrave la somma dei lavori di tutte le forze applicate

Ltot = sum Li = sum (rarr

sdotiFrarrs )

Dimensioni di L [ L ]= [ F ][ s ] = mmiddot l middot t-2 middot l = ml2 t-2 Unitagrave di misura di L 1 joule = 1N middot 1m ( 1J ) Lavoro della forza peso durante la caduta di un grave Un grave cade vicino alla superficie della terra sotto lrsquoazione della forza di gravitagrave cioegrave sottoposto ala forza peso P diretta verso il basso percorrendo un dislivello h Il lavoro compiuto dalla forza peso si calcola come

LP = rarrP middot

rarrs = Pmiddot smiddot cosϑ

notando che lo spostamento s (verso il basso) e la forza P sono paralleli con verso concorde pertanto ϑ = 0 e cosϑ = 1 e che | P| = mmiddot g si ottiene LP = mmiddot gmiddot h per uno spostamento s = h (dislivello) Lavoro meccanico nel sollevamento pesi Durante questo gesto sul bilanciere oggetto dellrsquoapplicazione delle forze si esercitano la forza peso P e la forza muscolare dellrsquoatleta Naturalmente entrambe le forze lavorano ma i due lavori si oppongono uno allrsquoaltro (ricorda che il lavoro puograve essere positivo o negativo) Il lavoro positivo deve essere nel verso del moto quindi egrave quello della forza muscolare dellrsquoatleta il lavoro di P invece egrave negativo e se il bilanciere si alza di una quota h si calcola facilmente seguendo il procedimento del paragrafo precedente ottenendo LP = - mmiddotgmiddoth (ϑ = π e cosϑ = -1 ) Calcoliamo il lavoro della forza musculare seguendo lrsquoesempio qui proposto Esempio Un atleta solleva un bilanciere di peso 2500N allrsquoaltezza di 2m (sopra la sua testa) Quanto lavoro meccanico compie la sua forza muscolare Supponiamo che il sollevamento avvenga a velocitagrave costante con accelerazione nulla allora il per il

primo principio della dinamica le forze applicate al bilanciere devono essere tali chesumrarr

iF = 0

Quindi la forza peso P = mmiddot g deve essere controbilanciata dalla forza applicata dallrsquoatleta Fm

Quindi rarr

mF = - rarrP

con Fm = 2500N Il lavoro La fatto dallrsquoatleta vale

Lm = rarr

mF middot rarrs = 2500 N middot 2m middot 1 = 5000 J (sollevamento verticale quindi ϑ = 0 e cosϑ = 1)

Quanto lavoro fa la forza peso

Lp = rarrP middot

rarrs = 2500 middot 2 middot (-1) = -5000 J

(percheacute ϑ = π e cosϑ = -1) Quanto lavoro fa lrsquoatleta mentre sostiene il peso fermo sopra la testa L = 0 percheacute non crsquoegrave spostamento Qui si parla di lavoro meccanico non di lavoro fisiologico diciamo che si fa fatica percheacute crsquoegrave da mantenere integrordquo un corpo non rigido che egrave il corpo dellrsquoatleta quindi si il lavoro delle contrazioni muscolari per mantenere lrsquoequilibrio e ldquolrsquointegritagraverdquo egrave la misura del lavoro fisiologico necessario anche se il lavoro meccanico compiuto egrave nullo 2deg caso Forza variabile Nel caso in cui F egrave una forza variabile che dipende dalla posizione ogni volta che avviene uno spostamento∆ x la forza cambia Il lavoro totale saragrave la somma dei lavori elementari fatti sui tratti piccoli sui quali la forza puograve essere assunta costante

Ltot = iii xxF ∆sdotsum )(

( Se si fa il limite per ∆ xi piccolo rarr 0 e la isum egrave lrsquointegrale Ltot = int sdotxtin

xinxdxF )( )

Ad esempio la forza F puograve essere la forza di richiamo di una molla vincolata al muro Lrsquointensitagrave della forza elastica varia durante lo spostamento aumentando con lrsquoallungamento (o la compressione) della molla ed ha la direzione parallela allo spostamento ma puograve avere verso concorde o discorde quindi con cosϑ che vale o +1 o ndash1 Immaginiamo di avere un blocco attaccato alla molla e di tirarlo da Xin a Xfin allora

F(x) = - kx Fig 28

Il lavoro della forza elastica si calcola sommando i lavori infinitesimali compiuti per spostamenti infinitesimi durante i quali la forza si assume costante Ciograve egrave rappresentato graficamente nel calcolo lrsquoarea compresa al di sotto della curva del grafico di F (Fig 28A) In figura si egrave cambiato il segno della funzione forza per comoditagrave di rappresentazione

Fig 28A

Area = differenza aree dei due triangoli = AABB kxxkxx sdotminussdot2

1

2

1

Ricordandoci del segno

L infin = 22

2

1

2

1infin kxkx +minus e in generale L = 2

2

1kx

Se si calcola il lavoro della forza di richiamo durante un allungamento della molla si ha lavoro negativo mentre durante il ritorno alla posizione di equilibrio il lavoro egrave positivo (segno dello spostamento x e della forza concordi) Energia cinetica Il termine ldquoenergiardquo indica la capacitagrave di compiere lavoro Lrsquoenergia cinetica egrave la proprietagrave che rende conto quantitativamente del legame fra il lavoro compiuto ed il moto generato Avevamo detto piugrave o meno lo stesso parlando della seconda legge della dinamica riferendoci alle forze Qui col lavoro non egrave necessaria la descrizione dettagliata delle forze che agiscono sul punto in considerazione Ersquo sufficiente conoscere il loro lavoro totale

Lrsquoenergia cinetica K = 2

1mv2 (gt 0 percheacute m gt 0 v2 gt 0 ) (m e v sono la massa e la velocitagrave del

corpo) Lrsquounitagrave di misura e le dimensioni di K sono le stesse del lavoro Joule ( J ) e [ ]K = [ ]22 minustml

Teorema dellrsquoenergia cinetica Se una forza F compie un lavoro L su un punto materiale di massa m si ha una variazione dellrsquoenergia cinetica pari al lavoro compiuto

Xfin Xin

F

0

ksdotxfin

ksdotxin

F= ksdotx

x

LAB= -area

L = Kfin ndash Kin = ∆ K Nel caso che piugrave forze agiscono sul punto materiale il teorema dellrsquoenergia cinetica si applica al lavoro totale (equivalentemente al lavoro della risultante ) E il caso dellrsquoatleta che solleva il peso di 2500N Sappiamo che ha compiuto un lavoro di 5000J ma il bilanciare con i pesi era fermo allrsquoinizio ed egrave fermo alla fine Quindi Kin = 0 e Kfin = 0 percheacute vin = 0 e vfin = 0 Allora il teorema dellrsquoenergia cinetica Vale per il lavoro totale o lavoro della forza totale e noi abbiamo visto che la forza netta totale = 0 ( Fa + P = 0 ) ed il lavoro totale egrave nullo quindi giustamente si ha ∆ K = 0 1)Caso di una palla da tennis che cade

la forza peso rarrP compie un lavoro positivo con spostamento concorde a

rarrP si dovrebbe avere

∆ K gt 0 infatti la velocitagrave v aumenta 2)Caso di una palla lanciata verso lrsquoalto

lo spostamento ha verso opposto a rarrP Il lavoro della forza peso egrave negativo e quindi ∆ K egrave

negativo giusto La velocitagrave diminuisce NB Durante il volo agisce solo la forza di gravitagrave quindi il lavoro totale comiuto sul corpo egrave solo quello della gravitagrave 3)Caso del moto circolare uniforme la forza che agisce egrave la forza centripeta che egrave perpendicolare allo spostamento Quindi non compie lavoro deve essere ∆ K = 0 Iinfatti il moto egrave uniforme cioegrave la velocitagrave egrave in modulo costante Potenza Si chiama potenza il lavoro che si egrave in grado di svolgere nellrsquounitagrave di tempo

P = t

L

∆ ( potenza media )

P = t

Lt ∆

∆rarr∆ 0lim ( potenza istantanea)

Non egrave solo una stima del lavoro compiuto ma anche della rapiditagrave con cui si compie lavoro

Fig 29 Per superare il muro ci vuole un certo lavoro che consiste nellrsquoinnalzare il proprio corpo di unrsquoaltezza h Sia lrsquoatleta che lo supera in un sol balzo sia il vecchietto che sale pian piano la scalinata faranno lo stesso lavoro Quel che egrave diverso egrave la potenza dei due personaggi Dimensioni e unitagrave di misura della potenza [ ]P = [L] [t -1] = [ml2t-3] 1 watt = 1 joule 1sec (1w)

Energia Potenziale K egrave energia connessa allo stato di moto di un sistema Crsquoegrave anche energia connessa alla posizione di un corpo in un campo di forze (configurazione) Si chiama energia potenziale Nel caso dellrsquoatleta di sollevamento pesi il lavoro compiuto dallrsquoatleta Lm non ha alterato lrsquoenergia cinetica K dellrsquoattrezzo ma ha modificato la configurazione del sistema (terra-attrezzo) variandone lrsquoenergia potenziale (W) Il lavoro non egrave stato sprecato ma ldquoimmagazzinatordquo lrsquoattrezzo prima egrave a terra poi egrave in alto nel sistema che ora ldquopotenzialmenterdquo puograve compiere un lavoro cedendo la sua ldquoenergia potenzialerdquo Energia cinetica ed energia potenziale sono due parti dellrsquoenergia meccanica possono trasformarsi lrsquouna nellrsquoaltra ed in lavoro Nellrsquoesempio precedente quando lrsquoattrezzo egrave in alto si ha che K = 0 e W = WA Quando cade K aumenta percheacute la velocitagrave v aumenta e lrsquoenergia potenziale W diminuisce In basso W = WB lt WA e K egrave massima Lrsquoattrezzo cadendo puograve compiere lavoro Se fosse un martello potrebbe far avanzare un chiodo ad esempio Lrsquoenergia potenziale viene definita proprio a partire dal concetto di lavoro di forze conservative Ersquo conservativa una forza il cui lavoro per spostare il suo punto di applicazione da una posizione (configurazione) ad unrsquoaltra dipende solo dalle due posizioni (configurazioni) iniziale e finale Equivalentemente si puograve definire la forza conservativa dicendo che il lavoro di tale forza egrave nullo se le posizioni (configurazioni) iniziali e finali coincidono

-Lavoro per passaggio dalla posizione A a B egrave lo stesso lungo I o II -Se da A vado a B e torno in A il lavoro totale egrave nullo

Fig 30 Posso allora definire una funzione della posizione W che assume i valori WA e WB in A e B e tale per cui LAB = WA ndash WB ( W energia potenziale) WA WB sono definiti a meno di una costante tanto quello che interessa egrave la differenza fra loro Variazione di energia potenziale del passaggio da A a B WB ndash WA = ∆W allora LAB = -∆ W Con questa convenzione sui segni si rende conto del fatto che un lavoro positivo ( fatto dalle forze conservative sul corpo) fa diminuire lrsquoenergia potenziale W ( L positivorarr ∆W negativo rarr WBlt WA rarr ho usato energia potenziale) un lavoro negativo (subito) aumenta W (L negativo rarr ∆W positivo rarr WBgt WA rarr ho guadagnato energia potenziale) W si misura in Joule come il lavoro e lrsquoenergia cinetica

Qual egrave la Forma di W

Mentre la forma dellrsquoenergia cinetica egrave sempre K =2

1mv2 indipendentemente dal tipo di forze

che provocano il movimento W dipende dal tipo di forza conservativa di cui si sta calcolando il lavoro Consideriamo due forze conservative

a) Forza gravitazionale forza peso

F(y) = -mg Stato di riferimento y0 = 0 in cui W0 = 0

Fig31

Abbiamo detto che LAB = WA- WB ma siccome

LAB = )( ABhmgsP minussdotminus=sdot dove hAB= yA-yB egrave la distanza tra A e B allora rArr WA = mgyA WB = mgyB e in generale W(y) =mgy

Per la forza peso W(y) =mgy e lrsquoenergia totale meccanica (W+K) = mgy+2

1mv2=Etot

b) Forza elastica

Fig 32

F(x) = -kx Stato di riferimento x = 0 allungamento nullo la lunghezza della molla egrave la sua lunghezza di riposo L ( W(0) = 0)

Immaginiamo che la configurazione della molla venga modificata passando dalla posizione xA alla posizione xB (Fig 32) Il lavoro della forza elastica egrave calcolato come

LAB = 22

2

1

2

1AB kxkx +minus

Ricordando che LAB = WA- WB possiamo ricavare lrsquoespressione per lrsquoenergia potenziale elastica

rArr WA = 2

2

1Akx WB = 2

2

1Bkx e in generale W(x) = 2

2

1kx

Energia totale meccanica ndash Conservazione dellrsquoenergia

In presenza di sole forze conservative la somma dellrsquoenergia cinetica e dellrsquoenergia potenziale costituisce lrsquoenergia totale meccanica Tale energia meccanica gode della proprietagrave importantissima di conservarsi durante lrsquoevoluzione del sistema Lrsquoenergia connessa al movimento e alla posizione si scambiano una diminuisce e lrsquoaltra cresce ad esempio ma la loro somma rimane costante

- Esempio delle montagne russe Se non ci sono attriti (infatti il trucco egrave quello di rendere il

sistema privo di attriti) so giagrave quale altezza massima potrograve raggiungere (quella iniziale e non di piugrave) quale velocitagrave massima potrograve raggiungere (in fondo alla valle) Queste quantitagrave sono fra loro legate dal teorema della conservazione dellrsquo energia meccanica

Fig 33 - Esempio del salto con lrsquoasta Lrsquoenergia cinetica dellrsquoatleta acquisita nella rincorsa viene

trasformata in energia potenziale gravitazionale parte direttamente e parte attraverso lrsquoenergia potenziale elastica dellrsquoasta acquisita nella sua deformazione durante il salto La flessibilitagrave dellrsquoasta (costante elastica dellrsquoasta) egrave legata allrsquoenergia che si puograve immagazzinare in una data deformazione Infatti con aste rigide (alluminio acciaio bambugrave) il salto era piugrave basso Con fibra di vetro il record egrave stato polverizzato

Fig 34

Fig 35

Fig 36

Osserviamo che il teorema dellrsquoenergia cinetica ha validitagrave generale qualunque siano le forze che agiscono conservative o non conservative (le forze non conservative si dicono anche ldquodissipativerdquo)

KLL

KL

fncfc

tot

∆=+∆=

e ricordando che darr Lfc = - )( fcW∆

Si ottiene che K∆ + )( fcW∆ = Lfnc

Si vede che nel caso in cui Lfnc sia nullo cioegrave quando non ci sono forze dissipative la somma delle variazioni di energia cinetica e energia potenziale egrave uguale a zero cioegrave lrsquoenergia totale meccanica (somma dellrsquoenergia cinetica e potenziale) egrave costante E questo corrisponde al teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica Nel caso ci siano forze dissipative la somma delle energie non egrave costante quindi al contrario del teorema dellrsquoenergia cinetica il teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica non ha validitagrave generale (vale solo in assenza di attriti ad esempio) Le forze non conservative di attrito compiono lavori solo negativi e fanno perdere quantitagrave di energia non recuperabile Parte di questa energia va in generale in calore quindi se ne puograve tenere conto considerando unrsquoaltra forma di energia lrsquoenergia termica ( ci sono anche altri fenomeni dissipativi ad esempio le deformazioni permanenti negli urti o la propagazione di onde sonore)

Lrsquo energia puograve dunque conservarsi o trasferirsi proprietagrave caratterizzanti dellrsquoenergia Il lavoro rende conto del trasferimento di energia della perdita di energia sotto una forma e del guadagno sotto unrsquoaltra forma (cioegrave energia conservativa) o del passaggio dellrsquoenergia da un sistema ad un altro Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica quando egrave applicabile puograve essere sfruttato per risolvere facilmente problemi altrimenti complicati Esercizio Una palla da tennis viene lanciata con velocitagrave iniziale v0 (senza effetti strani taglio etc) al di lagrave della rete Con quale velocitagrave arriva a terra

Se durante il moto Etot si conserva K+W = cost

Fig 37 e W = mgh egrave solo energia potenziale gravitazionale h = 0 alla fine come allrsquoinizio dunque K in = Kfin e vfin = v0 Se la palla egrave lanciata verso lrsquoalto non crsquoegrave componente orizzontale della velocitagrave ma solo verticale al punto piugrave alto di arresto h K(h) = 0 W(h) = max = Kin cioegrave mgh = frac12 mv0

2 si puograve cosigrave calcolare facilmente lrsquoaltezza massima raggiunta h = (frac12 v0

2)g e vicenversa si puograve calcolare il valore della velocitagrave v0 che bisogna imprimere alla palla affinchegrave raggiunga lrsquoaltezza h

v0 = gh2

Esercizio Una saltatrice di massa M = 61Kg salta da un ponte di altezza H = 45m agganciata ad una corda elastica La lunghezza di riposo della corda elastica egrave L = 25m e la sua costante elastica egrave k = 160 Nm Nel punto piugrave basso si arresta prima di venire rimbalzata in alto Qualrsquo egrave lquesta quota piugrave bassa h (a cui si trovano i suoi piedi ai quali egrave legato lrsquoelastico)

Fig 38 Etot = Wgrav + Wel + K = cost sono solo forze conservative vale la conservazione

dellrsquoenergia Nel punto A K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di lanciarsi Wel = 0 percheacute lrsquoelastico non egrave ancora svolto Wgrav = MgH Nel punto B K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di rimbalzare

Wel = frac12 kd2 Wgrav = Mgh = Mg(H-(L+d)) Etot(A) = Etot (B) MgH + 0 + 0 = Mg (H-(L+d)) + frac12 kd2 + 0 MgH = MgH ndash MgL ndash Mgd +frac12 kd2

2

1(160)d2 ndash (61)(98)d ndash (61)(98)(25) = 0

equazione di IIdeg grado che dagrave per d il valore accettabile d = 179m (lrsquoaltro egrave negativo e non egrave accettabile perchegrave non ha senso fisico la

saltatrice va in giugrave non in su) Allora h = H-(L+d) = 45 ndash (25+179) = 45 ndash 429 = 21m quindi con la testa poco sopra lrsquoacqua Sistemi di punti materiali e corpi rigidi ndash Centro di Massa

Un giocoliere o un ginnasta che lancia la clavette fa compiere allrsquoattrezzo movimenti complicati tuttavia crsquoegrave un punto dellrsquoattrezzo che si muove seguendo una traiettoria semplice come quella di un punto materiale ad esempio lanciato segue una traiettoria parabolica Tale punto si chiama centro di massa dellrsquooggetto Il centro di massa puograve essere definito per un oggetto o per un insieme di punti materiali Ersquo importante percheacute in generale il moto di un corpo esteso (o di un insieme di punti) si puograve studiare separando il moto del centro di massa (moto traslatorio) e il moto del corpo attorno al centro di massa (moto rotatorio)

Centro di Massa (CDM) di un sistema di punti - Consideriamo il caso semplice di due punti materiali di massa m1 m2 posti sullrsquoasse x in

posizione x1 x2

Fig 39

la posizione del centro di massa egrave definita xCDM = 21

2211

mm

xmxm

++

a) xCDM egrave compreso fra x1 e x2 b) se m1 = m2 CDM egrave a metagrave strada fra m1 ed m2 c) xCDM egrave piugrave prossimo alla massa maggiore - Nel caso di piugrave punti allineati nelle posizioni xi detto M = summi allora

xCDM = ii xmMsum

1

- Nel caso di punti distribuiti nello spazio detti irrarr

i vettori che identificano le loro posizioni

CDMrrarr

= iii rmM

rarrsum

1

dove CDMrrarr

ha coordinate (xCDM yCDM zCDM) definite come

xCDM = ii xmsumη1

yCDM = ii ymMsum

1

zCDM = ii zmMsum

1

- Consideriamo un oggetto qualsiasi questo egrave composto da un gran numero di particelle ma conviene considerarlo come un continuo di materia e per calcolare il centro di massa si prendono in considerazione degli elementi infinitesimi di massa dm centrati intorno alle posizioni (xyz) allora

xCDM = int xdmM

1 yCDM = int ydm

M

1 zCDM = int zdm

M

1

se si puograve considerare il corpo omogeneo (densitagrave uniforme) allora V

M

dv

dm = e allora si puograve fare il

calcolo considerando il volume V e gli elementi di volume dv anzichegrave la massa e gli elementi di massa

xCDM = int xdvV

1 etc

In un oggetto solido (corpo rigido) i diversi punti materiali che lo compongono non cambiano la loro posizione relativa (non come un corpo elastico) - se un oggetto ha un elemento di simmetria un asse od un piano il CDM si trova su tale

elemento di simmetria (asse per cono centro per sfera piano per una banana etc) Non egrave detto che il CDM di un oggetto appartenga allrsquooggetto vedi uno pneumatico un cerchio Il CDM egrave esterno alloggetto Legge fondamentale della dinamica per un sistema di punti materiali Caso della palla da bigliardo urto fra due palle dopo il lancio di una le due si muovono 1) una egrave ferma (B) lrsquoaltra la lancio (A) 2) le due si urtano in qualunque modo 3) le due si muovono secondo traiettorie differenti una possibilmente andragrave in buca lrsquoaltra no Dopo il lancio sulla palla A non agisce piugrave nessuna forza quindi la sua velocitagrave v egrave costante Va bene ma dopo lrsquourto Il CDM delle due palle continua a muoversi con velocitagrave costante anche se il centro di massa egrave un punto teorico che non appartiene a nessuna delle due palle Tuttavia al CDM possiamo assegnare una massa (M totale del sistema) una velocitagrave ed una accellerazione Si ha

)(CDMext aMFrarrrarr

=sum

a) extFrarr

sum egrave la somma di tutte le forze esterne che agiscono sul sistema non quelle interne (ad esempio nel caso del bigliardo non devo considerare le forze che si applicano fra le due palle quando si urtano)

b) M egrave la massa totale del sistema Si suppone che durante il moto M rimanga costante

c) )(CDMararr

egrave lrsquoaccelerazione del CDM Dellrsquoaccellerazione di un altro punto ad esempio del centro della palla A non si dice nulla

Cosideriamo alcuni esempi 1) Bigliardo tvaF CDMCDMext cos00 ===sum prima dellrsquourto nellrsquourto si verificano solo forze

interne Quindi tvaF CDMCDMext cos00 ===sum dopo lrsquourto e durante tutto il moto

2) Sistema terra-luna sumFext = gravitazione del sole aCDM egrave ldquocentripetardquo accellerazione di una

forza che egrave diretta verso il sole (forza ldquocentralerdquo) egrave il CDM terra-luna che segue la traiettoria dovuta allrsquoattrazione gravitazionale del sole poi terra e luna si muovono intorno al loro CDM

3) Clavette lanciate sum Fext = Mg aCDM = g il centro di massa si comporta come un punto materiale nel lancio

4) La ballerina nel ldquogrand-fetegraverdquo fa seguire a testa e busto una traiettoria rettilinea percheacute modifica lrsquoassetto in modo da alzare il suo CDM Nel corso del salto (alza le braccia e distende

orizzontalmente le gambe non appena lasciato il suolo) il suo CDM segue la traiettoria parabolica del lancio di un corpo soggetto allrsquoaccelerazione di gravitagrave g

Quantitagrave di moto rarrP

- Si definisce quantitagrave di moto di una particella il vettore

rarrrarr= vmP

con m massa della particella e rarrv la sua velocitagrave

Si vede che rarrP egrave diretto come

rarrv

Newton scrisse la legge fondamentale della dinamica in termini di quantitagrave di moto (a differenza di Galileo che la scrisse in termini di massa e di accelerazione) ldquola rapiditagrave di variazione della quantitagrave di moto di una particella egrave proporzionale alla forza netta che agisce sulla particella ed egrave nella direzione di quella forzardquo cioegrave

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

che egrave piugrave generale della formulazione di Galileo perchegrave descrive bene anche il caso in cui variasse la massa del corpo durante il moto (ad esempio un vettore spaziale) Se la massa egrave costante le due formulazioni sono identiche

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

= t

vm

∆∆

rarr)(

= m t

v

∆∆

rarr

= m rarra

Ricordiamo che rarrF egrave diretto come

rarra (o la risultante

rarrR = sum

rarrF )

Per un sistema di punti materiali si definisce la quantitagrave di moto totale

rarrP =

rarrP 1 +

rarrP 2 + helliphellip+

rarrP n =

m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +helliphelliphellip+ mn

rarrv n = M

rarrv CDM (si puograve dimostrare) dove M egrave la massa totale

[essendo infatti Mrarrv CDM =

dt

d(M

rarrr CDM) =

dt

d(m1

rarrr 1 + m2

rarrr 2 +hellip) = m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +

hellip]

quindi rarrP = M

rarrv CDM per un sistema di particelle e

dt

Pdrarr

= M dt

d rarrv CDM = M

rarra CDM = sum

rarrF ext

Conservazione delle quantitagrave di moto

Per un sistema chiuso (M non varia) e isolato (sumrarrF ext = 0)

Allora

t

P

∆∆

rarr

= 0 rarrP = cost

rarrP i =

rarrP f

che sono tre modi equivalenti per dire che la quantitagrave di moto si conserva Vale per un sistema nel quale non agisca nessuna forza esterna netta Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica e la conservazione delle quantitagrave di moto sono due concetti fisici importantissimi Valgono sia per le palle da bigliardo che per qualunque altro sistema anche le galassie nellrsquouniverso Queste equazioni sono vettoriali Ciograve significa che rappresentano una terna di equazioni scalari ognuna valida sul proprio asse del sistema di riferimento (x y z)

Puograve accadere a seconda delle forze che agiscono nel sistema che la quantitagrave di moto si conservi in una direzione o in due e non in tutte e tre

Ad esempio se consideriamo una palla come un insieme di punti materiali la rarrF ext che agisce nel

sistema egrave mrarrg diretta lungo z senza componenti su x e y quindi

rarrP varia lungo z ma

non su x e y

Percheacute ldquocomplicarci la vitardquo con questa storia del CDM del sistema di particelle etchellip non bastava il moto del punto rappresentativo materiale Avevamo giagrave considerato il punto rappresentativo e avevamo svolto anche problemi sulla palla sul bilanciere e per altri oggetti Abbiamo sempre sbagliato La questione egrave se un corpo egrave rigido cioegrave se tutti i suoi punti si muovono mantenendo le loro distanze relative non crsquoegrave problema abbiamo solo visto che il punto materiale rappresentativo si chiama CDM ed abbiamo imparato a situarlo allrsquointerno del corpo Ma se il corpo non egrave rigido cioegrave se il suo CDM si sposta rispetto a lui stesso nel corso del moto la disposizione del corpo intorno al punto rappresentativo varia nel corso del tempo e le leggi di conservazione valgono per il CDM - Consideriamo ad esempio il teorema dellrsquoenergia cinetica che per un punto materiale si scrive Ltot = Kfin-K in = ∆ K (qui ovviamente non crsquoegrave da specificare lavoro delle forzeldquoesternerdquo percheacute essendo in un punto materiale che si assume infinitamente piccolo non ci sono forze ldquointernerdquo) Per analogia il teorema dellrsquoenergia cinetica si estende al caso di un insieme di punti materiali nel seguente modo

Ltot forze ext=rarrF extmiddot

rarrs CDM = ∆ KCDM

Dove s CDM egrave lo spostamento del centro di massa A titolo di esempio risolviamo il problema un giocatore di hockey su ghiaccio di massa M = 110Kg si muove verso la balaustra a bordo campo alla velocitagrave di 3msec Nellrsquoarrestarsi flettendo le braccia il suo CDM si sposta in avanti di 30cm Qual egrave la ∆ K del suo CDM durante la manovra

∆ KCDM = infin CDMCDM mvmv 22

2

1

2

1 minus =

= 0 - 2

1110 32 = -495 J

Fig 40

Sia L il lavoro delle forze esternerarrF ext (dirette come d

rarrx CDM ) allora

L = - Fext 03 = ∆ KCDM quindi

Fext =30

495

minusminus

= + 1650N

( si considera la forza esterna rarrF ext costante nellrsquointervallo dellrsquoarresto fatto che equivale a dire

che il giocatore si arresta con rarra CDM costante)

Dinamica e statica del corpo esteso Finora abbiamo sempre discusso del moto di un punto materiale (punto rappresentativo dicevamo sempre) In particolare abbiamo sempre applicato le forze a quel punto materiale quindi se diverse forze erano applicate esse concorrevano in quel punto ligrave e con le forze concorrenti sapevamo come calcolare la risultante con il metodo grafico o con quello numerico delle coordinate cartesiane Una volta calcolata la risultante applicata al punto si otteneva un moto di pura traslazione del punto (al massimo traslava lungo una traiettoria curva) senza rotazioni proprie del punto che non hanno neanche senso un punto che ruota su se stesso Come faccio ad accorgermi Un punto per definizione egrave infinitamente piccolo (Dicevamo infine che il punto egrave in equilibrio

traslazionale se la risultante rarrR delle forze applicate egrave nullo)

Consideriamo invece un corpo esteso Prima osservazione questo ha piugrave punti (direi infin ) a

cui la forza puograve essere applicata Prendiamo una racchetta da tennis ed una forza rarrF applicata il

moto che ne risulta dipende dal punto al quale viene applicata la forza rarrF

qui la racchetta trasla

Fig 41

stessa forza qui la racchetta ruota

Fig 42

Seconda osservazione Crsquoegrave un caso in cui le forze non possono essere fatte concorrere in un punto ed egrave quando sono parallele ed hanno rette di applicazione distinte Chiaramente non abbiamo mai dovuto considerare questo caso per il punto materiale percheacute per un punto non possono mai passare due rette parallele Ma per il corpo esteso So benissimo che se sono ferma con la macchina in

panne e la sto spingendo applicando una forza rarrF 1 sono contenta se qualcuno si affianca a me ed

esercitando una forza rarrF 2 lungo una direzione parallela a quella della mia mi aiuta a spingere In

particolare mi viene spontaneo dire che se F1 = F2 allora spingeremo con una forza doppia Ci saragrave quindi un modo per sommare due forze non concorrenti in un punto ma parallele e saragrave Ftot = F1+ F2 La retta di applicazione di Ftot divide il segmento congiungente i punti di applicazione di F1 ed F2 in due segmenti inversamente proporzionali allrsquointensitagrave delle forze F1 e F2 Terza osservazione se F1 = - F2 sono uguali in intensitagrave ma di verso opposto sempre lungo due rette di applicazione parallele passanti per un corpo esteso cosa succede La loro somma Ftot risultante saragrave 0 ma io so che il corpo non sta fermo sotto lrsquoazione di tali due forze ma ruoteragrave Concludo che le nozioni che ho acquisito finora vanno riviste ed ampliate o corrette o specificate per i corpi estesi ed inoltre che mi mancano totalmente i mezzi per descrivere le rotazioni dei corpi estesi Occorrono nuovi concetti nuove quantitagrave la forza non basta Prendo lrsquoesempio piugrave semplice dellrsquoaltalena con due bambini in due bracci uno piugrave leggero uno piugrave pesante

Fig 43 Qualitativamente so che percheacute lrsquoaltalena stia in equilibrio e non ruoti intorno al punto fisso non egrave necessario che i due bambini abbiano lo stesso peso (ugual massa) occorre che il bambino piugrave leggero sieda piugrave lontano rispetto al punto fisso (fulcro) La regola quantitativa dice che lrsquoaltalena egrave in equilibrio se il prodotto del peso per la distanza del fulcro egrave uguale PB dB = Pb

db Per generalizzare questa regola ai casi piugrave complessi occorre definire una nuova quantitagrave il momento di una forza Momento di una forza

Consideriamo una forza rarrF applicata ad un punto P ed un punto O Sia

rarrr

il vettore rarrOP allora il momento

rarrM di

rarrF rispetto ad O egrave

rarrM =

rarrr x

rarrF

e

|rarrr | middot |

rarrF | sin ϑ = |

rarrM |

Fig 44

oppure anche considerando la componente di rarrF perpendicolare ad

rarrr o di

rarrr

perpendicolare a rarrF r e rispetto a F

|rarrM | = |

rarrr | |

rarrF perp | |

rarrM | = |

rarrr perp| |

rarrF |

In generale si dice che il modulo del momento |rarrM | egrave il prodotto delle intensitagrave della forza per la

distanza dal punto della retta di applicazione della forza

Come vettore rarrM egrave perpendicolare al piano che contiene

rarrF ed

rarrr ed ha verso calcolato con la

regola della mano destra (con rarrr che si chiude su

rarrF )

La distanza rperp si chiama braccio della forza Si vede che il momento egrave nullo quando il braccio egrave nullo cioegrave quando il punto O si trova sulla retta di applicazione di F Il momento della forza peso P egrave nullo rispetto al baricentro che coincide con il centro di massa nel caso (praticamenteldquosemprerdquo) in cui il corpo non sia abbastanza esteso percheacute diversi punti del corpo risentano di una forza gravitazione differente Praticamente si deve parlare di galassie percheacute CDM e baricentro (BC) non coincidono Quindi la condizione del momento nullo della forza peso diventa un modo per definire il CDM come quel punto rispetto al quale la forza peso P ha momento nullo Per un corpo ldquoarticolatordquo estendiamo il concetto di forza normale come forza di contatto nellrsquoarticolazione utile cioegrave la forza che lrsquoarticolazione che si sta considerando esercita su quello che nellrsquoarticolazione si appoggia La forza peso P di un corpo esteso puograve immaginarsi applicata al CDM Principio di equilibrio di un corpo esteso

se su un corpo esteso agiscono solo rarr

Peso e rarr

Normale cioegrave se un corpo egrave appoggiato ad un piano orizzontale allora il corpo egrave in equilibrio se e solo se il baricentro si trova sopra la superficie di appoggio

Fig 45

Finchegrave il baricentro egrave sopra il tavolo il libro non cade percheacute rarrP applicata a CDM puograve essere

controbilanciata da rarrN Se CDM si sposta in fuori

rarrN rimane nel tavolo e crsquoegrave momento non nullo

non equilibrato da rarrP che continua ad essere applicato nel CDM

Il baricentro di una persona in posizione eretta si trova nellrsquoarea delimitata dei suoi piedi 3cm davanti allrsquoarticolazione della caviglia

Fig 46 Quando la persona si piega in avanti il baricentro esce dal corpo e per mantenere lrsquoequilibrio egrave necessario che le anche si spingono indietro percheacute il baricentro cade di nuovo in quella posizione Notiamo che anche in posizione eretta essendo la forza peso e la forza di contatto non allineate (quei 3cm) (forza di contatto sullrsquoarticolazione della caviglia che regge il peso) occorre un momento correttivo che impedisca la rotazione in avanti mantenuto dal tendine di Achille che si lega alla caviglia Altro esempio di spostamento del baricentro egrave lrsquoatleta che assume una posizione ad L chi regge il peso egrave lrsquoarticolazione della spalla quindi il CDM si sposta sotto la spalla (giagrave era uscita dal corpo per via delle gambe distese in avanti) Nel camminare il baricentro continua a muoversi da sopra un piede a sopra un altro (quello appoggiato ovviamente) Si osservi lrsquoondeggiamento Per assurdo lrsquoancheggiare delle indossatrici serve a mantenere il baricentro il piugrave possibile fermo rispetto alla direzione media del moto (porre un piede esattamente davanti allrsquoaltro) rendendo piugrave facile muoversi anche con tacchi altissimi Al contrario lrsquoequilibrista che cammina sui trampoli sta fermo il meno possibile percheacute egrave stando fermo che il piccolo spostamento che fa uscire il baricentro (ALTO) dalla superficie drsquoappoggio puograve verificarsi facilmente preferisce il ldquonon ndash equilibriordquo o lrsquo rdquoequilibrio dinamicordquo dellrsquoondeggiare continuamente fra due posizioni di equilibrio

Ricordiamo che un equilibrio egrave detto stabile se quando una perturbazione lo altera spontaneamente il sistema lo ripristina Viceversa un equilibrio egrave instabile se la piugrave piccola perturbazione lo distrugge Lrsquoequilibrio egrave molto stabile se il baricentro egrave basso ed il corpo ha una grande area drsquoappoggio la posizione accucciata del giocatore di football americano dagrave grande stabilitagrave Ancor piugrave grande stabilitagrave si ha se il baricentro (CDM) si trova al di sotto della superficie drsquoappoggio Ersquo come se si fosse ldquoappesirdquo anzicheacute ldquoappoggiatirdquo alla superficie drsquoappoggio Proprio per questo motivo lrsquoequilibrista sul filo porta una lunga asta che spesso si flette agli estremi

Fig 47 Gli uccelli bipedi da 100000000 di anni hanno sviluppato questo adattamento per cui sono appesi alle anche mentre gli uomini bipedi da solo 1000000 di anni fanno fatica con il CDM dalla parte alta del corpo Ersquo un equilibrio instabile ldquosoprardquo le anche che le reggono (65 del peso del corpo) Modificazioni strutturali per reggere la posizione eretta 1) Colonna vertebrale rastremata (piugrave tozza in basso che in alto percheacute piugrave in basso vuol dire una

maggior forza di contatto) 2) Muscoli estensori della schiena 3) Gambe ed anche ingrossate 4) Ginocchio che blocca la gamba estesa Ciononostante si ha spesso il mal di schiena Se una forza ha momento non nullo rispetto ad un punto allora il corpo puograve ruotare intorno a quel punto sotto lrsquoazione di quella forza ldquoDiciamo che se sostengo il corpo per quel punto il corpo puograve ruotare intorno a quel puntordquo (Prendo in mano un foglio di carta per un estremo per esempio) La presenza di un momento non nullo egrave dunque la condizione che genera rotazione e viceversa Lrsquoassenza di un momento risultante egrave la condizione che genera lrsquoequilibrio rotazionale di un corpo esteso Quindi la condizione di equilibrio per un corpo esteso egrave

1) rarrR = 0 risultante delle forze applicate = 0 (equilibrio traslazionale)

2) rarrM = 0 momento risultante = 0 (equilibrio rotazionale)

Supponiamo di avere un corpo esteso al quale siano applicate delle forze che diano luogo ad un momento non nullo allora il corpo ruota Per equilibrarlo dovrograve applicare un altro momento tale che la loro somma sia nulla Questo egrave il principio di funzionamento delle leve LEVE

Una leva egrave un corpo esteso al quale sono applicate delle forze con un momento risultante rarrR

allora per portare il corpo in equilibrio applico un momento correttivo rarrP in modo che il momento

totale sia nullo Si dice in genere potenza (P) e resistenza (R) di una leva Le leve sono macchine semplici Servono per applicare forze in punti scomodi o in direzioni particolari Il fulcro egrave il punto nel quale la leva egrave incernierata Si definisce il guadagno meccanico di una leva

GM =

)(

)(rarr

rarr

PF

RF

cioegrave il rapporto fra la forza che genera il momento resistente e quella che genera il momento agente A seconda che GM sia gt

lt 0 una leva si dice che egrave vantaggiosa o svantaggiosa ma solo per quel che riguarda le forze percheacute per quel che riguarda i lavori non si ha neacute vantaggio neacute svantaggio Il lavoro esercitato dalla forza che dagrave la ldquopotenzardquo e quello esercitato dalla forza che dagrave la ldquoresistenzardquo sono sempre uguali Infatti forze e spostamenti sono inversamente proporzionali Le leve si dicono di I II o III specie a seconda se il fulcro si trovi I) in mezzo fra R e P (leva indifferente GM dipende da caso a caso) II) dalla parte di R (leva vantaggiosa il braccio di R egrave sempre minore del braccio di P basta

quindi una P minore per equilibrare una R maggiore) III) dalla parte di P (leva svantaggiosa) Classici esempi dei tre tipi di leve sono i remi (I) lo schiaccianoci (II) e la pinzetta per francobolli (III) Tuttavia vediamo degli esempi meno classici ma attinenti al campo della biologia e della medicina Criterio generale egrave che le leve vantaggiose consentono di essere molto potenti ma con brevi spostamenti mentre viceversa quelle svantaggiose fanno perdere in potenza ma consentono grandi spostamenti saragrave difficile vedere un cavallo che con le lunghe zampe si scava la tana drsquoaltronde una talpa scava bene la tana ma ha movimenti molto meno ampi che non le consentono di correre veloce come un cavallo (compromesso fra forza e velocitagrave del movimento) Se contiamo tutti i movimenti di rotazione che il corpo puograve compiere capiamo che siamo pieni di leve di ogni tipo Sono classici a) il capo fulcro (articolazione occipito-atlantoide) Fig 48 muscoli della nuca (Potenza) peso del capo (Resistenza) b)

muscolo bicipide (Potenza)

Fig 49 Peso dellrsquoavambraccio (Resistenza) Fulcro (articolazione del gomito) Questa leva permette grandi spostamenti Si vede che la forza operata dal muscolo bicipite egrave massima quando lrsquoavambraccio egrave orizzontale (la distanza dal fulcro egrave massima) ed egrave minima quando lrsquoavambraccio egrave verticale( con la distanza dal fulcro nulla) Attenzione - la colonna vertebrale egrave costituita da 24 vertebre separate da dischi di liquido Quando una

persona si piega la schiena egrave una leva con GM molto piccolo Quindi un piegamento completo per raccogliere un oggetto anche leggero produce una forza molto intensa sul disco lombosacrale che separa lrsquoultima vertebra dellrsquoosso sacro Se indebolito questo disco puograve rompersi o deformarsi comprimendo i nervi vicini e causando grande dolore Vediamo un modello che rende conto come mai questa forza egrave cosigrave grande

Fig 50

I muscoli della schiena esercitano T Con un angolo α = 12deg quando la schiena egrave piegata a 90deg

Peso della parte superiore del corpo (circa il 65 del peso totale)

Fulcro lombosacrale (il fulcro produce R) Essendo α piccolo la retta di azione Τ passa vicino al fulcro e dunque la distanza r che costituisce il suo braccio egrave molto piccola Al contrario il peso egrave perpendicolare alla colonna e il suo punto di applicazione egrave molto piugrave distante dal fulcro Τ deve essere molto grande per equilibrare il momento di P Dunque se T egrave grande anche la sua componente orizzontale egrave grande e di conseguenza anche R che costituisce la reazione dellrsquoosso sacro deve avere componente orizzontale molto grande per equilibrare Τ (uguale ed opposta alla componente orizzontale di Τ ) Facendo i conti si ottengono numeri grandi per 75Kg di peso T ed R sono equivalenti al peso di una massa di 220Kg Senza sollevare pesi solo piegandosi Conviene piegare le ginocchia quando si sollevano pesi - Nel corpo egrave difficile che il peso cada sulla verticale dellrsquoarticolazione che lo sostiene egrave sempre

un porsquo spostato e crsquoegrave un tendine con un muscolo che compensa il momento del peso - La contrazione muscolare egrave una successione di brevi contrazioni delle fibre muscolari stimolate

da impulsi che provengono dal sistema nervoso Contrazioni sono molto ravvicinate e avvengono in tempi differenti nelle diverse parti del muscolo cosigrave che il risultato apparente egrave una lenta e progressiva contrazione Se la frequenza degli impulsi aumenta la tensione cresce finchegrave si raggiunge la tensione massima (ricordare la tensione di un cavo) Un ulteriore aumento della frequenza degli impulsi a questo punto non causa ulteriore aumento della tensione

La tensione massima egrave proporzionale allrsquoarea della sezione trasversa del muscolo nel suo punto piugrave largo La tensione massima dipende anche dalla lunghezza del muscolo che varia Si ottiene tensione massima quando il muscolo egrave solo di poco allungato rispetto alla sua lunghezza di riposo di riposo ed egrave circa 30-40 Ncm2 La tensione massima si riduce moltissimo se il muscolo egrave molto allungato o accorciato Dinamica Rotatoria Fino ad ora abbiamo studiato moti traslatori ma il moto di un corpo rigido egrave in generale roto-traslatorio Naturalmente dobbiamo ridurre il problema complesso ad uno piugrave semplice e per fare ciograve immaginiamo di posizionarci su un sistema di riferimento solidale al corpo rigido i moto immaginiamo cioegrave di ldquosedercirdquo sul corpo rigido In questo modo non saremo piugrave sensibili al moto traslatorio e guardando il corpo rigido osserveremo solo le sue rotazioni Trattiamo allora il moto generico scomponendo la parte traslatoria (giagrave discussa ) da quella rotatoria Se si trascura la parte traslatoria del moto di un corpo rigido quello che rimane da trattare egrave la sua rotazione Nel nostro corso consideriamo le rotazioni che avvengono su un piano le rotazioni nello spazio potranno essere trattate come composizione di rotazioni su un piano Per le rotazioni su un piano si identifica un asse di rotazione perpendicolare al piano di rotazione e passante per il centro di rotazione Le articolazioni del gomito e del ginocchio sono articolazioni libere di ruotare intorno ad un asse a differenza ad esempio di quella della spalla che puograve ruotare intorno a due assi Si definisce spostamento angolare la variazione di una posizione che egrave definita in modo completo da una misura di angolo Una rotazione di un intero corpo rigido egrave definita in modo completo da uno spostamento angolare θfin - θin= ∆θ e si misura in radianti

Fig 51 Dobbiamo definire anche un verso di rotazione θ si incrementa per rotazioni antiorarie positive le rotazioni in senso orario sono invece negative La velocitagrave angolare si definisce analogamente alla velocitagrave lineare come il rapporto tra lo spostamento angolare e il tempo t impiegato per eseguire tale rotazione

ωm = t∆

∆θ e si misura in rad s

θin

θfin ∆θ

R

S

Anche per w si definisce ωist = lim ∆trarr0 t∆

∆θ

Ancora lrsquoaccelerazione angolare si definisce αm = t∆

∆ω e αist = lim ∆trarr0

t∆∆ω

Anche la legge fondamentale della dinamica ha un analogo nel ambito dei moti rotatori Si stabilisce che se ad un corpo rigido egrave soggetto ad un momento torcente diverso da zero esso subisce unrsquoaccelerazione angolare ad esso proporzionale Nel caso delle rotazioni la resistenza al moto egrave espressa dal momento di inerzia I associato al corpo rigido che gioca il ruolo della massa nei moti traslatori La legge della dinamica delle rotazioni egrave M = I middotα

E sostituendo M = Imiddott∆

∆ω= Imiddot

tinfin

∆minusωω

Il momento di inerzia I di un corpo rigido dipende dalla disposizione della massa del corpo rispetto allrsquoasse di rotazione per una massa puntiforme m a distanza R dallrsquoasse di rotazione I= m R2 per un oggetto esteso sommerograve il momento drsquoinerzia delle sue parti I = Σi mi Ri

2 Se si definisce momento angolare L il prodotto del momento drsquoinerzia per la velocitagrave angolare

L=Iω la legge della dinamica diventa

M = t

LL infin

∆minus

Il momento angolare egrave la grandezza fisica che si conserva se non viene applicato momento torcente Tutti i gesti di volo salti lanci tuffihellip sono azioni nelle quali si conserva il momento angolare Infatti in volo agisce solo la forza di gravitagrave che essendo applicata al CDM non genera momento torcente Il corpo umano nei gesti di volo Il corpo umano non egrave rigido e pertanto in volo agendo con i muscoli possiamo cambiare la disposizione del nostro corpo intorno al centro di massa che in volo coincide col centro di rotazione In questo modo si ottiene una variazione del momento di inerzia I e di conseguenza la velocitagrave angolare deve compensare questa variazione in modo che si mantenga costante il momento angolare L (grandezza che si conserva in assenza di momento torcente) Ersquo questo il principio che spiega il realizzarsi delle trottole sul ghiaccio dei salti mortali tuffi con avvitamento e cosigrave via in posizione raccolta I diminuisce e ω aumenta Moto circolare e moto circolare uniforme Per utilizzare le relazioni della cinematica e della dinamica lineare che abbiamo studiato egrave interessante poter passare dalle variabili angolari alle variabili lineari velocitagrave e accelerazione delle

masse in moto rotatorio Se una massa si muove su una traiettoria curva la velocitagrave tangenziale vt diretta come la tangente alla traiettoria dipende dalla velocitagrave angolare ω ( ωm=ϑ t )e dal raggio di curvatura della traiettoria Se la traiettoria egrave una circonferenza di raggio R e se gli angoli sono espressi in radianti lrsquoarco percorso per uno spostamento angolare ϑ egrave S = ϑ sdotR e la velocitagrave lineare tangente vt = St= ϑ sdotRt risulta vt = ωsdotR Se la velocitagrave angolare ω egrave costante il moto egrave detto circolare uniforme La legge oraria egrave quella dei moti uniformi spostamenti angolari uguali in tempi uguali ϑ(t) = ω t Anche la velocitagrave tangente saragrave di intensitagrave costante se ω egrave costante (archi uguali per tempi uguali s(t) = vt (t) ) ma crsquoegrave una accelerazione normale infatti la velocitagrave anche se non cambia in modulo cambia continuamente di direzione Questa accelerazione si dice centripeta egrave diretta normalmente rispetto alla traiettoria verso il centro della circonferenza e vale in modulo

ac=R

v2

Fig 52 Essendo la velocitagrave tangente vt = ωR Lrsquo accelerazione centripeta si puograve scrivere

ac =R

v2

= ω2 R

Il tempo impiegato dal punto a muoversi sulla circonferenza egrave una costante (moto uniforme) T periodo in T viene percorso uno spazio 2π R

v = T

Rπ2

La frequenza f egrave invece il ndeg di giri al secondo

f =T

1

Se si prendono punti diversi sul raggio della circonferenza questi hanno la stessa velocitagrave angolare e velocitagrave tangenziali crescenti al crescere del raggio Esempio carosello dei pattinatori Esercizi

1- un velocista con una velocitagrave di 10 ms viaggia su una curva di raggio 25m ndash accelerazione

a = R

v2

= 25

100 = 4 ms2

2 ndash un velocista con v = 92 ms su una pista circolare con ac = 38 m s2 ndash Raggio della pista Tempo per percorrere un giro completo

a = R

v2

rArr R = a

v2

= 83

)29( 2

= 2227m

T =v

Rπ2 =

29

27222 lowastπ = 152 sec

Forza centripeta forza centrifuga Una forza centripeta egrave una forza di qualunque natura che trattiene un corpo in moto su una traiettoria curvilinea ad esempio circolare In assenza di tale forza il corpo proseguirebbe il suo moto lungo una traiettoria rettilinea Nel gesto del lancio del martello ad esempio il lanciatore che esercita sul peso in cima allrsquoattrezzo una forza mediata dalla tensione dal cavo che lo trattiene nella traiettoria circolare Quando il lanciatore lascia la maniglia il martello viene lanciato lungo la direzione della tangente alla traiettoria nellrsquoistante di rilascio Lrsquointensitagrave della forza centripeta necessaria a mantenere una massa m in moto con velocitagrave tangente v lungo una traiettoria circolare di raggio r si puograve calcolare a partire dallrsquoaccellerazione centripeta secondo la legge fondamentale della dinamica

|rarr

cF | = m | rarr

ca | = m r

v2

Tale forza egrave diretta come lrsquoaccelerazione centripeta e cioegrave verso il centro della circonferenza che costituisce la traiettoria La forza centripeta egrave dunque una forza reale Con lsquoforza centrifugarsquo invece non ci si riferisce ad un forza che agisce su un corpo ma alla situazione apparente cui sembra sottoposto un corpo in moto curvilineo Esso pare tirato o attirato lontano dal centro di rotazione pare ci sia una lsquoforzarsquo che vuole farlo sfuggire Quando viene lasciato il martello si allontana dal centro di rotazione percheacute si muove di moto rettilineo uniforme non essendo piugrave soggetto a forze altre che la forza peso Lrsquoacqua esce dal cestello della lavatrice quando il cestello ruota velocemente (funzione centrifuga) percheacute lrsquoacqua che non costituisce un corpo solo con il cestello bucato non egrave soggetta alla forza centripeta e puograve passare attraverso i buchi I panni invece pure non parte del cestello sono troppo grandi per passare dai buchi si possono solo schiacciare contro le pareti questo schiacciamento sembra il risultato di una forza ma egrave invece il risultato dellrsquoassenza di una forza quella centripeta Una volta lagrave contro il cestello fanno tuttrsquouno con le pareti di metallo che esercitano su di essi la forza centripeta (cioegrave con direzione verso lrsquoasse di rotazione) che li mantiene in rotazione Le parti di un corpo rigido esteso che si muove di moto rotatorio rispetto ad un asse quale ad esempio la gamba di un giocatore di calcio che calcia un pallone sono soggette alla forza centripeta che le mantiene sulla traiettoria curva Tale forza viene trasmessa alle varie parti tramite le forze di tensione che si sviluppano allrsquointerno del corpo stesso ad esempio il piede egrave soggetto alla forza centrifuga tramite lrsquoazione dei legamenti e tendini a livello della caviglia che vengono messi in tensione per trattenere il piede stesso

PERCHErsquo FISICA A SCIENZE MOTORIE Atleti dilettanti bambini imparano ldquoistintivamenterdquo a spingere lrsquoaltalena da su da giugrave o ad andare in bicicletta sanno che per andare senza mani bisogna essere veloci ma imparano dal maestro a curvare con gli sci Imparano dal ldquopreparatore atleticordquo i ldquogiusti gestirdquo per ottimizzare il risultato che in realtagrave non sono altro che lrsquoapplicazione di varie leggi fisiche - Ginnasta alza le braccia prima del salto non egrave puramente estetico - Cosa distingue il lancio ldquogiustordquo o ldquosbagliatordquo del giavellotto o del peso a parte la potenza

dellrsquoatleta - Percheacute i blocchi di partenza - Jumping si fa con lrsquoelastico e non con una corda di acciaio o di canapa - Dove sono montati gli scalmi della barca a remi - Trottola del pattinatore - Salti mortali rannicchiati e non distesi - Mal di schiena tendiniti Tutte queste sono situazioni che richiamano temi di fisica ed in particolare di meccanica CINEMATICA Cominciamo con cose semplici Movimenti di un punto materiale ( ad es un punto rappresentativo di un corpo) che si sposta su di un percorso - Percorso rarr traiettoria Es percorso della maratona o di una corsa - molti atleti si muovono nella stessa traiettoria in modi diversi ( uno vince uno perdehellip) cioegrave con leggi orarie diverse ndash Legge oraria egrave quella che mi dice ad ogni istante dove sono stato e dove sarograve lungo il percorso In allenamento si prepara una legge oraria adatta alle caratteristiche dellrsquoatleta che poi verragrave il piugrave possibile mantenuta nella gara (CONDOTTA DI GARA) ldquoForzare lrsquoandaturardquo ldquoimporre lrsquoandaturardquo significa che un atleta impone agli altri la sua legge oraria quella adatta alle sue caratteristiche o comunque che lui riesce a reggere O anche un gregario ldquoleprerdquo che ha una legge oraria che non puograve sopportare per tutta la corsa fa ldquogioco di squadrardquo per favorire il suo compagno e ldquospomparerdquo gli avversari - Velocitagrave media si misureragrave a fine gara - Velocitagrave istantanea - Accellerazione media e istantanea - Unitagrave di misura in MKS o SI ( 100m10 s rarr 36 Kmh ) 10ms x 3600 sech = 36000 mh Per definire la posizione di un corpo nello spazio egrave necessario introdurre un sistema di riferimento cioegrave una terna di assi mutualmente ortogonali uscenti da un punto O chiamato origine (sistema cartesiano a tre dimensioni) Per il moto che si sviluppa in un piano basta un sistema di riferimento con due assi Per il moto unidimensionale rettilineo basta una retta orientata come sistema di riferimento Moti semplici regolari Per intraprendere lo studio del moto dei corpi nello spazio riduciamo il problema complesso (moto di roto-traslazione in uno spazio a tre dimensioni) ad un problema piugrave semplice in grado di fornirci perograve gli elementi necessari a comprendere le leggi che lo governano In questo capitolo confiniamo la nostra trattazione al moto di corpi puntiformi che avvengono lungo una retta Velocitagrave e accelerazione

Si definisce la grandezza fisica velocitagrave media come lo spostamento realizzato durante il moto diviso per il tempo impiegato a realizzare tale spostamento

if ttv

minus=

x-x if

Se si indica con s lo spostamento e con ∆t lrsquointervallo di tempo scrive v = t

s

∆

La velocitagrave istantanea saragrave definita come lim∆trarr0 t

s

∆

Si definisce accelerazione media la grandezza fisica

i

if

tt

vva

minusminus

= anche scritta t

va

∆∆=

che rappresenta la variazione della velocitagrave nellrsquounitagrave di tempo

La accelerazione istantanea saragrave definita come lim∆trarr0 t

v

∆∆

Nel seguito considereremo sempre lrsquoistante iniziale del moto ti uguale a zero ti = 0 cosigrave che il tempo impiegato per la realizzazione del moto che si studia saragrave semplicemente indicato con t invece che ∆t Moto rettilineo uniforme Consideriamo un moto che avviene lungo una traiettoria rettilinea a velocitagrave costante Lrsquoequazione che lega lo spazio percorso al tempo trascorso dallrsquoinizio del moto deriva direttamente dalla definizione di velocitagrave Legge oraria s(t) = vi t dove s(t) = x (t)-xi egrave lo spostamento Esercizi 1) ndash Se Carl Lewis mantenesse la sua velocitagrave sui 100 m ( supponiamo che percorra 100m in 10 sec) per una intera maratona (42 km) che tempo realizzerebbe (anzicheacute 2h 10min) v = 10 ms (36 kmh) t = sv = 42 103m10ms = 4200 s = 3600s + 600s = h e 10 min 2) ndash Ridotta la velocitagrave limite in autostrada da 140 a 130 Kmh quanto tempo si impiega in piugrave a percorrere i 560 Km da Milano a Roma t1 = sv1 = 560km(140kmh) = 4h t2 = sv2 = 560 km(130 kmh) = 4308 h = 4h 18 min ∆t = t2 ndash t1 = 18 min 3) Un automobilista starnutisce per 05 s guidando a 90 kmh Quanto spazio percorre mentre starnutisce v = 90kmh = 90000m3600s = 25ms s = vt = 25ms 05s = 125 m

E se stesse viaggiando su una Ferrari a 300kmh s = vsdott = 833ms 05 = 417m Moto rettilineo uniformemente accelerato Consideriamo un moto che avviene lungo una traiettoria rettilinea con accelerazione a costante rArr velocitagrave varia continuamente in modo uniforme e ricaviamo la legge oraria a = cost rArr v = v(t) non egrave piugrave costante ma varia in modo proporzionale allrsquoaccelerazione

v(t) ndashvi= a t equazione che non egrave altro che la definizione di accelerazione media ( t

vva if minus

= )

applicata al caso a = cost Lo spazio percorso egrave stabilito dalla seguente legge oraria del moto uniformemente accelerato

s(t) =2

1 asdot t2 + visdott

Cioegrave in ogni istante la posizione saragrave data dalla somma della posizione iniziale e di tutti gli incrementi dovuti alla velocitagrave che perograve non egrave costante perchegrave anchrsquoessa subisce a sua volta incrementi a causa dellrsquoaccelerazione Nota La dipendenza quadratica nel tempo si comprende risolvendo il seguente sistema

sdot=

minus=

minus=

tvs

vvv

t

vva

media

ifmedia

if

2 rArr s(t) =

2

1 asdot t2

che egrave composto da equazioni semplici dove si usa il trucco per cui lo spostamento si calcola come avvenuto ad una velocitagrave costante pari al valor medio tra la viniziale e la vfinale del moto reale

Esercizi 1 Prestazione di una vettura da 0 a 100hmh in 10 sec

Cosa significa Che la velocitagrave della vettura puograve essere aumentata da 0 a 100 Kmh in 10 secondi quindi egrave una indicazione sulle sue capacitagrave di accelerazione Quanto vale lrsquoaccelerazione media in quei 10 s

a =t

v∆=

t

vv if minus=

s

hkm

10

100 =

s

sm

10

3600100000= 277ms2

Come si confronta la ldquoprestazionerdquo della forza di gravitagrave con quella del motore della macchina Se la macchina accelerasse con a = +98 ms2 in quanto tempo raggiungerebbe i 100 kmh

a = t

v∆ t =

a

v∆ t=3

3

1063

10100

sdotsdot

89

1

sm

ms2

= 283s

In 10 secondi quanto spazio percorre nei due casi Devo utilizzare la legge oraria del moto uniformemente accelerato s(t) = frac12 a t2 +vi t con partenza da ferma cioegrave vi = 0 s(10 s) = frac12 at2 = frac12 sdot277 sdot 100 = 140m e s(10 s) = frac12 sdot98 sdot 100 = 490m 2 Un giocatore di pallacanestro salta verticalmente fino a 76 cm di quota Per quanto tempo si trattiene nella fascia di quota piugrave elevata e ampia 15 cm (da 61 cm a 76 cm) e quanto nella fascia a piugrave bassa quota dai 15 cm a terra

Fig1

Ogni moto di volo verticale (salita e caduta) vicino alla superficie della terra soddisfa le leggi del moto uniformemente accelerato con a = -98ms2 Il moto da studiare in questo esempio egrave il moto di volo dal decollo (istante iniziale) al raggiungimento della quota massima (istante finale trsquo ) alla quale la velocitagrave si annulla vf = 0 Essendo soggetto alla stessa a il moto di ri-discesa egrave assolutamente simmetrico a quello di salita Devo nuovamente applicare la legge oraria del moto uniformemente accelerato s(t) = frac12 a t2 +vi t che lega lo spostamento verticale al tempo Non conosco perograve con quale velocitagrave vi (velocitagrave iniziale) il giocatore egrave partito da terra (decollato) per sollevarsi di 76 cm = 076m Posso ricavarla risolvendo lrsquoequazione della legge oraria nellrsquoistante finale utilizzando il tempo di

volo di salita ricavato dallrsquoequazione a =t

vv if minus che egrave la definizione stessa di accelerazione media

e la metto a sistema con la legge oraria Si cerca il tempo trsquo che il giocatore impiega ad arrivare allrsquoaltezza massima di 76cm s = h=076 m con agravitagrave = -98 ms2

-98 ms2 =

0

t

viminus

trsquo = vig drsquoora in poi indicheremo con g lrsquointensitagrave dellrsquoaccelerazione di gravitagrave g = 98ms2 sostituendo h = vi trsquo ndash frac12 gtrsquo2

h = vi vi g ndash frac12 g (vig)2 h = frac12 vi2g vi = gh2 = 076) 98 (2 sdotsdot ms = 386ms

Partendo con velocitagrave iniziale vi il giocatore arriva allrsquoaltezza di 61cm = 061m al tempo t- e poi passando per lrsquoaltezza massima ripassa allrsquoaltezza di 061m al tempo t+ Il tempo richiesto ∆t di permanenza al di sopra di 061m egrave dato da

∆t = t+ - t- dove t+ e t- sono le radici dellrsquoequazione di secondo grado

061 = 386 t - frac12 98 t2 49t2 ndash 386t + 061 = 0 tplusmn = 89

946104863863 2 sdotsdot+plusmn

e quindi t+ = 89

711863 + = 0568s e t- =

89

711863 minus = 0219s

perciograve ∆t = 0568 ndash 0219 = 0349sec Si confronti questo tempo ∆t con il tempo t che il giocatore impiega a percorrere gli ultimi 15 cm prima di ritoccare il suolo dopo il salto

(spazio da h al suolo) = 076m = frac12 gt02 t0 =

89

2760 sdot = 0394 s e

(spazio da h a 15cm dal suolo) = 061m = frac12 gt2 t = 89

2610 sdot= 0353 s quindi

t = t0 ndash t = 0041s ltlt di ∆t Il cestista trascorre 35 centesimi di secondo nel tratto alto e solo 4 centesimi nel tratto basso (15cm) I cestisti sembrano rimanere ldquoappesirdquo al canestro Descrizione vettoriale del movimento In questo capitolo estendiamo lo studio del moto dei corpi al moto di corpi sempre puntiformi (trascuro le rotazioni) ma che si muovono in uno spazio a piugrave dimensioni In particolare saragrave sufficiente trattare il moto in due dimensioni Per descrivere i moti che avvengono su di un piano o nello spazio dobbiamo considerare la natura vettoriale delle grandezze fisiche spostamento velocitagrave ed accelerazione che abbiamo introdotto Tali grandezze sono caratterizzate da modulo (o intensitagrave) direzione e verso Quando si usano le relazioni e le leggi che coinvolgono le grandezze vettoriali bisogna calcolare somme e prodotti tra vettori Consideriamo il caso particolare di vettori in due dimensioni cioegrave in un piano Per rappresentare un vettore utilizzeremo le sue componenti in un piano cartesiano Supponiamo che Soldini debba comunicarci la sua posizione nellrsquooceano cioegrave deve descrivere il suo vettore posizione Egli puograve dare la sua longitudine e latitudine rispetto al meridiano ( Greenwich) e parallelo (equatore) di riferimento Fig 2

ϑ s

S

Xs longitudine di Soldini Ys latitudine di Soldini

Longitudine e latitudine dicono quali sono le componenti cartesiane del vettore orientato rarrR s

vettore posizione di Soldini Xs = Rs cos ϑ s Ys = Rs sin ϑ s dove ϑ s ( sin e cos sono funzioni che variano tra ndash1 e 1 cosigrave che il massimo valore di Xs o Ys egrave Rs giustamente)

e | rarrR s | = Rs = (X2

s +Y2s )

12 (Pitagora ) Operazioni con i vettori Somma con regola del parallelogramma spostare i vettori lungo la loro retta di applicazione finchegrave si trovano coda contro coda e costruire il parallelogramma Fig3 oppure con componenti cartesiane si sommmano le componenti cartesiane corrispondenti dopo aver disposto i vettori in un insieme di riferimento cartesiano e calcolato le componenti con cosϑ e sinϑ

Prodotto per uno scalare c middot rarra tra un vettore ed uno scalare egrave un vettore che ha la stessa

direzione e il modulo moltiplicato per lo scalare In particolare moltiplicando per ndash1 si trova il vettore opposto La somma di un vettore con lrsquoopposto di un altro equivale a fare la differenza fra i due vettori

Prodotto scalare rarra middot

rarrb tra due vettori dagrave luogo ad uno scalare si moltiplica lrsquointensitagrave

dellrsquouno per la proiezione dellrsquoaltro nella direzione del primo ( o viceversa)

rarra middot

rarrb = |

rarra | middot |

rarrb | cos ϑ =

rarrb middot

rarra

poicheacute cos ϑ egrave simmetrico rispetto a ϑ = 0 cos ϑ = cos-ϑ (proprietagrave commutative del prodotto scalare)

rarra middot

rarrb egrave

max quando cos ϑ = 1 rArr rarra e

rarrb equiversi e paralleli

=0 quando cosϑ = 0 rArrrarra e

rarrb sono perpendicolari ( non crsquoegrave componente di

rarrb lungo

rarra )

Si useragrave ad esempio per il lavoro meccanico L = rarrF middot

rarrs

Prodotto vettoriale rarra ^

rarrb tra due vettori dagrave luogo ad un vettore di intensitagrave

| rarra ^

rarrb | = |

rarra | middot |

rarrb | sin ϑ = - |

rarrb ^

rarra |

non commutativo sin ϑ egrave antisimmetrico rispetto a ϑ = 0 sin ϑ = - sin -ϑ

Il vettore rarra ^

rarrb egrave diretto perpendicolarmente al piano che contiene

rarra e

rarrb e col verso dato

dalla regola della mano destra se rarra ruota verso

rarrb lungo lrsquoangolo minore

Fig 4

Il vettore prodotto rarra ^

rarrb esce dal foglio Questo tipo di prodotto si incontreragrave ad esempio nel

calcolo del momento di una forza quando una forza genera rotazioni anzicheacute traslazioni rarrM = R

r ^

rarrF

Esercizio disporre due vettori di intensitagrave 3 e 4 (spostamenti di 3m e 4m) in modo che la somma sia 7m 1m 5m a) consecutivi nella stessa direzione stesso verso Fig 5 b) consecutivi nella stessa direzione versi opposti Fig 6 c) Perpendicolari Pitagora | 32 + 42 | = | 52 | Fig 7

Moto del proiettile Descriviamo il moto di un punto materiale (rappresentativo di un corpo) che viene lanciato e dunque segue una traiettoria in due dimensioni lungo una delle quali (quella verticale) sperimenta unrsquoaccelerazione diretta verso il basso agravitagrave = -98 ms2 (caduta libera) e nellrsquoaltra orizzontale no (accelerazione orizzontale = 0)

La velocitagrave iniziale vettoriale rarr

iv e la successiva velocitagrave rarrv (t) sono considerate

opportunamente in un sistema di riferimento cartesiano in cui un asse egrave diretto verticalmente e il verso positivo egrave verso lrsquoalto Sia ϑ lrsquoalzo cioegrave lrsquoangolo di emissione Fig 8 Lrsquoesperienza insegna che il proiettile (oggetto lanciato) cade Se lanciato verso lrsquoalto sale fino ad

unrsquoaltezza massima e poi scende In ogni istante t del moto la velocitagrave rarrv (t) saragrave diretta come la

tangente alla traiettoria

Le componenti di rarrv (t) lungo gli assi di riferimento vx(t) e vy(t) dipendono da tempo t ma sono

fra loro indipendenti Si puograve dunque separare il moto in due dimensioni in due moti unidimensionali Verifica dellrsquoindipendenza dei due moti egrave nel fatto che filmati stroboscopici di due palline una lasciata cadere lrsquoaltra lanciata orizzontalmente mostrano che dopo tempi uguali le due palline si trovano alla stassa quota Fig 9 Il moto orizzontale non influenza il moto verticale

V ix V iy=0

Esercizi 1 Problema della scimmia Quando la scimmia si accorge che il cacciatore le spara si lascia cadere Fig10 Dove deve mirare il cacciatore per prenderla Lrsquoaccelerazione egrave in generale un vettore Nel moto su un piano lrsquoaccelerazione egrave definita da due

componenti rarra equiv (ax ay )

- moto orizzontale ndash lungo lrsquoasse orizzontale il corpo in moto non sperimenta alcuna accelerazione

ax = 0 dunque la componente orizzontale della velocitagrave egrave costante

se rarr

iv aveva componente orizzontale non nulla vi x = vi sdotcos ϑ questa si mantiene e saragrave

x(t) = vi x t + xi

x(t) ndash xi = ( vi cos ϑ )t spostamento orizzontale sx = ( vi cos ϑ )sdott -moto verticale ndash accelerazione costante agravitagrave dunque moto uniformemente accelerato se crsquoera

una componente iniziale v0y della velocitagrave rarrv allora

y(t) = 2

1(-g)t2 + viy sdott + yi

y(t)-yi = (vi sin ϑ )t-2

1gt2 spostamento verticale sy=(vi sin ϑ )sdott-

2

1gt2

Traiettoria del proiettile Abbiamo visto le leggi orarie in x e y ma la traiettoria egrave in due dimensioni disegnamola in un riferimento cartesiano vedendo per ogni posizione in x quanto vale y cioegrave ricavando y = y(x) Mettiamo a sistema supponiamo di partire da xi = 0 e yi = 0 per semplicitagrave

x = ( vi cosϑ )t rArr t =ϑcosiv

x

y =( vi sinϑ )t - 2

1 gt2

y = sinϑ middot ϑcos

x -

2

1g

2

2

)cos(

)(

ϑiv

x = x tgϑ -

2)cos(2 ϑiv

g x2

(tgϑ egrave costante percheacute egrave lrsquoalzo iniziale 2)cos(2 ϑiv

g egrave costante percheacute g egrave costante vi pure

ϑ pure) Questa egrave lrsquoequazione di una parabola del tipo y = ax2 + bx La traiettoria egrave dunque una parabola Ha importanza sapere la gittata orizzontale cioegrave a quale distanza D il proiettile toccheragrave il suolo (che misura farograve nel lancio)

D = x-xi = (vi cosϑ )t rArr t = ϑcosiv

D

Suolo rarr 0 = y ndash yi = (vi sinϑ )t - 2

1 gt2

0 = vi sinϑ ϑcosiv

D -

2

1g

2

2

)cos( ϑiv

D

dividendo per D

0 = ϑϑ

cos

sin-

2

1g

2)cos( ϑiv

D rArr D =

ϑϑ

cos

sin

g

vi ϑ22 cos2 = sinϑ cosϑ

g

vi22

darr sin2ϑ (trigonometria 2 sinϑ cosϑ = sin2ϑ )

D = g

vi2

sin2ϑ

Questa equazione mi dice che misura farograve a partire dalla velocitagrave iniziale che riesco ad imprimere allrsquoattrezzo e allrsquoalzo del tiro La funzione sin ha un andamento a max e min rArr si avragrave un max quando sin 2ϑ =1 rArr 2ϑ = 90deg ϑ = 45deg Lrsquoalzo iniziale di 45deg daragrave il risultato migliore (assenza di vento assenza di attrito problema semplificato) Attenzione sin 2ϑ egrave simmetrico intorno a 2ϑ = 90deg e dunque si avranno gittate uguali per angoli equidistanti da 2ϑ = 90deg rArr ϑ = 45deg (osservazione di Galileo) Fig 11 Esercizi 1 ndash Copione di un film cascatore deve saltare da un terrazzo sul terrazzo di un palazzo vicino distante 62m e piugrave basso di 48m la sua velocitagrave sul terrazzo puograve essere 45 msec Accetta la parte

Fig12

Per cadere di 48 m impiega un tempo tc tale che y(tc) ndash yi = -48m = -2

1 gt2c

tc = 89

)2()84( minuslowastminus = 099sec

Nel tempo di caduta tc = 099s quale distanza potragrave coprire con la velocitagrave iniziale ( e poi costante) vix =45 msec d = x-xi = vix t = 45 middot 099 = 45m d = 45m egrave meno dei 62m che separano i due palazzi Il cascatore faragrave bene a rifiutare la parte Quale velocitagrave iniziale min dovrebbe avere per avere delle chances

V ix = 990

26 = 62 msec

2 ndash Salto di Bob Beamon a cittagrave del Mexico nel 1968 salto in lungo di 890m Supponendo che la velocitagrave del decollo sia stata 95 ms come per un centometrista quanto vicino arrivograve alla gittata max (per assenza di resistenza aria)

Dmax = g

v20 per sin 2ϑ 0 = 1 (rArr ϑ 0 = 45deg)

= 789

)59( 2

= 9228m

∆ D = 9228 ndash 890 = 0328m

3 ndash Cestista

Fig15 Quale velocitagrave iniziale v0 deve avere la palla affinchegrave il cestista possa fare canestro se lrsquoalzo iniziale egrave di 55deg rispetto allrsquoorizzontale (le varie distanze sono indicate in Figura) Definisco sistema di assi cartesiano con origine nel centro della palla e assi paralleli agli assi originari In questo sistema di riferimento la posizione del canestro egrave xc = 42 ndash 03 = 39m yc = 3 ndash 21 = 09m Lrsquo equazione della traiettoria egrave

y = x tgϑ 0 - 200 )cos(2 ϑv

g x2

Introduco nellrsquoequazione i valori di yc xc tg 55deg = 1428 e ricavo il valore dellrsquounica incognita v0

09 = 39 x 1428 - 2

0 )5740(2

89

xv x (39)2

09 = 5569 - 2

0 )5740(

5374

xv

(09 ndash 5569) (v0 x 0574)2 = -7453

v0 = 6694

5374

5740

1 = 696msec

Forze e moto Quando un oggetto cambia il suo stato di moto (da fermo si muove o si ferma se si stava muovendo accelera o frena o curva) per esperienza sappiamo che egrave avvenuta unrsquointerazione dellrsquooggetto con un altro corpo dellrsquoambiente circostante al contatto o a distanza Il concetto di interazione prevede sempre la presenza di due corpi unrsquointerazione viene scambiata tra due corpi A questa interazione associamo il concetto di forza Questa associazione non egrave solo qualitativa ma viene quantificata tramite una legge che collega forze e cambiamenti dello stato di moto dei corpi rendendo la forza una grandezza derivata nel sistema SI Ciograve avviene introducendo una grandezza fisica fondamentale chiamata massa (m) che egrave caratteristica di ogni corpo materiale e che esprime lrsquoinerzia al moto propria del corpo quando viene sottoposto alla sollecitazione di una forza Diciamo che due corpi hanno masse diverse se assumono accelerazioni diverse quando sottoposte allrsquoazione della medesima forza Questa massa si dice anche inerziale Si misura in kilogrammi (kg) ed egrave una grandezza scalare positiva

La teoria del moto egrave riassunta dalle tre leggi formulate da Isaac Newton fondate sulle basi del genio di Galileo Galilei Prima legge del moto Ogni corpo rimane nel suo stato di quiete o mantiene il suo stato di moto a velocitagrave costante se nessuna forza agisce su di esso o se la risultante delle forze ad esso applicate egrave nulla Questa proprietagrave del moto egrave detta anche ldquoprincipio di inerziardquo o ldquoprimo principio della dinamicardquo Velocitagrave costante significa che il vettore velocitagrave egrave costante cioegrave non variano modulo direzione e verso Quindi lrsquounico moto possibile in assenza di forze applicate egrave quello rettilineo uniforme (Tale legge non puograve essere verificata se si prende in considerazione un sistema di riferimento che si muove di moto accelerato Per esempio se utilizzo un sistema di riferimento solidale con lrsquoabitacolo di unrsquoautomobile o di un aereo che stanno accelerando o frenando i corpi possono scivolare lrsquoacqua contenuta in un bicchiere vi si puograve rovesciare addosso come soggetta ad una forza In realtagrave ciograve avviene proprio perchegrave questi corpi tendono a mantenere il loro stato di moto e lsquodisubbidisconorsquo alla variazione di velocitagrave che ciograve che egrave solidale col sistema di riferimento sta subendo I sistemi di riferimento nei quali si verifica la prima legge della dinamica si chiamano sistemi di riferimento inerziali e sono da essa implicitamente definiti) Seconda legge del moto Questa legge formulata inizialmente da Galileo e poi riproposta da Newton egrave detta anche ldquolegge fondamentale della dinamicardquo

rarrF = m

rarra

La forza rarrF egrave un vettore dato dal prodotto del vettore accelerazione

rarra per uno scalare m ed egrave

diretto come rarra Questa legge come si vede egrave una legge vettoriale Se piugrave forze agiscono sul

corpo di massa m la legge vale per il ldquovettore risultanterdquo che egrave la somma vettoriale di tutte le forze che agiscono sul corpo Lrsquoaccelerazione egrave diretta come il vettore risultante delle forze

Si possono definire le componenti di rarrF lungo gli assi del sistema di riferimento e la legge del

moto vale componente per componente Fx = max Fy = may Fz = maz

Lrsquounitagrave di misura della forza egrave il newton (N) 1N = 1Kg m s2

E la relazione dimensionale egrave[ ]N = [ ]2minusmlt Se la forza (o la risultante delle forze) applicata al corpo egrave nulla egrave anche nulla lrsquoaccelerazione e visto che lrsquoaccelerazione egrave definita come la variazione della velocitagrave divisa per il tempo la variazione della velocitagrave saragrave anchrsquoessa nulla Ciograve significa che la velocitagrave si mantiene costante Quindi in assenza di forze applicate il corpo rimane fermo se inizialmente era fermo e continua a muoversi con velocitagrave costante se inizialmente si muoveva come giagrave affermato dalla prima legge Terza legge del moto Dal concetto di forza che esprime lrsquointerazione tra i corpi deriva anche quello che viene comunemente detto ldquoil principio di azione e reazionerdquo o ldquoterzo principio della dinamicardquo ad ogni azione corrisponde sempre una reazione uguale e contraria cioegrave se due corpi A e B interagiscono in

modo che il corpo A eserciti una forza rarrF sul corpo B allora il corpo B esercita sul corpo A una

forza rarr

F = - rarrF Si noti che le due forze NON sono applicate allo stesso corpo

rarrF agisce su

B e rarr

F agisce su A Lrsquoapplicazione di questo principio egrave molto importante quando si considerano le forze che si realizzano al contatto tra due corpi e in particolare per le forze applicate da muscoli tendini legamenti e ossa del corpo umano Forze particolari Forza gravitazionale Newton nel descrivere il moto dei corpi celesti ha stabilito la presenza di una forza di interazione a distanza tra due corpi che chiamiamo forza di gravitagrave e ha fornito lrsquoespressione che la governa

FG = -G 2

21

R

mm GG ( legge di attrazione universale)

dove mG 1 e mG 2 sono le masse gravitazionali dei due corpi R egrave la distanza tra le due masse (considerate puntiformi) e G egrave una costante numerica che vale 667 x 10-11 Nm2kg2 1 Nm2kg2 egrave anche 1m3kg s2 Il segno meno sta a indicare che la forza egrave attrattiva La forza gravitazionale viene rappresentata con un vettore il cui modulo egrave dato dalla legge di Newton e che ha la direzione della congiungente i centri di massa delle due masse La forza di attrazione lsquosentitarsquo dalla massa mG 2 dovuta a mG 1 ha il verso che punta su mG 1 e contemporaneamente la forza di attrazione misurata dalla massa mG 1 dovuta a mG 2 ha il verso che punta su mG 2m (le due forze sono lrsquoazione e la reazione della terza legge della dinamica Perchegrave nellrsquoesperienza comune non si osserva che una matita attiri unrsquoaltra matita su un tavolo La forza attrattiva gravitazionale esiste fra di loro ma egrave molto piccola (la costante G egrave molto piccola) ed egrave contrastata completamente dalle forze di attrito (che discuteremo fra breve) La Terra su cui viviamo ha invece una massa molto grande M = 597 x 1024 kg e quindi puograve esercitare una forza piugrave che apprezzabile su altre masse anche se piccole come quella della matita (la matita cade dal tavolo) Chiamiamo forza peso la forza di gravitagrave FG esercitata dalla Terra su ogni corpo ad essa vicino e che origina dallrsquointerazione gravitazionale per la quale tutti i corpi si attirano fra di loro La forza peso viene spesso indicata con P che agisce su un corpo di massa mG vale

P = -G 2T

GGTerra

R

mM equiv - g mG con g equiv G

2T

GTerra

R

M

Dove MG Terra egrave la massa della Terra ed RT egrave il raggio della Terra (RT = 6370km) Il valore di g risulta

g = 667 x 10-11 2

3

kgs

m223

24

)106379(

10975

mx

kgx = 98 ms2 e ha le dimensioni di unrsquo accelerazione

La forza di attrazione gravitazionale alla quale una massa mG egrave soggetta vicino alla superficie di un altro pianeta egrave diversa Infatti la massa e il raggio degli altri pianeti sono diversi da quelli della Terra e quindi g assume un altro valore Si puograve dire che il peso di un corpo cambia sui diversi pianeti o sulla Luna mentre la massa gravitazionale egrave la grandezza fisica fondamentale propria di ogni corpo

Ersquo molto importante ora applicare la seconda legge della dinamica o legge fondamentale della dinamica F = m a ad un corpo soggetto alla sola forza peso sulla superficie della Terra cioegrave quando F egrave la forza peso P ora definita F = m a P = m a -g mG = m a Abbiamo voluto lasciare indicato il pedice G percheacute in principio non crsquoegrave ragione percheacute la grandezza con le dimensioni di una massa che compare nella legge di gravitazione sia uguale alla massa implicitamente definita dalla relazione di proporzionalitagrave tra la F applicata e lrsquoaccelerazione subita da un corpo data dalla seconda legge della dinamica Si egrave tuttavia dimostrato sperimentalmente che la massa gravitazionale mG (introdotta nella legge di attrazione universale e la massa m che si dice massa inerziale ed egrave definita tramite la seconda legge della dinamica sono uguali hanno lo stesso valore Questo permette di semplificare le due masse nellrsquoequazione e di ottenere -g = a che significa che lrsquoaccelerazione di una corpo soggetto alla forza peso sulla superficie della terra vale a = ndashg equiv -98 ms2 NB lrsquoaccelerazione vale 98 ms2 per tutti i corpi di qualsiasi massa Infatti sui corpi con massa maggiore vengono esercitate forze maggiori in modo proporzionale alla loro massa (corpi con massa maggiore lsquopesano di piugraversquo) cosigrave da produrre sempre la stessa accelerazione Si egrave soliti assumere che g sia costante e che non dipenda dalla quota h alla quale ci si trovi al di sopra della superficie terrestre Questa egrave unrsquoapprossimazione molto buona nei limiti in cui hltlt RT Infatti g diminuisce con la quota per esempio se h = 8000m (circa sul monte Everest) lrsquoaccelerazione di gravitagrave g si riduce a

2

2

)6378000(

)6370000( x g = 099749 x g = 97754 m s2 (meno del 25 per mille)

Forze di superficie Forze di contatto Alla superficie di contatto tra due corpi si realizzano le forze che chiamiamo appunto di superficie e che si dividono in forze di contatto e forze di attrito Le forze di contatto

La forza normalerarr

NF egrave la forza che un corpo sperimenta quando egrave appoggiato su di una superficie

Si chiama normale percheacute egrave sempre diretta perpendicolarmente alla superficie Se la superficie egrave orizzontale Fig16

Fc

FN

Piano orizzontale Calcolare lrsquointensitagrave della forza normale applicata ad un oggetto di massa m fermo su un tavolo orizzontale Per il primo principio della dinamica (principio di inerzia) se un corpo e fermo la risultante delle forze ad esso applicate egrave nulla cioegrave

rarrP +

rarr

NF = 0

In questo caso la forza normale rarr

NF egrave un vettore che ha lo stesso modulo e la stessa direzione del

vettore forza pesorarrP ma ha verso opposto Quindi il modulo di

rarr

NF vale |rarr

NF | = mg

Piano inclinato

Nel caso di un piano inclinato dovrograve tenere conto che rarr

NF puograve compensare solo la parte di rarrP

diretta normalmente al piano (infatti se non crsquoegrave attrito il corpo scivola lungo il piano inclinato) Se ϑ egrave lrsquoangolo che il piano inclinato forma con lrsquoorizzontale il piano inclinato fornisce al corpo una

forza normale che in modulo vale | rarr

NF | = m g cosϑ

Fig 17 4 ndash Salto con molleggio Un uomo con massa m = 70kg salta da unrsquoaltezza L = 2m Arrivando al suolo molleggia sulle ginocchia per un tratto l = 02 m Si calcoli la forza di reazione che il suolo esercita sui piedi durante il molleggio Si consideri il molleggio come una frenata che avviene con accelerazione (negativa) costante Fig 18

F

FN

Cadendo da unrsquoaltezza L allrsquoistante in cui il piede tocca il suolo la velocitagrave Vs egrave data dalla risoluzione del sistema di equazioni cinematiche per il moto uniformemente accelerato con t0 il tempo di caduta Vs = gt0 L = frac12 gt0

2 Vs = (2gL) frac12 La forza di reazione che esercita il suolo sul piede durante il molleggio egrave quella che imprime lrsquoaccelerazione (negativa) a di frenata (piugrave il peso del corpo mg)Il corpo si ferma in un tratto l Questa frenata si tratta con le equazioni del moto uniformemente accelerato 0 = Vs ndash at l = Vs t ndash frac12 at2 (essendo t il tempo di frenata) dalla prima equazione t = Vs a che introdotto nella seconda equazione permette di calcolare a a = frac12 Vs

2l e con Vs = (2gL) frac12 si ottiene a = g (Ll) e quindi la forza di reazione Fr = mg + ma egrave data da Fr = mg (Ll + 1) = 70 x 98 x (202 + 1) N = 7546Newton Si noti che al peso si aggiunge una forza che egrave il peso moltiplicato per un fattore (ldquofattore di cadutardquo) dato dal rapporto tra lrsquoampiezza del salto e il tratto di molleggio Questa forza si trasmette dal piede allrsquoarticolazione delle ginocchia e cosigrave via Tensione

Quando una corda egrave attaccata ad un corpo e viene tirata si dice che la corda egrave sotto tensione

La tensione rarrT cui egrave sottoposta la corde in ogni sua parte egrave una forza pari alla forza che si applica

sia al corpo sia alla mano che lo tira ai due estremi della corda ed egrave sempre diretta lungo la corda Fig 19 Anche con una carrucola cioegrave con la corda che si curva intorno ad una rotella la tensione ha intensitagrave T lungo la corda Una corda egrave utile in questo caso per cambiare la direzione e il verso di applicazione di una forza la mano tira verso il basso ma la massa egrave sottoposta ad una forza verso lrsquoalto

Fig20 I tendini del corpo umano sono corde e vengono utilizzati anche per variare la direzione di applicazione delle forze esercitate dai muscoli Forza di attrito

Lrsquoattrito fa parte dellrsquoesperienza quotidiana nel bene e nel male Da una parte fa consumare piugrave benzina (20 per motore e trasmissione) ma anche la suola delle scarpe il battistrada delle gomme e i gomiti del maglione dallrsquoaltra consente il movimento i nodi tengono i chiodi fissano etc Un libro che scivola su un tavolo orizzontale si fermerebbe se non mantenessi una forza costante che contrasta lrsquoattrito su una superficie ruvida il movimento genera lui stesso una forza che decelera il moto Per mantenere in moto rettilineo uniforme un corpo che scivola sopra un piano bisogna applicare al corpo una forza che serva a neutralizzare questa forza ldquospontaneardquo(detta di attrito) in modo che la risultante delle forze applicate sia nulla Anche lrsquoinizio del moto egrave contrastato dalla forza di attrito (statico) che assume un valore uguale e contrario a quello della forza che applico fino a raggiungere un valore massimo (valore limite) Il corpo non si muove resiste al moto Oltre quel valore limite cioegrave se applico una forza sufficientemente intensa il corpo inizia a muoversi Situazione

Fig 21 Un blocco appoggiato sul piano orizzontale egrave fermo rarrP

verso il basso e rarr

NF verso lrsquoalto sono uguali in modulo

Se applico una forza rarrF per spostare il corpo verso destra insorge una forza di attrito statico

P

FN

il cui modulo vale |rarr

sattF _ | = smicro |

rarr

NF | ( smicro egrave il coefficiente di attrito statico il suo valore dipende

dalla natura dei materiali a contatto) esercitata orizzontalmente dal piano che uguaglia in

intensitagraverarrF ma di verso opposto in modo che il corpo non si muove Se aumento

rarrF aumenta

anche rarr

sattF _

Fig22 Diagramma delle forze applicate al blocco

Raggiunto un certo valore di rarrF il corpo ha uno ldquostrappordquo e comincia a muoversi nella direzione

di rarrF verso destra ostacolato dalla una forza di attrito dinamico

rarr

dattF _ generalmente inferiore al

valore max di rarr

sattF _ (egrave piugrave facile mantenere un corpo in moto che muoverlo da fermo)

(Il passaggio da un regime allrsquoaltro egrave allrsquoorigine degli stridii da attrito ndash quello ad esempio del gesso sulla lavagna - o anche del suono del violino) - Proprietagrave dellrsquoattrito riassunte

1 ndash Corpo fermo la forza di attrito statica rarr

sattF _e la componente di

rarrF parallela alla superficie

hanno uguale intensitagrave e si annullano 2 ndash limite di scivolamento la massima forza di attrito per due materiali posti a contatto egrave proporzionale alla forza normale tramite un coefficiente di attrito statico smicro

| rarr

sattF _(max)| = smicro |

rarr

NF |

smicro egrave un coefficiente adimensionale che assume valori diversi per diverse coppie di materiali

3 ndash il corpo inizia a muoversi il valore della forza di attrito decresce rapidamente fino a

|rarr

kattF _ | = kmicro |rarr

NF | proporzionale alla forza normale tramite un coefficiente di attrito dinamico kmicro

adimensionale e dipendente dalla coppia di materiali in considerazione

P

FN

F Fatt

Attenzione |rarr

sattF _| e

rarr

kattF _ | sono proporzionali non a |

rarrP | ma a |

rarr

NF | quindi nel caso di un

piano inclinato bisogna considerare la componente di rarrP perpendicolare al piano

rarr

NF equilibra

solo la parte di rarrP perpendicolare al piano

Attenzione le equazioni per |rarr

sattF _| e |

rarr

kattF _| non sono vettoriali le forze di attrito non sono

dirette come la forza normale rarr

NF ma parallele al piano

Durante una corsa allo scatto si usano i blocchi di partenza per sfruttare la reazione del blocco alla forza muscolare di spinta Data lrsquoinclinazione dei blocchi la forza di reazione del blocco sul atleta si massimizza nella direzione del moto

rArr si fa uso della ldquoazione-reazionerdquo Fig 23 Durante la corsa si sfrutta il coefficiente di attrito statico per mantenere un piede fermo a terra mentre lrsquoaltro avanza Per non superare il limite di scivolamento allrsquoindietro del piede di appoggio la forza che si esercita sul terreno deve avere una componente normale al terreno di intensitagrave opportunamente elevata In ogni caso se smicro egrave basso si ha lrsquoeffetto del camminare sul ghiaccio

Lrsquouso di scarpette chiodate non aumenta il valore di smicro che egrave il coefficiente drsquoattrito tra due

superfici ldquoliscerdquo piuttosto hanno una funzione simile a quella di mini blocchi di partenza permettono di esercitare una forza sul tartan lungo la direzione del moto cioegrave parallelamente alla pista Resistenza del mezzo Consideriamo un corpo che si muove in aria Esso incontra una resistenza da parte dellrsquoaria che agisce in modo da opporsi al movimento del corpo cioegrave ha la stessa direzione e verso opposto a quella del moto

rarrD forza di resistenza del mezzo o forza aerodinamica (detta anche forza viscosa) si

|rarrD | =

2

1 cρAv2 (limite di alte velocitagrave eo alte viscositagrave)

D egrave proporzionale al quadrato della velocitagrave (termine v2 ) Inoltre D egrave proporzionale ad A lrsquoarea efficace della sezione trasversa (lrsquoarea presentata dal corpo nella direzione del moto vedi la posizione a uovo dei discesisti di sci o dei ciclisti) ρ egrave la densitagrave del mezzo Ersquo intuitivo che la resistenza D dipenda dalla densitagrave del mezzo infatti il corpo per procedere deve ldquofarsi stradardquo spostando le molecole del mezzo Quindi piugrave il mezzo egrave rarefatto piugrave egrave facile ldquofarsi stradardquo e inferiore egrave la resistenza D Con c si indica il coefficiente di penetrazione (il cosiddetto cx che dipende dalla forma geometrica del corpo) La forma (oltre che

lrsquoarea efficace A) influenza la resistenza opposta dal mezzo percheacute una ottimizzazione della forma (affusolata migliorare il Cx) porta a ridurre la formazione di turbolenze nellrsquoaria intorno al corpo Casco dei ciclisti o discesisti con forma a punta posteriore

non riduce la sezione trasversa A ma piuttosto migliora il Cx

Fig 24 Nel nuoto lo sbattere i piedi serve soprattutto per mantenere il corpo orizzontale e quindi a ridurre la sezione A Il lavoro viene fatto per lo piugrave dalle braccia (75) In acqua anche se la velocitagrave v egrave bassa D egrave significativa percheacute la viscositagrave del mezzo egrave grande Per ridurre le turbolenze negli sport di velocitagrave diventa essenziale utilizzare accorgimenti quali nascondere dadi e cavi nelle biciclette togliere cerchietti delle racchette da sci Tagliare i capelli o rasarsi le gambe sono sempre modi di ridurre anche le piccole turbolenze Velocitagrave limite di caduta di un grave in aria

La forza rarrD di frenamento durante la caduta libera li un corpo in aria ha verso opposto a quello

della forza pesorarrP che accelera il corpo verso il basso Se

rarrP egrave costante il corpo accelera con

accelerazione rarrg ie aumenta la velocitagrave verso il basso ma aumentando v dunque v2 aumenta

D Ciograve prosegue fincheacute D diventa di intensitagrave uguale P con verso opposto rarrD = -

rarrP A questo

punto la risultante delle forze agenti sul corpo in caduta egrave nulla (sumrarrF =

rarrD + (-

rarrP ) e dalla

seconda legge (fondamentale) della dinamica si ha che lrsquoaccelerazione rarra del corpo egrave nulla

rArr Il corpo non accelera piugrave e mantiene velocitagrave costante massima La velocitagrave raggiunta detta velocitagrave limite vlim egrave tale da verificare lrsquouguaglianza

D = 2

1cρAv lim

2 = mg = P quindi rArr vlim = (2mg cρA) frac12

La vlim raggiunta dai paracadutisti puograve essere variata modificando A tramite dei cambiamenti dellrsquoassetto in volo Questo permette ai paracadutisti di raggiungersi per fare figure in aria Lrsquoapertura del paracadute fa aumentare di molto A rendendo la velocitagrave limite molto piugrave bassa Anche le gocce di pioggia raggiungono la velocitagrave limite (v asymp 7msec in 6m) nella loro caduta Ad esempio cadendo da 1200m le gocce di pioggia raggiungono la terra con la velocitagrave limite di circa 7msec e non con la velocitagrave di 150msec che avrebbero se non ci fosse lrsquoazione di frenamento D (dei veri proiettili)

Senza D rarr vfin = 150ms

Con D rarr vfin = vlim = 7ms Fig 25 Forza elastica La forza elastica egrave una forza non costante

L lunghezza di riposo della molla Fig 26 Una massa m egrave vincolata ad una parete con una molla Se tiro la massa la molla si estende diciamo di un tratto x La molla esercita una forza di richiamo proporzionale allrsquoallungamento x (piugrave si allunga maggiore egrave la forza F di richiamo) F = -kx ldquorichiamordquo cioegrave di verso opposto allrsquoallungamento Ecco la ragione del segno (-) Se raggiunta una certa estensione la molla viene rilasciata essa si ricomprimeragrave ritorneragrave alla lunghezza di riposo L poi si schiacceragrave di un tratto x dalla parte opposta e nuovamente agiragrave la forza di richiamo (che egrave variabile in quanto varia con il variare di x) La massa oscilla attorno alla posizione di riposo k egrave la costante elastica della molla Lrsquoespressione della forza elastica vale per i respingenti del treno (k grande) come per la molla della biro (k piccola) come per lrsquoelastico del saltatore dal ponte Impulso di una forza La legge fondamentale della dinamica F = ma puograve essere scritta esprimendo lrsquoaccelerazione con la sua relazione definitoria (vf - vi)t

F = mt

vv if minus e quindi portando il tempo t al primo membro

)( if vvmtF minussdot=sdot oppure vmtF ∆sdot=sdot

Si dice ldquoimpulso ldquo di una forza il prodotto della forza per il tempo durante il quale viene applicata tF sdot (se la forza non egrave costante lrsquoimpulso egrave lrsquointegrale della forza nel tempo in cui viene applicata)

Scritta in questo modo lrsquoequazione fondamentale della dinamica puograve essere letta cosigrave 1) Supponiamo che un corpo vari la sua velocitagrave di una quantitagrave ∆v = vf - vi tanto piugrave lungo egrave il tempo t durante il quale questa variazione avviene tanto minore egrave la forza che deve essere sviluppata per ottenere tale variazione della velocitagrave In questi termini si capisce ad esempio lrsquoutilitagrave delle cinture di sicurezza che allungando i tempi durante i quali in caso drsquoincidente la velocitagrave del passeggero (che non egrave solidale con la vettura) passa da un valore vi iniziale a zero determina una riduzione della la forza cui il passeggero stesso egrave sottoposto durante il breve tempo dellrsquoimpatto (la forza che le ossa e le articolazioni possono sopportare egrave limitata) Si vede anche come funziona lrsquoelastico del jumper finchegrave lrsquoelastico non egrave completamente svolto (ltL) la forza che agisce sul jumper egrave P (la forza peso) poi progressivamente la forza elastica di richiamo contrasta P quindi il jumper decelera progressivamente per un lungo intervallo di tempo e lo lsquostrapporsquo (F applicata) necessario per contrastare P e fermare il jumper applicato sulle sue gambe e a cascata su tutte le sue articolazioni (secondo il terzo principio) egrave di entitagrave minore 2)Lrsquoimpulso totale prodotto tF sdot nella direzione ottimale egrave la grandezza fisica che stabilisce lrsquoefficacia di un gesto di spinta o di lancio non la massima forza espressa o la durata dellrsquoazione di spinta Lavoro di una forza ndash lavoro meccanico

- 1deg caso Forza costante rarrF

Immaginiamo una forza rarrF che agisce su un corpo durante il suo spostamento Immaginiamo cosi

che il punto di applicazione di questa forza si sposti nello spazio di un tratto rarrs Viene detto

lavoro della forza rarrF la quantitagrave

L = rarrF middot

rarrs = F middot smiddot cosϑ (prodotto scalare di

rarrF per

rarrs )

(prodotto scalare tra i due vettori) Fig 27 Il lavoro egrave una quantitagrave scalare cioegrave egrave descritta completamente da un numero da un valore Tale

valore puograve essere positivo o negativo a seconda che la componente di rarrF lungo

rarrs sia equiversa o

di verso opposto a rarrs Se

rarrF e

rarrs hanno la stessa direzione e se lo spostamento avviene nel

senso di rarrF diciamo che il lavoro egrave positivo (e viceversa negativo) Lrsquointensitagrave del lavoro puograve

variare tra un valore massimo e uno minimo per gli stessi valori del modulo di rarrs e di

rarrF a

rarrs

seconda del valore di cosϑ Il lavoro egrave massimo per cosϑ = 1 (cioegrave per ϑ = 0) (rarrF diretto come

rarrs ) Il lavoro egrave minimo ( L = 0) per cosϑ = 0 cioegrave per ϑ = 90deg (

rarrF perpendicolare a

rarrs )

Puograve darsi il caso che piugrave forze agiscono sullo stesso punto Allora si puograve calcolare il lavoro totale egrave la somma dei lavori di tutte le forze applicate

Ltot = sum Li = sum (rarr

sdotiFrarrs )

Dimensioni di L [ L ]= [ F ][ s ] = mmiddot l middot t-2 middot l = ml2 t-2 Unitagrave di misura di L 1 joule = 1N middot 1m ( 1J ) Lavoro della forza peso durante la caduta di un grave Un grave cade vicino alla superficie della terra sotto lrsquoazione della forza di gravitagrave cioegrave sottoposto ala forza peso P diretta verso il basso percorrendo un dislivello h Il lavoro compiuto dalla forza peso si calcola come

LP = rarrP middot

rarrs = Pmiddot smiddot cosϑ

notando che lo spostamento s (verso il basso) e la forza P sono paralleli con verso concorde pertanto ϑ = 0 e cosϑ = 1 e che | P| = mmiddot g si ottiene LP = mmiddot gmiddot h per uno spostamento s = h (dislivello) Lavoro meccanico nel sollevamento pesi Durante questo gesto sul bilanciere oggetto dellrsquoapplicazione delle forze si esercitano la forza peso P e la forza muscolare dellrsquoatleta Naturalmente entrambe le forze lavorano ma i due lavori si oppongono uno allrsquoaltro (ricorda che il lavoro puograve essere positivo o negativo) Il lavoro positivo deve essere nel verso del moto quindi egrave quello della forza muscolare dellrsquoatleta il lavoro di P invece egrave negativo e se il bilanciere si alza di una quota h si calcola facilmente seguendo il procedimento del paragrafo precedente ottenendo LP = - mmiddotgmiddoth (ϑ = π e cosϑ = -1 ) Calcoliamo il lavoro della forza musculare seguendo lrsquoesempio qui proposto Esempio Un atleta solleva un bilanciere di peso 2500N allrsquoaltezza di 2m (sopra la sua testa) Quanto lavoro meccanico compie la sua forza muscolare Supponiamo che il sollevamento avvenga a velocitagrave costante con accelerazione nulla allora il per il

primo principio della dinamica le forze applicate al bilanciere devono essere tali chesumrarr

iF = 0

Quindi la forza peso P = mmiddot g deve essere controbilanciata dalla forza applicata dallrsquoatleta Fm

Quindi rarr

mF = - rarrP

con Fm = 2500N Il lavoro La fatto dallrsquoatleta vale

Lm = rarr

mF middot rarrs = 2500 N middot 2m middot 1 = 5000 J (sollevamento verticale quindi ϑ = 0 e cosϑ = 1)

Quanto lavoro fa la forza peso

Lp = rarrP middot

rarrs = 2500 middot 2 middot (-1) = -5000 J

(percheacute ϑ = π e cosϑ = -1) Quanto lavoro fa lrsquoatleta mentre sostiene il peso fermo sopra la testa L = 0 percheacute non crsquoegrave spostamento Qui si parla di lavoro meccanico non di lavoro fisiologico diciamo che si fa fatica percheacute crsquoegrave da mantenere integrordquo un corpo non rigido che egrave il corpo dellrsquoatleta quindi si il lavoro delle contrazioni muscolari per mantenere lrsquoequilibrio e ldquolrsquointegritagraverdquo egrave la misura del lavoro fisiologico necessario anche se il lavoro meccanico compiuto egrave nullo 2deg caso Forza variabile Nel caso in cui F egrave una forza variabile che dipende dalla posizione ogni volta che avviene uno spostamento∆ x la forza cambia Il lavoro totale saragrave la somma dei lavori elementari fatti sui tratti piccoli sui quali la forza puograve essere assunta costante

Ltot = iii xxF ∆sdotsum )(

( Se si fa il limite per ∆ xi piccolo rarr 0 e la isum egrave lrsquointegrale Ltot = int sdotxtin

xinxdxF )( )

Ad esempio la forza F puograve essere la forza di richiamo di una molla vincolata al muro Lrsquointensitagrave della forza elastica varia durante lo spostamento aumentando con lrsquoallungamento (o la compressione) della molla ed ha la direzione parallela allo spostamento ma puograve avere verso concorde o discorde quindi con cosϑ che vale o +1 o ndash1 Immaginiamo di avere un blocco attaccato alla molla e di tirarlo da Xin a Xfin allora

F(x) = - kx Fig 28

Il lavoro della forza elastica si calcola sommando i lavori infinitesimali compiuti per spostamenti infinitesimi durante i quali la forza si assume costante Ciograve egrave rappresentato graficamente nel calcolo lrsquoarea compresa al di sotto della curva del grafico di F (Fig 28A) In figura si egrave cambiato il segno della funzione forza per comoditagrave di rappresentazione

Fig 28A

Area = differenza aree dei due triangoli = AABB kxxkxx sdotminussdot2

1

2

1

Ricordandoci del segno

L infin = 22

2

1

2

1infin kxkx +minus e in generale L = 2

2

1kx

Se si calcola il lavoro della forza di richiamo durante un allungamento della molla si ha lavoro negativo mentre durante il ritorno alla posizione di equilibrio il lavoro egrave positivo (segno dello spostamento x e della forza concordi) Energia cinetica Il termine ldquoenergiardquo indica la capacitagrave di compiere lavoro Lrsquoenergia cinetica egrave la proprietagrave che rende conto quantitativamente del legame fra il lavoro compiuto ed il moto generato Avevamo detto piugrave o meno lo stesso parlando della seconda legge della dinamica riferendoci alle forze Qui col lavoro non egrave necessaria la descrizione dettagliata delle forze che agiscono sul punto in considerazione Ersquo sufficiente conoscere il loro lavoro totale

Lrsquoenergia cinetica K = 2

1mv2 (gt 0 percheacute m gt 0 v2 gt 0 ) (m e v sono la massa e la velocitagrave del

corpo) Lrsquounitagrave di misura e le dimensioni di K sono le stesse del lavoro Joule ( J ) e [ ]K = [ ]22 minustml

Teorema dellrsquoenergia cinetica Se una forza F compie un lavoro L su un punto materiale di massa m si ha una variazione dellrsquoenergia cinetica pari al lavoro compiuto

Xfin Xin

F

0

ksdotxfin

ksdotxin

F= ksdotx

x

LAB= -area

L = Kfin ndash Kin = ∆ K Nel caso che piugrave forze agiscono sul punto materiale il teorema dellrsquoenergia cinetica si applica al lavoro totale (equivalentemente al lavoro della risultante ) E il caso dellrsquoatleta che solleva il peso di 2500N Sappiamo che ha compiuto un lavoro di 5000J ma il bilanciare con i pesi era fermo allrsquoinizio ed egrave fermo alla fine Quindi Kin = 0 e Kfin = 0 percheacute vin = 0 e vfin = 0 Allora il teorema dellrsquoenergia cinetica Vale per il lavoro totale o lavoro della forza totale e noi abbiamo visto che la forza netta totale = 0 ( Fa + P = 0 ) ed il lavoro totale egrave nullo quindi giustamente si ha ∆ K = 0 1)Caso di una palla da tennis che cade

la forza peso rarrP compie un lavoro positivo con spostamento concorde a

rarrP si dovrebbe avere

∆ K gt 0 infatti la velocitagrave v aumenta 2)Caso di una palla lanciata verso lrsquoalto

lo spostamento ha verso opposto a rarrP Il lavoro della forza peso egrave negativo e quindi ∆ K egrave

negativo giusto La velocitagrave diminuisce NB Durante il volo agisce solo la forza di gravitagrave quindi il lavoro totale comiuto sul corpo egrave solo quello della gravitagrave 3)Caso del moto circolare uniforme la forza che agisce egrave la forza centripeta che egrave perpendicolare allo spostamento Quindi non compie lavoro deve essere ∆ K = 0 Iinfatti il moto egrave uniforme cioegrave la velocitagrave egrave in modulo costante Potenza Si chiama potenza il lavoro che si egrave in grado di svolgere nellrsquounitagrave di tempo

P = t

L

∆ ( potenza media )

P = t

Lt ∆

∆rarr∆ 0lim ( potenza istantanea)

Non egrave solo una stima del lavoro compiuto ma anche della rapiditagrave con cui si compie lavoro

Fig 29 Per superare il muro ci vuole un certo lavoro che consiste nellrsquoinnalzare il proprio corpo di unrsquoaltezza h Sia lrsquoatleta che lo supera in un sol balzo sia il vecchietto che sale pian piano la scalinata faranno lo stesso lavoro Quel che egrave diverso egrave la potenza dei due personaggi Dimensioni e unitagrave di misura della potenza [ ]P = [L] [t -1] = [ml2t-3] 1 watt = 1 joule 1sec (1w)

Energia Potenziale K egrave energia connessa allo stato di moto di un sistema Crsquoegrave anche energia connessa alla posizione di un corpo in un campo di forze (configurazione) Si chiama energia potenziale Nel caso dellrsquoatleta di sollevamento pesi il lavoro compiuto dallrsquoatleta Lm non ha alterato lrsquoenergia cinetica K dellrsquoattrezzo ma ha modificato la configurazione del sistema (terra-attrezzo) variandone lrsquoenergia potenziale (W) Il lavoro non egrave stato sprecato ma ldquoimmagazzinatordquo lrsquoattrezzo prima egrave a terra poi egrave in alto nel sistema che ora ldquopotenzialmenterdquo puograve compiere un lavoro cedendo la sua ldquoenergia potenzialerdquo Energia cinetica ed energia potenziale sono due parti dellrsquoenergia meccanica possono trasformarsi lrsquouna nellrsquoaltra ed in lavoro Nellrsquoesempio precedente quando lrsquoattrezzo egrave in alto si ha che K = 0 e W = WA Quando cade K aumenta percheacute la velocitagrave v aumenta e lrsquoenergia potenziale W diminuisce In basso W = WB lt WA e K egrave massima Lrsquoattrezzo cadendo puograve compiere lavoro Se fosse un martello potrebbe far avanzare un chiodo ad esempio Lrsquoenergia potenziale viene definita proprio a partire dal concetto di lavoro di forze conservative Ersquo conservativa una forza il cui lavoro per spostare il suo punto di applicazione da una posizione (configurazione) ad unrsquoaltra dipende solo dalle due posizioni (configurazioni) iniziale e finale Equivalentemente si puograve definire la forza conservativa dicendo che il lavoro di tale forza egrave nullo se le posizioni (configurazioni) iniziali e finali coincidono

-Lavoro per passaggio dalla posizione A a B egrave lo stesso lungo I o II -Se da A vado a B e torno in A il lavoro totale egrave nullo

Fig 30 Posso allora definire una funzione della posizione W che assume i valori WA e WB in A e B e tale per cui LAB = WA ndash WB ( W energia potenziale) WA WB sono definiti a meno di una costante tanto quello che interessa egrave la differenza fra loro Variazione di energia potenziale del passaggio da A a B WB ndash WA = ∆W allora LAB = -∆ W Con questa convenzione sui segni si rende conto del fatto che un lavoro positivo ( fatto dalle forze conservative sul corpo) fa diminuire lrsquoenergia potenziale W ( L positivorarr ∆W negativo rarr WBlt WA rarr ho usato energia potenziale) un lavoro negativo (subito) aumenta W (L negativo rarr ∆W positivo rarr WBgt WA rarr ho guadagnato energia potenziale) W si misura in Joule come il lavoro e lrsquoenergia cinetica

Qual egrave la Forma di W

Mentre la forma dellrsquoenergia cinetica egrave sempre K =2

1mv2 indipendentemente dal tipo di forze

che provocano il movimento W dipende dal tipo di forza conservativa di cui si sta calcolando il lavoro Consideriamo due forze conservative

a) Forza gravitazionale forza peso

F(y) = -mg Stato di riferimento y0 = 0 in cui W0 = 0

Fig31

Abbiamo detto che LAB = WA- WB ma siccome

LAB = )( ABhmgsP minussdotminus=sdot dove hAB= yA-yB egrave la distanza tra A e B allora rArr WA = mgyA WB = mgyB e in generale W(y) =mgy

Per la forza peso W(y) =mgy e lrsquoenergia totale meccanica (W+K) = mgy+2

1mv2=Etot

b) Forza elastica

Fig 32

F(x) = -kx Stato di riferimento x = 0 allungamento nullo la lunghezza della molla egrave la sua lunghezza di riposo L ( W(0) = 0)

Immaginiamo che la configurazione della molla venga modificata passando dalla posizione xA alla posizione xB (Fig 32) Il lavoro della forza elastica egrave calcolato come

LAB = 22

2

1

2

1AB kxkx +minus

Ricordando che LAB = WA- WB possiamo ricavare lrsquoespressione per lrsquoenergia potenziale elastica

rArr WA = 2

2

1Akx WB = 2

2

1Bkx e in generale W(x) = 2

2

1kx

Energia totale meccanica ndash Conservazione dellrsquoenergia

In presenza di sole forze conservative la somma dellrsquoenergia cinetica e dellrsquoenergia potenziale costituisce lrsquoenergia totale meccanica Tale energia meccanica gode della proprietagrave importantissima di conservarsi durante lrsquoevoluzione del sistema Lrsquoenergia connessa al movimento e alla posizione si scambiano una diminuisce e lrsquoaltra cresce ad esempio ma la loro somma rimane costante

- Esempio delle montagne russe Se non ci sono attriti (infatti il trucco egrave quello di rendere il

sistema privo di attriti) so giagrave quale altezza massima potrograve raggiungere (quella iniziale e non di piugrave) quale velocitagrave massima potrograve raggiungere (in fondo alla valle) Queste quantitagrave sono fra loro legate dal teorema della conservazione dellrsquo energia meccanica

Fig 33 - Esempio del salto con lrsquoasta Lrsquoenergia cinetica dellrsquoatleta acquisita nella rincorsa viene

trasformata in energia potenziale gravitazionale parte direttamente e parte attraverso lrsquoenergia potenziale elastica dellrsquoasta acquisita nella sua deformazione durante il salto La flessibilitagrave dellrsquoasta (costante elastica dellrsquoasta) egrave legata allrsquoenergia che si puograve immagazzinare in una data deformazione Infatti con aste rigide (alluminio acciaio bambugrave) il salto era piugrave basso Con fibra di vetro il record egrave stato polverizzato

Fig 34

Fig 35

Fig 36

Osserviamo che il teorema dellrsquoenergia cinetica ha validitagrave generale qualunque siano le forze che agiscono conservative o non conservative (le forze non conservative si dicono anche ldquodissipativerdquo)

KLL

KL

fncfc

tot

∆=+∆=

e ricordando che darr Lfc = - )( fcW∆

Si ottiene che K∆ + )( fcW∆ = Lfnc

Si vede che nel caso in cui Lfnc sia nullo cioegrave quando non ci sono forze dissipative la somma delle variazioni di energia cinetica e energia potenziale egrave uguale a zero cioegrave lrsquoenergia totale meccanica (somma dellrsquoenergia cinetica e potenziale) egrave costante E questo corrisponde al teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica Nel caso ci siano forze dissipative la somma delle energie non egrave costante quindi al contrario del teorema dellrsquoenergia cinetica il teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica non ha validitagrave generale (vale solo in assenza di attriti ad esempio) Le forze non conservative di attrito compiono lavori solo negativi e fanno perdere quantitagrave di energia non recuperabile Parte di questa energia va in generale in calore quindi se ne puograve tenere conto considerando unrsquoaltra forma di energia lrsquoenergia termica ( ci sono anche altri fenomeni dissipativi ad esempio le deformazioni permanenti negli urti o la propagazione di onde sonore)

Lrsquo energia puograve dunque conservarsi o trasferirsi proprietagrave caratterizzanti dellrsquoenergia Il lavoro rende conto del trasferimento di energia della perdita di energia sotto una forma e del guadagno sotto unrsquoaltra forma (cioegrave energia conservativa) o del passaggio dellrsquoenergia da un sistema ad un altro Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica quando egrave applicabile puograve essere sfruttato per risolvere facilmente problemi altrimenti complicati Esercizio Una palla da tennis viene lanciata con velocitagrave iniziale v0 (senza effetti strani taglio etc) al di lagrave della rete Con quale velocitagrave arriva a terra

Se durante il moto Etot si conserva K+W = cost

Fig 37 e W = mgh egrave solo energia potenziale gravitazionale h = 0 alla fine come allrsquoinizio dunque K in = Kfin e vfin = v0 Se la palla egrave lanciata verso lrsquoalto non crsquoegrave componente orizzontale della velocitagrave ma solo verticale al punto piugrave alto di arresto h K(h) = 0 W(h) = max = Kin cioegrave mgh = frac12 mv0

2 si puograve cosigrave calcolare facilmente lrsquoaltezza massima raggiunta h = (frac12 v0

2)g e vicenversa si puograve calcolare il valore della velocitagrave v0 che bisogna imprimere alla palla affinchegrave raggiunga lrsquoaltezza h

v0 = gh2

Esercizio Una saltatrice di massa M = 61Kg salta da un ponte di altezza H = 45m agganciata ad una corda elastica La lunghezza di riposo della corda elastica egrave L = 25m e la sua costante elastica egrave k = 160 Nm Nel punto piugrave basso si arresta prima di venire rimbalzata in alto Qualrsquo egrave lquesta quota piugrave bassa h (a cui si trovano i suoi piedi ai quali egrave legato lrsquoelastico)

Fig 38 Etot = Wgrav + Wel + K = cost sono solo forze conservative vale la conservazione

dellrsquoenergia Nel punto A K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di lanciarsi Wel = 0 percheacute lrsquoelastico non egrave ancora svolto Wgrav = MgH Nel punto B K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di rimbalzare

Wel = frac12 kd2 Wgrav = Mgh = Mg(H-(L+d)) Etot(A) = Etot (B) MgH + 0 + 0 = Mg (H-(L+d)) + frac12 kd2 + 0 MgH = MgH ndash MgL ndash Mgd +frac12 kd2

2

1(160)d2 ndash (61)(98)d ndash (61)(98)(25) = 0

equazione di IIdeg grado che dagrave per d il valore accettabile d = 179m (lrsquoaltro egrave negativo e non egrave accettabile perchegrave non ha senso fisico la

saltatrice va in giugrave non in su) Allora h = H-(L+d) = 45 ndash (25+179) = 45 ndash 429 = 21m quindi con la testa poco sopra lrsquoacqua Sistemi di punti materiali e corpi rigidi ndash Centro di Massa

Un giocoliere o un ginnasta che lancia la clavette fa compiere allrsquoattrezzo movimenti complicati tuttavia crsquoegrave un punto dellrsquoattrezzo che si muove seguendo una traiettoria semplice come quella di un punto materiale ad esempio lanciato segue una traiettoria parabolica Tale punto si chiama centro di massa dellrsquooggetto Il centro di massa puograve essere definito per un oggetto o per un insieme di punti materiali Ersquo importante percheacute in generale il moto di un corpo esteso (o di un insieme di punti) si puograve studiare separando il moto del centro di massa (moto traslatorio) e il moto del corpo attorno al centro di massa (moto rotatorio)

Centro di Massa (CDM) di un sistema di punti - Consideriamo il caso semplice di due punti materiali di massa m1 m2 posti sullrsquoasse x in

posizione x1 x2

Fig 39

la posizione del centro di massa egrave definita xCDM = 21

2211

mm

xmxm

++

a) xCDM egrave compreso fra x1 e x2 b) se m1 = m2 CDM egrave a metagrave strada fra m1 ed m2 c) xCDM egrave piugrave prossimo alla massa maggiore - Nel caso di piugrave punti allineati nelle posizioni xi detto M = summi allora

xCDM = ii xmMsum

1

- Nel caso di punti distribuiti nello spazio detti irrarr

i vettori che identificano le loro posizioni

CDMrrarr

= iii rmM

rarrsum

1

dove CDMrrarr

ha coordinate (xCDM yCDM zCDM) definite come

xCDM = ii xmsumη1

yCDM = ii ymMsum

1

zCDM = ii zmMsum

1

- Consideriamo un oggetto qualsiasi questo egrave composto da un gran numero di particelle ma conviene considerarlo come un continuo di materia e per calcolare il centro di massa si prendono in considerazione degli elementi infinitesimi di massa dm centrati intorno alle posizioni (xyz) allora

xCDM = int xdmM

1 yCDM = int ydm

M

1 zCDM = int zdm

M

1

se si puograve considerare il corpo omogeneo (densitagrave uniforme) allora V

M

dv

dm = e allora si puograve fare il

calcolo considerando il volume V e gli elementi di volume dv anzichegrave la massa e gli elementi di massa

xCDM = int xdvV

1 etc

In un oggetto solido (corpo rigido) i diversi punti materiali che lo compongono non cambiano la loro posizione relativa (non come un corpo elastico) - se un oggetto ha un elemento di simmetria un asse od un piano il CDM si trova su tale

elemento di simmetria (asse per cono centro per sfera piano per una banana etc) Non egrave detto che il CDM di un oggetto appartenga allrsquooggetto vedi uno pneumatico un cerchio Il CDM egrave esterno alloggetto Legge fondamentale della dinamica per un sistema di punti materiali Caso della palla da bigliardo urto fra due palle dopo il lancio di una le due si muovono 1) una egrave ferma (B) lrsquoaltra la lancio (A) 2) le due si urtano in qualunque modo 3) le due si muovono secondo traiettorie differenti una possibilmente andragrave in buca lrsquoaltra no Dopo il lancio sulla palla A non agisce piugrave nessuna forza quindi la sua velocitagrave v egrave costante Va bene ma dopo lrsquourto Il CDM delle due palle continua a muoversi con velocitagrave costante anche se il centro di massa egrave un punto teorico che non appartiene a nessuna delle due palle Tuttavia al CDM possiamo assegnare una massa (M totale del sistema) una velocitagrave ed una accellerazione Si ha

)(CDMext aMFrarrrarr

=sum

a) extFrarr

sum egrave la somma di tutte le forze esterne che agiscono sul sistema non quelle interne (ad esempio nel caso del bigliardo non devo considerare le forze che si applicano fra le due palle quando si urtano)

b) M egrave la massa totale del sistema Si suppone che durante il moto M rimanga costante

c) )(CDMararr

egrave lrsquoaccelerazione del CDM Dellrsquoaccellerazione di un altro punto ad esempio del centro della palla A non si dice nulla

Cosideriamo alcuni esempi 1) Bigliardo tvaF CDMCDMext cos00 ===sum prima dellrsquourto nellrsquourto si verificano solo forze

interne Quindi tvaF CDMCDMext cos00 ===sum dopo lrsquourto e durante tutto il moto

2) Sistema terra-luna sumFext = gravitazione del sole aCDM egrave ldquocentripetardquo accellerazione di una

forza che egrave diretta verso il sole (forza ldquocentralerdquo) egrave il CDM terra-luna che segue la traiettoria dovuta allrsquoattrazione gravitazionale del sole poi terra e luna si muovono intorno al loro CDM

3) Clavette lanciate sum Fext = Mg aCDM = g il centro di massa si comporta come un punto materiale nel lancio

4) La ballerina nel ldquogrand-fetegraverdquo fa seguire a testa e busto una traiettoria rettilinea percheacute modifica lrsquoassetto in modo da alzare il suo CDM Nel corso del salto (alza le braccia e distende

orizzontalmente le gambe non appena lasciato il suolo) il suo CDM segue la traiettoria parabolica del lancio di un corpo soggetto allrsquoaccelerazione di gravitagrave g

Quantitagrave di moto rarrP

- Si definisce quantitagrave di moto di una particella il vettore

rarrrarr= vmP

con m massa della particella e rarrv la sua velocitagrave

Si vede che rarrP egrave diretto come

rarrv

Newton scrisse la legge fondamentale della dinamica in termini di quantitagrave di moto (a differenza di Galileo che la scrisse in termini di massa e di accelerazione) ldquola rapiditagrave di variazione della quantitagrave di moto di una particella egrave proporzionale alla forza netta che agisce sulla particella ed egrave nella direzione di quella forzardquo cioegrave

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

che egrave piugrave generale della formulazione di Galileo perchegrave descrive bene anche il caso in cui variasse la massa del corpo durante il moto (ad esempio un vettore spaziale) Se la massa egrave costante le due formulazioni sono identiche

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

= t

vm

∆∆

rarr)(

= m t

v

∆∆

rarr

= m rarra

Ricordiamo che rarrF egrave diretto come

rarra (o la risultante

rarrR = sum

rarrF )

Per un sistema di punti materiali si definisce la quantitagrave di moto totale

rarrP =

rarrP 1 +

rarrP 2 + helliphellip+

rarrP n =

m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +helliphelliphellip+ mn

rarrv n = M

rarrv CDM (si puograve dimostrare) dove M egrave la massa totale

[essendo infatti Mrarrv CDM =

dt

d(M

rarrr CDM) =

dt

d(m1

rarrr 1 + m2

rarrr 2 +hellip) = m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +

hellip]

quindi rarrP = M

rarrv CDM per un sistema di particelle e

dt

Pdrarr

= M dt

d rarrv CDM = M

rarra CDM = sum

rarrF ext

Conservazione delle quantitagrave di moto

Per un sistema chiuso (M non varia) e isolato (sumrarrF ext = 0)

Allora

t

P

∆∆

rarr

= 0 rarrP = cost

rarrP i =

rarrP f

che sono tre modi equivalenti per dire che la quantitagrave di moto si conserva Vale per un sistema nel quale non agisca nessuna forza esterna netta Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica e la conservazione delle quantitagrave di moto sono due concetti fisici importantissimi Valgono sia per le palle da bigliardo che per qualunque altro sistema anche le galassie nellrsquouniverso Queste equazioni sono vettoriali Ciograve significa che rappresentano una terna di equazioni scalari ognuna valida sul proprio asse del sistema di riferimento (x y z)

Puograve accadere a seconda delle forze che agiscono nel sistema che la quantitagrave di moto si conservi in una direzione o in due e non in tutte e tre

Ad esempio se consideriamo una palla come un insieme di punti materiali la rarrF ext che agisce nel

sistema egrave mrarrg diretta lungo z senza componenti su x e y quindi

rarrP varia lungo z ma

non su x e y

Percheacute ldquocomplicarci la vitardquo con questa storia del CDM del sistema di particelle etchellip non bastava il moto del punto rappresentativo materiale Avevamo giagrave considerato il punto rappresentativo e avevamo svolto anche problemi sulla palla sul bilanciere e per altri oggetti Abbiamo sempre sbagliato La questione egrave se un corpo egrave rigido cioegrave se tutti i suoi punti si muovono mantenendo le loro distanze relative non crsquoegrave problema abbiamo solo visto che il punto materiale rappresentativo si chiama CDM ed abbiamo imparato a situarlo allrsquointerno del corpo Ma se il corpo non egrave rigido cioegrave se il suo CDM si sposta rispetto a lui stesso nel corso del moto la disposizione del corpo intorno al punto rappresentativo varia nel corso del tempo e le leggi di conservazione valgono per il CDM - Consideriamo ad esempio il teorema dellrsquoenergia cinetica che per un punto materiale si scrive Ltot = Kfin-K in = ∆ K (qui ovviamente non crsquoegrave da specificare lavoro delle forzeldquoesternerdquo percheacute essendo in un punto materiale che si assume infinitamente piccolo non ci sono forze ldquointernerdquo) Per analogia il teorema dellrsquoenergia cinetica si estende al caso di un insieme di punti materiali nel seguente modo

Ltot forze ext=rarrF extmiddot

rarrs CDM = ∆ KCDM

Dove s CDM egrave lo spostamento del centro di massa A titolo di esempio risolviamo il problema un giocatore di hockey su ghiaccio di massa M = 110Kg si muove verso la balaustra a bordo campo alla velocitagrave di 3msec Nellrsquoarrestarsi flettendo le braccia il suo CDM si sposta in avanti di 30cm Qual egrave la ∆ K del suo CDM durante la manovra

∆ KCDM = infin CDMCDM mvmv 22

2

1

2

1 minus =

= 0 - 2

1110 32 = -495 J

Fig 40

Sia L il lavoro delle forze esternerarrF ext (dirette come d

rarrx CDM ) allora

L = - Fext 03 = ∆ KCDM quindi

Fext =30

495

minusminus

= + 1650N

( si considera la forza esterna rarrF ext costante nellrsquointervallo dellrsquoarresto fatto che equivale a dire

che il giocatore si arresta con rarra CDM costante)

Dinamica e statica del corpo esteso Finora abbiamo sempre discusso del moto di un punto materiale (punto rappresentativo dicevamo sempre) In particolare abbiamo sempre applicato le forze a quel punto materiale quindi se diverse forze erano applicate esse concorrevano in quel punto ligrave e con le forze concorrenti sapevamo come calcolare la risultante con il metodo grafico o con quello numerico delle coordinate cartesiane Una volta calcolata la risultante applicata al punto si otteneva un moto di pura traslazione del punto (al massimo traslava lungo una traiettoria curva) senza rotazioni proprie del punto che non hanno neanche senso un punto che ruota su se stesso Come faccio ad accorgermi Un punto per definizione egrave infinitamente piccolo (Dicevamo infine che il punto egrave in equilibrio

traslazionale se la risultante rarrR delle forze applicate egrave nullo)

Consideriamo invece un corpo esteso Prima osservazione questo ha piugrave punti (direi infin ) a

cui la forza puograve essere applicata Prendiamo una racchetta da tennis ed una forza rarrF applicata il

moto che ne risulta dipende dal punto al quale viene applicata la forza rarrF

qui la racchetta trasla

Fig 41

stessa forza qui la racchetta ruota

Fig 42

Seconda osservazione Crsquoegrave un caso in cui le forze non possono essere fatte concorrere in un punto ed egrave quando sono parallele ed hanno rette di applicazione distinte Chiaramente non abbiamo mai dovuto considerare questo caso per il punto materiale percheacute per un punto non possono mai passare due rette parallele Ma per il corpo esteso So benissimo che se sono ferma con la macchina in

panne e la sto spingendo applicando una forza rarrF 1 sono contenta se qualcuno si affianca a me ed

esercitando una forza rarrF 2 lungo una direzione parallela a quella della mia mi aiuta a spingere In

particolare mi viene spontaneo dire che se F1 = F2 allora spingeremo con una forza doppia Ci saragrave quindi un modo per sommare due forze non concorrenti in un punto ma parallele e saragrave Ftot = F1+ F2 La retta di applicazione di Ftot divide il segmento congiungente i punti di applicazione di F1 ed F2 in due segmenti inversamente proporzionali allrsquointensitagrave delle forze F1 e F2 Terza osservazione se F1 = - F2 sono uguali in intensitagrave ma di verso opposto sempre lungo due rette di applicazione parallele passanti per un corpo esteso cosa succede La loro somma Ftot risultante saragrave 0 ma io so che il corpo non sta fermo sotto lrsquoazione di tali due forze ma ruoteragrave Concludo che le nozioni che ho acquisito finora vanno riviste ed ampliate o corrette o specificate per i corpi estesi ed inoltre che mi mancano totalmente i mezzi per descrivere le rotazioni dei corpi estesi Occorrono nuovi concetti nuove quantitagrave la forza non basta Prendo lrsquoesempio piugrave semplice dellrsquoaltalena con due bambini in due bracci uno piugrave leggero uno piugrave pesante

Fig 43 Qualitativamente so che percheacute lrsquoaltalena stia in equilibrio e non ruoti intorno al punto fisso non egrave necessario che i due bambini abbiano lo stesso peso (ugual massa) occorre che il bambino piugrave leggero sieda piugrave lontano rispetto al punto fisso (fulcro) La regola quantitativa dice che lrsquoaltalena egrave in equilibrio se il prodotto del peso per la distanza del fulcro egrave uguale PB dB = Pb

db Per generalizzare questa regola ai casi piugrave complessi occorre definire una nuova quantitagrave il momento di una forza Momento di una forza

Consideriamo una forza rarrF applicata ad un punto P ed un punto O Sia

rarrr

il vettore rarrOP allora il momento

rarrM di

rarrF rispetto ad O egrave

rarrM =

rarrr x

rarrF

e

|rarrr | middot |

rarrF | sin ϑ = |

rarrM |

Fig 44

oppure anche considerando la componente di rarrF perpendicolare ad

rarrr o di

rarrr

perpendicolare a rarrF r e rispetto a F

|rarrM | = |

rarrr | |

rarrF perp | |

rarrM | = |

rarrr perp| |

rarrF |

In generale si dice che il modulo del momento |rarrM | egrave il prodotto delle intensitagrave della forza per la

distanza dal punto della retta di applicazione della forza

Come vettore rarrM egrave perpendicolare al piano che contiene

rarrF ed

rarrr ed ha verso calcolato con la

regola della mano destra (con rarrr che si chiude su

rarrF )

La distanza rperp si chiama braccio della forza Si vede che il momento egrave nullo quando il braccio egrave nullo cioegrave quando il punto O si trova sulla retta di applicazione di F Il momento della forza peso P egrave nullo rispetto al baricentro che coincide con il centro di massa nel caso (praticamenteldquosemprerdquo) in cui il corpo non sia abbastanza esteso percheacute diversi punti del corpo risentano di una forza gravitazione differente Praticamente si deve parlare di galassie percheacute CDM e baricentro (BC) non coincidono Quindi la condizione del momento nullo della forza peso diventa un modo per definire il CDM come quel punto rispetto al quale la forza peso P ha momento nullo Per un corpo ldquoarticolatordquo estendiamo il concetto di forza normale come forza di contatto nellrsquoarticolazione utile cioegrave la forza che lrsquoarticolazione che si sta considerando esercita su quello che nellrsquoarticolazione si appoggia La forza peso P di un corpo esteso puograve immaginarsi applicata al CDM Principio di equilibrio di un corpo esteso

se su un corpo esteso agiscono solo rarr

Peso e rarr

Normale cioegrave se un corpo egrave appoggiato ad un piano orizzontale allora il corpo egrave in equilibrio se e solo se il baricentro si trova sopra la superficie di appoggio

Fig 45

Finchegrave il baricentro egrave sopra il tavolo il libro non cade percheacute rarrP applicata a CDM puograve essere

controbilanciata da rarrN Se CDM si sposta in fuori

rarrN rimane nel tavolo e crsquoegrave momento non nullo

non equilibrato da rarrP che continua ad essere applicato nel CDM

Il baricentro di una persona in posizione eretta si trova nellrsquoarea delimitata dei suoi piedi 3cm davanti allrsquoarticolazione della caviglia

Fig 46 Quando la persona si piega in avanti il baricentro esce dal corpo e per mantenere lrsquoequilibrio egrave necessario che le anche si spingono indietro percheacute il baricentro cade di nuovo in quella posizione Notiamo che anche in posizione eretta essendo la forza peso e la forza di contatto non allineate (quei 3cm) (forza di contatto sullrsquoarticolazione della caviglia che regge il peso) occorre un momento correttivo che impedisca la rotazione in avanti mantenuto dal tendine di Achille che si lega alla caviglia Altro esempio di spostamento del baricentro egrave lrsquoatleta che assume una posizione ad L chi regge il peso egrave lrsquoarticolazione della spalla quindi il CDM si sposta sotto la spalla (giagrave era uscita dal corpo per via delle gambe distese in avanti) Nel camminare il baricentro continua a muoversi da sopra un piede a sopra un altro (quello appoggiato ovviamente) Si osservi lrsquoondeggiamento Per assurdo lrsquoancheggiare delle indossatrici serve a mantenere il baricentro il piugrave possibile fermo rispetto alla direzione media del moto (porre un piede esattamente davanti allrsquoaltro) rendendo piugrave facile muoversi anche con tacchi altissimi Al contrario lrsquoequilibrista che cammina sui trampoli sta fermo il meno possibile percheacute egrave stando fermo che il piccolo spostamento che fa uscire il baricentro (ALTO) dalla superficie drsquoappoggio puograve verificarsi facilmente preferisce il ldquonon ndash equilibriordquo o lrsquo rdquoequilibrio dinamicordquo dellrsquoondeggiare continuamente fra due posizioni di equilibrio

Ricordiamo che un equilibrio egrave detto stabile se quando una perturbazione lo altera spontaneamente il sistema lo ripristina Viceversa un equilibrio egrave instabile se la piugrave piccola perturbazione lo distrugge Lrsquoequilibrio egrave molto stabile se il baricentro egrave basso ed il corpo ha una grande area drsquoappoggio la posizione accucciata del giocatore di football americano dagrave grande stabilitagrave Ancor piugrave grande stabilitagrave si ha se il baricentro (CDM) si trova al di sotto della superficie drsquoappoggio Ersquo come se si fosse ldquoappesirdquo anzicheacute ldquoappoggiatirdquo alla superficie drsquoappoggio Proprio per questo motivo lrsquoequilibrista sul filo porta una lunga asta che spesso si flette agli estremi

Fig 47 Gli uccelli bipedi da 100000000 di anni hanno sviluppato questo adattamento per cui sono appesi alle anche mentre gli uomini bipedi da solo 1000000 di anni fanno fatica con il CDM dalla parte alta del corpo Ersquo un equilibrio instabile ldquosoprardquo le anche che le reggono (65 del peso del corpo) Modificazioni strutturali per reggere la posizione eretta 1) Colonna vertebrale rastremata (piugrave tozza in basso che in alto percheacute piugrave in basso vuol dire una

maggior forza di contatto) 2) Muscoli estensori della schiena 3) Gambe ed anche ingrossate 4) Ginocchio che blocca la gamba estesa Ciononostante si ha spesso il mal di schiena Se una forza ha momento non nullo rispetto ad un punto allora il corpo puograve ruotare intorno a quel punto sotto lrsquoazione di quella forza ldquoDiciamo che se sostengo il corpo per quel punto il corpo puograve ruotare intorno a quel puntordquo (Prendo in mano un foglio di carta per un estremo per esempio) La presenza di un momento non nullo egrave dunque la condizione che genera rotazione e viceversa Lrsquoassenza di un momento risultante egrave la condizione che genera lrsquoequilibrio rotazionale di un corpo esteso Quindi la condizione di equilibrio per un corpo esteso egrave

1) rarrR = 0 risultante delle forze applicate = 0 (equilibrio traslazionale)

2) rarrM = 0 momento risultante = 0 (equilibrio rotazionale)

Supponiamo di avere un corpo esteso al quale siano applicate delle forze che diano luogo ad un momento non nullo allora il corpo ruota Per equilibrarlo dovrograve applicare un altro momento tale che la loro somma sia nulla Questo egrave il principio di funzionamento delle leve LEVE

Una leva egrave un corpo esteso al quale sono applicate delle forze con un momento risultante rarrR

allora per portare il corpo in equilibrio applico un momento correttivo rarrP in modo che il momento

totale sia nullo Si dice in genere potenza (P) e resistenza (R) di una leva Le leve sono macchine semplici Servono per applicare forze in punti scomodi o in direzioni particolari Il fulcro egrave il punto nel quale la leva egrave incernierata Si definisce il guadagno meccanico di una leva

GM =

)(

)(rarr

rarr

PF

RF

cioegrave il rapporto fra la forza che genera il momento resistente e quella che genera il momento agente A seconda che GM sia gt

lt 0 una leva si dice che egrave vantaggiosa o svantaggiosa ma solo per quel che riguarda le forze percheacute per quel che riguarda i lavori non si ha neacute vantaggio neacute svantaggio Il lavoro esercitato dalla forza che dagrave la ldquopotenzardquo e quello esercitato dalla forza che dagrave la ldquoresistenzardquo sono sempre uguali Infatti forze e spostamenti sono inversamente proporzionali Le leve si dicono di I II o III specie a seconda se il fulcro si trovi I) in mezzo fra R e P (leva indifferente GM dipende da caso a caso) II) dalla parte di R (leva vantaggiosa il braccio di R egrave sempre minore del braccio di P basta

quindi una P minore per equilibrare una R maggiore) III) dalla parte di P (leva svantaggiosa) Classici esempi dei tre tipi di leve sono i remi (I) lo schiaccianoci (II) e la pinzetta per francobolli (III) Tuttavia vediamo degli esempi meno classici ma attinenti al campo della biologia e della medicina Criterio generale egrave che le leve vantaggiose consentono di essere molto potenti ma con brevi spostamenti mentre viceversa quelle svantaggiose fanno perdere in potenza ma consentono grandi spostamenti saragrave difficile vedere un cavallo che con le lunghe zampe si scava la tana drsquoaltronde una talpa scava bene la tana ma ha movimenti molto meno ampi che non le consentono di correre veloce come un cavallo (compromesso fra forza e velocitagrave del movimento) Se contiamo tutti i movimenti di rotazione che il corpo puograve compiere capiamo che siamo pieni di leve di ogni tipo Sono classici a) il capo fulcro (articolazione occipito-atlantoide) Fig 48 muscoli della nuca (Potenza) peso del capo (Resistenza) b)

muscolo bicipide (Potenza)

Fig 49 Peso dellrsquoavambraccio (Resistenza) Fulcro (articolazione del gomito) Questa leva permette grandi spostamenti Si vede che la forza operata dal muscolo bicipite egrave massima quando lrsquoavambraccio egrave orizzontale (la distanza dal fulcro egrave massima) ed egrave minima quando lrsquoavambraccio egrave verticale( con la distanza dal fulcro nulla) Attenzione - la colonna vertebrale egrave costituita da 24 vertebre separate da dischi di liquido Quando una

persona si piega la schiena egrave una leva con GM molto piccolo Quindi un piegamento completo per raccogliere un oggetto anche leggero produce una forza molto intensa sul disco lombosacrale che separa lrsquoultima vertebra dellrsquoosso sacro Se indebolito questo disco puograve rompersi o deformarsi comprimendo i nervi vicini e causando grande dolore Vediamo un modello che rende conto come mai questa forza egrave cosigrave grande

Fig 50

I muscoli della schiena esercitano T Con un angolo α = 12deg quando la schiena egrave piegata a 90deg

Peso della parte superiore del corpo (circa il 65 del peso totale)

Fulcro lombosacrale (il fulcro produce R) Essendo α piccolo la retta di azione Τ passa vicino al fulcro e dunque la distanza r che costituisce il suo braccio egrave molto piccola Al contrario il peso egrave perpendicolare alla colonna e il suo punto di applicazione egrave molto piugrave distante dal fulcro Τ deve essere molto grande per equilibrare il momento di P Dunque se T egrave grande anche la sua componente orizzontale egrave grande e di conseguenza anche R che costituisce la reazione dellrsquoosso sacro deve avere componente orizzontale molto grande per equilibrare Τ (uguale ed opposta alla componente orizzontale di Τ ) Facendo i conti si ottengono numeri grandi per 75Kg di peso T ed R sono equivalenti al peso di una massa di 220Kg Senza sollevare pesi solo piegandosi Conviene piegare le ginocchia quando si sollevano pesi - Nel corpo egrave difficile che il peso cada sulla verticale dellrsquoarticolazione che lo sostiene egrave sempre

un porsquo spostato e crsquoegrave un tendine con un muscolo che compensa il momento del peso - La contrazione muscolare egrave una successione di brevi contrazioni delle fibre muscolari stimolate

da impulsi che provengono dal sistema nervoso Contrazioni sono molto ravvicinate e avvengono in tempi differenti nelle diverse parti del muscolo cosigrave che il risultato apparente egrave una lenta e progressiva contrazione Se la frequenza degli impulsi aumenta la tensione cresce finchegrave si raggiunge la tensione massima (ricordare la tensione di un cavo) Un ulteriore aumento della frequenza degli impulsi a questo punto non causa ulteriore aumento della tensione

La tensione massima egrave proporzionale allrsquoarea della sezione trasversa del muscolo nel suo punto piugrave largo La tensione massima dipende anche dalla lunghezza del muscolo che varia Si ottiene tensione massima quando il muscolo egrave solo di poco allungato rispetto alla sua lunghezza di riposo di riposo ed egrave circa 30-40 Ncm2 La tensione massima si riduce moltissimo se il muscolo egrave molto allungato o accorciato Dinamica Rotatoria Fino ad ora abbiamo studiato moti traslatori ma il moto di un corpo rigido egrave in generale roto-traslatorio Naturalmente dobbiamo ridurre il problema complesso ad uno piugrave semplice e per fare ciograve immaginiamo di posizionarci su un sistema di riferimento solidale al corpo rigido i moto immaginiamo cioegrave di ldquosedercirdquo sul corpo rigido In questo modo non saremo piugrave sensibili al moto traslatorio e guardando il corpo rigido osserveremo solo le sue rotazioni Trattiamo allora il moto generico scomponendo la parte traslatoria (giagrave discussa ) da quella rotatoria Se si trascura la parte traslatoria del moto di un corpo rigido quello che rimane da trattare egrave la sua rotazione Nel nostro corso consideriamo le rotazioni che avvengono su un piano le rotazioni nello spazio potranno essere trattate come composizione di rotazioni su un piano Per le rotazioni su un piano si identifica un asse di rotazione perpendicolare al piano di rotazione e passante per il centro di rotazione Le articolazioni del gomito e del ginocchio sono articolazioni libere di ruotare intorno ad un asse a differenza ad esempio di quella della spalla che puograve ruotare intorno a due assi Si definisce spostamento angolare la variazione di una posizione che egrave definita in modo completo da una misura di angolo Una rotazione di un intero corpo rigido egrave definita in modo completo da uno spostamento angolare θfin - θin= ∆θ e si misura in radianti

Fig 51 Dobbiamo definire anche un verso di rotazione θ si incrementa per rotazioni antiorarie positive le rotazioni in senso orario sono invece negative La velocitagrave angolare si definisce analogamente alla velocitagrave lineare come il rapporto tra lo spostamento angolare e il tempo t impiegato per eseguire tale rotazione

ωm = t∆

∆θ e si misura in rad s

θin

θfin ∆θ

R

S

Anche per w si definisce ωist = lim ∆trarr0 t∆

∆θ

Ancora lrsquoaccelerazione angolare si definisce αm = t∆

∆ω e αist = lim ∆trarr0

t∆∆ω

Anche la legge fondamentale della dinamica ha un analogo nel ambito dei moti rotatori Si stabilisce che se ad un corpo rigido egrave soggetto ad un momento torcente diverso da zero esso subisce unrsquoaccelerazione angolare ad esso proporzionale Nel caso delle rotazioni la resistenza al moto egrave espressa dal momento di inerzia I associato al corpo rigido che gioca il ruolo della massa nei moti traslatori La legge della dinamica delle rotazioni egrave M = I middotα

E sostituendo M = Imiddott∆

∆ω= Imiddot

tinfin

∆minusωω

Il momento di inerzia I di un corpo rigido dipende dalla disposizione della massa del corpo rispetto allrsquoasse di rotazione per una massa puntiforme m a distanza R dallrsquoasse di rotazione I= m R2 per un oggetto esteso sommerograve il momento drsquoinerzia delle sue parti I = Σi mi Ri

2 Se si definisce momento angolare L il prodotto del momento drsquoinerzia per la velocitagrave angolare

L=Iω la legge della dinamica diventa

M = t

LL infin

∆minus

Il momento angolare egrave la grandezza fisica che si conserva se non viene applicato momento torcente Tutti i gesti di volo salti lanci tuffihellip sono azioni nelle quali si conserva il momento angolare Infatti in volo agisce solo la forza di gravitagrave che essendo applicata al CDM non genera momento torcente Il corpo umano nei gesti di volo Il corpo umano non egrave rigido e pertanto in volo agendo con i muscoli possiamo cambiare la disposizione del nostro corpo intorno al centro di massa che in volo coincide col centro di rotazione In questo modo si ottiene una variazione del momento di inerzia I e di conseguenza la velocitagrave angolare deve compensare questa variazione in modo che si mantenga costante il momento angolare L (grandezza che si conserva in assenza di momento torcente) Ersquo questo il principio che spiega il realizzarsi delle trottole sul ghiaccio dei salti mortali tuffi con avvitamento e cosigrave via in posizione raccolta I diminuisce e ω aumenta Moto circolare e moto circolare uniforme Per utilizzare le relazioni della cinematica e della dinamica lineare che abbiamo studiato egrave interessante poter passare dalle variabili angolari alle variabili lineari velocitagrave e accelerazione delle

masse in moto rotatorio Se una massa si muove su una traiettoria curva la velocitagrave tangenziale vt diretta come la tangente alla traiettoria dipende dalla velocitagrave angolare ω ( ωm=ϑ t )e dal raggio di curvatura della traiettoria Se la traiettoria egrave una circonferenza di raggio R e se gli angoli sono espressi in radianti lrsquoarco percorso per uno spostamento angolare ϑ egrave S = ϑ sdotR e la velocitagrave lineare tangente vt = St= ϑ sdotRt risulta vt = ωsdotR Se la velocitagrave angolare ω egrave costante il moto egrave detto circolare uniforme La legge oraria egrave quella dei moti uniformi spostamenti angolari uguali in tempi uguali ϑ(t) = ω t Anche la velocitagrave tangente saragrave di intensitagrave costante se ω egrave costante (archi uguali per tempi uguali s(t) = vt (t) ) ma crsquoegrave una accelerazione normale infatti la velocitagrave anche se non cambia in modulo cambia continuamente di direzione Questa accelerazione si dice centripeta egrave diretta normalmente rispetto alla traiettoria verso il centro della circonferenza e vale in modulo

ac=R

v2

Fig 52 Essendo la velocitagrave tangente vt = ωR Lrsquo accelerazione centripeta si puograve scrivere

ac =R

v2

= ω2 R

Il tempo impiegato dal punto a muoversi sulla circonferenza egrave una costante (moto uniforme) T periodo in T viene percorso uno spazio 2π R

v = T

Rπ2

La frequenza f egrave invece il ndeg di giri al secondo

f =T

1

Se si prendono punti diversi sul raggio della circonferenza questi hanno la stessa velocitagrave angolare e velocitagrave tangenziali crescenti al crescere del raggio Esempio carosello dei pattinatori Esercizi

1- un velocista con una velocitagrave di 10 ms viaggia su una curva di raggio 25m ndash accelerazione

a = R

v2

= 25

100 = 4 ms2

2 ndash un velocista con v = 92 ms su una pista circolare con ac = 38 m s2 ndash Raggio della pista Tempo per percorrere un giro completo

a = R

v2

rArr R = a

v2

= 83

)29( 2

= 2227m

T =v

Rπ2 =

29

27222 lowastπ = 152 sec

Forza centripeta forza centrifuga Una forza centripeta egrave una forza di qualunque natura che trattiene un corpo in moto su una traiettoria curvilinea ad esempio circolare In assenza di tale forza il corpo proseguirebbe il suo moto lungo una traiettoria rettilinea Nel gesto del lancio del martello ad esempio il lanciatore che esercita sul peso in cima allrsquoattrezzo una forza mediata dalla tensione dal cavo che lo trattiene nella traiettoria circolare Quando il lanciatore lascia la maniglia il martello viene lanciato lungo la direzione della tangente alla traiettoria nellrsquoistante di rilascio Lrsquointensitagrave della forza centripeta necessaria a mantenere una massa m in moto con velocitagrave tangente v lungo una traiettoria circolare di raggio r si puograve calcolare a partire dallrsquoaccellerazione centripeta secondo la legge fondamentale della dinamica

|rarr

cF | = m | rarr

ca | = m r

v2

Tale forza egrave diretta come lrsquoaccelerazione centripeta e cioegrave verso il centro della circonferenza che costituisce la traiettoria La forza centripeta egrave dunque una forza reale Con lsquoforza centrifugarsquo invece non ci si riferisce ad un forza che agisce su un corpo ma alla situazione apparente cui sembra sottoposto un corpo in moto curvilineo Esso pare tirato o attirato lontano dal centro di rotazione pare ci sia una lsquoforzarsquo che vuole farlo sfuggire Quando viene lasciato il martello si allontana dal centro di rotazione percheacute si muove di moto rettilineo uniforme non essendo piugrave soggetto a forze altre che la forza peso Lrsquoacqua esce dal cestello della lavatrice quando il cestello ruota velocemente (funzione centrifuga) percheacute lrsquoacqua che non costituisce un corpo solo con il cestello bucato non egrave soggetta alla forza centripeta e puograve passare attraverso i buchi I panni invece pure non parte del cestello sono troppo grandi per passare dai buchi si possono solo schiacciare contro le pareti questo schiacciamento sembra il risultato di una forza ma egrave invece il risultato dellrsquoassenza di una forza quella centripeta Una volta lagrave contro il cestello fanno tuttrsquouno con le pareti di metallo che esercitano su di essi la forza centripeta (cioegrave con direzione verso lrsquoasse di rotazione) che li mantiene in rotazione Le parti di un corpo rigido esteso che si muove di moto rotatorio rispetto ad un asse quale ad esempio la gamba di un giocatore di calcio che calcia un pallone sono soggette alla forza centripeta che le mantiene sulla traiettoria curva Tale forza viene trasmessa alle varie parti tramite le forze di tensione che si sviluppano allrsquointerno del corpo stesso ad esempio il piede egrave soggetto alla forza centrifuga tramite lrsquoazione dei legamenti e tendini a livello della caviglia che vengono messi in tensione per trattenere il piede stesso

Si definisce la grandezza fisica velocitagrave media come lo spostamento realizzato durante il moto diviso per il tempo impiegato a realizzare tale spostamento

if ttv

minus=

x-x if

Se si indica con s lo spostamento e con ∆t lrsquointervallo di tempo scrive v = t

s

∆

La velocitagrave istantanea saragrave definita come lim∆trarr0 t

s

∆

Si definisce accelerazione media la grandezza fisica

i

if

tt

vva

minusminus

= anche scritta t

va

∆∆=

che rappresenta la variazione della velocitagrave nellrsquounitagrave di tempo

La accelerazione istantanea saragrave definita come lim∆trarr0 t

v

∆∆

Nel seguito considereremo sempre lrsquoistante iniziale del moto ti uguale a zero ti = 0 cosigrave che il tempo impiegato per la realizzazione del moto che si studia saragrave semplicemente indicato con t invece che ∆t Moto rettilineo uniforme Consideriamo un moto che avviene lungo una traiettoria rettilinea a velocitagrave costante Lrsquoequazione che lega lo spazio percorso al tempo trascorso dallrsquoinizio del moto deriva direttamente dalla definizione di velocitagrave Legge oraria s(t) = vi t dove s(t) = x (t)-xi egrave lo spostamento Esercizi 1) ndash Se Carl Lewis mantenesse la sua velocitagrave sui 100 m ( supponiamo che percorra 100m in 10 sec) per una intera maratona (42 km) che tempo realizzerebbe (anzicheacute 2h 10min) v = 10 ms (36 kmh) t = sv = 42 103m10ms = 4200 s = 3600s + 600s = h e 10 min 2) ndash Ridotta la velocitagrave limite in autostrada da 140 a 130 Kmh quanto tempo si impiega in piugrave a percorrere i 560 Km da Milano a Roma t1 = sv1 = 560km(140kmh) = 4h t2 = sv2 = 560 km(130 kmh) = 4308 h = 4h 18 min ∆t = t2 ndash t1 = 18 min 3) Un automobilista starnutisce per 05 s guidando a 90 kmh Quanto spazio percorre mentre starnutisce v = 90kmh = 90000m3600s = 25ms s = vt = 25ms 05s = 125 m

E se stesse viaggiando su una Ferrari a 300kmh s = vsdott = 833ms 05 = 417m Moto rettilineo uniformemente accelerato Consideriamo un moto che avviene lungo una traiettoria rettilinea con accelerazione a costante rArr velocitagrave varia continuamente in modo uniforme e ricaviamo la legge oraria a = cost rArr v = v(t) non egrave piugrave costante ma varia in modo proporzionale allrsquoaccelerazione

v(t) ndashvi= a t equazione che non egrave altro che la definizione di accelerazione media ( t

vva if minus

= )

applicata al caso a = cost Lo spazio percorso egrave stabilito dalla seguente legge oraria del moto uniformemente accelerato

s(t) =2

1 asdot t2 + visdott

Cioegrave in ogni istante la posizione saragrave data dalla somma della posizione iniziale e di tutti gli incrementi dovuti alla velocitagrave che perograve non egrave costante perchegrave anchrsquoessa subisce a sua volta incrementi a causa dellrsquoaccelerazione Nota La dipendenza quadratica nel tempo si comprende risolvendo il seguente sistema

sdot=

minus=

minus=

tvs

vvv

t

vva

media

ifmedia

if

2 rArr s(t) =

2

1 asdot t2

che egrave composto da equazioni semplici dove si usa il trucco per cui lo spostamento si calcola come avvenuto ad una velocitagrave costante pari al valor medio tra la viniziale e la vfinale del moto reale

Esercizi 1 Prestazione di una vettura da 0 a 100hmh in 10 sec

Cosa significa Che la velocitagrave della vettura puograve essere aumentata da 0 a 100 Kmh in 10 secondi quindi egrave una indicazione sulle sue capacitagrave di accelerazione Quanto vale lrsquoaccelerazione media in quei 10 s

a =t

v∆=

t

vv if minus=

s

hkm

10

100 =

s

sm

10

3600100000= 277ms2

Come si confronta la ldquoprestazionerdquo della forza di gravitagrave con quella del motore della macchina Se la macchina accelerasse con a = +98 ms2 in quanto tempo raggiungerebbe i 100 kmh

a = t

v∆ t =

a

v∆ t=3

3

1063

10100

sdotsdot

89

1

sm

ms2

= 283s

In 10 secondi quanto spazio percorre nei due casi Devo utilizzare la legge oraria del moto uniformemente accelerato s(t) = frac12 a t2 +vi t con partenza da ferma cioegrave vi = 0 s(10 s) = frac12 at2 = frac12 sdot277 sdot 100 = 140m e s(10 s) = frac12 sdot98 sdot 100 = 490m 2 Un giocatore di pallacanestro salta verticalmente fino a 76 cm di quota Per quanto tempo si trattiene nella fascia di quota piugrave elevata e ampia 15 cm (da 61 cm a 76 cm) e quanto nella fascia a piugrave bassa quota dai 15 cm a terra

Fig1

Ogni moto di volo verticale (salita e caduta) vicino alla superficie della terra soddisfa le leggi del moto uniformemente accelerato con a = -98ms2 Il moto da studiare in questo esempio egrave il moto di volo dal decollo (istante iniziale) al raggiungimento della quota massima (istante finale trsquo ) alla quale la velocitagrave si annulla vf = 0 Essendo soggetto alla stessa a il moto di ri-discesa egrave assolutamente simmetrico a quello di salita Devo nuovamente applicare la legge oraria del moto uniformemente accelerato s(t) = frac12 a t2 +vi t che lega lo spostamento verticale al tempo Non conosco perograve con quale velocitagrave vi (velocitagrave iniziale) il giocatore egrave partito da terra (decollato) per sollevarsi di 76 cm = 076m Posso ricavarla risolvendo lrsquoequazione della legge oraria nellrsquoistante finale utilizzando il tempo di

volo di salita ricavato dallrsquoequazione a =t

vv if minus che egrave la definizione stessa di accelerazione media

e la metto a sistema con la legge oraria Si cerca il tempo trsquo che il giocatore impiega ad arrivare allrsquoaltezza massima di 76cm s = h=076 m con agravitagrave = -98 ms2

-98 ms2 =

0

t

viminus

trsquo = vig drsquoora in poi indicheremo con g lrsquointensitagrave dellrsquoaccelerazione di gravitagrave g = 98ms2 sostituendo h = vi trsquo ndash frac12 gtrsquo2

h = vi vi g ndash frac12 g (vig)2 h = frac12 vi2g vi = gh2 = 076) 98 (2 sdotsdot ms = 386ms

Partendo con velocitagrave iniziale vi il giocatore arriva allrsquoaltezza di 61cm = 061m al tempo t- e poi passando per lrsquoaltezza massima ripassa allrsquoaltezza di 061m al tempo t+ Il tempo richiesto ∆t di permanenza al di sopra di 061m egrave dato da

∆t = t+ - t- dove t+ e t- sono le radici dellrsquoequazione di secondo grado

061 = 386 t - frac12 98 t2 49t2 ndash 386t + 061 = 0 tplusmn = 89

946104863863 2 sdotsdot+plusmn

e quindi t+ = 89

711863 + = 0568s e t- =

89

711863 minus = 0219s

perciograve ∆t = 0568 ndash 0219 = 0349sec Si confronti questo tempo ∆t con il tempo t che il giocatore impiega a percorrere gli ultimi 15 cm prima di ritoccare il suolo dopo il salto

(spazio da h al suolo) = 076m = frac12 gt02 t0 =

89

2760 sdot = 0394 s e

(spazio da h a 15cm dal suolo) = 061m = frac12 gt2 t = 89

2610 sdot= 0353 s quindi

t = t0 ndash t = 0041s ltlt di ∆t Il cestista trascorre 35 centesimi di secondo nel tratto alto e solo 4 centesimi nel tratto basso (15cm) I cestisti sembrano rimanere ldquoappesirdquo al canestro Descrizione vettoriale del movimento In questo capitolo estendiamo lo studio del moto dei corpi al moto di corpi sempre puntiformi (trascuro le rotazioni) ma che si muovono in uno spazio a piugrave dimensioni In particolare saragrave sufficiente trattare il moto in due dimensioni Per descrivere i moti che avvengono su di un piano o nello spazio dobbiamo considerare la natura vettoriale delle grandezze fisiche spostamento velocitagrave ed accelerazione che abbiamo introdotto Tali grandezze sono caratterizzate da modulo (o intensitagrave) direzione e verso Quando si usano le relazioni e le leggi che coinvolgono le grandezze vettoriali bisogna calcolare somme e prodotti tra vettori Consideriamo il caso particolare di vettori in due dimensioni cioegrave in un piano Per rappresentare un vettore utilizzeremo le sue componenti in un piano cartesiano Supponiamo che Soldini debba comunicarci la sua posizione nellrsquooceano cioegrave deve descrivere il suo vettore posizione Egli puograve dare la sua longitudine e latitudine rispetto al meridiano ( Greenwich) e parallelo (equatore) di riferimento Fig 2

ϑ s

S

Xs longitudine di Soldini Ys latitudine di Soldini

Longitudine e latitudine dicono quali sono le componenti cartesiane del vettore orientato rarrR s

vettore posizione di Soldini Xs = Rs cos ϑ s Ys = Rs sin ϑ s dove ϑ s ( sin e cos sono funzioni che variano tra ndash1 e 1 cosigrave che il massimo valore di Xs o Ys egrave Rs giustamente)

e | rarrR s | = Rs = (X2

s +Y2s )

12 (Pitagora ) Operazioni con i vettori Somma con regola del parallelogramma spostare i vettori lungo la loro retta di applicazione finchegrave si trovano coda contro coda e costruire il parallelogramma Fig3 oppure con componenti cartesiane si sommmano le componenti cartesiane corrispondenti dopo aver disposto i vettori in un insieme di riferimento cartesiano e calcolato le componenti con cosϑ e sinϑ

Prodotto per uno scalare c middot rarra tra un vettore ed uno scalare egrave un vettore che ha la stessa

direzione e il modulo moltiplicato per lo scalare In particolare moltiplicando per ndash1 si trova il vettore opposto La somma di un vettore con lrsquoopposto di un altro equivale a fare la differenza fra i due vettori

Prodotto scalare rarra middot

rarrb tra due vettori dagrave luogo ad uno scalare si moltiplica lrsquointensitagrave

dellrsquouno per la proiezione dellrsquoaltro nella direzione del primo ( o viceversa)

rarra middot

rarrb = |

rarra | middot |

rarrb | cos ϑ =

rarrb middot

rarra

poicheacute cos ϑ egrave simmetrico rispetto a ϑ = 0 cos ϑ = cos-ϑ (proprietagrave commutative del prodotto scalare)

rarra middot

rarrb egrave

max quando cos ϑ = 1 rArr rarra e

rarrb equiversi e paralleli

=0 quando cosϑ = 0 rArrrarra e

rarrb sono perpendicolari ( non crsquoegrave componente di

rarrb lungo

rarra )

Si useragrave ad esempio per il lavoro meccanico L = rarrF middot

rarrs

Prodotto vettoriale rarra ^

rarrb tra due vettori dagrave luogo ad un vettore di intensitagrave

| rarra ^

rarrb | = |

rarra | middot |

rarrb | sin ϑ = - |

rarrb ^

rarra |

non commutativo sin ϑ egrave antisimmetrico rispetto a ϑ = 0 sin ϑ = - sin -ϑ

Il vettore rarra ^

rarrb egrave diretto perpendicolarmente al piano che contiene

rarra e

rarrb e col verso dato

dalla regola della mano destra se rarra ruota verso

rarrb lungo lrsquoangolo minore

Fig 4

Il vettore prodotto rarra ^

rarrb esce dal foglio Questo tipo di prodotto si incontreragrave ad esempio nel

calcolo del momento di una forza quando una forza genera rotazioni anzicheacute traslazioni rarrM = R

r ^

rarrF

Esercizio disporre due vettori di intensitagrave 3 e 4 (spostamenti di 3m e 4m) in modo che la somma sia 7m 1m 5m a) consecutivi nella stessa direzione stesso verso Fig 5 b) consecutivi nella stessa direzione versi opposti Fig 6 c) Perpendicolari Pitagora | 32 + 42 | = | 52 | Fig 7

Moto del proiettile Descriviamo il moto di un punto materiale (rappresentativo di un corpo) che viene lanciato e dunque segue una traiettoria in due dimensioni lungo una delle quali (quella verticale) sperimenta unrsquoaccelerazione diretta verso il basso agravitagrave = -98 ms2 (caduta libera) e nellrsquoaltra orizzontale no (accelerazione orizzontale = 0)

La velocitagrave iniziale vettoriale rarr

iv e la successiva velocitagrave rarrv (t) sono considerate

opportunamente in un sistema di riferimento cartesiano in cui un asse egrave diretto verticalmente e il verso positivo egrave verso lrsquoalto Sia ϑ lrsquoalzo cioegrave lrsquoangolo di emissione Fig 8 Lrsquoesperienza insegna che il proiettile (oggetto lanciato) cade Se lanciato verso lrsquoalto sale fino ad

unrsquoaltezza massima e poi scende In ogni istante t del moto la velocitagrave rarrv (t) saragrave diretta come la

tangente alla traiettoria

Le componenti di rarrv (t) lungo gli assi di riferimento vx(t) e vy(t) dipendono da tempo t ma sono

fra loro indipendenti Si puograve dunque separare il moto in due dimensioni in due moti unidimensionali Verifica dellrsquoindipendenza dei due moti egrave nel fatto che filmati stroboscopici di due palline una lasciata cadere lrsquoaltra lanciata orizzontalmente mostrano che dopo tempi uguali le due palline si trovano alla stassa quota Fig 9 Il moto orizzontale non influenza il moto verticale

V ix V iy=0

Esercizi 1 Problema della scimmia Quando la scimmia si accorge che il cacciatore le spara si lascia cadere Fig10 Dove deve mirare il cacciatore per prenderla Lrsquoaccelerazione egrave in generale un vettore Nel moto su un piano lrsquoaccelerazione egrave definita da due

componenti rarra equiv (ax ay )

- moto orizzontale ndash lungo lrsquoasse orizzontale il corpo in moto non sperimenta alcuna accelerazione

ax = 0 dunque la componente orizzontale della velocitagrave egrave costante

se rarr

iv aveva componente orizzontale non nulla vi x = vi sdotcos ϑ questa si mantiene e saragrave

x(t) = vi x t + xi

x(t) ndash xi = ( vi cos ϑ )t spostamento orizzontale sx = ( vi cos ϑ )sdott -moto verticale ndash accelerazione costante agravitagrave dunque moto uniformemente accelerato se crsquoera

una componente iniziale v0y della velocitagrave rarrv allora

y(t) = 2

1(-g)t2 + viy sdott + yi

y(t)-yi = (vi sin ϑ )t-2

1gt2 spostamento verticale sy=(vi sin ϑ )sdott-

2

1gt2

Traiettoria del proiettile Abbiamo visto le leggi orarie in x e y ma la traiettoria egrave in due dimensioni disegnamola in un riferimento cartesiano vedendo per ogni posizione in x quanto vale y cioegrave ricavando y = y(x) Mettiamo a sistema supponiamo di partire da xi = 0 e yi = 0 per semplicitagrave

x = ( vi cosϑ )t rArr t =ϑcosiv

x

y =( vi sinϑ )t - 2

1 gt2

y = sinϑ middot ϑcos

x -

2

1g

2

2

)cos(

)(

ϑiv

x = x tgϑ -

2)cos(2 ϑiv

g x2

(tgϑ egrave costante percheacute egrave lrsquoalzo iniziale 2)cos(2 ϑiv

g egrave costante percheacute g egrave costante vi pure

ϑ pure) Questa egrave lrsquoequazione di una parabola del tipo y = ax2 + bx La traiettoria egrave dunque una parabola Ha importanza sapere la gittata orizzontale cioegrave a quale distanza D il proiettile toccheragrave il suolo (che misura farograve nel lancio)

D = x-xi = (vi cosϑ )t rArr t = ϑcosiv

D

Suolo rarr 0 = y ndash yi = (vi sinϑ )t - 2

1 gt2

0 = vi sinϑ ϑcosiv

D -

2

1g

2

2

)cos( ϑiv

D

dividendo per D

0 = ϑϑ

cos

sin-

2

1g

2)cos( ϑiv

D rArr D =

ϑϑ

cos

sin

g

vi ϑ22 cos2 = sinϑ cosϑ

g

vi22

darr sin2ϑ (trigonometria 2 sinϑ cosϑ = sin2ϑ )

D = g

vi2

sin2ϑ

Questa equazione mi dice che misura farograve a partire dalla velocitagrave iniziale che riesco ad imprimere allrsquoattrezzo e allrsquoalzo del tiro La funzione sin ha un andamento a max e min rArr si avragrave un max quando sin 2ϑ =1 rArr 2ϑ = 90deg ϑ = 45deg Lrsquoalzo iniziale di 45deg daragrave il risultato migliore (assenza di vento assenza di attrito problema semplificato) Attenzione sin 2ϑ egrave simmetrico intorno a 2ϑ = 90deg e dunque si avranno gittate uguali per angoli equidistanti da 2ϑ = 90deg rArr ϑ = 45deg (osservazione di Galileo) Fig 11 Esercizi 1 ndash Copione di un film cascatore deve saltare da un terrazzo sul terrazzo di un palazzo vicino distante 62m e piugrave basso di 48m la sua velocitagrave sul terrazzo puograve essere 45 msec Accetta la parte

Fig12

Per cadere di 48 m impiega un tempo tc tale che y(tc) ndash yi = -48m = -2

1 gt2c

tc = 89

)2()84( minuslowastminus = 099sec

Nel tempo di caduta tc = 099s quale distanza potragrave coprire con la velocitagrave iniziale ( e poi costante) vix =45 msec d = x-xi = vix t = 45 middot 099 = 45m d = 45m egrave meno dei 62m che separano i due palazzi Il cascatore faragrave bene a rifiutare la parte Quale velocitagrave iniziale min dovrebbe avere per avere delle chances

V ix = 990

26 = 62 msec

2 ndash Salto di Bob Beamon a cittagrave del Mexico nel 1968 salto in lungo di 890m Supponendo che la velocitagrave del decollo sia stata 95 ms come per un centometrista quanto vicino arrivograve alla gittata max (per assenza di resistenza aria)

Dmax = g

v20 per sin 2ϑ 0 = 1 (rArr ϑ 0 = 45deg)

= 789

)59( 2

= 9228m

∆ D = 9228 ndash 890 = 0328m

3 ndash Cestista

Fig15 Quale velocitagrave iniziale v0 deve avere la palla affinchegrave il cestista possa fare canestro se lrsquoalzo iniziale egrave di 55deg rispetto allrsquoorizzontale (le varie distanze sono indicate in Figura) Definisco sistema di assi cartesiano con origine nel centro della palla e assi paralleli agli assi originari In questo sistema di riferimento la posizione del canestro egrave xc = 42 ndash 03 = 39m yc = 3 ndash 21 = 09m Lrsquo equazione della traiettoria egrave

y = x tgϑ 0 - 200 )cos(2 ϑv

g x2

Introduco nellrsquoequazione i valori di yc xc tg 55deg = 1428 e ricavo il valore dellrsquounica incognita v0

09 = 39 x 1428 - 2

0 )5740(2

89

xv x (39)2

09 = 5569 - 2

0 )5740(

5374

xv

(09 ndash 5569) (v0 x 0574)2 = -7453

v0 = 6694

5374

5740

1 = 696msec

Forze e moto Quando un oggetto cambia il suo stato di moto (da fermo si muove o si ferma se si stava muovendo accelera o frena o curva) per esperienza sappiamo che egrave avvenuta unrsquointerazione dellrsquooggetto con un altro corpo dellrsquoambiente circostante al contatto o a distanza Il concetto di interazione prevede sempre la presenza di due corpi unrsquointerazione viene scambiata tra due corpi A questa interazione associamo il concetto di forza Questa associazione non egrave solo qualitativa ma viene quantificata tramite una legge che collega forze e cambiamenti dello stato di moto dei corpi rendendo la forza una grandezza derivata nel sistema SI Ciograve avviene introducendo una grandezza fisica fondamentale chiamata massa (m) che egrave caratteristica di ogni corpo materiale e che esprime lrsquoinerzia al moto propria del corpo quando viene sottoposto alla sollecitazione di una forza Diciamo che due corpi hanno masse diverse se assumono accelerazioni diverse quando sottoposte allrsquoazione della medesima forza Questa massa si dice anche inerziale Si misura in kilogrammi (kg) ed egrave una grandezza scalare positiva

La teoria del moto egrave riassunta dalle tre leggi formulate da Isaac Newton fondate sulle basi del genio di Galileo Galilei Prima legge del moto Ogni corpo rimane nel suo stato di quiete o mantiene il suo stato di moto a velocitagrave costante se nessuna forza agisce su di esso o se la risultante delle forze ad esso applicate egrave nulla Questa proprietagrave del moto egrave detta anche ldquoprincipio di inerziardquo o ldquoprimo principio della dinamicardquo Velocitagrave costante significa che il vettore velocitagrave egrave costante cioegrave non variano modulo direzione e verso Quindi lrsquounico moto possibile in assenza di forze applicate egrave quello rettilineo uniforme (Tale legge non puograve essere verificata se si prende in considerazione un sistema di riferimento che si muove di moto accelerato Per esempio se utilizzo un sistema di riferimento solidale con lrsquoabitacolo di unrsquoautomobile o di un aereo che stanno accelerando o frenando i corpi possono scivolare lrsquoacqua contenuta in un bicchiere vi si puograve rovesciare addosso come soggetta ad una forza In realtagrave ciograve avviene proprio perchegrave questi corpi tendono a mantenere il loro stato di moto e lsquodisubbidisconorsquo alla variazione di velocitagrave che ciograve che egrave solidale col sistema di riferimento sta subendo I sistemi di riferimento nei quali si verifica la prima legge della dinamica si chiamano sistemi di riferimento inerziali e sono da essa implicitamente definiti) Seconda legge del moto Questa legge formulata inizialmente da Galileo e poi riproposta da Newton egrave detta anche ldquolegge fondamentale della dinamicardquo

rarrF = m

rarra

La forza rarrF egrave un vettore dato dal prodotto del vettore accelerazione

rarra per uno scalare m ed egrave

diretto come rarra Questa legge come si vede egrave una legge vettoriale Se piugrave forze agiscono sul

corpo di massa m la legge vale per il ldquovettore risultanterdquo che egrave la somma vettoriale di tutte le forze che agiscono sul corpo Lrsquoaccelerazione egrave diretta come il vettore risultante delle forze

Si possono definire le componenti di rarrF lungo gli assi del sistema di riferimento e la legge del

moto vale componente per componente Fx = max Fy = may Fz = maz

Lrsquounitagrave di misura della forza egrave il newton (N) 1N = 1Kg m s2

E la relazione dimensionale egrave[ ]N = [ ]2minusmlt Se la forza (o la risultante delle forze) applicata al corpo egrave nulla egrave anche nulla lrsquoaccelerazione e visto che lrsquoaccelerazione egrave definita come la variazione della velocitagrave divisa per il tempo la variazione della velocitagrave saragrave anchrsquoessa nulla Ciograve significa che la velocitagrave si mantiene costante Quindi in assenza di forze applicate il corpo rimane fermo se inizialmente era fermo e continua a muoversi con velocitagrave costante se inizialmente si muoveva come giagrave affermato dalla prima legge Terza legge del moto Dal concetto di forza che esprime lrsquointerazione tra i corpi deriva anche quello che viene comunemente detto ldquoil principio di azione e reazionerdquo o ldquoterzo principio della dinamicardquo ad ogni azione corrisponde sempre una reazione uguale e contraria cioegrave se due corpi A e B interagiscono in

modo che il corpo A eserciti una forza rarrF sul corpo B allora il corpo B esercita sul corpo A una

forza rarr

F = - rarrF Si noti che le due forze NON sono applicate allo stesso corpo

rarrF agisce su

B e rarr

F agisce su A Lrsquoapplicazione di questo principio egrave molto importante quando si considerano le forze che si realizzano al contatto tra due corpi e in particolare per le forze applicate da muscoli tendini legamenti e ossa del corpo umano Forze particolari Forza gravitazionale Newton nel descrivere il moto dei corpi celesti ha stabilito la presenza di una forza di interazione a distanza tra due corpi che chiamiamo forza di gravitagrave e ha fornito lrsquoespressione che la governa

FG = -G 2

21

R

mm GG ( legge di attrazione universale)

dove mG 1 e mG 2 sono le masse gravitazionali dei due corpi R egrave la distanza tra le due masse (considerate puntiformi) e G egrave una costante numerica che vale 667 x 10-11 Nm2kg2 1 Nm2kg2 egrave anche 1m3kg s2 Il segno meno sta a indicare che la forza egrave attrattiva La forza gravitazionale viene rappresentata con un vettore il cui modulo egrave dato dalla legge di Newton e che ha la direzione della congiungente i centri di massa delle due masse La forza di attrazione lsquosentitarsquo dalla massa mG 2 dovuta a mG 1 ha il verso che punta su mG 1 e contemporaneamente la forza di attrazione misurata dalla massa mG 1 dovuta a mG 2 ha il verso che punta su mG 2m (le due forze sono lrsquoazione e la reazione della terza legge della dinamica Perchegrave nellrsquoesperienza comune non si osserva che una matita attiri unrsquoaltra matita su un tavolo La forza attrattiva gravitazionale esiste fra di loro ma egrave molto piccola (la costante G egrave molto piccola) ed egrave contrastata completamente dalle forze di attrito (che discuteremo fra breve) La Terra su cui viviamo ha invece una massa molto grande M = 597 x 1024 kg e quindi puograve esercitare una forza piugrave che apprezzabile su altre masse anche se piccole come quella della matita (la matita cade dal tavolo) Chiamiamo forza peso la forza di gravitagrave FG esercitata dalla Terra su ogni corpo ad essa vicino e che origina dallrsquointerazione gravitazionale per la quale tutti i corpi si attirano fra di loro La forza peso viene spesso indicata con P che agisce su un corpo di massa mG vale

P = -G 2T

GGTerra

R

mM equiv - g mG con g equiv G

2T

GTerra

R

M

Dove MG Terra egrave la massa della Terra ed RT egrave il raggio della Terra (RT = 6370km) Il valore di g risulta

g = 667 x 10-11 2

3

kgs

m223

24

)106379(

10975

mx

kgx = 98 ms2 e ha le dimensioni di unrsquo accelerazione

La forza di attrazione gravitazionale alla quale una massa mG egrave soggetta vicino alla superficie di un altro pianeta egrave diversa Infatti la massa e il raggio degli altri pianeti sono diversi da quelli della Terra e quindi g assume un altro valore Si puograve dire che il peso di un corpo cambia sui diversi pianeti o sulla Luna mentre la massa gravitazionale egrave la grandezza fisica fondamentale propria di ogni corpo

Ersquo molto importante ora applicare la seconda legge della dinamica o legge fondamentale della dinamica F = m a ad un corpo soggetto alla sola forza peso sulla superficie della Terra cioegrave quando F egrave la forza peso P ora definita F = m a P = m a -g mG = m a Abbiamo voluto lasciare indicato il pedice G percheacute in principio non crsquoegrave ragione percheacute la grandezza con le dimensioni di una massa che compare nella legge di gravitazione sia uguale alla massa implicitamente definita dalla relazione di proporzionalitagrave tra la F applicata e lrsquoaccelerazione subita da un corpo data dalla seconda legge della dinamica Si egrave tuttavia dimostrato sperimentalmente che la massa gravitazionale mG (introdotta nella legge di attrazione universale e la massa m che si dice massa inerziale ed egrave definita tramite la seconda legge della dinamica sono uguali hanno lo stesso valore Questo permette di semplificare le due masse nellrsquoequazione e di ottenere -g = a che significa che lrsquoaccelerazione di una corpo soggetto alla forza peso sulla superficie della terra vale a = ndashg equiv -98 ms2 NB lrsquoaccelerazione vale 98 ms2 per tutti i corpi di qualsiasi massa Infatti sui corpi con massa maggiore vengono esercitate forze maggiori in modo proporzionale alla loro massa (corpi con massa maggiore lsquopesano di piugraversquo) cosigrave da produrre sempre la stessa accelerazione Si egrave soliti assumere che g sia costante e che non dipenda dalla quota h alla quale ci si trovi al di sopra della superficie terrestre Questa egrave unrsquoapprossimazione molto buona nei limiti in cui hltlt RT Infatti g diminuisce con la quota per esempio se h = 8000m (circa sul monte Everest) lrsquoaccelerazione di gravitagrave g si riduce a

2

2

)6378000(

)6370000( x g = 099749 x g = 97754 m s2 (meno del 25 per mille)

Forze di superficie Forze di contatto Alla superficie di contatto tra due corpi si realizzano le forze che chiamiamo appunto di superficie e che si dividono in forze di contatto e forze di attrito Le forze di contatto

La forza normalerarr

NF egrave la forza che un corpo sperimenta quando egrave appoggiato su di una superficie

Si chiama normale percheacute egrave sempre diretta perpendicolarmente alla superficie Se la superficie egrave orizzontale Fig16

Fc

FN

Piano orizzontale Calcolare lrsquointensitagrave della forza normale applicata ad un oggetto di massa m fermo su un tavolo orizzontale Per il primo principio della dinamica (principio di inerzia) se un corpo e fermo la risultante delle forze ad esso applicate egrave nulla cioegrave

rarrP +

rarr

NF = 0

In questo caso la forza normale rarr

NF egrave un vettore che ha lo stesso modulo e la stessa direzione del

vettore forza pesorarrP ma ha verso opposto Quindi il modulo di

rarr

NF vale |rarr

NF | = mg

Piano inclinato

Nel caso di un piano inclinato dovrograve tenere conto che rarr

NF puograve compensare solo la parte di rarrP

diretta normalmente al piano (infatti se non crsquoegrave attrito il corpo scivola lungo il piano inclinato) Se ϑ egrave lrsquoangolo che il piano inclinato forma con lrsquoorizzontale il piano inclinato fornisce al corpo una

forza normale che in modulo vale | rarr

NF | = m g cosϑ

Fig 17 4 ndash Salto con molleggio Un uomo con massa m = 70kg salta da unrsquoaltezza L = 2m Arrivando al suolo molleggia sulle ginocchia per un tratto l = 02 m Si calcoli la forza di reazione che il suolo esercita sui piedi durante il molleggio Si consideri il molleggio come una frenata che avviene con accelerazione (negativa) costante Fig 18

F

FN

Cadendo da unrsquoaltezza L allrsquoistante in cui il piede tocca il suolo la velocitagrave Vs egrave data dalla risoluzione del sistema di equazioni cinematiche per il moto uniformemente accelerato con t0 il tempo di caduta Vs = gt0 L = frac12 gt0

2 Vs = (2gL) frac12 La forza di reazione che esercita il suolo sul piede durante il molleggio egrave quella che imprime lrsquoaccelerazione (negativa) a di frenata (piugrave il peso del corpo mg)Il corpo si ferma in un tratto l Questa frenata si tratta con le equazioni del moto uniformemente accelerato 0 = Vs ndash at l = Vs t ndash frac12 at2 (essendo t il tempo di frenata) dalla prima equazione t = Vs a che introdotto nella seconda equazione permette di calcolare a a = frac12 Vs

2l e con Vs = (2gL) frac12 si ottiene a = g (Ll) e quindi la forza di reazione Fr = mg + ma egrave data da Fr = mg (Ll + 1) = 70 x 98 x (202 + 1) N = 7546Newton Si noti che al peso si aggiunge una forza che egrave il peso moltiplicato per un fattore (ldquofattore di cadutardquo) dato dal rapporto tra lrsquoampiezza del salto e il tratto di molleggio Questa forza si trasmette dal piede allrsquoarticolazione delle ginocchia e cosigrave via Tensione

Quando una corda egrave attaccata ad un corpo e viene tirata si dice che la corda egrave sotto tensione

La tensione rarrT cui egrave sottoposta la corde in ogni sua parte egrave una forza pari alla forza che si applica

sia al corpo sia alla mano che lo tira ai due estremi della corda ed egrave sempre diretta lungo la corda Fig 19 Anche con una carrucola cioegrave con la corda che si curva intorno ad una rotella la tensione ha intensitagrave T lungo la corda Una corda egrave utile in questo caso per cambiare la direzione e il verso di applicazione di una forza la mano tira verso il basso ma la massa egrave sottoposta ad una forza verso lrsquoalto

Fig20 I tendini del corpo umano sono corde e vengono utilizzati anche per variare la direzione di applicazione delle forze esercitate dai muscoli Forza di attrito

Lrsquoattrito fa parte dellrsquoesperienza quotidiana nel bene e nel male Da una parte fa consumare piugrave benzina (20 per motore e trasmissione) ma anche la suola delle scarpe il battistrada delle gomme e i gomiti del maglione dallrsquoaltra consente il movimento i nodi tengono i chiodi fissano etc Un libro che scivola su un tavolo orizzontale si fermerebbe se non mantenessi una forza costante che contrasta lrsquoattrito su una superficie ruvida il movimento genera lui stesso una forza che decelera il moto Per mantenere in moto rettilineo uniforme un corpo che scivola sopra un piano bisogna applicare al corpo una forza che serva a neutralizzare questa forza ldquospontaneardquo(detta di attrito) in modo che la risultante delle forze applicate sia nulla Anche lrsquoinizio del moto egrave contrastato dalla forza di attrito (statico) che assume un valore uguale e contrario a quello della forza che applico fino a raggiungere un valore massimo (valore limite) Il corpo non si muove resiste al moto Oltre quel valore limite cioegrave se applico una forza sufficientemente intensa il corpo inizia a muoversi Situazione

Fig 21 Un blocco appoggiato sul piano orizzontale egrave fermo rarrP

verso il basso e rarr

NF verso lrsquoalto sono uguali in modulo

Se applico una forza rarrF per spostare il corpo verso destra insorge una forza di attrito statico

P

FN

il cui modulo vale |rarr

sattF _ | = smicro |

rarr

NF | ( smicro egrave il coefficiente di attrito statico il suo valore dipende

dalla natura dei materiali a contatto) esercitata orizzontalmente dal piano che uguaglia in

intensitagraverarrF ma di verso opposto in modo che il corpo non si muove Se aumento

rarrF aumenta

anche rarr

sattF _

Fig22 Diagramma delle forze applicate al blocco

Raggiunto un certo valore di rarrF il corpo ha uno ldquostrappordquo e comincia a muoversi nella direzione

di rarrF verso destra ostacolato dalla una forza di attrito dinamico

rarr

dattF _ generalmente inferiore al

valore max di rarr

sattF _ (egrave piugrave facile mantenere un corpo in moto che muoverlo da fermo)

(Il passaggio da un regime allrsquoaltro egrave allrsquoorigine degli stridii da attrito ndash quello ad esempio del gesso sulla lavagna - o anche del suono del violino) - Proprietagrave dellrsquoattrito riassunte

1 ndash Corpo fermo la forza di attrito statica rarr

sattF _e la componente di

rarrF parallela alla superficie

hanno uguale intensitagrave e si annullano 2 ndash limite di scivolamento la massima forza di attrito per due materiali posti a contatto egrave proporzionale alla forza normale tramite un coefficiente di attrito statico smicro

| rarr

sattF _(max)| = smicro |

rarr

NF |

smicro egrave un coefficiente adimensionale che assume valori diversi per diverse coppie di materiali

3 ndash il corpo inizia a muoversi il valore della forza di attrito decresce rapidamente fino a

|rarr

kattF _ | = kmicro |rarr

NF | proporzionale alla forza normale tramite un coefficiente di attrito dinamico kmicro

adimensionale e dipendente dalla coppia di materiali in considerazione

P

FN

F Fatt

Attenzione |rarr

sattF _| e

rarr

kattF _ | sono proporzionali non a |

rarrP | ma a |

rarr

NF | quindi nel caso di un

piano inclinato bisogna considerare la componente di rarrP perpendicolare al piano

rarr

NF equilibra

solo la parte di rarrP perpendicolare al piano

Attenzione le equazioni per |rarr

sattF _| e |

rarr

kattF _| non sono vettoriali le forze di attrito non sono

dirette come la forza normale rarr

NF ma parallele al piano

Durante una corsa allo scatto si usano i blocchi di partenza per sfruttare la reazione del blocco alla forza muscolare di spinta Data lrsquoinclinazione dei blocchi la forza di reazione del blocco sul atleta si massimizza nella direzione del moto

rArr si fa uso della ldquoazione-reazionerdquo Fig 23 Durante la corsa si sfrutta il coefficiente di attrito statico per mantenere un piede fermo a terra mentre lrsquoaltro avanza Per non superare il limite di scivolamento allrsquoindietro del piede di appoggio la forza che si esercita sul terreno deve avere una componente normale al terreno di intensitagrave opportunamente elevata In ogni caso se smicro egrave basso si ha lrsquoeffetto del camminare sul ghiaccio

Lrsquouso di scarpette chiodate non aumenta il valore di smicro che egrave il coefficiente drsquoattrito tra due

superfici ldquoliscerdquo piuttosto hanno una funzione simile a quella di mini blocchi di partenza permettono di esercitare una forza sul tartan lungo la direzione del moto cioegrave parallelamente alla pista Resistenza del mezzo Consideriamo un corpo che si muove in aria Esso incontra una resistenza da parte dellrsquoaria che agisce in modo da opporsi al movimento del corpo cioegrave ha la stessa direzione e verso opposto a quella del moto

rarrD forza di resistenza del mezzo o forza aerodinamica (detta anche forza viscosa) si

|rarrD | =

2

1 cρAv2 (limite di alte velocitagrave eo alte viscositagrave)

D egrave proporzionale al quadrato della velocitagrave (termine v2 ) Inoltre D egrave proporzionale ad A lrsquoarea efficace della sezione trasversa (lrsquoarea presentata dal corpo nella direzione del moto vedi la posizione a uovo dei discesisti di sci o dei ciclisti) ρ egrave la densitagrave del mezzo Ersquo intuitivo che la resistenza D dipenda dalla densitagrave del mezzo infatti il corpo per procedere deve ldquofarsi stradardquo spostando le molecole del mezzo Quindi piugrave il mezzo egrave rarefatto piugrave egrave facile ldquofarsi stradardquo e inferiore egrave la resistenza D Con c si indica il coefficiente di penetrazione (il cosiddetto cx che dipende dalla forma geometrica del corpo) La forma (oltre che

lrsquoarea efficace A) influenza la resistenza opposta dal mezzo percheacute una ottimizzazione della forma (affusolata migliorare il Cx) porta a ridurre la formazione di turbolenze nellrsquoaria intorno al corpo Casco dei ciclisti o discesisti con forma a punta posteriore

non riduce la sezione trasversa A ma piuttosto migliora il Cx

Fig 24 Nel nuoto lo sbattere i piedi serve soprattutto per mantenere il corpo orizzontale e quindi a ridurre la sezione A Il lavoro viene fatto per lo piugrave dalle braccia (75) In acqua anche se la velocitagrave v egrave bassa D egrave significativa percheacute la viscositagrave del mezzo egrave grande Per ridurre le turbolenze negli sport di velocitagrave diventa essenziale utilizzare accorgimenti quali nascondere dadi e cavi nelle biciclette togliere cerchietti delle racchette da sci Tagliare i capelli o rasarsi le gambe sono sempre modi di ridurre anche le piccole turbolenze Velocitagrave limite di caduta di un grave in aria

La forza rarrD di frenamento durante la caduta libera li un corpo in aria ha verso opposto a quello

della forza pesorarrP che accelera il corpo verso il basso Se

rarrP egrave costante il corpo accelera con

accelerazione rarrg ie aumenta la velocitagrave verso il basso ma aumentando v dunque v2 aumenta

D Ciograve prosegue fincheacute D diventa di intensitagrave uguale P con verso opposto rarrD = -

rarrP A questo

punto la risultante delle forze agenti sul corpo in caduta egrave nulla (sumrarrF =

rarrD + (-

rarrP ) e dalla

seconda legge (fondamentale) della dinamica si ha che lrsquoaccelerazione rarra del corpo egrave nulla

rArr Il corpo non accelera piugrave e mantiene velocitagrave costante massima La velocitagrave raggiunta detta velocitagrave limite vlim egrave tale da verificare lrsquouguaglianza

D = 2

1cρAv lim

2 = mg = P quindi rArr vlim = (2mg cρA) frac12

La vlim raggiunta dai paracadutisti puograve essere variata modificando A tramite dei cambiamenti dellrsquoassetto in volo Questo permette ai paracadutisti di raggiungersi per fare figure in aria Lrsquoapertura del paracadute fa aumentare di molto A rendendo la velocitagrave limite molto piugrave bassa Anche le gocce di pioggia raggiungono la velocitagrave limite (v asymp 7msec in 6m) nella loro caduta Ad esempio cadendo da 1200m le gocce di pioggia raggiungono la terra con la velocitagrave limite di circa 7msec e non con la velocitagrave di 150msec che avrebbero se non ci fosse lrsquoazione di frenamento D (dei veri proiettili)

Senza D rarr vfin = 150ms

Con D rarr vfin = vlim = 7ms Fig 25 Forza elastica La forza elastica egrave una forza non costante

L lunghezza di riposo della molla Fig 26 Una massa m egrave vincolata ad una parete con una molla Se tiro la massa la molla si estende diciamo di un tratto x La molla esercita una forza di richiamo proporzionale allrsquoallungamento x (piugrave si allunga maggiore egrave la forza F di richiamo) F = -kx ldquorichiamordquo cioegrave di verso opposto allrsquoallungamento Ecco la ragione del segno (-) Se raggiunta una certa estensione la molla viene rilasciata essa si ricomprimeragrave ritorneragrave alla lunghezza di riposo L poi si schiacceragrave di un tratto x dalla parte opposta e nuovamente agiragrave la forza di richiamo (che egrave variabile in quanto varia con il variare di x) La massa oscilla attorno alla posizione di riposo k egrave la costante elastica della molla Lrsquoespressione della forza elastica vale per i respingenti del treno (k grande) come per la molla della biro (k piccola) come per lrsquoelastico del saltatore dal ponte Impulso di una forza La legge fondamentale della dinamica F = ma puograve essere scritta esprimendo lrsquoaccelerazione con la sua relazione definitoria (vf - vi)t

F = mt

vv if minus e quindi portando il tempo t al primo membro

)( if vvmtF minussdot=sdot oppure vmtF ∆sdot=sdot

Si dice ldquoimpulso ldquo di una forza il prodotto della forza per il tempo durante il quale viene applicata tF sdot (se la forza non egrave costante lrsquoimpulso egrave lrsquointegrale della forza nel tempo in cui viene applicata)

Scritta in questo modo lrsquoequazione fondamentale della dinamica puograve essere letta cosigrave 1) Supponiamo che un corpo vari la sua velocitagrave di una quantitagrave ∆v = vf - vi tanto piugrave lungo egrave il tempo t durante il quale questa variazione avviene tanto minore egrave la forza che deve essere sviluppata per ottenere tale variazione della velocitagrave In questi termini si capisce ad esempio lrsquoutilitagrave delle cinture di sicurezza che allungando i tempi durante i quali in caso drsquoincidente la velocitagrave del passeggero (che non egrave solidale con la vettura) passa da un valore vi iniziale a zero determina una riduzione della la forza cui il passeggero stesso egrave sottoposto durante il breve tempo dellrsquoimpatto (la forza che le ossa e le articolazioni possono sopportare egrave limitata) Si vede anche come funziona lrsquoelastico del jumper finchegrave lrsquoelastico non egrave completamente svolto (ltL) la forza che agisce sul jumper egrave P (la forza peso) poi progressivamente la forza elastica di richiamo contrasta P quindi il jumper decelera progressivamente per un lungo intervallo di tempo e lo lsquostrapporsquo (F applicata) necessario per contrastare P e fermare il jumper applicato sulle sue gambe e a cascata su tutte le sue articolazioni (secondo il terzo principio) egrave di entitagrave minore 2)Lrsquoimpulso totale prodotto tF sdot nella direzione ottimale egrave la grandezza fisica che stabilisce lrsquoefficacia di un gesto di spinta o di lancio non la massima forza espressa o la durata dellrsquoazione di spinta Lavoro di una forza ndash lavoro meccanico

- 1deg caso Forza costante rarrF

Immaginiamo una forza rarrF che agisce su un corpo durante il suo spostamento Immaginiamo cosi

che il punto di applicazione di questa forza si sposti nello spazio di un tratto rarrs Viene detto

lavoro della forza rarrF la quantitagrave

L = rarrF middot

rarrs = F middot smiddot cosϑ (prodotto scalare di

rarrF per

rarrs )

(prodotto scalare tra i due vettori) Fig 27 Il lavoro egrave una quantitagrave scalare cioegrave egrave descritta completamente da un numero da un valore Tale

valore puograve essere positivo o negativo a seconda che la componente di rarrF lungo

rarrs sia equiversa o

di verso opposto a rarrs Se

rarrF e

rarrs hanno la stessa direzione e se lo spostamento avviene nel

senso di rarrF diciamo che il lavoro egrave positivo (e viceversa negativo) Lrsquointensitagrave del lavoro puograve

variare tra un valore massimo e uno minimo per gli stessi valori del modulo di rarrs e di

rarrF a

rarrs

seconda del valore di cosϑ Il lavoro egrave massimo per cosϑ = 1 (cioegrave per ϑ = 0) (rarrF diretto come

rarrs ) Il lavoro egrave minimo ( L = 0) per cosϑ = 0 cioegrave per ϑ = 90deg (

rarrF perpendicolare a

rarrs )

Puograve darsi il caso che piugrave forze agiscono sullo stesso punto Allora si puograve calcolare il lavoro totale egrave la somma dei lavori di tutte le forze applicate

Ltot = sum Li = sum (rarr

sdotiFrarrs )

Dimensioni di L [ L ]= [ F ][ s ] = mmiddot l middot t-2 middot l = ml2 t-2 Unitagrave di misura di L 1 joule = 1N middot 1m ( 1J ) Lavoro della forza peso durante la caduta di un grave Un grave cade vicino alla superficie della terra sotto lrsquoazione della forza di gravitagrave cioegrave sottoposto ala forza peso P diretta verso il basso percorrendo un dislivello h Il lavoro compiuto dalla forza peso si calcola come

LP = rarrP middot

rarrs = Pmiddot smiddot cosϑ

notando che lo spostamento s (verso il basso) e la forza P sono paralleli con verso concorde pertanto ϑ = 0 e cosϑ = 1 e che | P| = mmiddot g si ottiene LP = mmiddot gmiddot h per uno spostamento s = h (dislivello) Lavoro meccanico nel sollevamento pesi Durante questo gesto sul bilanciere oggetto dellrsquoapplicazione delle forze si esercitano la forza peso P e la forza muscolare dellrsquoatleta Naturalmente entrambe le forze lavorano ma i due lavori si oppongono uno allrsquoaltro (ricorda che il lavoro puograve essere positivo o negativo) Il lavoro positivo deve essere nel verso del moto quindi egrave quello della forza muscolare dellrsquoatleta il lavoro di P invece egrave negativo e se il bilanciere si alza di una quota h si calcola facilmente seguendo il procedimento del paragrafo precedente ottenendo LP = - mmiddotgmiddoth (ϑ = π e cosϑ = -1 ) Calcoliamo il lavoro della forza musculare seguendo lrsquoesempio qui proposto Esempio Un atleta solleva un bilanciere di peso 2500N allrsquoaltezza di 2m (sopra la sua testa) Quanto lavoro meccanico compie la sua forza muscolare Supponiamo che il sollevamento avvenga a velocitagrave costante con accelerazione nulla allora il per il

primo principio della dinamica le forze applicate al bilanciere devono essere tali chesumrarr

iF = 0

Quindi la forza peso P = mmiddot g deve essere controbilanciata dalla forza applicata dallrsquoatleta Fm

Quindi rarr

mF = - rarrP

con Fm = 2500N Il lavoro La fatto dallrsquoatleta vale

Lm = rarr

mF middot rarrs = 2500 N middot 2m middot 1 = 5000 J (sollevamento verticale quindi ϑ = 0 e cosϑ = 1)

Quanto lavoro fa la forza peso

Lp = rarrP middot

rarrs = 2500 middot 2 middot (-1) = -5000 J

(percheacute ϑ = π e cosϑ = -1) Quanto lavoro fa lrsquoatleta mentre sostiene il peso fermo sopra la testa L = 0 percheacute non crsquoegrave spostamento Qui si parla di lavoro meccanico non di lavoro fisiologico diciamo che si fa fatica percheacute crsquoegrave da mantenere integrordquo un corpo non rigido che egrave il corpo dellrsquoatleta quindi si il lavoro delle contrazioni muscolari per mantenere lrsquoequilibrio e ldquolrsquointegritagraverdquo egrave la misura del lavoro fisiologico necessario anche se il lavoro meccanico compiuto egrave nullo 2deg caso Forza variabile Nel caso in cui F egrave una forza variabile che dipende dalla posizione ogni volta che avviene uno spostamento∆ x la forza cambia Il lavoro totale saragrave la somma dei lavori elementari fatti sui tratti piccoli sui quali la forza puograve essere assunta costante

Ltot = iii xxF ∆sdotsum )(

( Se si fa il limite per ∆ xi piccolo rarr 0 e la isum egrave lrsquointegrale Ltot = int sdotxtin

xinxdxF )( )

Ad esempio la forza F puograve essere la forza di richiamo di una molla vincolata al muro Lrsquointensitagrave della forza elastica varia durante lo spostamento aumentando con lrsquoallungamento (o la compressione) della molla ed ha la direzione parallela allo spostamento ma puograve avere verso concorde o discorde quindi con cosϑ che vale o +1 o ndash1 Immaginiamo di avere un blocco attaccato alla molla e di tirarlo da Xin a Xfin allora

F(x) = - kx Fig 28

Il lavoro della forza elastica si calcola sommando i lavori infinitesimali compiuti per spostamenti infinitesimi durante i quali la forza si assume costante Ciograve egrave rappresentato graficamente nel calcolo lrsquoarea compresa al di sotto della curva del grafico di F (Fig 28A) In figura si egrave cambiato il segno della funzione forza per comoditagrave di rappresentazione

Fig 28A

Area = differenza aree dei due triangoli = AABB kxxkxx sdotminussdot2

1

2

1

Ricordandoci del segno

L infin = 22

2

1

2

1infin kxkx +minus e in generale L = 2

2

1kx

Se si calcola il lavoro della forza di richiamo durante un allungamento della molla si ha lavoro negativo mentre durante il ritorno alla posizione di equilibrio il lavoro egrave positivo (segno dello spostamento x e della forza concordi) Energia cinetica Il termine ldquoenergiardquo indica la capacitagrave di compiere lavoro Lrsquoenergia cinetica egrave la proprietagrave che rende conto quantitativamente del legame fra il lavoro compiuto ed il moto generato Avevamo detto piugrave o meno lo stesso parlando della seconda legge della dinamica riferendoci alle forze Qui col lavoro non egrave necessaria la descrizione dettagliata delle forze che agiscono sul punto in considerazione Ersquo sufficiente conoscere il loro lavoro totale

Lrsquoenergia cinetica K = 2

1mv2 (gt 0 percheacute m gt 0 v2 gt 0 ) (m e v sono la massa e la velocitagrave del

corpo) Lrsquounitagrave di misura e le dimensioni di K sono le stesse del lavoro Joule ( J ) e [ ]K = [ ]22 minustml

Teorema dellrsquoenergia cinetica Se una forza F compie un lavoro L su un punto materiale di massa m si ha una variazione dellrsquoenergia cinetica pari al lavoro compiuto

Xfin Xin

F

0

ksdotxfin

ksdotxin

F= ksdotx

x

LAB= -area

L = Kfin ndash Kin = ∆ K Nel caso che piugrave forze agiscono sul punto materiale il teorema dellrsquoenergia cinetica si applica al lavoro totale (equivalentemente al lavoro della risultante ) E il caso dellrsquoatleta che solleva il peso di 2500N Sappiamo che ha compiuto un lavoro di 5000J ma il bilanciare con i pesi era fermo allrsquoinizio ed egrave fermo alla fine Quindi Kin = 0 e Kfin = 0 percheacute vin = 0 e vfin = 0 Allora il teorema dellrsquoenergia cinetica Vale per il lavoro totale o lavoro della forza totale e noi abbiamo visto che la forza netta totale = 0 ( Fa + P = 0 ) ed il lavoro totale egrave nullo quindi giustamente si ha ∆ K = 0 1)Caso di una palla da tennis che cade

la forza peso rarrP compie un lavoro positivo con spostamento concorde a

rarrP si dovrebbe avere

∆ K gt 0 infatti la velocitagrave v aumenta 2)Caso di una palla lanciata verso lrsquoalto

lo spostamento ha verso opposto a rarrP Il lavoro della forza peso egrave negativo e quindi ∆ K egrave

negativo giusto La velocitagrave diminuisce NB Durante il volo agisce solo la forza di gravitagrave quindi il lavoro totale comiuto sul corpo egrave solo quello della gravitagrave 3)Caso del moto circolare uniforme la forza che agisce egrave la forza centripeta che egrave perpendicolare allo spostamento Quindi non compie lavoro deve essere ∆ K = 0 Iinfatti il moto egrave uniforme cioegrave la velocitagrave egrave in modulo costante Potenza Si chiama potenza il lavoro che si egrave in grado di svolgere nellrsquounitagrave di tempo

P = t

L

∆ ( potenza media )

P = t

Lt ∆

∆rarr∆ 0lim ( potenza istantanea)

Non egrave solo una stima del lavoro compiuto ma anche della rapiditagrave con cui si compie lavoro

Fig 29 Per superare il muro ci vuole un certo lavoro che consiste nellrsquoinnalzare il proprio corpo di unrsquoaltezza h Sia lrsquoatleta che lo supera in un sol balzo sia il vecchietto che sale pian piano la scalinata faranno lo stesso lavoro Quel che egrave diverso egrave la potenza dei due personaggi Dimensioni e unitagrave di misura della potenza [ ]P = [L] [t -1] = [ml2t-3] 1 watt = 1 joule 1sec (1w)

Energia Potenziale K egrave energia connessa allo stato di moto di un sistema Crsquoegrave anche energia connessa alla posizione di un corpo in un campo di forze (configurazione) Si chiama energia potenziale Nel caso dellrsquoatleta di sollevamento pesi il lavoro compiuto dallrsquoatleta Lm non ha alterato lrsquoenergia cinetica K dellrsquoattrezzo ma ha modificato la configurazione del sistema (terra-attrezzo) variandone lrsquoenergia potenziale (W) Il lavoro non egrave stato sprecato ma ldquoimmagazzinatordquo lrsquoattrezzo prima egrave a terra poi egrave in alto nel sistema che ora ldquopotenzialmenterdquo puograve compiere un lavoro cedendo la sua ldquoenergia potenzialerdquo Energia cinetica ed energia potenziale sono due parti dellrsquoenergia meccanica possono trasformarsi lrsquouna nellrsquoaltra ed in lavoro Nellrsquoesempio precedente quando lrsquoattrezzo egrave in alto si ha che K = 0 e W = WA Quando cade K aumenta percheacute la velocitagrave v aumenta e lrsquoenergia potenziale W diminuisce In basso W = WB lt WA e K egrave massima Lrsquoattrezzo cadendo puograve compiere lavoro Se fosse un martello potrebbe far avanzare un chiodo ad esempio Lrsquoenergia potenziale viene definita proprio a partire dal concetto di lavoro di forze conservative Ersquo conservativa una forza il cui lavoro per spostare il suo punto di applicazione da una posizione (configurazione) ad unrsquoaltra dipende solo dalle due posizioni (configurazioni) iniziale e finale Equivalentemente si puograve definire la forza conservativa dicendo che il lavoro di tale forza egrave nullo se le posizioni (configurazioni) iniziali e finali coincidono

-Lavoro per passaggio dalla posizione A a B egrave lo stesso lungo I o II -Se da A vado a B e torno in A il lavoro totale egrave nullo

Fig 30 Posso allora definire una funzione della posizione W che assume i valori WA e WB in A e B e tale per cui LAB = WA ndash WB ( W energia potenziale) WA WB sono definiti a meno di una costante tanto quello che interessa egrave la differenza fra loro Variazione di energia potenziale del passaggio da A a B WB ndash WA = ∆W allora LAB = -∆ W Con questa convenzione sui segni si rende conto del fatto che un lavoro positivo ( fatto dalle forze conservative sul corpo) fa diminuire lrsquoenergia potenziale W ( L positivorarr ∆W negativo rarr WBlt WA rarr ho usato energia potenziale) un lavoro negativo (subito) aumenta W (L negativo rarr ∆W positivo rarr WBgt WA rarr ho guadagnato energia potenziale) W si misura in Joule come il lavoro e lrsquoenergia cinetica

Qual egrave la Forma di W

Mentre la forma dellrsquoenergia cinetica egrave sempre K =2

1mv2 indipendentemente dal tipo di forze

che provocano il movimento W dipende dal tipo di forza conservativa di cui si sta calcolando il lavoro Consideriamo due forze conservative

a) Forza gravitazionale forza peso

F(y) = -mg Stato di riferimento y0 = 0 in cui W0 = 0

Fig31

Abbiamo detto che LAB = WA- WB ma siccome

LAB = )( ABhmgsP minussdotminus=sdot dove hAB= yA-yB egrave la distanza tra A e B allora rArr WA = mgyA WB = mgyB e in generale W(y) =mgy

Per la forza peso W(y) =mgy e lrsquoenergia totale meccanica (W+K) = mgy+2

1mv2=Etot

b) Forza elastica

Fig 32

F(x) = -kx Stato di riferimento x = 0 allungamento nullo la lunghezza della molla egrave la sua lunghezza di riposo L ( W(0) = 0)

Immaginiamo che la configurazione della molla venga modificata passando dalla posizione xA alla posizione xB (Fig 32) Il lavoro della forza elastica egrave calcolato come

LAB = 22

2

1

2

1AB kxkx +minus

Ricordando che LAB = WA- WB possiamo ricavare lrsquoespressione per lrsquoenergia potenziale elastica

rArr WA = 2

2

1Akx WB = 2

2

1Bkx e in generale W(x) = 2

2

1kx

Energia totale meccanica ndash Conservazione dellrsquoenergia

In presenza di sole forze conservative la somma dellrsquoenergia cinetica e dellrsquoenergia potenziale costituisce lrsquoenergia totale meccanica Tale energia meccanica gode della proprietagrave importantissima di conservarsi durante lrsquoevoluzione del sistema Lrsquoenergia connessa al movimento e alla posizione si scambiano una diminuisce e lrsquoaltra cresce ad esempio ma la loro somma rimane costante

- Esempio delle montagne russe Se non ci sono attriti (infatti il trucco egrave quello di rendere il

sistema privo di attriti) so giagrave quale altezza massima potrograve raggiungere (quella iniziale e non di piugrave) quale velocitagrave massima potrograve raggiungere (in fondo alla valle) Queste quantitagrave sono fra loro legate dal teorema della conservazione dellrsquo energia meccanica

Fig 33 - Esempio del salto con lrsquoasta Lrsquoenergia cinetica dellrsquoatleta acquisita nella rincorsa viene

trasformata in energia potenziale gravitazionale parte direttamente e parte attraverso lrsquoenergia potenziale elastica dellrsquoasta acquisita nella sua deformazione durante il salto La flessibilitagrave dellrsquoasta (costante elastica dellrsquoasta) egrave legata allrsquoenergia che si puograve immagazzinare in una data deformazione Infatti con aste rigide (alluminio acciaio bambugrave) il salto era piugrave basso Con fibra di vetro il record egrave stato polverizzato

Fig 34

Fig 35

Fig 36

Osserviamo che il teorema dellrsquoenergia cinetica ha validitagrave generale qualunque siano le forze che agiscono conservative o non conservative (le forze non conservative si dicono anche ldquodissipativerdquo)

KLL

KL

fncfc

tot

∆=+∆=

e ricordando che darr Lfc = - )( fcW∆

Si ottiene che K∆ + )( fcW∆ = Lfnc

Si vede che nel caso in cui Lfnc sia nullo cioegrave quando non ci sono forze dissipative la somma delle variazioni di energia cinetica e energia potenziale egrave uguale a zero cioegrave lrsquoenergia totale meccanica (somma dellrsquoenergia cinetica e potenziale) egrave costante E questo corrisponde al teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica Nel caso ci siano forze dissipative la somma delle energie non egrave costante quindi al contrario del teorema dellrsquoenergia cinetica il teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica non ha validitagrave generale (vale solo in assenza di attriti ad esempio) Le forze non conservative di attrito compiono lavori solo negativi e fanno perdere quantitagrave di energia non recuperabile Parte di questa energia va in generale in calore quindi se ne puograve tenere conto considerando unrsquoaltra forma di energia lrsquoenergia termica ( ci sono anche altri fenomeni dissipativi ad esempio le deformazioni permanenti negli urti o la propagazione di onde sonore)

Lrsquo energia puograve dunque conservarsi o trasferirsi proprietagrave caratterizzanti dellrsquoenergia Il lavoro rende conto del trasferimento di energia della perdita di energia sotto una forma e del guadagno sotto unrsquoaltra forma (cioegrave energia conservativa) o del passaggio dellrsquoenergia da un sistema ad un altro Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica quando egrave applicabile puograve essere sfruttato per risolvere facilmente problemi altrimenti complicati Esercizio Una palla da tennis viene lanciata con velocitagrave iniziale v0 (senza effetti strani taglio etc) al di lagrave della rete Con quale velocitagrave arriva a terra

Se durante il moto Etot si conserva K+W = cost

Fig 37 e W = mgh egrave solo energia potenziale gravitazionale h = 0 alla fine come allrsquoinizio dunque K in = Kfin e vfin = v0 Se la palla egrave lanciata verso lrsquoalto non crsquoegrave componente orizzontale della velocitagrave ma solo verticale al punto piugrave alto di arresto h K(h) = 0 W(h) = max = Kin cioegrave mgh = frac12 mv0

2 si puograve cosigrave calcolare facilmente lrsquoaltezza massima raggiunta h = (frac12 v0

2)g e vicenversa si puograve calcolare il valore della velocitagrave v0 che bisogna imprimere alla palla affinchegrave raggiunga lrsquoaltezza h

v0 = gh2

Esercizio Una saltatrice di massa M = 61Kg salta da un ponte di altezza H = 45m agganciata ad una corda elastica La lunghezza di riposo della corda elastica egrave L = 25m e la sua costante elastica egrave k = 160 Nm Nel punto piugrave basso si arresta prima di venire rimbalzata in alto Qualrsquo egrave lquesta quota piugrave bassa h (a cui si trovano i suoi piedi ai quali egrave legato lrsquoelastico)

Fig 38 Etot = Wgrav + Wel + K = cost sono solo forze conservative vale la conservazione

dellrsquoenergia Nel punto A K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di lanciarsi Wel = 0 percheacute lrsquoelastico non egrave ancora svolto Wgrav = MgH Nel punto B K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di rimbalzare

Wel = frac12 kd2 Wgrav = Mgh = Mg(H-(L+d)) Etot(A) = Etot (B) MgH + 0 + 0 = Mg (H-(L+d)) + frac12 kd2 + 0 MgH = MgH ndash MgL ndash Mgd +frac12 kd2

2

1(160)d2 ndash (61)(98)d ndash (61)(98)(25) = 0

equazione di IIdeg grado che dagrave per d il valore accettabile d = 179m (lrsquoaltro egrave negativo e non egrave accettabile perchegrave non ha senso fisico la

saltatrice va in giugrave non in su) Allora h = H-(L+d) = 45 ndash (25+179) = 45 ndash 429 = 21m quindi con la testa poco sopra lrsquoacqua Sistemi di punti materiali e corpi rigidi ndash Centro di Massa

Un giocoliere o un ginnasta che lancia la clavette fa compiere allrsquoattrezzo movimenti complicati tuttavia crsquoegrave un punto dellrsquoattrezzo che si muove seguendo una traiettoria semplice come quella di un punto materiale ad esempio lanciato segue una traiettoria parabolica Tale punto si chiama centro di massa dellrsquooggetto Il centro di massa puograve essere definito per un oggetto o per un insieme di punti materiali Ersquo importante percheacute in generale il moto di un corpo esteso (o di un insieme di punti) si puograve studiare separando il moto del centro di massa (moto traslatorio) e il moto del corpo attorno al centro di massa (moto rotatorio)

Centro di Massa (CDM) di un sistema di punti - Consideriamo il caso semplice di due punti materiali di massa m1 m2 posti sullrsquoasse x in

posizione x1 x2

Fig 39

la posizione del centro di massa egrave definita xCDM = 21

2211

mm

xmxm

++

a) xCDM egrave compreso fra x1 e x2 b) se m1 = m2 CDM egrave a metagrave strada fra m1 ed m2 c) xCDM egrave piugrave prossimo alla massa maggiore - Nel caso di piugrave punti allineati nelle posizioni xi detto M = summi allora

xCDM = ii xmMsum

1

- Nel caso di punti distribuiti nello spazio detti irrarr

i vettori che identificano le loro posizioni

CDMrrarr

= iii rmM

rarrsum

1

dove CDMrrarr

ha coordinate (xCDM yCDM zCDM) definite come

xCDM = ii xmsumη1

yCDM = ii ymMsum

1

zCDM = ii zmMsum

1

- Consideriamo un oggetto qualsiasi questo egrave composto da un gran numero di particelle ma conviene considerarlo come un continuo di materia e per calcolare il centro di massa si prendono in considerazione degli elementi infinitesimi di massa dm centrati intorno alle posizioni (xyz) allora

xCDM = int xdmM

1 yCDM = int ydm

M

1 zCDM = int zdm

M

1

se si puograve considerare il corpo omogeneo (densitagrave uniforme) allora V

M

dv

dm = e allora si puograve fare il

calcolo considerando il volume V e gli elementi di volume dv anzichegrave la massa e gli elementi di massa

xCDM = int xdvV

1 etc

In un oggetto solido (corpo rigido) i diversi punti materiali che lo compongono non cambiano la loro posizione relativa (non come un corpo elastico) - se un oggetto ha un elemento di simmetria un asse od un piano il CDM si trova su tale

elemento di simmetria (asse per cono centro per sfera piano per una banana etc) Non egrave detto che il CDM di un oggetto appartenga allrsquooggetto vedi uno pneumatico un cerchio Il CDM egrave esterno alloggetto Legge fondamentale della dinamica per un sistema di punti materiali Caso della palla da bigliardo urto fra due palle dopo il lancio di una le due si muovono 1) una egrave ferma (B) lrsquoaltra la lancio (A) 2) le due si urtano in qualunque modo 3) le due si muovono secondo traiettorie differenti una possibilmente andragrave in buca lrsquoaltra no Dopo il lancio sulla palla A non agisce piugrave nessuna forza quindi la sua velocitagrave v egrave costante Va bene ma dopo lrsquourto Il CDM delle due palle continua a muoversi con velocitagrave costante anche se il centro di massa egrave un punto teorico che non appartiene a nessuna delle due palle Tuttavia al CDM possiamo assegnare una massa (M totale del sistema) una velocitagrave ed una accellerazione Si ha

)(CDMext aMFrarrrarr

=sum

a) extFrarr

sum egrave la somma di tutte le forze esterne che agiscono sul sistema non quelle interne (ad esempio nel caso del bigliardo non devo considerare le forze che si applicano fra le due palle quando si urtano)

b) M egrave la massa totale del sistema Si suppone che durante il moto M rimanga costante

c) )(CDMararr

egrave lrsquoaccelerazione del CDM Dellrsquoaccellerazione di un altro punto ad esempio del centro della palla A non si dice nulla

Cosideriamo alcuni esempi 1) Bigliardo tvaF CDMCDMext cos00 ===sum prima dellrsquourto nellrsquourto si verificano solo forze

interne Quindi tvaF CDMCDMext cos00 ===sum dopo lrsquourto e durante tutto il moto

2) Sistema terra-luna sumFext = gravitazione del sole aCDM egrave ldquocentripetardquo accellerazione di una

forza che egrave diretta verso il sole (forza ldquocentralerdquo) egrave il CDM terra-luna che segue la traiettoria dovuta allrsquoattrazione gravitazionale del sole poi terra e luna si muovono intorno al loro CDM

3) Clavette lanciate sum Fext = Mg aCDM = g il centro di massa si comporta come un punto materiale nel lancio

4) La ballerina nel ldquogrand-fetegraverdquo fa seguire a testa e busto una traiettoria rettilinea percheacute modifica lrsquoassetto in modo da alzare il suo CDM Nel corso del salto (alza le braccia e distende

orizzontalmente le gambe non appena lasciato il suolo) il suo CDM segue la traiettoria parabolica del lancio di un corpo soggetto allrsquoaccelerazione di gravitagrave g

Quantitagrave di moto rarrP

- Si definisce quantitagrave di moto di una particella il vettore

rarrrarr= vmP

con m massa della particella e rarrv la sua velocitagrave

Si vede che rarrP egrave diretto come

rarrv

Newton scrisse la legge fondamentale della dinamica in termini di quantitagrave di moto (a differenza di Galileo che la scrisse in termini di massa e di accelerazione) ldquola rapiditagrave di variazione della quantitagrave di moto di una particella egrave proporzionale alla forza netta che agisce sulla particella ed egrave nella direzione di quella forzardquo cioegrave

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

che egrave piugrave generale della formulazione di Galileo perchegrave descrive bene anche il caso in cui variasse la massa del corpo durante il moto (ad esempio un vettore spaziale) Se la massa egrave costante le due formulazioni sono identiche

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

= t

vm

∆∆

rarr)(

= m t

v

∆∆

rarr

= m rarra

Ricordiamo che rarrF egrave diretto come

rarra (o la risultante

rarrR = sum

rarrF )

Per un sistema di punti materiali si definisce la quantitagrave di moto totale

rarrP =

rarrP 1 +

rarrP 2 + helliphellip+

rarrP n =

m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +helliphelliphellip+ mn

rarrv n = M

rarrv CDM (si puograve dimostrare) dove M egrave la massa totale

[essendo infatti Mrarrv CDM =

dt

d(M

rarrr CDM) =

dt

d(m1

rarrr 1 + m2

rarrr 2 +hellip) = m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +

hellip]

quindi rarrP = M

rarrv CDM per un sistema di particelle e

dt

Pdrarr

= M dt

d rarrv CDM = M

rarra CDM = sum

rarrF ext

Conservazione delle quantitagrave di moto

Per un sistema chiuso (M non varia) e isolato (sumrarrF ext = 0)

Allora

t

P

∆∆

rarr

= 0 rarrP = cost

rarrP i =

rarrP f

che sono tre modi equivalenti per dire che la quantitagrave di moto si conserva Vale per un sistema nel quale non agisca nessuna forza esterna netta Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica e la conservazione delle quantitagrave di moto sono due concetti fisici importantissimi Valgono sia per le palle da bigliardo che per qualunque altro sistema anche le galassie nellrsquouniverso Queste equazioni sono vettoriali Ciograve significa che rappresentano una terna di equazioni scalari ognuna valida sul proprio asse del sistema di riferimento (x y z)

Puograve accadere a seconda delle forze che agiscono nel sistema che la quantitagrave di moto si conservi in una direzione o in due e non in tutte e tre

Ad esempio se consideriamo una palla come un insieme di punti materiali la rarrF ext che agisce nel

sistema egrave mrarrg diretta lungo z senza componenti su x e y quindi

rarrP varia lungo z ma

non su x e y

Percheacute ldquocomplicarci la vitardquo con questa storia del CDM del sistema di particelle etchellip non bastava il moto del punto rappresentativo materiale Avevamo giagrave considerato il punto rappresentativo e avevamo svolto anche problemi sulla palla sul bilanciere e per altri oggetti Abbiamo sempre sbagliato La questione egrave se un corpo egrave rigido cioegrave se tutti i suoi punti si muovono mantenendo le loro distanze relative non crsquoegrave problema abbiamo solo visto che il punto materiale rappresentativo si chiama CDM ed abbiamo imparato a situarlo allrsquointerno del corpo Ma se il corpo non egrave rigido cioegrave se il suo CDM si sposta rispetto a lui stesso nel corso del moto la disposizione del corpo intorno al punto rappresentativo varia nel corso del tempo e le leggi di conservazione valgono per il CDM - Consideriamo ad esempio il teorema dellrsquoenergia cinetica che per un punto materiale si scrive Ltot = Kfin-K in = ∆ K (qui ovviamente non crsquoegrave da specificare lavoro delle forzeldquoesternerdquo percheacute essendo in un punto materiale che si assume infinitamente piccolo non ci sono forze ldquointernerdquo) Per analogia il teorema dellrsquoenergia cinetica si estende al caso di un insieme di punti materiali nel seguente modo

Ltot forze ext=rarrF extmiddot

rarrs CDM = ∆ KCDM

Dove s CDM egrave lo spostamento del centro di massa A titolo di esempio risolviamo il problema un giocatore di hockey su ghiaccio di massa M = 110Kg si muove verso la balaustra a bordo campo alla velocitagrave di 3msec Nellrsquoarrestarsi flettendo le braccia il suo CDM si sposta in avanti di 30cm Qual egrave la ∆ K del suo CDM durante la manovra

∆ KCDM = infin CDMCDM mvmv 22

2

1

2

1 minus =

= 0 - 2

1110 32 = -495 J

Fig 40

Sia L il lavoro delle forze esternerarrF ext (dirette come d

rarrx CDM ) allora

L = - Fext 03 = ∆ KCDM quindi

Fext =30

495

minusminus

= + 1650N

( si considera la forza esterna rarrF ext costante nellrsquointervallo dellrsquoarresto fatto che equivale a dire

che il giocatore si arresta con rarra CDM costante)

Dinamica e statica del corpo esteso Finora abbiamo sempre discusso del moto di un punto materiale (punto rappresentativo dicevamo sempre) In particolare abbiamo sempre applicato le forze a quel punto materiale quindi se diverse forze erano applicate esse concorrevano in quel punto ligrave e con le forze concorrenti sapevamo come calcolare la risultante con il metodo grafico o con quello numerico delle coordinate cartesiane Una volta calcolata la risultante applicata al punto si otteneva un moto di pura traslazione del punto (al massimo traslava lungo una traiettoria curva) senza rotazioni proprie del punto che non hanno neanche senso un punto che ruota su se stesso Come faccio ad accorgermi Un punto per definizione egrave infinitamente piccolo (Dicevamo infine che il punto egrave in equilibrio

traslazionale se la risultante rarrR delle forze applicate egrave nullo)

Consideriamo invece un corpo esteso Prima osservazione questo ha piugrave punti (direi infin ) a

cui la forza puograve essere applicata Prendiamo una racchetta da tennis ed una forza rarrF applicata il

moto che ne risulta dipende dal punto al quale viene applicata la forza rarrF

qui la racchetta trasla

Fig 41

stessa forza qui la racchetta ruota

Fig 42

Seconda osservazione Crsquoegrave un caso in cui le forze non possono essere fatte concorrere in un punto ed egrave quando sono parallele ed hanno rette di applicazione distinte Chiaramente non abbiamo mai dovuto considerare questo caso per il punto materiale percheacute per un punto non possono mai passare due rette parallele Ma per il corpo esteso So benissimo che se sono ferma con la macchina in

panne e la sto spingendo applicando una forza rarrF 1 sono contenta se qualcuno si affianca a me ed

esercitando una forza rarrF 2 lungo una direzione parallela a quella della mia mi aiuta a spingere In

particolare mi viene spontaneo dire che se F1 = F2 allora spingeremo con una forza doppia Ci saragrave quindi un modo per sommare due forze non concorrenti in un punto ma parallele e saragrave Ftot = F1+ F2 La retta di applicazione di Ftot divide il segmento congiungente i punti di applicazione di F1 ed F2 in due segmenti inversamente proporzionali allrsquointensitagrave delle forze F1 e F2 Terza osservazione se F1 = - F2 sono uguali in intensitagrave ma di verso opposto sempre lungo due rette di applicazione parallele passanti per un corpo esteso cosa succede La loro somma Ftot risultante saragrave 0 ma io so che il corpo non sta fermo sotto lrsquoazione di tali due forze ma ruoteragrave Concludo che le nozioni che ho acquisito finora vanno riviste ed ampliate o corrette o specificate per i corpi estesi ed inoltre che mi mancano totalmente i mezzi per descrivere le rotazioni dei corpi estesi Occorrono nuovi concetti nuove quantitagrave la forza non basta Prendo lrsquoesempio piugrave semplice dellrsquoaltalena con due bambini in due bracci uno piugrave leggero uno piugrave pesante

Fig 43 Qualitativamente so che percheacute lrsquoaltalena stia in equilibrio e non ruoti intorno al punto fisso non egrave necessario che i due bambini abbiano lo stesso peso (ugual massa) occorre che il bambino piugrave leggero sieda piugrave lontano rispetto al punto fisso (fulcro) La regola quantitativa dice che lrsquoaltalena egrave in equilibrio se il prodotto del peso per la distanza del fulcro egrave uguale PB dB = Pb

db Per generalizzare questa regola ai casi piugrave complessi occorre definire una nuova quantitagrave il momento di una forza Momento di una forza

Consideriamo una forza rarrF applicata ad un punto P ed un punto O Sia

rarrr

il vettore rarrOP allora il momento

rarrM di

rarrF rispetto ad O egrave

rarrM =

rarrr x

rarrF

e

|rarrr | middot |

rarrF | sin ϑ = |

rarrM |

Fig 44

oppure anche considerando la componente di rarrF perpendicolare ad

rarrr o di

rarrr

perpendicolare a rarrF r e rispetto a F

|rarrM | = |

rarrr | |

rarrF perp | |

rarrM | = |

rarrr perp| |

rarrF |

In generale si dice che il modulo del momento |rarrM | egrave il prodotto delle intensitagrave della forza per la

distanza dal punto della retta di applicazione della forza

Come vettore rarrM egrave perpendicolare al piano che contiene

rarrF ed

rarrr ed ha verso calcolato con la

regola della mano destra (con rarrr che si chiude su

rarrF )

La distanza rperp si chiama braccio della forza Si vede che il momento egrave nullo quando il braccio egrave nullo cioegrave quando il punto O si trova sulla retta di applicazione di F Il momento della forza peso P egrave nullo rispetto al baricentro che coincide con il centro di massa nel caso (praticamenteldquosemprerdquo) in cui il corpo non sia abbastanza esteso percheacute diversi punti del corpo risentano di una forza gravitazione differente Praticamente si deve parlare di galassie percheacute CDM e baricentro (BC) non coincidono Quindi la condizione del momento nullo della forza peso diventa un modo per definire il CDM come quel punto rispetto al quale la forza peso P ha momento nullo Per un corpo ldquoarticolatordquo estendiamo il concetto di forza normale come forza di contatto nellrsquoarticolazione utile cioegrave la forza che lrsquoarticolazione che si sta considerando esercita su quello che nellrsquoarticolazione si appoggia La forza peso P di un corpo esteso puograve immaginarsi applicata al CDM Principio di equilibrio di un corpo esteso

se su un corpo esteso agiscono solo rarr

Peso e rarr

Normale cioegrave se un corpo egrave appoggiato ad un piano orizzontale allora il corpo egrave in equilibrio se e solo se il baricentro si trova sopra la superficie di appoggio

Fig 45

Finchegrave il baricentro egrave sopra il tavolo il libro non cade percheacute rarrP applicata a CDM puograve essere

controbilanciata da rarrN Se CDM si sposta in fuori

rarrN rimane nel tavolo e crsquoegrave momento non nullo

non equilibrato da rarrP che continua ad essere applicato nel CDM

Il baricentro di una persona in posizione eretta si trova nellrsquoarea delimitata dei suoi piedi 3cm davanti allrsquoarticolazione della caviglia

Fig 46 Quando la persona si piega in avanti il baricentro esce dal corpo e per mantenere lrsquoequilibrio egrave necessario che le anche si spingono indietro percheacute il baricentro cade di nuovo in quella posizione Notiamo che anche in posizione eretta essendo la forza peso e la forza di contatto non allineate (quei 3cm) (forza di contatto sullrsquoarticolazione della caviglia che regge il peso) occorre un momento correttivo che impedisca la rotazione in avanti mantenuto dal tendine di Achille che si lega alla caviglia Altro esempio di spostamento del baricentro egrave lrsquoatleta che assume una posizione ad L chi regge il peso egrave lrsquoarticolazione della spalla quindi il CDM si sposta sotto la spalla (giagrave era uscita dal corpo per via delle gambe distese in avanti) Nel camminare il baricentro continua a muoversi da sopra un piede a sopra un altro (quello appoggiato ovviamente) Si osservi lrsquoondeggiamento Per assurdo lrsquoancheggiare delle indossatrici serve a mantenere il baricentro il piugrave possibile fermo rispetto alla direzione media del moto (porre un piede esattamente davanti allrsquoaltro) rendendo piugrave facile muoversi anche con tacchi altissimi Al contrario lrsquoequilibrista che cammina sui trampoli sta fermo il meno possibile percheacute egrave stando fermo che il piccolo spostamento che fa uscire il baricentro (ALTO) dalla superficie drsquoappoggio puograve verificarsi facilmente preferisce il ldquonon ndash equilibriordquo o lrsquo rdquoequilibrio dinamicordquo dellrsquoondeggiare continuamente fra due posizioni di equilibrio

Ricordiamo che un equilibrio egrave detto stabile se quando una perturbazione lo altera spontaneamente il sistema lo ripristina Viceversa un equilibrio egrave instabile se la piugrave piccola perturbazione lo distrugge Lrsquoequilibrio egrave molto stabile se il baricentro egrave basso ed il corpo ha una grande area drsquoappoggio la posizione accucciata del giocatore di football americano dagrave grande stabilitagrave Ancor piugrave grande stabilitagrave si ha se il baricentro (CDM) si trova al di sotto della superficie drsquoappoggio Ersquo come se si fosse ldquoappesirdquo anzicheacute ldquoappoggiatirdquo alla superficie drsquoappoggio Proprio per questo motivo lrsquoequilibrista sul filo porta una lunga asta che spesso si flette agli estremi

Fig 47 Gli uccelli bipedi da 100000000 di anni hanno sviluppato questo adattamento per cui sono appesi alle anche mentre gli uomini bipedi da solo 1000000 di anni fanno fatica con il CDM dalla parte alta del corpo Ersquo un equilibrio instabile ldquosoprardquo le anche che le reggono (65 del peso del corpo) Modificazioni strutturali per reggere la posizione eretta 1) Colonna vertebrale rastremata (piugrave tozza in basso che in alto percheacute piugrave in basso vuol dire una

maggior forza di contatto) 2) Muscoli estensori della schiena 3) Gambe ed anche ingrossate 4) Ginocchio che blocca la gamba estesa Ciononostante si ha spesso il mal di schiena Se una forza ha momento non nullo rispetto ad un punto allora il corpo puograve ruotare intorno a quel punto sotto lrsquoazione di quella forza ldquoDiciamo che se sostengo il corpo per quel punto il corpo puograve ruotare intorno a quel puntordquo (Prendo in mano un foglio di carta per un estremo per esempio) La presenza di un momento non nullo egrave dunque la condizione che genera rotazione e viceversa Lrsquoassenza di un momento risultante egrave la condizione che genera lrsquoequilibrio rotazionale di un corpo esteso Quindi la condizione di equilibrio per un corpo esteso egrave

1) rarrR = 0 risultante delle forze applicate = 0 (equilibrio traslazionale)

2) rarrM = 0 momento risultante = 0 (equilibrio rotazionale)

Supponiamo di avere un corpo esteso al quale siano applicate delle forze che diano luogo ad un momento non nullo allora il corpo ruota Per equilibrarlo dovrograve applicare un altro momento tale che la loro somma sia nulla Questo egrave il principio di funzionamento delle leve LEVE

Una leva egrave un corpo esteso al quale sono applicate delle forze con un momento risultante rarrR

allora per portare il corpo in equilibrio applico un momento correttivo rarrP in modo che il momento

totale sia nullo Si dice in genere potenza (P) e resistenza (R) di una leva Le leve sono macchine semplici Servono per applicare forze in punti scomodi o in direzioni particolari Il fulcro egrave il punto nel quale la leva egrave incernierata Si definisce il guadagno meccanico di una leva

GM =

)(

)(rarr

rarr

PF

RF

cioegrave il rapporto fra la forza che genera il momento resistente e quella che genera il momento agente A seconda che GM sia gt

lt 0 una leva si dice che egrave vantaggiosa o svantaggiosa ma solo per quel che riguarda le forze percheacute per quel che riguarda i lavori non si ha neacute vantaggio neacute svantaggio Il lavoro esercitato dalla forza che dagrave la ldquopotenzardquo e quello esercitato dalla forza che dagrave la ldquoresistenzardquo sono sempre uguali Infatti forze e spostamenti sono inversamente proporzionali Le leve si dicono di I II o III specie a seconda se il fulcro si trovi I) in mezzo fra R e P (leva indifferente GM dipende da caso a caso) II) dalla parte di R (leva vantaggiosa il braccio di R egrave sempre minore del braccio di P basta

quindi una P minore per equilibrare una R maggiore) III) dalla parte di P (leva svantaggiosa) Classici esempi dei tre tipi di leve sono i remi (I) lo schiaccianoci (II) e la pinzetta per francobolli (III) Tuttavia vediamo degli esempi meno classici ma attinenti al campo della biologia e della medicina Criterio generale egrave che le leve vantaggiose consentono di essere molto potenti ma con brevi spostamenti mentre viceversa quelle svantaggiose fanno perdere in potenza ma consentono grandi spostamenti saragrave difficile vedere un cavallo che con le lunghe zampe si scava la tana drsquoaltronde una talpa scava bene la tana ma ha movimenti molto meno ampi che non le consentono di correre veloce come un cavallo (compromesso fra forza e velocitagrave del movimento) Se contiamo tutti i movimenti di rotazione che il corpo puograve compiere capiamo che siamo pieni di leve di ogni tipo Sono classici a) il capo fulcro (articolazione occipito-atlantoide) Fig 48 muscoli della nuca (Potenza) peso del capo (Resistenza) b)

muscolo bicipide (Potenza)

Fig 49 Peso dellrsquoavambraccio (Resistenza) Fulcro (articolazione del gomito) Questa leva permette grandi spostamenti Si vede che la forza operata dal muscolo bicipite egrave massima quando lrsquoavambraccio egrave orizzontale (la distanza dal fulcro egrave massima) ed egrave minima quando lrsquoavambraccio egrave verticale( con la distanza dal fulcro nulla) Attenzione - la colonna vertebrale egrave costituita da 24 vertebre separate da dischi di liquido Quando una

persona si piega la schiena egrave una leva con GM molto piccolo Quindi un piegamento completo per raccogliere un oggetto anche leggero produce una forza molto intensa sul disco lombosacrale che separa lrsquoultima vertebra dellrsquoosso sacro Se indebolito questo disco puograve rompersi o deformarsi comprimendo i nervi vicini e causando grande dolore Vediamo un modello che rende conto come mai questa forza egrave cosigrave grande

Fig 50

I muscoli della schiena esercitano T Con un angolo α = 12deg quando la schiena egrave piegata a 90deg

Peso della parte superiore del corpo (circa il 65 del peso totale)

Fulcro lombosacrale (il fulcro produce R) Essendo α piccolo la retta di azione Τ passa vicino al fulcro e dunque la distanza r che costituisce il suo braccio egrave molto piccola Al contrario il peso egrave perpendicolare alla colonna e il suo punto di applicazione egrave molto piugrave distante dal fulcro Τ deve essere molto grande per equilibrare il momento di P Dunque se T egrave grande anche la sua componente orizzontale egrave grande e di conseguenza anche R che costituisce la reazione dellrsquoosso sacro deve avere componente orizzontale molto grande per equilibrare Τ (uguale ed opposta alla componente orizzontale di Τ ) Facendo i conti si ottengono numeri grandi per 75Kg di peso T ed R sono equivalenti al peso di una massa di 220Kg Senza sollevare pesi solo piegandosi Conviene piegare le ginocchia quando si sollevano pesi - Nel corpo egrave difficile che il peso cada sulla verticale dellrsquoarticolazione che lo sostiene egrave sempre

un porsquo spostato e crsquoegrave un tendine con un muscolo che compensa il momento del peso - La contrazione muscolare egrave una successione di brevi contrazioni delle fibre muscolari stimolate

da impulsi che provengono dal sistema nervoso Contrazioni sono molto ravvicinate e avvengono in tempi differenti nelle diverse parti del muscolo cosigrave che il risultato apparente egrave una lenta e progressiva contrazione Se la frequenza degli impulsi aumenta la tensione cresce finchegrave si raggiunge la tensione massima (ricordare la tensione di un cavo) Un ulteriore aumento della frequenza degli impulsi a questo punto non causa ulteriore aumento della tensione

La tensione massima egrave proporzionale allrsquoarea della sezione trasversa del muscolo nel suo punto piugrave largo La tensione massima dipende anche dalla lunghezza del muscolo che varia Si ottiene tensione massima quando il muscolo egrave solo di poco allungato rispetto alla sua lunghezza di riposo di riposo ed egrave circa 30-40 Ncm2 La tensione massima si riduce moltissimo se il muscolo egrave molto allungato o accorciato Dinamica Rotatoria Fino ad ora abbiamo studiato moti traslatori ma il moto di un corpo rigido egrave in generale roto-traslatorio Naturalmente dobbiamo ridurre il problema complesso ad uno piugrave semplice e per fare ciograve immaginiamo di posizionarci su un sistema di riferimento solidale al corpo rigido i moto immaginiamo cioegrave di ldquosedercirdquo sul corpo rigido In questo modo non saremo piugrave sensibili al moto traslatorio e guardando il corpo rigido osserveremo solo le sue rotazioni Trattiamo allora il moto generico scomponendo la parte traslatoria (giagrave discussa ) da quella rotatoria Se si trascura la parte traslatoria del moto di un corpo rigido quello che rimane da trattare egrave la sua rotazione Nel nostro corso consideriamo le rotazioni che avvengono su un piano le rotazioni nello spazio potranno essere trattate come composizione di rotazioni su un piano Per le rotazioni su un piano si identifica un asse di rotazione perpendicolare al piano di rotazione e passante per il centro di rotazione Le articolazioni del gomito e del ginocchio sono articolazioni libere di ruotare intorno ad un asse a differenza ad esempio di quella della spalla che puograve ruotare intorno a due assi Si definisce spostamento angolare la variazione di una posizione che egrave definita in modo completo da una misura di angolo Una rotazione di un intero corpo rigido egrave definita in modo completo da uno spostamento angolare θfin - θin= ∆θ e si misura in radianti

Fig 51 Dobbiamo definire anche un verso di rotazione θ si incrementa per rotazioni antiorarie positive le rotazioni in senso orario sono invece negative La velocitagrave angolare si definisce analogamente alla velocitagrave lineare come il rapporto tra lo spostamento angolare e il tempo t impiegato per eseguire tale rotazione

ωm = t∆

∆θ e si misura in rad s

θin

θfin ∆θ

R

S

Anche per w si definisce ωist = lim ∆trarr0 t∆

∆θ

Ancora lrsquoaccelerazione angolare si definisce αm = t∆

∆ω e αist = lim ∆trarr0

t∆∆ω

Anche la legge fondamentale della dinamica ha un analogo nel ambito dei moti rotatori Si stabilisce che se ad un corpo rigido egrave soggetto ad un momento torcente diverso da zero esso subisce unrsquoaccelerazione angolare ad esso proporzionale Nel caso delle rotazioni la resistenza al moto egrave espressa dal momento di inerzia I associato al corpo rigido che gioca il ruolo della massa nei moti traslatori La legge della dinamica delle rotazioni egrave M = I middotα

E sostituendo M = Imiddott∆

∆ω= Imiddot

tinfin

∆minusωω

Il momento di inerzia I di un corpo rigido dipende dalla disposizione della massa del corpo rispetto allrsquoasse di rotazione per una massa puntiforme m a distanza R dallrsquoasse di rotazione I= m R2 per un oggetto esteso sommerograve il momento drsquoinerzia delle sue parti I = Σi mi Ri

2 Se si definisce momento angolare L il prodotto del momento drsquoinerzia per la velocitagrave angolare

L=Iω la legge della dinamica diventa

M = t

LL infin

∆minus

Il momento angolare egrave la grandezza fisica che si conserva se non viene applicato momento torcente Tutti i gesti di volo salti lanci tuffihellip sono azioni nelle quali si conserva il momento angolare Infatti in volo agisce solo la forza di gravitagrave che essendo applicata al CDM non genera momento torcente Il corpo umano nei gesti di volo Il corpo umano non egrave rigido e pertanto in volo agendo con i muscoli possiamo cambiare la disposizione del nostro corpo intorno al centro di massa che in volo coincide col centro di rotazione In questo modo si ottiene una variazione del momento di inerzia I e di conseguenza la velocitagrave angolare deve compensare questa variazione in modo che si mantenga costante il momento angolare L (grandezza che si conserva in assenza di momento torcente) Ersquo questo il principio che spiega il realizzarsi delle trottole sul ghiaccio dei salti mortali tuffi con avvitamento e cosigrave via in posizione raccolta I diminuisce e ω aumenta Moto circolare e moto circolare uniforme Per utilizzare le relazioni della cinematica e della dinamica lineare che abbiamo studiato egrave interessante poter passare dalle variabili angolari alle variabili lineari velocitagrave e accelerazione delle

masse in moto rotatorio Se una massa si muove su una traiettoria curva la velocitagrave tangenziale vt diretta come la tangente alla traiettoria dipende dalla velocitagrave angolare ω ( ωm=ϑ t )e dal raggio di curvatura della traiettoria Se la traiettoria egrave una circonferenza di raggio R e se gli angoli sono espressi in radianti lrsquoarco percorso per uno spostamento angolare ϑ egrave S = ϑ sdotR e la velocitagrave lineare tangente vt = St= ϑ sdotRt risulta vt = ωsdotR Se la velocitagrave angolare ω egrave costante il moto egrave detto circolare uniforme La legge oraria egrave quella dei moti uniformi spostamenti angolari uguali in tempi uguali ϑ(t) = ω t Anche la velocitagrave tangente saragrave di intensitagrave costante se ω egrave costante (archi uguali per tempi uguali s(t) = vt (t) ) ma crsquoegrave una accelerazione normale infatti la velocitagrave anche se non cambia in modulo cambia continuamente di direzione Questa accelerazione si dice centripeta egrave diretta normalmente rispetto alla traiettoria verso il centro della circonferenza e vale in modulo

ac=R

v2

Fig 52 Essendo la velocitagrave tangente vt = ωR Lrsquo accelerazione centripeta si puograve scrivere

ac =R

v2

= ω2 R

Il tempo impiegato dal punto a muoversi sulla circonferenza egrave una costante (moto uniforme) T periodo in T viene percorso uno spazio 2π R

v = T

Rπ2

La frequenza f egrave invece il ndeg di giri al secondo

f =T

1

Se si prendono punti diversi sul raggio della circonferenza questi hanno la stessa velocitagrave angolare e velocitagrave tangenziali crescenti al crescere del raggio Esempio carosello dei pattinatori Esercizi

1- un velocista con una velocitagrave di 10 ms viaggia su una curva di raggio 25m ndash accelerazione

a = R

v2

= 25

100 = 4 ms2

2 ndash un velocista con v = 92 ms su una pista circolare con ac = 38 m s2 ndash Raggio della pista Tempo per percorrere un giro completo

a = R

v2

rArr R = a

v2

= 83

)29( 2

= 2227m

T =v

Rπ2 =

29

27222 lowastπ = 152 sec

Forza centripeta forza centrifuga Una forza centripeta egrave una forza di qualunque natura che trattiene un corpo in moto su una traiettoria curvilinea ad esempio circolare In assenza di tale forza il corpo proseguirebbe il suo moto lungo una traiettoria rettilinea Nel gesto del lancio del martello ad esempio il lanciatore che esercita sul peso in cima allrsquoattrezzo una forza mediata dalla tensione dal cavo che lo trattiene nella traiettoria circolare Quando il lanciatore lascia la maniglia il martello viene lanciato lungo la direzione della tangente alla traiettoria nellrsquoistante di rilascio Lrsquointensitagrave della forza centripeta necessaria a mantenere una massa m in moto con velocitagrave tangente v lungo una traiettoria circolare di raggio r si puograve calcolare a partire dallrsquoaccellerazione centripeta secondo la legge fondamentale della dinamica

|rarr

cF | = m | rarr

ca | = m r

v2

Tale forza egrave diretta come lrsquoaccelerazione centripeta e cioegrave verso il centro della circonferenza che costituisce la traiettoria La forza centripeta egrave dunque una forza reale Con lsquoforza centrifugarsquo invece non ci si riferisce ad un forza che agisce su un corpo ma alla situazione apparente cui sembra sottoposto un corpo in moto curvilineo Esso pare tirato o attirato lontano dal centro di rotazione pare ci sia una lsquoforzarsquo che vuole farlo sfuggire Quando viene lasciato il martello si allontana dal centro di rotazione percheacute si muove di moto rettilineo uniforme non essendo piugrave soggetto a forze altre che la forza peso Lrsquoacqua esce dal cestello della lavatrice quando il cestello ruota velocemente (funzione centrifuga) percheacute lrsquoacqua che non costituisce un corpo solo con il cestello bucato non egrave soggetta alla forza centripeta e puograve passare attraverso i buchi I panni invece pure non parte del cestello sono troppo grandi per passare dai buchi si possono solo schiacciare contro le pareti questo schiacciamento sembra il risultato di una forza ma egrave invece il risultato dellrsquoassenza di una forza quella centripeta Una volta lagrave contro il cestello fanno tuttrsquouno con le pareti di metallo che esercitano su di essi la forza centripeta (cioegrave con direzione verso lrsquoasse di rotazione) che li mantiene in rotazione Le parti di un corpo rigido esteso che si muove di moto rotatorio rispetto ad un asse quale ad esempio la gamba di un giocatore di calcio che calcia un pallone sono soggette alla forza centripeta che le mantiene sulla traiettoria curva Tale forza viene trasmessa alle varie parti tramite le forze di tensione che si sviluppano allrsquointerno del corpo stesso ad esempio il piede egrave soggetto alla forza centrifuga tramite lrsquoazione dei legamenti e tendini a livello della caviglia che vengono messi in tensione per trattenere il piede stesso

E se stesse viaggiando su una Ferrari a 300kmh s = vsdott = 833ms 05 = 417m Moto rettilineo uniformemente accelerato Consideriamo un moto che avviene lungo una traiettoria rettilinea con accelerazione a costante rArr velocitagrave varia continuamente in modo uniforme e ricaviamo la legge oraria a = cost rArr v = v(t) non egrave piugrave costante ma varia in modo proporzionale allrsquoaccelerazione

v(t) ndashvi= a t equazione che non egrave altro che la definizione di accelerazione media ( t

vva if minus

= )

applicata al caso a = cost Lo spazio percorso egrave stabilito dalla seguente legge oraria del moto uniformemente accelerato

s(t) =2

1 asdot t2 + visdott

Cioegrave in ogni istante la posizione saragrave data dalla somma della posizione iniziale e di tutti gli incrementi dovuti alla velocitagrave che perograve non egrave costante perchegrave anchrsquoessa subisce a sua volta incrementi a causa dellrsquoaccelerazione Nota La dipendenza quadratica nel tempo si comprende risolvendo il seguente sistema

sdot=

minus=

minus=

tvs

vvv

t

vva

media

ifmedia

if

2 rArr s(t) =

2

1 asdot t2

che egrave composto da equazioni semplici dove si usa il trucco per cui lo spostamento si calcola come avvenuto ad una velocitagrave costante pari al valor medio tra la viniziale e la vfinale del moto reale

Esercizi 1 Prestazione di una vettura da 0 a 100hmh in 10 sec

Cosa significa Che la velocitagrave della vettura puograve essere aumentata da 0 a 100 Kmh in 10 secondi quindi egrave una indicazione sulle sue capacitagrave di accelerazione Quanto vale lrsquoaccelerazione media in quei 10 s

a =t

v∆=

t

vv if minus=

s

hkm

10

100 =

s

sm

10

3600100000= 277ms2

Come si confronta la ldquoprestazionerdquo della forza di gravitagrave con quella del motore della macchina Se la macchina accelerasse con a = +98 ms2 in quanto tempo raggiungerebbe i 100 kmh

a = t

v∆ t =

a

v∆ t=3

3

1063

10100

sdotsdot

89

1

sm

ms2

= 283s

In 10 secondi quanto spazio percorre nei due casi Devo utilizzare la legge oraria del moto uniformemente accelerato s(t) = frac12 a t2 +vi t con partenza da ferma cioegrave vi = 0 s(10 s) = frac12 at2 = frac12 sdot277 sdot 100 = 140m e s(10 s) = frac12 sdot98 sdot 100 = 490m 2 Un giocatore di pallacanestro salta verticalmente fino a 76 cm di quota Per quanto tempo si trattiene nella fascia di quota piugrave elevata e ampia 15 cm (da 61 cm a 76 cm) e quanto nella fascia a piugrave bassa quota dai 15 cm a terra

Fig1

Ogni moto di volo verticale (salita e caduta) vicino alla superficie della terra soddisfa le leggi del moto uniformemente accelerato con a = -98ms2 Il moto da studiare in questo esempio egrave il moto di volo dal decollo (istante iniziale) al raggiungimento della quota massima (istante finale trsquo ) alla quale la velocitagrave si annulla vf = 0 Essendo soggetto alla stessa a il moto di ri-discesa egrave assolutamente simmetrico a quello di salita Devo nuovamente applicare la legge oraria del moto uniformemente accelerato s(t) = frac12 a t2 +vi t che lega lo spostamento verticale al tempo Non conosco perograve con quale velocitagrave vi (velocitagrave iniziale) il giocatore egrave partito da terra (decollato) per sollevarsi di 76 cm = 076m Posso ricavarla risolvendo lrsquoequazione della legge oraria nellrsquoistante finale utilizzando il tempo di

volo di salita ricavato dallrsquoequazione a =t

vv if minus che egrave la definizione stessa di accelerazione media

e la metto a sistema con la legge oraria Si cerca il tempo trsquo che il giocatore impiega ad arrivare allrsquoaltezza massima di 76cm s = h=076 m con agravitagrave = -98 ms2

-98 ms2 =

0

t

viminus

trsquo = vig drsquoora in poi indicheremo con g lrsquointensitagrave dellrsquoaccelerazione di gravitagrave g = 98ms2 sostituendo h = vi trsquo ndash frac12 gtrsquo2

h = vi vi g ndash frac12 g (vig)2 h = frac12 vi2g vi = gh2 = 076) 98 (2 sdotsdot ms = 386ms

Partendo con velocitagrave iniziale vi il giocatore arriva allrsquoaltezza di 61cm = 061m al tempo t- e poi passando per lrsquoaltezza massima ripassa allrsquoaltezza di 061m al tempo t+ Il tempo richiesto ∆t di permanenza al di sopra di 061m egrave dato da

∆t = t+ - t- dove t+ e t- sono le radici dellrsquoequazione di secondo grado

061 = 386 t - frac12 98 t2 49t2 ndash 386t + 061 = 0 tplusmn = 89

946104863863 2 sdotsdot+plusmn

e quindi t+ = 89

711863 + = 0568s e t- =

89

711863 minus = 0219s

perciograve ∆t = 0568 ndash 0219 = 0349sec Si confronti questo tempo ∆t con il tempo t che il giocatore impiega a percorrere gli ultimi 15 cm prima di ritoccare il suolo dopo il salto

(spazio da h al suolo) = 076m = frac12 gt02 t0 =

89

2760 sdot = 0394 s e

(spazio da h a 15cm dal suolo) = 061m = frac12 gt2 t = 89

2610 sdot= 0353 s quindi

t = t0 ndash t = 0041s ltlt di ∆t Il cestista trascorre 35 centesimi di secondo nel tratto alto e solo 4 centesimi nel tratto basso (15cm) I cestisti sembrano rimanere ldquoappesirdquo al canestro Descrizione vettoriale del movimento In questo capitolo estendiamo lo studio del moto dei corpi al moto di corpi sempre puntiformi (trascuro le rotazioni) ma che si muovono in uno spazio a piugrave dimensioni In particolare saragrave sufficiente trattare il moto in due dimensioni Per descrivere i moti che avvengono su di un piano o nello spazio dobbiamo considerare la natura vettoriale delle grandezze fisiche spostamento velocitagrave ed accelerazione che abbiamo introdotto Tali grandezze sono caratterizzate da modulo (o intensitagrave) direzione e verso Quando si usano le relazioni e le leggi che coinvolgono le grandezze vettoriali bisogna calcolare somme e prodotti tra vettori Consideriamo il caso particolare di vettori in due dimensioni cioegrave in un piano Per rappresentare un vettore utilizzeremo le sue componenti in un piano cartesiano Supponiamo che Soldini debba comunicarci la sua posizione nellrsquooceano cioegrave deve descrivere il suo vettore posizione Egli puograve dare la sua longitudine e latitudine rispetto al meridiano ( Greenwich) e parallelo (equatore) di riferimento Fig 2

ϑ s

S

Xs longitudine di Soldini Ys latitudine di Soldini

Longitudine e latitudine dicono quali sono le componenti cartesiane del vettore orientato rarrR s

vettore posizione di Soldini Xs = Rs cos ϑ s Ys = Rs sin ϑ s dove ϑ s ( sin e cos sono funzioni che variano tra ndash1 e 1 cosigrave che il massimo valore di Xs o Ys egrave Rs giustamente)

e | rarrR s | = Rs = (X2

s +Y2s )

12 (Pitagora ) Operazioni con i vettori Somma con regola del parallelogramma spostare i vettori lungo la loro retta di applicazione finchegrave si trovano coda contro coda e costruire il parallelogramma Fig3 oppure con componenti cartesiane si sommmano le componenti cartesiane corrispondenti dopo aver disposto i vettori in un insieme di riferimento cartesiano e calcolato le componenti con cosϑ e sinϑ

Prodotto per uno scalare c middot rarra tra un vettore ed uno scalare egrave un vettore che ha la stessa

direzione e il modulo moltiplicato per lo scalare In particolare moltiplicando per ndash1 si trova il vettore opposto La somma di un vettore con lrsquoopposto di un altro equivale a fare la differenza fra i due vettori

Prodotto scalare rarra middot

rarrb tra due vettori dagrave luogo ad uno scalare si moltiplica lrsquointensitagrave

dellrsquouno per la proiezione dellrsquoaltro nella direzione del primo ( o viceversa)

rarra middot

rarrb = |

rarra | middot |

rarrb | cos ϑ =

rarrb middot

rarra

poicheacute cos ϑ egrave simmetrico rispetto a ϑ = 0 cos ϑ = cos-ϑ (proprietagrave commutative del prodotto scalare)

rarra middot

rarrb egrave

max quando cos ϑ = 1 rArr rarra e

rarrb equiversi e paralleli

=0 quando cosϑ = 0 rArrrarra e

rarrb sono perpendicolari ( non crsquoegrave componente di

rarrb lungo

rarra )

Si useragrave ad esempio per il lavoro meccanico L = rarrF middot

rarrs

Prodotto vettoriale rarra ^

rarrb tra due vettori dagrave luogo ad un vettore di intensitagrave

| rarra ^

rarrb | = |

rarra | middot |

rarrb | sin ϑ = - |

rarrb ^

rarra |

non commutativo sin ϑ egrave antisimmetrico rispetto a ϑ = 0 sin ϑ = - sin -ϑ

Il vettore rarra ^

rarrb egrave diretto perpendicolarmente al piano che contiene

rarra e

rarrb e col verso dato

dalla regola della mano destra se rarra ruota verso

rarrb lungo lrsquoangolo minore

Fig 4

Il vettore prodotto rarra ^

rarrb esce dal foglio Questo tipo di prodotto si incontreragrave ad esempio nel

calcolo del momento di una forza quando una forza genera rotazioni anzicheacute traslazioni rarrM = R

r ^

rarrF

Esercizio disporre due vettori di intensitagrave 3 e 4 (spostamenti di 3m e 4m) in modo che la somma sia 7m 1m 5m a) consecutivi nella stessa direzione stesso verso Fig 5 b) consecutivi nella stessa direzione versi opposti Fig 6 c) Perpendicolari Pitagora | 32 + 42 | = | 52 | Fig 7

Moto del proiettile Descriviamo il moto di un punto materiale (rappresentativo di un corpo) che viene lanciato e dunque segue una traiettoria in due dimensioni lungo una delle quali (quella verticale) sperimenta unrsquoaccelerazione diretta verso il basso agravitagrave = -98 ms2 (caduta libera) e nellrsquoaltra orizzontale no (accelerazione orizzontale = 0)

La velocitagrave iniziale vettoriale rarr

iv e la successiva velocitagrave rarrv (t) sono considerate

opportunamente in un sistema di riferimento cartesiano in cui un asse egrave diretto verticalmente e il verso positivo egrave verso lrsquoalto Sia ϑ lrsquoalzo cioegrave lrsquoangolo di emissione Fig 8 Lrsquoesperienza insegna che il proiettile (oggetto lanciato) cade Se lanciato verso lrsquoalto sale fino ad

unrsquoaltezza massima e poi scende In ogni istante t del moto la velocitagrave rarrv (t) saragrave diretta come la

tangente alla traiettoria

Le componenti di rarrv (t) lungo gli assi di riferimento vx(t) e vy(t) dipendono da tempo t ma sono

fra loro indipendenti Si puograve dunque separare il moto in due dimensioni in due moti unidimensionali Verifica dellrsquoindipendenza dei due moti egrave nel fatto che filmati stroboscopici di due palline una lasciata cadere lrsquoaltra lanciata orizzontalmente mostrano che dopo tempi uguali le due palline si trovano alla stassa quota Fig 9 Il moto orizzontale non influenza il moto verticale

V ix V iy=0

Esercizi 1 Problema della scimmia Quando la scimmia si accorge che il cacciatore le spara si lascia cadere Fig10 Dove deve mirare il cacciatore per prenderla Lrsquoaccelerazione egrave in generale un vettore Nel moto su un piano lrsquoaccelerazione egrave definita da due

componenti rarra equiv (ax ay )

- moto orizzontale ndash lungo lrsquoasse orizzontale il corpo in moto non sperimenta alcuna accelerazione

ax = 0 dunque la componente orizzontale della velocitagrave egrave costante

se rarr

iv aveva componente orizzontale non nulla vi x = vi sdotcos ϑ questa si mantiene e saragrave

x(t) = vi x t + xi

x(t) ndash xi = ( vi cos ϑ )t spostamento orizzontale sx = ( vi cos ϑ )sdott -moto verticale ndash accelerazione costante agravitagrave dunque moto uniformemente accelerato se crsquoera

una componente iniziale v0y della velocitagrave rarrv allora

y(t) = 2

1(-g)t2 + viy sdott + yi

y(t)-yi = (vi sin ϑ )t-2

1gt2 spostamento verticale sy=(vi sin ϑ )sdott-

2

1gt2

Traiettoria del proiettile Abbiamo visto le leggi orarie in x e y ma la traiettoria egrave in due dimensioni disegnamola in un riferimento cartesiano vedendo per ogni posizione in x quanto vale y cioegrave ricavando y = y(x) Mettiamo a sistema supponiamo di partire da xi = 0 e yi = 0 per semplicitagrave

x = ( vi cosϑ )t rArr t =ϑcosiv

x

y =( vi sinϑ )t - 2

1 gt2

y = sinϑ middot ϑcos

x -

2

1g

2

2

)cos(

)(

ϑiv

x = x tgϑ -

2)cos(2 ϑiv

g x2

(tgϑ egrave costante percheacute egrave lrsquoalzo iniziale 2)cos(2 ϑiv

g egrave costante percheacute g egrave costante vi pure

ϑ pure) Questa egrave lrsquoequazione di una parabola del tipo y = ax2 + bx La traiettoria egrave dunque una parabola Ha importanza sapere la gittata orizzontale cioegrave a quale distanza D il proiettile toccheragrave il suolo (che misura farograve nel lancio)

D = x-xi = (vi cosϑ )t rArr t = ϑcosiv

D

Suolo rarr 0 = y ndash yi = (vi sinϑ )t - 2

1 gt2

0 = vi sinϑ ϑcosiv

D -

2

1g

2

2

)cos( ϑiv

D

dividendo per D

0 = ϑϑ

cos

sin-

2

1g

2)cos( ϑiv

D rArr D =

ϑϑ

cos

sin

g

vi ϑ22 cos2 = sinϑ cosϑ

g

vi22

darr sin2ϑ (trigonometria 2 sinϑ cosϑ = sin2ϑ )

D = g

vi2

sin2ϑ

Questa equazione mi dice che misura farograve a partire dalla velocitagrave iniziale che riesco ad imprimere allrsquoattrezzo e allrsquoalzo del tiro La funzione sin ha un andamento a max e min rArr si avragrave un max quando sin 2ϑ =1 rArr 2ϑ = 90deg ϑ = 45deg Lrsquoalzo iniziale di 45deg daragrave il risultato migliore (assenza di vento assenza di attrito problema semplificato) Attenzione sin 2ϑ egrave simmetrico intorno a 2ϑ = 90deg e dunque si avranno gittate uguali per angoli equidistanti da 2ϑ = 90deg rArr ϑ = 45deg (osservazione di Galileo) Fig 11 Esercizi 1 ndash Copione di un film cascatore deve saltare da un terrazzo sul terrazzo di un palazzo vicino distante 62m e piugrave basso di 48m la sua velocitagrave sul terrazzo puograve essere 45 msec Accetta la parte

Fig12

Per cadere di 48 m impiega un tempo tc tale che y(tc) ndash yi = -48m = -2

1 gt2c

tc = 89

)2()84( minuslowastminus = 099sec

Nel tempo di caduta tc = 099s quale distanza potragrave coprire con la velocitagrave iniziale ( e poi costante) vix =45 msec d = x-xi = vix t = 45 middot 099 = 45m d = 45m egrave meno dei 62m che separano i due palazzi Il cascatore faragrave bene a rifiutare la parte Quale velocitagrave iniziale min dovrebbe avere per avere delle chances

V ix = 990

26 = 62 msec

2 ndash Salto di Bob Beamon a cittagrave del Mexico nel 1968 salto in lungo di 890m Supponendo che la velocitagrave del decollo sia stata 95 ms come per un centometrista quanto vicino arrivograve alla gittata max (per assenza di resistenza aria)

Dmax = g

v20 per sin 2ϑ 0 = 1 (rArr ϑ 0 = 45deg)

= 789

)59( 2

= 9228m

∆ D = 9228 ndash 890 = 0328m

3 ndash Cestista

Fig15 Quale velocitagrave iniziale v0 deve avere la palla affinchegrave il cestista possa fare canestro se lrsquoalzo iniziale egrave di 55deg rispetto allrsquoorizzontale (le varie distanze sono indicate in Figura) Definisco sistema di assi cartesiano con origine nel centro della palla e assi paralleli agli assi originari In questo sistema di riferimento la posizione del canestro egrave xc = 42 ndash 03 = 39m yc = 3 ndash 21 = 09m Lrsquo equazione della traiettoria egrave

y = x tgϑ 0 - 200 )cos(2 ϑv

g x2

Introduco nellrsquoequazione i valori di yc xc tg 55deg = 1428 e ricavo il valore dellrsquounica incognita v0

09 = 39 x 1428 - 2

0 )5740(2

89

xv x (39)2

09 = 5569 - 2

0 )5740(

5374

xv

(09 ndash 5569) (v0 x 0574)2 = -7453

v0 = 6694

5374

5740

1 = 696msec

Forze e moto Quando un oggetto cambia il suo stato di moto (da fermo si muove o si ferma se si stava muovendo accelera o frena o curva) per esperienza sappiamo che egrave avvenuta unrsquointerazione dellrsquooggetto con un altro corpo dellrsquoambiente circostante al contatto o a distanza Il concetto di interazione prevede sempre la presenza di due corpi unrsquointerazione viene scambiata tra due corpi A questa interazione associamo il concetto di forza Questa associazione non egrave solo qualitativa ma viene quantificata tramite una legge che collega forze e cambiamenti dello stato di moto dei corpi rendendo la forza una grandezza derivata nel sistema SI Ciograve avviene introducendo una grandezza fisica fondamentale chiamata massa (m) che egrave caratteristica di ogni corpo materiale e che esprime lrsquoinerzia al moto propria del corpo quando viene sottoposto alla sollecitazione di una forza Diciamo che due corpi hanno masse diverse se assumono accelerazioni diverse quando sottoposte allrsquoazione della medesima forza Questa massa si dice anche inerziale Si misura in kilogrammi (kg) ed egrave una grandezza scalare positiva

La teoria del moto egrave riassunta dalle tre leggi formulate da Isaac Newton fondate sulle basi del genio di Galileo Galilei Prima legge del moto Ogni corpo rimane nel suo stato di quiete o mantiene il suo stato di moto a velocitagrave costante se nessuna forza agisce su di esso o se la risultante delle forze ad esso applicate egrave nulla Questa proprietagrave del moto egrave detta anche ldquoprincipio di inerziardquo o ldquoprimo principio della dinamicardquo Velocitagrave costante significa che il vettore velocitagrave egrave costante cioegrave non variano modulo direzione e verso Quindi lrsquounico moto possibile in assenza di forze applicate egrave quello rettilineo uniforme (Tale legge non puograve essere verificata se si prende in considerazione un sistema di riferimento che si muove di moto accelerato Per esempio se utilizzo un sistema di riferimento solidale con lrsquoabitacolo di unrsquoautomobile o di un aereo che stanno accelerando o frenando i corpi possono scivolare lrsquoacqua contenuta in un bicchiere vi si puograve rovesciare addosso come soggetta ad una forza In realtagrave ciograve avviene proprio perchegrave questi corpi tendono a mantenere il loro stato di moto e lsquodisubbidisconorsquo alla variazione di velocitagrave che ciograve che egrave solidale col sistema di riferimento sta subendo I sistemi di riferimento nei quali si verifica la prima legge della dinamica si chiamano sistemi di riferimento inerziali e sono da essa implicitamente definiti) Seconda legge del moto Questa legge formulata inizialmente da Galileo e poi riproposta da Newton egrave detta anche ldquolegge fondamentale della dinamicardquo

rarrF = m

rarra

La forza rarrF egrave un vettore dato dal prodotto del vettore accelerazione

rarra per uno scalare m ed egrave

diretto come rarra Questa legge come si vede egrave una legge vettoriale Se piugrave forze agiscono sul

corpo di massa m la legge vale per il ldquovettore risultanterdquo che egrave la somma vettoriale di tutte le forze che agiscono sul corpo Lrsquoaccelerazione egrave diretta come il vettore risultante delle forze

Si possono definire le componenti di rarrF lungo gli assi del sistema di riferimento e la legge del

moto vale componente per componente Fx = max Fy = may Fz = maz

Lrsquounitagrave di misura della forza egrave il newton (N) 1N = 1Kg m s2

E la relazione dimensionale egrave[ ]N = [ ]2minusmlt Se la forza (o la risultante delle forze) applicata al corpo egrave nulla egrave anche nulla lrsquoaccelerazione e visto che lrsquoaccelerazione egrave definita come la variazione della velocitagrave divisa per il tempo la variazione della velocitagrave saragrave anchrsquoessa nulla Ciograve significa che la velocitagrave si mantiene costante Quindi in assenza di forze applicate il corpo rimane fermo se inizialmente era fermo e continua a muoversi con velocitagrave costante se inizialmente si muoveva come giagrave affermato dalla prima legge Terza legge del moto Dal concetto di forza che esprime lrsquointerazione tra i corpi deriva anche quello che viene comunemente detto ldquoil principio di azione e reazionerdquo o ldquoterzo principio della dinamicardquo ad ogni azione corrisponde sempre una reazione uguale e contraria cioegrave se due corpi A e B interagiscono in

modo che il corpo A eserciti una forza rarrF sul corpo B allora il corpo B esercita sul corpo A una

forza rarr

F = - rarrF Si noti che le due forze NON sono applicate allo stesso corpo

rarrF agisce su

B e rarr

F agisce su A Lrsquoapplicazione di questo principio egrave molto importante quando si considerano le forze che si realizzano al contatto tra due corpi e in particolare per le forze applicate da muscoli tendini legamenti e ossa del corpo umano Forze particolari Forza gravitazionale Newton nel descrivere il moto dei corpi celesti ha stabilito la presenza di una forza di interazione a distanza tra due corpi che chiamiamo forza di gravitagrave e ha fornito lrsquoespressione che la governa

FG = -G 2

21

R

mm GG ( legge di attrazione universale)

dove mG 1 e mG 2 sono le masse gravitazionali dei due corpi R egrave la distanza tra le due masse (considerate puntiformi) e G egrave una costante numerica che vale 667 x 10-11 Nm2kg2 1 Nm2kg2 egrave anche 1m3kg s2 Il segno meno sta a indicare che la forza egrave attrattiva La forza gravitazionale viene rappresentata con un vettore il cui modulo egrave dato dalla legge di Newton e che ha la direzione della congiungente i centri di massa delle due masse La forza di attrazione lsquosentitarsquo dalla massa mG 2 dovuta a mG 1 ha il verso che punta su mG 1 e contemporaneamente la forza di attrazione misurata dalla massa mG 1 dovuta a mG 2 ha il verso che punta su mG 2m (le due forze sono lrsquoazione e la reazione della terza legge della dinamica Perchegrave nellrsquoesperienza comune non si osserva che una matita attiri unrsquoaltra matita su un tavolo La forza attrattiva gravitazionale esiste fra di loro ma egrave molto piccola (la costante G egrave molto piccola) ed egrave contrastata completamente dalle forze di attrito (che discuteremo fra breve) La Terra su cui viviamo ha invece una massa molto grande M = 597 x 1024 kg e quindi puograve esercitare una forza piugrave che apprezzabile su altre masse anche se piccole come quella della matita (la matita cade dal tavolo) Chiamiamo forza peso la forza di gravitagrave FG esercitata dalla Terra su ogni corpo ad essa vicino e che origina dallrsquointerazione gravitazionale per la quale tutti i corpi si attirano fra di loro La forza peso viene spesso indicata con P che agisce su un corpo di massa mG vale

P = -G 2T

GGTerra

R

mM equiv - g mG con g equiv G

2T

GTerra

R

M

Dove MG Terra egrave la massa della Terra ed RT egrave il raggio della Terra (RT = 6370km) Il valore di g risulta

g = 667 x 10-11 2

3

kgs

m223

24

)106379(

10975

mx

kgx = 98 ms2 e ha le dimensioni di unrsquo accelerazione

La forza di attrazione gravitazionale alla quale una massa mG egrave soggetta vicino alla superficie di un altro pianeta egrave diversa Infatti la massa e il raggio degli altri pianeti sono diversi da quelli della Terra e quindi g assume un altro valore Si puograve dire che il peso di un corpo cambia sui diversi pianeti o sulla Luna mentre la massa gravitazionale egrave la grandezza fisica fondamentale propria di ogni corpo

Ersquo molto importante ora applicare la seconda legge della dinamica o legge fondamentale della dinamica F = m a ad un corpo soggetto alla sola forza peso sulla superficie della Terra cioegrave quando F egrave la forza peso P ora definita F = m a P = m a -g mG = m a Abbiamo voluto lasciare indicato il pedice G percheacute in principio non crsquoegrave ragione percheacute la grandezza con le dimensioni di una massa che compare nella legge di gravitazione sia uguale alla massa implicitamente definita dalla relazione di proporzionalitagrave tra la F applicata e lrsquoaccelerazione subita da un corpo data dalla seconda legge della dinamica Si egrave tuttavia dimostrato sperimentalmente che la massa gravitazionale mG (introdotta nella legge di attrazione universale e la massa m che si dice massa inerziale ed egrave definita tramite la seconda legge della dinamica sono uguali hanno lo stesso valore Questo permette di semplificare le due masse nellrsquoequazione e di ottenere -g = a che significa che lrsquoaccelerazione di una corpo soggetto alla forza peso sulla superficie della terra vale a = ndashg equiv -98 ms2 NB lrsquoaccelerazione vale 98 ms2 per tutti i corpi di qualsiasi massa Infatti sui corpi con massa maggiore vengono esercitate forze maggiori in modo proporzionale alla loro massa (corpi con massa maggiore lsquopesano di piugraversquo) cosigrave da produrre sempre la stessa accelerazione Si egrave soliti assumere che g sia costante e che non dipenda dalla quota h alla quale ci si trovi al di sopra della superficie terrestre Questa egrave unrsquoapprossimazione molto buona nei limiti in cui hltlt RT Infatti g diminuisce con la quota per esempio se h = 8000m (circa sul monte Everest) lrsquoaccelerazione di gravitagrave g si riduce a

2

2

)6378000(

)6370000( x g = 099749 x g = 97754 m s2 (meno del 25 per mille)

Forze di superficie Forze di contatto Alla superficie di contatto tra due corpi si realizzano le forze che chiamiamo appunto di superficie e che si dividono in forze di contatto e forze di attrito Le forze di contatto

La forza normalerarr

NF egrave la forza che un corpo sperimenta quando egrave appoggiato su di una superficie

Si chiama normale percheacute egrave sempre diretta perpendicolarmente alla superficie Se la superficie egrave orizzontale Fig16

Fc

FN

Piano orizzontale Calcolare lrsquointensitagrave della forza normale applicata ad un oggetto di massa m fermo su un tavolo orizzontale Per il primo principio della dinamica (principio di inerzia) se un corpo e fermo la risultante delle forze ad esso applicate egrave nulla cioegrave

rarrP +

rarr

NF = 0

In questo caso la forza normale rarr

NF egrave un vettore che ha lo stesso modulo e la stessa direzione del

vettore forza pesorarrP ma ha verso opposto Quindi il modulo di

rarr

NF vale |rarr

NF | = mg

Piano inclinato

Nel caso di un piano inclinato dovrograve tenere conto che rarr

NF puograve compensare solo la parte di rarrP

diretta normalmente al piano (infatti se non crsquoegrave attrito il corpo scivola lungo il piano inclinato) Se ϑ egrave lrsquoangolo che il piano inclinato forma con lrsquoorizzontale il piano inclinato fornisce al corpo una

forza normale che in modulo vale | rarr

NF | = m g cosϑ

Fig 17 4 ndash Salto con molleggio Un uomo con massa m = 70kg salta da unrsquoaltezza L = 2m Arrivando al suolo molleggia sulle ginocchia per un tratto l = 02 m Si calcoli la forza di reazione che il suolo esercita sui piedi durante il molleggio Si consideri il molleggio come una frenata che avviene con accelerazione (negativa) costante Fig 18

F

FN

Cadendo da unrsquoaltezza L allrsquoistante in cui il piede tocca il suolo la velocitagrave Vs egrave data dalla risoluzione del sistema di equazioni cinematiche per il moto uniformemente accelerato con t0 il tempo di caduta Vs = gt0 L = frac12 gt0

2 Vs = (2gL) frac12 La forza di reazione che esercita il suolo sul piede durante il molleggio egrave quella che imprime lrsquoaccelerazione (negativa) a di frenata (piugrave il peso del corpo mg)Il corpo si ferma in un tratto l Questa frenata si tratta con le equazioni del moto uniformemente accelerato 0 = Vs ndash at l = Vs t ndash frac12 at2 (essendo t il tempo di frenata) dalla prima equazione t = Vs a che introdotto nella seconda equazione permette di calcolare a a = frac12 Vs

2l e con Vs = (2gL) frac12 si ottiene a = g (Ll) e quindi la forza di reazione Fr = mg + ma egrave data da Fr = mg (Ll + 1) = 70 x 98 x (202 + 1) N = 7546Newton Si noti che al peso si aggiunge una forza che egrave il peso moltiplicato per un fattore (ldquofattore di cadutardquo) dato dal rapporto tra lrsquoampiezza del salto e il tratto di molleggio Questa forza si trasmette dal piede allrsquoarticolazione delle ginocchia e cosigrave via Tensione

Quando una corda egrave attaccata ad un corpo e viene tirata si dice che la corda egrave sotto tensione

La tensione rarrT cui egrave sottoposta la corde in ogni sua parte egrave una forza pari alla forza che si applica

sia al corpo sia alla mano che lo tira ai due estremi della corda ed egrave sempre diretta lungo la corda Fig 19 Anche con una carrucola cioegrave con la corda che si curva intorno ad una rotella la tensione ha intensitagrave T lungo la corda Una corda egrave utile in questo caso per cambiare la direzione e il verso di applicazione di una forza la mano tira verso il basso ma la massa egrave sottoposta ad una forza verso lrsquoalto

Fig20 I tendini del corpo umano sono corde e vengono utilizzati anche per variare la direzione di applicazione delle forze esercitate dai muscoli Forza di attrito

Lrsquoattrito fa parte dellrsquoesperienza quotidiana nel bene e nel male Da una parte fa consumare piugrave benzina (20 per motore e trasmissione) ma anche la suola delle scarpe il battistrada delle gomme e i gomiti del maglione dallrsquoaltra consente il movimento i nodi tengono i chiodi fissano etc Un libro che scivola su un tavolo orizzontale si fermerebbe se non mantenessi una forza costante che contrasta lrsquoattrito su una superficie ruvida il movimento genera lui stesso una forza che decelera il moto Per mantenere in moto rettilineo uniforme un corpo che scivola sopra un piano bisogna applicare al corpo una forza che serva a neutralizzare questa forza ldquospontaneardquo(detta di attrito) in modo che la risultante delle forze applicate sia nulla Anche lrsquoinizio del moto egrave contrastato dalla forza di attrito (statico) che assume un valore uguale e contrario a quello della forza che applico fino a raggiungere un valore massimo (valore limite) Il corpo non si muove resiste al moto Oltre quel valore limite cioegrave se applico una forza sufficientemente intensa il corpo inizia a muoversi Situazione

Fig 21 Un blocco appoggiato sul piano orizzontale egrave fermo rarrP

verso il basso e rarr

NF verso lrsquoalto sono uguali in modulo

Se applico una forza rarrF per spostare il corpo verso destra insorge una forza di attrito statico

P

FN

il cui modulo vale |rarr

sattF _ | = smicro |

rarr

NF | ( smicro egrave il coefficiente di attrito statico il suo valore dipende

dalla natura dei materiali a contatto) esercitata orizzontalmente dal piano che uguaglia in

intensitagraverarrF ma di verso opposto in modo che il corpo non si muove Se aumento

rarrF aumenta

anche rarr

sattF _

Fig22 Diagramma delle forze applicate al blocco

Raggiunto un certo valore di rarrF il corpo ha uno ldquostrappordquo e comincia a muoversi nella direzione

di rarrF verso destra ostacolato dalla una forza di attrito dinamico

rarr

dattF _ generalmente inferiore al

valore max di rarr

sattF _ (egrave piugrave facile mantenere un corpo in moto che muoverlo da fermo)

(Il passaggio da un regime allrsquoaltro egrave allrsquoorigine degli stridii da attrito ndash quello ad esempio del gesso sulla lavagna - o anche del suono del violino) - Proprietagrave dellrsquoattrito riassunte

1 ndash Corpo fermo la forza di attrito statica rarr

sattF _e la componente di

rarrF parallela alla superficie

hanno uguale intensitagrave e si annullano 2 ndash limite di scivolamento la massima forza di attrito per due materiali posti a contatto egrave proporzionale alla forza normale tramite un coefficiente di attrito statico smicro

| rarr

sattF _(max)| = smicro |

rarr

NF |

smicro egrave un coefficiente adimensionale che assume valori diversi per diverse coppie di materiali

3 ndash il corpo inizia a muoversi il valore della forza di attrito decresce rapidamente fino a

|rarr

kattF _ | = kmicro |rarr

NF | proporzionale alla forza normale tramite un coefficiente di attrito dinamico kmicro

adimensionale e dipendente dalla coppia di materiali in considerazione

P

FN

F Fatt

Attenzione |rarr

sattF _| e

rarr

kattF _ | sono proporzionali non a |

rarrP | ma a |

rarr

NF | quindi nel caso di un

piano inclinato bisogna considerare la componente di rarrP perpendicolare al piano

rarr

NF equilibra

solo la parte di rarrP perpendicolare al piano

Attenzione le equazioni per |rarr

sattF _| e |

rarr

kattF _| non sono vettoriali le forze di attrito non sono

dirette come la forza normale rarr

NF ma parallele al piano

Durante una corsa allo scatto si usano i blocchi di partenza per sfruttare la reazione del blocco alla forza muscolare di spinta Data lrsquoinclinazione dei blocchi la forza di reazione del blocco sul atleta si massimizza nella direzione del moto

rArr si fa uso della ldquoazione-reazionerdquo Fig 23 Durante la corsa si sfrutta il coefficiente di attrito statico per mantenere un piede fermo a terra mentre lrsquoaltro avanza Per non superare il limite di scivolamento allrsquoindietro del piede di appoggio la forza che si esercita sul terreno deve avere una componente normale al terreno di intensitagrave opportunamente elevata In ogni caso se smicro egrave basso si ha lrsquoeffetto del camminare sul ghiaccio

Lrsquouso di scarpette chiodate non aumenta il valore di smicro che egrave il coefficiente drsquoattrito tra due

superfici ldquoliscerdquo piuttosto hanno una funzione simile a quella di mini blocchi di partenza permettono di esercitare una forza sul tartan lungo la direzione del moto cioegrave parallelamente alla pista Resistenza del mezzo Consideriamo un corpo che si muove in aria Esso incontra una resistenza da parte dellrsquoaria che agisce in modo da opporsi al movimento del corpo cioegrave ha la stessa direzione e verso opposto a quella del moto

rarrD forza di resistenza del mezzo o forza aerodinamica (detta anche forza viscosa) si

|rarrD | =

2

1 cρAv2 (limite di alte velocitagrave eo alte viscositagrave)

D egrave proporzionale al quadrato della velocitagrave (termine v2 ) Inoltre D egrave proporzionale ad A lrsquoarea efficace della sezione trasversa (lrsquoarea presentata dal corpo nella direzione del moto vedi la posizione a uovo dei discesisti di sci o dei ciclisti) ρ egrave la densitagrave del mezzo Ersquo intuitivo che la resistenza D dipenda dalla densitagrave del mezzo infatti il corpo per procedere deve ldquofarsi stradardquo spostando le molecole del mezzo Quindi piugrave il mezzo egrave rarefatto piugrave egrave facile ldquofarsi stradardquo e inferiore egrave la resistenza D Con c si indica il coefficiente di penetrazione (il cosiddetto cx che dipende dalla forma geometrica del corpo) La forma (oltre che

lrsquoarea efficace A) influenza la resistenza opposta dal mezzo percheacute una ottimizzazione della forma (affusolata migliorare il Cx) porta a ridurre la formazione di turbolenze nellrsquoaria intorno al corpo Casco dei ciclisti o discesisti con forma a punta posteriore

non riduce la sezione trasversa A ma piuttosto migliora il Cx

Fig 24 Nel nuoto lo sbattere i piedi serve soprattutto per mantenere il corpo orizzontale e quindi a ridurre la sezione A Il lavoro viene fatto per lo piugrave dalle braccia (75) In acqua anche se la velocitagrave v egrave bassa D egrave significativa percheacute la viscositagrave del mezzo egrave grande Per ridurre le turbolenze negli sport di velocitagrave diventa essenziale utilizzare accorgimenti quali nascondere dadi e cavi nelle biciclette togliere cerchietti delle racchette da sci Tagliare i capelli o rasarsi le gambe sono sempre modi di ridurre anche le piccole turbolenze Velocitagrave limite di caduta di un grave in aria

La forza rarrD di frenamento durante la caduta libera li un corpo in aria ha verso opposto a quello

della forza pesorarrP che accelera il corpo verso il basso Se

rarrP egrave costante il corpo accelera con

accelerazione rarrg ie aumenta la velocitagrave verso il basso ma aumentando v dunque v2 aumenta

D Ciograve prosegue fincheacute D diventa di intensitagrave uguale P con verso opposto rarrD = -

rarrP A questo

punto la risultante delle forze agenti sul corpo in caduta egrave nulla (sumrarrF =

rarrD + (-

rarrP ) e dalla

seconda legge (fondamentale) della dinamica si ha che lrsquoaccelerazione rarra del corpo egrave nulla

rArr Il corpo non accelera piugrave e mantiene velocitagrave costante massima La velocitagrave raggiunta detta velocitagrave limite vlim egrave tale da verificare lrsquouguaglianza

D = 2

1cρAv lim

2 = mg = P quindi rArr vlim = (2mg cρA) frac12

La vlim raggiunta dai paracadutisti puograve essere variata modificando A tramite dei cambiamenti dellrsquoassetto in volo Questo permette ai paracadutisti di raggiungersi per fare figure in aria Lrsquoapertura del paracadute fa aumentare di molto A rendendo la velocitagrave limite molto piugrave bassa Anche le gocce di pioggia raggiungono la velocitagrave limite (v asymp 7msec in 6m) nella loro caduta Ad esempio cadendo da 1200m le gocce di pioggia raggiungono la terra con la velocitagrave limite di circa 7msec e non con la velocitagrave di 150msec che avrebbero se non ci fosse lrsquoazione di frenamento D (dei veri proiettili)

Senza D rarr vfin = 150ms

Con D rarr vfin = vlim = 7ms Fig 25 Forza elastica La forza elastica egrave una forza non costante

L lunghezza di riposo della molla Fig 26 Una massa m egrave vincolata ad una parete con una molla Se tiro la massa la molla si estende diciamo di un tratto x La molla esercita una forza di richiamo proporzionale allrsquoallungamento x (piugrave si allunga maggiore egrave la forza F di richiamo) F = -kx ldquorichiamordquo cioegrave di verso opposto allrsquoallungamento Ecco la ragione del segno (-) Se raggiunta una certa estensione la molla viene rilasciata essa si ricomprimeragrave ritorneragrave alla lunghezza di riposo L poi si schiacceragrave di un tratto x dalla parte opposta e nuovamente agiragrave la forza di richiamo (che egrave variabile in quanto varia con il variare di x) La massa oscilla attorno alla posizione di riposo k egrave la costante elastica della molla Lrsquoespressione della forza elastica vale per i respingenti del treno (k grande) come per la molla della biro (k piccola) come per lrsquoelastico del saltatore dal ponte Impulso di una forza La legge fondamentale della dinamica F = ma puograve essere scritta esprimendo lrsquoaccelerazione con la sua relazione definitoria (vf - vi)t

F = mt

vv if minus e quindi portando il tempo t al primo membro

)( if vvmtF minussdot=sdot oppure vmtF ∆sdot=sdot

Si dice ldquoimpulso ldquo di una forza il prodotto della forza per il tempo durante il quale viene applicata tF sdot (se la forza non egrave costante lrsquoimpulso egrave lrsquointegrale della forza nel tempo in cui viene applicata)

Scritta in questo modo lrsquoequazione fondamentale della dinamica puograve essere letta cosigrave 1) Supponiamo che un corpo vari la sua velocitagrave di una quantitagrave ∆v = vf - vi tanto piugrave lungo egrave il tempo t durante il quale questa variazione avviene tanto minore egrave la forza che deve essere sviluppata per ottenere tale variazione della velocitagrave In questi termini si capisce ad esempio lrsquoutilitagrave delle cinture di sicurezza che allungando i tempi durante i quali in caso drsquoincidente la velocitagrave del passeggero (che non egrave solidale con la vettura) passa da un valore vi iniziale a zero determina una riduzione della la forza cui il passeggero stesso egrave sottoposto durante il breve tempo dellrsquoimpatto (la forza che le ossa e le articolazioni possono sopportare egrave limitata) Si vede anche come funziona lrsquoelastico del jumper finchegrave lrsquoelastico non egrave completamente svolto (ltL) la forza che agisce sul jumper egrave P (la forza peso) poi progressivamente la forza elastica di richiamo contrasta P quindi il jumper decelera progressivamente per un lungo intervallo di tempo e lo lsquostrapporsquo (F applicata) necessario per contrastare P e fermare il jumper applicato sulle sue gambe e a cascata su tutte le sue articolazioni (secondo il terzo principio) egrave di entitagrave minore 2)Lrsquoimpulso totale prodotto tF sdot nella direzione ottimale egrave la grandezza fisica che stabilisce lrsquoefficacia di un gesto di spinta o di lancio non la massima forza espressa o la durata dellrsquoazione di spinta Lavoro di una forza ndash lavoro meccanico

- 1deg caso Forza costante rarrF

Immaginiamo una forza rarrF che agisce su un corpo durante il suo spostamento Immaginiamo cosi

che il punto di applicazione di questa forza si sposti nello spazio di un tratto rarrs Viene detto

lavoro della forza rarrF la quantitagrave

L = rarrF middot

rarrs = F middot smiddot cosϑ (prodotto scalare di

rarrF per

rarrs )

(prodotto scalare tra i due vettori) Fig 27 Il lavoro egrave una quantitagrave scalare cioegrave egrave descritta completamente da un numero da un valore Tale

valore puograve essere positivo o negativo a seconda che la componente di rarrF lungo

rarrs sia equiversa o

di verso opposto a rarrs Se

rarrF e

rarrs hanno la stessa direzione e se lo spostamento avviene nel

senso di rarrF diciamo che il lavoro egrave positivo (e viceversa negativo) Lrsquointensitagrave del lavoro puograve

variare tra un valore massimo e uno minimo per gli stessi valori del modulo di rarrs e di

rarrF a

rarrs

seconda del valore di cosϑ Il lavoro egrave massimo per cosϑ = 1 (cioegrave per ϑ = 0) (rarrF diretto come

rarrs ) Il lavoro egrave minimo ( L = 0) per cosϑ = 0 cioegrave per ϑ = 90deg (

rarrF perpendicolare a

rarrs )

Puograve darsi il caso che piugrave forze agiscono sullo stesso punto Allora si puograve calcolare il lavoro totale egrave la somma dei lavori di tutte le forze applicate

Ltot = sum Li = sum (rarr

sdotiFrarrs )

Dimensioni di L [ L ]= [ F ][ s ] = mmiddot l middot t-2 middot l = ml2 t-2 Unitagrave di misura di L 1 joule = 1N middot 1m ( 1J ) Lavoro della forza peso durante la caduta di un grave Un grave cade vicino alla superficie della terra sotto lrsquoazione della forza di gravitagrave cioegrave sottoposto ala forza peso P diretta verso il basso percorrendo un dislivello h Il lavoro compiuto dalla forza peso si calcola come

LP = rarrP middot

rarrs = Pmiddot smiddot cosϑ

notando che lo spostamento s (verso il basso) e la forza P sono paralleli con verso concorde pertanto ϑ = 0 e cosϑ = 1 e che | P| = mmiddot g si ottiene LP = mmiddot gmiddot h per uno spostamento s = h (dislivello) Lavoro meccanico nel sollevamento pesi Durante questo gesto sul bilanciere oggetto dellrsquoapplicazione delle forze si esercitano la forza peso P e la forza muscolare dellrsquoatleta Naturalmente entrambe le forze lavorano ma i due lavori si oppongono uno allrsquoaltro (ricorda che il lavoro puograve essere positivo o negativo) Il lavoro positivo deve essere nel verso del moto quindi egrave quello della forza muscolare dellrsquoatleta il lavoro di P invece egrave negativo e se il bilanciere si alza di una quota h si calcola facilmente seguendo il procedimento del paragrafo precedente ottenendo LP = - mmiddotgmiddoth (ϑ = π e cosϑ = -1 ) Calcoliamo il lavoro della forza musculare seguendo lrsquoesempio qui proposto Esempio Un atleta solleva un bilanciere di peso 2500N allrsquoaltezza di 2m (sopra la sua testa) Quanto lavoro meccanico compie la sua forza muscolare Supponiamo che il sollevamento avvenga a velocitagrave costante con accelerazione nulla allora il per il

primo principio della dinamica le forze applicate al bilanciere devono essere tali chesumrarr

iF = 0

Quindi la forza peso P = mmiddot g deve essere controbilanciata dalla forza applicata dallrsquoatleta Fm

Quindi rarr

mF = - rarrP

con Fm = 2500N Il lavoro La fatto dallrsquoatleta vale

Lm = rarr

mF middot rarrs = 2500 N middot 2m middot 1 = 5000 J (sollevamento verticale quindi ϑ = 0 e cosϑ = 1)

Quanto lavoro fa la forza peso

Lp = rarrP middot

rarrs = 2500 middot 2 middot (-1) = -5000 J

(percheacute ϑ = π e cosϑ = -1) Quanto lavoro fa lrsquoatleta mentre sostiene il peso fermo sopra la testa L = 0 percheacute non crsquoegrave spostamento Qui si parla di lavoro meccanico non di lavoro fisiologico diciamo che si fa fatica percheacute crsquoegrave da mantenere integrordquo un corpo non rigido che egrave il corpo dellrsquoatleta quindi si il lavoro delle contrazioni muscolari per mantenere lrsquoequilibrio e ldquolrsquointegritagraverdquo egrave la misura del lavoro fisiologico necessario anche se il lavoro meccanico compiuto egrave nullo 2deg caso Forza variabile Nel caso in cui F egrave una forza variabile che dipende dalla posizione ogni volta che avviene uno spostamento∆ x la forza cambia Il lavoro totale saragrave la somma dei lavori elementari fatti sui tratti piccoli sui quali la forza puograve essere assunta costante

Ltot = iii xxF ∆sdotsum )(

( Se si fa il limite per ∆ xi piccolo rarr 0 e la isum egrave lrsquointegrale Ltot = int sdotxtin

xinxdxF )( )

Ad esempio la forza F puograve essere la forza di richiamo di una molla vincolata al muro Lrsquointensitagrave della forza elastica varia durante lo spostamento aumentando con lrsquoallungamento (o la compressione) della molla ed ha la direzione parallela allo spostamento ma puograve avere verso concorde o discorde quindi con cosϑ che vale o +1 o ndash1 Immaginiamo di avere un blocco attaccato alla molla e di tirarlo da Xin a Xfin allora

F(x) = - kx Fig 28

Il lavoro della forza elastica si calcola sommando i lavori infinitesimali compiuti per spostamenti infinitesimi durante i quali la forza si assume costante Ciograve egrave rappresentato graficamente nel calcolo lrsquoarea compresa al di sotto della curva del grafico di F (Fig 28A) In figura si egrave cambiato il segno della funzione forza per comoditagrave di rappresentazione

Fig 28A

Area = differenza aree dei due triangoli = AABB kxxkxx sdotminussdot2

1

2

1

Ricordandoci del segno

L infin = 22

2

1

2

1infin kxkx +minus e in generale L = 2

2

1kx

Se si calcola il lavoro della forza di richiamo durante un allungamento della molla si ha lavoro negativo mentre durante il ritorno alla posizione di equilibrio il lavoro egrave positivo (segno dello spostamento x e della forza concordi) Energia cinetica Il termine ldquoenergiardquo indica la capacitagrave di compiere lavoro Lrsquoenergia cinetica egrave la proprietagrave che rende conto quantitativamente del legame fra il lavoro compiuto ed il moto generato Avevamo detto piugrave o meno lo stesso parlando della seconda legge della dinamica riferendoci alle forze Qui col lavoro non egrave necessaria la descrizione dettagliata delle forze che agiscono sul punto in considerazione Ersquo sufficiente conoscere il loro lavoro totale

Lrsquoenergia cinetica K = 2

1mv2 (gt 0 percheacute m gt 0 v2 gt 0 ) (m e v sono la massa e la velocitagrave del

corpo) Lrsquounitagrave di misura e le dimensioni di K sono le stesse del lavoro Joule ( J ) e [ ]K = [ ]22 minustml

Teorema dellrsquoenergia cinetica Se una forza F compie un lavoro L su un punto materiale di massa m si ha una variazione dellrsquoenergia cinetica pari al lavoro compiuto

Xfin Xin

F

0

ksdotxfin

ksdotxin

F= ksdotx

x

LAB= -area

L = Kfin ndash Kin = ∆ K Nel caso che piugrave forze agiscono sul punto materiale il teorema dellrsquoenergia cinetica si applica al lavoro totale (equivalentemente al lavoro della risultante ) E il caso dellrsquoatleta che solleva il peso di 2500N Sappiamo che ha compiuto un lavoro di 5000J ma il bilanciare con i pesi era fermo allrsquoinizio ed egrave fermo alla fine Quindi Kin = 0 e Kfin = 0 percheacute vin = 0 e vfin = 0 Allora il teorema dellrsquoenergia cinetica Vale per il lavoro totale o lavoro della forza totale e noi abbiamo visto che la forza netta totale = 0 ( Fa + P = 0 ) ed il lavoro totale egrave nullo quindi giustamente si ha ∆ K = 0 1)Caso di una palla da tennis che cade

la forza peso rarrP compie un lavoro positivo con spostamento concorde a

rarrP si dovrebbe avere

∆ K gt 0 infatti la velocitagrave v aumenta 2)Caso di una palla lanciata verso lrsquoalto

lo spostamento ha verso opposto a rarrP Il lavoro della forza peso egrave negativo e quindi ∆ K egrave

negativo giusto La velocitagrave diminuisce NB Durante il volo agisce solo la forza di gravitagrave quindi il lavoro totale comiuto sul corpo egrave solo quello della gravitagrave 3)Caso del moto circolare uniforme la forza che agisce egrave la forza centripeta che egrave perpendicolare allo spostamento Quindi non compie lavoro deve essere ∆ K = 0 Iinfatti il moto egrave uniforme cioegrave la velocitagrave egrave in modulo costante Potenza Si chiama potenza il lavoro che si egrave in grado di svolgere nellrsquounitagrave di tempo

P = t

L

∆ ( potenza media )

P = t

Lt ∆

∆rarr∆ 0lim ( potenza istantanea)

Non egrave solo una stima del lavoro compiuto ma anche della rapiditagrave con cui si compie lavoro

Fig 29 Per superare il muro ci vuole un certo lavoro che consiste nellrsquoinnalzare il proprio corpo di unrsquoaltezza h Sia lrsquoatleta che lo supera in un sol balzo sia il vecchietto che sale pian piano la scalinata faranno lo stesso lavoro Quel che egrave diverso egrave la potenza dei due personaggi Dimensioni e unitagrave di misura della potenza [ ]P = [L] [t -1] = [ml2t-3] 1 watt = 1 joule 1sec (1w)

Energia Potenziale K egrave energia connessa allo stato di moto di un sistema Crsquoegrave anche energia connessa alla posizione di un corpo in un campo di forze (configurazione) Si chiama energia potenziale Nel caso dellrsquoatleta di sollevamento pesi il lavoro compiuto dallrsquoatleta Lm non ha alterato lrsquoenergia cinetica K dellrsquoattrezzo ma ha modificato la configurazione del sistema (terra-attrezzo) variandone lrsquoenergia potenziale (W) Il lavoro non egrave stato sprecato ma ldquoimmagazzinatordquo lrsquoattrezzo prima egrave a terra poi egrave in alto nel sistema che ora ldquopotenzialmenterdquo puograve compiere un lavoro cedendo la sua ldquoenergia potenzialerdquo Energia cinetica ed energia potenziale sono due parti dellrsquoenergia meccanica possono trasformarsi lrsquouna nellrsquoaltra ed in lavoro Nellrsquoesempio precedente quando lrsquoattrezzo egrave in alto si ha che K = 0 e W = WA Quando cade K aumenta percheacute la velocitagrave v aumenta e lrsquoenergia potenziale W diminuisce In basso W = WB lt WA e K egrave massima Lrsquoattrezzo cadendo puograve compiere lavoro Se fosse un martello potrebbe far avanzare un chiodo ad esempio Lrsquoenergia potenziale viene definita proprio a partire dal concetto di lavoro di forze conservative Ersquo conservativa una forza il cui lavoro per spostare il suo punto di applicazione da una posizione (configurazione) ad unrsquoaltra dipende solo dalle due posizioni (configurazioni) iniziale e finale Equivalentemente si puograve definire la forza conservativa dicendo che il lavoro di tale forza egrave nullo se le posizioni (configurazioni) iniziali e finali coincidono

-Lavoro per passaggio dalla posizione A a B egrave lo stesso lungo I o II -Se da A vado a B e torno in A il lavoro totale egrave nullo

Fig 30 Posso allora definire una funzione della posizione W che assume i valori WA e WB in A e B e tale per cui LAB = WA ndash WB ( W energia potenziale) WA WB sono definiti a meno di una costante tanto quello che interessa egrave la differenza fra loro Variazione di energia potenziale del passaggio da A a B WB ndash WA = ∆W allora LAB = -∆ W Con questa convenzione sui segni si rende conto del fatto che un lavoro positivo ( fatto dalle forze conservative sul corpo) fa diminuire lrsquoenergia potenziale W ( L positivorarr ∆W negativo rarr WBlt WA rarr ho usato energia potenziale) un lavoro negativo (subito) aumenta W (L negativo rarr ∆W positivo rarr WBgt WA rarr ho guadagnato energia potenziale) W si misura in Joule come il lavoro e lrsquoenergia cinetica

Qual egrave la Forma di W

Mentre la forma dellrsquoenergia cinetica egrave sempre K =2

1mv2 indipendentemente dal tipo di forze

che provocano il movimento W dipende dal tipo di forza conservativa di cui si sta calcolando il lavoro Consideriamo due forze conservative

a) Forza gravitazionale forza peso

F(y) = -mg Stato di riferimento y0 = 0 in cui W0 = 0

Fig31

Abbiamo detto che LAB = WA- WB ma siccome

LAB = )( ABhmgsP minussdotminus=sdot dove hAB= yA-yB egrave la distanza tra A e B allora rArr WA = mgyA WB = mgyB e in generale W(y) =mgy

Per la forza peso W(y) =mgy e lrsquoenergia totale meccanica (W+K) = mgy+2

1mv2=Etot

b) Forza elastica

Fig 32

F(x) = -kx Stato di riferimento x = 0 allungamento nullo la lunghezza della molla egrave la sua lunghezza di riposo L ( W(0) = 0)

Immaginiamo che la configurazione della molla venga modificata passando dalla posizione xA alla posizione xB (Fig 32) Il lavoro della forza elastica egrave calcolato come

LAB = 22

2

1

2

1AB kxkx +minus

Ricordando che LAB = WA- WB possiamo ricavare lrsquoespressione per lrsquoenergia potenziale elastica

rArr WA = 2

2

1Akx WB = 2

2

1Bkx e in generale W(x) = 2

2

1kx

Energia totale meccanica ndash Conservazione dellrsquoenergia

In presenza di sole forze conservative la somma dellrsquoenergia cinetica e dellrsquoenergia potenziale costituisce lrsquoenergia totale meccanica Tale energia meccanica gode della proprietagrave importantissima di conservarsi durante lrsquoevoluzione del sistema Lrsquoenergia connessa al movimento e alla posizione si scambiano una diminuisce e lrsquoaltra cresce ad esempio ma la loro somma rimane costante

- Esempio delle montagne russe Se non ci sono attriti (infatti il trucco egrave quello di rendere il

sistema privo di attriti) so giagrave quale altezza massima potrograve raggiungere (quella iniziale e non di piugrave) quale velocitagrave massima potrograve raggiungere (in fondo alla valle) Queste quantitagrave sono fra loro legate dal teorema della conservazione dellrsquo energia meccanica

Fig 33 - Esempio del salto con lrsquoasta Lrsquoenergia cinetica dellrsquoatleta acquisita nella rincorsa viene

trasformata in energia potenziale gravitazionale parte direttamente e parte attraverso lrsquoenergia potenziale elastica dellrsquoasta acquisita nella sua deformazione durante il salto La flessibilitagrave dellrsquoasta (costante elastica dellrsquoasta) egrave legata allrsquoenergia che si puograve immagazzinare in una data deformazione Infatti con aste rigide (alluminio acciaio bambugrave) il salto era piugrave basso Con fibra di vetro il record egrave stato polverizzato

Fig 34

Fig 35

Fig 36

Osserviamo che il teorema dellrsquoenergia cinetica ha validitagrave generale qualunque siano le forze che agiscono conservative o non conservative (le forze non conservative si dicono anche ldquodissipativerdquo)

KLL

KL

fncfc

tot

∆=+∆=

e ricordando che darr Lfc = - )( fcW∆

Si ottiene che K∆ + )( fcW∆ = Lfnc

Si vede che nel caso in cui Lfnc sia nullo cioegrave quando non ci sono forze dissipative la somma delle variazioni di energia cinetica e energia potenziale egrave uguale a zero cioegrave lrsquoenergia totale meccanica (somma dellrsquoenergia cinetica e potenziale) egrave costante E questo corrisponde al teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica Nel caso ci siano forze dissipative la somma delle energie non egrave costante quindi al contrario del teorema dellrsquoenergia cinetica il teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica non ha validitagrave generale (vale solo in assenza di attriti ad esempio) Le forze non conservative di attrito compiono lavori solo negativi e fanno perdere quantitagrave di energia non recuperabile Parte di questa energia va in generale in calore quindi se ne puograve tenere conto considerando unrsquoaltra forma di energia lrsquoenergia termica ( ci sono anche altri fenomeni dissipativi ad esempio le deformazioni permanenti negli urti o la propagazione di onde sonore)

Lrsquo energia puograve dunque conservarsi o trasferirsi proprietagrave caratterizzanti dellrsquoenergia Il lavoro rende conto del trasferimento di energia della perdita di energia sotto una forma e del guadagno sotto unrsquoaltra forma (cioegrave energia conservativa) o del passaggio dellrsquoenergia da un sistema ad un altro Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica quando egrave applicabile puograve essere sfruttato per risolvere facilmente problemi altrimenti complicati Esercizio Una palla da tennis viene lanciata con velocitagrave iniziale v0 (senza effetti strani taglio etc) al di lagrave della rete Con quale velocitagrave arriva a terra

Se durante il moto Etot si conserva K+W = cost

Fig 37 e W = mgh egrave solo energia potenziale gravitazionale h = 0 alla fine come allrsquoinizio dunque K in = Kfin e vfin = v0 Se la palla egrave lanciata verso lrsquoalto non crsquoegrave componente orizzontale della velocitagrave ma solo verticale al punto piugrave alto di arresto h K(h) = 0 W(h) = max = Kin cioegrave mgh = frac12 mv0

2 si puograve cosigrave calcolare facilmente lrsquoaltezza massima raggiunta h = (frac12 v0

2)g e vicenversa si puograve calcolare il valore della velocitagrave v0 che bisogna imprimere alla palla affinchegrave raggiunga lrsquoaltezza h

v0 = gh2

Esercizio Una saltatrice di massa M = 61Kg salta da un ponte di altezza H = 45m agganciata ad una corda elastica La lunghezza di riposo della corda elastica egrave L = 25m e la sua costante elastica egrave k = 160 Nm Nel punto piugrave basso si arresta prima di venire rimbalzata in alto Qualrsquo egrave lquesta quota piugrave bassa h (a cui si trovano i suoi piedi ai quali egrave legato lrsquoelastico)

Fig 38 Etot = Wgrav + Wel + K = cost sono solo forze conservative vale la conservazione

dellrsquoenergia Nel punto A K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di lanciarsi Wel = 0 percheacute lrsquoelastico non egrave ancora svolto Wgrav = MgH Nel punto B K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di rimbalzare

Wel = frac12 kd2 Wgrav = Mgh = Mg(H-(L+d)) Etot(A) = Etot (B) MgH + 0 + 0 = Mg (H-(L+d)) + frac12 kd2 + 0 MgH = MgH ndash MgL ndash Mgd +frac12 kd2

2

1(160)d2 ndash (61)(98)d ndash (61)(98)(25) = 0

equazione di IIdeg grado che dagrave per d il valore accettabile d = 179m (lrsquoaltro egrave negativo e non egrave accettabile perchegrave non ha senso fisico la

saltatrice va in giugrave non in su) Allora h = H-(L+d) = 45 ndash (25+179) = 45 ndash 429 = 21m quindi con la testa poco sopra lrsquoacqua Sistemi di punti materiali e corpi rigidi ndash Centro di Massa

Un giocoliere o un ginnasta che lancia la clavette fa compiere allrsquoattrezzo movimenti complicati tuttavia crsquoegrave un punto dellrsquoattrezzo che si muove seguendo una traiettoria semplice come quella di un punto materiale ad esempio lanciato segue una traiettoria parabolica Tale punto si chiama centro di massa dellrsquooggetto Il centro di massa puograve essere definito per un oggetto o per un insieme di punti materiali Ersquo importante percheacute in generale il moto di un corpo esteso (o di un insieme di punti) si puograve studiare separando il moto del centro di massa (moto traslatorio) e il moto del corpo attorno al centro di massa (moto rotatorio)

Centro di Massa (CDM) di un sistema di punti - Consideriamo il caso semplice di due punti materiali di massa m1 m2 posti sullrsquoasse x in

posizione x1 x2

Fig 39

la posizione del centro di massa egrave definita xCDM = 21

2211

mm

xmxm

++

a) xCDM egrave compreso fra x1 e x2 b) se m1 = m2 CDM egrave a metagrave strada fra m1 ed m2 c) xCDM egrave piugrave prossimo alla massa maggiore - Nel caso di piugrave punti allineati nelle posizioni xi detto M = summi allora

xCDM = ii xmMsum

1

- Nel caso di punti distribuiti nello spazio detti irrarr

i vettori che identificano le loro posizioni

CDMrrarr

= iii rmM

rarrsum

1

dove CDMrrarr

ha coordinate (xCDM yCDM zCDM) definite come

xCDM = ii xmsumη1

yCDM = ii ymMsum

1

zCDM = ii zmMsum

1

- Consideriamo un oggetto qualsiasi questo egrave composto da un gran numero di particelle ma conviene considerarlo come un continuo di materia e per calcolare il centro di massa si prendono in considerazione degli elementi infinitesimi di massa dm centrati intorno alle posizioni (xyz) allora

xCDM = int xdmM

1 yCDM = int ydm

M

1 zCDM = int zdm

M

1

se si puograve considerare il corpo omogeneo (densitagrave uniforme) allora V

M

dv

dm = e allora si puograve fare il

calcolo considerando il volume V e gli elementi di volume dv anzichegrave la massa e gli elementi di massa

xCDM = int xdvV

1 etc

In un oggetto solido (corpo rigido) i diversi punti materiali che lo compongono non cambiano la loro posizione relativa (non come un corpo elastico) - se un oggetto ha un elemento di simmetria un asse od un piano il CDM si trova su tale

elemento di simmetria (asse per cono centro per sfera piano per una banana etc) Non egrave detto che il CDM di un oggetto appartenga allrsquooggetto vedi uno pneumatico un cerchio Il CDM egrave esterno alloggetto Legge fondamentale della dinamica per un sistema di punti materiali Caso della palla da bigliardo urto fra due palle dopo il lancio di una le due si muovono 1) una egrave ferma (B) lrsquoaltra la lancio (A) 2) le due si urtano in qualunque modo 3) le due si muovono secondo traiettorie differenti una possibilmente andragrave in buca lrsquoaltra no Dopo il lancio sulla palla A non agisce piugrave nessuna forza quindi la sua velocitagrave v egrave costante Va bene ma dopo lrsquourto Il CDM delle due palle continua a muoversi con velocitagrave costante anche se il centro di massa egrave un punto teorico che non appartiene a nessuna delle due palle Tuttavia al CDM possiamo assegnare una massa (M totale del sistema) una velocitagrave ed una accellerazione Si ha

)(CDMext aMFrarrrarr

=sum

a) extFrarr

sum egrave la somma di tutte le forze esterne che agiscono sul sistema non quelle interne (ad esempio nel caso del bigliardo non devo considerare le forze che si applicano fra le due palle quando si urtano)

b) M egrave la massa totale del sistema Si suppone che durante il moto M rimanga costante

c) )(CDMararr

egrave lrsquoaccelerazione del CDM Dellrsquoaccellerazione di un altro punto ad esempio del centro della palla A non si dice nulla

Cosideriamo alcuni esempi 1) Bigliardo tvaF CDMCDMext cos00 ===sum prima dellrsquourto nellrsquourto si verificano solo forze

interne Quindi tvaF CDMCDMext cos00 ===sum dopo lrsquourto e durante tutto il moto

2) Sistema terra-luna sumFext = gravitazione del sole aCDM egrave ldquocentripetardquo accellerazione di una

forza che egrave diretta verso il sole (forza ldquocentralerdquo) egrave il CDM terra-luna che segue la traiettoria dovuta allrsquoattrazione gravitazionale del sole poi terra e luna si muovono intorno al loro CDM

3) Clavette lanciate sum Fext = Mg aCDM = g il centro di massa si comporta come un punto materiale nel lancio

4) La ballerina nel ldquogrand-fetegraverdquo fa seguire a testa e busto una traiettoria rettilinea percheacute modifica lrsquoassetto in modo da alzare il suo CDM Nel corso del salto (alza le braccia e distende

orizzontalmente le gambe non appena lasciato il suolo) il suo CDM segue la traiettoria parabolica del lancio di un corpo soggetto allrsquoaccelerazione di gravitagrave g

Quantitagrave di moto rarrP

- Si definisce quantitagrave di moto di una particella il vettore

rarrrarr= vmP

con m massa della particella e rarrv la sua velocitagrave

Si vede che rarrP egrave diretto come

rarrv

Newton scrisse la legge fondamentale della dinamica in termini di quantitagrave di moto (a differenza di Galileo che la scrisse in termini di massa e di accelerazione) ldquola rapiditagrave di variazione della quantitagrave di moto di una particella egrave proporzionale alla forza netta che agisce sulla particella ed egrave nella direzione di quella forzardquo cioegrave

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

che egrave piugrave generale della formulazione di Galileo perchegrave descrive bene anche il caso in cui variasse la massa del corpo durante il moto (ad esempio un vettore spaziale) Se la massa egrave costante le due formulazioni sono identiche

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

= t

vm

∆∆

rarr)(

= m t

v

∆∆

rarr

= m rarra

Ricordiamo che rarrF egrave diretto come

rarra (o la risultante

rarrR = sum

rarrF )

Per un sistema di punti materiali si definisce la quantitagrave di moto totale

rarrP =

rarrP 1 +

rarrP 2 + helliphellip+

rarrP n =

m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +helliphelliphellip+ mn

rarrv n = M

rarrv CDM (si puograve dimostrare) dove M egrave la massa totale

[essendo infatti Mrarrv CDM =

dt

d(M

rarrr CDM) =

dt

d(m1

rarrr 1 + m2

rarrr 2 +hellip) = m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +

hellip]

quindi rarrP = M

rarrv CDM per un sistema di particelle e

dt

Pdrarr

= M dt

d rarrv CDM = M

rarra CDM = sum

rarrF ext

Conservazione delle quantitagrave di moto

Per un sistema chiuso (M non varia) e isolato (sumrarrF ext = 0)

Allora

t

P

∆∆

rarr

= 0 rarrP = cost

rarrP i =

rarrP f

che sono tre modi equivalenti per dire che la quantitagrave di moto si conserva Vale per un sistema nel quale non agisca nessuna forza esterna netta Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica e la conservazione delle quantitagrave di moto sono due concetti fisici importantissimi Valgono sia per le palle da bigliardo che per qualunque altro sistema anche le galassie nellrsquouniverso Queste equazioni sono vettoriali Ciograve significa che rappresentano una terna di equazioni scalari ognuna valida sul proprio asse del sistema di riferimento (x y z)

