tuzla, januara 2016. godine 1
TRANSCRIPT
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
1
Tuzla, januara 2016. godine
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
2
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
Godina 2016.
Izdavaฤ:
Pedagoลกki zavod Tuzlanskog kantona
Bosne srebrene br. 119.
75 000 Tuzla
www.pztz.ba
Za izdavaฤa:
Mr.sc. Nikola ฤiฤa, direktor Zavoda
Urednici:
Dr.sc. Hariz Agiฤ, Savjetnik za obrazovanje u PZTK i
Edis ฤatibuลกiฤ, profesor matematike
Objavljeno na: www.pztz.ba
U izradi zbirke uฤestvovali su nastavnici:
Sanela Buljubaลกiฤ, Prva osnovna ลกkola Srebrenik, Olgica Beลกiฤ, Oล โBukinjeโ, Suada Mehiฤ,
Oล โGnojnicaโ, Admira Ahmetoviฤ, Oล โSlavinoviฤiโ, Emira Ljubunฤiฤ, Oล โSafvet-beg
Baลกagiฤโ, Jasmina ล ariฤ i Sokoljak Saida, Oล โSimin Hanโ, Amira Koriฤ, Oล โMramorโ,
Munira Jahiฤ, Oล โNovi Gradโ, Haida Ahmetoviฤ, Oล โล eriฤiโ, Aida Dลพananoviฤ, Oล
โOrahovicaโ, Mara Keลกina, Oล โSolinaโ, Fata Husejnoviฤ, Oล โฤeliฤโ, Kurtaliฤ Alma, Oล
โKrekaโ, Amra Meลกiฤ i Enesa Devedลพiฤ, Druga osnovna ลกkola Graฤanica, Hajrija
Salkanoviฤ, Behida Malkiฤ, Nermina Isoviฤ i ล emsa Begiฤ , Oล โTuลกanjโ, Jasmina Hodลพiฤ i
Edin Mrkanoviฤ , Oล โBrijesnicaโ, Amela Salkiฤ, Suada Beฤiroviฤ, Fahrudin Beลกiฤ , Oล
โPuraฤiฤโ, Amra Bektiฤ, Samir Dลพananoviฤ i Elvir Mujiฤ, Oล โHasan Kikiฤโ Graฤanica,
Elvira Muratoviฤ, Enesa Smajlbegoviฤ i Bilal Softiฤ, Oล โKlokotnicaโ, Amra ฤidiฤ i Nedลพad
Udvinฤiฤ, Oล โZelinja Donjaโ, Ajiลกa Nakiฤeviฤ i Senad Avdiฤ, Oล โTeoฤakโ, Almir
Ljubunฤiฤ, Oล โRapatnicaโ, Mirnes Poljakoviฤ, Oล โSapnaโ, Nihad Zaketoviฤ, Oล
โDลพakuleโ, Mirsad Mehmediฤ, Oล โCentarโ, Hasan Smajiฤ, Oล โMaleลกiฤiโ, Damir Krdลพiฤ i
Salim Kovaฤ, Oล โSladnaโ, Edin Gostevฤiฤ, Oล โPodrinjeโ Mihatoviฤi, Asim Imamoviฤ,
Oล โKalesijaโ, Asim Krnjiฤ, Oล โGnojnicaโ, Emir Hoziฤ, Druga osnovna ลกkola Srebrenik,
Ferid Nukiฤ i Omer Brkiฤ, Oล โPoljiceโ, Mujo Ramiฤ, Muhamed ล migaloviฤ i Nermin
Avdiฤ, Druga snovna ลกkola ลฝivinice, Nermina Dลพaniฤ, Mirza Udvinฤiฤ, Selmir Kariฤ i Rasim
Dugiฤ, Oล โIvan Goran Kovaฤiฤโ Gradaฤac, Edis ฤatibuลกiฤ, Oล โฤeliฤโ.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
3
Uvodne rijeฤi
Poลกtovani uฤenici i uฤenice,
uvaลพene kolege/ce nastavnici i nastavnice,
pred nama je Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za
takmiฤenje. Ideja oko izdavanja ove zbirke se provlaฤi kroz aktivnosti Pedagoลกkog zavoda TK
i Udruลพenja matematiฤara TK, partnera Pedagoลกkog zavoda TK u organizaciji i izvoฤenju
takmiฤenja uฤenika osnovnih i srednjih ลกkola iz matematike.
Poznato je da postojeฤe zbirke zadataka i udลพbenici ne odgovaraju, u potpunosti, potrebama
uฤenika za kvalitetnije pripremanje za takmiฤenje, naroฤito na niลพim nivoima.
Sa druge strane, na trลพiลกtu postoje publikacije i zbirke, uglavnom, veฤ viฤenih zadataka na
zvaniฤnim takmiฤenjima, kako na naลกem Kantonu, tako i u zemljama u okruลพenju, koji ne
obezbjeฤuju fond zadataka sa postepenim uvoฤenjem matematiฤkih vjeลกtina, od prostog ka
sloลพenom.
Zato je zakljuฤeno, da nedostaje materijal za pripremu takmiฤenja, kako rekosmo, na niลพim
nivoima, npr. ลกkolskim, opฤinskim, a djelimiฤno i kantonalnim, koji bi trebao sadrลพavati
zadatke umjerene sloลพenosti, ฤije rjeลกavanje bi efikasnije premostilo jaz izmeฤu redovne i
dodatne nastave matematike i jednog ozbiljnijeg pristupa pripremanja za takmiฤenje.
Ideja je potekla u Udruลพenju matematiฤara TK, jer se iz iskustva znalo da su uฤenici bili
nezadovoljni sa konceptom zadavanja takmiฤarskih zadataka, koji su ponekad veฤinu njih
znali iznenaditi svojom sloลพenoลกฤu. Preovladalo je miลกljenje da u ovom procesu trebaju
uฤestvovati svi nastavnici matematike, jer oni rade direktno sa svojim uฤenicima na pripremi
za takmiฤenje. Svaki od njih je poslao zadatke, koji su primjereni njihovim uฤenicima, sa
rjeลกenjima i uputama za rjeลกavanje zadataka.
U nekim ลกkolama, na prijedlozima zadataka, su radili i uฤenici, veฤ poznati takmiฤari.
Koristimo priliku da im se zahvalimo na njihovom trudu.
Zadaci su svrstani po razredima i oblastima sa rjeลกenjima ili kratkim uputama. U prilog ove
zbirke smo postavili i sve formule i matematiฤke simbole iz gradiva matematike za osnovne
ลกkole, da se uฤenicima naฤu na dohvat ruke u eventualnoj, praktiฤnoj primjeni.
Koristimo priliku da se zahvalimo svim nastavnicima i uฤenicima, koji su uฤestvovali u izradi
prijedloga zadataka, koji sadrลพe mnoลกtvo matematiฤkih ideja. Nadamo se da ฤe ovaj materijal
dobro doฤi uฤenicima i nastavnicima u kvalitetnijoj pripremi za takmiฤenje uฤenika osnovnih
ลกkola iz matematike.
Molimo sve korisnike ove zbirke da svojim sugestijama i ispravkama eventualnih greลกaka,
poboljลกaju kvalitet ove Zbirke zadataka.
Iz Pedagoลกkog zavoda TK
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
4
Sadrลพaj
Uvodne rijeฤi ........................................................................................................................................... 3
Sadrลพaj ..................................................................................................................................................... 4
Zadaci za ลกesti razred .............................................................................................................................. 5
Skupovi................................................................................................................................................ 6
Uglovi ................................................................................................................................................ 12
Skup prirodnih brojeva ...................................................................................................................... 22
Djeljivost u skupu prirodnih brojeva ................................................................................................. 38
Razlomci ............................................................................................................................................ 45
Zadaci za sedmi razred .......................................................................................................................... 52
Cijeli brojevi ...................................................................................................................................... 53
Racionalni brojevi ............................................................................................................................. 62
Trougao ............................................................................................................................................. 74
Zadaci za osmi razred ............................................................................................................................ 84
Kvadriranje i korjenovanje ................................................................................................................ 85
Procentni raฤun .................................................................................................................................. 97
Cijeli racionalni izrazi ..................................................................................................................... 107
Pitagorina teorema ........................................................................................................................... 117
Trougao, ฤetverougao i mnogougao ................................................................................................ 130
Proporcionalnost .............................................................................................................................. 135
Koordinatni sistem .......................................................................................................................... 144
Zadaci za deveti razred ........................................................................................................................ 145
Algebarski izrazi ............................................................................................................................. 146
Linearna funkcija ............................................................................................................................. 148
Jednadลพbe ........................................................................................................................................ 159
Sistemi linearnih jednaฤina ............................................................................................................. 174
Nejednakosti i nejednadลพbe ............................................................................................................. 182
Prosti i sloลพeni brojevi. Djeljivost ................................................................................................... 185
Trougao i ฤetverougao. Mnogougao ............................................................................................... 188
Racionalni izrazi .............................................................................................................................. 193
Analitiฤka geometrija. Mnogougao ................................................................................................. 197
Simboli. Formule ................................................................................................................................. 199
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
5
Zadaci za ลกesti razred
Skupovi
Uglovi
Skup prirodnih brojeva
Djeljivost u skupu prirodnih brojeva
Razlomci
Svaki djelilac proizvoljnog broja ๐, razliฤit od samog broja ๐, nazivamo pravi djelilac
broja ๐. Pravi djelioci broja 6 su brojevi 1, 2 i 3. Njihov zbir je 1 + 2 + 3 = 6. Dakle, broj 6
je jednak zbiru svojih pravih djelilaca. To svojstvo ima i broj 28, ฤiji su pravi djelioci brojevi
1, 2, 4, 7 i 14, pa je 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
Brojevi sa ovakvom osobinom nazivamo savrลกenim brojevima. Slijedeฤi savrลกeni
brojevi su 496 i 8128. Savrลกeni broj 8128 bio je poznat Nikomahu1. Fibonaฤi
2 je za
odreฤivanje savrลกenih brojeva koristio izraz
1
2โ 2๐(2๐ โ 1)
gdje je ๐ prost broj. Za ๐ โ {2, 3, 5, 7}, a koristeฤi prethodnu formulu dobijamo slijedeฤe
savrลกene brojeve: 6, 28, 469, 8128. Peti savrลกeni broj 33550336 pronaลกao je
Regiomontanus3. ล esti savrลกeni broj je 8589056, sedmi savrลกeni broj je 137438691328,
osmi savrลกeni broj je 2305843008139952128, ... Do kraja 2013. godine poznato je 48
savrลกenih brojeva i svi su parni. Posljednji i najveฤi savrลกeni broj pronaฤen je 2013. godine i
zapisuje se pomoฤu 34850340 cifara.
1 Nikomah (starogrฤki: ฮฮนฮบฯฮผฮฑฯฮฟฯ แฝ ฮฮตฯฮฑฯฮญฮฝฮฟฯ; 60. โ 120. g. n. e.) bio je starogrฤki matematiฤar i filozof. U svojoj uticajnoj knjizi โUvod u
aritmetikuโ po prvi put u povijesti grฤke matematike aritmetiku je postavio nezavisnom od geometrije. 2 Leonardo od Pise, poznat kao Leonardo Bonacci ili Leonardo Fibonacci je talijanski matematiฤar koji je ลพivio u periodu oko 1170. โ 1250. godine. Bio je jedan od najtalentiranijih matematiฤara srednjeg vijeka. Najpoznatiji je po tome ลกto je raลกirio upotrebu arapskih cifara u
Evropi, te po nizu Fibonaccijevih brojeva. 3 Johannes Mรผller Regiomontanus je njemaฤki matematiฤar, astronom, astrolog i prevoditelj. ลฝivio je u periodu 1436. โ 1476. godine. Najvaลพnija su mu djela: โO bilo kojim trokutimaโ, โTabele kretanja planetaโ, โOblik nebaโ.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
6
Skupovi
1. Od 1100 uฤenika, 470 se bavi skijanjem, 250 plivanjem, a 542 uฤenika se ne bavi ovim
sportovima. Koliko uฤenika se bavi sa oba sporta?
Rjeลกenje:
Broj uฤenika koji se bavi sportom je 1100 โ 542 = 558. A broj uฤenika koji se bavi sa oba
sporta je (250 + 470) โ 558 = 720 โ 558 = 162
2. Skup ๐ด ima 22 elementa, skup ๐ต 17. Ako skup ๐ด โช ๐ต ima 25 elemenata, koliko elemenata
ima skup ๐ด โ ๐ต i skup ๐ด โฉ ๐ต?
Rjeลกenje:
Skup ๐ด โฉ ๐ต = (๐ด + ๐ต) โ (๐ด โช ๐ต) = 22 + 17 โ 25 = 14 elemenata.
Skup ๐ด โ ๐ต = ๐ด โ (๐ด โฉ ๐ต) = 22 โ 14 = 8 elemenata.
3. Koliko je bilo ukupno uฤesnika na jednom savjetovanju ako svaki od njih govori bar jedan
od tri strana jezika i to:
2 uฤesnika govore francuski, engleski i njemaฤki,
9 uฤesnika govori samo francuski i engleski,
13 uฤesnika govori francuski i njemaฤki,
12 uฤesnika govori njemaฤki i engleski,
29 uฤesnika govori engleski,
6 uฤesnika govori samo francuski, 7 uฤesnika govori samo njemaฤki.
Rjeลกenje:
Zadatak rjeลกavamo pomoฤu Venovog dijagrama: Ukupno 53 uฤesnika.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
7
4. Neka je ๐ skup slova koja ฤine rijeฤ matematika, a ๐ skup slova koja ฤine rijeฤ takmiฤenje.
Koliko se dvoฤlanih skupova moลพe naฤiniti od elemenata skupa ๐ โฉ ๐?
Rjeลกenje:
Odredimo elemente skupa ๐ = {๐, ๐, ๐ก, ๐, ๐, ๐} i elemente skupa ๐ = {๐ก, ๐, ๐, ๐, ๐, ฤ, ๐,
๐๐}. Elementi skupa ๐ โฉ ๐ = {๐, ๐, ๐ก, ๐, ๐, ๐}. Svi dvoฤlani skupovi koji se mogu naฤiniti od
elemenata skupa ๐ โฉ ๐ su: {๐, ๐}, {๐, ๐ก}, {๐, ๐}, {๐, ๐}, {๐, ๐}, {๐, ๐ก}, {๐, ๐}, {๐, ๐}, {๐, ๐}, ,
{๐ก, ๐}, {๐ก, ๐}, {๐ก, ๐}, {๐, ๐}, {๐, ๐}.
Ukupno 14 dvoฤlanih skupova.
5. Od uฤenika jednog razreda svaki od njih voli bar jedno od ova tri voฤa: banana, groลพฤe,
kruลกke. Njih 21 voli banane, 11 banane i groลพฤe, 16 groลพฤe, 2 sve tri vrste voฤa, a 14 kruลกke.
Koliko uฤenika ima u razredu i koliko od njih voli taฤno dvije vrste voฤa?
Rjeลกenje:
Prema tekstu zadatka imamo Venov dijagram:
Razred ima 38 uฤenika, a njih taฤno 9 voli dvije vrste voฤa.
6. Osjenฤi dio dijagrama koji odgovara skupovnim operacijama (๐ด โ ๐ต) โช (๐ต โฉ ๐ถ).
Rjeลกenje:
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
8
7. Svi uฤenici jednog odjeljenja Prve Oล Srebrenik uฤestvuju u radu bar jedne od sekcija:
odbojkaลกke, matematiฤke ili historijske. U sve tri sekcije uฤlanjena su tri uฤenika, u samo po
dvije sekcije ukljuฤena su po ฤetri uฤenika, a u samo jednu sekciju uฤlanjeno je po pet
uฤenika. Koliko uฤenika ima u odjeljenju? Koliko uฤenika je u odbojkaลกkoj, koliko u
matematiฤkoj, a koliko u historijskoj sekciji?
Rjeลกenje:
๐ = {๐ฅ|๐ฅ ๐ ๐ข ๐ขฤ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ลก๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐}
๐ = {๐ฅ|๐ฅ ๐ ๐ข ๐ขฤ๐๐๐๐๐ ๐๐๐ก๐๐๐๐ก๐ฤ๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐}
๐ป = {๐ฅ|๐ฅ ๐ ๐ข ๐ขฤ๐๐๐๐๐ โ๐๐ ๐ก๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐}
๐(๐ โฉ๐ โฉ ๐ป) = 3
๐(๐ โฉ๐) = 4
๐(๐ โฉ ๐ป) = 4
๐(๐ โฉ ๐ป) = 4
๐(๐ โ (๐ โช ๐ป)) = 5
๐(๐ โ (๐ โช ๐ป)) = 5
๐(๐ป โ (๐ โช ๐)) = 5
๐(๐ โช๐ โช ๐ป) =?
๐(๐) =?
๐(๐) =?
๐(๐ป) =?
๐(๐ป) = 5 + 4 + 4 + 3 = 16
๐(๐) = 5 + 4 + 4 + 3 = 16
๐(๐) = 5 + 4 + 4 + 3 = 16
๐(๐๐๐๐๐ป) = 3 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 5 = 30
U razredu je ukupno 30 uฤenika, a u svaku od sekcija ukljuฤeno je po 16 uฤenika.
8. Dati su skupovi: A = {๐ฅ โ โ|250 โค ๐ฅ < 300 i ๐ฅ djeljiv sa 6} i ๐ต = {๐ฆ โ โ|250 โค ๐ฆ โค 300 i ๐ฆ djeljiv sa 9}. Odredi najveฤu moguฤu razliku dva broja iz
skupa ๐ด โฉ ๐ต. Rjeลกenje:
๐ด = {252, 258, 264, 270, 276, 282, 288, 292}, ๐ต = {252, 261, 270, 279, 288, 297} ๐ด โฉ ๐ต = {252, 270, 288}. Najveฤa moguฤa razlika se dobije oduzimanjem od najveฤeg najmanji element skupa ๐ด โฉ ๐ต, a
to je 288 โ 252 = 36.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
9
9. U ลกkoli ima 60 nastavnika. Od tog broja njih 39 pije kafu, 28 pije ฤaj, 16 pije i ฤaj i kafu.
Ima li nastavnika koji ne pije ni ฤaj ni kafu ?
Rjeลกenje:
๐ โskup svih nastavnika
๐พ โskup nastavnika koji piju kafu
ฤ โskup nastavnika koji piju ฤaj
Nastavnici koji piju samo kafu: 39 โ 16 = 23
Nastavnici koji piju samo ฤaj: 28 โ 16 = 12
Nastavnici koji ne piju ni ฤaj ni kafu: 60 โ (23 + 16 + 12) = 60 โ 51 = 9
Dakle, 9 nastavnika ne pije ni ฤaj ni kafu.
10. U nekoj grupi uฤenika njih 20 vole sport, 9 muziku, a 6 muziku i sport. Odredi koliko ima
uฤenika u toj grupi, koliko onih koji vole samo sport , a koliko onih koji vole samo muziku?
(Koristi Venov dijagram! )
Rjeลกenje:
Ukupan broj uฤenika je 23. Samo sport voli 14 uฤenika, a samo muziku 3 uฤenika.
11. Odredi skup ๐ tako da vaลพi: a) {1, 2} โฉ ๐ = {1, 2, 3};
b) {1, 2} โช ๐ = {1, 2, 3};
c) {1, 2, 3} โฉ ๐ = {1, 2}.
Rjeลกenje:
a) Takav skup ne postoji.
b) Postoje ฤetiri rjeลกenja: ๐ = {3}, ๐ = {1, 3}, ๐ = {1, 2, 3}.
c) ๐ je bilo koji skup koji sadrลพi 1 i 2 i ne sadrลพi 3.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
10
12. Od 1050 uฤenika 870 se bavi skijanjem, 480 nogometom, a 65 uฤenika ne bavi se ovim
sportovima. Koliko se uฤenika bavi skijanjem i nogometom?
Rjeลกenje:
Broj uฤenika koji se bavi bar jednim od ova dva sporta je 1050 โ 65 = 985. Skup ๐
(skijanje) ima 870 uฤenika. Skup ๐ (nogomet) ima 480 uฤenika.
Oznaฤimo sa ๐ broj uฤenika koji se bave sa oba sporta
๐ = (870 + 480)โ 985 ๐ = 365
13. Dati su skupovi ๐ด = {1,2,3} i ๐ต = {3,4,5}. Odredi skup ๐ ako je ๐ด โช ๐ = ๐ด i
๐ต โฉ ๐ = ๐ด\(๐ด\๐ต). Koliko rjeลกenja ima zadatak?
Rjeลกenje:
Zadatak ima tri rjeลกenja: ๐ = {3}, ๐ = {2,3}, ๐ = {1,2,3}.
14. U jednoj ลกkoli ima 450 uฤenika. Sportom se ne bavi samo njih 20. Ostali igraju koลกarku,
odbojku ili fudbal. Koลกarku i odbojku igra 215 uฤenika, fudbal i odbojku igra 323 uฤenika.
Koliko uฤenika se bavi svakim od ovih sportova?
Rjeลกenje:
Fudbal: 215, Odbojka 108, Koลกarka 107
15. Koliko ima prirodnih brojeva manjih od 1000, koji nisu djeljivi ni sa 4 ni sa 6?
Rjeลกenje:
Napiลกimo elemente skupova:
๐ด = {1, 2, 3, โฆ , 998, 999}, skup koji sadrลพi brojeve manje od 1000
๐ต = {4, 8, 12,โฆ , 992, 996}, skup koji sadrลพi brojevedjeljive sa 4
๐ถ = {6, 12, 18,โฆ , 990, 996}, skup koji sadrลพi brojeve djeljive sa 6
๐ต โฉ ๐ถ = {12, 24, 36, โฆ , 984, 996}, skup koji sadrลพi brojeve djeljive sa 4 i sa 6
Kako je svaki ฤetvrti broj djeljiv sa 4, svaki ลกesti djeljiv sa 6 i svaki dvanaesti broj djeljiv sa
12 imamo:
999: 4 = 249 (3), ostatak dijeljenja Znaฤi: ๐(๐ด) = 999
999: 6 = 166 (3), ostatak dijeljenja ๐(๐ต) = 249
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
11
999: 12 = 83 (3), ostatak dijeljenja ๐(๐ถ) = 166
๐(๐ต โฉ ๐ถ) = 83
249 โ 83 = 166
166 โ 83 = 83
Traลพeni brojevi koji nisu djeljivi ni sa 4 ni sa 6 sadrลพi skup ๐ด\(๐ต๐๐ถ) i ima ih
999 โ (166 + 83 + 83) = 999 โ 332 = 667.
16. U jednoj ลกkoli 320 uฤenika ide na informatiฤku sekciju, a 124 na matematiฤku. 256
uฤenika ne ide ni na jednu od navedenih sekcija. Ako je u toj ลกkoli 600 uฤenika, koliko
uฤenika ide samo na matematiฤku i samo na informatiฤku sekciju?
Rjeลกenje:
600 โ 256 = 344320 + 124 = 444
} โน 444 โ 344 = 100
324 โ 100 = 224
124 โ 100 = 24
Na informatiฤku sekciju ide 224, a na matematiฤku sekciju 24 uฤenika.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
12
Uglovi
1. Zadane su prave ๐ด๐, ๐ต๐ i ๐ท๐ (kao na slici). Taฤka ๐ถ nalazi se na pravcu ๐ด๐. Ako je
โข๐ด๐๐ต = 136ยฐ, โข๐ต๐๐ท = 105ยฐ kolika je veliฤina ugla โข๐ถ๐๐ท?
Rjeลกenje:
Na pravoj ๐ต๐ odrediti taฤku ๐ธ, a na pravoj ๐ท๐ taฤku ๐น, pa je โข๐ท๐๐ธ = 180ยฐ โ 105ยฐ = 75ยฐ,
โข๐น๐๐ต = โข๐ท๐๐ธ = 75ยฐ, โข๐น๐๐ด = 136ยฐ โ 75ยฐ = 61ยฐ = โข๐ถ๐๐ท
2. Zbir komplementnog i suplementnog ugla ๐ผ iznosi 150ยฐ. Koliko iznosi ugao ๐ผ?
Rjeลกenje:
Prema tekstu zadatka imamo jednaฤinu: (90ยฐ โ ๐ผ) + (180ยฐ โ ๐ผ) = 150ยฐ โน ๐ผ = 60ยฐ.
3. Koliki je ugao ๐ผ ako je zbir njegovog komplementnog i suplementnog ugla 10๐ผ?
Rjeลกenje:
Prema tekstu zadatka formirajmo jednaฤinu, ฤije je rjeลกenje
(90ยฐ โ ๐ผ) + (180ยฐ โ ๐ผ) = 10๐ผ โน ๐ผ = 22ยฐ 30โฒ
4. Razlika dva suplementna ugla ๐ผ i ๐ฝ jednaka je uglu ๐ฝ. Izraฤunati uglove ๐ผ i ๐ฝ.
Rjeลกenje:
๐ผ + ๐ฝ = 180ยฐ, ๐ผโ๐ฝ = ๐ฝ โน ๐ผ = 2๐ฝ pa je ๐ฝ + 2๐ฝ = 180ยฐ iz ฤega slijedi ๐ฝ = 60ยฐ i
๐ผ = 120ยฐ
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
13
5. Zb i r u g l a ko j i j e k om pl em en t an u g l u ๐ผ i ugla koji je suplementan uglu
๐ผ tri puta je veฤi od ugla ๐ผ. Odredi ugao ๐ผ.
Rjeลกenje:
ฮฑ + ฮฒ = 90ยฐ, ฮฑ + ฮณ = 180ยฐ, ๐ฝ + ๐พ = 2๐ผ, 90ยฐ โ ฮฑ + 180ยฐ โ ฮฑ = 2ฮฑ, 5ฮฑ = 270ยฐ, ฮฑ = 54ยฐ
6. Uglovi ๐ผ i ๐ฝ su komplementni. Uglovi koji su suplementni sa ๐ผ i ๐ฝ razlikuju se za 13ยฐ 30โ . Odredi uglove ๐ผ i ๐ฝ.
Rjeลกenje:
ฮฑ + ฮฒ = 90ยฐ , ฮฑ + ฮณ = 180ยฐ, ฮฒ + ฮด = 180ยฐ, ฮณโ ฮด = 13ยฐ 30โฒ, ฮณ = ฮด + 13ยฐ 30โฒ ฮฑ + ฮด = 166ยฐ 30โฒ, ฮฑ = 166ยฐ 30โฒ โ ๐ฟ
๐ฝ = 180ยฐ โ ๐ฟ
166ยฐ 30โฒ โ ๐ฟ + 180ยฐ โ ๐ฟ = 90ยฐ 2๐ฟ = 256ยฐ 30โฒ ฮด = 128ยฐ 15โฒ ฮฑ = 38ยฐ 15โฒ ฮฒ = 51ยฐ 45โฒ
7. Uglovi ๐ผ i ๐ฝ su suplementni a uglovi ๐ฝ i ๐พ komplementni. Odrediti uglove ๐ผ, ๐ฝ i ๐พ ako je
ugao ๐ผ pet puta veฤi od ugla ๐พ.
Rjeลกenje:
ฮฑ + ฮฒ = 180ยฐ, ฮฒ + ฮณ = 90ยฐ, ๐ผ = 5๐พ. Iz datih jednakosti dobijemo ฮฒ = 90ยฐ โ ๐พ, dakle
5ฮณ + 90ยฐโ ฮณ = 180ยฐ โน ๐พ = 22ยฐ 30โฒ ฮฑ = 112ยฐ 30โฒ ฮฒ = 67ยฐ 30โฒ
8. Od dva ugla ฤiji je zbir 114ยฐ jedan je komplementan a drugi suplementan uglu ๐ผ.
Izraฤunati ugao ๐ผ.
Rjeลกenje:
Ugao koji je komplementan ๐ผ je 90ยฐ โ ๐ผ, a ugao koji je suplementan ๐ผ oznaฤavamo sa
180ยฐ โ ๐ผ. Zbir ta dva ugla je 114ยฐ. Imamo jednaฤinu ฤije je rjeลกenje
90ยฐ โ ๐ผ + 180ยฐ โ ๐ผ = 114ยฐ โน ๐ผ = 78ยฐ
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
14
9. Dvije prave se sijeku i obrazuju ฤetiri ugla. Odrediti te uglove ako je jedan od njih 11 puta
manji od zbira ostala tri ugla.
Rjeลกenje:
Uglovi ๐ผ i ๐พ su unakrsni i meฤusobno su jednaki, a takoฤer uglovi ๐ฝ i ๐ฟsu unakrsni i
meฤusobno jednaki. Neka je ugao ๐ผ najmanji. Prema tekstu zadatka moลพemo formirati
jednaฤinu: 11๐ผ = ๐ฝ + ๐พ + ๐ฟ, tj. 11๐ผ = 2๐ฝ + ๐ผ. Znamo joลก da je ๐ผ + ๐ฝ = 180ยฐ โน
๐ฝ = 180ยฐ โ ๐ผ. Uvrลกtavanjem poslednje jednakosti u jednaฤinu 11๐ผ = 2๐ฝ + ๐ผ imamo:
11๐ผ = 2 โ (180ยฐ โ ๐ผ) + ๐ผ โน ๐ผ = 30ยฐ, ๐ฝ = 150ยฐ, ๐พ = 30ยฐ, ๐ฟ = 150ยฐ
10. Razlika dva komplementna ugla je 1ยฐ 5โฒ. Kolike su veliฤine tih uglova?
Rjeลกenje:
Prema tekstu zadatka moลพemo formirati jednaฤine: ๐ผ + ๐ฝ = 90ยฐ
๐ผ โ ๐ฝ = 1ยฐ 5โฒ}. Iz druge jednadลพbe
dobijamo da je ๐ผ = ๐ฝ + 1ยฐ 5โฒ, odakle uvrลกtavanjem ove jednakosti u prvu jednadลพbu
dobijamo: ๐ฝ + 1ยฐ 5โฒ + ๐ฝ = 90ยฐ โน ๐ฝ = 44ยฐ 27โฒ30โฒโฒ. Onda ugao ๐ผ iznosi ๐ผ = 45ยฐ 32โฒ30โฒโฒ.
11. Koliki je ugao ๐ผ ako je njegov suplementni ugao za 30ยฐ veฤi od njegovog dvostrukog
komplementnog ugla?
Rjeลกenje:
Prema tekstu zadatka moลพemo formirati jednadลพbu:
180ยฐ โ ๐ผ = 2 โ (90ยฐ โ ๐ผ) + 30ยฐ โน ๐ผ = 30ยฐ
12. Ugao ๐ผ jednak je polovini svog suplementa. Odredi njegov komplement.
Rjeลกenje:
๐ผ = ๐ฝ โถ 2 ๐ผ = ๐ฝ: 2 โน ๐ฝ = 2 โ ๐ผ ๐ผ + ๐ฟ = 90ยฐ
๐ผ + ๐ฝ = 180ยฐ ๐ผ + ๐ฝ = 180ยฐ ๐ฟ = 90ยฐ โ 60ยฐ
๐ผ + ๐ฟ = 90ยฐ ๐ผ + 2๐ผ = 180ยฐ ๐ฟ = 30ยฐ
๐ฟ =? 3๐ผ = 180ยฐ
๐ผ = 60ยฐ
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
15
13. Ako se suplement ugla ๐ผ poveฤa za 18ยฐ dobije se isto kada se ugao ฮฑ poveฤa za 1
5 svoje
vrijednosti. Odredi komplement ugla ๐ผ.
Rjeลกenje:
(180ยฐ โ ๐ผ) + 18ยฐ = ๐ผ + 11
5๐ผ โ ๐ผ = 90ยฐ pa je komplement ugla ๐ผ = 40ยฐ 54โฒ 33โฒโฒ
14. Razlika dva suplementna ugla je 1ยฐ 2โฒ.
a) Koliki su ti uglovi?
b) Koliki ฤe biti ugao od 1ยฐ 2โฒ ako se posmatra kroz lupu koja daje petostruko poveฤanje?
Rjeลกenje:
a) ๐ผ + ๐ฝ = 1800 ๐ผ = 1ยฐ 2โฒ + 89ยฐ 29โฒ
๐ผ โ ๐ฝ = 1ยฐ 2โฒ ๐ผ = 90ยฐ 31โฒ
1ยฐ 2โฒ + ๐ฝ + ๐ฝ = 1800
๐ฝ = 89ยฐ 29โฒ
15. Ako su uglovi ๐ผ i ๐ฝ komplementni, ๐ผ i ๐พ suplementni i ๐ฝ je ลกest puta manji od ๐พ.
Izraฤunati ๐ผ + ๐ฝ + ๐พ.
Rjeลกenje:
๐ผ + ๐ฝ = 90ยฐ ๐ผ + 6๐ฝ = 180ยฐ ๐ผ + ๐ฝ = 90ยฐ ๐พ = 6๐ฝ
๐ผ + ๐พ = 180ยฐ ๐ผ + ๐ฝ + 5๐ฝ = 180ยฐ ๐ผ + 18ยฐ = 90ยฐ ๐พ = 6 โ 18ยฐ
๐พ = 6๐ฝ 90ยฐ + 5๐ฝ = 180ยฐ ๐ผ = 90ยฐ โ 18ยฐ ๐พ = 108ยฐ
5๐ฝ = 180ยฐ โ 90ยฐ ๐ผ = 72ยฐ
5๐ฝ = 90ยฐ
๐ฝ = 18ยฐ
Dakle, ๐ผ + ๐ฝ + ๐พ = 72ยฐ + 18ยฐ + 108ยฐ = 198ยฐ
16. Koliki je ugao ๐ผ ako je zbir njegovog komplementnog i suplementnog ugla 7๐ผ?
Rjeลกenje:
Komplement ugla ฮฑ je 90ยฐ โ ๐ผ a njegov suplement je 180ยฐ โ ๐ผ. Prema uslovima zadatka je
7๐ผ = 90ยฐ โ ๐ผ + 180ยฐ โ ๐ผ โน ๐ผ = 30ยฐ
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
16
17. Jedan ugao je za 73ยฐ 30โฒ veฤi od njemu uporednog ugla. Koliki su ti uglovi?
Rjeลกenje:
Dva ugla ๐ผ i ๐ฝ su uporedni ako je njihov zbir jednak 180ยฐ.
๐ผ + ๐ฝ = 180ยฐ, ๐ฝ = 180ยฐ โ ๐ผ
Iz uslova zadatka vrijedi da je ๐ผ = ๐ฝ + 73ยฐ 30โฒ โน ๐ผ = 180ยฐ โ ๐ผ + 73ยฐ 30โฒ โน ๐ผ = 126ยฐ 45โฒ
โน ๐ฝ = 53ยฐ 15โฒ
18. Razlika ugla ๐ผ i njemu uporednog ugla ๐ฝ je 48ยฐ. Izraฤunati ugao komplementan uglu ๐ฝ.
Rjeลกenje:
Ako je ๐ผ = 180ยฐ โ ๐ฝ , to je 180ยฐ โ 2๐ฝ = 48ยฐ . Slijedi da je ๐ฝ = 66ยฐ, pa je njemu
komplementan ugao od 24ยฐ.
19. Izraฤunati mjere uglova na slici
Rjeลกenje:
Kako je (3๐ฅ + 1ยฐ) + (๐ฅ + 7ยฐ) = 180ยฐ, to je 4๐ฅ = 172ยฐ, odnosno ๐ฅ = 43ยฐ. Slijedi da su na
slici uglovi od 130ยฐ i 50ยฐ.
20. Uglovi ๐ผ i ๐ฝ su komplementni. Odredi uglove ๐ผ i ๐ฝ, ako je njihova razlika jednaka
treฤini veฤeg ugla .
Rjeลกenje:
Neka je ๐ผ > ๐ฝ. Kako je ๐ผ + ๐ฝ = 90ยฐ i ๐ฝ =2
3๐ผ , to je ๐ผ = 54ยฐ i ๐ฝ = 36ยฐ.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
17
21. Razlika mjera dva komplementna ugla je 2007โฒ. Odredi mjere tih uglova .
Rjeลกenje:
Neka je mjera manjeg ugla ๐ผ. Kako je 2007โฒ = 33ยฐ 27โฒ, slijedi da je mjera veฤeg ugla
๐ผ + 33ยฐ 27โฒ. Koristeฤi uslov komplementnosti dobivamo da je 2๐ผ + 33ยฐ 27โฒ = 90ยฐ, pa je
2๐ผ = 56ยฐ 33โฒ. Slijedi da je mjera manjeg ugla 28ยฐ 16โฒ 30โฒโฒ, a mjera veฤeg ugla 61ยฐ 43โฒ 30โฒโฒ.
22. Dvije prave se sijeku i obrazuju ฤetiri ugla. Zbir dva oลกtra ugla veฤi je za 20ยฐ od jednog
tupog ugla. Koliki su ti uglovi?
Rjeลกenje:
๐ผ + ๐ฝ = 180ยฐ
๐ผ + ๐ผ = ๐ฝ + 20ยฐ โน ๐ฝ = 2๐ผ โ 20ยฐ
- iz gornje dvije jednakosti imamo:
๐ผ + 2๐ผ โ 20ยฐ = 180ยฐ โน ๐ผ = 66ยฐ 40โฒ
๐ผ = 66ยฐ 40โฒ ๐ฝ = 2๐ผ โ 20ยฐ
} โน ๐ฝ = 2 โ 66ยฐ 40โฒ โ 20ยฐ
๐ฝ = 113ยฐ 20โฒ
23. Uglovi ๐ผ i ๐ฝ su suplementni. Da su oba manja za po 24ยฐ, tada bi jedan ugao bio ฤetiri puta
veฤi od drugog ugla. Koliko iznose uglovi ๐ผ i ๐ฝ?
Rjeลกenje:
Neka je ๐ผ > ๐ฝ
๐ผ + ๐ฝ = 180ยฐ ๐ผ โ 24ยฐ = 4 โ (๐ฝ โ 24ยฐ) ๐ผ = 4๐ฝ โ 72ยฐ ๐ผ + ๐ฝ = 180ยฐ 4๐ฝ โ 72ยฐ + ๐ฝ = 180ยฐ 5๐ฝ = 252ยฐ ๐ฝ = 252ยฐ: 5 = 50ยฐ 24โฒ
๐ผ = 180ยฐ โ 50ยฐ 24โฒ ๐ผ = 129ยฐ 36โฒ
24. Uglovi ๐ผ i ๐ฝ su suplementni, a uglovi ๐ฝ i ๐พ komplementni. Odredi uglove ๐ผ, ๐ฝ i ๐พ ako je
ugao ๐ผ pet puta veฤi od ugla ๐พ.
Rjeลกenje:
๐ผ + ๐ฝ = 180ยฐ, ๐ฝ + ๐พ = 90ยฐ
, ๐ผ = 5๐พ
Iz jednakosti ๐ฝ + ๐พ = 90ยฐ dobijemo da je
๐ฝ = 90ยฐ โ ๐พ, dakle
5๐พ + 90ยฐ โ ๐พ = 180ยฐ โน ๐พ = 22ยฐ 30โฒ โง ๐ผ = 112ยฐ 30โฒ โง ๐ฝ = 67ยฐ 30โฒ
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
18
25. Zbir ฤetiri ugla ๐ผ, ๐ฝ, ๐พ, ๐ฟ je puni ugao. Ako se oni razlikuju redom po 10ยฐ odrediti
njihovu vrijednost.
Rjeลกenje:
๐ผ + ๐ผ + 10 + ๐ผ + 20 + ๐ผ + 30 = 360ยฐ โน 4๐ผ = 300ยฐ โน ๐ผ = 75ยฐ tj. prvi ugao, drugi 85ยฐ,
treฤi 95ยฐ i ฤetvrti ugao 105ยฐ.
26. Uglovi ๐ผ i ๐ฝ su suplementni, a uglovi ๐ฝ i ๐พ su komplementni. Izraฤunaj uglove ๐ผ, ๐ฝ i ๐พ
ako je zbir uglova ๐ผ i ๐พ jednak 124ยฐ.
Rjeลกenje:
๐ผ = 107ยฐ, ๐ฝ = 73ยฐ, ๐พ = 17ยฐ
27. Uglovi ๐ผ i ๐ฝ su suplementni. Pet ลกestina ugla ๐ผ i treฤina ugla ๐ฝ su komplementni.
Odredi uglove ๐ผ i ๐ฝ.
Rjeลกenje:
๐ผ = 60ยฐ, ๐ฝ = 120ยฐ
28. Dat je ugao ๐ผ = 160ยฐ i podijeljen je na ฤetiri dijela tako da je prvi dva puta veฤi od
drugog, drugi ฤetiri puta veฤi od ฤetvrtog, a treฤi tri puta veฤi od ฤetvrtog. Izraฤunati koliko
iznosi svaki od tih dijelova.
Rjeลกenje:
80ยฐ, 40ยฐ, 30ยฐ, 10ยฐ
29. Ugao ๐ผ je za 1997โฒ manji od svog suplementnog ugla. Za koliko je ugao ๐ผ manji od svog
suplementnog ugla?
Rjeลกenje:
123ยฐ 17โฒ
30. Mjera ugla ๐ผ + ๐ฝ je za 38ยฐ 41โฒ 24โฒโฒ veฤa od mjere ugla ๐ผโ๐ฝ. Odredi mjeru ugla ๐ฝ.
Rjeลกenje:
๐ฝ = 19ยฐ 20โฒ 42โฒโฒ
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
19
31. Zbir ugla ๐ผ i njemu uporednih uglova je 325ยฐ. Odredi ugao ๐ผ i njemu uporedan ugao.
Rjeลกenje:
๐ฝ = 145ยฐ
32. Dvije prave se sijeku i obrazuju dva para unakrsnih uglova. Zbir dva oลกtra ugla manji je
od jednog tupog ugla za 18ยฐ. Odredi te uglove.
Rjeลกenje:
๐ผ = 54ยฐ, ๐ฝ = 126ยฐ
33. Dvije prave se sijeku i obrazuju ฤetiri ugla. Zbir dva oลกtra ugla je veฤi za 20ยฐ od jednog
tupog. Koliki su ti uglovi?
Rjeลกenje:
๐ผ = 66ยฐ 40โฒ, ๐ฝ = 113ยฐ 20โฒ
34. Dvije prave se sijeku u taฤki ๐ด i obrazuju ฤetiri ugla. Zbir unakrsnih oลกtrih uglova jednak
je polovini jednog od unakrsnih tupih uglova. Odredi mjerne brojeve svakog od tih uglova.
Rjeลกenje:
๐ผ = 36ยฐ, ๐ฝ = 144ยฐ
35. Ako se saberu polovina, ฤetvrtina i osmina ugla ๐ผ onda se dobije ugao suplementaran uglu
๐ผ. Koliki je ugao koji je komplementaran sa uglom suplementarnim uglu ๐ผ?
Rjeลกenje:
๐ฝ1 = 4ยฐ
36. Dvije prave se sijeku zbir tri od nastala cetiri ugla je 213ยฐ 20โฒ. Koliki je svaki od nastalih
uglova?
Rjeลกenje:
๐ผ = 360ยฐ โ 213ยฐ 20โฒ
๐ผ = 146ยฐ 40โฒ
2๐ผ + 2๐ฝ = 360ยฐ
2๐ฝ = 360ยฐ โ 293ยฐ 20โฒ
2๐ฝ = 66ยฐ 40โฒ
๐ฝ = 33ยฐ 20โฒ
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
20
37. Razlika ugla i njemu uporednog ugla ๐ฝ je 76ยฐ. Izraฤunaj ugao koji je komplementan
uglu ๐ฝ.
Rjeลกenje:
Uglovi: i ๐ฝ - uporedni uglovi
๐ฝ i - komplementni uglovi
+ ๐ฝ = 180ยฐ ๐ฝ + = 90ยฐ
โ ๐ฝ = 76ยฐ + ๐ฝ โน = 76ยฐ + ๐ฝ 52ยฐ + = 90ยฐ
= 90ยฐ โ 52ยฐ
= 38ยฐ Traลพeni ugao je = 38ยฐ.
Pa imamo:
76ยฐ + ๐ฝ + ๐ฝ = 180ยฐ
76ยฐ + 2๐ฝ = 180ยฐ โน ๐ฝ = 52ยฐ
38. Dvije prave se sijeku i obrazuju ฤetiri ugla (kuta). Odredi te uglove ako je jedan od njih 9
puta manji od zbira ostala tri.
Rjeลกenje:
I naฤin
Traลพeni uglovi su: 36ยฐ, 144ยฐ, 36ยฐ i 144ยฐ.
II naฤin
Iz uslova zadatka proizilazi da sva ฤetiri ugla iznose 10 jednakih dijelova punog ugla tako da
imamo 360ยฐ: 10 = 36ยฐ. Znaฤi ugao koji je devet puta manji od zbira ostala tri ugla iznosi
36ยฐ. Prema crteลพu neka je to ugao ๐ผ = 36ยฐ. Kako je ๐ผ = ๐พ (unakrsni uglovi), to je, ๐พ = 36ยฐ.
360ยฐ โ 2 ยท 36ยฐ = 360ยฐ โ 72ยฐ = 288ยฐ
Zbir druga dva unakrsna ugla iznosi 288ยฐ: 2 = 144ยฐ. Znaฤi ๐ฝ = ๐ฟ = 144ยฐ.
Traลพeni uglovi su: 36ยฐ, 144ยฐ, 36ยฐ i 144ยฐ.
๐ฝ + ๐พ + ๐ฟ = 9 ๐ผ + ๐ฝ = 180ยฐ
๐ผ + (๐ฝ + ๐พ + ๐ฟ) = 360ยฐ 36ยฐ + ๐ผ = 180ยฐ
๐ผ + 9๐ผ = 360ยฐ ๐ฝ = 180ยฐ โ 36ยฐ
10๐ผ = 360ยฐ ๐ฝ = 144ยฐ
๐ผ = 360ยฐ: 10
๐ผ = 36ยฐ
Kako je ๐พ = ๐ผ to i ๐พ = 36ยฐ. Kako je ๐ฟ = ๐ฝ to je ๐ฟ = 144ยฐ.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
21
39. Dva ugla su suplementna . Jedan je 3 puta veฤi od drugog. Odredi te uglove i napiลกi vrstu
dobivenih uglova.
Rjeลกenje:
๐ผ + ๐ฝ = 180ยฐ
4๐ผ = 180ยฐ ๐ผ = 45ยฐ ๐ฝ = 135ยฐ, uglovi su oลกtri i tupi respektivno.
40. Koliki je ugao ๐ผ ako je zbir njegovog komplementnog i suplementnog ugla 4๐ผ?
Rjeลกenje:
Komplement: 90ยฐ โ ๐ผ
Suplement: 180ยฐ โ ๐ผ
(90ยฐ โ ๐ผ) + (180ยฐ โ ๐ผ) = 4๐ผ โน ๐ผ = 45ยฐ
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
22
Skup prirodnih brojeva
1. Ako od zbira najveฤeg ฤetverocifrenog broja sa razliฤitim ciframa i najmanjeg petocifrenog
broja sa razliฤitim ciframa oduzmeลก neki broj dobiฤeลก 20000. Koji je to broj?
Rjeลกenje:
Najveฤi ฤetverocifreni broj sa razliฤitim ciframa je 9876, a najmanji petocifreni broj sa
razliฤitim ciframa je 10234 pa imamo jednadลพbu
9876 + 10234 โ ๐ฅ = 20000
20110 โ ๐ฅ = 20000
๐ฅ = 20110 โ 20000
๐ฅ = 110
2. Izraฤunaj (1700 + 1701 +โฏ+ 1799 + 1800): 175 =
Rjeลกenje:
1700 + 1800 = 3500, 1701 + 1799 = 3500,โฆ.
1700 + 1701 +โฏ+ 1799 + 1800 = 3500 โ 101: 2 = 353500 โถ 2 = 176750
(1700 + 1701 +โฏ+ 1799 + 1800) โถ 175 = 176750 โถ 175 = 1010
3. Koliko ima ฤetverocifrenih brojeva kojima je proizvod cifara 4? Ispiลกi ih.
Rjeลกenje:
Cifre biramo iz skupova {4,1} i {2, 1} pa imamo:
4111, 1411,1141, 1114, 2211, 2121, 2112, 1122, 1212, 1221, tj. ukupno 10 brojeva.
4. Za numeraciju stranica jedne knjige upotrijebljeno je 300 cifara. Koliko stranica ima ta
knjiga?
Rjeลกenje:
Za numerisanje prvih 9 stranica upotrijebljeno je 9 cifara, a za sledeฤih 90 upotrebljeno je
90 โ 2 = 180 cifara. Ostatak cifara 300 โ 180 โ 9 = 121 upotrijebljeno je za numerisanje
trocifrenih stranica kojih ima 111: 3 = 37. Sada, knjiga ima 9 + 90 + 37 = 136 stranica.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
23
5. U 5 kutija nalazi se 100 jabuka. U prvoj i drugoj kutiji ima 52 jabuke, u drugoj i treฤoj 43
jabuke, u treฤoj i ฤetvrtoj 34 i u ฤetvrtoj i petoj 30 jabuka. Koliko jabuka ima u svakoj od tih
kutija?
Rjeลกenje:
Oznaฤimo redom kutije sa ๐ผ, ๐ผ๐ผ, ๐ผ๐ผ๐ผ, ๐ผ๐ i ๐. Tada imamo po tekstu zadatka podatke:
๐ผ + ๐ผ๐ผ + ๐ผ๐ผ๐ผ + ๐ผ๐ + ๐ = 100
๐ผ + ๐ผ๐ผ = 52
๐ผ๐ผ + ๐ผ๐ผ๐ผ = 43
๐ผ๐ผ๐ผ + ๐ผ๐ = 34
๐ผ๐ + ๐ = 30
Zamjenom druge i ฤetvrte jednadลพbe u prvu dobijamo: 53 + 34 + ๐ = 100 โน ๐ = 14.
ล to znaฤi da u petoj kutiji ima 14 jabuka, u ฤetvrtoj ฤe biti onda 16, u treฤoj 18, u drugoj 25 i
u prvoj 27.
6. Koliฤnik dva boja ๐ฅ i ๐ฆ je 10, a ostatak 40. Naฤi te brojeve ako je njihov zbir 1679.
Rjeลกenje:
Imamo da je 10๐ฅ + ๐ฆ = 1679๐ฅ = 10๐ฆ + 40
}. Zamjenom druge jednadลพbe u prvu dobijamo:
10๐ฆ + 40 + ๐ฆ = 1679 odakle je rjeลกenje za jedan od datih brojeva ๐ฆ = 149
Tada je ๐ฅ = 1530.
