tuyen tap luong giac (co dap an)
TRANSCRIPT
TUYỂN TẬP LƯỢNG GIÁC (ĐÁP ÁN CHI TIẾT)
BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG Toàn bộ tài liệu của thầy ở trang:
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
HÀ NỘI, 4/2014
HỌ VÀ TÊN: …………………………………………………………………
LỚP :………………………………………………………………….
TRƯỜNG :…………………………………………………………………
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 1
TUYỂN TẬP LƯỢNG GIÁC
Toàn bộ tài liệu luyện thi đại học môn toán của thầy Lưu Huy Thưởng:
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
HT 1.Giải các phương trình:
1) 22 cos 3 cos 0x x+ = 2) 2 2sin sin2 2 cos 2x x x+ + = 3)
2 23 sin sin2 cos 3x x x+ + =
4) 22 sin sin 1 0x x− − = 5) cos2 3sin 2 0x x+ − = 6) 2cos2 3cos 1 0x x− + =
Bài giải
1) 22 cos 3 cos 0x x+ =
cos 02 ,3 5cos 22 6
x x k
k
x x k
π
π
π
π
= = + ⇔ ⇔ ∈ = − = ± +
�
2) 2 2sin sin2 2 cos 2x x x+ + =
⇔ sin (2 cos sin ) 0x x x− =sin 0
tan 2 arctan2
x x k
x x k
π
π
= = ⇔ ⇔ = = +
3) 2 23 sin sin2 cos 3x x x+ + =
22 sin cos 2 cos 0 2 cos (sin cos ) 0x x x x x x⇔ − = ⇔ − =
2cos 0
2tan 1
4
x kx
xx k
π
π
π
π
= +=
⇔ ⇔ =
= +
4) 22 sin sin 1 0x x− − =
22sin 1
2 ,16sin
2 72
6
x k
x
x k kx
x k
π
π
π
π
π
π
= + = ⇔ ⇔ = − + ∈ = − = +
�
5) cos2 3sin 2 0x x+ − =
2 21 2 sin 3 sin 2 0 2sin 3 sin 1 0x x x x⇔ − + − = ⇔ − + =
22sin 1
2 ,16sin
2 52
6
x k
x
x k kx
x k
π
π
π
π
π
π
= + = ⇔ ⇔ = + ∈ = = +
�
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 2
6) 2cos2 3cos 1 0x x− + = 24 cos 3 cos 1 0x x⇔ − − =
cos 1 2
,1 1cos arccos( ) 2
4 4
x x k
kx x k
π
π
= = ⇔ ⇔ ∈ = − = ± − +
�
HT 2.Giải các phương trình sau:
1) 3 sin 3 cos 3 2x x− = 2) sin 5 cos 5 2x x+ =−
3) 3 sin cos 2x x+ = 4) 3 sin cos 2x x− =
Bài giải
1) 3 sin 3 cos 3 2x x− =
3 1sin 3 cos 3 1
2 2x x⇔ − = ⇔ sin (3 )
6xπ
− = 1 ⇔ 3 26 2
x kπ π
π− = + ⇔2 2
9 3
kx
π π
= +
2) sin 5 cos 5 2x x+ =−
1 1sin 5 cos5 12 2
x x⇔ + =− ⇔ sin (5 )4
xπ
+ = - 1 ⇔ 5 24 2
x kπ π
π+ =− + ⇔3 2
20 5
kx
π π
= − +
3) 3 sin cos 2x x+ =3 1 2sin cos
2 2 2x x⇔ + =
2sin cos cos sin
6 6 2x x
π π
⇔ + = sin( ) sin6 4
xπ π
⇔ + =
⇔2 2
6 4 12 ,3 7
2 26 4 12
x k x k
k
x k x k
π π π
π π
π π π
π π
+ = + = +
⇔ ∈ + = + = +
�
4) 3 sin cos 2x x− =3 1 2sin cos
2 2 2x x⇔ − =
2sin cos cos sin
6 6 2x x
π π
⇔ − = sin( ) sin6 4
xπ π
⇔ − =
52 2
6 4 12 ,3 11
2 26 4 12
x k x k
k
x k x k
π π π
π
π π π
π π
− = + = +
⇔ ⇔ ∈ − = + = +
�
HT 3.Giải phương trình:
1) 33 sin 3 3 cos 9 1 4 sin 3x x x− = + 2) 1
tan sin2 cos2 2(2 cos ) 0cos
x x x xx
− − + − =
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 3
3)
3 18 sin
cos sinx
x x= +
4) 9sin 6cos 3 sin2 cos2 8x x x x+ − + =
5) sin2 2cos2 1 sin 4 cosx x x x+ = + − 6) 2sin2 cos2 7 sin 2cos 4x x x x− = + −
7) sin2 cos2 3sin cos 2x x x x− = + − 8) 2(sin2 3 cos2 ) 5 cos(2 )6
x x xπ
+ − = −
9) 32 cos cos2 sin 0x x x+ + = 10) 2
1 cos21 cot2
sin 2
xx
x
−+ =
11) 4 44(sin cos ) 3 sin 4 2x x x+ + = 12)
3 3 11 sin 2 cos 2 sin 4
2x x x+ + =
13) tan 3 cot 4(sin 3 cos )x x x x− = +
14) 3 3sin cos sin cosx x x x+ = −
15)
4 4 1cos sin ( )
4 4x x
π
+ + =
16) 3 34 sin cos 3 4 cos sin 3 3 3 cos 4 3x x x x x+ + =
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
Bài giải
1) 33 sin 3 3 cos 9 1 4 sin 3x x x− = + 3(3 sin 3 4 sin 3 ) 3 cos 9 1x x x⇔ − − =
sin 9 3 cos 9 1x x⇔ − = sin(9 ) sin3 6
xπ π
⇔ − =
2
18 97 2
54 9
x k
x k
π π
π π
= +
⇔ = +
2) 1
tan sin2 cos2 2(2 cos ) 0cos
x x x xx
− − + − = (1)
Điều kiện: cos 02
x x kπ
π≠ ⇔ ≠ +
sin 2
(1) sin2 cos2 4 cos 0cos cos
xx x x
x x⇔ − − + − =
2 2sin 2 sin cos cos2 cos 2(2 cos 1) 0x x x x x x⇔ − − + − =
2sin (1 2 cos ) cos2 cos 2 cos2 0x x x x x⇔ − − + =
sin cos2 cos2 cos 2cos2 0x x x x x⇔− − + =
cos2 (sin cos 2) 0x x x⇔ + − = cos2 0
sin cos 2( ) 4 2
xx k
x x vn
π π =⇔ ⇔ = + + =
3)3 1
8 sincos sin
xx x
= + (*)
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 4
Điều kiện: sin2 02
x x kπ
≠ ⇔ ≠
2(*) 8 sin cos 3 sin cosx x x x⇔ = + 4(1 cos2 )cos 3 sin cosx x x x⇔ − = +
4 cos2 cos 3 sin 3cosx x x x⇔− = − 2(cos 3 cos ) 3 sin 3 cosx x x x⇔ − + = −
1 3
cos 3 cos sin2 2
x x x⇔ = − cos 3 cos( )3
x xπ
⇔ = + 6
12 2
x k
x k
π
π
π π
= +
⇔ = − +
C2 2(*) 8 sin cos 3 sin cosx x x x⇔ = + 28(1 cos )cos 3 sin cosx x x x⇔ − = +
38 cos 8 cos 3 sin 3 cosx x x x⇔ − = − 36 cos 8 cos 3 sin cosx x x x⇔ − = −
3 1 34 cos 3 cos cos sin
2 2x x x x⇔ − = − cos 3 cos( )
3x x
π
⇔ = +
6
12 2
x k
x k
π
π
π π
= +
⇔ = − +
4) 9sin 6cos 3 sin2 cos2 8x x x x+ − + =
26 sin cos 6 cos 2 sin 9 sin 7 0x x x x x⇔ − + − + =
6 cos (sin 1) (sin 1)(2 sin 7) 0x x x x⇔ − + − − =
(sin 1)(6 cos 2 sin 7) 0x x x⇔ − + − =
sin 1
6 cos 2 sin 7
x
x x
=⇔ + =
22
x kπ
π⇔ = +
5) sin2 2cos2 1 sin 4 cosx x x x+ = + −
22 sin cos 2(2 cos 1) 1 sin 4 cos 0x x x x x⇔ + − − − + =
2sin (2 cos 1) 4 cos 4 cos 3 0x x x x⇔ − + + − =
sin (2 cos 1) (2 cos 1)(2 cos 3) 0x x x x⇔ − + − + =
(2 cos 1)(2 sin 2 cos 3) 0x x x⇔ − + + =
1cos
22 sin 2 cos 3,( )
x
x x vn
=⇔
+ = −
23
x kπ
π⇔ = ± +
6)2sin2 cos2 7 sin 2cos 4x x x x− = + −
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 5
24 sin cos (1 2 sin ) 7 sin 2 cos 4 0x x x x x⇔ − − − − + =
22 cos (2 sin 1) (2 sin 7 sin 3) 0x x x x⇔ − + − + =
2 cos (2 sin 1) (2 sin 1)(sin 3) 0x x x x⇔ − + − − =
(2 sin 1)(2 cos sin 3) 0x x x⇔ − + − =
2sin 1 0
2 cos sin 3,( )
x
x x vn
− =⇔ + =
2
65
26
x k
x k
π
π
π
π
= +
⇔ = +
7) sin2 cos2 3sin cos 2x x x x− = + −
22 sin cos (1 2 sin ) 3 sin cos 2 0x x x x x⇔ − − − − + =
2(2 sin cos cos ) (2 sin 3 sin 1) 0x x x x x⇔ − + − + =
cos (2 sin 1) (2 sin 1)(sin 1) 0x x x x⇔ − + − − =
(2 sin 1)(cos sin 1) 0x x x⇔ − + − =2 sin 1
cos sin 1
x
x x
=⇔ + =
262 sin 15
26
x k
x
x k
π
π
π
π
= +
+ = ⇔ = +
22
cos sin 1 cos( )4 2 2
2
x k
x x xx k
π
π
π
π
=+ + = ⇔ − = ⇔ = +