Puograve accadere a seconda delle forze che agiscono nel sistema che la quantitagrave di moto si conservi in una direzione o in due e non in tutte e tre

Ad esempio se consideriamo una palla come un insieme di punti materiali la rarrF ext che agisce nel

sistema egrave mrarrg diretta lungo z senza componenti su x e y quindi

rarrP varia lungo z ma

non su x e y

Percheacute ldquocomplicarci la vitardquo con questa storia del CDM del sistema di particelle etchellip non bastava il moto del punto rappresentativo materiale Avevamo giagrave considerato il punto rappresentativo e avevamo svolto anche problemi sulla palla sul bilanciere e per altri oggetti Abbiamo sempre sbagliato La questione egrave se un corpo egrave rigido cioegrave se tutti i suoi punti si muovono mantenendo le loro distanze relative non crsquoegrave problema abbiamo solo visto che il punto materiale rappresentativo si chiama CDM ed abbiamo imparato a situarlo allrsquointerno del corpo Ma se il corpo non egrave rigido cioegrave se il suo CDM si sposta rispetto a lui stesso nel corso del moto la disposizione del corpo intorno al punto rappresentativo varia nel corso del tempo e le leggi di conservazione valgono per il CDM - Consideriamo ad esempio il teorema dellrsquoenergia cinetica che per un punto materiale si scrive Ltot = Kfin-K in = ∆ K (qui ovviamente non crsquoegrave da specificare lavoro delle forzeldquoesternerdquo percheacute essendo in un punto materiale che si assume infinitamente piccolo non ci sono forze ldquointernerdquo) Per analogia il teorema dellrsquoenergia cinetica si estende al caso di un insieme di punti materiali nel seguente modo

Ltot forze ext=rarrF extmiddot

rarrs CDM = ∆ KCDM

Dove s CDM egrave lo spostamento del centro di massa A titolo di esempio risolviamo il problema un giocatore di hockey su ghiaccio di massa M = 110Kg si muove verso la balaustra a bordo campo alla velocitagrave di 3msec Nellrsquoarrestarsi flettendo le braccia il suo CDM si sposta in avanti di 30cm Qual egrave la ∆ K del suo CDM durante la manovra

∆ KCDM = infin CDMCDM mvmv 22

2

1

2

1 minus =

= 0 - 2

1110 32 = -495 J

Fig 40

Sia L il lavoro delle forze esternerarrF ext (dirette come d

rarrx CDM ) allora

L = - Fext 03 = ∆ KCDM quindi

Fext =30

495

minusminus

= + 1650N

( si considera la forza esterna rarrF ext costante nellrsquointervallo dellrsquoarresto fatto che equivale a dire

che il giocatore si arresta con rarra CDM costante)

Dinamica e statica del corpo esteso Finora abbiamo sempre discusso del moto di un punto materiale (punto rappresentativo dicevamo sempre) In particolare abbiamo sempre applicato le forze a quel punto materiale quindi se diverse forze erano applicate esse concorrevano in quel punto ligrave e con le forze concorrenti sapevamo come calcolare la risultante con il metodo grafico o con quello numerico delle coordinate cartesiane Una volta calcolata la risultante applicata al punto si otteneva un moto di pura traslazione del punto (al massimo traslava lungo una traiettoria curva) senza rotazioni proprie del punto che non hanno neanche senso un punto che ruota su se stesso Come faccio ad accorgermi Un punto per definizione egrave infinitamente piccolo (Dicevamo infine che il punto egrave in equilibrio

traslazionale se la risultante rarrR delle forze applicate egrave nullo)

Consideriamo invece un corpo esteso Prima osservazione questo ha piugrave punti (direi infin ) a

cui la forza puograve essere applicata Prendiamo una racchetta da tennis ed una forza rarrF applicata il

moto che ne risulta dipende dal punto al quale viene applicata la forza rarrF

qui la racchetta trasla

Fig 41

stessa forza qui la racchetta ruota

Fig 42

Seconda osservazione Crsquoegrave un caso in cui le forze non possono essere fatte concorrere in un punto ed egrave quando sono parallele ed hanno rette di applicazione distinte Chiaramente non abbiamo mai dovuto considerare questo caso per il punto materiale percheacute per un punto non possono mai passare due rette parallele Ma per il corpo esteso So benissimo che se sono ferma con la macchina in

panne e la sto spingendo applicando una forza rarrF 1 sono contenta se qualcuno si affianca a me ed

esercitando una forza rarrF 2 lungo una direzione parallela a quella della mia mi aiuta a spingere In

particolare mi viene spontaneo dire che se F1 = F2 allora spingeremo con una forza doppia Ci saragrave quindi un modo per sommare due forze non concorrenti in un punto ma parallele e saragrave Ftot = F1+ F2 La retta di applicazione di Ftot divide il segmento congiungente i punti di applicazione di F1 ed F2 in due segmenti inversamente proporzionali allrsquointensitagrave delle forze F1 e F2 Terza osservazione se F1 = - F2 sono uguali in intensitagrave ma di verso opposto sempre lungo due rette di applicazione parallele passanti per un corpo esteso cosa succede La loro somma Ftot risultante saragrave 0 ma io so che il corpo non sta fermo sotto lrsquoazione di tali due forze ma ruoteragrave Concludo che le nozioni che ho acquisito finora vanno riviste ed ampliate o corrette o specificate per i corpi estesi ed inoltre che mi mancano totalmente i mezzi per descrivere le rotazioni dei corpi estesi Occorrono nuovi concetti nuove quantitagrave la forza non basta Prendo lrsquoesempio piugrave semplice dellrsquoaltalena con due bambini in due bracci uno piugrave leggero uno piugrave pesante

Fig 43 Qualitativamente so che percheacute lrsquoaltalena stia in equilibrio e non ruoti intorno al punto fisso non egrave necessario che i due bambini abbiano lo stesso peso (ugual massa) occorre che il bambino piugrave leggero sieda piugrave lontano rispetto al punto fisso (fulcro) La regola quantitativa dice che lrsquoaltalena egrave in equilibrio se il prodotto del peso per la distanza del fulcro egrave uguale PB dB = Pb

db Per generalizzare questa regola ai casi piugrave complessi occorre definire una nuova quantitagrave il momento di una forza Momento di una forza

Consideriamo una forza rarrF applicata ad un punto P ed un punto O Sia

rarrr

il vettore rarrOP allora il momento

rarrM di

rarrF rispetto ad O egrave

rarrM =

rarrr x

rarrF

e

|rarrr | middot |

rarrF | sin ϑ = |

rarrM |

Fig 44

oppure anche considerando la componente di rarrF perpendicolare ad

rarrr o di

rarrr

perpendicolare a rarrF r e rispetto a F

|rarrM | = |

rarrr | |

rarrF perp | |

rarrM | = |

rarrr perp| |

rarrF |

In generale si dice che il modulo del momento |rarrM | egrave il prodotto delle intensitagrave della forza per la

distanza dal punto della retta di applicazione della forza

Come vettore rarrM egrave perpendicolare al piano che contiene

rarrF ed

rarrr ed ha verso calcolato con la

regola della mano destra (con rarrr che si chiude su

rarrF )

La distanza rperp si chiama braccio della forza Si vede che il momento egrave nullo quando il braccio egrave nullo cioegrave quando il punto O si trova sulla retta di applicazione di F Il momento della forza peso P egrave nullo rispetto al baricentro che coincide con il centro di massa nel caso (praticamenteldquosemprerdquo) in cui il corpo non sia abbastanza esteso percheacute diversi punti del corpo risentano di una forza gravitazione differente Praticamente si deve parlare di galassie percheacute CDM e baricentro (BC) non coincidono Quindi la condizione del momento nullo della forza peso diventa un modo per definire il CDM come quel punto rispetto al quale la forza peso P ha momento nullo Per un corpo ldquoarticolatordquo estendiamo il concetto di forza normale come forza di contatto nellrsquoarticolazione utile cioegrave la forza che lrsquoarticolazione che si sta considerando esercita su quello che nellrsquoarticolazione si appoggia La forza peso P di un corpo esteso puograve immaginarsi applicata al CDM Principio di equilibrio di un corpo esteso

se su un corpo esteso agiscono solo rarr

Peso e rarr

Normale cioegrave se un corpo egrave appoggiato ad un piano orizzontale allora il corpo egrave in equilibrio se e solo se il baricentro si trova sopra la superficie di appoggio

Fig 45

Finchegrave il baricentro egrave sopra il tavolo il libro non cade percheacute rarrP applicata a CDM puograve essere

controbilanciata da rarrN Se CDM si sposta in fuori

rarrN rimane nel tavolo e crsquoegrave momento non nullo

non equilibrato da rarrP che continua ad essere applicato nel CDM

Il baricentro di una persona in posizione eretta si trova nellrsquoarea delimitata dei suoi piedi 3cm davanti allrsquoarticolazione della caviglia

Fig 46 Quando la persona si piega in avanti il baricentro esce dal corpo e per mantenere lrsquoequilibrio egrave necessario che le anche si spingono indietro percheacute il baricentro cade di nuovo in quella posizione Notiamo che anche in posizione eretta essendo la forza peso e la forza di contatto non allineate (quei 3cm) (forza di contatto sullrsquoarticolazione della caviglia che regge il peso) occorre un momento correttivo che impedisca la rotazione in avanti mantenuto dal tendine di Achille che si lega alla caviglia Altro esempio di spostamento del baricentro egrave lrsquoatleta che assume una posizione ad L chi regge il peso egrave lrsquoarticolazione della spalla quindi il CDM si sposta sotto la spalla (giagrave era uscita dal corpo per via delle gambe distese in avanti) Nel camminare il baricentro continua a muoversi da sopra un piede a sopra un altro (quello appoggiato ovviamente) Si osservi lrsquoondeggiamento Per assurdo lrsquoancheggiare delle indossatrici serve a mantenere il baricentro il piugrave possibile fermo rispetto alla direzione media del moto (porre un piede esattamente davanti allrsquoaltro) rendendo piugrave facile muoversi anche con tacchi altissimi Al contrario lrsquoequilibrista che cammina sui trampoli sta fermo il meno possibile percheacute egrave stando fermo che il piccolo spostamento che fa uscire il baricentro (ALTO) dalla superficie drsquoappoggio puograve verificarsi facilmente preferisce il ldquonon ndash equilibriordquo o lrsquo rdquoequilibrio dinamicordquo dellrsquoondeggiare continuamente fra due posizioni di equilibrio

Ricordiamo che un equilibrio egrave detto stabile se quando una perturbazione lo altera spontaneamente il sistema lo ripristina Viceversa un equilibrio egrave instabile se la piugrave piccola perturbazione lo distrugge Lrsquoequilibrio egrave molto stabile se il baricentro egrave basso ed il corpo ha una grande area drsquoappoggio la posizione accucciata del giocatore di football americano dagrave grande stabilitagrave Ancor piugrave grande stabilitagrave si ha se il baricentro (CDM) si trova al di sotto della superficie drsquoappoggio Ersquo come se si fosse ldquoappesirdquo anzicheacute ldquoappoggiatirdquo alla superficie drsquoappoggio Proprio per questo motivo lrsquoequilibrista sul filo porta una lunga asta che spesso si flette agli estremi

Fig 47 Gli uccelli bipedi da 100000000 di anni hanno sviluppato questo adattamento per cui sono appesi alle anche mentre gli uomini bipedi da solo 1000000 di anni fanno fatica con il CDM dalla parte alta del corpo Ersquo un equilibrio instabile ldquosoprardquo le anche che le reggono (65 del peso del corpo) Modificazioni strutturali per reggere la posizione eretta 1) Colonna vertebrale rastremata (piugrave tozza in basso che in alto percheacute piugrave in basso vuol dire una

maggior forza di contatto) 2) Muscoli estensori della schiena 3) Gambe ed anche ingrossate 4) Ginocchio che blocca la gamba estesa Ciononostante si ha spesso il mal di schiena Se una forza ha momento non nullo rispetto ad un punto allora il corpo puograve ruotare intorno a quel punto sotto lrsquoazione di quella forza ldquoDiciamo che se sostengo il corpo per quel punto il corpo puograve ruotare intorno a quel puntordquo (Prendo in mano un foglio di carta per un estremo per esempio) La presenza di un momento non nullo egrave dunque la condizione che genera rotazione e viceversa Lrsquoassenza di un momento risultante egrave la condizione che genera lrsquoequilibrio rotazionale di un corpo esteso Quindi la condizione di equilibrio per un corpo esteso egrave

1) rarrR = 0 risultante delle forze applicate = 0 (equilibrio traslazionale)

2) rarrM = 0 momento risultante = 0 (equilibrio rotazionale)

Supponiamo di avere un corpo esteso al quale siano applicate delle forze che diano luogo ad un momento non nullo allora il corpo ruota Per equilibrarlo dovrograve applicare un altro momento tale che la loro somma sia nulla Questo egrave il principio di funzionamento delle leve LEVE

Una leva egrave un corpo esteso al quale sono applicate delle forze con un momento risultante rarrR

allora per portare il corpo in equilibrio applico un momento correttivo rarrP in modo che il momento

totale sia nullo Si dice in genere potenza (P) e resistenza (R) di una leva Le leve sono macchine semplici Servono per applicare forze in punti scomodi o in direzioni particolari Il fulcro egrave il punto nel quale la leva egrave incernierata Si definisce il guadagno meccanico di una leva

GM =

)(

)(rarr

rarr

PF

RF

cioegrave il rapporto fra la forza che genera il momento resistente e quella che genera il momento agente A seconda che GM sia gt

lt 0 una leva si dice che egrave vantaggiosa o svantaggiosa ma solo per quel che riguarda le forze percheacute per quel che riguarda i lavori non si ha neacute vantaggio neacute svantaggio Il lavoro esercitato dalla forza che dagrave la ldquopotenzardquo e quello esercitato dalla forza che dagrave la ldquoresistenzardquo sono sempre uguali Infatti forze e spostamenti sono inversamente proporzionali Le leve si dicono di I II o III specie a seconda se il fulcro si trovi I) in mezzo fra R e P (leva indifferente GM dipende da caso a caso) II) dalla parte di R (leva vantaggiosa il braccio di R egrave sempre minore del braccio di P basta

quindi una P minore per equilibrare una R maggiore) III) dalla parte di P (leva svantaggiosa) Classici esempi dei tre tipi di leve sono i remi (I) lo schiaccianoci (II) e la pinzetta per francobolli (III) Tuttavia vediamo degli esempi meno classici ma attinenti al campo della biologia e della medicina Criterio generale egrave che le leve vantaggiose consentono di essere molto potenti ma con brevi spostamenti mentre viceversa quelle svantaggiose fanno perdere in potenza ma consentono grandi spostamenti saragrave difficile vedere un cavallo che con le lunghe zampe si scava la tana drsquoaltronde una talpa scava bene la tana ma ha movimenti molto meno ampi che non le consentono di correre veloce come un cavallo (compromesso fra forza e velocitagrave del movimento) Se contiamo tutti i movimenti di rotazione che il corpo puograve compiere capiamo che siamo pieni di leve di ogni tipo Sono classici a) il capo fulcro (articolazione occipito-atlantoide) Fig 48 muscoli della nuca (Potenza) peso del capo (Resistenza) b)

muscolo bicipide (Potenza)

Fig 49 Peso dellrsquoavambraccio (Resistenza) Fulcro (articolazione del gomito) Questa leva permette grandi spostamenti Si vede che la forza operata dal muscolo bicipite egrave massima quando lrsquoavambraccio egrave orizzontale (la distanza dal fulcro egrave massima) ed egrave minima quando lrsquoavambraccio egrave verticale( con la distanza dal fulcro nulla) Attenzione - la colonna vertebrale egrave costituita da 24 vertebre separate da dischi di liquido Quando una

persona si piega la schiena egrave una leva con GM molto piccolo Quindi un piegamento completo per raccogliere un oggetto anche leggero produce una forza molto intensa sul disco lombosacrale che separa lrsquoultima vertebra dellrsquoosso sacro Se indebolito questo disco puograve rompersi o deformarsi comprimendo i nervi vicini e causando grande dolore Vediamo un modello che rende conto come mai questa forza egrave cosigrave grande

Fig 50

I muscoli della schiena esercitano T Con un angolo α = 12deg quando la schiena egrave piegata a 90deg

Peso della parte superiore del corpo (circa il 65 del peso totale)

Fulcro lombosacrale (il fulcro produce R) Essendo α piccolo la retta di azione Τ passa vicino al fulcro e dunque la distanza r che costituisce il suo braccio egrave molto piccola Al contrario il peso egrave perpendicolare alla colonna e il suo punto di applicazione egrave molto piugrave distante dal fulcro Τ deve essere molto grande per equilibrare il momento di P Dunque se T egrave grande anche la sua componente orizzontale egrave grande e di conseguenza anche R che costituisce la reazione dellrsquoosso sacro deve avere componente orizzontale molto grande per equilibrare Τ (uguale ed opposta alla componente orizzontale di Τ ) Facendo i conti si ottengono numeri grandi per 75Kg di peso T ed R sono equivalenti al peso di una massa di 220Kg Senza sollevare pesi solo piegandosi Conviene piegare le ginocchia quando si sollevano pesi - Nel corpo egrave difficile che il peso cada sulla verticale dellrsquoarticolazione che lo sostiene egrave sempre

un porsquo spostato e crsquoegrave un tendine con un muscolo che compensa il momento del peso - La contrazione muscolare egrave una successione di brevi contrazioni delle fibre muscolari stimolate

da impulsi che provengono dal sistema nervoso Contrazioni sono molto ravvicinate e avvengono in tempi differenti nelle diverse parti del muscolo cosigrave che il risultato apparente egrave una lenta e progressiva contrazione Se la frequenza degli impulsi aumenta la tensione cresce finchegrave si raggiunge la tensione massima (ricordare la tensione di un cavo) Un ulteriore aumento della frequenza degli impulsi a questo punto non causa ulteriore aumento della tensione

La tensione massima egrave proporzionale allrsquoarea della sezione trasversa del muscolo nel suo punto piugrave largo La tensione massima dipende anche dalla lunghezza del muscolo che varia Si ottiene tensione massima quando il muscolo egrave solo di poco allungato rispetto alla sua lunghezza di riposo di riposo ed egrave circa 30-40 Ncm2 La tensione massima si riduce moltissimo se il muscolo egrave molto allungato o accorciato Dinamica Rotatoria Fino ad ora abbiamo studiato moti traslatori ma il moto di un corpo rigido egrave in generale roto-traslatorio Naturalmente dobbiamo ridurre il problema complesso ad uno piugrave semplice e per fare ciograve immaginiamo di posizionarci su un sistema di riferimento solidale al corpo rigido i moto immaginiamo cioegrave di ldquosedercirdquo sul corpo rigido In questo modo non saremo piugrave sensibili al moto traslatorio e guardando il corpo rigido osserveremo solo le sue rotazioni Trattiamo allora il moto generico scomponendo la parte traslatoria (giagrave discussa ) da quella rotatoria Se si trascura la parte traslatoria del moto di un corpo rigido quello che rimane da trattare egrave la sua rotazione Nel nostro corso consideriamo le rotazioni che avvengono su un piano le rotazioni nello spazio potranno essere trattate come composizione di rotazioni su un piano Per le rotazioni su un piano si identifica un asse di rotazione perpendicolare al piano di rotazione e passante per il centro di rotazione Le articolazioni del gomito e del ginocchio sono articolazioni libere di ruotare intorno ad un asse a differenza ad esempio di quella della spalla che puograve ruotare intorno a due assi Si definisce spostamento angolare la variazione di una posizione che egrave definita in modo completo da una misura di angolo Una rotazione di un intero corpo rigido egrave definita in modo completo da uno spostamento angolare θfin - θin= ∆θ e si misura in radianti

Fig 51 Dobbiamo definire anche un verso di rotazione θ si incrementa per rotazioni antiorarie positive le rotazioni in senso orario sono invece negative La velocitagrave angolare si definisce analogamente alla velocitagrave lineare come il rapporto tra lo spostamento angolare e il tempo t impiegato per eseguire tale rotazione

ωm = t∆

∆θ e si misura in rad s

θin

θfin ∆θ

R

S

Anche per w si definisce ωist = lim ∆trarr0 t∆

∆θ

Ancora lrsquoaccelerazione angolare si definisce αm = t∆

∆ω e αist = lim ∆trarr0

t∆∆ω

Anche la legge fondamentale della dinamica ha un analogo nel ambito dei moti rotatori Si stabilisce che se ad un corpo rigido egrave soggetto ad un momento torcente diverso da zero esso subisce unrsquoaccelerazione angolare ad esso proporzionale Nel caso delle rotazioni la resistenza al moto egrave espressa dal momento di inerzia I associato al corpo rigido che gioca il ruolo della massa nei moti traslatori La legge della dinamica delle rotazioni egrave M = I middotα

E sostituendo M = Imiddott∆

∆ω= Imiddot

tinfin

∆minusωω

Il momento di inerzia I di un corpo rigido dipende dalla disposizione della massa del corpo rispetto allrsquoasse di rotazione per una massa puntiforme m a distanza R dallrsquoasse di rotazione I= m R2 per un oggetto esteso sommerograve il momento drsquoinerzia delle sue parti I = Σi mi Ri

2 Se si definisce momento angolare L il prodotto del momento drsquoinerzia per la velocitagrave angolare

L=Iω la legge della dinamica diventa

M = t

LL infin

∆minus

Il momento angolare egrave la grandezza fisica che si conserva se non viene applicato momento torcente Tutti i gesti di volo salti lanci tuffihellip sono azioni nelle quali si conserva il momento angolare Infatti in volo agisce solo la forza di gravitagrave che essendo applicata al CDM non genera momento torcente Il corpo umano nei gesti di volo Il corpo umano non egrave rigido e pertanto in volo agendo con i muscoli possiamo cambiare la disposizione del nostro corpo intorno al centro di massa che in volo coincide col centro di rotazione In questo modo si ottiene una variazione del momento di inerzia I e di conseguenza la velocitagrave angolare deve compensare questa variazione in modo che si mantenga costante il momento angolare L (grandezza che si conserva in assenza di momento torcente) Ersquo questo il principio che spiega il realizzarsi delle trottole sul ghiaccio dei salti mortali tuffi con avvitamento e cosigrave via in posizione raccolta I diminuisce e ω aumenta Moto circolare e moto circolare uniforme Per utilizzare le relazioni della cinematica e della dinamica lineare che abbiamo studiato egrave interessante poter passare dalle variabili angolari alle variabili lineari velocitagrave e accelerazione delle

masse in moto rotatorio Se una massa si muove su una traiettoria curva la velocitagrave tangenziale vt diretta come la tangente alla traiettoria dipende dalla velocitagrave angolare ω ( ωm=ϑ t )e dal raggio di curvatura della traiettoria Se la traiettoria egrave una circonferenza di raggio R e se gli angoli sono espressi in radianti lrsquoarco percorso per uno spostamento angolare ϑ egrave S = ϑ sdotR e la velocitagrave lineare tangente vt = St= ϑ sdotRt risulta vt = ωsdotR Se la velocitagrave angolare ω egrave costante il moto egrave detto circolare uniforme La legge oraria egrave quella dei moti uniformi spostamenti angolari uguali in tempi uguali ϑ(t) = ω t Anche la velocitagrave tangente saragrave di intensitagrave costante se ω egrave costante (archi uguali per tempi uguali s(t) = vt (t) ) ma crsquoegrave una accelerazione normale infatti la velocitagrave anche se non cambia in modulo cambia continuamente di direzione Questa accelerazione si dice centripeta egrave diretta normalmente rispetto alla traiettoria verso il centro della circonferenza e vale in modulo

ac=R

v2

Fig 52 Essendo la velocitagrave tangente vt = ωR Lrsquo accelerazione centripeta si puograve scrivere

ac =R

v2

= ω2 R

Il tempo impiegato dal punto a muoversi sulla circonferenza egrave una costante (moto uniforme) T periodo in T viene percorso uno spazio 2π R

v = T

Rπ2

La frequenza f egrave invece il ndeg di giri al secondo

f =T

1

Se si prendono punti diversi sul raggio della circonferenza questi hanno la stessa velocitagrave angolare e velocitagrave tangenziali crescenti al crescere del raggio Esempio carosello dei pattinatori Esercizi

1- un velocista con una velocitagrave di 10 ms viaggia su una curva di raggio 25m ndash accelerazione

a = R

v2

= 25

100 = 4 ms2

2 ndash un velocista con v = 92 ms su una pista circolare con ac = 38 m s2 ndash Raggio della pista Tempo per percorrere un giro completo

a = R

v2

rArr R = a

v2

= 83

)29( 2

= 2227m

T =v

Rπ2 =

29

27222 lowastπ = 152 sec

Forza centripeta forza centrifuga Una forza centripeta egrave una forza di qualunque natura che trattiene un corpo in moto su una traiettoria curvilinea ad esempio circolare In assenza di tale forza il corpo proseguirebbe il suo moto lungo una traiettoria rettilinea Nel gesto del lancio del martello ad esempio il lanciatore che esercita sul peso in cima allrsquoattrezzo una forza mediata dalla tensione dal cavo che lo trattiene nella traiettoria circolare Quando il lanciatore lascia la maniglia il martello viene lanciato lungo la direzione della tangente alla traiettoria nellrsquoistante di rilascio Lrsquointensitagrave della forza centripeta necessaria a mantenere una massa m in moto con velocitagrave tangente v lungo una traiettoria circolare di raggio r si puograve calcolare a partire dallrsquoaccellerazione centripeta secondo la legge fondamentale della dinamica

|rarr

cF | = m | rarr

ca | = m r

v2

Tale forza egrave diretta come lrsquoaccelerazione centripeta e cioegrave verso il centro della circonferenza che costituisce la traiettoria La forza centripeta egrave dunque una forza reale Con lsquoforza centrifugarsquo invece non ci si riferisce ad un forza che agisce su un corpo ma alla situazione apparente cui sembra sottoposto un corpo in moto curvilineo Esso pare tirato o attirato lontano dal centro di rotazione pare ci sia una lsquoforzarsquo che vuole farlo sfuggire Quando viene lasciato il martello si allontana dal centro di rotazione percheacute si muove di moto rettilineo uniforme non essendo piugrave soggetto a forze altre che la forza peso Lrsquoacqua esce dal cestello della lavatrice quando il cestello ruota velocemente (funzione centrifuga) percheacute lrsquoacqua che non costituisce un corpo solo con il cestello bucato non egrave soggetta alla forza centripeta e puograve passare attraverso i buchi I panni invece pure non parte del cestello sono troppo grandi per passare dai buchi si possono solo schiacciare contro le pareti questo schiacciamento sembra il risultato di una forza ma egrave invece il risultato dellrsquoassenza di una forza quella centripeta Una volta lagrave contro il cestello fanno tuttrsquouno con le pareti di metallo che esercitano su di essi la forza centripeta (cioegrave con direzione verso lrsquoasse di rotazione) che li mantiene in rotazione Le parti di un corpo rigido esteso che si muove di moto rotatorio rispetto ad un asse quale ad esempio la gamba di un giocatore di calcio che calcia un pallone sono soggette alla forza centripeta che le mantiene sulla traiettoria curva Tale forza viene trasmessa alle varie parti tramite le forze di tensione che si sviluppano allrsquointerno del corpo stesso ad esempio il piede egrave soggetto alla forza centrifuga tramite lrsquoazione dei legamenti e tendini a livello della caviglia che vengono messi in tensione per trattenere il piede stesso

In 10 secondi quanto spazio percorre nei due casi Devo utilizzare la legge oraria del moto uniformemente accelerato s(t) = frac12 a t2 +vi t con partenza da ferma cioegrave vi = 0 s(10 s) = frac12 at2 = frac12 sdot277 sdot 100 = 140m e s(10 s) = frac12 sdot98 sdot 100 = 490m 2 Un giocatore di pallacanestro salta verticalmente fino a 76 cm di quota Per quanto tempo si trattiene nella fascia di quota piugrave elevata e ampia 15 cm (da 61 cm a 76 cm) e quanto nella fascia a piugrave bassa quota dai 15 cm a terra

Fig1

Ogni moto di volo verticale (salita e caduta) vicino alla superficie della terra soddisfa le leggi del moto uniformemente accelerato con a = -98ms2 Il moto da studiare in questo esempio egrave il moto di volo dal decollo (istante iniziale) al raggiungimento della quota massima (istante finale trsquo ) alla quale la velocitagrave si annulla vf = 0 Essendo soggetto alla stessa a il moto di ri-discesa egrave assolutamente simmetrico a quello di salita Devo nuovamente applicare la legge oraria del moto uniformemente accelerato s(t) = frac12 a t2 +vi t che lega lo spostamento verticale al tempo Non conosco perograve con quale velocitagrave vi (velocitagrave iniziale) il giocatore egrave partito da terra (decollato) per sollevarsi di 76 cm = 076m Posso ricavarla risolvendo lrsquoequazione della legge oraria nellrsquoistante finale utilizzando il tempo di

volo di salita ricavato dallrsquoequazione a =t

vv if minus che egrave la definizione stessa di accelerazione media

e la metto a sistema con la legge oraria Si cerca il tempo trsquo che il giocatore impiega ad arrivare allrsquoaltezza massima di 76cm s = h=076 m con agravitagrave = -98 ms2

-98 ms2 =

0

t

viminus

trsquo = vig drsquoora in poi indicheremo con g lrsquointensitagrave dellrsquoaccelerazione di gravitagrave g = 98ms2 sostituendo h = vi trsquo ndash frac12 gtrsquo2

h = vi vi g ndash frac12 g (vig)2 h = frac12 vi2g vi = gh2 = 076) 98 (2 sdotsdot ms = 386ms

Partendo con velocitagrave iniziale vi il giocatore arriva allrsquoaltezza di 61cm = 061m al tempo t- e poi passando per lrsquoaltezza massima ripassa allrsquoaltezza di 061m al tempo t+ Il tempo richiesto ∆t di permanenza al di sopra di 061m egrave dato da

∆t = t+ - t- dove t+ e t- sono le radici dellrsquoequazione di secondo grado

061 = 386 t - frac12 98 t2 49t2 ndash 386t + 061 = 0 tplusmn = 89

946104863863 2 sdotsdot+plusmn

e quindi t+ = 89

711863 + = 0568s e t- =

89

711863 minus = 0219s

perciograve ∆t = 0568 ndash 0219 = 0349sec Si confronti questo tempo ∆t con il tempo t che il giocatore impiega a percorrere gli ultimi 15 cm prima di ritoccare il suolo dopo il salto

(spazio da h al suolo) = 076m = frac12 gt02 t0 =

89

2760 sdot = 0394 s e

(spazio da h a 15cm dal suolo) = 061m = frac12 gt2 t = 89

2610 sdot= 0353 s quindi

t = t0 ndash t = 0041s ltlt di ∆t Il cestista trascorre 35 centesimi di secondo nel tratto alto e solo 4 centesimi nel tratto basso (15cm) I cestisti sembrano rimanere ldquoappesirdquo al canestro Descrizione vettoriale del movimento In questo capitolo estendiamo lo studio del moto dei corpi al moto di corpi sempre puntiformi (trascuro le rotazioni) ma che si muovono in uno spazio a piugrave dimensioni In particolare saragrave sufficiente trattare il moto in due dimensioni Per descrivere i moti che avvengono su di un piano o nello spazio dobbiamo considerare la natura vettoriale delle grandezze fisiche spostamento velocitagrave ed accelerazione che abbiamo introdotto Tali grandezze sono caratterizzate da modulo (o intensitagrave) direzione e verso Quando si usano le relazioni e le leggi che coinvolgono le grandezze vettoriali bisogna calcolare somme e prodotti tra vettori Consideriamo il caso particolare di vettori in due dimensioni cioegrave in un piano Per rappresentare un vettore utilizzeremo le sue componenti in un piano cartesiano Supponiamo che Soldini debba comunicarci la sua posizione nellrsquooceano cioegrave deve descrivere il suo vettore posizione Egli puograve dare la sua longitudine e latitudine rispetto al meridiano ( Greenwich) e parallelo (equatore) di riferimento Fig 2

ϑ s

S

Xs longitudine di Soldini Ys latitudine di Soldini

Longitudine e latitudine dicono quali sono le componenti cartesiane del vettore orientato rarrR s

vettore posizione di Soldini Xs = Rs cos ϑ s Ys = Rs sin ϑ s dove ϑ s ( sin e cos sono funzioni che variano tra ndash1 e 1 cosigrave che il massimo valore di Xs o Ys egrave Rs giustamente)

e | rarrR s | = Rs = (X2

s +Y2s )

12 (Pitagora ) Operazioni con i vettori Somma con regola del parallelogramma spostare i vettori lungo la loro retta di applicazione finchegrave si trovano coda contro coda e costruire il parallelogramma Fig3 oppure con componenti cartesiane si sommmano le componenti cartesiane corrispondenti dopo aver disposto i vettori in un insieme di riferimento cartesiano e calcolato le componenti con cosϑ e sinϑ

Prodotto per uno scalare c middot rarra tra un vettore ed uno scalare egrave un vettore che ha la stessa

direzione e il modulo moltiplicato per lo scalare In particolare moltiplicando per ndash1 si trova il vettore opposto La somma di un vettore con lrsquoopposto di un altro equivale a fare la differenza fra i due vettori

Prodotto scalare rarra middot

rarrb tra due vettori dagrave luogo ad uno scalare si moltiplica lrsquointensitagrave

dellrsquouno per la proiezione dellrsquoaltro nella direzione del primo ( o viceversa)

rarra middot

rarrb = |

rarra | middot |

rarrb | cos ϑ =

rarrb middot

rarra

poicheacute cos ϑ egrave simmetrico rispetto a ϑ = 0 cos ϑ = cos-ϑ (proprietagrave commutative del prodotto scalare)

rarra middot

rarrb egrave

max quando cos ϑ = 1 rArr rarra e

rarrb equiversi e paralleli

=0 quando cosϑ = 0 rArrrarra e

rarrb sono perpendicolari ( non crsquoegrave componente di

rarrb lungo

rarra )

Si useragrave ad esempio per il lavoro meccanico L = rarrF middot

rarrs

Prodotto vettoriale rarra ^

rarrb tra due vettori dagrave luogo ad un vettore di intensitagrave

| rarra ^

rarrb | = |

rarra | middot |

rarrb | sin ϑ = - |

rarrb ^

rarra |

non commutativo sin ϑ egrave antisimmetrico rispetto a ϑ = 0 sin ϑ = - sin -ϑ

Il vettore rarra ^

rarrb egrave diretto perpendicolarmente al piano che contiene

rarra e

rarrb e col verso dato

dalla regola della mano destra se rarra ruota verso

rarrb lungo lrsquoangolo minore

Fig 4

Il vettore prodotto rarra ^

rarrb esce dal foglio Questo tipo di prodotto si incontreragrave ad esempio nel

calcolo del momento di una forza quando una forza genera rotazioni anzicheacute traslazioni rarrM = R

r ^

rarrF

Esercizio disporre due vettori di intensitagrave 3 e 4 (spostamenti di 3m e 4m) in modo che la somma sia 7m 1m 5m a) consecutivi nella stessa direzione stesso verso Fig 5 b) consecutivi nella stessa direzione versi opposti Fig 6 c) Perpendicolari Pitagora | 32 + 42 | = | 52 | Fig 7

Moto del proiettile Descriviamo il moto di un punto materiale (rappresentativo di un corpo) che viene lanciato e dunque segue una traiettoria in due dimensioni lungo una delle quali (quella verticale) sperimenta unrsquoaccelerazione diretta verso il basso agravitagrave = -98 ms2 (caduta libera) e nellrsquoaltra orizzontale no (accelerazione orizzontale = 0)

La velocitagrave iniziale vettoriale rarr

iv e la successiva velocitagrave rarrv (t) sono considerate

opportunamente in un sistema di riferimento cartesiano in cui un asse egrave diretto verticalmente e il verso positivo egrave verso lrsquoalto Sia ϑ lrsquoalzo cioegrave lrsquoangolo di emissione Fig 8 Lrsquoesperienza insegna che il proiettile (oggetto lanciato) cade Se lanciato verso lrsquoalto sale fino ad

unrsquoaltezza massima e poi scende In ogni istante t del moto la velocitagrave rarrv (t) saragrave diretta come la

tangente alla traiettoria

Le componenti di rarrv (t) lungo gli assi di riferimento vx(t) e vy(t) dipendono da tempo t ma sono

fra loro indipendenti Si puograve dunque separare il moto in due dimensioni in due moti unidimensionali Verifica dellrsquoindipendenza dei due moti egrave nel fatto che filmati stroboscopici di due palline una lasciata cadere lrsquoaltra lanciata orizzontalmente mostrano che dopo tempi uguali le due palline si trovano alla stassa quota Fig 9 Il moto orizzontale non influenza il moto verticale

V ix V iy=0

Esercizi 1 Problema della scimmia Quando la scimmia si accorge che il cacciatore le spara si lascia cadere Fig10 Dove deve mirare il cacciatore per prenderla Lrsquoaccelerazione egrave in generale un vettore Nel moto su un piano lrsquoaccelerazione egrave definita da due

componenti rarra equiv (ax ay )

- moto orizzontale ndash lungo lrsquoasse orizzontale il corpo in moto non sperimenta alcuna accelerazione

ax = 0 dunque la componente orizzontale della velocitagrave egrave costante

se rarr

iv aveva componente orizzontale non nulla vi x = vi sdotcos ϑ questa si mantiene e saragrave

x(t) = vi x t + xi

x(t) ndash xi = ( vi cos ϑ )t spostamento orizzontale sx = ( vi cos ϑ )sdott -moto verticale ndash accelerazione costante agravitagrave dunque moto uniformemente accelerato se crsquoera

una componente iniziale v0y della velocitagrave rarrv allora

y(t) = 2

1(-g)t2 + viy sdott + yi

y(t)-yi = (vi sin ϑ )t-2

1gt2 spostamento verticale sy=(vi sin ϑ )sdott-

2

1gt2

Traiettoria del proiettile Abbiamo visto le leggi orarie in x e y ma la traiettoria egrave in due dimensioni disegnamola in un riferimento cartesiano vedendo per ogni posizione in x quanto vale y cioegrave ricavando y = y(x) Mettiamo a sistema supponiamo di partire da xi = 0 e yi = 0 per semplicitagrave

x = ( vi cosϑ )t rArr t =ϑcosiv

x

y =( vi sinϑ )t - 2

1 gt2

y = sinϑ middot ϑcos

x -

2

1g

2

2

)cos(

)(

ϑiv

x = x tgϑ -

2)cos(2 ϑiv

g x2

(tgϑ egrave costante percheacute egrave lrsquoalzo iniziale 2)cos(2 ϑiv

g egrave costante percheacute g egrave costante vi pure

ϑ pure) Questa egrave lrsquoequazione di una parabola del tipo y = ax2 + bx La traiettoria egrave dunque una parabola Ha importanza sapere la gittata orizzontale cioegrave a quale distanza D il proiettile toccheragrave il suolo (che misura farograve nel lancio)

D = x-xi = (vi cosϑ )t rArr t = ϑcosiv

D

Suolo rarr 0 = y ndash yi = (vi sinϑ )t - 2

1 gt2

0 = vi sinϑ ϑcosiv

D -

2

1g

2

2

)cos( ϑiv

D

dividendo per D

0 = ϑϑ

cos

sin-

2

1g

2)cos( ϑiv

D rArr D =

ϑϑ

cos

sin

g

vi ϑ22 cos2 = sinϑ cosϑ

g

vi22

darr sin2ϑ (trigonometria 2 sinϑ cosϑ = sin2ϑ )

D = g

vi2

sin2ϑ

Questa equazione mi dice che misura farograve a partire dalla velocitagrave iniziale che riesco ad imprimere allrsquoattrezzo e allrsquoalzo del tiro La funzione sin ha un andamento a max e min rArr si avragrave un max quando sin 2ϑ =1 rArr 2ϑ = 90deg ϑ = 45deg Lrsquoalzo iniziale di 45deg daragrave il risultato migliore (assenza di vento assenza di attrito problema semplificato) Attenzione sin 2ϑ egrave simmetrico intorno a 2ϑ = 90deg e dunque si avranno gittate uguali per angoli equidistanti da 2ϑ = 90deg rArr ϑ = 45deg (osservazione di Galileo) Fig 11 Esercizi 1 ndash Copione di un film cascatore deve saltare da un terrazzo sul terrazzo di un palazzo vicino distante 62m e piugrave basso di 48m la sua velocitagrave sul terrazzo puograve essere 45 msec Accetta la parte

Fig12

Per cadere di 48 m impiega un tempo tc tale che y(tc) ndash yi = -48m = -2

1 gt2c

tc = 89

)2()84( minuslowastminus = 099sec

Nel tempo di caduta tc = 099s quale distanza potragrave coprire con la velocitagrave iniziale ( e poi costante) vix =45 msec d = x-xi = vix t = 45 middot 099 = 45m d = 45m egrave meno dei 62m che separano i due palazzi Il cascatore faragrave bene a rifiutare la parte Quale velocitagrave iniziale min dovrebbe avere per avere delle chances

V ix = 990

26 = 62 msec

2 ndash Salto di Bob Beamon a cittagrave del Mexico nel 1968 salto in lungo di 890m Supponendo che la velocitagrave del decollo sia stata 95 ms come per un centometrista quanto vicino arrivograve alla gittata max (per assenza di resistenza aria)

Dmax = g

v20 per sin 2ϑ 0 = 1 (rArr ϑ 0 = 45deg)

= 789

)59( 2

= 9228m

∆ D = 9228 ndash 890 = 0328m

3 ndash Cestista

Fig15 Quale velocitagrave iniziale v0 deve avere la palla affinchegrave il cestista possa fare canestro se lrsquoalzo iniziale egrave di 55deg rispetto allrsquoorizzontale (le varie distanze sono indicate in Figura) Definisco sistema di assi cartesiano con origine nel centro della palla e assi paralleli agli assi originari In questo sistema di riferimento la posizione del canestro egrave xc = 42 ndash 03 = 39m yc = 3 ndash 21 = 09m Lrsquo equazione della traiettoria egrave

y = x tgϑ 0 - 200 )cos(2 ϑv

g x2

Introduco nellrsquoequazione i valori di yc xc tg 55deg = 1428 e ricavo il valore dellrsquounica incognita v0

09 = 39 x 1428 - 2

0 )5740(2

89

xv x (39)2

09 = 5569 - 2

0 )5740(

5374

xv

(09 ndash 5569) (v0 x 0574)2 = -7453

v0 = 6694

5374

5740

1 = 696msec

Forze e moto Quando un oggetto cambia il suo stato di moto (da fermo si muove o si ferma se si stava muovendo accelera o frena o curva) per esperienza sappiamo che egrave avvenuta unrsquointerazione dellrsquooggetto con un altro corpo dellrsquoambiente circostante al contatto o a distanza Il concetto di interazione prevede sempre la presenza di due corpi unrsquointerazione viene scambiata tra due corpi A questa interazione associamo il concetto di forza Questa associazione non egrave solo qualitativa ma viene quantificata tramite una legge che collega forze e cambiamenti dello stato di moto dei corpi rendendo la forza una grandezza derivata nel sistema SI Ciograve avviene introducendo una grandezza fisica fondamentale chiamata massa (m) che egrave caratteristica di ogni corpo materiale e che esprime lrsquoinerzia al moto propria del corpo quando viene sottoposto alla sollecitazione di una forza Diciamo che due corpi hanno masse diverse se assumono accelerazioni diverse quando sottoposte allrsquoazione della medesima forza Questa massa si dice anche inerziale Si misura in kilogrammi (kg) ed egrave una grandezza scalare positiva

La teoria del moto egrave riassunta dalle tre leggi formulate da Isaac Newton fondate sulle basi del genio di Galileo Galilei Prima legge del moto Ogni corpo rimane nel suo stato di quiete o mantiene il suo stato di moto a velocitagrave costante se nessuna forza agisce su di esso o se la risultante delle forze ad esso applicate egrave nulla Questa proprietagrave del moto egrave detta anche ldquoprincipio di inerziardquo o ldquoprimo principio della dinamicardquo Velocitagrave costante significa che il vettore velocitagrave egrave costante cioegrave non variano modulo direzione e verso Quindi lrsquounico moto possibile in assenza di forze applicate egrave quello rettilineo uniforme (Tale legge non puograve essere verificata se si prende in considerazione un sistema di riferimento che si muove di moto accelerato Per esempio se utilizzo un sistema di riferimento solidale con lrsquoabitacolo di unrsquoautomobile o di un aereo che stanno accelerando o frenando i corpi possono scivolare lrsquoacqua contenuta in un bicchiere vi si puograve rovesciare addosso come soggetta ad una forza In realtagrave ciograve avviene proprio perchegrave questi corpi tendono a mantenere il loro stato di moto e lsquodisubbidisconorsquo alla variazione di velocitagrave che ciograve che egrave solidale col sistema di riferimento sta subendo I sistemi di riferimento nei quali si verifica la prima legge della dinamica si chiamano sistemi di riferimento inerziali e sono da essa implicitamente definiti) Seconda legge del moto Questa legge formulata inizialmente da Galileo e poi riproposta da Newton egrave detta anche ldquolegge fondamentale della dinamicardquo

rarrF = m

rarra

La forza rarrF egrave un vettore dato dal prodotto del vettore accelerazione

rarra per uno scalare m ed egrave

diretto come rarra Questa legge come si vede egrave una legge vettoriale Se piugrave forze agiscono sul

corpo di massa m la legge vale per il ldquovettore risultanterdquo che egrave la somma vettoriale di tutte le forze che agiscono sul corpo Lrsquoaccelerazione egrave diretta come il vettore risultante delle forze

Si possono definire le componenti di rarrF lungo gli assi del sistema di riferimento e la legge del

moto vale componente per componente Fx = max Fy = may Fz = maz

Lrsquounitagrave di misura della forza egrave il newton (N) 1N = 1Kg m s2

E la relazione dimensionale egrave[ ]N = [ ]2minusmlt Se la forza (o la risultante delle forze) applicata al corpo egrave nulla egrave anche nulla lrsquoaccelerazione e visto che lrsquoaccelerazione egrave definita come la variazione della velocitagrave divisa per il tempo la variazione della velocitagrave saragrave anchrsquoessa nulla Ciograve significa che la velocitagrave si mantiene costante Quindi in assenza di forze applicate il corpo rimane fermo se inizialmente era fermo e continua a muoversi con velocitagrave costante se inizialmente si muoveva come giagrave affermato dalla prima legge Terza legge del moto Dal concetto di forza che esprime lrsquointerazione tra i corpi deriva anche quello che viene comunemente detto ldquoil principio di azione e reazionerdquo o ldquoterzo principio della dinamicardquo ad ogni azione corrisponde sempre una reazione uguale e contraria cioegrave se due corpi A e B interagiscono in

modo che il corpo A eserciti una forza rarrF sul corpo B allora il corpo B esercita sul corpo A una

forza rarr

F = - rarrF Si noti che le due forze NON sono applicate allo stesso corpo

rarrF agisce su

B e rarr

F agisce su A Lrsquoapplicazione di questo principio egrave molto importante quando si considerano le forze che si realizzano al contatto tra due corpi e in particolare per le forze applicate da muscoli tendini legamenti e ossa del corpo umano Forze particolari Forza gravitazionale Newton nel descrivere il moto dei corpi celesti ha stabilito la presenza di una forza di interazione a distanza tra due corpi che chiamiamo forza di gravitagrave e ha fornito lrsquoespressione che la governa

FG = -G 2

21

R

mm GG ( legge di attrazione universale)

dove mG 1 e mG 2 sono le masse gravitazionali dei due corpi R egrave la distanza tra le due masse (considerate puntiformi) e G egrave una costante numerica che vale 667 x 10-11 Nm2kg2 1 Nm2kg2 egrave anche 1m3kg s2 Il segno meno sta a indicare che la forza egrave attrattiva La forza gravitazionale viene rappresentata con un vettore il cui modulo egrave dato dalla legge di Newton e che ha la direzione della congiungente i centri di massa delle due masse La forza di attrazione lsquosentitarsquo dalla massa mG 2 dovuta a mG 1 ha il verso che punta su mG 1 e contemporaneamente la forza di attrazione misurata dalla massa mG 1 dovuta a mG 2 ha il verso che punta su mG 2m (le due forze sono lrsquoazione e la reazione della terza legge della dinamica Perchegrave nellrsquoesperienza comune non si osserva che una matita attiri unrsquoaltra matita su un tavolo La forza attrattiva gravitazionale esiste fra di loro ma egrave molto piccola (la costante G egrave molto piccola) ed egrave contrastata completamente dalle forze di attrito (che discuteremo fra breve) La Terra su cui viviamo ha invece una massa molto grande M = 597 x 1024 kg e quindi puograve esercitare una forza piugrave che apprezzabile su altre masse anche se piccole come quella della matita (la matita cade dal tavolo) Chiamiamo forza peso la forza di gravitagrave FG esercitata dalla Terra su ogni corpo ad essa vicino e che origina dallrsquointerazione gravitazionale per la quale tutti i corpi si attirano fra di loro La forza peso viene spesso indicata con P che agisce su un corpo di massa mG vale

P = -G 2T

GGTerra

R

mM equiv - g mG con g equiv G

2T

GTerra

R

M

Dove MG Terra egrave la massa della Terra ed RT egrave il raggio della Terra (RT = 6370km) Il valore di g risulta

g = 667 x 10-11 2

3

kgs

m223

24

)106379(

10975

mx

kgx = 98 ms2 e ha le dimensioni di unrsquo accelerazione

La forza di attrazione gravitazionale alla quale una massa mG egrave soggetta vicino alla superficie di un altro pianeta egrave diversa Infatti la massa e il raggio degli altri pianeti sono diversi da quelli della Terra e quindi g assume un altro valore Si puograve dire che il peso di un corpo cambia sui diversi pianeti o sulla Luna mentre la massa gravitazionale egrave la grandezza fisica fondamentale propria di ogni corpo

Ersquo molto importante ora applicare la seconda legge della dinamica o legge fondamentale della dinamica F = m a ad un corpo soggetto alla sola forza peso sulla superficie della Terra cioegrave quando F egrave la forza peso P ora definita F = m a P = m a -g mG = m a Abbiamo voluto lasciare indicato il pedice G percheacute in principio non crsquoegrave ragione percheacute la grandezza con le dimensioni di una massa che compare nella legge di gravitazione sia uguale alla massa implicitamente definita dalla relazione di proporzionalitagrave tra la F applicata e lrsquoaccelerazione subita da un corpo data dalla seconda legge della dinamica Si egrave tuttavia dimostrato sperimentalmente che la massa gravitazionale mG (introdotta nella legge di attrazione universale e la massa m che si dice massa inerziale ed egrave definita tramite la seconda legge della dinamica sono uguali hanno lo stesso valore Questo permette di semplificare le due masse nellrsquoequazione e di ottenere -g = a che significa che lrsquoaccelerazione di una corpo soggetto alla forza peso sulla superficie della terra vale a = ndashg equiv -98 ms2 NB lrsquoaccelerazione vale 98 ms2 per tutti i corpi di qualsiasi massa Infatti sui corpi con massa maggiore vengono esercitate forze maggiori in modo proporzionale alla loro massa (corpi con massa maggiore lsquopesano di piugraversquo) cosigrave da produrre sempre la stessa accelerazione Si egrave soliti assumere che g sia costante e che non dipenda dalla quota h alla quale ci si trovi al di sopra della superficie terrestre Questa egrave unrsquoapprossimazione molto buona nei limiti in cui hltlt RT Infatti g diminuisce con la quota per esempio se h = 8000m (circa sul monte Everest) lrsquoaccelerazione di gravitagrave g si riduce a

2

2

)6378000(

)6370000( x g = 099749 x g = 97754 m s2 (meno del 25 per mille)

Forze di superficie Forze di contatto Alla superficie di contatto tra due corpi si realizzano le forze che chiamiamo appunto di superficie e che si dividono in forze di contatto e forze di attrito Le forze di contatto

La forza normalerarr

NF egrave la forza che un corpo sperimenta quando egrave appoggiato su di una superficie

Si chiama normale percheacute egrave sempre diretta perpendicolarmente alla superficie Se la superficie egrave orizzontale Fig16

Fc

FN

Piano orizzontale Calcolare lrsquointensitagrave della forza normale applicata ad un oggetto di massa m fermo su un tavolo orizzontale Per il primo principio della dinamica (principio di inerzia) se un corpo e fermo la risultante delle forze ad esso applicate egrave nulla cioegrave

rarrP +

rarr

NF = 0

In questo caso la forza normale rarr

NF egrave un vettore che ha lo stesso modulo e la stessa direzione del

vettore forza pesorarrP ma ha verso opposto Quindi il modulo di

rarr

NF vale |rarr

NF | = mg

Piano inclinato

Nel caso di un piano inclinato dovrograve tenere conto che rarr

NF puograve compensare solo la parte di rarrP

diretta normalmente al piano (infatti se non crsquoegrave attrito il corpo scivola lungo il piano inclinato) Se ϑ egrave lrsquoangolo che il piano inclinato forma con lrsquoorizzontale il piano inclinato fornisce al corpo una

forza normale che in modulo vale | rarr

NF | = m g cosϑ

Fig 17 4 ndash Salto con molleggio Un uomo con massa m = 70kg salta da unrsquoaltezza L = 2m Arrivando al suolo molleggia sulle ginocchia per un tratto l = 02 m Si calcoli la forza di reazione che il suolo esercita sui piedi durante il molleggio Si consideri il molleggio come una frenata che avviene con accelerazione (negativa) costante Fig 18

F

FN

Cadendo da unrsquoaltezza L allrsquoistante in cui il piede tocca il suolo la velocitagrave Vs egrave data dalla risoluzione del sistema di equazioni cinematiche per il moto uniformemente accelerato con t0 il tempo di caduta Vs = gt0 L = frac12 gt0

2 Vs = (2gL) frac12 La forza di reazione che esercita il suolo sul piede durante il molleggio egrave quella che imprime lrsquoaccelerazione (negativa) a di frenata (piugrave il peso del corpo mg)Il corpo si ferma in un tratto l Questa frenata si tratta con le equazioni del moto uniformemente accelerato 0 = Vs ndash at l = Vs t ndash frac12 at2 (essendo t il tempo di frenata) dalla prima equazione t = Vs a che introdotto nella seconda equazione permette di calcolare a a = frac12 Vs

2l e con Vs = (2gL) frac12 si ottiene a = g (Ll) e quindi la forza di reazione Fr = mg + ma egrave data da Fr = mg (Ll + 1) = 70 x 98 x (202 + 1) N = 7546Newton Si noti che al peso si aggiunge una forza che egrave il peso moltiplicato per un fattore (ldquofattore di cadutardquo) dato dal rapporto tra lrsquoampiezza del salto e il tratto di molleggio Questa forza si trasmette dal piede allrsquoarticolazione delle ginocchia e cosigrave via Tensione

Quando una corda egrave attaccata ad un corpo e viene tirata si dice che la corda egrave sotto tensione

La tensione rarrT cui egrave sottoposta la corde in ogni sua parte egrave una forza pari alla forza che si applica

sia al corpo sia alla mano che lo tira ai due estremi della corda ed egrave sempre diretta lungo la corda Fig 19 Anche con una carrucola cioegrave con la corda che si curva intorno ad una rotella la tensione ha intensitagrave T lungo la corda Una corda egrave utile in questo caso per cambiare la direzione e il verso di applicazione di una forza la mano tira verso il basso ma la massa egrave sottoposta ad una forza verso lrsquoalto

Fig20 I tendini del corpo umano sono corde e vengono utilizzati anche per variare la direzione di applicazione delle forze esercitate dai muscoli Forza di attrito

Lrsquoattrito fa parte dellrsquoesperienza quotidiana nel bene e nel male Da una parte fa consumare piugrave benzina (20 per motore e trasmissione) ma anche la suola delle scarpe il battistrada delle gomme e i gomiti del maglione dallrsquoaltra consente il movimento i nodi tengono i chiodi fissano etc Un libro che scivola su un tavolo orizzontale si fermerebbe se non mantenessi una forza costante che contrasta lrsquoattrito su una superficie ruvida il movimento genera lui stesso una forza che decelera il moto Per mantenere in moto rettilineo uniforme un corpo che scivola sopra un piano bisogna applicare al corpo una forza che serva a neutralizzare questa forza ldquospontaneardquo(detta di attrito) in modo che la risultante delle forze applicate sia nulla Anche lrsquoinizio del moto egrave contrastato dalla forza di attrito (statico) che assume un valore uguale e contrario a quello della forza che applico fino a raggiungere un valore massimo (valore limite) Il corpo non si muove resiste al moto Oltre quel valore limite cioegrave se applico una forza sufficientemente intensa il corpo inizia a muoversi Situazione

Fig 21 Un blocco appoggiato sul piano orizzontale egrave fermo rarrP

verso il basso e rarr

NF verso lrsquoalto sono uguali in modulo

Se applico una forza rarrF per spostare il corpo verso destra insorge una forza di attrito statico

P

FN

il cui modulo vale |rarr

sattF _ | = smicro |

rarr

NF | ( smicro egrave il coefficiente di attrito statico il suo valore dipende

dalla natura dei materiali a contatto) esercitata orizzontalmente dal piano che uguaglia in

intensitagraverarrF ma di verso opposto in modo che il corpo non si muove Se aumento

rarrF aumenta

anche rarr

sattF _

Fig22 Diagramma delle forze applicate al blocco

Raggiunto un certo valore di rarrF il corpo ha uno ldquostrappordquo e comincia a muoversi nella direzione

di rarrF verso destra ostacolato dalla una forza di attrito dinamico

rarr

dattF _ generalmente inferiore al

valore max di rarr

sattF _ (egrave piugrave facile mantenere un corpo in moto che muoverlo da fermo)

(Il passaggio da un regime allrsquoaltro egrave allrsquoorigine degli stridii da attrito ndash quello ad esempio del gesso sulla lavagna - o anche del suono del violino) - Proprietagrave dellrsquoattrito riassunte

1 ndash Corpo fermo la forza di attrito statica rarr

sattF _e la componente di

rarrF parallela alla superficie

hanno uguale intensitagrave e si annullano 2 ndash limite di scivolamento la massima forza di attrito per due materiali posti a contatto egrave proporzionale alla forza normale tramite un coefficiente di attrito statico smicro

| rarr

sattF _(max)| = smicro |

rarr

NF |

smicro egrave un coefficiente adimensionale che assume valori diversi per diverse coppie di materiali

3 ndash il corpo inizia a muoversi il valore della forza di attrito decresce rapidamente fino a

|rarr

kattF _ | = kmicro |rarr

NF | proporzionale alla forza normale tramite un coefficiente di attrito dinamico kmicro

adimensionale e dipendente dalla coppia di materiali in considerazione

P

FN

F Fatt

Attenzione |rarr

sattF _| e

rarr

kattF _ | sono proporzionali non a |

rarrP | ma a |

rarr

NF | quindi nel caso di un

piano inclinato bisogna considerare la componente di rarrP perpendicolare al piano

rarr

NF equilibra

solo la parte di rarrP perpendicolare al piano

Attenzione le equazioni per |rarr

sattF _| e |

rarr

kattF _| non sono vettoriali le forze di attrito non sono

dirette come la forza normale rarr

NF ma parallele al piano

Durante una corsa allo scatto si usano i blocchi di partenza per sfruttare la reazione del blocco alla forza muscolare di spinta Data lrsquoinclinazione dei blocchi la forza di reazione del blocco sul atleta si massimizza nella direzione del moto

rArr si fa uso della ldquoazione-reazionerdquo Fig 23 Durante la corsa si sfrutta il coefficiente di attrito statico per mantenere un piede fermo a terra mentre lrsquoaltro avanza Per non superare il limite di scivolamento allrsquoindietro del piede di appoggio la forza che si esercita sul terreno deve avere una componente normale al terreno di intensitagrave opportunamente elevata In ogni caso se smicro egrave basso si ha lrsquoeffetto del camminare sul ghiaccio

Lrsquouso di scarpette chiodate non aumenta il valore di smicro che egrave il coefficiente drsquoattrito tra due

superfici ldquoliscerdquo piuttosto hanno una funzione simile a quella di mini blocchi di partenza permettono di esercitare una forza sul tartan lungo la direzione del moto cioegrave parallelamente alla pista Resistenza del mezzo Consideriamo un corpo che si muove in aria Esso incontra una resistenza da parte dellrsquoaria che agisce in modo da opporsi al movimento del corpo cioegrave ha la stessa direzione e verso opposto a quella del moto

rarrD forza di resistenza del mezzo o forza aerodinamica (detta anche forza viscosa) si

|rarrD | =

2

1 cρAv2 (limite di alte velocitagrave eo alte viscositagrave)

D egrave proporzionale al quadrato della velocitagrave (termine v2 ) Inoltre D egrave proporzionale ad A lrsquoarea efficace della sezione trasversa (lrsquoarea presentata dal corpo nella direzione del moto vedi la posizione a uovo dei discesisti di sci o dei ciclisti) ρ egrave la densitagrave del mezzo Ersquo intuitivo che la resistenza D dipenda dalla densitagrave del mezzo infatti il corpo per procedere deve ldquofarsi stradardquo spostando le molecole del mezzo Quindi piugrave il mezzo egrave rarefatto piugrave egrave facile ldquofarsi stradardquo e inferiore egrave la resistenza D Con c si indica il coefficiente di penetrazione (il cosiddetto cx che dipende dalla forma geometrica del corpo) La forma (oltre che

lrsquoarea efficace A) influenza la resistenza opposta dal mezzo percheacute una ottimizzazione della forma (affusolata migliorare il Cx) porta a ridurre la formazione di turbolenze nellrsquoaria intorno al corpo Casco dei ciclisti o discesisti con forma a punta posteriore

non riduce la sezione trasversa A ma piuttosto migliora il Cx

Fig 24 Nel nuoto lo sbattere i piedi serve soprattutto per mantenere il corpo orizzontale e quindi a ridurre la sezione A Il lavoro viene fatto per lo piugrave dalle braccia (75) In acqua anche se la velocitagrave v egrave bassa D egrave significativa percheacute la viscositagrave del mezzo egrave grande Per ridurre le turbolenze negli sport di velocitagrave diventa essenziale utilizzare accorgimenti quali nascondere dadi e cavi nelle biciclette togliere cerchietti delle racchette da sci Tagliare i capelli o rasarsi le gambe sono sempre modi di ridurre anche le piccole turbolenze Velocitagrave limite di caduta di un grave in aria

La forza rarrD di frenamento durante la caduta libera li un corpo in aria ha verso opposto a quello

della forza pesorarrP che accelera il corpo verso il basso Se

rarrP egrave costante il corpo accelera con

accelerazione rarrg ie aumenta la velocitagrave verso il basso ma aumentando v dunque v2 aumenta

D Ciograve prosegue fincheacute D diventa di intensitagrave uguale P con verso opposto rarrD = -

rarrP A questo

punto la risultante delle forze agenti sul corpo in caduta egrave nulla (sumrarrF =

rarrD + (-

rarrP ) e dalla

seconda legge (fondamentale) della dinamica si ha che lrsquoaccelerazione rarra del corpo egrave nulla

rArr Il corpo non accelera piugrave e mantiene velocitagrave costante massima La velocitagrave raggiunta detta velocitagrave limite vlim egrave tale da verificare lrsquouguaglianza

D = 2

1cρAv lim

2 = mg = P quindi rArr vlim = (2mg cρA) frac12

La vlim raggiunta dai paracadutisti puograve essere variata modificando A tramite dei cambiamenti dellrsquoassetto in volo Questo permette ai paracadutisti di raggiungersi per fare figure in aria Lrsquoapertura del paracadute fa aumentare di molto A rendendo la velocitagrave limite molto piugrave bassa Anche le gocce di pioggia raggiungono la velocitagrave limite (v asymp 7msec in 6m) nella loro caduta Ad esempio cadendo da 1200m le gocce di pioggia raggiungono la terra con la velocitagrave limite di circa 7msec e non con la velocitagrave di 150msec che avrebbero se non ci fosse lrsquoazione di frenamento D (dei veri proiettili)

Senza D rarr vfin = 150ms

Con D rarr vfin = vlim = 7ms Fig 25 Forza elastica La forza elastica egrave una forza non costante

L lunghezza di riposo della molla Fig 26 Una massa m egrave vincolata ad una parete con una molla Se tiro la massa la molla si estende diciamo di un tratto x La molla esercita una forza di richiamo proporzionale allrsquoallungamento x (piugrave si allunga maggiore egrave la forza F di richiamo) F = -kx ldquorichiamordquo cioegrave di verso opposto allrsquoallungamento Ecco la ragione del segno (-) Se raggiunta una certa estensione la molla viene rilasciata essa si ricomprimeragrave ritorneragrave alla lunghezza di riposo L poi si schiacceragrave di un tratto x dalla parte opposta e nuovamente agiragrave la forza di richiamo (che egrave variabile in quanto varia con il variare di x) La massa oscilla attorno alla posizione di riposo k egrave la costante elastica della molla Lrsquoespressione della forza elastica vale per i respingenti del treno (k grande) come per la molla della biro (k piccola) come per lrsquoelastico del saltatore dal ponte Impulso di una forza La legge fondamentale della dinamica F = ma puograve essere scritta esprimendo lrsquoaccelerazione con la sua relazione definitoria (vf - vi)t

F = mt

vv if minus e quindi portando il tempo t al primo membro

)( if vvmtF minussdot=sdot oppure vmtF ∆sdot=sdot

Si dice ldquoimpulso ldquo di una forza il prodotto della forza per il tempo durante il quale viene applicata tF sdot (se la forza non egrave costante lrsquoimpulso egrave lrsquointegrale della forza nel tempo in cui viene applicata)

Scritta in questo modo lrsquoequazione fondamentale della dinamica puograve essere letta cosigrave 1) Supponiamo che un corpo vari la sua velocitagrave di una quantitagrave ∆v = vf - vi tanto piugrave lungo egrave il tempo t durante il quale questa variazione avviene tanto minore egrave la forza che deve essere sviluppata per ottenere tale variazione della velocitagrave In questi termini si capisce ad esempio lrsquoutilitagrave delle cinture di sicurezza che allungando i tempi durante i quali in caso drsquoincidente la velocitagrave del passeggero (che non egrave solidale con la vettura) passa da un valore vi iniziale a zero determina una riduzione della la forza cui il passeggero stesso egrave sottoposto durante il breve tempo dellrsquoimpatto (la forza che le ossa e le articolazioni possono sopportare egrave limitata) Si vede anche come funziona lrsquoelastico del jumper finchegrave lrsquoelastico non egrave completamente svolto (ltL) la forza che agisce sul jumper egrave P (la forza peso) poi progressivamente la forza elastica di richiamo contrasta P quindi il jumper decelera progressivamente per un lungo intervallo di tempo e lo lsquostrapporsquo (F applicata) necessario per contrastare P e fermare il jumper applicato sulle sue gambe e a cascata su tutte le sue articolazioni (secondo il terzo principio) egrave di entitagrave minore 2)Lrsquoimpulso totale prodotto tF sdot nella direzione ottimale egrave la grandezza fisica che stabilisce lrsquoefficacia di un gesto di spinta o di lancio non la massima forza espressa o la durata dellrsquoazione di spinta Lavoro di una forza ndash lavoro meccanico

- 1deg caso Forza costante rarrF

Immaginiamo una forza rarrF che agisce su un corpo durante il suo spostamento Immaginiamo cosi

che il punto di applicazione di questa forza si sposti nello spazio di un tratto rarrs Viene detto

lavoro della forza rarrF la quantitagrave

L = rarrF middot

rarrs = F middot smiddot cosϑ (prodotto scalare di

rarrF per

rarrs )

(prodotto scalare tra i due vettori) Fig 27 Il lavoro egrave una quantitagrave scalare cioegrave egrave descritta completamente da un numero da un valore Tale

valore puograve essere positivo o negativo a seconda che la componente di rarrF lungo

rarrs sia equiversa o

di verso opposto a rarrs Se

rarrF e

rarrs hanno la stessa direzione e se lo spostamento avviene nel

senso di rarrF diciamo che il lavoro egrave positivo (e viceversa negativo) Lrsquointensitagrave del lavoro puograve

variare tra un valore massimo e uno minimo per gli stessi valori del modulo di rarrs e di

rarrF a

rarrs

seconda del valore di cosϑ Il lavoro egrave massimo per cosϑ = 1 (cioegrave per ϑ = 0) (rarrF diretto come

rarrs ) Il lavoro egrave minimo ( L = 0) per cosϑ = 0 cioegrave per ϑ = 90deg (

rarrF perpendicolare a

rarrs )

Puograve darsi il caso che piugrave forze agiscono sullo stesso punto Allora si puograve calcolare il lavoro totale egrave la somma dei lavori di tutte le forze applicate

Ltot = sum Li = sum (rarr

sdotiFrarrs )

Dimensioni di L [ L ]= [ F ][ s ] = mmiddot l middot t-2 middot l = ml2 t-2 Unitagrave di misura di L 1 joule = 1N middot 1m ( 1J ) Lavoro della forza peso durante la caduta di un grave Un grave cade vicino alla superficie della terra sotto lrsquoazione della forza di gravitagrave cioegrave sottoposto ala forza peso P diretta verso il basso percorrendo un dislivello h Il lavoro compiuto dalla forza peso si calcola come

LP = rarrP middot

rarrs = Pmiddot smiddot cosϑ

notando che lo spostamento s (verso il basso) e la forza P sono paralleli con verso concorde pertanto ϑ = 0 e cosϑ = 1 e che | P| = mmiddot g si ottiene LP = mmiddot gmiddot h per uno spostamento s = h (dislivello) Lavoro meccanico nel sollevamento pesi Durante questo gesto sul bilanciere oggetto dellrsquoapplicazione delle forze si esercitano la forza peso P e la forza muscolare dellrsquoatleta Naturalmente entrambe le forze lavorano ma i due lavori si oppongono uno allrsquoaltro (ricorda che il lavoro puograve essere positivo o negativo) Il lavoro positivo deve essere nel verso del moto quindi egrave quello della forza muscolare dellrsquoatleta il lavoro di P invece egrave negativo e se il bilanciere si alza di una quota h si calcola facilmente seguendo il procedimento del paragrafo precedente ottenendo LP = - mmiddotgmiddoth (ϑ = π e cosϑ = -1 ) Calcoliamo il lavoro della forza musculare seguendo lrsquoesempio qui proposto Esempio Un atleta solleva un bilanciere di peso 2500N allrsquoaltezza di 2m (sopra la sua testa) Quanto lavoro meccanico compie la sua forza muscolare Supponiamo che il sollevamento avvenga a velocitagrave costante con accelerazione nulla allora il per il

primo principio della dinamica le forze applicate al bilanciere devono essere tali chesumrarr

iF = 0

Quindi la forza peso P = mmiddot g deve essere controbilanciata dalla forza applicata dallrsquoatleta Fm

Quindi rarr

mF = - rarrP

con Fm = 2500N Il lavoro La fatto dallrsquoatleta vale

Lm = rarr

mF middot rarrs = 2500 N middot 2m middot 1 = 5000 J (sollevamento verticale quindi ϑ = 0 e cosϑ = 1)

Quanto lavoro fa la forza peso

Lp = rarrP middot

rarrs = 2500 middot 2 middot (-1) = -5000 J

(percheacute ϑ = π e cosϑ = -1) Quanto lavoro fa lrsquoatleta mentre sostiene il peso fermo sopra la testa L = 0 percheacute non crsquoegrave spostamento Qui si parla di lavoro meccanico non di lavoro fisiologico diciamo che si fa fatica percheacute crsquoegrave da mantenere integrordquo un corpo non rigido che egrave il corpo dellrsquoatleta quindi si il lavoro delle contrazioni muscolari per mantenere lrsquoequilibrio e ldquolrsquointegritagraverdquo egrave la misura del lavoro fisiologico necessario anche se il lavoro meccanico compiuto egrave nullo 2deg caso Forza variabile Nel caso in cui F egrave una forza variabile che dipende dalla posizione ogni volta che avviene uno spostamento∆ x la forza cambia Il lavoro totale saragrave la somma dei lavori elementari fatti sui tratti piccoli sui quali la forza puograve essere assunta costante

Ltot = iii xxF ∆sdotsum )(

( Se si fa il limite per ∆ xi piccolo rarr 0 e la isum egrave lrsquointegrale Ltot = int sdotxtin

xinxdxF )( )

Ad esempio la forza F puograve essere la forza di richiamo di una molla vincolata al muro Lrsquointensitagrave della forza elastica varia durante lo spostamento aumentando con lrsquoallungamento (o la compressione) della molla ed ha la direzione parallela allo spostamento ma puograve avere verso concorde o discorde quindi con cosϑ che vale o +1 o ndash1 Immaginiamo di avere un blocco attaccato alla molla e di tirarlo da Xin a Xfin allora

F(x) = - kx Fig 28

Il lavoro della forza elastica si calcola sommando i lavori infinitesimali compiuti per spostamenti infinitesimi durante i quali la forza si assume costante Ciograve egrave rappresentato graficamente nel calcolo lrsquoarea compresa al di sotto della curva del grafico di F (Fig 28A) In figura si egrave cambiato il segno della funzione forza per comoditagrave di rappresentazione

Fig 28A

Area = differenza aree dei due triangoli = AABB kxxkxx sdotminussdot2

1

2

1

Ricordandoci del segno

L infin = 22

2

1

2

1infin kxkx +minus e in generale L = 2

2

1kx

Se si calcola il lavoro della forza di richiamo durante un allungamento della molla si ha lavoro negativo mentre durante il ritorno alla posizione di equilibrio il lavoro egrave positivo (segno dello spostamento x e della forza concordi) Energia cinetica Il termine ldquoenergiardquo indica la capacitagrave di compiere lavoro Lrsquoenergia cinetica egrave la proprietagrave che rende conto quantitativamente del legame fra il lavoro compiuto ed il moto generato Avevamo detto piugrave o meno lo stesso parlando della seconda legge della dinamica riferendoci alle forze Qui col lavoro non egrave necessaria la descrizione dettagliata delle forze che agiscono sul punto in considerazione Ersquo sufficiente conoscere il loro lavoro totale

Lrsquoenergia cinetica K = 2

1mv2 (gt 0 percheacute m gt 0 v2 gt 0 ) (m e v sono la massa e la velocitagrave del

corpo) Lrsquounitagrave di misura e le dimensioni di K sono le stesse del lavoro Joule ( J ) e [ ]K = [ ]22 minustml

Teorema dellrsquoenergia cinetica Se una forza F compie un lavoro L su un punto materiale di massa m si ha una variazione dellrsquoenergia cinetica pari al lavoro compiuto

Xfin Xin

F

0

ksdotxfin

ksdotxin

F= ksdotx

x

LAB= -area

L = Kfin ndash Kin = ∆ K Nel caso che piugrave forze agiscono sul punto materiale il teorema dellrsquoenergia cinetica si applica al lavoro totale (equivalentemente al lavoro della risultante ) E il caso dellrsquoatleta che solleva il peso di 2500N Sappiamo che ha compiuto un lavoro di 5000J ma il bilanciare con i pesi era fermo allrsquoinizio ed egrave fermo alla fine Quindi Kin = 0 e Kfin = 0 percheacute vin = 0 e vfin = 0 Allora il teorema dellrsquoenergia cinetica Vale per il lavoro totale o lavoro della forza totale e noi abbiamo visto che la forza netta totale = 0 ( Fa + P = 0 ) ed il lavoro totale egrave nullo quindi giustamente si ha ∆ K = 0 1)Caso di una palla da tennis che cade

la forza peso rarrP compie un lavoro positivo con spostamento concorde a

rarrP si dovrebbe avere

∆ K gt 0 infatti la velocitagrave v aumenta 2)Caso di una palla lanciata verso lrsquoalto

lo spostamento ha verso opposto a rarrP Il lavoro della forza peso egrave negativo e quindi ∆ K egrave

negativo giusto La velocitagrave diminuisce NB Durante il volo agisce solo la forza di gravitagrave quindi il lavoro totale comiuto sul corpo egrave solo quello della gravitagrave 3)Caso del moto circolare uniforme la forza che agisce egrave la forza centripeta che egrave perpendicolare allo spostamento Quindi non compie lavoro deve essere ∆ K = 0 Iinfatti il moto egrave uniforme cioegrave la velocitagrave egrave in modulo costante Potenza Si chiama potenza il lavoro che si egrave in grado di svolgere nellrsquounitagrave di tempo

P = t

L

∆ ( potenza media )

P = t

Lt ∆

∆rarr∆ 0lim ( potenza istantanea)

Non egrave solo una stima del lavoro compiuto ma anche della rapiditagrave con cui si compie lavoro

Fig 29 Per superare il muro ci vuole un certo lavoro che consiste nellrsquoinnalzare il proprio corpo di unrsquoaltezza h Sia lrsquoatleta che lo supera in un sol balzo sia il vecchietto che sale pian piano la scalinata faranno lo stesso lavoro Quel che egrave diverso egrave la potenza dei due personaggi Dimensioni e unitagrave di misura della potenza [ ]P = [L] [t -1] = [ml2t-3] 1 watt = 1 joule 1sec (1w)

Energia Potenziale K egrave energia connessa allo stato di moto di un sistema Crsquoegrave anche energia connessa alla posizione di un corpo in un campo di forze (configurazione) Si chiama energia potenziale Nel caso dellrsquoatleta di sollevamento pesi il lavoro compiuto dallrsquoatleta Lm non ha alterato lrsquoenergia cinetica K dellrsquoattrezzo ma ha modificato la configurazione del sistema (terra-attrezzo) variandone lrsquoenergia potenziale (W) Il lavoro non egrave stato sprecato ma ldquoimmagazzinatordquo lrsquoattrezzo prima egrave a terra poi egrave in alto nel sistema che ora ldquopotenzialmenterdquo puograve compiere un lavoro cedendo la sua ldquoenergia potenzialerdquo Energia cinetica ed energia potenziale sono due parti dellrsquoenergia meccanica possono trasformarsi lrsquouna nellrsquoaltra ed in lavoro Nellrsquoesempio precedente quando lrsquoattrezzo egrave in alto si ha che K = 0 e W = WA Quando cade K aumenta percheacute la velocitagrave v aumenta e lrsquoenergia potenziale W diminuisce In basso W = WB lt WA e K egrave massima Lrsquoattrezzo cadendo puograve compiere lavoro Se fosse un martello potrebbe far avanzare un chiodo ad esempio Lrsquoenergia potenziale viene definita proprio a partire dal concetto di lavoro di forze conservative Ersquo conservativa una forza il cui lavoro per spostare il suo punto di applicazione da una posizione (configurazione) ad unrsquoaltra dipende solo dalle due posizioni (configurazioni) iniziale e finale Equivalentemente si puograve definire la forza conservativa dicendo che il lavoro di tale forza egrave nullo se le posizioni (configurazioni) iniziali e finali coincidono

-Lavoro per passaggio dalla posizione A a B egrave lo stesso lungo I o II -Se da A vado a B e torno in A il lavoro totale egrave nullo

Fig 30 Posso allora definire una funzione della posizione W che assume i valori WA e WB in A e B e tale per cui LAB = WA ndash WB ( W energia potenziale) WA WB sono definiti a meno di una costante tanto quello che interessa egrave la differenza fra loro Variazione di energia potenziale del passaggio da A a B WB ndash WA = ∆W allora LAB = -∆ W Con questa convenzione sui segni si rende conto del fatto che un lavoro positivo ( fatto dalle forze conservative sul corpo) fa diminuire lrsquoenergia potenziale W ( L positivorarr ∆W negativo rarr WBlt WA rarr ho usato energia potenziale) un lavoro negativo (subito) aumenta W (L negativo rarr ∆W positivo rarr WBgt WA rarr ho guadagnato energia potenziale) W si misura in Joule come il lavoro e lrsquoenergia cinetica

Qual egrave la Forma di W

Mentre la forma dellrsquoenergia cinetica egrave sempre K =2

1mv2 indipendentemente dal tipo di forze

che provocano il movimento W dipende dal tipo di forza conservativa di cui si sta calcolando il lavoro Consideriamo due forze conservative

a) Forza gravitazionale forza peso

F(y) = -mg Stato di riferimento y0 = 0 in cui W0 = 0

Fig31

Abbiamo detto che LAB = WA- WB ma siccome

LAB = )( ABhmgsP minussdotminus=sdot dove hAB= yA-yB egrave la distanza tra A e B allora rArr WA = mgyA WB = mgyB e in generale W(y) =mgy

Per la forza peso W(y) =mgy e lrsquoenergia totale meccanica (W+K) = mgy+2

1mv2=Etot

b) Forza elastica

Fig 32

F(x) = -kx Stato di riferimento x = 0 allungamento nullo la lunghezza della molla egrave la sua lunghezza di riposo L ( W(0) = 0)

Immaginiamo che la configurazione della molla venga modificata passando dalla posizione xA alla posizione xB (Fig 32) Il lavoro della forza elastica egrave calcolato come

LAB = 22

2

1

2

1AB kxkx +minus

Ricordando che LAB = WA- WB possiamo ricavare lrsquoespressione per lrsquoenergia potenziale elastica

rArr WA = 2

2

1Akx WB = 2

2

1Bkx e in generale W(x) = 2

2

1kx

Energia totale meccanica ndash Conservazione dellrsquoenergia

In presenza di sole forze conservative la somma dellrsquoenergia cinetica e dellrsquoenergia potenziale costituisce lrsquoenergia totale meccanica Tale energia meccanica gode della proprietagrave importantissima di conservarsi durante lrsquoevoluzione del sistema Lrsquoenergia connessa al movimento e alla posizione si scambiano una diminuisce e lrsquoaltra cresce ad esempio ma la loro somma rimane costante

- Esempio delle montagne russe Se non ci sono attriti (infatti il trucco egrave quello di rendere il

sistema privo di attriti) so giagrave quale altezza massima potrograve raggiungere (quella iniziale e non di piugrave) quale velocitagrave massima potrograve raggiungere (in fondo alla valle) Queste quantitagrave sono fra loro legate dal teorema della conservazione dellrsquo energia meccanica

Fig 33 - Esempio del salto con lrsquoasta Lrsquoenergia cinetica dellrsquoatleta acquisita nella rincorsa viene

trasformata in energia potenziale gravitazionale parte direttamente e parte attraverso lrsquoenergia potenziale elastica dellrsquoasta acquisita nella sua deformazione durante il salto La flessibilitagrave dellrsquoasta (costante elastica dellrsquoasta) egrave legata allrsquoenergia che si puograve immagazzinare in una data deformazione Infatti con aste rigide (alluminio acciaio bambugrave) il salto era piugrave basso Con fibra di vetro il record egrave stato polverizzato

Fig 34

Fig 35

Fig 36

Osserviamo che il teorema dellrsquoenergia cinetica ha validitagrave generale qualunque siano le forze che agiscono conservative o non conservative (le forze non conservative si dicono anche ldquodissipativerdquo)

KLL

KL

fncfc

tot

∆=+∆=

e ricordando che darr Lfc = - )( fcW∆

Si ottiene che K∆ + )( fcW∆ = Lfnc

Si vede che nel caso in cui Lfnc sia nullo cioegrave quando non ci sono forze dissipative la somma delle variazioni di energia cinetica e energia potenziale egrave uguale a zero cioegrave lrsquoenergia totale meccanica (somma dellrsquoenergia cinetica e potenziale) egrave costante E questo corrisponde al teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica Nel caso ci siano forze dissipative la somma delle energie non egrave costante quindi al contrario del teorema dellrsquoenergia cinetica il teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica non ha validitagrave generale (vale solo in assenza di attriti ad esempio) Le forze non conservative di attrito compiono lavori solo negativi e fanno perdere quantitagrave di energia non recuperabile Parte di questa energia va in generale in calore quindi se ne puograve tenere conto considerando unrsquoaltra forma di energia lrsquoenergia termica ( ci sono anche altri fenomeni dissipativi ad esempio le deformazioni permanenti negli urti o la propagazione di onde sonore)

Lrsquo energia puograve dunque conservarsi o trasferirsi proprietagrave caratterizzanti dellrsquoenergia Il lavoro rende conto del trasferimento di energia della perdita di energia sotto una forma e del guadagno sotto unrsquoaltra forma (cioegrave energia conservativa) o del passaggio dellrsquoenergia da un sistema ad un altro Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica quando egrave applicabile puograve essere sfruttato per risolvere facilmente problemi altrimenti complicati Esercizio Una palla da tennis viene lanciata con velocitagrave iniziale v0 (senza effetti strani taglio etc) al di lagrave della rete Con quale velocitagrave arriva a terra

Se durante il moto Etot si conserva K+W = cost

Fig 37 e W = mgh egrave solo energia potenziale gravitazionale h = 0 alla fine come allrsquoinizio dunque K in = Kfin e vfin = v0 Se la palla egrave lanciata verso lrsquoalto non crsquoegrave componente orizzontale della velocitagrave ma solo verticale al punto piugrave alto di arresto h K(h) = 0 W(h) = max = Kin cioegrave mgh = frac12 mv0

2 si puograve cosigrave calcolare facilmente lrsquoaltezza massima raggiunta h = (frac12 v0

2)g e vicenversa si puograve calcolare il valore della velocitagrave v0 che bisogna imprimere alla palla affinchegrave raggiunga lrsquoaltezza h

v0 = gh2

Esercizio Una saltatrice di massa M = 61Kg salta da un ponte di altezza H = 45m agganciata ad una corda elastica La lunghezza di riposo della corda elastica egrave L = 25m e la sua costante elastica egrave k = 160 Nm Nel punto piugrave basso si arresta prima di venire rimbalzata in alto Qualrsquo egrave lquesta quota piugrave bassa h (a cui si trovano i suoi piedi ai quali egrave legato lrsquoelastico)

Fig 38 Etot = Wgrav + Wel + K = cost sono solo forze conservative vale la conservazione

dellrsquoenergia Nel punto A K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di lanciarsi Wel = 0 percheacute lrsquoelastico non egrave ancora svolto Wgrav = MgH Nel punto B K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di rimbalzare

Wel = frac12 kd2 Wgrav = Mgh = Mg(H-(L+d)) Etot(A) = Etot (B) MgH + 0 + 0 = Mg (H-(L+d)) + frac12 kd2 + 0 MgH = MgH ndash MgL ndash Mgd +frac12 kd2

2

1(160)d2 ndash (61)(98)d ndash (61)(98)(25) = 0

equazione di IIdeg grado che dagrave per d il valore accettabile d = 179m (lrsquoaltro egrave negativo e non egrave accettabile perchegrave non ha senso fisico la

saltatrice va in giugrave non in su) Allora h = H-(L+d) = 45 ndash (25+179) = 45 ndash 429 = 21m quindi con la testa poco sopra lrsquoacqua Sistemi di punti materiali e corpi rigidi ndash Centro di Massa

Un giocoliere o un ginnasta che lancia la clavette fa compiere allrsquoattrezzo movimenti complicati tuttavia crsquoegrave un punto dellrsquoattrezzo che si muove seguendo una traiettoria semplice come quella di un punto materiale ad esempio lanciato segue una traiettoria parabolica Tale punto si chiama centro di massa dellrsquooggetto Il centro di massa puograve essere definito per un oggetto o per un insieme di punti materiali Ersquo importante percheacute in generale il moto di un corpo esteso (o di un insieme di punti) si puograve studiare separando il moto del centro di massa (moto traslatorio) e il moto del corpo attorno al centro di massa (moto rotatorio)

Centro di Massa (CDM) di un sistema di punti - Consideriamo il caso semplice di due punti materiali di massa m1 m2 posti sullrsquoasse x in

posizione x1 x2

Fig 39

la posizione del centro di massa egrave definita xCDM = 21

2211

mm

xmxm

++

a) xCDM egrave compreso fra x1 e x2 b) se m1 = m2 CDM egrave a metagrave strada fra m1 ed m2 c) xCDM egrave piugrave prossimo alla massa maggiore - Nel caso di piugrave punti allineati nelle posizioni xi detto M = summi allora

xCDM = ii xmMsum

1

- Nel caso di punti distribuiti nello spazio detti irrarr

i vettori che identificano le loro posizioni

CDMrrarr

= iii rmM

rarrsum

1

dove CDMrrarr

ha coordinate (xCDM yCDM zCDM) definite come

xCDM = ii xmsumη1

yCDM = ii ymMsum

1

zCDM = ii zmMsum

1

- Consideriamo un oggetto qualsiasi questo egrave composto da un gran numero di particelle ma conviene considerarlo come un continuo di materia e per calcolare il centro di massa si prendono in considerazione degli elementi infinitesimi di massa dm centrati intorno alle posizioni (xyz) allora

xCDM = int xdmM

1 yCDM = int ydm

M

1 zCDM = int zdm

M

1

se si puograve considerare il corpo omogeneo (densitagrave uniforme) allora V

M

dv

dm = e allora si puograve fare il

calcolo considerando il volume V e gli elementi di volume dv anzichegrave la massa e gli elementi di massa

xCDM = int xdvV

1 etc

In un oggetto solido (corpo rigido) i diversi punti materiali che lo compongono non cambiano la loro posizione relativa (non come un corpo elastico) - se un oggetto ha un elemento di simmetria un asse od un piano il CDM si trova su tale

elemento di simmetria (asse per cono centro per sfera piano per una banana etc) Non egrave detto che il CDM di un oggetto appartenga allrsquooggetto vedi uno pneumatico un cerchio Il CDM egrave esterno alloggetto Legge fondamentale della dinamica per un sistema di punti materiali Caso della palla da bigliardo urto fra due palle dopo il lancio di una le due si muovono 1) una egrave ferma (B) lrsquoaltra la lancio (A) 2) le due si urtano in qualunque modo 3) le due si muovono secondo traiettorie differenti una possibilmente andragrave in buca lrsquoaltra no Dopo il lancio sulla palla A non agisce piugrave nessuna forza quindi la sua velocitagrave v egrave costante Va bene ma dopo lrsquourto Il CDM delle due palle continua a muoversi con velocitagrave costante anche se il centro di massa egrave un punto teorico che non appartiene a nessuna delle due palle Tuttavia al CDM possiamo assegnare una massa (M totale del sistema) una velocitagrave ed una accellerazione Si ha

)(CDMext aMFrarrrarr

=sum

a) extFrarr

sum egrave la somma di tutte le forze esterne che agiscono sul sistema non quelle interne (ad esempio nel caso del bigliardo non devo considerare le forze che si applicano fra le due palle quando si urtano)

b) M egrave la massa totale del sistema Si suppone che durante il moto M rimanga costante

c) )(CDMararr

egrave lrsquoaccelerazione del CDM Dellrsquoaccellerazione di un altro punto ad esempio del centro della palla A non si dice nulla

Cosideriamo alcuni esempi 1) Bigliardo tvaF CDMCDMext cos00 ===sum prima dellrsquourto nellrsquourto si verificano solo forze

interne Quindi tvaF CDMCDMext cos00 ===sum dopo lrsquourto e durante tutto il moto

2) Sistema terra-luna sumFext = gravitazione del sole aCDM egrave ldquocentripetardquo accellerazione di una

forza che egrave diretta verso il sole (forza ldquocentralerdquo) egrave il CDM terra-luna che segue la traiettoria dovuta allrsquoattrazione gravitazionale del sole poi terra e luna si muovono intorno al loro CDM

3) Clavette lanciate sum Fext = Mg aCDM = g il centro di massa si comporta come un punto materiale nel lancio

4) La ballerina nel ldquogrand-fetegraverdquo fa seguire a testa e busto una traiettoria rettilinea percheacute modifica lrsquoassetto in modo da alzare il suo CDM Nel corso del salto (alza le braccia e distende

orizzontalmente le gambe non appena lasciato il suolo) il suo CDM segue la traiettoria parabolica del lancio di un corpo soggetto allrsquoaccelerazione di gravitagrave g

Quantitagrave di moto rarrP

- Si definisce quantitagrave di moto di una particella il vettore

rarrrarr= vmP

con m massa della particella e rarrv la sua velocitagrave

Si vede che rarrP egrave diretto come

rarrv

Newton scrisse la legge fondamentale della dinamica in termini di quantitagrave di moto (a differenza di Galileo che la scrisse in termini di massa e di accelerazione) ldquola rapiditagrave di variazione della quantitagrave di moto di una particella egrave proporzionale alla forza netta che agisce sulla particella ed egrave nella direzione di quella forzardquo cioegrave

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

che egrave piugrave generale della formulazione di Galileo perchegrave descrive bene anche il caso in cui variasse la massa del corpo durante il moto (ad esempio un vettore spaziale) Se la massa egrave costante le due formulazioni sono identiche

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

= t

vm

∆∆

rarr)(

= m t

v

∆∆

rarr

= m rarra

Ricordiamo che rarrF egrave diretto come

rarra (o la risultante

rarrR = sum

rarrF )

Per un sistema di punti materiali si definisce la quantitagrave di moto totale

rarrP =

rarrP 1 +

rarrP 2 + helliphellip+

rarrP n =

m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +helliphelliphellip+ mn

rarrv n = M

rarrv CDM (si puograve dimostrare) dove M egrave la massa totale

[essendo infatti Mrarrv CDM =

dt

d(M

rarrr CDM) =

dt

d(m1

rarrr 1 + m2

rarrr 2 +hellip) = m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +

hellip]

quindi rarrP = M

rarrv CDM per un sistema di particelle e

dt

Pdrarr

= M dt

d rarrv CDM = M

rarra CDM = sum

rarrF ext

Conservazione delle quantitagrave di moto

Per un sistema chiuso (M non varia) e isolato (sumrarrF ext = 0)

Allora

t

P

∆∆

rarr

= 0 rarrP = cost

rarrP i =

rarrP f

che sono tre modi equivalenti per dire che la quantitagrave di moto si conserva Vale per un sistema nel quale non agisca nessuna forza esterna netta Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica e la conservazione delle quantitagrave di moto sono due concetti fisici importantissimi Valgono sia per le palle da bigliardo che per qualunque altro sistema anche le galassie nellrsquouniverso Queste equazioni sono vettoriali Ciograve significa che rappresentano una terna di equazioni scalari ognuna valida sul proprio asse del sistema di riferimento (x y z)

Puograve accadere a seconda delle forze che agiscono nel sistema che la quantitagrave di moto si conservi in una direzione o in due e non in tutte e tre

Ad esempio se consideriamo una palla come un insieme di punti materiali la rarrF ext che agisce nel

sistema egrave mrarrg diretta lungo z senza componenti su x e y quindi

rarrP varia lungo z ma

non su x e y

Percheacute ldquocomplicarci la vitardquo con questa storia del CDM del sistema di particelle etchellip non bastava il moto del punto rappresentativo materiale Avevamo giagrave considerato il punto rappresentativo e avevamo svolto anche problemi sulla palla sul bilanciere e per altri oggetti Abbiamo sempre sbagliato La questione egrave se un corpo egrave rigido cioegrave se tutti i suoi punti si muovono mantenendo le loro distanze relative non crsquoegrave problema abbiamo solo visto che il punto materiale rappresentativo si chiama CDM ed abbiamo imparato a situarlo allrsquointerno del corpo Ma se il corpo non egrave rigido cioegrave se il suo CDM si sposta rispetto a lui stesso nel corso del moto la disposizione del corpo intorno al punto rappresentativo varia nel corso del tempo e le leggi di conservazione valgono per il CDM - Consideriamo ad esempio il teorema dellrsquoenergia cinetica che per un punto materiale si scrive Ltot = Kfin-K in = ∆ K (qui ovviamente non crsquoegrave da specificare lavoro delle forzeldquoesternerdquo percheacute essendo in un punto materiale che si assume infinitamente piccolo non ci sono forze ldquointernerdquo) Per analogia il teorema dellrsquoenergia cinetica si estende al caso di un insieme di punti materiali nel seguente modo

Ltot forze ext=rarrF extmiddot

rarrs CDM = ∆ KCDM

Dove s CDM egrave lo spostamento del centro di massa A titolo di esempio risolviamo il problema un giocatore di hockey su ghiaccio di massa M = 110Kg si muove verso la balaustra a bordo campo alla velocitagrave di 3msec Nellrsquoarrestarsi flettendo le braccia il suo CDM si sposta in avanti di 30cm Qual egrave la ∆ K del suo CDM durante la manovra

∆ KCDM = infin CDMCDM mvmv 22

2

1

2

1 minus =

= 0 - 2

1110 32 = -495 J

Fig 40

Sia L il lavoro delle forze esternerarrF ext (dirette come d

rarrx CDM ) allora

L = - Fext 03 = ∆ KCDM quindi

Fext =30

495

minusminus

= + 1650N

( si considera la forza esterna rarrF ext costante nellrsquointervallo dellrsquoarresto fatto che equivale a dire

che il giocatore si arresta con rarra CDM costante)

Dinamica e statica del corpo esteso Finora abbiamo sempre discusso del moto di un punto materiale (punto rappresentativo dicevamo sempre) In particolare abbiamo sempre applicato le forze a quel punto materiale quindi se diverse forze erano applicate esse concorrevano in quel punto ligrave e con le forze concorrenti sapevamo come calcolare la risultante con il metodo grafico o con quello numerico delle coordinate cartesiane Una volta calcolata la risultante applicata al punto si otteneva un moto di pura traslazione del punto (al massimo traslava lungo una traiettoria curva) senza rotazioni proprie del punto che non hanno neanche senso un punto che ruota su se stesso Come faccio ad accorgermi Un punto per definizione egrave infinitamente piccolo (Dicevamo infine che il punto egrave in equilibrio

traslazionale se la risultante rarrR delle forze applicate egrave nullo)

Consideriamo invece un corpo esteso Prima osservazione questo ha piugrave punti (direi infin ) a

cui la forza puograve essere applicata Prendiamo una racchetta da tennis ed una forza rarrF applicata il

moto che ne risulta dipende dal punto al quale viene applicata la forza rarrF

qui la racchetta trasla

Fig 41

stessa forza qui la racchetta ruota

Fig 42

Seconda osservazione Crsquoegrave un caso in cui le forze non possono essere fatte concorrere in un punto ed egrave quando sono parallele ed hanno rette di applicazione distinte Chiaramente non abbiamo mai dovuto considerare questo caso per il punto materiale percheacute per un punto non possono mai passare due rette parallele Ma per il corpo esteso So benissimo che se sono ferma con la macchina in

panne e la sto spingendo applicando una forza rarrF 1 sono contenta se qualcuno si affianca a me ed

esercitando una forza rarrF 2 lungo una direzione parallela a quella della mia mi aiuta a spingere In

particolare mi viene spontaneo dire che se F1 = F2 allora spingeremo con una forza doppia Ci saragrave quindi un modo per sommare due forze non concorrenti in un punto ma parallele e saragrave Ftot = F1+ F2 La retta di applicazione di Ftot divide il segmento congiungente i punti di applicazione di F1 ed F2 in due segmenti inversamente proporzionali allrsquointensitagrave delle forze F1 e F2 Terza osservazione se F1 = - F2 sono uguali in intensitagrave ma di verso opposto sempre lungo due rette di applicazione parallele passanti per un corpo esteso cosa succede La loro somma Ftot risultante saragrave 0 ma io so che il corpo non sta fermo sotto lrsquoazione di tali due forze ma ruoteragrave Concludo che le nozioni che ho acquisito finora vanno riviste ed ampliate o corrette o specificate per i corpi estesi ed inoltre che mi mancano totalmente i mezzi per descrivere le rotazioni dei corpi estesi Occorrono nuovi concetti nuove quantitagrave la forza non basta Prendo lrsquoesempio piugrave semplice dellrsquoaltalena con due bambini in due bracci uno piugrave leggero uno piugrave pesante

Fig 43 Qualitativamente so che percheacute lrsquoaltalena stia in equilibrio e non ruoti intorno al punto fisso non egrave necessario che i due bambini abbiano lo stesso peso (ugual massa) occorre che il bambino piugrave leggero sieda piugrave lontano rispetto al punto fisso (fulcro) La regola quantitativa dice che lrsquoaltalena egrave in equilibrio se il prodotto del peso per la distanza del fulcro egrave uguale PB dB = Pb

db Per generalizzare questa regola ai casi piugrave complessi occorre definire una nuova quantitagrave il momento di una forza Momento di una forza

Consideriamo una forza rarrF applicata ad un punto P ed un punto O Sia

rarrr

il vettore rarrOP allora il momento

rarrM di

rarrF rispetto ad O egrave

rarrM =

rarrr x

rarrF

e

|rarrr | middot |

rarrF | sin ϑ = |

rarrM |

Fig 44

oppure anche considerando la componente di rarrF perpendicolare ad

rarrr o di

rarrr

perpendicolare a rarrF r e rispetto a F

|rarrM | = |

rarrr | |

rarrF perp | |

rarrM | = |

rarrr perp| |

rarrF |

In generale si dice che il modulo del momento |rarrM | egrave il prodotto delle intensitagrave della forza per la

distanza dal punto della retta di applicazione della forza

Come vettore rarrM egrave perpendicolare al piano che contiene

rarrF ed

rarrr ed ha verso calcolato con la

regola della mano destra (con rarrr che si chiude su

rarrF )

La distanza rperp si chiama braccio della forza Si vede che il momento egrave nullo quando il braccio egrave nullo cioegrave quando il punto O si trova sulla retta di applicazione di F Il momento della forza peso P egrave nullo rispetto al baricentro che coincide con il centro di massa nel caso (praticamenteldquosemprerdquo) in cui il corpo non sia abbastanza esteso percheacute diversi punti del corpo risentano di una forza gravitazione differente Praticamente si deve parlare di galassie percheacute CDM e baricentro (BC) non coincidono Quindi la condizione del momento nullo della forza peso diventa un modo per definire il CDM come quel punto rispetto al quale la forza peso P ha momento nullo Per un corpo ldquoarticolatordquo estendiamo il concetto di forza normale come forza di contatto nellrsquoarticolazione utile cioegrave la forza che lrsquoarticolazione che si sta considerando esercita su quello che nellrsquoarticolazione si appoggia La forza peso P di un corpo esteso puograve immaginarsi applicata al CDM Principio di equilibrio di un corpo esteso

se su un corpo esteso agiscono solo rarr

Peso e rarr

Normale cioegrave se un corpo egrave appoggiato ad un piano orizzontale allora il corpo egrave in equilibrio se e solo se il baricentro si trova sopra la superficie di appoggio

Fig 45

Finchegrave il baricentro egrave sopra il tavolo il libro non cade percheacute rarrP applicata a CDM puograve essere

controbilanciata da rarrN Se CDM si sposta in fuori

rarrN rimane nel tavolo e crsquoegrave momento non nullo

non equilibrato da rarrP che continua ad essere applicato nel CDM

Il baricentro di una persona in posizione eretta si trova nellrsquoarea delimitata dei suoi piedi 3cm davanti allrsquoarticolazione della caviglia

Fig 46 Quando la persona si piega in avanti il baricentro esce dal corpo e per mantenere lrsquoequilibrio egrave necessario che le anche si spingono indietro percheacute il baricentro cade di nuovo in quella posizione Notiamo che anche in posizione eretta essendo la forza peso e la forza di contatto non allineate (quei 3cm) (forza di contatto sullrsquoarticolazione della caviglia che regge il peso) occorre un momento correttivo che impedisca la rotazione in avanti mantenuto dal tendine di Achille che si lega alla caviglia Altro esempio di spostamento del baricentro egrave lrsquoatleta che assume una posizione ad L chi regge il peso egrave lrsquoarticolazione della spalla quindi il CDM si sposta sotto la spalla (giagrave era uscita dal corpo per via delle gambe distese in avanti) Nel camminare il baricentro continua a muoversi da sopra un piede a sopra un altro (quello appoggiato ovviamente) Si osservi lrsquoondeggiamento Per assurdo lrsquoancheggiare delle indossatrici serve a mantenere il baricentro il piugrave possibile fermo rispetto alla direzione media del moto (porre un piede esattamente davanti allrsquoaltro) rendendo piugrave facile muoversi anche con tacchi altissimi Al contrario lrsquoequilibrista che cammina sui trampoli sta fermo il meno possibile percheacute egrave stando fermo che il piccolo spostamento che fa uscire il baricentro (ALTO) dalla superficie drsquoappoggio puograve verificarsi facilmente preferisce il ldquonon ndash equilibriordquo o lrsquo rdquoequilibrio dinamicordquo dellrsquoondeggiare continuamente fra due posizioni di equilibrio

Ricordiamo che un equilibrio egrave detto stabile se quando una perturbazione lo altera spontaneamente il sistema lo ripristina Viceversa un equilibrio egrave instabile se la piugrave piccola perturbazione lo distrugge Lrsquoequilibrio egrave molto stabile se il baricentro egrave basso ed il corpo ha una grande area drsquoappoggio la posizione accucciata del giocatore di football americano dagrave grande stabilitagrave Ancor piugrave grande stabilitagrave si ha se il baricentro (CDM) si trova al di sotto della superficie drsquoappoggio Ersquo come se si fosse ldquoappesirdquo anzicheacute ldquoappoggiatirdquo alla superficie drsquoappoggio Proprio per questo motivo lrsquoequilibrista sul filo porta una lunga asta che spesso si flette agli estremi

Fig 47 Gli uccelli bipedi da 100000000 di anni hanno sviluppato questo adattamento per cui sono appesi alle anche mentre gli uomini bipedi da solo 1000000 di anni fanno fatica con il CDM dalla parte alta del corpo Ersquo un equilibrio instabile ldquosoprardquo le anche che le reggono (65 del peso del corpo) Modificazioni strutturali per reggere la posizione eretta 1) Colonna vertebrale rastremata (piugrave tozza in basso che in alto percheacute piugrave in basso vuol dire una

maggior forza di contatto) 2) Muscoli estensori della schiena 3) Gambe ed anche ingrossate 4) Ginocchio che blocca la gamba estesa Ciononostante si ha spesso il mal di schiena Se una forza ha momento non nullo rispetto ad un punto allora il corpo puograve ruotare intorno a quel punto sotto lrsquoazione di quella forza ldquoDiciamo che se sostengo il corpo per quel punto il corpo puograve ruotare intorno a quel puntordquo (Prendo in mano un foglio di carta per un estremo per esempio) La presenza di un momento non nullo egrave dunque la condizione che genera rotazione e viceversa Lrsquoassenza di un momento risultante egrave la condizione che genera lrsquoequilibrio rotazionale di un corpo esteso Quindi la condizione di equilibrio per un corpo esteso egrave

1) rarrR = 0 risultante delle forze applicate = 0 (equilibrio traslazionale)

2) rarrM = 0 momento risultante = 0 (equilibrio rotazionale)

Supponiamo di avere un corpo esteso al quale siano applicate delle forze che diano luogo ad un momento non nullo allora il corpo ruota Per equilibrarlo dovrograve applicare un altro momento tale che la loro somma sia nulla Questo egrave il principio di funzionamento delle leve LEVE

Una leva egrave un corpo esteso al quale sono applicate delle forze con un momento risultante rarrR

allora per portare il corpo in equilibrio applico un momento correttivo rarrP in modo che il momento

totale sia nullo Si dice in genere potenza (P) e resistenza (R) di una leva Le leve sono macchine semplici Servono per applicare forze in punti scomodi o in direzioni particolari Il fulcro egrave il punto nel quale la leva egrave incernierata Si definisce il guadagno meccanico di una leva

GM =

)(

)(rarr

rarr

PF

RF

cioegrave il rapporto fra la forza che genera il momento resistente e quella che genera il momento agente A seconda che GM sia gt

lt 0 una leva si dice che egrave vantaggiosa o svantaggiosa ma solo per quel che riguarda le forze percheacute per quel che riguarda i lavori non si ha neacute vantaggio neacute svantaggio Il lavoro esercitato dalla forza che dagrave la ldquopotenzardquo e quello esercitato dalla forza che dagrave la ldquoresistenzardquo sono sempre uguali Infatti forze e spostamenti sono inversamente proporzionali Le leve si dicono di I II o III specie a seconda se il fulcro si trovi I) in mezzo fra R e P (leva indifferente GM dipende da caso a caso) II) dalla parte di R (leva vantaggiosa il braccio di R egrave sempre minore del braccio di P basta

quindi una P minore per equilibrare una R maggiore) III) dalla parte di P (leva svantaggiosa) Classici esempi dei tre tipi di leve sono i remi (I) lo schiaccianoci (II) e la pinzetta per francobolli (III) Tuttavia vediamo degli esempi meno classici ma attinenti al campo della biologia e della medicina Criterio generale egrave che le leve vantaggiose consentono di essere molto potenti ma con brevi spostamenti mentre viceversa quelle svantaggiose fanno perdere in potenza ma consentono grandi spostamenti saragrave difficile vedere un cavallo che con le lunghe zampe si scava la tana drsquoaltronde una talpa scava bene la tana ma ha movimenti molto meno ampi che non le consentono di correre veloce come un cavallo (compromesso fra forza e velocitagrave del movimento) Se contiamo tutti i movimenti di rotazione che il corpo puograve compiere capiamo che siamo pieni di leve di ogni tipo Sono classici a) il capo fulcro (articolazione occipito-atlantoide) Fig 48 muscoli della nuca (Potenza) peso del capo (Resistenza) b)

muscolo bicipide (Potenza)

Fig 49 Peso dellrsquoavambraccio (Resistenza) Fulcro (articolazione del gomito) Questa leva permette grandi spostamenti Si vede che la forza operata dal muscolo bicipite egrave massima quando lrsquoavambraccio egrave orizzontale (la distanza dal fulcro egrave massima) ed egrave minima quando lrsquoavambraccio egrave verticale( con la distanza dal fulcro nulla) Attenzione - la colonna vertebrale egrave costituita da 24 vertebre separate da dischi di liquido Quando una

persona si piega la schiena egrave una leva con GM molto piccolo Quindi un piegamento completo per raccogliere un oggetto anche leggero produce una forza molto intensa sul disco lombosacrale che separa lrsquoultima vertebra dellrsquoosso sacro Se indebolito questo disco puograve rompersi o deformarsi comprimendo i nervi vicini e causando grande dolore Vediamo un modello che rende conto come mai questa forza egrave cosigrave grande

Fig 50

I muscoli della schiena esercitano T Con un angolo α = 12deg quando la schiena egrave piegata a 90deg

Peso della parte superiore del corpo (circa il 65 del peso totale)

Fulcro lombosacrale (il fulcro produce R) Essendo α piccolo la retta di azione Τ passa vicino al fulcro e dunque la distanza r che costituisce il suo braccio egrave molto piccola Al contrario il peso egrave perpendicolare alla colonna e il suo punto di applicazione egrave molto piugrave distante dal fulcro Τ deve essere molto grande per equilibrare il momento di P Dunque se T egrave grande anche la sua componente orizzontale egrave grande e di conseguenza anche R che costituisce la reazione dellrsquoosso sacro deve avere componente orizzontale molto grande per equilibrare Τ (uguale ed opposta alla componente orizzontale di Τ ) Facendo i conti si ottengono numeri grandi per 75Kg di peso T ed R sono equivalenti al peso di una massa di 220Kg Senza sollevare pesi solo piegandosi Conviene piegare le ginocchia quando si sollevano pesi - Nel corpo egrave difficile che il peso cada sulla verticale dellrsquoarticolazione che lo sostiene egrave sempre

un porsquo spostato e crsquoegrave un tendine con un muscolo che compensa il momento del peso - La contrazione muscolare egrave una successione di brevi contrazioni delle fibre muscolari stimolate

da impulsi che provengono dal sistema nervoso Contrazioni sono molto ravvicinate e avvengono in tempi differenti nelle diverse parti del muscolo cosigrave che il risultato apparente egrave una lenta e progressiva contrazione Se la frequenza degli impulsi aumenta la tensione cresce finchegrave si raggiunge la tensione massima (ricordare la tensione di un cavo) Un ulteriore aumento della frequenza degli impulsi a questo punto non causa ulteriore aumento della tensione

La tensione massima egrave proporzionale allrsquoarea della sezione trasversa del muscolo nel suo punto piugrave largo La tensione massima dipende anche dalla lunghezza del muscolo che varia Si ottiene tensione massima quando il muscolo egrave solo di poco allungato rispetto alla sua lunghezza di riposo di riposo ed egrave circa 30-40 Ncm2 La tensione massima si riduce moltissimo se il muscolo egrave molto allungato o accorciato Dinamica Rotatoria Fino ad ora abbiamo studiato moti traslatori ma il moto di un corpo rigido egrave in generale roto-traslatorio Naturalmente dobbiamo ridurre il problema complesso ad uno piugrave semplice e per fare ciograve immaginiamo di posizionarci su un sistema di riferimento solidale al corpo rigido i moto immaginiamo cioegrave di ldquosedercirdquo sul corpo rigido In questo modo non saremo piugrave sensibili al moto traslatorio e guardando il corpo rigido osserveremo solo le sue rotazioni Trattiamo allora il moto generico scomponendo la parte traslatoria (giagrave discussa ) da quella rotatoria Se si trascura la parte traslatoria del moto di un corpo rigido quello che rimane da trattare egrave la sua rotazione Nel nostro corso consideriamo le rotazioni che avvengono su un piano le rotazioni nello spazio potranno essere trattate come composizione di rotazioni su un piano Per le rotazioni su un piano si identifica un asse di rotazione perpendicolare al piano di rotazione e passante per il centro di rotazione Le articolazioni del gomito e del ginocchio sono articolazioni libere di ruotare intorno ad un asse a differenza ad esempio di quella della spalla che puograve ruotare intorno a due assi Si definisce spostamento angolare la variazione di una posizione che egrave definita in modo completo da una misura di angolo Una rotazione di un intero corpo rigido egrave definita in modo completo da uno spostamento angolare θfin - θin= ∆θ e si misura in radianti

Fig 51 Dobbiamo definire anche un verso di rotazione θ si incrementa per rotazioni antiorarie positive le rotazioni in senso orario sono invece negative La velocitagrave angolare si definisce analogamente alla velocitagrave lineare come il rapporto tra lo spostamento angolare e il tempo t impiegato per eseguire tale rotazione

ωm = t∆

∆θ e si misura in rad s

θin

θfin ∆θ

R

S

Anche per w si definisce ωist = lim ∆trarr0 t∆

∆θ

Ancora lrsquoaccelerazione angolare si definisce αm = t∆

∆ω e αist = lim ∆trarr0

t∆∆ω

Anche la legge fondamentale della dinamica ha un analogo nel ambito dei moti rotatori Si stabilisce che se ad un corpo rigido egrave soggetto ad un momento torcente diverso da zero esso subisce unrsquoaccelerazione angolare ad esso proporzionale Nel caso delle rotazioni la resistenza al moto egrave espressa dal momento di inerzia I associato al corpo rigido che gioca il ruolo della massa nei moti traslatori La legge della dinamica delle rotazioni egrave M = I middotα

E sostituendo M = Imiddott∆

∆ω= Imiddot

tinfin

∆minusωω

Il momento di inerzia I di un corpo rigido dipende dalla disposizione della massa del corpo rispetto allrsquoasse di rotazione per una massa puntiforme m a distanza R dallrsquoasse di rotazione I= m R2 per un oggetto esteso sommerograve il momento drsquoinerzia delle sue parti I = Σi mi Ri

2 Se si definisce momento angolare L il prodotto del momento drsquoinerzia per la velocitagrave angolare

L=Iω la legge della dinamica diventa

M = t

LL infin

∆minus

Il momento angolare egrave la grandezza fisica che si conserva se non viene applicato momento torcente Tutti i gesti di volo salti lanci tuffihellip sono azioni nelle quali si conserva il momento angolare Infatti in volo agisce solo la forza di gravitagrave che essendo applicata al CDM non genera momento torcente Il corpo umano nei gesti di volo Il corpo umano non egrave rigido e pertanto in volo agendo con i muscoli possiamo cambiare la disposizione del nostro corpo intorno al centro di massa che in volo coincide col centro di rotazione In questo modo si ottiene una variazione del momento di inerzia I e di conseguenza la velocitagrave angolare deve compensare questa variazione in modo che si mantenga costante il momento angolare L (grandezza che si conserva in assenza di momento torcente) Ersquo questo il principio che spiega il realizzarsi delle trottole sul ghiaccio dei salti mortali tuffi con avvitamento e cosigrave via in posizione raccolta I diminuisce e ω aumenta Moto circolare e moto circolare uniforme Per utilizzare le relazioni della cinematica e della dinamica lineare che abbiamo studiato egrave interessante poter passare dalle variabili angolari alle variabili lineari velocitagrave e accelerazione delle

masse in moto rotatorio Se una massa si muove su una traiettoria curva la velocitagrave tangenziale vt diretta come la tangente alla traiettoria dipende dalla velocitagrave angolare ω ( ωm=ϑ t )e dal raggio di curvatura della traiettoria Se la traiettoria egrave una circonferenza di raggio R e se gli angoli sono espressi in radianti lrsquoarco percorso per uno spostamento angolare ϑ egrave S = ϑ sdotR e la velocitagrave lineare tangente vt = St= ϑ sdotRt risulta vt = ωsdotR Se la velocitagrave angolare ω egrave costante il moto egrave detto circolare uniforme La legge oraria egrave quella dei moti uniformi spostamenti angolari uguali in tempi uguali ϑ(t) = ω t Anche la velocitagrave tangente saragrave di intensitagrave costante se ω egrave costante (archi uguali per tempi uguali s(t) = vt (t) ) ma crsquoegrave una accelerazione normale infatti la velocitagrave anche se non cambia in modulo cambia continuamente di direzione Questa accelerazione si dice centripeta egrave diretta normalmente rispetto alla traiettoria verso il centro della circonferenza e vale in modulo

ac=R

v2

Fig 52 Essendo la velocitagrave tangente vt = ωR Lrsquo accelerazione centripeta si puograve scrivere

ac =R

v2

= ω2 R

Il tempo impiegato dal punto a muoversi sulla circonferenza egrave una costante (moto uniforme) T periodo in T viene percorso uno spazio 2π R

v = T

Rπ2

La frequenza f egrave invece il ndeg di giri al secondo

f =T

1

Se si prendono punti diversi sul raggio della circonferenza questi hanno la stessa velocitagrave angolare e velocitagrave tangenziali crescenti al crescere del raggio Esempio carosello dei pattinatori Esercizi

1- un velocista con una velocitagrave di 10 ms viaggia su una curva di raggio 25m ndash accelerazione

a = R

v2

= 25

100 = 4 ms2

2 ndash un velocista con v = 92 ms su una pista circolare con ac = 38 m s2 ndash Raggio della pista Tempo per percorrere un giro completo

a = R

v2

rArr R = a

v2

= 83

)29( 2

= 2227m

T =v

Rπ2 =

29

27222 lowastπ = 152 sec

Forza centripeta forza centrifuga Una forza centripeta egrave una forza di qualunque natura che trattiene un corpo in moto su una traiettoria curvilinea ad esempio circolare In assenza di tale forza il corpo proseguirebbe il suo moto lungo una traiettoria rettilinea Nel gesto del lancio del martello ad esempio il lanciatore che esercita sul peso in cima allrsquoattrezzo una forza mediata dalla tensione dal cavo che lo trattiene nella traiettoria circolare Quando il lanciatore lascia la maniglia il martello viene lanciato lungo la direzione della tangente alla traiettoria nellrsquoistante di rilascio Lrsquointensitagrave della forza centripeta necessaria a mantenere una massa m in moto con velocitagrave tangente v lungo una traiettoria circolare di raggio r si puograve calcolare a partire dallrsquoaccellerazione centripeta secondo la legge fondamentale della dinamica

|rarr

cF | = m | rarr

ca | = m r

v2

Tale forza egrave diretta come lrsquoaccelerazione centripeta e cioegrave verso il centro della circonferenza che costituisce la traiettoria La forza centripeta egrave dunque una forza reale Con lsquoforza centrifugarsquo invece non ci si riferisce ad un forza che agisce su un corpo ma alla situazione apparente cui sembra sottoposto un corpo in moto curvilineo Esso pare tirato o attirato lontano dal centro di rotazione pare ci sia una lsquoforzarsquo che vuole farlo sfuggire Quando viene lasciato il martello si allontana dal centro di rotazione percheacute si muove di moto rettilineo uniforme non essendo piugrave soggetto a forze altre che la forza peso Lrsquoacqua esce dal cestello della lavatrice quando il cestello ruota velocemente (funzione centrifuga) percheacute lrsquoacqua che non costituisce un corpo solo con il cestello bucato non egrave soggetta alla forza centripeta e puograve passare attraverso i buchi I panni invece pure non parte del cestello sono troppo grandi per passare dai buchi si possono solo schiacciare contro le pareti questo schiacciamento sembra il risultato di una forza ma egrave invece il risultato dellrsquoassenza di una forza quella centripeta Una volta lagrave contro il cestello fanno tuttrsquouno con le pareti di metallo che esercitano su di essi la forza centripeta (cioegrave con direzione verso lrsquoasse di rotazione) che li mantiene in rotazione Le parti di un corpo rigido esteso che si muove di moto rotatorio rispetto ad un asse quale ad esempio la gamba di un giocatore di calcio che calcia un pallone sono soggette alla forza centripeta che le mantiene sulla traiettoria curva Tale forza viene trasmessa alle varie parti tramite le forze di tensione che si sviluppano allrsquointerno del corpo stesso ad esempio il piede egrave soggetto alla forza centrifuga tramite lrsquoazione dei legamenti e tendini a livello della caviglia che vengono messi in tensione per trattenere il piede stesso

∆t = t+ - t- dove t+ e t- sono le radici dellrsquoequazione di secondo grado

061 = 386 t - frac12 98 t2 49t2 ndash 386t + 061 = 0 tplusmn = 89

946104863863 2 sdotsdot+plusmn

e quindi t+ = 89

711863 + = 0568s e t- =

89

711863 minus = 0219s

perciograve ∆t = 0568 ndash 0219 = 0349sec Si confronti questo tempo ∆t con il tempo t che il giocatore impiega a percorrere gli ultimi 15 cm prima di ritoccare il suolo dopo il salto

(spazio da h al suolo) = 076m = frac12 gt02 t0 =

89

2760 sdot = 0394 s e

(spazio da h a 15cm dal suolo) = 061m = frac12 gt2 t = 89

2610 sdot= 0353 s quindi

t = t0 ndash t = 0041s ltlt di ∆t Il cestista trascorre 35 centesimi di secondo nel tratto alto e solo 4 centesimi nel tratto basso (15cm) I cestisti sembrano rimanere ldquoappesirdquo al canestro Descrizione vettoriale del movimento In questo capitolo estendiamo lo studio del moto dei corpi al moto di corpi sempre puntiformi (trascuro le rotazioni) ma che si muovono in uno spazio a piugrave dimensioni In particolare saragrave sufficiente trattare il moto in due dimensioni Per descrivere i moti che avvengono su di un piano o nello spazio dobbiamo considerare la natura vettoriale delle grandezze fisiche spostamento velocitagrave ed accelerazione che abbiamo introdotto Tali grandezze sono caratterizzate da modulo (o intensitagrave) direzione e verso Quando si usano le relazioni e le leggi che coinvolgono le grandezze vettoriali bisogna calcolare somme e prodotti tra vettori Consideriamo il caso particolare di vettori in due dimensioni cioegrave in un piano Per rappresentare un vettore utilizzeremo le sue componenti in un piano cartesiano Supponiamo che Soldini debba comunicarci la sua posizione nellrsquooceano cioegrave deve descrivere il suo vettore posizione Egli puograve dare la sua longitudine e latitudine rispetto al meridiano ( Greenwich) e parallelo (equatore) di riferimento Fig 2

ϑ s

S

Xs longitudine di Soldini Ys latitudine di Soldini

Longitudine e latitudine dicono quali sono le componenti cartesiane del vettore orientato rarrR s

vettore posizione di Soldini Xs = Rs cos ϑ s Ys = Rs sin ϑ s dove ϑ s ( sin e cos sono funzioni che variano tra ndash1 e 1 cosigrave che il massimo valore di Xs o Ys egrave Rs giustamente)

e | rarrR s | = Rs = (X2

s +Y2s )

12 (Pitagora ) Operazioni con i vettori Somma con regola del parallelogramma spostare i vettori lungo la loro retta di applicazione finchegrave si trovano coda contro coda e costruire il parallelogramma Fig3 oppure con componenti cartesiane si sommmano le componenti cartesiane corrispondenti dopo aver disposto i vettori in un insieme di riferimento cartesiano e calcolato le componenti con cosϑ e sinϑ

Prodotto per uno scalare c middot rarra tra un vettore ed uno scalare egrave un vettore che ha la stessa

direzione e il modulo moltiplicato per lo scalare In particolare moltiplicando per ndash1 si trova il vettore opposto La somma di un vettore con lrsquoopposto di un altro equivale a fare la differenza fra i due vettori

Prodotto scalare rarra middot

rarrb tra due vettori dagrave luogo ad uno scalare si moltiplica lrsquointensitagrave

dellrsquouno per la proiezione dellrsquoaltro nella direzione del primo ( o viceversa)

rarra middot

rarrb = |

rarra | middot |

rarrb | cos ϑ =

rarrb middot

rarra

poicheacute cos ϑ egrave simmetrico rispetto a ϑ = 0 cos ϑ = cos-ϑ (proprietagrave commutative del prodotto scalare)

rarra middot

rarrb egrave

max quando cos ϑ = 1 rArr rarra e

rarrb equiversi e paralleli

=0 quando cosϑ = 0 rArrrarra e

rarrb sono perpendicolari ( non crsquoegrave componente di

rarrb lungo

rarra )

Si useragrave ad esempio per il lavoro meccanico L = rarrF middot

rarrs

Prodotto vettoriale rarra ^

rarrb tra due vettori dagrave luogo ad un vettore di intensitagrave

| rarra ^

rarrb | = |

rarra | middot |

rarrb | sin ϑ = - |

rarrb ^

rarra |

non commutativo sin ϑ egrave antisimmetrico rispetto a ϑ = 0 sin ϑ = - sin -ϑ

Il vettore rarra ^

rarrb egrave diretto perpendicolarmente al piano che contiene

rarra e

rarrb e col verso dato

dalla regola della mano destra se rarra ruota verso

rarrb lungo lrsquoangolo minore

Fig 4

Il vettore prodotto rarra ^

rarrb esce dal foglio Questo tipo di prodotto si incontreragrave ad esempio nel

calcolo del momento di una forza quando una forza genera rotazioni anzicheacute traslazioni rarrM = R

r ^

rarrF

Esercizio disporre due vettori di intensitagrave 3 e 4 (spostamenti di 3m e 4m) in modo che la somma sia 7m 1m 5m a) consecutivi nella stessa direzione stesso verso Fig 5 b) consecutivi nella stessa direzione versi opposti Fig 6 c) Perpendicolari Pitagora | 32 + 42 | = | 52 | Fig 7

Moto del proiettile Descriviamo il moto di un punto materiale (rappresentativo di un corpo) che viene lanciato e dunque segue una traiettoria in due dimensioni lungo una delle quali (quella verticale) sperimenta unrsquoaccelerazione diretta verso il basso agravitagrave = -98 ms2 (caduta libera) e nellrsquoaltra orizzontale no (accelerazione orizzontale = 0)

La velocitagrave iniziale vettoriale rarr

iv e la successiva velocitagrave rarrv (t) sono considerate

opportunamente in un sistema di riferimento cartesiano in cui un asse egrave diretto verticalmente e il verso positivo egrave verso lrsquoalto Sia ϑ lrsquoalzo cioegrave lrsquoangolo di emissione Fig 8 Lrsquoesperienza insegna che il proiettile (oggetto lanciato) cade Se lanciato verso lrsquoalto sale fino ad

unrsquoaltezza massima e poi scende In ogni istante t del moto la velocitagrave rarrv (t) saragrave diretta come la

tangente alla traiettoria

Le componenti di rarrv (t) lungo gli assi di riferimento vx(t) e vy(t) dipendono da tempo t ma sono

fra loro indipendenti Si puograve dunque separare il moto in due dimensioni in due moti unidimensionali Verifica dellrsquoindipendenza dei due moti egrave nel fatto che filmati stroboscopici di due palline una lasciata cadere lrsquoaltra lanciata orizzontalmente mostrano che dopo tempi uguali le due palline si trovano alla stassa quota Fig 9 Il moto orizzontale non influenza il moto verticale

V ix V iy=0

Esercizi 1 Problema della scimmia Quando la scimmia si accorge che il cacciatore le spara si lascia cadere Fig10 Dove deve mirare il cacciatore per prenderla Lrsquoaccelerazione egrave in generale un vettore Nel moto su un piano lrsquoaccelerazione egrave definita da due

componenti rarra equiv (ax ay )

- moto orizzontale ndash lungo lrsquoasse orizzontale il corpo in moto non sperimenta alcuna accelerazione

ax = 0 dunque la componente orizzontale della velocitagrave egrave costante

se rarr

iv aveva componente orizzontale non nulla vi x = vi sdotcos ϑ questa si mantiene e saragrave

x(t) = vi x t + xi

x(t) ndash xi = ( vi cos ϑ )t spostamento orizzontale sx = ( vi cos ϑ )sdott -moto verticale ndash accelerazione costante agravitagrave dunque moto uniformemente accelerato se crsquoera

una componente iniziale v0y della velocitagrave rarrv allora

y(t) = 2

1(-g)t2 + viy sdott + yi

y(t)-yi = (vi sin ϑ )t-2

1gt2 spostamento verticale sy=(vi sin ϑ )sdott-

2

1gt2

Traiettoria del proiettile Abbiamo visto le leggi orarie in x e y ma la traiettoria egrave in due dimensioni disegnamola in un riferimento cartesiano vedendo per ogni posizione in x quanto vale y cioegrave ricavando y = y(x) Mettiamo a sistema supponiamo di partire da xi = 0 e yi = 0 per semplicitagrave

x = ( vi cosϑ )t rArr t =ϑcosiv

x

y =( vi sinϑ )t - 2

1 gt2

y = sinϑ middot ϑcos

x -

2

1g

2

2

)cos(

)(

ϑiv

x = x tgϑ -

2)cos(2 ϑiv

g x2

(tgϑ egrave costante percheacute egrave lrsquoalzo iniziale 2)cos(2 ϑiv

g egrave costante percheacute g egrave costante vi pure

ϑ pure) Questa egrave lrsquoequazione di una parabola del tipo y = ax2 + bx La traiettoria egrave dunque una parabola Ha importanza sapere la gittata orizzontale cioegrave a quale distanza D il proiettile toccheragrave il suolo (che misura farograve nel lancio)

D = x-xi = (vi cosϑ )t rArr t = ϑcosiv

D

Suolo rarr 0 = y ndash yi = (vi sinϑ )t - 2

1 gt2

0 = vi sinϑ ϑcosiv

D -

2

1g

2

2

)cos( ϑiv

D

dividendo per D

0 = ϑϑ

cos

sin-

2

1g

2)cos( ϑiv

D rArr D =

ϑϑ

cos

sin

g

vi ϑ22 cos2 = sinϑ cosϑ

g

vi22

darr sin2ϑ (trigonometria 2 sinϑ cosϑ = sin2ϑ )

D = g

vi2

sin2ϑ

Questa equazione mi dice che misura farograve a partire dalla velocitagrave iniziale che riesco ad imprimere allrsquoattrezzo e allrsquoalzo del tiro La funzione sin ha un andamento a max e min rArr si avragrave un max quando sin 2ϑ =1 rArr 2ϑ = 90deg ϑ = 45deg Lrsquoalzo iniziale di 45deg daragrave il risultato migliore (assenza di vento assenza di attrito problema semplificato) Attenzione sin 2ϑ egrave simmetrico intorno a 2ϑ = 90deg e dunque si avranno gittate uguali per angoli equidistanti da 2ϑ = 90deg rArr ϑ = 45deg (osservazione di Galileo) Fig 11 Esercizi 1 ndash Copione di un film cascatore deve saltare da un terrazzo sul terrazzo di un palazzo vicino distante 62m e piugrave basso di 48m la sua velocitagrave sul terrazzo puograve essere 45 msec Accetta la parte

Fig12

Per cadere di 48 m impiega un tempo tc tale che y(tc) ndash yi = -48m = -2

1 gt2c

tc = 89

)2()84( minuslowastminus = 099sec

Nel tempo di caduta tc = 099s quale distanza potragrave coprire con la velocitagrave iniziale ( e poi costante) vix =45 msec d = x-xi = vix t = 45 middot 099 = 45m d = 45m egrave meno dei 62m che separano i due palazzi Il cascatore faragrave bene a rifiutare la parte Quale velocitagrave iniziale min dovrebbe avere per avere delle chances

V ix = 990

26 = 62 msec

2 ndash Salto di Bob Beamon a cittagrave del Mexico nel 1968 salto in lungo di 890m Supponendo che la velocitagrave del decollo sia stata 95 ms come per un centometrista quanto vicino arrivograve alla gittata max (per assenza di resistenza aria)

Dmax = g

v20 per sin 2ϑ 0 = 1 (rArr ϑ 0 = 45deg)

= 789

)59( 2

= 9228m

∆ D = 9228 ndash 890 = 0328m

3 ndash Cestista

Fig15 Quale velocitagrave iniziale v0 deve avere la palla affinchegrave il cestista possa fare canestro se lrsquoalzo iniziale egrave di 55deg rispetto allrsquoorizzontale (le varie distanze sono indicate in Figura) Definisco sistema di assi cartesiano con origine nel centro della palla e assi paralleli agli assi originari In questo sistema di riferimento la posizione del canestro egrave xc = 42 ndash 03 = 39m yc = 3 ndash 21 = 09m Lrsquo equazione della traiettoria egrave

y = x tgϑ 0 - 200 )cos(2 ϑv

g x2

Introduco nellrsquoequazione i valori di yc xc tg 55deg = 1428 e ricavo il valore dellrsquounica incognita v0

09 = 39 x 1428 - 2

0 )5740(2

89

xv x (39)2

09 = 5569 - 2

0 )5740(

5374

xv

(09 ndash 5569) (v0 x 0574)2 = -7453

v0 = 6694

5374

5740

1 = 696msec

Forze e moto Quando un oggetto cambia il suo stato di moto (da fermo si muove o si ferma se si stava muovendo accelera o frena o curva) per esperienza sappiamo che egrave avvenuta unrsquointerazione dellrsquooggetto con un altro corpo dellrsquoambiente circostante al contatto o a distanza Il concetto di interazione prevede sempre la presenza di due corpi unrsquointerazione viene scambiata tra due corpi A questa interazione associamo il concetto di forza Questa associazione non egrave solo qualitativa ma viene quantificata tramite una legge che collega forze e cambiamenti dello stato di moto dei corpi rendendo la forza una grandezza derivata nel sistema SI Ciograve avviene introducendo una grandezza fisica fondamentale chiamata massa (m) che egrave caratteristica di ogni corpo materiale e che esprime lrsquoinerzia al moto propria del corpo quando viene sottoposto alla sollecitazione di una forza Diciamo che due corpi hanno masse diverse se assumono accelerazioni diverse quando sottoposte allrsquoazione della medesima forza Questa massa si dice anche inerziale Si misura in kilogrammi (kg) ed egrave una grandezza scalare positiva

La teoria del moto egrave riassunta dalle tre leggi formulate da Isaac Newton fondate sulle basi del genio di Galileo Galilei Prima legge del moto Ogni corpo rimane nel suo stato di quiete o mantiene il suo stato di moto a velocitagrave costante se nessuna forza agisce su di esso o se la risultante delle forze ad esso applicate egrave nulla Questa proprietagrave del moto egrave detta anche ldquoprincipio di inerziardquo o ldquoprimo principio della dinamicardquo Velocitagrave costante significa che il vettore velocitagrave egrave costante cioegrave non variano modulo direzione e verso Quindi lrsquounico moto possibile in assenza di forze applicate egrave quello rettilineo uniforme (Tale legge non puograve essere verificata se si prende in considerazione un sistema di riferimento che si muove di moto accelerato Per esempio se utilizzo un sistema di riferimento solidale con lrsquoabitacolo di unrsquoautomobile o di un aereo che stanno accelerando o frenando i corpi possono scivolare lrsquoacqua contenuta in un bicchiere vi si puograve rovesciare addosso come soggetta ad una forza In realtagrave ciograve avviene proprio perchegrave questi corpi tendono a mantenere il loro stato di moto e lsquodisubbidisconorsquo alla variazione di velocitagrave che ciograve che egrave solidale col sistema di riferimento sta subendo I sistemi di riferimento nei quali si verifica la prima legge della dinamica si chiamano sistemi di riferimento inerziali e sono da essa implicitamente definiti) Seconda legge del moto Questa legge formulata inizialmente da Galileo e poi riproposta da Newton egrave detta anche ldquolegge fondamentale della dinamicardquo

rarrF = m

rarra

La forza rarrF egrave un vettore dato dal prodotto del vettore accelerazione

rarra per uno scalare m ed egrave

diretto come rarra Questa legge come si vede egrave una legge vettoriale Se piugrave forze agiscono sul

corpo di massa m la legge vale per il ldquovettore risultanterdquo che egrave la somma vettoriale di tutte le forze che agiscono sul corpo Lrsquoaccelerazione egrave diretta come il vettore risultante delle forze

Si possono definire le componenti di rarrF lungo gli assi del sistema di riferimento e la legge del

moto vale componente per componente Fx = max Fy = may Fz = maz

Lrsquounitagrave di misura della forza egrave il newton (N) 1N = 1Kg m s2

E la relazione dimensionale egrave[ ]N = [ ]2minusmlt Se la forza (o la risultante delle forze) applicata al corpo egrave nulla egrave anche nulla lrsquoaccelerazione e visto che lrsquoaccelerazione egrave definita come la variazione della velocitagrave divisa per il tempo la variazione della velocitagrave saragrave anchrsquoessa nulla Ciograve significa che la velocitagrave si mantiene costante Quindi in assenza di forze applicate il corpo rimane fermo se inizialmente era fermo e continua a muoversi con velocitagrave costante se inizialmente si muoveva come giagrave affermato dalla prima legge Terza legge del moto Dal concetto di forza che esprime lrsquointerazione tra i corpi deriva anche quello che viene comunemente detto ldquoil principio di azione e reazionerdquo o ldquoterzo principio della dinamicardquo ad ogni azione corrisponde sempre una reazione uguale e contraria cioegrave se due corpi A e B interagiscono in

modo che il corpo A eserciti una forza rarrF sul corpo B allora il corpo B esercita sul corpo A una

forza rarr

F = - rarrF Si noti che le due forze NON sono applicate allo stesso corpo

rarrF agisce su

B e rarr

F agisce su A Lrsquoapplicazione di questo principio egrave molto importante quando si considerano le forze che si realizzano al contatto tra due corpi e in particolare per le forze applicate da muscoli tendini legamenti e ossa del corpo umano Forze particolari Forza gravitazionale Newton nel descrivere il moto dei corpi celesti ha stabilito la presenza di una forza di interazione a distanza tra due corpi che chiamiamo forza di gravitagrave e ha fornito lrsquoespressione che la governa

FG = -G 2

21

R

mm GG ( legge di attrazione universale)

dove mG 1 e mG 2 sono le masse gravitazionali dei due corpi R egrave la distanza tra le due masse (considerate puntiformi) e G egrave una costante numerica che vale 667 x 10-11 Nm2kg2 1 Nm2kg2 egrave anche 1m3kg s2 Il segno meno sta a indicare che la forza egrave attrattiva La forza gravitazionale viene rappresentata con un vettore il cui modulo egrave dato dalla legge di Newton e che ha la direzione della congiungente i centri di massa delle due masse La forza di attrazione lsquosentitarsquo dalla massa mG 2 dovuta a mG 1 ha il verso che punta su mG 1 e contemporaneamente la forza di attrazione misurata dalla massa mG 1 dovuta a mG 2 ha il verso che punta su mG 2m (le due forze sono lrsquoazione e la reazione della terza legge della dinamica Perchegrave nellrsquoesperienza comune non si osserva che una matita attiri unrsquoaltra matita su un tavolo La forza attrattiva gravitazionale esiste fra di loro ma egrave molto piccola (la costante G egrave molto piccola) ed egrave contrastata completamente dalle forze di attrito (che discuteremo fra breve) La Terra su cui viviamo ha invece una massa molto grande M = 597 x 1024 kg e quindi puograve esercitare una forza piugrave che apprezzabile su altre masse anche se piccole come quella della matita (la matita cade dal tavolo) Chiamiamo forza peso la forza di gravitagrave FG esercitata dalla Terra su ogni corpo ad essa vicino e che origina dallrsquointerazione gravitazionale per la quale tutti i corpi si attirano fra di loro La forza peso viene spesso indicata con P che agisce su un corpo di massa mG vale

P = -G 2T

GGTerra

R

mM equiv - g mG con g equiv G

2T

GTerra

R

M

Dove MG Terra egrave la massa della Terra ed RT egrave il raggio della Terra (RT = 6370km) Il valore di g risulta

g = 667 x 10-11 2

3

kgs

m223

24

)106379(

10975

mx

kgx = 98 ms2 e ha le dimensioni di unrsquo accelerazione

La forza di attrazione gravitazionale alla quale una massa mG egrave soggetta vicino alla superficie di un altro pianeta egrave diversa Infatti la massa e il raggio degli altri pianeti sono diversi da quelli della Terra e quindi g assume un altro valore Si puograve dire che il peso di un corpo cambia sui diversi pianeti o sulla Luna mentre la massa gravitazionale egrave la grandezza fisica fondamentale propria di ogni corpo

Ersquo molto importante ora applicare la seconda legge della dinamica o legge fondamentale della dinamica F = m a ad un corpo soggetto alla sola forza peso sulla superficie della Terra cioegrave quando F egrave la forza peso P ora definita F = m a P = m a -g mG = m a Abbiamo voluto lasciare indicato il pedice G percheacute in principio non crsquoegrave ragione percheacute la grandezza con le dimensioni di una massa che compare nella legge di gravitazione sia uguale alla massa implicitamente definita dalla relazione di proporzionalitagrave tra la F applicata e lrsquoaccelerazione subita da un corpo data dalla seconda legge della dinamica Si egrave tuttavia dimostrato sperimentalmente che la massa gravitazionale mG (introdotta nella legge di attrazione universale e la massa m che si dice massa inerziale ed egrave definita tramite la seconda legge della dinamica sono uguali hanno lo stesso valore Questo permette di semplificare le due masse nellrsquoequazione e di ottenere -g = a che significa che lrsquoaccelerazione di una corpo soggetto alla forza peso sulla superficie della terra vale a = ndashg equiv -98 ms2 NB lrsquoaccelerazione vale 98 ms2 per tutti i corpi di qualsiasi massa Infatti sui corpi con massa maggiore vengono esercitate forze maggiori in modo proporzionale alla loro massa (corpi con massa maggiore lsquopesano di piugraversquo) cosigrave da produrre sempre la stessa accelerazione Si egrave soliti assumere che g sia costante e che non dipenda dalla quota h alla quale ci si trovi al di sopra della superficie terrestre Questa egrave unrsquoapprossimazione molto buona nei limiti in cui hltlt RT Infatti g diminuisce con la quota per esempio se h = 8000m (circa sul monte Everest) lrsquoaccelerazione di gravitagrave g si riduce a

2

2

)6378000(

)6370000( x g = 099749 x g = 97754 m s2 (meno del 25 per mille)

Forze di superficie Forze di contatto Alla superficie di contatto tra due corpi si realizzano le forze che chiamiamo appunto di superficie e che si dividono in forze di contatto e forze di attrito Le forze di contatto

La forza normalerarr

NF egrave la forza che un corpo sperimenta quando egrave appoggiato su di una superficie

Si chiama normale percheacute egrave sempre diretta perpendicolarmente alla superficie Se la superficie egrave orizzontale Fig16

Fc

FN

Piano orizzontale Calcolare lrsquointensitagrave della forza normale applicata ad un oggetto di massa m fermo su un tavolo orizzontale Per il primo principio della dinamica (principio di inerzia) se un corpo e fermo la risultante delle forze ad esso applicate egrave nulla cioegrave

rarrP +

rarr

NF = 0

In questo caso la forza normale rarr

NF egrave un vettore che ha lo stesso modulo e la stessa direzione del

vettore forza pesorarrP ma ha verso opposto Quindi il modulo di

rarr

NF vale |rarr

NF | = mg

Piano inclinato

Nel caso di un piano inclinato dovrograve tenere conto che rarr

NF puograve compensare solo la parte di rarrP

diretta normalmente al piano (infatti se non crsquoegrave attrito il corpo scivola lungo il piano inclinato) Se ϑ egrave lrsquoangolo che il piano inclinato forma con lrsquoorizzontale il piano inclinato fornisce al corpo una

forza normale che in modulo vale | rarr

NF | = m g cosϑ

Fig 17 4 ndash Salto con molleggio Un uomo con massa m = 70kg salta da unrsquoaltezza L = 2m Arrivando al suolo molleggia sulle ginocchia per un tratto l = 02 m Si calcoli la forza di reazione che il suolo esercita sui piedi durante il molleggio Si consideri il molleggio come una frenata che avviene con accelerazione (negativa) costante Fig 18

F

FN

Cadendo da unrsquoaltezza L allrsquoistante in cui il piede tocca il suolo la velocitagrave Vs egrave data dalla risoluzione del sistema di equazioni cinematiche per il moto uniformemente accelerato con t0 il tempo di caduta Vs = gt0 L = frac12 gt0

2 Vs = (2gL) frac12 La forza di reazione che esercita il suolo sul piede durante il molleggio egrave quella che imprime lrsquoaccelerazione (negativa) a di frenata (piugrave il peso del corpo mg)Il corpo si ferma in un tratto l Questa frenata si tratta con le equazioni del moto uniformemente accelerato 0 = Vs ndash at l = Vs t ndash frac12 at2 (essendo t il tempo di frenata) dalla prima equazione t = Vs a che introdotto nella seconda equazione permette di calcolare a a = frac12 Vs

2l e con Vs = (2gL) frac12 si ottiene a = g (Ll) e quindi la forza di reazione Fr = mg + ma egrave data da Fr = mg (Ll + 1) = 70 x 98 x (202 + 1) N = 7546Newton Si noti che al peso si aggiunge una forza che egrave il peso moltiplicato per un fattore (ldquofattore di cadutardquo) dato dal rapporto tra lrsquoampiezza del salto e il tratto di molleggio Questa forza si trasmette dal piede allrsquoarticolazione delle ginocchia e cosigrave via Tensione

Quando una corda egrave attaccata ad un corpo e viene tirata si dice che la corda egrave sotto tensione

La tensione rarrT cui egrave sottoposta la corde in ogni sua parte egrave una forza pari alla forza che si applica

sia al corpo sia alla mano che lo tira ai due estremi della corda ed egrave sempre diretta lungo la corda Fig 19 Anche con una carrucola cioegrave con la corda che si curva intorno ad una rotella la tensione ha intensitagrave T lungo la corda Una corda egrave utile in questo caso per cambiare la direzione e il verso di applicazione di una forza la mano tira verso il basso ma la massa egrave sottoposta ad una forza verso lrsquoalto

Fig20 I tendini del corpo umano sono corde e vengono utilizzati anche per variare la direzione di applicazione delle forze esercitate dai muscoli Forza di attrito

Lrsquoattrito fa parte dellrsquoesperienza quotidiana nel bene e nel male Da una parte fa consumare piugrave benzina (20 per motore e trasmissione) ma anche la suola delle scarpe il battistrada delle gomme e i gomiti del maglione dallrsquoaltra consente il movimento i nodi tengono i chiodi fissano etc Un libro che scivola su un tavolo orizzontale si fermerebbe se non mantenessi una forza costante che contrasta lrsquoattrito su una superficie ruvida il movimento genera lui stesso una forza che decelera il moto Per mantenere in moto rettilineo uniforme un corpo che scivola sopra un piano bisogna applicare al corpo una forza che serva a neutralizzare questa forza ldquospontaneardquo(detta di attrito) in modo che la risultante delle forze applicate sia nulla Anche lrsquoinizio del moto egrave contrastato dalla forza di attrito (statico) che assume un valore uguale e contrario a quello della forza che applico fino a raggiungere un valore massimo (valore limite) Il corpo non si muove resiste al moto Oltre quel valore limite cioegrave se applico una forza sufficientemente intensa il corpo inizia a muoversi Situazione

Fig 21 Un blocco appoggiato sul piano orizzontale egrave fermo rarrP

verso il basso e rarr

NF verso lrsquoalto sono uguali in modulo

Se applico una forza rarrF per spostare il corpo verso destra insorge una forza di attrito statico

P

FN

il cui modulo vale |rarr

sattF _ | = smicro |

rarr

NF | ( smicro egrave il coefficiente di attrito statico il suo valore dipende

dalla natura dei materiali a contatto) esercitata orizzontalmente dal piano che uguaglia in

intensitagraverarrF ma di verso opposto in modo che il corpo non si muove Se aumento

rarrF aumenta

anche rarr

sattF _

Fig22 Diagramma delle forze applicate al blocco

Raggiunto un certo valore di rarrF il corpo ha uno ldquostrappordquo e comincia a muoversi nella direzione

di rarrF verso destra ostacolato dalla una forza di attrito dinamico

rarr

dattF _ generalmente inferiore al

valore max di rarr

sattF _ (egrave piugrave facile mantenere un corpo in moto che muoverlo da fermo)

(Il passaggio da un regime allrsquoaltro egrave allrsquoorigine degli stridii da attrito ndash quello ad esempio del gesso sulla lavagna - o anche del suono del violino) - Proprietagrave dellrsquoattrito riassunte

1 ndash Corpo fermo la forza di attrito statica rarr

sattF _e la componente di

rarrF parallela alla superficie

hanno uguale intensitagrave e si annullano 2 ndash limite di scivolamento la massima forza di attrito per due materiali posti a contatto egrave proporzionale alla forza normale tramite un coefficiente di attrito statico smicro

| rarr

sattF _(max)| = smicro |

rarr

NF |

smicro egrave un coefficiente adimensionale che assume valori diversi per diverse coppie di materiali

3 ndash il corpo inizia a muoversi il valore della forza di attrito decresce rapidamente fino a

|rarr

kattF _ | = kmicro |rarr

NF | proporzionale alla forza normale tramite un coefficiente di attrito dinamico kmicro

adimensionale e dipendente dalla coppia di materiali in considerazione

P

FN

F Fatt

Attenzione |rarr

sattF _| e

rarr

kattF _ | sono proporzionali non a |

rarrP | ma a |

rarr

NF | quindi nel caso di un

piano inclinato bisogna considerare la componente di rarrP perpendicolare al piano

rarr

NF equilibra

solo la parte di rarrP perpendicolare al piano

Attenzione le equazioni per |rarr

sattF _| e |

rarr

kattF _| non sono vettoriali le forze di attrito non sono

dirette come la forza normale rarr

NF ma parallele al piano

Durante una corsa allo scatto si usano i blocchi di partenza per sfruttare la reazione del blocco alla forza muscolare di spinta Data lrsquoinclinazione dei blocchi la forza di reazione del blocco sul atleta si massimizza nella direzione del moto

rArr si fa uso della ldquoazione-reazionerdquo Fig 23 Durante la corsa si sfrutta il coefficiente di attrito statico per mantenere un piede fermo a terra mentre lrsquoaltro avanza Per non superare il limite di scivolamento allrsquoindietro del piede di appoggio la forza che si esercita sul terreno deve avere una componente normale al terreno di intensitagrave opportunamente elevata In ogni caso se smicro egrave basso si ha lrsquoeffetto del camminare sul ghiaccio

Lrsquouso di scarpette chiodate non aumenta il valore di smicro che egrave il coefficiente drsquoattrito tra due

superfici ldquoliscerdquo piuttosto hanno una funzione simile a quella di mini blocchi di partenza permettono di esercitare una forza sul tartan lungo la direzione del moto cioegrave parallelamente alla pista Resistenza del mezzo Consideriamo un corpo che si muove in aria Esso incontra una resistenza da parte dellrsquoaria che agisce in modo da opporsi al movimento del corpo cioegrave ha la stessa direzione e verso opposto a quella del moto

rarrD forza di resistenza del mezzo o forza aerodinamica (detta anche forza viscosa) si

|rarrD | =

2

1 cρAv2 (limite di alte velocitagrave eo alte viscositagrave)

D egrave proporzionale al quadrato della velocitagrave (termine v2 ) Inoltre D egrave proporzionale ad A lrsquoarea efficace della sezione trasversa (lrsquoarea presentata dal corpo nella direzione del moto vedi la posizione a uovo dei discesisti di sci o dei ciclisti) ρ egrave la densitagrave del mezzo Ersquo intuitivo che la resistenza D dipenda dalla densitagrave del mezzo infatti il corpo per procedere deve ldquofarsi stradardquo spostando le molecole del mezzo Quindi piugrave il mezzo egrave rarefatto piugrave egrave facile ldquofarsi stradardquo e inferiore egrave la resistenza D Con c si indica il coefficiente di penetrazione (il cosiddetto cx che dipende dalla forma geometrica del corpo) La forma (oltre che

lrsquoarea efficace A) influenza la resistenza opposta dal mezzo percheacute una ottimizzazione della forma (affusolata migliorare il Cx) porta a ridurre la formazione di turbolenze nellrsquoaria intorno al corpo Casco dei ciclisti o discesisti con forma a punta posteriore

non riduce la sezione trasversa A ma piuttosto migliora il Cx

Fig 24 Nel nuoto lo sbattere i piedi serve soprattutto per mantenere il corpo orizzontale e quindi a ridurre la sezione A Il lavoro viene fatto per lo piugrave dalle braccia (75) In acqua anche se la velocitagrave v egrave bassa D egrave significativa percheacute la viscositagrave del mezzo egrave grande Per ridurre le turbolenze negli sport di velocitagrave diventa essenziale utilizzare accorgimenti quali nascondere dadi e cavi nelle biciclette togliere cerchietti delle racchette da sci Tagliare i capelli o rasarsi le gambe sono sempre modi di ridurre anche le piccole turbolenze Velocitagrave limite di caduta di un grave in aria

La forza rarrD di frenamento durante la caduta libera li un corpo in aria ha verso opposto a quello

della forza pesorarrP che accelera il corpo verso il basso Se

rarrP egrave costante il corpo accelera con

accelerazione rarrg ie aumenta la velocitagrave verso il basso ma aumentando v dunque v2 aumenta

D Ciograve prosegue fincheacute D diventa di intensitagrave uguale P con verso opposto rarrD = -

rarrP A questo

punto la risultante delle forze agenti sul corpo in caduta egrave nulla (sumrarrF =

rarrD + (-

rarrP ) e dalla

seconda legge (fondamentale) della dinamica si ha che lrsquoaccelerazione rarra del corpo egrave nulla

rArr Il corpo non accelera piugrave e mantiene velocitagrave costante massima La velocitagrave raggiunta detta velocitagrave limite vlim egrave tale da verificare lrsquouguaglianza

D = 2

1cρAv lim

2 = mg = P quindi rArr vlim = (2mg cρA) frac12

La vlim raggiunta dai paracadutisti puograve essere variata modificando A tramite dei cambiamenti dellrsquoassetto in volo Questo permette ai paracadutisti di raggiungersi per fare figure in aria Lrsquoapertura del paracadute fa aumentare di molto A rendendo la velocitagrave limite molto piugrave bassa Anche le gocce di pioggia raggiungono la velocitagrave limite (v asymp 7msec in 6m) nella loro caduta Ad esempio cadendo da 1200m le gocce di pioggia raggiungono la terra con la velocitagrave limite di circa 7msec e non con la velocitagrave di 150msec che avrebbero se non ci fosse lrsquoazione di frenamento D (dei veri proiettili)

Senza D rarr vfin = 150ms

Con D rarr vfin = vlim = 7ms Fig 25 Forza elastica La forza elastica egrave una forza non costante

L lunghezza di riposo della molla Fig 26 Una massa m egrave vincolata ad una parete con una molla Se tiro la massa la molla si estende diciamo di un tratto x La molla esercita una forza di richiamo proporzionale allrsquoallungamento x (piugrave si allunga maggiore egrave la forza F di richiamo) F = -kx ldquorichiamordquo cioegrave di verso opposto allrsquoallungamento Ecco la ragione del segno (-) Se raggiunta una certa estensione la molla viene rilasciata essa si ricomprimeragrave ritorneragrave alla lunghezza di riposo L poi si schiacceragrave di un tratto x dalla parte opposta e nuovamente agiragrave la forza di richiamo (che egrave variabile in quanto varia con il variare di x) La massa oscilla attorno alla posizione di riposo k egrave la costante elastica della molla Lrsquoespressione della forza elastica vale per i respingenti del treno (k grande) come per la molla della biro (k piccola) come per lrsquoelastico del saltatore dal ponte Impulso di una forza La legge fondamentale della dinamica F = ma puograve essere scritta esprimendo lrsquoaccelerazione con la sua relazione definitoria (vf - vi)t

F = mt

vv if minus e quindi portando il tempo t al primo membro

)( if vvmtF minussdot=sdot oppure vmtF ∆sdot=sdot

Si dice ldquoimpulso ldquo di una forza il prodotto della forza per il tempo durante il quale viene applicata tF sdot (se la forza non egrave costante lrsquoimpulso egrave lrsquointegrale della forza nel tempo in cui viene applicata)

Scritta in questo modo lrsquoequazione fondamentale della dinamica puograve essere letta cosigrave 1) Supponiamo che un corpo vari la sua velocitagrave di una quantitagrave ∆v = vf - vi tanto piugrave lungo egrave il tempo t durante il quale questa variazione avviene tanto minore egrave la forza che deve essere sviluppata per ottenere tale variazione della velocitagrave In questi termini si capisce ad esempio lrsquoutilitagrave delle cinture di sicurezza che allungando i tempi durante i quali in caso drsquoincidente la velocitagrave del passeggero (che non egrave solidale con la vettura) passa da un valore vi iniziale a zero determina una riduzione della la forza cui il passeggero stesso egrave sottoposto durante il breve tempo dellrsquoimpatto (la forza che le ossa e le articolazioni possono sopportare egrave limitata) Si vede anche come funziona lrsquoelastico del jumper finchegrave lrsquoelastico non egrave completamente svolto (ltL) la forza che agisce sul jumper egrave P (la forza peso) poi progressivamente la forza elastica di richiamo contrasta P quindi il jumper decelera progressivamente per un lungo intervallo di tempo e lo lsquostrapporsquo (F applicata) necessario per contrastare P e fermare il jumper applicato sulle sue gambe e a cascata su tutte le sue articolazioni (secondo il terzo principio) egrave di entitagrave minore 2)Lrsquoimpulso totale prodotto tF sdot nella direzione ottimale egrave la grandezza fisica che stabilisce lrsquoefficacia di un gesto di spinta o di lancio non la massima forza espressa o la durata dellrsquoazione di spinta Lavoro di una forza ndash lavoro meccanico

- 1deg caso Forza costante rarrF

Immaginiamo una forza rarrF che agisce su un corpo durante il suo spostamento Immaginiamo cosi

che il punto di applicazione di questa forza si sposti nello spazio di un tratto rarrs Viene detto

lavoro della forza rarrF la quantitagrave

L = rarrF middot

rarrs = F middot smiddot cosϑ (prodotto scalare di

rarrF per

rarrs )

(prodotto scalare tra i due vettori) Fig 27 Il lavoro egrave una quantitagrave scalare cioegrave egrave descritta completamente da un numero da un valore Tale

valore puograve essere positivo o negativo a seconda che la componente di rarrF lungo

rarrs sia equiversa o

di verso opposto a rarrs Se

rarrF e

rarrs hanno la stessa direzione e se lo spostamento avviene nel

senso di rarrF diciamo che il lavoro egrave positivo (e viceversa negativo) Lrsquointensitagrave del lavoro puograve

variare tra un valore massimo e uno minimo per gli stessi valori del modulo di rarrs e di

rarrF a

rarrs

seconda del valore di cosϑ Il lavoro egrave massimo per cosϑ = 1 (cioegrave per ϑ = 0) (rarrF diretto come

rarrs ) Il lavoro egrave minimo ( L = 0) per cosϑ = 0 cioegrave per ϑ = 90deg (

rarrF perpendicolare a

rarrs )

Puograve darsi il caso che piugrave forze agiscono sullo stesso punto Allora si puograve calcolare il lavoro totale egrave la somma dei lavori di tutte le forze applicate

Ltot = sum Li = sum (rarr

sdotiFrarrs )

Dimensioni di L [ L ]= [ F ][ s ] = mmiddot l middot t-2 middot l = ml2 t-2 Unitagrave di misura di L 1 joule = 1N middot 1m ( 1J ) Lavoro della forza peso durante la caduta di un grave Un grave cade vicino alla superficie della terra sotto lrsquoazione della forza di gravitagrave cioegrave sottoposto ala forza peso P diretta verso il basso percorrendo un dislivello h Il lavoro compiuto dalla forza peso si calcola come

LP = rarrP middot

rarrs = Pmiddot smiddot cosϑ

notando che lo spostamento s (verso il basso) e la forza P sono paralleli con verso concorde pertanto ϑ = 0 e cosϑ = 1 e che | P| = mmiddot g si ottiene LP = mmiddot gmiddot h per uno spostamento s = h (dislivello) Lavoro meccanico nel sollevamento pesi Durante questo gesto sul bilanciere oggetto dellrsquoapplicazione delle forze si esercitano la forza peso P e la forza muscolare dellrsquoatleta Naturalmente entrambe le forze lavorano ma i due lavori si oppongono uno allrsquoaltro (ricorda che il lavoro puograve essere positivo o negativo) Il lavoro positivo deve essere nel verso del moto quindi egrave quello della forza muscolare dellrsquoatleta il lavoro di P invece egrave negativo e se il bilanciere si alza di una quota h si calcola facilmente seguendo il procedimento del paragrafo precedente ottenendo LP = - mmiddotgmiddoth (ϑ = π e cosϑ = -1 ) Calcoliamo il lavoro della forza musculare seguendo lrsquoesempio qui proposto Esempio Un atleta solleva un bilanciere di peso 2500N allrsquoaltezza di 2m (sopra la sua testa) Quanto lavoro meccanico compie la sua forza muscolare Supponiamo che il sollevamento avvenga a velocitagrave costante con accelerazione nulla allora il per il

primo principio della dinamica le forze applicate al bilanciere devono essere tali chesumrarr

iF = 0

Quindi la forza peso P = mmiddot g deve essere controbilanciata dalla forza applicata dallrsquoatleta Fm

Quindi rarr

mF = - rarrP

con Fm = 2500N Il lavoro La fatto dallrsquoatleta vale

Lm = rarr

mF middot rarrs = 2500 N middot 2m middot 1 = 5000 J (sollevamento verticale quindi ϑ = 0 e cosϑ = 1)

Quanto lavoro fa la forza peso

Lp = rarrP middot

rarrs = 2500 middot 2 middot (-1) = -5000 J

(percheacute ϑ = π e cosϑ = -1) Quanto lavoro fa lrsquoatleta mentre sostiene il peso fermo sopra la testa L = 0 percheacute non crsquoegrave spostamento Qui si parla di lavoro meccanico non di lavoro fisiologico diciamo che si fa fatica percheacute crsquoegrave da mantenere integrordquo un corpo non rigido che egrave il corpo dellrsquoatleta quindi si il lavoro delle contrazioni muscolari per mantenere lrsquoequilibrio e ldquolrsquointegritagraverdquo egrave la misura del lavoro fisiologico necessario anche se il lavoro meccanico compiuto egrave nullo 2deg caso Forza variabile Nel caso in cui F egrave una forza variabile che dipende dalla posizione ogni volta che avviene uno spostamento∆ x la forza cambia Il lavoro totale saragrave la somma dei lavori elementari fatti sui tratti piccoli sui quali la forza puograve essere assunta costante

Ltot = iii xxF ∆sdotsum )(

( Se si fa il limite per ∆ xi piccolo rarr 0 e la isum egrave lrsquointegrale Ltot = int sdotxtin

xinxdxF )( )

Ad esempio la forza F puograve essere la forza di richiamo di una molla vincolata al muro Lrsquointensitagrave della forza elastica varia durante lo spostamento aumentando con lrsquoallungamento (o la compressione) della molla ed ha la direzione parallela allo spostamento ma puograve avere verso concorde o discorde quindi con cosϑ che vale o +1 o ndash1 Immaginiamo di avere un blocco attaccato alla molla e di tirarlo da Xin a Xfin allora

F(x) = - kx Fig 28

Il lavoro della forza elastica si calcola sommando i lavori infinitesimali compiuti per spostamenti infinitesimi durante i quali la forza si assume costante Ciograve egrave rappresentato graficamente nel calcolo lrsquoarea compresa al di sotto della curva del grafico di F (Fig 28A) In figura si egrave cambiato il segno della funzione forza per comoditagrave di rappresentazione

Fig 28A

Area = differenza aree dei due triangoli = AABB kxxkxx sdotminussdot2

1

2

1

Ricordandoci del segno

L infin = 22

2

1

2

1infin kxkx +minus e in generale L = 2

2

1kx

Se si calcola il lavoro della forza di richiamo durante un allungamento della molla si ha lavoro negativo mentre durante il ritorno alla posizione di equilibrio il lavoro egrave positivo (segno dello spostamento x e della forza concordi) Energia cinetica Il termine ldquoenergiardquo indica la capacitagrave di compiere lavoro Lrsquoenergia cinetica egrave la proprietagrave che rende conto quantitativamente del legame fra il lavoro compiuto ed il moto generato Avevamo detto piugrave o meno lo stesso parlando della seconda legge della dinamica riferendoci alle forze Qui col lavoro non egrave necessaria la descrizione dettagliata delle forze che agiscono sul punto in considerazione Ersquo sufficiente conoscere il loro lavoro totale

Lrsquoenergia cinetica K = 2

1mv2 (gt 0 percheacute m gt 0 v2 gt 0 ) (m e v sono la massa e la velocitagrave del

corpo) Lrsquounitagrave di misura e le dimensioni di K sono le stesse del lavoro Joule ( J ) e [ ]K = [ ]22 minustml

Teorema dellrsquoenergia cinetica Se una forza F compie un lavoro L su un punto materiale di massa m si ha una variazione dellrsquoenergia cinetica pari al lavoro compiuto

Xfin Xin

F

0

ksdotxfin

ksdotxin

F= ksdotx

x

LAB= -area

L = Kfin ndash Kin = ∆ K Nel caso che piugrave forze agiscono sul punto materiale il teorema dellrsquoenergia cinetica si applica al lavoro totale (equivalentemente al lavoro della risultante ) E il caso dellrsquoatleta che solleva il peso di 2500N Sappiamo che ha compiuto un lavoro di 5000J ma il bilanciare con i pesi era fermo allrsquoinizio ed egrave fermo alla fine Quindi Kin = 0 e Kfin = 0 percheacute vin = 0 e vfin = 0 Allora il teorema dellrsquoenergia cinetica Vale per il lavoro totale o lavoro della forza totale e noi abbiamo visto che la forza netta totale = 0 ( Fa + P = 0 ) ed il lavoro totale egrave nullo quindi giustamente si ha ∆ K = 0 1)Caso di una palla da tennis che cade

la forza peso rarrP compie un lavoro positivo con spostamento concorde a

rarrP si dovrebbe avere

∆ K gt 0 infatti la velocitagrave v aumenta 2)Caso di una palla lanciata verso lrsquoalto

lo spostamento ha verso opposto a rarrP Il lavoro della forza peso egrave negativo e quindi ∆ K egrave

negativo giusto La velocitagrave diminuisce NB Durante il volo agisce solo la forza di gravitagrave quindi il lavoro totale comiuto sul corpo egrave solo quello della gravitagrave 3)Caso del moto circolare uniforme la forza che agisce egrave la forza centripeta che egrave perpendicolare allo spostamento Quindi non compie lavoro deve essere ∆ K = 0 Iinfatti il moto egrave uniforme cioegrave la velocitagrave egrave in modulo costante Potenza Si chiama potenza il lavoro che si egrave in grado di svolgere nellrsquounitagrave di tempo

P = t

L

∆ ( potenza media )

P = t

Lt ∆

∆rarr∆ 0lim ( potenza istantanea)

Non egrave solo una stima del lavoro compiuto ma anche della rapiditagrave con cui si compie lavoro

Fig 29 Per superare il muro ci vuole un certo lavoro che consiste nellrsquoinnalzare il proprio corpo di unrsquoaltezza h Sia lrsquoatleta che lo supera in un sol balzo sia il vecchietto che sale pian piano la scalinata faranno lo stesso lavoro Quel che egrave diverso egrave la potenza dei due personaggi Dimensioni e unitagrave di misura della potenza [ ]P = [L] [t -1] = [ml2t-3] 1 watt = 1 joule 1sec (1w)

Energia Potenziale K egrave energia connessa allo stato di moto di un sistema Crsquoegrave anche energia connessa alla posizione di un corpo in un campo di forze (configurazione) Si chiama energia potenziale Nel caso dellrsquoatleta di sollevamento pesi il lavoro compiuto dallrsquoatleta Lm non ha alterato lrsquoenergia cinetica K dellrsquoattrezzo ma ha modificato la configurazione del sistema (terra-attrezzo) variandone lrsquoenergia potenziale (W) Il lavoro non egrave stato sprecato ma ldquoimmagazzinatordquo lrsquoattrezzo prima egrave a terra poi egrave in alto nel sistema che ora ldquopotenzialmenterdquo puograve compiere un lavoro cedendo la sua ldquoenergia potenzialerdquo Energia cinetica ed energia potenziale sono due parti dellrsquoenergia meccanica possono trasformarsi lrsquouna nellrsquoaltra ed in lavoro Nellrsquoesempio precedente quando lrsquoattrezzo egrave in alto si ha che K = 0 e W = WA Quando cade K aumenta percheacute la velocitagrave v aumenta e lrsquoenergia potenziale W diminuisce In basso W = WB lt WA e K egrave massima Lrsquoattrezzo cadendo puograve compiere lavoro Se fosse un martello potrebbe far avanzare un chiodo ad esempio Lrsquoenergia potenziale viene definita proprio a partire dal concetto di lavoro di forze conservative Ersquo conservativa una forza il cui lavoro per spostare il suo punto di applicazione da una posizione (configurazione) ad unrsquoaltra dipende solo dalle due posizioni (configurazioni) iniziale e finale Equivalentemente si puograve definire la forza conservativa dicendo che il lavoro di tale forza egrave nullo se le posizioni (configurazioni) iniziali e finali coincidono

-Lavoro per passaggio dalla posizione A a B egrave lo stesso lungo I o II -Se da A vado a B e torno in A il lavoro totale egrave nullo

Fig 30 Posso allora definire una funzione della posizione W che assume i valori WA e WB in A e B e tale per cui LAB = WA ndash WB ( W energia potenziale) WA WB sono definiti a meno di una costante tanto quello che interessa egrave la differenza fra loro Variazione di energia potenziale del passaggio da A a B WB ndash WA = ∆W allora LAB = -∆ W Con questa convenzione sui segni si rende conto del fatto che un lavoro positivo ( fatto dalle forze conservative sul corpo) fa diminuire lrsquoenergia potenziale W ( L positivorarr ∆W negativo rarr WBlt WA rarr ho usato energia potenziale) un lavoro negativo (subito) aumenta W (L negativo rarr ∆W positivo rarr WBgt WA rarr ho guadagnato energia potenziale) W si misura in Joule come il lavoro e lrsquoenergia cinetica

Qual egrave la Forma di W

Mentre la forma dellrsquoenergia cinetica egrave sempre K =2

1mv2 indipendentemente dal tipo di forze

che provocano il movimento W dipende dal tipo di forza conservativa di cui si sta calcolando il lavoro Consideriamo due forze conservative

a) Forza gravitazionale forza peso

F(y) = -mg Stato di riferimento y0 = 0 in cui W0 = 0

Fig31

Abbiamo detto che LAB = WA- WB ma siccome

LAB = )( ABhmgsP minussdotminus=sdot dove hAB= yA-yB egrave la distanza tra A e B allora rArr WA = mgyA WB = mgyB e in generale W(y) =mgy

Per la forza peso W(y) =mgy e lrsquoenergia totale meccanica (W+K) = mgy+2

1mv2=Etot

b) Forza elastica

Fig 32

F(x) = -kx Stato di riferimento x = 0 allungamento nullo la lunghezza della molla egrave la sua lunghezza di riposo L ( W(0) = 0)

Immaginiamo che la configurazione della molla venga modificata passando dalla posizione xA alla posizione xB (Fig 32) Il lavoro della forza elastica egrave calcolato come

LAB = 22

2

1

2

1AB kxkx +minus

Ricordando che LAB = WA- WB possiamo ricavare lrsquoespressione per lrsquoenergia potenziale elastica

rArr WA = 2

2

1Akx WB = 2

2

1Bkx e in generale W(x) = 2

2

1kx

Energia totale meccanica ndash Conservazione dellrsquoenergia

In presenza di sole forze conservative la somma dellrsquoenergia cinetica e dellrsquoenergia potenziale costituisce lrsquoenergia totale meccanica Tale energia meccanica gode della proprietagrave importantissima di conservarsi durante lrsquoevoluzione del sistema Lrsquoenergia connessa al movimento e alla posizione si scambiano una diminuisce e lrsquoaltra cresce ad esempio ma la loro somma rimane costante

- Esempio delle montagne russe Se non ci sono attriti (infatti il trucco egrave quello di rendere il

sistema privo di attriti) so giagrave quale altezza massima potrograve raggiungere (quella iniziale e non di piugrave) quale velocitagrave massima potrograve raggiungere (in fondo alla valle) Queste quantitagrave sono fra loro legate dal teorema della conservazione dellrsquo energia meccanica

Fig 33 - Esempio del salto con lrsquoasta Lrsquoenergia cinetica dellrsquoatleta acquisita nella rincorsa viene

trasformata in energia potenziale gravitazionale parte direttamente e parte attraverso lrsquoenergia potenziale elastica dellrsquoasta acquisita nella sua deformazione durante il salto La flessibilitagrave dellrsquoasta (costante elastica dellrsquoasta) egrave legata allrsquoenergia che si puograve immagazzinare in una data deformazione Infatti con aste rigide (alluminio acciaio bambugrave) il salto era piugrave basso Con fibra di vetro il record egrave stato polverizzato

Fig 34

Fig 35

Fig 36

Osserviamo che il teorema dellrsquoenergia cinetica ha validitagrave generale qualunque siano le forze che agiscono conservative o non conservative (le forze non conservative si dicono anche ldquodissipativerdquo)

KLL

KL

fncfc

tot

∆=+∆=

e ricordando che darr Lfc = - )( fcW∆

Si ottiene che K∆ + )( fcW∆ = Lfnc

Si vede che nel caso in cui Lfnc sia nullo cioegrave quando non ci sono forze dissipative la somma delle variazioni di energia cinetica e energia potenziale egrave uguale a zero cioegrave lrsquoenergia totale meccanica (somma dellrsquoenergia cinetica e potenziale) egrave costante E questo corrisponde al teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica Nel caso ci siano forze dissipative la somma delle energie non egrave costante quindi al contrario del teorema dellrsquoenergia cinetica il teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica non ha validitagrave generale (vale solo in assenza di attriti ad esempio) Le forze non conservative di attrito compiono lavori solo negativi e fanno perdere quantitagrave di energia non recuperabile Parte di questa energia va in generale in calore quindi se ne puograve tenere conto considerando unrsquoaltra forma di energia lrsquoenergia termica ( ci sono anche altri fenomeni dissipativi ad esempio le deformazioni permanenti negli urti o la propagazione di onde sonore)

Lrsquo energia puograve dunque conservarsi o trasferirsi proprietagrave caratterizzanti dellrsquoenergia Il lavoro rende conto del trasferimento di energia della perdita di energia sotto una forma e del guadagno sotto unrsquoaltra forma (cioegrave energia conservativa) o del passaggio dellrsquoenergia da un sistema ad un altro Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica quando egrave applicabile puograve essere sfruttato per risolvere facilmente problemi altrimenti complicati Esercizio Una palla da tennis viene lanciata con velocitagrave iniziale v0 (senza effetti strani taglio etc) al di lagrave della rete Con quale velocitagrave arriva a terra

Se durante il moto Etot si conserva K+W = cost

Fig 37 e W = mgh egrave solo energia potenziale gravitazionale h = 0 alla fine come allrsquoinizio dunque K in = Kfin e vfin = v0 Se la palla egrave lanciata verso lrsquoalto non crsquoegrave componente orizzontale della velocitagrave ma solo verticale al punto piugrave alto di arresto h K(h) = 0 W(h) = max = Kin cioegrave mgh = frac12 mv0

2 si puograve cosigrave calcolare facilmente lrsquoaltezza massima raggiunta h = (frac12 v0

2)g e vicenversa si puograve calcolare il valore della velocitagrave v0 che bisogna imprimere alla palla affinchegrave raggiunga lrsquoaltezza h

v0 = gh2

Esercizio Una saltatrice di massa M = 61Kg salta da un ponte di altezza H = 45m agganciata ad una corda elastica La lunghezza di riposo della corda elastica egrave L = 25m e la sua costante elastica egrave k = 160 Nm Nel punto piugrave basso si arresta prima di venire rimbalzata in alto Qualrsquo egrave lquesta quota piugrave bassa h (a cui si trovano i suoi piedi ai quali egrave legato lrsquoelastico)

Fig 38 Etot = Wgrav + Wel + K = cost sono solo forze conservative vale la conservazione

dellrsquoenergia Nel punto A K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di lanciarsi Wel = 0 percheacute lrsquoelastico non egrave ancora svolto Wgrav = MgH Nel punto B K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di rimbalzare

Wel = frac12 kd2 Wgrav = Mgh = Mg(H-(L+d)) Etot(A) = Etot (B) MgH + 0 + 0 = Mg (H-(L+d)) + frac12 kd2 + 0 MgH = MgH ndash MgL ndash Mgd +frac12 kd2

2

1(160)d2 ndash (61)(98)d ndash (61)(98)(25) = 0

equazione di IIdeg grado che dagrave per d il valore accettabile d = 179m (lrsquoaltro egrave negativo e non egrave accettabile perchegrave non ha senso fisico la

saltatrice va in giugrave non in su) Allora h = H-(L+d) = 45 ndash (25+179) = 45 ndash 429 = 21m quindi con la testa poco sopra lrsquoacqua Sistemi di punti materiali e corpi rigidi ndash Centro di Massa

Un giocoliere o un ginnasta che lancia la clavette fa compiere allrsquoattrezzo movimenti complicati tuttavia crsquoegrave un punto dellrsquoattrezzo che si muove seguendo una traiettoria semplice come quella di un punto materiale ad esempio lanciato segue una traiettoria parabolica Tale punto si chiama centro di massa dellrsquooggetto Il centro di massa puograve essere definito per un oggetto o per un insieme di punti materiali Ersquo importante percheacute in generale il moto di un corpo esteso (o di un insieme di punti) si puograve studiare separando il moto del centro di massa (moto traslatorio) e il moto del corpo attorno al centro di massa (moto rotatorio)

Centro di Massa (CDM) di un sistema di punti - Consideriamo il caso semplice di due punti materiali di massa m1 m2 posti sullrsquoasse x in

posizione x1 x2

Fig 39

la posizione del centro di massa egrave definita xCDM = 21

2211

mm

xmxm

++

a) xCDM egrave compreso fra x1 e x2 b) se m1 = m2 CDM egrave a metagrave strada fra m1 ed m2 c) xCDM egrave piugrave prossimo alla massa maggiore - Nel caso di piugrave punti allineati nelle posizioni xi detto M = summi allora

xCDM = ii xmMsum

1

- Nel caso di punti distribuiti nello spazio detti irrarr

i vettori che identificano le loro posizioni

CDMrrarr

= iii rmM

rarrsum

1

dove CDMrrarr

ha coordinate (xCDM yCDM zCDM) definite come

xCDM = ii xmsumη1

yCDM = ii ymMsum

1

zCDM = ii zmMsum

1

- Consideriamo un oggetto qualsiasi questo egrave composto da un gran numero di particelle ma conviene considerarlo come un continuo di materia e per calcolare il centro di massa si prendono in considerazione degli elementi infinitesimi di massa dm centrati intorno alle posizioni (xyz) allora

xCDM = int xdmM

1 yCDM = int ydm

M

1 zCDM = int zdm

M

1

se si puograve considerare il corpo omogeneo (densitagrave uniforme) allora V

M

dv

dm = e allora si puograve fare il

calcolo considerando il volume V e gli elementi di volume dv anzichegrave la massa e gli elementi di massa

xCDM = int xdvV

1 etc

In un oggetto solido (corpo rigido) i diversi punti materiali che lo compongono non cambiano la loro posizione relativa (non come un corpo elastico) - se un oggetto ha un elemento di simmetria un asse od un piano il CDM si trova su tale

elemento di simmetria (asse per cono centro per sfera piano per una banana etc) Non egrave detto che il CDM di un oggetto appartenga allrsquooggetto vedi uno pneumatico un cerchio Il CDM egrave esterno alloggetto Legge fondamentale della dinamica per un sistema di punti materiali Caso della palla da bigliardo urto fra due palle dopo il lancio di una le due si muovono 1) una egrave ferma (B) lrsquoaltra la lancio (A) 2) le due si urtano in qualunque modo 3) le due si muovono secondo traiettorie differenti una possibilmente andragrave in buca lrsquoaltra no Dopo il lancio sulla palla A non agisce piugrave nessuna forza quindi la sua velocitagrave v egrave costante Va bene ma dopo lrsquourto Il CDM delle due palle continua a muoversi con velocitagrave costante anche se il centro di massa egrave un punto teorico che non appartiene a nessuna delle due palle Tuttavia al CDM possiamo assegnare una massa (M totale del sistema) una velocitagrave ed una accellerazione Si ha

)(CDMext aMFrarrrarr

=sum

a) extFrarr

sum egrave la somma di tutte le forze esterne che agiscono sul sistema non quelle interne (ad esempio nel caso del bigliardo non devo considerare le forze che si applicano fra le due palle quando si urtano)

b) M egrave la massa totale del sistema Si suppone che durante il moto M rimanga costante

c) )(CDMararr

egrave lrsquoaccelerazione del CDM Dellrsquoaccellerazione di un altro punto ad esempio del centro della palla A non si dice nulla

Cosideriamo alcuni esempi 1) Bigliardo tvaF CDMCDMext cos00 ===sum prima dellrsquourto nellrsquourto si verificano solo forze

interne Quindi tvaF CDMCDMext cos00 ===sum dopo lrsquourto e durante tutto il moto

2) Sistema terra-luna sumFext = gravitazione del sole aCDM egrave ldquocentripetardquo accellerazione di una

forza che egrave diretta verso il sole (forza ldquocentralerdquo) egrave il CDM terra-luna che segue la traiettoria dovuta allrsquoattrazione gravitazionale del sole poi terra e luna si muovono intorno al loro CDM

3) Clavette lanciate sum Fext = Mg aCDM = g il centro di massa si comporta come un punto materiale nel lancio

4) La ballerina nel ldquogrand-fetegraverdquo fa seguire a testa e busto una traiettoria rettilinea percheacute modifica lrsquoassetto in modo da alzare il suo CDM Nel corso del salto (alza le braccia e distende

orizzontalmente le gambe non appena lasciato il suolo) il suo CDM segue la traiettoria parabolica del lancio di un corpo soggetto allrsquoaccelerazione di gravitagrave g

Quantitagrave di moto rarrP

- Si definisce quantitagrave di moto di una particella il vettore

rarrrarr= vmP

con m massa della particella e rarrv la sua velocitagrave

Si vede che rarrP egrave diretto come

rarrv

Newton scrisse la legge fondamentale della dinamica in termini di quantitagrave di moto (a differenza di Galileo che la scrisse in termini di massa e di accelerazione) ldquola rapiditagrave di variazione della quantitagrave di moto di una particella egrave proporzionale alla forza netta che agisce sulla particella ed egrave nella direzione di quella forzardquo cioegrave

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

che egrave piugrave generale della formulazione di Galileo perchegrave descrive bene anche il caso in cui variasse la massa del corpo durante il moto (ad esempio un vettore spaziale) Se la massa egrave costante le due formulazioni sono identiche

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

= t

vm

∆∆

rarr)(

= m t

v

∆∆

rarr

= m rarra

Ricordiamo che rarrF egrave diretto come

rarra (o la risultante

rarrR = sum

rarrF )

Per un sistema di punti materiali si definisce la quantitagrave di moto totale

rarrP =

rarrP 1 +

rarrP 2 + helliphellip+

rarrP n =

m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +helliphelliphellip+ mn

rarrv n = M

rarrv CDM (si puograve dimostrare) dove M egrave la massa totale

[essendo infatti Mrarrv CDM =

dt

d(M

rarrr CDM) =

dt

d(m1

rarrr 1 + m2

rarrr 2 +hellip) = m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +

hellip]

quindi rarrP = M

rarrv CDM per un sistema di particelle e

dt

Pdrarr

= M dt

d rarrv CDM = M

rarra CDM = sum

rarrF ext

Conservazione delle quantitagrave di moto

Per un sistema chiuso (M non varia) e isolato (sumrarrF ext = 0)

Allora

t

P

∆∆

rarr

= 0 rarrP = cost

rarrP i =

rarrP f

che sono tre modi equivalenti per dire che la quantitagrave di moto si conserva Vale per un sistema nel quale non agisca nessuna forza esterna netta Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica e la conservazione delle quantitagrave di moto sono due concetti fisici importantissimi Valgono sia per le palle da bigliardo che per qualunque altro sistema anche le galassie nellrsquouniverso Queste equazioni sono vettoriali Ciograve significa che rappresentano una terna di equazioni scalari ognuna valida sul proprio asse del sistema di riferimento (x y z)

Puograve accadere a seconda delle forze che agiscono nel sistema che la quantitagrave di moto si conservi in una direzione o in due e non in tutte e tre

Ad esempio se consideriamo una palla come un insieme di punti materiali la rarrF ext che agisce nel

sistema egrave mrarrg diretta lungo z senza componenti su x e y quindi

rarrP varia lungo z ma

non su x e y

Percheacute ldquocomplicarci la vitardquo con questa storia del CDM del sistema di particelle etchellip non bastava il moto del punto rappresentativo materiale Avevamo giagrave considerato il punto rappresentativo e avevamo svolto anche problemi sulla palla sul bilanciere e per altri oggetti Abbiamo sempre sbagliato La questione egrave se un corpo egrave rigido cioegrave se tutti i suoi punti si muovono mantenendo le loro distanze relative non crsquoegrave problema abbiamo solo visto che il punto materiale rappresentativo si chiama CDM ed abbiamo imparato a situarlo allrsquointerno del corpo Ma se il corpo non egrave rigido cioegrave se il suo CDM si sposta rispetto a lui stesso nel corso del moto la disposizione del corpo intorno al punto rappresentativo varia nel corso del tempo e le leggi di conservazione valgono per il CDM - Consideriamo ad esempio il teorema dellrsquoenergia cinetica che per un punto materiale si scrive Ltot = Kfin-K in = ∆ K (qui ovviamente non crsquoegrave da specificare lavoro delle forzeldquoesternerdquo percheacute essendo in un punto materiale che si assume infinitamente piccolo non ci sono forze ldquointernerdquo) Per analogia il teorema dellrsquoenergia cinetica si estende al caso di un insieme di punti materiali nel seguente modo

Ltot forze ext=rarrF extmiddot

rarrs CDM = ∆ KCDM

Dove s CDM egrave lo spostamento del centro di massa A titolo di esempio risolviamo il problema un giocatore di hockey su ghiaccio di massa M = 110Kg si muove verso la balaustra a bordo campo alla velocitagrave di 3msec Nellrsquoarrestarsi flettendo le braccia il suo CDM si sposta in avanti di 30cm Qual egrave la ∆ K del suo CDM durante la manovra

∆ KCDM = infin CDMCDM mvmv 22

2

1

2

1 minus =

= 0 - 2

1110 32 = -495 J

Fig 40

Sia L il lavoro delle forze esternerarrF ext (dirette come d

rarrx CDM ) allora

L = - Fext 03 = ∆ KCDM quindi

Fext =30

495

minusminus

= + 1650N

( si considera la forza esterna rarrF ext costante nellrsquointervallo dellrsquoarresto fatto che equivale a dire

che il giocatore si arresta con rarra CDM costante)

Dinamica e statica del corpo esteso Finora abbiamo sempre discusso del moto di un punto materiale (punto rappresentativo dicevamo sempre) In particolare abbiamo sempre applicato le forze a quel punto materiale quindi se diverse forze erano applicate esse concorrevano in quel punto ligrave e con le forze concorrenti sapevamo come calcolare la risultante con il metodo grafico o con quello numerico delle coordinate cartesiane Una volta calcolata la risultante applicata al punto si otteneva un moto di pura traslazione del punto (al massimo traslava lungo una traiettoria curva) senza rotazioni proprie del punto che non hanno neanche senso un punto che ruota su se stesso Come faccio ad accorgermi Un punto per definizione egrave infinitamente piccolo (Dicevamo infine che il punto egrave in equilibrio

traslazionale se la risultante rarrR delle forze applicate egrave nullo)

Consideriamo invece un corpo esteso Prima osservazione questo ha piugrave punti (direi infin ) a

cui la forza puograve essere applicata Prendiamo una racchetta da tennis ed una forza rarrF applicata il

moto che ne risulta dipende dal punto al quale viene applicata la forza rarrF

qui la racchetta trasla

Fig 41

stessa forza qui la racchetta ruota

Fig 42

Seconda osservazione Crsquoegrave un caso in cui le forze non possono essere fatte concorrere in un punto ed egrave quando sono parallele ed hanno rette di applicazione distinte Chiaramente non abbiamo mai dovuto considerare questo caso per il punto materiale percheacute per un punto non possono mai passare due rette parallele Ma per il corpo esteso So benissimo che se sono ferma con la macchina in

panne e la sto spingendo applicando una forza rarrF 1 sono contenta se qualcuno si affianca a me ed

esercitando una forza rarrF 2 lungo una direzione parallela a quella della mia mi aiuta a spingere In

particolare mi viene spontaneo dire che se F1 = F2 allora spingeremo con una forza doppia Ci saragrave quindi un modo per sommare due forze non concorrenti in un punto ma parallele e saragrave Ftot = F1+ F2 La retta di applicazione di Ftot divide il segmento congiungente i punti di applicazione di F1 ed F2 in due segmenti inversamente proporzionali allrsquointensitagrave delle forze F1 e F2 Terza osservazione se F1 = - F2 sono uguali in intensitagrave ma di verso opposto sempre lungo due rette di applicazione parallele passanti per un corpo esteso cosa succede La loro somma Ftot risultante saragrave 0 ma io so che il corpo non sta fermo sotto lrsquoazione di tali due forze ma ruoteragrave Concludo che le nozioni che ho acquisito finora vanno riviste ed ampliate o corrette o specificate per i corpi estesi ed inoltre che mi mancano totalmente i mezzi per descrivere le rotazioni dei corpi estesi Occorrono nuovi concetti nuove quantitagrave la forza non basta Prendo lrsquoesempio piugrave semplice dellrsquoaltalena con due bambini in due bracci uno piugrave leggero uno piugrave pesante

Fig 43 Qualitativamente so che percheacute lrsquoaltalena stia in equilibrio e non ruoti intorno al punto fisso non egrave necessario che i due bambini abbiano lo stesso peso (ugual massa) occorre che il bambino piugrave leggero sieda piugrave lontano rispetto al punto fisso (fulcro) La regola quantitativa dice che lrsquoaltalena egrave in equilibrio se il prodotto del peso per la distanza del fulcro egrave uguale PB dB = Pb

db Per generalizzare questa regola ai casi piugrave complessi occorre definire una nuova quantitagrave il momento di una forza Momento di una forza

Consideriamo una forza rarrF applicata ad un punto P ed un punto O Sia

rarrr

il vettore rarrOP allora il momento

rarrM di

rarrF rispetto ad O egrave

rarrM =

rarrr x

rarrF

e

|rarrr | middot |

rarrF | sin ϑ = |

rarrM |

Fig 44

oppure anche considerando la componente di rarrF perpendicolare ad

rarrr o di

rarrr

perpendicolare a rarrF r e rispetto a F

|rarrM | = |

rarrr | |

rarrF perp | |

rarrM | = |

rarrr perp| |

rarrF |

In generale si dice che il modulo del momento |rarrM | egrave il prodotto delle intensitagrave della forza per la

distanza dal punto della retta di applicazione della forza

Come vettore rarrM egrave perpendicolare al piano che contiene

rarrF ed

rarrr ed ha verso calcolato con la

regola della mano destra (con rarrr che si chiude su

rarrF )

La distanza rperp si chiama braccio della forza Si vede che il momento egrave nullo quando il braccio egrave nullo cioegrave quando il punto O si trova sulla retta di applicazione di F Il momento della forza peso P egrave nullo rispetto al baricentro che coincide con il centro di massa nel caso (praticamenteldquosemprerdquo) in cui il corpo non sia abbastanza esteso percheacute diversi punti del corpo risentano di una forza gravitazione differente Praticamente si deve parlare di galassie percheacute CDM e baricentro (BC) non coincidono Quindi la condizione del momento nullo della forza peso diventa un modo per definire il CDM come quel punto rispetto al quale la forza peso P ha momento nullo Per un corpo ldquoarticolatordquo estendiamo il concetto di forza normale come forza di contatto nellrsquoarticolazione utile cioegrave la forza che lrsquoarticolazione che si sta considerando esercita su quello che nellrsquoarticolazione si appoggia La forza peso P di un corpo esteso puograve immaginarsi applicata al CDM Principio di equilibrio di un corpo esteso

se su un corpo esteso agiscono solo rarr

Peso e rarr

Normale cioegrave se un corpo egrave appoggiato ad un piano orizzontale allora il corpo egrave in equilibrio se e solo se il baricentro si trova sopra la superficie di appoggio

Fig 45

Finchegrave il baricentro egrave sopra il tavolo il libro non cade percheacute rarrP applicata a CDM puograve essere

controbilanciata da rarrN Se CDM si sposta in fuori

rarrN rimane nel tavolo e crsquoegrave momento non nullo

non equilibrato da rarrP che continua ad essere applicato nel CDM

Il baricentro di una persona in posizione eretta si trova nellrsquoarea delimitata dei suoi piedi 3cm davanti allrsquoarticolazione della caviglia

Fig 46 Quando la persona si piega in avanti il baricentro esce dal corpo e per mantenere lrsquoequilibrio egrave necessario che le anche si spingono indietro percheacute il baricentro cade di nuovo in quella posizione Notiamo che anche in posizione eretta essendo la forza peso e la forza di contatto non allineate (quei 3cm) (forza di contatto sullrsquoarticolazione della caviglia che regge il peso) occorre un momento correttivo che impedisca la rotazione in avanti mantenuto dal tendine di Achille che si lega alla caviglia Altro esempio di spostamento del baricentro egrave lrsquoatleta che assume una posizione ad L chi regge il peso egrave lrsquoarticolazione della spalla quindi il CDM si sposta sotto la spalla (giagrave era uscita dal corpo per via delle gambe distese in avanti) Nel camminare il baricentro continua a muoversi da sopra un piede a sopra un altro (quello appoggiato ovviamente) Si osservi lrsquoondeggiamento Per assurdo lrsquoancheggiare delle indossatrici serve a mantenere il baricentro il piugrave possibile fermo rispetto alla direzione media del moto (porre un piede esattamente davanti allrsquoaltro) rendendo piugrave facile muoversi anche con tacchi altissimi Al contrario lrsquoequilibrista che cammina sui trampoli sta fermo il meno possibile percheacute egrave stando fermo che il piccolo spostamento che fa uscire il baricentro (ALTO) dalla superficie drsquoappoggio puograve verificarsi facilmente preferisce il ldquonon ndash equilibriordquo o lrsquo rdquoequilibrio dinamicordquo dellrsquoondeggiare continuamente fra due posizioni di equilibrio

Ricordiamo che un equilibrio egrave detto stabile se quando una perturbazione lo altera spontaneamente il sistema lo ripristina Viceversa un equilibrio egrave instabile se la piugrave piccola perturbazione lo distrugge Lrsquoequilibrio egrave molto stabile se il baricentro egrave basso ed il corpo ha una grande area drsquoappoggio la posizione accucciata del giocatore di football americano dagrave grande stabilitagrave Ancor piugrave grande stabilitagrave si ha se il baricentro (CDM) si trova al di sotto della superficie drsquoappoggio Ersquo come se si fosse ldquoappesirdquo anzicheacute ldquoappoggiatirdquo alla superficie drsquoappoggio Proprio per questo motivo lrsquoequilibrista sul filo porta una lunga asta che spesso si flette agli estremi

Fig 47 Gli uccelli bipedi da 100000000 di anni hanno sviluppato questo adattamento per cui sono appesi alle anche mentre gli uomini bipedi da solo 1000000 di anni fanno fatica con il CDM dalla parte alta del corpo Ersquo un equilibrio instabile ldquosoprardquo le anche che le reggono (65 del peso del corpo) Modificazioni strutturali per reggere la posizione eretta 1) Colonna vertebrale rastremata (piugrave tozza in basso che in alto percheacute piugrave in basso vuol dire una

maggior forza di contatto) 2) Muscoli estensori della schiena 3) Gambe ed anche ingrossate 4) Ginocchio che blocca la gamba estesa Ciononostante si ha spesso il mal di schiena Se una forza ha momento non nullo rispetto ad un punto allora il corpo puograve ruotare intorno a quel punto sotto lrsquoazione di quella forza ldquoDiciamo che se sostengo il corpo per quel punto il corpo puograve ruotare intorno a quel puntordquo (Prendo in mano un foglio di carta per un estremo per esempio) La presenza di un momento non nullo egrave dunque la condizione che genera rotazione e viceversa Lrsquoassenza di un momento risultante egrave la condizione che genera lrsquoequilibrio rotazionale di un corpo esteso Quindi la condizione di equilibrio per un corpo esteso egrave

1) rarrR = 0 risultante delle forze applicate = 0 (equilibrio traslazionale)

2) rarrM = 0 momento risultante = 0 (equilibrio rotazionale)

Supponiamo di avere un corpo esteso al quale siano applicate delle forze che diano luogo ad un momento non nullo allora il corpo ruota Per equilibrarlo dovrograve applicare un altro momento tale che la loro somma sia nulla Questo egrave il principio di funzionamento delle leve LEVE

Una leva egrave un corpo esteso al quale sono applicate delle forze con un momento risultante rarrR

allora per portare il corpo in equilibrio applico un momento correttivo rarrP in modo che il momento

totale sia nullo Si dice in genere potenza (P) e resistenza (R) di una leva Le leve sono macchine semplici Servono per applicare forze in punti scomodi o in direzioni particolari Il fulcro egrave il punto nel quale la leva egrave incernierata Si definisce il guadagno meccanico di una leva

GM =

)(

)(rarr

rarr

PF

RF

cioegrave il rapporto fra la forza che genera il momento resistente e quella che genera il momento agente A seconda che GM sia gt

lt 0 una leva si dice che egrave vantaggiosa o svantaggiosa ma solo per quel che riguarda le forze percheacute per quel che riguarda i lavori non si ha neacute vantaggio neacute svantaggio Il lavoro esercitato dalla forza che dagrave la ldquopotenzardquo e quello esercitato dalla forza che dagrave la ldquoresistenzardquo sono sempre uguali Infatti forze e spostamenti sono inversamente proporzionali Le leve si dicono di I II o III specie a seconda se il fulcro si trovi I) in mezzo fra R e P (leva indifferente GM dipende da caso a caso) II) dalla parte di R (leva vantaggiosa il braccio di R egrave sempre minore del braccio di P basta

quindi una P minore per equilibrare una R maggiore) III) dalla parte di P (leva svantaggiosa) Classici esempi dei tre tipi di leve sono i remi (I) lo schiaccianoci (II) e la pinzetta per francobolli (III) Tuttavia vediamo degli esempi meno classici ma attinenti al campo della biologia e della medicina Criterio generale egrave che le leve vantaggiose consentono di essere molto potenti ma con brevi spostamenti mentre viceversa quelle svantaggiose fanno perdere in potenza ma consentono grandi spostamenti saragrave difficile vedere un cavallo che con le lunghe zampe si scava la tana drsquoaltronde una talpa scava bene la tana ma ha movimenti molto meno ampi che non le consentono di correre veloce come un cavallo (compromesso fra forza e velocitagrave del movimento) Se contiamo tutti i movimenti di rotazione che il corpo puograve compiere capiamo che siamo pieni di leve di ogni tipo Sono classici a) il capo fulcro (articolazione occipito-atlantoide) Fig 48 muscoli della nuca (Potenza) peso del capo (Resistenza) b)

muscolo bicipide (Potenza)

Fig 49 Peso dellrsquoavambraccio (Resistenza) Fulcro (articolazione del gomito) Questa leva permette grandi spostamenti Si vede che la forza operata dal muscolo bicipite egrave massima quando lrsquoavambraccio egrave orizzontale (la distanza dal fulcro egrave massima) ed egrave minima quando lrsquoavambraccio egrave verticale( con la distanza dal fulcro nulla) Attenzione - la colonna vertebrale egrave costituita da 24 vertebre separate da dischi di liquido Quando una

persona si piega la schiena egrave una leva con GM molto piccolo Quindi un piegamento completo per raccogliere un oggetto anche leggero produce una forza molto intensa sul disco lombosacrale che separa lrsquoultima vertebra dellrsquoosso sacro Se indebolito questo disco puograve rompersi o deformarsi comprimendo i nervi vicini e causando grande dolore Vediamo un modello che rende conto come mai questa forza egrave cosigrave grande

Fig 50

I muscoli della schiena esercitano T Con un angolo α = 12deg quando la schiena egrave piegata a 90deg

Peso della parte superiore del corpo (circa il 65 del peso totale)

Fulcro lombosacrale (il fulcro produce R) Essendo α piccolo la retta di azione Τ passa vicino al fulcro e dunque la distanza r che costituisce il suo braccio egrave molto piccola Al contrario il peso egrave perpendicolare alla colonna e il suo punto di applicazione egrave molto piugrave distante dal fulcro Τ deve essere molto grande per equilibrare il momento di P Dunque se T egrave grande anche la sua componente orizzontale egrave grande e di conseguenza anche R che costituisce la reazione dellrsquoosso sacro deve avere componente orizzontale molto grande per equilibrare Τ (uguale ed opposta alla componente orizzontale di Τ ) Facendo i conti si ottengono numeri grandi per 75Kg di peso T ed R sono equivalenti al peso di una massa di 220Kg Senza sollevare pesi solo piegandosi Conviene piegare le ginocchia quando si sollevano pesi - Nel corpo egrave difficile che il peso cada sulla verticale dellrsquoarticolazione che lo sostiene egrave sempre

un porsquo spostato e crsquoegrave un tendine con un muscolo che compensa il momento del peso - La contrazione muscolare egrave una successione di brevi contrazioni delle fibre muscolari stimolate

da impulsi che provengono dal sistema nervoso Contrazioni sono molto ravvicinate e avvengono in tempi differenti nelle diverse parti del muscolo cosigrave che il risultato apparente egrave una lenta e progressiva contrazione Se la frequenza degli impulsi aumenta la tensione cresce finchegrave si raggiunge la tensione massima (ricordare la tensione di un cavo) Un ulteriore aumento della frequenza degli impulsi a questo punto non causa ulteriore aumento della tensione

La tensione massima egrave proporzionale allrsquoarea della sezione trasversa del muscolo nel suo punto piugrave largo La tensione massima dipende anche dalla lunghezza del muscolo che varia Si ottiene tensione massima quando il muscolo egrave solo di poco allungato rispetto alla sua lunghezza di riposo di riposo ed egrave circa 30-40 Ncm2 La tensione massima si riduce moltissimo se il muscolo egrave molto allungato o accorciato Dinamica Rotatoria Fino ad ora abbiamo studiato moti traslatori ma il moto di un corpo rigido egrave in generale roto-traslatorio Naturalmente dobbiamo ridurre il problema complesso ad uno piugrave semplice e per fare ciograve immaginiamo di posizionarci su un sistema di riferimento solidale al corpo rigido i moto immaginiamo cioegrave di ldquosedercirdquo sul corpo rigido In questo modo non saremo piugrave sensibili al moto traslatorio e guardando il corpo rigido osserveremo solo le sue rotazioni Trattiamo allora il moto generico scomponendo la parte traslatoria (giagrave discussa ) da quella rotatoria Se si trascura la parte traslatoria del moto di un corpo rigido quello che rimane da trattare egrave la sua rotazione Nel nostro corso consideriamo le rotazioni che avvengono su un piano le rotazioni nello spazio potranno essere trattate come composizione di rotazioni su un piano Per le rotazioni su un piano si identifica un asse di rotazione perpendicolare al piano di rotazione e passante per il centro di rotazione Le articolazioni del gomito e del ginocchio sono articolazioni libere di ruotare intorno ad un asse a differenza ad esempio di quella della spalla che puograve ruotare intorno a due assi Si definisce spostamento angolare la variazione di una posizione che egrave definita in modo completo da una misura di angolo Una rotazione di un intero corpo rigido egrave definita in modo completo da uno spostamento angolare θfin - θin= ∆θ e si misura in radianti

Fig 51 Dobbiamo definire anche un verso di rotazione θ si incrementa per rotazioni antiorarie positive le rotazioni in senso orario sono invece negative La velocitagrave angolare si definisce analogamente alla velocitagrave lineare come il rapporto tra lo spostamento angolare e il tempo t impiegato per eseguire tale rotazione

ωm = t∆

∆θ e si misura in rad s

θin

θfin ∆θ

R

S

Anche per w si definisce ωist = lim ∆trarr0 t∆

∆θ

Ancora lrsquoaccelerazione angolare si definisce αm = t∆

∆ω e αist = lim ∆trarr0

t∆∆ω

Anche la legge fondamentale della dinamica ha un analogo nel ambito dei moti rotatori Si stabilisce che se ad un corpo rigido egrave soggetto ad un momento torcente diverso da zero esso subisce unrsquoaccelerazione angolare ad esso proporzionale Nel caso delle rotazioni la resistenza al moto egrave espressa dal momento di inerzia I associato al corpo rigido che gioca il ruolo della massa nei moti traslatori La legge della dinamica delle rotazioni egrave M = I middotα

E sostituendo M = Imiddott∆

∆ω= Imiddot

tinfin

∆minusωω

Il momento di inerzia I di un corpo rigido dipende dalla disposizione della massa del corpo rispetto allrsquoasse di rotazione per una massa puntiforme m a distanza R dallrsquoasse di rotazione I= m R2 per un oggetto esteso sommerograve il momento drsquoinerzia delle sue parti I = Σi mi Ri

2 Se si definisce momento angolare L il prodotto del momento drsquoinerzia per la velocitagrave angolare

L=Iω la legge della dinamica diventa

M = t

LL infin

∆minus

Il momento angolare egrave la grandezza fisica che si conserva se non viene applicato momento torcente Tutti i gesti di volo salti lanci tuffihellip sono azioni nelle quali si conserva il momento angolare Infatti in volo agisce solo la forza di gravitagrave che essendo applicata al CDM non genera momento torcente Il corpo umano nei gesti di volo Il corpo umano non egrave rigido e pertanto in volo agendo con i muscoli possiamo cambiare la disposizione del nostro corpo intorno al centro di massa che in volo coincide col centro di rotazione In questo modo si ottiene una variazione del momento di inerzia I e di conseguenza la velocitagrave angolare deve compensare questa variazione in modo che si mantenga costante il momento angolare L (grandezza che si conserva in assenza di momento torcente) Ersquo questo il principio che spiega il realizzarsi delle trottole sul ghiaccio dei salti mortali tuffi con avvitamento e cosigrave via in posizione raccolta I diminuisce e ω aumenta Moto circolare e moto circolare uniforme Per utilizzare le relazioni della cinematica e della dinamica lineare che abbiamo studiato egrave interessante poter passare dalle variabili angolari alle variabili lineari velocitagrave e accelerazione delle

masse in moto rotatorio Se una massa si muove su una traiettoria curva la velocitagrave tangenziale vt diretta come la tangente alla traiettoria dipende dalla velocitagrave angolare ω ( ωm=ϑ t )e dal raggio di curvatura della traiettoria Se la traiettoria egrave una circonferenza di raggio R e se gli angoli sono espressi in radianti lrsquoarco percorso per uno spostamento angolare ϑ egrave S = ϑ sdotR e la velocitagrave lineare tangente vt = St= ϑ sdotRt risulta vt = ωsdotR Se la velocitagrave angolare ω egrave costante il moto egrave detto circolare uniforme La legge oraria egrave quella dei moti uniformi spostamenti angolari uguali in tempi uguali ϑ(t) = ω t Anche la velocitagrave tangente saragrave di intensitagrave costante se ω egrave costante (archi uguali per tempi uguali s(t) = vt (t) ) ma crsquoegrave una accelerazione normale infatti la velocitagrave anche se non cambia in modulo cambia continuamente di direzione Questa accelerazione si dice centripeta egrave diretta normalmente rispetto alla traiettoria verso il centro della circonferenza e vale in modulo

ac=R

v2

Fig 52 Essendo la velocitagrave tangente vt = ωR Lrsquo accelerazione centripeta si puograve scrivere

ac =R

v2

= ω2 R

Il tempo impiegato dal punto a muoversi sulla circonferenza egrave una costante (moto uniforme) T periodo in T viene percorso uno spazio 2π R

v = T

Rπ2

La frequenza f egrave invece il ndeg di giri al secondo

f =T

1

Se si prendono punti diversi sul raggio della circonferenza questi hanno la stessa velocitagrave angolare e velocitagrave tangenziali crescenti al crescere del raggio Esempio carosello dei pattinatori Esercizi

1- un velocista con una velocitagrave di 10 ms viaggia su una curva di raggio 25m ndash accelerazione

a = R

v2

= 25

100 = 4 ms2

2 ndash un velocista con v = 92 ms su una pista circolare con ac = 38 m s2 ndash Raggio della pista Tempo per percorrere un giro completo

a = R

v2

rArr R = a

v2

= 83

)29( 2

= 2227m

T =v

Rπ2 =

29

27222 lowastπ = 152 sec

Forza centripeta forza centrifuga Una forza centripeta egrave una forza di qualunque natura che trattiene un corpo in moto su una traiettoria curvilinea ad esempio circolare In assenza di tale forza il corpo proseguirebbe il suo moto lungo una traiettoria rettilinea Nel gesto del lancio del martello ad esempio il lanciatore che esercita sul peso in cima allrsquoattrezzo una forza mediata dalla tensione dal cavo che lo trattiene nella traiettoria circolare Quando il lanciatore lascia la maniglia il martello viene lanciato lungo la direzione della tangente alla traiettoria nellrsquoistante di rilascio Lrsquointensitagrave della forza centripeta necessaria a mantenere una massa m in moto con velocitagrave tangente v lungo una traiettoria circolare di raggio r si puograve calcolare a partire dallrsquoaccellerazione centripeta secondo la legge fondamentale della dinamica

|rarr

cF | = m | rarr

ca | = m r

v2

Tale forza egrave diretta come lrsquoaccelerazione centripeta e cioegrave verso il centro della circonferenza che costituisce la traiettoria La forza centripeta egrave dunque una forza reale Con lsquoforza centrifugarsquo invece non ci si riferisce ad un forza che agisce su un corpo ma alla situazione apparente cui sembra sottoposto un corpo in moto curvilineo Esso pare tirato o attirato lontano dal centro di rotazione pare ci sia una lsquoforzarsquo che vuole farlo sfuggire Quando viene lasciato il martello si allontana dal centro di rotazione percheacute si muove di moto rettilineo uniforme non essendo piugrave soggetto a forze altre che la forza peso Lrsquoacqua esce dal cestello della lavatrice quando il cestello ruota velocemente (funzione centrifuga) percheacute lrsquoacqua che non costituisce un corpo solo con il cestello bucato non egrave soggetta alla forza centripeta e puograve passare attraverso i buchi I panni invece pure non parte del cestello sono troppo grandi per passare dai buchi si possono solo schiacciare contro le pareti questo schiacciamento sembra il risultato di una forza ma egrave invece il risultato dellrsquoassenza di una forza quella centripeta Una volta lagrave contro il cestello fanno tuttrsquouno con le pareti di metallo che esercitano su di essi la forza centripeta (cioegrave con direzione verso lrsquoasse di rotazione) che li mantiene in rotazione Le parti di un corpo rigido esteso che si muove di moto rotatorio rispetto ad un asse quale ad esempio la gamba di un giocatore di calcio che calcia un pallone sono soggette alla forza centripeta che le mantiene sulla traiettoria curva Tale forza viene trasmessa alle varie parti tramite le forze di tensione che si sviluppano allrsquointerno del corpo stesso ad esempio il piede egrave soggetto alla forza centrifuga tramite lrsquoazione dei legamenti e tendini a livello della caviglia che vengono messi in tensione per trattenere il piede stesso

Xs longitudine di Soldini Ys latitudine di Soldini

Longitudine e latitudine dicono quali sono le componenti cartesiane del vettore orientato rarrR s

vettore posizione di Soldini Xs = Rs cos ϑ s Ys = Rs sin ϑ s dove ϑ s ( sin e cos sono funzioni che variano tra ndash1 e 1 cosigrave che il massimo valore di Xs o Ys egrave Rs giustamente)

e | rarrR s | = Rs = (X2

s +Y2s )

12 (Pitagora ) Operazioni con i vettori Somma con regola del parallelogramma spostare i vettori lungo la loro retta di applicazione finchegrave si trovano coda contro coda e costruire il parallelogramma Fig3 oppure con componenti cartesiane si sommmano le componenti cartesiane corrispondenti dopo aver disposto i vettori in un insieme di riferimento cartesiano e calcolato le componenti con cosϑ e sinϑ

Prodotto per uno scalare c middot rarra tra un vettore ed uno scalare egrave un vettore che ha la stessa

direzione e il modulo moltiplicato per lo scalare In particolare moltiplicando per ndash1 si trova il vettore opposto La somma di un vettore con lrsquoopposto di un altro equivale a fare la differenza fra i due vettori

Prodotto scalare rarra middot

rarrb tra due vettori dagrave luogo ad uno scalare si moltiplica lrsquointensitagrave

dellrsquouno per la proiezione dellrsquoaltro nella direzione del primo ( o viceversa)

rarra middot

rarrb = |

rarra | middot |

rarrb | cos ϑ =

rarrb middot

rarra

poicheacute cos ϑ egrave simmetrico rispetto a ϑ = 0 cos ϑ = cos-ϑ (proprietagrave commutative del prodotto scalare)

rarra middot

rarrb egrave

max quando cos ϑ = 1 rArr rarra e

rarrb equiversi e paralleli

=0 quando cosϑ = 0 rArrrarra e

rarrb sono perpendicolari ( non crsquoegrave componente di

rarrb lungo

rarra )

Si useragrave ad esempio per il lavoro meccanico L = rarrF middot

rarrs

Prodotto vettoriale rarra ^

rarrb tra due vettori dagrave luogo ad un vettore di intensitagrave

| rarra ^

rarrb | = |

rarra | middot |

rarrb | sin ϑ = - |

rarrb ^

rarra |

non commutativo sin ϑ egrave antisimmetrico rispetto a ϑ = 0 sin ϑ = - sin -ϑ

Il vettore rarra ^

rarrb egrave diretto perpendicolarmente al piano che contiene

rarra e

rarrb e col verso dato

dalla regola della mano destra se rarra ruota verso

rarrb lungo lrsquoangolo minore

Fig 4

Il vettore prodotto rarra ^

rarrb esce dal foglio Questo tipo di prodotto si incontreragrave ad esempio nel

calcolo del momento di una forza quando una forza genera rotazioni anzicheacute traslazioni rarrM = R

r ^

rarrF

Esercizio disporre due vettori di intensitagrave 3 e 4 (spostamenti di 3m e 4m) in modo che la somma sia 7m 1m 5m a) consecutivi nella stessa direzione stesso verso Fig 5 b) consecutivi nella stessa direzione versi opposti Fig 6 c) Perpendicolari Pitagora | 32 + 42 | = | 52 | Fig 7

Moto del proiettile Descriviamo il moto di un punto materiale (rappresentativo di un corpo) che viene lanciato e dunque segue una traiettoria in due dimensioni lungo una delle quali (quella verticale) sperimenta unrsquoaccelerazione diretta verso il basso agravitagrave = -98 ms2 (caduta libera) e nellrsquoaltra orizzontale no (accelerazione orizzontale = 0)

La velocitagrave iniziale vettoriale rarr

iv e la successiva velocitagrave rarrv (t) sono considerate

opportunamente in un sistema di riferimento cartesiano in cui un asse egrave diretto verticalmente e il verso positivo egrave verso lrsquoalto Sia ϑ lrsquoalzo cioegrave lrsquoangolo di emissione Fig 8 Lrsquoesperienza insegna che il proiettile (oggetto lanciato) cade Se lanciato verso lrsquoalto sale fino ad

unrsquoaltezza massima e poi scende In ogni istante t del moto la velocitagrave rarrv (t) saragrave diretta come la

tangente alla traiettoria

Le componenti di rarrv (t) lungo gli assi di riferimento vx(t) e vy(t) dipendono da tempo t ma sono

fra loro indipendenti Si puograve dunque separare il moto in due dimensioni in due moti unidimensionali Verifica dellrsquoindipendenza dei due moti egrave nel fatto che filmati stroboscopici di due palline una lasciata cadere lrsquoaltra lanciata orizzontalmente mostrano che dopo tempi uguali le due palline si trovano alla stassa quota Fig 9 Il moto orizzontale non influenza il moto verticale

V ix V iy=0

Esercizi 1 Problema della scimmia Quando la scimmia si accorge che il cacciatore le spara si lascia cadere Fig10 Dove deve mirare il cacciatore per prenderla Lrsquoaccelerazione egrave in generale un vettore Nel moto su un piano lrsquoaccelerazione egrave definita da due

componenti rarra equiv (ax ay )

- moto orizzontale ndash lungo lrsquoasse orizzontale il corpo in moto non sperimenta alcuna accelerazione

ax = 0 dunque la componente orizzontale della velocitagrave egrave costante

se rarr

iv aveva componente orizzontale non nulla vi x = vi sdotcos ϑ questa si mantiene e saragrave

x(t) = vi x t + xi

x(t) ndash xi = ( vi cos ϑ )t spostamento orizzontale sx = ( vi cos ϑ )sdott -moto verticale ndash accelerazione costante agravitagrave dunque moto uniformemente accelerato se crsquoera

una componente iniziale v0y della velocitagrave rarrv allora

y(t) = 2

1(-g)t2 + viy sdott + yi

y(t)-yi = (vi sin ϑ )t-2

1gt2 spostamento verticale sy=(vi sin ϑ )sdott-

2

1gt2

Traiettoria del proiettile Abbiamo visto le leggi orarie in x e y ma la traiettoria egrave in due dimensioni disegnamola in un riferimento cartesiano vedendo per ogni posizione in x quanto vale y cioegrave ricavando y = y(x) Mettiamo a sistema supponiamo di partire da xi = 0 e yi = 0 per semplicitagrave

x = ( vi cosϑ )t rArr t =ϑcosiv

x

y =( vi sinϑ )t - 2

1 gt2

y = sinϑ middot ϑcos

x -

2

1g

2

2

)cos(

)(

ϑiv

x = x tgϑ -

2)cos(2 ϑiv

g x2

(tgϑ egrave costante percheacute egrave lrsquoalzo iniziale 2)cos(2 ϑiv

g egrave costante percheacute g egrave costante vi pure

ϑ pure) Questa egrave lrsquoequazione di una parabola del tipo y = ax2 + bx La traiettoria egrave dunque una parabola Ha importanza sapere la gittata orizzontale cioegrave a quale distanza D il proiettile toccheragrave il suolo (che misura farograve nel lancio)

D = x-xi = (vi cosϑ )t rArr t = ϑcosiv

D

Suolo rarr 0 = y ndash yi = (vi sinϑ )t - 2

1 gt2

0 = vi sinϑ ϑcosiv

D -

2

1g

2

2

)cos( ϑiv

D

dividendo per D

0 = ϑϑ

cos

sin-

2

1g

2)cos( ϑiv

D rArr D =

ϑϑ

cos

sin

g

vi ϑ22 cos2 = sinϑ cosϑ

g

vi22

darr sin2ϑ (trigonometria 2 sinϑ cosϑ = sin2ϑ )

D = g

vi2

sin2ϑ

Questa equazione mi dice che misura farograve a partire dalla velocitagrave iniziale che riesco ad imprimere allrsquoattrezzo e allrsquoalzo del tiro La funzione sin ha un andamento a max e min rArr si avragrave un max quando sin 2ϑ =1 rArr 2ϑ = 90deg ϑ = 45deg Lrsquoalzo iniziale di 45deg daragrave il risultato migliore (assenza di vento assenza di attrito problema semplificato) Attenzione sin 2ϑ egrave simmetrico intorno a 2ϑ = 90deg e dunque si avranno gittate uguali per angoli equidistanti da 2ϑ = 90deg rArr ϑ = 45deg (osservazione di Galileo) Fig 11 Esercizi 1 ndash Copione di un film cascatore deve saltare da un terrazzo sul terrazzo di un palazzo vicino distante 62m e piugrave basso di 48m la sua velocitagrave sul terrazzo puograve essere 45 msec Accetta la parte

Fig12

Per cadere di 48 m impiega un tempo tc tale che y(tc) ndash yi = -48m = -2

1 gt2c

tc = 89

)2()84( minuslowastminus = 099sec

Nel tempo di caduta tc = 099s quale distanza potragrave coprire con la velocitagrave iniziale ( e poi costante) vix =45 msec d = x-xi = vix t = 45 middot 099 = 45m d = 45m egrave meno dei 62m che separano i due palazzi Il cascatore faragrave bene a rifiutare la parte Quale velocitagrave iniziale min dovrebbe avere per avere delle chances

V ix = 990

26 = 62 msec

2 ndash Salto di Bob Beamon a cittagrave del Mexico nel 1968 salto in lungo di 890m Supponendo che la velocitagrave del decollo sia stata 95 ms come per un centometrista quanto vicino arrivograve alla gittata max (per assenza di resistenza aria)

Dmax = g

v20 per sin 2ϑ 0 = 1 (rArr ϑ 0 = 45deg)

= 789

)59( 2

= 9228m

∆ D = 9228 ndash 890 = 0328m

3 ndash Cestista

Fig15 Quale velocitagrave iniziale v0 deve avere la palla affinchegrave il cestista possa fare canestro se lrsquoalzo iniziale egrave di 55deg rispetto allrsquoorizzontale (le varie distanze sono indicate in Figura) Definisco sistema di assi cartesiano con origine nel centro della palla e assi paralleli agli assi originari In questo sistema di riferimento la posizione del canestro egrave xc = 42 ndash 03 = 39m yc = 3 ndash 21 = 09m Lrsquo equazione della traiettoria egrave

y = x tgϑ 0 - 200 )cos(2 ϑv

g x2

Introduco nellrsquoequazione i valori di yc xc tg 55deg = 1428 e ricavo il valore dellrsquounica incognita v0

09 = 39 x 1428 - 2

0 )5740(2

89

xv x (39)2

09 = 5569 - 2

0 )5740(

5374

xv

(09 ndash 5569) (v0 x 0574)2 = -7453

v0 = 6694

5374

5740

1 = 696msec

Forze e moto Quando un oggetto cambia il suo stato di moto (da fermo si muove o si ferma se si stava muovendo accelera o frena o curva) per esperienza sappiamo che egrave avvenuta unrsquointerazione dellrsquooggetto con un altro corpo dellrsquoambiente circostante al contatto o a distanza Il concetto di interazione prevede sempre la presenza di due corpi unrsquointerazione viene scambiata tra due corpi A questa interazione associamo il concetto di forza Questa associazione non egrave solo qualitativa ma viene quantificata tramite una legge che collega forze e cambiamenti dello stato di moto dei corpi rendendo la forza una grandezza derivata nel sistema SI Ciograve avviene introducendo una grandezza fisica fondamentale chiamata massa (m) che egrave caratteristica di ogni corpo materiale e che esprime lrsquoinerzia al moto propria del corpo quando viene sottoposto alla sollecitazione di una forza Diciamo che due corpi hanno masse diverse se assumono accelerazioni diverse quando sottoposte allrsquoazione della medesima forza Questa massa si dice anche inerziale Si misura in kilogrammi (kg) ed egrave una grandezza scalare positiva

La teoria del moto egrave riassunta dalle tre leggi formulate da Isaac Newton fondate sulle basi del genio di Galileo Galilei Prima legge del moto Ogni corpo rimane nel suo stato di quiete o mantiene il suo stato di moto a velocitagrave costante se nessuna forza agisce su di esso o se la risultante delle forze ad esso applicate egrave nulla Questa proprietagrave del moto egrave detta anche ldquoprincipio di inerziardquo o ldquoprimo principio della dinamicardquo Velocitagrave costante significa che il vettore velocitagrave egrave costante cioegrave non variano modulo direzione e verso Quindi lrsquounico moto possibile in assenza di forze applicate egrave quello rettilineo uniforme (Tale legge non puograve essere verificata se si prende in considerazione un sistema di riferimento che si muove di moto accelerato Per esempio se utilizzo un sistema di riferimento solidale con lrsquoabitacolo di unrsquoautomobile o di un aereo che stanno accelerando o frenando i corpi possono scivolare lrsquoacqua contenuta in un bicchiere vi si puograve rovesciare addosso come soggetta ad una forza In realtagrave ciograve avviene proprio perchegrave questi corpi tendono a mantenere il loro stato di moto e lsquodisubbidisconorsquo alla variazione di velocitagrave che ciograve che egrave solidale col sistema di riferimento sta subendo I sistemi di riferimento nei quali si verifica la prima legge della dinamica si chiamano sistemi di riferimento inerziali e sono da essa implicitamente definiti) Seconda legge del moto Questa legge formulata inizialmente da Galileo e poi riproposta da Newton egrave detta anche ldquolegge fondamentale della dinamicardquo

rarrF = m

rarra

La forza rarrF egrave un vettore dato dal prodotto del vettore accelerazione

rarra per uno scalare m ed egrave

diretto come rarra Questa legge come si vede egrave una legge vettoriale Se piugrave forze agiscono sul

corpo di massa m la legge vale per il ldquovettore risultanterdquo che egrave la somma vettoriale di tutte le forze che agiscono sul corpo Lrsquoaccelerazione egrave diretta come il vettore risultante delle forze

Si possono definire le componenti di rarrF lungo gli assi del sistema di riferimento e la legge del

moto vale componente per componente Fx = max Fy = may Fz = maz

Lrsquounitagrave di misura della forza egrave il newton (N) 1N = 1Kg m s2

E la relazione dimensionale egrave[ ]N = [ ]2minusmlt Se la forza (o la risultante delle forze) applicata al corpo egrave nulla egrave anche nulla lrsquoaccelerazione e visto che lrsquoaccelerazione egrave definita come la variazione della velocitagrave divisa per il tempo la variazione della velocitagrave saragrave anchrsquoessa nulla Ciograve significa che la velocitagrave si mantiene costante Quindi in assenza di forze applicate il corpo rimane fermo se inizialmente era fermo e continua a muoversi con velocitagrave costante se inizialmente si muoveva come giagrave affermato dalla prima legge Terza legge del moto Dal concetto di forza che esprime lrsquointerazione tra i corpi deriva anche quello che viene comunemente detto ldquoil principio di azione e reazionerdquo o ldquoterzo principio della dinamicardquo ad ogni azione corrisponde sempre una reazione uguale e contraria cioegrave se due corpi A e B interagiscono in

modo che il corpo A eserciti una forza rarrF sul corpo B allora il corpo B esercita sul corpo A una

forza rarr

F = - rarrF Si noti che le due forze NON sono applicate allo stesso corpo

rarrF agisce su

B e rarr

F agisce su A Lrsquoapplicazione di questo principio egrave molto importante quando si considerano le forze che si realizzano al contatto tra due corpi e in particolare per le forze applicate da muscoli tendini legamenti e ossa del corpo umano Forze particolari Forza gravitazionale Newton nel descrivere il moto dei corpi celesti ha stabilito la presenza di una forza di interazione a distanza tra due corpi che chiamiamo forza di gravitagrave e ha fornito lrsquoespressione che la governa

FG = -G 2

21

R

mm GG ( legge di attrazione universale)

dove mG 1 e mG 2 sono le masse gravitazionali dei due corpi R egrave la distanza tra le due masse (considerate puntiformi) e G egrave una costante numerica che vale 667 x 10-11 Nm2kg2 1 Nm2kg2 egrave anche 1m3kg s2 Il segno meno sta a indicare che la forza egrave attrattiva La forza gravitazionale viene rappresentata con un vettore il cui modulo egrave dato dalla legge di Newton e che ha la direzione della congiungente i centri di massa delle due masse La forza di attrazione lsquosentitarsquo dalla massa mG 2 dovuta a mG 1 ha il verso che punta su mG 1 e contemporaneamente la forza di attrazione misurata dalla massa mG 1 dovuta a mG 2 ha il verso che punta su mG 2m (le due forze sono lrsquoazione e la reazione della terza legge della dinamica Perchegrave nellrsquoesperienza comune non si osserva che una matita attiri unrsquoaltra matita su un tavolo La forza attrattiva gravitazionale esiste fra di loro ma egrave molto piccola (la costante G egrave molto piccola) ed egrave contrastata completamente dalle forze di attrito (che discuteremo fra breve) La Terra su cui viviamo ha invece una massa molto grande M = 597 x 1024 kg e quindi puograve esercitare una forza piugrave che apprezzabile su altre masse anche se piccole come quella della matita (la matita cade dal tavolo) Chiamiamo forza peso la forza di gravitagrave FG esercitata dalla Terra su ogni corpo ad essa vicino e che origina dallrsquointerazione gravitazionale per la quale tutti i corpi si attirano fra di loro La forza peso viene spesso indicata con P che agisce su un corpo di massa mG vale

P = -G 2T

GGTerra

R

mM equiv - g mG con g equiv G

2T

GTerra

R

M

Dove MG Terra egrave la massa della Terra ed RT egrave il raggio della Terra (RT = 6370km) Il valore di g risulta

g = 667 x 10-11 2

3

kgs

m223

24

)106379(

10975

mx

kgx = 98 ms2 e ha le dimensioni di unrsquo accelerazione

La forza di attrazione gravitazionale alla quale una massa mG egrave soggetta vicino alla superficie di un altro pianeta egrave diversa Infatti la massa e il raggio degli altri pianeti sono diversi da quelli della Terra e quindi g assume un altro valore Si puograve dire che il peso di un corpo cambia sui diversi pianeti o sulla Luna mentre la massa gravitazionale egrave la grandezza fisica fondamentale propria di ogni corpo

Ersquo molto importante ora applicare la seconda legge della dinamica o legge fondamentale della dinamica F = m a ad un corpo soggetto alla sola forza peso sulla superficie della Terra cioegrave quando F egrave la forza peso P ora definita F = m a P = m a -g mG = m a Abbiamo voluto lasciare indicato il pedice G percheacute in principio non crsquoegrave ragione percheacute la grandezza con le dimensioni di una massa che compare nella legge di gravitazione sia uguale alla massa implicitamente definita dalla relazione di proporzionalitagrave tra la F applicata e lrsquoaccelerazione subita da un corpo data dalla seconda legge della dinamica Si egrave tuttavia dimostrato sperimentalmente che la massa gravitazionale mG (introdotta nella legge di attrazione universale e la massa m che si dice massa inerziale ed egrave definita tramite la seconda legge della dinamica sono uguali hanno lo stesso valore Questo permette di semplificare le due masse nellrsquoequazione e di ottenere -g = a che significa che lrsquoaccelerazione di una corpo soggetto alla forza peso sulla superficie della terra vale a = ndashg equiv -98 ms2 NB lrsquoaccelerazione vale 98 ms2 per tutti i corpi di qualsiasi massa Infatti sui corpi con massa maggiore vengono esercitate forze maggiori in modo proporzionale alla loro massa (corpi con massa maggiore lsquopesano di piugraversquo) cosigrave da produrre sempre la stessa accelerazione Si egrave soliti assumere che g sia costante e che non dipenda dalla quota h alla quale ci si trovi al di sopra della superficie terrestre Questa egrave unrsquoapprossimazione molto buona nei limiti in cui hltlt RT Infatti g diminuisce con la quota per esempio se h = 8000m (circa sul monte Everest) lrsquoaccelerazione di gravitagrave g si riduce a

2

2

)6378000(

)6370000( x g = 099749 x g = 97754 m s2 (meno del 25 per mille)

Forze di superficie Forze di contatto Alla superficie di contatto tra due corpi si realizzano le forze che chiamiamo appunto di superficie e che si dividono in forze di contatto e forze di attrito Le forze di contatto

La forza normalerarr

NF egrave la forza che un corpo sperimenta quando egrave appoggiato su di una superficie

Si chiama normale percheacute egrave sempre diretta perpendicolarmente alla superficie Se la superficie egrave orizzontale Fig16

Fc

FN

Piano orizzontale Calcolare lrsquointensitagrave della forza normale applicata ad un oggetto di massa m fermo su un tavolo orizzontale Per il primo principio della dinamica (principio di inerzia) se un corpo e fermo la risultante delle forze ad esso applicate egrave nulla cioegrave

rarrP +

rarr

NF = 0

In questo caso la forza normale rarr

NF egrave un vettore che ha lo stesso modulo e la stessa direzione del

vettore forza pesorarrP ma ha verso opposto Quindi il modulo di

rarr

NF vale |rarr

NF | = mg

Piano inclinato

Nel caso di un piano inclinato dovrograve tenere conto che rarr

NF puograve compensare solo la parte di rarrP

diretta normalmente al piano (infatti se non crsquoegrave attrito il corpo scivola lungo il piano inclinato) Se ϑ egrave lrsquoangolo che il piano inclinato forma con lrsquoorizzontale il piano inclinato fornisce al corpo una

forza normale che in modulo vale | rarr

NF | = m g cosϑ

Fig 17 4 ndash Salto con molleggio Un uomo con massa m = 70kg salta da unrsquoaltezza L = 2m Arrivando al suolo molleggia sulle ginocchia per un tratto l = 02 m Si calcoli la forza di reazione che il suolo esercita sui piedi durante il molleggio Si consideri il molleggio come una frenata che avviene con accelerazione (negativa) costante Fig 18

F

FN

Cadendo da unrsquoaltezza L allrsquoistante in cui il piede tocca il suolo la velocitagrave Vs egrave data dalla risoluzione del sistema di equazioni cinematiche per il moto uniformemente accelerato con t0 il tempo di caduta Vs = gt0 L = frac12 gt0

2 Vs = (2gL) frac12 La forza di reazione che esercita il suolo sul piede durante il molleggio egrave quella che imprime lrsquoaccelerazione (negativa) a di frenata (piugrave il peso del corpo mg)Il corpo si ferma in un tratto l Questa frenata si tratta con le equazioni del moto uniformemente accelerato 0 = Vs ndash at l = Vs t ndash frac12 at2 (essendo t il tempo di frenata) dalla prima equazione t = Vs a che introdotto nella seconda equazione permette di calcolare a a = frac12 Vs

2l e con Vs = (2gL) frac12 si ottiene a = g (Ll) e quindi la forza di reazione Fr = mg + ma egrave data da Fr = mg (Ll + 1) = 70 x 98 x (202 + 1) N = 7546Newton Si noti che al peso si aggiunge una forza che egrave il peso moltiplicato per un fattore (ldquofattore di cadutardquo) dato dal rapporto tra lrsquoampiezza del salto e il tratto di molleggio Questa forza si trasmette dal piede allrsquoarticolazione delle ginocchia e cosigrave via Tensione

Quando una corda egrave attaccata ad un corpo e viene tirata si dice che la corda egrave sotto tensione

La tensione rarrT cui egrave sottoposta la corde in ogni sua parte egrave una forza pari alla forza che si applica

sia al corpo sia alla mano che lo tira ai due estremi della corda ed egrave sempre diretta lungo la corda Fig 19 Anche con una carrucola cioegrave con la corda che si curva intorno ad una rotella la tensione ha intensitagrave T lungo la corda Una corda egrave utile in questo caso per cambiare la direzione e il verso di applicazione di una forza la mano tira verso il basso ma la massa egrave sottoposta ad una forza verso lrsquoalto

Fig20 I tendini del corpo umano sono corde e vengono utilizzati anche per variare la direzione di applicazione delle forze esercitate dai muscoli Forza di attrito

Lrsquoattrito fa parte dellrsquoesperienza quotidiana nel bene e nel male Da una parte fa consumare piugrave benzina (20 per motore e trasmissione) ma anche la suola delle scarpe il battistrada delle gomme e i gomiti del maglione dallrsquoaltra consente il movimento i nodi tengono i chiodi fissano etc Un libro che scivola su un tavolo orizzontale si fermerebbe se non mantenessi una forza costante che contrasta lrsquoattrito su una superficie ruvida il movimento genera lui stesso una forza che decelera il moto Per mantenere in moto rettilineo uniforme un corpo che scivola sopra un piano bisogna applicare al corpo una forza che serva a neutralizzare questa forza ldquospontaneardquo(detta di attrito) in modo che la risultante delle forze applicate sia nulla Anche lrsquoinizio del moto egrave contrastato dalla forza di attrito (statico) che assume un valore uguale e contrario a quello della forza che applico fino a raggiungere un valore massimo (valore limite) Il corpo non si muove resiste al moto Oltre quel valore limite cioegrave se applico una forza sufficientemente intensa il corpo inizia a muoversi Situazione

Fig 21 Un blocco appoggiato sul piano orizzontale egrave fermo rarrP

verso il basso e rarr

NF verso lrsquoalto sono uguali in modulo

Se applico una forza rarrF per spostare il corpo verso destra insorge una forza di attrito statico

P

FN

il cui modulo vale |rarr

sattF _ | = smicro |

rarr

NF | ( smicro egrave il coefficiente di attrito statico il suo valore dipende

dalla natura dei materiali a contatto) esercitata orizzontalmente dal piano che uguaglia in

intensitagraverarrF ma di verso opposto in modo che il corpo non si muove Se aumento

rarrF aumenta

anche rarr

sattF _

Fig22 Diagramma delle forze applicate al blocco

Raggiunto un certo valore di rarrF il corpo ha uno ldquostrappordquo e comincia a muoversi nella direzione

di rarrF verso destra ostacolato dalla una forza di attrito dinamico

rarr

dattF _ generalmente inferiore al

valore max di rarr

sattF _ (egrave piugrave facile mantenere un corpo in moto che muoverlo da fermo)

(Il passaggio da un regime allrsquoaltro egrave allrsquoorigine degli stridii da attrito ndash quello ad esempio del gesso sulla lavagna - o anche del suono del violino) - Proprietagrave dellrsquoattrito riassunte

1 ndash Corpo fermo la forza di attrito statica rarr

sattF _e la componente di

rarrF parallela alla superficie

hanno uguale intensitagrave e si annullano 2 ndash limite di scivolamento la massima forza di attrito per due materiali posti a contatto egrave proporzionale alla forza normale tramite un coefficiente di attrito statico smicro

| rarr

sattF _(max)| = smicro |

rarr

NF |

smicro egrave un coefficiente adimensionale che assume valori diversi per diverse coppie di materiali

3 ndash il corpo inizia a muoversi il valore della forza di attrito decresce rapidamente fino a

|rarr

kattF _ | = kmicro |rarr

NF | proporzionale alla forza normale tramite un coefficiente di attrito dinamico kmicro

adimensionale e dipendente dalla coppia di materiali in considerazione

P

FN

F Fatt

Attenzione |rarr

sattF _| e

rarr

kattF _ | sono proporzionali non a |

rarrP | ma a |

rarr

NF | quindi nel caso di un

piano inclinato bisogna considerare la componente di rarrP perpendicolare al piano

rarr

NF equilibra

solo la parte di rarrP perpendicolare al piano

Attenzione le equazioni per |rarr

sattF _| e |

rarr

kattF _| non sono vettoriali le forze di attrito non sono

dirette come la forza normale rarr

NF ma parallele al piano

Durante una corsa allo scatto si usano i blocchi di partenza per sfruttare la reazione del blocco alla forza muscolare di spinta Data lrsquoinclinazione dei blocchi la forza di reazione del blocco sul atleta si massimizza nella direzione del moto

rArr si fa uso della ldquoazione-reazionerdquo Fig 23 Durante la corsa si sfrutta il coefficiente di attrito statico per mantenere un piede fermo a terra mentre lrsquoaltro avanza Per non superare il limite di scivolamento allrsquoindietro del piede di appoggio la forza che si esercita sul terreno deve avere una componente normale al terreno di intensitagrave opportunamente elevata In ogni caso se smicro egrave basso si ha lrsquoeffetto del camminare sul ghiaccio

Lrsquouso di scarpette chiodate non aumenta il valore di smicro che egrave il coefficiente drsquoattrito tra due

superfici ldquoliscerdquo piuttosto hanno una funzione simile a quella di mini blocchi di partenza permettono di esercitare una forza sul tartan lungo la direzione del moto cioegrave parallelamente alla pista Resistenza del mezzo Consideriamo un corpo che si muove in aria Esso incontra una resistenza da parte dellrsquoaria che agisce in modo da opporsi al movimento del corpo cioegrave ha la stessa direzione e verso opposto a quella del moto

rarrD forza di resistenza del mezzo o forza aerodinamica (detta anche forza viscosa) si

|rarrD | =

2

1 cρAv2 (limite di alte velocitagrave eo alte viscositagrave)

D egrave proporzionale al quadrato della velocitagrave (termine v2 ) Inoltre D egrave proporzionale ad A lrsquoarea efficace della sezione trasversa (lrsquoarea presentata dal corpo nella direzione del moto vedi la posizione a uovo dei discesisti di sci o dei ciclisti) ρ egrave la densitagrave del mezzo Ersquo intuitivo che la resistenza D dipenda dalla densitagrave del mezzo infatti il corpo per procedere deve ldquofarsi stradardquo spostando le molecole del mezzo Quindi piugrave il mezzo egrave rarefatto piugrave egrave facile ldquofarsi stradardquo e inferiore egrave la resistenza D Con c si indica il coefficiente di penetrazione (il cosiddetto cx che dipende dalla forma geometrica del corpo) La forma (oltre che

lrsquoarea efficace A) influenza la resistenza opposta dal mezzo percheacute una ottimizzazione della forma (affusolata migliorare il Cx) porta a ridurre la formazione di turbolenze nellrsquoaria intorno al corpo Casco dei ciclisti o discesisti con forma a punta posteriore

non riduce la sezione trasversa A ma piuttosto migliora il Cx

Fig 24 Nel nuoto lo sbattere i piedi serve soprattutto per mantenere il corpo orizzontale e quindi a ridurre la sezione A Il lavoro viene fatto per lo piugrave dalle braccia (75) In acqua anche se la velocitagrave v egrave bassa D egrave significativa percheacute la viscositagrave del mezzo egrave grande Per ridurre le turbolenze negli sport di velocitagrave diventa essenziale utilizzare accorgimenti quali nascondere dadi e cavi nelle biciclette togliere cerchietti delle racchette da sci Tagliare i capelli o rasarsi le gambe sono sempre modi di ridurre anche le piccole turbolenze Velocitagrave limite di caduta di un grave in aria

La forza rarrD di frenamento durante la caduta libera li un corpo in aria ha verso opposto a quello

della forza pesorarrP che accelera il corpo verso il basso Se

rarrP egrave costante il corpo accelera con

accelerazione rarrg ie aumenta la velocitagrave verso il basso ma aumentando v dunque v2 aumenta

D Ciograve prosegue fincheacute D diventa di intensitagrave uguale P con verso opposto rarrD = -

rarrP A questo

punto la risultante delle forze agenti sul corpo in caduta egrave nulla (sumrarrF =

rarrD + (-

rarrP ) e dalla

seconda legge (fondamentale) della dinamica si ha che lrsquoaccelerazione rarra del corpo egrave nulla

rArr Il corpo non accelera piugrave e mantiene velocitagrave costante massima La velocitagrave raggiunta detta velocitagrave limite vlim egrave tale da verificare lrsquouguaglianza

D = 2

1cρAv lim

2 = mg = P quindi rArr vlim = (2mg cρA) frac12

La vlim raggiunta dai paracadutisti puograve essere variata modificando A tramite dei cambiamenti dellrsquoassetto in volo Questo permette ai paracadutisti di raggiungersi per fare figure in aria Lrsquoapertura del paracadute fa aumentare di molto A rendendo la velocitagrave limite molto piugrave bassa Anche le gocce di pioggia raggiungono la velocitagrave limite (v asymp 7msec in 6m) nella loro caduta Ad esempio cadendo da 1200m le gocce di pioggia raggiungono la terra con la velocitagrave limite di circa 7msec e non con la velocitagrave di 150msec che avrebbero se non ci fosse lrsquoazione di frenamento D (dei veri proiettili)

Senza D rarr vfin = 150ms

Con D rarr vfin = vlim = 7ms Fig 25 Forza elastica La forza elastica egrave una forza non costante

L lunghezza di riposo della molla Fig 26 Una massa m egrave vincolata ad una parete con una molla Se tiro la massa la molla si estende diciamo di un tratto x La molla esercita una forza di richiamo proporzionale allrsquoallungamento x (piugrave si allunga maggiore egrave la forza F di richiamo) F = -kx ldquorichiamordquo cioegrave di verso opposto allrsquoallungamento Ecco la ragione del segno (-) Se raggiunta una certa estensione la molla viene rilasciata essa si ricomprimeragrave ritorneragrave alla lunghezza di riposo L poi si schiacceragrave di un tratto x dalla parte opposta e nuovamente agiragrave la forza di richiamo (che egrave variabile in quanto varia con il variare di x) La massa oscilla attorno alla posizione di riposo k egrave la costante elastica della molla Lrsquoespressione della forza elastica vale per i respingenti del treno (k grande) come per la molla della biro (k piccola) come per lrsquoelastico del saltatore dal ponte Impulso di una forza La legge fondamentale della dinamica F = ma puograve essere scritta esprimendo lrsquoaccelerazione con la sua relazione definitoria (vf - vi)t

F = mt

vv if minus e quindi portando il tempo t al primo membro

)( if vvmtF minussdot=sdot oppure vmtF ∆sdot=sdot

Si dice ldquoimpulso ldquo di una forza il prodotto della forza per il tempo durante il quale viene applicata tF sdot (se la forza non egrave costante lrsquoimpulso egrave lrsquointegrale della forza nel tempo in cui viene applicata)

Scritta in questo modo lrsquoequazione fondamentale della dinamica puograve essere letta cosigrave 1) Supponiamo che un corpo vari la sua velocitagrave di una quantitagrave ∆v = vf - vi tanto piugrave lungo egrave il tempo t durante il quale questa variazione avviene tanto minore egrave la forza che deve essere sviluppata per ottenere tale variazione della velocitagrave In questi termini si capisce ad esempio lrsquoutilitagrave delle cinture di sicurezza che allungando i tempi durante i quali in caso drsquoincidente la velocitagrave del passeggero (che non egrave solidale con la vettura) passa da un valore vi iniziale a zero determina una riduzione della la forza cui il passeggero stesso egrave sottoposto durante il breve tempo dellrsquoimpatto (la forza che le ossa e le articolazioni possono sopportare egrave limitata) Si vede anche come funziona lrsquoelastico del jumper finchegrave lrsquoelastico non egrave completamente svolto (ltL) la forza che agisce sul jumper egrave P (la forza peso) poi progressivamente la forza elastica di richiamo contrasta P quindi il jumper decelera progressivamente per un lungo intervallo di tempo e lo lsquostrapporsquo (F applicata) necessario per contrastare P e fermare il jumper applicato sulle sue gambe e a cascata su tutte le sue articolazioni (secondo il terzo principio) egrave di entitagrave minore 2)Lrsquoimpulso totale prodotto tF sdot nella direzione ottimale egrave la grandezza fisica che stabilisce lrsquoefficacia di un gesto di spinta o di lancio non la massima forza espressa o la durata dellrsquoazione di spinta Lavoro di una forza ndash lavoro meccanico

- 1deg caso Forza costante rarrF

Immaginiamo una forza rarrF che agisce su un corpo durante il suo spostamento Immaginiamo cosi

che il punto di applicazione di questa forza si sposti nello spazio di un tratto rarrs Viene detto

lavoro della forza rarrF la quantitagrave

L = rarrF middot

rarrs = F middot smiddot cosϑ (prodotto scalare di

rarrF per

rarrs )

(prodotto scalare tra i due vettori) Fig 27 Il lavoro egrave una quantitagrave scalare cioegrave egrave descritta completamente da un numero da un valore Tale

valore puograve essere positivo o negativo a seconda che la componente di rarrF lungo

rarrs sia equiversa o

di verso opposto a rarrs Se

rarrF e

rarrs hanno la stessa direzione e se lo spostamento avviene nel

senso di rarrF diciamo che il lavoro egrave positivo (e viceversa negativo) Lrsquointensitagrave del lavoro puograve

variare tra un valore massimo e uno minimo per gli stessi valori del modulo di rarrs e di

rarrF a

rarrs

seconda del valore di cosϑ Il lavoro egrave massimo per cosϑ = 1 (cioegrave per ϑ = 0) (rarrF diretto come

rarrs ) Il lavoro egrave minimo ( L = 0) per cosϑ = 0 cioegrave per ϑ = 90deg (

rarrF perpendicolare a

rarrs )

Puograve darsi il caso che piugrave forze agiscono sullo stesso punto Allora si puograve calcolare il lavoro totale egrave la somma dei lavori di tutte le forze applicate

Ltot = sum Li = sum (rarr

sdotiFrarrs )

Dimensioni di L [ L ]= [ F ][ s ] = mmiddot l middot t-2 middot l = ml2 t-2 Unitagrave di misura di L 1 joule = 1N middot 1m ( 1J ) Lavoro della forza peso durante la caduta di un grave Un grave cade vicino alla superficie della terra sotto lrsquoazione della forza di gravitagrave cioegrave sottoposto ala forza peso P diretta verso il basso percorrendo un dislivello h Il lavoro compiuto dalla forza peso si calcola come

LP = rarrP middot

rarrs = Pmiddot smiddot cosϑ

notando che lo spostamento s (verso il basso) e la forza P sono paralleli con verso concorde pertanto ϑ = 0 e cosϑ = 1 e che | P| = mmiddot g si ottiene LP = mmiddot gmiddot h per uno spostamento s = h (dislivello) Lavoro meccanico nel sollevamento pesi Durante questo gesto sul bilanciere oggetto dellrsquoapplicazione delle forze si esercitano la forza peso P e la forza muscolare dellrsquoatleta Naturalmente entrambe le forze lavorano ma i due lavori si oppongono uno allrsquoaltro (ricorda che il lavoro puograve essere positivo o negativo) Il lavoro positivo deve essere nel verso del moto quindi egrave quello della forza muscolare dellrsquoatleta il lavoro di P invece egrave negativo e se il bilanciere si alza di una quota h si calcola facilmente seguendo il procedimento del paragrafo precedente ottenendo LP = - mmiddotgmiddoth (ϑ = π e cosϑ = -1 ) Calcoliamo il lavoro della forza musculare seguendo lrsquoesempio qui proposto Esempio Un atleta solleva un bilanciere di peso 2500N allrsquoaltezza di 2m (sopra la sua testa) Quanto lavoro meccanico compie la sua forza muscolare Supponiamo che il sollevamento avvenga a velocitagrave costante con accelerazione nulla allora il per il

primo principio della dinamica le forze applicate al bilanciere devono essere tali chesumrarr

iF = 0

Quindi la forza peso P = mmiddot g deve essere controbilanciata dalla forza applicata dallrsquoatleta Fm

Quindi rarr

mF = - rarrP

con Fm = 2500N Il lavoro La fatto dallrsquoatleta vale

Lm = rarr

mF middot rarrs = 2500 N middot 2m middot 1 = 5000 J (sollevamento verticale quindi ϑ = 0 e cosϑ = 1)

Quanto lavoro fa la forza peso

Lp = rarrP middot

rarrs = 2500 middot 2 middot (-1) = -5000 J

(percheacute ϑ = π e cosϑ = -1) Quanto lavoro fa lrsquoatleta mentre sostiene il peso fermo sopra la testa L = 0 percheacute non crsquoegrave spostamento Qui si parla di lavoro meccanico non di lavoro fisiologico diciamo che si fa fatica percheacute crsquoegrave da mantenere integrordquo un corpo non rigido che egrave il corpo dellrsquoatleta quindi si il lavoro delle contrazioni muscolari per mantenere lrsquoequilibrio e ldquolrsquointegritagraverdquo egrave la misura del lavoro fisiologico necessario anche se il lavoro meccanico compiuto egrave nullo 2deg caso Forza variabile Nel caso in cui F egrave una forza variabile che dipende dalla posizione ogni volta che avviene uno spostamento∆ x la forza cambia Il lavoro totale saragrave la somma dei lavori elementari fatti sui tratti piccoli sui quali la forza puograve essere assunta costante

Ltot = iii xxF ∆sdotsum )(

( Se si fa il limite per ∆ xi piccolo rarr 0 e la isum egrave lrsquointegrale Ltot = int sdotxtin

xinxdxF )( )

Ad esempio la forza F puograve essere la forza di richiamo di una molla vincolata al muro Lrsquointensitagrave della forza elastica varia durante lo spostamento aumentando con lrsquoallungamento (o la compressione) della molla ed ha la direzione parallela allo spostamento ma puograve avere verso concorde o discorde quindi con cosϑ che vale o +1 o ndash1 Immaginiamo di avere un blocco attaccato alla molla e di tirarlo da Xin a Xfin allora

F(x) = - kx Fig 28

Il lavoro della forza elastica si calcola sommando i lavori infinitesimali compiuti per spostamenti infinitesimi durante i quali la forza si assume costante Ciograve egrave rappresentato graficamente nel calcolo lrsquoarea compresa al di sotto della curva del grafico di F (Fig 28A) In figura si egrave cambiato il segno della funzione forza per comoditagrave di rappresentazione

Fig 28A

Area = differenza aree dei due triangoli = AABB kxxkxx sdotminussdot2

1

2

1

Ricordandoci del segno

L infin = 22

2

1

2

1infin kxkx +minus e in generale L = 2

2

1kx

Se si calcola il lavoro della forza di richiamo durante un allungamento della molla si ha lavoro negativo mentre durante il ritorno alla posizione di equilibrio il lavoro egrave positivo (segno dello spostamento x e della forza concordi) Energia cinetica Il termine ldquoenergiardquo indica la capacitagrave di compiere lavoro Lrsquoenergia cinetica egrave la proprietagrave che rende conto quantitativamente del legame fra il lavoro compiuto ed il moto generato Avevamo detto piugrave o meno lo stesso parlando della seconda legge della dinamica riferendoci alle forze Qui col lavoro non egrave necessaria la descrizione dettagliata delle forze che agiscono sul punto in considerazione Ersquo sufficiente conoscere il loro lavoro totale

Lrsquoenergia cinetica K = 2

1mv2 (gt 0 percheacute m gt 0 v2 gt 0 ) (m e v sono la massa e la velocitagrave del

corpo) Lrsquounitagrave di misura e le dimensioni di K sono le stesse del lavoro Joule ( J ) e [ ]K = [ ]22 minustml

Teorema dellrsquoenergia cinetica Se una forza F compie un lavoro L su un punto materiale di massa m si ha una variazione dellrsquoenergia cinetica pari al lavoro compiuto

Xfin Xin

F

0

ksdotxfin

ksdotxin

F= ksdotx

x

LAB= -area

L = Kfin ndash Kin = ∆ K Nel caso che piugrave forze agiscono sul punto materiale il teorema dellrsquoenergia cinetica si applica al lavoro totale (equivalentemente al lavoro della risultante ) E il caso dellrsquoatleta che solleva il peso di 2500N Sappiamo che ha compiuto un lavoro di 5000J ma il bilanciare con i pesi era fermo allrsquoinizio ed egrave fermo alla fine Quindi Kin = 0 e Kfin = 0 percheacute vin = 0 e vfin = 0 Allora il teorema dellrsquoenergia cinetica Vale per il lavoro totale o lavoro della forza totale e noi abbiamo visto che la forza netta totale = 0 ( Fa + P = 0 ) ed il lavoro totale egrave nullo quindi giustamente si ha ∆ K = 0 1)Caso di una palla da tennis che cade

la forza peso rarrP compie un lavoro positivo con spostamento concorde a

rarrP si dovrebbe avere

∆ K gt 0 infatti la velocitagrave v aumenta 2)Caso di una palla lanciata verso lrsquoalto

lo spostamento ha verso opposto a rarrP Il lavoro della forza peso egrave negativo e quindi ∆ K egrave

negativo giusto La velocitagrave diminuisce NB Durante il volo agisce solo la forza di gravitagrave quindi il lavoro totale comiuto sul corpo egrave solo quello della gravitagrave 3)Caso del moto circolare uniforme la forza che agisce egrave la forza centripeta che egrave perpendicolare allo spostamento Quindi non compie lavoro deve essere ∆ K = 0 Iinfatti il moto egrave uniforme cioegrave la velocitagrave egrave in modulo costante Potenza Si chiama potenza il lavoro che si egrave in grado di svolgere nellrsquounitagrave di tempo

P = t

L

∆ ( potenza media )

P = t

Lt ∆

∆rarr∆ 0lim ( potenza istantanea)

Non egrave solo una stima del lavoro compiuto ma anche della rapiditagrave con cui si compie lavoro

Fig 29 Per superare il muro ci vuole un certo lavoro che consiste nellrsquoinnalzare il proprio corpo di unrsquoaltezza h Sia lrsquoatleta che lo supera in un sol balzo sia il vecchietto che sale pian piano la scalinata faranno lo stesso lavoro Quel che egrave diverso egrave la potenza dei due personaggi Dimensioni e unitagrave di misura della potenza [ ]P = [L] [t -1] = [ml2t-3] 1 watt = 1 joule 1sec (1w)

Energia Potenziale K egrave energia connessa allo stato di moto di un sistema Crsquoegrave anche energia connessa alla posizione di un corpo in un campo di forze (configurazione) Si chiama energia potenziale Nel caso dellrsquoatleta di sollevamento pesi il lavoro compiuto dallrsquoatleta Lm non ha alterato lrsquoenergia cinetica K dellrsquoattrezzo ma ha modificato la configurazione del sistema (terra-attrezzo) variandone lrsquoenergia potenziale (W) Il lavoro non egrave stato sprecato ma ldquoimmagazzinatordquo lrsquoattrezzo prima egrave a terra poi egrave in alto nel sistema che ora ldquopotenzialmenterdquo puograve compiere un lavoro cedendo la sua ldquoenergia potenzialerdquo Energia cinetica ed energia potenziale sono due parti dellrsquoenergia meccanica possono trasformarsi lrsquouna nellrsquoaltra ed in lavoro Nellrsquoesempio precedente quando lrsquoattrezzo egrave in alto si ha che K = 0 e W = WA Quando cade K aumenta percheacute la velocitagrave v aumenta e lrsquoenergia potenziale W diminuisce In basso W = WB lt WA e K egrave massima Lrsquoattrezzo cadendo puograve compiere lavoro Se fosse un martello potrebbe far avanzare un chiodo ad esempio Lrsquoenergia potenziale viene definita proprio a partire dal concetto di lavoro di forze conservative Ersquo conservativa una forza il cui lavoro per spostare il suo punto di applicazione da una posizione (configurazione) ad unrsquoaltra dipende solo dalle due posizioni (configurazioni) iniziale e finale Equivalentemente si puograve definire la forza conservativa dicendo che il lavoro di tale forza egrave nullo se le posizioni (configurazioni) iniziali e finali coincidono

-Lavoro per passaggio dalla posizione A a B egrave lo stesso lungo I o II -Se da A vado a B e torno in A il lavoro totale egrave nullo

Fig 30 Posso allora definire una funzione della posizione W che assume i valori WA e WB in A e B e tale per cui LAB = WA ndash WB ( W energia potenziale) WA WB sono definiti a meno di una costante tanto quello che interessa egrave la differenza fra loro Variazione di energia potenziale del passaggio da A a B WB ndash WA = ∆W allora LAB = -∆ W Con questa convenzione sui segni si rende conto del fatto che un lavoro positivo ( fatto dalle forze conservative sul corpo) fa diminuire lrsquoenergia potenziale W ( L positivorarr ∆W negativo rarr WBlt WA rarr ho usato energia potenziale) un lavoro negativo (subito) aumenta W (L negativo rarr ∆W positivo rarr WBgt WA rarr ho guadagnato energia potenziale) W si misura in Joule come il lavoro e lrsquoenergia cinetica

Qual egrave la Forma di W

Mentre la forma dellrsquoenergia cinetica egrave sempre K =2

1mv2 indipendentemente dal tipo di forze

che provocano il movimento W dipende dal tipo di forza conservativa di cui si sta calcolando il lavoro Consideriamo due forze conservative

a) Forza gravitazionale forza peso

F(y) = -mg Stato di riferimento y0 = 0 in cui W0 = 0

Fig31

Abbiamo detto che LAB = WA- WB ma siccome

LAB = )( ABhmgsP minussdotminus=sdot dove hAB= yA-yB egrave la distanza tra A e B allora rArr WA = mgyA WB = mgyB e in generale W(y) =mgy

Per la forza peso W(y) =mgy e lrsquoenergia totale meccanica (W+K) = mgy+2

1mv2=Etot

b) Forza elastica

Fig 32

F(x) = -kx Stato di riferimento x = 0 allungamento nullo la lunghezza della molla egrave la sua lunghezza di riposo L ( W(0) = 0)

Immaginiamo che la configurazione della molla venga modificata passando dalla posizione xA alla posizione xB (Fig 32) Il lavoro della forza elastica egrave calcolato come

LAB = 22

2

1

2

1AB kxkx +minus

Ricordando che LAB = WA- WB possiamo ricavare lrsquoespressione per lrsquoenergia potenziale elastica

rArr WA = 2

2

1Akx WB = 2

2

1Bkx e in generale W(x) = 2

2

1kx

Energia totale meccanica ndash Conservazione dellrsquoenergia

In presenza di sole forze conservative la somma dellrsquoenergia cinetica e dellrsquoenergia potenziale costituisce lrsquoenergia totale meccanica Tale energia meccanica gode della proprietagrave importantissima di conservarsi durante lrsquoevoluzione del sistema Lrsquoenergia connessa al movimento e alla posizione si scambiano una diminuisce e lrsquoaltra cresce ad esempio ma la loro somma rimane costante

- Esempio delle montagne russe Se non ci sono attriti (infatti il trucco egrave quello di rendere il

sistema privo di attriti) so giagrave quale altezza massima potrograve raggiungere (quella iniziale e non di piugrave) quale velocitagrave massima potrograve raggiungere (in fondo alla valle) Queste quantitagrave sono fra loro legate dal teorema della conservazione dellrsquo energia meccanica

Fig 33 - Esempio del salto con lrsquoasta Lrsquoenergia cinetica dellrsquoatleta acquisita nella rincorsa viene

trasformata in energia potenziale gravitazionale parte direttamente e parte attraverso lrsquoenergia potenziale elastica dellrsquoasta acquisita nella sua deformazione durante il salto La flessibilitagrave dellrsquoasta (costante elastica dellrsquoasta) egrave legata allrsquoenergia che si puograve immagazzinare in una data deformazione Infatti con aste rigide (alluminio acciaio bambugrave) il salto era piugrave basso Con fibra di vetro il record egrave stato polverizzato

Fig 34

Fig 35

Fig 36

Osserviamo che il teorema dellrsquoenergia cinetica ha validitagrave generale qualunque siano le forze che agiscono conservative o non conservative (le forze non conservative si dicono anche ldquodissipativerdquo)

KLL

KL

fncfc

tot

∆=+∆=

e ricordando che darr Lfc = - )( fcW∆

Si ottiene che K∆ + )( fcW∆ = Lfnc

Si vede che nel caso in cui Lfnc sia nullo cioegrave quando non ci sono forze dissipative la somma delle variazioni di energia cinetica e energia potenziale egrave uguale a zero cioegrave lrsquoenergia totale meccanica (somma dellrsquoenergia cinetica e potenziale) egrave costante E questo corrisponde al teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica Nel caso ci siano forze dissipative la somma delle energie non egrave costante quindi al contrario del teorema dellrsquoenergia cinetica il teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica non ha validitagrave generale (vale solo in assenza di attriti ad esempio) Le forze non conservative di attrito compiono lavori solo negativi e fanno perdere quantitagrave di energia non recuperabile Parte di questa energia va in generale in calore quindi se ne puograve tenere conto considerando unrsquoaltra forma di energia lrsquoenergia termica ( ci sono anche altri fenomeni dissipativi ad esempio le deformazioni permanenti negli urti o la propagazione di onde sonore)

Lrsquo energia puograve dunque conservarsi o trasferirsi proprietagrave caratterizzanti dellrsquoenergia Il lavoro rende conto del trasferimento di energia della perdita di energia sotto una forma e del guadagno sotto unrsquoaltra forma (cioegrave energia conservativa) o del passaggio dellrsquoenergia da un sistema ad un altro Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica quando egrave applicabile puograve essere sfruttato per risolvere facilmente problemi altrimenti complicati Esercizio Una palla da tennis viene lanciata con velocitagrave iniziale v0 (senza effetti strani taglio etc) al di lagrave della rete Con quale velocitagrave arriva a terra

Se durante il moto Etot si conserva K+W = cost

Fig 37 e W = mgh egrave solo energia potenziale gravitazionale h = 0 alla fine come allrsquoinizio dunque K in = Kfin e vfin = v0 Se la palla egrave lanciata verso lrsquoalto non crsquoegrave componente orizzontale della velocitagrave ma solo verticale al punto piugrave alto di arresto h K(h) = 0 W(h) = max = Kin cioegrave mgh = frac12 mv0

2 si puograve cosigrave calcolare facilmente lrsquoaltezza massima raggiunta h = (frac12 v0

2)g e vicenversa si puograve calcolare il valore della velocitagrave v0 che bisogna imprimere alla palla affinchegrave raggiunga lrsquoaltezza h

v0 = gh2

Esercizio Una saltatrice di massa M = 61Kg salta da un ponte di altezza H = 45m agganciata ad una corda elastica La lunghezza di riposo della corda elastica egrave L = 25m e la sua costante elastica egrave k = 160 Nm Nel punto piugrave basso si arresta prima di venire rimbalzata in alto Qualrsquo egrave lquesta quota piugrave bassa h (a cui si trovano i suoi piedi ai quali egrave legato lrsquoelastico)

Fig 38 Etot = Wgrav + Wel + K = cost sono solo forze conservative vale la conservazione

dellrsquoenergia Nel punto A K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di lanciarsi Wel = 0 percheacute lrsquoelastico non egrave ancora svolto Wgrav = MgH Nel punto B K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di rimbalzare

Wel = frac12 kd2 Wgrav = Mgh = Mg(H-(L+d)) Etot(A) = Etot (B) MgH + 0 + 0 = Mg (H-(L+d)) + frac12 kd2 + 0 MgH = MgH ndash MgL ndash Mgd +frac12 kd2

2

1(160)d2 ndash (61)(98)d ndash (61)(98)(25) = 0

equazione di IIdeg grado che dagrave per d il valore accettabile d = 179m (lrsquoaltro egrave negativo e non egrave accettabile perchegrave non ha senso fisico la

saltatrice va in giugrave non in su) Allora h = H-(L+d) = 45 ndash (25+179) = 45 ndash 429 = 21m quindi con la testa poco sopra lrsquoacqua Sistemi di punti materiali e corpi rigidi ndash Centro di Massa

Un giocoliere o un ginnasta che lancia la clavette fa compiere allrsquoattrezzo movimenti complicati tuttavia crsquoegrave un punto dellrsquoattrezzo che si muove seguendo una traiettoria semplice come quella di un punto materiale ad esempio lanciato segue una traiettoria parabolica Tale punto si chiama centro di massa dellrsquooggetto Il centro di massa puograve essere definito per un oggetto o per un insieme di punti materiali Ersquo importante percheacute in generale il moto di un corpo esteso (o di un insieme di punti) si puograve studiare separando il moto del centro di massa (moto traslatorio) e il moto del corpo attorno al centro di massa (moto rotatorio)

Centro di Massa (CDM) di un sistema di punti - Consideriamo il caso semplice di due punti materiali di massa m1 m2 posti sullrsquoasse x in

posizione x1 x2

Fig 39

la posizione del centro di massa egrave definita xCDM = 21

2211

mm

xmxm

++

a) xCDM egrave compreso fra x1 e x2 b) se m1 = m2 CDM egrave a metagrave strada fra m1 ed m2 c) xCDM egrave piugrave prossimo alla massa maggiore - Nel caso di piugrave punti allineati nelle posizioni xi detto M = summi allora

xCDM = ii xmMsum

1

- Nel caso di punti distribuiti nello spazio detti irrarr

i vettori che identificano le loro posizioni

CDMrrarr

= iii rmM

rarrsum

1

dove CDMrrarr

ha coordinate (xCDM yCDM zCDM) definite come

xCDM = ii xmsumη1

yCDM = ii ymMsum

1

zCDM = ii zmMsum

1

- Consideriamo un oggetto qualsiasi questo egrave composto da un gran numero di particelle ma conviene considerarlo come un continuo di materia e per calcolare il centro di massa si prendono in considerazione degli elementi infinitesimi di massa dm centrati intorno alle posizioni (xyz) allora

xCDM = int xdmM

1 yCDM = int ydm

M

1 zCDM = int zdm

M

1

se si puograve considerare il corpo omogeneo (densitagrave uniforme) allora V

M

dv

dm = e allora si puograve fare il

calcolo considerando il volume V e gli elementi di volume dv anzichegrave la massa e gli elementi di massa

xCDM = int xdvV

1 etc

In un oggetto solido (corpo rigido) i diversi punti materiali che lo compongono non cambiano la loro posizione relativa (non come un corpo elastico) - se un oggetto ha un elemento di simmetria un asse od un piano il CDM si trova su tale

elemento di simmetria (asse per cono centro per sfera piano per una banana etc) Non egrave detto che il CDM di un oggetto appartenga allrsquooggetto vedi uno pneumatico un cerchio Il CDM egrave esterno alloggetto Legge fondamentale della dinamica per un sistema di punti materiali Caso della palla da bigliardo urto fra due palle dopo il lancio di una le due si muovono 1) una egrave ferma (B) lrsquoaltra la lancio (A) 2) le due si urtano in qualunque modo 3) le due si muovono secondo traiettorie differenti una possibilmente andragrave in buca lrsquoaltra no Dopo il lancio sulla palla A non agisce piugrave nessuna forza quindi la sua velocitagrave v egrave costante Va bene ma dopo lrsquourto Il CDM delle due palle continua a muoversi con velocitagrave costante anche se il centro di massa egrave un punto teorico che non appartiene a nessuna delle due palle Tuttavia al CDM possiamo assegnare una massa (M totale del sistema) una velocitagrave ed una accellerazione Si ha

)(CDMext aMFrarrrarr

=sum

a) extFrarr

sum egrave la somma di tutte le forze esterne che agiscono sul sistema non quelle interne (ad esempio nel caso del bigliardo non devo considerare le forze che si applicano fra le due palle quando si urtano)

b) M egrave la massa totale del sistema Si suppone che durante il moto M rimanga costante

c) )(CDMararr

egrave lrsquoaccelerazione del CDM Dellrsquoaccellerazione di un altro punto ad esempio del centro della palla A non si dice nulla

Cosideriamo alcuni esempi 1) Bigliardo tvaF CDMCDMext cos00 ===sum prima dellrsquourto nellrsquourto si verificano solo forze

interne Quindi tvaF CDMCDMext cos00 ===sum dopo lrsquourto e durante tutto il moto

2) Sistema terra-luna sumFext = gravitazione del sole aCDM egrave ldquocentripetardquo accellerazione di una

forza che egrave diretta verso il sole (forza ldquocentralerdquo) egrave il CDM terra-luna che segue la traiettoria dovuta allrsquoattrazione gravitazionale del sole poi terra e luna si muovono intorno al loro CDM

3) Clavette lanciate sum Fext = Mg aCDM = g il centro di massa si comporta come un punto materiale nel lancio

4) La ballerina nel ldquogrand-fetegraverdquo fa seguire a testa e busto una traiettoria rettilinea percheacute modifica lrsquoassetto in modo da alzare il suo CDM Nel corso del salto (alza le braccia e distende

orizzontalmente le gambe non appena lasciato il suolo) il suo CDM segue la traiettoria parabolica del lancio di un corpo soggetto allrsquoaccelerazione di gravitagrave g

Quantitagrave di moto rarrP

- Si definisce quantitagrave di moto di una particella il vettore

rarrrarr= vmP

con m massa della particella e rarrv la sua velocitagrave

Si vede che rarrP egrave diretto come

rarrv

Newton scrisse la legge fondamentale della dinamica in termini di quantitagrave di moto (a differenza di Galileo che la scrisse in termini di massa e di accelerazione) ldquola rapiditagrave di variazione della quantitagrave di moto di una particella egrave proporzionale alla forza netta che agisce sulla particella ed egrave nella direzione di quella forzardquo cioegrave

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

che egrave piugrave generale della formulazione di Galileo perchegrave descrive bene anche il caso in cui variasse la massa del corpo durante il moto (ad esempio un vettore spaziale) Se la massa egrave costante le due formulazioni sono identiche

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

= t

vm

∆∆

rarr)(

= m t

v

∆∆

rarr

= m rarra

Ricordiamo che rarrF egrave diretto come

rarra (o la risultante

rarrR = sum

rarrF )

Per un sistema di punti materiali si definisce la quantitagrave di moto totale

rarrP =

rarrP 1 +

rarrP 2 + helliphellip+

rarrP n =

m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +helliphelliphellip+ mn

rarrv n = M

rarrv CDM (si puograve dimostrare) dove M egrave la massa totale

[essendo infatti Mrarrv CDM =

dt

d(M

rarrr CDM) =

dt

d(m1

rarrr 1 + m2

rarrr 2 +hellip) = m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +

hellip]

quindi rarrP = M

rarrv CDM per un sistema di particelle e

dt

Pdrarr

= M dt

d rarrv CDM = M

rarra CDM = sum

rarrF ext

Conservazione delle quantitagrave di moto

Per un sistema chiuso (M non varia) e isolato (sumrarrF ext = 0)

Allora

t

P

∆∆

rarr

= 0 rarrP = cost

rarrP i =

rarrP f

che sono tre modi equivalenti per dire che la quantitagrave di moto si conserva Vale per un sistema nel quale non agisca nessuna forza esterna netta Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica e la conservazione delle quantitagrave di moto sono due concetti fisici importantissimi Valgono sia per le palle da bigliardo che per qualunque altro sistema anche le galassie nellrsquouniverso Queste equazioni sono vettoriali Ciograve significa che rappresentano una terna di equazioni scalari ognuna valida sul proprio asse del sistema di riferimento (x y z)

Puograve accadere a seconda delle forze che agiscono nel sistema che la quantitagrave di moto si conservi in una direzione o in due e non in tutte e tre

Ad esempio se consideriamo una palla come un insieme di punti materiali la rarrF ext che agisce nel

sistema egrave mrarrg diretta lungo z senza componenti su x e y quindi

rarrP varia lungo z ma

non su x e y

Percheacute ldquocomplicarci la vitardquo con questa storia del CDM del sistema di particelle etchellip non bastava il moto del punto rappresentativo materiale Avevamo giagrave considerato il punto rappresentativo e avevamo svolto anche problemi sulla palla sul bilanciere e per altri oggetti Abbiamo sempre sbagliato La questione egrave se un corpo egrave rigido cioegrave se tutti i suoi punti si muovono mantenendo le loro distanze relative non crsquoegrave problema abbiamo solo visto che il punto materiale rappresentativo si chiama CDM ed abbiamo imparato a situarlo allrsquointerno del corpo Ma se il corpo non egrave rigido cioegrave se il suo CDM si sposta rispetto a lui stesso nel corso del moto la disposizione del corpo intorno al punto rappresentativo varia nel corso del tempo e le leggi di conservazione valgono per il CDM - Consideriamo ad esempio il teorema dellrsquoenergia cinetica che per un punto materiale si scrive Ltot = Kfin-K in = ∆ K (qui ovviamente non crsquoegrave da specificare lavoro delle forzeldquoesternerdquo percheacute essendo in un punto materiale che si assume infinitamente piccolo non ci sono forze ldquointernerdquo) Per analogia il teorema dellrsquoenergia cinetica si estende al caso di un insieme di punti materiali nel seguente modo

Ltot forze ext=rarrF extmiddot

rarrs CDM = ∆ KCDM

Dove s CDM egrave lo spostamento del centro di massa A titolo di esempio risolviamo il problema un giocatore di hockey su ghiaccio di massa M = 110Kg si muove verso la balaustra a bordo campo alla velocitagrave di 3msec Nellrsquoarrestarsi flettendo le braccia il suo CDM si sposta in avanti di 30cm Qual egrave la ∆ K del suo CDM durante la manovra

∆ KCDM = infin CDMCDM mvmv 22

2

1

2

1 minus =

= 0 - 2

1110 32 = -495 J

Fig 40

Sia L il lavoro delle forze esternerarrF ext (dirette come d

rarrx CDM ) allora

L = - Fext 03 = ∆ KCDM quindi

Fext =30

495

minusminus

= + 1650N

( si considera la forza esterna rarrF ext costante nellrsquointervallo dellrsquoarresto fatto che equivale a dire

che il giocatore si arresta con rarra CDM costante)

Dinamica e statica del corpo esteso Finora abbiamo sempre discusso del moto di un punto materiale (punto rappresentativo dicevamo sempre) In particolare abbiamo sempre applicato le forze a quel punto materiale quindi se diverse forze erano applicate esse concorrevano in quel punto ligrave e con le forze concorrenti sapevamo come calcolare la risultante con il metodo grafico o con quello numerico delle coordinate cartesiane Una volta calcolata la risultante applicata al punto si otteneva un moto di pura traslazione del punto (al massimo traslava lungo una traiettoria curva) senza rotazioni proprie del punto che non hanno neanche senso un punto che ruota su se stesso Come faccio ad accorgermi Un punto per definizione egrave infinitamente piccolo (Dicevamo infine che il punto egrave in equilibrio

traslazionale se la risultante rarrR delle forze applicate egrave nullo)

Consideriamo invece un corpo esteso Prima osservazione questo ha piugrave punti (direi infin ) a

cui la forza puograve essere applicata Prendiamo una racchetta da tennis ed una forza rarrF applicata il

moto che ne risulta dipende dal punto al quale viene applicata la forza rarrF

qui la racchetta trasla

Fig 41

stessa forza qui la racchetta ruota

Fig 42

Seconda osservazione Crsquoegrave un caso in cui le forze non possono essere fatte concorrere in un punto ed egrave quando sono parallele ed hanno rette di applicazione distinte Chiaramente non abbiamo mai dovuto considerare questo caso per il punto materiale percheacute per un punto non possono mai passare due rette parallele Ma per il corpo esteso So benissimo che se sono ferma con la macchina in

panne e la sto spingendo applicando una forza rarrF 1 sono contenta se qualcuno si affianca a me ed

esercitando una forza rarrF 2 lungo una direzione parallela a quella della mia mi aiuta a spingere In

particolare mi viene spontaneo dire che se F1 = F2 allora spingeremo con una forza doppia Ci saragrave quindi un modo per sommare due forze non concorrenti in un punto ma parallele e saragrave Ftot = F1+ F2 La retta di applicazione di Ftot divide il segmento congiungente i punti di applicazione di F1 ed F2 in due segmenti inversamente proporzionali allrsquointensitagrave delle forze F1 e F2 Terza osservazione se F1 = - F2 sono uguali in intensitagrave ma di verso opposto sempre lungo due rette di applicazione parallele passanti per un corpo esteso cosa succede La loro somma Ftot risultante saragrave 0 ma io so che il corpo non sta fermo sotto lrsquoazione di tali due forze ma ruoteragrave Concludo che le nozioni che ho acquisito finora vanno riviste ed ampliate o corrette o specificate per i corpi estesi ed inoltre che mi mancano totalmente i mezzi per descrivere le rotazioni dei corpi estesi Occorrono nuovi concetti nuove quantitagrave la forza non basta Prendo lrsquoesempio piugrave semplice dellrsquoaltalena con due bambini in due bracci uno piugrave leggero uno piugrave pesante

Fig 43 Qualitativamente so che percheacute lrsquoaltalena stia in equilibrio e non ruoti intorno al punto fisso non egrave necessario che i due bambini abbiano lo stesso peso (ugual massa) occorre che il bambino piugrave leggero sieda piugrave lontano rispetto al punto fisso (fulcro) La regola quantitativa dice che lrsquoaltalena egrave in equilibrio se il prodotto del peso per la distanza del fulcro egrave uguale PB dB = Pb

db Per generalizzare questa regola ai casi piugrave complessi occorre definire una nuova quantitagrave il momento di una forza Momento di una forza

Consideriamo una forza rarrF applicata ad un punto P ed un punto O Sia

rarrr

il vettore rarrOP allora il momento

rarrM di

rarrF rispetto ad O egrave

rarrM =

rarrr x

rarrF

e

|rarrr | middot |

rarrF | sin ϑ = |

rarrM |

Fig 44

oppure anche considerando la componente di rarrF perpendicolare ad

rarrr o di

rarrr

perpendicolare a rarrF r e rispetto a F

|rarrM | = |

rarrr | |

rarrF perp | |

rarrM | = |

rarrr perp| |

rarrF |

In generale si dice che il modulo del momento |rarrM | egrave il prodotto delle intensitagrave della forza per la

distanza dal punto della retta di applicazione della forza

Come vettore rarrM egrave perpendicolare al piano che contiene

rarrF ed

rarrr ed ha verso calcolato con la

regola della mano destra (con rarrr che si chiude su

rarrF )

La distanza rperp si chiama braccio della forza Si vede che il momento egrave nullo quando il braccio egrave nullo cioegrave quando il punto O si trova sulla retta di applicazione di F Il momento della forza peso P egrave nullo rispetto al baricentro che coincide con il centro di massa nel caso (praticamenteldquosemprerdquo) in cui il corpo non sia abbastanza esteso percheacute diversi punti del corpo risentano di una forza gravitazione differente Praticamente si deve parlare di galassie percheacute CDM e baricentro (BC) non coincidono Quindi la condizione del momento nullo della forza peso diventa un modo per definire il CDM come quel punto rispetto al quale la forza peso P ha momento nullo Per un corpo ldquoarticolatordquo estendiamo il concetto di forza normale come forza di contatto nellrsquoarticolazione utile cioegrave la forza che lrsquoarticolazione che si sta considerando esercita su quello che nellrsquoarticolazione si appoggia La forza peso P di un corpo esteso puograve immaginarsi applicata al CDM Principio di equilibrio di un corpo esteso

se su un corpo esteso agiscono solo rarr

Peso e rarr

Normale cioegrave se un corpo egrave appoggiato ad un piano orizzontale allora il corpo egrave in equilibrio se e solo se il baricentro si trova sopra la superficie di appoggio

Fig 45

Finchegrave il baricentro egrave sopra il tavolo il libro non cade percheacute rarrP applicata a CDM puograve essere

controbilanciata da rarrN Se CDM si sposta in fuori

rarrN rimane nel tavolo e crsquoegrave momento non nullo

non equilibrato da rarrP che continua ad essere applicato nel CDM

Il baricentro di una persona in posizione eretta si trova nellrsquoarea delimitata dei suoi piedi 3cm davanti allrsquoarticolazione della caviglia

Fig 46 Quando la persona si piega in avanti il baricentro esce dal corpo e per mantenere lrsquoequilibrio egrave necessario che le anche si spingono indietro percheacute il baricentro cade di nuovo in quella posizione Notiamo che anche in posizione eretta essendo la forza peso e la forza di contatto non allineate (quei 3cm) (forza di contatto sullrsquoarticolazione della caviglia che regge il peso) occorre un momento correttivo che impedisca la rotazione in avanti mantenuto dal tendine di Achille che si lega alla caviglia Altro esempio di spostamento del baricentro egrave lrsquoatleta che assume una posizione ad L chi regge il peso egrave lrsquoarticolazione della spalla quindi il CDM si sposta sotto la spalla (giagrave era uscita dal corpo per via delle gambe distese in avanti) Nel camminare il baricentro continua a muoversi da sopra un piede a sopra un altro (quello appoggiato ovviamente) Si osservi lrsquoondeggiamento Per assurdo lrsquoancheggiare delle indossatrici serve a mantenere il baricentro il piugrave possibile fermo rispetto alla direzione media del moto (porre un piede esattamente davanti allrsquoaltro) rendendo piugrave facile muoversi anche con tacchi altissimi Al contrario lrsquoequilibrista che cammina sui trampoli sta fermo il meno possibile percheacute egrave stando fermo che il piccolo spostamento che fa uscire il baricentro (ALTO) dalla superficie drsquoappoggio puograve verificarsi facilmente preferisce il ldquonon ndash equilibriordquo o lrsquo rdquoequilibrio dinamicordquo dellrsquoondeggiare continuamente fra due posizioni di equilibrio

Ricordiamo che un equilibrio egrave detto stabile se quando una perturbazione lo altera spontaneamente il sistema lo ripristina Viceversa un equilibrio egrave instabile se la piugrave piccola perturbazione lo distrugge Lrsquoequilibrio egrave molto stabile se il baricentro egrave basso ed il corpo ha una grande area drsquoappoggio la posizione accucciata del giocatore di football americano dagrave grande stabilitagrave Ancor piugrave grande stabilitagrave si ha se il baricentro (CDM) si trova al di sotto della superficie drsquoappoggio Ersquo come se si fosse ldquoappesirdquo anzicheacute ldquoappoggiatirdquo alla superficie drsquoappoggio Proprio per questo motivo lrsquoequilibrista sul filo porta una lunga asta che spesso si flette agli estremi

Fig 47 Gli uccelli bipedi da 100000000 di anni hanno sviluppato questo adattamento per cui sono appesi alle anche mentre gli uomini bipedi da solo 1000000 di anni fanno fatica con il CDM dalla parte alta del corpo Ersquo un equilibrio instabile ldquosoprardquo le anche che le reggono (65 del peso del corpo) Modificazioni strutturali per reggere la posizione eretta 1) Colonna vertebrale rastremata (piugrave tozza in basso che in alto percheacute piugrave in basso vuol dire una

maggior forza di contatto) 2) Muscoli estensori della schiena 3) Gambe ed anche ingrossate 4) Ginocchio che blocca la gamba estesa Ciononostante si ha spesso il mal di schiena Se una forza ha momento non nullo rispetto ad un punto allora il corpo puograve ruotare intorno a quel punto sotto lrsquoazione di quella forza ldquoDiciamo che se sostengo il corpo per quel punto il corpo puograve ruotare intorno a quel puntordquo (Prendo in mano un foglio di carta per un estremo per esempio) La presenza di un momento non nullo egrave dunque la condizione che genera rotazione e viceversa Lrsquoassenza di un momento risultante egrave la condizione che genera lrsquoequilibrio rotazionale di un corpo esteso Quindi la condizione di equilibrio per un corpo esteso egrave

1) rarrR = 0 risultante delle forze applicate = 0 (equilibrio traslazionale)

2) rarrM = 0 momento risultante = 0 (equilibrio rotazionale)

Supponiamo di avere un corpo esteso al quale siano applicate delle forze che diano luogo ad un momento non nullo allora il corpo ruota Per equilibrarlo dovrograve applicare un altro momento tale che la loro somma sia nulla Questo egrave il principio di funzionamento delle leve LEVE

Una leva egrave un corpo esteso al quale sono applicate delle forze con un momento risultante rarrR

allora per portare il corpo in equilibrio applico un momento correttivo rarrP in modo che il momento

totale sia nullo Si dice in genere potenza (P) e resistenza (R) di una leva Le leve sono macchine semplici Servono per applicare forze in punti scomodi o in direzioni particolari Il fulcro egrave il punto nel quale la leva egrave incernierata Si definisce il guadagno meccanico di una leva

GM =

)(

)(rarr

rarr

PF

RF

cioegrave il rapporto fra la forza che genera il momento resistente e quella che genera il momento agente A seconda che GM sia gt

lt 0 una leva si dice che egrave vantaggiosa o svantaggiosa ma solo per quel che riguarda le forze percheacute per quel che riguarda i lavori non si ha neacute vantaggio neacute svantaggio Il lavoro esercitato dalla forza che dagrave la ldquopotenzardquo e quello esercitato dalla forza che dagrave la ldquoresistenzardquo sono sempre uguali Infatti forze e spostamenti sono inversamente proporzionali Le leve si dicono di I II o III specie a seconda se il fulcro si trovi I) in mezzo fra R e P (leva indifferente GM dipende da caso a caso) II) dalla parte di R (leva vantaggiosa il braccio di R egrave sempre minore del braccio di P basta

quindi una P minore per equilibrare una R maggiore) III) dalla parte di P (leva svantaggiosa) Classici esempi dei tre tipi di leve sono i remi (I) lo schiaccianoci (II) e la pinzetta per francobolli (III) Tuttavia vediamo degli esempi meno classici ma attinenti al campo della biologia e della medicina Criterio generale egrave che le leve vantaggiose consentono di essere molto potenti ma con brevi spostamenti mentre viceversa quelle svantaggiose fanno perdere in potenza ma consentono grandi spostamenti saragrave difficile vedere un cavallo che con le lunghe zampe si scava la tana drsquoaltronde una talpa scava bene la tana ma ha movimenti molto meno ampi che non le consentono di correre veloce come un cavallo (compromesso fra forza e velocitagrave del movimento) Se contiamo tutti i movimenti di rotazione che il corpo puograve compiere capiamo che siamo pieni di leve di ogni tipo Sono classici a) il capo fulcro (articolazione occipito-atlantoide) Fig 48 muscoli della nuca (Potenza) peso del capo (Resistenza) b)

muscolo bicipide (Potenza)

Fig 49 Peso dellrsquoavambraccio (Resistenza) Fulcro (articolazione del gomito) Questa leva permette grandi spostamenti Si vede che la forza operata dal muscolo bicipite egrave massima quando lrsquoavambraccio egrave orizzontale (la distanza dal fulcro egrave massima) ed egrave minima quando lrsquoavambraccio egrave verticale( con la distanza dal fulcro nulla) Attenzione - la colonna vertebrale egrave costituita da 24 vertebre separate da dischi di liquido Quando una

persona si piega la schiena egrave una leva con GM molto piccolo Quindi un piegamento completo per raccogliere un oggetto anche leggero produce una forza molto intensa sul disco lombosacrale che separa lrsquoultima vertebra dellrsquoosso sacro Se indebolito questo disco puograve rompersi o deformarsi comprimendo i nervi vicini e causando grande dolore Vediamo un modello che rende conto come mai questa forza egrave cosigrave grande

Fig 50

I muscoli della schiena esercitano T Con un angolo α = 12deg quando la schiena egrave piegata a 90deg

Peso della parte superiore del corpo (circa il 65 del peso totale)

Fulcro lombosacrale (il fulcro produce R) Essendo α piccolo la retta di azione Τ passa vicino al fulcro e dunque la distanza r che costituisce il suo braccio egrave molto piccola Al contrario il peso egrave perpendicolare alla colonna e il suo punto di applicazione egrave molto piugrave distante dal fulcro Τ deve essere molto grande per equilibrare il momento di P Dunque se T egrave grande anche la sua componente orizzontale egrave grande e di conseguenza anche R che costituisce la reazione dellrsquoosso sacro deve avere componente orizzontale molto grande per equilibrare Τ (uguale ed opposta alla componente orizzontale di Τ ) Facendo i conti si ottengono numeri grandi per 75Kg di peso T ed R sono equivalenti al peso di una massa di 220Kg Senza sollevare pesi solo piegandosi Conviene piegare le ginocchia quando si sollevano pesi - Nel corpo egrave difficile che il peso cada sulla verticale dellrsquoarticolazione che lo sostiene egrave sempre

un porsquo spostato e crsquoegrave un tendine con un muscolo che compensa il momento del peso - La contrazione muscolare egrave una successione di brevi contrazioni delle fibre muscolari stimolate

da impulsi che provengono dal sistema nervoso Contrazioni sono molto ravvicinate e avvengono in tempi differenti nelle diverse parti del muscolo cosigrave che il risultato apparente egrave una lenta e progressiva contrazione Se la frequenza degli impulsi aumenta la tensione cresce finchegrave si raggiunge la tensione massima (ricordare la tensione di un cavo) Un ulteriore aumento della frequenza degli impulsi a questo punto non causa ulteriore aumento della tensione

La tensione massima egrave proporzionale allrsquoarea della sezione trasversa del muscolo nel suo punto piugrave largo La tensione massima dipende anche dalla lunghezza del muscolo che varia Si ottiene tensione massima quando il muscolo egrave solo di poco allungato rispetto alla sua lunghezza di riposo di riposo ed egrave circa 30-40 Ncm2 La tensione massima si riduce moltissimo se il muscolo egrave molto allungato o accorciato Dinamica Rotatoria Fino ad ora abbiamo studiato moti traslatori ma il moto di un corpo rigido egrave in generale roto-traslatorio Naturalmente dobbiamo ridurre il problema complesso ad uno piugrave semplice e per fare ciograve immaginiamo di posizionarci su un sistema di riferimento solidale al corpo rigido i moto immaginiamo cioegrave di ldquosedercirdquo sul corpo rigido In questo modo non saremo piugrave sensibili al moto traslatorio e guardando il corpo rigido osserveremo solo le sue rotazioni Trattiamo allora il moto generico scomponendo la parte traslatoria (giagrave discussa ) da quella rotatoria Se si trascura la parte traslatoria del moto di un corpo rigido quello che rimane da trattare egrave la sua rotazione Nel nostro corso consideriamo le rotazioni che avvengono su un piano le rotazioni nello spazio potranno essere trattate come composizione di rotazioni su un piano Per le rotazioni su un piano si identifica un asse di rotazione perpendicolare al piano di rotazione e passante per il centro di rotazione Le articolazioni del gomito e del ginocchio sono articolazioni libere di ruotare intorno ad un asse a differenza ad esempio di quella della spalla che puograve ruotare intorno a due assi Si definisce spostamento angolare la variazione di una posizione che egrave definita in modo completo da una misura di angolo Una rotazione di un intero corpo rigido egrave definita in modo completo da uno spostamento angolare θfin - θin= ∆θ e si misura in radianti

Fig 51 Dobbiamo definire anche un verso di rotazione θ si incrementa per rotazioni antiorarie positive le rotazioni in senso orario sono invece negative La velocitagrave angolare si definisce analogamente alla velocitagrave lineare come il rapporto tra lo spostamento angolare e il tempo t impiegato per eseguire tale rotazione

ωm = t∆

∆θ e si misura in rad s

θin

θfin ∆θ

R

S

Anche per w si definisce ωist = lim ∆trarr0 t∆

∆θ

Ancora lrsquoaccelerazione angolare si definisce αm = t∆

∆ω e αist = lim ∆trarr0

t∆∆ω

Anche la legge fondamentale della dinamica ha un analogo nel ambito dei moti rotatori Si stabilisce che se ad un corpo rigido egrave soggetto ad un momento torcente diverso da zero esso subisce unrsquoaccelerazione angolare ad esso proporzionale Nel caso delle rotazioni la resistenza al moto egrave espressa dal momento di inerzia I associato al corpo rigido che gioca il ruolo della massa nei moti traslatori La legge della dinamica delle rotazioni egrave M = I middotα

E sostituendo M = Imiddott∆

∆ω= Imiddot

tinfin

∆minusωω

Il momento di inerzia I di un corpo rigido dipende dalla disposizione della massa del corpo rispetto allrsquoasse di rotazione per una massa puntiforme m a distanza R dallrsquoasse di rotazione I= m R2 per un oggetto esteso sommerograve il momento drsquoinerzia delle sue parti I = Σi mi Ri

2 Se si definisce momento angolare L il prodotto del momento drsquoinerzia per la velocitagrave angolare

L=Iω la legge della dinamica diventa

M = t

LL infin

∆minus

Il momento angolare egrave la grandezza fisica che si conserva se non viene applicato momento torcente Tutti i gesti di volo salti lanci tuffihellip sono azioni nelle quali si conserva il momento angolare Infatti in volo agisce solo la forza di gravitagrave che essendo applicata al CDM non genera momento torcente Il corpo umano nei gesti di volo Il corpo umano non egrave rigido e pertanto in volo agendo con i muscoli possiamo cambiare la disposizione del nostro corpo intorno al centro di massa che in volo coincide col centro di rotazione In questo modo si ottiene una variazione del momento di inerzia I e di conseguenza la velocitagrave angolare deve compensare questa variazione in modo che si mantenga costante il momento angolare L (grandezza che si conserva in assenza di momento torcente) Ersquo questo il principio che spiega il realizzarsi delle trottole sul ghiaccio dei salti mortali tuffi con avvitamento e cosigrave via in posizione raccolta I diminuisce e ω aumenta Moto circolare e moto circolare uniforme Per utilizzare le relazioni della cinematica e della dinamica lineare che abbiamo studiato egrave interessante poter passare dalle variabili angolari alle variabili lineari velocitagrave e accelerazione delle

masse in moto rotatorio Se una massa si muove su una traiettoria curva la velocitagrave tangenziale vt diretta come la tangente alla traiettoria dipende dalla velocitagrave angolare ω ( ωm=ϑ t )e dal raggio di curvatura della traiettoria Se la traiettoria egrave una circonferenza di raggio R e se gli angoli sono espressi in radianti lrsquoarco percorso per uno spostamento angolare ϑ egrave S = ϑ sdotR e la velocitagrave lineare tangente vt = St= ϑ sdotRt risulta vt = ωsdotR Se la velocitagrave angolare ω egrave costante il moto egrave detto circolare uniforme La legge oraria egrave quella dei moti uniformi spostamenti angolari uguali in tempi uguali ϑ(t) = ω t Anche la velocitagrave tangente saragrave di intensitagrave costante se ω egrave costante (archi uguali per tempi uguali s(t) = vt (t) ) ma crsquoegrave una accelerazione normale infatti la velocitagrave anche se non cambia in modulo cambia continuamente di direzione Questa accelerazione si dice centripeta egrave diretta normalmente rispetto alla traiettoria verso il centro della circonferenza e vale in modulo

ac=R

v2

Fig 52 Essendo la velocitagrave tangente vt = ωR Lrsquo accelerazione centripeta si puograve scrivere

ac =R

v2

= ω2 R

Il tempo impiegato dal punto a muoversi sulla circonferenza egrave una costante (moto uniforme) T periodo in T viene percorso uno spazio 2π R

v = T

Rπ2

La frequenza f egrave invece il ndeg di giri al secondo

f =T

1

Se si prendono punti diversi sul raggio della circonferenza questi hanno la stessa velocitagrave angolare e velocitagrave tangenziali crescenti al crescere del raggio Esempio carosello dei pattinatori Esercizi

1- un velocista con una velocitagrave di 10 ms viaggia su una curva di raggio 25m ndash accelerazione

a = R

v2

= 25

100 = 4 ms2

2 ndash un velocista con v = 92 ms su una pista circolare con ac = 38 m s2 ndash Raggio della pista Tempo per percorrere un giro completo

a = R

v2

rArr R = a

v2

= 83

)29( 2

= 2227m

T =v

Rπ2 =

29

27222 lowastπ = 152 sec

Forza centripeta forza centrifuga Una forza centripeta egrave una forza di qualunque natura che trattiene un corpo in moto su una traiettoria curvilinea ad esempio circolare In assenza di tale forza il corpo proseguirebbe il suo moto lungo una traiettoria rettilinea Nel gesto del lancio del martello ad esempio il lanciatore che esercita sul peso in cima allrsquoattrezzo una forza mediata dalla tensione dal cavo che lo trattiene nella traiettoria circolare Quando il lanciatore lascia la maniglia il martello viene lanciato lungo la direzione della tangente alla traiettoria nellrsquoistante di rilascio Lrsquointensitagrave della forza centripeta necessaria a mantenere una massa m in moto con velocitagrave tangente v lungo una traiettoria circolare di raggio r si puograve calcolare a partire dallrsquoaccellerazione centripeta secondo la legge fondamentale della dinamica

|rarr

cF | = m | rarr

ca | = m r

v2

Tale forza egrave diretta come lrsquoaccelerazione centripeta e cioegrave verso il centro della circonferenza che costituisce la traiettoria La forza centripeta egrave dunque una forza reale Con lsquoforza centrifugarsquo invece non ci si riferisce ad un forza che agisce su un corpo ma alla situazione apparente cui sembra sottoposto un corpo in moto curvilineo Esso pare tirato o attirato lontano dal centro di rotazione pare ci sia una lsquoforzarsquo che vuole farlo sfuggire Quando viene lasciato il martello si allontana dal centro di rotazione percheacute si muove di moto rettilineo uniforme non essendo piugrave soggetto a forze altre che la forza peso Lrsquoacqua esce dal cestello della lavatrice quando il cestello ruota velocemente (funzione centrifuga) percheacute lrsquoacqua che non costituisce un corpo solo con il cestello bucato non egrave soggetta alla forza centripeta e puograve passare attraverso i buchi I panni invece pure non parte del cestello sono troppo grandi per passare dai buchi si possono solo schiacciare contro le pareti questo schiacciamento sembra il risultato di una forza ma egrave invece il risultato dellrsquoassenza di una forza quella centripeta Una volta lagrave contro il cestello fanno tuttrsquouno con le pareti di metallo che esercitano su di essi la forza centripeta (cioegrave con direzione verso lrsquoasse di rotazione) che li mantiene in rotazione Le parti di un corpo rigido esteso che si muove di moto rotatorio rispetto ad un asse quale ad esempio la gamba di un giocatore di calcio che calcia un pallone sono soggette alla forza centripeta che le mantiene sulla traiettoria curva Tale forza viene trasmessa alle varie parti tramite le forze di tensione che si sviluppano allrsquointerno del corpo stesso ad esempio il piede egrave soggetto alla forza centrifuga tramite lrsquoazione dei legamenti e tendini a livello della caviglia che vengono messi in tensione per trattenere il piede stesso

Il vettore rarra ^

rarrb egrave diretto perpendicolarmente al piano che contiene

rarra e

rarrb e col verso dato

dalla regola della mano destra se rarra ruota verso

rarrb lungo lrsquoangolo minore

Fig 4

Il vettore prodotto rarra ^

rarrb esce dal foglio Questo tipo di prodotto si incontreragrave ad esempio nel

calcolo del momento di una forza quando una forza genera rotazioni anzicheacute traslazioni rarrM = R

r ^

rarrF

Esercizio disporre due vettori di intensitagrave 3 e 4 (spostamenti di 3m e 4m) in modo che la somma sia 7m 1m 5m a) consecutivi nella stessa direzione stesso verso Fig 5 b) consecutivi nella stessa direzione versi opposti Fig 6 c) Perpendicolari Pitagora | 32 + 42 | = | 52 | Fig 7

Moto del proiettile Descriviamo il moto di un punto materiale (rappresentativo di un corpo) che viene lanciato e dunque segue una traiettoria in due dimensioni lungo una delle quali (quella verticale) sperimenta unrsquoaccelerazione diretta verso il basso agravitagrave = -98 ms2 (caduta libera) e nellrsquoaltra orizzontale no (accelerazione orizzontale = 0)

La velocitagrave iniziale vettoriale rarr

iv e la successiva velocitagrave rarrv (t) sono considerate

opportunamente in un sistema di riferimento cartesiano in cui un asse egrave diretto verticalmente e il verso positivo egrave verso lrsquoalto Sia ϑ lrsquoalzo cioegrave lrsquoangolo di emissione Fig 8 Lrsquoesperienza insegna che il proiettile (oggetto lanciato) cade Se lanciato verso lrsquoalto sale fino ad

unrsquoaltezza massima e poi scende In ogni istante t del moto la velocitagrave rarrv (t) saragrave diretta come la

tangente alla traiettoria

Le componenti di rarrv (t) lungo gli assi di riferimento vx(t) e vy(t) dipendono da tempo t ma sono

fra loro indipendenti Si puograve dunque separare il moto in due dimensioni in due moti unidimensionali Verifica dellrsquoindipendenza dei due moti egrave nel fatto che filmati stroboscopici di due palline una lasciata cadere lrsquoaltra lanciata orizzontalmente mostrano che dopo tempi uguali le due palline si trovano alla stassa quota Fig 9 Il moto orizzontale non influenza il moto verticale

V ix V iy=0

Esercizi 1 Problema della scimmia Quando la scimmia si accorge che il cacciatore le spara si lascia cadere Fig10 Dove deve mirare il cacciatore per prenderla Lrsquoaccelerazione egrave in generale un vettore Nel moto su un piano lrsquoaccelerazione egrave definita da due

componenti rarra equiv (ax ay )

- moto orizzontale ndash lungo lrsquoasse orizzontale il corpo in moto non sperimenta alcuna accelerazione

ax = 0 dunque la componente orizzontale della velocitagrave egrave costante

se rarr

iv aveva componente orizzontale non nulla vi x = vi sdotcos ϑ questa si mantiene e saragrave

x(t) = vi x t + xi

x(t) ndash xi = ( vi cos ϑ )t spostamento orizzontale sx = ( vi cos ϑ )sdott -moto verticale ndash accelerazione costante agravitagrave dunque moto uniformemente accelerato se crsquoera

una componente iniziale v0y della velocitagrave rarrv allora

y(t) = 2

1(-g)t2 + viy sdott + yi

y(t)-yi = (vi sin ϑ )t-2

1gt2 spostamento verticale sy=(vi sin ϑ )sdott-

2

1gt2

Traiettoria del proiettile Abbiamo visto le leggi orarie in x e y ma la traiettoria egrave in due dimensioni disegnamola in un riferimento cartesiano vedendo per ogni posizione in x quanto vale y cioegrave ricavando y = y(x) Mettiamo a sistema supponiamo di partire da xi = 0 e yi = 0 per semplicitagrave

x = ( vi cosϑ )t rArr t =ϑcosiv

x

y =( vi sinϑ )t - 2

1 gt2

y = sinϑ middot ϑcos

x -

2

1g

2

2

)cos(

)(

ϑiv

x = x tgϑ -

2)cos(2 ϑiv

g x2

(tgϑ egrave costante percheacute egrave lrsquoalzo iniziale 2)cos(2 ϑiv

g egrave costante percheacute g egrave costante vi pure

ϑ pure) Questa egrave lrsquoequazione di una parabola del tipo y = ax2 + bx La traiettoria egrave dunque una parabola Ha importanza sapere la gittata orizzontale cioegrave a quale distanza D il proiettile toccheragrave il suolo (che misura farograve nel lancio)

D = x-xi = (vi cosϑ )t rArr t = ϑcosiv

D

Suolo rarr 0 = y ndash yi = (vi sinϑ )t - 2

1 gt2

0 = vi sinϑ ϑcosiv

D -

2

1g

2

2

)cos( ϑiv

D

dividendo per D

0 = ϑϑ

cos

sin-

2

1g

2)cos( ϑiv

D rArr D =

ϑϑ

cos

sin

g

vi ϑ22 cos2 = sinϑ cosϑ

g

vi22

darr sin2ϑ (trigonometria 2 sinϑ cosϑ = sin2ϑ )

D = g

vi2

sin2ϑ

Questa equazione mi dice che misura farograve a partire dalla velocitagrave iniziale che riesco ad imprimere allrsquoattrezzo e allrsquoalzo del tiro La funzione sin ha un andamento a max e min rArr si avragrave un max quando sin 2ϑ =1 rArr 2ϑ = 90deg ϑ = 45deg Lrsquoalzo iniziale di 45deg daragrave il risultato migliore (assenza di vento assenza di attrito problema semplificato) Attenzione sin 2ϑ egrave simmetrico intorno a 2ϑ = 90deg e dunque si avranno gittate uguali per angoli equidistanti da 2ϑ = 90deg rArr ϑ = 45deg (osservazione di Galileo) Fig 11 Esercizi 1 ndash Copione di un film cascatore deve saltare da un terrazzo sul terrazzo di un palazzo vicino distante 62m e piugrave basso di 48m la sua velocitagrave sul terrazzo puograve essere 45 msec Accetta la parte

Fig12

Per cadere di 48 m impiega un tempo tc tale che y(tc) ndash yi = -48m = -2

1 gt2c

tc = 89

)2()84( minuslowastminus = 099sec

Nel tempo di caduta tc = 099s quale distanza potragrave coprire con la velocitagrave iniziale ( e poi costante) vix =45 msec d = x-xi = vix t = 45 middot 099 = 45m d = 45m egrave meno dei 62m che separano i due palazzi Il cascatore faragrave bene a rifiutare la parte Quale velocitagrave iniziale min dovrebbe avere per avere delle chances

V ix = 990

26 = 62 msec

2 ndash Salto di Bob Beamon a cittagrave del Mexico nel 1968 salto in lungo di 890m Supponendo che la velocitagrave del decollo sia stata 95 ms come per un centometrista quanto vicino arrivograve alla gittata max (per assenza di resistenza aria)

Dmax = g

v20 per sin 2ϑ 0 = 1 (rArr ϑ 0 = 45deg)

= 789

)59( 2

= 9228m

∆ D = 9228 ndash 890 = 0328m

3 ndash Cestista

Fig15 Quale velocitagrave iniziale v0 deve avere la palla affinchegrave il cestista possa fare canestro se lrsquoalzo iniziale egrave di 55deg rispetto allrsquoorizzontale (le varie distanze sono indicate in Figura) Definisco sistema di assi cartesiano con origine nel centro della palla e assi paralleli agli assi originari In questo sistema di riferimento la posizione del canestro egrave xc = 42 ndash 03 = 39m yc = 3 ndash 21 = 09m Lrsquo equazione della traiettoria egrave

y = x tgϑ 0 - 200 )cos(2 ϑv

g x2

Introduco nellrsquoequazione i valori di yc xc tg 55deg = 1428 e ricavo il valore dellrsquounica incognita v0

09 = 39 x 1428 - 2

0 )5740(2

89

xv x (39)2

09 = 5569 - 2

0 )5740(

5374

xv

(09 ndash 5569) (v0 x 0574)2 = -7453

v0 = 6694

5374

5740

1 = 696msec

Forze e moto Quando un oggetto cambia il suo stato di moto (da fermo si muove o si ferma se si stava muovendo accelera o frena o curva) per esperienza sappiamo che egrave avvenuta unrsquointerazione dellrsquooggetto con un altro corpo dellrsquoambiente circostante al contatto o a distanza Il concetto di interazione prevede sempre la presenza di due corpi unrsquointerazione viene scambiata tra due corpi A questa interazione associamo il concetto di forza Questa associazione non egrave solo qualitativa ma viene quantificata tramite una legge che collega forze e cambiamenti dello stato di moto dei corpi rendendo la forza una grandezza derivata nel sistema SI Ciograve avviene introducendo una grandezza fisica fondamentale chiamata massa (m) che egrave caratteristica di ogni corpo materiale e che esprime lrsquoinerzia al moto propria del corpo quando viene sottoposto alla sollecitazione di una forza Diciamo che due corpi hanno masse diverse se assumono accelerazioni diverse quando sottoposte allrsquoazione della medesima forza Questa massa si dice anche inerziale Si misura in kilogrammi (kg) ed egrave una grandezza scalare positiva

La teoria del moto egrave riassunta dalle tre leggi formulate da Isaac Newton fondate sulle basi del genio di Galileo Galilei Prima legge del moto Ogni corpo rimane nel suo stato di quiete o mantiene il suo stato di moto a velocitagrave costante se nessuna forza agisce su di esso o se la risultante delle forze ad esso applicate egrave nulla Questa proprietagrave del moto egrave detta anche ldquoprincipio di inerziardquo o ldquoprimo principio della dinamicardquo Velocitagrave costante significa che il vettore velocitagrave egrave costante cioegrave non variano modulo direzione e verso Quindi lrsquounico moto possibile in assenza di forze applicate egrave quello rettilineo uniforme (Tale legge non puograve essere verificata se si prende in considerazione un sistema di riferimento che si muove di moto accelerato Per esempio se utilizzo un sistema di riferimento solidale con lrsquoabitacolo di unrsquoautomobile o di un aereo che stanno accelerando o frenando i corpi possono scivolare lrsquoacqua contenuta in un bicchiere vi si puograve rovesciare addosso come soggetta ad una forza In realtagrave ciograve avviene proprio perchegrave questi corpi tendono a mantenere il loro stato di moto e lsquodisubbidisconorsquo alla variazione di velocitagrave che ciograve che egrave solidale col sistema di riferimento sta subendo I sistemi di riferimento nei quali si verifica la prima legge della dinamica si chiamano sistemi di riferimento inerziali e sono da essa implicitamente definiti) Seconda legge del moto Questa legge formulata inizialmente da Galileo e poi riproposta da Newton egrave detta anche ldquolegge fondamentale della dinamicardquo

rarrF = m

rarra

La forza rarrF egrave un vettore dato dal prodotto del vettore accelerazione

rarra per uno scalare m ed egrave

diretto come rarra Questa legge come si vede egrave una legge vettoriale Se piugrave forze agiscono sul

corpo di massa m la legge vale per il ldquovettore risultanterdquo che egrave la somma vettoriale di tutte le forze che agiscono sul corpo Lrsquoaccelerazione egrave diretta come il vettore risultante delle forze

Si possono definire le componenti di rarrF lungo gli assi del sistema di riferimento e la legge del

moto vale componente per componente Fx = max Fy = may Fz = maz

Lrsquounitagrave di misura della forza egrave il newton (N) 1N = 1Kg m s2

E la relazione dimensionale egrave[ ]N = [ ]2minusmlt Se la forza (o la risultante delle forze) applicata al corpo egrave nulla egrave anche nulla lrsquoaccelerazione e visto che lrsquoaccelerazione egrave definita come la variazione della velocitagrave divisa per il tempo la variazione della velocitagrave saragrave anchrsquoessa nulla Ciograve significa che la velocitagrave si mantiene costante Quindi in assenza di forze applicate il corpo rimane fermo se inizialmente era fermo e continua a muoversi con velocitagrave costante se inizialmente si muoveva come giagrave affermato dalla prima legge Terza legge del moto Dal concetto di forza che esprime lrsquointerazione tra i corpi deriva anche quello che viene comunemente detto ldquoil principio di azione e reazionerdquo o ldquoterzo principio della dinamicardquo ad ogni azione corrisponde sempre una reazione uguale e contraria cioegrave se due corpi A e B interagiscono in

modo che il corpo A eserciti una forza rarrF sul corpo B allora il corpo B esercita sul corpo A una

forza rarr

F = - rarrF Si noti che le due forze NON sono applicate allo stesso corpo

rarrF agisce su

B e rarr

F agisce su A Lrsquoapplicazione di questo principio egrave molto importante quando si considerano le forze che si realizzano al contatto tra due corpi e in particolare per le forze applicate da muscoli tendini legamenti e ossa del corpo umano Forze particolari Forza gravitazionale Newton nel descrivere il moto dei corpi celesti ha stabilito la presenza di una forza di interazione a distanza tra due corpi che chiamiamo forza di gravitagrave e ha fornito lrsquoespressione che la governa

FG = -G 2

21

R

mm GG ( legge di attrazione universale)

dove mG 1 e mG 2 sono le masse gravitazionali dei due corpi R egrave la distanza tra le due masse (considerate puntiformi) e G egrave una costante numerica che vale 667 x 10-11 Nm2kg2 1 Nm2kg2 egrave anche 1m3kg s2 Il segno meno sta a indicare che la forza egrave attrattiva La forza gravitazionale viene rappresentata con un vettore il cui modulo egrave dato dalla legge di Newton e che ha la direzione della congiungente i centri di massa delle due masse La forza di attrazione lsquosentitarsquo dalla massa mG 2 dovuta a mG 1 ha il verso che punta su mG 1 e contemporaneamente la forza di attrazione misurata dalla massa mG 1 dovuta a mG 2 ha il verso che punta su mG 2m (le due forze sono lrsquoazione e la reazione della terza legge della dinamica Perchegrave nellrsquoesperienza comune non si osserva che una matita attiri unrsquoaltra matita su un tavolo La forza attrattiva gravitazionale esiste fra di loro ma egrave molto piccola (la costante G egrave molto piccola) ed egrave contrastata completamente dalle forze di attrito (che discuteremo fra breve) La Terra su cui viviamo ha invece una massa molto grande M = 597 x 1024 kg e quindi puograve esercitare una forza piugrave che apprezzabile su altre masse anche se piccole come quella della matita (la matita cade dal tavolo) Chiamiamo forza peso la forza di gravitagrave FG esercitata dalla Terra su ogni corpo ad essa vicino e che origina dallrsquointerazione gravitazionale per la quale tutti i corpi si attirano fra di loro La forza peso viene spesso indicata con P che agisce su un corpo di massa mG vale

P = -G 2T

GGTerra

R

mM equiv - g mG con g equiv G

2T

GTerra

R

M

Dove MG Terra egrave la massa della Terra ed RT egrave il raggio della Terra (RT = 6370km) Il valore di g risulta

g = 667 x 10-11 2

3

kgs

m223

24

)106379(

10975

mx

kgx = 98 ms2 e ha le dimensioni di unrsquo accelerazione

La forza di attrazione gravitazionale alla quale una massa mG egrave soggetta vicino alla superficie di un altro pianeta egrave diversa Infatti la massa e il raggio degli altri pianeti sono diversi da quelli della Terra e quindi g assume un altro valore Si puograve dire che il peso di un corpo cambia sui diversi pianeti o sulla Luna mentre la massa gravitazionale egrave la grandezza fisica fondamentale propria di ogni corpo

Ersquo molto importante ora applicare la seconda legge della dinamica o legge fondamentale della dinamica F = m a ad un corpo soggetto alla sola forza peso sulla superficie della Terra cioegrave quando F egrave la forza peso P ora definita F = m a P = m a -g mG = m a Abbiamo voluto lasciare indicato il pedice G percheacute in principio non crsquoegrave ragione percheacute la grandezza con le dimensioni di una massa che compare nella legge di gravitazione sia uguale alla massa implicitamente definita dalla relazione di proporzionalitagrave tra la F applicata e lrsquoaccelerazione subita da un corpo data dalla seconda legge della dinamica Si egrave tuttavia dimostrato sperimentalmente che la massa gravitazionale mG (introdotta nella legge di attrazione universale e la massa m che si dice massa inerziale ed egrave definita tramite la seconda legge della dinamica sono uguali hanno lo stesso valore Questo permette di semplificare le due masse nellrsquoequazione e di ottenere -g = a che significa che lrsquoaccelerazione di una corpo soggetto alla forza peso sulla superficie della terra vale a = ndashg equiv -98 ms2 NB lrsquoaccelerazione vale 98 ms2 per tutti i corpi di qualsiasi massa Infatti sui corpi con massa maggiore vengono esercitate forze maggiori in modo proporzionale alla loro massa (corpi con massa maggiore lsquopesano di piugraversquo) cosigrave da produrre sempre la stessa accelerazione Si egrave soliti assumere che g sia costante e che non dipenda dalla quota h alla quale ci si trovi al di sopra della superficie terrestre Questa egrave unrsquoapprossimazione molto buona nei limiti in cui hltlt RT Infatti g diminuisce con la quota per esempio se h = 8000m (circa sul monte Everest) lrsquoaccelerazione di gravitagrave g si riduce a

2

2

)6378000(

)6370000( x g = 099749 x g = 97754 m s2 (meno del 25 per mille)

Forze di superficie Forze di contatto Alla superficie di contatto tra due corpi si realizzano le forze che chiamiamo appunto di superficie e che si dividono in forze di contatto e forze di attrito Le forze di contatto

La forza normalerarr

NF egrave la forza che un corpo sperimenta quando egrave appoggiato su di una superficie

Si chiama normale percheacute egrave sempre diretta perpendicolarmente alla superficie Se la superficie egrave orizzontale Fig16

Fc

FN

Piano orizzontale Calcolare lrsquointensitagrave della forza normale applicata ad un oggetto di massa m fermo su un tavolo orizzontale Per il primo principio della dinamica (principio di inerzia) se un corpo e fermo la risultante delle forze ad esso applicate egrave nulla cioegrave

rarrP +

rarr

NF = 0

In questo caso la forza normale rarr

NF egrave un vettore che ha lo stesso modulo e la stessa direzione del

vettore forza pesorarrP ma ha verso opposto Quindi il modulo di

rarr

NF vale |rarr

NF | = mg

Piano inclinato

Nel caso di un piano inclinato dovrograve tenere conto che rarr

NF puograve compensare solo la parte di rarrP

diretta normalmente al piano (infatti se non crsquoegrave attrito il corpo scivola lungo il piano inclinato) Se ϑ egrave lrsquoangolo che il piano inclinato forma con lrsquoorizzontale il piano inclinato fornisce al corpo una

forza normale che in modulo vale | rarr

NF | = m g cosϑ

Fig 17 4 ndash Salto con molleggio Un uomo con massa m = 70kg salta da unrsquoaltezza L = 2m Arrivando al suolo molleggia sulle ginocchia per un tratto l = 02 m Si calcoli la forza di reazione che il suolo esercita sui piedi durante il molleggio Si consideri il molleggio come una frenata che avviene con accelerazione (negativa) costante Fig 18