Traลพeni brojevi su 1530 i 149.
7. Postoji li broj ฤiji je proizvod cifara 462?
Rjeลกenje:
Rastavimo dati broj na faktore 462 = 2 โ 3 โ 7 โ 11. Kako je jeadn faktor 11 to je broj, nije
cifra pa zakljuฤujemo da takav broj ne postoji.
8. Odrediti cifre ๐ i ๐ u broju 87๐9๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ tako da on bude djeljiv sa 18.
Rjeลกenje:
Da bi broj bio djeljiv sa 18 treba biti djeljiv i sa 2 i sa 9. Ako je djeljiv sa 2 onda mu zadnja
cifra mora biti 0, 2, 4, 6, 8. Imamo sada sluฤajeve brojeva: 87๐90ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ , 87๐92ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ , 87๐94ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ , 87๐96ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ,
87๐98ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ . Da bi dati brojevi bili djeljivi sa 9, zbir cifara im mora biti djeljiv sa 9, pa imamo da
su traลพena rjeลกenja: 87390, 87192, 87894, 87496, 87298.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
24
9. Dokazati da je zbir prirodnih brojeva od 1 do 1000 djeljiv sa 7.
Rjeลกenje:
Izraฤunajmo zbir prvih 1000 brojeva:
1 + 2 + 3 +โฏ+ 998 + 999 + 1000 = 1001 โ 500 = 500500
pa kada sada dobijeni zbir podijelimo sa 7 dobiฤemo: 500500: 7 = 71500. Zakljuฤujemo da
je zbir prvih 1000 uzastopnih prirodnih brojeva djeljiv sa 7.
10. Zbir tri broja, od kojih je svaki slijedeฤi tri puta veฤi od prethodnog, iznosi 481. Koji su to
brojevi?
Rjeลกenje:
Ako je ๐ฅ najmanji od tih brojeva, srednji po veliฤini je 3๐ฅ, a najveฤi 3 โ 3๐ฅ = 9๐ฅ.
Uslove zadatka opisuje jednadลพba ๐ฅ + 3๐ฅ + 9๐ฅ = 481 โน ๐ฅ = 37.
Pa su traลพeni brojevi 37, 111 i 333.
11. Ivana je za roฤendan od svojih prijatelja dobila 24 ruลพe. Ruลพe su bile bijele, ลพute i crvene
boje. Bijelih je bilo dva puta manje od ลพutih, a crvenih koliko bijelih i ลพutih zajedno. Koliko je
bilo bijelih, koliko ลพutih, a koliko crvenih ruลพa?
Rjeลกenje:
Bijele ruลพe ๐ฅ, ลพute ruลพe 2๐ฅ, crvene ruลพe ๐ฅ + 2๐ฅ
Imamo jednadลพbu ๐ฅ + 2๐ฅ + ๐ฅ + 2๐ฅ = 24, rjeลกavanjem jednadลพbe dobijemo
6๐ฅ = 24, ๐ฅ = 4. Prema tome, bijelih je ruลพa bilo 4, ลพutih 2 โ 4 = 8, a crvenih
4 + 8 = 12. Dakle, bijelih je 4, ลพutih dva puta viลกe, dakle 8 i crvenih koliko bijelih i ลพutih
zajedno, znaฤi 12.
12. Sok u flaลกi koลกta 40 ๐พ๐. Sok je 7 puta skuplji od flaลกe. Koliko koลกta flaลกa, a koliko sok?
Rjeลกenje:
Flaลกa ๐ฅ, sok 7๐ฅ
Imamo jednadลพbu ๐ฅ + 7๐ฅ = 40 โน ๐ฅ = 5 Prema tome, flaลกa koลกta 5๐พ๐, a sok 7 โ 5 = 35๐พ๐
13. Zbir tri uzastopna parna prirodna broja je 216. Koji su to brojevi?
Rjeลกenje:
Ako je ๐ najmanji traลพeni broj, sljedeฤa dva parna broja su ๐ + 2, ๐ + 4. Njihov zbroj je
216, pa dobijemo jednadลพbu ๐ + (๐ + 2) + (๐ + 4) = 216. Njeno rjeลกenje je ๐ = 70, ลกto
znaฤi da su traลพeni brojevi 70, 72 i 74.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
25
14. Razlika dva broja je 327, a koliฤnik 4. Koji su to brojevi?
Rjeลกenje:
Ako je koliฤnik dva broja 4, znaฤi da je jedan broj 4 puta veฤi od drugoga, pa ih moลพemo
oznaฤiti sa ๐ i 4๐. Iz ฤinjenice da je njihova razlika 327 dobijemo jednaฤinu 4๐ โ ๐ = 327.
Njeno rjeลกenje je ๐ = 109, pa su traลพeni brojevi 109 i 436.
15. U jednom kokoลกinjcu ima 3 puta viลกe kokoลกki nego pijetlova, a pijetlova je za 16 manje
nego kokoลกki. Koliko ima kokoลกki, a koliko pijetlova u tom kokoลกinjcu?
Rjeลกenje:
Ako sa ๐ oznaฤimo broj pijetlova, onda je 3๐ broj kokoลกki i vrijedi 3๐ โ ๐ = 16 , otkud
dobijemo ๐ = 8. Dakle, ima 8 pijetlova i 24 kokoลกke.
16. Brat je 4 puta stariji od sestre, a sestra je 9 godina mlaฤa od brata. Koliko godina ima
sestra, a koliko brat?
Rjeลกenje:
Ako sestra ima ๐, brat ima 4๐ godina i vrijedi 4๐ โ ๐ = 9, otkud slijedi ๐ = 3. Sestra ima 3,
a brat 12 godina.
17. Zbir tri broja je 147. Prvi od njih veฤi je 15 puta od drugoga, a treฤi je za 28 veฤi od
drugoga. Odredi te brojeve.
Rjeลกenje:
๐ฅ drugi broj, 15๐ฅ prvi broj i ๐ฅ + 28 treฤi broj
15๐ฅ + ๐ฅ + ๐ฅ + 28 = 147 17๐ฅ = 147 โ 28 17๐ฅ = 119 ๐ฅ = 7 je drugi broj, prvi broj je 15๐ฅ = 105 i treฤi broj je ๐ฅ + 28 = 35.
18. Ana je rekla Mariji: โZamislila sam neki broj. Ako tom broju dodam 13 i dobijeni rezultat
podijelim sa razlikom broja 60 i proizvoda broja 8 i zamiลกljenog broja, dobit ฤu broj 5.โ
Moลพeลก li pomoฤi Mariji da odgonetne koji je broj Ana zamislila ?
Rjeลกenje:
Ako sa ๐ oznaฤimo zamiลกljeni broj, dobijemo jednadลพbu (๐ + 13): (60 โ 8 โ ๐) = 5, otkud
slijedi ๐ + 13 = 5 โ (60 โ 8๐). Rjeลกenje te jednadลพbe je ๐ = 7. Ana je zamislila broj 7.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
26
19. Kutija sa 20 jednakih kuglica ima masu 400๐. Ako u kutiju dodamo joลก 5 kuglica ukupna
masa ฤe biti 470๐. Kolika je masa kutije?
Rjeลกenje:
Moลพemo zakljuฤiti da 5 kuglica teลพi 70๐. Onda jedna kuglica teลพi 70: 5 = 14๐. Sada, 20
kuglica ima teลพinu 20 โ 14 = 280๐. Dakle, kutija sama teลพi: 400 โ 280 = 120๐.
20. U ZOO vrtu smjeลกteni su zeฤevi, ptice i zmije. Djeca su prebrojala 24 glave, 14 krila i 62
noge. Koliko ima kojih ลพivotinja?
Rjeลกenje:
Prema broju glava zakljuฤujemo da ima 24 ลพivotinje. Kako krila ima 14 zakljuฤujemo da je
ptica 7. Sada zeฤeva i zmija ima 17. Broj nogu kod ptica je takoฤer 14, pa 62 โ 14 = 48 je
broj nogu kod zeฤeva. Kako zec ima 4 noge, to je njihov broj 12. Ostane joลก da zakljuฤimo da
zmija ima 17 โ 12 = 5. Dakle, zmija ima 5, zeฤeva 12 i ptica 7.
21. Izraฤunati zbir prvih 2016 prirodnih brojeva.
Rjeลกenje:
Zbir moลพemo pisati :
1 + 2 + 3 + 4 +โฏ+ 2013 + 2014 + 2015 + 2016 =
= (1 + 2016) + (2 + 2015) + โฏ+ (1013 + 1014) = 1013 โ 2017 = 2043221
22. Zbir pet uzastopnih prirodnih brojeva je 1375. Izraฤunati te brojeve.
Rjeลกenje:
Prirodni brojevi imaju osobinu da je svaki sljedeฤi od svog prethodnika za 1 veฤi. Ako
uzmemo da je prvi broj u nizu ๐ฅ, onda su sljedeฤi ๐ฅ + 1, ๐ฅ + 2, ๐ฅ + 3 i ๐ฅ + 4. Formirajmo
jednadลพbu. Imamo: ๐ฅ + ๐ฅ + 1 + ๐ฅ + 2 + ๐ฅ + 3 + ๐ฅ + 4 = 1375 โน ๐ฅ = 273
Traลพeni brojevi su 273, 274, 275, 276 i 277.
23. Razlika dva broja je 83. Ako veฤi broj uveฤamo 4 puta, a manji ostane nepromijenjen
nova razlika je 674. Koji su to brojevi?
Rjeลกenje:
Ako manji broj oznaฤimo sa ๐ฅ, onda je veฤi broj ๐ฅ + 83. Pa sada formirajmo jednadลพbu po
tekstu zadatka: 4 โ (๐ฅ + 83) โ ๐ฅ = 674 โน ๐ฅ = 114, a veฤi broj je 114 + 83 = 197.
Traลพeni brojevi su 197 i 114.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
27
24. Amir je proฤitao knjigu za 4 dana. Drugi dan je proฤitao 14 stranica viลกe nego prvi dan.
Treฤi dan je proฤitao koliko prvi i drugi dan zajedno, a ฤetvrti da je proฤitao koliko polovinu
broja proฤitanih stranica drugog i treฤeg dana. Koliko stranica je imala knjiga ako znamo da je
Amir prvi dan proฤitao 32 stranicu?
Rjeลกenje:
Amir je prvi dan proฤitao 32 stranicu, drugi dan 46 stranica, treฤi dan 78 stranica i ฤetvrti dan
proฤitao je 62 stranice. Knjiga ima ukupno 218 stranica.
25. Svijeฤa visine 18๐๐ jednoliko gori i cijela izgori za tri sata. Za koliko ฤe minuta od
trenutka kada je zapaljena, svijeฤa biti visine 13๐๐?
Rjeลกenje:
Prema uslovima zadatka cijela svijeฤa izgoriti ฤe za 180 minuta? Jedan centimetar svijeฤe
izgoriti ฤe za 180: 18 = 10 minuta. Kako svijeฤa treba da izgori za 18 โ 13 = 5 ๐๐, od
njene poฤetne duลพine, zakljuฤujemo da ฤe svijeฤa biti visoka 13๐๐ nakon 5 โ 10 = 50
minuta.
26. Izraฤunati: {345 โ [(720: 6) โ 2 โ 4 + 2]: 2 + 44}: 3 โ 25: 5 =
Rjeลกenje:
{345 โ [(720: 6) โ 2 โ 4 + 2]: 2 + 44}: 3 โ 25: 5 = 85
27. Zbir dva broja je 96 a kada veฤi broj podijelimo manjim dobiฤemo koliฤnik 9 i ostatak 6.
O kojim brojevima je rijeฤ?
Rjeลกenje:
Ako su traลพeni brojevi ๐ฅ i ๐ฆ, onda po definiciji dijeljenja imamo ๐ฅ: ๐ฆ = ๐(๐) odakle
djeljenjik ๐ฅ moลพemo pisati kao ๐ฅ = ๐ โ ๐ฆ + ๐. Na osnovu teksta naลกeg zadatka imamo
jednadลพbe: ๐ฅ + ๐ฆ = 96 i ๐ฅ = 9๐ฆ + 6 odakle dobijamo 9๐ฆ + 6 + ๐ฆ = 96 โน ๐ฆ = 9. Tada je
drugi broj 87. Traลพeni brojevi su 87 i 9.
28. Da li je moguฤe da je za numeraciju stranica jedne knjige upotrebljeno 2016 cifara? Ako
je moguฤe, koliko stranica ฤe imati ta knjiga?
Rjeลกenje:
Za prvih 9 stranica upotrebljeno je 9 cifara, za slijedeฤih 90 stranica upotrebljeno je
90 โ 2 = 180 cifara. Ostatak cifara 2016 โ 189 = 1827 upotrebljeno je obiljeลพavanje
trocifrenih stranica kojih ima 1827: 3 = 609. Knjiga ima 9 + 90 + 609 = 708 stranica.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
28
29. Uฤenik je zamislio jedan broj. Kada ga je pomnoลพio sa 8 i tom proizvodu dodao 8 dobio
je broj koji je za 11 veฤi od 701. Koji broj je uฤenik zamislio?
Rjeลกenje:
Jedan od naฤina rjeลกavanja zadatka jeste da se po tekstu zadatka formira jednadลพba.
Pretpostavimo da je ๐ฅ traลพeni broj.
8 โ ๐ฅ + 8 = 712 โน ๐ฅ = 88.
Traลพeni broj je 88.
30. Voฤke su zasaฤene tako da je u svakom redu 15 voฤki. Kada bi u voฤnjaku bilo 6 redova
manje, a u svakom redu 5 voฤki viลกe, onda bi u cijelom voฤnjaku bilo ukupno 10 voฤki viลกe.
Koliko je redova voฤki zasaฤeno i koliko voฤki ima u voฤnjaku?
Rjeลกenje:
Neka je u voฤnjaku bilo ๐ฅ redova zasaฤeno. Tada je u voฤnjaku bilo 15๐ฅ voฤaka. S druge
strane, ako je 6 redova manje a u redovima pet voฤaka manje, onda ukupno voฤaka ฤe biti (๐ฅ โ 6) โ 20 โ 10. Sada imamo jednadลพbu 15๐ฅ = (๐ฅ โ 6) โ 20 โ 10 โน ๐ฅ = 26
U voฤnjaku je zasaฤeno ukupno 26 redova, a ukupno voฤki ima 390.
31. Zbir tri broja je 689. Odredi te brojeve ako se zna da je zbir prvog i drugog broja 452, a
drugog i treฤeg 605.
Rjeลกenje:
Oznaฤimo te brojeve sa ๐, ๐, ๐. Tada vrijedi ๐ + ๐ + ๐ = 689, ๐ + ๐ = 452 i
๐ + ๐ = 605. Zamjenom prve jednakosti u drugu dobijamo 452 + ๐ = 689 โน ๐ = 237.
Zamjenom prve jednakosti u treฤu dobijamo: ๐ + 605 = 689 โน ๐ = 84
Sada u drugu jednakost uvrstimo ๐ i zraฤunamo ๐ 84 + ๐ = 452 โน ๐ = 368
32. Ako se trocifrenom broju ๐ doda broj 13, zbir je djeljiv sa 13. Ako se od broja ๐
oduzme broj 17, razlika je djeljiva sa 17. Ako se broj ๐ podijeli sa 2, koliฤnik je djeljiv sa 2.
Odredi broj ๐.
Rjeลกenje:
Kako je zbir ๐ + 13 djeljiv sa 13, a sabirak 13 djeljiv sa 13, onda je i broj ๐ djeljiv sa 13.
S obzirom da je razlika ๐ โ 17 djeljiva sa 17, a umanjitelj 17 djeljiv sa 17, onda je i ๐
djeljiv sa 17. Buduฤi da kada se ๐ podijeli sa 2 dobijamo koliฤnik djeljiv sa 2, onda je i ๐
djeljivo sa 4. Dakle m mora biti djeljivo sa 13, 17 i 4. ๐ ( 13, 17, 4 ) = 884. Traลพeni broj ๐
je 884.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
29
33. Proizvod tri prirodna broja je 13600. Izraฤunaj proizvod prvog i drugog broja ako je
proizvod prvog i treฤeg broja 544, a proizvod drugog i treฤeg 425.
Rjeลกenje:
Ako podijelimo proizvod sva tri broja s proizvodom prvog i treฤeg broja, dobit ฤemo drugi
broj. Drugi broj je 13600 โถ 544 = 25. Ako podijelimo proizvod sva tri broja s proizvodom
drugog i treฤeg broja, dobit ฤemo prvi broj. Prvi broj je 13600 โถ 425 = 32. Traลพeni proizvod
prvog i drugog broja je 32 โ 25 = 800.
34. Dvije cigle koลกtaju 4๐พ๐ i pola cigle. Kolika je cijena jedne cigle?
Rjeลกenje:
Neka je npr. Darko Emiru prodao dvije cigle za 3๐พ๐ i pola cigle. Ovo pak znaฤi da je Darko
prodao samo ciglu i po za 3๐พ๐ pa jedna cigla koลกta 2๐พ๐. Zadatak se mogao rijeลกiti i
postavljanjem jednaฤine 2๐ฅ = 3 +๐ฅ
2.
35. Izraฤunaj (1 + 2 + 3 +โฏ+ 52 + 53 + 54): 3: (3 โ 3: 3 โ 3) =
Rjeลกenje:
(1 + 2 + 3 +โฏ+ 52 + 53 + 54): 3: (3 โ 3: 3 โ 3) =
= 1485: 3: (9: 3 โ 3) = 495: (3 โ 3) = 495: 9 = 55
36. Merlina je zamislila neki broj i dodala mu 25. Kada je taj broj pomnoลพila sa 25 dobila je
2025. Koji broj je zamislila Merlina?
Rjeลกenje:
Oznaฤimo sa ๐ฅ broj koji je zamislila Merlina. Prema uslovima zadatka dobija se jednadลพba
(๐ฅ + 25) โ 25 = 2025 โน ๐ฅ = 56.
Dakle, Merlina je zamislila broj 56.
37. Proizvod 1 ยท 2 ยท 3 ยท 4 ยท 5 ยท 6 ยท 7 ยท 8 ยท 9 podijeliti brojem 4536.
Rjeลกenje:
Kako je 4536 = 2 โ 2 โ 2 โ 3 โ 3 โ 3 โ 3 โ 7, to je
(1 ยท 2 ยท 3 ยท 4 ยท 5 ยท 6 ยท 7 ยท 8 ยท 9) โถ (2 โ 2 โ 2 โ 3 โ 3 โ 3 โ 3 โ 7) = 80.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
30
38. Iznos od 6000๐พ๐ treba podijeliti na tri osobe tako da prva dobije dva puta viลกe od druge,
a treฤa 180๐พ๐ viลกe nego prva i druga zajedno. Koliko novca je dobila svaka osoba?
Rjeลกenje:
๐ฅ โ prva osoba
๐ฆ = 2๐ฅ โ druga osoba
๐ง = ๐ฅ + 2๐ฅ + 180 โ treฤa osoba
๐ฅ + 2๐ฅ + ๐ฅ + 2๐ฅ + 180 = 6000
6๐ฅ = 5820 / : 6
๐ฅ = 970
๐ฆ = 2 โ 970 = 1940
๐ง = 970 + 1940 + 180 = 3090
39. Izraฤunaj zbir svih prirodnih brojeva veฤih od 52, a manjih od 68.
Rjeลกenje:
Trebamo izraฤunati koliko je 53 + 54 + 55 +โฏ+ 66 + 67. To ฤemo izraฤunati tako da prvo
izraฤunamo 1 + 2 + 3 +โฏ67, a zatim od toga oduzmemo zbir 1 + 2 + 3 +โฏ+ 52. Kako je
1 + 2 + 3 +โฏ+ 67 = 2 278, 1 + 2 + 3 +โฏ+ 52 = 1 378 i 2278 โ 1378 = 900, traลพeni
broj je 900.
40. Odredi dvocifreni broj koji se poveฤa 26 puta ako mu sa lijeve strane dopiลกemo cifru 9.
Rjeลกenje:
Neka je ๐๐ = ๐ฅ traลพeni dvocifreni broj. Vrijedi jednakost 9๐๐ = 900 + ๐๐ , odnosno
26๐ฅ = 900 + ๐ฅ, a odavde je ๐ฅ = 36 i to je traลพeni broj.
41. Koliko ukupno strana ima knjiga, ako prve tri strane nisu numerisane, a ostale su
numerisane poฤevลกi od broja 1, i ako je za numeraciju knjige upotrijebljeno 375 cifara?
Rjeลกenje:
Prve tri strane nisu numerisane, a za numerisanje slijedeฤih 9 strana upotrijebljeno je 9 cifara.
Za numerisanje slijedeฤih 90 strana upotrebljeno je 2 โ 90 = 180 cifara. Naredne strane su
numerisane trocifrenim brojevima, a kako je upotijebljeno 375 โ (180 + 9) = 186 cifara,
onda ฤe takvih strana biti 186: 3 = 62.
Dakle, knjiga ima ukupno 3 + 9 + 90 + 62 = 164 strane.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
31
42. Odredi zbir: 5 + 10 + 15 + 20 +โฏ+ 2000 + 2005.
Rjeลกenje:
5 + 10 + 15 + 20 +โฏ+ 2000 + 2005 =
= 5 โ ( 1 + 2 + 3 + 4 +โฏ+ 400) + 2005 =
= 5 โ 401 โ 200 + 2005 = 403005
43. Izraฤunaj razliku zbira svih parnih i zbira svih nepranih prirodnih brojeva manjih od
2007.
Rjeลกenje:
(2 + 4 + +6 +โฏ+ 2004 + 2006) โ (1 + 3 + 5 +โฏ+ 2003 + 2005) =
= (2 โ 1) + (4 โ 3) + (6 โ 5) + โฏ+ (2004 โ 2003) + (2006 โ 2005) =
= 1 + 1 + 1 +โฏ+ 1 + 1 = 1003
44. Selma je za roฤendan od svojih prijatelja dobila 24 ruลพe. Ruลพe su bile bijele, ลพute i crvene
boje. Bijelih je bilo dva puta manje od ลพutih, a crvenih koliko bijelih i ลพutih zajedno. Koliko je
bilo bijelih, koliko ลพutih a koliko crvenih ruลพa?
Rjeลกenje:
Oznaฤimo sa ๐ฅ broj bijelih ruลพa, onda na osnovu teksta zadatka imamo da je ลพutih 2๐ฅ a
crvenih ๐ฅ + 2๐ฅ = 3๐ฅ. Kako ih je ukupno bilo 24 postavimo jednadลพbu:
๐ฅ + 2๐ฅ + 3๐ฅ = 24 โน ๐ฅ = 4
45. Odrediti trocifreni broj, ako za cifre tog broja vrijedi:
- Cifra desetica je 5;
- Zbir cifara je 15;
- Zamjenom cifara stotice i jedinice, novi broj je za 39 veฤi od dvostrukog starog broja.
Rjeลกenje:
Cifra desetica u broju je 5 pa je zbir cifara stotica i jedinica 10. Sa ๐ฅ oznaฤimo cifru stotica,
onda je 10 โ ๐ฅ cifra jedinica. Sada trocifreni broj moลพemo zapisati kao:
๐ฅ510 โ ๐ฅฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ = 100 โ ๐ฅ + 10 โ 5 + 1 โ (10 โ ๐ฅ) = 100๐ฅ + 50 + 10 โ ๐ฅ = 99๐ฅ + 60
Novi broj nastaje zamjenom cifara stotica i jedinica, tj.
10 โ ๐ฅ5๐ฅฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ = 100 โ (10 โ ๐ฅ) + 10 โ 5 + 1 โ ๐ฅ i vrijedi slijedeฤa jednakost:
100 โ (10 โ ๐ฅ) + 10 โ 5 + 1 โ ๐ฅ = 2(99๐ฅ + 60) + 39
1000 โ 100๐ฅ + 50 + ๐ฅ = 198๐ฅ + 120 + 39
297๐ฅ = 891
๐ฅ = 3
Cifra stotica je 3 onda je cifra jedinica 10 โ 3 = 7, dakle traลพeni broj je 357.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
32
46. Odredi najmanji i najveฤi petocifreni neparni prirodni broj kojem su 3 cifre neparne, a 2
parne.
Rjeลกenje:
Prirodni broj je neparan ako mu je cifra jedinica 1, 3, 5, 7 ili 9.
Da bi broj bio najmanji moguฤi cifre mu trebaju biti 1 i 0, a da bi bio najveฤi moguฤi
cifre mu trebaju biti 9 i 8.
Najmanji peterocifreni neparni prirodni broj kojemu su 3 cifre neparne, a 2 parne je
broj 10011.
Najveฤi peterocifreni neparni prirodni broj kojemu su 3 cifre neparne, a 2 parne je
broj 99889.
47. Koliki je zbir svih dvocifrenih prirodnih brojeva ?
Rjeลกenje:
99 โ 10 + 1 = 90 sabiraka
(10 + 99) + (11 + 98) + โฏ+ (54 + 55) = 109 โ 45 = 4905
48. Od 262 uฤenika jedne ลกkole 125 trenira odbojku, 67 karate, a 116 uฤenika ne trenira niti
jedan od ovih sportova. Koliko uฤenika trenira i odbojku i karate? Koliko uฤenika trenira
samo karate?
Rjeลกenje:
262 โ 116 = 146
(125 + 67) โ 146 = 46 uฤenika trenira i odbojku i karate, a 67 โ 46 = 21 samo karate.
49. Otac ima pet sinova, pri ฤemu su svi sinovi razliฤite starosti. Otac ima odredenu koliฤinu
novca koju ลพeli podijeliti petorici svojih sinova. Najmlaฤem ฤe dati najmanje novca, a svakom
slijedeฤem starijem po 5๐พ๐ viลกe. Najstariji sin ฤe dobiti 3 puta viลกe ๐พ๐ nego najmlaฤi.
Koliko ฤe novaca dobiti sin koji je treฤi po starosti?
Rjeลกenje:
Treฤi po starosti dobiฤe 20๐พ๐.
50. Zbir ฤetri broja je 100. Zbir prvog, treฤeg i ฤetvrtog je 65, a zbir prvog, drugog i treฤeg je
78. Odredi te brojeve ako je prvi za 10 manji od drugog.
Rjeลกenje:
25, 35, 22, 18
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
33
51. Zbir tri broja je 5280. Prvi broj je za 340 veฤi od drugog, a tri puta manji od zbira drugog
i treฤeg. Koliki je svaki broj?
Rjeลกenje:
320, 980, 2980
52. U pet kutija se nalazi ukupno 200 kuglica. U prvoj i drugoj ima 104 kuglice, a u drugoj i
treฤoj 86 kuglica, u treฤoj i ฤetvrtoj 68 kuglica, a u ฤetvrtoj i petoj ima 60 kuglica. Koliko
kuglica ima u svakoj kutiji?
Rjeลกenje:
54, 50, 36, 32, 28
53. Jedan uฤenik je kupio 4 knjige. Za prve tri knjige je platio 1600 ๐พ๐, za prvu, drugu i
ฤetvrtu je platio 2100 ๐พ๐. Za prvu, treฤu i ฤetvrtu je dao 2400 ๐พ๐, a za drugu, treฤu i
ฤetvrtu 2600 ๐พ๐. Koliko koลกta svaka od knjiga?
Rjeลกenje:
300, 500, 800, 1300
54. Zbir ฤetiri broja je 208. Ako se prvom broju doda 3 ili se drugom oduzme 3 ili se treฤi
pomnoลพi sa 3 ili se ฤetvrti podijeli sa 3, uvijek se dobije isti rezultat. Odredi ova 4 broja?
Rjeลกenje:
36, 42, 13, 117
55. U jednoj korpi ima dva puta viลกe jabuka nego u drugoj. Ako se iz svake korpe uzme po 20
jabuka onda ฤe u prvoj korpi ostati 3 puta viลกe nego u drugoj. Koliko je bilo jabuka u svakoj
korpi?
Rjeลกenje:
๐ฅ = 80 i ๐ฆ = 40
56. Od tri broja ๐, ๐, ๐ sabiranjem po dva dobili smo 332, 408, 466. Odrediti te brojeve.
Rjeลกenje:
137, 195, 271
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
34
57. U bazenima ๐, ๐, ๐, ๐ i ๐ nalazi se ukupno 130 riba. U bazenu ๐ i ๐ ima ukupno 50 riba, u
bazenu ๐ i ๐ ma 56, u bazenu ๐ i ๐ ima 53 a u ๐ i ๐ ima 48 riba. Koliko riba ima u svakom
bazenu?
Rjeลกenje:
26, 24, 32, 21, 27
58. Uฤenik je kupio 4 knjige. Prve tri koลกtaju 36 ๐พ๐, sve knjige bez druge koลกtaju 40 ๐พ๐,
bez treฤe 38 ๐พ๐, a sve bez prve koลกtaju 42 ๐พ๐. Koliko koลกta svaka knjiga ponaosob?
Rjeลกenje:
๐ผ + ๐ผ๐ผ + ๐ผ๐ผ๐ผ = 36
๐ผ + ๐ผ๐ผ๐ผ + ๐ผ๐ = 40
๐ผ + ๐ผ๐ผ + ๐ผ๐ = 38
๐ผ๐ผ + ๐ผ๐ผ๐ผ + ๐ผ๐ = 42 Saberemo sve ฤetiri jednakosti pa imamo:
3๐ผ + 3๐ผ๐ผ + 3๐ผ๐ผ๐ผ + 3๐ผ๐ = 36 + 40 + 38 + 42
3(๐ผ + ๐ผ๐ผ + ๐ผ๐ผ๐ผ + ๐ผ๐) = 156
๐ผ + ๐ผ๐ผ + ๐ผ๐ผ๐ผ + ๐ผ๐ = 156: 3
๐ผ + ๐ผ๐ผ + ๐ผ๐ผ๐ผโ =36
+ ๐ผ๐ = 52 โน ๐ผ๐ = 52 โ 36 โน ๐ผ๐ = 16
Nastavljajuฤi isti postupak imamo: ๐ผ = 10 ๐พ๐ ๐ผ๐ผ = 12 ๐พ๐ ๐ผ๐ผ๐ผ = 14 ๐พ๐ ๐ผ๐ = 16 ๐พ๐
59. Zbir 100 uzastopnih prirodnih brojeva je 6050. Koji su to brojrvi?
Rjeลกenje:
Neka su traลพeni uzastopni prirodni brojevi:
๐ฅ, ๐ฅ + 1, ๐ฅ + 2, . . . , ๐ฅ + 99
๐ฅ + ๐ฅ + 1 + ๐ฅ + 2+. . . +๐ฅ + 99 = 6050
100๐ฅ + (1 + 2 + 3+. . . +99) = 6050
1 + 2 + 3 +โฏ+ 99 = 1 + 99 + 2 + 98 + 3 + 97 +โฏ+ 49 + 51 + 50 = 49 โ 100 + 50 =
= 4900 + 50 = 4950
100๐ฅ + 4950 = 6050
100๐ฅ = 6050 โ 4950
100๐ฅ = 1100
๐ฅ = 1100: 100
๐ฅ = 11
Traลพeni uzastopni brojevi su: 11, 12, 13, โฆ, 109, 110.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
35
60. Proizvod dva dvocifrena broja zapisan je samo pomoฤu ฤetvorki. Odrediti te brojeve!
Rjeลกenje:
Proizvod dva dvocifrena broja moลพe biti samo trocifren ili ฤetverocifren broj. Po uslovu
zadatka moลพe biti ili 444 ili 4444.
Rastavljanjem brojeva na faktore imamo 444 = 2 โ 2 โ 3 โ 37 = 12 โ 37 pa je jedino rjeลกenje
12 i 37.
4444 = 4 โ 11 โ 101 gdje je 101 prost broj pa zakljuฤujemo da je 4444 nemoguฤe zapisati
kao proizvod dvocifrenih brojeva pa je moguฤe samo prvo rjeลกenje.
61. Zbir tri broja je 240. Zbir prvog i drugog broja je 110, a zbir prvog i treฤeg broja je 180.
Odredi te brojeve.
Rjeลกenje:
I naฤin
Neka su to brojevi: ๐, ๐ i ๐ (๐ + ๐) + ๐ = 240 (๐ + ๐) + ๐ = 240 ๐ + (๐ + ๐) = 240
Prema uslovima zadatka: 110 + ๐ = 240 180 + ๐ = 240 ๐ + (130 + 60) = 240
๐ + ๐ + ๐ = 240 ๐ = 240โ110 ๐ = 240 โ 180 ๐ + 190 = 240
๐ + ๐ = 110 ๐ = 130 ๐ = 60 ๐ = 240โ 190
๐ + ๐ = 180 ๐ = 50
Traลพeni brojevi su 50, 60 i 130
II naฤin
240 โ 110 = 130
240 โ 180 = 60
240 โ (130 + 60) = 240 โ 190 = 50
62. U dvije posude je bilo ukupno 40 ๐ vode. Ako iz prve posude prespemo u drugu posudu
5 ๐ tada ฤe u drugoj posudi biti tri puta viลกe vode. Koliko je bilo u svakoj posudi vode?
Rjeลกenje:
I naฤin
Iz uslova zadatka proizilazi da je nakon presipanja u posudama ukupno 4 jednaka dijela
40๐ โถ 4 = 10๐ jedan dio. U prvoj posudi 10๐. U drugoj posudi 10๐ ยท 3 = 30๐.
Prije presipanja u posudama je bilo:
10๐ + 5๐ = 15๐ u prvoj posudi vode
30๐โ 5๐ = 25๐ u drugoj posudi vode
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
36
II naฤin
Prije presipanja: Poslije presipanja:
๐ฅ๐ u prvoj posudi (๐ฅ โ 5)๐ u prvoj posudi
๐ฆ๐ u drugoj posudi (๐ฆ + 5)๐ u drugoj posudi
๐ฅ + ๐ฆ = 40 ๐ฆ = 40 โ ๐ฅ Prema uslovu zadatka je:
3 ยท (๐ฅ โ 5) = ๐ฆ + 5
3 ยท (๐ฅ โ 5) = 40 โ ๐ฅ + 5 โน ๐ฅ = 15
๐ฆ = 40 โ ๐ฅ โน ๐ฆ = 25
U posudama je bilo 15 ๐ i 25 ๐.
63. Amir, Mario i Alen su skupljali sliฤice. Amir i Mario su skupili 206 sliฤica, Alen i Mario
165, a Amir i Alen 183. Koliko je svaki od njih skupio sliฤica ako su ukupno imali 277
sliฤica?
Rjeลกenje:
๐ + ๐ = 206 ๐ + ๐โ =206
+ ๐ = 277 โน ๐ = 71
๐ + ๐ = 165 ๐ = 165 โ 71 = 94
๐ + ๐ = 183 ๐ = 183 โ 71 ๐ = 112
Amir je imao 112, Mario 94, a Alen 71 sliฤicu.
64. Za numerisanje knjige โDerviลก i smrtโ โ Meลกa Selimoviฤ upotrijebljeno je 1290 cifara.
Koliko stranica ima ta knjiga?
Rjeลกenje:
(1290 โ 189): 3 = 367
367 + 90 + 9 = 466
Knjga ima 466 stranica
65. U jednoj ulici kuฤe su numerisane tako da su sa jedne strane kuฤe sa parnim, a sa druge
strane kuฤe sa neparnim brojevima. Sa neparne strane brojevi idu od 1 do 169, a sa parne od
2 do 114. Koliko je cifara (znakova) upotrebljeno za numerisanje svih kuฤa u toj ulici?
Rjeลกenje:
Sa neparne strane je upotrebljeno: 5 ยท 1 + 45 ยท 2 + 35 ยท 3 = 5 + 90 + 105 = 200 cifara.
Sa parne strane je upotrebljeno: 4 ยท 1 + 45 ยท 2 + 8 ยท 3 = 4 + 90 + 24 = 118 cifara.
Ukupno je za numerisanje kuฤa u ulici upotrebljeno: 200 + 118 = 318 cifara.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
37
66. Zbir nekih 20 uzastopnih prirodnih brojeva je 2590. Koji su to brojevi?
Rjeลกenje:
To su brojevi: ๐ฅ, ๐ฅ + 1, ๐ฅ + 2, โฆ, ๐ฅ + 19, ๐ฅ + 20
๐ฅ + ๐ฅ + 1 + ๐ฅ + 2 + โฏ + ๐ฅ + 19 = 2590
20๐ฅ + (9 โ 20 + 10) = 2590
20๐ฅ + 180 + 10 = 2590
20๐ฅ + 190 = 2590
20๐ฅ = 2400
๐ฅ = 120
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
38
Djeljivost u skupu prirodnih brojeva
1. Odredi najmanji prirodni broj zapisan pomoฤu cifara 0 i 4 djeljiv s 15.
Rjeลกenje:
Prirodni broj je djeljiv s 15 ako je djeljiv i s 3 i s 5. Da bi bio djeljiv s 5, zadnja cifra mu
mora biti 0. Da bi bio djeljiv s 3, zbir cifara mu mora biti djeljiv s 3. Najmanji zbroj ฤetvorki
djeljiv s 3 je 4 + 4 + 4. Traลพeni broj je broj 4440.
2. Zadana su tri broja: prvi broj pri dijeljenju sa 9 ima ostatak 6, drugi broj pri dijeljenju sa 9
ima ostatak 4, a treฤi broj pri dijeljenju sa 9 ima ostatak 5. Koliki ostatak pri dijeljenju sa 9
ima njihov zbroj?
Rjeลกenje:
Ti brojevi su oblika 9๐ + 6, 9๐ + 4 i 9๐ + 5. Njihov zbir je
(9๐ + 6) + (9๐ + 4) + (9๐ + 5) = 9๐ + 6 + 9๐ + 4 + 9๐ + 5 = 9๐ + 9๐ + 9๐ + 15.
Poฤetni dio 9๐ + 9๐ + 9๐ je djeljiv s 9, no ostatak pri dijeljenju sa 9 ne moลพe biti 15 ( jer
ostatak ne moลพe biti veฤi od djelitelja ), pa kad joลก i 15 rastavimo, dobijemo da je zbir zadanih
brojeva jednak 9๐ + 9๐ + 9๐ + 9 + 6, otkud zakljuฤujemo da je ostatak pri dijeljenju sa 9
jednak 6.
3. Odredi najmanji ฤetverocifreni broj djeljiv sa brojem 15.
Rjeลกenje:
Najmanji ฤetverocifreni brojevi imaju prvu cifru 1. Zbog djeljivosti s 5 zadnja cifra mu mora
biti 0 ili 5, a zbog djeljivosti s 3 zbir cifara mu mora biti djeljiv sa 3. Ako je zadnja cifra 0, taj
broj izgleda ovako 1 _ _ 0 , a srednje cifre biramo tako da zbir svih cifara bude djeljiv s 3 i da
broj bude ลกto manji, pa dobijemo broj 1020. Ako je zadnja cifra 5, onda taj broj izgleda
ovako 1 _ _ 5, pa srednje cifre mogu biti nule, tj. radi se o broju 1005. Manji od navedenih
brojeva je 1005, pa je to traลพeni broj.
4. Odredi sve prirodne brojeve oblika 9๐6๐9ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ djeljive s 3 kojima su cifre desetice i tisuฤice
prosti brojevi.
Rjeลกenje:
Broj je djeljiv s 3 ako je zbir njegovih cifara djeljiv s 3 pa je zbir
9 + ๐ + 6 + ๐ + 9 = 24 + ๐ + ๐ djeljiv s 3. Kako su ๐ i ๐ prosti brojevi, onda su
๐, ๐ โ {2, 3, 5, 7}. Za ๐ = 2 imamo da je 26 + ๐ djeljiv s 3 pa je ๐ = 7
Za ๐ = 3 imamo da je 27 + ๐ djeljiv s 3 pa je ๐ = 3 Za ๐ = 5 imamo da je 29 + ๐ djeljiv s 3 pa je ๐ = 7 Za ๐ = 7 imamo da je 31 + ๐ djeljiv s 3 pa je ๐ โ {2, 5}. Traลพeni brojevi su 92679, 93639, 95679, 97629, 97659.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
39
5. Odredi najmanji sedmocifren broj 3219๐๐๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ koji je djeljiv sa 90.
Rjeลกenje:
Da bi broj bio djeljiv sa 90 treba biti djeljiv sa 9 i 10. Ako je broj djeljiv sa 10 onda on
zavrลกava sa 0. Na osnovu toga zakljuฤujemo da je naลก broj oblika 3219๐๐0ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ . Kako je broj
djeljiv sa 9 to je i zbir cifara naลกeg broja djeljiv sa 9. Zbir cifara naลกeg broja je 15 + ๐ + ๐.
Da bi ovaj zbir bi djeljiv sa 9, mora biti ๐ + ๐ = 3 ili ๐ + ๐ = 12, tj. cifre ๐ i ๐ su rjeลกenja
ureฤenih parova brojeva: (๐, ๐) = {(0, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 0), (3, 9), (4, 8), (5, 7), (6, 6), (7, 5), (8, 4), (9, 3)}. Zakljuฤujemo da je traลพeni najmanji takav broj koji je djeljiv sa 90, broj
3 219 030.
6. Naฤi sve ลกestocifrene brojeve oblika ๐ฅ2016๐ฆฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ koji su djeljivi sa 36.
Rjeลกenje:
Broj treba biti djeljiv sa 4 i sa 9. Ako bi dati broj bio djeljiv sa 4 onda su traลพeni brojevi
oblika: ๐ฅ20164ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ , ๐ฅ20168ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ . Sada trebamo joลก provjeriti da dati brojevi budu djeljivi sa 9, tj. da
im zbir cifara bude djeljiv sa 9. Za prvi broj imamo sluฤaj 520164, a za drugi 120168.
Dakle, traลพeni brojevi su: 520164 i 120168.
7. Odrediti sve trocifrene brojeve koji su djeljivi sa 4 i ฤiji je proizvod cifara 24.
Rjeลกenje:
Kako je proizvod cifara tih brojeva 24 ti brojevi su saฤinjeni od faktora tog broja. Rastavimo
24 na faktore. Imamo: 24 = 1 โ 2 โ 2 โ 2 โ 3. Dati brojevi moraju biti trocifreni i djeljivi sa 4.
Traลพeni brojevi su: 164, 416.
8. U parku su posaฤeni ruลพini grmovi. Ima ih viลกe od 350, a manje od 400. Koliki je taฤan
broj grmova ako znamo da su saฤeni u redovima, a u svakome je 51 grm?
Rjeลกenje:
Ako je u svakom redu 51 grm, onda je broj grmova djeljiv s 51. Brojevi djeljivi s 51 su:
51, 102, 153, 204, 255, 306, 357, 408 itd. Od svih njih, izmeฤu 350 i 400 se nalazi 357.
Dakle, bilo je taฤno 357 grmova.
9. Odredi sve osmocifrene prirodne brojeve oblika ๐๐๐๐๐๐๐๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ djeljive s 15. Postupak
obrazloลพi.
Rjeลกenje:
Ako je broj djeljiv s 15, onda je djeljiv i s 5 i s 3. Zbog djeljivosti s 5 cifra ๐ zadanog broja
moลพe biti 5 ili 0. Zbog djeljivosti s 3 zbir cifara zadanog broja mora biti djeljiv s 3
1. sluฤaj: ๐ = 0
Zadani osmocifreni broj je oblika ๐๐๐๐0000ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ . Zbir njegovih cifara je 4 โ ๐ pa vrijedi
da je ๐ โ {3, 6, 9}.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
40
Traลพeni brojevi su 33330000, 66660000 i 99990000.
2. sluฤaj ๐ = 5
Zadani osmocifreni broj je oblika ๐๐๐๐5555ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ . Zbir njegovih cifara je 4 โ ๐ + 20 pa
vrijedi da je ๐ โ {1, 4, 7}.
Traลพeni brojevi su 11115555, 44445555 i 77775555.
10. Zadana su dva broja: prvi broj pri dijeljenju sa 7 ima ostatak 3, dok drugi broj pri
dijeljenju sa 7 ima ostatak 4. Koliki ostatak pri dijeljenju sa 7 ima njihov zbir?
Rjeลกenje:
Poลกto prvi broj pri dijeljenju sa 7 ima ostatak 3, on je oblika 7๐ + 3. Drugi broj pri dijeljenju
sa 7 ima ostatak 4, pa je on oblika 7๐ + 4. Pogledajmo njihov zbir:
(7๐ + 3) + (7๐ + 4) = 7๐ + 3 + 7๐ + 4 = 7๐ + 7๐ + 7.
Taj je izraz djeljiv sa 7 jer su svi sabirci djeljivi sa 7. Dakle, njihov zbir pri dijeljenju sa 7 ima
ostatak 0.
11. Odredi cifru ๐ u broju 512๐4 tako da taj broj bude djeljiv sa 36.
Rjeลกenje:
Broj je djeljiv sa 36 ako je istovremeno djeljiv sa 4 i sa 9. Broj je djeljiv sa 4 ako mu je
dvocifreni zavrลกetak djeljiv sa 4, ๐ โ {0 , 2 , 4 , 6 , 8}, tj to su brojevi :
51204 , 51224 , 51264 , 51284. Broj je djeljiv sa 9 ako mu je zbir cifara djeljiv sa 9.
๐ = 6, tj. to je broj 51264. Vidimo da je broj koji se ponavlja 51264 (djeljiv sa 4 i sa 9),
pa je ๐ = 6 rjeลกenje naลกeg zadatka.
12. Orediti razliku najveฤeg i najmanjeg peterocifrenog broja djeljivih sa 127.
Rjeลกenje:
Kako je 10 000: 127 = 78(4) i 99 999: 127 = 787(50), najmanji broj je
127 โ 79 = 10 003. Najveฤi traลพeni broj 999999 โ 50 = 999949.
13. Od ฤetiri proizvoljno odabrana prirodna broja uvijek ฤe se naฤi dva koja pri dijeljenju sa 3
daju isti ostatak. Dokazati!
Rjeลกenje:
Ostaci pri dijeljenju sa 3 mogu biti 0, 1 i 2 (najviลกe 3 razliฤita ostatka). Kako imamo 4 broja a
najviลกe 3 razliฤita ostatka, bar 2 od 4 broja imaju iste ostatke pri dijeljenju sa 3.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
41
14. Zbir dva dvocifrena broja koji se zapisuju istim ciframa a u obrnutom redosljedu je djeljiv
sa 55. Odredi te brojeve.
Rjeลกenje:
๐๐ฬ ฬ ฬ + ๐๐ฬ ฬ ฬ = (10๐ + ๐) + (10๐ + ๐) = 11(๐ + ๐). Zbir takva dva broja je uvijek djeljiv sa 11
pa je potrebno joลก samo da zbir cifara ๐ + ๐ bude djeljiv sa 5. To su brojevi 14 i 41 ili 23 i
32.
15. Razliku najveฤeg i najmanjeg petocifrenog broja s razliฤitim ciframa koji su djeljivi
brojem 15 zaokruลพi na najbliลพu deseticu.
Rjeลกenje:
Vrijedi 15 = 3 โ 5. Iz djeljivosti s 5 slijedi da su cifre jedinica traลพenih petocifrenih brojeva 0
ili 5, a iz djeljivosti s 3 da je zbir njihovih cifara djeljiv sa 3. Najmanji takav broj je 10245, a
najveฤi 98760. Njihova razlika je 88515, a zaokruลพena vrijednost je 88520.
16. Dokaลพi da je zbir tri uzastopna prirodna broja djeljiv sa brojem 3.
Rjeลกenje:
Neka su tri uzastopna prirodna broja ๐, ๐ + 1, ๐ + 2. Ako saberemo ove brojeve
๐ + ๐ + 1 + ๐ + 2 = 3๐ + 3 = 3(๐ + 1). Proizvod je djeljiv sa nekim brojem ako je bar
jedan faktor djeljiv tim brojem, pa zakljuฤujemo da je proizvod 3(๐ + 1) djeljiv sa brojem 3.
17. Naฤi najmanji i najveฤi trocifren prirodan broj koji pri dijeljenju sa 16 ima koliฤnik isti
kao i ostatak .
Rjeลกenje:
Traลพeni broj je 16๐ + ๐ = 17๐, pa se najmanji traลพeni broj dobiva za ๐ = 6, tj.
17 ยท 6 = 102. Najveฤi traลพeni broj se dobiva za ๐ = 15, jer je 15 najveฤi ostatak pri
dijeljenju sa 16, znaฤi 17 ยท 15 = 255.
18. Odrediti najmanji prirodan broj djeljiv sa 36 koji je zapisan samo ciframa 4 i 7.
Rjeลกenje:
Broj koji je djeljiv sa 36 mora da bude djeljiv sa 4 i sa 9. Ako je djeljiv sa 4, a zapisuje se
samo ciframa 7 i 4, on mora da se zavrลกava sa 44. Zbir cifara toga broja treba da bude djeljiv
sa 9, pa kako su sluฤajevi 8 + 1 i 8 + 10, tj. 8 + 4 + 4 + 4 + 7, pa je traลพeni broj
444744 .
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
42
19. Odrediti cifre ๐ i ๐ tako da je 199๐1๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ
12 prirodan broj .
Rjeลกenje:
Da bi traลพeni koliฤnik bio prirodan broj , mora dati broj 199๐1๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ biti djeljiv sa 12, a to znaฤi
sa 3 i 4. Kako dvocifreni zavrลกetak 1๐ฬ ฬ ฬ mora biti djeljiv sa 4, to je ๐ = 2 ili ๐ = 6. Ako je
๐ = 2 onda je zbir cifara datog broja jednak 22 + ๐, pa zbog djeljivosti sa 3, a moลพe biti 2, 5
ili 8. Ako je ๐ = 6, onda je zbir cifara 26 + ๐, pa u tom sluฤaju ๐ moลพe biti 1, 4 ili 7. Svi
traลพeni brojevi su 199116, 199212, 199416, 199512, 199716, 199812.
20. Odrediti najveฤi ฤetverocifreni broj koji pri dijeljenju sa 3, 4, 5, 6 i 7 daje ostatak 2.
Rjeลกenje:
Kako je ๐(3,4,5,6,7) = 3 ยท 2 ยท 2 ยท 5 ยท 7 = 420, traลพeni broj je 420๐ + 2, pri ฤemu je
420๐ + 2 โค 9999. Dakle najveฤi takav broj je 9662 .