8) 2(sin2 3 cos2 ) 5 cos(2 )6
x x xπ
+ − = −
Ta có: 1 3
sin2 3 cos2 2( sin2 cos2 ) 2 cos(2 )2 2 6
x x x x xπ
+ = + = −
Đặt: sin2 3 cos2 , 2 2t x x t= + − ≤ ≤
Phương trình trở thành: 2 52
tt − = 22 10 0t t⇔ − − =
2
5
2
t
t
= −⇔ =
5:2
t+ = loại
72 : 2 cos(2 ) 2
6 12t x x k
π π
π+ =− − = − ⇔ = +
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 6
9) 32 cos cos2 sin 0x x x+ + = 3 22 cos 2 cos 1 sin 0x x x⇔ + − + =
22 cos (cos 1) (1 sin ) 0x x x⇔ + − − = 22(1 sin )(cos 1) (1 sin ) 0x x x⇔ − + − − =
2(1 sin )(1 sin )(cos 1) (1 sin ) 0x x x x⇔ − + + − − =
(1 sin )[2(1 sin )(cos 1) 1] 0x x x⇔ − + + − =
(1 sin )[1 2 sin cos 2(sin cos )] 0x x x x x⇔ − + + + =
sin 1
1 2sin cos 2(sin cos ) 0
x
x x x x
=⇔ + + + =
sin 1 22
x x kπ
π+ = ⇔ = +
1 2 sin cos 2(sin cos ) 0x x x x+ + + + = 2(sin cos ) 2(sin cos ) 0x x x x⇔ + + + =
(sin cos )(sin cos 2) 0x x x x⇔ + + + = sin cos 0x x⇔ + =
tan 14
x x kπ
π⇔ =− ⇔ =− +
10) 2
1 cos21 cot2
sin 2
xx
x
−+ = (*) Điều kiện: sin2 0
2x x k
π
≠ ⇔ ≠
2
1 cos2(*) 1 cot2
1 cos 2
xx
x
−⇔ + =
−
11 cot2
1 cos2x
x⇔ + =
+
cos2 11sin2 1 cos2
x
x x⇔ + =
+
sin2 (1 cos2 ) cos2 (1 cos2 ) sin2x x x x x⇔ + + + =
sin2 cos2 cos2 (1 cos2 ) 0x x x x⇔ + + = cos2 (sin2 cos2 1) 0x x x⇔ + + =
cos2 0
sin2 cos2 1
x
x x
=⇔ + = −
cos2 04 2
x x kπ π
+ = ⇔ = +
sin2 cos2 1x x+ + =− sin(2 ) sin( )4 4
xπ π
⇔ + = − 4
2
x k
x k
π
π
π
π
= − +
⇔
= +
Vậy,phương trình có nghiệm: 4 2
x kπ π
= +
11) 4 44(sin cos ) 3 sin 4 2x x x+ + =
2 2 2 2 24[(sin cos ) 2 sin cos ] 3 sin 4 2x x x x x⇔ + − + =
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 7
214(1 sin 2 ) 3 sin 4 2
2x x⇔ − + = cos 4 3 sin 4 2x x⇔ + =−
4 2
12 2
x k
x k
π π
π π
= +
⇔ = − +
12) 3 3 11 sin 2 cos 2 sin 4
2x x x+ + =
2 sin 4 2(sin2 cos2 )(1 sin2 cos2 ) 0x x x x x⇔ − + + − =
(2 sin 4 ) (sin2 cos2 )(2 sin 4 ) 0x x x x⇔ − + + − =
(2 sin 4 )(sin2 cos2 1) 0x x x⇔ − + + = sin2 cos2 1x x⇔ + =−
2
sin(2 )4 2
xπ
⇔ + =− 4
2
x k
x k
π
π
π
π
= − +
⇔
= +
13) tan 3 cot 4(sin 3 cos )x x x x− = + (*) Điều kiện: sin 2 02
x x kπ
≠ ⇔ ≠
sin cos
(*) 3 4(sin 3 cos )cos sin
x xx x
x x⇔ − = +
2 2sin 3 cos 4 sin cos (sin 3 cos ) 0x x x x x x⇔ − − + =
(sin 3 cos )(sin 3 cos ) 4 sin cos (sin 3 cos ) 0x x x x x x x x⇔ − + − + =
(sin 3 cos )(sin 3 cos 4 sin cos ) 0x x x x x x⇔ + − − =
sin 3 cos 0
sin 3 cos 4 sin cos 0
x x
x x x x
+ =⇔
− − =
sin 3 cos 0 tan 33
x x x x kπ
π+ + = ⇔ = − ⇔ =− +
sin 3 cos 4 sin cos 0x x x x+ − − = 2 sin2 sin 3 cosx x x⇔ = −
1 3
sin2 sin cos2 2
x x x⇔ = − sin 2 sin( )3
x xπ
⇔ = −2
34 2
9 3
x k
x k
π
π
π π
= − +
⇔ = +
Vậy,phương trình có nghiệm là: ;3
x kπ
π= − +4 2
9 3x k
π π
= +
14) 3 3sin cos sin cosx x x x+ = − 2 3sin (sin 1) cos cos 0x x x x⇔ − + + =
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 8
2 3sin cos cos cos 0x x x x⇔− + + = 2cos ( sin cos cos 1) 0x x x x⇔ − + + =
2
cos 0
sin cos cos 1
x
x x x
=⇔ − + = −
cos 02
x x kπ
π+ = ⇔ = +
2sin cos cos 1x x x+− + =−1 1 cos2sin2 12 2
xx
+⇔ − + = − sin2 cos2 3,( )x x vn⇔ − =
Vậy,phương trình có nghiệm là: ,2
x k kπ
π= + ∈ �
15) 4 4 1cos sin ( )
4 4x x
π
+ + = 2 21 1 1(1 cos2 ) [1 cos(2 )]4 4 2 4
x xπ
⇔ + + − + =
2 2(1 cos2 ) (1 sin2 ) 1x x⇔ + + + = sin2 cos2 1x x⇔ + =−
3
cos(2 ) cos4 4
xπ π
⇔ − = 2
2
4
x k
x k
π
π
π
π
= +
⇔ = − +
16) 3 34 sin cos 3 4 cos sin 3 3 3 cos 4 3x x x x x+ + =
3 3 3 34 sin (4 cos 3 cos ) 4 cos (3 sin 4 sin ) 3 3 cos 4 3x x x x x x x⇔ − + − + =
3 312 sin cos 12 cos sin 3 3 cos 4 3x x x x x⇔− + + =
2 24 sin cos (cos sin ) 3 cos 4 1x x x x x⇔ − + =
2 sin2 cos2 3 cos 4 1x x x⇔ + = sin 4 3 cos 4 1x x⇔ + =
1 3 1sin 4 cos 42 2 2
x x⇔ + = sin(4 ) sin3 6
xπ π
⇔ + = 24 2 ,
8 2
x k
k
x k
π π
π π
= − +
⇔ ∈
= +
�
HT 4.Giải phương trình:
1)
4 4 3cos sin cos( )sin(3 ) 0
4 4 2x x x x
π π
+ + − − − =
2)
25 sin 2 3(1 sin )tanx x x− = −
3)
1 12 sin 3 2cos 3
sin cosx x
x x− = + 4)
2cos (2 sin 3 2) 2 cos 11
1 sin 2
x x x
x
+ − −=
+
5)
3 3 1cos cos cos sin sin sin
2 2 2 2 2
x x x xx x− =
6)
34 cos 3 2 sin2 8 cosx x x+ =
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 9
7) cos(2 ) cos(2 ) 4 sin 2 2(1 sin )
4 4x x x xπ π
+ + − + = + − 8) 2 23 cot 2 2 sin (2 3 2)cosx x x+ = +
9)
2 24 sin 2 6 sin 9 3 cos20
cos
x x x
x
+ − −=
10) cos cos 3 2cos5 0x x x+ + =
11) 8 8 217sin cos cos 2
16x x x+ =
12) 35sin 5 cos sin2 2
x xx=
13) 2sin 2 (cot tan2 ) 4 cosx x x x+ = 14) 3tan ( ) tan 1
4x xπ
− = −
15)
4 44sin 2 cos 2
cos 4
tan( )tan( )4 4
x xx
x xπ π
+=
− +
16) 4 2
1 248 (1 cot2 cot ) 0
cos sinx x
x x
− − + =
17) 8 8 10 10 5sin cos 2(sin cos ) cos2
4x x x x x+ = + +
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
Bài giải
1) 4 4 3cos sin cos( )sin(3 ) 0
4 4 2x x x x
π π
+ + − − − =
2 2 2 2 2 1 3(sin cos ) 2 sin cos [sin(4 ) sin2 ] 0
2 2 2x x x x x x
π
⇔ + − + − + − =
21 1 31 sin 2 ( cos 4 sin2 ) 02 2 2
x x x⇔ − + − + − =
2 21 1 1 1sin 2 (1 2 sin 2 ) sin2 02 2 2 2
x x x⇔− − − + − =
2sin 2 sin2 2 0x x⇔ + − = sin2 1x⇔ =4
x kπ
π⇔ = +
2) 25 sin 2 3(1 sin )tanx x x− = − (1)
Điều kiện: cos 02
x x kπ
π≠ ⇔ ≠ +
2
2
sin(1) 5 sin 2 3(1 sin )
cos
xx x
x
⇔ − = − 2
2
sin5 sin 2 3(1 sin )
1 sin
xx x
x
⇔ − = −−
23 sin5 sin 2
1 sin
xx
x⇔ − =
+ 22 sin 3 sin 2 0x x⇔ + − =
1sin
2x⇔ =
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 10
265
26
x k
x k
π
π
π
π
= +
⇔ = +
3) 1 1
2 sin 3 2cos 3sin cos
x xx x
− = + (*)
Điều kiện: sin2 02
x x kπ
≠ ⇔ ≠
1 1
(*) 2(sin 3 cos 3 )sin cos
x xx x
⇔ − = +
3 3 1 12[3(sin cos ) 4(sin cos ]
sin cosx x x x
x x⇔ + − + = +
2 2 sin cos2(sin cos )[3 4(sin sin cos cos )]
sin cos
x xx x x x x x
x x
+⇔ + − − + =
sin cos
2(sin cos )( 1 4 sin cos ) 0sin cos
x xx x x x
x x
+⇔ + − + − =
1
(sin cos )( 2 8 sin cos ) 0sin cos
x x x xx x
⇔ + − + − =
2
(sin cos )(4 sin2 2) 0sin2
x x xx