F

FN

Cadendo da unrsquoaltezza L allrsquoistante in cui il piede tocca il suolo la velocitagrave Vs egrave data dalla risoluzione del sistema di equazioni cinematiche per il moto uniformemente accelerato con t0 il tempo di caduta Vs = gt0 L = frac12 gt0

2 Vs = (2gL) frac12 La forza di reazione che esercita il suolo sul piede durante il molleggio egrave quella che imprime lrsquoaccelerazione (negativa) a di frenata (piugrave il peso del corpo mg)Il corpo si ferma in un tratto l Questa frenata si tratta con le equazioni del moto uniformemente accelerato 0 = Vs ndash at l = Vs t ndash frac12 at2 (essendo t il tempo di frenata) dalla prima equazione t = Vs a che introdotto nella seconda equazione permette di calcolare a a = frac12 Vs

2l e con Vs = (2gL) frac12 si ottiene a = g (Ll) e quindi la forza di reazione Fr = mg + ma egrave data da Fr = mg (Ll + 1) = 70 x 98 x (202 + 1) N = 7546Newton Si noti che al peso si aggiunge una forza che egrave il peso moltiplicato per un fattore (ldquofattore di cadutardquo) dato dal rapporto tra lrsquoampiezza del salto e il tratto di molleggio Questa forza si trasmette dal piede allrsquoarticolazione delle ginocchia e cosigrave via Tensione

Quando una corda egrave attaccata ad un corpo e viene tirata si dice che la corda egrave sotto tensione

La tensione rarrT cui egrave sottoposta la corde in ogni sua parte egrave una forza pari alla forza che si applica

sia al corpo sia alla mano che lo tira ai due estremi della corda ed egrave sempre diretta lungo la corda Fig 19 Anche con una carrucola cioegrave con la corda che si curva intorno ad una rotella la tensione ha intensitagrave T lungo la corda Una corda egrave utile in questo caso per cambiare la direzione e il verso di applicazione di una forza la mano tira verso il basso ma la massa egrave sottoposta ad una forza verso lrsquoalto

Fig20 I tendini del corpo umano sono corde e vengono utilizzati anche per variare la direzione di applicazione delle forze esercitate dai muscoli Forza di attrito

Lrsquoattrito fa parte dellrsquoesperienza quotidiana nel bene e nel male Da una parte fa consumare piugrave benzina (20 per motore e trasmissione) ma anche la suola delle scarpe il battistrada delle gomme e i gomiti del maglione dallrsquoaltra consente il movimento i nodi tengono i chiodi fissano etc Un libro che scivola su un tavolo orizzontale si fermerebbe se non mantenessi una forza costante che contrasta lrsquoattrito su una superficie ruvida il movimento genera lui stesso una forza che decelera il moto Per mantenere in moto rettilineo uniforme un corpo che scivola sopra un piano bisogna applicare al corpo una forza che serva a neutralizzare questa forza ldquospontaneardquo(detta di attrito) in modo che la risultante delle forze applicate sia nulla Anche lrsquoinizio del moto egrave contrastato dalla forza di attrito (statico) che assume un valore uguale e contrario a quello della forza che applico fino a raggiungere un valore massimo (valore limite) Il corpo non si muove resiste al moto Oltre quel valore limite cioegrave se applico una forza sufficientemente intensa il corpo inizia a muoversi Situazione

Fig 21 Un blocco appoggiato sul piano orizzontale egrave fermo rarrP

verso il basso e rarr

NF verso lrsquoalto sono uguali in modulo

Se applico una forza rarrF per spostare il corpo verso destra insorge una forza di attrito statico

P

FN

il cui modulo vale |rarr

sattF _ | = smicro |

rarr

NF | ( smicro egrave il coefficiente di attrito statico il suo valore dipende

dalla natura dei materiali a contatto) esercitata orizzontalmente dal piano che uguaglia in

intensitagraverarrF ma di verso opposto in modo che il corpo non si muove Se aumento

rarrF aumenta

anche rarr

sattF _

Fig22 Diagramma delle forze applicate al blocco

Raggiunto un certo valore di rarrF il corpo ha uno ldquostrappordquo e comincia a muoversi nella direzione

di rarrF verso destra ostacolato dalla una forza di attrito dinamico

rarr

dattF _ generalmente inferiore al

valore max di rarr

sattF _ (egrave piugrave facile mantenere un corpo in moto che muoverlo da fermo)

(Il passaggio da un regime allrsquoaltro egrave allrsquoorigine degli stridii da attrito ndash quello ad esempio del gesso sulla lavagna - o anche del suono del violino) - Proprietagrave dellrsquoattrito riassunte

1 ndash Corpo fermo la forza di attrito statica rarr

sattF _e la componente di

rarrF parallela alla superficie

hanno uguale intensitagrave e si annullano 2 ndash limite di scivolamento la massima forza di attrito per due materiali posti a contatto egrave proporzionale alla forza normale tramite un coefficiente di attrito statico smicro

| rarr

sattF _(max)| = smicro |

rarr

NF |

smicro egrave un coefficiente adimensionale che assume valori diversi per diverse coppie di materiali

3 ndash il corpo inizia a muoversi il valore della forza di attrito decresce rapidamente fino a

|rarr

kattF _ | = kmicro |rarr

NF | proporzionale alla forza normale tramite un coefficiente di attrito dinamico kmicro

adimensionale e dipendente dalla coppia di materiali in considerazione

P

FN

F Fatt

Attenzione |rarr

sattF _| e

rarr

kattF _ | sono proporzionali non a |

rarrP | ma a |

rarr

NF | quindi nel caso di un

piano inclinato bisogna considerare la componente di rarrP perpendicolare al piano

rarr

NF equilibra

solo la parte di rarrP perpendicolare al piano

Attenzione le equazioni per |rarr

sattF _| e |

rarr

kattF _| non sono vettoriali le forze di attrito non sono

dirette come la forza normale rarr

NF ma parallele al piano

Durante una corsa allo scatto si usano i blocchi di partenza per sfruttare la reazione del blocco alla forza muscolare di spinta Data lrsquoinclinazione dei blocchi la forza di reazione del blocco sul atleta si massimizza nella direzione del moto

rArr si fa uso della ldquoazione-reazionerdquo Fig 23 Durante la corsa si sfrutta il coefficiente di attrito statico per mantenere un piede fermo a terra mentre lrsquoaltro avanza Per non superare il limite di scivolamento allrsquoindietro del piede di appoggio la forza che si esercita sul terreno deve avere una componente normale al terreno di intensitagrave opportunamente elevata In ogni caso se smicro egrave basso si ha lrsquoeffetto del camminare sul ghiaccio

Lrsquouso di scarpette chiodate non aumenta il valore di smicro che egrave il coefficiente drsquoattrito tra due

superfici ldquoliscerdquo piuttosto hanno una funzione simile a quella di mini blocchi di partenza permettono di esercitare una forza sul tartan lungo la direzione del moto cioegrave parallelamente alla pista Resistenza del mezzo Consideriamo un corpo che si muove in aria Esso incontra una resistenza da parte dellrsquoaria che agisce in modo da opporsi al movimento del corpo cioegrave ha la stessa direzione e verso opposto a quella del moto

rarrD forza di resistenza del mezzo o forza aerodinamica (detta anche forza viscosa) si

|rarrD | =

2

1 cρAv2 (limite di alte velocitagrave eo alte viscositagrave)

D egrave proporzionale al quadrato della velocitagrave (termine v2 ) Inoltre D egrave proporzionale ad A lrsquoarea efficace della sezione trasversa (lrsquoarea presentata dal corpo nella direzione del moto vedi la posizione a uovo dei discesisti di sci o dei ciclisti) ρ egrave la densitagrave del mezzo Ersquo intuitivo che la resistenza D dipenda dalla densitagrave del mezzo infatti il corpo per procedere deve ldquofarsi stradardquo spostando le molecole del mezzo Quindi piugrave il mezzo egrave rarefatto piugrave egrave facile ldquofarsi stradardquo e inferiore egrave la resistenza D Con c si indica il coefficiente di penetrazione (il cosiddetto cx che dipende dalla forma geometrica del corpo) La forma (oltre che

lrsquoarea efficace A) influenza la resistenza opposta dal mezzo percheacute una ottimizzazione della forma (affusolata migliorare il Cx) porta a ridurre la formazione di turbolenze nellrsquoaria intorno al corpo Casco dei ciclisti o discesisti con forma a punta posteriore

non riduce la sezione trasversa A ma piuttosto migliora il Cx

Fig 24 Nel nuoto lo sbattere i piedi serve soprattutto per mantenere il corpo orizzontale e quindi a ridurre la sezione A Il lavoro viene fatto per lo piugrave dalle braccia (75) In acqua anche se la velocitagrave v egrave bassa D egrave significativa percheacute la viscositagrave del mezzo egrave grande Per ridurre le turbolenze negli sport di velocitagrave diventa essenziale utilizzare accorgimenti quali nascondere dadi e cavi nelle biciclette togliere cerchietti delle racchette da sci Tagliare i capelli o rasarsi le gambe sono sempre modi di ridurre anche le piccole turbolenze Velocitagrave limite di caduta di un grave in aria

La forza rarrD di frenamento durante la caduta libera li un corpo in aria ha verso opposto a quello

della forza pesorarrP che accelera il corpo verso il basso Se

rarrP egrave costante il corpo accelera con

accelerazione rarrg ie aumenta la velocitagrave verso il basso ma aumentando v dunque v2 aumenta

D Ciograve prosegue fincheacute D diventa di intensitagrave uguale P con verso opposto rarrD = -

rarrP A questo

punto la risultante delle forze agenti sul corpo in caduta egrave nulla (sumrarrF =

rarrD + (-

rarrP ) e dalla

seconda legge (fondamentale) della dinamica si ha che lrsquoaccelerazione rarra del corpo egrave nulla

rArr Il corpo non accelera piugrave e mantiene velocitagrave costante massima La velocitagrave raggiunta detta velocitagrave limite vlim egrave tale da verificare lrsquouguaglianza

D = 2

1cρAv lim

2 = mg = P quindi rArr vlim = (2mg cρA) frac12

La vlim raggiunta dai paracadutisti puograve essere variata modificando A tramite dei cambiamenti dellrsquoassetto in volo Questo permette ai paracadutisti di raggiungersi per fare figure in aria Lrsquoapertura del paracadute fa aumentare di molto A rendendo la velocitagrave limite molto piugrave bassa Anche le gocce di pioggia raggiungono la velocitagrave limite (v asymp 7msec in 6m) nella loro caduta Ad esempio cadendo da 1200m le gocce di pioggia raggiungono la terra con la velocitagrave limite di circa 7msec e non con la velocitagrave di 150msec che avrebbero se non ci fosse lrsquoazione di frenamento D (dei veri proiettili)

Senza D rarr vfin = 150ms

Con D rarr vfin = vlim = 7ms Fig 25 Forza elastica La forza elastica egrave una forza non costante

L lunghezza di riposo della molla Fig 26 Una massa m egrave vincolata ad una parete con una molla Se tiro la massa la molla si estende diciamo di un tratto x La molla esercita una forza di richiamo proporzionale allrsquoallungamento x (piugrave si allunga maggiore egrave la forza F di richiamo) F = -kx ldquorichiamordquo cioegrave di verso opposto allrsquoallungamento Ecco la ragione del segno (-) Se raggiunta una certa estensione la molla viene rilasciata essa si ricomprimeragrave ritorneragrave alla lunghezza di riposo L poi si schiacceragrave di un tratto x dalla parte opposta e nuovamente agiragrave la forza di richiamo (che egrave variabile in quanto varia con il variare di x) La massa oscilla attorno alla posizione di riposo k egrave la costante elastica della molla Lrsquoespressione della forza elastica vale per i respingenti del treno (k grande) come per la molla della biro (k piccola) come per lrsquoelastico del saltatore dal ponte Impulso di una forza La legge fondamentale della dinamica F = ma puograve essere scritta esprimendo lrsquoaccelerazione con la sua relazione definitoria (vf - vi)t

F = mt

vv if minus e quindi portando il tempo t al primo membro

)( if vvmtF minussdot=sdot oppure vmtF ∆sdot=sdot

Si dice ldquoimpulso ldquo di una forza il prodotto della forza per il tempo durante il quale viene applicata tF sdot (se la forza non egrave costante lrsquoimpulso egrave lrsquointegrale della forza nel tempo in cui viene applicata)

Scritta in questo modo lrsquoequazione fondamentale della dinamica puograve essere letta cosigrave 1) Supponiamo che un corpo vari la sua velocitagrave di una quantitagrave ∆v = vf - vi tanto piugrave lungo egrave il tempo t durante il quale questa variazione avviene tanto minore egrave la forza che deve essere sviluppata per ottenere tale variazione della velocitagrave In questi termini si capisce ad esempio lrsquoutilitagrave delle cinture di sicurezza che allungando i tempi durante i quali in caso drsquoincidente la velocitagrave del passeggero (che non egrave solidale con la vettura) passa da un valore vi iniziale a zero determina una riduzione della la forza cui il passeggero stesso egrave sottoposto durante il breve tempo dellrsquoimpatto (la forza che le ossa e le articolazioni possono sopportare egrave limitata) Si vede anche come funziona lrsquoelastico del jumper finchegrave lrsquoelastico non egrave completamente svolto (ltL) la forza che agisce sul jumper egrave P (la forza peso) poi progressivamente la forza elastica di richiamo contrasta P quindi il jumper decelera progressivamente per un lungo intervallo di tempo e lo lsquostrapporsquo (F applicata) necessario per contrastare P e fermare il jumper applicato sulle sue gambe e a cascata su tutte le sue articolazioni (secondo il terzo principio) egrave di entitagrave minore 2)Lrsquoimpulso totale prodotto tF sdot nella direzione ottimale egrave la grandezza fisica che stabilisce lrsquoefficacia di un gesto di spinta o di lancio non la massima forza espressa o la durata dellrsquoazione di spinta Lavoro di una forza ndash lavoro meccanico

- 1deg caso Forza costante rarrF

Immaginiamo una forza rarrF che agisce su un corpo durante il suo spostamento Immaginiamo cosi

che il punto di applicazione di questa forza si sposti nello spazio di un tratto rarrs Viene detto

lavoro della forza rarrF la quantitagrave

L = rarrF middot

rarrs = F middot smiddot cosϑ (prodotto scalare di

rarrF per

rarrs )

(prodotto scalare tra i due vettori) Fig 27 Il lavoro egrave una quantitagrave scalare cioegrave egrave descritta completamente da un numero da un valore Tale

valore puograve essere positivo o negativo a seconda che la componente di rarrF lungo

rarrs sia equiversa o

di verso opposto a rarrs Se

rarrF e

rarrs hanno la stessa direzione e se lo spostamento avviene nel

senso di rarrF diciamo che il lavoro egrave positivo (e viceversa negativo) Lrsquointensitagrave del lavoro puograve

variare tra un valore massimo e uno minimo per gli stessi valori del modulo di rarrs e di

rarrF a

rarrs

seconda del valore di cosϑ Il lavoro egrave massimo per cosϑ = 1 (cioegrave per ϑ = 0) (rarrF diretto come

rarrs ) Il lavoro egrave minimo ( L = 0) per cosϑ = 0 cioegrave per ϑ = 90deg (

rarrF perpendicolare a

rarrs )

Puograve darsi il caso che piugrave forze agiscono sullo stesso punto Allora si puograve calcolare il lavoro totale egrave la somma dei lavori di tutte le forze applicate

Ltot = sum Li = sum (rarr

sdotiFrarrs )

Dimensioni di L [ L ]= [ F ][ s ] = mmiddot l middot t-2 middot l = ml2 t-2 Unitagrave di misura di L 1 joule = 1N middot 1m ( 1J ) Lavoro della forza peso durante la caduta di un grave Un grave cade vicino alla superficie della terra sotto lrsquoazione della forza di gravitagrave cioegrave sottoposto ala forza peso P diretta verso il basso percorrendo un dislivello h Il lavoro compiuto dalla forza peso si calcola come

LP = rarrP middot

rarrs = Pmiddot smiddot cosϑ

notando che lo spostamento s (verso il basso) e la forza P sono paralleli con verso concorde pertanto ϑ = 0 e cosϑ = 1 e che | P| = mmiddot g si ottiene LP = mmiddot gmiddot h per uno spostamento s = h (dislivello) Lavoro meccanico nel sollevamento pesi Durante questo gesto sul bilanciere oggetto dellrsquoapplicazione delle forze si esercitano la forza peso P e la forza muscolare dellrsquoatleta Naturalmente entrambe le forze lavorano ma i due lavori si oppongono uno allrsquoaltro (ricorda che il lavoro puograve essere positivo o negativo) Il lavoro positivo deve essere nel verso del moto quindi egrave quello della forza muscolare dellrsquoatleta il lavoro di P invece egrave negativo e se il bilanciere si alza di una quota h si calcola facilmente seguendo il procedimento del paragrafo precedente ottenendo LP = - mmiddotgmiddoth (ϑ = π e cosϑ = -1 ) Calcoliamo il lavoro della forza musculare seguendo lrsquoesempio qui proposto Esempio Un atleta solleva un bilanciere di peso 2500N allrsquoaltezza di 2m (sopra la sua testa) Quanto lavoro meccanico compie la sua forza muscolare Supponiamo che il sollevamento avvenga a velocitagrave costante con accelerazione nulla allora il per il

primo principio della dinamica le forze applicate al bilanciere devono essere tali chesumrarr

iF = 0

Quindi la forza peso P = mmiddot g deve essere controbilanciata dalla forza applicata dallrsquoatleta Fm

Quindi rarr

mF = - rarrP

con Fm = 2500N Il lavoro La fatto dallrsquoatleta vale

Lm = rarr

mF middot rarrs = 2500 N middot 2m middot 1 = 5000 J (sollevamento verticale quindi ϑ = 0 e cosϑ = 1)

Quanto lavoro fa la forza peso

Lp = rarrP middot

rarrs = 2500 middot 2 middot (-1) = -5000 J

(percheacute ϑ = π e cosϑ = -1) Quanto lavoro fa lrsquoatleta mentre sostiene il peso fermo sopra la testa L = 0 percheacute non crsquoegrave spostamento Qui si parla di lavoro meccanico non di lavoro fisiologico diciamo che si fa fatica percheacute crsquoegrave da mantenere integrordquo un corpo non rigido che egrave il corpo dellrsquoatleta quindi si il lavoro delle contrazioni muscolari per mantenere lrsquoequilibrio e ldquolrsquointegritagraverdquo egrave la misura del lavoro fisiologico necessario anche se il lavoro meccanico compiuto egrave nullo 2deg caso Forza variabile Nel caso in cui F egrave una forza variabile che dipende dalla posizione ogni volta che avviene uno spostamento∆ x la forza cambia Il lavoro totale saragrave la somma dei lavori elementari fatti sui tratti piccoli sui quali la forza puograve essere assunta costante

Ltot = iii xxF ∆sdotsum )(

( Se si fa il limite per ∆ xi piccolo rarr 0 e la isum egrave lrsquointegrale Ltot = int sdotxtin

xinxdxF )( )

Ad esempio la forza F puograve essere la forza di richiamo di una molla vincolata al muro Lrsquointensitagrave della forza elastica varia durante lo spostamento aumentando con lrsquoallungamento (o la compressione) della molla ed ha la direzione parallela allo spostamento ma puograve avere verso concorde o discorde quindi con cosϑ che vale o +1 o ndash1 Immaginiamo di avere un blocco attaccato alla molla e di tirarlo da Xin a Xfin allora

F(x) = - kx Fig 28

Il lavoro della forza elastica si calcola sommando i lavori infinitesimali compiuti per spostamenti infinitesimi durante i quali la forza si assume costante Ciograve egrave rappresentato graficamente nel calcolo lrsquoarea compresa al di sotto della curva del grafico di F (Fig 28A) In figura si egrave cambiato il segno della funzione forza per comoditagrave di rappresentazione

Fig 28A

Area = differenza aree dei due triangoli = AABB kxxkxx sdotminussdot2

1

2

1

Ricordandoci del segno

L infin = 22

2

1

2

1infin kxkx +minus e in generale L = 2

2

1kx

Se si calcola il lavoro della forza di richiamo durante un allungamento della molla si ha lavoro negativo mentre durante il ritorno alla posizione di equilibrio il lavoro egrave positivo (segno dello spostamento x e della forza concordi) Energia cinetica Il termine ldquoenergiardquo indica la capacitagrave di compiere lavoro Lrsquoenergia cinetica egrave la proprietagrave che rende conto quantitativamente del legame fra il lavoro compiuto ed il moto generato Avevamo detto piugrave o meno lo stesso parlando della seconda legge della dinamica riferendoci alle forze Qui col lavoro non egrave necessaria la descrizione dettagliata delle forze che agiscono sul punto in considerazione Ersquo sufficiente conoscere il loro lavoro totale

Lrsquoenergia cinetica K = 2

1mv2 (gt 0 percheacute m gt 0 v2 gt 0 ) (m e v sono la massa e la velocitagrave del

corpo) Lrsquounitagrave di misura e le dimensioni di K sono le stesse del lavoro Joule ( J ) e [ ]K = [ ]22 minustml

Teorema dellrsquoenergia cinetica Se una forza F compie un lavoro L su un punto materiale di massa m si ha una variazione dellrsquoenergia cinetica pari al lavoro compiuto

Xfin Xin

F

0

ksdotxfin

ksdotxin

F= ksdotx

x

LAB= -area

L = Kfin ndash Kin = ∆ K Nel caso che piugrave forze agiscono sul punto materiale il teorema dellrsquoenergia cinetica si applica al lavoro totale (equivalentemente al lavoro della risultante ) E il caso dellrsquoatleta che solleva il peso di 2500N Sappiamo che ha compiuto un lavoro di 5000J ma il bilanciare con i pesi era fermo allrsquoinizio ed egrave fermo alla fine Quindi Kin = 0 e Kfin = 0 percheacute vin = 0 e vfin = 0 Allora il teorema dellrsquoenergia cinetica Vale per il lavoro totale o lavoro della forza totale e noi abbiamo visto che la forza netta totale = 0 ( Fa + P = 0 ) ed il lavoro totale egrave nullo quindi giustamente si ha ∆ K = 0 1)Caso di una palla da tennis che cade

la forza peso rarrP compie un lavoro positivo con spostamento concorde a

rarrP si dovrebbe avere

∆ K gt 0 infatti la velocitagrave v aumenta 2)Caso di una palla lanciata verso lrsquoalto

lo spostamento ha verso opposto a rarrP Il lavoro della forza peso egrave negativo e quindi ∆ K egrave

negativo giusto La velocitagrave diminuisce NB Durante il volo agisce solo la forza di gravitagrave quindi il lavoro totale comiuto sul corpo egrave solo quello della gravitagrave 3)Caso del moto circolare uniforme la forza che agisce egrave la forza centripeta che egrave perpendicolare allo spostamento Quindi non compie lavoro deve essere ∆ K = 0 Iinfatti il moto egrave uniforme cioegrave la velocitagrave egrave in modulo costante Potenza Si chiama potenza il lavoro che si egrave in grado di svolgere nellrsquounitagrave di tempo

P = t

L

∆ ( potenza media )

P = t

Lt ∆

∆rarr∆ 0lim ( potenza istantanea)

Non egrave solo una stima del lavoro compiuto ma anche della rapiditagrave con cui si compie lavoro

Fig 29 Per superare il muro ci vuole un certo lavoro che consiste nellrsquoinnalzare il proprio corpo di unrsquoaltezza h Sia lrsquoatleta che lo supera in un sol balzo sia il vecchietto che sale pian piano la scalinata faranno lo stesso lavoro Quel che egrave diverso egrave la potenza dei due personaggi Dimensioni e unitagrave di misura della potenza [ ]P = [L] [t -1] = [ml2t-3] 1 watt = 1 joule 1sec (1w)

Energia Potenziale K egrave energia connessa allo stato di moto di un sistema Crsquoegrave anche energia connessa alla posizione di un corpo in un campo di forze (configurazione) Si chiama energia potenziale Nel caso dellrsquoatleta di sollevamento pesi il lavoro compiuto dallrsquoatleta Lm non ha alterato lrsquoenergia cinetica K dellrsquoattrezzo ma ha modificato la configurazione del sistema (terra-attrezzo) variandone lrsquoenergia potenziale (W) Il lavoro non egrave stato sprecato ma ldquoimmagazzinatordquo lrsquoattrezzo prima egrave a terra poi egrave in alto nel sistema che ora ldquopotenzialmenterdquo puograve compiere un lavoro cedendo la sua ldquoenergia potenzialerdquo Energia cinetica ed energia potenziale sono due parti dellrsquoenergia meccanica possono trasformarsi lrsquouna nellrsquoaltra ed in lavoro Nellrsquoesempio precedente quando lrsquoattrezzo egrave in alto si ha che K = 0 e W = WA Quando cade K aumenta percheacute la velocitagrave v aumenta e lrsquoenergia potenziale W diminuisce In basso W = WB lt WA e K egrave massima Lrsquoattrezzo cadendo puograve compiere lavoro Se fosse un martello potrebbe far avanzare un chiodo ad esempio Lrsquoenergia potenziale viene definita proprio a partire dal concetto di lavoro di forze conservative Ersquo conservativa una forza il cui lavoro per spostare il suo punto di applicazione da una posizione (configurazione) ad unrsquoaltra dipende solo dalle due posizioni (configurazioni) iniziale e finale Equivalentemente si puograve definire la forza conservativa dicendo che il lavoro di tale forza egrave nullo se le posizioni (configurazioni) iniziali e finali coincidono

-Lavoro per passaggio dalla posizione A a B egrave lo stesso lungo I o II -Se da A vado a B e torno in A il lavoro totale egrave nullo

Fig 30 Posso allora definire una funzione della posizione W che assume i valori WA e WB in A e B e tale per cui LAB = WA ndash WB ( W energia potenziale) WA WB sono definiti a meno di una costante tanto quello che interessa egrave la differenza fra loro Variazione di energia potenziale del passaggio da A a B WB ndash WA = ∆W allora LAB = -∆ W Con questa convenzione sui segni si rende conto del fatto che un lavoro positivo ( fatto dalle forze conservative sul corpo) fa diminuire lrsquoenergia potenziale W ( L positivorarr ∆W negativo rarr WBlt WA rarr ho usato energia potenziale) un lavoro negativo (subito) aumenta W (L negativo rarr ∆W positivo rarr WBgt WA rarr ho guadagnato energia potenziale) W si misura in Joule come il lavoro e lrsquoenergia cinetica

Qual egrave la Forma di W

Mentre la forma dellrsquoenergia cinetica egrave sempre K =2

1mv2 indipendentemente dal tipo di forze

che provocano il movimento W dipende dal tipo di forza conservativa di cui si sta calcolando il lavoro Consideriamo due forze conservative

a) Forza gravitazionale forza peso

F(y) = -mg Stato di riferimento y0 = 0 in cui W0 = 0

Fig31

Abbiamo detto che LAB = WA- WB ma siccome

LAB = )( ABhmgsP minussdotminus=sdot dove hAB= yA-yB egrave la distanza tra A e B allora rArr WA = mgyA WB = mgyB e in generale W(y) =mgy

Per la forza peso W(y) =mgy e lrsquoenergia totale meccanica (W+K) = mgy+2

1mv2=Etot

b) Forza elastica

Fig 32

F(x) = -kx Stato di riferimento x = 0 allungamento nullo la lunghezza della molla egrave la sua lunghezza di riposo L ( W(0) = 0)

Immaginiamo che la configurazione della molla venga modificata passando dalla posizione xA alla posizione xB (Fig 32) Il lavoro della forza elastica egrave calcolato come

LAB = 22

2

1

2

1AB kxkx +minus

Ricordando che LAB = WA- WB possiamo ricavare lrsquoespressione per lrsquoenergia potenziale elastica

rArr WA = 2

2

1Akx WB = 2

2

1Bkx e in generale W(x) = 2

2

1kx

Energia totale meccanica ndash Conservazione dellrsquoenergia

In presenza di sole forze conservative la somma dellrsquoenergia cinetica e dellrsquoenergia potenziale costituisce lrsquoenergia totale meccanica Tale energia meccanica gode della proprietagrave importantissima di conservarsi durante lrsquoevoluzione del sistema Lrsquoenergia connessa al movimento e alla posizione si scambiano una diminuisce e lrsquoaltra cresce ad esempio ma la loro somma rimane costante

- Esempio delle montagne russe Se non ci sono attriti (infatti il trucco egrave quello di rendere il

sistema privo di attriti) so giagrave quale altezza massima potrograve raggiungere (quella iniziale e non di piugrave) quale velocitagrave massima potrograve raggiungere (in fondo alla valle) Queste quantitagrave sono fra loro legate dal teorema della conservazione dellrsquo energia meccanica

Fig 33 - Esempio del salto con lrsquoasta Lrsquoenergia cinetica dellrsquoatleta acquisita nella rincorsa viene

trasformata in energia potenziale gravitazionale parte direttamente e parte attraverso lrsquoenergia potenziale elastica dellrsquoasta acquisita nella sua deformazione durante il salto La flessibilitagrave dellrsquoasta (costante elastica dellrsquoasta) egrave legata allrsquoenergia che si puograve immagazzinare in una data deformazione Infatti con aste rigide (alluminio acciaio bambugrave) il salto era piugrave basso Con fibra di vetro il record egrave stato polverizzato

Fig 34

Fig 35

Fig 36

Osserviamo che il teorema dellrsquoenergia cinetica ha validitagrave generale qualunque siano le forze che agiscono conservative o non conservative (le forze non conservative si dicono anche ldquodissipativerdquo)

KLL

KL

fncfc

tot

∆=+∆=

e ricordando che darr Lfc = - )( fcW∆

Si ottiene che K∆ + )( fcW∆ = Lfnc

Si vede che nel caso in cui Lfnc sia nullo cioegrave quando non ci sono forze dissipative la somma delle variazioni di energia cinetica e energia potenziale egrave uguale a zero cioegrave lrsquoenergia totale meccanica (somma dellrsquoenergia cinetica e potenziale) egrave costante E questo corrisponde al teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica Nel caso ci siano forze dissipative la somma delle energie non egrave costante quindi al contrario del teorema dellrsquoenergia cinetica il teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica non ha validitagrave generale (vale solo in assenza di attriti ad esempio) Le forze non conservative di attrito compiono lavori solo negativi e fanno perdere quantitagrave di energia non recuperabile Parte di questa energia va in generale in calore quindi se ne puograve tenere conto considerando unrsquoaltra forma di energia lrsquoenergia termica ( ci sono anche altri fenomeni dissipativi ad esempio le deformazioni permanenti negli urti o la propagazione di onde sonore)

Lrsquo energia puograve dunque conservarsi o trasferirsi proprietagrave caratterizzanti dellrsquoenergia Il lavoro rende conto del trasferimento di energia della perdita di energia sotto una forma e del guadagno sotto unrsquoaltra forma (cioegrave energia conservativa) o del passaggio dellrsquoenergia da un sistema ad un altro Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica quando egrave applicabile puograve essere sfruttato per risolvere facilmente problemi altrimenti complicati Esercizio Una palla da tennis viene lanciata con velocitagrave iniziale v0 (senza effetti strani taglio etc) al di lagrave della rete Con quale velocitagrave arriva a terra

Se durante il moto Etot si conserva K+W = cost

Fig 37 e W = mgh egrave solo energia potenziale gravitazionale h = 0 alla fine come allrsquoinizio dunque K in = Kfin e vfin = v0 Se la palla egrave lanciata verso lrsquoalto non crsquoegrave componente orizzontale della velocitagrave ma solo verticale al punto piugrave alto di arresto h K(h) = 0 W(h) = max = Kin cioegrave mgh = frac12 mv0

2 si puograve cosigrave calcolare facilmente lrsquoaltezza massima raggiunta h = (frac12 v0

2)g e vicenversa si puograve calcolare il valore della velocitagrave v0 che bisogna imprimere alla palla affinchegrave raggiunga lrsquoaltezza h

v0 = gh2

Esercizio Una saltatrice di massa M = 61Kg salta da un ponte di altezza H = 45m agganciata ad una corda elastica La lunghezza di riposo della corda elastica egrave L = 25m e la sua costante elastica egrave k = 160 Nm Nel punto piugrave basso si arresta prima di venire rimbalzata in alto Qualrsquo egrave lquesta quota piugrave bassa h (a cui si trovano i suoi piedi ai quali egrave legato lrsquoelastico)

Fig 38 Etot = Wgrav + Wel + K = cost sono solo forze conservative vale la conservazione

dellrsquoenergia Nel punto A K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di lanciarsi Wel = 0 percheacute lrsquoelastico non egrave ancora svolto Wgrav = MgH Nel punto B K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di rimbalzare

Wel = frac12 kd2 Wgrav = Mgh = Mg(H-(L+d)) Etot(A) = Etot (B) MgH + 0 + 0 = Mg (H-(L+d)) + frac12 kd2 + 0 MgH = MgH ndash MgL ndash Mgd +frac12 kd2

2

1(160)d2 ndash (61)(98)d ndash (61)(98)(25) = 0

equazione di IIdeg grado che dagrave per d il valore accettabile d = 179m (lrsquoaltro egrave negativo e non egrave accettabile perchegrave non ha senso fisico la

saltatrice va in giugrave non in su) Allora h = H-(L+d) = 45 ndash (25+179) = 45 ndash 429 = 21m quindi con la testa poco sopra lrsquoacqua Sistemi di punti materiali e corpi rigidi ndash Centro di Massa

Un giocoliere o un ginnasta che lancia la clavette fa compiere allrsquoattrezzo movimenti complicati tuttavia crsquoegrave un punto dellrsquoattrezzo che si muove seguendo una traiettoria semplice come quella di un punto materiale ad esempio lanciato segue una traiettoria parabolica Tale punto si chiama centro di massa dellrsquooggetto Il centro di massa puograve essere definito per un oggetto o per un insieme di punti materiali Ersquo importante percheacute in generale il moto di un corpo esteso (o di un insieme di punti) si puograve studiare separando il moto del centro di massa (moto traslatorio) e il moto del corpo attorno al centro di massa (moto rotatorio)

Centro di Massa (CDM) di un sistema di punti - Consideriamo il caso semplice di due punti materiali di massa m1 m2 posti sullrsquoasse x in

posizione x1 x2

Fig 39

la posizione del centro di massa egrave definita xCDM = 21

2211

mm

xmxm

++

a) xCDM egrave compreso fra x1 e x2 b) se m1 = m2 CDM egrave a metagrave strada fra m1 ed m2 c) xCDM egrave piugrave prossimo alla massa maggiore - Nel caso di piugrave punti allineati nelle posizioni xi detto M = summi allora

xCDM = ii xmMsum

1

- Nel caso di punti distribuiti nello spazio detti irrarr

i vettori che identificano le loro posizioni

CDMrrarr

= iii rmM

rarrsum

1

dove CDMrrarr

ha coordinate (xCDM yCDM zCDM) definite come

xCDM = ii xmsumη1

yCDM = ii ymMsum

1

zCDM = ii zmMsum

1

- Consideriamo un oggetto qualsiasi questo egrave composto da un gran numero di particelle ma conviene considerarlo come un continuo di materia e per calcolare il centro di massa si prendono in considerazione degli elementi infinitesimi di massa dm centrati intorno alle posizioni (xyz) allora

xCDM = int xdmM

1 yCDM = int ydm

M

1 zCDM = int zdm

M

1

se si puograve considerare il corpo omogeneo (densitagrave uniforme) allora V

M

dv

dm = e allora si puograve fare il

calcolo considerando il volume V e gli elementi di volume dv anzichegrave la massa e gli elementi di massa

xCDM = int xdvV

1 etc

In un oggetto solido (corpo rigido) i diversi punti materiali che lo compongono non cambiano la loro posizione relativa (non come un corpo elastico) - se un oggetto ha un elemento di simmetria un asse od un piano il CDM si trova su tale

elemento di simmetria (asse per cono centro per sfera piano per una banana etc) Non egrave detto che il CDM di un oggetto appartenga allrsquooggetto vedi uno pneumatico un cerchio Il CDM egrave esterno alloggetto Legge fondamentale della dinamica per un sistema di punti materiali Caso della palla da bigliardo urto fra due palle dopo il lancio di una le due si muovono 1) una egrave ferma (B) lrsquoaltra la lancio (A) 2) le due si urtano in qualunque modo 3) le due si muovono secondo traiettorie differenti una possibilmente andragrave in buca lrsquoaltra no Dopo il lancio sulla palla A non agisce piugrave nessuna forza quindi la sua velocitagrave v egrave costante Va bene ma dopo lrsquourto Il CDM delle due palle continua a muoversi con velocitagrave costante anche se il centro di massa egrave un punto teorico che non appartiene a nessuna delle due palle Tuttavia al CDM possiamo assegnare una massa (M totale del sistema) una velocitagrave ed una accellerazione Si ha

)(CDMext aMFrarrrarr

=sum

a) extFrarr

sum egrave la somma di tutte le forze esterne che agiscono sul sistema non quelle interne (ad esempio nel caso del bigliardo non devo considerare le forze che si applicano fra le due palle quando si urtano)

b) M egrave la massa totale del sistema Si suppone che durante il moto M rimanga costante

c) )(CDMararr

egrave lrsquoaccelerazione del CDM Dellrsquoaccellerazione di un altro punto ad esempio del centro della palla A non si dice nulla

Cosideriamo alcuni esempi 1) Bigliardo tvaF CDMCDMext cos00 ===sum prima dellrsquourto nellrsquourto si verificano solo forze

interne Quindi tvaF CDMCDMext cos00 ===sum dopo lrsquourto e durante tutto il moto

2) Sistema terra-luna sumFext = gravitazione del sole aCDM egrave ldquocentripetardquo accellerazione di una

forza che egrave diretta verso il sole (forza ldquocentralerdquo) egrave il CDM terra-luna che segue la traiettoria dovuta allrsquoattrazione gravitazionale del sole poi terra e luna si muovono intorno al loro CDM

3) Clavette lanciate sum Fext = Mg aCDM = g il centro di massa si comporta come un punto materiale nel lancio

4) La ballerina nel ldquogrand-fetegraverdquo fa seguire a testa e busto una traiettoria rettilinea percheacute modifica lrsquoassetto in modo da alzare il suo CDM Nel corso del salto (alza le braccia e distende

orizzontalmente le gambe non appena lasciato il suolo) il suo CDM segue la traiettoria parabolica del lancio di un corpo soggetto allrsquoaccelerazione di gravitagrave g

Quantitagrave di moto rarrP

- Si definisce quantitagrave di moto di una particella il vettore

rarrrarr= vmP

con m massa della particella e rarrv la sua velocitagrave

Si vede che rarrP egrave diretto come

rarrv

Newton scrisse la legge fondamentale della dinamica in termini di quantitagrave di moto (a differenza di Galileo che la scrisse in termini di massa e di accelerazione) ldquola rapiditagrave di variazione della quantitagrave di moto di una particella egrave proporzionale alla forza netta che agisce sulla particella ed egrave nella direzione di quella forzardquo cioegrave

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

che egrave piugrave generale della formulazione di Galileo perchegrave descrive bene anche il caso in cui variasse la massa del corpo durante il moto (ad esempio un vettore spaziale) Se la massa egrave costante le due formulazioni sono identiche

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

= t

vm

∆∆

rarr)(

= m t

v

∆∆

rarr

= m rarra

Ricordiamo che rarrF egrave diretto come

rarra (o la risultante

rarrR = sum

rarrF )

Per un sistema di punti materiali si definisce la quantitagrave di moto totale

rarrP =

rarrP 1 +

rarrP 2 + helliphellip+

rarrP n =

m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +helliphelliphellip+ mn

rarrv n = M

rarrv CDM (si puograve dimostrare) dove M egrave la massa totale

[essendo infatti Mrarrv CDM =

dt

d(M

rarrr CDM) =

dt

d(m1

rarrr 1 + m2

rarrr 2 +hellip) = m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +

hellip]

quindi rarrP = M

rarrv CDM per un sistema di particelle e

dt

Pdrarr

= M dt

d rarrv CDM = M

rarra CDM = sum

rarrF ext

Conservazione delle quantitagrave di moto

Per un sistema chiuso (M non varia) e isolato (sumrarrF ext = 0)

Allora

t

P

∆∆

rarr

= 0 rarrP = cost

rarrP i =

rarrP f

che sono tre modi equivalenti per dire che la quantitagrave di moto si conserva Vale per un sistema nel quale non agisca nessuna forza esterna netta Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica e la conservazione delle quantitagrave di moto sono due concetti fisici importantissimi Valgono sia per le palle da bigliardo che per qualunque altro sistema anche le galassie nellrsquouniverso Queste equazioni sono vettoriali Ciograve significa che rappresentano una terna di equazioni scalari ognuna valida sul proprio asse del sistema di riferimento (x y z)

Puograve accadere a seconda delle forze che agiscono nel sistema che la quantitagrave di moto si conservi in una direzione o in due e non in tutte e tre

Ad esempio se consideriamo una palla come un insieme di punti materiali la rarrF ext che agisce nel

sistema egrave mrarrg diretta lungo z senza componenti su x e y quindi

rarrP varia lungo z ma

non su x e y

Percheacute ldquocomplicarci la vitardquo con questa storia del CDM del sistema di particelle etchellip non bastava il moto del punto rappresentativo materiale Avevamo giagrave considerato il punto rappresentativo e avevamo svolto anche problemi sulla palla sul bilanciere e per altri oggetti Abbiamo sempre sbagliato La questione egrave se un corpo egrave rigido cioegrave se tutti i suoi punti si muovono mantenendo le loro distanze relative non crsquoegrave problema abbiamo solo visto che il punto materiale rappresentativo si chiama CDM ed abbiamo imparato a situarlo allrsquointerno del corpo Ma se il corpo non egrave rigido cioegrave se il suo CDM si sposta rispetto a lui stesso nel corso del moto la disposizione del corpo intorno al punto rappresentativo varia nel corso del tempo e le leggi di conservazione valgono per il CDM - Consideriamo ad esempio il teorema dellrsquoenergia cinetica che per un punto materiale si scrive Ltot = Kfin-K in = ∆ K (qui ovviamente non crsquoegrave da specificare lavoro delle forzeldquoesternerdquo percheacute essendo in un punto materiale che si assume infinitamente piccolo non ci sono forze ldquointernerdquo) Per analogia il teorema dellrsquoenergia cinetica si estende al caso di un insieme di punti materiali nel seguente modo

Ltot forze ext=rarrF extmiddot

rarrs CDM = ∆ KCDM

Dove s CDM egrave lo spostamento del centro di massa A titolo di esempio risolviamo il problema un giocatore di hockey su ghiaccio di massa M = 110Kg si muove verso la balaustra a bordo campo alla velocitagrave di 3msec Nellrsquoarrestarsi flettendo le braccia il suo CDM si sposta in avanti di 30cm Qual egrave la ∆ K del suo CDM durante la manovra

∆ KCDM = infin CDMCDM mvmv 22

2

1

2

1 minus =

= 0 - 2

1110 32 = -495 J

Fig 40

Sia L il lavoro delle forze esternerarrF ext (dirette come d

rarrx CDM ) allora

L = - Fext 03 = ∆ KCDM quindi

Fext =30

495

minusminus

= + 1650N

( si considera la forza esterna rarrF ext costante nellrsquointervallo dellrsquoarresto fatto che equivale a dire

che il giocatore si arresta con rarra CDM costante)

Dinamica e statica del corpo esteso Finora abbiamo sempre discusso del moto di un punto materiale (punto rappresentativo dicevamo sempre) In particolare abbiamo sempre applicato le forze a quel punto materiale quindi se diverse forze erano applicate esse concorrevano in quel punto ligrave e con le forze concorrenti sapevamo come calcolare la risultante con il metodo grafico o con quello numerico delle coordinate cartesiane Una volta calcolata la risultante applicata al punto si otteneva un moto di pura traslazione del punto (al massimo traslava lungo una traiettoria curva) senza rotazioni proprie del punto che non hanno neanche senso un punto che ruota su se stesso Come faccio ad accorgermi Un punto per definizione egrave infinitamente piccolo (Dicevamo infine che il punto egrave in equilibrio

traslazionale se la risultante rarrR delle forze applicate egrave nullo)

Consideriamo invece un corpo esteso Prima osservazione questo ha piugrave punti (direi infin ) a

cui la forza puograve essere applicata Prendiamo una racchetta da tennis ed una forza rarrF applicata il

moto che ne risulta dipende dal punto al quale viene applicata la forza rarrF

qui la racchetta trasla

Fig 41

stessa forza qui la racchetta ruota

Fig 42

Seconda osservazione Crsquoegrave un caso in cui le forze non possono essere fatte concorrere in un punto ed egrave quando sono parallele ed hanno rette di applicazione distinte Chiaramente non abbiamo mai dovuto considerare questo caso per il punto materiale percheacute per un punto non possono mai passare due rette parallele Ma per il corpo esteso So benissimo che se sono ferma con la macchina in

panne e la sto spingendo applicando una forza rarrF 1 sono contenta se qualcuno si affianca a me ed

esercitando una forza rarrF 2 lungo una direzione parallela a quella della mia mi aiuta a spingere In

particolare mi viene spontaneo dire che se F1 = F2 allora spingeremo con una forza doppia Ci saragrave quindi un modo per sommare due forze non concorrenti in un punto ma parallele e saragrave Ftot = F1+ F2 La retta di applicazione di Ftot divide il segmento congiungente i punti di applicazione di F1 ed F2 in due segmenti inversamente proporzionali allrsquointensitagrave delle forze F1 e F2 Terza osservazione se F1 = - F2 sono uguali in intensitagrave ma di verso opposto sempre lungo due rette di applicazione parallele passanti per un corpo esteso cosa succede La loro somma Ftot risultante saragrave 0 ma io so che il corpo non sta fermo sotto lrsquoazione di tali due forze ma ruoteragrave Concludo che le nozioni che ho acquisito finora vanno riviste ed ampliate o corrette o specificate per i corpi estesi ed inoltre che mi mancano totalmente i mezzi per descrivere le rotazioni dei corpi estesi Occorrono nuovi concetti nuove quantitagrave la forza non basta Prendo lrsquoesempio piugrave semplice dellrsquoaltalena con due bambini in due bracci uno piugrave leggero uno piugrave pesante

Fig 43 Qualitativamente so che percheacute lrsquoaltalena stia in equilibrio e non ruoti intorno al punto fisso non egrave necessario che i due bambini abbiano lo stesso peso (ugual massa) occorre che il bambino piugrave leggero sieda piugrave lontano rispetto al punto fisso (fulcro) La regola quantitativa dice che lrsquoaltalena egrave in equilibrio se il prodotto del peso per la distanza del fulcro egrave uguale PB dB = Pb

db Per generalizzare questa regola ai casi piugrave complessi occorre definire una nuova quantitagrave il momento di una forza Momento di una forza

Consideriamo una forza rarrF applicata ad un punto P ed un punto O Sia

rarrr

il vettore rarrOP allora il momento

rarrM di

rarrF rispetto ad O egrave

rarrM =

rarrr x

rarrF

e

|rarrr | middot |

rarrF | sin ϑ = |

rarrM |

Fig 44

oppure anche considerando la componente di rarrF perpendicolare ad

rarrr o di

rarrr

perpendicolare a rarrF r e rispetto a F

|rarrM | = |

rarrr | |

rarrF perp | |

rarrM | = |

rarrr perp| |

rarrF |

In generale si dice che il modulo del momento |rarrM | egrave il prodotto delle intensitagrave della forza per la

distanza dal punto della retta di applicazione della forza

Come vettore rarrM egrave perpendicolare al piano che contiene

rarrF ed

rarrr ed ha verso calcolato con la

regola della mano destra (con rarrr che si chiude su

rarrF )

La distanza rperp si chiama braccio della forza Si vede che il momento egrave nullo quando il braccio egrave nullo cioegrave quando il punto O si trova sulla retta di applicazione di F Il momento della forza peso P egrave nullo rispetto al baricentro che coincide con il centro di massa nel caso (praticamenteldquosemprerdquo) in cui il corpo non sia abbastanza esteso percheacute diversi punti del corpo risentano di una forza gravitazione differente Praticamente si deve parlare di galassie percheacute CDM e baricentro (BC) non coincidono Quindi la condizione del momento nullo della forza peso diventa un modo per definire il CDM come quel punto rispetto al quale la forza peso P ha momento nullo Per un corpo ldquoarticolatordquo estendiamo il concetto di forza normale come forza di contatto nellrsquoarticolazione utile cioegrave la forza che lrsquoarticolazione che si sta considerando esercita su quello che nellrsquoarticolazione si appoggia La forza peso P di un corpo esteso puograve immaginarsi applicata al CDM Principio di equilibrio di un corpo esteso

se su un corpo esteso agiscono solo rarr

Peso e rarr

Normale cioegrave se un corpo egrave appoggiato ad un piano orizzontale allora il corpo egrave in equilibrio se e solo se il baricentro si trova sopra la superficie di appoggio

Fig 45

Finchegrave il baricentro egrave sopra il tavolo il libro non cade percheacute rarrP applicata a CDM puograve essere

controbilanciata da rarrN Se CDM si sposta in fuori

rarrN rimane nel tavolo e crsquoegrave momento non nullo

non equilibrato da rarrP che continua ad essere applicato nel CDM

Il baricentro di una persona in posizione eretta si trova nellrsquoarea delimitata dei suoi piedi 3cm davanti allrsquoarticolazione della caviglia

Fig 46 Quando la persona si piega in avanti il baricentro esce dal corpo e per mantenere lrsquoequilibrio egrave necessario che le anche si spingono indietro percheacute il baricentro cade di nuovo in quella posizione Notiamo che anche in posizione eretta essendo la forza peso e la forza di contatto non allineate (quei 3cm) (forza di contatto sullrsquoarticolazione della caviglia che regge il peso) occorre un momento correttivo che impedisca la rotazione in avanti mantenuto dal tendine di Achille che si lega alla caviglia Altro esempio di spostamento del baricentro egrave lrsquoatleta che assume una posizione ad L chi regge il peso egrave lrsquoarticolazione della spalla quindi il CDM si sposta sotto la spalla (giagrave era uscita dal corpo per via delle gambe distese in avanti) Nel camminare il baricentro continua a muoversi da sopra un piede a sopra un altro (quello appoggiato ovviamente) Si osservi lrsquoondeggiamento Per assurdo lrsquoancheggiare delle indossatrici serve a mantenere il baricentro il piugrave possibile fermo rispetto alla direzione media del moto (porre un piede esattamente davanti allrsquoaltro) rendendo piugrave facile muoversi anche con tacchi altissimi Al contrario lrsquoequilibrista che cammina sui trampoli sta fermo il meno possibile percheacute egrave stando fermo che il piccolo spostamento che fa uscire il baricentro (ALTO) dalla superficie drsquoappoggio puograve verificarsi facilmente preferisce il ldquonon ndash equilibriordquo o lrsquo rdquoequilibrio dinamicordquo dellrsquoondeggiare continuamente fra due posizioni di equilibrio

Ricordiamo che un equilibrio egrave detto stabile se quando una perturbazione lo altera spontaneamente il sistema lo ripristina Viceversa un equilibrio egrave instabile se la piugrave piccola perturbazione lo distrugge Lrsquoequilibrio egrave molto stabile se il baricentro egrave basso ed il corpo ha una grande area drsquoappoggio la posizione accucciata del giocatore di football americano dagrave grande stabilitagrave Ancor piugrave grande stabilitagrave si ha se il baricentro (CDM) si trova al di sotto della superficie drsquoappoggio Ersquo come se si fosse ldquoappesirdquo anzicheacute ldquoappoggiatirdquo alla superficie drsquoappoggio Proprio per questo motivo lrsquoequilibrista sul filo porta una lunga asta che spesso si flette agli estremi

Fig 47 Gli uccelli bipedi da 100000000 di anni hanno sviluppato questo adattamento per cui sono appesi alle anche mentre gli uomini bipedi da solo 1000000 di anni fanno fatica con il CDM dalla parte alta del corpo Ersquo un equilibrio instabile ldquosoprardquo le anche che le reggono (65 del peso del corpo) Modificazioni strutturali per reggere la posizione eretta 1) Colonna vertebrale rastremata (piugrave tozza in basso che in alto percheacute piugrave in basso vuol dire una

maggior forza di contatto) 2) Muscoli estensori della schiena 3) Gambe ed anche ingrossate 4) Ginocchio che blocca la gamba estesa Ciononostante si ha spesso il mal di schiena Se una forza ha momento non nullo rispetto ad un punto allora il corpo puograve ruotare intorno a quel punto sotto lrsquoazione di quella forza ldquoDiciamo che se sostengo il corpo per quel punto il corpo puograve ruotare intorno a quel puntordquo (Prendo in mano un foglio di carta per un estremo per esempio) La presenza di un momento non nullo egrave dunque la condizione che genera rotazione e viceversa Lrsquoassenza di un momento risultante egrave la condizione che genera lrsquoequilibrio rotazionale di un corpo esteso Quindi la condizione di equilibrio per un corpo esteso egrave

1) rarrR = 0 risultante delle forze applicate = 0 (equilibrio traslazionale)

2) rarrM = 0 momento risultante = 0 (equilibrio rotazionale)

Supponiamo di avere un corpo esteso al quale siano applicate delle forze che diano luogo ad un momento non nullo allora il corpo ruota Per equilibrarlo dovrograve applicare un altro momento tale che la loro somma sia nulla Questo egrave il principio di funzionamento delle leve LEVE

Una leva egrave un corpo esteso al quale sono applicate delle forze con un momento risultante rarrR

allora per portare il corpo in equilibrio applico un momento correttivo rarrP in modo che il momento

totale sia nullo Si dice in genere potenza (P) e resistenza (R) di una leva Le leve sono macchine semplici Servono per applicare forze in punti scomodi o in direzioni particolari Il fulcro egrave il punto nel quale la leva egrave incernierata Si definisce il guadagno meccanico di una leva

GM =

)(

)(rarr

rarr

PF

RF

cioegrave il rapporto fra la forza che genera il momento resistente e quella che genera il momento agente A seconda che GM sia gt

lt 0 una leva si dice che egrave vantaggiosa o svantaggiosa ma solo per quel che riguarda le forze percheacute per quel che riguarda i lavori non si ha neacute vantaggio neacute svantaggio Il lavoro esercitato dalla forza che dagrave la ldquopotenzardquo e quello esercitato dalla forza che dagrave la ldquoresistenzardquo sono sempre uguali Infatti forze e spostamenti sono inversamente proporzionali Le leve si dicono di I II o III specie a seconda se il fulcro si trovi I) in mezzo fra R e P (leva indifferente GM dipende da caso a caso) II) dalla parte di R (leva vantaggiosa il braccio di R egrave sempre minore del braccio di P basta

quindi una P minore per equilibrare una R maggiore) III) dalla parte di P (leva svantaggiosa) Classici esempi dei tre tipi di leve sono i remi (I) lo schiaccianoci (II) e la pinzetta per francobolli (III) Tuttavia vediamo degli esempi meno classici ma attinenti al campo della biologia e della medicina Criterio generale egrave che le leve vantaggiose consentono di essere molto potenti ma con brevi spostamenti mentre viceversa quelle svantaggiose fanno perdere in potenza ma consentono grandi spostamenti saragrave difficile vedere un cavallo che con le lunghe zampe si scava la tana drsquoaltronde una talpa scava bene la tana ma ha movimenti molto meno ampi che non le consentono di correre veloce come un cavallo (compromesso fra forza e velocitagrave del movimento) Se contiamo tutti i movimenti di rotazione che il corpo puograve compiere capiamo che siamo pieni di leve di ogni tipo Sono classici a) il capo fulcro (articolazione occipito-atlantoide) Fig 48 muscoli della nuca (Potenza) peso del capo (Resistenza) b)

muscolo bicipide (Potenza)

Fig 49 Peso dellrsquoavambraccio (Resistenza) Fulcro (articolazione del gomito) Questa leva permette grandi spostamenti Si vede che la forza operata dal muscolo bicipite egrave massima quando lrsquoavambraccio egrave orizzontale (la distanza dal fulcro egrave massima) ed egrave minima quando lrsquoavambraccio egrave verticale( con la distanza dal fulcro nulla) Attenzione - la colonna vertebrale egrave costituita da 24 vertebre separate da dischi di liquido Quando una

persona si piega la schiena egrave una leva con GM molto piccolo Quindi un piegamento completo per raccogliere un oggetto anche leggero produce una forza molto intensa sul disco lombosacrale che separa lrsquoultima vertebra dellrsquoosso sacro Se indebolito questo disco puograve rompersi o deformarsi comprimendo i nervi vicini e causando grande dolore Vediamo un modello che rende conto come mai questa forza egrave cosigrave grande

Fig 50

I muscoli della schiena esercitano T Con un angolo α = 12deg quando la schiena egrave piegata a 90deg

Peso della parte superiore del corpo (circa il 65 del peso totale)

Fulcro lombosacrale (il fulcro produce R) Essendo α piccolo la retta di azione Τ passa vicino al fulcro e dunque la distanza r che costituisce il suo braccio egrave molto piccola Al contrario il peso egrave perpendicolare alla colonna e il suo punto di applicazione egrave molto piugrave distante dal fulcro Τ deve essere molto grande per equilibrare il momento di P Dunque se T egrave grande anche la sua componente orizzontale egrave grande e di conseguenza anche R che costituisce la reazione dellrsquoosso sacro deve avere componente orizzontale molto grande per equilibrare Τ (uguale ed opposta alla componente orizzontale di Τ ) Facendo i conti si ottengono numeri grandi per 75Kg di peso T ed R sono equivalenti al peso di una massa di 220Kg Senza sollevare pesi solo piegandosi Conviene piegare le ginocchia quando si sollevano pesi - Nel corpo egrave difficile che il peso cada sulla verticale dellrsquoarticolazione che lo sostiene egrave sempre

un porsquo spostato e crsquoegrave un tendine con un muscolo che compensa il momento del peso - La contrazione muscolare egrave una successione di brevi contrazioni delle fibre muscolari stimolate

da impulsi che provengono dal sistema nervoso Contrazioni sono molto ravvicinate e avvengono in tempi differenti nelle diverse parti del muscolo cosigrave che il risultato apparente egrave una lenta e progressiva contrazione Se la frequenza degli impulsi aumenta la tensione cresce finchegrave si raggiunge la tensione massima (ricordare la tensione di un cavo) Un ulteriore aumento della frequenza degli impulsi a questo punto non causa ulteriore aumento della tensione

La tensione massima egrave proporzionale allrsquoarea della sezione trasversa del muscolo nel suo punto piugrave largo La tensione massima dipende anche dalla lunghezza del muscolo che varia Si ottiene tensione massima quando il muscolo egrave solo di poco allungato rispetto alla sua lunghezza di riposo di riposo ed egrave circa 30-40 Ncm2 La tensione massima si riduce moltissimo se il muscolo egrave molto allungato o accorciato Dinamica Rotatoria Fino ad ora abbiamo studiato moti traslatori ma il moto di un corpo rigido egrave in generale roto-traslatorio Naturalmente dobbiamo ridurre il problema complesso ad uno piugrave semplice e per fare ciograve immaginiamo di posizionarci su un sistema di riferimento solidale al corpo rigido i moto immaginiamo cioegrave di ldquosedercirdquo sul corpo rigido In questo modo non saremo piugrave sensibili al moto traslatorio e guardando il corpo rigido osserveremo solo le sue rotazioni Trattiamo allora il moto generico scomponendo la parte traslatoria (giagrave discussa ) da quella rotatoria Se si trascura la parte traslatoria del moto di un corpo rigido quello che rimane da trattare egrave la sua rotazione Nel nostro corso consideriamo le rotazioni che avvengono su un piano le rotazioni nello spazio potranno essere trattate come composizione di rotazioni su un piano Per le rotazioni su un piano si identifica un asse di rotazione perpendicolare al piano di rotazione e passante per il centro di rotazione Le articolazioni del gomito e del ginocchio sono articolazioni libere di ruotare intorno ad un asse a differenza ad esempio di quella della spalla che puograve ruotare intorno a due assi Si definisce spostamento angolare la variazione di una posizione che egrave definita in modo completo da una misura di angolo Una rotazione di un intero corpo rigido egrave definita in modo completo da uno spostamento angolare θfin - θin= ∆θ e si misura in radianti

Fig 51 Dobbiamo definire anche un verso di rotazione θ si incrementa per rotazioni antiorarie positive le rotazioni in senso orario sono invece negative La velocitagrave angolare si definisce analogamente alla velocitagrave lineare come il rapporto tra lo spostamento angolare e il tempo t impiegato per eseguire tale rotazione

ωm = t∆

∆θ e si misura in rad s

θin

θfin ∆θ

R

S

Anche per w si definisce ωist = lim ∆trarr0 t∆

∆θ

Ancora lrsquoaccelerazione angolare si definisce αm = t∆

∆ω e αist = lim ∆trarr0

t∆∆ω

Anche la legge fondamentale della dinamica ha un analogo nel ambito dei moti rotatori Si stabilisce che se ad un corpo rigido egrave soggetto ad un momento torcente diverso da zero esso subisce unrsquoaccelerazione angolare ad esso proporzionale Nel caso delle rotazioni la resistenza al moto egrave espressa dal momento di inerzia I associato al corpo rigido che gioca il ruolo della massa nei moti traslatori La legge della dinamica delle rotazioni egrave M = I middotα

E sostituendo M = Imiddott∆

∆ω= Imiddot

tinfin

∆minusωω

Il momento di inerzia I di un corpo rigido dipende dalla disposizione della massa del corpo rispetto allrsquoasse di rotazione per una massa puntiforme m a distanza R dallrsquoasse di rotazione I= m R2 per un oggetto esteso sommerograve il momento drsquoinerzia delle sue parti I = Σi mi Ri

2 Se si definisce momento angolare L il prodotto del momento drsquoinerzia per la velocitagrave angolare

L=Iω la legge della dinamica diventa

M = t

LL infin

∆minus

Il momento angolare egrave la grandezza fisica che si conserva se non viene applicato momento torcente Tutti i gesti di volo salti lanci tuffihellip sono azioni nelle quali si conserva il momento angolare Infatti in volo agisce solo la forza di gravitagrave che essendo applicata al CDM non genera momento torcente Il corpo umano nei gesti di volo Il corpo umano non egrave rigido e pertanto in volo agendo con i muscoli possiamo cambiare la disposizione del nostro corpo intorno al centro di massa che in volo coincide col centro di rotazione In questo modo si ottiene una variazione del momento di inerzia I e di conseguenza la velocitagrave angolare deve compensare questa variazione in modo che si mantenga costante il momento angolare L (grandezza che si conserva in assenza di momento torcente) Ersquo questo il principio che spiega il realizzarsi delle trottole sul ghiaccio dei salti mortali tuffi con avvitamento e cosigrave via in posizione raccolta I diminuisce e ω aumenta Moto circolare e moto circolare uniforme Per utilizzare le relazioni della cinematica e della dinamica lineare che abbiamo studiato egrave interessante poter passare dalle variabili angolari alle variabili lineari velocitagrave e accelerazione delle

masse in moto rotatorio Se una massa si muove su una traiettoria curva la velocitagrave tangenziale vt diretta come la tangente alla traiettoria dipende dalla velocitagrave angolare ω ( ωm=ϑ t )e dal raggio di curvatura della traiettoria Se la traiettoria egrave una circonferenza di raggio R e se gli angoli sono espressi in radianti lrsquoarco percorso per uno spostamento angolare ϑ egrave S = ϑ sdotR e la velocitagrave lineare tangente vt = St= ϑ sdotRt risulta vt = ωsdotR Se la velocitagrave angolare ω egrave costante il moto egrave detto circolare uniforme La legge oraria egrave quella dei moti uniformi spostamenti angolari uguali in tempi uguali ϑ(t) = ω t Anche la velocitagrave tangente saragrave di intensitagrave costante se ω egrave costante (archi uguali per tempi uguali s(t) = vt (t) ) ma crsquoegrave una accelerazione normale infatti la velocitagrave anche se non cambia in modulo cambia continuamente di direzione Questa accelerazione si dice centripeta egrave diretta normalmente rispetto alla traiettoria verso il centro della circonferenza e vale in modulo

ac=R

v2

Fig 52 Essendo la velocitagrave tangente vt = ωR Lrsquo accelerazione centripeta si puograve scrivere

ac =R

v2

= ω2 R

Il tempo impiegato dal punto a muoversi sulla circonferenza egrave una costante (moto uniforme) T periodo in T viene percorso uno spazio 2π R

v = T

Rπ2

La frequenza f egrave invece il ndeg di giri al secondo

f =T

1

Se si prendono punti diversi sul raggio della circonferenza questi hanno la stessa velocitagrave angolare e velocitagrave tangenziali crescenti al crescere del raggio Esempio carosello dei pattinatori Esercizi

1- un velocista con una velocitagrave di 10 ms viaggia su una curva di raggio 25m ndash accelerazione

a = R

v2

= 25

100 = 4 ms2

2 ndash un velocista con v = 92 ms su una pista circolare con ac = 38 m s2 ndash Raggio della pista Tempo per percorrere un giro completo

a = R

v2

rArr R = a

v2

= 83

)29( 2

= 2227m

T =v

Rπ2 =

29

27222 lowastπ = 152 sec

Forza centripeta forza centrifuga Una forza centripeta egrave una forza di qualunque natura che trattiene un corpo in moto su una traiettoria curvilinea ad esempio circolare In assenza di tale forza il corpo proseguirebbe il suo moto lungo una traiettoria rettilinea Nel gesto del lancio del martello ad esempio il lanciatore che esercita sul peso in cima allrsquoattrezzo una forza mediata dalla tensione dal cavo che lo trattiene nella traiettoria circolare Quando il lanciatore lascia la maniglia il martello viene lanciato lungo la direzione della tangente alla traiettoria nellrsquoistante di rilascio Lrsquointensitagrave della forza centripeta necessaria a mantenere una massa m in moto con velocitagrave tangente v lungo una traiettoria circolare di raggio r si puograve calcolare a partire dallrsquoaccellerazione centripeta secondo la legge fondamentale della dinamica

|rarr

cF | = m | rarr

ca | = m r

v2

Tale forza egrave diretta come lrsquoaccelerazione centripeta e cioegrave verso il centro della circonferenza che costituisce la traiettoria La forza centripeta egrave dunque una forza reale Con lsquoforza centrifugarsquo invece non ci si riferisce ad un forza che agisce su un corpo ma alla situazione apparente cui sembra sottoposto un corpo in moto curvilineo Esso pare tirato o attirato lontano dal centro di rotazione pare ci sia una lsquoforzarsquo che vuole farlo sfuggire Quando viene lasciato il martello si allontana dal centro di rotazione percheacute si muove di moto rettilineo uniforme non essendo piugrave soggetto a forze altre che la forza peso Lrsquoacqua esce dal cestello della lavatrice quando il cestello ruota velocemente (funzione centrifuga) percheacute lrsquoacqua che non costituisce un corpo solo con il cestello bucato non egrave soggetta alla forza centripeta e puograve passare attraverso i buchi I panni invece pure non parte del cestello sono troppo grandi per passare dai buchi si possono solo schiacciare contro le pareti questo schiacciamento sembra il risultato di una forza ma egrave invece il risultato dellrsquoassenza di una forza quella centripeta Una volta lagrave contro il cestello fanno tuttrsquouno con le pareti di metallo che esercitano su di essi la forza centripeta (cioegrave con direzione verso lrsquoasse di rotazione) che li mantiene in rotazione Le parti di un corpo rigido esteso che si muove di moto rotatorio rispetto ad un asse quale ad esempio la gamba di un giocatore di calcio che calcia un pallone sono soggette alla forza centripeta che le mantiene sulla traiettoria curva Tale forza viene trasmessa alle varie parti tramite le forze di tensione che si sviluppano allrsquointerno del corpo stesso ad esempio il piede egrave soggetto alla forza centrifuga tramite lrsquoazione dei legamenti e tendini a livello della caviglia che vengono messi in tensione per trattenere il piede stesso

Moto del proiettile Descriviamo il moto di un punto materiale (rappresentativo di un corpo) che viene lanciato e dunque segue una traiettoria in due dimensioni lungo una delle quali (quella verticale) sperimenta unrsquoaccelerazione diretta verso il basso agravitagrave = -98 ms2 (caduta libera) e nellrsquoaltra orizzontale no (accelerazione orizzontale = 0)

La velocitagrave iniziale vettoriale rarr

iv e la successiva velocitagrave rarrv (t) sono considerate

opportunamente in un sistema di riferimento cartesiano in cui un asse egrave diretto verticalmente e il verso positivo egrave verso lrsquoalto Sia ϑ lrsquoalzo cioegrave lrsquoangolo di emissione Fig 8 Lrsquoesperienza insegna che il proiettile (oggetto lanciato) cade Se lanciato verso lrsquoalto sale fino ad

unrsquoaltezza massima e poi scende In ogni istante t del moto la velocitagrave rarrv (t) saragrave diretta come la

tangente alla traiettoria

Le componenti di rarrv (t) lungo gli assi di riferimento vx(t) e vy(t) dipendono da tempo t ma sono

fra loro indipendenti Si puograve dunque separare il moto in due dimensioni in due moti unidimensionali Verifica dellrsquoindipendenza dei due moti egrave nel fatto che filmati stroboscopici di due palline una lasciata cadere lrsquoaltra lanciata orizzontalmente mostrano che dopo tempi uguali le due palline si trovano alla stassa quota Fig 9 Il moto orizzontale non influenza il moto verticale

V ix V iy=0

Esercizi 1 Problema della scimmia Quando la scimmia si accorge che il cacciatore le spara si lascia cadere Fig10 Dove deve mirare il cacciatore per prenderla Lrsquoaccelerazione egrave in generale un vettore Nel moto su un piano lrsquoaccelerazione egrave definita da due

componenti rarra equiv (ax ay )

- moto orizzontale ndash lungo lrsquoasse orizzontale il corpo in moto non sperimenta alcuna accelerazione

ax = 0 dunque la componente orizzontale della velocitagrave egrave costante

se rarr

iv aveva componente orizzontale non nulla vi x = vi sdotcos ϑ questa si mantiene e saragrave

x(t) = vi x t + xi

x(t) ndash xi = ( vi cos ϑ )t spostamento orizzontale sx = ( vi cos ϑ )sdott -moto verticale ndash accelerazione costante agravitagrave dunque moto uniformemente accelerato se crsquoera

una componente iniziale v0y della velocitagrave rarrv allora

y(t) = 2

1(-g)t2 + viy sdott + yi

y(t)-yi = (vi sin ϑ )t-2

1gt2 spostamento verticale sy=(vi sin ϑ )sdott-

2

1gt2

Traiettoria del proiettile Abbiamo visto le leggi orarie in x e y ma la traiettoria egrave in due dimensioni disegnamola in un riferimento cartesiano vedendo per ogni posizione in x quanto vale y cioegrave ricavando y = y(x) Mettiamo a sistema supponiamo di partire da xi = 0 e yi = 0 per semplicitagrave

x = ( vi cosϑ )t rArr t =ϑcosiv

x

y =( vi sinϑ )t - 2

1 gt2

y = sinϑ middot ϑcos

x -

2

1g

2

2

)cos(

)(

ϑiv

x = x tgϑ -

2)cos(2 ϑiv

g x2

(tgϑ egrave costante percheacute egrave lrsquoalzo iniziale 2)cos(2 ϑiv

g egrave costante percheacute g egrave costante vi pure

ϑ pure) Questa egrave lrsquoequazione di una parabola del tipo y = ax2 + bx La traiettoria egrave dunque una parabola Ha importanza sapere la gittata orizzontale cioegrave a quale distanza D il proiettile toccheragrave il suolo (che misura farograve nel lancio)

D = x-xi = (vi cosϑ )t rArr t = ϑcosiv

D

Suolo rarr 0 = y ndash yi = (vi sinϑ )t - 2

1 gt2

0 = vi sinϑ ϑcosiv

D -

2

1g

2

2

)cos( ϑiv

D

dividendo per D

0 = ϑϑ

cos

sin-

2

1g

2)cos( ϑiv

D rArr D =

ϑϑ

cos

sin

g

vi ϑ22 cos2 = sinϑ cosϑ

g

vi22

darr sin2ϑ (trigonometria 2 sinϑ cosϑ = sin2ϑ )

D = g

vi2

sin2ϑ

Questa equazione mi dice che misura farograve a partire dalla velocitagrave iniziale che riesco ad imprimere allrsquoattrezzo e allrsquoalzo del tiro La funzione sin ha un andamento a max e min rArr si avragrave un max quando sin 2ϑ =1 rArr 2ϑ = 90deg ϑ = 45deg Lrsquoalzo iniziale di 45deg daragrave il risultato migliore (assenza di vento assenza di attrito problema semplificato) Attenzione sin 2ϑ egrave simmetrico intorno a 2ϑ = 90deg e dunque si avranno gittate uguali per angoli equidistanti da 2ϑ = 90deg rArr ϑ = 45deg (osservazione di Galileo) Fig 11 Esercizi 1 ndash Copione di un film cascatore deve saltare da un terrazzo sul terrazzo di un palazzo vicino distante 62m e piugrave basso di 48m la sua velocitagrave sul terrazzo puograve essere 45 msec Accetta la parte

Fig12

Per cadere di 48 m impiega un tempo tc tale che y(tc) ndash yi = -48m = -2

1 gt2c

tc = 89

)2()84( minuslowastminus = 099sec

Nel tempo di caduta tc = 099s quale distanza potragrave coprire con la velocitagrave iniziale ( e poi costante) vix =45 msec d = x-xi = vix t = 45 middot 099 = 45m d = 45m egrave meno dei 62m che separano i due palazzi Il cascatore faragrave bene a rifiutare la parte Quale velocitagrave iniziale min dovrebbe avere per avere delle chances

V ix = 990

26 = 62 msec

2 ndash Salto di Bob Beamon a cittagrave del Mexico nel 1968 salto in lungo di 890m Supponendo che la velocitagrave del decollo sia stata 95 ms come per un centometrista quanto vicino arrivograve alla gittata max (per assenza di resistenza aria)

Dmax = g

v20 per sin 2ϑ 0 = 1 (rArr ϑ 0 = 45deg)

= 789

)59( 2

= 9228m

∆ D = 9228 ndash 890 = 0328m

3 ndash Cestista

Fig15 Quale velocitagrave iniziale v0 deve avere la palla affinchegrave il cestista possa fare canestro se lrsquoalzo iniziale egrave di 55deg rispetto allrsquoorizzontale (le varie distanze sono indicate in Figura) Definisco sistema di assi cartesiano con origine nel centro della palla e assi paralleli agli assi originari In questo sistema di riferimento la posizione del canestro egrave xc = 42 ndash 03 = 39m yc = 3 ndash 21 = 09m Lrsquo equazione della traiettoria egrave

y = x tgϑ 0 - 200 )cos(2 ϑv

g x2

Introduco nellrsquoequazione i valori di yc xc tg 55deg = 1428 e ricavo il valore dellrsquounica incognita v0

09 = 39 x 1428 - 2

0 )5740(2

89

xv x (39)2

09 = 5569 - 2

0 )5740(

5374

xv

(09 ndash 5569) (v0 x 0574)2 = -7453

v0 = 6694

5374

5740

1 = 696msec

Forze e moto Quando un oggetto cambia il suo stato di moto (da fermo si muove o si ferma se si stava muovendo accelera o frena o curva) per esperienza sappiamo che egrave avvenuta unrsquointerazione dellrsquooggetto con un altro corpo dellrsquoambiente circostante al contatto o a distanza Il concetto di interazione prevede sempre la presenza di due corpi unrsquointerazione viene scambiata tra due corpi A questa interazione associamo il concetto di forza Questa associazione non egrave solo qualitativa ma viene quantificata tramite una legge che collega forze e cambiamenti dello stato di moto dei corpi rendendo la forza una grandezza derivata nel sistema SI Ciograve avviene introducendo una grandezza fisica fondamentale chiamata massa (m) che egrave caratteristica di ogni corpo materiale e che esprime lrsquoinerzia al moto propria del corpo quando viene sottoposto alla sollecitazione di una forza Diciamo che due corpi hanno masse diverse se assumono accelerazioni diverse quando sottoposte allrsquoazione della medesima forza Questa massa si dice anche inerziale Si misura in kilogrammi (kg) ed egrave una grandezza scalare positiva

La teoria del moto egrave riassunta dalle tre leggi formulate da Isaac Newton fondate sulle basi del genio di Galileo Galilei Prima legge del moto Ogni corpo rimane nel suo stato di quiete o mantiene il suo stato di moto a velocitagrave costante se nessuna forza agisce su di esso o se la risultante delle forze ad esso applicate egrave nulla Questa proprietagrave del moto egrave detta anche ldquoprincipio di inerziardquo o ldquoprimo principio della dinamicardquo Velocitagrave costante significa che il vettore velocitagrave egrave costante cioegrave non variano modulo direzione e verso Quindi lrsquounico moto possibile in assenza di forze applicate egrave quello rettilineo uniforme (Tale legge non puograve essere verificata se si prende in considerazione un sistema di riferimento che si muove di moto accelerato Per esempio se utilizzo un sistema di riferimento solidale con lrsquoabitacolo di unrsquoautomobile o di un aereo che stanno accelerando o frenando i corpi possono scivolare lrsquoacqua contenuta in un bicchiere vi si puograve rovesciare addosso come soggetta ad una forza In realtagrave ciograve avviene proprio perchegrave questi corpi tendono a mantenere il loro stato di moto e lsquodisubbidisconorsquo alla variazione di velocitagrave che ciograve che egrave solidale col sistema di riferimento sta subendo I sistemi di riferimento nei quali si verifica la prima legge della dinamica si chiamano sistemi di riferimento inerziali e sono da essa implicitamente definiti) Seconda legge del moto Questa legge formulata inizialmente da Galileo e poi riproposta da Newton egrave detta anche ldquolegge fondamentale della dinamicardquo

rarrF = m

rarra

La forza rarrF egrave un vettore dato dal prodotto del vettore accelerazione

rarra per uno scalare m ed egrave

diretto come rarra Questa legge come si vede egrave una legge vettoriale Se piugrave forze agiscono sul

corpo di massa m la legge vale per il ldquovettore risultanterdquo che egrave la somma vettoriale di tutte le forze che agiscono sul corpo Lrsquoaccelerazione egrave diretta come il vettore risultante delle forze

Si possono definire le componenti di rarrF lungo gli assi del sistema di riferimento e la legge del

moto vale componente per componente Fx = max Fy = may Fz = maz

Lrsquounitagrave di misura della forza egrave il newton (N) 1N = 1Kg m s2

E la relazione dimensionale egrave[ ]N = [ ]2minusmlt Se la forza (o la risultante delle forze) applicata al corpo egrave nulla egrave anche nulla lrsquoaccelerazione e visto che lrsquoaccelerazione egrave definita come la variazione della velocitagrave divisa per il tempo la variazione della velocitagrave saragrave anchrsquoessa nulla Ciograve significa che la velocitagrave si mantiene costante Quindi in assenza di forze applicate il corpo rimane fermo se inizialmente era fermo e continua a muoversi con velocitagrave costante se inizialmente si muoveva come giagrave affermato dalla prima legge Terza legge del moto Dal concetto di forza che esprime lrsquointerazione tra i corpi deriva anche quello che viene comunemente detto ldquoil principio di azione e reazionerdquo o ldquoterzo principio della dinamicardquo ad ogni azione corrisponde sempre una reazione uguale e contraria cioegrave se due corpi A e B interagiscono in

modo che il corpo A eserciti una forza rarrF sul corpo B allora il corpo B esercita sul corpo A una

forza rarr

F = - rarrF Si noti che le due forze NON sono applicate allo stesso corpo

rarrF agisce su

B e rarr

F agisce su A Lrsquoapplicazione di questo principio egrave molto importante quando si considerano le forze che si realizzano al contatto tra due corpi e in particolare per le forze applicate da muscoli tendini legamenti e ossa del corpo umano Forze particolari Forza gravitazionale Newton nel descrivere il moto dei corpi celesti ha stabilito la presenza di una forza di interazione a distanza tra due corpi che chiamiamo forza di gravitagrave e ha fornito lrsquoespressione che la governa

FG = -G 2

21

R

mm GG ( legge di attrazione universale)

dove mG 1 e mG 2 sono le masse gravitazionali dei due corpi R egrave la distanza tra le due masse (considerate puntiformi) e G egrave una costante numerica che vale 667 x 10-11 Nm2kg2 1 Nm2kg2 egrave anche 1m3kg s2 Il segno meno sta a indicare che la forza egrave attrattiva La forza gravitazionale viene rappresentata con un vettore il cui modulo egrave dato dalla legge di Newton e che ha la direzione della congiungente i centri di massa delle due masse La forza di attrazione lsquosentitarsquo dalla massa mG 2 dovuta a mG 1 ha il verso che punta su mG 1 e contemporaneamente la forza di attrazione misurata dalla massa mG 1 dovuta a mG 2 ha il verso che punta su mG 2m (le due forze sono lrsquoazione e la reazione della terza legge della dinamica Perchegrave nellrsquoesperienza comune non si osserva che una matita attiri unrsquoaltra matita su un tavolo La forza attrattiva gravitazionale esiste fra di loro ma egrave molto piccola (la costante G egrave molto piccola) ed egrave contrastata completamente dalle forze di attrito (che discuteremo fra breve) La Terra su cui viviamo ha invece una massa molto grande M = 597 x 1024 kg e quindi puograve esercitare una forza piugrave che apprezzabile su altre masse anche se piccole come quella della matita (la matita cade dal tavolo) Chiamiamo forza peso la forza di gravitagrave FG esercitata dalla Terra su ogni corpo ad essa vicino e che origina dallrsquointerazione gravitazionale per la quale tutti i corpi si attirano fra di loro La forza peso viene spesso indicata con P che agisce su un corpo di massa mG vale

P = -G 2T

GGTerra

R

mM equiv - g mG con g equiv G

2T

GTerra

R

M

Dove MG Terra egrave la massa della Terra ed RT egrave il raggio della Terra (RT = 6370km) Il valore di g risulta

g = 667 x 10-11 2

3

kgs

m223

24

)106379(

10975

mx

kgx = 98 ms2 e ha le dimensioni di unrsquo accelerazione

La forza di attrazione gravitazionale alla quale una massa mG egrave soggetta vicino alla superficie di un altro pianeta egrave diversa Infatti la massa e il raggio degli altri pianeti sono diversi da quelli della Terra e quindi g assume un altro valore Si puograve dire che il peso di un corpo cambia sui diversi pianeti o sulla Luna mentre la massa gravitazionale egrave la grandezza fisica fondamentale propria di ogni corpo

Ersquo molto importante ora applicare la seconda legge della dinamica o legge fondamentale della dinamica F = m a ad un corpo soggetto alla sola forza peso sulla superficie della Terra cioegrave quando F egrave la forza peso P ora definita F = m a P = m a -g mG = m a Abbiamo voluto lasciare indicato il pedice G percheacute in principio non crsquoegrave ragione percheacute la grandezza con le dimensioni di una massa che compare nella legge di gravitazione sia uguale alla massa implicitamente definita dalla relazione di proporzionalitagrave tra la F applicata e lrsquoaccelerazione subita da un corpo data dalla seconda legge della dinamica Si egrave tuttavia dimostrato sperimentalmente che la massa gravitazionale mG (introdotta nella legge di attrazione universale e la massa m che si dice massa inerziale ed egrave definita tramite la seconda legge della dinamica sono uguali hanno lo stesso valore Questo permette di semplificare le due masse nellrsquoequazione e di ottenere -g = a che significa che lrsquoaccelerazione di una corpo soggetto alla forza peso sulla superficie della terra vale a = ndashg equiv -98 ms2 NB lrsquoaccelerazione vale 98 ms2 per tutti i corpi di qualsiasi massa Infatti sui corpi con massa maggiore vengono esercitate forze maggiori in modo proporzionale alla loro massa (corpi con massa maggiore lsquopesano di piugraversquo) cosigrave da produrre sempre la stessa accelerazione Si egrave soliti assumere che g sia costante e che non dipenda dalla quota h alla quale ci si trovi al di sopra della superficie terrestre Questa egrave unrsquoapprossimazione molto buona nei limiti in cui hltlt RT Infatti g diminuisce con la quota per esempio se h = 8000m (circa sul monte Everest) lrsquoaccelerazione di gravitagrave g si riduce a

2

2

)6378000(

)6370000( x g = 099749 x g = 97754 m s2 (meno del 25 per mille)

Forze di superficie Forze di contatto Alla superficie di contatto tra due corpi si realizzano le forze che chiamiamo appunto di superficie e che si dividono in forze di contatto e forze di attrito Le forze di contatto

La forza normalerarr

NF egrave la forza che un corpo sperimenta quando egrave appoggiato su di una superficie

Si chiama normale percheacute egrave sempre diretta perpendicolarmente alla superficie Se la superficie egrave orizzontale Fig16

Fc

FN

Piano orizzontale Calcolare lrsquointensitagrave della forza normale applicata ad un oggetto di massa m fermo su un tavolo orizzontale Per il primo principio della dinamica (principio di inerzia) se un corpo e fermo la risultante delle forze ad esso applicate egrave nulla cioegrave

rarrP +

rarr

NF = 0

In questo caso la forza normale rarr

NF egrave un vettore che ha lo stesso modulo e la stessa direzione del

vettore forza pesorarrP ma ha verso opposto Quindi il modulo di

rarr

NF vale |rarr

NF | = mg

Piano inclinato

Nel caso di un piano inclinato dovrograve tenere conto che rarr

NF puograve compensare solo la parte di rarrP

diretta normalmente al piano (infatti se non crsquoegrave attrito il corpo scivola lungo il piano inclinato) Se ϑ egrave lrsquoangolo che il piano inclinato forma con lrsquoorizzontale il piano inclinato fornisce al corpo una

forza normale che in modulo vale | rarr

NF | = m g cosϑ

Fig 17 4 ndash Salto con molleggio Un uomo con massa m = 70kg salta da unrsquoaltezza L = 2m Arrivando al suolo molleggia sulle ginocchia per un tratto l = 02 m Si calcoli la forza di reazione che il suolo esercita sui piedi durante il molleggio Si consideri il molleggio come una frenata che avviene con accelerazione (negativa) costante Fig 18

F

FN

Cadendo da unrsquoaltezza L allrsquoistante in cui il piede tocca il suolo la velocitagrave Vs egrave data dalla risoluzione del sistema di equazioni cinematiche per il moto uniformemente accelerato con t0 il tempo di caduta Vs = gt0 L = frac12 gt0

2 Vs = (2gL) frac12 La forza di reazione che esercita il suolo sul piede durante il molleggio egrave quella che imprime lrsquoaccelerazione (negativa) a di frenata (piugrave il peso del corpo mg)Il corpo si ferma in un tratto l Questa frenata si tratta con le equazioni del moto uniformemente accelerato 0 = Vs ndash at l = Vs t ndash frac12 at2 (essendo t il tempo di frenata) dalla prima equazione t = Vs a che introdotto nella seconda equazione permette di calcolare a a = frac12 Vs

2l e con Vs = (2gL) frac12 si ottiene a = g (Ll) e quindi la forza di reazione Fr = mg + ma egrave data da Fr = mg (Ll + 1) = 70 x 98 x (202 + 1) N = 7546Newton Si noti che al peso si aggiunge una forza che egrave il peso moltiplicato per un fattore (ldquofattore di cadutardquo) dato dal rapporto tra lrsquoampiezza del salto e il tratto di molleggio Questa forza si trasmette dal piede allrsquoarticolazione delle ginocchia e cosigrave via Tensione

Quando una corda egrave attaccata ad un corpo e viene tirata si dice che la corda egrave sotto tensione

La tensione rarrT cui egrave sottoposta la corde in ogni sua parte egrave una forza pari alla forza che si applica

sia al corpo sia alla mano che lo tira ai due estremi della corda ed egrave sempre diretta lungo la corda Fig 19 Anche con una carrucola cioegrave con la corda che si curva intorno ad una rotella la tensione ha intensitagrave T lungo la corda Una corda egrave utile in questo caso per cambiare la direzione e il verso di applicazione di una forza la mano tira verso il basso ma la massa egrave sottoposta ad una forza verso lrsquoalto

Fig20 I tendini del corpo umano sono corde e vengono utilizzati anche per variare la direzione di applicazione delle forze esercitate dai muscoli Forza di attrito

Lrsquoattrito fa parte dellrsquoesperienza quotidiana nel bene e nel male Da una parte fa consumare piugrave benzina (20 per motore e trasmissione) ma anche la suola delle scarpe il battistrada delle gomme e i gomiti del maglione dallrsquoaltra consente il movimento i nodi tengono i chiodi fissano etc Un libro che scivola su un tavolo orizzontale si fermerebbe se non mantenessi una forza costante che contrasta lrsquoattrito su una superficie ruvida il movimento genera lui stesso una forza che decelera il moto Per mantenere in moto rettilineo uniforme un corpo che scivola sopra un piano bisogna applicare al corpo una forza che serva a neutralizzare questa forza ldquospontaneardquo(detta di attrito) in modo che la risultante delle forze applicate sia nulla Anche lrsquoinizio del moto egrave contrastato dalla forza di attrito (statico) che assume un valore uguale e contrario a quello della forza che applico fino a raggiungere un valore massimo (valore limite) Il corpo non si muove resiste al moto Oltre quel valore limite cioegrave se applico una forza sufficientemente intensa il corpo inizia a muoversi Situazione

Fig 21 Un blocco appoggiato sul piano orizzontale egrave fermo rarrP

verso il basso e rarr

NF verso lrsquoalto sono uguali in modulo

Se applico una forza rarrF per spostare il corpo verso destra insorge una forza di attrito statico

P

FN

il cui modulo vale |rarr

sattF _ | = smicro |

rarr

NF | ( smicro egrave il coefficiente di attrito statico il suo valore dipende

dalla natura dei materiali a contatto) esercitata orizzontalmente dal piano che uguaglia in

intensitagraverarrF ma di verso opposto in modo che il corpo non si muove Se aumento

rarrF aumenta

anche rarr

sattF _

Fig22 Diagramma delle forze applicate al blocco

Raggiunto un certo valore di rarrF il corpo ha uno ldquostrappordquo e comincia a muoversi nella direzione

di rarrF verso destra ostacolato dalla una forza di attrito dinamico

rarr

dattF _ generalmente inferiore al

valore max di rarr

sattF _ (egrave piugrave facile mantenere un corpo in moto che muoverlo da fermo)

(Il passaggio da un regime allrsquoaltro egrave allrsquoorigine degli stridii da attrito ndash quello ad esempio del gesso sulla lavagna - o anche del suono del violino) - Proprietagrave dellrsquoattrito riassunte

1 ndash Corpo fermo la forza di attrito statica rarr

sattF _e la componente di

rarrF parallela alla superficie

hanno uguale intensitagrave e si annullano 2 ndash limite di scivolamento la massima forza di attrito per due materiali posti a contatto egrave proporzionale alla forza normale tramite un coefficiente di attrito statico smicro

| rarr

sattF _(max)| = smicro |

rarr

NF |

smicro egrave un coefficiente adimensionale che assume valori diversi per diverse coppie di materiali

3 ndash il corpo inizia a muoversi il valore della forza di attrito decresce rapidamente fino a

|rarr

kattF _ | = kmicro |rarr

NF | proporzionale alla forza normale tramite un coefficiente di attrito dinamico kmicro

adimensionale e dipendente dalla coppia di materiali in considerazione

P

FN

F Fatt

Attenzione |rarr

sattF _| e

rarr

kattF _ | sono proporzionali non a |

rarrP | ma a |

rarr

NF | quindi nel caso di un

piano inclinato bisogna considerare la componente di rarrP perpendicolare al piano

rarr

NF equilibra

solo la parte di rarrP perpendicolare al piano

Attenzione le equazioni per |rarr

sattF _| e |

rarr

kattF _| non sono vettoriali le forze di attrito non sono

dirette come la forza normale rarr

NF ma parallele al piano

Durante una corsa allo scatto si usano i blocchi di partenza per sfruttare la reazione del blocco alla forza muscolare di spinta Data lrsquoinclinazione dei blocchi la forza di reazione del blocco sul atleta si massimizza nella direzione del moto

rArr si fa uso della ldquoazione-reazionerdquo Fig 23 Durante la corsa si sfrutta il coefficiente di attrito statico per mantenere un piede fermo a terra mentre lrsquoaltro avanza Per non superare il limite di scivolamento allrsquoindietro del piede di appoggio la forza che si esercita sul terreno deve avere una componente normale al terreno di intensitagrave opportunamente elevata In ogni caso se smicro egrave basso si ha lrsquoeffetto del camminare sul ghiaccio

Lrsquouso di scarpette chiodate non aumenta il valore di smicro che egrave il coefficiente drsquoattrito tra due

superfici ldquoliscerdquo piuttosto hanno una funzione simile a quella di mini blocchi di partenza permettono di esercitare una forza sul tartan lungo la direzione del moto cioegrave parallelamente alla pista Resistenza del mezzo Consideriamo un corpo che si muove in aria Esso incontra una resistenza da parte dellrsquoaria che agisce in modo da opporsi al movimento del corpo cioegrave ha la stessa direzione e verso opposto a quella del moto

rarrD forza di resistenza del mezzo o forza aerodinamica (detta anche forza viscosa) si

|rarrD | =

2

1 cρAv2 (limite di alte velocitagrave eo alte viscositagrave)

D egrave proporzionale al quadrato della velocitagrave (termine v2 ) Inoltre D egrave proporzionale ad A lrsquoarea efficace della sezione trasversa (lrsquoarea presentata dal corpo nella direzione del moto vedi la posizione a uovo dei discesisti di sci o dei ciclisti) ρ egrave la densitagrave del mezzo Ersquo intuitivo che la resistenza D dipenda dalla densitagrave del mezzo infatti il corpo per procedere deve ldquofarsi stradardquo spostando le molecole del mezzo Quindi piugrave il mezzo egrave rarefatto piugrave egrave facile ldquofarsi stradardquo e inferiore egrave la resistenza D Con c si indica il coefficiente di penetrazione (il cosiddetto cx che dipende dalla forma geometrica del corpo) La forma (oltre che

lrsquoarea efficace A) influenza la resistenza opposta dal mezzo percheacute una ottimizzazione della forma (affusolata migliorare il Cx) porta a ridurre la formazione di turbolenze nellrsquoaria intorno al corpo Casco dei ciclisti o discesisti con forma a punta posteriore

non riduce la sezione trasversa A ma piuttosto migliora il Cx

Fig 24 Nel nuoto lo sbattere i piedi serve soprattutto per mantenere il corpo orizzontale e quindi a ridurre la sezione A Il lavoro viene fatto per lo piugrave dalle braccia (75) In acqua anche se la velocitagrave v egrave bassa D egrave significativa percheacute la viscositagrave del mezzo egrave grande Per ridurre le turbolenze negli sport di velocitagrave diventa essenziale utilizzare accorgimenti quali nascondere dadi e cavi nelle biciclette togliere cerchietti delle racchette da sci Tagliare i capelli o rasarsi le gambe sono sempre modi di ridurre anche le piccole turbolenze Velocitagrave limite di caduta di un grave in aria

La forza rarrD di frenamento durante la caduta libera li un corpo in aria ha verso opposto a quello

della forza pesorarrP che accelera il corpo verso il basso Se

rarrP egrave costante il corpo accelera con

accelerazione rarrg ie aumenta la velocitagrave verso il basso ma aumentando v dunque v2 aumenta

D Ciograve prosegue fincheacute D diventa di intensitagrave uguale P con verso opposto rarrD = -

rarrP A questo

punto la risultante delle forze agenti sul corpo in caduta egrave nulla (sumrarrF =

rarrD + (-

rarrP ) e dalla

seconda legge (fondamentale) della dinamica si ha che lrsquoaccelerazione rarra del corpo egrave nulla

rArr Il corpo non accelera piugrave e mantiene velocitagrave costante massima La velocitagrave raggiunta detta velocitagrave limite vlim egrave tale da verificare lrsquouguaglianza

D = 2

1cρAv lim

2 = mg = P quindi rArr vlim = (2mg cρA) frac12

La vlim raggiunta dai paracadutisti puograve essere variata modificando A tramite dei cambiamenti dellrsquoassetto in volo Questo permette ai paracadutisti di raggiungersi per fare figure in aria Lrsquoapertura del paracadute fa aumentare di molto A rendendo la velocitagrave limite molto piugrave bassa Anche le gocce di pioggia raggiungono la velocitagrave limite (v asymp 7msec in 6m) nella loro caduta Ad esempio cadendo da 1200m le gocce di pioggia raggiungono la terra con la velocitagrave limite di circa 7msec e non con la velocitagrave di 150msec che avrebbero se non ci fosse lrsquoazione di frenamento D (dei veri proiettili)

Senza D rarr vfin = 150ms

Con D rarr vfin = vlim = 7ms Fig 25 Forza elastica La forza elastica egrave una forza non costante

L lunghezza di riposo della molla Fig 26 Una massa m egrave vincolata ad una parete con una molla Se tiro la massa la molla si estende diciamo di un tratto x La molla esercita una forza di richiamo proporzionale allrsquoallungamento x (piugrave si allunga maggiore egrave la forza F di richiamo) F = -kx ldquorichiamordquo cioegrave di verso opposto allrsquoallungamento Ecco la ragione del segno (-) Se raggiunta una certa estensione la molla viene rilasciata essa si ricomprimeragrave ritorneragrave alla lunghezza di riposo L poi si schiacceragrave di un tratto x dalla parte opposta e nuovamente agiragrave la forza di richiamo (che egrave variabile in quanto varia con il variare di x) La massa oscilla attorno alla posizione di riposo k egrave la costante elastica della molla Lrsquoespressione della forza elastica vale per i respingenti del treno (k grande) come per la molla della biro (k piccola) come per lrsquoelastico del saltatore dal ponte Impulso di una forza La legge fondamentale della dinamica F = ma puograve essere scritta esprimendo lrsquoaccelerazione con la sua relazione definitoria (vf - vi)t

F = mt

vv if minus e quindi portando il tempo t al primo membro

)( if vvmtF minussdot=sdot oppure vmtF ∆sdot=sdot

Si dice ldquoimpulso ldquo di una forza il prodotto della forza per il tempo durante il quale viene applicata tF sdot (se la forza non egrave costante lrsquoimpulso egrave lrsquointegrale della forza nel tempo in cui viene applicata)

Scritta in questo modo lrsquoequazione fondamentale della dinamica puograve essere letta cosigrave 1) Supponiamo che un corpo vari la sua velocitagrave di una quantitagrave ∆v = vf - vi tanto piugrave lungo egrave il tempo t durante il quale questa variazione avviene tanto minore egrave la forza che deve essere sviluppata per ottenere tale variazione della velocitagrave In questi termini si capisce ad esempio lrsquoutilitagrave delle cinture di sicurezza che allungando i tempi durante i quali in caso drsquoincidente la velocitagrave del passeggero (che non egrave solidale con la vettura) passa da un valore vi iniziale a zero determina una riduzione della la forza cui il passeggero stesso egrave sottoposto durante il breve tempo dellrsquoimpatto (la forza che le ossa e le articolazioni possono sopportare egrave limitata) Si vede anche come funziona lrsquoelastico del jumper finchegrave lrsquoelastico non egrave completamente svolto (ltL) la forza che agisce sul jumper egrave P (la forza peso) poi progressivamente la forza elastica di richiamo contrasta P quindi il jumper decelera progressivamente per un lungo intervallo di tempo e lo lsquostrapporsquo (F applicata) necessario per contrastare P e fermare il jumper applicato sulle sue gambe e a cascata su tutte le sue articolazioni (secondo il terzo principio) egrave di entitagrave minore 2)Lrsquoimpulso totale prodotto tF sdot nella direzione ottimale egrave la grandezza fisica che stabilisce lrsquoefficacia di un gesto di spinta o di lancio non la massima forza espressa o la durata dellrsquoazione di spinta Lavoro di una forza ndash lavoro meccanico

- 1deg caso Forza costante rarrF

Immaginiamo una forza rarrF che agisce su un corpo durante il suo spostamento Immaginiamo cosi

che il punto di applicazione di questa forza si sposti nello spazio di un tratto rarrs Viene detto

lavoro della forza rarrF la quantitagrave

L = rarrF middot

rarrs = F middot smiddot cosϑ (prodotto scalare di

rarrF per

rarrs )

(prodotto scalare tra i due vettori) Fig 27 Il lavoro egrave una quantitagrave scalare cioegrave egrave descritta completamente da un numero da un valore Tale

valore puograve essere positivo o negativo a seconda che la componente di rarrF lungo

rarrs sia equiversa o

di verso opposto a rarrs Se

rarrF e

rarrs hanno la stessa direzione e se lo spostamento avviene nel

senso di rarrF diciamo che il lavoro egrave positivo (e viceversa negativo) Lrsquointensitagrave del lavoro puograve

variare tra un valore massimo e uno minimo per gli stessi valori del modulo di rarrs e di

rarrF a

rarrs

seconda del valore di cosϑ Il lavoro egrave massimo per cosϑ = 1 (cioegrave per ϑ = 0) (rarrF diretto come

rarrs ) Il lavoro egrave minimo ( L = 0) per cosϑ = 0 cioegrave per ϑ = 90deg (

rarrF perpendicolare a

rarrs )

Puograve darsi il caso che piugrave forze agiscono sullo stesso punto Allora si puograve calcolare il lavoro totale egrave la somma dei lavori di tutte le forze applicate

Ltot = sum Li = sum (rarr

sdotiFrarrs )

Dimensioni di L [ L ]= [ F ][ s ] = mmiddot l middot t-2 middot l = ml2 t-2 Unitagrave di misura di L 1 joule = 1N middot 1m ( 1J ) Lavoro della forza peso durante la caduta di un grave Un grave cade vicino alla superficie della terra sotto lrsquoazione della forza di gravitagrave cioegrave sottoposto ala forza peso P diretta verso il basso percorrendo un dislivello h Il lavoro compiuto dalla forza peso si calcola come

LP = rarrP middot

rarrs = Pmiddot smiddot cosϑ

notando che lo spostamento s (verso il basso) e la forza P sono paralleli con verso concorde pertanto ϑ = 0 e cosϑ = 1 e che | P| = mmiddot g si ottiene LP = mmiddot gmiddot h per uno spostamento s = h (dislivello) Lavoro meccanico nel sollevamento pesi Durante questo gesto sul bilanciere oggetto dellrsquoapplicazione delle forze si esercitano la forza peso P e la forza muscolare dellrsquoatleta Naturalmente entrambe le forze lavorano ma i due lavori si oppongono uno allrsquoaltro (ricorda che il lavoro puograve essere positivo o negativo) Il lavoro positivo deve essere nel verso del moto quindi egrave quello della forza muscolare dellrsquoatleta il lavoro di P invece egrave negativo e se il bilanciere si alza di una quota h si calcola facilmente seguendo il procedimento del paragrafo precedente ottenendo LP = - mmiddotgmiddoth (ϑ = π e cosϑ = -1 ) Calcoliamo il lavoro della forza musculare seguendo lrsquoesempio qui proposto Esempio Un atleta solleva un bilanciere di peso 2500N allrsquoaltezza di 2m (sopra la sua testa) Quanto lavoro meccanico compie la sua forza muscolare Supponiamo che il sollevamento avvenga a velocitagrave costante con accelerazione nulla allora il per il

primo principio della dinamica le forze applicate al bilanciere devono essere tali chesumrarr

iF = 0

Quindi la forza peso P = mmiddot g deve essere controbilanciata dalla forza applicata dallrsquoatleta Fm

Quindi rarr

mF = - rarrP

con Fm = 2500N Il lavoro La fatto dallrsquoatleta vale

Lm = rarr

mF middot rarrs = 2500 N middot 2m middot 1 = 5000 J (sollevamento verticale quindi ϑ = 0 e cosϑ = 1)

Quanto lavoro fa la forza peso

Lp = rarrP middot

rarrs = 2500 middot 2 middot (-1) = -5000 J

(percheacute ϑ = π e cosϑ = -1) Quanto lavoro fa lrsquoatleta mentre sostiene il peso fermo sopra la testa L = 0 percheacute non crsquoegrave spostamento Qui si parla di lavoro meccanico non di lavoro fisiologico diciamo che si fa fatica percheacute crsquoegrave da mantenere integrordquo un corpo non rigido che egrave il corpo dellrsquoatleta quindi si il lavoro delle contrazioni muscolari per mantenere lrsquoequilibrio e ldquolrsquointegritagraverdquo egrave la misura del lavoro fisiologico necessario anche se il lavoro meccanico compiuto egrave nullo 2deg caso Forza variabile Nel caso in cui F egrave una forza variabile che dipende dalla posizione ogni volta che avviene uno spostamento∆ x la forza cambia Il lavoro totale saragrave la somma dei lavori elementari fatti sui tratti piccoli sui quali la forza puograve essere assunta costante

Ltot = iii xxF ∆sdotsum )(

( Se si fa il limite per ∆ xi piccolo rarr 0 e la isum egrave lrsquointegrale Ltot = int sdotxtin

xinxdxF )( )

Ad esempio la forza F puograve essere la forza di richiamo di una molla vincolata al muro Lrsquointensitagrave della forza elastica varia durante lo spostamento aumentando con lrsquoallungamento (o la compressione) della molla ed ha la direzione parallela allo spostamento ma puograve avere verso concorde o discorde quindi con cosϑ che vale o +1 o ndash1 Immaginiamo di avere un blocco attaccato alla molla e di tirarlo da Xin a Xfin allora

F(x) = - kx Fig 28

Il lavoro della forza elastica si calcola sommando i lavori infinitesimali compiuti per spostamenti infinitesimi durante i quali la forza si assume costante Ciograve egrave rappresentato graficamente nel calcolo lrsquoarea compresa al di sotto della curva del grafico di F (Fig 28A) In figura si egrave cambiato il segno della funzione forza per comoditagrave di rappresentazione

Fig 28A

Area = differenza aree dei due triangoli = AABB kxxkxx sdotminussdot2

1

2

1

Ricordandoci del segno

L infin = 22

2

1

2

1infin kxkx +minus e in generale L = 2

2

1kx

Se si calcola il lavoro della forza di richiamo durante un allungamento della molla si ha lavoro negativo mentre durante il ritorno alla posizione di equilibrio il lavoro egrave positivo (segno dello spostamento x e della forza concordi) Energia cinetica Il termine ldquoenergiardquo indica la capacitagrave di compiere lavoro Lrsquoenergia cinetica egrave la proprietagrave che rende conto quantitativamente del legame fra il lavoro compiuto ed il moto generato Avevamo detto piugrave o meno lo stesso parlando della seconda legge della dinamica riferendoci alle forze Qui col lavoro non egrave necessaria la descrizione dettagliata delle forze che agiscono sul punto in considerazione Ersquo sufficiente conoscere il loro lavoro totale

Lrsquoenergia cinetica K = 2

1mv2 (gt 0 percheacute m gt 0 v2 gt 0 ) (m e v sono la massa e la velocitagrave del

corpo) Lrsquounitagrave di misura e le dimensioni di K sono le stesse del lavoro Joule ( J ) e [ ]K = [ ]22 minustml

Teorema dellrsquoenergia cinetica Se una forza F compie un lavoro L su un punto materiale di massa m si ha una variazione dellrsquoenergia cinetica pari al lavoro compiuto

Xfin Xin

F

0

ksdotxfin

ksdotxin

F= ksdotx

x

LAB= -area

L = Kfin ndash Kin = ∆ K Nel caso che piugrave forze agiscono sul punto materiale il teorema dellrsquoenergia cinetica si applica al lavoro totale (equivalentemente al lavoro della risultante ) E il caso dellrsquoatleta che solleva il peso di 2500N Sappiamo che ha compiuto un lavoro di 5000J ma il bilanciare con i pesi era fermo allrsquoinizio ed egrave fermo alla fine Quindi Kin = 0 e Kfin = 0 percheacute vin = 0 e vfin = 0 Allora il teorema dellrsquoenergia cinetica Vale per il lavoro totale o lavoro della forza totale e noi abbiamo visto che la forza netta totale = 0 ( Fa + P = 0 ) ed il lavoro totale egrave nullo quindi giustamente si ha ∆ K = 0 1)Caso di una palla da tennis che cade

la forza peso rarrP compie un lavoro positivo con spostamento concorde a

rarrP si dovrebbe avere

∆ K gt 0 infatti la velocitagrave v aumenta 2)Caso di una palla lanciata verso lrsquoalto

lo spostamento ha verso opposto a rarrP Il lavoro della forza peso egrave negativo e quindi ∆ K egrave

negativo giusto La velocitagrave diminuisce NB Durante il volo agisce solo la forza di gravitagrave quindi il lavoro totale comiuto sul corpo egrave solo quello della gravitagrave 3)Caso del moto circolare uniforme la forza che agisce egrave la forza centripeta che egrave perpendicolare allo spostamento Quindi non compie lavoro deve essere ∆ K = 0 Iinfatti il moto egrave uniforme cioegrave la velocitagrave egrave in modulo costante Potenza Si chiama potenza il lavoro che si egrave in grado di svolgere nellrsquounitagrave di tempo

P = t

L

∆ ( potenza media )

P = t

Lt ∆

∆rarr∆ 0lim ( potenza istantanea)

Non egrave solo una stima del lavoro compiuto ma anche della rapiditagrave con cui si compie lavoro

Fig 29 Per superare il muro ci vuole un certo lavoro che consiste nellrsquoinnalzare il proprio corpo di unrsquoaltezza h Sia lrsquoatleta che lo supera in un sol balzo sia il vecchietto che sale pian piano la scalinata faranno lo stesso lavoro Quel che egrave diverso egrave la potenza dei due personaggi Dimensioni e unitagrave di misura della potenza [ ]P = [L] [t -1] = [ml2t-3] 1 watt = 1 joule 1sec (1w)

Energia Potenziale K egrave energia connessa allo stato di moto di un sistema Crsquoegrave anche energia connessa alla posizione di un corpo in un campo di forze (configurazione) Si chiama energia potenziale Nel caso dellrsquoatleta di sollevamento pesi il lavoro compiuto dallrsquoatleta Lm non ha alterato lrsquoenergia cinetica K dellrsquoattrezzo ma ha modificato la configurazione del sistema (terra-attrezzo) variandone lrsquoenergia potenziale (W) Il lavoro non egrave stato sprecato ma ldquoimmagazzinatordquo lrsquoattrezzo prima egrave a terra poi egrave in alto nel sistema che ora ldquopotenzialmenterdquo puograve compiere un lavoro cedendo la sua ldquoenergia potenzialerdquo Energia cinetica ed energia potenziale sono due parti dellrsquoenergia meccanica possono trasformarsi lrsquouna nellrsquoaltra ed in lavoro Nellrsquoesempio precedente quando lrsquoattrezzo egrave in alto si ha che K = 0 e W = WA Quando cade K aumenta percheacute la velocitagrave v aumenta e lrsquoenergia potenziale W diminuisce In basso W = WB lt WA e K egrave massima Lrsquoattrezzo cadendo puograve compiere lavoro Se fosse un martello potrebbe far avanzare un chiodo ad esempio Lrsquoenergia potenziale viene definita proprio a partire dal concetto di lavoro di forze conservative Ersquo conservativa una forza il cui lavoro per spostare il suo punto di applicazione da una posizione (configurazione) ad unrsquoaltra dipende solo dalle due posizioni (configurazioni) iniziale e finale Equivalentemente si puograve definire la forza conservativa dicendo che il lavoro di tale forza egrave nullo se le posizioni (configurazioni) iniziali e finali coincidono

-Lavoro per passaggio dalla posizione A a B egrave lo stesso lungo I o II -Se da A vado a B e torno in A il lavoro totale egrave nullo

Fig 30 Posso allora definire una funzione della posizione W che assume i valori WA e WB in A e B e tale per cui LAB = WA ndash WB ( W energia potenziale) WA WB sono definiti a meno di una costante tanto quello che interessa egrave la differenza fra loro Variazione di energia potenziale del passaggio da A a B WB ndash WA = ∆W allora LAB = -∆ W Con questa convenzione sui segni si rende conto del fatto che un lavoro positivo ( fatto dalle forze conservative sul corpo) fa diminuire lrsquoenergia potenziale W ( L positivorarr ∆W negativo rarr WBlt WA rarr ho usato energia potenziale) un lavoro negativo (subito) aumenta W (L negativo rarr ∆W positivo rarr WBgt WA rarr ho guadagnato energia potenziale) W si misura in Joule come il lavoro e lrsquoenergia cinetica

Qual egrave la Forma di W

Mentre la forma dellrsquoenergia cinetica egrave sempre K =2

1mv2 indipendentemente dal tipo di forze

che provocano il movimento W dipende dal tipo di forza conservativa di cui si sta calcolando il lavoro Consideriamo due forze conservative

a) Forza gravitazionale forza peso

F(y) = -mg Stato di riferimento y0 = 0 in cui W0 = 0

Fig31

Abbiamo detto che LAB = WA- WB ma siccome

LAB = )( ABhmgsP minussdotminus=sdot dove hAB= yA-yB egrave la distanza tra A e B allora rArr WA = mgyA WB = mgyB e in generale W(y) =mgy

Per la forza peso W(y) =mgy e lrsquoenergia totale meccanica (W+K) = mgy+2

1mv2=Etot

b) Forza elastica

Fig 32

F(x) = -kx Stato di riferimento x = 0 allungamento nullo la lunghezza della molla egrave la sua lunghezza di riposo L ( W(0) = 0)

Immaginiamo che la configurazione della molla venga modificata passando dalla posizione xA alla posizione xB (Fig 32) Il lavoro della forza elastica egrave calcolato come

LAB = 22

2

1

2

1AB kxkx +minus

Ricordando che LAB = WA- WB possiamo ricavare lrsquoespressione per lrsquoenergia potenziale elastica

rArr WA = 2

2

1Akx WB = 2

2

1Bkx e in generale W(x) = 2

2

1kx

Energia totale meccanica ndash Conservazione dellrsquoenergia

In presenza di sole forze conservative la somma dellrsquoenergia cinetica e dellrsquoenergia potenziale costituisce lrsquoenergia totale meccanica Tale energia meccanica gode della proprietagrave importantissima di conservarsi durante lrsquoevoluzione del sistema Lrsquoenergia connessa al movimento e alla posizione si scambiano una diminuisce e lrsquoaltra cresce ad esempio ma la loro somma rimane costante

- Esempio delle montagne russe Se non ci sono attriti (infatti il trucco egrave quello di rendere il

sistema privo di attriti) so giagrave quale altezza massima potrograve raggiungere (quella iniziale e non di piugrave) quale velocitagrave massima potrograve raggiungere (in fondo alla valle) Queste quantitagrave sono fra loro legate dal teorema della conservazione dellrsquo energia meccanica

Fig 33 - Esempio del salto con lrsquoasta Lrsquoenergia cinetica dellrsquoatleta acquisita nella rincorsa viene

trasformata in energia potenziale gravitazionale parte direttamente e parte attraverso lrsquoenergia potenziale elastica dellrsquoasta acquisita nella sua deformazione durante il salto La flessibilitagrave dellrsquoasta (costante elastica dellrsquoasta) egrave legata allrsquoenergia che si puograve immagazzinare in una data deformazione Infatti con aste rigide (alluminio acciaio bambugrave) il salto era piugrave basso Con fibra di vetro il record egrave stato polverizzato

Fig 34

Fig 35

Fig 36

Osserviamo che il teorema dellrsquoenergia cinetica ha validitagrave generale qualunque siano le forze che agiscono conservative o non conservative (le forze non conservative si dicono anche ldquodissipativerdquo)

KLL

KL

fncfc

tot

∆=+∆=

e ricordando che darr Lfc = - )( fcW∆

Si ottiene che K∆ + )( fcW∆ = Lfnc

Si vede che nel caso in cui Lfnc sia nullo cioegrave quando non ci sono forze dissipative la somma delle variazioni di energia cinetica e energia potenziale egrave uguale a zero cioegrave lrsquoenergia totale meccanica (somma dellrsquoenergia cinetica e potenziale) egrave costante E questo corrisponde al teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica Nel caso ci siano forze dissipative la somma delle energie non egrave costante quindi al contrario del teorema dellrsquoenergia cinetica il teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica non ha validitagrave generale (vale solo in assenza di attriti ad esempio) Le forze non conservative di attrito compiono lavori solo negativi e fanno perdere quantitagrave di energia non recuperabile Parte di questa energia va in generale in calore quindi se ne puograve tenere conto considerando unrsquoaltra forma di energia lrsquoenergia termica ( ci sono anche altri fenomeni dissipativi ad esempio le deformazioni permanenti negli urti o la propagazione di onde sonore)

Lrsquo energia puograve dunque conservarsi o trasferirsi proprietagrave caratterizzanti dellrsquoenergia Il lavoro rende conto del trasferimento di energia della perdita di energia sotto una forma e del guadagno sotto unrsquoaltra forma (cioegrave energia conservativa) o del passaggio dellrsquoenergia da un sistema ad un altro Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica quando egrave applicabile puograve essere sfruttato per risolvere facilmente problemi altrimenti complicati Esercizio Una palla da tennis viene lanciata con velocitagrave iniziale v0 (senza effetti strani taglio etc) al di lagrave della rete Con quale velocitagrave arriva a terra

Se durante il moto Etot si conserva K+W = cost

Fig 37 e W = mgh egrave solo energia potenziale gravitazionale h = 0 alla fine come allrsquoinizio dunque K in = Kfin e vfin = v0 Se la palla egrave lanciata verso lrsquoalto non crsquoegrave componente orizzontale della velocitagrave ma solo verticale al punto piugrave alto di arresto h K(h) = 0 W(h) = max = Kin cioegrave mgh = frac12 mv0

2 si puograve cosigrave calcolare facilmente lrsquoaltezza massima raggiunta h = (frac12 v0

2)g e vicenversa si puograve calcolare il valore della velocitagrave v0 che bisogna imprimere alla palla affinchegrave raggiunga lrsquoaltezza h

v0 = gh2

Esercizio Una saltatrice di massa M = 61Kg salta da un ponte di altezza H = 45m agganciata ad una corda elastica La lunghezza di riposo della corda elastica egrave L = 25m e la sua costante elastica egrave k = 160 Nm Nel punto piugrave basso si arresta prima di venire rimbalzata in alto Qualrsquo egrave lquesta quota piugrave bassa h (a cui si trovano i suoi piedi ai quali egrave legato lrsquoelastico)

Fig 38 Etot = Wgrav + Wel + K = cost sono solo forze conservative vale la conservazione

dellrsquoenergia Nel punto A K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di lanciarsi Wel = 0 percheacute lrsquoelastico non egrave ancora svolto Wgrav = MgH Nel punto B K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di rimbalzare

Wel = frac12 kd2 Wgrav = Mgh = Mg(H-(L+d)) Etot(A) = Etot (B) MgH + 0 + 0 = Mg (H-(L+d)) + frac12 kd2 + 0 MgH = MgH ndash MgL ndash Mgd +frac12 kd2

2

1(160)d2 ndash (61)(98)d ndash (61)(98)(25) = 0

equazione di IIdeg grado che dagrave per d il valore accettabile d = 179m (lrsquoaltro egrave negativo e non egrave accettabile perchegrave non ha senso fisico la

saltatrice va in giugrave non in su) Allora h = H-(L+d) = 45 ndash (25+179) = 45 ndash 429 = 21m quindi con la testa poco sopra lrsquoacqua Sistemi di punti materiali e corpi rigidi ndash Centro di Massa

Un giocoliere o un ginnasta che lancia la clavette fa compiere allrsquoattrezzo movimenti complicati tuttavia crsquoegrave un punto dellrsquoattrezzo che si muove seguendo una traiettoria semplice come quella di un punto materiale ad esempio lanciato segue una traiettoria parabolica Tale punto si chiama centro di massa dellrsquooggetto Il centro di massa puograve essere definito per un oggetto o per un insieme di punti materiali Ersquo importante percheacute in generale il moto di un corpo esteso (o di un insieme di punti) si puograve studiare separando il moto del centro di massa (moto traslatorio) e il moto del corpo attorno al centro di massa (moto rotatorio)

Centro di Massa (CDM) di un sistema di punti - Consideriamo il caso semplice di due punti materiali di massa m1 m2 posti sullrsquoasse x in

posizione x1 x2

Fig 39

la posizione del centro di massa egrave definita xCDM = 21

2211

mm

xmxm

++

a) xCDM egrave compreso fra x1 e x2 b) se m1 = m2 CDM egrave a metagrave strada fra m1 ed m2 c) xCDM egrave piugrave prossimo alla massa maggiore - Nel caso di piugrave punti allineati nelle posizioni xi detto M = summi allora

xCDM = ii xmMsum

1

- Nel caso di punti distribuiti nello spazio detti irrarr

i vettori che identificano le loro posizioni

CDMrrarr

= iii rmM

rarrsum

1

dove CDMrrarr

ha coordinate (xCDM yCDM zCDM) definite come

xCDM = ii xmsumη1

yCDM = ii ymMsum

1

zCDM = ii zmMsum

1

- Consideriamo un oggetto qualsiasi questo egrave composto da un gran numero di particelle ma conviene considerarlo come un continuo di materia e per calcolare il centro di massa si prendono in considerazione degli elementi infinitesimi di massa dm centrati intorno alle posizioni (xyz) allora

xCDM = int xdmM

1 yCDM = int ydm

M

1 zCDM = int zdm

M

1

se si puograve considerare il corpo omogeneo (densitagrave uniforme) allora V

M

dv

dm = e allora si puograve fare il

calcolo considerando il volume V e gli elementi di volume dv anzichegrave la massa e gli elementi di massa

xCDM = int xdvV

1 etc

In un oggetto solido (corpo rigido) i diversi punti materiali che lo compongono non cambiano la loro posizione relativa (non come un corpo elastico) - se un oggetto ha un elemento di simmetria un asse od un piano il CDM si trova su tale

elemento di simmetria (asse per cono centro per sfera piano per una banana etc) Non egrave detto che il CDM di un oggetto appartenga allrsquooggetto vedi uno pneumatico un cerchio Il CDM egrave esterno alloggetto Legge fondamentale della dinamica per un sistema di punti materiali Caso della palla da bigliardo urto fra due palle dopo il lancio di una le due si muovono 1) una egrave ferma (B) lrsquoaltra la lancio (A) 2) le due si urtano in qualunque modo 3) le due si muovono secondo traiettorie differenti una possibilmente andragrave in buca lrsquoaltra no Dopo il lancio sulla palla A non agisce piugrave nessuna forza quindi la sua velocitagrave v egrave costante Va bene ma dopo lrsquourto Il CDM delle due palle continua a muoversi con velocitagrave costante anche se il centro di massa egrave un punto teorico che non appartiene a nessuna delle due palle Tuttavia al CDM possiamo assegnare una massa (M totale del sistema) una velocitagrave ed una accellerazione Si ha

)(CDMext aMFrarrrarr

=sum

a) extFrarr

sum egrave la somma di tutte le forze esterne che agiscono sul sistema non quelle interne (ad esempio nel caso del bigliardo non devo considerare le forze che si applicano fra le due palle quando si urtano)

b) M egrave la massa totale del sistema Si suppone che durante il moto M rimanga costante

c) )(CDMararr

egrave lrsquoaccelerazione del CDM Dellrsquoaccellerazione di un altro punto ad esempio del centro della palla A non si dice nulla

Cosideriamo alcuni esempi 1) Bigliardo tvaF CDMCDMext cos00 ===sum prima dellrsquourto nellrsquourto si verificano solo forze

interne Quindi tvaF CDMCDMext cos00 ===sum dopo lrsquourto e durante tutto il moto

2) Sistema terra-luna sumFext = gravitazione del sole aCDM egrave ldquocentripetardquo accellerazione di una

forza che egrave diretta verso il sole (forza ldquocentralerdquo) egrave il CDM terra-luna che segue la traiettoria dovuta allrsquoattrazione gravitazionale del sole poi terra e luna si muovono intorno al loro CDM

3) Clavette lanciate sum Fext = Mg aCDM = g il centro di massa si comporta come un punto materiale nel lancio

4) La ballerina nel ldquogrand-fetegraverdquo fa seguire a testa e busto una traiettoria rettilinea percheacute modifica lrsquoassetto in modo da alzare il suo CDM Nel corso del salto (alza le braccia e distende

orizzontalmente le gambe non appena lasciato il suolo) il suo CDM segue la traiettoria parabolica del lancio di un corpo soggetto allrsquoaccelerazione di gravitagrave g

Quantitagrave di moto rarrP

- Si definisce quantitagrave di moto di una particella il vettore

rarrrarr= vmP

con m massa della particella e rarrv la sua velocitagrave

Si vede che rarrP egrave diretto come

rarrv

Newton scrisse la legge fondamentale della dinamica in termini di quantitagrave di moto (a differenza di Galileo che la scrisse in termini di massa e di accelerazione) ldquola rapiditagrave di variazione della quantitagrave di moto di una particella egrave proporzionale alla forza netta che agisce sulla particella ed egrave nella direzione di quella forzardquo cioegrave

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

che egrave piugrave generale della formulazione di Galileo perchegrave descrive bene anche il caso in cui variasse la massa del corpo durante il moto (ad esempio un vettore spaziale) Se la massa egrave costante le due formulazioni sono identiche

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

= t

vm

∆∆

rarr)(

= m t

v

∆∆

rarr

= m rarra

Ricordiamo che rarrF egrave diretto come

rarra (o la risultante

rarrR = sum

rarrF )

Per un sistema di punti materiali si definisce la quantitagrave di moto totale

rarrP =

rarrP 1 +

rarrP 2 + helliphellip+

rarrP n =

m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +helliphelliphellip+ mn

rarrv n = M

rarrv CDM (si puograve dimostrare) dove M egrave la massa totale

[essendo infatti Mrarrv CDM =

dt

d(M

rarrr CDM) =

dt

d(m1

rarrr 1 + m2

rarrr 2 +hellip) = m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +

hellip]

quindi rarrP = M

rarrv CDM per un sistema di particelle e

dt

Pdrarr

= M dt

d rarrv CDM = M

rarra CDM = sum

rarrF ext

Conservazione delle quantitagrave di moto

Per un sistema chiuso (M non varia) e isolato (sumrarrF ext = 0)

Allora

t

P

∆∆

rarr

= 0 rarrP = cost

rarrP i =

rarrP f

che sono tre modi equivalenti per dire che la quantitagrave di moto si conserva Vale per un sistema nel quale non agisca nessuna forza esterna netta Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica e la conservazione delle quantitagrave di moto sono due concetti fisici importantissimi Valgono sia per le palle da bigliardo che per qualunque altro sistema anche le galassie nellrsquouniverso Queste equazioni sono vettoriali Ciograve significa che rappresentano una terna di equazioni scalari ognuna valida sul proprio asse del sistema di riferimento (x y z)

Puograve accadere a seconda delle forze che agiscono nel sistema che la quantitagrave di moto si conservi in una direzione o in due e non in tutte e tre

Ad esempio se consideriamo una palla come un insieme di punti materiali la rarrF ext che agisce nel

sistema egrave mrarrg diretta lungo z senza componenti su x e y quindi

rarrP varia lungo z ma

non su x e y

Percheacute ldquocomplicarci la vitardquo con questa storia del CDM del sistema di particelle etchellip non bastava il moto del punto rappresentativo materiale Avevamo giagrave considerato il punto rappresentativo e avevamo svolto anche problemi sulla palla sul bilanciere e per altri oggetti Abbiamo sempre sbagliato La questione egrave se un corpo egrave rigido cioegrave se tutti i suoi punti si muovono mantenendo le loro distanze relative non crsquoegrave problema abbiamo solo visto che il punto materiale rappresentativo si chiama CDM ed abbiamo imparato a situarlo allrsquointerno del corpo Ma se il corpo non egrave rigido cioegrave se il suo CDM si sposta rispetto a lui stesso nel corso del moto la disposizione del corpo intorno al punto rappresentativo varia nel corso del tempo e le leggi di conservazione valgono per il CDM - Consideriamo ad esempio il teorema dellrsquoenergia cinetica che per un punto materiale si scrive Ltot = Kfin-K in = ∆ K (qui ovviamente non crsquoegrave da specificare lavoro delle forzeldquoesternerdquo percheacute essendo in un punto materiale che si assume infinitamente piccolo non ci sono forze ldquointernerdquo) Per analogia il teorema dellrsquoenergia cinetica si estende al caso di un insieme di punti materiali nel seguente modo

Ltot forze ext=rarrF extmiddot

rarrs CDM = ∆ KCDM

Dove s CDM egrave lo spostamento del centro di massa A titolo di esempio risolviamo il problema un giocatore di hockey su ghiaccio di massa M = 110Kg si muove verso la balaustra a bordo campo alla velocitagrave di 3msec Nellrsquoarrestarsi flettendo le braccia il suo CDM si sposta in avanti di 30cm Qual egrave la ∆ K del suo CDM durante la manovra

∆ KCDM = infin CDMCDM mvmv 22

2

1

2

1 minus =

= 0 - 2

1110 32 = -495 J

Fig 40

Sia L il lavoro delle forze esternerarrF ext (dirette come d

rarrx CDM ) allora

L = - Fext 03 = ∆ KCDM quindi

Fext =30

495

minusminus

= + 1650N

( si considera la forza esterna rarrF ext costante nellrsquointervallo dellrsquoarresto fatto che equivale a dire

che il giocatore si arresta con rarra CDM costante)

Dinamica e statica del corpo esteso Finora abbiamo sempre discusso del moto di un punto materiale (punto rappresentativo dicevamo sempre) In particolare abbiamo sempre applicato le forze a quel punto materiale quindi se diverse forze erano applicate esse concorrevano in quel punto ligrave e con le forze concorrenti sapevamo come calcolare la risultante con il metodo grafico o con quello numerico delle coordinate cartesiane Una volta calcolata la risultante applicata al punto si otteneva un moto di pura traslazione del punto (al massimo traslava lungo una traiettoria curva) senza rotazioni proprie del punto che non hanno neanche senso un punto che ruota su se stesso Come faccio ad accorgermi Un punto per definizione egrave infinitamente piccolo (Dicevamo infine che il punto egrave in equilibrio

traslazionale se la risultante rarrR delle forze applicate egrave nullo)

Consideriamo invece un corpo esteso Prima osservazione questo ha piugrave punti (direi infin ) a

cui la forza puograve essere applicata Prendiamo una racchetta da tennis ed una forza rarrF applicata il

moto che ne risulta dipende dal punto al quale viene applicata la forza rarrF

qui la racchetta trasla

Fig 41

stessa forza qui la racchetta ruota

Fig 42

Seconda osservazione Crsquoegrave un caso in cui le forze non possono essere fatte concorrere in un punto ed egrave quando sono parallele ed hanno rette di applicazione distinte Chiaramente non abbiamo mai dovuto considerare questo caso per il punto materiale percheacute per un punto non possono mai passare due rette parallele Ma per il corpo esteso So benissimo che se sono ferma con la macchina in

panne e la sto spingendo applicando una forza rarrF 1 sono contenta se qualcuno si affianca a me ed

esercitando una forza rarrF 2 lungo una direzione parallela a quella della mia mi aiuta a spingere In

particolare mi viene spontaneo dire che se F1 = F2 allora spingeremo con una forza doppia Ci saragrave quindi un modo per sommare due forze non concorrenti in un punto ma parallele e saragrave Ftot = F1+ F2 La retta di applicazione di Ftot divide il segmento congiungente i punti di applicazione di F1 ed F2 in due segmenti inversamente proporzionali allrsquointensitagrave delle forze F1 e F2 Terza osservazione se F1 = - F2 sono uguali in intensitagrave ma di verso opposto sempre lungo due rette di applicazione parallele passanti per un corpo esteso cosa succede La loro somma Ftot risultante saragrave 0 ma io so che il corpo non sta fermo sotto lrsquoazione di tali due forze ma ruoteragrave Concludo che le nozioni che ho acquisito finora vanno riviste ed ampliate o corrette o specificate per i corpi estesi ed inoltre che mi mancano totalmente i mezzi per descrivere le rotazioni dei corpi estesi Occorrono nuovi concetti nuove quantitagrave la forza non basta Prendo lrsquoesempio piugrave semplice dellrsquoaltalena con due bambini in due bracci uno piugrave leggero uno piugrave pesante

Fig 43 Qualitativamente so che percheacute lrsquoaltalena stia in equilibrio e non ruoti intorno al punto fisso non egrave necessario che i due bambini abbiano lo stesso peso (ugual massa) occorre che il bambino piugrave leggero sieda piugrave lontano rispetto al punto fisso (fulcro) La regola quantitativa dice che lrsquoaltalena egrave in equilibrio se il prodotto del peso per la distanza del fulcro egrave uguale PB dB = Pb

db Per generalizzare questa regola ai casi piugrave complessi occorre definire una nuova quantitagrave il momento di una forza Momento di una forza

Consideriamo una forza rarrF applicata ad un punto P ed un punto O Sia

rarrr

il vettore rarrOP allora il momento

rarrM di

rarrF rispetto ad O egrave

rarrM =

rarrr x

rarrF

e

|rarrr | middot |

rarrF | sin ϑ = |

rarrM |

Fig 44

oppure anche considerando la componente di rarrF perpendicolare ad

rarrr o di

rarrr

perpendicolare a rarrF r e rispetto a F

|rarrM | = |

rarrr | |

rarrF perp | |

rarrM | = |

rarrr perp| |

rarrF |

In generale si dice che il modulo del momento |rarrM | egrave il prodotto delle intensitagrave della forza per la

distanza dal punto della retta di applicazione della forza

Come vettore rarrM egrave perpendicolare al piano che contiene

rarrF ed

rarrr ed ha verso calcolato con la

regola della mano destra (con rarrr che si chiude su

rarrF )

La distanza rperp si chiama braccio della forza Si vede che il momento egrave nullo quando il braccio egrave nullo cioegrave quando il punto O si trova sulla retta di applicazione di F Il momento della forza peso P egrave nullo rispetto al baricentro che coincide con il centro di massa nel caso (praticamenteldquosemprerdquo) in cui il corpo non sia abbastanza esteso percheacute diversi punti del corpo risentano di una forza gravitazione differente Praticamente si deve parlare di galassie percheacute CDM e baricentro (BC) non coincidono Quindi la condizione del momento nullo della forza peso diventa un modo per definire il CDM come quel punto rispetto al quale la forza peso P ha momento nullo Per un corpo ldquoarticolatordquo estendiamo il concetto di forza normale come forza di contatto nellrsquoarticolazione utile cioegrave la forza che lrsquoarticolazione che si sta considerando esercita su quello che nellrsquoarticolazione si appoggia La forza peso P di un corpo esteso puograve immaginarsi applicata al CDM Principio di equilibrio di un corpo esteso

se su un corpo esteso agiscono solo rarr

Peso e rarr

Normale cioegrave se un corpo egrave appoggiato ad un piano orizzontale allora il corpo egrave in equilibrio se e solo se il baricentro si trova sopra la superficie di appoggio

Fig 45

Finchegrave il baricentro egrave sopra il tavolo il libro non cade percheacute rarrP applicata a CDM puograve essere

controbilanciata da rarrN Se CDM si sposta in fuori

rarrN rimane nel tavolo e crsquoegrave momento non nullo

non equilibrato da rarrP che continua ad essere applicato nel CDM

Il baricentro di una persona in posizione eretta si trova nellrsquoarea delimitata dei suoi piedi 3cm davanti allrsquoarticolazione della caviglia

Fig 46 Quando la persona si piega in avanti il baricentro esce dal corpo e per mantenere lrsquoequilibrio egrave necessario che le anche si spingono indietro percheacute il baricentro cade di nuovo in quella posizione Notiamo che anche in posizione eretta essendo la forza peso e la forza di contatto non allineate (quei 3cm) (forza di contatto sullrsquoarticolazione della caviglia che regge il peso) occorre un momento correttivo che impedisca la rotazione in avanti mantenuto dal tendine di Achille che si lega alla caviglia Altro esempio di spostamento del baricentro egrave lrsquoatleta che assume una posizione ad L chi regge il peso egrave lrsquoarticolazione della spalla quindi il CDM si sposta sotto la spalla (giagrave era uscita dal corpo per via delle gambe distese in avanti) Nel camminare il baricentro continua a muoversi da sopra un piede a sopra un altro (quello appoggiato ovviamente) Si osservi lrsquoondeggiamento Per assurdo lrsquoancheggiare delle indossatrici serve a mantenere il baricentro il piugrave possibile fermo rispetto alla direzione media del moto (porre un piede esattamente davanti allrsquoaltro) rendendo piugrave facile muoversi anche con tacchi altissimi Al contrario lrsquoequilibrista che cammina sui trampoli sta fermo il meno possibile percheacute egrave stando fermo che il piccolo spostamento che fa uscire il baricentro (ALTO) dalla superficie drsquoappoggio puograve verificarsi facilmente preferisce il ldquonon ndash equilibriordquo o lrsquo rdquoequilibrio dinamicordquo dellrsquoondeggiare continuamente fra due posizioni di equilibrio

Ricordiamo che un equilibrio egrave detto stabile se quando una perturbazione lo altera spontaneamente il sistema lo ripristina Viceversa un equilibrio egrave instabile se la piugrave piccola perturbazione lo distrugge Lrsquoequilibrio egrave molto stabile se il baricentro egrave basso ed il corpo ha una grande area drsquoappoggio la posizione accucciata del giocatore di football americano dagrave grande stabilitagrave Ancor piugrave grande stabilitagrave si ha se il baricentro (CDM) si trova al di sotto della superficie drsquoappoggio Ersquo come se si fosse ldquoappesirdquo anzicheacute ldquoappoggiatirdquo alla superficie drsquoappoggio Proprio per questo motivo lrsquoequilibrista sul filo porta una lunga asta che spesso si flette agli estremi

Fig 47 Gli uccelli bipedi da 100000000 di anni hanno sviluppato questo adattamento per cui sono appesi alle anche mentre gli uomini bipedi da solo 1000000 di anni fanno fatica con il CDM dalla parte alta del corpo Ersquo un equilibrio instabile ldquosoprardquo le anche che le reggono (65 del peso del corpo) Modificazioni strutturali per reggere la posizione eretta 1) Colonna vertebrale rastremata (piugrave tozza in basso che in alto percheacute piugrave in basso vuol dire una

maggior forza di contatto) 2) Muscoli estensori della schiena 3) Gambe ed anche ingrossate 4) Ginocchio che blocca la gamba estesa Ciononostante si ha spesso il mal di schiena Se una forza ha momento non nullo rispetto ad un punto allora il corpo puograve ruotare intorno a quel punto sotto lrsquoazione di quella forza ldquoDiciamo che se sostengo il corpo per quel punto il corpo puograve ruotare intorno a quel puntordquo (Prendo in mano un foglio di carta per un estremo per esempio) La presenza di un momento non nullo egrave dunque la condizione che genera rotazione e viceversa Lrsquoassenza di un momento risultante egrave la condizione che genera lrsquoequilibrio rotazionale di un corpo esteso Quindi la condizione di equilibrio per un corpo esteso egrave

1) rarrR = 0 risultante delle forze applicate = 0 (equilibrio traslazionale)

2) rarrM = 0 momento risultante = 0 (equilibrio rotazionale)

Supponiamo di avere un corpo esteso al quale siano applicate delle forze che diano luogo ad un momento non nullo allora il corpo ruota Per equilibrarlo dovrograve applicare un altro momento tale che la loro somma sia nulla Questo egrave il principio di funzionamento delle leve LEVE

Una leva egrave un corpo esteso al quale sono applicate delle forze con un momento risultante rarrR

allora per portare il corpo in equilibrio applico un momento correttivo rarrP in modo che il momento

totale sia nullo Si dice in genere potenza (P) e resistenza (R) di una leva Le leve sono macchine semplici Servono per applicare forze in punti scomodi o in direzioni particolari Il fulcro egrave il punto nel quale la leva egrave incernierata Si definisce il guadagno meccanico di una leva

GM =

)(

)(rarr

rarr

PF

RF

cioegrave il rapporto fra la forza che genera il momento resistente e quella che genera il momento agente A seconda che GM sia gt

lt 0 una leva si dice che egrave vantaggiosa o svantaggiosa ma solo per quel che riguarda le forze percheacute per quel che riguarda i lavori non si ha neacute vantaggio neacute svantaggio Il lavoro esercitato dalla forza che dagrave la ldquopotenzardquo e quello esercitato dalla forza che dagrave la ldquoresistenzardquo sono sempre uguali Infatti forze e spostamenti sono inversamente proporzionali Le leve si dicono di I II o III specie a seconda se il fulcro si trovi I) in mezzo fra R e P (leva indifferente GM dipende da caso a caso) II) dalla parte di R (leva vantaggiosa il braccio di R egrave sempre minore del braccio di P basta

quindi una P minore per equilibrare una R maggiore) III) dalla parte di P (leva svantaggiosa) Classici esempi dei tre tipi di leve sono i remi (I) lo schiaccianoci (II) e la pinzetta per francobolli (III) Tuttavia vediamo degli esempi meno classici ma attinenti al campo della biologia e della medicina Criterio generale egrave che le leve vantaggiose consentono di essere molto potenti ma con brevi spostamenti mentre viceversa quelle svantaggiose fanno perdere in potenza ma consentono grandi spostamenti saragrave difficile vedere un cavallo che con le lunghe zampe si scava la tana drsquoaltronde una talpa scava bene la tana ma ha movimenti molto meno ampi che non le consentono di correre veloce come un cavallo (compromesso fra forza e velocitagrave del movimento) Se contiamo tutti i movimenti di rotazione che il corpo puograve compiere capiamo che siamo pieni di leve di ogni tipo Sono classici a) il capo fulcro (articolazione occipito-atlantoide) Fig 48 muscoli della nuca (Potenza) peso del capo (Resistenza) b)

muscolo bicipide (Potenza)

Fig 49 Peso dellrsquoavambraccio (Resistenza) Fulcro (articolazione del gomito) Questa leva permette grandi spostamenti Si vede che la forza operata dal muscolo bicipite egrave massima quando lrsquoavambraccio egrave orizzontale (la distanza dal fulcro egrave massima) ed egrave minima quando lrsquoavambraccio egrave verticale( con la distanza dal fulcro nulla) Attenzione - la colonna vertebrale egrave costituita da 24 vertebre separate da dischi di liquido Quando una

persona si piega la schiena egrave una leva con GM molto piccolo Quindi un piegamento completo per raccogliere un oggetto anche leggero produce una forza molto intensa sul disco lombosacrale che separa lrsquoultima vertebra dellrsquoosso sacro Se indebolito questo disco puograve rompersi o deformarsi comprimendo i nervi vicini e causando grande dolore Vediamo un modello che rende conto come mai questa forza egrave cosigrave grande

Fig 50

I muscoli della schiena esercitano T Con un angolo α = 12deg quando la schiena egrave piegata a 90deg

Peso della parte superiore del corpo (circa il 65 del peso totale)

Fulcro lombosacrale (il fulcro produce R) Essendo α piccolo la retta di azione Τ passa vicino al fulcro e dunque la distanza r che costituisce il suo braccio egrave molto piccola Al contrario il peso egrave perpendicolare alla colonna e il suo punto di applicazione egrave molto piugrave distante dal fulcro Τ deve essere molto grande per equilibrare il momento di P Dunque se T egrave grande anche la sua componente orizzontale egrave grande e di conseguenza anche R che costituisce la reazione dellrsquoosso sacro deve avere componente orizzontale molto grande per equilibrare Τ (uguale ed opposta alla componente orizzontale di Τ ) Facendo i conti si ottengono numeri grandi per 75Kg di peso T ed R sono equivalenti al peso di una massa di 220Kg Senza sollevare pesi solo piegandosi Conviene piegare le ginocchia quando si sollevano pesi - Nel corpo egrave difficile che il peso cada sulla verticale dellrsquoarticolazione che lo sostiene egrave sempre

un porsquo spostato e crsquoegrave un tendine con un muscolo che compensa il momento del peso - La contrazione muscolare egrave una successione di brevi contrazioni delle fibre muscolari stimolate

da impulsi che provengono dal sistema nervoso Contrazioni sono molto ravvicinate e avvengono in tempi differenti nelle diverse parti del muscolo cosigrave che il risultato apparente egrave una lenta e progressiva contrazione Se la frequenza degli impulsi aumenta la tensione cresce finchegrave si raggiunge la tensione massima (ricordare la tensione di un cavo) Un ulteriore aumento della frequenza degli impulsi a questo punto non causa ulteriore aumento della tensione

La tensione massima egrave proporzionale allrsquoarea della sezione trasversa del muscolo nel suo punto piugrave largo La tensione massima dipende anche dalla lunghezza del muscolo che varia Si ottiene tensione massima quando il muscolo egrave solo di poco allungato rispetto alla sua lunghezza di riposo di riposo ed egrave circa 30-40 Ncm2 La tensione massima si riduce moltissimo se il muscolo egrave molto allungato o accorciato Dinamica Rotatoria Fino ad ora abbiamo studiato moti traslatori ma il moto di un corpo rigido egrave in generale roto-traslatorio Naturalmente dobbiamo ridurre il problema complesso ad uno piugrave semplice e per fare ciograve immaginiamo di posizionarci su un sistema di riferimento solidale al corpo rigido i moto immaginiamo cioegrave di ldquosedercirdquo sul corpo rigido In questo modo non saremo piugrave sensibili al moto traslatorio e guardando il corpo rigido osserveremo solo le sue rotazioni Trattiamo allora il moto generico scomponendo la parte traslatoria (giagrave discussa ) da quella rotatoria Se si trascura la parte traslatoria del moto di un corpo rigido quello che rimane da trattare egrave la sua rotazione Nel nostro corso consideriamo le rotazioni che avvengono su un piano le rotazioni nello spazio potranno essere trattate come composizione di rotazioni su un piano Per le rotazioni su un piano si identifica un asse di rotazione perpendicolare al piano di rotazione e passante per il centro di rotazione Le articolazioni del gomito e del ginocchio sono articolazioni libere di ruotare intorno ad un asse a differenza ad esempio di quella della spalla che puograve ruotare intorno a due assi Si definisce spostamento angolare la variazione di una posizione che egrave definita in modo completo da una misura di angolo Una rotazione di un intero corpo rigido egrave definita in modo completo da uno spostamento angolare θfin - θin= ∆θ e si misura in radianti

Fig 51 Dobbiamo definire anche un verso di rotazione θ si incrementa per rotazioni antiorarie positive le rotazioni in senso orario sono invece negative La velocitagrave angolare si definisce analogamente alla velocitagrave lineare come il rapporto tra lo spostamento angolare e il tempo t impiegato per eseguire tale rotazione

ωm = t∆

∆θ e si misura in rad s

θin

θfin ∆θ

R

S

Anche per w si definisce ωist = lim ∆trarr0 t∆

∆θ

Ancora lrsquoaccelerazione angolare si definisce αm = t∆

∆ω e αist = lim ∆trarr0

t∆∆ω

Anche la legge fondamentale della dinamica ha un analogo nel ambito dei moti rotatori Si stabilisce che se ad un corpo rigido egrave soggetto ad un momento torcente diverso da zero esso subisce unrsquoaccelerazione angolare ad esso proporzionale Nel caso delle rotazioni la resistenza al moto egrave espressa dal momento di inerzia I associato al corpo rigido che gioca il ruolo della massa nei moti traslatori La legge della dinamica delle rotazioni egrave M = I middotα

E sostituendo M = Imiddott∆

∆ω= Imiddot

tinfin

∆minusωω

Il momento di inerzia I di un corpo rigido dipende dalla disposizione della massa del corpo rispetto allrsquoasse di rotazione per una massa puntiforme m a distanza R dallrsquoasse di rotazione I= m R2 per un oggetto esteso sommerograve il momento drsquoinerzia delle sue parti I = Σi mi Ri

2 Se si definisce momento angolare L il prodotto del momento drsquoinerzia per la velocitagrave angolare

L=Iω la legge della dinamica diventa

M = t

LL infin

∆minus

Il momento angolare egrave la grandezza fisica che si conserva se non viene applicato momento torcente Tutti i gesti di volo salti lanci tuffihellip sono azioni nelle quali si conserva il momento angolare Infatti in volo agisce solo la forza di gravitagrave che essendo applicata al CDM non genera momento torcente Il corpo umano nei gesti di volo Il corpo umano non egrave rigido e pertanto in volo agendo con i muscoli possiamo cambiare la disposizione del nostro corpo intorno al centro di massa che in volo coincide col centro di rotazione In questo modo si ottiene una variazione del momento di inerzia I e di conseguenza la velocitagrave angolare deve compensare questa variazione in modo che si mantenga costante il momento angolare L (grandezza che si conserva in assenza di momento torcente) Ersquo questo il principio che spiega il realizzarsi delle trottole sul ghiaccio dei salti mortali tuffi con avvitamento e cosigrave via in posizione raccolta I diminuisce e ω aumenta Moto circolare e moto circolare uniforme Per utilizzare le relazioni della cinematica e della dinamica lineare che abbiamo studiato egrave interessante poter passare dalle variabili angolari alle variabili lineari velocitagrave e accelerazione delle

masse in moto rotatorio Se una massa si muove su una traiettoria curva la velocitagrave tangenziale vt diretta come la tangente alla traiettoria dipende dalla velocitagrave angolare ω ( ωm=ϑ t )e dal raggio di curvatura della traiettoria Se la traiettoria egrave una circonferenza di raggio R e se gli angoli sono espressi in radianti lrsquoarco percorso per uno spostamento angolare ϑ egrave S = ϑ sdotR e la velocitagrave lineare tangente vt = St= ϑ sdotRt risulta vt = ωsdotR Se la velocitagrave angolare ω egrave costante il moto egrave detto circolare uniforme La legge oraria egrave quella dei moti uniformi spostamenti angolari uguali in tempi uguali ϑ(t) = ω t Anche la velocitagrave tangente saragrave di intensitagrave costante se ω egrave costante (archi uguali per tempi uguali s(t) = vt (t) ) ma crsquoegrave una accelerazione normale infatti la velocitagrave anche se non cambia in modulo cambia continuamente di direzione Questa accelerazione si dice centripeta egrave diretta normalmente rispetto alla traiettoria verso il centro della circonferenza e vale in modulo

ac=R

v2

Fig 52 Essendo la velocitagrave tangente vt = ωR Lrsquo accelerazione centripeta si puograve scrivere

ac =R

v2

= ω2 R

Il tempo impiegato dal punto a muoversi sulla circonferenza egrave una costante (moto uniforme) T periodo in T viene percorso uno spazio 2π R

v = T

Rπ2

La frequenza f egrave invece il ndeg di giri al secondo

f =T

1

Se si prendono punti diversi sul raggio della circonferenza questi hanno la stessa velocitagrave angolare e velocitagrave tangenziali crescenti al crescere del raggio Esempio carosello dei pattinatori Esercizi

1- un velocista con una velocitagrave di 10 ms viaggia su una curva di raggio 25m ndash accelerazione

a = R

v2

= 25

100 = 4 ms2

2 ndash un velocista con v = 92 ms su una pista circolare con ac = 38 m s2 ndash Raggio della pista Tempo per percorrere un giro completo

a = R

v2

rArr R = a

v2

= 83

)29( 2

= 2227m

T =v

Rπ2 =

29

27222 lowastπ = 152 sec

Forza centripeta forza centrifuga Una forza centripeta egrave una forza di qualunque natura che trattiene un corpo in moto su una traiettoria curvilinea ad esempio circolare In assenza di tale forza il corpo proseguirebbe il suo moto lungo una traiettoria rettilinea Nel gesto del lancio del martello ad esempio il lanciatore che esercita sul peso in cima allrsquoattrezzo una forza mediata dalla tensione dal cavo che lo trattiene nella traiettoria circolare Quando il lanciatore lascia la maniglia il martello viene lanciato lungo la direzione della tangente alla traiettoria nellrsquoistante di rilascio Lrsquointensitagrave della forza centripeta necessaria a mantenere una massa m in moto con velocitagrave tangente v lungo una traiettoria circolare di raggio r si puograve calcolare a partire dallrsquoaccellerazione centripeta secondo la legge fondamentale della dinamica

|rarr

cF | = m | rarr

ca | = m r

v2

Tale forza egrave diretta come lrsquoaccelerazione centripeta e cioegrave verso il centro della circonferenza che costituisce la traiettoria La forza centripeta egrave dunque una forza reale Con lsquoforza centrifugarsquo invece non ci si riferisce ad un forza che agisce su un corpo ma alla situazione apparente cui sembra sottoposto un corpo in moto curvilineo Esso pare tirato o attirato lontano dal centro di rotazione pare ci sia una lsquoforzarsquo che vuole farlo sfuggire Quando viene lasciato il martello si allontana dal centro di rotazione percheacute si muove di moto rettilineo uniforme non essendo piugrave soggetto a forze altre che la forza peso Lrsquoacqua esce dal cestello della lavatrice quando il cestello ruota velocemente (funzione centrifuga) percheacute lrsquoacqua che non costituisce un corpo solo con il cestello bucato non egrave soggetta alla forza centripeta e puograve passare attraverso i buchi I panni invece pure non parte del cestello sono troppo grandi per passare dai buchi si possono solo schiacciare contro le pareti questo schiacciamento sembra il risultato di una forza ma egrave invece il risultato dellrsquoassenza di una forza quella centripeta Una volta lagrave contro il cestello fanno tuttrsquouno con le pareti di metallo che esercitano su di essi la forza centripeta (cioegrave con direzione verso lrsquoasse di rotazione) che li mantiene in rotazione Le parti di un corpo rigido esteso che si muove di moto rotatorio rispetto ad un asse quale ad esempio la gamba di un giocatore di calcio che calcia un pallone sono soggette alla forza centripeta che le mantiene sulla traiettoria curva Tale forza viene trasmessa alle varie parti tramite le forze di tensione che si sviluppano allrsquointerno del corpo stesso ad esempio il piede egrave soggetto alla forza centrifuga tramite lrsquoazione dei legamenti e tendini a livello della caviglia che vengono messi in tensione per trattenere il piede stesso

Esercizi 1 Problema della scimmia Quando la scimmia si accorge che il cacciatore le spara si lascia cadere Fig10 Dove deve mirare il cacciatore per prenderla Lrsquoaccelerazione egrave in generale un vettore Nel moto su un piano lrsquoaccelerazione egrave definita da due

componenti rarra equiv (ax ay )

- moto orizzontale ndash lungo lrsquoasse orizzontale il corpo in moto non sperimenta alcuna accelerazione

ax = 0 dunque la componente orizzontale della velocitagrave egrave costante

se rarr

iv aveva componente orizzontale non nulla vi x = vi sdotcos ϑ questa si mantiene e saragrave

x(t) = vi x t + xi

x(t) ndash xi = ( vi cos ϑ )t spostamento orizzontale sx = ( vi cos ϑ )sdott -moto verticale ndash accelerazione costante agravitagrave dunque moto uniformemente accelerato se crsquoera

una componente iniziale v0y della velocitagrave rarrv allora

y(t) = 2

1(-g)t2 + viy sdott + yi

y(t)-yi = (vi sin ϑ )t-2

1gt2 spostamento verticale sy=(vi sin ϑ )sdott-

2

1gt2

Traiettoria del proiettile Abbiamo visto le leggi orarie in x e y ma la traiettoria egrave in due dimensioni disegnamola in un riferimento cartesiano vedendo per ogni posizione in x quanto vale y cioegrave ricavando y = y(x) Mettiamo a sistema supponiamo di partire da xi = 0 e yi = 0 per semplicitagrave

x = ( vi cosϑ )t rArr t =ϑcosiv

x

y =( vi sinϑ )t - 2

1 gt2

y = sinϑ middot ϑcos

x -

2

1g

2

2

)cos(

)(

ϑiv

x = x tgϑ -

2)cos(2 ϑiv

g x2

(tgϑ egrave costante percheacute egrave lrsquoalzo iniziale 2)cos(2 ϑiv

g egrave costante percheacute g egrave costante vi pure

ϑ pure) Questa egrave lrsquoequazione di una parabola del tipo y = ax2 + bx La traiettoria egrave dunque una parabola Ha importanza sapere la gittata orizzontale cioegrave a quale distanza D il proiettile toccheragrave il suolo (che misura farograve nel lancio)

D = x-xi = (vi cosϑ )t rArr t = ϑcosiv

D

Suolo rarr 0 = y ndash yi = (vi sinϑ )t - 2

1 gt2

0 = vi sinϑ ϑcosiv

D -

2

1g

2

2

)cos( ϑiv

D

dividendo per D

0 = ϑϑ

cos

sin-

2

1g

2)cos( ϑiv

D rArr D =

ϑϑ

cos

sin

g

vi ϑ22 cos2 = sinϑ cosϑ

g

vi22

darr sin2ϑ (trigonometria 2 sinϑ cosϑ = sin2ϑ )

D = g

vi2

sin2ϑ

Questa equazione mi dice che misura farograve a partire dalla velocitagrave iniziale che riesco ad imprimere allrsquoattrezzo e allrsquoalzo del tiro La funzione sin ha un andamento a max e min rArr si avragrave un max quando sin 2ϑ =1 rArr 2ϑ = 90deg ϑ = 45deg Lrsquoalzo iniziale di 45deg daragrave il risultato migliore (assenza di vento assenza di attrito problema semplificato) Attenzione sin 2ϑ egrave simmetrico intorno a 2ϑ = 90deg e dunque si avranno gittate uguali per angoli equidistanti da 2ϑ = 90deg rArr ϑ = 45deg (osservazione di Galileo) Fig 11 Esercizi 1 ndash Copione di un film cascatore deve saltare da un terrazzo sul terrazzo di un palazzo vicino distante 62m e piugrave basso di 48m la sua velocitagrave sul terrazzo puograve essere 45 msec Accetta la parte

Fig12

Per cadere di 48 m impiega un tempo tc tale che y(tc) ndash yi = -48m = -2

1 gt2c

tc = 89

)2()84( minuslowastminus = 099sec

Nel tempo di caduta tc = 099s quale distanza potragrave coprire con la velocitagrave iniziale ( e poi costante) vix =45 msec d = x-xi = vix t = 45 middot 099 = 45m d = 45m egrave meno dei 62m che separano i due palazzi Il cascatore faragrave bene a rifiutare la parte Quale velocitagrave iniziale min dovrebbe avere per avere delle chances

V ix = 990

26 = 62 msec

2 ndash Salto di Bob Beamon a cittagrave del Mexico nel 1968 salto in lungo di 890m Supponendo che la velocitagrave del decollo sia stata 95 ms come per un centometrista quanto vicino arrivograve alla gittata max (per assenza di resistenza aria)

Dmax = g

v20 per sin 2ϑ 0 = 1 (rArr ϑ 0 = 45deg)

= 789

)59( 2

= 9228m

∆ D = 9228 ndash 890 = 0328m

3 ndash Cestista

Fig15 Quale velocitagrave iniziale v0 deve avere la palla affinchegrave il cestista possa fare canestro se lrsquoalzo iniziale egrave di 55deg rispetto allrsquoorizzontale (le varie distanze sono indicate in Figura) Definisco sistema di assi cartesiano con origine nel centro della palla e assi paralleli agli assi originari In questo sistema di riferimento la posizione del canestro egrave xc = 42 ndash 03 = 39m yc = 3 ndash 21 = 09m Lrsquo equazione della traiettoria egrave

y = x tgϑ 0 - 200 )cos(2 ϑv

g x2

Introduco nellrsquoequazione i valori di yc xc tg 55deg = 1428 e ricavo il valore dellrsquounica incognita v0

09 = 39 x 1428 - 2

0 )5740(2

89

xv x (39)2

09 = 5569 - 2

0 )5740(

5374

xv

(09 ndash 5569) (v0 x 0574)2 = -7453

v0 = 6694

5374

5740

1 = 696msec

Forze e moto Quando un oggetto cambia il suo stato di moto (da fermo si muove o si ferma se si stava muovendo accelera o frena o curva) per esperienza sappiamo che egrave avvenuta unrsquointerazione dellrsquooggetto con un altro corpo dellrsquoambiente circostante al contatto o a distanza Il concetto di interazione prevede sempre la presenza di due corpi unrsquointerazione viene scambiata tra due corpi A questa interazione associamo il concetto di forza Questa associazione non egrave solo qualitativa ma viene quantificata tramite una legge che collega forze e cambiamenti dello stato di moto dei corpi rendendo la forza una grandezza derivata nel sistema SI Ciograve avviene introducendo una grandezza fisica fondamentale chiamata massa (m) che egrave caratteristica di ogni corpo materiale e che esprime lrsquoinerzia al moto propria del corpo quando viene sottoposto alla sollecitazione di una forza Diciamo che due corpi hanno masse diverse se assumono accelerazioni diverse quando sottoposte allrsquoazione della medesima forza Questa massa si dice anche inerziale Si misura in kilogrammi (kg) ed egrave una grandezza scalare positiva

La teoria del moto egrave riassunta dalle tre leggi formulate da Isaac Newton fondate sulle basi del genio di Galileo Galilei Prima legge del moto Ogni corpo rimane nel suo stato di quiete o mantiene il suo stato di moto a velocitagrave costante se nessuna forza agisce su di esso o se la risultante delle forze ad esso applicate egrave nulla Questa proprietagrave del moto egrave detta anche ldquoprincipio di inerziardquo o ldquoprimo principio della dinamicardquo Velocitagrave costante significa che il vettore velocitagrave egrave costante cioegrave non variano modulo direzione e verso Quindi lrsquounico moto possibile in assenza di forze applicate egrave quello rettilineo uniforme (Tale legge non puograve essere verificata se si prende in considerazione un sistema di riferimento che si muove di moto accelerato Per esempio se utilizzo un sistema di riferimento solidale con lrsquoabitacolo di unrsquoautomobile o di un aereo che stanno accelerando o frenando i corpi possono scivolare lrsquoacqua contenuta in un bicchiere vi si puograve rovesciare addosso come soggetta ad una forza In realtagrave ciograve avviene proprio perchegrave questi corpi tendono a mantenere il loro stato di moto e lsquodisubbidisconorsquo alla variazione di velocitagrave che ciograve che egrave solidale col sistema di riferimento sta subendo I sistemi di riferimento nei quali si verifica la prima legge della dinamica si chiamano sistemi di riferimento inerziali e sono da essa implicitamente definiti) Seconda legge del moto Questa legge formulata inizialmente da Galileo e poi riproposta da Newton egrave detta anche ldquolegge fondamentale della dinamicardquo

rarrF = m

rarra

La forza rarrF egrave un vettore dato dal prodotto del vettore accelerazione

rarra per uno scalare m ed egrave

diretto come rarra Questa legge come si vede egrave una legge vettoriale Se piugrave forze agiscono sul

corpo di massa m la legge vale per il ldquovettore risultanterdquo che egrave la somma vettoriale di tutte le forze che agiscono sul corpo Lrsquoaccelerazione egrave diretta come il vettore risultante delle forze

Si possono definire le componenti di rarrF lungo gli assi del sistema di riferimento e la legge del

moto vale componente per componente Fx = max Fy = may Fz = maz

Lrsquounitagrave di misura della forza egrave il newton (N) 1N = 1Kg m s2

E la relazione dimensionale egrave[ ]N = [ ]2minusmlt Se la forza (o la risultante delle forze) applicata al corpo egrave nulla egrave anche nulla lrsquoaccelerazione e visto che lrsquoaccelerazione egrave definita come la variazione della velocitagrave divisa per il tempo la variazione della velocitagrave saragrave anchrsquoessa nulla Ciograve significa che la velocitagrave si mantiene costante Quindi in assenza di forze applicate il corpo rimane fermo se inizialmente era fermo e continua a muoversi con velocitagrave costante se inizialmente si muoveva come giagrave affermato dalla prima legge Terza legge del moto Dal concetto di forza che esprime lrsquointerazione tra i corpi deriva anche quello che viene comunemente detto ldquoil principio di azione e reazionerdquo o ldquoterzo principio della dinamicardquo ad ogni azione corrisponde sempre una reazione uguale e contraria cioegrave se due corpi A e B interagiscono in

modo che il corpo A eserciti una forza rarrF sul corpo B allora il corpo B esercita sul corpo A una

forza rarr

F = - rarrF Si noti che le due forze NON sono applicate allo stesso corpo

rarrF agisce su

B e rarr

F agisce su A Lrsquoapplicazione di questo principio egrave molto importante quando si considerano le forze che si realizzano al contatto tra due corpi e in particolare per le forze applicate da muscoli tendini legamenti e ossa del corpo umano Forze particolari Forza gravitazionale Newton nel descrivere il moto dei corpi celesti ha stabilito la presenza di una forza di interazione a distanza tra due corpi che chiamiamo forza di gravitagrave e ha fornito lrsquoespressione che la governa

FG = -G 2

21

R

mm GG ( legge di attrazione universale)

dove mG 1 e mG 2 sono le masse gravitazionali dei due corpi R egrave la distanza tra le due masse (considerate puntiformi) e G egrave una costante numerica che vale 667 x 10-11 Nm2kg2 1 Nm2kg2 egrave anche 1m3kg s2 Il segno meno sta a indicare che la forza egrave attrattiva La forza gravitazionale viene rappresentata con un vettore il cui modulo egrave dato dalla legge di Newton e che ha la direzione della congiungente i centri di massa delle due masse La forza di attrazione lsquosentitarsquo dalla massa mG 2 dovuta a mG 1 ha il verso che punta su mG 1 e contemporaneamente la forza di attrazione misurata dalla massa mG 1 dovuta a mG 2 ha il verso che punta su mG 2m (le due forze sono lrsquoazione e la reazione della terza legge della dinamica Perchegrave nellrsquoesperienza comune non si osserva che una matita attiri unrsquoaltra matita su un tavolo La forza attrattiva gravitazionale esiste fra di loro ma egrave molto piccola (la costante G egrave molto piccola) ed egrave contrastata completamente dalle forze di attrito (che discuteremo fra breve) La Terra su cui viviamo ha invece una massa molto grande M = 597 x 1024 kg e quindi puograve esercitare una forza piugrave che apprezzabile su altre masse anche se piccole come quella della matita (la matita cade dal tavolo) Chiamiamo forza peso la forza di gravitagrave FG esercitata dalla Terra su ogni corpo ad essa vicino e che origina dallrsquointerazione gravitazionale per la quale tutti i corpi si attirano fra di loro La forza peso viene spesso indicata con P che agisce su un corpo di massa mG vale

P = -G 2T

GGTerra

R

mM equiv - g mG con g equiv G

2T

GTerra

R

M

Dove MG Terra egrave la massa della Terra ed RT egrave il raggio della Terra (RT = 6370km) Il valore di g risulta

g = 667 x 10-11 2

3

kgs

m223

24

)106379(

10975

mx

kgx = 98 ms2 e ha le dimensioni di unrsquo accelerazione

La forza di attrazione gravitazionale alla quale una massa mG egrave soggetta vicino alla superficie di un altro pianeta egrave diversa Infatti la massa e il raggio degli altri pianeti sono diversi da quelli della Terra e quindi g assume un altro valore Si puograve dire che il peso di un corpo cambia sui diversi pianeti o sulla Luna mentre la massa gravitazionale egrave la grandezza fisica fondamentale propria di ogni corpo

Ersquo molto importante ora applicare la seconda legge della dinamica o legge fondamentale della dinamica F = m a ad un corpo soggetto alla sola forza peso sulla superficie della Terra cioegrave quando F egrave la forza peso P ora definita F = m a P = m a -g mG = m a Abbiamo voluto lasciare indicato il pedice G percheacute in principio non crsquoegrave ragione percheacute la grandezza con le dimensioni di una massa che compare nella legge di gravitazione sia uguale alla massa implicitamente definita dalla relazione di proporzionalitagrave tra la F applicata e lrsquoaccelerazione subita da un corpo data dalla seconda legge della dinamica Si egrave tuttavia dimostrato sperimentalmente che la massa gravitazionale mG (introdotta nella legge di attrazione universale e la massa m che si dice massa inerziale ed egrave definita tramite la seconda legge della dinamica sono uguali hanno lo stesso valore Questo permette di semplificare le due masse nellrsquoequazione e di ottenere -g = a che significa che lrsquoaccelerazione di una corpo soggetto alla forza peso sulla superficie della terra vale a = ndashg equiv -98 ms2 NB lrsquoaccelerazione vale 98 ms2 per tutti i corpi di qualsiasi massa Infatti sui corpi con massa maggiore vengono esercitate forze maggiori in modo proporzionale alla loro massa (corpi con massa maggiore lsquopesano di piugraversquo) cosigrave da produrre sempre la stessa accelerazione Si egrave soliti assumere che g sia costante e che non dipenda dalla quota h alla quale ci si trovi al di sopra della superficie terrestre Questa egrave unrsquoapprossimazione molto buona nei limiti in cui hltlt RT Infatti g diminuisce con la quota per esempio se h = 8000m (circa sul monte Everest) lrsquoaccelerazione di gravitagrave g si riduce a

2

2

)6378000(

)6370000( x g = 099749 x g = 97754 m s2 (meno del 25 per mille)

Forze di superficie Forze di contatto Alla superficie di contatto tra due corpi si realizzano le forze che chiamiamo appunto di superficie e che si dividono in forze di contatto e forze di attrito Le forze di contatto

La forza normalerarr

NF egrave la forza che un corpo sperimenta quando egrave appoggiato su di una superficie

Si chiama normale percheacute egrave sempre diretta perpendicolarmente alla superficie Se la superficie egrave orizzontale Fig16

Fc

FN

Piano orizzontale Calcolare lrsquointensitagrave della forza normale applicata ad un oggetto di massa m fermo su un tavolo orizzontale Per il primo principio della dinamica (principio di inerzia) se un corpo e fermo la risultante delle forze ad esso applicate egrave nulla cioegrave

rarrP +

rarr

NF = 0

In questo caso la forza normale rarr

NF egrave un vettore che ha lo stesso modulo e la stessa direzione del

vettore forza pesorarrP ma ha verso opposto Quindi il modulo di

rarr

NF vale |rarr

NF | = mg

Piano inclinato

Nel caso di un piano inclinato dovrograve tenere conto che rarr

NF puograve compensare solo la parte di rarrP

diretta normalmente al piano (infatti se non crsquoegrave attrito il corpo scivola lungo il piano inclinato) Se ϑ egrave lrsquoangolo che il piano inclinato forma con lrsquoorizzontale il piano inclinato fornisce al corpo una

forza normale che in modulo vale | rarr

NF | = m g cosϑ

Fig 17 4 ndash Salto con molleggio Un uomo con massa m = 70kg salta da unrsquoaltezza L = 2m Arrivando al suolo molleggia sulle ginocchia per un tratto l = 02 m Si calcoli la forza di reazione che il suolo esercita sui piedi durante il molleggio Si consideri il molleggio come una frenata che avviene con accelerazione (negativa) costante Fig 18

F

FN

Cadendo da unrsquoaltezza L allrsquoistante in cui il piede tocca il suolo la velocitagrave Vs egrave data dalla risoluzione del sistema di equazioni cinematiche per il moto uniformemente accelerato con t0 il tempo di caduta Vs = gt0 L = frac12 gt0

2 Vs = (2gL) frac12 La forza di reazione che esercita il suolo sul piede durante il molleggio egrave quella che imprime lrsquoaccelerazione (negativa) a di frenata (piugrave il peso del corpo mg)Il corpo si ferma in un tratto l Questa frenata si tratta con le equazioni del moto uniformemente accelerato 0 = Vs ndash at l = Vs t ndash frac12 at2 (essendo t il tempo di frenata) dalla prima equazione t = Vs a che introdotto nella seconda equazione permette di calcolare a a = frac12 Vs

2l e con Vs = (2gL) frac12 si ottiene a = g (Ll) e quindi la forza di reazione Fr = mg + ma egrave data da Fr = mg (Ll + 1) = 70 x 98 x (202 + 1) N = 7546Newton Si noti che al peso si aggiunge una forza che egrave il peso moltiplicato per un fattore (ldquofattore di cadutardquo) dato dal rapporto tra lrsquoampiezza del salto e il tratto di molleggio Questa forza si trasmette dal piede allrsquoarticolazione delle ginocchia e cosigrave via Tensione

Quando una corda egrave attaccata ad un corpo e viene tirata si dice che la corda egrave sotto tensione

La tensione rarrT cui egrave sottoposta la corde in ogni sua parte egrave una forza pari alla forza che si applica

sia al corpo sia alla mano che lo tira ai due estremi della corda ed egrave sempre diretta lungo la corda Fig 19 Anche con una carrucola cioegrave con la corda che si curva intorno ad una rotella la tensione ha intensitagrave T lungo la corda Una corda egrave utile in questo caso per cambiare la direzione e il verso di applicazione di una forza la mano tira verso il basso ma la massa egrave sottoposta ad una forza verso lrsquoalto

Fig20 I tendini del corpo umano sono corde e vengono utilizzati anche per variare la direzione di applicazione delle forze esercitate dai muscoli Forza di attrito

Lrsquoattrito fa parte dellrsquoesperienza quotidiana nel bene e nel male Da una parte fa consumare piugrave benzina (20 per motore e trasmissione) ma anche la suola delle scarpe il battistrada delle gomme e i gomiti del maglione dallrsquoaltra consente il movimento i nodi tengono i chiodi fissano etc Un libro che scivola su un tavolo orizzontale si fermerebbe se non mantenessi una forza costante che contrasta lrsquoattrito su una superficie ruvida il movimento genera lui stesso una forza che decelera il moto Per mantenere in moto rettilineo uniforme un corpo che scivola sopra un piano bisogna applicare al corpo una forza che serva a neutralizzare questa forza ldquospontaneardquo(detta di attrito) in modo che la risultante delle forze applicate sia nulla Anche lrsquoinizio del moto egrave contrastato dalla forza di attrito (statico) che assume un valore uguale e contrario a quello della forza che applico fino a raggiungere un valore massimo (valore limite) Il corpo non si muove resiste al moto Oltre quel valore limite cioegrave se applico una forza sufficientemente intensa il corpo inizia a muoversi Situazione

Fig 21 Un blocco appoggiato sul piano orizzontale egrave fermo rarrP

verso il basso e rarr

NF verso lrsquoalto sono uguali in modulo

Se applico una forza rarrF per spostare il corpo verso destra insorge una forza di attrito statico

P

FN

il cui modulo vale |rarr

sattF _ | = smicro |

rarr

NF | ( smicro egrave il coefficiente di attrito statico il suo valore dipende

dalla natura dei materiali a contatto) esercitata orizzontalmente dal piano che uguaglia in

intensitagraverarrF ma di verso opposto in modo che il corpo non si muove Se aumento

rarrF aumenta

anche rarr

sattF _

Fig22 Diagramma delle forze applicate al blocco

Raggiunto un certo valore di rarrF il corpo ha uno ldquostrappordquo e comincia a muoversi nella direzione

di rarrF verso destra ostacolato dalla una forza di attrito dinamico

rarr

dattF _ generalmente inferiore al

valore max di rarr

sattF _ (egrave piugrave facile mantenere un corpo in moto che muoverlo da fermo)

(Il passaggio da un regime allrsquoaltro egrave allrsquoorigine degli stridii da attrito ndash quello ad esempio del gesso sulla lavagna - o anche del suono del violino) - Proprietagrave dellrsquoattrito riassunte

1 ndash Corpo fermo la forza di attrito statica rarr

sattF _e la componente di

rarrF parallela alla superficie

hanno uguale intensitagrave e si annullano 2 ndash limite di scivolamento la massima forza di attrito per due materiali posti a contatto egrave proporzionale alla forza normale tramite un coefficiente di attrito statico smicro

| rarr

sattF _(max)| = smicro |

rarr

NF |

smicro egrave un coefficiente adimensionale che assume valori diversi per diverse coppie di materiali

3 ndash il corpo inizia a muoversi il valore della forza di attrito decresce rapidamente fino a

|rarr

kattF _ | = kmicro |rarr

NF | proporzionale alla forza normale tramite un coefficiente di attrito dinamico kmicro

adimensionale e dipendente dalla coppia di materiali in considerazione

P

FN

F Fatt

Attenzione |rarr

sattF _| e

rarr

kattF _ | sono proporzionali non a |

rarrP | ma a |

rarr

NF | quindi nel caso di un

piano inclinato bisogna considerare la componente di rarrP perpendicolare al piano

rarr

NF equilibra

solo la parte di rarrP perpendicolare al piano

Attenzione le equazioni per |rarr

sattF _| e |

rarr

kattF _| non sono vettoriali le forze di attrito non sono

dirette come la forza normale rarr

NF ma parallele al piano

Durante una corsa allo scatto si usano i blocchi di partenza per sfruttare la reazione del blocco alla forza muscolare di spinta Data lrsquoinclinazione dei blocchi la forza di reazione del blocco sul atleta si massimizza nella direzione del moto

rArr si fa uso della ldquoazione-reazionerdquo Fig 23 Durante la corsa si sfrutta il coefficiente di attrito statico per mantenere un piede fermo a terra mentre lrsquoaltro avanza Per non superare il limite di scivolamento allrsquoindietro del piede di appoggio la forza che si esercita sul terreno deve avere una componente normale al terreno di intensitagrave opportunamente elevata In ogni caso se smicro egrave basso si ha lrsquoeffetto del camminare sul ghiaccio

Lrsquouso di scarpette chiodate non aumenta il valore di smicro che egrave il coefficiente drsquoattrito tra due

superfici ldquoliscerdquo piuttosto hanno una funzione simile a quella di mini blocchi di partenza permettono di esercitare una forza sul tartan lungo la direzione del moto cioegrave parallelamente alla pista Resistenza del mezzo Consideriamo un corpo che si muove in aria Esso incontra una resistenza da parte dellrsquoaria che agisce in modo da opporsi al movimento del corpo cioegrave ha la stessa direzione e verso opposto a quella del moto

rarrD forza di resistenza del mezzo o forza aerodinamica (detta anche forza viscosa) si

|rarrD | =

2

1 cρAv2 (limite di alte velocitagrave eo alte viscositagrave)

D egrave proporzionale al quadrato della velocitagrave (termine v2 ) Inoltre D egrave proporzionale ad A lrsquoarea efficace della sezione trasversa (lrsquoarea presentata dal corpo nella direzione del moto vedi la posizione a uovo dei discesisti di sci o dei ciclisti) ρ egrave la densitagrave del mezzo Ersquo intuitivo che la resistenza D dipenda dalla densitagrave del mezzo infatti il corpo per procedere deve ldquofarsi stradardquo spostando le molecole del mezzo Quindi piugrave il mezzo egrave rarefatto piugrave egrave facile ldquofarsi stradardquo e inferiore egrave la resistenza D Con c si indica il coefficiente di penetrazione (il cosiddetto cx che dipende dalla forma geometrica del corpo) La forma (oltre che

lrsquoarea efficace A) influenza la resistenza opposta dal mezzo percheacute una ottimizzazione della forma (affusolata migliorare il Cx) porta a ridurre la formazione di turbolenze nellrsquoaria intorno al corpo Casco dei ciclisti o discesisti con forma a punta posteriore

non riduce la sezione trasversa A ma piuttosto migliora il Cx

Fig 24 Nel nuoto lo sbattere i piedi serve soprattutto per mantenere il corpo orizzontale e quindi a ridurre la sezione A Il lavoro viene fatto per lo piugrave dalle braccia (75) In acqua anche se la velocitagrave v egrave bassa D egrave significativa percheacute la viscositagrave del mezzo egrave grande Per ridurre le turbolenze negli sport di velocitagrave diventa essenziale utilizzare accorgimenti quali nascondere dadi e cavi nelle biciclette togliere cerchietti delle racchette da sci Tagliare i capelli o rasarsi le gambe sono sempre modi di ridurre anche le piccole turbolenze Velocitagrave limite di caduta di un grave in aria

La forza rarrD di frenamento durante la caduta libera li un corpo in aria ha verso opposto a quello

della forza pesorarrP che accelera il corpo verso il basso Se

rarrP egrave costante il corpo accelera con

accelerazione rarrg ie aumenta la velocitagrave verso il basso ma aumentando v dunque v2 aumenta

D Ciograve prosegue fincheacute D diventa di intensitagrave uguale P con verso opposto rarrD = -

rarrP A questo

punto la risultante delle forze agenti sul corpo in caduta egrave nulla (sumrarrF =

rarrD + (-

rarrP ) e dalla

seconda legge (fondamentale) della dinamica si ha che lrsquoaccelerazione rarra del corpo egrave nulla

rArr Il corpo non accelera piugrave e mantiene velocitagrave costante massima La velocitagrave raggiunta detta velocitagrave limite vlim egrave tale da verificare lrsquouguaglianza

D = 2

1cρAv lim

2 = mg = P quindi rArr vlim = (2mg cρA) frac12

La vlim raggiunta dai paracadutisti puograve essere variata modificando A tramite dei cambiamenti dellrsquoassetto in volo Questo permette ai paracadutisti di raggiungersi per fare figure in aria Lrsquoapertura del paracadute fa aumentare di molto A rendendo la velocitagrave limite molto piugrave bassa Anche le gocce di pioggia raggiungono la velocitagrave limite (v asymp 7msec in 6m) nella loro caduta Ad esempio cadendo da 1200m le gocce di pioggia raggiungono la terra con la velocitagrave limite di circa 7msec e non con la velocitagrave di 150msec che avrebbero se non ci fosse lrsquoazione di frenamento D (dei veri proiettili)

Senza D rarr vfin = 150ms

Con D rarr vfin = vlim = 7ms Fig 25 Forza elastica La forza elastica egrave una forza non costante

L lunghezza di riposo della molla Fig 26 Una massa m egrave vincolata ad una parete con una molla Se tiro la massa la molla si estende diciamo di un tratto x La molla esercita una forza di richiamo proporzionale allrsquoallungamento x (piugrave si allunga maggiore egrave la forza F di richiamo) F = -kx ldquorichiamordquo cioegrave di verso opposto allrsquoallungamento Ecco la ragione del segno (-) Se raggiunta una certa estensione la molla viene rilasciata essa si ricomprimeragrave ritorneragrave alla lunghezza di riposo L poi si schiacceragrave di un tratto x dalla parte opposta e nuovamente agiragrave la forza di richiamo (che egrave variabile in quanto varia con il variare di x) La massa oscilla attorno alla posizione di riposo k egrave la costante elastica della molla Lrsquoespressione della forza elastica vale per i respingenti del treno (k grande) come per la molla della biro (k piccola) come per lrsquoelastico del saltatore dal ponte Impulso di una forza La legge fondamentale della dinamica F = ma puograve essere scritta esprimendo lrsquoaccelerazione con la sua relazione definitoria (vf - vi)t

F = mt

vv if minus e quindi portando il tempo t al primo membro

)( if vvmtF minussdot=sdot oppure vmtF ∆sdot=sdot

Si dice ldquoimpulso ldquo di una forza il prodotto della forza per il tempo durante il quale viene applicata tF sdot (se la forza non egrave costante lrsquoimpulso egrave lrsquointegrale della forza nel tempo in cui viene applicata)

Scritta in questo modo lrsquoequazione fondamentale della dinamica puograve essere letta cosigrave 1) Supponiamo che un corpo vari la sua velocitagrave di una quantitagrave ∆v = vf - vi tanto piugrave lungo egrave il tempo t durante il quale questa variazione avviene tanto minore egrave la forza che deve essere sviluppata per ottenere tale variazione della velocitagrave In questi termini si capisce ad esempio lrsquoutilitagrave delle cinture di sicurezza che allungando i tempi durante i quali in caso drsquoincidente la velocitagrave del passeggero (che non egrave solidale con la vettura) passa da un valore vi iniziale a zero determina una riduzione della la forza cui il passeggero stesso egrave sottoposto durante il breve tempo dellrsquoimpatto (la forza che le ossa e le articolazioni possono sopportare egrave limitata) Si vede anche come funziona lrsquoelastico del jumper finchegrave lrsquoelastico non egrave completamente svolto (ltL) la forza che agisce sul jumper egrave P (la forza peso) poi progressivamente la forza elastica di richiamo contrasta P quindi il jumper decelera progressivamente per un lungo intervallo di tempo e lo lsquostrapporsquo (F applicata) necessario per contrastare P e fermare il jumper applicato sulle sue gambe e a cascata su tutte le sue articolazioni (secondo il terzo principio) egrave di entitagrave minore 2)Lrsquoimpulso totale prodotto tF sdot nella direzione ottimale egrave la grandezza fisica che stabilisce lrsquoefficacia di un gesto di spinta o di lancio non la massima forza espressa o la durata dellrsquoazione di spinta Lavoro di una forza ndash lavoro meccanico

- 1deg caso Forza costante rarrF

Immaginiamo una forza rarrF che agisce su un corpo durante il suo spostamento Immaginiamo cosi

che il punto di applicazione di questa forza si sposti nello spazio di un tratto rarrs Viene detto

lavoro della forza rarrF la quantitagrave

L = rarrF middot

rarrs = F middot smiddot cosϑ (prodotto scalare di

rarrF per

rarrs )

(prodotto scalare tra i due vettori) Fig 27 Il lavoro egrave una quantitagrave scalare cioegrave egrave descritta completamente da un numero da un valore Tale

valore puograve essere positivo o negativo a seconda che la componente di rarrF lungo

rarrs sia equiversa o

di verso opposto a rarrs Se

rarrF e

rarrs hanno la stessa direzione e se lo spostamento avviene nel

senso di rarrF diciamo che il lavoro egrave positivo (e viceversa negativo) Lrsquointensitagrave del lavoro puograve

variare tra un valore massimo e uno minimo per gli stessi valori del modulo di rarrs e di

rarrF a

rarrs

seconda del valore di cosϑ Il lavoro egrave massimo per cosϑ = 1 (cioegrave per ϑ = 0) (rarrF diretto come

rarrs ) Il lavoro egrave minimo ( L = 0) per cosϑ = 0 cioegrave per ϑ = 90deg (

rarrF perpendicolare a

rarrs )

Puograve darsi il caso che piugrave forze agiscono sullo stesso punto Allora si puograve calcolare il lavoro totale egrave la somma dei lavori di tutte le forze applicate

Ltot = sum Li = sum (rarr

sdotiFrarrs )

Dimensioni di L [ L ]= [ F ][ s ] = mmiddot l middot t-2 middot l = ml2 t-2 Unitagrave di misura di L 1 joule = 1N middot 1m ( 1J ) Lavoro della forza peso durante la caduta di un grave Un grave cade vicino alla superficie della terra sotto lrsquoazione della forza di gravitagrave cioegrave sottoposto ala forza peso P diretta verso il basso percorrendo un dislivello h Il lavoro compiuto dalla forza peso si calcola come

LP = rarrP middot

rarrs = Pmiddot smiddot cosϑ

notando che lo spostamento s (verso il basso) e la forza P sono paralleli con verso concorde pertanto ϑ = 0 e cosϑ = 1 e che | P| = mmiddot g si ottiene LP = mmiddot gmiddot h per uno spostamento s = h (dislivello) Lavoro meccanico nel sollevamento pesi Durante questo gesto sul bilanciere oggetto dellrsquoapplicazione delle forze si esercitano la forza peso P e la forza muscolare dellrsquoatleta Naturalmente entrambe le forze lavorano ma i due lavori si oppongono uno allrsquoaltro (ricorda che il lavoro puograve essere positivo o negativo) Il lavoro positivo deve essere nel verso del moto quindi egrave quello della forza muscolare dellrsquoatleta il lavoro di P invece egrave negativo e se il bilanciere si alza di una quota h si calcola facilmente seguendo il procedimento del paragrafo precedente ottenendo LP = - mmiddotgmiddoth (ϑ = π e cosϑ = -1 ) Calcoliamo il lavoro della forza musculare seguendo lrsquoesempio qui proposto Esempio Un atleta solleva un bilanciere di peso 2500N allrsquoaltezza di 2m (sopra la sua testa) Quanto lavoro meccanico compie la sua forza muscolare Supponiamo che il sollevamento avvenga a velocitagrave costante con accelerazione nulla allora il per il

primo principio della dinamica le forze applicate al bilanciere devono essere tali chesumrarr

iF = 0

Quindi la forza peso P = mmiddot g deve essere controbilanciata dalla forza applicata dallrsquoatleta Fm

Quindi rarr

mF = - rarrP

con Fm = 2500N Il lavoro La fatto dallrsquoatleta vale

Lm = rarr

mF middot rarrs = 2500 N middot 2m middot 1 = 5000 J (sollevamento verticale quindi ϑ = 0 e cosϑ = 1)

Quanto lavoro fa la forza peso

Lp = rarrP middot

rarrs = 2500 middot 2 middot (-1) = -5000 J

(percheacute ϑ = π e cosϑ = -1) Quanto lavoro fa lrsquoatleta mentre sostiene il peso fermo sopra la testa L = 0 percheacute non crsquoegrave spostamento Qui si parla di lavoro meccanico non di lavoro fisiologico diciamo che si fa fatica percheacute crsquoegrave da mantenere integrordquo un corpo non rigido che egrave il corpo dellrsquoatleta quindi si il lavoro delle contrazioni muscolari per mantenere lrsquoequilibrio e ldquolrsquointegritagraverdquo egrave la misura del lavoro fisiologico necessario anche se il lavoro meccanico compiuto egrave nullo 2deg caso Forza variabile Nel caso in cui F egrave una forza variabile che dipende dalla posizione ogni volta che avviene uno spostamento∆ x la forza cambia Il lavoro totale saragrave la somma dei lavori elementari fatti sui tratti piccoli sui quali la forza puograve essere assunta costante

Ltot = iii xxF ∆sdotsum )(

( Se si fa il limite per ∆ xi piccolo rarr 0 e la isum egrave lrsquointegrale Ltot = int sdotxtin

xinxdxF )( )

Ad esempio la forza F puograve essere la forza di richiamo di una molla vincolata al muro Lrsquointensitagrave della forza elastica varia durante lo spostamento aumentando con lrsquoallungamento (o la compressione) della molla ed ha la direzione parallela allo spostamento ma puograve avere verso concorde o discorde quindi con cosϑ che vale o +1 o ndash1 Immaginiamo di avere un blocco attaccato alla molla e di tirarlo da Xin a Xfin allora

F(x) = - kx Fig 28

Il lavoro della forza elastica si calcola sommando i lavori infinitesimali compiuti per spostamenti infinitesimi durante i quali la forza si assume costante Ciograve egrave rappresentato graficamente nel calcolo lrsquoarea compresa al di sotto della curva del grafico di F (Fig 28A) In figura si egrave cambiato il segno della funzione forza per comoditagrave di rappresentazione

Fig 28A

Area = differenza aree dei due triangoli = AABB kxxkxx sdotminussdot2

1

2

1

Ricordandoci del segno

L infin = 22

2

1

2

1infin kxkx +minus e in generale L = 2

2

1kx

Se si calcola il lavoro della forza di richiamo durante un allungamento della molla si ha lavoro negativo mentre durante il ritorno alla posizione di equilibrio il lavoro egrave positivo (segno dello spostamento x e della forza concordi) Energia cinetica Il termine ldquoenergiardquo indica la capacitagrave di compiere lavoro Lrsquoenergia cinetica egrave la proprietagrave che rende conto quantitativamente del legame fra il lavoro compiuto ed il moto generato Avevamo detto piugrave o meno lo stesso parlando della seconda legge della dinamica riferendoci alle forze Qui col lavoro non egrave necessaria la descrizione dettagliata delle forze che agiscono sul punto in considerazione Ersquo sufficiente conoscere il loro lavoro totale

Lrsquoenergia cinetica K = 2

1mv2 (gt 0 percheacute m gt 0 v2 gt 0 ) (m e v sono la massa e la velocitagrave del

corpo) Lrsquounitagrave di misura e le dimensioni di K sono le stesse del lavoro Joule ( J ) e [ ]K = [ ]22 minustml

Teorema dellrsquoenergia cinetica Se una forza F compie un lavoro L su un punto materiale di massa m si ha una variazione dellrsquoenergia cinetica pari al lavoro compiuto

Xfin Xin

F

0

ksdotxfin

ksdotxin

F= ksdotx

x

LAB= -area

L = Kfin ndash Kin = ∆ K Nel caso che piugrave forze agiscono sul punto materiale il teorema dellrsquoenergia cinetica si applica al lavoro totale (equivalentemente al lavoro della risultante ) E il caso dellrsquoatleta che solleva il peso di 2500N Sappiamo che ha compiuto un lavoro di 5000J ma il bilanciare con i pesi era fermo allrsquoinizio ed egrave fermo alla fine Quindi Kin = 0 e Kfin = 0 percheacute vin = 0 e vfin = 0 Allora il teorema dellrsquoenergia cinetica Vale per il lavoro totale o lavoro della forza totale e noi abbiamo visto che la forza netta totale = 0 ( Fa + P = 0 ) ed il lavoro totale egrave nullo quindi giustamente si ha ∆ K = 0 1)Caso di una palla da tennis che cade

la forza peso rarrP compie un lavoro positivo con spostamento concorde a

rarrP si dovrebbe avere

∆ K gt 0 infatti la velocitagrave v aumenta 2)Caso di una palla lanciata verso lrsquoalto

lo spostamento ha verso opposto a rarrP Il lavoro della forza peso egrave negativo e quindi ∆ K egrave

negativo giusto La velocitagrave diminuisce NB Durante il volo agisce solo la forza di gravitagrave quindi il lavoro totale comiuto sul corpo egrave solo quello della gravitagrave 3)Caso del moto circolare uniforme la forza che agisce egrave la forza centripeta che egrave perpendicolare allo spostamento Quindi non compie lavoro deve essere ∆ K = 0 Iinfatti il moto egrave uniforme cioegrave la velocitagrave egrave in modulo costante Potenza Si chiama potenza il lavoro che si egrave in grado di svolgere nellrsquounitagrave di tempo

P = t

L

∆ ( potenza media )

P = t

Lt ∆

∆rarr∆ 0lim ( potenza istantanea)

Non egrave solo una stima del lavoro compiuto ma anche della rapiditagrave con cui si compie lavoro

Fig 29 Per superare il muro ci vuole un certo lavoro che consiste nellrsquoinnalzare il proprio corpo di unrsquoaltezza h Sia lrsquoatleta che lo supera in un sol balzo sia il vecchietto che sale pian piano la scalinata faranno lo stesso lavoro Quel che egrave diverso egrave la potenza dei due personaggi Dimensioni e unitagrave di misura della potenza [ ]P = [L] [t -1] = [ml2t-3] 1 watt = 1 joule 1sec (1w)

Energia Potenziale K egrave energia connessa allo stato di moto di un sistema Crsquoegrave anche energia connessa alla posizione di un corpo in un campo di forze (configurazione) Si chiama energia potenziale Nel caso dellrsquoatleta di sollevamento pesi il lavoro compiuto dallrsquoatleta Lm non ha alterato lrsquoenergia cinetica K dellrsquoattrezzo ma ha modificato la configurazione del sistema (terra-attrezzo) variandone lrsquoenergia potenziale (W) Il lavoro non egrave stato sprecato ma ldquoimmagazzinatordquo lrsquoattrezzo prima egrave a terra poi egrave in alto nel sistema che ora ldquopotenzialmenterdquo puograve compiere un lavoro cedendo la sua ldquoenergia potenzialerdquo Energia cinetica ed energia potenziale sono due parti dellrsquoenergia meccanica possono trasformarsi lrsquouna nellrsquoaltra ed in lavoro Nellrsquoesempio precedente quando lrsquoattrezzo egrave in alto si ha che K = 0 e W = WA Quando cade K aumenta percheacute la velocitagrave v aumenta e lrsquoenergia potenziale W diminuisce In basso W = WB lt WA e K egrave massima Lrsquoattrezzo cadendo puograve compiere lavoro Se fosse un martello potrebbe far avanzare un chiodo ad esempio Lrsquoenergia potenziale viene definita proprio a partire dal concetto di lavoro di forze conservative Ersquo conservativa una forza il cui lavoro per spostare il suo punto di applicazione da una posizione (configurazione) ad unrsquoaltra dipende solo dalle due posizioni (configurazioni) iniziale e finale Equivalentemente si puograve definire la forza conservativa dicendo che il lavoro di tale forza egrave nullo se le posizioni (configurazioni) iniziali e finali coincidono

-Lavoro per passaggio dalla posizione A a B egrave lo stesso lungo I o II -Se da A vado a B e torno in A il lavoro totale egrave nullo

Fig 30 Posso allora definire una funzione della posizione W che assume i valori WA e WB in A e B e tale per cui LAB = WA ndash WB ( W energia potenziale) WA WB sono definiti a meno di una costante tanto quello che interessa egrave la differenza fra loro Variazione di energia potenziale del passaggio da A a B WB ndash WA = ∆W allora LAB = -∆ W Con questa convenzione sui segni si rende conto del fatto che un lavoro positivo ( fatto dalle forze conservative sul corpo) fa diminuire lrsquoenergia potenziale W ( L positivorarr ∆W negativo rarr WBlt WA rarr ho usato energia potenziale) un lavoro negativo (subito) aumenta W (L negativo rarr ∆W positivo rarr WBgt WA rarr ho guadagnato energia potenziale) W si misura in Joule come il lavoro e lrsquoenergia cinetica

Qual egrave la Forma di W

Mentre la forma dellrsquoenergia cinetica egrave sempre K =2

1mv2 indipendentemente dal tipo di forze

che provocano il movimento W dipende dal tipo di forza conservativa di cui si sta calcolando il lavoro Consideriamo due forze conservative

a) Forza gravitazionale forza peso

F(y) = -mg Stato di riferimento y0 = 0 in cui W0 = 0

Fig31

Abbiamo detto che LAB = WA- WB ma siccome

LAB = )( ABhmgsP minussdotminus=sdot dove hAB= yA-yB egrave la distanza tra A e B allora rArr WA = mgyA WB = mgyB e in generale W(y) =mgy

Per la forza peso W(y) =mgy e lrsquoenergia totale meccanica (W+K) = mgy+2

1mv2=Etot

b) Forza elastica

Fig 32

F(x) = -kx Stato di riferimento x = 0 allungamento nullo la lunghezza della molla egrave la sua lunghezza di riposo L ( W(0) = 0)

Immaginiamo che la configurazione della molla venga modificata passando dalla posizione xA alla posizione xB (Fig 32) Il lavoro della forza elastica egrave calcolato come

LAB = 22

2

1

2

1AB kxkx +minus

Ricordando che LAB = WA- WB possiamo ricavare lrsquoespressione per lrsquoenergia potenziale elastica

rArr WA = 2

2

1Akx WB = 2

2

1Bkx e in generale W(x) = 2

2

1kx

Energia totale meccanica ndash Conservazione dellrsquoenergia

In presenza di sole forze conservative la somma dellrsquoenergia cinetica e dellrsquoenergia potenziale costituisce lrsquoenergia totale meccanica Tale energia meccanica gode della proprietagrave importantissima di conservarsi durante lrsquoevoluzione del sistema Lrsquoenergia connessa al movimento e alla posizione si scambiano una diminuisce e lrsquoaltra cresce ad esempio ma la loro somma rimane costante

- Esempio delle montagne russe Se non ci sono attriti (infatti il trucco egrave quello di rendere il

sistema privo di attriti) so giagrave quale altezza massima potrograve raggiungere (quella iniziale e non di piugrave) quale velocitagrave massima potrograve raggiungere (in fondo alla valle) Queste quantitagrave sono fra loro legate dal teorema della conservazione dellrsquo energia meccanica

Fig 33 - Esempio del salto con lrsquoasta Lrsquoenergia cinetica dellrsquoatleta acquisita nella rincorsa viene

trasformata in energia potenziale gravitazionale parte direttamente e parte attraverso lrsquoenergia potenziale elastica dellrsquoasta acquisita nella sua deformazione durante il salto La flessibilitagrave dellrsquoasta (costante elastica dellrsquoasta) egrave legata allrsquoenergia che si puograve immagazzinare in una data deformazione Infatti con aste rigide (alluminio acciaio bambugrave) il salto era piugrave basso Con fibra di vetro il record egrave stato polverizzato

Fig 34

Fig 35

Fig 36

Osserviamo che il teorema dellrsquoenergia cinetica ha validitagrave generale qualunque siano le forze che agiscono conservative o non conservative (le forze non conservative si dicono anche ldquodissipativerdquo)

KLL

KL

fncfc

tot

∆=+∆=

e ricordando che darr Lfc = - )( fcW∆

Si ottiene che K∆ + )( fcW∆ = Lfnc

Si vede che nel caso in cui Lfnc sia nullo cioegrave quando non ci sono forze dissipative la somma delle variazioni di energia cinetica e energia potenziale egrave uguale a zero cioegrave lrsquoenergia totale meccanica (somma dellrsquoenergia cinetica e potenziale) egrave costante E questo corrisponde al teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica Nel caso ci siano forze dissipative la somma delle energie non egrave costante quindi al contrario del teorema dellrsquoenergia cinetica il teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica non ha validitagrave generale (vale solo in assenza di attriti ad esempio) Le forze non conservative di attrito compiono lavori solo negativi e fanno perdere quantitagrave di energia non recuperabile Parte di questa energia va in generale in calore quindi se ne puograve tenere conto considerando unrsquoaltra forma di energia lrsquoenergia termica ( ci sono anche altri fenomeni dissipativi ad esempio le deformazioni permanenti negli urti o la propagazione di onde sonore)

Lrsquo energia puograve dunque conservarsi o trasferirsi proprietagrave caratterizzanti dellrsquoenergia Il lavoro rende conto del trasferimento di energia della perdita di energia sotto una forma e del guadagno sotto unrsquoaltra forma (cioegrave energia conservativa) o del passaggio dellrsquoenergia da un sistema ad un altro Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica quando egrave applicabile puograve essere sfruttato per risolvere facilmente problemi altrimenti complicati Esercizio Una palla da tennis viene lanciata con velocitagrave iniziale v0 (senza effetti strani taglio etc) al di lagrave della rete Con quale velocitagrave arriva a terra

Se durante il moto Etot si conserva K+W = cost

Fig 37 e W = mgh egrave solo energia potenziale gravitazionale h = 0 alla fine come allrsquoinizio dunque K in = Kfin e vfin = v0 Se la palla egrave lanciata verso lrsquoalto non crsquoegrave componente orizzontale della velocitagrave ma solo verticale al punto piugrave alto di arresto h K(h) = 0 W(h) = max = Kin cioegrave mgh = frac12 mv0

2 si puograve cosigrave calcolare facilmente lrsquoaltezza massima raggiunta h = (frac12 v0

2)g e vicenversa si puograve calcolare il valore della velocitagrave v0 che bisogna imprimere alla palla affinchegrave raggiunga lrsquoaltezza h

v0 = gh2

Esercizio Una saltatrice di massa M = 61Kg salta da un ponte di altezza H = 45m agganciata ad una corda elastica La lunghezza di riposo della corda elastica egrave L = 25m e la sua costante elastica egrave k = 160 Nm Nel punto piugrave basso si arresta prima di venire rimbalzata in alto Qualrsquo egrave lquesta quota piugrave bassa h (a cui si trovano i suoi piedi ai quali egrave legato lrsquoelastico)

Fig 38 Etot = Wgrav + Wel + K = cost sono solo forze conservative vale la conservazione

dellrsquoenergia Nel punto A K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di lanciarsi Wel = 0 percheacute lrsquoelastico non egrave ancora svolto Wgrav = MgH Nel punto B K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di rimbalzare

Wel = frac12 kd2 Wgrav = Mgh = Mg(H-(L+d)) Etot(A) = Etot (B) MgH + 0 + 0 = Mg (H-(L+d)) + frac12 kd2 + 0 MgH = MgH ndash MgL ndash Mgd +frac12 kd2

2

1(160)d2 ndash (61)(98)d ndash (61)(98)(25) = 0

equazione di IIdeg grado che dagrave per d il valore accettabile d = 179m (lrsquoaltro egrave negativo e non egrave accettabile perchegrave non ha senso fisico la

saltatrice va in giugrave non in su) Allora h = H-(L+d) = 45 ndash (25+179) = 45 ndash 429 = 21m quindi con la testa poco sopra lrsquoacqua Sistemi di punti materiali e corpi rigidi ndash Centro di Massa

Un giocoliere o un ginnasta che lancia la clavette fa compiere allrsquoattrezzo movimenti complicati tuttavia crsquoegrave un punto dellrsquoattrezzo che si muove seguendo una traiettoria semplice come quella di un punto materiale ad esempio lanciato segue una traiettoria parabolica Tale punto si chiama centro di massa dellrsquooggetto Il centro di massa puograve essere definito per un oggetto o per un insieme di punti materiali Ersquo importante percheacute in generale il moto di un corpo esteso (o di un insieme di punti) si puograve studiare separando il moto del centro di massa (moto traslatorio) e il moto del corpo attorno al centro di massa (moto rotatorio)

Centro di Massa (CDM) di un sistema di punti - Consideriamo il caso semplice di due punti materiali di massa m1 m2 posti sullrsquoasse x in

posizione x1 x2

Fig 39

la posizione del centro di massa egrave definita xCDM = 21

2211

mm

xmxm

++

a) xCDM egrave compreso fra x1 e x2 b) se m1 = m2 CDM egrave a metagrave strada fra m1 ed m2 c) xCDM egrave piugrave prossimo alla massa maggiore - Nel caso di piugrave punti allineati nelle posizioni xi detto M = summi allora

xCDM = ii xmMsum

1

- Nel caso di punti distribuiti nello spazio detti irrarr

i vettori che identificano le loro posizioni

CDMrrarr

= iii rmM

rarrsum

1

dove CDMrrarr

ha coordinate (xCDM yCDM zCDM) definite come

xCDM = ii xmsumη1

yCDM = ii ymMsum

1

zCDM = ii zmMsum

1

- Consideriamo un oggetto qualsiasi questo egrave composto da un gran numero di particelle ma conviene considerarlo come un continuo di materia e per calcolare il centro di massa si prendono in considerazione degli elementi infinitesimi di massa dm centrati intorno alle posizioni (xyz) allora

xCDM = int xdmM

1 yCDM = int ydm

M

1 zCDM = int zdm

M

1

se si puograve considerare il corpo omogeneo (densitagrave uniforme) allora V

M

dv

dm = e allora si puograve fare il

calcolo considerando il volume V e gli elementi di volume dv anzichegrave la massa e gli elementi di massa

xCDM = int xdvV

1 etc

In un oggetto solido (corpo rigido) i diversi punti materiali che lo compongono non cambiano la loro posizione relativa (non come un corpo elastico) - se un oggetto ha un elemento di simmetria un asse od un piano il CDM si trova su tale

elemento di simmetria (asse per cono centro per sfera piano per una banana etc) Non egrave detto che il CDM di un oggetto appartenga allrsquooggetto vedi uno pneumatico un cerchio Il CDM egrave esterno alloggetto Legge fondamentale della dinamica per un sistema di punti materiali Caso della palla da bigliardo urto fra due palle dopo il lancio di una le due si muovono 1) una egrave ferma (B) lrsquoaltra la lancio (A) 2) le due si urtano in qualunque modo 3) le due si muovono secondo traiettorie differenti una possibilmente andragrave in buca lrsquoaltra no Dopo il lancio sulla palla A non agisce piugrave nessuna forza quindi la sua velocitagrave v egrave costante Va bene ma dopo lrsquourto Il CDM delle due palle continua a muoversi con velocitagrave costante anche se il centro di massa egrave un punto teorico che non appartiene a nessuna delle due palle Tuttavia al CDM possiamo assegnare una massa (M totale del sistema) una velocitagrave ed una accellerazione Si ha

)(CDMext aMFrarrrarr

=sum

a) extFrarr

sum egrave la somma di tutte le forze esterne che agiscono sul sistema non quelle interne (ad esempio nel caso del bigliardo non devo considerare le forze che si applicano fra le due palle quando si urtano)

b) M egrave la massa totale del sistema Si suppone che durante il moto M rimanga costante

c) )(CDMararr

egrave lrsquoaccelerazione del CDM Dellrsquoaccellerazione di un altro punto ad esempio del centro della palla A non si dice nulla

Cosideriamo alcuni esempi 1) Bigliardo tvaF CDMCDMext cos00 ===sum prima dellrsquourto nellrsquourto si verificano solo forze

interne Quindi tvaF CDMCDMext cos00 ===sum dopo lrsquourto e durante tutto il moto

2) Sistema terra-luna sumFext = gravitazione del sole aCDM egrave ldquocentripetardquo accellerazione di una

forza che egrave diretta verso il sole (forza ldquocentralerdquo) egrave il CDM terra-luna che segue la traiettoria dovuta allrsquoattrazione gravitazionale del sole poi terra e luna si muovono intorno al loro CDM

3) Clavette lanciate sum Fext = Mg aCDM = g il centro di massa si comporta come un punto materiale nel lancio

4) La ballerina nel ldquogrand-fetegraverdquo fa seguire a testa e busto una traiettoria rettilinea percheacute modifica lrsquoassetto in modo da alzare il suo CDM Nel corso del salto (alza le braccia e distende

orizzontalmente le gambe non appena lasciato il suolo) il suo CDM segue la traiettoria parabolica del lancio di un corpo soggetto allrsquoaccelerazione di gravitagrave g

Quantitagrave di moto rarrP

- Si definisce quantitagrave di moto di una particella il vettore

rarrrarr= vmP

con m massa della particella e rarrv la sua velocitagrave

Si vede che rarrP egrave diretto come

rarrv

Newton scrisse la legge fondamentale della dinamica in termini di quantitagrave di moto (a differenza di Galileo che la scrisse in termini di massa e di accelerazione) ldquola rapiditagrave di variazione della quantitagrave di moto di una particella egrave proporzionale alla forza netta che agisce sulla particella ed egrave nella direzione di quella forzardquo cioegrave

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

che egrave piugrave generale della formulazione di Galileo perchegrave descrive bene anche il caso in cui variasse la massa del corpo durante il moto (ad esempio un vettore spaziale) Se la massa egrave costante le due formulazioni sono identiche

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

= t

vm

∆∆

rarr)(

= m t

v

∆∆

rarr

= m rarra

Ricordiamo che rarrF egrave diretto come

rarra (o la risultante

rarrR = sum

rarrF )

Per un sistema di punti materiali si definisce la quantitagrave di moto totale

rarrP =

rarrP 1 +

rarrP 2 + helliphellip+

rarrP n =

m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +helliphelliphellip+ mn

rarrv n = M

rarrv CDM (si puograve dimostrare) dove M egrave la massa totale

[essendo infatti Mrarrv CDM =

dt

d(M

rarrr CDM) =

dt

d(m1

rarrr 1 + m2

rarrr 2 +hellip) = m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +

hellip]

quindi rarrP = M

rarrv CDM per un sistema di particelle e

dt

Pdrarr

= M dt

d rarrv CDM = M

rarra CDM = sum

rarrF ext

Conservazione delle quantitagrave di moto

Per un sistema chiuso (M non varia) e isolato (sumrarrF ext = 0)

Allora

t

P

∆∆

rarr

= 0 rarrP = cost

rarrP i =

rarrP f

che sono tre modi equivalenti per dire che la quantitagrave di moto si conserva Vale per un sistema nel quale non agisca nessuna forza esterna netta Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica e la conservazione delle quantitagrave di moto sono due concetti fisici importantissimi Valgono sia per le palle da bigliardo che per qualunque altro sistema anche le galassie nellrsquouniverso Queste equazioni sono vettoriali Ciograve significa che rappresentano una terna di equazioni scalari ognuna valida sul proprio asse del sistema di riferimento (x y z)

Puograve accadere a seconda delle forze che agiscono nel sistema che la quantitagrave di moto si conservi in una direzione o in due e non in tutte e tre

Ad esempio se consideriamo una palla come un insieme di punti materiali la rarrF ext che agisce nel

sistema egrave mrarrg diretta lungo z senza componenti su x e y quindi

rarrP varia lungo z ma

non su x e y

Percheacute ldquocomplicarci la vitardquo con questa storia del CDM del sistema di particelle etchellip non bastava il moto del punto rappresentativo materiale Avevamo giagrave considerato il punto rappresentativo e avevamo svolto anche problemi sulla palla sul bilanciere e per altri oggetti Abbiamo sempre sbagliato La questione egrave se un corpo egrave rigido cioegrave se tutti i suoi punti si muovono mantenendo le loro distanze relative non crsquoegrave problema abbiamo solo visto che il punto materiale rappresentativo si chiama CDM ed abbiamo imparato a situarlo allrsquointerno del corpo Ma se il corpo non egrave rigido cioegrave se il suo CDM si sposta rispetto a lui stesso nel corso del moto la disposizione del corpo intorno al punto rappresentativo varia nel corso del tempo e le leggi di conservazione valgono per il CDM - Consideriamo ad esempio il teorema dellrsquoenergia cinetica che per un punto materiale si scrive Ltot = Kfin-K in = ∆ K (qui ovviamente non crsquoegrave da specificare lavoro delle forzeldquoesternerdquo percheacute essendo in un punto materiale che si assume infinitamente piccolo non ci sono forze ldquointernerdquo) Per analogia il teorema dellrsquoenergia cinetica si estende al caso di un insieme di punti materiali nel seguente modo

Ltot forze ext=rarrF extmiddot

rarrs CDM = ∆ KCDM

Dove s CDM egrave lo spostamento del centro di massa A titolo di esempio risolviamo il problema un giocatore di hockey su ghiaccio di massa M = 110Kg si muove verso la balaustra a bordo campo alla velocitagrave di 3msec Nellrsquoarrestarsi flettendo le braccia il suo CDM si sposta in avanti di 30cm Qual egrave la ∆ K del suo CDM durante la manovra

∆ KCDM = infin CDMCDM mvmv 22

2

1

2

1 minus =

= 0 - 2

1110 32 = -495 J

Fig 40

Sia L il lavoro delle forze esternerarrF ext (dirette come d

rarrx CDM ) allora

L = - Fext 03 = ∆ KCDM quindi

Fext =30

495

minusminus

= + 1650N

( si considera la forza esterna rarrF ext costante nellrsquointervallo dellrsquoarresto fatto che equivale a dire

che il giocatore si arresta con rarra CDM costante)

Dinamica e statica del corpo esteso Finora abbiamo sempre discusso del moto di un punto materiale (punto rappresentativo dicevamo sempre) In particolare abbiamo sempre applicato le forze a quel punto materiale quindi se diverse forze erano applicate esse concorrevano in quel punto ligrave e con le forze concorrenti sapevamo come calcolare la risultante con il metodo grafico o con quello numerico delle coordinate cartesiane Una volta calcolata la risultante applicata al punto si otteneva un moto di pura traslazione del punto (al massimo traslava lungo una traiettoria curva) senza rotazioni proprie del punto che non hanno neanche senso un punto che ruota su se stesso Come faccio ad accorgermi Un punto per definizione egrave infinitamente piccolo (Dicevamo infine che il punto egrave in equilibrio

traslazionale se la risultante rarrR delle forze applicate egrave nullo)

Consideriamo invece un corpo esteso Prima osservazione questo ha piugrave punti (direi infin ) a

cui la forza puograve essere applicata Prendiamo una racchetta da tennis ed una forza rarrF applicata il

moto che ne risulta dipende dal punto al quale viene applicata la forza rarrF

qui la racchetta trasla

Fig 41

stessa forza qui la racchetta ruota

Fig 42

Seconda osservazione Crsquoegrave un caso in cui le forze non possono essere fatte concorrere in un punto ed egrave quando sono parallele ed hanno rette di applicazione distinte Chiaramente non abbiamo mai dovuto considerare questo caso per il punto materiale percheacute per un punto non possono mai passare due rette parallele Ma per il corpo esteso So benissimo che se sono ferma con la macchina in

panne e la sto spingendo applicando una forza rarrF 1 sono contenta se qualcuno si affianca a me ed

esercitando una forza rarrF 2 lungo una direzione parallela a quella della mia mi aiuta a spingere In

particolare mi viene spontaneo dire che se F1 = F2 allora spingeremo con una forza doppia Ci saragrave quindi un modo per sommare due forze non concorrenti in un punto ma parallele e saragrave Ftot = F1+ F2 La retta di applicazione di Ftot divide il segmento congiungente i punti di applicazione di F1 ed F2 in due segmenti inversamente proporzionali allrsquointensitagrave delle forze F1 e F2 Terza osservazione se F1 = - F2 sono uguali in intensitagrave ma di verso opposto sempre lungo due rette di applicazione parallele passanti per un corpo esteso cosa succede La loro somma Ftot risultante saragrave 0 ma io so che il corpo non sta fermo sotto lrsquoazione di tali due forze ma ruoteragrave Concludo che le nozioni che ho acquisito finora vanno riviste ed ampliate o corrette o specificate per i corpi estesi ed inoltre che mi mancano totalmente i mezzi per descrivere le rotazioni dei corpi estesi Occorrono nuovi concetti nuove quantitagrave la forza non basta Prendo lrsquoesempio piugrave semplice dellrsquoaltalena con due bambini in due bracci uno piugrave leggero uno piugrave pesante

Fig 43 Qualitativamente so che percheacute lrsquoaltalena stia in equilibrio e non ruoti intorno al punto fisso non egrave necessario che i due bambini abbiano lo stesso peso (ugual massa) occorre che il bambino piugrave leggero sieda piugrave lontano rispetto al punto fisso (fulcro) La regola quantitativa dice che lrsquoaltalena egrave in equilibrio se il prodotto del peso per la distanza del fulcro egrave uguale PB dB = Pb

db Per generalizzare questa regola ai casi piugrave complessi occorre definire una nuova quantitagrave il momento di una forza Momento di una forza

Consideriamo una forza rarrF applicata ad un punto P ed un punto O Sia

rarrr

il vettore rarrOP allora il momento

rarrM di

rarrF rispetto ad O egrave

rarrM =

rarrr x

rarrF

e

|rarrr | middot |

rarrF | sin ϑ = |

rarrM |

Fig 44

oppure anche considerando la componente di rarrF perpendicolare ad

rarrr o di

rarrr

perpendicolare a rarrF r e rispetto a F

|rarrM | = |

rarrr | |

rarrF perp | |

rarrM | = |

rarrr perp| |

rarrF |

In generale si dice che il modulo del momento |rarrM | egrave il prodotto delle intensitagrave della forza per la

distanza dal punto della retta di applicazione della forza

Come vettore rarrM egrave perpendicolare al piano che contiene

rarrF ed

rarrr ed ha verso calcolato con la

regola della mano destra (con rarrr che si chiude su

rarrF )

La distanza rperp si chiama braccio della forza Si vede che il momento egrave nullo quando il braccio egrave nullo cioegrave quando il punto O si trova sulla retta di applicazione di F Il momento della forza peso P egrave nullo rispetto al baricentro che coincide con il centro di massa nel caso (praticamenteldquosemprerdquo) in cui il corpo non sia abbastanza esteso percheacute diversi punti del corpo risentano di una forza gravitazione differente Praticamente si deve parlare di galassie percheacute CDM e baricentro (BC) non coincidono Quindi la condizione del momento nullo della forza peso diventa un modo per definire il CDM come quel punto rispetto al quale la forza peso P ha momento nullo Per un corpo ldquoarticolatordquo estendiamo il concetto di forza normale come forza di contatto nellrsquoarticolazione utile cioegrave la forza che lrsquoarticolazione che si sta considerando esercita su quello che nellrsquoarticolazione si appoggia La forza peso P di un corpo esteso puograve immaginarsi applicata al CDM Principio di equilibrio di un corpo esteso

se su un corpo esteso agiscono solo rarr

Peso e rarr

Normale cioegrave se un corpo egrave appoggiato ad un piano orizzontale allora il corpo egrave in equilibrio se e solo se il baricentro si trova sopra la superficie di appoggio

Fig 45

Finchegrave il baricentro egrave sopra il tavolo il libro non cade percheacute rarrP applicata a CDM puograve essere

controbilanciata da rarrN Se CDM si sposta in fuori

rarrN rimane nel tavolo e crsquoegrave momento non nullo

non equilibrato da rarrP che continua ad essere applicato nel CDM

Il baricentro di una persona in posizione eretta si trova nellrsquoarea delimitata dei suoi piedi 3cm davanti allrsquoarticolazione della caviglia

Fig 46 Quando la persona si piega in avanti il baricentro esce dal corpo e per mantenere lrsquoequilibrio egrave necessario che le anche si spingono indietro percheacute il baricentro cade di nuovo in quella posizione Notiamo che anche in posizione eretta essendo la forza peso e la forza di contatto non allineate (quei 3cm) (forza di contatto sullrsquoarticolazione della caviglia che regge il peso) occorre un momento correttivo che impedisca la rotazione in avanti mantenuto dal tendine di Achille che si lega alla caviglia Altro esempio di spostamento del baricentro egrave lrsquoatleta che assume una posizione ad L chi regge il peso egrave lrsquoarticolazione della spalla quindi il CDM si sposta sotto la spalla (giagrave era uscita dal corpo per via delle gambe distese in avanti) Nel camminare il baricentro continua a muoversi da sopra un piede a sopra un altro (quello appoggiato ovviamente) Si osservi lrsquoondeggiamento Per assurdo lrsquoancheggiare delle indossatrici serve a mantenere il baricentro il piugrave possibile fermo rispetto alla direzione media del moto (porre un piede esattamente davanti allrsquoaltro) rendendo piugrave facile muoversi anche con tacchi altissimi Al contrario lrsquoequilibrista che cammina sui trampoli sta fermo il meno possibile percheacute egrave stando fermo che il piccolo spostamento che fa uscire il baricentro (ALTO) dalla superficie drsquoappoggio puograve verificarsi facilmente preferisce il ldquonon ndash equilibriordquo o lrsquo rdquoequilibrio dinamicordquo dellrsquoondeggiare continuamente fra due posizioni di equilibrio

Ricordiamo che un equilibrio egrave detto stabile se quando una perturbazione lo altera spontaneamente il sistema lo ripristina Viceversa un equilibrio egrave instabile se la piugrave piccola perturbazione lo distrugge Lrsquoequilibrio egrave molto stabile se il baricentro egrave basso ed il corpo ha una grande area drsquoappoggio la posizione accucciata del giocatore di football americano dagrave grande stabilitagrave Ancor piugrave grande stabilitagrave si ha se il baricentro (CDM) si trova al di sotto della superficie drsquoappoggio Ersquo come se si fosse ldquoappesirdquo anzicheacute ldquoappoggiatirdquo alla superficie drsquoappoggio Proprio per questo motivo lrsquoequilibrista sul filo porta una lunga asta che spesso si flette agli estremi

Fig 47 Gli uccelli bipedi da 100000000 di anni hanno sviluppato questo adattamento per cui sono appesi alle anche mentre gli uomini bipedi da solo 1000000 di anni fanno fatica con il CDM dalla parte alta del corpo Ersquo un equilibrio instabile ldquosoprardquo le anche che le reggono (65 del peso del corpo) Modificazioni strutturali per reggere la posizione eretta 1) Colonna vertebrale rastremata (piugrave tozza in basso che in alto percheacute piugrave in basso vuol dire una

maggior forza di contatto) 2) Muscoli estensori della schiena 3) Gambe ed anche ingrossate 4) Ginocchio che blocca la gamba estesa Ciononostante si ha spesso il mal di schiena Se una forza ha momento non nullo rispetto ad un punto allora il corpo puograve ruotare intorno a quel punto sotto lrsquoazione di quella forza ldquoDiciamo che se sostengo il corpo per quel punto il corpo puograve ruotare intorno a quel puntordquo (Prendo in mano un foglio di carta per un estremo per esempio) La presenza di un momento non nullo egrave dunque la condizione che genera rotazione e viceversa Lrsquoassenza di un momento risultante egrave la condizione che genera lrsquoequilibrio rotazionale di un corpo esteso Quindi la condizione di equilibrio per un corpo esteso egrave

1) rarrR = 0 risultante delle forze applicate = 0 (equilibrio traslazionale)

2) rarrM = 0 momento risultante = 0 (equilibrio rotazionale)

Supponiamo di avere un corpo esteso al quale siano applicate delle forze che diano luogo ad un momento non nullo allora il corpo ruota Per equilibrarlo dovrograve applicare un altro momento tale che la loro somma sia nulla Questo egrave il principio di funzionamento delle leve LEVE

Una leva egrave un corpo esteso al quale sono applicate delle forze con un momento risultante rarrR

allora per portare il corpo in equilibrio applico un momento correttivo rarrP in modo che il momento

totale sia nullo Si dice in genere potenza (P) e resistenza (R) di una leva Le leve sono macchine semplici Servono per applicare forze in punti scomodi o in direzioni particolari Il fulcro egrave il punto nel quale la leva egrave incernierata Si definisce il guadagno meccanico di una leva

GM =

)(

)(rarr

rarr

PF

RF

cioegrave il rapporto fra la forza che genera il momento resistente e quella che genera il momento agente A seconda che GM sia gt

lt 0 una leva si dice che egrave vantaggiosa o svantaggiosa ma solo per quel che riguarda le forze percheacute per quel che riguarda i lavori non si ha neacute vantaggio neacute svantaggio Il lavoro esercitato dalla forza che dagrave la ldquopotenzardquo e quello esercitato dalla forza che dagrave la ldquoresistenzardquo sono sempre uguali Infatti forze e spostamenti sono inversamente proporzionali Le leve si dicono di I II o III specie a seconda se il fulcro si trovi I) in mezzo fra R e P (leva indifferente GM dipende da caso a caso) II) dalla parte di R (leva vantaggiosa il braccio di R egrave sempre minore del braccio di P basta

quindi una P minore per equilibrare una R maggiore) III) dalla parte di P (leva svantaggiosa) Classici esempi dei tre tipi di leve sono i remi (I) lo schiaccianoci (II) e la pinzetta per francobolli (III) Tuttavia vediamo degli esempi meno classici ma attinenti al campo della biologia e della medicina Criterio generale egrave che le leve vantaggiose consentono di essere molto potenti ma con brevi spostamenti mentre viceversa quelle svantaggiose fanno perdere in potenza ma consentono grandi spostamenti saragrave difficile vedere un cavallo che con le lunghe zampe si scava la tana drsquoaltronde una talpa scava bene la tana ma ha movimenti molto meno ampi che non le consentono di correre veloce come un cavallo (compromesso fra forza e velocitagrave del movimento) Se contiamo tutti i movimenti di rotazione che il corpo puograve compiere capiamo che siamo pieni di leve di ogni tipo Sono classici a) il capo fulcro (articolazione occipito-atlantoide) Fig 48 muscoli della nuca (Potenza) peso del capo (Resistenza) b)

muscolo bicipide (Potenza)

Fig 49 Peso dellrsquoavambraccio (Resistenza) Fulcro (articolazione del gomito) Questa leva permette grandi spostamenti Si vede che la forza operata dal muscolo bicipite egrave massima quando lrsquoavambraccio egrave orizzontale (la distanza dal fulcro egrave massima) ed egrave minima quando lrsquoavambraccio egrave verticale( con la distanza dal fulcro nulla) Attenzione - la colonna vertebrale egrave costituita da 24 vertebre separate da dischi di liquido Quando una

persona si piega la schiena egrave una leva con GM molto piccolo Quindi un piegamento completo per raccogliere un oggetto anche leggero produce una forza molto intensa sul disco lombosacrale che separa lrsquoultima vertebra dellrsquoosso sacro Se indebolito questo disco puograve rompersi o deformarsi comprimendo i nervi vicini e causando grande dolore Vediamo un modello che rende conto come mai questa forza egrave cosigrave grande

Fig 50

I muscoli della schiena esercitano T Con un angolo α = 12deg quando la schiena egrave piegata a 90deg

Peso della parte superiore del corpo (circa il 65 del peso totale)

Fulcro lombosacrale (il fulcro produce R) Essendo α piccolo la retta di azione Τ passa vicino al fulcro e dunque la distanza r che costituisce il suo braccio egrave molto piccola Al contrario il peso egrave perpendicolare alla colonna e il suo punto di applicazione egrave molto piugrave distante dal fulcro Τ deve essere molto grande per equilibrare il momento di P Dunque se T egrave grande anche la sua componente orizzontale egrave grande e di conseguenza anche R che costituisce la reazione dellrsquoosso sacro deve avere componente orizzontale molto grande per equilibrare Τ (uguale ed opposta alla componente orizzontale di Τ ) Facendo i conti si ottengono numeri grandi per 75Kg di peso T ed R sono equivalenti al peso di una massa di 220Kg Senza sollevare pesi solo piegandosi Conviene piegare le ginocchia quando si sollevano pesi - Nel corpo egrave difficile che il peso cada sulla verticale dellrsquoarticolazione che lo sostiene egrave sempre

un porsquo spostato e crsquoegrave un tendine con un muscolo che compensa il momento del peso - La contrazione muscolare egrave una successione di brevi contrazioni delle fibre muscolari stimolate

da impulsi che provengono dal sistema nervoso Contrazioni sono molto ravvicinate e avvengono in tempi differenti nelle diverse parti del muscolo cosigrave che il risultato apparente egrave una lenta e progressiva contrazione Se la frequenza degli impulsi aumenta la tensione cresce finchegrave si raggiunge la tensione massima (ricordare la tensione di un cavo) Un ulteriore aumento della frequenza degli impulsi a questo punto non causa ulteriore aumento della tensione

La tensione massima egrave proporzionale allrsquoarea della sezione trasversa del muscolo nel suo punto piugrave largo La tensione massima dipende anche dalla lunghezza del muscolo che varia Si ottiene tensione massima quando il muscolo egrave solo di poco allungato rispetto alla sua lunghezza di riposo di riposo ed egrave circa 30-40 Ncm2 La tensione massima si riduce moltissimo se il muscolo egrave molto allungato o accorciato Dinamica Rotatoria Fino ad ora abbiamo studiato moti traslatori ma il moto di un corpo rigido egrave in generale roto-traslatorio Naturalmente dobbiamo ridurre il problema complesso ad uno piugrave semplice e per fare ciograve immaginiamo di posizionarci su un sistema di riferimento solidale al corpo rigido i moto immaginiamo cioegrave di ldquosedercirdquo sul corpo rigido In questo modo non saremo piugrave sensibili al moto traslatorio e guardando il corpo rigido osserveremo solo le sue rotazioni Trattiamo allora il moto generico scomponendo la parte traslatoria (giagrave discussa ) da quella rotatoria Se si trascura la parte traslatoria del moto di un corpo rigido quello che rimane da trattare egrave la sua rotazione Nel nostro corso consideriamo le rotazioni che avvengono su un piano le rotazioni nello spazio potranno essere trattate come composizione di rotazioni su un piano Per le rotazioni su un piano si identifica un asse di rotazione perpendicolare al piano di rotazione e passante per il centro di rotazione Le articolazioni del gomito e del ginocchio sono articolazioni libere di ruotare intorno ad un asse a differenza ad esempio di quella della spalla che puograve ruotare intorno a due assi Si definisce spostamento angolare la variazione di una posizione che egrave definita in modo completo da una misura di angolo Una rotazione di un intero corpo rigido egrave definita in modo completo da uno spostamento angolare θfin - θin= ∆θ e si misura in radianti

Fig 51 Dobbiamo definire anche un verso di rotazione θ si incrementa per rotazioni antiorarie positive le rotazioni in senso orario sono invece negative La velocitagrave angolare si definisce analogamente alla velocitagrave lineare come il rapporto tra lo spostamento angolare e il tempo t impiegato per eseguire tale rotazione

ωm = t∆

∆θ e si misura in rad s

θin

θfin ∆θ

R

S

Anche per w si definisce ωist = lim ∆trarr0 t∆

∆θ

Ancora lrsquoaccelerazione angolare si definisce αm = t∆

∆ω e αist = lim ∆trarr0

t∆∆ω

Anche la legge fondamentale della dinamica ha un analogo nel ambito dei moti rotatori Si stabilisce che se ad un corpo rigido egrave soggetto ad un momento torcente diverso da zero esso subisce unrsquoaccelerazione angolare ad esso proporzionale Nel caso delle rotazioni la resistenza al moto egrave espressa dal momento di inerzia I associato al corpo rigido che gioca il ruolo della massa nei moti traslatori La legge della dinamica delle rotazioni egrave M = I middotα

E sostituendo M = Imiddott∆

∆ω= Imiddot

tinfin

∆minusωω

Il momento di inerzia I di un corpo rigido dipende dalla disposizione della massa del corpo rispetto allrsquoasse di rotazione per una massa puntiforme m a distanza R dallrsquoasse di rotazione I= m R2 per un oggetto esteso sommerograve il momento drsquoinerzia delle sue parti I = Σi mi Ri

2 Se si definisce momento angolare L il prodotto del momento drsquoinerzia per la velocitagrave angolare

L=Iω la legge della dinamica diventa

M = t

LL infin

∆minus

Il momento angolare egrave la grandezza fisica che si conserva se non viene applicato momento torcente Tutti i gesti di volo salti lanci tuffihellip sono azioni nelle quali si conserva il momento angolare Infatti in volo agisce solo la forza di gravitagrave che essendo applicata al CDM non genera momento torcente Il corpo umano nei gesti di volo Il corpo umano non egrave rigido e pertanto in volo agendo con i muscoli possiamo cambiare la disposizione del nostro corpo intorno al centro di massa che in volo coincide col centro di rotazione In questo modo si ottiene una variazione del momento di inerzia I e di conseguenza la velocitagrave angolare deve compensare questa variazione in modo che si mantenga costante il momento angolare L (grandezza che si conserva in assenza di momento torcente) Ersquo questo il principio che spiega il realizzarsi delle trottole sul ghiaccio dei salti mortali tuffi con avvitamento e cosigrave via in posizione raccolta I diminuisce e ω aumenta Moto circolare e moto circolare uniforme Per utilizzare le relazioni della cinematica e della dinamica lineare che abbiamo studiato egrave interessante poter passare dalle variabili angolari alle variabili lineari velocitagrave e accelerazione delle

masse in moto rotatorio Se una massa si muove su una traiettoria curva la velocitagrave tangenziale vt diretta come la tangente alla traiettoria dipende dalla velocitagrave angolare ω ( ωm=ϑ t )e dal raggio di curvatura della traiettoria Se la traiettoria egrave una circonferenza di raggio R e se gli angoli sono espressi in radianti lrsquoarco percorso per uno spostamento angolare ϑ egrave S = ϑ sdotR e la velocitagrave lineare tangente vt = St= ϑ sdotRt risulta vt = ωsdotR Se la velocitagrave angolare ω egrave costante il moto egrave detto circolare uniforme La legge oraria egrave quella dei moti uniformi spostamenti angolari uguali in tempi uguali ϑ(t) = ω t Anche la velocitagrave tangente saragrave di intensitagrave costante se ω egrave costante (archi uguali per tempi uguali s(t) = vt (t) ) ma crsquoegrave una accelerazione normale infatti la velocitagrave anche se non cambia in modulo cambia continuamente di direzione Questa accelerazione si dice centripeta egrave diretta normalmente rispetto alla traiettoria verso il centro della circonferenza e vale in modulo

ac=R

v2

Fig 52 Essendo la velocitagrave tangente vt = ωR Lrsquo accelerazione centripeta si puograve scrivere

ac =R

v2

= ω2 R

Il tempo impiegato dal punto a muoversi sulla circonferenza egrave una costante (moto uniforme) T periodo in T viene percorso uno spazio 2π R

v = T

Rπ2

La frequenza f egrave invece il ndeg di giri al secondo

f =T

1

Se si prendono punti diversi sul raggio della circonferenza questi hanno la stessa velocitagrave angolare e velocitagrave tangenziali crescenti al crescere del raggio Esempio carosello dei pattinatori Esercizi

1- un velocista con una velocitagrave di 10 ms viaggia su una curva di raggio 25m ndash accelerazione

a = R

v2

= 25

100 = 4 ms2

2 ndash un velocista con v = 92 ms su una pista circolare con ac = 38 m s2 ndash Raggio della pista Tempo per percorrere un giro completo

a = R

v2

rArr R = a

v2

= 83

)29( 2

= 2227m

T =v

Rπ2 =

29

27222 lowastπ = 152 sec

Forza centripeta forza centrifuga Una forza centripeta egrave una forza di qualunque natura che trattiene un corpo in moto su una traiettoria curvilinea ad esempio circolare In assenza di tale forza il corpo proseguirebbe il suo moto lungo una traiettoria rettilinea Nel gesto del lancio del martello ad esempio il lanciatore che esercita sul peso in cima allrsquoattrezzo una forza mediata dalla tensione dal cavo che lo trattiene nella traiettoria circolare Quando il lanciatore lascia la maniglia il martello viene lanciato lungo la direzione della tangente alla traiettoria nellrsquoistante di rilascio Lrsquointensitagrave della forza centripeta necessaria a mantenere una massa m in moto con velocitagrave tangente v lungo una traiettoria circolare di raggio r si puograve calcolare a partire dallrsquoaccellerazione centripeta secondo la legge fondamentale della dinamica

|rarr

cF | = m | rarr

ca | = m r

v2

Tale forza egrave diretta come lrsquoaccelerazione centripeta e cioegrave verso il centro della circonferenza che costituisce la traiettoria La forza centripeta egrave dunque una forza reale Con lsquoforza centrifugarsquo invece non ci si riferisce ad un forza che agisce su un corpo ma alla situazione apparente cui sembra sottoposto un corpo in moto curvilineo Esso pare tirato o attirato lontano dal centro di rotazione pare ci sia una lsquoforzarsquo che vuole farlo sfuggire Quando viene lasciato il martello si allontana dal centro di rotazione percheacute si muove di moto rettilineo uniforme non essendo piugrave soggetto a forze altre che la forza peso Lrsquoacqua esce dal cestello della lavatrice quando il cestello ruota velocemente (funzione centrifuga) percheacute lrsquoacqua che non costituisce un corpo solo con il cestello bucato non egrave soggetta alla forza centripeta e puograve passare attraverso i buchi I panni invece pure non parte del cestello sono troppo grandi per passare dai buchi si possono solo schiacciare contro le pareti questo schiacciamento sembra il risultato di una forza ma egrave invece il risultato dellrsquoassenza di una forza quella centripeta Una volta lagrave contro il cestello fanno tuttrsquouno con le pareti di metallo che esercitano su di essi la forza centripeta (cioegrave con direzione verso lrsquoasse di rotazione) che li mantiene in rotazione Le parti di un corpo rigido esteso che si muove di moto rotatorio rispetto ad un asse quale ad esempio la gamba di un giocatore di calcio che calcia un pallone sono soggette alla forza centripeta che le mantiene sulla traiettoria curva Tale forza viene trasmessa alle varie parti tramite le forze di tensione che si sviluppano allrsquointerno del corpo stesso ad esempio il piede egrave soggetto alla forza centrifuga tramite lrsquoazione dei legamenti e tendini a livello della caviglia che vengono messi in tensione per trattenere il piede stesso

y = sinϑ middot ϑcos

x -

2

1g

2

2

)cos(

)(

ϑiv

x = x tgϑ -

2)cos(2 ϑiv

g x2

(tgϑ egrave costante percheacute egrave lrsquoalzo iniziale 2)cos(2 ϑiv

g egrave costante percheacute g egrave costante vi pure

ϑ pure) Questa egrave lrsquoequazione di una parabola del tipo y = ax2 + bx La traiettoria egrave dunque una parabola Ha importanza sapere la gittata orizzontale cioegrave a quale distanza D il proiettile toccheragrave il suolo (che misura farograve nel lancio)

D = x-xi = (vi cosϑ )t rArr t = ϑcosiv

D

Suolo rarr 0 = y ndash yi = (vi sinϑ )t - 2

1 gt2

0 = vi sinϑ ϑcosiv

D -

2

1g

2

2

)cos( ϑiv

D

dividendo per D

0 = ϑϑ

cos

sin-

2

1g

2)cos( ϑiv

D rArr D =

ϑϑ

cos

sin

g

vi ϑ22 cos2 = sinϑ cosϑ

g

vi22

darr sin2ϑ (trigonometria 2 sinϑ cosϑ = sin2ϑ )

D = g

vi2

sin2ϑ

Questa equazione mi dice che misura farograve a partire dalla velocitagrave iniziale che riesco ad imprimere allrsquoattrezzo e allrsquoalzo del tiro La funzione sin ha un andamento a max e min rArr si avragrave un max quando sin 2ϑ =1 rArr 2ϑ = 90deg ϑ = 45deg Lrsquoalzo iniziale di 45deg daragrave il risultato migliore (assenza di vento assenza di attrito problema semplificato) Attenzione sin 2ϑ egrave simmetrico intorno a 2ϑ = 90deg e dunque si avranno gittate uguali per angoli equidistanti da 2ϑ = 90deg rArr ϑ = 45deg (osservazione di Galileo) Fig 11 Esercizi 1 ndash Copione di un film cascatore deve saltare da un terrazzo sul terrazzo di un palazzo vicino distante 62m e piugrave basso di 48m la sua velocitagrave sul terrazzo puograve essere 45 msec Accetta la parte

Fig12

Per cadere di 48 m impiega un tempo tc tale che y(tc) ndash yi = -48m = -2

1 gt2c

tc = 89

)2()84( minuslowastminus = 099sec

Nel tempo di caduta tc = 099s quale distanza potragrave coprire con la velocitagrave iniziale ( e poi costante) vix =45 msec d = x-xi = vix t = 45 middot 099 = 45m d = 45m egrave meno dei 62m che separano i due palazzi Il cascatore faragrave bene a rifiutare la parte Quale velocitagrave iniziale min dovrebbe avere per avere delle chances

V ix = 990

26 = 62 msec

2 ndash Salto di Bob Beamon a cittagrave del Mexico nel 1968 salto in lungo di 890m Supponendo che la velocitagrave del decollo sia stata 95 ms come per un centometrista quanto vicino arrivograve alla gittata max (per assenza di resistenza aria)

Dmax = g

v20 per sin 2ϑ 0 = 1 (rArr ϑ 0 = 45deg)

= 789

)59( 2

= 9228m

∆ D = 9228 ndash 890 = 0328m

3 ndash Cestista

Fig15 Quale velocitagrave iniziale v0 deve avere la palla affinchegrave il cestista possa fare canestro se lrsquoalzo iniziale egrave di 55deg rispetto allrsquoorizzontale (le varie distanze sono indicate in Figura) Definisco sistema di assi cartesiano con origine nel centro della palla e assi paralleli agli assi originari In questo sistema di riferimento la posizione del canestro egrave xc = 42 ndash 03 = 39m yc = 3 ndash 21 = 09m Lrsquo equazione della traiettoria egrave

y = x tgϑ 0 - 200 )cos(2 ϑv

g x2

Introduco nellrsquoequazione i valori di yc xc tg 55deg = 1428 e ricavo il valore dellrsquounica incognita v0

09 = 39 x 1428 - 2

0 )5740(2

89

xv x (39)2

09 = 5569 - 2

0 )5740(

5374

xv

(09 ndash 5569) (v0 x 0574)2 = -7453

v0 = 6694

5374

5740

1 = 696msec

Forze e moto Quando un oggetto cambia il suo stato di moto (da fermo si muove o si ferma se si stava muovendo accelera o frena o curva) per esperienza sappiamo che egrave avvenuta unrsquointerazione dellrsquooggetto con un altro corpo dellrsquoambiente circostante al contatto o a distanza Il concetto di interazione prevede sempre la presenza di due corpi unrsquointerazione viene scambiata tra due corpi A questa interazione associamo il concetto di forza Questa associazione non egrave solo qualitativa ma viene quantificata tramite una legge che collega forze e cambiamenti dello stato di moto dei corpi rendendo la forza una grandezza derivata nel sistema SI Ciograve avviene introducendo una grandezza fisica fondamentale chiamata massa (m) che egrave caratteristica di ogni corpo materiale e che esprime lrsquoinerzia al moto propria del corpo quando viene sottoposto alla sollecitazione di una forza Diciamo che due corpi hanno masse diverse se assumono accelerazioni diverse quando sottoposte allrsquoazione della medesima forza Questa massa si dice anche inerziale Si misura in kilogrammi (kg) ed egrave una grandezza scalare positiva

La teoria del moto egrave riassunta dalle tre leggi formulate da Isaac Newton fondate sulle basi del genio di Galileo Galilei Prima legge del moto Ogni corpo rimane nel suo stato di quiete o mantiene il suo stato di moto a velocitagrave costante se nessuna forza agisce su di esso o se la risultante delle forze ad esso applicate egrave nulla Questa proprietagrave del moto egrave detta anche ldquoprincipio di inerziardquo o ldquoprimo principio della dinamicardquo Velocitagrave costante significa che il vettore velocitagrave egrave costante cioegrave non variano modulo direzione e verso Quindi lrsquounico moto possibile in assenza di forze applicate egrave quello rettilineo uniforme (Tale legge non puograve essere verificata se si prende in considerazione un sistema di riferimento che si muove di moto accelerato Per esempio se utilizzo un sistema di riferimento solidale con lrsquoabitacolo di unrsquoautomobile o di un aereo che stanno accelerando o frenando i corpi possono scivolare lrsquoacqua contenuta in un bicchiere vi si puograve rovesciare addosso come soggetta ad una forza In realtagrave ciograve avviene proprio perchegrave questi corpi tendono a mantenere il loro stato di moto e lsquodisubbidisconorsquo alla variazione di velocitagrave che ciograve che egrave solidale col sistema di riferimento sta subendo I sistemi di riferimento nei quali si verifica la prima legge della dinamica si chiamano sistemi di riferimento inerziali e sono da essa implicitamente definiti) Seconda legge del moto Questa legge formulata inizialmente da Galileo e poi riproposta da Newton egrave detta anche ldquolegge fondamentale della dinamicardquo

rarrF = m

rarra

La forza rarrF egrave un vettore dato dal prodotto del vettore accelerazione

rarra per uno scalare m ed egrave

diretto come rarra Questa legge come si vede egrave una legge vettoriale Se piugrave forze agiscono sul

corpo di massa m la legge vale per il ldquovettore risultanterdquo che egrave la somma vettoriale di tutte le forze che agiscono sul corpo Lrsquoaccelerazione egrave diretta come il vettore risultante delle forze

Si possono definire le componenti di rarrF lungo gli assi del sistema di riferimento e la legge del

moto vale componente per componente Fx = max Fy = may Fz = maz

Lrsquounitagrave di misura della forza egrave il newton (N) 1N = 1Kg m s2

E la relazione dimensionale egrave[ ]N = [ ]2minusmlt Se la forza (o la risultante delle forze) applicata al corpo egrave nulla egrave anche nulla lrsquoaccelerazione e visto che lrsquoaccelerazione egrave definita come la variazione della velocitagrave divisa per il tempo la variazione della velocitagrave saragrave anchrsquoessa nulla Ciograve significa che la velocitagrave si mantiene costante Quindi in assenza di forze applicate il corpo rimane fermo se inizialmente era fermo e continua a muoversi con velocitagrave costante se inizialmente si muoveva come giagrave affermato dalla prima legge Terza legge del moto Dal concetto di forza che esprime lrsquointerazione tra i corpi deriva anche quello che viene comunemente detto ldquoil principio di azione e reazionerdquo o ldquoterzo principio della dinamicardquo ad ogni azione corrisponde sempre una reazione uguale e contraria cioegrave se due corpi A e B interagiscono in

modo che il corpo A eserciti una forza rarrF sul corpo B allora il corpo B esercita sul corpo A una

forza rarr

F = - rarrF Si noti che le due forze NON sono applicate allo stesso corpo

rarrF agisce su

B e rarr

F agisce su A Lrsquoapplicazione di questo principio egrave molto importante quando si considerano le forze che si realizzano al contatto tra due corpi e in particolare per le forze applicate da muscoli tendini legamenti e ossa del corpo umano Forze particolari Forza gravitazionale Newton nel descrivere il moto dei corpi celesti ha stabilito la presenza di una forza di interazione a distanza tra due corpi che chiamiamo forza di gravitagrave e ha fornito lrsquoespressione che la governa

FG = -G 2

21

R

mm GG ( legge di attrazione universale)

dove mG 1 e mG 2 sono le masse gravitazionali dei due corpi R egrave la distanza tra le due masse (considerate puntiformi) e G egrave una costante numerica che vale 667 x 10-11 Nm2kg2 1 Nm2kg2 egrave anche 1m3kg s2 Il segno meno sta a indicare che la forza egrave attrattiva La forza gravitazionale viene rappresentata con un vettore il cui modulo egrave dato dalla legge di Newton e che ha la direzione della congiungente i centri di massa delle due masse La forza di attrazione lsquosentitarsquo dalla massa mG 2 dovuta a mG 1 ha il verso che punta su mG 1 e contemporaneamente la forza di attrazione misurata dalla massa mG 1 dovuta a mG 2 ha il verso che punta su mG 2m (le due forze sono lrsquoazione e la reazione della terza legge della dinamica Perchegrave nellrsquoesperienza comune non si osserva che una matita attiri unrsquoaltra matita su un tavolo La forza attrattiva gravitazionale esiste fra di loro ma egrave molto piccola (la costante G egrave molto piccola) ed egrave contrastata completamente dalle forze di attrito (che discuteremo fra breve) La Terra su cui viviamo ha invece una massa molto grande M = 597 x 1024 kg e quindi puograve esercitare una forza piugrave che apprezzabile su altre masse anche se piccole come quella della matita (la matita cade dal tavolo) Chiamiamo forza peso la forza di gravitagrave FG esercitata dalla Terra su ogni corpo ad essa vicino e che origina dallrsquointerazione gravitazionale per la quale tutti i corpi si attirano fra di loro La forza peso viene spesso indicata con P che agisce su un corpo di massa mG vale

P = -G 2T

GGTerra

R

mM equiv - g mG con g equiv G

2T

GTerra

R

M

Dove MG Terra egrave la massa della Terra ed RT egrave il raggio della Terra (RT = 6370km) Il valore di g risulta

g = 667 x 10-11 2

3

kgs

m223

24

)106379(

10975

mx

kgx = 98 ms2 e ha le dimensioni di unrsquo accelerazione

La forza di attrazione gravitazionale alla quale una massa mG egrave soggetta vicino alla superficie di un altro pianeta egrave diversa Infatti la massa e il raggio degli altri pianeti sono diversi da quelli della Terra e quindi g assume un altro valore Si puograve dire che il peso di un corpo cambia sui diversi pianeti o sulla Luna mentre la massa gravitazionale egrave la grandezza fisica fondamentale propria di ogni corpo

Ersquo molto importante ora applicare la seconda legge della dinamica o legge fondamentale della dinamica F = m a ad un corpo soggetto alla sola forza peso sulla superficie della Terra cioegrave quando F egrave la forza peso P ora definita F = m a P = m a -g mG = m a Abbiamo voluto lasciare indicato il pedice G percheacute in principio non crsquoegrave ragione percheacute la grandezza con le dimensioni di una massa che compare nella legge di gravitazione sia uguale alla massa implicitamente definita dalla relazione di proporzionalitagrave tra la F applicata e lrsquoaccelerazione subita da un corpo data dalla seconda legge della dinamica Si egrave tuttavia dimostrato sperimentalmente che la massa gravitazionale mG (introdotta nella legge di attrazione universale e la massa m che si dice massa inerziale ed egrave definita tramite la seconda legge della dinamica sono uguali hanno lo stesso valore Questo permette di semplificare le due masse nellrsquoequazione e di ottenere -g = a che significa che lrsquoaccelerazione di una corpo soggetto alla forza peso sulla superficie della terra vale a = ndashg equiv -98 ms2 NB lrsquoaccelerazione vale 98 ms2 per tutti i corpi di qualsiasi massa Infatti sui corpi con massa maggiore vengono esercitate forze maggiori in modo proporzionale alla loro massa (corpi con massa maggiore lsquopesano di piugraversquo) cosigrave da produrre sempre la stessa accelerazione Si egrave soliti assumere che g sia costante e che non dipenda dalla quota h alla quale ci si trovi al di sopra della superficie terrestre Questa egrave unrsquoapprossimazione molto buona nei limiti in cui hltlt RT Infatti g diminuisce con la quota per esempio se h = 8000m (circa sul monte Everest) lrsquoaccelerazione di gravitagrave g si riduce a

2

2

)6378000(

)6370000( x g = 099749 x g = 97754 m s2 (meno del 25 per mille)

Forze di superficie Forze di contatto Alla superficie di contatto tra due corpi si realizzano le forze che chiamiamo appunto di superficie e che si dividono in forze di contatto e forze di attrito Le forze di contatto

La forza normalerarr

NF egrave la forza che un corpo sperimenta quando egrave appoggiato su di una superficie

Si chiama normale percheacute egrave sempre diretta perpendicolarmente alla superficie Se la superficie egrave orizzontale Fig16

Fc

FN

Piano orizzontale Calcolare lrsquointensitagrave della forza normale applicata ad un oggetto di massa m fermo su un tavolo orizzontale Per il primo principio della dinamica (principio di inerzia) se un corpo e fermo la risultante delle forze ad esso applicate egrave nulla cioegrave

rarrP +

rarr

NF = 0

In questo caso la forza normale rarr

NF egrave un vettore che ha lo stesso modulo e la stessa direzione del

vettore forza pesorarrP ma ha verso opposto Quindi il modulo di

rarr

NF vale |rarr

NF | = mg

Piano inclinato

Nel caso di un piano inclinato dovrograve tenere conto che rarr

NF puograve compensare solo la parte di rarrP

diretta normalmente al piano (infatti se non crsquoegrave attrito il corpo scivola lungo il piano inclinato) Se ϑ egrave lrsquoangolo che il piano inclinato forma con lrsquoorizzontale il piano inclinato fornisce al corpo una

forza normale che in modulo vale | rarr

NF | = m g cosϑ

Fig 17 4 ndash Salto con molleggio Un uomo con massa m = 70kg salta da unrsquoaltezza L = 2m Arrivando al suolo molleggia sulle ginocchia per un tratto l = 02 m Si calcoli la forza di reazione che il suolo esercita sui piedi durante il molleggio Si consideri il molleggio come una frenata che avviene con accelerazione (negativa) costante Fig 18

F

FN

Cadendo da unrsquoaltezza L allrsquoistante in cui il piede tocca il suolo la velocitagrave Vs egrave data dalla risoluzione del sistema di equazioni cinematiche per il moto uniformemente accelerato con t0 il tempo di caduta Vs = gt0 L = frac12 gt0

2 Vs = (2gL) frac12 La forza di reazione che esercita il suolo sul piede durante il molleggio egrave quella che imprime lrsquoaccelerazione (negativa) a di frenata (piugrave il peso del corpo mg)Il corpo si ferma in un tratto l Questa frenata si tratta con le equazioni del moto uniformemente accelerato 0 = Vs ndash at l = Vs t ndash frac12 at2 (essendo t il tempo di frenata) dalla prima equazione t = Vs a che introdotto nella seconda equazione permette di calcolare a a = frac12 Vs

2l e con Vs = (2gL) frac12 si ottiene a = g (Ll) e quindi la forza di reazione Fr = mg + ma egrave data da Fr = mg (Ll + 1) = 70 x 98 x (202 + 1) N = 7546Newton Si noti che al peso si aggiunge una forza che egrave il peso moltiplicato per un fattore (ldquofattore di cadutardquo) dato dal rapporto tra lrsquoampiezza del salto e il tratto di molleggio Questa forza si trasmette dal piede allrsquoarticolazione delle ginocchia e cosigrave via Tensione

Quando una corda egrave attaccata ad un corpo e viene tirata si dice che la corda egrave sotto tensione

La tensione rarrT cui egrave sottoposta la corde in ogni sua parte egrave una forza pari alla forza che si applica

sia al corpo sia alla mano che lo tira ai due estremi della corda ed egrave sempre diretta lungo la corda Fig 19 Anche con una carrucola cioegrave con la corda che si curva intorno ad una rotella la tensione ha intensitagrave T lungo la corda Una corda egrave utile in questo caso per cambiare la direzione e il verso di applicazione di una forza la mano tira verso il basso ma la massa egrave sottoposta ad una forza verso lrsquoalto

Fig20 I tendini del corpo umano sono corde e vengono utilizzati anche per variare la direzione di applicazione delle forze esercitate dai muscoli Forza di attrito

Lrsquoattrito fa parte dellrsquoesperienza quotidiana nel bene e nel male Da una parte fa consumare piugrave benzina (20 per motore e trasmissione) ma anche la suola delle scarpe il battistrada delle gomme e i gomiti del maglione dallrsquoaltra consente il movimento i nodi tengono i chiodi fissano etc Un libro che scivola su un tavolo orizzontale si fermerebbe se non mantenessi una forza costante che contrasta lrsquoattrito su una superficie ruvida il movimento genera lui stesso una forza che decelera il moto Per mantenere in moto rettilineo uniforme un corpo che scivola sopra un piano bisogna applicare al corpo una forza che serva a neutralizzare questa forza ldquospontaneardquo(detta di attrito) in modo che la risultante delle forze applicate sia nulla Anche lrsquoinizio del moto egrave contrastato dalla forza di attrito (statico) che assume un valore uguale e contrario a quello della forza che applico fino a raggiungere un valore massimo (valore limite) Il corpo non si muove resiste al moto Oltre quel valore limite cioegrave se applico una forza sufficientemente intensa il corpo inizia a muoversi Situazione

Fig 21 Un blocco appoggiato sul piano orizzontale egrave fermo rarrP

verso il basso e rarr

NF verso lrsquoalto sono uguali in modulo

Se applico una forza rarrF per spostare il corpo verso destra insorge una forza di attrito statico

P

FN

il cui modulo vale |rarr

sattF _ | = smicro |

rarr

NF | ( smicro egrave il coefficiente di attrito statico il suo valore dipende

dalla natura dei materiali a contatto) esercitata orizzontalmente dal piano che uguaglia in

intensitagraverarrF ma di verso opposto in modo che il corpo non si muove Se aumento

rarrF aumenta

anche rarr

sattF _

Fig22 Diagramma delle forze applicate al blocco

Raggiunto un certo valore di rarrF il corpo ha uno ldquostrappordquo e comincia a muoversi nella direzione

di rarrF verso destra ostacolato dalla una forza di attrito dinamico

rarr

dattF _ generalmente inferiore al

valore max di rarr

sattF _ (egrave piugrave facile mantenere un corpo in moto che muoverlo da fermo)

(Il passaggio da un regime allrsquoaltro egrave allrsquoorigine degli stridii da attrito ndash quello ad esempio del gesso sulla lavagna - o anche del suono del violino) - Proprietagrave dellrsquoattrito riassunte

1 ndash Corpo fermo la forza di attrito statica rarr

sattF _e la componente di

rarrF parallela alla superficie

hanno uguale intensitagrave e si annullano 2 ndash limite di scivolamento la massima forza di attrito per due materiali posti a contatto egrave proporzionale alla forza normale tramite un coefficiente di attrito statico smicro

| rarr

sattF _(max)| = smicro |

rarr

NF |

smicro egrave un coefficiente adimensionale che assume valori diversi per diverse coppie di materiali

3 ndash il corpo inizia a muoversi il valore della forza di attrito decresce rapidamente fino a

|rarr

kattF _ | = kmicro |rarr

NF | proporzionale alla forza normale tramite un coefficiente di attrito dinamico kmicro

adimensionale e dipendente dalla coppia di materiali in considerazione

P

FN

F Fatt

Attenzione |rarr

sattF _| e

rarr

kattF _ | sono proporzionali non a |

rarrP | ma a |

rarr

NF | quindi nel caso di un

piano inclinato bisogna considerare la componente di rarrP perpendicolare al piano

rarr

NF equilibra

solo la parte di rarrP perpendicolare al piano

Attenzione le equazioni per |rarr

sattF _| e |

rarr

kattF _| non sono vettoriali le forze di attrito non sono

dirette come la forza normale rarr

NF ma parallele al piano

Durante una corsa allo scatto si usano i blocchi di partenza per sfruttare la reazione del blocco alla forza muscolare di spinta Data lrsquoinclinazione dei blocchi la forza di reazione del blocco sul atleta si massimizza nella direzione del moto

rArr si fa uso della ldquoazione-reazionerdquo Fig 23 Durante la corsa si sfrutta il coefficiente di attrito statico per mantenere un piede fermo a terra mentre lrsquoaltro avanza Per non superare il limite di scivolamento allrsquoindietro del piede di appoggio la forza che si esercita sul terreno deve avere una componente normale al terreno di intensitagrave opportunamente elevata In ogni caso se smicro egrave basso si ha lrsquoeffetto del camminare sul ghiaccio

Lrsquouso di scarpette chiodate non aumenta il valore di smicro che egrave il coefficiente drsquoattrito tra due

superfici ldquoliscerdquo piuttosto hanno una funzione simile a quella di mini blocchi di partenza permettono di esercitare una forza sul tartan lungo la direzione del moto cioegrave parallelamente alla pista Resistenza del mezzo Consideriamo un corpo che si muove in aria Esso incontra una resistenza da parte dellrsquoaria che agisce in modo da opporsi al movimento del corpo cioegrave ha la stessa direzione e verso opposto a quella del moto

rarrD forza di resistenza del mezzo o forza aerodinamica (detta anche forza viscosa) si

|rarrD | =

2

1 cρAv2 (limite di alte velocitagrave eo alte viscositagrave)

D egrave proporzionale al quadrato della velocitagrave (termine v2 ) Inoltre D egrave proporzionale ad A lrsquoarea efficace della sezione trasversa (lrsquoarea presentata dal corpo nella direzione del moto vedi la posizione a uovo dei discesisti di sci o dei ciclisti) ρ egrave la densitagrave del mezzo Ersquo intuitivo che la resistenza D dipenda dalla densitagrave del mezzo infatti il corpo per procedere deve ldquofarsi stradardquo spostando le molecole del mezzo Quindi piugrave il mezzo egrave rarefatto piugrave egrave facile ldquofarsi stradardquo e inferiore egrave la resistenza D Con c si indica il coefficiente di penetrazione (il cosiddetto cx che dipende dalla forma geometrica del corpo) La forma (oltre che

lrsquoarea efficace A) influenza la resistenza opposta dal mezzo percheacute una ottimizzazione della forma (affusolata migliorare il Cx) porta a ridurre la formazione di turbolenze nellrsquoaria intorno al corpo Casco dei ciclisti o discesisti con forma a punta posteriore

non riduce la sezione trasversa A ma piuttosto migliora il Cx

Fig 24 Nel nuoto lo sbattere i piedi serve soprattutto per mantenere il corpo orizzontale e quindi a ridurre la sezione A Il lavoro viene fatto per lo piugrave dalle braccia (75) In acqua anche se la velocitagrave v egrave bassa D egrave significativa percheacute la viscositagrave del mezzo egrave grande Per ridurre le turbolenze negli sport di velocitagrave diventa essenziale utilizzare accorgimenti quali nascondere dadi e cavi nelle biciclette togliere cerchietti delle racchette da sci Tagliare i capelli o rasarsi le gambe sono sempre modi di ridurre anche le piccole turbolenze Velocitagrave limite di caduta di un grave in aria

La forza rarrD di frenamento durante la caduta libera li un corpo in aria ha verso opposto a quello

della forza pesorarrP che accelera il corpo verso il basso Se

rarrP egrave costante il corpo accelera con

accelerazione rarrg ie aumenta la velocitagrave verso il basso ma aumentando v dunque v2 aumenta

D Ciograve prosegue fincheacute D diventa di intensitagrave uguale P con verso opposto rarrD = -

rarrP A questo

punto la risultante delle forze agenti sul corpo in caduta egrave nulla (sumrarrF =

rarrD + (-

rarrP ) e dalla

seconda legge (fondamentale) della dinamica si ha che lrsquoaccelerazione rarra del corpo egrave nulla

rArr Il corpo non accelera piugrave e mantiene velocitagrave costante massima La velocitagrave raggiunta detta velocitagrave limite vlim egrave tale da verificare lrsquouguaglianza

D = 2

1cρAv lim

2 = mg = P quindi rArr vlim = (2mg cρA) frac12

La vlim raggiunta dai paracadutisti puograve essere variata modificando A tramite dei cambiamenti dellrsquoassetto in volo Questo permette ai paracadutisti di raggiungersi per fare figure in aria Lrsquoapertura del paracadute fa aumentare di molto A rendendo la velocitagrave limite molto piugrave bassa Anche le gocce di pioggia raggiungono la velocitagrave limite (v asymp 7msec in 6m) nella loro caduta Ad esempio cadendo da 1200m le gocce di pioggia raggiungono la terra con la velocitagrave limite di circa 7msec e non con la velocitagrave di 150msec che avrebbero se non ci fosse lrsquoazione di frenamento D (dei veri proiettili)

Senza D rarr vfin = 150ms

Con D rarr vfin = vlim = 7ms Fig 25 Forza elastica La forza elastica egrave una forza non costante

L lunghezza di riposo della molla Fig 26 Una massa m egrave vincolata ad una parete con una molla Se tiro la massa la molla si estende diciamo di un tratto x La molla esercita una forza di richiamo proporzionale allrsquoallungamento x (piugrave si allunga maggiore egrave la forza F di richiamo) F = -kx ldquorichiamordquo cioegrave di verso opposto allrsquoallungamento Ecco la ragione del segno (-) Se raggiunta una certa estensione la molla viene rilasciata essa si ricomprimeragrave ritorneragrave alla lunghezza di riposo L poi si schiacceragrave di un tratto x dalla parte opposta e nuovamente agiragrave la forza di richiamo (che egrave variabile in quanto varia con il variare di x) La massa oscilla attorno alla posizione di riposo k egrave la costante elastica della molla Lrsquoespressione della forza elastica vale per i respingenti del treno (k grande) come per la molla della biro (k piccola) come per lrsquoelastico del saltatore dal ponte Impulso di una forza La legge fondamentale della dinamica F = ma puograve essere scritta esprimendo lrsquoaccelerazione con la sua relazione definitoria (vf - vi)t

F = mt

vv if minus e quindi portando il tempo t al primo membro

)( if vvmtF minussdot=sdot oppure vmtF ∆sdot=sdot

Si dice ldquoimpulso ldquo di una forza il prodotto della forza per il tempo durante il quale viene applicata tF sdot (se la forza non egrave costante lrsquoimpulso egrave lrsquointegrale della forza nel tempo in cui viene applicata)

Scritta in questo modo lrsquoequazione fondamentale della dinamica puograve essere letta cosigrave 1) Supponiamo che un corpo vari la sua velocitagrave di una quantitagrave ∆v = vf - vi tanto piugrave lungo egrave il tempo t durante il quale questa variazione avviene tanto minore egrave la forza che deve essere sviluppata per ottenere tale variazione della velocitagrave In questi termini si capisce ad esempio lrsquoutilitagrave delle cinture di sicurezza che allungando i tempi durante i quali in caso drsquoincidente la velocitagrave del passeggero (che non egrave solidale con la vettura) passa da un valore vi iniziale a zero determina una riduzione della la forza cui il passeggero stesso egrave sottoposto durante il breve tempo dellrsquoimpatto (la forza che le ossa e le articolazioni possono sopportare egrave limitata) Si vede anche come funziona lrsquoelastico del jumper finchegrave lrsquoelastico non egrave completamente svolto (ltL) la forza che agisce sul jumper egrave P (la forza peso) poi progressivamente la forza elastica di richiamo contrasta P quindi il jumper decelera progressivamente per un lungo intervallo di tempo e lo lsquostrapporsquo (F applicata) necessario per contrastare P e fermare il jumper applicato sulle sue gambe e a cascata su tutte le sue articolazioni (secondo il terzo principio) egrave di entitagrave minore 2)Lrsquoimpulso totale prodotto tF sdot nella direzione ottimale egrave la grandezza fisica che stabilisce lrsquoefficacia di un gesto di spinta o di lancio non la massima forza espressa o la durata dellrsquoazione di spinta Lavoro di una forza ndash lavoro meccanico

- 1deg caso Forza costante rarrF

Immaginiamo una forza rarrF che agisce su un corpo durante il suo spostamento Immaginiamo cosi

che il punto di applicazione di questa forza si sposti nello spazio di un tratto rarrs Viene detto

lavoro della forza rarrF la quantitagrave

L = rarrF middot

rarrs = F middot smiddot cosϑ (prodotto scalare di

rarrF per

rarrs )

(prodotto scalare tra i due vettori) Fig 27 Il lavoro egrave una quantitagrave scalare cioegrave egrave descritta completamente da un numero da un valore Tale

valore puograve essere positivo o negativo a seconda che la componente di rarrF lungo

rarrs sia equiversa o

di verso opposto a rarrs Se

rarrF e

rarrs hanno la stessa direzione e se lo spostamento avviene nel

senso di rarrF diciamo che il lavoro egrave positivo (e viceversa negativo) Lrsquointensitagrave del lavoro puograve

variare tra un valore massimo e uno minimo per gli stessi valori del modulo di rarrs e di

rarrF a

rarrs

seconda del valore di cosϑ Il lavoro egrave massimo per cosϑ = 1 (cioegrave per ϑ = 0) (rarrF diretto come

rarrs ) Il lavoro egrave minimo ( L = 0) per cosϑ = 0 cioegrave per ϑ = 90deg (

rarrF perpendicolare a

rarrs )

Puograve darsi il caso che piugrave forze agiscono sullo stesso punto Allora si puograve calcolare il lavoro totale egrave la somma dei lavori di tutte le forze applicate

Ltot = sum Li = sum (rarr

sdotiFrarrs )

Dimensioni di L [ L ]= [ F ][ s ] = mmiddot l middot t-2 middot l = ml2 t-2 Unitagrave di misura di L 1 joule = 1N middot 1m ( 1J ) Lavoro della forza peso durante la caduta di un grave Un grave cade vicino alla superficie della terra sotto lrsquoazione della forza di gravitagrave cioegrave sottoposto ala forza peso P diretta verso il basso percorrendo un dislivello h Il lavoro compiuto dalla forza peso si calcola come

LP = rarrP middot

rarrs = Pmiddot smiddot cosϑ

notando che lo spostamento s (verso il basso) e la forza P sono paralleli con verso concorde pertanto ϑ = 0 e cosϑ = 1 e che | P| = mmiddot g si ottiene LP = mmiddot gmiddot h per uno spostamento s = h (dislivello) Lavoro meccanico nel sollevamento pesi Durante questo gesto sul bilanciere oggetto dellrsquoapplicazione delle forze si esercitano la forza peso P e la forza muscolare dellrsquoatleta Naturalmente entrambe le forze lavorano ma i due lavori si oppongono uno allrsquoaltro (ricorda che il lavoro puograve essere positivo o negativo) Il lavoro positivo deve essere nel verso del moto quindi egrave quello della forza muscolare dellrsquoatleta il lavoro di P invece egrave negativo e se il bilanciere si alza di una quota h si calcola facilmente seguendo il procedimento del paragrafo precedente ottenendo LP = - mmiddotgmiddoth (ϑ = π e cosϑ = -1 ) Calcoliamo il lavoro della forza musculare seguendo lrsquoesempio qui proposto Esempio Un atleta solleva un bilanciere di peso 2500N allrsquoaltezza di 2m (sopra la sua testa) Quanto lavoro meccanico compie la sua forza muscolare Supponiamo che il sollevamento avvenga a velocitagrave costante con accelerazione nulla allora il per il

primo principio della dinamica le forze applicate al bilanciere devono essere tali chesumrarr

iF = 0

Quindi la forza peso P = mmiddot g deve essere controbilanciata dalla forza applicata dallrsquoatleta Fm

Quindi rarr

mF = - rarrP

con Fm = 2500N Il lavoro La fatto dallrsquoatleta vale

Lm = rarr

mF middot rarrs = 2500 N middot 2m middot 1 = 5000 J (sollevamento verticale quindi ϑ = 0 e cosϑ = 1)

Quanto lavoro fa la forza peso

Lp = rarrP middot

rarrs = 2500 middot 2 middot (-1) = -5000 J

(percheacute ϑ = π e cosϑ = -1) Quanto lavoro fa lrsquoatleta mentre sostiene il peso fermo sopra la testa L = 0 percheacute non crsquoegrave spostamento Qui si parla di lavoro meccanico non di lavoro fisiologico diciamo che si fa fatica percheacute crsquoegrave da mantenere integrordquo un corpo non rigido che egrave il corpo dellrsquoatleta quindi si il lavoro delle contrazioni muscolari per mantenere lrsquoequilibrio e ldquolrsquointegritagraverdquo egrave la misura del lavoro fisiologico necessario anche se il lavoro meccanico compiuto egrave nullo 2deg caso Forza variabile Nel caso in cui F egrave una forza variabile che dipende dalla posizione ogni volta che avviene uno spostamento∆ x la forza cambia Il lavoro totale saragrave la somma dei lavori elementari fatti sui tratti piccoli sui quali la forza puograve essere assunta costante

Ltot = iii xxF ∆sdotsum )(

( Se si fa il limite per ∆ xi piccolo rarr 0 e la isum egrave lrsquointegrale Ltot = int sdotxtin

xinxdxF )( )

Ad esempio la forza F puograve essere la forza di richiamo di una molla vincolata al muro Lrsquointensitagrave della forza elastica varia durante lo spostamento aumentando con lrsquoallungamento (o la compressione) della molla ed ha la direzione parallela allo spostamento ma puograve avere verso concorde o discorde quindi con cosϑ che vale o +1 o ndash1 Immaginiamo di avere un blocco attaccato alla molla e di tirarlo da Xin a Xfin allora

F(x) = - kx Fig 28

Il lavoro della forza elastica si calcola sommando i lavori infinitesimali compiuti per spostamenti infinitesimi durante i quali la forza si assume costante Ciograve egrave rappresentato graficamente nel calcolo lrsquoarea compresa al di sotto della curva del grafico di F (Fig 28A) In figura si egrave cambiato il segno della funzione forza per comoditagrave di rappresentazione

Fig 28A

Area = differenza aree dei due triangoli = AABB kxxkxx sdotminussdot2

1

2

1

Ricordandoci del segno

L infin = 22

2

1

2

1infin kxkx +minus e in generale L = 2

2

1kx

Se si calcola il lavoro della forza di richiamo durante un allungamento della molla si ha lavoro negativo mentre durante il ritorno alla posizione di equilibrio il lavoro egrave positivo (segno dello spostamento x e della forza concordi) Energia cinetica Il termine ldquoenergiardquo indica la capacitagrave di compiere lavoro Lrsquoenergia cinetica egrave la proprietagrave che rende conto quantitativamente del legame fra il lavoro compiuto ed il moto generato Avevamo detto piugrave o meno lo stesso parlando della seconda legge della dinamica riferendoci alle forze Qui col lavoro non egrave necessaria la descrizione dettagliata delle forze che agiscono sul punto in considerazione Ersquo sufficiente conoscere il loro lavoro totale

Lrsquoenergia cinetica K = 2

1mv2 (gt 0 percheacute m gt 0 v2 gt 0 ) (m e v sono la massa e la velocitagrave del

corpo) Lrsquounitagrave di misura e le dimensioni di K sono le stesse del lavoro Joule ( J ) e [ ]K = [ ]22 minustml

Teorema dellrsquoenergia cinetica Se una forza F compie un lavoro L su un punto materiale di massa m si ha una variazione dellrsquoenergia cinetica pari al lavoro compiuto

Xfin Xin

F

0

ksdotxfin

ksdotxin

F= ksdotx

x

LAB= -area

L = Kfin ndash Kin = ∆ K Nel caso che piugrave forze agiscono sul punto materiale il teorema dellrsquoenergia cinetica si applica al lavoro totale (equivalentemente al lavoro della risultante ) E il caso dellrsquoatleta che solleva il peso di 2500N Sappiamo che ha compiuto un lavoro di 5000J ma il bilanciare con i pesi era fermo allrsquoinizio ed egrave fermo alla fine Quindi Kin = 0 e Kfin = 0 percheacute vin = 0 e vfin = 0 Allora il teorema dellrsquoenergia cinetica Vale per il lavoro totale o lavoro della forza totale e noi abbiamo visto che la forza netta totale = 0 ( Fa + P = 0 ) ed il lavoro totale egrave nullo quindi giustamente si ha ∆ K = 0 1)Caso di una palla da tennis che cade

la forza peso rarrP compie un lavoro positivo con spostamento concorde a

rarrP si dovrebbe avere

∆ K gt 0 infatti la velocitagrave v aumenta 2)Caso di una palla lanciata verso lrsquoalto

lo spostamento ha verso opposto a rarrP Il lavoro della forza peso egrave negativo e quindi ∆ K egrave

negativo giusto La velocitagrave diminuisce NB Durante il volo agisce solo la forza di gravitagrave quindi il lavoro totale comiuto sul corpo egrave solo quello della gravitagrave 3)Caso del moto circolare uniforme la forza che agisce egrave la forza centripeta che egrave perpendicolare allo spostamento Quindi non compie lavoro deve essere ∆ K = 0 Iinfatti il moto egrave uniforme cioegrave la velocitagrave egrave in modulo costante Potenza Si chiama potenza il lavoro che si egrave in grado di svolgere nellrsquounitagrave di tempo

P = t

L

∆ ( potenza media )

P = t

Lt ∆

∆rarr∆ 0lim ( potenza istantanea)

Non egrave solo una stima del lavoro compiuto ma anche della rapiditagrave con cui si compie lavoro

Fig 29 Per superare il muro ci vuole un certo lavoro che consiste nellrsquoinnalzare il proprio corpo di unrsquoaltezza h Sia lrsquoatleta che lo supera in un sol balzo sia il vecchietto che sale pian piano la scalinata faranno lo stesso lavoro Quel che egrave diverso egrave la potenza dei due personaggi Dimensioni e unitagrave di misura della potenza [ ]P = [L] [t -1] = [ml2t-3] 1 watt = 1 joule 1sec (1w)

Energia Potenziale K egrave energia connessa allo stato di moto di un sistema Crsquoegrave anche energia connessa alla posizione di un corpo in un campo di forze (configurazione) Si chiama energia potenziale Nel caso dellrsquoatleta di sollevamento pesi il lavoro compiuto dallrsquoatleta Lm non ha alterato lrsquoenergia cinetica K dellrsquoattrezzo ma ha modificato la configurazione del sistema (terra-attrezzo) variandone lrsquoenergia potenziale (W) Il lavoro non egrave stato sprecato ma ldquoimmagazzinatordquo lrsquoattrezzo prima egrave a terra poi egrave in alto nel sistema che ora ldquopotenzialmenterdquo puograve compiere un lavoro cedendo la sua ldquoenergia potenzialerdquo Energia cinetica ed energia potenziale sono due parti dellrsquoenergia meccanica possono trasformarsi lrsquouna nellrsquoaltra ed in lavoro Nellrsquoesempio precedente quando lrsquoattrezzo egrave in alto si ha che K = 0 e W = WA Quando cade K aumenta percheacute la velocitagrave v aumenta e lrsquoenergia potenziale W diminuisce In basso W = WB lt WA e K egrave massima Lrsquoattrezzo cadendo puograve compiere lavoro Se fosse un martello potrebbe far avanzare un chiodo ad esempio Lrsquoenergia potenziale viene definita proprio a partire dal concetto di lavoro di forze conservative Ersquo conservativa una forza il cui lavoro per spostare il suo punto di applicazione da una posizione (configurazione) ad unrsquoaltra dipende solo dalle due posizioni (configurazioni) iniziale e finale Equivalentemente si puograve definire la forza conservativa dicendo che il lavoro di tale forza egrave nullo se le posizioni (configurazioni) iniziali e finali coincidono

-Lavoro per passaggio dalla posizione A a B egrave lo stesso lungo I o II -Se da A vado a B e torno in A il lavoro totale egrave nullo

Fig 30 Posso allora definire una funzione della posizione W che assume i valori WA e WB in A e B e tale per cui LAB = WA ndash WB ( W energia potenziale) WA WB sono definiti a meno di una costante tanto quello che interessa egrave la differenza fra loro Variazione di energia potenziale del passaggio da A a B WB ndash WA = ∆W allora LAB = -∆ W Con questa convenzione sui segni si rende conto del fatto che un lavoro positivo ( fatto dalle forze conservative sul corpo) fa diminuire lrsquoenergia potenziale W ( L positivorarr ∆W negativo rarr WBlt WA rarr ho usato energia potenziale) un lavoro negativo (subito) aumenta W (L negativo rarr ∆W positivo rarr WBgt WA rarr ho guadagnato energia potenziale) W si misura in Joule come il lavoro e lrsquoenergia cinetica

Qual egrave la Forma di W

Mentre la forma dellrsquoenergia cinetica egrave sempre K =2

1mv2 indipendentemente dal tipo di forze

che provocano il movimento W dipende dal tipo di forza conservativa di cui si sta calcolando il lavoro Consideriamo due forze conservative

a) Forza gravitazionale forza peso

F(y) = -mg Stato di riferimento y0 = 0 in cui W0 = 0

Fig31

Abbiamo detto che LAB = WA- WB ma siccome

LAB = )( ABhmgsP minussdotminus=sdot dove hAB= yA-yB egrave la distanza tra A e B allora rArr WA = mgyA WB = mgyB e in generale W(y) =mgy

Per la forza peso W(y) =mgy e lrsquoenergia totale meccanica (W+K) = mgy+2

1mv2=Etot

b) Forza elastica

Fig 32

F(x) = -kx Stato di riferimento x = 0 allungamento nullo la lunghezza della molla egrave la sua lunghezza di riposo L ( W(0) = 0)

Immaginiamo che la configurazione della molla venga modificata passando dalla posizione xA alla posizione xB (Fig 32) Il lavoro della forza elastica egrave calcolato come

LAB = 22

2

1

2

1AB kxkx +minus

Ricordando che LAB = WA- WB possiamo ricavare lrsquoespressione per lrsquoenergia potenziale elastica

rArr WA = 2

2

1Akx WB = 2

2

1Bkx e in generale W(x) = 2

2

1kx

Energia totale meccanica ndash Conservazione dellrsquoenergia

In presenza di sole forze conservative la somma dellrsquoenergia cinetica e dellrsquoenergia potenziale costituisce lrsquoenergia totale meccanica Tale energia meccanica gode della proprietagrave importantissima di conservarsi durante lrsquoevoluzione del sistema Lrsquoenergia connessa al movimento e alla posizione si scambiano una diminuisce e lrsquoaltra cresce ad esempio ma la loro somma rimane costante

- Esempio delle montagne russe Se non ci sono attriti (infatti il trucco egrave quello di rendere il

sistema privo di attriti) so giagrave quale altezza massima potrograve raggiungere (quella iniziale e non di piugrave) quale velocitagrave massima potrograve raggiungere (in fondo alla valle) Queste quantitagrave sono fra loro legate dal teorema della conservazione dellrsquo energia meccanica

Fig 33 - Esempio del salto con lrsquoasta Lrsquoenergia cinetica dellrsquoatleta acquisita nella rincorsa viene

trasformata in energia potenziale gravitazionale parte direttamente e parte attraverso lrsquoenergia potenziale elastica dellrsquoasta acquisita nella sua deformazione durante il salto La flessibilitagrave dellrsquoasta (costante elastica dellrsquoasta) egrave legata allrsquoenergia che si puograve immagazzinare in una data deformazione Infatti con aste rigide (alluminio acciaio bambugrave) il salto era piugrave basso Con fibra di vetro il record egrave stato polverizzato

Fig 34

Fig 35

Fig 36

Osserviamo che il teorema dellrsquoenergia cinetica ha validitagrave generale qualunque siano le forze che agiscono conservative o non conservative (le forze non conservative si dicono anche ldquodissipativerdquo)

KLL

KL

fncfc

tot

∆=+∆=

e ricordando che darr Lfc = - )( fcW∆

Si ottiene che K∆ + )( fcW∆ = Lfnc

Si vede che nel caso in cui Lfnc sia nullo cioegrave quando non ci sono forze dissipative la somma delle variazioni di energia cinetica e energia potenziale egrave uguale a zero cioegrave lrsquoenergia totale meccanica (somma dellrsquoenergia cinetica e potenziale) egrave costante E questo corrisponde al teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica Nel caso ci siano forze dissipative la somma delle energie non egrave costante quindi al contrario del teorema dellrsquoenergia cinetica il teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica non ha validitagrave generale (vale solo in assenza di attriti ad esempio) Le forze non conservative di attrito compiono lavori solo negativi e fanno perdere quantitagrave di energia non recuperabile Parte di questa energia va in generale in calore quindi se ne puograve tenere conto considerando unrsquoaltra forma di energia lrsquoenergia termica ( ci sono anche altri fenomeni dissipativi ad esempio le deformazioni permanenti negli urti o la propagazione di onde sonore)

Lrsquo energia puograve dunque conservarsi o trasferirsi proprietagrave caratterizzanti dellrsquoenergia Il lavoro rende conto del trasferimento di energia della perdita di energia sotto una forma e del guadagno sotto unrsquoaltra forma (cioegrave energia conservativa) o del passaggio dellrsquoenergia da un sistema ad un altro Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica quando egrave applicabile puograve essere sfruttato per risolvere facilmente problemi altrimenti complicati Esercizio Una palla da tennis viene lanciata con velocitagrave iniziale v0 (senza effetti strani taglio etc) al di lagrave della rete Con quale velocitagrave arriva a terra

Se durante il moto Etot si conserva K+W = cost

Fig 37 e W = mgh egrave solo energia potenziale gravitazionale h = 0 alla fine come allrsquoinizio dunque K in = Kfin e vfin = v0 Se la palla egrave lanciata verso lrsquoalto non crsquoegrave componente orizzontale della velocitagrave ma solo verticale al punto piugrave alto di arresto h K(h) = 0 W(h) = max = Kin cioegrave mgh = frac12 mv0

2 si puograve cosigrave calcolare facilmente lrsquoaltezza massima raggiunta h = (frac12 v0

2)g e vicenversa si puograve calcolare il valore della velocitagrave v0 che bisogna imprimere alla palla affinchegrave raggiunga lrsquoaltezza h

v0 = gh2

Esercizio Una saltatrice di massa M = 61Kg salta da un ponte di altezza H = 45m agganciata ad una corda elastica La lunghezza di riposo della corda elastica egrave L = 25m e la sua costante elastica egrave k = 160 Nm Nel punto piugrave basso si arresta prima di venire rimbalzata in alto Qualrsquo egrave lquesta quota piugrave bassa h (a cui si trovano i suoi piedi ai quali egrave legato lrsquoelastico)

Fig 38 Etot = Wgrav + Wel + K = cost sono solo forze conservative vale la conservazione

dellrsquoenergia Nel punto A K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di lanciarsi Wel = 0 percheacute lrsquoelastico non egrave ancora svolto Wgrav = MgH Nel punto B K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di rimbalzare

Wel = frac12 kd2 Wgrav = Mgh = Mg(H-(L+d)) Etot(A) = Etot (B) MgH + 0 + 0 = Mg (H-(L+d)) + frac12 kd2 + 0 MgH = MgH ndash MgL ndash Mgd +frac12 kd2

2

1(160)d2 ndash (61)(98)d ndash (61)(98)(25) = 0

equazione di IIdeg grado che dagrave per d il valore accettabile d = 179m (lrsquoaltro egrave negativo e non egrave accettabile perchegrave non ha senso fisico la

saltatrice va in giugrave non in su) Allora h = H-(L+d) = 45 ndash (25+179) = 45 ndash 429 = 21m quindi con la testa poco sopra lrsquoacqua Sistemi di punti materiali e corpi rigidi ndash Centro di Massa

Un giocoliere o un ginnasta che lancia la clavette fa compiere allrsquoattrezzo movimenti complicati tuttavia crsquoegrave un punto dellrsquoattrezzo che si muove seguendo una traiettoria semplice come quella di un punto materiale ad esempio lanciato segue una traiettoria parabolica Tale punto si chiama centro di massa dellrsquooggetto Il centro di massa puograve essere definito per un oggetto o per un insieme di punti materiali Ersquo importante percheacute in generale il moto di un corpo esteso (o di un insieme di punti) si puograve studiare separando il moto del centro di massa (moto traslatorio) e il moto del corpo attorno al centro di massa (moto rotatorio)

Centro di Massa (CDM) di un sistema di punti - Consideriamo il caso semplice di due punti materiali di massa m1 m2 posti sullrsquoasse x in

posizione x1 x2

Fig 39

la posizione del centro di massa egrave definita xCDM = 21

2211

mm

xmxm

++

a) xCDM egrave compreso fra x1 e x2 b) se m1 = m2 CDM egrave a metagrave strada fra m1 ed m2 c) xCDM egrave piugrave prossimo alla massa maggiore - Nel caso di piugrave punti allineati nelle posizioni xi detto M = summi allora

xCDM = ii xmMsum

1

- Nel caso di punti distribuiti nello spazio detti irrarr

i vettori che identificano le loro posizioni

CDMrrarr

= iii rmM

rarrsum

1

dove CDMrrarr

ha coordinate (xCDM yCDM zCDM) definite come

xCDM = ii xmsumη1

yCDM = ii ymMsum

1

zCDM = ii zmMsum

1

- Consideriamo un oggetto qualsiasi questo egrave composto da un gran numero di particelle ma conviene considerarlo come un continuo di materia e per calcolare il centro di massa si prendono in considerazione degli elementi infinitesimi di massa dm centrati intorno alle posizioni (xyz) allora

xCDM = int xdmM

1 yCDM = int ydm

M

1 zCDM = int zdm

M

1

se si puograve considerare il corpo omogeneo (densitagrave uniforme) allora V

M

dv

dm = e allora si puograve fare il

calcolo considerando il volume V e gli elementi di volume dv anzichegrave la massa e gli elementi di massa

xCDM = int xdvV

1 etc

In un oggetto solido (corpo rigido) i diversi punti materiali che lo compongono non cambiano la loro posizione relativa (non come un corpo elastico) - se un oggetto ha un elemento di simmetria un asse od un piano il CDM si trova su tale

elemento di simmetria (asse per cono centro per sfera piano per una banana etc) Non egrave detto che il CDM di un oggetto appartenga allrsquooggetto vedi uno pneumatico un cerchio Il CDM egrave esterno alloggetto Legge fondamentale della dinamica per un sistema di punti materiali Caso della palla da bigliardo urto fra due palle dopo il lancio di una le due si muovono 1) una egrave ferma (B) lrsquoaltra la lancio (A) 2) le due si urtano in qualunque modo 3) le due si muovono secondo traiettorie differenti una possibilmente andragrave in buca lrsquoaltra no Dopo il lancio sulla palla A non agisce piugrave nessuna forza quindi la sua velocitagrave v egrave costante Va bene ma dopo lrsquourto Il CDM delle due palle continua a muoversi con velocitagrave costante anche se il centro di massa egrave un punto teorico che non appartiene a nessuna delle due palle Tuttavia al CDM possiamo assegnare una massa (M totale del sistema) una velocitagrave ed una accellerazione Si ha

)(CDMext aMFrarrrarr

=sum

a) extFrarr

sum egrave la somma di tutte le forze esterne che agiscono sul sistema non quelle interne (ad esempio nel caso del bigliardo non devo considerare le forze che si applicano fra le due palle quando si urtano)

b) M egrave la massa totale del sistema Si suppone che durante il moto M rimanga costante

c) )(CDMararr

egrave lrsquoaccelerazione del CDM Dellrsquoaccellerazione di un altro punto ad esempio del centro della palla A non si dice nulla

Cosideriamo alcuni esempi 1) Bigliardo tvaF CDMCDMext cos00 ===sum prima dellrsquourto nellrsquourto si verificano solo forze

interne Quindi tvaF CDMCDMext cos00 ===sum dopo lrsquourto e durante tutto il moto

2) Sistema terra-luna sumFext = gravitazione del sole aCDM egrave ldquocentripetardquo accellerazione di una

forza che egrave diretta verso il sole (forza ldquocentralerdquo) egrave il CDM terra-luna che segue la traiettoria dovuta allrsquoattrazione gravitazionale del sole poi terra e luna si muovono intorno al loro CDM

3) Clavette lanciate sum Fext = Mg aCDM = g il centro di massa si comporta come un punto materiale nel lancio

4) La ballerina nel ldquogrand-fetegraverdquo fa seguire a testa e busto una traiettoria rettilinea percheacute modifica lrsquoassetto in modo da alzare il suo CDM Nel corso del salto (alza le braccia e distende

orizzontalmente le gambe non appena lasciato il suolo) il suo CDM segue la traiettoria parabolica del lancio di un corpo soggetto allrsquoaccelerazione di gravitagrave g

Quantitagrave di moto rarrP

- Si definisce quantitagrave di moto di una particella il vettore

rarrrarr= vmP

con m massa della particella e rarrv la sua velocitagrave

Si vede che rarrP egrave diretto come

rarrv

Newton scrisse la legge fondamentale della dinamica in termini di quantitagrave di moto (a differenza di Galileo che la scrisse in termini di massa e di accelerazione) ldquola rapiditagrave di variazione della quantitagrave di moto di una particella egrave proporzionale alla forza netta che agisce sulla particella ed egrave nella direzione di quella forzardquo cioegrave

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

che egrave piugrave generale della formulazione di Galileo perchegrave descrive bene anche il caso in cui variasse la massa del corpo durante il moto (ad esempio un vettore spaziale) Se la massa egrave costante le due formulazioni sono identiche

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

= t

vm

∆∆

rarr)(

= m t

v

∆∆

rarr

= m rarra

Ricordiamo che rarrF egrave diretto come

rarra (o la risultante

rarrR = sum

rarrF )

Per un sistema di punti materiali si definisce la quantitagrave di moto totale

rarrP =

rarrP 1 +

rarrP 2 + helliphellip+

rarrP n =

m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +helliphelliphellip+ mn

rarrv n = M

rarrv CDM (si puograve dimostrare) dove M egrave la massa totale

[essendo infatti Mrarrv CDM =

dt

d(M

rarrr CDM) =

dt

d(m1

rarrr 1 + m2

rarrr 2 +hellip) = m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +

hellip]

quindi rarrP = M

rarrv CDM per un sistema di particelle e

dt

Pdrarr

= M dt

d rarrv CDM = M

rarra CDM = sum

rarrF ext

Conservazione delle quantitagrave di moto

Per un sistema chiuso (M non varia) e isolato (sumrarrF ext = 0)

Allora

t

P

∆∆

rarr

= 0 rarrP = cost

rarrP i =

rarrP f

che sono tre modi equivalenti per dire che la quantitagrave di moto si conserva Vale per un sistema nel quale non agisca nessuna forza esterna netta Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica e la conservazione delle quantitagrave di moto sono due concetti fisici importantissimi Valgono sia per le palle da bigliardo che per qualunque altro sistema anche le galassie nellrsquouniverso Queste equazioni sono vettoriali Ciograve significa che rappresentano una terna di equazioni scalari ognuna valida sul proprio asse del sistema di riferimento (x y z)

Puograve accadere a seconda delle forze che agiscono nel sistema che la quantitagrave di moto si conservi in una direzione o in due e non in tutte e tre

Ad esempio se consideriamo una palla come un insieme di punti materiali la rarrF ext che agisce nel

sistema egrave mrarrg diretta lungo z senza componenti su x e y quindi

rarrP varia lungo z ma

non su x e y

Percheacute ldquocomplicarci la vitardquo con questa storia del CDM del sistema di particelle etchellip non bastava il moto del punto rappresentativo materiale Avevamo giagrave considerato il punto rappresentativo e avevamo svolto anche problemi sulla palla sul bilanciere e per altri oggetti Abbiamo sempre sbagliato La questione egrave se un corpo egrave rigido cioegrave se tutti i suoi punti si muovono mantenendo le loro distanze relative non crsquoegrave problema abbiamo solo visto che il punto materiale rappresentativo si chiama CDM ed abbiamo imparato a situarlo allrsquointerno del corpo Ma se il corpo non egrave rigido cioegrave se il suo CDM si sposta rispetto a lui stesso nel corso del moto la disposizione del corpo intorno al punto rappresentativo varia nel corso del tempo e le leggi di conservazione valgono per il CDM - Consideriamo ad esempio il teorema dellrsquoenergia cinetica che per un punto materiale si scrive Ltot = Kfin-K in = ∆ K (qui ovviamente non crsquoegrave da specificare lavoro delle forzeldquoesternerdquo percheacute essendo in un punto materiale che si assume infinitamente piccolo non ci sono forze ldquointernerdquo) Per analogia il teorema dellrsquoenergia cinetica si estende al caso di un insieme di punti materiali nel seguente modo

Ltot forze ext=rarrF extmiddot

rarrs CDM = ∆ KCDM

Dove s CDM egrave lo spostamento del centro di massa A titolo di esempio risolviamo il problema un giocatore di hockey su ghiaccio di massa M = 110Kg si muove verso la balaustra a bordo campo alla velocitagrave di 3msec Nellrsquoarrestarsi flettendo le braccia il suo CDM si sposta in avanti di 30cm Qual egrave la ∆ K del suo CDM durante la manovra

∆ KCDM = infin CDMCDM mvmv 22

2

1

2

1 minus =

= 0 - 2

1110 32 = -495 J

Fig 40

Sia L il lavoro delle forze esternerarrF ext (dirette come d

rarrx CDM ) allora

L = - Fext 03 = ∆ KCDM quindi

Fext =30

495

minusminus

= + 1650N

( si considera la forza esterna rarrF ext costante nellrsquointervallo dellrsquoarresto fatto che equivale a dire

che il giocatore si arresta con rarra CDM costante)

Dinamica e statica del corpo esteso Finora abbiamo sempre discusso del moto di un punto materiale (punto rappresentativo dicevamo sempre) In particolare abbiamo sempre applicato le forze a quel punto materiale quindi se diverse forze erano applicate esse concorrevano in quel punto ligrave e con le forze concorrenti sapevamo come calcolare la risultante con il metodo grafico o con quello numerico delle coordinate cartesiane Una volta calcolata la risultante applicata al punto si otteneva un moto di pura traslazione del punto (al massimo traslava lungo una traiettoria curva) senza rotazioni proprie del punto che non hanno neanche senso un punto che ruota su se stesso Come faccio ad accorgermi Un punto per definizione egrave infinitamente piccolo (Dicevamo infine che il punto egrave in equilibrio

traslazionale se la risultante rarrR delle forze applicate egrave nullo)

Consideriamo invece un corpo esteso Prima osservazione questo ha piugrave punti (direi infin ) a

cui la forza puograve essere applicata Prendiamo una racchetta da tennis ed una forza rarrF applicata il

moto che ne risulta dipende dal punto al quale viene applicata la forza rarrF

qui la racchetta trasla

Fig 41

stessa forza qui la racchetta ruota

Fig 42

Seconda osservazione Crsquoegrave un caso in cui le forze non possono essere fatte concorrere in un punto ed egrave quando sono parallele ed hanno rette di applicazione distinte Chiaramente non abbiamo mai dovuto considerare questo caso per il punto materiale percheacute per un punto non possono mai passare due rette parallele Ma per il corpo esteso So benissimo che se sono ferma con la macchina in

panne e la sto spingendo applicando una forza rarrF 1 sono contenta se qualcuno si affianca a me ed

esercitando una forza rarrF 2 lungo una direzione parallela a quella della mia mi aiuta a spingere In

particolare mi viene spontaneo dire che se F1 = F2 allora spingeremo con una forza doppia Ci saragrave quindi un modo per sommare due forze non concorrenti in un punto ma parallele e saragrave Ftot = F1+ F2 La retta di applicazione di Ftot divide il segmento congiungente i punti di applicazione di F1 ed F2 in due segmenti inversamente proporzionali allrsquointensitagrave delle forze F1 e F2 Terza osservazione se F1 = - F2 sono uguali in intensitagrave ma di verso opposto sempre lungo due rette di applicazione parallele passanti per un corpo esteso cosa succede La loro somma Ftot risultante saragrave 0 ma io so che il corpo non sta fermo sotto lrsquoazione di tali due forze ma ruoteragrave Concludo che le nozioni che ho acquisito finora vanno riviste ed ampliate o corrette o specificate per i corpi estesi ed inoltre che mi mancano totalmente i mezzi per descrivere le rotazioni dei corpi estesi Occorrono nuovi concetti nuove quantitagrave la forza non basta Prendo lrsquoesempio piugrave semplice dellrsquoaltalena con due bambini in due bracci uno piugrave leggero uno piugrave pesante

Fig 43 Qualitativamente so che percheacute lrsquoaltalena stia in equilibrio e non ruoti intorno al punto fisso non egrave necessario che i due bambini abbiano lo stesso peso (ugual massa) occorre che il bambino piugrave leggero sieda piugrave lontano rispetto al punto fisso (fulcro) La regola quantitativa dice che lrsquoaltalena egrave in equilibrio se il prodotto del peso per la distanza del fulcro egrave uguale PB dB = Pb

db Per generalizzare questa regola ai casi piugrave complessi occorre definire una nuova quantitagrave il momento di una forza Momento di una forza

Consideriamo una forza rarrF applicata ad un punto P ed un punto O Sia

rarrr

il vettore rarrOP allora il momento

rarrM di

rarrF rispetto ad O egrave

rarrM =

rarrr x

rarrF

e

|rarrr | middot |

rarrF | sin ϑ = |

rarrM |

Fig 44

oppure anche considerando la componente di rarrF perpendicolare ad

rarrr o di

rarrr

perpendicolare a rarrF r e rispetto a F

|rarrM | = |

rarrr | |

rarrF perp | |

rarrM | = |

rarrr perp| |

rarrF |

In generale si dice che il modulo del momento |rarrM | egrave il prodotto delle intensitagrave della forza per la

distanza dal punto della retta di applicazione della forza

Come vettore rarrM egrave perpendicolare al piano che contiene

rarrF ed

rarrr ed ha verso calcolato con la

regola della mano destra (con rarrr che si chiude su

rarrF )

La distanza rperp si chiama braccio della forza Si vede che il momento egrave nullo quando il braccio egrave nullo cioegrave quando il punto O si trova sulla retta di applicazione di F Il momento della forza peso P egrave nullo rispetto al baricentro che coincide con il centro di massa nel caso (praticamenteldquosemprerdquo) in cui il corpo non sia abbastanza esteso percheacute diversi punti del corpo risentano di una forza gravitazione differente Praticamente si deve parlare di galassie percheacute CDM e baricentro (BC) non coincidono Quindi la condizione del momento nullo della forza peso diventa un modo per definire il CDM come quel punto rispetto al quale la forza peso P ha momento nullo Per un corpo ldquoarticolatordquo estendiamo il concetto di forza normale come forza di contatto nellrsquoarticolazione utile cioegrave la forza che lrsquoarticolazione che si sta considerando esercita su quello che nellrsquoarticolazione si appoggia La forza peso P di un corpo esteso puograve immaginarsi applicata al CDM Principio di equilibrio di un corpo esteso

se su un corpo esteso agiscono solo rarr

Peso e rarr

Normale cioegrave se un corpo egrave appoggiato ad un piano orizzontale allora il corpo egrave in equilibrio se e solo se il baricentro si trova sopra la superficie di appoggio

Fig 45

Finchegrave il baricentro egrave sopra il tavolo il libro non cade percheacute rarrP applicata a CDM puograve essere

controbilanciata da rarrN Se CDM si sposta in fuori

rarrN rimane nel tavolo e crsquoegrave momento non nullo

non equilibrato da rarrP che continua ad essere applicato nel CDM

Il baricentro di una persona in posizione eretta si trova nellrsquoarea delimitata dei suoi piedi 3cm davanti allrsquoarticolazione della caviglia

Fig 46 Quando la persona si piega in avanti il baricentro esce dal corpo e per mantenere lrsquoequilibrio egrave necessario che le anche si spingono indietro percheacute il baricentro cade di nuovo in quella posizione Notiamo che anche in posizione eretta essendo la forza peso e la forza di contatto non allineate (quei 3cm) (forza di contatto sullrsquoarticolazione della caviglia che regge il peso) occorre un momento correttivo che impedisca la rotazione in avanti mantenuto dal tendine di Achille che si lega alla caviglia Altro esempio di spostamento del baricentro egrave lrsquoatleta che assume una posizione ad L chi regge il peso egrave lrsquoarticolazione della spalla quindi il CDM si sposta sotto la spalla (giagrave era uscita dal corpo per via delle gambe distese in avanti) Nel camminare il baricentro continua a muoversi da sopra un piede a sopra un altro (quello appoggiato ovviamente) Si osservi lrsquoondeggiamento Per assurdo lrsquoancheggiare delle indossatrici serve a mantenere il baricentro il piugrave possibile fermo rispetto alla direzione media del moto (porre un piede esattamente davanti allrsquoaltro) rendendo piugrave facile muoversi anche con tacchi altissimi Al contrario lrsquoequilibrista che cammina sui trampoli sta fermo il meno possibile percheacute egrave stando fermo che il piccolo spostamento che fa uscire il baricentro (ALTO) dalla superficie drsquoappoggio puograve verificarsi facilmente preferisce il ldquonon ndash equilibriordquo o lrsquo rdquoequilibrio dinamicordquo dellrsquoondeggiare continuamente fra due posizioni di equilibrio

Ricordiamo che un equilibrio egrave detto stabile se quando una perturbazione lo altera spontaneamente il sistema lo ripristina Viceversa un equilibrio egrave instabile se la piugrave piccola perturbazione lo distrugge Lrsquoequilibrio egrave molto stabile se il baricentro egrave basso ed il corpo ha una grande area drsquoappoggio la posizione accucciata del giocatore di football americano dagrave grande stabilitagrave Ancor piugrave grande stabilitagrave si ha se il baricentro (CDM) si trova al di sotto della superficie drsquoappoggio Ersquo come se si fosse ldquoappesirdquo anzicheacute ldquoappoggiatirdquo alla superficie drsquoappoggio Proprio per questo motivo lrsquoequilibrista sul filo porta una lunga asta che spesso si flette agli estremi

Fig 47 Gli uccelli bipedi da 100000000 di anni hanno sviluppato questo adattamento per cui sono appesi alle anche mentre gli uomini bipedi da solo 1000000 di anni fanno fatica con il CDM dalla parte alta del corpo Ersquo un equilibrio instabile ldquosoprardquo le anche che le reggono (65 del peso del corpo) Modificazioni strutturali per reggere la posizione eretta 1) Colonna vertebrale rastremata (piugrave tozza in basso che in alto percheacute piugrave in basso vuol dire una

maggior forza di contatto) 2) Muscoli estensori della schiena 3) Gambe ed anche ingrossate 4) Ginocchio che blocca la gamba estesa Ciononostante si ha spesso il mal di schiena Se una forza ha momento non nullo rispetto ad un punto allora il corpo puograve ruotare intorno a quel punto sotto lrsquoazione di quella forza ldquoDiciamo che se sostengo il corpo per quel punto il corpo puograve ruotare intorno a quel puntordquo (Prendo in mano un foglio di carta per un estremo per esempio) La presenza di un momento non nullo egrave dunque la condizione che genera rotazione e viceversa Lrsquoassenza di un momento risultante egrave la condizione che genera lrsquoequilibrio rotazionale di un corpo esteso Quindi la condizione di equilibrio per un corpo esteso egrave

1) rarrR = 0 risultante delle forze applicate = 0 (equilibrio traslazionale)

2) rarrM = 0 momento risultante = 0 (equilibrio rotazionale)

Supponiamo di avere un corpo esteso al quale siano applicate delle forze che diano luogo ad un momento non nullo allora il corpo ruota Per equilibrarlo dovrograve applicare un altro momento tale che la loro somma sia nulla Questo egrave il principio di funzionamento delle leve LEVE

Una leva egrave un corpo esteso al quale sono applicate delle forze con un momento risultante rarrR

allora per portare il corpo in equilibrio applico un momento correttivo rarrP in modo che il momento

totale sia nullo Si dice in genere potenza (P) e resistenza (R) di una leva Le leve sono macchine semplici Servono per applicare forze in punti scomodi o in direzioni particolari Il fulcro egrave il punto nel quale la leva egrave incernierata Si definisce il guadagno meccanico di una leva

GM =

)(

)(rarr

rarr

PF

RF

cioegrave il rapporto fra la forza che genera il momento resistente e quella che genera il momento agente A seconda che GM sia gt

lt 0 una leva si dice che egrave vantaggiosa o svantaggiosa ma solo per quel che riguarda le forze percheacute per quel che riguarda i lavori non si ha neacute vantaggio neacute svantaggio Il lavoro esercitato dalla forza che dagrave la ldquopotenzardquo e quello esercitato dalla forza che dagrave la ldquoresistenzardquo sono sempre uguali Infatti forze e spostamenti sono inversamente proporzionali Le leve si dicono di I II o III specie a seconda se il fulcro si trovi I) in mezzo fra R e P (leva indifferente GM dipende da caso a caso) II) dalla parte di R (leva vantaggiosa il braccio di R egrave sempre minore del braccio di P basta

quindi una P minore per equilibrare una R maggiore) III) dalla parte di P (leva svantaggiosa) Classici esempi dei tre tipi di leve sono i remi (I) lo schiaccianoci (II) e la pinzetta per francobolli (III) Tuttavia vediamo degli esempi meno classici ma attinenti al campo della biologia e della medicina Criterio generale egrave che le leve vantaggiose consentono di essere molto potenti ma con brevi spostamenti mentre viceversa quelle svantaggiose fanno perdere in potenza ma consentono grandi spostamenti saragrave difficile vedere un cavallo che con le lunghe zampe si scava la tana drsquoaltronde una talpa scava bene la tana ma ha movimenti molto meno ampi che non le consentono di correre veloce come un cavallo (compromesso fra forza e velocitagrave del movimento) Se contiamo tutti i movimenti di rotazione che il corpo puograve compiere capiamo che siamo pieni di leve di ogni tipo Sono classici a) il capo fulcro (articolazione occipito-atlantoide) Fig 48 muscoli della nuca (Potenza) peso del capo (Resistenza) b)

muscolo bicipide (Potenza)

Fig 49 Peso dellrsquoavambraccio (Resistenza) Fulcro (articolazione del gomito) Questa leva permette grandi spostamenti Si vede che la forza operata dal muscolo bicipite egrave massima quando lrsquoavambraccio egrave orizzontale (la distanza dal fulcro egrave massima) ed egrave minima quando lrsquoavambraccio egrave verticale( con la distanza dal fulcro nulla) Attenzione - la colonna vertebrale egrave costituita da 24 vertebre separate da dischi di liquido Quando una

persona si piega la schiena egrave una leva con GM molto piccolo Quindi un piegamento completo per raccogliere un oggetto anche leggero produce una forza molto intensa sul disco lombosacrale che separa lrsquoultima vertebra dellrsquoosso sacro Se indebolito questo disco puograve rompersi o deformarsi comprimendo i nervi vicini e causando grande dolore Vediamo un modello che rende conto come mai questa forza egrave cosigrave grande

Fig 50

I muscoli della schiena esercitano T Con un angolo α = 12deg quando la schiena egrave piegata a 90deg

Peso della parte superiore del corpo (circa il 65 del peso totale)

Fulcro lombosacrale (il fulcro produce R) Essendo α piccolo la retta di azione Τ passa vicino al fulcro e dunque la distanza r che costituisce il suo braccio egrave molto piccola Al contrario il peso egrave perpendicolare alla colonna e il suo punto di applicazione egrave molto piugrave distante dal fulcro Τ deve essere molto grande per equilibrare il momento di P Dunque se T egrave grande anche la sua componente orizzontale egrave grande e di conseguenza anche R che costituisce la reazione dellrsquoosso sacro deve avere componente orizzontale molto grande per equilibrare Τ (uguale ed opposta alla componente orizzontale di Τ ) Facendo i conti si ottengono numeri grandi per 75Kg di peso T ed R sono equivalenti al peso di una massa di 220Kg Senza sollevare pesi solo piegandosi Conviene piegare le ginocchia quando si sollevano pesi - Nel corpo egrave difficile che il peso cada sulla verticale dellrsquoarticolazione che lo sostiene egrave sempre

un porsquo spostato e crsquoegrave un tendine con un muscolo che compensa il momento del peso - La contrazione muscolare egrave una successione di brevi contrazioni delle fibre muscolari stimolate

da impulsi che provengono dal sistema nervoso Contrazioni sono molto ravvicinate e avvengono in tempi differenti nelle diverse parti del muscolo cosigrave che il risultato apparente egrave una lenta e progressiva contrazione Se la frequenza degli impulsi aumenta la tensione cresce finchegrave si raggiunge la tensione massima (ricordare la tensione di un cavo) Un ulteriore aumento della frequenza degli impulsi a questo punto non causa ulteriore aumento della tensione

La tensione massima egrave proporzionale allrsquoarea della sezione trasversa del muscolo nel suo punto piugrave largo La tensione massima dipende anche dalla lunghezza del muscolo che varia Si ottiene tensione massima quando il muscolo egrave solo di poco allungato rispetto alla sua lunghezza di riposo di riposo ed egrave circa 30-40 Ncm2 La tensione massima si riduce moltissimo se il muscolo egrave molto allungato o accorciato Dinamica Rotatoria Fino ad ora abbiamo studiato moti traslatori ma il moto di un corpo rigido egrave in generale roto-traslatorio Naturalmente dobbiamo ridurre il problema complesso ad uno piugrave semplice e per fare ciograve immaginiamo di posizionarci su un sistema di riferimento solidale al corpo rigido i moto immaginiamo cioegrave di ldquosedercirdquo sul corpo rigido In questo modo non saremo piugrave sensibili al moto traslatorio e guardando il corpo rigido osserveremo solo le sue rotazioni Trattiamo allora il moto generico scomponendo la parte traslatoria (giagrave discussa ) da quella rotatoria Se si trascura la parte traslatoria del moto di un corpo rigido quello che rimane da trattare egrave la sua rotazione Nel nostro corso consideriamo le rotazioni che avvengono su un piano le rotazioni nello spazio potranno essere trattate come composizione di rotazioni su un piano Per le rotazioni su un piano si identifica un asse di rotazione perpendicolare al piano di rotazione e passante per il centro di rotazione Le articolazioni del gomito e del ginocchio sono articolazioni libere di ruotare intorno ad un asse a differenza ad esempio di quella della spalla che puograve ruotare intorno a due assi Si definisce spostamento angolare la variazione di una posizione che egrave definita in modo completo da una misura di angolo Una rotazione di un intero corpo rigido egrave definita in modo completo da uno spostamento angolare θfin - θin= ∆θ e si misura in radianti

Fig 51 Dobbiamo definire anche un verso di rotazione θ si incrementa per rotazioni antiorarie positive le rotazioni in senso orario sono invece negative La velocitagrave angolare si definisce analogamente alla velocitagrave lineare come il rapporto tra lo spostamento angolare e il tempo t impiegato per eseguire tale rotazione

ωm = t∆

∆θ e si misura in rad s

θin

θfin ∆θ

R

S

Anche per w si definisce ωist = lim ∆trarr0 t∆

∆θ

Ancora lrsquoaccelerazione angolare si definisce αm = t∆

∆ω e αist = lim ∆trarr0

t∆∆ω

Anche la legge fondamentale della dinamica ha un analogo nel ambito dei moti rotatori Si stabilisce che se ad un corpo rigido egrave soggetto ad un momento torcente diverso da zero esso subisce unrsquoaccelerazione angolare ad esso proporzionale Nel caso delle rotazioni la resistenza al moto egrave espressa dal momento di inerzia I associato al corpo rigido che gioca il ruolo della massa nei moti traslatori La legge della dinamica delle rotazioni egrave M = I middotα

E sostituendo M = Imiddott∆

∆ω= Imiddot

tinfin

∆minusωω

Il momento di inerzia I di un corpo rigido dipende dalla disposizione della massa del corpo rispetto allrsquoasse di rotazione per una massa puntiforme m a distanza R dallrsquoasse di rotazione I= m R2 per un oggetto esteso sommerograve il momento drsquoinerzia delle sue parti I = Σi mi Ri

2 Se si definisce momento angolare L il prodotto del momento drsquoinerzia per la velocitagrave angolare

L=Iω la legge della dinamica diventa

M = t

LL infin

∆minus

Il momento angolare egrave la grandezza fisica che si conserva se non viene applicato momento torcente Tutti i gesti di volo salti lanci tuffihellip sono azioni nelle quali si conserva il momento angolare Infatti in volo agisce solo la forza di gravitagrave che essendo applicata al CDM non genera momento torcente Il corpo umano nei gesti di volo Il corpo umano non egrave rigido e pertanto in volo agendo con i muscoli possiamo cambiare la disposizione del nostro corpo intorno al centro di massa che in volo coincide col centro di rotazione In questo modo si ottiene una variazione del momento di inerzia I e di conseguenza la velocitagrave angolare deve compensare questa variazione in modo che si mantenga costante il momento angolare L (grandezza che si conserva in assenza di momento torcente) Ersquo questo il principio che spiega il realizzarsi delle trottole sul ghiaccio dei salti mortali tuffi con avvitamento e cosigrave via in posizione raccolta I diminuisce e ω aumenta Moto circolare e moto circolare uniforme Per utilizzare le relazioni della cinematica e della dinamica lineare che abbiamo studiato egrave interessante poter passare dalle variabili angolari alle variabili lineari velocitagrave e accelerazione delle

masse in moto rotatorio Se una massa si muove su una traiettoria curva la velocitagrave tangenziale vt diretta come la tangente alla traiettoria dipende dalla velocitagrave angolare ω ( ωm=ϑ t )e dal raggio di curvatura della traiettoria Se la traiettoria egrave una circonferenza di raggio R e se gli angoli sono espressi in radianti lrsquoarco percorso per uno spostamento angolare ϑ egrave S = ϑ sdotR e la velocitagrave lineare tangente vt = St= ϑ sdotRt risulta vt = ωsdotR Se la velocitagrave angolare ω egrave costante il moto egrave detto circolare uniforme La legge oraria egrave quella dei moti uniformi spostamenti angolari uguali in tempi uguali ϑ(t) = ω t Anche la velocitagrave tangente saragrave di intensitagrave costante se ω egrave costante (archi uguali per tempi uguali s(t) = vt (t) ) ma crsquoegrave una accelerazione normale infatti la velocitagrave anche se non cambia in modulo cambia continuamente di direzione Questa accelerazione si dice centripeta egrave diretta normalmente rispetto alla traiettoria verso il centro della circonferenza e vale in modulo

ac=R

v2

Fig 52 Essendo la velocitagrave tangente vt = ωR Lrsquo accelerazione centripeta si puograve scrivere

ac =R

v2

= ω2 R

Il tempo impiegato dal punto a muoversi sulla circonferenza egrave una costante (moto uniforme) T periodo in T viene percorso uno spazio 2π R

v = T

Rπ2

La frequenza f egrave invece il ndeg di giri al secondo

f =T

1

Se si prendono punti diversi sul raggio della circonferenza questi hanno la stessa velocitagrave angolare e velocitagrave tangenziali crescenti al crescere del raggio Esempio carosello dei pattinatori Esercizi

1- un velocista con una velocitagrave di 10 ms viaggia su una curva di raggio 25m ndash accelerazione

a = R

v2

= 25

100 = 4 ms2

2 ndash un velocista con v = 92 ms su una pista circolare con ac = 38 m s2 ndash Raggio della pista Tempo per percorrere un giro completo

a = R

v2

rArr R = a

v2

= 83

)29( 2

= 2227m

T =v

Rπ2 =

29

27222 lowastπ = 152 sec

Forza centripeta forza centrifuga Una forza centripeta egrave una forza di qualunque natura che trattiene un corpo in moto su una traiettoria curvilinea ad esempio circolare In assenza di tale forza il corpo proseguirebbe il suo moto lungo una traiettoria rettilinea Nel gesto del lancio del martello ad esempio il lanciatore che esercita sul peso in cima allrsquoattrezzo una forza mediata dalla tensione dal cavo che lo trattiene nella traiettoria circolare Quando il lanciatore lascia la maniglia il martello viene lanciato lungo la direzione della tangente alla traiettoria nellrsquoistante di rilascio Lrsquointensitagrave della forza centripeta necessaria a mantenere una massa m in moto con velocitagrave tangente v lungo una traiettoria circolare di raggio r si puograve calcolare a partire dallrsquoaccellerazione centripeta secondo la legge fondamentale della dinamica

|rarr

cF | = m | rarr

ca | = m r

v2

Tale forza egrave diretta come lrsquoaccelerazione centripeta e cioegrave verso il centro della circonferenza che costituisce la traiettoria La forza centripeta egrave dunque una forza reale Con lsquoforza centrifugarsquo invece non ci si riferisce ad un forza che agisce su un corpo ma alla situazione apparente cui sembra sottoposto un corpo in moto curvilineo Esso pare tirato o attirato lontano dal centro di rotazione pare ci sia una lsquoforzarsquo che vuole farlo sfuggire Quando viene lasciato il martello si allontana dal centro di rotazione percheacute si muove di moto rettilineo uniforme non essendo piugrave soggetto a forze altre che la forza peso Lrsquoacqua esce dal cestello della lavatrice quando il cestello ruota velocemente (funzione centrifuga) percheacute lrsquoacqua che non costituisce un corpo solo con il cestello bucato non egrave soggetta alla forza centripeta e puograve passare attraverso i buchi I panni invece pure non parte del cestello sono troppo grandi per passare dai buchi si possono solo schiacciare contro le pareti questo schiacciamento sembra il risultato di una forza ma egrave invece il risultato dellrsquoassenza di una forza quella centripeta Una volta lagrave contro il cestello fanno tuttrsquouno con le pareti di metallo che esercitano su di essi la forza centripeta (cioegrave con direzione verso lrsquoasse di rotazione) che li mantiene in rotazione Le parti di un corpo rigido esteso che si muove di moto rotatorio rispetto ad un asse quale ad esempio la gamba di un giocatore di calcio che calcia un pallone sono soggette alla forza centripeta che le mantiene sulla traiettoria curva Tale forza viene trasmessa alle varie parti tramite le forze di tensione che si sviluppano allrsquointerno del corpo stesso ad esempio il piede egrave soggetto alla forza centrifuga tramite lrsquoazione dei legamenti e tendini a livello della caviglia che vengono messi in tensione per trattenere il piede stesso