21. Odrediti sve vrijednosti cifara ๐ i ๐ tako da razlomak ๐2012๐
36 bude prirodan broj!
Rjeลกenje.
โ da bi razlomak bio prirodan broj, brojnik treba biti djeljiv sa nazivnikom, pa u naลกem
sluฤaju nazivnik treba da je djeljiv sa 4 i 9 istovremeno zato ลกto je 4 โ 9 = 36
โ da bi ๐2012๐ bio djeljiv sa 4 njegov dvocifreni zavrลกetak mora biti djeljiv sa 4 pa cifra
jedinica ๐ moลพe imati jednu od vrijednosti ๐ โ {0, 4, 8}
โ da bi ๐2012๐ bio djeljiv sa 9 zbir njegovih cifara treba da bude djeljiv sa 9
1ยฐ ako je ๐ = ๐ โน 2 + 0 + 1 + 2 + 0 = 5 โน ๐ = ๐
2ยฐ ako je ๐ = ๐ โน 2 + 0 + 1 + 2 + 4 = 9 โน ๐ = ๐
3ยฐ ako je ๐ = ๐ โน 2 + 0 + 1 + 2 + 8 = 13 โน ๐ = ๐
22. Dokaลพi da zbir 6 uzastopnih prirodnih brojeva nikad nije djeljiv sa 2!
Rjeลกenje:
๐ + (๐ + 1) + (๐ + 2) + (๐ + 3) + (๐ + 4) + ๐ + 5 = 6๐ + 15 = 3(2๐ + 5) ล to nije djeljivo sa 2 jer su oba faktora neparni brojevi.
23. Zadana su dva broja: prvi broj pri dijeljenju sa 12 ima ostatak 5, dok drugi broj pri
dijeljenju sa 12 ima ostatak 3. Koliki ostatak pri dijeljenju sa 12 ima njihov zbir ?
Rjeลกenje:
Ti brojevi su oblika 12๐ + 5 i 12๐ + 3, pa je njihov zbir
(12๐ + 5 + 12๐ + 3) = 12๐ + 12๐ + 8
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
43
poฤetni dio 12๐ + 12๐ je djeljiv sa 12, pa je ostatak zbira pri dijeljenju sa 12 jednak 8.
24. Odrediti sve trocifrene prirodne brojeve koji su djeljivi sa 4 i ฤiji je proizvod cifara
jednak 24. Odgovor obrazloลพiti?
Rjeลกenje:
Proizvod 24 je moguฤ u kombinacijama: 1 โ 3 โ 8; 1 โ 4 โ 6; 2 โ 2 โ 6; 2 โ 3 โ 4 .Traลพeni brojevi
su 164, 416, 324 i 432 jer su samo njihovi dvocifreni zavrลกeci djeljivi sa 4, tj. ti brojevi su
djeljivi sa 4.
25. Koji brojevi manji od 100 pri dijeljenju sa 4 i pri dijeljenju sa 20 daju ostatak 1?
Rjeลกenje:
๐(4, 26) = 52
๐ = 52 โ ๐ + 1 < 100 โน ๐ = 0 โจ ๐ = 1
โน ๐ = 1 โจ ๐ = 53
26. U broju 35๐4ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ odredi ๐ tako da broj bude djeljiv sa 12.
Rjeลกenje:
Zbog djeljivosti sa 3 ๐ moลพe biti 0,3,6,9, kako je broj djeljiv i sa 4 od ove ฤetiri cifre ostaje
da ๐ moลพe biti 0 ili 6.
27. U ฤetvorocifrenom broju 32๐ฅ2ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ odredi vrijednost cifre ๐ฅ tako da dobiveni broj bude djeljiv
sa 12.
Rjeลกenje:
Broj je djeljiv sa 12 ako je djeljiv sa 3 i 4. Da bi broj 32๐ฅ2ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ bio djeljiv sa 3, zbir cifara mu
mora biti djeljiv sa 3. Cifra ๐ฅ moลพe biti 2, 5 ili 8. Zbog djeljivosti sa 4, zadnje dvije cifre
moraju biti djeljive sa 4. Od tri sluฤaja (22, 52, 82) je konaฤno rjeลกenje 52 odnosno ๐ฅ = 5.
28. Odredi ฤetverocifrene brojeve oblika ๐ฅ11๐ฆฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ tako da budu djeljivi sa 36.
Rjeลกenje:
Broj ฤe bitidjeljiv sa 36 ako je djeljiv sa 4 i sa 9. Da bi broj bio djeljiv sa 4 treba da bude 1๐ฆฬ ฬ ฬ ฬ djeljivo
sa 4.
Znaฤi da ๐ฆ โ {2, 6}.
Za ๐ฆ = 2 imamo zbir cifara ๐ฅ + 1 + 1 + 2 = ๐ฅ + 4 da bude djeljiv sa 9, znaฤi ๐ฅ = 5 jer je 5 + 4 = 9.
Za ๐ฆ = 6 imamo zbir cifara ๐ฅ + 1 + 1 + 6 = ๐ฅ + 8 da bude djeljiv sa 9, znaฤi ๐ฅ = 1 jer je 1 + 8 = 9.
Traลพeni brojevi su 5112 i 1116.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
44
29. Proizvod pet uzastopnih prirodnih brojeva je broj 95 โ 4 โฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ . Odrediti nepoznate cifre.
Rjeลกenje:
Od pet uzastopnih prirodnih brojeva bar jedan mora biti djeljiv sa 2, bar jedan sa 3 i bar jedan
sa 5, pa proizvod tih pet brojeva mora biti djeljiv i sa 10 i sa 3 .Zbog toga, cifra jedinica mora
biti 0, a ako cifru stotina obiljeลพimo sa ๐, zbir 9 + 5 + ๐ + 4 + 0 mora biti djeljiv sa 3.
Slijedi da je ๐ โ {0, 3, 6, 9}. Provjerom za svako ๐ iz ovog skupa slijedi da je jedino za ๐ = 0
dobiveni broj proizvod 5 uzastopnih brojeva i to 95040 = 8 โ 9 โ 10 โ 11 โ 12.
30. Ako se brojevi 8746 i 1652 podijele jednim istim brojem dobiju se redom ostaci 16 i 14.
Odredi broj kojim je vrลกeno dijeljenje .
Rjeลกenje:
Uvrstimo redom ostatke te ih oduzmimo od mjernih brojeva 8746โ16 i 1652โ 14, pa
dobijemo 8730 i 1638. Ovi brojevi djeljivi su sa 2, 9 i 18. Meฤutim, ostaci dijeljenja su 16 i
14, a koliฤnik mora biti veฤi od ostatka, pa je traลพeni zajedniฤki djelilac 18.
31. Odredi najmanji ฤetverocifreni broj djeljiv sa brojem 72 koji ima sve cifre razliฤite.
Rjeลกenje:
1008
32. Napiลกi: a) najveฤi, b) najmanji petocifreni broj ฤija je cifra jedinica 7, a koji je djeljiv
brojem 9.
Rjeลกenje:
a) 99927
b) 10017
33. Napiลกi najmanji i najveฤi ฤetverocifreni broj djeljiv sa 15.
Rjeลกenje:
9990, 1005
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
45
Razlomci
1. Aida sa 77 koraka jednake duลพine preฤe 67๐, a Alen sa 88 koraka jednake duลพine preฤe
78๐. ฤiji korak je duลพi i za koliko?
Rjeลกenje:
Aidin korak:
67
77๐ =
67 โ 8
77 โ 8๐ =
536
616๐
Alenov korak:
78
88๐ =
78 โ 7
88 โ 7๐ =
546
616๐
Alenov korak je duลพi za:
546
616๐ โ
536
616๐ =
10
616๐ =
5
308๐
2. Naฤi prosti broj ๐ tako da vaลพi 4
21<
3
๐<
6
17
Rjeลกenje:
4
21<3
๐<6
17
12
63<12
4๐<12
34
34 < 4๐ < 63 โน ๐ โ {11, 13}
3. Brojnik i nazivnik se razlikuju za 72. Skraฤivanjem se dobije 7
15 koji je to razlomak?
Rjeลกenje:
๐
๐=7 โ ๐
15 โ ๐, ๐ = ๐ โ 72,
๐ โ 72
๐=7 โ ๐
15 โ ๐, 7๐ = ๐ โ 72
๐ = 15๐
7๐ = 15๐ โ 72 โน ๐ = 9, ๐ = 135, ๐ = 63
4. Bez dijeljenja i bez dovoฤenja na zajedniฤki imenilac uporediti razlomke 577
777 i 5777
7777.
Rjeลกenje:
Posmatrajmo:
1 โ577
777=777 โ 577
777=200 โ 10
777 โ 10=2000
7770
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
46
1 โ5777
7777=7777 โ 5777
7777=2000
7777
Kako je
2000
7770>2000
7777 โน
577
777<5777
7777
5. Odredi sve parove prirodnih brojeva ๐ฅ i ๐ฆ za koje vrijedi ๐ฅ
5โ2
๐ฆ=4
5.
Rjeลกenje:
Provjerom za ๐ฅ โ {1, 2, โฆ , 8} dobivaju se dva rjeลกenja: ๐ฅ = 6, ๐ฆ = 5 i ๐ฅ = 9, ๐ฆ = 2.
6. ล ta je veฤe: a) 11
36 ili
55
279;
b) 676
667 ili
2027
2002
Rjeลกenje:
a) Proลกirivanjem prvog razlomka sa 5 , dobivamo 11
36=
55
280 โน
11
56<
55
279.
b) Proลกirivanjem sa 3 imamo 676
667=2028
2001 โน
2028
2001>2028
2002>2027
2002.
7. Uporediti razlomke: 19
98,1919
9898,191919
989898.
Rjeลกenje:
Drugi i treฤi razlomak mogu da se skrate : 1919
9898=19โ 101
98โ 101=19
98 i 191919
989898=19โ 10101
98โ 10101=19
98 pa
zakljuฤujemo da su svi razlomci jednaki.
8. Odredi sve proste brojeve ๐ za koje vaลพi 8
63<
1
๐<2
5.
Rjeลกenje:
Ako posmatramo reciproฤne vrijednosti, treba da bude 5
2< ๐ <
63
8 odnosno 3 โค ๐ โค 7 pa je
๐ โ {3, 5, 7}.
9. ล ta je veฤe 3โ5โ
36 ili
5โ3โ
45 ako umjesto zvjezdica mogu da stoje bilo koje cifre .
Rjeลกenje:
Najveฤa moguฤa vrijednost razlomka 3โ5โ
36 je
Najmanja moguฤa vrijednost razlomka 5โ3โ
45 je
3959
36<3600+360
36= 110
5030
45>4500+450
45= 110
} โน3โ5โ
36< 110 <
5โ3โ
45
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
47
10. Odrediti sve prirodne brojeve ๐ tako da vaลพi nejednakost 3
8<
๐
12<11
18.
Rjeลกenje:
๐๐๐(8, 12, 18) = 72 3
8<
๐
12<11
18 โน
27
72<6๐
72<44
72 โน 27 < 6๐ < 44 โน ๐ โ {5, 6, 7}
11. Odrediti ๐, ๐, ๐ ako je 1 +1
๐+1
๐+1๐
=43
50.
Rjeลกenje:
43
50= 1 +
13
30= 1 +
1
3013
= 1 +1
2 +413
= 1 +1
2 +1134
= 1 +1
2 +1
3 +14
โ dakle, dobili smo 1 +1
๐+1
๐+1๐
= 1 +1
๐+1
๐+1๐
odakle zakljuฤujemo da je ๐ = 2, ๐ = 3, ๐ = 4
12. Naฤi sve razlomke sa jednocifrenim imeniocem od kojih je svaki veฤi od 7
9 a manji od
8
9
Rjeลกenje:
Razlomke 7
9 i 8
9 redom proลกirimo brojevima 2, 3, โฆ , 8 i dobivamo razlomke:
par 14
18, 16
18 , izmeฤu je razlomak
15
18=5
6
par 21
27, 24
27 , izmeฤu su razlomci
22
27 i 23
27
par 28
36, 32
36 , od parova izmeฤu, moลพe se jedino par
30
36 skratiti,
30
36=5
6 (pronaฤeno
rjeลกenje)
par 35
45, 40
45 , zadovoljava razlomak
36
45=4
5
par 42
54, 48
54 , jedan par se moลพe kratiti:
45
54=5
6 ( pronaฤeno rjeลกenje)
par 49
63, 56
63 , jedan par zadovoljava:
54
63=6
7
par 56
72, 64
72 , dva se mogu kratiti:
60
72=5
6 i 63
72=7
8
Traลพeni razlomci: 5
6 , 7
8 , 4
5 , 6
7 .
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
48
13. Uฤenik je proฤitao knjigu za tri dana. Prvog dana je proฤitao 3
8 knjige, drugog dana
5
12
knjige, a treฤeg dana 1
6 knjige i joลก 10 stranica. Koliko je stranica imala knjiga?
Rjeลกenje:
Uฤenik je za tri dana proฤitao: 1
3+
5
12+1
6=
9
24+10
24+
4
24=23
24 dijela knjige, bez posljednjih
stranica. Proizilazi da je upravo 1
24 knjige tih 10 stranica. Dakle, knjiga ima 240 stranica.
14. Odredite razlomku 3
5 jednak razlomak u kome je zbir brojnika i nazivnika 56.
Rjeลกenje:
3๐ฅ + 5๐ฅ = 56 โน ๐ฅ = 7 3
5=21
35
15. 15% nekog broja daje broj 1800. Koji je to broj?
Rjeลกenje:
15
100โ ๐ฅ = 1800 โน ๐ฅ = 12000
16. Odredi sve ฤetvorocifrene brojeve oblika ๐๐๐๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ djeljive sa 45.
Rjeลกenje:
๐ moลพe biti samo 5, zbog toga ๐ moลพe biti samo 4, pa je jedino rjeลกenje 5445
17. Sam lav moลพe pojesti ovcu za 2 sata, vuk za 3 sata, a pas za 6 sati. Za koje vrijeme bi oni
zajedno pojeli ovcu?
Rjeลกenje:
1
2๐ฅ +
1
3๐ฅ +
1
6๐ฅ = 1 โน ๐ฅ = 1
18. Kojim brojem moramo pomnoziti zbir brojeva 31
2 i 2
1
3 da bismo dobili raziku tih brojeva.
Rjeลกenje:
๐ฅ (7
2+7
3) =
7
2โ 7
3
๐ฅ โ 35
6=7
6 โน ๐ฅ =
7
6:35
6 โน ๐ฅ =
7
6โ 6
35 โน ๐ฅ =
1
5
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
49
19. Na ลกkolskom takmiฤenju iz matematike uฤestvovala je 1
3 uฤenika jednog odjeljenja od
kojih na opฤinsko takmiฤenje nije se plasiralo 8 uฤenika, tako da je na opฤinskom takmiฤenju
uฤestvovala 1
9 uฤenika tog odjeljenja. Koliko uฤenika ima u tom odjeljenju?
Rjeลกenje:
I naฤin
Poลกto je 1
3 isto ลกto i
3
9 uฤenika jednog odjeljenja uฤestvovalo na ลกkolskom takmiฤenju. Kako je
na opฤinskom takmiฤenju uฤestvovala 1
9 uฤenika, znaฤi
3
9โ1
9=2
9 uฤenika istog odjeljenja nije
plasirano tj. 8 uฤenika.
Ako 2
9 uฤenika jednog odjeljenja je 8 uฤenika, znaฤi da je
1
9 uฤenika toga odjeljenja 4 uฤenika.
U odjeljenju je 4 ยท 9 = 36 uฤenika.
II naฤin
Ako je ๐ฅ โbroj uฤenika odjeljenja.
1
3๐ฅ โ
1
9๐ฅ = 8 โน ๐ฅ = 3
U odjeljenju je 36 uฤenika.
20. Bez dijeljenja i bez dovoฤenja na zajedniฤki imenilac razlomaka 599
799 i 5999
7999 utvrditi koji je
od datih razlomaka veฤi.
Rjeลกenje:
1 โ599
799=200
799=2000
7990
1 โ5999
7999=2000
7999
Dopuna do jedinice prvog razlomka je veฤa, pa je 599
799<5999
7999.
21. Neko potroลกi najprije 2
3 novca koji je imao, zatim
5
9 ostatka, potom joลก
3
8 novog ostatka.
Poslije toga mu je ostalo joลก 200๐พ๐. Koliko je novca imao na poฤetku?
Rjeลกenje:
1 โ3
5=2
5, dakle ostatak je
2
5. Zatim potroลกi
5
9โ 2
5=2
9 cijele sume, pa je novi ostatak1 โ
(3
5+2
9) =
8
45 od cijele sume. Od toga potroลกi
3
8 ili
3
8โ 8
45=
1
15 cijele sume. Ukupno je potroลกio
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
50
37
45+
1
15=8
9, tj. ostala je
1
9 cijele sume, ลกto iznosi 200๐พ๐. Dakle, ukupna suma je iznosila
1800๐พ๐.
22. Tri domaฤice kupe izvjestan broj jaja manji od 100. Prva domaฤica uzme treฤinu svih jaja,
druga domaฤica uzme treฤinu ostatka, a zatim treฤa domaฤica uzme treฤinu preostalih jaja.
Jaja koja su preostala poslij toga domaฤice su meฤusobno podijelile na jednake dijelove.
Koliko je bilo jaja? Koliko je uzela svaka domaฤica?
Rjeลกenje:
Prva domaฤica je uzela 1
3, druga
1
3โ 2
3=2
9 (ostatak jaja: 1 โ (
1
3+2
9) =
4
9), treฤa
1
3โ 4
9=
4
27.
Ostalo je 8
27 ลกto je djeljivo sa 3, pa je svaka dobila po
8
81 ostatka, ลกto znaฤi da je bilo ukupno
81 jaje, pa je prva domaฤica uzela 35, druga 26 i treฤa 20 jaja.
23. Odredi ๐ โ ๐ ako je n+8
nโ2 prirodan broj.
Rjeลกenje:
n + 8
n โ 2=n โ 2 + 10
n โ 2=n โ 2
n โ 2+
10
n โ 2= 1 +
10
n โ 2
10
nโ2 je prirpdan broj ako mu nazivnik ๐ โ 2 โ {1, 2, 5, 10}. Sada je:
๐ โ 2 = 1 pa je ๐ = 3
๐ โ 2 = 2 pa je ๐ = 4
๐ โ 2 = 5 pa je ๐ = 7
๐ โ 2 = 10 pa je ๐ = 12
Dakle, ๐ moลพe biti: 3, 4, 7 i 2
24. Odredi ๐ โ ๐ ako je 3n+5
nโ3 prirodan broj.
Rjeลกenje:
๐1 = 4, ๐2 = 5, ๐3 = 10 i ๐4 = 17
25. Rijeลกi jednadลพbu 1
5(2 + ๐ฅ) + 30(4 + ๐ฅ) = 98(8 โ ๐ฅ) โ
3(5๐ฅโ1)
14
Rjeลกenje:
1
5(2 + ๐ฅ) + 30(4 + ๐ฅ) = 98(8 โ ๐ฅ) โ
3(5๐ฅ โ 1)
14 โน ๐ฅ =
46467
9049= 5
1222
9049
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
51
26. Odredi sve vrijednosti prirodnog broja ๐ tako da je taฤna nejednakost 1
3โค๐
6<3
4.
Rjeลกenje:
1
3โค๐
6<3
4 โน
4
12โค2๐
12<9
12โน 4 โค 2๐ < 9 โน ๐ โ {2, 3, 4}
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
52
Zadaci za sedmi razred
Cijeli brojevi
Racionalni brojevi
Trougao
Diofant4 u skladu sa tadaลกnjim razvjem matematike je pod pojmom broj
podrazumijevao samo cijele pozitivne brojeve. Za njega je jednadลพba 4๐ฅ + 20 = 0 bila
besmislena jer je rjeลกenje negativan broj. On pozitivne brojeve naziva brojevi za sabiranje
(sabirajuฤi brojevi), a negativne brojevi za oduzimanje (oduzimajuฤi brojevi) i navodi
pravila za njihovo mnoลพenje:
Broj za oduzimanje pomnoลพen sa brojem sa oduzimanjem daje broj za sabiranje.
Broj za oduzimanje pomnoลพen sa brojem za sabiranje daje broj za oduzimanje.
Brahmagupta5 pozitivne brojeve predstavlja kao imetak, a negativne brojeve kao dug te
navodi pravila za sabiranje:
Zbir dva imetka je imetak, dva duga je dug, imetka i duga njihova razlika, a ako su
jednaki nula. Zbir nule i duga je dug, imetka i nule imetak, a dvije nule je nula.
Bhaskara6 negativan broj oznaฤava tako da iznad njega stavlja taฤku. On je dao pravila za
mnoลพenje i dijeljenje negativnih brojeva:
Proizvod dva imetka ili dva duga je imetak, proizvod imetka i duga je dug, a isto tako je i u
dijeljenju.
4 Diofant (starogrฤki ฮฮนฯฯฮฑฮฝฯฮฟฯ แฝ แผฮปฮตฮพฮฑฮฝฮดฯฮตฯฯ) je bio starogrฤki matematiฤar, ลพivio je oko 250. godine nove ere. Njegov rad je saฤuvan u
ลกest saฤuvanih (sedam dijelova je izgubljeno) poglavlja djela โAritmetikaโ koji je bila najstarije sistematsko djelo o algebri. Dao je veliki
doprinos u napretku algebre upotrebom simbola za veliฤine i matematiฤke operacije i odnose koje su se prije Diofanta opisivale rijeฤima. 5 Brahmagupta je bio indijski matematiฤar i astronom koji je ลพivio u periodu od 589. do 668. godine. Sabiranje, oduzimanje, dijeljenje i druge
fundamentalne operacije sa arapskim brojevima prvi puta se pojavljuju u njegovom djelu โBramasputa Sidantaโ.โBramaguptasidantaโ je
najstariji poznati tekst koji nulu tretira kao broj po sebi. U ovom djelu se navode i pravila za aritmetiku sa negativnim brojevima i nulom, koja su vrlo blizu danaลกnjih shvatanja. 6 Bhaskara bio je indijski matematiฤar i astronom koji je ลพivio u periodu od 1114. do 1185. godine. Njegovo djelo โBijaganitaโ(โAlgebraโ)
koje je saฤinjeno od 12 dijelova je jedno od najznaฤajnijih djela u kojem se prvi puta spominje da kvadratni korijen ima dva znaka, kao i mnoga pravila vezana za skup cijelih brojeva.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
53
Cijeli brojevi
1. Cifra jedinica nekog broja je 0. Ako je izbriลกemo tada se taj broj smanji za 37215. Koji je
to broj?
Rjeลกenje: Ako se u nekom broju izbriลกe zadnja cifra nula onda se on smanji deset puta. Naka je traลพeni
broj ๐ฅAko u njemu izbriลกemo posljednju cifru dobijamo broj ๐ฅ
10. Sada imamo jednaฤinu po
tekstu zadatka: ๐ฅ
10+ 37215 = ๐ฅ โน ๐ฅ = 41350. Traลพeni broj je 41350.
2. Izraฤunati zbir i proizvod 20 uzastopnih cijelih brojeva ako je meฤu njima 8 pozitivnih.
Rjeลกenje:
Radi se o slijedeฤim brojevima: 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, โ1, โ2, โ3, โ4, โ5, โ6, โ7, โ8,
โ9, โ10, โ11. Odmah je oฤito da je njihov proizvod jednak broju 0, jer jedan faktor je nula.
Zbir ovih nabrojanih brojeva iznosi:โ9 โ 10 โ 11 = โ30, jer je zbir suprotnih brojeva 0.
3. Dokazati da je 10๐+8
18 prirodan broj.
Rjeลกenje:
Treba pokazati da je dati broj djeljiv sa 18, tj da je djeljiv i sa 2 i sa 9. Broj 10๐ = 10000. . .0โ ๐
pa je broj 10๐ = 10๐ + 8 = 10000. . .0โ ๐โ1
8 odakle zakljuฤujemo da mu je posljednja cifra 8 pa
je taj broj djeljiv sa 2. Zbir cifara naลกeg broja je takoฤer djeljiv sa 9 odakle zakljuฤujemo da i
dat broj djeljiv sa 9. Samim tim djeljiv je i sa 18, pa je broj 10๐+8
18 prirodan.
4. U skupu cijelih brojeva rijeลกi jednadลพbu ๐ฅ๐ฆ โ 3๐ฅ + ๐ฆ = 5.
Rjeลกenje:
U jednadลพbi ๐ฅ๐ฆโ3๐ฅ + ๐ฆ = 5 izrazimo jednu nepoznanicu pomoฤu druge, tj. ๐ฆ =5+3๐ฅ
๐ฅ+1.
Dalje je lako uoฤiti da ฤe ๐ฆ biti cijeli broj samo ako je ๐ฅ + 1 djelitelj broja 2. Dakle, ๐ฅ + 1
moลพe biti 1, โ1, 2, โ2. To znaฤi da ๐ฅ moลพe biti 0, โ2, 1, โ3. Slijedi da su rjeลกenja (0, 5),
(โ2, 1), (1, 4), (โ3, 2).
5. Brat je 4 puta stariji od sestre, a sestra je 9 godina mlaฤa od brata. Koliko godina ima
sestra, a koliko brat?
Rjeลกenje:
Ako sestra ima ๐, brat ima 4๐ godina i vrijedi 4๐ โ ๐ = 9, otkud slijedi ๐ = 3. Sestra ima 3,
a brat 12 godina.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
54
6. Odredi sve cijele brojeve ๐ฅ za koje je 2๐ฅ+35
๐ฅ takoฤer cijeli broj.
Rjeลกenje:
2๐ฅ + 35
๐ฅ=2๐ฅ
๐ฅ+35
๐ฅ= 2 +
35
๐ฅโน ๐ฅ โ {โ35,โ7,โ5,โ1, 1, 5, 7, 35}
7. Dat je skup ๐ด = {๐ฅ โ โค| 2 โค |๐ฅ| โค 5 }. Odrediti maksimalnu razliku dva broja iz skupa ๐ด.
Rjeลกenje:
2 โค |๐ฅ| โค 5 โบ (โ5 โค ๐ฅ โค โ2 โจ 2 โค ๐ฅ โค 5)๐ฅ โ {โ5,โ4,โ3,โ2, 2, 3, 4, 5} Dakle, ๐ด = {โ5,โ4, โ3,โ2, 2, 3, 4, 5}. Maksimalna razlika se dobije oduzimanjem od
najveฤeg najmanji element skupa ๐ด, tj. 5 โ (โ5) = 10.
8. ล kolskoj biblioteci svaki od 10 uฤenika je poklonio po nekoliko knjiga ลกto ukupno iznosi
56 knjiga. Najviลกe 10 knjiga je poklonila Lejla. Dokazati da su bar tri uฤenika poklonila isti
broj knjiga.
Rjeลกenje:
Preostalih 9 uฤenika su poklonili ukupno 46 knjiga. Ako bi svih 9 poklonili razliฤit broj
knjiga onda bi taj zbir iznosio 1 + 2 + 3 +โฏ+ 9 =9โ10
2= 45 knjiga. Kako su oni poklonili
46, bar 2 uฤenika su poklonila isti broj knjiga.
9. Ali je uลกao u ฤetiri trgovine. U svakoj trgovini je troลกio polovinu sume i na izlazu ubacivao
po 1๐พ๐ za Narodnu kuhinju. Kada je izaลกao iz ฤetvrte trgovine ostao je bez ijednog ๐พ๐. Sa
koliko ๐พ๐ je uลกao u prvu trgovinu?
Rjeลกenje:
U ฤetvrtu trgovinu je uลกao sa 2๐พ๐(1๐พ๐ potroลกio i 1๐พ๐ dao za Narodnu kuhinju).
U treฤu trgovinu je uลกao sa 6๐พ๐ (3๐พ๐ potroลกio i 1๐พ๐ dao za Narodnu kuhinju)
U drugu trgovinu je uลกao sa 14๐พ๐ i u prvu je uลกao sa 30๐พ๐.
10. Za koji prost broj ๐ je vrijednost razlomka 2๐โ24
13โ๐ cjelobrojana? Kolika je ta cjelobrojna
vrijednost razlomka?
Rjeลกenje:
2๐ โ 24
13 โ ๐=2๐ โ 24
โ๐ + 13=โ2 โ (โ๐ + 13) + 2
โ๐ + 13= โ2 +
2
โ๐ + 13
Da bi dati razlomak bio cjelobrojan mora biti (โ๐ + 13) โ {โ2,โ1,1,2}, odnosno
โ๐ โ {โ15,โ14, โ12,โ11}, odnosno ๐ โ {11, 12, 14, 15}. Kako je ๐ prost broj,
๐ = 11 โ2๐ โ 24
โ๐ + 13=2 โ 11 โ 24
โ11 + 13=โ2
2= โ1 โ ๐
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
55
11. Odredi sve cijele brojeve ๐ za koje je 5๐โ7
๐โ2 takoฤer cijeli broj.
Rjeลกenje:
5๐ โ 7
๐ โ 2=5(๐ โ 2) + 3
๐ โ 2= 5 +
3
๐ โ 2
๐ โ 2 mora biti djeljitelj broja 3, pa ๐ โ {โ1, 1, 3, 5}
12. Odredi zbir cjelobrojnih rjeลกenja nejednaฤine |๐ฅ โ 1| < 6.
Rjeลกenje:
Data nejednaฤina je ekvivalentna sa โ6 < ๐ฅโ 1 < 6, odnosno sa โ5 < ๐ฅ < 7. Prema tome,
cjelobrojna rjeลกenja nejednaฤine su โ4, โ3, โ2, โ1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 i 6, a njihov zbir je 11 .
13. Izraฤunaj vrijednost izraza
2000๐ฅ โ 2001๐ฅ + 2002๐ฅ โ 2003๐ฅ + 2004๐ฅ โ 2005๐ฅ + 2006๐ฅ โ 2007๐ฅ
ako je ๐ฅ negativno rjeลกenje jednaฤine |๐ฅ| = 2008.
Rjeลกenje:
๐ฅ = โ2008, pa je vrijednost izraza 8032.
14. Odredi sve parove cijelih brojeva ๐ฅ i ๐ฆ za koje vrijedi ๐ฅ2 โ |๐ฆ| = 2009.
Rjeลกenje:
Rastavljanja broja 2009 su 2009 = 49 โ 41 = 7 ยท 287 = 1 โ 2009 . Kako nijedan od brojeva
7 i 287 nije kvadrat nekog cijelog broja, dobijamo da je ๐ฅ2 = 49 i |๐ฆ| = 41 ili ๐ฅ2 = 1 i
|๐ฆ| = 2009. Dakle, sva rjeลกenja su: (๐ฅ, ๐ฆ) โ {(7, 41), (7, โ41), (โ7, 41), (โ7,โ41),
(1, 2009), (1, โ2009), (โ1, 2009), (โ1,โ2009)}.
15. Majka i kฤerka su roฤene u istom vijeku. Koliko godina je majka starija od kฤerke ako je
danas proizvod njihovih godina 2010 ?
Rjeลกenje:
Kako je 2010 = 2 ยท 3 ยท 5 โ 67 i kako su majka i kฤerka roฤene u istom vijeku, to je jedino
moguฤe da majka ima 67 godina, a kฤerka 2 ยท 3 ยท 5 = 30 godina.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
56
16. Dati su skupovi ๐ด = {โ5 , โ4 , โ2 , 1 , 3} i ๐ต = {โ 3, โ 1, 0 , 2}. Odredi elemente skupa
๐ถ = {๐|๐ = |๐ + ๐|, ๐ โ ๐ด, ๐ โ ๐ต}.
Rjeลกenje:
Uzimajuฤi redom vrijednosti za ๐ i ๐ iz skupova ๐ด i ๐ต, i raฤunajuฤi vrijednost izraza |๐ + ๐|,
dobivamo elemente skupa ๐ถ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
17. Odredi cijele brojeve ๐, ๐ i prost broj ๐ takve da je |๐ โ ๐| โ ๐ = 4022.
Rjeลกenje:
Ako je ๐ = 2, tada je moguฤe naฤi 8 rjeลกenja, ฤetiri za ๐ โ {โ2011, 2011} i ๐ โ {โ1, 1} i
ฤetiri za ๐ โ {โ1, 1} i ๐ โ {โ2011, 2011}. Ako je ๐ = 2011 , tada je moguฤe naฤi joลก 8
rjeลกenja, ฤetiri za ๐ โ {โ1, 1} i ๐ โ {โ2, 2} i ฤetiri za ๐ โ {โ2, 2} i ๐ โ (โ1, 1).
18. Odrediti ๐ โ โค ako je 5๐+26
๐+1 cijeli broj.
Rjeลกenje:
5๐ + 26
๐ + 1=5๐ + 5 + 21
๐ + 1=5(๐ + 1) + 21
๐ + 1=5(๐ + 1)
๐ + 1+
21
๐ + 1= 5 +
21
๐ + 1
Da bi razlomak 21
๐+1 bio cijeli broj njegov brojnik mora biti djeljiv sa nazivnikom, a da bi to
vrijedilo parametar ๐ mora da ima slijedeฤe vrijednosti ๐ โ {โ8,โ4, 0, 2, 6}
19. Neka je ๐ด = {๐ฅ โ โค|7
2๐ฅ+1โ โค} i ๐ต = {๐ฆ โ โค||3๐ฆ + 1| โค 10}. Odrediti:
a) elemente skupova ๐ด i ๐ต;
b) maksimalnu vrijednost broja ๐ค = ๐ฅ + ๐ฆ, pri ฤemu je ๐ฅ โ ๐ด i ๐ฆ โ ๐ต.
Rjeลกenje:
a)
Da bi razlomak 7
2๐ฅ+1 bio cijeli broj njegov brojnik mora biti djeljiv sa nazivnikom, a da bi to
vrijedilo parametar ๐ฅ mora da ima slijedeฤe vrijednosti ๐ฅ โ {โ4, 0, 3} jer je npr.
7
2 โ (โ4) + 1=7
โ7= โ1 โ โค
๐ด = {โ4, 0, 3}
โ da bi nejednakost |3๐ฆ + 1| โค 10 bila taฤna parametar ๐ฆ mora da ima slijedeฤe vrijednosti
๐ฆ โ {โ3,โ2,โ1, 0, 1, 2, 3} jer je npr. |3 โ (โ3) + 1| = |โ9 + 1| = |โ8| = 8 โค 10
๐ต = {โ3,โ2,โ1, 0, 1, 2, 3}
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
57
b)
Da bi broj ๐ค imao maksimalnu vrijednost to parametri ๐ฅ i ๐ฆ moraju imati maksimalne
vrijednosti iz skupova kojima pripadaju tj. ๐ฅ = 3, ๐ฆ = 3, pa je ๐ค๐๐๐ฅ = 3 + 3 = 6
20. Rep ribe ima 4๐๐. Glava onoliko koliko rep i pola trupa, a trup onoliko koliko i rep
zajedno. Koliko kilograma ima cijela riba?
Rjeลกenje:
๐บ๐๐๐ฃ๐ = ๐๐๐๐ ๐ก๐๐ข๐๐ + 4๐๐ ๐๐๐ข๐ = ๐๐๐๐ฃ๐ + 4 ๐๐ ๐๐๐ข๐ = ๐๐๐๐ ๐ก๐๐ข๐๐ + 4๐ + 4๐๐ ๐๐๐ข๐ = ๐๐๐๐ ๐ก๐๐ข๐๐ + 8๐๐
๐ =1
2๐ก + 8/โ 2
2๐ก = ๐ก + 16 ๐ = 16 ๐๐
๐บ๐๐๐ฃ๐ = ๐๐๐๐ ๐ก๐๐ข๐๐ + 4๐๐ = 8 + 4 = 12 ๐๐ ๐ถ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐ = ๐ก๐๐ข๐ + ๐๐๐๐ฃ๐ + ๐๐๐ = 16 + 12 + 4 = 32 ๐๐
Cijela riba ima 32 ๐๐.
21. Za koje sve prirodne brojeve ๐ razlomak ๐+89
๐โ2 je prirodan broj?
Rjeลกenje:
๐ + 89
๐ โ 2=๐ โ 2 + 2 + 89
๐ โ 2=๐ โ 2
๐ โ 2+
91
๐ โ 2= 1 +
91
๐ โ 2
Kako je 91 = 7 โ 13 imamo ฤetiri moguฤnosti
1) ๐ โ 2 = 1 pa je ๐ = 3
2) ๐ โ 2 = 7 pa je ๐ = 9
3) ๐ โ 2 = 13 pa je ๐ = 15
4) ๐ โ 2 = 91 pa je ๐ = 93.
22. Na jednoj ekskurziji 60 uฤenika sedmog razreda smjeลกteno je u nekom hotelu tako da su
djevojฤice smjeลกtene u trokrevetne, a djeฤaci u ฤetverokrevetne sobe. Koliko je bilo
djevojฤica, a koliko djeฤaka ako je upotrebljena jedna ฤetverokrevetna soba viลกe nego
trokrevetnih i sve su sobe bile pune?
Rjeลกenje:
Sa ๐ oznaฤimo broj trokrevetnih soba, a ๐ + 1 broj ฤetverokrevetnih soba. U ๐ trokrevetnih
soba bilo je 3 โ ๐ djevojฤica, a u ๐ + 1 ฤetverokrevetnih soba 4 โ (๐ + 1) djeฤaka. Ukupno ih
je bilo:
3๐ + 4(๐ + 1) = 60, otkud dobivamo ๐ = 8. Dakle, bile su 24 djevojฤice i 36 djeฤaka.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
58
23. ฤetiri uฤenika sedmog razreda: Ivan, Jasmin, Mirza i Marko skupljali su stare boce. Ivan i
Jasmin skupili su jednaki broj boca. Mirza je skupio dva puta viลกe od Ivana, a Marko je
skupio 3 puta viลกe od Mirze. Koliko je boca skupio svaki uฤenik ako su sva ฤetvorica skupila
ukupno 150 boca?
Rjeลกenje:
Ako je Ivan skupio ๐ boca, Jasmin ih je takoฤer skupio ๐, Mirza 2๐, a Marko 6๐. Ukupno su
ih skupili: ๐ + ๐ + 2๐ + 6๐ = 150, pa je ๐ = 15. Dakle, Ivan je skupio 15, Jasmin takoฤer
15, Mirza 30, a Marko 90 boca.
24. Za koje vrijednosti promjenljive je izraz โ7(โ2 โ 3๐ฅ) veฤi od koliฤnika brojeva โ49 i
7?
Rjeลกenje:
โ7(โ2 โ 3๐ฅ) > โ49: 7
โ7(โ2 โ 3๐ฅ) > โ7
โ2 โ 3๐ฅ < (โ7): (โ7)
โ2 โ 3๐ฅ < 1
โ3๐ฅ < 1 + 2
โ3๐ฅ < 3
๐ฅ > 3: (โ3)
๐ฅ > โ1
25. Popuni prazna polja magiฤnog kvadrata tako da zbirovi u svim vrstama, kolonama i
dijagonalama budu jednaki.
โ11 โ9
โ3
Rjeลกenje:
โ11 ๐๐ โ9
โ๐ โ3 โ๐
๐ โ๐๐ ๐
๐ฅ โ (โ1,+โ)
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
59
26. Izraฤunaj razliku zbira svih neparnih i zbira svih parnih prirodnih brojeva manjih od
2007.
Rjeลกenje:
(1 + 3 + 5 +โฏ+ 2003 + 2005) โ (2 + 4 + +6 +โฏ+ 2004 + 2006) =
= (1 โ 2) + (3 โ 4) + (5 โ 6) + โฏ+ (2003 โ 2004) + (2005 โ 2006) =
= โ1 โ 1 โ 1 โโฏโ 1 โ 1 = โ1003
27. Odredi sve cijele brojeve ๐ koji zadovoljavaju dvostruku nejednakost 4
5<1โ๐
15< 1.
Rjeลกenje:
12
15<1 โ ๐
15<15
15 โน 12 < 1 = ๐ < 15 โน 11 < โ๐ < 14 โน โ14 < ๐ < โ11
โน ๐ โ {โ13,โ12}
28. Zbir pet uzastopnih prirodnih brojeva je 1375. Naฤi te brojeve.
Rjeลกenje:
๐ โ 2 + ๐ โ 1 + ๐ + ๐ + 1 + ๐ + 2 = 1375 โน 5๐ = 1375 โน ๐ = 275
Traลพeni brojevi su 273, 274, 275, 276 i 277.
29. Zbir dva broja je 47. Ako prvi broj pomnoลพimo sa drugim dobije se koliฤnik 2 i ostatak
5. Naฤi te brojeve.
Rjeลกenje:
๐ + ๐ = 47
๐: ๐ = 2(โ5)
๐ = 2๐ + 5
47 โ ๐ = 2๐ + 5
47 โ 5 = 3๐
3๐ = 42
๐ = 14
๐ = 47 โ 14
๐ = 33
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
60
30. Ako neki broj oduzimaลก od proizvoda brojeva โ3 i โ12 dobijeลก koliฤnik brojeva โ54 i 6.
Koji je to broj?
Rjeลกenje:
โ3 โ (โ12) โ ๐ฅ =โ54
6 โน ๐ฅ = 45
31. Odredi sve cjelobrojene vrijednosti ๐ฅ za koje je vrijednost razlomka 2๐ฅ+7
๐ฅโ4 cio broj
Rjeลกenje:
๐ฅ โ {โ11,โ1, 1, 3, 5, 7, 9, 19}
32. Odredi sve cijele vrijednosti broja ๐ฅ za koje je izraz ๐ด =3๐ฅโ7
๐ฅ+4 cio broj. Odredi
odgovarajuฤe cijele vrijednosti izraza.
Rjeลกenje:
๐ฅ โ {โ23,โ5,โ3, 15}, ๐ด โ {โ16, 2, 4, 22}
33. Za koje prirodne brojeve ๐ ฤe izraz 3๐+5
๐โ3 biti prirodan broj?
Rjeลกenje:
๐ โ {4,5, 10,17}
34. Odredi cjelobrojnu vrijednost razlomka ๐ถ =2๐โ14
๐โ4, ๐ je cio broj, tj. ๐ โ โค
Rjeลกenje:
๐ด โ {โ4,โ3,โ1, 0, 1, 4, 5, 8}
35. Odredi sve cijele brojeve ๐ za koje je 5๐โ7
๐โ2 takoฤe cio broj.
Rjeลกenje:
๐ โ {โ1,1,3,5}
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
61
36. Odredi ๐ โ โค ako je a+9
a+6 cijeli broj.
Rjeลกenje:
๐ โ {โ9,โ7,โ5,โ3, }
37. Odredi ๐ โ โค ako je 3a+29
a+2 cijeli broj.
Rjeลกenje:
๐ โ {โ25,โ3, โ1, 21}
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
62
Racionalni brojevi
1. Zamislio sam broj od njeg oduzeo 1.05, razliku sam pomnoลพio sa 0.8, proizvodu sam
dodao 2.84 i dobijenu sumu podijelio sam brojem 0.01 i tako sam dobio 700. Koji broj sam
zamislio?
Rjeลกenje:
Jedan od naฤina da se ovaj zadata rijeลกi je taj da se krene raฤunati s kraja izvrลกavajuฤi suprotne
raฤunske radnje od navedenih. Imamo:
700 โ 0.01 = 7
7 โ 2.84 = 4.16
4.16: 0.8 = 5.2
5.2 + 1.05 = 6.25
Traลพeni broj je 6.25.
Zadatak se mogao rijeลกiti i postavljanjem linearne jednaฤine po tekstu zadatka.
2. Razlika dva racionalna broja je โ13.86. Ako se umanjeniku pomjeri decimalan zarez za
jedno mjesto ulijevo dobije se umanjilac. O kojim brojevima je rijeฤ?
Rjeลกenje:
Naka je umanjenik 10๐ฅ, onda je umanjilac ๐ฅ. Njihova razlika je 9๐ฅ tj. broj โ13.86, odavde
dobijamo da je ๐ฅ = โ13.86: 9 โน ๐ฅ = โ1.54. Dakle, umanjilac je โ1.54 a umanjenik
โ15.4.
3. Razlika 7
9 jednog i
7
9 drugog broja je
3
7. Koliko iznosi razlika
3
4 drugog i
3
4 prvog broja?
Rjeลกenje:
Neka su ๐ฅ i ๐ฆ traลพeni brojevi. Tada je:
7
9๐ฅ โ
7
9๐ฆ =
7
9(๐ฅ โ ๐ฆ) =
3
7
tj.
๐ฅ โ ๐ฆ =27
49
Slijedi da je:
3
4๐ฆ โ
3
4๐ฅ = โ
3
4(๐ฅ โ ๐ฆ) = โ
3
4โ27
49= โ
81
196
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
63
4. Izraฤunati 3.5 โ {3 + (โ1
2) โ 0.2: [โ1 โ
0.8
0.1โ (โ
1
10)]} =.
Rjeลกenje:
3.5 โ {3 + (โ1
2) โ 0.2: [โ1 โ
0.8
0.1โ (โ
1
10)]} = 0
5. Rijeลกiti jednaฤinu 22
3: [๐ฅ โ
3
5โ (2.5โ7:3.5
8โ 0.125โ 1.5) ] =
2
3.
Rjeลกenje:
22
3: [๐ฅ โ
3
5โ (2.5 โ 7: 3.5
8 โ 0.125โ 1.5) ] =
2
3 โบ ๐ฅ = 3
2
5
6. Izraฤunati 13
8โ [125 โ 0.01 โ
1
4(1
1
2โ 0.75)] =.
Rjeลกenje:
13
8โ [125 โ 0.01 โ
1
4(11
2โ 0.75)] =
5
6
7. Rijeลกiti nejednaฤinu (1
2๐ฅ + 0.2) โ 1
1
4<1โ0.2โ
5
4
2.
Rjeลกenje:
(1
2๐ฅ + 0.2) โ 1
1
4<1 โ 0.2 โ
54
2 โบ ๐ฅ <
1
5
๐ฅ โ (โโ,1
5)
8. Biciklista je putovao 4 dana. Prvog dana je preลกao 4
13 ukupnog puta. Drugi dan
4
15 ostatka
puta. Treฤi dan preลกao je 5
11 ostatka puta nakon drugog dana. Posljednji dan preลกao je preostali
dio puta od 54๐๐. Koliki je put preลกao za ta 4 dana?
Rjeลกenje:
Neka je duลพina puta๐ฅ. Prvi dan biciklista je preลกao 4
13๐ฅputa, drugi dan
12
65๐ฅ puta, a treฤi dan
4
13+12
65=32
65,5
11โ 32
65๐ฅ =
3
13๐ฅ puta.
Sad imamo jednaฤinu 4
13๐ฅ +
12
65๐ฅ +
3
13๐ฅ + 54 = ๐ฅ โน ๐ฅ = 195
Za 4 dana preลกao je put od 195๐๐.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
64
9. Damir je za svoj posao trebao da dobije 138 ๐พ๐ i loptu. Meฤutim, Damir je uradio samo
treฤinu posla i za to dobio 10 ๐พ๐ i loptu. Koliko koลกta lopta?
Rjeลกenje:
Moลพemo na osnovu teksta zakljuฤiti da 2
3 posla koลกta 128๐พ๐, odnosno
1
3posla koลกta 64๐พ๐.
Meฤutim, Damir je za treฤinu posla dobio 10 KM i loptu, pa imamo da lopta koลกta
64 โ 10 = 54 ๐พ๐.
10. Poredaj po veliฤini brojeve ๐, ๐ i ๐ od najmanjeg do najveฤeg ako je
๐ = (11
8โ 0.9) : (
1
2โ4
5) ๐ =
โ 1
3โ(
3
8 +1
6)
2โ 3
5
๐ =3
8+ 1
5
9(5
7โ 1
1
4).
Rjeลกenje:
Dobijamo ๐ < ๐ < ๐ jer je ๐ = โ18
24, ๐ = โ
15
24, ๐ = โ
11
24.
11. Na svakih 7 djeฤaka u jednoj ลกkoli dolazi 8 djevojฤica, a na svakih 9 djeฤaka dolazi jedan
uฤitelj. Ako je u ลกkoli ukupno 675 uฤenika, koliko je uฤitelja ?
Rjeลกenje:
U ลกkoli ima 675 โถ (7 + 8) = 45 grupa sa 7 djeฤaka i 8 djevojฤica. Djeฤaka ima 45 โ 7 = 315,
a uฤitelja 315 โถ 9 = 35.
12. Izraฤunati vrijednost izraza 31
2(12
3โ4.2)โ 2.25+4
3
4(41
2โ2
3
4)โ(5
2
3:37
9)=
Rjeลกenje:
312 (1
23 โ 4.2) โ 2.25 + 4
34 (4
12 โ 2
34) โ (5
23 : 3
79)= โ18
13. Rijeลกi nejednaฤinu 1
6โ 1
1
2โ (๐ฅ โ
5
6) <
13
4โ2
0,3โ3
5
.
Rjeลกenje:
๐ฅ โ (7
18,+โ)
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
65
14. Odredi sve racionalne brojeve koji zadovoljavaju nejednaฤinu 3๐ฅโ2
๐ฅ+1< 0.
Rjeลกenje:
Svodi se na dva sluฤaja:
1. sluฤaj 2. Sluฤaj
๐ฅ + 1 > 0 โน ๐ฅ > โ1 ๐ฅ + 1 > 0 โน ๐ฅ > โ1 3๐ฅโ2
๐ฅ+1< 0 /โ (๐ฅ + 1)
3๐ฅโ2
๐ฅ+1< 0 /โ (๐ฅ + 1)
3๐ฅ โ 2 < 0 3๐ฅ โ 2 > 0
๐ฅ <2
3 ๐ฅ >
2
3 ลกto je nemoguฤe jer je ๐ฅ < โ1
Rjeลกenje โ1 < ๐ฅ <2
3
15. Razlomak 1
13 napisati u decimalnom obliku. Koja se cifra nalazi na hiljaditom decimalnom
mjestu?
Rjeลกenje:
1
13= 1: 13 = 0. 0ฬ76923ฬ076923โฆ
1000 โถ 6 = 166 (4)
166 puta se ponavlja grupa cifara 076923, poลกto je ostatak dijeljenja 1000 sa 6 broj 4, na
hiljaditom mjestu je ฤetvrta cifra perioda ponavljanja, a to je cifra 9.