⇔ + − − =
2(sin cos )(4 sin 2 2 sin 2 2) 0x x x x⇔ + − − =
2
sin cos 0
4 sin 2 2 sin 2 2 0
x x
x x
+ =⇔ − − =
tan 1
sin2 1
sin2 1/ 2
x
x
x
= −⇔ =
= −
4
127
12
x k
x k
x k
π
π
π
π
π
π
= ± +
⇔ = − + = +
4) 2cos (2 sin 3 2) 2 cos 1
11 sin 2
x x x
x
+ − −=
+ (*)
Điều kiện: sin2 14
x x kπ
π≠− ⇔ ≠− +
2(*) 2 sin cos 3 2 cos 2 cos 1 1 sin 2x x x x x⇔ + − − = +
22 cos 3 2 cos 2 0x x⇔ − + = 2
cos2
x⇔ = 4
x kπ
π⇔ = ± +
Đối chiếu điều kiện phương trình có nghiệm: ,4
x k kπ
π= + ∈ �
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 11
5) 3 3 1
cos cos cos sin sin sin2 2 2 2 2
x x x xx x− =
1 1 1cos (cos2 cos ) sin (cos2 cos )2 2 2
x x x x x x⇔ + + − =
2cos cos2 cos sin cos2 sin cos 1x x x x x x x⇔ + + − =
2cos2 (sin cos ) 1 sin sin cos 1 0x x x x x x⇔ + + − − − =
cos2 (sin cos ) sin (sin cos ) 0x x x x x x⇔ + − + =
(sin cos )(cos2 sin ) 0x x x x⇔ + − =
2(sin cos )( 2 sin sin 1) 0x x x x⇔ + − − + =
2
sin cos 0
2 sin sin 1 0
x x
x x
+ =⇔ + − =
tan 1
sin 1
sin 1 / 2
x
x
x
= −⇔ = −
=
4
22
52 2
6 6
x k
x k
x k x k
π
π
π
π
π π
π π
= − +
⇔ = − + = + ∨ = +
6) 34 cos 3 2 sin2 8 cosx x x+ = 34 cos 6 2 sin cos 8 cos 0x x x x⇔ + − =
22 cos (2 cos 3 2 sin 4) 0x x x⇔ + − = 22 cos (2 sin 3 2 sin 2) 0x x x⇔ − + =
cos 0
2sin
2
x
x
=⇔
=
2
243
24
x k
x k
x k
π
π
π
π
π
π
= +
⇔ = + = +
7) cos(2 ) cos(2 ) 4 sin 2 2(1 sin )4 4
x x x xπ π
+ + − + = + −
2 cos2 cos 4 sin 2 2 2 sin 04
x x xπ
⇔ + − − + =
22(1 2 sin ) 4 sin 2 2 2 sin 0x x x⇔ − + − − + =
22 2 sin (4 2)sin 2 0x x⇔ − + + =
1
sin2
x⇔ = 2
65
26
x k
x k
π
π
π
π
= +
⇔ = +
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 12
8) 2 23 cot 2 2 sin (2 3 2)cosx x x+ = + (1)
Điều kiện: sin 0x x kπ≠ ⇔ ≠
2
4 2
cos cos(1) 3 2 2 (2 3 2)
sin sin
x x
x x
⇔ + = +
Đặt: 2
cos
sin
xt
x
= phương trình trở thành: 22
3 (2 3 2) 2 2 0 2
3
t
t t
t
=− + + = ⇔ =
2
2 cos 2:3 3sin
xt
x
+ = = 23 cos 2(1 cos )x x⇔ = − 22 cos 3 cos 2 0x x⇔ + − =
1
cos2
x⇔ = 23
x kπ
π⇔ = ± +
2
cos2 : 2sin
xt
x
+ = = 2cos 2(1 cos )x x⇔ = − 22 cos cos 2 0x x⇔ + − =
2
cos2
x⇔ = 24
x kπ
π⇔ = ± +
Vậy,phương trình có nghiệm: 2 , 23 4
x k x kπ π
π π= ± + = ± +
9) 2 24 sin 2 6 sin 9 3 cos2
0cos
x x x
x
+ − −= (*)
Điều kiện: cos 02
x x kπ
π≠ ⇔ ≠ +
2(*) 4(1 cos 2 ) 3(1 cos2 ) 9 3 cos 0x x x⇔ − + − − − = 24 cos 2 6 cos 2 0x x⇔ + + =
cos2 1
1cos2
2
x
x
= −⇔ = −
2
3
x k
x k
π
π
π
π
= +
⇔ = ± +
Vậy,phương trình có nghiệm: 3
x kπ
π= ± +
10) cos cos 3 2cos5 0x x x+ + = (cos 5 cos ) (cos 5 cos 3 ) 0x x x x⇔ + + + =
2cos 3 cos2 2cos 4 cos 0x x x x⇔ + =
3 2(4 cos 3 cos )cos2 (2 cos 2 1)cos 0x x x x x⇔ − + − =
2 2cos [(4 cos 3)cos2 2 cos 2 1] 0x x x x⇔ − + − =
2cos {[2(1 cos2 ) 3]cos2 2 cos 2 1} 0x x x x⇔ + − + − =
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 13
2cos (4 cos 2 cos2 1) 0x x x⇔ − − =
cos 0
1 17cos
81 17
cos8
x
x
x
=
−⇔ =
+ =
21 17
arccos 28
1 17arccos 2
8
x k
x k
x k
π
π
π
π
= + −⇔ = ± +
+= ± +
11) 8 8 217sin cos cos 2
16x x x+ = (*)
8 8 4 4 2 4 4sin cos (sin cos ) 2 sin cosx x x x x x+ = + −
2 2 2 2 2 2 41[(sin cos ) 2 sin cos )] sin 2
8x x x x x= + − −
2 2 41 1(1 sin 2 ) sin 22 8
x x= − − 2 411 sin 2 sin 2
8x x= − +
2 4 21(*) 16(1 sin 2 sin 2 ) 17(1 sin 2 )
8x x x⇔ − + = − 4 22sin 2 sin 2 1 0x x⇔ + − =
2 1sin 2
2x⇔ = 21 2 sin 2 0x⇔ − = cos 4 0x⇔ =
8 4x kπ π
⇔ = +
12) 35sin 5 cos sin2 2
x xx= (*)
Ta thấy: cos 0 2 cos 12
xx k xπ π= ⇔ = + ⇔ =−
Thay vào phương trình (*) ta được:
5
sin( 5 ) sin( )2 2
k kπ π
π π+ = − + không thỏa mãn với mọi k
Do đó cos2
xkhông là nghiệm của phương trình nên:
35(*) sin cos 5cos sin cos
2 2 2 2
x x x xx⇔ = 31 5
(sin 3 sin2 ) cos sin2 2
x x x x⇔ + =
3 33 sin 4 sin 2 sin cos 5 cos sin 0x x x x x x⇔ − + − =
2 3sin (3 4 sin 2 cos 5 cos ) 0x x x x⇔ − + − =
3 2sin (5 cos 4 cos 2 cos 1) 0x x x x⇔ − − + =
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 14
sin 0
cos 1
1 21cos
101 21
cos10
x
x
x
x
= =
− +⇔ =
− − =
2
1 21arccos 2
101 21
arccos 210
x k
x k
x k
x k
π
π
π
π
= =
− +⇔ = ± +
− − = ± +
Vậy,phương trình có nghiệm: 2x k π= ,1 21
arccos 210
x k π− +
= ± +
1 21
arccos 210
x k π− −
= ± +
13) 2sin 2 (cot tan2 ) 4 cosx x x x+ = (1)
Điều kiện: sin 0
cos2 04 2
x kx
x x k
π
π π
≠ ≠ ⇔ ≠ ≠ +
Ta có: cos sin2
cot tan2sin cos2
x xx x
x x+ = +
cos2 cos sin2 sin
sin cos2
x x x x
x x
+=
cos
sin cos2
x
x x=
2cos(1) 2 sin cos 4 cos
sin cos2
xx x x
x x⇔ =
2
2cos2 cos
cos2
xx
x⇔ = 2cos (1 2 cos2 ) 0x x⇔ − =
cos 0
cos2 1/ 2
x
x
=⇔ =
2
6
x k
x k
π
π
π
π
= +
⇔ = ± +
Vậy,phương trình có nghiệm: 2
x kπ
π= + ,6
x kπ
π= ± +
Vậy,phương trình có nghiệm: 5
2x k
π
= , 5 1 21 5arccos4 4 2
x kπ−
= ± +
14) 3tan ( ) tan 14
x xπ
− = − (1)
Điều kiện:
cos 023cos( ) 0
4 4
x x k
xx k
π
π
ππ
π
≠ ≠ + ⇔ − ≠ ≠ +
3
3
(tan 1)(1) tan 1
(1 tan )
xx
x
−⇔ = −
+ 3 3(tan 1) (tan 1)(1 tan )x x x⇔ − = − +
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 15
3 2(tan 1)[(1 tan ) (tan 1) ] 0x x x⇔ − + − − = 3 2(tan 1)(tan 2 tan 5 tan ) 0x x x x⇔ − + + =
2tan (tan 1)(tan 2 tan 5) 0x x x x⇔ − + + =
tan 0
tan 1
x
x
=⇔ =
4
x k
x k
π
π
π
=⇔ = +
C2: Đặt: 4
t xπ
= −
15) 4 4
4sin 2 cos 2cos 4
tan( )tan( )4 4
x xx
x xπ π
+=
− +
(1)
Điều kiện: sin( )cos( ) 04 4
sin( )cos( ) 04 4
x x
x x
π π
π π
− − ≠ + + ≠
sin( 2 ) 04 cos2 0
sin( 2 ) 04
x
x
x
π
π
− ≠⇔ ⇔ ≠ + ≠
1 tan 1 tan
tan( )tan( ) . 14 4 1 tan 1 tan
x xx x
x x
π π − +− + = =
+ −
4 4 4(1) sin 2 cos 2 cos 4x x x⇔ + = 2 2 41 2 sin 2 cos 2 cos 4x x x⇔ − =
2 411 sin 4 cos 42
x x⇔ − = 2 411 (1 cos 4 ) cos 42
x x⇔ − − =
4 22 cos 4 cos 4 1 0x x⇔ − − = 2cos 4 1x⇔ =
21 cos 4 0x⇔ − = sin 4 0x⇔ = 4
x kπ
⇔ =
Vậy,phương trình có nghiệm: 2
x kπ
=
16) 4 2
1 248 (1 cot2 cot ) 0
cos sinx x
x x
− − + = (*)
Điều kiện: sin2 02
x x kπ
≠ ⇔ ≠
Ta có: cos2 cos
1 cot2 cot 1sin2 sin
x xx x
x x+ = +