Fig12

Per cadere di 48 m impiega un tempo tc tale che y(tc) ndash yi = -48m = -2

1 gt2c

tc = 89

)2()84( minuslowastminus = 099sec

Nel tempo di caduta tc = 099s quale distanza potragrave coprire con la velocitagrave iniziale ( e poi costante) vix =45 msec d = x-xi = vix t = 45 middot 099 = 45m d = 45m egrave meno dei 62m che separano i due palazzi Il cascatore faragrave bene a rifiutare la parte Quale velocitagrave iniziale min dovrebbe avere per avere delle chances

V ix = 990

26 = 62 msec

2 ndash Salto di Bob Beamon a cittagrave del Mexico nel 1968 salto in lungo di 890m Supponendo che la velocitagrave del decollo sia stata 95 ms come per un centometrista quanto vicino arrivograve alla gittata max (per assenza di resistenza aria)

Dmax = g

v20 per sin 2ϑ 0 = 1 (rArr ϑ 0 = 45deg)

= 789

)59( 2

= 9228m

∆ D = 9228 ndash 890 = 0328m

3 ndash Cestista

Fig15 Quale velocitagrave iniziale v0 deve avere la palla affinchegrave il cestista possa fare canestro se lrsquoalzo iniziale egrave di 55deg rispetto allrsquoorizzontale (le varie distanze sono indicate in Figura) Definisco sistema di assi cartesiano con origine nel centro della palla e assi paralleli agli assi originari In questo sistema di riferimento la posizione del canestro egrave xc = 42 ndash 03 = 39m yc = 3 ndash 21 = 09m Lrsquo equazione della traiettoria egrave

y = x tgϑ 0 - 200 )cos(2 ϑv

g x2

Introduco nellrsquoequazione i valori di yc xc tg 55deg = 1428 e ricavo il valore dellrsquounica incognita v0

09 = 39 x 1428 - 2

0 )5740(2

89

xv x (39)2

09 = 5569 - 2

0 )5740(

5374

xv

(09 ndash 5569) (v0 x 0574)2 = -7453

v0 = 6694

5374

5740

1 = 696msec

Forze e moto Quando un oggetto cambia il suo stato di moto (da fermo si muove o si ferma se si stava muovendo accelera o frena o curva) per esperienza sappiamo che egrave avvenuta unrsquointerazione dellrsquooggetto con un altro corpo dellrsquoambiente circostante al contatto o a distanza Il concetto di interazione prevede sempre la presenza di due corpi unrsquointerazione viene scambiata tra due corpi A questa interazione associamo il concetto di forza Questa associazione non egrave solo qualitativa ma viene quantificata tramite una legge che collega forze e cambiamenti dello stato di moto dei corpi rendendo la forza una grandezza derivata nel sistema SI Ciograve avviene introducendo una grandezza fisica fondamentale chiamata massa (m) che egrave caratteristica di ogni corpo materiale e che esprime lrsquoinerzia al moto propria del corpo quando viene sottoposto alla sollecitazione di una forza Diciamo che due corpi hanno masse diverse se assumono accelerazioni diverse quando sottoposte allrsquoazione della medesima forza Questa massa si dice anche inerziale Si misura in kilogrammi (kg) ed egrave una grandezza scalare positiva

La teoria del moto egrave riassunta dalle tre leggi formulate da Isaac Newton fondate sulle basi del genio di Galileo Galilei Prima legge del moto Ogni corpo rimane nel suo stato di quiete o mantiene il suo stato di moto a velocitagrave costante se nessuna forza agisce su di esso o se la risultante delle forze ad esso applicate egrave nulla Questa proprietagrave del moto egrave detta anche ldquoprincipio di inerziardquo o ldquoprimo principio della dinamicardquo Velocitagrave costante significa che il vettore velocitagrave egrave costante cioegrave non variano modulo direzione e verso Quindi lrsquounico moto possibile in assenza di forze applicate egrave quello rettilineo uniforme (Tale legge non puograve essere verificata se si prende in considerazione un sistema di riferimento che si muove di moto accelerato Per esempio se utilizzo un sistema di riferimento solidale con lrsquoabitacolo di unrsquoautomobile o di un aereo che stanno accelerando o frenando i corpi possono scivolare lrsquoacqua contenuta in un bicchiere vi si puograve rovesciare addosso come soggetta ad una forza In realtagrave ciograve avviene proprio perchegrave questi corpi tendono a mantenere il loro stato di moto e lsquodisubbidisconorsquo alla variazione di velocitagrave che ciograve che egrave solidale col sistema di riferimento sta subendo I sistemi di riferimento nei quali si verifica la prima legge della dinamica si chiamano sistemi di riferimento inerziali e sono da essa implicitamente definiti) Seconda legge del moto Questa legge formulata inizialmente da Galileo e poi riproposta da Newton egrave detta anche ldquolegge fondamentale della dinamicardquo

rarrF = m

rarra

La forza rarrF egrave un vettore dato dal prodotto del vettore accelerazione

rarra per uno scalare m ed egrave

diretto come rarra Questa legge come si vede egrave una legge vettoriale Se piugrave forze agiscono sul

corpo di massa m la legge vale per il ldquovettore risultanterdquo che egrave la somma vettoriale di tutte le forze che agiscono sul corpo Lrsquoaccelerazione egrave diretta come il vettore risultante delle forze

Si possono definire le componenti di rarrF lungo gli assi del sistema di riferimento e la legge del

moto vale componente per componente Fx = max Fy = may Fz = maz

Lrsquounitagrave di misura della forza egrave il newton (N) 1N = 1Kg m s2

E la relazione dimensionale egrave[ ]N = [ ]2minusmlt Se la forza (o la risultante delle forze) applicata al corpo egrave nulla egrave anche nulla lrsquoaccelerazione e visto che lrsquoaccelerazione egrave definita come la variazione della velocitagrave divisa per il tempo la variazione della velocitagrave saragrave anchrsquoessa nulla Ciograve significa che la velocitagrave si mantiene costante Quindi in assenza di forze applicate il corpo rimane fermo se inizialmente era fermo e continua a muoversi con velocitagrave costante se inizialmente si muoveva come giagrave affermato dalla prima legge Terza legge del moto Dal concetto di forza che esprime lrsquointerazione tra i corpi deriva anche quello che viene comunemente detto ldquoil principio di azione e reazionerdquo o ldquoterzo principio della dinamicardquo ad ogni azione corrisponde sempre una reazione uguale e contraria cioegrave se due corpi A e B interagiscono in

modo che il corpo A eserciti una forza rarrF sul corpo B allora il corpo B esercita sul corpo A una

forza rarr

F = - rarrF Si noti che le due forze NON sono applicate allo stesso corpo

rarrF agisce su

B e rarr

F agisce su A Lrsquoapplicazione di questo principio egrave molto importante quando si considerano le forze che si realizzano al contatto tra due corpi e in particolare per le forze applicate da muscoli tendini legamenti e ossa del corpo umano Forze particolari Forza gravitazionale Newton nel descrivere il moto dei corpi celesti ha stabilito la presenza di una forza di interazione a distanza tra due corpi che chiamiamo forza di gravitagrave e ha fornito lrsquoespressione che la governa

FG = -G 2

21

R

mm GG ( legge di attrazione universale)

dove mG 1 e mG 2 sono le masse gravitazionali dei due corpi R egrave la distanza tra le due masse (considerate puntiformi) e G egrave una costante numerica che vale 667 x 10-11 Nm2kg2 1 Nm2kg2 egrave anche 1m3kg s2 Il segno meno sta a indicare che la forza egrave attrattiva La forza gravitazionale viene rappresentata con un vettore il cui modulo egrave dato dalla legge di Newton e che ha la direzione della congiungente i centri di massa delle due masse La forza di attrazione lsquosentitarsquo dalla massa mG 2 dovuta a mG 1 ha il verso che punta su mG 1 e contemporaneamente la forza di attrazione misurata dalla massa mG 1 dovuta a mG 2 ha il verso che punta su mG 2m (le due forze sono lrsquoazione e la reazione della terza legge della dinamica Perchegrave nellrsquoesperienza comune non si osserva che una matita attiri unrsquoaltra matita su un tavolo La forza attrattiva gravitazionale esiste fra di loro ma egrave molto piccola (la costante G egrave molto piccola) ed egrave contrastata completamente dalle forze di attrito (che discuteremo fra breve) La Terra su cui viviamo ha invece una massa molto grande M = 597 x 1024 kg e quindi puograve esercitare una forza piugrave che apprezzabile su altre masse anche se piccole come quella della matita (la matita cade dal tavolo) Chiamiamo forza peso la forza di gravitagrave FG esercitata dalla Terra su ogni corpo ad essa vicino e che origina dallrsquointerazione gravitazionale per la quale tutti i corpi si attirano fra di loro La forza peso viene spesso indicata con P che agisce su un corpo di massa mG vale

P = -G 2T

GGTerra

R

mM equiv - g mG con g equiv G

2T

GTerra

R

M

Dove MG Terra egrave la massa della Terra ed RT egrave il raggio della Terra (RT = 6370km) Il valore di g risulta

g = 667 x 10-11 2

3

kgs

m223

24

)106379(

10975

mx

kgx = 98 ms2 e ha le dimensioni di unrsquo accelerazione

La forza di attrazione gravitazionale alla quale una massa mG egrave soggetta vicino alla superficie di un altro pianeta egrave diversa Infatti la massa e il raggio degli altri pianeti sono diversi da quelli della Terra e quindi g assume un altro valore Si puograve dire che il peso di un corpo cambia sui diversi pianeti o sulla Luna mentre la massa gravitazionale egrave la grandezza fisica fondamentale propria di ogni corpo

Ersquo molto importante ora applicare la seconda legge della dinamica o legge fondamentale della dinamica F = m a ad un corpo soggetto alla sola forza peso sulla superficie della Terra cioegrave quando F egrave la forza peso P ora definita F = m a P = m a -g mG = m a Abbiamo voluto lasciare indicato il pedice G percheacute in principio non crsquoegrave ragione percheacute la grandezza con le dimensioni di una massa che compare nella legge di gravitazione sia uguale alla massa implicitamente definita dalla relazione di proporzionalitagrave tra la F applicata e lrsquoaccelerazione subita da un corpo data dalla seconda legge della dinamica Si egrave tuttavia dimostrato sperimentalmente che la massa gravitazionale mG (introdotta nella legge di attrazione universale e la massa m che si dice massa inerziale ed egrave definita tramite la seconda legge della dinamica sono uguali hanno lo stesso valore Questo permette di semplificare le due masse nellrsquoequazione e di ottenere -g = a che significa che lrsquoaccelerazione di una corpo soggetto alla forza peso sulla superficie della terra vale a = ndashg equiv -98 ms2 NB lrsquoaccelerazione vale 98 ms2 per tutti i corpi di qualsiasi massa Infatti sui corpi con massa maggiore vengono esercitate forze maggiori in modo proporzionale alla loro massa (corpi con massa maggiore lsquopesano di piugraversquo) cosigrave da produrre sempre la stessa accelerazione Si egrave soliti assumere che g sia costante e che non dipenda dalla quota h alla quale ci si trovi al di sopra della superficie terrestre Questa egrave unrsquoapprossimazione molto buona nei limiti in cui hltlt RT Infatti g diminuisce con la quota per esempio se h = 8000m (circa sul monte Everest) lrsquoaccelerazione di gravitagrave g si riduce a

2

2

)6378000(

)6370000( x g = 099749 x g = 97754 m s2 (meno del 25 per mille)

Forze di superficie Forze di contatto Alla superficie di contatto tra due corpi si realizzano le forze che chiamiamo appunto di superficie e che si dividono in forze di contatto e forze di attrito Le forze di contatto

La forza normalerarr

NF egrave la forza che un corpo sperimenta quando egrave appoggiato su di una superficie

Si chiama normale percheacute egrave sempre diretta perpendicolarmente alla superficie Se la superficie egrave orizzontale Fig16

Fc

FN

Piano orizzontale Calcolare lrsquointensitagrave della forza normale applicata ad un oggetto di massa m fermo su un tavolo orizzontale Per il primo principio della dinamica (principio di inerzia) se un corpo e fermo la risultante delle forze ad esso applicate egrave nulla cioegrave

rarrP +

rarr

NF = 0

In questo caso la forza normale rarr

NF egrave un vettore che ha lo stesso modulo e la stessa direzione del

vettore forza pesorarrP ma ha verso opposto Quindi il modulo di

rarr

NF vale |rarr

NF | = mg

Piano inclinato

Nel caso di un piano inclinato dovrograve tenere conto che rarr

NF puograve compensare solo la parte di rarrP

diretta normalmente al piano (infatti se non crsquoegrave attrito il corpo scivola lungo il piano inclinato) Se ϑ egrave lrsquoangolo che il piano inclinato forma con lrsquoorizzontale il piano inclinato fornisce al corpo una

forza normale che in modulo vale | rarr

NF | = m g cosϑ

Fig 17 4 ndash Salto con molleggio Un uomo con massa m = 70kg salta da unrsquoaltezza L = 2m Arrivando al suolo molleggia sulle ginocchia per un tratto l = 02 m Si calcoli la forza di reazione che il suolo esercita sui piedi durante il molleggio Si consideri il molleggio come una frenata che avviene con accelerazione (negativa) costante Fig 18

F

FN

Cadendo da unrsquoaltezza L allrsquoistante in cui il piede tocca il suolo la velocitagrave Vs egrave data dalla risoluzione del sistema di equazioni cinematiche per il moto uniformemente accelerato con t0 il tempo di caduta Vs = gt0 L = frac12 gt0

2 Vs = (2gL) frac12 La forza di reazione che esercita il suolo sul piede durante il molleggio egrave quella che imprime lrsquoaccelerazione (negativa) a di frenata (piugrave il peso del corpo mg)Il corpo si ferma in un tratto l Questa frenata si tratta con le equazioni del moto uniformemente accelerato 0 = Vs ndash at l = Vs t ndash frac12 at2 (essendo t il tempo di frenata) dalla prima equazione t = Vs a che introdotto nella seconda equazione permette di calcolare a a = frac12 Vs

2l e con Vs = (2gL) frac12 si ottiene a = g (Ll) e quindi la forza di reazione Fr = mg + ma egrave data da Fr = mg (Ll + 1) = 70 x 98 x (202 + 1) N = 7546Newton Si noti che al peso si aggiunge una forza che egrave il peso moltiplicato per un fattore (ldquofattore di cadutardquo) dato dal rapporto tra lrsquoampiezza del salto e il tratto di molleggio Questa forza si trasmette dal piede allrsquoarticolazione delle ginocchia e cosigrave via Tensione

Quando una corda egrave attaccata ad un corpo e viene tirata si dice che la corda egrave sotto tensione

La tensione rarrT cui egrave sottoposta la corde in ogni sua parte egrave una forza pari alla forza che si applica

sia al corpo sia alla mano che lo tira ai due estremi della corda ed egrave sempre diretta lungo la corda Fig 19 Anche con una carrucola cioegrave con la corda che si curva intorno ad una rotella la tensione ha intensitagrave T lungo la corda Una corda egrave utile in questo caso per cambiare la direzione e il verso di applicazione di una forza la mano tira verso il basso ma la massa egrave sottoposta ad una forza verso lrsquoalto

Fig20 I tendini del corpo umano sono corde e vengono utilizzati anche per variare la direzione di applicazione delle forze esercitate dai muscoli Forza di attrito

Lrsquoattrito fa parte dellrsquoesperienza quotidiana nel bene e nel male Da una parte fa consumare piugrave benzina (20 per motore e trasmissione) ma anche la suola delle scarpe il battistrada delle gomme e i gomiti del maglione dallrsquoaltra consente il movimento i nodi tengono i chiodi fissano etc Un libro che scivola su un tavolo orizzontale si fermerebbe se non mantenessi una forza costante che contrasta lrsquoattrito su una superficie ruvida il movimento genera lui stesso una forza che decelera il moto Per mantenere in moto rettilineo uniforme un corpo che scivola sopra un piano bisogna applicare al corpo una forza che serva a neutralizzare questa forza ldquospontaneardquo(detta di attrito) in modo che la risultante delle forze applicate sia nulla Anche lrsquoinizio del moto egrave contrastato dalla forza di attrito (statico) che assume un valore uguale e contrario a quello della forza che applico fino a raggiungere un valore massimo (valore limite) Il corpo non si muove resiste al moto Oltre quel valore limite cioegrave se applico una forza sufficientemente intensa il corpo inizia a muoversi Situazione

Fig 21 Un blocco appoggiato sul piano orizzontale egrave fermo rarrP

verso il basso e rarr

NF verso lrsquoalto sono uguali in modulo

Se applico una forza rarrF per spostare il corpo verso destra insorge una forza di attrito statico

P

FN

il cui modulo vale |rarr

sattF _ | = smicro |

rarr

NF | ( smicro egrave il coefficiente di attrito statico il suo valore dipende

dalla natura dei materiali a contatto) esercitata orizzontalmente dal piano che uguaglia in

intensitagraverarrF ma di verso opposto in modo che il corpo non si muove Se aumento

rarrF aumenta

anche rarr

sattF _

Fig22 Diagramma delle forze applicate al blocco

Raggiunto un certo valore di rarrF il corpo ha uno ldquostrappordquo e comincia a muoversi nella direzione

di rarrF verso destra ostacolato dalla una forza di attrito dinamico

rarr

dattF _ generalmente inferiore al

valore max di rarr

sattF _ (egrave piugrave facile mantenere un corpo in moto che muoverlo da fermo)

(Il passaggio da un regime allrsquoaltro egrave allrsquoorigine degli stridii da attrito ndash quello ad esempio del gesso sulla lavagna - o anche del suono del violino) - Proprietagrave dellrsquoattrito riassunte

1 ndash Corpo fermo la forza di attrito statica rarr

sattF _e la componente di

rarrF parallela alla superficie

hanno uguale intensitagrave e si annullano 2 ndash limite di scivolamento la massima forza di attrito per due materiali posti a contatto egrave proporzionale alla forza normale tramite un coefficiente di attrito statico smicro

| rarr

sattF _(max)| = smicro |

rarr

NF |

smicro egrave un coefficiente adimensionale che assume valori diversi per diverse coppie di materiali

3 ndash il corpo inizia a muoversi il valore della forza di attrito decresce rapidamente fino a

|rarr

kattF _ | = kmicro |rarr

NF | proporzionale alla forza normale tramite un coefficiente di attrito dinamico kmicro

adimensionale e dipendente dalla coppia di materiali in considerazione

P

FN

F Fatt

Attenzione |rarr

sattF _| e

rarr

kattF _ | sono proporzionali non a |

rarrP | ma a |

rarr

NF | quindi nel caso di un

piano inclinato bisogna considerare la componente di rarrP perpendicolare al piano

rarr

NF equilibra

solo la parte di rarrP perpendicolare al piano

Attenzione le equazioni per |rarr

sattF _| e |

rarr

kattF _| non sono vettoriali le forze di attrito non sono

dirette come la forza normale rarr

NF ma parallele al piano

Durante una corsa allo scatto si usano i blocchi di partenza per sfruttare la reazione del blocco alla forza muscolare di spinta Data lrsquoinclinazione dei blocchi la forza di reazione del blocco sul atleta si massimizza nella direzione del moto

rArr si fa uso della ldquoazione-reazionerdquo Fig 23 Durante la corsa si sfrutta il coefficiente di attrito statico per mantenere un piede fermo a terra mentre lrsquoaltro avanza Per non superare il limite di scivolamento allrsquoindietro del piede di appoggio la forza che si esercita sul terreno deve avere una componente normale al terreno di intensitagrave opportunamente elevata In ogni caso se smicro egrave basso si ha lrsquoeffetto del camminare sul ghiaccio

Lrsquouso di scarpette chiodate non aumenta il valore di smicro che egrave il coefficiente drsquoattrito tra due

superfici ldquoliscerdquo piuttosto hanno una funzione simile a quella di mini blocchi di partenza permettono di esercitare una forza sul tartan lungo la direzione del moto cioegrave parallelamente alla pista Resistenza del mezzo Consideriamo un corpo che si muove in aria Esso incontra una resistenza da parte dellrsquoaria che agisce in modo da opporsi al movimento del corpo cioegrave ha la stessa direzione e verso opposto a quella del moto

rarrD forza di resistenza del mezzo o forza aerodinamica (detta anche forza viscosa) si

|rarrD | =

2

1 cρAv2 (limite di alte velocitagrave eo alte viscositagrave)

D egrave proporzionale al quadrato della velocitagrave (termine v2 ) Inoltre D egrave proporzionale ad A lrsquoarea efficace della sezione trasversa (lrsquoarea presentata dal corpo nella direzione del moto vedi la posizione a uovo dei discesisti di sci o dei ciclisti) ρ egrave la densitagrave del mezzo Ersquo intuitivo che la resistenza D dipenda dalla densitagrave del mezzo infatti il corpo per procedere deve ldquofarsi stradardquo spostando le molecole del mezzo Quindi piugrave il mezzo egrave rarefatto piugrave egrave facile ldquofarsi stradardquo e inferiore egrave la resistenza D Con c si indica il coefficiente di penetrazione (il cosiddetto cx che dipende dalla forma geometrica del corpo) La forma (oltre che

lrsquoarea efficace A) influenza la resistenza opposta dal mezzo percheacute una ottimizzazione della forma (affusolata migliorare il Cx) porta a ridurre la formazione di turbolenze nellrsquoaria intorno al corpo Casco dei ciclisti o discesisti con forma a punta posteriore

non riduce la sezione trasversa A ma piuttosto migliora il Cx

Fig 24 Nel nuoto lo sbattere i piedi serve soprattutto per mantenere il corpo orizzontale e quindi a ridurre la sezione A Il lavoro viene fatto per lo piugrave dalle braccia (75) In acqua anche se la velocitagrave v egrave bassa D egrave significativa percheacute la viscositagrave del mezzo egrave grande Per ridurre le turbolenze negli sport di velocitagrave diventa essenziale utilizzare accorgimenti quali nascondere dadi e cavi nelle biciclette togliere cerchietti delle racchette da sci Tagliare i capelli o rasarsi le gambe sono sempre modi di ridurre anche le piccole turbolenze Velocitagrave limite di caduta di un grave in aria

La forza rarrD di frenamento durante la caduta libera li un corpo in aria ha verso opposto a quello

della forza pesorarrP che accelera il corpo verso il basso Se

rarrP egrave costante il corpo accelera con

accelerazione rarrg ie aumenta la velocitagrave verso il basso ma aumentando v dunque v2 aumenta

D Ciograve prosegue fincheacute D diventa di intensitagrave uguale P con verso opposto rarrD = -

rarrP A questo

punto la risultante delle forze agenti sul corpo in caduta egrave nulla (sumrarrF =

rarrD + (-

rarrP ) e dalla

seconda legge (fondamentale) della dinamica si ha che lrsquoaccelerazione rarra del corpo egrave nulla

rArr Il corpo non accelera piugrave e mantiene velocitagrave costante massima La velocitagrave raggiunta detta velocitagrave limite vlim egrave tale da verificare lrsquouguaglianza

D = 2

1cρAv lim

2 = mg = P quindi rArr vlim = (2mg cρA) frac12

La vlim raggiunta dai paracadutisti puograve essere variata modificando A tramite dei cambiamenti dellrsquoassetto in volo Questo permette ai paracadutisti di raggiungersi per fare figure in aria Lrsquoapertura del paracadute fa aumentare di molto A rendendo la velocitagrave limite molto piugrave bassa Anche le gocce di pioggia raggiungono la velocitagrave limite (v asymp 7msec in 6m) nella loro caduta Ad esempio cadendo da 1200m le gocce di pioggia raggiungono la terra con la velocitagrave limite di circa 7msec e non con la velocitagrave di 150msec che avrebbero se non ci fosse lrsquoazione di frenamento D (dei veri proiettili)

Senza D rarr vfin = 150ms

Con D rarr vfin = vlim = 7ms Fig 25 Forza elastica La forza elastica egrave una forza non costante

L lunghezza di riposo della molla Fig 26 Una massa m egrave vincolata ad una parete con una molla Se tiro la massa la molla si estende diciamo di un tratto x La molla esercita una forza di richiamo proporzionale allrsquoallungamento x (piugrave si allunga maggiore egrave la forza F di richiamo) F = -kx ldquorichiamordquo cioegrave di verso opposto allrsquoallungamento Ecco la ragione del segno (-) Se raggiunta una certa estensione la molla viene rilasciata essa si ricomprimeragrave ritorneragrave alla lunghezza di riposo L poi si schiacceragrave di un tratto x dalla parte opposta e nuovamente agiragrave la forza di richiamo (che egrave variabile in quanto varia con il variare di x) La massa oscilla attorno alla posizione di riposo k egrave la costante elastica della molla Lrsquoespressione della forza elastica vale per i respingenti del treno (k grande) come per la molla della biro (k piccola) come per lrsquoelastico del saltatore dal ponte Impulso di una forza La legge fondamentale della dinamica F = ma puograve essere scritta esprimendo lrsquoaccelerazione con la sua relazione definitoria (vf - vi)t

F = mt

vv if minus e quindi portando il tempo t al primo membro

)( if vvmtF minussdot=sdot oppure vmtF ∆sdot=sdot

Si dice ldquoimpulso ldquo di una forza il prodotto della forza per il tempo durante il quale viene applicata tF sdot (se la forza non egrave costante lrsquoimpulso egrave lrsquointegrale della forza nel tempo in cui viene applicata)

Scritta in questo modo lrsquoequazione fondamentale della dinamica puograve essere letta cosigrave 1) Supponiamo che un corpo vari la sua velocitagrave di una quantitagrave ∆v = vf - vi tanto piugrave lungo egrave il tempo t durante il quale questa variazione avviene tanto minore egrave la forza che deve essere sviluppata per ottenere tale variazione della velocitagrave In questi termini si capisce ad esempio lrsquoutilitagrave delle cinture di sicurezza che allungando i tempi durante i quali in caso drsquoincidente la velocitagrave del passeggero (che non egrave solidale con la vettura) passa da un valore vi iniziale a zero determina una riduzione della la forza cui il passeggero stesso egrave sottoposto durante il breve tempo dellrsquoimpatto (la forza che le ossa e le articolazioni possono sopportare egrave limitata) Si vede anche come funziona lrsquoelastico del jumper finchegrave lrsquoelastico non egrave completamente svolto (ltL) la forza che agisce sul jumper egrave P (la forza peso) poi progressivamente la forza elastica di richiamo contrasta P quindi il jumper decelera progressivamente per un lungo intervallo di tempo e lo lsquostrapporsquo (F applicata) necessario per contrastare P e fermare il jumper applicato sulle sue gambe e a cascata su tutte le sue articolazioni (secondo il terzo principio) egrave di entitagrave minore 2)Lrsquoimpulso totale prodotto tF sdot nella direzione ottimale egrave la grandezza fisica che stabilisce lrsquoefficacia di un gesto di spinta o di lancio non la massima forza espressa o la durata dellrsquoazione di spinta Lavoro di una forza ndash lavoro meccanico

- 1deg caso Forza costante rarrF

Immaginiamo una forza rarrF che agisce su un corpo durante il suo spostamento Immaginiamo cosi

che il punto di applicazione di questa forza si sposti nello spazio di un tratto rarrs Viene detto

lavoro della forza rarrF la quantitagrave

L = rarrF middot

rarrs = F middot smiddot cosϑ (prodotto scalare di

rarrF per

rarrs )

(prodotto scalare tra i due vettori) Fig 27 Il lavoro egrave una quantitagrave scalare cioegrave egrave descritta completamente da un numero da un valore Tale

valore puograve essere positivo o negativo a seconda che la componente di rarrF lungo

rarrs sia equiversa o

di verso opposto a rarrs Se

rarrF e

rarrs hanno la stessa direzione e se lo spostamento avviene nel

senso di rarrF diciamo che il lavoro egrave positivo (e viceversa negativo) Lrsquointensitagrave del lavoro puograve

variare tra un valore massimo e uno minimo per gli stessi valori del modulo di rarrs e di

rarrF a

rarrs

seconda del valore di cosϑ Il lavoro egrave massimo per cosϑ = 1 (cioegrave per ϑ = 0) (rarrF diretto come

rarrs ) Il lavoro egrave minimo ( L = 0) per cosϑ = 0 cioegrave per ϑ = 90deg (

rarrF perpendicolare a

rarrs )

Puograve darsi il caso che piugrave forze agiscono sullo stesso punto Allora si puograve calcolare il lavoro totale egrave la somma dei lavori di tutte le forze applicate

Ltot = sum Li = sum (rarr

sdotiFrarrs )

Dimensioni di L [ L ]= [ F ][ s ] = mmiddot l middot t-2 middot l = ml2 t-2 Unitagrave di misura di L 1 joule = 1N middot 1m ( 1J ) Lavoro della forza peso durante la caduta di un grave Un grave cade vicino alla superficie della terra sotto lrsquoazione della forza di gravitagrave cioegrave sottoposto ala forza peso P diretta verso il basso percorrendo un dislivello h Il lavoro compiuto dalla forza peso si calcola come

LP = rarrP middot

rarrs = Pmiddot smiddot cosϑ

notando che lo spostamento s (verso il basso) e la forza P sono paralleli con verso concorde pertanto ϑ = 0 e cosϑ = 1 e che | P| = mmiddot g si ottiene LP = mmiddot gmiddot h per uno spostamento s = h (dislivello) Lavoro meccanico nel sollevamento pesi Durante questo gesto sul bilanciere oggetto dellrsquoapplicazione delle forze si esercitano la forza peso P e la forza muscolare dellrsquoatleta Naturalmente entrambe le forze lavorano ma i due lavori si oppongono uno allrsquoaltro (ricorda che il lavoro puograve essere positivo o negativo) Il lavoro positivo deve essere nel verso del moto quindi egrave quello della forza muscolare dellrsquoatleta il lavoro di P invece egrave negativo e se il bilanciere si alza di una quota h si calcola facilmente seguendo il procedimento del paragrafo precedente ottenendo LP = - mmiddotgmiddoth (ϑ = π e cosϑ = -1 ) Calcoliamo il lavoro della forza musculare seguendo lrsquoesempio qui proposto Esempio Un atleta solleva un bilanciere di peso 2500N allrsquoaltezza di 2m (sopra la sua testa) Quanto lavoro meccanico compie la sua forza muscolare Supponiamo che il sollevamento avvenga a velocitagrave costante con accelerazione nulla allora il per il

primo principio della dinamica le forze applicate al bilanciere devono essere tali chesumrarr

iF = 0

Quindi la forza peso P = mmiddot g deve essere controbilanciata dalla forza applicata dallrsquoatleta Fm

Quindi rarr

mF = - rarrP

con Fm = 2500N Il lavoro La fatto dallrsquoatleta vale

Lm = rarr

mF middot rarrs = 2500 N middot 2m middot 1 = 5000 J (sollevamento verticale quindi ϑ = 0 e cosϑ = 1)

Quanto lavoro fa la forza peso

Lp = rarrP middot

rarrs = 2500 middot 2 middot (-1) = -5000 J

(percheacute ϑ = π e cosϑ = -1) Quanto lavoro fa lrsquoatleta mentre sostiene il peso fermo sopra la testa L = 0 percheacute non crsquoegrave spostamento Qui si parla di lavoro meccanico non di lavoro fisiologico diciamo che si fa fatica percheacute crsquoegrave da mantenere integrordquo un corpo non rigido che egrave il corpo dellrsquoatleta quindi si il lavoro delle contrazioni muscolari per mantenere lrsquoequilibrio e ldquolrsquointegritagraverdquo egrave la misura del lavoro fisiologico necessario anche se il lavoro meccanico compiuto egrave nullo 2deg caso Forza variabile Nel caso in cui F egrave una forza variabile che dipende dalla posizione ogni volta che avviene uno spostamento∆ x la forza cambia Il lavoro totale saragrave la somma dei lavori elementari fatti sui tratti piccoli sui quali la forza puograve essere assunta costante

Ltot = iii xxF ∆sdotsum )(

( Se si fa il limite per ∆ xi piccolo rarr 0 e la isum egrave lrsquointegrale Ltot = int sdotxtin

xinxdxF )( )

Ad esempio la forza F puograve essere la forza di richiamo di una molla vincolata al muro Lrsquointensitagrave della forza elastica varia durante lo spostamento aumentando con lrsquoallungamento (o la compressione) della molla ed ha la direzione parallela allo spostamento ma puograve avere verso concorde o discorde quindi con cosϑ che vale o +1 o ndash1 Immaginiamo di avere un blocco attaccato alla molla e di tirarlo da Xin a Xfin allora

F(x) = - kx Fig 28

Il lavoro della forza elastica si calcola sommando i lavori infinitesimali compiuti per spostamenti infinitesimi durante i quali la forza si assume costante Ciograve egrave rappresentato graficamente nel calcolo lrsquoarea compresa al di sotto della curva del grafico di F (Fig 28A) In figura si egrave cambiato il segno della funzione forza per comoditagrave di rappresentazione

Fig 28A

Area = differenza aree dei due triangoli = AABB kxxkxx sdotminussdot2

1

2

1

Ricordandoci del segno

L infin = 22

2

1

2

1infin kxkx +minus e in generale L = 2

2

1kx

Se si calcola il lavoro della forza di richiamo durante un allungamento della molla si ha lavoro negativo mentre durante il ritorno alla posizione di equilibrio il lavoro egrave positivo (segno dello spostamento x e della forza concordi) Energia cinetica Il termine ldquoenergiardquo indica la capacitagrave di compiere lavoro Lrsquoenergia cinetica egrave la proprietagrave che rende conto quantitativamente del legame fra il lavoro compiuto ed il moto generato Avevamo detto piugrave o meno lo stesso parlando della seconda legge della dinamica riferendoci alle forze Qui col lavoro non egrave necessaria la descrizione dettagliata delle forze che agiscono sul punto in considerazione Ersquo sufficiente conoscere il loro lavoro totale

Lrsquoenergia cinetica K = 2

1mv2 (gt 0 percheacute m gt 0 v2 gt 0 ) (m e v sono la massa e la velocitagrave del

corpo) Lrsquounitagrave di misura e le dimensioni di K sono le stesse del lavoro Joule ( J ) e [ ]K = [ ]22 minustml

Teorema dellrsquoenergia cinetica Se una forza F compie un lavoro L su un punto materiale di massa m si ha una variazione dellrsquoenergia cinetica pari al lavoro compiuto

Xfin Xin

F

0

ksdotxfin

ksdotxin

F= ksdotx

x

LAB= -area

L = Kfin ndash Kin = ∆ K Nel caso che piugrave forze agiscono sul punto materiale il teorema dellrsquoenergia cinetica si applica al lavoro totale (equivalentemente al lavoro della risultante ) E il caso dellrsquoatleta che solleva il peso di 2500N Sappiamo che ha compiuto un lavoro di 5000J ma il bilanciare con i pesi era fermo allrsquoinizio ed egrave fermo alla fine Quindi Kin = 0 e Kfin = 0 percheacute vin = 0 e vfin = 0 Allora il teorema dellrsquoenergia cinetica Vale per il lavoro totale o lavoro della forza totale e noi abbiamo visto che la forza netta totale = 0 ( Fa + P = 0 ) ed il lavoro totale egrave nullo quindi giustamente si ha ∆ K = 0 1)Caso di una palla da tennis che cade

la forza peso rarrP compie un lavoro positivo con spostamento concorde a

rarrP si dovrebbe avere

∆ K gt 0 infatti la velocitagrave v aumenta 2)Caso di una palla lanciata verso lrsquoalto

lo spostamento ha verso opposto a rarrP Il lavoro della forza peso egrave negativo e quindi ∆ K egrave

negativo giusto La velocitagrave diminuisce NB Durante il volo agisce solo la forza di gravitagrave quindi il lavoro totale comiuto sul corpo egrave solo quello della gravitagrave 3)Caso del moto circolare uniforme la forza che agisce egrave la forza centripeta che egrave perpendicolare allo spostamento Quindi non compie lavoro deve essere ∆ K = 0 Iinfatti il moto egrave uniforme cioegrave la velocitagrave egrave in modulo costante Potenza Si chiama potenza il lavoro che si egrave in grado di svolgere nellrsquounitagrave di tempo

P = t

L

∆ ( potenza media )

P = t

Lt ∆

∆rarr∆ 0lim ( potenza istantanea)

Non egrave solo una stima del lavoro compiuto ma anche della rapiditagrave con cui si compie lavoro

Fig 29 Per superare il muro ci vuole un certo lavoro che consiste nellrsquoinnalzare il proprio corpo di unrsquoaltezza h Sia lrsquoatleta che lo supera in un sol balzo sia il vecchietto che sale pian piano la scalinata faranno lo stesso lavoro Quel che egrave diverso egrave la potenza dei due personaggi Dimensioni e unitagrave di misura della potenza [ ]P = [L] [t -1] = [ml2t-3] 1 watt = 1 joule 1sec (1w)

Energia Potenziale K egrave energia connessa allo stato di moto di un sistema Crsquoegrave anche energia connessa alla posizione di un corpo in un campo di forze (configurazione) Si chiama energia potenziale Nel caso dellrsquoatleta di sollevamento pesi il lavoro compiuto dallrsquoatleta Lm non ha alterato lrsquoenergia cinetica K dellrsquoattrezzo ma ha modificato la configurazione del sistema (terra-attrezzo) variandone lrsquoenergia potenziale (W) Il lavoro non egrave stato sprecato ma ldquoimmagazzinatordquo lrsquoattrezzo prima egrave a terra poi egrave in alto nel sistema che ora ldquopotenzialmenterdquo puograve compiere un lavoro cedendo la sua ldquoenergia potenzialerdquo Energia cinetica ed energia potenziale sono due parti dellrsquoenergia meccanica possono trasformarsi lrsquouna nellrsquoaltra ed in lavoro Nellrsquoesempio precedente quando lrsquoattrezzo egrave in alto si ha che K = 0 e W = WA Quando cade K aumenta percheacute la velocitagrave v aumenta e lrsquoenergia potenziale W diminuisce In basso W = WB lt WA e K egrave massima Lrsquoattrezzo cadendo puograve compiere lavoro Se fosse un martello potrebbe far avanzare un chiodo ad esempio Lrsquoenergia potenziale viene definita proprio a partire dal concetto di lavoro di forze conservative Ersquo conservativa una forza il cui lavoro per spostare il suo punto di applicazione da una posizione (configurazione) ad unrsquoaltra dipende solo dalle due posizioni (configurazioni) iniziale e finale Equivalentemente si puograve definire la forza conservativa dicendo che il lavoro di tale forza egrave nullo se le posizioni (configurazioni) iniziali e finali coincidono

-Lavoro per passaggio dalla posizione A a B egrave lo stesso lungo I o II -Se da A vado a B e torno in A il lavoro totale egrave nullo

Fig 30 Posso allora definire una funzione della posizione W che assume i valori WA e WB in A e B e tale per cui LAB = WA ndash WB ( W energia potenziale) WA WB sono definiti a meno di una costante tanto quello che interessa egrave la differenza fra loro Variazione di energia potenziale del passaggio da A a B WB ndash WA = ∆W allora LAB = -∆ W Con questa convenzione sui segni si rende conto del fatto che un lavoro positivo ( fatto dalle forze conservative sul corpo) fa diminuire lrsquoenergia potenziale W ( L positivorarr ∆W negativo rarr WBlt WA rarr ho usato energia potenziale) un lavoro negativo (subito) aumenta W (L negativo rarr ∆W positivo rarr WBgt WA rarr ho guadagnato energia potenziale) W si misura in Joule come il lavoro e lrsquoenergia cinetica

Qual egrave la Forma di W

Mentre la forma dellrsquoenergia cinetica egrave sempre K =2

1mv2 indipendentemente dal tipo di forze

che provocano il movimento W dipende dal tipo di forza conservativa di cui si sta calcolando il lavoro Consideriamo due forze conservative

a) Forza gravitazionale forza peso

F(y) = -mg Stato di riferimento y0 = 0 in cui W0 = 0

Fig31

Abbiamo detto che LAB = WA- WB ma siccome

LAB = )( ABhmgsP minussdotminus=sdot dove hAB= yA-yB egrave la distanza tra A e B allora rArr WA = mgyA WB = mgyB e in generale W(y) =mgy

Per la forza peso W(y) =mgy e lrsquoenergia totale meccanica (W+K) = mgy+2

1mv2=Etot

b) Forza elastica

Fig 32

F(x) = -kx Stato di riferimento x = 0 allungamento nullo la lunghezza della molla egrave la sua lunghezza di riposo L ( W(0) = 0)

Immaginiamo che la configurazione della molla venga modificata passando dalla posizione xA alla posizione xB (Fig 32) Il lavoro della forza elastica egrave calcolato come

LAB = 22

2

1

2

1AB kxkx +minus

Ricordando che LAB = WA- WB possiamo ricavare lrsquoespressione per lrsquoenergia potenziale elastica

rArr WA = 2

2

1Akx WB = 2

2

1Bkx e in generale W(x) = 2

2

1kx

Energia totale meccanica ndash Conservazione dellrsquoenergia

In presenza di sole forze conservative la somma dellrsquoenergia cinetica e dellrsquoenergia potenziale costituisce lrsquoenergia totale meccanica Tale energia meccanica gode della proprietagrave importantissima di conservarsi durante lrsquoevoluzione del sistema Lrsquoenergia connessa al movimento e alla posizione si scambiano una diminuisce e lrsquoaltra cresce ad esempio ma la loro somma rimane costante

- Esempio delle montagne russe Se non ci sono attriti (infatti il trucco egrave quello di rendere il

sistema privo di attriti) so giagrave quale altezza massima potrograve raggiungere (quella iniziale e non di piugrave) quale velocitagrave massima potrograve raggiungere (in fondo alla valle) Queste quantitagrave sono fra loro legate dal teorema della conservazione dellrsquo energia meccanica

Fig 33 - Esempio del salto con lrsquoasta Lrsquoenergia cinetica dellrsquoatleta acquisita nella rincorsa viene

trasformata in energia potenziale gravitazionale parte direttamente e parte attraverso lrsquoenergia potenziale elastica dellrsquoasta acquisita nella sua deformazione durante il salto La flessibilitagrave dellrsquoasta (costante elastica dellrsquoasta) egrave legata allrsquoenergia che si puograve immagazzinare in una data deformazione Infatti con aste rigide (alluminio acciaio bambugrave) il salto era piugrave basso Con fibra di vetro il record egrave stato polverizzato

Fig 34

Fig 35

Fig 36

Osserviamo che il teorema dellrsquoenergia cinetica ha validitagrave generale qualunque siano le forze che agiscono conservative o non conservative (le forze non conservative si dicono anche ldquodissipativerdquo)

KLL

KL

fncfc

tot

∆=+∆=

e ricordando che darr Lfc = - )( fcW∆

Si ottiene che K∆ + )( fcW∆ = Lfnc

Si vede che nel caso in cui Lfnc sia nullo cioegrave quando non ci sono forze dissipative la somma delle variazioni di energia cinetica e energia potenziale egrave uguale a zero cioegrave lrsquoenergia totale meccanica (somma dellrsquoenergia cinetica e potenziale) egrave costante E questo corrisponde al teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica Nel caso ci siano forze dissipative la somma delle energie non egrave costante quindi al contrario del teorema dellrsquoenergia cinetica il teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica non ha validitagrave generale (vale solo in assenza di attriti ad esempio) Le forze non conservative di attrito compiono lavori solo negativi e fanno perdere quantitagrave di energia non recuperabile Parte di questa energia va in generale in calore quindi se ne puograve tenere conto considerando unrsquoaltra forma di energia lrsquoenergia termica ( ci sono anche altri fenomeni dissipativi ad esempio le deformazioni permanenti negli urti o la propagazione di onde sonore)

Lrsquo energia puograve dunque conservarsi o trasferirsi proprietagrave caratterizzanti dellrsquoenergia Il lavoro rende conto del trasferimento di energia della perdita di energia sotto una forma e del guadagno sotto unrsquoaltra forma (cioegrave energia conservativa) o del passaggio dellrsquoenergia da un sistema ad un altro Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica quando egrave applicabile puograve essere sfruttato per risolvere facilmente problemi altrimenti complicati Esercizio Una palla da tennis viene lanciata con velocitagrave iniziale v0 (senza effetti strani taglio etc) al di lagrave della rete Con quale velocitagrave arriva a terra

Se durante il moto Etot si conserva K+W = cost

Fig 37 e W = mgh egrave solo energia potenziale gravitazionale h = 0 alla fine come allrsquoinizio dunque K in = Kfin e vfin = v0 Se la palla egrave lanciata verso lrsquoalto non crsquoegrave componente orizzontale della velocitagrave ma solo verticale al punto piugrave alto di arresto h K(h) = 0 W(h) = max = Kin cioegrave mgh = frac12 mv0

2 si puograve cosigrave calcolare facilmente lrsquoaltezza massima raggiunta h = (frac12 v0

2)g e vicenversa si puograve calcolare il valore della velocitagrave v0 che bisogna imprimere alla palla affinchegrave raggiunga lrsquoaltezza h

v0 = gh2

Esercizio Una saltatrice di massa M = 61Kg salta da un ponte di altezza H = 45m agganciata ad una corda elastica La lunghezza di riposo della corda elastica egrave L = 25m e la sua costante elastica egrave k = 160 Nm Nel punto piugrave basso si arresta prima di venire rimbalzata in alto Qualrsquo egrave lquesta quota piugrave bassa h (a cui si trovano i suoi piedi ai quali egrave legato lrsquoelastico)

Fig 38 Etot = Wgrav + Wel + K = cost sono solo forze conservative vale la conservazione

dellrsquoenergia Nel punto A K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di lanciarsi Wel = 0 percheacute lrsquoelastico non egrave ancora svolto Wgrav = MgH Nel punto B K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di rimbalzare

Wel = frac12 kd2 Wgrav = Mgh = Mg(H-(L+d)) Etot(A) = Etot (B) MgH + 0 + 0 = Mg (H-(L+d)) + frac12 kd2 + 0 MgH = MgH ndash MgL ndash Mgd +frac12 kd2

2

1(160)d2 ndash (61)(98)d ndash (61)(98)(25) = 0

equazione di IIdeg grado che dagrave per d il valore accettabile d = 179m (lrsquoaltro egrave negativo e non egrave accettabile perchegrave non ha senso fisico la

saltatrice va in giugrave non in su) Allora h = H-(L+d) = 45 ndash (25+179) = 45 ndash 429 = 21m quindi con la testa poco sopra lrsquoacqua Sistemi di punti materiali e corpi rigidi ndash Centro di Massa

Un giocoliere o un ginnasta che lancia la clavette fa compiere allrsquoattrezzo movimenti complicati tuttavia crsquoegrave un punto dellrsquoattrezzo che si muove seguendo una traiettoria semplice come quella di un punto materiale ad esempio lanciato segue una traiettoria parabolica Tale punto si chiama centro di massa dellrsquooggetto Il centro di massa puograve essere definito per un oggetto o per un insieme di punti materiali Ersquo importante percheacute in generale il moto di un corpo esteso (o di un insieme di punti) si puograve studiare separando il moto del centro di massa (moto traslatorio) e il moto del corpo attorno al centro di massa (moto rotatorio)

Centro di Massa (CDM) di un sistema di punti - Consideriamo il caso semplice di due punti materiali di massa m1 m2 posti sullrsquoasse x in

posizione x1 x2

Fig 39

la posizione del centro di massa egrave definita xCDM = 21

2211

mm

xmxm

++

a) xCDM egrave compreso fra x1 e x2 b) se m1 = m2 CDM egrave a metagrave strada fra m1 ed m2 c) xCDM egrave piugrave prossimo alla massa maggiore - Nel caso di piugrave punti allineati nelle posizioni xi detto M = summi allora

xCDM = ii xmMsum

1

- Nel caso di punti distribuiti nello spazio detti irrarr

i vettori che identificano le loro posizioni

CDMrrarr

= iii rmM

rarrsum

1

dove CDMrrarr

ha coordinate (xCDM yCDM zCDM) definite come

xCDM = ii xmsumη1

yCDM = ii ymMsum

1

zCDM = ii zmMsum

1

- Consideriamo un oggetto qualsiasi questo egrave composto da un gran numero di particelle ma conviene considerarlo come un continuo di materia e per calcolare il centro di massa si prendono in considerazione degli elementi infinitesimi di massa dm centrati intorno alle posizioni (xyz) allora

xCDM = int xdmM

1 yCDM = int ydm

M

1 zCDM = int zdm

M

1

se si puograve considerare il corpo omogeneo (densitagrave uniforme) allora V

M

dv

dm = e allora si puograve fare il

calcolo considerando il volume V e gli elementi di volume dv anzichegrave la massa e gli elementi di massa

xCDM = int xdvV

1 etc

In un oggetto solido (corpo rigido) i diversi punti materiali che lo compongono non cambiano la loro posizione relativa (non come un corpo elastico) - se un oggetto ha un elemento di simmetria un asse od un piano il CDM si trova su tale

elemento di simmetria (asse per cono centro per sfera piano per una banana etc) Non egrave detto che il CDM di un oggetto appartenga allrsquooggetto vedi uno pneumatico un cerchio Il CDM egrave esterno alloggetto Legge fondamentale della dinamica per un sistema di punti materiali Caso della palla da bigliardo urto fra due palle dopo il lancio di una le due si muovono 1) una egrave ferma (B) lrsquoaltra la lancio (A) 2) le due si urtano in qualunque modo 3) le due si muovono secondo traiettorie differenti una possibilmente andragrave in buca lrsquoaltra no Dopo il lancio sulla palla A non agisce piugrave nessuna forza quindi la sua velocitagrave v egrave costante Va bene ma dopo lrsquourto Il CDM delle due palle continua a muoversi con velocitagrave costante anche se il centro di massa egrave un punto teorico che non appartiene a nessuna delle due palle Tuttavia al CDM possiamo assegnare una massa (M totale del sistema) una velocitagrave ed una accellerazione Si ha

)(CDMext aMFrarrrarr

=sum

a) extFrarr

sum egrave la somma di tutte le forze esterne che agiscono sul sistema non quelle interne (ad esempio nel caso del bigliardo non devo considerare le forze che si applicano fra le due palle quando si urtano)

b) M egrave la massa totale del sistema Si suppone che durante il moto M rimanga costante

c) )(CDMararr

egrave lrsquoaccelerazione del CDM Dellrsquoaccellerazione di un altro punto ad esempio del centro della palla A non si dice nulla

Cosideriamo alcuni esempi 1) Bigliardo tvaF CDMCDMext cos00 ===sum prima dellrsquourto nellrsquourto si verificano solo forze

interne Quindi tvaF CDMCDMext cos00 ===sum dopo lrsquourto e durante tutto il moto

2) Sistema terra-luna sumFext = gravitazione del sole aCDM egrave ldquocentripetardquo accellerazione di una

forza che egrave diretta verso il sole (forza ldquocentralerdquo) egrave il CDM terra-luna che segue la traiettoria dovuta allrsquoattrazione gravitazionale del sole poi terra e luna si muovono intorno al loro CDM

3) Clavette lanciate sum Fext = Mg aCDM = g il centro di massa si comporta come un punto materiale nel lancio

4) La ballerina nel ldquogrand-fetegraverdquo fa seguire a testa e busto una traiettoria rettilinea percheacute modifica lrsquoassetto in modo da alzare il suo CDM Nel corso del salto (alza le braccia e distende

orizzontalmente le gambe non appena lasciato il suolo) il suo CDM segue la traiettoria parabolica del lancio di un corpo soggetto allrsquoaccelerazione di gravitagrave g

Quantitagrave di moto rarrP

- Si definisce quantitagrave di moto di una particella il vettore

rarrrarr= vmP

con m massa della particella e rarrv la sua velocitagrave

Si vede che rarrP egrave diretto come

rarrv

Newton scrisse la legge fondamentale della dinamica in termini di quantitagrave di moto (a differenza di Galileo che la scrisse in termini di massa e di accelerazione) ldquola rapiditagrave di variazione della quantitagrave di moto di una particella egrave proporzionale alla forza netta che agisce sulla particella ed egrave nella direzione di quella forzardquo cioegrave

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

che egrave piugrave generale della formulazione di Galileo perchegrave descrive bene anche il caso in cui variasse la massa del corpo durante il moto (ad esempio un vettore spaziale) Se la massa egrave costante le due formulazioni sono identiche

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

= t

vm

∆∆

rarr)(

= m t

v

∆∆

rarr

= m rarra

Ricordiamo che rarrF egrave diretto come

rarra (o la risultante

rarrR = sum

rarrF )

Per un sistema di punti materiali si definisce la quantitagrave di moto totale

rarrP =

rarrP 1 +

rarrP 2 + helliphellip+

rarrP n =

m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +helliphelliphellip+ mn

rarrv n = M

rarrv CDM (si puograve dimostrare) dove M egrave la massa totale

[essendo infatti Mrarrv CDM =

dt

d(M

rarrr CDM) =

dt

d(m1

rarrr 1 + m2

rarrr 2 +hellip) = m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +

hellip]

quindi rarrP = M

rarrv CDM per un sistema di particelle e

dt

Pdrarr

= M dt

d rarrv CDM = M

rarra CDM = sum

rarrF ext

Conservazione delle quantitagrave di moto

Per un sistema chiuso (M non varia) e isolato (sumrarrF ext = 0)

Allora

t

P

∆∆

rarr

= 0 rarrP = cost

rarrP i =

rarrP f

che sono tre modi equivalenti per dire che la quantitagrave di moto si conserva Vale per un sistema nel quale non agisca nessuna forza esterna netta Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica e la conservazione delle quantitagrave di moto sono due concetti fisici importantissimi Valgono sia per le palle da bigliardo che per qualunque altro sistema anche le galassie nellrsquouniverso Queste equazioni sono vettoriali Ciograve significa che rappresentano una terna di equazioni scalari ognuna valida sul proprio asse del sistema di riferimento (x y z)

Puograve accadere a seconda delle forze che agiscono nel sistema che la quantitagrave di moto si conservi in una direzione o in due e non in tutte e tre

Ad esempio se consideriamo una palla come un insieme di punti materiali la rarrF ext che agisce nel

sistema egrave mrarrg diretta lungo z senza componenti su x e y quindi

rarrP varia lungo z ma

non su x e y

Percheacute ldquocomplicarci la vitardquo con questa storia del CDM del sistema di particelle etchellip non bastava il moto del punto rappresentativo materiale Avevamo giagrave considerato il punto rappresentativo e avevamo svolto anche problemi sulla palla sul bilanciere e per altri oggetti Abbiamo sempre sbagliato La questione egrave se un corpo egrave rigido cioegrave se tutti i suoi punti si muovono mantenendo le loro distanze relative non crsquoegrave problema abbiamo solo visto che il punto materiale rappresentativo si chiama CDM ed abbiamo imparato a situarlo allrsquointerno del corpo Ma se il corpo non egrave rigido cioegrave se il suo CDM si sposta rispetto a lui stesso nel corso del moto la disposizione del corpo intorno al punto rappresentativo varia nel corso del tempo e le leggi di conservazione valgono per il CDM - Consideriamo ad esempio il teorema dellrsquoenergia cinetica che per un punto materiale si scrive Ltot = Kfin-K in = ∆ K (qui ovviamente non crsquoegrave da specificare lavoro delle forzeldquoesternerdquo percheacute essendo in un punto materiale che si assume infinitamente piccolo non ci sono forze ldquointernerdquo) Per analogia il teorema dellrsquoenergia cinetica si estende al caso di un insieme di punti materiali nel seguente modo

Ltot forze ext=rarrF extmiddot

rarrs CDM = ∆ KCDM

Dove s CDM egrave lo spostamento del centro di massa A titolo di esempio risolviamo il problema un giocatore di hockey su ghiaccio di massa M = 110Kg si muove verso la balaustra a bordo campo alla velocitagrave di 3msec Nellrsquoarrestarsi flettendo le braccia il suo CDM si sposta in avanti di 30cm Qual egrave la ∆ K del suo CDM durante la manovra

∆ KCDM = infin CDMCDM mvmv 22

2

1

2

1 minus =

= 0 - 2

1110 32 = -495 J

Fig 40

Sia L il lavoro delle forze esternerarrF ext (dirette come d

rarrx CDM ) allora

L = - Fext 03 = ∆ KCDM quindi

Fext =30

495

minusminus

= + 1650N

( si considera la forza esterna rarrF ext costante nellrsquointervallo dellrsquoarresto fatto che equivale a dire

che il giocatore si arresta con rarra CDM costante)

Dinamica e statica del corpo esteso Finora abbiamo sempre discusso del moto di un punto materiale (punto rappresentativo dicevamo sempre) In particolare abbiamo sempre applicato le forze a quel punto materiale quindi se diverse forze erano applicate esse concorrevano in quel punto ligrave e con le forze concorrenti sapevamo come calcolare la risultante con il metodo grafico o con quello numerico delle coordinate cartesiane Una volta calcolata la risultante applicata al punto si otteneva un moto di pura traslazione del punto (al massimo traslava lungo una traiettoria curva) senza rotazioni proprie del punto che non hanno neanche senso un punto che ruota su se stesso Come faccio ad accorgermi Un punto per definizione egrave infinitamente piccolo (Dicevamo infine che il punto egrave in equilibrio

traslazionale se la risultante rarrR delle forze applicate egrave nullo)

Consideriamo invece un corpo esteso Prima osservazione questo ha piugrave punti (direi infin ) a

cui la forza puograve essere applicata Prendiamo una racchetta da tennis ed una forza rarrF applicata il

moto che ne risulta dipende dal punto al quale viene applicata la forza rarrF

qui la racchetta trasla

Fig 41

stessa forza qui la racchetta ruota

Fig 42

Seconda osservazione Crsquoegrave un caso in cui le forze non possono essere fatte concorrere in un punto ed egrave quando sono parallele ed hanno rette di applicazione distinte Chiaramente non abbiamo mai dovuto considerare questo caso per il punto materiale percheacute per un punto non possono mai passare due rette parallele Ma per il corpo esteso So benissimo che se sono ferma con la macchina in

panne e la sto spingendo applicando una forza rarrF 1 sono contenta se qualcuno si affianca a me ed

esercitando una forza rarrF 2 lungo una direzione parallela a quella della mia mi aiuta a spingere In

particolare mi viene spontaneo dire che se F1 = F2 allora spingeremo con una forza doppia Ci saragrave quindi un modo per sommare due forze non concorrenti in un punto ma parallele e saragrave Ftot = F1+ F2 La retta di applicazione di Ftot divide il segmento congiungente i punti di applicazione di F1 ed F2 in due segmenti inversamente proporzionali allrsquointensitagrave delle forze F1 e F2 Terza osservazione se F1 = - F2 sono uguali in intensitagrave ma di verso opposto sempre lungo due rette di applicazione parallele passanti per un corpo esteso cosa succede La loro somma Ftot risultante saragrave 0 ma io so che il corpo non sta fermo sotto lrsquoazione di tali due forze ma ruoteragrave Concludo che le nozioni che ho acquisito finora vanno riviste ed ampliate o corrette o specificate per i corpi estesi ed inoltre che mi mancano totalmente i mezzi per descrivere le rotazioni dei corpi estesi Occorrono nuovi concetti nuove quantitagrave la forza non basta Prendo lrsquoesempio piugrave semplice dellrsquoaltalena con due bambini in due bracci uno piugrave leggero uno piugrave pesante

Fig 43 Qualitativamente so che percheacute lrsquoaltalena stia in equilibrio e non ruoti intorno al punto fisso non egrave necessario che i due bambini abbiano lo stesso peso (ugual massa) occorre che il bambino piugrave leggero sieda piugrave lontano rispetto al punto fisso (fulcro) La regola quantitativa dice che lrsquoaltalena egrave in equilibrio se il prodotto del peso per la distanza del fulcro egrave uguale PB dB = Pb

db Per generalizzare questa regola ai casi piugrave complessi occorre definire una nuova quantitagrave il momento di una forza Momento di una forza

Consideriamo una forza rarrF applicata ad un punto P ed un punto O Sia

rarrr

il vettore rarrOP allora il momento

rarrM di

rarrF rispetto ad O egrave

rarrM =

rarrr x

rarrF

e

|rarrr | middot |

rarrF | sin ϑ = |

rarrM |

Fig 44

oppure anche considerando la componente di rarrF perpendicolare ad

rarrr o di

rarrr

perpendicolare a rarrF r e rispetto a F

|rarrM | = |

rarrr | |

rarrF perp | |

rarrM | = |

rarrr perp| |

rarrF |

In generale si dice che il modulo del momento |rarrM | egrave il prodotto delle intensitagrave della forza per la

distanza dal punto della retta di applicazione della forza

Come vettore rarrM egrave perpendicolare al piano che contiene

rarrF ed

rarrr ed ha verso calcolato con la

regola della mano destra (con rarrr che si chiude su

rarrF )

La distanza rperp si chiama braccio della forza Si vede che il momento egrave nullo quando il braccio egrave nullo cioegrave quando il punto O si trova sulla retta di applicazione di F Il momento della forza peso P egrave nullo rispetto al baricentro che coincide con il centro di massa nel caso (praticamenteldquosemprerdquo) in cui il corpo non sia abbastanza esteso percheacute diversi punti del corpo risentano di una forza gravitazione differente Praticamente si deve parlare di galassie percheacute CDM e baricentro (BC) non coincidono Quindi la condizione del momento nullo della forza peso diventa un modo per definire il CDM come quel punto rispetto al quale la forza peso P ha momento nullo Per un corpo ldquoarticolatordquo estendiamo il concetto di forza normale come forza di contatto nellrsquoarticolazione utile cioegrave la forza che lrsquoarticolazione che si sta considerando esercita su quello che nellrsquoarticolazione si appoggia La forza peso P di un corpo esteso puograve immaginarsi applicata al CDM Principio di equilibrio di un corpo esteso

se su un corpo esteso agiscono solo rarr

Peso e rarr

Normale cioegrave se un corpo egrave appoggiato ad un piano orizzontale allora il corpo egrave in equilibrio se e solo se il baricentro si trova sopra la superficie di appoggio

Fig 45

Finchegrave il baricentro egrave sopra il tavolo il libro non cade percheacute rarrP applicata a CDM puograve essere

controbilanciata da rarrN Se CDM si sposta in fuori

rarrN rimane nel tavolo e crsquoegrave momento non nullo

non equilibrato da rarrP che continua ad essere applicato nel CDM

Il baricentro di una persona in posizione eretta si trova nellrsquoarea delimitata dei suoi piedi 3cm davanti allrsquoarticolazione della caviglia

Fig 46 Quando la persona si piega in avanti il baricentro esce dal corpo e per mantenere lrsquoequilibrio egrave necessario che le anche si spingono indietro percheacute il baricentro cade di nuovo in quella posizione Notiamo che anche in posizione eretta essendo la forza peso e la forza di contatto non allineate (quei 3cm) (forza di contatto sullrsquoarticolazione della caviglia che regge il peso) occorre un momento correttivo che impedisca la rotazione in avanti mantenuto dal tendine di Achille che si lega alla caviglia Altro esempio di spostamento del baricentro egrave lrsquoatleta che assume una posizione ad L chi regge il peso egrave lrsquoarticolazione della spalla quindi il CDM si sposta sotto la spalla (giagrave era uscita dal corpo per via delle gambe distese in avanti) Nel camminare il baricentro continua a muoversi da sopra un piede a sopra un altro (quello appoggiato ovviamente) Si osservi lrsquoondeggiamento Per assurdo lrsquoancheggiare delle indossatrici serve a mantenere il baricentro il piugrave possibile fermo rispetto alla direzione media del moto (porre un piede esattamente davanti allrsquoaltro) rendendo piugrave facile muoversi anche con tacchi altissimi Al contrario lrsquoequilibrista che cammina sui trampoli sta fermo il meno possibile percheacute egrave stando fermo che il piccolo spostamento che fa uscire il baricentro (ALTO) dalla superficie drsquoappoggio puograve verificarsi facilmente preferisce il ldquonon ndash equilibriordquo o lrsquo rdquoequilibrio dinamicordquo dellrsquoondeggiare continuamente fra due posizioni di equilibrio

Ricordiamo che un equilibrio egrave detto stabile se quando una perturbazione lo altera spontaneamente il sistema lo ripristina Viceversa un equilibrio egrave instabile se la piugrave piccola perturbazione lo distrugge Lrsquoequilibrio egrave molto stabile se il baricentro egrave basso ed il corpo ha una grande area drsquoappoggio la posizione accucciata del giocatore di football americano dagrave grande stabilitagrave Ancor piugrave grande stabilitagrave si ha se il baricentro (CDM) si trova al di sotto della superficie drsquoappoggio Ersquo come se si fosse ldquoappesirdquo anzicheacute ldquoappoggiatirdquo alla superficie drsquoappoggio Proprio per questo motivo lrsquoequilibrista sul filo porta una lunga asta che spesso si flette agli estremi

Fig 47 Gli uccelli bipedi da 100000000 di anni hanno sviluppato questo adattamento per cui sono appesi alle anche mentre gli uomini bipedi da solo 1000000 di anni fanno fatica con il CDM dalla parte alta del corpo Ersquo un equilibrio instabile ldquosoprardquo le anche che le reggono (65 del peso del corpo) Modificazioni strutturali per reggere la posizione eretta 1) Colonna vertebrale rastremata (piugrave tozza in basso che in alto percheacute piugrave in basso vuol dire una

maggior forza di contatto) 2) Muscoli estensori della schiena 3) Gambe ed anche ingrossate 4) Ginocchio che blocca la gamba estesa Ciononostante si ha spesso il mal di schiena Se una forza ha momento non nullo rispetto ad un punto allora il corpo puograve ruotare intorno a quel punto sotto lrsquoazione di quella forza ldquoDiciamo che se sostengo il corpo per quel punto il corpo puograve ruotare intorno a quel puntordquo (Prendo in mano un foglio di carta per un estremo per esempio) La presenza di un momento non nullo egrave dunque la condizione che genera rotazione e viceversa Lrsquoassenza di un momento risultante egrave la condizione che genera lrsquoequilibrio rotazionale di un corpo esteso Quindi la condizione di equilibrio per un corpo esteso egrave

1) rarrR = 0 risultante delle forze applicate = 0 (equilibrio traslazionale)

2) rarrM = 0 momento risultante = 0 (equilibrio rotazionale)

Supponiamo di avere un corpo esteso al quale siano applicate delle forze che diano luogo ad un momento non nullo allora il corpo ruota Per equilibrarlo dovrograve applicare un altro momento tale che la loro somma sia nulla Questo egrave il principio di funzionamento delle leve LEVE

Una leva egrave un corpo esteso al quale sono applicate delle forze con un momento risultante rarrR

allora per portare il corpo in equilibrio applico un momento correttivo rarrP in modo che il momento

totale sia nullo Si dice in genere potenza (P) e resistenza (R) di una leva Le leve sono macchine semplici Servono per applicare forze in punti scomodi o in direzioni particolari Il fulcro egrave il punto nel quale la leva egrave incernierata Si definisce il guadagno meccanico di una leva

GM =

)(

)(rarr

rarr

PF

RF

cioegrave il rapporto fra la forza che genera il momento resistente e quella che genera il momento agente A seconda che GM sia gt

lt 0 una leva si dice che egrave vantaggiosa o svantaggiosa ma solo per quel che riguarda le forze percheacute per quel che riguarda i lavori non si ha neacute vantaggio neacute svantaggio Il lavoro esercitato dalla forza che dagrave la ldquopotenzardquo e quello esercitato dalla forza che dagrave la ldquoresistenzardquo sono sempre uguali Infatti forze e spostamenti sono inversamente proporzionali Le leve si dicono di I II o III specie a seconda se il fulcro si trovi I) in mezzo fra R e P (leva indifferente GM dipende da caso a caso) II) dalla parte di R (leva vantaggiosa il braccio di R egrave sempre minore del braccio di P basta

quindi una P minore per equilibrare una R maggiore) III) dalla parte di P (leva svantaggiosa) Classici esempi dei tre tipi di leve sono i remi (I) lo schiaccianoci (II) e la pinzetta per francobolli (III) Tuttavia vediamo degli esempi meno classici ma attinenti al campo della biologia e della medicina Criterio generale egrave che le leve vantaggiose consentono di essere molto potenti ma con brevi spostamenti mentre viceversa quelle svantaggiose fanno perdere in potenza ma consentono grandi spostamenti saragrave difficile vedere un cavallo che con le lunghe zampe si scava la tana drsquoaltronde una talpa scava bene la tana ma ha movimenti molto meno ampi che non le consentono di correre veloce come un cavallo (compromesso fra forza e velocitagrave del movimento) Se contiamo tutti i movimenti di rotazione che il corpo puograve compiere capiamo che siamo pieni di leve di ogni tipo Sono classici a) il capo fulcro (articolazione occipito-atlantoide) Fig 48 muscoli della nuca (Potenza) peso del capo (Resistenza) b)

muscolo bicipide (Potenza)

Fig 49 Peso dellrsquoavambraccio (Resistenza) Fulcro (articolazione del gomito) Questa leva permette grandi spostamenti Si vede che la forza operata dal muscolo bicipite egrave massima quando lrsquoavambraccio egrave orizzontale (la distanza dal fulcro egrave massima) ed egrave minima quando lrsquoavambraccio egrave verticale( con la distanza dal fulcro nulla) Attenzione - la colonna vertebrale egrave costituita da 24 vertebre separate da dischi di liquido Quando una

persona si piega la schiena egrave una leva con GM molto piccolo Quindi un piegamento completo per raccogliere un oggetto anche leggero produce una forza molto intensa sul disco lombosacrale che separa lrsquoultima vertebra dellrsquoosso sacro Se indebolito questo disco puograve rompersi o deformarsi comprimendo i nervi vicini e causando grande dolore Vediamo un modello che rende conto come mai questa forza egrave cosigrave grande

Fig 50

I muscoli della schiena esercitano T Con un angolo α = 12deg quando la schiena egrave piegata a 90deg

Peso della parte superiore del corpo (circa il 65 del peso totale)

Fulcro lombosacrale (il fulcro produce R) Essendo α piccolo la retta di azione Τ passa vicino al fulcro e dunque la distanza r che costituisce il suo braccio egrave molto piccola Al contrario il peso egrave perpendicolare alla colonna e il suo punto di applicazione egrave molto piugrave distante dal fulcro Τ deve essere molto grande per equilibrare il momento di P Dunque se T egrave grande anche la sua componente orizzontale egrave grande e di conseguenza anche R che costituisce la reazione dellrsquoosso sacro deve avere componente orizzontale molto grande per equilibrare Τ (uguale ed opposta alla componente orizzontale di Τ ) Facendo i conti si ottengono numeri grandi per 75Kg di peso T ed R sono equivalenti al peso di una massa di 220Kg Senza sollevare pesi solo piegandosi Conviene piegare le ginocchia quando si sollevano pesi - Nel corpo egrave difficile che il peso cada sulla verticale dellrsquoarticolazione che lo sostiene egrave sempre

un porsquo spostato e crsquoegrave un tendine con un muscolo che compensa il momento del peso - La contrazione muscolare egrave una successione di brevi contrazioni delle fibre muscolari stimolate

da impulsi che provengono dal sistema nervoso Contrazioni sono molto ravvicinate e avvengono in tempi differenti nelle diverse parti del muscolo cosigrave che il risultato apparente egrave una lenta e progressiva contrazione Se la frequenza degli impulsi aumenta la tensione cresce finchegrave si raggiunge la tensione massima (ricordare la tensione di un cavo) Un ulteriore aumento della frequenza degli impulsi a questo punto non causa ulteriore aumento della tensione

La tensione massima egrave proporzionale allrsquoarea della sezione trasversa del muscolo nel suo punto piugrave largo La tensione massima dipende anche dalla lunghezza del muscolo che varia Si ottiene tensione massima quando il muscolo egrave solo di poco allungato rispetto alla sua lunghezza di riposo di riposo ed egrave circa 30-40 Ncm2 La tensione massima si riduce moltissimo se il muscolo egrave molto allungato o accorciato Dinamica Rotatoria Fino ad ora abbiamo studiato moti traslatori ma il moto di un corpo rigido egrave in generale roto-traslatorio Naturalmente dobbiamo ridurre il problema complesso ad uno piugrave semplice e per fare ciograve immaginiamo di posizionarci su un sistema di riferimento solidale al corpo rigido i moto immaginiamo cioegrave di ldquosedercirdquo sul corpo rigido In questo modo non saremo piugrave sensibili al moto traslatorio e guardando il corpo rigido osserveremo solo le sue rotazioni Trattiamo allora il moto generico scomponendo la parte traslatoria (giagrave discussa ) da quella rotatoria Se si trascura la parte traslatoria del moto di un corpo rigido quello che rimane da trattare egrave la sua rotazione Nel nostro corso consideriamo le rotazioni che avvengono su un piano le rotazioni nello spazio potranno essere trattate come composizione di rotazioni su un piano Per le rotazioni su un piano si identifica un asse di rotazione perpendicolare al piano di rotazione e passante per il centro di rotazione Le articolazioni del gomito e del ginocchio sono articolazioni libere di ruotare intorno ad un asse a differenza ad esempio di quella della spalla che puograve ruotare intorno a due assi Si definisce spostamento angolare la variazione di una posizione che egrave definita in modo completo da una misura di angolo Una rotazione di un intero corpo rigido egrave definita in modo completo da uno spostamento angolare θfin - θin= ∆θ e si misura in radianti

Fig 51 Dobbiamo definire anche un verso di rotazione θ si incrementa per rotazioni antiorarie positive le rotazioni in senso orario sono invece negative La velocitagrave angolare si definisce analogamente alla velocitagrave lineare come il rapporto tra lo spostamento angolare e il tempo t impiegato per eseguire tale rotazione

ωm = t∆

∆θ e si misura in rad s

θin

θfin ∆θ

R

S

Anche per w si definisce ωist = lim ∆trarr0 t∆

∆θ

Ancora lrsquoaccelerazione angolare si definisce αm = t∆

∆ω e αist = lim ∆trarr0

t∆∆ω

Anche la legge fondamentale della dinamica ha un analogo nel ambito dei moti rotatori Si stabilisce che se ad un corpo rigido egrave soggetto ad un momento torcente diverso da zero esso subisce unrsquoaccelerazione angolare ad esso proporzionale Nel caso delle rotazioni la resistenza al moto egrave espressa dal momento di inerzia I associato al corpo rigido che gioca il ruolo della massa nei moti traslatori La legge della dinamica delle rotazioni egrave M = I middotα

E sostituendo M = Imiddott∆

∆ω= Imiddot

tinfin

∆minusωω

Il momento di inerzia I di un corpo rigido dipende dalla disposizione della massa del corpo rispetto allrsquoasse di rotazione per una massa puntiforme m a distanza R dallrsquoasse di rotazione I= m R2 per un oggetto esteso sommerograve il momento drsquoinerzia delle sue parti I = Σi mi Ri

2 Se si definisce momento angolare L il prodotto del momento drsquoinerzia per la velocitagrave angolare

L=Iω la legge della dinamica diventa

M = t

LL infin

∆minus

Il momento angolare egrave la grandezza fisica che si conserva se non viene applicato momento torcente Tutti i gesti di volo salti lanci tuffihellip sono azioni nelle quali si conserva il momento angolare Infatti in volo agisce solo la forza di gravitagrave che essendo applicata al CDM non genera momento torcente Il corpo umano nei gesti di volo Il corpo umano non egrave rigido e pertanto in volo agendo con i muscoli possiamo cambiare la disposizione del nostro corpo intorno al centro di massa che in volo coincide col centro di rotazione In questo modo si ottiene una variazione del momento di inerzia I e di conseguenza la velocitagrave angolare deve compensare questa variazione in modo che si mantenga costante il momento angolare L (grandezza che si conserva in assenza di momento torcente) Ersquo questo il principio che spiega il realizzarsi delle trottole sul ghiaccio dei salti mortali tuffi con avvitamento e cosigrave via in posizione raccolta I diminuisce e ω aumenta Moto circolare e moto circolare uniforme Per utilizzare le relazioni della cinematica e della dinamica lineare che abbiamo studiato egrave interessante poter passare dalle variabili angolari alle variabili lineari velocitagrave e accelerazione delle

masse in moto rotatorio Se una massa si muove su una traiettoria curva la velocitagrave tangenziale vt diretta come la tangente alla traiettoria dipende dalla velocitagrave angolare ω ( ωm=ϑ t )e dal raggio di curvatura della traiettoria Se la traiettoria egrave una circonferenza di raggio R e se gli angoli sono espressi in radianti lrsquoarco percorso per uno spostamento angolare ϑ egrave S = ϑ sdotR e la velocitagrave lineare tangente vt = St= ϑ sdotRt risulta vt = ωsdotR Se la velocitagrave angolare ω egrave costante il moto egrave detto circolare uniforme La legge oraria egrave quella dei moti uniformi spostamenti angolari uguali in tempi uguali ϑ(t) = ω t Anche la velocitagrave tangente saragrave di intensitagrave costante se ω egrave costante (archi uguali per tempi uguali s(t) = vt (t) ) ma crsquoegrave una accelerazione normale infatti la velocitagrave anche se non cambia in modulo cambia continuamente di direzione Questa accelerazione si dice centripeta egrave diretta normalmente rispetto alla traiettoria verso il centro della circonferenza e vale in modulo

ac=R

v2

Fig 52 Essendo la velocitagrave tangente vt = ωR Lrsquo accelerazione centripeta si puograve scrivere

ac =R

v2

= ω2 R

Il tempo impiegato dal punto a muoversi sulla circonferenza egrave una costante (moto uniforme) T periodo in T viene percorso uno spazio 2π R

v = T

Rπ2

La frequenza f egrave invece il ndeg di giri al secondo

f =T

1

Se si prendono punti diversi sul raggio della circonferenza questi hanno la stessa velocitagrave angolare e velocitagrave tangenziali crescenti al crescere del raggio Esempio carosello dei pattinatori Esercizi

1- un velocista con una velocitagrave di 10 ms viaggia su una curva di raggio 25m ndash accelerazione

a = R

v2

= 25

100 = 4 ms2

2 ndash un velocista con v = 92 ms su una pista circolare con ac = 38 m s2 ndash Raggio della pista Tempo per percorrere un giro completo

a = R

v2

rArr R = a

v2

= 83

)29( 2

= 2227m

T =v

Rπ2 =

29

27222 lowastπ = 152 sec

Forza centripeta forza centrifuga Una forza centripeta egrave una forza di qualunque natura che trattiene un corpo in moto su una traiettoria curvilinea ad esempio circolare In assenza di tale forza il corpo proseguirebbe il suo moto lungo una traiettoria rettilinea Nel gesto del lancio del martello ad esempio il lanciatore che esercita sul peso in cima allrsquoattrezzo una forza mediata dalla tensione dal cavo che lo trattiene nella traiettoria circolare Quando il lanciatore lascia la maniglia il martello viene lanciato lungo la direzione della tangente alla traiettoria nellrsquoistante di rilascio Lrsquointensitagrave della forza centripeta necessaria a mantenere una massa m in moto con velocitagrave tangente v lungo una traiettoria circolare di raggio r si puograve calcolare a partire dallrsquoaccellerazione centripeta secondo la legge fondamentale della dinamica

|rarr

cF | = m | rarr

ca | = m r

v2

Tale forza egrave diretta come lrsquoaccelerazione centripeta e cioegrave verso il centro della circonferenza che costituisce la traiettoria La forza centripeta egrave dunque una forza reale Con lsquoforza centrifugarsquo invece non ci si riferisce ad un forza che agisce su un corpo ma alla situazione apparente cui sembra sottoposto un corpo in moto curvilineo Esso pare tirato o attirato lontano dal centro di rotazione pare ci sia una lsquoforzarsquo che vuole farlo sfuggire Quando viene lasciato il martello si allontana dal centro di rotazione percheacute si muove di moto rettilineo uniforme non essendo piugrave soggetto a forze altre che la forza peso Lrsquoacqua esce dal cestello della lavatrice quando il cestello ruota velocemente (funzione centrifuga) percheacute lrsquoacqua che non costituisce un corpo solo con il cestello bucato non egrave soggetta alla forza centripeta e puograve passare attraverso i buchi I panni invece pure non parte del cestello sono troppo grandi per passare dai buchi si possono solo schiacciare contro le pareti questo schiacciamento sembra il risultato di una forza ma egrave invece il risultato dellrsquoassenza di una forza quella centripeta Una volta lagrave contro il cestello fanno tuttrsquouno con le pareti di metallo che esercitano su di essi la forza centripeta (cioegrave con direzione verso lrsquoasse di rotazione) che li mantiene in rotazione Le parti di un corpo rigido esteso che si muove di moto rotatorio rispetto ad un asse quale ad esempio la gamba di un giocatore di calcio che calcia un pallone sono soggette alla forza centripeta che le mantiene sulla traiettoria curva Tale forza viene trasmessa alle varie parti tramite le forze di tensione che si sviluppano allrsquointerno del corpo stesso ad esempio il piede egrave soggetto alla forza centrifuga tramite lrsquoazione dei legamenti e tendini a livello della caviglia che vengono messi in tensione per trattenere il piede stesso

3 ndash Cestista

Fig15 Quale velocitagrave iniziale v0 deve avere la palla affinchegrave il cestista possa fare canestro se lrsquoalzo iniziale egrave di 55deg rispetto allrsquoorizzontale (le varie distanze sono indicate in Figura) Definisco sistema di assi cartesiano con origine nel centro della palla e assi paralleli agli assi originari In questo sistema di riferimento la posizione del canestro egrave xc = 42 ndash 03 = 39m yc = 3 ndash 21 = 09m Lrsquo equazione della traiettoria egrave

y = x tgϑ 0 - 200 )cos(2 ϑv

g x2

Introduco nellrsquoequazione i valori di yc xc tg 55deg = 1428 e ricavo il valore dellrsquounica incognita v0

09 = 39 x 1428 - 2

0 )5740(2

89

xv x (39)2

09 = 5569 - 2

0 )5740(

5374

xv

(09 ndash 5569) (v0 x 0574)2 = -7453

v0 = 6694

5374

5740

1 = 696msec

Forze e moto Quando un oggetto cambia il suo stato di moto (da fermo si muove o si ferma se si stava muovendo accelera o frena o curva) per esperienza sappiamo che egrave avvenuta unrsquointerazione dellrsquooggetto con un altro corpo dellrsquoambiente circostante al contatto o a distanza Il concetto di interazione prevede sempre la presenza di due corpi unrsquointerazione viene scambiata tra due corpi A questa interazione associamo il concetto di forza Questa associazione non egrave solo qualitativa ma viene quantificata tramite una legge che collega forze e cambiamenti dello stato di moto dei corpi rendendo la forza una grandezza derivata nel sistema SI Ciograve avviene introducendo una grandezza fisica fondamentale chiamata massa (m) che egrave caratteristica di ogni corpo materiale e che esprime lrsquoinerzia al moto propria del corpo quando viene sottoposto alla sollecitazione di una forza Diciamo che due corpi hanno masse diverse se assumono accelerazioni diverse quando sottoposte allrsquoazione della medesima forza Questa massa si dice anche inerziale Si misura in kilogrammi (kg) ed egrave una grandezza scalare positiva

La teoria del moto egrave riassunta dalle tre leggi formulate da Isaac Newton fondate sulle basi del genio di Galileo Galilei Prima legge del moto Ogni corpo rimane nel suo stato di quiete o mantiene il suo stato di moto a velocitagrave costante se nessuna forza agisce su di esso o se la risultante delle forze ad esso applicate egrave nulla Questa proprietagrave del moto egrave detta anche ldquoprincipio di inerziardquo o ldquoprimo principio della dinamicardquo Velocitagrave costante significa che il vettore velocitagrave egrave costante cioegrave non variano modulo direzione e verso Quindi lrsquounico moto possibile in assenza di forze applicate egrave quello rettilineo uniforme (Tale legge non puograve essere verificata se si prende in considerazione un sistema di riferimento che si muove di moto accelerato Per esempio se utilizzo un sistema di riferimento solidale con lrsquoabitacolo di unrsquoautomobile o di un aereo che stanno accelerando o frenando i corpi possono scivolare lrsquoacqua contenuta in un bicchiere vi si puograve rovesciare addosso come soggetta ad una forza In realtagrave ciograve avviene proprio perchegrave questi corpi tendono a mantenere il loro stato di moto e lsquodisubbidisconorsquo alla variazione di velocitagrave che ciograve che egrave solidale col sistema di riferimento sta subendo I sistemi di riferimento nei quali si verifica la prima legge della dinamica si chiamano sistemi di riferimento inerziali e sono da essa implicitamente definiti) Seconda legge del moto Questa legge formulata inizialmente da Galileo e poi riproposta da Newton egrave detta anche ldquolegge fondamentale della dinamicardquo

rarrF = m

rarra

La forza rarrF egrave un vettore dato dal prodotto del vettore accelerazione

rarra per uno scalare m ed egrave

diretto come rarra Questa legge come si vede egrave una legge vettoriale Se piugrave forze agiscono sul

corpo di massa m la legge vale per il ldquovettore risultanterdquo che egrave la somma vettoriale di tutte le forze che agiscono sul corpo Lrsquoaccelerazione egrave diretta come il vettore risultante delle forze

Si possono definire le componenti di rarrF lungo gli assi del sistema di riferimento e la legge del

moto vale componente per componente Fx = max Fy = may Fz = maz

Lrsquounitagrave di misura della forza egrave il newton (N) 1N = 1Kg m s2

E la relazione dimensionale egrave[ ]N = [ ]2minusmlt Se la forza (o la risultante delle forze) applicata al corpo egrave nulla egrave anche nulla lrsquoaccelerazione e visto che lrsquoaccelerazione egrave definita come la variazione della velocitagrave divisa per il tempo la variazione della velocitagrave saragrave anchrsquoessa nulla Ciograve significa che la velocitagrave si mantiene costante Quindi in assenza di forze applicate il corpo rimane fermo se inizialmente era fermo e continua a muoversi con velocitagrave costante se inizialmente si muoveva come giagrave affermato dalla prima legge Terza legge del moto Dal concetto di forza che esprime lrsquointerazione tra i corpi deriva anche quello che viene comunemente detto ldquoil principio di azione e reazionerdquo o ldquoterzo principio della dinamicardquo ad ogni azione corrisponde sempre una reazione uguale e contraria cioegrave se due corpi A e B interagiscono in

modo che il corpo A eserciti una forza rarrF sul corpo B allora il corpo B esercita sul corpo A una

forza rarr

F = - rarrF Si noti che le due forze NON sono applicate allo stesso corpo

rarrF agisce su

B e rarr

F agisce su A Lrsquoapplicazione di questo principio egrave molto importante quando si considerano le forze che si realizzano al contatto tra due corpi e in particolare per le forze applicate da muscoli tendini legamenti e ossa del corpo umano Forze particolari Forza gravitazionale Newton nel descrivere il moto dei corpi celesti ha stabilito la presenza di una forza di interazione a distanza tra due corpi che chiamiamo forza di gravitagrave e ha fornito lrsquoespressione che la governa

FG = -G 2

21

R

mm GG ( legge di attrazione universale)

dove mG 1 e mG 2 sono le masse gravitazionali dei due corpi R egrave la distanza tra le due masse (considerate puntiformi) e G egrave una costante numerica che vale 667 x 10-11 Nm2kg2 1 Nm2kg2 egrave anche 1m3kg s2 Il segno meno sta a indicare che la forza egrave attrattiva La forza gravitazionale viene rappresentata con un vettore il cui modulo egrave dato dalla legge di Newton e che ha la direzione della congiungente i centri di massa delle due masse La forza di attrazione lsquosentitarsquo dalla massa mG 2 dovuta a mG 1 ha il verso che punta su mG 1 e contemporaneamente la forza di attrazione misurata dalla massa mG 1 dovuta a mG 2 ha il verso che punta su mG 2m (le due forze sono lrsquoazione e la reazione della terza legge della dinamica Perchegrave nellrsquoesperienza comune non si osserva che una matita attiri unrsquoaltra matita su un tavolo La forza attrattiva gravitazionale esiste fra di loro ma egrave molto piccola (la costante G egrave molto piccola) ed egrave contrastata completamente dalle forze di attrito (che discuteremo fra breve) La Terra su cui viviamo ha invece una massa molto grande M = 597 x 1024 kg e quindi puograve esercitare una forza piugrave che apprezzabile su altre masse anche se piccole come quella della matita (la matita cade dal tavolo) Chiamiamo forza peso la forza di gravitagrave FG esercitata dalla Terra su ogni corpo ad essa vicino e che origina dallrsquointerazione gravitazionale per la quale tutti i corpi si attirano fra di loro La forza peso viene spesso indicata con P che agisce su un corpo di massa mG vale

P = -G 2T

GGTerra

R

mM equiv - g mG con g equiv G

2T

GTerra

R

M

Dove MG Terra egrave la massa della Terra ed RT egrave il raggio della Terra (RT = 6370km) Il valore di g risulta

g = 667 x 10-11 2

3

kgs

m223

24

)106379(

10975

mx

kgx = 98 ms2 e ha le dimensioni di unrsquo accelerazione

La forza di attrazione gravitazionale alla quale una massa mG egrave soggetta vicino alla superficie di un altro pianeta egrave diversa Infatti la massa e il raggio degli altri pianeti sono diversi da quelli della Terra e quindi g assume un altro valore Si puograve dire che il peso di un corpo cambia sui diversi pianeti o sulla Luna mentre la massa gravitazionale egrave la grandezza fisica fondamentale propria di ogni corpo

Ersquo molto importante ora applicare la seconda legge della dinamica o legge fondamentale della dinamica F = m a ad un corpo soggetto alla sola forza peso sulla superficie della Terra cioegrave quando F egrave la forza peso P ora definita F = m a P = m a -g mG = m a Abbiamo voluto lasciare indicato il pedice G percheacute in principio non crsquoegrave ragione percheacute la grandezza con le dimensioni di una massa che compare nella legge di gravitazione sia uguale alla massa implicitamente definita dalla relazione di proporzionalitagrave tra la F applicata e lrsquoaccelerazione subita da un corpo data dalla seconda legge della dinamica Si egrave tuttavia dimostrato sperimentalmente che la massa gravitazionale mG (introdotta nella legge di attrazione universale e la massa m che si dice massa inerziale ed egrave definita tramite la seconda legge della dinamica sono uguali hanno lo stesso valore Questo permette di semplificare le due masse nellrsquoequazione e di ottenere -g = a che significa che lrsquoaccelerazione di una corpo soggetto alla forza peso sulla superficie della terra vale a = ndashg equiv -98 ms2 NB lrsquoaccelerazione vale 98 ms2 per tutti i corpi di qualsiasi massa Infatti sui corpi con massa maggiore vengono esercitate forze maggiori in modo proporzionale alla loro massa (corpi con massa maggiore lsquopesano di piugraversquo) cosigrave da produrre sempre la stessa accelerazione Si egrave soliti assumere che g sia costante e che non dipenda dalla quota h alla quale ci si trovi al di sopra della superficie terrestre Questa egrave unrsquoapprossimazione molto buona nei limiti in cui hltlt RT Infatti g diminuisce con la quota per esempio se h = 8000m (circa sul monte Everest) lrsquoaccelerazione di gravitagrave g si riduce a

2

2

)6378000(

)6370000( x g = 099749 x g = 97754 m s2 (meno del 25 per mille)

Forze di superficie Forze di contatto Alla superficie di contatto tra due corpi si realizzano le forze che chiamiamo appunto di superficie e che si dividono in forze di contatto e forze di attrito Le forze di contatto

La forza normalerarr

NF egrave la forza che un corpo sperimenta quando egrave appoggiato su di una superficie

Si chiama normale percheacute egrave sempre diretta perpendicolarmente alla superficie Se la superficie egrave orizzontale Fig16

Fc

FN

Piano orizzontale Calcolare lrsquointensitagrave della forza normale applicata ad un oggetto di massa m fermo su un tavolo orizzontale Per il primo principio della dinamica (principio di inerzia) se un corpo e fermo la risultante delle forze ad esso applicate egrave nulla cioegrave

rarrP +

rarr

NF = 0

In questo caso la forza normale rarr

NF egrave un vettore che ha lo stesso modulo e la stessa direzione del

vettore forza pesorarrP ma ha verso opposto Quindi il modulo di

rarr

NF vale |rarr

NF | = mg

Piano inclinato

Nel caso di un piano inclinato dovrograve tenere conto che rarr

NF puograve compensare solo la parte di rarrP

diretta normalmente al piano (infatti se non crsquoegrave attrito il corpo scivola lungo il piano inclinato) Se ϑ egrave lrsquoangolo che il piano inclinato forma con lrsquoorizzontale il piano inclinato fornisce al corpo una

forza normale che in modulo vale | rarr

NF | = m g cosϑ

Fig 17 4 ndash Salto con molleggio Un uomo con massa m = 70kg salta da unrsquoaltezza L = 2m Arrivando al suolo molleggia sulle ginocchia per un tratto l = 02 m Si calcoli la forza di reazione che il suolo esercita sui piedi durante il molleggio Si consideri il molleggio come una frenata che avviene con accelerazione (negativa) costante Fig 18

F

FN

Cadendo da unrsquoaltezza L allrsquoistante in cui il piede tocca il suolo la velocitagrave Vs egrave data dalla risoluzione del sistema di equazioni cinematiche per il moto uniformemente accelerato con t0 il tempo di caduta Vs = gt0 L = frac12 gt0

2 Vs = (2gL) frac12 La forza di reazione che esercita il suolo sul piede durante il molleggio egrave quella che imprime lrsquoaccelerazione (negativa) a di frenata (piugrave il peso del corpo mg)Il corpo si ferma in un tratto l Questa frenata si tratta con le equazioni del moto uniformemente accelerato 0 = Vs ndash at l = Vs t ndash frac12 at2 (essendo t il tempo di frenata) dalla prima equazione t = Vs a che introdotto nella seconda equazione permette di calcolare a a = frac12 Vs

2l e con Vs = (2gL) frac12 si ottiene a = g (Ll) e quindi la forza di reazione Fr = mg + ma egrave data da Fr = mg (Ll + 1) = 70 x 98 x (202 + 1) N = 7546Newton Si noti che al peso si aggiunge una forza che egrave il peso moltiplicato per un fattore (ldquofattore di cadutardquo) dato dal rapporto tra lrsquoampiezza del salto e il tratto di molleggio Questa forza si trasmette dal piede allrsquoarticolazione delle ginocchia e cosigrave via Tensione

Quando una corda egrave attaccata ad un corpo e viene tirata si dice che la corda egrave sotto tensione

La tensione rarrT cui egrave sottoposta la corde in ogni sua parte egrave una forza pari alla forza che si applica

sia al corpo sia alla mano che lo tira ai due estremi della corda ed egrave sempre diretta lungo la corda Fig 19 Anche con una carrucola cioegrave con la corda che si curva intorno ad una rotella la tensione ha intensitagrave T lungo la corda Una corda egrave utile in questo caso per cambiare la direzione e il verso di applicazione di una forza la mano tira verso il basso ma la massa egrave sottoposta ad una forza verso lrsquoalto

Fig20 I tendini del corpo umano sono corde e vengono utilizzati anche per variare la direzione di applicazione delle forze esercitate dai muscoli Forza di attrito

Lrsquoattrito fa parte dellrsquoesperienza quotidiana nel bene e nel male Da una parte fa consumare piugrave benzina (20 per motore e trasmissione) ma anche la suola delle scarpe il battistrada delle gomme e i gomiti del maglione dallrsquoaltra consente il movimento i nodi tengono i chiodi fissano etc Un libro che scivola su un tavolo orizzontale si fermerebbe se non mantenessi una forza costante che contrasta lrsquoattrito su una superficie ruvida il movimento genera lui stesso una forza che decelera il moto Per mantenere in moto rettilineo uniforme un corpo che scivola sopra un piano bisogna applicare al corpo una forza che serva a neutralizzare questa forza ldquospontaneardquo(detta di attrito) in modo che la risultante delle forze applicate sia nulla Anche lrsquoinizio del moto egrave contrastato dalla forza di attrito (statico) che assume un valore uguale e contrario a quello della forza che applico fino a raggiungere un valore massimo (valore limite) Il corpo non si muove resiste al moto Oltre quel valore limite cioegrave se applico una forza sufficientemente intensa il corpo inizia a muoversi Situazione

Fig 21 Un blocco appoggiato sul piano orizzontale egrave fermo rarrP

verso il basso e rarr

NF verso lrsquoalto sono uguali in modulo

Se applico una forza rarrF per spostare il corpo verso destra insorge una forza di attrito statico

P

FN

il cui modulo vale |rarr

sattF _ | = smicro |

rarr

NF | ( smicro egrave il coefficiente di attrito statico il suo valore dipende

dalla natura dei materiali a contatto) esercitata orizzontalmente dal piano che uguaglia in

intensitagraverarrF ma di verso opposto in modo che il corpo non si muove Se aumento

rarrF aumenta

anche rarr

sattF _

Fig22 Diagramma delle forze applicate al blocco

Raggiunto un certo valore di rarrF il corpo ha uno ldquostrappordquo e comincia a muoversi nella direzione

di rarrF verso destra ostacolato dalla una forza di attrito dinamico

rarr

dattF _ generalmente inferiore al

valore max di rarr

sattF _ (egrave piugrave facile mantenere un corpo in moto che muoverlo da fermo)

(Il passaggio da un regime allrsquoaltro egrave allrsquoorigine degli stridii da attrito ndash quello ad esempio del gesso sulla lavagna - o anche del suono del violino) - Proprietagrave dellrsquoattrito riassunte

1 ndash Corpo fermo la forza di attrito statica rarr

sattF _e la componente di

rarrF parallela alla superficie

hanno uguale intensitagrave e si annullano 2 ndash limite di scivolamento la massima forza di attrito per due materiali posti a contatto egrave proporzionale alla forza normale tramite un coefficiente di attrito statico smicro

| rarr

sattF _(max)| = smicro |

rarr

NF |

smicro egrave un coefficiente adimensionale che assume valori diversi per diverse coppie di materiali

3 ndash il corpo inizia a muoversi il valore della forza di attrito decresce rapidamente fino a

|rarr

kattF _ | = kmicro |rarr

NF | proporzionale alla forza normale tramite un coefficiente di attrito dinamico kmicro

adimensionale e dipendente dalla coppia di materiali in considerazione

P

FN

F Fatt

Attenzione |rarr

sattF _| e

rarr

kattF _ | sono proporzionali non a |

rarrP | ma a |

rarr

NF | quindi nel caso di un

piano inclinato bisogna considerare la componente di rarrP perpendicolare al piano

rarr

NF equilibra

solo la parte di rarrP perpendicolare al piano

Attenzione le equazioni per |rarr

sattF _| e |

rarr

kattF _| non sono vettoriali le forze di attrito non sono

dirette come la forza normale rarr

NF ma parallele al piano

Durante una corsa allo scatto si usano i blocchi di partenza per sfruttare la reazione del blocco alla forza muscolare di spinta Data lrsquoinclinazione dei blocchi la forza di reazione del blocco sul atleta si massimizza nella direzione del moto

rArr si fa uso della ldquoazione-reazionerdquo Fig 23 Durante la corsa si sfrutta il coefficiente di attrito statico per mantenere un piede fermo a terra mentre lrsquoaltro avanza Per non superare il limite di scivolamento allrsquoindietro del piede di appoggio la forza che si esercita sul terreno deve avere una componente normale al terreno di intensitagrave opportunamente elevata In ogni caso se smicro egrave basso si ha lrsquoeffetto del camminare sul ghiaccio

Lrsquouso di scarpette chiodate non aumenta il valore di smicro che egrave il coefficiente drsquoattrito tra due

superfici ldquoliscerdquo piuttosto hanno una funzione simile a quella di mini blocchi di partenza permettono di esercitare una forza sul tartan lungo la direzione del moto cioegrave parallelamente alla pista Resistenza del mezzo Consideriamo un corpo che si muove in aria Esso incontra una resistenza da parte dellrsquoaria che agisce in modo da opporsi al movimento del corpo cioegrave ha la stessa direzione e verso opposto a quella del moto

rarrD forza di resistenza del mezzo o forza aerodinamica (detta anche forza viscosa) si

|rarrD | =

2

1 cρAv2 (limite di alte velocitagrave eo alte viscositagrave)

D egrave proporzionale al quadrato della velocitagrave (termine v2 ) Inoltre D egrave proporzionale ad A lrsquoarea efficace della sezione trasversa (lrsquoarea presentata dal corpo nella direzione del moto vedi la posizione a uovo dei discesisti di sci o dei ciclisti) ρ egrave la densitagrave del mezzo Ersquo intuitivo che la resistenza D dipenda dalla densitagrave del mezzo infatti il corpo per procedere deve ldquofarsi stradardquo spostando le molecole del mezzo Quindi piugrave il mezzo egrave rarefatto piugrave egrave facile ldquofarsi stradardquo e inferiore egrave la resistenza D Con c si indica il coefficiente di penetrazione (il cosiddetto cx che dipende dalla forma geometrica del corpo) La forma (oltre che

lrsquoarea efficace A) influenza la resistenza opposta dal mezzo percheacute una ottimizzazione della forma (affusolata migliorare il Cx) porta a ridurre la formazione di turbolenze nellrsquoaria intorno al corpo Casco dei ciclisti o discesisti con forma a punta posteriore

non riduce la sezione trasversa A ma piuttosto migliora il Cx

Fig 24 Nel nuoto lo sbattere i piedi serve soprattutto per mantenere il corpo orizzontale e quindi a ridurre la sezione A Il lavoro viene fatto per lo piugrave dalle braccia (75) In acqua anche se la velocitagrave v egrave bassa D egrave significativa percheacute la viscositagrave del mezzo egrave grande Per ridurre le turbolenze negli sport di velocitagrave diventa essenziale utilizzare accorgimenti quali nascondere dadi e cavi nelle biciclette togliere cerchietti delle racchette da sci Tagliare i capelli o rasarsi le gambe sono sempre modi di ridurre anche le piccole turbolenze Velocitagrave limite di caduta di un grave in aria

La forza rarrD di frenamento durante la caduta libera li un corpo in aria ha verso opposto a quello

della forza pesorarrP che accelera il corpo verso il basso Se

rarrP egrave costante il corpo accelera con

accelerazione rarrg ie aumenta la velocitagrave verso il basso ma aumentando v dunque v2 aumenta

D Ciograve prosegue fincheacute D diventa di intensitagrave uguale P con verso opposto rarrD = -

rarrP A questo

punto la risultante delle forze agenti sul corpo in caduta egrave nulla (sumrarrF =

rarrD + (-

rarrP ) e dalla

seconda legge (fondamentale) della dinamica si ha che lrsquoaccelerazione rarra del corpo egrave nulla

rArr Il corpo non accelera piugrave e mantiene velocitagrave costante massima La velocitagrave raggiunta detta velocitagrave limite vlim egrave tale da verificare lrsquouguaglianza

D = 2

1cρAv lim

2 = mg = P quindi rArr vlim = (2mg cρA) frac12

La vlim raggiunta dai paracadutisti puograve essere variata modificando A tramite dei cambiamenti dellrsquoassetto in volo Questo permette ai paracadutisti di raggiungersi per fare figure in aria Lrsquoapertura del paracadute fa aumentare di molto A rendendo la velocitagrave limite molto piugrave bassa Anche le gocce di pioggia raggiungono la velocitagrave limite (v asymp 7msec in 6m) nella loro caduta Ad esempio cadendo da 1200m le gocce di pioggia raggiungono la terra con la velocitagrave limite di circa 7msec e non con la velocitagrave di 150msec che avrebbero se non ci fosse lrsquoazione di frenamento D (dei veri proiettili)

Senza D rarr vfin = 150ms

Con D rarr vfin = vlim = 7ms Fig 25 Forza elastica La forza elastica egrave una forza non costante

L lunghezza di riposo della molla Fig 26 Una massa m egrave vincolata ad una parete con una molla Se tiro la massa la molla si estende diciamo di un tratto x La molla esercita una forza di richiamo proporzionale allrsquoallungamento x (piugrave si allunga maggiore egrave la forza F di richiamo) F = -kx ldquorichiamordquo cioegrave di verso opposto allrsquoallungamento Ecco la ragione del segno (-) Se raggiunta una certa estensione la molla viene rilasciata essa si ricomprimeragrave ritorneragrave alla lunghezza di riposo L poi si schiacceragrave di un tratto x dalla parte opposta e nuovamente agiragrave la forza di richiamo (che egrave variabile in quanto varia con il variare di x) La massa oscilla attorno alla posizione di riposo k egrave la costante elastica della molla Lrsquoespressione della forza elastica vale per i respingenti del treno (k grande) come per la molla della biro (k piccola) come per lrsquoelastico del saltatore dal ponte Impulso di una forza La legge fondamentale della dinamica F = ma puograve essere scritta esprimendo lrsquoaccelerazione con la sua relazione definitoria (vf - vi)t

F = mt

vv if minus e quindi portando il tempo t al primo membro

)( if vvmtF minussdot=sdot oppure vmtF ∆sdot=sdot

Si dice ldquoimpulso ldquo di una forza il prodotto della forza per il tempo durante il quale viene applicata tF sdot (se la forza non egrave costante lrsquoimpulso egrave lrsquointegrale della forza nel tempo in cui viene applicata)

Scritta in questo modo lrsquoequazione fondamentale della dinamica puograve essere letta cosigrave 1) Supponiamo che un corpo vari la sua velocitagrave di una quantitagrave ∆v = vf - vi tanto piugrave lungo egrave il tempo t durante il quale questa variazione avviene tanto minore egrave la forza che deve essere sviluppata per ottenere tale variazione della velocitagrave In questi termini si capisce ad esempio lrsquoutilitagrave delle cinture di sicurezza che allungando i tempi durante i quali in caso drsquoincidente la velocitagrave del passeggero (che non egrave solidale con la vettura) passa da un valore vi iniziale a zero determina una riduzione della la forza cui il passeggero stesso egrave sottoposto durante il breve tempo dellrsquoimpatto (la forza che le ossa e le articolazioni possono sopportare egrave limitata) Si vede anche come funziona lrsquoelastico del jumper finchegrave lrsquoelastico non egrave completamente svolto (ltL) la forza che agisce sul jumper egrave P (la forza peso) poi progressivamente la forza elastica di richiamo contrasta P quindi il jumper decelera progressivamente per un lungo intervallo di tempo e lo lsquostrapporsquo (F applicata) necessario per contrastare P e fermare il jumper applicato sulle sue gambe e a cascata su tutte le sue articolazioni (secondo il terzo principio) egrave di entitagrave minore 2)Lrsquoimpulso totale prodotto tF sdot nella direzione ottimale egrave la grandezza fisica che stabilisce lrsquoefficacia di un gesto di spinta o di lancio non la massima forza espressa o la durata dellrsquoazione di spinta Lavoro di una forza ndash lavoro meccanico

- 1deg caso Forza costante rarrF

Immaginiamo una forza rarrF che agisce su un corpo durante il suo spostamento Immaginiamo cosi

che il punto di applicazione di questa forza si sposti nello spazio di un tratto rarrs Viene detto

lavoro della forza rarrF la quantitagrave

L = rarrF middot

rarrs = F middot smiddot cosϑ (prodotto scalare di

rarrF per

rarrs )

(prodotto scalare tra i due vettori) Fig 27 Il lavoro egrave una quantitagrave scalare cioegrave egrave descritta completamente da un numero da un valore Tale

valore puograve essere positivo o negativo a seconda che la componente di rarrF lungo

rarrs sia equiversa o

di verso opposto a rarrs Se

rarrF e

rarrs hanno la stessa direzione e se lo spostamento avviene nel

senso di rarrF diciamo che il lavoro egrave positivo (e viceversa negativo) Lrsquointensitagrave del lavoro puograve

variare tra un valore massimo e uno minimo per gli stessi valori del modulo di rarrs e di

rarrF a

rarrs

seconda del valore di cosϑ Il lavoro egrave massimo per cosϑ = 1 (cioegrave per ϑ = 0) (rarrF diretto come

rarrs ) Il lavoro egrave minimo ( L = 0) per cosϑ = 0 cioegrave per ϑ = 90deg (

rarrF perpendicolare a

rarrs )

Puograve darsi il caso che piugrave forze agiscono sullo stesso punto Allora si puograve calcolare il lavoro totale egrave la somma dei lavori di tutte le forze applicate

Ltot = sum Li = sum (rarr

sdotiFrarrs )

Dimensioni di L [ L ]= [ F ][ s ] = mmiddot l middot t-2 middot l = ml2 t-2 Unitagrave di misura di L 1 joule = 1N middot 1m ( 1J ) Lavoro della forza peso durante la caduta di un grave Un grave cade vicino alla superficie della terra sotto lrsquoazione della forza di gravitagrave cioegrave sottoposto ala forza peso P diretta verso il basso percorrendo un dislivello h Il lavoro compiuto dalla forza peso si calcola come

LP = rarrP middot

rarrs = Pmiddot smiddot cosϑ

notando che lo spostamento s (verso il basso) e la forza P sono paralleli con verso concorde pertanto ϑ = 0 e cosϑ = 1 e che | P| = mmiddot g si ottiene LP = mmiddot gmiddot h per uno spostamento s = h (dislivello) Lavoro meccanico nel sollevamento pesi Durante questo gesto sul bilanciere oggetto dellrsquoapplicazione delle forze si esercitano la forza peso P e la forza muscolare dellrsquoatleta Naturalmente entrambe le forze lavorano ma i due lavori si oppongono uno allrsquoaltro (ricorda che il lavoro puograve essere positivo o negativo) Il lavoro positivo deve essere nel verso del moto quindi egrave quello della forza muscolare dellrsquoatleta il lavoro di P invece egrave negativo e se il bilanciere si alza di una quota h si calcola facilmente seguendo il procedimento del paragrafo precedente ottenendo LP = - mmiddotgmiddoth (ϑ = π e cosϑ = -1 ) Calcoliamo il lavoro della forza musculare seguendo lrsquoesempio qui proposto Esempio Un atleta solleva un bilanciere di peso 2500N allrsquoaltezza di 2m (sopra la sua testa) Quanto lavoro meccanico compie la sua forza muscolare Supponiamo che il sollevamento avvenga a velocitagrave costante con accelerazione nulla allora il per il

primo principio della dinamica le forze applicate al bilanciere devono essere tali chesumrarr

iF = 0

Quindi la forza peso P = mmiddot g deve essere controbilanciata dalla forza applicata dallrsquoatleta Fm

Quindi rarr

mF = - rarrP

con Fm = 2500N Il lavoro La fatto dallrsquoatleta vale

Lm = rarr

mF middot rarrs = 2500 N middot 2m middot 1 = 5000 J (sollevamento verticale quindi ϑ = 0 e cosϑ = 1)

Quanto lavoro fa la forza peso

Lp = rarrP middot

rarrs = 2500 middot 2 middot (-1) = -5000 J

(percheacute ϑ = π e cosϑ = -1) Quanto lavoro fa lrsquoatleta mentre sostiene il peso fermo sopra la testa L = 0 percheacute non crsquoegrave spostamento Qui si parla di lavoro meccanico non di lavoro fisiologico diciamo che si fa fatica percheacute crsquoegrave da mantenere integrordquo un corpo non rigido che egrave il corpo dellrsquoatleta quindi si il lavoro delle contrazioni muscolari per mantenere lrsquoequilibrio e ldquolrsquointegritagraverdquo egrave la misura del lavoro fisiologico necessario anche se il lavoro meccanico compiuto egrave nullo 2deg caso Forza variabile Nel caso in cui F egrave una forza variabile che dipende dalla posizione ogni volta che avviene uno spostamento∆ x la forza cambia Il lavoro totale saragrave la somma dei lavori elementari fatti sui tratti piccoli sui quali la forza puograve essere assunta costante

Ltot = iii xxF ∆sdotsum )(

( Se si fa il limite per ∆ xi piccolo rarr 0 e la isum egrave lrsquointegrale Ltot = int sdotxtin

xinxdxF )( )

Ad esempio la forza F puograve essere la forza di richiamo di una molla vincolata al muro Lrsquointensitagrave della forza elastica varia durante lo spostamento aumentando con lrsquoallungamento (o la compressione) della molla ed ha la direzione parallela allo spostamento ma puograve avere verso concorde o discorde quindi con cosϑ che vale o +1 o ndash1 Immaginiamo di avere un blocco attaccato alla molla e di tirarlo da Xin a Xfin allora

F(x) = - kx Fig 28

Il lavoro della forza elastica si calcola sommando i lavori infinitesimali compiuti per spostamenti infinitesimi durante i quali la forza si assume costante Ciograve egrave rappresentato graficamente nel calcolo lrsquoarea compresa al di sotto della curva del grafico di F (Fig 28A) In figura si egrave cambiato il segno della funzione forza per comoditagrave di rappresentazione

Fig 28A

Area = differenza aree dei due triangoli = AABB kxxkxx sdotminussdot2

1

2

1

Ricordandoci del segno

L infin = 22

2

1

2

1infin kxkx +minus e in generale L = 2

2

1kx

Se si calcola il lavoro della forza di richiamo durante un allungamento della molla si ha lavoro negativo mentre durante il ritorno alla posizione di equilibrio il lavoro egrave positivo (segno dello spostamento x e della forza concordi) Energia cinetica Il termine ldquoenergiardquo indica la capacitagrave di compiere lavoro Lrsquoenergia cinetica egrave la proprietagrave che rende conto quantitativamente del legame fra il lavoro compiuto ed il moto generato Avevamo detto piugrave o meno lo stesso parlando della seconda legge della dinamica riferendoci alle forze Qui col lavoro non egrave necessaria la descrizione dettagliata delle forze che agiscono sul punto in considerazione Ersquo sufficiente conoscere il loro lavoro totale

Lrsquoenergia cinetica K = 2

1mv2 (gt 0 percheacute m gt 0 v2 gt 0 ) (m e v sono la massa e la velocitagrave del

corpo) Lrsquounitagrave di misura e le dimensioni di K sono le stesse del lavoro Joule ( J ) e [ ]K = [ ]22 minustml

Teorema dellrsquoenergia cinetica Se una forza F compie un lavoro L su un punto materiale di massa m si ha una variazione dellrsquoenergia cinetica pari al lavoro compiuto

Xfin Xin

F

0

ksdotxfin

ksdotxin

F= ksdotx

x

LAB= -area

L = Kfin ndash Kin = ∆ K Nel caso che piugrave forze agiscono sul punto materiale il teorema dellrsquoenergia cinetica si applica al lavoro totale (equivalentemente al lavoro della risultante ) E il caso dellrsquoatleta che solleva il peso di 2500N Sappiamo che ha compiuto un lavoro di 5000J ma il bilanciare con i pesi era fermo allrsquoinizio ed egrave fermo alla fine Quindi Kin = 0 e Kfin = 0 percheacute vin = 0 e vfin = 0 Allora il teorema dellrsquoenergia cinetica Vale per il lavoro totale o lavoro della forza totale e noi abbiamo visto che la forza netta totale = 0 ( Fa + P = 0 ) ed il lavoro totale egrave nullo quindi giustamente si ha ∆ K = 0 1)Caso di una palla da tennis che cade

la forza peso rarrP compie un lavoro positivo con spostamento concorde a

rarrP si dovrebbe avere

∆ K gt 0 infatti la velocitagrave v aumenta 2)Caso di una palla lanciata verso lrsquoalto

lo spostamento ha verso opposto a rarrP Il lavoro della forza peso egrave negativo e quindi ∆ K egrave

negativo giusto La velocitagrave diminuisce NB Durante il volo agisce solo la forza di gravitagrave quindi il lavoro totale comiuto sul corpo egrave solo quello della gravitagrave 3)Caso del moto circolare uniforme la forza che agisce egrave la forza centripeta che egrave perpendicolare allo spostamento Quindi non compie lavoro deve essere ∆ K = 0 Iinfatti il moto egrave uniforme cioegrave la velocitagrave egrave in modulo costante Potenza Si chiama potenza il lavoro che si egrave in grado di svolgere nellrsquounitagrave di tempo

P = t

L

∆ ( potenza media )

P = t

Lt ∆

∆rarr∆ 0lim ( potenza istantanea)

Non egrave solo una stima del lavoro compiuto ma anche della rapiditagrave con cui si compie lavoro

Fig 29 Per superare il muro ci vuole un certo lavoro che consiste nellrsquoinnalzare il proprio corpo di unrsquoaltezza h Sia lrsquoatleta che lo supera in un sol balzo sia il vecchietto che sale pian piano la scalinata faranno lo stesso lavoro Quel che egrave diverso egrave la potenza dei due personaggi Dimensioni e unitagrave di misura della potenza [ ]P = [L] [t -1] = [ml2t-3] 1 watt = 1 joule 1sec (1w)

Energia Potenziale K egrave energia connessa allo stato di moto di un sistema Crsquoegrave anche energia connessa alla posizione di un corpo in un campo di forze (configurazione) Si chiama energia potenziale Nel caso dellrsquoatleta di sollevamento pesi il lavoro compiuto dallrsquoatleta Lm non ha alterato lrsquoenergia cinetica K dellrsquoattrezzo ma ha modificato la configurazione del sistema (terra-attrezzo) variandone lrsquoenergia potenziale (W) Il lavoro non egrave stato sprecato ma ldquoimmagazzinatordquo lrsquoattrezzo prima egrave a terra poi egrave in alto nel sistema che ora ldquopotenzialmenterdquo puograve compiere un lavoro cedendo la sua ldquoenergia potenzialerdquo Energia cinetica ed energia potenziale sono due parti dellrsquoenergia meccanica possono trasformarsi lrsquouna nellrsquoaltra ed in lavoro Nellrsquoesempio precedente quando lrsquoattrezzo egrave in alto si ha che K = 0 e W = WA Quando cade K aumenta percheacute la velocitagrave v aumenta e lrsquoenergia potenziale W diminuisce In basso W = WB lt WA e K egrave massima Lrsquoattrezzo cadendo puograve compiere lavoro Se fosse un martello potrebbe far avanzare un chiodo ad esempio Lrsquoenergia potenziale viene definita proprio a partire dal concetto di lavoro di forze conservative Ersquo conservativa una forza il cui lavoro per spostare il suo punto di applicazione da una posizione (configurazione) ad unrsquoaltra dipende solo dalle due posizioni (configurazioni) iniziale e finale Equivalentemente si puograve definire la forza conservativa dicendo che il lavoro di tale forza egrave nullo se le posizioni (configurazioni) iniziali e finali coincidono

-Lavoro per passaggio dalla posizione A a B egrave lo stesso lungo I o II -Se da A vado a B e torno in A il lavoro totale egrave nullo

Fig 30 Posso allora definire una funzione della posizione W che assume i valori WA e WB in A e B e tale per cui LAB = WA ndash WB ( W energia potenziale) WA WB sono definiti a meno di una costante tanto quello che interessa egrave la differenza fra loro Variazione di energia potenziale del passaggio da A a B WB ndash WA = ∆W allora LAB = -∆ W Con questa convenzione sui segni si rende conto del fatto che un lavoro positivo ( fatto dalle forze conservative sul corpo) fa diminuire lrsquoenergia potenziale W ( L positivorarr ∆W negativo rarr WBlt WA rarr ho usato energia potenziale) un lavoro negativo (subito) aumenta W (L negativo rarr ∆W positivo rarr WBgt WA rarr ho guadagnato energia potenziale) W si misura in Joule come il lavoro e lrsquoenergia cinetica

Qual egrave la Forma di W

Mentre la forma dellrsquoenergia cinetica egrave sempre K =2

1mv2 indipendentemente dal tipo di forze

che provocano il movimento W dipende dal tipo di forza conservativa di cui si sta calcolando il lavoro Consideriamo due forze conservative

a) Forza gravitazionale forza peso

F(y) = -mg Stato di riferimento y0 = 0 in cui W0 = 0

Fig31

Abbiamo detto che LAB = WA- WB ma siccome

LAB = )( ABhmgsP minussdotminus=sdot dove hAB= yA-yB egrave la distanza tra A e B allora rArr WA = mgyA WB = mgyB e in generale W(y) =mgy

Per la forza peso W(y) =mgy e lrsquoenergia totale meccanica (W+K) = mgy+2

1mv2=Etot

b) Forza elastica

Fig 32

F(x) = -kx Stato di riferimento x = 0 allungamento nullo la lunghezza della molla egrave la sua lunghezza di riposo L ( W(0) = 0)

Immaginiamo che la configurazione della molla venga modificata passando dalla posizione xA alla posizione xB (Fig 32) Il lavoro della forza elastica egrave calcolato come

LAB = 22

2

1

2

1AB kxkx +minus

Ricordando che LAB = WA- WB possiamo ricavare lrsquoespressione per lrsquoenergia potenziale elastica

rArr WA = 2

2

1Akx WB = 2

2

1Bkx e in generale W(x) = 2

2

1kx

Energia totale meccanica ndash Conservazione dellrsquoenergia

In presenza di sole forze conservative la somma dellrsquoenergia cinetica e dellrsquoenergia potenziale costituisce lrsquoenergia totale meccanica Tale energia meccanica gode della proprietagrave importantissima di conservarsi durante lrsquoevoluzione del sistema Lrsquoenergia connessa al movimento e alla posizione si scambiano una diminuisce e lrsquoaltra cresce ad esempio ma la loro somma rimane costante

- Esempio delle montagne russe Se non ci sono attriti (infatti il trucco egrave quello di rendere il

sistema privo di attriti) so giagrave quale altezza massima potrograve raggiungere (quella iniziale e non di piugrave) quale velocitagrave massima potrograve raggiungere (in fondo alla valle) Queste quantitagrave sono fra loro legate dal teorema della conservazione dellrsquo energia meccanica

Fig 33 - Esempio del salto con lrsquoasta Lrsquoenergia cinetica dellrsquoatleta acquisita nella rincorsa viene

trasformata in energia potenziale gravitazionale parte direttamente e parte attraverso lrsquoenergia potenziale elastica dellrsquoasta acquisita nella sua deformazione durante il salto La flessibilitagrave dellrsquoasta (costante elastica dellrsquoasta) egrave legata allrsquoenergia che si puograve immagazzinare in una data deformazione Infatti con aste rigide (alluminio acciaio bambugrave) il salto era piugrave basso Con fibra di vetro il record egrave stato polverizzato

Fig 34

Fig 35

Fig 36

Osserviamo che il teorema dellrsquoenergia cinetica ha validitagrave generale qualunque siano le forze che agiscono conservative o non conservative (le forze non conservative si dicono anche ldquodissipativerdquo)

KLL

KL

fncfc

tot

∆=+∆=

e ricordando che darr Lfc = - )( fcW∆

Si ottiene che K∆ + )( fcW∆ = Lfnc

Si vede che nel caso in cui Lfnc sia nullo cioegrave quando non ci sono forze dissipative la somma delle variazioni di energia cinetica e energia potenziale egrave uguale a zero cioegrave lrsquoenergia totale meccanica (somma dellrsquoenergia cinetica e potenziale) egrave costante E questo corrisponde al teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica Nel caso ci siano forze dissipative la somma delle energie non egrave costante quindi al contrario del teorema dellrsquoenergia cinetica il teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica non ha validitagrave generale (vale solo in assenza di attriti ad esempio) Le forze non conservative di attrito compiono lavori solo negativi e fanno perdere quantitagrave di energia non recuperabile Parte di questa energia va in generale in calore quindi se ne puograve tenere conto considerando unrsquoaltra forma di energia lrsquoenergia termica ( ci sono anche altri fenomeni dissipativi ad esempio le deformazioni permanenti negli urti o la propagazione di onde sonore)

Lrsquo energia puograve dunque conservarsi o trasferirsi proprietagrave caratterizzanti dellrsquoenergia Il lavoro rende conto del trasferimento di energia della perdita di energia sotto una forma e del guadagno sotto unrsquoaltra forma (cioegrave energia conservativa) o del passaggio dellrsquoenergia da un sistema ad un altro Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica quando egrave applicabile puograve essere sfruttato per risolvere facilmente problemi altrimenti complicati Esercizio Una palla da tennis viene lanciata con velocitagrave iniziale v0 (senza effetti strani taglio etc) al di lagrave della rete Con quale velocitagrave arriva a terra

Se durante il moto Etot si conserva K+W = cost

Fig 37 e W = mgh egrave solo energia potenziale gravitazionale h = 0 alla fine come allrsquoinizio dunque K in = Kfin e vfin = v0 Se la palla egrave lanciata verso lrsquoalto non crsquoegrave componente orizzontale della velocitagrave ma solo verticale al punto piugrave alto di arresto h K(h) = 0 W(h) = max = Kin cioegrave mgh = frac12 mv0

2 si puograve cosigrave calcolare facilmente lrsquoaltezza massima raggiunta h = (frac12 v0

2)g e vicenversa si puograve calcolare il valore della velocitagrave v0 che bisogna imprimere alla palla affinchegrave raggiunga lrsquoaltezza h

v0 = gh2

Esercizio Una saltatrice di massa M = 61Kg salta da un ponte di altezza H = 45m agganciata ad una corda elastica La lunghezza di riposo della corda elastica egrave L = 25m e la sua costante elastica egrave k = 160 Nm Nel punto piugrave basso si arresta prima di venire rimbalzata in alto Qualrsquo egrave lquesta quota piugrave bassa h (a cui si trovano i suoi piedi ai quali egrave legato lrsquoelastico)

Fig 38 Etot = Wgrav + Wel + K = cost sono solo forze conservative vale la conservazione

dellrsquoenergia Nel punto A K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di lanciarsi Wel = 0 percheacute lrsquoelastico non egrave ancora svolto Wgrav = MgH Nel punto B K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di rimbalzare

Wel = frac12 kd2 Wgrav = Mgh = Mg(H-(L+d)) Etot(A) = Etot (B) MgH + 0 + 0 = Mg (H-(L+d)) + frac12 kd2 + 0 MgH = MgH ndash MgL ndash Mgd +frac12 kd2

2

1(160)d2 ndash (61)(98)d ndash (61)(98)(25) = 0

equazione di IIdeg grado che dagrave per d il valore accettabile d = 179m (lrsquoaltro egrave negativo e non egrave accettabile perchegrave non ha senso fisico la

saltatrice va in giugrave non in su) Allora h = H-(L+d) = 45 ndash (25+179) = 45 ndash 429 = 21m quindi con la testa poco sopra lrsquoacqua Sistemi di punti materiali e corpi rigidi ndash Centro di Massa

Un giocoliere o un ginnasta che lancia la clavette fa compiere allrsquoattrezzo movimenti complicati tuttavia crsquoegrave un punto dellrsquoattrezzo che si muove seguendo una traiettoria semplice come quella di un punto materiale ad esempio lanciato segue una traiettoria parabolica Tale punto si chiama centro di massa dellrsquooggetto Il centro di massa puograve essere definito per un oggetto o per un insieme di punti materiali Ersquo importante percheacute in generale il moto di un corpo esteso (o di un insieme di punti) si puograve studiare separando il moto del centro di massa (moto traslatorio) e il moto del corpo attorno al centro di massa (moto rotatorio)

Centro di Massa (CDM) di un sistema di punti - Consideriamo il caso semplice di due punti materiali di massa m1 m2 posti sullrsquoasse x in

posizione x1 x2

Fig 39

la posizione del centro di massa egrave definita xCDM = 21

2211

mm

xmxm

++

a) xCDM egrave compreso fra x1 e x2 b) se m1 = m2 CDM egrave a metagrave strada fra m1 ed m2 c) xCDM egrave piugrave prossimo alla massa maggiore - Nel caso di piugrave punti allineati nelle posizioni xi detto M = summi allora

xCDM = ii xmMsum

1

- Nel caso di punti distribuiti nello spazio detti irrarr

i vettori che identificano le loro posizioni

CDMrrarr

= iii rmM

rarrsum

1

dove CDMrrarr

ha coordinate (xCDM yCDM zCDM) definite come

xCDM = ii xmsumη1

yCDM = ii ymMsum

1

zCDM = ii zmMsum

1

- Consideriamo un oggetto qualsiasi questo egrave composto da un gran numero di particelle ma conviene considerarlo come un continuo di materia e per calcolare il centro di massa si prendono in considerazione degli elementi infinitesimi di massa dm centrati intorno alle posizioni (xyz) allora

xCDM = int xdmM

1 yCDM = int ydm

M

1 zCDM = int zdm

M

1

se si puograve considerare il corpo omogeneo (densitagrave uniforme) allora V

M

dv

dm = e allora si puograve fare il

calcolo considerando il volume V e gli elementi di volume dv anzichegrave la massa e gli elementi di massa

xCDM = int xdvV

1 etc

In un oggetto solido (corpo rigido) i diversi punti materiali che lo compongono non cambiano la loro posizione relativa (non come un corpo elastico) - se un oggetto ha un elemento di simmetria un asse od un piano il CDM si trova su tale

elemento di simmetria (asse per cono centro per sfera piano per una banana etc) Non egrave detto che il CDM di un oggetto appartenga allrsquooggetto vedi uno pneumatico un cerchio Il CDM egrave esterno alloggetto Legge fondamentale della dinamica per un sistema di punti materiali Caso della palla da bigliardo urto fra due palle dopo il lancio di una le due si muovono 1) una egrave ferma (B) lrsquoaltra la lancio (A) 2) le due si urtano in qualunque modo 3) le due si muovono secondo traiettorie differenti una possibilmente andragrave in buca lrsquoaltra no Dopo il lancio sulla palla A non agisce piugrave nessuna forza quindi la sua velocitagrave v egrave costante Va bene ma dopo lrsquourto Il CDM delle due palle continua a muoversi con velocitagrave costante anche se il centro di massa egrave un punto teorico che non appartiene a nessuna delle due palle Tuttavia al CDM possiamo assegnare una massa (M totale del sistema) una velocitagrave ed una accellerazione Si ha

)(CDMext aMFrarrrarr

=sum

a) extFrarr

sum egrave la somma di tutte le forze esterne che agiscono sul sistema non quelle interne (ad esempio nel caso del bigliardo non devo considerare le forze che si applicano fra le due palle quando si urtano)

b) M egrave la massa totale del sistema Si suppone che durante il moto M rimanga costante

c) )(CDMararr

egrave lrsquoaccelerazione del CDM Dellrsquoaccellerazione di un altro punto ad esempio del centro della palla A non si dice nulla

Cosideriamo alcuni esempi 1) Bigliardo tvaF CDMCDMext cos00 ===sum prima dellrsquourto nellrsquourto si verificano solo forze

interne Quindi tvaF CDMCDMext cos00 ===sum dopo lrsquourto e durante tutto il moto

2) Sistema terra-luna sumFext = gravitazione del sole aCDM egrave ldquocentripetardquo accellerazione di una

forza che egrave diretta verso il sole (forza ldquocentralerdquo) egrave il CDM terra-luna che segue la traiettoria dovuta allrsquoattrazione gravitazionale del sole poi terra e luna si muovono intorno al loro CDM

3) Clavette lanciate sum Fext = Mg aCDM = g il centro di massa si comporta come un punto materiale nel lancio

4) La ballerina nel ldquogrand-fetegraverdquo fa seguire a testa e busto una traiettoria rettilinea percheacute modifica lrsquoassetto in modo da alzare il suo CDM Nel corso del salto (alza le braccia e distende

orizzontalmente le gambe non appena lasciato il suolo) il suo CDM segue la traiettoria parabolica del lancio di un corpo soggetto allrsquoaccelerazione di gravitagrave g

Quantitagrave di moto rarrP

- Si definisce quantitagrave di moto di una particella il vettore

rarrrarr= vmP

con m massa della particella e rarrv la sua velocitagrave

Si vede che rarrP egrave diretto come

rarrv

Newton scrisse la legge fondamentale della dinamica in termini di quantitagrave di moto (a differenza di Galileo che la scrisse in termini di massa e di accelerazione) ldquola rapiditagrave di variazione della quantitagrave di moto di una particella egrave proporzionale alla forza netta che agisce sulla particella ed egrave nella direzione di quella forzardquo cioegrave

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

che egrave piugrave generale della formulazione di Galileo perchegrave descrive bene anche il caso in cui variasse la massa del corpo durante il moto (ad esempio un vettore spaziale) Se la massa egrave costante le due formulazioni sono identiche

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

= t

vm

∆∆

rarr)(

= m t

v

∆∆

rarr

= m rarra

Ricordiamo che rarrF egrave diretto come

rarra (o la risultante

rarrR = sum

rarrF )

Per un sistema di punti materiali si definisce la quantitagrave di moto totale

rarrP =

rarrP 1 +

rarrP 2 + helliphellip+

rarrP n =

m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +helliphelliphellip+ mn

rarrv n = M

rarrv CDM (si puograve dimostrare) dove M egrave la massa totale

[essendo infatti Mrarrv CDM =

dt

d(M

rarrr CDM) =

dt

d(m1

rarrr 1 + m2

rarrr 2 +hellip) = m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +

hellip]

quindi rarrP = M

rarrv CDM per un sistema di particelle e

dt

Pdrarr

= M dt

d rarrv CDM = M

rarra CDM = sum

rarrF ext

Conservazione delle quantitagrave di moto

Per un sistema chiuso (M non varia) e isolato (sumrarrF ext = 0)

Allora

t

P

∆∆

rarr

= 0 rarrP = cost

rarrP i =

rarrP f

che sono tre modi equivalenti per dire che la quantitagrave di moto si conserva Vale per un sistema nel quale non agisca nessuna forza esterna netta Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica e la conservazione delle quantitagrave di moto sono due concetti fisici importantissimi Valgono sia per le palle da bigliardo che per qualunque altro sistema anche le galassie nellrsquouniverso Queste equazioni sono vettoriali Ciograve significa che rappresentano una terna di equazioni scalari ognuna valida sul proprio asse del sistema di riferimento (x y z)

Puograve accadere a seconda delle forze che agiscono nel sistema che la quantitagrave di moto si conservi in una direzione o in due e non in tutte e tre

Ad esempio se consideriamo una palla come un insieme di punti materiali la rarrF ext che agisce nel

sistema egrave mrarrg diretta lungo z senza componenti su x e y quindi

rarrP varia lungo z ma

non su x e y

Percheacute ldquocomplicarci la vitardquo con questa storia del CDM del sistema di particelle etchellip non bastava il moto del punto rappresentativo materiale Avevamo giagrave considerato il punto rappresentativo e avevamo svolto anche problemi sulla palla sul bilanciere e per altri oggetti Abbiamo sempre sbagliato La questione egrave se un corpo egrave rigido cioegrave se tutti i suoi punti si muovono mantenendo le loro distanze relative non crsquoegrave problema abbiamo solo visto che il punto materiale rappresentativo si chiama CDM ed abbiamo imparato a situarlo allrsquointerno del corpo Ma se il corpo non egrave rigido cioegrave se il suo CDM si sposta rispetto a lui stesso nel corso del moto la disposizione del corpo intorno al punto rappresentativo varia nel corso del tempo e le leggi di conservazione valgono per il CDM - Consideriamo ad esempio il teorema dellrsquoenergia cinetica che per un punto materiale si scrive Ltot = Kfin-K in = ∆ K (qui ovviamente non crsquoegrave da specificare lavoro delle forzeldquoesternerdquo percheacute essendo in un punto materiale che si assume infinitamente piccolo non ci sono forze ldquointernerdquo) Per analogia il teorema dellrsquoenergia cinetica si estende al caso di un insieme di punti materiali nel seguente modo

Ltot forze ext=rarrF extmiddot

rarrs CDM = ∆ KCDM

Dove s CDM egrave lo spostamento del centro di massa A titolo di esempio risolviamo il problema un giocatore di hockey su ghiaccio di massa M = 110Kg si muove verso la balaustra a bordo campo alla velocitagrave di 3msec Nellrsquoarrestarsi flettendo le braccia il suo CDM si sposta in avanti di 30cm Qual egrave la ∆ K del suo CDM durante la manovra

∆ KCDM = infin CDMCDM mvmv 22

2

1

2

1 minus =

= 0 - 2

1110 32 = -495 J

Fig 40

Sia L il lavoro delle forze esternerarrF ext (dirette come d

rarrx CDM ) allora

L = - Fext 03 = ∆ KCDM quindi

Fext =30

495

minusminus

= + 1650N

( si considera la forza esterna rarrF ext costante nellrsquointervallo dellrsquoarresto fatto che equivale a dire

che il giocatore si arresta con rarra CDM costante)

Dinamica e statica del corpo esteso Finora abbiamo sempre discusso del moto di un punto materiale (punto rappresentativo dicevamo sempre) In particolare abbiamo sempre applicato le forze a quel punto materiale quindi se diverse forze erano applicate esse concorrevano in quel punto ligrave e con le forze concorrenti sapevamo come calcolare la risultante con il metodo grafico o con quello numerico delle coordinate cartesiane Una volta calcolata la risultante applicata al punto si otteneva un moto di pura traslazione del punto (al massimo traslava lungo una traiettoria curva) senza rotazioni proprie del punto che non hanno neanche senso un punto che ruota su se stesso Come faccio ad accorgermi Un punto per definizione egrave infinitamente piccolo (Dicevamo infine che il punto egrave in equilibrio

traslazionale se la risultante rarrR delle forze applicate egrave nullo)

Consideriamo invece un corpo esteso Prima osservazione questo ha piugrave punti (direi infin ) a

cui la forza puograve essere applicata Prendiamo una racchetta da tennis ed una forza rarrF applicata il

moto che ne risulta dipende dal punto al quale viene applicata la forza rarrF

qui la racchetta trasla

Fig 41

stessa forza qui la racchetta ruota

Fig 42

Seconda osservazione Crsquoegrave un caso in cui le forze non possono essere fatte concorrere in un punto ed egrave quando sono parallele ed hanno rette di applicazione distinte Chiaramente non abbiamo mai dovuto considerare questo caso per il punto materiale percheacute per un punto non possono mai passare due rette parallele Ma per il corpo esteso So benissimo che se sono ferma con la macchina in

panne e la sto spingendo applicando una forza rarrF 1 sono contenta se qualcuno si affianca a me ed

esercitando una forza rarrF 2 lungo una direzione parallela a quella della mia mi aiuta a spingere In

particolare mi viene spontaneo dire che se F1 = F2 allora spingeremo con una forza doppia Ci saragrave quindi un modo per sommare due forze non concorrenti in un punto ma parallele e saragrave Ftot = F1+ F2 La retta di applicazione di Ftot divide il segmento congiungente i punti di applicazione di F1 ed F2 in due segmenti inversamente proporzionali allrsquointensitagrave delle forze F1 e F2 Terza osservazione se F1 = - F2 sono uguali in intensitagrave ma di verso opposto sempre lungo due rette di applicazione parallele passanti per un corpo esteso cosa succede La loro somma Ftot risultante saragrave 0 ma io so che il corpo non sta fermo sotto lrsquoazione di tali due forze ma ruoteragrave Concludo che le nozioni che ho acquisito finora vanno riviste ed ampliate o corrette o specificate per i corpi estesi ed inoltre che mi mancano totalmente i mezzi per descrivere le rotazioni dei corpi estesi Occorrono nuovi concetti nuove quantitagrave la forza non basta Prendo lrsquoesempio piugrave semplice dellrsquoaltalena con due bambini in due bracci uno piugrave leggero uno piugrave pesante

Fig 43 Qualitativamente so che percheacute lrsquoaltalena stia in equilibrio e non ruoti intorno al punto fisso non egrave necessario che i due bambini abbiano lo stesso peso (ugual massa) occorre che il bambino piugrave leggero sieda piugrave lontano rispetto al punto fisso (fulcro) La regola quantitativa dice che lrsquoaltalena egrave in equilibrio se il prodotto del peso per la distanza del fulcro egrave uguale PB dB = Pb

db Per generalizzare questa regola ai casi piugrave complessi occorre definire una nuova quantitagrave il momento di una forza Momento di una forza

Consideriamo una forza rarrF applicata ad un punto P ed un punto O Sia

rarrr

il vettore rarrOP allora il momento

rarrM di

rarrF rispetto ad O egrave

rarrM =

rarrr x

rarrF

e

|rarrr | middot |

rarrF | sin ϑ = |

rarrM |

Fig 44

oppure anche considerando la componente di rarrF perpendicolare ad

rarrr o di

rarrr

perpendicolare a rarrF r e rispetto a F

|rarrM | = |

rarrr | |

rarrF perp | |

rarrM | = |

rarrr perp| |

rarrF |

In generale si dice che il modulo del momento |rarrM | egrave il prodotto delle intensitagrave della forza per la

distanza dal punto della retta di applicazione della forza

Come vettore rarrM egrave perpendicolare al piano che contiene

rarrF ed

rarrr ed ha verso calcolato con la

regola della mano destra (con rarrr che si chiude su

rarrF )

La distanza rperp si chiama braccio della forza Si vede che il momento egrave nullo quando il braccio egrave nullo cioegrave quando il punto O si trova sulla retta di applicazione di F Il momento della forza peso P egrave nullo rispetto al baricentro che coincide con il centro di massa nel caso (praticamenteldquosemprerdquo) in cui il corpo non sia abbastanza esteso percheacute diversi punti del corpo risentano di una forza gravitazione differente Praticamente si deve parlare di galassie percheacute CDM e baricentro (BC) non coincidono Quindi la condizione del momento nullo della forza peso diventa un modo per definire il CDM come quel punto rispetto al quale la forza peso P ha momento nullo Per un corpo ldquoarticolatordquo estendiamo il concetto di forza normale come forza di contatto nellrsquoarticolazione utile cioegrave la forza che lrsquoarticolazione che si sta considerando esercita su quello che nellrsquoarticolazione si appoggia La forza peso P di un corpo esteso puograve immaginarsi applicata al CDM Principio di equilibrio di un corpo esteso

se su un corpo esteso agiscono solo rarr

Peso e rarr

Normale cioegrave se un corpo egrave appoggiato ad un piano orizzontale allora il corpo egrave in equilibrio se e solo se il baricentro si trova sopra la superficie di appoggio

Fig 45

Finchegrave il baricentro egrave sopra il tavolo il libro non cade percheacute rarrP applicata a CDM puograve essere

controbilanciata da rarrN Se CDM si sposta in fuori

rarrN rimane nel tavolo e crsquoegrave momento non nullo

non equilibrato da rarrP che continua ad essere applicato nel CDM

Il baricentro di una persona in posizione eretta si trova nellrsquoarea delimitata dei suoi piedi 3cm davanti allrsquoarticolazione della caviglia

Fig 46 Quando la persona si piega in avanti il baricentro esce dal corpo e per mantenere lrsquoequilibrio egrave necessario che le anche si spingono indietro percheacute il baricentro cade di nuovo in quella posizione Notiamo che anche in posizione eretta essendo la forza peso e la forza di contatto non allineate (quei 3cm) (forza di contatto sullrsquoarticolazione della caviglia che regge il peso) occorre un momento correttivo che impedisca la rotazione in avanti mantenuto dal tendine di Achille che si lega alla caviglia Altro esempio di spostamento del baricentro egrave lrsquoatleta che assume una posizione ad L chi regge il peso egrave lrsquoarticolazione della spalla quindi il CDM si sposta sotto la spalla (giagrave era uscita dal corpo per via delle gambe distese in avanti) Nel camminare il baricentro continua a muoversi da sopra un piede a sopra un altro (quello appoggiato ovviamente) Si osservi lrsquoondeggiamento Per assurdo lrsquoancheggiare delle indossatrici serve a mantenere il baricentro il piugrave possibile fermo rispetto alla direzione media del moto (porre un piede esattamente davanti allrsquoaltro) rendendo piugrave facile muoversi anche con tacchi altissimi Al contrario lrsquoequilibrista che cammina sui trampoli sta fermo il meno possibile percheacute egrave stando fermo che il piccolo spostamento che fa uscire il baricentro (ALTO) dalla superficie drsquoappoggio puograve verificarsi facilmente preferisce il ldquonon ndash equilibriordquo o lrsquo rdquoequilibrio dinamicordquo dellrsquoondeggiare continuamente fra due posizioni di equilibrio

Ricordiamo che un equilibrio egrave detto stabile se quando una perturbazione lo altera spontaneamente il sistema lo ripristina Viceversa un equilibrio egrave instabile se la piugrave piccola perturbazione lo distrugge Lrsquoequilibrio egrave molto stabile se il baricentro egrave basso ed il corpo ha una grande area drsquoappoggio la posizione accucciata del giocatore di football americano dagrave grande stabilitagrave Ancor piugrave grande stabilitagrave si ha se il baricentro (CDM) si trova al di sotto della superficie drsquoappoggio Ersquo come se si fosse ldquoappesirdquo anzicheacute ldquoappoggiatirdquo alla superficie drsquoappoggio Proprio per questo motivo lrsquoequilibrista sul filo porta una lunga asta che spesso si flette agli estremi

Fig 47 Gli uccelli bipedi da 100000000 di anni hanno sviluppato questo adattamento per cui sono appesi alle anche mentre gli uomini bipedi da solo 1000000 di anni fanno fatica con il CDM dalla parte alta del corpo Ersquo un equilibrio instabile ldquosoprardquo le anche che le reggono (65 del peso del corpo) Modificazioni strutturali per reggere la posizione eretta 1) Colonna vertebrale rastremata (piugrave tozza in basso che in alto percheacute piugrave in basso vuol dire una

maggior forza di contatto) 2) Muscoli estensori della schiena 3) Gambe ed anche ingrossate 4) Ginocchio che blocca la gamba estesa Ciononostante si ha spesso il mal di schiena Se una forza ha momento non nullo rispetto ad un punto allora il corpo puograve ruotare intorno a quel punto sotto lrsquoazione di quella forza ldquoDiciamo che se sostengo il corpo per quel punto il corpo puograve ruotare intorno a quel puntordquo (Prendo in mano un foglio di carta per un estremo per esempio) La presenza di un momento non nullo egrave dunque la condizione che genera rotazione e viceversa Lrsquoassenza di un momento risultante egrave la condizione che genera lrsquoequilibrio rotazionale di un corpo esteso Quindi la condizione di equilibrio per un corpo esteso egrave

1) rarrR = 0 risultante delle forze applicate = 0 (equilibrio traslazionale)

2) rarrM = 0 momento risultante = 0 (equilibrio rotazionale)

Supponiamo di avere un corpo esteso al quale siano applicate delle forze che diano luogo ad un momento non nullo allora il corpo ruota Per equilibrarlo dovrograve applicare un altro momento tale che la loro somma sia nulla Questo egrave il principio di funzionamento delle leve LEVE

Una leva egrave un corpo esteso al quale sono applicate delle forze con un momento risultante rarrR

allora per portare il corpo in equilibrio applico un momento correttivo rarrP in modo che il momento

totale sia nullo Si dice in genere potenza (P) e resistenza (R) di una leva Le leve sono macchine semplici Servono per applicare forze in punti scomodi o in direzioni particolari Il fulcro egrave il punto nel quale la leva egrave incernierata Si definisce il guadagno meccanico di una leva

GM =

)(

)(rarr

rarr

PF

RF

cioegrave il rapporto fra la forza che genera il momento resistente e quella che genera il momento agente A seconda che GM sia gt

lt 0 una leva si dice che egrave vantaggiosa o svantaggiosa ma solo per quel che riguarda le forze percheacute per quel che riguarda i lavori non si ha neacute vantaggio neacute svantaggio Il lavoro esercitato dalla forza che dagrave la ldquopotenzardquo e quello esercitato dalla forza che dagrave la ldquoresistenzardquo sono sempre uguali Infatti forze e spostamenti sono inversamente proporzionali Le leve si dicono di I II o III specie a seconda se il fulcro si trovi I) in mezzo fra R e P (leva indifferente GM dipende da caso a caso) II) dalla parte di R (leva vantaggiosa il braccio di R egrave sempre minore del braccio di P basta

quindi una P minore per equilibrare una R maggiore) III) dalla parte di P (leva svantaggiosa) Classici esempi dei tre tipi di leve sono i remi (I) lo schiaccianoci (II) e la pinzetta per francobolli (III) Tuttavia vediamo degli esempi meno classici ma attinenti al campo della biologia e della medicina Criterio generale egrave che le leve vantaggiose consentono di essere molto potenti ma con brevi spostamenti mentre viceversa quelle svantaggiose fanno perdere in potenza ma consentono grandi spostamenti saragrave difficile vedere un cavallo che con le lunghe zampe si scava la tana drsquoaltronde una talpa scava bene la tana ma ha movimenti molto meno ampi che non le consentono di correre veloce come un cavallo (compromesso fra forza e velocitagrave del movimento) Se contiamo tutti i movimenti di rotazione che il corpo puograve compiere capiamo che siamo pieni di leve di ogni tipo Sono classici a) il capo fulcro (articolazione occipito-atlantoide) Fig 48 muscoli della nuca (Potenza) peso del capo (Resistenza) b)

muscolo bicipide (Potenza)

Fig 49 Peso dellrsquoavambraccio (Resistenza) Fulcro (articolazione del gomito) Questa leva permette grandi spostamenti Si vede che la forza operata dal muscolo bicipite egrave massima quando lrsquoavambraccio egrave orizzontale (la distanza dal fulcro egrave massima) ed egrave minima quando lrsquoavambraccio egrave verticale( con la distanza dal fulcro nulla) Attenzione - la colonna vertebrale egrave costituita da 24 vertebre separate da dischi di liquido Quando una

persona si piega la schiena egrave una leva con GM molto piccolo Quindi un piegamento completo per raccogliere un oggetto anche leggero produce una forza molto intensa sul disco lombosacrale che separa lrsquoultima vertebra dellrsquoosso sacro Se indebolito questo disco puograve rompersi o deformarsi comprimendo i nervi vicini e causando grande dolore Vediamo un modello che rende conto come mai questa forza egrave cosigrave grande

Fig 50

I muscoli della schiena esercitano T Con un angolo α = 12deg quando la schiena egrave piegata a 90deg

Peso della parte superiore del corpo (circa il 65 del peso totale)

Fulcro lombosacrale (il fulcro produce R) Essendo α piccolo la retta di azione Τ passa vicino al fulcro e dunque la distanza r che costituisce il suo braccio egrave molto piccola Al contrario il peso egrave perpendicolare alla colonna e il suo punto di applicazione egrave molto piugrave distante dal fulcro Τ deve essere molto grande per equilibrare il momento di P Dunque se T egrave grande anche la sua componente orizzontale egrave grande e di conseguenza anche R che costituisce la reazione dellrsquoosso sacro deve avere componente orizzontale molto grande per equilibrare Τ (uguale ed opposta alla componente orizzontale di Τ ) Facendo i conti si ottengono numeri grandi per 75Kg di peso T ed R sono equivalenti al peso di una massa di 220Kg Senza sollevare pesi solo piegandosi Conviene piegare le ginocchia quando si sollevano pesi - Nel corpo egrave difficile che il peso cada sulla verticale dellrsquoarticolazione che lo sostiene egrave sempre

un porsquo spostato e crsquoegrave un tendine con un muscolo che compensa il momento del peso - La contrazione muscolare egrave una successione di brevi contrazioni delle fibre muscolari stimolate

da impulsi che provengono dal sistema nervoso Contrazioni sono molto ravvicinate e avvengono in tempi differenti nelle diverse parti del muscolo cosigrave che il risultato apparente egrave una lenta e progressiva contrazione Se la frequenza degli impulsi aumenta la tensione cresce finchegrave si raggiunge la tensione massima (ricordare la tensione di un cavo) Un ulteriore aumento della frequenza degli impulsi a questo punto non causa ulteriore aumento della tensione

La tensione massima egrave proporzionale allrsquoarea della sezione trasversa del muscolo nel suo punto piugrave largo La tensione massima dipende anche dalla lunghezza del muscolo che varia Si ottiene tensione massima quando il muscolo egrave solo di poco allungato rispetto alla sua lunghezza di riposo di riposo ed egrave circa 30-40 Ncm2 La tensione massima si riduce moltissimo se il muscolo egrave molto allungato o accorciato Dinamica Rotatoria Fino ad ora abbiamo studiato moti traslatori ma il moto di un corpo rigido egrave in generale roto-traslatorio Naturalmente dobbiamo ridurre il problema complesso ad uno piugrave semplice e per fare ciograve immaginiamo di posizionarci su un sistema di riferimento solidale al corpo rigido i moto immaginiamo cioegrave di ldquosedercirdquo sul corpo rigido In questo modo non saremo piugrave sensibili al moto traslatorio e guardando il corpo rigido osserveremo solo le sue rotazioni Trattiamo allora il moto generico scomponendo la parte traslatoria (giagrave discussa ) da quella rotatoria Se si trascura la parte traslatoria del moto di un corpo rigido quello che rimane da trattare egrave la sua rotazione Nel nostro corso consideriamo le rotazioni che avvengono su un piano le rotazioni nello spazio potranno essere trattate come composizione di rotazioni su un piano Per le rotazioni su un piano si identifica un asse di rotazione perpendicolare al piano di rotazione e passante per il centro di rotazione Le articolazioni del gomito e del ginocchio sono articolazioni libere di ruotare intorno ad un asse a differenza ad esempio di quella della spalla che puograve ruotare intorno a due assi Si definisce spostamento angolare la variazione di una posizione che egrave definita in modo completo da una misura di angolo Una rotazione di un intero corpo rigido egrave definita in modo completo da uno spostamento angolare θfin - θin= ∆θ e si misura in radianti

Fig 51 Dobbiamo definire anche un verso di rotazione θ si incrementa per rotazioni antiorarie positive le rotazioni in senso orario sono invece negative La velocitagrave angolare si definisce analogamente alla velocitagrave lineare come il rapporto tra lo spostamento angolare e il tempo t impiegato per eseguire tale rotazione

ωm = t∆

∆θ e si misura in rad s

θin

θfin ∆θ

R

S

Anche per w si definisce ωist = lim ∆trarr0 t∆

∆θ

Ancora lrsquoaccelerazione angolare si definisce αm = t∆

∆ω e αist = lim ∆trarr0

t∆∆ω

Anche la legge fondamentale della dinamica ha un analogo nel ambito dei moti rotatori Si stabilisce che se ad un corpo rigido egrave soggetto ad un momento torcente diverso da zero esso subisce unrsquoaccelerazione angolare ad esso proporzionale Nel caso delle rotazioni la resistenza al moto egrave espressa dal momento di inerzia I associato al corpo rigido che gioca il ruolo della massa nei moti traslatori La legge della dinamica delle rotazioni egrave M = I middotα

E sostituendo M = Imiddott∆

∆ω= Imiddot

tinfin

∆minusωω

Il momento di inerzia I di un corpo rigido dipende dalla disposizione della massa del corpo rispetto allrsquoasse di rotazione per una massa puntiforme m a distanza R dallrsquoasse di rotazione I= m R2 per un oggetto esteso sommerograve il momento drsquoinerzia delle sue parti I = Σi mi Ri

2 Se si definisce momento angolare L il prodotto del momento drsquoinerzia per la velocitagrave angolare

L=Iω la legge della dinamica diventa

M = t

LL infin

∆minus

Il momento angolare egrave la grandezza fisica che si conserva se non viene applicato momento torcente Tutti i gesti di volo salti lanci tuffihellip sono azioni nelle quali si conserva il momento angolare Infatti in volo agisce solo la forza di gravitagrave che essendo applicata al CDM non genera momento torcente Il corpo umano nei gesti di volo Il corpo umano non egrave rigido e pertanto in volo agendo con i muscoli possiamo cambiare la disposizione del nostro corpo intorno al centro di massa che in volo coincide col centro di rotazione In questo modo si ottiene una variazione del momento di inerzia I e di conseguenza la velocitagrave angolare deve compensare questa variazione in modo che si mantenga costante il momento angolare L (grandezza che si conserva in assenza di momento torcente) Ersquo questo il principio che spiega il realizzarsi delle trottole sul ghiaccio dei salti mortali tuffi con avvitamento e cosigrave via in posizione raccolta I diminuisce e ω aumenta Moto circolare e moto circolare uniforme Per utilizzare le relazioni della cinematica e della dinamica lineare che abbiamo studiato egrave interessante poter passare dalle variabili angolari alle variabili lineari velocitagrave e accelerazione delle

masse in moto rotatorio Se una massa si muove su una traiettoria curva la velocitagrave tangenziale vt diretta come la tangente alla traiettoria dipende dalla velocitagrave angolare ω ( ωm=ϑ t )e dal raggio di curvatura della traiettoria Se la traiettoria egrave una circonferenza di raggio R e se gli angoli sono espressi in radianti lrsquoarco percorso per uno spostamento angolare ϑ egrave S = ϑ sdotR e la velocitagrave lineare tangente vt = St= ϑ sdotRt risulta vt = ωsdotR Se la velocitagrave angolare ω egrave costante il moto egrave detto circolare uniforme La legge oraria egrave quella dei moti uniformi spostamenti angolari uguali in tempi uguali ϑ(t) = ω t Anche la velocitagrave tangente saragrave di intensitagrave costante se ω egrave costante (archi uguali per tempi uguali s(t) = vt (t) ) ma crsquoegrave una accelerazione normale infatti la velocitagrave anche se non cambia in modulo cambia continuamente di direzione Questa accelerazione si dice centripeta egrave diretta normalmente rispetto alla traiettoria verso il centro della circonferenza e vale in modulo

ac=R

v2

Fig 52 Essendo la velocitagrave tangente vt = ωR Lrsquo accelerazione centripeta si puograve scrivere

ac =R

v2

= ω2 R

Il tempo impiegato dal punto a muoversi sulla circonferenza egrave una costante (moto uniforme) T periodo in T viene percorso uno spazio 2π R

v = T

Rπ2

La frequenza f egrave invece il ndeg di giri al secondo

f =T

1

Se si prendono punti diversi sul raggio della circonferenza questi hanno la stessa velocitagrave angolare e velocitagrave tangenziali crescenti al crescere del raggio Esempio carosello dei pattinatori Esercizi

1- un velocista con una velocitagrave di 10 ms viaggia su una curva di raggio 25m ndash accelerazione

a = R

v2

= 25

100 = 4 ms2

2 ndash un velocista con v = 92 ms su una pista circolare con ac = 38 m s2 ndash Raggio della pista Tempo per percorrere un giro completo

a = R

v2

rArr R = a

v2

= 83

)29( 2

= 2227m

T =v

Rπ2 =

29

27222 lowastπ = 152 sec

Forza centripeta forza centrifuga Una forza centripeta egrave una forza di qualunque natura che trattiene un corpo in moto su una traiettoria curvilinea ad esempio circolare In assenza di tale forza il corpo proseguirebbe il suo moto lungo una traiettoria rettilinea Nel gesto del lancio del martello ad esempio il lanciatore che esercita sul peso in cima allrsquoattrezzo una forza mediata dalla tensione dal cavo che lo trattiene nella traiettoria circolare Quando il lanciatore lascia la maniglia il martello viene lanciato lungo la direzione della tangente alla traiettoria nellrsquoistante di rilascio Lrsquointensitagrave della forza centripeta necessaria a mantenere una massa m in moto con velocitagrave tangente v lungo una traiettoria circolare di raggio r si puograve calcolare a partire dallrsquoaccellerazione centripeta secondo la legge fondamentale della dinamica

|rarr

cF | = m | rarr

ca | = m r

v2

Tale forza egrave diretta come lrsquoaccelerazione centripeta e cioegrave verso il centro della circonferenza che costituisce la traiettoria La forza centripeta egrave dunque una forza reale Con lsquoforza centrifugarsquo invece non ci si riferisce ad un forza che agisce su un corpo ma alla situazione apparente cui sembra sottoposto un corpo in moto curvilineo Esso pare tirato o attirato lontano dal centro di rotazione pare ci sia una lsquoforzarsquo che vuole farlo sfuggire Quando viene lasciato il martello si allontana dal centro di rotazione percheacute si muove di moto rettilineo uniforme non essendo piugrave soggetto a forze altre che la forza peso Lrsquoacqua esce dal cestello della lavatrice quando il cestello ruota velocemente (funzione centrifuga) percheacute lrsquoacqua che non costituisce un corpo solo con il cestello bucato non egrave soggetta alla forza centripeta e puograve passare attraverso i buchi I panni invece pure non parte del cestello sono troppo grandi per passare dai buchi si possono solo schiacciare contro le pareti questo schiacciamento sembra il risultato di una forza ma egrave invece il risultato dellrsquoassenza di una forza quella centripeta Una volta lagrave contro il cestello fanno tuttrsquouno con le pareti di metallo che esercitano su di essi la forza centripeta (cioegrave con direzione verso lrsquoasse di rotazione) che li mantiene in rotazione Le parti di un corpo rigido esteso che si muove di moto rotatorio rispetto ad un asse quale ad esempio la gamba di un giocatore di calcio che calcia un pallone sono soggette alla forza centripeta che le mantiene sulla traiettoria curva Tale forza viene trasmessa alle varie parti tramite le forze di tensione che si sviluppano allrsquointerno del corpo stesso ad esempio il piede egrave soggetto alla forza centrifuga tramite lrsquoazione dei legamenti e tendini a livello della caviglia che vengono messi in tensione per trattenere il piede stesso

La teoria del moto egrave riassunta dalle tre leggi formulate da Isaac Newton fondate sulle basi del genio di Galileo Galilei Prima legge del moto Ogni corpo rimane nel suo stato di quiete o mantiene il suo stato di moto a velocitagrave costante se nessuna forza agisce su di esso o se la risultante delle forze ad esso applicate egrave nulla Questa proprietagrave del moto egrave detta anche ldquoprincipio di inerziardquo o ldquoprimo principio della dinamicardquo Velocitagrave costante significa che il vettore velocitagrave egrave costante cioegrave non variano modulo direzione e verso Quindi lrsquounico moto possibile in assenza di forze applicate egrave quello rettilineo uniforme (Tale legge non puograve essere verificata se si prende in considerazione un sistema di riferimento che si muove di moto accelerato Per esempio se utilizzo un sistema di riferimento solidale con lrsquoabitacolo di unrsquoautomobile o di un aereo che stanno accelerando o frenando i corpi possono scivolare lrsquoacqua contenuta in un bicchiere vi si puograve rovesciare addosso come soggetta ad una forza In realtagrave ciograve avviene proprio perchegrave questi corpi tendono a mantenere il loro stato di moto e lsquodisubbidisconorsquo alla variazione di velocitagrave che ciograve che egrave solidale col sistema di riferimento sta subendo I sistemi di riferimento nei quali si verifica la prima legge della dinamica si chiamano sistemi di riferimento inerziali e sono da essa implicitamente definiti) Seconda legge del moto Questa legge formulata inizialmente da Galileo e poi riproposta da Newton egrave detta anche ldquolegge fondamentale della dinamicardquo

rarrF = m

rarra

La forza rarrF egrave un vettore dato dal prodotto del vettore accelerazione

rarra per uno scalare m ed egrave

diretto come rarra Questa legge come si vede egrave una legge vettoriale Se piugrave forze agiscono sul

corpo di massa m la legge vale per il ldquovettore risultanterdquo che egrave la somma vettoriale di tutte le forze che agiscono sul corpo Lrsquoaccelerazione egrave diretta come il vettore risultante delle forze

Si possono definire le componenti di rarrF lungo gli assi del sistema di riferimento e la legge del

moto vale componente per componente Fx = max Fy = may Fz = maz

Lrsquounitagrave di misura della forza egrave il newton (N) 1N = 1Kg m s2

E la relazione dimensionale egrave[ ]N = [ ]2minusmlt Se la forza (o la risultante delle forze) applicata al corpo egrave nulla egrave anche nulla lrsquoaccelerazione e visto che lrsquoaccelerazione egrave definita come la variazione della velocitagrave divisa per il tempo la variazione della velocitagrave saragrave anchrsquoessa nulla Ciograve significa che la velocitagrave si mantiene costante Quindi in assenza di forze applicate il corpo rimane fermo se inizialmente era fermo e continua a muoversi con velocitagrave costante se inizialmente si muoveva come giagrave affermato dalla prima legge Terza legge del moto Dal concetto di forza che esprime lrsquointerazione tra i corpi deriva anche quello che viene comunemente detto ldquoil principio di azione e reazionerdquo o ldquoterzo principio della dinamicardquo ad ogni azione corrisponde sempre una reazione uguale e contraria cioegrave se due corpi A e B interagiscono in

modo che il corpo A eserciti una forza rarrF sul corpo B allora il corpo B esercita sul corpo A una

forza rarr

F = - rarrF Si noti che le due forze NON sono applicate allo stesso corpo

rarrF agisce su

B e rarr

F agisce su A Lrsquoapplicazione di questo principio egrave molto importante quando si considerano le forze che si realizzano al contatto tra due corpi e in particolare per le forze applicate da muscoli tendini legamenti e ossa del corpo umano Forze particolari Forza gravitazionale Newton nel descrivere il moto dei corpi celesti ha stabilito la presenza di una forza di interazione a distanza tra due corpi che chiamiamo forza di gravitagrave e ha fornito lrsquoespressione che la governa

FG = -G 2

21

R

mm GG ( legge di attrazione universale)

dove mG 1 e mG 2 sono le masse gravitazionali dei due corpi R egrave la distanza tra le due masse (considerate puntiformi) e G egrave una costante numerica che vale 667 x 10-11 Nm2kg2 1 Nm2kg2 egrave anche 1m3kg s2 Il segno meno sta a indicare che la forza egrave attrattiva La forza gravitazionale viene rappresentata con un vettore il cui modulo egrave dato dalla legge di Newton e che ha la direzione della congiungente i centri di massa delle due masse La forza di attrazione lsquosentitarsquo dalla massa mG 2 dovuta a mG 1 ha il verso che punta su mG 1 e contemporaneamente la forza di attrazione misurata dalla massa mG 1 dovuta a mG 2 ha il verso che punta su mG 2m (le due forze sono lrsquoazione e la reazione della terza legge della dinamica Perchegrave nellrsquoesperienza comune non si osserva che una matita attiri unrsquoaltra matita su un tavolo La forza attrattiva gravitazionale esiste fra di loro ma egrave molto piccola (la costante G egrave molto piccola) ed egrave contrastata completamente dalle forze di attrito (che discuteremo fra breve) La Terra su cui viviamo ha invece una massa molto grande M = 597 x 1024 kg e quindi puograve esercitare una forza piugrave che apprezzabile su altre masse anche se piccole come quella della matita (la matita cade dal tavolo) Chiamiamo forza peso la forza di gravitagrave FG esercitata dalla Terra su ogni corpo ad essa vicino e che origina dallrsquointerazione gravitazionale per la quale tutti i corpi si attirano fra di loro La forza peso viene spesso indicata con P che agisce su un corpo di massa mG vale

P = -G 2T

GGTerra

R

mM equiv - g mG con g equiv G

2T

GTerra

R

M

Dove MG Terra egrave la massa della Terra ed RT egrave il raggio della Terra (RT = 6370km) Il valore di g risulta

g = 667 x 10-11 2

3

kgs

m223

24

)106379(

10975

mx

kgx = 98 ms2 e ha le dimensioni di unrsquo accelerazione

La forza di attrazione gravitazionale alla quale una massa mG egrave soggetta vicino alla superficie di un altro pianeta egrave diversa Infatti la massa e il raggio degli altri pianeti sono diversi da quelli della Terra e quindi g assume un altro valore Si puograve dire che il peso di un corpo cambia sui diversi pianeti o sulla Luna mentre la massa gravitazionale egrave la grandezza fisica fondamentale propria di ogni corpo

Ersquo molto importante ora applicare la seconda legge della dinamica o legge fondamentale della dinamica F = m a ad un corpo soggetto alla sola forza peso sulla superficie della Terra cioegrave quando F egrave la forza peso P ora definita F = m a P = m a -g mG = m a Abbiamo voluto lasciare indicato il pedice G percheacute in principio non crsquoegrave ragione percheacute la grandezza con le dimensioni di una massa che compare nella legge di gravitazione sia uguale alla massa implicitamente definita dalla relazione di proporzionalitagrave tra la F applicata e lrsquoaccelerazione subita da un corpo data dalla seconda legge della dinamica Si egrave tuttavia dimostrato sperimentalmente che la massa gravitazionale mG (introdotta nella legge di attrazione universale e la massa m che si dice massa inerziale ed egrave definita tramite la seconda legge della dinamica sono uguali hanno lo stesso valore Questo permette di semplificare le due masse nellrsquoequazione e di ottenere -g = a che significa che lrsquoaccelerazione di una corpo soggetto alla forza peso sulla superficie della terra vale a = ndashg equiv -98 ms2 NB lrsquoaccelerazione vale 98 ms2 per tutti i corpi di qualsiasi massa Infatti sui corpi con massa maggiore vengono esercitate forze maggiori in modo proporzionale alla loro massa (corpi con massa maggiore lsquopesano di piugraversquo) cosigrave da produrre sempre la stessa accelerazione Si egrave soliti assumere che g sia costante e che non dipenda dalla quota h alla quale ci si trovi al di sopra della superficie terrestre Questa egrave unrsquoapprossimazione molto buona nei limiti in cui hltlt RT Infatti g diminuisce con la quota per esempio se h = 8000m (circa sul monte Everest) lrsquoaccelerazione di gravitagrave g si riduce a

2

2

)6378000(

)6370000( x g = 099749 x g = 97754 m s2 (meno del 25 per mille)

Forze di superficie Forze di contatto Alla superficie di contatto tra due corpi si realizzano le forze che chiamiamo appunto di superficie e che si dividono in forze di contatto e forze di attrito Le forze di contatto

La forza normalerarr

NF egrave la forza che un corpo sperimenta quando egrave appoggiato su di una superficie

Si chiama normale percheacute egrave sempre diretta perpendicolarmente alla superficie Se la superficie egrave orizzontale Fig16

Fc

FN

Piano orizzontale Calcolare lrsquointensitagrave della forza normale applicata ad un oggetto di massa m fermo su un tavolo orizzontale Per il primo principio della dinamica (principio di inerzia) se un corpo e fermo la risultante delle forze ad esso applicate egrave nulla cioegrave

rarrP +

rarr

NF = 0

In questo caso la forza normale rarr

NF egrave un vettore che ha lo stesso modulo e la stessa direzione del

vettore forza pesorarrP ma ha verso opposto Quindi il modulo di

rarr

NF vale |rarr

NF | = mg

Piano inclinato

Nel caso di un piano inclinato dovrograve tenere conto che rarr

NF puograve compensare solo la parte di rarrP

diretta normalmente al piano (infatti se non crsquoegrave attrito il corpo scivola lungo il piano inclinato) Se ϑ egrave lrsquoangolo che il piano inclinato forma con lrsquoorizzontale il piano inclinato fornisce al corpo una

forza normale che in modulo vale | rarr

NF | = m g cosϑ

Fig 17 4 ndash Salto con molleggio Un uomo con massa m = 70kg salta da unrsquoaltezza L = 2m Arrivando al suolo molleggia sulle ginocchia per un tratto l = 02 m Si calcoli la forza di reazione che il suolo esercita sui piedi durante il molleggio Si consideri il molleggio come una frenata che avviene con accelerazione (negativa) costante Fig 18

F

FN

Cadendo da unrsquoaltezza L allrsquoistante in cui il piede tocca il suolo la velocitagrave Vs egrave data dalla risoluzione del sistema di equazioni cinematiche per il moto uniformemente accelerato con t0 il tempo di caduta Vs = gt0 L = frac12 gt0

2 Vs = (2gL) frac12 La forza di reazione che esercita il suolo sul piede durante il molleggio egrave quella che imprime lrsquoaccelerazione (negativa) a di frenata (piugrave il peso del corpo mg)Il corpo si ferma in un tratto l Questa frenata si tratta con le equazioni del moto uniformemente accelerato 0 = Vs ndash at l = Vs t ndash frac12 at2 (essendo t il tempo di frenata) dalla prima equazione t = Vs a che introdotto nella seconda equazione permette di calcolare a a = frac12 Vs

2l e con Vs = (2gL) frac12 si ottiene a = g (Ll) e quindi la forza di reazione Fr = mg + ma egrave data da Fr = mg (Ll + 1) = 70 x 98 x (202 + 1) N = 7546Newton Si noti che al peso si aggiunge una forza che egrave il peso moltiplicato per un fattore (ldquofattore di cadutardquo) dato dal rapporto tra lrsquoampiezza del salto e il tratto di molleggio Questa forza si trasmette dal piede allrsquoarticolazione delle ginocchia e cosigrave via Tensione

Quando una corda egrave attaccata ad un corpo e viene tirata si dice che la corda egrave sotto tensione

La tensione rarrT cui egrave sottoposta la corde in ogni sua parte egrave una forza pari alla forza che si applica

sia al corpo sia alla mano che lo tira ai due estremi della corda ed egrave sempre diretta lungo la corda Fig 19 Anche con una carrucola cioegrave con la corda che si curva intorno ad una rotella la tensione ha intensitagrave T lungo la corda Una corda egrave utile in questo caso per cambiare la direzione e il verso di applicazione di una forza la mano tira verso il basso ma la massa egrave sottoposta ad una forza verso lrsquoalto

Fig20 I tendini del corpo umano sono corde e vengono utilizzati anche per variare la direzione di applicazione delle forze esercitate dai muscoli Forza di attrito

Lrsquoattrito fa parte dellrsquoesperienza quotidiana nel bene e nel male Da una parte fa consumare piugrave benzina (20 per motore e trasmissione) ma anche la suola delle scarpe il battistrada delle gomme e i gomiti del maglione dallrsquoaltra consente il movimento i nodi tengono i chiodi fissano etc Un libro che scivola su un tavolo orizzontale si fermerebbe se non mantenessi una forza costante che contrasta lrsquoattrito su una superficie ruvida il movimento genera lui stesso una forza che decelera il moto Per mantenere in moto rettilineo uniforme un corpo che scivola sopra un piano bisogna applicare al corpo una forza che serva a neutralizzare questa forza ldquospontaneardquo(detta di attrito) in modo che la risultante delle forze applicate sia nulla Anche lrsquoinizio del moto egrave contrastato dalla forza di attrito (statico) che assume un valore uguale e contrario a quello della forza che applico fino a raggiungere un valore massimo (valore limite) Il corpo non si muove resiste al moto Oltre quel valore limite cioegrave se applico una forza sufficientemente intensa il corpo inizia a muoversi Situazione

Fig 21 Un blocco appoggiato sul piano orizzontale egrave fermo rarrP

verso il basso e rarr

NF verso lrsquoalto sono uguali in modulo

Se applico una forza rarrF per spostare il corpo verso destra insorge una forza di attrito statico

P

FN

il cui modulo vale |rarr

sattF _ | = smicro |

rarr

NF | ( smicro egrave il coefficiente di attrito statico il suo valore dipende

dalla natura dei materiali a contatto) esercitata orizzontalmente dal piano che uguaglia in

intensitagraverarrF ma di verso opposto in modo che il corpo non si muove Se aumento

rarrF aumenta

anche rarr

sattF _

Fig22 Diagramma delle forze applicate al blocco

Raggiunto un certo valore di rarrF il corpo ha uno ldquostrappordquo e comincia a muoversi nella direzione

di rarrF verso destra ostacolato dalla una forza di attrito dinamico

rarr

dattF _ generalmente inferiore al

valore max di rarr

sattF _ (egrave piugrave facile mantenere un corpo in moto che muoverlo da fermo)

(Il passaggio da un regime allrsquoaltro egrave allrsquoorigine degli stridii da attrito ndash quello ad esempio del gesso sulla lavagna - o anche del suono del violino) - Proprietagrave dellrsquoattrito riassunte

1 ndash Corpo fermo la forza di attrito statica rarr

sattF _e la componente di

rarrF parallela alla superficie

hanno uguale intensitagrave e si annullano 2 ndash limite di scivolamento la massima forza di attrito per due materiali posti a contatto egrave proporzionale alla forza normale tramite un coefficiente di attrito statico smicro

| rarr

sattF _(max)| = smicro |

rarr

NF |

smicro egrave un coefficiente adimensionale che assume valori diversi per diverse coppie di materiali

3 ndash il corpo inizia a muoversi il valore della forza di attrito decresce rapidamente fino a

|rarr

kattF _ | = kmicro |rarr

NF | proporzionale alla forza normale tramite un coefficiente di attrito dinamico kmicro

adimensionale e dipendente dalla coppia di materiali in considerazione

P

FN

F Fatt

Attenzione |rarr

sattF _| e

rarr

kattF _ | sono proporzionali non a |

rarrP | ma a |

rarr

NF | quindi nel caso di un

piano inclinato bisogna considerare la componente di rarrP perpendicolare al piano

rarr

NF equilibra

solo la parte di rarrP perpendicolare al piano

Attenzione le equazioni per |rarr

sattF _| e |

rarr

kattF _| non sono vettoriali le forze di attrito non sono

dirette come la forza normale rarr

NF ma parallele al piano

Durante una corsa allo scatto si usano i blocchi di partenza per sfruttare la reazione del blocco alla forza muscolare di spinta Data lrsquoinclinazione dei blocchi la forza di reazione del blocco sul atleta si massimizza nella direzione del moto

rArr si fa uso della ldquoazione-reazionerdquo Fig 23 Durante la corsa si sfrutta il coefficiente di attrito statico per mantenere un piede fermo a terra mentre lrsquoaltro avanza Per non superare il limite di scivolamento allrsquoindietro del piede di appoggio la forza che si esercita sul terreno deve avere una componente normale al terreno di intensitagrave opportunamente elevata In ogni caso se smicro egrave basso si ha lrsquoeffetto del camminare sul ghiaccio

Lrsquouso di scarpette chiodate non aumenta il valore di smicro che egrave il coefficiente drsquoattrito tra due

superfici ldquoliscerdquo piuttosto hanno una funzione simile a quella di mini blocchi di partenza permettono di esercitare una forza sul tartan lungo la direzione del moto cioegrave parallelamente alla pista Resistenza del mezzo Consideriamo un corpo che si muove in aria Esso incontra una resistenza da parte dellrsquoaria che agisce in modo da opporsi al movimento del corpo cioegrave ha la stessa direzione e verso opposto a quella del moto

rarrD forza di resistenza del mezzo o forza aerodinamica (detta anche forza viscosa) si

|rarrD | =

2

1 cρAv2 (limite di alte velocitagrave eo alte viscositagrave)

D egrave proporzionale al quadrato della velocitagrave (termine v2 ) Inoltre D egrave proporzionale ad A lrsquoarea efficace della sezione trasversa (lrsquoarea presentata dal corpo nella direzione del moto vedi la posizione a uovo dei discesisti di sci o dei ciclisti) ρ egrave la densitagrave del mezzo Ersquo intuitivo che la resistenza D dipenda dalla densitagrave del mezzo infatti il corpo per procedere deve ldquofarsi stradardquo spostando le molecole del mezzo Quindi piugrave il mezzo egrave rarefatto piugrave egrave facile ldquofarsi stradardquo e inferiore egrave la resistenza D Con c si indica il coefficiente di penetrazione (il cosiddetto cx che dipende dalla forma geometrica del corpo) La forma (oltre che

lrsquoarea efficace A) influenza la resistenza opposta dal mezzo percheacute una ottimizzazione della forma (affusolata migliorare il Cx) porta a ridurre la formazione di turbolenze nellrsquoaria intorno al corpo Casco dei ciclisti o discesisti con forma a punta posteriore

non riduce la sezione trasversa A ma piuttosto migliora il Cx

Fig 24 Nel nuoto lo sbattere i piedi serve soprattutto per mantenere il corpo orizzontale e quindi a ridurre la sezione A Il lavoro viene fatto per lo piugrave dalle braccia (75) In acqua anche se la velocitagrave v egrave bassa D egrave significativa percheacute la viscositagrave del mezzo egrave grande Per ridurre le turbolenze negli sport di velocitagrave diventa essenziale utilizzare accorgimenti quali nascondere dadi e cavi nelle biciclette togliere cerchietti delle racchette da sci Tagliare i capelli o rasarsi le gambe sono sempre modi di ridurre anche le piccole turbolenze Velocitagrave limite di caduta di un grave in aria

La forza rarrD di frenamento durante la caduta libera li un corpo in aria ha verso opposto a quello

della forza pesorarrP che accelera il corpo verso il basso Se

rarrP egrave costante il corpo accelera con

accelerazione rarrg ie aumenta la velocitagrave verso il basso ma aumentando v dunque v2 aumenta

D Ciograve prosegue fincheacute D diventa di intensitagrave uguale P con verso opposto rarrD = -

rarrP A questo

punto la risultante delle forze agenti sul corpo in caduta egrave nulla (sumrarrF =

rarrD + (-

rarrP ) e dalla

seconda legge (fondamentale) della dinamica si ha che lrsquoaccelerazione rarra del corpo egrave nulla

rArr Il corpo non accelera piugrave e mantiene velocitagrave costante massima La velocitagrave raggiunta detta velocitagrave limite vlim egrave tale da verificare lrsquouguaglianza

D = 2

1cρAv lim

2 = mg = P quindi rArr vlim = (2mg cρA) frac12

La vlim raggiunta dai paracadutisti puograve essere variata modificando A tramite dei cambiamenti dellrsquoassetto in volo Questo permette ai paracadutisti di raggiungersi per fare figure in aria Lrsquoapertura del paracadute fa aumentare di molto A rendendo la velocitagrave limite molto piugrave bassa Anche le gocce di pioggia raggiungono la velocitagrave limite (v asymp 7msec in 6m) nella loro caduta Ad esempio cadendo da 1200m le gocce di pioggia raggiungono la terra con la velocitagrave limite di circa 7msec e non con la velocitagrave di 150msec che avrebbero se non ci fosse lrsquoazione di frenamento D (dei veri proiettili)

Senza D rarr vfin = 150ms

Con D rarr vfin = vlim = 7ms Fig 25 Forza elastica La forza elastica egrave una forza non costante

L lunghezza di riposo della molla Fig 26 Una massa m egrave vincolata ad una parete con una molla Se tiro la massa la molla si estende diciamo di un tratto x La molla esercita una forza di richiamo proporzionale allrsquoallungamento x (piugrave si allunga maggiore egrave la forza F di richiamo) F = -kx ldquorichiamordquo cioegrave di verso opposto allrsquoallungamento Ecco la ragione del segno (-) Se raggiunta una certa estensione la molla viene rilasciata essa si ricomprimeragrave ritorneragrave alla lunghezza di riposo L poi si schiacceragrave di un tratto x dalla parte opposta e nuovamente agiragrave la forza di richiamo (che egrave variabile in quanto varia con il variare di x) La massa oscilla attorno alla posizione di riposo k egrave la costante elastica della molla Lrsquoespressione della forza elastica vale per i respingenti del treno (k grande) come per la molla della biro (k piccola) come per lrsquoelastico del saltatore dal ponte Impulso di una forza La legge fondamentale della dinamica F = ma puograve essere scritta esprimendo lrsquoaccelerazione con la sua relazione definitoria (vf - vi)t

F = mt

vv if minus e quindi portando il tempo t al primo membro

)( if vvmtF minussdot=sdot oppure vmtF ∆sdot=sdot

Si dice ldquoimpulso ldquo di una forza il prodotto della forza per il tempo durante il quale viene applicata tF sdot (se la forza non egrave costante lrsquoimpulso egrave lrsquointegrale della forza nel tempo in cui viene applicata)

Scritta in questo modo lrsquoequazione fondamentale della dinamica puograve essere letta cosigrave 1) Supponiamo che un corpo vari la sua velocitagrave di una quantitagrave ∆v = vf - vi tanto piugrave lungo egrave il tempo t durante il quale questa variazione avviene tanto minore egrave la forza che deve essere sviluppata per ottenere tale variazione della velocitagrave In questi termini si capisce ad esempio lrsquoutilitagrave delle cinture di sicurezza che allungando i tempi durante i quali in caso drsquoincidente la velocitagrave del passeggero (che non egrave solidale con la vettura) passa da un valore vi iniziale a zero determina una riduzione della la forza cui il passeggero stesso egrave sottoposto durante il breve tempo dellrsquoimpatto (la forza che le ossa e le articolazioni possono sopportare egrave limitata) Si vede anche come funziona lrsquoelastico del jumper finchegrave lrsquoelastico non egrave completamente svolto (ltL) la forza che agisce sul jumper egrave P (la forza peso) poi progressivamente la forza elastica di richiamo contrasta P quindi il jumper decelera progressivamente per un lungo intervallo di tempo e lo lsquostrapporsquo (F applicata) necessario per contrastare P e fermare il jumper applicato sulle sue gambe e a cascata su tutte le sue articolazioni (secondo il terzo principio) egrave di entitagrave minore 2)Lrsquoimpulso totale prodotto tF sdot nella direzione ottimale egrave la grandezza fisica che stabilisce lrsquoefficacia di un gesto di spinta o di lancio non la massima forza espressa o la durata dellrsquoazione di spinta Lavoro di una forza ndash lavoro meccanico

- 1deg caso Forza costante rarrF

Immaginiamo una forza rarrF che agisce su un corpo durante il suo spostamento Immaginiamo cosi

che il punto di applicazione di questa forza si sposti nello spazio di un tratto rarrs Viene detto

lavoro della forza rarrF la quantitagrave

L = rarrF middot

rarrs = F middot smiddot cosϑ (prodotto scalare di

rarrF per

rarrs )

(prodotto scalare tra i due vettori) Fig 27 Il lavoro egrave una quantitagrave scalare cioegrave egrave descritta completamente da un numero da un valore Tale

valore puograve essere positivo o negativo a seconda che la componente di rarrF lungo

rarrs sia equiversa o

di verso opposto a rarrs Se

rarrF e

rarrs hanno la stessa direzione e se lo spostamento avviene nel

senso di rarrF diciamo che il lavoro egrave positivo (e viceversa negativo) Lrsquointensitagrave del lavoro puograve

variare tra un valore massimo e uno minimo per gli stessi valori del modulo di rarrs e di

rarrF a

rarrs

seconda del valore di cosϑ Il lavoro egrave massimo per cosϑ = 1 (cioegrave per ϑ = 0) (rarrF diretto come

rarrs ) Il lavoro egrave minimo ( L = 0) per cosϑ = 0 cioegrave per ϑ = 90deg (

rarrF perpendicolare a

rarrs )

Puograve darsi il caso che piugrave forze agiscono sullo stesso punto Allora si puograve calcolare il lavoro totale egrave la somma dei lavori di tutte le forze applicate

Ltot = sum Li = sum (rarr

sdotiFrarrs )

Dimensioni di L [ L ]= [ F ][ s ] = mmiddot l middot t-2 middot l = ml2 t-2 Unitagrave di misura di L 1 joule = 1N middot 1m ( 1J ) Lavoro della forza peso durante la caduta di un grave Un grave cade vicino alla superficie della terra sotto lrsquoazione della forza di gravitagrave cioegrave sottoposto ala forza peso P diretta verso il basso percorrendo un dislivello h Il lavoro compiuto dalla forza peso si calcola come

LP = rarrP middot

rarrs = Pmiddot smiddot cosϑ

notando che lo spostamento s (verso il basso) e la forza P sono paralleli con verso concorde pertanto ϑ = 0 e cosϑ = 1 e che | P| = mmiddot g si ottiene LP = mmiddot gmiddot h per uno spostamento s = h (dislivello) Lavoro meccanico nel sollevamento pesi Durante questo gesto sul bilanciere oggetto dellrsquoapplicazione delle forze si esercitano la forza peso P e la forza muscolare dellrsquoatleta Naturalmente entrambe le forze lavorano ma i due lavori si oppongono uno allrsquoaltro (ricorda che il lavoro puograve essere positivo o negativo) Il lavoro positivo deve essere nel verso del moto quindi egrave quello della forza muscolare dellrsquoatleta il lavoro di P invece egrave negativo e se il bilanciere si alza di una quota h si calcola facilmente seguendo il procedimento del paragrafo precedente ottenendo LP = - mmiddotgmiddoth (ϑ = π e cosϑ = -1 ) Calcoliamo il lavoro della forza musculare seguendo lrsquoesempio qui proposto Esempio Un atleta solleva un bilanciere di peso 2500N allrsquoaltezza di 2m (sopra la sua testa) Quanto lavoro meccanico compie la sua forza muscolare Supponiamo che il sollevamento avvenga a velocitagrave costante con accelerazione nulla allora il per il

primo principio della dinamica le forze applicate al bilanciere devono essere tali chesumrarr

iF = 0

Quindi la forza peso P = mmiddot g deve essere controbilanciata dalla forza applicata dallrsquoatleta Fm

Quindi rarr

mF = - rarrP

con Fm = 2500N Il lavoro La fatto dallrsquoatleta vale

Lm = rarr

mF middot rarrs = 2500 N middot 2m middot 1 = 5000 J (sollevamento verticale quindi ϑ = 0 e cosϑ = 1)

Quanto lavoro fa la forza peso

Lp = rarrP middot

rarrs = 2500 middot 2 middot (-1) = -5000 J

(percheacute ϑ = π e cosϑ = -1) Quanto lavoro fa lrsquoatleta mentre sostiene il peso fermo sopra la testa L = 0 percheacute non crsquoegrave spostamento Qui si parla di lavoro meccanico non di lavoro fisiologico diciamo che si fa fatica percheacute crsquoegrave da mantenere integrordquo un corpo non rigido che egrave il corpo dellrsquoatleta quindi si il lavoro delle contrazioni muscolari per mantenere lrsquoequilibrio e ldquolrsquointegritagraverdquo egrave la misura del lavoro fisiologico necessario anche se il lavoro meccanico compiuto egrave nullo 2deg caso Forza variabile Nel caso in cui F egrave una forza variabile che dipende dalla posizione ogni volta che avviene uno spostamento∆ x la forza cambia Il lavoro totale saragrave la somma dei lavori elementari fatti sui tratti piccoli sui quali la forza puograve essere assunta costante

Ltot = iii xxF ∆sdotsum )(

( Se si fa il limite per ∆ xi piccolo rarr 0 e la isum egrave lrsquointegrale Ltot = int sdotxtin

xinxdxF )( )

Ad esempio la forza F puograve essere la forza di richiamo di una molla vincolata al muro Lrsquointensitagrave della forza elastica varia durante lo spostamento aumentando con lrsquoallungamento (o la compressione) della molla ed ha la direzione parallela allo spostamento ma puograve avere verso concorde o discorde quindi con cosϑ che vale o +1 o ndash1 Immaginiamo di avere un blocco attaccato alla molla e di tirarlo da Xin a Xfin allora

F(x) = - kx Fig 28

Il lavoro della forza elastica si calcola sommando i lavori infinitesimali compiuti per spostamenti infinitesimi durante i quali la forza si assume costante Ciograve egrave rappresentato graficamente nel calcolo lrsquoarea compresa al di sotto della curva del grafico di F (Fig 28A) In figura si egrave cambiato il segno della funzione forza per comoditagrave di rappresentazione

Fig 28A

Area = differenza aree dei due triangoli = AABB kxxkxx sdotminussdot2

1

2

1

Ricordandoci del segno

L infin = 22

2

1

2

1infin kxkx +minus e in generale L = 2

2

1kx

Se si calcola il lavoro della forza di richiamo durante un allungamento della molla si ha lavoro negativo mentre durante il ritorno alla posizione di equilibrio il lavoro egrave positivo (segno dello spostamento x e della forza concordi) Energia cinetica Il termine ldquoenergiardquo indica la capacitagrave di compiere lavoro Lrsquoenergia cinetica egrave la proprietagrave che rende conto quantitativamente del legame fra il lavoro compiuto ed il moto generato Avevamo detto piugrave o meno lo stesso parlando della seconda legge della dinamica riferendoci alle forze Qui col lavoro non egrave necessaria la descrizione dettagliata delle forze che agiscono sul punto in considerazione Ersquo sufficiente conoscere il loro lavoro totale

Lrsquoenergia cinetica K = 2

1mv2 (gt 0 percheacute m gt 0 v2 gt 0 ) (m e v sono la massa e la velocitagrave del

corpo) Lrsquounitagrave di misura e le dimensioni di K sono le stesse del lavoro Joule ( J ) e [ ]K = [ ]22 minustml

Teorema dellrsquoenergia cinetica Se una forza F compie un lavoro L su un punto materiale di massa m si ha una variazione dellrsquoenergia cinetica pari al lavoro compiuto

Xfin Xin

F

0

ksdotxfin

ksdotxin

F= ksdotx

x

LAB= -area

L = Kfin ndash Kin = ∆ K Nel caso che piugrave forze agiscono sul punto materiale il teorema dellrsquoenergia cinetica si applica al lavoro totale (equivalentemente al lavoro della risultante ) E il caso dellrsquoatleta che solleva il peso di 2500N Sappiamo che ha compiuto un lavoro di 5000J ma il bilanciare con i pesi era fermo allrsquoinizio ed egrave fermo alla fine Quindi Kin = 0 e Kfin = 0 percheacute vin = 0 e vfin = 0 Allora il teorema dellrsquoenergia cinetica Vale per il lavoro totale o lavoro della forza totale e noi abbiamo visto che la forza netta totale = 0 ( Fa + P = 0 ) ed il lavoro totale egrave nullo quindi giustamente si ha ∆ K = 0 1)Caso di una palla da tennis che cade

la forza peso rarrP compie un lavoro positivo con spostamento concorde a

rarrP si dovrebbe avere

∆ K gt 0 infatti la velocitagrave v aumenta 2)Caso di una palla lanciata verso lrsquoalto

lo spostamento ha verso opposto a rarrP Il lavoro della forza peso egrave negativo e quindi ∆ K egrave

negativo giusto La velocitagrave diminuisce NB Durante il volo agisce solo la forza di gravitagrave quindi il lavoro totale comiuto sul corpo egrave solo quello della gravitagrave 3)Caso del moto circolare uniforme la forza che agisce egrave la forza centripeta che egrave perpendicolare allo spostamento Quindi non compie lavoro deve essere ∆ K = 0 Iinfatti il moto egrave uniforme cioegrave la velocitagrave egrave in modulo costante Potenza Si chiama potenza il lavoro che si egrave in grado di svolgere nellrsquounitagrave di tempo

P = t

L

∆ ( potenza media )

P = t

Lt ∆

∆rarr∆ 0lim ( potenza istantanea)

Non egrave solo una stima del lavoro compiuto ma anche della rapiditagrave con cui si compie lavoro

Fig 29 Per superare il muro ci vuole un certo lavoro che consiste nellrsquoinnalzare il proprio corpo di unrsquoaltezza h Sia lrsquoatleta che lo supera in un sol balzo sia il vecchietto che sale pian piano la scalinata faranno lo stesso lavoro Quel che egrave diverso egrave la potenza dei due personaggi Dimensioni e unitagrave di misura della potenza [ ]P = [L] [t -1] = [ml2t-3] 1 watt = 1 joule 1sec (1w)

Energia Potenziale K egrave energia connessa allo stato di moto di un sistema Crsquoegrave anche energia connessa alla posizione di un corpo in un campo di forze (configurazione) Si chiama energia potenziale Nel caso dellrsquoatleta di sollevamento pesi il lavoro compiuto dallrsquoatleta Lm non ha alterato lrsquoenergia cinetica K dellrsquoattrezzo ma ha modificato la configurazione del sistema (terra-attrezzo) variandone lrsquoenergia potenziale (W) Il lavoro non egrave stato sprecato ma ldquoimmagazzinatordquo lrsquoattrezzo prima egrave a terra poi egrave in alto nel sistema che ora ldquopotenzialmenterdquo puograve compiere un lavoro cedendo la sua ldquoenergia potenzialerdquo Energia cinetica ed energia potenziale sono due parti dellrsquoenergia meccanica possono trasformarsi lrsquouna nellrsquoaltra ed in lavoro Nellrsquoesempio precedente quando lrsquoattrezzo egrave in alto si ha che K = 0 e W = WA Quando cade K aumenta percheacute la velocitagrave v aumenta e lrsquoenergia potenziale W diminuisce In basso W = WB lt WA e K egrave massima Lrsquoattrezzo cadendo puograve compiere lavoro Se fosse un martello potrebbe far avanzare un chiodo ad esempio Lrsquoenergia potenziale viene definita proprio a partire dal concetto di lavoro di forze conservative Ersquo conservativa una forza il cui lavoro per spostare il suo punto di applicazione da una posizione (configurazione) ad unrsquoaltra dipende solo dalle due posizioni (configurazioni) iniziale e finale Equivalentemente si puograve definire la forza conservativa dicendo che il lavoro di tale forza egrave nullo se le posizioni (configurazioni) iniziali e finali coincidono

-Lavoro per passaggio dalla posizione A a B egrave lo stesso lungo I o II -Se da A vado a B e torno in A il lavoro totale egrave nullo

Fig 30 Posso allora definire una funzione della posizione W che assume i valori WA e WB in A e B e tale per cui LAB = WA ndash WB ( W energia potenziale) WA WB sono definiti a meno di una costante tanto quello che interessa egrave la differenza fra loro Variazione di energia potenziale del passaggio da A a B WB ndash WA = ∆W allora LAB = -∆ W Con questa convenzione sui segni si rende conto del fatto che un lavoro positivo ( fatto dalle forze conservative sul corpo) fa diminuire lrsquoenergia potenziale W ( L positivorarr ∆W negativo rarr WBlt WA rarr ho usato energia potenziale) un lavoro negativo (subito) aumenta W (L negativo rarr ∆W positivo rarr WBgt WA rarr ho guadagnato energia potenziale) W si misura in Joule come il lavoro e lrsquoenergia cinetica

Qual egrave la Forma di W

Mentre la forma dellrsquoenergia cinetica egrave sempre K =2

1mv2 indipendentemente dal tipo di forze

che provocano il movimento W dipende dal tipo di forza conservativa di cui si sta calcolando il lavoro Consideriamo due forze conservative

a) Forza gravitazionale forza peso

F(y) = -mg Stato di riferimento y0 = 0 in cui W0 = 0

Fig31

Abbiamo detto che LAB = WA- WB ma siccome

LAB = )( ABhmgsP minussdotminus=sdot dove hAB= yA-yB egrave la distanza tra A e B allora rArr WA = mgyA WB = mgyB e in generale W(y) =mgy

Per la forza peso W(y) =mgy e lrsquoenergia totale meccanica (W+K) = mgy+2

1mv2=Etot

b) Forza elastica

Fig 32

F(x) = -kx Stato di riferimento x = 0 allungamento nullo la lunghezza della molla egrave la sua lunghezza di riposo L ( W(0) = 0)

Immaginiamo che la configurazione della molla venga modificata passando dalla posizione xA alla posizione xB (Fig 32) Il lavoro della forza elastica egrave calcolato come

LAB = 22

2

1

2

1AB kxkx +minus

Ricordando che LAB = WA- WB possiamo ricavare lrsquoespressione per lrsquoenergia potenziale elastica

rArr WA = 2

2

1Akx WB = 2

2

1Bkx e in generale W(x) = 2

2

1kx

Energia totale meccanica ndash Conservazione dellrsquoenergia

In presenza di sole forze conservative la somma dellrsquoenergia cinetica e dellrsquoenergia potenziale costituisce lrsquoenergia totale meccanica Tale energia meccanica gode della proprietagrave importantissima di conservarsi durante lrsquoevoluzione del sistema Lrsquoenergia connessa al movimento e alla posizione si scambiano una diminuisce e lrsquoaltra cresce ad esempio ma la loro somma rimane costante

- Esempio delle montagne russe Se non ci sono attriti (infatti il trucco egrave quello di rendere il

sistema privo di attriti) so giagrave quale altezza massima potrograve raggiungere (quella iniziale e non di piugrave) quale velocitagrave massima potrograve raggiungere (in fondo alla valle) Queste quantitagrave sono fra loro legate dal teorema della conservazione dellrsquo energia meccanica

Fig 33 - Esempio del salto con lrsquoasta Lrsquoenergia cinetica dellrsquoatleta acquisita nella rincorsa viene

trasformata in energia potenziale gravitazionale parte direttamente e parte attraverso lrsquoenergia potenziale elastica dellrsquoasta acquisita nella sua deformazione durante il salto La flessibilitagrave dellrsquoasta (costante elastica dellrsquoasta) egrave legata allrsquoenergia che si puograve immagazzinare in una data deformazione Infatti con aste rigide (alluminio acciaio bambugrave) il salto era piugrave basso Con fibra di vetro il record egrave stato polverizzato

Fig 34

Fig 35

Fig 36

Osserviamo che il teorema dellrsquoenergia cinetica ha validitagrave generale qualunque siano le forze che agiscono conservative o non conservative (le forze non conservative si dicono anche ldquodissipativerdquo)

KLL

KL

fncfc

tot

∆=+∆=

e ricordando che darr Lfc = - )( fcW∆

Si ottiene che K∆ + )( fcW∆ = Lfnc

Si vede che nel caso in cui Lfnc sia nullo cioegrave quando non ci sono forze dissipative la somma delle variazioni di energia cinetica e energia potenziale egrave uguale a zero cioegrave lrsquoenergia totale meccanica (somma dellrsquoenergia cinetica e potenziale) egrave costante E questo corrisponde al teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica Nel caso ci siano forze dissipative la somma delle energie non egrave costante quindi al contrario del teorema dellrsquoenergia cinetica il teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica non ha validitagrave generale (vale solo in assenza di attriti ad esempio) Le forze non conservative di attrito compiono lavori solo negativi e fanno perdere quantitagrave di energia non recuperabile Parte di questa energia va in generale in calore quindi se ne puograve tenere conto considerando unrsquoaltra forma di energia lrsquoenergia termica ( ci sono anche altri fenomeni dissipativi ad esempio le deformazioni permanenti negli urti o la propagazione di onde sonore)

Lrsquo energia puograve dunque conservarsi o trasferirsi proprietagrave caratterizzanti dellrsquoenergia Il lavoro rende conto del trasferimento di energia della perdita di energia sotto una forma e del guadagno sotto unrsquoaltra forma (cioegrave energia conservativa) o del passaggio dellrsquoenergia da un sistema ad un altro Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica quando egrave applicabile puograve essere sfruttato per risolvere facilmente problemi altrimenti complicati Esercizio Una palla da tennis viene lanciata con velocitagrave iniziale v0 (senza effetti strani taglio etc) al di lagrave della rete Con quale velocitagrave arriva a terra

Se durante il moto Etot si conserva K+W = cost

Fig 37 e W = mgh egrave solo energia potenziale gravitazionale h = 0 alla fine come allrsquoinizio dunque K in = Kfin e vfin = v0 Se la palla egrave lanciata verso lrsquoalto non crsquoegrave componente orizzontale della velocitagrave ma solo verticale al punto piugrave alto di arresto h K(h) = 0 W(h) = max = Kin cioegrave mgh = frac12 mv0

2 si puograve cosigrave calcolare facilmente lrsquoaltezza massima raggiunta h = (frac12 v0

2)g e vicenversa si puograve calcolare il valore della velocitagrave v0 che bisogna imprimere alla palla affinchegrave raggiunga lrsquoaltezza h

v0 = gh2

Esercizio Una saltatrice di massa M = 61Kg salta da un ponte di altezza H = 45m agganciata ad una corda elastica La lunghezza di riposo della corda elastica egrave L = 25m e la sua costante elastica egrave k = 160 Nm Nel punto piugrave basso si arresta prima di venire rimbalzata in alto Qualrsquo egrave lquesta quota piugrave bassa h (a cui si trovano i suoi piedi ai quali egrave legato lrsquoelastico)

Fig 38 Etot = Wgrav + Wel + K = cost sono solo forze conservative vale la conservazione

dellrsquoenergia Nel punto A K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di lanciarsi Wel = 0 percheacute lrsquoelastico non egrave ancora svolto Wgrav = MgH Nel punto B K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di rimbalzare

Wel = frac12 kd2 Wgrav = Mgh = Mg(H-(L+d)) Etot(A) = Etot (B) MgH + 0 + 0 = Mg (H-(L+d)) + frac12 kd2 + 0 MgH = MgH ndash MgL ndash Mgd +frac12 kd2

2

1(160)d2 ndash (61)(98)d ndash (61)(98)(25) = 0

equazione di IIdeg grado che dagrave per d il valore accettabile d = 179m (lrsquoaltro egrave negativo e non egrave accettabile perchegrave non ha senso fisico la

saltatrice va in giugrave non in su) Allora h = H-(L+d) = 45 ndash (25+179) = 45 ndash 429 = 21m quindi con la testa poco sopra lrsquoacqua Sistemi di punti materiali e corpi rigidi ndash Centro di Massa

Un giocoliere o un ginnasta che lancia la clavette fa compiere allrsquoattrezzo movimenti complicati tuttavia crsquoegrave un punto dellrsquoattrezzo che si muove seguendo una traiettoria semplice come quella di un punto materiale ad esempio lanciato segue una traiettoria parabolica Tale punto si chiama centro di massa dellrsquooggetto Il centro di massa puograve essere definito per un oggetto o per un insieme di punti materiali Ersquo importante percheacute in generale il moto di un corpo esteso (o di un insieme di punti) si puograve studiare separando il moto del centro di massa (moto traslatorio) e il moto del corpo attorno al centro di massa (moto rotatorio)

Centro di Massa (CDM) di un sistema di punti - Consideriamo il caso semplice di due punti materiali di massa m1 m2 posti sullrsquoasse x in

posizione x1 x2

Fig 39

la posizione del centro di massa egrave definita xCDM = 21

2211

mm

xmxm

++

a) xCDM egrave compreso fra x1 e x2 b) se m1 = m2 CDM egrave a metagrave strada fra m1 ed m2 c) xCDM egrave piugrave prossimo alla massa maggiore - Nel caso di piugrave punti allineati nelle posizioni xi detto M = summi allora

xCDM = ii xmMsum

1

- Nel caso di punti distribuiti nello spazio detti irrarr

i vettori che identificano le loro posizioni

CDMrrarr

= iii rmM

rarrsum

1

dove CDMrrarr

ha coordinate (xCDM yCDM zCDM) definite come

xCDM = ii xmsumη1

yCDM = ii ymMsum

1

zCDM = ii zmMsum

1

- Consideriamo un oggetto qualsiasi questo egrave composto da un gran numero di particelle ma conviene considerarlo come un continuo di materia e per calcolare il centro di massa si prendono in considerazione degli elementi infinitesimi di massa dm centrati intorno alle posizioni (xyz) allora

xCDM = int xdmM

1 yCDM = int ydm

M

1 zCDM = int zdm

M

1

se si puograve considerare il corpo omogeneo (densitagrave uniforme) allora V

M

dv

dm = e allora si puograve fare il

calcolo considerando il volume V e gli elementi di volume dv anzichegrave la massa e gli elementi di massa

xCDM = int xdvV

1 etc

In un oggetto solido (corpo rigido) i diversi punti materiali che lo compongono non cambiano la loro posizione relativa (non come un corpo elastico) - se un oggetto ha un elemento di simmetria un asse od un piano il CDM si trova su tale

elemento di simmetria (asse per cono centro per sfera piano per una banana etc) Non egrave detto che il CDM di un oggetto appartenga allrsquooggetto vedi uno pneumatico un cerchio Il CDM egrave esterno alloggetto Legge fondamentale della dinamica per un sistema di punti materiali Caso della palla da bigliardo urto fra due palle dopo il lancio di una le due si muovono 1) una egrave ferma (B) lrsquoaltra la lancio (A) 2) le due si urtano in qualunque modo 3) le due si muovono secondo traiettorie differenti una possibilmente andragrave in buca lrsquoaltra no Dopo il lancio sulla palla A non agisce piugrave nessuna forza quindi la sua velocitagrave v egrave costante Va bene ma dopo lrsquourto Il CDM delle due palle continua a muoversi con velocitagrave costante anche se il centro di massa egrave un punto teorico che non appartiene a nessuna delle due palle Tuttavia al CDM possiamo assegnare una massa (M totale del sistema) una velocitagrave ed una accellerazione Si ha

)(CDMext aMFrarrrarr

=sum

a) extFrarr

sum egrave la somma di tutte le forze esterne che agiscono sul sistema non quelle interne (ad esempio nel caso del bigliardo non devo considerare le forze che si applicano fra le due palle quando si urtano)

b) M egrave la massa totale del sistema Si suppone che durante il moto M rimanga costante

c) )(CDMararr

egrave lrsquoaccelerazione del CDM Dellrsquoaccellerazione di un altro punto ad esempio del centro della palla A non si dice nulla

Cosideriamo alcuni esempi 1) Bigliardo tvaF CDMCDMext cos00 ===sum prima dellrsquourto nellrsquourto si verificano solo forze

interne Quindi tvaF CDMCDMext cos00 ===sum dopo lrsquourto e durante tutto il moto

2) Sistema terra-luna sumFext = gravitazione del sole aCDM egrave ldquocentripetardquo accellerazione di una

forza che egrave diretta verso il sole (forza ldquocentralerdquo) egrave il CDM terra-luna che segue la traiettoria dovuta allrsquoattrazione gravitazionale del sole poi terra e luna si muovono intorno al loro CDM

3) Clavette lanciate sum Fext = Mg aCDM = g il centro di massa si comporta come un punto materiale nel lancio

4) La ballerina nel ldquogrand-fetegraverdquo fa seguire a testa e busto una traiettoria rettilinea percheacute modifica lrsquoassetto in modo da alzare il suo CDM Nel corso del salto (alza le braccia e distende

orizzontalmente le gambe non appena lasciato il suolo) il suo CDM segue la traiettoria parabolica del lancio di un corpo soggetto allrsquoaccelerazione di gravitagrave g

Quantitagrave di moto rarrP

- Si definisce quantitagrave di moto di una particella il vettore

rarrrarr= vmP

con m massa della particella e rarrv la sua velocitagrave

Si vede che rarrP egrave diretto come

rarrv

Newton scrisse la legge fondamentale della dinamica in termini di quantitagrave di moto (a differenza di Galileo che la scrisse in termini di massa e di accelerazione) ldquola rapiditagrave di variazione della quantitagrave di moto di una particella egrave proporzionale alla forza netta che agisce sulla particella ed egrave nella direzione di quella forzardquo cioegrave

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

che egrave piugrave generale della formulazione di Galileo perchegrave descrive bene anche il caso in cui variasse la massa del corpo durante il moto (ad esempio un vettore spaziale) Se la massa egrave costante le due formulazioni sono identiche

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

= t

vm

∆∆

rarr)(

= m t

v

∆∆

rarr

= m rarra

Ricordiamo che rarrF egrave diretto come

rarra (o la risultante

rarrR = sum

rarrF )

Per un sistema di punti materiali si definisce la quantitagrave di moto totale

rarrP =

rarrP 1 +

rarrP 2 + helliphellip+

rarrP n =

m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +helliphelliphellip+ mn

rarrv n = M

rarrv CDM (si puograve dimostrare) dove M egrave la massa totale

[essendo infatti Mrarrv CDM =

dt

d(M

rarrr CDM) =

dt

d(m1

rarrr 1 + m2

rarrr 2 +hellip) = m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +

hellip]

quindi rarrP = M

rarrv CDM per un sistema di particelle e

dt

Pdrarr

= M dt

d rarrv CDM = M

rarra CDM = sum

rarrF ext

Conservazione delle quantitagrave di moto

Per un sistema chiuso (M non varia) e isolato (sumrarrF ext = 0)

Allora

t

P

∆∆

rarr

= 0 rarrP = cost

rarrP i =

rarrP f

che sono tre modi equivalenti per dire che la quantitagrave di moto si conserva Vale per un sistema nel quale non agisca nessuna forza esterna netta Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica e la conservazione delle quantitagrave di moto sono due concetti fisici importantissimi Valgono sia per le palle da bigliardo che per qualunque altro sistema anche le galassie nellrsquouniverso Queste equazioni sono vettoriali Ciograve significa che rappresentano una terna di equazioni scalari ognuna valida sul proprio asse del sistema di riferimento (x y z)

Puograve accadere a seconda delle forze che agiscono nel sistema che la quantitagrave di moto si conservi in una direzione o in due e non in tutte e tre

Ad esempio se consideriamo una palla come un insieme di punti materiali la rarrF ext che agisce nel

sistema egrave mrarrg diretta lungo z senza componenti su x e y quindi

rarrP varia lungo z ma

non su x e y

Percheacute ldquocomplicarci la vitardquo con questa storia del CDM del sistema di particelle etchellip non bastava il moto del punto rappresentativo materiale Avevamo giagrave considerato il punto rappresentativo e avevamo svolto anche problemi sulla palla sul bilanciere e per altri oggetti Abbiamo sempre sbagliato La questione egrave se un corpo egrave rigido cioegrave se tutti i suoi punti si muovono mantenendo le loro distanze relative non crsquoegrave problema abbiamo solo visto che il punto materiale rappresentativo si chiama CDM ed abbiamo imparato a situarlo allrsquointerno del corpo Ma se il corpo non egrave rigido cioegrave se il suo CDM si sposta rispetto a lui stesso nel corso del moto la disposizione del corpo intorno al punto rappresentativo varia nel corso del tempo e le leggi di conservazione valgono per il CDM - Consideriamo ad esempio il teorema dellrsquoenergia cinetica che per un punto materiale si scrive Ltot = Kfin-K in = ∆ K (qui ovviamente non crsquoegrave da specificare lavoro delle forzeldquoesternerdquo percheacute essendo in un punto materiale che si assume infinitamente piccolo non ci sono forze ldquointernerdquo) Per analogia il teorema dellrsquoenergia cinetica si estende al caso di un insieme di punti materiali nel seguente modo

Ltot forze ext=rarrF extmiddot

rarrs CDM = ∆ KCDM

Dove s CDM egrave lo spostamento del centro di massa A titolo di esempio risolviamo il problema un giocatore di hockey su ghiaccio di massa M = 110Kg si muove verso la balaustra a bordo campo alla velocitagrave di 3msec Nellrsquoarrestarsi flettendo le braccia il suo CDM si sposta in avanti di 30cm Qual egrave la ∆ K del suo CDM durante la manovra

∆ KCDM = infin CDMCDM mvmv 22

2

1

2

1 minus =

= 0 - 2

1110 32 = -495 J

Fig 40

Sia L il lavoro delle forze esternerarrF ext (dirette come d

rarrx CDM ) allora

L = - Fext 03 = ∆ KCDM quindi

Fext =30

495

minusminus

= + 1650N

( si considera la forza esterna rarrF ext costante nellrsquointervallo dellrsquoarresto fatto che equivale a dire

che il giocatore si arresta con rarra CDM costante)

Dinamica e statica del corpo esteso Finora abbiamo sempre discusso del moto di un punto materiale (punto rappresentativo dicevamo sempre) In particolare abbiamo sempre applicato le forze a quel punto materiale quindi se diverse forze erano applicate esse concorrevano in quel punto ligrave e con le forze concorrenti sapevamo come calcolare la risultante con il metodo grafico o con quello numerico delle coordinate cartesiane Una volta calcolata la risultante applicata al punto si otteneva un moto di pura traslazione del punto (al massimo traslava lungo una traiettoria curva) senza rotazioni proprie del punto che non hanno neanche senso un punto che ruota su se stesso Come faccio ad accorgermi Un punto per definizione egrave infinitamente piccolo (Dicevamo infine che il punto egrave in equilibrio

traslazionale se la risultante rarrR delle forze applicate egrave nullo)

Consideriamo invece un corpo esteso Prima osservazione questo ha piugrave punti (direi infin ) a

cui la forza puograve essere applicata Prendiamo una racchetta da tennis ed una forza rarrF applicata il

moto che ne risulta dipende dal punto al quale viene applicata la forza rarrF

qui la racchetta trasla

Fig 41

stessa forza qui la racchetta ruota

Fig 42

Seconda osservazione Crsquoegrave un caso in cui le forze non possono essere fatte concorrere in un punto ed egrave quando sono parallele ed hanno rette di applicazione distinte Chiaramente non abbiamo mai dovuto considerare questo caso per il punto materiale percheacute per un punto non possono mai passare due rette parallele Ma per il corpo esteso So benissimo che se sono ferma con la macchina in

panne e la sto spingendo applicando una forza rarrF 1 sono contenta se qualcuno si affianca a me ed

esercitando una forza rarrF 2 lungo una direzione parallela a quella della mia mi aiuta a spingere In

particolare mi viene spontaneo dire che se F1 = F2 allora spingeremo con una forza doppia Ci saragrave quindi un modo per sommare due forze non concorrenti in un punto ma parallele e saragrave Ftot = F1+ F2 La retta di applicazione di Ftot divide il segmento congiungente i punti di applicazione di F1 ed F2 in due segmenti inversamente proporzionali allrsquointensitagrave delle forze F1 e F2 Terza osservazione se F1 = - F2 sono uguali in intensitagrave ma di verso opposto sempre lungo due rette di applicazione parallele passanti per un corpo esteso cosa succede La loro somma Ftot risultante saragrave 0 ma io so che il corpo non sta fermo sotto lrsquoazione di tali due forze ma ruoteragrave Concludo che le nozioni che ho acquisito finora vanno riviste ed ampliate o corrette o specificate per i corpi estesi ed inoltre che mi mancano totalmente i mezzi per descrivere le rotazioni dei corpi estesi Occorrono nuovi concetti nuove quantitagrave la forza non basta Prendo lrsquoesempio piugrave semplice dellrsquoaltalena con due bambini in due bracci uno piugrave leggero uno piugrave pesante

Fig 43 Qualitativamente so che percheacute lrsquoaltalena stia in equilibrio e non ruoti intorno al punto fisso non egrave necessario che i due bambini abbiano lo stesso peso (ugual massa) occorre che il bambino piugrave leggero sieda piugrave lontano rispetto al punto fisso (fulcro) La regola quantitativa dice che lrsquoaltalena egrave in equilibrio se il prodotto del peso per la distanza del fulcro egrave uguale PB dB = Pb

db Per generalizzare questa regola ai casi piugrave complessi occorre definire una nuova quantitagrave il momento di una forza Momento di una forza

Consideriamo una forza rarrF applicata ad un punto P ed un punto O Sia

rarrr

il vettore rarrOP allora il momento

rarrM di

rarrF rispetto ad O egrave

rarrM =

rarrr x

rarrF

e

|rarrr | middot |

rarrF | sin ϑ = |

rarrM |

Fig 44

oppure anche considerando la componente di rarrF perpendicolare ad

rarrr o di

rarrr

perpendicolare a rarrF r e rispetto a F

|rarrM | = |

rarrr | |

rarrF perp | |

rarrM | = |

rarrr perp| |

rarrF |

In generale si dice che il modulo del momento |rarrM | egrave il prodotto delle intensitagrave della forza per la

distanza dal punto della retta di applicazione della forza

Come vettore rarrM egrave perpendicolare al piano che contiene

rarrF ed

rarrr ed ha verso calcolato con la

regola della mano destra (con rarrr che si chiude su

rarrF )

La distanza rperp si chiama braccio della forza Si vede che il momento egrave nullo quando il braccio egrave nullo cioegrave quando il punto O si trova sulla retta di applicazione di F Il momento della forza peso P egrave nullo rispetto al baricentro che coincide con il centro di massa nel caso (praticamenteldquosemprerdquo) in cui il corpo non sia abbastanza esteso percheacute diversi punti del corpo risentano di una forza gravitazione differente Praticamente si deve parlare di galassie percheacute CDM e baricentro (BC) non coincidono Quindi la condizione del momento nullo della forza peso diventa un modo per definire il CDM come quel punto rispetto al quale la forza peso P ha momento nullo Per un corpo ldquoarticolatordquo estendiamo il concetto di forza normale come forza di contatto nellrsquoarticolazione utile cioegrave la forza che lrsquoarticolazione che si sta considerando esercita su quello che nellrsquoarticolazione si appoggia La forza peso P di un corpo esteso puograve immaginarsi applicata al CDM Principio di equilibrio di un corpo esteso

se su un corpo esteso agiscono solo rarr

Peso e rarr

Normale cioegrave se un corpo egrave appoggiato ad un piano orizzontale allora il corpo egrave in equilibrio se e solo se il baricentro si trova sopra la superficie di appoggio

Fig 45

Finchegrave il baricentro egrave sopra il tavolo il libro non cade percheacute rarrP applicata a CDM puograve essere

controbilanciata da rarrN Se CDM si sposta in fuori

rarrN rimane nel tavolo e crsquoegrave momento non nullo

non equilibrato da rarrP che continua ad essere applicato nel CDM

Il baricentro di una persona in posizione eretta si trova nellrsquoarea delimitata dei suoi piedi 3cm davanti allrsquoarticolazione della caviglia

Fig 46 Quando la persona si piega in avanti il baricentro esce dal corpo e per mantenere lrsquoequilibrio egrave necessario che le anche si spingono indietro percheacute il baricentro cade di nuovo in quella posizione Notiamo che anche in posizione eretta essendo la forza peso e la forza di contatto non allineate (quei 3cm) (forza di contatto sullrsquoarticolazione della caviglia che regge il peso) occorre un momento correttivo che impedisca la rotazione in avanti mantenuto dal tendine di Achille che si lega alla caviglia Altro esempio di spostamento del baricentro egrave lrsquoatleta che assume una posizione ad L chi regge il peso egrave lrsquoarticolazione della spalla quindi il CDM si sposta sotto la spalla (giagrave era uscita dal corpo per via delle gambe distese in avanti) Nel camminare il baricentro continua a muoversi da sopra un piede a sopra un altro (quello appoggiato ovviamente) Si osservi lrsquoondeggiamento Per assurdo lrsquoancheggiare delle indossatrici serve a mantenere il baricentro il piugrave possibile fermo rispetto alla direzione media del moto (porre un piede esattamente davanti allrsquoaltro) rendendo piugrave facile muoversi anche con tacchi altissimi Al contrario lrsquoequilibrista che cammina sui trampoli sta fermo il meno possibile percheacute egrave stando fermo che il piccolo spostamento che fa uscire il baricentro (ALTO) dalla superficie drsquoappoggio puograve verificarsi facilmente preferisce il ldquonon ndash equilibriordquo o lrsquo rdquoequilibrio dinamicordquo dellrsquoondeggiare continuamente fra due posizioni di equilibrio

Ricordiamo che un equilibrio egrave detto stabile se quando una perturbazione lo altera spontaneamente il sistema lo ripristina Viceversa un equilibrio egrave instabile se la piugrave piccola perturbazione lo distrugge Lrsquoequilibrio egrave molto stabile se il baricentro egrave basso ed il corpo ha una grande area drsquoappoggio la posizione accucciata del giocatore di football americano dagrave grande stabilitagrave Ancor piugrave grande stabilitagrave si ha se il baricentro (CDM) si trova al di sotto della superficie drsquoappoggio Ersquo come se si fosse ldquoappesirdquo anzicheacute ldquoappoggiatirdquo alla superficie drsquoappoggio Proprio per questo motivo lrsquoequilibrista sul filo porta una lunga asta che spesso si flette agli estremi

Fig 47 Gli uccelli bipedi da 100000000 di anni hanno sviluppato questo adattamento per cui sono appesi alle anche mentre gli uomini bipedi da solo 1000000 di anni fanno fatica con il CDM dalla parte alta del corpo Ersquo un equilibrio instabile ldquosoprardquo le anche che le reggono (65 del peso del corpo) Modificazioni strutturali per reggere la posizione eretta 1) Colonna vertebrale rastremata (piugrave tozza in basso che in alto percheacute piugrave in basso vuol dire una

maggior forza di contatto) 2) Muscoli estensori della schiena 3) Gambe ed anche ingrossate 4) Ginocchio che blocca la gamba estesa Ciononostante si ha spesso il mal di schiena Se una forza ha momento non nullo rispetto ad un punto allora il corpo puograve ruotare intorno a quel punto sotto lrsquoazione di quella forza ldquoDiciamo che se sostengo il corpo per quel punto il corpo puograve ruotare intorno a quel puntordquo (Prendo in mano un foglio di carta per un estremo per esempio) La presenza di un momento non nullo egrave dunque la condizione che genera rotazione e viceversa Lrsquoassenza di un momento risultante egrave la condizione che genera lrsquoequilibrio rotazionale di un corpo esteso Quindi la condizione di equilibrio per un corpo esteso egrave

1) rarrR = 0 risultante delle forze applicate = 0 (equilibrio traslazionale)

2) rarrM = 0 momento risultante = 0 (equilibrio rotazionale)

Supponiamo di avere un corpo esteso al quale siano applicate delle forze che diano luogo ad un momento non nullo allora il corpo ruota Per equilibrarlo dovrograve applicare un altro momento tale che la loro somma sia nulla Questo egrave il principio di funzionamento delle leve LEVE

Una leva egrave un corpo esteso al quale sono applicate delle forze con un momento risultante rarrR

allora per portare il corpo in equilibrio applico un momento correttivo rarrP in modo che il momento

totale sia nullo Si dice in genere potenza (P) e resistenza (R) di una leva Le leve sono macchine semplici Servono per applicare forze in punti scomodi o in direzioni particolari Il fulcro egrave il punto nel quale la leva egrave incernierata Si definisce il guadagno meccanico di una leva

GM =

)(

)(rarr

rarr

PF

RF

cioegrave il rapporto fra la forza che genera il momento resistente e quella che genera il momento agente A seconda che GM sia gt

lt 0 una leva si dice che egrave vantaggiosa o svantaggiosa ma solo per quel che riguarda le forze percheacute per quel che riguarda i lavori non si ha neacute vantaggio neacute svantaggio Il lavoro esercitato dalla forza che dagrave la ldquopotenzardquo e quello esercitato dalla forza che dagrave la ldquoresistenzardquo sono sempre uguali Infatti forze e spostamenti sono inversamente proporzionali Le leve si dicono di I II o III specie a seconda se il fulcro si trovi I) in mezzo fra R e P (leva indifferente GM dipende da caso a caso) II) dalla parte di R (leva vantaggiosa il braccio di R egrave sempre minore del braccio di P basta

quindi una P minore per equilibrare una R maggiore) III) dalla parte di P (leva svantaggiosa) Classici esempi dei tre tipi di leve sono i remi (I) lo schiaccianoci (II) e la pinzetta per francobolli (III) Tuttavia vediamo degli esempi meno classici ma attinenti al campo della biologia e della medicina Criterio generale egrave che le leve vantaggiose consentono di essere molto potenti ma con brevi spostamenti mentre viceversa quelle svantaggiose fanno perdere in potenza ma consentono grandi spostamenti saragrave difficile vedere un cavallo che con le lunghe zampe si scava la tana drsquoaltronde una talpa scava bene la tana ma ha movimenti molto meno ampi che non le consentono di correre veloce come un cavallo (compromesso fra forza e velocitagrave del movimento) Se contiamo tutti i movimenti di rotazione che il corpo puograve compiere capiamo che siamo pieni di leve di ogni tipo Sono classici a) il capo fulcro (articolazione occipito-atlantoide) Fig 48 muscoli della nuca (Potenza) peso del capo (Resistenza) b)

muscolo bicipide (Potenza)

Fig 49 Peso dellrsquoavambraccio (Resistenza) Fulcro (articolazione del gomito) Questa leva permette grandi spostamenti Si vede che la forza operata dal muscolo bicipite egrave massima quando lrsquoavambraccio egrave orizzontale (la distanza dal fulcro egrave massima) ed egrave minima quando lrsquoavambraccio egrave verticale( con la distanza dal fulcro nulla) Attenzione - la colonna vertebrale egrave costituita da 24 vertebre separate da dischi di liquido Quando una

persona si piega la schiena egrave una leva con GM molto piccolo Quindi un piegamento completo per raccogliere un oggetto anche leggero produce una forza molto intensa sul disco lombosacrale che separa lrsquoultima vertebra dellrsquoosso sacro Se indebolito questo disco puograve rompersi o deformarsi comprimendo i nervi vicini e causando grande dolore Vediamo un modello che rende conto come mai questa forza egrave cosigrave grande

Fig 50

I muscoli della schiena esercitano T Con un angolo α = 12deg quando la schiena egrave piegata a 90deg

Peso della parte superiore del corpo (circa il 65 del peso totale)

Fulcro lombosacrale (il fulcro produce R) Essendo α piccolo la retta di azione Τ passa vicino al fulcro e dunque la distanza r che costituisce il suo braccio egrave molto piccola Al contrario il peso egrave perpendicolare alla colonna e il suo punto di applicazione egrave molto piugrave distante dal fulcro Τ deve essere molto grande per equilibrare il momento di P Dunque se T egrave grande anche la sua componente orizzontale egrave grande e di conseguenza anche R che costituisce la reazione dellrsquoosso sacro deve avere componente orizzontale molto grande per equilibrare Τ (uguale ed opposta alla componente orizzontale di Τ ) Facendo i conti si ottengono numeri grandi per 75Kg di peso T ed R sono equivalenti al peso di una massa di 220Kg Senza sollevare pesi solo piegandosi Conviene piegare le ginocchia quando si sollevano pesi - Nel corpo egrave difficile che il peso cada sulla verticale dellrsquoarticolazione che lo sostiene egrave sempre

un porsquo spostato e crsquoegrave un tendine con un muscolo che compensa il momento del peso - La contrazione muscolare egrave una successione di brevi contrazioni delle fibre muscolari stimolate

da impulsi che provengono dal sistema nervoso Contrazioni sono molto ravvicinate e avvengono in tempi differenti nelle diverse parti del muscolo cosigrave che il risultato apparente egrave una lenta e progressiva contrazione Se la frequenza degli impulsi aumenta la tensione cresce finchegrave si raggiunge la tensione massima (ricordare la tensione di un cavo) Un ulteriore aumento della frequenza degli impulsi a questo punto non causa ulteriore aumento della tensione

La tensione massima egrave proporzionale allrsquoarea della sezione trasversa del muscolo nel suo punto piugrave largo La tensione massima dipende anche dalla lunghezza del muscolo che varia Si ottiene tensione massima quando il muscolo egrave solo di poco allungato rispetto alla sua lunghezza di riposo di riposo ed egrave circa 30-40 Ncm2 La tensione massima si riduce moltissimo se il muscolo egrave molto allungato o accorciato Dinamica Rotatoria Fino ad ora abbiamo studiato moti traslatori ma il moto di un corpo rigido egrave in generale roto-traslatorio Naturalmente dobbiamo ridurre il problema complesso ad uno piugrave semplice e per fare ciograve immaginiamo di posizionarci su un sistema di riferimento solidale al corpo rigido i moto immaginiamo cioegrave di ldquosedercirdquo sul corpo rigido In questo modo non saremo piugrave sensibili al moto traslatorio e guardando il corpo rigido osserveremo solo le sue rotazioni Trattiamo allora il moto generico scomponendo la parte traslatoria (giagrave discussa ) da quella rotatoria Se si trascura la parte traslatoria del moto di un corpo rigido quello che rimane da trattare egrave la sua rotazione Nel nostro corso consideriamo le rotazioni che avvengono su un piano le rotazioni nello spazio potranno essere trattate come composizione di rotazioni su un piano Per le rotazioni su un piano si identifica un asse di rotazione perpendicolare al piano di rotazione e passante per il centro di rotazione Le articolazioni del gomito e del ginocchio sono articolazioni libere di ruotare intorno ad un asse a differenza ad esempio di quella della spalla che puograve ruotare intorno a due assi Si definisce spostamento angolare la variazione di una posizione che egrave definita in modo completo da una misura di angolo Una rotazione di un intero corpo rigido egrave definita in modo completo da uno spostamento angolare θfin - θin= ∆θ e si misura in radianti

Fig 51 Dobbiamo definire anche un verso di rotazione θ si incrementa per rotazioni antiorarie positive le rotazioni in senso orario sono invece negative La velocitagrave angolare si definisce analogamente alla velocitagrave lineare come il rapporto tra lo spostamento angolare e il tempo t impiegato per eseguire tale rotazione

ωm = t∆

∆θ e si misura in rad s

θin

θfin ∆θ

R

S

Anche per w si definisce ωist = lim ∆trarr0 t∆

∆θ

Ancora lrsquoaccelerazione angolare si definisce αm = t∆

∆ω e αist = lim ∆trarr0

t∆∆ω

Anche la legge fondamentale della dinamica ha un analogo nel ambito dei moti rotatori Si stabilisce che se ad un corpo rigido egrave soggetto ad un momento torcente diverso da zero esso subisce unrsquoaccelerazione angolare ad esso proporzionale Nel caso delle rotazioni la resistenza al moto egrave espressa dal momento di inerzia I associato al corpo rigido che gioca il ruolo della massa nei moti traslatori La legge della dinamica delle rotazioni egrave M = I middotα

E sostituendo M = Imiddott∆

∆ω= Imiddot

tinfin

∆minusωω

Il momento di inerzia I di un corpo rigido dipende dalla disposizione della massa del corpo rispetto allrsquoasse di rotazione per una massa puntiforme m a distanza R dallrsquoasse di rotazione I= m R2 per un oggetto esteso sommerograve il momento drsquoinerzia delle sue parti I = Σi mi Ri

2 Se si definisce momento angolare L il prodotto del momento drsquoinerzia per la velocitagrave angolare

L=Iω la legge della dinamica diventa

M = t

LL infin

∆minus

Il momento angolare egrave la grandezza fisica che si conserva se non viene applicato momento torcente Tutti i gesti di volo salti lanci tuffihellip sono azioni nelle quali si conserva il momento angolare Infatti in volo agisce solo la forza di gravitagrave che essendo applicata al CDM non genera momento torcente Il corpo umano nei gesti di volo Il corpo umano non egrave rigido e pertanto in volo agendo con i muscoli possiamo cambiare la disposizione del nostro corpo intorno al centro di massa che in volo coincide col centro di rotazione In questo modo si ottiene una variazione del momento di inerzia I e di conseguenza la velocitagrave angolare deve compensare questa variazione in modo che si mantenga costante il momento angolare L (grandezza che si conserva in assenza di momento torcente) Ersquo questo il principio che spiega il realizzarsi delle trottole sul ghiaccio dei salti mortali tuffi con avvitamento e cosigrave via in posizione raccolta I diminuisce e ω aumenta Moto circolare e moto circolare uniforme Per utilizzare le relazioni della cinematica e della dinamica lineare che abbiamo studiato egrave interessante poter passare dalle variabili angolari alle variabili lineari velocitagrave e accelerazione delle

masse in moto rotatorio Se una massa si muove su una traiettoria curva la velocitagrave tangenziale vt diretta come la tangente alla traiettoria dipende dalla velocitagrave angolare ω ( ωm=ϑ t )e dal raggio di curvatura della traiettoria Se la traiettoria egrave una circonferenza di raggio R e se gli angoli sono espressi in radianti lrsquoarco percorso per uno spostamento angolare ϑ egrave S = ϑ sdotR e la velocitagrave lineare tangente vt = St= ϑ sdotRt risulta vt = ωsdotR Se la velocitagrave angolare ω egrave costante il moto egrave detto circolare uniforme La legge oraria egrave quella dei moti uniformi spostamenti angolari uguali in tempi uguali ϑ(t) = ω t Anche la velocitagrave tangente saragrave di intensitagrave costante se ω egrave costante (archi uguali per tempi uguali s(t) = vt (t) ) ma crsquoegrave una accelerazione normale infatti la velocitagrave anche se non cambia in modulo cambia continuamente di direzione Questa accelerazione si dice centripeta egrave diretta normalmente rispetto alla traiettoria verso il centro della circonferenza e vale in modulo

ac=R

v2

Fig 52 Essendo la velocitagrave tangente vt = ωR Lrsquo accelerazione centripeta si puograve scrivere

ac =R

v2

= ω2 R

Il tempo impiegato dal punto a muoversi sulla circonferenza egrave una costante (moto uniforme) T periodo in T viene percorso uno spazio 2π R

v = T

Rπ2

La frequenza f egrave invece il ndeg di giri al secondo

f =T

1

Se si prendono punti diversi sul raggio della circonferenza questi hanno la stessa velocitagrave angolare e velocitagrave tangenziali crescenti al crescere del raggio Esempio carosello dei pattinatori Esercizi

1- un velocista con una velocitagrave di 10 ms viaggia su una curva di raggio 25m ndash accelerazione

a = R

v2

= 25

100 = 4 ms2

2 ndash un velocista con v = 92 ms su una pista circolare con ac = 38 m s2 ndash Raggio della pista Tempo per percorrere un giro completo

a = R

v2

rArr R = a

v2

= 83

)29( 2

= 2227m

T =v

Rπ2 =

29

27222 lowastπ = 152 sec

Forza centripeta forza centrifuga Una forza centripeta egrave una forza di qualunque natura che trattiene un corpo in moto su una traiettoria curvilinea ad esempio circolare In assenza di tale forza il corpo proseguirebbe il suo moto lungo una traiettoria rettilinea Nel gesto del lancio del martello ad esempio il lanciatore che esercita sul peso in cima allrsquoattrezzo una forza mediata dalla tensione dal cavo che lo trattiene nella traiettoria circolare Quando il lanciatore lascia la maniglia il martello viene lanciato lungo la direzione della tangente alla traiettoria nellrsquoistante di rilascio Lrsquointensitagrave della forza centripeta necessaria a mantenere una massa m in moto con velocitagrave tangente v lungo una traiettoria circolare di raggio r si puograve calcolare a partire dallrsquoaccellerazione centripeta secondo la legge fondamentale della dinamica

|rarr

cF | = m | rarr

ca | = m r

v2

Tale forza egrave diretta come lrsquoaccelerazione centripeta e cioegrave verso il centro della circonferenza che costituisce la traiettoria La forza centripeta egrave dunque una forza reale Con lsquoforza centrifugarsquo invece non ci si riferisce ad un forza che agisce su un corpo ma alla situazione apparente cui sembra sottoposto un corpo in moto curvilineo Esso pare tirato o attirato lontano dal centro di rotazione pare ci sia una lsquoforzarsquo che vuole farlo sfuggire Quando viene lasciato il martello si allontana dal centro di rotazione percheacute si muove di moto rettilineo uniforme non essendo piugrave soggetto a forze altre che la forza peso Lrsquoacqua esce dal cestello della lavatrice quando il cestello ruota velocemente (funzione centrifuga) percheacute lrsquoacqua che non costituisce un corpo solo con il cestello bucato non egrave soggetta alla forza centripeta e puograve passare attraverso i buchi I panni invece pure non parte del cestello sono troppo grandi per passare dai buchi si possono solo schiacciare contro le pareti questo schiacciamento sembra il risultato di una forza ma egrave invece il risultato dellrsquoassenza di una forza quella centripeta Una volta lagrave contro il cestello fanno tuttrsquouno con le pareti di metallo che esercitano su di essi la forza centripeta (cioegrave con direzione verso lrsquoasse di rotazione) che li mantiene in rotazione Le parti di un corpo rigido esteso che si muove di moto rotatorio rispetto ad un asse quale ad esempio la gamba di un giocatore di calcio che calcia un pallone sono soggette alla forza centripeta che le mantiene sulla traiettoria curva Tale forza viene trasmessa alle varie parti tramite le forze di tensione che si sviluppano allrsquointerno del corpo stesso ad esempio il piede egrave soggetto alla forza centrifuga tramite lrsquoazione dei legamenti e tendini a livello della caviglia che vengono messi in tensione per trattenere il piede stesso

forza rarr

F = - rarrF Si noti che le due forze NON sono applicate allo stesso corpo

rarrF agisce su

B e rarr

F agisce su A Lrsquoapplicazione di questo principio egrave molto importante quando si considerano le forze che si realizzano al contatto tra due corpi e in particolare per le forze applicate da muscoli tendini legamenti e ossa del corpo umano Forze particolari Forza gravitazionale Newton nel descrivere il moto dei corpi celesti ha stabilito la presenza di una forza di interazione a distanza tra due corpi che chiamiamo forza di gravitagrave e ha fornito lrsquoespressione che la governa

FG = -G 2

21

R

mm GG ( legge di attrazione universale)

dove mG 1 e mG 2 sono le masse gravitazionali dei due corpi R egrave la distanza tra le due masse (considerate puntiformi) e G egrave una costante numerica che vale 667 x 10-11 Nm2kg2 1 Nm2kg2 egrave anche 1m3kg s2 Il segno meno sta a indicare che la forza egrave attrattiva La forza gravitazionale viene rappresentata con un vettore il cui modulo egrave dato dalla legge di Newton e che ha la direzione della congiungente i centri di massa delle due masse La forza di attrazione lsquosentitarsquo dalla massa mG 2 dovuta a mG 1 ha il verso che punta su mG 1 e contemporaneamente la forza di attrazione misurata dalla massa mG 1 dovuta a mG 2 ha il verso che punta su mG 2m (le due forze sono lrsquoazione e la reazione della terza legge della dinamica Perchegrave nellrsquoesperienza comune non si osserva che una matita attiri unrsquoaltra matita su un tavolo La forza attrattiva gravitazionale esiste fra di loro ma egrave molto piccola (la costante G egrave molto piccola) ed egrave contrastata completamente dalle forze di attrito (che discuteremo fra breve) La Terra su cui viviamo ha invece una massa molto grande M = 597 x 1024 kg e quindi puograve esercitare una forza piugrave che apprezzabile su altre masse anche se piccole come quella della matita (la matita cade dal tavolo) Chiamiamo forza peso la forza di gravitagrave FG esercitata dalla Terra su ogni corpo ad essa vicino e che origina dallrsquointerazione gravitazionale per la quale tutti i corpi si attirano fra di loro La forza peso viene spesso indicata con P che agisce su un corpo di massa mG vale

P = -G 2T

GGTerra

R

mM equiv - g mG con g equiv G

2T

GTerra

R

M

Dove MG Terra egrave la massa della Terra ed RT egrave il raggio della Terra (RT = 6370km) Il valore di g risulta

g = 667 x 10-11 2

3

kgs

m223

24

)106379(

10975

mx

kgx = 98 ms2 e ha le dimensioni di unrsquo accelerazione

La forza di attrazione gravitazionale alla quale una massa mG egrave soggetta vicino alla superficie di un altro pianeta egrave diversa Infatti la massa e il raggio degli altri pianeti sono diversi da quelli della Terra e quindi g assume un altro valore Si puograve dire che il peso di un corpo cambia sui diversi pianeti o sulla Luna mentre la massa gravitazionale egrave la grandezza fisica fondamentale propria di ogni corpo

Ersquo molto importante ora applicare la seconda legge della dinamica o legge fondamentale della dinamica F = m a ad un corpo soggetto alla sola forza peso sulla superficie della Terra cioegrave quando F egrave la forza peso P ora definita F = m a P = m a -g mG = m a Abbiamo voluto lasciare indicato il pedice G percheacute in principio non crsquoegrave ragione percheacute la grandezza con le dimensioni di una massa che compare nella legge di gravitazione sia uguale alla massa implicitamente definita dalla relazione di proporzionalitagrave tra la F applicata e lrsquoaccelerazione subita da un corpo data dalla seconda legge della dinamica Si egrave tuttavia dimostrato sperimentalmente che la massa gravitazionale mG (introdotta nella legge di attrazione universale e la massa m che si dice massa inerziale ed egrave definita tramite la seconda legge della dinamica sono uguali hanno lo stesso valore Questo permette di semplificare le due masse nellrsquoequazione e di ottenere -g = a che significa che lrsquoaccelerazione di una corpo soggetto alla forza peso sulla superficie della terra vale a = ndashg equiv -98 ms2 NB lrsquoaccelerazione vale 98 ms2 per tutti i corpi di qualsiasi massa Infatti sui corpi con massa maggiore vengono esercitate forze maggiori in modo proporzionale alla loro massa (corpi con massa maggiore lsquopesano di piugraversquo) cosigrave da produrre sempre la stessa accelerazione Si egrave soliti assumere che g sia costante e che non dipenda dalla quota h alla quale ci si trovi al di sopra della superficie terrestre Questa egrave unrsquoapprossimazione molto buona nei limiti in cui hltlt RT Infatti g diminuisce con la quota per esempio se h = 8000m (circa sul monte Everest) lrsquoaccelerazione di gravitagrave g si riduce a

2

2

)6378000(

)6370000( x g = 099749 x g = 97754 m s2 (meno del 25 per mille)

Forze di superficie Forze di contatto Alla superficie di contatto tra due corpi si realizzano le forze che chiamiamo appunto di superficie e che si dividono in forze di contatto e forze di attrito Le forze di contatto

La forza normalerarr

NF egrave la forza che un corpo sperimenta quando egrave appoggiato su di una superficie

Si chiama normale percheacute egrave sempre diretta perpendicolarmente alla superficie Se la superficie egrave orizzontale Fig16

Fc

FN

Piano orizzontale Calcolare lrsquointensitagrave della forza normale applicata ad un oggetto di massa m fermo su un tavolo orizzontale Per il primo principio della dinamica (principio di inerzia) se un corpo e fermo la risultante delle forze ad esso applicate egrave nulla cioegrave

rarrP +

rarr

NF = 0

In questo caso la forza normale rarr

NF egrave un vettore che ha lo stesso modulo e la stessa direzione del

vettore forza pesorarrP ma ha verso opposto Quindi il modulo di

rarr

NF vale |rarr

NF | = mg

Piano inclinato

Nel caso di un piano inclinato dovrograve tenere conto che rarr

NF puograve compensare solo la parte di rarrP

diretta normalmente al piano (infatti se non crsquoegrave attrito il corpo scivola lungo il piano inclinato) Se ϑ egrave lrsquoangolo che il piano inclinato forma con lrsquoorizzontale il piano inclinato fornisce al corpo una

forza normale che in modulo vale | rarr

NF | = m g cosϑ

Fig 17 4 ndash Salto con molleggio Un uomo con massa m = 70kg salta da unrsquoaltezza L = 2m Arrivando al suolo molleggia sulle ginocchia per un tratto l = 02 m Si calcoli la forza di reazione che il suolo esercita sui piedi durante il molleggio Si consideri il molleggio come una frenata che avviene con accelerazione (negativa) costante Fig 18

F

FN

Cadendo da unrsquoaltezza L allrsquoistante in cui il piede tocca il suolo la velocitagrave Vs egrave data dalla risoluzione del sistema di equazioni cinematiche per il moto uniformemente accelerato con t0 il tempo di caduta Vs = gt0 L = frac12 gt0

2 Vs = (2gL) frac12 La forza di reazione che esercita il suolo sul piede durante il molleggio egrave quella che imprime lrsquoaccelerazione (negativa) a di frenata (piugrave il peso del corpo mg)Il corpo si ferma in un tratto l Questa frenata si tratta con le equazioni del moto uniformemente accelerato 0 = Vs ndash at l = Vs t ndash frac12 at2 (essendo t il tempo di frenata) dalla prima equazione t = Vs a che introdotto nella seconda equazione permette di calcolare a a = frac12 Vs

2l e con Vs = (2gL) frac12 si ottiene a = g (Ll) e quindi la forza di reazione Fr = mg + ma egrave data da Fr = mg (Ll + 1) = 70 x 98 x (202 + 1) N = 7546Newton Si noti che al peso si aggiunge una forza che egrave il peso moltiplicato per un fattore (ldquofattore di cadutardquo) dato dal rapporto tra lrsquoampiezza del salto e il tratto di molleggio Questa forza si trasmette dal piede allrsquoarticolazione delle ginocchia e cosigrave via Tensione

Quando una corda egrave attaccata ad un corpo e viene tirata si dice che la corda egrave sotto tensione

La tensione rarrT cui egrave sottoposta la corde in ogni sua parte egrave una forza pari alla forza che si applica

sia al corpo sia alla mano che lo tira ai due estremi della corda ed egrave sempre diretta lungo la corda Fig 19 Anche con una carrucola cioegrave con la corda che si curva intorno ad una rotella la tensione ha intensitagrave T lungo la corda Una corda egrave utile in questo caso per cambiare la direzione e il verso di applicazione di una forza la mano tira verso il basso ma la massa egrave sottoposta ad una forza verso lrsquoalto

Fig20 I tendini del corpo umano sono corde e vengono utilizzati anche per variare la direzione di applicazione delle forze esercitate dai muscoli Forza di attrito

Lrsquoattrito fa parte dellrsquoesperienza quotidiana nel bene e nel male Da una parte fa consumare piugrave benzina (20 per motore e trasmissione) ma anche la suola delle scarpe il battistrada delle gomme e i gomiti del maglione dallrsquoaltra consente il movimento i nodi tengono i chiodi fissano etc Un libro che scivola su un tavolo orizzontale si fermerebbe se non mantenessi una forza costante che contrasta lrsquoattrito su una superficie ruvida il movimento genera lui stesso una forza che decelera il moto Per mantenere in moto rettilineo uniforme un corpo che scivola sopra un piano bisogna applicare al corpo una forza che serva a neutralizzare questa forza ldquospontaneardquo(detta di attrito) in modo che la risultante delle forze applicate sia nulla Anche lrsquoinizio del moto egrave contrastato dalla forza di attrito (statico) che assume un valore uguale e contrario a quello della forza che applico fino a raggiungere un valore massimo (valore limite) Il corpo non si muove resiste al moto Oltre quel valore limite cioegrave se applico una forza sufficientemente intensa il corpo inizia a muoversi Situazione

Fig 21 Un blocco appoggiato sul piano orizzontale egrave fermo rarrP

verso il basso e rarr

NF verso lrsquoalto sono uguali in modulo

Se applico una forza rarrF per spostare il corpo verso destra insorge una forza di attrito statico

P

FN

il cui modulo vale |rarr

sattF _ | = smicro |

rarr

NF | ( smicro egrave il coefficiente di attrito statico il suo valore dipende

dalla natura dei materiali a contatto) esercitata orizzontalmente dal piano che uguaglia in

intensitagraverarrF ma di verso opposto in modo che il corpo non si muove Se aumento

rarrF aumenta

anche rarr

sattF _

Fig22 Diagramma delle forze applicate al blocco

Raggiunto un certo valore di rarrF il corpo ha uno ldquostrappordquo e comincia a muoversi nella direzione

di rarrF verso destra ostacolato dalla una forza di attrito dinamico

rarr

dattF _ generalmente inferiore al

valore max di rarr

sattF _ (egrave piugrave facile mantenere un corpo in moto che muoverlo da fermo)

(Il passaggio da un regime allrsquoaltro egrave allrsquoorigine degli stridii da attrito ndash quello ad esempio del gesso sulla lavagna - o anche del suono del violino) - Proprietagrave dellrsquoattrito riassunte

1 ndash Corpo fermo la forza di attrito statica rarr

sattF _e la componente di

rarrF parallela alla superficie

hanno uguale intensitagrave e si annullano 2 ndash limite di scivolamento la massima forza di attrito per due materiali posti a contatto egrave proporzionale alla forza normale tramite un coefficiente di attrito statico smicro

| rarr

sattF _(max)| = smicro |

rarr

NF |

smicro egrave un coefficiente adimensionale che assume valori diversi per diverse coppie di materiali

3 ndash il corpo inizia a muoversi il valore della forza di attrito decresce rapidamente fino a

|rarr

kattF _ | = kmicro |rarr

NF | proporzionale alla forza normale tramite un coefficiente di attrito dinamico kmicro

adimensionale e dipendente dalla coppia di materiali in considerazione

P

FN

F Fatt

Attenzione |rarr

sattF _| e

rarr

kattF _ | sono proporzionali non a |

rarrP | ma a |

rarr

NF | quindi nel caso di un

piano inclinato bisogna considerare la componente di rarrP perpendicolare al piano

rarr

NF equilibra

solo la parte di rarrP perpendicolare al piano

Attenzione le equazioni per |rarr

sattF _| e |

rarr

kattF _| non sono vettoriali le forze di attrito non sono

dirette come la forza normale rarr

NF ma parallele al piano

Durante una corsa allo scatto si usano i blocchi di partenza per sfruttare la reazione del blocco alla forza muscolare di spinta Data lrsquoinclinazione dei blocchi la forza di reazione del blocco sul atleta si massimizza nella direzione del moto

rArr si fa uso della ldquoazione-reazionerdquo Fig 23 Durante la corsa si sfrutta il coefficiente di attrito statico per mantenere un piede fermo a terra mentre lrsquoaltro avanza Per non superare il limite di scivolamento allrsquoindietro del piede di appoggio la forza che si esercita sul terreno deve avere una componente normale al terreno di intensitagrave opportunamente elevata In ogni caso se smicro egrave basso si ha lrsquoeffetto del camminare sul ghiaccio

Lrsquouso di scarpette chiodate non aumenta il valore di smicro che egrave il coefficiente drsquoattrito tra due

superfici ldquoliscerdquo piuttosto hanno una funzione simile a quella di mini blocchi di partenza permettono di esercitare una forza sul tartan lungo la direzione del moto cioegrave parallelamente alla pista Resistenza del mezzo Consideriamo un corpo che si muove in aria Esso incontra una resistenza da parte dellrsquoaria che agisce in modo da opporsi al movimento del corpo cioegrave ha la stessa direzione e verso opposto a quella del moto

rarrD forza di resistenza del mezzo o forza aerodinamica (detta anche forza viscosa) si

|rarrD | =

2

1 cρAv2 (limite di alte velocitagrave eo alte viscositagrave)

D egrave proporzionale al quadrato della velocitagrave (termine v2 ) Inoltre D egrave proporzionale ad A lrsquoarea efficace della sezione trasversa (lrsquoarea presentata dal corpo nella direzione del moto vedi la posizione a uovo dei discesisti di sci o dei ciclisti) ρ egrave la densitagrave del mezzo Ersquo intuitivo che la resistenza D dipenda dalla densitagrave del mezzo infatti il corpo per procedere deve ldquofarsi stradardquo spostando le molecole del mezzo Quindi piugrave il mezzo egrave rarefatto piugrave egrave facile ldquofarsi stradardquo e inferiore egrave la resistenza D Con c si indica il coefficiente di penetrazione (il cosiddetto cx che dipende dalla forma geometrica del corpo) La forma (oltre che

lrsquoarea efficace A) influenza la resistenza opposta dal mezzo percheacute una ottimizzazione della forma (affusolata migliorare il Cx) porta a ridurre la formazione di turbolenze nellrsquoaria intorno al corpo Casco dei ciclisti o discesisti con forma a punta posteriore

non riduce la sezione trasversa A ma piuttosto migliora il Cx

Fig 24 Nel nuoto lo sbattere i piedi serve soprattutto per mantenere il corpo orizzontale e quindi a ridurre la sezione A Il lavoro viene fatto per lo piugrave dalle braccia (75) In acqua anche se la velocitagrave v egrave bassa D egrave significativa percheacute la viscositagrave del mezzo egrave grande Per ridurre le turbolenze negli sport di velocitagrave diventa essenziale utilizzare accorgimenti quali nascondere dadi e cavi nelle biciclette togliere cerchietti delle racchette da sci Tagliare i capelli o rasarsi le gambe sono sempre modi di ridurre anche le piccole turbolenze Velocitagrave limite di caduta di un grave in aria

La forza rarrD di frenamento durante la caduta libera li un corpo in aria ha verso opposto a quello

della forza pesorarrP che accelera il corpo verso il basso Se

rarrP egrave costante il corpo accelera con

accelerazione rarrg ie aumenta la velocitagrave verso il basso ma aumentando v dunque v2 aumenta

D Ciograve prosegue fincheacute D diventa di intensitagrave uguale P con verso opposto rarrD = -

rarrP A questo

punto la risultante delle forze agenti sul corpo in caduta egrave nulla (sumrarrF =

rarrD + (-

rarrP ) e dalla

seconda legge (fondamentale) della dinamica si ha che lrsquoaccelerazione rarra del corpo egrave nulla

rArr Il corpo non accelera piugrave e mantiene velocitagrave costante massima La velocitagrave raggiunta detta velocitagrave limite vlim egrave tale da verificare lrsquouguaglianza

D = 2

1cρAv lim

2 = mg = P quindi rArr vlim = (2mg cρA) frac12

La vlim raggiunta dai paracadutisti puograve essere variata modificando A tramite dei cambiamenti dellrsquoassetto in volo Questo permette ai paracadutisti di raggiungersi per fare figure in aria Lrsquoapertura del paracadute fa aumentare di molto A rendendo la velocitagrave limite molto piugrave bassa Anche le gocce di pioggia raggiungono la velocitagrave limite (v asymp 7msec in 6m) nella loro caduta Ad esempio cadendo da 1200m le gocce di pioggia raggiungono la terra con la velocitagrave limite di circa 7msec e non con la velocitagrave di 150msec che avrebbero se non ci fosse lrsquoazione di frenamento D (dei veri proiettili)

Senza D rarr vfin = 150ms

Con D rarr vfin = vlim = 7ms Fig 25 Forza elastica La forza elastica egrave una forza non costante

L lunghezza di riposo della molla Fig 26 Una massa m egrave vincolata ad una parete con una molla Se tiro la massa la molla si estende diciamo di un tratto x La molla esercita una forza di richiamo proporzionale allrsquoallungamento x (piugrave si allunga maggiore egrave la forza F di richiamo) F = -kx ldquorichiamordquo cioegrave di verso opposto allrsquoallungamento Ecco la ragione del segno (-) Se raggiunta una certa estensione la molla viene rilasciata essa si ricomprimeragrave ritorneragrave alla lunghezza di riposo L poi si schiacceragrave di un tratto x dalla parte opposta e nuovamente agiragrave la forza di richiamo (che egrave variabile in quanto varia con il variare di x) La massa oscilla attorno alla posizione di riposo k egrave la costante elastica della molla Lrsquoespressione della forza elastica vale per i respingenti del treno (k grande) come per la molla della biro (k piccola) come per lrsquoelastico del saltatore dal ponte Impulso di una forza La legge fondamentale della dinamica F = ma puograve essere scritta esprimendo lrsquoaccelerazione con la sua relazione definitoria (vf - vi)t

F = mt

vv if minus e quindi portando il tempo t al primo membro

)( if vvmtF minussdot=sdot oppure vmtF ∆sdot=sdot

Si dice ldquoimpulso ldquo di una forza il prodotto della forza per il tempo durante il quale viene applicata tF sdot (se la forza non egrave costante lrsquoimpulso egrave lrsquointegrale della forza nel tempo in cui viene applicata)

Scritta in questo modo lrsquoequazione fondamentale della dinamica puograve essere letta cosigrave 1) Supponiamo che un corpo vari la sua velocitagrave di una quantitagrave ∆v = vf - vi tanto piugrave lungo egrave il tempo t durante il quale questa variazione avviene tanto minore egrave la forza che deve essere sviluppata per ottenere tale variazione della velocitagrave In questi termini si capisce ad esempio lrsquoutilitagrave delle cinture di sicurezza che allungando i tempi durante i quali in caso drsquoincidente la velocitagrave del passeggero (che non egrave solidale con la vettura) passa da un valore vi iniziale a zero determina una riduzione della la forza cui il passeggero stesso egrave sottoposto durante il breve tempo dellrsquoimpatto (la forza che le ossa e le articolazioni possono sopportare egrave limitata) Si vede anche come funziona lrsquoelastico del jumper finchegrave lrsquoelastico non egrave completamente svolto (ltL) la forza che agisce sul jumper egrave P (la forza peso) poi progressivamente la forza elastica di richiamo contrasta P quindi il jumper decelera progressivamente per un lungo intervallo di tempo e lo lsquostrapporsquo (F applicata) necessario per contrastare P e fermare il jumper applicato sulle sue gambe e a cascata su tutte le sue articolazioni (secondo il terzo principio) egrave di entitagrave minore 2)Lrsquoimpulso totale prodotto tF sdot nella direzione ottimale egrave la grandezza fisica che stabilisce lrsquoefficacia di un gesto di spinta o di lancio non la massima forza espressa o la durata dellrsquoazione di spinta Lavoro di una forza ndash lavoro meccanico

- 1deg caso Forza costante rarrF

Immaginiamo una forza rarrF che agisce su un corpo durante il suo spostamento Immaginiamo cosi

che il punto di applicazione di questa forza si sposti nello spazio di un tratto rarrs Viene detto

lavoro della forza rarrF la quantitagrave

L = rarrF middot

rarrs = F middot smiddot cosϑ (prodotto scalare di

rarrF per

rarrs )

(prodotto scalare tra i due vettori) Fig 27 Il lavoro egrave una quantitagrave scalare cioegrave egrave descritta completamente da un numero da un valore Tale

valore puograve essere positivo o negativo a seconda che la componente di rarrF lungo

rarrs sia equiversa o

di verso opposto a rarrs Se

rarrF e

rarrs hanno la stessa direzione e se lo spostamento avviene nel

senso di rarrF diciamo che il lavoro egrave positivo (e viceversa negativo) Lrsquointensitagrave del lavoro puograve

variare tra un valore massimo e uno minimo per gli stessi valori del modulo di rarrs e di

rarrF a

rarrs

seconda del valore di cosϑ Il lavoro egrave massimo per cosϑ = 1 (cioegrave per ϑ = 0) (rarrF diretto come

rarrs ) Il lavoro egrave minimo ( L = 0) per cosϑ = 0 cioegrave per ϑ = 90deg (

rarrF perpendicolare a

rarrs )

Puograve darsi il caso che piugrave forze agiscono sullo stesso punto Allora si puograve calcolare il lavoro totale egrave la somma dei lavori di tutte le forze applicate

Ltot = sum Li = sum (rarr

sdotiFrarrs )

Dimensioni di L [ L ]= [ F ][ s ] = mmiddot l middot t-2 middot l = ml2 t-2 Unitagrave di misura di L 1 joule = 1N middot 1m ( 1J ) Lavoro della forza peso durante la caduta di un grave Un grave cade vicino alla superficie della terra sotto lrsquoazione della forza di gravitagrave cioegrave sottoposto ala forza peso P diretta verso il basso percorrendo un dislivello h Il lavoro compiuto dalla forza peso si calcola come

LP = rarrP middot

rarrs = Pmiddot smiddot cosϑ

notando che lo spostamento s (verso il basso) e la forza P sono paralleli con verso concorde pertanto ϑ = 0 e cosϑ = 1 e che | P| = mmiddot g si ottiene LP = mmiddot gmiddot h per uno spostamento s = h (dislivello) Lavoro meccanico nel sollevamento pesi Durante questo gesto sul bilanciere oggetto dellrsquoapplicazione delle forze si esercitano la forza peso P e la forza muscolare dellrsquoatleta Naturalmente entrambe le forze lavorano ma i due lavori si oppongono uno allrsquoaltro (ricorda che il lavoro puograve essere positivo o negativo) Il lavoro positivo deve essere nel verso del moto quindi egrave quello della forza muscolare dellrsquoatleta il lavoro di P invece egrave negativo e se il bilanciere si alza di una quota h si calcola facilmente seguendo il procedimento del paragrafo precedente ottenendo LP = - mmiddotgmiddoth (ϑ = π e cosϑ = -1 ) Calcoliamo il lavoro della forza musculare seguendo lrsquoesempio qui proposto Esempio Un atleta solleva un bilanciere di peso 2500N allrsquoaltezza di 2m (sopra la sua testa) Quanto lavoro meccanico compie la sua forza muscolare Supponiamo che il sollevamento avvenga a velocitagrave costante con accelerazione nulla allora il per il

primo principio della dinamica le forze applicate al bilanciere devono essere tali chesumrarr

iF = 0

Quindi la forza peso P = mmiddot g deve essere controbilanciata dalla forza applicata dallrsquoatleta Fm

Quindi rarr

mF = - rarrP

con Fm = 2500N Il lavoro La fatto dallrsquoatleta vale

Lm = rarr

mF middot rarrs = 2500 N middot 2m middot 1 = 5000 J (sollevamento verticale quindi ϑ = 0 e cosϑ = 1)

Quanto lavoro fa la forza peso

Lp = rarrP middot

rarrs = 2500 middot 2 middot (-1) = -5000 J

(percheacute ϑ = π e cosϑ = -1) Quanto lavoro fa lrsquoatleta mentre sostiene il peso fermo sopra la testa L = 0 percheacute non crsquoegrave spostamento Qui si parla di lavoro meccanico non di lavoro fisiologico diciamo che si fa fatica percheacute crsquoegrave da mantenere integrordquo un corpo non rigido che egrave il corpo dellrsquoatleta quindi si il lavoro delle contrazioni muscolari per mantenere lrsquoequilibrio e ldquolrsquointegritagraverdquo egrave la misura del lavoro fisiologico necessario anche se il lavoro meccanico compiuto egrave nullo 2deg caso Forza variabile Nel caso in cui F egrave una forza variabile che dipende dalla posizione ogni volta che avviene uno spostamento∆ x la forza cambia Il lavoro totale saragrave la somma dei lavori elementari fatti sui tratti piccoli sui quali la forza puograve essere assunta costante

Ltot = iii xxF ∆sdotsum )(

( Se si fa il limite per ∆ xi piccolo rarr 0 e la isum egrave lrsquointegrale Ltot = int sdotxtin

xinxdxF )( )

Ad esempio la forza F puograve essere la forza di richiamo di una molla vincolata al muro Lrsquointensitagrave della forza elastica varia durante lo spostamento aumentando con lrsquoallungamento (o la compressione) della molla ed ha la direzione parallela allo spostamento ma puograve avere verso concorde o discorde quindi con cosϑ che vale o +1 o ndash1 Immaginiamo di avere un blocco attaccato alla molla e di tirarlo da Xin a Xfin allora

F(x) = - kx Fig 28

Il lavoro della forza elastica si calcola sommando i lavori infinitesimali compiuti per spostamenti infinitesimi durante i quali la forza si assume costante Ciograve egrave rappresentato graficamente nel calcolo lrsquoarea compresa al di sotto della curva del grafico di F (Fig 28A) In figura si egrave cambiato il segno della funzione forza per comoditagrave di rappresentazione

Fig 28A

Area = differenza aree dei due triangoli = AABB kxxkxx sdotminussdot2

1

2

1

Ricordandoci del segno

L infin = 22

2

1

2

1infin kxkx +minus e in generale L = 2

2

1kx

Se si calcola il lavoro della forza di richiamo durante un allungamento della molla si ha lavoro negativo mentre durante il ritorno alla posizione di equilibrio il lavoro egrave positivo (segno dello spostamento x e della forza concordi) Energia cinetica Il termine ldquoenergiardquo indica la capacitagrave di compiere lavoro Lrsquoenergia cinetica egrave la proprietagrave che rende conto quantitativamente del legame fra il lavoro compiuto ed il moto generato Avevamo detto piugrave o meno lo stesso parlando della seconda legge della dinamica riferendoci alle forze Qui col lavoro non egrave necessaria la descrizione dettagliata delle forze che agiscono sul punto in considerazione Ersquo sufficiente conoscere il loro lavoro totale

Lrsquoenergia cinetica K = 2

1mv2 (gt 0 percheacute m gt 0 v2 gt 0 ) (m e v sono la massa e la velocitagrave del

corpo) Lrsquounitagrave di misura e le dimensioni di K sono le stesse del lavoro Joule ( J ) e [ ]K = [ ]22 minustml

Teorema dellrsquoenergia cinetica Se una forza F compie un lavoro L su un punto materiale di massa m si ha una variazione dellrsquoenergia cinetica pari al lavoro compiuto

Xfin Xin

F

0

ksdotxfin

ksdotxin

F= ksdotx

x

LAB= -area

L = Kfin ndash Kin = ∆ K Nel caso che piugrave forze agiscono sul punto materiale il teorema dellrsquoenergia cinetica si applica al lavoro totale (equivalentemente al lavoro della risultante ) E il caso dellrsquoatleta che solleva il peso di 2500N Sappiamo che ha compiuto un lavoro di 5000J ma il bilanciare con i pesi era fermo allrsquoinizio ed egrave fermo alla fine Quindi Kin = 0 e Kfin = 0 percheacute vin = 0 e vfin = 0 Allora il teorema dellrsquoenergia cinetica Vale per il lavoro totale o lavoro della forza totale e noi abbiamo visto che la forza netta totale = 0 ( Fa + P = 0 ) ed il lavoro totale egrave nullo quindi giustamente si ha ∆ K = 0 1)Caso di una palla da tennis che cade

la forza peso rarrP compie un lavoro positivo con spostamento concorde a

rarrP si dovrebbe avere

∆ K gt 0 infatti la velocitagrave v aumenta 2)Caso di una palla lanciata verso lrsquoalto

lo spostamento ha verso opposto a rarrP Il lavoro della forza peso egrave negativo e quindi ∆ K egrave

negativo giusto La velocitagrave diminuisce NB Durante il volo agisce solo la forza di gravitagrave quindi il lavoro totale comiuto sul corpo egrave solo quello della gravitagrave 3)Caso del moto circolare uniforme la forza che agisce egrave la forza centripeta che egrave perpendicolare allo spostamento Quindi non compie lavoro deve essere ∆ K = 0 Iinfatti il moto egrave uniforme cioegrave la velocitagrave egrave in modulo costante Potenza Si chiama potenza il lavoro che si egrave in grado di svolgere nellrsquounitagrave di tempo

P = t

L

∆ ( potenza media )

P = t

Lt ∆

∆rarr∆ 0lim ( potenza istantanea)

Non egrave solo una stima del lavoro compiuto ma anche della rapiditagrave con cui si compie lavoro

Fig 29 Per superare il muro ci vuole un certo lavoro che consiste nellrsquoinnalzare il proprio corpo di unrsquoaltezza h Sia lrsquoatleta che lo supera in un sol balzo sia il vecchietto che sale pian piano la scalinata faranno lo stesso lavoro Quel che egrave diverso egrave la potenza dei due personaggi Dimensioni e unitagrave di misura della potenza [ ]P = [L] [t -1] = [ml2t-3] 1 watt = 1 joule 1sec (1w)

Energia Potenziale K egrave energia connessa allo stato di moto di un sistema Crsquoegrave anche energia connessa alla posizione di un corpo in un campo di forze (configurazione) Si chiama energia potenziale Nel caso dellrsquoatleta di sollevamento pesi il lavoro compiuto dallrsquoatleta Lm non ha alterato lrsquoenergia cinetica K dellrsquoattrezzo ma ha modificato la configurazione del sistema (terra-attrezzo) variandone lrsquoenergia potenziale (W) Il lavoro non egrave stato sprecato ma ldquoimmagazzinatordquo lrsquoattrezzo prima egrave a terra poi egrave in alto nel sistema che ora ldquopotenzialmenterdquo puograve compiere un lavoro cedendo la sua ldquoenergia potenzialerdquo Energia cinetica ed energia potenziale sono due parti dellrsquoenergia meccanica possono trasformarsi lrsquouna nellrsquoaltra ed in lavoro Nellrsquoesempio precedente quando lrsquoattrezzo egrave in alto si ha che K = 0 e W = WA Quando cade K aumenta percheacute la velocitagrave v aumenta e lrsquoenergia potenziale W diminuisce In basso W = WB lt WA e K egrave massima Lrsquoattrezzo cadendo puograve compiere lavoro Se fosse un martello potrebbe far avanzare un chiodo ad esempio Lrsquoenergia potenziale viene definita proprio a partire dal concetto di lavoro di forze conservative Ersquo conservativa una forza il cui lavoro per spostare il suo punto di applicazione da una posizione (configurazione) ad unrsquoaltra dipende solo dalle due posizioni (configurazioni) iniziale e finale Equivalentemente si puograve definire la forza conservativa dicendo che il lavoro di tale forza egrave nullo se le posizioni (configurazioni) iniziali e finali coincidono

-Lavoro per passaggio dalla posizione A a B egrave lo stesso lungo I o II -Se da A vado a B e torno in A il lavoro totale egrave nullo

Fig 30 Posso allora definire una funzione della posizione W che assume i valori WA e WB in A e B e tale per cui LAB = WA ndash WB ( W energia potenziale) WA WB sono definiti a meno di una costante tanto quello che interessa egrave la differenza fra loro Variazione di energia potenziale del passaggio da A a B WB ndash WA = ∆W allora LAB = -∆ W Con questa convenzione sui segni si rende conto del fatto che un lavoro positivo ( fatto dalle forze conservative sul corpo) fa diminuire lrsquoenergia potenziale W ( L positivorarr ∆W negativo rarr WBlt WA rarr ho usato energia potenziale) un lavoro negativo (subito) aumenta W (L negativo rarr ∆W positivo rarr WBgt WA rarr ho guadagnato energia potenziale) W si misura in Joule come il lavoro e lrsquoenergia cinetica

Qual egrave la Forma di W

Mentre la forma dellrsquoenergia cinetica egrave sempre K =2

1mv2 indipendentemente dal tipo di forze

che provocano il movimento W dipende dal tipo di forza conservativa di cui si sta calcolando il lavoro Consideriamo due forze conservative

a) Forza gravitazionale forza peso

F(y) = -mg Stato di riferimento y0 = 0 in cui W0 = 0

Fig31

Abbiamo detto che LAB = WA- WB ma siccome

LAB = )( ABhmgsP minussdotminus=sdot dove hAB= yA-yB egrave la distanza tra A e B allora rArr WA = mgyA WB = mgyB e in generale W(y) =mgy

Per la forza peso W(y) =mgy e lrsquoenergia totale meccanica (W+K) = mgy+2

1mv2=Etot

b) Forza elastica

Fig 32

F(x) = -kx Stato di riferimento x = 0 allungamento nullo la lunghezza della molla egrave la sua lunghezza di riposo L ( W(0) = 0)

Immaginiamo che la configurazione della molla venga modificata passando dalla posizione xA alla posizione xB (Fig 32) Il lavoro della forza elastica egrave calcolato come

LAB = 22

2

1

2

1AB kxkx +minus

Ricordando che LAB = WA- WB possiamo ricavare lrsquoespressione per lrsquoenergia potenziale elastica

rArr WA = 2

2

1Akx WB = 2

2

1Bkx e in generale W(x) = 2

2

1kx

Energia totale meccanica ndash Conservazione dellrsquoenergia

In presenza di sole forze conservative la somma dellrsquoenergia cinetica e dellrsquoenergia potenziale costituisce lrsquoenergia totale meccanica Tale energia meccanica gode della proprietagrave importantissima di conservarsi durante lrsquoevoluzione del sistema Lrsquoenergia connessa al movimento e alla posizione si scambiano una diminuisce e lrsquoaltra cresce ad esempio ma la loro somma rimane costante

- Esempio delle montagne russe Se non ci sono attriti (infatti il trucco egrave quello di rendere il

sistema privo di attriti) so giagrave quale altezza massima potrograve raggiungere (quella iniziale e non di piugrave) quale velocitagrave massima potrograve raggiungere (in fondo alla valle) Queste quantitagrave sono fra loro legate dal teorema della conservazione dellrsquo energia meccanica

Fig 33 - Esempio del salto con lrsquoasta Lrsquoenergia cinetica dellrsquoatleta acquisita nella rincorsa viene

trasformata in energia potenziale gravitazionale parte direttamente e parte attraverso lrsquoenergia potenziale elastica dellrsquoasta acquisita nella sua deformazione durante il salto La flessibilitagrave dellrsquoasta (costante elastica dellrsquoasta) egrave legata allrsquoenergia che si puograve immagazzinare in una data deformazione Infatti con aste rigide (alluminio acciaio bambugrave) il salto era piugrave basso Con fibra di vetro il record egrave stato polverizzato

Fig 34

Fig 35

Fig 36

Osserviamo che il teorema dellrsquoenergia cinetica ha validitagrave generale qualunque siano le forze che agiscono conservative o non conservative (le forze non conservative si dicono anche ldquodissipativerdquo)

KLL

KL

fncfc

tot

∆=+∆=

e ricordando che darr Lfc = - )( fcW∆

Si ottiene che K∆ + )( fcW∆ = Lfnc

Si vede che nel caso in cui Lfnc sia nullo cioegrave quando non ci sono forze dissipative la somma delle variazioni di energia cinetica e energia potenziale egrave uguale a zero cioegrave lrsquoenergia totale meccanica (somma dellrsquoenergia cinetica e potenziale) egrave costante E questo corrisponde al teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica Nel caso ci siano forze dissipative la somma delle energie non egrave costante quindi al contrario del teorema dellrsquoenergia cinetica il teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica non ha validitagrave generale (vale solo in assenza di attriti ad esempio) Le forze non conservative di attrito compiono lavori solo negativi e fanno perdere quantitagrave di energia non recuperabile Parte di questa energia va in generale in calore quindi se ne puograve tenere conto considerando unrsquoaltra forma di energia lrsquoenergia termica ( ci sono anche altri fenomeni dissipativi ad esempio le deformazioni permanenti negli urti o la propagazione di onde sonore)

Lrsquo energia puograve dunque conservarsi o trasferirsi proprietagrave caratterizzanti dellrsquoenergia Il lavoro rende conto del trasferimento di energia della perdita di energia sotto una forma e del guadagno sotto unrsquoaltra forma (cioegrave energia conservativa) o del passaggio dellrsquoenergia da un sistema ad un altro Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica quando egrave applicabile puograve essere sfruttato per risolvere facilmente problemi altrimenti complicati Esercizio Una palla da tennis viene lanciata con velocitagrave iniziale v0 (senza effetti strani taglio etc) al di lagrave della rete Con quale velocitagrave arriva a terra

Se durante il moto Etot si conserva K+W = cost

Fig 37 e W = mgh egrave solo energia potenziale gravitazionale h = 0 alla fine come allrsquoinizio dunque K in = Kfin e vfin = v0 Se la palla egrave lanciata verso lrsquoalto non crsquoegrave componente orizzontale della velocitagrave ma solo verticale al punto piugrave alto di arresto h K(h) = 0 W(h) = max = Kin cioegrave mgh = frac12 mv0

2 si puograve cosigrave calcolare facilmente lrsquoaltezza massima raggiunta h = (frac12 v0

2)g e vicenversa si puograve calcolare il valore della velocitagrave v0 che bisogna imprimere alla palla affinchegrave raggiunga lrsquoaltezza h

v0 = gh2

Esercizio Una saltatrice di massa M = 61Kg salta da un ponte di altezza H = 45m agganciata ad una corda elastica La lunghezza di riposo della corda elastica egrave L = 25m e la sua costante elastica egrave k = 160 Nm Nel punto piugrave basso si arresta prima di venire rimbalzata in alto Qualrsquo egrave lquesta quota piugrave bassa h (a cui si trovano i suoi piedi ai quali egrave legato lrsquoelastico)

Fig 38 Etot = Wgrav + Wel + K = cost sono solo forze conservative vale la conservazione

dellrsquoenergia Nel punto A K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di lanciarsi Wel = 0 percheacute lrsquoelastico non egrave ancora svolto Wgrav = MgH Nel punto B K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di rimbalzare

Wel = frac12 kd2 Wgrav = Mgh = Mg(H-(L+d)) Etot(A) = Etot (B) MgH + 0 + 0 = Mg (H-(L+d)) + frac12 kd2 + 0 MgH = MgH ndash MgL ndash Mgd +frac12 kd2

2

1(160)d2 ndash (61)(98)d ndash (61)(98)(25) = 0

equazione di IIdeg grado che dagrave per d il valore accettabile d = 179m (lrsquoaltro egrave negativo e non egrave accettabile perchegrave non ha senso fisico la

saltatrice va in giugrave non in su) Allora h = H-(L+d) = 45 ndash (25+179) = 45 ndash 429 = 21m quindi con la testa poco sopra lrsquoacqua Sistemi di punti materiali e corpi rigidi ndash Centro di Massa

Un giocoliere o un ginnasta che lancia la clavette fa compiere allrsquoattrezzo movimenti complicati tuttavia crsquoegrave un punto dellrsquoattrezzo che si muove seguendo una traiettoria semplice come quella di un punto materiale ad esempio lanciato segue una traiettoria parabolica Tale punto si chiama centro di massa dellrsquooggetto Il centro di massa puograve essere definito per un oggetto o per un insieme di punti materiali Ersquo importante percheacute in generale il moto di un corpo esteso (o di un insieme di punti) si puograve studiare separando il moto del centro di massa (moto traslatorio) e il moto del corpo attorno al centro di massa (moto rotatorio)

Centro di Massa (CDM) di un sistema di punti - Consideriamo il caso semplice di due punti materiali di massa m1 m2 posti sullrsquoasse x in

posizione x1 x2

Fig 39

la posizione del centro di massa egrave definita xCDM = 21

2211

mm

xmxm

++

a) xCDM egrave compreso fra x1 e x2 b) se m1 = m2 CDM egrave a metagrave strada fra m1 ed m2 c) xCDM egrave piugrave prossimo alla massa maggiore - Nel caso di piugrave punti allineati nelle posizioni xi detto M = summi allora

xCDM = ii xmMsum

1

- Nel caso di punti distribuiti nello spazio detti irrarr

i vettori che identificano le loro posizioni

CDMrrarr

= iii rmM

rarrsum

1

dove CDMrrarr

ha coordinate (xCDM yCDM zCDM) definite come

xCDM = ii xmsumη1

yCDM = ii ymMsum

1

zCDM = ii zmMsum

1

- Consideriamo un oggetto qualsiasi questo egrave composto da un gran numero di particelle ma conviene considerarlo come un continuo di materia e per calcolare il centro di massa si prendono in considerazione degli elementi infinitesimi di massa dm centrati intorno alle posizioni (xyz) allora

xCDM = int xdmM

1 yCDM = int ydm

M

1 zCDM = int zdm

M

1

se si puograve considerare il corpo omogeneo (densitagrave uniforme) allora V

M

dv

dm = e allora si puograve fare il

calcolo considerando il volume V e gli elementi di volume dv anzichegrave la massa e gli elementi di massa

xCDM = int xdvV

1 etc

In un oggetto solido (corpo rigido) i diversi punti materiali che lo compongono non cambiano la loro posizione relativa (non come un corpo elastico) - se un oggetto ha un elemento di simmetria un asse od un piano il CDM si trova su tale

elemento di simmetria (asse per cono centro per sfera piano per una banana etc) Non egrave detto che il CDM di un oggetto appartenga allrsquooggetto vedi uno pneumatico un cerchio Il CDM egrave esterno alloggetto Legge fondamentale della dinamica per un sistema di punti materiali Caso della palla da bigliardo urto fra due palle dopo il lancio di una le due si muovono 1) una egrave ferma (B) lrsquoaltra la lancio (A) 2) le due si urtano in qualunque modo 3) le due si muovono secondo traiettorie differenti una possibilmente andragrave in buca lrsquoaltra no Dopo il lancio sulla palla A non agisce piugrave nessuna forza quindi la sua velocitagrave v egrave costante Va bene ma dopo lrsquourto Il CDM delle due palle continua a muoversi con velocitagrave costante anche se il centro di massa egrave un punto teorico che non appartiene a nessuna delle due palle Tuttavia al CDM possiamo assegnare una massa (M totale del sistema) una velocitagrave ed una accellerazione Si ha

)(CDMext aMFrarrrarr

=sum

a) extFrarr

sum egrave la somma di tutte le forze esterne che agiscono sul sistema non quelle interne (ad esempio nel caso del bigliardo non devo considerare le forze che si applicano fra le due palle quando si urtano)

b) M egrave la massa totale del sistema Si suppone che durante il moto M rimanga costante

c) )(CDMararr

egrave lrsquoaccelerazione del CDM Dellrsquoaccellerazione di un altro punto ad esempio del centro della palla A non si dice nulla

Cosideriamo alcuni esempi 1) Bigliardo tvaF CDMCDMext cos00 ===sum prima dellrsquourto nellrsquourto si verificano solo forze

interne Quindi tvaF CDMCDMext cos00 ===sum dopo lrsquourto e durante tutto il moto

2) Sistema terra-luna sumFext = gravitazione del sole aCDM egrave ldquocentripetardquo accellerazione di una

forza che egrave diretta verso il sole (forza ldquocentralerdquo) egrave il CDM terra-luna che segue la traiettoria dovuta allrsquoattrazione gravitazionale del sole poi terra e luna si muovono intorno al loro CDM

3) Clavette lanciate sum Fext = Mg aCDM = g il centro di massa si comporta come un punto materiale nel lancio

4) La ballerina nel ldquogrand-fetegraverdquo fa seguire a testa e busto una traiettoria rettilinea percheacute modifica lrsquoassetto in modo da alzare il suo CDM Nel corso del salto (alza le braccia e distende

orizzontalmente le gambe non appena lasciato il suolo) il suo CDM segue la traiettoria parabolica del lancio di un corpo soggetto allrsquoaccelerazione di gravitagrave g

Quantitagrave di moto rarrP

- Si definisce quantitagrave di moto di una particella il vettore

rarrrarr= vmP

con m massa della particella e rarrv la sua velocitagrave

Si vede che rarrP egrave diretto come

rarrv

Newton scrisse la legge fondamentale della dinamica in termini di quantitagrave di moto (a differenza di Galileo che la scrisse in termini di massa e di accelerazione) ldquola rapiditagrave di variazione della quantitagrave di moto di una particella egrave proporzionale alla forza netta che agisce sulla particella ed egrave nella direzione di quella forzardquo cioegrave

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

che egrave piugrave generale della formulazione di Galileo perchegrave descrive bene anche il caso in cui variasse la massa del corpo durante il moto (ad esempio un vettore spaziale) Se la massa egrave costante le due formulazioni sono identiche

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

= t

vm

∆∆

rarr)(

= m t

v

∆∆

rarr

= m rarra

Ricordiamo che rarrF egrave diretto come

rarra (o la risultante

rarrR = sum

rarrF )

Per un sistema di punti materiali si definisce la quantitagrave di moto totale

rarrP =

rarrP 1 +

rarrP 2 + helliphellip+

rarrP n =

m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +helliphelliphellip+ mn

rarrv n = M

rarrv CDM (si puograve dimostrare) dove M egrave la massa totale

[essendo infatti Mrarrv CDM =

dt

d(M

rarrr CDM) =

dt

d(m1

rarrr 1 + m2

rarrr 2 +hellip) = m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +

hellip]

quindi rarrP = M

rarrv CDM per un sistema di particelle e

dt

Pdrarr

= M dt

d rarrv CDM = M

rarra CDM = sum

rarrF ext

Conservazione delle quantitagrave di moto

Per un sistema chiuso (M non varia) e isolato (sumrarrF ext = 0)

Allora

t

P

∆∆

rarr

= 0 rarrP = cost

rarrP i =

rarrP f

che sono tre modi equivalenti per dire che la quantitagrave di moto si conserva Vale per un sistema nel quale non agisca nessuna forza esterna netta Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica e la conservazione delle quantitagrave di moto sono due concetti fisici importantissimi Valgono sia per le palle da bigliardo che per qualunque altro sistema anche le galassie nellrsquouniverso Queste equazioni sono vettoriali Ciograve significa che rappresentano una terna di equazioni scalari ognuna valida sul proprio asse del sistema di riferimento (x y z)

Puograve accadere a seconda delle forze che agiscono nel sistema che la quantitagrave di moto si conservi in una direzione o in due e non in tutte e tre

Ad esempio se consideriamo una palla come un insieme di punti materiali la rarrF ext che agisce nel

sistema egrave mrarrg diretta lungo z senza componenti su x e y quindi

rarrP varia lungo z ma

non su x e y

Percheacute ldquocomplicarci la vitardquo con questa storia del CDM del sistema di particelle etchellip non bastava il moto del punto rappresentativo materiale Avevamo giagrave considerato il punto rappresentativo e avevamo svolto anche problemi sulla palla sul bilanciere e per altri oggetti Abbiamo sempre sbagliato La questione egrave se un corpo egrave rigido cioegrave se tutti i suoi punti si muovono mantenendo le loro distanze relative non crsquoegrave problema abbiamo solo visto che il punto materiale rappresentativo si chiama CDM ed abbiamo imparato a situarlo allrsquointerno del corpo Ma se il corpo non egrave rigido cioegrave se il suo CDM si sposta rispetto a lui stesso nel corso del moto la disposizione del corpo intorno al punto rappresentativo varia nel corso del tempo e le leggi di conservazione valgono per il CDM - Consideriamo ad esempio il teorema dellrsquoenergia cinetica che per un punto materiale si scrive Ltot = Kfin-K in = ∆ K (qui ovviamente non crsquoegrave da specificare lavoro delle forzeldquoesternerdquo percheacute essendo in un punto materiale che si assume infinitamente piccolo non ci sono forze ldquointernerdquo) Per analogia il teorema dellrsquoenergia cinetica si estende al caso di un insieme di punti materiali nel seguente modo

Ltot forze ext=rarrF extmiddot

rarrs CDM = ∆ KCDM

Dove s CDM egrave lo spostamento del centro di massa A titolo di esempio risolviamo il problema un giocatore di hockey su ghiaccio di massa M = 110Kg si muove verso la balaustra a bordo campo alla velocitagrave di 3msec Nellrsquoarrestarsi flettendo le braccia il suo CDM si sposta in avanti di 30cm Qual egrave la ∆ K del suo CDM durante la manovra

∆ KCDM = infin CDMCDM mvmv 22

2

1

2

1 minus =

= 0 - 2

1110 32 = -495 J

Fig 40

Sia L il lavoro delle forze esternerarrF ext (dirette come d

rarrx CDM ) allora

L = - Fext 03 = ∆ KCDM quindi

Fext =30

495

minusminus

= + 1650N

( si considera la forza esterna rarrF ext costante nellrsquointervallo dellrsquoarresto fatto che equivale a dire

che il giocatore si arresta con rarra CDM costante)

Dinamica e statica del corpo esteso Finora abbiamo sempre discusso del moto di un punto materiale (punto rappresentativo dicevamo sempre) In particolare abbiamo sempre applicato le forze a quel punto materiale quindi se diverse forze erano applicate esse concorrevano in quel punto ligrave e con le forze concorrenti sapevamo come calcolare la risultante con il metodo grafico o con quello numerico delle coordinate cartesiane Una volta calcolata la risultante applicata al punto si otteneva un moto di pura traslazione del punto (al massimo traslava lungo una traiettoria curva) senza rotazioni proprie del punto che non hanno neanche senso un punto che ruota su se stesso Come faccio ad accorgermi Un punto per definizione egrave infinitamente piccolo (Dicevamo infine che il punto egrave in equilibrio

traslazionale se la risultante rarrR delle forze applicate egrave nullo)

Consideriamo invece un corpo esteso Prima osservazione questo ha piugrave punti (direi infin ) a

cui la forza puograve essere applicata Prendiamo una racchetta da tennis ed una forza rarrF applicata il

moto che ne risulta dipende dal punto al quale viene applicata la forza rarrF

qui la racchetta trasla

Fig 41

stessa forza qui la racchetta ruota

Fig 42

Seconda osservazione Crsquoegrave un caso in cui le forze non possono essere fatte concorrere in un punto ed egrave quando sono parallele ed hanno rette di applicazione distinte Chiaramente non abbiamo mai dovuto considerare questo caso per il punto materiale percheacute per un punto non possono mai passare due rette parallele Ma per il corpo esteso So benissimo che se sono ferma con la macchina in

panne e la sto spingendo applicando una forza rarrF 1 sono contenta se qualcuno si affianca a me ed

esercitando una forza rarrF 2 lungo una direzione parallela a quella della mia mi aiuta a spingere In

particolare mi viene spontaneo dire che se F1 = F2 allora spingeremo con una forza doppia Ci saragrave quindi un modo per sommare due forze non concorrenti in un punto ma parallele e saragrave Ftot = F1+ F2 La retta di applicazione di Ftot divide il segmento congiungente i punti di applicazione di F1 ed F2 in due segmenti inversamente proporzionali allrsquointensitagrave delle forze F1 e F2 Terza osservazione se F1 = - F2 sono uguali in intensitagrave ma di verso opposto sempre lungo due rette di applicazione parallele passanti per un corpo esteso cosa succede La loro somma Ftot risultante saragrave 0 ma io so che il corpo non sta fermo sotto lrsquoazione di tali due forze ma ruoteragrave Concludo che le nozioni che ho acquisito finora vanno riviste ed ampliate o corrette o specificate per i corpi estesi ed inoltre che mi mancano totalmente i mezzi per descrivere le rotazioni dei corpi estesi Occorrono nuovi concetti nuove quantitagrave la forza non basta Prendo lrsquoesempio piugrave semplice dellrsquoaltalena con due bambini in due bracci uno piugrave leggero uno piugrave pesante

Fig 43 Qualitativamente so che percheacute lrsquoaltalena stia in equilibrio e non ruoti intorno al punto fisso non egrave necessario che i due bambini abbiano lo stesso peso (ugual massa) occorre che il bambino piugrave leggero sieda piugrave lontano rispetto al punto fisso (fulcro) La regola quantitativa dice che lrsquoaltalena egrave in equilibrio se il prodotto del peso per la distanza del fulcro egrave uguale PB dB = Pb

db Per generalizzare questa regola ai casi piugrave complessi occorre definire una nuova quantitagrave il momento di una forza Momento di una forza

Consideriamo una forza rarrF applicata ad un punto P ed un punto O Sia

rarrr

il vettore rarrOP allora il momento

rarrM di

rarrF rispetto ad O egrave

rarrM =

rarrr x

rarrF

e

|rarrr | middot |

rarrF | sin ϑ = |

rarrM |

Fig 44

oppure anche considerando la componente di rarrF perpendicolare ad

rarrr o di

rarrr

perpendicolare a rarrF r e rispetto a F

|rarrM | = |

rarrr | |

rarrF perp | |

rarrM | = |

rarrr perp| |

rarrF |

In generale si dice che il modulo del momento |rarrM | egrave il prodotto delle intensitagrave della forza per la

distanza dal punto della retta di applicazione della forza

Come vettore rarrM egrave perpendicolare al piano che contiene

rarrF ed

rarrr ed ha verso calcolato con la

regola della mano destra (con rarrr che si chiude su

rarrF )

La distanza rperp si chiama braccio della forza Si vede che il momento egrave nullo quando il braccio egrave nullo cioegrave quando il punto O si trova sulla retta di applicazione di F Il momento della forza peso P egrave nullo rispetto al baricentro che coincide con il centro di massa nel caso (praticamenteldquosemprerdquo) in cui il corpo non sia abbastanza esteso percheacute diversi punti del corpo risentano di una forza gravitazione differente Praticamente si deve parlare di galassie percheacute CDM e baricentro (BC) non coincidono Quindi la condizione del momento nullo della forza peso diventa un modo per definire il CDM come quel punto rispetto al quale la forza peso P ha momento nullo Per un corpo ldquoarticolatordquo estendiamo il concetto di forza normale come forza di contatto nellrsquoarticolazione utile cioegrave la forza che lrsquoarticolazione che si sta considerando esercita su quello che nellrsquoarticolazione si appoggia La forza peso P di un corpo esteso puograve immaginarsi applicata al CDM Principio di equilibrio di un corpo esteso

se su un corpo esteso agiscono solo rarr

Peso e rarr

Normale cioegrave se un corpo egrave appoggiato ad un piano orizzontale allora il corpo egrave in equilibrio se e solo se il baricentro si trova sopra la superficie di appoggio

Fig 45

Finchegrave il baricentro egrave sopra il tavolo il libro non cade percheacute rarrP applicata a CDM puograve essere

controbilanciata da rarrN Se CDM si sposta in fuori

rarrN rimane nel tavolo e crsquoegrave momento non nullo

non equilibrato da rarrP che continua ad essere applicato nel CDM

Il baricentro di una persona in posizione eretta si trova nellrsquoarea delimitata dei suoi piedi 3cm davanti allrsquoarticolazione della caviglia

Fig 46 Quando la persona si piega in avanti il baricentro esce dal corpo e per mantenere lrsquoequilibrio egrave necessario che le anche si spingono indietro percheacute il baricentro cade di nuovo in quella posizione Notiamo che anche in posizione eretta essendo la forza peso e la forza di contatto non allineate (quei 3cm) (forza di contatto sullrsquoarticolazione della caviglia che regge il peso) occorre un momento correttivo che impedisca la rotazione in avanti mantenuto dal tendine di Achille che si lega alla caviglia Altro esempio di spostamento del baricentro egrave lrsquoatleta che assume una posizione ad L chi regge il peso egrave lrsquoarticolazione della spalla quindi il CDM si sposta sotto la spalla (giagrave era uscita dal corpo per via delle gambe distese in avanti) Nel camminare il baricentro continua a muoversi da sopra un piede a sopra un altro (quello appoggiato ovviamente) Si osservi lrsquoondeggiamento Per assurdo lrsquoancheggiare delle indossatrici serve a mantenere il baricentro il piugrave possibile fermo rispetto alla direzione media del moto (porre un piede esattamente davanti allrsquoaltro) rendendo piugrave facile muoversi anche con tacchi altissimi Al contrario lrsquoequilibrista che cammina sui trampoli sta fermo il meno possibile percheacute egrave stando fermo che il piccolo spostamento che fa uscire il baricentro (ALTO) dalla superficie drsquoappoggio puograve verificarsi facilmente preferisce il ldquonon ndash equilibriordquo o lrsquo rdquoequilibrio dinamicordquo dellrsquoondeggiare continuamente fra due posizioni di equilibrio

Ricordiamo che un equilibrio egrave detto stabile se quando una perturbazione lo altera spontaneamente il sistema lo ripristina Viceversa un equilibrio egrave instabile se la piugrave piccola perturbazione lo distrugge Lrsquoequilibrio egrave molto stabile se il baricentro egrave basso ed il corpo ha una grande area drsquoappoggio la posizione accucciata del giocatore di football americano dagrave grande stabilitagrave Ancor piugrave grande stabilitagrave si ha se il baricentro (CDM) si trova al di sotto della superficie drsquoappoggio Ersquo come se si fosse ldquoappesirdquo anzicheacute ldquoappoggiatirdquo alla superficie drsquoappoggio Proprio per questo motivo lrsquoequilibrista sul filo porta una lunga asta che spesso si flette agli estremi

Fig 47 Gli uccelli bipedi da 100000000 di anni hanno sviluppato questo adattamento per cui sono appesi alle anche mentre gli uomini bipedi da solo 1000000 di anni fanno fatica con il CDM dalla parte alta del corpo Ersquo un equilibrio instabile ldquosoprardquo le anche che le reggono (65 del peso del corpo) Modificazioni strutturali per reggere la posizione eretta 1) Colonna vertebrale rastremata (piugrave tozza in basso che in alto percheacute piugrave in basso vuol dire una

maggior forza di contatto) 2) Muscoli estensori della schiena 3) Gambe ed anche ingrossate 4) Ginocchio che blocca la gamba estesa Ciononostante si ha spesso il mal di schiena Se una forza ha momento non nullo rispetto ad un punto allora il corpo puograve ruotare intorno a quel punto sotto lrsquoazione di quella forza ldquoDiciamo che se sostengo il corpo per quel punto il corpo puograve ruotare intorno a quel puntordquo (Prendo in mano un foglio di carta per un estremo per esempio) La presenza di un momento non nullo egrave dunque la condizione che genera rotazione e viceversa Lrsquoassenza di un momento risultante egrave la condizione che genera lrsquoequilibrio rotazionale di un corpo esteso Quindi la condizione di equilibrio per un corpo esteso egrave

1) rarrR = 0 risultante delle forze applicate = 0 (equilibrio traslazionale)

2) rarrM = 0 momento risultante = 0 (equilibrio rotazionale)

Supponiamo di avere un corpo esteso al quale siano applicate delle forze che diano luogo ad un momento non nullo allora il corpo ruota Per equilibrarlo dovrograve applicare un altro momento tale che la loro somma sia nulla Questo egrave il principio di funzionamento delle leve LEVE

Una leva egrave un corpo esteso al quale sono applicate delle forze con un momento risultante rarrR

allora per portare il corpo in equilibrio applico un momento correttivo rarrP in modo che il momento

totale sia nullo Si dice in genere potenza (P) e resistenza (R) di una leva Le leve sono macchine semplici Servono per applicare forze in punti scomodi o in direzioni particolari Il fulcro egrave il punto nel quale la leva egrave incernierata Si definisce il guadagno meccanico di una leva

GM =

)(

)(rarr

rarr

PF

RF

cioegrave il rapporto fra la forza che genera il momento resistente e quella che genera il momento agente A seconda che GM sia gt

lt 0 una leva si dice che egrave vantaggiosa o svantaggiosa ma solo per quel che riguarda le forze percheacute per quel che riguarda i lavori non si ha neacute vantaggio neacute svantaggio Il lavoro esercitato dalla forza che dagrave la ldquopotenzardquo e quello esercitato dalla forza che dagrave la ldquoresistenzardquo sono sempre uguali Infatti forze e spostamenti sono inversamente proporzionali Le leve si dicono di I II o III specie a seconda se il fulcro si trovi I) in mezzo fra R e P (leva indifferente GM dipende da caso a caso) II) dalla parte di R (leva vantaggiosa il braccio di R egrave sempre minore del braccio di P basta

quindi una P minore per equilibrare una R maggiore) III) dalla parte di P (leva svantaggiosa) Classici esempi dei tre tipi di leve sono i remi (I) lo schiaccianoci (II) e la pinzetta per francobolli (III) Tuttavia vediamo degli esempi meno classici ma attinenti al campo della biologia e della medicina Criterio generale egrave che le leve vantaggiose consentono di essere molto potenti ma con brevi spostamenti mentre viceversa quelle svantaggiose fanno perdere in potenza ma consentono grandi spostamenti saragrave difficile vedere un cavallo che con le lunghe zampe si scava la tana drsquoaltronde una talpa scava bene la tana ma ha movimenti molto meno ampi che non le consentono di correre veloce come un cavallo (compromesso fra forza e velocitagrave del movimento) Se contiamo tutti i movimenti di rotazione che il corpo puograve compiere capiamo che siamo pieni di leve di ogni tipo Sono classici a) il capo fulcro (articolazione occipito-atlantoide) Fig 48 muscoli della nuca (Potenza) peso del capo (Resistenza) b)

muscolo bicipide (Potenza)

Fig 49 Peso dellrsquoavambraccio (Resistenza) Fulcro (articolazione del gomito) Questa leva permette grandi spostamenti Si vede che la forza operata dal muscolo bicipite egrave massima quando lrsquoavambraccio egrave orizzontale (la distanza dal fulcro egrave massima) ed egrave minima quando lrsquoavambraccio egrave verticale( con la distanza dal fulcro nulla) Attenzione - la colonna vertebrale egrave costituita da 24 vertebre separate da dischi di liquido Quando una

persona si piega la schiena egrave una leva con GM molto piccolo Quindi un piegamento completo per raccogliere un oggetto anche leggero produce una forza molto intensa sul disco lombosacrale che separa lrsquoultima vertebra dellrsquoosso sacro Se indebolito questo disco puograve rompersi o deformarsi comprimendo i nervi vicini e causando grande dolore Vediamo un modello che rende conto come mai questa forza egrave cosigrave grande

Fig 50

I muscoli della schiena esercitano T Con un angolo α = 12deg quando la schiena egrave piegata a 90deg

Peso della parte superiore del corpo (circa il 65 del peso totale)

Fulcro lombosacrale (il fulcro produce R) Essendo α piccolo la retta di azione Τ passa vicino al fulcro e dunque la distanza r che costituisce il suo braccio egrave molto piccola Al contrario il peso egrave perpendicolare alla colonna e il suo punto di applicazione egrave molto piugrave distante dal fulcro Τ deve essere molto grande per equilibrare il momento di P Dunque se T egrave grande anche la sua componente orizzontale egrave grande e di conseguenza anche R che costituisce la reazione dellrsquoosso sacro deve avere componente orizzontale molto grande per equilibrare Τ (uguale ed opposta alla componente orizzontale di Τ ) Facendo i conti si ottengono numeri grandi per 75Kg di peso T ed R sono equivalenti al peso di una massa di 220Kg Senza sollevare pesi solo piegandosi Conviene piegare le ginocchia quando si sollevano pesi - Nel corpo egrave difficile che il peso cada sulla verticale dellrsquoarticolazione che lo sostiene egrave sempre

un porsquo spostato e crsquoegrave un tendine con un muscolo che compensa il momento del peso - La contrazione muscolare egrave una successione di brevi contrazioni delle fibre muscolari stimolate

da impulsi che provengono dal sistema nervoso Contrazioni sono molto ravvicinate e avvengono in tempi differenti nelle diverse parti del muscolo cosigrave che il risultato apparente egrave una lenta e progressiva contrazione Se la frequenza degli impulsi aumenta la tensione cresce finchegrave si raggiunge la tensione massima (ricordare la tensione di un cavo) Un ulteriore aumento della frequenza degli impulsi a questo punto non causa ulteriore aumento della tensione

La tensione massima egrave proporzionale allrsquoarea della sezione trasversa del muscolo nel suo punto piugrave largo La tensione massima dipende anche dalla lunghezza del muscolo che varia Si ottiene tensione massima quando il muscolo egrave solo di poco allungato rispetto alla sua lunghezza di riposo di riposo ed egrave circa 30-40 Ncm2 La tensione massima si riduce moltissimo se il muscolo egrave molto allungato o accorciato Dinamica Rotatoria Fino ad ora abbiamo studiato moti traslatori ma il moto di un corpo rigido egrave in generale roto-traslatorio Naturalmente dobbiamo ridurre il problema complesso ad uno piugrave semplice e per fare ciograve immaginiamo di posizionarci su un sistema di riferimento solidale al corpo rigido i moto immaginiamo cioegrave di ldquosedercirdquo sul corpo rigido In questo modo non saremo piugrave sensibili al moto traslatorio e guardando il corpo rigido osserveremo solo le sue rotazioni Trattiamo allora il moto generico scomponendo la parte traslatoria (giagrave discussa ) da quella rotatoria Se si trascura la parte traslatoria del moto di un corpo rigido quello che rimane da trattare egrave la sua rotazione Nel nostro corso consideriamo le rotazioni che avvengono su un piano le rotazioni nello spazio potranno essere trattate come composizione di rotazioni su un piano Per le rotazioni su un piano si identifica un asse di rotazione perpendicolare al piano di rotazione e passante per il centro di rotazione Le articolazioni del gomito e del ginocchio sono articolazioni libere di ruotare intorno ad un asse a differenza ad esempio di quella della spalla che puograve ruotare intorno a due assi Si definisce spostamento angolare la variazione di una posizione che egrave definita in modo completo da una misura di angolo Una rotazione di un intero corpo rigido egrave definita in modo completo da uno spostamento angolare θfin - θin= ∆θ e si misura in radianti

Fig 51 Dobbiamo definire anche un verso di rotazione θ si incrementa per rotazioni antiorarie positive le rotazioni in senso orario sono invece negative La velocitagrave angolare si definisce analogamente alla velocitagrave lineare come il rapporto tra lo spostamento angolare e il tempo t impiegato per eseguire tale rotazione

ωm = t∆

∆θ e si misura in rad s

θin

θfin ∆θ

R

S

Anche per w si definisce ωist = lim ∆trarr0 t∆

∆θ

Ancora lrsquoaccelerazione angolare si definisce αm = t∆

∆ω e αist = lim ∆trarr0

t∆∆ω

Anche la legge fondamentale della dinamica ha un analogo nel ambito dei moti rotatori Si stabilisce che se ad un corpo rigido egrave soggetto ad un momento torcente diverso da zero esso subisce unrsquoaccelerazione angolare ad esso proporzionale Nel caso delle rotazioni la resistenza al moto egrave espressa dal momento di inerzia I associato al corpo rigido che gioca il ruolo della massa nei moti traslatori La legge della dinamica delle rotazioni egrave M = I middotα

E sostituendo M = Imiddott∆

∆ω= Imiddot

tinfin

∆minusωω

Il momento di inerzia I di un corpo rigido dipende dalla disposizione della massa del corpo rispetto allrsquoasse di rotazione per una massa puntiforme m a distanza R dallrsquoasse di rotazione I= m R2 per un oggetto esteso sommerograve il momento drsquoinerzia delle sue parti I = Σi mi Ri

2 Se si definisce momento angolare L il prodotto del momento drsquoinerzia per la velocitagrave angolare

L=Iω la legge della dinamica diventa

M = t

LL infin

∆minus

Il momento angolare egrave la grandezza fisica che si conserva se non viene applicato momento torcente Tutti i gesti di volo salti lanci tuffihellip sono azioni nelle quali si conserva il momento angolare Infatti in volo agisce solo la forza di gravitagrave che essendo applicata al CDM non genera momento torcente Il corpo umano nei gesti di volo Il corpo umano non egrave rigido e pertanto in volo agendo con i muscoli possiamo cambiare la disposizione del nostro corpo intorno al centro di massa che in volo coincide col centro di rotazione In questo modo si ottiene una variazione del momento di inerzia I e di conseguenza la velocitagrave angolare deve compensare questa variazione in modo che si mantenga costante il momento angolare L (grandezza che si conserva in assenza di momento torcente) Ersquo questo il principio che spiega il realizzarsi delle trottole sul ghiaccio dei salti mortali tuffi con avvitamento e cosigrave via in posizione raccolta I diminuisce e ω aumenta Moto circolare e moto circolare uniforme Per utilizzare le relazioni della cinematica e della dinamica lineare che abbiamo studiato egrave interessante poter passare dalle variabili angolari alle variabili lineari velocitagrave e accelerazione delle

masse in moto rotatorio Se una massa si muove su una traiettoria curva la velocitagrave tangenziale vt diretta come la tangente alla traiettoria dipende dalla velocitagrave angolare ω ( ωm=ϑ t )e dal raggio di curvatura della traiettoria Se la traiettoria egrave una circonferenza di raggio R e se gli angoli sono espressi in radianti lrsquoarco percorso per uno spostamento angolare ϑ egrave S = ϑ sdotR e la velocitagrave lineare tangente vt = St= ϑ sdotRt risulta vt = ωsdotR Se la velocitagrave angolare ω egrave costante il moto egrave detto circolare uniforme La legge oraria egrave quella dei moti uniformi spostamenti angolari uguali in tempi uguali ϑ(t) = ω t Anche la velocitagrave tangente saragrave di intensitagrave costante se ω egrave costante (archi uguali per tempi uguali s(t) = vt (t) ) ma crsquoegrave una accelerazione normale infatti la velocitagrave anche se non cambia in modulo cambia continuamente di direzione Questa accelerazione si dice centripeta egrave diretta normalmente rispetto alla traiettoria verso il centro della circonferenza e vale in modulo

ac=R

v2

Fig 52 Essendo la velocitagrave tangente vt = ωR Lrsquo accelerazione centripeta si puograve scrivere

ac =R

v2

= ω2 R

Il tempo impiegato dal punto a muoversi sulla circonferenza egrave una costante (moto uniforme) T periodo in T viene percorso uno spazio 2π R

v = T

Rπ2

La frequenza f egrave invece il ndeg di giri al secondo

f =T

1

Se si prendono punti diversi sul raggio della circonferenza questi hanno la stessa velocitagrave angolare e velocitagrave tangenziali crescenti al crescere del raggio Esempio carosello dei pattinatori Esercizi

1- un velocista con una velocitagrave di 10 ms viaggia su una curva di raggio 25m ndash accelerazione

a = R

v2

= 25

100 = 4 ms2

2 ndash un velocista con v = 92 ms su una pista circolare con ac = 38 m s2 ndash Raggio della pista Tempo per percorrere un giro completo

a = R

v2

rArr R = a

v2

= 83

)29( 2

= 2227m

T =v

Rπ2 =

29

27222 lowastπ = 152 sec

Forza centripeta forza centrifuga Una forza centripeta egrave una forza di qualunque natura che trattiene un corpo in moto su una traiettoria curvilinea ad esempio circolare In assenza di tale forza il corpo proseguirebbe il suo moto lungo una traiettoria rettilinea Nel gesto del lancio del martello ad esempio il lanciatore che esercita sul peso in cima allrsquoattrezzo una forza mediata dalla tensione dal cavo che lo trattiene nella traiettoria circolare Quando il lanciatore lascia la maniglia il martello viene lanciato lungo la direzione della tangente alla traiettoria nellrsquoistante di rilascio Lrsquointensitagrave della forza centripeta necessaria a mantenere una massa m in moto con velocitagrave tangente v lungo una traiettoria circolare di raggio r si puograve calcolare a partire dallrsquoaccellerazione centripeta secondo la legge fondamentale della dinamica

|rarr

cF | = m | rarr

ca | = m r

v2

Tale forza egrave diretta come lrsquoaccelerazione centripeta e cioegrave verso il centro della circonferenza che costituisce la traiettoria La forza centripeta egrave dunque una forza reale Con lsquoforza centrifugarsquo invece non ci si riferisce ad un forza che agisce su un corpo ma alla situazione apparente cui sembra sottoposto un corpo in moto curvilineo Esso pare tirato o attirato lontano dal centro di rotazione pare ci sia una lsquoforzarsquo che vuole farlo sfuggire Quando viene lasciato il martello si allontana dal centro di rotazione percheacute si muove di moto rettilineo uniforme non essendo piugrave soggetto a forze altre che la forza peso Lrsquoacqua esce dal cestello della lavatrice quando il cestello ruota velocemente (funzione centrifuga) percheacute lrsquoacqua che non costituisce un corpo solo con il cestello bucato non egrave soggetta alla forza centripeta e puograve passare attraverso i buchi I panni invece pure non parte del cestello sono troppo grandi per passare dai buchi si possono solo schiacciare contro le pareti questo schiacciamento sembra il risultato di una forza ma egrave invece il risultato dellrsquoassenza di una forza quella centripeta Una volta lagrave contro il cestello fanno tuttrsquouno con le pareti di metallo che esercitano su di essi la forza centripeta (cioegrave con direzione verso lrsquoasse di rotazione) che li mantiene in rotazione Le parti di un corpo rigido esteso che si muove di moto rotatorio rispetto ad un asse quale ad esempio la gamba di un giocatore di calcio che calcia un pallone sono soggette alla forza centripeta che le mantiene sulla traiettoria curva Tale forza viene trasmessa alle varie parti tramite le forze di tensione che si sviluppano allrsquointerno del corpo stesso ad esempio il piede egrave soggetto alla forza centrifuga tramite lrsquoazione dei legamenti e tendini a livello della caviglia che vengono messi in tensione per trattenere il piede stesso

Ersquo molto importante ora applicare la seconda legge della dinamica o legge fondamentale della dinamica F = m a ad un corpo soggetto alla sola forza peso sulla superficie della Terra cioegrave quando F egrave la forza peso P ora definita F = m a P = m a -g mG = m a Abbiamo voluto lasciare indicato il pedice G percheacute in principio non crsquoegrave ragione percheacute la grandezza con le dimensioni di una massa che compare nella legge di gravitazione sia uguale alla massa implicitamente definita dalla relazione di proporzionalitagrave tra la F applicata e lrsquoaccelerazione subita da un corpo data dalla seconda legge della dinamica Si egrave tuttavia dimostrato sperimentalmente che la massa gravitazionale mG (introdotta nella legge di attrazione universale e la massa m che si dice massa inerziale ed egrave definita tramite la seconda legge della dinamica sono uguali hanno lo stesso valore Questo permette di semplificare le due masse nellrsquoequazione e di ottenere -g = a che significa che lrsquoaccelerazione di una corpo soggetto alla forza peso sulla superficie della terra vale a = ndashg equiv -98 ms2 NB lrsquoaccelerazione vale 98 ms2 per tutti i corpi di qualsiasi massa Infatti sui corpi con massa maggiore vengono esercitate forze maggiori in modo proporzionale alla loro massa (corpi con massa maggiore lsquopesano di piugraversquo) cosigrave da produrre sempre la stessa accelerazione Si egrave soliti assumere che g sia costante e che non dipenda dalla quota h alla quale ci si trovi al di sopra della superficie terrestre Questa egrave unrsquoapprossimazione molto buona nei limiti in cui hltlt RT Infatti g diminuisce con la quota per esempio se h = 8000m (circa sul monte Everest) lrsquoaccelerazione di gravitagrave g si riduce a

2

2

)6378000(

)6370000( x g = 099749 x g = 97754 m s2 (meno del 25 per mille)

Forze di superficie Forze di contatto Alla superficie di contatto tra due corpi si realizzano le forze che chiamiamo appunto di superficie e che si dividono in forze di contatto e forze di attrito Le forze di contatto

La forza normalerarr

NF egrave la forza che un corpo sperimenta quando egrave appoggiato su di una superficie

Si chiama normale percheacute egrave sempre diretta perpendicolarmente alla superficie Se la superficie egrave orizzontale Fig16

Fc

FN

Piano orizzontale Calcolare lrsquointensitagrave della forza normale applicata ad un oggetto di massa m fermo su un tavolo orizzontale Per il primo principio della dinamica (principio di inerzia) se un corpo e fermo la risultante delle forze ad esso applicate egrave nulla cioegrave

rarrP +

rarr

NF = 0

In questo caso la forza normale rarr

NF egrave un vettore che ha lo stesso modulo e la stessa direzione del

vettore forza pesorarrP ma ha verso opposto Quindi il modulo di

rarr

NF vale |rarr

NF | = mg

Piano inclinato

Nel caso di un piano inclinato dovrograve tenere conto che rarr

NF puograve compensare solo la parte di rarrP

diretta normalmente al piano (infatti se non crsquoegrave attrito il corpo scivola lungo il piano inclinato) Se ϑ egrave lrsquoangolo che il piano inclinato forma con lrsquoorizzontale il piano inclinato fornisce al corpo una

forza normale che in modulo vale | rarr

NF | = m g cosϑ

Fig 17 4 ndash Salto con molleggio Un uomo con massa m = 70kg salta da unrsquoaltezza L = 2m Arrivando al suolo molleggia sulle ginocchia per un tratto l = 02 m Si calcoli la forza di reazione che il suolo esercita sui piedi durante il molleggio Si consideri il molleggio come una frenata che avviene con accelerazione (negativa) costante Fig 18

F

FN

Cadendo da unrsquoaltezza L allrsquoistante in cui il piede tocca il suolo la velocitagrave Vs egrave data dalla risoluzione del sistema di equazioni cinematiche per il moto uniformemente accelerato con t0 il tempo di caduta Vs = gt0 L = frac12 gt0

2 Vs = (2gL) frac12 La forza di reazione che esercita il suolo sul piede durante il molleggio egrave quella che imprime lrsquoaccelerazione (negativa) a di frenata (piugrave il peso del corpo mg)Il corpo si ferma in un tratto l Questa frenata si tratta con le equazioni del moto uniformemente accelerato 0 = Vs ndash at l = Vs t ndash frac12 at2 (essendo t il tempo di frenata) dalla prima equazione t = Vs a che introdotto nella seconda equazione permette di calcolare a a = frac12 Vs

2l e con Vs = (2gL) frac12 si ottiene a = g (Ll) e quindi la forza di reazione Fr = mg + ma egrave data da Fr = mg (Ll + 1) = 70 x 98 x (202 + 1) N = 7546Newton Si noti che al peso si aggiunge una forza che egrave il peso moltiplicato per un fattore (ldquofattore di cadutardquo) dato dal rapporto tra lrsquoampiezza del salto e il tratto di molleggio Questa forza si trasmette dal piede allrsquoarticolazione delle ginocchia e cosigrave via Tensione

Quando una corda egrave attaccata ad un corpo e viene tirata si dice che la corda egrave sotto tensione

La tensione rarrT cui egrave sottoposta la corde in ogni sua parte egrave una forza pari alla forza che si applica

sia al corpo sia alla mano che lo tira ai due estremi della corda ed egrave sempre diretta lungo la corda Fig 19 Anche con una carrucola cioegrave con la corda che si curva intorno ad una rotella la tensione ha intensitagrave T lungo la corda Una corda egrave utile in questo caso per cambiare la direzione e il verso di applicazione di una forza la mano tira verso il basso ma la massa egrave sottoposta ad una forza verso lrsquoalto

Fig20 I tendini del corpo umano sono corde e vengono utilizzati anche per variare la direzione di applicazione delle forze esercitate dai muscoli Forza di attrito

Lrsquoattrito fa parte dellrsquoesperienza quotidiana nel bene e nel male Da una parte fa consumare piugrave benzina (20 per motore e trasmissione) ma anche la suola delle scarpe il battistrada delle gomme e i gomiti del maglione dallrsquoaltra consente il movimento i nodi tengono i chiodi fissano etc Un libro che scivola su un tavolo orizzontale si fermerebbe se non mantenessi una forza costante che contrasta lrsquoattrito su una superficie ruvida il movimento genera lui stesso una forza che decelera il moto Per mantenere in moto rettilineo uniforme un corpo che scivola sopra un piano bisogna applicare al corpo una forza che serva a neutralizzare questa forza ldquospontaneardquo(detta di attrito) in modo che la risultante delle forze applicate sia nulla Anche lrsquoinizio del moto egrave contrastato dalla forza di attrito (statico) che assume un valore uguale e contrario a quello della forza che applico fino a raggiungere un valore massimo (valore limite) Il corpo non si muove resiste al moto Oltre quel valore limite cioegrave se applico una forza sufficientemente intensa il corpo inizia a muoversi Situazione

Fig 21 Un blocco appoggiato sul piano orizzontale egrave fermo rarrP

verso il basso e rarr

NF verso lrsquoalto sono uguali in modulo

Se applico una forza rarrF per spostare il corpo verso destra insorge una forza di attrito statico