16. Ako saberemo dva broja dobiฤemo treฤi. Ako saberemo drugi i treฤi dobiฤemo ฤetvrti broj
itd.. Izraฤunati zbir prvih ลกest tako dobivenih brojeva ako se zna da je peti broj 7.25.
Rjeลกenje:
prvi broj ๐
drugi boj ๐
treฤi broj ๐ + ๐
ฤetvrti broj ๐ + ๐ + ๐ = ๐ + 2๐
peti broj ๐ + ๐ + ๐ + 2๐ = 2๐ + 3๐ = 7.25
ลกesti broj ๐ + 2๐ + 7.25
๐ + ๐ + ๐ + ๐ + ๐ + 2๐ + 7.25 + ๐ + 2๐ + 7.25 = 4๐ + 6๐ + 14.5 =
= 2(2๐ + 3๐) + 14.5 = 2 โ 7.25 + 14.5 = 14.5 + 14.5 = 29
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
66
17. Dva radnika postavljaju parkete. Kada bi radio sam, prvi radnik bi posao zavrลกio za 4
dana. Zajedno bi posao zavrลกili za 3 dana. Meฤutim, nakon ลกto su dva dana radili zajedno,
prvi se radnik razbolio pa je drugi posao zavrลกio sam. Koliko dana je trajalo postavljanje
parketa?
Rjeลกenje:
Prvi radnik za 1 dan napravi 1
4 posla.
Prvi i drugi radnik zajedno za 1 dan naprave 1
3 posla.
Dakle, drugi radnik za jedan dan napravi 1
3โ1
4=
1
12 posla.
Nakon dva dana oba radnika napravila su zajedno 2
3 posla.
Preostalu 1
3 posla drugi radnik ฤe napraviti za
1
3:1
12= 4 dana.
Postavljanje parketa je trajalo 6 dana.
18. Ako se prirodan broj ๐ podijeli s 12, dobije se ostatak 11, a ako se ๐ podijeli s 18, onda je
ostatak 5. Koliki se ostatak dobije ako se ๐ podijeli s 36?
Rjeลกenje:
Vrijedi ๐ = 12 โ ๐ + 11, ๐ โ โ, pe je 3๐ = 36 โ ๐ + 33.
Isto tako je ๐ = 18 โ ๐ + 5 pa je 2๐ = 36 โ ๐ + 10.
Dalje je 3๐ โ 2๐ = (36 โ ๐ + 33) โ (36 โ ๐ + 10) i ๐ = 36 โ ๐ + 33 โ 36 โ ๐ โ 10,
odnosno ๐ = 36(๐ โ ๐) + 23 ลกto znaฤi da je traลพeni ostatak 23.
19. Rijeลกi jednaฤinu 0.4 (2
3๐ฅ โ 1) +
3
5= โ2
1
4: 0.9.
Rjeลกenje:
0.4 (2
3๐ฅ โ 1) +
3
5= โ2
1
4: 0.9 โบ ๐ฅ = โ10
1
8
20. Izletnik je najprije 31
2 sata pjeลกaฤio, a zatim 2.5 sata vozio bicikl i za sve to vrijeme preลกao
37.7๐๐. Brzina kojom je vozio bicikl za 5๐๐
โ veฤa je od brzine pjeลกaฤenja. Kolike su jedna i
druga brzina?
Rjeลกenje:
๐ฅ je brzina pjeลกaฤenja, ๐ฅ + 5 je brzina voลพnje bicikla.
(31
2โ ๐ฅ) + [2.5 โ (๐ฅ + 5)] = 37.7 โบ ๐ฅ = 4.2
Brzina pjeลกaฤenja je 4.2๐๐
โ, a brzina voลพnje bicikla je 9.2
๐๐
โ.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
67
21. Odrediti neskrativ razlomak koji se neฤe promijeniti ako brojniku dodamo 5, a nazivniku 7.
Rjeลกenje:
Iz ๐
๐=๐+5
๐+7 slijedi da je 7๐ = 5๐, odnosno
๐
๐=5
7.
22. Napiลกi skup cijelih brojeva ๐ฅ koji su rjeลกenja nejednaฤine 1
3<1โ๐ฅ
5<11
12.
Rjeลกenje:
Iz nejednakosti 5
3< 1 โ ๐ฅ <
55
12 slijedi
2
3< โ๐ฅ <
43
12 โน โ
43
12< ๐ฅ <
8
12 โน ๐ฅ โ {โ1,โ2,โ3}.
23. Ako je ๐
๐= โ3, izraฤunaj โ
2๐
๐
+๐
๐
โ2.
Rjeลกenje:
Sreฤivanjem dobijamo โ2
โ3+โ1
3
โ2=5
6.
24. Izaberi ฤetiri broja iz skupa {โ1
3, โ
7
8,2
5, โ
5
14, โ
4
7} tako da njihov proizvod bude:
a) najveฤi;
b) najmanji.
Izraฤunaj te proizvode .
Rjeลกenje:
a) Proizvod je najveฤi kada je pozitivan, pa treba izabrati ฤetiri negativna broja. Njihov
proizvod je 5
84.
b) Najmanji proizvod dobivamo kada izaberemo brojeve โ4
7, โ
7
8,2
5, โ
5
14 pa je tada proizvod
โ1
14.
25. Marko i Ahmed su sadili drveฤe. Pri tome 1
3 sadnica su bile treลกnje,
3
8 orah, a ostalo jabuke.
Koliko najviลกe jabuka su oni zasadili ako su sadili manje od 360 sadnica?
Rjeลกenje:
8
24 ukupnog broja sadnica su treลกnje,
9
24 ukupnog broja sadnica su orasi, pa slijedi da jabuka
ima 7
24 od ukupnog broja sadnica. Najveฤi broj koji je manji od 360 i djeljiv je sa 24 je 336.
Kako je 336 โถ 24 = 14, slijedi da je broj sadnica jabuka 14 โ 7 = 98.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
68
26. Izraฤunaj vrijednost izraza (1 โ1
2) โ (2 โ
2
3) โ (3 โ
3
4) โ (4 โ
4
5) โ โฆ โ (9 โ
9
10) : 14
2
5=
Rjeลกenje:
(1 โ1
2) โ (2 โ
2
3) โ (3 โ
3
4) โ (4 โ
4
5) โ โฆ โ (9 โ
9
10) : 14
2
5=1
2โ 4
3โ 9
4โ 16
5โ โฆ โ
81
10:72
5
Poslije skraฤivanja nazivnika sa odgovarajuฤim brojnicima (2 sa 4, 3 sa 9, 4 sa 16, itd.),
dobijamo 1
1โ 2
1โ 3
1โ 4
1โ โฆ โ
9
10โ 5
72. Skraฤivanjem preostalih brojeva u nazivniku sa istim
brojevima u brojniku ostaฤe nam proizvod 3 ยท 4 ยท 5 ยท 6 ยท 7 = 2520.
27. Neka je ๐ด = 1 +1
1+1
1+13
, ๐ต = โ5 +1
2+2
3+12
. Dokazati da je ๐ถ =7
11๐ด + 18๐ต cijeli broj.
Rjeลกenje:
๐ด = 1 +1
1 +1
1 +13
= 1 +1
1 +143
= 1 +1
1 +34
= 1 +1
74
= 1 +4
7=11
7
๐ต = โ5 +1
2 +2
3 +12
= โ5 +1
2 +272
= โ5 +1
2 +47
= โ5 +1
187
= โ5 +7
18= โ
83
18
๐ถ =7
11๐ด + 18๐ต =
7
11โ 11
7+ 18 โ (โ
83
18) = 1 โ 83 = โ82 โ โค
28. Izraฤunaj: 12 โ
34 (1 โ
16)
12 + (
34 โ
18) โ 2
Rjeลกenje: 12 โ
34 (1 โ
16)
12 + (
34 โ
18) โ 2
= โ1
14
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
69
29. Izraฤunati:
5 โ (223 โ 3,9 โ 1,3)
(25โ14 โ15) โ 13
:5 โ (
103 +
56 โ
815) : 1
89
427 โ (5
37 โ 3)
=
Rjeลกenje:
Uvaลพavanjem redoslijeda raฤunskih operacija slijedi
5 โ (223 โ 3,9 โ 1,3)
(25โ14 โ15) โ 13
:5 โ (
103 +
56 โ
815) : 1
89
427 โ (5
37 โ 3)
= 16
7
30. Putnik je preลกao 3
8 puta izmeฤu dva mjesta. Kad preฤe joลก 5๐๐ biฤe taฤno na sredini puta.
Koliko km su udaljena ta dva mjesta?
Rjeลกenje
Do sredine puta putniku je preostalo joลก 1
2 puta โ
3
8 puta =
1
8 puta, a to iznosi 5๐๐.
Cijeli put je 8 โ 5๐๐ = 40๐๐ ili rjeลกenje jednaฤine 3
8๐ฅ + 5 =
1
2๐ฅ.
31. Dokazati jednakost 1
1โ2 +
1
2โ3 +
1
3โ4 + โฆ+
1
2015โ2016 =
2015
2016
Rjeลกenje
Kako je : 1
1โ1
2=2โ1
1โ2=
1
1โ2
1
2โ
1
3=3โ2
2โ3=
1
2โ3 to je
1
1โ2+
1
2โ3+
1
3โ4+โฏ+
1
2015โ2016=
= 1 โ1
2+1
2โ1
3+1
3โ1
4+1
4+โฏโ
1
2015+
1
2015โ
1
2016=2015
2016
32. Koliko puta je broj ๐ veฤi od broja ๐ ako je ๐ =7
4: 0.5 +
10
9โ (3
1
4+4
5) i
๐ =2
5: (1.1 โ
3
4โ 0.5: 2)?
Rjeลกenje:
Izraฤunajmo prvo brojeve ๐ i ๐.
๐ =7
4: 0.5 +
10
9โ (3
1
4+4
5) =
7
4:1
2+10
9โ (65 + 16
20) =
7
2+10
9โ 81
20=7
2+9
2=16
2= 8
๐ =2
5: (1.1 โ
3
4โ 0.5: 2) =
2
5: (11
10โ3
4โ1
2โ 1
2) =
2
5: (22 โ 15 โ 5
20) =
2
5:1
10=2
5โ 10 = 4
Konaฤno, zakljuฤujemo da je broj ๐ dva puta veฤi od broja ๐ jer je ๐ = 8 = 2 โ 4 = 2 โ ๐
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
70
33. Amir, Damir i Samir dijele 450๐พ๐ tako ลกto ฤe Amir dobiti dva puta viลกe nego ลกto ฤe
dobiti Damir, a Samir dva puta manje nego Amir i Damir zajedno. Koliko ฤe svaki od njih
dobiti?
Rjeลกenje:
Oznaฤimo Damirovu sumu sa ๐ฅ. Tada Amir dobija 2๐ฅ, a Samir 2๐ฅ+๐ฅ
2. Imamo:
2๐ฅ + ๐ฅ +3๐ฅ
2= 450
๐ฅ = 100
Dakle, Damir dobija 100, Amir 200 i Samir 150 ๐พ๐.
34. Tri druga dijele neku sumu novca tako ฤe prvi dobiti jednu treฤinu te sume, drugi ฤe dobiti
200๐พ๐ viลกe nego ลกto ฤe dobiti prvi, a treฤi ฤe dobiti preostalih 100๐พ๐. Koliko ฤe svaki od
njih dobiti?
Rjeลกenje:
๐ฅ
3+๐ฅ
3+ 200 + 100 = ๐ฅ
๐ฅ = 900
35. Prvi je dan obitelj zeฤeva pojela 1
6 uroda kupusa na nekoj njivi. Drugi su dan pojeli
1
5
preostalog kupusa, treฤi dan 1
4 ostatka, ฤetvrti su dan pojeli
1
3 ostatka, a peti je dan pojedena
1
2
ostatka kupusa. Koliki dio uroda kupusa na toj njivi nije pojeden?
Rjeลกenje:
pojedeno preostalo
1. Dan 1
6
5
6
2. dan 1
5โ 5
6=1
6 5
6โ1
6=4
6=2
3
3. dan 1
4โ 4
6=1
6 4
6โ1
6=3
6=1
2
4. dan 1
3โ 1
2=1
6 1
2โ1
6=2
6=1
3
5. dan 1
2โ 1
3=1
6
1
3โ1
6=1
6
Nakon pet dana na njivi je ostalo 1
6 ukupnog uroda kupusa.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
71
36. Jedan radnik zavrลกi neki posao za 12 dana, drugi za 15, a treฤi za 20 dana. Koliko dana
treba da rade zajedno da bi se posao zavrลกio u cjelosti?
Rjeลกenje:
1
12+1
15+1
20=5 + 4 + 3
60=12
60=1
5
Ako svi rade zajedno za jedan dan urade 1
5 posla.
Cijeli posao urade za ๐ฅ:1
5= ๐ฅ โ
5
1= 5 dana.
37. U dvije gajbe se nalaze 100 jabuka. Ako uzmemo polovinu iz prve gajbe i 2
3 iz druge
gajbe ukupno smo uzeli 60 jabuka.Koliko iznosi 1
3 druge gajbe ?
Rjeลกenje:
๐ + ๐ = 100 โน ๐ = 100 โ ๐
1
2๐ +
2
3 ๐ = 60 /โ 6
3๐ + 4๐ = 360
3(100 โ ๐) + 4๐ = 360
300 โ 3๐ + 4๐ = 360
๐ = 60 โง ๐ = 40
38. Merisa, Azra, Meliha i Adna zajedniฤki su kupile vrijedan poklon svojoj prijateljici Renati. Merisa
je dala polovinu ukupno utroลกenog novca za poklon. Meliha je dala treฤinu sume koju su dale ostale
tri, a Azra je dala ฤetvrtinu sume koju su dale ostale tri. Adna je dala 10๐พ๐. Koja je cijena kupljenog
poklona?
Rjeลกenje:
Oznaฤimo sa ๐ฅ cijenu poklona. Merisa je dala 1
2๐ฅ novca. Meliha je dala
1
4๐ฅ novca. Naime, ako sa ๐ข
oznaฤimo koliฤinu novca kojeg su uplatile ostale tri zajedno, imaฤemo
1
3๐ข + ๐ข = ๐ฅ โน
4
3๐ข = ๐ฅ โน ๐ข =
3
4๐ฅ โน
1
3๐ข =
1
3โ 3
4๐ฅ =
1
4๐ฅ
Analogno zakljuฤujemo da je Azra dala 1
5๐ฅ novca, jer u njenom sluฤaju imamo
1
4๐ข + ๐ข = ๐ฅ โน
5
4๐ข = ๐ฅ โน ๐ข =
4
5๐ฅ โน
1
4๐ข =
1
4โ 4
5๐ฅ =
1
5๐ฅ
Konaฤno, imamo
1
2๐ฅ +
1
4๐ฅ +
1
5๐ฅ + 10 = ๐ฅ โบ ๐ฅ = 200 โน Cijena kupljenog poklona je 200๐พ๐.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
72
39. Uฤenik je proฤitao knjigu za 3 dana. Prvog dana je proฤitao 1
3 knjige, drugog dana
6
7 od
ostatka. Koliko stranica ima ta knjiga ako je treฤeg dana proฤitao 80 stranica?
Rjeลกenje:
1
3๐ฅ +
4
7๐ฅ + 80 = ๐ฅ โน ๐ฅ = 840
40. U akvarijumu je 70 ribica. Ksifa je duplo viลกe od neonki, a kubika je za 10 manje od
ksifa. Koliko je ksifa, kubika i neonki u akvarijumu?
Rjeลกenje:
๐ฅ + 2๐ฅ + 2๐ฅ โ 10 = 70 โน ๐ฅ = 16
U akvarijumu ima 16 neonki, 32 ksife i 22 kubike.
41. Zbir brojnika i nazivnika nekog razlomka je 4140. Nakon skraฤivanja dobijamo razlomak 7
13. Odrediti razlomak prije skraฤivanja?
Rjeลกenje:
7๐ฅ
13๐ฅ โน 7๐ฅ + 13๐ฅ = 4140 โน ๐ฅ = 207 โน
7 โ 207
13 โ 207=1449
2691โ razlomak prije skraฤivanja
42. Za 4 dana prodato je ลพito iz magazina. Prvog dana prodata je 1
3 ลพita, drugog dana
1
4 ostatka, a
treฤeg dana 5 puta viลกe nego ฤetvrtog dana. ฤetvrti dan prodato je 90 tona manje nego prvog
dana. Koliko je bilo kilograma ลพita?
Rjeลกenje:
๐ฅ โ ukupna koliฤina ลพita 1
3๐ฅ โ prodato prvi dan
1
4โ 2
3=1
6 โน
1
6๐ฅ โ prodato drugi dan
5 (๐ฅ
3โ 90) โ prodato treฤi dan
๐ฅ
3โ 90 โ prodato ฤetvrti dan }
โน๐ฅ
3+๐ฅ
6+ 5 (
๐ฅ
3โ 90) +
๐ฅ
3โ 90 = ๐ฅ โน ๐ฅ = 360
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
73
43. Kada se u pozitivnom decimalnom broju decimalni zarez pomjeri za jedno mjesto ulijevo
dobije se broj koji je za 123.48 manji od prvobitnog broja. Koji je to broj?
Rjeลกenje:
๐ฅ โ traลพeni decimalni broj
๐ฅ: 10 = ๐ฅ โ 123.48 โน ๐ฅ = 10 โ (๐ฅ โ 123.48) โน ๐ฅ = 10๐ฅ โ 1234.8 โน ๐ฅ = 137.2
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
74
Trougao
1 Vanjski uglovi trougla odnose se kao 9: 16: 20. Koliko iznose veliฤine unutraลกnjih uglova
trougla?
Rjeลกenje:
Znamo da je zbir vanjskih uglova trougla 360ยฐ. Takoฤer imamo i proporciju
๐ผ1: ๐ฝ1: ๐พ1 = 9: 16: 20. Datu proporciju moลพemo rastaviti ๐ผ1: ๐ฝ1 = 9: 16 i ๐ฝ1: ๐พ1 = 16: 20. Iz
zadnje dvije proporcije dobijamo ๐ผ1 =9
16๐ฝ1 i ๐พ1 =
20
16๐ฝ1.
Sada uvrstimo date uglove u formulu za zbir spoljaลกnjih uglova i dobit ฤemo 9
16๐ฝ1 + ๐ฝ1 +
20
16๐ฝ1 = 360ยฐ โน ๐ฝ1 = 128ยฐ pa je ๐ผ1 = 72ยฐ, ๐พ1 = 160ยฐ.
Sada iz jednakosti ๐ผ + ๐ผ1 = 180ยฐ, ๐ฝ + ๐ฝ1 = 180ยฐ, ๐พ + ๐พ1 = 180ยฐ zakljuฤujemo da su
unutraลกnji uglovi trougla ๐ผ = 108ยฐ, ๐ฝ = 52ยฐ, ๐พ = 20ยฐ.
2. Ako je zbir dva vanjska ugla nekog trougla 270ยฐ, taj je trougao pravougli. Dokaลพi tvrdnju.
Rjeลกenje:
Ako unutraลกnje uglove oznaฤimo sa ๐ผ, ๐ฝ, ๐พ, tada su vanjski uglovi 180ยฐ โ ๐ผ, 180ยฐ โ๐ฝ, 180ยฐ โ ๐พ. Kako je zbir dva vanjskih ugla 270ยฐ, slijedi da je 180ยฐ โ ๐ผ + 180ยฐ โ ๐ฝ = 270ยฐ, a kad taj izraz sredimo dobivamo da je ๐ผ + ๐ฝ = 90ยฐ, otud zbog zbira uglova u trouglu slijedi
da je ๐พ = 90ยฐ, ลกto znaฤi da je ๐พ pravi ugao, pa je trougao pravougli.
3. Najveฤi i najmanji ugao jednakokrakog trougla se razlikuju za 12ยฐ. Odredi uglove tog
trougla.
Rjeลกenje:
Ako je najveฤi ugao pri vrhu jednakokrakog trougla, onda su uglovi na osnovici po
(180ยฐ โ 12ยฐ): 3 = 56ยฐ. Ako su uglovi na osnovici veฤi od ugla pri vrhu onda taj ugao ima
(180ยฐ โ 24ยฐ): 3 = 52ยฐ, a uglovi na osnovici po (180ยฐ โ 52ยฐ): 2 = 64ยฐ
4. Odredi uglove trougla ako se zna da se oni odnose kao 1 โถ 3 โถ 5.
Rjeลกenje:
Prema uvjetu iz zadatka, imamo da je: ๐ผ โถ ๐ฝ โถ ๐พ = 1 โถ 3 โถ 5 , pa je ๐ผ โถ ๐ฝ = 1 โถ 3,
๐ผ โถ ๐พ = 1 โถ 5, odakle dobijamo 3 โ ๐ผ = 1 โ ๐ฝ โน ๐ฝ = 3๐ผ, 5 โ ๐ผ = 1 โ ๐พ โน ๐พ = 5๐ผ
Iz definicije ๐ผ + ๐ฝ + ๐พ = 180ยฐ , imamo nakon uvrลกtavanja ๐ผ + 3๐ผ + 5๐ผ = 180ยฐ,
odakle dobijamo ๐ผ = 20ยฐ, ๐ฝ = 60ยฐ, ๐พ = 100ยฐ.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
75
5. Odrediti momenat kada se kazaljke prvi puta poklope nakon 10 sati.
Rjeลกenje:
Dok se kazaljka pomjeri za jedan minutni podiok ona opiลกe ugao od 360ยฐ: 60 = 6ยฐ. Minutna kazaljka je 12 puta brลพa od satne kazaljke. Za 1 minutu ugao izmeฤu kazaljki se
poveฤa (smanji) za (1 โ1
12) โ 6ยฐ =
11
12โ 6ยฐ = 5,5ยฐ. Kada je taฤno 10 sati, ugao preko kojega
minutna kazaljka juri da stigne satnu kazaljku iznosi 50 โ 6ยฐ = 300 ยฐ . Do poklapanja je
potrebno 300: 5,5 = 3000: 55 = 600: 11 = 546
11๐๐๐ = 54๐๐๐ i
6
11โ 60๐ ๐๐ = 54๐๐๐ i
328
11๐ ๐๐ โ 33 ๐ ๐๐.
Odgovor. Taฤno je 10 sati 54 minute i 33 ๐ ๐๐๐ข๐๐๐
6. Ako se spoljaลกnji ugao kod vrha ๐ด poveฤa za 45ยฐ, a spoljลกnji ugao kod vrha ๐ต smanji za
35ยฐ, tada se unutraลกnji ugao kod vrha ๐ถ trougla ฮ๐ด๐ต๐ถ poveฤa za svoju petinu. Izraฤunati
unutraลกnji ugao kod vrha ๐ถ.
Rjeลกenje:
๐ผ1, ๐ฝ1, ๐พ1 โ spoljaลกnji uglovi trougla
๐พ โ unutraลกnji ugao kod vrha ๐ถ
๐ผ1 + ๐ฝ1 = (๐ฝ + ๐พ) + (๐ผ + ๐พ) = (๐ผ + ๐ฝ + ๐พ) + ๐พ = 180ยฐ + ๐พ, znaฤi ๐ผ1 + ๐ฝ1 = 180ยฐ + ๐พ.
Prema uslovu zadatka imamo:
๐ผ1 + 45ยฐ + ๐ฝ1 โ 35ยฐ = 180ยฐ + ๐พ + ฮณ
5
๐ผ1 + ๐ฝ1 + 10ยฐ = 180ยฐ + ๐พ + ฮณ
5โนโ
๐ผ1+๐ฝ1=180ยฐ+๐พ
180ยฐ + ๐พ + 10ยฐ = 180ยฐ + ๐พ +๐พ
5 โน ๐พ = 50ยฐ
7. Taฤka ๐ท stranice ๐ด๐ต pripada simetrali ugla โก๐ถ trougla โ๐ด๐ต๐ถ, pri ฤemu je โก๐ด๐ท๐ถ = 80ยฐ i
๐ผ > ๐ฝ. Izraฤunati razliku ๐ผโ๐ฝ.
12
9
10
0
11
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
76
Rjeลกenje:
Ugao โก๐ด๐ท๐ถ je spoljaลกnji ugao trougla ฮ๐ท๐ต๐ถ , pa je 80ยฐ = ๐ฝ โ๐พ
2. Sliฤno je โก๐ต๐ท๐ถ = 100ยฐ =
๐ผ +๐พ
2. Iz ove dvije jednakosti slijedi da je ๐ผ โ ๐ฝ = 20ยฐ.
8. Odrediti unutraลกnje uglove trougla ako je poznato da jedan ugao iznosi 3
5 drugog , a tri
puta je veฤi od treฤeg .
Rjeลกenje:
Ako su 3
5๐ฅ, ๐ฅ i
1
5๐ฅ mjere uglova datog trougla onda iz uslova
9
5๐ฅ = 180ยฐ โน ๐ฅ = 100ยฐ.
Prema tome, uglovi trougla su 60ยฐ, 100ยฐ i 20ยฐ .
9. Ugao izmeฤu simetrala dva spoljaลกnja ugla trougla je 50ยฐ . Odrediti mjeru treฤeg
unutraลกnjeg ugla tog trougla.
Rjeลกenje:
Ako su ๐ผ i ๐ฝ mjere uglova ๐ด i ๐ต trougla ฮ๐ด๐ต๐ถ, onda simetrale spoljaลกnjih uglova ๐ด i
๐ต grade ugao veliฤine ๐ผ+๐ฝ
2. Prema uslovu zadatka ๐ผ + ๐ฝ = 100ยฐ โน ๐ผ = 80ยฐ.
10. U oลกtrouglom jednakokrakom trouglu osnovica je duลพa od kraka. Simetrala ugla uz
osnovicu i visine iz vrha tog ugla na suprotni krak zatvaraju ugao od 16ยฐ. Odrediti veliฤine
unutraลกnjih uglova tog trougla.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
77
Rjeลกenje:
11. Simetrale dva unutraลกnja ugla se sijeku pod uglom od 135ยฐ. Dokazati da je trougao
pravougli.
Rjeลกenje:
12. Zbir dva ugla u trouglu iznosi 5
6 pravog ugla. Ako je jedan za 20ยฐ veฤi od drugog, odredi
sve uglove tog trougla i reci kakav je trougao.
โ๐ต๐ถ๐ท: โก๐ท + ๐ฝ + (16ยฐ +๐ฝ
2) = 180ยฐ
โ๐ด๐ต๐ถ: ๐ผ + 2๐ฝ = 180ยฐ
90ยฐ + ๐ฝ + 16ยฐ +๐ฝ
2= 180ยฐ
3๐ฝ
2= 74ยฐ /โ 2
3๐ฝ = 148ยฐ / : 3
๐ฝ = 49ยฐ 20โฒ
๐ผ + 2 โ 49ยฐ 20โฒ = 180ยฐ
๐ผ = 180ยฐ โ 98ยฐ 40โฒ
๐ผ = 81ยฐ 20โฒ
โ๐ด๐ต๐ท:๐ผ
2+๐ฝ
2+ 135ยฐ = 180ยฐ
โ๐ด๐ต๐ถ: ๐ผ + ๐ฝโ =90ยฐ
+ ๐พ = 180ยฐ
๐ผ+๐ฝ
2= 45ยฐ /โ 2
๐ผ + ๐ฝ = 90ยฐ
90ยฐ + ๐พ = 180ยฐ
๐พ = 90ยฐ โน trougao je pravougli
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
78
Rjeลกenje:
๐ผ + ๐ฝ = 5
6โ 90ยฐ ๐ฟ = ๐ผ + 20ยฐ
๐ผ + ๐ฝ = 75ยฐ ๐ฟ = 75ยฐ โ ๐ผ
๐ผ + 20ยฐ = 75ยฐ โ ๐ผ
2๐ผ = 55ยฐ ๐ผ = 27ยฐ 30โฒ
๐ฝ = 75ยฐ โ ๐ผ
๐ฝ = 47ยฐ 30โฒ ๐ผ + ๐ฝ + ๐ฟ = 180ยฐ ๐ฟ = 180ยฐ โ 75ยฐ ๐ฟ = 105ยฐ Trougao je tupougli.
13. Visine ๐ถ๐ท i ๐ด๐ธ oลกtrouglog trougla ฮ๐ด๐ต๐ถ sijeku se u taฤki ๐ป. Ako je ๐ด๐ต = ๐ถ๐ป izraฤunati
โข๐ด๐ถ๐ต.
Rjeลกenje:
Kako je โข๐ธ๐ด๐ต = โข๐ต๐ถ๐ท (uglovi sa normalnim kracima) i ๐ด๐ตฬ ฬ ฬ ฬ = ๐ถ๐ป to su pravougli trouglovi
ฮ๐ด๐ต๐ธ i ฮ๐ป๐ถ๐ธ podudarni.
Zakljuฤujemo da je :
๐ด๐ธ = ๐ธ๐ถ, a odatle i โข๐ธ๐ด๐ถ = โข๐ด๐ถ๐ธ = 45ยฐ.
14. Duลพine stranica nekog jednakokrakog trougla izraลพene su prirodnim brojem u
centimetrima. Koliko je razliฤitih jednakokrakih trouglova moguฤe konstruisati ako je obim
tog trougla 22๐๐?
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
79
Rjeลกenje:
Zbir duลพina dvaju stranica trougla mora biti veฤi od duลพine treฤe stranice. Obim datog trougla
je ๐ + 2๐ = 22.
Zbir dva parna broja je paran broj, kao i zbir dva neparna broja. Kako je 2๐ parno a i zbir 22
je paran onda zakljuฤujemo da i ๐ mora biti paran broj. Zbog nejednakosti trougla je 2๐ > ๐.
Kako je ๐ parno onda uzimamo redom parne vrijednosti za ๐ i raฤunamo ๐. Npr., ako je
๐ = 2๐๐ imamo:
๐ + 2๐ = 22
2๐ = 22 โ 2
๐ =20
2
๐ = 10
Provjerimo da li je zadovoljena nejednakost trougla, 2๐ > ๐. Jeste jer je 20 > 2. Dakle, jedan
jednakokraki trougao sa obimom 22๐๐ je sa stranicama: ๐ = 2๐๐, ๐ = 10๐๐.
Na sliฤan naฤin dobijemo i ostale parove stranica.
๐ 2 ๐๐ 4 ๐๐ 6 ๐๐ 8 ๐๐ 10 ๐๐
๐ 10 ๐๐ 9 ๐๐ 8 ๐๐ 7 ๐๐ 6 ๐๐
Za ๐ = 12๐๐ imamo sljedeฤi sluฤaj:
๐ + 2๐ = 22
2๐ = 22 โ 12
๐ =10
2
๐ = 5
Ali, ovdje nije zadovoljena nejednakost trougla, 2๐ > ๐, (10 > 12) stoga ova i sve ostale
vrijednosti za ๐ nisu moguฤe.
Dakle, postoji pet razliฤitih jednakokrakih trouglova koji zadovoljavaju uslove zadatka.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
80
15. Vanjski ugao na osnovici jednakokrakog trougla pet puta je veฤi od ugla kojega grade
kraci. Koliki su uglovi tog trougla?
Rjeลกenje:
Kako je vanjski ugao jednak zbiru dva unutraลกnja, njemu nesusjedna ugla, imamo:
5๐ฅ = ๐ฅ + 180ยฐ โ 5๐ฅ
๐ฅ = 20ยฐ
Dobijamo da su unutraลกnji uglovi: 20ยฐ, 80ยฐ, 80ยฐ.
16. Spoljaลกnji ugao uz osnovicu jednakokrakog trougla je 140ยฐ. Izraฤunati ugao izmeฤu
osnovice trougla i visine konstruisane na krak trougla.
Rjeลกenje:
๐ฝ + ๐ผ + 90ยฐ = 180ยฐ
๐ฝ = 90ยฐ โ 40ยฐ
๐ฝ = 50ยฐ
๐ผ = 40ยฐ
17. U pravouglom trouglu sa uglovima ๐ผ, ๐ฝ i ๐พ = 90ยฐ ๐ผ je pet puta veca od ugla ๐ฝ.
Koliki su uglovi ?
Rjeลกenje:
๐ผ + ๐ฝ + ๐พ = 90ยฐ
๐ผ + ๐ฝ + 90ยฐ = 180ยฐ
๐ผ + ๐ฝ = 90ยฐ
๐ผ = 5๐ฝ
5๐ฝ + ๐ฝ = 90ยฐ โน 6๐ฝ = 90ยฐ
๐ฝ = 15ยฐ โง ๐ผ = 75ยฐ
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
81
18. Taฤke ๐ธ i ๐น su redom srediลกta stranica ๐ต๐ถ i ๐ถ๐ท pravougaonika ๐ด๐ต๐ถ๐ท. Kolika je povrลกina
trougla ฮ๐ด๐ธ๐น ako je povrลกina pravougaonika 44 ๐๐2?
Rjeลกenje:
Neka su ๐ i ๐ duลพine stranica pravougaonika
๐ฮ๐ด๐ท๐น =1
2โ ๐ โ
๐
2=๐๐
4
๐ฮ๐ด๐ต๐ธ =1
2โ ๐ โ
๐
2=๐๐
4
๐ฮEC๐น =1
2โ ๐
2โ ๐
2=๐๐
8
๐ฮ๐ด๐ท๐น = ๐โก๐ด๐ต๐ถ๐ท โ (๐ฮ๐ด๐ท๐น + ๐ฮ๐ด๐ต๐ธ + ๐ฮEC๐น) = ๐๐ โ (๐๐
4+๐๐
4+๐๐
8) =
=3
8๐๐ =
3
8โ 44 = 16.5
19. Na hipotenuzi AB pravouglog trougla ๐ด๐ต๐ถ date su taฤke ๐ i ๐ tako da je ๐ด๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ = ๐ด๐ถฬ ฬ ฬ ฬ i
๐ต๐ฬ ฬ ฬ ฬ = ๐ต๐ถฬ ฬ ฬ ฬ . Izraฤunati ugao โข๐๐ถ๐.
Rjeลกenje:
Zbog ๐ด๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ = ๐ด๐ถฬ ฬ ฬ ฬ i ๐ต๐ฬ ฬ ฬ ฬ = ๐ต๐ถฬ ฬ ฬ ฬ slijedi da su trouglovi ๐ด๐ถ๐ i ๐ต๐ถ๐ jednakokraki, tj.
โข๐ด๐๐ถ = โข๐ด๐ถ๐ =1
2(180ยฐ โ ๐ผ) = 90ยฐ โ
๐ผ
2 te sliฤno
โข๐ต๐ถ๐ = โข๐ต๐๐ถ =1
2(180ยฐ โ ๐ฝ) = 90ยฐ โ
๐ฝ
2.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
82
Dakle,
โข๐๐ถ๐ = 180ยฐ โ (โข๐๐๐ถ + โข๐๐๐ถ) = 180ยฐ โ (90ยฐ โ๐ผ
2+ 90ยฐ โ
๐ฝ
2) =
๐ผ
2+๐ฝ
2=
=1
2(๐ผ + ๐ฝ) =
1
2โ 90ยฐ = 45ยฐ
20. Duลพine dviju stranica trougla, izraลพene u centrimetrima, su rjeลกenja jednaฤina
๐ + 0.03 = 5.2 i 2.1
๐= 1.2. Kolika moลพe biti duลพina treฤe stranice ako je ona prirodni broj?
Rjeลกenje:
๐ = 5.17, ๐ = 1.75
๐ โ ๐ < ๐ < ๐ + ๐ โน 3.42 < ๐ < 6.92
Duลพina treฤe stranice ๐ moลพe biti 4๐๐, 5๐๐ i 6๐๐.
21. Jedan oลกtri ugao pravouglog trougla je 3
5 drugog. Odredi te uglove.
Rjeลกenje:
3
5๐ผ + ๐ผ = 90ยฐ โน ๐ผ = 56ยฐ 15โฒ โง ๐ฝ = 33ยฐ 45โฒ
22. Simetrale jednakokrakog trougla sijeku se pod uglom 117ยฐ. Odredi unutraลกnje i vanjske
uglove tog trougla.
Rjeลกenje:
2๐ผ1 = 180ยฐ โ 117ยฐ โน ๐ผ1 = 31ยฐ 30โฒ
๐ผ = 63ยฐ โง ๐ฝ = 54ยฐ
๐ผโฒ = 117ยฐ โง ๐ฝโฒ = 126
23. Na stranici ๐ด๐ต trougla ๐ด๐ต๐ถ data je taฤka ๐ท tako da su obimi trouglova ฮ๐ด๐ต๐ถ, ฮ๐ด๐ท๐ถ i
ฮ๐ต๐ถ๐ท redom 50๐๐, 45๐๐ i 35๐๐. Odrediti duลพinu duลพi ๐ถ๐ท.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
83
Rjeลกenje:
๐ + ๐ = ๐
๐ถ๐ท = ๐ฅ
ฮ๐ด๐ต๐ถ: ๐ + ๐ + ๐ = 50ฮ๐ด๐ท๐ถ:๐ + ๐ฅ + ๐ = 45ฮ๐ต๐ถ๐ท: ๐ + ๐ฅ + ๐ = 35
} โน ๐ + ๐ + ๐ +๐ + ๐ฅ + ๐ + ๐ + ๐ฅ + ๐ = 130
2๐ + 2๐ + 2๐ + 2๐ฅ = 130 โน 2 (๐ + ๐ + ๐)โ =50
+ 2๐ฅ = 130 โน 2๐ฅ = 30 โน ๐ฅ = 15
24. Vanjski ugao na osnovici jednakokrakog trougla odnosi se prema vanjskom uglu pri vrhu
kao 29: 32. Odrediti unutraลกnje uglove tog trougla.
Rjeลกenje:
29: 32 = ๐ผ1: ๐พ1
๐พ1 =32
29๐ผ1
๐ผ1 + ๐ผ1 + ๐พ1 = 360ยฐ} โน
80
29๐ผ1 = 360ยฐ โน ๐ผ1 = 116ยฐ โง ๐พ1 = 128ยฐ
๐ผ + ๐ผ1 = 180ยฐ โน ๐ผ = 64ยฐ
๐พ + ๐พ1 = 180ยฐ โน ๐พ = 52ยฐ
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
84
Zadaci za osmi razred
Kvadriranje i korjenovanje
Procentni raฤun
Cijeli racionalni izrazi
Pitagorina teorema
Trougao, ฤetverougao i mnogougao
Proporcionalnost
Koordinatni sistem
Kod pravouglog trougla je kvadrat na strani spram pravog ugla (na hipotenuzi) jednak
kvadratima na stranama koje obrazuju prav ugao (na katetama). Ako je kod trougla
kvadrat na jednoj strani jednak kvadratima na ostalim dvjema stranama, onda je ugao koji
obrazuju ove dvije strane prav. (47. i 48. stav prve knjige โElementiโ7)
Iako se pripisuje Pitagori, ova teorema je bila poznata Egipฤanima, Vaviloncima,
Kinezima i Indijcima. Ako se prilikom gradnje hramova ili piramida trebao konstruisati pravi
ugao, onda je to ฤinjeno pomoฤu โegipatskog trouglaโ8 ฤije su stranice duลพine 3, 4 i 5. Stari
narodi su znali konstruisati pravougli trougao sa stranicama duลพina 6, 8 i 10; 9, 12 i 15; 12,
16 i 20, odnosno 15, 36 i 39. Na ovaj naฤin uvedena je veza izmeฤu figure i broja, tj. izmeฤu
geometrije i algebre. Smatra se da prvi dokaz Pitagorine teoreme potiฤe od Pitagore. Prema
legendi on je u znak zahvalnosti ลกto je dokazao teoremu bogovima prinio stotinu volova.
7 Najznaฤajnije djelo koje je napisao starogrฤki matematiฤar Euklid (330. โ 275. g. p. n. e.). โElementiโ su djelo napisano u 13 knjiga zahvaljujuฤi kome je geometrija 300 godine prije nove ere dostigla zavidan nivo. Poslije โBiblijeโ ovo djelo je ljudskoj povijesti najviลกe
prouฤavano, najฤeลกฤe prevoฤeno i printano. Doลพivjelo je 1700 izdanja. U ovom djelu dokazane su 464 teoreme na naฤin koji je i danas
besprijekoran. 8 Trojke prirodnih brojeva koje zadovoljavaju Pitagorinu jednakost nazivaju se Pitagorini brojevi. Trougao ฤije su duลพine stranica Pitagorini
brojevi nazivamo Egipastki trougao. Takvo ime je dobio jer su ga stari Egipฤani koristili u graฤevinskim poslovima za odreฤivanje pravog
ugla ลกto je bilo veoma vaลพno u umjetnosti gradnje u doba Starog Egipta. Struฤnjaci za ovakav dio graฤevinskog posla nazivani su โnosaฤi uลพetaโ i bili su veoma cijenjeni i dobro plaฤeni radnici. Za postavljanje temelja nove graฤevine koristili su konopce sa 13 ฤvorova.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
85
Kvadriranje i korjenovanje
1. Izraฤunati razliku izraza 12 + 22 + 32 +โฏ+ 20152 + 20162 i
1 โ 3 + 2 โ 4 + 3 โ 5 + โฏ+ 2015 โ 2017.
Rjeลกenje:
Izraz 1 โ 3 + 2 โ 4 + 3 โ 5 +โฏ+ 2015 โ 2017 moลพemo rastaviti kao:
1 โ 3 + 2 โ 4 + 3 โ 5 + โฏ+ 2015 โ 2017 =
= (2 โ 1)(2 + 1) + (3 โ 1)(3 + 1) + โฏ+ (2016 โ 1)(2016 + 1) =
= 22 โ 1 + 32 โ 1 + 42 โ 1 +โฏ+ 20162 โ 1
pa je razlika
12 + 22 + 32 +โฏ+ 20152 + 20162 โ (1 โ 3 + 2 โ 4 + 3 โ 5 + โฏ+ 2015 โ 2017) =
= 12 + 22 + 32 +โฏ+ 20152 + 20162 โ (22 โ 1 + 32 โ 1 + 42 โ 1 +โฏ+ 20162 โ 1) =
= 12 + 22 + 32 +โฏ+ 20152 + 20162 โ 22 + 1 โ 32 + 1 โ 42 + 1 โโฏโ 20162 + 1 =
= 1 + 1 + 1 +โฏ+ 1โ 2016 sabiraka
= 2016
2. Ako je โ5๐ฅ โ โ5๐ฆ = โ2 izraฤunaj vrijednost izraza โ2๐ฅ
2โ
๐ฆ
โ2.
Rjeลกenje:
โ5๐ฅ โ โ5๐ฆ = โ2 โน โ5(๐ฅ โ ๐ฆ) = โ5 โ โ4 โน ๐ฅ โ ๐ฆ = 2
โ2๐ฅ
2โ๐ฆ
โ2=2๐ฅ โ 2๐ฆ
2โ2=2(๐ฅ โ ๐ฆ)
2โ2=2 โ 2
2โ2=2
โ2โ โ2
โ2=2โ2
2= โ2
3. Izraฤunati ๐2+๐2
๐๐ ako je
๐+๐
๐= 2 โ โ2.
Rjeลกenje:
๐ + ๐
๐= 2 โ โ2 โน
๐
๐+๐
๐= 2 โ โ2 โน
๐
๐= 1 โ โ2
๐
๐=
1
1 โ โ2โ 1 + โ2
1 + โ2 โน
๐
๐= โ1 โ โ2
๐2 + ๐2
๐๐=๐2
๐๐+๐2
๐๐=๐
๐+๐
๐ }
โน๐2 + ๐2
๐๐= 1 โ โ2 โ 1 โ โ2 = โ2โ2
๐
๐=
1
1 โ โ2โ 1 + โ2
1 + โ2 โน
๐
๐= โ1 โ โ2
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
86
4. Izraฤunati (7 โ โ42
โ7+6โ18
โ3โ 2โ30 โ โ5) โ
2โโ6
โ54โ9=
Rjeลกenje:
(7 โ โ42
โ7+6โ18
โ3โ 2โ30 โ โ5) โ
2 โ โ6
โ54 โ 9= (7โ6 + 6โ6 โ 10โ150) โ
2 โ โ6
3โ6 โ 9=
= (13โ6 โ 10โ25 โ 6) โ 2 โ โ6
3(โ6 โ 3)= 3โ6 โ
2 โ โ6
3(โ6 โ 3)=6โ6 โ 18
3(โ6 โ 3)=6(โ6 โ 3)
3(โ6 โ 3)= 2
5. Ako je ๐ฅ2 +1
๐ฅ2=82
9 koliko je ๐ฅ +
1
๐ฅ?
Rjeลกenje:
Ako lijevoj i desnoj strani jednakosti ๐ฅ2 +1
๐ฅ2=82
9 dodamo 2 dobiฤemo
๐ฅ2 + 2 +1
๐ฅ2=100
9 โน (๐ฅ +
1
๐ฅ)2
=100
9 โน ๐ฅ +
1
๐ฅ= ยฑโ
100
9 โน ๐ฅ +
1
๐ฅ= ยฑ
10
3
6. Izraฤunati vrijednost izraza โ(โ5 โ 5)2โ (โ5 โ 5) =.
Rjeลกenje:
โ(โ5 โ 5)2โ (โ5 โ 5) = |โ5 โ 5| โ (โ5 โ 5) = 5 โ โ5 โ โ5 + 5 = 10 โ 2โ5
7. Izraฤunaj (pojednostavi): (โ6 + โ15)(โ10 โ โ6)โ4 โ โ15.
Rjeลกenje:
(4 + โ15)(โ10 โ โ6)โ4 โ โ15 = โ4 + โ15(โ10 โ โ6)โ4 + โ15 โ4 โ โ15 =
= โ4 + โ15(โ10 โ โ6)โ42 โ (โ15)2 = โ4 + โ15(โ10 โ โ6) =
= โ(4 + โ15)(โ10 โ โ6)2= โ(4 + โ15)(16 โ 4โ15) = โ4(4 + โ15)(4 โ โ15) =
= 2 โ โ(42 โ (โ15)2) = 2โ16 โ 15 = 2
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
87
8. Dokazati nejednakost : โ1 + โ2 + โ5 >8
5.
Rjeลกenje:
โ1 +โ2 + โ5 >8
5โบ 1 + โ2 + โ5 >
64
25โบ 25โ2 + โ5 > 39 โบ 625(2 + โ5) > 1521
โบ 625โ5 > 271 โบ 1953125 > 73441
Drugi naฤin:
โ1 + โ2 + โ5 > โ1 +โ2 + โ4 = โ1 + โ2 + 2 = โ1 + 2 = โ3 >8
5
โ3 >8
5โบ 3 >
64
25โบ 75 > 64
9. Odredi najmanji cijeli broj takav da je kvadratni korijen iz proizvoda tog broja i broja 1988
prirodan broj.
Rjeลกenje:
โ1988 โ ๐ โ โ
1988 = 2 โ 2 โ 7 โ 71 โ2 โ 2 โ 7 โ 71 โ 7 โ 71 = 2 โ 7 โ 71 = 994 โ โ
๐ = 7 โ 71 = 497
10. Izraฤunaj ๐ฅ + ๐ฆ + ๐ง ako su ๐ฅ, ๐ฆ i ๐ง rjeลกenja jednaฤina โ3(๐ฅ โ 2016) = 3,
โ3๐ฆ โ 2016 = 3, โ3(๐ง โ 2016) = 3.
Rjeลกenje:
โ3(๐ฅ โ 2016) = 3 โน ๐ฅ = 2019
โ3๐ฆ โ 2016 = 3 โน ๐ฆ = 675
โ3(๐ง โ 2016) = 3 โน ๐ง = 2016 + โ3
๐ฅ + ๐ฆ + ๐ง = 2019 + 675 + 2016 + โ3 = 4710 + โ3
11. Rijeลกiti jednaฤinu 2โ๐ฅ + 5 = ๐ฅ + 2 u skupu โ.
Rjeลกenje:
Prvo primijetiti da je lijeva strana 2โ๐ฅ + 5 โฅ 0 โ ๐ฅ + 2 โฅ 0 โน ๐ฅ โฅ โ2
Kvadriranjem jednaฤine dobijamo jednaฤinu ๐ฅ2 = 16 โน ๐ฅ = ยฑ4.
Zbog prethodnog uslova zakljuฤujemo da je ๐ฅ = 4 jedino rjeลกenje jednaฤine.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
88
12. Izraฤunati vrijednost izraza โ(2 โ ๐)2 + (๐ + 2)2 + 23 u sluฤaju kada je
(๐ โ 1)2 โ (๐ โ 2)2 = 7.
Rjeลกenje:
(๐ โ 1)2 โ (๐ โ 2)2 = 7 โน ๐ = 5
โ(2 โ ๐)2 + (๐ + 2)2 + 23=โ(2 โ 5)2 + (5 + 2)2 + 23 = โ9 + 49 + 23 = 9
13. ล ta je veฤe โ11+โ7
6 ili
1
โ12โโ6?
Rjeลกenje:
Kako je 1
โ12โโ6=โ12+โ6
6 โน
โ11+โ7
6>
1
โ12โโ6, jer je (โ11 + โ7)
2> (โ12 โ โ6)
2
odnosno โ77 > โ72.
14. U skupu racionalnih brojeva rijeลกi sljedeฤe jednaฤine ๐ฅ2 โ 2. 3ฬ = 1. 6ฬ i 0. 6ฬ๐ฆ2 = 1.5.
Rjeลกenje:
2. 3ฬ = 2.333333โฆ = 21
3
1. 6ฬ = 1.666666โฆ = 12
3
0. 6ฬ = 0.666666โฆ =2
3 }
โน๐ฅ2 โ 2. 3ฬ = 1. 6ฬ โน ๐ฅ = ยฑ2
0. 6ฬ๐ฆ2 = 1.5 โน ๐ฆ = ยฑ11
2
15. Dokazati da je broj 49 + 610 + 320 kvadrat nekog prirodnog broja!
Rjeลกenje:
49 + 610 + 320 = (22)9 + (2 โ 3)10 + (310)2 = (29)2 + 210 โ 310 + (310)2 =
= (29)2 + 2 โ 29 โ 310 + (310)2 = (29 + 310)2
2 โ โ โน 29 โ โ 3 โ โ โน 310 โ โ
} โน 29 + 310 โ โ โน Dakle, izraz 49 + 610 + 320 je kvadrat nekog
prirodnog broja.
16. ล ta je veฤe โ10 + โ13 ili โ11 + โ12 ?