cos2 sin sin2 sin
sin2 cos
x x x x
x x
+=
2
cos
2 sin cos
x
x x
= 2
1
2 sin x=
4 4
1 1(*) 48 0
cos sinx x
⇔ − − = 4 4
1 148
cos sinx x
⇔ = +
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 16
4 4 4 448 sin cos sin cosx x x x⇔ = + 4 213 sin 2 1 sin 2
2x x⇔ = −
4 26 sin 2 sin 2 2 0x x⇔ + − = 2 1sin 2
2x⇔ = 21 2 sin 2 0x⇔ − =
cos 4 0x⇔ = 8 4
x kπ π
⇔ = +
Vậy,phương trình có nghiệm: 8 4
x kπ π
= +
17) 8 8 10 10 5sin cos 2(sin cos ) cos2
4x x x x x+ = + +
8 2 8 2 5sin (1 2 sin ) cos (2 cos 1) cos2
4x x x x x⇔ − − − =
8 8 5sin cos2 cos cos2 cos2
4x x x x x⇔ − =
8 84 cos2 (cos sin ) 5 cos2 0x x x x⇔ − + =
4 4 4 44 cos2 (cos sin )(cos sin ) 5 cos2 0x x x x x x⇔ − + + =
2 2 2 2 4 44 cos2 (cos sin )(cos sin )(cos sin ) 5 cos2 0x x x x x x x x⇔ − + + + =
2 2 214 cos2 (cos sin )(1 sin 2 ) 5 cos2 0
2x x x x x⇔ − − + =
2 214 cos 2 (1 sin 2 ) 5 cos2 0
2x x x⇔ − + = 24 cos2 (4 cos2 2 cos2 sin 2 5) 0x x x x⇔ − + =
24 cos2 [4 cos2 2 cos2 (1 cos 2 ) 5] 0x x x x⇔ − − + =
34 cos2 (2 cos 2 2 cos2 5) 0x x x⇔ + + = cos2 0x⇔ = 4 2
x kπ π
⇔ = +
HT 5.Giải các phương trình sau:
1)
( )4 4sin cos 1
tan cotsin 2 2
x xx x
x
+= +
2)
2 21 sin sin cos sin 2 cos2 2 4 2
x x xx x
π + − = −
3) in 217sin(2 ) 16 2 3.s cos 20 sin ( )
2 2 12
xx x x
π π
+ + = + +
4) 2 3 4 2 3 4sin sin sin sin cos cos cos cosx x x x x x x x+ + + = + + +
5)
os 52 2 sin 112
c x xπ
− = 6) ossin2 1
2sin cos 2. tan
xc x
x x x
+ =+
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 17
7)
2cos 2 1sin sin 4 sin 4
4x x x x+ − =
8) 2 cos 4 ( 3 2)cos2 sin 2 3x x x− − = +
9) 1 sin cos sin 2 cos 2 0x x x x+ − − + = 10)
( )2 2 3sin cos2 cos tan 1 2 sin 0x x x x x+ − + =
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
Bài giải
1) ( )4 4sin cos 1
tan cotsin 2 2
x xx x
x
+= + (1)
Điều kiện: sin 2 0x ≠
211 sin 2
1 sin cos2(1)sin2 2 cos sin
xx x
x x x
− ⇔ = +
2
2
11 sin 2
1 12 1 sin 2 1 sin 2 0sin 2 sin 2 2
x
x xx x
−⇔ = ⇔ − = ⇔ =
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
2) 2 21 sin sin cos sin 2 cos (1)2 2 4 2
x x xx x
π + − = −
( ) 21 1 sin sin cos sin 1 cos 1 sin2 2 2
x xx x x x
π ⇔ + − = + − = +
sin sin cos sin 1 0 sin sin cos .2 sin cos 1 02 2 2 2 2 2
x x x x x xx x x ⇔ − − = ⇔ − − =
2sin sin 1 2 sin 2 sin 1 02 2 2
x x xx ⇔ − + + =
⇔ 2sin 0, sin 1,2 sin 2 sin 1 02 2 2
x x xx = = + + =
, 242 2
x kxx k k x k
x k
ππ
π π π
π π
=⇔ = = + ⇔ ⇔ = = +
3) in 217sin(2 ) 16 2 3.s cos 20 sin ( )
2 2 12
xx x x
π π
+ + = + +
Biến đổi phương trình đó cho tương đương với
os os2 3 sin2 10 ( ) 6 06
c x x c xπ
− + + + = os os(2 ) 5 ( ) 3 03 6
c x c xπ π
⇔ + + + + =
os os22 ( ) 5 ( ) 2 06 6
c x c xπ π
⇔ + + + + = .Giải được os 1( )
6 2c x
π
+ =− và os( ) 26
c xπ
+ = − (loại)
*Giải os 1( )
6 2c x
π
+ =− được nghiệm 22
x kπ
π= + và 5
26
x kπ
π=− +
4) 2 3 4 2 3 4sin sin sin sin cos cos cos cosx x x x x x x x+ + + = + + +
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 18
2 3 4 2 3 4sin sin sin sin cos cos cos cosx x x x x x x x+ + + = + + +
2 3 4 2 3 4sin sin sin sin cos cos cos cosx x x x x x x x+ + + = + + +
sin 0(sin ). 2 2(sin ) sin . 0
2 2(sin ) sin . 0
x cosxx cosx x cosx x cosx
x cosx x cosx
− = ⇔ − + + + = ⇔ + + + =
+ Với sin 0 ( )4
x cosx x k k Zπ
π− = ⇔ = + ∈
+ Với 2 2(sin ) sin . 0x cosx x cosx+ + + = , đặt t = (t )sin 2; 2x cosx + ∈ −
được pt : 21
4 3 03( )
tt t
t loai
= −+ = = ⇔ = −
t = -1
2
( )2
2
x m
m Zx m
π π
π
π
= +⇒ ∈ = − +
Vậy : , 2 , 2 ( , )4 2
x k x m x m m Z k Zπ π
π π π π= + = + =− + ∈ ∈
5) os 52 2 sin 112
c x xπ
− =
os 52 2 sin 112
c x xπ
− =
5 52 sin 2 sin 1
12 12x
π π ⇔ − + =
5 5 1 5 5sin 2 sin sin sin 2 sin sin
12 12 4 12 4 122
2 cos sin sin3 12 12
x xπ π π π π π
π π π
⇔ − + = = ⇔ − = − = = − = −
( )5
2 25 12 12 6sin 2 sin5 13 312 12
2 212 12 4
x k x k
x k
x k x k
π π π
π ππ π
π π π
π π
− = − + = + ⇔ − = − ⇔ ⇔ ∈ − = + = +
�
6) ossin2 12
sin cos 2. tan
xc x
x x x
+ =+
Điều kiện: sin 0, cos 0, sin cos 0.x x x x≠ ≠ + ≠
Pt đã cho trở thành cos 2 sin cos
2 cos 0sin cos2 sin
x x xx
x xx
+ − =+
2cos 2 cos0 cos sin( ) sin 2 0
sin cos 42 sin
x xx x x
x xx
π ⇔ − = ⇔ + − = +
+) Zcos 0 , .2
x x k kπ
π= ⇔ = + ∈
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 19
+) Z2 2 2
4 4sin2 sin( ) ,24
2 24 4 3
x x m x m
x x m nn
x x n x
π π
π ππ
π π π
π π
= + + = +
= + ⇔ ⇔ ∈
= − − + = +
Z2, .
4 3
tx tπ π
⇔ = + ∈
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của pt là :2
x kπ
π= + ; Z2, , .
4 3
tx k tπ π
= + ∈
7)
2cos 2 1sin sin 4 sin 4
4x x x x+ − =
pt đã cho tương đương với pt:
1 1 1 1(1 cos2 ) (cos 3 cos5 ) (1 cos 8 )2 2 2 4
x x x x+ + − − − =
1 1 1cos 3 cos 5 cos 3 cos 5 0
2 2 2x x x x
⇔ + − + =
1cos 5 01 1 2cos 5 cos 3 0
12 2cos 3 0
2
x
x x
x
+ = ⇔ + − = ⇔ − =
⇔
2 2
15 52
9 3
x k
x k
π π
π π
= ± += ± +
8) 2 cos 4 ( 3 2)cos2 sin 2 3x x x− − = +
2(cos 4 cos2 ) (cos2 1) sin2x x x x⇔ + = + +
2=2 3coscos 0
4 cos 3 .cos 2 sin cos2 cos 3 3 cos sin
xx x x x x
x x x
=⇔ + ⇔ = +
+ =2
cos 0x x kπ
π= ⇔ +
+ =3 2
62 cos 3 3 cos sin cos 3 cos6
3 26
x x k
x x x x x
x x k
π
ππ
π
π
= − + + ⇔ = − ⇔ = − +
12
24 2
x k
kx
π
π
π π
= − +
⇔ = +
9) 1 sin cos sin 2 cos 2 0x x x x+ − − + =
2 2(1 sin 2 ) (sin cos ) (cos sin ) 0x x x x x⇔ − + − + − =
(sin cos ) (sin cos ) 1 (sin cos ) 0x x x x x x ⇔ − − + − + =
⇔ ((sin cos )(1 2 cos ) 0x x x− − =
⇔
tan 1
1cos
2
x
x
= =
⇔ ( ).
4 ,
.3
x k
k l
x l
π
π
π
π
= +
∈= ± +
� ( k,l ∈Z).
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 20
10) ( )2 2 3sin cos2 cos tan 1 2 sin 0x x x x x+ − + =
Điều kiện cos 0x ≠
( )2 2 3sin cos2 cos tan 1 2 sin 0x x x x x+ − + =
⇔ ( )2 2 3sin 1 2 sin 2 sin 1 2 sin 0x x x x− + − + =
2
22sin 1
2 sin sin 1 0 216sin
2 52
6
x k
x
x x x kx
x k
π
π
π
π
π
π
= − + = − ⇔ + − = ⇔ ⇔ = + = = +
.
Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm5
2 ; 26 6
S k kπ π
π π
= + +
HT 6.Giải các phương trình sau:
1) 1 1
2.cos2 (1)sin cos
xx x
= +
2) 2+ 3 )=2 32 cos 3 .cos (1 sin2 cos (2 )4
x x x xπ
+ +
3) cos cos 3 1 2 sin 24
x x xπ
+ = + +
4) 2(sin cos )1
tan cot2 cot 1
x x
x x x
−=
+ −
5)
2 54 3 sin cos 2 cos cos 3 sin2 3 cos 2
2 2 0 (1)2 sin 3
x xx x x x
x
− + + +=
−
6) 2 sin2 2 sin 2 5 sin 3 cos 34
x x x xπ
+ + + − =
7) 2(tan 1)sin cos2 2 3(cos sin )sin .x x x x x x+ + + = + 8)
2 sin 2 3 sin cos 24
x x xπ
+ = + +
9) ( )( )( )
1 sin 5 2 sin3
2 sin 3 cos
x x
x x
+ −=
+
10) 1
tan2 tan (sin 4 sin2 )(1)6
x x x x− = +
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
Bài giải
1)
1 12.cos2 (1)
sin cosx
x x= + Điều kiện:
2x k
π
≠
cos sin(1) 2.cos2 0
sin .cos
x xx
x x
+⇔ − =
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 21
2(cos sin )(cos sin )sin2 (cos sin ) 0
2x x x x x x x⇔ − + − + =
(cos sin ) (cos sin )sin 2 2 0x x x x x ⇔ + − − =
( )22 sin 0cos sin 0
4(cos sin )sin 2 2 0
(cos sin ) 1 (cos sin ) 2 0
xx x
x x xx x x x
π + =+ = ⇔ ⇔ − − = − − − − =
3
sin 04
(cos sin ) (cos sin ) 2 0
x
x x x x
π + = ⇔
− − − + =
⇔ 43
24
x k
x k
π
π
π
π
−= +
= +
ĐS: 4
x kπ
π
−= + , k Z∈
2) 2+ 3 )=2 32 cos 3 .cos (1 sin2 cos (2 )4
x x x xπ
+ +
os4x+cos2x+ 3 os(4x+ + 3 + 32
(1 sin 2 ) 3 1 ) cos 4 sin 4 cos2 sin 2 0PT c x c x x x xπ
⇔ + = + ⇔ + =
=0
2
18 3sin(4 ) sin(2 ) 0 2 sin(3 ).cos6 6 6
x k
x x x x
x k
π π
π π π
π
π
= − +
⇔ + + + = ⇔ + ⇔ = +
Vậy PT có hai nghiệm 2
x kπ
π= + và 18 3
x kπ π
= − + .
3) cos cos 3 1 2 sin 24
x x xπ
+ = + +
2 cos 2 cos 1 sin 2 cos2x x x x⇔ = + + cos2 (2 cos 1) 1 2 sin cosx x x x⇔ − = +
2 2 2(cos sin )(2 cos 1) (cos sin )x x x x x⇔ − − = + cos sin 0 (1)
(cos sin )(2 cos 1) cos sin (2)
x x
x x x x x
+ =⇔ − − = +
(1) 2 sin 04 4 4
x x k x kπ π π
π π
⇔ + = ⇔ + = ⇔ = − +
cos 02(2) 2 cos (cos sin 1) 0
2 cos 124
4 4
x x k
x x xx
x k
π
π
π
π π
π
= = + ⇔ − − = ⇔ ⇔ + = + = ± +
Vậy pt có nghiệm là 4
x kπ
π= − + , 2
x kπ
π= + , 2x k π=
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 22
4)
2(sin cos )1
tan cot2 cot 1
x x
x x x
−=
+ −
Điều kiện : sinx.cosx inxs .cos 0
cot 1
x
x
≠ ≠
Phương trình đã cho tương đương với phương trình:
( )2 sin cos1
sin cos2 cos sin
cos sin 2 sin
x x
x x x x
x x x
−=
−+
2(sin cos )sincos .sin2
cos cos sin
x x xx x
x x x
−⇔ =
−
322 4cos ( )
322
4
x k
x k Z
x k
π
π
π
π
= − +
⇔ = − ⇔ ∈= +
Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là: 3
2 ,( )4
x k k Zπ
π= + ∈
5)
2 54 3 sin cos 2 cos cos 3 sin2 3 cos 2
2 2 0 (1)2 sin 3
x xx x x x
x
− + + +=
−
Điều kiện : 3
sin2
x ≠
2 3 sin2 cos cos 3 cos2 3 sin2 3 cos 2 0x x x x x x− − + + + =
( ) ( ) ( )3 sin2 2 cos 1 cos 3 cos cos2 1 2 cos 1 0x x x x x x⇔ + − − − − + + =
( ) 2 23 sin2 2 cos 1 4 cos .sin 2 sin 2 cos 1 0x x x x x x⇔ + + + + + =
( ) ( ) ( )23 sin2 2 cos 1 2 sin 2 cos 1 2 cos 1 0x x x x x⇔ + + + + + =
( )( ) ( )( )22 cos 1 3 sin2 2 sin 1 0 2 cos 1 3 sin 2 cos2 2 0x x x x x x⇔ + + + = ⇔ + − + =
( )
1 2cos 22 cos 1 0 2 313 sin2 cos2 2 0 cos 2 ;
3 2 3
x x kxk
x xx x k x k
π
π
π π
π π
− = = ± ++ = ⇔ ⇔ ⇔ ∈ Ζ −− + = + = = = +
Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là: 2
; 2 ; 2 ( )3 3
x k x k x k k Zπ π
π π π
− −= = + = + ∈
6) 2 sin2 2 sin 2 5 sin 3 cos 34
x x x xπ
+ + + − = (1)
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 23
os(1) 2 sin2 sin2 2 5 sin 3 cos 3x x c x x x⇔ + + + − =
26 sin cos 3 cos (2 sin 5 sin 2) 0x x x x x⇔ − − − + =
3 cos (2 sin 1) (2 sin 1)(sin 2) 0x x x x⇔ − − − − =
(2 sin 1)(3 cos sin 2) 0x x x⇔ − − + =
1sin , sin 3 cos 2
2x x x⇔ = − =
+
1 5sin 2 , 2 ;
2 6 6x x k x k k
π π
π π= ⇔ = + = + ∈ �
inx os2 1 2
s 3 cos 2 sin( ) ,( ) arcsin 210 10 10
2arcsin 2 ,
10
x x c x k
x k k
α α α π
π α π
− = ⇔ − = = ⇔ = + +
= + − + ∈ �
Vậy pt có 4 họ nghiệm :
5 2 22 , 2 , arcsin 2 , arcsin 2 ;
6 6 10 10x k x k x k k k
π π
π π α π π α π= + = + = + + + − + ∈ �
7) 2(tan 1)sin cos2 2 3(cos sin )sin .x x x x x x+ + + = +
Điều kiện: cos 0,x ≠ hay .2
x kπ
π≠ +
Khi đó phương trình đã cho tương đương với
2 2(tan 1)sin 1 2 sin 2 3(cos sin )sinx x x x x x+ + − + = + 2 2(tan 1)sin 3 3(cos sin )sin 6 sinx x x x x x⇔ − + = − +
2(tan 1)sin 3 cos 2 3(cos sin )sinx x x x x x⇔ − + = −
2(tan 1)sin 3(cos sin )cos 0x x x x x⇔ − + − =
2 2(sin cos )(sin 3 cos ) 0 (sin cos )(2 cos 2 1) 0x x x x x x x⇔ − − = ⇔ − + =
sin cos4
1cos2 , .2 3
x x x k
xx k k
π
π
π
π
= = + ⇔ ⇔ = − = ± + ∈ �
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm , ,4 3
x k x k k Zπ π
π π= + = ± + ∈
8) 2 sin 2 3 sin cos 24
x x xπ
+ = + +
sin 2 cos 2 3 sin cos 2x x x x⇔ + = + +
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 24
⇔ 22 sin cos 2 cos 1 3 sin cos 2x x x x x+ − = + +
⇔ ( ) 2sin 2 cos 3 2 cos cos 3 0x x x x− + − − =
⇔ ( ) ( )( )sin 2 cos 3 cos 1 2 cos 3 0x x x x− + + − = ⇔ ( )( )2 cos 3 sin cos 1 0x x x− + + =
⇔1
sin cos 1 0 sin cos 1 sin4 2
x x x x xπ
+ + = ⇔ + = − ⇔ + = −
⇔ 2
4 45
24 4
x k
x k
π π
π
π π
π
+ = − ++ = +
, (k ∈ Z )2
22
x k
x k
π
π
π π
= − +⇔= +
(k ∈ Z.)