P

FN

il cui modulo vale |rarr

sattF _ | = smicro |

rarr

NF | ( smicro egrave il coefficiente di attrito statico il suo valore dipende

dalla natura dei materiali a contatto) esercitata orizzontalmente dal piano che uguaglia in

intensitagraverarrF ma di verso opposto in modo che il corpo non si muove Se aumento

rarrF aumenta

anche rarr

sattF _

Fig22 Diagramma delle forze applicate al blocco

Raggiunto un certo valore di rarrF il corpo ha uno ldquostrappordquo e comincia a muoversi nella direzione

di rarrF verso destra ostacolato dalla una forza di attrito dinamico

rarr

dattF _ generalmente inferiore al

valore max di rarr

sattF _ (egrave piugrave facile mantenere un corpo in moto che muoverlo da fermo)

(Il passaggio da un regime allrsquoaltro egrave allrsquoorigine degli stridii da attrito ndash quello ad esempio del gesso sulla lavagna - o anche del suono del violino) - Proprietagrave dellrsquoattrito riassunte

1 ndash Corpo fermo la forza di attrito statica rarr

sattF _e la componente di

rarrF parallela alla superficie

hanno uguale intensitagrave e si annullano 2 ndash limite di scivolamento la massima forza di attrito per due materiali posti a contatto egrave proporzionale alla forza normale tramite un coefficiente di attrito statico smicro

| rarr

sattF _(max)| = smicro |

rarr

NF |

smicro egrave un coefficiente adimensionale che assume valori diversi per diverse coppie di materiali

3 ndash il corpo inizia a muoversi il valore della forza di attrito decresce rapidamente fino a

|rarr

kattF _ | = kmicro |rarr

NF | proporzionale alla forza normale tramite un coefficiente di attrito dinamico kmicro

adimensionale e dipendente dalla coppia di materiali in considerazione

P

FN

F Fatt

Attenzione |rarr

sattF _| e

rarr

kattF _ | sono proporzionali non a |

rarrP | ma a |

rarr

NF | quindi nel caso di un

piano inclinato bisogna considerare la componente di rarrP perpendicolare al piano

rarr

NF equilibra

solo la parte di rarrP perpendicolare al piano

Attenzione le equazioni per |rarr

sattF _| e |

rarr

kattF _| non sono vettoriali le forze di attrito non sono

dirette come la forza normale rarr

NF ma parallele al piano

Durante una corsa allo scatto si usano i blocchi di partenza per sfruttare la reazione del blocco alla forza muscolare di spinta Data lrsquoinclinazione dei blocchi la forza di reazione del blocco sul atleta si massimizza nella direzione del moto

rArr si fa uso della ldquoazione-reazionerdquo Fig 23 Durante la corsa si sfrutta il coefficiente di attrito statico per mantenere un piede fermo a terra mentre lrsquoaltro avanza Per non superare il limite di scivolamento allrsquoindietro del piede di appoggio la forza che si esercita sul terreno deve avere una componente normale al terreno di intensitagrave opportunamente elevata In ogni caso se smicro egrave basso si ha lrsquoeffetto del camminare sul ghiaccio

Lrsquouso di scarpette chiodate non aumenta il valore di smicro che egrave il coefficiente drsquoattrito tra due

superfici ldquoliscerdquo piuttosto hanno una funzione simile a quella di mini blocchi di partenza permettono di esercitare una forza sul tartan lungo la direzione del moto cioegrave parallelamente alla pista Resistenza del mezzo Consideriamo un corpo che si muove in aria Esso incontra una resistenza da parte dellrsquoaria che agisce in modo da opporsi al movimento del corpo cioegrave ha la stessa direzione e verso opposto a quella del moto

rarrD forza di resistenza del mezzo o forza aerodinamica (detta anche forza viscosa) si

|rarrD | =

2

1 cρAv2 (limite di alte velocitagrave eo alte viscositagrave)

D egrave proporzionale al quadrato della velocitagrave (termine v2 ) Inoltre D egrave proporzionale ad A lrsquoarea efficace della sezione trasversa (lrsquoarea presentata dal corpo nella direzione del moto vedi la posizione a uovo dei discesisti di sci o dei ciclisti) ρ egrave la densitagrave del mezzo Ersquo intuitivo che la resistenza D dipenda dalla densitagrave del mezzo infatti il corpo per procedere deve ldquofarsi stradardquo spostando le molecole del mezzo Quindi piugrave il mezzo egrave rarefatto piugrave egrave facile ldquofarsi stradardquo e inferiore egrave la resistenza D Con c si indica il coefficiente di penetrazione (il cosiddetto cx che dipende dalla forma geometrica del corpo) La forma (oltre che

lrsquoarea efficace A) influenza la resistenza opposta dal mezzo percheacute una ottimizzazione della forma (affusolata migliorare il Cx) porta a ridurre la formazione di turbolenze nellrsquoaria intorno al corpo Casco dei ciclisti o discesisti con forma a punta posteriore

non riduce la sezione trasversa A ma piuttosto migliora il Cx

Fig 24 Nel nuoto lo sbattere i piedi serve soprattutto per mantenere il corpo orizzontale e quindi a ridurre la sezione A Il lavoro viene fatto per lo piugrave dalle braccia (75) In acqua anche se la velocitagrave v egrave bassa D egrave significativa percheacute la viscositagrave del mezzo egrave grande Per ridurre le turbolenze negli sport di velocitagrave diventa essenziale utilizzare accorgimenti quali nascondere dadi e cavi nelle biciclette togliere cerchietti delle racchette da sci Tagliare i capelli o rasarsi le gambe sono sempre modi di ridurre anche le piccole turbolenze Velocitagrave limite di caduta di un grave in aria

La forza rarrD di frenamento durante la caduta libera li un corpo in aria ha verso opposto a quello

della forza pesorarrP che accelera il corpo verso il basso Se

rarrP egrave costante il corpo accelera con

accelerazione rarrg ie aumenta la velocitagrave verso il basso ma aumentando v dunque v2 aumenta

D Ciograve prosegue fincheacute D diventa di intensitagrave uguale P con verso opposto rarrD = -

rarrP A questo

punto la risultante delle forze agenti sul corpo in caduta egrave nulla (sumrarrF =

rarrD + (-

rarrP ) e dalla

seconda legge (fondamentale) della dinamica si ha che lrsquoaccelerazione rarra del corpo egrave nulla

rArr Il corpo non accelera piugrave e mantiene velocitagrave costante massima La velocitagrave raggiunta detta velocitagrave limite vlim egrave tale da verificare lrsquouguaglianza

D = 2

1cρAv lim

2 = mg = P quindi rArr vlim = (2mg cρA) frac12

La vlim raggiunta dai paracadutisti puograve essere variata modificando A tramite dei cambiamenti dellrsquoassetto in volo Questo permette ai paracadutisti di raggiungersi per fare figure in aria Lrsquoapertura del paracadute fa aumentare di molto A rendendo la velocitagrave limite molto piugrave bassa Anche le gocce di pioggia raggiungono la velocitagrave limite (v asymp 7msec in 6m) nella loro caduta Ad esempio cadendo da 1200m le gocce di pioggia raggiungono la terra con la velocitagrave limite di circa 7msec e non con la velocitagrave di 150msec che avrebbero se non ci fosse lrsquoazione di frenamento D (dei veri proiettili)

Senza D rarr vfin = 150ms

Con D rarr vfin = vlim = 7ms Fig 25 Forza elastica La forza elastica egrave una forza non costante

L lunghezza di riposo della molla Fig 26 Una massa m egrave vincolata ad una parete con una molla Se tiro la massa la molla si estende diciamo di un tratto x La molla esercita una forza di richiamo proporzionale allrsquoallungamento x (piugrave si allunga maggiore egrave la forza F di richiamo) F = -kx ldquorichiamordquo cioegrave di verso opposto allrsquoallungamento Ecco la ragione del segno (-) Se raggiunta una certa estensione la molla viene rilasciata essa si ricomprimeragrave ritorneragrave alla lunghezza di riposo L poi si schiacceragrave di un tratto x dalla parte opposta e nuovamente agiragrave la forza di richiamo (che egrave variabile in quanto varia con il variare di x) La massa oscilla attorno alla posizione di riposo k egrave la costante elastica della molla Lrsquoespressione della forza elastica vale per i respingenti del treno (k grande) come per la molla della biro (k piccola) come per lrsquoelastico del saltatore dal ponte Impulso di una forza La legge fondamentale della dinamica F = ma puograve essere scritta esprimendo lrsquoaccelerazione con la sua relazione definitoria (vf - vi)t

F = mt

vv if minus e quindi portando il tempo t al primo membro

)( if vvmtF minussdot=sdot oppure vmtF ∆sdot=sdot

Si dice ldquoimpulso ldquo di una forza il prodotto della forza per il tempo durante il quale viene applicata tF sdot (se la forza non egrave costante lrsquoimpulso egrave lrsquointegrale della forza nel tempo in cui viene applicata)

Scritta in questo modo lrsquoequazione fondamentale della dinamica puograve essere letta cosigrave 1) Supponiamo che un corpo vari la sua velocitagrave di una quantitagrave ∆v = vf - vi tanto piugrave lungo egrave il tempo t durante il quale questa variazione avviene tanto minore egrave la forza che deve essere sviluppata per ottenere tale variazione della velocitagrave In questi termini si capisce ad esempio lrsquoutilitagrave delle cinture di sicurezza che allungando i tempi durante i quali in caso drsquoincidente la velocitagrave del passeggero (che non egrave solidale con la vettura) passa da un valore vi iniziale a zero determina una riduzione della la forza cui il passeggero stesso egrave sottoposto durante il breve tempo dellrsquoimpatto (la forza che le ossa e le articolazioni possono sopportare egrave limitata) Si vede anche come funziona lrsquoelastico del jumper finchegrave lrsquoelastico non egrave completamente svolto (ltL) la forza che agisce sul jumper egrave P (la forza peso) poi progressivamente la forza elastica di richiamo contrasta P quindi il jumper decelera progressivamente per un lungo intervallo di tempo e lo lsquostrapporsquo (F applicata) necessario per contrastare P e fermare il jumper applicato sulle sue gambe e a cascata su tutte le sue articolazioni (secondo il terzo principio) egrave di entitagrave minore 2)Lrsquoimpulso totale prodotto tF sdot nella direzione ottimale egrave la grandezza fisica che stabilisce lrsquoefficacia di un gesto di spinta o di lancio non la massima forza espressa o la durata dellrsquoazione di spinta Lavoro di una forza ndash lavoro meccanico

- 1deg caso Forza costante rarrF

Immaginiamo una forza rarrF che agisce su un corpo durante il suo spostamento Immaginiamo cosi

che il punto di applicazione di questa forza si sposti nello spazio di un tratto rarrs Viene detto

lavoro della forza rarrF la quantitagrave

L = rarrF middot

rarrs = F middot smiddot cosϑ (prodotto scalare di

rarrF per

rarrs )

(prodotto scalare tra i due vettori) Fig 27 Il lavoro egrave una quantitagrave scalare cioegrave egrave descritta completamente da un numero da un valore Tale

valore puograve essere positivo o negativo a seconda che la componente di rarrF lungo

rarrs sia equiversa o

di verso opposto a rarrs Se

rarrF e

rarrs hanno la stessa direzione e se lo spostamento avviene nel

senso di rarrF diciamo che il lavoro egrave positivo (e viceversa negativo) Lrsquointensitagrave del lavoro puograve

variare tra un valore massimo e uno minimo per gli stessi valori del modulo di rarrs e di

rarrF a

rarrs

seconda del valore di cosϑ Il lavoro egrave massimo per cosϑ = 1 (cioegrave per ϑ = 0) (rarrF diretto come

rarrs ) Il lavoro egrave minimo ( L = 0) per cosϑ = 0 cioegrave per ϑ = 90deg (

rarrF perpendicolare a

rarrs )

Puograve darsi il caso che piugrave forze agiscono sullo stesso punto Allora si puograve calcolare il lavoro totale egrave la somma dei lavori di tutte le forze applicate

Ltot = sum Li = sum (rarr

sdotiFrarrs )

Dimensioni di L [ L ]= [ F ][ s ] = mmiddot l middot t-2 middot l = ml2 t-2 Unitagrave di misura di L 1 joule = 1N middot 1m ( 1J ) Lavoro della forza peso durante la caduta di un grave Un grave cade vicino alla superficie della terra sotto lrsquoazione della forza di gravitagrave cioegrave sottoposto ala forza peso P diretta verso il basso percorrendo un dislivello h Il lavoro compiuto dalla forza peso si calcola come

LP = rarrP middot

rarrs = Pmiddot smiddot cosϑ

notando che lo spostamento s (verso il basso) e la forza P sono paralleli con verso concorde pertanto ϑ = 0 e cosϑ = 1 e che | P| = mmiddot g si ottiene LP = mmiddot gmiddot h per uno spostamento s = h (dislivello) Lavoro meccanico nel sollevamento pesi Durante questo gesto sul bilanciere oggetto dellrsquoapplicazione delle forze si esercitano la forza peso P e la forza muscolare dellrsquoatleta Naturalmente entrambe le forze lavorano ma i due lavori si oppongono uno allrsquoaltro (ricorda che il lavoro puograve essere positivo o negativo) Il lavoro positivo deve essere nel verso del moto quindi egrave quello della forza muscolare dellrsquoatleta il lavoro di P invece egrave negativo e se il bilanciere si alza di una quota h si calcola facilmente seguendo il procedimento del paragrafo precedente ottenendo LP = - mmiddotgmiddoth (ϑ = π e cosϑ = -1 ) Calcoliamo il lavoro della forza musculare seguendo lrsquoesempio qui proposto Esempio Un atleta solleva un bilanciere di peso 2500N allrsquoaltezza di 2m (sopra la sua testa) Quanto lavoro meccanico compie la sua forza muscolare Supponiamo che il sollevamento avvenga a velocitagrave costante con accelerazione nulla allora il per il

primo principio della dinamica le forze applicate al bilanciere devono essere tali chesumrarr

iF = 0

Quindi la forza peso P = mmiddot g deve essere controbilanciata dalla forza applicata dallrsquoatleta Fm

Quindi rarr

mF = - rarrP

con Fm = 2500N Il lavoro La fatto dallrsquoatleta vale

Lm = rarr

mF middot rarrs = 2500 N middot 2m middot 1 = 5000 J (sollevamento verticale quindi ϑ = 0 e cosϑ = 1)

Quanto lavoro fa la forza peso

Lp = rarrP middot

rarrs = 2500 middot 2 middot (-1) = -5000 J

(percheacute ϑ = π e cosϑ = -1) Quanto lavoro fa lrsquoatleta mentre sostiene il peso fermo sopra la testa L = 0 percheacute non crsquoegrave spostamento Qui si parla di lavoro meccanico non di lavoro fisiologico diciamo che si fa fatica percheacute crsquoegrave da mantenere integrordquo un corpo non rigido che egrave il corpo dellrsquoatleta quindi si il lavoro delle contrazioni muscolari per mantenere lrsquoequilibrio e ldquolrsquointegritagraverdquo egrave la misura del lavoro fisiologico necessario anche se il lavoro meccanico compiuto egrave nullo 2deg caso Forza variabile Nel caso in cui F egrave una forza variabile che dipende dalla posizione ogni volta che avviene uno spostamento∆ x la forza cambia Il lavoro totale saragrave la somma dei lavori elementari fatti sui tratti piccoli sui quali la forza puograve essere assunta costante

Ltot = iii xxF ∆sdotsum )(

( Se si fa il limite per ∆ xi piccolo rarr 0 e la isum egrave lrsquointegrale Ltot = int sdotxtin

xinxdxF )( )

Ad esempio la forza F puograve essere la forza di richiamo di una molla vincolata al muro Lrsquointensitagrave della forza elastica varia durante lo spostamento aumentando con lrsquoallungamento (o la compressione) della molla ed ha la direzione parallela allo spostamento ma puograve avere verso concorde o discorde quindi con cosϑ che vale o +1 o ndash1 Immaginiamo di avere un blocco attaccato alla molla e di tirarlo da Xin a Xfin allora

F(x) = - kx Fig 28

Il lavoro della forza elastica si calcola sommando i lavori infinitesimali compiuti per spostamenti infinitesimi durante i quali la forza si assume costante Ciograve egrave rappresentato graficamente nel calcolo lrsquoarea compresa al di sotto della curva del grafico di F (Fig 28A) In figura si egrave cambiato il segno della funzione forza per comoditagrave di rappresentazione

Fig 28A

Area = differenza aree dei due triangoli = AABB kxxkxx sdotminussdot2

1

2

1

Ricordandoci del segno

L infin = 22

2

1

2

1infin kxkx +minus e in generale L = 2

2

1kx

Se si calcola il lavoro della forza di richiamo durante un allungamento della molla si ha lavoro negativo mentre durante il ritorno alla posizione di equilibrio il lavoro egrave positivo (segno dello spostamento x e della forza concordi) Energia cinetica Il termine ldquoenergiardquo indica la capacitagrave di compiere lavoro Lrsquoenergia cinetica egrave la proprietagrave che rende conto quantitativamente del legame fra il lavoro compiuto ed il moto generato Avevamo detto piugrave o meno lo stesso parlando della seconda legge della dinamica riferendoci alle forze Qui col lavoro non egrave necessaria la descrizione dettagliata delle forze che agiscono sul punto in considerazione Ersquo sufficiente conoscere il loro lavoro totale

Lrsquoenergia cinetica K = 2

1mv2 (gt 0 percheacute m gt 0 v2 gt 0 ) (m e v sono la massa e la velocitagrave del

corpo) Lrsquounitagrave di misura e le dimensioni di K sono le stesse del lavoro Joule ( J ) e [ ]K = [ ]22 minustml

Teorema dellrsquoenergia cinetica Se una forza F compie un lavoro L su un punto materiale di massa m si ha una variazione dellrsquoenergia cinetica pari al lavoro compiuto

Xfin Xin

F

0

ksdotxfin

ksdotxin

F= ksdotx

x

LAB= -area

L = Kfin ndash Kin = ∆ K Nel caso che piugrave forze agiscono sul punto materiale il teorema dellrsquoenergia cinetica si applica al lavoro totale (equivalentemente al lavoro della risultante ) E il caso dellrsquoatleta che solleva il peso di 2500N Sappiamo che ha compiuto un lavoro di 5000J ma il bilanciare con i pesi era fermo allrsquoinizio ed egrave fermo alla fine Quindi Kin = 0 e Kfin = 0 percheacute vin = 0 e vfin = 0 Allora il teorema dellrsquoenergia cinetica Vale per il lavoro totale o lavoro della forza totale e noi abbiamo visto che la forza netta totale = 0 ( Fa + P = 0 ) ed il lavoro totale egrave nullo quindi giustamente si ha ∆ K = 0 1)Caso di una palla da tennis che cade

la forza peso rarrP compie un lavoro positivo con spostamento concorde a

rarrP si dovrebbe avere

∆ K gt 0 infatti la velocitagrave v aumenta 2)Caso di una palla lanciata verso lrsquoalto

lo spostamento ha verso opposto a rarrP Il lavoro della forza peso egrave negativo e quindi ∆ K egrave

negativo giusto La velocitagrave diminuisce NB Durante il volo agisce solo la forza di gravitagrave quindi il lavoro totale comiuto sul corpo egrave solo quello della gravitagrave 3)Caso del moto circolare uniforme la forza che agisce egrave la forza centripeta che egrave perpendicolare allo spostamento Quindi non compie lavoro deve essere ∆ K = 0 Iinfatti il moto egrave uniforme cioegrave la velocitagrave egrave in modulo costante Potenza Si chiama potenza il lavoro che si egrave in grado di svolgere nellrsquounitagrave di tempo

P = t

L

∆ ( potenza media )

P = t

Lt ∆

∆rarr∆ 0lim ( potenza istantanea)

Non egrave solo una stima del lavoro compiuto ma anche della rapiditagrave con cui si compie lavoro

Fig 29 Per superare il muro ci vuole un certo lavoro che consiste nellrsquoinnalzare il proprio corpo di unrsquoaltezza h Sia lrsquoatleta che lo supera in un sol balzo sia il vecchietto che sale pian piano la scalinata faranno lo stesso lavoro Quel che egrave diverso egrave la potenza dei due personaggi Dimensioni e unitagrave di misura della potenza [ ]P = [L] [t -1] = [ml2t-3] 1 watt = 1 joule 1sec (1w)

Energia Potenziale K egrave energia connessa allo stato di moto di un sistema Crsquoegrave anche energia connessa alla posizione di un corpo in un campo di forze (configurazione) Si chiama energia potenziale Nel caso dellrsquoatleta di sollevamento pesi il lavoro compiuto dallrsquoatleta Lm non ha alterato lrsquoenergia cinetica K dellrsquoattrezzo ma ha modificato la configurazione del sistema (terra-attrezzo) variandone lrsquoenergia potenziale (W) Il lavoro non egrave stato sprecato ma ldquoimmagazzinatordquo lrsquoattrezzo prima egrave a terra poi egrave in alto nel sistema che ora ldquopotenzialmenterdquo puograve compiere un lavoro cedendo la sua ldquoenergia potenzialerdquo Energia cinetica ed energia potenziale sono due parti dellrsquoenergia meccanica possono trasformarsi lrsquouna nellrsquoaltra ed in lavoro Nellrsquoesempio precedente quando lrsquoattrezzo egrave in alto si ha che K = 0 e W = WA Quando cade K aumenta percheacute la velocitagrave v aumenta e lrsquoenergia potenziale W diminuisce In basso W = WB lt WA e K egrave massima Lrsquoattrezzo cadendo puograve compiere lavoro Se fosse un martello potrebbe far avanzare un chiodo ad esempio Lrsquoenergia potenziale viene definita proprio a partire dal concetto di lavoro di forze conservative Ersquo conservativa una forza il cui lavoro per spostare il suo punto di applicazione da una posizione (configurazione) ad unrsquoaltra dipende solo dalle due posizioni (configurazioni) iniziale e finale Equivalentemente si puograve definire la forza conservativa dicendo che il lavoro di tale forza egrave nullo se le posizioni (configurazioni) iniziali e finali coincidono

-Lavoro per passaggio dalla posizione A a B egrave lo stesso lungo I o II -Se da A vado a B e torno in A il lavoro totale egrave nullo

Fig 30 Posso allora definire una funzione della posizione W che assume i valori WA e WB in A e B e tale per cui LAB = WA ndash WB ( W energia potenziale) WA WB sono definiti a meno di una costante tanto quello che interessa egrave la differenza fra loro Variazione di energia potenziale del passaggio da A a B WB ndash WA = ∆W allora LAB = -∆ W Con questa convenzione sui segni si rende conto del fatto che un lavoro positivo ( fatto dalle forze conservative sul corpo) fa diminuire lrsquoenergia potenziale W ( L positivorarr ∆W negativo rarr WBlt WA rarr ho usato energia potenziale) un lavoro negativo (subito) aumenta W (L negativo rarr ∆W positivo rarr WBgt WA rarr ho guadagnato energia potenziale) W si misura in Joule come il lavoro e lrsquoenergia cinetica

Qual egrave la Forma di W

Mentre la forma dellrsquoenergia cinetica egrave sempre K =2

1mv2 indipendentemente dal tipo di forze

che provocano il movimento W dipende dal tipo di forza conservativa di cui si sta calcolando il lavoro Consideriamo due forze conservative

a) Forza gravitazionale forza peso

F(y) = -mg Stato di riferimento y0 = 0 in cui W0 = 0

Fig31

Abbiamo detto che LAB = WA- WB ma siccome

LAB = )( ABhmgsP minussdotminus=sdot dove hAB= yA-yB egrave la distanza tra A e B allora rArr WA = mgyA WB = mgyB e in generale W(y) =mgy

Per la forza peso W(y) =mgy e lrsquoenergia totale meccanica (W+K) = mgy+2

1mv2=Etot

b) Forza elastica

Fig 32

F(x) = -kx Stato di riferimento x = 0 allungamento nullo la lunghezza della molla egrave la sua lunghezza di riposo L ( W(0) = 0)

Immaginiamo che la configurazione della molla venga modificata passando dalla posizione xA alla posizione xB (Fig 32) Il lavoro della forza elastica egrave calcolato come

LAB = 22

2

1

2

1AB kxkx +minus

Ricordando che LAB = WA- WB possiamo ricavare lrsquoespressione per lrsquoenergia potenziale elastica

rArr WA = 2

2

1Akx WB = 2

2

1Bkx e in generale W(x) = 2

2

1kx

Energia totale meccanica ndash Conservazione dellrsquoenergia

In presenza di sole forze conservative la somma dellrsquoenergia cinetica e dellrsquoenergia potenziale costituisce lrsquoenergia totale meccanica Tale energia meccanica gode della proprietagrave importantissima di conservarsi durante lrsquoevoluzione del sistema Lrsquoenergia connessa al movimento e alla posizione si scambiano una diminuisce e lrsquoaltra cresce ad esempio ma la loro somma rimane costante

- Esempio delle montagne russe Se non ci sono attriti (infatti il trucco egrave quello di rendere il

sistema privo di attriti) so giagrave quale altezza massima potrograve raggiungere (quella iniziale e non di piugrave) quale velocitagrave massima potrograve raggiungere (in fondo alla valle) Queste quantitagrave sono fra loro legate dal teorema della conservazione dellrsquo energia meccanica

Fig 33 - Esempio del salto con lrsquoasta Lrsquoenergia cinetica dellrsquoatleta acquisita nella rincorsa viene

trasformata in energia potenziale gravitazionale parte direttamente e parte attraverso lrsquoenergia potenziale elastica dellrsquoasta acquisita nella sua deformazione durante il salto La flessibilitagrave dellrsquoasta (costante elastica dellrsquoasta) egrave legata allrsquoenergia che si puograve immagazzinare in una data deformazione Infatti con aste rigide (alluminio acciaio bambugrave) il salto era piugrave basso Con fibra di vetro il record egrave stato polverizzato

Fig 34

Fig 35

Fig 36

Osserviamo che il teorema dellrsquoenergia cinetica ha validitagrave generale qualunque siano le forze che agiscono conservative o non conservative (le forze non conservative si dicono anche ldquodissipativerdquo)

KLL

KL

fncfc

tot

∆=+∆=

e ricordando che darr Lfc = - )( fcW∆

Si ottiene che K∆ + )( fcW∆ = Lfnc

Si vede che nel caso in cui Lfnc sia nullo cioegrave quando non ci sono forze dissipative la somma delle variazioni di energia cinetica e energia potenziale egrave uguale a zero cioegrave lrsquoenergia totale meccanica (somma dellrsquoenergia cinetica e potenziale) egrave costante E questo corrisponde al teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica Nel caso ci siano forze dissipative la somma delle energie non egrave costante quindi al contrario del teorema dellrsquoenergia cinetica il teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica non ha validitagrave generale (vale solo in assenza di attriti ad esempio) Le forze non conservative di attrito compiono lavori solo negativi e fanno perdere quantitagrave di energia non recuperabile Parte di questa energia va in generale in calore quindi se ne puograve tenere conto considerando unrsquoaltra forma di energia lrsquoenergia termica ( ci sono anche altri fenomeni dissipativi ad esempio le deformazioni permanenti negli urti o la propagazione di onde sonore)

Lrsquo energia puograve dunque conservarsi o trasferirsi proprietagrave caratterizzanti dellrsquoenergia Il lavoro rende conto del trasferimento di energia della perdita di energia sotto una forma e del guadagno sotto unrsquoaltra forma (cioegrave energia conservativa) o del passaggio dellrsquoenergia da un sistema ad un altro Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica quando egrave applicabile puograve essere sfruttato per risolvere facilmente problemi altrimenti complicati Esercizio Una palla da tennis viene lanciata con velocitagrave iniziale v0 (senza effetti strani taglio etc) al di lagrave della rete Con quale velocitagrave arriva a terra

Se durante il moto Etot si conserva K+W = cost

Fig 37 e W = mgh egrave solo energia potenziale gravitazionale h = 0 alla fine come allrsquoinizio dunque K in = Kfin e vfin = v0 Se la palla egrave lanciata verso lrsquoalto non crsquoegrave componente orizzontale della velocitagrave ma solo verticale al punto piugrave alto di arresto h K(h) = 0 W(h) = max = Kin cioegrave mgh = frac12 mv0

2 si puograve cosigrave calcolare facilmente lrsquoaltezza massima raggiunta h = (frac12 v0

2)g e vicenversa si puograve calcolare il valore della velocitagrave v0 che bisogna imprimere alla palla affinchegrave raggiunga lrsquoaltezza h

v0 = gh2

Esercizio Una saltatrice di massa M = 61Kg salta da un ponte di altezza H = 45m agganciata ad una corda elastica La lunghezza di riposo della corda elastica egrave L = 25m e la sua costante elastica egrave k = 160 Nm Nel punto piugrave basso si arresta prima di venire rimbalzata in alto Qualrsquo egrave lquesta quota piugrave bassa h (a cui si trovano i suoi piedi ai quali egrave legato lrsquoelastico)

Fig 38 Etot = Wgrav + Wel + K = cost sono solo forze conservative vale la conservazione

dellrsquoenergia Nel punto A K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di lanciarsi Wel = 0 percheacute lrsquoelastico non egrave ancora svolto Wgrav = MgH Nel punto B K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di rimbalzare

Wel = frac12 kd2 Wgrav = Mgh = Mg(H-(L+d)) Etot(A) = Etot (B) MgH + 0 + 0 = Mg (H-(L+d)) + frac12 kd2 + 0 MgH = MgH ndash MgL ndash Mgd +frac12 kd2

2

1(160)d2 ndash (61)(98)d ndash (61)(98)(25) = 0

equazione di IIdeg grado che dagrave per d il valore accettabile d = 179m (lrsquoaltro egrave negativo e non egrave accettabile perchegrave non ha senso fisico la

saltatrice va in giugrave non in su) Allora h = H-(L+d) = 45 ndash (25+179) = 45 ndash 429 = 21m quindi con la testa poco sopra lrsquoacqua Sistemi di punti materiali e corpi rigidi ndash Centro di Massa

Un giocoliere o un ginnasta che lancia la clavette fa compiere allrsquoattrezzo movimenti complicati tuttavia crsquoegrave un punto dellrsquoattrezzo che si muove seguendo una traiettoria semplice come quella di un punto materiale ad esempio lanciato segue una traiettoria parabolica Tale punto si chiama centro di massa dellrsquooggetto Il centro di massa puograve essere definito per un oggetto o per un insieme di punti materiali Ersquo importante percheacute in generale il moto di un corpo esteso (o di un insieme di punti) si puograve studiare separando il moto del centro di massa (moto traslatorio) e il moto del corpo attorno al centro di massa (moto rotatorio)

Centro di Massa (CDM) di un sistema di punti - Consideriamo il caso semplice di due punti materiali di massa m1 m2 posti sullrsquoasse x in

posizione x1 x2

Fig 39

la posizione del centro di massa egrave definita xCDM = 21

2211

mm

xmxm

++

a) xCDM egrave compreso fra x1 e x2 b) se m1 = m2 CDM egrave a metagrave strada fra m1 ed m2 c) xCDM egrave piugrave prossimo alla massa maggiore - Nel caso di piugrave punti allineati nelle posizioni xi detto M = summi allora

xCDM = ii xmMsum

1

- Nel caso di punti distribuiti nello spazio detti irrarr

i vettori che identificano le loro posizioni

CDMrrarr

= iii rmM

rarrsum

1

dove CDMrrarr

ha coordinate (xCDM yCDM zCDM) definite come

xCDM = ii xmsumη1

yCDM = ii ymMsum

1

zCDM = ii zmMsum

1

- Consideriamo un oggetto qualsiasi questo egrave composto da un gran numero di particelle ma conviene considerarlo come un continuo di materia e per calcolare il centro di massa si prendono in considerazione degli elementi infinitesimi di massa dm centrati intorno alle posizioni (xyz) allora

xCDM = int xdmM

1 yCDM = int ydm

M

1 zCDM = int zdm

M

1

se si puograve considerare il corpo omogeneo (densitagrave uniforme) allora V

M

dv

dm = e allora si puograve fare il

calcolo considerando il volume V e gli elementi di volume dv anzichegrave la massa e gli elementi di massa

xCDM = int xdvV

1 etc

In un oggetto solido (corpo rigido) i diversi punti materiali che lo compongono non cambiano la loro posizione relativa (non come un corpo elastico) - se un oggetto ha un elemento di simmetria un asse od un piano il CDM si trova su tale

elemento di simmetria (asse per cono centro per sfera piano per una banana etc) Non egrave detto che il CDM di un oggetto appartenga allrsquooggetto vedi uno pneumatico un cerchio Il CDM egrave esterno alloggetto Legge fondamentale della dinamica per un sistema di punti materiali Caso della palla da bigliardo urto fra due palle dopo il lancio di una le due si muovono 1) una egrave ferma (B) lrsquoaltra la lancio (A) 2) le due si urtano in qualunque modo 3) le due si muovono secondo traiettorie differenti una possibilmente andragrave in buca lrsquoaltra no Dopo il lancio sulla palla A non agisce piugrave nessuna forza quindi la sua velocitagrave v egrave costante Va bene ma dopo lrsquourto Il CDM delle due palle continua a muoversi con velocitagrave costante anche se il centro di massa egrave un punto teorico che non appartiene a nessuna delle due palle Tuttavia al CDM possiamo assegnare una massa (M totale del sistema) una velocitagrave ed una accellerazione Si ha

)(CDMext aMFrarrrarr

=sum

a) extFrarr

sum egrave la somma di tutte le forze esterne che agiscono sul sistema non quelle interne (ad esempio nel caso del bigliardo non devo considerare le forze che si applicano fra le due palle quando si urtano)

b) M egrave la massa totale del sistema Si suppone che durante il moto M rimanga costante

c) )(CDMararr

egrave lrsquoaccelerazione del CDM Dellrsquoaccellerazione di un altro punto ad esempio del centro della palla A non si dice nulla

Cosideriamo alcuni esempi 1) Bigliardo tvaF CDMCDMext cos00 ===sum prima dellrsquourto nellrsquourto si verificano solo forze

interne Quindi tvaF CDMCDMext cos00 ===sum dopo lrsquourto e durante tutto il moto

2) Sistema terra-luna sumFext = gravitazione del sole aCDM egrave ldquocentripetardquo accellerazione di una

forza che egrave diretta verso il sole (forza ldquocentralerdquo) egrave il CDM terra-luna che segue la traiettoria dovuta allrsquoattrazione gravitazionale del sole poi terra e luna si muovono intorno al loro CDM

3) Clavette lanciate sum Fext = Mg aCDM = g il centro di massa si comporta come un punto materiale nel lancio

4) La ballerina nel ldquogrand-fetegraverdquo fa seguire a testa e busto una traiettoria rettilinea percheacute modifica lrsquoassetto in modo da alzare il suo CDM Nel corso del salto (alza le braccia e distende

orizzontalmente le gambe non appena lasciato il suolo) il suo CDM segue la traiettoria parabolica del lancio di un corpo soggetto allrsquoaccelerazione di gravitagrave g

Quantitagrave di moto rarrP

- Si definisce quantitagrave di moto di una particella il vettore

rarrrarr= vmP

con m massa della particella e rarrv la sua velocitagrave

Si vede che rarrP egrave diretto come

rarrv

Newton scrisse la legge fondamentale della dinamica in termini di quantitagrave di moto (a differenza di Galileo che la scrisse in termini di massa e di accelerazione) ldquola rapiditagrave di variazione della quantitagrave di moto di una particella egrave proporzionale alla forza netta che agisce sulla particella ed egrave nella direzione di quella forzardquo cioegrave

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

che egrave piugrave generale della formulazione di Galileo perchegrave descrive bene anche il caso in cui variasse la massa del corpo durante il moto (ad esempio un vettore spaziale) Se la massa egrave costante le due formulazioni sono identiche

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

= t

vm

∆∆

rarr)(

= m t

v

∆∆

rarr

= m rarra

Ricordiamo che rarrF egrave diretto come

rarra (o la risultante

rarrR = sum

rarrF )

Per un sistema di punti materiali si definisce la quantitagrave di moto totale

rarrP =

rarrP 1 +

rarrP 2 + helliphellip+

rarrP n =

m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +helliphelliphellip+ mn

rarrv n = M

rarrv CDM (si puograve dimostrare) dove M egrave la massa totale

[essendo infatti Mrarrv CDM =

dt

d(M

rarrr CDM) =

dt

d(m1

rarrr 1 + m2

rarrr 2 +hellip) = m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +

hellip]

quindi rarrP = M

rarrv CDM per un sistema di particelle e

dt

Pdrarr

= M dt

d rarrv CDM = M

rarra CDM = sum

rarrF ext

Conservazione delle quantitagrave di moto

Per un sistema chiuso (M non varia) e isolato (sumrarrF ext = 0)

Allora

t

P

∆∆

rarr

= 0 rarrP = cost

rarrP i =

rarrP f

che sono tre modi equivalenti per dire che la quantitagrave di moto si conserva Vale per un sistema nel quale non agisca nessuna forza esterna netta Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica e la conservazione delle quantitagrave di moto sono due concetti fisici importantissimi Valgono sia per le palle da bigliardo che per qualunque altro sistema anche le galassie nellrsquouniverso Queste equazioni sono vettoriali Ciograve significa che rappresentano una terna di equazioni scalari ognuna valida sul proprio asse del sistema di riferimento (x y z)

Puograve accadere a seconda delle forze che agiscono nel sistema che la quantitagrave di moto si conservi in una direzione o in due e non in tutte e tre

Ad esempio se consideriamo una palla come un insieme di punti materiali la rarrF ext che agisce nel

sistema egrave mrarrg diretta lungo z senza componenti su x e y quindi

rarrP varia lungo z ma

non su x e y

Percheacute ldquocomplicarci la vitardquo con questa storia del CDM del sistema di particelle etchellip non bastava il moto del punto rappresentativo materiale Avevamo giagrave considerato il punto rappresentativo e avevamo svolto anche problemi sulla palla sul bilanciere e per altri oggetti Abbiamo sempre sbagliato La questione egrave se un corpo egrave rigido cioegrave se tutti i suoi punti si muovono mantenendo le loro distanze relative non crsquoegrave problema abbiamo solo visto che il punto materiale rappresentativo si chiama CDM ed abbiamo imparato a situarlo allrsquointerno del corpo Ma se il corpo non egrave rigido cioegrave se il suo CDM si sposta rispetto a lui stesso nel corso del moto la disposizione del corpo intorno al punto rappresentativo varia nel corso del tempo e le leggi di conservazione valgono per il CDM - Consideriamo ad esempio il teorema dellrsquoenergia cinetica che per un punto materiale si scrive Ltot = Kfin-K in = ∆ K (qui ovviamente non crsquoegrave da specificare lavoro delle forzeldquoesternerdquo percheacute essendo in un punto materiale che si assume infinitamente piccolo non ci sono forze ldquointernerdquo) Per analogia il teorema dellrsquoenergia cinetica si estende al caso di un insieme di punti materiali nel seguente modo

Ltot forze ext=rarrF extmiddot

rarrs CDM = ∆ KCDM

Dove s CDM egrave lo spostamento del centro di massa A titolo di esempio risolviamo il problema un giocatore di hockey su ghiaccio di massa M = 110Kg si muove verso la balaustra a bordo campo alla velocitagrave di 3msec Nellrsquoarrestarsi flettendo le braccia il suo CDM si sposta in avanti di 30cm Qual egrave la ∆ K del suo CDM durante la manovra

∆ KCDM = infin CDMCDM mvmv 22

2

1

2

1 minus =

= 0 - 2

1110 32 = -495 J

Fig 40

Sia L il lavoro delle forze esternerarrF ext (dirette come d

rarrx CDM ) allora

L = - Fext 03 = ∆ KCDM quindi

Fext =30

495

minusminus

= + 1650N

( si considera la forza esterna rarrF ext costante nellrsquointervallo dellrsquoarresto fatto che equivale a dire

che il giocatore si arresta con rarra CDM costante)

Dinamica e statica del corpo esteso Finora abbiamo sempre discusso del moto di un punto materiale (punto rappresentativo dicevamo sempre) In particolare abbiamo sempre applicato le forze a quel punto materiale quindi se diverse forze erano applicate esse concorrevano in quel punto ligrave e con le forze concorrenti sapevamo come calcolare la risultante con il metodo grafico o con quello numerico delle coordinate cartesiane Una volta calcolata la risultante applicata al punto si otteneva un moto di pura traslazione del punto (al massimo traslava lungo una traiettoria curva) senza rotazioni proprie del punto che non hanno neanche senso un punto che ruota su se stesso Come faccio ad accorgermi Un punto per definizione egrave infinitamente piccolo (Dicevamo infine che il punto egrave in equilibrio

traslazionale se la risultante rarrR delle forze applicate egrave nullo)

Consideriamo invece un corpo esteso Prima osservazione questo ha piugrave punti (direi infin ) a

cui la forza puograve essere applicata Prendiamo una racchetta da tennis ed una forza rarrF applicata il

moto che ne risulta dipende dal punto al quale viene applicata la forza rarrF

qui la racchetta trasla

Fig 41

stessa forza qui la racchetta ruota

Fig 42

Seconda osservazione Crsquoegrave un caso in cui le forze non possono essere fatte concorrere in un punto ed egrave quando sono parallele ed hanno rette di applicazione distinte Chiaramente non abbiamo mai dovuto considerare questo caso per il punto materiale percheacute per un punto non possono mai passare due rette parallele Ma per il corpo esteso So benissimo che se sono ferma con la macchina in

panne e la sto spingendo applicando una forza rarrF 1 sono contenta se qualcuno si affianca a me ed

esercitando una forza rarrF 2 lungo una direzione parallela a quella della mia mi aiuta a spingere In

particolare mi viene spontaneo dire che se F1 = F2 allora spingeremo con una forza doppia Ci saragrave quindi un modo per sommare due forze non concorrenti in un punto ma parallele e saragrave Ftot = F1+ F2 La retta di applicazione di Ftot divide il segmento congiungente i punti di applicazione di F1 ed F2 in due segmenti inversamente proporzionali allrsquointensitagrave delle forze F1 e F2 Terza osservazione se F1 = - F2 sono uguali in intensitagrave ma di verso opposto sempre lungo due rette di applicazione parallele passanti per un corpo esteso cosa succede La loro somma Ftot risultante saragrave 0 ma io so che il corpo non sta fermo sotto lrsquoazione di tali due forze ma ruoteragrave Concludo che le nozioni che ho acquisito finora vanno riviste ed ampliate o corrette o specificate per i corpi estesi ed inoltre che mi mancano totalmente i mezzi per descrivere le rotazioni dei corpi estesi Occorrono nuovi concetti nuove quantitagrave la forza non basta Prendo lrsquoesempio piugrave semplice dellrsquoaltalena con due bambini in due bracci uno piugrave leggero uno piugrave pesante

Fig 43 Qualitativamente so che percheacute lrsquoaltalena stia in equilibrio e non ruoti intorno al punto fisso non egrave necessario che i due bambini abbiano lo stesso peso (ugual massa) occorre che il bambino piugrave leggero sieda piugrave lontano rispetto al punto fisso (fulcro) La regola quantitativa dice che lrsquoaltalena egrave in equilibrio se il prodotto del peso per la distanza del fulcro egrave uguale PB dB = Pb

db Per generalizzare questa regola ai casi piugrave complessi occorre definire una nuova quantitagrave il momento di una forza Momento di una forza

Consideriamo una forza rarrF applicata ad un punto P ed un punto O Sia

rarrr

il vettore rarrOP allora il momento

rarrM di

rarrF rispetto ad O egrave

rarrM =

rarrr x

rarrF

e

|rarrr | middot |

rarrF | sin ϑ = |

rarrM |

Fig 44

oppure anche considerando la componente di rarrF perpendicolare ad

rarrr o di

rarrr

perpendicolare a rarrF r e rispetto a F

|rarrM | = |

rarrr | |

rarrF perp | |

rarrM | = |

rarrr perp| |

rarrF |

In generale si dice che il modulo del momento |rarrM | egrave il prodotto delle intensitagrave della forza per la

distanza dal punto della retta di applicazione della forza

Come vettore rarrM egrave perpendicolare al piano che contiene

rarrF ed

rarrr ed ha verso calcolato con la

regola della mano destra (con rarrr che si chiude su

rarrF )

La distanza rperp si chiama braccio della forza Si vede che il momento egrave nullo quando il braccio egrave nullo cioegrave quando il punto O si trova sulla retta di applicazione di F Il momento della forza peso P egrave nullo rispetto al baricentro che coincide con il centro di massa nel caso (praticamenteldquosemprerdquo) in cui il corpo non sia abbastanza esteso percheacute diversi punti del corpo risentano di una forza gravitazione differente Praticamente si deve parlare di galassie percheacute CDM e baricentro (BC) non coincidono Quindi la condizione del momento nullo della forza peso diventa un modo per definire il CDM come quel punto rispetto al quale la forza peso P ha momento nullo Per un corpo ldquoarticolatordquo estendiamo il concetto di forza normale come forza di contatto nellrsquoarticolazione utile cioegrave la forza che lrsquoarticolazione che si sta considerando esercita su quello che nellrsquoarticolazione si appoggia La forza peso P di un corpo esteso puograve immaginarsi applicata al CDM Principio di equilibrio di un corpo esteso

se su un corpo esteso agiscono solo rarr

Peso e rarr

Normale cioegrave se un corpo egrave appoggiato ad un piano orizzontale allora il corpo egrave in equilibrio se e solo se il baricentro si trova sopra la superficie di appoggio

Fig 45

Finchegrave il baricentro egrave sopra il tavolo il libro non cade percheacute rarrP applicata a CDM puograve essere

controbilanciata da rarrN Se CDM si sposta in fuori

rarrN rimane nel tavolo e crsquoegrave momento non nullo

non equilibrato da rarrP che continua ad essere applicato nel CDM

Il baricentro di una persona in posizione eretta si trova nellrsquoarea delimitata dei suoi piedi 3cm davanti allrsquoarticolazione della caviglia

Fig 46 Quando la persona si piega in avanti il baricentro esce dal corpo e per mantenere lrsquoequilibrio egrave necessario che le anche si spingono indietro percheacute il baricentro cade di nuovo in quella posizione Notiamo che anche in posizione eretta essendo la forza peso e la forza di contatto non allineate (quei 3cm) (forza di contatto sullrsquoarticolazione della caviglia che regge il peso) occorre un momento correttivo che impedisca la rotazione in avanti mantenuto dal tendine di Achille che si lega alla caviglia Altro esempio di spostamento del baricentro egrave lrsquoatleta che assume una posizione ad L chi regge il peso egrave lrsquoarticolazione della spalla quindi il CDM si sposta sotto la spalla (giagrave era uscita dal corpo per via delle gambe distese in avanti) Nel camminare il baricentro continua a muoversi da sopra un piede a sopra un altro (quello appoggiato ovviamente) Si osservi lrsquoondeggiamento Per assurdo lrsquoancheggiare delle indossatrici serve a mantenere il baricentro il piugrave possibile fermo rispetto alla direzione media del moto (porre un piede esattamente davanti allrsquoaltro) rendendo piugrave facile muoversi anche con tacchi altissimi Al contrario lrsquoequilibrista che cammina sui trampoli sta fermo il meno possibile percheacute egrave stando fermo che il piccolo spostamento che fa uscire il baricentro (ALTO) dalla superficie drsquoappoggio puograve verificarsi facilmente preferisce il ldquonon ndash equilibriordquo o lrsquo rdquoequilibrio dinamicordquo dellrsquoondeggiare continuamente fra due posizioni di equilibrio

Ricordiamo che un equilibrio egrave detto stabile se quando una perturbazione lo altera spontaneamente il sistema lo ripristina Viceversa un equilibrio egrave instabile se la piugrave piccola perturbazione lo distrugge Lrsquoequilibrio egrave molto stabile se il baricentro egrave basso ed il corpo ha una grande area drsquoappoggio la posizione accucciata del giocatore di football americano dagrave grande stabilitagrave Ancor piugrave grande stabilitagrave si ha se il baricentro (CDM) si trova al di sotto della superficie drsquoappoggio Ersquo come se si fosse ldquoappesirdquo anzicheacute ldquoappoggiatirdquo alla superficie drsquoappoggio Proprio per questo motivo lrsquoequilibrista sul filo porta una lunga asta che spesso si flette agli estremi

Fig 47 Gli uccelli bipedi da 100000000 di anni hanno sviluppato questo adattamento per cui sono appesi alle anche mentre gli uomini bipedi da solo 1000000 di anni fanno fatica con il CDM dalla parte alta del corpo Ersquo un equilibrio instabile ldquosoprardquo le anche che le reggono (65 del peso del corpo) Modificazioni strutturali per reggere la posizione eretta 1) Colonna vertebrale rastremata (piugrave tozza in basso che in alto percheacute piugrave in basso vuol dire una

maggior forza di contatto) 2) Muscoli estensori della schiena 3) Gambe ed anche ingrossate 4) Ginocchio che blocca la gamba estesa Ciononostante si ha spesso il mal di schiena Se una forza ha momento non nullo rispetto ad un punto allora il corpo puograve ruotare intorno a quel punto sotto lrsquoazione di quella forza ldquoDiciamo che se sostengo il corpo per quel punto il corpo puograve ruotare intorno a quel puntordquo (Prendo in mano un foglio di carta per un estremo per esempio) La presenza di un momento non nullo egrave dunque la condizione che genera rotazione e viceversa Lrsquoassenza di un momento risultante egrave la condizione che genera lrsquoequilibrio rotazionale di un corpo esteso Quindi la condizione di equilibrio per un corpo esteso egrave

1) rarrR = 0 risultante delle forze applicate = 0 (equilibrio traslazionale)

2) rarrM = 0 momento risultante = 0 (equilibrio rotazionale)

Supponiamo di avere un corpo esteso al quale siano applicate delle forze che diano luogo ad un momento non nullo allora il corpo ruota Per equilibrarlo dovrograve applicare un altro momento tale che la loro somma sia nulla Questo egrave il principio di funzionamento delle leve LEVE

Una leva egrave un corpo esteso al quale sono applicate delle forze con un momento risultante rarrR

allora per portare il corpo in equilibrio applico un momento correttivo rarrP in modo che il momento

totale sia nullo Si dice in genere potenza (P) e resistenza (R) di una leva Le leve sono macchine semplici Servono per applicare forze in punti scomodi o in direzioni particolari Il fulcro egrave il punto nel quale la leva egrave incernierata Si definisce il guadagno meccanico di una leva

GM =

)(

)(rarr

rarr

PF

RF

cioegrave il rapporto fra la forza che genera il momento resistente e quella che genera il momento agente A seconda che GM sia gt

lt 0 una leva si dice che egrave vantaggiosa o svantaggiosa ma solo per quel che riguarda le forze percheacute per quel che riguarda i lavori non si ha neacute vantaggio neacute svantaggio Il lavoro esercitato dalla forza che dagrave la ldquopotenzardquo e quello esercitato dalla forza che dagrave la ldquoresistenzardquo sono sempre uguali Infatti forze e spostamenti sono inversamente proporzionali Le leve si dicono di I II o III specie a seconda se il fulcro si trovi I) in mezzo fra R e P (leva indifferente GM dipende da caso a caso) II) dalla parte di R (leva vantaggiosa il braccio di R egrave sempre minore del braccio di P basta

quindi una P minore per equilibrare una R maggiore) III) dalla parte di P (leva svantaggiosa) Classici esempi dei tre tipi di leve sono i remi (I) lo schiaccianoci (II) e la pinzetta per francobolli (III) Tuttavia vediamo degli esempi meno classici ma attinenti al campo della biologia e della medicina Criterio generale egrave che le leve vantaggiose consentono di essere molto potenti ma con brevi spostamenti mentre viceversa quelle svantaggiose fanno perdere in potenza ma consentono grandi spostamenti saragrave difficile vedere un cavallo che con le lunghe zampe si scava la tana drsquoaltronde una talpa scava bene la tana ma ha movimenti molto meno ampi che non le consentono di correre veloce come un cavallo (compromesso fra forza e velocitagrave del movimento) Se contiamo tutti i movimenti di rotazione che il corpo puograve compiere capiamo che siamo pieni di leve di ogni tipo Sono classici a) il capo fulcro (articolazione occipito-atlantoide) Fig 48 muscoli della nuca (Potenza) peso del capo (Resistenza) b)

muscolo bicipide (Potenza)

Fig 49 Peso dellrsquoavambraccio (Resistenza) Fulcro (articolazione del gomito) Questa leva permette grandi spostamenti Si vede che la forza operata dal muscolo bicipite egrave massima quando lrsquoavambraccio egrave orizzontale (la distanza dal fulcro egrave massima) ed egrave minima quando lrsquoavambraccio egrave verticale( con la distanza dal fulcro nulla) Attenzione - la colonna vertebrale egrave costituita da 24 vertebre separate da dischi di liquido Quando una

persona si piega la schiena egrave una leva con GM molto piccolo Quindi un piegamento completo per raccogliere un oggetto anche leggero produce una forza molto intensa sul disco lombosacrale che separa lrsquoultima vertebra dellrsquoosso sacro Se indebolito questo disco puograve rompersi o deformarsi comprimendo i nervi vicini e causando grande dolore Vediamo un modello che rende conto come mai questa forza egrave cosigrave grande

Fig 50

I muscoli della schiena esercitano T Con un angolo α = 12deg quando la schiena egrave piegata a 90deg

Peso della parte superiore del corpo (circa il 65 del peso totale)

Fulcro lombosacrale (il fulcro produce R) Essendo α piccolo la retta di azione Τ passa vicino al fulcro e dunque la distanza r che costituisce il suo braccio egrave molto piccola Al contrario il peso egrave perpendicolare alla colonna e il suo punto di applicazione egrave molto piugrave distante dal fulcro Τ deve essere molto grande per equilibrare il momento di P Dunque se T egrave grande anche la sua componente orizzontale egrave grande e di conseguenza anche R che costituisce la reazione dellrsquoosso sacro deve avere componente orizzontale molto grande per equilibrare Τ (uguale ed opposta alla componente orizzontale di Τ ) Facendo i conti si ottengono numeri grandi per 75Kg di peso T ed R sono equivalenti al peso di una massa di 220Kg Senza sollevare pesi solo piegandosi Conviene piegare le ginocchia quando si sollevano pesi - Nel corpo egrave difficile che il peso cada sulla verticale dellrsquoarticolazione che lo sostiene egrave sempre

un porsquo spostato e crsquoegrave un tendine con un muscolo che compensa il momento del peso - La contrazione muscolare egrave una successione di brevi contrazioni delle fibre muscolari stimolate

da impulsi che provengono dal sistema nervoso Contrazioni sono molto ravvicinate e avvengono in tempi differenti nelle diverse parti del muscolo cosigrave che il risultato apparente egrave una lenta e progressiva contrazione Se la frequenza degli impulsi aumenta la tensione cresce finchegrave si raggiunge la tensione massima (ricordare la tensione di un cavo) Un ulteriore aumento della frequenza degli impulsi a questo punto non causa ulteriore aumento della tensione

La tensione massima egrave proporzionale allrsquoarea della sezione trasversa del muscolo nel suo punto piugrave largo La tensione massima dipende anche dalla lunghezza del muscolo che varia Si ottiene tensione massima quando il muscolo egrave solo di poco allungato rispetto alla sua lunghezza di riposo di riposo ed egrave circa 30-40 Ncm2 La tensione massima si riduce moltissimo se il muscolo egrave molto allungato o accorciato Dinamica Rotatoria Fino ad ora abbiamo studiato moti traslatori ma il moto di un corpo rigido egrave in generale roto-traslatorio Naturalmente dobbiamo ridurre il problema complesso ad uno piugrave semplice e per fare ciograve immaginiamo di posizionarci su un sistema di riferimento solidale al corpo rigido i moto immaginiamo cioegrave di ldquosedercirdquo sul corpo rigido In questo modo non saremo piugrave sensibili al moto traslatorio e guardando il corpo rigido osserveremo solo le sue rotazioni Trattiamo allora il moto generico scomponendo la parte traslatoria (giagrave discussa ) da quella rotatoria Se si trascura la parte traslatoria del moto di un corpo rigido quello che rimane da trattare egrave la sua rotazione Nel nostro corso consideriamo le rotazioni che avvengono su un piano le rotazioni nello spazio potranno essere trattate come composizione di rotazioni su un piano Per le rotazioni su un piano si identifica un asse di rotazione perpendicolare al piano di rotazione e passante per il centro di rotazione Le articolazioni del gomito e del ginocchio sono articolazioni libere di ruotare intorno ad un asse a differenza ad esempio di quella della spalla che puograve ruotare intorno a due assi Si definisce spostamento angolare la variazione di una posizione che egrave definita in modo completo da una misura di angolo Una rotazione di un intero corpo rigido egrave definita in modo completo da uno spostamento angolare θfin - θin= ∆θ e si misura in radianti

Fig 51 Dobbiamo definire anche un verso di rotazione θ si incrementa per rotazioni antiorarie positive le rotazioni in senso orario sono invece negative La velocitagrave angolare si definisce analogamente alla velocitagrave lineare come il rapporto tra lo spostamento angolare e il tempo t impiegato per eseguire tale rotazione

ωm = t∆

∆θ e si misura in rad s

θin

θfin ∆θ

R

S

Anche per w si definisce ωist = lim ∆trarr0 t∆

∆θ

Ancora lrsquoaccelerazione angolare si definisce αm = t∆

∆ω e αist = lim ∆trarr0

t∆∆ω

Anche la legge fondamentale della dinamica ha un analogo nel ambito dei moti rotatori Si stabilisce che se ad un corpo rigido egrave soggetto ad un momento torcente diverso da zero esso subisce unrsquoaccelerazione angolare ad esso proporzionale Nel caso delle rotazioni la resistenza al moto egrave espressa dal momento di inerzia I associato al corpo rigido che gioca il ruolo della massa nei moti traslatori La legge della dinamica delle rotazioni egrave M = I middotα

E sostituendo M = Imiddott∆

∆ω= Imiddot

tinfin

∆minusωω

Il momento di inerzia I di un corpo rigido dipende dalla disposizione della massa del corpo rispetto allrsquoasse di rotazione per una massa puntiforme m a distanza R dallrsquoasse di rotazione I= m R2 per un oggetto esteso sommerograve il momento drsquoinerzia delle sue parti I = Σi mi Ri

2 Se si definisce momento angolare L il prodotto del momento drsquoinerzia per la velocitagrave angolare

L=Iω la legge della dinamica diventa

M = t

LL infin

∆minus

Il momento angolare egrave la grandezza fisica che si conserva se non viene applicato momento torcente Tutti i gesti di volo salti lanci tuffihellip sono azioni nelle quali si conserva il momento angolare Infatti in volo agisce solo la forza di gravitagrave che essendo applicata al CDM non genera momento torcente Il corpo umano nei gesti di volo Il corpo umano non egrave rigido e pertanto in volo agendo con i muscoli possiamo cambiare la disposizione del nostro corpo intorno al centro di massa che in volo coincide col centro di rotazione In questo modo si ottiene una variazione del momento di inerzia I e di conseguenza la velocitagrave angolare deve compensare questa variazione in modo che si mantenga costante il momento angolare L (grandezza che si conserva in assenza di momento torcente) Ersquo questo il principio che spiega il realizzarsi delle trottole sul ghiaccio dei salti mortali tuffi con avvitamento e cosigrave via in posizione raccolta I diminuisce e ω aumenta Moto circolare e moto circolare uniforme Per utilizzare le relazioni della cinematica e della dinamica lineare che abbiamo studiato egrave interessante poter passare dalle variabili angolari alle variabili lineari velocitagrave e accelerazione delle

masse in moto rotatorio Se una massa si muove su una traiettoria curva la velocitagrave tangenziale vt diretta come la tangente alla traiettoria dipende dalla velocitagrave angolare ω ( ωm=ϑ t )e dal raggio di curvatura della traiettoria Se la traiettoria egrave una circonferenza di raggio R e se gli angoli sono espressi in radianti lrsquoarco percorso per uno spostamento angolare ϑ egrave S = ϑ sdotR e la velocitagrave lineare tangente vt = St= ϑ sdotRt risulta vt = ωsdotR Se la velocitagrave angolare ω egrave costante il moto egrave detto circolare uniforme La legge oraria egrave quella dei moti uniformi spostamenti angolari uguali in tempi uguali ϑ(t) = ω t Anche la velocitagrave tangente saragrave di intensitagrave costante se ω egrave costante (archi uguali per tempi uguali s(t) = vt (t) ) ma crsquoegrave una accelerazione normale infatti la velocitagrave anche se non cambia in modulo cambia continuamente di direzione Questa accelerazione si dice centripeta egrave diretta normalmente rispetto alla traiettoria verso il centro della circonferenza e vale in modulo

ac=R

v2

Fig 52 Essendo la velocitagrave tangente vt = ωR Lrsquo accelerazione centripeta si puograve scrivere

ac =R

v2

= ω2 R

Il tempo impiegato dal punto a muoversi sulla circonferenza egrave una costante (moto uniforme) T periodo in T viene percorso uno spazio 2π R

v = T

Rπ2

La frequenza f egrave invece il ndeg di giri al secondo

f =T

1

Se si prendono punti diversi sul raggio della circonferenza questi hanno la stessa velocitagrave angolare e velocitagrave tangenziali crescenti al crescere del raggio Esempio carosello dei pattinatori Esercizi

1- un velocista con una velocitagrave di 10 ms viaggia su una curva di raggio 25m ndash accelerazione

a = R

v2

= 25

100 = 4 ms2

2 ndash un velocista con v = 92 ms su una pista circolare con ac = 38 m s2 ndash Raggio della pista Tempo per percorrere un giro completo

a = R

v2

rArr R = a

v2

= 83

)29( 2

= 2227m

T =v

Rπ2 =

29

27222 lowastπ = 152 sec

Forza centripeta forza centrifuga Una forza centripeta egrave una forza di qualunque natura che trattiene un corpo in moto su una traiettoria curvilinea ad esempio circolare In assenza di tale forza il corpo proseguirebbe il suo moto lungo una traiettoria rettilinea Nel gesto del lancio del martello ad esempio il lanciatore che esercita sul peso in cima allrsquoattrezzo una forza mediata dalla tensione dal cavo che lo trattiene nella traiettoria circolare Quando il lanciatore lascia la maniglia il martello viene lanciato lungo la direzione della tangente alla traiettoria nellrsquoistante di rilascio Lrsquointensitagrave della forza centripeta necessaria a mantenere una massa m in moto con velocitagrave tangente v lungo una traiettoria circolare di raggio r si puograve calcolare a partire dallrsquoaccellerazione centripeta secondo la legge fondamentale della dinamica

|rarr

cF | = m | rarr

ca | = m r

v2

Tale forza egrave diretta come lrsquoaccelerazione centripeta e cioegrave verso il centro della circonferenza che costituisce la traiettoria La forza centripeta egrave dunque una forza reale Con lsquoforza centrifugarsquo invece non ci si riferisce ad un forza che agisce su un corpo ma alla situazione apparente cui sembra sottoposto un corpo in moto curvilineo Esso pare tirato o attirato lontano dal centro di rotazione pare ci sia una lsquoforzarsquo che vuole farlo sfuggire Quando viene lasciato il martello si allontana dal centro di rotazione percheacute si muove di moto rettilineo uniforme non essendo piugrave soggetto a forze altre che la forza peso Lrsquoacqua esce dal cestello della lavatrice quando il cestello ruota velocemente (funzione centrifuga) percheacute lrsquoacqua che non costituisce un corpo solo con il cestello bucato non egrave soggetta alla forza centripeta e puograve passare attraverso i buchi I panni invece pure non parte del cestello sono troppo grandi per passare dai buchi si possono solo schiacciare contro le pareti questo schiacciamento sembra il risultato di una forza ma egrave invece il risultato dellrsquoassenza di una forza quella centripeta Una volta lagrave contro il cestello fanno tuttrsquouno con le pareti di metallo che esercitano su di essi la forza centripeta (cioegrave con direzione verso lrsquoasse di rotazione) che li mantiene in rotazione Le parti di un corpo rigido esteso che si muove di moto rotatorio rispetto ad un asse quale ad esempio la gamba di un giocatore di calcio che calcia un pallone sono soggette alla forza centripeta che le mantiene sulla traiettoria curva Tale forza viene trasmessa alle varie parti tramite le forze di tensione che si sviluppano allrsquointerno del corpo stesso ad esempio il piede egrave soggetto alla forza centrifuga tramite lrsquoazione dei legamenti e tendini a livello della caviglia che vengono messi in tensione per trattenere il piede stesso

Piano orizzontale Calcolare lrsquointensitagrave della forza normale applicata ad un oggetto di massa m fermo su un tavolo orizzontale Per il primo principio della dinamica (principio di inerzia) se un corpo e fermo la risultante delle forze ad esso applicate egrave nulla cioegrave

rarrP +

rarr

NF = 0

In questo caso la forza normale rarr

NF egrave un vettore che ha lo stesso modulo e la stessa direzione del

vettore forza pesorarrP ma ha verso opposto Quindi il modulo di

rarr

NF vale |rarr

NF | = mg

Piano inclinato

Nel caso di un piano inclinato dovrograve tenere conto che rarr

NF puograve compensare solo la parte di rarrP

diretta normalmente al piano (infatti se non crsquoegrave attrito il corpo scivola lungo il piano inclinato) Se ϑ egrave lrsquoangolo che il piano inclinato forma con lrsquoorizzontale il piano inclinato fornisce al corpo una

forza normale che in modulo vale | rarr

NF | = m g cosϑ

Fig 17 4 ndash Salto con molleggio Un uomo con massa m = 70kg salta da unrsquoaltezza L = 2m Arrivando al suolo molleggia sulle ginocchia per un tratto l = 02 m Si calcoli la forza di reazione che il suolo esercita sui piedi durante il molleggio Si consideri il molleggio come una frenata che avviene con accelerazione (negativa) costante Fig 18

F

FN

Cadendo da unrsquoaltezza L allrsquoistante in cui il piede tocca il suolo la velocitagrave Vs egrave data dalla risoluzione del sistema di equazioni cinematiche per il moto uniformemente accelerato con t0 il tempo di caduta Vs = gt0 L = frac12 gt0

2 Vs = (2gL) frac12 La forza di reazione che esercita il suolo sul piede durante il molleggio egrave quella che imprime lrsquoaccelerazione (negativa) a di frenata (piugrave il peso del corpo mg)Il corpo si ferma in un tratto l Questa frenata si tratta con le equazioni del moto uniformemente accelerato 0 = Vs ndash at l = Vs t ndash frac12 at2 (essendo t il tempo di frenata) dalla prima equazione t = Vs a che introdotto nella seconda equazione permette di calcolare a a = frac12 Vs

2l e con Vs = (2gL) frac12 si ottiene a = g (Ll) e quindi la forza di reazione Fr = mg + ma egrave data da Fr = mg (Ll + 1) = 70 x 98 x (202 + 1) N = 7546Newton Si noti che al peso si aggiunge una forza che egrave il peso moltiplicato per un fattore (ldquofattore di cadutardquo) dato dal rapporto tra lrsquoampiezza del salto e il tratto di molleggio Questa forza si trasmette dal piede allrsquoarticolazione delle ginocchia e cosigrave via Tensione

Quando una corda egrave attaccata ad un corpo e viene tirata si dice che la corda egrave sotto tensione

La tensione rarrT cui egrave sottoposta la corde in ogni sua parte egrave una forza pari alla forza che si applica

sia al corpo sia alla mano che lo tira ai due estremi della corda ed egrave sempre diretta lungo la corda Fig 19 Anche con una carrucola cioegrave con la corda che si curva intorno ad una rotella la tensione ha intensitagrave T lungo la corda Una corda egrave utile in questo caso per cambiare la direzione e il verso di applicazione di una forza la mano tira verso il basso ma la massa egrave sottoposta ad una forza verso lrsquoalto

Fig20 I tendini del corpo umano sono corde e vengono utilizzati anche per variare la direzione di applicazione delle forze esercitate dai muscoli Forza di attrito

Lrsquoattrito fa parte dellrsquoesperienza quotidiana nel bene e nel male Da una parte fa consumare piugrave benzina (20 per motore e trasmissione) ma anche la suola delle scarpe il battistrada delle gomme e i gomiti del maglione dallrsquoaltra consente il movimento i nodi tengono i chiodi fissano etc Un libro che scivola su un tavolo orizzontale si fermerebbe se non mantenessi una forza costante che contrasta lrsquoattrito su una superficie ruvida il movimento genera lui stesso una forza che decelera il moto Per mantenere in moto rettilineo uniforme un corpo che scivola sopra un piano bisogna applicare al corpo una forza che serva a neutralizzare questa forza ldquospontaneardquo(detta di attrito) in modo che la risultante delle forze applicate sia nulla Anche lrsquoinizio del moto egrave contrastato dalla forza di attrito (statico) che assume un valore uguale e contrario a quello della forza che applico fino a raggiungere un valore massimo (valore limite) Il corpo non si muove resiste al moto Oltre quel valore limite cioegrave se applico una forza sufficientemente intensa il corpo inizia a muoversi Situazione

Fig 21 Un blocco appoggiato sul piano orizzontale egrave fermo rarrP

verso il basso e rarr

NF verso lrsquoalto sono uguali in modulo

Se applico una forza rarrF per spostare il corpo verso destra insorge una forza di attrito statico

P

FN

il cui modulo vale |rarr

sattF _ | = smicro |

rarr

NF | ( smicro egrave il coefficiente di attrito statico il suo valore dipende

dalla natura dei materiali a contatto) esercitata orizzontalmente dal piano che uguaglia in

intensitagraverarrF ma di verso opposto in modo che il corpo non si muove Se aumento

rarrF aumenta

anche rarr

sattF _

Fig22 Diagramma delle forze applicate al blocco

Raggiunto un certo valore di rarrF il corpo ha uno ldquostrappordquo e comincia a muoversi nella direzione

di rarrF verso destra ostacolato dalla una forza di attrito dinamico

rarr

dattF _ generalmente inferiore al

valore max di rarr

sattF _ (egrave piugrave facile mantenere un corpo in moto che muoverlo da fermo)

(Il passaggio da un regime allrsquoaltro egrave allrsquoorigine degli stridii da attrito ndash quello ad esempio del gesso sulla lavagna - o anche del suono del violino) - Proprietagrave dellrsquoattrito riassunte

1 ndash Corpo fermo la forza di attrito statica rarr

sattF _e la componente di

rarrF parallela alla superficie

hanno uguale intensitagrave e si annullano 2 ndash limite di scivolamento la massima forza di attrito per due materiali posti a contatto egrave proporzionale alla forza normale tramite un coefficiente di attrito statico smicro

| rarr

sattF _(max)| = smicro |

rarr

NF |

smicro egrave un coefficiente adimensionale che assume valori diversi per diverse coppie di materiali

3 ndash il corpo inizia a muoversi il valore della forza di attrito decresce rapidamente fino a

|rarr

kattF _ | = kmicro |rarr

NF | proporzionale alla forza normale tramite un coefficiente di attrito dinamico kmicro

adimensionale e dipendente dalla coppia di materiali in considerazione

P

FN

F Fatt

Attenzione |rarr

sattF _| e

rarr

kattF _ | sono proporzionali non a |

rarrP | ma a |

rarr

NF | quindi nel caso di un

piano inclinato bisogna considerare la componente di rarrP perpendicolare al piano

rarr

NF equilibra

solo la parte di rarrP perpendicolare al piano

Attenzione le equazioni per |rarr

sattF _| e |

rarr

kattF _| non sono vettoriali le forze di attrito non sono

dirette come la forza normale rarr

NF ma parallele al piano

Durante una corsa allo scatto si usano i blocchi di partenza per sfruttare la reazione del blocco alla forza muscolare di spinta Data lrsquoinclinazione dei blocchi la forza di reazione del blocco sul atleta si massimizza nella direzione del moto

rArr si fa uso della ldquoazione-reazionerdquo Fig 23 Durante la corsa si sfrutta il coefficiente di attrito statico per mantenere un piede fermo a terra mentre lrsquoaltro avanza Per non superare il limite di scivolamento allrsquoindietro del piede di appoggio la forza che si esercita sul terreno deve avere una componente normale al terreno di intensitagrave opportunamente elevata In ogni caso se smicro egrave basso si ha lrsquoeffetto del camminare sul ghiaccio

Lrsquouso di scarpette chiodate non aumenta il valore di smicro che egrave il coefficiente drsquoattrito tra due

superfici ldquoliscerdquo piuttosto hanno una funzione simile a quella di mini blocchi di partenza permettono di esercitare una forza sul tartan lungo la direzione del moto cioegrave parallelamente alla pista Resistenza del mezzo Consideriamo un corpo che si muove in aria Esso incontra una resistenza da parte dellrsquoaria che agisce in modo da opporsi al movimento del corpo cioegrave ha la stessa direzione e verso opposto a quella del moto

rarrD forza di resistenza del mezzo o forza aerodinamica (detta anche forza viscosa) si

|rarrD | =

2

1 cρAv2 (limite di alte velocitagrave eo alte viscositagrave)

D egrave proporzionale al quadrato della velocitagrave (termine v2 ) Inoltre D egrave proporzionale ad A lrsquoarea efficace della sezione trasversa (lrsquoarea presentata dal corpo nella direzione del moto vedi la posizione a uovo dei discesisti di sci o dei ciclisti) ρ egrave la densitagrave del mezzo Ersquo intuitivo che la resistenza D dipenda dalla densitagrave del mezzo infatti il corpo per procedere deve ldquofarsi stradardquo spostando le molecole del mezzo Quindi piugrave il mezzo egrave rarefatto piugrave egrave facile ldquofarsi stradardquo e inferiore egrave la resistenza D Con c si indica il coefficiente di penetrazione (il cosiddetto cx che dipende dalla forma geometrica del corpo) La forma (oltre che

lrsquoarea efficace A) influenza la resistenza opposta dal mezzo percheacute una ottimizzazione della forma (affusolata migliorare il Cx) porta a ridurre la formazione di turbolenze nellrsquoaria intorno al corpo Casco dei ciclisti o discesisti con forma a punta posteriore

non riduce la sezione trasversa A ma piuttosto migliora il Cx

Fig 24 Nel nuoto lo sbattere i piedi serve soprattutto per mantenere il corpo orizzontale e quindi a ridurre la sezione A Il lavoro viene fatto per lo piugrave dalle braccia (75) In acqua anche se la velocitagrave v egrave bassa D egrave significativa percheacute la viscositagrave del mezzo egrave grande Per ridurre le turbolenze negli sport di velocitagrave diventa essenziale utilizzare accorgimenti quali nascondere dadi e cavi nelle biciclette togliere cerchietti delle racchette da sci Tagliare i capelli o rasarsi le gambe sono sempre modi di ridurre anche le piccole turbolenze Velocitagrave limite di caduta di un grave in aria

La forza rarrD di frenamento durante la caduta libera li un corpo in aria ha verso opposto a quello

della forza pesorarrP che accelera il corpo verso il basso Se

rarrP egrave costante il corpo accelera con

accelerazione rarrg ie aumenta la velocitagrave verso il basso ma aumentando v dunque v2 aumenta

D Ciograve prosegue fincheacute D diventa di intensitagrave uguale P con verso opposto rarrD = -

rarrP A questo

punto la risultante delle forze agenti sul corpo in caduta egrave nulla (sumrarrF =

rarrD + (-

rarrP ) e dalla

seconda legge (fondamentale) della dinamica si ha che lrsquoaccelerazione rarra del corpo egrave nulla

rArr Il corpo non accelera piugrave e mantiene velocitagrave costante massima La velocitagrave raggiunta detta velocitagrave limite vlim egrave tale da verificare lrsquouguaglianza

D = 2

1cρAv lim

2 = mg = P quindi rArr vlim = (2mg cρA) frac12

La vlim raggiunta dai paracadutisti puograve essere variata modificando A tramite dei cambiamenti dellrsquoassetto in volo Questo permette ai paracadutisti di raggiungersi per fare figure in aria Lrsquoapertura del paracadute fa aumentare di molto A rendendo la velocitagrave limite molto piugrave bassa Anche le gocce di pioggia raggiungono la velocitagrave limite (v asymp 7msec in 6m) nella loro caduta Ad esempio cadendo da 1200m le gocce di pioggia raggiungono la terra con la velocitagrave limite di circa 7msec e non con la velocitagrave di 150msec che avrebbero se non ci fosse lrsquoazione di frenamento D (dei veri proiettili)

Senza D rarr vfin = 150ms

Con D rarr vfin = vlim = 7ms Fig 25 Forza elastica La forza elastica egrave una forza non costante

L lunghezza di riposo della molla Fig 26 Una massa m egrave vincolata ad una parete con una molla Se tiro la massa la molla si estende diciamo di un tratto x La molla esercita una forza di richiamo proporzionale allrsquoallungamento x (piugrave si allunga maggiore egrave la forza F di richiamo) F = -kx ldquorichiamordquo cioegrave di verso opposto allrsquoallungamento Ecco la ragione del segno (-) Se raggiunta una certa estensione la molla viene rilasciata essa si ricomprimeragrave ritorneragrave alla lunghezza di riposo L poi si schiacceragrave di un tratto x dalla parte opposta e nuovamente agiragrave la forza di richiamo (che egrave variabile in quanto varia con il variare di x) La massa oscilla attorno alla posizione di riposo k egrave la costante elastica della molla Lrsquoespressione della forza elastica vale per i respingenti del treno (k grande) come per la molla della biro (k piccola) come per lrsquoelastico del saltatore dal ponte Impulso di una forza La legge fondamentale della dinamica F = ma puograve essere scritta esprimendo lrsquoaccelerazione con la sua relazione definitoria (vf - vi)t

F = mt

vv if minus e quindi portando il tempo t al primo membro

)( if vvmtF minussdot=sdot oppure vmtF ∆sdot=sdot

Si dice ldquoimpulso ldquo di una forza il prodotto della forza per il tempo durante il quale viene applicata tF sdot (se la forza non egrave costante lrsquoimpulso egrave lrsquointegrale della forza nel tempo in cui viene applicata)

Scritta in questo modo lrsquoequazione fondamentale della dinamica puograve essere letta cosigrave 1) Supponiamo che un corpo vari la sua velocitagrave di una quantitagrave ∆v = vf - vi tanto piugrave lungo egrave il tempo t durante il quale questa variazione avviene tanto minore egrave la forza che deve essere sviluppata per ottenere tale variazione della velocitagrave In questi termini si capisce ad esempio lrsquoutilitagrave delle cinture di sicurezza che allungando i tempi durante i quali in caso drsquoincidente la velocitagrave del passeggero (che non egrave solidale con la vettura) passa da un valore vi iniziale a zero determina una riduzione della la forza cui il passeggero stesso egrave sottoposto durante il breve tempo dellrsquoimpatto (la forza che le ossa e le articolazioni possono sopportare egrave limitata) Si vede anche come funziona lrsquoelastico del jumper finchegrave lrsquoelastico non egrave completamente svolto (ltL) la forza che agisce sul jumper egrave P (la forza peso) poi progressivamente la forza elastica di richiamo contrasta P quindi il jumper decelera progressivamente per un lungo intervallo di tempo e lo lsquostrapporsquo (F applicata) necessario per contrastare P e fermare il jumper applicato sulle sue gambe e a cascata su tutte le sue articolazioni (secondo il terzo principio) egrave di entitagrave minore 2)Lrsquoimpulso totale prodotto tF sdot nella direzione ottimale egrave la grandezza fisica che stabilisce lrsquoefficacia di un gesto di spinta o di lancio non la massima forza espressa o la durata dellrsquoazione di spinta Lavoro di una forza ndash lavoro meccanico

- 1deg caso Forza costante rarrF

Immaginiamo una forza rarrF che agisce su un corpo durante il suo spostamento Immaginiamo cosi

che il punto di applicazione di questa forza si sposti nello spazio di un tratto rarrs Viene detto

lavoro della forza rarrF la quantitagrave

L = rarrF middot

rarrs = F middot smiddot cosϑ (prodotto scalare di

rarrF per

rarrs )

(prodotto scalare tra i due vettori) Fig 27 Il lavoro egrave una quantitagrave scalare cioegrave egrave descritta completamente da un numero da un valore Tale

valore puograve essere positivo o negativo a seconda che la componente di rarrF lungo

rarrs sia equiversa o

di verso opposto a rarrs Se

rarrF e

rarrs hanno la stessa direzione e se lo spostamento avviene nel

senso di rarrF diciamo che il lavoro egrave positivo (e viceversa negativo) Lrsquointensitagrave del lavoro puograve

variare tra un valore massimo e uno minimo per gli stessi valori del modulo di rarrs e di

rarrF a

rarrs

seconda del valore di cosϑ Il lavoro egrave massimo per cosϑ = 1 (cioegrave per ϑ = 0) (rarrF diretto come

rarrs ) Il lavoro egrave minimo ( L = 0) per cosϑ = 0 cioegrave per ϑ = 90deg (

rarrF perpendicolare a

rarrs )

Puograve darsi il caso che piugrave forze agiscono sullo stesso punto Allora si puograve calcolare il lavoro totale egrave la somma dei lavori di tutte le forze applicate

Ltot = sum Li = sum (rarr

sdotiFrarrs )

Dimensioni di L [ L ]= [ F ][ s ] = mmiddot l middot t-2 middot l = ml2 t-2 Unitagrave di misura di L 1 joule = 1N middot 1m ( 1J ) Lavoro della forza peso durante la caduta di un grave Un grave cade vicino alla superficie della terra sotto lrsquoazione della forza di gravitagrave cioegrave sottoposto ala forza peso P diretta verso il basso percorrendo un dislivello h Il lavoro compiuto dalla forza peso si calcola come

LP = rarrP middot

rarrs = Pmiddot smiddot cosϑ

notando che lo spostamento s (verso il basso) e la forza P sono paralleli con verso concorde pertanto ϑ = 0 e cosϑ = 1 e che | P| = mmiddot g si ottiene LP = mmiddot gmiddot h per uno spostamento s = h (dislivello) Lavoro meccanico nel sollevamento pesi Durante questo gesto sul bilanciere oggetto dellrsquoapplicazione delle forze si esercitano la forza peso P e la forza muscolare dellrsquoatleta Naturalmente entrambe le forze lavorano ma i due lavori si oppongono uno allrsquoaltro (ricorda che il lavoro puograve essere positivo o negativo) Il lavoro positivo deve essere nel verso del moto quindi egrave quello della forza muscolare dellrsquoatleta il lavoro di P invece egrave negativo e se il bilanciere si alza di una quota h si calcola facilmente seguendo il procedimento del paragrafo precedente ottenendo LP = - mmiddotgmiddoth (ϑ = π e cosϑ = -1 ) Calcoliamo il lavoro della forza musculare seguendo lrsquoesempio qui proposto Esempio Un atleta solleva un bilanciere di peso 2500N allrsquoaltezza di 2m (sopra la sua testa) Quanto lavoro meccanico compie la sua forza muscolare Supponiamo che il sollevamento avvenga a velocitagrave costante con accelerazione nulla allora il per il

primo principio della dinamica le forze applicate al bilanciere devono essere tali chesumrarr

iF = 0

Quindi la forza peso P = mmiddot g deve essere controbilanciata dalla forza applicata dallrsquoatleta Fm

Quindi rarr

mF = - rarrP

con Fm = 2500N Il lavoro La fatto dallrsquoatleta vale

Lm = rarr

mF middot rarrs = 2500 N middot 2m middot 1 = 5000 J (sollevamento verticale quindi ϑ = 0 e cosϑ = 1)

Quanto lavoro fa la forza peso

Lp = rarrP middot

rarrs = 2500 middot 2 middot (-1) = -5000 J

(percheacute ϑ = π e cosϑ = -1) Quanto lavoro fa lrsquoatleta mentre sostiene il peso fermo sopra la testa L = 0 percheacute non crsquoegrave spostamento Qui si parla di lavoro meccanico non di lavoro fisiologico diciamo che si fa fatica percheacute crsquoegrave da mantenere integrordquo un corpo non rigido che egrave il corpo dellrsquoatleta quindi si il lavoro delle contrazioni muscolari per mantenere lrsquoequilibrio e ldquolrsquointegritagraverdquo egrave la misura del lavoro fisiologico necessario anche se il lavoro meccanico compiuto egrave nullo 2deg caso Forza variabile Nel caso in cui F egrave una forza variabile che dipende dalla posizione ogni volta che avviene uno spostamento∆ x la forza cambia Il lavoro totale saragrave la somma dei lavori elementari fatti sui tratti piccoli sui quali la forza puograve essere assunta costante

Ltot = iii xxF ∆sdotsum )(

( Se si fa il limite per ∆ xi piccolo rarr 0 e la isum egrave lrsquointegrale Ltot = int sdotxtin

xinxdxF )( )

Ad esempio la forza F puograve essere la forza di richiamo di una molla vincolata al muro Lrsquointensitagrave della forza elastica varia durante lo spostamento aumentando con lrsquoallungamento (o la compressione) della molla ed ha la direzione parallela allo spostamento ma puograve avere verso concorde o discorde quindi con cosϑ che vale o +1 o ndash1 Immaginiamo di avere un blocco attaccato alla molla e di tirarlo da Xin a Xfin allora

F(x) = - kx Fig 28

Il lavoro della forza elastica si calcola sommando i lavori infinitesimali compiuti per spostamenti infinitesimi durante i quali la forza si assume costante Ciograve egrave rappresentato graficamente nel calcolo lrsquoarea compresa al di sotto della curva del grafico di F (Fig 28A) In figura si egrave cambiato il segno della funzione forza per comoditagrave di rappresentazione

Fig 28A

Area = differenza aree dei due triangoli = AABB kxxkxx sdotminussdot2

1

2

1

Ricordandoci del segno

L infin = 22

2

1

2

1infin kxkx +minus e in generale L = 2

2

1kx

Se si calcola il lavoro della forza di richiamo durante un allungamento della molla si ha lavoro negativo mentre durante il ritorno alla posizione di equilibrio il lavoro egrave positivo (segno dello spostamento x e della forza concordi) Energia cinetica Il termine ldquoenergiardquo indica la capacitagrave di compiere lavoro Lrsquoenergia cinetica egrave la proprietagrave che rende conto quantitativamente del legame fra il lavoro compiuto ed il moto generato Avevamo detto piugrave o meno lo stesso parlando della seconda legge della dinamica riferendoci alle forze Qui col lavoro non egrave necessaria la descrizione dettagliata delle forze che agiscono sul punto in considerazione Ersquo sufficiente conoscere il loro lavoro totale

Lrsquoenergia cinetica K = 2

1mv2 (gt 0 percheacute m gt 0 v2 gt 0 ) (m e v sono la massa e la velocitagrave del

corpo) Lrsquounitagrave di misura e le dimensioni di K sono le stesse del lavoro Joule ( J ) e [ ]K = [ ]22 minustml

Teorema dellrsquoenergia cinetica Se una forza F compie un lavoro L su un punto materiale di massa m si ha una variazione dellrsquoenergia cinetica pari al lavoro compiuto

Xfin Xin

F

0

ksdotxfin

ksdotxin

F= ksdotx

x

LAB= -area

L = Kfin ndash Kin = ∆ K Nel caso che piugrave forze agiscono sul punto materiale il teorema dellrsquoenergia cinetica si applica al lavoro totale (equivalentemente al lavoro della risultante ) E il caso dellrsquoatleta che solleva il peso di 2500N Sappiamo che ha compiuto un lavoro di 5000J ma il bilanciare con i pesi era fermo allrsquoinizio ed egrave fermo alla fine Quindi Kin = 0 e Kfin = 0 percheacute vin = 0 e vfin = 0 Allora il teorema dellrsquoenergia cinetica Vale per il lavoro totale o lavoro della forza totale e noi abbiamo visto che la forza netta totale = 0 ( Fa + P = 0 ) ed il lavoro totale egrave nullo quindi giustamente si ha ∆ K = 0 1)Caso di una palla da tennis che cade

la forza peso rarrP compie un lavoro positivo con spostamento concorde a

rarrP si dovrebbe avere

∆ K gt 0 infatti la velocitagrave v aumenta 2)Caso di una palla lanciata verso lrsquoalto

lo spostamento ha verso opposto a rarrP Il lavoro della forza peso egrave negativo e quindi ∆ K egrave

negativo giusto La velocitagrave diminuisce NB Durante il volo agisce solo la forza di gravitagrave quindi il lavoro totale comiuto sul corpo egrave solo quello della gravitagrave 3)Caso del moto circolare uniforme la forza che agisce egrave la forza centripeta che egrave perpendicolare allo spostamento Quindi non compie lavoro deve essere ∆ K = 0 Iinfatti il moto egrave uniforme cioegrave la velocitagrave egrave in modulo costante Potenza Si chiama potenza il lavoro che si egrave in grado di svolgere nellrsquounitagrave di tempo

P = t

L

∆ ( potenza media )

P = t

Lt ∆

∆rarr∆ 0lim ( potenza istantanea)

Non egrave solo una stima del lavoro compiuto ma anche della rapiditagrave con cui si compie lavoro

Fig 29 Per superare il muro ci vuole un certo lavoro che consiste nellrsquoinnalzare il proprio corpo di unrsquoaltezza h Sia lrsquoatleta che lo supera in un sol balzo sia il vecchietto che sale pian piano la scalinata faranno lo stesso lavoro Quel che egrave diverso egrave la potenza dei due personaggi Dimensioni e unitagrave di misura della potenza [ ]P = [L] [t -1] = [ml2t-3] 1 watt = 1 joule 1sec (1w)

Energia Potenziale K egrave energia connessa allo stato di moto di un sistema Crsquoegrave anche energia connessa alla posizione di un corpo in un campo di forze (configurazione) Si chiama energia potenziale Nel caso dellrsquoatleta di sollevamento pesi il lavoro compiuto dallrsquoatleta Lm non ha alterato lrsquoenergia cinetica K dellrsquoattrezzo ma ha modificato la configurazione del sistema (terra-attrezzo) variandone lrsquoenergia potenziale (W) Il lavoro non egrave stato sprecato ma ldquoimmagazzinatordquo lrsquoattrezzo prima egrave a terra poi egrave in alto nel sistema che ora ldquopotenzialmenterdquo puograve compiere un lavoro cedendo la sua ldquoenergia potenzialerdquo Energia cinetica ed energia potenziale sono due parti dellrsquoenergia meccanica possono trasformarsi lrsquouna nellrsquoaltra ed in lavoro Nellrsquoesempio precedente quando lrsquoattrezzo egrave in alto si ha che K = 0 e W = WA Quando cade K aumenta percheacute la velocitagrave v aumenta e lrsquoenergia potenziale W diminuisce In basso W = WB lt WA e K egrave massima Lrsquoattrezzo cadendo puograve compiere lavoro Se fosse un martello potrebbe far avanzare un chiodo ad esempio Lrsquoenergia potenziale viene definita proprio a partire dal concetto di lavoro di forze conservative Ersquo conservativa una forza il cui lavoro per spostare il suo punto di applicazione da una posizione (configurazione) ad unrsquoaltra dipende solo dalle due posizioni (configurazioni) iniziale e finale Equivalentemente si puograve definire la forza conservativa dicendo che il lavoro di tale forza egrave nullo se le posizioni (configurazioni) iniziali e finali coincidono

-Lavoro per passaggio dalla posizione A a B egrave lo stesso lungo I o II -Se da A vado a B e torno in A il lavoro totale egrave nullo

Fig 30 Posso allora definire una funzione della posizione W che assume i valori WA e WB in A e B e tale per cui LAB = WA ndash WB ( W energia potenziale) WA WB sono definiti a meno di una costante tanto quello che interessa egrave la differenza fra loro Variazione di energia potenziale del passaggio da A a B WB ndash WA = ∆W allora LAB = -∆ W Con questa convenzione sui segni si rende conto del fatto che un lavoro positivo ( fatto dalle forze conservative sul corpo) fa diminuire lrsquoenergia potenziale W ( L positivorarr ∆W negativo rarr WBlt WA rarr ho usato energia potenziale) un lavoro negativo (subito) aumenta W (L negativo rarr ∆W positivo rarr WBgt WA rarr ho guadagnato energia potenziale) W si misura in Joule come il lavoro e lrsquoenergia cinetica

Qual egrave la Forma di W

Mentre la forma dellrsquoenergia cinetica egrave sempre K =2

1mv2 indipendentemente dal tipo di forze

che provocano il movimento W dipende dal tipo di forza conservativa di cui si sta calcolando il lavoro Consideriamo due forze conservative

a) Forza gravitazionale forza peso

F(y) = -mg Stato di riferimento y0 = 0 in cui W0 = 0

Fig31

Abbiamo detto che LAB = WA- WB ma siccome

LAB = )( ABhmgsP minussdotminus=sdot dove hAB= yA-yB egrave la distanza tra A e B allora rArr WA = mgyA WB = mgyB e in generale W(y) =mgy

Per la forza peso W(y) =mgy e lrsquoenergia totale meccanica (W+K) = mgy+2

1mv2=Etot

b) Forza elastica

Fig 32

F(x) = -kx Stato di riferimento x = 0 allungamento nullo la lunghezza della molla egrave la sua lunghezza di riposo L ( W(0) = 0)

Immaginiamo che la configurazione della molla venga modificata passando dalla posizione xA alla posizione xB (Fig 32) Il lavoro della forza elastica egrave calcolato come

LAB = 22

2

1

2

1AB kxkx +minus

Ricordando che LAB = WA- WB possiamo ricavare lrsquoespressione per lrsquoenergia potenziale elastica

rArr WA = 2

2

1Akx WB = 2

2

1Bkx e in generale W(x) = 2

2

1kx

Energia totale meccanica ndash Conservazione dellrsquoenergia

In presenza di sole forze conservative la somma dellrsquoenergia cinetica e dellrsquoenergia potenziale costituisce lrsquoenergia totale meccanica Tale energia meccanica gode della proprietagrave importantissima di conservarsi durante lrsquoevoluzione del sistema Lrsquoenergia connessa al movimento e alla posizione si scambiano una diminuisce e lrsquoaltra cresce ad esempio ma la loro somma rimane costante

- Esempio delle montagne russe Se non ci sono attriti (infatti il trucco egrave quello di rendere il

sistema privo di attriti) so giagrave quale altezza massima potrograve raggiungere (quella iniziale e non di piugrave) quale velocitagrave massima potrograve raggiungere (in fondo alla valle) Queste quantitagrave sono fra loro legate dal teorema della conservazione dellrsquo energia meccanica

Fig 33 - Esempio del salto con lrsquoasta Lrsquoenergia cinetica dellrsquoatleta acquisita nella rincorsa viene

trasformata in energia potenziale gravitazionale parte direttamente e parte attraverso lrsquoenergia potenziale elastica dellrsquoasta acquisita nella sua deformazione durante il salto La flessibilitagrave dellrsquoasta (costante elastica dellrsquoasta) egrave legata allrsquoenergia che si puograve immagazzinare in una data deformazione Infatti con aste rigide (alluminio acciaio bambugrave) il salto era piugrave basso Con fibra di vetro il record egrave stato polverizzato

Fig 34

Fig 35

Fig 36

Osserviamo che il teorema dellrsquoenergia cinetica ha validitagrave generale qualunque siano le forze che agiscono conservative o non conservative (le forze non conservative si dicono anche ldquodissipativerdquo)

KLL

KL

fncfc

tot

∆=+∆=

e ricordando che darr Lfc = - )( fcW∆

Si ottiene che K∆ + )( fcW∆ = Lfnc

Si vede che nel caso in cui Lfnc sia nullo cioegrave quando non ci sono forze dissipative la somma delle variazioni di energia cinetica e energia potenziale egrave uguale a zero cioegrave lrsquoenergia totale meccanica (somma dellrsquoenergia cinetica e potenziale) egrave costante E questo corrisponde al teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica Nel caso ci siano forze dissipative la somma delle energie non egrave costante quindi al contrario del teorema dellrsquoenergia cinetica il teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica non ha validitagrave generale (vale solo in assenza di attriti ad esempio) Le forze non conservative di attrito compiono lavori solo negativi e fanno perdere quantitagrave di energia non recuperabile Parte di questa energia va in generale in calore quindi se ne puograve tenere conto considerando unrsquoaltra forma di energia lrsquoenergia termica ( ci sono anche altri fenomeni dissipativi ad esempio le deformazioni permanenti negli urti o la propagazione di onde sonore)

Lrsquo energia puograve dunque conservarsi o trasferirsi proprietagrave caratterizzanti dellrsquoenergia Il lavoro rende conto del trasferimento di energia della perdita di energia sotto una forma e del guadagno sotto unrsquoaltra forma (cioegrave energia conservativa) o del passaggio dellrsquoenergia da un sistema ad un altro Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica quando egrave applicabile puograve essere sfruttato per risolvere facilmente problemi altrimenti complicati Esercizio Una palla da tennis viene lanciata con velocitagrave iniziale v0 (senza effetti strani taglio etc) al di lagrave della rete Con quale velocitagrave arriva a terra

Se durante il moto Etot si conserva K+W = cost

Fig 37 e W = mgh egrave solo energia potenziale gravitazionale h = 0 alla fine come allrsquoinizio dunque K in = Kfin e vfin = v0 Se la palla egrave lanciata verso lrsquoalto non crsquoegrave componente orizzontale della velocitagrave ma solo verticale al punto piugrave alto di arresto h K(h) = 0 W(h) = max = Kin cioegrave mgh = frac12 mv0

2 si puograve cosigrave calcolare facilmente lrsquoaltezza massima raggiunta h = (frac12 v0

2)g e vicenversa si puograve calcolare il valore della velocitagrave v0 che bisogna imprimere alla palla affinchegrave raggiunga lrsquoaltezza h

v0 = gh2

Esercizio Una saltatrice di massa M = 61Kg salta da un ponte di altezza H = 45m agganciata ad una corda elastica La lunghezza di riposo della corda elastica egrave L = 25m e la sua costante elastica egrave k = 160 Nm Nel punto piugrave basso si arresta prima di venire rimbalzata in alto Qualrsquo egrave lquesta quota piugrave bassa h (a cui si trovano i suoi piedi ai quali egrave legato lrsquoelastico)

Fig 38 Etot = Wgrav + Wel + K = cost sono solo forze conservative vale la conservazione

dellrsquoenergia Nel punto A K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di lanciarsi Wel = 0 percheacute lrsquoelastico non egrave ancora svolto Wgrav = MgH Nel punto B K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di rimbalzare

Wel = frac12 kd2 Wgrav = Mgh = Mg(H-(L+d)) Etot(A) = Etot (B) MgH + 0 + 0 = Mg (H-(L+d)) + frac12 kd2 + 0 MgH = MgH ndash MgL ndash Mgd +frac12 kd2

2

1(160)d2 ndash (61)(98)d ndash (61)(98)(25) = 0

equazione di IIdeg grado che dagrave per d il valore accettabile d = 179m (lrsquoaltro egrave negativo e non egrave accettabile perchegrave non ha senso fisico la

saltatrice va in giugrave non in su) Allora h = H-(L+d) = 45 ndash (25+179) = 45 ndash 429 = 21m quindi con la testa poco sopra lrsquoacqua Sistemi di punti materiali e corpi rigidi ndash Centro di Massa

Un giocoliere o un ginnasta che lancia la clavette fa compiere allrsquoattrezzo movimenti complicati tuttavia crsquoegrave un punto dellrsquoattrezzo che si muove seguendo una traiettoria semplice come quella di un punto materiale ad esempio lanciato segue una traiettoria parabolica Tale punto si chiama centro di massa dellrsquooggetto Il centro di massa puograve essere definito per un oggetto o per un insieme di punti materiali Ersquo importante percheacute in generale il moto di un corpo esteso (o di un insieme di punti) si puograve studiare separando il moto del centro di massa (moto traslatorio) e il moto del corpo attorno al centro di massa (moto rotatorio)

Centro di Massa (CDM) di un sistema di punti - Consideriamo il caso semplice di due punti materiali di massa m1 m2 posti sullrsquoasse x in

posizione x1 x2

Fig 39

la posizione del centro di massa egrave definita xCDM = 21

2211

mm

xmxm

++

a) xCDM egrave compreso fra x1 e x2 b) se m1 = m2 CDM egrave a metagrave strada fra m1 ed m2 c) xCDM egrave piugrave prossimo alla massa maggiore - Nel caso di piugrave punti allineati nelle posizioni xi detto M = summi allora

xCDM = ii xmMsum

1

- Nel caso di punti distribuiti nello spazio detti irrarr

i vettori che identificano le loro posizioni

CDMrrarr

= iii rmM

rarrsum

1

dove CDMrrarr

ha coordinate (xCDM yCDM zCDM) definite come

xCDM = ii xmsumη1

yCDM = ii ymMsum

1

zCDM = ii zmMsum

1

- Consideriamo un oggetto qualsiasi questo egrave composto da un gran numero di particelle ma conviene considerarlo come un continuo di materia e per calcolare il centro di massa si prendono in considerazione degli elementi infinitesimi di massa dm centrati intorno alle posizioni (xyz) allora

xCDM = int xdmM

1 yCDM = int ydm

M

1 zCDM = int zdm

M

1

se si puograve considerare il corpo omogeneo (densitagrave uniforme) allora V

M

dv

dm = e allora si puograve fare il

calcolo considerando il volume V e gli elementi di volume dv anzichegrave la massa e gli elementi di massa

xCDM = int xdvV

1 etc

In un oggetto solido (corpo rigido) i diversi punti materiali che lo compongono non cambiano la loro posizione relativa (non come un corpo elastico) - se un oggetto ha un elemento di simmetria un asse od un piano il CDM si trova su tale

elemento di simmetria (asse per cono centro per sfera piano per una banana etc) Non egrave detto che il CDM di un oggetto appartenga allrsquooggetto vedi uno pneumatico un cerchio Il CDM egrave esterno alloggetto Legge fondamentale della dinamica per un sistema di punti materiali Caso della palla da bigliardo urto fra due palle dopo il lancio di una le due si muovono 1) una egrave ferma (B) lrsquoaltra la lancio (A) 2) le due si urtano in qualunque modo 3) le due si muovono secondo traiettorie differenti una possibilmente andragrave in buca lrsquoaltra no Dopo il lancio sulla palla A non agisce piugrave nessuna forza quindi la sua velocitagrave v egrave costante Va bene ma dopo lrsquourto Il CDM delle due palle continua a muoversi con velocitagrave costante anche se il centro di massa egrave un punto teorico che non appartiene a nessuna delle due palle Tuttavia al CDM possiamo assegnare una massa (M totale del sistema) una velocitagrave ed una accellerazione Si ha

)(CDMext aMFrarrrarr

=sum

a) extFrarr

sum egrave la somma di tutte le forze esterne che agiscono sul sistema non quelle interne (ad esempio nel caso del bigliardo non devo considerare le forze che si applicano fra le due palle quando si urtano)

b) M egrave la massa totale del sistema Si suppone che durante il moto M rimanga costante

c) )(CDMararr

egrave lrsquoaccelerazione del CDM Dellrsquoaccellerazione di un altro punto ad esempio del centro della palla A non si dice nulla

Cosideriamo alcuni esempi 1) Bigliardo tvaF CDMCDMext cos00 ===sum prima dellrsquourto nellrsquourto si verificano solo forze

interne Quindi tvaF CDMCDMext cos00 ===sum dopo lrsquourto e durante tutto il moto

2) Sistema terra-luna sumFext = gravitazione del sole aCDM egrave ldquocentripetardquo accellerazione di una

forza che egrave diretta verso il sole (forza ldquocentralerdquo) egrave il CDM terra-luna che segue la traiettoria dovuta allrsquoattrazione gravitazionale del sole poi terra e luna si muovono intorno al loro CDM

3) Clavette lanciate sum Fext = Mg aCDM = g il centro di massa si comporta come un punto materiale nel lancio

4) La ballerina nel ldquogrand-fetegraverdquo fa seguire a testa e busto una traiettoria rettilinea percheacute modifica lrsquoassetto in modo da alzare il suo CDM Nel corso del salto (alza le braccia e distende

orizzontalmente le gambe non appena lasciato il suolo) il suo CDM segue la traiettoria parabolica del lancio di un corpo soggetto allrsquoaccelerazione di gravitagrave g

Quantitagrave di moto rarrP

- Si definisce quantitagrave di moto di una particella il vettore

rarrrarr= vmP

con m massa della particella e rarrv la sua velocitagrave

Si vede che rarrP egrave diretto come

rarrv

Newton scrisse la legge fondamentale della dinamica in termini di quantitagrave di moto (a differenza di Galileo che la scrisse in termini di massa e di accelerazione) ldquola rapiditagrave di variazione della quantitagrave di moto di una particella egrave proporzionale alla forza netta che agisce sulla particella ed egrave nella direzione di quella forzardquo cioegrave

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

che egrave piugrave generale della formulazione di Galileo perchegrave descrive bene anche il caso in cui variasse la massa del corpo durante il moto (ad esempio un vettore spaziale) Se la massa egrave costante le due formulazioni sono identiche

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

= t

vm

∆∆

rarr)(

= m t

v

∆∆

rarr

= m rarra

Ricordiamo che rarrF egrave diretto come

rarra (o la risultante

rarrR = sum

rarrF )

Per un sistema di punti materiali si definisce la quantitagrave di moto totale

rarrP =

rarrP 1 +

rarrP 2 + helliphellip+

rarrP n =

m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +helliphelliphellip+ mn

rarrv n = M

rarrv CDM (si puograve dimostrare) dove M egrave la massa totale

[essendo infatti Mrarrv CDM =

dt

d(M

rarrr CDM) =

dt

d(m1

rarrr 1 + m2

rarrr 2 +hellip) = m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +

hellip]

quindi rarrP = M

rarrv CDM per un sistema di particelle e

dt

Pdrarr

= M dt

d rarrv CDM = M

rarra CDM = sum

rarrF ext

Conservazione delle quantitagrave di moto

Per un sistema chiuso (M non varia) e isolato (sumrarrF ext = 0)

Allora

t

P

∆∆

rarr

= 0 rarrP = cost

rarrP i =

rarrP f

che sono tre modi equivalenti per dire che la quantitagrave di moto si conserva Vale per un sistema nel quale non agisca nessuna forza esterna netta Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica e la conservazione delle quantitagrave di moto sono due concetti fisici importantissimi Valgono sia per le palle da bigliardo che per qualunque altro sistema anche le galassie nellrsquouniverso Queste equazioni sono vettoriali Ciograve significa che rappresentano una terna di equazioni scalari ognuna valida sul proprio asse del sistema di riferimento (x y z)

Puograve accadere a seconda delle forze che agiscono nel sistema che la quantitagrave di moto si conservi in una direzione o in due e non in tutte e tre

Ad esempio se consideriamo una palla come un insieme di punti materiali la rarrF ext che agisce nel

sistema egrave mrarrg diretta lungo z senza componenti su x e y quindi

rarrP varia lungo z ma

non su x e y

Percheacute ldquocomplicarci la vitardquo con questa storia del CDM del sistema di particelle etchellip non bastava il moto del punto rappresentativo materiale Avevamo giagrave considerato il punto rappresentativo e avevamo svolto anche problemi sulla palla sul bilanciere e per altri oggetti Abbiamo sempre sbagliato La questione egrave se un corpo egrave rigido cioegrave se tutti i suoi punti si muovono mantenendo le loro distanze relative non crsquoegrave problema abbiamo solo visto che il punto materiale rappresentativo si chiama CDM ed abbiamo imparato a situarlo allrsquointerno del corpo Ma se il corpo non egrave rigido cioegrave se il suo CDM si sposta rispetto a lui stesso nel corso del moto la disposizione del corpo intorno al punto rappresentativo varia nel corso del tempo e le leggi di conservazione valgono per il CDM - Consideriamo ad esempio il teorema dellrsquoenergia cinetica che per un punto materiale si scrive Ltot = Kfin-K in = ∆ K (qui ovviamente non crsquoegrave da specificare lavoro delle forzeldquoesternerdquo percheacute essendo in un punto materiale che si assume infinitamente piccolo non ci sono forze ldquointernerdquo) Per analogia il teorema dellrsquoenergia cinetica si estende al caso di un insieme di punti materiali nel seguente modo

Ltot forze ext=rarrF extmiddot

rarrs CDM = ∆ KCDM

Dove s CDM egrave lo spostamento del centro di massa A titolo di esempio risolviamo il problema un giocatore di hockey su ghiaccio di massa M = 110Kg si muove verso la balaustra a bordo campo alla velocitagrave di 3msec Nellrsquoarrestarsi flettendo le braccia il suo CDM si sposta in avanti di 30cm Qual egrave la ∆ K del suo CDM durante la manovra

∆ KCDM = infin CDMCDM mvmv 22

2

1

2

1 minus =

= 0 - 2

1110 32 = -495 J

Fig 40

Sia L il lavoro delle forze esternerarrF ext (dirette come d

rarrx CDM ) allora

L = - Fext 03 = ∆ KCDM quindi

Fext =30

495

minusminus

= + 1650N

( si considera la forza esterna rarrF ext costante nellrsquointervallo dellrsquoarresto fatto che equivale a dire

che il giocatore si arresta con rarra CDM costante)

Dinamica e statica del corpo esteso Finora abbiamo sempre discusso del moto di un punto materiale (punto rappresentativo dicevamo sempre) In particolare abbiamo sempre applicato le forze a quel punto materiale quindi se diverse forze erano applicate esse concorrevano in quel punto ligrave e con le forze concorrenti sapevamo come calcolare la risultante con il metodo grafico o con quello numerico delle coordinate cartesiane Una volta calcolata la risultante applicata al punto si otteneva un moto di pura traslazione del punto (al massimo traslava lungo una traiettoria curva) senza rotazioni proprie del punto che non hanno neanche senso un punto che ruota su se stesso Come faccio ad accorgermi Un punto per definizione egrave infinitamente piccolo (Dicevamo infine che il punto egrave in equilibrio

traslazionale se la risultante rarrR delle forze applicate egrave nullo)

Consideriamo invece un corpo esteso Prima osservazione questo ha piugrave punti (direi infin ) a

cui la forza puograve essere applicata Prendiamo una racchetta da tennis ed una forza rarrF applicata il

moto che ne risulta dipende dal punto al quale viene applicata la forza rarrF

qui la racchetta trasla

Fig 41

stessa forza qui la racchetta ruota

Fig 42

Seconda osservazione Crsquoegrave un caso in cui le forze non possono essere fatte concorrere in un punto ed egrave quando sono parallele ed hanno rette di applicazione distinte Chiaramente non abbiamo mai dovuto considerare questo caso per il punto materiale percheacute per un punto non possono mai passare due rette parallele Ma per il corpo esteso So benissimo che se sono ferma con la macchina in

panne e la sto spingendo applicando una forza rarrF 1 sono contenta se qualcuno si affianca a me ed

esercitando una forza rarrF 2 lungo una direzione parallela a quella della mia mi aiuta a spingere In

particolare mi viene spontaneo dire che se F1 = F2 allora spingeremo con una forza doppia Ci saragrave quindi un modo per sommare due forze non concorrenti in un punto ma parallele e saragrave Ftot = F1+ F2 La retta di applicazione di Ftot divide il segmento congiungente i punti di applicazione di F1 ed F2 in due segmenti inversamente proporzionali allrsquointensitagrave delle forze F1 e F2 Terza osservazione se F1 = - F2 sono uguali in intensitagrave ma di verso opposto sempre lungo due rette di applicazione parallele passanti per un corpo esteso cosa succede La loro somma Ftot risultante saragrave 0 ma io so che il corpo non sta fermo sotto lrsquoazione di tali due forze ma ruoteragrave Concludo che le nozioni che ho acquisito finora vanno riviste ed ampliate o corrette o specificate per i corpi estesi ed inoltre che mi mancano totalmente i mezzi per descrivere le rotazioni dei corpi estesi Occorrono nuovi concetti nuove quantitagrave la forza non basta Prendo lrsquoesempio piugrave semplice dellrsquoaltalena con due bambini in due bracci uno piugrave leggero uno piugrave pesante

Fig 43 Qualitativamente so che percheacute lrsquoaltalena stia in equilibrio e non ruoti intorno al punto fisso non egrave necessario che i due bambini abbiano lo stesso peso (ugual massa) occorre che il bambino piugrave leggero sieda piugrave lontano rispetto al punto fisso (fulcro) La regola quantitativa dice che lrsquoaltalena egrave in equilibrio se il prodotto del peso per la distanza del fulcro egrave uguale PB dB = Pb

db Per generalizzare questa regola ai casi piugrave complessi occorre definire una nuova quantitagrave il momento di una forza Momento di una forza

Consideriamo una forza rarrF applicata ad un punto P ed un punto O Sia

rarrr

il vettore rarrOP allora il momento

rarrM di

rarrF rispetto ad O egrave

rarrM =

rarrr x

rarrF

e

|rarrr | middot |

rarrF | sin ϑ = |

rarrM |

Fig 44

oppure anche considerando la componente di rarrF perpendicolare ad

rarrr o di

rarrr

perpendicolare a rarrF r e rispetto a F

|rarrM | = |

rarrr | |

rarrF perp | |

rarrM | = |

rarrr perp| |

rarrF |

In generale si dice che il modulo del momento |rarrM | egrave il prodotto delle intensitagrave della forza per la

distanza dal punto della retta di applicazione della forza

Come vettore rarrM egrave perpendicolare al piano che contiene

rarrF ed

rarrr ed ha verso calcolato con la

regola della mano destra (con rarrr che si chiude su

rarrF )

La distanza rperp si chiama braccio della forza Si vede che il momento egrave nullo quando il braccio egrave nullo cioegrave quando il punto O si trova sulla retta di applicazione di F Il momento della forza peso P egrave nullo rispetto al baricentro che coincide con il centro di massa nel caso (praticamenteldquosemprerdquo) in cui il corpo non sia abbastanza esteso percheacute diversi punti del corpo risentano di una forza gravitazione differente Praticamente si deve parlare di galassie percheacute CDM e baricentro (BC) non coincidono Quindi la condizione del momento nullo della forza peso diventa un modo per definire il CDM come quel punto rispetto al quale la forza peso P ha momento nullo Per un corpo ldquoarticolatordquo estendiamo il concetto di forza normale come forza di contatto nellrsquoarticolazione utile cioegrave la forza che lrsquoarticolazione che si sta considerando esercita su quello che nellrsquoarticolazione si appoggia La forza peso P di un corpo esteso puograve immaginarsi applicata al CDM Principio di equilibrio di un corpo esteso

se su un corpo esteso agiscono solo rarr

Peso e rarr

Normale cioegrave se un corpo egrave appoggiato ad un piano orizzontale allora il corpo egrave in equilibrio se e solo se il baricentro si trova sopra la superficie di appoggio

Fig 45

Finchegrave il baricentro egrave sopra il tavolo il libro non cade percheacute rarrP applicata a CDM puograve essere

controbilanciata da rarrN Se CDM si sposta in fuori

rarrN rimane nel tavolo e crsquoegrave momento non nullo

non equilibrato da rarrP che continua ad essere applicato nel CDM

Il baricentro di una persona in posizione eretta si trova nellrsquoarea delimitata dei suoi piedi 3cm davanti allrsquoarticolazione della caviglia

Fig 46 Quando la persona si piega in avanti il baricentro esce dal corpo e per mantenere lrsquoequilibrio egrave necessario che le anche si spingono indietro percheacute il baricentro cade di nuovo in quella posizione Notiamo che anche in posizione eretta essendo la forza peso e la forza di contatto non allineate (quei 3cm) (forza di contatto sullrsquoarticolazione della caviglia che regge il peso) occorre un momento correttivo che impedisca la rotazione in avanti mantenuto dal tendine di Achille che si lega alla caviglia Altro esempio di spostamento del baricentro egrave lrsquoatleta che assume una posizione ad L chi regge il peso egrave lrsquoarticolazione della spalla quindi il CDM si sposta sotto la spalla (giagrave era uscita dal corpo per via delle gambe distese in avanti) Nel camminare il baricentro continua a muoversi da sopra un piede a sopra un altro (quello appoggiato ovviamente) Si osservi lrsquoondeggiamento Per assurdo lrsquoancheggiare delle indossatrici serve a mantenere il baricentro il piugrave possibile fermo rispetto alla direzione media del moto (porre un piede esattamente davanti allrsquoaltro) rendendo piugrave facile muoversi anche con tacchi altissimi Al contrario lrsquoequilibrista che cammina sui trampoli sta fermo il meno possibile percheacute egrave stando fermo che il piccolo spostamento che fa uscire il baricentro (ALTO) dalla superficie drsquoappoggio puograve verificarsi facilmente preferisce il ldquonon ndash equilibriordquo o lrsquo rdquoequilibrio dinamicordquo dellrsquoondeggiare continuamente fra due posizioni di equilibrio

Ricordiamo che un equilibrio egrave detto stabile se quando una perturbazione lo altera spontaneamente il sistema lo ripristina Viceversa un equilibrio egrave instabile se la piugrave piccola perturbazione lo distrugge Lrsquoequilibrio egrave molto stabile se il baricentro egrave basso ed il corpo ha una grande area drsquoappoggio la posizione accucciata del giocatore di football americano dagrave grande stabilitagrave Ancor piugrave grande stabilitagrave si ha se il baricentro (CDM) si trova al di sotto della superficie drsquoappoggio Ersquo come se si fosse ldquoappesirdquo anzicheacute ldquoappoggiatirdquo alla superficie drsquoappoggio Proprio per questo motivo lrsquoequilibrista sul filo porta una lunga asta che spesso si flette agli estremi

Fig 47 Gli uccelli bipedi da 100000000 di anni hanno sviluppato questo adattamento per cui sono appesi alle anche mentre gli uomini bipedi da solo 1000000 di anni fanno fatica con il CDM dalla parte alta del corpo Ersquo un equilibrio instabile ldquosoprardquo le anche che le reggono (65 del peso del corpo) Modificazioni strutturali per reggere la posizione eretta 1) Colonna vertebrale rastremata (piugrave tozza in basso che in alto percheacute piugrave in basso vuol dire una

maggior forza di contatto) 2) Muscoli estensori della schiena 3) Gambe ed anche ingrossate 4) Ginocchio che blocca la gamba estesa Ciononostante si ha spesso il mal di schiena Se una forza ha momento non nullo rispetto ad un punto allora il corpo puograve ruotare intorno a quel punto sotto lrsquoazione di quella forza ldquoDiciamo che se sostengo il corpo per quel punto il corpo puograve ruotare intorno a quel puntordquo (Prendo in mano un foglio di carta per un estremo per esempio) La presenza di un momento non nullo egrave dunque la condizione che genera rotazione e viceversa Lrsquoassenza di un momento risultante egrave la condizione che genera lrsquoequilibrio rotazionale di un corpo esteso Quindi la condizione di equilibrio per un corpo esteso egrave

1) rarrR = 0 risultante delle forze applicate = 0 (equilibrio traslazionale)

2) rarrM = 0 momento risultante = 0 (equilibrio rotazionale)

Supponiamo di avere un corpo esteso al quale siano applicate delle forze che diano luogo ad un momento non nullo allora il corpo ruota Per equilibrarlo dovrograve applicare un altro momento tale che la loro somma sia nulla Questo egrave il principio di funzionamento delle leve LEVE

Una leva egrave un corpo esteso al quale sono applicate delle forze con un momento risultante rarrR

allora per portare il corpo in equilibrio applico un momento correttivo rarrP in modo che il momento

totale sia nullo Si dice in genere potenza (P) e resistenza (R) di una leva Le leve sono macchine semplici Servono per applicare forze in punti scomodi o in direzioni particolari Il fulcro egrave il punto nel quale la leva egrave incernierata Si definisce il guadagno meccanico di una leva

GM =

)(

)(rarr

rarr

PF

RF

cioegrave il rapporto fra la forza che genera il momento resistente e quella che genera il momento agente A seconda che GM sia gt

lt 0 una leva si dice che egrave vantaggiosa o svantaggiosa ma solo per quel che riguarda le forze percheacute per quel che riguarda i lavori non si ha neacute vantaggio neacute svantaggio Il lavoro esercitato dalla forza che dagrave la ldquopotenzardquo e quello esercitato dalla forza che dagrave la ldquoresistenzardquo sono sempre uguali Infatti forze e spostamenti sono inversamente proporzionali Le leve si dicono di I II o III specie a seconda se il fulcro si trovi I) in mezzo fra R e P (leva indifferente GM dipende da caso a caso) II) dalla parte di R (leva vantaggiosa il braccio di R egrave sempre minore del braccio di P basta

quindi una P minore per equilibrare una R maggiore) III) dalla parte di P (leva svantaggiosa) Classici esempi dei tre tipi di leve sono i remi (I) lo schiaccianoci (II) e la pinzetta per francobolli (III) Tuttavia vediamo degli esempi meno classici ma attinenti al campo della biologia e della medicina Criterio generale egrave che le leve vantaggiose consentono di essere molto potenti ma con brevi spostamenti mentre viceversa quelle svantaggiose fanno perdere in potenza ma consentono grandi spostamenti saragrave difficile vedere un cavallo che con le lunghe zampe si scava la tana drsquoaltronde una talpa scava bene la tana ma ha movimenti molto meno ampi che non le consentono di correre veloce come un cavallo (compromesso fra forza e velocitagrave del movimento) Se contiamo tutti i movimenti di rotazione che il corpo puograve compiere capiamo che siamo pieni di leve di ogni tipo Sono classici a) il capo fulcro (articolazione occipito-atlantoide) Fig 48 muscoli della nuca (Potenza) peso del capo (Resistenza) b)

muscolo bicipide (Potenza)

Fig 49 Peso dellrsquoavambraccio (Resistenza) Fulcro (articolazione del gomito) Questa leva permette grandi spostamenti Si vede che la forza operata dal muscolo bicipite egrave massima quando lrsquoavambraccio egrave orizzontale (la distanza dal fulcro egrave massima) ed egrave minima quando lrsquoavambraccio egrave verticale( con la distanza dal fulcro nulla) Attenzione - la colonna vertebrale egrave costituita da 24 vertebre separate da dischi di liquido Quando una

persona si piega la schiena egrave una leva con GM molto piccolo Quindi un piegamento completo per raccogliere un oggetto anche leggero produce una forza molto intensa sul disco lombosacrale che separa lrsquoultima vertebra dellrsquoosso sacro Se indebolito questo disco puograve rompersi o deformarsi comprimendo i nervi vicini e causando grande dolore Vediamo un modello che rende conto come mai questa forza egrave cosigrave grande

Fig 50

I muscoli della schiena esercitano T Con un angolo α = 12deg quando la schiena egrave piegata a 90deg

Peso della parte superiore del corpo (circa il 65 del peso totale)

Fulcro lombosacrale (il fulcro produce R) Essendo α piccolo la retta di azione Τ passa vicino al fulcro e dunque la distanza r che costituisce il suo braccio egrave molto piccola Al contrario il peso egrave perpendicolare alla colonna e il suo punto di applicazione egrave molto piugrave distante dal fulcro Τ deve essere molto grande per equilibrare il momento di P Dunque se T egrave grande anche la sua componente orizzontale egrave grande e di conseguenza anche R che costituisce la reazione dellrsquoosso sacro deve avere componente orizzontale molto grande per equilibrare Τ (uguale ed opposta alla componente orizzontale di Τ ) Facendo i conti si ottengono numeri grandi per 75Kg di peso T ed R sono equivalenti al peso di una massa di 220Kg Senza sollevare pesi solo piegandosi Conviene piegare le ginocchia quando si sollevano pesi - Nel corpo egrave difficile che il peso cada sulla verticale dellrsquoarticolazione che lo sostiene egrave sempre

un porsquo spostato e crsquoegrave un tendine con un muscolo che compensa il momento del peso - La contrazione muscolare egrave una successione di brevi contrazioni delle fibre muscolari stimolate

da impulsi che provengono dal sistema nervoso Contrazioni sono molto ravvicinate e avvengono in tempi differenti nelle diverse parti del muscolo cosigrave che il risultato apparente egrave una lenta e progressiva contrazione Se la frequenza degli impulsi aumenta la tensione cresce finchegrave si raggiunge la tensione massima (ricordare la tensione di un cavo) Un ulteriore aumento della frequenza degli impulsi a questo punto non causa ulteriore aumento della tensione

La tensione massima egrave proporzionale allrsquoarea della sezione trasversa del muscolo nel suo punto piugrave largo La tensione massima dipende anche dalla lunghezza del muscolo che varia Si ottiene tensione massima quando il muscolo egrave solo di poco allungato rispetto alla sua lunghezza di riposo di riposo ed egrave circa 30-40 Ncm2 La tensione massima si riduce moltissimo se il muscolo egrave molto allungato o accorciato Dinamica Rotatoria Fino ad ora abbiamo studiato moti traslatori ma il moto di un corpo rigido egrave in generale roto-traslatorio Naturalmente dobbiamo ridurre il problema complesso ad uno piugrave semplice e per fare ciograve immaginiamo di posizionarci su un sistema di riferimento solidale al corpo rigido i moto immaginiamo cioegrave di ldquosedercirdquo sul corpo rigido In questo modo non saremo piugrave sensibili al moto traslatorio e guardando il corpo rigido osserveremo solo le sue rotazioni Trattiamo allora il moto generico scomponendo la parte traslatoria (giagrave discussa ) da quella rotatoria Se si trascura la parte traslatoria del moto di un corpo rigido quello che rimane da trattare egrave la sua rotazione Nel nostro corso consideriamo le rotazioni che avvengono su un piano le rotazioni nello spazio potranno essere trattate come composizione di rotazioni su un piano Per le rotazioni su un piano si identifica un asse di rotazione perpendicolare al piano di rotazione e passante per il centro di rotazione Le articolazioni del gomito e del ginocchio sono articolazioni libere di ruotare intorno ad un asse a differenza ad esempio di quella della spalla che puograve ruotare intorno a due assi Si definisce spostamento angolare la variazione di una posizione che egrave definita in modo completo da una misura di angolo Una rotazione di un intero corpo rigido egrave definita in modo completo da uno spostamento angolare θfin - θin= ∆θ e si misura in radianti

Fig 51 Dobbiamo definire anche un verso di rotazione θ si incrementa per rotazioni antiorarie positive le rotazioni in senso orario sono invece negative La velocitagrave angolare si definisce analogamente alla velocitagrave lineare come il rapporto tra lo spostamento angolare e il tempo t impiegato per eseguire tale rotazione

ωm = t∆

∆θ e si misura in rad s

θin

θfin ∆θ

R

S

Anche per w si definisce ωist = lim ∆trarr0 t∆

∆θ

Ancora lrsquoaccelerazione angolare si definisce αm = t∆

∆ω e αist = lim ∆trarr0

t∆∆ω

Anche la legge fondamentale della dinamica ha un analogo nel ambito dei moti rotatori Si stabilisce che se ad un corpo rigido egrave soggetto ad un momento torcente diverso da zero esso subisce unrsquoaccelerazione angolare ad esso proporzionale Nel caso delle rotazioni la resistenza al moto egrave espressa dal momento di inerzia I associato al corpo rigido che gioca il ruolo della massa nei moti traslatori La legge della dinamica delle rotazioni egrave M = I middotα

E sostituendo M = Imiddott∆

∆ω= Imiddot

tinfin

∆minusωω

Il momento di inerzia I di un corpo rigido dipende dalla disposizione della massa del corpo rispetto allrsquoasse di rotazione per una massa puntiforme m a distanza R dallrsquoasse di rotazione I= m R2 per un oggetto esteso sommerograve il momento drsquoinerzia delle sue parti I = Σi mi Ri

2 Se si definisce momento angolare L il prodotto del momento drsquoinerzia per la velocitagrave angolare

L=Iω la legge della dinamica diventa

M = t

LL infin

∆minus

Il momento angolare egrave la grandezza fisica che si conserva se non viene applicato momento torcente Tutti i gesti di volo salti lanci tuffihellip sono azioni nelle quali si conserva il momento angolare Infatti in volo agisce solo la forza di gravitagrave che essendo applicata al CDM non genera momento torcente Il corpo umano nei gesti di volo Il corpo umano non egrave rigido e pertanto in volo agendo con i muscoli possiamo cambiare la disposizione del nostro corpo intorno al centro di massa che in volo coincide col centro di rotazione In questo modo si ottiene una variazione del momento di inerzia I e di conseguenza la velocitagrave angolare deve compensare questa variazione in modo che si mantenga costante il momento angolare L (grandezza che si conserva in assenza di momento torcente) Ersquo questo il principio che spiega il realizzarsi delle trottole sul ghiaccio dei salti mortali tuffi con avvitamento e cosigrave via in posizione raccolta I diminuisce e ω aumenta Moto circolare e moto circolare uniforme Per utilizzare le relazioni della cinematica e della dinamica lineare che abbiamo studiato egrave interessante poter passare dalle variabili angolari alle variabili lineari velocitagrave e accelerazione delle

masse in moto rotatorio Se una massa si muove su una traiettoria curva la velocitagrave tangenziale vt diretta come la tangente alla traiettoria dipende dalla velocitagrave angolare ω ( ωm=ϑ t )e dal raggio di curvatura della traiettoria Se la traiettoria egrave una circonferenza di raggio R e se gli angoli sono espressi in radianti lrsquoarco percorso per uno spostamento angolare ϑ egrave S = ϑ sdotR e la velocitagrave lineare tangente vt = St= ϑ sdotRt risulta vt = ωsdotR Se la velocitagrave angolare ω egrave costante il moto egrave detto circolare uniforme La legge oraria egrave quella dei moti uniformi spostamenti angolari uguali in tempi uguali ϑ(t) = ω t Anche la velocitagrave tangente saragrave di intensitagrave costante se ω egrave costante (archi uguali per tempi uguali s(t) = vt (t) ) ma crsquoegrave una accelerazione normale infatti la velocitagrave anche se non cambia in modulo cambia continuamente di direzione Questa accelerazione si dice centripeta egrave diretta normalmente rispetto alla traiettoria verso il centro della circonferenza e vale in modulo

ac=R

v2

Fig 52 Essendo la velocitagrave tangente vt = ωR Lrsquo accelerazione centripeta si puograve scrivere

ac =R

v2

= ω2 R

Il tempo impiegato dal punto a muoversi sulla circonferenza egrave una costante (moto uniforme) T periodo in T viene percorso uno spazio 2π R

v = T

Rπ2

La frequenza f egrave invece il ndeg di giri al secondo

f =T

1

Se si prendono punti diversi sul raggio della circonferenza questi hanno la stessa velocitagrave angolare e velocitagrave tangenziali crescenti al crescere del raggio Esempio carosello dei pattinatori Esercizi

1- un velocista con una velocitagrave di 10 ms viaggia su una curva di raggio 25m ndash accelerazione

a = R

v2

= 25

100 = 4 ms2

2 ndash un velocista con v = 92 ms su una pista circolare con ac = 38 m s2 ndash Raggio della pista Tempo per percorrere un giro completo

a = R

v2

rArr R = a

v2

= 83

)29( 2

= 2227m

T =v

Rπ2 =

29

27222 lowastπ = 152 sec

Forza centripeta forza centrifuga Una forza centripeta egrave una forza di qualunque natura che trattiene un corpo in moto su una traiettoria curvilinea ad esempio circolare In assenza di tale forza il corpo proseguirebbe il suo moto lungo una traiettoria rettilinea Nel gesto del lancio del martello ad esempio il lanciatore che esercita sul peso in cima allrsquoattrezzo una forza mediata dalla tensione dal cavo che lo trattiene nella traiettoria circolare Quando il lanciatore lascia la maniglia il martello viene lanciato lungo la direzione della tangente alla traiettoria nellrsquoistante di rilascio Lrsquointensitagrave della forza centripeta necessaria a mantenere una massa m in moto con velocitagrave tangente v lungo una traiettoria circolare di raggio r si puograve calcolare a partire dallrsquoaccellerazione centripeta secondo la legge fondamentale della dinamica

|rarr

cF | = m | rarr

ca | = m r

v2

Tale forza egrave diretta come lrsquoaccelerazione centripeta e cioegrave verso il centro della circonferenza che costituisce la traiettoria La forza centripeta egrave dunque una forza reale Con lsquoforza centrifugarsquo invece non ci si riferisce ad un forza che agisce su un corpo ma alla situazione apparente cui sembra sottoposto un corpo in moto curvilineo Esso pare tirato o attirato lontano dal centro di rotazione pare ci sia una lsquoforzarsquo che vuole farlo sfuggire Quando viene lasciato il martello si allontana dal centro di rotazione percheacute si muove di moto rettilineo uniforme non essendo piugrave soggetto a forze altre che la forza peso Lrsquoacqua esce dal cestello della lavatrice quando il cestello ruota velocemente (funzione centrifuga) percheacute lrsquoacqua che non costituisce un corpo solo con il cestello bucato non egrave soggetta alla forza centripeta e puograve passare attraverso i buchi I panni invece pure non parte del cestello sono troppo grandi per passare dai buchi si possono solo schiacciare contro le pareti questo schiacciamento sembra il risultato di una forza ma egrave invece il risultato dellrsquoassenza di una forza quella centripeta Una volta lagrave contro il cestello fanno tuttrsquouno con le pareti di metallo che esercitano su di essi la forza centripeta (cioegrave con direzione verso lrsquoasse di rotazione) che li mantiene in rotazione Le parti di un corpo rigido esteso che si muove di moto rotatorio rispetto ad un asse quale ad esempio la gamba di un giocatore di calcio che calcia un pallone sono soggette alla forza centripeta che le mantiene sulla traiettoria curva Tale forza viene trasmessa alle varie parti tramite le forze di tensione che si sviluppano allrsquointerno del corpo stesso ad esempio il piede egrave soggetto alla forza centrifuga tramite lrsquoazione dei legamenti e tendini a livello della caviglia che vengono messi in tensione per trattenere il piede stesso

Cadendo da unrsquoaltezza L allrsquoistante in cui il piede tocca il suolo la velocitagrave Vs egrave data dalla risoluzione del sistema di equazioni cinematiche per il moto uniformemente accelerato con t0 il tempo di caduta Vs = gt0 L = frac12 gt0

2 Vs = (2gL) frac12 La forza di reazione che esercita il suolo sul piede durante il molleggio egrave quella che imprime lrsquoaccelerazione (negativa) a di frenata (piugrave il peso del corpo mg)Il corpo si ferma in un tratto l Questa frenata si tratta con le equazioni del moto uniformemente accelerato 0 = Vs ndash at l = Vs t ndash frac12 at2 (essendo t il tempo di frenata) dalla prima equazione t = Vs a che introdotto nella seconda equazione permette di calcolare a a = frac12 Vs

2l e con Vs = (2gL) frac12 si ottiene a = g (Ll) e quindi la forza di reazione Fr = mg + ma egrave data da Fr = mg (Ll + 1) = 70 x 98 x (202 + 1) N = 7546Newton Si noti che al peso si aggiunge una forza che egrave il peso moltiplicato per un fattore (ldquofattore di cadutardquo) dato dal rapporto tra lrsquoampiezza del salto e il tratto di molleggio Questa forza si trasmette dal piede allrsquoarticolazione delle ginocchia e cosigrave via Tensione

Quando una corda egrave attaccata ad un corpo e viene tirata si dice che la corda egrave sotto tensione

La tensione rarrT cui egrave sottoposta la corde in ogni sua parte egrave una forza pari alla forza che si applica

sia al corpo sia alla mano che lo tira ai due estremi della corda ed egrave sempre diretta lungo la corda Fig 19 Anche con una carrucola cioegrave con la corda che si curva intorno ad una rotella la tensione ha intensitagrave T lungo la corda Una corda egrave utile in questo caso per cambiare la direzione e il verso di applicazione di una forza la mano tira verso il basso ma la massa egrave sottoposta ad una forza verso lrsquoalto

Fig20 I tendini del corpo umano sono corde e vengono utilizzati anche per variare la direzione di applicazione delle forze esercitate dai muscoli Forza di attrito

Lrsquoattrito fa parte dellrsquoesperienza quotidiana nel bene e nel male Da una parte fa consumare piugrave benzina (20 per motore e trasmissione) ma anche la suola delle scarpe il battistrada delle gomme e i gomiti del maglione dallrsquoaltra consente il movimento i nodi tengono i chiodi fissano etc Un libro che scivola su un tavolo orizzontale si fermerebbe se non mantenessi una forza costante che contrasta lrsquoattrito su una superficie ruvida il movimento genera lui stesso una forza che decelera il moto Per mantenere in moto rettilineo uniforme un corpo che scivola sopra un piano bisogna applicare al corpo una forza che serva a neutralizzare questa forza ldquospontaneardquo(detta di attrito) in modo che la risultante delle forze applicate sia nulla Anche lrsquoinizio del moto egrave contrastato dalla forza di attrito (statico) che assume un valore uguale e contrario a quello della forza che applico fino a raggiungere un valore massimo (valore limite) Il corpo non si muove resiste al moto Oltre quel valore limite cioegrave se applico una forza sufficientemente intensa il corpo inizia a muoversi Situazione

Fig 21 Un blocco appoggiato sul piano orizzontale egrave fermo rarrP

verso il basso e rarr

NF verso lrsquoalto sono uguali in modulo

Se applico una forza rarrF per spostare il corpo verso destra insorge una forza di attrito statico

P

FN

il cui modulo vale |rarr

sattF _ | = smicro |

rarr

NF | ( smicro egrave il coefficiente di attrito statico il suo valore dipende

dalla natura dei materiali a contatto) esercitata orizzontalmente dal piano che uguaglia in

intensitagraverarrF ma di verso opposto in modo che il corpo non si muove Se aumento

rarrF aumenta

anche rarr

sattF _

Fig22 Diagramma delle forze applicate al blocco

Raggiunto un certo valore di rarrF il corpo ha uno ldquostrappordquo e comincia a muoversi nella direzione

di rarrF verso destra ostacolato dalla una forza di attrito dinamico

rarr

dattF _ generalmente inferiore al

valore max di rarr

sattF _ (egrave piugrave facile mantenere un corpo in moto che muoverlo da fermo)

(Il passaggio da un regime allrsquoaltro egrave allrsquoorigine degli stridii da attrito ndash quello ad esempio del gesso sulla lavagna - o anche del suono del violino) - Proprietagrave dellrsquoattrito riassunte

1 ndash Corpo fermo la forza di attrito statica rarr

sattF _e la componente di

rarrF parallela alla superficie

hanno uguale intensitagrave e si annullano 2 ndash limite di scivolamento la massima forza di attrito per due materiali posti a contatto egrave proporzionale alla forza normale tramite un coefficiente di attrito statico smicro

| rarr

sattF _(max)| = smicro |

rarr

NF |

smicro egrave un coefficiente adimensionale che assume valori diversi per diverse coppie di materiali

3 ndash il corpo inizia a muoversi il valore della forza di attrito decresce rapidamente fino a

|rarr

kattF _ | = kmicro |rarr

NF | proporzionale alla forza normale tramite un coefficiente di attrito dinamico kmicro

adimensionale e dipendente dalla coppia di materiali in considerazione

P

FN

F Fatt

Attenzione |rarr

sattF _| e

rarr

kattF _ | sono proporzionali non a |

rarrP | ma a |

rarr

NF | quindi nel caso di un

piano inclinato bisogna considerare la componente di rarrP perpendicolare al piano

rarr

NF equilibra

solo la parte di rarrP perpendicolare al piano

Attenzione le equazioni per |rarr

sattF _| e |

rarr

kattF _| non sono vettoriali le forze di attrito non sono

dirette come la forza normale rarr

NF ma parallele al piano

Durante una corsa allo scatto si usano i blocchi di partenza per sfruttare la reazione del blocco alla forza muscolare di spinta Data lrsquoinclinazione dei blocchi la forza di reazione del blocco sul atleta si massimizza nella direzione del moto

rArr si fa uso della ldquoazione-reazionerdquo Fig 23 Durante la corsa si sfrutta il coefficiente di attrito statico per mantenere un piede fermo a terra mentre lrsquoaltro avanza Per non superare il limite di scivolamento allrsquoindietro del piede di appoggio la forza che si esercita sul terreno deve avere una componente normale al terreno di intensitagrave opportunamente elevata In ogni caso se smicro egrave basso si ha lrsquoeffetto del camminare sul ghiaccio

Lrsquouso di scarpette chiodate non aumenta il valore di smicro che egrave il coefficiente drsquoattrito tra due

superfici ldquoliscerdquo piuttosto hanno una funzione simile a quella di mini blocchi di partenza permettono di esercitare una forza sul tartan lungo la direzione del moto cioegrave parallelamente alla pista Resistenza del mezzo Consideriamo un corpo che si muove in aria Esso incontra una resistenza da parte dellrsquoaria che agisce in modo da opporsi al movimento del corpo cioegrave ha la stessa direzione e verso opposto a quella del moto

rarrD forza di resistenza del mezzo o forza aerodinamica (detta anche forza viscosa) si

|rarrD | =

2

1 cρAv2 (limite di alte velocitagrave eo alte viscositagrave)

D egrave proporzionale al quadrato della velocitagrave (termine v2 ) Inoltre D egrave proporzionale ad A lrsquoarea efficace della sezione trasversa (lrsquoarea presentata dal corpo nella direzione del moto vedi la posizione a uovo dei discesisti di sci o dei ciclisti) ρ egrave la densitagrave del mezzo Ersquo intuitivo che la resistenza D dipenda dalla densitagrave del mezzo infatti il corpo per procedere deve ldquofarsi stradardquo spostando le molecole del mezzo Quindi piugrave il mezzo egrave rarefatto piugrave egrave facile ldquofarsi stradardquo e inferiore egrave la resistenza D Con c si indica il coefficiente di penetrazione (il cosiddetto cx che dipende dalla forma geometrica del corpo) La forma (oltre che

lrsquoarea efficace A) influenza la resistenza opposta dal mezzo percheacute una ottimizzazione della forma (affusolata migliorare il Cx) porta a ridurre la formazione di turbolenze nellrsquoaria intorno al corpo Casco dei ciclisti o discesisti con forma a punta posteriore

non riduce la sezione trasversa A ma piuttosto migliora il Cx

Fig 24 Nel nuoto lo sbattere i piedi serve soprattutto per mantenere il corpo orizzontale e quindi a ridurre la sezione A Il lavoro viene fatto per lo piugrave dalle braccia (75) In acqua anche se la velocitagrave v egrave bassa D egrave significativa percheacute la viscositagrave del mezzo egrave grande Per ridurre le turbolenze negli sport di velocitagrave diventa essenziale utilizzare accorgimenti quali nascondere dadi e cavi nelle biciclette togliere cerchietti delle racchette da sci Tagliare i capelli o rasarsi le gambe sono sempre modi di ridurre anche le piccole turbolenze Velocitagrave limite di caduta di un grave in aria

La forza rarrD di frenamento durante la caduta libera li un corpo in aria ha verso opposto a quello

della forza pesorarrP che accelera il corpo verso il basso Se

rarrP egrave costante il corpo accelera con

accelerazione rarrg ie aumenta la velocitagrave verso il basso ma aumentando v dunque v2 aumenta

D Ciograve prosegue fincheacute D diventa di intensitagrave uguale P con verso opposto rarrD = -

rarrP A questo

punto la risultante delle forze agenti sul corpo in caduta egrave nulla (sumrarrF =

rarrD + (-

rarrP ) e dalla

seconda legge (fondamentale) della dinamica si ha che lrsquoaccelerazione rarra del corpo egrave nulla

rArr Il corpo non accelera piugrave e mantiene velocitagrave costante massima La velocitagrave raggiunta detta velocitagrave limite vlim egrave tale da verificare lrsquouguaglianza

D = 2

1cρAv lim

2 = mg = P quindi rArr vlim = (2mg cρA) frac12

La vlim raggiunta dai paracadutisti puograve essere variata modificando A tramite dei cambiamenti dellrsquoassetto in volo Questo permette ai paracadutisti di raggiungersi per fare figure in aria Lrsquoapertura del paracadute fa aumentare di molto A rendendo la velocitagrave limite molto piugrave bassa Anche le gocce di pioggia raggiungono la velocitagrave limite (v asymp 7msec in 6m) nella loro caduta Ad esempio cadendo da 1200m le gocce di pioggia raggiungono la terra con la velocitagrave limite di circa 7msec e non con la velocitagrave di 150msec che avrebbero se non ci fosse lrsquoazione di frenamento D (dei veri proiettili)

Senza D rarr vfin = 150ms

Con D rarr vfin = vlim = 7ms Fig 25 Forza elastica La forza elastica egrave una forza non costante

L lunghezza di riposo della molla Fig 26 Una massa m egrave vincolata ad una parete con una molla Se tiro la massa la molla si estende diciamo di un tratto x La molla esercita una forza di richiamo proporzionale allrsquoallungamento x (piugrave si allunga maggiore egrave la forza F di richiamo) F = -kx ldquorichiamordquo cioegrave di verso opposto allrsquoallungamento Ecco la ragione del segno (-) Se raggiunta una certa estensione la molla viene rilasciata essa si ricomprimeragrave ritorneragrave alla lunghezza di riposo L poi si schiacceragrave di un tratto x dalla parte opposta e nuovamente agiragrave la forza di richiamo (che egrave variabile in quanto varia con il variare di x) La massa oscilla attorno alla posizione di riposo k egrave la costante elastica della molla Lrsquoespressione della forza elastica vale per i respingenti del treno (k grande) come per la molla della biro (k piccola) come per lrsquoelastico del saltatore dal ponte Impulso di una forza La legge fondamentale della dinamica F = ma puograve essere scritta esprimendo lrsquoaccelerazione con la sua relazione definitoria (vf - vi)t

F = mt

vv if minus e quindi portando il tempo t al primo membro

)( if vvmtF minussdot=sdot oppure vmtF ∆sdot=sdot

Si dice ldquoimpulso ldquo di una forza il prodotto della forza per il tempo durante il quale viene applicata tF sdot (se la forza non egrave costante lrsquoimpulso egrave lrsquointegrale della forza nel tempo in cui viene applicata)

Scritta in questo modo lrsquoequazione fondamentale della dinamica puograve essere letta cosigrave 1) Supponiamo che un corpo vari la sua velocitagrave di una quantitagrave ∆v = vf - vi tanto piugrave lungo egrave il tempo t durante il quale questa variazione avviene tanto minore egrave la forza che deve essere sviluppata per ottenere tale variazione della velocitagrave In questi termini si capisce ad esempio lrsquoutilitagrave delle cinture di sicurezza che allungando i tempi durante i quali in caso drsquoincidente la velocitagrave del passeggero (che non egrave solidale con la vettura) passa da un valore vi iniziale a zero determina una riduzione della la forza cui il passeggero stesso egrave sottoposto durante il breve tempo dellrsquoimpatto (la forza che le ossa e le articolazioni possono sopportare egrave limitata) Si vede anche come funziona lrsquoelastico del jumper finchegrave lrsquoelastico non egrave completamente svolto (ltL) la forza che agisce sul jumper egrave P (la forza peso) poi progressivamente la forza elastica di richiamo contrasta P quindi il jumper decelera progressivamente per un lungo intervallo di tempo e lo lsquostrapporsquo (F applicata) necessario per contrastare P e fermare il jumper applicato sulle sue gambe e a cascata su tutte le sue articolazioni (secondo il terzo principio) egrave di entitagrave minore 2)Lrsquoimpulso totale prodotto tF sdot nella direzione ottimale egrave la grandezza fisica che stabilisce lrsquoefficacia di un gesto di spinta o di lancio non la massima forza espressa o la durata dellrsquoazione di spinta Lavoro di una forza ndash lavoro meccanico

- 1deg caso Forza costante rarrF

Immaginiamo una forza rarrF che agisce su un corpo durante il suo spostamento Immaginiamo cosi

che il punto di applicazione di questa forza si sposti nello spazio di un tratto rarrs Viene detto

lavoro della forza rarrF la quantitagrave

L = rarrF middot

rarrs = F middot smiddot cosϑ (prodotto scalare di

rarrF per

rarrs )

(prodotto scalare tra i due vettori) Fig 27 Il lavoro egrave una quantitagrave scalare cioegrave egrave descritta completamente da un numero da un valore Tale

valore puograve essere positivo o negativo a seconda che la componente di rarrF lungo

rarrs sia equiversa o

di verso opposto a rarrs Se

rarrF e

rarrs hanno la stessa direzione e se lo spostamento avviene nel

senso di rarrF diciamo che il lavoro egrave positivo (e viceversa negativo) Lrsquointensitagrave del lavoro puograve

variare tra un valore massimo e uno minimo per gli stessi valori del modulo di rarrs e di

rarrF a

rarrs

seconda del valore di cosϑ Il lavoro egrave massimo per cosϑ = 1 (cioegrave per ϑ = 0) (rarrF diretto come

rarrs ) Il lavoro egrave minimo ( L = 0) per cosϑ = 0 cioegrave per ϑ = 90deg (

rarrF perpendicolare a

rarrs )

Puograve darsi il caso che piugrave forze agiscono sullo stesso punto Allora si puograve calcolare il lavoro totale egrave la somma dei lavori di tutte le forze applicate

Ltot = sum Li = sum (rarr

sdotiFrarrs )

Dimensioni di L [ L ]= [ F ][ s ] = mmiddot l middot t-2 middot l = ml2 t-2 Unitagrave di misura di L 1 joule = 1N middot 1m ( 1J ) Lavoro della forza peso durante la caduta di un grave Un grave cade vicino alla superficie della terra sotto lrsquoazione della forza di gravitagrave cioegrave sottoposto ala forza peso P diretta verso il basso percorrendo un dislivello h Il lavoro compiuto dalla forza peso si calcola come

LP = rarrP middot

rarrs = Pmiddot smiddot cosϑ

notando che lo spostamento s (verso il basso) e la forza P sono paralleli con verso concorde pertanto ϑ = 0 e cosϑ = 1 e che | P| = mmiddot g si ottiene LP = mmiddot gmiddot h per uno spostamento s = h (dislivello) Lavoro meccanico nel sollevamento pesi Durante questo gesto sul bilanciere oggetto dellrsquoapplicazione delle forze si esercitano la forza peso P e la forza muscolare dellrsquoatleta Naturalmente entrambe le forze lavorano ma i due lavori si oppongono uno allrsquoaltro (ricorda che il lavoro puograve essere positivo o negativo) Il lavoro positivo deve essere nel verso del moto quindi egrave quello della forza muscolare dellrsquoatleta il lavoro di P invece egrave negativo e se il bilanciere si alza di una quota h si calcola facilmente seguendo il procedimento del paragrafo precedente ottenendo LP = - mmiddotgmiddoth (ϑ = π e cosϑ = -1 ) Calcoliamo il lavoro della forza musculare seguendo lrsquoesempio qui proposto Esempio Un atleta solleva un bilanciere di peso 2500N allrsquoaltezza di 2m (sopra la sua testa) Quanto lavoro meccanico compie la sua forza muscolare Supponiamo che il sollevamento avvenga a velocitagrave costante con accelerazione nulla allora il per il

primo principio della dinamica le forze applicate al bilanciere devono essere tali chesumrarr

iF = 0

Quindi la forza peso P = mmiddot g deve essere controbilanciata dalla forza applicata dallrsquoatleta Fm

Quindi rarr

mF = - rarrP

con Fm = 2500N Il lavoro La fatto dallrsquoatleta vale

Lm = rarr

mF middot rarrs = 2500 N middot 2m middot 1 = 5000 J (sollevamento verticale quindi ϑ = 0 e cosϑ = 1)

Quanto lavoro fa la forza peso

Lp = rarrP middot

rarrs = 2500 middot 2 middot (-1) = -5000 J

(percheacute ϑ = π e cosϑ = -1) Quanto lavoro fa lrsquoatleta mentre sostiene il peso fermo sopra la testa L = 0 percheacute non crsquoegrave spostamento Qui si parla di lavoro meccanico non di lavoro fisiologico diciamo che si fa fatica percheacute crsquoegrave da mantenere integrordquo un corpo non rigido che egrave il corpo dellrsquoatleta quindi si il lavoro delle contrazioni muscolari per mantenere lrsquoequilibrio e ldquolrsquointegritagraverdquo egrave la misura del lavoro fisiologico necessario anche se il lavoro meccanico compiuto egrave nullo 2deg caso Forza variabile Nel caso in cui F egrave una forza variabile che dipende dalla posizione ogni volta che avviene uno spostamento∆ x la forza cambia Il lavoro totale saragrave la somma dei lavori elementari fatti sui tratti piccoli sui quali la forza puograve essere assunta costante

Ltot = iii xxF ∆sdotsum )(

( Se si fa il limite per ∆ xi piccolo rarr 0 e la isum egrave lrsquointegrale Ltot = int sdotxtin

xinxdxF )( )

Ad esempio la forza F puograve essere la forza di richiamo di una molla vincolata al muro Lrsquointensitagrave della forza elastica varia durante lo spostamento aumentando con lrsquoallungamento (o la compressione) della molla ed ha la direzione parallela allo spostamento ma puograve avere verso concorde o discorde quindi con cosϑ che vale o +1 o ndash1 Immaginiamo di avere un blocco attaccato alla molla e di tirarlo da Xin a Xfin allora

F(x) = - kx Fig 28

Il lavoro della forza elastica si calcola sommando i lavori infinitesimali compiuti per spostamenti infinitesimi durante i quali la forza si assume costante Ciograve egrave rappresentato graficamente nel calcolo lrsquoarea compresa al di sotto della curva del grafico di F (Fig 28A) In figura si egrave cambiato il segno della funzione forza per comoditagrave di rappresentazione

Fig 28A

Area = differenza aree dei due triangoli = AABB kxxkxx sdotminussdot2

1

2

1

Ricordandoci del segno

L infin = 22

2

1

2

1infin kxkx +minus e in generale L = 2

2

1kx

Se si calcola il lavoro della forza di richiamo durante un allungamento della molla si ha lavoro negativo mentre durante il ritorno alla posizione di equilibrio il lavoro egrave positivo (segno dello spostamento x e della forza concordi) Energia cinetica Il termine ldquoenergiardquo indica la capacitagrave di compiere lavoro Lrsquoenergia cinetica egrave la proprietagrave che rende conto quantitativamente del legame fra il lavoro compiuto ed il moto generato Avevamo detto piugrave o meno lo stesso parlando della seconda legge della dinamica riferendoci alle forze Qui col lavoro non egrave necessaria la descrizione dettagliata delle forze che agiscono sul punto in considerazione Ersquo sufficiente conoscere il loro lavoro totale

Lrsquoenergia cinetica K = 2

1mv2 (gt 0 percheacute m gt 0 v2 gt 0 ) (m e v sono la massa e la velocitagrave del

corpo) Lrsquounitagrave di misura e le dimensioni di K sono le stesse del lavoro Joule ( J ) e [ ]K = [ ]22 minustml

Teorema dellrsquoenergia cinetica Se una forza F compie un lavoro L su un punto materiale di massa m si ha una variazione dellrsquoenergia cinetica pari al lavoro compiuto

Xfin Xin

F

0

ksdotxfin

ksdotxin

F= ksdotx

x

LAB= -area

L = Kfin ndash Kin = ∆ K Nel caso che piugrave forze agiscono sul punto materiale il teorema dellrsquoenergia cinetica si applica al lavoro totale (equivalentemente al lavoro della risultante ) E il caso dellrsquoatleta che solleva il peso di 2500N Sappiamo che ha compiuto un lavoro di 5000J ma il bilanciare con i pesi era fermo allrsquoinizio ed egrave fermo alla fine Quindi Kin = 0 e Kfin = 0 percheacute vin = 0 e vfin = 0 Allora il teorema dellrsquoenergia cinetica Vale per il lavoro totale o lavoro della forza totale e noi abbiamo visto che la forza netta totale = 0 ( Fa + P = 0 ) ed il lavoro totale egrave nullo quindi giustamente si ha ∆ K = 0 1)Caso di una palla da tennis che cade

la forza peso rarrP compie un lavoro positivo con spostamento concorde a

rarrP si dovrebbe avere

∆ K gt 0 infatti la velocitagrave v aumenta 2)Caso di una palla lanciata verso lrsquoalto

lo spostamento ha verso opposto a rarrP Il lavoro della forza peso egrave negativo e quindi ∆ K egrave

negativo giusto La velocitagrave diminuisce NB Durante il volo agisce solo la forza di gravitagrave quindi il lavoro totale comiuto sul corpo egrave solo quello della gravitagrave 3)Caso del moto circolare uniforme la forza che agisce egrave la forza centripeta che egrave perpendicolare allo spostamento Quindi non compie lavoro deve essere ∆ K = 0 Iinfatti il moto egrave uniforme cioegrave la velocitagrave egrave in modulo costante Potenza Si chiama potenza il lavoro che si egrave in grado di svolgere nellrsquounitagrave di tempo

P = t

L

∆ ( potenza media )

P = t

Lt ∆

∆rarr∆ 0lim ( potenza istantanea)

Non egrave solo una stima del lavoro compiuto ma anche della rapiditagrave con cui si compie lavoro

Fig 29 Per superare il muro ci vuole un certo lavoro che consiste nellrsquoinnalzare il proprio corpo di unrsquoaltezza h Sia lrsquoatleta che lo supera in un sol balzo sia il vecchietto che sale pian piano la scalinata faranno lo stesso lavoro Quel che egrave diverso egrave la potenza dei due personaggi Dimensioni e unitagrave di misura della potenza [ ]P = [L] [t -1] = [ml2t-3] 1 watt = 1 joule 1sec (1w)

Energia Potenziale K egrave energia connessa allo stato di moto di un sistema Crsquoegrave anche energia connessa alla posizione di un corpo in un campo di forze (configurazione) Si chiama energia potenziale Nel caso dellrsquoatleta di sollevamento pesi il lavoro compiuto dallrsquoatleta Lm non ha alterato lrsquoenergia cinetica K dellrsquoattrezzo ma ha modificato la configurazione del sistema (terra-attrezzo) variandone lrsquoenergia potenziale (W) Il lavoro non egrave stato sprecato ma ldquoimmagazzinatordquo lrsquoattrezzo prima egrave a terra poi egrave in alto nel sistema che ora ldquopotenzialmenterdquo puograve compiere un lavoro cedendo la sua ldquoenergia potenzialerdquo Energia cinetica ed energia potenziale sono due parti dellrsquoenergia meccanica possono trasformarsi lrsquouna nellrsquoaltra ed in lavoro Nellrsquoesempio precedente quando lrsquoattrezzo egrave in alto si ha che K = 0 e W = WA Quando cade K aumenta percheacute la velocitagrave v aumenta e lrsquoenergia potenziale W diminuisce In basso W = WB lt WA e K egrave massima Lrsquoattrezzo cadendo puograve compiere lavoro Se fosse un martello potrebbe far avanzare un chiodo ad esempio Lrsquoenergia potenziale viene definita proprio a partire dal concetto di lavoro di forze conservative Ersquo conservativa una forza il cui lavoro per spostare il suo punto di applicazione da una posizione (configurazione) ad unrsquoaltra dipende solo dalle due posizioni (configurazioni) iniziale e finale Equivalentemente si puograve definire la forza conservativa dicendo che il lavoro di tale forza egrave nullo se le posizioni (configurazioni) iniziali e finali coincidono

-Lavoro per passaggio dalla posizione A a B egrave lo stesso lungo I o II -Se da A vado a B e torno in A il lavoro totale egrave nullo

Fig 30 Posso allora definire una funzione della posizione W che assume i valori WA e WB in A e B e tale per cui LAB = WA ndash WB ( W energia potenziale) WA WB sono definiti a meno di una costante tanto quello che interessa egrave la differenza fra loro Variazione di energia potenziale del passaggio da A a B WB ndash WA = ∆W allora LAB = -∆ W Con questa convenzione sui segni si rende conto del fatto che un lavoro positivo ( fatto dalle forze conservative sul corpo) fa diminuire lrsquoenergia potenziale W ( L positivorarr ∆W negativo rarr WBlt WA rarr ho usato energia potenziale) un lavoro negativo (subito) aumenta W (L negativo rarr ∆W positivo rarr WBgt WA rarr ho guadagnato energia potenziale) W si misura in Joule come il lavoro e lrsquoenergia cinetica

Qual egrave la Forma di W

Mentre la forma dellrsquoenergia cinetica egrave sempre K =2

1mv2 indipendentemente dal tipo di forze

che provocano il movimento W dipende dal tipo di forza conservativa di cui si sta calcolando il lavoro Consideriamo due forze conservative

a) Forza gravitazionale forza peso

F(y) = -mg Stato di riferimento y0 = 0 in cui W0 = 0

Fig31

Abbiamo detto che LAB = WA- WB ma siccome

LAB = )( ABhmgsP minussdotminus=sdot dove hAB= yA-yB egrave la distanza tra A e B allora rArr WA = mgyA WB = mgyB e in generale W(y) =mgy

Per la forza peso W(y) =mgy e lrsquoenergia totale meccanica (W+K) = mgy+2

1mv2=Etot

b) Forza elastica

Fig 32

F(x) = -kx Stato di riferimento x = 0 allungamento nullo la lunghezza della molla egrave la sua lunghezza di riposo L ( W(0) = 0)

Immaginiamo che la configurazione della molla venga modificata passando dalla posizione xA alla posizione xB (Fig 32) Il lavoro della forza elastica egrave calcolato come

LAB = 22

2

1

2

1AB kxkx +minus

Ricordando che LAB = WA- WB possiamo ricavare lrsquoespressione per lrsquoenergia potenziale elastica

rArr WA = 2

2

1Akx WB = 2

2

1Bkx e in generale W(x) = 2

2

1kx

Energia totale meccanica ndash Conservazione dellrsquoenergia

In presenza di sole forze conservative la somma dellrsquoenergia cinetica e dellrsquoenergia potenziale costituisce lrsquoenergia totale meccanica Tale energia meccanica gode della proprietagrave importantissima di conservarsi durante lrsquoevoluzione del sistema Lrsquoenergia connessa al movimento e alla posizione si scambiano una diminuisce e lrsquoaltra cresce ad esempio ma la loro somma rimane costante

- Esempio delle montagne russe Se non ci sono attriti (infatti il trucco egrave quello di rendere il

sistema privo di attriti) so giagrave quale altezza massima potrograve raggiungere (quella iniziale e non di piugrave) quale velocitagrave massima potrograve raggiungere (in fondo alla valle) Queste quantitagrave sono fra loro legate dal teorema della conservazione dellrsquo energia meccanica

Fig 33 - Esempio del salto con lrsquoasta Lrsquoenergia cinetica dellrsquoatleta acquisita nella rincorsa viene

trasformata in energia potenziale gravitazionale parte direttamente e parte attraverso lrsquoenergia potenziale elastica dellrsquoasta acquisita nella sua deformazione durante il salto La flessibilitagrave dellrsquoasta (costante elastica dellrsquoasta) egrave legata allrsquoenergia che si puograve immagazzinare in una data deformazione Infatti con aste rigide (alluminio acciaio bambugrave) il salto era piugrave basso Con fibra di vetro il record egrave stato polverizzato

Fig 34

Fig 35

Fig 36

Osserviamo che il teorema dellrsquoenergia cinetica ha validitagrave generale qualunque siano le forze che agiscono conservative o non conservative (le forze non conservative si dicono anche ldquodissipativerdquo)

KLL

KL

fncfc

tot

∆=+∆=

e ricordando che darr Lfc = - )( fcW∆

Si ottiene che K∆ + )( fcW∆ = Lfnc

Si vede che nel caso in cui Lfnc sia nullo cioegrave quando non ci sono forze dissipative la somma delle variazioni di energia cinetica e energia potenziale egrave uguale a zero cioegrave lrsquoenergia totale meccanica (somma dellrsquoenergia cinetica e potenziale) egrave costante E questo corrisponde al teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica Nel caso ci siano forze dissipative la somma delle energie non egrave costante quindi al contrario del teorema dellrsquoenergia cinetica il teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica non ha validitagrave generale (vale solo in assenza di attriti ad esempio) Le forze non conservative di attrito compiono lavori solo negativi e fanno perdere quantitagrave di energia non recuperabile Parte di questa energia va in generale in calore quindi se ne puograve tenere conto considerando unrsquoaltra forma di energia lrsquoenergia termica ( ci sono anche altri fenomeni dissipativi ad esempio le deformazioni permanenti negli urti o la propagazione di onde sonore)

Lrsquo energia puograve dunque conservarsi o trasferirsi proprietagrave caratterizzanti dellrsquoenergia Il lavoro rende conto del trasferimento di energia della perdita di energia sotto una forma e del guadagno sotto unrsquoaltra forma (cioegrave energia conservativa) o del passaggio dellrsquoenergia da un sistema ad un altro Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica quando egrave applicabile puograve essere sfruttato per risolvere facilmente problemi altrimenti complicati Esercizio Una palla da tennis viene lanciata con velocitagrave iniziale v0 (senza effetti strani taglio etc) al di lagrave della rete Con quale velocitagrave arriva a terra

Se durante il moto Etot si conserva K+W = cost

Fig 37 e W = mgh egrave solo energia potenziale gravitazionale h = 0 alla fine come allrsquoinizio dunque K in = Kfin e vfin = v0 Se la palla egrave lanciata verso lrsquoalto non crsquoegrave componente orizzontale della velocitagrave ma solo verticale al punto piugrave alto di arresto h K(h) = 0 W(h) = max = Kin cioegrave mgh = frac12 mv0

2 si puograve cosigrave calcolare facilmente lrsquoaltezza massima raggiunta h = (frac12 v0

2)g e vicenversa si puograve calcolare il valore della velocitagrave v0 che bisogna imprimere alla palla affinchegrave raggiunga lrsquoaltezza h

v0 = gh2

Esercizio Una saltatrice di massa M = 61Kg salta da un ponte di altezza H = 45m agganciata ad una corda elastica La lunghezza di riposo della corda elastica egrave L = 25m e la sua costante elastica egrave k = 160 Nm Nel punto piugrave basso si arresta prima di venire rimbalzata in alto Qualrsquo egrave lquesta quota piugrave bassa h (a cui si trovano i suoi piedi ai quali egrave legato lrsquoelastico)

Fig 38 Etot = Wgrav + Wel + K = cost sono solo forze conservative vale la conservazione

dellrsquoenergia Nel punto A K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di lanciarsi Wel = 0 percheacute lrsquoelastico non egrave ancora svolto Wgrav = MgH Nel punto B K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di rimbalzare

Wel = frac12 kd2 Wgrav = Mgh = Mg(H-(L+d)) Etot(A) = Etot (B) MgH + 0 + 0 = Mg (H-(L+d)) + frac12 kd2 + 0 MgH = MgH ndash MgL ndash Mgd +frac12 kd2

2

1(160)d2 ndash (61)(98)d ndash (61)(98)(25) = 0

equazione di IIdeg grado che dagrave per d il valore accettabile d = 179m (lrsquoaltro egrave negativo e non egrave accettabile perchegrave non ha senso fisico la

saltatrice va in giugrave non in su) Allora h = H-(L+d) = 45 ndash (25+179) = 45 ndash 429 = 21m quindi con la testa poco sopra lrsquoacqua Sistemi di punti materiali e corpi rigidi ndash Centro di Massa

Un giocoliere o un ginnasta che lancia la clavette fa compiere allrsquoattrezzo movimenti complicati tuttavia crsquoegrave un punto dellrsquoattrezzo che si muove seguendo una traiettoria semplice come quella di un punto materiale ad esempio lanciato segue una traiettoria parabolica Tale punto si chiama centro di massa dellrsquooggetto Il centro di massa puograve essere definito per un oggetto o per un insieme di punti materiali Ersquo importante percheacute in generale il moto di un corpo esteso (o di un insieme di punti) si puograve studiare separando il moto del centro di massa (moto traslatorio) e il moto del corpo attorno al centro di massa (moto rotatorio)

Centro di Massa (CDM) di un sistema di punti - Consideriamo il caso semplice di due punti materiali di massa m1 m2 posti sullrsquoasse x in

posizione x1 x2

Fig 39

la posizione del centro di massa egrave definita xCDM = 21

2211

mm

xmxm

++

a) xCDM egrave compreso fra x1 e x2 b) se m1 = m2 CDM egrave a metagrave strada fra m1 ed m2 c) xCDM egrave piugrave prossimo alla massa maggiore - Nel caso di piugrave punti allineati nelle posizioni xi detto M = summi allora

xCDM = ii xmMsum

1

- Nel caso di punti distribuiti nello spazio detti irrarr

i vettori che identificano le loro posizioni

CDMrrarr

= iii rmM

rarrsum

1

dove CDMrrarr

ha coordinate (xCDM yCDM zCDM) definite come

xCDM = ii xmsumη1

yCDM = ii ymMsum

1

zCDM = ii zmMsum

1

- Consideriamo un oggetto qualsiasi questo egrave composto da un gran numero di particelle ma conviene considerarlo come un continuo di materia e per calcolare il centro di massa si prendono in considerazione degli elementi infinitesimi di massa dm centrati intorno alle posizioni (xyz) allora

xCDM = int xdmM

1 yCDM = int ydm

M

1 zCDM = int zdm

M

1

se si puograve considerare il corpo omogeneo (densitagrave uniforme) allora V

M

dv

dm = e allora si puograve fare il

calcolo considerando il volume V e gli elementi di volume dv anzichegrave la massa e gli elementi di massa

xCDM = int xdvV

1 etc

In un oggetto solido (corpo rigido) i diversi punti materiali che lo compongono non cambiano la loro posizione relativa (non come un corpo elastico) - se un oggetto ha un elemento di simmetria un asse od un piano il CDM si trova su tale

elemento di simmetria (asse per cono centro per sfera piano per una banana etc) Non egrave detto che il CDM di un oggetto appartenga allrsquooggetto vedi uno pneumatico un cerchio Il CDM egrave esterno alloggetto Legge fondamentale della dinamica per un sistema di punti materiali Caso della palla da bigliardo urto fra due palle dopo il lancio di una le due si muovono 1) una egrave ferma (B) lrsquoaltra la lancio (A) 2) le due si urtano in qualunque modo 3) le due si muovono secondo traiettorie differenti una possibilmente andragrave in buca lrsquoaltra no Dopo il lancio sulla palla A non agisce piugrave nessuna forza quindi la sua velocitagrave v egrave costante Va bene ma dopo lrsquourto Il CDM delle due palle continua a muoversi con velocitagrave costante anche se il centro di massa egrave un punto teorico che non appartiene a nessuna delle due palle Tuttavia al CDM possiamo assegnare una massa (M totale del sistema) una velocitagrave ed una accellerazione Si ha

)(CDMext aMFrarrrarr

=sum

a) extFrarr

sum egrave la somma di tutte le forze esterne che agiscono sul sistema non quelle interne (ad esempio nel caso del bigliardo non devo considerare le forze che si applicano fra le due palle quando si urtano)

b) M egrave la massa totale del sistema Si suppone che durante il moto M rimanga costante

c) )(CDMararr

egrave lrsquoaccelerazione del CDM Dellrsquoaccellerazione di un altro punto ad esempio del centro della palla A non si dice nulla

Cosideriamo alcuni esempi 1) Bigliardo tvaF CDMCDMext cos00 ===sum prima dellrsquourto nellrsquourto si verificano solo forze

interne Quindi tvaF CDMCDMext cos00 ===sum dopo lrsquourto e durante tutto il moto

2) Sistema terra-luna sumFext = gravitazione del sole aCDM egrave ldquocentripetardquo accellerazione di una

forza che egrave diretta verso il sole (forza ldquocentralerdquo) egrave il CDM terra-luna che segue la traiettoria dovuta allrsquoattrazione gravitazionale del sole poi terra e luna si muovono intorno al loro CDM

3) Clavette lanciate sum Fext = Mg aCDM = g il centro di massa si comporta come un punto materiale nel lancio

4) La ballerina nel ldquogrand-fetegraverdquo fa seguire a testa e busto una traiettoria rettilinea percheacute modifica lrsquoassetto in modo da alzare il suo CDM Nel corso del salto (alza le braccia e distende

orizzontalmente le gambe non appena lasciato il suolo) il suo CDM segue la traiettoria parabolica del lancio di un corpo soggetto allrsquoaccelerazione di gravitagrave g

Quantitagrave di moto rarrP

- Si definisce quantitagrave di moto di una particella il vettore

rarrrarr= vmP

con m massa della particella e rarrv la sua velocitagrave

Si vede che rarrP egrave diretto come

rarrv

Newton scrisse la legge fondamentale della dinamica in termini di quantitagrave di moto (a differenza di Galileo che la scrisse in termini di massa e di accelerazione) ldquola rapiditagrave di variazione della quantitagrave di moto di una particella egrave proporzionale alla forza netta che agisce sulla particella ed egrave nella direzione di quella forzardquo cioegrave

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

che egrave piugrave generale della formulazione di Galileo perchegrave descrive bene anche il caso in cui variasse la massa del corpo durante il moto (ad esempio un vettore spaziale) Se la massa egrave costante le due formulazioni sono identiche

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

= t

vm

∆∆

rarr)(

= m t

v

∆∆

rarr

= m rarra

Ricordiamo che rarrF egrave diretto come

rarra (o la risultante

rarrR = sum

rarrF )

Per un sistema di punti materiali si definisce la quantitagrave di moto totale

rarrP =

rarrP 1 +

rarrP 2 + helliphellip+

rarrP n =

m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +helliphelliphellip+ mn

rarrv n = M

rarrv CDM (si puograve dimostrare) dove M egrave la massa totale

[essendo infatti Mrarrv CDM =

dt

d(M

rarrr CDM) =

dt

d(m1

rarrr 1 + m2

rarrr 2 +hellip) = m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +

hellip]

quindi rarrP = M

rarrv CDM per un sistema di particelle e

dt

Pdrarr

= M dt

d rarrv CDM = M

rarra CDM = sum

rarrF ext

Conservazione delle quantitagrave di moto

Per un sistema chiuso (M non varia) e isolato (sumrarrF ext = 0)

Allora

t

P

∆∆

rarr

= 0 rarrP = cost

rarrP i =

rarrP f

che sono tre modi equivalenti per dire che la quantitagrave di moto si conserva Vale per un sistema nel quale non agisca nessuna forza esterna netta Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica e la conservazione delle quantitagrave di moto sono due concetti fisici importantissimi Valgono sia per le palle da bigliardo che per qualunque altro sistema anche le galassie nellrsquouniverso Queste equazioni sono vettoriali Ciograve significa che rappresentano una terna di equazioni scalari ognuna valida sul proprio asse del sistema di riferimento (x y z)

Puograve accadere a seconda delle forze che agiscono nel sistema che la quantitagrave di moto si conservi in una direzione o in due e non in tutte e tre

Ad esempio se consideriamo una palla come un insieme di punti materiali la rarrF ext che agisce nel

sistema egrave mrarrg diretta lungo z senza componenti su x e y quindi

rarrP varia lungo z ma

non su x e y

Percheacute ldquocomplicarci la vitardquo con questa storia del CDM del sistema di particelle etchellip non bastava il moto del punto rappresentativo materiale Avevamo giagrave considerato il punto rappresentativo e avevamo svolto anche problemi sulla palla sul bilanciere e per altri oggetti Abbiamo sempre sbagliato La questione egrave se un corpo egrave rigido cioegrave se tutti i suoi punti si muovono mantenendo le loro distanze relative non crsquoegrave problema abbiamo solo visto che il punto materiale rappresentativo si chiama CDM ed abbiamo imparato a situarlo allrsquointerno del corpo Ma se il corpo non egrave rigido cioegrave se il suo CDM si sposta rispetto a lui stesso nel corso del moto la disposizione del corpo intorno al punto rappresentativo varia nel corso del tempo e le leggi di conservazione valgono per il CDM - Consideriamo ad esempio il teorema dellrsquoenergia cinetica che per un punto materiale si scrive Ltot = Kfin-K in = ∆ K (qui ovviamente non crsquoegrave da specificare lavoro delle forzeldquoesternerdquo percheacute essendo in un punto materiale che si assume infinitamente piccolo non ci sono forze ldquointernerdquo) Per analogia il teorema dellrsquoenergia cinetica si estende al caso di un insieme di punti materiali nel seguente modo

Ltot forze ext=rarrF extmiddot

rarrs CDM = ∆ KCDM

Dove s CDM egrave lo spostamento del centro di massa A titolo di esempio risolviamo il problema un giocatore di hockey su ghiaccio di massa M = 110Kg si muove verso la balaustra a bordo campo alla velocitagrave di 3msec Nellrsquoarrestarsi flettendo le braccia il suo CDM si sposta in avanti di 30cm Qual egrave la ∆ K del suo CDM durante la manovra

∆ KCDM = infin CDMCDM mvmv 22

2

1

2

1 minus =

= 0 - 2

1110 32 = -495 J

Fig 40

Sia L il lavoro delle forze esternerarrF ext (dirette come d

rarrx CDM ) allora

L = - Fext 03 = ∆ KCDM quindi

Fext =30

495

minusminus

= + 1650N

( si considera la forza esterna rarrF ext costante nellrsquointervallo dellrsquoarresto fatto che equivale a dire

che il giocatore si arresta con rarra CDM costante)

Dinamica e statica del corpo esteso Finora abbiamo sempre discusso del moto di un punto materiale (punto rappresentativo dicevamo sempre) In particolare abbiamo sempre applicato le forze a quel punto materiale quindi se diverse forze erano applicate esse concorrevano in quel punto ligrave e con le forze concorrenti sapevamo come calcolare la risultante con il metodo grafico o con quello numerico delle coordinate cartesiane Una volta calcolata la risultante applicata al punto si otteneva un moto di pura traslazione del punto (al massimo traslava lungo una traiettoria curva) senza rotazioni proprie del punto che non hanno neanche senso un punto che ruota su se stesso Come faccio ad accorgermi Un punto per definizione egrave infinitamente piccolo (Dicevamo infine che il punto egrave in equilibrio

traslazionale se la risultante rarrR delle forze applicate egrave nullo)

Consideriamo invece un corpo esteso Prima osservazione questo ha piugrave punti (direi infin ) a

cui la forza puograve essere applicata Prendiamo una racchetta da tennis ed una forza rarrF applicata il

moto che ne risulta dipende dal punto al quale viene applicata la forza rarrF

qui la racchetta trasla

Fig 41

stessa forza qui la racchetta ruota

Fig 42

Seconda osservazione Crsquoegrave un caso in cui le forze non possono essere fatte concorrere in un punto ed egrave quando sono parallele ed hanno rette di applicazione distinte Chiaramente non abbiamo mai dovuto considerare questo caso per il punto materiale percheacute per un punto non possono mai passare due rette parallele Ma per il corpo esteso So benissimo che se sono ferma con la macchina in

panne e la sto spingendo applicando una forza rarrF 1 sono contenta se qualcuno si affianca a me ed

esercitando una forza rarrF 2 lungo una direzione parallela a quella della mia mi aiuta a spingere In

particolare mi viene spontaneo dire che se F1 = F2 allora spingeremo con una forza doppia Ci saragrave quindi un modo per sommare due forze non concorrenti in un punto ma parallele e saragrave Ftot = F1+ F2 La retta di applicazione di Ftot divide il segmento congiungente i punti di applicazione di F1 ed F2 in due segmenti inversamente proporzionali allrsquointensitagrave delle forze F1 e F2 Terza osservazione se F1 = - F2 sono uguali in intensitagrave ma di verso opposto sempre lungo due rette di applicazione parallele passanti per un corpo esteso cosa succede La loro somma Ftot risultante saragrave 0 ma io so che il corpo non sta fermo sotto lrsquoazione di tali due forze ma ruoteragrave Concludo che le nozioni che ho acquisito finora vanno riviste ed ampliate o corrette o specificate per i corpi estesi ed inoltre che mi mancano totalmente i mezzi per descrivere le rotazioni dei corpi estesi Occorrono nuovi concetti nuove quantitagrave la forza non basta Prendo lrsquoesempio piugrave semplice dellrsquoaltalena con due bambini in due bracci uno piugrave leggero uno piugrave pesante

Fig 43 Qualitativamente so che percheacute lrsquoaltalena stia in equilibrio e non ruoti intorno al punto fisso non egrave necessario che i due bambini abbiano lo stesso peso (ugual massa) occorre che il bambino piugrave leggero sieda piugrave lontano rispetto al punto fisso (fulcro) La regola quantitativa dice che lrsquoaltalena egrave in equilibrio se il prodotto del peso per la distanza del fulcro egrave uguale PB dB = Pb

db Per generalizzare questa regola ai casi piugrave complessi occorre definire una nuova quantitagrave il momento di una forza Momento di una forza

Consideriamo una forza rarrF applicata ad un punto P ed un punto O Sia

rarrr

il vettore rarrOP allora il momento

rarrM di

rarrF rispetto ad O egrave

rarrM =

rarrr x

rarrF

e

|rarrr | middot |

rarrF | sin ϑ = |

rarrM |

Fig 44

oppure anche considerando la componente di rarrF perpendicolare ad

rarrr o di

rarrr

perpendicolare a rarrF r e rispetto a F

|rarrM | = |

rarrr | |

rarrF perp | |

rarrM | = |

rarrr perp| |

rarrF |

In generale si dice che il modulo del momento |rarrM | egrave il prodotto delle intensitagrave della forza per la

distanza dal punto della retta di applicazione della forza

Come vettore rarrM egrave perpendicolare al piano che contiene

rarrF ed

rarrr ed ha verso calcolato con la

regola della mano destra (con rarrr che si chiude su

rarrF )

La distanza rperp si chiama braccio della forza Si vede che il momento egrave nullo quando il braccio egrave nullo cioegrave quando il punto O si trova sulla retta di applicazione di F Il momento della forza peso P egrave nullo rispetto al baricentro che coincide con il centro di massa nel caso (praticamenteldquosemprerdquo) in cui il corpo non sia abbastanza esteso percheacute diversi punti del corpo risentano di una forza gravitazione differente Praticamente si deve parlare di galassie percheacute CDM e baricentro (BC) non coincidono Quindi la condizione del momento nullo della forza peso diventa un modo per definire il CDM come quel punto rispetto al quale la forza peso P ha momento nullo Per un corpo ldquoarticolatordquo estendiamo il concetto di forza normale come forza di contatto nellrsquoarticolazione utile cioegrave la forza che lrsquoarticolazione che si sta considerando esercita su quello che nellrsquoarticolazione si appoggia La forza peso P di un corpo esteso puograve immaginarsi applicata al CDM Principio di equilibrio di un corpo esteso

se su un corpo esteso agiscono solo rarr

Peso e rarr

Normale cioegrave se un corpo egrave appoggiato ad un piano orizzontale allora il corpo egrave in equilibrio se e solo se il baricentro si trova sopra la superficie di appoggio

Fig 45

Finchegrave il baricentro egrave sopra il tavolo il libro non cade percheacute rarrP applicata a CDM puograve essere

controbilanciata da rarrN Se CDM si sposta in fuori

rarrN rimane nel tavolo e crsquoegrave momento non nullo

non equilibrato da rarrP che continua ad essere applicato nel CDM

Il baricentro di una persona in posizione eretta si trova nellrsquoarea delimitata dei suoi piedi 3cm davanti allrsquoarticolazione della caviglia

Fig 46 Quando la persona si piega in avanti il baricentro esce dal corpo e per mantenere lrsquoequilibrio egrave necessario che le anche si spingono indietro percheacute il baricentro cade di nuovo in quella posizione Notiamo che anche in posizione eretta essendo la forza peso e la forza di contatto non allineate (quei 3cm) (forza di contatto sullrsquoarticolazione della caviglia che regge il peso) occorre un momento correttivo che impedisca la rotazione in avanti mantenuto dal tendine di Achille che si lega alla caviglia Altro esempio di spostamento del baricentro egrave lrsquoatleta che assume una posizione ad L chi regge il peso egrave lrsquoarticolazione della spalla quindi il CDM si sposta sotto la spalla (giagrave era uscita dal corpo per via delle gambe distese in avanti) Nel camminare il baricentro continua a muoversi da sopra un piede a sopra un altro (quello appoggiato ovviamente) Si osservi lrsquoondeggiamento Per assurdo lrsquoancheggiare delle indossatrici serve a mantenere il baricentro il piugrave possibile fermo rispetto alla direzione media del moto (porre un piede esattamente davanti allrsquoaltro) rendendo piugrave facile muoversi anche con tacchi altissimi Al contrario lrsquoequilibrista che cammina sui trampoli sta fermo il meno possibile percheacute egrave stando fermo che il piccolo spostamento che fa uscire il baricentro (ALTO) dalla superficie drsquoappoggio puograve verificarsi facilmente preferisce il ldquonon ndash equilibriordquo o lrsquo rdquoequilibrio dinamicordquo dellrsquoondeggiare continuamente fra due posizioni di equilibrio

Ricordiamo che un equilibrio egrave detto stabile se quando una perturbazione lo altera spontaneamente il sistema lo ripristina Viceversa un equilibrio egrave instabile se la piugrave piccola perturbazione lo distrugge Lrsquoequilibrio egrave molto stabile se il baricentro egrave basso ed il corpo ha una grande area drsquoappoggio la posizione accucciata del giocatore di football americano dagrave grande stabilitagrave Ancor piugrave grande stabilitagrave si ha se il baricentro (CDM) si trova al di sotto della superficie drsquoappoggio Ersquo come se si fosse ldquoappesirdquo anzicheacute ldquoappoggiatirdquo alla superficie drsquoappoggio Proprio per questo motivo lrsquoequilibrista sul filo porta una lunga asta che spesso si flette agli estremi

Fig 47 Gli uccelli bipedi da 100000000 di anni hanno sviluppato questo adattamento per cui sono appesi alle anche mentre gli uomini bipedi da solo 1000000 di anni fanno fatica con il CDM dalla parte alta del corpo Ersquo un equilibrio instabile ldquosoprardquo le anche che le reggono (65 del peso del corpo) Modificazioni strutturali per reggere la posizione eretta 1) Colonna vertebrale rastremata (piugrave tozza in basso che in alto percheacute piugrave in basso vuol dire una

maggior forza di contatto) 2) Muscoli estensori della schiena 3) Gambe ed anche ingrossate 4) Ginocchio che blocca la gamba estesa Ciononostante si ha spesso il mal di schiena Se una forza ha momento non nullo rispetto ad un punto allora il corpo puograve ruotare intorno a quel punto sotto lrsquoazione di quella forza ldquoDiciamo che se sostengo il corpo per quel punto il corpo puograve ruotare intorno a quel puntordquo (Prendo in mano un foglio di carta per un estremo per esempio) La presenza di un momento non nullo egrave dunque la condizione che genera rotazione e viceversa Lrsquoassenza di un momento risultante egrave la condizione che genera lrsquoequilibrio rotazionale di un corpo esteso Quindi la condizione di equilibrio per un corpo esteso egrave

1) rarrR = 0 risultante delle forze applicate = 0 (equilibrio traslazionale)

2) rarrM = 0 momento risultante = 0 (equilibrio rotazionale)

Supponiamo di avere un corpo esteso al quale siano applicate delle forze che diano luogo ad un momento non nullo allora il corpo ruota Per equilibrarlo dovrograve applicare un altro momento tale che la loro somma sia nulla Questo egrave il principio di funzionamento delle leve LEVE

Una leva egrave un corpo esteso al quale sono applicate delle forze con un momento risultante rarrR

allora per portare il corpo in equilibrio applico un momento correttivo rarrP in modo che il momento

totale sia nullo Si dice in genere potenza (P) e resistenza (R) di una leva Le leve sono macchine semplici Servono per applicare forze in punti scomodi o in direzioni particolari Il fulcro egrave il punto nel quale la leva egrave incernierata Si definisce il guadagno meccanico di una leva

GM =

)(

)(rarr

rarr

PF

RF

cioegrave il rapporto fra la forza che genera il momento resistente e quella che genera il momento agente A seconda che GM sia gt

lt 0 una leva si dice che egrave vantaggiosa o svantaggiosa ma solo per quel che riguarda le forze percheacute per quel che riguarda i lavori non si ha neacute vantaggio neacute svantaggio Il lavoro esercitato dalla forza che dagrave la ldquopotenzardquo e quello esercitato dalla forza che dagrave la ldquoresistenzardquo sono sempre uguali Infatti forze e spostamenti sono inversamente proporzionali Le leve si dicono di I II o III specie a seconda se il fulcro si trovi I) in mezzo fra R e P (leva indifferente GM dipende da caso a caso) II) dalla parte di R (leva vantaggiosa il braccio di R egrave sempre minore del braccio di P basta

quindi una P minore per equilibrare una R maggiore) III) dalla parte di P (leva svantaggiosa) Classici esempi dei tre tipi di leve sono i remi (I) lo schiaccianoci (II) e la pinzetta per francobolli (III) Tuttavia vediamo degli esempi meno classici ma attinenti al campo della biologia e della medicina Criterio generale egrave che le leve vantaggiose consentono di essere molto potenti ma con brevi spostamenti mentre viceversa quelle svantaggiose fanno perdere in potenza ma consentono grandi spostamenti saragrave difficile vedere un cavallo che con le lunghe zampe si scava la tana drsquoaltronde una talpa scava bene la tana ma ha movimenti molto meno ampi che non le consentono di correre veloce come un cavallo (compromesso fra forza e velocitagrave del movimento) Se contiamo tutti i movimenti di rotazione che il corpo puograve compiere capiamo che siamo pieni di leve di ogni tipo Sono classici a) il capo fulcro (articolazione occipito-atlantoide) Fig 48 muscoli della nuca (Potenza) peso del capo (Resistenza) b)

muscolo bicipide (Potenza)

Fig 49 Peso dellrsquoavambraccio (Resistenza) Fulcro (articolazione del gomito) Questa leva permette grandi spostamenti Si vede che la forza operata dal muscolo bicipite egrave massima quando lrsquoavambraccio egrave orizzontale (la distanza dal fulcro egrave massima) ed egrave minima quando lrsquoavambraccio egrave verticale( con la distanza dal fulcro nulla) Attenzione - la colonna vertebrale egrave costituita da 24 vertebre separate da dischi di liquido Quando una

persona si piega la schiena egrave una leva con GM molto piccolo Quindi un piegamento completo per raccogliere un oggetto anche leggero produce una forza molto intensa sul disco lombosacrale che separa lrsquoultima vertebra dellrsquoosso sacro Se indebolito questo disco puograve rompersi o deformarsi comprimendo i nervi vicini e causando grande dolore Vediamo un modello che rende conto come mai questa forza egrave cosigrave grande

Fig 50

I muscoli della schiena esercitano T Con un angolo α = 12deg quando la schiena egrave piegata a 90deg

Peso della parte superiore del corpo (circa il 65 del peso totale)

Fulcro lombosacrale (il fulcro produce R) Essendo α piccolo la retta di azione Τ passa vicino al fulcro e dunque la distanza r che costituisce il suo braccio egrave molto piccola Al contrario il peso egrave perpendicolare alla colonna e il suo punto di applicazione egrave molto piugrave distante dal fulcro Τ deve essere molto grande per equilibrare il momento di P Dunque se T egrave grande anche la sua componente orizzontale egrave grande e di conseguenza anche R che costituisce la reazione dellrsquoosso sacro deve avere componente orizzontale molto grande per equilibrare Τ (uguale ed opposta alla componente orizzontale di Τ ) Facendo i conti si ottengono numeri grandi per 75Kg di peso T ed R sono equivalenti al peso di una massa di 220Kg Senza sollevare pesi solo piegandosi Conviene piegare le ginocchia quando si sollevano pesi - Nel corpo egrave difficile che il peso cada sulla verticale dellrsquoarticolazione che lo sostiene egrave sempre

un porsquo spostato e crsquoegrave un tendine con un muscolo che compensa il momento del peso - La contrazione muscolare egrave una successione di brevi contrazioni delle fibre muscolari stimolate

da impulsi che provengono dal sistema nervoso Contrazioni sono molto ravvicinate e avvengono in tempi differenti nelle diverse parti del muscolo cosigrave che il risultato apparente egrave una lenta e progressiva contrazione Se la frequenza degli impulsi aumenta la tensione cresce finchegrave si raggiunge la tensione massima (ricordare la tensione di un cavo) Un ulteriore aumento della frequenza degli impulsi a questo punto non causa ulteriore aumento della tensione

La tensione massima egrave proporzionale allrsquoarea della sezione trasversa del muscolo nel suo punto piugrave largo La tensione massima dipende anche dalla lunghezza del muscolo che varia Si ottiene tensione massima quando il muscolo egrave solo di poco allungato rispetto alla sua lunghezza di riposo di riposo ed egrave circa 30-40 Ncm2 La tensione massima si riduce moltissimo se il muscolo egrave molto allungato o accorciato Dinamica Rotatoria Fino ad ora abbiamo studiato moti traslatori ma il moto di un corpo rigido egrave in generale roto-traslatorio Naturalmente dobbiamo ridurre il problema complesso ad uno piugrave semplice e per fare ciograve immaginiamo di posizionarci su un sistema di riferimento solidale al corpo rigido i moto immaginiamo cioegrave di ldquosedercirdquo sul corpo rigido In questo modo non saremo piugrave sensibili al moto traslatorio e guardando il corpo rigido osserveremo solo le sue rotazioni Trattiamo allora il moto generico scomponendo la parte traslatoria (giagrave discussa ) da quella rotatoria Se si trascura la parte traslatoria del moto di un corpo rigido quello che rimane da trattare egrave la sua rotazione Nel nostro corso consideriamo le rotazioni che avvengono su un piano le rotazioni nello spazio potranno essere trattate come composizione di rotazioni su un piano Per le rotazioni su un piano si identifica un asse di rotazione perpendicolare al piano di rotazione e passante per il centro di rotazione Le articolazioni del gomito e del ginocchio sono articolazioni libere di ruotare intorno ad un asse a differenza ad esempio di quella della spalla che puograve ruotare intorno a due assi Si definisce spostamento angolare la variazione di una posizione che egrave definita in modo completo da una misura di angolo Una rotazione di un intero corpo rigido egrave definita in modo completo da uno spostamento angolare θfin - θin= ∆θ e si misura in radianti

Fig 51 Dobbiamo definire anche un verso di rotazione θ si incrementa per rotazioni antiorarie positive le rotazioni in senso orario sono invece negative La velocitagrave angolare si definisce analogamente alla velocitagrave lineare come il rapporto tra lo spostamento angolare e il tempo t impiegato per eseguire tale rotazione

ωm = t∆

∆θ e si misura in rad s

θin

θfin ∆θ

R

S

Anche per w si definisce ωist = lim ∆trarr0 t∆

∆θ

Ancora lrsquoaccelerazione angolare si definisce αm = t∆

∆ω e αist = lim ∆trarr0

t∆∆ω

Anche la legge fondamentale della dinamica ha un analogo nel ambito dei moti rotatori Si stabilisce che se ad un corpo rigido egrave soggetto ad un momento torcente diverso da zero esso subisce unrsquoaccelerazione angolare ad esso proporzionale Nel caso delle rotazioni la resistenza al moto egrave espressa dal momento di inerzia I associato al corpo rigido che gioca il ruolo della massa nei moti traslatori La legge della dinamica delle rotazioni egrave M = I middotα

E sostituendo M = Imiddott∆

∆ω= Imiddot

tinfin

∆minusωω

Il momento di inerzia I di un corpo rigido dipende dalla disposizione della massa del corpo rispetto allrsquoasse di rotazione per una massa puntiforme m a distanza R dallrsquoasse di rotazione I= m R2 per un oggetto esteso sommerograve il momento drsquoinerzia delle sue parti I = Σi mi Ri

2 Se si definisce momento angolare L il prodotto del momento drsquoinerzia per la velocitagrave angolare

L=Iω la legge della dinamica diventa

M = t

LL infin

∆minus

Il momento angolare egrave la grandezza fisica che si conserva se non viene applicato momento torcente Tutti i gesti di volo salti lanci tuffihellip sono azioni nelle quali si conserva il momento angolare Infatti in volo agisce solo la forza di gravitagrave che essendo applicata al CDM non genera momento torcente Il corpo umano nei gesti di volo Il corpo umano non egrave rigido e pertanto in volo agendo con i muscoli possiamo cambiare la disposizione del nostro corpo intorno al centro di massa che in volo coincide col centro di rotazione In questo modo si ottiene una variazione del momento di inerzia I e di conseguenza la velocitagrave angolare deve compensare questa variazione in modo che si mantenga costante il momento angolare L (grandezza che si conserva in assenza di momento torcente) Ersquo questo il principio che spiega il realizzarsi delle trottole sul ghiaccio dei salti mortali tuffi con avvitamento e cosigrave via in posizione raccolta I diminuisce e ω aumenta Moto circolare e moto circolare uniforme Per utilizzare le relazioni della cinematica e della dinamica lineare che abbiamo studiato egrave interessante poter passare dalle variabili angolari alle variabili lineari velocitagrave e accelerazione delle

masse in moto rotatorio Se una massa si muove su una traiettoria curva la velocitagrave tangenziale vt diretta come la tangente alla traiettoria dipende dalla velocitagrave angolare ω ( ωm=ϑ t )e dal raggio di curvatura della traiettoria Se la traiettoria egrave una circonferenza di raggio R e se gli angoli sono espressi in radianti lrsquoarco percorso per uno spostamento angolare ϑ egrave S = ϑ sdotR e la velocitagrave lineare tangente vt = St= ϑ sdotRt risulta vt = ωsdotR Se la velocitagrave angolare ω egrave costante il moto egrave detto circolare uniforme La legge oraria egrave quella dei moti uniformi spostamenti angolari uguali in tempi uguali ϑ(t) = ω t Anche la velocitagrave tangente saragrave di intensitagrave costante se ω egrave costante (archi uguali per tempi uguali s(t) = vt (t) ) ma crsquoegrave una accelerazione normale infatti la velocitagrave anche se non cambia in modulo cambia continuamente di direzione Questa accelerazione si dice centripeta egrave diretta normalmente rispetto alla traiettoria verso il centro della circonferenza e vale in modulo

ac=R

v2

Fig 52 Essendo la velocitagrave tangente vt = ωR Lrsquo accelerazione centripeta si puograve scrivere

ac =R

v2

= ω2 R

Il tempo impiegato dal punto a muoversi sulla circonferenza egrave una costante (moto uniforme) T periodo in T viene percorso uno spazio 2π R

v = T

Rπ2

La frequenza f egrave invece il ndeg di giri al secondo

f =T

1

Se si prendono punti diversi sul raggio della circonferenza questi hanno la stessa velocitagrave angolare e velocitagrave tangenziali crescenti al crescere del raggio Esempio carosello dei pattinatori Esercizi

1- un velocista con una velocitagrave di 10 ms viaggia su una curva di raggio 25m ndash accelerazione

a = R

v2

= 25

100 = 4 ms2

2 ndash un velocista con v = 92 ms su una pista circolare con ac = 38 m s2 ndash Raggio della pista Tempo per percorrere un giro completo

a = R

v2

rArr R = a

v2

= 83

)29( 2

= 2227m

T =v

Rπ2 =

29

27222 lowastπ = 152 sec

Forza centripeta forza centrifuga Una forza centripeta egrave una forza di qualunque natura che trattiene un corpo in moto su una traiettoria curvilinea ad esempio circolare In assenza di tale forza il corpo proseguirebbe il suo moto lungo una traiettoria rettilinea Nel gesto del lancio del martello ad esempio il lanciatore che esercita sul peso in cima allrsquoattrezzo una forza mediata dalla tensione dal cavo che lo trattiene nella traiettoria circolare Quando il lanciatore lascia la maniglia il martello viene lanciato lungo la direzione della tangente alla traiettoria nellrsquoistante di rilascio Lrsquointensitagrave della forza centripeta necessaria a mantenere una massa m in moto con velocitagrave tangente v lungo una traiettoria circolare di raggio r si puograve calcolare a partire dallrsquoaccellerazione centripeta secondo la legge fondamentale della dinamica

|rarr

cF | = m | rarr

ca | = m r

v2

Tale forza egrave diretta come lrsquoaccelerazione centripeta e cioegrave verso il centro della circonferenza che costituisce la traiettoria La forza centripeta egrave dunque una forza reale Con lsquoforza centrifugarsquo invece non ci si riferisce ad un forza che agisce su un corpo ma alla situazione apparente cui sembra sottoposto un corpo in moto curvilineo Esso pare tirato o attirato lontano dal centro di rotazione pare ci sia una lsquoforzarsquo che vuole farlo sfuggire Quando viene lasciato il martello si allontana dal centro di rotazione percheacute si muove di moto rettilineo uniforme non essendo piugrave soggetto a forze altre che la forza peso Lrsquoacqua esce dal cestello della lavatrice quando il cestello ruota velocemente (funzione centrifuga) percheacute lrsquoacqua che non costituisce un corpo solo con il cestello bucato non egrave soggetta alla forza centripeta e puograve passare attraverso i buchi I panni invece pure non parte del cestello sono troppo grandi per passare dai buchi si possono solo schiacciare contro le pareti questo schiacciamento sembra il risultato di una forza ma egrave invece il risultato dellrsquoassenza di una forza quella centripeta Una volta lagrave contro il cestello fanno tuttrsquouno con le pareti di metallo che esercitano su di essi la forza centripeta (cioegrave con direzione verso lrsquoasse di rotazione) che li mantiene in rotazione Le parti di un corpo rigido esteso che si muove di moto rotatorio rispetto ad un asse quale ad esempio la gamba di un giocatore di calcio che calcia un pallone sono soggette alla forza centripeta che le mantiene sulla traiettoria curva Tale forza viene trasmessa alle varie parti tramite le forze di tensione che si sviluppano allrsquointerno del corpo stesso ad esempio il piede egrave soggetto alla forza centrifuga tramite lrsquoazione dei legamenti e tendini a livello della caviglia che vengono messi in tensione per trattenere il piede stesso

Fig20 I tendini del corpo umano sono corde e vengono utilizzati anche per variare la direzione di applicazione delle forze esercitate dai muscoli Forza di attrito

Lrsquoattrito fa parte dellrsquoesperienza quotidiana nel bene e nel male Da una parte fa consumare piugrave benzina (20 per motore e trasmissione) ma anche la suola delle scarpe il battistrada delle gomme e i gomiti del maglione dallrsquoaltra consente il movimento i nodi tengono i chiodi fissano etc Un libro che scivola su un tavolo orizzontale si fermerebbe se non mantenessi una forza costante che contrasta lrsquoattrito su una superficie ruvida il movimento genera lui stesso una forza che decelera il moto Per mantenere in moto rettilineo uniforme un corpo che scivola sopra un piano bisogna applicare al corpo una forza che serva a neutralizzare questa forza ldquospontaneardquo(detta di attrito) in modo che la risultante delle forze applicate sia nulla Anche lrsquoinizio del moto egrave contrastato dalla forza di attrito (statico) che assume un valore uguale e contrario a quello della forza che applico fino a raggiungere un valore massimo (valore limite) Il corpo non si muove resiste al moto Oltre quel valore limite cioegrave se applico una forza sufficientemente intensa il corpo inizia a muoversi Situazione

Fig 21 Un blocco appoggiato sul piano orizzontale egrave fermo rarrP

verso il basso e rarr

NF verso lrsquoalto sono uguali in modulo

Se applico una forza rarrF per spostare il corpo verso destra insorge una forza di attrito statico

P

FN

il cui modulo vale |rarr

sattF _ | = smicro |

rarr

NF | ( smicro egrave il coefficiente di attrito statico il suo valore dipende

dalla natura dei materiali a contatto) esercitata orizzontalmente dal piano che uguaglia in

intensitagraverarrF ma di verso opposto in modo che il corpo non si muove Se aumento

rarrF aumenta

anche rarr

sattF _

Fig22 Diagramma delle forze applicate al blocco

Raggiunto un certo valore di rarrF il corpo ha uno ldquostrappordquo e comincia a muoversi nella direzione

di rarrF verso destra ostacolato dalla una forza di attrito dinamico

rarr

dattF _ generalmente inferiore al

valore max di rarr

sattF _ (egrave piugrave facile mantenere un corpo in moto che muoverlo da fermo)

(Il passaggio da un regime allrsquoaltro egrave allrsquoorigine degli stridii da attrito ndash quello ad esempio del gesso sulla lavagna - o anche del suono del violino) - Proprietagrave dellrsquoattrito riassunte

1 ndash Corpo fermo la forza di attrito statica rarr

sattF _e la componente di

rarrF parallela alla superficie

hanno uguale intensitagrave e si annullano 2 ndash limite di scivolamento la massima forza di attrito per due materiali posti a contatto egrave proporzionale alla forza normale tramite un coefficiente di attrito statico smicro

| rarr

sattF _(max)| = smicro |

rarr

NF |

smicro egrave un coefficiente adimensionale che assume valori diversi per diverse coppie di materiali

3 ndash il corpo inizia a muoversi il valore della forza di attrito decresce rapidamente fino a

|rarr

kattF _ | = kmicro |rarr

NF | proporzionale alla forza normale tramite un coefficiente di attrito dinamico kmicro

adimensionale e dipendente dalla coppia di materiali in considerazione

P

FN

F Fatt

Attenzione |rarr

sattF _| e

rarr

kattF _ | sono proporzionali non a |

rarrP | ma a |

rarr

NF | quindi nel caso di un

piano inclinato bisogna considerare la componente di rarrP perpendicolare al piano

rarr

NF equilibra

solo la parte di rarrP perpendicolare al piano

Attenzione le equazioni per |rarr

sattF _| e |

rarr

kattF _| non sono vettoriali le forze di attrito non sono

dirette come la forza normale rarr

NF ma parallele al piano

Durante una corsa allo scatto si usano i blocchi di partenza per sfruttare la reazione del blocco alla forza muscolare di spinta Data lrsquoinclinazione dei blocchi la forza di reazione del blocco sul atleta si massimizza nella direzione del moto

rArr si fa uso della ldquoazione-reazionerdquo Fig 23 Durante la corsa si sfrutta il coefficiente di attrito statico per mantenere un piede fermo a terra mentre lrsquoaltro avanza Per non superare il limite di scivolamento allrsquoindietro del piede di appoggio la forza che si esercita sul terreno deve avere una componente normale al terreno di intensitagrave opportunamente elevata In ogni caso se smicro egrave basso si ha lrsquoeffetto del camminare sul ghiaccio

Lrsquouso di scarpette chiodate non aumenta il valore di smicro che egrave il coefficiente drsquoattrito tra due

superfici ldquoliscerdquo piuttosto hanno una funzione simile a quella di mini blocchi di partenza permettono di esercitare una forza sul tartan lungo la direzione del moto cioegrave parallelamente alla pista Resistenza del mezzo Consideriamo un corpo che si muove in aria Esso incontra una resistenza da parte dellrsquoaria che agisce in modo da opporsi al movimento del corpo cioegrave ha la stessa direzione e verso opposto a quella del moto

rarrD forza di resistenza del mezzo o forza aerodinamica (detta anche forza viscosa) si

|rarrD | =

2

1 cρAv2 (limite di alte velocitagrave eo alte viscositagrave)

D egrave proporzionale al quadrato della velocitagrave (termine v2 ) Inoltre D egrave proporzionale ad A lrsquoarea efficace della sezione trasversa (lrsquoarea presentata dal corpo nella direzione del moto vedi la posizione a uovo dei discesisti di sci o dei ciclisti) ρ egrave la densitagrave del mezzo Ersquo intuitivo che la resistenza D dipenda dalla densitagrave del mezzo infatti il corpo per procedere deve ldquofarsi stradardquo spostando le molecole del mezzo Quindi piugrave il mezzo egrave rarefatto piugrave egrave facile ldquofarsi stradardquo e inferiore egrave la resistenza D Con c si indica il coefficiente di penetrazione (il cosiddetto cx che dipende dalla forma geometrica del corpo) La forma (oltre che

lrsquoarea efficace A) influenza la resistenza opposta dal mezzo percheacute una ottimizzazione della forma (affusolata migliorare il Cx) porta a ridurre la formazione di turbolenze nellrsquoaria intorno al corpo Casco dei ciclisti o discesisti con forma a punta posteriore

non riduce la sezione trasversa A ma piuttosto migliora il Cx

Fig 24 Nel nuoto lo sbattere i piedi serve soprattutto per mantenere il corpo orizzontale e quindi a ridurre la sezione A Il lavoro viene fatto per lo piugrave dalle braccia (75) In acqua anche se la velocitagrave v egrave bassa D egrave significativa percheacute la viscositagrave del mezzo egrave grande Per ridurre le turbolenze negli sport di velocitagrave diventa essenziale utilizzare accorgimenti quali nascondere dadi e cavi nelle biciclette togliere cerchietti delle racchette da sci Tagliare i capelli o rasarsi le gambe sono sempre modi di ridurre anche le piccole turbolenze Velocitagrave limite di caduta di un grave in aria

La forza rarrD di frenamento durante la caduta libera li un corpo in aria ha verso opposto a quello

della forza pesorarrP che accelera il corpo verso il basso Se

rarrP egrave costante il corpo accelera con

accelerazione rarrg ie aumenta la velocitagrave verso il basso ma aumentando v dunque v2 aumenta

D Ciograve prosegue fincheacute D diventa di intensitagrave uguale P con verso opposto rarrD = -

rarrP A questo

punto la risultante delle forze agenti sul corpo in caduta egrave nulla (sumrarrF =

rarrD + (-

rarrP ) e dalla

seconda legge (fondamentale) della dinamica si ha che lrsquoaccelerazione rarra del corpo egrave nulla

rArr Il corpo non accelera piugrave e mantiene velocitagrave costante massima La velocitagrave raggiunta detta velocitagrave limite vlim egrave tale da verificare lrsquouguaglianza

D = 2

1cρAv lim

2 = mg = P quindi rArr vlim = (2mg cρA) frac12

La vlim raggiunta dai paracadutisti puograve essere variata modificando A tramite dei cambiamenti dellrsquoassetto in volo Questo permette ai paracadutisti di raggiungersi per fare figure in aria Lrsquoapertura del paracadute fa aumentare di molto A rendendo la velocitagrave limite molto piugrave bassa Anche le gocce di pioggia raggiungono la velocitagrave limite (v asymp 7msec in 6m) nella loro caduta Ad esempio cadendo da 1200m le gocce di pioggia raggiungono la terra con la velocitagrave limite di circa 7msec e non con la velocitagrave di 150msec che avrebbero se non ci fosse lrsquoazione di frenamento D (dei veri proiettili)

Senza D rarr vfin = 150ms

Con D rarr vfin = vlim = 7ms Fig 25 Forza elastica La forza elastica egrave una forza non costante

L lunghezza di riposo della molla Fig 26 Una massa m egrave vincolata ad una parete con una molla Se tiro la massa la molla si estende diciamo di un tratto x La molla esercita una forza di richiamo proporzionale allrsquoallungamento x (piugrave si allunga maggiore egrave la forza F di richiamo) F = -kx ldquorichiamordquo cioegrave di verso opposto allrsquoallungamento Ecco la ragione del segno (-) Se raggiunta una certa estensione la molla viene rilasciata essa si ricomprimeragrave ritorneragrave alla lunghezza di riposo L poi si schiacceragrave di un tratto x dalla parte opposta e nuovamente agiragrave la forza di richiamo (che egrave variabile in quanto varia con il variare di x) La massa oscilla attorno alla posizione di riposo k egrave la costante elastica della molla Lrsquoespressione della forza elastica vale per i respingenti del treno (k grande) come per la molla della biro (k piccola) come per lrsquoelastico del saltatore dal ponte Impulso di una forza La legge fondamentale della dinamica F = ma puograve essere scritta esprimendo lrsquoaccelerazione con la sua relazione definitoria (vf - vi)t

F = mt

vv if minus e quindi portando il tempo t al primo membro

)( if vvmtF minussdot=sdot oppure vmtF ∆sdot=sdot

Si dice ldquoimpulso ldquo di una forza il prodotto della forza per il tempo durante il quale viene applicata tF sdot (se la forza non egrave costante lrsquoimpulso egrave lrsquointegrale della forza nel tempo in cui viene applicata)

Scritta in questo modo lrsquoequazione fondamentale della dinamica puograve essere letta cosigrave 1) Supponiamo che un corpo vari la sua velocitagrave di una quantitagrave ∆v = vf - vi tanto piugrave lungo egrave il tempo t durante il quale questa variazione avviene tanto minore egrave la forza che deve essere sviluppata per ottenere tale variazione della velocitagrave In questi termini si capisce ad esempio lrsquoutilitagrave delle cinture di sicurezza che allungando i tempi durante i quali in caso drsquoincidente la velocitagrave del passeggero (che non egrave solidale con la vettura) passa da un valore vi iniziale a zero determina una riduzione della la forza cui il passeggero stesso egrave sottoposto durante il breve tempo dellrsquoimpatto (la forza che le ossa e le articolazioni possono sopportare egrave limitata) Si vede anche come funziona lrsquoelastico del jumper finchegrave lrsquoelastico non egrave completamente svolto (ltL) la forza che agisce sul jumper egrave P (la forza peso) poi progressivamente la forza elastica di richiamo contrasta P quindi il jumper decelera progressivamente per un lungo intervallo di tempo e lo lsquostrapporsquo (F applicata) necessario per contrastare P e fermare il jumper applicato sulle sue gambe e a cascata su tutte le sue articolazioni (secondo il terzo principio) egrave di entitagrave minore 2)Lrsquoimpulso totale prodotto tF sdot nella direzione ottimale egrave la grandezza fisica che stabilisce lrsquoefficacia di un gesto di spinta o di lancio non la massima forza espressa o la durata dellrsquoazione di spinta Lavoro di una forza ndash lavoro meccanico

- 1deg caso Forza costante rarrF

Immaginiamo una forza rarrF che agisce su un corpo durante il suo spostamento Immaginiamo cosi

che il punto di applicazione di questa forza si sposti nello spazio di un tratto rarrs Viene detto

lavoro della forza rarrF la quantitagrave

L = rarrF middot

rarrs = F middot smiddot cosϑ (prodotto scalare di

rarrF per

rarrs )

(prodotto scalare tra i due vettori) Fig 27 Il lavoro egrave una quantitagrave scalare cioegrave egrave descritta completamente da un numero da un valore Tale

valore puograve essere positivo o negativo a seconda che la componente di rarrF lungo

rarrs sia equiversa o

di verso opposto a rarrs Se

rarrF e

rarrs hanno la stessa direzione e se lo spostamento avviene nel

senso di rarrF diciamo che il lavoro egrave positivo (e viceversa negativo) Lrsquointensitagrave del lavoro puograve

variare tra un valore massimo e uno minimo per gli stessi valori del modulo di rarrs e di

rarrF a

rarrs

seconda del valore di cosϑ Il lavoro egrave massimo per cosϑ = 1 (cioegrave per ϑ = 0) (rarrF diretto come

rarrs ) Il lavoro egrave minimo ( L = 0) per cosϑ = 0 cioegrave per ϑ = 90deg (

rarrF perpendicolare a

rarrs )

Puograve darsi il caso che piugrave forze agiscono sullo stesso punto Allora si puograve calcolare il lavoro totale egrave la somma dei lavori di tutte le forze applicate

Ltot = sum Li = sum (rarr

sdotiFrarrs )

Dimensioni di L [ L ]= [ F ][ s ] = mmiddot l middot t-2 middot l = ml2 t-2 Unitagrave di misura di L 1 joule = 1N middot 1m ( 1J ) Lavoro della forza peso durante la caduta di un grave Un grave cade vicino alla superficie della terra sotto lrsquoazione della forza di gravitagrave cioegrave sottoposto ala forza peso P diretta verso il basso percorrendo un dislivello h Il lavoro compiuto dalla forza peso si calcola come

LP = rarrP middot

rarrs = Pmiddot smiddot cosϑ

notando che lo spostamento s (verso il basso) e la forza P sono paralleli con verso concorde pertanto ϑ = 0 e cosϑ = 1 e che | P| = mmiddot g si ottiene LP = mmiddot gmiddot h per uno spostamento s = h (dislivello) Lavoro meccanico nel sollevamento pesi Durante questo gesto sul bilanciere oggetto dellrsquoapplicazione delle forze si esercitano la forza peso P e la forza muscolare dellrsquoatleta Naturalmente entrambe le forze lavorano ma i due lavori si oppongono uno allrsquoaltro (ricorda che il lavoro puograve essere positivo o negativo) Il lavoro positivo deve essere nel verso del moto quindi egrave quello della forza muscolare dellrsquoatleta il lavoro di P invece egrave negativo e se il bilanciere si alza di una quota h si calcola facilmente seguendo il procedimento del paragrafo precedente ottenendo LP = - mmiddotgmiddoth (ϑ = π e cosϑ = -1 ) Calcoliamo il lavoro della forza musculare seguendo lrsquoesempio qui proposto Esempio Un atleta solleva un bilanciere di peso 2500N allrsquoaltezza di 2m (sopra la sua testa) Quanto lavoro meccanico compie la sua forza muscolare Supponiamo che il sollevamento avvenga a velocitagrave costante con accelerazione nulla allora il per il

primo principio della dinamica le forze applicate al bilanciere devono essere tali chesumrarr

iF = 0

Quindi la forza peso P = mmiddot g deve essere controbilanciata dalla forza applicata dallrsquoatleta Fm

Quindi rarr

mF = - rarrP

con Fm = 2500N Il lavoro La fatto dallrsquoatleta vale

Lm = rarr

mF middot rarrs = 2500 N middot 2m middot 1 = 5000 J (sollevamento verticale quindi ϑ = 0 e cosϑ = 1)

Quanto lavoro fa la forza peso

Lp = rarrP middot

rarrs = 2500 middot 2 middot (-1) = -5000 J

(percheacute ϑ = π e cosϑ = -1) Quanto lavoro fa lrsquoatleta mentre sostiene il peso fermo sopra la testa L = 0 percheacute non crsquoegrave spostamento Qui si parla di lavoro meccanico non di lavoro fisiologico diciamo che si fa fatica percheacute crsquoegrave da mantenere integrordquo un corpo non rigido che egrave il corpo dellrsquoatleta quindi si il lavoro delle contrazioni muscolari per mantenere lrsquoequilibrio e ldquolrsquointegritagraverdquo egrave la misura del lavoro fisiologico necessario anche se il lavoro meccanico compiuto egrave nullo 2deg caso Forza variabile Nel caso in cui F egrave una forza variabile che dipende dalla posizione ogni volta che avviene uno spostamento∆ x la forza cambia Il lavoro totale saragrave la somma dei lavori elementari fatti sui tratti piccoli sui quali la forza puograve essere assunta costante

Ltot = iii xxF ∆sdotsum )(

( Se si fa il limite per ∆ xi piccolo rarr 0 e la isum egrave lrsquointegrale Ltot = int sdotxtin

xinxdxF )( )

Ad esempio la forza F puograve essere la forza di richiamo di una molla vincolata al muro Lrsquointensitagrave della forza elastica varia durante lo spostamento aumentando con lrsquoallungamento (o la compressione) della molla ed ha la direzione parallela allo spostamento ma puograve avere verso concorde o discorde quindi con cosϑ che vale o +1 o ndash1 Immaginiamo di avere un blocco attaccato alla molla e di tirarlo da Xin a Xfin allora

F(x) = - kx Fig 28

Il lavoro della forza elastica si calcola sommando i lavori infinitesimali compiuti per spostamenti infinitesimi durante i quali la forza si assume costante Ciograve egrave rappresentato graficamente nel calcolo lrsquoarea compresa al di sotto della curva del grafico di F (Fig 28A) In figura si egrave cambiato il segno della funzione forza per comoditagrave di rappresentazione

Fig 28A

Area = differenza aree dei due triangoli = AABB kxxkxx sdotminussdot2

1

2

1

Ricordandoci del segno

L infin = 22

2

1

2

1infin kxkx +minus e in generale L = 2

2

1kx

Se si calcola il lavoro della forza di richiamo durante un allungamento della molla si ha lavoro negativo mentre durante il ritorno alla posizione di equilibrio il lavoro egrave positivo (segno dello spostamento x e della forza concordi) Energia cinetica Il termine ldquoenergiardquo indica la capacitagrave di compiere lavoro Lrsquoenergia cinetica egrave la proprietagrave che rende conto quantitativamente del legame fra il lavoro compiuto ed il moto generato Avevamo detto piugrave o meno lo stesso parlando della seconda legge della dinamica riferendoci alle forze Qui col lavoro non egrave necessaria la descrizione dettagliata delle forze che agiscono sul punto in considerazione Ersquo sufficiente conoscere il loro lavoro totale

Lrsquoenergia cinetica K = 2

1mv2 (gt 0 percheacute m gt 0 v2 gt 0 ) (m e v sono la massa e la velocitagrave del

corpo) Lrsquounitagrave di misura e le dimensioni di K sono le stesse del lavoro Joule ( J ) e [ ]K = [ ]22 minustml

Teorema dellrsquoenergia cinetica Se una forza F compie un lavoro L su un punto materiale di massa m si ha una variazione dellrsquoenergia cinetica pari al lavoro compiuto

Xfin Xin

F

0

ksdotxfin

ksdotxin

F= ksdotx

x

LAB= -area

L = Kfin ndash Kin = ∆ K Nel caso che piugrave forze agiscono sul punto materiale il teorema dellrsquoenergia cinetica si applica al lavoro totale (equivalentemente al lavoro della risultante ) E il caso dellrsquoatleta che solleva il peso di 2500N Sappiamo che ha compiuto un lavoro di 5000J ma il bilanciare con i pesi era fermo allrsquoinizio ed egrave fermo alla fine Quindi Kin = 0 e Kfin = 0 percheacute vin = 0 e vfin = 0 Allora il teorema dellrsquoenergia cinetica Vale per il lavoro totale o lavoro della forza totale e noi abbiamo visto che la forza netta totale = 0 ( Fa + P = 0 ) ed il lavoro totale egrave nullo quindi giustamente si ha ∆ K = 0 1)Caso di una palla da tennis che cade

la forza peso rarrP compie un lavoro positivo con spostamento concorde a

rarrP si dovrebbe avere

∆ K gt 0 infatti la velocitagrave v aumenta 2)Caso di una palla lanciata verso lrsquoalto

lo spostamento ha verso opposto a rarrP Il lavoro della forza peso egrave negativo e quindi ∆ K egrave

negativo giusto La velocitagrave diminuisce NB Durante il volo agisce solo la forza di gravitagrave quindi il lavoro totale comiuto sul corpo egrave solo quello della gravitagrave 3)Caso del moto circolare uniforme la forza che agisce egrave la forza centripeta che egrave perpendicolare allo spostamento Quindi non compie lavoro deve essere ∆ K = 0 Iinfatti il moto egrave uniforme cioegrave la velocitagrave egrave in modulo costante Potenza Si chiama potenza il lavoro che si egrave in grado di svolgere nellrsquounitagrave di tempo

P = t

L

∆ ( potenza media )

P = t

Lt ∆

∆rarr∆ 0lim ( potenza istantanea)

Non egrave solo una stima del lavoro compiuto ma anche della rapiditagrave con cui si compie lavoro

Fig 29 Per superare il muro ci vuole un certo lavoro che consiste nellrsquoinnalzare il proprio corpo di unrsquoaltezza h Sia lrsquoatleta che lo supera in un sol balzo sia il vecchietto che sale pian piano la scalinata faranno lo stesso lavoro Quel che egrave diverso egrave la potenza dei due personaggi Dimensioni e unitagrave di misura della potenza [ ]P = [L] [t -1] = [ml2t-3] 1 watt = 1 joule 1sec (1w)

Energia Potenziale K egrave energia connessa allo stato di moto di un sistema Crsquoegrave anche energia connessa alla posizione di un corpo in un campo di forze (configurazione) Si chiama energia potenziale Nel caso dellrsquoatleta di sollevamento pesi il lavoro compiuto dallrsquoatleta Lm non ha alterato lrsquoenergia cinetica K dellrsquoattrezzo ma ha modificato la configurazione del sistema (terra-attrezzo) variandone lrsquoenergia potenziale (W) Il lavoro non egrave stato sprecato ma ldquoimmagazzinatordquo lrsquoattrezzo prima egrave a terra poi egrave in alto nel sistema che ora ldquopotenzialmenterdquo puograve compiere un lavoro cedendo la sua ldquoenergia potenzialerdquo Energia cinetica ed energia potenziale sono due parti dellrsquoenergia meccanica possono trasformarsi lrsquouna nellrsquoaltra ed in lavoro Nellrsquoesempio precedente quando lrsquoattrezzo egrave in alto si ha che K = 0 e W = WA Quando cade K aumenta percheacute la velocitagrave v aumenta e lrsquoenergia potenziale W diminuisce In basso W = WB lt WA e K egrave massima Lrsquoattrezzo cadendo puograve compiere lavoro Se fosse un martello potrebbe far avanzare un chiodo ad esempio Lrsquoenergia potenziale viene definita proprio a partire dal concetto di lavoro di forze conservative Ersquo conservativa una forza il cui lavoro per spostare il suo punto di applicazione da una posizione (configurazione) ad unrsquoaltra dipende solo dalle due posizioni (configurazioni) iniziale e finale Equivalentemente si puograve definire la forza conservativa dicendo che il lavoro di tale forza egrave nullo se le posizioni (configurazioni) iniziali e finali coincidono

-Lavoro per passaggio dalla posizione A a B egrave lo stesso lungo I o II -Se da A vado a B e torno in A il lavoro totale egrave nullo

Fig 30 Posso allora definire una funzione della posizione W che assume i valori WA e WB in A e B e tale per cui LAB = WA ndash WB ( W energia potenziale) WA WB sono definiti a meno di una costante tanto quello che interessa egrave la differenza fra loro Variazione di energia potenziale del passaggio da A a B WB ndash WA = ∆W allora LAB = -∆ W Con questa convenzione sui segni si rende conto del fatto che un lavoro positivo ( fatto dalle forze conservative sul corpo) fa diminuire lrsquoenergia potenziale W ( L positivorarr ∆W negativo rarr WBlt WA rarr ho usato energia potenziale) un lavoro negativo (subito) aumenta W (L negativo rarr ∆W positivo rarr WBgt WA rarr ho guadagnato energia potenziale) W si misura in Joule come il lavoro e lrsquoenergia cinetica

Qual egrave la Forma di W

Mentre la forma dellrsquoenergia cinetica egrave sempre K =2

1mv2 indipendentemente dal tipo di forze

che provocano il movimento W dipende dal tipo di forza conservativa di cui si sta calcolando il lavoro Consideriamo due forze conservative

a) Forza gravitazionale forza peso

F(y) = -mg Stato di riferimento y0 = 0 in cui W0 = 0

Fig31

Abbiamo detto che LAB = WA- WB ma siccome

LAB = )( ABhmgsP minussdotminus=sdot dove hAB= yA-yB egrave la distanza tra A e B allora rArr WA = mgyA WB = mgyB e in generale W(y) =mgy

Per la forza peso W(y) =mgy e lrsquoenergia totale meccanica (W+K) = mgy+2

1mv2=Etot

b) Forza elastica

Fig 32

F(x) = -kx Stato di riferimento x = 0 allungamento nullo la lunghezza della molla egrave la sua lunghezza di riposo L ( W(0) = 0)

Immaginiamo che la configurazione della molla venga modificata passando dalla posizione xA alla posizione xB (Fig 32) Il lavoro della forza elastica egrave calcolato come

LAB = 22

2

1

2

1AB kxkx +minus

Ricordando che LAB = WA- WB possiamo ricavare lrsquoespressione per lrsquoenergia potenziale elastica

rArr WA = 2

2

1Akx WB = 2

2

1Bkx e in generale W(x) = 2

2

1kx

Energia totale meccanica ndash Conservazione dellrsquoenergia

In presenza di sole forze conservative la somma dellrsquoenergia cinetica e dellrsquoenergia potenziale costituisce lrsquoenergia totale meccanica Tale energia meccanica gode della proprietagrave importantissima di conservarsi durante lrsquoevoluzione del sistema Lrsquoenergia connessa al movimento e alla posizione si scambiano una diminuisce e lrsquoaltra cresce ad esempio ma la loro somma rimane costante

- Esempio delle montagne russe Se non ci sono attriti (infatti il trucco egrave quello di rendere il

sistema privo di attriti) so giagrave quale altezza massima potrograve raggiungere (quella iniziale e non di piugrave) quale velocitagrave massima potrograve raggiungere (in fondo alla valle) Queste quantitagrave sono fra loro legate dal teorema della conservazione dellrsquo energia meccanica

Fig 33 - Esempio del salto con lrsquoasta Lrsquoenergia cinetica dellrsquoatleta acquisita nella rincorsa viene

trasformata in energia potenziale gravitazionale parte direttamente e parte attraverso lrsquoenergia potenziale elastica dellrsquoasta acquisita nella sua deformazione durante il salto La flessibilitagrave dellrsquoasta (costante elastica dellrsquoasta) egrave legata allrsquoenergia che si puograve immagazzinare in una data deformazione Infatti con aste rigide (alluminio acciaio bambugrave) il salto era piugrave basso Con fibra di vetro il record egrave stato polverizzato

Fig 34

Fig 35

Fig 36

Osserviamo che il teorema dellrsquoenergia cinetica ha validitagrave generale qualunque siano le forze che agiscono conservative o non conservative (le forze non conservative si dicono anche ldquodissipativerdquo)

KLL

KL

fncfc

tot

∆=+∆=

e ricordando che darr Lfc = - )( fcW∆

Si ottiene che K∆ + )( fcW∆ = Lfnc

Si vede che nel caso in cui Lfnc sia nullo cioegrave quando non ci sono forze dissipative la somma delle variazioni di energia cinetica e energia potenziale egrave uguale a zero cioegrave lrsquoenergia totale meccanica (somma dellrsquoenergia cinetica e potenziale) egrave costante E questo corrisponde al teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica Nel caso ci siano forze dissipative la somma delle energie non egrave costante quindi al contrario del teorema dellrsquoenergia cinetica il teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica non ha validitagrave generale (vale solo in assenza di attriti ad esempio) Le forze non conservative di attrito compiono lavori solo negativi e fanno perdere quantitagrave di energia non recuperabile Parte di questa energia va in generale in calore quindi se ne puograve tenere conto considerando unrsquoaltra forma di energia lrsquoenergia termica ( ci sono anche altri fenomeni dissipativi ad esempio le deformazioni permanenti negli urti o la propagazione di onde sonore)

Lrsquo energia puograve dunque conservarsi o trasferirsi proprietagrave caratterizzanti dellrsquoenergia Il lavoro rende conto del trasferimento di energia della perdita di energia sotto una forma e del guadagno sotto unrsquoaltra forma (cioegrave energia conservativa) o del passaggio dellrsquoenergia da un sistema ad un altro Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica quando egrave applicabile puograve essere sfruttato per risolvere facilmente problemi altrimenti complicati Esercizio Una palla da tennis viene lanciata con velocitagrave iniziale v0 (senza effetti strani taglio etc) al di lagrave della rete Con quale velocitagrave arriva a terra

Se durante il moto Etot si conserva K+W = cost

Fig 37 e W = mgh egrave solo energia potenziale gravitazionale h = 0 alla fine come allrsquoinizio dunque K in = Kfin e vfin = v0 Se la palla egrave lanciata verso lrsquoalto non crsquoegrave componente orizzontale della velocitagrave ma solo verticale al punto piugrave alto di arresto h K(h) = 0 W(h) = max = Kin cioegrave mgh = frac12 mv0

2 si puograve cosigrave calcolare facilmente lrsquoaltezza massima raggiunta h = (frac12 v0

2)g e vicenversa si puograve calcolare il valore della velocitagrave v0 che bisogna imprimere alla palla affinchegrave raggiunga lrsquoaltezza h

v0 = gh2

Esercizio Una saltatrice di massa M = 61Kg salta da un ponte di altezza H = 45m agganciata ad una corda elastica La lunghezza di riposo della corda elastica egrave L = 25m e la sua costante elastica egrave k = 160 Nm Nel punto piugrave basso si arresta prima di venire rimbalzata in alto Qualrsquo egrave lquesta quota piugrave bassa h (a cui si trovano i suoi piedi ai quali egrave legato lrsquoelastico)

Fig 38 Etot = Wgrav + Wel + K = cost sono solo forze conservative vale la conservazione

dellrsquoenergia Nel punto A K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di lanciarsi Wel = 0 percheacute lrsquoelastico non egrave ancora svolto Wgrav = MgH Nel punto B K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di rimbalzare

Wel = frac12 kd2 Wgrav = Mgh = Mg(H-(L+d)) Etot(A) = Etot (B) MgH + 0 + 0 = Mg (H-(L+d)) + frac12 kd2 + 0 MgH = MgH ndash MgL ndash Mgd +frac12 kd2

2

1(160)d2 ndash (61)(98)d ndash (61)(98)(25) = 0

equazione di IIdeg grado che dagrave per d il valore accettabile d = 179m (lrsquoaltro egrave negativo e non egrave accettabile perchegrave non ha senso fisico la

saltatrice va in giugrave non in su) Allora h = H-(L+d) = 45 ndash (25+179) = 45 ndash 429 = 21m quindi con la testa poco sopra lrsquoacqua Sistemi di punti materiali e corpi rigidi ndash Centro di Massa

Un giocoliere o un ginnasta che lancia la clavette fa compiere allrsquoattrezzo movimenti complicati tuttavia crsquoegrave un punto dellrsquoattrezzo che si muove seguendo una traiettoria semplice come quella di un punto materiale ad esempio lanciato segue una traiettoria parabolica Tale punto si chiama centro di massa dellrsquooggetto Il centro di massa puograve essere definito per un oggetto o per un insieme di punti materiali Ersquo importante percheacute in generale il moto di un corpo esteso (o di un insieme di punti) si puograve studiare separando il moto del centro di massa (moto traslatorio) e il moto del corpo attorno al centro di massa (moto rotatorio)

Centro di Massa (CDM) di un sistema di punti - Consideriamo il caso semplice di due punti materiali di massa m1 m2 posti sullrsquoasse x in

posizione x1 x2

Fig 39

la posizione del centro di massa egrave definita xCDM = 21

2211

mm

xmxm

++

a) xCDM egrave compreso fra x1 e x2 b) se m1 = m2 CDM egrave a metagrave strada fra m1 ed m2 c) xCDM egrave piugrave prossimo alla massa maggiore - Nel caso di piugrave punti allineati nelle posizioni xi detto M = summi allora

xCDM = ii xmMsum

1

- Nel caso di punti distribuiti nello spazio detti irrarr

i vettori che identificano le loro posizioni

CDMrrarr

= iii rmM

rarrsum

1

dove CDMrrarr

ha coordinate (xCDM yCDM zCDM) definite come

xCDM = ii xmsumη1

yCDM = ii ymMsum

1

zCDM = ii zmMsum

1

- Consideriamo un oggetto qualsiasi questo egrave composto da un gran numero di particelle ma conviene considerarlo come un continuo di materia e per calcolare il centro di massa si prendono in considerazione degli elementi infinitesimi di massa dm centrati intorno alle posizioni (xyz) allora

xCDM = int xdmM

1 yCDM = int ydm

M

1 zCDM = int zdm

M

1

se si puograve considerare il corpo omogeneo (densitagrave uniforme) allora V

M

dv

dm = e allora si puograve fare il

calcolo considerando il volume V e gli elementi di volume dv anzichegrave la massa e gli elementi di massa

xCDM = int xdvV

1 etc

In un oggetto solido (corpo rigido) i diversi punti materiali che lo compongono non cambiano la loro posizione relativa (non come un corpo elastico) - se un oggetto ha un elemento di simmetria un asse od un piano il CDM si trova su tale

elemento di simmetria (asse per cono centro per sfera piano per una banana etc) Non egrave detto che il CDM di un oggetto appartenga allrsquooggetto vedi uno pneumatico un cerchio Il CDM egrave esterno alloggetto Legge fondamentale della dinamica per un sistema di punti materiali Caso della palla da bigliardo urto fra due palle dopo il lancio di una le due si muovono 1) una egrave ferma (B) lrsquoaltra la lancio (A) 2) le due si urtano in qualunque modo 3) le due si muovono secondo traiettorie differenti una possibilmente andragrave in buca lrsquoaltra no Dopo il lancio sulla palla A non agisce piugrave nessuna forza quindi la sua velocitagrave v egrave costante Va bene ma dopo lrsquourto Il CDM delle due palle continua a muoversi con velocitagrave costante anche se il centro di massa egrave un punto teorico che non appartiene a nessuna delle due palle Tuttavia al CDM possiamo assegnare una massa (M totale del sistema) una velocitagrave ed una accellerazione Si ha

)(CDMext aMFrarrrarr

=sum

a) extFrarr

sum egrave la somma di tutte le forze esterne che agiscono sul sistema non quelle interne (ad esempio nel caso del bigliardo non devo considerare le forze che si applicano fra le due palle quando si urtano)

b) M egrave la massa totale del sistema Si suppone che durante il moto M rimanga costante

c) )(CDMararr

egrave lrsquoaccelerazione del CDM Dellrsquoaccellerazione di un altro punto ad esempio del centro della palla A non si dice nulla

Cosideriamo alcuni esempi 1) Bigliardo tvaF CDMCDMext cos00 ===sum prima dellrsquourto nellrsquourto si verificano solo forze

interne Quindi tvaF CDMCDMext cos00 ===sum dopo lrsquourto e durante tutto il moto

2) Sistema terra-luna sumFext = gravitazione del sole aCDM egrave ldquocentripetardquo accellerazione di una

forza che egrave diretta verso il sole (forza ldquocentralerdquo) egrave il CDM terra-luna che segue la traiettoria dovuta allrsquoattrazione gravitazionale del sole poi terra e luna si muovono intorno al loro CDM

3) Clavette lanciate sum Fext = Mg aCDM = g il centro di massa si comporta come un punto materiale nel lancio

4) La ballerina nel ldquogrand-fetegraverdquo fa seguire a testa e busto una traiettoria rettilinea percheacute modifica lrsquoassetto in modo da alzare il suo CDM Nel corso del salto (alza le braccia e distende

orizzontalmente le gambe non appena lasciato il suolo) il suo CDM segue la traiettoria parabolica del lancio di un corpo soggetto allrsquoaccelerazione di gravitagrave g

Quantitagrave di moto rarrP

- Si definisce quantitagrave di moto di una particella il vettore

rarrrarr= vmP

con m massa della particella e rarrv la sua velocitagrave

Si vede che rarrP egrave diretto come

rarrv

Newton scrisse la legge fondamentale della dinamica in termini di quantitagrave di moto (a differenza di Galileo che la scrisse in termini di massa e di accelerazione) ldquola rapiditagrave di variazione della quantitagrave di moto di una particella egrave proporzionale alla forza netta che agisce sulla particella ed egrave nella direzione di quella forzardquo cioegrave

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

che egrave piugrave generale della formulazione di Galileo perchegrave descrive bene anche il caso in cui variasse la massa del corpo durante il moto (ad esempio un vettore spaziale) Se la massa egrave costante le due formulazioni sono identiche

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

= t

vm

∆∆

rarr)(

= m t

v

∆∆

rarr

= m rarra

Ricordiamo che rarrF egrave diretto come

rarra (o la risultante

rarrR = sum

rarrF )

Per un sistema di punti materiali si definisce la quantitagrave di moto totale

rarrP =

rarrP 1 +

rarrP 2 + helliphellip+

rarrP n =

m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +helliphelliphellip+ mn

rarrv n = M

rarrv CDM (si puograve dimostrare) dove M egrave la massa totale

[essendo infatti Mrarrv CDM =

dt

d(M

rarrr CDM) =

dt

d(m1

rarrr 1 + m2

rarrr 2 +hellip) = m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +

hellip]

quindi rarrP = M

rarrv CDM per un sistema di particelle e

dt

Pdrarr

= M dt

d rarrv CDM = M

rarra CDM = sum

rarrF ext

Conservazione delle quantitagrave di moto

Per un sistema chiuso (M non varia) e isolato (sumrarrF ext = 0)

Allora

t

P

∆∆

rarr

= 0 rarrP = cost

rarrP i =

rarrP f

che sono tre modi equivalenti per dire che la quantitagrave di moto si conserva Vale per un sistema nel quale non agisca nessuna forza esterna netta Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica e la conservazione delle quantitagrave di moto sono due concetti fisici importantissimi Valgono sia per le palle da bigliardo che per qualunque altro sistema anche le galassie nellrsquouniverso Queste equazioni sono vettoriali Ciograve significa che rappresentano una terna di equazioni scalari ognuna valida sul proprio asse del sistema di riferimento (x y z)

Puograve accadere a seconda delle forze che agiscono nel sistema che la quantitagrave di moto si conservi in una direzione o in due e non in tutte e tre

Ad esempio se consideriamo una palla come un insieme di punti materiali la rarrF ext che agisce nel

sistema egrave mrarrg diretta lungo z senza componenti su x e y quindi

rarrP varia lungo z ma

non su x e y

Percheacute ldquocomplicarci la vitardquo con questa storia del CDM del sistema di particelle etchellip non bastava il moto del punto rappresentativo materiale Avevamo giagrave considerato il punto rappresentativo e avevamo svolto anche problemi sulla palla sul bilanciere e per altri oggetti Abbiamo sempre sbagliato La questione egrave se un corpo egrave rigido cioegrave se tutti i suoi punti si muovono mantenendo le loro distanze relative non crsquoegrave problema abbiamo solo visto che il punto materiale rappresentativo si chiama CDM ed abbiamo imparato a situarlo allrsquointerno del corpo Ma se il corpo non egrave rigido cioegrave se il suo CDM si sposta rispetto a lui stesso nel corso del moto la disposizione del corpo intorno al punto rappresentativo varia nel corso del tempo e le leggi di conservazione valgono per il CDM - Consideriamo ad esempio il teorema dellrsquoenergia cinetica che per un punto materiale si scrive Ltot = Kfin-K in = ∆ K (qui ovviamente non crsquoegrave da specificare lavoro delle forzeldquoesternerdquo percheacute essendo in un punto materiale che si assume infinitamente piccolo non ci sono forze ldquointernerdquo) Per analogia il teorema dellrsquoenergia cinetica si estende al caso di un insieme di punti materiali nel seguente modo

Ltot forze ext=rarrF extmiddot

rarrs CDM = ∆ KCDM

Dove s CDM egrave lo spostamento del centro di massa A titolo di esempio risolviamo il problema un giocatore di hockey su ghiaccio di massa M = 110Kg si muove verso la balaustra a bordo campo alla velocitagrave di 3msec Nellrsquoarrestarsi flettendo le braccia il suo CDM si sposta in avanti di 30cm Qual egrave la ∆ K del suo CDM durante la manovra

∆ KCDM = infin CDMCDM mvmv 22

2

1

2

1 minus =

= 0 - 2

1110 32 = -495 J

Fig 40

Sia L il lavoro delle forze esternerarrF ext (dirette come d

rarrx CDM ) allora

L = - Fext 03 = ∆ KCDM quindi

Fext =30

495

minusminus

= + 1650N

( si considera la forza esterna rarrF ext costante nellrsquointervallo dellrsquoarresto fatto che equivale a dire

che il giocatore si arresta con rarra CDM costante)

Dinamica e statica del corpo esteso Finora abbiamo sempre discusso del moto di un punto materiale (punto rappresentativo dicevamo sempre) In particolare abbiamo sempre applicato le forze a quel punto materiale quindi se diverse forze erano applicate esse concorrevano in quel punto ligrave e con le forze concorrenti sapevamo come calcolare la risultante con il metodo grafico o con quello numerico delle coordinate cartesiane Una volta calcolata la risultante applicata al punto si otteneva un moto di pura traslazione del punto (al massimo traslava lungo una traiettoria curva) senza rotazioni proprie del punto che non hanno neanche senso un punto che ruota su se stesso Come faccio ad accorgermi Un punto per definizione egrave infinitamente piccolo (Dicevamo infine che il punto egrave in equilibrio

traslazionale se la risultante rarrR delle forze applicate egrave nullo)

Consideriamo invece un corpo esteso Prima osservazione questo ha piugrave punti (direi infin ) a

cui la forza puograve essere applicata Prendiamo una racchetta da tennis ed una forza rarrF applicata il

moto che ne risulta dipende dal punto al quale viene applicata la forza rarrF

qui la racchetta trasla

Fig 41

stessa forza qui la racchetta ruota

Fig 42

Seconda osservazione Crsquoegrave un caso in cui le forze non possono essere fatte concorrere in un punto ed egrave quando sono parallele ed hanno rette di applicazione distinte Chiaramente non abbiamo mai dovuto considerare questo caso per il punto materiale percheacute per un punto non possono mai passare due rette parallele Ma per il corpo esteso So benissimo che se sono ferma con la macchina in

panne e la sto spingendo applicando una forza rarrF 1 sono contenta se qualcuno si affianca a me ed

esercitando una forza rarrF 2 lungo una direzione parallela a quella della mia mi aiuta a spingere In

particolare mi viene spontaneo dire che se F1 = F2 allora spingeremo con una forza doppia Ci saragrave quindi un modo per sommare due forze non concorrenti in un punto ma parallele e saragrave Ftot = F1+ F2 La retta di applicazione di Ftot divide il segmento congiungente i punti di applicazione di F1 ed F2 in due segmenti inversamente proporzionali allrsquointensitagrave delle forze F1 e F2 Terza osservazione se F1 = - F2 sono uguali in intensitagrave ma di verso opposto sempre lungo due rette di applicazione parallele passanti per un corpo esteso cosa succede La loro somma Ftot risultante saragrave 0 ma io so che il corpo non sta fermo sotto lrsquoazione di tali due forze ma ruoteragrave Concludo che le nozioni che ho acquisito finora vanno riviste ed ampliate o corrette o specificate per i corpi estesi ed inoltre che mi mancano totalmente i mezzi per descrivere le rotazioni dei corpi estesi Occorrono nuovi concetti nuove quantitagrave la forza non basta Prendo lrsquoesempio piugrave semplice dellrsquoaltalena con due bambini in due bracci uno piugrave leggero uno piugrave pesante

Fig 43 Qualitativamente so che percheacute lrsquoaltalena stia in equilibrio e non ruoti intorno al punto fisso non egrave necessario che i due bambini abbiano lo stesso peso (ugual massa) occorre che il bambino piugrave leggero sieda piugrave lontano rispetto al punto fisso (fulcro) La regola quantitativa dice che lrsquoaltalena egrave in equilibrio se il prodotto del peso per la distanza del fulcro egrave uguale PB dB = Pb

db Per generalizzare questa regola ai casi piugrave complessi occorre definire una nuova quantitagrave il momento di una forza Momento di una forza

Consideriamo una forza rarrF applicata ad un punto P ed un punto O Sia

rarrr

il vettore rarrOP allora il momento

rarrM di

rarrF rispetto ad O egrave

rarrM =

rarrr x

rarrF

e

|rarrr | middot |

rarrF | sin ϑ = |

rarrM |

Fig 44

oppure anche considerando la componente di rarrF perpendicolare ad

rarrr o di

rarrr

perpendicolare a rarrF r e rispetto a F

|rarrM | = |

rarrr | |

rarrF perp | |

rarrM | = |

rarrr perp| |

rarrF |

In generale si dice che il modulo del momento |rarrM | egrave il prodotto delle intensitagrave della forza per la

distanza dal punto della retta di applicazione della forza

Come vettore rarrM egrave perpendicolare al piano che contiene

rarrF ed

rarrr ed ha verso calcolato con la

regola della mano destra (con rarrr che si chiude su

rarrF )

La distanza rperp si chiama braccio della forza Si vede che il momento egrave nullo quando il braccio egrave nullo cioegrave quando il punto O si trova sulla retta di applicazione di F Il momento della forza peso P egrave nullo rispetto al baricentro che coincide con il centro di massa nel caso (praticamenteldquosemprerdquo) in cui il corpo non sia abbastanza esteso percheacute diversi punti del corpo risentano di una forza gravitazione differente Praticamente si deve parlare di galassie percheacute CDM e baricentro (BC) non coincidono Quindi la condizione del momento nullo della forza peso diventa un modo per definire il CDM come quel punto rispetto al quale la forza peso P ha momento nullo Per un corpo ldquoarticolatordquo estendiamo il concetto di forza normale come forza di contatto nellrsquoarticolazione utile cioegrave la forza che lrsquoarticolazione che si sta considerando esercita su quello che nellrsquoarticolazione si appoggia La forza peso P di un corpo esteso puograve immaginarsi applicata al CDM Principio di equilibrio di un corpo esteso

se su un corpo esteso agiscono solo rarr

Peso e rarr

Normale cioegrave se un corpo egrave appoggiato ad un piano orizzontale allora il corpo egrave in equilibrio se e solo se il baricentro si trova sopra la superficie di appoggio

Fig 45

Finchegrave il baricentro egrave sopra il tavolo il libro non cade percheacute rarrP applicata a CDM puograve essere

controbilanciata da rarrN Se CDM si sposta in fuori

rarrN rimane nel tavolo e crsquoegrave momento non nullo

non equilibrato da rarrP che continua ad essere applicato nel CDM

Il baricentro di una persona in posizione eretta si trova nellrsquoarea delimitata dei suoi piedi 3cm davanti allrsquoarticolazione della caviglia

Fig 46 Quando la persona si piega in avanti il baricentro esce dal corpo e per mantenere lrsquoequilibrio egrave necessario che le anche si spingono indietro percheacute il baricentro cade di nuovo in quella posizione Notiamo che anche in posizione eretta essendo la forza peso e la forza di contatto non allineate (quei 3cm) (forza di contatto sullrsquoarticolazione della caviglia che regge il peso) occorre un momento correttivo che impedisca la rotazione in avanti mantenuto dal tendine di Achille che si lega alla caviglia Altro esempio di spostamento del baricentro egrave lrsquoatleta che assume una posizione ad L chi regge il peso egrave lrsquoarticolazione della spalla quindi il CDM si sposta sotto la spalla (giagrave era uscita dal corpo per via delle gambe distese in avanti) Nel camminare il baricentro continua a muoversi da sopra un piede a sopra un altro (quello appoggiato ovviamente) Si osservi lrsquoondeggiamento Per assurdo lrsquoancheggiare delle indossatrici serve a mantenere il baricentro il piugrave possibile fermo rispetto alla direzione media del moto (porre un piede esattamente davanti allrsquoaltro) rendendo piugrave facile muoversi anche con tacchi altissimi Al contrario lrsquoequilibrista che cammina sui trampoli sta fermo il meno possibile percheacute egrave stando fermo che il piccolo spostamento che fa uscire il baricentro (ALTO) dalla superficie drsquoappoggio puograve verificarsi facilmente preferisce il ldquonon ndash equilibriordquo o lrsquo rdquoequilibrio dinamicordquo dellrsquoondeggiare continuamente fra due posizioni di equilibrio

Ricordiamo che un equilibrio egrave detto stabile se quando una perturbazione lo altera spontaneamente il sistema lo ripristina Viceversa un equilibrio egrave instabile se la piugrave piccola perturbazione lo distrugge Lrsquoequilibrio egrave molto stabile se il baricentro egrave basso ed il corpo ha una grande area drsquoappoggio la posizione accucciata del giocatore di football americano dagrave grande stabilitagrave Ancor piugrave grande stabilitagrave si ha se il baricentro (CDM) si trova al di sotto della superficie drsquoappoggio Ersquo come se si fosse ldquoappesirdquo anzicheacute ldquoappoggiatirdquo alla superficie drsquoappoggio Proprio per questo motivo lrsquoequilibrista sul filo porta una lunga asta che spesso si flette agli estremi

Fig 47 Gli uccelli bipedi da 100000000 di anni hanno sviluppato questo adattamento per cui sono appesi alle anche mentre gli uomini bipedi da solo 1000000 di anni fanno fatica con il CDM dalla parte alta del corpo Ersquo un equilibrio instabile ldquosoprardquo le anche che le reggono (65 del peso del corpo) Modificazioni strutturali per reggere la posizione eretta 1) Colonna vertebrale rastremata (piugrave tozza in basso che in alto percheacute piugrave in basso vuol dire una

maggior forza di contatto) 2) Muscoli estensori della schiena 3) Gambe ed anche ingrossate 4) Ginocchio che blocca la gamba estesa Ciononostante si ha spesso il mal di schiena Se una forza ha momento non nullo rispetto ad un punto allora il corpo puograve ruotare intorno a quel punto sotto lrsquoazione di quella forza ldquoDiciamo che se sostengo il corpo per quel punto il corpo puograve ruotare intorno a quel puntordquo (Prendo in mano un foglio di carta per un estremo per esempio) La presenza di un momento non nullo egrave dunque la condizione che genera rotazione e viceversa Lrsquoassenza di un momento risultante egrave la condizione che genera lrsquoequilibrio rotazionale di un corpo esteso Quindi la condizione di equilibrio per un corpo esteso egrave

1) rarrR = 0 risultante delle forze applicate = 0 (equilibrio traslazionale)

2) rarrM = 0 momento risultante = 0 (equilibrio rotazionale)

Supponiamo di avere un corpo esteso al quale siano applicate delle forze che diano luogo ad un momento non nullo allora il corpo ruota Per equilibrarlo dovrograve applicare un altro momento tale che la loro somma sia nulla Questo egrave il principio di funzionamento delle leve LEVE

Una leva egrave un corpo esteso al quale sono applicate delle forze con un momento risultante rarrR

allora per portare il corpo in equilibrio applico un momento correttivo rarrP in modo che il momento

totale sia nullo Si dice in genere potenza (P) e resistenza (R) di una leva Le leve sono macchine semplici Servono per applicare forze in punti scomodi o in direzioni particolari Il fulcro egrave il punto nel quale la leva egrave incernierata Si definisce il guadagno meccanico di una leva

GM =

)(

)(rarr

rarr

PF

RF

cioegrave il rapporto fra la forza che genera il momento resistente e quella che genera il momento agente A seconda che GM sia gt

lt 0 una leva si dice che egrave vantaggiosa o svantaggiosa ma solo per quel che riguarda le forze percheacute per quel che riguarda i lavori non si ha neacute vantaggio neacute svantaggio Il lavoro esercitato dalla forza che dagrave la ldquopotenzardquo e quello esercitato dalla forza che dagrave la ldquoresistenzardquo sono sempre uguali Infatti forze e spostamenti sono inversamente proporzionali Le leve si dicono di I II o III specie a seconda se il fulcro si trovi I) in mezzo fra R e P (leva indifferente GM dipende da caso a caso) II) dalla parte di R (leva vantaggiosa il braccio di R egrave sempre minore del braccio di P basta

quindi una P minore per equilibrare una R maggiore) III) dalla parte di P (leva svantaggiosa) Classici esempi dei tre tipi di leve sono i remi (I) lo schiaccianoci (II) e la pinzetta per francobolli (III) Tuttavia vediamo degli esempi meno classici ma attinenti al campo della biologia e della medicina Criterio generale egrave che le leve vantaggiose consentono di essere molto potenti ma con brevi spostamenti mentre viceversa quelle svantaggiose fanno perdere in potenza ma consentono grandi spostamenti saragrave difficile vedere un cavallo che con le lunghe zampe si scava la tana drsquoaltronde una talpa scava bene la tana ma ha movimenti molto meno ampi che non le consentono di correre veloce come un cavallo (compromesso fra forza e velocitagrave del movimento) Se contiamo tutti i movimenti di rotazione che il corpo puograve compiere capiamo che siamo pieni di leve di ogni tipo Sono classici a) il capo fulcro (articolazione occipito-atlantoide) Fig 48 muscoli della nuca (Potenza) peso del capo (Resistenza) b)

muscolo bicipide (Potenza)

Fig 49 Peso dellrsquoavambraccio (Resistenza) Fulcro (articolazione del gomito) Questa leva permette grandi spostamenti Si vede che la forza operata dal muscolo bicipite egrave massima quando lrsquoavambraccio egrave orizzontale (la distanza dal fulcro egrave massima) ed egrave minima quando lrsquoavambraccio egrave verticale( con la distanza dal fulcro nulla) Attenzione - la colonna vertebrale egrave costituita da 24 vertebre separate da dischi di liquido Quando una

persona si piega la schiena egrave una leva con GM molto piccolo Quindi un piegamento completo per raccogliere un oggetto anche leggero produce una forza molto intensa sul disco lombosacrale che separa lrsquoultima vertebra dellrsquoosso sacro Se indebolito questo disco puograve rompersi o deformarsi comprimendo i nervi vicini e causando grande dolore Vediamo un modello che rende conto come mai questa forza egrave cosigrave grande

Fig 50

I muscoli della schiena esercitano T Con un angolo α = 12deg quando la schiena egrave piegata a 90deg

Peso della parte superiore del corpo (circa il 65 del peso totale)

Fulcro lombosacrale (il fulcro produce R) Essendo α piccolo la retta di azione Τ passa vicino al fulcro e dunque la distanza r che costituisce il suo braccio egrave molto piccola Al contrario il peso egrave perpendicolare alla colonna e il suo punto di applicazione egrave molto piugrave distante dal fulcro Τ deve essere molto grande per equilibrare il momento di P Dunque se T egrave grande anche la sua componente orizzontale egrave grande e di conseguenza anche R che costituisce la reazione dellrsquoosso sacro deve avere componente orizzontale molto grande per equilibrare Τ (uguale ed opposta alla componente orizzontale di Τ ) Facendo i conti si ottengono numeri grandi per 75Kg di peso T ed R sono equivalenti al peso di una massa di 220Kg Senza sollevare pesi solo piegandosi Conviene piegare le ginocchia quando si sollevano pesi - Nel corpo egrave difficile che il peso cada sulla verticale dellrsquoarticolazione che lo sostiene egrave sempre

un porsquo spostato e crsquoegrave un tendine con un muscolo che compensa il momento del peso - La contrazione muscolare egrave una successione di brevi contrazioni delle fibre muscolari stimolate

da impulsi che provengono dal sistema nervoso Contrazioni sono molto ravvicinate e avvengono in tempi differenti nelle diverse parti del muscolo cosigrave che il risultato apparente egrave una lenta e progressiva contrazione Se la frequenza degli impulsi aumenta la tensione cresce finchegrave si raggiunge la tensione massima (ricordare la tensione di un cavo) Un ulteriore aumento della frequenza degli impulsi a questo punto non causa ulteriore aumento della tensione

La tensione massima egrave proporzionale allrsquoarea della sezione trasversa del muscolo nel suo punto piugrave largo La tensione massima dipende anche dalla lunghezza del muscolo che varia Si ottiene tensione massima quando il muscolo egrave solo di poco allungato rispetto alla sua lunghezza di riposo di riposo ed egrave circa 30-40 Ncm2 La tensione massima si riduce moltissimo se il muscolo egrave molto allungato o accorciato Dinamica Rotatoria Fino ad ora abbiamo studiato moti traslatori ma il moto di un corpo rigido egrave in generale roto-traslatorio Naturalmente dobbiamo ridurre il problema complesso ad uno piugrave semplice e per fare ciograve immaginiamo di posizionarci su un sistema di riferimento solidale al corpo rigido i moto immaginiamo cioegrave di ldquosedercirdquo sul corpo rigido In questo modo non saremo piugrave sensibili al moto traslatorio e guardando il corpo rigido osserveremo solo le sue rotazioni Trattiamo allora il moto generico scomponendo la parte traslatoria (giagrave discussa ) da quella rotatoria Se si trascura la parte traslatoria del moto di un corpo rigido quello che rimane da trattare egrave la sua rotazione Nel nostro corso consideriamo le rotazioni che avvengono su un piano le rotazioni nello spazio potranno essere trattate come composizione di rotazioni su un piano Per le rotazioni su un piano si identifica un asse di rotazione perpendicolare al piano di rotazione e passante per il centro di rotazione Le articolazioni del gomito e del ginocchio sono articolazioni libere di ruotare intorno ad un asse a differenza ad esempio di quella della spalla che puograve ruotare intorno a due assi Si definisce spostamento angolare la variazione di una posizione che egrave definita in modo completo da una misura di angolo Una rotazione di un intero corpo rigido egrave definita in modo completo da uno spostamento angolare θfin - θin= ∆θ e si misura in radianti

Fig 51 Dobbiamo definire anche un verso di rotazione θ si incrementa per rotazioni antiorarie positive le rotazioni in senso orario sono invece negative La velocitagrave angolare si definisce analogamente alla velocitagrave lineare come il rapporto tra lo spostamento angolare e il tempo t impiegato per eseguire tale rotazione

ωm = t∆

∆θ e si misura in rad s

θin

θfin ∆θ

R

S

Anche per w si definisce ωist = lim ∆trarr0 t∆

∆θ

Ancora lrsquoaccelerazione angolare si definisce αm = t∆

∆ω e αist = lim ∆trarr0

t∆∆ω

Anche la legge fondamentale della dinamica ha un analogo nel ambito dei moti rotatori Si stabilisce che se ad un corpo rigido egrave soggetto ad un momento torcente diverso da zero esso subisce unrsquoaccelerazione angolare ad esso proporzionale Nel caso delle rotazioni la resistenza al moto egrave espressa dal momento di inerzia I associato al corpo rigido che gioca il ruolo della massa nei moti traslatori La legge della dinamica delle rotazioni egrave M = I middotα

E sostituendo M = Imiddott∆

∆ω= Imiddot

tinfin

∆minusωω

Il momento di inerzia I di un corpo rigido dipende dalla disposizione della massa del corpo rispetto allrsquoasse di rotazione per una massa puntiforme m a distanza R dallrsquoasse di rotazione I= m R2 per un oggetto esteso sommerograve il momento drsquoinerzia delle sue parti I = Σi mi Ri

2 Se si definisce momento angolare L il prodotto del momento drsquoinerzia per la velocitagrave angolare

L=Iω la legge della dinamica diventa

M = t

LL infin

∆minus

Il momento angolare egrave la grandezza fisica che si conserva se non viene applicato momento torcente Tutti i gesti di volo salti lanci tuffihellip sono azioni nelle quali si conserva il momento angolare Infatti in volo agisce solo la forza di gravitagrave che essendo applicata al CDM non genera momento torcente Il corpo umano nei gesti di volo Il corpo umano non egrave rigido e pertanto in volo agendo con i muscoli possiamo cambiare la disposizione del nostro corpo intorno al centro di massa che in volo coincide col centro di rotazione In questo modo si ottiene una variazione del momento di inerzia I e di conseguenza la velocitagrave angolare deve compensare questa variazione in modo che si mantenga costante il momento angolare L (grandezza che si conserva in assenza di momento torcente) Ersquo questo il principio che spiega il realizzarsi delle trottole sul ghiaccio dei salti mortali tuffi con avvitamento e cosigrave via in posizione raccolta I diminuisce e ω aumenta Moto circolare e moto circolare uniforme Per utilizzare le relazioni della cinematica e della dinamica lineare che abbiamo studiato egrave interessante poter passare dalle variabili angolari alle variabili lineari velocitagrave e accelerazione delle

masse in moto rotatorio Se una massa si muove su una traiettoria curva la velocitagrave tangenziale vt diretta come la tangente alla traiettoria dipende dalla velocitagrave angolare ω ( ωm=ϑ t )e dal raggio di curvatura della traiettoria Se la traiettoria egrave una circonferenza di raggio R e se gli angoli sono espressi in radianti lrsquoarco percorso per uno spostamento angolare ϑ egrave S = ϑ sdotR e la velocitagrave lineare tangente vt = St= ϑ sdotRt risulta vt = ωsdotR Se la velocitagrave angolare ω egrave costante il moto egrave detto circolare uniforme La legge oraria egrave quella dei moti uniformi spostamenti angolari uguali in tempi uguali ϑ(t) = ω t Anche la velocitagrave tangente saragrave di intensitagrave costante se ω egrave costante (archi uguali per tempi uguali s(t) = vt (t) ) ma crsquoegrave una accelerazione normale infatti la velocitagrave anche se non cambia in modulo cambia continuamente di direzione Questa accelerazione si dice centripeta egrave diretta normalmente rispetto alla traiettoria verso il centro della circonferenza e vale in modulo

ac=R

v2

Fig 52 Essendo la velocitagrave tangente vt = ωR Lrsquo accelerazione centripeta si puograve scrivere

ac =R

v2

= ω2 R

Il tempo impiegato dal punto a muoversi sulla circonferenza egrave una costante (moto uniforme) T periodo in T viene percorso uno spazio 2π R

v = T

Rπ2

La frequenza f egrave invece il ndeg di giri al secondo

f =T

1

Se si prendono punti diversi sul raggio della circonferenza questi hanno la stessa velocitagrave angolare e velocitagrave tangenziali crescenti al crescere del raggio Esempio carosello dei pattinatori Esercizi

1- un velocista con una velocitagrave di 10 ms viaggia su una curva di raggio 25m ndash accelerazione

a = R

v2

= 25

100 = 4 ms2

2 ndash un velocista con v = 92 ms su una pista circolare con ac = 38 m s2 ndash Raggio della pista Tempo per percorrere un giro completo

a = R

v2

rArr R = a

v2

= 83

)29( 2

= 2227m

T =v

Rπ2 =

29

27222 lowastπ = 152 sec

Forza centripeta forza centrifuga Una forza centripeta egrave una forza di qualunque natura che trattiene un corpo in moto su una traiettoria curvilinea ad esempio circolare In assenza di tale forza il corpo proseguirebbe il suo moto lungo una traiettoria rettilinea Nel gesto del lancio del martello ad esempio il lanciatore che esercita sul peso in cima allrsquoattrezzo una forza mediata dalla tensione dal cavo che lo trattiene nella traiettoria circolare Quando il lanciatore lascia la maniglia il martello viene lanciato lungo la direzione della tangente alla traiettoria nellrsquoistante di rilascio Lrsquointensitagrave della forza centripeta necessaria a mantenere una massa m in moto con velocitagrave tangente v lungo una traiettoria circolare di raggio r si puograve calcolare a partire dallrsquoaccellerazione centripeta secondo la legge fondamentale della dinamica

|rarr

cF | = m | rarr

ca | = m r

v2

Tale forza egrave diretta come lrsquoaccelerazione centripeta e cioegrave verso il centro della circonferenza che costituisce la traiettoria La forza centripeta egrave dunque una forza reale Con lsquoforza centrifugarsquo invece non ci si riferisce ad un forza che agisce su un corpo ma alla situazione apparente cui sembra sottoposto un corpo in moto curvilineo Esso pare tirato o attirato lontano dal centro di rotazione pare ci sia una lsquoforzarsquo che vuole farlo sfuggire Quando viene lasciato il martello si allontana dal centro di rotazione percheacute si muove di moto rettilineo uniforme non essendo piugrave soggetto a forze altre che la forza peso Lrsquoacqua esce dal cestello della lavatrice quando il cestello ruota velocemente (funzione centrifuga) percheacute lrsquoacqua che non costituisce un corpo solo con il cestello bucato non egrave soggetta alla forza centripeta e puograve passare attraverso i buchi I panni invece pure non parte del cestello sono troppo grandi per passare dai buchi si possono solo schiacciare contro le pareti questo schiacciamento sembra il risultato di una forza ma egrave invece il risultato dellrsquoassenza di una forza quella centripeta Una volta lagrave contro il cestello fanno tuttrsquouno con le pareti di metallo che esercitano su di essi la forza centripeta (cioegrave con direzione verso lrsquoasse di rotazione) che li mantiene in rotazione Le parti di un corpo rigido esteso che si muove di moto rotatorio rispetto ad un asse quale ad esempio la gamba di un giocatore di calcio che calcia un pallone sono soggette alla forza centripeta che le mantiene sulla traiettoria curva Tale forza viene trasmessa alle varie parti tramite le forze di tensione che si sviluppano allrsquointerno del corpo stesso ad esempio il piede egrave soggetto alla forza centrifuga tramite lrsquoazione dei legamenti e tendini a livello della caviglia che vengono messi in tensione per trattenere il piede stesso

il cui modulo vale |rarr

sattF _ | = smicro |

rarr

NF | ( smicro egrave il coefficiente di attrito statico il suo valore dipende

dalla natura dei materiali a contatto) esercitata orizzontalmente dal piano che uguaglia in

intensitagraverarrF ma di verso opposto in modo che il corpo non si muove Se aumento

rarrF aumenta

anche rarr

sattF _

Fig22 Diagramma delle forze applicate al blocco

Raggiunto un certo valore di rarrF il corpo ha uno ldquostrappordquo e comincia a muoversi nella direzione

di rarrF verso destra ostacolato dalla una forza di attrito dinamico

rarr

dattF _ generalmente inferiore al

valore max di rarr

sattF _ (egrave piugrave facile mantenere un corpo in moto che muoverlo da fermo)

(Il passaggio da un regime allrsquoaltro egrave allrsquoorigine degli stridii da attrito ndash quello ad esempio del gesso sulla lavagna - o anche del suono del violino) - Proprietagrave dellrsquoattrito riassunte

1 ndash Corpo fermo la forza di attrito statica rarr

sattF _e la componente di

rarrF parallela alla superficie

hanno uguale intensitagrave e si annullano 2 ndash limite di scivolamento la massima forza di attrito per due materiali posti a contatto egrave proporzionale alla forza normale tramite un coefficiente di attrito statico smicro

| rarr

sattF _(max)| = smicro |

rarr

NF |

smicro egrave un coefficiente adimensionale che assume valori diversi per diverse coppie di materiali

3 ndash il corpo inizia a muoversi il valore della forza di attrito decresce rapidamente fino a

|rarr

kattF _ | = kmicro |rarr

NF | proporzionale alla forza normale tramite un coefficiente di attrito dinamico kmicro

adimensionale e dipendente dalla coppia di materiali in considerazione

P

FN

F Fatt

Attenzione |rarr

sattF _| e

rarr

kattF _ | sono proporzionali non a |

rarrP | ma a |

rarr

NF | quindi nel caso di un

piano inclinato bisogna considerare la componente di rarrP perpendicolare al piano

rarr

NF equilibra

solo la parte di rarrP perpendicolare al piano

Attenzione le equazioni per |rarr

sattF _| e |

rarr

kattF _| non sono vettoriali le forze di attrito non sono

dirette come la forza normale rarr

NF ma parallele al piano

Durante una corsa allo scatto si usano i blocchi di partenza per sfruttare la reazione del blocco alla forza muscolare di spinta Data lrsquoinclinazione dei blocchi la forza di reazione del blocco sul atleta si massimizza nella direzione del moto

rArr si fa uso della ldquoazione-reazionerdquo Fig 23 Durante la corsa si sfrutta il coefficiente di attrito statico per mantenere un piede fermo a terra mentre lrsquoaltro avanza Per non superare il limite di scivolamento allrsquoindietro del piede di appoggio la forza che si esercita sul terreno deve avere una componente normale al terreno di intensitagrave opportunamente elevata In ogni caso se smicro egrave basso si ha lrsquoeffetto del camminare sul ghiaccio

Lrsquouso di scarpette chiodate non aumenta il valore di smicro che egrave il coefficiente drsquoattrito tra due

superfici ldquoliscerdquo piuttosto hanno una funzione simile a quella di mini blocchi di partenza permettono di esercitare una forza sul tartan lungo la direzione del moto cioegrave parallelamente alla pista Resistenza del mezzo Consideriamo un corpo che si muove in aria Esso incontra una resistenza da parte dellrsquoaria che agisce in modo da opporsi al movimento del corpo cioegrave ha la stessa direzione e verso opposto a quella del moto

rarrD forza di resistenza del mezzo o forza aerodinamica (detta anche forza viscosa) si

|rarrD | =

2

1 cρAv2 (limite di alte velocitagrave eo alte viscositagrave)

D egrave proporzionale al quadrato della velocitagrave (termine v2 ) Inoltre D egrave proporzionale ad A lrsquoarea efficace della sezione trasversa (lrsquoarea presentata dal corpo nella direzione del moto vedi la posizione a uovo dei discesisti di sci o dei ciclisti) ρ egrave la densitagrave del mezzo Ersquo intuitivo che la resistenza D dipenda dalla densitagrave del mezzo infatti il corpo per procedere deve ldquofarsi stradardquo spostando le molecole del mezzo Quindi piugrave il mezzo egrave rarefatto piugrave egrave facile ldquofarsi stradardquo e inferiore egrave la resistenza D Con c si indica il coefficiente di penetrazione (il cosiddetto cx che dipende dalla forma geometrica del corpo) La forma (oltre che

lrsquoarea efficace A) influenza la resistenza opposta dal mezzo percheacute una ottimizzazione della forma (affusolata migliorare il Cx) porta a ridurre la formazione di turbolenze nellrsquoaria intorno al corpo Casco dei ciclisti o discesisti con forma a punta posteriore

non riduce la sezione trasversa A ma piuttosto migliora il Cx

Fig 24 Nel nuoto lo sbattere i piedi serve soprattutto per mantenere il corpo orizzontale e quindi a ridurre la sezione A Il lavoro viene fatto per lo piugrave dalle braccia (75) In acqua anche se la velocitagrave v egrave bassa D egrave significativa percheacute la viscositagrave del mezzo egrave grande Per ridurre le turbolenze negli sport di velocitagrave diventa essenziale utilizzare accorgimenti quali nascondere dadi e cavi nelle biciclette togliere cerchietti delle racchette da sci Tagliare i capelli o rasarsi le gambe sono sempre modi di ridurre anche le piccole turbolenze Velocitagrave limite di caduta di un grave in aria

La forza rarrD di frenamento durante la caduta libera li un corpo in aria ha verso opposto a quello

della forza pesorarrP che accelera il corpo verso il basso Se

rarrP egrave costante il corpo accelera con

accelerazione rarrg ie aumenta la velocitagrave verso il basso ma aumentando v dunque v2 aumenta

D Ciograve prosegue fincheacute D diventa di intensitagrave uguale P con verso opposto rarrD = -

rarrP A questo

punto la risultante delle forze agenti sul corpo in caduta egrave nulla (sumrarrF =

rarrD + (-

rarrP ) e dalla

seconda legge (fondamentale) della dinamica si ha che lrsquoaccelerazione rarra del corpo egrave nulla

rArr Il corpo non accelera piugrave e mantiene velocitagrave costante massima La velocitagrave raggiunta detta velocitagrave limite vlim egrave tale da verificare lrsquouguaglianza

D = 2

1cρAv lim

2 = mg = P quindi rArr vlim = (2mg cρA) frac12

La vlim raggiunta dai paracadutisti puograve essere variata modificando A tramite dei cambiamenti dellrsquoassetto in volo Questo permette ai paracadutisti di raggiungersi per fare figure in aria Lrsquoapertura del paracadute fa aumentare di molto A rendendo la velocitagrave limite molto piugrave bassa Anche le gocce di pioggia raggiungono la velocitagrave limite (v asymp 7msec in 6m) nella loro caduta Ad esempio cadendo da 1200m le gocce di pioggia raggiungono la terra con la velocitagrave limite di circa 7msec e non con la velocitagrave di 150msec che avrebbero se non ci fosse lrsquoazione di frenamento D (dei veri proiettili)

Senza D rarr vfin = 150ms

Con D rarr vfin = vlim = 7ms Fig 25 Forza elastica La forza elastica egrave una forza non costante

L lunghezza di riposo della molla Fig 26 Una massa m egrave vincolata ad una parete con una molla Se tiro la massa la molla si estende diciamo di un tratto x La molla esercita una forza di richiamo proporzionale allrsquoallungamento x (piugrave si allunga maggiore egrave la forza F di richiamo) F = -kx ldquorichiamordquo cioegrave di verso opposto allrsquoallungamento Ecco la ragione del segno (-) Se raggiunta una certa estensione la molla viene rilasciata essa si ricomprimeragrave ritorneragrave alla lunghezza di riposo L poi si schiacceragrave di un tratto x dalla parte opposta e nuovamente agiragrave la forza di richiamo (che egrave variabile in quanto varia con il variare di x) La massa oscilla attorno alla posizione di riposo k egrave la costante elastica della molla Lrsquoespressione della forza elastica vale per i respingenti del treno (k grande) come per la molla della biro (k piccola) come per lrsquoelastico del saltatore dal ponte Impulso di una forza La legge fondamentale della dinamica F = ma puograve essere scritta esprimendo lrsquoaccelerazione con la sua relazione definitoria (vf - vi)t

F = mt

vv if minus e quindi portando il tempo t al primo membro

)( if vvmtF minussdot=sdot oppure vmtF ∆sdot=sdot

Si dice ldquoimpulso ldquo di una forza il prodotto della forza per il tempo durante il quale viene applicata tF sdot (se la forza non egrave costante lrsquoimpulso egrave lrsquointegrale della forza nel tempo in cui viene applicata)

Scritta in questo modo lrsquoequazione fondamentale della dinamica puograve essere letta cosigrave 1) Supponiamo che un corpo vari la sua velocitagrave di una quantitagrave ∆v = vf - vi tanto piugrave lungo egrave il tempo t durante il quale questa variazione avviene tanto minore egrave la forza che deve essere sviluppata per ottenere tale variazione della velocitagrave In questi termini si capisce ad esempio lrsquoutilitagrave delle cinture di sicurezza che allungando i tempi durante i quali in caso drsquoincidente la velocitagrave del passeggero (che non egrave solidale con la vettura) passa da un valore vi iniziale a zero determina una riduzione della la forza cui il passeggero stesso egrave sottoposto durante il breve tempo dellrsquoimpatto (la forza che le ossa e le articolazioni possono sopportare egrave limitata) Si vede anche come funziona lrsquoelastico del jumper finchegrave lrsquoelastico non egrave completamente svolto (ltL) la forza che agisce sul jumper egrave P (la forza peso) poi progressivamente la forza elastica di richiamo contrasta P quindi il jumper decelera progressivamente per un lungo intervallo di tempo e lo lsquostrapporsquo (F applicata) necessario per contrastare P e fermare il jumper applicato sulle sue gambe e a cascata su tutte le sue articolazioni (secondo il terzo principio) egrave di entitagrave minore 2)Lrsquoimpulso totale prodotto tF sdot nella direzione ottimale egrave la grandezza fisica che stabilisce lrsquoefficacia di un gesto di spinta o di lancio non la massima forza espressa o la durata dellrsquoazione di spinta Lavoro di una forza ndash lavoro meccanico

- 1deg caso Forza costante rarrF

Immaginiamo una forza rarrF che agisce su un corpo durante il suo spostamento Immaginiamo cosi

che il punto di applicazione di questa forza si sposti nello spazio di un tratto rarrs Viene detto

lavoro della forza rarrF la quantitagrave

L = rarrF middot

rarrs = F middot smiddot cosϑ (prodotto scalare di

rarrF per

rarrs )

(prodotto scalare tra i due vettori) Fig 27 Il lavoro egrave una quantitagrave scalare cioegrave egrave descritta completamente da un numero da un valore Tale

valore puograve essere positivo o negativo a seconda che la componente di rarrF lungo

rarrs sia equiversa o

di verso opposto a rarrs Se

rarrF e

rarrs hanno la stessa direzione e se lo spostamento avviene nel

senso di rarrF diciamo che il lavoro egrave positivo (e viceversa negativo) Lrsquointensitagrave del lavoro puograve

variare tra un valore massimo e uno minimo per gli stessi valori del modulo di rarrs e di

rarrF a

rarrs

seconda del valore di cosϑ Il lavoro egrave massimo per cosϑ = 1 (cioegrave per ϑ = 0) (rarrF diretto come

rarrs ) Il lavoro egrave minimo ( L = 0) per cosϑ = 0 cioegrave per ϑ = 90deg (

rarrF perpendicolare a

rarrs )

Puograve darsi il caso che piugrave forze agiscono sullo stesso punto Allora si puograve calcolare il lavoro totale egrave la somma dei lavori di tutte le forze applicate

Ltot = sum Li = sum (rarr

sdotiFrarrs )

Dimensioni di L [ L ]= [ F ][ s ] = mmiddot l middot t-2 middot l = ml2 t-2 Unitagrave di misura di L 1 joule = 1N middot 1m ( 1J ) Lavoro della forza peso durante la caduta di un grave Un grave cade vicino alla superficie della terra sotto lrsquoazione della forza di gravitagrave cioegrave sottoposto ala forza peso P diretta verso il basso percorrendo un dislivello h Il lavoro compiuto dalla forza peso si calcola come

LP = rarrP middot

rarrs = Pmiddot smiddot cosϑ

notando che lo spostamento s (verso il basso) e la forza P sono paralleli con verso concorde pertanto ϑ = 0 e cosϑ = 1 e che | P| = mmiddot g si ottiene LP = mmiddot gmiddot h per uno spostamento s = h (dislivello) Lavoro meccanico nel sollevamento pesi Durante questo gesto sul bilanciere oggetto dellrsquoapplicazione delle forze si esercitano la forza peso P e la forza muscolare dellrsquoatleta Naturalmente entrambe le forze lavorano ma i due lavori si oppongono uno allrsquoaltro (ricorda che il lavoro puograve essere positivo o negativo) Il lavoro positivo deve essere nel verso del moto quindi egrave quello della forza muscolare dellrsquoatleta il lavoro di P invece egrave negativo e se il bilanciere si alza di una quota h si calcola facilmente seguendo il procedimento del paragrafo precedente ottenendo LP = - mmiddotgmiddoth (ϑ = π e cosϑ = -1 ) Calcoliamo il lavoro della forza musculare seguendo lrsquoesempio qui proposto Esempio Un atleta solleva un bilanciere di peso 2500N allrsquoaltezza di 2m (sopra la sua testa) Quanto lavoro meccanico compie la sua forza muscolare Supponiamo che il sollevamento avvenga a velocitagrave costante con accelerazione nulla allora il per il

primo principio della dinamica le forze applicate al bilanciere devono essere tali chesumrarr

iF = 0

Quindi la forza peso P = mmiddot g deve essere controbilanciata dalla forza applicata dallrsquoatleta Fm

Quindi rarr

mF = - rarrP

con Fm = 2500N Il lavoro La fatto dallrsquoatleta vale

Lm = rarr

mF middot rarrs = 2500 N middot 2m middot 1 = 5000 J (sollevamento verticale quindi ϑ = 0 e cosϑ = 1)

Quanto lavoro fa la forza peso

Lp = rarrP middot

rarrs = 2500 middot 2 middot (-1) = -5000 J

(percheacute ϑ = π e cosϑ = -1) Quanto lavoro fa lrsquoatleta mentre sostiene il peso fermo sopra la testa L = 0 percheacute non crsquoegrave spostamento Qui si parla di lavoro meccanico non di lavoro fisiologico diciamo che si fa fatica percheacute crsquoegrave da mantenere integrordquo un corpo non rigido che egrave il corpo dellrsquoatleta quindi si il lavoro delle contrazioni muscolari per mantenere lrsquoequilibrio e ldquolrsquointegritagraverdquo egrave la misura del lavoro fisiologico necessario anche se il lavoro meccanico compiuto egrave nullo 2deg caso Forza variabile Nel caso in cui F egrave una forza variabile che dipende dalla posizione ogni volta che avviene uno spostamento∆ x la forza cambia Il lavoro totale saragrave la somma dei lavori elementari fatti sui tratti piccoli sui quali la forza puograve essere assunta costante

Ltot = iii xxF ∆sdotsum )(

( Se si fa il limite per ∆ xi piccolo rarr 0 e la isum egrave lrsquointegrale Ltot = int sdotxtin

xinxdxF )( )

Ad esempio la forza F puograve essere la forza di richiamo di una molla vincolata al muro Lrsquointensitagrave della forza elastica varia durante lo spostamento aumentando con lrsquoallungamento (o la compressione) della molla ed ha la direzione parallela allo spostamento ma puograve avere verso concorde o discorde quindi con cosϑ che vale o +1 o ndash1 Immaginiamo di avere un blocco attaccato alla molla e di tirarlo da Xin a Xfin allora

F(x) = - kx Fig 28

Il lavoro della forza elastica si calcola sommando i lavori infinitesimali compiuti per spostamenti infinitesimi durante i quali la forza si assume costante Ciograve egrave rappresentato graficamente nel calcolo lrsquoarea compresa al di sotto della curva del grafico di F (Fig 28A) In figura si egrave cambiato il segno della funzione forza per comoditagrave di rappresentazione

Fig 28A

Area = differenza aree dei due triangoli = AABB kxxkxx sdotminussdot2

1

2

1

Ricordandoci del segno

L infin = 22

2

1

2

1infin kxkx +minus e in generale L = 2

2

1kx

Se si calcola il lavoro della forza di richiamo durante un allungamento della molla si ha lavoro negativo mentre durante il ritorno alla posizione di equilibrio il lavoro egrave positivo (segno dello spostamento x e della forza concordi) Energia cinetica Il termine ldquoenergiardquo indica la capacitagrave di compiere lavoro Lrsquoenergia cinetica egrave la proprietagrave che rende conto quantitativamente del legame fra il lavoro compiuto ed il moto generato Avevamo detto piugrave o meno lo stesso parlando della seconda legge della dinamica riferendoci alle forze Qui col lavoro non egrave necessaria la descrizione dettagliata delle forze che agiscono sul punto in considerazione Ersquo sufficiente conoscere il loro lavoro totale

Lrsquoenergia cinetica K = 2

1mv2 (gt 0 percheacute m gt 0 v2 gt 0 ) (m e v sono la massa e la velocitagrave del

corpo) Lrsquounitagrave di misura e le dimensioni di K sono le stesse del lavoro Joule ( J ) e [ ]K = [ ]22 minustml

Teorema dellrsquoenergia cinetica Se una forza F compie un lavoro L su un punto materiale di massa m si ha una variazione dellrsquoenergia cinetica pari al lavoro compiuto

Xfin Xin

F

0

ksdotxfin

ksdotxin

F= ksdotx

x

LAB= -area

L = Kfin ndash Kin = ∆ K Nel caso che piugrave forze agiscono sul punto materiale il teorema dellrsquoenergia cinetica si applica al lavoro totale (equivalentemente al lavoro della risultante ) E il caso dellrsquoatleta che solleva il peso di 2500N Sappiamo che ha compiuto un lavoro di 5000J ma il bilanciare con i pesi era fermo allrsquoinizio ed egrave fermo alla fine Quindi Kin = 0 e Kfin = 0 percheacute vin = 0 e vfin = 0 Allora il teorema dellrsquoenergia cinetica Vale per il lavoro totale o lavoro della forza totale e noi abbiamo visto che la forza netta totale = 0 ( Fa + P = 0 ) ed il lavoro totale egrave nullo quindi giustamente si ha ∆ K = 0 1)Caso di una palla da tennis che cade

la forza peso rarrP compie un lavoro positivo con spostamento concorde a

rarrP si dovrebbe avere

∆ K gt 0 infatti la velocitagrave v aumenta 2)Caso di una palla lanciata verso lrsquoalto

lo spostamento ha verso opposto a rarrP Il lavoro della forza peso egrave negativo e quindi ∆ K egrave

negativo giusto La velocitagrave diminuisce NB Durante il volo agisce solo la forza di gravitagrave quindi il lavoro totale comiuto sul corpo egrave solo quello della gravitagrave 3)Caso del moto circolare uniforme la forza che agisce egrave la forza centripeta che egrave perpendicolare allo spostamento Quindi non compie lavoro deve essere ∆ K = 0 Iinfatti il moto egrave uniforme cioegrave la velocitagrave egrave in modulo costante Potenza Si chiama potenza il lavoro che si egrave in grado di svolgere nellrsquounitagrave di tempo

P = t

L

∆ ( potenza media )

P = t

Lt ∆

∆rarr∆ 0lim ( potenza istantanea)

Non egrave solo una stima del lavoro compiuto ma anche della rapiditagrave con cui si compie lavoro

Fig 29 Per superare il muro ci vuole un certo lavoro che consiste nellrsquoinnalzare il proprio corpo di unrsquoaltezza h Sia lrsquoatleta che lo supera in un sol balzo sia il vecchietto che sale pian piano la scalinata faranno lo stesso lavoro Quel che egrave diverso egrave la potenza dei due personaggi Dimensioni e unitagrave di misura della potenza [ ]P = [L] [t -1] = [ml2t-3] 1 watt = 1 joule 1sec (1w)

Energia Potenziale K egrave energia connessa allo stato di moto di un sistema Crsquoegrave anche energia connessa alla posizione di un corpo in un campo di forze (configurazione) Si chiama energia potenziale Nel caso dellrsquoatleta di sollevamento pesi il lavoro compiuto dallrsquoatleta Lm non ha alterato lrsquoenergia cinetica K dellrsquoattrezzo ma ha modificato la configurazione del sistema (terra-attrezzo) variandone lrsquoenergia potenziale (W) Il lavoro non egrave stato sprecato ma ldquoimmagazzinatordquo lrsquoattrezzo prima egrave a terra poi egrave in alto nel sistema che ora ldquopotenzialmenterdquo puograve compiere un lavoro cedendo la sua ldquoenergia potenzialerdquo Energia cinetica ed energia potenziale sono due parti dellrsquoenergia meccanica possono trasformarsi lrsquouna nellrsquoaltra ed in lavoro Nellrsquoesempio precedente quando lrsquoattrezzo egrave in alto si ha che K = 0 e W = WA Quando cade K aumenta percheacute la velocitagrave v aumenta e lrsquoenergia potenziale W diminuisce In basso W = WB lt WA e K egrave massima Lrsquoattrezzo cadendo puograve compiere lavoro Se fosse un martello potrebbe far avanzare un chiodo ad esempio Lrsquoenergia potenziale viene definita proprio a partire dal concetto di lavoro di forze conservative Ersquo conservativa una forza il cui lavoro per spostare il suo punto di applicazione da una posizione (configurazione) ad unrsquoaltra dipende solo dalle due posizioni (configurazioni) iniziale e finale Equivalentemente si puograve definire la forza conservativa dicendo che il lavoro di tale forza egrave nullo se le posizioni (configurazioni) iniziali e finali coincidono

-Lavoro per passaggio dalla posizione A a B egrave lo stesso lungo I o II -Se da A vado a B e torno in A il lavoro totale egrave nullo

Fig 30 Posso allora definire una funzione della posizione W che assume i valori WA e WB in A e B e tale per cui LAB = WA ndash WB ( W energia potenziale) WA WB sono definiti a meno di una costante tanto quello che interessa egrave la differenza fra loro Variazione di energia potenziale del passaggio da A a B WB ndash WA = ∆W allora LAB = -∆ W Con questa convenzione sui segni si rende conto del fatto che un lavoro positivo ( fatto dalle forze conservative sul corpo) fa diminuire lrsquoenergia potenziale W ( L positivorarr ∆W negativo rarr WBlt WA rarr ho usato energia potenziale) un lavoro negativo (subito) aumenta W (L negativo rarr ∆W positivo rarr WBgt WA rarr ho guadagnato energia potenziale) W si misura in Joule come il lavoro e lrsquoenergia cinetica

Qual egrave la Forma di W

Mentre la forma dellrsquoenergia cinetica egrave sempre K =2

1mv2 indipendentemente dal tipo di forze

che provocano il movimento W dipende dal tipo di forza conservativa di cui si sta calcolando il lavoro Consideriamo due forze conservative

a) Forza gravitazionale forza peso

F(y) = -mg Stato di riferimento y0 = 0 in cui W0 = 0

Fig31

Abbiamo detto che LAB = WA- WB ma siccome

LAB = )( ABhmgsP minussdotminus=sdot dove hAB= yA-yB egrave la distanza tra A e B allora rArr WA = mgyA WB = mgyB e in generale W(y) =mgy

Per la forza peso W(y) =mgy e lrsquoenergia totale meccanica (W+K) = mgy+2

1mv2=Etot

b) Forza elastica

Fig 32

F(x) = -kx Stato di riferimento x = 0 allungamento nullo la lunghezza della molla egrave la sua lunghezza di riposo L ( W(0) = 0)

Immaginiamo che la configurazione della molla venga modificata passando dalla posizione xA alla posizione xB (Fig 32) Il lavoro della forza elastica egrave calcolato come

LAB = 22

2

1

2

1AB kxkx +minus

Ricordando che LAB = WA- WB possiamo ricavare lrsquoespressione per lrsquoenergia potenziale elastica

rArr WA = 2

2

1Akx WB = 2

2

1Bkx e in generale W(x) = 2

2

1kx

Energia totale meccanica ndash Conservazione dellrsquoenergia

In presenza di sole forze conservative la somma dellrsquoenergia cinetica e dellrsquoenergia potenziale costituisce lrsquoenergia totale meccanica Tale energia meccanica gode della proprietagrave importantissima di conservarsi durante lrsquoevoluzione del sistema Lrsquoenergia connessa al movimento e alla posizione si scambiano una diminuisce e lrsquoaltra cresce ad esempio ma la loro somma rimane costante

- Esempio delle montagne russe Se non ci sono attriti (infatti il trucco egrave quello di rendere il

sistema privo di attriti) so giagrave quale altezza massima potrograve raggiungere (quella iniziale e non di piugrave) quale velocitagrave massima potrograve raggiungere (in fondo alla valle) Queste quantitagrave sono fra loro legate dal teorema della conservazione dellrsquo energia meccanica

Fig 33 - Esempio del salto con lrsquoasta Lrsquoenergia cinetica dellrsquoatleta acquisita nella rincorsa viene

trasformata in energia potenziale gravitazionale parte direttamente e parte attraverso lrsquoenergia potenziale elastica dellrsquoasta acquisita nella sua deformazione durante il salto La flessibilitagrave dellrsquoasta (costante elastica dellrsquoasta) egrave legata allrsquoenergia che si puograve immagazzinare in una data deformazione Infatti con aste rigide (alluminio acciaio bambugrave) il salto era piugrave basso Con fibra di vetro il record egrave stato polverizzato

Fig 34

Fig 35

Fig 36

Osserviamo che il teorema dellrsquoenergia cinetica ha validitagrave generale qualunque siano le forze che agiscono conservative o non conservative (le forze non conservative si dicono anche ldquodissipativerdquo)

KLL

KL

fncfc

tot

∆=+∆=

e ricordando che darr Lfc = - )( fcW∆

Si ottiene che K∆ + )( fcW∆ = Lfnc

Si vede che nel caso in cui Lfnc sia nullo cioegrave quando non ci sono forze dissipative la somma delle variazioni di energia cinetica e energia potenziale egrave uguale a zero cioegrave lrsquoenergia totale meccanica (somma dellrsquoenergia cinetica e potenziale) egrave costante E questo corrisponde al teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica Nel caso ci siano forze dissipative la somma delle energie non egrave costante quindi al contrario del teorema dellrsquoenergia cinetica il teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica non ha validitagrave generale (vale solo in assenza di attriti ad esempio) Le forze non conservative di attrito compiono lavori solo negativi e fanno perdere quantitagrave di energia non recuperabile Parte di questa energia va in generale in calore quindi se ne puograve tenere conto considerando unrsquoaltra forma di energia lrsquoenergia termica ( ci sono anche altri fenomeni dissipativi ad esempio le deformazioni permanenti negli urti o la propagazione di onde sonore)

Lrsquo energia puograve dunque conservarsi o trasferirsi proprietagrave caratterizzanti dellrsquoenergia Il lavoro rende conto del trasferimento di energia della perdita di energia sotto una forma e del guadagno sotto unrsquoaltra forma (cioegrave energia conservativa) o del passaggio dellrsquoenergia da un sistema ad un altro Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica quando egrave applicabile puograve essere sfruttato per risolvere facilmente problemi altrimenti complicati Esercizio Una palla da tennis viene lanciata con velocitagrave iniziale v0 (senza effetti strani taglio etc) al di lagrave della rete Con quale velocitagrave arriva a terra

Se durante il moto Etot si conserva K+W = cost

Fig 37 e W = mgh egrave solo energia potenziale gravitazionale h = 0 alla fine come allrsquoinizio dunque K in = Kfin e vfin = v0 Se la palla egrave lanciata verso lrsquoalto non crsquoegrave componente orizzontale della velocitagrave ma solo verticale al punto piugrave alto di arresto h K(h) = 0 W(h) = max = Kin cioegrave mgh = frac12 mv0

2 si puograve cosigrave calcolare facilmente lrsquoaltezza massima raggiunta h = (frac12 v0

2)g e vicenversa si puograve calcolare il valore della velocitagrave v0 che bisogna imprimere alla palla affinchegrave raggiunga lrsquoaltezza h

v0 = gh2

Esercizio Una saltatrice di massa M = 61Kg salta da un ponte di altezza H = 45m agganciata ad una corda elastica La lunghezza di riposo della corda elastica egrave L = 25m e la sua costante elastica egrave k = 160 Nm Nel punto piugrave basso si arresta prima di venire rimbalzata in alto Qualrsquo egrave lquesta quota piugrave bassa h (a cui si trovano i suoi piedi ai quali egrave legato lrsquoelastico)

Fig 38 Etot = Wgrav + Wel + K = cost sono solo forze conservative vale la conservazione

dellrsquoenergia Nel punto A K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di lanciarsi Wel = 0 percheacute lrsquoelastico non egrave ancora svolto Wgrav = MgH Nel punto B K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di rimbalzare

Wel = frac12 kd2 Wgrav = Mgh = Mg(H-(L+d)) Etot(A) = Etot (B) MgH + 0 + 0 = Mg (H-(L+d)) + frac12 kd2 + 0 MgH = MgH ndash MgL ndash Mgd +frac12 kd2

2

1(160)d2 ndash (61)(98)d ndash (61)(98)(25) = 0

equazione di IIdeg grado che dagrave per d il valore accettabile d = 179m (lrsquoaltro egrave negativo e non egrave accettabile perchegrave non ha senso fisico la

saltatrice va in giugrave non in su) Allora h = H-(L+d) = 45 ndash (25+179) = 45 ndash 429 = 21m quindi con la testa poco sopra lrsquoacqua Sistemi di punti materiali e corpi rigidi ndash Centro di Massa

Un giocoliere o un ginnasta che lancia la clavette fa compiere allrsquoattrezzo movimenti complicati tuttavia crsquoegrave un punto dellrsquoattrezzo che si muove seguendo una traiettoria semplice come quella di un punto materiale ad esempio lanciato segue una traiettoria parabolica Tale punto si chiama centro di massa dellrsquooggetto Il centro di massa puograve essere definito per un oggetto o per un insieme di punti materiali Ersquo importante percheacute in generale il moto di un corpo esteso (o di un insieme di punti) si puograve studiare separando il moto del centro di massa (moto traslatorio) e il moto del corpo attorno al centro di massa (moto rotatorio)

Centro di Massa (CDM) di un sistema di punti - Consideriamo il caso semplice di due punti materiali di massa m1 m2 posti sullrsquoasse x in

posizione x1 x2

Fig 39

la posizione del centro di massa egrave definita xCDM = 21

2211

mm

xmxm

++

a) xCDM egrave compreso fra x1 e x2 b) se m1 = m2 CDM egrave a metagrave strada fra m1 ed m2 c) xCDM egrave piugrave prossimo alla massa maggiore - Nel caso di piugrave punti allineati nelle posizioni xi detto M = summi allora

xCDM = ii xmMsum

1

- Nel caso di punti distribuiti nello spazio detti irrarr

i vettori che identificano le loro posizioni

CDMrrarr

= iii rmM

rarrsum

1

dove CDMrrarr

ha coordinate (xCDM yCDM zCDM) definite come

xCDM = ii xmsumη1

yCDM = ii ymMsum

1

zCDM = ii zmMsum

1

- Consideriamo un oggetto qualsiasi questo egrave composto da un gran numero di particelle ma conviene considerarlo come un continuo di materia e per calcolare il centro di massa si prendono in considerazione degli elementi infinitesimi di massa dm centrati intorno alle posizioni (xyz) allora

xCDM = int xdmM

1 yCDM = int ydm

M

1 zCDM = int zdm

M

1

se si puograve considerare il corpo omogeneo (densitagrave uniforme) allora V

M

dv

dm = e allora si puograve fare il

calcolo considerando il volume V e gli elementi di volume dv anzichegrave la massa e gli elementi di massa

xCDM = int xdvV

1 etc

In un oggetto solido (corpo rigido) i diversi punti materiali che lo compongono non cambiano la loro posizione relativa (non come un corpo elastico) - se un oggetto ha un elemento di simmetria un asse od un piano il CDM si trova su tale

elemento di simmetria (asse per cono centro per sfera piano per una banana etc) Non egrave detto che il CDM di un oggetto appartenga allrsquooggetto vedi uno pneumatico un cerchio Il CDM egrave esterno alloggetto Legge fondamentale della dinamica per un sistema di punti materiali Caso della palla da bigliardo urto fra due palle dopo il lancio di una le due si muovono 1) una egrave ferma (B) lrsquoaltra la lancio (A) 2) le due si urtano in qualunque modo 3) le due si muovono secondo traiettorie differenti una possibilmente andragrave in buca lrsquoaltra no Dopo il lancio sulla palla A non agisce piugrave nessuna forza quindi la sua velocitagrave v egrave costante Va bene ma dopo lrsquourto Il CDM delle due palle continua a muoversi con velocitagrave costante anche se il centro di massa egrave un punto teorico che non appartiene a nessuna delle due palle Tuttavia al CDM possiamo assegnare una massa (M totale del sistema) una velocitagrave ed una accellerazione Si ha

)(CDMext aMFrarrrarr

=sum

a) extFrarr

sum egrave la somma di tutte le forze esterne che agiscono sul sistema non quelle interne (ad esempio nel caso del bigliardo non devo considerare le forze che si applicano fra le due palle quando si urtano)

b) M egrave la massa totale del sistema Si suppone che durante il moto M rimanga costante

c) )(CDMararr

egrave lrsquoaccelerazione del CDM Dellrsquoaccellerazione di un altro punto ad esempio del centro della palla A non si dice nulla

Cosideriamo alcuni esempi 1) Bigliardo tvaF CDMCDMext cos00 ===sum prima dellrsquourto nellrsquourto si verificano solo forze

interne Quindi tvaF CDMCDMext cos00 ===sum dopo lrsquourto e durante tutto il moto

2) Sistema terra-luna sumFext = gravitazione del sole aCDM egrave ldquocentripetardquo accellerazione di una

forza che egrave diretta verso il sole (forza ldquocentralerdquo) egrave il CDM terra-luna che segue la traiettoria dovuta allrsquoattrazione gravitazionale del sole poi terra e luna si muovono intorno al loro CDM

3) Clavette lanciate sum Fext = Mg aCDM = g il centro di massa si comporta come un punto materiale nel lancio

4) La ballerina nel ldquogrand-fetegraverdquo fa seguire a testa e busto una traiettoria rettilinea percheacute modifica lrsquoassetto in modo da alzare il suo CDM Nel corso del salto (alza le braccia e distende

orizzontalmente le gambe non appena lasciato il suolo) il suo CDM segue la traiettoria parabolica del lancio di un corpo soggetto allrsquoaccelerazione di gravitagrave g

Quantitagrave di moto rarrP

- Si definisce quantitagrave di moto di una particella il vettore

rarrrarr= vmP

con m massa della particella e rarrv la sua velocitagrave

Si vede che rarrP egrave diretto come

rarrv

Newton scrisse la legge fondamentale della dinamica in termini di quantitagrave di moto (a differenza di Galileo che la scrisse in termini di massa e di accelerazione) ldquola rapiditagrave di variazione della quantitagrave di moto di una particella egrave proporzionale alla forza netta che agisce sulla particella ed egrave nella direzione di quella forzardquo cioegrave

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

che egrave piugrave generale della formulazione di Galileo perchegrave descrive bene anche il caso in cui variasse la massa del corpo durante il moto (ad esempio un vettore spaziale) Se la massa egrave costante le due formulazioni sono identiche

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

= t

vm

∆∆

rarr)(

= m t

v

∆∆

rarr

= m rarra

Ricordiamo che rarrF egrave diretto come

rarra (o la risultante

rarrR = sum

rarrF )

Per un sistema di punti materiali si definisce la quantitagrave di moto totale

rarrP =

rarrP 1 +

rarrP 2 + helliphellip+

rarrP n =

m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +helliphelliphellip+ mn

rarrv n = M

rarrv CDM (si puograve dimostrare) dove M egrave la massa totale

[essendo infatti Mrarrv CDM =

dt

d(M

rarrr CDM) =

dt

d(m1

rarrr 1 + m2

rarrr 2 +hellip) = m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +

hellip]

quindi rarrP = M

rarrv CDM per un sistema di particelle e

dt

Pdrarr

= M dt

d rarrv CDM = M

rarra CDM = sum

rarrF ext

Conservazione delle quantitagrave di moto

Per un sistema chiuso (M non varia) e isolato (sumrarrF ext = 0)

Allora

t

P

∆∆

rarr

= 0 rarrP = cost

rarrP i =

rarrP f

che sono tre modi equivalenti per dire che la quantitagrave di moto si conserva Vale per un sistema nel quale non agisca nessuna forza esterna netta Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica e la conservazione delle quantitagrave di moto sono due concetti fisici importantissimi Valgono sia per le palle da bigliardo che per qualunque altro sistema anche le galassie nellrsquouniverso Queste equazioni sono vettoriali Ciograve significa che rappresentano una terna di equazioni scalari ognuna valida sul proprio asse del sistema di riferimento (x y z)

Puograve accadere a seconda delle forze che agiscono nel sistema che la quantitagrave di moto si conservi in una direzione o in due e non in tutte e tre

Ad esempio se consideriamo una palla come un insieme di punti materiali la rarrF ext che agisce nel

sistema egrave mrarrg diretta lungo z senza componenti su x e y quindi

rarrP varia lungo z ma

non su x e y

Percheacute ldquocomplicarci la vitardquo con questa storia del CDM del sistema di particelle etchellip non bastava il moto del punto rappresentativo materiale Avevamo giagrave considerato il punto rappresentativo e avevamo svolto anche problemi sulla palla sul bilanciere e per altri oggetti Abbiamo sempre sbagliato La questione egrave se un corpo egrave rigido cioegrave se tutti i suoi punti si muovono mantenendo le loro distanze relative non crsquoegrave problema abbiamo solo visto che il punto materiale rappresentativo si chiama CDM ed abbiamo imparato a situarlo allrsquointerno del corpo Ma se il corpo non egrave rigido cioegrave se il suo CDM si sposta rispetto a lui stesso nel corso del moto la disposizione del corpo intorno al punto rappresentativo varia nel corso del tempo e le leggi di conservazione valgono per il CDM - Consideriamo ad esempio il teorema dellrsquoenergia cinetica che per un punto materiale si scrive Ltot = Kfin-K in = ∆ K (qui ovviamente non crsquoegrave da specificare lavoro delle forzeldquoesternerdquo percheacute essendo in un punto materiale che si assume infinitamente piccolo non ci sono forze ldquointernerdquo) Per analogia il teorema dellrsquoenergia cinetica si estende al caso di un insieme di punti materiali nel seguente modo

Ltot forze ext=rarrF extmiddot

rarrs CDM = ∆ KCDM

Dove s CDM egrave lo spostamento del centro di massa A titolo di esempio risolviamo il problema un giocatore di hockey su ghiaccio di massa M = 110Kg si muove verso la balaustra a bordo campo alla velocitagrave di 3msec Nellrsquoarrestarsi flettendo le braccia il suo CDM si sposta in avanti di 30cm Qual egrave la ∆ K del suo CDM durante la manovra

∆ KCDM = infin CDMCDM mvmv 22

2

1

2

1 minus =

= 0 - 2

1110 32 = -495 J

Fig 40

Sia L il lavoro delle forze esternerarrF ext (dirette come d

rarrx CDM ) allora

L = - Fext 03 = ∆ KCDM quindi

Fext =30

495

minusminus

= + 1650N

( si considera la forza esterna rarrF ext costante nellrsquointervallo dellrsquoarresto fatto che equivale a dire

che il giocatore si arresta con rarra CDM costante)

Dinamica e statica del corpo esteso Finora abbiamo sempre discusso del moto di un punto materiale (punto rappresentativo dicevamo sempre) In particolare abbiamo sempre applicato le forze a quel punto materiale quindi se diverse forze erano applicate esse concorrevano in quel punto ligrave e con le forze concorrenti sapevamo come calcolare la risultante con il metodo grafico o con quello numerico delle coordinate cartesiane Una volta calcolata la risultante applicata al punto si otteneva un moto di pura traslazione del punto (al massimo traslava lungo una traiettoria curva) senza rotazioni proprie del punto che non hanno neanche senso un punto che ruota su se stesso Come faccio ad accorgermi Un punto per definizione egrave infinitamente piccolo (Dicevamo infine che il punto egrave in equilibrio

traslazionale se la risultante rarrR delle forze applicate egrave nullo)

Consideriamo invece un corpo esteso Prima osservazione questo ha piugrave punti (direi infin ) a

cui la forza puograve essere applicata Prendiamo una racchetta da tennis ed una forza rarrF applicata il

moto che ne risulta dipende dal punto al quale viene applicata la forza rarrF

qui la racchetta trasla

Fig 41

stessa forza qui la racchetta ruota

Fig 42

Seconda osservazione Crsquoegrave un caso in cui le forze non possono essere fatte concorrere in un punto ed egrave quando sono parallele ed hanno rette di applicazione distinte Chiaramente non abbiamo mai dovuto considerare questo caso per il punto materiale percheacute per un punto non possono mai passare due rette parallele Ma per il corpo esteso So benissimo che se sono ferma con la macchina in

panne e la sto spingendo applicando una forza rarrF 1 sono contenta se qualcuno si affianca a me ed

esercitando una forza rarrF 2 lungo una direzione parallela a quella della mia mi aiuta a spingere In

particolare mi viene spontaneo dire che se F1 = F2 allora spingeremo con una forza doppia Ci saragrave quindi un modo per sommare due forze non concorrenti in un punto ma parallele e saragrave Ftot = F1+ F2 La retta di applicazione di Ftot divide il segmento congiungente i punti di applicazione di F1 ed F2 in due segmenti inversamente proporzionali allrsquointensitagrave delle forze F1 e F2 Terza osservazione se F1 = - F2 sono uguali in intensitagrave ma di verso opposto sempre lungo due rette di applicazione parallele passanti per un corpo esteso cosa succede La loro somma Ftot risultante saragrave 0 ma io so che il corpo non sta fermo sotto lrsquoazione di tali due forze ma ruoteragrave Concludo che le nozioni che ho acquisito finora vanno riviste ed ampliate o corrette o specificate per i corpi estesi ed inoltre che mi mancano totalmente i mezzi per descrivere le rotazioni dei corpi estesi Occorrono nuovi concetti nuove quantitagrave la forza non basta Prendo lrsquoesempio piugrave semplice dellrsquoaltalena con due bambini in due bracci uno piugrave leggero uno piugrave pesante

Fig 43 Qualitativamente so che percheacute lrsquoaltalena stia in equilibrio e non ruoti intorno al punto fisso non egrave necessario che i due bambini abbiano lo stesso peso (ugual massa) occorre che il bambino piugrave leggero sieda piugrave lontano rispetto al punto fisso (fulcro) La regola quantitativa dice che lrsquoaltalena egrave in equilibrio se il prodotto del peso per la distanza del fulcro egrave uguale PB dB = Pb

db Per generalizzare questa regola ai casi piugrave complessi occorre definire una nuova quantitagrave il momento di una forza Momento di una forza

Consideriamo una forza rarrF applicata ad un punto P ed un punto O Sia

rarrr

il vettore rarrOP allora il momento

rarrM di

rarrF rispetto ad O egrave

rarrM =

rarrr x

rarrF

e

|rarrr | middot |

rarrF | sin ϑ = |

rarrM |

Fig 44

oppure anche considerando la componente di rarrF perpendicolare ad

rarrr o di

rarrr

perpendicolare a rarrF r e rispetto a F

|rarrM | = |

rarrr | |

rarrF perp | |

rarrM | = |

rarrr perp| |

rarrF |

In generale si dice che il modulo del momento |rarrM | egrave il prodotto delle intensitagrave della forza per la

distanza dal punto della retta di applicazione della forza

Come vettore rarrM egrave perpendicolare al piano che contiene

rarrF ed

rarrr ed ha verso calcolato con la

regola della mano destra (con rarrr che si chiude su

rarrF )

La distanza rperp si chiama braccio della forza Si vede che il momento egrave nullo quando il braccio egrave nullo cioegrave quando il punto O si trova sulla retta di applicazione di F Il momento della forza peso P egrave nullo rispetto al baricentro che coincide con il centro di massa nel caso (praticamenteldquosemprerdquo) in cui il corpo non sia abbastanza esteso percheacute diversi punti del corpo risentano di una forza gravitazione differente Praticamente si deve parlare di galassie percheacute CDM e baricentro (BC) non coincidono Quindi la condizione del momento nullo della forza peso diventa un modo per definire il CDM come quel punto rispetto al quale la forza peso P ha momento nullo Per un corpo ldquoarticolatordquo estendiamo il concetto di forza normale come forza di contatto nellrsquoarticolazione utile cioegrave la forza che lrsquoarticolazione che si sta considerando esercita su quello che nellrsquoarticolazione si appoggia La forza peso P di un corpo esteso puograve immaginarsi applicata al CDM Principio di equilibrio di un corpo esteso

se su un corpo esteso agiscono solo rarr

Peso e rarr

Normale cioegrave se un corpo egrave appoggiato ad un piano orizzontale allora il corpo egrave in equilibrio se e solo se il baricentro si trova sopra la superficie di appoggio

Fig 45

Finchegrave il baricentro egrave sopra il tavolo il libro non cade percheacute rarrP applicata a CDM puograve essere

controbilanciata da rarrN Se CDM si sposta in fuori

rarrN rimane nel tavolo e crsquoegrave momento non nullo

non equilibrato da rarrP che continua ad essere applicato nel CDM

Il baricentro di una persona in posizione eretta si trova nellrsquoarea delimitata dei suoi piedi 3cm davanti allrsquoarticolazione della caviglia

Fig 46 Quando la persona si piega in avanti il baricentro esce dal corpo e per mantenere lrsquoequilibrio egrave necessario che le anche si spingono indietro percheacute il baricentro cade di nuovo in quella posizione Notiamo che anche in posizione eretta essendo la forza peso e la forza di contatto non allineate (quei 3cm) (forza di contatto sullrsquoarticolazione della caviglia che regge il peso) occorre un momento correttivo che impedisca la rotazione in avanti mantenuto dal tendine di Achille che si lega alla caviglia Altro esempio di spostamento del baricentro egrave lrsquoatleta che assume una posizione ad L chi regge il peso egrave lrsquoarticolazione della spalla quindi il CDM si sposta sotto la spalla (giagrave era uscita dal corpo per via delle gambe distese in avanti) Nel camminare il baricentro continua a muoversi da sopra un piede a sopra un altro (quello appoggiato ovviamente) Si osservi lrsquoondeggiamento Per assurdo lrsquoancheggiare delle indossatrici serve a mantenere il baricentro il piugrave possibile fermo rispetto alla direzione media del moto (porre un piede esattamente davanti allrsquoaltro) rendendo piugrave facile muoversi anche con tacchi altissimi Al contrario lrsquoequilibrista che cammina sui trampoli sta fermo il meno possibile percheacute egrave stando fermo che il piccolo spostamento che fa uscire il baricentro (ALTO) dalla superficie drsquoappoggio puograve verificarsi facilmente preferisce il ldquonon ndash equilibriordquo o lrsquo rdquoequilibrio dinamicordquo dellrsquoondeggiare continuamente fra due posizioni di equilibrio

Ricordiamo che un equilibrio egrave detto stabile se quando una perturbazione lo altera spontaneamente il sistema lo ripristina Viceversa un equilibrio egrave instabile se la piugrave piccola perturbazione lo distrugge Lrsquoequilibrio egrave molto stabile se il baricentro egrave basso ed il corpo ha una grande area drsquoappoggio la posizione accucciata del giocatore di football americano dagrave grande stabilitagrave Ancor piugrave grande stabilitagrave si ha se il baricentro (CDM) si trova al di sotto della superficie drsquoappoggio Ersquo come se si fosse ldquoappesirdquo anzicheacute ldquoappoggiatirdquo alla superficie drsquoappoggio Proprio per questo motivo lrsquoequilibrista sul filo porta una lunga asta che spesso si flette agli estremi

Fig 47 Gli uccelli bipedi da 100000000 di anni hanno sviluppato questo adattamento per cui sono appesi alle anche mentre gli uomini bipedi da solo 1000000 di anni fanno fatica con il CDM dalla parte alta del corpo Ersquo un equilibrio instabile ldquosoprardquo le anche che le reggono (65 del peso del corpo) Modificazioni strutturali per reggere la posizione eretta 1) Colonna vertebrale rastremata (piugrave tozza in basso che in alto percheacute piugrave in basso vuol dire una

maggior forza di contatto) 2) Muscoli estensori della schiena 3) Gambe ed anche ingrossate 4) Ginocchio che blocca la gamba estesa Ciononostante si ha spesso il mal di schiena Se una forza ha momento non nullo rispetto ad un punto allora il corpo puograve ruotare intorno a quel punto sotto lrsquoazione di quella forza ldquoDiciamo che se sostengo il corpo per quel punto il corpo puograve ruotare intorno a quel puntordquo (Prendo in mano un foglio di carta per un estremo per esempio) La presenza di un momento non nullo egrave dunque la condizione che genera rotazione e viceversa Lrsquoassenza di un momento risultante egrave la condizione che genera lrsquoequilibrio rotazionale di un corpo esteso Quindi la condizione di equilibrio per un corpo esteso egrave

1) rarrR = 0 risultante delle forze applicate = 0 (equilibrio traslazionale)

2) rarrM = 0 momento risultante = 0 (equilibrio rotazionale)

Supponiamo di avere un corpo esteso al quale siano applicate delle forze che diano luogo ad un momento non nullo allora il corpo ruota Per equilibrarlo dovrograve applicare un altro momento tale che la loro somma sia nulla Questo egrave il principio di funzionamento delle leve LEVE

Una leva egrave un corpo esteso al quale sono applicate delle forze con un momento risultante rarrR

allora per portare il corpo in equilibrio applico un momento correttivo rarrP in modo che il momento

totale sia nullo Si dice in genere potenza (P) e resistenza (R) di una leva Le leve sono macchine semplici Servono per applicare forze in punti scomodi o in direzioni particolari Il fulcro egrave il punto nel quale la leva egrave incernierata Si definisce il guadagno meccanico di una leva

GM =

)(

)(rarr

rarr

PF

RF

cioegrave il rapporto fra la forza che genera il momento resistente e quella che genera il momento agente A seconda che GM sia gt

lt 0 una leva si dice che egrave vantaggiosa o svantaggiosa ma solo per quel che riguarda le forze percheacute per quel che riguarda i lavori non si ha neacute vantaggio neacute svantaggio Il lavoro esercitato dalla forza che dagrave la ldquopotenzardquo e quello esercitato dalla forza che dagrave la ldquoresistenzardquo sono sempre uguali Infatti forze e spostamenti sono inversamente proporzionali Le leve si dicono di I II o III specie a seconda se il fulcro si trovi I) in mezzo fra R e P (leva indifferente GM dipende da caso a caso) II) dalla parte di R (leva vantaggiosa il braccio di R egrave sempre minore del braccio di P basta

quindi una P minore per equilibrare una R maggiore) III) dalla parte di P (leva svantaggiosa) Classici esempi dei tre tipi di leve sono i remi (I) lo schiaccianoci (II) e la pinzetta per francobolli (III) Tuttavia vediamo degli esempi meno classici ma attinenti al campo della biologia e della medicina Criterio generale egrave che le leve vantaggiose consentono di essere molto potenti ma con brevi spostamenti mentre viceversa quelle svantaggiose fanno perdere in potenza ma consentono grandi spostamenti saragrave difficile vedere un cavallo che con le lunghe zampe si scava la tana drsquoaltronde una talpa scava bene la tana ma ha movimenti molto meno ampi che non le consentono di correre veloce come un cavallo (compromesso fra forza e velocitagrave del movimento) Se contiamo tutti i movimenti di rotazione che il corpo puograve compiere capiamo che siamo pieni di leve di ogni tipo Sono classici a) il capo fulcro (articolazione occipito-atlantoide) Fig 48 muscoli della nuca (Potenza) peso del capo (Resistenza) b)

muscolo bicipide (Potenza)

Fig 49 Peso dellrsquoavambraccio (Resistenza) Fulcro (articolazione del gomito) Questa leva permette grandi spostamenti Si vede che la forza operata dal muscolo bicipite egrave massima quando lrsquoavambraccio egrave orizzontale (la distanza dal fulcro egrave massima) ed egrave minima quando lrsquoavambraccio egrave verticale( con la distanza dal fulcro nulla) Attenzione - la colonna vertebrale egrave costituita da 24 vertebre separate da dischi di liquido Quando una

persona si piega la schiena egrave una leva con GM molto piccolo Quindi un piegamento completo per raccogliere un oggetto anche leggero produce una forza molto intensa sul disco lombosacrale che separa lrsquoultima vertebra dellrsquoosso sacro Se indebolito questo disco puograve rompersi o deformarsi comprimendo i nervi vicini e causando grande dolore Vediamo un modello che rende conto come mai questa forza egrave cosigrave grande

Fig 50

I muscoli della schiena esercitano T Con un angolo α = 12deg quando la schiena egrave piegata a 90deg

Peso della parte superiore del corpo (circa il 65 del peso totale)

Fulcro lombosacrale (il fulcro produce R) Essendo α piccolo la retta di azione Τ passa vicino al fulcro e dunque la distanza r che costituisce il suo braccio egrave molto piccola Al contrario il peso egrave perpendicolare alla colonna e il suo punto di applicazione egrave molto piugrave distante dal fulcro Τ deve essere molto grande per equilibrare il momento di P Dunque se T egrave grande anche la sua componente orizzontale egrave grande e di conseguenza anche R che costituisce la reazione dellrsquoosso sacro deve avere componente orizzontale molto grande per equilibrare Τ (uguale ed opposta alla componente orizzontale di Τ ) Facendo i conti si ottengono numeri grandi per 75Kg di peso T ed R sono equivalenti al peso di una massa di 220Kg Senza sollevare pesi solo piegandosi Conviene piegare le ginocchia quando si sollevano pesi - Nel corpo egrave difficile che il peso cada sulla verticale dellrsquoarticolazione che lo sostiene egrave sempre

un porsquo spostato e crsquoegrave un tendine con un muscolo che compensa il momento del peso - La contrazione muscolare egrave una successione di brevi contrazioni delle fibre muscolari stimolate

da impulsi che provengono dal sistema nervoso Contrazioni sono molto ravvicinate e avvengono in tempi differenti nelle diverse parti del muscolo cosigrave che il risultato apparente egrave una lenta e progressiva contrazione Se la frequenza degli impulsi aumenta la tensione cresce finchegrave si raggiunge la tensione massima (ricordare la tensione di un cavo) Un ulteriore aumento della frequenza degli impulsi a questo punto non causa ulteriore aumento della tensione