Rjeลกenje:
Ako je ๐ฅ = โ10 + โ13, ๐ฆ = โ11 + โ12. Tada je :
๐ฅยฒ = 10 + 13 + 2โ10 โ 13 ๐ฆยฒ = 11 + 12 + 2 โ11 โ 12
๐ฅยฒ = 23 + 2โ130 ๐ฆยฒ = 23 + 2 โ132
Kako je ๐ฆยฒ > ๐ฅยฒ to je ๐ฆ > ๐ฅ tj. โ11 + โ12 > โ10 + โ13
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
89
17. Odredi brojnu vrijednost izraza 0.4 โ โ19
16 + 0.2 โ 2
1
2โ 15 โ โ(โ
1
5)2
=
Rjeลกenje
4
10โ โ25
16+2
10โ 5
2โ 15 โ |โ
1
5 | =
2
5โ 5
4+1
2โ 15 โ
1
5=1
2+1
2โ 3 = 1 โ 3 = โ2
18. Ako su ๐ ๐ ๐ zadani prirodni brojevi, onda za ๐ = ๐ โ ๐ , ๐ =๐2โ๐2
2 i ๐ =
๐2+๐2
2 vrijedi
relacija ๐2 + ๐2 = ๐2. Dokazati!
Rjeลกenje:
๐2 = ๐2 โ ๐2
๐2 =๐4 โ 2๐2 โ ๐2 + ๐4
4
๐2 =๐4 + 2๐2 โ ๐2 + ๐4
4๐2 + ๐2 = ๐2 }
โน๐2 โ ๐2 +
๐4 โ 2๐2 โ ๐2 + ๐4
4=๐4 + 2๐2 โ ๐2 + ๐4
4๐4 + 2๐2 โ ๐2 + ๐4
4=๐4 + 2๐2 โ ๐2 + ๐4
4
19. Neka je ๐ด = (๐ฅ + 3๐ฆ)2 โ (๐ฅ โ 2๐ฆ)2 , ๐ต = ๐ฅ2 โ (๐ฅ โ ๐ฆ)2. Izraz ๐ด
๐ต svedi na ลกto
jednostavniji oblik pa izraฤunaj njegov vrijednost za ๐ฅ =1
4, ๐ฆ =
1
3.
Rjeลกenje:
๐ด
๐ต= 25.
20. Izraฤunaj vrijednost izraza 1+๐2+๐
๐2โ๐โ1 ako je ๐ = โ1 โ โ0, 04 โ
1
2โโ1 โ โ0,49 โ โ0,3
Rjeลกenje:
1 + ๐2 + ๐
๐2 โ ๐ โ 1= 1
21. Rijeลกi nejednaฤinu (1 โ๐ฅโ1
2)2
โ (1 โ๐ฅโ2
2)2 <
5
4
Rjeลกenje:
1 โ2(๐ฅโ1)
2+(๐ฅโ1)
4
2
โ (1 โ2(๐ฅโ2)
2+(๐ฅโ2)
4
2
) < 5
4 โน ๐ฅ > 6
๐ฅ โ (โโ, 6)
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
90
22. Izraฤunaj vrijednost izraza 8๐ฅ3 โ 4๐ฅ2 za ๐ฅ = โ2 +1
4
Rjeลกenje:
8๐ฅ3 โ 4๐ฅ2 = 18
23. Dokazati nejednakost โ2๐๐ โ ๐2 + โ๐2 โ ๐2 โฅ ๐, ๐ โฅ ๐ โฅ 0. Kada vrijedi znak
jednakosti?
Rjeลกenje:
Jednakost se postiลพe za ๐ = ๐
24. Dat je izraz 3๐2 โ 3๐2 โ 6๐๐ โ 3๐2.
a) Uprosti izraz ako je ๐ + ๐ = ๐.
b) Izraฤunati numeriฤku vrijednost datog izraza za ๐ + ๐ = ๐ = 331
3.
Rjeลกenje:
a) 0
b) To ฤe biti specijalno rjeลกenje za datu vrijednost ๐.
25. Uporedi po veliฤini brojeve: ๐ด = 5 + 2โ5 i ๐ต = โ45 + 20โ5 .
Rjeลกenje:
๐ด = ๐ต
26. Neka je ๐ฅ pozitivan realan broj za kojeg vrijedi ๐ฅ2 +1
๐ฅ2=17
4. Izraฤunaj:
a) ๐ฅ โ1
๐ฅ;
b) ๐ฅ +1
๐ฅ.
Rjeลกenje:
a) ๐ฅ โ1
๐ฅ= ยฑ
3
2,
b) Dobijaju se ฤetiri moguฤa rjeลกenja: ๐ฅ ยฑ 2 i ๐ฅ = ยฑ1
2
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
91
27. Izraฤuaj: 1
โ1+โ2+
1
โ2+โ3+
1
โ3+โ4+โฏ+
1
โ99+โ100 .
Rjeลกenje:
1
โ1 + โ2+
1
โ2 + โ3+
1
โ3 + โ4+โฏ+
1
โ99 + โ100= 9
28. Izraฤunaj: (2006 โ โ1 + 2008โ1 + 2007 โ 2005)2
.
Rjeลกenje:
(2006 โ โ1 + 2008โ1 + 2007 โ 2005)
2
= 1
29. Ako je โ2 โ ๐ฅ โ โ2 โ ๐ฆ = โ18 izraฤunaj vrijednost izraza โ3โ๐ฅ
3โ
3
โ3 .
Rjeลกenje:
โ3 โ ๐ฅ
3โ3
โ3= โ3
30. Izraฤunaj vrijednost izraza โ(โ5 โ 5)2โ (โ5 โ 5).
Rjeลกenje:
โ(โ5 โ 5)2โ (โ5 โ 5) = 0
31. Koliko je 1
1000 od [
15702+10702โ2140โ1570
10โโ2752โ2252]2
?
Rjeลกenje:
[15702 + 10702 โ 2140 โ 1570
10 โ โ2752 โ 2252]
2
= 25
32. Odredi najmanji prirodni broj ๐ tako da je broj โ1350 โ ๐ prirodan.
Rjeลกenje:
๐ = 6
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
92
33. ล ta je veฤe 5 + 2โ7 ili 3โ3 + 2โ6 ?
Rjeลกenje:
5 + 2โ7 > 3โ3 + 2โ6
34. Dokaลพi da je broj โ7 + 4โ3 + โ7 โ 4โ3 prirodan.
Rjeลกenje:
Kvadriranjem izraza dobije se broj 4, ลกto je trebalo dokazati.
35. Dokazati da je broj โ11 + 6โ2 + โ11 โ 6โ2 cio broj.
Rjeลกenje:
Kvadriranjem izraza dobijamo rezultat 29.
36. ล ta je veฤe 5+2โ6
2 ili
1
โ7โโ6 ? Bez raฤunanja korijena!
Rjeลกenje:
5 + 2โ6
2<
1
โ7 โ โ6
37. Rijeลกiti jednadลพbu
๐ฅ +1
โ2 โ (โ2 + 1)+
1
โ2 โ 3 โ (โ3 + โ2)+
1
โ3 โ 4 โ (โ4 + โ3)+ โฏ+
1
โ49 โ 50 โ (โ50 + โ49)= 1 +
1
โ50
Rjeลกenje:
๐ฅ = 0
38. Rijeลกi nejednadลพbu (5
2๐ฅ2 + ๐ฅ + 5)
2
โ (3
2๐ฅ2 โ 5๐ฅ โ 4)
2
โฅ 0
Rjeลกenje:
Prvi sluฤaj: ๐ฅ โ [1
2, +โ), drugi sluฤaj: ๐ฅ โ [โ3,+โ).
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
93
39. Ako su ๐, ๐, ๐ i ๐ realni brojevi i ako je (๐๐ + ๐๐)2 = (๐2 + ๐2) โ (๐2 + ๐2), onda je
๐๐ = ๐๐. Dokazati!
Rjeลกenje:
Izvrลกavanjem raฤunskih operacija dobijamo da je ๐๐ = ๐๐, ลกto je trebalo dokazati.
40. Rijeลกi jednadลพbu ๐ฅ(๐ฅ2โ1)(๐ฅ2โ4)
๐ฅ+|๐ฅ|= 0.
Rjeลกenje:
Zadatak ima tri sluฤaja. Prvi sluฤaj: ๐ฅ = 0, drugi sluฤaj: ๐ฅ = 1, treฤi sluฤaj: ๐ฅ = 2.
41. Izraฤunati razliku izraza: 12 + 22 + 32 +โฏ+ 20052 i
1 โ 3 + 2 โ 4 + 3 โ 5 + โฏ+ 2004 โ 2006
Rjeลกenje:
12 + 22 + 32 +โฏ+ 20052 โ (1 โ 3 + 2 โ 4 + 3 โ 5 + โฏ+ 2004 โ 2006) = 2005
42. Da li je algebarska vrijednost izraza โ(โ5 โ 3)2 +โ9 โ 4โ5 racionalan ili iracionalan
broj?
Rjeลกenje:
Algebarska vrijednost datog izraza je iracionalna.
43. Izraฤunaj ๐ฅ(๐ฅ2 โ 2) + 4 โ1
2โ (๐ฅ + 2)2 .
Rjeลกenje:
๐ฅ(๐ฅ2 โ 2) + 4 โ1
2โ (๐ฅ + 2)2 = (๐ฅ โ 2)(๐ฅ + 2) (๐ฅ โ
1
2)
44. Odredi ureฤene trojke (๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง) realnih brojeva za koje vrijedi ๐ฅ + ๐ฆ = โ28 i
๐ฅ๐ฆ โ 2๐ง2 = 7.
Rjeลกenje:
(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง) = (โ7, โ7, 0)
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
94
45. Izraฤunaj 1
โ7+โ5+
1
โ5โโ3โโ1.5โโ3.5
โ2
Rjeลกenje:
1
โ7 + โ5+
1
โ5 โ โ3โโ1.5 โ โ3.5
โ2= โ7
46. Izraฤunaj โ145,52โ96,52
193,52โ31,52
Rjeลกenje:
โ145,52 โ 96,52
193,52 โ 31,52=77
135
47. Da li je broj โ2
โ2+1โ 1 + โ2 racionalan ili iracionalan broj?
Rjeลกenje:
โ2
โ2 + 1โ 1 + โ2 = 1
48. Odredi sve parove cijelih brojeva ๐ฅ i ๐ฆ koji zadovoljavaju jednadลพbu
๐ฅ๐ฆ + 3๐ฆ = ๐ฅ2 + 6๐ฅ + 12
Rjeลกenje:
(๐ฅ, ๐ฆ) โ {(โ4,โ4), (โ2, 4), (โ6,โ4), (0, 4)}
49. Dokazati da razlika proizvoljnog prirodnog broja i broja koji se zapisuje istim ciframa, ali
u obrnutom redoslijedu ne moลพe biti potpuni kvadrat!
Rjeลกenje:
๐๐๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ = 100๐ + 10๐ + ๐ โ traลพeni trocifreni broj
๐๐๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ = 100๐ + 10๐ + ๐ โtrocifreni broj zapisan u obrnutom redoslijedu
๐๐๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ โ ๐๐๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ = 100๐ + 10๐ + ๐ โ (100๐ + 10๐ + ๐) = 100๐ + 10๐ + ๐ โ 100๐ โ 10๐ โ ๐ =
= 99๐ โ 99๐ = 99 โ (๐ โ ๐)
Da bi izraz 99 โ (๐ โ ๐) bio potpun kvadrat ๐ โ ๐ mora biti ili 99 ili 11 ลกto nije moguฤe jer su
๐ i ๐ cifre trocifrenih brojeva.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
95
50. Rijeลกi nejednadลพbu โ๐ฅ2 โ 2๐ฅ + 1 < 2016.
Rjeลกenje:
โ(๐ฅ โ 1)2 < 2016 โบ โ2016 < ๐ฅ โ 1 < 2016 โบ โ2015 < ๐ฅ < 2017
Zakljuฤujemo da ๐ฅ โ (โ2015, 2017).
51. Dokazati da je ๐ด = (4 + โ15)(โ10 โ โ6) (โ4 โ โ15) racionalan broj.
Rjeลกenje:
โ10 โ โ6 = โ2(โ5 โ โ3) = โ2โ(โ5 โ โ3)2= โ2 โ โ8 โ 2โ15 = 2โ4 โ โ15
๐ด = (4 + โ15) โ 2โ4 โ โ15 โ โ4 โ โ15 = 2 โ โ
52. Uporediti brojeve โ7 โ โ7 i 2.
Rjeลกenje:
I naฤin
Kako je โ7 < 3 to je i 7 โ โ7 > 7 โ 3 = 4, pa zakljuฤujemo da je โ7 โ โ7 > 2.
II naฤin
Pretpostavimo da je 2 > โ7 โ โ7. Kako je 7 โ โ7 > 0, jer je 7 > โ7 to je dozvoljeno
kvadrirati dati korijen, pa ฤemo imati:
2 > โ7 โ โ7 /2
4 > 7 โ โ7 โน โ3 > โโ7 /2
9 < 7 ลกto nije taฤno. Do pogreลกnog zakljuฤka nas je dovela pretpostavka da je 2 > โ7 โ โ7
pa nije taฤna i zakljuฤujemo da je 2 < โ7 โ โ7.
53. Naฤi sve cijele brojeve ๐ za koje je 45
45โ๐ kvadrat nekog prirodnog broja.
Rjeลกenje:
Potpuni kvadrati koji su faktori broja 45 su 1 i 9. Kako je 45 = 5 โ 9 = 1 โ 45 to 45 โ ๐ mora
biti jednako ili 5 ili 45, pa zakljuฤujemo da je ๐ = 40 ili ๐ = 0.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
96
54. Ako je ๐ฅ prirodan broj veฤi od 1 i ๐ฅ2 +1
๐ฅ2=82
9, koliko je ๐ฅ +
1
๐ฅ, ๐ฅ โ
1
๐ฅ i ๐ฅ?
Rjeลกenje:
(๐ฅ +1
๐ฅ)2
= ๐ฅ2 + 2 +1
๐ฅ2= 2 +
82
9=100
9 โน ๐ฅ +
1
๐ฅ=10
3
(๐ฅ โ1
๐ฅ)2
= ๐ฅ2 โ 2 +1
๐ฅ2= โ2 +
82
9=64
9 โน ๐ฅ โ
1
๐ฅ=8
3
Sabiranjem poslednje dvije jednakosti dobijamo:
๐ฅ +1
๐ฅ+ ๐ฅ โ
1
๐ฅ=10
3+8
3 โน 2๐ฅ = 6 โน ๐ฅ = 3
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
97
Procentni raฤun
1. Izraฤunaj 22,5% od 1
3 od [
โ3402โ1602+โ6502โ2502
(10002+1000โ1940+9702)โ(10002โ1000โ1998+9992)]30
Rjeลกenje:
3
40
2. Cijena knjige smanjila se za 21%. Za koliko treba porasti nova cijena da bi bila jednaka
prvobitnoj?
Rjeลกenje:
Neka je cijena knjige ๐ฅ. Tada je njena cijena poslije sniลพenja od 21%, 0.79๐ฅ. Neka je ๐
procentualno uveฤanje nove dobijene cijene koja treba biti jednaka prvobitnoj. Sada imamo
jednaฤinu:
0.79๐ฅ + ๐ โ 0.79๐ฅ = ๐ฅ โน 0.79๐ = 1 โ 0.79 โน ๐ =0.21
0.79 โน ๐ = 26.6
Dakle, novu cijenu treba poveฤati za 26.6% da bi bila jednaka prvobitnoj.
3. U jednoj ลกkoli je proลกle ลกkolske godine bilo ukupno 1200 djeฤaka i djevojฤica. Ove
ลกkolske godine se broj djeฤaka smanjio za 10%, a broj djevojฤica se poveฤao za 20% u
odnosu na prethodnu godinu, tako da se ove godine broj uฤenika poveฤao za 75. Koliko
djeฤaka, a koliko djevojฤica pohaฤa ove godine tu ลกkolu?
Rjeลกenje:
Neka je ๐ฅ broj djeฤaka u proลกloj ลกkolskoj godini, a broj djevojฤica 1200 โ ๐ฅ. Iz uslova
zadatka slijedi da je ove ลกkolske godine 0.9๐ฅ djeฤaka i 1.2(1200 โ ๐ฅ) djevojฤica. Zato vrijedi
0.9๐ฅ + 1.2(1200โ ๐ฅ) = 1200 + 75 โน ๐ฅ = 550. Prema tome, ove ลกkolske godine ima
0.9 โ 550 = 495 djeฤaka i 1.2 โ (1200โ 550) = 780 djevojฤica.
4. Faruk i Dado brodovima voze turiste na viลกednevna putovanja . Faruk je cijenu putovanja
po osobi naplaฤivao za 80 ๐พ๐ viลกe od Dade. Kada su to uoฤili, Faruk je smanjio cijenu
putovanja za 10%, a Dado poveฤao za 15%. Nakon promjene cijena, putovanje Dadinim
brodom je za 8 ๐พ๐ po osobi skuplje od putovanja Farukovim brodom. Kolike su nove cijene
putovanja?
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
98
Rjeลกenje:
Neka je ๐ฅ stara cijena putovanja kod Dade izraลพena u ๐พ๐. Tada je ๐ฅ + 80 stara cijena
putovanja kod Faruka. Nakon promjene, nova cijena kod Farukaje 0.9(๐ฅ + 80), a kod Dade
1.15๐ฅ. Kako je, prema uvjetu zadatka, razlika u novim cijenama 8 ๐พ๐, vrijedi
1.15๐ฅ โ 8 = 0.9(๐ฅ + 80) โน ๐ฅ = 320. Dakle, nova cijena kod Dade je
1.15 ยท 320 = 368 ๐พ๐, a kod Faruka 0.9 ยท 400 = 360 ๐พ๐.
5. Otac i majka imaju ukupno 80 godina. Njihova djeca imaju 13, 10 i 6 godina. Za nekoliko
godina zbir godina djece biti ฤe 59% zbira godina oca i majke. Koliko ฤe godina tada imati
otac, a koliko majka ako je majka 4 godine mlaฤa od oca?
Rjeลกenje:
Moลพemo zakljuฤiti da otac ima 42 godine, a majka 38. Za nekoliko godina, pretpostavimo za
๐ฅ godina, zbir godina djece je 59% zbira godina oca i majke. To zapisujemo
13 + ๐ฅ + 10 + ๐ฅ + 6 + ๐ฅ =59
100(80 + 2๐ฅ) โน ๐ฅ = 10. Otac ฤe imati 52, a majka 48 godina.
6. Proลกle godine broj uฤenika u nekoj ลกkoli iznosio je 850. Ove godine broj djeฤaka smanjio
se za 4%, a broj djevojฤica se poveฤao za 3% nakon ฤega broj uฤenika iznosi 844. Koliki je
broj djevojฤica ove godine u ลกkoli?
Rjeลกenje:
Neka je broj djeฤaka ๐ฅ onda je broj djevojฤica (850 โ ๐ฅ). Prema uslovima zadatka moลพemo
formirati jednaฤinu 0.96๐ฅ + 1.03(850 โ ๐ฅ) = 844 โน ๐ฅ = 450.
Djeฤaka je 450, a djevojฤica je 400.
7. Brat i sestra htijeli su kupiti druลกtvenu igru. Bratu je nedostajalo 5
19 ukupne cijene, a sestri
1
4
ukupne cijene. No, zajedno su imali 185 ๐พ๐ viลกe od ukupne cijene igre. Zajedno su kupili
igru tako ลกto je brat dao 45% ukupne cijene igre, a sestra ostatak. Koliko je novca ostalo bratu
a koliko sestri?
Rjeลกenje:
Neka igra koลกta ๐ฅ ๐พ๐. Tada brat ima 14
19๐ฅ๐พ๐, a sestra
3
4๐ฅ๐พ๐. Zajedno imaju:
14
19๐ฅ +
3
4๐ฅ = ๐ฅ + 185 โน ๐ฅ = 380
Druลกtvena igra je koลกtala 380๐พ๐. Brat je imao 14
19โ 380 = 280๐พ๐, a sestra
3
4โ 380 = 285๐พ๐. Brat je za igru dao
45
100โ 380 = 171๐พ๐, a sestra 209๐พ๐. Bratu je ostalo
109๐พ๐, sestri 76๐พ๐.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
99
8. Ako se brojnik nekog razomka poveฤa za 5%, a nazivnik poveฤa za 20%, hoฤe li se
vrijednost razlomka poveฤati ili smanjiti i za koliko posto?
Rjeลกenje:
Nakon poveฤanja brojnika i nazivnika razlomak ๐
๐ postaje
1,05๐
1,20๐=105๐
120๐=7
8โ ๐
๐.
Razlomak se umanjio za 1
8 ili za 12,5 %.
9. Komลกinica Fata uzgaja kokoลกke. Prije 4 godine imala je 32 kokoลกke. Prve dvije godine se
taj broj kokoลกki uveฤavao za 25 % u odnosu na prethodnu godinu, a sljedeฤe dvije godine se
broj kokoลกki smanjivao za 20 % u odnosu na prethodnu godinu. Koliko kokoลกki komลกinica
Fata ima sada ?
Rjeลกenje:
Ako je prije 4 godine imala 32 kokoลกke, onda je prije tri godine imala 125% od 32 tj. 40
kokoลกki. Prije dvije godine je imala 125 % od 40 kokoลกki tj. 50 kokoลกki 1.25 ๐ฅ 40 = 50.
Prije godinu je imala 80% od 50 kokoลกki tj. 40 kokoลกki. Sada ima 80% od 40 kokoลกki
0.8 ๐ฅ 40 = 32 tj. 32 kokoลกke.
10. Za koliko procenata treba promijeniti cijenu ulaznice za nogometnu utakmicu ako se ลพeli
poveฤati broj gledalaca za 50%, a ukupni prihod za 25%?
Rjeลกenje:
Ako je ๐ฅ broj gledalaca, a ๐ฆ cijena karte, onda je prihod ๐ฅ โ ๐ฆ ๐พ๐. Izrazimo nove veliฤine
(promjene) pomoฤu ๐ฅ i ๐ฆ. Ako se broj gledalaca poveฤa za 50%, bit ฤe 50
100๐ฅ gledalaca. Ako
se oฤekuje 25% veฤi prihod, prihod ฤe biti 125
100๐ฅ โ ๐ฆ. Pitanje je kako se pri tom treba
promijeniti cijena karte. Sa ๐ oznaฤimo tu promjenu. Znaฤi, mora biti 150
100๐ฅ โ ๐๐ฆ =
125
100๐ฅ โ ๐ฆ.
Na lijevoj i desnoj strani pokrate se ๐ฅ i ๐ฆ, pa ostaje 150
100โ ๐ =
125
100 โน ๐ =
5
6. Dakle,
5
6๐ฆ treba
biti nova cijena karte. To znaฤi da se cijena mora smanjiti za 1
6โ 17%.
11. Adam treba da proda dva artikla za 120๐พ๐. Ako bi prvi artikl sniลพio za 25%, a drugi
poveฤao za 25%, izgubio bi 1
8 zarade. Odredi cijene artikala.
Rjeลกenje:
๐ฅ โ cijena prvog artikla
120 โ ๐ฅ โ cijena drugog artikla
0.75x + 1. 25(120 โ x) = 7
8โ 120 โ x = 90
Cijene artikala su 90๐พ๐ i 30๐พ๐.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
100
12. U jednoj ลกkoli ima manje od 400 uฤenika. ล est odjeljenja imaju jednak broj uฤenika i
njihov ukupni broj veฤi je od 150. U ostalim odjeljenjima ima 15% viลกe uฤenika nego u ovih
6 odjeljenja. Koliko uฤenika ima u ลกkoli?
Rjeลกenje:
Neka je u svakom od 6 odjeljenja s jednakim brojem uฤenika (๐ฅ uฤenika). Tada je u njima
ukupno 6๐ฅ uฤenika. Poลกto je 6๐ฅ > 150, onda je ๐ฅ > 25. U ostalim odjeljenjima je 15% viลกe
uฤenika, ลกto znaฤi 1.15 โ 6๐ฅ = 6.9๐ฅ uฤenika. Ukupno ih ima 6๐ฅ + 6.9๐ฅ = 12.9๐ฅ i taj broj je
manji od 400. Dakle, 12.9 ๐ฅ < 400 tj. ๐ฅ <4000
129. To znaฤi da je 25 < ๐ฅ <
4000
129.
Da bi 12.9๐ฅ bio prirodni broj, mora ๐ฅ biti viลกekratnik broja 10. Dakle, ๐ฅ = 30 tj. u ลกkoli ima
387 uฤenika.
13. Svjeลพe groลพฤe sadrลพi 70% vode, a suho 18% vode. Koliko kilograma svjeลพeg groลพฤa treba
da bi se dobilo 24 kilograma suhog groลพฤa?
Rjeลกenje:
U 24๐๐ svjeลพeg groลพฤa ima 82% suhe materije pa je 24 โ 0,82 = 19.68๐๐. To ฤini 30% od
ukupne koliฤine svjeลพeg groลพฤa. Rjeลกavanjem jednaฤine
0.3 โ ๐ฅ = 19.68 โน ๐ฅ = 65.6๐๐.
Potrebno je 65.6 ๐๐ svjeลพeg groลพฤa da bi se dobilo 24๐๐ suhog groลพฤa.
14. Izraฤunaj 25
7% od
7
24:0.125+3.5
2
3โ0.25
Rjeลกenje:
25
7% =
257100
=
174=1
28724 : 0.125 + 3.5
23 โ 0.25
= 7
}
โน 7 โ 1
28=1
4= 0.25
15. Zbir dvaju brojeva iznosi 120. Koji su to brojevi ako 40% jednog iznosi koliko i 60%
drugog ?
Rjeลกenje:
๐ + ๐ = 120, 0.4๐ = 0.6๐ imamo da je ๐ = 1.5๐
1.5๐ + ๐ = 120 2.5๐ = 120 โน ๐ = 48 โง ๐ = 72
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
101
16. U dva kamiona se nalazi 35 tona uglja. Ako se iz prvog uzme 12.5% uglja i doda u drugi
tada ฤe u oba kamiona biti jednake koliฤine uglja. Koliko je uglja u svakom kamionu prije
pretovaranja ?
Rjeลกenje
Ako je u prvom kamionu ๐ฅ tona uglja tada u drugom kamionu ima 35 โ ๐ฅ tona uglja. Poslije
pretovaranja u prvom kamionu biฤe ๐ฅ โ 12.5% ๐ฅ tona, a u drugom 35 โ ๐ฅ + 12.5% ๐ฅ tona
uglja. Prema uslovu zadatka imamo jednaฤinu ๐ฅ โ 12.5
100๐ฅ = 35 โ ๐ฅ +
12.5
100๐ฅ โน ๐ฅ = 20. U
prvom kamionu ima 20 tona uglja, a u drugom 15 tona uglja.
17. Za koliko procenata treba da pojeftini roba koja je nedavno poskupila za 25%, da bi se
ponovo prodavala po prvobitnoj cijeni ?
Rjeลกenje
Ako sa ๐ฅ oznaฤimo prvobitnu cijenu robe, a sa ๐ broj procenata sniลพenja, tada je nova roba
jednaka 1.25๐ฅ a sniลพenje bi bilo jednako ๐
100โ 1.25๐ฅ. Prema uslovu zadatka sniลพenjem za ๐
procenata ponovo dobijamo prvobitnu cijenu, odnosno vaลพi
1.25๐ฅ โ ๐
100โ 1.25๐ฅ = ๐ฅ โน ๐ = 20
Prema tome, da bi se roba ponovo prodavala po staroj (prvobitnoj) cijeni treba da pojeftini za
20%.
18. Cijena neke knjige je dvaput poveฤana. Prvi puta za 10%, a drugi puta za 20%. Na kraju
je njena cijena bila veฤa za 198๐พ๐. Kolika je prvobitna cijena knjige?
Rjeลกenje:
๐ฅ +1
10๐ฅ + (๐ฅ +
1
10๐ฅ) โ
1
5= ๐ฅ + 198 โน ๐ฅ =
9900
16= 618.75
Znaฤi prvobitna cijena knjige je 618 ๐พ๐ i 75๐พ๐๐.
19. Ako se cijena neke robe poveฤa za 20 %, onda ฤe nova cijena iznositi 540๐พ๐. Kolika je
poฤetna cijena te robe?
Rjeลกenje:
๐ฅ +20
100๐ฅ = 540
๐ฅ = 450๐พ๐
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
102
20. Cijena jednog proizvoda donosila je tvornici gubitak od 20%. Nakon toga cijena je
poveฤana najprije za 10%, a odmah zatim i dalje 35%. Koliki je sada dobitak u postotcima?
Rjeลกenje:
Stvarna vrijednost proizvoda je ๐ฅ
Cijena : ๐ฅ โ1
5๐ฅ =
4
5๐ฅ
Nova cijena I : 4
5๐ฅ +
1
10โ 4
5๐ฅ =
4
5๐ฅ +
2
25๐ฅ =
22
25๐ฅ
Nova cijena II: 22
25๐ฅ +
35
100โ 22
25๐ฅ =
22
25๐ฅ +
77
250๐ฅ =
297
250๐ฅ =
250
250๐ฅ +
47
250๐ฅ =
= ๐ฅ +47
10๐ฅ
25= ๐ฅ +
188
10
100๐ฅ = ๐ฅ +
18.8
100๐ฅ
Dobitak u postotcima iznosi 18.8. Dakle, 18.8%.
21. Cijena neke robe umanjena je za 4%. Za koliko treba poveฤati novu cijenu da bi se dobila
prvobitna cijena.
Rjeลกenje:
Neka je ๐ฅ prvobitna cijena. Kad se smanji za 4% dobije se nova cijena 24
25๐ฅ. Sa ๐ฆ oznaฤimo
traลพeni procenat. Imamo jednaฤinu :
24
25๐ฅ +
๐ฆ
100โ24
25๐ฅ = ๐ฅ โน ๐ฆ =
25
6โ 4.2%
22. Na takmiฤenju je 14 uฤenika rijeลกilo sve zadatke, 32% uฤenika je rijeลกilo neke zadatke, a
12% uฤenika nije rijeลกilo niti jedan zadatak? Koliko je uฤenika uฤestvovalo na takmiฤenju?
Rjeลกenje:
14 + 0.32๐ฅ + 0.12๐ฅ = ๐ฅ โน ๐ฅ = 25 uฤenika
23. Kolko se suลกenog lipovog cvijeta dobije od 60๐๐ svjeลพeg ako pri suลกenju izgubi 74%
svoje mase?
Rjeลกenje:
600 โ 0.26 = 15.6
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
103
24. U kutiji ๐ด ima dva puta viลกe klikera nego u kutiji ๐ต. Ako bi se 12% klikera iz ๐ด i 20%
klikera iz ๐ต premjestilo u kutiju ๐ถ, onda bi u njoj bilo 488 klikera ลกto je za 22% viลกe nego
ลกto sada ima. Koliko klikera ima u kutiji ๐ด?
Rjeลกenje:
๐ด = 400 klikera
25. Radnici ๐ด, ๐ต i ๐ถ su zajedno zaradili 52400๐พ๐. Zarada radnika ๐ด je 125% od zarade
radnika ๐ต, odnosno 90% od zarade radnika ๐ถ. Kolika je razlika izmeฤu zarada radnika ๐ต i ๐ถ?
Rjeลกenje:
๐ถ โ ๐ต = 5600
26. Imamo 30 litara 40% rastvora alkohola i veฤu kolicinu 75% rastvora alkohola. Koliko
najviลกe litara 60% rastvora alkohola mozลพemo dobiti mijeลกanjem raspoloลพivih rastvora?
Rjeลกenje:
๐ฅ = 70
27. Poznato je da svjeลพe groลพฤe sadrzi 82% vlage, a suho 19%. Jedna kompanija je u procesu
suลกenja groลพฤa ukljuฤila 180 tona svjeลพeg groลพฤa koje je plaฤala kooperantima po cijeni
1.20 ๐พ๐ po kilogramu. Ukupni troลกkovi suลกenja te koliฤine groลพฤa iznosili su 210 000 ๐พ๐.
a) Koliko je tona suhog groลพฤa dobijeno u tom procesu suลกenja?
b) Ne raฤunajuฤi nikakvu posebnu zaradu, po kojoj minimalnoj cijeni bi trebao prodavati suho
groลพฤe, a da se pri tome ne ode u gubitak?
Rjeลกenje:
a) ๐ฅ = 40 tona
b) prodaja po 10.65 ๐พ๐
28. Jedna osnovna ลกkola ima dva odjeljenja sedmog razreda. Od ukupnog broja uฤenika
sedmih razreda 52% su djeฤaci, pri ฤemu djeฤaka u VII1 ima 55% a u VII2 45%. Koliki je
procenat od ukupnog broja uฤenika sedmih razreda koji ฤine ucenici VII1 odjeljenja?
Rjeลกenje:
70% svih uฤenika
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
104
29. Ukupna masa posude napunjene vodom (posuda zajedno sa vodom) iznosi 2000 ๐๐.
Odbijemo li 20% vode, ukupna masa ฤe se smanjiti na 88% prvobitne mase. Odrediti masu
prazne posude i masu vode.
Rjeลกenje:
masa posude = 800๐๐,
masa vode = 1200 ๐๐
30. Za pokrivanje poda keramiฤkim ploฤicama potrebne su 144 kvadratne ploฤice jedne vrste.
Taj pod je pokriven kvadratnim ploฤicama druge vrste ฤija je ivica za 20% veฤa od ivice
ploฤice prve vrste. Koliko je ploฤica manje upotrebljeno?
Rjeลกenje:
Upotrebljeno je 44 ploฤice manje.
31. U posudi imamo rastvor od 24% soli u vodi. Svakog dana iz posude ispari pola litra vode.
Poslije tri dana rastvor je sadrลพavao 48% soli. Koliko je rastvora bilo u posudi prije
isparavanja?
Rjeลกenje:
๐ฅ = 3 litra
32. U dvije kutije su pomijeลกane dvije sorte jabuka, Jonatan i Zlatni deliลกes. U prvoj kutiji je
12 ๐๐ jabuka, od kojih 20% su sorte Jonatan. U drugoj kutiji je 28 ๐๐ jabuka, a 80% je sorte
Zlatni deliลกes. Sve jabuke iz manje kutije preruฤimo u veฤu kutiju. Koliko procenata sorte
Jonatan ima u velikoj kutiji?
Rjeลกenje:
21.5 %
33. U jednokraki trapez ๐ด๐ต๐ถ๐ท sa osnovicama ๐ด๐ต i ๐ถ๐ท moลพemo upisati kvadrat ๐ธ๐น๐ถ๐ท tako
da tjemena ๐ธ i ๐น leลพe na duลพoj osnovici ๐ด๐ต. Povrลกina kvadrata je 1.44๐2 i predstavlja 80%
povrsลกine trapeza. Izraฤunaj osnovicu ๐ด๐ต.
Rjeลกenje:
๐ด๐ต = 1.8๐
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
105
34. Cijena nekog proizvoda iznosila je 3750๐พ๐. Tom proizvodu cijena je sniลพena 8%.
Kolika je cijena tog proizvoda nakon sniลพenja ?
Rjeลกenje:
3450๐พ๐
35. Ako se brojnik nekog razlomka poveฤa za 5%, a nazivnik poveฤa za 20%, hoฤe li se
vrijednost razlomka poveฤati ili smanjiti i za koliki procenat?
Rjeลกenje:
Razlomak se smanjio 12.5%.
36. Prodavac je cijenu jedne koลกulje prvo smanjio za 20%, a zatim je poveฤao za 10%. Da li
ponovo tu cijenu treba da korigira naviลกe ili naniลพe i za koliko procenata da bi imao cijenu
10% niลพu od prvobitne?
Rjeลกenje:
Korekcija nove cijene naviลกe treba da bude za pribliลพno 2.27%.
37. U skladiลกtu trgovine bilo je 5600๐๐ braลกna. Prvog dana prodano je 10% te koliฤine, a
drugog dana 1
3 ostatka. Preostalo braลกno razdijeljeno je na 2 prodavca u omjeru 0,2:
4
25 .
Koliko je ๐๐ braลกna dobila svaka prodavnica?
Rjeลกenje:
๐ฅ = 1866.7๐๐, ๐ฆ = 1493.3๐๐
38. U tri vreฤe ima ukupno 64.2๐๐ seฤera. Ako u prvoj vreฤi ima 4
5 od koliฤine ลกeฤera druge
vreฤe, a u treฤoj vreฤi 42.5% od koliฤine iz prve vreฤe. Kolika je masa ลกeฤera u prvoj vreฤi?
Rjeลกenje:
24๐๐
39. Iznos od 18200๐พ๐ treba podijeliti na tri osobe tako da svaka sledeฤa osoba dobije 20%
viลกe od prethodne. Koliko ฤe novaca dobiti svako od njih?
Rjeลกenje:
Osobe ฤe redom dobiti 5000๐พ๐, 6000๐พ๐ i 7200๐พ๐.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
106
40. Autobus krene iz poฤetne stanice sa odreฤenim brojem putnika. Na prvoj stanici izaฤe
20% putnika, a uฤe 24 putnika. Na iduฤoj stanici izaฤe 2
3 putnika a niko ne uฤe. Na poslednjoj
se stanici iskrca preostalih 16 putnika. Koliko je putnika uลกlo u autobus na poฤetnoj stanici?
Rjeลกenje:
U autobusu je bilo 30 putnika.
41. Jedan ugao trapeza iznosi 72.36ยฐ, a drugi uz istu osnovicu veฤi je za 10%. Izraฤunati
uglove tog trapeza.
Rjeลกenje:
๐ผ = 72.36ยฐ
๐ฝ = ๐ผ + 10%๐ผ
๐ฝ = 72.36ยฐ +10
100โ 72.36ยฐ
๐ฝ = 72.36ยฐ + 7.24ยฐ
๐ฝ = 79.6ยฐ
๐ผ + ๐ฟ = 180ยฐ
๐ฟ = 180ยฐ โ ๐ผ
๐ฟ = 180ยฐ โ 72.36ยฐ
๐ฟ = 107.64ยฐ
๐พ = 180ยฐ โ ๐ฝ = 180ยฐ โ 79.6ยฐ
๐พ = 100.4ยฐ
42. Pantalone ENERGI koลกtale su 240๐พ๐. Pojeftinile su 20%, pa poskupile 5%.
Koliko koลกta poslije poskupljenja?
Rjeลกenje:
240 โ 0.8 = 192 โน 192 โ 1.05 = 201.60๐พ๐
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
107
Cijeli racionalni izrazi
1. Izraฤunaj โ3โ2+4
โ3โ2โ4โโ3โ2โ4
โ3โ2+4=
Rjeลกenje:
โ3โ2 + 4
โ3โ2 โ 4โโ3โ2 โ 4
โ3โ2 + 4= 4โ2
2. Zadano je 2015 brojeva koji imaju osobinu da ako se svaki od njih zamijeni zbirom ostalih,
dobije se ponovo istih 2015 brojeva. Dokazati da je proizvod svih zadanih brojeva jednak 0.
Rjeลกenje:
Sa ๐ oznaฤimo zbir zadanih 2015 brojeva. Tada se broj ๐ zamjenjuje brojem ๐ = ๐ โ ๐.
Saberemo li svih tih 2015 jednakosti, dobijamo
๐1 + ๐2 +โฏ+ ๐2015 = 2015๐ โ (๐1 + ๐2 +โฏ+ ๐2015).
Kako je ๐1 + ๐2 +โฏ+ ๐2015 = ๐1 + ๐2 +โฏ+ ๐2015 = ๐, to je ๐ = 2015๐ โ ๐ โน ๐ = 0.
Zakljuฤujemo da za svaki broj ๐ postoji, meฤu zadanim brojevima, broj ๐ = โ๐. Na taj
naฤin bi smo sve zadane brojeve razbili na parove (๐, โ๐), ali zbog neparnosti broja danih
brojeva (2015) slijedi da medu zadanim brojevima postoji broj a takav da je ๐ = โ๐, tj.
๐ = 0, pa je proizvod zadanih brojeva jednak 0.
3. Izraฤunati 5โ 415โ 99โ4โ 320โ 89
5โ 29โ 619โ7โ 229โ 276=.
Rjeลกenje:
5 โ 415 โ 99 โ 4 โ 320 โ 89
5 โ 29 โ 619 โ 7 โ 229 โ 276=
5 โ 230 โ 318 โ 4 โ 320 โ 227
5 โ 29 โ (2 โ 3)19 โ 7 โ 229 โ 318=227 โ 318(40 โ 36)
228 โ 318(15 โ 14)=1
2โ 4
1= 2
4. Koja je vrijednost cifre na mjestu jedinica broja 1 + 92016?
Rjeลกenje:
Potencije broja 9 su 91 = 9, 92 = 81, 93 = 729, 94 = 6561,โฆ
Lako je uoฤiti da potencije s neparnim eksponentom imaju cifru jedinica 9, a potencije s
parnim eksponentom imaju cifru jedinica 1. Broj 92016 ima parni eksponent pa mu je cifra
jedinica 1. Dakle, broj 1 + 92016ima cifru jedinica 2.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
108
5. Odredi skup svih cijelih brojeva ๐ za koje je ๐2
๐+3 cijeli broj.
Rjeลกenje:
Iz jednakosti ๐2
๐+3=๐2โ9
๐+3+
9
๐+3 โน
๐2
๐+3โ โค โบ
9
๐+3โ โค
9
๐+3โ โค โบ ๐ + 3 โ {โ9,โ3,โ1, 1, 3, 9} โน ๐ โ {โ12,โ6,โ4, โ2, 0, 6}.
6. Rijeลกi jednadลพbu ๐ฅ4 + 3๐ฅ4 + 5๐ฅ4 +โฏ+ 15๐ฅ4 + 17๐ฅ4 + 19๐ฅ4 โ 400 = 0
Rjeลกenje:
Polazna jednadลพba je ekvivalentna jednadลพbi:
๐ฅ4 + 3๐ฅ4 + 5๐ฅ4 +โฏ+ 15๐ฅ4 + 17๐ฅ4 + 19๐ฅ4 = 400
Ako bi sabrali prvi i poslednji sabirak dobili bi ๐ฅ4 + 19๐ฅ4 = 20๐ฅ4, sabiranjem drugog i
predzadnjeg sabirka dobili bi 3๐ฅ4 + 17๐ฅ4 = 20๐ฅ4, itd.,
Ovakvih zbirova imamo ukupno pet pa je jednadลพba ekvivalentna sledeฤoj jednadลพbi
5 โ 20๐ฅ4 = 400 โน ๐ฅ4 = 4 โน ๐ฅ4 = ยฑโ44 โน ๐ฅ = ยฑโ2
7. Dokazati da je 165 + 215 djeljivo sa 33!
Rjeลกenje:
165 + 215 = (24)5 + 215 = 220 + 215 = 215 โ 25 + 215 = 215 โ (32 + 1) = 33 โ 215 โน
Dakle, izraz 165 + 215 je djeljiv sa 33.
8. Odrediti vrijednost razlomka 413โ412โ6โ410
219+217+215=
Rjeลกenje:
413 โ 412 โ 6 โ 410
219 + 217 + 215= 410(43 โ 42 โ 6)
215(24 + 22 + 1)=410(64 โ 16 โ 16)
215(16 + 4 + 1)=410 ยท 42
215 ยท 21=(22)10 ยท 42
215 โ 21=
=220
215=42
21= 25 โ 2 = 26 = 64
9. Izraฤunaj vrijednost izraza ๐2+๐2
๐๐ ako je
๐+๐
๐= 3.
Rjeลกenje:
Kako je ๐+๐
๐= 3 to i
๐
๐+๐
๐=๐
๐+ 1, to je
๐
๐= 2. Slijedi da je
๐
๐=1
2.
๐2 + ๐2
๐๐=๐2
๐๐+๐2
๐๐=๐
๐+๐
๐= 2 +
1
2= 2
1
2
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
109
10. Izraฤunaj vrijednost izraza |๐ฅโ๐ฆโ|๐ฅ||
|๐ฅ|โ|๐ฆ|โ(0,3)0 za ๐ฅ = โ0,333โฆ i ๐ฆ = 2โ3.
Rjeลกenje:
โ3
23
11. Odredi realan broj ๐ (1 < ๐ < 10) i prirodan broj ๐ tako da vaลพi jednakost
17 โ 1033 + 26 โ 1032 โ 74 โ 1031 = ๐ โ 10๐.
Rjeลกenje:
๐ = 1886 ๐ = 34
12. Izraฤunaj (1 โ1
4) โ (1 โ
1
9) โ (1 โ
1
16) โ (1 โ
1
25) โ โฆ โ (1 โ
1
20152) =.
Rjeลกenje:
(1 โ1
4) โ (1 โ
1
9) โ (1 โ
1
16) โ (1 โ
1
25) โ โฆ โ (1 โ
1
20152) =
1008
2015
13. Dokaลพi da vrijednost izraza (85)4๐
(323๐)4 ne zavisi od ๐.
Rjeลกenje:
(85)4๐
(323๐)4= 1
14. Izraฤunati โ(โ4)2 + (22)2 โ5โ8+2โ7
{โ13+โ139+โ(โ5)2}
3 =
Rjeลกenje:
โ(โ4)2 + (22)2 โ5โ8+2โ7
{โ13 + โ139 + โ(โ5)2}
3 = 2004
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
110
15. Ako su ๐ฅ i ๐ฆ prirodni brojevi i 1 + ๐ฅ2 โ ๐ฆ2 โ 2๐ฅ = 0, izraฤunaj (๐ฆ โ ๐ฅ)2013
Rjeลกenje:
(๐ฆ โ ๐ฅ)2013 = โ1
16. Dokaลพi koji je broj veฤi 544 ili 2112.
Rjeลกenje:
2112 > 514
17. Poredaj po veliฤini brojeve: ๐ = 245, ๐ = 336, ๐ = 427, ๐ = 518
Rjeลกenje:
๐ > ๐ > ๐ > ๐
18. Izraฤunaj 1โ
1
๐ฅ2
1+6
๐ฅ+5
๐ฅ2
โ๐ฅ+5
๐ฅโ1=
Rjeลกenje:
1 โ1๐ฅ2
1 +6๐ฅ +
5๐ฅ2
โ๐ฅ + 5
๐ฅ โ 1= 1
19. Naฤi x ako je (1
25โ 26+
1
26โ 27+
1
27โ 28+
1
28โ 29+
1
29โ 30) โ 150 + 10.8: [0.54 โ (๐ฅ โ 1)] = 11.
Rjeลกenje:
๐ฅ = 3
20. Odredi vrijednost izraza 1
1+๐ฅ+๐ฅ๐ฆ+
1
1+๐ฆ+๐ฆ๐ง+
1
1+๐ง+๐ง๐ฅ ako za realne brojeve ๐ฅ, ๐ฆ i ๐ง
vrijedi ๐ฅ๐ฆ๐ง = 1.
Rjeลกenje:
1
1 + ๐ฅ + ๐ฅ๐ฆ+
1
1 + ๐ฆ + ๐ฆ๐ง+
1
1 + ๐ง + ๐ง๐ฅ= 1
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
111
21. Ako je ๐
๐โ ๐ =
๐
๐+ ๐ i ๐ + ๐ โ 0, ๐ โ 0, ๐ โ 0, koliko je
1
๐โ1
๐ ?
Rjeลกenje:
1
๐โ1
๐= โ1
22. Ako je ๐
๐+๐
๐=11
10 i
๐
๐=5
2, odredi razlomke
๐
๐ i ๐
๐ .
Rjeลกenje:
๐
๐=11
14,๐
๐=11
35
23. Ako je ๐ฅ =1
2, ๐ฆ = โ
1
2, izraฤunaj (๐ฅ โ ๐ฆ)3 โ (๐ฅ โ ๐ฆ3) + (โ๐ฅ โ ๐ฆ3) โ (โ๐ฅ โ ๐ฆ)3.
Rjeลกenje:
(๐ฅ โ ๐ฆ)3 โ (๐ฅ โ ๐ฆ3) + (โ๐ฅ โ ๐ฆ3) โ (โ๐ฅ โ ๐ฆ)3 =27
64
24. Koliko ima cijelih brojeva ๐ฅ za koje vaลพi 1
4<2โ๐ฅ
7<11
12 ?
Rjeลกenje:
Pet cijelih brojeva zadovoljavaju uslove zadatka.
25. Neka je ๐ = 22005 โ 22004 + 22003, ๐ = 22004 โ 22005 + 22006, ๐ = 3โ3 โ 22003.
Dokazati da je zbir kvadrata neka dva broja ๐, ๐, ๐ jednak kvadratu treฤeg.
Rjeลกenje:
Nakon ลกto uprostimo brojeve ๐ i ๐, 22003 oznaฤimo sa ๐ด, zatim dobijamo da nam je
๐2 = 27๐ด2.
26. Uprosti izraz (๐ฅโ1
๐ฅ2+๐ฅโ2โ
๐ฅ+2
๐ฅ2โ4) :
4
4โ๐ฅ2=
Rjeลกenje:
(๐ฅ โ 1
๐ฅ2 + ๐ฅ โ 2โ๐ฅ + 2
๐ฅ2 โ 4) :
4
4 โ ๐ฅ2= 1
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
112
27. Dokazati da je 25๐ โ 25๐+3 + 25๐+3 + 7 โ 25๐ = 25(๐+1).
Rjeลกenje:
Na lijevoj strani moลพemo izvuฤi zajedniฤki, te nakon sreฤivanja zagrade potvrฤujemo
jednakost.
28. Skrati razlomak 20๐3๐โ10๐๐2+5๐๐
24๐3๐ฅโ12๐๐๐ฅ+6๐๐ฅ .
Rjeลกenje:
20๐3๐ โ 10๐๐2 + 5๐๐
24๐3๐ฅ โ 12๐๐๐ฅ + 6๐๐ฅ=5๐
6๐ฅ
29. Neka su ๐ฅ i ๐ฆ razliฤiti realni brojevi takvi da je 2๐ฅ๐ฆ + 1 โ 0 i neka su:
๐ =6๐ฅ2๐ฆ2+๐ฅ๐ฆโ1
2๐ฅ๐ฆ+1, ๐ =
๐ฅ(๐ฅ2โ1)โ๐ฆ(๐ฆ2โ1)
๐ฅโ๐ฆ. Odredi koji je broj veฤi, ๐ ili ๐ .