9) ( )( )( )
1 sin 5 2 sin3
2 sin 3 cos
x x
x x
+ −=
+
cos 0 ,2
x x k kπ
π≠ ⇔ ≠ + ∈ Z
( )( )( )
21 sin 5 2 sin
3 5 3 sin 2 sin 3 sin2 3 3 cos2 sin 3 cos
x xx x x x
x x
+ −= ⇔ + − = +
+⇔
( ) ( )cos2 3 sin2 3 sin 3 cos 4 0 cos 2 3 cos 2 03 6
x x x x x xπ π
− + − + = ⇔ + − + + =
2
26cos 1
62 cos 3 cos 1 0 2 ,
16 6 6cos
6 2 22
x k
x
x x x k k
x
x k
π
ππ
π π π
π
π
π
π
= − + + = ⇔ + − + + = ⇔ ⇔ = + ∈ + = = − +
Z
Ñoái chieáu ñieàu kieän ta coù caùc nghieäm 2 ,6
x k kπ
π= ± + ∈ Z
10)
1tan2 tan (sin 4 sin2 )(1)
6x x x x− = +
Điều kiện:
cos2 04 2
cos 0
2
mxx
m Zx
x m
π π
π
π
≠ + ≠ ⇔ ∈ ≠ ≠ +
2 2 2
2
3 2
(1) 6 sin cos2 cos (sin 4 sin2 )
6 sin cos cos2 (4 sin cos cos2 2 sin cos )
sin (4 cos cos 2 2 cos cos2 6) 0
sin (2 cos 2 (1 cos2 ) cos2 (1 cos2 ) 6 0
sin (2 cos 2 3 cos 2 cos2 6) 0
sin (cos2
x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x
⇔ = +
⇔ = +
⇔ + − =
⇔ + + + − =
⇔ + + − =
⇔ − 21)(2 cos 2 5 cos2 6) 0x x+ + =
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 25
2
sin 0
cos2 1 ( )
2 cos 2 5 cos2 6 0( )
x
x x k tm k Z
x x VN
π
=
⇔ = ⇔ = ∈ + + =
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 26
HT 7.Giải các phương trình sau:
1) 2(sin cos ) sin 3 cos 3 3 2(2 sin 2 )x x x x x− + + = +
2) os2 2 34 sin 3 2 1 2 cos ( )
2 4
xc x x
π
− = + −
3)
2 23 cot 2 2 sin (2 3 2)cosx x x+ = + 4)
( )2 cos sin1
tan cot2 cot 1
x x
x x x
−=
+ −
5) ( )2 3 sin2 3 sin cos2 3 cosx x x x+ − = +
6) 2
2
1 sin 2 cos2cos (sin 2 2 cos )
1 tan
x xx x x
x
+ −= +
+
7)
( )( )2 2tan 1 tan 2 3 sin 1 0x x x+ + − − =
8) 1
cos cos cos2 14 4 3
x x xπ π
− + + = −
9) cos2 5 2 2(2 cos )sin( )4
x x xπ
+ = − −
10) ( )3 2cos cos
2 1 sin .sin cos
x xx
x x
−= +
+
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
Bài giải
1) 2(sin cos ) sin 3 cos 3 3 2(2 sin 2 )x x x x x− + + = +
⇔ 3 32(sin cos ) 3 sin 4 sin 4 cos 3 cos 3 2(2 sin 2 )x x x x x x x− + − + − = +
⇔ 5(sin cos ) 4(sin cos )(1 sin cos ) 3 2(2 sin 2 )x x x x x x x− − − + = +
⇔ (sin cos )(1 4 sin cos ) 3 2(2 sin 2 )x x x x x− − = + (1)
+ Đặt sin cost x x= − 2 2t− ≤ ≤ thì 2 1 sin2t x= −
+ (1) trở thành 2 21 2( 1) 3 2(3 )t t t + − = −
⇔ 3 22 3 2 9 2 0t t t+ − − =
⇔ 2( 2)(2 5 2 9) 0t t t− + + = ⇔ t = 2
+ sin cos 2x x− = ⇔3
sin( ) 1 24 4
x x kπ π
π− = ⇔ = +
2) os2 2 34 sin 3 2 1 2 cos ( )
2 4
xc x x
π
− = + −
Ta có: os os os2 2 3 34 sin 3 2 1 2 cos ( ) 2(1 cos ) 3 2 1 1 (2 )
2 4 2
xc x x x c x c x
π π
− = + − ⇔ − − = + + −
os os2(1 cos ) 3 2 2 sin 2 3 2 sin 2 2 cosx c x x c x x x⇔ − − = − ⇔ − = −
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 27
os os os3 12 sin2 cos (2 ) ( )
2 2 6c x x x c x c x
π
π⇔ − =− ⇔ + = −
5 22 2
6 18 3 ,7
2 2 26 6
x x k x k
k Z
x x k x k
π π π
π π
π π
π π π
+ = − + = +
⇔ ⇔ ∈
+ = − + = − +
3)
2 23 cot 2 2 sin (2 3 2)cosx x x+ = +
Điều kiện : x kπ≠
2
2
cos3 cos 2 2(cos 2 sin )
sin
xx x x
x
− = −
⇔ 2 2(cos 2 sin )(3 cos 2 sin ) 0x x x x− − = ⇔
2
2
2 cos cos 2 0
2cos 3 cos 2 0
x x
x x
+ − =
+ − =
2 1
cos 2 ( );cos ;cos 2 ( );cos2 2
x loai x x loai x⇔ =− = = − =
24
x kπ
π= ± + & 23
x kπ
π= ± +
4) ( )2 cos sin1
tan cot2 cot 1
x x
x x x
−=
+ −
Điều kiện: ( )cos .sin2 .sin . tan cot2 0
cot 1
x x x x x
x
+ ≠ ≠
Từ (1) ta có: ( )2 cos sin1 cos .sin2
2 sinsin cos2 cos cos
1cos sin 2 sin
x x x xx
x x x x
x x x
−= ⇔ =
+ −
2sin .cos 2 sinx x x⇔ =
( )22 4cos
22
4
x k
x k
x k
π
π
π
π
= +
⇔ = ⇔ ∈= − +
�
Giao với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là ( )24
x k kπ
π= − + ∈ �
5) ( )2 3 sin2 3 sin cos2 3 cosx x x x+ − = +
Phương trình đã cho tương đương với:
3 1 3 1
1 .sin2 cos2 3 sin cos 02 2 2 2
x x x x
+ − − + = 1 cos 2 3 sin 0
3 6x xπ π
⇔ − + − + =
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 28
(loai)2 32 sin 3 sin 0 sin 0; sin
6 6 6 6 2x x x xπ π π π
⇔ + − + = ⇔ + = + =
Với sin 0 , .6 6
x x k kπ π
π
+ = ⇒ = − + ∈ �
7) 2
2
1 sin 2 cos2cos (sin 2 2 cos )
1 tan
x xx x x
x
+ −= +
+
Điều kiện: cosx ≠ 0.
Biến đổi PT về:
cos2x(1 + sin2x − cos2x) = cos2x (2sinx + 2cosx)
⇔ 1 + sin2x − cos2x = 2(sinx + cosx) ( vı cosx ≠ 0)
⇔ (sinx + cosx)2 – (cos2x − sin2x) − 2(sinx + cosx) = 0
⇔ (sinx + cosx)[sinx + cosx − (cosx − sinx) − 2] = 0
⇔ (sinx + cosx)(2sinx − 2) = 0 ⇔ sinx + cosx = 0 hoặc 2sinx − 2 = 0
⇔ tanx = − 1 hoặc sinx = 1 (không thỏa cosx = 0) ⇔ x = 4k
π
π− + , (k ∈ �)
8) ( )( )2 2tan 1 tan 2 3 sin 1 0x x x+ + − − =
Điều kiện cos 0x ≠
Phương trình viết lại 2
2
1 tan2 3 sin
1 tan
xx
x
−− =
+
os sin22 3 sin 2 2 3 sin 1 0x c x x x⇔ − = ⇔ − + =1
sin 1 ; sin2
x x⇔ = =
So sánh đ/k chọn 1
sin2
x = ( )5
2 ; 26 6
x k x k kπ π
π π⇔ = + = + ∈ �
9) 1
cos cos cos2 14 4 3
x x xπ π
− + + = − ⇔ ( )21
2cos .cos 2 cos 1 14 3
x xπ
= − −
⇔ osx 23 2 2 cos 4c x= − ⇔ 22 cos 3 2 cos 4 0x x− − =
⇔ )( )=02(cos 2 2 cos
2x x− +
2cos
2x⇔ =− ⇔
32
4x k
π
π= ± + .
10) cos2 5 2 2(2 cos )sin( )
4x x x
π
+ = − −
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 29
Phương trình ⇔ (cosx–sinx)2 – 4(cosx–sinx) – 5 = 0
cos sin 1
cos sin 5 ( cos sin 2)
x x
x x loai vi x x
− = −⇔ − = − ≤
2 sin 1 sin sin4 4 4
x xπ π π
⇔ − = ⇔ − =
2( )2
2
x kk Z
x k
π
π
π π
= +⇔ ∈= +
10)
( )3 2cos cos
2 1 sin .sin cos
x xx
x x
−= +
+
ĐK: sin cos 0x x+ ≠
Khi đó ( )( ) ( )( )21 sin cos 1 2 1 sin sin cosPT x x x x x⇔ − − = + +
( )( )1 sin 1 cos sin sin .cos 0x x x x x⇔ + + + + = ( )( )( )1 sin 1 cos 1 sin 0x x x⇔ + + + =
sin 1
cos 1
x
x
= −⇔ = −
(thoả mãn điều kiện) 2
22
x k
x m
π
π
π π
= − +⇔= +
( ),k m ∈ Z
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: 22
x kπ
π= − + và 2x mπ π= + ( ),k m ∈ Z
HT 8.Giải các phương trình sau:
1)
4 44 sin 4 cos ( ) 14 2
cos2
x x
x
π
+ − −=
2) 4 sin .sin( ) 5 3 sin 3(cos 2)
3 11 2 cos
x x x x
x
π
+ + + +=
−
3) ( )
( )2cos . cos 1
2 1 sinsin cos
x xx
x x
−= +
+ 4)
( )2 2
2
sin cos 2 sin 2sin sin 3
2 4 41 cot
x x xx x
x
π π + − = − − − +
5) ossin 2 12 (1)
sin cos 2. tan
xc x
x x x
+ =+
6) .tan2
sin( ) cos( )1 6 3(cos sin )
2 coscos
x xx
x xxx
π π
− + −− + =
7) 22 cos 2 3 sin cos 1 3(sin 3 cos )x x x x x+ + = +
8)
(1 sin 2 cos2 )sin( )14 sin (cos 1)
1 cot 2
x x x
x xx
π
− + += +
+
9)
( )2 2
2
sin cos 2 sin 2sin sin 3
2 4 41 cot
x x xx x
x
π π + − = − − − +
10)
( )2 2 3sin cos2 cos tan 1 2 sin 0x x x x x+ − + =
Bài giải
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 30
1)
4 44 sin 4 cos ( ) 14 2
cos2
x x
x
π
+ − −= (1)
ĐK: os x2 0 ( )4 2
c x k kπ π
≠ ⇔ ≠ + ∈ �
-2
2(1) (1 cos2 ) 1 cos(2 ) 1 2 cos22
x x xπ
⇔ − + + − =
x2 2(1 cos2 ) (1 sin 2 ) 1 2 cos2x x⇔ − + + − = +2 2 cos 2 2 sin 2 2 cos 2 2 cos 2 sin 2 1x x x x x⇔ − = ⇔ − =
os osx+ inx2 2 22( sin ) ( s ) 0c x x c⇔ − − =
cos sin 0(cos sin )(cos 3 sin ) 0 ( )4
cos 3 sin 0 arctan 3
x x x kx x x x k
x xx k
π
π
π
+ = = − + ⇔ + − = ⇔ ⇔ ∈ − = = +
�
Kết hợp với điều kiện phương trình đã cho có nghiệm là arctan 3 ( )x k kπ= + ∈ �
2) 4 sin .sin( ) 5 3 sin 3(cos 2)
3 11 2 cos
x x x x
x
π
+ + + +=
−
Điều kiện: 23
x kπ
π≠ ± +
21 2.cos(2 ) 5( 3 sin cos ) 5 0 4.sin ( ) 10 sin( ) 4 03 6 6
PT x x x x xπ π π
⇔ − + + + + = ⇔ + + + + =
(L)
sin( ) 1 / 2 26 32sin( ) 2 ( )
6
xx k
x kx VN
ππ
π
ππ π
+ = − = − + ⇔ ⇔ = ++ = −
Vậy, { }2S kπ π= +
3) ( )
( )2cos . cos 1
2 1 sinsin cos
x xx
x x
−= +
+
ĐK: 4
x kπ
π≠ − + .
PT ⇔ (1 sin )(1 sin )(cos 1) 2(1 sin )(sin cos )x x x x x x+ − − = + +
1 sin 0
sin cos sin cos 1 0
x
x x x x
+ =⇔ + + + = ( )( )1 sin 0
1 sin cos 1 0
x
x x
+ =⇔ + + =
222
x k
x k
π
π
π π
= − +⇔= +
( Thoả mãn điều kiện)
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 31
4) ( )
2 2
2
sin cos 2 sin 2sin sin 3
2 4 41 cot
x x xx x
x
π π + − = − − − +
.
Điều kiện xác định sin 0x ≠ hay ;x k kπ≠ ∈ Z .