La tensione massima egrave proporzionale allrsquoarea della sezione trasversa del muscolo nel suo punto piugrave largo La tensione massima dipende anche dalla lunghezza del muscolo che varia Si ottiene tensione massima quando il muscolo egrave solo di poco allungato rispetto alla sua lunghezza di riposo di riposo ed egrave circa 30-40 Ncm2 La tensione massima si riduce moltissimo se il muscolo egrave molto allungato o accorciato Dinamica Rotatoria Fino ad ora abbiamo studiato moti traslatori ma il moto di un corpo rigido egrave in generale roto-traslatorio Naturalmente dobbiamo ridurre il problema complesso ad uno piugrave semplice e per fare ciograve immaginiamo di posizionarci su un sistema di riferimento solidale al corpo rigido i moto immaginiamo cioegrave di ldquosedercirdquo sul corpo rigido In questo modo non saremo piugrave sensibili al moto traslatorio e guardando il corpo rigido osserveremo solo le sue rotazioni Trattiamo allora il moto generico scomponendo la parte traslatoria (giagrave discussa ) da quella rotatoria Se si trascura la parte traslatoria del moto di un corpo rigido quello che rimane da trattare egrave la sua rotazione Nel nostro corso consideriamo le rotazioni che avvengono su un piano le rotazioni nello spazio potranno essere trattate come composizione di rotazioni su un piano Per le rotazioni su un piano si identifica un asse di rotazione perpendicolare al piano di rotazione e passante per il centro di rotazione Le articolazioni del gomito e del ginocchio sono articolazioni libere di ruotare intorno ad un asse a differenza ad esempio di quella della spalla che puograve ruotare intorno a due assi Si definisce spostamento angolare la variazione di una posizione che egrave definita in modo completo da una misura di angolo Una rotazione di un intero corpo rigido egrave definita in modo completo da uno spostamento angolare θfin - θin= ∆θ e si misura in radianti

Fig 51 Dobbiamo definire anche un verso di rotazione θ si incrementa per rotazioni antiorarie positive le rotazioni in senso orario sono invece negative La velocitagrave angolare si definisce analogamente alla velocitagrave lineare come il rapporto tra lo spostamento angolare e il tempo t impiegato per eseguire tale rotazione

ωm = t∆

∆θ e si misura in rad s

θin

θfin ∆θ

R

S

Anche per w si definisce ωist = lim ∆trarr0 t∆

∆θ

Ancora lrsquoaccelerazione angolare si definisce αm = t∆

∆ω e αist = lim ∆trarr0

t∆∆ω

Anche la legge fondamentale della dinamica ha un analogo nel ambito dei moti rotatori Si stabilisce che se ad un corpo rigido egrave soggetto ad un momento torcente diverso da zero esso subisce unrsquoaccelerazione angolare ad esso proporzionale Nel caso delle rotazioni la resistenza al moto egrave espressa dal momento di inerzia I associato al corpo rigido che gioca il ruolo della massa nei moti traslatori La legge della dinamica delle rotazioni egrave M = I middotα

E sostituendo M = Imiddott∆

∆ω= Imiddot

tinfin

∆minusωω

Il momento di inerzia I di un corpo rigido dipende dalla disposizione della massa del corpo rispetto allrsquoasse di rotazione per una massa puntiforme m a distanza R dallrsquoasse di rotazione I= m R2 per un oggetto esteso sommerograve il momento drsquoinerzia delle sue parti I = Σi mi Ri

2 Se si definisce momento angolare L il prodotto del momento drsquoinerzia per la velocitagrave angolare

L=Iω la legge della dinamica diventa

M = t

LL infin

∆minus

Il momento angolare egrave la grandezza fisica che si conserva se non viene applicato momento torcente Tutti i gesti di volo salti lanci tuffihellip sono azioni nelle quali si conserva il momento angolare Infatti in volo agisce solo la forza di gravitagrave che essendo applicata al CDM non genera momento torcente Il corpo umano nei gesti di volo Il corpo umano non egrave rigido e pertanto in volo agendo con i muscoli possiamo cambiare la disposizione del nostro corpo intorno al centro di massa che in volo coincide col centro di rotazione In questo modo si ottiene una variazione del momento di inerzia I e di conseguenza la velocitagrave angolare deve compensare questa variazione in modo che si mantenga costante il momento angolare L (grandezza che si conserva in assenza di momento torcente) Ersquo questo il principio che spiega il realizzarsi delle trottole sul ghiaccio dei salti mortali tuffi con avvitamento e cosigrave via in posizione raccolta I diminuisce e ω aumenta Moto circolare e moto circolare uniforme Per utilizzare le relazioni della cinematica e della dinamica lineare che abbiamo studiato egrave interessante poter passare dalle variabili angolari alle variabili lineari velocitagrave e accelerazione delle

masse in moto rotatorio Se una massa si muove su una traiettoria curva la velocitagrave tangenziale vt diretta come la tangente alla traiettoria dipende dalla velocitagrave angolare ω ( ωm=ϑ t )e dal raggio di curvatura della traiettoria Se la traiettoria egrave una circonferenza di raggio R e se gli angoli sono espressi in radianti lrsquoarco percorso per uno spostamento angolare ϑ egrave S = ϑ sdotR e la velocitagrave lineare tangente vt = St= ϑ sdotRt risulta vt = ωsdotR Se la velocitagrave angolare ω egrave costante il moto egrave detto circolare uniforme La legge oraria egrave quella dei moti uniformi spostamenti angolari uguali in tempi uguali ϑ(t) = ω t Anche la velocitagrave tangente saragrave di intensitagrave costante se ω egrave costante (archi uguali per tempi uguali s(t) = vt (t) ) ma crsquoegrave una accelerazione normale infatti la velocitagrave anche se non cambia in modulo cambia continuamente di direzione Questa accelerazione si dice centripeta egrave diretta normalmente rispetto alla traiettoria verso il centro della circonferenza e vale in modulo

ac=R

v2

Fig 52 Essendo la velocitagrave tangente vt = ωR Lrsquo accelerazione centripeta si puograve scrivere

ac =R

v2

= ω2 R

Il tempo impiegato dal punto a muoversi sulla circonferenza egrave una costante (moto uniforme) T periodo in T viene percorso uno spazio 2π R

v = T

Rπ2

La frequenza f egrave invece il ndeg di giri al secondo

f =T

1

Se si prendono punti diversi sul raggio della circonferenza questi hanno la stessa velocitagrave angolare e velocitagrave tangenziali crescenti al crescere del raggio Esempio carosello dei pattinatori Esercizi

1- un velocista con una velocitagrave di 10 ms viaggia su una curva di raggio 25m ndash accelerazione

a = R

v2

= 25

100 = 4 ms2

2 ndash un velocista con v = 92 ms su una pista circolare con ac = 38 m s2 ndash Raggio della pista Tempo per percorrere un giro completo

a = R

v2

rArr R = a

v2

= 83

)29( 2

= 2227m

T =v

Rπ2 =

29

27222 lowastπ = 152 sec

Forza centripeta forza centrifuga Una forza centripeta egrave una forza di qualunque natura che trattiene un corpo in moto su una traiettoria curvilinea ad esempio circolare In assenza di tale forza il corpo proseguirebbe il suo moto lungo una traiettoria rettilinea Nel gesto del lancio del martello ad esempio il lanciatore che esercita sul peso in cima allrsquoattrezzo una forza mediata dalla tensione dal cavo che lo trattiene nella traiettoria circolare Quando il lanciatore lascia la maniglia il martello viene lanciato lungo la direzione della tangente alla traiettoria nellrsquoistante di rilascio Lrsquointensitagrave della forza centripeta necessaria a mantenere una massa m in moto con velocitagrave tangente v lungo una traiettoria circolare di raggio r si puograve calcolare a partire dallrsquoaccellerazione centripeta secondo la legge fondamentale della dinamica

|rarr

cF | = m | rarr

ca | = m r

v2

Tale forza egrave diretta come lrsquoaccelerazione centripeta e cioegrave verso il centro della circonferenza che costituisce la traiettoria La forza centripeta egrave dunque una forza reale Con lsquoforza centrifugarsquo invece non ci si riferisce ad un forza che agisce su un corpo ma alla situazione apparente cui sembra sottoposto un corpo in moto curvilineo Esso pare tirato o attirato lontano dal centro di rotazione pare ci sia una lsquoforzarsquo che vuole farlo sfuggire Quando viene lasciato il martello si allontana dal centro di rotazione percheacute si muove di moto rettilineo uniforme non essendo piugrave soggetto a forze altre che la forza peso Lrsquoacqua esce dal cestello della lavatrice quando il cestello ruota velocemente (funzione centrifuga) percheacute lrsquoacqua che non costituisce un corpo solo con il cestello bucato non egrave soggetta alla forza centripeta e puograve passare attraverso i buchi I panni invece pure non parte del cestello sono troppo grandi per passare dai buchi si possono solo schiacciare contro le pareti questo schiacciamento sembra il risultato di una forza ma egrave invece il risultato dellrsquoassenza di una forza quella centripeta Una volta lagrave contro il cestello fanno tuttrsquouno con le pareti di metallo che esercitano su di essi la forza centripeta (cioegrave con direzione verso lrsquoasse di rotazione) che li mantiene in rotazione Le parti di un corpo rigido esteso che si muove di moto rotatorio rispetto ad un asse quale ad esempio la gamba di un giocatore di calcio che calcia un pallone sono soggette alla forza centripeta che le mantiene sulla traiettoria curva Tale forza viene trasmessa alle varie parti tramite le forze di tensione che si sviluppano allrsquointerno del corpo stesso ad esempio il piede egrave soggetto alla forza centrifuga tramite lrsquoazione dei legamenti e tendini a livello della caviglia che vengono messi in tensione per trattenere il piede stesso

Attenzione |rarr

sattF _| e

rarr

kattF _ | sono proporzionali non a |

rarrP | ma a |

rarr

NF | quindi nel caso di un

piano inclinato bisogna considerare la componente di rarrP perpendicolare al piano

rarr

NF equilibra

solo la parte di rarrP perpendicolare al piano

Attenzione le equazioni per |rarr

sattF _| e |

rarr

kattF _| non sono vettoriali le forze di attrito non sono

dirette come la forza normale rarr

NF ma parallele al piano

Durante una corsa allo scatto si usano i blocchi di partenza per sfruttare la reazione del blocco alla forza muscolare di spinta Data lrsquoinclinazione dei blocchi la forza di reazione del blocco sul atleta si massimizza nella direzione del moto

rArr si fa uso della ldquoazione-reazionerdquo Fig 23 Durante la corsa si sfrutta il coefficiente di attrito statico per mantenere un piede fermo a terra mentre lrsquoaltro avanza Per non superare il limite di scivolamento allrsquoindietro del piede di appoggio la forza che si esercita sul terreno deve avere una componente normale al terreno di intensitagrave opportunamente elevata In ogni caso se smicro egrave basso si ha lrsquoeffetto del camminare sul ghiaccio

Lrsquouso di scarpette chiodate non aumenta il valore di smicro che egrave il coefficiente drsquoattrito tra due

superfici ldquoliscerdquo piuttosto hanno una funzione simile a quella di mini blocchi di partenza permettono di esercitare una forza sul tartan lungo la direzione del moto cioegrave parallelamente alla pista Resistenza del mezzo Consideriamo un corpo che si muove in aria Esso incontra una resistenza da parte dellrsquoaria che agisce in modo da opporsi al movimento del corpo cioegrave ha la stessa direzione e verso opposto a quella del moto

rarrD forza di resistenza del mezzo o forza aerodinamica (detta anche forza viscosa) si

|rarrD | =

2

1 cρAv2 (limite di alte velocitagrave eo alte viscositagrave)

D egrave proporzionale al quadrato della velocitagrave (termine v2 ) Inoltre D egrave proporzionale ad A lrsquoarea efficace della sezione trasversa (lrsquoarea presentata dal corpo nella direzione del moto vedi la posizione a uovo dei discesisti di sci o dei ciclisti) ρ egrave la densitagrave del mezzo Ersquo intuitivo che la resistenza D dipenda dalla densitagrave del mezzo infatti il corpo per procedere deve ldquofarsi stradardquo spostando le molecole del mezzo Quindi piugrave il mezzo egrave rarefatto piugrave egrave facile ldquofarsi stradardquo e inferiore egrave la resistenza D Con c si indica il coefficiente di penetrazione (il cosiddetto cx che dipende dalla forma geometrica del corpo) La forma (oltre che

lrsquoarea efficace A) influenza la resistenza opposta dal mezzo percheacute una ottimizzazione della forma (affusolata migliorare il Cx) porta a ridurre la formazione di turbolenze nellrsquoaria intorno al corpo Casco dei ciclisti o discesisti con forma a punta posteriore

non riduce la sezione trasversa A ma piuttosto migliora il Cx

Fig 24 Nel nuoto lo sbattere i piedi serve soprattutto per mantenere il corpo orizzontale e quindi a ridurre la sezione A Il lavoro viene fatto per lo piugrave dalle braccia (75) In acqua anche se la velocitagrave v egrave bassa D egrave significativa percheacute la viscositagrave del mezzo egrave grande Per ridurre le turbolenze negli sport di velocitagrave diventa essenziale utilizzare accorgimenti quali nascondere dadi e cavi nelle biciclette togliere cerchietti delle racchette da sci Tagliare i capelli o rasarsi le gambe sono sempre modi di ridurre anche le piccole turbolenze Velocitagrave limite di caduta di un grave in aria

La forza rarrD di frenamento durante la caduta libera li un corpo in aria ha verso opposto a quello

della forza pesorarrP che accelera il corpo verso il basso Se

rarrP egrave costante il corpo accelera con

accelerazione rarrg ie aumenta la velocitagrave verso il basso ma aumentando v dunque v2 aumenta

D Ciograve prosegue fincheacute D diventa di intensitagrave uguale P con verso opposto rarrD = -

rarrP A questo

punto la risultante delle forze agenti sul corpo in caduta egrave nulla (sumrarrF =

rarrD + (-

rarrP ) e dalla

seconda legge (fondamentale) della dinamica si ha che lrsquoaccelerazione rarra del corpo egrave nulla

rArr Il corpo non accelera piugrave e mantiene velocitagrave costante massima La velocitagrave raggiunta detta velocitagrave limite vlim egrave tale da verificare lrsquouguaglianza

D = 2

1cρAv lim

2 = mg = P quindi rArr vlim = (2mg cρA) frac12

La vlim raggiunta dai paracadutisti puograve essere variata modificando A tramite dei cambiamenti dellrsquoassetto in volo Questo permette ai paracadutisti di raggiungersi per fare figure in aria Lrsquoapertura del paracadute fa aumentare di molto A rendendo la velocitagrave limite molto piugrave bassa Anche le gocce di pioggia raggiungono la velocitagrave limite (v asymp 7msec in 6m) nella loro caduta Ad esempio cadendo da 1200m le gocce di pioggia raggiungono la terra con la velocitagrave limite di circa 7msec e non con la velocitagrave di 150msec che avrebbero se non ci fosse lrsquoazione di frenamento D (dei veri proiettili)

Senza D rarr vfin = 150ms

Con D rarr vfin = vlim = 7ms Fig 25 Forza elastica La forza elastica egrave una forza non costante

L lunghezza di riposo della molla Fig 26 Una massa m egrave vincolata ad una parete con una molla Se tiro la massa la molla si estende diciamo di un tratto x La molla esercita una forza di richiamo proporzionale allrsquoallungamento x (piugrave si allunga maggiore egrave la forza F di richiamo) F = -kx ldquorichiamordquo cioegrave di verso opposto allrsquoallungamento Ecco la ragione del segno (-) Se raggiunta una certa estensione la molla viene rilasciata essa si ricomprimeragrave ritorneragrave alla lunghezza di riposo L poi si schiacceragrave di un tratto x dalla parte opposta e nuovamente agiragrave la forza di richiamo (che egrave variabile in quanto varia con il variare di x) La massa oscilla attorno alla posizione di riposo k egrave la costante elastica della molla Lrsquoespressione della forza elastica vale per i respingenti del treno (k grande) come per la molla della biro (k piccola) come per lrsquoelastico del saltatore dal ponte Impulso di una forza La legge fondamentale della dinamica F = ma puograve essere scritta esprimendo lrsquoaccelerazione con la sua relazione definitoria (vf - vi)t

F = mt

vv if minus e quindi portando il tempo t al primo membro

)( if vvmtF minussdot=sdot oppure vmtF ∆sdot=sdot

Si dice ldquoimpulso ldquo di una forza il prodotto della forza per il tempo durante il quale viene applicata tF sdot (se la forza non egrave costante lrsquoimpulso egrave lrsquointegrale della forza nel tempo in cui viene applicata)

Scritta in questo modo lrsquoequazione fondamentale della dinamica puograve essere letta cosigrave 1) Supponiamo che un corpo vari la sua velocitagrave di una quantitagrave ∆v = vf - vi tanto piugrave lungo egrave il tempo t durante il quale questa variazione avviene tanto minore egrave la forza che deve essere sviluppata per ottenere tale variazione della velocitagrave In questi termini si capisce ad esempio lrsquoutilitagrave delle cinture di sicurezza che allungando i tempi durante i quali in caso drsquoincidente la velocitagrave del passeggero (che non egrave solidale con la vettura) passa da un valore vi iniziale a zero determina una riduzione della la forza cui il passeggero stesso egrave sottoposto durante il breve tempo dellrsquoimpatto (la forza che le ossa e le articolazioni possono sopportare egrave limitata) Si vede anche come funziona lrsquoelastico del jumper finchegrave lrsquoelastico non egrave completamente svolto (ltL) la forza che agisce sul jumper egrave P (la forza peso) poi progressivamente la forza elastica di richiamo contrasta P quindi il jumper decelera progressivamente per un lungo intervallo di tempo e lo lsquostrapporsquo (F applicata) necessario per contrastare P e fermare il jumper applicato sulle sue gambe e a cascata su tutte le sue articolazioni (secondo il terzo principio) egrave di entitagrave minore 2)Lrsquoimpulso totale prodotto tF sdot nella direzione ottimale egrave la grandezza fisica che stabilisce lrsquoefficacia di un gesto di spinta o di lancio non la massima forza espressa o la durata dellrsquoazione di spinta Lavoro di una forza ndash lavoro meccanico

- 1deg caso Forza costante rarrF

Immaginiamo una forza rarrF che agisce su un corpo durante il suo spostamento Immaginiamo cosi

che il punto di applicazione di questa forza si sposti nello spazio di un tratto rarrs Viene detto

lavoro della forza rarrF la quantitagrave

L = rarrF middot

rarrs = F middot smiddot cosϑ (prodotto scalare di

rarrF per

rarrs )

(prodotto scalare tra i due vettori) Fig 27 Il lavoro egrave una quantitagrave scalare cioegrave egrave descritta completamente da un numero da un valore Tale

valore puograve essere positivo o negativo a seconda che la componente di rarrF lungo

rarrs sia equiversa o

di verso opposto a rarrs Se

rarrF e

rarrs hanno la stessa direzione e se lo spostamento avviene nel

senso di rarrF diciamo che il lavoro egrave positivo (e viceversa negativo) Lrsquointensitagrave del lavoro puograve

variare tra un valore massimo e uno minimo per gli stessi valori del modulo di rarrs e di

rarrF a

rarrs

seconda del valore di cosϑ Il lavoro egrave massimo per cosϑ = 1 (cioegrave per ϑ = 0) (rarrF diretto come

rarrs ) Il lavoro egrave minimo ( L = 0) per cosϑ = 0 cioegrave per ϑ = 90deg (

rarrF perpendicolare a

rarrs )

Puograve darsi il caso che piugrave forze agiscono sullo stesso punto Allora si puograve calcolare il lavoro totale egrave la somma dei lavori di tutte le forze applicate

Ltot = sum Li = sum (rarr

sdotiFrarrs )

Dimensioni di L [ L ]= [ F ][ s ] = mmiddot l middot t-2 middot l = ml2 t-2 Unitagrave di misura di L 1 joule = 1N middot 1m ( 1J ) Lavoro della forza peso durante la caduta di un grave Un grave cade vicino alla superficie della terra sotto lrsquoazione della forza di gravitagrave cioegrave sottoposto ala forza peso P diretta verso il basso percorrendo un dislivello h Il lavoro compiuto dalla forza peso si calcola come

LP = rarrP middot

rarrs = Pmiddot smiddot cosϑ

notando che lo spostamento s (verso il basso) e la forza P sono paralleli con verso concorde pertanto ϑ = 0 e cosϑ = 1 e che | P| = mmiddot g si ottiene LP = mmiddot gmiddot h per uno spostamento s = h (dislivello) Lavoro meccanico nel sollevamento pesi Durante questo gesto sul bilanciere oggetto dellrsquoapplicazione delle forze si esercitano la forza peso P e la forza muscolare dellrsquoatleta Naturalmente entrambe le forze lavorano ma i due lavori si oppongono uno allrsquoaltro (ricorda che il lavoro puograve essere positivo o negativo) Il lavoro positivo deve essere nel verso del moto quindi egrave quello della forza muscolare dellrsquoatleta il lavoro di P invece egrave negativo e se il bilanciere si alza di una quota h si calcola facilmente seguendo il procedimento del paragrafo precedente ottenendo LP = - mmiddotgmiddoth (ϑ = π e cosϑ = -1 ) Calcoliamo il lavoro della forza musculare seguendo lrsquoesempio qui proposto Esempio Un atleta solleva un bilanciere di peso 2500N allrsquoaltezza di 2m (sopra la sua testa) Quanto lavoro meccanico compie la sua forza muscolare Supponiamo che il sollevamento avvenga a velocitagrave costante con accelerazione nulla allora il per il

primo principio della dinamica le forze applicate al bilanciere devono essere tali chesumrarr

iF = 0

Quindi la forza peso P = mmiddot g deve essere controbilanciata dalla forza applicata dallrsquoatleta Fm

Quindi rarr

mF = - rarrP

con Fm = 2500N Il lavoro La fatto dallrsquoatleta vale

Lm = rarr

mF middot rarrs = 2500 N middot 2m middot 1 = 5000 J (sollevamento verticale quindi ϑ = 0 e cosϑ = 1)

Quanto lavoro fa la forza peso

Lp = rarrP middot

rarrs = 2500 middot 2 middot (-1) = -5000 J

(percheacute ϑ = π e cosϑ = -1) Quanto lavoro fa lrsquoatleta mentre sostiene il peso fermo sopra la testa L = 0 percheacute non crsquoegrave spostamento Qui si parla di lavoro meccanico non di lavoro fisiologico diciamo che si fa fatica percheacute crsquoegrave da mantenere integrordquo un corpo non rigido che egrave il corpo dellrsquoatleta quindi si il lavoro delle contrazioni muscolari per mantenere lrsquoequilibrio e ldquolrsquointegritagraverdquo egrave la misura del lavoro fisiologico necessario anche se il lavoro meccanico compiuto egrave nullo 2deg caso Forza variabile Nel caso in cui F egrave una forza variabile che dipende dalla posizione ogni volta che avviene uno spostamento∆ x la forza cambia Il lavoro totale saragrave la somma dei lavori elementari fatti sui tratti piccoli sui quali la forza puograve essere assunta costante

Ltot = iii xxF ∆sdotsum )(

( Se si fa il limite per ∆ xi piccolo rarr 0 e la isum egrave lrsquointegrale Ltot = int sdotxtin

xinxdxF )( )

Ad esempio la forza F puograve essere la forza di richiamo di una molla vincolata al muro Lrsquointensitagrave della forza elastica varia durante lo spostamento aumentando con lrsquoallungamento (o la compressione) della molla ed ha la direzione parallela allo spostamento ma puograve avere verso concorde o discorde quindi con cosϑ che vale o +1 o ndash1 Immaginiamo di avere un blocco attaccato alla molla e di tirarlo da Xin a Xfin allora

F(x) = - kx Fig 28

Il lavoro della forza elastica si calcola sommando i lavori infinitesimali compiuti per spostamenti infinitesimi durante i quali la forza si assume costante Ciograve egrave rappresentato graficamente nel calcolo lrsquoarea compresa al di sotto della curva del grafico di F (Fig 28A) In figura si egrave cambiato il segno della funzione forza per comoditagrave di rappresentazione

Fig 28A

Area = differenza aree dei due triangoli = AABB kxxkxx sdotminussdot2

1

2

1

Ricordandoci del segno

L infin = 22

2

1

2

1infin kxkx +minus e in generale L = 2

2

1kx

Se si calcola il lavoro della forza di richiamo durante un allungamento della molla si ha lavoro negativo mentre durante il ritorno alla posizione di equilibrio il lavoro egrave positivo (segno dello spostamento x e della forza concordi) Energia cinetica Il termine ldquoenergiardquo indica la capacitagrave di compiere lavoro Lrsquoenergia cinetica egrave la proprietagrave che rende conto quantitativamente del legame fra il lavoro compiuto ed il moto generato Avevamo detto piugrave o meno lo stesso parlando della seconda legge della dinamica riferendoci alle forze Qui col lavoro non egrave necessaria la descrizione dettagliata delle forze che agiscono sul punto in considerazione Ersquo sufficiente conoscere il loro lavoro totale

Lrsquoenergia cinetica K = 2

1mv2 (gt 0 percheacute m gt 0 v2 gt 0 ) (m e v sono la massa e la velocitagrave del

corpo) Lrsquounitagrave di misura e le dimensioni di K sono le stesse del lavoro Joule ( J ) e [ ]K = [ ]22 minustml

Teorema dellrsquoenergia cinetica Se una forza F compie un lavoro L su un punto materiale di massa m si ha una variazione dellrsquoenergia cinetica pari al lavoro compiuto

Xfin Xin

F

0

ksdotxfin

ksdotxin

F= ksdotx

x

LAB= -area

L = Kfin ndash Kin = ∆ K Nel caso che piugrave forze agiscono sul punto materiale il teorema dellrsquoenergia cinetica si applica al lavoro totale (equivalentemente al lavoro della risultante ) E il caso dellrsquoatleta che solleva il peso di 2500N Sappiamo che ha compiuto un lavoro di 5000J ma il bilanciare con i pesi era fermo allrsquoinizio ed egrave fermo alla fine Quindi Kin = 0 e Kfin = 0 percheacute vin = 0 e vfin = 0 Allora il teorema dellrsquoenergia cinetica Vale per il lavoro totale o lavoro della forza totale e noi abbiamo visto che la forza netta totale = 0 ( Fa + P = 0 ) ed il lavoro totale egrave nullo quindi giustamente si ha ∆ K = 0 1)Caso di una palla da tennis che cade

la forza peso rarrP compie un lavoro positivo con spostamento concorde a

rarrP si dovrebbe avere

∆ K gt 0 infatti la velocitagrave v aumenta 2)Caso di una palla lanciata verso lrsquoalto

lo spostamento ha verso opposto a rarrP Il lavoro della forza peso egrave negativo e quindi ∆ K egrave

negativo giusto La velocitagrave diminuisce NB Durante il volo agisce solo la forza di gravitagrave quindi il lavoro totale comiuto sul corpo egrave solo quello della gravitagrave 3)Caso del moto circolare uniforme la forza che agisce egrave la forza centripeta che egrave perpendicolare allo spostamento Quindi non compie lavoro deve essere ∆ K = 0 Iinfatti il moto egrave uniforme cioegrave la velocitagrave egrave in modulo costante Potenza Si chiama potenza il lavoro che si egrave in grado di svolgere nellrsquounitagrave di tempo

P = t

L

∆ ( potenza media )

P = t

Lt ∆

∆rarr∆ 0lim ( potenza istantanea)

Non egrave solo una stima del lavoro compiuto ma anche della rapiditagrave con cui si compie lavoro

Fig 29 Per superare il muro ci vuole un certo lavoro che consiste nellrsquoinnalzare il proprio corpo di unrsquoaltezza h Sia lrsquoatleta che lo supera in un sol balzo sia il vecchietto che sale pian piano la scalinata faranno lo stesso lavoro Quel che egrave diverso egrave la potenza dei due personaggi Dimensioni e unitagrave di misura della potenza [ ]P = [L] [t -1] = [ml2t-3] 1 watt = 1 joule 1sec (1w)

Energia Potenziale K egrave energia connessa allo stato di moto di un sistema Crsquoegrave anche energia connessa alla posizione di un corpo in un campo di forze (configurazione) Si chiama energia potenziale Nel caso dellrsquoatleta di sollevamento pesi il lavoro compiuto dallrsquoatleta Lm non ha alterato lrsquoenergia cinetica K dellrsquoattrezzo ma ha modificato la configurazione del sistema (terra-attrezzo) variandone lrsquoenergia potenziale (W) Il lavoro non egrave stato sprecato ma ldquoimmagazzinatordquo lrsquoattrezzo prima egrave a terra poi egrave in alto nel sistema che ora ldquopotenzialmenterdquo puograve compiere un lavoro cedendo la sua ldquoenergia potenzialerdquo Energia cinetica ed energia potenziale sono due parti dellrsquoenergia meccanica possono trasformarsi lrsquouna nellrsquoaltra ed in lavoro Nellrsquoesempio precedente quando lrsquoattrezzo egrave in alto si ha che K = 0 e W = WA Quando cade K aumenta percheacute la velocitagrave v aumenta e lrsquoenergia potenziale W diminuisce In basso W = WB lt WA e K egrave massima Lrsquoattrezzo cadendo puograve compiere lavoro Se fosse un martello potrebbe far avanzare un chiodo ad esempio Lrsquoenergia potenziale viene definita proprio a partire dal concetto di lavoro di forze conservative Ersquo conservativa una forza il cui lavoro per spostare il suo punto di applicazione da una posizione (configurazione) ad unrsquoaltra dipende solo dalle due posizioni (configurazioni) iniziale e finale Equivalentemente si puograve definire la forza conservativa dicendo che il lavoro di tale forza egrave nullo se le posizioni (configurazioni) iniziali e finali coincidono

-Lavoro per passaggio dalla posizione A a B egrave lo stesso lungo I o II -Se da A vado a B e torno in A il lavoro totale egrave nullo

Fig 30 Posso allora definire una funzione della posizione W che assume i valori WA e WB in A e B e tale per cui LAB = WA ndash WB ( W energia potenziale) WA WB sono definiti a meno di una costante tanto quello che interessa egrave la differenza fra loro Variazione di energia potenziale del passaggio da A a B WB ndash WA = ∆W allora LAB = -∆ W Con questa convenzione sui segni si rende conto del fatto che un lavoro positivo ( fatto dalle forze conservative sul corpo) fa diminuire lrsquoenergia potenziale W ( L positivorarr ∆W negativo rarr WBlt WA rarr ho usato energia potenziale) un lavoro negativo (subito) aumenta W (L negativo rarr ∆W positivo rarr WBgt WA rarr ho guadagnato energia potenziale) W si misura in Joule come il lavoro e lrsquoenergia cinetica

Qual egrave la Forma di W

Mentre la forma dellrsquoenergia cinetica egrave sempre K =2

1mv2 indipendentemente dal tipo di forze

che provocano il movimento W dipende dal tipo di forza conservativa di cui si sta calcolando il lavoro Consideriamo due forze conservative

a) Forza gravitazionale forza peso

F(y) = -mg Stato di riferimento y0 = 0 in cui W0 = 0

Fig31

Abbiamo detto che LAB = WA- WB ma siccome

LAB = )( ABhmgsP minussdotminus=sdot dove hAB= yA-yB egrave la distanza tra A e B allora rArr WA = mgyA WB = mgyB e in generale W(y) =mgy

Per la forza peso W(y) =mgy e lrsquoenergia totale meccanica (W+K) = mgy+2

1mv2=Etot

b) Forza elastica

Fig 32

F(x) = -kx Stato di riferimento x = 0 allungamento nullo la lunghezza della molla egrave la sua lunghezza di riposo L ( W(0) = 0)

Immaginiamo che la configurazione della molla venga modificata passando dalla posizione xA alla posizione xB (Fig 32) Il lavoro della forza elastica egrave calcolato come

LAB = 22

2

1

2

1AB kxkx +minus

Ricordando che LAB = WA- WB possiamo ricavare lrsquoespressione per lrsquoenergia potenziale elastica

rArr WA = 2

2

1Akx WB = 2

2

1Bkx e in generale W(x) = 2

2

1kx

Energia totale meccanica ndash Conservazione dellrsquoenergia

In presenza di sole forze conservative la somma dellrsquoenergia cinetica e dellrsquoenergia potenziale costituisce lrsquoenergia totale meccanica Tale energia meccanica gode della proprietagrave importantissima di conservarsi durante lrsquoevoluzione del sistema Lrsquoenergia connessa al movimento e alla posizione si scambiano una diminuisce e lrsquoaltra cresce ad esempio ma la loro somma rimane costante

- Esempio delle montagne russe Se non ci sono attriti (infatti il trucco egrave quello di rendere il

sistema privo di attriti) so giagrave quale altezza massima potrograve raggiungere (quella iniziale e non di piugrave) quale velocitagrave massima potrograve raggiungere (in fondo alla valle) Queste quantitagrave sono fra loro legate dal teorema della conservazione dellrsquo energia meccanica

Fig 33 - Esempio del salto con lrsquoasta Lrsquoenergia cinetica dellrsquoatleta acquisita nella rincorsa viene

trasformata in energia potenziale gravitazionale parte direttamente e parte attraverso lrsquoenergia potenziale elastica dellrsquoasta acquisita nella sua deformazione durante il salto La flessibilitagrave dellrsquoasta (costante elastica dellrsquoasta) egrave legata allrsquoenergia che si puograve immagazzinare in una data deformazione Infatti con aste rigide (alluminio acciaio bambugrave) il salto era piugrave basso Con fibra di vetro il record egrave stato polverizzato

Fig 34

Fig 35

Fig 36

Osserviamo che il teorema dellrsquoenergia cinetica ha validitagrave generale qualunque siano le forze che agiscono conservative o non conservative (le forze non conservative si dicono anche ldquodissipativerdquo)

KLL

KL

fncfc

tot

∆=+∆=

e ricordando che darr Lfc = - )( fcW∆

Si ottiene che K∆ + )( fcW∆ = Lfnc

Si vede che nel caso in cui Lfnc sia nullo cioegrave quando non ci sono forze dissipative la somma delle variazioni di energia cinetica e energia potenziale egrave uguale a zero cioegrave lrsquoenergia totale meccanica (somma dellrsquoenergia cinetica e potenziale) egrave costante E questo corrisponde al teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica Nel caso ci siano forze dissipative la somma delle energie non egrave costante quindi al contrario del teorema dellrsquoenergia cinetica il teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica non ha validitagrave generale (vale solo in assenza di attriti ad esempio) Le forze non conservative di attrito compiono lavori solo negativi e fanno perdere quantitagrave di energia non recuperabile Parte di questa energia va in generale in calore quindi se ne puograve tenere conto considerando unrsquoaltra forma di energia lrsquoenergia termica ( ci sono anche altri fenomeni dissipativi ad esempio le deformazioni permanenti negli urti o la propagazione di onde sonore)

Lrsquo energia puograve dunque conservarsi o trasferirsi proprietagrave caratterizzanti dellrsquoenergia Il lavoro rende conto del trasferimento di energia della perdita di energia sotto una forma e del guadagno sotto unrsquoaltra forma (cioegrave energia conservativa) o del passaggio dellrsquoenergia da un sistema ad un altro Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica quando egrave applicabile puograve essere sfruttato per risolvere facilmente problemi altrimenti complicati Esercizio Una palla da tennis viene lanciata con velocitagrave iniziale v0 (senza effetti strani taglio etc) al di lagrave della rete Con quale velocitagrave arriva a terra

Se durante il moto Etot si conserva K+W = cost

Fig 37 e W = mgh egrave solo energia potenziale gravitazionale h = 0 alla fine come allrsquoinizio dunque K in = Kfin e vfin = v0 Se la palla egrave lanciata verso lrsquoalto non crsquoegrave componente orizzontale della velocitagrave ma solo verticale al punto piugrave alto di arresto h K(h) = 0 W(h) = max = Kin cioegrave mgh = frac12 mv0

2 si puograve cosigrave calcolare facilmente lrsquoaltezza massima raggiunta h = (frac12 v0

2)g e vicenversa si puograve calcolare il valore della velocitagrave v0 che bisogna imprimere alla palla affinchegrave raggiunga lrsquoaltezza h

v0 = gh2

Esercizio Una saltatrice di massa M = 61Kg salta da un ponte di altezza H = 45m agganciata ad una corda elastica La lunghezza di riposo della corda elastica egrave L = 25m e la sua costante elastica egrave k = 160 Nm Nel punto piugrave basso si arresta prima di venire rimbalzata in alto Qualrsquo egrave lquesta quota piugrave bassa h (a cui si trovano i suoi piedi ai quali egrave legato lrsquoelastico)

Fig 38 Etot = Wgrav + Wel + K = cost sono solo forze conservative vale la conservazione

dellrsquoenergia Nel punto A K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di lanciarsi Wel = 0 percheacute lrsquoelastico non egrave ancora svolto Wgrav = MgH Nel punto B K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di rimbalzare

Wel = frac12 kd2 Wgrav = Mgh = Mg(H-(L+d)) Etot(A) = Etot (B) MgH + 0 + 0 = Mg (H-(L+d)) + frac12 kd2 + 0 MgH = MgH ndash MgL ndash Mgd +frac12 kd2

2

1(160)d2 ndash (61)(98)d ndash (61)(98)(25) = 0

equazione di IIdeg grado che dagrave per d il valore accettabile d = 179m (lrsquoaltro egrave negativo e non egrave accettabile perchegrave non ha senso fisico la

saltatrice va in giugrave non in su) Allora h = H-(L+d) = 45 ndash (25+179) = 45 ndash 429 = 21m quindi con la testa poco sopra lrsquoacqua Sistemi di punti materiali e corpi rigidi ndash Centro di Massa

Un giocoliere o un ginnasta che lancia la clavette fa compiere allrsquoattrezzo movimenti complicati tuttavia crsquoegrave un punto dellrsquoattrezzo che si muove seguendo una traiettoria semplice come quella di un punto materiale ad esempio lanciato segue una traiettoria parabolica Tale punto si chiama centro di massa dellrsquooggetto Il centro di massa puograve essere definito per un oggetto o per un insieme di punti materiali Ersquo importante percheacute in generale il moto di un corpo esteso (o di un insieme di punti) si puograve studiare separando il moto del centro di massa (moto traslatorio) e il moto del corpo attorno al centro di massa (moto rotatorio)

Centro di Massa (CDM) di un sistema di punti - Consideriamo il caso semplice di due punti materiali di massa m1 m2 posti sullrsquoasse x in

posizione x1 x2

Fig 39

la posizione del centro di massa egrave definita xCDM = 21

2211

mm

xmxm

++

a) xCDM egrave compreso fra x1 e x2 b) se m1 = m2 CDM egrave a metagrave strada fra m1 ed m2 c) xCDM egrave piugrave prossimo alla massa maggiore - Nel caso di piugrave punti allineati nelle posizioni xi detto M = summi allora

xCDM = ii xmMsum

1

- Nel caso di punti distribuiti nello spazio detti irrarr

i vettori che identificano le loro posizioni

CDMrrarr

= iii rmM

rarrsum

1

dove CDMrrarr

ha coordinate (xCDM yCDM zCDM) definite come

xCDM = ii xmsumη1

yCDM = ii ymMsum

1

zCDM = ii zmMsum

1

- Consideriamo un oggetto qualsiasi questo egrave composto da un gran numero di particelle ma conviene considerarlo come un continuo di materia e per calcolare il centro di massa si prendono in considerazione degli elementi infinitesimi di massa dm centrati intorno alle posizioni (xyz) allora

xCDM = int xdmM

1 yCDM = int ydm

M

1 zCDM = int zdm

M

1

se si puograve considerare il corpo omogeneo (densitagrave uniforme) allora V

M

dv

dm = e allora si puograve fare il

calcolo considerando il volume V e gli elementi di volume dv anzichegrave la massa e gli elementi di massa

xCDM = int xdvV

1 etc

In un oggetto solido (corpo rigido) i diversi punti materiali che lo compongono non cambiano la loro posizione relativa (non come un corpo elastico) - se un oggetto ha un elemento di simmetria un asse od un piano il CDM si trova su tale

elemento di simmetria (asse per cono centro per sfera piano per una banana etc) Non egrave detto che il CDM di un oggetto appartenga allrsquooggetto vedi uno pneumatico un cerchio Il CDM egrave esterno alloggetto Legge fondamentale della dinamica per un sistema di punti materiali Caso della palla da bigliardo urto fra due palle dopo il lancio di una le due si muovono 1) una egrave ferma (B) lrsquoaltra la lancio (A) 2) le due si urtano in qualunque modo 3) le due si muovono secondo traiettorie differenti una possibilmente andragrave in buca lrsquoaltra no Dopo il lancio sulla palla A non agisce piugrave nessuna forza quindi la sua velocitagrave v egrave costante Va bene ma dopo lrsquourto Il CDM delle due palle continua a muoversi con velocitagrave costante anche se il centro di massa egrave un punto teorico che non appartiene a nessuna delle due palle Tuttavia al CDM possiamo assegnare una massa (M totale del sistema) una velocitagrave ed una accellerazione Si ha

)(CDMext aMFrarrrarr

=sum

a) extFrarr

sum egrave la somma di tutte le forze esterne che agiscono sul sistema non quelle interne (ad esempio nel caso del bigliardo non devo considerare le forze che si applicano fra le due palle quando si urtano)

b) M egrave la massa totale del sistema Si suppone che durante il moto M rimanga costante

c) )(CDMararr

egrave lrsquoaccelerazione del CDM Dellrsquoaccellerazione di un altro punto ad esempio del centro della palla A non si dice nulla

Cosideriamo alcuni esempi 1) Bigliardo tvaF CDMCDMext cos00 ===sum prima dellrsquourto nellrsquourto si verificano solo forze

interne Quindi tvaF CDMCDMext cos00 ===sum dopo lrsquourto e durante tutto il moto

2) Sistema terra-luna sumFext = gravitazione del sole aCDM egrave ldquocentripetardquo accellerazione di una

forza che egrave diretta verso il sole (forza ldquocentralerdquo) egrave il CDM terra-luna che segue la traiettoria dovuta allrsquoattrazione gravitazionale del sole poi terra e luna si muovono intorno al loro CDM

3) Clavette lanciate sum Fext = Mg aCDM = g il centro di massa si comporta come un punto materiale nel lancio

4) La ballerina nel ldquogrand-fetegraverdquo fa seguire a testa e busto una traiettoria rettilinea percheacute modifica lrsquoassetto in modo da alzare il suo CDM Nel corso del salto (alza le braccia e distende

orizzontalmente le gambe non appena lasciato il suolo) il suo CDM segue la traiettoria parabolica del lancio di un corpo soggetto allrsquoaccelerazione di gravitagrave g

Quantitagrave di moto rarrP

- Si definisce quantitagrave di moto di una particella il vettore

rarrrarr= vmP

con m massa della particella e rarrv la sua velocitagrave

Si vede che rarrP egrave diretto come

rarrv

Newton scrisse la legge fondamentale della dinamica in termini di quantitagrave di moto (a differenza di Galileo che la scrisse in termini di massa e di accelerazione) ldquola rapiditagrave di variazione della quantitagrave di moto di una particella egrave proporzionale alla forza netta che agisce sulla particella ed egrave nella direzione di quella forzardquo cioegrave

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

che egrave piugrave generale della formulazione di Galileo perchegrave descrive bene anche il caso in cui variasse la massa del corpo durante il moto (ad esempio un vettore spaziale) Se la massa egrave costante le due formulazioni sono identiche

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

= t

vm

∆∆

rarr)(

= m t

v

∆∆

rarr

= m rarra

Ricordiamo che rarrF egrave diretto come

rarra (o la risultante

rarrR = sum

rarrF )

Per un sistema di punti materiali si definisce la quantitagrave di moto totale

rarrP =

rarrP 1 +

rarrP 2 + helliphellip+

rarrP n =

m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +helliphelliphellip+ mn

rarrv n = M

rarrv CDM (si puograve dimostrare) dove M egrave la massa totale

[essendo infatti Mrarrv CDM =

dt

d(M

rarrr CDM) =

dt

d(m1

rarrr 1 + m2

rarrr 2 +hellip) = m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +

hellip]

quindi rarrP = M

rarrv CDM per un sistema di particelle e

dt

Pdrarr

= M dt

d rarrv CDM = M

rarra CDM = sum

rarrF ext

Conservazione delle quantitagrave di moto

Per un sistema chiuso (M non varia) e isolato (sumrarrF ext = 0)

Allora

t

P

∆∆

rarr

= 0 rarrP = cost

rarrP i =

rarrP f

che sono tre modi equivalenti per dire che la quantitagrave di moto si conserva Vale per un sistema nel quale non agisca nessuna forza esterna netta Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica e la conservazione delle quantitagrave di moto sono due concetti fisici importantissimi Valgono sia per le palle da bigliardo che per qualunque altro sistema anche le galassie nellrsquouniverso Queste equazioni sono vettoriali Ciograve significa che rappresentano una terna di equazioni scalari ognuna valida sul proprio asse del sistema di riferimento (x y z)

Puograve accadere a seconda delle forze che agiscono nel sistema che la quantitagrave di moto si conservi in una direzione o in due e non in tutte e tre

Ad esempio se consideriamo una palla come un insieme di punti materiali la rarrF ext che agisce nel

sistema egrave mrarrg diretta lungo z senza componenti su x e y quindi

rarrP varia lungo z ma

non su x e y

Percheacute ldquocomplicarci la vitardquo con questa storia del CDM del sistema di particelle etchellip non bastava il moto del punto rappresentativo materiale Avevamo giagrave considerato il punto rappresentativo e avevamo svolto anche problemi sulla palla sul bilanciere e per altri oggetti Abbiamo sempre sbagliato La questione egrave se un corpo egrave rigido cioegrave se tutti i suoi punti si muovono mantenendo le loro distanze relative non crsquoegrave problema abbiamo solo visto che il punto materiale rappresentativo si chiama CDM ed abbiamo imparato a situarlo allrsquointerno del corpo Ma se il corpo non egrave rigido cioegrave se il suo CDM si sposta rispetto a lui stesso nel corso del moto la disposizione del corpo intorno al punto rappresentativo varia nel corso del tempo e le leggi di conservazione valgono per il CDM - Consideriamo ad esempio il teorema dellrsquoenergia cinetica che per un punto materiale si scrive Ltot = Kfin-K in = ∆ K (qui ovviamente non crsquoegrave da specificare lavoro delle forzeldquoesternerdquo percheacute essendo in un punto materiale che si assume infinitamente piccolo non ci sono forze ldquointernerdquo) Per analogia il teorema dellrsquoenergia cinetica si estende al caso di un insieme di punti materiali nel seguente modo

Ltot forze ext=rarrF extmiddot

rarrs CDM = ∆ KCDM

Dove s CDM egrave lo spostamento del centro di massa A titolo di esempio risolviamo il problema un giocatore di hockey su ghiaccio di massa M = 110Kg si muove verso la balaustra a bordo campo alla velocitagrave di 3msec Nellrsquoarrestarsi flettendo le braccia il suo CDM si sposta in avanti di 30cm Qual egrave la ∆ K del suo CDM durante la manovra

∆ KCDM = infin CDMCDM mvmv 22

2

1

2

1 minus =

= 0 - 2

1110 32 = -495 J

Fig 40

Sia L il lavoro delle forze esternerarrF ext (dirette come d

rarrx CDM ) allora

L = - Fext 03 = ∆ KCDM quindi

Fext =30

495

minusminus

= + 1650N

( si considera la forza esterna rarrF ext costante nellrsquointervallo dellrsquoarresto fatto che equivale a dire

che il giocatore si arresta con rarra CDM costante)

Dinamica e statica del corpo esteso Finora abbiamo sempre discusso del moto di un punto materiale (punto rappresentativo dicevamo sempre) In particolare abbiamo sempre applicato le forze a quel punto materiale quindi se diverse forze erano applicate esse concorrevano in quel punto ligrave e con le forze concorrenti sapevamo come calcolare la risultante con il metodo grafico o con quello numerico delle coordinate cartesiane Una volta calcolata la risultante applicata al punto si otteneva un moto di pura traslazione del punto (al massimo traslava lungo una traiettoria curva) senza rotazioni proprie del punto che non hanno neanche senso un punto che ruota su se stesso Come faccio ad accorgermi Un punto per definizione egrave infinitamente piccolo (Dicevamo infine che il punto egrave in equilibrio

traslazionale se la risultante rarrR delle forze applicate egrave nullo)

Consideriamo invece un corpo esteso Prima osservazione questo ha piugrave punti (direi infin ) a

cui la forza puograve essere applicata Prendiamo una racchetta da tennis ed una forza rarrF applicata il

moto che ne risulta dipende dal punto al quale viene applicata la forza rarrF

qui la racchetta trasla

Fig 41

stessa forza qui la racchetta ruota

Fig 42

Seconda osservazione Crsquoegrave un caso in cui le forze non possono essere fatte concorrere in un punto ed egrave quando sono parallele ed hanno rette di applicazione distinte Chiaramente non abbiamo mai dovuto considerare questo caso per il punto materiale percheacute per un punto non possono mai passare due rette parallele Ma per il corpo esteso So benissimo che se sono ferma con la macchina in

panne e la sto spingendo applicando una forza rarrF 1 sono contenta se qualcuno si affianca a me ed

esercitando una forza rarrF 2 lungo una direzione parallela a quella della mia mi aiuta a spingere In

particolare mi viene spontaneo dire che se F1 = F2 allora spingeremo con una forza doppia Ci saragrave quindi un modo per sommare due forze non concorrenti in un punto ma parallele e saragrave Ftot = F1+ F2 La retta di applicazione di Ftot divide il segmento congiungente i punti di applicazione di F1 ed F2 in due segmenti inversamente proporzionali allrsquointensitagrave delle forze F1 e F2 Terza osservazione se F1 = - F2 sono uguali in intensitagrave ma di verso opposto sempre lungo due rette di applicazione parallele passanti per un corpo esteso cosa succede La loro somma Ftot risultante saragrave 0 ma io so che il corpo non sta fermo sotto lrsquoazione di tali due forze ma ruoteragrave Concludo che le nozioni che ho acquisito finora vanno riviste ed ampliate o corrette o specificate per i corpi estesi ed inoltre che mi mancano totalmente i mezzi per descrivere le rotazioni dei corpi estesi Occorrono nuovi concetti nuove quantitagrave la forza non basta Prendo lrsquoesempio piugrave semplice dellrsquoaltalena con due bambini in due bracci uno piugrave leggero uno piugrave pesante

Fig 43 Qualitativamente so che percheacute lrsquoaltalena stia in equilibrio e non ruoti intorno al punto fisso non egrave necessario che i due bambini abbiano lo stesso peso (ugual massa) occorre che il bambino piugrave leggero sieda piugrave lontano rispetto al punto fisso (fulcro) La regola quantitativa dice che lrsquoaltalena egrave in equilibrio se il prodotto del peso per la distanza del fulcro egrave uguale PB dB = Pb

db Per generalizzare questa regola ai casi piugrave complessi occorre definire una nuova quantitagrave il momento di una forza Momento di una forza

Consideriamo una forza rarrF applicata ad un punto P ed un punto O Sia

rarrr

il vettore rarrOP allora il momento

rarrM di

rarrF rispetto ad O egrave

rarrM =

rarrr x

rarrF

e

|rarrr | middot |

rarrF | sin ϑ = |

rarrM |

Fig 44

oppure anche considerando la componente di rarrF perpendicolare ad

rarrr o di

rarrr

perpendicolare a rarrF r e rispetto a F

|rarrM | = |

rarrr | |

rarrF perp | |

rarrM | = |

rarrr perp| |

rarrF |

In generale si dice che il modulo del momento |rarrM | egrave il prodotto delle intensitagrave della forza per la

distanza dal punto della retta di applicazione della forza

Come vettore rarrM egrave perpendicolare al piano che contiene

rarrF ed

rarrr ed ha verso calcolato con la

regola della mano destra (con rarrr che si chiude su

rarrF )

La distanza rperp si chiama braccio della forza Si vede che il momento egrave nullo quando il braccio egrave nullo cioegrave quando il punto O si trova sulla retta di applicazione di F Il momento della forza peso P egrave nullo rispetto al baricentro che coincide con il centro di massa nel caso (praticamenteldquosemprerdquo) in cui il corpo non sia abbastanza esteso percheacute diversi punti del corpo risentano di una forza gravitazione differente Praticamente si deve parlare di galassie percheacute CDM e baricentro (BC) non coincidono Quindi la condizione del momento nullo della forza peso diventa un modo per definire il CDM come quel punto rispetto al quale la forza peso P ha momento nullo Per un corpo ldquoarticolatordquo estendiamo il concetto di forza normale come forza di contatto nellrsquoarticolazione utile cioegrave la forza che lrsquoarticolazione che si sta considerando esercita su quello che nellrsquoarticolazione si appoggia La forza peso P di un corpo esteso puograve immaginarsi applicata al CDM Principio di equilibrio di un corpo esteso

se su un corpo esteso agiscono solo rarr

Peso e rarr

Normale cioegrave se un corpo egrave appoggiato ad un piano orizzontale allora il corpo egrave in equilibrio se e solo se il baricentro si trova sopra la superficie di appoggio

Fig 45

Finchegrave il baricentro egrave sopra il tavolo il libro non cade percheacute rarrP applicata a CDM puograve essere

controbilanciata da rarrN Se CDM si sposta in fuori

rarrN rimane nel tavolo e crsquoegrave momento non nullo

non equilibrato da rarrP che continua ad essere applicato nel CDM

Il baricentro di una persona in posizione eretta si trova nellrsquoarea delimitata dei suoi piedi 3cm davanti allrsquoarticolazione della caviglia

Fig 46 Quando la persona si piega in avanti il baricentro esce dal corpo e per mantenere lrsquoequilibrio egrave necessario che le anche si spingono indietro percheacute il baricentro cade di nuovo in quella posizione Notiamo che anche in posizione eretta essendo la forza peso e la forza di contatto non allineate (quei 3cm) (forza di contatto sullrsquoarticolazione della caviglia che regge il peso) occorre un momento correttivo che impedisca la rotazione in avanti mantenuto dal tendine di Achille che si lega alla caviglia Altro esempio di spostamento del baricentro egrave lrsquoatleta che assume una posizione ad L chi regge il peso egrave lrsquoarticolazione della spalla quindi il CDM si sposta sotto la spalla (giagrave era uscita dal corpo per via delle gambe distese in avanti) Nel camminare il baricentro continua a muoversi da sopra un piede a sopra un altro (quello appoggiato ovviamente) Si osservi lrsquoondeggiamento Per assurdo lrsquoancheggiare delle indossatrici serve a mantenere il baricentro il piugrave possibile fermo rispetto alla direzione media del moto (porre un piede esattamente davanti allrsquoaltro) rendendo piugrave facile muoversi anche con tacchi altissimi Al contrario lrsquoequilibrista che cammina sui trampoli sta fermo il meno possibile percheacute egrave stando fermo che il piccolo spostamento che fa uscire il baricentro (ALTO) dalla superficie drsquoappoggio puograve verificarsi facilmente preferisce il ldquonon ndash equilibriordquo o lrsquo rdquoequilibrio dinamicordquo dellrsquoondeggiare continuamente fra due posizioni di equilibrio

Ricordiamo che un equilibrio egrave detto stabile se quando una perturbazione lo altera spontaneamente il sistema lo ripristina Viceversa un equilibrio egrave instabile se la piugrave piccola perturbazione lo distrugge Lrsquoequilibrio egrave molto stabile se il baricentro egrave basso ed il corpo ha una grande area drsquoappoggio la posizione accucciata del giocatore di football americano dagrave grande stabilitagrave Ancor piugrave grande stabilitagrave si ha se il baricentro (CDM) si trova al di sotto della superficie drsquoappoggio Ersquo come se si fosse ldquoappesirdquo anzicheacute ldquoappoggiatirdquo alla superficie drsquoappoggio Proprio per questo motivo lrsquoequilibrista sul filo porta una lunga asta che spesso si flette agli estremi

Fig 47 Gli uccelli bipedi da 100000000 di anni hanno sviluppato questo adattamento per cui sono appesi alle anche mentre gli uomini bipedi da solo 1000000 di anni fanno fatica con il CDM dalla parte alta del corpo Ersquo un equilibrio instabile ldquosoprardquo le anche che le reggono (65 del peso del corpo) Modificazioni strutturali per reggere la posizione eretta 1) Colonna vertebrale rastremata (piugrave tozza in basso che in alto percheacute piugrave in basso vuol dire una

maggior forza di contatto) 2) Muscoli estensori della schiena 3) Gambe ed anche ingrossate 4) Ginocchio che blocca la gamba estesa Ciononostante si ha spesso il mal di schiena Se una forza ha momento non nullo rispetto ad un punto allora il corpo puograve ruotare intorno a quel punto sotto lrsquoazione di quella forza ldquoDiciamo che se sostengo il corpo per quel punto il corpo puograve ruotare intorno a quel puntordquo (Prendo in mano un foglio di carta per un estremo per esempio) La presenza di un momento non nullo egrave dunque la condizione che genera rotazione e viceversa Lrsquoassenza di un momento risultante egrave la condizione che genera lrsquoequilibrio rotazionale di un corpo esteso Quindi la condizione di equilibrio per un corpo esteso egrave

1) rarrR = 0 risultante delle forze applicate = 0 (equilibrio traslazionale)

2) rarrM = 0 momento risultante = 0 (equilibrio rotazionale)

Supponiamo di avere un corpo esteso al quale siano applicate delle forze che diano luogo ad un momento non nullo allora il corpo ruota Per equilibrarlo dovrograve applicare un altro momento tale che la loro somma sia nulla Questo egrave il principio di funzionamento delle leve LEVE

Una leva egrave un corpo esteso al quale sono applicate delle forze con un momento risultante rarrR

allora per portare il corpo in equilibrio applico un momento correttivo rarrP in modo che il momento

totale sia nullo Si dice in genere potenza (P) e resistenza (R) di una leva Le leve sono macchine semplici Servono per applicare forze in punti scomodi o in direzioni particolari Il fulcro egrave il punto nel quale la leva egrave incernierata Si definisce il guadagno meccanico di una leva

GM =

)(

)(rarr

rarr

PF

RF

cioegrave il rapporto fra la forza che genera il momento resistente e quella che genera il momento agente A seconda che GM sia gt

lt 0 una leva si dice che egrave vantaggiosa o svantaggiosa ma solo per quel che riguarda le forze percheacute per quel che riguarda i lavori non si ha neacute vantaggio neacute svantaggio Il lavoro esercitato dalla forza che dagrave la ldquopotenzardquo e quello esercitato dalla forza che dagrave la ldquoresistenzardquo sono sempre uguali Infatti forze e spostamenti sono inversamente proporzionali Le leve si dicono di I II o III specie a seconda se il fulcro si trovi I) in mezzo fra R e P (leva indifferente GM dipende da caso a caso) II) dalla parte di R (leva vantaggiosa il braccio di R egrave sempre minore del braccio di P basta

quindi una P minore per equilibrare una R maggiore) III) dalla parte di P (leva svantaggiosa) Classici esempi dei tre tipi di leve sono i remi (I) lo schiaccianoci (II) e la pinzetta per francobolli (III) Tuttavia vediamo degli esempi meno classici ma attinenti al campo della biologia e della medicina Criterio generale egrave che le leve vantaggiose consentono di essere molto potenti ma con brevi spostamenti mentre viceversa quelle svantaggiose fanno perdere in potenza ma consentono grandi spostamenti saragrave difficile vedere un cavallo che con le lunghe zampe si scava la tana drsquoaltronde una talpa scava bene la tana ma ha movimenti molto meno ampi che non le consentono di correre veloce come un cavallo (compromesso fra forza e velocitagrave del movimento) Se contiamo tutti i movimenti di rotazione che il corpo puograve compiere capiamo che siamo pieni di leve di ogni tipo Sono classici a) il capo fulcro (articolazione occipito-atlantoide) Fig 48 muscoli della nuca (Potenza) peso del capo (Resistenza) b)

muscolo bicipide (Potenza)

Fig 49 Peso dellrsquoavambraccio (Resistenza) Fulcro (articolazione del gomito) Questa leva permette grandi spostamenti Si vede che la forza operata dal muscolo bicipite egrave massima quando lrsquoavambraccio egrave orizzontale (la distanza dal fulcro egrave massima) ed egrave minima quando lrsquoavambraccio egrave verticale( con la distanza dal fulcro nulla) Attenzione - la colonna vertebrale egrave costituita da 24 vertebre separate da dischi di liquido Quando una

persona si piega la schiena egrave una leva con GM molto piccolo Quindi un piegamento completo per raccogliere un oggetto anche leggero produce una forza molto intensa sul disco lombosacrale che separa lrsquoultima vertebra dellrsquoosso sacro Se indebolito questo disco puograve rompersi o deformarsi comprimendo i nervi vicini e causando grande dolore Vediamo un modello che rende conto come mai questa forza egrave cosigrave grande

Fig 50

I muscoli della schiena esercitano T Con un angolo α = 12deg quando la schiena egrave piegata a 90deg

Peso della parte superiore del corpo (circa il 65 del peso totale)

Fulcro lombosacrale (il fulcro produce R) Essendo α piccolo la retta di azione Τ passa vicino al fulcro e dunque la distanza r che costituisce il suo braccio egrave molto piccola Al contrario il peso egrave perpendicolare alla colonna e il suo punto di applicazione egrave molto piugrave distante dal fulcro Τ deve essere molto grande per equilibrare il momento di P Dunque se T egrave grande anche la sua componente orizzontale egrave grande e di conseguenza anche R che costituisce la reazione dellrsquoosso sacro deve avere componente orizzontale molto grande per equilibrare Τ (uguale ed opposta alla componente orizzontale di Τ ) Facendo i conti si ottengono numeri grandi per 75Kg di peso T ed R sono equivalenti al peso di una massa di 220Kg Senza sollevare pesi solo piegandosi Conviene piegare le ginocchia quando si sollevano pesi - Nel corpo egrave difficile che il peso cada sulla verticale dellrsquoarticolazione che lo sostiene egrave sempre

un porsquo spostato e crsquoegrave un tendine con un muscolo che compensa il momento del peso - La contrazione muscolare egrave una successione di brevi contrazioni delle fibre muscolari stimolate

da impulsi che provengono dal sistema nervoso Contrazioni sono molto ravvicinate e avvengono in tempi differenti nelle diverse parti del muscolo cosigrave che il risultato apparente egrave una lenta e progressiva contrazione Se la frequenza degli impulsi aumenta la tensione cresce finchegrave si raggiunge la tensione massima (ricordare la tensione di un cavo) Un ulteriore aumento della frequenza degli impulsi a questo punto non causa ulteriore aumento della tensione

La tensione massima egrave proporzionale allrsquoarea della sezione trasversa del muscolo nel suo punto piugrave largo La tensione massima dipende anche dalla lunghezza del muscolo che varia Si ottiene tensione massima quando il muscolo egrave solo di poco allungato rispetto alla sua lunghezza di riposo di riposo ed egrave circa 30-40 Ncm2 La tensione massima si riduce moltissimo se il muscolo egrave molto allungato o accorciato Dinamica Rotatoria Fino ad ora abbiamo studiato moti traslatori ma il moto di un corpo rigido egrave in generale roto-traslatorio Naturalmente dobbiamo ridurre il problema complesso ad uno piugrave semplice e per fare ciograve immaginiamo di posizionarci su un sistema di riferimento solidale al corpo rigido i moto immaginiamo cioegrave di ldquosedercirdquo sul corpo rigido In questo modo non saremo piugrave sensibili al moto traslatorio e guardando il corpo rigido osserveremo solo le sue rotazioni Trattiamo allora il moto generico scomponendo la parte traslatoria (giagrave discussa ) da quella rotatoria Se si trascura la parte traslatoria del moto di un corpo rigido quello che rimane da trattare egrave la sua rotazione Nel nostro corso consideriamo le rotazioni che avvengono su un piano le rotazioni nello spazio potranno essere trattate come composizione di rotazioni su un piano Per le rotazioni su un piano si identifica un asse di rotazione perpendicolare al piano di rotazione e passante per il centro di rotazione Le articolazioni del gomito e del ginocchio sono articolazioni libere di ruotare intorno ad un asse a differenza ad esempio di quella della spalla che puograve ruotare intorno a due assi Si definisce spostamento angolare la variazione di una posizione che egrave definita in modo completo da una misura di angolo Una rotazione di un intero corpo rigido egrave definita in modo completo da uno spostamento angolare θfin - θin= ∆θ e si misura in radianti

Fig 51 Dobbiamo definire anche un verso di rotazione θ si incrementa per rotazioni antiorarie positive le rotazioni in senso orario sono invece negative La velocitagrave angolare si definisce analogamente alla velocitagrave lineare come il rapporto tra lo spostamento angolare e il tempo t impiegato per eseguire tale rotazione

ωm = t∆

∆θ e si misura in rad s

θin

θfin ∆θ

R

S

Anche per w si definisce ωist = lim ∆trarr0 t∆

∆θ

Ancora lrsquoaccelerazione angolare si definisce αm = t∆

∆ω e αist = lim ∆trarr0

t∆∆ω

Anche la legge fondamentale della dinamica ha un analogo nel ambito dei moti rotatori Si stabilisce che se ad un corpo rigido egrave soggetto ad un momento torcente diverso da zero esso subisce unrsquoaccelerazione angolare ad esso proporzionale Nel caso delle rotazioni la resistenza al moto egrave espressa dal momento di inerzia I associato al corpo rigido che gioca il ruolo della massa nei moti traslatori La legge della dinamica delle rotazioni egrave M = I middotα

E sostituendo M = Imiddott∆

∆ω= Imiddot

tinfin

∆minusωω

Il momento di inerzia I di un corpo rigido dipende dalla disposizione della massa del corpo rispetto allrsquoasse di rotazione per una massa puntiforme m a distanza R dallrsquoasse di rotazione I= m R2 per un oggetto esteso sommerograve il momento drsquoinerzia delle sue parti I = Σi mi Ri

2 Se si definisce momento angolare L il prodotto del momento drsquoinerzia per la velocitagrave angolare

L=Iω la legge della dinamica diventa

M = t

LL infin

∆minus

Il momento angolare egrave la grandezza fisica che si conserva se non viene applicato momento torcente Tutti i gesti di volo salti lanci tuffihellip sono azioni nelle quali si conserva il momento angolare Infatti in volo agisce solo la forza di gravitagrave che essendo applicata al CDM non genera momento torcente Il corpo umano nei gesti di volo Il corpo umano non egrave rigido e pertanto in volo agendo con i muscoli possiamo cambiare la disposizione del nostro corpo intorno al centro di massa che in volo coincide col centro di rotazione In questo modo si ottiene una variazione del momento di inerzia I e di conseguenza la velocitagrave angolare deve compensare questa variazione in modo che si mantenga costante il momento angolare L (grandezza che si conserva in assenza di momento torcente) Ersquo questo il principio che spiega il realizzarsi delle trottole sul ghiaccio dei salti mortali tuffi con avvitamento e cosigrave via in posizione raccolta I diminuisce e ω aumenta Moto circolare e moto circolare uniforme Per utilizzare le relazioni della cinematica e della dinamica lineare che abbiamo studiato egrave interessante poter passare dalle variabili angolari alle variabili lineari velocitagrave e accelerazione delle

masse in moto rotatorio Se una massa si muove su una traiettoria curva la velocitagrave tangenziale vt diretta come la tangente alla traiettoria dipende dalla velocitagrave angolare ω ( ωm=ϑ t )e dal raggio di curvatura della traiettoria Se la traiettoria egrave una circonferenza di raggio R e se gli angoli sono espressi in radianti lrsquoarco percorso per uno spostamento angolare ϑ egrave S = ϑ sdotR e la velocitagrave lineare tangente vt = St= ϑ sdotRt risulta vt = ωsdotR Se la velocitagrave angolare ω egrave costante il moto egrave detto circolare uniforme La legge oraria egrave quella dei moti uniformi spostamenti angolari uguali in tempi uguali ϑ(t) = ω t Anche la velocitagrave tangente saragrave di intensitagrave costante se ω egrave costante (archi uguali per tempi uguali s(t) = vt (t) ) ma crsquoegrave una accelerazione normale infatti la velocitagrave anche se non cambia in modulo cambia continuamente di direzione Questa accelerazione si dice centripeta egrave diretta normalmente rispetto alla traiettoria verso il centro della circonferenza e vale in modulo

ac=R

v2

Fig 52 Essendo la velocitagrave tangente vt = ωR Lrsquo accelerazione centripeta si puograve scrivere

ac =R

v2

= ω2 R

Il tempo impiegato dal punto a muoversi sulla circonferenza egrave una costante (moto uniforme) T periodo in T viene percorso uno spazio 2π R

v = T

Rπ2

La frequenza f egrave invece il ndeg di giri al secondo

f =T

1

Se si prendono punti diversi sul raggio della circonferenza questi hanno la stessa velocitagrave angolare e velocitagrave tangenziali crescenti al crescere del raggio Esempio carosello dei pattinatori Esercizi

1- un velocista con una velocitagrave di 10 ms viaggia su una curva di raggio 25m ndash accelerazione

a = R

v2

= 25

100 = 4 ms2

2 ndash un velocista con v = 92 ms su una pista circolare con ac = 38 m s2 ndash Raggio della pista Tempo per percorrere un giro completo

a = R

v2

rArr R = a

v2

= 83

)29( 2

= 2227m

T =v

Rπ2 =

29

27222 lowastπ = 152 sec

Forza centripeta forza centrifuga Una forza centripeta egrave una forza di qualunque natura che trattiene un corpo in moto su una traiettoria curvilinea ad esempio circolare In assenza di tale forza il corpo proseguirebbe il suo moto lungo una traiettoria rettilinea Nel gesto del lancio del martello ad esempio il lanciatore che esercita sul peso in cima allrsquoattrezzo una forza mediata dalla tensione dal cavo che lo trattiene nella traiettoria circolare Quando il lanciatore lascia la maniglia il martello viene lanciato lungo la direzione della tangente alla traiettoria nellrsquoistante di rilascio Lrsquointensitagrave della forza centripeta necessaria a mantenere una massa m in moto con velocitagrave tangente v lungo una traiettoria circolare di raggio r si puograve calcolare a partire dallrsquoaccellerazione centripeta secondo la legge fondamentale della dinamica

|rarr

cF | = m | rarr

ca | = m r

v2

Tale forza egrave diretta come lrsquoaccelerazione centripeta e cioegrave verso il centro della circonferenza che costituisce la traiettoria La forza centripeta egrave dunque una forza reale Con lsquoforza centrifugarsquo invece non ci si riferisce ad un forza che agisce su un corpo ma alla situazione apparente cui sembra sottoposto un corpo in moto curvilineo Esso pare tirato o attirato lontano dal centro di rotazione pare ci sia una lsquoforzarsquo che vuole farlo sfuggire Quando viene lasciato il martello si allontana dal centro di rotazione percheacute si muove di moto rettilineo uniforme non essendo piugrave soggetto a forze altre che la forza peso Lrsquoacqua esce dal cestello della lavatrice quando il cestello ruota velocemente (funzione centrifuga) percheacute lrsquoacqua che non costituisce un corpo solo con il cestello bucato non egrave soggetta alla forza centripeta e puograve passare attraverso i buchi I panni invece pure non parte del cestello sono troppo grandi per passare dai buchi si possono solo schiacciare contro le pareti questo schiacciamento sembra il risultato di una forza ma egrave invece il risultato dellrsquoassenza di una forza quella centripeta Una volta lagrave contro il cestello fanno tuttrsquouno con le pareti di metallo che esercitano su di essi la forza centripeta (cioegrave con direzione verso lrsquoasse di rotazione) che li mantiene in rotazione Le parti di un corpo rigido esteso che si muove di moto rotatorio rispetto ad un asse quale ad esempio la gamba di un giocatore di calcio che calcia un pallone sono soggette alla forza centripeta che le mantiene sulla traiettoria curva Tale forza viene trasmessa alle varie parti tramite le forze di tensione che si sviluppano allrsquointerno del corpo stesso ad esempio il piede egrave soggetto alla forza centrifuga tramite lrsquoazione dei legamenti e tendini a livello della caviglia che vengono messi in tensione per trattenere il piede stesso

lrsquoarea efficace A) influenza la resistenza opposta dal mezzo percheacute una ottimizzazione della forma (affusolata migliorare il Cx) porta a ridurre la formazione di turbolenze nellrsquoaria intorno al corpo Casco dei ciclisti o discesisti con forma a punta posteriore

non riduce la sezione trasversa A ma piuttosto migliora il Cx

Fig 24 Nel nuoto lo sbattere i piedi serve soprattutto per mantenere il corpo orizzontale e quindi a ridurre la sezione A Il lavoro viene fatto per lo piugrave dalle braccia (75) In acqua anche se la velocitagrave v egrave bassa D egrave significativa percheacute la viscositagrave del mezzo egrave grande Per ridurre le turbolenze negli sport di velocitagrave diventa essenziale utilizzare accorgimenti quali nascondere dadi e cavi nelle biciclette togliere cerchietti delle racchette da sci Tagliare i capelli o rasarsi le gambe sono sempre modi di ridurre anche le piccole turbolenze Velocitagrave limite di caduta di un grave in aria

La forza rarrD di frenamento durante la caduta libera li un corpo in aria ha verso opposto a quello

della forza pesorarrP che accelera il corpo verso il basso Se

rarrP egrave costante il corpo accelera con

accelerazione rarrg ie aumenta la velocitagrave verso il basso ma aumentando v dunque v2 aumenta

D Ciograve prosegue fincheacute D diventa di intensitagrave uguale P con verso opposto rarrD = -

rarrP A questo

punto la risultante delle forze agenti sul corpo in caduta egrave nulla (sumrarrF =

rarrD + (-

rarrP ) e dalla

seconda legge (fondamentale) della dinamica si ha che lrsquoaccelerazione rarra del corpo egrave nulla

rArr Il corpo non accelera piugrave e mantiene velocitagrave costante massima La velocitagrave raggiunta detta velocitagrave limite vlim egrave tale da verificare lrsquouguaglianza

D = 2

1cρAv lim

2 = mg = P quindi rArr vlim = (2mg cρA) frac12

La vlim raggiunta dai paracadutisti puograve essere variata modificando A tramite dei cambiamenti dellrsquoassetto in volo Questo permette ai paracadutisti di raggiungersi per fare figure in aria Lrsquoapertura del paracadute fa aumentare di molto A rendendo la velocitagrave limite molto piugrave bassa Anche le gocce di pioggia raggiungono la velocitagrave limite (v asymp 7msec in 6m) nella loro caduta Ad esempio cadendo da 1200m le gocce di pioggia raggiungono la terra con la velocitagrave limite di circa 7msec e non con la velocitagrave di 150msec che avrebbero se non ci fosse lrsquoazione di frenamento D (dei veri proiettili)

Senza D rarr vfin = 150ms

Con D rarr vfin = vlim = 7ms Fig 25 Forza elastica La forza elastica egrave una forza non costante

L lunghezza di riposo della molla Fig 26 Una massa m egrave vincolata ad una parete con una molla Se tiro la massa la molla si estende diciamo di un tratto x La molla esercita una forza di richiamo proporzionale allrsquoallungamento x (piugrave si allunga maggiore egrave la forza F di richiamo) F = -kx ldquorichiamordquo cioegrave di verso opposto allrsquoallungamento Ecco la ragione del segno (-) Se raggiunta una certa estensione la molla viene rilasciata essa si ricomprimeragrave ritorneragrave alla lunghezza di riposo L poi si schiacceragrave di un tratto x dalla parte opposta e nuovamente agiragrave la forza di richiamo (che egrave variabile in quanto varia con il variare di x) La massa oscilla attorno alla posizione di riposo k egrave la costante elastica della molla Lrsquoespressione della forza elastica vale per i respingenti del treno (k grande) come per la molla della biro (k piccola) come per lrsquoelastico del saltatore dal ponte Impulso di una forza La legge fondamentale della dinamica F = ma puograve essere scritta esprimendo lrsquoaccelerazione con la sua relazione definitoria (vf - vi)t

F = mt

vv if minus e quindi portando il tempo t al primo membro

)( if vvmtF minussdot=sdot oppure vmtF ∆sdot=sdot

Si dice ldquoimpulso ldquo di una forza il prodotto della forza per il tempo durante il quale viene applicata tF sdot (se la forza non egrave costante lrsquoimpulso egrave lrsquointegrale della forza nel tempo in cui viene applicata)

Scritta in questo modo lrsquoequazione fondamentale della dinamica puograve essere letta cosigrave 1) Supponiamo che un corpo vari la sua velocitagrave di una quantitagrave ∆v = vf - vi tanto piugrave lungo egrave il tempo t durante il quale questa variazione avviene tanto minore egrave la forza che deve essere sviluppata per ottenere tale variazione della velocitagrave In questi termini si capisce ad esempio lrsquoutilitagrave delle cinture di sicurezza che allungando i tempi durante i quali in caso drsquoincidente la velocitagrave del passeggero (che non egrave solidale con la vettura) passa da un valore vi iniziale a zero determina una riduzione della la forza cui il passeggero stesso egrave sottoposto durante il breve tempo dellrsquoimpatto (la forza che le ossa e le articolazioni possono sopportare egrave limitata) Si vede anche come funziona lrsquoelastico del jumper finchegrave lrsquoelastico non egrave completamente svolto (ltL) la forza che agisce sul jumper egrave P (la forza peso) poi progressivamente la forza elastica di richiamo contrasta P quindi il jumper decelera progressivamente per un lungo intervallo di tempo e lo lsquostrapporsquo (F applicata) necessario per contrastare P e fermare il jumper applicato sulle sue gambe e a cascata su tutte le sue articolazioni (secondo il terzo principio) egrave di entitagrave minore 2)Lrsquoimpulso totale prodotto tF sdot nella direzione ottimale egrave la grandezza fisica che stabilisce lrsquoefficacia di un gesto di spinta o di lancio non la massima forza espressa o la durata dellrsquoazione di spinta Lavoro di una forza ndash lavoro meccanico

- 1deg caso Forza costante rarrF

Immaginiamo una forza rarrF che agisce su un corpo durante il suo spostamento Immaginiamo cosi

che il punto di applicazione di questa forza si sposti nello spazio di un tratto rarrs Viene detto

lavoro della forza rarrF la quantitagrave

L = rarrF middot

rarrs = F middot smiddot cosϑ (prodotto scalare di

rarrF per

rarrs )

(prodotto scalare tra i due vettori) Fig 27 Il lavoro egrave una quantitagrave scalare cioegrave egrave descritta completamente da un numero da un valore Tale

valore puograve essere positivo o negativo a seconda che la componente di rarrF lungo

rarrs sia equiversa o

di verso opposto a rarrs Se

rarrF e

rarrs hanno la stessa direzione e se lo spostamento avviene nel

senso di rarrF diciamo che il lavoro egrave positivo (e viceversa negativo) Lrsquointensitagrave del lavoro puograve

variare tra un valore massimo e uno minimo per gli stessi valori del modulo di rarrs e di

rarrF a

rarrs

seconda del valore di cosϑ Il lavoro egrave massimo per cosϑ = 1 (cioegrave per ϑ = 0) (rarrF diretto come

rarrs ) Il lavoro egrave minimo ( L = 0) per cosϑ = 0 cioegrave per ϑ = 90deg (

rarrF perpendicolare a

rarrs )

Puograve darsi il caso che piugrave forze agiscono sullo stesso punto Allora si puograve calcolare il lavoro totale egrave la somma dei lavori di tutte le forze applicate

Ltot = sum Li = sum (rarr

sdotiFrarrs )

Dimensioni di L [ L ]= [ F ][ s ] = mmiddot l middot t-2 middot l = ml2 t-2 Unitagrave di misura di L 1 joule = 1N middot 1m ( 1J ) Lavoro della forza peso durante la caduta di un grave Un grave cade vicino alla superficie della terra sotto lrsquoazione della forza di gravitagrave cioegrave sottoposto ala forza peso P diretta verso il basso percorrendo un dislivello h Il lavoro compiuto dalla forza peso si calcola come

LP = rarrP middot

rarrs = Pmiddot smiddot cosϑ

notando che lo spostamento s (verso il basso) e la forza P sono paralleli con verso concorde pertanto ϑ = 0 e cosϑ = 1 e che | P| = mmiddot g si ottiene LP = mmiddot gmiddot h per uno spostamento s = h (dislivello) Lavoro meccanico nel sollevamento pesi Durante questo gesto sul bilanciere oggetto dellrsquoapplicazione delle forze si esercitano la forza peso P e la forza muscolare dellrsquoatleta Naturalmente entrambe le forze lavorano ma i due lavori si oppongono uno allrsquoaltro (ricorda che il lavoro puograve essere positivo o negativo) Il lavoro positivo deve essere nel verso del moto quindi egrave quello della forza muscolare dellrsquoatleta il lavoro di P invece egrave negativo e se il bilanciere si alza di una quota h si calcola facilmente seguendo il procedimento del paragrafo precedente ottenendo LP = - mmiddotgmiddoth (ϑ = π e cosϑ = -1 ) Calcoliamo il lavoro della forza musculare seguendo lrsquoesempio qui proposto Esempio Un atleta solleva un bilanciere di peso 2500N allrsquoaltezza di 2m (sopra la sua testa) Quanto lavoro meccanico compie la sua forza muscolare Supponiamo che il sollevamento avvenga a velocitagrave costante con accelerazione nulla allora il per il

primo principio della dinamica le forze applicate al bilanciere devono essere tali chesumrarr

iF = 0

Quindi la forza peso P = mmiddot g deve essere controbilanciata dalla forza applicata dallrsquoatleta Fm

Quindi rarr

mF = - rarrP

con Fm = 2500N Il lavoro La fatto dallrsquoatleta vale

Lm = rarr

mF middot rarrs = 2500 N middot 2m middot 1 = 5000 J (sollevamento verticale quindi ϑ = 0 e cosϑ = 1)

Quanto lavoro fa la forza peso

Lp = rarrP middot

rarrs = 2500 middot 2 middot (-1) = -5000 J

(percheacute ϑ = π e cosϑ = -1) Quanto lavoro fa lrsquoatleta mentre sostiene il peso fermo sopra la testa L = 0 percheacute non crsquoegrave spostamento Qui si parla di lavoro meccanico non di lavoro fisiologico diciamo che si fa fatica percheacute crsquoegrave da mantenere integrordquo un corpo non rigido che egrave il corpo dellrsquoatleta quindi si il lavoro delle contrazioni muscolari per mantenere lrsquoequilibrio e ldquolrsquointegritagraverdquo egrave la misura del lavoro fisiologico necessario anche se il lavoro meccanico compiuto egrave nullo 2deg caso Forza variabile Nel caso in cui F egrave una forza variabile che dipende dalla posizione ogni volta che avviene uno spostamento∆ x la forza cambia Il lavoro totale saragrave la somma dei lavori elementari fatti sui tratti piccoli sui quali la forza puograve essere assunta costante

Ltot = iii xxF ∆sdotsum )(

( Se si fa il limite per ∆ xi piccolo rarr 0 e la isum egrave lrsquointegrale Ltot = int sdotxtin

xinxdxF )( )

Ad esempio la forza F puograve essere la forza di richiamo di una molla vincolata al muro Lrsquointensitagrave della forza elastica varia durante lo spostamento aumentando con lrsquoallungamento (o la compressione) della molla ed ha la direzione parallela allo spostamento ma puograve avere verso concorde o discorde quindi con cosϑ che vale o +1 o ndash1 Immaginiamo di avere un blocco attaccato alla molla e di tirarlo da Xin a Xfin allora

F(x) = - kx Fig 28

Il lavoro della forza elastica si calcola sommando i lavori infinitesimali compiuti per spostamenti infinitesimi durante i quali la forza si assume costante Ciograve egrave rappresentato graficamente nel calcolo lrsquoarea compresa al di sotto della curva del grafico di F (Fig 28A) In figura si egrave cambiato il segno della funzione forza per comoditagrave di rappresentazione

Fig 28A

Area = differenza aree dei due triangoli = AABB kxxkxx sdotminussdot2

1

2

1

Ricordandoci del segno

L infin = 22

2

1

2

1infin kxkx +minus e in generale L = 2

2

1kx

Se si calcola il lavoro della forza di richiamo durante un allungamento della molla si ha lavoro negativo mentre durante il ritorno alla posizione di equilibrio il lavoro egrave positivo (segno dello spostamento x e della forza concordi) Energia cinetica Il termine ldquoenergiardquo indica la capacitagrave di compiere lavoro Lrsquoenergia cinetica egrave la proprietagrave che rende conto quantitativamente del legame fra il lavoro compiuto ed il moto generato Avevamo detto piugrave o meno lo stesso parlando della seconda legge della dinamica riferendoci alle forze Qui col lavoro non egrave necessaria la descrizione dettagliata delle forze che agiscono sul punto in considerazione Ersquo sufficiente conoscere il loro lavoro totale

Lrsquoenergia cinetica K = 2

1mv2 (gt 0 percheacute m gt 0 v2 gt 0 ) (m e v sono la massa e la velocitagrave del

corpo) Lrsquounitagrave di misura e le dimensioni di K sono le stesse del lavoro Joule ( J ) e [ ]K = [ ]22 minustml

Teorema dellrsquoenergia cinetica Se una forza F compie un lavoro L su un punto materiale di massa m si ha una variazione dellrsquoenergia cinetica pari al lavoro compiuto

Xfin Xin

F

0

ksdotxfin

ksdotxin

F= ksdotx

x

LAB= -area

L = Kfin ndash Kin = ∆ K Nel caso che piugrave forze agiscono sul punto materiale il teorema dellrsquoenergia cinetica si applica al lavoro totale (equivalentemente al lavoro della risultante ) E il caso dellrsquoatleta che solleva il peso di 2500N Sappiamo che ha compiuto un lavoro di 5000J ma il bilanciare con i pesi era fermo allrsquoinizio ed egrave fermo alla fine Quindi Kin = 0 e Kfin = 0 percheacute vin = 0 e vfin = 0 Allora il teorema dellrsquoenergia cinetica Vale per il lavoro totale o lavoro della forza totale e noi abbiamo visto che la forza netta totale = 0 ( Fa + P = 0 ) ed il lavoro totale egrave nullo quindi giustamente si ha ∆ K = 0 1)Caso di una palla da tennis che cade

la forza peso rarrP compie un lavoro positivo con spostamento concorde a

rarrP si dovrebbe avere

∆ K gt 0 infatti la velocitagrave v aumenta 2)Caso di una palla lanciata verso lrsquoalto

lo spostamento ha verso opposto a rarrP Il lavoro della forza peso egrave negativo e quindi ∆ K egrave

negativo giusto La velocitagrave diminuisce NB Durante il volo agisce solo la forza di gravitagrave quindi il lavoro totale comiuto sul corpo egrave solo quello della gravitagrave 3)Caso del moto circolare uniforme la forza che agisce egrave la forza centripeta che egrave perpendicolare allo spostamento Quindi non compie lavoro deve essere ∆ K = 0 Iinfatti il moto egrave uniforme cioegrave la velocitagrave egrave in modulo costante Potenza Si chiama potenza il lavoro che si egrave in grado di svolgere nellrsquounitagrave di tempo

P = t

L

∆ ( potenza media )

P = t

Lt ∆

∆rarr∆ 0lim ( potenza istantanea)

Non egrave solo una stima del lavoro compiuto ma anche della rapiditagrave con cui si compie lavoro

Fig 29 Per superare il muro ci vuole un certo lavoro che consiste nellrsquoinnalzare il proprio corpo di unrsquoaltezza h Sia lrsquoatleta che lo supera in un sol balzo sia il vecchietto che sale pian piano la scalinata faranno lo stesso lavoro Quel che egrave diverso egrave la potenza dei due personaggi Dimensioni e unitagrave di misura della potenza [ ]P = [L] [t -1] = [ml2t-3] 1 watt = 1 joule 1sec (1w)

Energia Potenziale K egrave energia connessa allo stato di moto di un sistema Crsquoegrave anche energia connessa alla posizione di un corpo in un campo di forze (configurazione) Si chiama energia potenziale Nel caso dellrsquoatleta di sollevamento pesi il lavoro compiuto dallrsquoatleta Lm non ha alterato lrsquoenergia cinetica K dellrsquoattrezzo ma ha modificato la configurazione del sistema (terra-attrezzo) variandone lrsquoenergia potenziale (W) Il lavoro non egrave stato sprecato ma ldquoimmagazzinatordquo lrsquoattrezzo prima egrave a terra poi egrave in alto nel sistema che ora ldquopotenzialmenterdquo puograve compiere un lavoro cedendo la sua ldquoenergia potenzialerdquo Energia cinetica ed energia potenziale sono due parti dellrsquoenergia meccanica possono trasformarsi lrsquouna nellrsquoaltra ed in lavoro Nellrsquoesempio precedente quando lrsquoattrezzo egrave in alto si ha che K = 0 e W = WA Quando cade K aumenta percheacute la velocitagrave v aumenta e lrsquoenergia potenziale W diminuisce In basso W = WB lt WA e K egrave massima Lrsquoattrezzo cadendo puograve compiere lavoro Se fosse un martello potrebbe far avanzare un chiodo ad esempio Lrsquoenergia potenziale viene definita proprio a partire dal concetto di lavoro di forze conservative Ersquo conservativa una forza il cui lavoro per spostare il suo punto di applicazione da una posizione (configurazione) ad unrsquoaltra dipende solo dalle due posizioni (configurazioni) iniziale e finale Equivalentemente si puograve definire la forza conservativa dicendo che il lavoro di tale forza egrave nullo se le posizioni (configurazioni) iniziali e finali coincidono

-Lavoro per passaggio dalla posizione A a B egrave lo stesso lungo I o II -Se da A vado a B e torno in A il lavoro totale egrave nullo

Fig 30 Posso allora definire una funzione della posizione W che assume i valori WA e WB in A e B e tale per cui LAB = WA ndash WB ( W energia potenziale) WA WB sono definiti a meno di una costante tanto quello che interessa egrave la differenza fra loro Variazione di energia potenziale del passaggio da A a B WB ndash WA = ∆W allora LAB = -∆ W Con questa convenzione sui segni si rende conto del fatto che un lavoro positivo ( fatto dalle forze conservative sul corpo) fa diminuire lrsquoenergia potenziale W ( L positivorarr ∆W negativo rarr WBlt WA rarr ho usato energia potenziale) un lavoro negativo (subito) aumenta W (L negativo rarr ∆W positivo rarr WBgt WA rarr ho guadagnato energia potenziale) W si misura in Joule come il lavoro e lrsquoenergia cinetica

Qual egrave la Forma di W

Mentre la forma dellrsquoenergia cinetica egrave sempre K =2

1mv2 indipendentemente dal tipo di forze

che provocano il movimento W dipende dal tipo di forza conservativa di cui si sta calcolando il lavoro Consideriamo due forze conservative

a) Forza gravitazionale forza peso

F(y) = -mg Stato di riferimento y0 = 0 in cui W0 = 0

Fig31

Abbiamo detto che LAB = WA- WB ma siccome

LAB = )( ABhmgsP minussdotminus=sdot dove hAB= yA-yB egrave la distanza tra A e B allora rArr WA = mgyA WB = mgyB e in generale W(y) =mgy

Per la forza peso W(y) =mgy e lrsquoenergia totale meccanica (W+K) = mgy+2

1mv2=Etot

b) Forza elastica

Fig 32

F(x) = -kx Stato di riferimento x = 0 allungamento nullo la lunghezza della molla egrave la sua lunghezza di riposo L ( W(0) = 0)

Immaginiamo che la configurazione della molla venga modificata passando dalla posizione xA alla posizione xB (Fig 32) Il lavoro della forza elastica egrave calcolato come

LAB = 22

2

1

2

1AB kxkx +minus

Ricordando che LAB = WA- WB possiamo ricavare lrsquoespressione per lrsquoenergia potenziale elastica

rArr WA = 2

2

1Akx WB = 2

2

1Bkx e in generale W(x) = 2

2

1kx

Energia totale meccanica ndash Conservazione dellrsquoenergia

In presenza di sole forze conservative la somma dellrsquoenergia cinetica e dellrsquoenergia potenziale costituisce lrsquoenergia totale meccanica Tale energia meccanica gode della proprietagrave importantissima di conservarsi durante lrsquoevoluzione del sistema Lrsquoenergia connessa al movimento e alla posizione si scambiano una diminuisce e lrsquoaltra cresce ad esempio ma la loro somma rimane costante

- Esempio delle montagne russe Se non ci sono attriti (infatti il trucco egrave quello di rendere il

sistema privo di attriti) so giagrave quale altezza massima potrograve raggiungere (quella iniziale e non di piugrave) quale velocitagrave massima potrograve raggiungere (in fondo alla valle) Queste quantitagrave sono fra loro legate dal teorema della conservazione dellrsquo energia meccanica

Fig 33 - Esempio del salto con lrsquoasta Lrsquoenergia cinetica dellrsquoatleta acquisita nella rincorsa viene

trasformata in energia potenziale gravitazionale parte direttamente e parte attraverso lrsquoenergia potenziale elastica dellrsquoasta acquisita nella sua deformazione durante il salto La flessibilitagrave dellrsquoasta (costante elastica dellrsquoasta) egrave legata allrsquoenergia che si puograve immagazzinare in una data deformazione Infatti con aste rigide (alluminio acciaio bambugrave) il salto era piugrave basso Con fibra di vetro il record egrave stato polverizzato

Fig 34

Fig 35

Fig 36

Osserviamo che il teorema dellrsquoenergia cinetica ha validitagrave generale qualunque siano le forze che agiscono conservative o non conservative (le forze non conservative si dicono anche ldquodissipativerdquo)

KLL

KL

fncfc

tot

∆=+∆=

e ricordando che darr Lfc = - )( fcW∆

Si ottiene che K∆ + )( fcW∆ = Lfnc

Si vede che nel caso in cui Lfnc sia nullo cioegrave quando non ci sono forze dissipative la somma delle variazioni di energia cinetica e energia potenziale egrave uguale a zero cioegrave lrsquoenergia totale meccanica (somma dellrsquoenergia cinetica e potenziale) egrave costante E questo corrisponde al teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica Nel caso ci siano forze dissipative la somma delle energie non egrave costante quindi al contrario del teorema dellrsquoenergia cinetica il teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica non ha validitagrave generale (vale solo in assenza di attriti ad esempio) Le forze non conservative di attrito compiono lavori solo negativi e fanno perdere quantitagrave di energia non recuperabile Parte di questa energia va in generale in calore quindi se ne puograve tenere conto considerando unrsquoaltra forma di energia lrsquoenergia termica ( ci sono anche altri fenomeni dissipativi ad esempio le deformazioni permanenti negli urti o la propagazione di onde sonore)

Lrsquo energia puograve dunque conservarsi o trasferirsi proprietagrave caratterizzanti dellrsquoenergia Il lavoro rende conto del trasferimento di energia della perdita di energia sotto una forma e del guadagno sotto unrsquoaltra forma (cioegrave energia conservativa) o del passaggio dellrsquoenergia da un sistema ad un altro Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica quando egrave applicabile puograve essere sfruttato per risolvere facilmente problemi altrimenti complicati Esercizio Una palla da tennis viene lanciata con velocitagrave iniziale v0 (senza effetti strani taglio etc) al di lagrave della rete Con quale velocitagrave arriva a terra

Se durante il moto Etot si conserva K+W = cost

Fig 37 e W = mgh egrave solo energia potenziale gravitazionale h = 0 alla fine come allrsquoinizio dunque K in = Kfin e vfin = v0 Se la palla egrave lanciata verso lrsquoalto non crsquoegrave componente orizzontale della velocitagrave ma solo verticale al punto piugrave alto di arresto h K(h) = 0 W(h) = max = Kin cioegrave mgh = frac12 mv0

2 si puograve cosigrave calcolare facilmente lrsquoaltezza massima raggiunta h = (frac12 v0

2)g e vicenversa si puograve calcolare il valore della velocitagrave v0 che bisogna imprimere alla palla affinchegrave raggiunga lrsquoaltezza h

v0 = gh2

Esercizio Una saltatrice di massa M = 61Kg salta da un ponte di altezza H = 45m agganciata ad una corda elastica La lunghezza di riposo della corda elastica egrave L = 25m e la sua costante elastica egrave k = 160 Nm Nel punto piugrave basso si arresta prima di venire rimbalzata in alto Qualrsquo egrave lquesta quota piugrave bassa h (a cui si trovano i suoi piedi ai quali egrave legato lrsquoelastico)

Fig 38 Etot = Wgrav + Wel + K = cost sono solo forze conservative vale la conservazione

dellrsquoenergia Nel punto A K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di lanciarsi Wel = 0 percheacute lrsquoelastico non egrave ancora svolto Wgrav = MgH Nel punto B K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di rimbalzare

Wel = frac12 kd2 Wgrav = Mgh = Mg(H-(L+d)) Etot(A) = Etot (B) MgH + 0 + 0 = Mg (H-(L+d)) + frac12 kd2 + 0 MgH = MgH ndash MgL ndash Mgd +frac12 kd2

2

1(160)d2 ndash (61)(98)d ndash (61)(98)(25) = 0

equazione di IIdeg grado che dagrave per d il valore accettabile d = 179m (lrsquoaltro egrave negativo e non egrave accettabile perchegrave non ha senso fisico la

saltatrice va in giugrave non in su) Allora h = H-(L+d) = 45 ndash (25+179) = 45 ndash 429 = 21m quindi con la testa poco sopra lrsquoacqua Sistemi di punti materiali e corpi rigidi ndash Centro di Massa

Un giocoliere o un ginnasta che lancia la clavette fa compiere allrsquoattrezzo movimenti complicati tuttavia crsquoegrave un punto dellrsquoattrezzo che si muove seguendo una traiettoria semplice come quella di un punto materiale ad esempio lanciato segue una traiettoria parabolica Tale punto si chiama centro di massa dellrsquooggetto Il centro di massa puograve essere definito per un oggetto o per un insieme di punti materiali Ersquo importante percheacute in generale il moto di un corpo esteso (o di un insieme di punti) si puograve studiare separando il moto del centro di massa (moto traslatorio) e il moto del corpo attorno al centro di massa (moto rotatorio)

Centro di Massa (CDM) di un sistema di punti - Consideriamo il caso semplice di due punti materiali di massa m1 m2 posti sullrsquoasse x in

posizione x1 x2

Fig 39

la posizione del centro di massa egrave definita xCDM = 21

2211

mm

xmxm

++

a) xCDM egrave compreso fra x1 e x2 b) se m1 = m2 CDM egrave a metagrave strada fra m1 ed m2 c) xCDM egrave piugrave prossimo alla massa maggiore - Nel caso di piugrave punti allineati nelle posizioni xi detto M = summi allora

xCDM = ii xmMsum

1

- Nel caso di punti distribuiti nello spazio detti irrarr

i vettori che identificano le loro posizioni

CDMrrarr

= iii rmM

rarrsum

1

dove CDMrrarr

ha coordinate (xCDM yCDM zCDM) definite come

xCDM = ii xmsumη1

yCDM = ii ymMsum

1

zCDM = ii zmMsum

1

- Consideriamo un oggetto qualsiasi questo egrave composto da un gran numero di particelle ma conviene considerarlo come un continuo di materia e per calcolare il centro di massa si prendono in considerazione degli elementi infinitesimi di massa dm centrati intorno alle posizioni (xyz) allora

xCDM = int xdmM

1 yCDM = int ydm

M

1 zCDM = int zdm

M

1

se si puograve considerare il corpo omogeneo (densitagrave uniforme) allora V

M

dv

dm = e allora si puograve fare il

calcolo considerando il volume V e gli elementi di volume dv anzichegrave la massa e gli elementi di massa

xCDM = int xdvV

1 etc

In un oggetto solido (corpo rigido) i diversi punti materiali che lo compongono non cambiano la loro posizione relativa (non come un corpo elastico) - se un oggetto ha un elemento di simmetria un asse od un piano il CDM si trova su tale

elemento di simmetria (asse per cono centro per sfera piano per una banana etc) Non egrave detto che il CDM di un oggetto appartenga allrsquooggetto vedi uno pneumatico un cerchio Il CDM egrave esterno alloggetto Legge fondamentale della dinamica per un sistema di punti materiali Caso della palla da bigliardo urto fra due palle dopo il lancio di una le due si muovono 1) una egrave ferma (B) lrsquoaltra la lancio (A) 2) le due si urtano in qualunque modo 3) le due si muovono secondo traiettorie differenti una possibilmente andragrave in buca lrsquoaltra no Dopo il lancio sulla palla A non agisce piugrave nessuna forza quindi la sua velocitagrave v egrave costante Va bene ma dopo lrsquourto Il CDM delle due palle continua a muoversi con velocitagrave costante anche se il centro di massa egrave un punto teorico che non appartiene a nessuna delle due palle Tuttavia al CDM possiamo assegnare una massa (M totale del sistema) una velocitagrave ed una accellerazione Si ha

)(CDMext aMFrarrrarr

=sum

a) extFrarr

sum egrave la somma di tutte le forze esterne che agiscono sul sistema non quelle interne (ad esempio nel caso del bigliardo non devo considerare le forze che si applicano fra le due palle quando si urtano)

b) M egrave la massa totale del sistema Si suppone che durante il moto M rimanga costante

c) )(CDMararr

egrave lrsquoaccelerazione del CDM Dellrsquoaccellerazione di un altro punto ad esempio del centro della palla A non si dice nulla

Cosideriamo alcuni esempi 1) Bigliardo tvaF CDMCDMext cos00 ===sum prima dellrsquourto nellrsquourto si verificano solo forze

interne Quindi tvaF CDMCDMext cos00 ===sum dopo lrsquourto e durante tutto il moto

2) Sistema terra-luna sumFext = gravitazione del sole aCDM egrave ldquocentripetardquo accellerazione di una

forza che egrave diretta verso il sole (forza ldquocentralerdquo) egrave il CDM terra-luna che segue la traiettoria dovuta allrsquoattrazione gravitazionale del sole poi terra e luna si muovono intorno al loro CDM

3) Clavette lanciate sum Fext = Mg aCDM = g il centro di massa si comporta come un punto materiale nel lancio

4) La ballerina nel ldquogrand-fetegraverdquo fa seguire a testa e busto una traiettoria rettilinea percheacute modifica lrsquoassetto in modo da alzare il suo CDM Nel corso del salto (alza le braccia e distende

orizzontalmente le gambe non appena lasciato il suolo) il suo CDM segue la traiettoria parabolica del lancio di un corpo soggetto allrsquoaccelerazione di gravitagrave g

Quantitagrave di moto rarrP

- Si definisce quantitagrave di moto di una particella il vettore

rarrrarr= vmP

con m massa della particella e rarrv la sua velocitagrave

Si vede che rarrP egrave diretto come

rarrv

Newton scrisse la legge fondamentale della dinamica in termini di quantitagrave di moto (a differenza di Galileo che la scrisse in termini di massa e di accelerazione) ldquola rapiditagrave di variazione della quantitagrave di moto di una particella egrave proporzionale alla forza netta che agisce sulla particella ed egrave nella direzione di quella forzardquo cioegrave

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

che egrave piugrave generale della formulazione di Galileo perchegrave descrive bene anche il caso in cui variasse la massa del corpo durante il moto (ad esempio un vettore spaziale) Se la massa egrave costante le due formulazioni sono identiche

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

= t

vm

∆∆

rarr)(

= m t

v

∆∆

rarr

= m rarra

Ricordiamo che rarrF egrave diretto come

rarra (o la risultante

rarrR = sum

rarrF )

Per un sistema di punti materiali si definisce la quantitagrave di moto totale

rarrP =

rarrP 1 +

rarrP 2 + helliphellip+

rarrP n =

m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +helliphelliphellip+ mn

rarrv n = M

rarrv CDM (si puograve dimostrare) dove M egrave la massa totale

[essendo infatti Mrarrv CDM =

dt

d(M

rarrr CDM) =

dt

d(m1

rarrr 1 + m2

rarrr 2 +hellip) = m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +

hellip]

quindi rarrP = M

rarrv CDM per un sistema di particelle e

dt

Pdrarr

= M dt

d rarrv CDM = M

rarra CDM = sum

rarrF ext

Conservazione delle quantitagrave di moto

Per un sistema chiuso (M non varia) e isolato (sumrarrF ext = 0)

Allora

t

P

∆∆

rarr

= 0 rarrP = cost

rarrP i =

rarrP f

che sono tre modi equivalenti per dire che la quantitagrave di moto si conserva Vale per un sistema nel quale non agisca nessuna forza esterna netta Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica e la conservazione delle quantitagrave di moto sono due concetti fisici importantissimi Valgono sia per le palle da bigliardo che per qualunque altro sistema anche le galassie nellrsquouniverso Queste equazioni sono vettoriali Ciograve significa che rappresentano una terna di equazioni scalari ognuna valida sul proprio asse del sistema di riferimento (x y z)

Puograve accadere a seconda delle forze che agiscono nel sistema che la quantitagrave di moto si conservi in una direzione o in due e non in tutte e tre

Ad esempio se consideriamo una palla come un insieme di punti materiali la rarrF ext che agisce nel

sistema egrave mrarrg diretta lungo z senza componenti su x e y quindi

rarrP varia lungo z ma

non su x e y

Percheacute ldquocomplicarci la vitardquo con questa storia del CDM del sistema di particelle etchellip non bastava il moto del punto rappresentativo materiale Avevamo giagrave considerato il punto rappresentativo e avevamo svolto anche problemi sulla palla sul bilanciere e per altri oggetti Abbiamo sempre sbagliato La questione egrave se un corpo egrave rigido cioegrave se tutti i suoi punti si muovono mantenendo le loro distanze relative non crsquoegrave problema abbiamo solo visto che il punto materiale rappresentativo si chiama CDM ed abbiamo imparato a situarlo allrsquointerno del corpo Ma se il corpo non egrave rigido cioegrave se il suo CDM si sposta rispetto a lui stesso nel corso del moto la disposizione del corpo intorno al punto rappresentativo varia nel corso del tempo e le leggi di conservazione valgono per il CDM - Consideriamo ad esempio il teorema dellrsquoenergia cinetica che per un punto materiale si scrive Ltot = Kfin-K in = ∆ K (qui ovviamente non crsquoegrave da specificare lavoro delle forzeldquoesternerdquo percheacute essendo in un punto materiale che si assume infinitamente piccolo non ci sono forze ldquointernerdquo) Per analogia il teorema dellrsquoenergia cinetica si estende al caso di un insieme di punti materiali nel seguente modo

Ltot forze ext=rarrF extmiddot

rarrs CDM = ∆ KCDM

Dove s CDM egrave lo spostamento del centro di massa A titolo di esempio risolviamo il problema un giocatore di hockey su ghiaccio di massa M = 110Kg si muove verso la balaustra a bordo campo alla velocitagrave di 3msec Nellrsquoarrestarsi flettendo le braccia il suo CDM si sposta in avanti di 30cm Qual egrave la ∆ K del suo CDM durante la manovra

∆ KCDM = infin CDMCDM mvmv 22

2

1

2

1 minus =

= 0 - 2

1110 32 = -495 J

Fig 40

Sia L il lavoro delle forze esternerarrF ext (dirette come d

rarrx CDM ) allora

L = - Fext 03 = ∆ KCDM quindi

Fext =30

495

minusminus

= + 1650N

( si considera la forza esterna rarrF ext costante nellrsquointervallo dellrsquoarresto fatto che equivale a dire

che il giocatore si arresta con rarra CDM costante)

Dinamica e statica del corpo esteso Finora abbiamo sempre discusso del moto di un punto materiale (punto rappresentativo dicevamo sempre) In particolare abbiamo sempre applicato le forze a quel punto materiale quindi se diverse forze erano applicate esse concorrevano in quel punto ligrave e con le forze concorrenti sapevamo come calcolare la risultante con il metodo grafico o con quello numerico delle coordinate cartesiane Una volta calcolata la risultante applicata al punto si otteneva un moto di pura traslazione del punto (al massimo traslava lungo una traiettoria curva) senza rotazioni proprie del punto che non hanno neanche senso un punto che ruota su se stesso Come faccio ad accorgermi Un punto per definizione egrave infinitamente piccolo (Dicevamo infine che il punto egrave in equilibrio

traslazionale se la risultante rarrR delle forze applicate egrave nullo)

Consideriamo invece un corpo esteso Prima osservazione questo ha piugrave punti (direi infin ) a

cui la forza puograve essere applicata Prendiamo una racchetta da tennis ed una forza rarrF applicata il

moto che ne risulta dipende dal punto al quale viene applicata la forza rarrF

qui la racchetta trasla

Fig 41

stessa forza qui la racchetta ruota

Fig 42

Seconda osservazione Crsquoegrave un caso in cui le forze non possono essere fatte concorrere in un punto ed egrave quando sono parallele ed hanno rette di applicazione distinte Chiaramente non abbiamo mai dovuto considerare questo caso per il punto materiale percheacute per un punto non possono mai passare due rette parallele Ma per il corpo esteso So benissimo che se sono ferma con la macchina in

panne e la sto spingendo applicando una forza rarrF 1 sono contenta se qualcuno si affianca a me ed

esercitando una forza rarrF 2 lungo una direzione parallela a quella della mia mi aiuta a spingere In

particolare mi viene spontaneo dire che se F1 = F2 allora spingeremo con una forza doppia Ci saragrave quindi un modo per sommare due forze non concorrenti in un punto ma parallele e saragrave Ftot = F1+ F2 La retta di applicazione di Ftot divide il segmento congiungente i punti di applicazione di F1 ed F2 in due segmenti inversamente proporzionali allrsquointensitagrave delle forze F1 e F2 Terza osservazione se F1 = - F2 sono uguali in intensitagrave ma di verso opposto sempre lungo due rette di applicazione parallele passanti per un corpo esteso cosa succede La loro somma Ftot risultante saragrave 0 ma io so che il corpo non sta fermo sotto lrsquoazione di tali due forze ma ruoteragrave Concludo che le nozioni che ho acquisito finora vanno riviste ed ampliate o corrette o specificate per i corpi estesi ed inoltre che mi mancano totalmente i mezzi per descrivere le rotazioni dei corpi estesi Occorrono nuovi concetti nuove quantitagrave la forza non basta Prendo lrsquoesempio piugrave semplice dellrsquoaltalena con due bambini in due bracci uno piugrave leggero uno piugrave pesante

Fig 43 Qualitativamente so che percheacute lrsquoaltalena stia in equilibrio e non ruoti intorno al punto fisso non egrave necessario che i due bambini abbiano lo stesso peso (ugual massa) occorre che il bambino piugrave leggero sieda piugrave lontano rispetto al punto fisso (fulcro) La regola quantitativa dice che lrsquoaltalena egrave in equilibrio se il prodotto del peso per la distanza del fulcro egrave uguale PB dB = Pb

db Per generalizzare questa regola ai casi piugrave complessi occorre definire una nuova quantitagrave il momento di una forza Momento di una forza

Consideriamo una forza rarrF applicata ad un punto P ed un punto O Sia

rarrr

il vettore rarrOP allora il momento

rarrM di

rarrF rispetto ad O egrave

rarrM =

rarrr x

rarrF

e

|rarrr | middot |

rarrF | sin ϑ = |

rarrM |

Fig 44

oppure anche considerando la componente di rarrF perpendicolare ad

rarrr o di

rarrr

perpendicolare a rarrF r e rispetto a F

|rarrM | = |

rarrr | |

rarrF perp | |

rarrM | = |

rarrr perp| |

rarrF |

In generale si dice che il modulo del momento |rarrM | egrave il prodotto delle intensitagrave della forza per la

distanza dal punto della retta di applicazione della forza

Come vettore rarrM egrave perpendicolare al piano che contiene

rarrF ed

rarrr ed ha verso calcolato con la

regola della mano destra (con rarrr che si chiude su

rarrF )

La distanza rperp si chiama braccio della forza Si vede che il momento egrave nullo quando il braccio egrave nullo cioegrave quando il punto O si trova sulla retta di applicazione di F Il momento della forza peso P egrave nullo rispetto al baricentro che coincide con il centro di massa nel caso (praticamenteldquosemprerdquo) in cui il corpo non sia abbastanza esteso percheacute diversi punti del corpo risentano di una forza gravitazione differente Praticamente si deve parlare di galassie percheacute CDM e baricentro (BC) non coincidono Quindi la condizione del momento nullo della forza peso diventa un modo per definire il CDM come quel punto rispetto al quale la forza peso P ha momento nullo Per un corpo ldquoarticolatordquo estendiamo il concetto di forza normale come forza di contatto nellrsquoarticolazione utile cioegrave la forza che lrsquoarticolazione che si sta considerando esercita su quello che nellrsquoarticolazione si appoggia La forza peso P di un corpo esteso puograve immaginarsi applicata al CDM Principio di equilibrio di un corpo esteso

se su un corpo esteso agiscono solo rarr

Peso e rarr

Normale cioegrave se un corpo egrave appoggiato ad un piano orizzontale allora il corpo egrave in equilibrio se e solo se il baricentro si trova sopra la superficie di appoggio

Fig 45

Finchegrave il baricentro egrave sopra il tavolo il libro non cade percheacute rarrP applicata a CDM puograve essere

controbilanciata da rarrN Se CDM si sposta in fuori

rarrN rimane nel tavolo e crsquoegrave momento non nullo

non equilibrato da rarrP che continua ad essere applicato nel CDM

Il baricentro di una persona in posizione eretta si trova nellrsquoarea delimitata dei suoi piedi 3cm davanti allrsquoarticolazione della caviglia

Fig 46 Quando la persona si piega in avanti il baricentro esce dal corpo e per mantenere lrsquoequilibrio egrave necessario che le anche si spingono indietro percheacute il baricentro cade di nuovo in quella posizione Notiamo che anche in posizione eretta essendo la forza peso e la forza di contatto non allineate (quei 3cm) (forza di contatto sullrsquoarticolazione della caviglia che regge il peso) occorre un momento correttivo che impedisca la rotazione in avanti mantenuto dal tendine di Achille che si lega alla caviglia Altro esempio di spostamento del baricentro egrave lrsquoatleta che assume una posizione ad L chi regge il peso egrave lrsquoarticolazione della spalla quindi il CDM si sposta sotto la spalla (giagrave era uscita dal corpo per via delle gambe distese in avanti) Nel camminare il baricentro continua a muoversi da sopra un piede a sopra un altro (quello appoggiato ovviamente) Si osservi lrsquoondeggiamento Per assurdo lrsquoancheggiare delle indossatrici serve a mantenere il baricentro il piugrave possibile fermo rispetto alla direzione media del moto (porre un piede esattamente davanti allrsquoaltro) rendendo piugrave facile muoversi anche con tacchi altissimi Al contrario lrsquoequilibrista che cammina sui trampoli sta fermo il meno possibile percheacute egrave stando fermo che il piccolo spostamento che fa uscire il baricentro (ALTO) dalla superficie drsquoappoggio puograve verificarsi facilmente preferisce il ldquonon ndash equilibriordquo o lrsquo rdquoequilibrio dinamicordquo dellrsquoondeggiare continuamente fra due posizioni di equilibrio

Ricordiamo che un equilibrio egrave detto stabile se quando una perturbazione lo altera spontaneamente il sistema lo ripristina Viceversa un equilibrio egrave instabile se la piugrave piccola perturbazione lo distrugge Lrsquoequilibrio egrave molto stabile se il baricentro egrave basso ed il corpo ha una grande area drsquoappoggio la posizione accucciata del giocatore di football americano dagrave grande stabilitagrave Ancor piugrave grande stabilitagrave si ha se il baricentro (CDM) si trova al di sotto della superficie drsquoappoggio Ersquo come se si fosse ldquoappesirdquo anzicheacute ldquoappoggiatirdquo alla superficie drsquoappoggio Proprio per questo motivo lrsquoequilibrista sul filo porta una lunga asta che spesso si flette agli estremi

Fig 47 Gli uccelli bipedi da 100000000 di anni hanno sviluppato questo adattamento per cui sono appesi alle anche mentre gli uomini bipedi da solo 1000000 di anni fanno fatica con il CDM dalla parte alta del corpo Ersquo un equilibrio instabile ldquosoprardquo le anche che le reggono (65 del peso del corpo) Modificazioni strutturali per reggere la posizione eretta 1) Colonna vertebrale rastremata (piugrave tozza in basso che in alto percheacute piugrave in basso vuol dire una

maggior forza di contatto) 2) Muscoli estensori della schiena 3) Gambe ed anche ingrossate 4) Ginocchio che blocca la gamba estesa Ciononostante si ha spesso il mal di schiena Se una forza ha momento non nullo rispetto ad un punto allora il corpo puograve ruotare intorno a quel punto sotto lrsquoazione di quella forza ldquoDiciamo che se sostengo il corpo per quel punto il corpo puograve ruotare intorno a quel puntordquo (Prendo in mano un foglio di carta per un estremo per esempio) La presenza di un momento non nullo egrave dunque la condizione che genera rotazione e viceversa Lrsquoassenza di un momento risultante egrave la condizione che genera lrsquoequilibrio rotazionale di un corpo esteso Quindi la condizione di equilibrio per un corpo esteso egrave

1) rarrR = 0 risultante delle forze applicate = 0 (equilibrio traslazionale)

2) rarrM = 0 momento risultante = 0 (equilibrio rotazionale)

Supponiamo di avere un corpo esteso al quale siano applicate delle forze che diano luogo ad un momento non nullo allora il corpo ruota Per equilibrarlo dovrograve applicare un altro momento tale che la loro somma sia nulla Questo egrave il principio di funzionamento delle leve LEVE

Una leva egrave un corpo esteso al quale sono applicate delle forze con un momento risultante rarrR

allora per portare il corpo in equilibrio applico un momento correttivo rarrP in modo che il momento

totale sia nullo Si dice in genere potenza (P) e resistenza (R) di una leva Le leve sono macchine semplici Servono per applicare forze in punti scomodi o in direzioni particolari Il fulcro egrave il punto nel quale la leva egrave incernierata Si definisce il guadagno meccanico di una leva

GM =

)(

)(rarr

rarr

PF

RF

cioegrave il rapporto fra la forza che genera il momento resistente e quella che genera il momento agente A seconda che GM sia gt

lt 0 una leva si dice che egrave vantaggiosa o svantaggiosa ma solo per quel che riguarda le forze percheacute per quel che riguarda i lavori non si ha neacute vantaggio neacute svantaggio Il lavoro esercitato dalla forza che dagrave la ldquopotenzardquo e quello esercitato dalla forza che dagrave la ldquoresistenzardquo sono sempre uguali Infatti forze e spostamenti sono inversamente proporzionali Le leve si dicono di I II o III specie a seconda se il fulcro si trovi I) in mezzo fra R e P (leva indifferente GM dipende da caso a caso) II) dalla parte di R (leva vantaggiosa il braccio di R egrave sempre minore del braccio di P basta

quindi una P minore per equilibrare una R maggiore) III) dalla parte di P (leva svantaggiosa) Classici esempi dei tre tipi di leve sono i remi (I) lo schiaccianoci (II) e la pinzetta per francobolli (III) Tuttavia vediamo degli esempi meno classici ma attinenti al campo della biologia e della medicina Criterio generale egrave che le leve vantaggiose consentono di essere molto potenti ma con brevi spostamenti mentre viceversa quelle svantaggiose fanno perdere in potenza ma consentono grandi spostamenti saragrave difficile vedere un cavallo che con le lunghe zampe si scava la tana drsquoaltronde una talpa scava bene la tana ma ha movimenti molto meno ampi che non le consentono di correre veloce come un cavallo (compromesso fra forza e velocitagrave del movimento) Se contiamo tutti i movimenti di rotazione che il corpo puograve compiere capiamo che siamo pieni di leve di ogni tipo Sono classici a) il capo fulcro (articolazione occipito-atlantoide) Fig 48 muscoli della nuca (Potenza) peso del capo (Resistenza) b)

muscolo bicipide (Potenza)

Fig 49 Peso dellrsquoavambraccio (Resistenza) Fulcro (articolazione del gomito) Questa leva permette grandi spostamenti Si vede che la forza operata dal muscolo bicipite egrave massima quando lrsquoavambraccio egrave orizzontale (la distanza dal fulcro egrave massima) ed egrave minima quando lrsquoavambraccio egrave verticale( con la distanza dal fulcro nulla) Attenzione - la colonna vertebrale egrave costituita da 24 vertebre separate da dischi di liquido Quando una

persona si piega la schiena egrave una leva con GM molto piccolo Quindi un piegamento completo per raccogliere un oggetto anche leggero produce una forza molto intensa sul disco lombosacrale che separa lrsquoultima vertebra dellrsquoosso sacro Se indebolito questo disco puograve rompersi o deformarsi comprimendo i nervi vicini e causando grande dolore Vediamo un modello che rende conto come mai questa forza egrave cosigrave grande

Fig 50

I muscoli della schiena esercitano T Con un angolo α = 12deg quando la schiena egrave piegata a 90deg

Peso della parte superiore del corpo (circa il 65 del peso totale)

Fulcro lombosacrale (il fulcro produce R) Essendo α piccolo la retta di azione Τ passa vicino al fulcro e dunque la distanza r che costituisce il suo braccio egrave molto piccola Al contrario il peso egrave perpendicolare alla colonna e il suo punto di applicazione egrave molto piugrave distante dal fulcro Τ deve essere molto grande per equilibrare il momento di P Dunque se T egrave grande anche la sua componente orizzontale egrave grande e di conseguenza anche R che costituisce la reazione dellrsquoosso sacro deve avere componente orizzontale molto grande per equilibrare Τ (uguale ed opposta alla componente orizzontale di Τ ) Facendo i conti si ottengono numeri grandi per 75Kg di peso T ed R sono equivalenti al peso di una massa di 220Kg Senza sollevare pesi solo piegandosi Conviene piegare le ginocchia quando si sollevano pesi - Nel corpo egrave difficile che il peso cada sulla verticale dellrsquoarticolazione che lo sostiene egrave sempre

un porsquo spostato e crsquoegrave un tendine con un muscolo che compensa il momento del peso - La contrazione muscolare egrave una successione di brevi contrazioni delle fibre muscolari stimolate

da impulsi che provengono dal sistema nervoso Contrazioni sono molto ravvicinate e avvengono in tempi differenti nelle diverse parti del muscolo cosigrave che il risultato apparente egrave una lenta e progressiva contrazione Se la frequenza degli impulsi aumenta la tensione cresce finchegrave si raggiunge la tensione massima (ricordare la tensione di un cavo) Un ulteriore aumento della frequenza degli impulsi a questo punto non causa ulteriore aumento della tensione

La tensione massima egrave proporzionale allrsquoarea della sezione trasversa del muscolo nel suo punto piugrave largo La tensione massima dipende anche dalla lunghezza del muscolo che varia Si ottiene tensione massima quando il muscolo egrave solo di poco allungato rispetto alla sua lunghezza di riposo di riposo ed egrave circa 30-40 Ncm2 La tensione massima si riduce moltissimo se il muscolo egrave molto allungato o accorciato Dinamica Rotatoria Fino ad ora abbiamo studiato moti traslatori ma il moto di un corpo rigido egrave in generale roto-traslatorio Naturalmente dobbiamo ridurre il problema complesso ad uno piugrave semplice e per fare ciograve immaginiamo di posizionarci su un sistema di riferimento solidale al corpo rigido i moto immaginiamo cioegrave di ldquosedercirdquo sul corpo rigido In questo modo non saremo piugrave sensibili al moto traslatorio e guardando il corpo rigido osserveremo solo le sue rotazioni Trattiamo allora il moto generico scomponendo la parte traslatoria (giagrave discussa ) da quella rotatoria Se si trascura la parte traslatoria del moto di un corpo rigido quello che rimane da trattare egrave la sua rotazione Nel nostro corso consideriamo le rotazioni che avvengono su un piano le rotazioni nello spazio potranno essere trattate come composizione di rotazioni su un piano Per le rotazioni su un piano si identifica un asse di rotazione perpendicolare al piano di rotazione e passante per il centro di rotazione Le articolazioni del gomito e del ginocchio sono articolazioni libere di ruotare intorno ad un asse a differenza ad esempio di quella della spalla che puograve ruotare intorno a due assi Si definisce spostamento angolare la variazione di una posizione che egrave definita in modo completo da una misura di angolo Una rotazione di un intero corpo rigido egrave definita in modo completo da uno spostamento angolare θfin - θin= ∆θ e si misura in radianti

Fig 51 Dobbiamo definire anche un verso di rotazione θ si incrementa per rotazioni antiorarie positive le rotazioni in senso orario sono invece negative La velocitagrave angolare si definisce analogamente alla velocitagrave lineare come il rapporto tra lo spostamento angolare e il tempo t impiegato per eseguire tale rotazione

ωm = t∆

∆θ e si misura in rad s

θin

θfin ∆θ

R

S

Anche per w si definisce ωist = lim ∆trarr0 t∆

∆θ

Ancora lrsquoaccelerazione angolare si definisce αm = t∆

∆ω e αist = lim ∆trarr0

t∆∆ω

Anche la legge fondamentale della dinamica ha un analogo nel ambito dei moti rotatori Si stabilisce che se ad un corpo rigido egrave soggetto ad un momento torcente diverso da zero esso subisce unrsquoaccelerazione angolare ad esso proporzionale Nel caso delle rotazioni la resistenza al moto egrave espressa dal momento di inerzia I associato al corpo rigido che gioca il ruolo della massa nei moti traslatori La legge della dinamica delle rotazioni egrave M = I middotα

E sostituendo M = Imiddott∆

∆ω= Imiddot

tinfin

∆minusωω

Il momento di inerzia I di un corpo rigido dipende dalla disposizione della massa del corpo rispetto allrsquoasse di rotazione per una massa puntiforme m a distanza R dallrsquoasse di rotazione I= m R2 per un oggetto esteso sommerograve il momento drsquoinerzia delle sue parti I = Σi mi Ri

2 Se si definisce momento angolare L il prodotto del momento drsquoinerzia per la velocitagrave angolare

L=Iω la legge della dinamica diventa

M = t

LL infin

∆minus

Il momento angolare egrave la grandezza fisica che si conserva se non viene applicato momento torcente Tutti i gesti di volo salti lanci tuffihellip sono azioni nelle quali si conserva il momento angolare Infatti in volo agisce solo la forza di gravitagrave che essendo applicata al CDM non genera momento torcente Il corpo umano nei gesti di volo Il corpo umano non egrave rigido e pertanto in volo agendo con i muscoli possiamo cambiare la disposizione del nostro corpo intorno al centro di massa che in volo coincide col centro di rotazione In questo modo si ottiene una variazione del momento di inerzia I e di conseguenza la velocitagrave angolare deve compensare questa variazione in modo che si mantenga costante il momento angolare L (grandezza che si conserva in assenza di momento torcente) Ersquo questo il principio che spiega il realizzarsi delle trottole sul ghiaccio dei salti mortali tuffi con avvitamento e cosigrave via in posizione raccolta I diminuisce e ω aumenta Moto circolare e moto circolare uniforme Per utilizzare le relazioni della cinematica e della dinamica lineare che abbiamo studiato egrave interessante poter passare dalle variabili angolari alle variabili lineari velocitagrave e accelerazione delle

masse in moto rotatorio Se una massa si muove su una traiettoria curva la velocitagrave tangenziale vt diretta come la tangente alla traiettoria dipende dalla velocitagrave angolare ω ( ωm=ϑ t )e dal raggio di curvatura della traiettoria Se la traiettoria egrave una circonferenza di raggio R e se gli angoli sono espressi in radianti lrsquoarco percorso per uno spostamento angolare ϑ egrave S = ϑ sdotR e la velocitagrave lineare tangente vt = St= ϑ sdotRt risulta vt = ωsdotR Se la velocitagrave angolare ω egrave costante il moto egrave detto circolare uniforme La legge oraria egrave quella dei moti uniformi spostamenti angolari uguali in tempi uguali ϑ(t) = ω t Anche la velocitagrave tangente saragrave di intensitagrave costante se ω egrave costante (archi uguali per tempi uguali s(t) = vt (t) ) ma crsquoegrave una accelerazione normale infatti la velocitagrave anche se non cambia in modulo cambia continuamente di direzione Questa accelerazione si dice centripeta egrave diretta normalmente rispetto alla traiettoria verso il centro della circonferenza e vale in modulo

ac=R

v2

Fig 52 Essendo la velocitagrave tangente vt = ωR Lrsquo accelerazione centripeta si puograve scrivere

ac =R

v2

= ω2 R

Il tempo impiegato dal punto a muoversi sulla circonferenza egrave una costante (moto uniforme) T periodo in T viene percorso uno spazio 2π R

v = T

Rπ2

La frequenza f egrave invece il ndeg di giri al secondo

f =T

1

Se si prendono punti diversi sul raggio della circonferenza questi hanno la stessa velocitagrave angolare e velocitagrave tangenziali crescenti al crescere del raggio Esempio carosello dei pattinatori Esercizi

1- un velocista con una velocitagrave di 10 ms viaggia su una curva di raggio 25m ndash accelerazione

a = R

v2

= 25

100 = 4 ms2

2 ndash un velocista con v = 92 ms su una pista circolare con ac = 38 m s2 ndash Raggio della pista Tempo per percorrere un giro completo

a = R

v2

rArr R = a

v2

= 83

)29( 2

= 2227m

T =v

Rπ2 =

29

27222 lowastπ = 152 sec

Forza centripeta forza centrifuga Una forza centripeta egrave una forza di qualunque natura che trattiene un corpo in moto su una traiettoria curvilinea ad esempio circolare In assenza di tale forza il corpo proseguirebbe il suo moto lungo una traiettoria rettilinea Nel gesto del lancio del martello ad esempio il lanciatore che esercita sul peso in cima allrsquoattrezzo una forza mediata dalla tensione dal cavo che lo trattiene nella traiettoria circolare Quando il lanciatore lascia la maniglia il martello viene lanciato lungo la direzione della tangente alla traiettoria nellrsquoistante di rilascio Lrsquointensitagrave della forza centripeta necessaria a mantenere una massa m in moto con velocitagrave tangente v lungo una traiettoria circolare di raggio r si puograve calcolare a partire dallrsquoaccellerazione centripeta secondo la legge fondamentale della dinamica

|rarr

cF | = m | rarr

ca | = m r

v2

Tale forza egrave diretta come lrsquoaccelerazione centripeta e cioegrave verso il centro della circonferenza che costituisce la traiettoria La forza centripeta egrave dunque una forza reale Con lsquoforza centrifugarsquo invece non ci si riferisce ad un forza che agisce su un corpo ma alla situazione apparente cui sembra sottoposto un corpo in moto curvilineo Esso pare tirato o attirato lontano dal centro di rotazione pare ci sia una lsquoforzarsquo che vuole farlo sfuggire Quando viene lasciato il martello si allontana dal centro di rotazione percheacute si muove di moto rettilineo uniforme non essendo piugrave soggetto a forze altre che la forza peso Lrsquoacqua esce dal cestello della lavatrice quando il cestello ruota velocemente (funzione centrifuga) percheacute lrsquoacqua che non costituisce un corpo solo con il cestello bucato non egrave soggetta alla forza centripeta e puograve passare attraverso i buchi I panni invece pure non parte del cestello sono troppo grandi per passare dai buchi si possono solo schiacciare contro le pareti questo schiacciamento sembra il risultato di una forza ma egrave invece il risultato dellrsquoassenza di una forza quella centripeta Una volta lagrave contro il cestello fanno tuttrsquouno con le pareti di metallo che esercitano su di essi la forza centripeta (cioegrave con direzione verso lrsquoasse di rotazione) che li mantiene in rotazione Le parti di un corpo rigido esteso che si muove di moto rotatorio rispetto ad un asse quale ad esempio la gamba di un giocatore di calcio che calcia un pallone sono soggette alla forza centripeta che le mantiene sulla traiettoria curva Tale forza viene trasmessa alle varie parti tramite le forze di tensione che si sviluppano allrsquointerno del corpo stesso ad esempio il piede egrave soggetto alla forza centrifuga tramite lrsquoazione dei legamenti e tendini a livello della caviglia che vengono messi in tensione per trattenere il piede stesso

Senza D rarr vfin = 150ms

Con D rarr vfin = vlim = 7ms Fig 25 Forza elastica La forza elastica egrave una forza non costante

L lunghezza di riposo della molla Fig 26 Una massa m egrave vincolata ad una parete con una molla Se tiro la massa la molla si estende diciamo di un tratto x La molla esercita una forza di richiamo proporzionale allrsquoallungamento x (piugrave si allunga maggiore egrave la forza F di richiamo) F = -kx ldquorichiamordquo cioegrave di verso opposto allrsquoallungamento Ecco la ragione del segno (-) Se raggiunta una certa estensione la molla viene rilasciata essa si ricomprimeragrave ritorneragrave alla lunghezza di riposo L poi si schiacceragrave di un tratto x dalla parte opposta e nuovamente agiragrave la forza di richiamo (che egrave variabile in quanto varia con il variare di x) La massa oscilla attorno alla posizione di riposo k egrave la costante elastica della molla Lrsquoespressione della forza elastica vale per i respingenti del treno (k grande) come per la molla della biro (k piccola) come per lrsquoelastico del saltatore dal ponte Impulso di una forza La legge fondamentale della dinamica F = ma puograve essere scritta esprimendo lrsquoaccelerazione con la sua relazione definitoria (vf - vi)t

F = mt

vv if minus e quindi portando il tempo t al primo membro

)( if vvmtF minussdot=sdot oppure vmtF ∆sdot=sdot

Si dice ldquoimpulso ldquo di una forza il prodotto della forza per il tempo durante il quale viene applicata tF sdot (se la forza non egrave costante lrsquoimpulso egrave lrsquointegrale della forza nel tempo in cui viene applicata)

Scritta in questo modo lrsquoequazione fondamentale della dinamica puograve essere letta cosigrave 1) Supponiamo che un corpo vari la sua velocitagrave di una quantitagrave ∆v = vf - vi tanto piugrave lungo egrave il tempo t durante il quale questa variazione avviene tanto minore egrave la forza che deve essere sviluppata per ottenere tale variazione della velocitagrave In questi termini si capisce ad esempio lrsquoutilitagrave delle cinture di sicurezza che allungando i tempi durante i quali in caso drsquoincidente la velocitagrave del passeggero (che non egrave solidale con la vettura) passa da un valore vi iniziale a zero determina una riduzione della la forza cui il passeggero stesso egrave sottoposto durante il breve tempo dellrsquoimpatto (la forza che le ossa e le articolazioni possono sopportare egrave limitata) Si vede anche come funziona lrsquoelastico del jumper finchegrave lrsquoelastico non egrave completamente svolto (ltL) la forza che agisce sul jumper egrave P (la forza peso) poi progressivamente la forza elastica di richiamo contrasta P quindi il jumper decelera progressivamente per un lungo intervallo di tempo e lo lsquostrapporsquo (F applicata) necessario per contrastare P e fermare il jumper applicato sulle sue gambe e a cascata su tutte le sue articolazioni (secondo il terzo principio) egrave di entitagrave minore 2)Lrsquoimpulso totale prodotto tF sdot nella direzione ottimale egrave la grandezza fisica che stabilisce lrsquoefficacia di un gesto di spinta o di lancio non la massima forza espressa o la durata dellrsquoazione di spinta Lavoro di una forza ndash lavoro meccanico

- 1deg caso Forza costante rarrF

Immaginiamo una forza rarrF che agisce su un corpo durante il suo spostamento Immaginiamo cosi

che il punto di applicazione di questa forza si sposti nello spazio di un tratto rarrs Viene detto

lavoro della forza rarrF la quantitagrave

L = rarrF middot

rarrs = F middot smiddot cosϑ (prodotto scalare di

rarrF per

rarrs )

(prodotto scalare tra i due vettori) Fig 27 Il lavoro egrave una quantitagrave scalare cioegrave egrave descritta completamente da un numero da un valore Tale

valore puograve essere positivo o negativo a seconda che la componente di rarrF lungo

rarrs sia equiversa o

di verso opposto a rarrs Se

rarrF e

rarrs hanno la stessa direzione e se lo spostamento avviene nel

senso di rarrF diciamo che il lavoro egrave positivo (e viceversa negativo) Lrsquointensitagrave del lavoro puograve

variare tra un valore massimo e uno minimo per gli stessi valori del modulo di rarrs e di

rarrF a

rarrs

seconda del valore di cosϑ Il lavoro egrave massimo per cosϑ = 1 (cioegrave per ϑ = 0) (rarrF diretto come

rarrs ) Il lavoro egrave minimo ( L = 0) per cosϑ = 0 cioegrave per ϑ = 90deg (

rarrF perpendicolare a

rarrs )

Puograve darsi il caso che piugrave forze agiscono sullo stesso punto Allora si puograve calcolare il lavoro totale egrave la somma dei lavori di tutte le forze applicate

Ltot = sum Li = sum (rarr

sdotiFrarrs )

Dimensioni di L [ L ]= [ F ][ s ] = mmiddot l middot t-2 middot l = ml2 t-2 Unitagrave di misura di L 1 joule = 1N middot 1m ( 1J ) Lavoro della forza peso durante la caduta di un grave Un grave cade vicino alla superficie della terra sotto lrsquoazione della forza di gravitagrave cioegrave sottoposto ala forza peso P diretta verso il basso percorrendo un dislivello h Il lavoro compiuto dalla forza peso si calcola come

LP = rarrP middot

rarrs = Pmiddot smiddot cosϑ

notando che lo spostamento s (verso il basso) e la forza P sono paralleli con verso concorde pertanto ϑ = 0 e cosϑ = 1 e che | P| = mmiddot g si ottiene LP = mmiddot gmiddot h per uno spostamento s = h (dislivello) Lavoro meccanico nel sollevamento pesi Durante questo gesto sul bilanciere oggetto dellrsquoapplicazione delle forze si esercitano la forza peso P e la forza muscolare dellrsquoatleta Naturalmente entrambe le forze lavorano ma i due lavori si oppongono uno allrsquoaltro (ricorda che il lavoro puograve essere positivo o negativo) Il lavoro positivo deve essere nel verso del moto quindi egrave quello della forza muscolare dellrsquoatleta il lavoro di P invece egrave negativo e se il bilanciere si alza di una quota h si calcola facilmente seguendo il procedimento del paragrafo precedente ottenendo LP = - mmiddotgmiddoth (ϑ = π e cosϑ = -1 ) Calcoliamo il lavoro della forza musculare seguendo lrsquoesempio qui proposto Esempio Un atleta solleva un bilanciere di peso 2500N allrsquoaltezza di 2m (sopra la sua testa) Quanto lavoro meccanico compie la sua forza muscolare Supponiamo che il sollevamento avvenga a velocitagrave costante con accelerazione nulla allora il per il

primo principio della dinamica le forze applicate al bilanciere devono essere tali chesumrarr

iF = 0

Quindi la forza peso P = mmiddot g deve essere controbilanciata dalla forza applicata dallrsquoatleta Fm

Quindi rarr

mF = - rarrP

con Fm = 2500N Il lavoro La fatto dallrsquoatleta vale

Lm = rarr

mF middot rarrs = 2500 N middot 2m middot 1 = 5000 J (sollevamento verticale quindi ϑ = 0 e cosϑ = 1)

Quanto lavoro fa la forza peso

Lp = rarrP middot

rarrs = 2500 middot 2 middot (-1) = -5000 J

(percheacute ϑ = π e cosϑ = -1) Quanto lavoro fa lrsquoatleta mentre sostiene il peso fermo sopra la testa L = 0 percheacute non crsquoegrave spostamento Qui si parla di lavoro meccanico non di lavoro fisiologico diciamo che si fa fatica percheacute crsquoegrave da mantenere integrordquo un corpo non rigido che egrave il corpo dellrsquoatleta quindi si il lavoro delle contrazioni muscolari per mantenere lrsquoequilibrio e ldquolrsquointegritagraverdquo egrave la misura del lavoro fisiologico necessario anche se il lavoro meccanico compiuto egrave nullo 2deg caso Forza variabile Nel caso in cui F egrave una forza variabile che dipende dalla posizione ogni volta che avviene uno spostamento∆ x la forza cambia Il lavoro totale saragrave la somma dei lavori elementari fatti sui tratti piccoli sui quali la forza puograve essere assunta costante

Ltot = iii xxF ∆sdotsum )(

( Se si fa il limite per ∆ xi piccolo rarr 0 e la isum egrave lrsquointegrale Ltot = int sdotxtin

xinxdxF )( )

Ad esempio la forza F puograve essere la forza di richiamo di una molla vincolata al muro Lrsquointensitagrave della forza elastica varia durante lo spostamento aumentando con lrsquoallungamento (o la compressione) della molla ed ha la direzione parallela allo spostamento ma puograve avere verso concorde o discorde quindi con cosϑ che vale o +1 o ndash1 Immaginiamo di avere un blocco attaccato alla molla e di tirarlo da Xin a Xfin allora

F(x) = - kx Fig 28

Il lavoro della forza elastica si calcola sommando i lavori infinitesimali compiuti per spostamenti infinitesimi durante i quali la forza si assume costante Ciograve egrave rappresentato graficamente nel calcolo lrsquoarea compresa al di sotto della curva del grafico di F (Fig 28A) In figura si egrave cambiato il segno della funzione forza per comoditagrave di rappresentazione

Fig 28A

Area = differenza aree dei due triangoli = AABB kxxkxx sdotminussdot2

1

2

1

Ricordandoci del segno

L infin = 22

2

1

2

1infin kxkx +minus e in generale L = 2

2

1kx

Se si calcola il lavoro della forza di richiamo durante un allungamento della molla si ha lavoro negativo mentre durante il ritorno alla posizione di equilibrio il lavoro egrave positivo (segno dello spostamento x e della forza concordi) Energia cinetica Il termine ldquoenergiardquo indica la capacitagrave di compiere lavoro Lrsquoenergia cinetica egrave la proprietagrave che rende conto quantitativamente del legame fra il lavoro compiuto ed il moto generato Avevamo detto piugrave o meno lo stesso parlando della seconda legge della dinamica riferendoci alle forze Qui col lavoro non egrave necessaria la descrizione dettagliata delle forze che agiscono sul punto in considerazione Ersquo sufficiente conoscere il loro lavoro totale

Lrsquoenergia cinetica K = 2

1mv2 (gt 0 percheacute m gt 0 v2 gt 0 ) (m e v sono la massa e la velocitagrave del

corpo) Lrsquounitagrave di misura e le dimensioni di K sono le stesse del lavoro Joule ( J ) e [ ]K = [ ]22 minustml

Teorema dellrsquoenergia cinetica Se una forza F compie un lavoro L su un punto materiale di massa m si ha una variazione dellrsquoenergia cinetica pari al lavoro compiuto

Xfin Xin

F

0

ksdotxfin

ksdotxin

F= ksdotx

x

LAB= -area

L = Kfin ndash Kin = ∆ K Nel caso che piugrave forze agiscono sul punto materiale il teorema dellrsquoenergia cinetica si applica al lavoro totale (equivalentemente al lavoro della risultante ) E il caso dellrsquoatleta che solleva il peso di 2500N Sappiamo che ha compiuto un lavoro di 5000J ma il bilanciare con i pesi era fermo allrsquoinizio ed egrave fermo alla fine Quindi Kin = 0 e Kfin = 0 percheacute vin = 0 e vfin = 0 Allora il teorema dellrsquoenergia cinetica Vale per il lavoro totale o lavoro della forza totale e noi abbiamo visto che la forza netta totale = 0 ( Fa + P = 0 ) ed il lavoro totale egrave nullo quindi giustamente si ha ∆ K = 0 1)Caso di una palla da tennis che cade

la forza peso rarrP compie un lavoro positivo con spostamento concorde a

rarrP si dovrebbe avere

∆ K gt 0 infatti la velocitagrave v aumenta 2)Caso di una palla lanciata verso lrsquoalto

lo spostamento ha verso opposto a rarrP Il lavoro della forza peso egrave negativo e quindi ∆ K egrave

negativo giusto La velocitagrave diminuisce NB Durante il volo agisce solo la forza di gravitagrave quindi il lavoro totale comiuto sul corpo egrave solo quello della gravitagrave 3)Caso del moto circolare uniforme la forza che agisce egrave la forza centripeta che egrave perpendicolare allo spostamento Quindi non compie lavoro deve essere ∆ K = 0 Iinfatti il moto egrave uniforme cioegrave la velocitagrave egrave in modulo costante Potenza Si chiama potenza il lavoro che si egrave in grado di svolgere nellrsquounitagrave di tempo

P = t

L

∆ ( potenza media )

P = t

Lt ∆

∆rarr∆ 0lim ( potenza istantanea)

Non egrave solo una stima del lavoro compiuto ma anche della rapiditagrave con cui si compie lavoro

Fig 29 Per superare il muro ci vuole un certo lavoro che consiste nellrsquoinnalzare il proprio corpo di unrsquoaltezza h Sia lrsquoatleta che lo supera in un sol balzo sia il vecchietto che sale pian piano la scalinata faranno lo stesso lavoro Quel che egrave diverso egrave la potenza dei due personaggi Dimensioni e unitagrave di misura della potenza [ ]P = [L] [t -1] = [ml2t-3] 1 watt = 1 joule 1sec (1w)

Energia Potenziale K egrave energia connessa allo stato di moto di un sistema Crsquoegrave anche energia connessa alla posizione di un corpo in un campo di forze (configurazione) Si chiama energia potenziale Nel caso dellrsquoatleta di sollevamento pesi il lavoro compiuto dallrsquoatleta Lm non ha alterato lrsquoenergia cinetica K dellrsquoattrezzo ma ha modificato la configurazione del sistema (terra-attrezzo) variandone lrsquoenergia potenziale (W) Il lavoro non egrave stato sprecato ma ldquoimmagazzinatordquo lrsquoattrezzo prima egrave a terra poi egrave in alto nel sistema che ora ldquopotenzialmenterdquo puograve compiere un lavoro cedendo la sua ldquoenergia potenzialerdquo Energia cinetica ed energia potenziale sono due parti dellrsquoenergia meccanica possono trasformarsi lrsquouna nellrsquoaltra ed in lavoro Nellrsquoesempio precedente quando lrsquoattrezzo egrave in alto si ha che K = 0 e W = WA Quando cade K aumenta percheacute la velocitagrave v aumenta e lrsquoenergia potenziale W diminuisce In basso W = WB lt WA e K egrave massima Lrsquoattrezzo cadendo puograve compiere lavoro Se fosse un martello potrebbe far avanzare un chiodo ad esempio Lrsquoenergia potenziale viene definita proprio a partire dal concetto di lavoro di forze conservative Ersquo conservativa una forza il cui lavoro per spostare il suo punto di applicazione da una posizione (configurazione) ad unrsquoaltra dipende solo dalle due posizioni (configurazioni) iniziale e finale Equivalentemente si puograve definire la forza conservativa dicendo che il lavoro di tale forza egrave nullo se le posizioni (configurazioni) iniziali e finali coincidono

-Lavoro per passaggio dalla posizione A a B egrave lo stesso lungo I o II -Se da A vado a B e torno in A il lavoro totale egrave nullo

Fig 30 Posso allora definire una funzione della posizione W che assume i valori WA e WB in A e B e tale per cui LAB = WA ndash WB ( W energia potenziale) WA WB sono definiti a meno di una costante tanto quello che interessa egrave la differenza fra loro Variazione di energia potenziale del passaggio da A a B WB ndash WA = ∆W allora LAB = -∆ W Con questa convenzione sui segni si rende conto del fatto che un lavoro positivo ( fatto dalle forze conservative sul corpo) fa diminuire lrsquoenergia potenziale W ( L positivorarr ∆W negativo rarr WBlt WA rarr ho usato energia potenziale) un lavoro negativo (subito) aumenta W (L negativo rarr ∆W positivo rarr WBgt WA rarr ho guadagnato energia potenziale) W si misura in Joule come il lavoro e lrsquoenergia cinetica

Qual egrave la Forma di W

Mentre la forma dellrsquoenergia cinetica egrave sempre K =2

1mv2 indipendentemente dal tipo di forze

che provocano il movimento W dipende dal tipo di forza conservativa di cui si sta calcolando il lavoro Consideriamo due forze conservative

a) Forza gravitazionale forza peso

F(y) = -mg Stato di riferimento y0 = 0 in cui W0 = 0

Fig31

Abbiamo detto che LAB = WA- WB ma siccome

LAB = )( ABhmgsP minussdotminus=sdot dove hAB= yA-yB egrave la distanza tra A e B allora rArr WA = mgyA WB = mgyB e in generale W(y) =mgy

Per la forza peso W(y) =mgy e lrsquoenergia totale meccanica (W+K) = mgy+2

1mv2=Etot

b) Forza elastica

Fig 32

F(x) = -kx Stato di riferimento x = 0 allungamento nullo la lunghezza della molla egrave la sua lunghezza di riposo L ( W(0) = 0)

Immaginiamo che la configurazione della molla venga modificata passando dalla posizione xA alla posizione xB (Fig 32) Il lavoro della forza elastica egrave calcolato come

LAB = 22

2

1

2

1AB kxkx +minus

Ricordando che LAB = WA- WB possiamo ricavare lrsquoespressione per lrsquoenergia potenziale elastica

rArr WA = 2

2

1Akx WB = 2

2

1Bkx e in generale W(x) = 2

2

1kx

Energia totale meccanica ndash Conservazione dellrsquoenergia

In presenza di sole forze conservative la somma dellrsquoenergia cinetica e dellrsquoenergia potenziale costituisce lrsquoenergia totale meccanica Tale energia meccanica gode della proprietagrave importantissima di conservarsi durante lrsquoevoluzione del sistema Lrsquoenergia connessa al movimento e alla posizione si scambiano una diminuisce e lrsquoaltra cresce ad esempio ma la loro somma rimane costante

- Esempio delle montagne russe Se non ci sono attriti (infatti il trucco egrave quello di rendere il

sistema privo di attriti) so giagrave quale altezza massima potrograve raggiungere (quella iniziale e non di piugrave) quale velocitagrave massima potrograve raggiungere (in fondo alla valle) Queste quantitagrave sono fra loro legate dal teorema della conservazione dellrsquo energia meccanica

Fig 33 - Esempio del salto con lrsquoasta Lrsquoenergia cinetica dellrsquoatleta acquisita nella rincorsa viene

trasformata in energia potenziale gravitazionale parte direttamente e parte attraverso lrsquoenergia potenziale elastica dellrsquoasta acquisita nella sua deformazione durante il salto La flessibilitagrave dellrsquoasta (costante elastica dellrsquoasta) egrave legata allrsquoenergia che si puograve immagazzinare in una data deformazione Infatti con aste rigide (alluminio acciaio bambugrave) il salto era piugrave basso Con fibra di vetro il record egrave stato polverizzato

Fig 34

Fig 35

Fig 36

Osserviamo che il teorema dellrsquoenergia cinetica ha validitagrave generale qualunque siano le forze che agiscono conservative o non conservative (le forze non conservative si dicono anche ldquodissipativerdquo)

KLL

KL

fncfc

tot

∆=+∆=

e ricordando che darr Lfc = - )( fcW∆

Si ottiene che K∆ + )( fcW∆ = Lfnc

Si vede che nel caso in cui Lfnc sia nullo cioegrave quando non ci sono forze dissipative la somma delle variazioni di energia cinetica e energia potenziale egrave uguale a zero cioegrave lrsquoenergia totale meccanica (somma dellrsquoenergia cinetica e potenziale) egrave costante E questo corrisponde al teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica Nel caso ci siano forze dissipative la somma delle energie non egrave costante quindi al contrario del teorema dellrsquoenergia cinetica il teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica non ha validitagrave generale (vale solo in assenza di attriti ad esempio) Le forze non conservative di attrito compiono lavori solo negativi e fanno perdere quantitagrave di energia non recuperabile Parte di questa energia va in generale in calore quindi se ne puograve tenere conto considerando unrsquoaltra forma di energia lrsquoenergia termica ( ci sono anche altri fenomeni dissipativi ad esempio le deformazioni permanenti negli urti o la propagazione di onde sonore)

Lrsquo energia puograve dunque conservarsi o trasferirsi proprietagrave caratterizzanti dellrsquoenergia Il lavoro rende conto del trasferimento di energia della perdita di energia sotto una forma e del guadagno sotto unrsquoaltra forma (cioegrave energia conservativa) o del passaggio dellrsquoenergia da un sistema ad un altro Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica quando egrave applicabile puograve essere sfruttato per risolvere facilmente problemi altrimenti complicati Esercizio Una palla da tennis viene lanciata con velocitagrave iniziale v0 (senza effetti strani taglio etc) al di lagrave della rete Con quale velocitagrave arriva a terra

Se durante il moto Etot si conserva K+W = cost

Fig 37 e W = mgh egrave solo energia potenziale gravitazionale h = 0 alla fine come allrsquoinizio dunque K in = Kfin e vfin = v0 Se la palla egrave lanciata verso lrsquoalto non crsquoegrave componente orizzontale della velocitagrave ma solo verticale al punto piugrave alto di arresto h K(h) = 0 W(h) = max = Kin cioegrave mgh = frac12 mv0

2 si puograve cosigrave calcolare facilmente lrsquoaltezza massima raggiunta h = (frac12 v0

2)g e vicenversa si puograve calcolare il valore della velocitagrave v0 che bisogna imprimere alla palla affinchegrave raggiunga lrsquoaltezza h

v0 = gh2

Esercizio Una saltatrice di massa M = 61Kg salta da un ponte di altezza H = 45m agganciata ad una corda elastica La lunghezza di riposo della corda elastica egrave L = 25m e la sua costante elastica egrave k = 160 Nm Nel punto piugrave basso si arresta prima di venire rimbalzata in alto Qualrsquo egrave lquesta quota piugrave bassa h (a cui si trovano i suoi piedi ai quali egrave legato lrsquoelastico)

Fig 38 Etot = Wgrav + Wel + K = cost sono solo forze conservative vale la conservazione

dellrsquoenergia Nel punto A K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di lanciarsi Wel = 0 percheacute lrsquoelastico non egrave ancora svolto Wgrav = MgH Nel punto B K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di rimbalzare

Wel = frac12 kd2 Wgrav = Mgh = Mg(H-(L+d)) Etot(A) = Etot (B) MgH + 0 + 0 = Mg (H-(L+d)) + frac12 kd2 + 0 MgH = MgH ndash MgL ndash Mgd +frac12 kd2

2

1(160)d2 ndash (61)(98)d ndash (61)(98)(25) = 0

equazione di IIdeg grado che dagrave per d il valore accettabile d = 179m (lrsquoaltro egrave negativo e non egrave accettabile perchegrave non ha senso fisico la

saltatrice va in giugrave non in su) Allora h = H-(L+d) = 45 ndash (25+179) = 45 ndash 429 = 21m quindi con la testa poco sopra lrsquoacqua Sistemi di punti materiali e corpi rigidi ndash Centro di Massa

Un giocoliere o un ginnasta che lancia la clavette fa compiere allrsquoattrezzo movimenti complicati tuttavia crsquoegrave un punto dellrsquoattrezzo che si muove seguendo una traiettoria semplice come quella di un punto materiale ad esempio lanciato segue una traiettoria parabolica Tale punto si chiama centro di massa dellrsquooggetto Il centro di massa puograve essere definito per un oggetto o per un insieme di punti materiali Ersquo importante percheacute in generale il moto di un corpo esteso (o di un insieme di punti) si puograve studiare separando il moto del centro di massa (moto traslatorio) e il moto del corpo attorno al centro di massa (moto rotatorio)

Centro di Massa (CDM) di un sistema di punti - Consideriamo il caso semplice di due punti materiali di massa m1 m2 posti sullrsquoasse x in

posizione x1 x2

Fig 39

la posizione del centro di massa egrave definita xCDM = 21

2211

mm

xmxm

++

a) xCDM egrave compreso fra x1 e x2 b) se m1 = m2 CDM egrave a metagrave strada fra m1 ed m2 c) xCDM egrave piugrave prossimo alla massa maggiore - Nel caso di piugrave punti allineati nelle posizioni xi detto M = summi allora

xCDM = ii xmMsum

1

- Nel caso di punti distribuiti nello spazio detti irrarr

i vettori che identificano le loro posizioni

CDMrrarr

= iii rmM

rarrsum

1

dove CDMrrarr

ha coordinate (xCDM yCDM zCDM) definite come

xCDM = ii xmsumη1

yCDM = ii ymMsum

1

zCDM = ii zmMsum

1

- Consideriamo un oggetto qualsiasi questo egrave composto da un gran numero di particelle ma conviene considerarlo come un continuo di materia e per calcolare il centro di massa si prendono in considerazione degli elementi infinitesimi di massa dm centrati intorno alle posizioni (xyz) allora

xCDM = int xdmM

1 yCDM = int ydm

M

1 zCDM = int zdm

M

1

se si puograve considerare il corpo omogeneo (densitagrave uniforme) allora V

M

dv

dm = e allora si puograve fare il

calcolo considerando il volume V e gli elementi di volume dv anzichegrave la massa e gli elementi di massa

xCDM = int xdvV

1 etc

In un oggetto solido (corpo rigido) i diversi punti materiali che lo compongono non cambiano la loro posizione relativa (non come un corpo elastico) - se un oggetto ha un elemento di simmetria un asse od un piano il CDM si trova su tale

elemento di simmetria (asse per cono centro per sfera piano per una banana etc) Non egrave detto che il CDM di un oggetto appartenga allrsquooggetto vedi uno pneumatico un cerchio Il CDM egrave esterno alloggetto Legge fondamentale della dinamica per un sistema di punti materiali Caso della palla da bigliardo urto fra due palle dopo il lancio di una le due si muovono 1) una egrave ferma (B) lrsquoaltra la lancio (A) 2) le due si urtano in qualunque modo 3) le due si muovono secondo traiettorie differenti una possibilmente andragrave in buca lrsquoaltra no Dopo il lancio sulla palla A non agisce piugrave nessuna forza quindi la sua velocitagrave v egrave costante Va bene ma dopo lrsquourto Il CDM delle due palle continua a muoversi con velocitagrave costante anche se il centro di massa egrave un punto teorico che non appartiene a nessuna delle due palle Tuttavia al CDM possiamo assegnare una massa (M totale del sistema) una velocitagrave ed una accellerazione Si ha

)(CDMext aMFrarrrarr

=sum

a) extFrarr

sum egrave la somma di tutte le forze esterne che agiscono sul sistema non quelle interne (ad esempio nel caso del bigliardo non devo considerare le forze che si applicano fra le due palle quando si urtano)

b) M egrave la massa totale del sistema Si suppone che durante il moto M rimanga costante

c) )(CDMararr

egrave lrsquoaccelerazione del CDM Dellrsquoaccellerazione di un altro punto ad esempio del centro della palla A non si dice nulla

Cosideriamo alcuni esempi 1) Bigliardo tvaF CDMCDMext cos00 ===sum prima dellrsquourto nellrsquourto si verificano solo forze

interne Quindi tvaF CDMCDMext cos00 ===sum dopo lrsquourto e durante tutto il moto

2) Sistema terra-luna sumFext = gravitazione del sole aCDM egrave ldquocentripetardquo accellerazione di una

forza che egrave diretta verso il sole (forza ldquocentralerdquo) egrave il CDM terra-luna che segue la traiettoria dovuta allrsquoattrazione gravitazionale del sole poi terra e luna si muovono intorno al loro CDM

3) Clavette lanciate sum Fext = Mg aCDM = g il centro di massa si comporta come un punto materiale nel lancio

4) La ballerina nel ldquogrand-fetegraverdquo fa seguire a testa e busto una traiettoria rettilinea percheacute modifica lrsquoassetto in modo da alzare il suo CDM Nel corso del salto (alza le braccia e distende

orizzontalmente le gambe non appena lasciato il suolo) il suo CDM segue la traiettoria parabolica del lancio di un corpo soggetto allrsquoaccelerazione di gravitagrave g

Quantitagrave di moto rarrP

- Si definisce quantitagrave di moto di una particella il vettore

rarrrarr= vmP

con m massa della particella e rarrv la sua velocitagrave

Si vede che rarrP egrave diretto come

rarrv

Newton scrisse la legge fondamentale della dinamica in termini di quantitagrave di moto (a differenza di Galileo che la scrisse in termini di massa e di accelerazione) ldquola rapiditagrave di variazione della quantitagrave di moto di una particella egrave proporzionale alla forza netta che agisce sulla particella ed egrave nella direzione di quella forzardquo cioegrave

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

che egrave piugrave generale della formulazione di Galileo perchegrave descrive bene anche il caso in cui variasse la massa del corpo durante il moto (ad esempio un vettore spaziale) Se la massa egrave costante le due formulazioni sono identiche

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

= t

vm

∆∆

rarr)(

= m t

v

∆∆

rarr

= m rarra

Ricordiamo che rarrF egrave diretto come

rarra (o la risultante

rarrR = sum

rarrF )

Per un sistema di punti materiali si definisce la quantitagrave di moto totale

rarrP =

rarrP 1 +

rarrP 2 + helliphellip+

rarrP n =

m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +helliphelliphellip+ mn

rarrv n = M

rarrv CDM (si puograve dimostrare) dove M egrave la massa totale

[essendo infatti Mrarrv CDM =

dt

d(M

rarrr CDM) =

dt

d(m1

rarrr 1 + m2

rarrr 2 +hellip) = m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +

hellip]

quindi rarrP = M

rarrv CDM per un sistema di particelle e

dt

Pdrarr

= M dt

d rarrv CDM = M

rarra CDM = sum

rarrF ext

Conservazione delle quantitagrave di moto

Per un sistema chiuso (M non varia) e isolato (sumrarrF ext = 0)

Allora

t

P

∆∆

rarr

= 0 rarrP = cost

rarrP i =

rarrP f

che sono tre modi equivalenti per dire che la quantitagrave di moto si conserva Vale per un sistema nel quale non agisca nessuna forza esterna netta Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica e la conservazione delle quantitagrave di moto sono due concetti fisici importantissimi Valgono sia per le palle da bigliardo che per qualunque altro sistema anche le galassie nellrsquouniverso Queste equazioni sono vettoriali Ciograve significa che rappresentano una terna di equazioni scalari ognuna valida sul proprio asse del sistema di riferimento (x y z)

Puograve accadere a seconda delle forze che agiscono nel sistema che la quantitagrave di moto si conservi in una direzione o in due e non in tutte e tre

Ad esempio se consideriamo una palla come un insieme di punti materiali la rarrF ext che agisce nel

sistema egrave mrarrg diretta lungo z senza componenti su x e y quindi

rarrP varia lungo z ma

non su x e y

Percheacute ldquocomplicarci la vitardquo con questa storia del CDM del sistema di particelle etchellip non bastava il moto del punto rappresentativo materiale Avevamo giagrave considerato il punto rappresentativo e avevamo svolto anche problemi sulla palla sul bilanciere e per altri oggetti Abbiamo sempre sbagliato La questione egrave se un corpo egrave rigido cioegrave se tutti i suoi punti si muovono mantenendo le loro distanze relative non crsquoegrave problema abbiamo solo visto che il punto materiale rappresentativo si chiama CDM ed abbiamo imparato a situarlo allrsquointerno del corpo Ma se il corpo non egrave rigido cioegrave se il suo CDM si sposta rispetto a lui stesso nel corso del moto la disposizione del corpo intorno al punto rappresentativo varia nel corso del tempo e le leggi di conservazione valgono per il CDM - Consideriamo ad esempio il teorema dellrsquoenergia cinetica che per un punto materiale si scrive Ltot = Kfin-K in = ∆ K (qui ovviamente non crsquoegrave da specificare lavoro delle forzeldquoesternerdquo percheacute essendo in un punto materiale che si assume infinitamente piccolo non ci sono forze ldquointernerdquo) Per analogia il teorema dellrsquoenergia cinetica si estende al caso di un insieme di punti materiali nel seguente modo

Ltot forze ext=rarrF extmiddot

rarrs CDM = ∆ KCDM

Dove s CDM egrave lo spostamento del centro di massa A titolo di esempio risolviamo il problema un giocatore di hockey su ghiaccio di massa M = 110Kg si muove verso la balaustra a bordo campo alla velocitagrave di 3msec Nellrsquoarrestarsi flettendo le braccia il suo CDM si sposta in avanti di 30cm Qual egrave la ∆ K del suo CDM durante la manovra

∆ KCDM = infin CDMCDM mvmv 22

2

1

2

1 minus =

= 0 - 2

1110 32 = -495 J

Fig 40

Sia L il lavoro delle forze esternerarrF ext (dirette come d

rarrx CDM ) allora

L = - Fext 03 = ∆ KCDM quindi

Fext =30

495

minusminus

= + 1650N

( si considera la forza esterna rarrF ext costante nellrsquointervallo dellrsquoarresto fatto che equivale a dire

che il giocatore si arresta con rarra CDM costante)

Dinamica e statica del corpo esteso Finora abbiamo sempre discusso del moto di un punto materiale (punto rappresentativo dicevamo sempre) In particolare abbiamo sempre applicato le forze a quel punto materiale quindi se diverse forze erano applicate esse concorrevano in quel punto ligrave e con le forze concorrenti sapevamo come calcolare la risultante con il metodo grafico o con quello numerico delle coordinate cartesiane Una volta calcolata la risultante applicata al punto si otteneva un moto di pura traslazione del punto (al massimo traslava lungo una traiettoria curva) senza rotazioni proprie del punto che non hanno neanche senso un punto che ruota su se stesso Come faccio ad accorgermi Un punto per definizione egrave infinitamente piccolo (Dicevamo infine che il punto egrave in equilibrio

traslazionale se la risultante rarrR delle forze applicate egrave nullo)

Consideriamo invece un corpo esteso Prima osservazione questo ha piugrave punti (direi infin ) a

cui la forza puograve essere applicata Prendiamo una racchetta da tennis ed una forza rarrF applicata il

moto che ne risulta dipende dal punto al quale viene applicata la forza rarrF

qui la racchetta trasla

Fig 41

stessa forza qui la racchetta ruota

Fig 42

Seconda osservazione Crsquoegrave un caso in cui le forze non possono essere fatte concorrere in un punto ed egrave quando sono parallele ed hanno rette di applicazione distinte Chiaramente non abbiamo mai dovuto considerare questo caso per il punto materiale percheacute per un punto non possono mai passare due rette parallele Ma per il corpo esteso So benissimo che se sono ferma con la macchina in

panne e la sto spingendo applicando una forza rarrF 1 sono contenta se qualcuno si affianca a me ed

esercitando una forza rarrF 2 lungo una direzione parallela a quella della mia mi aiuta a spingere In

particolare mi viene spontaneo dire che se F1 = F2 allora spingeremo con una forza doppia Ci saragrave quindi un modo per sommare due forze non concorrenti in un punto ma parallele e saragrave Ftot = F1+ F2 La retta di applicazione di Ftot divide il segmento congiungente i punti di applicazione di F1 ed F2 in due segmenti inversamente proporzionali allrsquointensitagrave delle forze F1 e F2 Terza osservazione se F1 = - F2 sono uguali in intensitagrave ma di verso opposto sempre lungo due rette di applicazione parallele passanti per un corpo esteso cosa succede La loro somma Ftot risultante saragrave 0 ma io so che il corpo non sta fermo sotto lrsquoazione di tali due forze ma ruoteragrave Concludo che le nozioni che ho acquisito finora vanno riviste ed ampliate o corrette o specificate per i corpi estesi ed inoltre che mi mancano totalmente i mezzi per descrivere le rotazioni dei corpi estesi Occorrono nuovi concetti nuove quantitagrave la forza non basta Prendo lrsquoesempio piugrave semplice dellrsquoaltalena con due bambini in due bracci uno piugrave leggero uno piugrave pesante

Fig 43 Qualitativamente so che percheacute lrsquoaltalena stia in equilibrio e non ruoti intorno al punto fisso non egrave necessario che i due bambini abbiano lo stesso peso (ugual massa) occorre che il bambino piugrave leggero sieda piugrave lontano rispetto al punto fisso (fulcro) La regola quantitativa dice che lrsquoaltalena egrave in equilibrio se il prodotto del peso per la distanza del fulcro egrave uguale PB dB = Pb

db Per generalizzare questa regola ai casi piugrave complessi occorre definire una nuova quantitagrave il momento di una forza Momento di una forza

Consideriamo una forza rarrF applicata ad un punto P ed un punto O Sia

rarrr

il vettore rarrOP allora il momento

rarrM di

rarrF rispetto ad O egrave

rarrM =

rarrr x

rarrF

e

|rarrr | middot |

rarrF | sin ϑ = |

rarrM |

Fig 44

oppure anche considerando la componente di rarrF perpendicolare ad

rarrr o di

rarrr

perpendicolare a rarrF r e rispetto a F

|rarrM | = |

rarrr | |

rarrF perp | |

rarrM | = |

rarrr perp| |

rarrF |

In generale si dice che il modulo del momento |rarrM | egrave il prodotto delle intensitagrave della forza per la

distanza dal punto della retta di applicazione della forza

Come vettore rarrM egrave perpendicolare al piano che contiene

rarrF ed

rarrr ed ha verso calcolato con la

regola della mano destra (con rarrr che si chiude su

rarrF )

La distanza rperp si chiama braccio della forza Si vede che il momento egrave nullo quando il braccio egrave nullo cioegrave quando il punto O si trova sulla retta di applicazione di F Il momento della forza peso P egrave nullo rispetto al baricentro che coincide con il centro di massa nel caso (praticamenteldquosemprerdquo) in cui il corpo non sia abbastanza esteso percheacute diversi punti del corpo risentano di una forza gravitazione differente Praticamente si deve parlare di galassie percheacute CDM e baricentro (BC) non coincidono Quindi la condizione del momento nullo della forza peso diventa un modo per definire il CDM come quel punto rispetto al quale la forza peso P ha momento nullo Per un corpo ldquoarticolatordquo estendiamo il concetto di forza normale come forza di contatto nellrsquoarticolazione utile cioegrave la forza che lrsquoarticolazione che si sta considerando esercita su quello che nellrsquoarticolazione si appoggia La forza peso P di un corpo esteso puograve immaginarsi applicata al CDM Principio di equilibrio di un corpo esteso

se su un corpo esteso agiscono solo rarr

Peso e rarr

Normale cioegrave se un corpo egrave appoggiato ad un piano orizzontale allora il corpo egrave in equilibrio se e solo se il baricentro si trova sopra la superficie di appoggio

Fig 45

Finchegrave il baricentro egrave sopra il tavolo il libro non cade percheacute rarrP applicata a CDM puograve essere

controbilanciata da rarrN Se CDM si sposta in fuori

rarrN rimane nel tavolo e crsquoegrave momento non nullo

non equilibrato da rarrP che continua ad essere applicato nel CDM

Il baricentro di una persona in posizione eretta si trova nellrsquoarea delimitata dei suoi piedi 3cm davanti allrsquoarticolazione della caviglia

Fig 46 Quando la persona si piega in avanti il baricentro esce dal corpo e per mantenere lrsquoequilibrio egrave necessario che le anche si spingono indietro percheacute il baricentro cade di nuovo in quella posizione Notiamo che anche in posizione eretta essendo la forza peso e la forza di contatto non allineate (quei 3cm) (forza di contatto sullrsquoarticolazione della caviglia che regge il peso) occorre un momento correttivo che impedisca la rotazione in avanti mantenuto dal tendine di Achille che si lega alla caviglia Altro esempio di spostamento del baricentro egrave lrsquoatleta che assume una posizione ad L chi regge il peso egrave lrsquoarticolazione della spalla quindi il CDM si sposta sotto la spalla (giagrave era uscita dal corpo per via delle gambe distese in avanti) Nel camminare il baricentro continua a muoversi da sopra un piede a sopra un altro (quello appoggiato ovviamente) Si osservi lrsquoondeggiamento Per assurdo lrsquoancheggiare delle indossatrici serve a mantenere il baricentro il piugrave possibile fermo rispetto alla direzione media del moto (porre un piede esattamente davanti allrsquoaltro) rendendo piugrave facile muoversi anche con tacchi altissimi Al contrario lrsquoequilibrista che cammina sui trampoli sta fermo il meno possibile percheacute egrave stando fermo che il piccolo spostamento che fa uscire il baricentro (ALTO) dalla superficie drsquoappoggio puograve verificarsi facilmente preferisce il ldquonon ndash equilibriordquo o lrsquo rdquoequilibrio dinamicordquo dellrsquoondeggiare continuamente fra due posizioni di equilibrio

Ricordiamo che un equilibrio egrave detto stabile se quando una perturbazione lo altera spontaneamente il sistema lo ripristina Viceversa un equilibrio egrave instabile se la piugrave piccola perturbazione lo distrugge Lrsquoequilibrio egrave molto stabile se il baricentro egrave basso ed il corpo ha una grande area drsquoappoggio la posizione accucciata del giocatore di football americano dagrave grande stabilitagrave Ancor piugrave grande stabilitagrave si ha se il baricentro (CDM) si trova al di sotto della superficie drsquoappoggio Ersquo come se si fosse ldquoappesirdquo anzicheacute ldquoappoggiatirdquo alla superficie drsquoappoggio Proprio per questo motivo lrsquoequilibrista sul filo porta una lunga asta che spesso si flette agli estremi

Fig 47 Gli uccelli bipedi da 100000000 di anni hanno sviluppato questo adattamento per cui sono appesi alle anche mentre gli uomini bipedi da solo 1000000 di anni fanno fatica con il CDM dalla parte alta del corpo Ersquo un equilibrio instabile ldquosoprardquo le anche che le reggono (65 del peso del corpo) Modificazioni strutturali per reggere la posizione eretta 1) Colonna vertebrale rastremata (piugrave tozza in basso che in alto percheacute piugrave in basso vuol dire una

maggior forza di contatto) 2) Muscoli estensori della schiena 3) Gambe ed anche ingrossate 4) Ginocchio che blocca la gamba estesa Ciononostante si ha spesso il mal di schiena Se una forza ha momento non nullo rispetto ad un punto allora il corpo puograve ruotare intorno a quel punto sotto lrsquoazione di quella forza ldquoDiciamo che se sostengo il corpo per quel punto il corpo puograve ruotare intorno a quel puntordquo (Prendo in mano un foglio di carta per un estremo per esempio) La presenza di un momento non nullo egrave dunque la condizione che genera rotazione e viceversa Lrsquoassenza di un momento risultante egrave la condizione che genera lrsquoequilibrio rotazionale di un corpo esteso Quindi la condizione di equilibrio per un corpo esteso egrave

1) rarrR = 0 risultante delle forze applicate = 0 (equilibrio traslazionale)

2) rarrM = 0 momento risultante = 0 (equilibrio rotazionale)

Supponiamo di avere un corpo esteso al quale siano applicate delle forze che diano luogo ad un momento non nullo allora il corpo ruota Per equilibrarlo dovrograve applicare un altro momento tale che la loro somma sia nulla Questo egrave il principio di funzionamento delle leve LEVE

Una leva egrave un corpo esteso al quale sono applicate delle forze con un momento risultante rarrR

allora per portare il corpo in equilibrio applico un momento correttivo rarrP in modo che il momento

totale sia nullo Si dice in genere potenza (P) e resistenza (R) di una leva Le leve sono macchine semplici Servono per applicare forze in punti scomodi o in direzioni particolari Il fulcro egrave il punto nel quale la leva egrave incernierata Si definisce il guadagno meccanico di una leva

GM =

)(

)(rarr

rarr

PF

RF

cioegrave il rapporto fra la forza che genera il momento resistente e quella che genera il momento agente A seconda che GM sia gt

lt 0 una leva si dice che egrave vantaggiosa o svantaggiosa ma solo per quel che riguarda le forze percheacute per quel che riguarda i lavori non si ha neacute vantaggio neacute svantaggio Il lavoro esercitato dalla forza che dagrave la ldquopotenzardquo e quello esercitato dalla forza che dagrave la ldquoresistenzardquo sono sempre uguali Infatti forze e spostamenti sono inversamente proporzionali Le leve si dicono di I II o III specie a seconda se il fulcro si trovi I) in mezzo fra R e P (leva indifferente GM dipende da caso a caso) II) dalla parte di R (leva vantaggiosa il braccio di R egrave sempre minore del braccio di P basta

quindi una P minore per equilibrare una R maggiore) III) dalla parte di P (leva svantaggiosa) Classici esempi dei tre tipi di leve sono i remi (I) lo schiaccianoci (II) e la pinzetta per francobolli (III) Tuttavia vediamo degli esempi meno classici ma attinenti al campo della biologia e della medicina Criterio generale egrave che le leve vantaggiose consentono di essere molto potenti ma con brevi spostamenti mentre viceversa quelle svantaggiose fanno perdere in potenza ma consentono grandi spostamenti saragrave difficile vedere un cavallo che con le lunghe zampe si scava la tana drsquoaltronde una talpa scava bene la tana ma ha movimenti molto meno ampi che non le consentono di correre veloce come un cavallo (compromesso fra forza e velocitagrave del movimento) Se contiamo tutti i movimenti di rotazione che il corpo puograve compiere capiamo che siamo pieni di leve di ogni tipo Sono classici a) il capo fulcro (articolazione occipito-atlantoide) Fig 48 muscoli della nuca (Potenza) peso del capo (Resistenza) b)

muscolo bicipide (Potenza)

Fig 49 Peso dellrsquoavambraccio (Resistenza) Fulcro (articolazione del gomito) Questa leva permette grandi spostamenti Si vede che la forza operata dal muscolo bicipite egrave massima quando lrsquoavambraccio egrave orizzontale (la distanza dal fulcro egrave massima) ed egrave minima quando lrsquoavambraccio egrave verticale( con la distanza dal fulcro nulla) Attenzione - la colonna vertebrale egrave costituita da 24 vertebre separate da dischi di liquido Quando una

persona si piega la schiena egrave una leva con GM molto piccolo Quindi un piegamento completo per raccogliere un oggetto anche leggero produce una forza molto intensa sul disco lombosacrale che separa lrsquoultima vertebra dellrsquoosso sacro Se indebolito questo disco puograve rompersi o deformarsi comprimendo i nervi vicini e causando grande dolore Vediamo un modello che rende conto come mai questa forza egrave cosigrave grande

Fig 50

I muscoli della schiena esercitano T Con un angolo α = 12deg quando la schiena egrave piegata a 90deg

Peso della parte superiore del corpo (circa il 65 del peso totale)

Fulcro lombosacrale (il fulcro produce R) Essendo α piccolo la retta di azione Τ passa vicino al fulcro e dunque la distanza r che costituisce il suo braccio egrave molto piccola Al contrario il peso egrave perpendicolare alla colonna e il suo punto di applicazione egrave molto piugrave distante dal fulcro Τ deve essere molto grande per equilibrare il momento di P Dunque se T egrave grande anche la sua componente orizzontale egrave grande e di conseguenza anche R che costituisce la reazione dellrsquoosso sacro deve avere componente orizzontale molto grande per equilibrare Τ (uguale ed opposta alla componente orizzontale di Τ ) Facendo i conti si ottengono numeri grandi per 75Kg di peso T ed R sono equivalenti al peso di una massa di 220Kg Senza sollevare pesi solo piegandosi Conviene piegare le ginocchia quando si sollevano pesi - Nel corpo egrave difficile che il peso cada sulla verticale dellrsquoarticolazione che lo sostiene egrave sempre

un porsquo spostato e crsquoegrave un tendine con un muscolo che compensa il momento del peso - La contrazione muscolare egrave una successione di brevi contrazioni delle fibre muscolari stimolate

da impulsi che provengono dal sistema nervoso Contrazioni sono molto ravvicinate e avvengono in tempi differenti nelle diverse parti del muscolo cosigrave che il risultato apparente egrave una lenta e progressiva contrazione Se la frequenza degli impulsi aumenta la tensione cresce finchegrave si raggiunge la tensione massima (ricordare la tensione di un cavo) Un ulteriore aumento della frequenza degli impulsi a questo punto non causa ulteriore aumento della tensione

La tensione massima egrave proporzionale allrsquoarea della sezione trasversa del muscolo nel suo punto piugrave largo La tensione massima dipende anche dalla lunghezza del muscolo che varia Si ottiene tensione massima quando il muscolo egrave solo di poco allungato rispetto alla sua lunghezza di riposo di riposo ed egrave circa 30-40 Ncm2 La tensione massima si riduce moltissimo se il muscolo egrave molto allungato o accorciato Dinamica Rotatoria Fino ad ora abbiamo studiato moti traslatori ma il moto di un corpo rigido egrave in generale roto-traslatorio Naturalmente dobbiamo ridurre il problema complesso ad uno piugrave semplice e per fare ciograve immaginiamo di posizionarci su un sistema di riferimento solidale al corpo rigido i moto immaginiamo cioegrave di ldquosedercirdquo sul corpo rigido In questo modo non saremo piugrave sensibili al moto traslatorio e guardando il corpo rigido osserveremo solo le sue rotazioni Trattiamo allora il moto generico scomponendo la parte traslatoria (giagrave discussa ) da quella rotatoria Se si trascura la parte traslatoria del moto di un corpo rigido quello che rimane da trattare egrave la sua rotazione Nel nostro corso consideriamo le rotazioni che avvengono su un piano le rotazioni nello spazio potranno essere trattate come composizione di rotazioni su un piano Per le rotazioni su un piano si identifica un asse di rotazione perpendicolare al piano di rotazione e passante per il centro di rotazione Le articolazioni del gomito e del ginocchio sono articolazioni libere di ruotare intorno ad un asse a differenza ad esempio di quella della spalla che puograve ruotare intorno a due assi Si definisce spostamento angolare la variazione di una posizione che egrave definita in modo completo da una misura di angolo Una rotazione di un intero corpo rigido egrave definita in modo completo da uno spostamento angolare θfin - θin= ∆θ e si misura in radianti

Fig 51 Dobbiamo definire anche un verso di rotazione θ si incrementa per rotazioni antiorarie positive le rotazioni in senso orario sono invece negative La velocitagrave angolare si definisce analogamente alla velocitagrave lineare come il rapporto tra lo spostamento angolare e il tempo t impiegato per eseguire tale rotazione

ωm = t∆

∆θ e si misura in rad s

θin

θfin ∆θ

R

S

Anche per w si definisce ωist = lim ∆trarr0 t∆

∆θ

Ancora lrsquoaccelerazione angolare si definisce αm = t∆

∆ω e αist = lim ∆trarr0

t∆∆ω

Anche la legge fondamentale della dinamica ha un analogo nel ambito dei moti rotatori Si stabilisce che se ad un corpo rigido egrave soggetto ad un momento torcente diverso da zero esso subisce unrsquoaccelerazione angolare ad esso proporzionale Nel caso delle rotazioni la resistenza al moto egrave espressa dal momento di inerzia I associato al corpo rigido che gioca il ruolo della massa nei moti traslatori La legge della dinamica delle rotazioni egrave M = I middotα

E sostituendo M = Imiddott∆

∆ω= Imiddot

tinfin

∆minusωω

Il momento di inerzia I di un corpo rigido dipende dalla disposizione della massa del corpo rispetto allrsquoasse di rotazione per una massa puntiforme m a distanza R dallrsquoasse di rotazione I= m R2 per un oggetto esteso sommerograve il momento drsquoinerzia delle sue parti I = Σi mi Ri

2 Se si definisce momento angolare L il prodotto del momento drsquoinerzia per la velocitagrave angolare

L=Iω la legge della dinamica diventa

M = t

LL infin

∆minus

Il momento angolare egrave la grandezza fisica che si conserva se non viene applicato momento torcente Tutti i gesti di volo salti lanci tuffihellip sono azioni nelle quali si conserva il momento angolare Infatti in volo agisce solo la forza di gravitagrave che essendo applicata al CDM non genera momento torcente Il corpo umano nei gesti di volo Il corpo umano non egrave rigido e pertanto in volo agendo con i muscoli possiamo cambiare la disposizione del nostro corpo intorno al centro di massa che in volo coincide col centro di rotazione In questo modo si ottiene una variazione del momento di inerzia I e di conseguenza la velocitagrave angolare deve compensare questa variazione in modo che si mantenga costante il momento angolare L (grandezza che si conserva in assenza di momento torcente) Ersquo questo il principio che spiega il realizzarsi delle trottole sul ghiaccio dei salti mortali tuffi con avvitamento e cosigrave via in posizione raccolta I diminuisce e ω aumenta Moto circolare e moto circolare uniforme Per utilizzare le relazioni della cinematica e della dinamica lineare che abbiamo studiato egrave interessante poter passare dalle variabili angolari alle variabili lineari velocitagrave e accelerazione delle

masse in moto rotatorio Se una massa si muove su una traiettoria curva la velocitagrave tangenziale vt diretta come la tangente alla traiettoria dipende dalla velocitagrave angolare ω ( ωm=ϑ t )e dal raggio di curvatura della traiettoria Se la traiettoria egrave una circonferenza di raggio R e se gli angoli sono espressi in radianti lrsquoarco percorso per uno spostamento angolare ϑ egrave S = ϑ sdotR e la velocitagrave lineare tangente vt = St= ϑ sdotRt risulta vt = ωsdotR Se la velocitagrave angolare ω egrave costante il moto egrave detto circolare uniforme La legge oraria egrave quella dei moti uniformi spostamenti angolari uguali in tempi uguali ϑ(t) = ω t Anche la velocitagrave tangente saragrave di intensitagrave costante se ω egrave costante (archi uguali per tempi uguali s(t) = vt (t) ) ma crsquoegrave una accelerazione normale infatti la velocitagrave anche se non cambia in modulo cambia continuamente di direzione Questa accelerazione si dice centripeta egrave diretta normalmente rispetto alla traiettoria verso il centro della circonferenza e vale in modulo

ac=R

v2

Fig 52 Essendo la velocitagrave tangente vt = ωR Lrsquo accelerazione centripeta si puograve scrivere

ac =R

v2

= ω2 R

Il tempo impiegato dal punto a muoversi sulla circonferenza egrave una costante (moto uniforme) T periodo in T viene percorso uno spazio 2π R

v = T

Rπ2

La frequenza f egrave invece il ndeg di giri al secondo

f =T

1

Se si prendono punti diversi sul raggio della circonferenza questi hanno la stessa velocitagrave angolare e velocitagrave tangenziali crescenti al crescere del raggio Esempio carosello dei pattinatori Esercizi

1- un velocista con una velocitagrave di 10 ms viaggia su una curva di raggio 25m ndash accelerazione

a = R

v2

= 25

100 = 4 ms2

2 ndash un velocista con v = 92 ms su una pista circolare con ac = 38 m s2 ndash Raggio della pista Tempo per percorrere un giro completo

a = R

v2

rArr R = a

v2

= 83

)29( 2

= 2227m

T =v

Rπ2 =

29

27222 lowastπ = 152 sec

Forza centripeta forza centrifuga Una forza centripeta egrave una forza di qualunque natura che trattiene un corpo in moto su una traiettoria curvilinea ad esempio circolare In assenza di tale forza il corpo proseguirebbe il suo moto lungo una traiettoria rettilinea Nel gesto del lancio del martello ad esempio il lanciatore che esercita sul peso in cima allrsquoattrezzo una forza mediata dalla tensione dal cavo che lo trattiene nella traiettoria circolare Quando il lanciatore lascia la maniglia il martello viene lanciato lungo la direzione della tangente alla traiettoria nellrsquoistante di rilascio Lrsquointensitagrave della forza centripeta necessaria a mantenere una massa m in moto con velocitagrave tangente v lungo una traiettoria circolare di raggio r si puograve calcolare a partire dallrsquoaccellerazione centripeta secondo la legge fondamentale della dinamica

|rarr

cF | = m | rarr

ca | = m r

v2

Tale forza egrave diretta come lrsquoaccelerazione centripeta e cioegrave verso il centro della circonferenza che costituisce la traiettoria La forza centripeta egrave dunque una forza reale Con lsquoforza centrifugarsquo invece non ci si riferisce ad un forza che agisce su un corpo ma alla situazione apparente cui sembra sottoposto un corpo in moto curvilineo Esso pare tirato o attirato lontano dal centro di rotazione pare ci sia una lsquoforzarsquo che vuole farlo sfuggire Quando viene lasciato il martello si allontana dal centro di rotazione percheacute si muove di moto rettilineo uniforme non essendo piugrave soggetto a forze altre che la forza peso Lrsquoacqua esce dal cestello della lavatrice quando il cestello ruota velocemente (funzione centrifuga) percheacute lrsquoacqua che non costituisce un corpo solo con il cestello bucato non egrave soggetta alla forza centripeta e puograve passare attraverso i buchi I panni invece pure non parte del cestello sono troppo grandi per passare dai buchi si possono solo schiacciare contro le pareti questo schiacciamento sembra il risultato di una forza ma egrave invece il risultato dellrsquoassenza di una forza quella centripeta Una volta lagrave contro il cestello fanno tuttrsquouno con le pareti di metallo che esercitano su di essi la forza centripeta (cioegrave con direzione verso lrsquoasse di rotazione) che li mantiene in rotazione Le parti di un corpo rigido esteso che si muove di moto rotatorio rispetto ad un asse quale ad esempio la gamba di un giocatore di calcio che calcia un pallone sono soggette alla forza centripeta che le mantiene sulla traiettoria curva Tale forza viene trasmessa alle varie parti tramite le forze di tensione che si sviluppano allrsquointerno del corpo stesso ad esempio il piede egrave soggetto alla forza centrifuga tramite lrsquoazione dei legamenti e tendini a livello della caviglia che vengono messi in tensione per trattenere il piede stesso

Si dice ldquoimpulso ldquo di una forza il prodotto della forza per il tempo durante il quale viene applicata tF sdot (se la forza non egrave costante lrsquoimpulso egrave lrsquointegrale della forza nel tempo in cui viene applicata)

Scritta in questo modo lrsquoequazione fondamentale della dinamica puograve essere letta cosigrave 1) Supponiamo che un corpo vari la sua velocitagrave di una quantitagrave ∆v = vf - vi tanto piugrave lungo egrave il tempo t durante il quale questa variazione avviene tanto minore egrave la forza che deve essere sviluppata per ottenere tale variazione della velocitagrave In questi termini si capisce ad esempio lrsquoutilitagrave delle cinture di sicurezza che allungando i tempi durante i quali in caso drsquoincidente la velocitagrave del passeggero (che non egrave solidale con la vettura) passa da un valore vi iniziale a zero determina una riduzione della la forza cui il passeggero stesso egrave sottoposto durante il breve tempo dellrsquoimpatto (la forza che le ossa e le articolazioni possono sopportare egrave limitata) Si vede anche come funziona lrsquoelastico del jumper finchegrave lrsquoelastico non egrave completamente svolto (ltL) la forza che agisce sul jumper egrave P (la forza peso) poi progressivamente la forza elastica di richiamo contrasta P quindi il jumper decelera progressivamente per un lungo intervallo di tempo e lo lsquostrapporsquo (F applicata) necessario per contrastare P e fermare il jumper applicato sulle sue gambe e a cascata su tutte le sue articolazioni (secondo il terzo principio) egrave di entitagrave minore 2)Lrsquoimpulso totale prodotto tF sdot nella direzione ottimale egrave la grandezza fisica che stabilisce lrsquoefficacia di un gesto di spinta o di lancio non la massima forza espressa o la durata dellrsquoazione di spinta Lavoro di una forza ndash lavoro meccanico

- 1deg caso Forza costante rarrF

Immaginiamo una forza rarrF che agisce su un corpo durante il suo spostamento Immaginiamo cosi

che il punto di applicazione di questa forza si sposti nello spazio di un tratto rarrs Viene detto

lavoro della forza rarrF la quantitagrave

L = rarrF middot

rarrs = F middot smiddot cosϑ (prodotto scalare di

rarrF per

rarrs )

(prodotto scalare tra i due vettori) Fig 27 Il lavoro egrave una quantitagrave scalare cioegrave egrave descritta completamente da un numero da un valore Tale

valore puograve essere positivo o negativo a seconda che la componente di rarrF lungo

rarrs sia equiversa o

di verso opposto a rarrs Se

rarrF e

rarrs hanno la stessa direzione e se lo spostamento avviene nel

senso di rarrF diciamo che il lavoro egrave positivo (e viceversa negativo) Lrsquointensitagrave del lavoro puograve

variare tra un valore massimo e uno minimo per gli stessi valori del modulo di rarrs e di

rarrF a

rarrs

seconda del valore di cosϑ Il lavoro egrave massimo per cosϑ = 1 (cioegrave per ϑ = 0) (rarrF diretto come

rarrs ) Il lavoro egrave minimo ( L = 0) per cosϑ = 0 cioegrave per ϑ = 90deg (

rarrF perpendicolare a

rarrs )

Puograve darsi il caso che piugrave forze agiscono sullo stesso punto Allora si puograve calcolare il lavoro totale egrave la somma dei lavori di tutte le forze applicate

Ltot = sum Li = sum (rarr

sdotiFrarrs )

Dimensioni di L [ L ]= [ F ][ s ] = mmiddot l middot t-2 middot l = ml2 t-2 Unitagrave di misura di L 1 joule = 1N middot 1m ( 1J ) Lavoro della forza peso durante la caduta di un grave Un grave cade vicino alla superficie della terra sotto lrsquoazione della forza di gravitagrave cioegrave sottoposto ala forza peso P diretta verso il basso percorrendo un dislivello h Il lavoro compiuto dalla forza peso si calcola come

LP = rarrP middot

rarrs = Pmiddot smiddot cosϑ

notando che lo spostamento s (verso il basso) e la forza P sono paralleli con verso concorde pertanto ϑ = 0 e cosϑ = 1 e che | P| = mmiddot g si ottiene LP = mmiddot gmiddot h per uno spostamento s = h (dislivello) Lavoro meccanico nel sollevamento pesi Durante questo gesto sul bilanciere oggetto dellrsquoapplicazione delle forze si esercitano la forza peso P e la forza muscolare dellrsquoatleta Naturalmente entrambe le forze lavorano ma i due lavori si oppongono uno allrsquoaltro (ricorda che il lavoro puograve essere positivo o negativo) Il lavoro positivo deve essere nel verso del moto quindi egrave quello della forza muscolare dellrsquoatleta il lavoro di P invece egrave negativo e se il bilanciere si alza di una quota h si calcola facilmente seguendo il procedimento del paragrafo precedente ottenendo LP = - mmiddotgmiddoth (ϑ = π e cosϑ = -1 ) Calcoliamo il lavoro della forza musculare seguendo lrsquoesempio qui proposto Esempio Un atleta solleva un bilanciere di peso 2500N allrsquoaltezza di 2m (sopra la sua testa) Quanto lavoro meccanico compie la sua forza muscolare Supponiamo che il sollevamento avvenga a velocitagrave costante con accelerazione nulla allora il per il

primo principio della dinamica le forze applicate al bilanciere devono essere tali chesumrarr

iF = 0

Quindi la forza peso P = mmiddot g deve essere controbilanciata dalla forza applicata dallrsquoatleta Fm

Quindi rarr

mF = - rarrP

con Fm = 2500N Il lavoro La fatto dallrsquoatleta vale

Lm = rarr

mF middot rarrs = 2500 N middot 2m middot 1 = 5000 J (sollevamento verticale quindi ϑ = 0 e cosϑ = 1)

Quanto lavoro fa la forza peso

Lp = rarrP middot

rarrs = 2500 middot 2 middot (-1) = -5000 J

(percheacute ϑ = π e cosϑ = -1) Quanto lavoro fa lrsquoatleta mentre sostiene il peso fermo sopra la testa L = 0 percheacute non crsquoegrave spostamento Qui si parla di lavoro meccanico non di lavoro fisiologico diciamo che si fa fatica percheacute crsquoegrave da mantenere integrordquo un corpo non rigido che egrave il corpo dellrsquoatleta quindi si il lavoro delle contrazioni muscolari per mantenere lrsquoequilibrio e ldquolrsquointegritagraverdquo egrave la misura del lavoro fisiologico necessario anche se il lavoro meccanico compiuto egrave nullo 2deg caso Forza variabile Nel caso in cui F egrave una forza variabile che dipende dalla posizione ogni volta che avviene uno spostamento∆ x la forza cambia Il lavoro totale saragrave la somma dei lavori elementari fatti sui tratti piccoli sui quali la forza puograve essere assunta costante

Ltot = iii xxF ∆sdotsum )(

( Se si fa il limite per ∆ xi piccolo rarr 0 e la isum egrave lrsquointegrale Ltot = int sdotxtin

xinxdxF )( )

Ad esempio la forza F puograve essere la forza di richiamo di una molla vincolata al muro Lrsquointensitagrave della forza elastica varia durante lo spostamento aumentando con lrsquoallungamento (o la compressione) della molla ed ha la direzione parallela allo spostamento ma puograve avere verso concorde o discorde quindi con cosϑ che vale o +1 o ndash1 Immaginiamo di avere un blocco attaccato alla molla e di tirarlo da Xin a Xfin allora

F(x) = - kx Fig 28

Il lavoro della forza elastica si calcola sommando i lavori infinitesimali compiuti per spostamenti infinitesimi durante i quali la forza si assume costante Ciograve egrave rappresentato graficamente nel calcolo lrsquoarea compresa al di sotto della curva del grafico di F (Fig 28A) In figura si egrave cambiato il segno della funzione forza per comoditagrave di rappresentazione

Fig 28A

Area = differenza aree dei due triangoli = AABB kxxkxx sdotminussdot2

1

2

1

Ricordandoci del segno

L infin = 22

2

1

2

1infin kxkx +minus e in generale L = 2

2

1kx

Se si calcola il lavoro della forza di richiamo durante un allungamento della molla si ha lavoro negativo mentre durante il ritorno alla posizione di equilibrio il lavoro egrave positivo (segno dello spostamento x e della forza concordi) Energia cinetica Il termine ldquoenergiardquo indica la capacitagrave di compiere lavoro Lrsquoenergia cinetica egrave la proprietagrave che rende conto quantitativamente del legame fra il lavoro compiuto ed il moto generato Avevamo detto piugrave o meno lo stesso parlando della seconda legge della dinamica riferendoci alle forze Qui col lavoro non egrave necessaria la descrizione dettagliata delle forze che agiscono sul punto in considerazione Ersquo sufficiente conoscere il loro lavoro totale

Lrsquoenergia cinetica K = 2

1mv2 (gt 0 percheacute m gt 0 v2 gt 0 ) (m e v sono la massa e la velocitagrave del

corpo) Lrsquounitagrave di misura e le dimensioni di K sono le stesse del lavoro Joule ( J ) e [ ]K = [ ]22 minustml

Teorema dellrsquoenergia cinetica Se una forza F compie un lavoro L su un punto materiale di massa m si ha una variazione dellrsquoenergia cinetica pari al lavoro compiuto

Xfin Xin

F

0

ksdotxfin

ksdotxin

F= ksdotx

x

LAB= -area

L = Kfin ndash Kin = ∆ K Nel caso che piugrave forze agiscono sul punto materiale il teorema dellrsquoenergia cinetica si applica al lavoro totale (equivalentemente al lavoro della risultante ) E il caso dellrsquoatleta che solleva il peso di 2500N Sappiamo che ha compiuto un lavoro di 5000J ma il bilanciare con i pesi era fermo allrsquoinizio ed egrave fermo alla fine Quindi Kin = 0 e Kfin = 0 percheacute vin = 0 e vfin = 0 Allora il teorema dellrsquoenergia cinetica Vale per il lavoro totale o lavoro della forza totale e noi abbiamo visto che la forza netta totale = 0 ( Fa + P = 0 ) ed il lavoro totale egrave nullo quindi giustamente si ha ∆ K = 0 1)Caso di una palla da tennis che cade

la forza peso rarrP compie un lavoro positivo con spostamento concorde a

rarrP si dovrebbe avere

∆ K gt 0 infatti la velocitagrave v aumenta 2)Caso di una palla lanciata verso lrsquoalto

lo spostamento ha verso opposto a rarrP Il lavoro della forza peso egrave negativo e quindi ∆ K egrave

negativo giusto La velocitagrave diminuisce NB Durante il volo agisce solo la forza di gravitagrave quindi il lavoro totale comiuto sul corpo egrave solo quello della gravitagrave 3)Caso del moto circolare uniforme la forza che agisce egrave la forza centripeta che egrave perpendicolare allo spostamento Quindi non compie lavoro deve essere ∆ K = 0 Iinfatti il moto egrave uniforme cioegrave la velocitagrave egrave in modulo costante Potenza Si chiama potenza il lavoro che si egrave in grado di svolgere nellrsquounitagrave di tempo

P = t

L

∆ ( potenza media )

P = t

Lt ∆

∆rarr∆ 0lim ( potenza istantanea)

Non egrave solo una stima del lavoro compiuto ma anche della rapiditagrave con cui si compie lavoro

Fig 29 Per superare il muro ci vuole un certo lavoro che consiste nellrsquoinnalzare il proprio corpo di unrsquoaltezza h Sia lrsquoatleta che lo supera in un sol balzo sia il vecchietto che sale pian piano la scalinata faranno lo stesso lavoro Quel che egrave diverso egrave la potenza dei due personaggi Dimensioni e unitagrave di misura della potenza [ ]P = [L] [t -1] = [ml2t-3] 1 watt = 1 joule 1sec (1w)

Energia Potenziale K egrave energia connessa allo stato di moto di un sistema Crsquoegrave anche energia connessa alla posizione di un corpo in un campo di forze (configurazione) Si chiama energia potenziale Nel caso dellrsquoatleta di sollevamento pesi il lavoro compiuto dallrsquoatleta Lm non ha alterato lrsquoenergia cinetica K dellrsquoattrezzo ma ha modificato la configurazione del sistema (terra-attrezzo) variandone lrsquoenergia potenziale (W) Il lavoro non egrave stato sprecato ma ldquoimmagazzinatordquo lrsquoattrezzo prima egrave a terra poi egrave in alto nel sistema che ora ldquopotenzialmenterdquo puograve compiere un lavoro cedendo la sua ldquoenergia potenzialerdquo Energia cinetica ed energia potenziale sono due parti dellrsquoenergia meccanica possono trasformarsi lrsquouna nellrsquoaltra ed in lavoro Nellrsquoesempio precedente quando lrsquoattrezzo egrave in alto si ha che K = 0 e W = WA Quando cade K aumenta percheacute la velocitagrave v aumenta e lrsquoenergia potenziale W diminuisce In basso W = WB lt WA e K egrave massima Lrsquoattrezzo cadendo puograve compiere lavoro Se fosse un martello potrebbe far avanzare un chiodo ad esempio Lrsquoenergia potenziale viene definita proprio a partire dal concetto di lavoro di forze conservative Ersquo conservativa una forza il cui lavoro per spostare il suo punto di applicazione da una posizione (configurazione) ad unrsquoaltra dipende solo dalle due posizioni (configurazioni) iniziale e finale Equivalentemente si puograve definire la forza conservativa dicendo che il lavoro di tale forza egrave nullo se le posizioni (configurazioni) iniziali e finali coincidono

-Lavoro per passaggio dalla posizione A a B egrave lo stesso lungo I o II -Se da A vado a B e torno in A il lavoro totale egrave nullo

Fig 30 Posso allora definire una funzione della posizione W che assume i valori WA e WB in A e B e tale per cui LAB = WA ndash WB ( W energia potenziale) WA WB sono definiti a meno di una costante tanto quello che interessa egrave la differenza fra loro Variazione di energia potenziale del passaggio da A a B WB ndash WA = ∆W allora LAB = -∆ W Con questa convenzione sui segni si rende conto del fatto che un lavoro positivo ( fatto dalle forze conservative sul corpo) fa diminuire lrsquoenergia potenziale W ( L positivorarr ∆W negativo rarr WBlt WA rarr ho usato energia potenziale) un lavoro negativo (subito) aumenta W (L negativo rarr ∆W positivo rarr WBgt WA rarr ho guadagnato energia potenziale) W si misura in Joule come il lavoro e lrsquoenergia cinetica

Qual egrave la Forma di W

Mentre la forma dellrsquoenergia cinetica egrave sempre K =2

1mv2 indipendentemente dal tipo di forze

che provocano il movimento W dipende dal tipo di forza conservativa di cui si sta calcolando il lavoro Consideriamo due forze conservative

a) Forza gravitazionale forza peso

F(y) = -mg Stato di riferimento y0 = 0 in cui W0 = 0

Fig31

Abbiamo detto che LAB = WA- WB ma siccome

LAB = )( ABhmgsP minussdotminus=sdot dove hAB= yA-yB egrave la distanza tra A e B allora rArr WA = mgyA WB = mgyB e in generale W(y) =mgy

Per la forza peso W(y) =mgy e lrsquoenergia totale meccanica (W+K) = mgy+2

1mv2=Etot

b) Forza elastica

Fig 32

F(x) = -kx Stato di riferimento x = 0 allungamento nullo la lunghezza della molla egrave la sua lunghezza di riposo L ( W(0) = 0)

Immaginiamo che la configurazione della molla venga modificata passando dalla posizione xA alla posizione xB (Fig 32) Il lavoro della forza elastica egrave calcolato come

LAB = 22

2

1

2

1AB kxkx +minus

Ricordando che LAB = WA- WB possiamo ricavare lrsquoespressione per lrsquoenergia potenziale elastica

rArr WA = 2

2

1Akx WB = 2

2

1Bkx e in generale W(x) = 2

2

1kx

Energia totale meccanica ndash Conservazione dellrsquoenergia

In presenza di sole forze conservative la somma dellrsquoenergia cinetica e dellrsquoenergia potenziale costituisce lrsquoenergia totale meccanica Tale energia meccanica gode della proprietagrave importantissima di conservarsi durante lrsquoevoluzione del sistema Lrsquoenergia connessa al movimento e alla posizione si scambiano una diminuisce e lrsquoaltra cresce ad esempio ma la loro somma rimane costante

- Esempio delle montagne russe Se non ci sono attriti (infatti il trucco egrave quello di rendere il

sistema privo di attriti) so giagrave quale altezza massima potrograve raggiungere (quella iniziale e non di piugrave) quale velocitagrave massima potrograve raggiungere (in fondo alla valle) Queste quantitagrave sono fra loro legate dal teorema della conservazione dellrsquo energia meccanica

Fig 33 - Esempio del salto con lrsquoasta Lrsquoenergia cinetica dellrsquoatleta acquisita nella rincorsa viene

trasformata in energia potenziale gravitazionale parte direttamente e parte attraverso lrsquoenergia potenziale elastica dellrsquoasta acquisita nella sua deformazione durante il salto La flessibilitagrave dellrsquoasta (costante elastica dellrsquoasta) egrave legata allrsquoenergia che si puograve immagazzinare in una data deformazione Infatti con aste rigide (alluminio acciaio bambugrave) il salto era piugrave basso Con fibra di vetro il record egrave stato polverizzato

Fig 34

Fig 35

Fig 36

Osserviamo che il teorema dellrsquoenergia cinetica ha validitagrave generale qualunque siano le forze che agiscono conservative o non conservative (le forze non conservative si dicono anche ldquodissipativerdquo)

KLL

KL

fncfc

tot

∆=+∆=

e ricordando che darr Lfc = - )( fcW∆

Si ottiene che K∆ + )( fcW∆ = Lfnc

Si vede che nel caso in cui Lfnc sia nullo cioegrave quando non ci sono forze dissipative la somma delle variazioni di energia cinetica e energia potenziale egrave uguale a zero cioegrave lrsquoenergia totale meccanica (somma dellrsquoenergia cinetica e potenziale) egrave costante E questo corrisponde al teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica Nel caso ci siano forze dissipative la somma delle energie non egrave costante quindi al contrario del teorema dellrsquoenergia cinetica il teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica non ha validitagrave generale (vale solo in assenza di attriti ad esempio) Le forze non conservative di attrito compiono lavori solo negativi e fanno perdere quantitagrave di energia non recuperabile Parte di questa energia va in generale in calore quindi se ne puograve tenere conto considerando unrsquoaltra forma di energia lrsquoenergia termica ( ci sono anche altri fenomeni dissipativi ad esempio le deformazioni permanenti negli urti o la propagazione di onde sonore)

Lrsquo energia puograve dunque conservarsi o trasferirsi proprietagrave caratterizzanti dellrsquoenergia Il lavoro rende conto del trasferimento di energia della perdita di energia sotto una forma e del guadagno sotto unrsquoaltra forma (cioegrave energia conservativa) o del passaggio dellrsquoenergia da un sistema ad un altro Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica quando egrave applicabile puograve essere sfruttato per risolvere facilmente problemi altrimenti complicati Esercizio Una palla da tennis viene lanciata con velocitagrave iniziale v0 (senza effetti strani taglio etc) al di lagrave della rete Con quale velocitagrave arriva a terra

Se durante il moto Etot si conserva K+W = cost

Fig 37 e W = mgh egrave solo energia potenziale gravitazionale h = 0 alla fine come allrsquoinizio dunque K in = Kfin e vfin = v0 Se la palla egrave lanciata verso lrsquoalto non crsquoegrave componente orizzontale della velocitagrave ma solo verticale al punto piugrave alto di arresto h K(h) = 0 W(h) = max = Kin cioegrave mgh = frac12 mv0

2 si puograve cosigrave calcolare facilmente lrsquoaltezza massima raggiunta h = (frac12 v0

2)g e vicenversa si puograve calcolare il valore della velocitagrave v0 che bisogna imprimere alla palla affinchegrave raggiunga lrsquoaltezza h

v0 = gh2

Esercizio Una saltatrice di massa M = 61Kg salta da un ponte di altezza H = 45m agganciata ad una corda elastica La lunghezza di riposo della corda elastica egrave L = 25m e la sua costante elastica egrave k = 160 Nm Nel punto piugrave basso si arresta prima di venire rimbalzata in alto Qualrsquo egrave lquesta quota piugrave bassa h (a cui si trovano i suoi piedi ai quali egrave legato lrsquoelastico)

Fig 38 Etot = Wgrav + Wel + K = cost sono solo forze conservative vale la conservazione

dellrsquoenergia Nel punto A K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di lanciarsi Wel = 0 percheacute lrsquoelastico non egrave ancora svolto Wgrav = MgH Nel punto B K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di rimbalzare

Wel = frac12 kd2 Wgrav = Mgh = Mg(H-(L+d)) Etot(A) = Etot (B) MgH + 0 + 0 = Mg (H-(L+d)) + frac12 kd2 + 0 MgH = MgH ndash MgL ndash Mgd +frac12 kd2

2

1(160)d2 ndash (61)(98)d ndash (61)(98)(25) = 0

equazione di IIdeg grado che dagrave per d il valore accettabile d = 179m (lrsquoaltro egrave negativo e non egrave accettabile perchegrave non ha senso fisico la

saltatrice va in giugrave non in su) Allora h = H-(L+d) = 45 ndash (25+179) = 45 ndash 429 = 21m quindi con la testa poco sopra lrsquoacqua Sistemi di punti materiali e corpi rigidi ndash Centro di Massa

Un giocoliere o un ginnasta che lancia la clavette fa compiere allrsquoattrezzo movimenti complicati tuttavia crsquoegrave un punto dellrsquoattrezzo che si muove seguendo una traiettoria semplice come quella di un punto materiale ad esempio lanciato segue una traiettoria parabolica Tale punto si chiama centro di massa dellrsquooggetto Il centro di massa puograve essere definito per un oggetto o per un insieme di punti materiali Ersquo importante percheacute in generale il moto di un corpo esteso (o di un insieme di punti) si puograve studiare separando il moto del centro di massa (moto traslatorio) e il moto del corpo attorno al centro di massa (moto rotatorio)

Centro di Massa (CDM) di un sistema di punti - Consideriamo il caso semplice di due punti materiali di massa m1 m2 posti sullrsquoasse x in

posizione x1 x2

Fig 39

la posizione del centro di massa egrave definita xCDM = 21

2211

mm

xmxm

++

a) xCDM egrave compreso fra x1 e x2 b) se m1 = m2 CDM egrave a metagrave strada fra m1 ed m2 c) xCDM egrave piugrave prossimo alla massa maggiore - Nel caso di piugrave punti allineati nelle posizioni xi detto M = summi allora

xCDM = ii xmMsum

1

- Nel caso di punti distribuiti nello spazio detti irrarr

i vettori che identificano le loro posizioni

CDMrrarr

= iii rmM

rarrsum

1

dove CDMrrarr

ha coordinate (xCDM yCDM zCDM) definite come

xCDM = ii xmsumη1

yCDM = ii ymMsum

1

zCDM = ii zmMsum

1

- Consideriamo un oggetto qualsiasi questo egrave composto da un gran numero di particelle ma conviene considerarlo come un continuo di materia e per calcolare il centro di massa si prendono in considerazione degli elementi infinitesimi di massa dm centrati intorno alle posizioni (xyz) allora

xCDM = int xdmM

1 yCDM = int ydm

M

1 zCDM = int zdm

M

1

se si puograve considerare il corpo omogeneo (densitagrave uniforme) allora V

M

dv

dm = e allora si puograve fare il

calcolo considerando il volume V e gli elementi di volume dv anzichegrave la massa e gli elementi di massa

xCDM = int xdvV

1 etc

In un oggetto solido (corpo rigido) i diversi punti materiali che lo compongono non cambiano la loro posizione relativa (non come un corpo elastico) - se un oggetto ha un elemento di simmetria un asse od un piano il CDM si trova su tale

elemento di simmetria (asse per cono centro per sfera piano per una banana etc) Non egrave detto che il CDM di un oggetto appartenga allrsquooggetto vedi uno pneumatico un cerchio Il CDM egrave esterno alloggetto Legge fondamentale della dinamica per un sistema di punti materiali Caso della palla da bigliardo urto fra due palle dopo il lancio di una le due si muovono 1) una egrave ferma (B) lrsquoaltra la lancio (A) 2) le due si urtano in qualunque modo 3) le due si muovono secondo traiettorie differenti una possibilmente andragrave in buca lrsquoaltra no Dopo il lancio sulla palla A non agisce piugrave nessuna forza quindi la sua velocitagrave v egrave costante Va bene ma dopo lrsquourto Il CDM delle due palle continua a muoversi con velocitagrave costante anche se il centro di massa egrave un punto teorico che non appartiene a nessuna delle due palle Tuttavia al CDM possiamo assegnare una massa (M totale del sistema) una velocitagrave ed una accellerazione Si ha

)(CDMext aMFrarrrarr

=sum

a) extFrarr

sum egrave la somma di tutte le forze esterne che agiscono sul sistema non quelle interne (ad esempio nel caso del bigliardo non devo considerare le forze che si applicano fra le due palle quando si urtano)

b) M egrave la massa totale del sistema Si suppone che durante il moto M rimanga costante

c) )(CDMararr

egrave lrsquoaccelerazione del CDM Dellrsquoaccellerazione di un altro punto ad esempio del centro della palla A non si dice nulla

Cosideriamo alcuni esempi 1) Bigliardo tvaF CDMCDMext cos00 ===sum prima dellrsquourto nellrsquourto si verificano solo forze

interne Quindi tvaF CDMCDMext cos00 ===sum dopo lrsquourto e durante tutto il moto

2) Sistema terra-luna sumFext = gravitazione del sole aCDM egrave ldquocentripetardquo accellerazione di una

forza che egrave diretta verso il sole (forza ldquocentralerdquo) egrave il CDM terra-luna che segue la traiettoria dovuta allrsquoattrazione gravitazionale del sole poi terra e luna si muovono intorno al loro CDM

3) Clavette lanciate sum Fext = Mg aCDM = g il centro di massa si comporta come un punto materiale nel lancio

4) La ballerina nel ldquogrand-fetegraverdquo fa seguire a testa e busto una traiettoria rettilinea percheacute modifica lrsquoassetto in modo da alzare il suo CDM Nel corso del salto (alza le braccia e distende

orizzontalmente le gambe non appena lasciato il suolo) il suo CDM segue la traiettoria parabolica del lancio di un corpo soggetto allrsquoaccelerazione di gravitagrave g

Quantitagrave di moto rarrP

- Si definisce quantitagrave di moto di una particella il vettore

rarrrarr= vmP

con m massa della particella e rarrv la sua velocitagrave

Si vede che rarrP egrave diretto come

rarrv

Newton scrisse la legge fondamentale della dinamica in termini di quantitagrave di moto (a differenza di Galileo che la scrisse in termini di massa e di accelerazione) ldquola rapiditagrave di variazione della quantitagrave di moto di una particella egrave proporzionale alla forza netta che agisce sulla particella ed egrave nella direzione di quella forzardquo cioegrave

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

che egrave piugrave generale della formulazione di Galileo perchegrave descrive bene anche il caso in cui variasse la massa del corpo durante il moto (ad esempio un vettore spaziale) Se la massa egrave costante le due formulazioni sono identiche

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

= t

vm

∆∆

rarr)(

= m t

v

∆∆

rarr

= m rarra

Ricordiamo che rarrF egrave diretto come

rarra (o la risultante

rarrR = sum

rarrF )

Per un sistema di punti materiali si definisce la quantitagrave di moto totale

rarrP =

rarrP 1 +

rarrP 2 + helliphellip+

rarrP n =

m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +helliphelliphellip+ mn

rarrv n = M

rarrv CDM (si puograve dimostrare) dove M egrave la massa totale

[essendo infatti Mrarrv CDM =

dt

d(M

rarrr CDM) =

dt

d(m1

rarrr 1 + m2

rarrr 2 +hellip) = m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +

hellip]

quindi rarrP = M

rarrv CDM per un sistema di particelle e

dt

Pdrarr

= M dt

d rarrv CDM = M

rarra CDM = sum

rarrF ext

Conservazione delle quantitagrave di moto

Per un sistema chiuso (M non varia) e isolato (sumrarrF ext = 0)

Allora

t

P

∆∆

rarr

= 0 rarrP = cost

rarrP i =

rarrP f

che sono tre modi equivalenti per dire che la quantitagrave di moto si conserva Vale per un sistema nel quale non agisca nessuna forza esterna netta Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica e la conservazione delle quantitagrave di moto sono due concetti fisici importantissimi Valgono sia per le palle da bigliardo che per qualunque altro sistema anche le galassie nellrsquouniverso Queste equazioni sono vettoriali Ciograve significa che rappresentano una terna di equazioni scalari ognuna valida sul proprio asse del sistema di riferimento (x y z)

Puograve accadere a seconda delle forze che agiscono nel sistema che la quantitagrave di moto si conservi in una direzione o in due e non in tutte e tre

Ad esempio se consideriamo una palla come un insieme di punti materiali la rarrF ext che agisce nel

sistema egrave mrarrg diretta lungo z senza componenti su x e y quindi

rarrP varia lungo z ma

non su x e y

Percheacute ldquocomplicarci la vitardquo con questa storia del CDM del sistema di particelle etchellip non bastava il moto del punto rappresentativo materiale Avevamo giagrave considerato il punto rappresentativo e avevamo svolto anche problemi sulla palla sul bilanciere e per altri oggetti Abbiamo sempre sbagliato La questione egrave se un corpo egrave rigido cioegrave se tutti i suoi punti si muovono mantenendo le loro distanze relative non crsquoegrave problema abbiamo solo visto che il punto materiale rappresentativo si chiama CDM ed abbiamo imparato a situarlo allrsquointerno del corpo Ma se il corpo non egrave rigido cioegrave se il suo CDM si sposta rispetto a lui stesso nel corso del moto la disposizione del corpo intorno al punto rappresentativo varia nel corso del tempo e le leggi di conservazione valgono per il CDM - Consideriamo ad esempio il teorema dellrsquoenergia cinetica che per un punto materiale si scrive Ltot = Kfin-K in = ∆ K (qui ovviamente non crsquoegrave da specificare lavoro delle forzeldquoesternerdquo percheacute essendo in un punto materiale che si assume infinitamente piccolo non ci sono forze ldquointernerdquo) Per analogia il teorema dellrsquoenergia cinetica si estende al caso di un insieme di punti materiali nel seguente modo

Ltot forze ext=rarrF extmiddot

rarrs CDM = ∆ KCDM

Dove s CDM egrave lo spostamento del centro di massa A titolo di esempio risolviamo il problema un giocatore di hockey su ghiaccio di massa M = 110Kg si muove verso la balaustra a bordo campo alla velocitagrave di 3msec Nellrsquoarrestarsi flettendo le braccia il suo CDM si sposta in avanti di 30cm Qual egrave la ∆ K del suo CDM durante la manovra

∆ KCDM = infin CDMCDM mvmv 22

2

1

2

1 minus =

= 0 - 2

1110 32 = -495 J

Fig 40

Sia L il lavoro delle forze esternerarrF ext (dirette come d

rarrx CDM ) allora

L = - Fext 03 = ∆ KCDM quindi

Fext =30

495

minusminus

= + 1650N

( si considera la forza esterna rarrF ext costante nellrsquointervallo dellrsquoarresto fatto che equivale a dire

che il giocatore si arresta con rarra CDM costante)

Dinamica e statica del corpo esteso Finora abbiamo sempre discusso del moto di un punto materiale (punto rappresentativo dicevamo sempre) In particolare abbiamo sempre applicato le forze a quel punto materiale quindi se diverse forze erano applicate esse concorrevano in quel punto ligrave e con le forze concorrenti sapevamo come calcolare la risultante con il metodo grafico o con quello numerico delle coordinate cartesiane Una volta calcolata la risultante applicata al punto si otteneva un moto di pura traslazione del punto (al massimo traslava lungo una traiettoria curva) senza rotazioni proprie del punto che non hanno neanche senso un punto che ruota su se stesso Come faccio ad accorgermi Un punto per definizione egrave infinitamente piccolo (Dicevamo infine che il punto egrave in equilibrio

traslazionale se la risultante rarrR delle forze applicate egrave nullo)

Consideriamo invece un corpo esteso Prima osservazione questo ha piugrave punti (direi infin ) a

cui la forza puograve essere applicata Prendiamo una racchetta da tennis ed una forza rarrF applicata il

moto che ne risulta dipende dal punto al quale viene applicata la forza rarrF

qui la racchetta trasla

Fig 41

stessa forza qui la racchetta ruota

Fig 42

Seconda osservazione Crsquoegrave un caso in cui le forze non possono essere fatte concorrere in un punto ed egrave quando sono parallele ed hanno rette di applicazione distinte Chiaramente non abbiamo mai dovuto considerare questo caso per il punto materiale percheacute per un punto non possono mai passare due rette parallele Ma per il corpo esteso So benissimo che se sono ferma con la macchina in

panne e la sto spingendo applicando una forza rarrF 1 sono contenta se qualcuno si affianca a me ed

esercitando una forza rarrF 2 lungo una direzione parallela a quella della mia mi aiuta a spingere In

particolare mi viene spontaneo dire che se F1 = F2 allora spingeremo con una forza doppia Ci saragrave quindi un modo per sommare due forze non concorrenti in un punto ma parallele e saragrave Ftot = F1+ F2 La retta di applicazione di Ftot divide il segmento congiungente i punti di applicazione di F1 ed F2 in due segmenti inversamente proporzionali allrsquointensitagrave delle forze F1 e F2 Terza osservazione se F1 = - F2 sono uguali in intensitagrave ma di verso opposto sempre lungo due rette di applicazione parallele passanti per un corpo esteso cosa succede La loro somma Ftot risultante saragrave 0 ma io so che il corpo non sta fermo sotto lrsquoazione di tali due forze ma ruoteragrave Concludo che le nozioni che ho acquisito finora vanno riviste ed ampliate o corrette o specificate per i corpi estesi ed inoltre che mi mancano totalmente i mezzi per descrivere le rotazioni dei corpi estesi Occorrono nuovi concetti nuove quantitagrave la forza non basta Prendo lrsquoesempio piugrave semplice dellrsquoaltalena con due bambini in due bracci uno piugrave leggero uno piugrave pesante

Fig 43 Qualitativamente so che percheacute lrsquoaltalena stia in equilibrio e non ruoti intorno al punto fisso non egrave necessario che i due bambini abbiano lo stesso peso (ugual massa) occorre che il bambino piugrave leggero sieda piugrave lontano rispetto al punto fisso (fulcro) La regola quantitativa dice che lrsquoaltalena egrave in equilibrio se il prodotto del peso per la distanza del fulcro egrave uguale PB dB = Pb

db Per generalizzare questa regola ai casi piugrave complessi occorre definire una nuova quantitagrave il momento di una forza Momento di una forza

Consideriamo una forza rarrF applicata ad un punto P ed un punto O Sia

rarrr

il vettore rarrOP allora il momento

rarrM di

rarrF rispetto ad O egrave

rarrM =

rarrr x

rarrF

e

|rarrr | middot |

rarrF | sin ϑ = |

rarrM |

Fig 44

oppure anche considerando la componente di rarrF perpendicolare ad

rarrr o di

rarrr

perpendicolare a rarrF r e rispetto a F

|rarrM | = |

rarrr | |

rarrF perp | |

rarrM | = |

rarrr perp| |

rarrF |

In generale si dice che il modulo del momento |rarrM | egrave il prodotto delle intensitagrave della forza per la

distanza dal punto della retta di applicazione della forza

Come vettore rarrM egrave perpendicolare al piano che contiene

rarrF ed

rarrr ed ha verso calcolato con la

regola della mano destra (con rarrr che si chiude su

rarrF )

La distanza rperp si chiama braccio della forza Si vede che il momento egrave nullo quando il braccio egrave nullo cioegrave quando il punto O si trova sulla retta di applicazione di F Il momento della forza peso P egrave nullo rispetto al baricentro che coincide con il centro di massa nel caso (praticamenteldquosemprerdquo) in cui il corpo non sia abbastanza esteso percheacute diversi punti del corpo risentano di una forza gravitazione differente Praticamente si deve parlare di galassie percheacute CDM e baricentro (BC) non coincidono Quindi la condizione del momento nullo della forza peso diventa un modo per definire il CDM come quel punto rispetto al quale la forza peso P ha momento nullo Per un corpo ldquoarticolatordquo estendiamo il concetto di forza normale come forza di contatto nellrsquoarticolazione utile cioegrave la forza che lrsquoarticolazione che si sta considerando esercita su quello che nellrsquoarticolazione si appoggia La forza peso P di un corpo esteso puograve immaginarsi applicata al CDM Principio di equilibrio di un corpo esteso

se su un corpo esteso agiscono solo rarr

Peso e rarr

Normale cioegrave se un corpo egrave appoggiato ad un piano orizzontale allora il corpo egrave in equilibrio se e solo se il baricentro si trova sopra la superficie di appoggio

Fig 45

Finchegrave il baricentro egrave sopra il tavolo il libro non cade percheacute rarrP applicata a CDM puograve essere

controbilanciata da rarrN Se CDM si sposta in fuori

rarrN rimane nel tavolo e crsquoegrave momento non nullo

non equilibrato da rarrP che continua ad essere applicato nel CDM

Il baricentro di una persona in posizione eretta si trova nellrsquoarea delimitata dei suoi piedi 3cm davanti allrsquoarticolazione della caviglia

Fig 46 Quando la persona si piega in avanti il baricentro esce dal corpo e per mantenere lrsquoequilibrio egrave necessario che le anche si spingono indietro percheacute il baricentro cade di nuovo in quella posizione Notiamo che anche in posizione eretta essendo la forza peso e la forza di contatto non allineate (quei 3cm) (forza di contatto sullrsquoarticolazione della caviglia che regge il peso) occorre un momento correttivo che impedisca la rotazione in avanti mantenuto dal tendine di Achille che si lega alla caviglia Altro esempio di spostamento del baricentro egrave lrsquoatleta che assume una posizione ad L chi regge il peso egrave lrsquoarticolazione della spalla quindi il CDM si sposta sotto la spalla (giagrave era uscita dal corpo per via delle gambe distese in avanti) Nel camminare il baricentro continua a muoversi da sopra un piede a sopra un altro (quello appoggiato ovviamente) Si osservi lrsquoondeggiamento Per assurdo lrsquoancheggiare delle indossatrici serve a mantenere il baricentro il piugrave possibile fermo rispetto alla direzione media del moto (porre un piede esattamente davanti allrsquoaltro) rendendo piugrave facile muoversi anche con tacchi altissimi Al contrario lrsquoequilibrista che cammina sui trampoli sta fermo il meno possibile percheacute egrave stando fermo che il piccolo spostamento che fa uscire il baricentro (ALTO) dalla superficie drsquoappoggio puograve verificarsi facilmente preferisce il ldquonon ndash equilibriordquo o lrsquo rdquoequilibrio dinamicordquo dellrsquoondeggiare continuamente fra due posizioni di equilibrio

Ricordiamo che un equilibrio egrave detto stabile se quando una perturbazione lo altera spontaneamente il sistema lo ripristina Viceversa un equilibrio egrave instabile se la piugrave piccola perturbazione lo distrugge Lrsquoequilibrio egrave molto stabile se il baricentro egrave basso ed il corpo ha una grande area drsquoappoggio la posizione accucciata del giocatore di football americano dagrave grande stabilitagrave Ancor piugrave grande stabilitagrave si ha se il baricentro (CDM) si trova al di sotto della superficie drsquoappoggio Ersquo come se si fosse ldquoappesirdquo anzicheacute ldquoappoggiatirdquo alla superficie drsquoappoggio Proprio per questo motivo lrsquoequilibrista sul filo porta una lunga asta che spesso si flette agli estremi

Fig 47 Gli uccelli bipedi da 100000000 di anni hanno sviluppato questo adattamento per cui sono appesi alle anche mentre gli uomini bipedi da solo 1000000 di anni fanno fatica con il CDM dalla parte alta del corpo Ersquo un equilibrio instabile ldquosoprardquo le anche che le reggono (65 del peso del corpo) Modificazioni strutturali per reggere la posizione eretta 1) Colonna vertebrale rastremata (piugrave tozza in basso che in alto percheacute piugrave in basso vuol dire una

maggior forza di contatto) 2) Muscoli estensori della schiena 3) Gambe ed anche ingrossate 4) Ginocchio che blocca la gamba estesa Ciononostante si ha spesso il mal di schiena Se una forza ha momento non nullo rispetto ad un punto allora il corpo puograve ruotare intorno a quel punto sotto lrsquoazione di quella forza ldquoDiciamo che se sostengo il corpo per quel punto il corpo puograve ruotare intorno a quel puntordquo (Prendo in mano un foglio di carta per un estremo per esempio) La presenza di un momento non nullo egrave dunque la condizione che genera rotazione e viceversa Lrsquoassenza di un momento risultante egrave la condizione che genera lrsquoequilibrio rotazionale di un corpo esteso Quindi la condizione di equilibrio per un corpo esteso egrave

1) rarrR = 0 risultante delle forze applicate = 0 (equilibrio traslazionale)

2) rarrM = 0 momento risultante = 0 (equilibrio rotazionale)

Supponiamo di avere un corpo esteso al quale siano applicate delle forze che diano luogo ad un momento non nullo allora il corpo ruota Per equilibrarlo dovrograve applicare un altro momento tale che la loro somma sia nulla Questo egrave il principio di funzionamento delle leve LEVE

Una leva egrave un corpo esteso al quale sono applicate delle forze con un momento risultante rarrR

allora per portare il corpo in equilibrio applico un momento correttivo rarrP in modo che il momento

totale sia nullo Si dice in genere potenza (P) e resistenza (R) di una leva Le leve sono macchine semplici Servono per applicare forze in punti scomodi o in direzioni particolari Il fulcro egrave il punto nel quale la leva egrave incernierata Si definisce il guadagno meccanico di una leva

GM =

)(

)(rarr

rarr

PF

RF

cioegrave il rapporto fra la forza che genera il momento resistente e quella che genera il momento agente A seconda che GM sia gt

lt 0 una leva si dice che egrave vantaggiosa o svantaggiosa ma solo per quel che riguarda le forze percheacute per quel che riguarda i lavori non si ha neacute vantaggio neacute svantaggio Il lavoro esercitato dalla forza che dagrave la ldquopotenzardquo e quello esercitato dalla forza che dagrave la ldquoresistenzardquo sono sempre uguali Infatti forze e spostamenti sono inversamente proporzionali Le leve si dicono di I II o III specie a seconda se il fulcro si trovi I) in mezzo fra R e P (leva indifferente GM dipende da caso a caso) II) dalla parte di R (leva vantaggiosa il braccio di R egrave sempre minore del braccio di P basta

quindi una P minore per equilibrare una R maggiore) III) dalla parte di P (leva svantaggiosa) Classici esempi dei tre tipi di leve sono i remi (I) lo schiaccianoci (II) e la pinzetta per francobolli (III) Tuttavia vediamo degli esempi meno classici ma attinenti al campo della biologia e della medicina Criterio generale egrave che le leve vantaggiose consentono di essere molto potenti ma con brevi spostamenti mentre viceversa quelle svantaggiose fanno perdere in potenza ma consentono grandi spostamenti saragrave difficile vedere un cavallo che con le lunghe zampe si scava la tana drsquoaltronde una talpa scava bene la tana ma ha movimenti molto meno ampi che non le consentono di correre veloce come un cavallo (compromesso fra forza e velocitagrave del movimento) Se contiamo tutti i movimenti di rotazione che il corpo puograve compiere capiamo che siamo pieni di leve di ogni tipo Sono classici a) il capo fulcro (articolazione occipito-atlantoide) Fig 48 muscoli della nuca (Potenza) peso del capo (Resistenza) b)

muscolo bicipide (Potenza)

Fig 49 Peso dellrsquoavambraccio (Resistenza) Fulcro (articolazione del gomito) Questa leva permette grandi spostamenti Si vede che la forza operata dal muscolo bicipite egrave massima quando lrsquoavambraccio egrave orizzontale (la distanza dal fulcro egrave massima) ed egrave minima quando lrsquoavambraccio egrave verticale( con la distanza dal fulcro nulla) Attenzione - la colonna vertebrale egrave costituita da 24 vertebre separate da dischi di liquido Quando una

persona si piega la schiena egrave una leva con GM molto piccolo Quindi un piegamento completo per raccogliere un oggetto anche leggero produce una forza molto intensa sul disco lombosacrale che separa lrsquoultima vertebra dellrsquoosso sacro Se indebolito questo disco puograve rompersi o deformarsi comprimendo i nervi vicini e causando grande dolore Vediamo un modello che rende conto come mai questa forza egrave cosigrave grande

Fig 50

I muscoli della schiena esercitano T Con un angolo α = 12deg quando la schiena egrave piegata a 90deg

Peso della parte superiore del corpo (circa il 65 del peso totale)

Fulcro lombosacrale (il fulcro produce R) Essendo α piccolo la retta di azione Τ passa vicino al fulcro e dunque la distanza r che costituisce il suo braccio egrave molto piccola Al contrario il peso egrave perpendicolare alla colonna e il suo punto di applicazione egrave molto piugrave distante dal fulcro Τ deve essere molto grande per equilibrare il momento di P Dunque se T egrave grande anche la sua componente orizzontale egrave grande e di conseguenza anche R che costituisce la reazione dellrsquoosso sacro deve avere componente orizzontale molto grande per equilibrare Τ (uguale ed opposta alla componente orizzontale di Τ ) Facendo i conti si ottengono numeri grandi per 75Kg di peso T ed R sono equivalenti al peso di una massa di 220Kg Senza sollevare pesi solo piegandosi Conviene piegare le ginocchia quando si sollevano pesi - Nel corpo egrave difficile che il peso cada sulla verticale dellrsquoarticolazione che lo sostiene egrave sempre

un porsquo spostato e crsquoegrave un tendine con un muscolo che compensa il momento del peso - La contrazione muscolare egrave una successione di brevi contrazioni delle fibre muscolari stimolate

da impulsi che provengono dal sistema nervoso Contrazioni sono molto ravvicinate e avvengono in tempi differenti nelle diverse parti del muscolo cosigrave che il risultato apparente egrave una lenta e progressiva contrazione Se la frequenza degli impulsi aumenta la tensione cresce finchegrave si raggiunge la tensione massima (ricordare la tensione di un cavo) Un ulteriore aumento della frequenza degli impulsi a questo punto non causa ulteriore aumento della tensione

La tensione massima egrave proporzionale allrsquoarea della sezione trasversa del muscolo nel suo punto piugrave largo La tensione massima dipende anche dalla lunghezza del muscolo che varia Si ottiene tensione massima quando il muscolo egrave solo di poco allungato rispetto alla sua lunghezza di riposo di riposo ed egrave circa 30-40 Ncm2 La tensione massima si riduce moltissimo se il muscolo egrave molto allungato o accorciato Dinamica Rotatoria Fino ad ora abbiamo studiato moti traslatori ma il moto di un corpo rigido egrave in generale roto-traslatorio Naturalmente dobbiamo ridurre il problema complesso ad uno piugrave semplice e per fare ciograve immaginiamo di posizionarci su un sistema di riferimento solidale al corpo rigido i moto immaginiamo cioegrave di ldquosedercirdquo sul corpo rigido In questo modo non saremo piugrave sensibili al moto traslatorio e guardando il corpo rigido osserveremo solo le sue rotazioni Trattiamo allora il moto generico scomponendo la parte traslatoria (giagrave discussa ) da quella rotatoria Se si trascura la parte traslatoria del moto di un corpo rigido quello che rimane da trattare egrave la sua rotazione Nel nostro corso consideriamo le rotazioni che avvengono su un piano le rotazioni nello spazio potranno essere trattate come composizione di rotazioni su un piano Per le rotazioni su un piano si identifica un asse di rotazione perpendicolare al piano di rotazione e passante per il centro di rotazione Le articolazioni del gomito e del ginocchio sono articolazioni libere di ruotare intorno ad un asse a differenza ad esempio di quella della spalla che puograve ruotare intorno a due assi Si definisce spostamento angolare la variazione di una posizione che egrave definita in modo completo da una misura di angolo Una rotazione di un intero corpo rigido egrave definita in modo completo da uno spostamento angolare θfin - θin= ∆θ e si misura in radianti

Fig 51 Dobbiamo definire anche un verso di rotazione θ si incrementa per rotazioni antiorarie positive le rotazioni in senso orario sono invece negative La velocitagrave angolare si definisce analogamente alla velocitagrave lineare come il rapporto tra lo spostamento angolare e il tempo t impiegato per eseguire tale rotazione

ωm = t∆

∆θ e si misura in rad s

θin

θfin ∆θ

R

S

Anche per w si definisce ωist = lim ∆trarr0 t∆

∆θ

Ancora lrsquoaccelerazione angolare si definisce αm = t∆

∆ω e αist = lim ∆trarr0

t∆∆ω

Anche la legge fondamentale della dinamica ha un analogo nel ambito dei moti rotatori Si stabilisce che se ad un corpo rigido egrave soggetto ad un momento torcente diverso da zero esso subisce unrsquoaccelerazione angolare ad esso proporzionale Nel caso delle rotazioni la resistenza al moto egrave espressa dal momento di inerzia I associato al corpo rigido che gioca il ruolo della massa nei moti traslatori La legge della dinamica delle rotazioni egrave M = I middotα

E sostituendo M = Imiddott∆

∆ω= Imiddot

tinfin

∆minusωω

Il momento di inerzia I di un corpo rigido dipende dalla disposizione della massa del corpo rispetto allrsquoasse di rotazione per una massa puntiforme m a distanza R dallrsquoasse di rotazione I= m R2 per un oggetto esteso sommerograve il momento drsquoinerzia delle sue parti I = Σi mi Ri

2 Se si definisce momento angolare L il prodotto del momento drsquoinerzia per la velocitagrave angolare

L=Iω la legge della dinamica diventa

M = t

LL infin

∆minus

Il momento angolare egrave la grandezza fisica che si conserva se non viene applicato momento torcente Tutti i gesti di volo salti lanci tuffihellip sono azioni nelle quali si conserva il momento angolare Infatti in volo agisce solo la forza di gravitagrave che essendo applicata al CDM non genera momento torcente Il corpo umano nei gesti di volo Il corpo umano non egrave rigido e pertanto in volo agendo con i muscoli possiamo cambiare la disposizione del nostro corpo intorno al centro di massa che in volo coincide col centro di rotazione In questo modo si ottiene una variazione del momento di inerzia I e di conseguenza la velocitagrave angolare deve compensare questa variazione in modo che si mantenga costante il momento angolare L (grandezza che si conserva in assenza di momento torcente) Ersquo questo il principio che spiega il realizzarsi delle trottole sul ghiaccio dei salti mortali tuffi con avvitamento e cosigrave via in posizione raccolta I diminuisce e ω aumenta Moto circolare e moto circolare uniforme Per utilizzare le relazioni della cinematica e della dinamica lineare che abbiamo studiato egrave interessante poter passare dalle variabili angolari alle variabili lineari velocitagrave e accelerazione delle

masse in moto rotatorio Se una massa si muove su una traiettoria curva la velocitagrave tangenziale vt diretta come la tangente alla traiettoria dipende dalla velocitagrave angolare ω ( ωm=ϑ t )e dal raggio di curvatura della traiettoria Se la traiettoria egrave una circonferenza di raggio R e se gli angoli sono espressi in radianti lrsquoarco percorso per uno spostamento angolare ϑ egrave S = ϑ sdotR e la velocitagrave lineare tangente vt = St= ϑ sdotRt risulta vt = ωsdotR Se la velocitagrave angolare ω egrave costante il moto egrave detto circolare uniforme La legge oraria egrave quella dei moti uniformi spostamenti angolari uguali in tempi uguali ϑ(t) = ω t Anche la velocitagrave tangente saragrave di intensitagrave costante se ω egrave costante (archi uguali per tempi uguali s(t) = vt (t) ) ma crsquoegrave una accelerazione normale infatti la velocitagrave anche se non cambia in modulo cambia continuamente di direzione Questa accelerazione si dice centripeta egrave diretta normalmente rispetto alla traiettoria verso il centro della circonferenza e vale in modulo

ac=R

v2

Fig 52 Essendo la velocitagrave tangente vt = ωR Lrsquo accelerazione centripeta si puograve scrivere

ac =R

v2

= ω2 R

Il tempo impiegato dal punto a muoversi sulla circonferenza egrave una costante (moto uniforme) T periodo in T viene percorso uno spazio 2π R

v = T

Rπ2

La frequenza f egrave invece il ndeg di giri al secondo

f =T

1

Se si prendono punti diversi sul raggio della circonferenza questi hanno la stessa velocitagrave angolare e velocitagrave tangenziali crescenti al crescere del raggio Esempio carosello dei pattinatori Esercizi

1- un velocista con una velocitagrave di 10 ms viaggia su una curva di raggio 25m ndash accelerazione

a = R

v2

= 25

100 = 4 ms2

2 ndash un velocista con v = 92 ms su una pista circolare con ac = 38 m s2 ndash Raggio della pista Tempo per percorrere un giro completo

a = R

v2

rArr R = a

v2

= 83

)29( 2

= 2227m

T =v

Rπ2 =

29

27222 lowastπ = 152 sec

Forza centripeta forza centrifuga Una forza centripeta egrave una forza di qualunque natura che trattiene un corpo in moto su una traiettoria curvilinea ad esempio circolare In assenza di tale forza il corpo proseguirebbe il suo moto lungo una traiettoria rettilinea Nel gesto del lancio del martello ad esempio il lanciatore che esercita sul peso in cima allrsquoattrezzo una forza mediata dalla tensione dal cavo che lo trattiene nella traiettoria circolare Quando il lanciatore lascia la maniglia il martello viene lanciato lungo la direzione della tangente alla traiettoria nellrsquoistante di rilascio Lrsquointensitagrave della forza centripeta necessaria a mantenere una massa m in moto con velocitagrave tangente v lungo una traiettoria circolare di raggio r si puograve calcolare a partire dallrsquoaccellerazione centripeta secondo la legge fondamentale della dinamica

|rarr

cF | = m | rarr

ca | = m r

v2

Tale forza egrave diretta come lrsquoaccelerazione centripeta e cioegrave verso il centro della circonferenza che costituisce la traiettoria La forza centripeta egrave dunque una forza reale Con lsquoforza centrifugarsquo invece non ci si riferisce ad un forza che agisce su un corpo ma alla situazione apparente cui sembra sottoposto un corpo in moto curvilineo Esso pare tirato o attirato lontano dal centro di rotazione pare ci sia una lsquoforzarsquo che vuole farlo sfuggire Quando viene lasciato il martello si allontana dal centro di rotazione percheacute si muove di moto rettilineo uniforme non essendo piugrave soggetto a forze altre che la forza peso Lrsquoacqua esce dal cestello della lavatrice quando il cestello ruota velocemente (funzione centrifuga) percheacute lrsquoacqua che non costituisce un corpo solo con il cestello bucato non egrave soggetta alla forza centripeta e puograve passare attraverso i buchi I panni invece pure non parte del cestello sono troppo grandi per passare dai buchi si possono solo schiacciare contro le pareti questo schiacciamento sembra il risultato di una forza ma egrave invece il risultato dellrsquoassenza di una forza quella centripeta Una volta lagrave contro il cestello fanno tuttrsquouno con le pareti di metallo che esercitano su di essi la forza centripeta (cioegrave con direzione verso lrsquoasse di rotazione) che li mantiene in rotazione Le parti di un corpo rigido esteso che si muove di moto rotatorio rispetto ad un asse quale ad esempio la gamba di un giocatore di calcio che calcia un pallone sono soggette alla forza centripeta che le mantiene sulla traiettoria curva Tale forza viene trasmessa alle varie parti tramite le forze di tensione che si sviluppano allrsquointerno del corpo stesso ad esempio il piede egrave soggetto alla forza centrifuga tramite lrsquoazione dei legamenti e tendini a livello della caviglia che vengono messi in tensione per trattenere il piede stesso

seconda del valore di cosϑ Il lavoro egrave massimo per cosϑ = 1 (cioegrave per ϑ = 0) (rarrF diretto come

rarrs ) Il lavoro egrave minimo ( L = 0) per cosϑ = 0 cioegrave per ϑ = 90deg (

rarrF perpendicolare a

rarrs )

Puograve darsi il caso che piugrave forze agiscono sullo stesso punto Allora si puograve calcolare il lavoro totale egrave la somma dei lavori di tutte le forze applicate

Ltot = sum Li = sum (rarr

sdotiFrarrs )

Dimensioni di L [ L ]= [ F ][ s ] = mmiddot l middot t-2 middot l = ml2 t-2 Unitagrave di misura di L 1 joule = 1N middot 1m ( 1J ) Lavoro della forza peso durante la caduta di un grave Un grave cade vicino alla superficie della terra sotto lrsquoazione della forza di gravitagrave cioegrave sottoposto ala forza peso P diretta verso il basso percorrendo un dislivello h Il lavoro compiuto dalla forza peso si calcola come

LP = rarrP middot

rarrs = Pmiddot smiddot cosϑ

notando che lo spostamento s (verso il basso) e la forza P sono paralleli con verso concorde pertanto ϑ = 0 e cosϑ = 1 e che | P| = mmiddot g si ottiene LP = mmiddot gmiddot h per uno spostamento s = h (dislivello) Lavoro meccanico nel sollevamento pesi Durante questo gesto sul bilanciere oggetto dellrsquoapplicazione delle forze si esercitano la forza peso P e la forza muscolare dellrsquoatleta Naturalmente entrambe le forze lavorano ma i due lavori si oppongono uno allrsquoaltro (ricorda che il lavoro puograve essere positivo o negativo) Il lavoro positivo deve essere nel verso del moto quindi egrave quello della forza muscolare dellrsquoatleta il lavoro di P invece egrave negativo e se il bilanciere si alza di una quota h si calcola facilmente seguendo il procedimento del paragrafo precedente ottenendo LP = - mmiddotgmiddoth (ϑ = π e cosϑ = -1 ) Calcoliamo il lavoro della forza musculare seguendo lrsquoesempio qui proposto Esempio Un atleta solleva un bilanciere di peso 2500N allrsquoaltezza di 2m (sopra la sua testa) Quanto lavoro meccanico compie la sua forza muscolare Supponiamo che il sollevamento avvenga a velocitagrave costante con accelerazione nulla allora il per il

primo principio della dinamica le forze applicate al bilanciere devono essere tali chesumrarr

iF = 0

Quindi la forza peso P = mmiddot g deve essere controbilanciata dalla forza applicata dallrsquoatleta Fm

Quindi rarr

mF = - rarrP

con Fm = 2500N Il lavoro La fatto dallrsquoatleta vale

Lm = rarr

mF middot rarrs = 2500 N middot 2m middot 1 = 5000 J (sollevamento verticale quindi ϑ = 0 e cosϑ = 1)

Quanto lavoro fa la forza peso

Lp = rarrP middot

rarrs = 2500 middot 2 middot (-1) = -5000 J

(percheacute ϑ = π e cosϑ = -1) Quanto lavoro fa lrsquoatleta mentre sostiene il peso fermo sopra la testa L = 0 percheacute non crsquoegrave spostamento Qui si parla di lavoro meccanico non di lavoro fisiologico diciamo che si fa fatica percheacute crsquoegrave da mantenere integrordquo un corpo non rigido che egrave il corpo dellrsquoatleta quindi si il lavoro delle contrazioni muscolari per mantenere lrsquoequilibrio e ldquolrsquointegritagraverdquo egrave la misura del lavoro fisiologico necessario anche se il lavoro meccanico compiuto egrave nullo 2deg caso Forza variabile Nel caso in cui F egrave una forza variabile che dipende dalla posizione ogni volta che avviene uno spostamento∆ x la forza cambia Il lavoro totale saragrave la somma dei lavori elementari fatti sui tratti piccoli sui quali la forza puograve essere assunta costante

Ltot = iii xxF ∆sdotsum )(

( Se si fa il limite per ∆ xi piccolo rarr 0 e la isum egrave lrsquointegrale Ltot = int sdotxtin

xinxdxF )( )

Ad esempio la forza F puograve essere la forza di richiamo di una molla vincolata al muro Lrsquointensitagrave della forza elastica varia durante lo spostamento aumentando con lrsquoallungamento (o la compressione) della molla ed ha la direzione parallela allo spostamento ma puograve avere verso concorde o discorde quindi con cosϑ che vale o +1 o ndash1 Immaginiamo di avere un blocco attaccato alla molla e di tirarlo da Xin a Xfin allora

F(x) = - kx Fig 28

Il lavoro della forza elastica si calcola sommando i lavori infinitesimali compiuti per spostamenti infinitesimi durante i quali la forza si assume costante Ciograve egrave rappresentato graficamente nel calcolo lrsquoarea compresa al di sotto della curva del grafico di F (Fig 28A) In figura si egrave cambiato il segno della funzione forza per comoditagrave di rappresentazione

Fig 28A

Area = differenza aree dei due triangoli = AABB kxxkxx sdotminussdot2

1

2

1

Ricordandoci del segno

L infin = 22

2

1

2

1infin kxkx +minus e in generale L = 2

2

1kx

Se si calcola il lavoro della forza di richiamo durante un allungamento della molla si ha lavoro negativo mentre durante il ritorno alla posizione di equilibrio il lavoro egrave positivo (segno dello spostamento x e della forza concordi) Energia cinetica Il termine ldquoenergiardquo indica la capacitagrave di compiere lavoro Lrsquoenergia cinetica egrave la proprietagrave che rende conto quantitativamente del legame fra il lavoro compiuto ed il moto generato Avevamo detto piugrave o meno lo stesso parlando della seconda legge della dinamica riferendoci alle forze Qui col lavoro non egrave necessaria la descrizione dettagliata delle forze che agiscono sul punto in considerazione Ersquo sufficiente conoscere il loro lavoro totale

Lrsquoenergia cinetica K = 2

1mv2 (gt 0 percheacute m gt 0 v2 gt 0 ) (m e v sono la massa e la velocitagrave del

corpo) Lrsquounitagrave di misura e le dimensioni di K sono le stesse del lavoro Joule ( J ) e [ ]K = [ ]22 minustml

Teorema dellrsquoenergia cinetica Se una forza F compie un lavoro L su un punto materiale di massa m si ha una variazione dellrsquoenergia cinetica pari al lavoro compiuto

Xfin Xin

F

0

ksdotxfin

ksdotxin

F= ksdotx

x

LAB= -area

L = Kfin ndash Kin = ∆ K Nel caso che piugrave forze agiscono sul punto materiale il teorema dellrsquoenergia cinetica si applica al lavoro totale (equivalentemente al lavoro della risultante ) E il caso dellrsquoatleta che solleva il peso di 2500N Sappiamo che ha compiuto un lavoro di 5000J ma il bilanciare con i pesi era fermo allrsquoinizio ed egrave fermo alla fine Quindi Kin = 0 e Kfin = 0 percheacute vin = 0 e vfin = 0 Allora il teorema dellrsquoenergia cinetica Vale per il lavoro totale o lavoro della forza totale e noi abbiamo visto che la forza netta totale = 0 ( Fa + P = 0 ) ed il lavoro totale egrave nullo quindi giustamente si ha ∆ K = 0 1)Caso di una palla da tennis che cade

la forza peso rarrP compie un lavoro positivo con spostamento concorde a

rarrP si dovrebbe avere

∆ K gt 0 infatti la velocitagrave v aumenta 2)Caso di una palla lanciata verso lrsquoalto

lo spostamento ha verso opposto a rarrP Il lavoro della forza peso egrave negativo e quindi ∆ K egrave

negativo giusto La velocitagrave diminuisce NB Durante il volo agisce solo la forza di gravitagrave quindi il lavoro totale comiuto sul corpo egrave solo quello della gravitagrave 3)Caso del moto circolare uniforme la forza che agisce egrave la forza centripeta che egrave perpendicolare allo spostamento Quindi non compie lavoro deve essere ∆ K = 0 Iinfatti il moto egrave uniforme cioegrave la velocitagrave egrave in modulo costante Potenza Si chiama potenza il lavoro che si egrave in grado di svolgere nellrsquounitagrave di tempo

P = t

L

∆ ( potenza media )

P = t

Lt ∆

∆rarr∆ 0lim ( potenza istantanea)

Non egrave solo una stima del lavoro compiuto ma anche della rapiditagrave con cui si compie lavoro

Fig 29 Per superare il muro ci vuole un certo lavoro che consiste nellrsquoinnalzare il proprio corpo di unrsquoaltezza h Sia lrsquoatleta che lo supera in un sol balzo sia il vecchietto che sale pian piano la scalinata faranno lo stesso lavoro Quel che egrave diverso egrave la potenza dei due personaggi Dimensioni e unitagrave di misura della potenza [ ]P = [L] [t -1] = [ml2t-3] 1 watt = 1 joule 1sec (1w)

Energia Potenziale K egrave energia connessa allo stato di moto di un sistema Crsquoegrave anche energia connessa alla posizione di un corpo in un campo di forze (configurazione) Si chiama energia potenziale Nel caso dellrsquoatleta di sollevamento pesi il lavoro compiuto dallrsquoatleta Lm non ha alterato lrsquoenergia cinetica K dellrsquoattrezzo ma ha modificato la configurazione del sistema (terra-attrezzo) variandone lrsquoenergia potenziale (W) Il lavoro non egrave stato sprecato ma ldquoimmagazzinatordquo lrsquoattrezzo prima egrave a terra poi egrave in alto nel sistema che ora ldquopotenzialmenterdquo puograve compiere un lavoro cedendo la sua ldquoenergia potenzialerdquo Energia cinetica ed energia potenziale sono due parti dellrsquoenergia meccanica possono trasformarsi lrsquouna nellrsquoaltra ed in lavoro Nellrsquoesempio precedente quando lrsquoattrezzo egrave in alto si ha che K = 0 e W = WA Quando cade K aumenta percheacute la velocitagrave v aumenta e lrsquoenergia potenziale W diminuisce In basso W = WB lt WA e K egrave massima Lrsquoattrezzo cadendo puograve compiere lavoro Se fosse un martello potrebbe far avanzare un chiodo ad esempio Lrsquoenergia potenziale viene definita proprio a partire dal concetto di lavoro di forze conservative Ersquo conservativa una forza il cui lavoro per spostare il suo punto di applicazione da una posizione (configurazione) ad unrsquoaltra dipende solo dalle due posizioni (configurazioni) iniziale e finale Equivalentemente si puograve definire la forza conservativa dicendo che il lavoro di tale forza egrave nullo se le posizioni (configurazioni) iniziali e finali coincidono

-Lavoro per passaggio dalla posizione A a B egrave lo stesso lungo I o II -Se da A vado a B e torno in A il lavoro totale egrave nullo

Fig 30 Posso allora definire una funzione della posizione W che assume i valori WA e WB in A e B e tale per cui LAB = WA ndash WB ( W energia potenziale) WA WB sono definiti a meno di una costante tanto quello che interessa egrave la differenza fra loro Variazione di energia potenziale del passaggio da A a B WB ndash WA = ∆W allora LAB = -∆ W Con questa convenzione sui segni si rende conto del fatto che un lavoro positivo ( fatto dalle forze conservative sul corpo) fa diminuire lrsquoenergia potenziale W ( L positivorarr ∆W negativo rarr WBlt WA rarr ho usato energia potenziale) un lavoro negativo (subito) aumenta W (L negativo rarr ∆W positivo rarr WBgt WA rarr ho guadagnato energia potenziale) W si misura in Joule come il lavoro e lrsquoenergia cinetica

Qual egrave la Forma di W

Mentre la forma dellrsquoenergia cinetica egrave sempre K =2

1mv2 indipendentemente dal tipo di forze

che provocano il movimento W dipende dal tipo di forza conservativa di cui si sta calcolando il lavoro Consideriamo due forze conservative

a) Forza gravitazionale forza peso

F(y) = -mg Stato di riferimento y0 = 0 in cui W0 = 0

Fig31

Abbiamo detto che LAB = WA- WB ma siccome

LAB = )( ABhmgsP minussdotminus=sdot dove hAB= yA-yB egrave la distanza tra A e B allora rArr WA = mgyA WB = mgyB e in generale W(y) =mgy

Per la forza peso W(y) =mgy e lrsquoenergia totale meccanica (W+K) = mgy+2

1mv2=Etot

b) Forza elastica

Fig 32

F(x) = -kx Stato di riferimento x = 0 allungamento nullo la lunghezza della molla egrave la sua lunghezza di riposo L ( W(0) = 0)

Immaginiamo che la configurazione della molla venga modificata passando dalla posizione xA alla posizione xB (Fig 32) Il lavoro della forza elastica egrave calcolato come

LAB = 22

2

1

2

1AB kxkx +minus

Ricordando che LAB = WA- WB possiamo ricavare lrsquoespressione per lrsquoenergia potenziale elastica

rArr WA = 2

2

1Akx WB = 2

2

1Bkx e in generale W(x) = 2

2

1kx

Energia totale meccanica ndash Conservazione dellrsquoenergia

In presenza di sole forze conservative la somma dellrsquoenergia cinetica e dellrsquoenergia potenziale costituisce lrsquoenergia totale meccanica Tale energia meccanica gode della proprietagrave importantissima di conservarsi durante lrsquoevoluzione del sistema Lrsquoenergia connessa al movimento e alla posizione si scambiano una diminuisce e lrsquoaltra cresce ad esempio ma la loro somma rimane costante

- Esempio delle montagne russe Se non ci sono attriti (infatti il trucco egrave quello di rendere il

sistema privo di attriti) so giagrave quale altezza massima potrograve raggiungere (quella iniziale e non di piugrave) quale velocitagrave massima potrograve raggiungere (in fondo alla valle) Queste quantitagrave sono fra loro legate dal teorema della conservazione dellrsquo energia meccanica

Fig 33 - Esempio del salto con lrsquoasta Lrsquoenergia cinetica dellrsquoatleta acquisita nella rincorsa viene

trasformata in energia potenziale gravitazionale parte direttamente e parte attraverso lrsquoenergia potenziale elastica dellrsquoasta acquisita nella sua deformazione durante il salto La flessibilitagrave dellrsquoasta (costante elastica dellrsquoasta) egrave legata allrsquoenergia che si puograve immagazzinare in una data deformazione Infatti con aste rigide (alluminio acciaio bambugrave) il salto era piugrave basso Con fibra di vetro il record egrave stato polverizzato

Fig 34

Fig 35

Fig 36

Osserviamo che il teorema dellrsquoenergia cinetica ha validitagrave generale qualunque siano le forze che agiscono conservative o non conservative (le forze non conservative si dicono anche ldquodissipativerdquo)

KLL

KL

fncfc

tot

∆=+∆=

e ricordando che darr Lfc = - )( fcW∆

Si ottiene che K∆ + )( fcW∆ = Lfnc

Si vede che nel caso in cui Lfnc sia nullo cioegrave quando non ci sono forze dissipative la somma delle variazioni di energia cinetica e energia potenziale egrave uguale a zero cioegrave lrsquoenergia totale meccanica (somma dellrsquoenergia cinetica e potenziale) egrave costante E questo corrisponde al teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica Nel caso ci siano forze dissipative la somma delle energie non egrave costante quindi al contrario del teorema dellrsquoenergia cinetica il teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica non ha validitagrave generale (vale solo in assenza di attriti ad esempio) Le forze non conservative di attrito compiono lavori solo negativi e fanno perdere quantitagrave di energia non recuperabile Parte di questa energia va in generale in calore quindi se ne puograve tenere conto considerando unrsquoaltra forma di energia lrsquoenergia termica ( ci sono anche altri fenomeni dissipativi ad esempio le deformazioni permanenti negli urti o la propagazione di onde sonore)

Lrsquo energia puograve dunque conservarsi o trasferirsi proprietagrave caratterizzanti dellrsquoenergia Il lavoro rende conto del trasferimento di energia della perdita di energia sotto una forma e del guadagno sotto unrsquoaltra forma (cioegrave energia conservativa) o del passaggio dellrsquoenergia da un sistema ad un altro Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica quando egrave applicabile puograve essere sfruttato per risolvere facilmente problemi altrimenti complicati Esercizio Una palla da tennis viene lanciata con velocitagrave iniziale v0 (senza effetti strani taglio etc) al di lagrave della rete Con quale velocitagrave arriva a terra

Se durante il moto Etot si conserva K+W = cost

Fig 37 e W = mgh egrave solo energia potenziale gravitazionale h = 0 alla fine come allrsquoinizio dunque K in = Kfin e vfin = v0 Se la palla egrave lanciata verso lrsquoalto non crsquoegrave componente orizzontale della velocitagrave ma solo verticale al punto piugrave alto di arresto h K(h) = 0 W(h) = max = Kin cioegrave mgh = frac12 mv0

2 si puograve cosigrave calcolare facilmente lrsquoaltezza massima raggiunta h = (frac12 v0

2)g e vicenversa si puograve calcolare il valore della velocitagrave v0 che bisogna imprimere alla palla affinchegrave raggiunga lrsquoaltezza h

v0 = gh2

Esercizio Una saltatrice di massa M = 61Kg salta da un ponte di altezza H = 45m agganciata ad una corda elastica La lunghezza di riposo della corda elastica egrave L = 25m e la sua costante elastica egrave k = 160 Nm Nel punto piugrave basso si arresta prima di venire rimbalzata in alto Qualrsquo egrave lquesta quota piugrave bassa h (a cui si trovano i suoi piedi ai quali egrave legato lrsquoelastico)

Fig 38 Etot = Wgrav + Wel + K = cost sono solo forze conservative vale la conservazione

dellrsquoenergia Nel punto A K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di lanciarsi Wel = 0 percheacute lrsquoelastico non egrave ancora svolto Wgrav = MgH Nel punto B K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di rimbalzare

Wel = frac12 kd2 Wgrav = Mgh = Mg(H-(L+d)) Etot(A) = Etot (B) MgH + 0 + 0 = Mg (H-(L+d)) + frac12 kd2 + 0 MgH = MgH ndash MgL ndash Mgd +frac12 kd2

2

1(160)d2 ndash (61)(98)d ndash (61)(98)(25) = 0

equazione di IIdeg grado che dagrave per d il valore accettabile d = 179m (lrsquoaltro egrave negativo e non egrave accettabile perchegrave non ha senso fisico la

saltatrice va in giugrave non in su) Allora h = H-(L+d) = 45 ndash (25+179) = 45 ndash 429 = 21m quindi con la testa poco sopra lrsquoacqua Sistemi di punti materiali e corpi rigidi ndash Centro di Massa

Un giocoliere o un ginnasta che lancia la clavette fa compiere allrsquoattrezzo movimenti complicati tuttavia crsquoegrave un punto dellrsquoattrezzo che si muove seguendo una traiettoria semplice come quella di un punto materiale ad esempio lanciato segue una traiettoria parabolica Tale punto si chiama centro di massa dellrsquooggetto Il centro di massa puograve essere definito per un oggetto o per un insieme di punti materiali Ersquo importante percheacute in generale il moto di un corpo esteso (o di un insieme di punti) si puograve studiare separando il moto del centro di massa (moto traslatorio) e il moto del corpo attorno al centro di massa (moto rotatorio)

Centro di Massa (CDM) di un sistema di punti - Consideriamo il caso semplice di due punti materiali di massa m1 m2 posti sullrsquoasse x in

posizione x1 x2

Fig 39

la posizione del centro di massa egrave definita xCDM = 21

2211

mm

xmxm

++

a) xCDM egrave compreso fra x1 e x2 b) se m1 = m2 CDM egrave a metagrave strada fra m1 ed m2 c) xCDM egrave piugrave prossimo alla massa maggiore - Nel caso di piugrave punti allineati nelle posizioni xi detto M = summi allora

xCDM = ii xmMsum

1

- Nel caso di punti distribuiti nello spazio detti irrarr

i vettori che identificano le loro posizioni

CDMrrarr

= iii rmM

rarrsum

1

dove CDMrrarr

ha coordinate (xCDM yCDM zCDM) definite come

xCDM = ii xmsumη1

yCDM = ii ymMsum

1

zCDM = ii zmMsum

1

- Consideriamo un oggetto qualsiasi questo egrave composto da un gran numero di particelle ma conviene considerarlo come un continuo di materia e per calcolare il centro di massa si prendono in considerazione degli elementi infinitesimi di massa dm centrati intorno alle posizioni (xyz) allora

xCDM = int xdmM

1 yCDM = int ydm

M

1 zCDM = int zdm

M

1

se si puograve considerare il corpo omogeneo (densitagrave uniforme) allora V

M

dv

dm = e allora si puograve fare il

calcolo considerando il volume V e gli elementi di volume dv anzichegrave la massa e gli elementi di massa

xCDM = int xdvV

1 etc

In un oggetto solido (corpo rigido) i diversi punti materiali che lo compongono non cambiano la loro posizione relativa (non come un corpo elastico) - se un oggetto ha un elemento di simmetria un asse od un piano il CDM si trova su tale

elemento di simmetria (asse per cono centro per sfera piano per una banana etc) Non egrave detto che il CDM di un oggetto appartenga allrsquooggetto vedi uno pneumatico un cerchio Il CDM egrave esterno alloggetto Legge fondamentale della dinamica per un sistema di punti materiali Caso della palla da bigliardo urto fra due palle dopo il lancio di una le due si muovono 1) una egrave ferma (B) lrsquoaltra la lancio (A) 2) le due si urtano in qualunque modo 3) le due si muovono secondo traiettorie differenti una possibilmente andragrave in buca lrsquoaltra no Dopo il lancio sulla palla A non agisce piugrave nessuna forza quindi la sua velocitagrave v egrave costante Va bene ma dopo lrsquourto Il CDM delle due palle continua a muoversi con velocitagrave costante anche se il centro di massa egrave un punto teorico che non appartiene a nessuna delle due palle Tuttavia al CDM possiamo assegnare una massa (M totale del sistema) una velocitagrave ed una accellerazione Si ha

)(CDMext aMFrarrrarr

=sum

a) extFrarr

sum egrave la somma di tutte le forze esterne che agiscono sul sistema non quelle interne (ad esempio nel caso del bigliardo non devo considerare le forze che si applicano fra le due palle quando si urtano)

b) M egrave la massa totale del sistema Si suppone che durante il moto M rimanga costante

c) )(CDMararr

egrave lrsquoaccelerazione del CDM Dellrsquoaccellerazione di un altro punto ad esempio del centro della palla A non si dice nulla

Cosideriamo alcuni esempi 1) Bigliardo tvaF CDMCDMext cos00 ===sum prima dellrsquourto nellrsquourto si verificano solo forze

interne Quindi tvaF CDMCDMext cos00 ===sum dopo lrsquourto e durante tutto il moto

2) Sistema terra-luna sumFext = gravitazione del sole aCDM egrave ldquocentripetardquo accellerazione di una

forza che egrave diretta verso il sole (forza ldquocentralerdquo) egrave il CDM terra-luna che segue la traiettoria dovuta allrsquoattrazione gravitazionale del sole poi terra e luna si muovono intorno al loro CDM

3) Clavette lanciate sum Fext = Mg aCDM = g il centro di massa si comporta come un punto materiale nel lancio

4) La ballerina nel ldquogrand-fetegraverdquo fa seguire a testa e busto una traiettoria rettilinea percheacute modifica lrsquoassetto in modo da alzare il suo CDM Nel corso del salto (alza le braccia e distende

orizzontalmente le gambe non appena lasciato il suolo) il suo CDM segue la traiettoria parabolica del lancio di un corpo soggetto allrsquoaccelerazione di gravitagrave g

Quantitagrave di moto rarrP

- Si definisce quantitagrave di moto di una particella il vettore

rarrrarr= vmP

con m massa della particella e rarrv la sua velocitagrave

Si vede che rarrP egrave diretto come

rarrv

Newton scrisse la legge fondamentale della dinamica in termini di quantitagrave di moto (a differenza di Galileo che la scrisse in termini di massa e di accelerazione) ldquola rapiditagrave di variazione della quantitagrave di moto di una particella egrave proporzionale alla forza netta che agisce sulla particella ed egrave nella direzione di quella forzardquo cioegrave

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

che egrave piugrave generale della formulazione di Galileo perchegrave descrive bene anche il caso in cui variasse la massa del corpo durante il moto (ad esempio un vettore spaziale) Se la massa egrave costante le due formulazioni sono identiche

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

= t

vm

∆∆

rarr)(

= m t

v

∆∆

rarr

= m rarra

Ricordiamo che rarrF egrave diretto come

rarra (o la risultante

rarrR = sum

rarrF )

Per un sistema di punti materiali si definisce la quantitagrave di moto totale

rarrP =

rarrP 1 +

rarrP 2 + helliphellip+

rarrP n =

m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +helliphelliphellip+ mn

rarrv n = M

rarrv CDM (si puograve dimostrare) dove M egrave la massa totale

[essendo infatti Mrarrv CDM =

dt

d(M

rarrr CDM) =

dt

d(m1

rarrr 1 + m2

rarrr 2 +hellip) = m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +

hellip]

quindi rarrP = M

rarrv CDM per un sistema di particelle e

dt

Pdrarr

= M dt

d rarrv CDM = M

rarra CDM = sum

rarrF ext

Conservazione delle quantitagrave di moto

Per un sistema chiuso (M non varia) e isolato (sumrarrF ext = 0)

Allora

t

P

∆∆

rarr

= 0 rarrP = cost

rarrP i =

rarrP f

che sono tre modi equivalenti per dire che la quantitagrave di moto si conserva Vale per un sistema nel quale non agisca nessuna forza esterna netta Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica e la conservazione delle quantitagrave di moto sono due concetti fisici importantissimi Valgono sia per le palle da bigliardo che per qualunque altro sistema anche le galassie nellrsquouniverso Queste equazioni sono vettoriali Ciograve significa che rappresentano una terna di equazioni scalari ognuna valida sul proprio asse del sistema di riferimento (x y z)

Puograve accadere a seconda delle forze che agiscono nel sistema che la quantitagrave di moto si conservi in una direzione o in due e non in tutte e tre

Ad esempio se consideriamo una palla come un insieme di punti materiali la rarrF ext che agisce nel

sistema egrave mrarrg diretta lungo z senza componenti su x e y quindi

rarrP varia lungo z ma

non su x e y

Percheacute ldquocomplicarci la vitardquo con questa storia del CDM del sistema di particelle etchellip non bastava il moto del punto rappresentativo materiale Avevamo giagrave considerato il punto rappresentativo e avevamo svolto anche problemi sulla palla sul bilanciere e per altri oggetti Abbiamo sempre sbagliato La questione egrave se un corpo egrave rigido cioegrave se tutti i suoi punti si muovono mantenendo le loro distanze relative non crsquoegrave problema abbiamo solo visto che il punto materiale rappresentativo si chiama CDM ed abbiamo imparato a situarlo allrsquointerno del corpo Ma se il corpo non egrave rigido cioegrave se il suo CDM si sposta rispetto a lui stesso nel corso del moto la disposizione del corpo intorno al punto rappresentativo varia nel corso del tempo e le leggi di conservazione valgono per il CDM - Consideriamo ad esempio il teorema dellrsquoenergia cinetica che per un punto materiale si scrive Ltot = Kfin-K in = ∆ K (qui ovviamente non crsquoegrave da specificare lavoro delle forzeldquoesternerdquo percheacute essendo in un punto materiale che si assume infinitamente piccolo non ci sono forze ldquointernerdquo) Per analogia il teorema dellrsquoenergia cinetica si estende al caso di un insieme di punti materiali nel seguente modo

Ltot forze ext=rarrF extmiddot

rarrs CDM = ∆ KCDM

Dove s CDM egrave lo spostamento del centro di massa A titolo di esempio risolviamo il problema un giocatore di hockey su ghiaccio di massa M = 110Kg si muove verso la balaustra a bordo campo alla velocitagrave di 3msec Nellrsquoarrestarsi flettendo le braccia il suo CDM si sposta in avanti di 30cm Qual egrave la ∆ K del suo CDM durante la manovra

∆ KCDM = infin CDMCDM mvmv 22

2

1

2

1 minus =

= 0 - 2

1110 32 = -495 J

Fig 40

Sia L il lavoro delle forze esternerarrF ext (dirette come d

rarrx CDM ) allora

L = - Fext 03 = ∆ KCDM quindi

Fext =30

495

minusminus

= + 1650N

( si considera la forza esterna rarrF ext costante nellrsquointervallo dellrsquoarresto fatto che equivale a dire

che il giocatore si arresta con rarra CDM costante)

Dinamica e statica del corpo esteso Finora abbiamo sempre discusso del moto di un punto materiale (punto rappresentativo dicevamo sempre) In particolare abbiamo sempre applicato le forze a quel punto materiale quindi se diverse forze erano applicate esse concorrevano in quel punto ligrave e con le forze concorrenti sapevamo come calcolare la risultante con il metodo grafico o con quello numerico delle coordinate cartesiane Una volta calcolata la risultante applicata al punto si otteneva un moto di pura traslazione del punto (al massimo traslava lungo una traiettoria curva) senza rotazioni proprie del punto che non hanno neanche senso un punto che ruota su se stesso Come faccio ad accorgermi Un punto per definizione egrave infinitamente piccolo (Dicevamo infine che il punto egrave in equilibrio

traslazionale se la risultante rarrR delle forze applicate egrave nullo)

Consideriamo invece un corpo esteso Prima osservazione questo ha piugrave punti (direi infin ) a

cui la forza puograve essere applicata Prendiamo una racchetta da tennis ed una forza rarrF applicata il

moto che ne risulta dipende dal punto al quale viene applicata la forza rarrF

qui la racchetta trasla

Fig 41

stessa forza qui la racchetta ruota

Fig 42

Seconda osservazione Crsquoegrave un caso in cui le forze non possono essere fatte concorrere in un punto ed egrave quando sono parallele ed hanno rette di applicazione distinte Chiaramente non abbiamo mai dovuto considerare questo caso per il punto materiale percheacute per un punto non possono mai passare due rette parallele Ma per il corpo esteso So benissimo che se sono ferma con la macchina in

panne e la sto spingendo applicando una forza rarrF 1 sono contenta se qualcuno si affianca a me ed

esercitando una forza rarrF 2 lungo una direzione parallela a quella della mia mi aiuta a spingere In

particolare mi viene spontaneo dire che se F1 = F2 allora spingeremo con una forza doppia Ci saragrave quindi un modo per sommare due forze non concorrenti in un punto ma parallele e saragrave Ftot = F1+ F2 La retta di applicazione di Ftot divide il segmento congiungente i punti di applicazione di F1 ed F2 in due segmenti inversamente proporzionali allrsquointensitagrave delle forze F1 e F2 Terza osservazione se F1 = - F2 sono uguali in intensitagrave ma di verso opposto sempre lungo due rette di applicazione parallele passanti per un corpo esteso cosa succede La loro somma Ftot risultante saragrave 0 ma io so che il corpo non sta fermo sotto lrsquoazione di tali due forze ma ruoteragrave Concludo che le nozioni che ho acquisito finora vanno riviste ed ampliate o corrette o specificate per i corpi estesi ed inoltre che mi mancano totalmente i mezzi per descrivere le rotazioni dei corpi estesi Occorrono nuovi concetti nuove quantitagrave la forza non basta Prendo lrsquoesempio piugrave semplice dellrsquoaltalena con due bambini in due bracci uno piugrave leggero uno piugrave pesante

Fig 43 Qualitativamente so che percheacute lrsquoaltalena stia in equilibrio e non ruoti intorno al punto fisso non egrave necessario che i due bambini abbiano lo stesso peso (ugual massa) occorre che il bambino piugrave leggero sieda piugrave lontano rispetto al punto fisso (fulcro) La regola quantitativa dice che lrsquoaltalena egrave in equilibrio se il prodotto del peso per la distanza del fulcro egrave uguale PB dB = Pb

db Per generalizzare questa regola ai casi piugrave complessi occorre definire una nuova quantitagrave il momento di una forza Momento di una forza

Consideriamo una forza rarrF applicata ad un punto P ed un punto O Sia

rarrr

il vettore rarrOP allora il momento

rarrM di

rarrF rispetto ad O egrave

rarrM =

rarrr x

rarrF

e

|rarrr | middot |

rarrF | sin ϑ = |

rarrM |

Fig 44

oppure anche considerando la componente di rarrF perpendicolare ad

rarrr o di

rarrr

perpendicolare a rarrF r e rispetto a F

|rarrM | = |

rarrr | |

rarrF perp | |

rarrM | = |

rarrr perp| |

rarrF |

In generale si dice che il modulo del momento |rarrM | egrave il prodotto delle intensitagrave della forza per la

distanza dal punto della retta di applicazione della forza

Come vettore rarrM egrave perpendicolare al piano che contiene

rarrF ed

rarrr ed ha verso calcolato con la

regola della mano destra (con rarrr che si chiude su

rarrF )

La distanza rperp si chiama braccio della forza Si vede che il momento egrave nullo quando il braccio egrave nullo cioegrave quando il punto O si trova sulla retta di applicazione di F Il momento della forza peso P egrave nullo rispetto al baricentro che coincide con il centro di massa nel caso (praticamenteldquosemprerdquo) in cui il corpo non sia abbastanza esteso percheacute diversi punti del corpo risentano di una forza gravitazione differente Praticamente si deve parlare di galassie percheacute CDM e baricentro (BC) non coincidono Quindi la condizione del momento nullo della forza peso diventa un modo per definire il CDM come quel punto rispetto al quale la forza peso P ha momento nullo Per un corpo ldquoarticolatordquo estendiamo il concetto di forza normale come forza di contatto nellrsquoarticolazione utile cioegrave la forza che lrsquoarticolazione che si sta considerando esercita su quello che nellrsquoarticolazione si appoggia La forza peso P di un corpo esteso puograve immaginarsi applicata al CDM Principio di equilibrio di un corpo esteso

se su un corpo esteso agiscono solo rarr

Peso e rarr

Normale cioegrave se un corpo egrave appoggiato ad un piano orizzontale allora il corpo egrave in equilibrio se e solo se il baricentro si trova sopra la superficie di appoggio

Fig 45

Finchegrave il baricentro egrave sopra il tavolo il libro non cade percheacute rarrP applicata a CDM puograve essere

controbilanciata da rarrN Se CDM si sposta in fuori

rarrN rimane nel tavolo e crsquoegrave momento non nullo

non equilibrato da rarrP che continua ad essere applicato nel CDM

Il baricentro di una persona in posizione eretta si trova nellrsquoarea delimitata dei suoi piedi 3cm davanti allrsquoarticolazione della caviglia

Fig 46 Quando la persona si piega in avanti il baricentro esce dal corpo e per mantenere lrsquoequilibrio egrave necessario che le anche si spingono indietro percheacute il baricentro cade di nuovo in quella posizione Notiamo che anche in posizione eretta essendo la forza peso e la forza di contatto non allineate (quei 3cm) (forza di contatto sullrsquoarticolazione della caviglia che regge il peso) occorre un momento correttivo che impedisca la rotazione in avanti mantenuto dal tendine di Achille che si lega alla caviglia Altro esempio di spostamento del baricentro egrave lrsquoatleta che assume una posizione ad L chi regge il peso egrave lrsquoarticolazione della spalla quindi il CDM si sposta sotto la spalla (giagrave era uscita dal corpo per via delle gambe distese in avanti) Nel camminare il baricentro continua a muoversi da sopra un piede a sopra un altro (quello appoggiato ovviamente) Si osservi lrsquoondeggiamento Per assurdo lrsquoancheggiare delle indossatrici serve a mantenere il baricentro il piugrave possibile fermo rispetto alla direzione media del moto (porre un piede esattamente davanti allrsquoaltro) rendendo piugrave facile muoversi anche con tacchi altissimi Al contrario lrsquoequilibrista che cammina sui trampoli sta fermo il meno possibile percheacute egrave stando fermo che il piccolo spostamento che fa uscire il baricentro (ALTO) dalla superficie drsquoappoggio puograve verificarsi facilmente preferisce il ldquonon ndash equilibriordquo o lrsquo rdquoequilibrio dinamicordquo dellrsquoondeggiare continuamente fra due posizioni di equilibrio

Ricordiamo che un equilibrio egrave detto stabile se quando una perturbazione lo altera spontaneamente il sistema lo ripristina Viceversa un equilibrio egrave instabile se la piugrave piccola perturbazione lo distrugge Lrsquoequilibrio egrave molto stabile se il baricentro egrave basso ed il corpo ha una grande area drsquoappoggio la posizione accucciata del giocatore di football americano dagrave grande stabilitagrave Ancor piugrave grande stabilitagrave si ha se il baricentro (CDM) si trova al di sotto della superficie drsquoappoggio Ersquo come se si fosse ldquoappesirdquo anzicheacute ldquoappoggiatirdquo alla superficie drsquoappoggio Proprio per questo motivo lrsquoequilibrista sul filo porta una lunga asta che spesso si flette agli estremi

Fig 47 Gli uccelli bipedi da 100000000 di anni hanno sviluppato questo adattamento per cui sono appesi alle anche mentre gli uomini bipedi da solo 1000000 di anni fanno fatica con il CDM dalla parte alta del corpo Ersquo un equilibrio instabile ldquosoprardquo le anche che le reggono (65 del peso del corpo) Modificazioni strutturali per reggere la posizione eretta 1) Colonna vertebrale rastremata (piugrave tozza in basso che in alto percheacute piugrave in basso vuol dire una

maggior forza di contatto) 2) Muscoli estensori della schiena 3) Gambe ed anche ingrossate 4) Ginocchio che blocca la gamba estesa Ciononostante si ha spesso il mal di schiena Se una forza ha momento non nullo rispetto ad un punto allora il corpo puograve ruotare intorno a quel punto sotto lrsquoazione di quella forza ldquoDiciamo che se sostengo il corpo per quel punto il corpo puograve ruotare intorno a quel puntordquo (Prendo in mano un foglio di carta per un estremo per esempio) La presenza di un momento non nullo egrave dunque la condizione che genera rotazione e viceversa Lrsquoassenza di un momento risultante egrave la condizione che genera lrsquoequilibrio rotazionale di un corpo esteso Quindi la condizione di equilibrio per un corpo esteso egrave

1) rarrR = 0 risultante delle forze applicate = 0 (equilibrio traslazionale)

2) rarrM = 0 momento risultante = 0 (equilibrio rotazionale)

Supponiamo di avere un corpo esteso al quale siano applicate delle forze che diano luogo ad un momento non nullo allora il corpo ruota Per equilibrarlo dovrograve applicare un altro momento tale che la loro somma sia nulla Questo egrave il principio di funzionamento delle leve LEVE

Una leva egrave un corpo esteso al quale sono applicate delle forze con un momento risultante rarrR

allora per portare il corpo in equilibrio applico un momento correttivo rarrP in modo che il momento

totale sia nullo Si dice in genere potenza (P) e resistenza (R) di una leva Le leve sono macchine semplici Servono per applicare forze in punti scomodi o in direzioni particolari Il fulcro egrave il punto nel quale la leva egrave incernierata Si definisce il guadagno meccanico di una leva

GM =

)(

)(rarr

rarr

PF

RF

cioegrave il rapporto fra la forza che genera il momento resistente e quella che genera il momento agente A seconda che GM sia gt

lt 0 una leva si dice che egrave vantaggiosa o svantaggiosa ma solo per quel che riguarda le forze percheacute per quel che riguarda i lavori non si ha neacute vantaggio neacute svantaggio Il lavoro esercitato dalla forza che dagrave la ldquopotenzardquo e quello esercitato dalla forza che dagrave la ldquoresistenzardquo sono sempre uguali Infatti forze e spostamenti sono inversamente proporzionali Le leve si dicono di I II o III specie a seconda se il fulcro si trovi I) in mezzo fra R e P (leva indifferente GM dipende da caso a caso) II) dalla parte di R (leva vantaggiosa il braccio di R egrave sempre minore del braccio di P basta

quindi una P minore per equilibrare una R maggiore) III) dalla parte di P (leva svantaggiosa) Classici esempi dei tre tipi di leve sono i remi (I) lo schiaccianoci (II) e la pinzetta per francobolli (III) Tuttavia vediamo degli esempi meno classici ma attinenti al campo della biologia e della medicina Criterio generale egrave che le leve vantaggiose consentono di essere molto potenti ma con brevi spostamenti mentre viceversa quelle svantaggiose fanno perdere in potenza ma consentono grandi spostamenti saragrave difficile vedere un cavallo che con le lunghe zampe si scava la tana drsquoaltronde una talpa scava bene la tana ma ha movimenti molto meno ampi che non le consentono di correre veloce come un cavallo (compromesso fra forza e velocitagrave del movimento) Se contiamo tutti i movimenti di rotazione che il corpo puograve compiere capiamo che siamo pieni di leve di ogni tipo Sono classici a) il capo fulcro (articolazione occipito-atlantoide) Fig 48 muscoli della nuca (Potenza) peso del capo (Resistenza) b)

muscolo bicipide (Potenza)

Fig 49 Peso dellrsquoavambraccio (Resistenza) Fulcro (articolazione del gomito) Questa leva permette grandi spostamenti Si vede che la forza operata dal muscolo bicipite egrave massima quando lrsquoavambraccio egrave orizzontale (la distanza dal fulcro egrave massima) ed egrave minima quando lrsquoavambraccio egrave verticale( con la distanza dal fulcro nulla) Attenzione - la colonna vertebrale egrave costituita da 24 vertebre separate da dischi di liquido Quando una

persona si piega la schiena egrave una leva con GM molto piccolo Quindi un piegamento completo per raccogliere un oggetto anche leggero produce una forza molto intensa sul disco lombosacrale che separa lrsquoultima vertebra dellrsquoosso sacro Se indebolito questo disco puograve rompersi o deformarsi comprimendo i nervi vicini e causando grande dolore Vediamo un modello che rende conto come mai questa forza egrave cosigrave grande

Fig 50

I muscoli della schiena esercitano T Con un angolo α = 12deg quando la schiena egrave piegata a 90deg

Peso della parte superiore del corpo (circa il 65 del peso totale)

Fulcro lombosacrale (il fulcro produce R) Essendo α piccolo la retta di azione Τ passa vicino al fulcro e dunque la distanza r che costituisce il suo braccio egrave molto piccola Al contrario il peso egrave perpendicolare alla colonna e il suo punto di applicazione egrave molto piugrave distante dal fulcro Τ deve essere molto grande per equilibrare il momento di P Dunque se T egrave grande anche la sua componente orizzontale egrave grande e di conseguenza anche R che costituisce la reazione dellrsquoosso sacro deve avere componente orizzontale molto grande per equilibrare Τ (uguale ed opposta alla componente orizzontale di Τ ) Facendo i conti si ottengono numeri grandi per 75Kg di peso T ed R sono equivalenti al peso di una massa di 220Kg Senza sollevare pesi solo piegandosi Conviene piegare le ginocchia quando si sollevano pesi - Nel corpo egrave difficile che il peso cada sulla verticale dellrsquoarticolazione che lo sostiene egrave sempre

un porsquo spostato e crsquoegrave un tendine con un muscolo che compensa il momento del peso - La contrazione muscolare egrave una successione di brevi contrazioni delle fibre muscolari stimolate

da impulsi che provengono dal sistema nervoso Contrazioni sono molto ravvicinate e avvengono in tempi differenti nelle diverse parti del muscolo cosigrave che il risultato apparente egrave una lenta e progressiva contrazione Se la frequenza degli impulsi aumenta la tensione cresce finchegrave si raggiunge la tensione massima (ricordare la tensione di un cavo) Un ulteriore aumento della frequenza degli impulsi a questo punto non causa ulteriore aumento della tensione

La tensione massima egrave proporzionale allrsquoarea della sezione trasversa del muscolo nel suo punto piugrave largo La tensione massima dipende anche dalla lunghezza del muscolo che varia Si ottiene tensione massima quando il muscolo egrave solo di poco allungato rispetto alla sua lunghezza di riposo di riposo ed egrave circa 30-40 Ncm2 La tensione massima si riduce moltissimo se il muscolo egrave molto allungato o accorciato Dinamica Rotatoria Fino ad ora abbiamo studiato moti traslatori ma il moto di un corpo rigido egrave in generale roto-traslatorio Naturalmente dobbiamo ridurre il problema complesso ad uno piugrave semplice e per fare ciograve immaginiamo di posizionarci su un sistema di riferimento solidale al corpo rigido i moto immaginiamo cioegrave di ldquosedercirdquo sul corpo rigido In questo modo non saremo piugrave sensibili al moto traslatorio e guardando il corpo rigido osserveremo solo le sue rotazioni Trattiamo allora il moto generico scomponendo la parte traslatoria (giagrave discussa ) da quella rotatoria Se si trascura la parte traslatoria del moto di un corpo rigido quello che rimane da trattare egrave la sua rotazione Nel nostro corso consideriamo le rotazioni che avvengono su un piano le rotazioni nello spazio potranno essere trattate come composizione di rotazioni su un piano Per le rotazioni su un piano si identifica un asse di rotazione perpendicolare al piano di rotazione e passante per il centro di rotazione Le articolazioni del gomito e del ginocchio sono articolazioni libere di ruotare intorno ad un asse a differenza ad esempio di quella della spalla che puograve ruotare intorno a due assi Si definisce spostamento angolare la variazione di una posizione che egrave definita in modo completo da una misura di angolo Una rotazione di un intero corpo rigido egrave definita in modo completo da uno spostamento angolare θfin - θin= ∆θ e si misura in radianti

Fig 51 Dobbiamo definire anche un verso di rotazione θ si incrementa per rotazioni antiorarie positive le rotazioni in senso orario sono invece negative La velocitagrave angolare si definisce analogamente alla velocitagrave lineare come il rapporto tra lo spostamento angolare e il tempo t impiegato per eseguire tale rotazione

ωm = t∆

∆θ e si misura in rad s

θin

θfin ∆θ

R

S

Anche per w si definisce ωist = lim ∆trarr0 t∆

∆θ

Ancora lrsquoaccelerazione angolare si definisce αm = t∆

∆ω e αist = lim ∆trarr0

t∆∆ω

Anche la legge fondamentale della dinamica ha un analogo nel ambito dei moti rotatori Si stabilisce che se ad un corpo rigido egrave soggetto ad un momento torcente diverso da zero esso subisce unrsquoaccelerazione angolare ad esso proporzionale Nel caso delle rotazioni la resistenza al moto egrave espressa dal momento di inerzia I associato al corpo rigido che gioca il ruolo della massa nei moti traslatori La legge della dinamica delle rotazioni egrave M = I middotα

E sostituendo M = Imiddott∆

∆ω= Imiddot

tinfin

∆minusωω

Il momento di inerzia I di un corpo rigido dipende dalla disposizione della massa del corpo rispetto allrsquoasse di rotazione per una massa puntiforme m a distanza R dallrsquoasse di rotazione I= m R2 per un oggetto esteso sommerograve il momento drsquoinerzia delle sue parti I = Σi mi Ri

2 Se si definisce momento angolare L il prodotto del momento drsquoinerzia per la velocitagrave angolare

L=Iω la legge della dinamica diventa

M = t

LL infin

∆minus

Il momento angolare egrave la grandezza fisica che si conserva se non viene applicato momento torcente Tutti i gesti di volo salti lanci tuffihellip sono azioni nelle quali si conserva il momento angolare Infatti in volo agisce solo la forza di gravitagrave che essendo applicata al CDM non genera momento torcente Il corpo umano nei gesti di volo Il corpo umano non egrave rigido e pertanto in volo agendo con i muscoli possiamo cambiare la disposizione del nostro corpo intorno al centro di massa che in volo coincide col centro di rotazione In questo modo si ottiene una variazione del momento di inerzia I e di conseguenza la velocitagrave angolare deve compensare questa variazione in modo che si mantenga costante il momento angolare L (grandezza che si conserva in assenza di momento torcente) Ersquo questo il principio che spiega il realizzarsi delle trottole sul ghiaccio dei salti mortali tuffi con avvitamento e cosigrave via in posizione raccolta I diminuisce e ω aumenta Moto circolare e moto circolare uniforme Per utilizzare le relazioni della cinematica e della dinamica lineare che abbiamo studiato egrave interessante poter passare dalle variabili angolari alle variabili lineari velocitagrave e accelerazione delle

masse in moto rotatorio Se una massa si muove su una traiettoria curva la velocitagrave tangenziale vt diretta come la tangente alla traiettoria dipende dalla velocitagrave angolare ω ( ωm=ϑ t )e dal raggio di curvatura della traiettoria Se la traiettoria egrave una circonferenza di raggio R e se gli angoli sono espressi in radianti lrsquoarco percorso per uno spostamento angolare ϑ egrave S = ϑ sdotR e la velocitagrave lineare tangente vt = St= ϑ sdotRt risulta vt = ωsdotR Se la velocitagrave angolare ω egrave costante il moto egrave detto circolare uniforme La legge oraria egrave quella dei moti uniformi spostamenti angolari uguali in tempi uguali ϑ(t) = ω t Anche la velocitagrave tangente saragrave di intensitagrave costante se ω egrave costante (archi uguali per tempi uguali s(t) = vt (t) ) ma crsquoegrave una accelerazione normale infatti la velocitagrave anche se non cambia in modulo cambia continuamente di direzione Questa accelerazione si dice centripeta egrave diretta normalmente rispetto alla traiettoria verso il centro della circonferenza e vale in modulo

ac=R

v2

Fig 52 Essendo la velocitagrave tangente vt = ωR Lrsquo accelerazione centripeta si puograve scrivere

ac =R

v2

= ω2 R

Il tempo impiegato dal punto a muoversi sulla circonferenza egrave una costante (moto uniforme) T periodo in T viene percorso uno spazio 2π R

v = T

Rπ2

La frequenza f egrave invece il ndeg di giri al secondo

f =T

1

Se si prendono punti diversi sul raggio della circonferenza questi hanno la stessa velocitagrave angolare e velocitagrave tangenziali crescenti al crescere del raggio Esempio carosello dei pattinatori Esercizi

1- un velocista con una velocitagrave di 10 ms viaggia su una curva di raggio 25m ndash accelerazione

a = R

v2

= 25

100 = 4 ms2

2 ndash un velocista con v = 92 ms su una pista circolare con ac = 38 m s2 ndash Raggio della pista Tempo per percorrere un giro completo

a = R

v2

rArr R = a

v2

= 83

)29( 2

= 2227m

T =v

Rπ2 =

29

27222 lowastπ = 152 sec

Forza centripeta forza centrifuga Una forza centripeta egrave una forza di qualunque natura che trattiene un corpo in moto su una traiettoria curvilinea ad esempio circolare In assenza di tale forza il corpo proseguirebbe il suo moto lungo una traiettoria rettilinea Nel gesto del lancio del martello ad esempio il lanciatore che esercita sul peso in cima allrsquoattrezzo una forza mediata dalla tensione dal cavo che lo trattiene nella traiettoria circolare Quando il lanciatore lascia la maniglia il martello viene lanciato lungo la direzione della tangente alla traiettoria nellrsquoistante di rilascio Lrsquointensitagrave della forza centripeta necessaria a mantenere una massa m in moto con velocitagrave tangente v lungo una traiettoria circolare di raggio r si puograve calcolare a partire dallrsquoaccellerazione centripeta secondo la legge fondamentale della dinamica

|rarr

cF | = m | rarr

ca | = m r

v2

Tale forza egrave diretta come lrsquoaccelerazione centripeta e cioegrave verso il centro della circonferenza che costituisce la traiettoria La forza centripeta egrave dunque una forza reale Con lsquoforza centrifugarsquo invece non ci si riferisce ad un forza che agisce su un corpo ma alla situazione apparente cui sembra sottoposto un corpo in moto curvilineo Esso pare tirato o attirato lontano dal centro di rotazione pare ci sia una lsquoforzarsquo che vuole farlo sfuggire Quando viene lasciato il martello si allontana dal centro di rotazione percheacute si muove di moto rettilineo uniforme non essendo piugrave soggetto a forze altre che la forza peso Lrsquoacqua esce dal cestello della lavatrice quando il cestello ruota velocemente (funzione centrifuga) percheacute lrsquoacqua che non costituisce un corpo solo con il cestello bucato non egrave soggetta alla forza centripeta e puograve passare attraverso i buchi I panni invece pure non parte del cestello sono troppo grandi per passare dai buchi si possono solo schiacciare contro le pareti questo schiacciamento sembra il risultato di una forza ma egrave invece il risultato dellrsquoassenza di una forza quella centripeta Una volta lagrave contro il cestello fanno tuttrsquouno con le pareti di metallo che esercitano su di essi la forza centripeta (cioegrave con direzione verso lrsquoasse di rotazione) che li mantiene in rotazione Le parti di un corpo rigido esteso che si muove di moto rotatorio rispetto ad un asse quale ad esempio la gamba di un giocatore di calcio che calcia un pallone sono soggette alla forza centripeta che le mantiene sulla traiettoria curva Tale forza viene trasmessa alle varie parti tramite le forze di tensione che si sviluppano allrsquointerno del corpo stesso ad esempio il piede egrave soggetto alla forza centrifuga tramite lrsquoazione dei legamenti e tendini a livello della caviglia che vengono messi in tensione per trattenere il piede stesso

Lm = rarr

mF middot rarrs = 2500 N middot 2m middot 1 = 5000 J (sollevamento verticale quindi ϑ = 0 e cosϑ = 1)

Quanto lavoro fa la forza peso

Lp = rarrP middot

rarrs = 2500 middot 2 middot (-1) = -5000 J

(percheacute ϑ = π e cosϑ = -1) Quanto lavoro fa lrsquoatleta mentre sostiene il peso fermo sopra la testa L = 0 percheacute non crsquoegrave spostamento Qui si parla di lavoro meccanico non di lavoro fisiologico diciamo che si fa fatica percheacute crsquoegrave da mantenere integrordquo un corpo non rigido che egrave il corpo dellrsquoatleta quindi si il lavoro delle contrazioni muscolari per mantenere lrsquoequilibrio e ldquolrsquointegritagraverdquo egrave la misura del lavoro fisiologico necessario anche se il lavoro meccanico compiuto egrave nullo 2deg caso Forza variabile Nel caso in cui F egrave una forza variabile che dipende dalla posizione ogni volta che avviene uno spostamento∆ x la forza cambia Il lavoro totale saragrave la somma dei lavori elementari fatti sui tratti piccoli sui quali la forza puograve essere assunta costante

Ltot = iii xxF ∆sdotsum )(

( Se si fa il limite per ∆ xi piccolo rarr 0 e la isum egrave lrsquointegrale Ltot = int sdotxtin

xinxdxF )( )

Ad esempio la forza F puograve essere la forza di richiamo di una molla vincolata al muro Lrsquointensitagrave della forza elastica varia durante lo spostamento aumentando con lrsquoallungamento (o la compressione) della molla ed ha la direzione parallela allo spostamento ma puograve avere verso concorde o discorde quindi con cosϑ che vale o +1 o ndash1 Immaginiamo di avere un blocco attaccato alla molla e di tirarlo da Xin a Xfin allora

F(x) = - kx Fig 28

Il lavoro della forza elastica si calcola sommando i lavori infinitesimali compiuti per spostamenti infinitesimi durante i quali la forza si assume costante Ciograve egrave rappresentato graficamente nel calcolo lrsquoarea compresa al di sotto della curva del grafico di F (Fig 28A) In figura si egrave cambiato il segno della funzione forza per comoditagrave di rappresentazione

Fig 28A

Area = differenza aree dei due triangoli = AABB kxxkxx sdotminussdot2

1

2

1

Ricordandoci del segno

L infin = 22

2

1

2

1infin kxkx +minus e in generale L = 2

2

1kx

Se si calcola il lavoro della forza di richiamo durante un allungamento della molla si ha lavoro negativo mentre durante il ritorno alla posizione di equilibrio il lavoro egrave positivo (segno dello spostamento x e della forza concordi) Energia cinetica Il termine ldquoenergiardquo indica la capacitagrave di compiere lavoro Lrsquoenergia cinetica egrave la proprietagrave che rende conto quantitativamente del legame fra il lavoro compiuto ed il moto generato Avevamo detto piugrave o meno lo stesso parlando della seconda legge della dinamica riferendoci alle forze Qui col lavoro non egrave necessaria la descrizione dettagliata delle forze che agiscono sul punto in considerazione Ersquo sufficiente conoscere il loro lavoro totale

Lrsquoenergia cinetica K = 2

1mv2 (gt 0 percheacute m gt 0 v2 gt 0 ) (m e v sono la massa e la velocitagrave del

corpo) Lrsquounitagrave di misura e le dimensioni di K sono le stesse del lavoro Joule ( J ) e [ ]K = [ ]22 minustml

Teorema dellrsquoenergia cinetica Se una forza F compie un lavoro L su un punto materiale di massa m si ha una variazione dellrsquoenergia cinetica pari al lavoro compiuto

Xfin Xin

F

0

ksdotxfin

ksdotxin

F= ksdotx

x

LAB= -area

L = Kfin ndash Kin = ∆ K Nel caso che piugrave forze agiscono sul punto materiale il teorema dellrsquoenergia cinetica si applica al lavoro totale (equivalentemente al lavoro della risultante ) E il caso dellrsquoatleta che solleva il peso di 2500N Sappiamo che ha compiuto un lavoro di 5000J ma il bilanciare con i pesi era fermo allrsquoinizio ed egrave fermo alla fine Quindi Kin = 0 e Kfin = 0 percheacute vin = 0 e vfin = 0 Allora il teorema dellrsquoenergia cinetica Vale per il lavoro totale o lavoro della forza totale e noi abbiamo visto che la forza netta totale = 0 ( Fa + P = 0 ) ed il lavoro totale egrave nullo quindi giustamente si ha ∆ K = 0 1)Caso di una palla da tennis che cade

la forza peso rarrP compie un lavoro positivo con spostamento concorde a

rarrP si dovrebbe avere

∆ K gt 0 infatti la velocitagrave v aumenta 2)Caso di una palla lanciata verso lrsquoalto

lo spostamento ha verso opposto a rarrP Il lavoro della forza peso egrave negativo e quindi ∆ K egrave

negativo giusto La velocitagrave diminuisce NB Durante il volo agisce solo la forza di gravitagrave quindi il lavoro totale comiuto sul corpo egrave solo quello della gravitagrave 3)Caso del moto circolare uniforme la forza che agisce egrave la forza centripeta che egrave perpendicolare allo spostamento Quindi non compie lavoro deve essere ∆ K = 0 Iinfatti il moto egrave uniforme cioegrave la velocitagrave egrave in modulo costante Potenza Si chiama potenza il lavoro che si egrave in grado di svolgere nellrsquounitagrave di tempo

P = t

L

∆ ( potenza media )

P = t

Lt ∆

∆rarr∆ 0lim ( potenza istantanea)

Non egrave solo una stima del lavoro compiuto ma anche della rapiditagrave con cui si compie lavoro

Fig 29 Per superare il muro ci vuole un certo lavoro che consiste nellrsquoinnalzare il proprio corpo di unrsquoaltezza h Sia lrsquoatleta che lo supera in un sol balzo sia il vecchietto che sale pian piano la scalinata faranno lo stesso lavoro Quel che egrave diverso egrave la potenza dei due personaggi Dimensioni e unitagrave di misura della potenza [ ]P = [L] [t -1] = [ml2t-3] 1 watt = 1 joule 1sec (1w)

Energia Potenziale K egrave energia connessa allo stato di moto di un sistema Crsquoegrave anche energia connessa alla posizione di un corpo in un campo di forze (configurazione) Si chiama energia potenziale Nel caso dellrsquoatleta di sollevamento pesi il lavoro compiuto dallrsquoatleta Lm non ha alterato lrsquoenergia cinetica K dellrsquoattrezzo ma ha modificato la configurazione del sistema (terra-attrezzo) variandone lrsquoenergia potenziale (W) Il lavoro non egrave stato sprecato ma ldquoimmagazzinatordquo lrsquoattrezzo prima egrave a terra poi egrave in alto nel sistema che ora ldquopotenzialmenterdquo puograve compiere un lavoro cedendo la sua ldquoenergia potenzialerdquo Energia cinetica ed energia potenziale sono due parti dellrsquoenergia meccanica possono trasformarsi lrsquouna nellrsquoaltra ed in lavoro Nellrsquoesempio precedente quando lrsquoattrezzo egrave in alto si ha che K = 0 e W = WA Quando cade K aumenta percheacute la velocitagrave v aumenta e lrsquoenergia potenziale W diminuisce In basso W = WB lt WA e K egrave massima Lrsquoattrezzo cadendo puograve compiere lavoro Se fosse un martello potrebbe far avanzare un chiodo ad esempio Lrsquoenergia potenziale viene definita proprio a partire dal concetto di lavoro di forze conservative Ersquo conservativa una forza il cui lavoro per spostare il suo punto di applicazione da una posizione (configurazione) ad unrsquoaltra dipende solo dalle due posizioni (configurazioni) iniziale e finale Equivalentemente si puograve definire la forza conservativa dicendo che il lavoro di tale forza egrave nullo se le posizioni (configurazioni) iniziali e finali coincidono

-Lavoro per passaggio dalla posizione A a B egrave lo stesso lungo I o II -Se da A vado a B e torno in A il lavoro totale egrave nullo

Fig 30 Posso allora definire una funzione della posizione W che assume i valori WA e WB in A e B e tale per cui LAB = WA ndash WB ( W energia potenziale) WA WB sono definiti a meno di una costante tanto quello che interessa egrave la differenza fra loro Variazione di energia potenziale del passaggio da A a B WB ndash WA = ∆W allora LAB = -∆ W Con questa convenzione sui segni si rende conto del fatto che un lavoro positivo ( fatto dalle forze conservative sul corpo) fa diminuire lrsquoenergia potenziale W ( L positivorarr ∆W negativo rarr WBlt WA rarr ho usato energia potenziale) un lavoro negativo (subito) aumenta W (L negativo rarr ∆W positivo rarr WBgt WA rarr ho guadagnato energia potenziale) W si misura in Joule come il lavoro e lrsquoenergia cinetica

Qual egrave la Forma di W

Mentre la forma dellrsquoenergia cinetica egrave sempre K =2

1mv2 indipendentemente dal tipo di forze

che provocano il movimento W dipende dal tipo di forza conservativa di cui si sta calcolando il lavoro Consideriamo due forze conservative

a) Forza gravitazionale forza peso

F(y) = -mg Stato di riferimento y0 = 0 in cui W0 = 0

Fig31

Abbiamo detto che LAB = WA- WB ma siccome

LAB = )( ABhmgsP minussdotminus=sdot dove hAB= yA-yB egrave la distanza tra A e B allora rArr WA = mgyA WB = mgyB e in generale W(y) =mgy

Per la forza peso W(y) =mgy e lrsquoenergia totale meccanica (W+K) = mgy+2

1mv2=Etot

b) Forza elastica

Fig 32

F(x) = -kx Stato di riferimento x = 0 allungamento nullo la lunghezza della molla egrave la sua lunghezza di riposo L ( W(0) = 0)

Immaginiamo che la configurazione della molla venga modificata passando dalla posizione xA alla posizione xB (Fig 32) Il lavoro della forza elastica egrave calcolato come

LAB = 22

2

1

2

1AB kxkx +minus

Ricordando che LAB = WA- WB possiamo ricavare lrsquoespressione per lrsquoenergia potenziale elastica

rArr WA = 2

2

1Akx WB = 2

2

1Bkx e in generale W(x) = 2

2

1kx

Energia totale meccanica ndash Conservazione dellrsquoenergia

In presenza di sole forze conservative la somma dellrsquoenergia cinetica e dellrsquoenergia potenziale costituisce lrsquoenergia totale meccanica Tale energia meccanica gode della proprietagrave importantissima di conservarsi durante lrsquoevoluzione del sistema Lrsquoenergia connessa al movimento e alla posizione si scambiano una diminuisce e lrsquoaltra cresce ad esempio ma la loro somma rimane costante

- Esempio delle montagne russe Se non ci sono attriti (infatti il trucco egrave quello di rendere il

sistema privo di attriti) so giagrave quale altezza massima potrograve raggiungere (quella iniziale e non di piugrave) quale velocitagrave massima potrograve raggiungere (in fondo alla valle) Queste quantitagrave sono fra loro legate dal teorema della conservazione dellrsquo energia meccanica

Fig 33 - Esempio del salto con lrsquoasta Lrsquoenergia cinetica dellrsquoatleta acquisita nella rincorsa viene

trasformata in energia potenziale gravitazionale parte direttamente e parte attraverso lrsquoenergia potenziale elastica dellrsquoasta acquisita nella sua deformazione durante il salto La flessibilitagrave dellrsquoasta (costante elastica dellrsquoasta) egrave legata allrsquoenergia che si puograve immagazzinare in una data deformazione Infatti con aste rigide (alluminio acciaio bambugrave) il salto era piugrave basso Con fibra di vetro il record egrave stato polverizzato

Fig 34

Fig 35

Fig 36

Osserviamo che il teorema dellrsquoenergia cinetica ha validitagrave generale qualunque siano le forze che agiscono conservative o non conservative (le forze non conservative si dicono anche ldquodissipativerdquo)

KLL

KL

fncfc

tot

∆=+∆=

e ricordando che darr Lfc = - )( fcW∆

Si ottiene che K∆ + )( fcW∆ = Lfnc

Si vede che nel caso in cui Lfnc sia nullo cioegrave quando non ci sono forze dissipative la somma delle variazioni di energia cinetica e energia potenziale egrave uguale a zero cioegrave lrsquoenergia totale meccanica (somma dellrsquoenergia cinetica e potenziale) egrave costante E questo corrisponde al teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica Nel caso ci siano forze dissipative la somma delle energie non egrave costante quindi al contrario del teorema dellrsquoenergia cinetica il teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica non ha validitagrave generale (vale solo in assenza di attriti ad esempio) Le forze non conservative di attrito compiono lavori solo negativi e fanno perdere quantitagrave di energia non recuperabile Parte di questa energia va in generale in calore quindi se ne puograve tenere conto considerando unrsquoaltra forma di energia lrsquoenergia termica ( ci sono anche altri fenomeni dissipativi ad esempio le deformazioni permanenti negli urti o la propagazione di onde sonore)

Lrsquo energia puograve dunque conservarsi o trasferirsi proprietagrave caratterizzanti dellrsquoenergia Il lavoro rende conto del trasferimento di energia della perdita di energia sotto una forma e del guadagno sotto unrsquoaltra forma (cioegrave energia conservativa) o del passaggio dellrsquoenergia da un sistema ad un altro Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica quando egrave applicabile puograve essere sfruttato per risolvere facilmente problemi altrimenti complicati Esercizio Una palla da tennis viene lanciata con velocitagrave iniziale v0 (senza effetti strani taglio etc) al di lagrave della rete Con quale velocitagrave arriva a terra

Se durante il moto Etot si conserva K+W = cost

Fig 37 e W = mgh egrave solo energia potenziale gravitazionale h = 0 alla fine come allrsquoinizio dunque K in = Kfin e vfin = v0 Se la palla egrave lanciata verso lrsquoalto non crsquoegrave componente orizzontale della velocitagrave ma solo verticale al punto piugrave alto di arresto h K(h) = 0 W(h) = max = Kin cioegrave mgh = frac12 mv0

2 si puograve cosigrave calcolare facilmente lrsquoaltezza massima raggiunta h = (frac12 v0

2)g e vicenversa si puograve calcolare il valore della velocitagrave v0 che bisogna imprimere alla palla affinchegrave raggiunga lrsquoaltezza h

v0 = gh2

Esercizio Una saltatrice di massa M = 61Kg salta da un ponte di altezza H = 45m agganciata ad una corda elastica La lunghezza di riposo della corda elastica egrave L = 25m e la sua costante elastica egrave k = 160 Nm Nel punto piugrave basso si arresta prima di venire rimbalzata in alto Qualrsquo egrave lquesta quota piugrave bassa h (a cui si trovano i suoi piedi ai quali egrave legato lrsquoelastico)

Fig 38 Etot = Wgrav + Wel + K = cost sono solo forze conservative vale la conservazione

dellrsquoenergia Nel punto A K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di lanciarsi Wel = 0 percheacute lrsquoelastico non egrave ancora svolto Wgrav = MgH Nel punto B K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di rimbalzare

Wel = frac12 kd2 Wgrav = Mgh = Mg(H-(L+d)) Etot(A) = Etot (B) MgH + 0 + 0 = Mg (H-(L+d)) + frac12 kd2 + 0 MgH = MgH ndash MgL ndash Mgd +frac12 kd2

2

1(160)d2 ndash (61)(98)d ndash (61)(98)(25) = 0

equazione di IIdeg grado che dagrave per d il valore accettabile d = 179m (lrsquoaltro egrave negativo e non egrave accettabile perchegrave non ha senso fisico la

saltatrice va in giugrave non in su) Allora h = H-(L+d) = 45 ndash (25+179) = 45 ndash 429 = 21m quindi con la testa poco sopra lrsquoacqua Sistemi di punti materiali e corpi rigidi ndash Centro di Massa

Un giocoliere o un ginnasta che lancia la clavette fa compiere allrsquoattrezzo movimenti complicati tuttavia crsquoegrave un punto dellrsquoattrezzo che si muove seguendo una traiettoria semplice come quella di un punto materiale ad esempio lanciato segue una traiettoria parabolica Tale punto si chiama centro di massa dellrsquooggetto Il centro di massa puograve essere definito per un oggetto o per un insieme di punti materiali Ersquo importante percheacute in generale il moto di un corpo esteso (o di un insieme di punti) si puograve studiare separando il moto del centro di massa (moto traslatorio) e il moto del corpo attorno al centro di massa (moto rotatorio)

Centro di Massa (CDM) di un sistema di punti - Consideriamo il caso semplice di due punti materiali di massa m1 m2 posti sullrsquoasse x in

posizione x1 x2

Fig 39

la posizione del centro di massa egrave definita xCDM = 21

2211

mm

xmxm

++

a) xCDM egrave compreso fra x1 e x2 b) se m1 = m2 CDM egrave a metagrave strada fra m1 ed m2 c) xCDM egrave piugrave prossimo alla massa maggiore - Nel caso di piugrave punti allineati nelle posizioni xi detto M = summi allora

xCDM = ii xmMsum

1

- Nel caso di punti distribuiti nello spazio detti irrarr

i vettori che identificano le loro posizioni

CDMrrarr

= iii rmM

rarrsum

1

dove CDMrrarr

ha coordinate (xCDM yCDM zCDM) definite come

xCDM = ii xmsumη1

yCDM = ii ymMsum

1

zCDM = ii zmMsum

1

- Consideriamo un oggetto qualsiasi questo egrave composto da un gran numero di particelle ma conviene considerarlo come un continuo di materia e per calcolare il centro di massa si prendono in considerazione degli elementi infinitesimi di massa dm centrati intorno alle posizioni (xyz) allora

xCDM = int xdmM

1 yCDM = int ydm

M

1 zCDM = int zdm

M

1

se si puograve considerare il corpo omogeneo (densitagrave uniforme) allora V

M

dv

dm = e allora si puograve fare il

calcolo considerando il volume V e gli elementi di volume dv anzichegrave la massa e gli elementi di massa

xCDM = int xdvV

1 etc

In un oggetto solido (corpo rigido) i diversi punti materiali che lo compongono non cambiano la loro posizione relativa (non come un corpo elastico) - se un oggetto ha un elemento di simmetria un asse od un piano il CDM si trova su tale

elemento di simmetria (asse per cono centro per sfera piano per una banana etc) Non egrave detto che il CDM di un oggetto appartenga allrsquooggetto vedi uno pneumatico un cerchio Il CDM egrave esterno alloggetto Legge fondamentale della dinamica per un sistema di punti materiali Caso della palla da bigliardo urto fra due palle dopo il lancio di una le due si muovono 1) una egrave ferma (B) lrsquoaltra la lancio (A) 2) le due si urtano in qualunque modo 3) le due si muovono secondo traiettorie differenti una possibilmente andragrave in buca lrsquoaltra no Dopo il lancio sulla palla A non agisce piugrave nessuna forza quindi la sua velocitagrave v egrave costante Va bene ma dopo lrsquourto Il CDM delle due palle continua a muoversi con velocitagrave costante anche se il centro di massa egrave un punto teorico che non appartiene a nessuna delle due palle Tuttavia al CDM possiamo assegnare una massa (M totale del sistema) una velocitagrave ed una accellerazione Si ha

)(CDMext aMFrarrrarr

=sum

a) extFrarr

sum egrave la somma di tutte le forze esterne che agiscono sul sistema non quelle interne (ad esempio nel caso del bigliardo non devo considerare le forze che si applicano fra le due palle quando si urtano)

b) M egrave la massa totale del sistema Si suppone che durante il moto M rimanga costante

c) )(CDMararr

egrave lrsquoaccelerazione del CDM Dellrsquoaccellerazione di un altro punto ad esempio del centro della palla A non si dice nulla

Cosideriamo alcuni esempi 1) Bigliardo tvaF CDMCDMext cos00 ===sum prima dellrsquourto nellrsquourto si verificano solo forze

interne Quindi tvaF CDMCDMext cos00 ===sum dopo lrsquourto e durante tutto il moto

2) Sistema terra-luna sumFext = gravitazione del sole aCDM egrave ldquocentripetardquo accellerazione di una

forza che egrave diretta verso il sole (forza ldquocentralerdquo) egrave il CDM terra-luna che segue la traiettoria dovuta allrsquoattrazione gravitazionale del sole poi terra e luna si muovono intorno al loro CDM

3) Clavette lanciate sum Fext = Mg aCDM = g il centro di massa si comporta come un punto materiale nel lancio

4) La ballerina nel ldquogrand-fetegraverdquo fa seguire a testa e busto una traiettoria rettilinea percheacute modifica lrsquoassetto in modo da alzare il suo CDM Nel corso del salto (alza le braccia e distende

orizzontalmente le gambe non appena lasciato il suolo) il suo CDM segue la traiettoria parabolica del lancio di un corpo soggetto allrsquoaccelerazione di gravitagrave g

Quantitagrave di moto rarrP

- Si definisce quantitagrave di moto di una particella il vettore

rarrrarr= vmP

con m massa della particella e rarrv la sua velocitagrave

Si vede che rarrP egrave diretto come

rarrv

Newton scrisse la legge fondamentale della dinamica in termini di quantitagrave di moto (a differenza di Galileo che la scrisse in termini di massa e di accelerazione) ldquola rapiditagrave di variazione della quantitagrave di moto di una particella egrave proporzionale alla forza netta che agisce sulla particella ed egrave nella direzione di quella forzardquo cioegrave

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

che egrave piugrave generale della formulazione di Galileo perchegrave descrive bene anche il caso in cui variasse la massa del corpo durante il moto (ad esempio un vettore spaziale) Se la massa egrave costante le due formulazioni sono identiche

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

= t

vm

∆∆

rarr)(

= m t

v

∆∆

rarr

= m rarra

Ricordiamo che rarrF egrave diretto come

rarra (o la risultante

rarrR = sum

rarrF )