Rjeลกenje:
๐ > ๐
30. Rastavi na faktore: (๐ฅ โ 1)(๐ฅ โ 2)(๐ฅ โ 3) + (๐ฅ โ 1)(๐ฅ โ 2) + 1 โ ๐ฅ
Rjeลกenje:
(๐ฅ โ 1)(๐ฅ โ 2)(๐ฅ โ 3) + (๐ฅ โ 1)(๐ฅ โ 2) + 1 โ ๐ฅ = (๐ฅ โ 1)2(๐ฅ โ 3)
31. Dokazati da vrijednost izraza 27๐3 โ (3๐ โ 2)(9๐2 + 6๐ + 4) ne zavisi od promjenjive ๐.
Rjeลกenje:
27๐3 โ (3๐ โ 2)(9๐2 + 6๐ + 4) = 8
32. Ako je ๐
๐=
๐
๐, ๐ โ 0, ๐ โ 0, koliko je:
(๐+๐)(๐+๐)
๐+๐+๐+๐โ
๐๐
๐+๐โ
๐๐
๐+๐ ?
Rjeลกenje:
Prvi i drugi razlomak moลพemo proลกiriti sa d, da bi kasnije dobili rezultat 0.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
113
33. Ako je [(๐
๐โ๐
๐) : ((๐ + ๐)(
1
๐โ1
๐)) โ
๐
๐] : (
๐
๐+ 1) =
1
2014, koliko je
๐
๐ ?
Rjeลกenje:
๐
๐=2013
2015
34. Odredi realan broj a tako da ๐ฅ =1
2 bude rjeลกenje jednadลพbe
(๐ฅ + 1
1 โ ๐ฅโ1 โ ๐ฅ
๐ฅ + 1โ
4๐ฅ2
๐ฅ2 โ 1) โ (
1
๐3 + ๐2โ1 โ ๐
๐2โ 1) =
1
2
Rjeลกenje:
๐ = โ1
9
35. Rijeลกi algebarski izraz (๐ฅโ1
๐ฅ2+๐ฅโ2โ
๐ฅ+2
๐ฅ2โ4) :
4
๐ฅ2โ4=.
Rjeลกenje:
(๐ฅ โ 1
๐ฅ2 + ๐ฅ โ 2โ๐ฅ + 2
๐ฅ2 โ 4) :
4
๐ฅ2 โ 4= โ1
36. Rijeลกi jednadลพbu 1+3+5+โฏ+2007+2009
2+4+6+โฏ+2006+2008=1
๐ฅ+
1
2008
Rjeลกenje:
๐ฅ =2008
2009
37. Rastavi na proste faktore izraz ๐ฅ5 โ 5๐ฅ3 + 4๐ฅ.
Rjeลกenje:
๐ฅ(๐ฅ2 โ 4)(๐ฅ2 โ 1)
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
114
38. Koji je razlomak veฤi: 22222221
22222223 ili
33333331
33333334 ?
Rjeลกenje:
22222221
22222223>33333331
33333334
39. Odredi najmanji prirodan broj pomnoลพen sa 2646 daje kub nekog prirodnog broja.
Rjeลกenje:
2646 = 2 ยท 33 ยท 72 slijedi da najmanji prirodan broj 22 โ 7 = 28 jer je
2646 โ 28 = 2 ยท 33 ยท 72 ยท 22 ยท 7 = (2 โ 3 โ 7)3 = 423
40. Dokazati da je zbir 2๐ + 2๐+1 + 2๐+2, ๐ โ โ djeljiv sa 14.
Rjeลกenje:
Kako je 2๐ + 2๐+1 + 2๐+2 = 2๐ + 2๐ โ 2 + 2๐ โ 22 = 2๐(1 + 2 + 3 + 4) = 14 โ 2๐โ1
to je broj 14 je djelilac od 2๐ + 2๐+1 + 2๐+2.
41.
a) Skrati razlomak ๐ =๐2+2๐โ8
๐2โ4.
b) Odredi sve cijele brojeve ๐ tako da vrijednost razlomka ๐ bude cio broj.
Rjeลกenje:
a)
๐ =๐2 + 2๐ โ 8
๐2 โ 4=(๐ + 4)(๐ โ 2)
(๐ โ 2)(๐ + 2)=๐ + 4
๐ + 2, ๐ โ ยฑ2
b)
๐ + 4
๐ + 2=๐ + 2 + 2
๐ + 2= 1 +
2
๐ + 2
Razlomak ๐ je cio broj ako je ๐ + 2 โ {โ3,โ1,0}. Ako ๐ โ {โ3,โ1, 0} tada ๐ โ {โ1, 3, 2 }.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
115
42. Ako je ๐ฅ + ๐ฆ = 6 i ๐ฅ โ ๐ฆ = 8 pokazati da je ๐ฅ4 + ๐ฆ4 = 272.
Rjeลกenje:
๐ฅ + ๐ฆ = 6 /2
(๐ฅ + ๐ฆ)2 = 36 โน ๐ฅ2 + 2๐ฅ๐ฆ + ๐ฆ2 = 36 โน ๐ฅ2 + 2 โ 8 + ๐ฆ2 = 36
๐ฅ2 + ๐ฆ2 = 36 โ 16 โน ๐ฅ2 + ๐ฆ2 = 20 /2
(๐ฅ2 + ๐ฆ2)2 = 400 โน ๐ฅ4 + 2๐ฅ2๐ฆ2 + ๐ฆ4 = 400
๐ฅ โ ๐ฆ = 8 /2 โน ๐ฅ2 + ๐ฆ2 = 64
๐ฅ4 + 2 โ 64 + ๐ฆ4 = 400 โน ๐ฅ4 + 128 + ๐ฆ4 = 400
๐ฅ4 + ๐ฆ4 = 400 โ 128
๐ฅ4 + ๐ฆ4 = 272
43. Ako je ๐ฅ realan broj i ako je ๐ฅ +1
๐ฅ= 3 izraฤunaj koliko je : ๐ฅ2 +
1
๐ฅ2 i ๐ฅ4 +
1
๐ฅ4
Rjeลกenje
Ako je ๐ฅ +1
๐ฅ= 3 onda je
(๐ฅ +1
๐ฅ)2
= ๐ฅ2 + 2 โ ๐ฅ โ1
๐ฅ+1
๐ฅ2= 9
๐ฅ2 + 2 +1
๐ฅ2= 9 โน ๐ฅ2 +
1
๐ฅ2= 9 โ 2
๐ฅ2 +1
๐ฅ2= 7
๐ฅ2 +1
๐ฅ2= 7 /2
๐ฅ4 + 2 โ ๐ฅ2 โ1
๐ฅ2+1
๐ฅ2= 49
๐ฅ4 + 2 +1
๐ฅ4= 49 โน ๐ฅ4 +
1
๐ฅ4= 49 โ 2
๐ฅ4 +1
๐ฅ4= 47
44. Izraฤunati ๐ =3โ501+โ3โ668โ3โ2004
โ2004.
Rjeลกenje:
๐ =3โ501 + โ3โ668 โ 3โ2004
โ2004=
3โ501
โ2004+โ3 โ 668
โ2004โ3โ2004
โ2004=3โ501
โ4 โ 501+โ2004
โ2004โ 3 =
3
2+ 1 โ 3 = โ
1
2
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
116
45. Ako je ๐๐๐ = 1, dokazati da je
(๐ +1
๐) (๐ +
1
๐) (๐ +
1
๐) = (๐ โ
1
๐)2
+ (๐ โ1
๐)2
+ (๐ โ1
๐)2
โ 4.
Rjeลกenje:
(๐ +1
๐) (๐ +
1
๐) (๐ +
1
๐) = ๐๐๐ +
๐๐
๐+๐๐
๐+๐๐
๐+๐
๐๐+๐
๐๐+๐
๐๐+
1
๐๐๐=
= 2 +1
๐2+1
๐2+1
๐2+ ๐2 + ๐2 + ๐2 =
= (๐2 + 2 +1
๐2) (๐2 + 2 +
1
๐2) + (๐2 + 2 +
1
๐2) โ 4 =
= (๐ โ1
๐)2
+ (๐ โ1
๐)2
+ (๐ โ1
๐)2
โ 4
46. Postoje li uzastopni prirodni brojevi ๐, ๐ i ๐ takvi da je 1
๐+1
๐+1
๐=53
60?
Rjeลกenje:
Kako je 1
2+1
3+1
4=13
12=65
60, 1
3+1
4+1
5=47
60 i kako je
1
2+1
3+1
4=65
60>1
๐+1
๐+1
๐=53
60>1
3+1
4+1
5=47
60>1
๐+1
๐+1
๐
za ๐, ๐, ๐ > 3 to traลพeni brojevi ne postoje.
47. Dokazati da vrijednost izraza (82๐+1 โ 16๐): 45๐+1 ne zavisi od prirodnog broja ๐.
Rjeลกenje:
(82๐+1 โ 16๐): 45๐+1 = [(23)2๐+1 โ (24)๐]: (22)5๐+1 = 26๐+3 โ 24๐: 210๐+2 = 21 = 2
48. ล ta je veฤe 5+2โ5
2 ili
1
โ6โโ5?
Rjeลกenje:
5 + 2โ5
2=5
2+2โ5
2= 2.5 + โ5
1
โ6 โ โ5=
1
โ6 โ โ5โ โ6 + โ5
โ6 + โ5= โ6 + โ5 โ 2.45 + โ5
}
โน 5 + 2โ5
2>
1
โ6 โ โ5
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
117
Pitagorina teorema
1. U pravouglom trouglu je ๐ก๐ = 2โ13๐๐ i ๐ก๐ = โ73๐๐. Izraฤunati duลพinu hipotenuze.
Rjeลกenje:
Primjenom Pitagorine teoreme na trouglove dobijamo ๐ก๐2 = ๐2 + (
๐
2)2
โง ๐ก๐2 = ๐2 + (
๐
2)2
.
Sabiranjem ove dvije jednakosti dobijamo
(2โ13)2+ (โ73)
2= ๐2 + ๐2 +
๐2 + ๐2
4 โน 500 = 4๐2 + ๐2 โน ๐ = โ100 โน ๐ = 10๐๐
2. Izraฤunaj povrลกinu kvadrata ๐ถ๐ท๐ธ๐น upisanog u pravougli trougao ๐ด๐ต๐ถ ฤije katete imaju
duลพinu |๐ด๐ถ| = 9๐๐ i |๐ต๐ถ| = 9๐๐.
Rjeลกenje:
Iz zadanih uslova i uz oznake kao na slici povrลกina pravouglog trougla ๐ด๐ต๐ถ je
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
118
๐ฮ๐ด๐ต๐ถ =1
2|๐ด๐ถ| โ |๐ต๐ถ| =
1
2โ 9 โ 6 = 27๐๐2
Kako dijagonala ๐ถ๐ธ kvadrata dijeli trougao ๐ด๐ต๐ถ na dva trougla (ฮ๐ถ๐ด๐ธ i ฮ๐ต๐ถ๐ธ), to je
๐ฮ๐ด๐ต๐ถ = ๐ฮ๐ด๐ธ๐ถ + ๐ฮ๐ต๐ถ๐ธ =1
2|๐ด๐ถ| โ ๐ฅ +
1
2|๐ต๐ถ| โ ๐ฅ โน 27 =
1
2โ 9 โ ๐ฅ +
1
2โ 6 โ ๐ฅ โน ๐ฅ = 3.6๐๐
Povrลกina kvadrata ๐ถ๐ท๐ธ๐น je ๐ = ๐ฅ โ ๐ฅ = 12.96๐๐2.
3. Stranice pravouglog trougla su prirodni brojevi. Ako je hipotenuza 34, odredi katete.
Rjeลกenje:
I naฤin:
๐2 + ๐2 = 342(๐, ๐ < 34) ๐2 + ๐2 = 1156
Kvadrati prva 33 prirodna broja su: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169,
196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900,
961, 1024, 1089 โน 162 + 302 = 1156 Dakle, katete su duลพina 16๐๐ i 30๐๐.
II naฤin
Cjelobrojne stranice pravouglog trougla moลพemo predstaviti :
๐ = ๐2 + ๐2 , ๐ = ๐2 โ ๐2 i ๐ = 2๐๐ (๐, ๐ โ ๐ ๐ ๐ > ๐). Jednaฤina ๐ = ๐2 + ๐2 = 34
zadovoljena je za ๐ = 5 i ๐ = 3, pa su katete: ๐ = ๐2 โ ๐2 = 52 โ 32 = 16 ๐ = 2๐๐ = 2 โ 5 โ 3 = 30.
4. Jedan oลกtri ugao pravouglog trougla je 15ยฐ. Odredi povrลกinu i katete trougla ฤija je duลพina
hipotenuze 2๐๐.
Rjeลกenje:
Duplirajmo pravougli trougao ๐ด๐ต๐ถ do jednakokrakog trougla ๐ด๐ต๐ท.Spustimo visinu ๐ต๐ธ.
Pravougli trougao ๐ด๐ต๐ธ je specijalan pa je ๐ต๐ธ = 1 i ๐ด๐ธ = โ3. Primjenimo Pitagorinu
teoremu na pravougli trougao ๐ต๐ท๐ธ.
(2๐)2 = 12 + (2 โ โ3)2 โน ๐ = โ2 โ โ3
๐ = โ22 โ (2 โ โ3) โน ๐ = โ2 + โ3}
โน ๐ =๐๐
2=1
2
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
119
5. Odredi krak ๐ jednaokrakog trougla osnovice ๐ = 9โ2 i teลพiลกnice kraka ๐ก๐ = 15. Rjeลกenje:
Dopunimo trougao do paralelograma produลพavanjem ๐ก๐ za jednu njenu duลพinu.
Zbir kvadrata dijagonala paralelograma jednak je zbiru kvadrata njegovih stranica.
(2๐ก๐)2 + ๐2 = 2(๐2 + ๐2) โ ๐ = 24
6. Neka su โ๐ , โ๐ i โ๐ visine datog trougla ๐ด๐ต๐ถ. Ako je (โ๐
โ๐)2
+ (โ๐
โ๐)2
= 1 , onda je trougao
pravougli. Dokazati.
Rjeลกenje:
๐ =๐ โ โ๐2
โน โ๐ =2๐
๐
๐ =๐ โ โ๐2
โน โ๐ =2๐
๐
๐ =๐ โ โ๐2
โน โ๐ =2๐
๐
Uvrลกtavanjem u datu jednakost imamo:
(
2๐๐2๐๐
)
2
+(
2๐๐2๐๐
)
2
= 1
(๐
๐)2
+ (๐
๐)2
= 1 โน ๐2 + ๐2 = ๐2 โน trougao je pravougli.
7. Duลพine stranica pravouglog trougla su ๐, ๐ โ ๐ i ๐ + ๐ gdje su ๐ i ๐ pozitivni realni brojevi
i ๐ > ๐. Dokazati da je odnos duลพina kateta tog trougla jednak 4 โถ 3.
Rjeลกenje:
Na osnovu Pitagorine teoreme i odnosa stranica vrijedi:
(๐ + ๐)2 = ๐2 + (๐ โ ๐)2
๐2 + 2๐๐ + ๐2 = ๐2 + ๐2 โ 2๐๐ + ๐2
Sreฤivanjem dobijamo 4๐๐ = ๐2 a odavde je ๐ = 4๐.
Dakle, duลพa kateta je 4๐, a kraฤa je ๐ โ ๐ = 4๐ โ ๐ = 3๐ pa je njihov odnos
4๐ โถ 3๐ = 4 โถ 3.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
120
8. Izraฤunaj povrลกinu pravouglog trougla ฤiji je obim 36๐๐, ako za stranice tog trougla vaลพi ๐+๐
๐=7
5.
Rjeลกenje:
Obim pravouglog trougla ๐ = ๐ + ๐ + ๐ = 36๐๐. Kako je ๐+๐
๐=7
5, to dodavanjem broja 1
lijevoj i desnoj strani dobivamo ๐+๐+๐
๐=12
5. Zamjenom ๐ + ๐ + ๐ = 36 u prethodnu
jednakost dobivamo 36
๐=12
5 โน ๐ = 15. Sada iz
๐+๐
๐=7
5 zakljuฤujemo da je ๐ + ๐ = 21, a
kvadriranjem ovog izraza dobijamo ๐2 + 2๐๐ + ๐2 = 441. Na osnovu Pitagorine
teoreme je ๐2 + ๐2 = 220, pa zamjenom u prethodnu jednakost dobivamo ๐๐ = 108 .
Kako je ๐ =๐๐
2 โน ๐ = 54๐๐2.
9. U pravougaoniku ฤije se stranice razlikuju za 1๐๐ puovuฤena je simetrala jednog njegovog
ugla. Odjeฤak te simetrale, dio koji pripada pravougaoniku, ima duลพinu 10โ2๐๐. U kojoj
razmjeri ta simetrala dijeli povrลกinu pravougaonika?
Rjeลกenje:
ฮ๐ด๐ท๐ธ: ๐ด๐ธฬ ฬ ฬ ฬ 2 = ๐ด๐ทฬ ฬ ฬ ฬ 2 + ๐ด๐ธฬ ฬ ฬ ฬ 2โ๐ด๐ทฬ ฬ ฬ ฬ =๐ด๐ธฬ ฬ ฬ ฬ
๐ด๐ธฬ ฬ ฬ ฬ 2 = ๐ด๐ทฬ ฬ ฬ ฬ 2 + ๐ด๐ทฬ ฬ ฬ ฬ 2
๐ด๐ธฬ ฬ ฬ ฬ 2 = 2๐ด๐ทฬ ฬ ฬ ฬ 2
(10โ2)2= 2๐ด๐ทฬ ฬ ฬ ฬ 2
2๐ด๐ทฬ ฬ ฬ ฬ 2 = 200
๐ด๐ทฬ ฬ ฬ ฬ 2 = 100
๐ด๐ทฬ ฬ ฬ ฬ = โ100
๐ด๐ทฬ ฬ ฬ ฬ = 10๐๐ ๐ด๐ตฬ ฬ ฬ ฬ = ๐ด๐ทฬ ฬ ฬ ฬ + 1
} โน ๐ด๐ตฬ ฬ ฬ ฬ = 11๐๐
๐ด๐ธฬ ฬ ฬ ฬ = 10โ2๐๐, ๐ด๐ตฬ ฬ ฬ ฬ = ๐ด๐ทฬ ฬ ฬ ฬ + 1
ฮ๐ด๐ธ๐ท: โข๐ท +๐ผ
2+ โข๐ธ = 180ยฐ
โน โข๐ธ = 45ยฐ
โน ๐ด๐ทฬ ฬ ฬ ฬ = ๐ด๐ธฬ ฬ ฬ ฬ = 10โ2๐๐
โข๐ธ =๐ผ
2 โน ฮ๐ด๐ธ๐ท je jednakokrako
โ pravougli trougao
๐โญ๐ด๐ต๐ถ๐ท = ๐ด๐ตฬ ฬ ฬ ฬ โ ๐ด๐ทฬ ฬ ฬ ฬ
๐โญ๐ด๐ต๐ถ๐ท = 110๐๐2
๐ฮ๐ด๐ท๐ธ =๐ด๐ทฬ ฬ ฬ ฬ โ ๐ท๐ธฬ ฬ ฬ ฬ
2
๐ฮ๐ด๐ท๐ธ = 50๐๐2
๐โก๐ด๐ต๐ถ๐ธ = ๐โญ๐ด๐ต๐ถ๐ท โ ๐ฮ๐ด๐ท๐ธ
๐โก๐ด๐ต๐ถ๐ธ = 60๐๐2
Dakle, razmjera povrลกina
dijelova pravougaonika je:
๐โก๐ด๐ต๐ถ๐ธ: ๐ฮ๐ด๐ท๐ธ = 60: 50 = 6: 5
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
121
10. Izraฤunaj obim i povrลกinu pravouglog trougla ako je ๐ = 12๐๐, ๐: ๐ = 3: 5.
Rjeลกenje:
๐: ๐ = 3: 5 5๐ = 3๐ / : 3
๐ =5๐
3
๐ =5 โ 9
3=9 โ 5
3=45
3 โน ๐ = 15 ๐๐
๐2 = ๐2 + ๐2
(5 โ ๐
3)2
= ๐2 + ๐2
25๐2
9= ๐2 + ๐2/ยท 9
25๐2 = 9๐2 + 9๐2
25๐2 โ 9๐2 = 9๐2
16๐2 = 9๐2/: 16
๐2 =9 โ 144
16= 81
๐ = โ81
๐ = 9๐๐
๐ = ๐ + ๐ + ๐ = 9 + 12 + 15 ๐ = 36 ๐๐
๐ =๐ โ ๐
2=9 โ 12
2= 54๐๐2
11. Na suprotnim obalama rijeke rastu dvije palme visine 30๐ i 20๐. Udaljenost izmeฤu
palmi je 50๐. Na vrhu svake palme sjedi po jedna ptica. Ptice ugledaju ribu u rijeci i
istovremeno polete prema njoj, istom brzinom i istovremeno dolaze do nje. Na kojoj
udaljenosti se od podnoลพja palmi pojavila riba?
Rjeลกenje:
Prvo da nacrtamo jednu sliฤicu:
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
122
Iz teksta zadatka zakljuฤujemo da ako su ptice poletjele istovremeno i u isto vrijeme dolaze
do ribe, a lete istom brzinom to mora da prelaze ista rastojanja, znaฤi da je ๐1 = ๐2 Dakle, trebamo naฤi rastojanja ๐1 i๐1, dakle moลพemo pisati:
๐1 + ๐2 = 50
๐12 + ๐1
2 = ๐12 + ๐1
2
Nakon ลกto iz prve jednaฤine izrazimo ๐1 = 50 โ ๐2 i uvrstimo u drugu dobijemo jednaฤinu sa
jednom nepoznatom:
(50 โ ๐2)2 + ๐1
2 = ๐22 + ๐2
2 โน 100๐2 = 2000 โน ๐2 = 20 โน 301
Udaljenost od podnoลพja palmi je 20๐ odnosno 30๐.
12. Naฤi povrลกinu jednakokrakog trougla ฤiji je obim 32๐๐, a visina na osnovicu i osnovica
su u omjeru 2: 3.
Rjeลกenje:
Kako je โ: ๐ = 2: 3 , to imamo da je โ = 2๐ฅ i ๐ = 3๐ฅ. Primjenom Pitagorine teoreme
dobijamo:
๐2 = โ2 + (๐
2)2
Uvrลกtavanjem da je โ = 2๐ฅ i ๐ = 3๐ฅ imamo nakon sreฤivanja ๐ =5
2๐ฅ
Kako je ๐ = ๐ + 2๐, i ๐ = 32 imamo:
3๐ฅ + 2 โ5
2๐ฅ = 32
๐ฅ = 4
Vraฤanjem u odgovarajuฤe jednakosti dobijamo โ = 8 i ๐ = 12
๐ =๐ โ โ
2
๐ = 48
13. Jedna osnovica trapeza je 8๐๐ , a sve ostale njegove stranice duge su po 4๐๐. Konstruiลกi
trapez i izraฤunaj povrลกinu.
Rjeลกenje:
๐ = 8๐๐
๐ = 4๐๐
๐ = 4๐๐
๐ = 4๐๐
โ2 = ๐2 โ (๐ โ ๐
2)2
โน โ = 3.5๐๐
๐ =๐ + ๐
2โ โ โน ๐ = 21๐๐2
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
123
14. Osnovica jednakokrakog trougla je 16๐๐, a obim 50๐๐. Kolika je povrลกina kvadrata
konstruisanim nad njegovom visinom?
Rjeลกenje:
๐ = 16๐๐ โ2 = ๐2 โ (๐
2)2 ๐ = โ2
๐ = 50๐๐ โ2 = 172 โ 82 ๐ = 225๐๐2
๐ = ๐ + 2๐ โ2 = 289 โ 64
2๐ = ๐ โ 4 โ2 = 225
2๐ = 34๐๐ โ = 15๐๐
๐ = 17๐๐
15. Dvije kugle stoje na razdaljini 15๐ jedna je visoka 35๐, druga 43๐.Koliko je rastojanje
njihovih vrhova?
Rjeลกenje:
๐ฅ2 = (15๐)2+(8๐)2
๐ฅ2 = 225๐2+65๐2
๐ฅ2 = 289๐2
๐ฅ = 17๐
16. Kvadrat i pravougaonik ฤije su dimenzije ๐ = 9๐๐ i ๐ = 4๐๐ imaju jednake povrลกine.
Izraฤunati razliku njihovih dijagonala.
Rjeลกenje:
โ pravougaonik: ๐ = 9๐๐; ๐ = 4๐๐ โน ๐ = 36๐๐2
๐2 = ๐2 + ๐2
๐2=82+162
๐2 = 972
๐ = 9.8๐๐
โ kvadrat: ๐ = 36๐๐2
๐ = ๐2
๐2 = 36 โน ๐ = 6๐๐
๐ = ๐โ2
๐ = 6โ2
๐ = 8.46๐๐
๐๐ โ ๐๐ = 9.8 โ 8.46 = 1.34๐๐
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
124
17. Kolika je hipotenuza pravouglog trougla ako je njegov obim 84 ๐, a povrลกina 210๐๐2?
Rjeลกenje:
๐ + ๐ + ๐ = 84
๐ + ๐ = 84 โ ๐ /2
๐2 + 2๐๐ + ๐2 = 7056 โ 168๐ + ๐2 โนโ๐2+๐2=๐2
2ab = 7056 โ 168c
Iz povrลกine pravouglog trougla dobijemo ๐๐ = 420 pa je 840 = 7056 โ 168๐ โน ๐ = 37.
18. U pravouglom trouglu โ๐ด๐ต๐ถ duลพine kateta ๐ด๐ถฬ ฬ ฬ ฬ i ๐ต๐ถฬ ฬ ฬ ฬ su redom 30๐๐ i 40๐๐. Ako je ๐ท
srediลกte hipotenuze, a ๐ธ podnoลพje hipotenuzine visine, izraฤunati duลพinu duลพi ๐ท๐ธฬ ฬ ฬ ฬ .
Rjeลกenje:
Primjenom Pitagorine teoreme na pravougli trougao โ๐ด๐ต๐ถ, dobija se duลพina hipotenuze ๐ด๐ตฬ ฬ ฬ ฬ .
๐ด๐ตฬ ฬ ฬ ฬ = โ๐ด๐ถฬ ฬ ฬ ฬ 2 + ๐ต๐ถฬ ฬ ฬ ฬ 2 = โ302 + 402 = 50๐๐.
๐ท je srediลกte hipotenuze, pa je ๐ด๐ทฬ ฬ ฬ ฬ = ๐ท๐ตฬ ฬ ฬ ฬ = 25๐๐.
Kombinovanjem dviju formula za raฤunanje povrลกine pravouglog trougla dobija se duลพina
visine ๐ถ๐ธฬ ฬ ฬ ฬ .
๐ =๐ด๐ถฬ ฬ ฬ ฬ โ ๐ต๐ถฬ ฬ ฬ ฬ
2
๐ =๐ด๐ตฬ ฬ ฬ ฬ โ ๐ถ๐ธฬ ฬ ฬ ฬ
2
๐ถ๐ธฬ ฬ ฬ ฬ =๐ด๐ถฬ ฬ ฬ ฬ โ ๐ต๐ถฬ ฬ ฬ ฬ
๐ด๐ตฬ ฬ ฬ ฬ = 24๐๐
Primjenom PT na pravougli trougao โ๐ด๐ถ๐ธ, dobija se duลพina duลพi ๐ด๐ธฬ ฬ ฬ ฬ .
๐ด๐ธฬ ฬ ฬ ฬ = โ๐ด๐ถฬ ฬ ฬ ฬ 2 โ ๐ถ๐ธฬ ฬ ฬ ฬ 2 = โ302 โ 242 = 18๐๐.
Traลพena duลพina duลพi iznosi:
๐ท๐ธฬ ฬ ฬ ฬ = ๐ด๐ทฬ ฬ ฬ ฬ โ ๐ด๐ธฬ ฬ ฬ ฬ = 7๐๐
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
125
19. Izraฤunaj obim i povrลกinu trougla ๐ด๐ต๐ถ (vidi sliku) ako je ๐ถ๐ด = 10๐๐.
Rjeลกenje:
๐ = 10(1 + โ3)๐๐, ๐ =50โ3
3๐๐2
20. Izraฤunaj obim i povrลกinu ฤetverougla sa slike
Rjeลกenje:
๐ = 10(4 + โ2)๐๐, ๐ = 150๐๐2
21. Dat je pravougaonik ๐ด๐ต๐ถ๐ท kojem je duลพina stranice ๐ด๐ต = 20๐๐. Duลพina okomice iz
vrha ๐ต na dijagonalu ๐ด๐ถ je 12๐๐. Odredi obim i povrลกinu pravougaonika.
Rjeลกenje:
๐ = 70๐๐, ๐ = 300๐๐2
22. Dat je pravougli trougao โ๐ด๐ต๐ถ takav da je โก๐ด๐ถ๐ต = 90ยฐ, ๐ถ๐ด = โ5๐๐ i ๐ถ๐ต = 2โ5๐๐.
Neka je ๐ท โ ๐ด๐ต i ๐ถ๐ท = โ5๐๐. Odrediti obim i povrลกinu trougla ๐ต๐ถ๐ท.
Rjeลกenje:
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
126
Ako uoฤimo ๐ธ na ๐ด๐ต tako da je ๐ถ๐ธ โฅ ๐ด๐ต, tada je ๐ด๐ธ = ๐ธ๐ท jer je ฮ๐ถ๐ท๐ด jednakokraki. Sada
je ๐ด๐ต = 5๐๐, ๐ถ๐ธ = 2๐๐ i ๐ด๐ธ = ๐ธ๐ท = 1๐๐.Prema tome, ๐ฮ๐ต๐ถ๐ท = 3(1 + โ5), a
๐ฮBCD = 5 โ 2 = 3.
23. U kruลพnici ๐, na slici, tetive ๐ด๐ต i ๐ถ๐ท su meฤusobno normalne. Izraฤunaj njihove duลพine
ako je ๐ด๐ถ = 10๐๐, ๐ท๐ต = 8๐๐ i ๐๐ถ = 6๐๐.
Rjeลกenje:
๐ด๐ต = 12.8๐๐, ๐ถ๐ท = 12.4๐๐
24. Dva stuba su visine 20๐ i 30๐. Vrh svakog stuba povezan je s dnom drugog sa
nategnutim uลพetom. Na kojoj visini od tla se ta dva uลพeta ukrลกtaju ako je udaljenost stubova
40๐?
Rjeลกenje:
Ta dva uลพeta se ukrลกtaju na visini 12๐ od tla.
25. U pravouglom trouglu ๐ด๐ต๐ถ duลพine kateta ๐ด๐ถ i ๐ต๐ถ su redom 30๐๐ i 40๐๐. Ako je taฤka
๐ srediลกte hipotenuze, a ๐ podnoลพje visine na hipotenuzu, odredi duลพinu ๐๐.
Rjeลกenje:
๐๐ = 7๐๐
26. U jednakokrakom trapezu srednja linija ๐ , a dijagonala je dva puta duลพa od srednje linije
๐ . Kolika je povrลกina tog trapeza ?
Rjeลกenje:
๐ = ๐ 2โ3๐๐2
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
127
27. Taฤke ๐๐๐ ๐ su redom srediลกta stranica ๐ด๐ต, ๐ต๐ถ, ๐ถ๐ท, ๐ท๐ด romba ๐ด๐ต๐ถ๐ท. Stranice
paralelograma ๐๐๐ ๐ se odnose kao 3: 4, a povrลกina ๐๐๐ ๐ iznosi 30๐๐2. Izraฤunaj povrลกinu
romba.
Rjeลกenje:
๐ = 72๐๐2
28. Zbir duลพina dijagonala romba je 84๐๐. Produลพimo li jednu dijagonalu za 4๐๐, a drugu
skratimo za 4๐๐, povrลกina romba ฤe se poveฤati za 16๐๐2. Izraฤunaj duลพinu stranice i duลพinu
dijagonale romba.
Rjeลกenje:
๐ = 30๐๐, ๐1 = 36๐๐, ๐2 = 48๐๐
29. U oลกtrouglom trouglu ๐ด๐ต๐ถ visina iz vrha ๐ถ dijeli suprotnu stranicu na dva dijela: ๐ด๐ต i ๐ท๐ต
kojima su duลพine ๐ด๐ท = 4๐๐, ๐ท๐ต = 1๐๐. Ugao kod vrha ๐ด je 60ยฐ, odredi duลพinu stranica
trougla ๐ด๐ต๐ถ i duลพinu visine tog trougla.
Rjeลกenje:
๐ด๐ถ = 8๐๐, ๐ต๐ถ = 7๐๐, โ = 4โ3๐๐
30. Majstor je razrezao ลกipku duลพine 30 ๐๐ na 4 dijela kako bi od tih dijelova napravio
pravougli trougao. Majstor je razrezao ลกipku na dva dijela od kojih je jedan kraฤi za 6 ๐๐ i
njega uzeo za jednu katetu. Odredi duลพine dijelova.
Rjeลกenje:
๐ = 12๐๐, ๐ = 5๐๐, ๐ = 13๐๐
31. Vrt ima oblik pravougaonika sa tjemenima ๐ด, ๐ต, ๐ถ i ๐ท. U vrtu raste jablan koji je od
tjemena ๐ด udaljen 7๐, od tjemena ๐ต udaljen je 2๐ i od ๐ถ udaljen je 6๐. Koliko je udaljen od
tjemena ๐ท?
Rjeลกenje:
๐ฝ โ jablan
๐ฅ โ udaljenost jablana
od tjemena ๐ท
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
128
๐ฅ2 = ๐2 + ๐2 ๐2 = 72 โ ๐2 ๐2 = 62 โ ๐2
๐2 = 22 โ ๐2} โน ๐2 = 62 โ (22 โ ๐2)
} โน ๐ฅ2 = 72 โ ๐2 + 62 โ (22 โ ๐2)๐ฅ = 9๐
32. U pravouglom trouglu teลพiลกne linije su vezane relacijom ๐ก๐2 + ๐ก๐
2 = 5๐ก๐2. Dokazati.
Rjeลกenje:
33. Dokazati da je zbir kvadrata dijagonala proizvoljnog paralelograma jednak zbiru kvadrata
njegovih stranica.
Rjeลกenje:
๐12 = โ2 + (๐ โ ๐ฅ)2
ฮ๐ท๐ด๐: โ2 = ๐2 โ ๐ฅ2 } โน ๐1
2 = ๐2 + ๐2 โ 2๐๐ฅ
๐22 = โ2 + (๐ + ๐ฅ)2
ฮ๐ต๐ถ๐: โ2 = ๐2 โ ๐ฅ2 } โน ๐2
2 = ๐2 + ๐2 + 2๐๐ฅ} โน ๐1
2 + ๐22 = 2๐2 + 2๐2
ฮ๐ด๐ถ๐น: ๐ก๐2 = ๐2 + (
๐
2)2
ฮ๐ต๐ถ๐ธ: ๐ก๐2 = ๐2 + (
๐
2)2
๐ก๐2 + ๐ก๐
2 = ๐2 + (๐
2)2
+ ๐2 + (๐
2)2
๐ก๐2 + ๐ก๐
2 =5
4(๐2 + ๐2)โ ๐2=(2๐ก๐)
2
๐ก๐2 + ๐ก๐
2 =5
4โ 4๐ก๐
2
๐ก๐2 + ๐ก๐
2 = 5๐ก๐2
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
129
34. Dat je ugao ๐ผ = 60ยฐ trougla ๐ด๐ต๐ถ. Duลพina visine ๐ถ๐ท na stranicu ๐ถ je ๐ถ๐ท = โ3๐๐ i
๐ท๐ต = 6โ2๐๐. Izraฤunaj duลพine stranica trougla ๐ด๐ต๐ถ.
Rjeลกenje:
๐ผ = 60ยฐ โข๐ด๐ถ๐ท = 180ยฐ โ 90ยฐ โ 60ยฐ = 30ยฐโข๐๐ถ๐ท = 180ยฐ โ 90ยฐ โ 60ยฐ = 30ยฐ
} โน โข๐๐ถ๐ด = 60ยฐ
โข๐ด๐๐ถ = 60ยฐ
} โน trougao ฮ๐ด๐๐ถ jejednakostraniฤni
โน
โน โ๐ =๐โ3
2 โน ๐ = 2๐๐
๐ด๐ท2 = ๐2 โ โ๐2 โน ๐ด๐ท = 1๐๐
๐ = ๐ด๐ท + ๐ท๐ต
๐ท๐ต = 6โ2๐๐ โ 8.46๐๐
} โน ๐ โ 9.46๐๐
๐2 = โ๐2 + ๐ท๐ต2 โน ๐ โ 8.65๐๐
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
130
Trougao, ฤetverougao i mnogougao
1. U trapezu ๐ด๐ต๐ถ๐ท krak ๐ต๐ถ duลพi je od drugog kraka za 3.8๐๐, a od veฤe osnovice je manji
za 4.4๐๐. Dijagonala trapeza ๐ด๐ถ simetrala je ugla โก๐ท๐ด๐ต. Izraฤunaj stranicu ๐ด๐ต ako je obim
trapeza 56๐๐.
Rjeลกenje:
๐ด๐ถ je simetral ugla โก๐ท๐ด๐ต pa je โ๐ด๐ถ๐ท jednakokraki i vrijedi ๐ด๐ท = ๐ท๐ถ = ๐ฅ. Dalje, iz uslova
zadatka moลพe se zakljuฤiti da je ๐ต๐ถ = ๐ฅ + 3.8 , a ๐ด๐ต = ๐ฅ = 3.8 + 4.4 = ๐ฅ + 8.2.
Rjeลกavanjem jednaฤine ๐ฅ + 8.2 + ๐ฅ + 3.8 + ๐ฅ + ๐ฅ = 56 dobije se ๐ฅ = 11, odnosno
๐ด๐ต = 17.2.
2. Izraฤunaj srednju liniju jednakokrakog trapeza ako je duลพina njegove dijagonale 25๐๐, a
visina 15๐๐.
Rjeลกenje:
๐ = 20๐๐
3. Uzastopni uglovi nekog ฤetverougla su ๐ผ, ๐ผ + 20ยฐ, ๐ผ + 30ยฐ, i ๐ผ + 50ยฐ. Koliki su uglovi tog
ฤetverougla? Da li je taj ฤetverougao trapez?
Rjeลกnje:
๐ผ + ๐ผ + 20ยฐ + ๐ผ + 30ยฐ + ๐ผ + 50ยฐ = 360ยฐ โน ๐ผ = 65ยฐ
Uglovi ovog ฤetverougla su 65ยฐ, 85ยฐ, 95ยฐ i 115ยฐ. ฤetverougao je trapez ako je ๐ผ + ๐ฟ = 180ยฐ,
a u naลกem sluฤaju je ๐ผ = 65ยฐ i ๐ฟ = 115ยฐ pa ฤemo imati ๐ผ + ๐ฟ = 65ยฐ + 115ยฐ = 180ยฐ pa
zakljuฤujemo da je ฤetverougao trapez.
4. Izraฤunati obim romba koji ima povrลกinu 12๐๐ i ฤiji se uglovi odnose kao 1: 2 .
Rjeลกenje:
Kako su susjedni uglovi romba suplementni, to je ๐ผ + 2๐ผ = 180ยฐ โน ๐ผ = 60ยฐ.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
131
Ako je โ visina romba โ =๐
2โ โ3 i ๐ = โ12๐๐2 i ๐ = ๐ โ โ โน โ12 = ๐ โ
๐
2โ โ3.
Rjeลกenjem jednaฤine dobijamo ๐ = 2 ๐๐. Obim romba je ๐ = 8๐๐.
5. Ako se broj stranica konveksnog mnogougla poveฤa za 13, broj dijagonala se poveฤa za
234. Izraฤunati broj dijagonala datog mnogougla.
Rjeลกenje:
Ako je ๐ broj stranica, a ๐ท๐ broj dijagonala datog mnogougla, iz uslova:
๐ท(๐ + 13) = ๐ท๐ + 234
odnosno (n+13)(n+13โ3)
2=n(nโ3)
2+ 234dobijamo da je ๐ = 13. Prema tome dati
mnogougao ima: ๐ท(13) =13(13โ3)
2= 65 dijagonala.
6. U rombu stranice ๐ = 6โ3 i ugla ๐ผ = 60ยฐ upisan je pravougaonik tako da mu manja
dijagonala bude dijagonala pravougaonika. Naฤi povrลกinu pravougaonika.
Rjeลกenje:
๐ = โ โ visina jednakostranicnog trougla
๐ =1
2๐ โน ๐ = 27โ3
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
132
7. Jedan ugao ฤetverougla je 50ยฐ drugi ugao je jednak polovni treฤeg, dok je ฤetvrti ugao
jednak zbiru prva dva ugla. Odredi uglove ฤetverougla.
Rjeลกenje:
๐ผ = 50ยฐ
๐ฟ =๐พ
2 โน 2๐ฟ = ๐พ
๐ฝ = ๐ผ + ๐ฟ
๐ผ + ๐ฝ + ๐พ + ๐ฟ = 360ยฐ
50ยฐ + ๐ฟ + 2๐ฟ + 50ยฐ + ๐ฟ = 360ยฐ 4๐ฟ = 260ยฐ
๐ฟ = 65ยฐ
๐พ = 2๐ฟ
๐พ = 130ยฐ
๐ฝ = ๐ผ + ๐ฟ
๐ฝ = 115ยฐ
8. Prava dijeli kvadrat tako da u tjemenu kvadrata obrazuje sa stranicom ugao od 60ยฐ.
Izraฤunati povrลกinu veฤeg dijela kvadrata ako je ๐ = 3๐๐.
Rjeลกenje:
๐2 = ๐ โ ๐
2 ๐1 =
๐โ ๐
2
2
๐2 = 4.5๐๐2 ๐1 =
๐
4
2
๐ = ๐1 + ๐2 ๐1 = 9
4
๐1 = 2.25๐๐2
๐ = 6.75๐๐2
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
133
9. Odrediti povrลกinu ฤetverougla ๐ด๐ต๐ถ๐ท za kojeg znamo sljedeฤe: dva suporotna ugla su pravi;
dvije stranice koje zatvaraju jedan od njih su jednake duลพine; zbir duลพina druge dvije stranice
iznosi 10๐๐.
Rjeลกenje:
๐ = 25๐๐2
10. Dijagonala jednokrakog trapeza duลพine 10๐๐ odreฤuje sa duลพom osnovicom ugao od 45ยฐ.
Izraฤunati povrลกinu trapeza.
Rjeลกenje:
Neka je ๐ถ๐ธ โฅ ๐ต๐ท. Tada je ๐ด๐ธ = ๐ + ๐, a ฮ๐ด๐ธ๐ถ je jednakokraki pravougli trougao. Kako je
๐ + ๐ = 10โ2, a visina โ =๐+๐
2= 5โ2 slijedi da je
๐ =๐+๐
2โ โ = 50๐๐2.
Trapez i trougao imaju jednake povrลกine pa je povrลกina trapeza ๐ =1
2๐ด๐ถ โ ๐ถ๐ธ = 50๐๐2.
11. Na osnovici jednakokrakog trougla ๐ด๐ต๐ถ odrediti taฤku ๐ tako da razlika njenih
udaljenosti od krakova tog trougla bude jednaka polovini duลพine kraka ๐ด๐ต.
Rjeลกenje:
Neka je ๐ฅ๐ด๐ต๐ถ jednakokraki trougao sa osnovicom ๐ต๐ถ, a prava ๐ je paralelna sa pravom ๐ด๐ถ i
od nje udaljena 1
2๐ด๐ต. Prava ๐ odsjeca od ๐ฅ๐ด๐ต๐ถ jednakokraki trougao ๐ด1๐ต1๐ถ1, a podnoลพje ๐
visina tog trougla iz vrha ๐ด1 je traลพena taฤka.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
134
12. Ako su ๐ i ๐ katete, a ๐ hipotenuza pravouglog trougla onda je polupreฤnik kruga
upisanog u taj trougao dat sljedeฤom relacijom ๐ =๐+๐โ๐
2. Dokazati
Rjeลกenje:
Kako je ๐ = (๐ โ ๐) + (๐ โ ๐) slijedi ๐ = ๐ + ๐ โ 2๐ ili 2๐ = ๐ + ๐ โ ๐ โน ๐ =๐+๐โ2
2, a
vaลพi i relacija 2(๐ + ๐) = ๐ + ๐.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
135
Proporcionalnost
1. Enes i Almir podijelili su 420 ๐พ๐ u omjeru 13: 8. Koliko novca treba Enes dati Almiru da
bi se omjer promijenio na 11: 10.
Rjeลกenje:
Najprije izraฤunati koliko novca ima Enes, a koliko Almir. Rjeลกavanjem jednaฤine
13๐ฅ + 8๐ฅ = 420 โน ๐ฅ = 20 pa dobijemo da Enes ima 260 ๐พ๐, a Almir 160 ๐พ๐.
Da bi se promijenio omjer novca treba da Enes da Almiru ๐ฆ novca, pa je
(260 โ ๐ฆ): (160 + ๐ฆ) = 11: 10. Rjeลกavanjem proporcije dobije se ๐ฆ = 40.
2. Marko i Josip imali su jednak broj klikera. U prvom krugu igre Marko je osvojio 6
Josipovih klikera a u drugom krugu Josip je osvojio 2
3 svih klikera koje je u tom trenutku imao
Marko. Nakon drugog kruga Josip je imao taฤno 4 puta viลกe klikera od Marka. Koliko je
klikera imao svaki na poฤetku, a koliko na kraju igre?
Rjeลกenje:
Na poฤetku su imali po 30 klikera, a na kraju igre Marko je imao 12 klikera, a Josip 48.
3. Rijeลกi jednaฤinu: (23
4โ 3
2
3) : ๐ฅ = (
11
4โ11
3) :
3
2.
Rjeลกenje:
๐ฅ =3
2
4. Stranice trougla odnose se kao ๐ โถ ๐ โถ ๐ = 2 โถ 3 โถ 4. Kolike su stranice tog trougla ako
je obim rjeลกenje jednaฤine 2๐ฅ โ 6 = 120?
Rjeลกenje:
๐ โถ ๐ โถ ๐ = 2 โถ 3 โถ 4
๐ โถ ๐ = 2 โถ 3 โน ๐ =2
3๐
๐ โถ ๐ = 3 โถ 4 โน ๐ =4
3๐
2๐ฅโ6 = 120 โน ๐ฅ = 63 โ obim trokuta iz uvjeta zadatka
๐ = ๐ + ๐ + ๐
63 = ๐ + ๐ + ๐
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
136
63 =2
3๐ + ๐ +
4
3๐ โน ๐ = 21
๐ =2
3โ 21 = 14
๐ =4
3โ 21 = 28
5. Uglovi trougla odnose se kao 2: 3: 7 a duลพina najveฤe stranice je 1. Odredi obim trougla
pribliลพno na dvije decimale.
Rjeลกenje:
๐ผ: ๐ฝ: ๐พ = 2: 3: 7 180ยฐ: (2 + 3 + 7) = 15ยฐ ๐ผ = 2 โ 15ยฐ = 30ยฐ; ๐ฝ = 3 โ 15ยฐ = 45ยฐ i ๐พ = 7 โ 15ยฐ = 105ยฐ Spustimo visinu na najveฤu stranicu ๐ = 1. Pravougli trouglovi ๐ต๐ถ๐ท i ๐ด๐ถ๐ท su specijalni.
Iz ฮ๐ต๐ถ๐ท โน ๐ฅ2 + ๐ฅ2 = ๐ต๐ถ2 โน ๐ต๐ถ = ๐ฅโ2.
Iz jednaฤine 1 โ ๐ฅ = โ3๐ฅ โ ๐ฅ =โ3โ1
2โ 0,37
๐ต๐ถ = โ2๐ฅ = โ2โ3โ1
2=โ6โโ2
2โ 0,52
๐ด๐ถ = 2๐ฅ = โ3 โ 1 โ 0,73
๐ โ 2,25
6. Jednakokraki trapez ima krak jednak osnovici i srednju liniju dugu 8๐๐. Odredi duลพinu
njihovih stranica tako da obim trapeza bude 26๐๐.
Rjeลกenje:
๐ = ๐ ๐ + ๐
2= 8 โน ๐ + ๐ = 16
๐ = ๐ + 2๐ + ๐
26 = ๐ + ๐ + 2๐
26 = 16 + 2๐
2๐ = 10
๐ = 5 ๐ = ๐ = 5๐ + ๐ = 16
} โน ๐ = 11
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
137
7. Odreฤeni posao 15 radnika moลพe obaviti posao za 6 dana. Nakon 2 dana rada 3 radnika
napuste posao. Za koliko ฤe se produลพiti taj posao?
Rjeลกenje:
15 radnika bi nakon dva dana posao trebali zavrลกiti za ฤetiri dana.
15 radnika 4 dana
12 radnika ๐ฅ dana
12 โถ 15 = 4 โถ ๐ฅ โน ๐ฅ = 5 12 radnika ฤe posao raditi pet dana, dakle jedan dan duลพe.
8. Netko je primio radnika na posao na godinu dana i za to mu unaprijed platio 12 rubalja i
kaput. Nakon sedam mjeseci radnik je odluฤio otiฤi, ali zadrลพati kaput. To je i uฤinio i otiลกao
kuฤi s 5 rubalja i kaputom. Kolika je cijena kaputa ?
Rjeลกenje:
Buduฤi da je za jednu godinu radnik trebao dobiti 12 rubalja, to je za mjeseci zaradio 7
rubalja i 7
12โ ๐ฅ, gdje je ๐ฅ cijena kaputa. Buduฤi da je od zaraฤenih 7 rubalja ostalo 5, to je
neisplaฤeni dio cijene kaputa 2 rublje. Dakle, 5
12โ ๐ฅ = 2, odakle je ๐ฅ =
24
5 odnosno ๐ฅ = 4.8
rubalja.
Ili rjeลกenje jednaฤine: 7
12(๐ฅ + 12 ) = ๐ฅ + 5 โน ๐ฅ =
24
5= 4.8
9. Udaljenost izmeฤu dva mjesta putnik je planirao prijeฤi u ฤetiri dana, tako da se duลพine
dnevno prijeฤnih etapa odnose kao 6 โถ 4 โถ 3 โถ 7. Neposredno prije puta promjenio je plan
odluฤivลกi posljednju etapu smanjiti za 9.75๐๐. Zbog te se promjene duลพine etapa odnose kao
6 โถ 4 โถ 3 โถ 2. Koliko je dug put?