Phương trình đã cho tương đương với
( ) ( )
( )
2cos2 sin2 sin 2 cos 2 sin cos 2 sin 1 04 4
3cos 2 0 8 2 ,4
2sin 1 02
x x x x x x x
kxx
k m Z
x mx
π π
π ππ
π
π
+ = − ⇔ − − = = + − = ⇔ ⇔ ∈ = +− =
So với điều kiện nghiệm của phương trình là ( )3
; 2 ; ,8 2 2
kx x m k m Z
π π π
π= + = + ∈
5)
ossin 2 12 (1)
sin cos 2. tan
xc x
x x x
+ =+
Điều kiện: sin 0, cos 0, sin cos 0.x x x x≠ ≠ + ≠
cos 2 sin cos(1) 2 cos 0
sin cos2 sin
x x xx
x xx
⇔ + − =+
2cos 2 cos0 cos sin( ) sin 2 0
sin cos 42 sin
x xx x x
x xx
π ⇔ − = ⇔ + − = +
+) Zcos 0 , .2
x x k kπ
π= ⇔ = + ∈
+) Z2 2 2
4 4sin2 sin( ) ,24
2 24 4 3
x x m x m
x x m nn
x x n x
π π
π ππ
π π π
π π
= + + = +
= + ⇔ ⇔ ∈
= − − + = +
Z2, .
4 3
tx tπ π
⇔ = + ∈
So sánh điều kiện, nghiệm của phương trình: 2
x kπ
π= + ; Z2, , .
4 3
tx k tπ π
= + ∈
6) .tan2
sin( ) cos( )1 6 3(cos sin )
2 coscos
x xx
x xxx
π π
− + −− + =
Điều kiện cos
cos 0
02
x
x
≠ ≠
.
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 32
Phương trình ⇔cos
2
2
2cos( ) cos( )
1 3 3(cos 2 sin )2 cos
x xx
xxx
π π
− + −− + =
cos cos2
2 2
2 cos( )cos1 1 3 sin2 6(cos 1 cos ) 1 tan 3 tan
cos cos
xx
x x x xx xx x
π π
−⇔ − + − = ⇔ − = ⇔ =
2tan 0
tan 3 tan 0 ( )tan 3
3
x kxx x k Z
x x k
π
π
π
= = − = ⇔ ⇔ ∈ = = +
Đối chiếu điều kiện ta thấy nghiệm của phương trình là
2
( )
3
x l
l Zx l
π
π
π
= ∈ = +
7) Giải phương trình 22 cos 2 3 sin cos 1 3(sin 3 cos )x x x x x+ + = + .
22 cos 2 3 sin cos 1 3(sin 3 cos )x x x x x+ + = + 2(sin 3 cos ) 3(sin 3 cos ) 0x x x x⇔ + − + =
sin 3 cos 0 sin 3 cos 3x x x x⇔ + = ∨ + = (1)
Phương trình sin 3 cos 3x x+ = vô nghiệm vì 2 2 21 ( 3) 3+ <
Nên (1) tan 33
x x kπ
π⇔ =− ⇔ =− + ( k ∈ � ). Vậy, PT có nghiệm là: 3
x kπ
π= − + ( k ∈ � ).
8) (1 sin 2 cos2 )sin( )
14 sin (cos 1)1 cot 2
x x x
x xx
π
− + += +
+
Đk : sin 0
cot 1
x
x
≠ ≠ −
pt � (1 sin 2 cos2 )(sin cos ) 1
.sin .(cos 1)sin cos 22.sin
x x x xx x
x x
x
− + += +
+
� 1 – sinx + 2 cos2x = cosx + 1 � sinx + cosx = 2 cos2x
� sinx + cosx = 2 (cosx + sinx)(cosx – sinx) � 2 (cosx – sinx) = 1
� 2cos4
xπ
+ = 1 � cos
4xπ
+ = cos
3
π
Kết hợp đk => nghiệm phương trình : x = 212
kπ
π+ hoặc x = 7
212
kπ
π− +
.
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 33
9) ( )
2 2
2
sin cos 2 sin 2sin sin 3
2 4 41 cot
x x xx x
x
π π + − = − − − +
Điều kiện: sin 0x ≠ (*). Khi đó:
Phương trình đã cho tương đương với: ( )in2 2s cos2 .sin 2 cos 2 .sin4
x x x x xπ + = −
( )cos 2 .sin cos 2 sin 1 .cos 2 04 4 4
x x x x xπ π π
⇔ − = − ⇔ − − =
+ sin 1 22
x x kπ
π= ⇔ = + ( )k ∈ � , thỏa (*) + 3
cos 2 04 8 2
kx xπ π π
− = ⇔ = + ( )k ∈ � , thỏa (*)
Vậy, phương trình có nghiệm: ( ) 32 ; .
2 8 2
kx k x kπ π π
π= + = + ∈ �
10) ( )2 2 3sin cos2 cos tan 1 2 sin 0x x x x x+ − + =
Điều kiện cos 0x ≠
( )2 2 3sin cos2 cos tan 1 2 sin 0x x x x x+ − + = ⇔ ( )2 2 3sin 1 2 sin 2 sin 1 2 sin 0x x x x− + − + =
2sin 1
52 sin sin 1 0 2 ; 2 ; 21
2 6 6sin2
x
x x x k x k x kx
π π π
π π π
= −⇔ + − = ⇔ ⇔ =− + = + = + =
.
Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm5
2 ; 26 6
S k kπ π
π π
= + +
HT 9.Giải các phương trình sau:
1)
2 sin 2 sin 3 cos 2 04
x x xπ
+ − − + =
2)
( )2
2
2
2 cos 3 sin2 33 tan 1
2cos .sin3
x xx
x xπ
+ += +
+
3) 43 4 cos2 8 sin 1
sin 2 cos2 sin 2
x x
x x x
− −=
+
4) 2 2 2 3sin sin sin 2 3 sin .cos
3 3 6 2x x x x x
π π π + − + + = + −
5) ( )2 23cot 2 2 sin 2 3 2 cos
02 sin 3
x x x
x
+ − +=
+
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 34
6)
inx inx inxcos (cos 2 s ) 3 s (s 2)1
sin2 1
x x
x
+ + +=
−
7)
1 sin 2cot 2 sin( )
sin cos 22
xx x
x x
π
+ = ++
8) 22 cos 2 3 sin cos 1
3 cos sin2 cos2
x x x
x xx
− += −
9) os2 2 27sin tan (3 ) 0.
2 4 2
x xx c
π
π
+ − − =
10) 3 3sin sin 3 cos .cos 3 1
8tan tan
6 3
x x x x
x xπ π
+=−
− +
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
Bài giải
1) 2 sin 2 sin 3 cos 2 04
x x xπ
+ − − + =
2 sin 2 sin 3 cos 2 04
x x xπ
+ − − + = ⇔ sin 2 cos 2 sin 3 cos 2 0x x x x+ − − + =
⇔22 sin cos sin 2 cos 3 cos 1 0x x x x x− + − + = ⇔ ( ) ( )( )sin 2 cos 1 cos 1 2 cos 1 0x x x x− + − − =
⇔( )( )2 cos 1 sin cos 1 0x x x− + − = ⇔1
cos2
x = ,1
sin4 2
xπ
+ =
Nghiệm phương trình: 23
x kπ
π= ± + , 2x k π= , 22
x kπ
π= +
2) ( )2
2
2
2 cos 3 sin2 33 tan 1
2cos .sin3
x xx
x xπ
+ += +
+
.
Điều kiện:
cos 02
sin 03
3
x x k
xx k
π
π
π
π
π
≠ ≠ + ⇔ + ≠ ≠ − +
( )k Z∈ (*).
Khi đó:Phương trình đã cho tương đương với: 2
2
3cos2 3 sin 2 4 2 cos sin
3 cosx x x x
x
π + + = +
cos2 .cos sin 2 .sin 2 3 sin3 3 3
x x xπ π π
⇔ + + = +
2cos 2 3 sin 2 0 2 cos 3 cos 1 03 3 6 6
x x x xπ π π π
⇔ − − + + = ⇔ − − − + =
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 35
⇔ cos 16
xπ
− = ,
1cos
6 2xπ
− =
Với cos 1 2 26 6 6
x x k x kπ π π
π π
− = ⇔ − = ⇔ = + ( )k ∈ � , thỏa (*)
Với 21 6 3cos 2
6 2 62
6 3
x k
x x k
x k
π π
ππ π
π
π π
π
− = + − = ⇔ ⇒ = − + − = − +
( )k ∈ � , thỏa (*)
Vậy, phương trình có nghiệm: ( ) 2 .6
x k kπ
π= ± + ∈ �
3) 43 4 cos2 8 sin 1
sin 2 cos2 sin 2
x x
x x x
− −=
+
Điều kiện: ( )sin 2 cos2 0
8 2sin2 0
2
x lx xl
xx l
π π
π
≠ − + + ≠ ⇔ ∈ ≠ ≠
Z
Ta có:
24 1 cos2
8 sin 8 3 4 cos2 cos 42
xx x x
− = = = − + �
Phương trình ( )3 4 cos2 3 4 cos2 cos 4 1
sin2 cos2 sin 2
x x x
x x x
− − − +⇔ =
+
( )cos 4 1
sin2 cos2 0, sin2 0sin2 cos2 sin2
xdo x x x
x x x
−⇔ = + ≠ ≠
+
( ) ( )1
cos2 sin2 cos2 sin2 cos2 0sin2
x x x x xx
⇔ − − = ⇔ + =
( ) ( )cos2 0 sin2 cos2 0 22 4 2
x x x loai x k x k kπ π π
π⇔ = ∨ + = ⇔ = + ⇔ = + ∈ �
Vậy nghiệm của phương trình: ( )4 2
x k kπ π
= + ∈ Z
4) 2 2 2 3sin sin sin 2 3 sin .cos
3 3 6 2x x x x x
π π π + − + + = + −
Ta co 2 2 2 3sin sin sin 2 3 sin .cos
3 3 6 2x x x x x
π π π + − + + = + −
( )2 2
1 cos2 1 cos 2 1 cos 23 3 3
3 3 sin cos cos2 2
x x x
x x x
π π − + − − + + −
⇔ = + −
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 36
2
23 cos2 2 cos cos2
33 3 sin cos 3 cos2 2
x x
x x x
π
− −⇔ = + − ( )23 3 sin2 3 2 cos 1x x⇔ = + −
3 sin2 cos2 3x x⇔ + =3 1 3
sin 2 . cos2 . sin 2 sin2 2 2 6 3
x x xπ π
⇔ + = ⇔ + =
( )2 2
6 3 12
2 26 3 4
x k x k
k
x k x k
π π π
π π
π π π
π π π
+ = + = +
⇔ ⇔ ∈
+ = − + = +
�
5)
( )2 23cot 2 2 sin 2 3 2 cos0
2 sin 3
x x x
x
+ − +=
+
Điều kiện: cosx ≠0,
3sin
2x ≠ −
Khi đó pt đã cho ( ) ( )2 23 cot 3 2 cos 2 2 sin 2 cos 0x x x x⇔ − + − =
( ) ( )( )2 2 2
2
cos3 cos 2 2 2 sin cos 0 3 cos 2 sin 2 sin cos 0
sin
xx x x x x x x
x
⇔ − + − = ⇔ − − =
2 2)cos 2 sin 0 2 cos cos 2 0x x x x+ − = ⇔ + − =
( )1
cos 2 , cos 242
x L x x kπ
π= − = ⇔ = ± +
2 2)3 cos 2 sin 0 2 cos 3 cos 2 0x x x x+ − = ⇔ + − =
( )1
cos 2 , cos 22 3
x L x x kπ
π⇔ =− = ⇔ = ± + .