Per un sistema di punti materiali si definisce la quantitagrave di moto totale

rarrP =

rarrP 1 +

rarrP 2 + helliphellip+

rarrP n =

m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +helliphelliphellip+ mn

rarrv n = M

rarrv CDM (si puograve dimostrare) dove M egrave la massa totale

[essendo infatti Mrarrv CDM =

dt

d(M

rarrr CDM) =

dt

d(m1

rarrr 1 + m2

rarrr 2 +hellip) = m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +

hellip]

quindi rarrP = M

rarrv CDM per un sistema di particelle e

dt

Pdrarr

= M dt

d rarrv CDM = M

rarra CDM = sum

rarrF ext

Conservazione delle quantitagrave di moto

Per un sistema chiuso (M non varia) e isolato (sumrarrF ext = 0)

Allora

t

P

∆∆

rarr

= 0 rarrP = cost

rarrP i =

rarrP f

che sono tre modi equivalenti per dire che la quantitagrave di moto si conserva Vale per un sistema nel quale non agisca nessuna forza esterna netta Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica e la conservazione delle quantitagrave di moto sono due concetti fisici importantissimi Valgono sia per le palle da bigliardo che per qualunque altro sistema anche le galassie nellrsquouniverso Queste equazioni sono vettoriali Ciograve significa che rappresentano una terna di equazioni scalari ognuna valida sul proprio asse del sistema di riferimento (x y z)

Puograve accadere a seconda delle forze che agiscono nel sistema che la quantitagrave di moto si conservi in una direzione o in due e non in tutte e tre

Ad esempio se consideriamo una palla come un insieme di punti materiali la rarrF ext che agisce nel

sistema egrave mrarrg diretta lungo z senza componenti su x e y quindi

rarrP varia lungo z ma

non su x e y

Percheacute ldquocomplicarci la vitardquo con questa storia del CDM del sistema di particelle etchellip non bastava il moto del punto rappresentativo materiale Avevamo giagrave considerato il punto rappresentativo e avevamo svolto anche problemi sulla palla sul bilanciere e per altri oggetti Abbiamo sempre sbagliato La questione egrave se un corpo egrave rigido cioegrave se tutti i suoi punti si muovono mantenendo le loro distanze relative non crsquoegrave problema abbiamo solo visto che il punto materiale rappresentativo si chiama CDM ed abbiamo imparato a situarlo allrsquointerno del corpo Ma se il corpo non egrave rigido cioegrave se il suo CDM si sposta rispetto a lui stesso nel corso del moto la disposizione del corpo intorno al punto rappresentativo varia nel corso del tempo e le leggi di conservazione valgono per il CDM - Consideriamo ad esempio il teorema dellrsquoenergia cinetica che per un punto materiale si scrive Ltot = Kfin-K in = ∆ K (qui ovviamente non crsquoegrave da specificare lavoro delle forzeldquoesternerdquo percheacute essendo in un punto materiale che si assume infinitamente piccolo non ci sono forze ldquointernerdquo) Per analogia il teorema dellrsquoenergia cinetica si estende al caso di un insieme di punti materiali nel seguente modo

Ltot forze ext=rarrF extmiddot

rarrs CDM = ∆ KCDM

Dove s CDM egrave lo spostamento del centro di massa A titolo di esempio risolviamo il problema un giocatore di hockey su ghiaccio di massa M = 110Kg si muove verso la balaustra a bordo campo alla velocitagrave di 3msec Nellrsquoarrestarsi flettendo le braccia il suo CDM si sposta in avanti di 30cm Qual egrave la ∆ K del suo CDM durante la manovra

∆ KCDM = infin CDMCDM mvmv 22

2

1

2

1 minus =

= 0 - 2

1110 32 = -495 J

Fig 40

Sia L il lavoro delle forze esternerarrF ext (dirette come d

rarrx CDM ) allora

L = - Fext 03 = ∆ KCDM quindi

Fext =30

495

minusminus

= + 1650N

( si considera la forza esterna rarrF ext costante nellrsquointervallo dellrsquoarresto fatto che equivale a dire

che il giocatore si arresta con rarra CDM costante)

Dinamica e statica del corpo esteso Finora abbiamo sempre discusso del moto di un punto materiale (punto rappresentativo dicevamo sempre) In particolare abbiamo sempre applicato le forze a quel punto materiale quindi se diverse forze erano applicate esse concorrevano in quel punto ligrave e con le forze concorrenti sapevamo come calcolare la risultante con il metodo grafico o con quello numerico delle coordinate cartesiane Una volta calcolata la risultante applicata al punto si otteneva un moto di pura traslazione del punto (al massimo traslava lungo una traiettoria curva) senza rotazioni proprie del punto che non hanno neanche senso un punto che ruota su se stesso Come faccio ad accorgermi Un punto per definizione egrave infinitamente piccolo (Dicevamo infine che il punto egrave in equilibrio

traslazionale se la risultante rarrR delle forze applicate egrave nullo)

Consideriamo invece un corpo esteso Prima osservazione questo ha piugrave punti (direi infin ) a

cui la forza puograve essere applicata Prendiamo una racchetta da tennis ed una forza rarrF applicata il

moto che ne risulta dipende dal punto al quale viene applicata la forza rarrF

qui la racchetta trasla

Fig 41

stessa forza qui la racchetta ruota

Fig 42

Seconda osservazione Crsquoegrave un caso in cui le forze non possono essere fatte concorrere in un punto ed egrave quando sono parallele ed hanno rette di applicazione distinte Chiaramente non abbiamo mai dovuto considerare questo caso per il punto materiale percheacute per un punto non possono mai passare due rette parallele Ma per il corpo esteso So benissimo che se sono ferma con la macchina in

panne e la sto spingendo applicando una forza rarrF 1 sono contenta se qualcuno si affianca a me ed

esercitando una forza rarrF 2 lungo una direzione parallela a quella della mia mi aiuta a spingere In

particolare mi viene spontaneo dire che se F1 = F2 allora spingeremo con una forza doppia Ci saragrave quindi un modo per sommare due forze non concorrenti in un punto ma parallele e saragrave Ftot = F1+ F2 La retta di applicazione di Ftot divide il segmento congiungente i punti di applicazione di F1 ed F2 in due segmenti inversamente proporzionali allrsquointensitagrave delle forze F1 e F2 Terza osservazione se F1 = - F2 sono uguali in intensitagrave ma di verso opposto sempre lungo due rette di applicazione parallele passanti per un corpo esteso cosa succede La loro somma Ftot risultante saragrave 0 ma io so che il corpo non sta fermo sotto lrsquoazione di tali due forze ma ruoteragrave Concludo che le nozioni che ho acquisito finora vanno riviste ed ampliate o corrette o specificate per i corpi estesi ed inoltre che mi mancano totalmente i mezzi per descrivere le rotazioni dei corpi estesi Occorrono nuovi concetti nuove quantitagrave la forza non basta Prendo lrsquoesempio piugrave semplice dellrsquoaltalena con due bambini in due bracci uno piugrave leggero uno piugrave pesante

Fig 43 Qualitativamente so che percheacute lrsquoaltalena stia in equilibrio e non ruoti intorno al punto fisso non egrave necessario che i due bambini abbiano lo stesso peso (ugual massa) occorre che il bambino piugrave leggero sieda piugrave lontano rispetto al punto fisso (fulcro) La regola quantitativa dice che lrsquoaltalena egrave in equilibrio se il prodotto del peso per la distanza del fulcro egrave uguale PB dB = Pb

db Per generalizzare questa regola ai casi piugrave complessi occorre definire una nuova quantitagrave il momento di una forza Momento di una forza

Consideriamo una forza rarrF applicata ad un punto P ed un punto O Sia

rarrr

il vettore rarrOP allora il momento

rarrM di

rarrF rispetto ad O egrave

rarrM =

rarrr x

rarrF

e

|rarrr | middot |

rarrF | sin ϑ = |

rarrM |

Fig 44

oppure anche considerando la componente di rarrF perpendicolare ad

rarrr o di

rarrr

perpendicolare a rarrF r e rispetto a F

|rarrM | = |

rarrr | |

rarrF perp | |

rarrM | = |

rarrr perp| |

rarrF |

In generale si dice che il modulo del momento |rarrM | egrave il prodotto delle intensitagrave della forza per la

distanza dal punto della retta di applicazione della forza

Come vettore rarrM egrave perpendicolare al piano che contiene

rarrF ed

rarrr ed ha verso calcolato con la

regola della mano destra (con rarrr che si chiude su

rarrF )

La distanza rperp si chiama braccio della forza Si vede che il momento egrave nullo quando il braccio egrave nullo cioegrave quando il punto O si trova sulla retta di applicazione di F Il momento della forza peso P egrave nullo rispetto al baricentro che coincide con il centro di massa nel caso (praticamenteldquosemprerdquo) in cui il corpo non sia abbastanza esteso percheacute diversi punti del corpo risentano di una forza gravitazione differente Praticamente si deve parlare di galassie percheacute CDM e baricentro (BC) non coincidono Quindi la condizione del momento nullo della forza peso diventa un modo per definire il CDM come quel punto rispetto al quale la forza peso P ha momento nullo Per un corpo ldquoarticolatordquo estendiamo il concetto di forza normale come forza di contatto nellrsquoarticolazione utile cioegrave la forza che lrsquoarticolazione che si sta considerando esercita su quello che nellrsquoarticolazione si appoggia La forza peso P di un corpo esteso puograve immaginarsi applicata al CDM Principio di equilibrio di un corpo esteso

se su un corpo esteso agiscono solo rarr

Peso e rarr

Normale cioegrave se un corpo egrave appoggiato ad un piano orizzontale allora il corpo egrave in equilibrio se e solo se il baricentro si trova sopra la superficie di appoggio

Fig 45

Finchegrave il baricentro egrave sopra il tavolo il libro non cade percheacute rarrP applicata a CDM puograve essere

controbilanciata da rarrN Se CDM si sposta in fuori

rarrN rimane nel tavolo e crsquoegrave momento non nullo

non equilibrato da rarrP che continua ad essere applicato nel CDM

Il baricentro di una persona in posizione eretta si trova nellrsquoarea delimitata dei suoi piedi 3cm davanti allrsquoarticolazione della caviglia

Fig 46 Quando la persona si piega in avanti il baricentro esce dal corpo e per mantenere lrsquoequilibrio egrave necessario che le anche si spingono indietro percheacute il baricentro cade di nuovo in quella posizione Notiamo che anche in posizione eretta essendo la forza peso e la forza di contatto non allineate (quei 3cm) (forza di contatto sullrsquoarticolazione della caviglia che regge il peso) occorre un momento correttivo che impedisca la rotazione in avanti mantenuto dal tendine di Achille che si lega alla caviglia Altro esempio di spostamento del baricentro egrave lrsquoatleta che assume una posizione ad L chi regge il peso egrave lrsquoarticolazione della spalla quindi il CDM si sposta sotto la spalla (giagrave era uscita dal corpo per via delle gambe distese in avanti) Nel camminare il baricentro continua a muoversi da sopra un piede a sopra un altro (quello appoggiato ovviamente) Si osservi lrsquoondeggiamento Per assurdo lrsquoancheggiare delle indossatrici serve a mantenere il baricentro il piugrave possibile fermo rispetto alla direzione media del moto (porre un piede esattamente davanti allrsquoaltro) rendendo piugrave facile muoversi anche con tacchi altissimi Al contrario lrsquoequilibrista che cammina sui trampoli sta fermo il meno possibile percheacute egrave stando fermo che il piccolo spostamento che fa uscire il baricentro (ALTO) dalla superficie drsquoappoggio puograve verificarsi facilmente preferisce il ldquonon ndash equilibriordquo o lrsquo rdquoequilibrio dinamicordquo dellrsquoondeggiare continuamente fra due posizioni di equilibrio

Ricordiamo che un equilibrio egrave detto stabile se quando una perturbazione lo altera spontaneamente il sistema lo ripristina Viceversa un equilibrio egrave instabile se la piugrave piccola perturbazione lo distrugge Lrsquoequilibrio egrave molto stabile se il baricentro egrave basso ed il corpo ha una grande area drsquoappoggio la posizione accucciata del giocatore di football americano dagrave grande stabilitagrave Ancor piugrave grande stabilitagrave si ha se il baricentro (CDM) si trova al di sotto della superficie drsquoappoggio Ersquo come se si fosse ldquoappesirdquo anzicheacute ldquoappoggiatirdquo alla superficie drsquoappoggio Proprio per questo motivo lrsquoequilibrista sul filo porta una lunga asta che spesso si flette agli estremi

Fig 47 Gli uccelli bipedi da 100000000 di anni hanno sviluppato questo adattamento per cui sono appesi alle anche mentre gli uomini bipedi da solo 1000000 di anni fanno fatica con il CDM dalla parte alta del corpo Ersquo un equilibrio instabile ldquosoprardquo le anche che le reggono (65 del peso del corpo) Modificazioni strutturali per reggere la posizione eretta 1) Colonna vertebrale rastremata (piugrave tozza in basso che in alto percheacute piugrave in basso vuol dire una

maggior forza di contatto) 2) Muscoli estensori della schiena 3) Gambe ed anche ingrossate 4) Ginocchio che blocca la gamba estesa Ciononostante si ha spesso il mal di schiena Se una forza ha momento non nullo rispetto ad un punto allora il corpo puograve ruotare intorno a quel punto sotto lrsquoazione di quella forza ldquoDiciamo che se sostengo il corpo per quel punto il corpo puograve ruotare intorno a quel puntordquo (Prendo in mano un foglio di carta per un estremo per esempio) La presenza di un momento non nullo egrave dunque la condizione che genera rotazione e viceversa Lrsquoassenza di un momento risultante egrave la condizione che genera lrsquoequilibrio rotazionale di un corpo esteso Quindi la condizione di equilibrio per un corpo esteso egrave

1) rarrR = 0 risultante delle forze applicate = 0 (equilibrio traslazionale)

2) rarrM = 0 momento risultante = 0 (equilibrio rotazionale)

Supponiamo di avere un corpo esteso al quale siano applicate delle forze che diano luogo ad un momento non nullo allora il corpo ruota Per equilibrarlo dovrograve applicare un altro momento tale che la loro somma sia nulla Questo egrave il principio di funzionamento delle leve LEVE

Una leva egrave un corpo esteso al quale sono applicate delle forze con un momento risultante rarrR

allora per portare il corpo in equilibrio applico un momento correttivo rarrP in modo che il momento

totale sia nullo Si dice in genere potenza (P) e resistenza (R) di una leva Le leve sono macchine semplici Servono per applicare forze in punti scomodi o in direzioni particolari Il fulcro egrave il punto nel quale la leva egrave incernierata Si definisce il guadagno meccanico di una leva

GM =

)(

)(rarr

rarr

PF

RF

cioegrave il rapporto fra la forza che genera il momento resistente e quella che genera il momento agente A seconda che GM sia gt

lt 0 una leva si dice che egrave vantaggiosa o svantaggiosa ma solo per quel che riguarda le forze percheacute per quel che riguarda i lavori non si ha neacute vantaggio neacute svantaggio Il lavoro esercitato dalla forza che dagrave la ldquopotenzardquo e quello esercitato dalla forza che dagrave la ldquoresistenzardquo sono sempre uguali Infatti forze e spostamenti sono inversamente proporzionali Le leve si dicono di I II o III specie a seconda se il fulcro si trovi I) in mezzo fra R e P (leva indifferente GM dipende da caso a caso) II) dalla parte di R (leva vantaggiosa il braccio di R egrave sempre minore del braccio di P basta

quindi una P minore per equilibrare una R maggiore) III) dalla parte di P (leva svantaggiosa) Classici esempi dei tre tipi di leve sono i remi (I) lo schiaccianoci (II) e la pinzetta per francobolli (III) Tuttavia vediamo degli esempi meno classici ma attinenti al campo della biologia e della medicina Criterio generale egrave che le leve vantaggiose consentono di essere molto potenti ma con brevi spostamenti mentre viceversa quelle svantaggiose fanno perdere in potenza ma consentono grandi spostamenti saragrave difficile vedere un cavallo che con le lunghe zampe si scava la tana drsquoaltronde una talpa scava bene la tana ma ha movimenti molto meno ampi che non le consentono di correre veloce come un cavallo (compromesso fra forza e velocitagrave del movimento) Se contiamo tutti i movimenti di rotazione che il corpo puograve compiere capiamo che siamo pieni di leve di ogni tipo Sono classici a) il capo fulcro (articolazione occipito-atlantoide) Fig 48 muscoli della nuca (Potenza) peso del capo (Resistenza) b)

muscolo bicipide (Potenza)

Fig 49 Peso dellrsquoavambraccio (Resistenza) Fulcro (articolazione del gomito) Questa leva permette grandi spostamenti Si vede che la forza operata dal muscolo bicipite egrave massima quando lrsquoavambraccio egrave orizzontale (la distanza dal fulcro egrave massima) ed egrave minima quando lrsquoavambraccio egrave verticale( con la distanza dal fulcro nulla) Attenzione - la colonna vertebrale egrave costituita da 24 vertebre separate da dischi di liquido Quando una

persona si piega la schiena egrave una leva con GM molto piccolo Quindi un piegamento completo per raccogliere un oggetto anche leggero produce una forza molto intensa sul disco lombosacrale che separa lrsquoultima vertebra dellrsquoosso sacro Se indebolito questo disco puograve rompersi o deformarsi comprimendo i nervi vicini e causando grande dolore Vediamo un modello che rende conto come mai questa forza egrave cosigrave grande

Fig 50

I muscoli della schiena esercitano T Con un angolo α = 12deg quando la schiena egrave piegata a 90deg

Peso della parte superiore del corpo (circa il 65 del peso totale)

Fulcro lombosacrale (il fulcro produce R) Essendo α piccolo la retta di azione Τ passa vicino al fulcro e dunque la distanza r che costituisce il suo braccio egrave molto piccola Al contrario il peso egrave perpendicolare alla colonna e il suo punto di applicazione egrave molto piugrave distante dal fulcro Τ deve essere molto grande per equilibrare il momento di P Dunque se T egrave grande anche la sua componente orizzontale egrave grande e di conseguenza anche R che costituisce la reazione dellrsquoosso sacro deve avere componente orizzontale molto grande per equilibrare Τ (uguale ed opposta alla componente orizzontale di Τ ) Facendo i conti si ottengono numeri grandi per 75Kg di peso T ed R sono equivalenti al peso di una massa di 220Kg Senza sollevare pesi solo piegandosi Conviene piegare le ginocchia quando si sollevano pesi - Nel corpo egrave difficile che il peso cada sulla verticale dellrsquoarticolazione che lo sostiene egrave sempre

un porsquo spostato e crsquoegrave un tendine con un muscolo che compensa il momento del peso - La contrazione muscolare egrave una successione di brevi contrazioni delle fibre muscolari stimolate

da impulsi che provengono dal sistema nervoso Contrazioni sono molto ravvicinate e avvengono in tempi differenti nelle diverse parti del muscolo cosigrave che il risultato apparente egrave una lenta e progressiva contrazione Se la frequenza degli impulsi aumenta la tensione cresce finchegrave si raggiunge la tensione massima (ricordare la tensione di un cavo) Un ulteriore aumento della frequenza degli impulsi a questo punto non causa ulteriore aumento della tensione

La tensione massima egrave proporzionale allrsquoarea della sezione trasversa del muscolo nel suo punto piugrave largo La tensione massima dipende anche dalla lunghezza del muscolo che varia Si ottiene tensione massima quando il muscolo egrave solo di poco allungato rispetto alla sua lunghezza di riposo di riposo ed egrave circa 30-40 Ncm2 La tensione massima si riduce moltissimo se il muscolo egrave molto allungato o accorciato Dinamica Rotatoria Fino ad ora abbiamo studiato moti traslatori ma il moto di un corpo rigido egrave in generale roto-traslatorio Naturalmente dobbiamo ridurre il problema complesso ad uno piugrave semplice e per fare ciograve immaginiamo di posizionarci su un sistema di riferimento solidale al corpo rigido i moto immaginiamo cioegrave di ldquosedercirdquo sul corpo rigido In questo modo non saremo piugrave sensibili al moto traslatorio e guardando il corpo rigido osserveremo solo le sue rotazioni Trattiamo allora il moto generico scomponendo la parte traslatoria (giagrave discussa ) da quella rotatoria Se si trascura la parte traslatoria del moto di un corpo rigido quello che rimane da trattare egrave la sua rotazione Nel nostro corso consideriamo le rotazioni che avvengono su un piano le rotazioni nello spazio potranno essere trattate come composizione di rotazioni su un piano Per le rotazioni su un piano si identifica un asse di rotazione perpendicolare al piano di rotazione e passante per il centro di rotazione Le articolazioni del gomito e del ginocchio sono articolazioni libere di ruotare intorno ad un asse a differenza ad esempio di quella della spalla che puograve ruotare intorno a due assi Si definisce spostamento angolare la variazione di una posizione che egrave definita in modo completo da una misura di angolo Una rotazione di un intero corpo rigido egrave definita in modo completo da uno spostamento angolare θfin - θin= ∆θ e si misura in radianti

Fig 51 Dobbiamo definire anche un verso di rotazione θ si incrementa per rotazioni antiorarie positive le rotazioni in senso orario sono invece negative La velocitagrave angolare si definisce analogamente alla velocitagrave lineare come il rapporto tra lo spostamento angolare e il tempo t impiegato per eseguire tale rotazione

ωm = t∆

∆θ e si misura in rad s

θin

θfin ∆θ

R

S

Anche per w si definisce ωist = lim ∆trarr0 t∆

∆θ

Ancora lrsquoaccelerazione angolare si definisce αm = t∆

∆ω e αist = lim ∆trarr0

t∆∆ω

Anche la legge fondamentale della dinamica ha un analogo nel ambito dei moti rotatori Si stabilisce che se ad un corpo rigido egrave soggetto ad un momento torcente diverso da zero esso subisce unrsquoaccelerazione angolare ad esso proporzionale Nel caso delle rotazioni la resistenza al moto egrave espressa dal momento di inerzia I associato al corpo rigido che gioca il ruolo della massa nei moti traslatori La legge della dinamica delle rotazioni egrave M = I middotα

E sostituendo M = Imiddott∆

∆ω= Imiddot

tinfin

∆minusωω

Il momento di inerzia I di un corpo rigido dipende dalla disposizione della massa del corpo rispetto allrsquoasse di rotazione per una massa puntiforme m a distanza R dallrsquoasse di rotazione I= m R2 per un oggetto esteso sommerograve il momento drsquoinerzia delle sue parti I = Σi mi Ri

2 Se si definisce momento angolare L il prodotto del momento drsquoinerzia per la velocitagrave angolare

L=Iω la legge della dinamica diventa

M = t

LL infin

∆minus

Il momento angolare egrave la grandezza fisica che si conserva se non viene applicato momento torcente Tutti i gesti di volo salti lanci tuffihellip sono azioni nelle quali si conserva il momento angolare Infatti in volo agisce solo la forza di gravitagrave che essendo applicata al CDM non genera momento torcente Il corpo umano nei gesti di volo Il corpo umano non egrave rigido e pertanto in volo agendo con i muscoli possiamo cambiare la disposizione del nostro corpo intorno al centro di massa che in volo coincide col centro di rotazione In questo modo si ottiene una variazione del momento di inerzia I e di conseguenza la velocitagrave angolare deve compensare questa variazione in modo che si mantenga costante il momento angolare L (grandezza che si conserva in assenza di momento torcente) Ersquo questo il principio che spiega il realizzarsi delle trottole sul ghiaccio dei salti mortali tuffi con avvitamento e cosigrave via in posizione raccolta I diminuisce e ω aumenta Moto circolare e moto circolare uniforme Per utilizzare le relazioni della cinematica e della dinamica lineare che abbiamo studiato egrave interessante poter passare dalle variabili angolari alle variabili lineari velocitagrave e accelerazione delle

masse in moto rotatorio Se una massa si muove su una traiettoria curva la velocitagrave tangenziale vt diretta come la tangente alla traiettoria dipende dalla velocitagrave angolare ω ( ωm=ϑ t )e dal raggio di curvatura della traiettoria Se la traiettoria egrave una circonferenza di raggio R e se gli angoli sono espressi in radianti lrsquoarco percorso per uno spostamento angolare ϑ egrave S = ϑ sdotR e la velocitagrave lineare tangente vt = St= ϑ sdotRt risulta vt = ωsdotR Se la velocitagrave angolare ω egrave costante il moto egrave detto circolare uniforme La legge oraria egrave quella dei moti uniformi spostamenti angolari uguali in tempi uguali ϑ(t) = ω t Anche la velocitagrave tangente saragrave di intensitagrave costante se ω egrave costante (archi uguali per tempi uguali s(t) = vt (t) ) ma crsquoegrave una accelerazione normale infatti la velocitagrave anche se non cambia in modulo cambia continuamente di direzione Questa accelerazione si dice centripeta egrave diretta normalmente rispetto alla traiettoria verso il centro della circonferenza e vale in modulo

ac=R

v2

Fig 52 Essendo la velocitagrave tangente vt = ωR Lrsquo accelerazione centripeta si puograve scrivere

ac =R

v2

= ω2 R

Il tempo impiegato dal punto a muoversi sulla circonferenza egrave una costante (moto uniforme) T periodo in T viene percorso uno spazio 2π R

v = T

Rπ2

La frequenza f egrave invece il ndeg di giri al secondo

f =T

1

Se si prendono punti diversi sul raggio della circonferenza questi hanno la stessa velocitagrave angolare e velocitagrave tangenziali crescenti al crescere del raggio Esempio carosello dei pattinatori Esercizi

1- un velocista con una velocitagrave di 10 ms viaggia su una curva di raggio 25m ndash accelerazione

a = R

v2

= 25

100 = 4 ms2

2 ndash un velocista con v = 92 ms su una pista circolare con ac = 38 m s2 ndash Raggio della pista Tempo per percorrere un giro completo

a = R

v2

rArr R = a

v2

= 83

)29( 2

= 2227m

T =v

Rπ2 =

29

27222 lowastπ = 152 sec

Forza centripeta forza centrifuga Una forza centripeta egrave una forza di qualunque natura che trattiene un corpo in moto su una traiettoria curvilinea ad esempio circolare In assenza di tale forza il corpo proseguirebbe il suo moto lungo una traiettoria rettilinea Nel gesto del lancio del martello ad esempio il lanciatore che esercita sul peso in cima allrsquoattrezzo una forza mediata dalla tensione dal cavo che lo trattiene nella traiettoria circolare Quando il lanciatore lascia la maniglia il martello viene lanciato lungo la direzione della tangente alla traiettoria nellrsquoistante di rilascio Lrsquointensitagrave della forza centripeta necessaria a mantenere una massa m in moto con velocitagrave tangente v lungo una traiettoria circolare di raggio r si puograve calcolare a partire dallrsquoaccellerazione centripeta secondo la legge fondamentale della dinamica

|rarr

cF | = m | rarr

ca | = m r

v2

Tale forza egrave diretta come lrsquoaccelerazione centripeta e cioegrave verso il centro della circonferenza che costituisce la traiettoria La forza centripeta egrave dunque una forza reale Con lsquoforza centrifugarsquo invece non ci si riferisce ad un forza che agisce su un corpo ma alla situazione apparente cui sembra sottoposto un corpo in moto curvilineo Esso pare tirato o attirato lontano dal centro di rotazione pare ci sia una lsquoforzarsquo che vuole farlo sfuggire Quando viene lasciato il martello si allontana dal centro di rotazione percheacute si muove di moto rettilineo uniforme non essendo piugrave soggetto a forze altre che la forza peso Lrsquoacqua esce dal cestello della lavatrice quando il cestello ruota velocemente (funzione centrifuga) percheacute lrsquoacqua che non costituisce un corpo solo con il cestello bucato non egrave soggetta alla forza centripeta e puograve passare attraverso i buchi I panni invece pure non parte del cestello sono troppo grandi per passare dai buchi si possono solo schiacciare contro le pareti questo schiacciamento sembra il risultato di una forza ma egrave invece il risultato dellrsquoassenza di una forza quella centripeta Una volta lagrave contro il cestello fanno tuttrsquouno con le pareti di metallo che esercitano su di essi la forza centripeta (cioegrave con direzione verso lrsquoasse di rotazione) che li mantiene in rotazione Le parti di un corpo rigido esteso che si muove di moto rotatorio rispetto ad un asse quale ad esempio la gamba di un giocatore di calcio che calcia un pallone sono soggette alla forza centripeta che le mantiene sulla traiettoria curva Tale forza viene trasmessa alle varie parti tramite le forze di tensione che si sviluppano allrsquointerno del corpo stesso ad esempio il piede egrave soggetto alla forza centrifuga tramite lrsquoazione dei legamenti e tendini a livello della caviglia che vengono messi in tensione per trattenere il piede stesso

Fig 28A

Area = differenza aree dei due triangoli = AABB kxxkxx sdotminussdot2

1

2

1

Ricordandoci del segno

L infin = 22

2

1

2

1infin kxkx +minus e in generale L = 2

2

1kx

Se si calcola il lavoro della forza di richiamo durante un allungamento della molla si ha lavoro negativo mentre durante il ritorno alla posizione di equilibrio il lavoro egrave positivo (segno dello spostamento x e della forza concordi) Energia cinetica Il termine ldquoenergiardquo indica la capacitagrave di compiere lavoro Lrsquoenergia cinetica egrave la proprietagrave che rende conto quantitativamente del legame fra il lavoro compiuto ed il moto generato Avevamo detto piugrave o meno lo stesso parlando della seconda legge della dinamica riferendoci alle forze Qui col lavoro non egrave necessaria la descrizione dettagliata delle forze che agiscono sul punto in considerazione Ersquo sufficiente conoscere il loro lavoro totale

Lrsquoenergia cinetica K = 2

1mv2 (gt 0 percheacute m gt 0 v2 gt 0 ) (m e v sono la massa e la velocitagrave del

corpo) Lrsquounitagrave di misura e le dimensioni di K sono le stesse del lavoro Joule ( J ) e [ ]K = [ ]22 minustml

Teorema dellrsquoenergia cinetica Se una forza F compie un lavoro L su un punto materiale di massa m si ha una variazione dellrsquoenergia cinetica pari al lavoro compiuto

Xfin Xin

F

0

ksdotxfin

ksdotxin

F= ksdotx

x

LAB= -area

L = Kfin ndash Kin = ∆ K Nel caso che piugrave forze agiscono sul punto materiale il teorema dellrsquoenergia cinetica si applica al lavoro totale (equivalentemente al lavoro della risultante ) E il caso dellrsquoatleta che solleva il peso di 2500N Sappiamo che ha compiuto un lavoro di 5000J ma il bilanciare con i pesi era fermo allrsquoinizio ed egrave fermo alla fine Quindi Kin = 0 e Kfin = 0 percheacute vin = 0 e vfin = 0 Allora il teorema dellrsquoenergia cinetica Vale per il lavoro totale o lavoro della forza totale e noi abbiamo visto che la forza netta totale = 0 ( Fa + P = 0 ) ed il lavoro totale egrave nullo quindi giustamente si ha ∆ K = 0 1)Caso di una palla da tennis che cade

la forza peso rarrP compie un lavoro positivo con spostamento concorde a

rarrP si dovrebbe avere

∆ K gt 0 infatti la velocitagrave v aumenta 2)Caso di una palla lanciata verso lrsquoalto

lo spostamento ha verso opposto a rarrP Il lavoro della forza peso egrave negativo e quindi ∆ K egrave

negativo giusto La velocitagrave diminuisce NB Durante il volo agisce solo la forza di gravitagrave quindi il lavoro totale comiuto sul corpo egrave solo quello della gravitagrave 3)Caso del moto circolare uniforme la forza che agisce egrave la forza centripeta che egrave perpendicolare allo spostamento Quindi non compie lavoro deve essere ∆ K = 0 Iinfatti il moto egrave uniforme cioegrave la velocitagrave egrave in modulo costante Potenza Si chiama potenza il lavoro che si egrave in grado di svolgere nellrsquounitagrave di tempo

P = t

L

∆ ( potenza media )

P = t

Lt ∆

∆rarr∆ 0lim ( potenza istantanea)

Non egrave solo una stima del lavoro compiuto ma anche della rapiditagrave con cui si compie lavoro

Fig 29 Per superare il muro ci vuole un certo lavoro che consiste nellrsquoinnalzare il proprio corpo di unrsquoaltezza h Sia lrsquoatleta che lo supera in un sol balzo sia il vecchietto che sale pian piano la scalinata faranno lo stesso lavoro Quel che egrave diverso egrave la potenza dei due personaggi Dimensioni e unitagrave di misura della potenza [ ]P = [L] [t -1] = [ml2t-3] 1 watt = 1 joule 1sec (1w)

Energia Potenziale K egrave energia connessa allo stato di moto di un sistema Crsquoegrave anche energia connessa alla posizione di un corpo in un campo di forze (configurazione) Si chiama energia potenziale Nel caso dellrsquoatleta di sollevamento pesi il lavoro compiuto dallrsquoatleta Lm non ha alterato lrsquoenergia cinetica K dellrsquoattrezzo ma ha modificato la configurazione del sistema (terra-attrezzo) variandone lrsquoenergia potenziale (W) Il lavoro non egrave stato sprecato ma ldquoimmagazzinatordquo lrsquoattrezzo prima egrave a terra poi egrave in alto nel sistema che ora ldquopotenzialmenterdquo puograve compiere un lavoro cedendo la sua ldquoenergia potenzialerdquo Energia cinetica ed energia potenziale sono due parti dellrsquoenergia meccanica possono trasformarsi lrsquouna nellrsquoaltra ed in lavoro Nellrsquoesempio precedente quando lrsquoattrezzo egrave in alto si ha che K = 0 e W = WA Quando cade K aumenta percheacute la velocitagrave v aumenta e lrsquoenergia potenziale W diminuisce In basso W = WB lt WA e K egrave massima Lrsquoattrezzo cadendo puograve compiere lavoro Se fosse un martello potrebbe far avanzare un chiodo ad esempio Lrsquoenergia potenziale viene definita proprio a partire dal concetto di lavoro di forze conservative Ersquo conservativa una forza il cui lavoro per spostare il suo punto di applicazione da una posizione (configurazione) ad unrsquoaltra dipende solo dalle due posizioni (configurazioni) iniziale e finale Equivalentemente si puograve definire la forza conservativa dicendo che il lavoro di tale forza egrave nullo se le posizioni (configurazioni) iniziali e finali coincidono

-Lavoro per passaggio dalla posizione A a B egrave lo stesso lungo I o II -Se da A vado a B e torno in A il lavoro totale egrave nullo

Fig 30 Posso allora definire una funzione della posizione W che assume i valori WA e WB in A e B e tale per cui LAB = WA ndash WB ( W energia potenziale) WA WB sono definiti a meno di una costante tanto quello che interessa egrave la differenza fra loro Variazione di energia potenziale del passaggio da A a B WB ndash WA = ∆W allora LAB = -∆ W Con questa convenzione sui segni si rende conto del fatto che un lavoro positivo ( fatto dalle forze conservative sul corpo) fa diminuire lrsquoenergia potenziale W ( L positivorarr ∆W negativo rarr WBlt WA rarr ho usato energia potenziale) un lavoro negativo (subito) aumenta W (L negativo rarr ∆W positivo rarr WBgt WA rarr ho guadagnato energia potenziale) W si misura in Joule come il lavoro e lrsquoenergia cinetica

Qual egrave la Forma di W

Mentre la forma dellrsquoenergia cinetica egrave sempre K =2

1mv2 indipendentemente dal tipo di forze

che provocano il movimento W dipende dal tipo di forza conservativa di cui si sta calcolando il lavoro Consideriamo due forze conservative

a) Forza gravitazionale forza peso

F(y) = -mg Stato di riferimento y0 = 0 in cui W0 = 0

Fig31

Abbiamo detto che LAB = WA- WB ma siccome

LAB = )( ABhmgsP minussdotminus=sdot dove hAB= yA-yB egrave la distanza tra A e B allora rArr WA = mgyA WB = mgyB e in generale W(y) =mgy

Per la forza peso W(y) =mgy e lrsquoenergia totale meccanica (W+K) = mgy+2

1mv2=Etot

b) Forza elastica

Fig 32

F(x) = -kx Stato di riferimento x = 0 allungamento nullo la lunghezza della molla egrave la sua lunghezza di riposo L ( W(0) = 0)

Immaginiamo che la configurazione della molla venga modificata passando dalla posizione xA alla posizione xB (Fig 32) Il lavoro della forza elastica egrave calcolato come

LAB = 22

2

1

2

1AB kxkx +minus

Ricordando che LAB = WA- WB possiamo ricavare lrsquoespressione per lrsquoenergia potenziale elastica

rArr WA = 2

2

1Akx WB = 2

2

1Bkx e in generale W(x) = 2

2

1kx

Energia totale meccanica ndash Conservazione dellrsquoenergia

In presenza di sole forze conservative la somma dellrsquoenergia cinetica e dellrsquoenergia potenziale costituisce lrsquoenergia totale meccanica Tale energia meccanica gode della proprietagrave importantissima di conservarsi durante lrsquoevoluzione del sistema Lrsquoenergia connessa al movimento e alla posizione si scambiano una diminuisce e lrsquoaltra cresce ad esempio ma la loro somma rimane costante

- Esempio delle montagne russe Se non ci sono attriti (infatti il trucco egrave quello di rendere il

sistema privo di attriti) so giagrave quale altezza massima potrograve raggiungere (quella iniziale e non di piugrave) quale velocitagrave massima potrograve raggiungere (in fondo alla valle) Queste quantitagrave sono fra loro legate dal teorema della conservazione dellrsquo energia meccanica

Fig 33 - Esempio del salto con lrsquoasta Lrsquoenergia cinetica dellrsquoatleta acquisita nella rincorsa viene

trasformata in energia potenziale gravitazionale parte direttamente e parte attraverso lrsquoenergia potenziale elastica dellrsquoasta acquisita nella sua deformazione durante il salto La flessibilitagrave dellrsquoasta (costante elastica dellrsquoasta) egrave legata allrsquoenergia che si puograve immagazzinare in una data deformazione Infatti con aste rigide (alluminio acciaio bambugrave) il salto era piugrave basso Con fibra di vetro il record egrave stato polverizzato

Fig 34

Fig 35

Fig 36

Osserviamo che il teorema dellrsquoenergia cinetica ha validitagrave generale qualunque siano le forze che agiscono conservative o non conservative (le forze non conservative si dicono anche ldquodissipativerdquo)

KLL

KL

fncfc

tot

∆=+∆=

e ricordando che darr Lfc = - )( fcW∆

Si ottiene che K∆ + )( fcW∆ = Lfnc

Si vede che nel caso in cui Lfnc sia nullo cioegrave quando non ci sono forze dissipative la somma delle variazioni di energia cinetica e energia potenziale egrave uguale a zero cioegrave lrsquoenergia totale meccanica (somma dellrsquoenergia cinetica e potenziale) egrave costante E questo corrisponde al teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica Nel caso ci siano forze dissipative la somma delle energie non egrave costante quindi al contrario del teorema dellrsquoenergia cinetica il teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica non ha validitagrave generale (vale solo in assenza di attriti ad esempio) Le forze non conservative di attrito compiono lavori solo negativi e fanno perdere quantitagrave di energia non recuperabile Parte di questa energia va in generale in calore quindi se ne puograve tenere conto considerando unrsquoaltra forma di energia lrsquoenergia termica ( ci sono anche altri fenomeni dissipativi ad esempio le deformazioni permanenti negli urti o la propagazione di onde sonore)

Lrsquo energia puograve dunque conservarsi o trasferirsi proprietagrave caratterizzanti dellrsquoenergia Il lavoro rende conto del trasferimento di energia della perdita di energia sotto una forma e del guadagno sotto unrsquoaltra forma (cioegrave energia conservativa) o del passaggio dellrsquoenergia da un sistema ad un altro Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica quando egrave applicabile puograve essere sfruttato per risolvere facilmente problemi altrimenti complicati Esercizio Una palla da tennis viene lanciata con velocitagrave iniziale v0 (senza effetti strani taglio etc) al di lagrave della rete Con quale velocitagrave arriva a terra

Se durante il moto Etot si conserva K+W = cost

Fig 37 e W = mgh egrave solo energia potenziale gravitazionale h = 0 alla fine come allrsquoinizio dunque K in = Kfin e vfin = v0 Se la palla egrave lanciata verso lrsquoalto non crsquoegrave componente orizzontale della velocitagrave ma solo verticale al punto piugrave alto di arresto h K(h) = 0 W(h) = max = Kin cioegrave mgh = frac12 mv0

2 si puograve cosigrave calcolare facilmente lrsquoaltezza massima raggiunta h = (frac12 v0

2)g e vicenversa si puograve calcolare il valore della velocitagrave v0 che bisogna imprimere alla palla affinchegrave raggiunga lrsquoaltezza h

v0 = gh2

Esercizio Una saltatrice di massa M = 61Kg salta da un ponte di altezza H = 45m agganciata ad una corda elastica La lunghezza di riposo della corda elastica egrave L = 25m e la sua costante elastica egrave k = 160 Nm Nel punto piugrave basso si arresta prima di venire rimbalzata in alto Qualrsquo egrave lquesta quota piugrave bassa h (a cui si trovano i suoi piedi ai quali egrave legato lrsquoelastico)

Fig 38 Etot = Wgrav + Wel + K = cost sono solo forze conservative vale la conservazione

dellrsquoenergia Nel punto A K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di lanciarsi Wel = 0 percheacute lrsquoelastico non egrave ancora svolto Wgrav = MgH Nel punto B K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di rimbalzare

Wel = frac12 kd2 Wgrav = Mgh = Mg(H-(L+d)) Etot(A) = Etot (B) MgH + 0 + 0 = Mg (H-(L+d)) + frac12 kd2 + 0 MgH = MgH ndash MgL ndash Mgd +frac12 kd2

2

1(160)d2 ndash (61)(98)d ndash (61)(98)(25) = 0

equazione di IIdeg grado che dagrave per d il valore accettabile d = 179m (lrsquoaltro egrave negativo e non egrave accettabile perchegrave non ha senso fisico la

saltatrice va in giugrave non in su) Allora h = H-(L+d) = 45 ndash (25+179) = 45 ndash 429 = 21m quindi con la testa poco sopra lrsquoacqua Sistemi di punti materiali e corpi rigidi ndash Centro di Massa

Un giocoliere o un ginnasta che lancia la clavette fa compiere allrsquoattrezzo movimenti complicati tuttavia crsquoegrave un punto dellrsquoattrezzo che si muove seguendo una traiettoria semplice come quella di un punto materiale ad esempio lanciato segue una traiettoria parabolica Tale punto si chiama centro di massa dellrsquooggetto Il centro di massa puograve essere definito per un oggetto o per un insieme di punti materiali Ersquo importante percheacute in generale il moto di un corpo esteso (o di un insieme di punti) si puograve studiare separando il moto del centro di massa (moto traslatorio) e il moto del corpo attorno al centro di massa (moto rotatorio)

Centro di Massa (CDM) di un sistema di punti - Consideriamo il caso semplice di due punti materiali di massa m1 m2 posti sullrsquoasse x in

posizione x1 x2

Fig 39

la posizione del centro di massa egrave definita xCDM = 21

2211

mm

xmxm

++

a) xCDM egrave compreso fra x1 e x2 b) se m1 = m2 CDM egrave a metagrave strada fra m1 ed m2 c) xCDM egrave piugrave prossimo alla massa maggiore - Nel caso di piugrave punti allineati nelle posizioni xi detto M = summi allora

xCDM = ii xmMsum

1

- Nel caso di punti distribuiti nello spazio detti irrarr

i vettori che identificano le loro posizioni

CDMrrarr

= iii rmM

rarrsum

1

dove CDMrrarr

ha coordinate (xCDM yCDM zCDM) definite come

xCDM = ii xmsumη1

yCDM = ii ymMsum

1

zCDM = ii zmMsum

1

- Consideriamo un oggetto qualsiasi questo egrave composto da un gran numero di particelle ma conviene considerarlo come un continuo di materia e per calcolare il centro di massa si prendono in considerazione degli elementi infinitesimi di massa dm centrati intorno alle posizioni (xyz) allora

xCDM = int xdmM

1 yCDM = int ydm

M

1 zCDM = int zdm

M

1

se si puograve considerare il corpo omogeneo (densitagrave uniforme) allora V

M

dv

dm = e allora si puograve fare il

calcolo considerando il volume V e gli elementi di volume dv anzichegrave la massa e gli elementi di massa

xCDM = int xdvV

1 etc

In un oggetto solido (corpo rigido) i diversi punti materiali che lo compongono non cambiano la loro posizione relativa (non come un corpo elastico) - se un oggetto ha un elemento di simmetria un asse od un piano il CDM si trova su tale

elemento di simmetria (asse per cono centro per sfera piano per una banana etc) Non egrave detto che il CDM di un oggetto appartenga allrsquooggetto vedi uno pneumatico un cerchio Il CDM egrave esterno alloggetto Legge fondamentale della dinamica per un sistema di punti materiali Caso della palla da bigliardo urto fra due palle dopo il lancio di una le due si muovono 1) una egrave ferma (B) lrsquoaltra la lancio (A) 2) le due si urtano in qualunque modo 3) le due si muovono secondo traiettorie differenti una possibilmente andragrave in buca lrsquoaltra no Dopo il lancio sulla palla A non agisce piugrave nessuna forza quindi la sua velocitagrave v egrave costante Va bene ma dopo lrsquourto Il CDM delle due palle continua a muoversi con velocitagrave costante anche se il centro di massa egrave un punto teorico che non appartiene a nessuna delle due palle Tuttavia al CDM possiamo assegnare una massa (M totale del sistema) una velocitagrave ed una accellerazione Si ha

)(CDMext aMFrarrrarr

=sum

a) extFrarr

sum egrave la somma di tutte le forze esterne che agiscono sul sistema non quelle interne (ad esempio nel caso del bigliardo non devo considerare le forze che si applicano fra le due palle quando si urtano)

b) M egrave la massa totale del sistema Si suppone che durante il moto M rimanga costante

c) )(CDMararr

egrave lrsquoaccelerazione del CDM Dellrsquoaccellerazione di un altro punto ad esempio del centro della palla A non si dice nulla

Cosideriamo alcuni esempi 1) Bigliardo tvaF CDMCDMext cos00 ===sum prima dellrsquourto nellrsquourto si verificano solo forze

interne Quindi tvaF CDMCDMext cos00 ===sum dopo lrsquourto e durante tutto il moto

2) Sistema terra-luna sumFext = gravitazione del sole aCDM egrave ldquocentripetardquo accellerazione di una

forza che egrave diretta verso il sole (forza ldquocentralerdquo) egrave il CDM terra-luna che segue la traiettoria dovuta allrsquoattrazione gravitazionale del sole poi terra e luna si muovono intorno al loro CDM

3) Clavette lanciate sum Fext = Mg aCDM = g il centro di massa si comporta come un punto materiale nel lancio

4) La ballerina nel ldquogrand-fetegraverdquo fa seguire a testa e busto una traiettoria rettilinea percheacute modifica lrsquoassetto in modo da alzare il suo CDM Nel corso del salto (alza le braccia e distende

orizzontalmente le gambe non appena lasciato il suolo) il suo CDM segue la traiettoria parabolica del lancio di un corpo soggetto allrsquoaccelerazione di gravitagrave g

Quantitagrave di moto rarrP

- Si definisce quantitagrave di moto di una particella il vettore

rarrrarr= vmP

con m massa della particella e rarrv la sua velocitagrave

Si vede che rarrP egrave diretto come

rarrv

Newton scrisse la legge fondamentale della dinamica in termini di quantitagrave di moto (a differenza di Galileo che la scrisse in termini di massa e di accelerazione) ldquola rapiditagrave di variazione della quantitagrave di moto di una particella egrave proporzionale alla forza netta che agisce sulla particella ed egrave nella direzione di quella forzardquo cioegrave

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

che egrave piugrave generale della formulazione di Galileo perchegrave descrive bene anche il caso in cui variasse la massa del corpo durante il moto (ad esempio un vettore spaziale) Se la massa egrave costante le due formulazioni sono identiche

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

= t

vm

∆∆

rarr)(

= m t

v

∆∆

rarr

= m rarra

Ricordiamo che rarrF egrave diretto come

rarra (o la risultante

rarrR = sum

rarrF )

Per un sistema di punti materiali si definisce la quantitagrave di moto totale

rarrP =

rarrP 1 +

rarrP 2 + helliphellip+

rarrP n =

m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +helliphelliphellip+ mn

rarrv n = M

rarrv CDM (si puograve dimostrare) dove M egrave la massa totale

[essendo infatti Mrarrv CDM =

dt

d(M

rarrr CDM) =

dt

d(m1

rarrr 1 + m2

rarrr 2 +hellip) = m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +

hellip]

quindi rarrP = M

rarrv CDM per un sistema di particelle e

dt

Pdrarr

= M dt

d rarrv CDM = M

rarra CDM = sum

rarrF ext

Conservazione delle quantitagrave di moto

Per un sistema chiuso (M non varia) e isolato (sumrarrF ext = 0)

Allora

t

P

∆∆

rarr

= 0 rarrP = cost

rarrP i =

rarrP f

che sono tre modi equivalenti per dire che la quantitagrave di moto si conserva Vale per un sistema nel quale non agisca nessuna forza esterna netta Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica e la conservazione delle quantitagrave di moto sono due concetti fisici importantissimi Valgono sia per le palle da bigliardo che per qualunque altro sistema anche le galassie nellrsquouniverso Queste equazioni sono vettoriali Ciograve significa che rappresentano una terna di equazioni scalari ognuna valida sul proprio asse del sistema di riferimento (x y z)

Puograve accadere a seconda delle forze che agiscono nel sistema che la quantitagrave di moto si conservi in una direzione o in due e non in tutte e tre

Ad esempio se consideriamo una palla come un insieme di punti materiali la rarrF ext che agisce nel

sistema egrave mrarrg diretta lungo z senza componenti su x e y quindi

rarrP varia lungo z ma

non su x e y

Percheacute ldquocomplicarci la vitardquo con questa storia del CDM del sistema di particelle etchellip non bastava il moto del punto rappresentativo materiale Avevamo giagrave considerato il punto rappresentativo e avevamo svolto anche problemi sulla palla sul bilanciere e per altri oggetti Abbiamo sempre sbagliato La questione egrave se un corpo egrave rigido cioegrave se tutti i suoi punti si muovono mantenendo le loro distanze relative non crsquoegrave problema abbiamo solo visto che il punto materiale rappresentativo si chiama CDM ed abbiamo imparato a situarlo allrsquointerno del corpo Ma se il corpo non egrave rigido cioegrave se il suo CDM si sposta rispetto a lui stesso nel corso del moto la disposizione del corpo intorno al punto rappresentativo varia nel corso del tempo e le leggi di conservazione valgono per il CDM - Consideriamo ad esempio il teorema dellrsquoenergia cinetica che per un punto materiale si scrive Ltot = Kfin-K in = ∆ K (qui ovviamente non crsquoegrave da specificare lavoro delle forzeldquoesternerdquo percheacute essendo in un punto materiale che si assume infinitamente piccolo non ci sono forze ldquointernerdquo) Per analogia il teorema dellrsquoenergia cinetica si estende al caso di un insieme di punti materiali nel seguente modo

Ltot forze ext=rarrF extmiddot

rarrs CDM = ∆ KCDM

Dove s CDM egrave lo spostamento del centro di massa A titolo di esempio risolviamo il problema un giocatore di hockey su ghiaccio di massa M = 110Kg si muove verso la balaustra a bordo campo alla velocitagrave di 3msec Nellrsquoarrestarsi flettendo le braccia il suo CDM si sposta in avanti di 30cm Qual egrave la ∆ K del suo CDM durante la manovra

∆ KCDM = infin CDMCDM mvmv 22

2

1

2

1 minus =

= 0 - 2

1110 32 = -495 J

Fig 40

Sia L il lavoro delle forze esternerarrF ext (dirette come d

rarrx CDM ) allora

L = - Fext 03 = ∆ KCDM quindi

Fext =30

495

minusminus

= + 1650N

( si considera la forza esterna rarrF ext costante nellrsquointervallo dellrsquoarresto fatto che equivale a dire

che il giocatore si arresta con rarra CDM costante)

Dinamica e statica del corpo esteso Finora abbiamo sempre discusso del moto di un punto materiale (punto rappresentativo dicevamo sempre) In particolare abbiamo sempre applicato le forze a quel punto materiale quindi se diverse forze erano applicate esse concorrevano in quel punto ligrave e con le forze concorrenti sapevamo come calcolare la risultante con il metodo grafico o con quello numerico delle coordinate cartesiane Una volta calcolata la risultante applicata al punto si otteneva un moto di pura traslazione del punto (al massimo traslava lungo una traiettoria curva) senza rotazioni proprie del punto che non hanno neanche senso un punto che ruota su se stesso Come faccio ad accorgermi Un punto per definizione egrave infinitamente piccolo (Dicevamo infine che il punto egrave in equilibrio

traslazionale se la risultante rarrR delle forze applicate egrave nullo)

Consideriamo invece un corpo esteso Prima osservazione questo ha piugrave punti (direi infin ) a

cui la forza puograve essere applicata Prendiamo una racchetta da tennis ed una forza rarrF applicata il

moto che ne risulta dipende dal punto al quale viene applicata la forza rarrF

qui la racchetta trasla

Fig 41

stessa forza qui la racchetta ruota

Fig 42

Seconda osservazione Crsquoegrave un caso in cui le forze non possono essere fatte concorrere in un punto ed egrave quando sono parallele ed hanno rette di applicazione distinte Chiaramente non abbiamo mai dovuto considerare questo caso per il punto materiale percheacute per un punto non possono mai passare due rette parallele Ma per il corpo esteso So benissimo che se sono ferma con la macchina in

panne e la sto spingendo applicando una forza rarrF 1 sono contenta se qualcuno si affianca a me ed

esercitando una forza rarrF 2 lungo una direzione parallela a quella della mia mi aiuta a spingere In

particolare mi viene spontaneo dire che se F1 = F2 allora spingeremo con una forza doppia Ci saragrave quindi un modo per sommare due forze non concorrenti in un punto ma parallele e saragrave Ftot = F1+ F2 La retta di applicazione di Ftot divide il segmento congiungente i punti di applicazione di F1 ed F2 in due segmenti inversamente proporzionali allrsquointensitagrave delle forze F1 e F2 Terza osservazione se F1 = - F2 sono uguali in intensitagrave ma di verso opposto sempre lungo due rette di applicazione parallele passanti per un corpo esteso cosa succede La loro somma Ftot risultante saragrave 0 ma io so che il corpo non sta fermo sotto lrsquoazione di tali due forze ma ruoteragrave Concludo che le nozioni che ho acquisito finora vanno riviste ed ampliate o corrette o specificate per i corpi estesi ed inoltre che mi mancano totalmente i mezzi per descrivere le rotazioni dei corpi estesi Occorrono nuovi concetti nuove quantitagrave la forza non basta Prendo lrsquoesempio piugrave semplice dellrsquoaltalena con due bambini in due bracci uno piugrave leggero uno piugrave pesante

Fig 43 Qualitativamente so che percheacute lrsquoaltalena stia in equilibrio e non ruoti intorno al punto fisso non egrave necessario che i due bambini abbiano lo stesso peso (ugual massa) occorre che il bambino piugrave leggero sieda piugrave lontano rispetto al punto fisso (fulcro) La regola quantitativa dice che lrsquoaltalena egrave in equilibrio se il prodotto del peso per la distanza del fulcro egrave uguale PB dB = Pb

db Per generalizzare questa regola ai casi piugrave complessi occorre definire una nuova quantitagrave il momento di una forza Momento di una forza

Consideriamo una forza rarrF applicata ad un punto P ed un punto O Sia

rarrr

il vettore rarrOP allora il momento

rarrM di

rarrF rispetto ad O egrave

rarrM =

rarrr x

rarrF

e

|rarrr | middot |

rarrF | sin ϑ = |

rarrM |

Fig 44

oppure anche considerando la componente di rarrF perpendicolare ad

rarrr o di

rarrr

perpendicolare a rarrF r e rispetto a F

|rarrM | = |

rarrr | |

rarrF perp | |

rarrM | = |

rarrr perp| |

rarrF |

In generale si dice che il modulo del momento |rarrM | egrave il prodotto delle intensitagrave della forza per la

distanza dal punto della retta di applicazione della forza

Come vettore rarrM egrave perpendicolare al piano che contiene

rarrF ed

rarrr ed ha verso calcolato con la

regola della mano destra (con rarrr che si chiude su

rarrF )

La distanza rperp si chiama braccio della forza Si vede che il momento egrave nullo quando il braccio egrave nullo cioegrave quando il punto O si trova sulla retta di applicazione di F Il momento della forza peso P egrave nullo rispetto al baricentro che coincide con il centro di massa nel caso (praticamenteldquosemprerdquo) in cui il corpo non sia abbastanza esteso percheacute diversi punti del corpo risentano di una forza gravitazione differente Praticamente si deve parlare di galassie percheacute CDM e baricentro (BC) non coincidono Quindi la condizione del momento nullo della forza peso diventa un modo per definire il CDM come quel punto rispetto al quale la forza peso P ha momento nullo Per un corpo ldquoarticolatordquo estendiamo il concetto di forza normale come forza di contatto nellrsquoarticolazione utile cioegrave la forza che lrsquoarticolazione che si sta considerando esercita su quello che nellrsquoarticolazione si appoggia La forza peso P di un corpo esteso puograve immaginarsi applicata al CDM Principio di equilibrio di un corpo esteso

se su un corpo esteso agiscono solo rarr

Peso e rarr

Normale cioegrave se un corpo egrave appoggiato ad un piano orizzontale allora il corpo egrave in equilibrio se e solo se il baricentro si trova sopra la superficie di appoggio

Fig 45

Finchegrave il baricentro egrave sopra il tavolo il libro non cade percheacute rarrP applicata a CDM puograve essere

controbilanciata da rarrN Se CDM si sposta in fuori

rarrN rimane nel tavolo e crsquoegrave momento non nullo

non equilibrato da rarrP che continua ad essere applicato nel CDM

Il baricentro di una persona in posizione eretta si trova nellrsquoarea delimitata dei suoi piedi 3cm davanti allrsquoarticolazione della caviglia

Fig 46 Quando la persona si piega in avanti il baricentro esce dal corpo e per mantenere lrsquoequilibrio egrave necessario che le anche si spingono indietro percheacute il baricentro cade di nuovo in quella posizione Notiamo che anche in posizione eretta essendo la forza peso e la forza di contatto non allineate (quei 3cm) (forza di contatto sullrsquoarticolazione della caviglia che regge il peso) occorre un momento correttivo che impedisca la rotazione in avanti mantenuto dal tendine di Achille che si lega alla caviglia Altro esempio di spostamento del baricentro egrave lrsquoatleta che assume una posizione ad L chi regge il peso egrave lrsquoarticolazione della spalla quindi il CDM si sposta sotto la spalla (giagrave era uscita dal corpo per via delle gambe distese in avanti) Nel camminare il baricentro continua a muoversi da sopra un piede a sopra un altro (quello appoggiato ovviamente) Si osservi lrsquoondeggiamento Per assurdo lrsquoancheggiare delle indossatrici serve a mantenere il baricentro il piugrave possibile fermo rispetto alla direzione media del moto (porre un piede esattamente davanti allrsquoaltro) rendendo piugrave facile muoversi anche con tacchi altissimi Al contrario lrsquoequilibrista che cammina sui trampoli sta fermo il meno possibile percheacute egrave stando fermo che il piccolo spostamento che fa uscire il baricentro (ALTO) dalla superficie drsquoappoggio puograve verificarsi facilmente preferisce il ldquonon ndash equilibriordquo o lrsquo rdquoequilibrio dinamicordquo dellrsquoondeggiare continuamente fra due posizioni di equilibrio

Ricordiamo che un equilibrio egrave detto stabile se quando una perturbazione lo altera spontaneamente il sistema lo ripristina Viceversa un equilibrio egrave instabile se la piugrave piccola perturbazione lo distrugge Lrsquoequilibrio egrave molto stabile se il baricentro egrave basso ed il corpo ha una grande area drsquoappoggio la posizione accucciata del giocatore di football americano dagrave grande stabilitagrave Ancor piugrave grande stabilitagrave si ha se il baricentro (CDM) si trova al di sotto della superficie drsquoappoggio Ersquo come se si fosse ldquoappesirdquo anzicheacute ldquoappoggiatirdquo alla superficie drsquoappoggio Proprio per questo motivo lrsquoequilibrista sul filo porta una lunga asta che spesso si flette agli estremi

Fig 47 Gli uccelli bipedi da 100000000 di anni hanno sviluppato questo adattamento per cui sono appesi alle anche mentre gli uomini bipedi da solo 1000000 di anni fanno fatica con il CDM dalla parte alta del corpo Ersquo un equilibrio instabile ldquosoprardquo le anche che le reggono (65 del peso del corpo) Modificazioni strutturali per reggere la posizione eretta 1) Colonna vertebrale rastremata (piugrave tozza in basso che in alto percheacute piugrave in basso vuol dire una

maggior forza di contatto) 2) Muscoli estensori della schiena 3) Gambe ed anche ingrossate 4) Ginocchio che blocca la gamba estesa Ciononostante si ha spesso il mal di schiena Se una forza ha momento non nullo rispetto ad un punto allora il corpo puograve ruotare intorno a quel punto sotto lrsquoazione di quella forza ldquoDiciamo che se sostengo il corpo per quel punto il corpo puograve ruotare intorno a quel puntordquo (Prendo in mano un foglio di carta per un estremo per esempio) La presenza di un momento non nullo egrave dunque la condizione che genera rotazione e viceversa Lrsquoassenza di un momento risultante egrave la condizione che genera lrsquoequilibrio rotazionale di un corpo esteso Quindi la condizione di equilibrio per un corpo esteso egrave

1) rarrR = 0 risultante delle forze applicate = 0 (equilibrio traslazionale)

2) rarrM = 0 momento risultante = 0 (equilibrio rotazionale)

Supponiamo di avere un corpo esteso al quale siano applicate delle forze che diano luogo ad un momento non nullo allora il corpo ruota Per equilibrarlo dovrograve applicare un altro momento tale che la loro somma sia nulla Questo egrave il principio di funzionamento delle leve LEVE

Una leva egrave un corpo esteso al quale sono applicate delle forze con un momento risultante rarrR

allora per portare il corpo in equilibrio applico un momento correttivo rarrP in modo che il momento

totale sia nullo Si dice in genere potenza (P) e resistenza (R) di una leva Le leve sono macchine semplici Servono per applicare forze in punti scomodi o in direzioni particolari Il fulcro egrave il punto nel quale la leva egrave incernierata Si definisce il guadagno meccanico di una leva

GM =

)(

)(rarr

rarr

PF

RF

cioegrave il rapporto fra la forza che genera il momento resistente e quella che genera il momento agente A seconda che GM sia gt

lt 0 una leva si dice che egrave vantaggiosa o svantaggiosa ma solo per quel che riguarda le forze percheacute per quel che riguarda i lavori non si ha neacute vantaggio neacute svantaggio Il lavoro esercitato dalla forza che dagrave la ldquopotenzardquo e quello esercitato dalla forza che dagrave la ldquoresistenzardquo sono sempre uguali Infatti forze e spostamenti sono inversamente proporzionali Le leve si dicono di I II o III specie a seconda se il fulcro si trovi I) in mezzo fra R e P (leva indifferente GM dipende da caso a caso) II) dalla parte di R (leva vantaggiosa il braccio di R egrave sempre minore del braccio di P basta

quindi una P minore per equilibrare una R maggiore) III) dalla parte di P (leva svantaggiosa) Classici esempi dei tre tipi di leve sono i remi (I) lo schiaccianoci (II) e la pinzetta per francobolli (III) Tuttavia vediamo degli esempi meno classici ma attinenti al campo della biologia e della medicina Criterio generale egrave che le leve vantaggiose consentono di essere molto potenti ma con brevi spostamenti mentre viceversa quelle svantaggiose fanno perdere in potenza ma consentono grandi spostamenti saragrave difficile vedere un cavallo che con le lunghe zampe si scava la tana drsquoaltronde una talpa scava bene la tana ma ha movimenti molto meno ampi che non le consentono di correre veloce come un cavallo (compromesso fra forza e velocitagrave del movimento) Se contiamo tutti i movimenti di rotazione che il corpo puograve compiere capiamo che siamo pieni di leve di ogni tipo Sono classici a) il capo fulcro (articolazione occipito-atlantoide) Fig 48 muscoli della nuca (Potenza) peso del capo (Resistenza) b)

muscolo bicipide (Potenza)

Fig 49 Peso dellrsquoavambraccio (Resistenza) Fulcro (articolazione del gomito) Questa leva permette grandi spostamenti Si vede che la forza operata dal muscolo bicipite egrave massima quando lrsquoavambraccio egrave orizzontale (la distanza dal fulcro egrave massima) ed egrave minima quando lrsquoavambraccio egrave verticale( con la distanza dal fulcro nulla) Attenzione - la colonna vertebrale egrave costituita da 24 vertebre separate da dischi di liquido Quando una

persona si piega la schiena egrave una leva con GM molto piccolo Quindi un piegamento completo per raccogliere un oggetto anche leggero produce una forza molto intensa sul disco lombosacrale che separa lrsquoultima vertebra dellrsquoosso sacro Se indebolito questo disco puograve rompersi o deformarsi comprimendo i nervi vicini e causando grande dolore Vediamo un modello che rende conto come mai questa forza egrave cosigrave grande

Fig 50

I muscoli della schiena esercitano T Con un angolo α = 12deg quando la schiena egrave piegata a 90deg

Peso della parte superiore del corpo (circa il 65 del peso totale)

Fulcro lombosacrale (il fulcro produce R) Essendo α piccolo la retta di azione Τ passa vicino al fulcro e dunque la distanza r che costituisce il suo braccio egrave molto piccola Al contrario il peso egrave perpendicolare alla colonna e il suo punto di applicazione egrave molto piugrave distante dal fulcro Τ deve essere molto grande per equilibrare il momento di P Dunque se T egrave grande anche la sua componente orizzontale egrave grande e di conseguenza anche R che costituisce la reazione dellrsquoosso sacro deve avere componente orizzontale molto grande per equilibrare Τ (uguale ed opposta alla componente orizzontale di Τ ) Facendo i conti si ottengono numeri grandi per 75Kg di peso T ed R sono equivalenti al peso di una massa di 220Kg Senza sollevare pesi solo piegandosi Conviene piegare le ginocchia quando si sollevano pesi - Nel corpo egrave difficile che il peso cada sulla verticale dellrsquoarticolazione che lo sostiene egrave sempre

un porsquo spostato e crsquoegrave un tendine con un muscolo che compensa il momento del peso - La contrazione muscolare egrave una successione di brevi contrazioni delle fibre muscolari stimolate

da impulsi che provengono dal sistema nervoso Contrazioni sono molto ravvicinate e avvengono in tempi differenti nelle diverse parti del muscolo cosigrave che il risultato apparente egrave una lenta e progressiva contrazione Se la frequenza degli impulsi aumenta la tensione cresce finchegrave si raggiunge la tensione massima (ricordare la tensione di un cavo) Un ulteriore aumento della frequenza degli impulsi a questo punto non causa ulteriore aumento della tensione

La tensione massima egrave proporzionale allrsquoarea della sezione trasversa del muscolo nel suo punto piugrave largo La tensione massima dipende anche dalla lunghezza del muscolo che varia Si ottiene tensione massima quando il muscolo egrave solo di poco allungato rispetto alla sua lunghezza di riposo di riposo ed egrave circa 30-40 Ncm2 La tensione massima si riduce moltissimo se il muscolo egrave molto allungato o accorciato Dinamica Rotatoria Fino ad ora abbiamo studiato moti traslatori ma il moto di un corpo rigido egrave in generale roto-traslatorio Naturalmente dobbiamo ridurre il problema complesso ad uno piugrave semplice e per fare ciograve immaginiamo di posizionarci su un sistema di riferimento solidale al corpo rigido i moto immaginiamo cioegrave di ldquosedercirdquo sul corpo rigido In questo modo non saremo piugrave sensibili al moto traslatorio e guardando il corpo rigido osserveremo solo le sue rotazioni Trattiamo allora il moto generico scomponendo la parte traslatoria (giagrave discussa ) da quella rotatoria Se si trascura la parte traslatoria del moto di un corpo rigido quello che rimane da trattare egrave la sua rotazione Nel nostro corso consideriamo le rotazioni che avvengono su un piano le rotazioni nello spazio potranno essere trattate come composizione di rotazioni su un piano Per le rotazioni su un piano si identifica un asse di rotazione perpendicolare al piano di rotazione e passante per il centro di rotazione Le articolazioni del gomito e del ginocchio sono articolazioni libere di ruotare intorno ad un asse a differenza ad esempio di quella della spalla che puograve ruotare intorno a due assi Si definisce spostamento angolare la variazione di una posizione che egrave definita in modo completo da una misura di angolo Una rotazione di un intero corpo rigido egrave definita in modo completo da uno spostamento angolare θfin - θin= ∆θ e si misura in radianti

Fig 51 Dobbiamo definire anche un verso di rotazione θ si incrementa per rotazioni antiorarie positive le rotazioni in senso orario sono invece negative La velocitagrave angolare si definisce analogamente alla velocitagrave lineare come il rapporto tra lo spostamento angolare e il tempo t impiegato per eseguire tale rotazione

ωm = t∆

∆θ e si misura in rad s

θin

θfin ∆θ

R

S

Anche per w si definisce ωist = lim ∆trarr0 t∆

∆θ

Ancora lrsquoaccelerazione angolare si definisce αm = t∆

∆ω e αist = lim ∆trarr0

t∆∆ω

Anche la legge fondamentale della dinamica ha un analogo nel ambito dei moti rotatori Si stabilisce che se ad un corpo rigido egrave soggetto ad un momento torcente diverso da zero esso subisce unrsquoaccelerazione angolare ad esso proporzionale Nel caso delle rotazioni la resistenza al moto egrave espressa dal momento di inerzia I associato al corpo rigido che gioca il ruolo della massa nei moti traslatori La legge della dinamica delle rotazioni egrave M = I middotα

E sostituendo M = Imiddott∆

∆ω= Imiddot

tinfin

∆minusωω

Il momento di inerzia I di un corpo rigido dipende dalla disposizione della massa del corpo rispetto allrsquoasse di rotazione per una massa puntiforme m a distanza R dallrsquoasse di rotazione I= m R2 per un oggetto esteso sommerograve il momento drsquoinerzia delle sue parti I = Σi mi Ri

2 Se si definisce momento angolare L il prodotto del momento drsquoinerzia per la velocitagrave angolare

L=Iω la legge della dinamica diventa

M = t

LL infin

∆minus

Il momento angolare egrave la grandezza fisica che si conserva se non viene applicato momento torcente Tutti i gesti di volo salti lanci tuffihellip sono azioni nelle quali si conserva il momento angolare Infatti in volo agisce solo la forza di gravitagrave che essendo applicata al CDM non genera momento torcente Il corpo umano nei gesti di volo Il corpo umano non egrave rigido e pertanto in volo agendo con i muscoli possiamo cambiare la disposizione del nostro corpo intorno al centro di massa che in volo coincide col centro di rotazione In questo modo si ottiene una variazione del momento di inerzia I e di conseguenza la velocitagrave angolare deve compensare questa variazione in modo che si mantenga costante il momento angolare L (grandezza che si conserva in assenza di momento torcente) Ersquo questo il principio che spiega il realizzarsi delle trottole sul ghiaccio dei salti mortali tuffi con avvitamento e cosigrave via in posizione raccolta I diminuisce e ω aumenta Moto circolare e moto circolare uniforme Per utilizzare le relazioni della cinematica e della dinamica lineare che abbiamo studiato egrave interessante poter passare dalle variabili angolari alle variabili lineari velocitagrave e accelerazione delle

masse in moto rotatorio Se una massa si muove su una traiettoria curva la velocitagrave tangenziale vt diretta come la tangente alla traiettoria dipende dalla velocitagrave angolare ω ( ωm=ϑ t )e dal raggio di curvatura della traiettoria Se la traiettoria egrave una circonferenza di raggio R e se gli angoli sono espressi in radianti lrsquoarco percorso per uno spostamento angolare ϑ egrave S = ϑ sdotR e la velocitagrave lineare tangente vt = St= ϑ sdotRt risulta vt = ωsdotR Se la velocitagrave angolare ω egrave costante il moto egrave detto circolare uniforme La legge oraria egrave quella dei moti uniformi spostamenti angolari uguali in tempi uguali ϑ(t) = ω t Anche la velocitagrave tangente saragrave di intensitagrave costante se ω egrave costante (archi uguali per tempi uguali s(t) = vt (t) ) ma crsquoegrave una accelerazione normale infatti la velocitagrave anche se non cambia in modulo cambia continuamente di direzione Questa accelerazione si dice centripeta egrave diretta normalmente rispetto alla traiettoria verso il centro della circonferenza e vale in modulo

ac=R

v2

Fig 52 Essendo la velocitagrave tangente vt = ωR Lrsquo accelerazione centripeta si puograve scrivere

ac =R

v2

= ω2 R

Il tempo impiegato dal punto a muoversi sulla circonferenza egrave una costante (moto uniforme) T periodo in T viene percorso uno spazio 2π R

v = T

Rπ2

La frequenza f egrave invece il ndeg di giri al secondo

f =T

1

Se si prendono punti diversi sul raggio della circonferenza questi hanno la stessa velocitagrave angolare e velocitagrave tangenziali crescenti al crescere del raggio Esempio carosello dei pattinatori Esercizi

1- un velocista con una velocitagrave di 10 ms viaggia su una curva di raggio 25m ndash accelerazione

a = R

v2

= 25

100 = 4 ms2

2 ndash un velocista con v = 92 ms su una pista circolare con ac = 38 m s2 ndash Raggio della pista Tempo per percorrere un giro completo

a = R

v2

rArr R = a

v2

= 83

)29( 2

= 2227m

T =v

Rπ2 =

29

27222 lowastπ = 152 sec

Forza centripeta forza centrifuga Una forza centripeta egrave una forza di qualunque natura che trattiene un corpo in moto su una traiettoria curvilinea ad esempio circolare In assenza di tale forza il corpo proseguirebbe il suo moto lungo una traiettoria rettilinea Nel gesto del lancio del martello ad esempio il lanciatore che esercita sul peso in cima allrsquoattrezzo una forza mediata dalla tensione dal cavo che lo trattiene nella traiettoria circolare Quando il lanciatore lascia la maniglia il martello viene lanciato lungo la direzione della tangente alla traiettoria nellrsquoistante di rilascio Lrsquointensitagrave della forza centripeta necessaria a mantenere una massa m in moto con velocitagrave tangente v lungo una traiettoria circolare di raggio r si puograve calcolare a partire dallrsquoaccellerazione centripeta secondo la legge fondamentale della dinamica

|rarr

cF | = m | rarr

ca | = m r

v2

Tale forza egrave diretta come lrsquoaccelerazione centripeta e cioegrave verso il centro della circonferenza che costituisce la traiettoria La forza centripeta egrave dunque una forza reale Con lsquoforza centrifugarsquo invece non ci si riferisce ad un forza che agisce su un corpo ma alla situazione apparente cui sembra sottoposto un corpo in moto curvilineo Esso pare tirato o attirato lontano dal centro di rotazione pare ci sia una lsquoforzarsquo che vuole farlo sfuggire Quando viene lasciato il martello si allontana dal centro di rotazione percheacute si muove di moto rettilineo uniforme non essendo piugrave soggetto a forze altre che la forza peso Lrsquoacqua esce dal cestello della lavatrice quando il cestello ruota velocemente (funzione centrifuga) percheacute lrsquoacqua che non costituisce un corpo solo con il cestello bucato non egrave soggetta alla forza centripeta e puograve passare attraverso i buchi I panni invece pure non parte del cestello sono troppo grandi per passare dai buchi si possono solo schiacciare contro le pareti questo schiacciamento sembra il risultato di una forza ma egrave invece il risultato dellrsquoassenza di una forza quella centripeta Una volta lagrave contro il cestello fanno tuttrsquouno con le pareti di metallo che esercitano su di essi la forza centripeta (cioegrave con direzione verso lrsquoasse di rotazione) che li mantiene in rotazione Le parti di un corpo rigido esteso che si muove di moto rotatorio rispetto ad un asse quale ad esempio la gamba di un giocatore di calcio che calcia un pallone sono soggette alla forza centripeta che le mantiene sulla traiettoria curva Tale forza viene trasmessa alle varie parti tramite le forze di tensione che si sviluppano allrsquointerno del corpo stesso ad esempio il piede egrave soggetto alla forza centrifuga tramite lrsquoazione dei legamenti e tendini a livello della caviglia che vengono messi in tensione per trattenere il piede stesso

L = Kfin ndash Kin = ∆ K Nel caso che piugrave forze agiscono sul punto materiale il teorema dellrsquoenergia cinetica si applica al lavoro totale (equivalentemente al lavoro della risultante ) E il caso dellrsquoatleta che solleva il peso di 2500N Sappiamo che ha compiuto un lavoro di 5000J ma il bilanciare con i pesi era fermo allrsquoinizio ed egrave fermo alla fine Quindi Kin = 0 e Kfin = 0 percheacute vin = 0 e vfin = 0 Allora il teorema dellrsquoenergia cinetica Vale per il lavoro totale o lavoro della forza totale e noi abbiamo visto che la forza netta totale = 0 ( Fa + P = 0 ) ed il lavoro totale egrave nullo quindi giustamente si ha ∆ K = 0 1)Caso di una palla da tennis che cade

la forza peso rarrP compie un lavoro positivo con spostamento concorde a

rarrP si dovrebbe avere

∆ K gt 0 infatti la velocitagrave v aumenta 2)Caso di una palla lanciata verso lrsquoalto

lo spostamento ha verso opposto a rarrP Il lavoro della forza peso egrave negativo e quindi ∆ K egrave

negativo giusto La velocitagrave diminuisce NB Durante il volo agisce solo la forza di gravitagrave quindi il lavoro totale comiuto sul corpo egrave solo quello della gravitagrave 3)Caso del moto circolare uniforme la forza che agisce egrave la forza centripeta che egrave perpendicolare allo spostamento Quindi non compie lavoro deve essere ∆ K = 0 Iinfatti il moto egrave uniforme cioegrave la velocitagrave egrave in modulo costante Potenza Si chiama potenza il lavoro che si egrave in grado di svolgere nellrsquounitagrave di tempo

P = t

L

∆ ( potenza media )

P = t

Lt ∆

∆rarr∆ 0lim ( potenza istantanea)

Non egrave solo una stima del lavoro compiuto ma anche della rapiditagrave con cui si compie lavoro

Fig 29 Per superare il muro ci vuole un certo lavoro che consiste nellrsquoinnalzare il proprio corpo di unrsquoaltezza h Sia lrsquoatleta che lo supera in un sol balzo sia il vecchietto che sale pian piano la scalinata faranno lo stesso lavoro Quel che egrave diverso egrave la potenza dei due personaggi Dimensioni e unitagrave di misura della potenza [ ]P = [L] [t -1] = [ml2t-3] 1 watt = 1 joule 1sec (1w)

Energia Potenziale K egrave energia connessa allo stato di moto di un sistema Crsquoegrave anche energia connessa alla posizione di un corpo in un campo di forze (configurazione) Si chiama energia potenziale Nel caso dellrsquoatleta di sollevamento pesi il lavoro compiuto dallrsquoatleta Lm non ha alterato lrsquoenergia cinetica K dellrsquoattrezzo ma ha modificato la configurazione del sistema (terra-attrezzo) variandone lrsquoenergia potenziale (W) Il lavoro non egrave stato sprecato ma ldquoimmagazzinatordquo lrsquoattrezzo prima egrave a terra poi egrave in alto nel sistema che ora ldquopotenzialmenterdquo puograve compiere un lavoro cedendo la sua ldquoenergia potenzialerdquo Energia cinetica ed energia potenziale sono due parti dellrsquoenergia meccanica possono trasformarsi lrsquouna nellrsquoaltra ed in lavoro Nellrsquoesempio precedente quando lrsquoattrezzo egrave in alto si ha che K = 0 e W = WA Quando cade K aumenta percheacute la velocitagrave v aumenta e lrsquoenergia potenziale W diminuisce In basso W = WB lt WA e K egrave massima Lrsquoattrezzo cadendo puograve compiere lavoro Se fosse un martello potrebbe far avanzare un chiodo ad esempio Lrsquoenergia potenziale viene definita proprio a partire dal concetto di lavoro di forze conservative Ersquo conservativa una forza il cui lavoro per spostare il suo punto di applicazione da una posizione (configurazione) ad unrsquoaltra dipende solo dalle due posizioni (configurazioni) iniziale e finale Equivalentemente si puograve definire la forza conservativa dicendo che il lavoro di tale forza egrave nullo se le posizioni (configurazioni) iniziali e finali coincidono

-Lavoro per passaggio dalla posizione A a B egrave lo stesso lungo I o II -Se da A vado a B e torno in A il lavoro totale egrave nullo

Fig 30 Posso allora definire una funzione della posizione W che assume i valori WA e WB in A e B e tale per cui LAB = WA ndash WB ( W energia potenziale) WA WB sono definiti a meno di una costante tanto quello che interessa egrave la differenza fra loro Variazione di energia potenziale del passaggio da A a B WB ndash WA = ∆W allora LAB = -∆ W Con questa convenzione sui segni si rende conto del fatto che un lavoro positivo ( fatto dalle forze conservative sul corpo) fa diminuire lrsquoenergia potenziale W ( L positivorarr ∆W negativo rarr WBlt WA rarr ho usato energia potenziale) un lavoro negativo (subito) aumenta W (L negativo rarr ∆W positivo rarr WBgt WA rarr ho guadagnato energia potenziale) W si misura in Joule come il lavoro e lrsquoenergia cinetica

Qual egrave la Forma di W

Mentre la forma dellrsquoenergia cinetica egrave sempre K =2

1mv2 indipendentemente dal tipo di forze

che provocano il movimento W dipende dal tipo di forza conservativa di cui si sta calcolando il lavoro Consideriamo due forze conservative

a) Forza gravitazionale forza peso

F(y) = -mg Stato di riferimento y0 = 0 in cui W0 = 0

Fig31

Abbiamo detto che LAB = WA- WB ma siccome

LAB = )( ABhmgsP minussdotminus=sdot dove hAB= yA-yB egrave la distanza tra A e B allora rArr WA = mgyA WB = mgyB e in generale W(y) =mgy

Per la forza peso W(y) =mgy e lrsquoenergia totale meccanica (W+K) = mgy+2

1mv2=Etot

b) Forza elastica

Fig 32

F(x) = -kx Stato di riferimento x = 0 allungamento nullo la lunghezza della molla egrave la sua lunghezza di riposo L ( W(0) = 0)

Immaginiamo che la configurazione della molla venga modificata passando dalla posizione xA alla posizione xB (Fig 32) Il lavoro della forza elastica egrave calcolato come

LAB = 22

2

1

2

1AB kxkx +minus

Ricordando che LAB = WA- WB possiamo ricavare lrsquoespressione per lrsquoenergia potenziale elastica

rArr WA = 2

2

1Akx WB = 2

2

1Bkx e in generale W(x) = 2

2

1kx

Energia totale meccanica ndash Conservazione dellrsquoenergia

In presenza di sole forze conservative la somma dellrsquoenergia cinetica e dellrsquoenergia potenziale costituisce lrsquoenergia totale meccanica Tale energia meccanica gode della proprietagrave importantissima di conservarsi durante lrsquoevoluzione del sistema Lrsquoenergia connessa al movimento e alla posizione si scambiano una diminuisce e lrsquoaltra cresce ad esempio ma la loro somma rimane costante

- Esempio delle montagne russe Se non ci sono attriti (infatti il trucco egrave quello di rendere il

sistema privo di attriti) so giagrave quale altezza massima potrograve raggiungere (quella iniziale e non di piugrave) quale velocitagrave massima potrograve raggiungere (in fondo alla valle) Queste quantitagrave sono fra loro legate dal teorema della conservazione dellrsquo energia meccanica

Fig 33 - Esempio del salto con lrsquoasta Lrsquoenergia cinetica dellrsquoatleta acquisita nella rincorsa viene

trasformata in energia potenziale gravitazionale parte direttamente e parte attraverso lrsquoenergia potenziale elastica dellrsquoasta acquisita nella sua deformazione durante il salto La flessibilitagrave dellrsquoasta (costante elastica dellrsquoasta) egrave legata allrsquoenergia che si puograve immagazzinare in una data deformazione Infatti con aste rigide (alluminio acciaio bambugrave) il salto era piugrave basso Con fibra di vetro il record egrave stato polverizzato

Fig 34

Fig 35

Fig 36

Osserviamo che il teorema dellrsquoenergia cinetica ha validitagrave generale qualunque siano le forze che agiscono conservative o non conservative (le forze non conservative si dicono anche ldquodissipativerdquo)

KLL

KL

fncfc

tot

∆=+∆=

e ricordando che darr Lfc = - )( fcW∆

Si ottiene che K∆ + )( fcW∆ = Lfnc

Si vede che nel caso in cui Lfnc sia nullo cioegrave quando non ci sono forze dissipative la somma delle variazioni di energia cinetica e energia potenziale egrave uguale a zero cioegrave lrsquoenergia totale meccanica (somma dellrsquoenergia cinetica e potenziale) egrave costante E questo corrisponde al teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica Nel caso ci siano forze dissipative la somma delle energie non egrave costante quindi al contrario del teorema dellrsquoenergia cinetica il teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica non ha validitagrave generale (vale solo in assenza di attriti ad esempio) Le forze non conservative di attrito compiono lavori solo negativi e fanno perdere quantitagrave di energia non recuperabile Parte di questa energia va in generale in calore quindi se ne puograve tenere conto considerando unrsquoaltra forma di energia lrsquoenergia termica ( ci sono anche altri fenomeni dissipativi ad esempio le deformazioni permanenti negli urti o la propagazione di onde sonore)

Lrsquo energia puograve dunque conservarsi o trasferirsi proprietagrave caratterizzanti dellrsquoenergia Il lavoro rende conto del trasferimento di energia della perdita di energia sotto una forma e del guadagno sotto unrsquoaltra forma (cioegrave energia conservativa) o del passaggio dellrsquoenergia da un sistema ad un altro Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica quando egrave applicabile puograve essere sfruttato per risolvere facilmente problemi altrimenti complicati Esercizio Una palla da tennis viene lanciata con velocitagrave iniziale v0 (senza effetti strani taglio etc) al di lagrave della rete Con quale velocitagrave arriva a terra

Se durante il moto Etot si conserva K+W = cost

Fig 37 e W = mgh egrave solo energia potenziale gravitazionale h = 0 alla fine come allrsquoinizio dunque K in = Kfin e vfin = v0 Se la palla egrave lanciata verso lrsquoalto non crsquoegrave componente orizzontale della velocitagrave ma solo verticale al punto piugrave alto di arresto h K(h) = 0 W(h) = max = Kin cioegrave mgh = frac12 mv0

2 si puograve cosigrave calcolare facilmente lrsquoaltezza massima raggiunta h = (frac12 v0

2)g e vicenversa si puograve calcolare il valore della velocitagrave v0 che bisogna imprimere alla palla affinchegrave raggiunga lrsquoaltezza h

v0 = gh2

Esercizio Una saltatrice di massa M = 61Kg salta da un ponte di altezza H = 45m agganciata ad una corda elastica La lunghezza di riposo della corda elastica egrave L = 25m e la sua costante elastica egrave k = 160 Nm Nel punto piugrave basso si arresta prima di venire rimbalzata in alto Qualrsquo egrave lquesta quota piugrave bassa h (a cui si trovano i suoi piedi ai quali egrave legato lrsquoelastico)

Fig 38 Etot = Wgrav + Wel + K = cost sono solo forze conservative vale la conservazione

dellrsquoenergia Nel punto A K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di lanciarsi Wel = 0 percheacute lrsquoelastico non egrave ancora svolto Wgrav = MgH Nel punto B K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di rimbalzare

Wel = frac12 kd2 Wgrav = Mgh = Mg(H-(L+d)) Etot(A) = Etot (B) MgH + 0 + 0 = Mg (H-(L+d)) + frac12 kd2 + 0 MgH = MgH ndash MgL ndash Mgd +frac12 kd2

2

1(160)d2 ndash (61)(98)d ndash (61)(98)(25) = 0

equazione di IIdeg grado che dagrave per d il valore accettabile d = 179m (lrsquoaltro egrave negativo e non egrave accettabile perchegrave non ha senso fisico la

saltatrice va in giugrave non in su) Allora h = H-(L+d) = 45 ndash (25+179) = 45 ndash 429 = 21m quindi con la testa poco sopra lrsquoacqua Sistemi di punti materiali e corpi rigidi ndash Centro di Massa

Un giocoliere o un ginnasta che lancia la clavette fa compiere allrsquoattrezzo movimenti complicati tuttavia crsquoegrave un punto dellrsquoattrezzo che si muove seguendo una traiettoria semplice come quella di un punto materiale ad esempio lanciato segue una traiettoria parabolica Tale punto si chiama centro di massa dellrsquooggetto Il centro di massa puograve essere definito per un oggetto o per un insieme di punti materiali Ersquo importante percheacute in generale il moto di un corpo esteso (o di un insieme di punti) si puograve studiare separando il moto del centro di massa (moto traslatorio) e il moto del corpo attorno al centro di massa (moto rotatorio)

Centro di Massa (CDM) di un sistema di punti - Consideriamo il caso semplice di due punti materiali di massa m1 m2 posti sullrsquoasse x in

posizione x1 x2

Fig 39

la posizione del centro di massa egrave definita xCDM = 21

2211

mm

xmxm

++

a) xCDM egrave compreso fra x1 e x2 b) se m1 = m2 CDM egrave a metagrave strada fra m1 ed m2 c) xCDM egrave piugrave prossimo alla massa maggiore - Nel caso di piugrave punti allineati nelle posizioni xi detto M = summi allora

xCDM = ii xmMsum

1

- Nel caso di punti distribuiti nello spazio detti irrarr

i vettori che identificano le loro posizioni

CDMrrarr

= iii rmM

rarrsum

1

dove CDMrrarr

ha coordinate (xCDM yCDM zCDM) definite come

xCDM = ii xmsumη1

yCDM = ii ymMsum

1

zCDM = ii zmMsum

1

- Consideriamo un oggetto qualsiasi questo egrave composto da un gran numero di particelle ma conviene considerarlo come un continuo di materia e per calcolare il centro di massa si prendono in considerazione degli elementi infinitesimi di massa dm centrati intorno alle posizioni (xyz) allora

xCDM = int xdmM

1 yCDM = int ydm

M

1 zCDM = int zdm

M

1

se si puograve considerare il corpo omogeneo (densitagrave uniforme) allora V

M

dv

dm = e allora si puograve fare il

calcolo considerando il volume V e gli elementi di volume dv anzichegrave la massa e gli elementi di massa

xCDM = int xdvV

1 etc

In un oggetto solido (corpo rigido) i diversi punti materiali che lo compongono non cambiano la loro posizione relativa (non come un corpo elastico) - se un oggetto ha un elemento di simmetria un asse od un piano il CDM si trova su tale

elemento di simmetria (asse per cono centro per sfera piano per una banana etc) Non egrave detto che il CDM di un oggetto appartenga allrsquooggetto vedi uno pneumatico un cerchio Il CDM egrave esterno alloggetto Legge fondamentale della dinamica per un sistema di punti materiali Caso della palla da bigliardo urto fra due palle dopo il lancio di una le due si muovono 1) una egrave ferma (B) lrsquoaltra la lancio (A) 2) le due si urtano in qualunque modo 3) le due si muovono secondo traiettorie differenti una possibilmente andragrave in buca lrsquoaltra no Dopo il lancio sulla palla A non agisce piugrave nessuna forza quindi la sua velocitagrave v egrave costante Va bene ma dopo lrsquourto Il CDM delle due palle continua a muoversi con velocitagrave costante anche se il centro di massa egrave un punto teorico che non appartiene a nessuna delle due palle Tuttavia al CDM possiamo assegnare una massa (M totale del sistema) una velocitagrave ed una accellerazione Si ha

)(CDMext aMFrarrrarr

=sum

a) extFrarr

sum egrave la somma di tutte le forze esterne che agiscono sul sistema non quelle interne (ad esempio nel caso del bigliardo non devo considerare le forze che si applicano fra le due palle quando si urtano)

b) M egrave la massa totale del sistema Si suppone che durante il moto M rimanga costante

c) )(CDMararr

egrave lrsquoaccelerazione del CDM Dellrsquoaccellerazione di un altro punto ad esempio del centro della palla A non si dice nulla

Cosideriamo alcuni esempi 1) Bigliardo tvaF CDMCDMext cos00 ===sum prima dellrsquourto nellrsquourto si verificano solo forze

interne Quindi tvaF CDMCDMext cos00 ===sum dopo lrsquourto e durante tutto il moto

2) Sistema terra-luna sumFext = gravitazione del sole aCDM egrave ldquocentripetardquo accellerazione di una

forza che egrave diretta verso il sole (forza ldquocentralerdquo) egrave il CDM terra-luna che segue la traiettoria dovuta allrsquoattrazione gravitazionale del sole poi terra e luna si muovono intorno al loro CDM

3) Clavette lanciate sum Fext = Mg aCDM = g il centro di massa si comporta come un punto materiale nel lancio

4) La ballerina nel ldquogrand-fetegraverdquo fa seguire a testa e busto una traiettoria rettilinea percheacute modifica lrsquoassetto in modo da alzare il suo CDM Nel corso del salto (alza le braccia e distende

orizzontalmente le gambe non appena lasciato il suolo) il suo CDM segue la traiettoria parabolica del lancio di un corpo soggetto allrsquoaccelerazione di gravitagrave g

Quantitagrave di moto rarrP

- Si definisce quantitagrave di moto di una particella il vettore

rarrrarr= vmP

con m massa della particella e rarrv la sua velocitagrave

Si vede che rarrP egrave diretto come

rarrv

Newton scrisse la legge fondamentale della dinamica in termini di quantitagrave di moto (a differenza di Galileo che la scrisse in termini di massa e di accelerazione) ldquola rapiditagrave di variazione della quantitagrave di moto di una particella egrave proporzionale alla forza netta che agisce sulla particella ed egrave nella direzione di quella forzardquo cioegrave

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

che egrave piugrave generale della formulazione di Galileo perchegrave descrive bene anche il caso in cui variasse la massa del corpo durante il moto (ad esempio un vettore spaziale) Se la massa egrave costante le due formulazioni sono identiche

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

= t

vm

∆∆

rarr)(

= m t

v

∆∆

rarr

= m rarra

Ricordiamo che rarrF egrave diretto come

rarra (o la risultante

rarrR = sum

rarrF )

Per un sistema di punti materiali si definisce la quantitagrave di moto totale

rarrP =

rarrP 1 +

rarrP 2 + helliphellip+

rarrP n =

m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +helliphelliphellip+ mn

rarrv n = M

rarrv CDM (si puograve dimostrare) dove M egrave la massa totale

[essendo infatti Mrarrv CDM =

dt

d(M

rarrr CDM) =

dt

d(m1

rarrr 1 + m2

rarrr 2 +hellip) = m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +

hellip]

quindi rarrP = M

rarrv CDM per un sistema di particelle e

dt

Pdrarr

= M dt

d rarrv CDM = M

rarra CDM = sum

rarrF ext

Conservazione delle quantitagrave di moto

Per un sistema chiuso (M non varia) e isolato (sumrarrF ext = 0)

Allora

t

P

∆∆

rarr

= 0 rarrP = cost

rarrP i =

rarrP f

che sono tre modi equivalenti per dire che la quantitagrave di moto si conserva Vale per un sistema nel quale non agisca nessuna forza esterna netta Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica e la conservazione delle quantitagrave di moto sono due concetti fisici importantissimi Valgono sia per le palle da bigliardo che per qualunque altro sistema anche le galassie nellrsquouniverso Queste equazioni sono vettoriali Ciograve significa che rappresentano una terna di equazioni scalari ognuna valida sul proprio asse del sistema di riferimento (x y z)

Puograve accadere a seconda delle forze che agiscono nel sistema che la quantitagrave di moto si conservi in una direzione o in due e non in tutte e tre

Ad esempio se consideriamo una palla come un insieme di punti materiali la rarrF ext che agisce nel

sistema egrave mrarrg diretta lungo z senza componenti su x e y quindi

rarrP varia lungo z ma

non su x e y

Percheacute ldquocomplicarci la vitardquo con questa storia del CDM del sistema di particelle etchellip non bastava il moto del punto rappresentativo materiale Avevamo giagrave considerato il punto rappresentativo e avevamo svolto anche problemi sulla palla sul bilanciere e per altri oggetti Abbiamo sempre sbagliato La questione egrave se un corpo egrave rigido cioegrave se tutti i suoi punti si muovono mantenendo le loro distanze relative non crsquoegrave problema abbiamo solo visto che il punto materiale rappresentativo si chiama CDM ed abbiamo imparato a situarlo allrsquointerno del corpo Ma se il corpo non egrave rigido cioegrave se il suo CDM si sposta rispetto a lui stesso nel corso del moto la disposizione del corpo intorno al punto rappresentativo varia nel corso del tempo e le leggi di conservazione valgono per il CDM - Consideriamo ad esempio il teorema dellrsquoenergia cinetica che per un punto materiale si scrive Ltot = Kfin-K in = ∆ K (qui ovviamente non crsquoegrave da specificare lavoro delle forzeldquoesternerdquo percheacute essendo in un punto materiale che si assume infinitamente piccolo non ci sono forze ldquointernerdquo) Per analogia il teorema dellrsquoenergia cinetica si estende al caso di un insieme di punti materiali nel seguente modo

Ltot forze ext=rarrF extmiddot

rarrs CDM = ∆ KCDM

Dove s CDM egrave lo spostamento del centro di massa A titolo di esempio risolviamo il problema un giocatore di hockey su ghiaccio di massa M = 110Kg si muove verso la balaustra a bordo campo alla velocitagrave di 3msec Nellrsquoarrestarsi flettendo le braccia il suo CDM si sposta in avanti di 30cm Qual egrave la ∆ K del suo CDM durante la manovra

∆ KCDM = infin CDMCDM mvmv 22

2

1

2

1 minus =

= 0 - 2

1110 32 = -495 J

Fig 40

Sia L il lavoro delle forze esternerarrF ext (dirette come d

rarrx CDM ) allora

L = - Fext 03 = ∆ KCDM quindi

Fext =30

495

minusminus

= + 1650N

( si considera la forza esterna rarrF ext costante nellrsquointervallo dellrsquoarresto fatto che equivale a dire

che il giocatore si arresta con rarra CDM costante)

Dinamica e statica del corpo esteso Finora abbiamo sempre discusso del moto di un punto materiale (punto rappresentativo dicevamo sempre) In particolare abbiamo sempre applicato le forze a quel punto materiale quindi se diverse forze erano applicate esse concorrevano in quel punto ligrave e con le forze concorrenti sapevamo come calcolare la risultante con il metodo grafico o con quello numerico delle coordinate cartesiane Una volta calcolata la risultante applicata al punto si otteneva un moto di pura traslazione del punto (al massimo traslava lungo una traiettoria curva) senza rotazioni proprie del punto che non hanno neanche senso un punto che ruota su se stesso Come faccio ad accorgermi Un punto per definizione egrave infinitamente piccolo (Dicevamo infine che il punto egrave in equilibrio

traslazionale se la risultante rarrR delle forze applicate egrave nullo)

Consideriamo invece un corpo esteso Prima osservazione questo ha piugrave punti (direi infin ) a

cui la forza puograve essere applicata Prendiamo una racchetta da tennis ed una forza rarrF applicata il

moto che ne risulta dipende dal punto al quale viene applicata la forza rarrF

qui la racchetta trasla

Fig 41

stessa forza qui la racchetta ruota

Fig 42

Seconda osservazione Crsquoegrave un caso in cui le forze non possono essere fatte concorrere in un punto ed egrave quando sono parallele ed hanno rette di applicazione distinte Chiaramente non abbiamo mai dovuto considerare questo caso per il punto materiale percheacute per un punto non possono mai passare due rette parallele Ma per il corpo esteso So benissimo che se sono ferma con la macchina in

panne e la sto spingendo applicando una forza rarrF 1 sono contenta se qualcuno si affianca a me ed

esercitando una forza rarrF 2 lungo una direzione parallela a quella della mia mi aiuta a spingere In

particolare mi viene spontaneo dire che se F1 = F2 allora spingeremo con una forza doppia Ci saragrave quindi un modo per sommare due forze non concorrenti in un punto ma parallele e saragrave Ftot = F1+ F2 La retta di applicazione di Ftot divide il segmento congiungente i punti di applicazione di F1 ed F2 in due segmenti inversamente proporzionali allrsquointensitagrave delle forze F1 e F2 Terza osservazione se F1 = - F2 sono uguali in intensitagrave ma di verso opposto sempre lungo due rette di applicazione parallele passanti per un corpo esteso cosa succede La loro somma Ftot risultante saragrave 0 ma io so che il corpo non sta fermo sotto lrsquoazione di tali due forze ma ruoteragrave Concludo che le nozioni che ho acquisito finora vanno riviste ed ampliate o corrette o specificate per i corpi estesi ed inoltre che mi mancano totalmente i mezzi per descrivere le rotazioni dei corpi estesi Occorrono nuovi concetti nuove quantitagrave la forza non basta Prendo lrsquoesempio piugrave semplice dellrsquoaltalena con due bambini in due bracci uno piugrave leggero uno piugrave pesante

Fig 43 Qualitativamente so che percheacute lrsquoaltalena stia in equilibrio e non ruoti intorno al punto fisso non egrave necessario che i due bambini abbiano lo stesso peso (ugual massa) occorre che il bambino piugrave leggero sieda piugrave lontano rispetto al punto fisso (fulcro) La regola quantitativa dice che lrsquoaltalena egrave in equilibrio se il prodotto del peso per la distanza del fulcro egrave uguale PB dB = Pb

db Per generalizzare questa regola ai casi piugrave complessi occorre definire una nuova quantitagrave il momento di una forza Momento di una forza

Consideriamo una forza rarrF applicata ad un punto P ed un punto O Sia

rarrr

il vettore rarrOP allora il momento

rarrM di

rarrF rispetto ad O egrave

rarrM =

rarrr x

rarrF

e

|rarrr | middot |

rarrF | sin ϑ = |

rarrM |

Fig 44

oppure anche considerando la componente di rarrF perpendicolare ad

rarrr o di

rarrr

perpendicolare a rarrF r e rispetto a F

|rarrM | = |

rarrr | |

rarrF perp | |

rarrM | = |

rarrr perp| |

rarrF |

In generale si dice che il modulo del momento |rarrM | egrave il prodotto delle intensitagrave della forza per la

distanza dal punto della retta di applicazione della forza

Come vettore rarrM egrave perpendicolare al piano che contiene

rarrF ed

rarrr ed ha verso calcolato con la

regola della mano destra (con rarrr che si chiude su

rarrF )

La distanza rperp si chiama braccio della forza Si vede che il momento egrave nullo quando il braccio egrave nullo cioegrave quando il punto O si trova sulla retta di applicazione di F Il momento della forza peso P egrave nullo rispetto al baricentro che coincide con il centro di massa nel caso (praticamenteldquosemprerdquo) in cui il corpo non sia abbastanza esteso percheacute diversi punti del corpo risentano di una forza gravitazione differente Praticamente si deve parlare di galassie percheacute CDM e baricentro (BC) non coincidono Quindi la condizione del momento nullo della forza peso diventa un modo per definire il CDM come quel punto rispetto al quale la forza peso P ha momento nullo Per un corpo ldquoarticolatordquo estendiamo il concetto di forza normale come forza di contatto nellrsquoarticolazione utile cioegrave la forza che lrsquoarticolazione che si sta considerando esercita su quello che nellrsquoarticolazione si appoggia La forza peso P di un corpo esteso puograve immaginarsi applicata al CDM Principio di equilibrio di un corpo esteso

se su un corpo esteso agiscono solo rarr

Peso e rarr

Normale cioegrave se un corpo egrave appoggiato ad un piano orizzontale allora il corpo egrave in equilibrio se e solo se il baricentro si trova sopra la superficie di appoggio

Fig 45

Finchegrave il baricentro egrave sopra il tavolo il libro non cade percheacute rarrP applicata a CDM puograve essere

controbilanciata da rarrN Se CDM si sposta in fuori

rarrN rimane nel tavolo e crsquoegrave momento non nullo

non equilibrato da rarrP che continua ad essere applicato nel CDM

Il baricentro di una persona in posizione eretta si trova nellrsquoarea delimitata dei suoi piedi 3cm davanti allrsquoarticolazione della caviglia

Fig 46 Quando la persona si piega in avanti il baricentro esce dal corpo e per mantenere lrsquoequilibrio egrave necessario che le anche si spingono indietro percheacute il baricentro cade di nuovo in quella posizione Notiamo che anche in posizione eretta essendo la forza peso e la forza di contatto non allineate (quei 3cm) (forza di contatto sullrsquoarticolazione della caviglia che regge il peso) occorre un momento correttivo che impedisca la rotazione in avanti mantenuto dal tendine di Achille che si lega alla caviglia Altro esempio di spostamento del baricentro egrave lrsquoatleta che assume una posizione ad L chi regge il peso egrave lrsquoarticolazione della spalla quindi il CDM si sposta sotto la spalla (giagrave era uscita dal corpo per via delle gambe distese in avanti) Nel camminare il baricentro continua a muoversi da sopra un piede a sopra un altro (quello appoggiato ovviamente) Si osservi lrsquoondeggiamento Per assurdo lrsquoancheggiare delle indossatrici serve a mantenere il baricentro il piugrave possibile fermo rispetto alla direzione media del moto (porre un piede esattamente davanti allrsquoaltro) rendendo piugrave facile muoversi anche con tacchi altissimi Al contrario lrsquoequilibrista che cammina sui trampoli sta fermo il meno possibile percheacute egrave stando fermo che il piccolo spostamento che fa uscire il baricentro (ALTO) dalla superficie drsquoappoggio puograve verificarsi facilmente preferisce il ldquonon ndash equilibriordquo o lrsquo rdquoequilibrio dinamicordquo dellrsquoondeggiare continuamente fra due posizioni di equilibrio

Ricordiamo che un equilibrio egrave detto stabile se quando una perturbazione lo altera spontaneamente il sistema lo ripristina Viceversa un equilibrio egrave instabile se la piugrave piccola perturbazione lo distrugge Lrsquoequilibrio egrave molto stabile se il baricentro egrave basso ed il corpo ha una grande area drsquoappoggio la posizione accucciata del giocatore di football americano dagrave grande stabilitagrave Ancor piugrave grande stabilitagrave si ha se il baricentro (CDM) si trova al di sotto della superficie drsquoappoggio Ersquo come se si fosse ldquoappesirdquo anzicheacute ldquoappoggiatirdquo alla superficie drsquoappoggio Proprio per questo motivo lrsquoequilibrista sul filo porta una lunga asta che spesso si flette agli estremi

Fig 47 Gli uccelli bipedi da 100000000 di anni hanno sviluppato questo adattamento per cui sono appesi alle anche mentre gli uomini bipedi da solo 1000000 di anni fanno fatica con il CDM dalla parte alta del corpo Ersquo un equilibrio instabile ldquosoprardquo le anche che le reggono (65 del peso del corpo) Modificazioni strutturali per reggere la posizione eretta 1) Colonna vertebrale rastremata (piugrave tozza in basso che in alto percheacute piugrave in basso vuol dire una

maggior forza di contatto) 2) Muscoli estensori della schiena 3) Gambe ed anche ingrossate 4) Ginocchio che blocca la gamba estesa Ciononostante si ha spesso il mal di schiena Se una forza ha momento non nullo rispetto ad un punto allora il corpo puograve ruotare intorno a quel punto sotto lrsquoazione di quella forza ldquoDiciamo che se sostengo il corpo per quel punto il corpo puograve ruotare intorno a quel puntordquo (Prendo in mano un foglio di carta per un estremo per esempio) La presenza di un momento non nullo egrave dunque la condizione che genera rotazione e viceversa Lrsquoassenza di un momento risultante egrave la condizione che genera lrsquoequilibrio rotazionale di un corpo esteso Quindi la condizione di equilibrio per un corpo esteso egrave

1) rarrR = 0 risultante delle forze applicate = 0 (equilibrio traslazionale)

2) rarrM = 0 momento risultante = 0 (equilibrio rotazionale)

Supponiamo di avere un corpo esteso al quale siano applicate delle forze che diano luogo ad un momento non nullo allora il corpo ruota Per equilibrarlo dovrograve applicare un altro momento tale che la loro somma sia nulla Questo egrave il principio di funzionamento delle leve LEVE

Una leva egrave un corpo esteso al quale sono applicate delle forze con un momento risultante rarrR

allora per portare il corpo in equilibrio applico un momento correttivo rarrP in modo che il momento

totale sia nullo Si dice in genere potenza (P) e resistenza (R) di una leva Le leve sono macchine semplici Servono per applicare forze in punti scomodi o in direzioni particolari Il fulcro egrave il punto nel quale la leva egrave incernierata Si definisce il guadagno meccanico di una leva

GM =

)(

)(rarr

rarr

PF

RF

cioegrave il rapporto fra la forza che genera il momento resistente e quella che genera il momento agente A seconda che GM sia gt

lt 0 una leva si dice che egrave vantaggiosa o svantaggiosa ma solo per quel che riguarda le forze percheacute per quel che riguarda i lavori non si ha neacute vantaggio neacute svantaggio Il lavoro esercitato dalla forza che dagrave la ldquopotenzardquo e quello esercitato dalla forza che dagrave la ldquoresistenzardquo sono sempre uguali Infatti forze e spostamenti sono inversamente proporzionali Le leve si dicono di I II o III specie a seconda se il fulcro si trovi I) in mezzo fra R e P (leva indifferente GM dipende da caso a caso) II) dalla parte di R (leva vantaggiosa il braccio di R egrave sempre minore del braccio di P basta

quindi una P minore per equilibrare una R maggiore) III) dalla parte di P (leva svantaggiosa) Classici esempi dei tre tipi di leve sono i remi (I) lo schiaccianoci (II) e la pinzetta per francobolli (III) Tuttavia vediamo degli esempi meno classici ma attinenti al campo della biologia e della medicina Criterio generale egrave che le leve vantaggiose consentono di essere molto potenti ma con brevi spostamenti mentre viceversa quelle svantaggiose fanno perdere in potenza ma consentono grandi spostamenti saragrave difficile vedere un cavallo che con le lunghe zampe si scava la tana drsquoaltronde una talpa scava bene la tana ma ha movimenti molto meno ampi che non le consentono di correre veloce come un cavallo (compromesso fra forza e velocitagrave del movimento) Se contiamo tutti i movimenti di rotazione che il corpo puograve compiere capiamo che siamo pieni di leve di ogni tipo Sono classici a) il capo fulcro (articolazione occipito-atlantoide) Fig 48 muscoli della nuca (Potenza) peso del capo (Resistenza) b)

muscolo bicipide (Potenza)

Fig 49 Peso dellrsquoavambraccio (Resistenza) Fulcro (articolazione del gomito) Questa leva permette grandi spostamenti Si vede che la forza operata dal muscolo bicipite egrave massima quando lrsquoavambraccio egrave orizzontale (la distanza dal fulcro egrave massima) ed egrave minima quando lrsquoavambraccio egrave verticale( con la distanza dal fulcro nulla) Attenzione - la colonna vertebrale egrave costituita da 24 vertebre separate da dischi di liquido Quando una

persona si piega la schiena egrave una leva con GM molto piccolo Quindi un piegamento completo per raccogliere un oggetto anche leggero produce una forza molto intensa sul disco lombosacrale che separa lrsquoultima vertebra dellrsquoosso sacro Se indebolito questo disco puograve rompersi o deformarsi comprimendo i nervi vicini e causando grande dolore Vediamo un modello che rende conto come mai questa forza egrave cosigrave grande

Fig 50

I muscoli della schiena esercitano T Con un angolo α = 12deg quando la schiena egrave piegata a 90deg

Peso della parte superiore del corpo (circa il 65 del peso totale)

Fulcro lombosacrale (il fulcro produce R) Essendo α piccolo la retta di azione Τ passa vicino al fulcro e dunque la distanza r che costituisce il suo braccio egrave molto piccola Al contrario il peso egrave perpendicolare alla colonna e il suo punto di applicazione egrave molto piugrave distante dal fulcro Τ deve essere molto grande per equilibrare il momento di P Dunque se T egrave grande anche la sua componente orizzontale egrave grande e di conseguenza anche R che costituisce la reazione dellrsquoosso sacro deve avere componente orizzontale molto grande per equilibrare Τ (uguale ed opposta alla componente orizzontale di Τ ) Facendo i conti si ottengono numeri grandi per 75Kg di peso T ed R sono equivalenti al peso di una massa di 220Kg Senza sollevare pesi solo piegandosi Conviene piegare le ginocchia quando si sollevano pesi - Nel corpo egrave difficile che il peso cada sulla verticale dellrsquoarticolazione che lo sostiene egrave sempre

un porsquo spostato e crsquoegrave un tendine con un muscolo che compensa il momento del peso - La contrazione muscolare egrave una successione di brevi contrazioni delle fibre muscolari stimolate

da impulsi che provengono dal sistema nervoso Contrazioni sono molto ravvicinate e avvengono in tempi differenti nelle diverse parti del muscolo cosigrave che il risultato apparente egrave una lenta e progressiva contrazione Se la frequenza degli impulsi aumenta la tensione cresce finchegrave si raggiunge la tensione massima (ricordare la tensione di un cavo) Un ulteriore aumento della frequenza degli impulsi a questo punto non causa ulteriore aumento della tensione

La tensione massima egrave proporzionale allrsquoarea della sezione trasversa del muscolo nel suo punto piugrave largo La tensione massima dipende anche dalla lunghezza del muscolo che varia Si ottiene tensione massima quando il muscolo egrave solo di poco allungato rispetto alla sua lunghezza di riposo di riposo ed egrave circa 30-40 Ncm2 La tensione massima si riduce moltissimo se il muscolo egrave molto allungato o accorciato Dinamica Rotatoria Fino ad ora abbiamo studiato moti traslatori ma il moto di un corpo rigido egrave in generale roto-traslatorio Naturalmente dobbiamo ridurre il problema complesso ad uno piugrave semplice e per fare ciograve immaginiamo di posizionarci su un sistema di riferimento solidale al corpo rigido i moto immaginiamo cioegrave di ldquosedercirdquo sul corpo rigido In questo modo non saremo piugrave sensibili al moto traslatorio e guardando il corpo rigido osserveremo solo le sue rotazioni Trattiamo allora il moto generico scomponendo la parte traslatoria (giagrave discussa ) da quella rotatoria Se si trascura la parte traslatoria del moto di un corpo rigido quello che rimane da trattare egrave la sua rotazione Nel nostro corso consideriamo le rotazioni che avvengono su un piano le rotazioni nello spazio potranno essere trattate come composizione di rotazioni su un piano Per le rotazioni su un piano si identifica un asse di rotazione perpendicolare al piano di rotazione e passante per il centro di rotazione Le articolazioni del gomito e del ginocchio sono articolazioni libere di ruotare intorno ad un asse a differenza ad esempio di quella della spalla che puograve ruotare intorno a due assi Si definisce spostamento angolare la variazione di una posizione che egrave definita in modo completo da una misura di angolo Una rotazione di un intero corpo rigido egrave definita in modo completo da uno spostamento angolare θfin - θin= ∆θ e si misura in radianti

Fig 51 Dobbiamo definire anche un verso di rotazione θ si incrementa per rotazioni antiorarie positive le rotazioni in senso orario sono invece negative La velocitagrave angolare si definisce analogamente alla velocitagrave lineare come il rapporto tra lo spostamento angolare e il tempo t impiegato per eseguire tale rotazione

ωm = t∆

∆θ e si misura in rad s

θin

θfin ∆θ

R

S

Anche per w si definisce ωist = lim ∆trarr0 t∆

∆θ

Ancora lrsquoaccelerazione angolare si definisce αm = t∆

∆ω e αist = lim ∆trarr0

t∆∆ω

Anche la legge fondamentale della dinamica ha un analogo nel ambito dei moti rotatori Si stabilisce che se ad un corpo rigido egrave soggetto ad un momento torcente diverso da zero esso subisce unrsquoaccelerazione angolare ad esso proporzionale Nel caso delle rotazioni la resistenza al moto egrave espressa dal momento di inerzia I associato al corpo rigido che gioca il ruolo della massa nei moti traslatori La legge della dinamica delle rotazioni egrave M = I middotα

E sostituendo M = Imiddott∆

∆ω= Imiddot

tinfin

∆minusωω

Il momento di inerzia I di un corpo rigido dipende dalla disposizione della massa del corpo rispetto allrsquoasse di rotazione per una massa puntiforme m a distanza R dallrsquoasse di rotazione I= m R2 per un oggetto esteso sommerograve il momento drsquoinerzia delle sue parti I = Σi mi Ri

2 Se si definisce momento angolare L il prodotto del momento drsquoinerzia per la velocitagrave angolare

L=Iω la legge della dinamica diventa

M = t

LL infin

∆minus

Il momento angolare egrave la grandezza fisica che si conserva se non viene applicato momento torcente Tutti i gesti di volo salti lanci tuffihellip sono azioni nelle quali si conserva il momento angolare Infatti in volo agisce solo la forza di gravitagrave che essendo applicata al CDM non genera momento torcente Il corpo umano nei gesti di volo Il corpo umano non egrave rigido e pertanto in volo agendo con i muscoli possiamo cambiare la disposizione del nostro corpo intorno al centro di massa che in volo coincide col centro di rotazione In questo modo si ottiene una variazione del momento di inerzia I e di conseguenza la velocitagrave angolare deve compensare questa variazione in modo che si mantenga costante il momento angolare L (grandezza che si conserva in assenza di momento torcente) Ersquo questo il principio che spiega il realizzarsi delle trottole sul ghiaccio dei salti mortali tuffi con avvitamento e cosigrave via in posizione raccolta I diminuisce e ω aumenta Moto circolare e moto circolare uniforme Per utilizzare le relazioni della cinematica e della dinamica lineare che abbiamo studiato egrave interessante poter passare dalle variabili angolari alle variabili lineari velocitagrave e accelerazione delle

masse in moto rotatorio Se una massa si muove su una traiettoria curva la velocitagrave tangenziale vt diretta come la tangente alla traiettoria dipende dalla velocitagrave angolare ω ( ωm=ϑ t )e dal raggio di curvatura della traiettoria Se la traiettoria egrave una circonferenza di raggio R e se gli angoli sono espressi in radianti lrsquoarco percorso per uno spostamento angolare ϑ egrave S = ϑ sdotR e la velocitagrave lineare tangente vt = St= ϑ sdotRt risulta vt = ωsdotR Se la velocitagrave angolare ω egrave costante il moto egrave detto circolare uniforme La legge oraria egrave quella dei moti uniformi spostamenti angolari uguali in tempi uguali ϑ(t) = ω t Anche la velocitagrave tangente saragrave di intensitagrave costante se ω egrave costante (archi uguali per tempi uguali s(t) = vt (t) ) ma crsquoegrave una accelerazione normale infatti la velocitagrave anche se non cambia in modulo cambia continuamente di direzione Questa accelerazione si dice centripeta egrave diretta normalmente rispetto alla traiettoria verso il centro della circonferenza e vale in modulo

ac=R

v2

Fig 52 Essendo la velocitagrave tangente vt = ωR Lrsquo accelerazione centripeta si puograve scrivere

ac =R

v2

= ω2 R

Il tempo impiegato dal punto a muoversi sulla circonferenza egrave una costante (moto uniforme) T periodo in T viene percorso uno spazio 2π R

v = T

Rπ2

La frequenza f egrave invece il ndeg di giri al secondo

f =T

1

Se si prendono punti diversi sul raggio della circonferenza questi hanno la stessa velocitagrave angolare e velocitagrave tangenziali crescenti al crescere del raggio Esempio carosello dei pattinatori Esercizi

1- un velocista con una velocitagrave di 10 ms viaggia su una curva di raggio 25m ndash accelerazione

a = R

v2

= 25

100 = 4 ms2

2 ndash un velocista con v = 92 ms su una pista circolare con ac = 38 m s2 ndash Raggio della pista Tempo per percorrere un giro completo

a = R

v2

rArr R = a

v2

= 83

)29( 2

= 2227m

T =v

Rπ2 =

29

27222 lowastπ = 152 sec

Forza centripeta forza centrifuga Una forza centripeta egrave una forza di qualunque natura che trattiene un corpo in moto su una traiettoria curvilinea ad esempio circolare In assenza di tale forza il corpo proseguirebbe il suo moto lungo una traiettoria rettilinea Nel gesto del lancio del martello ad esempio il lanciatore che esercita sul peso in cima allrsquoattrezzo una forza mediata dalla tensione dal cavo che lo trattiene nella traiettoria circolare Quando il lanciatore lascia la maniglia il martello viene lanciato lungo la direzione della tangente alla traiettoria nellrsquoistante di rilascio Lrsquointensitagrave della forza centripeta necessaria a mantenere una massa m in moto con velocitagrave tangente v lungo una traiettoria circolare di raggio r si puograve calcolare a partire dallrsquoaccellerazione centripeta secondo la legge fondamentale della dinamica

|rarr

cF | = m | rarr

ca | = m r

v2

Tale forza egrave diretta come lrsquoaccelerazione centripeta e cioegrave verso il centro della circonferenza che costituisce la traiettoria La forza centripeta egrave dunque una forza reale Con lsquoforza centrifugarsquo invece non ci si riferisce ad un forza che agisce su un corpo ma alla situazione apparente cui sembra sottoposto un corpo in moto curvilineo Esso pare tirato o attirato lontano dal centro di rotazione pare ci sia una lsquoforzarsquo che vuole farlo sfuggire Quando viene lasciato il martello si allontana dal centro di rotazione percheacute si muove di moto rettilineo uniforme non essendo piugrave soggetto a forze altre che la forza peso Lrsquoacqua esce dal cestello della lavatrice quando il cestello ruota velocemente (funzione centrifuga) percheacute lrsquoacqua che non costituisce un corpo solo con il cestello bucato non egrave soggetta alla forza centripeta e puograve passare attraverso i buchi I panni invece pure non parte del cestello sono troppo grandi per passare dai buchi si possono solo schiacciare contro le pareti questo schiacciamento sembra il risultato di una forza ma egrave invece il risultato dellrsquoassenza di una forza quella centripeta Una volta lagrave contro il cestello fanno tuttrsquouno con le pareti di metallo che esercitano su di essi la forza centripeta (cioegrave con direzione verso lrsquoasse di rotazione) che li mantiene in rotazione Le parti di un corpo rigido esteso che si muove di moto rotatorio rispetto ad un asse quale ad esempio la gamba di un giocatore di calcio che calcia un pallone sono soggette alla forza centripeta che le mantiene sulla traiettoria curva Tale forza viene trasmessa alle varie parti tramite le forze di tensione che si sviluppano allrsquointerno del corpo stesso ad esempio il piede egrave soggetto alla forza centrifuga tramite lrsquoazione dei legamenti e tendini a livello della caviglia che vengono messi in tensione per trattenere il piede stesso

Energia Potenziale K egrave energia connessa allo stato di moto di un sistema Crsquoegrave anche energia connessa alla posizione di un corpo in un campo di forze (configurazione) Si chiama energia potenziale Nel caso dellrsquoatleta di sollevamento pesi il lavoro compiuto dallrsquoatleta Lm non ha alterato lrsquoenergia cinetica K dellrsquoattrezzo ma ha modificato la configurazione del sistema (terra-attrezzo) variandone lrsquoenergia potenziale (W) Il lavoro non egrave stato sprecato ma ldquoimmagazzinatordquo lrsquoattrezzo prima egrave a terra poi egrave in alto nel sistema che ora ldquopotenzialmenterdquo puograve compiere un lavoro cedendo la sua ldquoenergia potenzialerdquo Energia cinetica ed energia potenziale sono due parti dellrsquoenergia meccanica possono trasformarsi lrsquouna nellrsquoaltra ed in lavoro Nellrsquoesempio precedente quando lrsquoattrezzo egrave in alto si ha che K = 0 e W = WA Quando cade K aumenta percheacute la velocitagrave v aumenta e lrsquoenergia potenziale W diminuisce In basso W = WB lt WA e K egrave massima Lrsquoattrezzo cadendo puograve compiere lavoro Se fosse un martello potrebbe far avanzare un chiodo ad esempio Lrsquoenergia potenziale viene definita proprio a partire dal concetto di lavoro di forze conservative Ersquo conservativa una forza il cui lavoro per spostare il suo punto di applicazione da una posizione (configurazione) ad unrsquoaltra dipende solo dalle due posizioni (configurazioni) iniziale e finale Equivalentemente si puograve definire la forza conservativa dicendo che il lavoro di tale forza egrave nullo se le posizioni (configurazioni) iniziali e finali coincidono

-Lavoro per passaggio dalla posizione A a B egrave lo stesso lungo I o II -Se da A vado a B e torno in A il lavoro totale egrave nullo

Fig 30 Posso allora definire una funzione della posizione W che assume i valori WA e WB in A e B e tale per cui LAB = WA ndash WB ( W energia potenziale) WA WB sono definiti a meno di una costante tanto quello che interessa egrave la differenza fra loro Variazione di energia potenziale del passaggio da A a B WB ndash WA = ∆W allora LAB = -∆ W Con questa convenzione sui segni si rende conto del fatto che un lavoro positivo ( fatto dalle forze conservative sul corpo) fa diminuire lrsquoenergia potenziale W ( L positivorarr ∆W negativo rarr WBlt WA rarr ho usato energia potenziale) un lavoro negativo (subito) aumenta W (L negativo rarr ∆W positivo rarr WBgt WA rarr ho guadagnato energia potenziale) W si misura in Joule come il lavoro e lrsquoenergia cinetica

Qual egrave la Forma di W

Mentre la forma dellrsquoenergia cinetica egrave sempre K =2

1mv2 indipendentemente dal tipo di forze

che provocano il movimento W dipende dal tipo di forza conservativa di cui si sta calcolando il lavoro Consideriamo due forze conservative

a) Forza gravitazionale forza peso

F(y) = -mg Stato di riferimento y0 = 0 in cui W0 = 0

Fig31

Abbiamo detto che LAB = WA- WB ma siccome

LAB = )( ABhmgsP minussdotminus=sdot dove hAB= yA-yB egrave la distanza tra A e B allora rArr WA = mgyA WB = mgyB e in generale W(y) =mgy

Per la forza peso W(y) =mgy e lrsquoenergia totale meccanica (W+K) = mgy+2

1mv2=Etot

b) Forza elastica

Fig 32

F(x) = -kx Stato di riferimento x = 0 allungamento nullo la lunghezza della molla egrave la sua lunghezza di riposo L ( W(0) = 0)

Immaginiamo che la configurazione della molla venga modificata passando dalla posizione xA alla posizione xB (Fig 32) Il lavoro della forza elastica egrave calcolato come

LAB = 22

2

1

2

1AB kxkx +minus

Ricordando che LAB = WA- WB possiamo ricavare lrsquoespressione per lrsquoenergia potenziale elastica

rArr WA = 2

2

1Akx WB = 2

2

1Bkx e in generale W(x) = 2

2

1kx

Energia totale meccanica ndash Conservazione dellrsquoenergia

In presenza di sole forze conservative la somma dellrsquoenergia cinetica e dellrsquoenergia potenziale costituisce lrsquoenergia totale meccanica Tale energia meccanica gode della proprietagrave importantissima di conservarsi durante lrsquoevoluzione del sistema Lrsquoenergia connessa al movimento e alla posizione si scambiano una diminuisce e lrsquoaltra cresce ad esempio ma la loro somma rimane costante

- Esempio delle montagne russe Se non ci sono attriti (infatti il trucco egrave quello di rendere il

sistema privo di attriti) so giagrave quale altezza massima potrograve raggiungere (quella iniziale e non di piugrave) quale velocitagrave massima potrograve raggiungere (in fondo alla valle) Queste quantitagrave sono fra loro legate dal teorema della conservazione dellrsquo energia meccanica

Fig 33 - Esempio del salto con lrsquoasta Lrsquoenergia cinetica dellrsquoatleta acquisita nella rincorsa viene

trasformata in energia potenziale gravitazionale parte direttamente e parte attraverso lrsquoenergia potenziale elastica dellrsquoasta acquisita nella sua deformazione durante il salto La flessibilitagrave dellrsquoasta (costante elastica dellrsquoasta) egrave legata allrsquoenergia che si puograve immagazzinare in una data deformazione Infatti con aste rigide (alluminio acciaio bambugrave) il salto era piugrave basso Con fibra di vetro il record egrave stato polverizzato

Fig 34

Fig 35

Fig 36

Osserviamo che il teorema dellrsquoenergia cinetica ha validitagrave generale qualunque siano le forze che agiscono conservative o non conservative (le forze non conservative si dicono anche ldquodissipativerdquo)

KLL

KL

fncfc

tot

∆=+∆=

e ricordando che darr Lfc = - )( fcW∆

Si ottiene che K∆ + )( fcW∆ = Lfnc

Si vede che nel caso in cui Lfnc sia nullo cioegrave quando non ci sono forze dissipative la somma delle variazioni di energia cinetica e energia potenziale egrave uguale a zero cioegrave lrsquoenergia totale meccanica (somma dellrsquoenergia cinetica e potenziale) egrave costante E questo corrisponde al teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica Nel caso ci siano forze dissipative la somma delle energie non egrave costante quindi al contrario del teorema dellrsquoenergia cinetica il teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica non ha validitagrave generale (vale solo in assenza di attriti ad esempio) Le forze non conservative di attrito compiono lavori solo negativi e fanno perdere quantitagrave di energia non recuperabile Parte di questa energia va in generale in calore quindi se ne puograve tenere conto considerando unrsquoaltra forma di energia lrsquoenergia termica ( ci sono anche altri fenomeni dissipativi ad esempio le deformazioni permanenti negli urti o la propagazione di onde sonore)

Lrsquo energia puograve dunque conservarsi o trasferirsi proprietagrave caratterizzanti dellrsquoenergia Il lavoro rende conto del trasferimento di energia della perdita di energia sotto una forma e del guadagno sotto unrsquoaltra forma (cioegrave energia conservativa) o del passaggio dellrsquoenergia da un sistema ad un altro Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica quando egrave applicabile puograve essere sfruttato per risolvere facilmente problemi altrimenti complicati Esercizio Una palla da tennis viene lanciata con velocitagrave iniziale v0 (senza effetti strani taglio etc) al di lagrave della rete Con quale velocitagrave arriva a terra

Se durante il moto Etot si conserva K+W = cost

Fig 37 e W = mgh egrave solo energia potenziale gravitazionale h = 0 alla fine come allrsquoinizio dunque K in = Kfin e vfin = v0 Se la palla egrave lanciata verso lrsquoalto non crsquoegrave componente orizzontale della velocitagrave ma solo verticale al punto piugrave alto di arresto h K(h) = 0 W(h) = max = Kin cioegrave mgh = frac12 mv0

2 si puograve cosigrave calcolare facilmente lrsquoaltezza massima raggiunta h = (frac12 v0

2)g e vicenversa si puograve calcolare il valore della velocitagrave v0 che bisogna imprimere alla palla affinchegrave raggiunga lrsquoaltezza h

v0 = gh2

Esercizio Una saltatrice di massa M = 61Kg salta da un ponte di altezza H = 45m agganciata ad una corda elastica La lunghezza di riposo della corda elastica egrave L = 25m e la sua costante elastica egrave k = 160 Nm Nel punto piugrave basso si arresta prima di venire rimbalzata in alto Qualrsquo egrave lquesta quota piugrave bassa h (a cui si trovano i suoi piedi ai quali egrave legato lrsquoelastico)

Fig 38 Etot = Wgrav + Wel + K = cost sono solo forze conservative vale la conservazione

dellrsquoenergia Nel punto A K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di lanciarsi Wel = 0 percheacute lrsquoelastico non egrave ancora svolto Wgrav = MgH Nel punto B K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di rimbalzare

Wel = frac12 kd2 Wgrav = Mgh = Mg(H-(L+d)) Etot(A) = Etot (B) MgH + 0 + 0 = Mg (H-(L+d)) + frac12 kd2 + 0 MgH = MgH ndash MgL ndash Mgd +frac12 kd2

2

1(160)d2 ndash (61)(98)d ndash (61)(98)(25) = 0

equazione di IIdeg grado che dagrave per d il valore accettabile d = 179m (lrsquoaltro egrave negativo e non egrave accettabile perchegrave non ha senso fisico la

saltatrice va in giugrave non in su) Allora h = H-(L+d) = 45 ndash (25+179) = 45 ndash 429 = 21m quindi con la testa poco sopra lrsquoacqua Sistemi di punti materiali e corpi rigidi ndash Centro di Massa

Un giocoliere o un ginnasta che lancia la clavette fa compiere allrsquoattrezzo movimenti complicati tuttavia crsquoegrave un punto dellrsquoattrezzo che si muove seguendo una traiettoria semplice come quella di un punto materiale ad esempio lanciato segue una traiettoria parabolica Tale punto si chiama centro di massa dellrsquooggetto Il centro di massa puograve essere definito per un oggetto o per un insieme di punti materiali Ersquo importante percheacute in generale il moto di un corpo esteso (o di un insieme di punti) si puograve studiare separando il moto del centro di massa (moto traslatorio) e il moto del corpo attorno al centro di massa (moto rotatorio)

Centro di Massa (CDM) di un sistema di punti - Consideriamo il caso semplice di due punti materiali di massa m1 m2 posti sullrsquoasse x in

posizione x1 x2

Fig 39

la posizione del centro di massa egrave definita xCDM = 21

2211

mm

xmxm

++

a) xCDM egrave compreso fra x1 e x2 b) se m1 = m2 CDM egrave a metagrave strada fra m1 ed m2 c) xCDM egrave piugrave prossimo alla massa maggiore - Nel caso di piugrave punti allineati nelle posizioni xi detto M = summi allora

xCDM = ii xmMsum

1

- Nel caso di punti distribuiti nello spazio detti irrarr

i vettori che identificano le loro posizioni

CDMrrarr

= iii rmM

rarrsum

1

dove CDMrrarr

ha coordinate (xCDM yCDM zCDM) definite come

xCDM = ii xmsumη1

yCDM = ii ymMsum

1

zCDM = ii zmMsum

1

- Consideriamo un oggetto qualsiasi questo egrave composto da un gran numero di particelle ma conviene considerarlo come un continuo di materia e per calcolare il centro di massa si prendono in considerazione degli elementi infinitesimi di massa dm centrati intorno alle posizioni (xyz) allora

xCDM = int xdmM

1 yCDM = int ydm

M

1 zCDM = int zdm

M

1

se si puograve considerare il corpo omogeneo (densitagrave uniforme) allora V

M

dv

dm = e allora si puograve fare il

calcolo considerando il volume V e gli elementi di volume dv anzichegrave la massa e gli elementi di massa

xCDM = int xdvV

1 etc

In un oggetto solido (corpo rigido) i diversi punti materiali che lo compongono non cambiano la loro posizione relativa (non come un corpo elastico) - se un oggetto ha un elemento di simmetria un asse od un piano il CDM si trova su tale

elemento di simmetria (asse per cono centro per sfera piano per una banana etc) Non egrave detto che il CDM di un oggetto appartenga allrsquooggetto vedi uno pneumatico un cerchio Il CDM egrave esterno alloggetto Legge fondamentale della dinamica per un sistema di punti materiali Caso della palla da bigliardo urto fra due palle dopo il lancio di una le due si muovono 1) una egrave ferma (B) lrsquoaltra la lancio (A) 2) le due si urtano in qualunque modo 3) le due si muovono secondo traiettorie differenti una possibilmente andragrave in buca lrsquoaltra no Dopo il lancio sulla palla A non agisce piugrave nessuna forza quindi la sua velocitagrave v egrave costante Va bene ma dopo lrsquourto Il CDM delle due palle continua a muoversi con velocitagrave costante anche se il centro di massa egrave un punto teorico che non appartiene a nessuna delle due palle Tuttavia al CDM possiamo assegnare una massa (M totale del sistema) una velocitagrave ed una accellerazione Si ha

)(CDMext aMFrarrrarr

=sum

a) extFrarr

sum egrave la somma di tutte le forze esterne che agiscono sul sistema non quelle interne (ad esempio nel caso del bigliardo non devo considerare le forze che si applicano fra le due palle quando si urtano)

b) M egrave la massa totale del sistema Si suppone che durante il moto M rimanga costante

c) )(CDMararr

egrave lrsquoaccelerazione del CDM Dellrsquoaccellerazione di un altro punto ad esempio del centro della palla A non si dice nulla

Cosideriamo alcuni esempi 1) Bigliardo tvaF CDMCDMext cos00 ===sum prima dellrsquourto nellrsquourto si verificano solo forze

interne Quindi tvaF CDMCDMext cos00 ===sum dopo lrsquourto e durante tutto il moto

2) Sistema terra-luna sumFext = gravitazione del sole aCDM egrave ldquocentripetardquo accellerazione di una

forza che egrave diretta verso il sole (forza ldquocentralerdquo) egrave il CDM terra-luna che segue la traiettoria dovuta allrsquoattrazione gravitazionale del sole poi terra e luna si muovono intorno al loro CDM

3) Clavette lanciate sum Fext = Mg aCDM = g il centro di massa si comporta come un punto materiale nel lancio

4) La ballerina nel ldquogrand-fetegraverdquo fa seguire a testa e busto una traiettoria rettilinea percheacute modifica lrsquoassetto in modo da alzare il suo CDM Nel corso del salto (alza le braccia e distende

orizzontalmente le gambe non appena lasciato il suolo) il suo CDM segue la traiettoria parabolica del lancio di un corpo soggetto allrsquoaccelerazione di gravitagrave g

Quantitagrave di moto rarrP

- Si definisce quantitagrave di moto di una particella il vettore

rarrrarr= vmP

con m massa della particella e rarrv la sua velocitagrave

Si vede che rarrP egrave diretto come

rarrv

Newton scrisse la legge fondamentale della dinamica in termini di quantitagrave di moto (a differenza di Galileo che la scrisse in termini di massa e di accelerazione) ldquola rapiditagrave di variazione della quantitagrave di moto di una particella egrave proporzionale alla forza netta che agisce sulla particella ed egrave nella direzione di quella forzardquo cioegrave

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

che egrave piugrave generale della formulazione di Galileo perchegrave descrive bene anche il caso in cui variasse la massa del corpo durante il moto (ad esempio un vettore spaziale) Se la massa egrave costante le due formulazioni sono identiche

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

= t

vm

∆∆

rarr)(

= m t

v

∆∆

rarr

= m rarra

Ricordiamo che rarrF egrave diretto come

rarra (o la risultante

rarrR = sum

rarrF )

Per un sistema di punti materiali si definisce la quantitagrave di moto totale

rarrP =

rarrP 1 +

rarrP 2 + helliphellip+

rarrP n =

m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +helliphelliphellip+ mn

rarrv n = M

rarrv CDM (si puograve dimostrare) dove M egrave la massa totale

[essendo infatti Mrarrv CDM =

dt

d(M

rarrr CDM) =

dt

d(m1

rarrr 1 + m2

rarrr 2 +hellip) = m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +

hellip]

quindi rarrP = M

rarrv CDM per un sistema di particelle e

dt

Pdrarr

= M dt

d rarrv CDM = M

rarra CDM = sum

rarrF ext

Conservazione delle quantitagrave di moto

Per un sistema chiuso (M non varia) e isolato (sumrarrF ext = 0)

Allora

t

P

∆∆

rarr

= 0 rarrP = cost

rarrP i =

rarrP f

che sono tre modi equivalenti per dire che la quantitagrave di moto si conserva Vale per un sistema nel quale non agisca nessuna forza esterna netta Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica e la conservazione delle quantitagrave di moto sono due concetti fisici importantissimi Valgono sia per le palle da bigliardo che per qualunque altro sistema anche le galassie nellrsquouniverso Queste equazioni sono vettoriali Ciograve significa che rappresentano una terna di equazioni scalari ognuna valida sul proprio asse del sistema di riferimento (x y z)

Puograve accadere a seconda delle forze che agiscono nel sistema che la quantitagrave di moto si conservi in una direzione o in due e non in tutte e tre

Ad esempio se consideriamo una palla come un insieme di punti materiali la rarrF ext che agisce nel

sistema egrave mrarrg diretta lungo z senza componenti su x e y quindi

rarrP varia lungo z ma

non su x e y

Percheacute ldquocomplicarci la vitardquo con questa storia del CDM del sistema di particelle etchellip non bastava il moto del punto rappresentativo materiale Avevamo giagrave considerato il punto rappresentativo e avevamo svolto anche problemi sulla palla sul bilanciere e per altri oggetti Abbiamo sempre sbagliato La questione egrave se un corpo egrave rigido cioegrave se tutti i suoi punti si muovono mantenendo le loro distanze relative non crsquoegrave problema abbiamo solo visto che il punto materiale rappresentativo si chiama CDM ed abbiamo imparato a situarlo allrsquointerno del corpo Ma se il corpo non egrave rigido cioegrave se il suo CDM si sposta rispetto a lui stesso nel corso del moto la disposizione del corpo intorno al punto rappresentativo varia nel corso del tempo e le leggi di conservazione valgono per il CDM - Consideriamo ad esempio il teorema dellrsquoenergia cinetica che per un punto materiale si scrive Ltot = Kfin-K in = ∆ K (qui ovviamente non crsquoegrave da specificare lavoro delle forzeldquoesternerdquo percheacute essendo in un punto materiale che si assume infinitamente piccolo non ci sono forze ldquointernerdquo) Per analogia il teorema dellrsquoenergia cinetica si estende al caso di un insieme di punti materiali nel seguente modo

Ltot forze ext=rarrF extmiddot

rarrs CDM = ∆ KCDM

Dove s CDM egrave lo spostamento del centro di massa A titolo di esempio risolviamo il problema un giocatore di hockey su ghiaccio di massa M = 110Kg si muove verso la balaustra a bordo campo alla velocitagrave di 3msec Nellrsquoarrestarsi flettendo le braccia il suo CDM si sposta in avanti di 30cm Qual egrave la ∆ K del suo CDM durante la manovra

∆ KCDM = infin CDMCDM mvmv 22

2

1

2

1 minus =

= 0 - 2

1110 32 = -495 J

Fig 40

Sia L il lavoro delle forze esternerarrF ext (dirette come d

rarrx CDM ) allora

L = - Fext 03 = ∆ KCDM quindi

Fext =30

495

minusminus

= + 1650N

( si considera la forza esterna rarrF ext costante nellrsquointervallo dellrsquoarresto fatto che equivale a dire

che il giocatore si arresta con rarra CDM costante)

Dinamica e statica del corpo esteso Finora abbiamo sempre discusso del moto di un punto materiale (punto rappresentativo dicevamo sempre) In particolare abbiamo sempre applicato le forze a quel punto materiale quindi se diverse forze erano applicate esse concorrevano in quel punto ligrave e con le forze concorrenti sapevamo come calcolare la risultante con il metodo grafico o con quello numerico delle coordinate cartesiane Una volta calcolata la risultante applicata al punto si otteneva un moto di pura traslazione del punto (al massimo traslava lungo una traiettoria curva) senza rotazioni proprie del punto che non hanno neanche senso un punto che ruota su se stesso Come faccio ad accorgermi Un punto per definizione egrave infinitamente piccolo (Dicevamo infine che il punto egrave in equilibrio

traslazionale se la risultante rarrR delle forze applicate egrave nullo)

Consideriamo invece un corpo esteso Prima osservazione questo ha piugrave punti (direi infin ) a

cui la forza puograve essere applicata Prendiamo una racchetta da tennis ed una forza rarrF applicata il

moto che ne risulta dipende dal punto al quale viene applicata la forza rarrF

qui la racchetta trasla

Fig 41

stessa forza qui la racchetta ruota

Fig 42

Seconda osservazione Crsquoegrave un caso in cui le forze non possono essere fatte concorrere in un punto ed egrave quando sono parallele ed hanno rette di applicazione distinte Chiaramente non abbiamo mai dovuto considerare questo caso per il punto materiale percheacute per un punto non possono mai passare due rette parallele Ma per il corpo esteso So benissimo che se sono ferma con la macchina in

panne e la sto spingendo applicando una forza rarrF 1 sono contenta se qualcuno si affianca a me ed

esercitando una forza rarrF 2 lungo una direzione parallela a quella della mia mi aiuta a spingere In

particolare mi viene spontaneo dire che se F1 = F2 allora spingeremo con una forza doppia Ci saragrave quindi un modo per sommare due forze non concorrenti in un punto ma parallele e saragrave Ftot = F1+ F2 La retta di applicazione di Ftot divide il segmento congiungente i punti di applicazione di F1 ed F2 in due segmenti inversamente proporzionali allrsquointensitagrave delle forze F1 e F2 Terza osservazione se F1 = - F2 sono uguali in intensitagrave ma di verso opposto sempre lungo due rette di applicazione parallele passanti per un corpo esteso cosa succede La loro somma Ftot risultante saragrave 0 ma io so che il corpo non sta fermo sotto lrsquoazione di tali due forze ma ruoteragrave Concludo che le nozioni che ho acquisito finora vanno riviste ed ampliate o corrette o specificate per i corpi estesi ed inoltre che mi mancano totalmente i mezzi per descrivere le rotazioni dei corpi estesi Occorrono nuovi concetti nuove quantitagrave la forza non basta Prendo lrsquoesempio piugrave semplice dellrsquoaltalena con due bambini in due bracci uno piugrave leggero uno piugrave pesante

Fig 43 Qualitativamente so che percheacute lrsquoaltalena stia in equilibrio e non ruoti intorno al punto fisso non egrave necessario che i due bambini abbiano lo stesso peso (ugual massa) occorre che il bambino piugrave leggero sieda piugrave lontano rispetto al punto fisso (fulcro) La regola quantitativa dice che lrsquoaltalena egrave in equilibrio se il prodotto del peso per la distanza del fulcro egrave uguale PB dB = Pb

db Per generalizzare questa regola ai casi piugrave complessi occorre definire una nuova quantitagrave il momento di una forza Momento di una forza

Consideriamo una forza rarrF applicata ad un punto P ed un punto O Sia

rarrr

il vettore rarrOP allora il momento

rarrM di

rarrF rispetto ad O egrave

rarrM =

rarrr x

rarrF

e

|rarrr | middot |

rarrF | sin ϑ = |

rarrM |

Fig 44

oppure anche considerando la componente di rarrF perpendicolare ad

rarrr o di

rarrr

perpendicolare a rarrF r e rispetto a F

|rarrM | = |

rarrr | |

rarrF perp | |

rarrM | = |

rarrr perp| |

rarrF |

In generale si dice che il modulo del momento |rarrM | egrave il prodotto delle intensitagrave della forza per la

distanza dal punto della retta di applicazione della forza

Come vettore rarrM egrave perpendicolare al piano che contiene

rarrF ed

rarrr ed ha verso calcolato con la

regola della mano destra (con rarrr che si chiude su

rarrF )

La distanza rperp si chiama braccio della forza Si vede che il momento egrave nullo quando il braccio egrave nullo cioegrave quando il punto O si trova sulla retta di applicazione di F Il momento della forza peso P egrave nullo rispetto al baricentro che coincide con il centro di massa nel caso (praticamenteldquosemprerdquo) in cui il corpo non sia abbastanza esteso percheacute diversi punti del corpo risentano di una forza gravitazione differente Praticamente si deve parlare di galassie percheacute CDM e baricentro (BC) non coincidono Quindi la condizione del momento nullo della forza peso diventa un modo per definire il CDM come quel punto rispetto al quale la forza peso P ha momento nullo Per un corpo ldquoarticolatordquo estendiamo il concetto di forza normale come forza di contatto nellrsquoarticolazione utile cioegrave la forza che lrsquoarticolazione che si sta considerando esercita su quello che nellrsquoarticolazione si appoggia La forza peso P di un corpo esteso puograve immaginarsi applicata al CDM Principio di equilibrio di un corpo esteso

se su un corpo esteso agiscono solo rarr

Peso e rarr

Normale cioegrave se un corpo egrave appoggiato ad un piano orizzontale allora il corpo egrave in equilibrio se e solo se il baricentro si trova sopra la superficie di appoggio

Fig 45

Finchegrave il baricentro egrave sopra il tavolo il libro non cade percheacute rarrP applicata a CDM puograve essere

controbilanciata da rarrN Se CDM si sposta in fuori

rarrN rimane nel tavolo e crsquoegrave momento non nullo

non equilibrato da rarrP che continua ad essere applicato nel CDM

Il baricentro di una persona in posizione eretta si trova nellrsquoarea delimitata dei suoi piedi 3cm davanti allrsquoarticolazione della caviglia

Fig 46 Quando la persona si piega in avanti il baricentro esce dal corpo e per mantenere lrsquoequilibrio egrave necessario che le anche si spingono indietro percheacute il baricentro cade di nuovo in quella posizione Notiamo che anche in posizione eretta essendo la forza peso e la forza di contatto non allineate (quei 3cm) (forza di contatto sullrsquoarticolazione della caviglia che regge il peso) occorre un momento correttivo che impedisca la rotazione in avanti mantenuto dal tendine di Achille che si lega alla caviglia Altro esempio di spostamento del baricentro egrave lrsquoatleta che assume una posizione ad L chi regge il peso egrave lrsquoarticolazione della spalla quindi il CDM si sposta sotto la spalla (giagrave era uscita dal corpo per via delle gambe distese in avanti) Nel camminare il baricentro continua a muoversi da sopra un piede a sopra un altro (quello appoggiato ovviamente) Si osservi lrsquoondeggiamento Per assurdo lrsquoancheggiare delle indossatrici serve a mantenere il baricentro il piugrave possibile fermo rispetto alla direzione media del moto (porre un piede esattamente davanti allrsquoaltro) rendendo piugrave facile muoversi anche con tacchi altissimi Al contrario lrsquoequilibrista che cammina sui trampoli sta fermo il meno possibile percheacute egrave stando fermo che il piccolo spostamento che fa uscire il baricentro (ALTO) dalla superficie drsquoappoggio puograve verificarsi facilmente preferisce il ldquonon ndash equilibriordquo o lrsquo rdquoequilibrio dinamicordquo dellrsquoondeggiare continuamente fra due posizioni di equilibrio

Ricordiamo che un equilibrio egrave detto stabile se quando una perturbazione lo altera spontaneamente il sistema lo ripristina Viceversa un equilibrio egrave instabile se la piugrave piccola perturbazione lo distrugge Lrsquoequilibrio egrave molto stabile se il baricentro egrave basso ed il corpo ha una grande area drsquoappoggio la posizione accucciata del giocatore di football americano dagrave grande stabilitagrave Ancor piugrave grande stabilitagrave si ha se il baricentro (CDM) si trova al di sotto della superficie drsquoappoggio Ersquo come se si fosse ldquoappesirdquo anzicheacute ldquoappoggiatirdquo alla superficie drsquoappoggio Proprio per questo motivo lrsquoequilibrista sul filo porta una lunga asta che spesso si flette agli estremi

Fig 47 Gli uccelli bipedi da 100000000 di anni hanno sviluppato questo adattamento per cui sono appesi alle anche mentre gli uomini bipedi da solo 1000000 di anni fanno fatica con il CDM dalla parte alta del corpo Ersquo un equilibrio instabile ldquosoprardquo le anche che le reggono (65 del peso del corpo) Modificazioni strutturali per reggere la posizione eretta 1) Colonna vertebrale rastremata (piugrave tozza in basso che in alto percheacute piugrave in basso vuol dire una

maggior forza di contatto) 2) Muscoli estensori della schiena 3) Gambe ed anche ingrossate 4) Ginocchio che blocca la gamba estesa Ciononostante si ha spesso il mal di schiena Se una forza ha momento non nullo rispetto ad un punto allora il corpo puograve ruotare intorno a quel punto sotto lrsquoazione di quella forza ldquoDiciamo che se sostengo il corpo per quel punto il corpo puograve ruotare intorno a quel puntordquo (Prendo in mano un foglio di carta per un estremo per esempio) La presenza di un momento non nullo egrave dunque la condizione che genera rotazione e viceversa Lrsquoassenza di un momento risultante egrave la condizione che genera lrsquoequilibrio rotazionale di un corpo esteso Quindi la condizione di equilibrio per un corpo esteso egrave

1) rarrR = 0 risultante delle forze applicate = 0 (equilibrio traslazionale)

2) rarrM = 0 momento risultante = 0 (equilibrio rotazionale)

Supponiamo di avere un corpo esteso al quale siano applicate delle forze che diano luogo ad un momento non nullo allora il corpo ruota Per equilibrarlo dovrograve applicare un altro momento tale che la loro somma sia nulla Questo egrave il principio di funzionamento delle leve LEVE

Una leva egrave un corpo esteso al quale sono applicate delle forze con un momento risultante rarrR

allora per portare il corpo in equilibrio applico un momento correttivo rarrP in modo che il momento

totale sia nullo Si dice in genere potenza (P) e resistenza (R) di una leva Le leve sono macchine semplici Servono per applicare forze in punti scomodi o in direzioni particolari Il fulcro egrave il punto nel quale la leva egrave incernierata Si definisce il guadagno meccanico di una leva

GM =

)(

)(rarr

rarr

PF

RF

cioegrave il rapporto fra la forza che genera il momento resistente e quella che genera il momento agente A seconda che GM sia gt

lt 0 una leva si dice che egrave vantaggiosa o svantaggiosa ma solo per quel che riguarda le forze percheacute per quel che riguarda i lavori non si ha neacute vantaggio neacute svantaggio Il lavoro esercitato dalla forza che dagrave la ldquopotenzardquo e quello esercitato dalla forza che dagrave la ldquoresistenzardquo sono sempre uguali Infatti forze e spostamenti sono inversamente proporzionali Le leve si dicono di I II o III specie a seconda se il fulcro si trovi I) in mezzo fra R e P (leva indifferente GM dipende da caso a caso) II) dalla parte di R (leva vantaggiosa il braccio di R egrave sempre minore del braccio di P basta

quindi una P minore per equilibrare una R maggiore) III) dalla parte di P (leva svantaggiosa) Classici esempi dei tre tipi di leve sono i remi (I) lo schiaccianoci (II) e la pinzetta per francobolli (III) Tuttavia vediamo degli esempi meno classici ma attinenti al campo della biologia e della medicina Criterio generale egrave che le leve vantaggiose consentono di essere molto potenti ma con brevi spostamenti mentre viceversa quelle svantaggiose fanno perdere in potenza ma consentono grandi spostamenti saragrave difficile vedere un cavallo che con le lunghe zampe si scava la tana drsquoaltronde una talpa scava bene la tana ma ha movimenti molto meno ampi che non le consentono di correre veloce come un cavallo (compromesso fra forza e velocitagrave del movimento) Se contiamo tutti i movimenti di rotazione che il corpo puograve compiere capiamo che siamo pieni di leve di ogni tipo Sono classici a) il capo fulcro (articolazione occipito-atlantoide) Fig 48 muscoli della nuca (Potenza) peso del capo (Resistenza) b)

muscolo bicipide (Potenza)

Fig 49 Peso dellrsquoavambraccio (Resistenza) Fulcro (articolazione del gomito) Questa leva permette grandi spostamenti Si vede che la forza operata dal muscolo bicipite egrave massima quando lrsquoavambraccio egrave orizzontale (la distanza dal fulcro egrave massima) ed egrave minima quando lrsquoavambraccio egrave verticale( con la distanza dal fulcro nulla) Attenzione - la colonna vertebrale egrave costituita da 24 vertebre separate da dischi di liquido Quando una

persona si piega la schiena egrave una leva con GM molto piccolo Quindi un piegamento completo per raccogliere un oggetto anche leggero produce una forza molto intensa sul disco lombosacrale che separa lrsquoultima vertebra dellrsquoosso sacro Se indebolito questo disco puograve rompersi o deformarsi comprimendo i nervi vicini e causando grande dolore Vediamo un modello che rende conto come mai questa forza egrave cosigrave grande

Fig 50

I muscoli della schiena esercitano T Con un angolo α = 12deg quando la schiena egrave piegata a 90deg

Peso della parte superiore del corpo (circa il 65 del peso totale)

Fulcro lombosacrale (il fulcro produce R) Essendo α piccolo la retta di azione Τ passa vicino al fulcro e dunque la distanza r che costituisce il suo braccio egrave molto piccola Al contrario il peso egrave perpendicolare alla colonna e il suo punto di applicazione egrave molto piugrave distante dal fulcro Τ deve essere molto grande per equilibrare il momento di P Dunque se T egrave grande anche la sua componente orizzontale egrave grande e di conseguenza anche R che costituisce la reazione dellrsquoosso sacro deve avere componente orizzontale molto grande per equilibrare Τ (uguale ed opposta alla componente orizzontale di Τ ) Facendo i conti si ottengono numeri grandi per 75Kg di peso T ed R sono equivalenti al peso di una massa di 220Kg Senza sollevare pesi solo piegandosi Conviene piegare le ginocchia quando si sollevano pesi - Nel corpo egrave difficile che il peso cada sulla verticale dellrsquoarticolazione che lo sostiene egrave sempre

un porsquo spostato e crsquoegrave un tendine con un muscolo che compensa il momento del peso - La contrazione muscolare egrave una successione di brevi contrazioni delle fibre muscolari stimolate

da impulsi che provengono dal sistema nervoso Contrazioni sono molto ravvicinate e avvengono in tempi differenti nelle diverse parti del muscolo cosigrave che il risultato apparente egrave una lenta e progressiva contrazione Se la frequenza degli impulsi aumenta la tensione cresce finchegrave si raggiunge la tensione massima (ricordare la tensione di un cavo) Un ulteriore aumento della frequenza degli impulsi a questo punto non causa ulteriore aumento della tensione

La tensione massima egrave proporzionale allrsquoarea della sezione trasversa del muscolo nel suo punto piugrave largo La tensione massima dipende anche dalla lunghezza del muscolo che varia Si ottiene tensione massima quando il muscolo egrave solo di poco allungato rispetto alla sua lunghezza di riposo di riposo ed egrave circa 30-40 Ncm2 La tensione massima si riduce moltissimo se il muscolo egrave molto allungato o accorciato Dinamica Rotatoria Fino ad ora abbiamo studiato moti traslatori ma il moto di un corpo rigido egrave in generale roto-traslatorio Naturalmente dobbiamo ridurre il problema complesso ad uno piugrave semplice e per fare ciograve immaginiamo di posizionarci su un sistema di riferimento solidale al corpo rigido i moto immaginiamo cioegrave di ldquosedercirdquo sul corpo rigido In questo modo non saremo piugrave sensibili al moto traslatorio e guardando il corpo rigido osserveremo solo le sue rotazioni Trattiamo allora il moto generico scomponendo la parte traslatoria (giagrave discussa ) da quella rotatoria Se si trascura la parte traslatoria del moto di un corpo rigido quello che rimane da trattare egrave la sua rotazione Nel nostro corso consideriamo le rotazioni che avvengono su un piano le rotazioni nello spazio potranno essere trattate come composizione di rotazioni su un piano Per le rotazioni su un piano si identifica un asse di rotazione perpendicolare al piano di rotazione e passante per il centro di rotazione Le articolazioni del gomito e del ginocchio sono articolazioni libere di ruotare intorno ad un asse a differenza ad esempio di quella della spalla che puograve ruotare intorno a due assi Si definisce spostamento angolare la variazione di una posizione che egrave definita in modo completo da una misura di angolo Una rotazione di un intero corpo rigido egrave definita in modo completo da uno spostamento angolare θfin - θin= ∆θ e si misura in radianti

Fig 51 Dobbiamo definire anche un verso di rotazione θ si incrementa per rotazioni antiorarie positive le rotazioni in senso orario sono invece negative La velocitagrave angolare si definisce analogamente alla velocitagrave lineare come il rapporto tra lo spostamento angolare e il tempo t impiegato per eseguire tale rotazione

ωm = t∆

∆θ e si misura in rad s

θin

θfin ∆θ

R

S

Anche per w si definisce ωist = lim ∆trarr0 t∆

∆θ

Ancora lrsquoaccelerazione angolare si definisce αm = t∆

∆ω e αist = lim ∆trarr0

t∆∆ω

Anche la legge fondamentale della dinamica ha un analogo nel ambito dei moti rotatori Si stabilisce che se ad un corpo rigido egrave soggetto ad un momento torcente diverso da zero esso subisce unrsquoaccelerazione angolare ad esso proporzionale Nel caso delle rotazioni la resistenza al moto egrave espressa dal momento di inerzia I associato al corpo rigido che gioca il ruolo della massa nei moti traslatori La legge della dinamica delle rotazioni egrave M = I middotα

E sostituendo M = Imiddott∆

∆ω= Imiddot

tinfin

∆minusωω

Il momento di inerzia I di un corpo rigido dipende dalla disposizione della massa del corpo rispetto allrsquoasse di rotazione per una massa puntiforme m a distanza R dallrsquoasse di rotazione I= m R2 per un oggetto esteso sommerograve il momento drsquoinerzia delle sue parti I = Σi mi Ri

2 Se si definisce momento angolare L il prodotto del momento drsquoinerzia per la velocitagrave angolare

L=Iω la legge della dinamica diventa

M = t

LL infin

∆minus

Il momento angolare egrave la grandezza fisica che si conserva se non viene applicato momento torcente Tutti i gesti di volo salti lanci tuffihellip sono azioni nelle quali si conserva il momento angolare Infatti in volo agisce solo la forza di gravitagrave che essendo applicata al CDM non genera momento torcente Il corpo umano nei gesti di volo Il corpo umano non egrave rigido e pertanto in volo agendo con i muscoli possiamo cambiare la disposizione del nostro corpo intorno al centro di massa che in volo coincide col centro di rotazione In questo modo si ottiene una variazione del momento di inerzia I e di conseguenza la velocitagrave angolare deve compensare questa variazione in modo che si mantenga costante il momento angolare L (grandezza che si conserva in assenza di momento torcente) Ersquo questo il principio che spiega il realizzarsi delle trottole sul ghiaccio dei salti mortali tuffi con avvitamento e cosigrave via in posizione raccolta I diminuisce e ω aumenta Moto circolare e moto circolare uniforme Per utilizzare le relazioni della cinematica e della dinamica lineare che abbiamo studiato egrave interessante poter passare dalle variabili angolari alle variabili lineari velocitagrave e accelerazione delle

masse in moto rotatorio Se una massa si muove su una traiettoria curva la velocitagrave tangenziale vt diretta come la tangente alla traiettoria dipende dalla velocitagrave angolare ω ( ωm=ϑ t )e dal raggio di curvatura della traiettoria Se la traiettoria egrave una circonferenza di raggio R e se gli angoli sono espressi in radianti lrsquoarco percorso per uno spostamento angolare ϑ egrave S = ϑ sdotR e la velocitagrave lineare tangente vt = St= ϑ sdotRt risulta vt = ωsdotR Se la velocitagrave angolare ω egrave costante il moto egrave detto circolare uniforme La legge oraria egrave quella dei moti uniformi spostamenti angolari uguali in tempi uguali ϑ(t) = ω t Anche la velocitagrave tangente saragrave di intensitagrave costante se ω egrave costante (archi uguali per tempi uguali s(t) = vt (t) ) ma crsquoegrave una accelerazione normale infatti la velocitagrave anche se non cambia in modulo cambia continuamente di direzione Questa accelerazione si dice centripeta egrave diretta normalmente rispetto alla traiettoria verso il centro della circonferenza e vale in modulo

ac=R

v2

Fig 52 Essendo la velocitagrave tangente vt = ωR Lrsquo accelerazione centripeta si puograve scrivere

ac =R

v2

= ω2 R

Il tempo impiegato dal punto a muoversi sulla circonferenza egrave una costante (moto uniforme) T periodo in T viene percorso uno spazio 2π R

v = T

Rπ2

La frequenza f egrave invece il ndeg di giri al secondo

f =T

1

Se si prendono punti diversi sul raggio della circonferenza questi hanno la stessa velocitagrave angolare e velocitagrave tangenziali crescenti al crescere del raggio Esempio carosello dei pattinatori Esercizi

1- un velocista con una velocitagrave di 10 ms viaggia su una curva di raggio 25m ndash accelerazione

a = R

v2

= 25

100 = 4 ms2

2 ndash un velocista con v = 92 ms su una pista circolare con ac = 38 m s2 ndash Raggio della pista Tempo per percorrere un giro completo

a = R

v2

rArr R = a

v2

= 83

)29( 2

= 2227m

T =v

Rπ2 =

29

27222 lowastπ = 152 sec

Forza centripeta forza centrifuga Una forza centripeta egrave una forza di qualunque natura che trattiene un corpo in moto su una traiettoria curvilinea ad esempio circolare In assenza di tale forza il corpo proseguirebbe il suo moto lungo una traiettoria rettilinea Nel gesto del lancio del martello ad esempio il lanciatore che esercita sul peso in cima allrsquoattrezzo una forza mediata dalla tensione dal cavo che lo trattiene nella traiettoria circolare Quando il lanciatore lascia la maniglia il martello viene lanciato lungo la direzione della tangente alla traiettoria nellrsquoistante di rilascio Lrsquointensitagrave della forza centripeta necessaria a mantenere una massa m in moto con velocitagrave tangente v lungo una traiettoria circolare di raggio r si puograve calcolare a partire dallrsquoaccellerazione centripeta secondo la legge fondamentale della dinamica

|rarr

cF | = m | rarr

ca | = m r

v2

Tale forza egrave diretta come lrsquoaccelerazione centripeta e cioegrave verso il centro della circonferenza che costituisce la traiettoria La forza centripeta egrave dunque una forza reale Con lsquoforza centrifugarsquo invece non ci si riferisce ad un forza che agisce su un corpo ma alla situazione apparente cui sembra sottoposto un corpo in moto curvilineo Esso pare tirato o attirato lontano dal centro di rotazione pare ci sia una lsquoforzarsquo che vuole farlo sfuggire Quando viene lasciato il martello si allontana dal centro di rotazione percheacute si muove di moto rettilineo uniforme non essendo piugrave soggetto a forze altre che la forza peso Lrsquoacqua esce dal cestello della lavatrice quando il cestello ruota velocemente (funzione centrifuga) percheacute lrsquoacqua che non costituisce un corpo solo con il cestello bucato non egrave soggetta alla forza centripeta e puograve passare attraverso i buchi I panni invece pure non parte del cestello sono troppo grandi per passare dai buchi si possono solo schiacciare contro le pareti questo schiacciamento sembra il risultato di una forza ma egrave invece il risultato dellrsquoassenza di una forza quella centripeta Una volta lagrave contro il cestello fanno tuttrsquouno con le pareti di metallo che esercitano su di essi la forza centripeta (cioegrave con direzione verso lrsquoasse di rotazione) che li mantiene in rotazione Le parti di un corpo rigido esteso che si muove di moto rotatorio rispetto ad un asse quale ad esempio la gamba di un giocatore di calcio che calcia un pallone sono soggette alla forza centripeta che le mantiene sulla traiettoria curva Tale forza viene trasmessa alle varie parti tramite le forze di tensione che si sviluppano allrsquointerno del corpo stesso ad esempio il piede egrave soggetto alla forza centrifuga tramite lrsquoazione dei legamenti e tendini a livello della caviglia che vengono messi in tensione per trattenere il piede stesso

Qual egrave la Forma di W

Mentre la forma dellrsquoenergia cinetica egrave sempre K =2

1mv2 indipendentemente dal tipo di forze

che provocano il movimento W dipende dal tipo di forza conservativa di cui si sta calcolando il lavoro Consideriamo due forze conservative

a) Forza gravitazionale forza peso

F(y) = -mg Stato di riferimento y0 = 0 in cui W0 = 0

Fig31

Abbiamo detto che LAB = WA- WB ma siccome

LAB = )( ABhmgsP minussdotminus=sdot dove hAB= yA-yB egrave la distanza tra A e B allora rArr WA = mgyA WB = mgyB e in generale W(y) =mgy

Per la forza peso W(y) =mgy e lrsquoenergia totale meccanica (W+K) = mgy+2

1mv2=Etot

b) Forza elastica

Fig 32

F(x) = -kx Stato di riferimento x = 0 allungamento nullo la lunghezza della molla egrave la sua lunghezza di riposo L ( W(0) = 0)

Immaginiamo che la configurazione della molla venga modificata passando dalla posizione xA alla posizione xB (Fig 32) Il lavoro della forza elastica egrave calcolato come

LAB = 22

2

1

2

1AB kxkx +minus

Ricordando che LAB = WA- WB possiamo ricavare lrsquoespressione per lrsquoenergia potenziale elastica

rArr WA = 2

2

1Akx WB = 2

2

1Bkx e in generale W(x) = 2

2

1kx

Energia totale meccanica ndash Conservazione dellrsquoenergia

In presenza di sole forze conservative la somma dellrsquoenergia cinetica e dellrsquoenergia potenziale costituisce lrsquoenergia totale meccanica Tale energia meccanica gode della proprietagrave importantissima di conservarsi durante lrsquoevoluzione del sistema Lrsquoenergia connessa al movimento e alla posizione si scambiano una diminuisce e lrsquoaltra cresce ad esempio ma la loro somma rimane costante

- Esempio delle montagne russe Se non ci sono attriti (infatti il trucco egrave quello di rendere il

sistema privo di attriti) so giagrave quale altezza massima potrograve raggiungere (quella iniziale e non di piugrave) quale velocitagrave massima potrograve raggiungere (in fondo alla valle) Queste quantitagrave sono fra loro legate dal teorema della conservazione dellrsquo energia meccanica

Fig 33 - Esempio del salto con lrsquoasta Lrsquoenergia cinetica dellrsquoatleta acquisita nella rincorsa viene

trasformata in energia potenziale gravitazionale parte direttamente e parte attraverso lrsquoenergia potenziale elastica dellrsquoasta acquisita nella sua deformazione durante il salto La flessibilitagrave dellrsquoasta (costante elastica dellrsquoasta) egrave legata allrsquoenergia che si puograve immagazzinare in una data deformazione Infatti con aste rigide (alluminio acciaio bambugrave) il salto era piugrave basso Con fibra di vetro il record egrave stato polverizzato

Fig 34

Fig 35

Fig 36

Osserviamo che il teorema dellrsquoenergia cinetica ha validitagrave generale qualunque siano le forze che agiscono conservative o non conservative (le forze non conservative si dicono anche ldquodissipativerdquo)

KLL

KL

fncfc

tot

∆=+∆=

e ricordando che darr Lfc = - )( fcW∆

Si ottiene che K∆ + )( fcW∆ = Lfnc

Si vede che nel caso in cui Lfnc sia nullo cioegrave quando non ci sono forze dissipative la somma delle variazioni di energia cinetica e energia potenziale egrave uguale a zero cioegrave lrsquoenergia totale meccanica (somma dellrsquoenergia cinetica e potenziale) egrave costante E questo corrisponde al teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica Nel caso ci siano forze dissipative la somma delle energie non egrave costante quindi al contrario del teorema dellrsquoenergia cinetica il teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica non ha validitagrave generale (vale solo in assenza di attriti ad esempio) Le forze non conservative di attrito compiono lavori solo negativi e fanno perdere quantitagrave di energia non recuperabile Parte di questa energia va in generale in calore quindi se ne puograve tenere conto considerando unrsquoaltra forma di energia lrsquoenergia termica ( ci sono anche altri fenomeni dissipativi ad esempio le deformazioni permanenti negli urti o la propagazione di onde sonore)

Lrsquo energia puograve dunque conservarsi o trasferirsi proprietagrave caratterizzanti dellrsquoenergia Il lavoro rende conto del trasferimento di energia della perdita di energia sotto una forma e del guadagno sotto unrsquoaltra forma (cioegrave energia conservativa) o del passaggio dellrsquoenergia da un sistema ad un altro Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica quando egrave applicabile puograve essere sfruttato per risolvere facilmente problemi altrimenti complicati Esercizio Una palla da tennis viene lanciata con velocitagrave iniziale v0 (senza effetti strani taglio etc) al di lagrave della rete Con quale velocitagrave arriva a terra

Se durante il moto Etot si conserva K+W = cost

Fig 37 e W = mgh egrave solo energia potenziale gravitazionale h = 0 alla fine come allrsquoinizio dunque K in = Kfin e vfin = v0 Se la palla egrave lanciata verso lrsquoalto non crsquoegrave componente orizzontale della velocitagrave ma solo verticale al punto piugrave alto di arresto h K(h) = 0 W(h) = max = Kin cioegrave mgh = frac12 mv0

2 si puograve cosigrave calcolare facilmente lrsquoaltezza massima raggiunta h = (frac12 v0

2)g e vicenversa si puograve calcolare il valore della velocitagrave v0 che bisogna imprimere alla palla affinchegrave raggiunga lrsquoaltezza h

v0 = gh2

Esercizio Una saltatrice di massa M = 61Kg salta da un ponte di altezza H = 45m agganciata ad una corda elastica La lunghezza di riposo della corda elastica egrave L = 25m e la sua costante elastica egrave k = 160 Nm Nel punto piugrave basso si arresta prima di venire rimbalzata in alto Qualrsquo egrave lquesta quota piugrave bassa h (a cui si trovano i suoi piedi ai quali egrave legato lrsquoelastico)

Fig 38 Etot = Wgrav + Wel + K = cost sono solo forze conservative vale la conservazione

dellrsquoenergia Nel punto A K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di lanciarsi Wel = 0 percheacute lrsquoelastico non egrave ancora svolto Wgrav = MgH Nel punto B K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di rimbalzare

Wel = frac12 kd2 Wgrav = Mgh = Mg(H-(L+d)) Etot(A) = Etot (B) MgH + 0 + 0 = Mg (H-(L+d)) + frac12 kd2 + 0 MgH = MgH ndash MgL ndash Mgd +frac12 kd2

2

1(160)d2 ndash (61)(98)d ndash (61)(98)(25) = 0

equazione di IIdeg grado che dagrave per d il valore accettabile d = 179m (lrsquoaltro egrave negativo e non egrave accettabile perchegrave non ha senso fisico la

saltatrice va in giugrave non in su) Allora h = H-(L+d) = 45 ndash (25+179) = 45 ndash 429 = 21m quindi con la testa poco sopra lrsquoacqua Sistemi di punti materiali e corpi rigidi ndash Centro di Massa

Un giocoliere o un ginnasta che lancia la clavette fa compiere allrsquoattrezzo movimenti complicati tuttavia crsquoegrave un punto dellrsquoattrezzo che si muove seguendo una traiettoria semplice come quella di un punto materiale ad esempio lanciato segue una traiettoria parabolica Tale punto si chiama centro di massa dellrsquooggetto Il centro di massa puograve essere definito per un oggetto o per un insieme di punti materiali Ersquo importante percheacute in generale il moto di un corpo esteso (o di un insieme di punti) si puograve studiare separando il moto del centro di massa (moto traslatorio) e il moto del corpo attorno al centro di massa (moto rotatorio)

Centro di Massa (CDM) di un sistema di punti - Consideriamo il caso semplice di due punti materiali di massa m1 m2 posti sullrsquoasse x in

posizione x1 x2

Fig 39

la posizione del centro di massa egrave definita xCDM = 21

2211

mm

xmxm

++

a) xCDM egrave compreso fra x1 e x2 b) se m1 = m2 CDM egrave a metagrave strada fra m1 ed m2 c) xCDM egrave piugrave prossimo alla massa maggiore - Nel caso di piugrave punti allineati nelle posizioni xi detto M = summi allora

xCDM = ii xmMsum

1

- Nel caso di punti distribuiti nello spazio detti irrarr

i vettori che identificano le loro posizioni

CDMrrarr

= iii rmM

rarrsum

1

dove CDMrrarr

ha coordinate (xCDM yCDM zCDM) definite come

xCDM = ii xmsumη1

yCDM = ii ymMsum

1

zCDM = ii zmMsum

1

- Consideriamo un oggetto qualsiasi questo egrave composto da un gran numero di particelle ma conviene considerarlo come un continuo di materia e per calcolare il centro di massa si prendono in considerazione degli elementi infinitesimi di massa dm centrati intorno alle posizioni (xyz) allora

xCDM = int xdmM

1 yCDM = int ydm

M

1 zCDM = int zdm

M

1

se si puograve considerare il corpo omogeneo (densitagrave uniforme) allora V

M

dv

dm = e allora si puograve fare il

calcolo considerando il volume V e gli elementi di volume dv anzichegrave la massa e gli elementi di massa

xCDM = int xdvV

1 etc

In un oggetto solido (corpo rigido) i diversi punti materiali che lo compongono non cambiano la loro posizione relativa (non come un corpo elastico) - se un oggetto ha un elemento di simmetria un asse od un piano il CDM si trova su tale

elemento di simmetria (asse per cono centro per sfera piano per una banana etc) Non egrave detto che il CDM di un oggetto appartenga allrsquooggetto vedi uno pneumatico un cerchio Il CDM egrave esterno alloggetto Legge fondamentale della dinamica per un sistema di punti materiali Caso della palla da bigliardo urto fra due palle dopo il lancio di una le due si muovono 1) una egrave ferma (B) lrsquoaltra la lancio (A) 2) le due si urtano in qualunque modo 3) le due si muovono secondo traiettorie differenti una possibilmente andragrave in buca lrsquoaltra no Dopo il lancio sulla palla A non agisce piugrave nessuna forza quindi la sua velocitagrave v egrave costante Va bene ma dopo lrsquourto Il CDM delle due palle continua a muoversi con velocitagrave costante anche se il centro di massa egrave un punto teorico che non appartiene a nessuna delle due palle Tuttavia al CDM possiamo assegnare una massa (M totale del sistema) una velocitagrave ed una accellerazione Si ha

)(CDMext aMFrarrrarr

=sum

a) extFrarr

sum egrave la somma di tutte le forze esterne che agiscono sul sistema non quelle interne (ad esempio nel caso del bigliardo non devo considerare le forze che si applicano fra le due palle quando si urtano)

b) M egrave la massa totale del sistema Si suppone che durante il moto M rimanga costante

c) )(CDMararr

egrave lrsquoaccelerazione del CDM Dellrsquoaccellerazione di un altro punto ad esempio del centro della palla A non si dice nulla

Cosideriamo alcuni esempi 1) Bigliardo tvaF CDMCDMext cos00 ===sum prima dellrsquourto nellrsquourto si verificano solo forze

interne Quindi tvaF CDMCDMext cos00 ===sum dopo lrsquourto e durante tutto il moto

2) Sistema terra-luna sumFext = gravitazione del sole aCDM egrave ldquocentripetardquo accellerazione di una

forza che egrave diretta verso il sole (forza ldquocentralerdquo) egrave il CDM terra-luna che segue la traiettoria dovuta allrsquoattrazione gravitazionale del sole poi terra e luna si muovono intorno al loro CDM

3) Clavette lanciate sum Fext = Mg aCDM = g il centro di massa si comporta come un punto materiale nel lancio

4) La ballerina nel ldquogrand-fetegraverdquo fa seguire a testa e busto una traiettoria rettilinea percheacute modifica lrsquoassetto in modo da alzare il suo CDM Nel corso del salto (alza le braccia e distende

orizzontalmente le gambe non appena lasciato il suolo) il suo CDM segue la traiettoria parabolica del lancio di un corpo soggetto allrsquoaccelerazione di gravitagrave g

Quantitagrave di moto rarrP

- Si definisce quantitagrave di moto di una particella il vettore

rarrrarr= vmP

con m massa della particella e rarrv la sua velocitagrave

Si vede che rarrP egrave diretto come

rarrv

Newton scrisse la legge fondamentale della dinamica in termini di quantitagrave di moto (a differenza di Galileo che la scrisse in termini di massa e di accelerazione) ldquola rapiditagrave di variazione della quantitagrave di moto di una particella egrave proporzionale alla forza netta che agisce sulla particella ed egrave nella direzione di quella forzardquo cioegrave

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

che egrave piugrave generale della formulazione di Galileo perchegrave descrive bene anche il caso in cui variasse la massa del corpo durante il moto (ad esempio un vettore spaziale) Se la massa egrave costante le due formulazioni sono identiche

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

= t

vm

∆∆

rarr)(

= m t

v

∆∆

rarr

= m rarra

Ricordiamo che rarrF egrave diretto come

rarra (o la risultante

rarrR = sum

rarrF )

Per un sistema di punti materiali si definisce la quantitagrave di moto totale

rarrP =

rarrP 1 +

rarrP 2 + helliphellip+

rarrP n =

m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +helliphelliphellip+ mn

rarrv n = M

rarrv CDM (si puograve dimostrare) dove M egrave la massa totale

[essendo infatti Mrarrv CDM =

dt

d(M

rarrr CDM) =

dt

d(m1

rarrr 1 + m2

rarrr 2 +hellip) = m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +

hellip]

quindi rarrP = M

rarrv CDM per un sistema di particelle e

dt

Pdrarr

= M dt

d rarrv CDM = M

rarra CDM = sum

rarrF ext

Conservazione delle quantitagrave di moto

Per un sistema chiuso (M non varia) e isolato (sumrarrF ext = 0)

Allora

t

P

∆∆

rarr

= 0 rarrP = cost

rarrP i =

rarrP f

che sono tre modi equivalenti per dire che la quantitagrave di moto si conserva Vale per un sistema nel quale non agisca nessuna forza esterna netta Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica e la conservazione delle quantitagrave di moto sono due concetti fisici importantissimi Valgono sia per le palle da bigliardo che per qualunque altro sistema anche le galassie nellrsquouniverso Queste equazioni sono vettoriali Ciograve significa che rappresentano una terna di equazioni scalari ognuna valida sul proprio asse del sistema di riferimento (x y z)

Puograve accadere a seconda delle forze che agiscono nel sistema che la quantitagrave di moto si conservi in una direzione o in due e non in tutte e tre

Ad esempio se consideriamo una palla come un insieme di punti materiali la rarrF ext che agisce nel

sistema egrave mrarrg diretta lungo z senza componenti su x e y quindi

rarrP varia lungo z ma

non su x e y

Percheacute ldquocomplicarci la vitardquo con questa storia del CDM del sistema di particelle etchellip non bastava il moto del punto rappresentativo materiale Avevamo giagrave considerato il punto rappresentativo e avevamo svolto anche problemi sulla palla sul bilanciere e per altri oggetti Abbiamo sempre sbagliato La questione egrave se un corpo egrave rigido cioegrave se tutti i suoi punti si muovono mantenendo le loro distanze relative non crsquoegrave problema abbiamo solo visto che il punto materiale rappresentativo si chiama CDM ed abbiamo imparato a situarlo allrsquointerno del corpo Ma se il corpo non egrave rigido cioegrave se il suo CDM si sposta rispetto a lui stesso nel corso del moto la disposizione del corpo intorno al punto rappresentativo varia nel corso del tempo e le leggi di conservazione valgono per il CDM - Consideriamo ad esempio il teorema dellrsquoenergia cinetica che per un punto materiale si scrive Ltot = Kfin-K in = ∆ K (qui ovviamente non crsquoegrave da specificare lavoro delle forzeldquoesternerdquo percheacute essendo in un punto materiale che si assume infinitamente piccolo non ci sono forze ldquointernerdquo) Per analogia il teorema dellrsquoenergia cinetica si estende al caso di un insieme di punti materiali nel seguente modo

Ltot forze ext=rarrF extmiddot

rarrs CDM = ∆ KCDM

Dove s CDM egrave lo spostamento del centro di massa A titolo di esempio risolviamo il problema un giocatore di hockey su ghiaccio di massa M = 110Kg si muove verso la balaustra a bordo campo alla velocitagrave di 3msec Nellrsquoarrestarsi flettendo le braccia il suo CDM si sposta in avanti di 30cm Qual egrave la ∆ K del suo CDM durante la manovra

∆ KCDM = infin CDMCDM mvmv 22

2

1

2

1 minus =

= 0 - 2

1110 32 = -495 J

Fig 40

Sia L il lavoro delle forze esternerarrF ext (dirette come d

rarrx CDM ) allora

L = - Fext 03 = ∆ KCDM quindi

Fext =30

495

minusminus

= + 1650N

( si considera la forza esterna rarrF ext costante nellrsquointervallo dellrsquoarresto fatto che equivale a dire

che il giocatore si arresta con rarra CDM costante)

Dinamica e statica del corpo esteso Finora abbiamo sempre discusso del moto di un punto materiale (punto rappresentativo dicevamo sempre) In particolare abbiamo sempre applicato le forze a quel punto materiale quindi se diverse forze erano applicate esse concorrevano in quel punto ligrave e con le forze concorrenti sapevamo come calcolare la risultante con il metodo grafico o con quello numerico delle coordinate cartesiane Una volta calcolata la risultante applicata al punto si otteneva un moto di pura traslazione del punto (al massimo traslava lungo una traiettoria curva) senza rotazioni proprie del punto che non hanno neanche senso un punto che ruota su se stesso Come faccio ad accorgermi Un punto per definizione egrave infinitamente piccolo (Dicevamo infine che il punto egrave in equilibrio

traslazionale se la risultante rarrR delle forze applicate egrave nullo)

Consideriamo invece un corpo esteso Prima osservazione questo ha piugrave punti (direi infin ) a

cui la forza puograve essere applicata Prendiamo una racchetta da tennis ed una forza rarrF applicata il

moto che ne risulta dipende dal punto al quale viene applicata la forza rarrF

qui la racchetta trasla

Fig 41

stessa forza qui la racchetta ruota

Fig 42

Seconda osservazione Crsquoegrave un caso in cui le forze non possono essere fatte concorrere in un punto ed egrave quando sono parallele ed hanno rette di applicazione distinte Chiaramente non abbiamo mai dovuto considerare questo caso per il punto materiale percheacute per un punto non possono mai passare due rette parallele Ma per il corpo esteso So benissimo che se sono ferma con la macchina in

panne e la sto spingendo applicando una forza rarrF 1 sono contenta se qualcuno si affianca a me ed

esercitando una forza rarrF 2 lungo una direzione parallela a quella della mia mi aiuta a spingere In

particolare mi viene spontaneo dire che se F1 = F2 allora spingeremo con una forza doppia Ci saragrave quindi un modo per sommare due forze non concorrenti in un punto ma parallele e saragrave Ftot = F1+ F2 La retta di applicazione di Ftot divide il segmento congiungente i punti di applicazione di F1 ed F2 in due segmenti inversamente proporzionali allrsquointensitagrave delle forze F1 e F2 Terza osservazione se F1 = - F2 sono uguali in intensitagrave ma di verso opposto sempre lungo due rette di applicazione parallele passanti per un corpo esteso cosa succede La loro somma Ftot risultante saragrave 0 ma io so che il corpo non sta fermo sotto lrsquoazione di tali due forze ma ruoteragrave Concludo che le nozioni che ho acquisito finora vanno riviste ed ampliate o corrette o specificate per i corpi estesi ed inoltre che mi mancano totalmente i mezzi per descrivere le rotazioni dei corpi estesi Occorrono nuovi concetti nuove quantitagrave la forza non basta Prendo lrsquoesempio piugrave semplice dellrsquoaltalena con due bambini in due bracci uno piugrave leggero uno piugrave pesante

Fig 43 Qualitativamente so che percheacute lrsquoaltalena stia in equilibrio e non ruoti intorno al punto fisso non egrave necessario che i due bambini abbiano lo stesso peso (ugual massa) occorre che il bambino piugrave leggero sieda piugrave lontano rispetto al punto fisso (fulcro) La regola quantitativa dice che lrsquoaltalena egrave in equilibrio se il prodotto del peso per la distanza del fulcro egrave uguale PB dB = Pb

db Per generalizzare questa regola ai casi piugrave complessi occorre definire una nuova quantitagrave il momento di una forza Momento di una forza

Consideriamo una forza rarrF applicata ad un punto P ed un punto O Sia

rarrr

il vettore rarrOP allora il momento

rarrM di

rarrF rispetto ad O egrave

rarrM =

rarrr x

rarrF

e

|rarrr | middot |

rarrF | sin ϑ = |

rarrM |

Fig 44

oppure anche considerando la componente di rarrF perpendicolare ad

rarrr o di

rarrr

perpendicolare a rarrF r e rispetto a F

|rarrM | = |

rarrr | |

rarrF perp | |

rarrM | = |

rarrr perp| |

rarrF |

In generale si dice che il modulo del momento |rarrM | egrave il prodotto delle intensitagrave della forza per la

distanza dal punto della retta di applicazione della forza

Come vettore rarrM egrave perpendicolare al piano che contiene

rarrF ed

rarrr ed ha verso calcolato con la

regola della mano destra (con rarrr che si chiude su

rarrF )

La distanza rperp si chiama braccio della forza Si vede che il momento egrave nullo quando il braccio egrave nullo cioegrave quando il punto O si trova sulla retta di applicazione di F Il momento della forza peso P egrave nullo rispetto al baricentro che coincide con il centro di massa nel caso (praticamenteldquosemprerdquo) in cui il corpo non sia abbastanza esteso percheacute diversi punti del corpo risentano di una forza gravitazione differente Praticamente si deve parlare di galassie percheacute CDM e baricentro (BC) non coincidono Quindi la condizione del momento nullo della forza peso diventa un modo per definire il CDM come quel punto rispetto al quale la forza peso P ha momento nullo Per un corpo ldquoarticolatordquo estendiamo il concetto di forza normale come forza di contatto nellrsquoarticolazione utile cioegrave la forza che lrsquoarticolazione che si sta considerando esercita su quello che nellrsquoarticolazione si appoggia La forza peso P di un corpo esteso puograve immaginarsi applicata al CDM Principio di equilibrio di un corpo esteso

se su un corpo esteso agiscono solo rarr

Peso e rarr

Normale cioegrave se un corpo egrave appoggiato ad un piano orizzontale allora il corpo egrave in equilibrio se e solo se il baricentro si trova sopra la superficie di appoggio

Fig 45

Finchegrave il baricentro egrave sopra il tavolo il libro non cade percheacute rarrP applicata a CDM puograve essere

controbilanciata da rarrN Se CDM si sposta in fuori

rarrN rimane nel tavolo e crsquoegrave momento non nullo

non equilibrato da rarrP che continua ad essere applicato nel CDM

Il baricentro di una persona in posizione eretta si trova nellrsquoarea delimitata dei suoi piedi 3cm davanti allrsquoarticolazione della caviglia

Fig 46 Quando la persona si piega in avanti il baricentro esce dal corpo e per mantenere lrsquoequilibrio egrave necessario che le anche si spingono indietro percheacute il baricentro cade di nuovo in quella posizione Notiamo che anche in posizione eretta essendo la forza peso e la forza di contatto non allineate (quei 3cm) (forza di contatto sullrsquoarticolazione della caviglia che regge il peso) occorre un momento correttivo che impedisca la rotazione in avanti mantenuto dal tendine di Achille che si lega alla caviglia Altro esempio di spostamento del baricentro egrave lrsquoatleta che assume una posizione ad L chi regge il peso egrave lrsquoarticolazione della spalla quindi il CDM si sposta sotto la spalla (giagrave era uscita dal corpo per via delle gambe distese in avanti) Nel camminare il baricentro continua a muoversi da sopra un piede a sopra un altro (quello appoggiato ovviamente) Si osservi lrsquoondeggiamento Per assurdo lrsquoancheggiare delle indossatrici serve a mantenere il baricentro il piugrave possibile fermo rispetto alla direzione media del moto (porre un piede esattamente davanti allrsquoaltro) rendendo piugrave facile muoversi anche con tacchi altissimi Al contrario lrsquoequilibrista che cammina sui trampoli sta fermo il meno possibile percheacute egrave stando fermo che il piccolo spostamento che fa uscire il baricentro (ALTO) dalla superficie drsquoappoggio puograve verificarsi facilmente preferisce il ldquonon ndash equilibriordquo o lrsquo rdquoequilibrio dinamicordquo dellrsquoondeggiare continuamente fra due posizioni di equilibrio

Ricordiamo che un equilibrio egrave detto stabile se quando una perturbazione lo altera spontaneamente il sistema lo ripristina Viceversa un equilibrio egrave instabile se la piugrave piccola perturbazione lo distrugge Lrsquoequilibrio egrave molto stabile se il baricentro egrave basso ed il corpo ha una grande area drsquoappoggio la posizione accucciata del giocatore di football americano dagrave grande stabilitagrave Ancor piugrave grande stabilitagrave si ha se il baricentro (CDM) si trova al di sotto della superficie drsquoappoggio Ersquo come se si fosse ldquoappesirdquo anzicheacute ldquoappoggiatirdquo alla superficie drsquoappoggio Proprio per questo motivo lrsquoequilibrista sul filo porta una lunga asta che spesso si flette agli estremi

Fig 47 Gli uccelli bipedi da 100000000 di anni hanno sviluppato questo adattamento per cui sono appesi alle anche mentre gli uomini bipedi da solo 1000000 di anni fanno fatica con il CDM dalla parte alta del corpo Ersquo un equilibrio instabile ldquosoprardquo le anche che le reggono (65 del peso del corpo) Modificazioni strutturali per reggere la posizione eretta 1) Colonna vertebrale rastremata (piugrave tozza in basso che in alto percheacute piugrave in basso vuol dire una

maggior forza di contatto) 2) Muscoli estensori della schiena 3) Gambe ed anche ingrossate 4) Ginocchio che blocca la gamba estesa Ciononostante si ha spesso il mal di schiena Se una forza ha momento non nullo rispetto ad un punto allora il corpo puograve ruotare intorno a quel punto sotto lrsquoazione di quella forza ldquoDiciamo che se sostengo il corpo per quel punto il corpo puograve ruotare intorno a quel puntordquo (Prendo in mano un foglio di carta per un estremo per esempio) La presenza di un momento non nullo egrave dunque la condizione che genera rotazione e viceversa Lrsquoassenza di un momento risultante egrave la condizione che genera lrsquoequilibrio rotazionale di un corpo esteso Quindi la condizione di equilibrio per un corpo esteso egrave

1) rarrR = 0 risultante delle forze applicate = 0 (equilibrio traslazionale)

2) rarrM = 0 momento risultante = 0 (equilibrio rotazionale)

Supponiamo di avere un corpo esteso al quale siano applicate delle forze che diano luogo ad un momento non nullo allora il corpo ruota Per equilibrarlo dovrograve applicare un altro momento tale che la loro somma sia nulla Questo egrave il principio di funzionamento delle leve LEVE

Una leva egrave un corpo esteso al quale sono applicate delle forze con un momento risultante rarrR

allora per portare il corpo in equilibrio applico un momento correttivo rarrP in modo che il momento

totale sia nullo Si dice in genere potenza (P) e resistenza (R) di una leva Le leve sono macchine semplici Servono per applicare forze in punti scomodi o in direzioni particolari Il fulcro egrave il punto nel quale la leva egrave incernierata Si definisce il guadagno meccanico di una leva

GM =

)(

)(rarr

rarr

PF

RF

cioegrave il rapporto fra la forza che genera il momento resistente e quella che genera il momento agente A seconda che GM sia gt

lt 0 una leva si dice che egrave vantaggiosa o svantaggiosa ma solo per quel che riguarda le forze percheacute per quel che riguarda i lavori non si ha neacute vantaggio neacute svantaggio Il lavoro esercitato dalla forza che dagrave la ldquopotenzardquo e quello esercitato dalla forza che dagrave la ldquoresistenzardquo sono sempre uguali Infatti forze e spostamenti sono inversamente proporzionali Le leve si dicono di I II o III specie a seconda se il fulcro si trovi I) in mezzo fra R e P (leva indifferente GM dipende da caso a caso) II) dalla parte di R (leva vantaggiosa il braccio di R egrave sempre minore del braccio di P basta

quindi una P minore per equilibrare una R maggiore) III) dalla parte di P (leva svantaggiosa) Classici esempi dei tre tipi di leve sono i remi (I) lo schiaccianoci (II) e la pinzetta per francobolli (III) Tuttavia vediamo degli esempi meno classici ma attinenti al campo della biologia e della medicina Criterio generale egrave che le leve vantaggiose consentono di essere molto potenti ma con brevi spostamenti mentre viceversa quelle svantaggiose fanno perdere in potenza ma consentono grandi spostamenti saragrave difficile vedere un cavallo che con le lunghe zampe si scava la tana drsquoaltronde una talpa scava bene la tana ma ha movimenti molto meno ampi che non le consentono di correre veloce come un cavallo (compromesso fra forza e velocitagrave del movimento) Se contiamo tutti i movimenti di rotazione che il corpo puograve compiere capiamo che siamo pieni di leve di ogni tipo Sono classici a) il capo fulcro (articolazione occipito-atlantoide) Fig 48 muscoli della nuca (Potenza) peso del capo (Resistenza) b)

muscolo bicipide (Potenza)

Fig 49 Peso dellrsquoavambraccio (Resistenza) Fulcro (articolazione del gomito) Questa leva permette grandi spostamenti Si vede che la forza operata dal muscolo bicipite egrave massima quando lrsquoavambraccio egrave orizzontale (la distanza dal fulcro egrave massima) ed egrave minima quando lrsquoavambraccio egrave verticale( con la distanza dal fulcro nulla) Attenzione - la colonna vertebrale egrave costituita da 24 vertebre separate da dischi di liquido Quando una

persona si piega la schiena egrave una leva con GM molto piccolo Quindi un piegamento completo per raccogliere un oggetto anche leggero produce una forza molto intensa sul disco lombosacrale che separa lrsquoultima vertebra dellrsquoosso sacro Se indebolito questo disco puograve rompersi o deformarsi comprimendo i nervi vicini e causando grande dolore Vediamo un modello che rende conto come mai questa forza egrave cosigrave grande

Fig 50

I muscoli della schiena esercitano T Con un angolo α = 12deg quando la schiena egrave piegata a 90deg

Peso della parte superiore del corpo (circa il 65 del peso totale)

Fulcro lombosacrale (il fulcro produce R) Essendo α piccolo la retta di azione Τ passa vicino al fulcro e dunque la distanza r che costituisce il suo braccio egrave molto piccola Al contrario il peso egrave perpendicolare alla colonna e il suo punto di applicazione egrave molto piugrave distante dal fulcro Τ deve essere molto grande per equilibrare il momento di P Dunque se T egrave grande anche la sua componente orizzontale egrave grande e di conseguenza anche R che costituisce la reazione dellrsquoosso sacro deve avere componente orizzontale molto grande per equilibrare Τ (uguale ed opposta alla componente orizzontale di Τ ) Facendo i conti si ottengono numeri grandi per 75Kg di peso T ed R sono equivalenti al peso di una massa di 220Kg Senza sollevare pesi solo piegandosi Conviene piegare le ginocchia quando si sollevano pesi - Nel corpo egrave difficile che il peso cada sulla verticale dellrsquoarticolazione che lo sostiene egrave sempre

un porsquo spostato e crsquoegrave un tendine con un muscolo che compensa il momento del peso - La contrazione muscolare egrave una successione di brevi contrazioni delle fibre muscolari stimolate

da impulsi che provengono dal sistema nervoso Contrazioni sono molto ravvicinate e avvengono in tempi differenti nelle diverse parti del muscolo cosigrave che il risultato apparente egrave una lenta e progressiva contrazione Se la frequenza degli impulsi aumenta la tensione cresce finchegrave si raggiunge la tensione massima (ricordare la tensione di un cavo) Un ulteriore aumento della frequenza degli impulsi a questo punto non causa ulteriore aumento della tensione

La tensione massima egrave proporzionale allrsquoarea della sezione trasversa del muscolo nel suo punto piugrave largo La tensione massima dipende anche dalla lunghezza del muscolo che varia Si ottiene tensione massima quando il muscolo egrave solo di poco allungato rispetto alla sua lunghezza di riposo di riposo ed egrave circa 30-40 Ncm2 La tensione massima si riduce moltissimo se il muscolo egrave molto allungato o accorciato Dinamica Rotatoria Fino ad ora abbiamo studiato moti traslatori ma il moto di un corpo rigido egrave in generale roto-traslatorio Naturalmente dobbiamo ridurre il problema complesso ad uno piugrave semplice e per fare ciograve immaginiamo di posizionarci su un sistema di riferimento solidale al corpo rigido i moto immaginiamo cioegrave di ldquosedercirdquo sul corpo rigido In questo modo non saremo piugrave sensibili al moto traslatorio e guardando il corpo rigido osserveremo solo le sue rotazioni Trattiamo allora il moto generico scomponendo la parte traslatoria (giagrave discussa ) da quella rotatoria Se si trascura la parte traslatoria del moto di un corpo rigido quello che rimane da trattare egrave la sua rotazione Nel nostro corso consideriamo le rotazioni che avvengono su un piano le rotazioni nello spazio potranno essere trattate come composizione di rotazioni su un piano Per le rotazioni su un piano si identifica un asse di rotazione perpendicolare al piano di rotazione e passante per il centro di rotazione Le articolazioni del gomito e del ginocchio sono articolazioni libere di ruotare intorno ad un asse a differenza ad esempio di quella della spalla che puograve ruotare intorno a due assi Si definisce spostamento angolare la variazione di una posizione che egrave definita in modo completo da una misura di angolo Una rotazione di un intero corpo rigido egrave definita in modo completo da uno spostamento angolare θfin - θin= ∆θ e si misura in radianti

Fig 51 Dobbiamo definire anche un verso di rotazione θ si incrementa per rotazioni antiorarie positive le rotazioni in senso orario sono invece negative La velocitagrave angolare si definisce analogamente alla velocitagrave lineare come il rapporto tra lo spostamento angolare e il tempo t impiegato per eseguire tale rotazione

ωm = t∆

∆θ e si misura in rad s

θin

θfin ∆θ

R

S

Anche per w si definisce ωist = lim ∆trarr0 t∆

∆θ

Ancora lrsquoaccelerazione angolare si definisce αm = t∆

∆ω e αist = lim ∆trarr0

t∆∆ω

Anche la legge fondamentale della dinamica ha un analogo nel ambito dei moti rotatori Si stabilisce che se ad un corpo rigido egrave soggetto ad un momento torcente diverso da zero esso subisce unrsquoaccelerazione angolare ad esso proporzionale Nel caso delle rotazioni la resistenza al moto egrave espressa dal momento di inerzia I associato al corpo rigido che gioca il ruolo della massa nei moti traslatori La legge della dinamica delle rotazioni egrave M = I middotα

E sostituendo M = Imiddott∆

∆ω= Imiddot

tinfin

∆minusωω

Il momento di inerzia I di un corpo rigido dipende dalla disposizione della massa del corpo rispetto allrsquoasse di rotazione per una massa puntiforme m a distanza R dallrsquoasse di rotazione I= m R2 per un oggetto esteso sommerograve il momento drsquoinerzia delle sue parti I = Σi mi Ri

2 Se si definisce momento angolare L il prodotto del momento drsquoinerzia per la velocitagrave angolare

L=Iω la legge della dinamica diventa

M = t

LL infin

∆minus

Il momento angolare egrave la grandezza fisica che si conserva se non viene applicato momento torcente Tutti i gesti di volo salti lanci tuffihellip sono azioni nelle quali si conserva il momento angolare Infatti in volo agisce solo la forza di gravitagrave che essendo applicata al CDM non genera momento torcente Il corpo umano nei gesti di volo Il corpo umano non egrave rigido e pertanto in volo agendo con i muscoli possiamo cambiare la disposizione del nostro corpo intorno al centro di massa che in volo coincide col centro di rotazione In questo modo si ottiene una variazione del momento di inerzia I e di conseguenza la velocitagrave angolare deve compensare questa variazione in modo che si mantenga costante il momento angolare L (grandezza che si conserva in assenza di momento torcente) Ersquo questo il principio che spiega il realizzarsi delle trottole sul ghiaccio dei salti mortali tuffi con avvitamento e cosigrave via in posizione raccolta I diminuisce e ω aumenta Moto circolare e moto circolare uniforme Per utilizzare le relazioni della cinematica e della dinamica lineare che abbiamo studiato egrave interessante poter passare dalle variabili angolari alle variabili lineari velocitagrave e accelerazione delle

masse in moto rotatorio Se una massa si muove su una traiettoria curva la velocitagrave tangenziale vt diretta come la tangente alla traiettoria dipende dalla velocitagrave angolare ω ( ωm=ϑ t )e dal raggio di curvatura della traiettoria Se la traiettoria egrave una circonferenza di raggio R e se gli angoli sono espressi in radianti lrsquoarco percorso per uno spostamento angolare ϑ egrave S = ϑ sdotR e la velocitagrave lineare tangente vt = St= ϑ sdotRt risulta vt = ωsdotR Se la velocitagrave angolare ω egrave costante il moto egrave detto circolare uniforme La legge oraria egrave quella dei moti uniformi spostamenti angolari uguali in tempi uguali ϑ(t) = ω t Anche la velocitagrave tangente saragrave di intensitagrave costante se ω egrave costante (archi uguali per tempi uguali s(t) = vt (t) ) ma crsquoegrave una accelerazione normale infatti la velocitagrave anche se non cambia in modulo cambia continuamente di direzione Questa accelerazione si dice centripeta egrave diretta normalmente rispetto alla traiettoria verso il centro della circonferenza e vale in modulo

ac=R

v2

Fig 52 Essendo la velocitagrave tangente vt = ωR Lrsquo accelerazione centripeta si puograve scrivere

ac =R

v2

= ω2 R

Il tempo impiegato dal punto a muoversi sulla circonferenza egrave una costante (moto uniforme) T periodo in T viene percorso uno spazio 2π R

v = T

Rπ2

La frequenza f egrave invece il ndeg di giri al secondo

f =T

1

Se si prendono punti diversi sul raggio della circonferenza questi hanno la stessa velocitagrave angolare e velocitagrave tangenziali crescenti al crescere del raggio Esempio carosello dei pattinatori Esercizi

1- un velocista con una velocitagrave di 10 ms viaggia su una curva di raggio 25m ndash accelerazione

a = R

v2

= 25

100 = 4 ms2

2 ndash un velocista con v = 92 ms su una pista circolare con ac = 38 m s2 ndash Raggio della pista Tempo per percorrere un giro completo

a = R

v2

rArr R = a

v2

= 83

)29( 2

= 2227m

T =v

Rπ2 =

29

27222 lowastπ = 152 sec

Forza centripeta forza centrifuga Una forza centripeta egrave una forza di qualunque natura che trattiene un corpo in moto su una traiettoria curvilinea ad esempio circolare In assenza di tale forza il corpo proseguirebbe il suo moto lungo una traiettoria rettilinea Nel gesto del lancio del martello ad esempio il lanciatore che esercita sul peso in cima allrsquoattrezzo una forza mediata dalla tensione dal cavo che lo trattiene nella traiettoria circolare Quando il lanciatore lascia la maniglia il martello viene lanciato lungo la direzione della tangente alla traiettoria nellrsquoistante di rilascio Lrsquointensitagrave della forza centripeta necessaria a mantenere una massa m in moto con velocitagrave tangente v lungo una traiettoria circolare di raggio r si puograve calcolare a partire dallrsquoaccellerazione centripeta secondo la legge fondamentale della dinamica

|rarr

cF | = m | rarr

ca | = m r

v2

Tale forza egrave diretta come lrsquoaccelerazione centripeta e cioegrave verso il centro della circonferenza che costituisce la traiettoria La forza centripeta egrave dunque una forza reale Con lsquoforza centrifugarsquo invece non ci si riferisce ad un forza che agisce su un corpo ma alla situazione apparente cui sembra sottoposto un corpo in moto curvilineo Esso pare tirato o attirato lontano dal centro di rotazione pare ci sia una lsquoforzarsquo che vuole farlo sfuggire Quando viene lasciato il martello si allontana dal centro di rotazione percheacute si muove di moto rettilineo uniforme non essendo piugrave soggetto a forze altre che la forza peso Lrsquoacqua esce dal cestello della lavatrice quando il cestello ruota velocemente (funzione centrifuga) percheacute lrsquoacqua che non costituisce un corpo solo con il cestello bucato non egrave soggetta alla forza centripeta e puograve passare attraverso i buchi I panni invece pure non parte del cestello sono troppo grandi per passare dai buchi si possono solo schiacciare contro le pareti questo schiacciamento sembra il risultato di una forza ma egrave invece il risultato dellrsquoassenza di una forza quella centripeta Una volta lagrave contro il cestello fanno tuttrsquouno con le pareti di metallo che esercitano su di essi la forza centripeta (cioegrave con direzione verso lrsquoasse di rotazione) che li mantiene in rotazione Le parti di un corpo rigido esteso che si muove di moto rotatorio rispetto ad un asse quale ad esempio la gamba di un giocatore di calcio che calcia un pallone sono soggette alla forza centripeta che le mantiene sulla traiettoria curva Tale forza viene trasmessa alle varie parti tramite le forze di tensione che si sviluppano allrsquointerno del corpo stesso ad esempio il piede egrave soggetto alla forza centrifuga tramite lrsquoazione dei legamenti e tendini a livello della caviglia che vengono messi in tensione per trattenere il piede stesso

rArr WA = 2

2

1Akx WB = 2

2

1Bkx e in generale W(x) = 2

2

1kx

Energia totale meccanica ndash Conservazione dellrsquoenergia

In presenza di sole forze conservative la somma dellrsquoenergia cinetica e dellrsquoenergia potenziale costituisce lrsquoenergia totale meccanica Tale energia meccanica gode della proprietagrave importantissima di conservarsi durante lrsquoevoluzione del sistema Lrsquoenergia connessa al movimento e alla posizione si scambiano una diminuisce e lrsquoaltra cresce ad esempio ma la loro somma rimane costante

- Esempio delle montagne russe Se non ci sono attriti (infatti il trucco egrave quello di rendere il

sistema privo di attriti) so giagrave quale altezza massima potrograve raggiungere (quella iniziale e non di piugrave) quale velocitagrave massima potrograve raggiungere (in fondo alla valle) Queste quantitagrave sono fra loro legate dal teorema della conservazione dellrsquo energia meccanica

Fig 33 - Esempio del salto con lrsquoasta Lrsquoenergia cinetica dellrsquoatleta acquisita nella rincorsa viene

trasformata in energia potenziale gravitazionale parte direttamente e parte attraverso lrsquoenergia potenziale elastica dellrsquoasta acquisita nella sua deformazione durante il salto La flessibilitagrave dellrsquoasta (costante elastica dellrsquoasta) egrave legata allrsquoenergia che si puograve immagazzinare in una data deformazione Infatti con aste rigide (alluminio acciaio bambugrave) il salto era piugrave basso Con fibra di vetro il record egrave stato polverizzato

Fig 34

Fig 35

Fig 36

Osserviamo che il teorema dellrsquoenergia cinetica ha validitagrave generale qualunque siano le forze che agiscono conservative o non conservative (le forze non conservative si dicono anche ldquodissipativerdquo)

KLL

KL

fncfc

tot

∆=+∆=

e ricordando che darr Lfc = - )( fcW∆

Si ottiene che K∆ + )( fcW∆ = Lfnc

Si vede che nel caso in cui Lfnc sia nullo cioegrave quando non ci sono forze dissipative la somma delle variazioni di energia cinetica e energia potenziale egrave uguale a zero cioegrave lrsquoenergia totale meccanica (somma dellrsquoenergia cinetica e potenziale) egrave costante E questo corrisponde al teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica Nel caso ci siano forze dissipative la somma delle energie non egrave costante quindi al contrario del teorema dellrsquoenergia cinetica il teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica non ha validitagrave generale (vale solo in assenza di attriti ad esempio) Le forze non conservative di attrito compiono lavori solo negativi e fanno perdere quantitagrave di energia non recuperabile Parte di questa energia va in generale in calore quindi se ne puograve tenere conto considerando unrsquoaltra forma di energia lrsquoenergia termica ( ci sono anche altri fenomeni dissipativi ad esempio le deformazioni permanenti negli urti o la propagazione di onde sonore)

Lrsquo energia puograve dunque conservarsi o trasferirsi proprietagrave caratterizzanti dellrsquoenergia Il lavoro rende conto del trasferimento di energia della perdita di energia sotto una forma e del guadagno sotto unrsquoaltra forma (cioegrave energia conservativa) o del passaggio dellrsquoenergia da un sistema ad un altro Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica quando egrave applicabile puograve essere sfruttato per risolvere facilmente problemi altrimenti complicati Esercizio Una palla da tennis viene lanciata con velocitagrave iniziale v0 (senza effetti strani taglio etc) al di lagrave della rete Con quale velocitagrave arriva a terra

Se durante il moto Etot si conserva K+W = cost

Fig 37 e W = mgh egrave solo energia potenziale gravitazionale h = 0 alla fine come allrsquoinizio dunque K in = Kfin e vfin = v0 Se la palla egrave lanciata verso lrsquoalto non crsquoegrave componente orizzontale della velocitagrave ma solo verticale al punto piugrave alto di arresto h K(h) = 0 W(h) = max = Kin cioegrave mgh = frac12 mv0

2 si puograve cosigrave calcolare facilmente lrsquoaltezza massima raggiunta h = (frac12 v0

2)g e vicenversa si puograve calcolare il valore della velocitagrave v0 che bisogna imprimere alla palla affinchegrave raggiunga lrsquoaltezza h

v0 = gh2

Esercizio Una saltatrice di massa M = 61Kg salta da un ponte di altezza H = 45m agganciata ad una corda elastica La lunghezza di riposo della corda elastica egrave L = 25m e la sua costante elastica egrave k = 160 Nm Nel punto piugrave basso si arresta prima di venire rimbalzata in alto Qualrsquo egrave lquesta quota piugrave bassa h (a cui si trovano i suoi piedi ai quali egrave legato lrsquoelastico)

Fig 38 Etot = Wgrav + Wel + K = cost sono solo forze conservative vale la conservazione

dellrsquoenergia Nel punto A K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di lanciarsi Wel = 0 percheacute lrsquoelastico non egrave ancora svolto Wgrav = MgH Nel punto B K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di rimbalzare

Wel = frac12 kd2 Wgrav = Mgh = Mg(H-(L+d)) Etot(A) = Etot (B) MgH + 0 + 0 = Mg (H-(L+d)) + frac12 kd2 + 0 MgH = MgH ndash MgL ndash Mgd +frac12 kd2

2

1(160)d2 ndash (61)(98)d ndash (61)(98)(25) = 0

equazione di IIdeg grado che dagrave per d il valore accettabile d = 179m (lrsquoaltro egrave negativo e non egrave accettabile perchegrave non ha senso fisico la

saltatrice va in giugrave non in su) Allora h = H-(L+d) = 45 ndash (25+179) = 45 ndash 429 = 21m quindi con la testa poco sopra lrsquoacqua Sistemi di punti materiali e corpi rigidi ndash Centro di Massa

Un giocoliere o un ginnasta che lancia la clavette fa compiere allrsquoattrezzo movimenti complicati tuttavia crsquoegrave un punto dellrsquoattrezzo che si muove seguendo una traiettoria semplice come quella di un punto materiale ad esempio lanciato segue una traiettoria parabolica Tale punto si chiama centro di massa dellrsquooggetto Il centro di massa puograve essere definito per un oggetto o per un insieme di punti materiali Ersquo importante percheacute in generale il moto di un corpo esteso (o di un insieme di punti) si puograve studiare separando il moto del centro di massa (moto traslatorio) e il moto del corpo attorno al centro di massa (moto rotatorio)

Centro di Massa (CDM) di un sistema di punti - Consideriamo il caso semplice di due punti materiali di massa m1 m2 posti sullrsquoasse x in

posizione x1 x2

Fig 39

la posizione del centro di massa egrave definita xCDM = 21

2211

mm

xmxm

++

a) xCDM egrave compreso fra x1 e x2 b) se m1 = m2 CDM egrave a metagrave strada fra m1 ed m2 c) xCDM egrave piugrave prossimo alla massa maggiore - Nel caso di piugrave punti allineati nelle posizioni xi detto M = summi allora

xCDM = ii xmMsum

1

- Nel caso di punti distribuiti nello spazio detti irrarr

i vettori che identificano le loro posizioni

CDMrrarr

= iii rmM

rarrsum

1

dove CDMrrarr

ha coordinate (xCDM yCDM zCDM) definite come

xCDM = ii xmsumη1

yCDM = ii ymMsum

1

zCDM = ii zmMsum

1

- Consideriamo un oggetto qualsiasi questo egrave composto da un gran numero di particelle ma conviene considerarlo come un continuo di materia e per calcolare il centro di massa si prendono in considerazione degli elementi infinitesimi di massa dm centrati intorno alle posizioni (xyz) allora

xCDM = int xdmM

1 yCDM = int ydm

M

1 zCDM = int zdm

M

1

se si puograve considerare il corpo omogeneo (densitagrave uniforme) allora V

M

dv

dm = e allora si puograve fare il

calcolo considerando il volume V e gli elementi di volume dv anzichegrave la massa e gli elementi di massa

xCDM = int xdvV

1 etc

In un oggetto solido (corpo rigido) i diversi punti materiali che lo compongono non cambiano la loro posizione relativa (non come un corpo elastico) - se un oggetto ha un elemento di simmetria un asse od un piano il CDM si trova su tale

elemento di simmetria (asse per cono centro per sfera piano per una banana etc) Non egrave detto che il CDM di un oggetto appartenga allrsquooggetto vedi uno pneumatico un cerchio Il CDM egrave esterno alloggetto Legge fondamentale della dinamica per un sistema di punti materiali Caso della palla da bigliardo urto fra due palle dopo il lancio di una le due si muovono 1) una egrave ferma (B) lrsquoaltra la lancio (A) 2) le due si urtano in qualunque modo 3) le due si muovono secondo traiettorie differenti una possibilmente andragrave in buca lrsquoaltra no Dopo il lancio sulla palla A non agisce piugrave nessuna forza quindi la sua velocitagrave v egrave costante Va bene ma dopo lrsquourto Il CDM delle due palle continua a muoversi con velocitagrave costante anche se il centro di massa egrave un punto teorico che non appartiene a nessuna delle due palle Tuttavia al CDM possiamo assegnare una massa (M totale del sistema) una velocitagrave ed una accellerazione Si ha

)(CDMext aMFrarrrarr

=sum

a) extFrarr

sum egrave la somma di tutte le forze esterne che agiscono sul sistema non quelle interne (ad esempio nel caso del bigliardo non devo considerare le forze che si applicano fra le due palle quando si urtano)

b) M egrave la massa totale del sistema Si suppone che durante il moto M rimanga costante

c) )(CDMararr

egrave lrsquoaccelerazione del CDM Dellrsquoaccellerazione di un altro punto ad esempio del centro della palla A non si dice nulla

Cosideriamo alcuni esempi 1) Bigliardo tvaF CDMCDMext cos00 ===sum prima dellrsquourto nellrsquourto si verificano solo forze

interne Quindi tvaF CDMCDMext cos00 ===sum dopo lrsquourto e durante tutto il moto

2) Sistema terra-luna sumFext = gravitazione del sole aCDM egrave ldquocentripetardquo accellerazione di una

forza che egrave diretta verso il sole (forza ldquocentralerdquo) egrave il CDM terra-luna che segue la traiettoria dovuta allrsquoattrazione gravitazionale del sole poi terra e luna si muovono intorno al loro CDM

3) Clavette lanciate sum Fext = Mg aCDM = g il centro di massa si comporta come un punto materiale nel lancio

4) La ballerina nel ldquogrand-fetegraverdquo fa seguire a testa e busto una traiettoria rettilinea percheacute modifica lrsquoassetto in modo da alzare il suo CDM Nel corso del salto (alza le braccia e distende

orizzontalmente le gambe non appena lasciato il suolo) il suo CDM segue la traiettoria parabolica del lancio di un corpo soggetto allrsquoaccelerazione di gravitagrave g

Quantitagrave di moto rarrP

- Si definisce quantitagrave di moto di una particella il vettore

rarrrarr= vmP

con m massa della particella e rarrv la sua velocitagrave

Si vede che rarrP egrave diretto come

rarrv

Newton scrisse la legge fondamentale della dinamica in termini di quantitagrave di moto (a differenza di Galileo che la scrisse in termini di massa e di accelerazione) ldquola rapiditagrave di variazione della quantitagrave di moto di una particella egrave proporzionale alla forza netta che agisce sulla particella ed egrave nella direzione di quella forzardquo cioegrave

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

che egrave piugrave generale della formulazione di Galileo perchegrave descrive bene anche il caso in cui variasse la massa del corpo durante il moto (ad esempio un vettore spaziale) Se la massa egrave costante le due formulazioni sono identiche

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

= t

vm

∆∆

rarr)(

= m t

v

∆∆

rarr

= m rarra

Ricordiamo che rarrF egrave diretto come

rarra (o la risultante

rarrR = sum

rarrF )

Per un sistema di punti materiali si definisce la quantitagrave di moto totale

rarrP =

rarrP 1 +

rarrP 2 + helliphellip+

rarrP n =

m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +helliphelliphellip+ mn

rarrv n = M

rarrv CDM (si puograve dimostrare) dove M egrave la massa totale

[essendo infatti Mrarrv CDM =

dt

d(M

rarrr CDM) =

dt

d(m1

rarrr 1 + m2

rarrr 2 +hellip) = m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +

hellip]

quindi rarrP = M

rarrv CDM per un sistema di particelle e

dt

Pdrarr

= M dt

d rarrv CDM = M

rarra CDM = sum

rarrF ext

Conservazione delle quantitagrave di moto

Per un sistema chiuso (M non varia) e isolato (sumrarrF ext = 0)

Allora

t

P

∆∆

rarr

= 0 rarrP = cost

rarrP i =

rarrP f

che sono tre modi equivalenti per dire che la quantitagrave di moto si conserva Vale per un sistema nel quale non agisca nessuna forza esterna netta Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica e la conservazione delle quantitagrave di moto sono due concetti fisici importantissimi Valgono sia per le palle da bigliardo che per qualunque altro sistema anche le galassie nellrsquouniverso Queste equazioni sono vettoriali Ciograve significa che rappresentano una terna di equazioni scalari ognuna valida sul proprio asse del sistema di riferimento (x y z)

Puograve accadere a seconda delle forze che agiscono nel sistema che la quantitagrave di moto si conservi in una direzione o in due e non in tutte e tre

Ad esempio se consideriamo una palla come un insieme di punti materiali la rarrF ext che agisce nel

sistema egrave mrarrg diretta lungo z senza componenti su x e y quindi

rarrP varia lungo z ma

non su x e y

Percheacute ldquocomplicarci la vitardquo con questa storia del CDM del sistema di particelle etchellip non bastava il moto del punto rappresentativo materiale Avevamo giagrave considerato il punto rappresentativo e avevamo svolto anche problemi sulla palla sul bilanciere e per altri oggetti Abbiamo sempre sbagliato La questione egrave se un corpo egrave rigido cioegrave se tutti i suoi punti si muovono mantenendo le loro distanze relative non crsquoegrave problema abbiamo solo visto che il punto materiale rappresentativo si chiama CDM ed abbiamo imparato a situarlo allrsquointerno del corpo Ma se il corpo non egrave rigido cioegrave se il suo CDM si sposta rispetto a lui stesso nel corso del moto la disposizione del corpo intorno al punto rappresentativo varia nel corso del tempo e le leggi di conservazione valgono per il CDM - Consideriamo ad esempio il teorema dellrsquoenergia cinetica che per un punto materiale si scrive Ltot = Kfin-K in = ∆ K (qui ovviamente non crsquoegrave da specificare lavoro delle forzeldquoesternerdquo percheacute essendo in un punto materiale che si assume infinitamente piccolo non ci sono forze ldquointernerdquo) Per analogia il teorema dellrsquoenergia cinetica si estende al caso di un insieme di punti materiali nel seguente modo

Ltot forze ext=rarrF extmiddot

rarrs CDM = ∆ KCDM

Dove s CDM egrave lo spostamento del centro di massa A titolo di esempio risolviamo il problema un giocatore di hockey su ghiaccio di massa M = 110Kg si muove verso la balaustra a bordo campo alla velocitagrave di 3msec Nellrsquoarrestarsi flettendo le braccia il suo CDM si sposta in avanti di 30cm Qual egrave la ∆ K del suo CDM durante la manovra

∆ KCDM = infin CDMCDM mvmv 22

2

1

2

1 minus =

= 0 - 2

1110 32 = -495 J

Fig 40

Sia L il lavoro delle forze esternerarrF ext (dirette come d

rarrx CDM ) allora

L = - Fext 03 = ∆ KCDM quindi

Fext =30

495

minusminus

= + 1650N

( si considera la forza esterna rarrF ext costante nellrsquointervallo dellrsquoarresto fatto che equivale a dire

che il giocatore si arresta con rarra CDM costante)

Dinamica e statica del corpo esteso Finora abbiamo sempre discusso del moto di un punto materiale (punto rappresentativo dicevamo sempre) In particolare abbiamo sempre applicato le forze a quel punto materiale quindi se diverse forze erano applicate esse concorrevano in quel punto ligrave e con le forze concorrenti sapevamo come calcolare la risultante con il metodo grafico o con quello numerico delle coordinate cartesiane Una volta calcolata la risultante applicata al punto si otteneva un moto di pura traslazione del punto (al massimo traslava lungo una traiettoria curva) senza rotazioni proprie del punto che non hanno neanche senso un punto che ruota su se stesso Come faccio ad accorgermi Un punto per definizione egrave infinitamente piccolo (Dicevamo infine che il punto egrave in equilibrio

traslazionale se la risultante rarrR delle forze applicate egrave nullo)

Consideriamo invece un corpo esteso Prima osservazione questo ha piugrave punti (direi infin ) a

cui la forza puograve essere applicata Prendiamo una racchetta da tennis ed una forza rarrF applicata il

moto che ne risulta dipende dal punto al quale viene applicata la forza rarrF

qui la racchetta trasla

Fig 41

stessa forza qui la racchetta ruota

Fig 42

Seconda osservazione Crsquoegrave un caso in cui le forze non possono essere fatte concorrere in un punto ed egrave quando sono parallele ed hanno rette di applicazione distinte Chiaramente non abbiamo mai dovuto considerare questo caso per il punto materiale percheacute per un punto non possono mai passare due rette parallele Ma per il corpo esteso So benissimo che se sono ferma con la macchina in

panne e la sto spingendo applicando una forza rarrF 1 sono contenta se qualcuno si affianca a me ed

esercitando una forza rarrF 2 lungo una direzione parallela a quella della mia mi aiuta a spingere In

particolare mi viene spontaneo dire che se F1 = F2 allora spingeremo con una forza doppia Ci saragrave quindi un modo per sommare due forze non concorrenti in un punto ma parallele e saragrave Ftot = F1+ F2 La retta di applicazione di Ftot divide il segmento congiungente i punti di applicazione di F1 ed F2 in due segmenti inversamente proporzionali allrsquointensitagrave delle forze F1 e F2 Terza osservazione se F1 = - F2 sono uguali in intensitagrave ma di verso opposto sempre lungo due rette di applicazione parallele passanti per un corpo esteso cosa succede La loro somma Ftot risultante saragrave 0 ma io so che il corpo non sta fermo sotto lrsquoazione di tali due forze ma ruoteragrave Concludo che le nozioni che ho acquisito finora vanno riviste ed ampliate o corrette o specificate per i corpi estesi ed inoltre che mi mancano totalmente i mezzi per descrivere le rotazioni dei corpi estesi Occorrono nuovi concetti nuove quantitagrave la forza non basta Prendo lrsquoesempio piugrave semplice dellrsquoaltalena con due bambini in due bracci uno piugrave leggero uno piugrave pesante

Fig 43 Qualitativamente so che percheacute lrsquoaltalena stia in equilibrio e non ruoti intorno al punto fisso non egrave necessario che i due bambini abbiano lo stesso peso (ugual massa) occorre che il bambino piugrave leggero sieda piugrave lontano rispetto al punto fisso (fulcro) La regola quantitativa dice che lrsquoaltalena egrave in equilibrio se il prodotto del peso per la distanza del fulcro egrave uguale PB dB = Pb

db Per generalizzare questa regola ai casi piugrave complessi occorre definire una nuova quantitagrave il momento di una forza Momento di una forza

Consideriamo una forza rarrF applicata ad un punto P ed un punto O Sia

rarrr

il vettore rarrOP allora il momento

rarrM di

rarrF rispetto ad O egrave

rarrM =

rarrr x

rarrF

e

|rarrr | middot |

rarrF | sin ϑ = |

rarrM |

Fig 44

oppure anche considerando la componente di rarrF perpendicolare ad

rarrr o di

rarrr

perpendicolare a rarrF r e rispetto a F

|rarrM | = |

rarrr | |

rarrF perp | |

rarrM | = |

rarrr perp| |

rarrF |

In generale si dice che il modulo del momento |rarrM | egrave il prodotto delle intensitagrave della forza per la

distanza dal punto della retta di applicazione della forza

Come vettore rarrM egrave perpendicolare al piano che contiene

rarrF ed

rarrr ed ha verso calcolato con la

regola della mano destra (con rarrr che si chiude su

rarrF )

La distanza rperp si chiama braccio della forza Si vede che il momento egrave nullo quando il braccio egrave nullo cioegrave quando il punto O si trova sulla retta di applicazione di F Il momento della forza peso P egrave nullo rispetto al baricentro che coincide con il centro di massa nel caso (praticamenteldquosemprerdquo) in cui il corpo non sia abbastanza esteso percheacute diversi punti del corpo risentano di una forza gravitazione differente Praticamente si deve parlare di galassie percheacute CDM e baricentro (BC) non coincidono Quindi la condizione del momento nullo della forza peso diventa un modo per definire il CDM come quel punto rispetto al quale la forza peso P ha momento nullo Per un corpo ldquoarticolatordquo estendiamo il concetto di forza normale come forza di contatto nellrsquoarticolazione utile cioegrave la forza che lrsquoarticolazione che si sta considerando esercita su quello che nellrsquoarticolazione si appoggia La forza peso P di un corpo esteso puograve immaginarsi applicata al CDM Principio di equilibrio di un corpo esteso

se su un corpo esteso agiscono solo rarr

Peso e rarr

Normale cioegrave se un corpo egrave appoggiato ad un piano orizzontale allora il corpo egrave in equilibrio se e solo se il baricentro si trova sopra la superficie di appoggio

Fig 45

Finchegrave il baricentro egrave sopra il tavolo il libro non cade percheacute rarrP applicata a CDM puograve essere

controbilanciata da rarrN Se CDM si sposta in fuori

rarrN rimane nel tavolo e crsquoegrave momento non nullo

non equilibrato da rarrP che continua ad essere applicato nel CDM

Il baricentro di una persona in posizione eretta si trova nellrsquoarea delimitata dei suoi piedi 3cm davanti allrsquoarticolazione della caviglia

Fig 46 Quando la persona si piega in avanti il baricentro esce dal corpo e per mantenere lrsquoequilibrio egrave necessario che le anche si spingono indietro percheacute il baricentro cade di nuovo in quella posizione Notiamo che anche in posizione eretta essendo la forza peso e la forza di contatto non allineate (quei 3cm) (forza di contatto sullrsquoarticolazione della caviglia che regge il peso) occorre un momento correttivo che impedisca la rotazione in avanti mantenuto dal tendine di Achille che si lega alla caviglia Altro esempio di spostamento del baricentro egrave lrsquoatleta che assume una posizione ad L chi regge il peso egrave lrsquoarticolazione della spalla quindi il CDM si sposta sotto la spalla (giagrave era uscita dal corpo per via delle gambe distese in avanti) Nel camminare il baricentro continua a muoversi da sopra un piede a sopra un altro (quello appoggiato ovviamente) Si osservi lrsquoondeggiamento Per assurdo lrsquoancheggiare delle indossatrici serve a mantenere il baricentro il piugrave possibile fermo rispetto alla direzione media del moto (porre un piede esattamente davanti allrsquoaltro) rendendo piugrave facile muoversi anche con tacchi altissimi Al contrario lrsquoequilibrista che cammina sui trampoli sta fermo il meno possibile percheacute egrave stando fermo che il piccolo spostamento che fa uscire il baricentro (ALTO) dalla superficie drsquoappoggio puograve verificarsi facilmente preferisce il ldquonon ndash equilibriordquo o lrsquo rdquoequilibrio dinamicordquo dellrsquoondeggiare continuamente fra due posizioni di equilibrio

Ricordiamo che un equilibrio egrave detto stabile se quando una perturbazione lo altera spontaneamente il sistema lo ripristina Viceversa un equilibrio egrave instabile se la piugrave piccola perturbazione lo distrugge Lrsquoequilibrio egrave molto stabile se il baricentro egrave basso ed il corpo ha una grande area drsquoappoggio la posizione accucciata del giocatore di football americano dagrave grande stabilitagrave Ancor piugrave grande stabilitagrave si ha se il baricentro (CDM) si trova al di sotto della superficie drsquoappoggio Ersquo come se si fosse ldquoappesirdquo anzicheacute ldquoappoggiatirdquo alla superficie drsquoappoggio Proprio per questo motivo lrsquoequilibrista sul filo porta una lunga asta che spesso si flette agli estremi

Fig 47 Gli uccelli bipedi da 100000000 di anni hanno sviluppato questo adattamento per cui sono appesi alle anche mentre gli uomini bipedi da solo 1000000 di anni fanno fatica con il CDM dalla parte alta del corpo Ersquo un equilibrio instabile ldquosoprardquo le anche che le reggono (65 del peso del corpo) Modificazioni strutturali per reggere la posizione eretta 1) Colonna vertebrale rastremata (piugrave tozza in basso che in alto percheacute piugrave in basso vuol dire una

maggior forza di contatto) 2) Muscoli estensori della schiena 3) Gambe ed anche ingrossate 4) Ginocchio che blocca la gamba estesa Ciononostante si ha spesso il mal di schiena Se una forza ha momento non nullo rispetto ad un punto allora il corpo puograve ruotare intorno a quel punto sotto lrsquoazione di quella forza ldquoDiciamo che se sostengo il corpo per quel punto il corpo puograve ruotare intorno a quel puntordquo (Prendo in mano un foglio di carta per un estremo per esempio) La presenza di un momento non nullo egrave dunque la condizione che genera rotazione e viceversa Lrsquoassenza di un momento risultante egrave la condizione che genera lrsquoequilibrio rotazionale di un corpo esteso Quindi la condizione di equilibrio per un corpo esteso egrave

1) rarrR = 0 risultante delle forze applicate = 0 (equilibrio traslazionale)

2) rarrM = 0 momento risultante = 0 (equilibrio rotazionale)

Supponiamo di avere un corpo esteso al quale siano applicate delle forze che diano luogo ad un momento non nullo allora il corpo ruota Per equilibrarlo dovrograve applicare un altro momento tale che la loro somma sia nulla Questo egrave il principio di funzionamento delle leve LEVE

Una leva egrave un corpo esteso al quale sono applicate delle forze con un momento risultante rarrR

allora per portare il corpo in equilibrio applico un momento correttivo rarrP in modo che il momento

totale sia nullo Si dice in genere potenza (P) e resistenza (R) di una leva Le leve sono macchine semplici Servono per applicare forze in punti scomodi o in direzioni particolari Il fulcro egrave il punto nel quale la leva egrave incernierata Si definisce il guadagno meccanico di una leva

GM =

)(

)(rarr

rarr

PF

RF

cioegrave il rapporto fra la forza che genera il momento resistente e quella che genera il momento agente A seconda che GM sia gt

lt 0 una leva si dice che egrave vantaggiosa o svantaggiosa ma solo per quel che riguarda le forze percheacute per quel che riguarda i lavori non si ha neacute vantaggio neacute svantaggio Il lavoro esercitato dalla forza che dagrave la ldquopotenzardquo e quello esercitato dalla forza che dagrave la ldquoresistenzardquo sono sempre uguali Infatti forze e spostamenti sono inversamente proporzionali Le leve si dicono di I II o III specie a seconda se il fulcro si trovi I) in mezzo fra R e P (leva indifferente GM dipende da caso a caso) II) dalla parte di R (leva vantaggiosa il braccio di R egrave sempre minore del braccio di P basta

quindi una P minore per equilibrare una R maggiore) III) dalla parte di P (leva svantaggiosa) Classici esempi dei tre tipi di leve sono i remi (I) lo schiaccianoci (II) e la pinzetta per francobolli (III) Tuttavia vediamo degli esempi meno classici ma attinenti al campo della biologia e della medicina Criterio generale egrave che le leve vantaggiose consentono di essere molto potenti ma con brevi spostamenti mentre viceversa quelle svantaggiose fanno perdere in potenza ma consentono grandi spostamenti saragrave difficile vedere un cavallo che con le lunghe zampe si scava la tana drsquoaltronde una talpa scava bene la tana ma ha movimenti molto meno ampi che non le consentono di correre veloce come un cavallo (compromesso fra forza e velocitagrave del movimento) Se contiamo tutti i movimenti di rotazione che il corpo puograve compiere capiamo che siamo pieni di leve di ogni tipo Sono classici a) il capo fulcro (articolazione occipito-atlantoide) Fig 48 muscoli della nuca (Potenza) peso del capo (Resistenza) b)

muscolo bicipide (Potenza)

Fig 49 Peso dellrsquoavambraccio (Resistenza) Fulcro (articolazione del gomito) Questa leva permette grandi spostamenti Si vede che la forza operata dal muscolo bicipite egrave massima quando lrsquoavambraccio egrave orizzontale (la distanza dal fulcro egrave massima) ed egrave minima quando lrsquoavambraccio egrave verticale( con la distanza dal fulcro nulla) Attenzione - la colonna vertebrale egrave costituita da 24 vertebre separate da dischi di liquido Quando una

persona si piega la schiena egrave una leva con GM molto piccolo Quindi un piegamento completo per raccogliere un oggetto anche leggero produce una forza molto intensa sul disco lombosacrale che separa lrsquoultima vertebra dellrsquoosso sacro Se indebolito questo disco puograve rompersi o deformarsi comprimendo i nervi vicini e causando grande dolore Vediamo un modello che rende conto come mai questa forza egrave cosigrave grande

Fig 50

I muscoli della schiena esercitano T Con un angolo α = 12deg quando la schiena egrave piegata a 90deg

Peso della parte superiore del corpo (circa il 65 del peso totale)

Fulcro lombosacrale (il fulcro produce R) Essendo α piccolo la retta di azione Τ passa vicino al fulcro e dunque la distanza r che costituisce il suo braccio egrave molto piccola Al contrario il peso egrave perpendicolare alla colonna e il suo punto di applicazione egrave molto piugrave distante dal fulcro Τ deve essere molto grande per equilibrare il momento di P Dunque se T egrave grande anche la sua componente orizzontale egrave grande e di conseguenza anche R che costituisce la reazione dellrsquoosso sacro deve avere componente orizzontale molto grande per equilibrare Τ (uguale ed opposta alla componente orizzontale di Τ ) Facendo i conti si ottengono numeri grandi per 75Kg di peso T ed R sono equivalenti al peso di una massa di 220Kg Senza sollevare pesi solo piegandosi Conviene piegare le ginocchia quando si sollevano pesi - Nel corpo egrave difficile che il peso cada sulla verticale dellrsquoarticolazione che lo sostiene egrave sempre

un porsquo spostato e crsquoegrave un tendine con un muscolo che compensa il momento del peso - La contrazione muscolare egrave una successione di brevi contrazioni delle fibre muscolari stimolate

da impulsi che provengono dal sistema nervoso Contrazioni sono molto ravvicinate e avvengono in tempi differenti nelle diverse parti del muscolo cosigrave che il risultato apparente egrave una lenta e progressiva contrazione Se la frequenza degli impulsi aumenta la tensione cresce finchegrave si raggiunge la tensione massima (ricordare la tensione di un cavo) Un ulteriore aumento della frequenza degli impulsi a questo punto non causa ulteriore aumento della tensione

La tensione massima egrave proporzionale allrsquoarea della sezione trasversa del muscolo nel suo punto piugrave largo La tensione massima dipende anche dalla lunghezza del muscolo che varia Si ottiene tensione massima quando il muscolo egrave solo di poco allungato rispetto alla sua lunghezza di riposo di riposo ed egrave circa 30-40 Ncm2 La tensione massima si riduce moltissimo se il muscolo egrave molto allungato o accorciato Dinamica Rotatoria Fino ad ora abbiamo studiato moti traslatori ma il moto di un corpo rigido egrave in generale roto-traslatorio Naturalmente dobbiamo ridurre il problema complesso ad uno piugrave semplice e per fare ciograve immaginiamo di posizionarci su un sistema di riferimento solidale al corpo rigido i moto immaginiamo cioegrave di ldquosedercirdquo sul corpo rigido In questo modo non saremo piugrave sensibili al moto traslatorio e guardando il corpo rigido osserveremo solo le sue rotazioni Trattiamo allora il moto generico scomponendo la parte traslatoria (giagrave discussa ) da quella rotatoria Se si trascura la parte traslatoria del moto di un corpo rigido quello che rimane da trattare egrave la sua rotazione Nel nostro corso consideriamo le rotazioni che avvengono su un piano le rotazioni nello spazio potranno essere trattate come composizione di rotazioni su un piano Per le rotazioni su un piano si identifica un asse di rotazione perpendicolare al piano di rotazione e passante per il centro di rotazione Le articolazioni del gomito e del ginocchio sono articolazioni libere di ruotare intorno ad un asse a differenza ad esempio di quella della spalla che puograve ruotare intorno a due assi Si definisce spostamento angolare la variazione di una posizione che egrave definita in modo completo da una misura di angolo Una rotazione di un intero corpo rigido egrave definita in modo completo da uno spostamento angolare θfin - θin= ∆θ e si misura in radianti

Fig 51 Dobbiamo definire anche un verso di rotazione θ si incrementa per rotazioni antiorarie positive le rotazioni in senso orario sono invece negative La velocitagrave angolare si definisce analogamente alla velocitagrave lineare come il rapporto tra lo spostamento angolare e il tempo t impiegato per eseguire tale rotazione

ωm = t∆

∆θ e si misura in rad s

θin

θfin ∆θ

R

S

Anche per w si definisce ωist = lim ∆trarr0 t∆

∆θ

Ancora lrsquoaccelerazione angolare si definisce αm = t∆

∆ω e αist = lim ∆trarr0

t∆∆ω

Anche la legge fondamentale della dinamica ha un analogo nel ambito dei moti rotatori Si stabilisce che se ad un corpo rigido egrave soggetto ad un momento torcente diverso da zero esso subisce unrsquoaccelerazione angolare ad esso proporzionale Nel caso delle rotazioni la resistenza al moto egrave espressa dal momento di inerzia I associato al corpo rigido che gioca il ruolo della massa nei moti traslatori La legge della dinamica delle rotazioni egrave M = I middotα

E sostituendo M = Imiddott∆

∆ω= Imiddot

tinfin

∆minusωω

Il momento di inerzia I di un corpo rigido dipende dalla disposizione della massa del corpo rispetto allrsquoasse di rotazione per una massa puntiforme m a distanza R dallrsquoasse di rotazione I= m R2 per un oggetto esteso sommerograve il momento drsquoinerzia delle sue parti I = Σi mi Ri

2 Se si definisce momento angolare L il prodotto del momento drsquoinerzia per la velocitagrave angolare

L=Iω la legge della dinamica diventa

M = t

LL infin

∆minus

Il momento angolare egrave la grandezza fisica che si conserva se non viene applicato momento torcente Tutti i gesti di volo salti lanci tuffihellip sono azioni nelle quali si conserva il momento angolare Infatti in volo agisce solo la forza di gravitagrave che essendo applicata al CDM non genera momento torcente Il corpo umano nei gesti di volo Il corpo umano non egrave rigido e pertanto in volo agendo con i muscoli possiamo cambiare la disposizione del nostro corpo intorno al centro di massa che in volo coincide col centro di rotazione In questo modo si ottiene una variazione del momento di inerzia I e di conseguenza la velocitagrave angolare deve compensare questa variazione in modo che si mantenga costante il momento angolare L (grandezza che si conserva in assenza di momento torcente) Ersquo questo il principio che spiega il realizzarsi delle trottole sul ghiaccio dei salti mortali tuffi con avvitamento e cosigrave via in posizione raccolta I diminuisce e ω aumenta Moto circolare e moto circolare uniforme Per utilizzare le relazioni della cinematica e della dinamica lineare che abbiamo studiato egrave interessante poter passare dalle variabili angolari alle variabili lineari velocitagrave e accelerazione delle

masse in moto rotatorio Se una massa si muove su una traiettoria curva la velocitagrave tangenziale vt diretta come la tangente alla traiettoria dipende dalla velocitagrave angolare ω ( ωm=ϑ t )e dal raggio di curvatura della traiettoria Se la traiettoria egrave una circonferenza di raggio R e se gli angoli sono espressi in radianti lrsquoarco percorso per uno spostamento angolare ϑ egrave S = ϑ sdotR e la velocitagrave lineare tangente vt = St= ϑ sdotRt risulta vt = ωsdotR Se la velocitagrave angolare ω egrave costante il moto egrave detto circolare uniforme La legge oraria egrave quella dei moti uniformi spostamenti angolari uguali in tempi uguali ϑ(t) = ω t Anche la velocitagrave tangente saragrave di intensitagrave costante se ω egrave costante (archi uguali per tempi uguali s(t) = vt (t) ) ma crsquoegrave una accelerazione normale infatti la velocitagrave anche se non cambia in modulo cambia continuamente di direzione Questa accelerazione si dice centripeta egrave diretta normalmente rispetto alla traiettoria verso il centro della circonferenza e vale in modulo

ac=R

v2

Fig 52 Essendo la velocitagrave tangente vt = ωR Lrsquo accelerazione centripeta si puograve scrivere

ac =R

v2

= ω2 R

Il tempo impiegato dal punto a muoversi sulla circonferenza egrave una costante (moto uniforme) T periodo in T viene percorso uno spazio 2π R

v = T

Rπ2

La frequenza f egrave invece il ndeg di giri al secondo

f =T

1

Se si prendono punti diversi sul raggio della circonferenza questi hanno la stessa velocitagrave angolare e velocitagrave tangenziali crescenti al crescere del raggio Esempio carosello dei pattinatori Esercizi

1- un velocista con una velocitagrave di 10 ms viaggia su una curva di raggio 25m ndash accelerazione

a = R

v2

= 25

100 = 4 ms2

2 ndash un velocista con v = 92 ms su una pista circolare con ac = 38 m s2 ndash Raggio della pista Tempo per percorrere un giro completo

a = R

v2

rArr R = a

v2

= 83

)29( 2

= 2227m

T =v

Rπ2 =

29

27222 lowastπ = 152 sec

Forza centripeta forza centrifuga Una forza centripeta egrave una forza di qualunque natura che trattiene un corpo in moto su una traiettoria curvilinea ad esempio circolare In assenza di tale forza il corpo proseguirebbe il suo moto lungo una traiettoria rettilinea Nel gesto del lancio del martello ad esempio il lanciatore che esercita sul peso in cima allrsquoattrezzo una forza mediata dalla tensione dal cavo che lo trattiene nella traiettoria circolare Quando il lanciatore lascia la maniglia il martello viene lanciato lungo la direzione della tangente alla traiettoria nellrsquoistante di rilascio Lrsquointensitagrave della forza centripeta necessaria a mantenere una massa m in moto con velocitagrave tangente v lungo una traiettoria circolare di raggio r si puograve calcolare a partire dallrsquoaccellerazione centripeta secondo la legge fondamentale della dinamica

|rarr

cF | = m | rarr

ca | = m r

v2

Tale forza egrave diretta come lrsquoaccelerazione centripeta e cioegrave verso il centro della circonferenza che costituisce la traiettoria La forza centripeta egrave dunque una forza reale Con lsquoforza centrifugarsquo invece non ci si riferisce ad un forza che agisce su un corpo ma alla situazione apparente cui sembra sottoposto un corpo in moto curvilineo Esso pare tirato o attirato lontano dal centro di rotazione pare ci sia una lsquoforzarsquo che vuole farlo sfuggire Quando viene lasciato il martello si allontana dal centro di rotazione percheacute si muove di moto rettilineo uniforme non essendo piugrave soggetto a forze altre che la forza peso Lrsquoacqua esce dal cestello della lavatrice quando il cestello ruota velocemente (funzione centrifuga) percheacute lrsquoacqua che non costituisce un corpo solo con il cestello bucato non egrave soggetta alla forza centripeta e puograve passare attraverso i buchi I panni invece pure non parte del cestello sono troppo grandi per passare dai buchi si possono solo schiacciare contro le pareti questo schiacciamento sembra il risultato di una forza ma egrave invece il risultato dellrsquoassenza di una forza quella centripeta Una volta lagrave contro il cestello fanno tuttrsquouno con le pareti di metallo che esercitano su di essi la forza centripeta (cioegrave con direzione verso lrsquoasse di rotazione) che li mantiene in rotazione Le parti di un corpo rigido esteso che si muove di moto rotatorio rispetto ad un asse quale ad esempio la gamba di un giocatore di calcio che calcia un pallone sono soggette alla forza centripeta che le mantiene sulla traiettoria curva Tale forza viene trasmessa alle varie parti tramite le forze di tensione che si sviluppano allrsquointerno del corpo stesso ad esempio il piede egrave soggetto alla forza centrifuga tramite lrsquoazione dei legamenti e tendini a livello della caviglia che vengono messi in tensione per trattenere il piede stesso

Fig 34

Fig 35

Fig 36

Osserviamo che il teorema dellrsquoenergia cinetica ha validitagrave generale qualunque siano le forze che agiscono conservative o non conservative (le forze non conservative si dicono anche ldquodissipativerdquo)

KLL

KL

fncfc

tot

∆=+∆=

e ricordando che darr Lfc = - )( fcW∆

Si ottiene che K∆ + )( fcW∆ = Lfnc

Si vede che nel caso in cui Lfnc sia nullo cioegrave quando non ci sono forze dissipative la somma delle variazioni di energia cinetica e energia potenziale egrave uguale a zero cioegrave lrsquoenergia totale meccanica (somma dellrsquoenergia cinetica e potenziale) egrave costante E questo corrisponde al teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica Nel caso ci siano forze dissipative la somma delle energie non egrave costante quindi al contrario del teorema dellrsquoenergia cinetica il teorema della conservazione dellrsquoenergia meccanica non ha validitagrave generale (vale solo in assenza di attriti ad esempio) Le forze non conservative di attrito compiono lavori solo negativi e fanno perdere quantitagrave di energia non recuperabile Parte di questa energia va in generale in calore quindi se ne puograve tenere conto considerando unrsquoaltra forma di energia lrsquoenergia termica ( ci sono anche altri fenomeni dissipativi ad esempio le deformazioni permanenti negli urti o la propagazione di onde sonore)

Lrsquo energia puograve dunque conservarsi o trasferirsi proprietagrave caratterizzanti dellrsquoenergia Il lavoro rende conto del trasferimento di energia della perdita di energia sotto una forma e del guadagno sotto unrsquoaltra forma (cioegrave energia conservativa) o del passaggio dellrsquoenergia da un sistema ad un altro Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica quando egrave applicabile puograve essere sfruttato per risolvere facilmente problemi altrimenti complicati Esercizio Una palla da tennis viene lanciata con velocitagrave iniziale v0 (senza effetti strani taglio etc) al di lagrave della rete Con quale velocitagrave arriva a terra

Se durante il moto Etot si conserva K+W = cost

Fig 37 e W = mgh egrave solo energia potenziale gravitazionale h = 0 alla fine come allrsquoinizio dunque K in = Kfin e vfin = v0 Se la palla egrave lanciata verso lrsquoalto non crsquoegrave componente orizzontale della velocitagrave ma solo verticale al punto piugrave alto di arresto h K(h) = 0 W(h) = max = Kin cioegrave mgh = frac12 mv0

2 si puograve cosigrave calcolare facilmente lrsquoaltezza massima raggiunta h = (frac12 v0

2)g e vicenversa si puograve calcolare il valore della velocitagrave v0 che bisogna imprimere alla palla affinchegrave raggiunga lrsquoaltezza h

v0 = gh2

Esercizio Una saltatrice di massa M = 61Kg salta da un ponte di altezza H = 45m agganciata ad una corda elastica La lunghezza di riposo della corda elastica egrave L = 25m e la sua costante elastica egrave k = 160 Nm Nel punto piugrave basso si arresta prima di venire rimbalzata in alto Qualrsquo egrave lquesta quota piugrave bassa h (a cui si trovano i suoi piedi ai quali egrave legato lrsquoelastico)

Fig 38 Etot = Wgrav + Wel + K = cost sono solo forze conservative vale la conservazione

dellrsquoenergia Nel punto A K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di lanciarsi Wel = 0 percheacute lrsquoelastico non egrave ancora svolto Wgrav = MgH Nel punto B K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di rimbalzare

Wel = frac12 kd2 Wgrav = Mgh = Mg(H-(L+d)) Etot(A) = Etot (B) MgH + 0 + 0 = Mg (H-(L+d)) + frac12 kd2 + 0 MgH = MgH ndash MgL ndash Mgd +frac12 kd2

2

1(160)d2 ndash (61)(98)d ndash (61)(98)(25) = 0

equazione di IIdeg grado che dagrave per d il valore accettabile d = 179m (lrsquoaltro egrave negativo e non egrave accettabile perchegrave non ha senso fisico la

saltatrice va in giugrave non in su) Allora h = H-(L+d) = 45 ndash (25+179) = 45 ndash 429 = 21m quindi con la testa poco sopra lrsquoacqua Sistemi di punti materiali e corpi rigidi ndash Centro di Massa

Un giocoliere o un ginnasta che lancia la clavette fa compiere allrsquoattrezzo movimenti complicati tuttavia crsquoegrave un punto dellrsquoattrezzo che si muove seguendo una traiettoria semplice come quella di un punto materiale ad esempio lanciato segue una traiettoria parabolica Tale punto si chiama centro di massa dellrsquooggetto Il centro di massa puograve essere definito per un oggetto o per un insieme di punti materiali Ersquo importante percheacute in generale il moto di un corpo esteso (o di un insieme di punti) si puograve studiare separando il moto del centro di massa (moto traslatorio) e il moto del corpo attorno al centro di massa (moto rotatorio)

Centro di Massa (CDM) di un sistema di punti - Consideriamo il caso semplice di due punti materiali di massa m1 m2 posti sullrsquoasse x in

posizione x1 x2

Fig 39

la posizione del centro di massa egrave definita xCDM = 21

2211

mm

xmxm

++

a) xCDM egrave compreso fra x1 e x2 b) se m1 = m2 CDM egrave a metagrave strada fra m1 ed m2 c) xCDM egrave piugrave prossimo alla massa maggiore - Nel caso di piugrave punti allineati nelle posizioni xi detto M = summi allora

xCDM = ii xmMsum

1

- Nel caso di punti distribuiti nello spazio detti irrarr

i vettori che identificano le loro posizioni

CDMrrarr

= iii rmM

rarrsum

1

dove CDMrrarr

ha coordinate (xCDM yCDM zCDM) definite come

xCDM = ii xmsumη1

yCDM = ii ymMsum

1

zCDM = ii zmMsum

1

- Consideriamo un oggetto qualsiasi questo egrave composto da un gran numero di particelle ma conviene considerarlo come un continuo di materia e per calcolare il centro di massa si prendono in considerazione degli elementi infinitesimi di massa dm centrati intorno alle posizioni (xyz) allora

xCDM = int xdmM

1 yCDM = int ydm

M

1 zCDM = int zdm

M

1

se si puograve considerare il corpo omogeneo (densitagrave uniforme) allora V

M

dv

dm = e allora si puograve fare il

calcolo considerando il volume V e gli elementi di volume dv anzichegrave la massa e gli elementi di massa

xCDM = int xdvV

1 etc

In un oggetto solido (corpo rigido) i diversi punti materiali che lo compongono non cambiano la loro posizione relativa (non come un corpo elastico) - se un oggetto ha un elemento di simmetria un asse od un piano il CDM si trova su tale

elemento di simmetria (asse per cono centro per sfera piano per una banana etc) Non egrave detto che il CDM di un oggetto appartenga allrsquooggetto vedi uno pneumatico un cerchio Il CDM egrave esterno alloggetto Legge fondamentale della dinamica per un sistema di punti materiali Caso della palla da bigliardo urto fra due palle dopo il lancio di una le due si muovono 1) una egrave ferma (B) lrsquoaltra la lancio (A) 2) le due si urtano in qualunque modo 3) le due si muovono secondo traiettorie differenti una possibilmente andragrave in buca lrsquoaltra no Dopo il lancio sulla palla A non agisce piugrave nessuna forza quindi la sua velocitagrave v egrave costante Va bene ma dopo lrsquourto Il CDM delle due palle continua a muoversi con velocitagrave costante anche se il centro di massa egrave un punto teorico che non appartiene a nessuna delle due palle Tuttavia al CDM possiamo assegnare una massa (M totale del sistema) una velocitagrave ed una accellerazione Si ha

)(CDMext aMFrarrrarr

=sum

a) extFrarr

sum egrave la somma di tutte le forze esterne che agiscono sul sistema non quelle interne (ad esempio nel caso del bigliardo non devo considerare le forze che si applicano fra le due palle quando si urtano)

b) M egrave la massa totale del sistema Si suppone che durante il moto M rimanga costante

c) )(CDMararr

egrave lrsquoaccelerazione del CDM Dellrsquoaccellerazione di un altro punto ad esempio del centro della palla A non si dice nulla

Cosideriamo alcuni esempi 1) Bigliardo tvaF CDMCDMext cos00 ===sum prima dellrsquourto nellrsquourto si verificano solo forze

interne Quindi tvaF CDMCDMext cos00 ===sum dopo lrsquourto e durante tutto il moto

2) Sistema terra-luna sumFext = gravitazione del sole aCDM egrave ldquocentripetardquo accellerazione di una

forza che egrave diretta verso il sole (forza ldquocentralerdquo) egrave il CDM terra-luna che segue la traiettoria dovuta allrsquoattrazione gravitazionale del sole poi terra e luna si muovono intorno al loro CDM

3) Clavette lanciate sum Fext = Mg aCDM = g il centro di massa si comporta come un punto materiale nel lancio

4) La ballerina nel ldquogrand-fetegraverdquo fa seguire a testa e busto una traiettoria rettilinea percheacute modifica lrsquoassetto in modo da alzare il suo CDM Nel corso del salto (alza le braccia e distende

orizzontalmente le gambe non appena lasciato il suolo) il suo CDM segue la traiettoria parabolica del lancio di un corpo soggetto allrsquoaccelerazione di gravitagrave g

Quantitagrave di moto rarrP

- Si definisce quantitagrave di moto di una particella il vettore

rarrrarr= vmP

con m massa della particella e rarrv la sua velocitagrave

Si vede che rarrP egrave diretto come

rarrv

Newton scrisse la legge fondamentale della dinamica in termini di quantitagrave di moto (a differenza di Galileo che la scrisse in termini di massa e di accelerazione) ldquola rapiditagrave di variazione della quantitagrave di moto di una particella egrave proporzionale alla forza netta che agisce sulla particella ed egrave nella direzione di quella forzardquo cioegrave

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

che egrave piugrave generale della formulazione di Galileo perchegrave descrive bene anche il caso in cui variasse la massa del corpo durante il moto (ad esempio un vettore spaziale) Se la massa egrave costante le due formulazioni sono identiche

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

= t

vm

∆∆

rarr)(

= m t

v

∆∆

rarr

= m rarra

Ricordiamo che rarrF egrave diretto come

rarra (o la risultante

rarrR = sum

rarrF )

Per un sistema di punti materiali si definisce la quantitagrave di moto totale

rarrP =

rarrP 1 +

rarrP 2 + helliphellip+

rarrP n =

m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +helliphelliphellip+ mn

rarrv n = M

rarrv CDM (si puograve dimostrare) dove M egrave la massa totale

[essendo infatti Mrarrv CDM =

dt

d(M

rarrr CDM) =

dt

d(m1

rarrr 1 + m2

rarrr 2 +hellip) = m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +

hellip]

quindi rarrP = M

rarrv CDM per un sistema di particelle e

dt

Pdrarr

= M dt

d rarrv CDM = M

rarra CDM = sum

rarrF ext

Conservazione delle quantitagrave di moto

Per un sistema chiuso (M non varia) e isolato (sumrarrF ext = 0)

Allora

t

P

∆∆

rarr

= 0 rarrP = cost

rarrP i =

rarrP f

che sono tre modi equivalenti per dire che la quantitagrave di moto si conserva Vale per un sistema nel quale non agisca nessuna forza esterna netta Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica e la conservazione delle quantitagrave di moto sono due concetti fisici importantissimi Valgono sia per le palle da bigliardo che per qualunque altro sistema anche le galassie nellrsquouniverso Queste equazioni sono vettoriali Ciograve significa che rappresentano una terna di equazioni scalari ognuna valida sul proprio asse del sistema di riferimento (x y z)

Puograve accadere a seconda delle forze che agiscono nel sistema che la quantitagrave di moto si conservi in una direzione o in due e non in tutte e tre

Ad esempio se consideriamo una palla come un insieme di punti materiali la rarrF ext che agisce nel

sistema egrave mrarrg diretta lungo z senza componenti su x e y quindi

rarrP varia lungo z ma

non su x e y

Percheacute ldquocomplicarci la vitardquo con questa storia del CDM del sistema di particelle etchellip non bastava il moto del punto rappresentativo materiale Avevamo giagrave considerato il punto rappresentativo e avevamo svolto anche problemi sulla palla sul bilanciere e per altri oggetti Abbiamo sempre sbagliato La questione egrave se un corpo egrave rigido cioegrave se tutti i suoi punti si muovono mantenendo le loro distanze relative non crsquoegrave problema abbiamo solo visto che il punto materiale rappresentativo si chiama CDM ed abbiamo imparato a situarlo allrsquointerno del corpo Ma se il corpo non egrave rigido cioegrave se il suo CDM si sposta rispetto a lui stesso nel corso del moto la disposizione del corpo intorno al punto rappresentativo varia nel corso del tempo e le leggi di conservazione valgono per il CDM - Consideriamo ad esempio il teorema dellrsquoenergia cinetica che per un punto materiale si scrive Ltot = Kfin-K in = ∆ K (qui ovviamente non crsquoegrave da specificare lavoro delle forzeldquoesternerdquo percheacute essendo in un punto materiale che si assume infinitamente piccolo non ci sono forze ldquointernerdquo) Per analogia il teorema dellrsquoenergia cinetica si estende al caso di un insieme di punti materiali nel seguente modo

Ltot forze ext=rarrF extmiddot

rarrs CDM = ∆ KCDM

Dove s CDM egrave lo spostamento del centro di massa A titolo di esempio risolviamo il problema un giocatore di hockey su ghiaccio di massa M = 110Kg si muove verso la balaustra a bordo campo alla velocitagrave di 3msec Nellrsquoarrestarsi flettendo le braccia il suo CDM si sposta in avanti di 30cm Qual egrave la ∆ K del suo CDM durante la manovra

∆ KCDM = infin CDMCDM mvmv 22

2

1

2

1 minus =

= 0 - 2

1110 32 = -495 J

Fig 40

Sia L il lavoro delle forze esternerarrF ext (dirette come d

rarrx CDM ) allora

L = - Fext 03 = ∆ KCDM quindi

Fext =30

495

minusminus

= + 1650N

( si considera la forza esterna rarrF ext costante nellrsquointervallo dellrsquoarresto fatto che equivale a dire

che il giocatore si arresta con rarra CDM costante)

Dinamica e statica del corpo esteso Finora abbiamo sempre discusso del moto di un punto materiale (punto rappresentativo dicevamo sempre) In particolare abbiamo sempre applicato le forze a quel punto materiale quindi se diverse forze erano applicate esse concorrevano in quel punto ligrave e con le forze concorrenti sapevamo come calcolare la risultante con il metodo grafico o con quello numerico delle coordinate cartesiane Una volta calcolata la risultante applicata al punto si otteneva un moto di pura traslazione del punto (al massimo traslava lungo una traiettoria curva) senza rotazioni proprie del punto che non hanno neanche senso un punto che ruota su se stesso Come faccio ad accorgermi Un punto per definizione egrave infinitamente piccolo (Dicevamo infine che il punto egrave in equilibrio

traslazionale se la risultante rarrR delle forze applicate egrave nullo)

Consideriamo invece un corpo esteso Prima osservazione questo ha piugrave punti (direi infin ) a

cui la forza puograve essere applicata Prendiamo una racchetta da tennis ed una forza rarrF applicata il

moto che ne risulta dipende dal punto al quale viene applicata la forza rarrF

qui la racchetta trasla

Fig 41

stessa forza qui la racchetta ruota

Fig 42

Seconda osservazione Crsquoegrave un caso in cui le forze non possono essere fatte concorrere in un punto ed egrave quando sono parallele ed hanno rette di applicazione distinte Chiaramente non abbiamo mai dovuto considerare questo caso per il punto materiale percheacute per un punto non possono mai passare due rette parallele Ma per il corpo esteso So benissimo che se sono ferma con la macchina in

panne e la sto spingendo applicando una forza rarrF 1 sono contenta se qualcuno si affianca a me ed

esercitando una forza rarrF 2 lungo una direzione parallela a quella della mia mi aiuta a spingere In

particolare mi viene spontaneo dire che se F1 = F2 allora spingeremo con una forza doppia Ci saragrave quindi un modo per sommare due forze non concorrenti in un punto ma parallele e saragrave Ftot = F1+ F2 La retta di applicazione di Ftot divide il segmento congiungente i punti di applicazione di F1 ed F2 in due segmenti inversamente proporzionali allrsquointensitagrave delle forze F1 e F2 Terza osservazione se F1 = - F2 sono uguali in intensitagrave ma di verso opposto sempre lungo due rette di applicazione parallele passanti per un corpo esteso cosa succede La loro somma Ftot risultante saragrave 0 ma io so che il corpo non sta fermo sotto lrsquoazione di tali due forze ma ruoteragrave Concludo che le nozioni che ho acquisito finora vanno riviste ed ampliate o corrette o specificate per i corpi estesi ed inoltre che mi mancano totalmente i mezzi per descrivere le rotazioni dei corpi estesi Occorrono nuovi concetti nuove quantitagrave la forza non basta Prendo lrsquoesempio piugrave semplice dellrsquoaltalena con due bambini in due bracci uno piugrave leggero uno piugrave pesante

Fig 43 Qualitativamente so che percheacute lrsquoaltalena stia in equilibrio e non ruoti intorno al punto fisso non egrave necessario che i due bambini abbiano lo stesso peso (ugual massa) occorre che il bambino piugrave leggero sieda piugrave lontano rispetto al punto fisso (fulcro) La regola quantitativa dice che lrsquoaltalena egrave in equilibrio se il prodotto del peso per la distanza del fulcro egrave uguale PB dB = Pb

db Per generalizzare questa regola ai casi piugrave complessi occorre definire una nuova quantitagrave il momento di una forza Momento di una forza

Consideriamo una forza rarrF applicata ad un punto P ed un punto O Sia

rarrr

il vettore rarrOP allora il momento

rarrM di

rarrF rispetto ad O egrave

rarrM =

rarrr x

rarrF

e

|rarrr | middot |

rarrF | sin ϑ = |

rarrM |

Fig 44

oppure anche considerando la componente di rarrF perpendicolare ad

rarrr o di

rarrr

perpendicolare a rarrF r e rispetto a F

|rarrM | = |

rarrr | |

rarrF perp | |

rarrM | = |

rarrr perp| |

rarrF |

In generale si dice che il modulo del momento |rarrM | egrave il prodotto delle intensitagrave della forza per la

distanza dal punto della retta di applicazione della forza

Come vettore rarrM egrave perpendicolare al piano che contiene

rarrF ed

rarrr ed ha verso calcolato con la

regola della mano destra (con rarrr che si chiude su

rarrF )

La distanza rperp si chiama braccio della forza Si vede che il momento egrave nullo quando il braccio egrave nullo cioegrave quando il punto O si trova sulla retta di applicazione di F Il momento della forza peso P egrave nullo rispetto al baricentro che coincide con il centro di massa nel caso (praticamenteldquosemprerdquo) in cui il corpo non sia abbastanza esteso percheacute diversi punti del corpo risentano di una forza gravitazione differente Praticamente si deve parlare di galassie percheacute CDM e baricentro (BC) non coincidono Quindi la condizione del momento nullo della forza peso diventa un modo per definire il CDM come quel punto rispetto al quale la forza peso P ha momento nullo Per un corpo ldquoarticolatordquo estendiamo il concetto di forza normale come forza di contatto nellrsquoarticolazione utile cioegrave la forza che lrsquoarticolazione che si sta considerando esercita su quello che nellrsquoarticolazione si appoggia La forza peso P di un corpo esteso puograve immaginarsi applicata al CDM Principio di equilibrio di un corpo esteso

se su un corpo esteso agiscono solo rarr

Peso e rarr

Normale cioegrave se un corpo egrave appoggiato ad un piano orizzontale allora il corpo egrave in equilibrio se e solo se il baricentro si trova sopra la superficie di appoggio

Fig 45

Finchegrave il baricentro egrave sopra il tavolo il libro non cade percheacute rarrP applicata a CDM puograve essere

controbilanciata da rarrN Se CDM si sposta in fuori

rarrN rimane nel tavolo e crsquoegrave momento non nullo

non equilibrato da rarrP che continua ad essere applicato nel CDM

Il baricentro di una persona in posizione eretta si trova nellrsquoarea delimitata dei suoi piedi 3cm davanti allrsquoarticolazione della caviglia

Fig 46 Quando la persona si piega in avanti il baricentro esce dal corpo e per mantenere lrsquoequilibrio egrave necessario che le anche si spingono indietro percheacute il baricentro cade di nuovo in quella posizione Notiamo che anche in posizione eretta essendo la forza peso e la forza di contatto non allineate (quei 3cm) (forza di contatto sullrsquoarticolazione della caviglia che regge il peso) occorre un momento correttivo che impedisca la rotazione in avanti mantenuto dal tendine di Achille che si lega alla caviglia Altro esempio di spostamento del baricentro egrave lrsquoatleta che assume una posizione ad L chi regge il peso egrave lrsquoarticolazione della spalla quindi il CDM si sposta sotto la spalla (giagrave era uscita dal corpo per via delle gambe distese in avanti) Nel camminare il baricentro continua a muoversi da sopra un piede a sopra un altro (quello appoggiato ovviamente) Si osservi lrsquoondeggiamento Per assurdo lrsquoancheggiare delle indossatrici serve a mantenere il baricentro il piugrave possibile fermo rispetto alla direzione media del moto (porre un piede esattamente davanti allrsquoaltro) rendendo piugrave facile muoversi anche con tacchi altissimi Al contrario lrsquoequilibrista che cammina sui trampoli sta fermo il meno possibile percheacute egrave stando fermo che il piccolo spostamento che fa uscire il baricentro (ALTO) dalla superficie drsquoappoggio puograve verificarsi facilmente preferisce il ldquonon ndash equilibriordquo o lrsquo rdquoequilibrio dinamicordquo dellrsquoondeggiare continuamente fra due posizioni di equilibrio

Ricordiamo che un equilibrio egrave detto stabile se quando una perturbazione lo altera spontaneamente il sistema lo ripristina Viceversa un equilibrio egrave instabile se la piugrave piccola perturbazione lo distrugge Lrsquoequilibrio egrave molto stabile se il baricentro egrave basso ed il corpo ha una grande area drsquoappoggio la posizione accucciata del giocatore di football americano dagrave grande stabilitagrave Ancor piugrave grande stabilitagrave si ha se il baricentro (CDM) si trova al di sotto della superficie drsquoappoggio Ersquo come se si fosse ldquoappesirdquo anzicheacute ldquoappoggiatirdquo alla superficie drsquoappoggio Proprio per questo motivo lrsquoequilibrista sul filo porta una lunga asta che spesso si flette agli estremi

Fig 47 Gli uccelli bipedi da 100000000 di anni hanno sviluppato questo adattamento per cui sono appesi alle anche mentre gli uomini bipedi da solo 1000000 di anni fanno fatica con il CDM dalla parte alta del corpo Ersquo un equilibrio instabile ldquosoprardquo le anche che le reggono (65 del peso del corpo) Modificazioni strutturali per reggere la posizione eretta 1) Colonna vertebrale rastremata (piugrave tozza in basso che in alto percheacute piugrave in basso vuol dire una

maggior forza di contatto) 2) Muscoli estensori della schiena 3) Gambe ed anche ingrossate 4) Ginocchio che blocca la gamba estesa Ciononostante si ha spesso il mal di schiena Se una forza ha momento non nullo rispetto ad un punto allora il corpo puograve ruotare intorno a quel punto sotto lrsquoazione di quella forza ldquoDiciamo che se sostengo il corpo per quel punto il corpo puograve ruotare intorno a quel puntordquo (Prendo in mano un foglio di carta per un estremo per esempio) La presenza di un momento non nullo egrave dunque la condizione che genera rotazione e viceversa Lrsquoassenza di un momento risultante egrave la condizione che genera lrsquoequilibrio rotazionale di un corpo esteso Quindi la condizione di equilibrio per un corpo esteso egrave

1) rarrR = 0 risultante delle forze applicate = 0 (equilibrio traslazionale)

2) rarrM = 0 momento risultante = 0 (equilibrio rotazionale)

Supponiamo di avere un corpo esteso al quale siano applicate delle forze che diano luogo ad un momento non nullo allora il corpo ruota Per equilibrarlo dovrograve applicare un altro momento tale che la loro somma sia nulla Questo egrave il principio di funzionamento delle leve LEVE

Una leva egrave un corpo esteso al quale sono applicate delle forze con un momento risultante rarrR

allora per portare il corpo in equilibrio applico un momento correttivo rarrP in modo che il momento

totale sia nullo Si dice in genere potenza (P) e resistenza (R) di una leva Le leve sono macchine semplici Servono per applicare forze in punti scomodi o in direzioni particolari Il fulcro egrave il punto nel quale la leva egrave incernierata Si definisce il guadagno meccanico di una leva

GM =

)(

)(rarr

rarr

PF

RF

cioegrave il rapporto fra la forza che genera il momento resistente e quella che genera il momento agente A seconda che GM sia gt

lt 0 una leva si dice che egrave vantaggiosa o svantaggiosa ma solo per quel che riguarda le forze percheacute per quel che riguarda i lavori non si ha neacute vantaggio neacute svantaggio Il lavoro esercitato dalla forza che dagrave la ldquopotenzardquo e quello esercitato dalla forza che dagrave la ldquoresistenzardquo sono sempre uguali Infatti forze e spostamenti sono inversamente proporzionali Le leve si dicono di I II o III specie a seconda se il fulcro si trovi I) in mezzo fra R e P (leva indifferente GM dipende da caso a caso) II) dalla parte di R (leva vantaggiosa il braccio di R egrave sempre minore del braccio di P basta

quindi una P minore per equilibrare una R maggiore) III) dalla parte di P (leva svantaggiosa) Classici esempi dei tre tipi di leve sono i remi (I) lo schiaccianoci (II) e la pinzetta per francobolli (III) Tuttavia vediamo degli esempi meno classici ma attinenti al campo della biologia e della medicina Criterio generale egrave che le leve vantaggiose consentono di essere molto potenti ma con brevi spostamenti mentre viceversa quelle svantaggiose fanno perdere in potenza ma consentono grandi spostamenti saragrave difficile vedere un cavallo che con le lunghe zampe si scava la tana drsquoaltronde una talpa scava bene la tana ma ha movimenti molto meno ampi che non le consentono di correre veloce come un cavallo (compromesso fra forza e velocitagrave del movimento) Se contiamo tutti i movimenti di rotazione che il corpo puograve compiere capiamo che siamo pieni di leve di ogni tipo Sono classici a) il capo fulcro (articolazione occipito-atlantoide) Fig 48 muscoli della nuca (Potenza) peso del capo (Resistenza) b)

muscolo bicipide (Potenza)

Fig 49 Peso dellrsquoavambraccio (Resistenza) Fulcro (articolazione del gomito) Questa leva permette grandi spostamenti Si vede che la forza operata dal muscolo bicipite egrave massima quando lrsquoavambraccio egrave orizzontale (la distanza dal fulcro egrave massima) ed egrave minima quando lrsquoavambraccio egrave verticale( con la distanza dal fulcro nulla) Attenzione - la colonna vertebrale egrave costituita da 24 vertebre separate da dischi di liquido Quando una

persona si piega la schiena egrave una leva con GM molto piccolo Quindi un piegamento completo per raccogliere un oggetto anche leggero produce una forza molto intensa sul disco lombosacrale che separa lrsquoultima vertebra dellrsquoosso sacro Se indebolito questo disco puograve rompersi o deformarsi comprimendo i nervi vicini e causando grande dolore Vediamo un modello che rende conto come mai questa forza egrave cosigrave grande

Fig 50

I muscoli della schiena esercitano T Con un angolo α = 12deg quando la schiena egrave piegata a 90deg

Peso della parte superiore del corpo (circa il 65 del peso totale)

Fulcro lombosacrale (il fulcro produce R) Essendo α piccolo la retta di azione Τ passa vicino al fulcro e dunque la distanza r che costituisce il suo braccio egrave molto piccola Al contrario il peso egrave perpendicolare alla colonna e il suo punto di applicazione egrave molto piugrave distante dal fulcro Τ deve essere molto grande per equilibrare il momento di P Dunque se T egrave grande anche la sua componente orizzontale egrave grande e di conseguenza anche R che costituisce la reazione dellrsquoosso sacro deve avere componente orizzontale molto grande per equilibrare Τ (uguale ed opposta alla componente orizzontale di Τ ) Facendo i conti si ottengono numeri grandi per 75Kg di peso T ed R sono equivalenti al peso di una massa di 220Kg Senza sollevare pesi solo piegandosi Conviene piegare le ginocchia quando si sollevano pesi - Nel corpo egrave difficile che il peso cada sulla verticale dellrsquoarticolazione che lo sostiene egrave sempre

un porsquo spostato e crsquoegrave un tendine con un muscolo che compensa il momento del peso - La contrazione muscolare egrave una successione di brevi contrazioni delle fibre muscolari stimolate

da impulsi che provengono dal sistema nervoso Contrazioni sono molto ravvicinate e avvengono in tempi differenti nelle diverse parti del muscolo cosigrave che il risultato apparente egrave una lenta e progressiva contrazione Se la frequenza degli impulsi aumenta la tensione cresce finchegrave si raggiunge la tensione massima (ricordare la tensione di un cavo) Un ulteriore aumento della frequenza degli impulsi a questo punto non causa ulteriore aumento della tensione

La tensione massima egrave proporzionale allrsquoarea della sezione trasversa del muscolo nel suo punto piugrave largo La tensione massima dipende anche dalla lunghezza del muscolo che varia Si ottiene tensione massima quando il muscolo egrave solo di poco allungato rispetto alla sua lunghezza di riposo di riposo ed egrave circa 30-40 Ncm2 La tensione massima si riduce moltissimo se il muscolo egrave molto allungato o accorciato Dinamica Rotatoria Fino ad ora abbiamo studiato moti traslatori ma il moto di un corpo rigido egrave in generale roto-traslatorio Naturalmente dobbiamo ridurre il problema complesso ad uno piugrave semplice e per fare ciograve immaginiamo di posizionarci su un sistema di riferimento solidale al corpo rigido i moto immaginiamo cioegrave di ldquosedercirdquo sul corpo rigido In questo modo non saremo piugrave sensibili al moto traslatorio e guardando il corpo rigido osserveremo solo le sue rotazioni Trattiamo allora il moto generico scomponendo la parte traslatoria (giagrave discussa ) da quella rotatoria Se si trascura la parte traslatoria del moto di un corpo rigido quello che rimane da trattare egrave la sua rotazione Nel nostro corso consideriamo le rotazioni che avvengono su un piano le rotazioni nello spazio potranno essere trattate come composizione di rotazioni su un piano Per le rotazioni su un piano si identifica un asse di rotazione perpendicolare al piano di rotazione e passante per il centro di rotazione Le articolazioni del gomito e del ginocchio sono articolazioni libere di ruotare intorno ad un asse a differenza ad esempio di quella della spalla che puograve ruotare intorno a due assi Si definisce spostamento angolare la variazione di una posizione che egrave definita in modo completo da una misura di angolo Una rotazione di un intero corpo rigido egrave definita in modo completo da uno spostamento angolare θfin - θin= ∆θ e si misura in radianti

Fig 51 Dobbiamo definire anche un verso di rotazione θ si incrementa per rotazioni antiorarie positive le rotazioni in senso orario sono invece negative La velocitagrave angolare si definisce analogamente alla velocitagrave lineare come il rapporto tra lo spostamento angolare e il tempo t impiegato per eseguire tale rotazione

ωm = t∆

∆θ e si misura in rad s

θin

θfin ∆θ

R

S

Anche per w si definisce ωist = lim ∆trarr0 t∆

∆θ

Ancora lrsquoaccelerazione angolare si definisce αm = t∆

∆ω e αist = lim ∆trarr0

t∆∆ω

Anche la legge fondamentale della dinamica ha un analogo nel ambito dei moti rotatori Si stabilisce che se ad un corpo rigido egrave soggetto ad un momento torcente diverso da zero esso subisce unrsquoaccelerazione angolare ad esso proporzionale Nel caso delle rotazioni la resistenza al moto egrave espressa dal momento di inerzia I associato al corpo rigido che gioca il ruolo della massa nei moti traslatori La legge della dinamica delle rotazioni egrave M = I middotα

E sostituendo M = Imiddott∆

∆ω= Imiddot

tinfin

∆minusωω

Il momento di inerzia I di un corpo rigido dipende dalla disposizione della massa del corpo rispetto allrsquoasse di rotazione per una massa puntiforme m a distanza R dallrsquoasse di rotazione I= m R2 per un oggetto esteso sommerograve il momento drsquoinerzia delle sue parti I = Σi mi Ri

2 Se si definisce momento angolare L il prodotto del momento drsquoinerzia per la velocitagrave angolare

L=Iω la legge della dinamica diventa

M = t

LL infin

∆minus

Il momento angolare egrave la grandezza fisica che si conserva se non viene applicato momento torcente Tutti i gesti di volo salti lanci tuffihellip sono azioni nelle quali si conserva il momento angolare Infatti in volo agisce solo la forza di gravitagrave che essendo applicata al CDM non genera momento torcente Il corpo umano nei gesti di volo Il corpo umano non egrave rigido e pertanto in volo agendo con i muscoli possiamo cambiare la disposizione del nostro corpo intorno al centro di massa che in volo coincide col centro di rotazione In questo modo si ottiene una variazione del momento di inerzia I e di conseguenza la velocitagrave angolare deve compensare questa variazione in modo che si mantenga costante il momento angolare L (grandezza che si conserva in assenza di momento torcente) Ersquo questo il principio che spiega il realizzarsi delle trottole sul ghiaccio dei salti mortali tuffi con avvitamento e cosigrave via in posizione raccolta I diminuisce e ω aumenta Moto circolare e moto circolare uniforme Per utilizzare le relazioni della cinematica e della dinamica lineare che abbiamo studiato egrave interessante poter passare dalle variabili angolari alle variabili lineari velocitagrave e accelerazione delle

masse in moto rotatorio Se una massa si muove su una traiettoria curva la velocitagrave tangenziale vt diretta come la tangente alla traiettoria dipende dalla velocitagrave angolare ω ( ωm=ϑ t )e dal raggio di curvatura della traiettoria Se la traiettoria egrave una circonferenza di raggio R e se gli angoli sono espressi in radianti lrsquoarco percorso per uno spostamento angolare ϑ egrave S = ϑ sdotR e la velocitagrave lineare tangente vt = St= ϑ sdotRt risulta vt = ωsdotR Se la velocitagrave angolare ω egrave costante il moto egrave detto circolare uniforme La legge oraria egrave quella dei moti uniformi spostamenti angolari uguali in tempi uguali ϑ(t) = ω t Anche la velocitagrave tangente saragrave di intensitagrave costante se ω egrave costante (archi uguali per tempi uguali s(t) = vt (t) ) ma crsquoegrave una accelerazione normale infatti la velocitagrave anche se non cambia in modulo cambia continuamente di direzione Questa accelerazione si dice centripeta egrave diretta normalmente rispetto alla traiettoria verso il centro della circonferenza e vale in modulo

ac=R

v2

Fig 52 Essendo la velocitagrave tangente vt = ωR Lrsquo accelerazione centripeta si puograve scrivere

ac =R

v2

= ω2 R

Il tempo impiegato dal punto a muoversi sulla circonferenza egrave una costante (moto uniforme) T periodo in T viene percorso uno spazio 2π R

v = T

Rπ2

La frequenza f egrave invece il ndeg di giri al secondo

f =T

1

Se si prendono punti diversi sul raggio della circonferenza questi hanno la stessa velocitagrave angolare e velocitagrave tangenziali crescenti al crescere del raggio Esempio carosello dei pattinatori Esercizi

1- un velocista con una velocitagrave di 10 ms viaggia su una curva di raggio 25m ndash accelerazione

a = R

v2

= 25

100 = 4 ms2

2 ndash un velocista con v = 92 ms su una pista circolare con ac = 38 m s2 ndash Raggio della pista Tempo per percorrere un giro completo

a = R

v2

rArr R = a

v2

= 83

)29( 2

= 2227m

T =v

Rπ2 =

29

27222 lowastπ = 152 sec

Forza centripeta forza centrifuga Una forza centripeta egrave una forza di qualunque natura che trattiene un corpo in moto su una traiettoria curvilinea ad esempio circolare In assenza di tale forza il corpo proseguirebbe il suo moto lungo una traiettoria rettilinea Nel gesto del lancio del martello ad esempio il lanciatore che esercita sul peso in cima allrsquoattrezzo una forza mediata dalla tensione dal cavo che lo trattiene nella traiettoria circolare Quando il lanciatore lascia la maniglia il martello viene lanciato lungo la direzione della tangente alla traiettoria nellrsquoistante di rilascio Lrsquointensitagrave della forza centripeta necessaria a mantenere una massa m in moto con velocitagrave tangente v lungo una traiettoria circolare di raggio r si puograve calcolare a partire dallrsquoaccellerazione centripeta secondo la legge fondamentale della dinamica

|rarr

cF | = m | rarr

ca | = m r

v2

Tale forza egrave diretta come lrsquoaccelerazione centripeta e cioegrave verso il centro della circonferenza che costituisce la traiettoria La forza centripeta egrave dunque una forza reale Con lsquoforza centrifugarsquo invece non ci si riferisce ad un forza che agisce su un corpo ma alla situazione apparente cui sembra sottoposto un corpo in moto curvilineo Esso pare tirato o attirato lontano dal centro di rotazione pare ci sia una lsquoforzarsquo che vuole farlo sfuggire Quando viene lasciato il martello si allontana dal centro di rotazione percheacute si muove di moto rettilineo uniforme non essendo piugrave soggetto a forze altre che la forza peso Lrsquoacqua esce dal cestello della lavatrice quando il cestello ruota velocemente (funzione centrifuga) percheacute lrsquoacqua che non costituisce un corpo solo con il cestello bucato non egrave soggetta alla forza centripeta e puograve passare attraverso i buchi I panni invece pure non parte del cestello sono troppo grandi per passare dai buchi si possono solo schiacciare contro le pareti questo schiacciamento sembra il risultato di una forza ma egrave invece il risultato dellrsquoassenza di una forza quella centripeta Una volta lagrave contro il cestello fanno tuttrsquouno con le pareti di metallo che esercitano su di essi la forza centripeta (cioegrave con direzione verso lrsquoasse di rotazione) che li mantiene in rotazione Le parti di un corpo rigido esteso che si muove di moto rotatorio rispetto ad un asse quale ad esempio la gamba di un giocatore di calcio che calcia un pallone sono soggette alla forza centripeta che le mantiene sulla traiettoria curva Tale forza viene trasmessa alle varie parti tramite le forze di tensione che si sviluppano allrsquointerno del corpo stesso ad esempio il piede egrave soggetto alla forza centrifuga tramite lrsquoazione dei legamenti e tendini a livello della caviglia che vengono messi in tensione per trattenere il piede stesso

Lrsquo energia puograve dunque conservarsi o trasferirsi proprietagrave caratterizzanti dellrsquoenergia Il lavoro rende conto del trasferimento di energia della perdita di energia sotto una forma e del guadagno sotto unrsquoaltra forma (cioegrave energia conservativa) o del passaggio dellrsquoenergia da un sistema ad un altro Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica quando egrave applicabile puograve essere sfruttato per risolvere facilmente problemi altrimenti complicati Esercizio Una palla da tennis viene lanciata con velocitagrave iniziale v0 (senza effetti strani taglio etc) al di lagrave della rete Con quale velocitagrave arriva a terra

Se durante il moto Etot si conserva K+W = cost

Fig 37 e W = mgh egrave solo energia potenziale gravitazionale h = 0 alla fine come allrsquoinizio dunque K in = Kfin e vfin = v0 Se la palla egrave lanciata verso lrsquoalto non crsquoegrave componente orizzontale della velocitagrave ma solo verticale al punto piugrave alto di arresto h K(h) = 0 W(h) = max = Kin cioegrave mgh = frac12 mv0

2 si puograve cosigrave calcolare facilmente lrsquoaltezza massima raggiunta h = (frac12 v0

2)g e vicenversa si puograve calcolare il valore della velocitagrave v0 che bisogna imprimere alla palla affinchegrave raggiunga lrsquoaltezza h

v0 = gh2

Esercizio Una saltatrice di massa M = 61Kg salta da un ponte di altezza H = 45m agganciata ad una corda elastica La lunghezza di riposo della corda elastica egrave L = 25m e la sua costante elastica egrave k = 160 Nm Nel punto piugrave basso si arresta prima di venire rimbalzata in alto Qualrsquo egrave lquesta quota piugrave bassa h (a cui si trovano i suoi piedi ai quali egrave legato lrsquoelastico)

Fig 38 Etot = Wgrav + Wel + K = cost sono solo forze conservative vale la conservazione

dellrsquoenergia Nel punto A K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di lanciarsi Wel = 0 percheacute lrsquoelastico non egrave ancora svolto Wgrav = MgH Nel punto B K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di rimbalzare

Wel = frac12 kd2 Wgrav = Mgh = Mg(H-(L+d)) Etot(A) = Etot (B) MgH + 0 + 0 = Mg (H-(L+d)) + frac12 kd2 + 0 MgH = MgH ndash MgL ndash Mgd +frac12 kd2

2

1(160)d2 ndash (61)(98)d ndash (61)(98)(25) = 0

equazione di IIdeg grado che dagrave per d il valore accettabile d = 179m (lrsquoaltro egrave negativo e non egrave accettabile perchegrave non ha senso fisico la

saltatrice va in giugrave non in su) Allora h = H-(L+d) = 45 ndash (25+179) = 45 ndash 429 = 21m quindi con la testa poco sopra lrsquoacqua Sistemi di punti materiali e corpi rigidi ndash Centro di Massa

Un giocoliere o un ginnasta che lancia la clavette fa compiere allrsquoattrezzo movimenti complicati tuttavia crsquoegrave un punto dellrsquoattrezzo che si muove seguendo una traiettoria semplice come quella di un punto materiale ad esempio lanciato segue una traiettoria parabolica Tale punto si chiama centro di massa dellrsquooggetto Il centro di massa puograve essere definito per un oggetto o per un insieme di punti materiali Ersquo importante percheacute in generale il moto di un corpo esteso (o di un insieme di punti) si puograve studiare separando il moto del centro di massa (moto traslatorio) e il moto del corpo attorno al centro di massa (moto rotatorio)

Centro di Massa (CDM) di un sistema di punti - Consideriamo il caso semplice di due punti materiali di massa m1 m2 posti sullrsquoasse x in

posizione x1 x2

Fig 39

la posizione del centro di massa egrave definita xCDM = 21

2211

mm

xmxm

++

a) xCDM egrave compreso fra x1 e x2 b) se m1 = m2 CDM egrave a metagrave strada fra m1 ed m2 c) xCDM egrave piugrave prossimo alla massa maggiore - Nel caso di piugrave punti allineati nelle posizioni xi detto M = summi allora

xCDM = ii xmMsum

1

- Nel caso di punti distribuiti nello spazio detti irrarr

i vettori che identificano le loro posizioni

CDMrrarr

= iii rmM

rarrsum

1

dove CDMrrarr

ha coordinate (xCDM yCDM zCDM) definite come

xCDM = ii xmsumη1

yCDM = ii ymMsum

1

zCDM = ii zmMsum

1

- Consideriamo un oggetto qualsiasi questo egrave composto da un gran numero di particelle ma conviene considerarlo come un continuo di materia e per calcolare il centro di massa si prendono in considerazione degli elementi infinitesimi di massa dm centrati intorno alle posizioni (xyz) allora

xCDM = int xdmM

1 yCDM = int ydm

M

1 zCDM = int zdm

M

1

se si puograve considerare il corpo omogeneo (densitagrave uniforme) allora V

M

dv

dm = e allora si puograve fare il

calcolo considerando il volume V e gli elementi di volume dv anzichegrave la massa e gli elementi di massa

xCDM = int xdvV

1 etc

In un oggetto solido (corpo rigido) i diversi punti materiali che lo compongono non cambiano la loro posizione relativa (non come un corpo elastico) - se un oggetto ha un elemento di simmetria un asse od un piano il CDM si trova su tale

elemento di simmetria (asse per cono centro per sfera piano per una banana etc) Non egrave detto che il CDM di un oggetto appartenga allrsquooggetto vedi uno pneumatico un cerchio Il CDM egrave esterno alloggetto Legge fondamentale della dinamica per un sistema di punti materiali Caso della palla da bigliardo urto fra due palle dopo il lancio di una le due si muovono 1) una egrave ferma (B) lrsquoaltra la lancio (A) 2) le due si urtano in qualunque modo 3) le due si muovono secondo traiettorie differenti una possibilmente andragrave in buca lrsquoaltra no Dopo il lancio sulla palla A non agisce piugrave nessuna forza quindi la sua velocitagrave v egrave costante Va bene ma dopo lrsquourto Il CDM delle due palle continua a muoversi con velocitagrave costante anche se il centro di massa egrave un punto teorico che non appartiene a nessuna delle due palle Tuttavia al CDM possiamo assegnare una massa (M totale del sistema) una velocitagrave ed una accellerazione Si ha

)(CDMext aMFrarrrarr

=sum

a) extFrarr

sum egrave la somma di tutte le forze esterne che agiscono sul sistema non quelle interne (ad esempio nel caso del bigliardo non devo considerare le forze che si applicano fra le due palle quando si urtano)

b) M egrave la massa totale del sistema Si suppone che durante il moto M rimanga costante

c) )(CDMararr

egrave lrsquoaccelerazione del CDM Dellrsquoaccellerazione di un altro punto ad esempio del centro della palla A non si dice nulla

Cosideriamo alcuni esempi 1) Bigliardo tvaF CDMCDMext cos00 ===sum prima dellrsquourto nellrsquourto si verificano solo forze

interne Quindi tvaF CDMCDMext cos00 ===sum dopo lrsquourto e durante tutto il moto

2) Sistema terra-luna sumFext = gravitazione del sole aCDM egrave ldquocentripetardquo accellerazione di una

forza che egrave diretta verso il sole (forza ldquocentralerdquo) egrave il CDM terra-luna che segue la traiettoria dovuta allrsquoattrazione gravitazionale del sole poi terra e luna si muovono intorno al loro CDM

3) Clavette lanciate sum Fext = Mg aCDM = g il centro di massa si comporta come un punto materiale nel lancio

4) La ballerina nel ldquogrand-fetegraverdquo fa seguire a testa e busto una traiettoria rettilinea percheacute modifica lrsquoassetto in modo da alzare il suo CDM Nel corso del salto (alza le braccia e distende

orizzontalmente le gambe non appena lasciato il suolo) il suo CDM segue la traiettoria parabolica del lancio di un corpo soggetto allrsquoaccelerazione di gravitagrave g

Quantitagrave di moto rarrP

- Si definisce quantitagrave di moto di una particella il vettore

rarrrarr= vmP

con m massa della particella e rarrv la sua velocitagrave

Si vede che rarrP egrave diretto come

rarrv

Newton scrisse la legge fondamentale della dinamica in termini di quantitagrave di moto (a differenza di Galileo che la scrisse in termini di massa e di accelerazione) ldquola rapiditagrave di variazione della quantitagrave di moto di una particella egrave proporzionale alla forza netta che agisce sulla particella ed egrave nella direzione di quella forzardquo cioegrave

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

che egrave piugrave generale della formulazione di Galileo perchegrave descrive bene anche il caso in cui variasse la massa del corpo durante il moto (ad esempio un vettore spaziale) Se la massa egrave costante le due formulazioni sono identiche

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

= t

vm

∆∆

rarr)(

= m t

v

∆∆

rarr

= m rarra

Ricordiamo che rarrF egrave diretto come

rarra (o la risultante

rarrR = sum

rarrF )

Per un sistema di punti materiali si definisce la quantitagrave di moto totale

rarrP =

rarrP 1 +

rarrP 2 + helliphellip+

rarrP n =

m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +helliphelliphellip+ mn

rarrv n = M

rarrv CDM (si puograve dimostrare) dove M egrave la massa totale

[essendo infatti Mrarrv CDM =

dt

d(M

rarrr CDM) =

dt

d(m1

rarrr 1 + m2

rarrr 2 +hellip) = m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +

hellip]

quindi rarrP = M

rarrv CDM per un sistema di particelle e

dt

Pdrarr

= M dt

d rarrv CDM = M

rarra CDM = sum

rarrF ext

Conservazione delle quantitagrave di moto

Per un sistema chiuso (M non varia) e isolato (sumrarrF ext = 0)

Allora

t

P

∆∆

rarr

= 0 rarrP = cost

rarrP i =

rarrP f

che sono tre modi equivalenti per dire che la quantitagrave di moto si conserva Vale per un sistema nel quale non agisca nessuna forza esterna netta Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica e la conservazione delle quantitagrave di moto sono due concetti fisici importantissimi Valgono sia per le palle da bigliardo che per qualunque altro sistema anche le galassie nellrsquouniverso Queste equazioni sono vettoriali Ciograve significa che rappresentano una terna di equazioni scalari ognuna valida sul proprio asse del sistema di riferimento (x y z)

Puograve accadere a seconda delle forze che agiscono nel sistema che la quantitagrave di moto si conservi in una direzione o in due e non in tutte e tre

Ad esempio se consideriamo una palla come un insieme di punti materiali la rarrF ext che agisce nel

sistema egrave mrarrg diretta lungo z senza componenti su x e y quindi

rarrP varia lungo z ma

non su x e y

Percheacute ldquocomplicarci la vitardquo con questa storia del CDM del sistema di particelle etchellip non bastava il moto del punto rappresentativo materiale Avevamo giagrave considerato il punto rappresentativo e avevamo svolto anche problemi sulla palla sul bilanciere e per altri oggetti Abbiamo sempre sbagliato La questione egrave se un corpo egrave rigido cioegrave se tutti i suoi punti si muovono mantenendo le loro distanze relative non crsquoegrave problema abbiamo solo visto che il punto materiale rappresentativo si chiama CDM ed abbiamo imparato a situarlo allrsquointerno del corpo Ma se il corpo non egrave rigido cioegrave se il suo CDM si sposta rispetto a lui stesso nel corso del moto la disposizione del corpo intorno al punto rappresentativo varia nel corso del tempo e le leggi di conservazione valgono per il CDM - Consideriamo ad esempio il teorema dellrsquoenergia cinetica che per un punto materiale si scrive Ltot = Kfin-K in = ∆ K (qui ovviamente non crsquoegrave da specificare lavoro delle forzeldquoesternerdquo percheacute essendo in un punto materiale che si assume infinitamente piccolo non ci sono forze ldquointernerdquo) Per analogia il teorema dellrsquoenergia cinetica si estende al caso di un insieme di punti materiali nel seguente modo

Ltot forze ext=rarrF extmiddot

rarrs CDM = ∆ KCDM

Dove s CDM egrave lo spostamento del centro di massa A titolo di esempio risolviamo il problema un giocatore di hockey su ghiaccio di massa M = 110Kg si muove verso la balaustra a bordo campo alla velocitagrave di 3msec Nellrsquoarrestarsi flettendo le braccia il suo CDM si sposta in avanti di 30cm Qual egrave la ∆ K del suo CDM durante la manovra

∆ KCDM = infin CDMCDM mvmv 22

2

1

2

1 minus =

= 0 - 2

1110 32 = -495 J

Fig 40

Sia L il lavoro delle forze esternerarrF ext (dirette come d

rarrx CDM ) allora

L = - Fext 03 = ∆ KCDM quindi

Fext =30

495

minusminus

= + 1650N

( si considera la forza esterna rarrF ext costante nellrsquointervallo dellrsquoarresto fatto che equivale a dire

che il giocatore si arresta con rarra CDM costante)

Dinamica e statica del corpo esteso Finora abbiamo sempre discusso del moto di un punto materiale (punto rappresentativo dicevamo sempre) In particolare abbiamo sempre applicato le forze a quel punto materiale quindi se diverse forze erano applicate esse concorrevano in quel punto ligrave e con le forze concorrenti sapevamo come calcolare la risultante con il metodo grafico o con quello numerico delle coordinate cartesiane Una volta calcolata la risultante applicata al punto si otteneva un moto di pura traslazione del punto (al massimo traslava lungo una traiettoria curva) senza rotazioni proprie del punto che non hanno neanche senso un punto che ruota su se stesso Come faccio ad accorgermi Un punto per definizione egrave infinitamente piccolo (Dicevamo infine che il punto egrave in equilibrio

traslazionale se la risultante rarrR delle forze applicate egrave nullo)

Consideriamo invece un corpo esteso Prima osservazione questo ha piugrave punti (direi infin ) a

cui la forza puograve essere applicata Prendiamo una racchetta da tennis ed una forza rarrF applicata il

moto che ne risulta dipende dal punto al quale viene applicata la forza rarrF

qui la racchetta trasla

Fig 41

stessa forza qui la racchetta ruota

Fig 42

Seconda osservazione Crsquoegrave un caso in cui le forze non possono essere fatte concorrere in un punto ed egrave quando sono parallele ed hanno rette di applicazione distinte Chiaramente non abbiamo mai dovuto considerare questo caso per il punto materiale percheacute per un punto non possono mai passare due rette parallele Ma per il corpo esteso So benissimo che se sono ferma con la macchina in

panne e la sto spingendo applicando una forza rarrF 1 sono contenta se qualcuno si affianca a me ed

esercitando una forza rarrF 2 lungo una direzione parallela a quella della mia mi aiuta a spingere In

particolare mi viene spontaneo dire che se F1 = F2 allora spingeremo con una forza doppia Ci saragrave quindi un modo per sommare due forze non concorrenti in un punto ma parallele e saragrave Ftot = F1+ F2 La retta di applicazione di Ftot divide il segmento congiungente i punti di applicazione di F1 ed F2 in due segmenti inversamente proporzionali allrsquointensitagrave delle forze F1 e F2 Terza osservazione se F1 = - F2 sono uguali in intensitagrave ma di verso opposto sempre lungo due rette di applicazione parallele passanti per un corpo esteso cosa succede La loro somma Ftot risultante saragrave 0 ma io so che il corpo non sta fermo sotto lrsquoazione di tali due forze ma ruoteragrave Concludo che le nozioni che ho acquisito finora vanno riviste ed ampliate o corrette o specificate per i corpi estesi ed inoltre che mi mancano totalmente i mezzi per descrivere le rotazioni dei corpi estesi Occorrono nuovi concetti nuove quantitagrave la forza non basta Prendo lrsquoesempio piugrave semplice dellrsquoaltalena con due bambini in due bracci uno piugrave leggero uno piugrave pesante

Fig 43 Qualitativamente so che percheacute lrsquoaltalena stia in equilibrio e non ruoti intorno al punto fisso non egrave necessario che i due bambini abbiano lo stesso peso (ugual massa) occorre che il bambino piugrave leggero sieda piugrave lontano rispetto al punto fisso (fulcro) La regola quantitativa dice che lrsquoaltalena egrave in equilibrio se il prodotto del peso per la distanza del fulcro egrave uguale PB dB = Pb

db Per generalizzare questa regola ai casi piugrave complessi occorre definire una nuova quantitagrave il momento di una forza Momento di una forza

Consideriamo una forza rarrF applicata ad un punto P ed un punto O Sia

rarrr

il vettore rarrOP allora il momento

rarrM di

rarrF rispetto ad O egrave

rarrM =

rarrr x

rarrF

e

|rarrr | middot |

rarrF | sin ϑ = |

rarrM |

Fig 44

oppure anche considerando la componente di rarrF perpendicolare ad

rarrr o di

rarrr

perpendicolare a rarrF r e rispetto a F

|rarrM | = |

rarrr | |

rarrF perp | |

rarrM | = |

rarrr perp| |

rarrF |

In generale si dice che il modulo del momento |rarrM | egrave il prodotto delle intensitagrave della forza per la

distanza dal punto della retta di applicazione della forza

Come vettore rarrM egrave perpendicolare al piano che contiene

rarrF ed

rarrr ed ha verso calcolato con la

regola della mano destra (con rarrr che si chiude su

rarrF )

La distanza rperp si chiama braccio della forza Si vede che il momento egrave nullo quando il braccio egrave nullo cioegrave quando il punto O si trova sulla retta di applicazione di F Il momento della forza peso P egrave nullo rispetto al baricentro che coincide con il centro di massa nel caso (praticamenteldquosemprerdquo) in cui il corpo non sia abbastanza esteso percheacute diversi punti del corpo risentano di una forza gravitazione differente Praticamente si deve parlare di galassie percheacute CDM e baricentro (BC) non coincidono Quindi la condizione del momento nullo della forza peso diventa un modo per definire il CDM come quel punto rispetto al quale la forza peso P ha momento nullo Per un corpo ldquoarticolatordquo estendiamo il concetto di forza normale come forza di contatto nellrsquoarticolazione utile cioegrave la forza che lrsquoarticolazione che si sta considerando esercita su quello che nellrsquoarticolazione si appoggia La forza peso P di un corpo esteso puograve immaginarsi applicata al CDM Principio di equilibrio di un corpo esteso

se su un corpo esteso agiscono solo rarr

Peso e rarr

Normale cioegrave se un corpo egrave appoggiato ad un piano orizzontale allora il corpo egrave in equilibrio se e solo se il baricentro si trova sopra la superficie di appoggio

Fig 45

Finchegrave il baricentro egrave sopra il tavolo il libro non cade percheacute rarrP applicata a CDM puograve essere

controbilanciata da rarrN Se CDM si sposta in fuori

rarrN rimane nel tavolo e crsquoegrave momento non nullo

non equilibrato da rarrP che continua ad essere applicato nel CDM

Il baricentro di una persona in posizione eretta si trova nellrsquoarea delimitata dei suoi piedi 3cm davanti allrsquoarticolazione della caviglia

Fig 46 Quando la persona si piega in avanti il baricentro esce dal corpo e per mantenere lrsquoequilibrio egrave necessario che le anche si spingono indietro percheacute il baricentro cade di nuovo in quella posizione Notiamo che anche in posizione eretta essendo la forza peso e la forza di contatto non allineate (quei 3cm) (forza di contatto sullrsquoarticolazione della caviglia che regge il peso) occorre un momento correttivo che impedisca la rotazione in avanti mantenuto dal tendine di Achille che si lega alla caviglia Altro esempio di spostamento del baricentro egrave lrsquoatleta che assume una posizione ad L chi regge il peso egrave lrsquoarticolazione della spalla quindi il CDM si sposta sotto la spalla (giagrave era uscita dal corpo per via delle gambe distese in avanti) Nel camminare il baricentro continua a muoversi da sopra un piede a sopra un altro (quello appoggiato ovviamente) Si osservi lrsquoondeggiamento Per assurdo lrsquoancheggiare delle indossatrici serve a mantenere il baricentro il piugrave possibile fermo rispetto alla direzione media del moto (porre un piede esattamente davanti allrsquoaltro) rendendo piugrave facile muoversi anche con tacchi altissimi Al contrario lrsquoequilibrista che cammina sui trampoli sta fermo il meno possibile percheacute egrave stando fermo che il piccolo spostamento che fa uscire il baricentro (ALTO) dalla superficie drsquoappoggio puograve verificarsi facilmente preferisce il ldquonon ndash equilibriordquo o lrsquo rdquoequilibrio dinamicordquo dellrsquoondeggiare continuamente fra due posizioni di equilibrio

Ricordiamo che un equilibrio egrave detto stabile se quando una perturbazione lo altera spontaneamente il sistema lo ripristina Viceversa un equilibrio egrave instabile se la piugrave piccola perturbazione lo distrugge Lrsquoequilibrio egrave molto stabile se il baricentro egrave basso ed il corpo ha una grande area drsquoappoggio la posizione accucciata del giocatore di football americano dagrave grande stabilitagrave Ancor piugrave grande stabilitagrave si ha se il baricentro (CDM) si trova al di sotto della superficie drsquoappoggio Ersquo come se si fosse ldquoappesirdquo anzicheacute ldquoappoggiatirdquo alla superficie drsquoappoggio Proprio per questo motivo lrsquoequilibrista sul filo porta una lunga asta che spesso si flette agli estremi

Fig 47 Gli uccelli bipedi da 100000000 di anni hanno sviluppato questo adattamento per cui sono appesi alle anche mentre gli uomini bipedi da solo 1000000 di anni fanno fatica con il CDM dalla parte alta del corpo Ersquo un equilibrio instabile ldquosoprardquo le anche che le reggono (65 del peso del corpo) Modificazioni strutturali per reggere la posizione eretta 1) Colonna vertebrale rastremata (piugrave tozza in basso che in alto percheacute piugrave in basso vuol dire una

maggior forza di contatto) 2) Muscoli estensori della schiena 3) Gambe ed anche ingrossate 4) Ginocchio che blocca la gamba estesa Ciononostante si ha spesso il mal di schiena Se una forza ha momento non nullo rispetto ad un punto allora il corpo puograve ruotare intorno a quel punto sotto lrsquoazione di quella forza ldquoDiciamo che se sostengo il corpo per quel punto il corpo puograve ruotare intorno a quel puntordquo (Prendo in mano un foglio di carta per un estremo per esempio) La presenza di un momento non nullo egrave dunque la condizione che genera rotazione e viceversa Lrsquoassenza di un momento risultante egrave la condizione che genera lrsquoequilibrio rotazionale di un corpo esteso Quindi la condizione di equilibrio per un corpo esteso egrave

1) rarrR = 0 risultante delle forze applicate = 0 (equilibrio traslazionale)

2) rarrM = 0 momento risultante = 0 (equilibrio rotazionale)

Supponiamo di avere un corpo esteso al quale siano applicate delle forze che diano luogo ad un momento non nullo allora il corpo ruota Per equilibrarlo dovrograve applicare un altro momento tale che la loro somma sia nulla Questo egrave il principio di funzionamento delle leve LEVE

Una leva egrave un corpo esteso al quale sono applicate delle forze con un momento risultante rarrR

allora per portare il corpo in equilibrio applico un momento correttivo rarrP in modo che il momento

totale sia nullo Si dice in genere potenza (P) e resistenza (R) di una leva Le leve sono macchine semplici Servono per applicare forze in punti scomodi o in direzioni particolari Il fulcro egrave il punto nel quale la leva egrave incernierata Si definisce il guadagno meccanico di una leva

GM =

)(

)(rarr

rarr

PF

RF

cioegrave il rapporto fra la forza che genera il momento resistente e quella che genera il momento agente A seconda che GM sia gt

lt 0 una leva si dice che egrave vantaggiosa o svantaggiosa ma solo per quel che riguarda le forze percheacute per quel che riguarda i lavori non si ha neacute vantaggio neacute svantaggio Il lavoro esercitato dalla forza che dagrave la ldquopotenzardquo e quello esercitato dalla forza che dagrave la ldquoresistenzardquo sono sempre uguali Infatti forze e spostamenti sono inversamente proporzionali Le leve si dicono di I II o III specie a seconda se il fulcro si trovi I) in mezzo fra R e P (leva indifferente GM dipende da caso a caso) II) dalla parte di R (leva vantaggiosa il braccio di R egrave sempre minore del braccio di P basta

quindi una P minore per equilibrare una R maggiore) III) dalla parte di P (leva svantaggiosa) Classici esempi dei tre tipi di leve sono i remi (I) lo schiaccianoci (II) e la pinzetta per francobolli (III) Tuttavia vediamo degli esempi meno classici ma attinenti al campo della biologia e della medicina Criterio generale egrave che le leve vantaggiose consentono di essere molto potenti ma con brevi spostamenti mentre viceversa quelle svantaggiose fanno perdere in potenza ma consentono grandi spostamenti saragrave difficile vedere un cavallo che con le lunghe zampe si scava la tana drsquoaltronde una talpa scava bene la tana ma ha movimenti molto meno ampi che non le consentono di correre veloce come un cavallo (compromesso fra forza e velocitagrave del movimento) Se contiamo tutti i movimenti di rotazione che il corpo puograve compiere capiamo che siamo pieni di leve di ogni tipo Sono classici a) il capo fulcro (articolazione occipito-atlantoide) Fig 48 muscoli della nuca (Potenza) peso del capo (Resistenza) b)

muscolo bicipide (Potenza)

Fig 49 Peso dellrsquoavambraccio (Resistenza) Fulcro (articolazione del gomito) Questa leva permette grandi spostamenti Si vede che la forza operata dal muscolo bicipite egrave massima quando lrsquoavambraccio egrave orizzontale (la distanza dal fulcro egrave massima) ed egrave minima quando lrsquoavambraccio egrave verticale( con la distanza dal fulcro nulla) Attenzione - la colonna vertebrale egrave costituita da 24 vertebre separate da dischi di liquido Quando una

persona si piega la schiena egrave una leva con GM molto piccolo Quindi un piegamento completo per raccogliere un oggetto anche leggero produce una forza molto intensa sul disco lombosacrale che separa lrsquoultima vertebra dellrsquoosso sacro Se indebolito questo disco puograve rompersi o deformarsi comprimendo i nervi vicini e causando grande dolore Vediamo un modello che rende conto come mai questa forza egrave cosigrave grande

Fig 50

I muscoli della schiena esercitano T Con un angolo α = 12deg quando la schiena egrave piegata a 90deg

Peso della parte superiore del corpo (circa il 65 del peso totale)

Fulcro lombosacrale (il fulcro produce R) Essendo α piccolo la retta di azione Τ passa vicino al fulcro e dunque la distanza r che costituisce il suo braccio egrave molto piccola Al contrario il peso egrave perpendicolare alla colonna e il suo punto di applicazione egrave molto piugrave distante dal fulcro Τ deve essere molto grande per equilibrare il momento di P Dunque se T egrave grande anche la sua componente orizzontale egrave grande e di conseguenza anche R che costituisce la reazione dellrsquoosso sacro deve avere componente orizzontale molto grande per equilibrare Τ (uguale ed opposta alla componente orizzontale di Τ ) Facendo i conti si ottengono numeri grandi per 75Kg di peso T ed R sono equivalenti al peso di una massa di 220Kg Senza sollevare pesi solo piegandosi Conviene piegare le ginocchia quando si sollevano pesi - Nel corpo egrave difficile che il peso cada sulla verticale dellrsquoarticolazione che lo sostiene egrave sempre

un porsquo spostato e crsquoegrave un tendine con un muscolo che compensa il momento del peso - La contrazione muscolare egrave una successione di brevi contrazioni delle fibre muscolari stimolate

da impulsi che provengono dal sistema nervoso Contrazioni sono molto ravvicinate e avvengono in tempi differenti nelle diverse parti del muscolo cosigrave che il risultato apparente egrave una lenta e progressiva contrazione Se la frequenza degli impulsi aumenta la tensione cresce finchegrave si raggiunge la tensione massima (ricordare la tensione di un cavo) Un ulteriore aumento della frequenza degli impulsi a questo punto non causa ulteriore aumento della tensione

La tensione massima egrave proporzionale allrsquoarea della sezione trasversa del muscolo nel suo punto piugrave largo La tensione massima dipende anche dalla lunghezza del muscolo che varia Si ottiene tensione massima quando il muscolo egrave solo di poco allungato rispetto alla sua lunghezza di riposo di riposo ed egrave circa 30-40 Ncm2 La tensione massima si riduce moltissimo se il muscolo egrave molto allungato o accorciato Dinamica Rotatoria Fino ad ora abbiamo studiato moti traslatori ma il moto di un corpo rigido egrave in generale roto-traslatorio Naturalmente dobbiamo ridurre il problema complesso ad uno piugrave semplice e per fare ciograve immaginiamo di posizionarci su un sistema di riferimento solidale al corpo rigido i moto immaginiamo cioegrave di ldquosedercirdquo sul corpo rigido In questo modo non saremo piugrave sensibili al moto traslatorio e guardando il corpo rigido osserveremo solo le sue rotazioni Trattiamo allora il moto generico scomponendo la parte traslatoria (giagrave discussa ) da quella rotatoria Se si trascura la parte traslatoria del moto di un corpo rigido quello che rimane da trattare egrave la sua rotazione Nel nostro corso consideriamo le rotazioni che avvengono su un piano le rotazioni nello spazio potranno essere trattate come composizione di rotazioni su un piano Per le rotazioni su un piano si identifica un asse di rotazione perpendicolare al piano di rotazione e passante per il centro di rotazione Le articolazioni del gomito e del ginocchio sono articolazioni libere di ruotare intorno ad un asse a differenza ad esempio di quella della spalla che puograve ruotare intorno a due assi Si definisce spostamento angolare la variazione di una posizione che egrave definita in modo completo da una misura di angolo Una rotazione di un intero corpo rigido egrave definita in modo completo da uno spostamento angolare θfin - θin= ∆θ e si misura in radianti

Fig 51 Dobbiamo definire anche un verso di rotazione θ si incrementa per rotazioni antiorarie positive le rotazioni in senso orario sono invece negative La velocitagrave angolare si definisce analogamente alla velocitagrave lineare come il rapporto tra lo spostamento angolare e il tempo t impiegato per eseguire tale rotazione

ωm = t∆

∆θ e si misura in rad s

θin

θfin ∆θ

R

S

Anche per w si definisce ωist = lim ∆trarr0 t∆

∆θ

Ancora lrsquoaccelerazione angolare si definisce αm = t∆

∆ω e αist = lim ∆trarr0

t∆∆ω

Anche la legge fondamentale della dinamica ha un analogo nel ambito dei moti rotatori Si stabilisce che se ad un corpo rigido egrave soggetto ad un momento torcente diverso da zero esso subisce unrsquoaccelerazione angolare ad esso proporzionale Nel caso delle rotazioni la resistenza al moto egrave espressa dal momento di inerzia I associato al corpo rigido che gioca il ruolo della massa nei moti traslatori La legge della dinamica delle rotazioni egrave M = I middotα

E sostituendo M = Imiddott∆

∆ω= Imiddot

tinfin

∆minusωω

Il momento di inerzia I di un corpo rigido dipende dalla disposizione della massa del corpo rispetto allrsquoasse di rotazione per una massa puntiforme m a distanza R dallrsquoasse di rotazione I= m R2 per un oggetto esteso sommerograve il momento drsquoinerzia delle sue parti I = Σi mi Ri

2 Se si definisce momento angolare L il prodotto del momento drsquoinerzia per la velocitagrave angolare

L=Iω la legge della dinamica diventa

M = t

LL infin

∆minus

Il momento angolare egrave la grandezza fisica che si conserva se non viene applicato momento torcente Tutti i gesti di volo salti lanci tuffihellip sono azioni nelle quali si conserva il momento angolare Infatti in volo agisce solo la forza di gravitagrave che essendo applicata al CDM non genera momento torcente Il corpo umano nei gesti di volo Il corpo umano non egrave rigido e pertanto in volo agendo con i muscoli possiamo cambiare la disposizione del nostro corpo intorno al centro di massa che in volo coincide col centro di rotazione In questo modo si ottiene una variazione del momento di inerzia I e di conseguenza la velocitagrave angolare deve compensare questa variazione in modo che si mantenga costante il momento angolare L (grandezza che si conserva in assenza di momento torcente) Ersquo questo il principio che spiega il realizzarsi delle trottole sul ghiaccio dei salti mortali tuffi con avvitamento e cosigrave via in posizione raccolta I diminuisce e ω aumenta Moto circolare e moto circolare uniforme Per utilizzare le relazioni della cinematica e della dinamica lineare che abbiamo studiato egrave interessante poter passare dalle variabili angolari alle variabili lineari velocitagrave e accelerazione delle

masse in moto rotatorio Se una massa si muove su una traiettoria curva la velocitagrave tangenziale vt diretta come la tangente alla traiettoria dipende dalla velocitagrave angolare ω ( ωm=ϑ t )e dal raggio di curvatura della traiettoria Se la traiettoria egrave una circonferenza di raggio R e se gli angoli sono espressi in radianti lrsquoarco percorso per uno spostamento angolare ϑ egrave S = ϑ sdotR e la velocitagrave lineare tangente vt = St= ϑ sdotRt risulta vt = ωsdotR Se la velocitagrave angolare ω egrave costante il moto egrave detto circolare uniforme La legge oraria egrave quella dei moti uniformi spostamenti angolari uguali in tempi uguali ϑ(t) = ω t Anche la velocitagrave tangente saragrave di intensitagrave costante se ω egrave costante (archi uguali per tempi uguali s(t) = vt (t) ) ma crsquoegrave una accelerazione normale infatti la velocitagrave anche se non cambia in modulo cambia continuamente di direzione Questa accelerazione si dice centripeta egrave diretta normalmente rispetto alla traiettoria verso il centro della circonferenza e vale in modulo

ac=R

v2

Fig 52 Essendo la velocitagrave tangente vt = ωR Lrsquo accelerazione centripeta si puograve scrivere

ac =R

v2

= ω2 R

Il tempo impiegato dal punto a muoversi sulla circonferenza egrave una costante (moto uniforme) T periodo in T viene percorso uno spazio 2π R

v = T

Rπ2

La frequenza f egrave invece il ndeg di giri al secondo

f =T

1

Se si prendono punti diversi sul raggio della circonferenza questi hanno la stessa velocitagrave angolare e velocitagrave tangenziali crescenti al crescere del raggio Esempio carosello dei pattinatori Esercizi