Rjeลกenje:
Oznaฤimo sa s duลพinu puta . Putnik je trebao preฤi za :
I dan 6
20 puta s (
6
20 s)
II dana 4
20 s
III dan 3
20 s
IV dana 7
20 s
Izmjenom plana:
I dan 6
15 s
II dana 4
15 s
III dana 3
15 s
IV dana 2
15 s
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
138
2
15๐ + 9.75 =
7
20๐
๐ = 45 ๐๐
Put je dug 45 km
I plan : 13.5 ๐๐ + 9 ๐๐ + 6.75 ๐๐ + 15.75 ๐๐
II plan : 18 ๐๐ + 12 ๐๐ + 9 ๐๐ + 6 ๐๐
10. Jedna brigada traktorista mogla bi zavrลกiti oranje za 15 dana, a druga brigada bi to uradila
za 10 dana. Za koliko bi dana taj posao uradile obje brigade zajedno?
Rjeลกenje:
Jedna brigada bi za jedan dan uradila 1
15 posla a druga za jedan dan
1
10 posla. Ako rade obje
zajedno onda ฤe posao zavrลกiti za ๐ฅ dana.
Imamo ๐ฅ
15+๐ฅ
10= 1 โน ๐ฅ = 6
Obje brigade zajedno bi posao zavrลกile za 6 dana.
11. 12 radnika urade neki posao za 8 dana radeฤi po 10 sati dnevno. Za koliko dana ฤe taj isti
posao uraditi 16 radnika radeฤi dnevno po 6 sati?
Rjeลกenje:
Na posao je utroลกeno ukupno 12 โ 8 โ 10 sati rada a to je 960 sati. 16 radnika radeฤi po 6 sati
dnevno odrade 96 radnih sati za jedan dan. Stoga zakljuฤujemo da je timu od 16 radnika uz
radno vrijeme od 6 sati potrebno 10 dana za dati posao.
12. 12 radnika treba obaviti neki posao. Oni ga mogu zavrลกiti za 42 dana. Nakon tri dana
otiลกla su 4 radnika. Nakon sljedeฤih 6 dana doฤe 7 novih radnika. A zatim nakon sljedeฤih 5
dana doลกlo je novih 8 radnika, koji su zajedno s radnicima koje su zatekli zavrลกili posao.Za
koliko je dana cijeli posao zavrลกen?
Rjeลกenje:
Broj dnevnica koje se moraju dogoditi je 42 โ 12 = 504. Prva tri dana odraฤeno je 3 โ 12 =
36 dnevnica pa ih je ostalo joลก da se odradi 504 โ 36 = 468.
Nakon tri dana radi 8 radnika i u tom sastavu rade 6 dana 8 โ 6 = 48.
Joลก je preostalo 468 โ 48 = 420 dnevnica da se odradi. Sad dolazi 7 radnika pa ih ima 15.
Rade 5 dana, 15 โ 5 = 75
420 โ 75 = 345
Dolazi novih 8 radnika i zavrลกavaju posao skupa sa 15 starih radnika.
15 + 8 = 23 a 345: 23 = 15; 15 + 5 + 6 + 3 = 29 โน Posao je zavrลกen za 29 dana.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
139
13. Odredi nepoznate veliฤine iz uslova: ๐ฅ + ๐ฆ + ๐ง + ๐ก = 110 i ๐ฅ: ๐ฆ: ๐ง: ๐ก = 1: 2: 5: 3
Rjeลกenje:
Iz druge jednaฤine smjenom biฤe ๐ฅ = ๐ ๐ฆ = 2๐ ๐ง = 5๐ ๐ก = 3๐, to uvrstimo u prvu
jednaฤinui dobijemo ๐ = 10, vraฤanjem smjene biฤe ๐ฅ = 10, ๐ฆ = 20, ๐ง = 50, ๐ก = 30.
14. Prodavnica proda 2
5 komada platna jednom kupcu, a drugom kupcu
1
3 ostatka. Za prodato
platno primi 120๐พ๐.Koliko bi primila da je predala cijeli komad platna?
Rjeลกenje:
2
5๐ฅ +
1
3(๐ฅ โ
2
5๐ฅ) =
2
5๐ฅ +
1
3๐ฅ5๐ฅโ2๐ฅ
5=2
5๐ฅ +
1
3โ 3๐ฅ
5=2
5๐ฅ +
1
5๐ฅ =
3
5๐ฅ
3
5๐ฅ 120๐พ๐
๐ฅ ๐
3
5๐ฅ โถ ๐ฅ = 120 โถ ๐ โน ๐ = 200๐พ๐
15. Duลพine kateta pravouglog trougla jesu 5๐๐ i 12๐๐. Izraฤunati obim i povrลกinu sliฤnog
trougla ako je koeficjent sliฤnosti 15.
Rjeลกenje:
๐ = 15๐๐ ๐ = ๐ + ๐ + ๐ ๐ =๐โ ๐
2
๐ = 12๐๐ ๐ = 5 + 12 + 13 ๐ =5โ 12
2
๐2 = ๐2 + ๐2 ๐ = 30๐๐ ๐ = 30๐๐2
๐2 = 25 + 144
๐2 = 169
๐ = 13๐๐
๐1
๐= 1.5 ๐1 = 1.5 โ ๐ ๐1 = 1.5 โ ๐
๐1 = 1.5 โ ๐ ๐1 = 12 โ 1.5 ๐1 = 1.5 โ 13
๐1 = 7.5๐๐ ๐1 = 18๐๐ ๐1 = 19.5๐๐
๐1 = ๐1 + ๐1 + ๐1 ๐1 =๐1โ ๐1
2
๐1 = 7.5 + 18 + 19.5 ๐1 =7.5โ 18
2
๐1 = 45๐๐ ๐1 = 67.15๐๐2
๐1 + 2๐2 = 80
4 โ 4 + 2(4 โ (๐ โ 4)) = 80 โน ๐ = 12๐๐
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
140
16. ฤetiri dana, ฤetiri maฤke ulove ฤetiri miลกa. Za koliko ฤe dana 50 maฤaka uloviti 100
miลกeva?
Rjeลกenje:
4๐ 4๐ 100๐
150๐ ๐ฅ 100๐
4: 50 = ๐ฅ: 100 โน ๐ฅ = 8
17. Broj 182 razdijeli na dva dijela koji se odnose 2: 5. Koji su to brojevi i za koliko je jedan
veฤi od drugog?
Rjeลกenje:
๐ฅ + ๐ฆ = 182 โน 2๐ฅ + 2๐ฆ = 364
๐ฅ: ๐ฆ = 2: 5
5๐ฅ = 2๐ฆ 2๐ฅ + 2๐ฆ = 364
} โน2๐ฅ + 5๐ฅ = 364
๐ฅ = 52
5 โ 52 = 2๐ฆ โน ๐ฆ = 130
๐ฆ โ ๐ฅ = 130 โ 52 = 78
18. Drugovi Samir, Jamin i Zlatan igrali su sportsku prognozu i upatili su; Samir 60, Jasmin
80 i Zlatan 120๐พ๐. Kako ฤe podijeliti zajedniฤki dobitak od 13065๐พ๐?
Rjeลกenje:
๐ โ 60 ๐พ๐
๐ฝ โ 80 ๐พ๐ =80
60โ ๐ =
4
3๐
๐ โ 120 ๐พ๐ = 2๐
๐ + ๐ฝ + ๐ = 13065
๐ +4
3๐ + 2๐ = 13065 ๐ฝ =
4
3โ ๐ ๐ = 2 โ ๐
3๐ + 4๐ + 6๐ = 39195 ๐ฝ =4
3โ 3015 ๐ = 2 โ 3015
13๐ = 39195 ๐ฝ = 4020 ๐ = 6030
๐ = 3015
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
141
19. Dvanaest hljebova podijeljeno je na 12 osoba. Svaki muลกkarac dobio je po 2 hljeba, ลพena
po 1
2 hljeba, a dijete po
1
4 hljeba. Koliko je bilo muลกkaraca, koliko ลพena, a koliko djece?
Rjeลกenje:
Muลกkaraca ima 5, 6 djece i 1 ลพena.
20. Ako za brojeve ๐, ๐ i ๐ vrijedi ๐: ๐ = 4: 3, ๐: ๐ = 2: 5 odrediti vrijednost izraza
(3๐ โ 2๐): (๐ + 2๐).
Rjeลกenje:
(3๐ โ 2๐): (๐ + 2๐) = 1: 3
21. Razlika, zbir i proizvod dva broja odnose se kao 1: 4: 15. Koji su to brojevi ?
Rjeลกenje:
Ti brojevi su 10 i 6.
22. Svaki od ลกest kamiona jedne graฤevinske kompanije je vozio 8 sati i svi zajedno su za to
vrijeme potroลกili 720 litara nafte. Koliko ฤe nafte potroลกiti devet kamionate kompanije ako
svaki od njih vozi po 6 sati? (Podrazumijeva se da je potroลกnja goriva ravnomjerna po
kamionima i po satima voลพnje.)
Rjeลกenje:
Devet kamiona, vozeฤi po ลกest sati, ukupno ฤe potroลกiti 810๐ nafte.
23. Petorica radnika obavili su neki posao i ukupno zaradili 2100๐พ๐. Novac su podijelili
tako da su prva dvojica dobili 2
5 dijela ostale trojice. Prvi i drugi radnik su svoj dio podijelili u
omjeru 3: 2, a treฤi, ฤetvrti i peti radnik svoj dio u omjeru 3: 5: 4. Koliko je dobio svaki
radnik?
Rjeลกenje:
Radnici su redom dobili 3600๐พ๐, 2400๐พ๐, 3750๐พ๐, 6250๐พ๐ i 5000๐พ๐.
24. Alma, Buco i Ceca treba da podijele 2000๐พ๐ tako da se dijelovi koje dobiju Alma i Buco
odnose kao 2: 3, a dijelovi koje dobiju Buco i Ceca kao 9: 5. Odredi koliko ฤe svako od njih
dobiti.
Rjeลกenje:
๐ด = 400๐พ๐, ๐ต = 600๐พ๐, ๐ถ = 1000๐พ๐
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
142
25. Putnici ๐ด i ๐ต poฤu jedan drugom u susret i sretnu se posle 4 sata. Da su obojica prelazili
na sat po pola kilometra viลกe sreli bi se poslije 33
5 ฤasova. A ako bi jednovremeno krenuli
istim pravcen, ๐ด iza ๐ต, tek poslije 6 ฤasova bi se odstojanje izmeฤu njih smanjilo za 1
6.
a) Kolika je brzina svakog putnika?
b) Kolika je bila razdaljina izmeฤu njih u poฤetku ?
Rjeลกenje:
Pjeลกak ๐ด prelazio je 5๐๐
โ, a pjeลกak ๐ต je prelazio 4
๐๐
โ.
Rastojanje u poฤetku izmeฤu njih bilo je 36๐๐.
26. Na pijaci jedan prodavac ima lubenice, dinje i klipove mladog kukuruza i prodaje ih na
komad. Ukupan broj lubenica, dinja i klipova mladog kukuruza je 239. Jedan je kupac kupio 2
3 svih lubenica,
3
5 svih dinja i
5
7 svih klipova mladog kukuruza. Drugi kupac je kupio
1
13 svih
lubenica, 1
4 svih dinja i
1
5 svih klipova mladog kukuruza. Koliko je ukupno komada svega
kupio drugi kupac i koliko je prodavac imao na poฤetku lubenica, dinja i klipova mladog
kukuruza?
Rjeลกenje:
Prodavaฤ je na poฤetku imao 39 lubenica, 60 dinja i 140 klipova mladog kukuruza. Drugi
kupac je kupio ukupno 46 komada i to 3 lubenice, 15 dinja i 28 klipova mladog kukuruza.
27. Dva radnika mogu da zavrลกe posao za 24 dana. Poslije zajedniฤkog rada od 10 dana jedan
radnik napuลกta posao, pa drugi radnik radi sam i zavrลกi taj posao za 25 dana. Za koliko bi
dana taj posao zavrลกio svako od njih ako bi radio sam?
Rjeลกenje:
Poslije 10 dana radnici su uradili 10
24=
5
12 posla.
7
12 ostatka posla drugi radnik je zavrลกio za 35
dana tj. svakog dana je zavrลกavao 7
12: 35 =
1
60 posla. Drugi radnik bi cio posao zavrลกio za 60
dana. Za 24 dana drugi radnik uradi 24
60=2
5 posla, a prvi
3
5 posla. Prvi radnik za 1 dan uradi
3
5: 24 =
1
40 odnosno cio posao bi uradio za 40 dana.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
143
28. Zlatar ima dvije razliฤite legure zlata i srebra. U jednoj su srebro i zlato u razmjeri 2: 3, a u
drugoj su u razmjeri 5: 3. Koliko kg svake legure treba uzeti da bismo dobili 9๐๐ nove legure
u kojoj ima jednako zlata i srebra.
Rjeลกenje:
masa prve legure ๐ฅ
masa druge legure 9 โ ๐ฅ
srebra u prvoj leguri ima 2
5๐ฅ
srebra u drugoj leguri 5(9โ๐ฅ)
8
2๐ฅ
5+5(9โ๐ฅ)
8=9
2 โบ ๐ฅ = 5 โน prva legura= 5๐๐; druga legura= 4๐๐
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
144
Koordinatni sistem
1. Zadat je trougao ฮ๐ด๐ต๐ถ taฤkama ๐ด(0, 0), ๐ต(โ3, 4), ๐ถ(1, 7). Dokazati da je trougao
pravougli. Izraฤunati obim i povrลกinu tog trougla na jednu decimalu.
Rjeลกenje:
๐ = ๐ด๐ต + ๐ต๐ถ + ๐ด๐ถ โน ๐ = 21 ๐ =๐ด๐ตโ ๐ต๐ถ
๐ โน ๐ =
25
2
๐ด๐ต = โ(๐ฅ2 โ ๐ฅ1)2 + (๐ฆ2 โ ๐ฆ1)
2 =
๐ต๐ถ = โ(๐ฅ2 โ ๐ฅ1)2 + (๐ฆ2 โ ๐ฆ1)
2 =
= โ(โ3 โ 0)2 + (4 โ 0)2 = โ9 + 16 = โ25 = 5
= โ(1 + 3)2 + (7 โ 4)2 = โ16 + 9 = โ25 = 5
๐ด๐ถ = โ(๐ฅ2 โ ๐ฅ1)2 + (๐ฆ2 โ ๐ฆ1)2 =
๐ด๐ถ2 = ๐ด๐ต2 + ๐ต๐ถ2
(5โ2)2= 52 + 52
50 = 25 + 25
= โ(1 โ 0)2 + (7 โ 0)2 =
= โ1 + 49 = โ50 =
= โ25 โ 2 = 5โ2
50 = 50 โน trougao je pravougli
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
145
Zadaci za deveti razred
Algebarski izrazi
Linearna funkcija
Jednadลพbe
Sistem linearnih jednadลพbi
Nejednakosti i nejednadลพbe
Prosti i sloลพeni brojevi. Djeljivost
Trougao i ฤetverougao. Mnogougao
Racionalni izrazi
Analitiฤka geometrija
U rukopisima Egipฤana i Vavilonaca nalazimo primjere rjeลกavanja jednadลพbi.
Egipฤani su imali poseban znak (hijeroglif) i ime za nepoznatu veliฤinu i zvali su je hau, ลกto
znaฤi hrpa, gomila. Kod indijaca nepoznata se nazivala ลกa ลกto znaฤi stvar. U nekim
rukopisima nepoznate veliฤine su oznaฤavane pomoฤu boja. U Rajndovom9papirusu se nalazi
zadatak koji je iskazan rijeฤima te se tako i rjeลกava:
Gomila, raฤunata dva puta zajedno, sa joลก jednom gomilom, dostiลพe devet. Koje je ime te
gomile?(2x+x=9)
Zadaci na Rajndovom papirusu se odnose na praktiฤne probleme iz oblasti
graฤevinarstva, ekonomije i sliฤno.
Neki radnik mora za transport hljeba iz pekare koristiti korpe, veฤe u koje moลพe stati pet
hljebova i manje sa ฤetiri hljeba. Koliki ฤe se rad izvrลกiti u oba sluฤaja?
Nije jasno kako su Egipฤani i Vavilonci doลกli do rjeลกenja navedenih i sliฤnih
problema. Najvjeroatnije da se zadatak, koji je bio iz svakodnevnog ลพivota, rjeลกavao mnogo
puta sve dok se ne bi dobilo rjeลกenje koje je odgovaralo realnosti. Redoslijed raฤunskih
operacija koji dovodi do taฤnog rezultata postaje radno pravilo. Ovi postupci niu bili
racionalni, ali u ono vrijeme su bili jedini naฤin da se doฤe do potrebnog rjeลกenja. Iako
rjeลกaanje jednadลพbi nije bilo racionalno, saznanja Egipฤana o jednadลพbama predstavljaju
osnovu za dalju izgradnju algebarske metode rjeลกavanja jednadลพbi.
9 Ahmesov papirus je staroegipatski papirus koga je 1858. Godine u oblasti Tebe pronaลกao Aleksandar Henri Rajnd, ลกkotski krijumฤar egipatskih relikvija, zbog ฤega se ฤesto spominje kao Rajndov papirus. Papirus je pisan oko 1650 g. p. n. e., ali je u uvodu papirusa Ahmes
zapisao da prepisuje sa jednog joลก starijeg papirusa koji datira oko 1850 g. p. n. e. ne spominjujuฤi ime prethodnog autora. Sa jedne strane
papirusa opisano je dijeljenje broja 2 sa neparnim brojevima od 3 do 101, tj. prikazano je kako se razlomci sa brojem 2 mogu razloลพiti na jediniฤne razlomke. Sa druge strane papirusa je prikazano 87 problema i zadataka. Ovaj papirus se smatran najznaฤajnijim i najvrijednijim matematiฤkim dokumentom Egipatske civilizacije.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
146
Algebarski izrazi
1. Izraฤunati vrijednost algebarskog izraza [(๐+๐)3
3๐๐โ (๐ + ๐)] : [1 +
(๐โ๐)2
๐๐] =.
Rjeลกenje:
[(๐ + ๐)3
3๐๐โ (๐ + ๐)] : [1 +
(๐ โ ๐)2
๐๐] =
= [๐3 + 3๐2๐ + 3๐๐2 + ๐3 โ 3๐2๐ โ 3๐๐2
3๐๐] : [๐๐ + ๐2 โ 2๐๐ + ๐2
๐๐] =
=๐3 + ๐3
3๐๐:๐2 โ ๐๐ + ๐2
๐๐=(๐ + ๐)(๐2 โ ๐๐ + ๐2)
3๐๐:๐2 โ ๐๐ + ๐2
๐๐=๐ + ๐
3
2. Ako je ๐ฅโ2๐ฆ
2๐ฅ+๐ฆ= 3, koliko je
๐ฅ+3๐ฆ
3๐ฅโ๐ฆ?
Rjeลกenje:
๐ฅ โ 2๐ฆ = 3(2๐ฅ + ๐ฆ) โ ๐ฅ โ 2๐ฆ = 6๐ฅ + 3๐ฆ โ โ5๐ฅ = 5๐ฆ โ ๐ฅ = โ๐ฆ ๐ฅ + 3๐ฆ
3๐ฅ โ ๐ฆ= โ๐ฆ + 3๐ฆ
โ3๐ฆ โ ๐ฆ=2๐ฆ
โ4๐ฆ= โ
1
2
3. Ako je ๐
๐=2
3, ๐
๐=3
4, koliko je
๐+๐+๐
๐โ๐โ๐?
Rjeลกenje:
Iz ๐: ๐ โถ ๐ = 6 โถ 4 โถ 3, slijedi ๐ = 6๐, ๐ = 4๐ i ๐ = 3๐
๐ + ๐ + ๐
๐ โ ๐ โ ๐=6๐ + 4๐ + 3๐
6๐ โ 4๐ โ 3๐=13
โ1= โ13
4. Ako je ๐ฅ
๐ฆ+ ๐ฅ =
๐ฆ
๐ฅ+ ๐ฆ, ๐ฅ โ ๐ฆ, koliko je
1
๐ฅ+1
๐ฆ?
Rjeลกenje:
Zadanu jednakost piลกemo u obliku
๐ฅ
๐ฆโ๐ฆ
๐ฅ= ๐ฆ โ ๐ฅ โ
๐ฅ2 โ ๐ฆ2
๐ฅ๐ฆ= ๐ฆ โ ๐ฅ โ
(๐ฅ + ๐ฆ)(๐ฅ โ ๐ฆ)
๐ฅ๐ฆ= ๐ฆ โ ๐ฅ โ
๐ฅ + ๐ฆ
๐ฅ๐ฆ= โ1 โ
1
๐ฅ+1
๐ฆ= โ1
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
147
5. Za koje vrijednosti promjenljivih ๐ฅ i ๐ฆ razlomak ๐ =3๐ฅ2+3๐ฆ2โ12๐ฅ+17
๐ฅ2+๐ฆ2โ4๐ฅ+5 ima najveฤu
vrijednost i koliko ona iznosi?
Rjeลกenje:
๐ =3๐ฅ2 + 3๐ฆ2 โ 12๐ฅ + 17
๐ฅ2 + ๐ฆ2 โ 4๐ฅ + 5=3๐ฅ2 โ 12๐ฅ + 12 + 3๐ฆ2 + 3 + 2
๐ฅ2 โ 4๐ฅ + 4 + ๐ฆ2 + 1=
=3[(๐ฅ โ 2)2 + ๐ฆ2 + 1]
(๐ฅ โ 2)2 + ๐ฆ2 + 1+
2
(๐ฅ โ 2)2 + ๐ฆ2 + 1=
= 3 +2
(๐ฅ โ 2)2 + ๐ฆ2 + 1
Vrijednost razlomka je tim veฤa ako je nazivnik ลกto manji, pa ๐ฅ โ 2 = 0 โน ๐ฅ = 2 i ๐ฆ = 0.
Najveฤa vrijednost razlomka iznosi ๐ = 3 +2
0+0+1 โน ๐ = 5
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
148
Linearna funkcija
1. Data je funkcija ๐ฆ = (2๐ + 1)๐ฅ + 6. Odrediti vrijednost parametra ๐ tako da njen grafik
sadrลพi taฤku ๐ด(4, 3). Za takvu vrijednost parametra ๐ izraฤunati udaljenost koordinatnog
poฤetka od grafika funkcije.
Rjeลกenje:
Kako grafik prolazi taฤkom ๐ด imamo 3 = (2๐ + 1) โ 4 + 6 โน ๐ = โ7
8. Za takvu vrijednost
parametra ๐, funkcija ima oblik ๐ฆ = โ3
4๐ฅ + 6. Nula funkcije je ๐ฅ = 8, pa grafik sijeฤe
๐ฅ โ osu i ๐ฆ โ osu redom u taฤkama ๐ต(8, 0) i ๐ถ(0, 6). Odsjeฤci na ๐ฅ i ๐ฆ osi su ๐ = 6 i ๐ = 8.
Povrลกina trougla kojeg grafik gradi sa koordinatnim osama iznosi ๐ =๐๐
2 โน ๐ = 24. Duลพina
hipotenuze ๐ (duลพi ๐ต๐ถ) iznosi ๐ = 10. Ako najkraฤe rastojanje grafika funkcije od
koordinatnog poฤetka oznaฤimo sa ๐ฅ, imamo ๐ =๐๐ฅ
2 โน ๐ฅ = 4.8.
2. U linearnoj funkciji ๐ฆ = (3๐ + 2)๐ฅ + 2๐ โ ๐ naฤi ๐ i ๐ tako da grafik bude paralelan
sa pravom 2๐ฅ โ ๐ฆ โ 8 = 0 i da povrลกina trougla, koji grafik gradi sa koordinatnim osama,
bude ฤetiri puta manji od povrลกine trougla kojeg gradi prava 2๐ฅ โ ๐ฆ โ 8 = 0 sa koordinatnim
osama.
Rjeลกenje:
Iz paralelnosti slijedi 3๐ + 2 = 2 โน ๐ = 0, a funkcija dobija oblik ๐ฆ = 2๐ฅ + 2๐. Prava
2๐ฅโ๐ฆโ 8 = 0 presjeca koordinatne ose u taฤkama โ4 i 8 i povrลกina trougla kojeg ona gradi je
16. Slijedi da naลกa prava gradi na osi ๐๐ฅ odsjeฤak duลพine 2,a na osi ๐๐ฆ odsjeฤak duลพine 4.
Postoje dva rjrลกenja ๐ฆ = 2๐ฅ + 4 i ๐ฆ = 2๐ฅ โ 4. Povrลกina trougla je 4.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
149
3. Date su linearne funkcije ๐(๐ฅ) = (2๐ โ 0.5)๐ฅ โ 3 i ๐(๐ฅ) = (7๐ + 2)๐ฅ โ 4.
Odrediti vrijednost realnog broja ๐ tako da:
a) grafici funkcija budu paralelni
b) ๐(๐ฅ) bude opadajuฤa, a ๐(๐ฅ) rastuฤa funkcija.
Rjeลกenje:
a) Da bi prave bile paralelne mora biti 2๐ โ 0.5 = 7๐ + 2 โน ๐ = โ0.5
b) Iz uslova 2๐ โ 0.5 < 0 i 7๐ + 2 > 0 dobija se da je โ2
7< ๐ <
1
4.
4. Odrediti vrijednost funkcije ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐ฅ2016 + 2016๐ฆ ako vrijedi
๐ฅ2 + ๐ฆ2 + 2๐ฅ โ 6๐ฆ + 10 = 0.
Rjeลกenje:
Iz ๐ฅ2 + ๐ฆ2 + 2๐ฅ โ 6๐ฆ + 10 = 0 โน (๐ฅ2 + 2๐ฅ + 1) + (๐ฆ2 โ 6๐ฆ + 9) = 0 โน
โน (๐ฅ + 1)2 + (๐ฆ โ 3)2 = 0 โน ๐ฅ = 1 โง ๐ฆ = 3
Sada imamo da je ๐(โ1, 3) = (โ1)2016 + 2016 โ 3 = 6049.
5. Data je funkcija ๐ฆ = (๐ +1
4) ๐ฅ + (1 โ 2๐). Odrediti vrijednost parametra ๐ tako da
grafik funkcije prolazi taฤkom ๐ด(โ4, 6), a zatim izraฤunati povrลกinu trougla koju grafik
funkcije gradi sa koordinatnim osama.
Rjeลกenje:
Ako taฤka ๐ด pripada grafiku funkcije onda koordinate imaju vrijednost ๐ฅ = โ4 i ๐ฆ = 6.
Uvrลกtavanjem koordinata u funkciju dobijamo vrijednost parametra ๐, tj.
6 = (๐ +1
4) โ (โ4) + (1 โ 2๐) โน ๐ = โ1
Sada naลกa funkcija ima oblik ๐ฆ = โ3
4๐ฅ + 3.
Funkcija sijeฤe ๐ฅ โ osu u apscisi ๐ฅ = 4, a ๐ฆ โ osu u ordinati ๐ฆ = 3, pa je trougao koji grafik
gradi sa koordinatnim osama pravougli sa duลพinama kateta 3 i 4 i povrลกina je ๐ =3โ 4
2 โน ๐ = 6
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
150
6. Za koju vrijednost parametra ๐ se pravci 2๐ฅโ ๐ฆ + 3 = 0, ๐ฅ + ๐ฆ + 3 = 0 i
๐๐ฅ + ๐ฆโ 13 = 0 sijeku u jednoj taฤki?
Rjeลกenje:
Trebamo odrediti presjek ๐ prvia dva pravca, to je ๐(โ2, 1). Ta taฤka mora pripadati i treฤem
pravcu, pa dobivamo ๐ = โ7.
7. Odrediti povrลกinu lika omeฤenog pravama 4๐ฅ โ 3๐ฆ โ 8 = 0 i ๐ฆ = 4 te pozitivnim
dijelom koordinatnog sistema.
Rjeลกenje:
๐๐๐ด๐ต๐ถ =๐๐ด + ๐ต๐ถ
2โ ๐๐ถ =
2 + 5
2โ 4 = 14
8. Zadana je prava jednaฤinom 4๐ฅ + 3๐ฆ โ 6 = 0. Kolika je udaljenost koordinatnog poฤetka
od prave?
Rjeลกenje:
Napiลกemo jednaฤinu prave u eksplicitnom obliku ๐ฆ = โ4
3๐ฅ + 2 i nacrtamo grafik
odgovarajuฤe linearne funkcije
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
151
Nula ove funkcije je ๐ฅ0 =3
2. Duzine stranica pravouglog trougla kojeg grafik ove funkcije
gradi sa koordinatnim osama su: ๐ =3
2, ๐ = 2 i ๐ =
5
2. Povrลกina pravouglog trougla je
๐ =๐ โ ๐
2=
32 โ 2
2=3
2
Ako sa ๐ฅ oznaฤimo rastojanje koordinatnog poฤetka od date prave, imamo da povrลกinu trougla
moลพemo izraฤunati i kao
๐ =๐ โ ๐ฅ
2 โ ๐ โ ๐ฅ = 2 โ ๐
๐ฅ =2 โ ๐
๐=2 โ 3252
=6
5
9. Data je funkcija ๐ฆ = (2๐ + 1)๐ฅ + 6.
a) Odrediti vrijednost broja ๐ tako da njen grafik sadrลพi taฤku ๐(4, 3).
b) Za tu vrijednost broja ๐ odrediti udaljenost koordinatnog poฤetka od tog grafika
Rjeลกenje:
a) ๐ฆ = (2๐ + 1)๐ฅ + 6 โน 3 = (2๐ + 1) โ 4 + 6 โน ๐ = โ7
8
b) Jednaฤina prave je ๐ฆ = โ3
4๐ฅ + 6.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
152
Duลพine stranica pravouglog trougla kojeg grafik ove funkcije gradi sa koordinatnim osama su:
๐ = 8, ๐ = 6 i ๐ = 10. Povrลกina pravouglog trougla je
๐ =๐ โ ๐
2=8 โ 6
2= 24
Ako sa ๐ฅ oznaฤimo rastojanje koordinatnog poฤetka od date prave, imamo da povrลกinu trougla
moลพemo izraฤunati i kao
๐ =๐ โ ๐ฅ
2 โ ๐ โ ๐ฅ = 2 โ ๐
๐ฅ =2 โ ๐
๐=2 โ 24
10=24
5
10. Odredi sve parove realnih brojeva ๐ i ๐, takve da grafik funkcije ๐ฆ = ๐๐ฅ + ๐ sadrลพi taฤku
๐(4, 6) i sa grafikom funkcije ๐ฆ = ๐ฅ + 2 i ๐ฅ osom gradi trougao povrลกine 36.
Rjeลกenje:
Taฤka ๐(4, 6) pripada i grafiku funkcije ๐ฆ = ๐ฅ + 2 i grafiku funkcije ๐ฆ = ๐๐ฅ + ๐, pa je ona
tjeme trougla koji grade ti grafici i ๐ฅ osa. Onda je duลพina visine trougla iz tjemena ๐ jednaka
6. Kako je povrลกina trougla jednaka 36, slijedi da je duลพina odgovarajuฤe stranice 12. Jedan
kraj te stranice je u taฤki (โ2, 0), pa ฤe drugi biti ili u ๐ด(10, 0) ili ๐ต(โ14, 0). Grafik funkcije
๐ฆ = ๐๐ฅ + ๐ sadrลพi ili taฤke ๐ i ๐ด ili ๐ i ๐ต. U prvom sluฤaju iz sistema
6 = 4 ๐ + ๐ 0 = 10๐ + ๐
}
dobijamo ๐ = โ1 i ๐ = 10. U drugom sluฤaju iz sistema
6 = 4๐ + ๐ 0 = โ14๐ + ๐
}
dobijamo ๐ =1
3 i ๐ =
14
3.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
153
11. Date su funkcije ๐(๐ฅ) =๐ฅ
2โ1
2 i ๐(๐ฅ) =
๐ฅ+1
4. Za koju vrijednost promjenljive ๐ฅ je
๐(๐(๐ฅ)) + 2๐(๐(๐ฅ)) = 0
Rjeลกenje:
๐(๐(๐ฅ)) =
๐ฅ + 142
โ1
2=๐ฅ + 1
8โ1
2=๐ฅ โ 3
8
๐(๐(๐ฅ)) =
๐ฅ2 โ
12 + 1
4=
๐ฅ + 124
=๐ฅ + 1
8 }
โน๐ฅ โ 3
8+ 2 โ
๐ฅ + 1
8= 0 โน ๐ฅ =
1
3
12. U funkciji ๐(๐ฅ) = (๐ โ 2)๐ฅ โ ๐ + 5 odrediti:
a) parametar ๐ tako da grafik funkcije odsjeca na pozitivnom smjeru ๐ฆ โose duลพinu od 4๐๐;
b) duลพinu odsjeฤka na ๐ฅ โosi;
c) povrลกinu odsjeฤka dobijene prave i osa koordinatnog sistema.
Rjeลกenje:
a) ๐ = 4 ๐ = โ๐ + 5
} โน โ๐ + 5 = 4 โน ๐ = 5 โ 4 โน ๐ = 1
b) โ๐
๐= โ
โ๐+5
๐โ2=โ๐=1
โโ1+5
1โ2= โ
4
โ1= 4
c) ๐(๐ฅ) = โ๐ฅ + 4
๐ =4 โ 4
2โน ๐ = 8
โ odsjeฤak koji prava gradi sa
koordinatnim osama je
jednakokraki - pravougli
trougao sa duลพinom katete 4,
pa je njegova povrลกina
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
154
13. Date su funkcije ๐(๐ฅ) = โ3๐ฅ + 1; ๐(๐ฅ) =4
3๐ฅ + 2
1
3 i โ(๐ฅ) = โ2๐ฅ + 7. Rijeลกiti jednaฤinu
๐ (โ(๐(๐ฅ))) = โโ(๐(๐ฅ)).
Rjeลกenje:
๐ (โ(๐(๐ฅ))) = ๐[โ2 โ (โ3๐ฅ + 1) + 7] = ๐(6๐ฅ + 5) =4
3โ (6๐ฅ + 5) + 2
1
3= 8๐ฅ + 9
โโ(๐(๐ฅ)) = โ [โ2(4
3๐ฅ + 2
1
3) + 7] = โ(โ
8
3๐ฅ โ
14
3+ 7) =
8
3๐ฅ โ
7
3
๐ (โ(๐(๐ฅ))) = โโ(๐(๐ฅ)) โ 8๐ฅ + 9 =8
3๐ฅ โ
7
3 โ ๐ฅ = โ2
1
8
14. Odrediti parametar ๐ funkcije ๐ฆ =4๐+3
7๐ฅ + 2, tako da grafik ove funkcije bude paralelan
sa grafikom funkcije ๐ = ๐(๐(๐ฅ)), ako je ๐ (2
5๐ฅ + 3) =
6
10๐ฅ + 3
1
2 i ๐(2๐ฅ โ 1) = โ4๐ฅ + 1.
Rjeลกenje:
Odredimo prvo oblik funkcije ๐ = ๐(๐(๐ฅ)).
Da bi smo odredili oblik funkcije ๐ treba da odredimo oblik funkcija ๐(๐ฅ) i ๐(๐ฅ).
๐ (2
5๐ฅ + 3) =
6
10๐ฅ + 3
1
2โ ๐ (
2
5โ (5
2๐ฅ โ
6
5) + 3) =
6
10โ (5
2๐ฅ โ
6
5) +
7
2 โ
โ ๐(๐ฅ โ 3 + 3) =3
2๐ฅ โ
18
25+7
2 โ ๐(๐ฅ) =
3
2๐ฅ +
139
50
๐(2๐ฅ โ 1) = โ4๐ฅ + 1 โ ๐ (2 โ (1
2๐ฅ +
1
2) โ 1) = โ4 โ (
1
2๐ฅ โ
1
2) + 1 โ
โ ๐(๐ฅ + 1 โ 1) = โ2๐ฅ + 2 + 1 โ ๐(๐ฅ) = โ2๐ฅ + 3
๐ = โ2 โ (3
2๐ฅ +
139
50) + 3 โน ๐ = โ3๐ฅ โ
139
50+ 3 โน ๐ = โ3๐ฅ +
11
50
Da bi grafici funkcija bili paralelni mora vrijediti ๐1 = ๐2 pa ฤemo imati:
๐1 =4๐ + 3
7๐2 = โ3
} โน4๐ + 3
7= โ3 โ ๐ = โ6
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
155
15. Za koje se vrijednosti parametra ๐ prave ๐ฅ + (4๐ โ 1)๐ฆ + 2๐ + 2 = 0 i
(2๐ โ 1)๐ฅ + (2๐ + 1)๐ฆ + ๐ โ 3 = 0 sijeku na ๐๐ฆ osi?
Rjeลกenje:
Iz obje jednaฤine izrazimo ๐ฆ za ๐ฅ = 0
๐ฆ = โ2๐ + 2
4๐ โ 1
๐ฆ = โ๐ โ 3
2๐ + 1
} โน โ2๐ + 2
4๐ โ 1= โ
๐ โ 3
2๐ + 1 โน ๐ =
1
19
16. Zadana je prava jednaฤinom 4๐ฅ + 3๐ฆ โ 6 = 0. Kolika je udaljenost koordinantnog
poฤetka od te prave?
Rjeลกenje:
Prava sijeฤe koordinantne ose u taฤkama ๐ด(0, 2) i ๐ต (3
2, 0). Traลพena udaljenost ๐ฅ je visina iz
vrha ๐ pravouglog trougla ๐ด๐ต๐.
Primjenom Pitagorine teoreme je ๐ด๐ตยฒ = ๐๐ด2 + ๐๐ต2 โน ๐ด๐ตยฒ = 22 + (3
2)2
โน ๐ด๐ต = 2.5
Izjednaฤavanjem povrลกina dobijamo
1
2โ OA โ OB =
1
2๐ด๐ต โ ๐ฅ โน
1
2โ 2 โ
3
2=1
2โ 2.5 โ ๐ฅ โน ๐ฅ =
6
5
17. Nacrtati grafik funkcije ๐ฆ = |๐ฅ + 1| โ ๐ฅ. Rjeลกenje:
๐ฆ = {๐ฅ + 1 โ ๐ฅ = 1 , za ๐ฅ + 1 โฅ 0 , tj. ๐ฅ โฅ โ1โ๐ฅ โ 1 โ ๐ฅ = โ2๐ฅ โ 1, za ๐ฅ + 1 < 0 , tj. ๐ฅ < โ1
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
156
Treba nacrtati funkcije ๐ฆ = 1 , za ๐ฅ โฅ 1 i ๐ฆ = โ2๐ฅ โ 1, za ๐ฅ < โ1
18. Odredi obim i povrลกinu trougla kojeg grafik funkcije ๐ฆ =3
4๐ฅ + 3 gradi sa koordinatnim
osama.
Rjeลกenje:
19. Izraฤunaj povrลกinu kvadrata ฤije dvije stranice leลพe na pravcima ๐ฅ + ๐ฆ โ 5 = 0 i
๐ฅ + ๐ฆ + 5 = 0.
Rjeลกenje:
๐ = 50๐๐2
๐ = 4, ๐ = 3 โน ๐2 = ๐2 + ๐2 โน ๐ = 5
๐ = 12
๐ =4 โ 3
2 โน ๐ = 6
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
157
20. Odrediti vrijednost parametra ๐ tako da funkcija ๐ฆ =๐โ2
3โ๐ ๐ฅ + ๐ bude rastuฤa!
Rjeลกenje:
Da bi funkcija bila rastuฤa mora biti koeficijent pravca veฤi od nule, u naลกem sliฤaju treba
biti ๐โ2
3โ๐> 0
Trebamo posmatrati dva sluฤaja:
I sluฤaj: ๐ โ 2 > 0 i 3 โ ๐ >0
๐ > 2 i ๐ < 3
Kada izvrลกimo presjek rjeลกenja ove dvije nejednaฤine dobijemo da je rjeลกenje ๐ โ (2, 3)
II sluฤaj : ๐ โ 2 < 0 i 3 โ ๐ < 0
๐ < 2 i ๐ > 3
U ovom sluฤaju rjeลกenja nejednaฤina se ne sijeku pa nemaju zajedniฤkih rjeลกenja ลกto
moลพemo zapisati i na naฤin ๐ โ {โ }.
Dakle, rjeลกenje je ๐ โ (2, 3).
21. Data je funkcija ๐ฆ = (4๐ โ 3)๐ฅ โ ๐. Naฤi vrijednost parametra ๐ tako da grafik funkcije
prolazi taฤkom ๐ด(3,2). Nacrtaj grafik te funkcije i odredi nulu.
Rjeลกenje:
๐ฆ = (4๐ โ 3)๐ฅ โ ๐
2 = (4๐ โ 3) โ 3 โ ๐ โน ๐ = 1
๐ฆ = (4 โ 1 โ 3)๐ฅ โ 1 โน ๐ฆ = ๐ฅ โ 1
Nula funkcije: โ๐
๐= โ
โ1
1 โน โ
๐
๐= 1
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
158
22. Date su funkcije ๐(๐ฅ) =๐ฅ
2โ 3 i ๐(๐ฅ) =
๐ฅโ1
4. Rijeลกi jednaฤinu ๐[๐(๐ฅ)] = ๐[๐(๐ฅ)].
Rjeลกenje:
๐[๐(๐ฅ)] =(๐ฅ2 โ 3) โ 1
4=
๐ฅ โ 62 โ 1
4=
๐ฅ โ 824
=๐ฅ โ 8
8
๐[๐(๐ฅ)] =
๐ฅ2 โ 3
2โ 3 =
๐ฅ โ 622
โ 3 =๐ฅ โ 6
4โ 3 }
โน ๐ฅ โ 8
8=๐ฅ โ 6
4โ 3 โน ๐ฅ = 28
23. Date su funkcije ๐(๐ฅ) = 3๐ฅ โ 1, ๐(๐ฅ) = โ2
3๐ฅ + 1
1
3 i โ(๐ฅ) = โ
2
3๐ฅ โ 1. Odredi
udaljenost izmeฤu grafika funkcije ๐ฆ = ๐(๐(๐ฅ)) i funkcije ๐ = ๐(โ(๐ฅ)).
Rjeลกenje:
๐ฆ = โ2๐ฅ + 2; ๐ = โ2๐ฅ โ 4
๐ โ udaljenost izmeฤu zadatih pravaca
๐ = ๐ + ๐
ฮ๐ด๐ต๐: ๐ด๐ต2 = ๐๐ต2 + ๐๐ด2 โน ๐ด๐ต = โ5 ฮ๐ถ๐ท๐: ๐ถ๐ท2 = ๐๐ถ2 + ๐๐ท2 โน ๐ถ๐ท = 2โ5
๐ =๐๐ต โ ๐๐ด
2 โน ๐ = 1 ๐ =
๐๐ถ โ ๐๐ท
2 โน ๐ = 4
๐ =๐ด๐ต โ ๐
2 โน ๐ =
2โ5
5 ๐ =
๐ถ๐ท โ ๐
2 โน ๐ =
4โ5
5
๐ = ๐ + ๐ โน ๐ =2โ5
5+4โ5
5 โน ๐ =
6โ5
5โ 2.68
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
159
Jednadลพbe
1. Tri radnika radeฤi zajedno urade jedan posao za 2 dana. Prvi i drugi radnik zajedno urade
isti posao za tri dana, a drugi i treฤi radnik zajedno za 4 dana. Za koje vrijeme bi svaki od njih
sam uradio taj posao?
Rjeลกenje:
Neka je prvi radnik uradio posao za ๐ฅ dana, drugi za ๐ฆ dana a treฤi za ๐ง dana. Za jedan dan
sami urade prvi 1
๐ฅ posla, drugi
1
๐ฆ posla, a treฤi
1
๐ง. Zajedno urade za jedan dan
1
๐ฅ+1
๐ฆ+1
๐ง=1
2. Na
osnovu teksta zadatka imamo joลก 1
๐ฅ+1
๐ฆ=1
3 i 1
๐ฆ+1
๐ง=1
4.
1
๐ฅ+1
๐ฆ+1
๐ง=1
21
๐ฅ+1
๐ฆ=1
3
}
โน ๐ง = 6
1
๐ฅ+1
๐ฆ+1
๐ง=1
21
๐ฆ+1
๐ง=1
4
}
โน ๐ฅ = 4
Na kraju dobijamo da je i 1
๐ฆ=
1
12 โน ๐ฆ = 12. Dakle, prvi radnik bi sam uradio posao za 4
dana, drugi za 12 dana a treฤi radnik za 6 dana.
2. Cifra jedinica trocifrenog broja je 3. Preselimo li je na mjesto stotica (a ostale dvije cifre
samo pomaknemo udesno), tada ฤe se stari broj prema novome odnositi kao 3: 4. Koji su to
brojevi?
Rjeลกenje:
Oznaฤimo li s ๐ฅ dvocifreni dio broja na mjestu stotica i desetica, naลก je broj 10๐ฅ + 3.
Pomicanjem cifre 3 na mjesto stotica dolazimo do broja 300 + ๐ฅ. Jednaฤina glasi (10๐ฅ + 3): ( 300 + ๐ฅ) = 3: 4 โน ๐ฅ = 24. Dakle, traลพeni brojevi su 243 i 342.
3. Dvocifreni broj ima cifru desetica 3 puta veฤu od cifre jedinica. Oduzmemo li od njega
broj 18, dobit ฤemo broj zamijenjenih cifara. Koji je to broj?
Rjeลกenje:
๐ = 3๐ 30๐ + ๐ โ 18 = 10๐ + 3๐
18๐ = 18 ๐ = 1, ๐ = 3 Traลพeni broj je 31.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
160
4. Dodamo li proizvodu dva priroda brojeva njihov zbir dobit ฤemo 14. Koji su to brojevi?
Rjeลกenje:
Traลพene brojeve oznaฤimo sa ๐ฅ, ๐ฆ. Iz teksta zadatka zakljuฤujemo da mora vrijediti
๐ฅ๐ฆ + ๐ฅ + ๐ฆ = 14 โน ๐ฆ =14โ๐ฅ
๐ฅ+1. Za ๐ฅ uzmemo bilo koji prirodan broj, a pripadni ๐ฆ
izraฤunamo iz dobivenog izraza. Meฤutim, jasno je da za ๐ฅ neฤemo uzimati redom baลก sve
moguฤe prirodne brojeve ( jer njih ima beskonaฤno mnogo ), pa prouฤimo malo taj izraz da
vidimo u kojim granicama ฤemo izabrati ๐ฅ. Iz brojnika 14 โ ๐ฅ zakljuฤujemo da ๐ฅ ne moลพe
biti veฤi od 14 jer tada brojnik postaje negativan, nazivnik pozitivan, ลกto znaฤi da bi ๐ฆ bio
negativan, a to ne moลพe biti jer ๐ฆ mora biti prirodan broj. Dakle, ๐ฅ mora biti manji od 14.
Redom navedi sve brojeve od 1 do 14, izraฤunaj pripadne ๐ฆ i ispiลกi samo ona rjeลกenja u
kojima su oba broja prirodna. Rjeลกenje su brojevi 2 i 4.
5. Rijeลกi jednadลพbu 2 {2๐ฅ โ [1
4๐ฅ โ
1
18(16 โ
1
2(๐ฅ + 4))]} โ
1
2(๐ฅ โ 2) = 4๐ฅ โ
2
3(๐ฅ + 2).
Rjeลกenje:
2 {2๐ฅ โ [1
4๐ฅ โ
1
18(16 โ
1
2(๐ฅ + 4))]} โ
1
2(๐ฅ โ 2) = 4๐ฅ โ
2
3(๐ฅ + 2) โบ ๐ฅ = 10
6. Odrediti vrijednost izraza ๐ด =4๐2โ4๐+1
2๐โ1 ako je ๐ rjeลกenje jednadลพbe
2๐ โ1
2[3 โ ๐ (
1
4+ 2๐)] +
23
4= ๐2.
Rjeลกenje:
Rjeลกavanjem jednadลพbe 2๐ โ1
2[3 โ ๐ (
1
4+ 2๐)] +
23
4= ๐2 โน ๐ = โ2, pa je vrijednost
izraza ๐ด =4๐2โ4๐+1
2๐โ1= โ5.
7. Otac je svojim sinovima ostavio u nasljedstvo 160000๐พ๐, sa ลพeljom da taj iznos podijele
na jednake dijelove. No, jedan od sinova je odustao od svog dijela pa se ostalim sinovima
nasljedstvo poveฤalo za 8000๐พ๐. Koliko je otac imao sinova?
Rjeลกenje:
Neka je ๐ broj sinova i neka je svaki od njih trebao dobiti po ๐ฅ๐พ๐. Tada vrijedi jednadลพba
๐ โ ๐ฅ = 160000
Kako je jedan sin odustao, nasljedstvo se dijeli izmeฤu (๐ โ 1) sinova, a svaki od njih dobija
(๐ฅ + 8000) ๐พ๐. Zato vrijedi jednadลพba (๐โ 1) โ (๐ฅ + 8000) = 160000. Dalje je
(๐โ 1) โ (๐ฅ + 8000) = ๐ โ ๐ฅ โน ๐ฅ = 8000๐ โ 8000.
(๐โ 1) โ (๐ฅ + 8000) = 160000
๐ฅ = 8000๐ โ 8000 } โน ๐2 โ ๐ โ 20 = 0 โบ (๐ โ 5)(๐ + 4) = 20
๐1 = 5 โจ ๐2 = โ4
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
161
Kako negativno rjeลกenje nema smisla zakljuฤujemo da je otac imao petoricu sinova.
8. Jedan nastavnik matematike je doveo na opลกtinsko takmiฤenje ฤetiri svoja uฤenika. Na
pitanje koliko ima ukupno uฤenika kojima predaje matematiku, on je odgovorio:
โNa ลกkolskom takmiฤenju je uฤestvovala jedna treฤina onih kojima predajem, a na ovo
takmiฤenje sam doveo jednu petnaestinu od mojih uฤenika koji su uฤestvovali na ลกkolskom
takmiฤenjuโ. Odredi broj uฤenika kojima predaje ovaj nastavnik.