Đối chiếu với đ/k bài toán thì pt chỉ có 3 họ nghiệm:. 2 , 2 ,4 3
x k x k kπ π
π π= ± + = + ∈ �
6) inx inx inxcos (cos 2 s ) 3 s (s 2)
1sin2 1
x x
x
+ + +=
−
Điều kiện: sin2x ≠ 1.
Pt ⇔ 2 2cos 2 sin cos 3 sin 3 2 sin sin2 1x x x x x x+ + + = − ⇔ 22 sin 3 2 sin 2 0x x+ + =
⇔
2sin
2sin 2
x
x
− = = −
⇔ 2
45
24
x k
x k
π
π
π
π
= − += +
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm: 24
x kπ
π= − + .
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 37
7) 1 sin 2cot 2 sin( )
sin cos 22
xx x
x x
π
+ = ++
Điều kiện: sin 0, sin cos 0.x x x≠ + ≠
PT: cos 2 sin cos
2 cos 0sin cos2 sin
x x xx
x xx
+ − =+
2cos 2 cos0 cos sin( ) sin 2 0
sin cos 42 sin
x xx x x
x xx
π ⇔ − = ⇔ + − = +
+) Zcos 0 , .2
x x k kπ
π= ⇔ = + ∈
+) Z2 2 2
4 4sin2 sin( ) ,24
2 24 4 3
x x m x m
x x m nn
x x n x
π π
π ππ
π π π
π π
= + + = +
= + ⇔ ⇔ ∈
= − − + = +
Z2, .
4 3
tx tπ π
⇔ = + ∈
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của pt là : 2
x kπ
π= + ; Z2, , .
4 3
tx k tπ π
= + ∈
8)
22 cos 2 3 sin cos 13 cos sin
2 cos2
x x x
x xx
− += −
Điều kiện: cos2x ≠ 0 (*)
Pt đã cho
2 23 cos 2 3 sin cos sin
2 cos2
x x x x
x
− +⇔ = 3 cos sinx x−
2( 3 cos sin ) 2 cos2x x x⇔ − = ( 3 cos sinx x− )
⇔3 cos sin 0
2cos2 3 cos sin
x x
x x x
− =⇔
= −
tan 3
cos2 cos( )6
x
x xπ
=
= +
32
2 ,6 18 3
x k
x k x k
π
π
π π π
π
= +
⇔ = + =− +
Các nghiệm đều TMĐK ( *) nên phương trình đã cho có 3 họ nghiệm:
2
, 2 , ( )3 6 18 3
x k x k x k k Zπ π π π
π π= + = + =− + ∈ .
9) os2 2 27sin tan (3 ) 0.
2 4 2
x xx c
π
π
+ − − =
Đ/k: cos 0x ≠
Pt đã cho
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 38
( )
( )( ) ( )( ) ( )( )( )
( )
os osos
inx inx inx
inx
anx
22 2 2
2
2 2
1 sin 1sin tan 0 1 1 cos 0
2 4 2 2 2 2
1 s 1 cos 1 cos 1 sin 0 1 s 1 cos s cos 0
s 1 2 1cos 1
t 1 4
x x xx c c x x
c x
x x x x x
loai x k
x k
x k
π π
π
π
π
⇔ − − = ⇔ − − − + =
⇔ − − − + − = ⇔ − + + =
= = + ⇔ = − ⇔ = − + = −
Z∈
10) 3 3sin sin 3 cos .cos 3 1
8tan tan
6 3
x x x x
x xπ π
+=−
− +
Điều kiện:6 2
kxπ π
≠ +
Ta có tan tan tan cot 16 3 6 6
x x x xπ π π π
− + = − − + = −
Phương trình tương đương với: 3 3 1sin sin 3 cos cos 3
8x x x x+ =
1 cos2 cos2 cos 4 1 cos2 cos2 cos 4 1. .
2 2 2 2 8
x x x x x x− − + +⇔ + =
12(cos2 cos2 .cos 4 )
2x x x⇔ − =
3 1 1cos cos2
8 2x x⇔ = ⇔ =
6x k
π
π= − + và 6
x kπ
π= + ( loại)
Vậy : 6
x kπ
π= − +
HT 10.Giải các phương trình sau:
1) sin 3 sin 2 sin 1 cos 3 cos 2 cos .x x x x x x+ + + = + −
2) 2(tan 1)sin cos2 2 3(cos sin )sin .x x x x x x+ + + = +
3) 5
2.cos 5 sin( 2 ) sin 2 .cot3 .2
x x x xπ
π
− + = +
4)
3 3 176 2 sin 2 8 cos 3 2 cos( 4 )cos2
2 16cos
x x x x
x
π
+ + −=
5) cot 3 42( 3)
2 sin2cosx
xx
+ = +
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 39
6) os2 2 sin 1 2 sin cos2 0c x x x x+ − − =
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
Bài giải
1) sin 3 sin 2 sin 1 cos 3 cos 2 cos .x x x x x x+ + + = + −
22 sin2 cos 2 sin cos 2 sin 2 sin2 cosx x x x x x x⇔ + + =−
sin2 (cos sin ) sin (cos sin ) 0x x x x x x⇔ + + + =
sin (2 cos 1)(cos sin ) 0.x x x x⇔ + + =
Từ đó ta có các trường hợp sau
*) sin 0 ,x x k k Zπ= ⇔ = ∈
*) 1 2
2 cos 1 0 cos 2 ,2 3
x x x k k Zπ
π+ = ⇔ =− ⇔ = ± + ∈
*) cos sin 0 ,4
x x x k k Zπ
π+ = ⇔ =− + ∈
Vậy phương trình đã cho có nghiệm 2
, 2 , ,3 4
x k x k x k k Zπ π
π π π= = ± + =− + ∈
2) 2(tan 1)sin cos2 2 3(cos sin )sin .x x x x x x+ + + = +
Điều kiện: cos 0,x ≠ hay .2
x kπ
π≠ +
Khi đó phương trình đã cho tương đương với
2 2(tan 1)sin 1 2 sin 2 3(cos sin )sinx x x x x x+ + − + = +
2 2(tan 1)sin 3 3(cos sin )sin 6 sinx x x x x x⇔ − + = − +
2
2
2 2
(tan 1)sin 3 cos2 3(cos sin )sin
(tan 1)sin 3(cos sin )cos 0
(sin cos )(sin 3 cos ) 0 (sin cos )(2 cos2 1) 0
x x x x x x
x x x x x
x x x x x x x
⇔ − + = −
⇔ − + − =
⇔ − − = ⇔ − + =
1sin cos , cos2 , ,
2 4 3x x x x k x k k
π π
π π⇔ = = − ⇔ = + = ± + ∈�
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm , ,4 3
x k x k kπ π
π π= + = ± + ∈�
3) 5
2.cos 5 sin( 2 ) sin 2 .cot3 .2
x x x xπ
π
− + = +
ĐK: sin 3 0x ≠
pt ⇔ cos2 5 sin2 cos2 .cot3x x x x+ =
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 40
⇔ cos2 5 sin 3 sin2 cos 3 cos2 .cos 3x x x x x x+ =
⇔ cos cos2 5 sin 3 5 0x x x− = ⇔ cos5 ( 2 sin 3 1) 0x x − =
+) 1
sin 3 02
x = ≠ (t/m đk) ⇔
2
12 32
4 3
kx
kx
π π
π π
= += +
+) cos5 0x = ⇔ 10 5
kx
π π
= + t/m đk
4)
3 3 176 2 sin 2 8 cos 3 2 cos( 4 )cos2
2 16cos
x x x x
x
π
+ + −= với
5( ; )2 2
xπ π
∈
Ta có: cos 02
x x kπ
π≠ ⇔ ≠ +
Với đk pt(1) ⇔ ( )3 2 28 cos 6 2 sin 2 sin 2 cos 2 16 cosx x x x x+ + =
34 cos 3 2 sin2 8 cosx x x⇔ + = 2(2 cos 3 2 sin 4) 0x x⇔ + − =
22sin 3 2 sin 2 0x x⇔ − + = ( )3
2 , 24 4
x k x k kπ π
π π⇔ = + = + ∈ �
Vậy phương trình đă cho có 2 nghiệm 5
( ; )2 2
xπ π
∈ là 3 9;4 4
x xπ π
= =
5)
cot 3 42( 3)
2 sin2cosx
xx
+ = +
Đieu kien sin2 02
kx x
π
≠ ⇔ ≠ .
Ta co ( )tan cot 423 1 2 3 2sin2
x xx
+ + − =
tan cotg 2 22(sin cos )23 3 2sin cos
x xx x
x x
+⇔ + − =
tan tan 23 2 3 0x x⇔ + − =
tan 3x =−3
x kπ
π⇔ =− + tan 1
3x =
6x kπ
π⇔ = +
6) Giải phương trình: os2 2 sin 1 2 sin cos2 0c x x x x+ − − = (1)
( ) ( ) ( ) ( )( )os os1 2 1 2 sin 1 2 sin 0 2 1 1 2 sin 0c x x x c x x⇔ − − − = ⇔ − − =
Khi cos2x = 1<=> x kπ= , k Z∈
Khi 1
sin2
x = ⇔ 26
x kπ
π= + hoặc 5
26
x kπ
π= + , k Z∈
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 41
Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô và các bạn học sinh đã đọc tài liệu này!
Mọi sự góp ý xin gửi về: [email protected]
Toàn bộ tài liệu ôn thi môn toán của Lưu Huy Thưởng ở địa chỉ sau:
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com