1- un velocista con una velocitagrave di 10 ms viaggia su una curva di raggio 25m ndash accelerazione

a = R

v2

= 25

100 = 4 ms2

2 ndash un velocista con v = 92 ms su una pista circolare con ac = 38 m s2 ndash Raggio della pista Tempo per percorrere un giro completo

a = R

v2

rArr R = a

v2

= 83

)29( 2

= 2227m

T =v

Rπ2 =

29

27222 lowastπ = 152 sec

Forza centripeta forza centrifuga Una forza centripeta egrave una forza di qualunque natura che trattiene un corpo in moto su una traiettoria curvilinea ad esempio circolare In assenza di tale forza il corpo proseguirebbe il suo moto lungo una traiettoria rettilinea Nel gesto del lancio del martello ad esempio il lanciatore che esercita sul peso in cima allrsquoattrezzo una forza mediata dalla tensione dal cavo che lo trattiene nella traiettoria circolare Quando il lanciatore lascia la maniglia il martello viene lanciato lungo la direzione della tangente alla traiettoria nellrsquoistante di rilascio Lrsquointensitagrave della forza centripeta necessaria a mantenere una massa m in moto con velocitagrave tangente v lungo una traiettoria circolare di raggio r si puograve calcolare a partire dallrsquoaccellerazione centripeta secondo la legge fondamentale della dinamica

|rarr

cF | = m | rarr

ca | = m r

v2

Tale forza egrave diretta come lrsquoaccelerazione centripeta e cioegrave verso il centro della circonferenza che costituisce la traiettoria La forza centripeta egrave dunque una forza reale Con lsquoforza centrifugarsquo invece non ci si riferisce ad un forza che agisce su un corpo ma alla situazione apparente cui sembra sottoposto un corpo in moto curvilineo Esso pare tirato o attirato lontano dal centro di rotazione pare ci sia una lsquoforzarsquo che vuole farlo sfuggire Quando viene lasciato il martello si allontana dal centro di rotazione percheacute si muove di moto rettilineo uniforme non essendo piugrave soggetto a forze altre che la forza peso Lrsquoacqua esce dal cestello della lavatrice quando il cestello ruota velocemente (funzione centrifuga) percheacute lrsquoacqua che non costituisce un corpo solo con il cestello bucato non egrave soggetta alla forza centripeta e puograve passare attraverso i buchi I panni invece pure non parte del cestello sono troppo grandi per passare dai buchi si possono solo schiacciare contro le pareti questo schiacciamento sembra il risultato di una forza ma egrave invece il risultato dellrsquoassenza di una forza quella centripeta Una volta lagrave contro il cestello fanno tuttrsquouno con le pareti di metallo che esercitano su di essi la forza centripeta (cioegrave con direzione verso lrsquoasse di rotazione) che li mantiene in rotazione Le parti di un corpo rigido esteso che si muove di moto rotatorio rispetto ad un asse quale ad esempio la gamba di un giocatore di calcio che calcia un pallone sono soggette alla forza centripeta che le mantiene sulla traiettoria curva Tale forza viene trasmessa alle varie parti tramite le forze di tensione che si sviluppano allrsquointerno del corpo stesso ad esempio il piede egrave soggetto alla forza centrifuga tramite lrsquoazione dei legamenti e tendini a livello della caviglia che vengono messi in tensione per trattenere il piede stesso

Fig 38 Etot = Wgrav + Wel + K = cost sono solo forze conservative vale la conservazione

dellrsquoenergia Nel punto A K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di lanciarsi Wel = 0 percheacute lrsquoelastico non egrave ancora svolto Wgrav = MgH Nel punto B K = 0 percheacute la saltatrice egrave ferma prima di rimbalzare

Wel = frac12 kd2 Wgrav = Mgh = Mg(H-(L+d)) Etot(A) = Etot (B) MgH + 0 + 0 = Mg (H-(L+d)) + frac12 kd2 + 0 MgH = MgH ndash MgL ndash Mgd +frac12 kd2

2

1(160)d2 ndash (61)(98)d ndash (61)(98)(25) = 0

equazione di IIdeg grado che dagrave per d il valore accettabile d = 179m (lrsquoaltro egrave negativo e non egrave accettabile perchegrave non ha senso fisico la

saltatrice va in giugrave non in su) Allora h = H-(L+d) = 45 ndash (25+179) = 45 ndash 429 = 21m quindi con la testa poco sopra lrsquoacqua Sistemi di punti materiali e corpi rigidi ndash Centro di Massa

Un giocoliere o un ginnasta che lancia la clavette fa compiere allrsquoattrezzo movimenti complicati tuttavia crsquoegrave un punto dellrsquoattrezzo che si muove seguendo una traiettoria semplice come quella di un punto materiale ad esempio lanciato segue una traiettoria parabolica Tale punto si chiama centro di massa dellrsquooggetto Il centro di massa puograve essere definito per un oggetto o per un insieme di punti materiali Ersquo importante percheacute in generale il moto di un corpo esteso (o di un insieme di punti) si puograve studiare separando il moto del centro di massa (moto traslatorio) e il moto del corpo attorno al centro di massa (moto rotatorio)

Centro di Massa (CDM) di un sistema di punti - Consideriamo il caso semplice di due punti materiali di massa m1 m2 posti sullrsquoasse x in

posizione x1 x2

Fig 39

la posizione del centro di massa egrave definita xCDM = 21

2211

mm

xmxm

++

a) xCDM egrave compreso fra x1 e x2 b) se m1 = m2 CDM egrave a metagrave strada fra m1 ed m2 c) xCDM egrave piugrave prossimo alla massa maggiore - Nel caso di piugrave punti allineati nelle posizioni xi detto M = summi allora

xCDM = ii xmMsum

1

- Nel caso di punti distribuiti nello spazio detti irrarr

i vettori che identificano le loro posizioni

CDMrrarr

= iii rmM

rarrsum

1

dove CDMrrarr

ha coordinate (xCDM yCDM zCDM) definite come

xCDM = ii xmsumη1

yCDM = ii ymMsum

1

zCDM = ii zmMsum

1

- Consideriamo un oggetto qualsiasi questo egrave composto da un gran numero di particelle ma conviene considerarlo come un continuo di materia e per calcolare il centro di massa si prendono in considerazione degli elementi infinitesimi di massa dm centrati intorno alle posizioni (xyz) allora

xCDM = int xdmM

1 yCDM = int ydm

M

1 zCDM = int zdm

M

1

se si puograve considerare il corpo omogeneo (densitagrave uniforme) allora V

M

dv

dm = e allora si puograve fare il

calcolo considerando il volume V e gli elementi di volume dv anzichegrave la massa e gli elementi di massa

xCDM = int xdvV

1 etc

In un oggetto solido (corpo rigido) i diversi punti materiali che lo compongono non cambiano la loro posizione relativa (non come un corpo elastico) - se un oggetto ha un elemento di simmetria un asse od un piano il CDM si trova su tale

elemento di simmetria (asse per cono centro per sfera piano per una banana etc) Non egrave detto che il CDM di un oggetto appartenga allrsquooggetto vedi uno pneumatico un cerchio Il CDM egrave esterno alloggetto Legge fondamentale della dinamica per un sistema di punti materiali Caso della palla da bigliardo urto fra due palle dopo il lancio di una le due si muovono 1) una egrave ferma (B) lrsquoaltra la lancio (A) 2) le due si urtano in qualunque modo 3) le due si muovono secondo traiettorie differenti una possibilmente andragrave in buca lrsquoaltra no Dopo il lancio sulla palla A non agisce piugrave nessuna forza quindi la sua velocitagrave v egrave costante Va bene ma dopo lrsquourto Il CDM delle due palle continua a muoversi con velocitagrave costante anche se il centro di massa egrave un punto teorico che non appartiene a nessuna delle due palle Tuttavia al CDM possiamo assegnare una massa (M totale del sistema) una velocitagrave ed una accellerazione Si ha

)(CDMext aMFrarrrarr

=sum

a) extFrarr

sum egrave la somma di tutte le forze esterne che agiscono sul sistema non quelle interne (ad esempio nel caso del bigliardo non devo considerare le forze che si applicano fra le due palle quando si urtano)

b) M egrave la massa totale del sistema Si suppone che durante il moto M rimanga costante

c) )(CDMararr

egrave lrsquoaccelerazione del CDM Dellrsquoaccellerazione di un altro punto ad esempio del centro della palla A non si dice nulla

Cosideriamo alcuni esempi 1) Bigliardo tvaF CDMCDMext cos00 ===sum prima dellrsquourto nellrsquourto si verificano solo forze

interne Quindi tvaF CDMCDMext cos00 ===sum dopo lrsquourto e durante tutto il moto

2) Sistema terra-luna sumFext = gravitazione del sole aCDM egrave ldquocentripetardquo accellerazione di una

forza che egrave diretta verso il sole (forza ldquocentralerdquo) egrave il CDM terra-luna che segue la traiettoria dovuta allrsquoattrazione gravitazionale del sole poi terra e luna si muovono intorno al loro CDM

3) Clavette lanciate sum Fext = Mg aCDM = g il centro di massa si comporta come un punto materiale nel lancio

4) La ballerina nel ldquogrand-fetegraverdquo fa seguire a testa e busto una traiettoria rettilinea percheacute modifica lrsquoassetto in modo da alzare il suo CDM Nel corso del salto (alza le braccia e distende

orizzontalmente le gambe non appena lasciato il suolo) il suo CDM segue la traiettoria parabolica del lancio di un corpo soggetto allrsquoaccelerazione di gravitagrave g

Quantitagrave di moto rarrP

- Si definisce quantitagrave di moto di una particella il vettore

rarrrarr= vmP

con m massa della particella e rarrv la sua velocitagrave

Si vede che rarrP egrave diretto come

rarrv

Newton scrisse la legge fondamentale della dinamica in termini di quantitagrave di moto (a differenza di Galileo che la scrisse in termini di massa e di accelerazione) ldquola rapiditagrave di variazione della quantitagrave di moto di una particella egrave proporzionale alla forza netta che agisce sulla particella ed egrave nella direzione di quella forzardquo cioegrave

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

che egrave piugrave generale della formulazione di Galileo perchegrave descrive bene anche il caso in cui variasse la massa del corpo durante il moto (ad esempio un vettore spaziale) Se la massa egrave costante le due formulazioni sono identiche

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

= t

vm

∆∆

rarr)(

= m t

v

∆∆

rarr

= m rarra

Ricordiamo che rarrF egrave diretto come

rarra (o la risultante

rarrR = sum

rarrF )

Per un sistema di punti materiali si definisce la quantitagrave di moto totale

rarrP =

rarrP 1 +

rarrP 2 + helliphellip+

rarrP n =

m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +helliphelliphellip+ mn

rarrv n = M

rarrv CDM (si puograve dimostrare) dove M egrave la massa totale

[essendo infatti Mrarrv CDM =

dt

d(M

rarrr CDM) =

dt

d(m1

rarrr 1 + m2

rarrr 2 +hellip) = m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +

hellip]

quindi rarrP = M

rarrv CDM per un sistema di particelle e

dt

Pdrarr

= M dt

d rarrv CDM = M

rarra CDM = sum

rarrF ext

Conservazione delle quantitagrave di moto

Per un sistema chiuso (M non varia) e isolato (sumrarrF ext = 0)

Allora

t

P

∆∆

rarr

= 0 rarrP = cost

rarrP i =

rarrP f

che sono tre modi equivalenti per dire che la quantitagrave di moto si conserva Vale per un sistema nel quale non agisca nessuna forza esterna netta Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica e la conservazione delle quantitagrave di moto sono due concetti fisici importantissimi Valgono sia per le palle da bigliardo che per qualunque altro sistema anche le galassie nellrsquouniverso Queste equazioni sono vettoriali Ciograve significa che rappresentano una terna di equazioni scalari ognuna valida sul proprio asse del sistema di riferimento (x y z)

Puograve accadere a seconda delle forze che agiscono nel sistema che la quantitagrave di moto si conservi in una direzione o in due e non in tutte e tre

Ad esempio se consideriamo una palla come un insieme di punti materiali la rarrF ext che agisce nel

sistema egrave mrarrg diretta lungo z senza componenti su x e y quindi

rarrP varia lungo z ma

non su x e y

Percheacute ldquocomplicarci la vitardquo con questa storia del CDM del sistema di particelle etchellip non bastava il moto del punto rappresentativo materiale Avevamo giagrave considerato il punto rappresentativo e avevamo svolto anche problemi sulla palla sul bilanciere e per altri oggetti Abbiamo sempre sbagliato La questione egrave se un corpo egrave rigido cioegrave se tutti i suoi punti si muovono mantenendo le loro distanze relative non crsquoegrave problema abbiamo solo visto che il punto materiale rappresentativo si chiama CDM ed abbiamo imparato a situarlo allrsquointerno del corpo Ma se il corpo non egrave rigido cioegrave se il suo CDM si sposta rispetto a lui stesso nel corso del moto la disposizione del corpo intorno al punto rappresentativo varia nel corso del tempo e le leggi di conservazione valgono per il CDM - Consideriamo ad esempio il teorema dellrsquoenergia cinetica che per un punto materiale si scrive Ltot = Kfin-K in = ∆ K (qui ovviamente non crsquoegrave da specificare lavoro delle forzeldquoesternerdquo percheacute essendo in un punto materiale che si assume infinitamente piccolo non ci sono forze ldquointernerdquo) Per analogia il teorema dellrsquoenergia cinetica si estende al caso di un insieme di punti materiali nel seguente modo

Ltot forze ext=rarrF extmiddot

rarrs CDM = ∆ KCDM

Dove s CDM egrave lo spostamento del centro di massa A titolo di esempio risolviamo il problema un giocatore di hockey su ghiaccio di massa M = 110Kg si muove verso la balaustra a bordo campo alla velocitagrave di 3msec Nellrsquoarrestarsi flettendo le braccia il suo CDM si sposta in avanti di 30cm Qual egrave la ∆ K del suo CDM durante la manovra

∆ KCDM = infin CDMCDM mvmv 22

2

1

2

1 minus =

= 0 - 2

1110 32 = -495 J

Fig 40

Sia L il lavoro delle forze esternerarrF ext (dirette come d

rarrx CDM ) allora

L = - Fext 03 = ∆ KCDM quindi

Fext =30

495

minusminus

= + 1650N

( si considera la forza esterna rarrF ext costante nellrsquointervallo dellrsquoarresto fatto che equivale a dire

che il giocatore si arresta con rarra CDM costante)

Dinamica e statica del corpo esteso Finora abbiamo sempre discusso del moto di un punto materiale (punto rappresentativo dicevamo sempre) In particolare abbiamo sempre applicato le forze a quel punto materiale quindi se diverse forze erano applicate esse concorrevano in quel punto ligrave e con le forze concorrenti sapevamo come calcolare la risultante con il metodo grafico o con quello numerico delle coordinate cartesiane Una volta calcolata la risultante applicata al punto si otteneva un moto di pura traslazione del punto (al massimo traslava lungo una traiettoria curva) senza rotazioni proprie del punto che non hanno neanche senso un punto che ruota su se stesso Come faccio ad accorgermi Un punto per definizione egrave infinitamente piccolo (Dicevamo infine che il punto egrave in equilibrio

traslazionale se la risultante rarrR delle forze applicate egrave nullo)

Consideriamo invece un corpo esteso Prima osservazione questo ha piugrave punti (direi infin ) a

cui la forza puograve essere applicata Prendiamo una racchetta da tennis ed una forza rarrF applicata il

moto che ne risulta dipende dal punto al quale viene applicata la forza rarrF

qui la racchetta trasla

Fig 41

stessa forza qui la racchetta ruota

Fig 42

Seconda osservazione Crsquoegrave un caso in cui le forze non possono essere fatte concorrere in un punto ed egrave quando sono parallele ed hanno rette di applicazione distinte Chiaramente non abbiamo mai dovuto considerare questo caso per il punto materiale percheacute per un punto non possono mai passare due rette parallele Ma per il corpo esteso So benissimo che se sono ferma con la macchina in

panne e la sto spingendo applicando una forza rarrF 1 sono contenta se qualcuno si affianca a me ed

esercitando una forza rarrF 2 lungo una direzione parallela a quella della mia mi aiuta a spingere In

particolare mi viene spontaneo dire che se F1 = F2 allora spingeremo con una forza doppia Ci saragrave quindi un modo per sommare due forze non concorrenti in un punto ma parallele e saragrave Ftot = F1+ F2 La retta di applicazione di Ftot divide il segmento congiungente i punti di applicazione di F1 ed F2 in due segmenti inversamente proporzionali allrsquointensitagrave delle forze F1 e F2 Terza osservazione se F1 = - F2 sono uguali in intensitagrave ma di verso opposto sempre lungo due rette di applicazione parallele passanti per un corpo esteso cosa succede La loro somma Ftot risultante saragrave 0 ma io so che il corpo non sta fermo sotto lrsquoazione di tali due forze ma ruoteragrave Concludo che le nozioni che ho acquisito finora vanno riviste ed ampliate o corrette o specificate per i corpi estesi ed inoltre che mi mancano totalmente i mezzi per descrivere le rotazioni dei corpi estesi Occorrono nuovi concetti nuove quantitagrave la forza non basta Prendo lrsquoesempio piugrave semplice dellrsquoaltalena con due bambini in due bracci uno piugrave leggero uno piugrave pesante

Fig 43 Qualitativamente so che percheacute lrsquoaltalena stia in equilibrio e non ruoti intorno al punto fisso non egrave necessario che i due bambini abbiano lo stesso peso (ugual massa) occorre che il bambino piugrave leggero sieda piugrave lontano rispetto al punto fisso (fulcro) La regola quantitativa dice che lrsquoaltalena egrave in equilibrio se il prodotto del peso per la distanza del fulcro egrave uguale PB dB = Pb

db Per generalizzare questa regola ai casi piugrave complessi occorre definire una nuova quantitagrave il momento di una forza Momento di una forza

Consideriamo una forza rarrF applicata ad un punto P ed un punto O Sia

rarrr

il vettore rarrOP allora il momento

rarrM di

rarrF rispetto ad O egrave

rarrM =

rarrr x

rarrF

e

|rarrr | middot |

rarrF | sin ϑ = |

rarrM |

Fig 44

oppure anche considerando la componente di rarrF perpendicolare ad

rarrr o di

rarrr

perpendicolare a rarrF r e rispetto a F

|rarrM | = |

rarrr | |

rarrF perp | |

rarrM | = |

rarrr perp| |

rarrF |

In generale si dice che il modulo del momento |rarrM | egrave il prodotto delle intensitagrave della forza per la

distanza dal punto della retta di applicazione della forza

Come vettore rarrM egrave perpendicolare al piano che contiene

rarrF ed

rarrr ed ha verso calcolato con la

regola della mano destra (con rarrr che si chiude su

rarrF )

La distanza rperp si chiama braccio della forza Si vede che il momento egrave nullo quando il braccio egrave nullo cioegrave quando il punto O si trova sulla retta di applicazione di F Il momento della forza peso P egrave nullo rispetto al baricentro che coincide con il centro di massa nel caso (praticamenteldquosemprerdquo) in cui il corpo non sia abbastanza esteso percheacute diversi punti del corpo risentano di una forza gravitazione differente Praticamente si deve parlare di galassie percheacute CDM e baricentro (BC) non coincidono Quindi la condizione del momento nullo della forza peso diventa un modo per definire il CDM come quel punto rispetto al quale la forza peso P ha momento nullo Per un corpo ldquoarticolatordquo estendiamo il concetto di forza normale come forza di contatto nellrsquoarticolazione utile cioegrave la forza che lrsquoarticolazione che si sta considerando esercita su quello che nellrsquoarticolazione si appoggia La forza peso P di un corpo esteso puograve immaginarsi applicata al CDM Principio di equilibrio di un corpo esteso

se su un corpo esteso agiscono solo rarr

Peso e rarr

Normale cioegrave se un corpo egrave appoggiato ad un piano orizzontale allora il corpo egrave in equilibrio se e solo se il baricentro si trova sopra la superficie di appoggio

Fig 45

Finchegrave il baricentro egrave sopra il tavolo il libro non cade percheacute rarrP applicata a CDM puograve essere

controbilanciata da rarrN Se CDM si sposta in fuori

rarrN rimane nel tavolo e crsquoegrave momento non nullo

non equilibrato da rarrP che continua ad essere applicato nel CDM

Il baricentro di una persona in posizione eretta si trova nellrsquoarea delimitata dei suoi piedi 3cm davanti allrsquoarticolazione della caviglia

Fig 46 Quando la persona si piega in avanti il baricentro esce dal corpo e per mantenere lrsquoequilibrio egrave necessario che le anche si spingono indietro percheacute il baricentro cade di nuovo in quella posizione Notiamo che anche in posizione eretta essendo la forza peso e la forza di contatto non allineate (quei 3cm) (forza di contatto sullrsquoarticolazione della caviglia che regge il peso) occorre un momento correttivo che impedisca la rotazione in avanti mantenuto dal tendine di Achille che si lega alla caviglia Altro esempio di spostamento del baricentro egrave lrsquoatleta che assume una posizione ad L chi regge il peso egrave lrsquoarticolazione della spalla quindi il CDM si sposta sotto la spalla (giagrave era uscita dal corpo per via delle gambe distese in avanti) Nel camminare il baricentro continua a muoversi da sopra un piede a sopra un altro (quello appoggiato ovviamente) Si osservi lrsquoondeggiamento Per assurdo lrsquoancheggiare delle indossatrici serve a mantenere il baricentro il piugrave possibile fermo rispetto alla direzione media del moto (porre un piede esattamente davanti allrsquoaltro) rendendo piugrave facile muoversi anche con tacchi altissimi Al contrario lrsquoequilibrista che cammina sui trampoli sta fermo il meno possibile percheacute egrave stando fermo che il piccolo spostamento che fa uscire il baricentro (ALTO) dalla superficie drsquoappoggio puograve verificarsi facilmente preferisce il ldquonon ndash equilibriordquo o lrsquo rdquoequilibrio dinamicordquo dellrsquoondeggiare continuamente fra due posizioni di equilibrio

Ricordiamo che un equilibrio egrave detto stabile se quando una perturbazione lo altera spontaneamente il sistema lo ripristina Viceversa un equilibrio egrave instabile se la piugrave piccola perturbazione lo distrugge Lrsquoequilibrio egrave molto stabile se il baricentro egrave basso ed il corpo ha una grande area drsquoappoggio la posizione accucciata del giocatore di football americano dagrave grande stabilitagrave Ancor piugrave grande stabilitagrave si ha se il baricentro (CDM) si trova al di sotto della superficie drsquoappoggio Ersquo come se si fosse ldquoappesirdquo anzicheacute ldquoappoggiatirdquo alla superficie drsquoappoggio Proprio per questo motivo lrsquoequilibrista sul filo porta una lunga asta che spesso si flette agli estremi

Fig 47 Gli uccelli bipedi da 100000000 di anni hanno sviluppato questo adattamento per cui sono appesi alle anche mentre gli uomini bipedi da solo 1000000 di anni fanno fatica con il CDM dalla parte alta del corpo Ersquo un equilibrio instabile ldquosoprardquo le anche che le reggono (65 del peso del corpo) Modificazioni strutturali per reggere la posizione eretta 1) Colonna vertebrale rastremata (piugrave tozza in basso che in alto percheacute piugrave in basso vuol dire una

maggior forza di contatto) 2) Muscoli estensori della schiena 3) Gambe ed anche ingrossate 4) Ginocchio che blocca la gamba estesa Ciononostante si ha spesso il mal di schiena Se una forza ha momento non nullo rispetto ad un punto allora il corpo puograve ruotare intorno a quel punto sotto lrsquoazione di quella forza ldquoDiciamo che se sostengo il corpo per quel punto il corpo puograve ruotare intorno a quel puntordquo (Prendo in mano un foglio di carta per un estremo per esempio) La presenza di un momento non nullo egrave dunque la condizione che genera rotazione e viceversa Lrsquoassenza di un momento risultante egrave la condizione che genera lrsquoequilibrio rotazionale di un corpo esteso Quindi la condizione di equilibrio per un corpo esteso egrave

1) rarrR = 0 risultante delle forze applicate = 0 (equilibrio traslazionale)

2) rarrM = 0 momento risultante = 0 (equilibrio rotazionale)

Supponiamo di avere un corpo esteso al quale siano applicate delle forze che diano luogo ad un momento non nullo allora il corpo ruota Per equilibrarlo dovrograve applicare un altro momento tale che la loro somma sia nulla Questo egrave il principio di funzionamento delle leve LEVE

Una leva egrave un corpo esteso al quale sono applicate delle forze con un momento risultante rarrR

allora per portare il corpo in equilibrio applico un momento correttivo rarrP in modo che il momento

totale sia nullo Si dice in genere potenza (P) e resistenza (R) di una leva Le leve sono macchine semplici Servono per applicare forze in punti scomodi o in direzioni particolari Il fulcro egrave il punto nel quale la leva egrave incernierata Si definisce il guadagno meccanico di una leva

GM =

)(

)(rarr

rarr

PF

RF

cioegrave il rapporto fra la forza che genera il momento resistente e quella che genera il momento agente A seconda che GM sia gt

lt 0 una leva si dice che egrave vantaggiosa o svantaggiosa ma solo per quel che riguarda le forze percheacute per quel che riguarda i lavori non si ha neacute vantaggio neacute svantaggio Il lavoro esercitato dalla forza che dagrave la ldquopotenzardquo e quello esercitato dalla forza che dagrave la ldquoresistenzardquo sono sempre uguali Infatti forze e spostamenti sono inversamente proporzionali Le leve si dicono di I II o III specie a seconda se il fulcro si trovi I) in mezzo fra R e P (leva indifferente GM dipende da caso a caso) II) dalla parte di R (leva vantaggiosa il braccio di R egrave sempre minore del braccio di P basta

quindi una P minore per equilibrare una R maggiore) III) dalla parte di P (leva svantaggiosa) Classici esempi dei tre tipi di leve sono i remi (I) lo schiaccianoci (II) e la pinzetta per francobolli (III) Tuttavia vediamo degli esempi meno classici ma attinenti al campo della biologia e della medicina Criterio generale egrave che le leve vantaggiose consentono di essere molto potenti ma con brevi spostamenti mentre viceversa quelle svantaggiose fanno perdere in potenza ma consentono grandi spostamenti saragrave difficile vedere un cavallo che con le lunghe zampe si scava la tana drsquoaltronde una talpa scava bene la tana ma ha movimenti molto meno ampi che non le consentono di correre veloce come un cavallo (compromesso fra forza e velocitagrave del movimento) Se contiamo tutti i movimenti di rotazione che il corpo puograve compiere capiamo che siamo pieni di leve di ogni tipo Sono classici a) il capo fulcro (articolazione occipito-atlantoide) Fig 48 muscoli della nuca (Potenza) peso del capo (Resistenza) b)

muscolo bicipide (Potenza)

Fig 49 Peso dellrsquoavambraccio (Resistenza) Fulcro (articolazione del gomito) Questa leva permette grandi spostamenti Si vede che la forza operata dal muscolo bicipite egrave massima quando lrsquoavambraccio egrave orizzontale (la distanza dal fulcro egrave massima) ed egrave minima quando lrsquoavambraccio egrave verticale( con la distanza dal fulcro nulla) Attenzione - la colonna vertebrale egrave costituita da 24 vertebre separate da dischi di liquido Quando una

persona si piega la schiena egrave una leva con GM molto piccolo Quindi un piegamento completo per raccogliere un oggetto anche leggero produce una forza molto intensa sul disco lombosacrale che separa lrsquoultima vertebra dellrsquoosso sacro Se indebolito questo disco puograve rompersi o deformarsi comprimendo i nervi vicini e causando grande dolore Vediamo un modello che rende conto come mai questa forza egrave cosigrave grande

Fig 50

I muscoli della schiena esercitano T Con un angolo α = 12deg quando la schiena egrave piegata a 90deg

Peso della parte superiore del corpo (circa il 65 del peso totale)

Fulcro lombosacrale (il fulcro produce R) Essendo α piccolo la retta di azione Τ passa vicino al fulcro e dunque la distanza r che costituisce il suo braccio egrave molto piccola Al contrario il peso egrave perpendicolare alla colonna e il suo punto di applicazione egrave molto piugrave distante dal fulcro Τ deve essere molto grande per equilibrare il momento di P Dunque se T egrave grande anche la sua componente orizzontale egrave grande e di conseguenza anche R che costituisce la reazione dellrsquoosso sacro deve avere componente orizzontale molto grande per equilibrare Τ (uguale ed opposta alla componente orizzontale di Τ ) Facendo i conti si ottengono numeri grandi per 75Kg di peso T ed R sono equivalenti al peso di una massa di 220Kg Senza sollevare pesi solo piegandosi Conviene piegare le ginocchia quando si sollevano pesi - Nel corpo egrave difficile che il peso cada sulla verticale dellrsquoarticolazione che lo sostiene egrave sempre

un porsquo spostato e crsquoegrave un tendine con un muscolo che compensa il momento del peso - La contrazione muscolare egrave una successione di brevi contrazioni delle fibre muscolari stimolate

da impulsi che provengono dal sistema nervoso Contrazioni sono molto ravvicinate e avvengono in tempi differenti nelle diverse parti del muscolo cosigrave che il risultato apparente egrave una lenta e progressiva contrazione Se la frequenza degli impulsi aumenta la tensione cresce finchegrave si raggiunge la tensione massima (ricordare la tensione di un cavo) Un ulteriore aumento della frequenza degli impulsi a questo punto non causa ulteriore aumento della tensione

La tensione massima egrave proporzionale allrsquoarea della sezione trasversa del muscolo nel suo punto piugrave largo La tensione massima dipende anche dalla lunghezza del muscolo che varia Si ottiene tensione massima quando il muscolo egrave solo di poco allungato rispetto alla sua lunghezza di riposo di riposo ed egrave circa 30-40 Ncm2 La tensione massima si riduce moltissimo se il muscolo egrave molto allungato o accorciato Dinamica Rotatoria Fino ad ora abbiamo studiato moti traslatori ma il moto di un corpo rigido egrave in generale roto-traslatorio Naturalmente dobbiamo ridurre il problema complesso ad uno piugrave semplice e per fare ciograve immaginiamo di posizionarci su un sistema di riferimento solidale al corpo rigido i moto immaginiamo cioegrave di ldquosedercirdquo sul corpo rigido In questo modo non saremo piugrave sensibili al moto traslatorio e guardando il corpo rigido osserveremo solo le sue rotazioni Trattiamo allora il moto generico scomponendo la parte traslatoria (giagrave discussa ) da quella rotatoria Se si trascura la parte traslatoria del moto di un corpo rigido quello che rimane da trattare egrave la sua rotazione Nel nostro corso consideriamo le rotazioni che avvengono su un piano le rotazioni nello spazio potranno essere trattate come composizione di rotazioni su un piano Per le rotazioni su un piano si identifica un asse di rotazione perpendicolare al piano di rotazione e passante per il centro di rotazione Le articolazioni del gomito e del ginocchio sono articolazioni libere di ruotare intorno ad un asse a differenza ad esempio di quella della spalla che puograve ruotare intorno a due assi Si definisce spostamento angolare la variazione di una posizione che egrave definita in modo completo da una misura di angolo Una rotazione di un intero corpo rigido egrave definita in modo completo da uno spostamento angolare θfin - θin= ∆θ e si misura in radianti

Fig 51 Dobbiamo definire anche un verso di rotazione θ si incrementa per rotazioni antiorarie positive le rotazioni in senso orario sono invece negative La velocitagrave angolare si definisce analogamente alla velocitagrave lineare come il rapporto tra lo spostamento angolare e il tempo t impiegato per eseguire tale rotazione

ωm = t∆

∆θ e si misura in rad s

θin

θfin ∆θ

R

S

Anche per w si definisce ωist = lim ∆trarr0 t∆

∆θ

Ancora lrsquoaccelerazione angolare si definisce αm = t∆

∆ω e αist = lim ∆trarr0

t∆∆ω

Anche la legge fondamentale della dinamica ha un analogo nel ambito dei moti rotatori Si stabilisce che se ad un corpo rigido egrave soggetto ad un momento torcente diverso da zero esso subisce unrsquoaccelerazione angolare ad esso proporzionale Nel caso delle rotazioni la resistenza al moto egrave espressa dal momento di inerzia I associato al corpo rigido che gioca il ruolo della massa nei moti traslatori La legge della dinamica delle rotazioni egrave M = I middotα

E sostituendo M = Imiddott∆

∆ω= Imiddot

tinfin

∆minusωω

Il momento di inerzia I di un corpo rigido dipende dalla disposizione della massa del corpo rispetto allrsquoasse di rotazione per una massa puntiforme m a distanza R dallrsquoasse di rotazione I= m R2 per un oggetto esteso sommerograve il momento drsquoinerzia delle sue parti I = Σi mi Ri

2 Se si definisce momento angolare L il prodotto del momento drsquoinerzia per la velocitagrave angolare

L=Iω la legge della dinamica diventa

M = t

LL infin

∆minus

Il momento angolare egrave la grandezza fisica che si conserva se non viene applicato momento torcente Tutti i gesti di volo salti lanci tuffihellip sono azioni nelle quali si conserva il momento angolare Infatti in volo agisce solo la forza di gravitagrave che essendo applicata al CDM non genera momento torcente Il corpo umano nei gesti di volo Il corpo umano non egrave rigido e pertanto in volo agendo con i muscoli possiamo cambiare la disposizione del nostro corpo intorno al centro di massa che in volo coincide col centro di rotazione In questo modo si ottiene una variazione del momento di inerzia I e di conseguenza la velocitagrave angolare deve compensare questa variazione in modo che si mantenga costante il momento angolare L (grandezza che si conserva in assenza di momento torcente) Ersquo questo il principio che spiega il realizzarsi delle trottole sul ghiaccio dei salti mortali tuffi con avvitamento e cosigrave via in posizione raccolta I diminuisce e ω aumenta Moto circolare e moto circolare uniforme Per utilizzare le relazioni della cinematica e della dinamica lineare che abbiamo studiato egrave interessante poter passare dalle variabili angolari alle variabili lineari velocitagrave e accelerazione delle

masse in moto rotatorio Se una massa si muove su una traiettoria curva la velocitagrave tangenziale vt diretta come la tangente alla traiettoria dipende dalla velocitagrave angolare ω ( ωm=ϑ t )e dal raggio di curvatura della traiettoria Se la traiettoria egrave una circonferenza di raggio R e se gli angoli sono espressi in radianti lrsquoarco percorso per uno spostamento angolare ϑ egrave S = ϑ sdotR e la velocitagrave lineare tangente vt = St= ϑ sdotRt risulta vt = ωsdotR Se la velocitagrave angolare ω egrave costante il moto egrave detto circolare uniforme La legge oraria egrave quella dei moti uniformi spostamenti angolari uguali in tempi uguali ϑ(t) = ω t Anche la velocitagrave tangente saragrave di intensitagrave costante se ω egrave costante (archi uguali per tempi uguali s(t) = vt (t) ) ma crsquoegrave una accelerazione normale infatti la velocitagrave anche se non cambia in modulo cambia continuamente di direzione Questa accelerazione si dice centripeta egrave diretta normalmente rispetto alla traiettoria verso il centro della circonferenza e vale in modulo

ac=R

v2

Fig 52 Essendo la velocitagrave tangente vt = ωR Lrsquo accelerazione centripeta si puograve scrivere

ac =R

v2

= ω2 R

Il tempo impiegato dal punto a muoversi sulla circonferenza egrave una costante (moto uniforme) T periodo in T viene percorso uno spazio 2π R

v = T

Rπ2

La frequenza f egrave invece il ndeg di giri al secondo

f =T

1

Se si prendono punti diversi sul raggio della circonferenza questi hanno la stessa velocitagrave angolare e velocitagrave tangenziali crescenti al crescere del raggio Esempio carosello dei pattinatori Esercizi

1- un velocista con una velocitagrave di 10 ms viaggia su una curva di raggio 25m ndash accelerazione

a = R

v2

= 25

100 = 4 ms2

2 ndash un velocista con v = 92 ms su una pista circolare con ac = 38 m s2 ndash Raggio della pista Tempo per percorrere un giro completo

a = R

v2

rArr R = a

v2

= 83

)29( 2

= 2227m

T =v

Rπ2 =

29

27222 lowastπ = 152 sec

Forza centripeta forza centrifuga Una forza centripeta egrave una forza di qualunque natura che trattiene un corpo in moto su una traiettoria curvilinea ad esempio circolare In assenza di tale forza il corpo proseguirebbe il suo moto lungo una traiettoria rettilinea Nel gesto del lancio del martello ad esempio il lanciatore che esercita sul peso in cima allrsquoattrezzo una forza mediata dalla tensione dal cavo che lo trattiene nella traiettoria circolare Quando il lanciatore lascia la maniglia il martello viene lanciato lungo la direzione della tangente alla traiettoria nellrsquoistante di rilascio Lrsquointensitagrave della forza centripeta necessaria a mantenere una massa m in moto con velocitagrave tangente v lungo una traiettoria circolare di raggio r si puograve calcolare a partire dallrsquoaccellerazione centripeta secondo la legge fondamentale della dinamica

|rarr

cF | = m | rarr

ca | = m r

v2

Tale forza egrave diretta come lrsquoaccelerazione centripeta e cioegrave verso il centro della circonferenza che costituisce la traiettoria La forza centripeta egrave dunque una forza reale Con lsquoforza centrifugarsquo invece non ci si riferisce ad un forza che agisce su un corpo ma alla situazione apparente cui sembra sottoposto un corpo in moto curvilineo Esso pare tirato o attirato lontano dal centro di rotazione pare ci sia una lsquoforzarsquo che vuole farlo sfuggire Quando viene lasciato il martello si allontana dal centro di rotazione percheacute si muove di moto rettilineo uniforme non essendo piugrave soggetto a forze altre che la forza peso Lrsquoacqua esce dal cestello della lavatrice quando il cestello ruota velocemente (funzione centrifuga) percheacute lrsquoacqua che non costituisce un corpo solo con il cestello bucato non egrave soggetta alla forza centripeta e puograve passare attraverso i buchi I panni invece pure non parte del cestello sono troppo grandi per passare dai buchi si possono solo schiacciare contro le pareti questo schiacciamento sembra il risultato di una forza ma egrave invece il risultato dellrsquoassenza di una forza quella centripeta Una volta lagrave contro il cestello fanno tuttrsquouno con le pareti di metallo che esercitano su di essi la forza centripeta (cioegrave con direzione verso lrsquoasse di rotazione) che li mantiene in rotazione Le parti di un corpo rigido esteso che si muove di moto rotatorio rispetto ad un asse quale ad esempio la gamba di un giocatore di calcio che calcia un pallone sono soggette alla forza centripeta che le mantiene sulla traiettoria curva Tale forza viene trasmessa alle varie parti tramite le forze di tensione che si sviluppano allrsquointerno del corpo stesso ad esempio il piede egrave soggetto alla forza centrifuga tramite lrsquoazione dei legamenti e tendini a livello della caviglia che vengono messi in tensione per trattenere il piede stesso

Centro di Massa (CDM) di un sistema di punti - Consideriamo il caso semplice di due punti materiali di massa m1 m2 posti sullrsquoasse x in

posizione x1 x2

Fig 39

la posizione del centro di massa egrave definita xCDM = 21

2211

mm

xmxm

++

a) xCDM egrave compreso fra x1 e x2 b) se m1 = m2 CDM egrave a metagrave strada fra m1 ed m2 c) xCDM egrave piugrave prossimo alla massa maggiore - Nel caso di piugrave punti allineati nelle posizioni xi detto M = summi allora

xCDM = ii xmMsum

1

- Nel caso di punti distribuiti nello spazio detti irrarr

i vettori che identificano le loro posizioni

CDMrrarr

= iii rmM

rarrsum

1

dove CDMrrarr

ha coordinate (xCDM yCDM zCDM) definite come

xCDM = ii xmsumη1

yCDM = ii ymMsum

1

zCDM = ii zmMsum

1

- Consideriamo un oggetto qualsiasi questo egrave composto da un gran numero di particelle ma conviene considerarlo come un continuo di materia e per calcolare il centro di massa si prendono in considerazione degli elementi infinitesimi di massa dm centrati intorno alle posizioni (xyz) allora

xCDM = int xdmM

1 yCDM = int ydm

M

1 zCDM = int zdm

M

1

se si puograve considerare il corpo omogeneo (densitagrave uniforme) allora V

M

dv

dm = e allora si puograve fare il

calcolo considerando il volume V e gli elementi di volume dv anzichegrave la massa e gli elementi di massa

xCDM = int xdvV

1 etc

In un oggetto solido (corpo rigido) i diversi punti materiali che lo compongono non cambiano la loro posizione relativa (non come un corpo elastico) - se un oggetto ha un elemento di simmetria un asse od un piano il CDM si trova su tale

elemento di simmetria (asse per cono centro per sfera piano per una banana etc) Non egrave detto che il CDM di un oggetto appartenga allrsquooggetto vedi uno pneumatico un cerchio Il CDM egrave esterno alloggetto Legge fondamentale della dinamica per un sistema di punti materiali Caso della palla da bigliardo urto fra due palle dopo il lancio di una le due si muovono 1) una egrave ferma (B) lrsquoaltra la lancio (A) 2) le due si urtano in qualunque modo 3) le due si muovono secondo traiettorie differenti una possibilmente andragrave in buca lrsquoaltra no Dopo il lancio sulla palla A non agisce piugrave nessuna forza quindi la sua velocitagrave v egrave costante Va bene ma dopo lrsquourto Il CDM delle due palle continua a muoversi con velocitagrave costante anche se il centro di massa egrave un punto teorico che non appartiene a nessuna delle due palle Tuttavia al CDM possiamo assegnare una massa (M totale del sistema) una velocitagrave ed una accellerazione Si ha

)(CDMext aMFrarrrarr

=sum

a) extFrarr

sum egrave la somma di tutte le forze esterne che agiscono sul sistema non quelle interne (ad esempio nel caso del bigliardo non devo considerare le forze che si applicano fra le due palle quando si urtano)

b) M egrave la massa totale del sistema Si suppone che durante il moto M rimanga costante

c) )(CDMararr

egrave lrsquoaccelerazione del CDM Dellrsquoaccellerazione di un altro punto ad esempio del centro della palla A non si dice nulla

Cosideriamo alcuni esempi 1) Bigliardo tvaF CDMCDMext cos00 ===sum prima dellrsquourto nellrsquourto si verificano solo forze

interne Quindi tvaF CDMCDMext cos00 ===sum dopo lrsquourto e durante tutto il moto

2) Sistema terra-luna sumFext = gravitazione del sole aCDM egrave ldquocentripetardquo accellerazione di una

forza che egrave diretta verso il sole (forza ldquocentralerdquo) egrave il CDM terra-luna che segue la traiettoria dovuta allrsquoattrazione gravitazionale del sole poi terra e luna si muovono intorno al loro CDM

3) Clavette lanciate sum Fext = Mg aCDM = g il centro di massa si comporta come un punto materiale nel lancio

4) La ballerina nel ldquogrand-fetegraverdquo fa seguire a testa e busto una traiettoria rettilinea percheacute modifica lrsquoassetto in modo da alzare il suo CDM Nel corso del salto (alza le braccia e distende

orizzontalmente le gambe non appena lasciato il suolo) il suo CDM segue la traiettoria parabolica del lancio di un corpo soggetto allrsquoaccelerazione di gravitagrave g

Quantitagrave di moto rarrP

- Si definisce quantitagrave di moto di una particella il vettore

rarrrarr= vmP

con m massa della particella e rarrv la sua velocitagrave

Si vede che rarrP egrave diretto come

rarrv

Newton scrisse la legge fondamentale della dinamica in termini di quantitagrave di moto (a differenza di Galileo che la scrisse in termini di massa e di accelerazione) ldquola rapiditagrave di variazione della quantitagrave di moto di una particella egrave proporzionale alla forza netta che agisce sulla particella ed egrave nella direzione di quella forzardquo cioegrave

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

che egrave piugrave generale della formulazione di Galileo perchegrave descrive bene anche il caso in cui variasse la massa del corpo durante il moto (ad esempio un vettore spaziale) Se la massa egrave costante le due formulazioni sono identiche

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

= t

vm

∆∆

rarr)(

= m t

v

∆∆

rarr

= m rarra

Ricordiamo che rarrF egrave diretto come

rarra (o la risultante

rarrR = sum

rarrF )

Per un sistema di punti materiali si definisce la quantitagrave di moto totale

rarrP =

rarrP 1 +

rarrP 2 + helliphellip+

rarrP n =

m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +helliphelliphellip+ mn

rarrv n = M

rarrv CDM (si puograve dimostrare) dove M egrave la massa totale

[essendo infatti Mrarrv CDM =

dt

d(M

rarrr CDM) =

dt

d(m1

rarrr 1 + m2

rarrr 2 +hellip) = m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +

hellip]

quindi rarrP = M

rarrv CDM per un sistema di particelle e

dt

Pdrarr

= M dt

d rarrv CDM = M

rarra CDM = sum

rarrF ext

Conservazione delle quantitagrave di moto

Per un sistema chiuso (M non varia) e isolato (sumrarrF ext = 0)

Allora

t

P

∆∆

rarr

= 0 rarrP = cost

rarrP i =

rarrP f

che sono tre modi equivalenti per dire che la quantitagrave di moto si conserva Vale per un sistema nel quale non agisca nessuna forza esterna netta Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica e la conservazione delle quantitagrave di moto sono due concetti fisici importantissimi Valgono sia per le palle da bigliardo che per qualunque altro sistema anche le galassie nellrsquouniverso Queste equazioni sono vettoriali Ciograve significa che rappresentano una terna di equazioni scalari ognuna valida sul proprio asse del sistema di riferimento (x y z)

Puograve accadere a seconda delle forze che agiscono nel sistema che la quantitagrave di moto si conservi in una direzione o in due e non in tutte e tre

Ad esempio se consideriamo una palla come un insieme di punti materiali la rarrF ext che agisce nel

sistema egrave mrarrg diretta lungo z senza componenti su x e y quindi

rarrP varia lungo z ma

non su x e y

Percheacute ldquocomplicarci la vitardquo con questa storia del CDM del sistema di particelle etchellip non bastava il moto del punto rappresentativo materiale Avevamo giagrave considerato il punto rappresentativo e avevamo svolto anche problemi sulla palla sul bilanciere e per altri oggetti Abbiamo sempre sbagliato La questione egrave se un corpo egrave rigido cioegrave se tutti i suoi punti si muovono mantenendo le loro distanze relative non crsquoegrave problema abbiamo solo visto che il punto materiale rappresentativo si chiama CDM ed abbiamo imparato a situarlo allrsquointerno del corpo Ma se il corpo non egrave rigido cioegrave se il suo CDM si sposta rispetto a lui stesso nel corso del moto la disposizione del corpo intorno al punto rappresentativo varia nel corso del tempo e le leggi di conservazione valgono per il CDM - Consideriamo ad esempio il teorema dellrsquoenergia cinetica che per un punto materiale si scrive Ltot = Kfin-K in = ∆ K (qui ovviamente non crsquoegrave da specificare lavoro delle forzeldquoesternerdquo percheacute essendo in un punto materiale che si assume infinitamente piccolo non ci sono forze ldquointernerdquo) Per analogia il teorema dellrsquoenergia cinetica si estende al caso di un insieme di punti materiali nel seguente modo

Ltot forze ext=rarrF extmiddot

rarrs CDM = ∆ KCDM

Dove s CDM egrave lo spostamento del centro di massa A titolo di esempio risolviamo il problema un giocatore di hockey su ghiaccio di massa M = 110Kg si muove verso la balaustra a bordo campo alla velocitagrave di 3msec Nellrsquoarrestarsi flettendo le braccia il suo CDM si sposta in avanti di 30cm Qual egrave la ∆ K del suo CDM durante la manovra

∆ KCDM = infin CDMCDM mvmv 22

2

1

2

1 minus =

= 0 - 2

1110 32 = -495 J

Fig 40

Sia L il lavoro delle forze esternerarrF ext (dirette come d

rarrx CDM ) allora

L = - Fext 03 = ∆ KCDM quindi

Fext =30

495

minusminus

= + 1650N

( si considera la forza esterna rarrF ext costante nellrsquointervallo dellrsquoarresto fatto che equivale a dire

che il giocatore si arresta con rarra CDM costante)

Dinamica e statica del corpo esteso Finora abbiamo sempre discusso del moto di un punto materiale (punto rappresentativo dicevamo sempre) In particolare abbiamo sempre applicato le forze a quel punto materiale quindi se diverse forze erano applicate esse concorrevano in quel punto ligrave e con le forze concorrenti sapevamo come calcolare la risultante con il metodo grafico o con quello numerico delle coordinate cartesiane Una volta calcolata la risultante applicata al punto si otteneva un moto di pura traslazione del punto (al massimo traslava lungo una traiettoria curva) senza rotazioni proprie del punto che non hanno neanche senso un punto che ruota su se stesso Come faccio ad accorgermi Un punto per definizione egrave infinitamente piccolo (Dicevamo infine che il punto egrave in equilibrio

traslazionale se la risultante rarrR delle forze applicate egrave nullo)

Consideriamo invece un corpo esteso Prima osservazione questo ha piugrave punti (direi infin ) a

cui la forza puograve essere applicata Prendiamo una racchetta da tennis ed una forza rarrF applicata il

moto che ne risulta dipende dal punto al quale viene applicata la forza rarrF

qui la racchetta trasla

Fig 41

stessa forza qui la racchetta ruota

Fig 42

Seconda osservazione Crsquoegrave un caso in cui le forze non possono essere fatte concorrere in un punto ed egrave quando sono parallele ed hanno rette di applicazione distinte Chiaramente non abbiamo mai dovuto considerare questo caso per il punto materiale percheacute per un punto non possono mai passare due rette parallele Ma per il corpo esteso So benissimo che se sono ferma con la macchina in

panne e la sto spingendo applicando una forza rarrF 1 sono contenta se qualcuno si affianca a me ed

esercitando una forza rarrF 2 lungo una direzione parallela a quella della mia mi aiuta a spingere In

particolare mi viene spontaneo dire che se F1 = F2 allora spingeremo con una forza doppia Ci saragrave quindi un modo per sommare due forze non concorrenti in un punto ma parallele e saragrave Ftot = F1+ F2 La retta di applicazione di Ftot divide il segmento congiungente i punti di applicazione di F1 ed F2 in due segmenti inversamente proporzionali allrsquointensitagrave delle forze F1 e F2 Terza osservazione se F1 = - F2 sono uguali in intensitagrave ma di verso opposto sempre lungo due rette di applicazione parallele passanti per un corpo esteso cosa succede La loro somma Ftot risultante saragrave 0 ma io so che il corpo non sta fermo sotto lrsquoazione di tali due forze ma ruoteragrave Concludo che le nozioni che ho acquisito finora vanno riviste ed ampliate o corrette o specificate per i corpi estesi ed inoltre che mi mancano totalmente i mezzi per descrivere le rotazioni dei corpi estesi Occorrono nuovi concetti nuove quantitagrave la forza non basta Prendo lrsquoesempio piugrave semplice dellrsquoaltalena con due bambini in due bracci uno piugrave leggero uno piugrave pesante

Fig 43 Qualitativamente so che percheacute lrsquoaltalena stia in equilibrio e non ruoti intorno al punto fisso non egrave necessario che i due bambini abbiano lo stesso peso (ugual massa) occorre che il bambino piugrave leggero sieda piugrave lontano rispetto al punto fisso (fulcro) La regola quantitativa dice che lrsquoaltalena egrave in equilibrio se il prodotto del peso per la distanza del fulcro egrave uguale PB dB = Pb

db Per generalizzare questa regola ai casi piugrave complessi occorre definire una nuova quantitagrave il momento di una forza Momento di una forza

Consideriamo una forza rarrF applicata ad un punto P ed un punto O Sia

rarrr

il vettore rarrOP allora il momento

rarrM di

rarrF rispetto ad O egrave

rarrM =

rarrr x

rarrF

e

|rarrr | middot |

rarrF | sin ϑ = |

rarrM |

Fig 44

oppure anche considerando la componente di rarrF perpendicolare ad

rarrr o di

rarrr

perpendicolare a rarrF r e rispetto a F

|rarrM | = |

rarrr | |

rarrF perp | |

rarrM | = |

rarrr perp| |

rarrF |

In generale si dice che il modulo del momento |rarrM | egrave il prodotto delle intensitagrave della forza per la

distanza dal punto della retta di applicazione della forza

Come vettore rarrM egrave perpendicolare al piano che contiene

rarrF ed

rarrr ed ha verso calcolato con la

regola della mano destra (con rarrr che si chiude su

rarrF )

La distanza rperp si chiama braccio della forza Si vede che il momento egrave nullo quando il braccio egrave nullo cioegrave quando il punto O si trova sulla retta di applicazione di F Il momento della forza peso P egrave nullo rispetto al baricentro che coincide con il centro di massa nel caso (praticamenteldquosemprerdquo) in cui il corpo non sia abbastanza esteso percheacute diversi punti del corpo risentano di una forza gravitazione differente Praticamente si deve parlare di galassie percheacute CDM e baricentro (BC) non coincidono Quindi la condizione del momento nullo della forza peso diventa un modo per definire il CDM come quel punto rispetto al quale la forza peso P ha momento nullo Per un corpo ldquoarticolatordquo estendiamo il concetto di forza normale come forza di contatto nellrsquoarticolazione utile cioegrave la forza che lrsquoarticolazione che si sta considerando esercita su quello che nellrsquoarticolazione si appoggia La forza peso P di un corpo esteso puograve immaginarsi applicata al CDM Principio di equilibrio di un corpo esteso

se su un corpo esteso agiscono solo rarr

Peso e rarr

Normale cioegrave se un corpo egrave appoggiato ad un piano orizzontale allora il corpo egrave in equilibrio se e solo se il baricentro si trova sopra la superficie di appoggio

Fig 45

Finchegrave il baricentro egrave sopra il tavolo il libro non cade percheacute rarrP applicata a CDM puograve essere

controbilanciata da rarrN Se CDM si sposta in fuori

rarrN rimane nel tavolo e crsquoegrave momento non nullo

non equilibrato da rarrP che continua ad essere applicato nel CDM

Il baricentro di una persona in posizione eretta si trova nellrsquoarea delimitata dei suoi piedi 3cm davanti allrsquoarticolazione della caviglia

Fig 46 Quando la persona si piega in avanti il baricentro esce dal corpo e per mantenere lrsquoequilibrio egrave necessario che le anche si spingono indietro percheacute il baricentro cade di nuovo in quella posizione Notiamo che anche in posizione eretta essendo la forza peso e la forza di contatto non allineate (quei 3cm) (forza di contatto sullrsquoarticolazione della caviglia che regge il peso) occorre un momento correttivo che impedisca la rotazione in avanti mantenuto dal tendine di Achille che si lega alla caviglia Altro esempio di spostamento del baricentro egrave lrsquoatleta che assume una posizione ad L chi regge il peso egrave lrsquoarticolazione della spalla quindi il CDM si sposta sotto la spalla (giagrave era uscita dal corpo per via delle gambe distese in avanti) Nel camminare il baricentro continua a muoversi da sopra un piede a sopra un altro (quello appoggiato ovviamente) Si osservi lrsquoondeggiamento Per assurdo lrsquoancheggiare delle indossatrici serve a mantenere il baricentro il piugrave possibile fermo rispetto alla direzione media del moto (porre un piede esattamente davanti allrsquoaltro) rendendo piugrave facile muoversi anche con tacchi altissimi Al contrario lrsquoequilibrista che cammina sui trampoli sta fermo il meno possibile percheacute egrave stando fermo che il piccolo spostamento che fa uscire il baricentro (ALTO) dalla superficie drsquoappoggio puograve verificarsi facilmente preferisce il ldquonon ndash equilibriordquo o lrsquo rdquoequilibrio dinamicordquo dellrsquoondeggiare continuamente fra due posizioni di equilibrio

Ricordiamo che un equilibrio egrave detto stabile se quando una perturbazione lo altera spontaneamente il sistema lo ripristina Viceversa un equilibrio egrave instabile se la piugrave piccola perturbazione lo distrugge Lrsquoequilibrio egrave molto stabile se il baricentro egrave basso ed il corpo ha una grande area drsquoappoggio la posizione accucciata del giocatore di football americano dagrave grande stabilitagrave Ancor piugrave grande stabilitagrave si ha se il baricentro (CDM) si trova al di sotto della superficie drsquoappoggio Ersquo come se si fosse ldquoappesirdquo anzicheacute ldquoappoggiatirdquo alla superficie drsquoappoggio Proprio per questo motivo lrsquoequilibrista sul filo porta una lunga asta che spesso si flette agli estremi

Fig 47 Gli uccelli bipedi da 100000000 di anni hanno sviluppato questo adattamento per cui sono appesi alle anche mentre gli uomini bipedi da solo 1000000 di anni fanno fatica con il CDM dalla parte alta del corpo Ersquo un equilibrio instabile ldquosoprardquo le anche che le reggono (65 del peso del corpo) Modificazioni strutturali per reggere la posizione eretta 1) Colonna vertebrale rastremata (piugrave tozza in basso che in alto percheacute piugrave in basso vuol dire una

maggior forza di contatto) 2) Muscoli estensori della schiena 3) Gambe ed anche ingrossate 4) Ginocchio che blocca la gamba estesa Ciononostante si ha spesso il mal di schiena Se una forza ha momento non nullo rispetto ad un punto allora il corpo puograve ruotare intorno a quel punto sotto lrsquoazione di quella forza ldquoDiciamo che se sostengo il corpo per quel punto il corpo puograve ruotare intorno a quel puntordquo (Prendo in mano un foglio di carta per un estremo per esempio) La presenza di un momento non nullo egrave dunque la condizione che genera rotazione e viceversa Lrsquoassenza di un momento risultante egrave la condizione che genera lrsquoequilibrio rotazionale di un corpo esteso Quindi la condizione di equilibrio per un corpo esteso egrave

1) rarrR = 0 risultante delle forze applicate = 0 (equilibrio traslazionale)

2) rarrM = 0 momento risultante = 0 (equilibrio rotazionale)

Supponiamo di avere un corpo esteso al quale siano applicate delle forze che diano luogo ad un momento non nullo allora il corpo ruota Per equilibrarlo dovrograve applicare un altro momento tale che la loro somma sia nulla Questo egrave il principio di funzionamento delle leve LEVE

Una leva egrave un corpo esteso al quale sono applicate delle forze con un momento risultante rarrR

allora per portare il corpo in equilibrio applico un momento correttivo rarrP in modo che il momento

totale sia nullo Si dice in genere potenza (P) e resistenza (R) di una leva Le leve sono macchine semplici Servono per applicare forze in punti scomodi o in direzioni particolari Il fulcro egrave il punto nel quale la leva egrave incernierata Si definisce il guadagno meccanico di una leva

GM =

)(

)(rarr

rarr

PF

RF

cioegrave il rapporto fra la forza che genera il momento resistente e quella che genera il momento agente A seconda che GM sia gt

lt 0 una leva si dice che egrave vantaggiosa o svantaggiosa ma solo per quel che riguarda le forze percheacute per quel che riguarda i lavori non si ha neacute vantaggio neacute svantaggio Il lavoro esercitato dalla forza che dagrave la ldquopotenzardquo e quello esercitato dalla forza che dagrave la ldquoresistenzardquo sono sempre uguali Infatti forze e spostamenti sono inversamente proporzionali Le leve si dicono di I II o III specie a seconda se il fulcro si trovi I) in mezzo fra R e P (leva indifferente GM dipende da caso a caso) II) dalla parte di R (leva vantaggiosa il braccio di R egrave sempre minore del braccio di P basta

quindi una P minore per equilibrare una R maggiore) III) dalla parte di P (leva svantaggiosa) Classici esempi dei tre tipi di leve sono i remi (I) lo schiaccianoci (II) e la pinzetta per francobolli (III) Tuttavia vediamo degli esempi meno classici ma attinenti al campo della biologia e della medicina Criterio generale egrave che le leve vantaggiose consentono di essere molto potenti ma con brevi spostamenti mentre viceversa quelle svantaggiose fanno perdere in potenza ma consentono grandi spostamenti saragrave difficile vedere un cavallo che con le lunghe zampe si scava la tana drsquoaltronde una talpa scava bene la tana ma ha movimenti molto meno ampi che non le consentono di correre veloce come un cavallo (compromesso fra forza e velocitagrave del movimento) Se contiamo tutti i movimenti di rotazione che il corpo puograve compiere capiamo che siamo pieni di leve di ogni tipo Sono classici a) il capo fulcro (articolazione occipito-atlantoide) Fig 48 muscoli della nuca (Potenza) peso del capo (Resistenza) b)

muscolo bicipide (Potenza)

Fig 49 Peso dellrsquoavambraccio (Resistenza) Fulcro (articolazione del gomito) Questa leva permette grandi spostamenti Si vede che la forza operata dal muscolo bicipite egrave massima quando lrsquoavambraccio egrave orizzontale (la distanza dal fulcro egrave massima) ed egrave minima quando lrsquoavambraccio egrave verticale( con la distanza dal fulcro nulla) Attenzione - la colonna vertebrale egrave costituita da 24 vertebre separate da dischi di liquido Quando una

persona si piega la schiena egrave una leva con GM molto piccolo Quindi un piegamento completo per raccogliere un oggetto anche leggero produce una forza molto intensa sul disco lombosacrale che separa lrsquoultima vertebra dellrsquoosso sacro Se indebolito questo disco puograve rompersi o deformarsi comprimendo i nervi vicini e causando grande dolore Vediamo un modello che rende conto come mai questa forza egrave cosigrave grande

Fig 50

I muscoli della schiena esercitano T Con un angolo α = 12deg quando la schiena egrave piegata a 90deg

Peso della parte superiore del corpo (circa il 65 del peso totale)

Fulcro lombosacrale (il fulcro produce R) Essendo α piccolo la retta di azione Τ passa vicino al fulcro e dunque la distanza r che costituisce il suo braccio egrave molto piccola Al contrario il peso egrave perpendicolare alla colonna e il suo punto di applicazione egrave molto piugrave distante dal fulcro Τ deve essere molto grande per equilibrare il momento di P Dunque se T egrave grande anche la sua componente orizzontale egrave grande e di conseguenza anche R che costituisce la reazione dellrsquoosso sacro deve avere componente orizzontale molto grande per equilibrare Τ (uguale ed opposta alla componente orizzontale di Τ ) Facendo i conti si ottengono numeri grandi per 75Kg di peso T ed R sono equivalenti al peso di una massa di 220Kg Senza sollevare pesi solo piegandosi Conviene piegare le ginocchia quando si sollevano pesi - Nel corpo egrave difficile che il peso cada sulla verticale dellrsquoarticolazione che lo sostiene egrave sempre

un porsquo spostato e crsquoegrave un tendine con un muscolo che compensa il momento del peso - La contrazione muscolare egrave una successione di brevi contrazioni delle fibre muscolari stimolate

da impulsi che provengono dal sistema nervoso Contrazioni sono molto ravvicinate e avvengono in tempi differenti nelle diverse parti del muscolo cosigrave che il risultato apparente egrave una lenta e progressiva contrazione Se la frequenza degli impulsi aumenta la tensione cresce finchegrave si raggiunge la tensione massima (ricordare la tensione di un cavo) Un ulteriore aumento della frequenza degli impulsi a questo punto non causa ulteriore aumento della tensione

La tensione massima egrave proporzionale allrsquoarea della sezione trasversa del muscolo nel suo punto piugrave largo La tensione massima dipende anche dalla lunghezza del muscolo che varia Si ottiene tensione massima quando il muscolo egrave solo di poco allungato rispetto alla sua lunghezza di riposo di riposo ed egrave circa 30-40 Ncm2 La tensione massima si riduce moltissimo se il muscolo egrave molto allungato o accorciato Dinamica Rotatoria Fino ad ora abbiamo studiato moti traslatori ma il moto di un corpo rigido egrave in generale roto-traslatorio Naturalmente dobbiamo ridurre il problema complesso ad uno piugrave semplice e per fare ciograve immaginiamo di posizionarci su un sistema di riferimento solidale al corpo rigido i moto immaginiamo cioegrave di ldquosedercirdquo sul corpo rigido In questo modo non saremo piugrave sensibili al moto traslatorio e guardando il corpo rigido osserveremo solo le sue rotazioni Trattiamo allora il moto generico scomponendo la parte traslatoria (giagrave discussa ) da quella rotatoria Se si trascura la parte traslatoria del moto di un corpo rigido quello che rimane da trattare egrave la sua rotazione Nel nostro corso consideriamo le rotazioni che avvengono su un piano le rotazioni nello spazio potranno essere trattate come composizione di rotazioni su un piano Per le rotazioni su un piano si identifica un asse di rotazione perpendicolare al piano di rotazione e passante per il centro di rotazione Le articolazioni del gomito e del ginocchio sono articolazioni libere di ruotare intorno ad un asse a differenza ad esempio di quella della spalla che puograve ruotare intorno a due assi Si definisce spostamento angolare la variazione di una posizione che egrave definita in modo completo da una misura di angolo Una rotazione di un intero corpo rigido egrave definita in modo completo da uno spostamento angolare θfin - θin= ∆θ e si misura in radianti

Fig 51 Dobbiamo definire anche un verso di rotazione θ si incrementa per rotazioni antiorarie positive le rotazioni in senso orario sono invece negative La velocitagrave angolare si definisce analogamente alla velocitagrave lineare come il rapporto tra lo spostamento angolare e il tempo t impiegato per eseguire tale rotazione

ωm = t∆

∆θ e si misura in rad s

θin

θfin ∆θ

R

S

Anche per w si definisce ωist = lim ∆trarr0 t∆

∆θ

Ancora lrsquoaccelerazione angolare si definisce αm = t∆

∆ω e αist = lim ∆trarr0

t∆∆ω

Anche la legge fondamentale della dinamica ha un analogo nel ambito dei moti rotatori Si stabilisce che se ad un corpo rigido egrave soggetto ad un momento torcente diverso da zero esso subisce unrsquoaccelerazione angolare ad esso proporzionale Nel caso delle rotazioni la resistenza al moto egrave espressa dal momento di inerzia I associato al corpo rigido che gioca il ruolo della massa nei moti traslatori La legge della dinamica delle rotazioni egrave M = I middotα

E sostituendo M = Imiddott∆

∆ω= Imiddot

tinfin

∆minusωω

Il momento di inerzia I di un corpo rigido dipende dalla disposizione della massa del corpo rispetto allrsquoasse di rotazione per una massa puntiforme m a distanza R dallrsquoasse di rotazione I= m R2 per un oggetto esteso sommerograve il momento drsquoinerzia delle sue parti I = Σi mi Ri

2 Se si definisce momento angolare L il prodotto del momento drsquoinerzia per la velocitagrave angolare

L=Iω la legge della dinamica diventa

M = t

LL infin

∆minus

Il momento angolare egrave la grandezza fisica che si conserva se non viene applicato momento torcente Tutti i gesti di volo salti lanci tuffihellip sono azioni nelle quali si conserva il momento angolare Infatti in volo agisce solo la forza di gravitagrave che essendo applicata al CDM non genera momento torcente Il corpo umano nei gesti di volo Il corpo umano non egrave rigido e pertanto in volo agendo con i muscoli possiamo cambiare la disposizione del nostro corpo intorno al centro di massa che in volo coincide col centro di rotazione In questo modo si ottiene una variazione del momento di inerzia I e di conseguenza la velocitagrave angolare deve compensare questa variazione in modo che si mantenga costante il momento angolare L (grandezza che si conserva in assenza di momento torcente) Ersquo questo il principio che spiega il realizzarsi delle trottole sul ghiaccio dei salti mortali tuffi con avvitamento e cosigrave via in posizione raccolta I diminuisce e ω aumenta Moto circolare e moto circolare uniforme Per utilizzare le relazioni della cinematica e della dinamica lineare che abbiamo studiato egrave interessante poter passare dalle variabili angolari alle variabili lineari velocitagrave e accelerazione delle

masse in moto rotatorio Se una massa si muove su una traiettoria curva la velocitagrave tangenziale vt diretta come la tangente alla traiettoria dipende dalla velocitagrave angolare ω ( ωm=ϑ t )e dal raggio di curvatura della traiettoria Se la traiettoria egrave una circonferenza di raggio R e se gli angoli sono espressi in radianti lrsquoarco percorso per uno spostamento angolare ϑ egrave S = ϑ sdotR e la velocitagrave lineare tangente vt = St= ϑ sdotRt risulta vt = ωsdotR Se la velocitagrave angolare ω egrave costante il moto egrave detto circolare uniforme La legge oraria egrave quella dei moti uniformi spostamenti angolari uguali in tempi uguali ϑ(t) = ω t Anche la velocitagrave tangente saragrave di intensitagrave costante se ω egrave costante (archi uguali per tempi uguali s(t) = vt (t) ) ma crsquoegrave una accelerazione normale infatti la velocitagrave anche se non cambia in modulo cambia continuamente di direzione Questa accelerazione si dice centripeta egrave diretta normalmente rispetto alla traiettoria verso il centro della circonferenza e vale in modulo

ac=R

v2

Fig 52 Essendo la velocitagrave tangente vt = ωR Lrsquo accelerazione centripeta si puograve scrivere

ac =R

v2

= ω2 R

Il tempo impiegato dal punto a muoversi sulla circonferenza egrave una costante (moto uniforme) T periodo in T viene percorso uno spazio 2π R

v = T

Rπ2

La frequenza f egrave invece il ndeg di giri al secondo

f =T

1

Se si prendono punti diversi sul raggio della circonferenza questi hanno la stessa velocitagrave angolare e velocitagrave tangenziali crescenti al crescere del raggio Esempio carosello dei pattinatori Esercizi

1- un velocista con una velocitagrave di 10 ms viaggia su una curva di raggio 25m ndash accelerazione

a = R

v2

= 25

100 = 4 ms2

2 ndash un velocista con v = 92 ms su una pista circolare con ac = 38 m s2 ndash Raggio della pista Tempo per percorrere un giro completo

a = R

v2

rArr R = a

v2

= 83

)29( 2

= 2227m

T =v

Rπ2 =

29

27222 lowastπ = 152 sec

Forza centripeta forza centrifuga Una forza centripeta egrave una forza di qualunque natura che trattiene un corpo in moto su una traiettoria curvilinea ad esempio circolare In assenza di tale forza il corpo proseguirebbe il suo moto lungo una traiettoria rettilinea Nel gesto del lancio del martello ad esempio il lanciatore che esercita sul peso in cima allrsquoattrezzo una forza mediata dalla tensione dal cavo che lo trattiene nella traiettoria circolare Quando il lanciatore lascia la maniglia il martello viene lanciato lungo la direzione della tangente alla traiettoria nellrsquoistante di rilascio Lrsquointensitagrave della forza centripeta necessaria a mantenere una massa m in moto con velocitagrave tangente v lungo una traiettoria circolare di raggio r si puograve calcolare a partire dallrsquoaccellerazione centripeta secondo la legge fondamentale della dinamica

|rarr

cF | = m | rarr

ca | = m r

v2

Tale forza egrave diretta come lrsquoaccelerazione centripeta e cioegrave verso il centro della circonferenza che costituisce la traiettoria La forza centripeta egrave dunque una forza reale Con lsquoforza centrifugarsquo invece non ci si riferisce ad un forza che agisce su un corpo ma alla situazione apparente cui sembra sottoposto un corpo in moto curvilineo Esso pare tirato o attirato lontano dal centro di rotazione pare ci sia una lsquoforzarsquo che vuole farlo sfuggire Quando viene lasciato il martello si allontana dal centro di rotazione percheacute si muove di moto rettilineo uniforme non essendo piugrave soggetto a forze altre che la forza peso Lrsquoacqua esce dal cestello della lavatrice quando il cestello ruota velocemente (funzione centrifuga) percheacute lrsquoacqua che non costituisce un corpo solo con il cestello bucato non egrave soggetta alla forza centripeta e puograve passare attraverso i buchi I panni invece pure non parte del cestello sono troppo grandi per passare dai buchi si possono solo schiacciare contro le pareti questo schiacciamento sembra il risultato di una forza ma egrave invece il risultato dellrsquoassenza di una forza quella centripeta Una volta lagrave contro il cestello fanno tuttrsquouno con le pareti di metallo che esercitano su di essi la forza centripeta (cioegrave con direzione verso lrsquoasse di rotazione) che li mantiene in rotazione Le parti di un corpo rigido esteso che si muove di moto rotatorio rispetto ad un asse quale ad esempio la gamba di un giocatore di calcio che calcia un pallone sono soggette alla forza centripeta che le mantiene sulla traiettoria curva Tale forza viene trasmessa alle varie parti tramite le forze di tensione che si sviluppano allrsquointerno del corpo stesso ad esempio il piede egrave soggetto alla forza centrifuga tramite lrsquoazione dei legamenti e tendini a livello della caviglia che vengono messi in tensione per trattenere il piede stesso

xCDM = int xdvV

1 etc

In un oggetto solido (corpo rigido) i diversi punti materiali che lo compongono non cambiano la loro posizione relativa (non come un corpo elastico) - se un oggetto ha un elemento di simmetria un asse od un piano il CDM si trova su tale

elemento di simmetria (asse per cono centro per sfera piano per una banana etc) Non egrave detto che il CDM di un oggetto appartenga allrsquooggetto vedi uno pneumatico un cerchio Il CDM egrave esterno alloggetto Legge fondamentale della dinamica per un sistema di punti materiali Caso della palla da bigliardo urto fra due palle dopo il lancio di una le due si muovono 1) una egrave ferma (B) lrsquoaltra la lancio (A) 2) le due si urtano in qualunque modo 3) le due si muovono secondo traiettorie differenti una possibilmente andragrave in buca lrsquoaltra no Dopo il lancio sulla palla A non agisce piugrave nessuna forza quindi la sua velocitagrave v egrave costante Va bene ma dopo lrsquourto Il CDM delle due palle continua a muoversi con velocitagrave costante anche se il centro di massa egrave un punto teorico che non appartiene a nessuna delle due palle Tuttavia al CDM possiamo assegnare una massa (M totale del sistema) una velocitagrave ed una accellerazione Si ha

)(CDMext aMFrarrrarr

=sum

a) extFrarr

sum egrave la somma di tutte le forze esterne che agiscono sul sistema non quelle interne (ad esempio nel caso del bigliardo non devo considerare le forze che si applicano fra le due palle quando si urtano)

b) M egrave la massa totale del sistema Si suppone che durante il moto M rimanga costante

c) )(CDMararr

egrave lrsquoaccelerazione del CDM Dellrsquoaccellerazione di un altro punto ad esempio del centro della palla A non si dice nulla

Cosideriamo alcuni esempi 1) Bigliardo tvaF CDMCDMext cos00 ===sum prima dellrsquourto nellrsquourto si verificano solo forze

interne Quindi tvaF CDMCDMext cos00 ===sum dopo lrsquourto e durante tutto il moto

2) Sistema terra-luna sumFext = gravitazione del sole aCDM egrave ldquocentripetardquo accellerazione di una

forza che egrave diretta verso il sole (forza ldquocentralerdquo) egrave il CDM terra-luna che segue la traiettoria dovuta allrsquoattrazione gravitazionale del sole poi terra e luna si muovono intorno al loro CDM

3) Clavette lanciate sum Fext = Mg aCDM = g il centro di massa si comporta come un punto materiale nel lancio

4) La ballerina nel ldquogrand-fetegraverdquo fa seguire a testa e busto una traiettoria rettilinea percheacute modifica lrsquoassetto in modo da alzare il suo CDM Nel corso del salto (alza le braccia e distende

orizzontalmente le gambe non appena lasciato il suolo) il suo CDM segue la traiettoria parabolica del lancio di un corpo soggetto allrsquoaccelerazione di gravitagrave g

Quantitagrave di moto rarrP

- Si definisce quantitagrave di moto di una particella il vettore

rarrrarr= vmP

con m massa della particella e rarrv la sua velocitagrave

Si vede che rarrP egrave diretto come

rarrv

Newton scrisse la legge fondamentale della dinamica in termini di quantitagrave di moto (a differenza di Galileo che la scrisse in termini di massa e di accelerazione) ldquola rapiditagrave di variazione della quantitagrave di moto di una particella egrave proporzionale alla forza netta che agisce sulla particella ed egrave nella direzione di quella forzardquo cioegrave

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

che egrave piugrave generale della formulazione di Galileo perchegrave descrive bene anche il caso in cui variasse la massa del corpo durante il moto (ad esempio un vettore spaziale) Se la massa egrave costante le due formulazioni sono identiche

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

= t

vm

∆∆

rarr)(

= m t

v

∆∆

rarr

= m rarra

Ricordiamo che rarrF egrave diretto come

rarra (o la risultante

rarrR = sum

rarrF )

Per un sistema di punti materiali si definisce la quantitagrave di moto totale

rarrP =

rarrP 1 +

rarrP 2 + helliphellip+

rarrP n =

m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +helliphelliphellip+ mn

rarrv n = M

rarrv CDM (si puograve dimostrare) dove M egrave la massa totale

[essendo infatti Mrarrv CDM =

dt

d(M

rarrr CDM) =

dt

d(m1

rarrr 1 + m2

rarrr 2 +hellip) = m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +

hellip]

quindi rarrP = M

rarrv CDM per un sistema di particelle e

dt

Pdrarr

= M dt

d rarrv CDM = M

rarra CDM = sum

rarrF ext

Conservazione delle quantitagrave di moto

Per un sistema chiuso (M non varia) e isolato (sumrarrF ext = 0)

Allora

t

P

∆∆

rarr

= 0 rarrP = cost

rarrP i =

rarrP f

che sono tre modi equivalenti per dire che la quantitagrave di moto si conserva Vale per un sistema nel quale non agisca nessuna forza esterna netta Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica e la conservazione delle quantitagrave di moto sono due concetti fisici importantissimi Valgono sia per le palle da bigliardo che per qualunque altro sistema anche le galassie nellrsquouniverso Queste equazioni sono vettoriali Ciograve significa che rappresentano una terna di equazioni scalari ognuna valida sul proprio asse del sistema di riferimento (x y z)

Puograve accadere a seconda delle forze che agiscono nel sistema che la quantitagrave di moto si conservi in una direzione o in due e non in tutte e tre

Ad esempio se consideriamo una palla come un insieme di punti materiali la rarrF ext che agisce nel

sistema egrave mrarrg diretta lungo z senza componenti su x e y quindi

rarrP varia lungo z ma

non su x e y

Percheacute ldquocomplicarci la vitardquo con questa storia del CDM del sistema di particelle etchellip non bastava il moto del punto rappresentativo materiale Avevamo giagrave considerato il punto rappresentativo e avevamo svolto anche problemi sulla palla sul bilanciere e per altri oggetti Abbiamo sempre sbagliato La questione egrave se un corpo egrave rigido cioegrave se tutti i suoi punti si muovono mantenendo le loro distanze relative non crsquoegrave problema abbiamo solo visto che il punto materiale rappresentativo si chiama CDM ed abbiamo imparato a situarlo allrsquointerno del corpo Ma se il corpo non egrave rigido cioegrave se il suo CDM si sposta rispetto a lui stesso nel corso del moto la disposizione del corpo intorno al punto rappresentativo varia nel corso del tempo e le leggi di conservazione valgono per il CDM - Consideriamo ad esempio il teorema dellrsquoenergia cinetica che per un punto materiale si scrive Ltot = Kfin-K in = ∆ K (qui ovviamente non crsquoegrave da specificare lavoro delle forzeldquoesternerdquo percheacute essendo in un punto materiale che si assume infinitamente piccolo non ci sono forze ldquointernerdquo) Per analogia il teorema dellrsquoenergia cinetica si estende al caso di un insieme di punti materiali nel seguente modo

Ltot forze ext=rarrF extmiddot

rarrs CDM = ∆ KCDM

Dove s CDM egrave lo spostamento del centro di massa A titolo di esempio risolviamo il problema un giocatore di hockey su ghiaccio di massa M = 110Kg si muove verso la balaustra a bordo campo alla velocitagrave di 3msec Nellrsquoarrestarsi flettendo le braccia il suo CDM si sposta in avanti di 30cm Qual egrave la ∆ K del suo CDM durante la manovra

∆ KCDM = infin CDMCDM mvmv 22

2

1

2

1 minus =

= 0 - 2

1110 32 = -495 J

Fig 40

Sia L il lavoro delle forze esternerarrF ext (dirette come d

rarrx CDM ) allora

L = - Fext 03 = ∆ KCDM quindi

Fext =30

495

minusminus

= + 1650N

( si considera la forza esterna rarrF ext costante nellrsquointervallo dellrsquoarresto fatto che equivale a dire

che il giocatore si arresta con rarra CDM costante)

Dinamica e statica del corpo esteso Finora abbiamo sempre discusso del moto di un punto materiale (punto rappresentativo dicevamo sempre) In particolare abbiamo sempre applicato le forze a quel punto materiale quindi se diverse forze erano applicate esse concorrevano in quel punto ligrave e con le forze concorrenti sapevamo come calcolare la risultante con il metodo grafico o con quello numerico delle coordinate cartesiane Una volta calcolata la risultante applicata al punto si otteneva un moto di pura traslazione del punto (al massimo traslava lungo una traiettoria curva) senza rotazioni proprie del punto che non hanno neanche senso un punto che ruota su se stesso Come faccio ad accorgermi Un punto per definizione egrave infinitamente piccolo (Dicevamo infine che il punto egrave in equilibrio

traslazionale se la risultante rarrR delle forze applicate egrave nullo)

Consideriamo invece un corpo esteso Prima osservazione questo ha piugrave punti (direi infin ) a

cui la forza puograve essere applicata Prendiamo una racchetta da tennis ed una forza rarrF applicata il

moto che ne risulta dipende dal punto al quale viene applicata la forza rarrF

qui la racchetta trasla

Fig 41

stessa forza qui la racchetta ruota

Fig 42

Seconda osservazione Crsquoegrave un caso in cui le forze non possono essere fatte concorrere in un punto ed egrave quando sono parallele ed hanno rette di applicazione distinte Chiaramente non abbiamo mai dovuto considerare questo caso per il punto materiale percheacute per un punto non possono mai passare due rette parallele Ma per il corpo esteso So benissimo che se sono ferma con la macchina in

panne e la sto spingendo applicando una forza rarrF 1 sono contenta se qualcuno si affianca a me ed

esercitando una forza rarrF 2 lungo una direzione parallela a quella della mia mi aiuta a spingere In

particolare mi viene spontaneo dire che se F1 = F2 allora spingeremo con una forza doppia Ci saragrave quindi un modo per sommare due forze non concorrenti in un punto ma parallele e saragrave Ftot = F1+ F2 La retta di applicazione di Ftot divide il segmento congiungente i punti di applicazione di F1 ed F2 in due segmenti inversamente proporzionali allrsquointensitagrave delle forze F1 e F2 Terza osservazione se F1 = - F2 sono uguali in intensitagrave ma di verso opposto sempre lungo due rette di applicazione parallele passanti per un corpo esteso cosa succede La loro somma Ftot risultante saragrave 0 ma io so che il corpo non sta fermo sotto lrsquoazione di tali due forze ma ruoteragrave Concludo che le nozioni che ho acquisito finora vanno riviste ed ampliate o corrette o specificate per i corpi estesi ed inoltre che mi mancano totalmente i mezzi per descrivere le rotazioni dei corpi estesi Occorrono nuovi concetti nuove quantitagrave la forza non basta Prendo lrsquoesempio piugrave semplice dellrsquoaltalena con due bambini in due bracci uno piugrave leggero uno piugrave pesante

Fig 43 Qualitativamente so che percheacute lrsquoaltalena stia in equilibrio e non ruoti intorno al punto fisso non egrave necessario che i due bambini abbiano lo stesso peso (ugual massa) occorre che il bambino piugrave leggero sieda piugrave lontano rispetto al punto fisso (fulcro) La regola quantitativa dice che lrsquoaltalena egrave in equilibrio se il prodotto del peso per la distanza del fulcro egrave uguale PB dB = Pb

db Per generalizzare questa regola ai casi piugrave complessi occorre definire una nuova quantitagrave il momento di una forza Momento di una forza

Consideriamo una forza rarrF applicata ad un punto P ed un punto O Sia

rarrr

il vettore rarrOP allora il momento

rarrM di

rarrF rispetto ad O egrave

rarrM =

rarrr x

rarrF

e

|rarrr | middot |

rarrF | sin ϑ = |

rarrM |

Fig 44

oppure anche considerando la componente di rarrF perpendicolare ad

rarrr o di

rarrr

perpendicolare a rarrF r e rispetto a F

|rarrM | = |

rarrr | |

rarrF perp | |

rarrM | = |

rarrr perp| |

rarrF |

In generale si dice che il modulo del momento |rarrM | egrave il prodotto delle intensitagrave della forza per la

distanza dal punto della retta di applicazione della forza

Come vettore rarrM egrave perpendicolare al piano che contiene

rarrF ed

rarrr ed ha verso calcolato con la

regola della mano destra (con rarrr che si chiude su

rarrF )

La distanza rperp si chiama braccio della forza Si vede che il momento egrave nullo quando il braccio egrave nullo cioegrave quando il punto O si trova sulla retta di applicazione di F Il momento della forza peso P egrave nullo rispetto al baricentro che coincide con il centro di massa nel caso (praticamenteldquosemprerdquo) in cui il corpo non sia abbastanza esteso percheacute diversi punti del corpo risentano di una forza gravitazione differente Praticamente si deve parlare di galassie percheacute CDM e baricentro (BC) non coincidono Quindi la condizione del momento nullo della forza peso diventa un modo per definire il CDM come quel punto rispetto al quale la forza peso P ha momento nullo Per un corpo ldquoarticolatordquo estendiamo il concetto di forza normale come forza di contatto nellrsquoarticolazione utile cioegrave la forza che lrsquoarticolazione che si sta considerando esercita su quello che nellrsquoarticolazione si appoggia La forza peso P di un corpo esteso puograve immaginarsi applicata al CDM Principio di equilibrio di un corpo esteso

se su un corpo esteso agiscono solo rarr

Peso e rarr

Normale cioegrave se un corpo egrave appoggiato ad un piano orizzontale allora il corpo egrave in equilibrio se e solo se il baricentro si trova sopra la superficie di appoggio

Fig 45

Finchegrave il baricentro egrave sopra il tavolo il libro non cade percheacute rarrP applicata a CDM puograve essere

controbilanciata da rarrN Se CDM si sposta in fuori

rarrN rimane nel tavolo e crsquoegrave momento non nullo

non equilibrato da rarrP che continua ad essere applicato nel CDM

Il baricentro di una persona in posizione eretta si trova nellrsquoarea delimitata dei suoi piedi 3cm davanti allrsquoarticolazione della caviglia

Fig 46 Quando la persona si piega in avanti il baricentro esce dal corpo e per mantenere lrsquoequilibrio egrave necessario che le anche si spingono indietro percheacute il baricentro cade di nuovo in quella posizione Notiamo che anche in posizione eretta essendo la forza peso e la forza di contatto non allineate (quei 3cm) (forza di contatto sullrsquoarticolazione della caviglia che regge il peso) occorre un momento correttivo che impedisca la rotazione in avanti mantenuto dal tendine di Achille che si lega alla caviglia Altro esempio di spostamento del baricentro egrave lrsquoatleta che assume una posizione ad L chi regge il peso egrave lrsquoarticolazione della spalla quindi il CDM si sposta sotto la spalla (giagrave era uscita dal corpo per via delle gambe distese in avanti) Nel camminare il baricentro continua a muoversi da sopra un piede a sopra un altro (quello appoggiato ovviamente) Si osservi lrsquoondeggiamento Per assurdo lrsquoancheggiare delle indossatrici serve a mantenere il baricentro il piugrave possibile fermo rispetto alla direzione media del moto (porre un piede esattamente davanti allrsquoaltro) rendendo piugrave facile muoversi anche con tacchi altissimi Al contrario lrsquoequilibrista che cammina sui trampoli sta fermo il meno possibile percheacute egrave stando fermo che il piccolo spostamento che fa uscire il baricentro (ALTO) dalla superficie drsquoappoggio puograve verificarsi facilmente preferisce il ldquonon ndash equilibriordquo o lrsquo rdquoequilibrio dinamicordquo dellrsquoondeggiare continuamente fra due posizioni di equilibrio

Ricordiamo che un equilibrio egrave detto stabile se quando una perturbazione lo altera spontaneamente il sistema lo ripristina Viceversa un equilibrio egrave instabile se la piugrave piccola perturbazione lo distrugge Lrsquoequilibrio egrave molto stabile se il baricentro egrave basso ed il corpo ha una grande area drsquoappoggio la posizione accucciata del giocatore di football americano dagrave grande stabilitagrave Ancor piugrave grande stabilitagrave si ha se il baricentro (CDM) si trova al di sotto della superficie drsquoappoggio Ersquo come se si fosse ldquoappesirdquo anzicheacute ldquoappoggiatirdquo alla superficie drsquoappoggio Proprio per questo motivo lrsquoequilibrista sul filo porta una lunga asta che spesso si flette agli estremi

Fig 47 Gli uccelli bipedi da 100000000 di anni hanno sviluppato questo adattamento per cui sono appesi alle anche mentre gli uomini bipedi da solo 1000000 di anni fanno fatica con il CDM dalla parte alta del corpo Ersquo un equilibrio instabile ldquosoprardquo le anche che le reggono (65 del peso del corpo) Modificazioni strutturali per reggere la posizione eretta 1) Colonna vertebrale rastremata (piugrave tozza in basso che in alto percheacute piugrave in basso vuol dire una

maggior forza di contatto) 2) Muscoli estensori della schiena 3) Gambe ed anche ingrossate 4) Ginocchio che blocca la gamba estesa Ciononostante si ha spesso il mal di schiena Se una forza ha momento non nullo rispetto ad un punto allora il corpo puograve ruotare intorno a quel punto sotto lrsquoazione di quella forza ldquoDiciamo che se sostengo il corpo per quel punto il corpo puograve ruotare intorno a quel puntordquo (Prendo in mano un foglio di carta per un estremo per esempio) La presenza di un momento non nullo egrave dunque la condizione che genera rotazione e viceversa Lrsquoassenza di un momento risultante egrave la condizione che genera lrsquoequilibrio rotazionale di un corpo esteso Quindi la condizione di equilibrio per un corpo esteso egrave

1) rarrR = 0 risultante delle forze applicate = 0 (equilibrio traslazionale)

2) rarrM = 0 momento risultante = 0 (equilibrio rotazionale)

Supponiamo di avere un corpo esteso al quale siano applicate delle forze che diano luogo ad un momento non nullo allora il corpo ruota Per equilibrarlo dovrograve applicare un altro momento tale che la loro somma sia nulla Questo egrave il principio di funzionamento delle leve LEVE

Una leva egrave un corpo esteso al quale sono applicate delle forze con un momento risultante rarrR

allora per portare il corpo in equilibrio applico un momento correttivo rarrP in modo che il momento

totale sia nullo Si dice in genere potenza (P) e resistenza (R) di una leva Le leve sono macchine semplici Servono per applicare forze in punti scomodi o in direzioni particolari Il fulcro egrave il punto nel quale la leva egrave incernierata Si definisce il guadagno meccanico di una leva

GM =

)(

)(rarr

rarr

PF

RF

cioegrave il rapporto fra la forza che genera il momento resistente e quella che genera il momento agente A seconda che GM sia gt

lt 0 una leva si dice che egrave vantaggiosa o svantaggiosa ma solo per quel che riguarda le forze percheacute per quel che riguarda i lavori non si ha neacute vantaggio neacute svantaggio Il lavoro esercitato dalla forza che dagrave la ldquopotenzardquo e quello esercitato dalla forza che dagrave la ldquoresistenzardquo sono sempre uguali Infatti forze e spostamenti sono inversamente proporzionali Le leve si dicono di I II o III specie a seconda se il fulcro si trovi I) in mezzo fra R e P (leva indifferente GM dipende da caso a caso) II) dalla parte di R (leva vantaggiosa il braccio di R egrave sempre minore del braccio di P basta

quindi una P minore per equilibrare una R maggiore) III) dalla parte di P (leva svantaggiosa) Classici esempi dei tre tipi di leve sono i remi (I) lo schiaccianoci (II) e la pinzetta per francobolli (III) Tuttavia vediamo degli esempi meno classici ma attinenti al campo della biologia e della medicina Criterio generale egrave che le leve vantaggiose consentono di essere molto potenti ma con brevi spostamenti mentre viceversa quelle svantaggiose fanno perdere in potenza ma consentono grandi spostamenti saragrave difficile vedere un cavallo che con le lunghe zampe si scava la tana drsquoaltronde una talpa scava bene la tana ma ha movimenti molto meno ampi che non le consentono di correre veloce come un cavallo (compromesso fra forza e velocitagrave del movimento) Se contiamo tutti i movimenti di rotazione che il corpo puograve compiere capiamo che siamo pieni di leve di ogni tipo Sono classici a) il capo fulcro (articolazione occipito-atlantoide) Fig 48 muscoli della nuca (Potenza) peso del capo (Resistenza) b)

muscolo bicipide (Potenza)

Fig 49 Peso dellrsquoavambraccio (Resistenza) Fulcro (articolazione del gomito) Questa leva permette grandi spostamenti Si vede che la forza operata dal muscolo bicipite egrave massima quando lrsquoavambraccio egrave orizzontale (la distanza dal fulcro egrave massima) ed egrave minima quando lrsquoavambraccio egrave verticale( con la distanza dal fulcro nulla) Attenzione - la colonna vertebrale egrave costituita da 24 vertebre separate da dischi di liquido Quando una

persona si piega la schiena egrave una leva con GM molto piccolo Quindi un piegamento completo per raccogliere un oggetto anche leggero produce una forza molto intensa sul disco lombosacrale che separa lrsquoultima vertebra dellrsquoosso sacro Se indebolito questo disco puograve rompersi o deformarsi comprimendo i nervi vicini e causando grande dolore Vediamo un modello che rende conto come mai questa forza egrave cosigrave grande

Fig 50

I muscoli della schiena esercitano T Con un angolo α = 12deg quando la schiena egrave piegata a 90deg

Peso della parte superiore del corpo (circa il 65 del peso totale)

Fulcro lombosacrale (il fulcro produce R) Essendo α piccolo la retta di azione Τ passa vicino al fulcro e dunque la distanza r che costituisce il suo braccio egrave molto piccola Al contrario il peso egrave perpendicolare alla colonna e il suo punto di applicazione egrave molto piugrave distante dal fulcro Τ deve essere molto grande per equilibrare il momento di P Dunque se T egrave grande anche la sua componente orizzontale egrave grande e di conseguenza anche R che costituisce la reazione dellrsquoosso sacro deve avere componente orizzontale molto grande per equilibrare Τ (uguale ed opposta alla componente orizzontale di Τ ) Facendo i conti si ottengono numeri grandi per 75Kg di peso T ed R sono equivalenti al peso di una massa di 220Kg Senza sollevare pesi solo piegandosi Conviene piegare le ginocchia quando si sollevano pesi - Nel corpo egrave difficile che il peso cada sulla verticale dellrsquoarticolazione che lo sostiene egrave sempre

un porsquo spostato e crsquoegrave un tendine con un muscolo che compensa il momento del peso - La contrazione muscolare egrave una successione di brevi contrazioni delle fibre muscolari stimolate

da impulsi che provengono dal sistema nervoso Contrazioni sono molto ravvicinate e avvengono in tempi differenti nelle diverse parti del muscolo cosigrave che il risultato apparente egrave una lenta e progressiva contrazione Se la frequenza degli impulsi aumenta la tensione cresce finchegrave si raggiunge la tensione massima (ricordare la tensione di un cavo) Un ulteriore aumento della frequenza degli impulsi a questo punto non causa ulteriore aumento della tensione

La tensione massima egrave proporzionale allrsquoarea della sezione trasversa del muscolo nel suo punto piugrave largo La tensione massima dipende anche dalla lunghezza del muscolo che varia Si ottiene tensione massima quando il muscolo egrave solo di poco allungato rispetto alla sua lunghezza di riposo di riposo ed egrave circa 30-40 Ncm2 La tensione massima si riduce moltissimo se il muscolo egrave molto allungato o accorciato Dinamica Rotatoria Fino ad ora abbiamo studiato moti traslatori ma il moto di un corpo rigido egrave in generale roto-traslatorio Naturalmente dobbiamo ridurre il problema complesso ad uno piugrave semplice e per fare ciograve immaginiamo di posizionarci su un sistema di riferimento solidale al corpo rigido i moto immaginiamo cioegrave di ldquosedercirdquo sul corpo rigido In questo modo non saremo piugrave sensibili al moto traslatorio e guardando il corpo rigido osserveremo solo le sue rotazioni Trattiamo allora il moto generico scomponendo la parte traslatoria (giagrave discussa ) da quella rotatoria Se si trascura la parte traslatoria del moto di un corpo rigido quello che rimane da trattare egrave la sua rotazione Nel nostro corso consideriamo le rotazioni che avvengono su un piano le rotazioni nello spazio potranno essere trattate come composizione di rotazioni su un piano Per le rotazioni su un piano si identifica un asse di rotazione perpendicolare al piano di rotazione e passante per il centro di rotazione Le articolazioni del gomito e del ginocchio sono articolazioni libere di ruotare intorno ad un asse a differenza ad esempio di quella della spalla che puograve ruotare intorno a due assi Si definisce spostamento angolare la variazione di una posizione che egrave definita in modo completo da una misura di angolo Una rotazione di un intero corpo rigido egrave definita in modo completo da uno spostamento angolare θfin - θin= ∆θ e si misura in radianti

Fig 51 Dobbiamo definire anche un verso di rotazione θ si incrementa per rotazioni antiorarie positive le rotazioni in senso orario sono invece negative La velocitagrave angolare si definisce analogamente alla velocitagrave lineare come il rapporto tra lo spostamento angolare e il tempo t impiegato per eseguire tale rotazione

ωm = t∆

∆θ e si misura in rad s

θin

θfin ∆θ

R

S

Anche per w si definisce ωist = lim ∆trarr0 t∆

∆θ

Ancora lrsquoaccelerazione angolare si definisce αm = t∆

∆ω e αist = lim ∆trarr0

t∆∆ω

Anche la legge fondamentale della dinamica ha un analogo nel ambito dei moti rotatori Si stabilisce che se ad un corpo rigido egrave soggetto ad un momento torcente diverso da zero esso subisce unrsquoaccelerazione angolare ad esso proporzionale Nel caso delle rotazioni la resistenza al moto egrave espressa dal momento di inerzia I associato al corpo rigido che gioca il ruolo della massa nei moti traslatori La legge della dinamica delle rotazioni egrave M = I middotα

E sostituendo M = Imiddott∆

∆ω= Imiddot

tinfin

∆minusωω

Il momento di inerzia I di un corpo rigido dipende dalla disposizione della massa del corpo rispetto allrsquoasse di rotazione per una massa puntiforme m a distanza R dallrsquoasse di rotazione I= m R2 per un oggetto esteso sommerograve il momento drsquoinerzia delle sue parti I = Σi mi Ri

2 Se si definisce momento angolare L il prodotto del momento drsquoinerzia per la velocitagrave angolare

L=Iω la legge della dinamica diventa

M = t

LL infin

∆minus

Il momento angolare egrave la grandezza fisica che si conserva se non viene applicato momento torcente Tutti i gesti di volo salti lanci tuffihellip sono azioni nelle quali si conserva il momento angolare Infatti in volo agisce solo la forza di gravitagrave che essendo applicata al CDM non genera momento torcente Il corpo umano nei gesti di volo Il corpo umano non egrave rigido e pertanto in volo agendo con i muscoli possiamo cambiare la disposizione del nostro corpo intorno al centro di massa che in volo coincide col centro di rotazione In questo modo si ottiene una variazione del momento di inerzia I e di conseguenza la velocitagrave angolare deve compensare questa variazione in modo che si mantenga costante il momento angolare L (grandezza che si conserva in assenza di momento torcente) Ersquo questo il principio che spiega il realizzarsi delle trottole sul ghiaccio dei salti mortali tuffi con avvitamento e cosigrave via in posizione raccolta I diminuisce e ω aumenta Moto circolare e moto circolare uniforme Per utilizzare le relazioni della cinematica e della dinamica lineare che abbiamo studiato egrave interessante poter passare dalle variabili angolari alle variabili lineari velocitagrave e accelerazione delle

masse in moto rotatorio Se una massa si muove su una traiettoria curva la velocitagrave tangenziale vt diretta come la tangente alla traiettoria dipende dalla velocitagrave angolare ω ( ωm=ϑ t )e dal raggio di curvatura della traiettoria Se la traiettoria egrave una circonferenza di raggio R e se gli angoli sono espressi in radianti lrsquoarco percorso per uno spostamento angolare ϑ egrave S = ϑ sdotR e la velocitagrave lineare tangente vt = St= ϑ sdotRt risulta vt = ωsdotR Se la velocitagrave angolare ω egrave costante il moto egrave detto circolare uniforme La legge oraria egrave quella dei moti uniformi spostamenti angolari uguali in tempi uguali ϑ(t) = ω t Anche la velocitagrave tangente saragrave di intensitagrave costante se ω egrave costante (archi uguali per tempi uguali s(t) = vt (t) ) ma crsquoegrave una accelerazione normale infatti la velocitagrave anche se non cambia in modulo cambia continuamente di direzione Questa accelerazione si dice centripeta egrave diretta normalmente rispetto alla traiettoria verso il centro della circonferenza e vale in modulo

ac=R

v2

Fig 52 Essendo la velocitagrave tangente vt = ωR Lrsquo accelerazione centripeta si puograve scrivere

ac =R

v2

= ω2 R

Il tempo impiegato dal punto a muoversi sulla circonferenza egrave una costante (moto uniforme) T periodo in T viene percorso uno spazio 2π R

v = T

Rπ2

La frequenza f egrave invece il ndeg di giri al secondo

f =T

1

Se si prendono punti diversi sul raggio della circonferenza questi hanno la stessa velocitagrave angolare e velocitagrave tangenziali crescenti al crescere del raggio Esempio carosello dei pattinatori Esercizi

1- un velocista con una velocitagrave di 10 ms viaggia su una curva di raggio 25m ndash accelerazione

a = R

v2

= 25

100 = 4 ms2

2 ndash un velocista con v = 92 ms su una pista circolare con ac = 38 m s2 ndash Raggio della pista Tempo per percorrere un giro completo

a = R

v2

rArr R = a

v2

= 83

)29( 2

= 2227m

T =v

Rπ2 =

29

27222 lowastπ = 152 sec

Forza centripeta forza centrifuga Una forza centripeta egrave una forza di qualunque natura che trattiene un corpo in moto su una traiettoria curvilinea ad esempio circolare In assenza di tale forza il corpo proseguirebbe il suo moto lungo una traiettoria rettilinea Nel gesto del lancio del martello ad esempio il lanciatore che esercita sul peso in cima allrsquoattrezzo una forza mediata dalla tensione dal cavo che lo trattiene nella traiettoria circolare Quando il lanciatore lascia la maniglia il martello viene lanciato lungo la direzione della tangente alla traiettoria nellrsquoistante di rilascio Lrsquointensitagrave della forza centripeta necessaria a mantenere una massa m in moto con velocitagrave tangente v lungo una traiettoria circolare di raggio r si puograve calcolare a partire dallrsquoaccellerazione centripeta secondo la legge fondamentale della dinamica

|rarr

cF | = m | rarr

ca | = m r

v2

Tale forza egrave diretta come lrsquoaccelerazione centripeta e cioegrave verso il centro della circonferenza che costituisce la traiettoria La forza centripeta egrave dunque una forza reale Con lsquoforza centrifugarsquo invece non ci si riferisce ad un forza che agisce su un corpo ma alla situazione apparente cui sembra sottoposto un corpo in moto curvilineo Esso pare tirato o attirato lontano dal centro di rotazione pare ci sia una lsquoforzarsquo che vuole farlo sfuggire Quando viene lasciato il martello si allontana dal centro di rotazione percheacute si muove di moto rettilineo uniforme non essendo piugrave soggetto a forze altre che la forza peso Lrsquoacqua esce dal cestello della lavatrice quando il cestello ruota velocemente (funzione centrifuga) percheacute lrsquoacqua che non costituisce un corpo solo con il cestello bucato non egrave soggetta alla forza centripeta e puograve passare attraverso i buchi I panni invece pure non parte del cestello sono troppo grandi per passare dai buchi si possono solo schiacciare contro le pareti questo schiacciamento sembra il risultato di una forza ma egrave invece il risultato dellrsquoassenza di una forza quella centripeta Una volta lagrave contro il cestello fanno tuttrsquouno con le pareti di metallo che esercitano su di essi la forza centripeta (cioegrave con direzione verso lrsquoasse di rotazione) che li mantiene in rotazione Le parti di un corpo rigido esteso che si muove di moto rotatorio rispetto ad un asse quale ad esempio la gamba di un giocatore di calcio che calcia un pallone sono soggette alla forza centripeta che le mantiene sulla traiettoria curva Tale forza viene trasmessa alle varie parti tramite le forze di tensione che si sviluppano allrsquointerno del corpo stesso ad esempio il piede egrave soggetto alla forza centrifuga tramite lrsquoazione dei legamenti e tendini a livello della caviglia che vengono messi in tensione per trattenere il piede stesso

orizzontalmente le gambe non appena lasciato il suolo) il suo CDM segue la traiettoria parabolica del lancio di un corpo soggetto allrsquoaccelerazione di gravitagrave g

Quantitagrave di moto rarrP

- Si definisce quantitagrave di moto di una particella il vettore

rarrrarr= vmP

con m massa della particella e rarrv la sua velocitagrave

Si vede che rarrP egrave diretto come

rarrv

Newton scrisse la legge fondamentale della dinamica in termini di quantitagrave di moto (a differenza di Galileo che la scrisse in termini di massa e di accelerazione) ldquola rapiditagrave di variazione della quantitagrave di moto di una particella egrave proporzionale alla forza netta che agisce sulla particella ed egrave nella direzione di quella forzardquo cioegrave

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

che egrave piugrave generale della formulazione di Galileo perchegrave descrive bene anche il caso in cui variasse la massa del corpo durante il moto (ad esempio un vettore spaziale) Se la massa egrave costante le due formulazioni sono identiche

sumrarrF =

t

P

∆∆

rarr

= t

vm

∆∆

rarr)(

= m t

v

∆∆

rarr

= m rarra

Ricordiamo che rarrF egrave diretto come

rarra (o la risultante

rarrR = sum

rarrF )

Per un sistema di punti materiali si definisce la quantitagrave di moto totale

rarrP =

rarrP 1 +

rarrP 2 + helliphellip+

rarrP n =

m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +helliphelliphellip+ mn

rarrv n = M

rarrv CDM (si puograve dimostrare) dove M egrave la massa totale

[essendo infatti Mrarrv CDM =

dt

d(M

rarrr CDM) =

dt

d(m1

rarrr 1 + m2

rarrr 2 +hellip) = m1

rarrv 1 + m2

rarrv 2 +

hellip]

quindi rarrP = M

rarrv CDM per un sistema di particelle e

dt

Pdrarr

= M dt

d rarrv CDM = M

rarra CDM = sum

rarrF ext

Conservazione delle quantitagrave di moto

Per un sistema chiuso (M non varia) e isolato (sumrarrF ext = 0)

Allora

t

P

∆∆

rarr

= 0 rarrP = cost

rarrP i =

rarrP f

che sono tre modi equivalenti per dire che la quantitagrave di moto si conserva Vale per un sistema nel quale non agisca nessuna forza esterna netta Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica e la conservazione delle quantitagrave di moto sono due concetti fisici importantissimi Valgono sia per le palle da bigliardo che per qualunque altro sistema anche le galassie nellrsquouniverso Queste equazioni sono vettoriali Ciograve significa che rappresentano una terna di equazioni scalari ognuna valida sul proprio asse del sistema di riferimento (x y z)

Puograve accadere a seconda delle forze che agiscono nel sistema che la quantitagrave di moto si conservi in una direzione o in due e non in tutte e tre

Ad esempio se consideriamo una palla come un insieme di punti materiali la rarrF ext che agisce nel

sistema egrave mrarrg diretta lungo z senza componenti su x e y quindi

rarrP varia lungo z ma

non su x e y

Percheacute ldquocomplicarci la vitardquo con questa storia del CDM del sistema di particelle etchellip non bastava il moto del punto rappresentativo materiale Avevamo giagrave considerato il punto rappresentativo e avevamo svolto anche problemi sulla palla sul bilanciere e per altri oggetti Abbiamo sempre sbagliato La questione egrave se un corpo egrave rigido cioegrave se tutti i suoi punti si muovono mantenendo le loro distanze relative non crsquoegrave problema abbiamo solo visto che il punto materiale rappresentativo si chiama CDM ed abbiamo imparato a situarlo allrsquointerno del corpo Ma se il corpo non egrave rigido cioegrave se il suo CDM si sposta rispetto a lui stesso nel corso del moto la disposizione del corpo intorno al punto rappresentativo varia nel corso del tempo e le leggi di conservazione valgono per il CDM - Consideriamo ad esempio il teorema dellrsquoenergia cinetica che per un punto materiale si scrive Ltot = Kfin-K in = ∆ K (qui ovviamente non crsquoegrave da specificare lavoro delle forzeldquoesternerdquo percheacute essendo in un punto materiale che si assume infinitamente piccolo non ci sono forze ldquointernerdquo) Per analogia il teorema dellrsquoenergia cinetica si estende al caso di un insieme di punti materiali nel seguente modo

Ltot forze ext=rarrF extmiddot

rarrs CDM = ∆ KCDM

Dove s CDM egrave lo spostamento del centro di massa A titolo di esempio risolviamo il problema un giocatore di hockey su ghiaccio di massa M = 110Kg si muove verso la balaustra a bordo campo alla velocitagrave di 3msec Nellrsquoarrestarsi flettendo le braccia il suo CDM si sposta in avanti di 30cm Qual egrave la ∆ K del suo CDM durante la manovra

∆ KCDM = infin CDMCDM mvmv 22

2

1

2

1 minus =

= 0 - 2

1110 32 = -495 J

Fig 40

Sia L il lavoro delle forze esternerarrF ext (dirette come d

rarrx CDM ) allora

L = - Fext 03 = ∆ KCDM quindi

Fext =30

495

minusminus

= + 1650N

( si considera la forza esterna rarrF ext costante nellrsquointervallo dellrsquoarresto fatto che equivale a dire

che il giocatore si arresta con rarra CDM costante)

Dinamica e statica del corpo esteso Finora abbiamo sempre discusso del moto di un punto materiale (punto rappresentativo dicevamo sempre) In particolare abbiamo sempre applicato le forze a quel punto materiale quindi se diverse forze erano applicate esse concorrevano in quel punto ligrave e con le forze concorrenti sapevamo come calcolare la risultante con il metodo grafico o con quello numerico delle coordinate cartesiane Una volta calcolata la risultante applicata al punto si otteneva un moto di pura traslazione del punto (al massimo traslava lungo una traiettoria curva) senza rotazioni proprie del punto che non hanno neanche senso un punto che ruota su se stesso Come faccio ad accorgermi Un punto per definizione egrave infinitamente piccolo (Dicevamo infine che il punto egrave in equilibrio

traslazionale se la risultante rarrR delle forze applicate egrave nullo)

Consideriamo invece un corpo esteso Prima osservazione questo ha piugrave punti (direi infin ) a

cui la forza puograve essere applicata Prendiamo una racchetta da tennis ed una forza rarrF applicata il

moto che ne risulta dipende dal punto al quale viene applicata la forza rarrF

qui la racchetta trasla

Fig 41

stessa forza qui la racchetta ruota

Fig 42

Seconda osservazione Crsquoegrave un caso in cui le forze non possono essere fatte concorrere in un punto ed egrave quando sono parallele ed hanno rette di applicazione distinte Chiaramente non abbiamo mai dovuto considerare questo caso per il punto materiale percheacute per un punto non possono mai passare due rette parallele Ma per il corpo esteso So benissimo che se sono ferma con la macchina in

panne e la sto spingendo applicando una forza rarrF 1 sono contenta se qualcuno si affianca a me ed

esercitando una forza rarrF 2 lungo una direzione parallela a quella della mia mi aiuta a spingere In

particolare mi viene spontaneo dire che se F1 = F2 allora spingeremo con una forza doppia Ci saragrave quindi un modo per sommare due forze non concorrenti in un punto ma parallele e saragrave Ftot = F1+ F2 La retta di applicazione di Ftot divide il segmento congiungente i punti di applicazione di F1 ed F2 in due segmenti inversamente proporzionali allrsquointensitagrave delle forze F1 e F2 Terza osservazione se F1 = - F2 sono uguali in intensitagrave ma di verso opposto sempre lungo due rette di applicazione parallele passanti per un corpo esteso cosa succede La loro somma Ftot risultante saragrave 0 ma io so che il corpo non sta fermo sotto lrsquoazione di tali due forze ma ruoteragrave Concludo che le nozioni che ho acquisito finora vanno riviste ed ampliate o corrette o specificate per i corpi estesi ed inoltre che mi mancano totalmente i mezzi per descrivere le rotazioni dei corpi estesi Occorrono nuovi concetti nuove quantitagrave la forza non basta Prendo lrsquoesempio piugrave semplice dellrsquoaltalena con due bambini in due bracci uno piugrave leggero uno piugrave pesante

Fig 43 Qualitativamente so che percheacute lrsquoaltalena stia in equilibrio e non ruoti intorno al punto fisso non egrave necessario che i due bambini abbiano lo stesso peso (ugual massa) occorre che il bambino piugrave leggero sieda piugrave lontano rispetto al punto fisso (fulcro) La regola quantitativa dice che lrsquoaltalena egrave in equilibrio se il prodotto del peso per la distanza del fulcro egrave uguale PB dB = Pb

db Per generalizzare questa regola ai casi piugrave complessi occorre definire una nuova quantitagrave il momento di una forza Momento di una forza

Consideriamo una forza rarrF applicata ad un punto P ed un punto O Sia

rarrr

il vettore rarrOP allora il momento

rarrM di

rarrF rispetto ad O egrave

rarrM =

rarrr x

rarrF

e

|rarrr | middot |

rarrF | sin ϑ = |

rarrM |

Fig 44

oppure anche considerando la componente di rarrF perpendicolare ad

rarrr o di

rarrr

perpendicolare a rarrF r e rispetto a F

|rarrM | = |

rarrr | |

rarrF perp | |

rarrM | = |

rarrr perp| |

rarrF |

In generale si dice che il modulo del momento |rarrM | egrave il prodotto delle intensitagrave della forza per la

distanza dal punto della retta di applicazione della forza

Come vettore rarrM egrave perpendicolare al piano che contiene

rarrF ed

rarrr ed ha verso calcolato con la

regola della mano destra (con rarrr che si chiude su

rarrF )

La distanza rperp si chiama braccio della forza Si vede che il momento egrave nullo quando il braccio egrave nullo cioegrave quando il punto O si trova sulla retta di applicazione di F Il momento della forza peso P egrave nullo rispetto al baricentro che coincide con il centro di massa nel caso (praticamenteldquosemprerdquo) in cui il corpo non sia abbastanza esteso percheacute diversi punti del corpo risentano di una forza gravitazione differente Praticamente si deve parlare di galassie percheacute CDM e baricentro (BC) non coincidono Quindi la condizione del momento nullo della forza peso diventa un modo per definire il CDM come quel punto rispetto al quale la forza peso P ha momento nullo Per un corpo ldquoarticolatordquo estendiamo il concetto di forza normale come forza di contatto nellrsquoarticolazione utile cioegrave la forza che lrsquoarticolazione che si sta considerando esercita su quello che nellrsquoarticolazione si appoggia La forza peso P di un corpo esteso puograve immaginarsi applicata al CDM Principio di equilibrio di un corpo esteso

se su un corpo esteso agiscono solo rarr

Peso e rarr

Normale cioegrave se un corpo egrave appoggiato ad un piano orizzontale allora il corpo egrave in equilibrio se e solo se il baricentro si trova sopra la superficie di appoggio

Fig 45

Finchegrave il baricentro egrave sopra il tavolo il libro non cade percheacute rarrP applicata a CDM puograve essere

controbilanciata da rarrN Se CDM si sposta in fuori

rarrN rimane nel tavolo e crsquoegrave momento non nullo

non equilibrato da rarrP che continua ad essere applicato nel CDM

Il baricentro di una persona in posizione eretta si trova nellrsquoarea delimitata dei suoi piedi 3cm davanti allrsquoarticolazione della caviglia

Fig 46 Quando la persona si piega in avanti il baricentro esce dal corpo e per mantenere lrsquoequilibrio egrave necessario che le anche si spingono indietro percheacute il baricentro cade di nuovo in quella posizione Notiamo che anche in posizione eretta essendo la forza peso e la forza di contatto non allineate (quei 3cm) (forza di contatto sullrsquoarticolazione della caviglia che regge il peso) occorre un momento correttivo che impedisca la rotazione in avanti mantenuto dal tendine di Achille che si lega alla caviglia Altro esempio di spostamento del baricentro egrave lrsquoatleta che assume una posizione ad L chi regge il peso egrave lrsquoarticolazione della spalla quindi il CDM si sposta sotto la spalla (giagrave era uscita dal corpo per via delle gambe distese in avanti) Nel camminare il baricentro continua a muoversi da sopra un piede a sopra un altro (quello appoggiato ovviamente) Si osservi lrsquoondeggiamento Per assurdo lrsquoancheggiare delle indossatrici serve a mantenere il baricentro il piugrave possibile fermo rispetto alla direzione media del moto (porre un piede esattamente davanti allrsquoaltro) rendendo piugrave facile muoversi anche con tacchi altissimi Al contrario lrsquoequilibrista che cammina sui trampoli sta fermo il meno possibile percheacute egrave stando fermo che il piccolo spostamento che fa uscire il baricentro (ALTO) dalla superficie drsquoappoggio puograve verificarsi facilmente preferisce il ldquonon ndash equilibriordquo o lrsquo rdquoequilibrio dinamicordquo dellrsquoondeggiare continuamente fra due posizioni di equilibrio

Ricordiamo che un equilibrio egrave detto stabile se quando una perturbazione lo altera spontaneamente il sistema lo ripristina Viceversa un equilibrio egrave instabile se la piugrave piccola perturbazione lo distrugge Lrsquoequilibrio egrave molto stabile se il baricentro egrave basso ed il corpo ha una grande area drsquoappoggio la posizione accucciata del giocatore di football americano dagrave grande stabilitagrave Ancor piugrave grande stabilitagrave si ha se il baricentro (CDM) si trova al di sotto della superficie drsquoappoggio Ersquo come se si fosse ldquoappesirdquo anzicheacute ldquoappoggiatirdquo alla superficie drsquoappoggio Proprio per questo motivo lrsquoequilibrista sul filo porta una lunga asta che spesso si flette agli estremi

Fig 47 Gli uccelli bipedi da 100000000 di anni hanno sviluppato questo adattamento per cui sono appesi alle anche mentre gli uomini bipedi da solo 1000000 di anni fanno fatica con il CDM dalla parte alta del corpo Ersquo un equilibrio instabile ldquosoprardquo le anche che le reggono (65 del peso del corpo) Modificazioni strutturali per reggere la posizione eretta 1) Colonna vertebrale rastremata (piugrave tozza in basso che in alto percheacute piugrave in basso vuol dire una

maggior forza di contatto) 2) Muscoli estensori della schiena 3) Gambe ed anche ingrossate 4) Ginocchio che blocca la gamba estesa Ciononostante si ha spesso il mal di schiena Se una forza ha momento non nullo rispetto ad un punto allora il corpo puograve ruotare intorno a quel punto sotto lrsquoazione di quella forza ldquoDiciamo che se sostengo il corpo per quel punto il corpo puograve ruotare intorno a quel puntordquo (Prendo in mano un foglio di carta per un estremo per esempio) La presenza di un momento non nullo egrave dunque la condizione che genera rotazione e viceversa Lrsquoassenza di un momento risultante egrave la condizione che genera lrsquoequilibrio rotazionale di un corpo esteso Quindi la condizione di equilibrio per un corpo esteso egrave

1) rarrR = 0 risultante delle forze applicate = 0 (equilibrio traslazionale)

2) rarrM = 0 momento risultante = 0 (equilibrio rotazionale)

Supponiamo di avere un corpo esteso al quale siano applicate delle forze che diano luogo ad un momento non nullo allora il corpo ruota Per equilibrarlo dovrograve applicare un altro momento tale che la loro somma sia nulla Questo egrave il principio di funzionamento delle leve LEVE

Una leva egrave un corpo esteso al quale sono applicate delle forze con un momento risultante rarrR

allora per portare il corpo in equilibrio applico un momento correttivo rarrP in modo che il momento

totale sia nullo Si dice in genere potenza (P) e resistenza (R) di una leva Le leve sono macchine semplici Servono per applicare forze in punti scomodi o in direzioni particolari Il fulcro egrave il punto nel quale la leva egrave incernierata Si definisce il guadagno meccanico di una leva

GM =

)(

)(rarr

rarr

PF

RF

cioegrave il rapporto fra la forza che genera il momento resistente e quella che genera il momento agente A seconda che GM sia gt

lt 0 una leva si dice che egrave vantaggiosa o svantaggiosa ma solo per quel che riguarda le forze percheacute per quel che riguarda i lavori non si ha neacute vantaggio neacute svantaggio Il lavoro esercitato dalla forza che dagrave la ldquopotenzardquo e quello esercitato dalla forza che dagrave la ldquoresistenzardquo sono sempre uguali Infatti forze e spostamenti sono inversamente proporzionali Le leve si dicono di I II o III specie a seconda se il fulcro si trovi I) in mezzo fra R e P (leva indifferente GM dipende da caso a caso) II) dalla parte di R (leva vantaggiosa il braccio di R egrave sempre minore del braccio di P basta

quindi una P minore per equilibrare una R maggiore) III) dalla parte di P (leva svantaggiosa) Classici esempi dei tre tipi di leve sono i remi (I) lo schiaccianoci (II) e la pinzetta per francobolli (III) Tuttavia vediamo degli esempi meno classici ma attinenti al campo della biologia e della medicina Criterio generale egrave che le leve vantaggiose consentono di essere molto potenti ma con brevi spostamenti mentre viceversa quelle svantaggiose fanno perdere in potenza ma consentono grandi spostamenti saragrave difficile vedere un cavallo che con le lunghe zampe si scava la tana drsquoaltronde una talpa scava bene la tana ma ha movimenti molto meno ampi che non le consentono di correre veloce come un cavallo (compromesso fra forza e velocitagrave del movimento) Se contiamo tutti i movimenti di rotazione che il corpo puograve compiere capiamo che siamo pieni di leve di ogni tipo Sono classici a) il capo fulcro (articolazione occipito-atlantoide) Fig 48 muscoli della nuca (Potenza) peso del capo (Resistenza) b)

muscolo bicipide (Potenza)

Fig 49 Peso dellrsquoavambraccio (Resistenza) Fulcro (articolazione del gomito) Questa leva permette grandi spostamenti Si vede che la forza operata dal muscolo bicipite egrave massima quando lrsquoavambraccio egrave orizzontale (la distanza dal fulcro egrave massima) ed egrave minima quando lrsquoavambraccio egrave verticale( con la distanza dal fulcro nulla) Attenzione - la colonna vertebrale egrave costituita da 24 vertebre separate da dischi di liquido Quando una

persona si piega la schiena egrave una leva con GM molto piccolo Quindi un piegamento completo per raccogliere un oggetto anche leggero produce una forza molto intensa sul disco lombosacrale che separa lrsquoultima vertebra dellrsquoosso sacro Se indebolito questo disco puograve rompersi o deformarsi comprimendo i nervi vicini e causando grande dolore Vediamo un modello che rende conto come mai questa forza egrave cosigrave grande

Fig 50

I muscoli della schiena esercitano T Con un angolo α = 12deg quando la schiena egrave piegata a 90deg

Peso della parte superiore del corpo (circa il 65 del peso totale)

Fulcro lombosacrale (il fulcro produce R) Essendo α piccolo la retta di azione Τ passa vicino al fulcro e dunque la distanza r che costituisce il suo braccio egrave molto piccola Al contrario il peso egrave perpendicolare alla colonna e il suo punto di applicazione egrave molto piugrave distante dal fulcro Τ deve essere molto grande per equilibrare il momento di P Dunque se T egrave grande anche la sua componente orizzontale egrave grande e di conseguenza anche R che costituisce la reazione dellrsquoosso sacro deve avere componente orizzontale molto grande per equilibrare Τ (uguale ed opposta alla componente orizzontale di Τ ) Facendo i conti si ottengono numeri grandi per 75Kg di peso T ed R sono equivalenti al peso di una massa di 220Kg Senza sollevare pesi solo piegandosi Conviene piegare le ginocchia quando si sollevano pesi - Nel corpo egrave difficile che il peso cada sulla verticale dellrsquoarticolazione che lo sostiene egrave sempre

un porsquo spostato e crsquoegrave un tendine con un muscolo che compensa il momento del peso - La contrazione muscolare egrave una successione di brevi contrazioni delle fibre muscolari stimolate

da impulsi che provengono dal sistema nervoso Contrazioni sono molto ravvicinate e avvengono in tempi differenti nelle diverse parti del muscolo cosigrave che il risultato apparente egrave una lenta e progressiva contrazione Se la frequenza degli impulsi aumenta la tensione cresce finchegrave si raggiunge la tensione massima (ricordare la tensione di un cavo) Un ulteriore aumento della frequenza degli impulsi a questo punto non causa ulteriore aumento della tensione

La tensione massima egrave proporzionale allrsquoarea della sezione trasversa del muscolo nel suo punto piugrave largo La tensione massima dipende anche dalla lunghezza del muscolo che varia Si ottiene tensione massima quando il muscolo egrave solo di poco allungato rispetto alla sua lunghezza di riposo di riposo ed egrave circa 30-40 Ncm2 La tensione massima si riduce moltissimo se il muscolo egrave molto allungato o accorciato Dinamica Rotatoria Fino ad ora abbiamo studiato moti traslatori ma il moto di un corpo rigido egrave in generale roto-traslatorio Naturalmente dobbiamo ridurre il problema complesso ad uno piugrave semplice e per fare ciograve immaginiamo di posizionarci su un sistema di riferimento solidale al corpo rigido i moto immaginiamo cioegrave di ldquosedercirdquo sul corpo rigido In questo modo non saremo piugrave sensibili al moto traslatorio e guardando il corpo rigido osserveremo solo le sue rotazioni Trattiamo allora il moto generico scomponendo la parte traslatoria (giagrave discussa ) da quella rotatoria Se si trascura la parte traslatoria del moto di un corpo rigido quello che rimane da trattare egrave la sua rotazione Nel nostro corso consideriamo le rotazioni che avvengono su un piano le rotazioni nello spazio potranno essere trattate come composizione di rotazioni su un piano Per le rotazioni su un piano si identifica un asse di rotazione perpendicolare al piano di rotazione e passante per il centro di rotazione Le articolazioni del gomito e del ginocchio sono articolazioni libere di ruotare intorno ad un asse a differenza ad esempio di quella della spalla che puograve ruotare intorno a due assi Si definisce spostamento angolare la variazione di una posizione che egrave definita in modo completo da una misura di angolo Una rotazione di un intero corpo rigido egrave definita in modo completo da uno spostamento angolare θfin - θin= ∆θ e si misura in radianti

Fig 51 Dobbiamo definire anche un verso di rotazione θ si incrementa per rotazioni antiorarie positive le rotazioni in senso orario sono invece negative La velocitagrave angolare si definisce analogamente alla velocitagrave lineare come il rapporto tra lo spostamento angolare e il tempo t impiegato per eseguire tale rotazione

ωm = t∆

∆θ e si misura in rad s

θin

θfin ∆θ

R

S

Anche per w si definisce ωist = lim ∆trarr0 t∆

∆θ

Ancora lrsquoaccelerazione angolare si definisce αm = t∆

∆ω e αist = lim ∆trarr0

t∆∆ω

Anche la legge fondamentale della dinamica ha un analogo nel ambito dei moti rotatori Si stabilisce che se ad un corpo rigido egrave soggetto ad un momento torcente diverso da zero esso subisce unrsquoaccelerazione angolare ad esso proporzionale Nel caso delle rotazioni la resistenza al moto egrave espressa dal momento di inerzia I associato al corpo rigido che gioca il ruolo della massa nei moti traslatori La legge della dinamica delle rotazioni egrave M = I middotα

E sostituendo M = Imiddott∆

∆ω= Imiddot

tinfin

∆minusωω

Il momento di inerzia I di un corpo rigido dipende dalla disposizione della massa del corpo rispetto allrsquoasse di rotazione per una massa puntiforme m a distanza R dallrsquoasse di rotazione I= m R2 per un oggetto esteso sommerograve il momento drsquoinerzia delle sue parti I = Σi mi Ri

2 Se si definisce momento angolare L il prodotto del momento drsquoinerzia per la velocitagrave angolare

L=Iω la legge della dinamica diventa

M = t

LL infin

∆minus

Il momento angolare egrave la grandezza fisica che si conserva se non viene applicato momento torcente Tutti i gesti di volo salti lanci tuffihellip sono azioni nelle quali si conserva il momento angolare Infatti in volo agisce solo la forza di gravitagrave che essendo applicata al CDM non genera momento torcente Il corpo umano nei gesti di volo Il corpo umano non egrave rigido e pertanto in volo agendo con i muscoli possiamo cambiare la disposizione del nostro corpo intorno al centro di massa che in volo coincide col centro di rotazione In questo modo si ottiene una variazione del momento di inerzia I e di conseguenza la velocitagrave angolare deve compensare questa variazione in modo che si mantenga costante il momento angolare L (grandezza che si conserva in assenza di momento torcente) Ersquo questo il principio che spiega il realizzarsi delle trottole sul ghiaccio dei salti mortali tuffi con avvitamento e cosigrave via in posizione raccolta I diminuisce e ω aumenta Moto circolare e moto circolare uniforme Per utilizzare le relazioni della cinematica e della dinamica lineare che abbiamo studiato egrave interessante poter passare dalle variabili angolari alle variabili lineari velocitagrave e accelerazione delle

masse in moto rotatorio Se una massa si muove su una traiettoria curva la velocitagrave tangenziale vt diretta come la tangente alla traiettoria dipende dalla velocitagrave angolare ω ( ωm=ϑ t )e dal raggio di curvatura della traiettoria Se la traiettoria egrave una circonferenza di raggio R e se gli angoli sono espressi in radianti lrsquoarco percorso per uno spostamento angolare ϑ egrave S = ϑ sdotR e la velocitagrave lineare tangente vt = St= ϑ sdotRt risulta vt = ωsdotR Se la velocitagrave angolare ω egrave costante il moto egrave detto circolare uniforme La legge oraria egrave quella dei moti uniformi spostamenti angolari uguali in tempi uguali ϑ(t) = ω t Anche la velocitagrave tangente saragrave di intensitagrave costante se ω egrave costante (archi uguali per tempi uguali s(t) = vt (t) ) ma crsquoegrave una accelerazione normale infatti la velocitagrave anche se non cambia in modulo cambia continuamente di direzione Questa accelerazione si dice centripeta egrave diretta normalmente rispetto alla traiettoria verso il centro della circonferenza e vale in modulo

ac=R

v2

Fig 52 Essendo la velocitagrave tangente vt = ωR Lrsquo accelerazione centripeta si puograve scrivere

ac =R

v2

= ω2 R

Il tempo impiegato dal punto a muoversi sulla circonferenza egrave una costante (moto uniforme) T periodo in T viene percorso uno spazio 2π R

v = T

Rπ2

La frequenza f egrave invece il ndeg di giri al secondo

f =T

1

Se si prendono punti diversi sul raggio della circonferenza questi hanno la stessa velocitagrave angolare e velocitagrave tangenziali crescenti al crescere del raggio Esempio carosello dei pattinatori Esercizi

1- un velocista con una velocitagrave di 10 ms viaggia su una curva di raggio 25m ndash accelerazione

a = R

v2

= 25

100 = 4 ms2

2 ndash un velocista con v = 92 ms su una pista circolare con ac = 38 m s2 ndash Raggio della pista Tempo per percorrere un giro completo

a = R

v2

rArr R = a

v2

= 83

)29( 2

= 2227m

T =v

Rπ2 =

29

27222 lowastπ = 152 sec

Forza centripeta forza centrifuga Una forza centripeta egrave una forza di qualunque natura che trattiene un corpo in moto su una traiettoria curvilinea ad esempio circolare In assenza di tale forza il corpo proseguirebbe il suo moto lungo una traiettoria rettilinea Nel gesto del lancio del martello ad esempio il lanciatore che esercita sul peso in cima allrsquoattrezzo una forza mediata dalla tensione dal cavo che lo trattiene nella traiettoria circolare Quando il lanciatore lascia la maniglia il martello viene lanciato lungo la direzione della tangente alla traiettoria nellrsquoistante di rilascio Lrsquointensitagrave della forza centripeta necessaria a mantenere una massa m in moto con velocitagrave tangente v lungo una traiettoria circolare di raggio r si puograve calcolare a partire dallrsquoaccellerazione centripeta secondo la legge fondamentale della dinamica

|rarr

cF | = m | rarr

ca | = m r

v2

Tale forza egrave diretta come lrsquoaccelerazione centripeta e cioegrave verso il centro della circonferenza che costituisce la traiettoria La forza centripeta egrave dunque una forza reale Con lsquoforza centrifugarsquo invece non ci si riferisce ad un forza che agisce su un corpo ma alla situazione apparente cui sembra sottoposto un corpo in moto curvilineo Esso pare tirato o attirato lontano dal centro di rotazione pare ci sia una lsquoforzarsquo che vuole farlo sfuggire Quando viene lasciato il martello si allontana dal centro di rotazione percheacute si muove di moto rettilineo uniforme non essendo piugrave soggetto a forze altre che la forza peso Lrsquoacqua esce dal cestello della lavatrice quando il cestello ruota velocemente (funzione centrifuga) percheacute lrsquoacqua che non costituisce un corpo solo con il cestello bucato non egrave soggetta alla forza centripeta e puograve passare attraverso i buchi I panni invece pure non parte del cestello sono troppo grandi per passare dai buchi si possono solo schiacciare contro le pareti questo schiacciamento sembra il risultato di una forza ma egrave invece il risultato dellrsquoassenza di una forza quella centripeta Una volta lagrave contro il cestello fanno tuttrsquouno con le pareti di metallo che esercitano su di essi la forza centripeta (cioegrave con direzione verso lrsquoasse di rotazione) che li mantiene in rotazione Le parti di un corpo rigido esteso che si muove di moto rotatorio rispetto ad un asse quale ad esempio la gamba di un giocatore di calcio che calcia un pallone sono soggette alla forza centripeta che le mantiene sulla traiettoria curva Tale forza viene trasmessa alle varie parti tramite le forze di tensione che si sviluppano allrsquointerno del corpo stesso ad esempio il piede egrave soggetto alla forza centrifuga tramite lrsquoazione dei legamenti e tendini a livello della caviglia che vengono messi in tensione per trattenere il piede stesso

Allora

t

P

∆∆

rarr

= 0 rarrP = cost

rarrP i =

rarrP f

che sono tre modi equivalenti per dire che la quantitagrave di moto si conserva Vale per un sistema nel quale non agisca nessuna forza esterna netta Il teorema di conservazione dellrsquoenergia meccanica e la conservazione delle quantitagrave di moto sono due concetti fisici importantissimi Valgono sia per le palle da bigliardo che per qualunque altro sistema anche le galassie nellrsquouniverso Queste equazioni sono vettoriali Ciograve significa che rappresentano una terna di equazioni scalari ognuna valida sul proprio asse del sistema di riferimento (x y z)

Puograve accadere a seconda delle forze che agiscono nel sistema che la quantitagrave di moto si conservi in una direzione o in due e non in tutte e tre

Ad esempio se consideriamo una palla come un insieme di punti materiali la rarrF ext che agisce nel

sistema egrave mrarrg diretta lungo z senza componenti su x e y quindi

rarrP varia lungo z ma

non su x e y

Percheacute ldquocomplicarci la vitardquo con questa storia del CDM del sistema di particelle etchellip non bastava il moto del punto rappresentativo materiale Avevamo giagrave considerato il punto rappresentativo e avevamo svolto anche problemi sulla palla sul bilanciere e per altri oggetti Abbiamo sempre sbagliato La questione egrave se un corpo egrave rigido cioegrave se tutti i suoi punti si muovono mantenendo le loro distanze relative non crsquoegrave problema abbiamo solo visto che il punto materiale rappresentativo si chiama CDM ed abbiamo imparato a situarlo allrsquointerno del corpo Ma se il corpo non egrave rigido cioegrave se il suo CDM si sposta rispetto a lui stesso nel corso del moto la disposizione del corpo intorno al punto rappresentativo varia nel corso del tempo e le leggi di conservazione valgono per il CDM - Consideriamo ad esempio il teorema dellrsquoenergia cinetica che per un punto materiale si scrive Ltot = Kfin-K in = ∆ K (qui ovviamente non crsquoegrave da specificare lavoro delle forzeldquoesternerdquo percheacute essendo in un punto materiale che si assume infinitamente piccolo non ci sono forze ldquointernerdquo) Per analogia il teorema dellrsquoenergia cinetica si estende al caso di un insieme di punti materiali nel seguente modo

Ltot forze ext=rarrF extmiddot

rarrs CDM = ∆ KCDM

Dove s CDM egrave lo spostamento del centro di massa A titolo di esempio risolviamo il problema un giocatore di hockey su ghiaccio di massa M = 110Kg si muove verso la balaustra a bordo campo alla velocitagrave di 3msec Nellrsquoarrestarsi flettendo le braccia il suo CDM si sposta in avanti di 30cm Qual egrave la ∆ K del suo CDM durante la manovra

∆ KCDM = infin CDMCDM mvmv 22

2

1

2

1 minus =

= 0 - 2

1110 32 = -495 J

Fig 40

Sia L il lavoro delle forze esternerarrF ext (dirette come d

rarrx CDM ) allora

L = - Fext 03 = ∆ KCDM quindi

Fext =30

495

minusminus

= + 1650N

( si considera la forza esterna rarrF ext costante nellrsquointervallo dellrsquoarresto fatto che equivale a dire

che il giocatore si arresta con rarra CDM costante)

Dinamica e statica del corpo esteso Finora abbiamo sempre discusso del moto di un punto materiale (punto rappresentativo dicevamo sempre) In particolare abbiamo sempre applicato le forze a quel punto materiale quindi se diverse forze erano applicate esse concorrevano in quel punto ligrave e con le forze concorrenti sapevamo come calcolare la risultante con il metodo grafico o con quello numerico delle coordinate cartesiane Una volta calcolata la risultante applicata al punto si otteneva un moto di pura traslazione del punto (al massimo traslava lungo una traiettoria curva) senza rotazioni proprie del punto che non hanno neanche senso un punto che ruota su se stesso Come faccio ad accorgermi Un punto per definizione egrave infinitamente piccolo (Dicevamo infine che il punto egrave in equilibrio

traslazionale se la risultante rarrR delle forze applicate egrave nullo)

Consideriamo invece un corpo esteso Prima osservazione questo ha piugrave punti (direi infin ) a

cui la forza puograve essere applicata Prendiamo una racchetta da tennis ed una forza rarrF applicata il

moto che ne risulta dipende dal punto al quale viene applicata la forza rarrF

qui la racchetta trasla

Fig 41

stessa forza qui la racchetta ruota

Fig 42

Seconda osservazione Crsquoegrave un caso in cui le forze non possono essere fatte concorrere in un punto ed egrave quando sono parallele ed hanno rette di applicazione distinte Chiaramente non abbiamo mai dovuto considerare questo caso per il punto materiale percheacute per un punto non possono mai passare due rette parallele Ma per il corpo esteso So benissimo che se sono ferma con la macchina in

panne e la sto spingendo applicando una forza rarrF 1 sono contenta se qualcuno si affianca a me ed

esercitando una forza rarrF 2 lungo una direzione parallela a quella della mia mi aiuta a spingere In

particolare mi viene spontaneo dire che se F1 = F2 allora spingeremo con una forza doppia Ci saragrave quindi un modo per sommare due forze non concorrenti in un punto ma parallele e saragrave Ftot = F1+ F2 La retta di applicazione di Ftot divide il segmento congiungente i punti di applicazione di F1 ed F2 in due segmenti inversamente proporzionali allrsquointensitagrave delle forze F1 e F2 Terza osservazione se F1 = - F2 sono uguali in intensitagrave ma di verso opposto sempre lungo due rette di applicazione parallele passanti per un corpo esteso cosa succede La loro somma Ftot risultante saragrave 0 ma io so che il corpo non sta fermo sotto lrsquoazione di tali due forze ma ruoteragrave Concludo che le nozioni che ho acquisito finora vanno riviste ed ampliate o corrette o specificate per i corpi estesi ed inoltre che mi mancano totalmente i mezzi per descrivere le rotazioni dei corpi estesi Occorrono nuovi concetti nuove quantitagrave la forza non basta Prendo lrsquoesempio piugrave semplice dellrsquoaltalena con due bambini in due bracci uno piugrave leggero uno piugrave pesante

Fig 43 Qualitativamente so che percheacute lrsquoaltalena stia in equilibrio e non ruoti intorno al punto fisso non egrave necessario che i due bambini abbiano lo stesso peso (ugual massa) occorre che il bambino piugrave leggero sieda piugrave lontano rispetto al punto fisso (fulcro) La regola quantitativa dice che lrsquoaltalena egrave in equilibrio se il prodotto del peso per la distanza del fulcro egrave uguale PB dB = Pb

db Per generalizzare questa regola ai casi piugrave complessi occorre definire una nuova quantitagrave il momento di una forza Momento di una forza

Consideriamo una forza rarrF applicata ad un punto P ed un punto O Sia

rarrr

il vettore rarrOP allora il momento

rarrM di

rarrF rispetto ad O egrave

rarrM =

rarrr x

rarrF

e

|rarrr | middot |

rarrF | sin ϑ = |

rarrM |

Fig 44

oppure anche considerando la componente di rarrF perpendicolare ad

rarrr o di

rarrr

perpendicolare a rarrF r e rispetto a F

|rarrM | = |

rarrr | |

rarrF perp | |

rarrM | = |

rarrr perp| |

rarrF |

In generale si dice che il modulo del momento |rarrM | egrave il prodotto delle intensitagrave della forza per la

distanza dal punto della retta di applicazione della forza

Come vettore rarrM egrave perpendicolare al piano che contiene

rarrF ed

rarrr ed ha verso calcolato con la

regola della mano destra (con rarrr che si chiude su

rarrF )

La distanza rperp si chiama braccio della forza Si vede che il momento egrave nullo quando il braccio egrave nullo cioegrave quando il punto O si trova sulla retta di applicazione di F Il momento della forza peso P egrave nullo rispetto al baricentro che coincide con il centro di massa nel caso (praticamenteldquosemprerdquo) in cui il corpo non sia abbastanza esteso percheacute diversi punti del corpo risentano di una forza gravitazione differente Praticamente si deve parlare di galassie percheacute CDM e baricentro (BC) non coincidono Quindi la condizione del momento nullo della forza peso diventa un modo per definire il CDM come quel punto rispetto al quale la forza peso P ha momento nullo Per un corpo ldquoarticolatordquo estendiamo il concetto di forza normale come forza di contatto nellrsquoarticolazione utile cioegrave la forza che lrsquoarticolazione che si sta considerando esercita su quello che nellrsquoarticolazione si appoggia La forza peso P di un corpo esteso puograve immaginarsi applicata al CDM Principio di equilibrio di un corpo esteso

se su un corpo esteso agiscono solo rarr

Peso e rarr

Normale cioegrave se un corpo egrave appoggiato ad un piano orizzontale allora il corpo egrave in equilibrio se e solo se il baricentro si trova sopra la superficie di appoggio

Fig 45

Finchegrave il baricentro egrave sopra il tavolo il libro non cade percheacute rarrP applicata a CDM puograve essere

controbilanciata da rarrN Se CDM si sposta in fuori

rarrN rimane nel tavolo e crsquoegrave momento non nullo

non equilibrato da rarrP che continua ad essere applicato nel CDM

Il baricentro di una persona in posizione eretta si trova nellrsquoarea delimitata dei suoi piedi 3cm davanti allrsquoarticolazione della caviglia

Fig 46 Quando la persona si piega in avanti il baricentro esce dal corpo e per mantenere lrsquoequilibrio egrave necessario che le anche si spingono indietro percheacute il baricentro cade di nuovo in quella posizione Notiamo che anche in posizione eretta essendo la forza peso e la forza di contatto non allineate (quei 3cm) (forza di contatto sullrsquoarticolazione della caviglia che regge il peso) occorre un momento correttivo che impedisca la rotazione in avanti mantenuto dal tendine di Achille che si lega alla caviglia Altro esempio di spostamento del baricentro egrave lrsquoatleta che assume una posizione ad L chi regge il peso egrave lrsquoarticolazione della spalla quindi il CDM si sposta sotto la spalla (giagrave era uscita dal corpo per via delle gambe distese in avanti) Nel camminare il baricentro continua a muoversi da sopra un piede a sopra un altro (quello appoggiato ovviamente) Si osservi lrsquoondeggiamento Per assurdo lrsquoancheggiare delle indossatrici serve a mantenere il baricentro il piugrave possibile fermo rispetto alla direzione media del moto (porre un piede esattamente davanti allrsquoaltro) rendendo piugrave facile muoversi anche con tacchi altissimi Al contrario lrsquoequilibrista che cammina sui trampoli sta fermo il meno possibile percheacute egrave stando fermo che il piccolo spostamento che fa uscire il baricentro (ALTO) dalla superficie drsquoappoggio puograve verificarsi facilmente preferisce il ldquonon ndash equilibriordquo o lrsquo rdquoequilibrio dinamicordquo dellrsquoondeggiare continuamente fra due posizioni di equilibrio

Ricordiamo che un equilibrio egrave detto stabile se quando una perturbazione lo altera spontaneamente il sistema lo ripristina Viceversa un equilibrio egrave instabile se la piugrave piccola perturbazione lo distrugge Lrsquoequilibrio egrave molto stabile se il baricentro egrave basso ed il corpo ha una grande area drsquoappoggio la posizione accucciata del giocatore di football americano dagrave grande stabilitagrave Ancor piugrave grande stabilitagrave si ha se il baricentro (CDM) si trova al di sotto della superficie drsquoappoggio Ersquo come se si fosse ldquoappesirdquo anzicheacute ldquoappoggiatirdquo alla superficie drsquoappoggio Proprio per questo motivo lrsquoequilibrista sul filo porta una lunga asta che spesso si flette agli estremi

Fig 47 Gli uccelli bipedi da 100000000 di anni hanno sviluppato questo adattamento per cui sono appesi alle anche mentre gli uomini bipedi da solo 1000000 di anni fanno fatica con il CDM dalla parte alta del corpo Ersquo un equilibrio instabile ldquosoprardquo le anche che le reggono (65 del peso del corpo) Modificazioni strutturali per reggere la posizione eretta 1) Colonna vertebrale rastremata (piugrave tozza in basso che in alto percheacute piugrave in basso vuol dire una

maggior forza di contatto) 2) Muscoli estensori della schiena 3) Gambe ed anche ingrossate 4) Ginocchio che blocca la gamba estesa Ciononostante si ha spesso il mal di schiena Se una forza ha momento non nullo rispetto ad un punto allora il corpo puograve ruotare intorno a quel punto sotto lrsquoazione di quella forza ldquoDiciamo che se sostengo il corpo per quel punto il corpo puograve ruotare intorno a quel puntordquo (Prendo in mano un foglio di carta per un estremo per esempio) La presenza di un momento non nullo egrave dunque la condizione che genera rotazione e viceversa Lrsquoassenza di un momento risultante egrave la condizione che genera lrsquoequilibrio rotazionale di un corpo esteso Quindi la condizione di equilibrio per un corpo esteso egrave

1) rarrR = 0 risultante delle forze applicate = 0 (equilibrio traslazionale)

2) rarrM = 0 momento risultante = 0 (equilibrio rotazionale)

Supponiamo di avere un corpo esteso al quale siano applicate delle forze che diano luogo ad un momento non nullo allora il corpo ruota Per equilibrarlo dovrograve applicare un altro momento tale che la loro somma sia nulla Questo egrave il principio di funzionamento delle leve LEVE

Una leva egrave un corpo esteso al quale sono applicate delle forze con un momento risultante rarrR

allora per portare il corpo in equilibrio applico un momento correttivo rarrP in modo che il momento

totale sia nullo Si dice in genere potenza (P) e resistenza (R) di una leva Le leve sono macchine semplici Servono per applicare forze in punti scomodi o in direzioni particolari Il fulcro egrave il punto nel quale la leva egrave incernierata Si definisce il guadagno meccanico di una leva

GM =

)(

)(rarr

rarr

PF

RF

cioegrave il rapporto fra la forza che genera il momento resistente e quella che genera il momento agente A seconda che GM sia gt

lt 0 una leva si dice che egrave vantaggiosa o svantaggiosa ma solo per quel che riguarda le forze percheacute per quel che riguarda i lavori non si ha neacute vantaggio neacute svantaggio Il lavoro esercitato dalla forza che dagrave la ldquopotenzardquo e quello esercitato dalla forza che dagrave la ldquoresistenzardquo sono sempre uguali Infatti forze e spostamenti sono inversamente proporzionali Le leve si dicono di I II o III specie a seconda se il fulcro si trovi I) in mezzo fra R e P (leva indifferente GM dipende da caso a caso) II) dalla parte di R (leva vantaggiosa il braccio di R egrave sempre minore del braccio di P basta

quindi una P minore per equilibrare una R maggiore) III) dalla parte di P (leva svantaggiosa) Classici esempi dei tre tipi di leve sono i remi (I) lo schiaccianoci (II) e la pinzetta per francobolli (III) Tuttavia vediamo degli esempi meno classici ma attinenti al campo della biologia e della medicina Criterio generale egrave che le leve vantaggiose consentono di essere molto potenti ma con brevi spostamenti mentre viceversa quelle svantaggiose fanno perdere in potenza ma consentono grandi spostamenti saragrave difficile vedere un cavallo che con le lunghe zampe si scava la tana drsquoaltronde una talpa scava bene la tana ma ha movimenti molto meno ampi che non le consentono di correre veloce come un cavallo (compromesso fra forza e velocitagrave del movimento) Se contiamo tutti i movimenti di rotazione che il corpo puograve compiere capiamo che siamo pieni di leve di ogni tipo Sono classici a) il capo fulcro (articolazione occipito-atlantoide) Fig 48 muscoli della nuca (Potenza) peso del capo (Resistenza) b)

muscolo bicipide (Potenza)

Fig 49 Peso dellrsquoavambraccio (Resistenza) Fulcro (articolazione del gomito) Questa leva permette grandi spostamenti Si vede che la forza operata dal muscolo bicipite egrave massima quando lrsquoavambraccio egrave orizzontale (la distanza dal fulcro egrave massima) ed egrave minima quando lrsquoavambraccio egrave verticale( con la distanza dal fulcro nulla) Attenzione - la colonna vertebrale egrave costituita da 24 vertebre separate da dischi di liquido Quando una

persona si piega la schiena egrave una leva con GM molto piccolo Quindi un piegamento completo per raccogliere un oggetto anche leggero produce una forza molto intensa sul disco lombosacrale che separa lrsquoultima vertebra dellrsquoosso sacro Se indebolito questo disco puograve rompersi o deformarsi comprimendo i nervi vicini e causando grande dolore Vediamo un modello che rende conto come mai questa forza egrave cosigrave grande

Fig 50

I muscoli della schiena esercitano T Con un angolo α = 12deg quando la schiena egrave piegata a 90deg

Peso della parte superiore del corpo (circa il 65 del peso totale)

Fulcro lombosacrale (il fulcro produce R) Essendo α piccolo la retta di azione Τ passa vicino al fulcro e dunque la distanza r che costituisce il suo braccio egrave molto piccola Al contrario il peso egrave perpendicolare alla colonna e il suo punto di applicazione egrave molto piugrave distante dal fulcro Τ deve essere molto grande per equilibrare il momento di P Dunque se T egrave grande anche la sua componente orizzontale egrave grande e di conseguenza anche R che costituisce la reazione dellrsquoosso sacro deve avere componente orizzontale molto grande per equilibrare Τ (uguale ed opposta alla componente orizzontale di Τ ) Facendo i conti si ottengono numeri grandi per 75Kg di peso T ed R sono equivalenti al peso di una massa di 220Kg Senza sollevare pesi solo piegandosi Conviene piegare le ginocchia quando si sollevano pesi - Nel corpo egrave difficile che il peso cada sulla verticale dellrsquoarticolazione che lo sostiene egrave sempre

un porsquo spostato e crsquoegrave un tendine con un muscolo che compensa il momento del peso - La contrazione muscolare egrave una successione di brevi contrazioni delle fibre muscolari stimolate

da impulsi che provengono dal sistema nervoso Contrazioni sono molto ravvicinate e avvengono in tempi differenti nelle diverse parti del muscolo cosigrave che il risultato apparente egrave una lenta e progressiva contrazione Se la frequenza degli impulsi aumenta la tensione cresce finchegrave si raggiunge la tensione massima (ricordare la tensione di un cavo) Un ulteriore aumento della frequenza degli impulsi a questo punto non causa ulteriore aumento della tensione

La tensione massima egrave proporzionale allrsquoarea della sezione trasversa del muscolo nel suo punto piugrave largo La tensione massima dipende anche dalla lunghezza del muscolo che varia Si ottiene tensione massima quando il muscolo egrave solo di poco allungato rispetto alla sua lunghezza di riposo di riposo ed egrave circa 30-40 Ncm2 La tensione massima si riduce moltissimo se il muscolo egrave molto allungato o accorciato Dinamica Rotatoria Fino ad ora abbiamo studiato moti traslatori ma il moto di un corpo rigido egrave in generale roto-traslatorio Naturalmente dobbiamo ridurre il problema complesso ad uno piugrave semplice e per fare ciograve immaginiamo di posizionarci su un sistema di riferimento solidale al corpo rigido i moto immaginiamo cioegrave di ldquosedercirdquo sul corpo rigido In questo modo non saremo piugrave sensibili al moto traslatorio e guardando il corpo rigido osserveremo solo le sue rotazioni Trattiamo allora il moto generico scomponendo la parte traslatoria (giagrave discussa ) da quella rotatoria Se si trascura la parte traslatoria del moto di un corpo rigido quello che rimane da trattare egrave la sua rotazione Nel nostro corso consideriamo le rotazioni che avvengono su un piano le rotazioni nello spazio potranno essere trattate come composizione di rotazioni su un piano Per le rotazioni su un piano si identifica un asse di rotazione perpendicolare al piano di rotazione e passante per il centro di rotazione Le articolazioni del gomito e del ginocchio sono articolazioni libere di ruotare intorno ad un asse a differenza ad esempio di quella della spalla che puograve ruotare intorno a due assi Si definisce spostamento angolare la variazione di una posizione che egrave definita in modo completo da una misura di angolo Una rotazione di un intero corpo rigido egrave definita in modo completo da uno spostamento angolare θfin - θin= ∆θ e si misura in radianti

Fig 51 Dobbiamo definire anche un verso di rotazione θ si incrementa per rotazioni antiorarie positive le rotazioni in senso orario sono invece negative La velocitagrave angolare si definisce analogamente alla velocitagrave lineare come il rapporto tra lo spostamento angolare e il tempo t impiegato per eseguire tale rotazione

ωm = t∆

∆θ e si misura in rad s

θin

θfin ∆θ

R

S

Anche per w si definisce ωist = lim ∆trarr0 t∆

∆θ

Ancora lrsquoaccelerazione angolare si definisce αm = t∆

∆ω e αist = lim ∆trarr0

t∆∆ω

Anche la legge fondamentale della dinamica ha un analogo nel ambito dei moti rotatori Si stabilisce che se ad un corpo rigido egrave soggetto ad un momento torcente diverso da zero esso subisce unrsquoaccelerazione angolare ad esso proporzionale Nel caso delle rotazioni la resistenza al moto egrave espressa dal momento di inerzia I associato al corpo rigido che gioca il ruolo della massa nei moti traslatori La legge della dinamica delle rotazioni egrave M = I middotα

E sostituendo M = Imiddott∆

∆ω= Imiddot

tinfin

∆minusωω

Il momento di inerzia I di un corpo rigido dipende dalla disposizione della massa del corpo rispetto allrsquoasse di rotazione per una massa puntiforme m a distanza R dallrsquoasse di rotazione I= m R2 per un oggetto esteso sommerograve il momento drsquoinerzia delle sue parti I = Σi mi Ri

2 Se si definisce momento angolare L il prodotto del momento drsquoinerzia per la velocitagrave angolare

L=Iω la legge della dinamica diventa

M = t

LL infin

∆minus

Il momento angolare egrave la grandezza fisica che si conserva se non viene applicato momento torcente Tutti i gesti di volo salti lanci tuffihellip sono azioni nelle quali si conserva il momento angolare Infatti in volo agisce solo la forza di gravitagrave che essendo applicata al CDM non genera momento torcente Il corpo umano nei gesti di volo Il corpo umano non egrave rigido e pertanto in volo agendo con i muscoli possiamo cambiare la disposizione del nostro corpo intorno al centro di massa che in volo coincide col centro di rotazione In questo modo si ottiene una variazione del momento di inerzia I e di conseguenza la velocitagrave angolare deve compensare questa variazione in modo che si mantenga costante il momento angolare L (grandezza che si conserva in assenza di momento torcente) Ersquo questo il principio che spiega il realizzarsi delle trottole sul ghiaccio dei salti mortali tuffi con avvitamento e cosigrave via in posizione raccolta I diminuisce e ω aumenta Moto circolare e moto circolare uniforme Per utilizzare le relazioni della cinematica e della dinamica lineare che abbiamo studiato egrave interessante poter passare dalle variabili angolari alle variabili lineari velocitagrave e accelerazione delle

masse in moto rotatorio Se una massa si muove su una traiettoria curva la velocitagrave tangenziale vt diretta come la tangente alla traiettoria dipende dalla velocitagrave angolare ω ( ωm=ϑ t )e dal raggio di curvatura della traiettoria Se la traiettoria egrave una circonferenza di raggio R e se gli angoli sono espressi in radianti lrsquoarco percorso per uno spostamento angolare ϑ egrave S = ϑ sdotR e la velocitagrave lineare tangente vt = St= ϑ sdotRt risulta vt = ωsdotR Se la velocitagrave angolare ω egrave costante il moto egrave detto circolare uniforme La legge oraria egrave quella dei moti uniformi spostamenti angolari uguali in tempi uguali ϑ(t) = ω t Anche la velocitagrave tangente saragrave di intensitagrave costante se ω egrave costante (archi uguali per tempi uguali s(t) = vt (t) ) ma crsquoegrave una accelerazione normale infatti la velocitagrave anche se non cambia in modulo cambia continuamente di direzione Questa accelerazione si dice centripeta egrave diretta normalmente rispetto alla traiettoria verso il centro della circonferenza e vale in modulo

ac=R

v2

Fig 52 Essendo la velocitagrave tangente vt = ωR Lrsquo accelerazione centripeta si puograve scrivere

ac =R

v2

= ω2 R

Il tempo impiegato dal punto a muoversi sulla circonferenza egrave una costante (moto uniforme) T periodo in T viene percorso uno spazio 2π R

v = T

Rπ2

La frequenza f egrave invece il ndeg di giri al secondo

f =T

1

Se si prendono punti diversi sul raggio della circonferenza questi hanno la stessa velocitagrave angolare e velocitagrave tangenziali crescenti al crescere del raggio Esempio carosello dei pattinatori Esercizi

1- un velocista con una velocitagrave di 10 ms viaggia su una curva di raggio 25m ndash accelerazione

a = R

v2

= 25

100 = 4 ms2

2 ndash un velocista con v = 92 ms su una pista circolare con ac = 38 m s2 ndash Raggio della pista Tempo per percorrere un giro completo

a = R

v2

rArr R = a

v2

= 83

)29( 2

= 2227m

T =v

Rπ2 =

29

27222 lowastπ = 152 sec

Forza centripeta forza centrifuga Una forza centripeta egrave una forza di qualunque natura che trattiene un corpo in moto su una traiettoria curvilinea ad esempio circolare In assenza di tale forza il corpo proseguirebbe il suo moto lungo una traiettoria rettilinea Nel gesto del lancio del martello ad esempio il lanciatore che esercita sul peso in cima allrsquoattrezzo una forza mediata dalla tensione dal cavo che lo trattiene nella traiettoria circolare Quando il lanciatore lascia la maniglia il martello viene lanciato lungo la direzione della tangente alla traiettoria nellrsquoistante di rilascio Lrsquointensitagrave della forza centripeta necessaria a mantenere una massa m in moto con velocitagrave tangente v lungo una traiettoria circolare di raggio r si puograve calcolare a partire dallrsquoaccellerazione centripeta secondo la legge fondamentale della dinamica

|rarr

cF | = m | rarr

ca | = m r

v2

Tale forza egrave diretta come lrsquoaccelerazione centripeta e cioegrave verso il centro della circonferenza che costituisce la traiettoria La forza centripeta egrave dunque una forza reale Con lsquoforza centrifugarsquo invece non ci si riferisce ad un forza che agisce su un corpo ma alla situazione apparente cui sembra sottoposto un corpo in moto curvilineo Esso pare tirato o attirato lontano dal centro di rotazione pare ci sia una lsquoforzarsquo che vuole farlo sfuggire Quando viene lasciato il martello si allontana dal centro di rotazione percheacute si muove di moto rettilineo uniforme non essendo piugrave soggetto a forze altre che la forza peso Lrsquoacqua esce dal cestello della lavatrice quando il cestello ruota velocemente (funzione centrifuga) percheacute lrsquoacqua che non costituisce un corpo solo con il cestello bucato non egrave soggetta alla forza centripeta e puograve passare attraverso i buchi I panni invece pure non parte del cestello sono troppo grandi per passare dai buchi si possono solo schiacciare contro le pareti questo schiacciamento sembra il risultato di una forza ma egrave invece il risultato dellrsquoassenza di una forza quella centripeta Una volta lagrave contro il cestello fanno tuttrsquouno con le pareti di metallo che esercitano su di essi la forza centripeta (cioegrave con direzione verso lrsquoasse di rotazione) che li mantiene in rotazione Le parti di un corpo rigido esteso che si muove di moto rotatorio rispetto ad un asse quale ad esempio la gamba di un giocatore di calcio che calcia un pallone sono soggette alla forza centripeta che le mantiene sulla traiettoria curva Tale forza viene trasmessa alle varie parti tramite le forze di tensione che si sviluppano allrsquointerno del corpo stesso ad esempio il piede egrave soggetto alla forza centrifuga tramite lrsquoazione dei legamenti e tendini a livello della caviglia che vengono messi in tensione per trattenere il piede stesso

Sia L il lavoro delle forze esternerarrF ext (dirette come d

rarrx CDM ) allora

L = - Fext 03 = ∆ KCDM quindi

Fext =30

495

minusminus

= + 1650N

( si considera la forza esterna rarrF ext costante nellrsquointervallo dellrsquoarresto fatto che equivale a dire

che il giocatore si arresta con rarra CDM costante)

Dinamica e statica del corpo esteso Finora abbiamo sempre discusso del moto di un punto materiale (punto rappresentativo dicevamo sempre) In particolare abbiamo sempre applicato le forze a quel punto materiale quindi se diverse forze erano applicate esse concorrevano in quel punto ligrave e con le forze concorrenti sapevamo come calcolare la risultante con il metodo grafico o con quello numerico delle coordinate cartesiane Una volta calcolata la risultante applicata al punto si otteneva un moto di pura traslazione del punto (al massimo traslava lungo una traiettoria curva) senza rotazioni proprie del punto che non hanno neanche senso un punto che ruota su se stesso Come faccio ad accorgermi Un punto per definizione egrave infinitamente piccolo (Dicevamo infine che il punto egrave in equilibrio

traslazionale se la risultante rarrR delle forze applicate egrave nullo)

Consideriamo invece un corpo esteso Prima osservazione questo ha piugrave punti (direi infin ) a

cui la forza puograve essere applicata Prendiamo una racchetta da tennis ed una forza rarrF applicata il

moto che ne risulta dipende dal punto al quale viene applicata la forza rarrF

qui la racchetta trasla

Fig 41

stessa forza qui la racchetta ruota

Fig 42

Seconda osservazione Crsquoegrave un caso in cui le forze non possono essere fatte concorrere in un punto ed egrave quando sono parallele ed hanno rette di applicazione distinte Chiaramente non abbiamo mai dovuto considerare questo caso per il punto materiale percheacute per un punto non possono mai passare due rette parallele Ma per il corpo esteso So benissimo che se sono ferma con la macchina in

panne e la sto spingendo applicando una forza rarrF 1 sono contenta se qualcuno si affianca a me ed

esercitando una forza rarrF 2 lungo una direzione parallela a quella della mia mi aiuta a spingere In

particolare mi viene spontaneo dire che se F1 = F2 allora spingeremo con una forza doppia Ci saragrave quindi un modo per sommare due forze non concorrenti in un punto ma parallele e saragrave Ftot = F1+ F2 La retta di applicazione di Ftot divide il segmento congiungente i punti di applicazione di F1 ed F2 in due segmenti inversamente proporzionali allrsquointensitagrave delle forze F1 e F2 Terza osservazione se F1 = - F2 sono uguali in intensitagrave ma di verso opposto sempre lungo due rette di applicazione parallele passanti per un corpo esteso cosa succede La loro somma Ftot risultante saragrave 0 ma io so che il corpo non sta fermo sotto lrsquoazione di tali due forze ma ruoteragrave Concludo che le nozioni che ho acquisito finora vanno riviste ed ampliate o corrette o specificate per i corpi estesi ed inoltre che mi mancano totalmente i mezzi per descrivere le rotazioni dei corpi estesi Occorrono nuovi concetti nuove quantitagrave la forza non basta Prendo lrsquoesempio piugrave semplice dellrsquoaltalena con due bambini in due bracci uno piugrave leggero uno piugrave pesante

Fig 43 Qualitativamente so che percheacute lrsquoaltalena stia in equilibrio e non ruoti intorno al punto fisso non egrave necessario che i due bambini abbiano lo stesso peso (ugual massa) occorre che il bambino piugrave leggero sieda piugrave lontano rispetto al punto fisso (fulcro) La regola quantitativa dice che lrsquoaltalena egrave in equilibrio se il prodotto del peso per la distanza del fulcro egrave uguale PB dB = Pb

db Per generalizzare questa regola ai casi piugrave complessi occorre definire una nuova quantitagrave il momento di una forza Momento di una forza

Consideriamo una forza rarrF applicata ad un punto P ed un punto O Sia

rarrr

il vettore rarrOP allora il momento

rarrM di

rarrF rispetto ad O egrave

rarrM =

rarrr x

rarrF

e

|rarrr | middot |

rarrF | sin ϑ = |

rarrM |

Fig 44

oppure anche considerando la componente di rarrF perpendicolare ad

rarrr o di

rarrr

perpendicolare a rarrF r e rispetto a F

|rarrM | = |

rarrr | |

rarrF perp | |

rarrM | = |

rarrr perp| |

rarrF |

In generale si dice che il modulo del momento |rarrM | egrave il prodotto delle intensitagrave della forza per la

distanza dal punto della retta di applicazione della forza

Come vettore rarrM egrave perpendicolare al piano che contiene

rarrF ed

rarrr ed ha verso calcolato con la

regola della mano destra (con rarrr che si chiude su

rarrF )

La distanza rperp si chiama braccio della forza Si vede che il momento egrave nullo quando il braccio egrave nullo cioegrave quando il punto O si trova sulla retta di applicazione di F Il momento della forza peso P egrave nullo rispetto al baricentro che coincide con il centro di massa nel caso (praticamenteldquosemprerdquo) in cui il corpo non sia abbastanza esteso percheacute diversi punti del corpo risentano di una forza gravitazione differente Praticamente si deve parlare di galassie percheacute CDM e baricentro (BC) non coincidono Quindi la condizione del momento nullo della forza peso diventa un modo per definire il CDM come quel punto rispetto al quale la forza peso P ha momento nullo Per un corpo ldquoarticolatordquo estendiamo il concetto di forza normale come forza di contatto nellrsquoarticolazione utile cioegrave la forza che lrsquoarticolazione che si sta considerando esercita su quello che nellrsquoarticolazione si appoggia La forza peso P di un corpo esteso puograve immaginarsi applicata al CDM Principio di equilibrio di un corpo esteso

se su un corpo esteso agiscono solo rarr

Peso e rarr

Normale cioegrave se un corpo egrave appoggiato ad un piano orizzontale allora il corpo egrave in equilibrio se e solo se il baricentro si trova sopra la superficie di appoggio

Fig 45

Finchegrave il baricentro egrave sopra il tavolo il libro non cade percheacute rarrP applicata a CDM puograve essere

controbilanciata da rarrN Se CDM si sposta in fuori

rarrN rimane nel tavolo e crsquoegrave momento non nullo

non equilibrato da rarrP che continua ad essere applicato nel CDM

Il baricentro di una persona in posizione eretta si trova nellrsquoarea delimitata dei suoi piedi 3cm davanti allrsquoarticolazione della caviglia

Fig 46 Quando la persona si piega in avanti il baricentro esce dal corpo e per mantenere lrsquoequilibrio egrave necessario che le anche si spingono indietro percheacute il baricentro cade di nuovo in quella posizione Notiamo che anche in posizione eretta essendo la forza peso e la forza di contatto non allineate (quei 3cm) (forza di contatto sullrsquoarticolazione della caviglia che regge il peso) occorre un momento correttivo che impedisca la rotazione in avanti mantenuto dal tendine di Achille che si lega alla caviglia Altro esempio di spostamento del baricentro egrave lrsquoatleta che assume una posizione ad L chi regge il peso egrave lrsquoarticolazione della spalla quindi il CDM si sposta sotto la spalla (giagrave era uscita dal corpo per via delle gambe distese in avanti) Nel camminare il baricentro continua a muoversi da sopra un piede a sopra un altro (quello appoggiato ovviamente) Si osservi lrsquoondeggiamento Per assurdo lrsquoancheggiare delle indossatrici serve a mantenere il baricentro il piugrave possibile fermo rispetto alla direzione media del moto (porre un piede esattamente davanti allrsquoaltro) rendendo piugrave facile muoversi anche con tacchi altissimi Al contrario lrsquoequilibrista che cammina sui trampoli sta fermo il meno possibile percheacute egrave stando fermo che il piccolo spostamento che fa uscire il baricentro (ALTO) dalla superficie drsquoappoggio puograve verificarsi facilmente preferisce il ldquonon ndash equilibriordquo o lrsquo rdquoequilibrio dinamicordquo dellrsquoondeggiare continuamente fra due posizioni di equilibrio

Ricordiamo che un equilibrio egrave detto stabile se quando una perturbazione lo altera spontaneamente il sistema lo ripristina Viceversa un equilibrio egrave instabile se la piugrave piccola perturbazione lo distrugge Lrsquoequilibrio egrave molto stabile se il baricentro egrave basso ed il corpo ha una grande area drsquoappoggio la posizione accucciata del giocatore di football americano dagrave grande stabilitagrave Ancor piugrave grande stabilitagrave si ha se il baricentro (CDM) si trova al di sotto della superficie drsquoappoggio Ersquo come se si fosse ldquoappesirdquo anzicheacute ldquoappoggiatirdquo alla superficie drsquoappoggio Proprio per questo motivo lrsquoequilibrista sul filo porta una lunga asta che spesso si flette agli estremi

Fig 47 Gli uccelli bipedi da 100000000 di anni hanno sviluppato questo adattamento per cui sono appesi alle anche mentre gli uomini bipedi da solo 1000000 di anni fanno fatica con il CDM dalla parte alta del corpo Ersquo un equilibrio instabile ldquosoprardquo le anche che le reggono (65 del peso del corpo) Modificazioni strutturali per reggere la posizione eretta 1) Colonna vertebrale rastremata (piugrave tozza in basso che in alto percheacute piugrave in basso vuol dire una

maggior forza di contatto) 2) Muscoli estensori della schiena 3) Gambe ed anche ingrossate 4) Ginocchio che blocca la gamba estesa Ciononostante si ha spesso il mal di schiena Se una forza ha momento non nullo rispetto ad un punto allora il corpo puograve ruotare intorno a quel punto sotto lrsquoazione di quella forza ldquoDiciamo che se sostengo il corpo per quel punto il corpo puograve ruotare intorno a quel puntordquo (Prendo in mano un foglio di carta per un estremo per esempio) La presenza di un momento non nullo egrave dunque la condizione che genera rotazione e viceversa Lrsquoassenza di un momento risultante egrave la condizione che genera lrsquoequilibrio rotazionale di un corpo esteso Quindi la condizione di equilibrio per un corpo esteso egrave

1) rarrR = 0 risultante delle forze applicate = 0 (equilibrio traslazionale)

2) rarrM = 0 momento risultante = 0 (equilibrio rotazionale)

Supponiamo di avere un corpo esteso al quale siano applicate delle forze che diano luogo ad un momento non nullo allora il corpo ruota Per equilibrarlo dovrograve applicare un altro momento tale che la loro somma sia nulla Questo egrave il principio di funzionamento delle leve LEVE

Una leva egrave un corpo esteso al quale sono applicate delle forze con un momento risultante rarrR

allora per portare il corpo in equilibrio applico un momento correttivo rarrP in modo che il momento

totale sia nullo Si dice in genere potenza (P) e resistenza (R) di una leva Le leve sono macchine semplici Servono per applicare forze in punti scomodi o in direzioni particolari Il fulcro egrave il punto nel quale la leva egrave incernierata Si definisce il guadagno meccanico di una leva

GM =

)(

)(rarr

rarr

PF

RF

cioegrave il rapporto fra la forza che genera il momento resistente e quella che genera il momento agente A seconda che GM sia gt

lt 0 una leva si dice che egrave vantaggiosa o svantaggiosa ma solo per quel che riguarda le forze percheacute per quel che riguarda i lavori non si ha neacute vantaggio neacute svantaggio Il lavoro esercitato dalla forza che dagrave la ldquopotenzardquo e quello esercitato dalla forza che dagrave la ldquoresistenzardquo sono sempre uguali Infatti forze e spostamenti sono inversamente proporzionali Le leve si dicono di I II o III specie a seconda se il fulcro si trovi I) in mezzo fra R e P (leva indifferente GM dipende da caso a caso) II) dalla parte di R (leva vantaggiosa il braccio di R egrave sempre minore del braccio di P basta

quindi una P minore per equilibrare una R maggiore) III) dalla parte di P (leva svantaggiosa) Classici esempi dei tre tipi di leve sono i remi (I) lo schiaccianoci (II) e la pinzetta per francobolli (III) Tuttavia vediamo degli esempi meno classici ma attinenti al campo della biologia e della medicina Criterio generale egrave che le leve vantaggiose consentono di essere molto potenti ma con brevi spostamenti mentre viceversa quelle svantaggiose fanno perdere in potenza ma consentono grandi spostamenti saragrave difficile vedere un cavallo che con le lunghe zampe si scava la tana drsquoaltronde una talpa scava bene la tana ma ha movimenti molto meno ampi che non le consentono di correre veloce come un cavallo (compromesso fra forza e velocitagrave del movimento) Se contiamo tutti i movimenti di rotazione che il corpo puograve compiere capiamo che siamo pieni di leve di ogni tipo Sono classici a) il capo fulcro (articolazione occipito-atlantoide) Fig 48 muscoli della nuca (Potenza) peso del capo (Resistenza) b)

muscolo bicipide (Potenza)

Fig 49 Peso dellrsquoavambraccio (Resistenza) Fulcro (articolazione del gomito) Questa leva permette grandi spostamenti Si vede che la forza operata dal muscolo bicipite egrave massima quando lrsquoavambraccio egrave orizzontale (la distanza dal fulcro egrave massima) ed egrave minima quando lrsquoavambraccio egrave verticale( con la distanza dal fulcro nulla) Attenzione - la colonna vertebrale egrave costituita da 24 vertebre separate da dischi di liquido Quando una

persona si piega la schiena egrave una leva con GM molto piccolo Quindi un piegamento completo per raccogliere un oggetto anche leggero produce una forza molto intensa sul disco lombosacrale che separa lrsquoultima vertebra dellrsquoosso sacro Se indebolito questo disco puograve rompersi o deformarsi comprimendo i nervi vicini e causando grande dolore Vediamo un modello che rende conto come mai questa forza egrave cosigrave grande

Fig 50

I muscoli della schiena esercitano T Con un angolo α = 12deg quando la schiena egrave piegata a 90deg

Peso della parte superiore del corpo (circa il 65 del peso totale)

Fulcro lombosacrale (il fulcro produce R) Essendo α piccolo la retta di azione Τ passa vicino al fulcro e dunque la distanza r che costituisce il suo braccio egrave molto piccola Al contrario il peso egrave perpendicolare alla colonna e il suo punto di applicazione egrave molto piugrave distante dal fulcro Τ deve essere molto grande per equilibrare il momento di P Dunque se T egrave grande anche la sua componente orizzontale egrave grande e di conseguenza anche R che costituisce la reazione dellrsquoosso sacro deve avere componente orizzontale molto grande per equilibrare Τ (uguale ed opposta alla componente orizzontale di Τ ) Facendo i conti si ottengono numeri grandi per 75Kg di peso T ed R sono equivalenti al peso di una massa di 220Kg Senza sollevare pesi solo piegandosi Conviene piegare le ginocchia quando si sollevano pesi - Nel corpo egrave difficile che il peso cada sulla verticale dellrsquoarticolazione che lo sostiene egrave sempre

un porsquo spostato e crsquoegrave un tendine con un muscolo che compensa il momento del peso - La contrazione muscolare egrave una successione di brevi contrazioni delle fibre muscolari stimolate

da impulsi che provengono dal sistema nervoso Contrazioni sono molto ravvicinate e avvengono in tempi differenti nelle diverse parti del muscolo cosigrave che il risultato apparente egrave una lenta e progressiva contrazione Se la frequenza degli impulsi aumenta la tensione cresce finchegrave si raggiunge la tensione massima (ricordare la tensione di un cavo) Un ulteriore aumento della frequenza degli impulsi a questo punto non causa ulteriore aumento della tensione

La tensione massima egrave proporzionale allrsquoarea della sezione trasversa del muscolo nel suo punto piugrave largo La tensione massima dipende anche dalla lunghezza del muscolo che varia Si ottiene tensione massima quando il muscolo egrave solo di poco allungato rispetto alla sua lunghezza di riposo di riposo ed egrave circa 30-40 Ncm2 La tensione massima si riduce moltissimo se il muscolo egrave molto allungato o accorciato Dinamica Rotatoria Fino ad ora abbiamo studiato moti traslatori ma il moto di un corpo rigido egrave in generale roto-traslatorio Naturalmente dobbiamo ridurre il problema complesso ad uno piugrave semplice e per fare ciograve immaginiamo di posizionarci su un sistema di riferimento solidale al corpo rigido i moto immaginiamo cioegrave di ldquosedercirdquo sul corpo rigido In questo modo non saremo piugrave sensibili al moto traslatorio e guardando il corpo rigido osserveremo solo le sue rotazioni Trattiamo allora il moto generico scomponendo la parte traslatoria (giagrave discussa ) da quella rotatoria Se si trascura la parte traslatoria del moto di un corpo rigido quello che rimane da trattare egrave la sua rotazione Nel nostro corso consideriamo le rotazioni che avvengono su un piano le rotazioni nello spazio potranno essere trattate come composizione di rotazioni su un piano Per le rotazioni su un piano si identifica un asse di rotazione perpendicolare al piano di rotazione e passante per il centro di rotazione Le articolazioni del gomito e del ginocchio sono articolazioni libere di ruotare intorno ad un asse a differenza ad esempio di quella della spalla che puograve ruotare intorno a due assi Si definisce spostamento angolare la variazione di una posizione che egrave definita in modo completo da una misura di angolo Una rotazione di un intero corpo rigido egrave definita in modo completo da uno spostamento angolare θfin - θin= ∆θ e si misura in radianti

Fig 51 Dobbiamo definire anche un verso di rotazione θ si incrementa per rotazioni antiorarie positive le rotazioni in senso orario sono invece negative La velocitagrave angolare si definisce analogamente alla velocitagrave lineare come il rapporto tra lo spostamento angolare e il tempo t impiegato per eseguire tale rotazione

ωm = t∆

∆θ e si misura in rad s

θin

θfin ∆θ

R

S

Anche per w si definisce ωist = lim ∆trarr0 t∆

∆θ

Ancora lrsquoaccelerazione angolare si definisce αm = t∆

∆ω e αist = lim ∆trarr0

t∆∆ω

Anche la legge fondamentale della dinamica ha un analogo nel ambito dei moti rotatori Si stabilisce che se ad un corpo rigido egrave soggetto ad un momento torcente diverso da zero esso subisce unrsquoaccelerazione angolare ad esso proporzionale Nel caso delle rotazioni la resistenza al moto egrave espressa dal momento di inerzia I associato al corpo rigido che gioca il ruolo della massa nei moti traslatori La legge della dinamica delle rotazioni egrave M = I middotα

E sostituendo M = Imiddott∆

∆ω= Imiddot

tinfin

∆minusωω

Il momento di inerzia I di un corpo rigido dipende dalla disposizione della massa del corpo rispetto allrsquoasse di rotazione per una massa puntiforme m a distanza R dallrsquoasse di rotazione I= m R2 per un oggetto esteso sommerograve il momento drsquoinerzia delle sue parti I = Σi mi Ri

2 Se si definisce momento angolare L il prodotto del momento drsquoinerzia per la velocitagrave angolare

L=Iω la legge della dinamica diventa

M = t

LL infin

∆minus

Il momento angolare egrave la grandezza fisica che si conserva se non viene applicato momento torcente Tutti i gesti di volo salti lanci tuffihellip sono azioni nelle quali si conserva il momento angolare Infatti in volo agisce solo la forza di gravitagrave che essendo applicata al CDM non genera momento torcente Il corpo umano nei gesti di volo Il corpo umano non egrave rigido e pertanto in volo agendo con i muscoli possiamo cambiare la disposizione del nostro corpo intorno al centro di massa che in volo coincide col centro di rotazione In questo modo si ottiene una variazione del momento di inerzia I e di conseguenza la velocitagrave angolare deve compensare questa variazione in modo che si mantenga costante il momento angolare L (grandezza che si conserva in assenza di momento torcente) Ersquo questo il principio che spiega il realizzarsi delle trottole sul ghiaccio dei salti mortali tuffi con avvitamento e cosigrave via in posizione raccolta I diminuisce e ω aumenta Moto circolare e moto circolare uniforme Per utilizzare le relazioni della cinematica e della dinamica lineare che abbiamo studiato egrave interessante poter passare dalle variabili angolari alle variabili lineari velocitagrave e accelerazione delle

masse in moto rotatorio Se una massa si muove su una traiettoria curva la velocitagrave tangenziale vt diretta come la tangente alla traiettoria dipende dalla velocitagrave angolare ω ( ωm=ϑ t )e dal raggio di curvatura della traiettoria Se la traiettoria egrave una circonferenza di raggio R e se gli angoli sono espressi in radianti lrsquoarco percorso per uno spostamento angolare ϑ egrave S = ϑ sdotR e la velocitagrave lineare tangente vt = St= ϑ sdotRt risulta vt = ωsdotR Se la velocitagrave angolare ω egrave costante il moto egrave detto circolare uniforme La legge oraria egrave quella dei moti uniformi spostamenti angolari uguali in tempi uguali ϑ(t) = ω t Anche la velocitagrave tangente saragrave di intensitagrave costante se ω egrave costante (archi uguali per tempi uguali s(t) = vt (t) ) ma crsquoegrave una accelerazione normale infatti la velocitagrave anche se non cambia in modulo cambia continuamente di direzione Questa accelerazione si dice centripeta egrave diretta normalmente rispetto alla traiettoria verso il centro della circonferenza e vale in modulo

ac=R

v2

Fig 52 Essendo la velocitagrave tangente vt = ωR Lrsquo accelerazione centripeta si puograve scrivere

ac =R

v2

= ω2 R

Il tempo impiegato dal punto a muoversi sulla circonferenza egrave una costante (moto uniforme) T periodo in T viene percorso uno spazio 2π R

v = T

Rπ2

La frequenza f egrave invece il ndeg di giri al secondo

f =T

1

Se si prendono punti diversi sul raggio della circonferenza questi hanno la stessa velocitagrave angolare e velocitagrave tangenziali crescenti al crescere del raggio Esempio carosello dei pattinatori Esercizi

1- un velocista con una velocitagrave di 10 ms viaggia su una curva di raggio 25m ndash accelerazione

a = R

v2

= 25

100 = 4 ms2

2 ndash un velocista con v = 92 ms su una pista circolare con ac = 38 m s2 ndash Raggio della pista Tempo per percorrere un giro completo

a = R

v2

rArr R = a

v2

= 83

)29( 2

= 2227m

T =v

Rπ2 =

29

27222 lowastπ = 152 sec

Forza centripeta forza centrifuga Una forza centripeta egrave una forza di qualunque natura che trattiene un corpo in moto su una traiettoria curvilinea ad esempio circolare In assenza di tale forza il corpo proseguirebbe il suo moto lungo una traiettoria rettilinea Nel gesto del lancio del martello ad esempio il lanciatore che esercita sul peso in cima allrsquoattrezzo una forza mediata dalla tensione dal cavo che lo trattiene nella traiettoria circolare Quando il lanciatore lascia la maniglia il martello viene lanciato lungo la direzione della tangente alla traiettoria nellrsquoistante di rilascio Lrsquointensitagrave della forza centripeta necessaria a mantenere una massa m in moto con velocitagrave tangente v lungo una traiettoria circolare di raggio r si puograve calcolare a partire dallrsquoaccellerazione centripeta secondo la legge fondamentale della dinamica

|rarr

cF | = m | rarr

ca | = m r

v2

Tale forza egrave diretta come lrsquoaccelerazione centripeta e cioegrave verso il centro della circonferenza che costituisce la traiettoria La forza centripeta egrave dunque una forza reale Con lsquoforza centrifugarsquo invece non ci si riferisce ad un forza che agisce su un corpo ma alla situazione apparente cui sembra sottoposto un corpo in moto curvilineo Esso pare tirato o attirato lontano dal centro di rotazione pare ci sia una lsquoforzarsquo che vuole farlo sfuggire Quando viene lasciato il martello si allontana dal centro di rotazione percheacute si muove di moto rettilineo uniforme non essendo piugrave soggetto a forze altre che la forza peso Lrsquoacqua esce dal cestello della lavatrice quando il cestello ruota velocemente (funzione centrifuga) percheacute lrsquoacqua che non costituisce un corpo solo con il cestello bucato non egrave soggetta alla forza centripeta e puograve passare attraverso i buchi I panni invece pure non parte del cestello sono troppo grandi per passare dai buchi si possono solo schiacciare contro le pareti questo schiacciamento sembra il risultato di una forza ma egrave invece il risultato dellrsquoassenza di una forza quella centripeta Una volta lagrave contro il cestello fanno tuttrsquouno con le pareti di metallo che esercitano su di essi la forza centripeta (cioegrave con direzione verso lrsquoasse di rotazione) che li mantiene in rotazione Le parti di un corpo rigido esteso che si muove di moto rotatorio rispetto ad un asse quale ad esempio la gamba di un giocatore di calcio che calcia un pallone sono soggette alla forza centripeta che le mantiene sulla traiettoria curva Tale forza viene trasmessa alle varie parti tramite le forze di tensione che si sviluppano allrsquointerno del corpo stesso ad esempio il piede egrave soggetto alla forza centrifuga tramite lrsquoazione dei legamenti e tendini a livello della caviglia che vengono messi in tensione per trattenere il piede stesso

Fig 42

Seconda osservazione Crsquoegrave un caso in cui le forze non possono essere fatte concorrere in un punto ed egrave quando sono parallele ed hanno rette di applicazione distinte Chiaramente non abbiamo mai dovuto considerare questo caso per il punto materiale percheacute per un punto non possono mai passare due rette parallele Ma per il corpo esteso So benissimo che se sono ferma con la macchina in

panne e la sto spingendo applicando una forza rarrF 1 sono contenta se qualcuno si affianca a me ed

esercitando una forza rarrF 2 lungo una direzione parallela a quella della mia mi aiuta a spingere In

particolare mi viene spontaneo dire che se F1 = F2 allora spingeremo con una forza doppia Ci saragrave quindi un modo per sommare due forze non concorrenti in un punto ma parallele e saragrave Ftot = F1+ F2 La retta di applicazione di Ftot divide il segmento congiungente i punti di applicazione di F1 ed F2 in due segmenti inversamente proporzionali allrsquointensitagrave delle forze F1 e F2 Terza osservazione se F1 = - F2 sono uguali in intensitagrave ma di verso opposto sempre lungo due rette di applicazione parallele passanti per un corpo esteso cosa succede La loro somma Ftot risultante saragrave 0 ma io so che il corpo non sta fermo sotto lrsquoazione di tali due forze ma ruoteragrave Concludo che le nozioni che ho acquisito finora vanno riviste ed ampliate o corrette o specificate per i corpi estesi ed inoltre che mi mancano totalmente i mezzi per descrivere le rotazioni dei corpi estesi Occorrono nuovi concetti nuove quantitagrave la forza non basta Prendo lrsquoesempio piugrave semplice dellrsquoaltalena con due bambini in due bracci uno piugrave leggero uno piugrave pesante

Fig 43 Qualitativamente so che percheacute lrsquoaltalena stia in equilibrio e non ruoti intorno al punto fisso non egrave necessario che i due bambini abbiano lo stesso peso (ugual massa) occorre che il bambino piugrave leggero sieda piugrave lontano rispetto al punto fisso (fulcro) La regola quantitativa dice che lrsquoaltalena egrave in equilibrio se il prodotto del peso per la distanza del fulcro egrave uguale PB dB = Pb

db Per generalizzare questa regola ai casi piugrave complessi occorre definire una nuova quantitagrave il momento di una forza Momento di una forza

Consideriamo una forza rarrF applicata ad un punto P ed un punto O Sia

rarrr

il vettore rarrOP allora il momento

rarrM di

rarrF rispetto ad O egrave

rarrM =

rarrr x

rarrF

e

|rarrr | middot |

rarrF | sin ϑ = |

rarrM |

Fig 44

oppure anche considerando la componente di rarrF perpendicolare ad

rarrr o di

rarrr

perpendicolare a rarrF r e rispetto a F

|rarrM | = |

rarrr | |

rarrF perp | |

rarrM | = |

rarrr perp| |

rarrF |

In generale si dice che il modulo del momento |rarrM | egrave il prodotto delle intensitagrave della forza per la

distanza dal punto della retta di applicazione della forza

Come vettore rarrM egrave perpendicolare al piano che contiene

rarrF ed

rarrr ed ha verso calcolato con la

regola della mano destra (con rarrr che si chiude su

rarrF )

La distanza rperp si chiama braccio della forza Si vede che il momento egrave nullo quando il braccio egrave nullo cioegrave quando il punto O si trova sulla retta di applicazione di F Il momento della forza peso P egrave nullo rispetto al baricentro che coincide con il centro di massa nel caso (praticamenteldquosemprerdquo) in cui il corpo non sia abbastanza esteso percheacute diversi punti del corpo risentano di una forza gravitazione differente Praticamente si deve parlare di galassie percheacute CDM e baricentro (BC) non coincidono Quindi la condizione del momento nullo della forza peso diventa un modo per definire il CDM come quel punto rispetto al quale la forza peso P ha momento nullo Per un corpo ldquoarticolatordquo estendiamo il concetto di forza normale come forza di contatto nellrsquoarticolazione utile cioegrave la forza che lrsquoarticolazione che si sta considerando esercita su quello che nellrsquoarticolazione si appoggia La forza peso P di un corpo esteso puograve immaginarsi applicata al CDM Principio di equilibrio di un corpo esteso

se su un corpo esteso agiscono solo rarr

Peso e rarr

Normale cioegrave se un corpo egrave appoggiato ad un piano orizzontale allora il corpo egrave in equilibrio se e solo se il baricentro si trova sopra la superficie di appoggio

Fig 45

Finchegrave il baricentro egrave sopra il tavolo il libro non cade percheacute rarrP applicata a CDM puograve essere

controbilanciata da rarrN Se CDM si sposta in fuori

rarrN rimane nel tavolo e crsquoegrave momento non nullo

non equilibrato da rarrP che continua ad essere applicato nel CDM

Il baricentro di una persona in posizione eretta si trova nellrsquoarea delimitata dei suoi piedi 3cm davanti allrsquoarticolazione della caviglia

Fig 46 Quando la persona si piega in avanti il baricentro esce dal corpo e per mantenere lrsquoequilibrio egrave necessario che le anche si spingono indietro percheacute il baricentro cade di nuovo in quella posizione Notiamo che anche in posizione eretta essendo la forza peso e la forza di contatto non allineate (quei 3cm) (forza di contatto sullrsquoarticolazione della caviglia che regge il peso) occorre un momento correttivo che impedisca la rotazione in avanti mantenuto dal tendine di Achille che si lega alla caviglia Altro esempio di spostamento del baricentro egrave lrsquoatleta che assume una posizione ad L chi regge il peso egrave lrsquoarticolazione della spalla quindi il CDM si sposta sotto la spalla (giagrave era uscita dal corpo per via delle gambe distese in avanti) Nel camminare il baricentro continua a muoversi da sopra un piede a sopra un altro (quello appoggiato ovviamente) Si osservi lrsquoondeggiamento Per assurdo lrsquoancheggiare delle indossatrici serve a mantenere il baricentro il piugrave possibile fermo rispetto alla direzione media del moto (porre un piede esattamente davanti allrsquoaltro) rendendo piugrave facile muoversi anche con tacchi altissimi Al contrario lrsquoequilibrista che cammina sui trampoli sta fermo il meno possibile percheacute egrave stando fermo che il piccolo spostamento che fa uscire il baricentro (ALTO) dalla superficie drsquoappoggio puograve verificarsi facilmente preferisce il ldquonon ndash equilibriordquo o lrsquo rdquoequilibrio dinamicordquo dellrsquoondeggiare continuamente fra due posizioni di equilibrio

Ricordiamo che un equilibrio egrave detto stabile se quando una perturbazione lo altera spontaneamente il sistema lo ripristina Viceversa un equilibrio egrave instabile se la piugrave piccola perturbazione lo distrugge Lrsquoequilibrio egrave molto stabile se il baricentro egrave basso ed il corpo ha una grande area drsquoappoggio la posizione accucciata del giocatore di football americano dagrave grande stabilitagrave Ancor piugrave grande stabilitagrave si ha se il baricentro (CDM) si trova al di sotto della superficie drsquoappoggio Ersquo come se si fosse ldquoappesirdquo anzicheacute ldquoappoggiatirdquo alla superficie drsquoappoggio Proprio per questo motivo lrsquoequilibrista sul filo porta una lunga asta che spesso si flette agli estremi

Fig 47 Gli uccelli bipedi da 100000000 di anni hanno sviluppato questo adattamento per cui sono appesi alle anche mentre gli uomini bipedi da solo 1000000 di anni fanno fatica con il CDM dalla parte alta del corpo Ersquo un equilibrio instabile ldquosoprardquo le anche che le reggono (65 del peso del corpo) Modificazioni strutturali per reggere la posizione eretta 1) Colonna vertebrale rastremata (piugrave tozza in basso che in alto percheacute piugrave in basso vuol dire una

maggior forza di contatto) 2) Muscoli estensori della schiena 3) Gambe ed anche ingrossate 4) Ginocchio che blocca la gamba estesa Ciononostante si ha spesso il mal di schiena Se una forza ha momento non nullo rispetto ad un punto allora il corpo puograve ruotare intorno a quel punto sotto lrsquoazione di quella forza ldquoDiciamo che se sostengo il corpo per quel punto il corpo puograve ruotare intorno a quel puntordquo (Prendo in mano un foglio di carta per un estremo per esempio) La presenza di un momento non nullo egrave dunque la condizione che genera rotazione e viceversa Lrsquoassenza di un momento risultante egrave la condizione che genera lrsquoequilibrio rotazionale di un corpo esteso Quindi la condizione di equilibrio per un corpo esteso egrave

1) rarrR = 0 risultante delle forze applicate = 0 (equilibrio traslazionale)

2) rarrM = 0 momento risultante = 0 (equilibrio rotazionale)

Supponiamo di avere un corpo esteso al quale siano applicate delle forze che diano luogo ad un momento non nullo allora il corpo ruota Per equilibrarlo dovrograve applicare un altro momento tale che la loro somma sia nulla Questo egrave il principio di funzionamento delle leve LEVE

Una leva egrave un corpo esteso al quale sono applicate delle forze con un momento risultante rarrR

allora per portare il corpo in equilibrio applico un momento correttivo rarrP in modo che il momento

totale sia nullo Si dice in genere potenza (P) e resistenza (R) di una leva Le leve sono macchine semplici Servono per applicare forze in punti scomodi o in direzioni particolari Il fulcro egrave il punto nel quale la leva egrave incernierata Si definisce il guadagno meccanico di una leva

GM =

)(

)(rarr

rarr

PF

RF

cioegrave il rapporto fra la forza che genera il momento resistente e quella che genera il momento agente A seconda che GM sia gt

lt 0 una leva si dice che egrave vantaggiosa o svantaggiosa ma solo per quel che riguarda le forze percheacute per quel che riguarda i lavori non si ha neacute vantaggio neacute svantaggio Il lavoro esercitato dalla forza che dagrave la ldquopotenzardquo e quello esercitato dalla forza che dagrave la ldquoresistenzardquo sono sempre uguali Infatti forze e spostamenti sono inversamente proporzionali Le leve si dicono di I II o III specie a seconda se il fulcro si trovi I) in mezzo fra R e P (leva indifferente GM dipende da caso a caso) II) dalla parte di R (leva vantaggiosa il braccio di R egrave sempre minore del braccio di P basta

quindi una P minore per equilibrare una R maggiore) III) dalla parte di P (leva svantaggiosa) Classici esempi dei tre tipi di leve sono i remi (I) lo schiaccianoci (II) e la pinzetta per francobolli (III) Tuttavia vediamo degli esempi meno classici ma attinenti al campo della biologia e della medicina Criterio generale egrave che le leve vantaggiose consentono di essere molto potenti ma con brevi spostamenti mentre viceversa quelle svantaggiose fanno perdere in potenza ma consentono grandi spostamenti saragrave difficile vedere un cavallo che con le lunghe zampe si scava la tana drsquoaltronde una talpa scava bene la tana ma ha movimenti molto meno ampi che non le consentono di correre veloce come un cavallo (compromesso fra forza e velocitagrave del movimento) Se contiamo tutti i movimenti di rotazione che il corpo puograve compiere capiamo che siamo pieni di leve di ogni tipo Sono classici a) il capo fulcro (articolazione occipito-atlantoide) Fig 48 muscoli della nuca (Potenza) peso del capo (Resistenza) b)

muscolo bicipide (Potenza)

Fig 49 Peso dellrsquoavambraccio (Resistenza) Fulcro (articolazione del gomito) Questa leva permette grandi spostamenti Si vede che la forza operata dal muscolo bicipite egrave massima quando lrsquoavambraccio egrave orizzontale (la distanza dal fulcro egrave massima) ed egrave minima quando lrsquoavambraccio egrave verticale( con la distanza dal fulcro nulla) Attenzione - la colonna vertebrale egrave costituita da 24 vertebre separate da dischi di liquido Quando una

persona si piega la schiena egrave una leva con GM molto piccolo Quindi un piegamento completo per raccogliere un oggetto anche leggero produce una forza molto intensa sul disco lombosacrale che separa lrsquoultima vertebra dellrsquoosso sacro Se indebolito questo disco puograve rompersi o deformarsi comprimendo i nervi vicini e causando grande dolore Vediamo un modello che rende conto come mai questa forza egrave cosigrave grande

Fig 50

I muscoli della schiena esercitano T Con un angolo α = 12deg quando la schiena egrave piegata a 90deg

Peso della parte superiore del corpo (circa il 65 del peso totale)

Fulcro lombosacrale (il fulcro produce R) Essendo α piccolo la retta di azione Τ passa vicino al fulcro e dunque la distanza r che costituisce il suo braccio egrave molto piccola Al contrario il peso egrave perpendicolare alla colonna e il suo punto di applicazione egrave molto piugrave distante dal fulcro Τ deve essere molto grande per equilibrare il momento di P Dunque se T egrave grande anche la sua componente orizzontale egrave grande e di conseguenza anche R che costituisce la reazione dellrsquoosso sacro deve avere componente orizzontale molto grande per equilibrare Τ (uguale ed opposta alla componente orizzontale di Τ ) Facendo i conti si ottengono numeri grandi per 75Kg di peso T ed R sono equivalenti al peso di una massa di 220Kg Senza sollevare pesi solo piegandosi Conviene piegare le ginocchia quando si sollevano pesi - Nel corpo egrave difficile che il peso cada sulla verticale dellrsquoarticolazione che lo sostiene egrave sempre

un porsquo spostato e crsquoegrave un tendine con un muscolo che compensa il momento del peso - La contrazione muscolare egrave una successione di brevi contrazioni delle fibre muscolari stimolate

da impulsi che provengono dal sistema nervoso Contrazioni sono molto ravvicinate e avvengono in tempi differenti nelle diverse parti del muscolo cosigrave che il risultato apparente egrave una lenta e progressiva contrazione Se la frequenza degli impulsi aumenta la tensione cresce finchegrave si raggiunge la tensione massima (ricordare la tensione di un cavo) Un ulteriore aumento della frequenza degli impulsi a questo punto non causa ulteriore aumento della tensione

La tensione massima egrave proporzionale allrsquoarea della sezione trasversa del muscolo nel suo punto piugrave largo La tensione massima dipende anche dalla lunghezza del muscolo che varia Si ottiene tensione massima quando il muscolo egrave solo di poco allungato rispetto alla sua lunghezza di riposo di riposo ed egrave circa 30-40 Ncm2 La tensione massima si riduce moltissimo se il muscolo egrave molto allungato o accorciato Dinamica Rotatoria Fino ad ora abbiamo studiato moti traslatori ma il moto di un corpo rigido egrave in generale roto-traslatorio Naturalmente dobbiamo ridurre il problema complesso ad uno piugrave semplice e per fare ciograve immaginiamo di posizionarci su un sistema di riferimento solidale al corpo rigido i moto immaginiamo cioegrave di ldquosedercirdquo sul corpo rigido In questo modo non saremo piugrave sensibili al moto traslatorio e guardando il corpo rigido osserveremo solo le sue rotazioni Trattiamo allora il moto generico scomponendo la parte traslatoria (giagrave discussa ) da quella rotatoria Se si trascura la parte traslatoria del moto di un corpo rigido quello che rimane da trattare egrave la sua rotazione Nel nostro corso consideriamo le rotazioni che avvengono su un piano le rotazioni nello spazio potranno essere trattate come composizione di rotazioni su un piano Per le rotazioni su un piano si identifica un asse di rotazione perpendicolare al piano di rotazione e passante per il centro di rotazione Le articolazioni del gomito e del ginocchio sono articolazioni libere di ruotare intorno ad un asse a differenza ad esempio di quella della spalla che puograve ruotare intorno a due assi Si definisce spostamento angolare la variazione di una posizione che egrave definita in modo completo da una misura di angolo Una rotazione di un intero corpo rigido egrave definita in modo completo da uno spostamento angolare θfin - θin= ∆θ e si misura in radianti

Fig 51 Dobbiamo definire anche un verso di rotazione θ si incrementa per rotazioni antiorarie positive le rotazioni in senso orario sono invece negative La velocitagrave angolare si definisce analogamente alla velocitagrave lineare come il rapporto tra lo spostamento angolare e il tempo t impiegato per eseguire tale rotazione

ωm = t∆

∆θ e si misura in rad s

θin

θfin ∆θ

R

S

Anche per w si definisce ωist = lim ∆trarr0 t∆

∆θ

Ancora lrsquoaccelerazione angolare si definisce αm = t∆

∆ω e αist = lim ∆trarr0

t∆∆ω

Anche la legge fondamentale della dinamica ha un analogo nel ambito dei moti rotatori Si stabilisce che se ad un corpo rigido egrave soggetto ad un momento torcente diverso da zero esso subisce unrsquoaccelerazione angolare ad esso proporzionale Nel caso delle rotazioni la resistenza al moto egrave espressa dal momento di inerzia I associato al corpo rigido che gioca il ruolo della massa nei moti traslatori La legge della dinamica delle rotazioni egrave M = I middotα

E sostituendo M = Imiddott∆

∆ω= Imiddot

tinfin

∆minusωω

Il momento di inerzia I di un corpo rigido dipende dalla disposizione della massa del corpo rispetto allrsquoasse di rotazione per una massa puntiforme m a distanza R dallrsquoasse di rotazione I= m R2 per un oggetto esteso sommerograve il momento drsquoinerzia delle sue parti I = Σi mi Ri

2 Se si definisce momento angolare L il prodotto del momento drsquoinerzia per la velocitagrave angolare

L=Iω la legge della dinamica diventa

M = t

LL infin

∆minus

Il momento angolare egrave la grandezza fisica che si conserva se non viene applicato momento torcente Tutti i gesti di volo salti lanci tuffihellip sono azioni nelle quali si conserva il momento angolare Infatti in volo agisce solo la forza di gravitagrave che essendo applicata al CDM non genera momento torcente Il corpo umano nei gesti di volo Il corpo umano non egrave rigido e pertanto in volo agendo con i muscoli possiamo cambiare la disposizione del nostro corpo intorno al centro di massa che in volo coincide col centro di rotazione In questo modo si ottiene una variazione del momento di inerzia I e di conseguenza la velocitagrave angolare deve compensare questa variazione in modo che si mantenga costante il momento angolare L (grandezza che si conserva in assenza di momento torcente) Ersquo questo il principio che spiega il realizzarsi delle trottole sul ghiaccio dei salti mortali tuffi con avvitamento e cosigrave via in posizione raccolta I diminuisce e ω aumenta Moto circolare e moto circolare uniforme Per utilizzare le relazioni della cinematica e della dinamica lineare che abbiamo studiato egrave interessante poter passare dalle variabili angolari alle variabili lineari velocitagrave e accelerazione delle

masse in moto rotatorio Se una massa si muove su una traiettoria curva la velocitagrave tangenziale vt diretta come la tangente alla traiettoria dipende dalla velocitagrave angolare ω ( ωm=ϑ t )e dal raggio di curvatura della traiettoria Se la traiettoria egrave una circonferenza di raggio R e se gli angoli sono espressi in radianti lrsquoarco percorso per uno spostamento angolare ϑ egrave S = ϑ sdotR e la velocitagrave lineare tangente vt = St= ϑ sdotRt risulta vt = ωsdotR Se la velocitagrave angolare ω egrave costante il moto egrave detto circolare uniforme La legge oraria egrave quella dei moti uniformi spostamenti angolari uguali in tempi uguali ϑ(t) = ω t Anche la velocitagrave tangente saragrave di intensitagrave costante se ω egrave costante (archi uguali per tempi uguali s(t) = vt (t) ) ma crsquoegrave una accelerazione normale infatti la velocitagrave anche se non cambia in modulo cambia continuamente di direzione Questa accelerazione si dice centripeta egrave diretta normalmente rispetto alla traiettoria verso il centro della circonferenza e vale in modulo

ac=R

v2

Fig 52 Essendo la velocitagrave tangente vt = ωR Lrsquo accelerazione centripeta si puograve scrivere

ac =R

v2

= ω2 R

Il tempo impiegato dal punto a muoversi sulla circonferenza egrave una costante (moto uniforme) T periodo in T viene percorso uno spazio 2π R

v = T

Rπ2

La frequenza f egrave invece il ndeg di giri al secondo

f =T

1

Se si prendono punti diversi sul raggio della circonferenza questi hanno la stessa velocitagrave angolare e velocitagrave tangenziali crescenti al crescere del raggio Esempio carosello dei pattinatori Esercizi

1- un velocista con una velocitagrave di 10 ms viaggia su una curva di raggio 25m ndash accelerazione

a = R

v2

= 25

100 = 4 ms2

2 ndash un velocista con v = 92 ms su una pista circolare con ac = 38 m s2 ndash Raggio della pista Tempo per percorrere un giro completo

a = R

v2

rArr R = a

v2

= 83

)29( 2

= 2227m

T =v

Rπ2 =

29

27222 lowastπ = 152 sec

Forza centripeta forza centrifuga Una forza centripeta egrave una forza di qualunque natura che trattiene un corpo in moto su una traiettoria curvilinea ad esempio circolare In assenza di tale forza il corpo proseguirebbe il suo moto lungo una traiettoria rettilinea Nel gesto del lancio del martello ad esempio il lanciatore che esercita sul peso in cima allrsquoattrezzo una forza mediata dalla tensione dal cavo che lo trattiene nella traiettoria circolare Quando il lanciatore lascia la maniglia il martello viene lanciato lungo la direzione della tangente alla traiettoria nellrsquoistante di rilascio Lrsquointensitagrave della forza centripeta necessaria a mantenere una massa m in moto con velocitagrave tangente v lungo una traiettoria circolare di raggio r si puograve calcolare a partire dallrsquoaccellerazione centripeta secondo la legge fondamentale della dinamica

|rarr

cF | = m | rarr

ca | = m r

v2

Tale forza egrave diretta come lrsquoaccelerazione centripeta e cioegrave verso il centro della circonferenza che costituisce la traiettoria La forza centripeta egrave dunque una forza reale Con lsquoforza centrifugarsquo invece non ci si riferisce ad un forza che agisce su un corpo ma alla situazione apparente cui sembra sottoposto un corpo in moto curvilineo Esso pare tirato o attirato lontano dal centro di rotazione pare ci sia una lsquoforzarsquo che vuole farlo sfuggire Quando viene lasciato il martello si allontana dal centro di rotazione percheacute si muove di moto rettilineo uniforme non essendo piugrave soggetto a forze altre che la forza peso Lrsquoacqua esce dal cestello della lavatrice quando il cestello ruota velocemente (funzione centrifuga) percheacute lrsquoacqua che non costituisce un corpo solo con il cestello bucato non egrave soggetta alla forza centripeta e puograve passare attraverso i buchi I panni invece pure non parte del cestello sono troppo grandi per passare dai buchi si possono solo schiacciare contro le pareti questo schiacciamento sembra il risultato di una forza ma egrave invece il risultato dellrsquoassenza di una forza quella centripeta Una volta lagrave contro il cestello fanno tuttrsquouno con le pareti di metallo che esercitano su di essi la forza centripeta (cioegrave con direzione verso lrsquoasse di rotazione) che li mantiene in rotazione Le parti di un corpo rigido esteso che si muove di moto rotatorio rispetto ad un asse quale ad esempio la gamba di un giocatore di calcio che calcia un pallone sono soggette alla forza centripeta che le mantiene sulla traiettoria curva Tale forza viene trasmessa alle varie parti tramite le forze di tensione che si sviluppano allrsquointerno del corpo stesso ad esempio il piede egrave soggetto alla forza centrifuga tramite lrsquoazione dei legamenti e tendini a livello della caviglia che vengono messi in tensione per trattenere il piede stesso

rarrM =

rarrr x

rarrF

e

|rarrr | middot |

rarrF | sin ϑ = |

rarrM |

Fig 44

oppure anche considerando la componente di rarrF perpendicolare ad

rarrr o di

rarrr

perpendicolare a rarrF r e rispetto a F

|rarrM | = |

rarrr | |

rarrF perp | |

rarrM | = |

rarrr perp| |

rarrF |

In generale si dice che il modulo del momento |rarrM | egrave il prodotto delle intensitagrave della forza per la

distanza dal punto della retta di applicazione della forza

Come vettore rarrM egrave perpendicolare al piano che contiene

rarrF ed

rarrr ed ha verso calcolato con la

regola della mano destra (con rarrr che si chiude su

rarrF )

La distanza rperp si chiama braccio della forza Si vede che il momento egrave nullo quando il braccio egrave nullo cioegrave quando il punto O si trova sulla retta di applicazione di F Il momento della forza peso P egrave nullo rispetto al baricentro che coincide con il centro di massa nel caso (praticamenteldquosemprerdquo) in cui il corpo non sia abbastanza esteso percheacute diversi punti del corpo risentano di una forza gravitazione differente Praticamente si deve parlare di galassie percheacute CDM e baricentro (BC) non coincidono Quindi la condizione del momento nullo della forza peso diventa un modo per definire il CDM come quel punto rispetto al quale la forza peso P ha momento nullo Per un corpo ldquoarticolatordquo estendiamo il concetto di forza normale come forza di contatto nellrsquoarticolazione utile cioegrave la forza che lrsquoarticolazione che si sta considerando esercita su quello che nellrsquoarticolazione si appoggia La forza peso P di un corpo esteso puograve immaginarsi applicata al CDM Principio di equilibrio di un corpo esteso

se su un corpo esteso agiscono solo rarr

Peso e rarr

Normale cioegrave se un corpo egrave appoggiato ad un piano orizzontale allora il corpo egrave in equilibrio se e solo se il baricentro si trova sopra la superficie di appoggio

Fig 45

Finchegrave il baricentro egrave sopra il tavolo il libro non cade percheacute rarrP applicata a CDM puograve essere

controbilanciata da rarrN Se CDM si sposta in fuori

rarrN rimane nel tavolo e crsquoegrave momento non nullo

non equilibrato da rarrP che continua ad essere applicato nel CDM

Il baricentro di una persona in posizione eretta si trova nellrsquoarea delimitata dei suoi piedi 3cm davanti allrsquoarticolazione della caviglia

Fig 46 Quando la persona si piega in avanti il baricentro esce dal corpo e per mantenere lrsquoequilibrio egrave necessario che le anche si spingono indietro percheacute il baricentro cade di nuovo in quella posizione Notiamo che anche in posizione eretta essendo la forza peso e la forza di contatto non allineate (quei 3cm) (forza di contatto sullrsquoarticolazione della caviglia che regge il peso) occorre un momento correttivo che impedisca la rotazione in avanti mantenuto dal tendine di Achille che si lega alla caviglia Altro esempio di spostamento del baricentro egrave lrsquoatleta che assume una posizione ad L chi regge il peso egrave lrsquoarticolazione della spalla quindi il CDM si sposta sotto la spalla (giagrave era uscita dal corpo per via delle gambe distese in avanti) Nel camminare il baricentro continua a muoversi da sopra un piede a sopra un altro (quello appoggiato ovviamente) Si osservi lrsquoondeggiamento Per assurdo lrsquoancheggiare delle indossatrici serve a mantenere il baricentro il piugrave possibile fermo rispetto alla direzione media del moto (porre un piede esattamente davanti allrsquoaltro) rendendo piugrave facile muoversi anche con tacchi altissimi Al contrario lrsquoequilibrista che cammina sui trampoli sta fermo il meno possibile percheacute egrave stando fermo che il piccolo spostamento che fa uscire il baricentro (ALTO) dalla superficie drsquoappoggio puograve verificarsi facilmente preferisce il ldquonon ndash equilibriordquo o lrsquo rdquoequilibrio dinamicordquo dellrsquoondeggiare continuamente fra due posizioni di equilibrio

Ricordiamo che un equilibrio egrave detto stabile se quando una perturbazione lo altera spontaneamente il sistema lo ripristina Viceversa un equilibrio egrave instabile se la piugrave piccola perturbazione lo distrugge Lrsquoequilibrio egrave molto stabile se il baricentro egrave basso ed il corpo ha una grande area drsquoappoggio la posizione accucciata del giocatore di football americano dagrave grande stabilitagrave Ancor piugrave grande stabilitagrave si ha se il baricentro (CDM) si trova al di sotto della superficie drsquoappoggio Ersquo come se si fosse ldquoappesirdquo anzicheacute ldquoappoggiatirdquo alla superficie drsquoappoggio Proprio per questo motivo lrsquoequilibrista sul filo porta una lunga asta che spesso si flette agli estremi

Fig 47 Gli uccelli bipedi da 100000000 di anni hanno sviluppato questo adattamento per cui sono appesi alle anche mentre gli uomini bipedi da solo 1000000 di anni fanno fatica con il CDM dalla parte alta del corpo Ersquo un equilibrio instabile ldquosoprardquo le anche che le reggono (65 del peso del corpo) Modificazioni strutturali per reggere la posizione eretta 1) Colonna vertebrale rastremata (piugrave tozza in basso che in alto percheacute piugrave in basso vuol dire una

maggior forza di contatto) 2) Muscoli estensori della schiena 3) Gambe ed anche ingrossate 4) Ginocchio che blocca la gamba estesa Ciononostante si ha spesso il mal di schiena Se una forza ha momento non nullo rispetto ad un punto allora il corpo puograve ruotare intorno a quel punto sotto lrsquoazione di quella forza ldquoDiciamo che se sostengo il corpo per quel punto il corpo puograve ruotare intorno a quel puntordquo (Prendo in mano un foglio di carta per un estremo per esempio) La presenza di un momento non nullo egrave dunque la condizione che genera rotazione e viceversa Lrsquoassenza di un momento risultante egrave la condizione che genera lrsquoequilibrio rotazionale di un corpo esteso Quindi la condizione di equilibrio per un corpo esteso egrave

1) rarrR = 0 risultante delle forze applicate = 0 (equilibrio traslazionale)

2) rarrM = 0 momento risultante = 0 (equilibrio rotazionale)

Supponiamo di avere un corpo esteso al quale siano applicate delle forze che diano luogo ad un momento non nullo allora il corpo ruota Per equilibrarlo dovrograve applicare un altro momento tale che la loro somma sia nulla Questo egrave il principio di funzionamento delle leve LEVE

Una leva egrave un corpo esteso al quale sono applicate delle forze con un momento risultante rarrR

allora per portare il corpo in equilibrio applico un momento correttivo rarrP in modo che il momento

totale sia nullo Si dice in genere potenza (P) e resistenza (R) di una leva Le leve sono macchine semplici Servono per applicare forze in punti scomodi o in direzioni particolari Il fulcro egrave il punto nel quale la leva egrave incernierata Si definisce il guadagno meccanico di una leva

GM =

)(

)(rarr

rarr

PF

RF

cioegrave il rapporto fra la forza che genera il momento resistente e quella che genera il momento agente A seconda che GM sia gt

lt 0 una leva si dice che egrave vantaggiosa o svantaggiosa ma solo per quel che riguarda le forze percheacute per quel che riguarda i lavori non si ha neacute vantaggio neacute svantaggio Il lavoro esercitato dalla forza che dagrave la ldquopotenzardquo e quello esercitato dalla forza che dagrave la ldquoresistenzardquo sono sempre uguali Infatti forze e spostamenti sono inversamente proporzionali Le leve si dicono di I II o III specie a seconda se il fulcro si trovi I) in mezzo fra R e P (leva indifferente GM dipende da caso a caso) II) dalla parte di R (leva vantaggiosa il braccio di R egrave sempre minore del braccio di P basta

quindi una P minore per equilibrare una R maggiore) III) dalla parte di P (leva svantaggiosa) Classici esempi dei tre tipi di leve sono i remi (I) lo schiaccianoci (II) e la pinzetta per francobolli (III) Tuttavia vediamo degli esempi meno classici ma attinenti al campo della biologia e della medicina Criterio generale egrave che le leve vantaggiose consentono di essere molto potenti ma con brevi spostamenti mentre viceversa quelle svantaggiose fanno perdere in potenza ma consentono grandi spostamenti saragrave difficile vedere un cavallo che con le lunghe zampe si scava la tana drsquoaltronde una talpa scava bene la tana ma ha movimenti molto meno ampi che non le consentono di correre veloce come un cavallo (compromesso fra forza e velocitagrave del movimento) Se contiamo tutti i movimenti di rotazione che il corpo puograve compiere capiamo che siamo pieni di leve di ogni tipo Sono classici a) il capo fulcro (articolazione occipito-atlantoide) Fig 48 muscoli della nuca (Potenza) peso del capo (Resistenza) b)

muscolo bicipide (Potenza)

Fig 49 Peso dellrsquoavambraccio (Resistenza) Fulcro (articolazione del gomito) Questa leva permette grandi spostamenti Si vede che la forza operata dal muscolo bicipite egrave massima quando lrsquoavambraccio egrave orizzontale (la distanza dal fulcro egrave massima) ed egrave minima quando lrsquoavambraccio egrave verticale( con la distanza dal fulcro nulla) Attenzione - la colonna vertebrale egrave costituita da 24 vertebre separate da dischi di liquido Quando una

persona si piega la schiena egrave una leva con GM molto piccolo Quindi un piegamento completo per raccogliere un oggetto anche leggero produce una forza molto intensa sul disco lombosacrale che separa lrsquoultima vertebra dellrsquoosso sacro Se indebolito questo disco puograve rompersi o deformarsi comprimendo i nervi vicini e causando grande dolore Vediamo un modello che rende conto come mai questa forza egrave cosigrave grande

Fig 50

I muscoli della schiena esercitano T Con un angolo α = 12deg quando la schiena egrave piegata a 90deg

Peso della parte superiore del corpo (circa il 65 del peso totale)

Fulcro lombosacrale (il fulcro produce R) Essendo α piccolo la retta di azione Τ passa vicino al fulcro e dunque la distanza r che costituisce il suo braccio egrave molto piccola Al contrario il peso egrave perpendicolare alla colonna e il suo punto di applicazione egrave molto piugrave distante dal fulcro Τ deve essere molto grande per equilibrare il momento di P Dunque se T egrave grande anche la sua componente orizzontale egrave grande e di conseguenza anche R che costituisce la reazione dellrsquoosso sacro deve avere componente orizzontale molto grande per equilibrare Τ (uguale ed opposta alla componente orizzontale di Τ ) Facendo i conti si ottengono numeri grandi per 75Kg di peso T ed R sono equivalenti al peso di una massa di 220Kg Senza sollevare pesi solo piegandosi Conviene piegare le ginocchia quando si sollevano pesi - Nel corpo egrave difficile che il peso cada sulla verticale dellrsquoarticolazione che lo sostiene egrave sempre

un porsquo spostato e crsquoegrave un tendine con un muscolo che compensa il momento del peso - La contrazione muscolare egrave una successione di brevi contrazioni delle fibre muscolari stimolate

da impulsi che provengono dal sistema nervoso Contrazioni sono molto ravvicinate e avvengono in tempi differenti nelle diverse parti del muscolo cosigrave che il risultato apparente egrave una lenta e progressiva contrazione Se la frequenza degli impulsi aumenta la tensione cresce finchegrave si raggiunge la tensione massima (ricordare la tensione di un cavo) Un ulteriore aumento della frequenza degli impulsi a questo punto non causa ulteriore aumento della tensione

La tensione massima egrave proporzionale allrsquoarea della sezione trasversa del muscolo nel suo punto piugrave largo La tensione massima dipende anche dalla lunghezza del muscolo che varia Si ottiene tensione massima quando il muscolo egrave solo di poco allungato rispetto alla sua lunghezza di riposo di riposo ed egrave circa 30-40 Ncm2 La tensione massima si riduce moltissimo se il muscolo egrave molto allungato o accorciato Dinamica Rotatoria Fino ad ora abbiamo studiato moti traslatori ma il moto di un corpo rigido egrave in generale roto-traslatorio Naturalmente dobbiamo ridurre il problema complesso ad uno piugrave semplice e per fare ciograve immaginiamo di posizionarci su un sistema di riferimento solidale al corpo rigido i moto immaginiamo cioegrave di ldquosedercirdquo sul corpo rigido In questo modo non saremo piugrave sensibili al moto traslatorio e guardando il corpo rigido osserveremo solo le sue rotazioni Trattiamo allora il moto generico scomponendo la parte traslatoria (giagrave discussa ) da quella rotatoria Se si trascura la parte traslatoria del moto di un corpo rigido quello che rimane da trattare egrave la sua rotazione Nel nostro corso consideriamo le rotazioni che avvengono su un piano le rotazioni nello spazio potranno essere trattate come composizione di rotazioni su un piano Per le rotazioni su un piano si identifica un asse di rotazione perpendicolare al piano di rotazione e passante per il centro di rotazione Le articolazioni del gomito e del ginocchio sono articolazioni libere di ruotare intorno ad un asse a differenza ad esempio di quella della spalla che puograve ruotare intorno a due assi Si definisce spostamento angolare la variazione di una posizione che egrave definita in modo completo da una misura di angolo Una rotazione di un intero corpo rigido egrave definita in modo completo da uno spostamento angolare θfin - θin= ∆θ e si misura in radianti

Fig 51 Dobbiamo definire anche un verso di rotazione θ si incrementa per rotazioni antiorarie positive le rotazioni in senso orario sono invece negative La velocitagrave angolare si definisce analogamente alla velocitagrave lineare come il rapporto tra lo spostamento angolare e il tempo t impiegato per eseguire tale rotazione

ωm = t∆

∆θ e si misura in rad s

θin

θfin ∆θ

R

S

Anche per w si definisce ωist = lim ∆trarr0 t∆

∆θ

Ancora lrsquoaccelerazione angolare si definisce αm = t∆

∆ω e αist = lim ∆trarr0

t∆∆ω

Anche la legge fondamentale della dinamica ha un analogo nel ambito dei moti rotatori Si stabilisce che se ad un corpo rigido egrave soggetto ad un momento torcente diverso da zero esso subisce unrsquoaccelerazione angolare ad esso proporzionale Nel caso delle rotazioni la resistenza al moto egrave espressa dal momento di inerzia I associato al corpo rigido che gioca il ruolo della massa nei moti traslatori La legge della dinamica delle rotazioni egrave M = I middotα

E sostituendo M = Imiddott∆

∆ω= Imiddot

tinfin

∆minusωω

Il momento di inerzia I di un corpo rigido dipende dalla disposizione della massa del corpo rispetto allrsquoasse di rotazione per una massa puntiforme m a distanza R dallrsquoasse di rotazione I= m R2 per un oggetto esteso sommerograve il momento drsquoinerzia delle sue parti I = Σi mi Ri

2 Se si definisce momento angolare L il prodotto del momento drsquoinerzia per la velocitagrave angolare

L=Iω la legge della dinamica diventa

M = t

LL infin

∆minus

Il momento angolare egrave la grandezza fisica che si conserva se non viene applicato momento torcente Tutti i gesti di volo salti lanci tuffihellip sono azioni nelle quali si conserva il momento angolare Infatti in volo agisce solo la forza di gravitagrave che essendo applicata al CDM non genera momento torcente Il corpo umano nei gesti di volo Il corpo umano non egrave rigido e pertanto in volo agendo con i muscoli possiamo cambiare la disposizione del nostro corpo intorno al centro di massa che in volo coincide col centro di rotazione In questo modo si ottiene una variazione del momento di inerzia I e di conseguenza la velocitagrave angolare deve compensare questa variazione in modo che si mantenga costante il momento angolare L (grandezza che si conserva in assenza di momento torcente) Ersquo questo il principio che spiega il realizzarsi delle trottole sul ghiaccio dei salti mortali tuffi con avvitamento e cosigrave via in posizione raccolta I diminuisce e ω aumenta Moto circolare e moto circolare uniforme Per utilizzare le relazioni della cinematica e della dinamica lineare che abbiamo studiato egrave interessante poter passare dalle variabili angolari alle variabili lineari velocitagrave e accelerazione delle

masse in moto rotatorio Se una massa si muove su una traiettoria curva la velocitagrave tangenziale vt diretta come la tangente alla traiettoria dipende dalla velocitagrave angolare ω ( ωm=ϑ t )e dal raggio di curvatura della traiettoria Se la traiettoria egrave una circonferenza di raggio R e se gli angoli sono espressi in radianti lrsquoarco percorso per uno spostamento angolare ϑ egrave S = ϑ sdotR e la velocitagrave lineare tangente vt = St= ϑ sdotRt risulta vt = ωsdotR Se la velocitagrave angolare ω egrave costante il moto egrave detto circolare uniforme La legge oraria egrave quella dei moti uniformi spostamenti angolari uguali in tempi uguali ϑ(t) = ω t Anche la velocitagrave tangente saragrave di intensitagrave costante se ω egrave costante (archi uguali per tempi uguali s(t) = vt (t) ) ma crsquoegrave una accelerazione normale infatti la velocitagrave anche se non cambia in modulo cambia continuamente di direzione Questa accelerazione si dice centripeta egrave diretta normalmente rispetto alla traiettoria verso il centro della circonferenza e vale in modulo

ac=R

v2

Fig 52 Essendo la velocitagrave tangente vt = ωR Lrsquo accelerazione centripeta si puograve scrivere

ac =R

v2

= ω2 R

Il tempo impiegato dal punto a muoversi sulla circonferenza egrave una costante (moto uniforme) T periodo in T viene percorso uno spazio 2π R

v = T

Rπ2

La frequenza f egrave invece il ndeg di giri al secondo

f =T

1

Se si prendono punti diversi sul raggio della circonferenza questi hanno la stessa velocitagrave angolare e velocitagrave tangenziali crescenti al crescere del raggio Esempio carosello dei pattinatori Esercizi

1- un velocista con una velocitagrave di 10 ms viaggia su una curva di raggio 25m ndash accelerazione

a = R

v2

= 25

100 = 4 ms2

2 ndash un velocista con v = 92 ms su una pista circolare con ac = 38 m s2 ndash Raggio della pista Tempo per percorrere un giro completo

a = R

v2

rArr R = a

v2

= 83

)29( 2

= 2227m

T =v

Rπ2 =

29

27222 lowastπ = 152 sec

Forza centripeta forza centrifuga Una forza centripeta egrave una forza di qualunque natura che trattiene un corpo in moto su una traiettoria curvilinea ad esempio circolare In assenza di tale forza il corpo proseguirebbe il suo moto lungo una traiettoria rettilinea Nel gesto del lancio del martello ad esempio il lanciatore che esercita sul peso in cima allrsquoattrezzo una forza mediata dalla tensione dal cavo che lo trattiene nella traiettoria circolare Quando il lanciatore lascia la maniglia il martello viene lanciato lungo la direzione della tangente alla traiettoria nellrsquoistante di rilascio Lrsquointensitagrave della forza centripeta necessaria a mantenere una massa m in moto con velocitagrave tangente v lungo una traiettoria circolare di raggio r si puograve calcolare a partire dallrsquoaccellerazione centripeta secondo la legge fondamentale della dinamica

|rarr

cF | = m | rarr

ca | = m r

v2

Tale forza egrave diretta come lrsquoaccelerazione centripeta e cioegrave verso il centro della circonferenza che costituisce la traiettoria La forza centripeta egrave dunque una forza reale Con lsquoforza centrifugarsquo invece non ci si riferisce ad un forza che agisce su un corpo ma alla situazione apparente cui sembra sottoposto un corpo in moto curvilineo Esso pare tirato o attirato lontano dal centro di rotazione pare ci sia una lsquoforzarsquo che vuole farlo sfuggire Quando viene lasciato il martello si allontana dal centro di rotazione percheacute si muove di moto rettilineo uniforme non essendo piugrave soggetto a forze altre che la forza peso Lrsquoacqua esce dal cestello della lavatrice quando il cestello ruota velocemente (funzione centrifuga) percheacute lrsquoacqua che non costituisce un corpo solo con il cestello bucato non egrave soggetta alla forza centripeta e puograve passare attraverso i buchi I panni invece pure non parte del cestello sono troppo grandi per passare dai buchi si possono solo schiacciare contro le pareti questo schiacciamento sembra il risultato di una forza ma egrave invece il risultato dellrsquoassenza di una forza quella centripeta Una volta lagrave contro il cestello fanno tuttrsquouno con le pareti di metallo che esercitano su di essi la forza centripeta (cioegrave con direzione verso lrsquoasse di rotazione) che li mantiene in rotazione Le parti di un corpo rigido esteso che si muove di moto rotatorio rispetto ad un asse quale ad esempio la gamba di un giocatore di calcio che calcia un pallone sono soggette alla forza centripeta che le mantiene sulla traiettoria curva Tale forza viene trasmessa alle varie parti tramite le forze di tensione che si sviluppano allrsquointerno del corpo stesso ad esempio il piede egrave soggetto alla forza centrifuga tramite lrsquoazione dei legamenti e tendini a livello della caviglia che vengono messi in tensione per trattenere il piede stesso

Fig 45

Finchegrave il baricentro egrave sopra il tavolo il libro non cade percheacute rarrP applicata a CDM puograve essere

controbilanciata da rarrN Se CDM si sposta in fuori

rarrN rimane nel tavolo e crsquoegrave momento non nullo

non equilibrato da rarrP che continua ad essere applicato nel CDM

Il baricentro di una persona in posizione eretta si trova nellrsquoarea delimitata dei suoi piedi 3cm davanti allrsquoarticolazione della caviglia

Fig 46 Quando la persona si piega in avanti il baricentro esce dal corpo e per mantenere lrsquoequilibrio egrave necessario che le anche si spingono indietro percheacute il baricentro cade di nuovo in quella posizione Notiamo che anche in posizione eretta essendo la forza peso e la forza di contatto non allineate (quei 3cm) (forza di contatto sullrsquoarticolazione della caviglia che regge il peso) occorre un momento correttivo che impedisca la rotazione in avanti mantenuto dal tendine di Achille che si lega alla caviglia Altro esempio di spostamento del baricentro egrave lrsquoatleta che assume una posizione ad L chi regge il peso egrave lrsquoarticolazione della spalla quindi il CDM si sposta sotto la spalla (giagrave era uscita dal corpo per via delle gambe distese in avanti) Nel camminare il baricentro continua a muoversi da sopra un piede a sopra un altro (quello appoggiato ovviamente) Si osservi lrsquoondeggiamento Per assurdo lrsquoancheggiare delle indossatrici serve a mantenere il baricentro il piugrave possibile fermo rispetto alla direzione media del moto (porre un piede esattamente davanti allrsquoaltro) rendendo piugrave facile muoversi anche con tacchi altissimi Al contrario lrsquoequilibrista che cammina sui trampoli sta fermo il meno possibile percheacute egrave stando fermo che il piccolo spostamento che fa uscire il baricentro (ALTO) dalla superficie drsquoappoggio puograve verificarsi facilmente preferisce il ldquonon ndash equilibriordquo o lrsquo rdquoequilibrio dinamicordquo dellrsquoondeggiare continuamente fra due posizioni di equilibrio

Ricordiamo che un equilibrio egrave detto stabile se quando una perturbazione lo altera spontaneamente il sistema lo ripristina Viceversa un equilibrio egrave instabile se la piugrave piccola perturbazione lo distrugge Lrsquoequilibrio egrave molto stabile se il baricentro egrave basso ed il corpo ha una grande area drsquoappoggio la posizione accucciata del giocatore di football americano dagrave grande stabilitagrave Ancor piugrave grande stabilitagrave si ha se il baricentro (CDM) si trova al di sotto della superficie drsquoappoggio Ersquo come se si fosse ldquoappesirdquo anzicheacute ldquoappoggiatirdquo alla superficie drsquoappoggio Proprio per questo motivo lrsquoequilibrista sul filo porta una lunga asta che spesso si flette agli estremi

Fig 47 Gli uccelli bipedi da 100000000 di anni hanno sviluppato questo adattamento per cui sono appesi alle anche mentre gli uomini bipedi da solo 1000000 di anni fanno fatica con il CDM dalla parte alta del corpo Ersquo un equilibrio instabile ldquosoprardquo le anche che le reggono (65 del peso del corpo) Modificazioni strutturali per reggere la posizione eretta 1) Colonna vertebrale rastremata (piugrave tozza in basso che in alto percheacute piugrave in basso vuol dire una

maggior forza di contatto) 2) Muscoli estensori della schiena 3) Gambe ed anche ingrossate 4) Ginocchio che blocca la gamba estesa Ciononostante si ha spesso il mal di schiena Se una forza ha momento non nullo rispetto ad un punto allora il corpo puograve ruotare intorno a quel punto sotto lrsquoazione di quella forza ldquoDiciamo che se sostengo il corpo per quel punto il corpo puograve ruotare intorno a quel puntordquo (Prendo in mano un foglio di carta per un estremo per esempio) La presenza di un momento non nullo egrave dunque la condizione che genera rotazione e viceversa Lrsquoassenza di un momento risultante egrave la condizione che genera lrsquoequilibrio rotazionale di un corpo esteso Quindi la condizione di equilibrio per un corpo esteso egrave

1) rarrR = 0 risultante delle forze applicate = 0 (equilibrio traslazionale)

2) rarrM = 0 momento risultante = 0 (equilibrio rotazionale)

Supponiamo di avere un corpo esteso al quale siano applicate delle forze che diano luogo ad un momento non nullo allora il corpo ruota Per equilibrarlo dovrograve applicare un altro momento tale che la loro somma sia nulla Questo egrave il principio di funzionamento delle leve LEVE

Una leva egrave un corpo esteso al quale sono applicate delle forze con un momento risultante rarrR

allora per portare il corpo in equilibrio applico un momento correttivo rarrP in modo che il momento

totale sia nullo Si dice in genere potenza (P) e resistenza (R) di una leva Le leve sono macchine semplici Servono per applicare forze in punti scomodi o in direzioni particolari Il fulcro egrave il punto nel quale la leva egrave incernierata Si definisce il guadagno meccanico di una leva

GM =

)(

)(rarr

rarr

PF

RF

cioegrave il rapporto fra la forza che genera il momento resistente e quella che genera il momento agente A seconda che GM sia gt

lt 0 una leva si dice che egrave vantaggiosa o svantaggiosa ma solo per quel che riguarda le forze percheacute per quel che riguarda i lavori non si ha neacute vantaggio neacute svantaggio Il lavoro esercitato dalla forza che dagrave la ldquopotenzardquo e quello esercitato dalla forza che dagrave la ldquoresistenzardquo sono sempre uguali Infatti forze e spostamenti sono inversamente proporzionali Le leve si dicono di I II o III specie a seconda se il fulcro si trovi I) in mezzo fra R e P (leva indifferente GM dipende da caso a caso) II) dalla parte di R (leva vantaggiosa il braccio di R egrave sempre minore del braccio di P basta

quindi una P minore per equilibrare una R maggiore) III) dalla parte di P (leva svantaggiosa) Classici esempi dei tre tipi di leve sono i remi (I) lo schiaccianoci (II) e la pinzetta per francobolli (III) Tuttavia vediamo degli esempi meno classici ma attinenti al campo della biologia e della medicina Criterio generale egrave che le leve vantaggiose consentono di essere molto potenti ma con brevi spostamenti mentre viceversa quelle svantaggiose fanno perdere in potenza ma consentono grandi spostamenti saragrave difficile vedere un cavallo che con le lunghe zampe si scava la tana drsquoaltronde una talpa scava bene la tana ma ha movimenti molto meno ampi che non le consentono di correre veloce come un cavallo (compromesso fra forza e velocitagrave del movimento) Se contiamo tutti i movimenti di rotazione che il corpo puograve compiere capiamo che siamo pieni di leve di ogni tipo Sono classici a) il capo fulcro (articolazione occipito-atlantoide) Fig 48 muscoli della nuca (Potenza) peso del capo (Resistenza) b)

muscolo bicipide (Potenza)

Fig 49 Peso dellrsquoavambraccio (Resistenza) Fulcro (articolazione del gomito) Questa leva permette grandi spostamenti Si vede che la forza operata dal muscolo bicipite egrave massima quando lrsquoavambraccio egrave orizzontale (la distanza dal fulcro egrave massima) ed egrave minima quando lrsquoavambraccio egrave verticale( con la distanza dal fulcro nulla) Attenzione - la colonna vertebrale egrave costituita da 24 vertebre separate da dischi di liquido Quando una

persona si piega la schiena egrave una leva con GM molto piccolo Quindi un piegamento completo per raccogliere un oggetto anche leggero produce una forza molto intensa sul disco lombosacrale che separa lrsquoultima vertebra dellrsquoosso sacro Se indebolito questo disco puograve rompersi o deformarsi comprimendo i nervi vicini e causando grande dolore Vediamo un modello che rende conto come mai questa forza egrave cosigrave grande

Fig 50

I muscoli della schiena esercitano T Con un angolo α = 12deg quando la schiena egrave piegata a 90deg

Peso della parte superiore del corpo (circa il 65 del peso totale)

Fulcro lombosacrale (il fulcro produce R) Essendo α piccolo la retta di azione Τ passa vicino al fulcro e dunque la distanza r che costituisce il suo braccio egrave molto piccola Al contrario il peso egrave perpendicolare alla colonna e il suo punto di applicazione egrave molto piugrave distante dal fulcro Τ deve essere molto grande per equilibrare il momento di P Dunque se T egrave grande anche la sua componente orizzontale egrave grande e di conseguenza anche R che costituisce la reazione dellrsquoosso sacro deve avere componente orizzontale molto grande per equilibrare Τ (uguale ed opposta alla componente orizzontale di Τ ) Facendo i conti si ottengono numeri grandi per 75Kg di peso T ed R sono equivalenti al peso di una massa di 220Kg Senza sollevare pesi solo piegandosi Conviene piegare le ginocchia quando si sollevano pesi - Nel corpo egrave difficile che il peso cada sulla verticale dellrsquoarticolazione che lo sostiene egrave sempre

un porsquo spostato e crsquoegrave un tendine con un muscolo che compensa il momento del peso - La contrazione muscolare egrave una successione di brevi contrazioni delle fibre muscolari stimolate

da impulsi che provengono dal sistema nervoso Contrazioni sono molto ravvicinate e avvengono in tempi differenti nelle diverse parti del muscolo cosigrave che il risultato apparente egrave una lenta e progressiva contrazione Se la frequenza degli impulsi aumenta la tensione cresce finchegrave si raggiunge la tensione massima (ricordare la tensione di un cavo) Un ulteriore aumento della frequenza degli impulsi a questo punto non causa ulteriore aumento della tensione

La tensione massima egrave proporzionale allrsquoarea della sezione trasversa del muscolo nel suo punto piugrave largo La tensione massima dipende anche dalla lunghezza del muscolo che varia Si ottiene tensione massima quando il muscolo egrave solo di poco allungato rispetto alla sua lunghezza di riposo di riposo ed egrave circa 30-40 Ncm2 La tensione massima si riduce moltissimo se il muscolo egrave molto allungato o accorciato Dinamica Rotatoria Fino ad ora abbiamo studiato moti traslatori ma il moto di un corpo rigido egrave in generale roto-traslatorio Naturalmente dobbiamo ridurre il problema complesso ad uno piugrave semplice e per fare ciograve immaginiamo di posizionarci su un sistema di riferimento solidale al corpo rigido i moto immaginiamo cioegrave di ldquosedercirdquo sul corpo rigido In questo modo non saremo piugrave sensibili al moto traslatorio e guardando il corpo rigido osserveremo solo le sue rotazioni Trattiamo allora il moto generico scomponendo la parte traslatoria (giagrave discussa ) da quella rotatoria Se si trascura la parte traslatoria del moto di un corpo rigido quello che rimane da trattare egrave la sua rotazione Nel nostro corso consideriamo le rotazioni che avvengono su un piano le rotazioni nello spazio potranno essere trattate come composizione di rotazioni su un piano Per le rotazioni su un piano si identifica un asse di rotazione perpendicolare al piano di rotazione e passante per il centro di rotazione Le articolazioni del gomito e del ginocchio sono articolazioni libere di ruotare intorno ad un asse a differenza ad esempio di quella della spalla che puograve ruotare intorno a due assi Si definisce spostamento angolare la variazione di una posizione che egrave definita in modo completo da una misura di angolo Una rotazione di un intero corpo rigido egrave definita in modo completo da uno spostamento angolare θfin - θin= ∆θ e si misura in radianti

Fig 51 Dobbiamo definire anche un verso di rotazione θ si incrementa per rotazioni antiorarie positive le rotazioni in senso orario sono invece negative La velocitagrave angolare si definisce analogamente alla velocitagrave lineare come il rapporto tra lo spostamento angolare e il tempo t impiegato per eseguire tale rotazione

ωm = t∆

∆θ e si misura in rad s

θin

θfin ∆θ

R

S

Anche per w si definisce ωist = lim ∆trarr0 t∆

∆θ

Ancora lrsquoaccelerazione angolare si definisce αm = t∆

∆ω e αist = lim ∆trarr0

t∆∆ω

Anche la legge fondamentale della dinamica ha un analogo nel ambito dei moti rotatori Si stabilisce che se ad un corpo rigido egrave soggetto ad un momento torcente diverso da zero esso subisce unrsquoaccelerazione angolare ad esso proporzionale Nel caso delle rotazioni la resistenza al moto egrave espressa dal momento di inerzia I associato al corpo rigido che gioca il ruolo della massa nei moti traslatori La legge della dinamica delle rotazioni egrave M = I middotα

E sostituendo M = Imiddott∆

∆ω= Imiddot

tinfin

∆minusωω

Il momento di inerzia I di un corpo rigido dipende dalla disposizione della massa del corpo rispetto allrsquoasse di rotazione per una massa puntiforme m a distanza R dallrsquoasse di rotazione I= m R2 per un oggetto esteso sommerograve il momento drsquoinerzia delle sue parti I = Σi mi Ri

2 Se si definisce momento angolare L il prodotto del momento drsquoinerzia per la velocitagrave angolare

L=Iω la legge della dinamica diventa

M = t

LL infin

∆minus

Il momento angolare egrave la grandezza fisica che si conserva se non viene applicato momento torcente Tutti i gesti di volo salti lanci tuffihellip sono azioni nelle quali si conserva il momento angolare Infatti in volo agisce solo la forza di gravitagrave che essendo applicata al CDM non genera momento torcente Il corpo umano nei gesti di volo Il corpo umano non egrave rigido e pertanto in volo agendo con i muscoli possiamo cambiare la disposizione del nostro corpo intorno al centro di massa che in volo coincide col centro di rotazione In questo modo si ottiene una variazione del momento di inerzia I e di conseguenza la velocitagrave angolare deve compensare questa variazione in modo che si mantenga costante il momento angolare L (grandezza che si conserva in assenza di momento torcente) Ersquo questo il principio che spiega il realizzarsi delle trottole sul ghiaccio dei salti mortali tuffi con avvitamento e cosigrave via in posizione raccolta I diminuisce e ω aumenta Moto circolare e moto circolare uniforme Per utilizzare le relazioni della cinematica e della dinamica lineare che abbiamo studiato egrave interessante poter passare dalle variabili angolari alle variabili lineari velocitagrave e accelerazione delle

masse in moto rotatorio Se una massa si muove su una traiettoria curva la velocitagrave tangenziale vt diretta come la tangente alla traiettoria dipende dalla velocitagrave angolare ω ( ωm=ϑ t )e dal raggio di curvatura della traiettoria Se la traiettoria egrave una circonferenza di raggio R e se gli angoli sono espressi in radianti lrsquoarco percorso per uno spostamento angolare ϑ egrave S = ϑ sdotR e la velocitagrave lineare tangente vt = St= ϑ sdotRt risulta vt = ωsdotR Se la velocitagrave angolare ω egrave costante il moto egrave detto circolare uniforme La legge oraria egrave quella dei moti uniformi spostamenti angolari uguali in tempi uguali ϑ(t) = ω t Anche la velocitagrave tangente saragrave di intensitagrave costante se ω egrave costante (archi uguali per tempi uguali s(t) = vt (t) ) ma crsquoegrave una accelerazione normale infatti la velocitagrave anche se non cambia in modulo cambia continuamente di direzione Questa accelerazione si dice centripeta egrave diretta normalmente rispetto alla traiettoria verso il centro della circonferenza e vale in modulo

ac=R

v2

Fig 52 Essendo la velocitagrave tangente vt = ωR Lrsquo accelerazione centripeta si puograve scrivere

ac =R

v2

= ω2 R

Il tempo impiegato dal punto a muoversi sulla circonferenza egrave una costante (moto uniforme) T periodo in T viene percorso uno spazio 2π R

v = T

Rπ2

La frequenza f egrave invece il ndeg di giri al secondo

f =T

1

Se si prendono punti diversi sul raggio della circonferenza questi hanno la stessa velocitagrave angolare e velocitagrave tangenziali crescenti al crescere del raggio Esempio carosello dei pattinatori Esercizi

1- un velocista con una velocitagrave di 10 ms viaggia su una curva di raggio 25m ndash accelerazione

a = R

v2

= 25

100 = 4 ms2

2 ndash un velocista con v = 92 ms su una pista circolare con ac = 38 m s2 ndash Raggio della pista Tempo per percorrere un giro completo

a = R

v2

rArr R = a

v2

= 83

)29( 2

= 2227m

T =v

Rπ2 =

29

27222 lowastπ = 152 sec

Forza centripeta forza centrifuga Una forza centripeta egrave una forza di qualunque natura che trattiene un corpo in moto su una traiettoria curvilinea ad esempio circolare In assenza di tale forza il corpo proseguirebbe il suo moto lungo una traiettoria rettilinea Nel gesto del lancio del martello ad esempio il lanciatore che esercita sul peso in cima allrsquoattrezzo una forza mediata dalla tensione dal cavo che lo trattiene nella traiettoria circolare Quando il lanciatore lascia la maniglia il martello viene lanciato lungo la direzione della tangente alla traiettoria nellrsquoistante di rilascio Lrsquointensitagrave della forza centripeta necessaria a mantenere una massa m in moto con velocitagrave tangente v lungo una traiettoria circolare di raggio r si puograve calcolare a partire dallrsquoaccellerazione centripeta secondo la legge fondamentale della dinamica

|rarr

cF | = m | rarr

ca | = m r

v2

Tale forza egrave diretta come lrsquoaccelerazione centripeta e cioegrave verso il centro della circonferenza che costituisce la traiettoria La forza centripeta egrave dunque una forza reale Con lsquoforza centrifugarsquo invece non ci si riferisce ad un forza che agisce su un corpo ma alla situazione apparente cui sembra sottoposto un corpo in moto curvilineo Esso pare tirato o attirato lontano dal centro di rotazione pare ci sia una lsquoforzarsquo che vuole farlo sfuggire Quando viene lasciato il martello si allontana dal centro di rotazione percheacute si muove di moto rettilineo uniforme non essendo piugrave soggetto a forze altre che la forza peso Lrsquoacqua esce dal cestello della lavatrice quando il cestello ruota velocemente (funzione centrifuga) percheacute lrsquoacqua che non costituisce un corpo solo con il cestello bucato non egrave soggetta alla forza centripeta e puograve passare attraverso i buchi I panni invece pure non parte del cestello sono troppo grandi per passare dai buchi si possono solo schiacciare contro le pareti questo schiacciamento sembra il risultato di una forza ma egrave invece il risultato dellrsquoassenza di una forza quella centripeta Una volta lagrave contro il cestello fanno tuttrsquouno con le pareti di metallo che esercitano su di essi la forza centripeta (cioegrave con direzione verso lrsquoasse di rotazione) che li mantiene in rotazione Le parti di un corpo rigido esteso che si muove di moto rotatorio rispetto ad un asse quale ad esempio la gamba di un giocatore di calcio che calcia un pallone sono soggette alla forza centripeta che le mantiene sulla traiettoria curva Tale forza viene trasmessa alle varie parti tramite le forze di tensione che si sviluppano allrsquointerno del corpo stesso ad esempio il piede egrave soggetto alla forza centrifuga tramite lrsquoazione dei legamenti e tendini a livello della caviglia che vengono messi in tensione per trattenere il piede stesso

Ricordiamo che un equilibrio egrave detto stabile se quando una perturbazione lo altera spontaneamente il sistema lo ripristina Viceversa un equilibrio egrave instabile se la piugrave piccola perturbazione lo distrugge Lrsquoequilibrio egrave molto stabile se il baricentro egrave basso ed il corpo ha una grande area drsquoappoggio la posizione accucciata del giocatore di football americano dagrave grande stabilitagrave Ancor piugrave grande stabilitagrave si ha se il baricentro (CDM) si trova al di sotto della superficie drsquoappoggio Ersquo come se si fosse ldquoappesirdquo anzicheacute ldquoappoggiatirdquo alla superficie drsquoappoggio Proprio per questo motivo lrsquoequilibrista sul filo porta una lunga asta che spesso si flette agli estremi

Fig 47 Gli uccelli bipedi da 100000000 di anni hanno sviluppato questo adattamento per cui sono appesi alle anche mentre gli uomini bipedi da solo 1000000 di anni fanno fatica con il CDM dalla parte alta del corpo Ersquo un equilibrio instabile ldquosoprardquo le anche che le reggono (65 del peso del corpo) Modificazioni strutturali per reggere la posizione eretta 1) Colonna vertebrale rastremata (piugrave tozza in basso che in alto percheacute piugrave in basso vuol dire una

maggior forza di contatto) 2) Muscoli estensori della schiena 3) Gambe ed anche ingrossate 4) Ginocchio che blocca la gamba estesa Ciononostante si ha spesso il mal di schiena Se una forza ha momento non nullo rispetto ad un punto allora il corpo puograve ruotare intorno a quel punto sotto lrsquoazione di quella forza ldquoDiciamo che se sostengo il corpo per quel punto il corpo puograve ruotare intorno a quel puntordquo (Prendo in mano un foglio di carta per un estremo per esempio) La presenza di un momento non nullo egrave dunque la condizione che genera rotazione e viceversa Lrsquoassenza di un momento risultante egrave la condizione che genera lrsquoequilibrio rotazionale di un corpo esteso Quindi la condizione di equilibrio per un corpo esteso egrave

1) rarrR = 0 risultante delle forze applicate = 0 (equilibrio traslazionale)

2) rarrM = 0 momento risultante = 0 (equilibrio rotazionale)

Supponiamo di avere un corpo esteso al quale siano applicate delle forze che diano luogo ad un momento non nullo allora il corpo ruota Per equilibrarlo dovrograve applicare un altro momento tale che la loro somma sia nulla Questo egrave il principio di funzionamento delle leve LEVE

Una leva egrave un corpo esteso al quale sono applicate delle forze con un momento risultante rarrR

allora per portare il corpo in equilibrio applico un momento correttivo rarrP in modo che il momento

totale sia nullo Si dice in genere potenza (P) e resistenza (R) di una leva Le leve sono macchine semplici Servono per applicare forze in punti scomodi o in direzioni particolari Il fulcro egrave il punto nel quale la leva egrave incernierata Si definisce il guadagno meccanico di una leva

GM =

)(

)(rarr

rarr

PF

RF

cioegrave il rapporto fra la forza che genera il momento resistente e quella che genera il momento agente A seconda che GM sia gt

lt 0 una leva si dice che egrave vantaggiosa o svantaggiosa ma solo per quel che riguarda le forze percheacute per quel che riguarda i lavori non si ha neacute vantaggio neacute svantaggio Il lavoro esercitato dalla forza che dagrave la ldquopotenzardquo e quello esercitato dalla forza che dagrave la ldquoresistenzardquo sono sempre uguali Infatti forze e spostamenti sono inversamente proporzionali Le leve si dicono di I II o III specie a seconda se il fulcro si trovi I) in mezzo fra R e P (leva indifferente GM dipende da caso a caso) II) dalla parte di R (leva vantaggiosa il braccio di R egrave sempre minore del braccio di P basta

quindi una P minore per equilibrare una R maggiore) III) dalla parte di P (leva svantaggiosa) Classici esempi dei tre tipi di leve sono i remi (I) lo schiaccianoci (II) e la pinzetta per francobolli (III) Tuttavia vediamo degli esempi meno classici ma attinenti al campo della biologia e della medicina Criterio generale egrave che le leve vantaggiose consentono di essere molto potenti ma con brevi spostamenti mentre viceversa quelle svantaggiose fanno perdere in potenza ma consentono grandi spostamenti saragrave difficile vedere un cavallo che con le lunghe zampe si scava la tana drsquoaltronde una talpa scava bene la tana ma ha movimenti molto meno ampi che non le consentono di correre veloce come un cavallo (compromesso fra forza e velocitagrave del movimento) Se contiamo tutti i movimenti di rotazione che il corpo puograve compiere capiamo che siamo pieni di leve di ogni tipo Sono classici a) il capo fulcro (articolazione occipito-atlantoide) Fig 48 muscoli della nuca (Potenza) peso del capo (Resistenza) b)

muscolo bicipide (Potenza)

Fig 49 Peso dellrsquoavambraccio (Resistenza) Fulcro (articolazione del gomito) Questa leva permette grandi spostamenti Si vede che la forza operata dal muscolo bicipite egrave massima quando lrsquoavambraccio egrave orizzontale (la distanza dal fulcro egrave massima) ed egrave minima quando lrsquoavambraccio egrave verticale( con la distanza dal fulcro nulla) Attenzione - la colonna vertebrale egrave costituita da 24 vertebre separate da dischi di liquido Quando una

persona si piega la schiena egrave una leva con GM molto piccolo Quindi un piegamento completo per raccogliere un oggetto anche leggero produce una forza molto intensa sul disco lombosacrale che separa lrsquoultima vertebra dellrsquoosso sacro Se indebolito questo disco puograve rompersi o deformarsi comprimendo i nervi vicini e causando grande dolore Vediamo un modello che rende conto come mai questa forza egrave cosigrave grande

Fig 50

I muscoli della schiena esercitano T Con un angolo α = 12deg quando la schiena egrave piegata a 90deg

Peso della parte superiore del corpo (circa il 65 del peso totale)

Fulcro lombosacrale (il fulcro produce R) Essendo α piccolo la retta di azione Τ passa vicino al fulcro e dunque la distanza r che costituisce il suo braccio egrave molto piccola Al contrario il peso egrave perpendicolare alla colonna e il suo punto di applicazione egrave molto piugrave distante dal fulcro Τ deve essere molto grande per equilibrare il momento di P Dunque se T egrave grande anche la sua componente orizzontale egrave grande e di conseguenza anche R che costituisce la reazione dellrsquoosso sacro deve avere componente orizzontale molto grande per equilibrare Τ (uguale ed opposta alla componente orizzontale di Τ ) Facendo i conti si ottengono numeri grandi per 75Kg di peso T ed R sono equivalenti al peso di una massa di 220Kg Senza sollevare pesi solo piegandosi Conviene piegare le ginocchia quando si sollevano pesi - Nel corpo egrave difficile che il peso cada sulla verticale dellrsquoarticolazione che lo sostiene egrave sempre

un porsquo spostato e crsquoegrave un tendine con un muscolo che compensa il momento del peso - La contrazione muscolare egrave una successione di brevi contrazioni delle fibre muscolari stimolate

da impulsi che provengono dal sistema nervoso Contrazioni sono molto ravvicinate e avvengono in tempi differenti nelle diverse parti del muscolo cosigrave che il risultato apparente egrave una lenta e progressiva contrazione Se la frequenza degli impulsi aumenta la tensione cresce finchegrave si raggiunge la tensione massima (ricordare la tensione di un cavo) Un ulteriore aumento della frequenza degli impulsi a questo punto non causa ulteriore aumento della tensione

La tensione massima egrave proporzionale allrsquoarea della sezione trasversa del muscolo nel suo punto piugrave largo La tensione massima dipende anche dalla lunghezza del muscolo che varia Si ottiene tensione massima quando il muscolo egrave solo di poco allungato rispetto alla sua lunghezza di riposo di riposo ed egrave circa 30-40 Ncm2 La tensione massima si riduce moltissimo se il muscolo egrave molto allungato o accorciato Dinamica Rotatoria Fino ad ora abbiamo studiato moti traslatori ma il moto di un corpo rigido egrave in generale roto-traslatorio Naturalmente dobbiamo ridurre il problema complesso ad uno piugrave semplice e per fare ciograve immaginiamo di posizionarci su un sistema di riferimento solidale al corpo rigido i moto immaginiamo cioegrave di ldquosedercirdquo sul corpo rigido In questo modo non saremo piugrave sensibili al moto traslatorio e guardando il corpo rigido osserveremo solo le sue rotazioni Trattiamo allora il moto generico scomponendo la parte traslatoria (giagrave discussa ) da quella rotatoria Se si trascura la parte traslatoria del moto di un corpo rigido quello che rimane da trattare egrave la sua rotazione Nel nostro corso consideriamo le rotazioni che avvengono su un piano le rotazioni nello spazio potranno essere trattate come composizione di rotazioni su un piano Per le rotazioni su un piano si identifica un asse di rotazione perpendicolare al piano di rotazione e passante per il centro di rotazione Le articolazioni del gomito e del ginocchio sono articolazioni libere di ruotare intorno ad un asse a differenza ad esempio di quella della spalla che puograve ruotare intorno a due assi Si definisce spostamento angolare la variazione di una posizione che egrave definita in modo completo da una misura di angolo Una rotazione di un intero corpo rigido egrave definita in modo completo da uno spostamento angolare θfin - θin= ∆θ e si misura in radianti

Fig 51 Dobbiamo definire anche un verso di rotazione θ si incrementa per rotazioni antiorarie positive le rotazioni in senso orario sono invece negative La velocitagrave angolare si definisce analogamente alla velocitagrave lineare come il rapporto tra lo spostamento angolare e il tempo t impiegato per eseguire tale rotazione

ωm = t∆

∆θ e si misura in rad s

θin

θfin ∆θ

R

S

Anche per w si definisce ωist = lim ∆trarr0 t∆

∆θ

Ancora lrsquoaccelerazione angolare si definisce αm = t∆

∆ω e αist = lim ∆trarr0

t∆∆ω

Anche la legge fondamentale della dinamica ha un analogo nel ambito dei moti rotatori Si stabilisce che se ad un corpo rigido egrave soggetto ad un momento torcente diverso da zero esso subisce unrsquoaccelerazione angolare ad esso proporzionale Nel caso delle rotazioni la resistenza al moto egrave espressa dal momento di inerzia I associato al corpo rigido che gioca il ruolo della massa nei moti traslatori La legge della dinamica delle rotazioni egrave M = I middotα

E sostituendo M = Imiddott∆

∆ω= Imiddot

tinfin

∆minusωω

Il momento di inerzia I di un corpo rigido dipende dalla disposizione della massa del corpo rispetto allrsquoasse di rotazione per una massa puntiforme m a distanza R dallrsquoasse di rotazione I= m R2 per un oggetto esteso sommerograve il momento drsquoinerzia delle sue parti I = Σi mi Ri

2 Se si definisce momento angolare L il prodotto del momento drsquoinerzia per la velocitagrave angolare

L=Iω la legge della dinamica diventa

M = t

LL infin

∆minus

Il momento angolare egrave la grandezza fisica che si conserva se non viene applicato momento torcente Tutti i gesti di volo salti lanci tuffihellip sono azioni nelle quali si conserva il momento angolare Infatti in volo agisce solo la forza di gravitagrave che essendo applicata al CDM non genera momento torcente Il corpo umano nei gesti di volo Il corpo umano non egrave rigido e pertanto in volo agendo con i muscoli possiamo cambiare la disposizione del nostro corpo intorno al centro di massa che in volo coincide col centro di rotazione In questo modo si ottiene una variazione del momento di inerzia I e di conseguenza la velocitagrave angolare deve compensare questa variazione in modo che si mantenga costante il momento angolare L (grandezza che si conserva in assenza di momento torcente) Ersquo questo il principio che spiega il realizzarsi delle trottole sul ghiaccio dei salti mortali tuffi con avvitamento e cosigrave via in posizione raccolta I diminuisce e ω aumenta Moto circolare e moto circolare uniforme Per utilizzare le relazioni della cinematica e della dinamica lineare che abbiamo studiato egrave interessante poter passare dalle variabili angolari alle variabili lineari velocitagrave e accelerazione delle

masse in moto rotatorio Se una massa si muove su una traiettoria curva la velocitagrave tangenziale vt diretta come la tangente alla traiettoria dipende dalla velocitagrave angolare ω ( ωm=ϑ t )e dal raggio di curvatura della traiettoria Se la traiettoria egrave una circonferenza di raggio R e se gli angoli sono espressi in radianti lrsquoarco percorso per uno spostamento angolare ϑ egrave S = ϑ sdotR e la velocitagrave lineare tangente vt = St= ϑ sdotRt risulta vt = ωsdotR Se la velocitagrave angolare ω egrave costante il moto egrave detto circolare uniforme La legge oraria egrave quella dei moti uniformi spostamenti angolari uguali in tempi uguali ϑ(t) = ω t Anche la velocitagrave tangente saragrave di intensitagrave costante se ω egrave costante (archi uguali per tempi uguali s(t) = vt (t) ) ma crsquoegrave una accelerazione normale infatti la velocitagrave anche se non cambia in modulo cambia continuamente di direzione Questa accelerazione si dice centripeta egrave diretta normalmente rispetto alla traiettoria verso il centro della circonferenza e vale in modulo

ac=R

v2

Fig 52 Essendo la velocitagrave tangente vt = ωR Lrsquo accelerazione centripeta si puograve scrivere

ac =R

v2

= ω2 R

Il tempo impiegato dal punto a muoversi sulla circonferenza egrave una costante (moto uniforme) T periodo in T viene percorso uno spazio 2π R

v = T

Rπ2

La frequenza f egrave invece il ndeg di giri al secondo

f =T

1

Se si prendono punti diversi sul raggio della circonferenza questi hanno la stessa velocitagrave angolare e velocitagrave tangenziali crescenti al crescere del raggio Esempio carosello dei pattinatori Esercizi

1- un velocista con una velocitagrave di 10 ms viaggia su una curva di raggio 25m ndash accelerazione

a = R

v2

= 25

100 = 4 ms2

2 ndash un velocista con v = 92 ms su una pista circolare con ac = 38 m s2 ndash Raggio della pista Tempo per percorrere un giro completo

a = R

v2

rArr R = a

v2

= 83

)29( 2

= 2227m

T =v

Rπ2 =

29

27222 lowastπ = 152 sec

Forza centripeta forza centrifuga Una forza centripeta egrave una forza di qualunque natura che trattiene un corpo in moto su una traiettoria curvilinea ad esempio circolare In assenza di tale forza il corpo proseguirebbe il suo moto lungo una traiettoria rettilinea Nel gesto del lancio del martello ad esempio il lanciatore che esercita sul peso in cima allrsquoattrezzo una forza mediata dalla tensione dal cavo che lo trattiene nella traiettoria circolare Quando il lanciatore lascia la maniglia il martello viene lanciato lungo la direzione della tangente alla traiettoria nellrsquoistante di rilascio Lrsquointensitagrave della forza centripeta necessaria a mantenere una massa m in moto con velocitagrave tangente v lungo una traiettoria circolare di raggio r si puograve calcolare a partire dallrsquoaccellerazione centripeta secondo la legge fondamentale della dinamica

|rarr

cF | = m | rarr

ca | = m r

v2

Tale forza egrave diretta come lrsquoaccelerazione centripeta e cioegrave verso il centro della circonferenza che costituisce la traiettoria La forza centripeta egrave dunque una forza reale Con lsquoforza centrifugarsquo invece non ci si riferisce ad un forza che agisce su un corpo ma alla situazione apparente cui sembra sottoposto un corpo in moto curvilineo Esso pare tirato o attirato lontano dal centro di rotazione pare ci sia una lsquoforzarsquo che vuole farlo sfuggire Quando viene lasciato il martello si allontana dal centro di rotazione percheacute si muove di moto rettilineo uniforme non essendo piugrave soggetto a forze altre che la forza peso Lrsquoacqua esce dal cestello della lavatrice quando il cestello ruota velocemente (funzione centrifuga) percheacute lrsquoacqua che non costituisce un corpo solo con il cestello bucato non egrave soggetta alla forza centripeta e puograve passare attraverso i buchi I panni invece pure non parte del cestello sono troppo grandi per passare dai buchi si possono solo schiacciare contro le pareti questo schiacciamento sembra il risultato di una forza ma egrave invece il risultato dellrsquoassenza di una forza quella centripeta Una volta lagrave contro il cestello fanno tuttrsquouno con le pareti di metallo che esercitano su di essi la forza centripeta (cioegrave con direzione verso lrsquoasse di rotazione) che li mantiene in rotazione Le parti di un corpo rigido esteso che si muove di moto rotatorio rispetto ad un asse quale ad esempio la gamba di un giocatore di calcio che calcia un pallone sono soggette alla forza centripeta che le mantiene sulla traiettoria curva Tale forza viene trasmessa alle varie parti tramite le forze di tensione che si sviluppano allrsquointerno del corpo stesso ad esempio il piede egrave soggetto alla forza centrifuga tramite lrsquoazione dei legamenti e tendini a livello della caviglia che vengono messi in tensione per trattenere il piede stesso

Una leva egrave un corpo esteso al quale sono applicate delle forze con un momento risultante rarrR

allora per portare il corpo in equilibrio applico un momento correttivo rarrP in modo che il momento

totale sia nullo Si dice in genere potenza (P) e resistenza (R) di una leva Le leve sono macchine semplici Servono per applicare forze in punti scomodi o in direzioni particolari Il fulcro egrave il punto nel quale la leva egrave incernierata Si definisce il guadagno meccanico di una leva

GM =

)(

)(rarr

rarr

PF

RF

cioegrave il rapporto fra la forza che genera il momento resistente e quella che genera il momento agente A seconda che GM sia gt

lt 0 una leva si dice che egrave vantaggiosa o svantaggiosa ma solo per quel che riguarda le forze percheacute per quel che riguarda i lavori non si ha neacute vantaggio neacute svantaggio Il lavoro esercitato dalla forza che dagrave la ldquopotenzardquo e quello esercitato dalla forza che dagrave la ldquoresistenzardquo sono sempre uguali Infatti forze e spostamenti sono inversamente proporzionali Le leve si dicono di I II o III specie a seconda se il fulcro si trovi I) in mezzo fra R e P (leva indifferente GM dipende da caso a caso) II) dalla parte di R (leva vantaggiosa il braccio di R egrave sempre minore del braccio di P basta

quindi una P minore per equilibrare una R maggiore) III) dalla parte di P (leva svantaggiosa) Classici esempi dei tre tipi di leve sono i remi (I) lo schiaccianoci (II) e la pinzetta per francobolli (III) Tuttavia vediamo degli esempi meno classici ma attinenti al campo della biologia e della medicina Criterio generale egrave che le leve vantaggiose consentono di essere molto potenti ma con brevi spostamenti mentre viceversa quelle svantaggiose fanno perdere in potenza ma consentono grandi spostamenti saragrave difficile vedere un cavallo che con le lunghe zampe si scava la tana drsquoaltronde una talpa scava bene la tana ma ha movimenti molto meno ampi che non le consentono di correre veloce come un cavallo (compromesso fra forza e velocitagrave del movimento) Se contiamo tutti i movimenti di rotazione che il corpo puograve compiere capiamo che siamo pieni di leve di ogni tipo Sono classici a) il capo fulcro (articolazione occipito-atlantoide) Fig 48 muscoli della nuca (Potenza) peso del capo (Resistenza) b)

muscolo bicipide (Potenza)

Fig 49 Peso dellrsquoavambraccio (Resistenza) Fulcro (articolazione del gomito) Questa leva permette grandi spostamenti Si vede che la forza operata dal muscolo bicipite egrave massima quando lrsquoavambraccio egrave orizzontale (la distanza dal fulcro egrave massima) ed egrave minima quando lrsquoavambraccio egrave verticale( con la distanza dal fulcro nulla) Attenzione - la colonna vertebrale egrave costituita da 24 vertebre separate da dischi di liquido Quando una

persona si piega la schiena egrave una leva con GM molto piccolo Quindi un piegamento completo per raccogliere un oggetto anche leggero produce una forza molto intensa sul disco lombosacrale che separa lrsquoultima vertebra dellrsquoosso sacro Se indebolito questo disco puograve rompersi o deformarsi comprimendo i nervi vicini e causando grande dolore Vediamo un modello che rende conto come mai questa forza egrave cosigrave grande

Fig 50

I muscoli della schiena esercitano T Con un angolo α = 12deg quando la schiena egrave piegata a 90deg

Peso della parte superiore del corpo (circa il 65 del peso totale)

Fulcro lombosacrale (il fulcro produce R) Essendo α piccolo la retta di azione Τ passa vicino al fulcro e dunque la distanza r che costituisce il suo braccio egrave molto piccola Al contrario il peso egrave perpendicolare alla colonna e il suo punto di applicazione egrave molto piugrave distante dal fulcro Τ deve essere molto grande per equilibrare il momento di P Dunque se T egrave grande anche la sua componente orizzontale egrave grande e di conseguenza anche R che costituisce la reazione dellrsquoosso sacro deve avere componente orizzontale molto grande per equilibrare Τ (uguale ed opposta alla componente orizzontale di Τ ) Facendo i conti si ottengono numeri grandi per 75Kg di peso T ed R sono equivalenti al peso di una massa di 220Kg Senza sollevare pesi solo piegandosi Conviene piegare le ginocchia quando si sollevano pesi - Nel corpo egrave difficile che il peso cada sulla verticale dellrsquoarticolazione che lo sostiene egrave sempre

un porsquo spostato e crsquoegrave un tendine con un muscolo che compensa il momento del peso - La contrazione muscolare egrave una successione di brevi contrazioni delle fibre muscolari stimolate

da impulsi che provengono dal sistema nervoso Contrazioni sono molto ravvicinate e avvengono in tempi differenti nelle diverse parti del muscolo cosigrave che il risultato apparente egrave una lenta e progressiva contrazione Se la frequenza degli impulsi aumenta la tensione cresce finchegrave si raggiunge la tensione massima (ricordare la tensione di un cavo) Un ulteriore aumento della frequenza degli impulsi a questo punto non causa ulteriore aumento della tensione

La tensione massima egrave proporzionale allrsquoarea della sezione trasversa del muscolo nel suo punto piugrave largo La tensione massima dipende anche dalla lunghezza del muscolo che varia Si ottiene tensione massima quando il muscolo egrave solo di poco allungato rispetto alla sua lunghezza di riposo di riposo ed egrave circa 30-40 Ncm2 La tensione massima si riduce moltissimo se il muscolo egrave molto allungato o accorciato Dinamica Rotatoria Fino ad ora abbiamo studiato moti traslatori ma il moto di un corpo rigido egrave in generale roto-traslatorio Naturalmente dobbiamo ridurre il problema complesso ad uno piugrave semplice e per fare ciograve immaginiamo di posizionarci su un sistema di riferimento solidale al corpo rigido i moto immaginiamo cioegrave di ldquosedercirdquo sul corpo rigido In questo modo non saremo piugrave sensibili al moto traslatorio e guardando il corpo rigido osserveremo solo le sue rotazioni Trattiamo allora il moto generico scomponendo la parte traslatoria (giagrave discussa ) da quella rotatoria Se si trascura la parte traslatoria del moto di un corpo rigido quello che rimane da trattare egrave la sua rotazione Nel nostro corso consideriamo le rotazioni che avvengono su un piano le rotazioni nello spazio potranno essere trattate come composizione di rotazioni su un piano Per le rotazioni su un piano si identifica un asse di rotazione perpendicolare al piano di rotazione e passante per il centro di rotazione Le articolazioni del gomito e del ginocchio sono articolazioni libere di ruotare intorno ad un asse a differenza ad esempio di quella della spalla che puograve ruotare intorno a due assi Si definisce spostamento angolare la variazione di una posizione che egrave definita in modo completo da una misura di angolo Una rotazione di un intero corpo rigido egrave definita in modo completo da uno spostamento angolare θfin - θin= ∆θ e si misura in radianti

Fig 51 Dobbiamo definire anche un verso di rotazione θ si incrementa per rotazioni antiorarie positive le rotazioni in senso orario sono invece negative La velocitagrave angolare si definisce analogamente alla velocitagrave lineare come il rapporto tra lo spostamento angolare e il tempo t impiegato per eseguire tale rotazione

ωm = t∆

∆θ e si misura in rad s

θin

θfin ∆θ

R

S

Anche per w si definisce ωist = lim ∆trarr0 t∆

∆θ

Ancora lrsquoaccelerazione angolare si definisce αm = t∆

∆ω e αist = lim ∆trarr0

t∆∆ω

Anche la legge fondamentale della dinamica ha un analogo nel ambito dei moti rotatori Si stabilisce che se ad un corpo rigido egrave soggetto ad un momento torcente diverso da zero esso subisce unrsquoaccelerazione angolare ad esso proporzionale Nel caso delle rotazioni la resistenza al moto egrave espressa dal momento di inerzia I associato al corpo rigido che gioca il ruolo della massa nei moti traslatori La legge della dinamica delle rotazioni egrave M = I middotα

E sostituendo M = Imiddott∆

∆ω= Imiddot

tinfin

∆minusωω

Il momento di inerzia I di un corpo rigido dipende dalla disposizione della massa del corpo rispetto allrsquoasse di rotazione per una massa puntiforme m a distanza R dallrsquoasse di rotazione I= m R2 per un oggetto esteso sommerograve il momento drsquoinerzia delle sue parti I = Σi mi Ri

2 Se si definisce momento angolare L il prodotto del momento drsquoinerzia per la velocitagrave angolare

L=Iω la legge della dinamica diventa

M = t

LL infin

∆minus

Il momento angolare egrave la grandezza fisica che si conserva se non viene applicato momento torcente Tutti i gesti di volo salti lanci tuffihellip sono azioni nelle quali si conserva il momento angolare Infatti in volo agisce solo la forza di gravitagrave che essendo applicata al CDM non genera momento torcente Il corpo umano nei gesti di volo Il corpo umano non egrave rigido e pertanto in volo agendo con i muscoli possiamo cambiare la disposizione del nostro corpo intorno al centro di massa che in volo coincide col centro di rotazione In questo modo si ottiene una variazione del momento di inerzia I e di conseguenza la velocitagrave angolare deve compensare questa variazione in modo che si mantenga costante il momento angolare L (grandezza che si conserva in assenza di momento torcente) Ersquo questo il principio che spiega il realizzarsi delle trottole sul ghiaccio dei salti mortali tuffi con avvitamento e cosigrave via in posizione raccolta I diminuisce e ω aumenta Moto circolare e moto circolare uniforme Per utilizzare le relazioni della cinematica e della dinamica lineare che abbiamo studiato egrave interessante poter passare dalle variabili angolari alle variabili lineari velocitagrave e accelerazione delle

masse in moto rotatorio Se una massa si muove su una traiettoria curva la velocitagrave tangenziale vt diretta come la tangente alla traiettoria dipende dalla velocitagrave angolare ω ( ωm=ϑ t )e dal raggio di curvatura della traiettoria Se la traiettoria egrave una circonferenza di raggio R e se gli angoli sono espressi in radianti lrsquoarco percorso per uno spostamento angolare ϑ egrave S = ϑ sdotR e la velocitagrave lineare tangente vt = St= ϑ sdotRt risulta vt = ωsdotR Se la velocitagrave angolare ω egrave costante il moto egrave detto circolare uniforme La legge oraria egrave quella dei moti uniformi spostamenti angolari uguali in tempi uguali ϑ(t) = ω t Anche la velocitagrave tangente saragrave di intensitagrave costante se ω egrave costante (archi uguali per tempi uguali s(t) = vt (t) ) ma crsquoegrave una accelerazione normale infatti la velocitagrave anche se non cambia in modulo cambia continuamente di direzione Questa accelerazione si dice centripeta egrave diretta normalmente rispetto alla traiettoria verso il centro della circonferenza e vale in modulo

ac=R

v2

Fig 52 Essendo la velocitagrave tangente vt = ωR Lrsquo accelerazione centripeta si puograve scrivere

ac =R

v2

= ω2 R

Il tempo impiegato dal punto a muoversi sulla circonferenza egrave una costante (moto uniforme) T periodo in T viene percorso uno spazio 2π R

v = T

Rπ2

La frequenza f egrave invece il ndeg di giri al secondo

f =T

1

Se si prendono punti diversi sul raggio della circonferenza questi hanno la stessa velocitagrave angolare e velocitagrave tangenziali crescenti al crescere del raggio Esempio carosello dei pattinatori Esercizi

1- un velocista con una velocitagrave di 10 ms viaggia su una curva di raggio 25m ndash accelerazione

a = R

v2

= 25

100 = 4 ms2

2 ndash un velocista con v = 92 ms su una pista circolare con ac = 38 m s2 ndash Raggio della pista Tempo per percorrere un giro completo

a = R

v2

rArr R = a

v2

= 83

)29( 2

= 2227m

T =v

Rπ2 =

29

27222 lowastπ = 152 sec

Forza centripeta forza centrifuga Una forza centripeta egrave una forza di qualunque natura che trattiene un corpo in moto su una traiettoria curvilinea ad esempio circolare In assenza di tale forza il corpo proseguirebbe il suo moto lungo una traiettoria rettilinea Nel gesto del lancio del martello ad esempio il lanciatore che esercita sul peso in cima allrsquoattrezzo una forza mediata dalla tensione dal cavo che lo trattiene nella traiettoria circolare Quando il lanciatore lascia la maniglia il martello viene lanciato lungo la direzione della tangente alla traiettoria nellrsquoistante di rilascio Lrsquointensitagrave della forza centripeta necessaria a mantenere una massa m in moto con velocitagrave tangente v lungo una traiettoria circolare di raggio r si puograve calcolare a partire dallrsquoaccellerazione centripeta secondo la legge fondamentale della dinamica

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ca | = m r

v2

Tale forza egrave diretta come lrsquoaccelerazione centripeta e cioegrave verso il centro della circonferenza che costituisce la traiettoria La forza centripeta egrave dunque una forza reale Con lsquoforza centrifugarsquo invece non ci si riferisce ad un forza che agisce su un corpo ma alla situazione apparente cui sembra sottoposto un corpo in moto curvilineo Esso pare tirato o attirato lontano dal centro di rotazione pare ci sia una lsquoforzarsquo che vuole farlo sfuggire Quando viene lasciato il martello si allontana dal centro di rotazione percheacute si muove di moto rettilineo uniforme non essendo piugrave soggetto a forze altre che la forza peso Lrsquoacqua esce dal cestello della lavatrice quando il cestello ruota velocemente (funzione centrifuga) percheacute lrsquoacqua che non costituisce un corpo solo con il cestello bucato non egrave soggetta alla forza centripeta e puograve passare attraverso i buchi I panni invece pure non parte del cestello sono troppo grandi per passare dai buchi si possono solo schiacciare contro le pareti questo schiacciamento sembra il risultato di una forza ma egrave invece il risultato dellrsquoassenza di una forza quella centripeta Una volta lagrave contro il cestello fanno tuttrsquouno con le pareti di metallo che esercitano su di essi la forza centripeta (cioegrave con direzione verso lrsquoasse di rotazione) che li mantiene in rotazione Le parti di un corpo rigido esteso che si muove di moto rotatorio rispetto ad un asse quale ad esempio la gamba di un giocatore di calcio che calcia un pallone sono soggette alla forza centripeta che le mantiene sulla traiettoria curva Tale forza viene trasmessa alle varie parti tramite le forze di tensione che si sviluppano allrsquointerno del corpo stesso ad esempio il piede egrave soggetto alla forza centrifuga tramite lrsquoazione dei legamenti e tendini a livello della caviglia che vengono messi in tensione per trattenere il piede stesso

Fig 49 Peso dellrsquoavambraccio (Resistenza) Fulcro (articolazione del gomito) Questa leva permette grandi spostamenti Si vede che la forza operata dal muscolo bicipite egrave massima quando lrsquoavambraccio egrave orizzontale (la distanza dal fulcro egrave massima) ed egrave minima quando lrsquoavambraccio egrave verticale( con la distanza dal fulcro nulla) Attenzione - la colonna vertebrale egrave costituita da 24 vertebre separate da dischi di liquido Quando una

persona si piega la schiena egrave una leva con GM molto piccolo Quindi un piegamento completo per raccogliere un oggetto anche leggero produce una forza molto intensa sul disco lombosacrale che separa lrsquoultima vertebra dellrsquoosso sacro Se indebolito questo disco puograve rompersi o deformarsi comprimendo i nervi vicini e causando grande dolore Vediamo un modello che rende conto come mai questa forza egrave cosigrave grande

Fig 50

I muscoli della schiena esercitano T Con un angolo α = 12deg quando la schiena egrave piegata a 90deg

Peso della parte superiore del corpo (circa il 65 del peso totale)

Fulcro lombosacrale (il fulcro produce R) Essendo α piccolo la retta di azione Τ passa vicino al fulcro e dunque la distanza r che costituisce il suo braccio egrave molto piccola Al contrario il peso egrave perpendicolare alla colonna e il suo punto di applicazione egrave molto piugrave distante dal fulcro Τ deve essere molto grande per equilibrare il momento di P Dunque se T egrave grande anche la sua componente orizzontale egrave grande e di conseguenza anche R che costituisce la reazione dellrsquoosso sacro deve avere componente orizzontale molto grande per equilibrare Τ (uguale ed opposta alla componente orizzontale di Τ ) Facendo i conti si ottengono numeri grandi per 75Kg di peso T ed R sono equivalenti al peso di una massa di 220Kg Senza sollevare pesi solo piegandosi Conviene piegare le ginocchia quando si sollevano pesi - Nel corpo egrave difficile che il peso cada sulla verticale dellrsquoarticolazione che lo sostiene egrave sempre

un porsquo spostato e crsquoegrave un tendine con un muscolo che compensa il momento del peso - La contrazione muscolare egrave una successione di brevi contrazioni delle fibre muscolari stimolate

da impulsi che provengono dal sistema nervoso Contrazioni sono molto ravvicinate e avvengono in tempi differenti nelle diverse parti del muscolo cosigrave che il risultato apparente egrave una lenta e progressiva contrazione Se la frequenza degli impulsi aumenta la tensione cresce finchegrave si raggiunge la tensione massima (ricordare la tensione di un cavo) Un ulteriore aumento della frequenza degli impulsi a questo punto non causa ulteriore aumento della tensione

La tensione massima egrave proporzionale allrsquoarea della sezione trasversa del muscolo nel suo punto piugrave largo La tensione massima dipende anche dalla lunghezza del muscolo che varia Si ottiene tensione massima quando il muscolo egrave solo di poco allungato rispetto alla sua lunghezza di riposo di riposo ed egrave circa 30-40 Ncm2 La tensione massima si riduce moltissimo se il muscolo egrave molto allungato o accorciato Dinamica Rotatoria Fino ad ora abbiamo studiato moti traslatori ma il moto di un corpo rigido egrave in generale roto-traslatorio Naturalmente dobbiamo ridurre il problema complesso ad uno piugrave semplice e per fare ciograve immaginiamo di posizionarci su un sistema di riferimento solidale al corpo rigido i moto immaginiamo cioegrave di ldquosedercirdquo sul corpo rigido In questo modo non saremo piugrave sensibili al moto traslatorio e guardando il corpo rigido osserveremo solo le sue rotazioni Trattiamo allora il moto generico scomponendo la parte traslatoria (giagrave discussa ) da quella rotatoria Se si trascura la parte traslatoria del moto di un corpo rigido quello che rimane da trattare egrave la sua rotazione Nel nostro corso consideriamo le rotazioni che avvengono su un piano le rotazioni nello spazio potranno essere trattate come composizione di rotazioni su un piano Per le rotazioni su un piano si identifica un asse di rotazione perpendicolare al piano di rotazione e passante per il centro di rotazione Le articolazioni del gomito e del ginocchio sono articolazioni libere di ruotare intorno ad un asse a differenza ad esempio di quella della spalla che puograve ruotare intorno a due assi Si definisce spostamento angolare la variazione di una posizione che egrave definita in modo completo da una misura di angolo Una rotazione di un intero corpo rigido egrave definita in modo completo da uno spostamento angolare θfin - θin= ∆θ e si misura in radianti

Fig 51 Dobbiamo definire anche un verso di rotazione θ si incrementa per rotazioni antiorarie positive le rotazioni in senso orario sono invece negative La velocitagrave angolare si definisce analogamente alla velocitagrave lineare come il rapporto tra lo spostamento angolare e il tempo t impiegato per eseguire tale rotazione

ωm = t∆

∆θ e si misura in rad s

θin

θfin ∆θ

R

S

Anche per w si definisce ωist = lim ∆trarr0 t∆

∆θ

Ancora lrsquoaccelerazione angolare si definisce αm = t∆

∆ω e αist = lim ∆trarr0

t∆∆ω

Anche la legge fondamentale della dinamica ha un analogo nel ambito dei moti rotatori Si stabilisce che se ad un corpo rigido egrave soggetto ad un momento torcente diverso da zero esso subisce unrsquoaccelerazione angolare ad esso proporzionale Nel caso delle rotazioni la resistenza al moto egrave espressa dal momento di inerzia I associato al corpo rigido che gioca il ruolo della massa nei moti traslatori La legge della dinamica delle rotazioni egrave M = I middotα

E sostituendo M = Imiddott∆

∆ω= Imiddot

tinfin

∆minusωω

Il momento di inerzia I di un corpo rigido dipende dalla disposizione della massa del corpo rispetto allrsquoasse di rotazione per una massa puntiforme m a distanza R dallrsquoasse di rotazione I= m R2 per un oggetto esteso sommerograve il momento drsquoinerzia delle sue parti I = Σi mi Ri

2 Se si definisce momento angolare L il prodotto del momento drsquoinerzia per la velocitagrave angolare

L=Iω la legge della dinamica diventa

M = t

LL infin

∆minus

Il momento angolare egrave la grandezza fisica che si conserva se non viene applicato momento torcente Tutti i gesti di volo salti lanci tuffihellip sono azioni nelle quali si conserva il momento angolare Infatti in volo agisce solo la forza di gravitagrave che essendo applicata al CDM non genera momento torcente Il corpo umano nei gesti di volo Il corpo umano non egrave rigido e pertanto in volo agendo con i muscoli possiamo cambiare la disposizione del nostro corpo intorno al centro di massa che in volo coincide col centro di rotazione In questo modo si ottiene una variazione del momento di inerzia I e di conseguenza la velocitagrave angolare deve compensare questa variazione in modo che si mantenga costante il momento angolare L (grandezza che si conserva in assenza di momento torcente) Ersquo questo il principio che spiega il realizzarsi delle trottole sul ghiaccio dei salti mortali tuffi con avvitamento e cosigrave via in posizione raccolta I diminuisce e ω aumenta Moto circolare e moto circolare uniforme Per utilizzare le relazioni della cinematica e della dinamica lineare che abbiamo studiato egrave interessante poter passare dalle variabili angolari alle variabili lineari velocitagrave e accelerazione delle

masse in moto rotatorio Se una massa si muove su una traiettoria curva la velocitagrave tangenziale vt diretta come la tangente alla traiettoria dipende dalla velocitagrave angolare ω ( ωm=ϑ t )e dal raggio di curvatura della traiettoria Se la traiettoria egrave una circonferenza di raggio R e se gli angoli sono espressi in radianti lrsquoarco percorso per uno spostamento angolare ϑ egrave S = ϑ sdotR e la velocitagrave lineare tangente vt = St= ϑ sdotRt risulta vt = ωsdotR Se la velocitagrave angolare ω egrave costante il moto egrave detto circolare uniforme La legge oraria egrave quella dei moti uniformi spostamenti angolari uguali in tempi uguali ϑ(t) = ω t Anche la velocitagrave tangente saragrave di intensitagrave costante se ω egrave costante (archi uguali per tempi uguali s(t) = vt (t) ) ma crsquoegrave una accelerazione normale infatti la velocitagrave anche se non cambia in modulo cambia continuamente di direzione Questa accelerazione si dice centripeta egrave diretta normalmente rispetto alla traiettoria verso il centro della circonferenza e vale in modulo

ac=R

v2

Fig 52 Essendo la velocitagrave tangente vt = ωR Lrsquo accelerazione centripeta si puograve scrivere

ac =R

v2

= ω2 R

Il tempo impiegato dal punto a muoversi sulla circonferenza egrave una costante (moto uniforme) T periodo in T viene percorso uno spazio 2π R

v = T

Rπ2

La frequenza f egrave invece il ndeg di giri al secondo

f =T

1

Se si prendono punti diversi sul raggio della circonferenza questi hanno la stessa velocitagrave angolare e velocitagrave tangenziali crescenti al crescere del raggio Esempio carosello dei pattinatori Esercizi

1- un velocista con una velocitagrave di 10 ms viaggia su una curva di raggio 25m ndash accelerazione

a = R

v2

= 25

100 = 4 ms2

2 ndash un velocista con v = 92 ms su una pista circolare con ac = 38 m s2 ndash Raggio della pista Tempo per percorrere un giro completo

a = R

v2

rArr R = a

v2

= 83

)29( 2

= 2227m

T =v

Rπ2 =

29

27222 lowastπ = 152 sec

Forza centripeta forza centrifuga Una forza centripeta egrave una forza di qualunque natura che trattiene un corpo in moto su una traiettoria curvilinea ad esempio circolare In assenza di tale forza il corpo proseguirebbe il suo moto lungo una traiettoria rettilinea Nel gesto del lancio del martello ad esempio il lanciatore che esercita sul peso in cima allrsquoattrezzo una forza mediata dalla tensione dal cavo che lo trattiene nella traiettoria circolare Quando il lanciatore lascia la maniglia il martello viene lanciato lungo la direzione della tangente alla traiettoria nellrsquoistante di rilascio Lrsquointensitagrave della forza centripeta necessaria a mantenere una massa m in moto con velocitagrave tangente v lungo una traiettoria circolare di raggio r si puograve calcolare a partire dallrsquoaccellerazione centripeta secondo la legge fondamentale della dinamica

|rarr

cF | = m | rarr

ca | = m r

v2

Tale forza egrave diretta come lrsquoaccelerazione centripeta e cioegrave verso il centro della circonferenza che costituisce la traiettoria La forza centripeta egrave dunque una forza reale Con lsquoforza centrifugarsquo invece non ci si riferisce ad un forza che agisce su un corpo ma alla situazione apparente cui sembra sottoposto un corpo in moto curvilineo Esso pare tirato o attirato lontano dal centro di rotazione pare ci sia una lsquoforzarsquo che vuole farlo sfuggire Quando viene lasciato il martello si allontana dal centro di rotazione percheacute si muove di moto rettilineo uniforme non essendo piugrave soggetto a forze altre che la forza peso Lrsquoacqua esce dal cestello della lavatrice quando il cestello ruota velocemente (funzione centrifuga) percheacute lrsquoacqua che non costituisce un corpo solo con il cestello bucato non egrave soggetta alla forza centripeta e puograve passare attraverso i buchi I panni invece pure non parte del cestello sono troppo grandi per passare dai buchi si possono solo schiacciare contro le pareti questo schiacciamento sembra il risultato di una forza ma egrave invece il risultato dellrsquoassenza di una forza quella centripeta Una volta lagrave contro il cestello fanno tuttrsquouno con le pareti di metallo che esercitano su di essi la forza centripeta (cioegrave con direzione verso lrsquoasse di rotazione) che li mantiene in rotazione Le parti di un corpo rigido esteso che si muove di moto rotatorio rispetto ad un asse quale ad esempio la gamba di un giocatore di calcio che calcia un pallone sono soggette alla forza centripeta che le mantiene sulla traiettoria curva Tale forza viene trasmessa alle varie parti tramite le forze di tensione che si sviluppano allrsquointerno del corpo stesso ad esempio il piede egrave soggetto alla forza centrifuga tramite lrsquoazione dei legamenti e tendini a livello della caviglia che vengono messi in tensione per trattenere il piede stesso

La tensione massima egrave proporzionale allrsquoarea della sezione trasversa del muscolo nel suo punto piugrave largo La tensione massima dipende anche dalla lunghezza del muscolo che varia Si ottiene tensione massima quando il muscolo egrave solo di poco allungato rispetto alla sua lunghezza di riposo di riposo ed egrave circa 30-40 Ncm2 La tensione massima si riduce moltissimo se il muscolo egrave molto allungato o accorciato Dinamica Rotatoria Fino ad ora abbiamo studiato moti traslatori ma il moto di un corpo rigido egrave in generale roto-traslatorio Naturalmente dobbiamo ridurre il problema complesso ad uno piugrave semplice e per fare ciograve immaginiamo di posizionarci su un sistema di riferimento solidale al corpo rigido i moto immaginiamo cioegrave di ldquosedercirdquo sul corpo rigido In questo modo non saremo piugrave sensibili al moto traslatorio e guardando il corpo rigido osserveremo solo le sue rotazioni Trattiamo allora il moto generico scomponendo la parte traslatoria (giagrave discussa ) da quella rotatoria Se si trascura la parte traslatoria del moto di un corpo rigido quello che rimane da trattare egrave la sua rotazione Nel nostro corso consideriamo le rotazioni che avvengono su un piano le rotazioni nello spazio potranno essere trattate come composizione di rotazioni su un piano Per le rotazioni su un piano si identifica un asse di rotazione perpendicolare al piano di rotazione e passante per il centro di rotazione Le articolazioni del gomito e del ginocchio sono articolazioni libere di ruotare intorno ad un asse a differenza ad esempio di quella della spalla che puograve ruotare intorno a due assi Si definisce spostamento angolare la variazione di una posizione che egrave definita in modo completo da una misura di angolo Una rotazione di un intero corpo rigido egrave definita in modo completo da uno spostamento angolare θfin - θin= ∆θ e si misura in radianti

Fig 51 Dobbiamo definire anche un verso di rotazione θ si incrementa per rotazioni antiorarie positive le rotazioni in senso orario sono invece negative La velocitagrave angolare si definisce analogamente alla velocitagrave lineare come il rapporto tra lo spostamento angolare e il tempo t impiegato per eseguire tale rotazione

ωm = t∆

∆θ e si misura in rad s

θin

θfin ∆θ

R

S

Anche per w si definisce ωist = lim ∆trarr0 t∆

∆θ

Ancora lrsquoaccelerazione angolare si definisce αm = t∆

∆ω e αist = lim ∆trarr0

t∆∆ω

Anche la legge fondamentale della dinamica ha un analogo nel ambito dei moti rotatori Si stabilisce che se ad un corpo rigido egrave soggetto ad un momento torcente diverso da zero esso subisce unrsquoaccelerazione angolare ad esso proporzionale Nel caso delle rotazioni la resistenza al moto egrave espressa dal momento di inerzia I associato al corpo rigido che gioca il ruolo della massa nei moti traslatori La legge della dinamica delle rotazioni egrave M = I middotα

E sostituendo M = Imiddott∆

∆ω= Imiddot

tinfin

∆minusωω

Il momento di inerzia I di un corpo rigido dipende dalla disposizione della massa del corpo rispetto allrsquoasse di rotazione per una massa puntiforme m a distanza R dallrsquoasse di rotazione I= m R2 per un oggetto esteso sommerograve il momento drsquoinerzia delle sue parti I = Σi mi Ri

2 Se si definisce momento angolare L il prodotto del momento drsquoinerzia per la velocitagrave angolare

L=Iω la legge della dinamica diventa

M = t

LL infin

∆minus

Il momento angolare egrave la grandezza fisica che si conserva se non viene applicato momento torcente Tutti i gesti di volo salti lanci tuffihellip sono azioni nelle quali si conserva il momento angolare Infatti in volo agisce solo la forza di gravitagrave che essendo applicata al CDM non genera momento torcente Il corpo umano nei gesti di volo Il corpo umano non egrave rigido e pertanto in volo agendo con i muscoli possiamo cambiare la disposizione del nostro corpo intorno al centro di massa che in volo coincide col centro di rotazione In questo modo si ottiene una variazione del momento di inerzia I e di conseguenza la velocitagrave angolare deve compensare questa variazione in modo che si mantenga costante il momento angolare L (grandezza che si conserva in assenza di momento torcente) Ersquo questo il principio che spiega il realizzarsi delle trottole sul ghiaccio dei salti mortali tuffi con avvitamento e cosigrave via in posizione raccolta I diminuisce e ω aumenta Moto circolare e moto circolare uniforme Per utilizzare le relazioni della cinematica e della dinamica lineare che abbiamo studiato egrave interessante poter passare dalle variabili angolari alle variabili lineari velocitagrave e accelerazione delle

masse in moto rotatorio Se una massa si muove su una traiettoria curva la velocitagrave tangenziale vt diretta come la tangente alla traiettoria dipende dalla velocitagrave angolare ω ( ωm=ϑ t )e dal raggio di curvatura della traiettoria Se la traiettoria egrave una circonferenza di raggio R e se gli angoli sono espressi in radianti lrsquoarco percorso per uno spostamento angolare ϑ egrave S = ϑ sdotR e la velocitagrave lineare tangente vt = St= ϑ sdotRt risulta vt = ωsdotR Se la velocitagrave angolare ω egrave costante il moto egrave detto circolare uniforme La legge oraria egrave quella dei moti uniformi spostamenti angolari uguali in tempi uguali ϑ(t) = ω t Anche la velocitagrave tangente saragrave di intensitagrave costante se ω egrave costante (archi uguali per tempi uguali s(t) = vt (t) ) ma crsquoegrave una accelerazione normale infatti la velocitagrave anche se non cambia in modulo cambia continuamente di direzione Questa accelerazione si dice centripeta egrave diretta normalmente rispetto alla traiettoria verso il centro della circonferenza e vale in modulo

ac=R

v2

Fig 52 Essendo la velocitagrave tangente vt = ωR Lrsquo accelerazione centripeta si puograve scrivere

ac =R

v2

= ω2 R

Il tempo impiegato dal punto a muoversi sulla circonferenza egrave una costante (moto uniforme) T periodo in T viene percorso uno spazio 2π R

v = T

Rπ2

La frequenza f egrave invece il ndeg di giri al secondo

f =T

1

Se si prendono punti diversi sul raggio della circonferenza questi hanno la stessa velocitagrave angolare e velocitagrave tangenziali crescenti al crescere del raggio Esempio carosello dei pattinatori Esercizi

1- un velocista con una velocitagrave di 10 ms viaggia su una curva di raggio 25m ndash accelerazione

a = R

v2

= 25

100 = 4 ms2

2 ndash un velocista con v = 92 ms su una pista circolare con ac = 38 m s2 ndash Raggio della pista Tempo per percorrere un giro completo

a = R

v2

rArr R = a

v2

= 83

)29( 2

= 2227m

T =v

Rπ2 =

29

27222 lowastπ = 152 sec

Forza centripeta forza centrifuga Una forza centripeta egrave una forza di qualunque natura che trattiene un corpo in moto su una traiettoria curvilinea ad esempio circolare In assenza di tale forza il corpo proseguirebbe il suo moto lungo una traiettoria rettilinea Nel gesto del lancio del martello ad esempio il lanciatore che esercita sul peso in cima allrsquoattrezzo una forza mediata dalla tensione dal cavo che lo trattiene nella traiettoria circolare Quando il lanciatore lascia la maniglia il martello viene lanciato lungo la direzione della tangente alla traiettoria nellrsquoistante di rilascio Lrsquointensitagrave della forza centripeta necessaria a mantenere una massa m in moto con velocitagrave tangente v lungo una traiettoria circolare di raggio r si puograve calcolare a partire dallrsquoaccellerazione centripeta secondo la legge fondamentale della dinamica

|rarr

cF | = m | rarr

ca | = m r

v2

Tale forza egrave diretta come lrsquoaccelerazione centripeta e cioegrave verso il centro della circonferenza che costituisce la traiettoria La forza centripeta egrave dunque una forza reale Con lsquoforza centrifugarsquo invece non ci si riferisce ad un forza che agisce su un corpo ma alla situazione apparente cui sembra sottoposto un corpo in moto curvilineo Esso pare tirato o attirato lontano dal centro di rotazione pare ci sia una lsquoforzarsquo che vuole farlo sfuggire Quando viene lasciato il martello si allontana dal centro di rotazione percheacute si muove di moto rettilineo uniforme non essendo piugrave soggetto a forze altre che la forza peso Lrsquoacqua esce dal cestello della lavatrice quando il cestello ruota velocemente (funzione centrifuga) percheacute lrsquoacqua che non costituisce un corpo solo con il cestello bucato non egrave soggetta alla forza centripeta e puograve passare attraverso i buchi I panni invece pure non parte del cestello sono troppo grandi per passare dai buchi si possono solo schiacciare contro le pareti questo schiacciamento sembra il risultato di una forza ma egrave invece il risultato dellrsquoassenza di una forza quella centripeta Una volta lagrave contro il cestello fanno tuttrsquouno con le pareti di metallo che esercitano su di essi la forza centripeta (cioegrave con direzione verso lrsquoasse di rotazione) che li mantiene in rotazione Le parti di un corpo rigido esteso che si muove di moto rotatorio rispetto ad un asse quale ad esempio la gamba di un giocatore di calcio che calcia un pallone sono soggette alla forza centripeta che le mantiene sulla traiettoria curva Tale forza viene trasmessa alle varie parti tramite le forze di tensione che si sviluppano allrsquointerno del corpo stesso ad esempio il piede egrave soggetto alla forza centrifuga tramite lrsquoazione dei legamenti e tendini a livello della caviglia che vengono messi in tensione per trattenere il piede stesso

Anche per w si definisce ωist = lim ∆trarr0 t∆

∆θ

Ancora lrsquoaccelerazione angolare si definisce αm = t∆

∆ω e αist = lim ∆trarr0

t∆∆ω

Anche la legge fondamentale della dinamica ha un analogo nel ambito dei moti rotatori Si stabilisce che se ad un corpo rigido egrave soggetto ad un momento torcente diverso da zero esso subisce unrsquoaccelerazione angolare ad esso proporzionale Nel caso delle rotazioni la resistenza al moto egrave espressa dal momento di inerzia I associato al corpo rigido che gioca il ruolo della massa nei moti traslatori La legge della dinamica delle rotazioni egrave M = I middotα

E sostituendo M = Imiddott∆

∆ω= Imiddot

tinfin

∆minusωω

Il momento di inerzia I di un corpo rigido dipende dalla disposizione della massa del corpo rispetto allrsquoasse di rotazione per una massa puntiforme m a distanza R dallrsquoasse di rotazione I= m R2 per un oggetto esteso sommerograve il momento drsquoinerzia delle sue parti I = Σi mi Ri

2 Se si definisce momento angolare L il prodotto del momento drsquoinerzia per la velocitagrave angolare

L=Iω la legge della dinamica diventa

M = t

LL infin

∆minus

Il momento angolare egrave la grandezza fisica che si conserva se non viene applicato momento torcente Tutti i gesti di volo salti lanci tuffihellip sono azioni nelle quali si conserva il momento angolare Infatti in volo agisce solo la forza di gravitagrave che essendo applicata al CDM non genera momento torcente Il corpo umano nei gesti di volo Il corpo umano non egrave rigido e pertanto in volo agendo con i muscoli possiamo cambiare la disposizione del nostro corpo intorno al centro di massa che in volo coincide col centro di rotazione In questo modo si ottiene una variazione del momento di inerzia I e di conseguenza la velocitagrave angolare deve compensare questa variazione in modo che si mantenga costante il momento angolare L (grandezza che si conserva in assenza di momento torcente) Ersquo questo il principio che spiega il realizzarsi delle trottole sul ghiaccio dei salti mortali tuffi con avvitamento e cosigrave via in posizione raccolta I diminuisce e ω aumenta Moto circolare e moto circolare uniforme Per utilizzare le relazioni della cinematica e della dinamica lineare che abbiamo studiato egrave interessante poter passare dalle variabili angolari alle variabili lineari velocitagrave e accelerazione delle

masse in moto rotatorio Se una massa si muove su una traiettoria curva la velocitagrave tangenziale vt diretta come la tangente alla traiettoria dipende dalla velocitagrave angolare ω ( ωm=ϑ t )e dal raggio di curvatura della traiettoria Se la traiettoria egrave una circonferenza di raggio R e se gli angoli sono espressi in radianti lrsquoarco percorso per uno spostamento angolare ϑ egrave S = ϑ sdotR e la velocitagrave lineare tangente vt = St= ϑ sdotRt risulta vt = ωsdotR Se la velocitagrave angolare ω egrave costante il moto egrave detto circolare uniforme La legge oraria egrave quella dei moti uniformi spostamenti angolari uguali in tempi uguali ϑ(t) = ω t Anche la velocitagrave tangente saragrave di intensitagrave costante se ω egrave costante (archi uguali per tempi uguali s(t) = vt (t) ) ma crsquoegrave una accelerazione normale infatti la velocitagrave anche se non cambia in modulo cambia continuamente di direzione Questa accelerazione si dice centripeta egrave diretta normalmente rispetto alla traiettoria verso il centro della circonferenza e vale in modulo

ac=R

v2

Fig 52 Essendo la velocitagrave tangente vt = ωR Lrsquo accelerazione centripeta si puograve scrivere

ac =R

v2

= ω2 R

Il tempo impiegato dal punto a muoversi sulla circonferenza egrave una costante (moto uniforme) T periodo in T viene percorso uno spazio 2π R

v = T

Rπ2

La frequenza f egrave invece il ndeg di giri al secondo

f =T

1

Se si prendono punti diversi sul raggio della circonferenza questi hanno la stessa velocitagrave angolare e velocitagrave tangenziali crescenti al crescere del raggio Esempio carosello dei pattinatori Esercizi

1- un velocista con una velocitagrave di 10 ms viaggia su una curva di raggio 25m ndash accelerazione

a = R

v2

= 25

100 = 4 ms2

2 ndash un velocista con v = 92 ms su una pista circolare con ac = 38 m s2 ndash Raggio della pista Tempo per percorrere un giro completo

a = R

v2

rArr R = a

v2

= 83

)29( 2

= 2227m

T =v

Rπ2 =

29

27222 lowastπ = 152 sec

Forza centripeta forza centrifuga Una forza centripeta egrave una forza di qualunque natura che trattiene un corpo in moto su una traiettoria curvilinea ad esempio circolare In assenza di tale forza il corpo proseguirebbe il suo moto lungo una traiettoria rettilinea Nel gesto del lancio del martello ad esempio il lanciatore che esercita sul peso in cima allrsquoattrezzo una forza mediata dalla tensione dal cavo che lo trattiene nella traiettoria circolare Quando il lanciatore lascia la maniglia il martello viene lanciato lungo la direzione della tangente alla traiettoria nellrsquoistante di rilascio Lrsquointensitagrave della forza centripeta necessaria a mantenere una massa m in moto con velocitagrave tangente v lungo una traiettoria circolare di raggio r si puograve calcolare a partire dallrsquoaccellerazione centripeta secondo la legge fondamentale della dinamica

|rarr

cF | = m | rarr

ca | = m r

v2

Tale forza egrave diretta come lrsquoaccelerazione centripeta e cioegrave verso il centro della circonferenza che costituisce la traiettoria La forza centripeta egrave dunque una forza reale Con lsquoforza centrifugarsquo invece non ci si riferisce ad un forza che agisce su un corpo ma alla situazione apparente cui sembra sottoposto un corpo in moto curvilineo Esso pare tirato o attirato lontano dal centro di rotazione pare ci sia una lsquoforzarsquo che vuole farlo sfuggire Quando viene lasciato il martello si allontana dal centro di rotazione percheacute si muove di moto rettilineo uniforme non essendo piugrave soggetto a forze altre che la forza peso Lrsquoacqua esce dal cestello della lavatrice quando il cestello ruota velocemente (funzione centrifuga) percheacute lrsquoacqua che non costituisce un corpo solo con il cestello bucato non egrave soggetta alla forza centripeta e puograve passare attraverso i buchi I panni invece pure non parte del cestello sono troppo grandi per passare dai buchi si possono solo schiacciare contro le pareti questo schiacciamento sembra il risultato di una forza ma egrave invece il risultato dellrsquoassenza di una forza quella centripeta Una volta lagrave contro il cestello fanno tuttrsquouno con le pareti di metallo che esercitano su di essi la forza centripeta (cioegrave con direzione verso lrsquoasse di rotazione) che li mantiene in rotazione Le parti di un corpo rigido esteso che si muove di moto rotatorio rispetto ad un asse quale ad esempio la gamba di un giocatore di calcio che calcia un pallone sono soggette alla forza centripeta che le mantiene sulla traiettoria curva Tale forza viene trasmessa alle varie parti tramite le forze di tensione che si sviluppano allrsquointerno del corpo stesso ad esempio il piede egrave soggetto alla forza centrifuga tramite lrsquoazione dei legamenti e tendini a livello della caviglia che vengono messi in tensione per trattenere il piede stesso

masse in moto rotatorio Se una massa si muove su una traiettoria curva la velocitagrave tangenziale vt diretta come la tangente alla traiettoria dipende dalla velocitagrave angolare ω ( ωm=ϑ t )e dal raggio di curvatura della traiettoria Se la traiettoria egrave una circonferenza di raggio R e se gli angoli sono espressi in radianti lrsquoarco percorso per uno spostamento angolare ϑ egrave S = ϑ sdotR e la velocitagrave lineare tangente vt = St= ϑ sdotRt risulta vt = ωsdotR Se la velocitagrave angolare ω egrave costante il moto egrave detto circolare uniforme La legge oraria egrave quella dei moti uniformi spostamenti angolari uguali in tempi uguali ϑ(t) = ω t Anche la velocitagrave tangente saragrave di intensitagrave costante se ω egrave costante (archi uguali per tempi uguali s(t) = vt (t) ) ma crsquoegrave una accelerazione normale infatti la velocitagrave anche se non cambia in modulo cambia continuamente di direzione Questa accelerazione si dice centripeta egrave diretta normalmente rispetto alla traiettoria verso il centro della circonferenza e vale in modulo

ac=R

v2

Fig 52 Essendo la velocitagrave tangente vt = ωR Lrsquo accelerazione centripeta si puograve scrivere

ac =R

v2

= ω2 R

Il tempo impiegato dal punto a muoversi sulla circonferenza egrave una costante (moto uniforme) T periodo in T viene percorso uno spazio 2π R

v = T

Rπ2

La frequenza f egrave invece il ndeg di giri al secondo

f =T

1

Se si prendono punti diversi sul raggio della circonferenza questi hanno la stessa velocitagrave angolare e velocitagrave tangenziali crescenti al crescere del raggio Esempio carosello dei pattinatori Esercizi

1- un velocista con una velocitagrave di 10 ms viaggia su una curva di raggio 25m ndash accelerazione

a = R

v2

= 25

100 = 4 ms2

2 ndash un velocista con v = 92 ms su una pista circolare con ac = 38 m s2 ndash Raggio della pista Tempo per percorrere un giro completo

a = R

v2

rArr R = a

v2

= 83

)29( 2

= 2227m

T =v

Rπ2 =

29

27222 lowastπ = 152 sec

Forza centripeta forza centrifuga Una forza centripeta egrave una forza di qualunque natura che trattiene un corpo in moto su una traiettoria curvilinea ad esempio circolare In assenza di tale forza il corpo proseguirebbe il suo moto lungo una traiettoria rettilinea Nel gesto del lancio del martello ad esempio il lanciatore che esercita sul peso in cima allrsquoattrezzo una forza mediata dalla tensione dal cavo che lo trattiene nella traiettoria circolare Quando il lanciatore lascia la maniglia il martello viene lanciato lungo la direzione della tangente alla traiettoria nellrsquoistante di rilascio Lrsquointensitagrave della forza centripeta necessaria a mantenere una massa m in moto con velocitagrave tangente v lungo una traiettoria circolare di raggio r si puograve calcolare a partire dallrsquoaccellerazione centripeta secondo la legge fondamentale della dinamica

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cF | = m | rarr

ca | = m r

v2

Tale forza egrave diretta come lrsquoaccelerazione centripeta e cioegrave verso il centro della circonferenza che costituisce la traiettoria La forza centripeta egrave dunque una forza reale Con lsquoforza centrifugarsquo invece non ci si riferisce ad un forza che agisce su un corpo ma alla situazione apparente cui sembra sottoposto un corpo in moto curvilineo Esso pare tirato o attirato lontano dal centro di rotazione pare ci sia una lsquoforzarsquo che vuole farlo sfuggire Quando viene lasciato il martello si allontana dal centro di rotazione percheacute si muove di moto rettilineo uniforme non essendo piugrave soggetto a forze altre che la forza peso Lrsquoacqua esce dal cestello della lavatrice quando il cestello ruota velocemente (funzione centrifuga) percheacute lrsquoacqua che non costituisce un corpo solo con il cestello bucato non egrave soggetta alla forza centripeta e puograve passare attraverso i buchi I panni invece pure non parte del cestello sono troppo grandi per passare dai buchi si possono solo schiacciare contro le pareti questo schiacciamento sembra il risultato di una forza ma egrave invece il risultato dellrsquoassenza di una forza quella centripeta Una volta lagrave contro il cestello fanno tuttrsquouno con le pareti di metallo che esercitano su di essi la forza centripeta (cioegrave con direzione verso lrsquoasse di rotazione) che li mantiene in rotazione Le parti di un corpo rigido esteso che si muove di moto rotatorio rispetto ad un asse quale ad esempio la gamba di un giocatore di calcio che calcia un pallone sono soggette alla forza centripeta che le mantiene sulla traiettoria curva Tale forza viene trasmessa alle varie parti tramite le forze di tensione che si sviluppano allrsquointerno del corpo stesso ad esempio il piede egrave soggetto alla forza centrifuga tramite lrsquoazione dei legamenti e tendini a livello della caviglia che vengono messi in tensione per trattenere il piede stesso

1- un velocista con una velocitagrave di 10 ms viaggia su una curva di raggio 25m ndash accelerazione

a = R

v2

= 25

100 = 4 ms2

2 ndash un velocista con v = 92 ms su una pista circolare con ac = 38 m s2 ndash Raggio della pista Tempo per percorrere un giro completo

a = R

v2

rArr R = a

v2

= 83

)29( 2

= 2227m

T =v

Rπ2 =

29

27222 lowastπ = 152 sec

Forza centripeta forza centrifuga Una forza centripeta egrave una forza di qualunque natura che trattiene un corpo in moto su una traiettoria curvilinea ad esempio circolare In assenza di tale forza il corpo proseguirebbe il suo moto lungo una traiettoria rettilinea Nel gesto del lancio del martello ad esempio il lanciatore che esercita sul peso in cima allrsquoattrezzo una forza mediata dalla tensione dal cavo che lo trattiene nella traiettoria circolare Quando il lanciatore lascia la maniglia il martello viene lanciato lungo la direzione della tangente alla traiettoria nellrsquoistante di rilascio Lrsquointensitagrave della forza centripeta necessaria a mantenere una massa m in moto con velocitagrave tangente v lungo una traiettoria circolare di raggio r si puograve calcolare a partire dallrsquoaccellerazione centripeta secondo la legge fondamentale della dinamica

|rarr

cF | = m | rarr

ca | = m r

v2

Tale forza egrave diretta come lrsquoaccelerazione centripeta e cioegrave verso il centro della circonferenza che costituisce la traiettoria La forza centripeta egrave dunque una forza reale Con lsquoforza centrifugarsquo invece non ci si riferisce ad un forza che agisce su un corpo ma alla situazione apparente cui sembra sottoposto un corpo in moto curvilineo Esso pare tirato o attirato lontano dal centro di rotazione pare ci sia una lsquoforzarsquo che vuole farlo sfuggire Quando viene lasciato il martello si allontana dal centro di rotazione percheacute si muove di moto rettilineo uniforme non essendo piugrave soggetto a forze altre che la forza peso Lrsquoacqua esce dal cestello della lavatrice quando il cestello ruota velocemente (funzione centrifuga) percheacute lrsquoacqua che non costituisce un corpo solo con il cestello bucato non egrave soggetta alla forza centripeta e puograve passare attraverso i buchi I panni invece pure non parte del cestello sono troppo grandi per passare dai buchi si possono solo schiacciare contro le pareti questo schiacciamento sembra il risultato di una forza ma egrave invece il risultato dellrsquoassenza di una forza quella centripeta Una volta lagrave contro il cestello fanno tuttrsquouno con le pareti di metallo che esercitano su di essi la forza centripeta (cioegrave con direzione verso lrsquoasse di rotazione) che li mantiene in rotazione Le parti di un corpo rigido esteso che si muove di moto rotatorio rispetto ad un asse quale ad esempio la gamba di un giocatore di calcio che calcia un pallone sono soggette alla forza centripeta che le mantiene sulla traiettoria curva Tale forza viene trasmessa alle varie parti tramite le forze di tensione che si sviluppano allrsquointerno del corpo stesso ad esempio il piede egrave soggetto alla forza centrifuga tramite lrsquoazione dei legamenti e tendini a livello della caviglia che vengono messi in tensione per trattenere il piede stesso