Rjeลกenje:
1
15โ1
3๐ฅ = 4 โน ๐ฅ = 180
9. U jednadลพbi (๐ โ 3)๐ฅ + (๐ + 1)(3 โ ๐ฅ) = ๐ + ๐ฅ โ 7 odrediti ๐ ako se zna da je data
jednaฤina ekvivalentna jednadลพbi
๐ฅ โ 5
3โ๐ฅ โ 2
2= ๐ฅ โ 3
Rjeลกenje:
Rjeลกavanjem druge jednadลพbe dobijamo da je ๐ฅ = 2 i uvrลกtavanjem u prvu jednadลพbu
dobijamo da je ๐ = 0.
10. Grupa djeฤaka i djevojฤica sakupila je 170๐พ๐ za roฤendanski poklon svom drugu.
Djevojฤice su davale po 20๐พ๐, a djeฤaci po 30๐พ๐. Koliko je bilo djeฤaka, a koliko
djevojฤica ako je grupa imala neparan broj ฤlanova?
Rjeลกenje:
Oznaฤimo sa ๐ฅ broj djeฤaka a sa ๐ฆ broj djevojฤiva u ovoj grupi. Tada je prema uslovima
zadatka 20๐ฅ + 30๐ฆ = 170 ili 2๐ฅ + 3๐ฆ = 17. Brojevi ๐ฅ i ๐ฆ su prirodni pa vrijedi ๐ฅ โค 7 i
๐ฆ โค 5. Kako je 2๐ฅ paran to 3๐ฆ mora biti neparan, odnosno ๐ฆ neparan pa je ๐ฆ โ {1,3,5}. Grupa
je imala neparan broj ฤlanova ลกto znaฤi da je imala 4 djevojฤice i 3 djeฤaka.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
162
11. Odredi sve parove cijelih brojeva (๐ฅ, ๐ฆ) koji zadovoljavaju jednadลพbu
๐ฅ๐ฆ + 3๐ฆ = ๐ฅ2 + 6๐ฅ + 12.
Rjeลกenje:
Zadana jednaฤina moลพe se pojednostavniti i zapisati u obliku
๐ฆ โ (๐ฅ + 3) = (๐ฅ + 3) 2 + 3 โน ๐ฆ =(๐ฅ + 3)2 + 3
๐ฅ + 3 โน ๐ฆ = ๐ฅ + 3 +
3
๐ฅ + 3
Razlomak 3
๐ฅ+3โ โค โน ๐ฅ + 3 โ {โ6,โ4,โ2, 0}. Za ovako odreฤene vrijednosti promjenljive
๐ฅ, promjenljiva ๐ฆ ฤe pripadati slijedeฤem skupu {โ4, 4}, pa su rjeลกenja jednaฤine ureฤeni
parovi (โ4,โ4), (โ2, 4), (0, 4) i (โ6,โ4).
12. U jednadลพbi 3 โ (๐ฅ โ 4๐) โ 2๐ = 3 โ (2๐ฅ โ 3) + 1 broj ๐ je realan parametar. Odrediti
sve vrijednosti tog parametra za koje je rjeลกenje jednadลพbe veฤe od โ2.
Rjeลกenje:
Rjeลกenje date jednadลพbe je ๐ฅ =8โ14๐
3. To rjeลกenje je veฤe od โ2 ako je
8โ14๐
3> โ2 โน ๐ < 1.
Prema tome, ๐ โ (โโ, 1).
13. Odredi rjeลกenje jednadลพbe |๐ฅ โ |๐ฅ โ |๐ฅ||| = 2008.
Rjeลกenje:
Za ๐ฅ โฅ 0, dobijamo |๐ฅ โ |๐ฅ โ |๐ฅ||| = |๐ฅ โ |๐ฅ โ ๐ฅ|| = |๐ฅ| = 2008 pa je ๐ฅ = 2008 jedno
rjeลกenje.
Za ๐ฅ < 0, dobijamo|๐ฅ โ |๐ฅ โ |๐ฅ||| = |๐ฅ โ |๐ฅ + ๐ฅ|| = |๐ฅ + 2๐ฅ| = โ3๐ฅ, pa je ๐ฅ = โ2008
3 joลก
jedno rjeลกenje jednadลพbe.
14. Rijeลกi jednadลพbu |๐ฅ + |2๐ฅ + |4๐ฅ||| = 2009.
Rjeลกenje:
Za ๐ฅ โฅ 0 imamo |๐ฅ + |2๐ฅ + |4๐ฅ||| = |๐ฅ + 6๐ฅ| = 7๐ฅ = 2009, odakle je ๐ฅ = 287.
Za ๐ฅ < 0 imamo |๐ฅ + |2๐ฅ + |4๐ฅ||| = |๐ฅ โ 2๐ฅ| = โ๐ฅ = 2009, odakle je ๐ฅ = โ2009.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
163
15. Tri vjeverice ukupno su sakupile 58 ljeลกnjaka. Kada prva pojede polovinu, druga treฤinu,
a treฤa ฤetvrtinu svojih ljeลกnjaka ostaje im isti broj ljeลกnjaka. Koliko je svaka od njih sakpuila
ljeลกnjaka?
Rjeลกenje:
prva vjeverica: ๐ฅ
2โ ostalo ljeลกnjaka
druga vjeverica: 2๐ฅ
3โ ostalo ljeลกnjaka
treฤa vjeverica: 3๐ฅ
4โ ostalo ljeลกnjaka
๐ฅ
2=2๐ฅ
3=3๐ฅ
4 / โ 12
6๐ฅ = 8๐ฆ = 9๐ง = ๐ โน ๐ฅ =๐
6; ๐ฆ =
๐
8; ๐ง =
๐
9
๐
6+๐
8+๐
9= 58 / โ 72
12๐ + 9๐ + 8๐ = 58 โ 72
29๐ = 58 โ 72
๐ =58โ 72
29 โน ๐ = 144
Dakle, prva vjeverica je sakupila 24, druga vjeverica 18, a treฤa vjeverica je sakupila 16
ljeลกnjaka
16. Rijeลกiti jednadลพbu (3๐ฅ โ 5)2 โ (2๐ฅ + 3)2 โ (๐ฅ โ 2)(5๐ฅ + 2) = 122.
Rjeลกenje:
(3๐ฅ โ 5)2 โ (2๐ฅ + 3)2 โ (๐ฅ โ 2)(5๐ฅ + 2) = 122
9๐ฅ2 โ 30๐ฅ + 25 โ 4๐ฅ2 โ 12๐ฅ โ 9 โ 5๐ฅ2 + 8๐ฅ + 4 = 122
โ34๐ฅ = 102
๐ฅ = โ3
17. Rijeลกiti jednadลพbu 1+3+5+7+โฏ+2009+2011
2+4+6+8+โฏ+2010+2012=
๐ฅ
2014.
Rjeลกenje:
Zbir prvih ๐ parnih brojeva:
2 + 4 + 6 + 8 +โฏ+ (2๐ โ 2) + 2๐ = 2(1 + 2 + 3 + 4 +โฏ+ (๐ โ 1) + ๐) =
= 2((๐ + 1) + (๐ + 1) + (๐ + 1) + โฏ) = 2 โ ๐ โ (๐ + 1)
2= ๐(๐ + ๐)
Zbir prvih ๐ neparnih brojeva:
3 + 5 + 7 + 9 +โฏ+ (2๐ โ 3) + (2๐ โ 1) =
= (2 โ 1 โ 1) + (2 โ 2 โ 1) + (2 โ 3 โ 1) + โฏ+ (2๐ โ 1) =
= (2 โ 1 + 2 โ 2 + 2 โ 3 + โฏ+ 2 โ ๐) โ 1 โ 1 โ 1 โโฏโ 1 =
= 2 โ (1 + 2 + 3 +โฏ+ ๐) โ (1 + 1 + 1 +โฏ+ 1) = 2 โ ๐ โ (๐ + 1)
2โ ๐ = ๐๐
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
164
Kako imamo 2012 sabiraka to ฤe vrijediti ๐ =2012
2= 1006
1 + 3 + 5 + 7 +โฏ+ 2009 + 2011
2 + 4 + 6 + 8 +โฏ+ 2010 + 2012=
๐ฅ
2014 โน
๐2
๐(๐ + 1)=
๐ฅ
2014
10062
1006(1006 + 1)=
๐ฅ
2014 โ
1006
1007=
๐ฅ
2014โ ๐ฅ = 2012
18. U jednom razredu sprovedena je anketa u kojoj je uฤestvovalo 20040 uฤenika koji uฤe ili
engleski ili njemaฤki jezik (taฤno jedan od njih). Od uฤenika koji uฤe engleski jezik, iz
nepoznatih razloga, 20% je izjavilo da uฤi njemaฤki, i sliฤno, 20% uฤenika koji uฤe njemaฤki
u anketi je izjavilo da uฤe engleski. Po ovoj anketi 40% uฤenika u ovom gradu je izjavilo da
uฤi njemaฤki jezik. Koliko uฤenika u ovom gradu uฤi engleski?
Rjeลกenje:
Sa ๐ฅ oznaฤimo broj uฤenika koji uฤe engleski, pa je tada 20040 โ ๐ฅ broj uฤenika koji uฤe
njemaฤki
20% uฤenika koji uฤe njemaฤki od onih koji uฤe i engleski oznaฤit ฤemo sa 20
100๐ฅ pa ฤemo
imati jednadลพbu: 20
100๐ฅ +
80
100(20040 โ ๐ฅ)โ
ostatak od ostalihuฤenika koji uฤenjemaฤki jezik
=40
100โ 20040
Nakon rjeลกavanja gornje jednadลพbe dobit ฤemo ๐ฅ = 13360
19. Od svih uฤenika jedne ลกkole 174 nisu iลกli na izlet, a ostali su otputovali u 18 jednakih
autobusa, pri ฤemu je u svaki uลกlo 5 uฤenika viลกe nego ลกto je u autobusu bilo sjediลกta. Da je u
svaki autobus uลกlo onoliko uฤenika koliko je u njemu sjediลกta, bilo bi potrebno joลก tri
autobusa ali bi u jednom od njih ostalo 6 praznih sjediลกta.
Koliko u ovoj ลกkoli ima uฤenika?
Rjeลกenje:
๐ฅ โ broj sjediลกta u autobusu
18 (๐ฅ + 5) = 21๐ฅ โ 6 18๐ฅ + 90 = 21๐ฅ โ 6
โ3๐ฅ = โ6 โ 90 / : (โ 3) ๐ฅ = 32 32 + 5 = 37 18 ยท 37 = 666 โ broj uฤenika koji je iลกao na izlet
666 + 174 = 840 โ ukupan broj uฤenika.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
165
20. Rijeลกi jednadลพbu 10101 โ (5
111111โ
2
3โ 7โ 11โ 13โ 37+
5
2002โ ๐ฅ) =
7
22.
Rjeลกenje:
Rastavimo brojeve 10101, 111111, 2002 i 22 na proste faktore.
10101 = 3 โ 7 โ 13 โ 37,
111111 = 111000 + 111 = 111 โ (1000 + 1) = 111 โ 1001 = 3 โ 37 โ 11 โ 7 โ 13,
2002 = 2 โ 1001 = 2 โ 11 โ 7 โ 13,
22 = 2 โ 11.
Sada naลกu jednadลพbu moลพemo napisati ovako:
3 โ 7 โ 13 โ 37 โ (5
3 โ 7 โ 11 โ 13 โ 37โ
2
3 โ 7 โ 11 โ 13 โ 37+
5
2 โ 7 โ 11 โ 13 โ ๐ฅ) =
7
2 โ 11
3 โ 7 โ 13 โ 37 โ (3
3 โ 7 โ 11 โ 13 โ 37+
5
2 โ 7 โ 11 โ 13 โ ๐ฅ) =
7
2 โ 11
3
11+3 โ 5 โ 37
2 โ 11 โ ๐ฅ=
7
2 โ 11 โน 6๐ฅ + 555 = 7๐ฅ โน โ๐ฅ = โ555 โน ๐ฅ = 555
21. Odrediti par prirodnih brojeva ฤiji je zbir 30, a zbir njihovog koliฤnika i broja 198
223 je
jednak 2005
2007.
Rjeลกenje:
Oznaฤimo jedan od tih brojeva sa ๐ i neka je 30โ๐
๐+198
223=2005
207.
30 โ ๐
๐+198
223=2005
207 โน ๐ = 27
Traลพeni brojevi su 3 i 27.
22. Rijeลกiti i diskutovati rjeลกenje jednadลพbe 1 โ ๐ฅ โ 5๐ + 5๐๐ฅ = 0 gdje je ๐ realan
parametar.
Rjeลกenje:
1 โ ๐ฅ โ 5๐ + 5๐๐ฅ = 0
5๐๐ฅ โ ๐ฅ = 5๐ โ 1
(5๐ โ 1)๐ฅ = 5๐ โ 1
1. sluฤaj: Za 5๐ โ 1 โ 0, ๐ โ 5
1, jednadลพba ima jedno rjeลกenje ๐ฅ =
15
15
a
a= 1
2. sluฤaj: Za 5๐ โ 1 = 0, ๐ =5
1, imamo 0๐ฅ = 0, bezbroj rjeลกenja.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
166
23. Ako pravougaoniku smanjimo jednu stranicu za 4๐๐ dobit ฤemo kvadrat, ฤija je povrลกina
za 28๐๐ยฒ manja od pravougaonikove. Kolika je povrลกina dobijenog kvadrata?
Rjeลกenje:
๐ ยท 4 = 28 ๐ = ๐ยฒ
๐ = 28: 4 ๐ = 7ยฒ
๐ = 7 ๐๐ ๐ = 49 ๐๐ยฒ
24. Svjeลพa trava sadrลพi 80% vode, a sijeno svega 20%. Koliko treba svjeลพe trave da bi se
dobila 1 tona sijena ?
Rjeลกenje:
Tona sijena sadrลพi 200๐๐ vode i 800๐๐ suhe materije. Tih 800๐๐ su samo 20% u svjeลพoj
travi. Dakle potrebno je 5 โ 800 = 4000๐๐ = 4๐ก svjeลพe trave.
25. Dva radnika mogu da zavrลกe neki posao za 24 dana. Poslije zajedniฤkog rada od 10 dana,
jedan radnik se razbolio, pa je drugi sam nastavio i dovrลกio taj posao za sledeฤih 35 dana. Za
koliko bi dana zavrลกio taj posao svaki od njih ako bi radio sve sam ?
Rjeลกenje:
Radeฤi sve sam prvi radnik uradio bi za ๐ฅ dana, a drugi za ๐ฆ dana. 1
๐ฅ prvi radnik za jedan dan uradi
1
๐ฆ drugi radnik za jedan dan uradi
1
๐ฅ +1
๐ฆ=
1
24 oba radnika za jedan dan urade
10 dana prvi radnik radio na cijelom poslu
10 + 35 = 45 dana drugi radnik radio na cijelom poslu
Na osnovu ovoga imamo: 1
๐ฅ +1
๐ฆ=
1
24 jednadลพbu mnoลพimo sa 24๐ฅ๐ฆ
10
๐ฅ +45
๐ฆ= 1 jednadลพbu mnoลพimo sa ๐ฅ๐ฆ
Dobili smo:
10๐ฆ + 45๐ฅ = ๐ฅ๐ฆ
24๐ฆ + 24๐ฅ = ๐ฅ๐ฆ
Desne strane jednake, te su i lijeve jednake: 10๐ฆ + 45๐ฅ = 24๐ฆ + 24๐ฅ, slijedi
21๐ฅ = 14๐ฆ, ๐ฅ = 2
3โ ๐ฆ
Uvrstimo ๐ฅ = 2
3โ ๐ฆ u
10
๐ฅ +45
๐ฆ= 1 i dobijemo ๐ฆ = 60, a ๐ฅ = 40
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
167
26. Amra ima 10๐พ๐ manje od Azre, a 30๐พ๐ manje od Adne. Ako bi Azra i Adna poklonile
Amri po 100๐พ๐ , onda bi Azra imala 3 puta manje novca nego ลกto ima Adna. Koliko novca
ima Azra?
Rjeลกenje:
Amra Azra Adna
๐ฅ ๐ฅ + 10 ๐ฅ + 30
๐ฅ + 200 ๐ฅ + 10 โ 100 ๐ฅ + 30 โ 100
๐ฅ โ 90 =1
3(๐ฅ โ 70)
Rjeลกavanjem date jednadลพbe dobijamo: ๐ฅ = 100 odnosno da Azra ima 110๐พ๐.
27. Bomboni se dijele jednako na 20 djece. Kada bi bio jedan bombon viลกe i jedno dijete viลกe,
svaki bi dobio bombon manje. Koliko bombona je dijeljeno?
Rjeลกenje:
Neka je ๐ฅ broj bombona koje se dijele. Imamo:
๐ฅ + 1
20 + 1=๐ฅ
20โ 1
20๐ฅ + 20 = 21๐ฅ โ 420
๐ฅ = 440
28. Otac, majka, sin i kฤerka imaju zajedno 111 godina, majka i sin imaju 1 godinu viลกe od
oca i kฤerke, otac je ฤetiri puta stariji od kฤerke, a prije godinu dana majka je bila ฤetiri puta
starija od kฤerke. Odredi starost svakog ฤlana obitelji.
Rjeลกenje:
Neka su ๐, ๐, ๐, ๐ redom godine oca, majke, sina i kฤerke. Na osnovu gornjih uvjeta
dobivamo sljedeฤi sistem jednadลพbi:
๐ + ๐ + ๐ + ๐ = 111
๐ + ๐ โ 1 = ๐ + ๐
๐ = 4๐
๐ โ 1 = 4(๐ โ 1)
Lagano se odredi da je ๐ + ๐ = 55, odnosno 4๐ + ๐ = 55 ili ๐ = 11, ๐ = 44. Direktnim
uvrลกtavanjem u ฤetvrtu jednadลพbu dobivamo ๐ = 41 pa je ๐ = 15. Otac ima 44 godine, majka
41, sin 15 a kฤerka 11 godina.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
168
29. Dokaลพi da je rjeลกenje jednadลพbe ๐ฅ2 + โ3 = โ4 + 2โ3 racionalno.
Rjeลกenje:
๐ฅ = ยฑ1
30. Rijeลกiti jednadลพbu
๐ฅ โ 38 + ๐ฅ โ 3
9 + ๐ฅ โ 1
10=
๐ฅ + 311 + ๐ฅ + 3
12 + ๐ฅ + 7
14
Rjeลกenje:
๐ฅ โ 38 + ๐ฅ โ 3
9 + ๐ฅ โ 1
10=
๐ฅ + 311 + ๐ฅ + 3
12 + ๐ฅ + 7
14 โบ
9๐ฅ โ 11
80=112๐ฅ + 80
154 โบ ๐ฅ = 19
31. Nakon poskupljenja od 20% i pojeftinjenja od 10%, cijena neke knjige iznosi 162๐พ๐.
Kolika je bila cjena knjige prije poskupljenja?
Rjeลกenje:
Neka je cjena prije poskupljena ๐ฅ. Prema uslovu zadatka imamo:
๐ฅ + 2
10 ๐ฅ โ
1
10(๐ฅ +
2
10 ๐ฅ) = 162 โบ ๐ฅ = 150
Cijena knjige prije poskupljenja je bila 150๐พ๐.
32. Koliko uฤenika ima u odjeljenju ako je bilo 5 odliฤnih, treฤina vrlodobrih, 40% dobrih ,
10% dovoljnih, a nedovoljnih nije bilo?
Rjeลกenje:
5 +1
3 ๐ฅ +
40
100๐ฅ +
10
100 ๐ฅ = ๐ฅ โบ ๐ฅ = 30
33. Razlika kvadrata dva uzastopna neparna broja je 48. Koji su to brojevi?
Rjeลกenje:
๐ฅ2 โ ๐ฆ2=48
๐ฅ = 2๐ โ 1
๐ฆ = 2๐ โ 3
(2๐ โ 1)2 โ (2๐ โ 3)2 = 48
8๐ = 56 โน ๐ = 7 โง ๐ฅ = 2 โ 7 โ 1 โน ๐ฅ = 13
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
169
34. Ivice kvadra su 4๐๐, 6๐๐ i 9๐๐. Izraฤunaj povrลกinu kocke ฤija je zapremina jednaka
zapremini vadra.
Rjeลกenje:
๐ = 4๐๐
๐ = 6๐๐
๐ = 9๐๐
๐ = ๐ โ ๐ โ ๐ = 216๐๐3
๐๐๐ฃ๐๐๐๐ = ๐๐๐๐๐๐ โน ๐๐๐๐๐๐ = 216๐๐3 โน ๐3 = 216 โน ๐ = โ216
3โน ๐ = 6
๐ = 6๐2 โน ๐ = 216๐๐2
35. Maฤka i po za jedan dan i po, ulovi miลกa i po. Koliko miลกeva ulovi 9 maฤaka za 9 dana?
Rjeลกenje:
1.5๐ 1.5๐ 1.5๐ ๐ โ maฤke
9๐ 9๐ ๐ ๐ โ miลกevi
45๐ 1.5๐ 1.5๐
9๐ 1.5๐ ๐
1.5 โถ 9 = 1.5 โถ ๐
๐ = 9
9๐ 1.5๐ 9๐
9๐ 9๐ ๐
1.5 โถ 9 = 9 โถ ๐
1.5๐ = 81
๐ = 54 miลกa
36. Koja dva broja imaju jednak proizvod, koliฤnik i razliku?
Rjeลกenje:
๐๐ =๐
๐= ๐ โ ๐
๐๐ =๐
๐
๐๐2 = ๐ โน ๐2 = 1 โน ๐ = ยฑ1
Za ๐ = 1 โน ๐ โ 1 = ๐ โ 1 โน ๐ = ๐ โ 1 โน 0 = 1 ลกto nije taฤno pa za ๐ = 1 ne postoji
broj ๐ za koji vrijedi da im je proizvod, koliฤnik i razlika jednak
Za ๐ = โ1 โน โ๐ = ๐ + 1 โน โ2๐ = 1 โน ๐ = โ1
2
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
170
37. Brojilac razlomka 23
42 treba uveฤati, a imenilac smanjiti za isti broj ๐ฅ tako da se dobije
7
6.
Odredi broj ๐ฅ.
Rjeลกenje:
๐ฅ = 12
38. Koji broj treba oduzeti od brojnika i dodati nazivniku razlomka 11
43 da bi se dobio
racionalan broj โ1
2? Provjeri.
Rjeลกenje:
๐ฅ = 65
39. Obim pravougaonika iznosi 26๐๐, a jedna stranica je za 5๐๐ duลพa od druge. Koliki je
obim kvadrata koji ima povrลกinu jednaku datog pravougaonika?
Rjeลกenje:
๐ = 26๐๐
2๐ + 2๐ = 26๐๐
๐ = ๐ + 5๐๐
2(๐ + 5๐๐) + 2๐ = 26๐๐ ๐๐ = ๐ โ ๐
2๐ + 10๐๐ + 2๐ = 26๐๐ ๐๐ = 36๐๐2
4๐ = 16 ๐๐ = ๐๐
๐ = 4๐๐ ๐๐ = 36๐๐2
๐ = ๐ + 5๐๐ ๐2 = 36
๐ = 9๐๐ ๐ = 6๐๐
๐ = 4 โ ๐
๐ = 24๐๐
40. Ako se stranica kvadrata smanji za 4๐๐ i njegova povrลกina se smanji za 80๐๐2. Odredi
duลพinu stranice kvadrata.
Rjeลกenje:
๐ โ stranica kvadrata โน ๐ = ๐2 ๐ โ 4 โ stranica novog kvadrata โน ๐ = (๐ โ 4)2
} โน ๐2 โ 80 = (๐ โ 4)2
๐ = 12
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
171
41. Ako na jednom broju obriลกemo cifru jedinica dobiti ฤemo broj koji je za 2010 manji od
polaznog. Koji je polazni broj?
Rjeลกenje:
Polazni broj je 2233.
42. Razlika kvadrata dva susjedna prirodna broja jednaka je zbiru tih brojeva. Koji su to
brojevi ako im je zbir 53?
Rjeลกenje:
๐ฅ2 โ (53 โ ๐ฅ)2 = 53 โบ ๐ฅ = 27
Traลพeni brojevi su: 27 i 53 โ 27 = 26. Dakle, dva susjedna prirodna broja su 26 i 27.
43.15. aprila 2006. jedna osoba puni toliko godina koliki je zbir cifara godine njenog
roฤenja. Koje godine je roฤena ta osoba ?
Rjeลกenje:
Neka je godina roฤenja te osobe ๐๐๐๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ . Po uslovu zadatka je ๐๐๐๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ + ๐ + ๐ + ๐ + ๐ = 2006,
tj. 1001๐ + 101๐ + 11๐ + 2๐ = 2006. Mora biti ๐ = 1 ili ๐ = 2. Ako je ๐ = 1, onda je
101๐ + 11๐ + 2๐ = 1005. Odavde je ๐ = 9, pa je 11๐ + 2๐ = 96. Provjerom se dobiva
๐ = 8, ๐ = 4. Dakle jedno rjeลกenje je 1984. Ako je ๐ = 2, onda je 101๐ + 11๐ + 2๐ = 4.
Slijedi da je ๐ = 0, ๐ = 0 i ๐ = 2. Drugo rjeลกenje je 2002.
44. Mersiha je krug polupreฤnika 2๐๐ podijelila na 3 kruลพna isjeฤka. Svaki isjeฤak je obojila
sa drugom bojom. Ustanovila je da je 25% kruga obojila u zeleno, 40% u ลพuto a ostatak
plavom bojom.
a) Koliko dm2 kruga je plave boje?
b) Koliki je srediลกnji ugao koji pripada ลพutom dijelu kruga?
c) Izraฤunaj duzinu kruznog luka zelenog dijela kruga.
Rjeลกenje:
a) ๐ = 2๐๐
๐ = r2๐ = 12.56๐๐2
Plava = 100% โ 25% โ 40%
Plava = 35%
Plava = 35
100โ 12.56
Plava = 4.396๐๐2
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
172
b) ฮฑ=?
360ยฐ 100%
๐ผ 40%
๐ผ: 360ยฐ = 40%: 100%
100๐ผ = 14400ยฐ
๐ผ = 144ยฐ
c)
2๐๐ 100%
๐ 25%
๐: 2๐๐ = 25%: 100%
100๐ = 2 โ 2๐๐ โ 3.14 โ 25
๐ = 3.14 ๐๐
45. Srednja vrijednost dvanaest brojeva je 4.7. Dodavanjem dva nova broja srednja vrijednost
se mijenja i jednaka je 5.6. Koja je srednja vrijednost dva nova broja?
Rjeลกenje:
Iz uvjeta zadatka moguฤe je zapisati jednakost ๐ฅ1 + ๐ฅ2 +โฏ+ ๐ฅ12 = 56.4.
Nakon dodavanja dva nova broja jednakost glasi ๐ฅ1 + ๐ฅ2 +โฏ+ ๐ฅ12 + ๐ฅ13 + ๐ฅ14 = 78.4.
Oduzimanjem prve jednakosti od druge dobivamo ๐ฅ13 + ๐ฅ14 = 22. Srednja vrijednost dva
broja ฤiji je zbir 22 jest ๐(๐ฅ13 + ๐ฅ14) = 11.
46. Razlomak 9
91 predstaviti kao razliku dvaju pravih razlomaka ฤiji su nazivnici 7 i 13!
Rjeลกenje:
Treba odrediti brojeve ๐ฅ i ๐ฆ takvi da su ๐ฅ < 7 i ๐ฆ < 13, to jest ๐ฅ
7โ
๐ฆ
19=
9
91 ili
๐ฆ
13โ๐ฅ
7=
9
91
I sluฤaj
U prvom sluฤaju biฤe:
๐ฅ
7โ๐ฆ
19=9
91 โบ
13๐ฅ โ 7๐ฆ
91=9
91 โน 13๐ฅ โ 7๐ฆ = 9 โน ๐ฅ =
7๐ฆ + 9
3
Od svih prirodnih brojeva ๐ฆ < 13 jedino ๐ฆ = 8 daje cijelu vrijednost za ๐ฅ, a to je ๐ฅ = 5, pa je 5
7โ
8
13=
9
91.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
173
II sluฤaj
U drugom sluฤaju biฤe:
7๐ฆ โ 13๐ฅ
91=9
91โน 7๐ฆ โ 13๐ฅ = 9 โน ๐ฅ =
7๐ฆ โ 9
13
Od svih prirodnih brojeva ๐ฆ < 13 jedino ๐ฆ = 5 daje cijelu vrijednost za ๐ฅ, a to je ๐ฅ = 2, pa je 5
13โ2
7=
9
91.
47. Hipotenuza pravouglog trougla je 13๐๐ , a razlika njegovih kateta je 7๐๐.
Odredi povrลกinu trougla!
Rjeลกenje:
๐ = 13 ๐๐
๐ โ ๐ = 7 ๐๐ โน ๐ = 7 + ๐
๐ =?
Pitagorina teorema:
๐2 = ๐2 + ๐2
132 = (7 + ๐)2 + ๐2
169 = 49 + 14๐ + ๐2 + ๐2
169 = 49 + 14๐ + 2๐2 โบ ๐2 + 7๐ โ 60 = 0 โบ (๐ โ 5)(๐ + 12) = 0 โน ๐1 = 5 โจ ๐2 = โ12
Obzirom da se radi o duลพini stranice trougla negativno rjeลกenje nema smisla, pa je ๐ = 5๐๐.
๐ = 7 + 5 = 12 ๐๐
Dakle, katete pravouglog trougla su ๐ = 12 i ๐ = 5. Povrลกina pravouglog trougla je
๐ =๐ โ ๐
2 โน ๐ = 30๐๐2
48. Zbir dva broja je 135. Ako 35% jednog broja iznosi koliko i 28% drugog broja odrediti te
brojeve.
Rjeลกenje:
๐ฅ โ traลพeni broj
135 โ ๐ฅ โdrugi traลพeni broj
0.35๐ฅ = 0.28(135 โ ๐ฅ) โบ 5๐ฅ = 4(135 โ ๐ฅ) โบ ๐ฅ = 60
Dakle, traลพeni brojevi su 60 i 75.
49. Rijeลกiti jednadลพbu ๐ฅ6 โ 4๐ฅ5 + 4๐ฅ4 โ 81๐ฅ2 + 324๐ฅ โ 324 = 0 u skupu realnih brojeva.
Rjeลกenje:
๐ฅ6 โ 4๐ฅ5 + 4๐ฅ4 โ 81๐ฅ2 + 324๐ฅ โ 324 = 0 โบ ๐ฅ4(๐ฅ2 โ 4๐ฅ + 4) โ 81(๐ฅ2 โ 4๐ฅ + 4) = 0
โบ (๐ฅ2 โ 4๐ฅ + 4)(๐ฅ4 โ 81) = 0 โบ (๐ฅ โ 2)2(๐ฅ2 โ 9)(๐ฅ2 + 9) = 0
โบ (๐ฅ โ 2)2(๐ฅ2 + 9)(๐ฅ โ 3)(๐ฅ + 3) = 0 โบ ๐ฅ = 2 โจ ๐ฅ = 3 โจ ๐ฅ = โ3
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
174
Sistemi linearnih jednaฤina
1. Dva broja odnose se kao 19: 8. Kada podijelimo zbir ta dva broja sa njihovom razlikom
dobijemo koliฤnik 2 i ostatak 20. Koji su to brojevi?
Rjeลกenje:
Neka su traลพeni brojevi ๐ i ๐. Po tekstu zadatka imamo sistem jednaฤina:
๐: ๐ = 19: 8 ๐ + ๐ = 2(๐ โ ๐) + 20
} โน ๐ = 76, ๐ = 32
Traลพeni brojevi su 76 i 32.
2. Zbir cifara dvocifrenog broja je 9. Podijelimo li taj broj sa brojem koji ima cifre napisane u
obrnutom redoslijedu dobit ฤemo koliฤnik 1 ostatak 9. Koji je traลพeni broj?
Rjeลกenje:
Neka je traลพeni broj oblika 10๐ + ๐ gdje je ๐ cifra desetica, a ๐ cifra jedinica. Na osnovu
teksta zadatka moลพemo formirati sistem jednaฤina
๐ + ๐ = 9 10๐ + ๐ = 10๐ + ๐ + 9
} โน ๐ = 5, ๐ = 4
Traลพeni broj je 54.
3. Rijeลกiti jednaฤinu ๐ฅ2 โ 1 = ๐ฆ2 + 104 u skupu prirodnih brojeva.
Rjeลกenje:
Datu jednaฤinu moลพemo pisati u obliku ๐ฅ2 โ ๐ฆ2 = 105 โน (๐ฅ โ ๐ฆ)(๐ฅ + ๐ฆ) = 105. Kako
broj moลพemo rastaviti kao 105 = 3 โ 5 โ 7 imamo sledeฤe sluฤajeve:
1ยฐ (๐ฅ โ ๐ฆ)(๐ฅ + ๐ฆ) = 1 โ 105 โน ๐ฅ = 53 โง ๐ฆ = 52
2ยฐ (๐ฅ โ ๐ฆ)(๐ฅ + ๐ฆ) = 3 โ 35 โน ๐ฅ = 19 โง ๐ฆ = 16
3ยฐ (๐ฅ โ ๐ฆ)(๐ฅ + ๐ฆ) = 5 โ 21 โน ๐ฅ = 13 โง ๐ฆ = 8
4ยฐ (๐ฅ โ ๐ฆ)(๐ฅ + ๐ฆ) = 7 โ 15 โน ๐ฅ = 11 โง ๐ฆ = 4
4. Obim pravougaonika je 2๐ , a razlika njegovih stranica ๐
2. Izrazi duลพinu stranica i povrลกinu
tog pravougaonika pomoฤu parametra ๐ . Rjeลกenje:
2๐ + 2๐ = ๐ ๐ + ๐ = ๐
๐ โ ๐ =๐
2} โน ๐ =
๐
4, ๐ =
3๐
4; ๐ =
3๐ 2
16
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
175
5. Rijeลกi sistem
๐ฅ โ ๐ฆ = 3
๐ฅ2 โ ๐ฆ2 =63
๐ฅ โ ๐ฆ
}
Rjeลกenje:
Druga jednadลพba daje (๐ฅ โ ๐ฆ)(๐ฅ + ๐ฆ) =63
๐ฅโ๐ฆ, pa imamo sistem jednadลพbi
๐ฅ โ ๐ฆ = 3
(๐ฅ โ ๐ฆ)(๐ฅ + ๐ฆ) =63
๐ฅ โ ๐ฆ
} โน ๐ฅ โ ๐ฆ = 3๐ฅ + ๐ฆ = 7
} โน ๐ฅ = 5 โง ๐ฆ = 2
6. Ako se jedan broj podijeli sa drugim dobiฤe se koliฤnik 2 i ostatak 11. Ako se njihova
suma podijeli njihovom razlikom dobije se koliฤnik 2 i ostatak 20. Koji su to brojevi?
Rjeลกenje:
Neka su traลพeni brojevi ๐ฅ i ๐ฆ. Prema tekstu zadatka moลพemo formirati sistem jednaฤina:
๐ฅ = 2๐ฆ + 11
๐ฅ + ๐ฆ = 2(๐ฅ โ ๐ฆ) + 20} โน ๐ฅ = 73 โง ๐ฆ = 31
Traลพeni brojevi su 73 i 31.
7. Ako se podijeli jedan dvocifreni broj zbirom svojih cifara dobije se koliฤnik 5 i ostatak 1.
Ako se tom broju doda 9 dobije se broj napisan obrnutim redoslijedom. Koji je to broj?
Rjeลกenje:
Neka je traลพeni dvocifreni broj oblika 10๐ฅ + ๐ฆ, gdje je ๐ฅ cifra desetica, a ๐ฆ cifra jedinica.
Sada po tekstu zadatka moลพemo formirati sistem jednadลพbi
10๐ฅ + ๐ฆ = 5(๐ฅ + ๐ฆ) + 110๐ฅ + ๐ฆ + 9 = 10๐ฆ + ๐ฅ
} โน ๐ฅ = 5 โง ๐ฆ = 6
Traลพeni broj je 56.
8. 8 radnika i 7 radnica za 12 dana naprave 53 kompleta nekog namjeลกtaja, a 9 radnika i 6
radnica za 18 dana naprave 81 komplet namjeลกtaja. Koliko ฤe kompleta namjeลกtaja za 20
dana napraviti 12 radnika i 13 radnica?
Rjeลกenje:
Ako za 1 dan jedan radnik napravi ๐ฅ kompleta, a radnica ๐ฆ kompleta namjeลกtaja, moลพemo
formirati sistem jednadลพbi
(8๐ฅ + 7๐ฆ) โ 12 = 53(9๐ฅ + 6๐ฆ) โ 18 = 81
} โน ๐ฅ =1
3โง ๐ฆ =
1
4
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
176
Za 20 dana 12 radnika i 13 radnica napraviti 20 โ (12 โ 1
3+ 13 โ
1
4) = 145 kompleta
namjeลกtaja.
9. Izraฤunati parametar ๐ u sistemu jednaฤina (๐ + 1)๐ฅ โ ๐ฆ = 1๐๐ฅ + 4๐ฆ = 10
} tako da zbir rjeลกenja bude 5.
Rjeลกenje:
Najprije izrazimo rjeลกenja po ๐ฅ a onda po ๐ฆ iz jednaฤina:
๐ฅ =1 + ๐ฆ
๐ + 1
๐ฅ =10 โ 4๐ฆ
๐
} โน1 + ๐ฆ
๐ + 1=10 โ 4๐ฆ
๐ โน ๐ฆ =
9๐ + 10
5๐ + 4
Sada izrazimo ๐ฆ iz prve i druge jednadลพbe i dobijamo rjeลกenje za ๐ฅ:
๐ฆ = ๐๐ฅ + ๐ฅ โ 1
๐ฆ =10 โ ๐๐ฅ
4 } โน ๐๐ฅ + ๐ฅ โ 1 =
10 โ ๐๐ฅ
4 โน ๐ฅ =
14
5๐ฅ + 4
Znamo da je zbir rjeลกenja 5, pa imamo jednadลพbu
14
5๐ + 4+9๐ + 10
5๐ + 4= 5 โน ๐ =
1
4
10. Dva radnika mogu da zavrลกe neki posao za 24 dana. Poslije zajedniฤkog rada od 10 dana,
jedan radnik se razbolio pa je drugi nastavio sam i dovrลกio taj posao za slijedeฤih 35 dana. Za
koliko dana bi taj posao zavrลกio svaki od njih ako bi radio sve sam?
Rjeลกenje:
Neka je ๐ฅ broj dana za koji bi prvi radnik zavrลกio posao sam, a ๐ฆ broj dana za koji bi drugi
radnik uradio posao sam. Za jedan dan prvi radnik bi uradio 1
๐ฅ posla, a drugi
1
๐ฆ, a zajedno bi
uradili 1
๐ฅ+1
๐ฆ=
1
24. Na cijelom poslu prvi radnik je radio 10 dana, a drugi 45 dana i uradili su
cijeli posao, tj. 10
๐ฅ+45
๐ฆ= 1. Imamo sistem jednadลพbi
1
๐ฅ+1
๐ฆ=1
2410
๐ฅ+45
๐ฆ= 1
}
โน ๐ฅ = 40 โง ๐ฆ = 60
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
177
11. Dvocifreni broj dva puta je veฤi od zbira svojih cifara. Ako tom broju cifre zamijene
mjesta dobija se broj koji je za 54 veci od trostrukog zbira njegovih cifara. Koji je to broj?
Rjeลกenje:
๐ฅ โ 10๐ฆ = 2(๐ฅ + ๐ฆ)
๐ฆ โ 10 + ๐ฅ = 3(๐ฅ + ๐ฆ) + 54} โน ๐ฅ = 1 โง ๐ฆ = 8
To je broj 18.
12. Obim paralelograma je 30๐๐. Zbir povrลกina kvadrata konstruisanih nad dvjema
susjednim stranicama je 113๐๐2. Kolike su duลพine tih stranica?
Rjeลกenje:
Oznaฤimo sa ๐ duลพinu veฤe, a s ๐ duลพinu kraฤe stranice.
Tada vrijedi 2๐ + 2๐ = 30 โน ๐ + ๐ = 15 i ๐2 + ๐2 = 113.
๐ + ๐ = 15 ๐2 + ๐2 = 113
} โน (๐ = 8๐๐ โง ๐ = 7๐๐) โจ (๐ = 7๐๐ โง ๐ = 8๐๐)
Kako smo oznaฤili sa ๐ duลพu stranicu paralelograma, drugi sluฤaj otpada.
Dakle, ๐ = 8๐๐ i ๐ = 7๐๐.
13. Jedna dijagonala romba duลพa je od druge za 5 ๐๐. Ako se duลพa dijagonala umanji za
2 ๐๐, a kraฤa uveฤa za 3 ๐๐, povrลกina romba ฤe se poveฤati za 13๐๐2. Odredi dijagonale
romba !
Rjeลกenje:
๐1 โ kraฤa dijagonala romba
๐2 โ duลพa dijagonala romba
๐2 = ๐1 + 5 jedna dijagonala je duลพa od druge za 5๐๐
Ako se duลพa dijagonala umanji za 2๐๐, imamo ๐2 = (๐1 + 5) โ 2
Ako se kraฤa dijagonala uveฤa za 3๐๐, imamo ๐1 + 3
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
178
Povrลกina romba je ๐ =๐1โ ๐2
2 , a u naลกem sluฤaju imamo da je
๐ =๐1 โ (๐1 + 5)
2
๐ + 13 =(๐1 + 3) โ [(๐1 + 5) โ 2]
2
} โน ๐1 = 17๐๐ โง ๐2 = 22๐๐
14. Rijeลกi sistem jednadลพbi
1
1๐ฅ โ ๐ฆ โ 3
= โ 3
8
1
1 โ 1
๐ฅ + ๐ฆ
=7
6
}
โน ๐ฅ = 5 โง ๐ฆ = 2
15. Na granama stoje dva jata ptica. Ako bi dvije ptice iz prvog jata preลกle u drugo jato jata bi
brojno se izjednaฤila. Ako bi pak dvije ptice iz drugog jata preลกle u prvo jato prvo jato bi
postalo tri puta brojnije od drugog jata. Po koliko ptica broje jata?
Rjeลกenje:
๐ฅ โ broj ptica u prvom jatu
๐ฆ โbroj ptica u drugom jatu
๐ฅ โ 2 = ๐ฆ + 2
๐ฅ + 2 = 3(๐ฆ โ 2)} โน ๐ฅ = 10 โง ๐ฆ = 6
16. Rijeลกiti sistem jednadลพbi
0.8
25
๐ฅ โ55
252๐ฆ โ
542 โ 522
53= 0
๐ฅ โ 3๐ฆ + 1
2โ๐ฅ โ 2๐ฆ
3โ4.3 โ 7๐ฆ
5= 1 โ
4.3 โ 7๐ฆ
5
Rjeลกenje:
0.8
25
๐ฅ โ55
252๐ฆ โ
542 โ 522
53= 0
๐ฅ โ 3๐ฆ + 1
2โ๐ฅ โ 2๐ฆ
3โ4.3 โ 7๐ฆ
5= 1 โ
4.3 โ 7๐ฆ
5 }
โน ๐ฅ = 1 โง ๐ฆ = โ2
5
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
179
17. Ako je 9๐ฅ2 + 4๐ฆ2 โ 12๐ฅ๐ฆ โ 16๐2 = 12 i 3๐ฅ โ 2๐ฆ + 4๐ = 4, koliko je 3๐ฅ โ 2๐ฆ?
Rjeลกenje:
9๐ฅ2 + 4๐ฆ2 โ 12๐ฅ๐ฆ โ 16๐2 = 12
(3๐ฅ โ 2๐ฆ)2 โ (4๐)2 = 12
(3๐ฅ โ 2๐ฆ โ 4๐)(3๐ฅ โ 2๐ฆ + 4๐) = 12
A kako je 3๐ฅ โ 2๐ฆ + 4๐ = 4 slijedi
4(3๐ฅ โ 2๐ฆ โ 4๐) = 12
3๐ฅ โ 2๐ฆ โ 4๐ = 3
Sada imamo sistem jednadลพbi
3๐ฅ โ 2๐ฆ โ 4๐ = 33๐ฅ โ 2๐ฆ + 4๐ = 4
} โน 3๐ฅ โ 2๐ฆ =7
2
18. Lete dva jata ptica. Jedno jato kaลพe: โAko nam date jednu pticu, bit ฤe nas onoliko koliko i
vas.โ Drugo jato kaลพe: โAko vi nama date jednu pticu, nas ฤe bit dva puta viลกe nego vas.โ
Koliko je ptica bilo u jednom, a koliko u drugom jatu?
Rjeลกenje:
๐ฅ โ broj ptica prvog jata
๐ฆ โ broj ptica drugog jata
๐ฅ + 1 = ๐ฆ โ 1
๐ฆ + 1 = 2(๐ฅ โ 1)} โน ๐ฅ = 5 โง ๐ฆ = 7
19. Duลพine stranica pravouglog trougla prirodni su brojevi. Odredi obim onog pravouglog
trougla koji ima najmanju duลพinu hipotenuze, ako je duลพina katete 21.
Rjeลกenje:
Neka su ๐ i ๐ duลพine kateta i ๐ duลพina hipotenuze i neka je ๐ = 21. Tada vrijedi
๐2 โ ๐2 = 212 odnosno (๐ โ ๐)(๐ + ๐) = 3 โ 3 โ 7 โ 7 pri ฤemu je ๐ โ ๐ < ๐ + ๐
Rijeลกimo sada sljedeฤe sisteme jednadลพbi:
๐ โ ๐ = 1 ๐ โ ๐ = 3 ๐ โ ๐ = 7 ๐ โ ๐ = 9
๐ + ๐ = 441 ๐ + ๐ = 147 ๐ + ๐ = 63 ๐ + ๐ = 49
๐ = 221 ๐ = 75 ๐ = 35 ๐ = 29
Prema tome, najmanja duลพina hipotenuze je 29, a obim trougla 70.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
180
20. Poznato je da je 30% nekog broja ๐ด za 10 veฤe od 20% broja ๐ต, a 30% broja ๐ต je za 35
veฤe od 20% broja ๐ด. Izraฤunati brojeve ๐ด i ๐ต.
Rjeลกenje:
30%๐ด = 20%๐ต + 10
30%๐ต = 20%๐ด + 350
30
100๐ด =
20
100๐ต + 10
30
100๐ต โ
20
100๐ด + 35
} โน ๐ด = 200 โง ๐ต = 250
21. Zbir cifara trocifrenog broja je 17 gdje je cifra desetica 9. Ako cifre stotica i jedinica
zamijene mjesta, novi broj je za 100 veฤi od dvostrukog prvog broja. Koji je prvi broj?
Rjeลกenje:
Taj broj je 296.
22. Na ispitu iz matematike radi se 40 zadataka. Taฤan odgovor vrijedi 15 bodova, a netaฤan
minus 4 boda. Amir je rijeลกio sve zadatke, no naลพalost neke pogreลกno. Koliko je pogreลกnih
odgovora dao ako je ukupno imao 353 boda?
Rjeลกenje:
Amir je dao 13 pogreลกnih odgovora, a 27 taฤnih.
23. Rijeลกi sistem jednadลพbi
1
๐ฅ+1
๐ฆ= 2007
1
๐ฆ+1
๐ง= 2008
1
๐ฅ+1
๐ง= 2009
Rjeลกenje:
Ako saberemo lijeve i desne strane jednadลพbi sistema i podijelimo sa 2 dobit ฤemo:
1
๐ฅ+1
๐ฆ+1
๐ง= 3012
Oduzimajuฤi redom jednadลพbe sistema od poslednje jednadลพbe dobijamo
1
๐ง= 1005,
1
๐ฅ= 1004,
1
๐ฆ= 1003
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
181
tj. rjeลกenja sistema ๐ฅ =1
1004, ๐ฆ =
1
1003, ๐ง =
1
1005.
24. Zbir duลพina kateta datog pravouglog trougla je 22๐๐. Ako se jedna kateta smanji za 4๐๐,
a druga poveฤa za 2๐๐ dobija se pravougli trougao ฤija je povrลกina jednaka povrลกini datog
trougla. Odrediti duลพine kateta datog trougla.
Rjeลกenje:
๐ + ๐ = 22 โน ๐ = 22 โ ๐(๐ โ 4)(๐ + 2) = ๐๐
} โน(18 โ ๐)(๐ + 2) = (22 โ ๐) โ ๐โ6๐ = โ36 โน ๐ = 6 โง ๐ = 16
25. Zbir cifara dvocirenog broja je 12. Ako cire zamijene mjesta dobije se broj za 15 veฤi od
dvostrukog traลพenog broja. Koji je to broj?
Rjeลกenje:
๐ฅ + ๐ฆ = 12 ๐ฆ๐ฅ = 10๐ฆ + ๐ฅ = 2(10๐ฅ + ๐ฆ) + 15 ๐ฅ + ๐ฆ = 12 10๐ฆ + ๐ฅ = 20๐ฅ + 2๐ฆ + 15 ๐ฅ + ๐ฆ = 12 / โ 19
โ19๐ฅ + 8๐ฆ = 15 19๐ฅ + 19๐ฆ = 228 โ19๐ฅ + 8๐ฆ = 15 27๐ฆ = 243 ๐ฆ = 9 ๐ฅ = 12 โ ๐ฆ ๐ฅ = 3
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
182
Nejednakosti i nejednadลพbe
1. Koliko ima prirodnih brojeva za koje vrijedi nejednakost 2014 < โ๐ฅ < 2015.
Rjeลกenje:
2014 < โ๐ฅ < 2015 /2
4056196 < ๐ฅ < 4060225
To su brojevi: 4056197, 4056198, โฆ , 4060224. Brojeva ukupno ih ima
4060225 โ 4056197 = 4028.
2. Rijeลกi nejednadลพbu u skupu cijelih brojeva |2๐ฅโ3
4| < 1.
Rjeลกenje:
โ1 <2๐ฅ โ 3
4< 1
โ4 < 2๐ฅ โ 3 < 4,
โ1
2< ๐ฅ <
7
2
Cijeli brojevi koji odgovaraju rjeลกenju su ๐ฅ = 0, 1, 2, 3.
3. Rijeลกi nejednaฤinu u skupu realnih brojeva ๐ฅโ1
๐ฅ+1> 1.
Rjeลกenje:
๐ฅ โ 1
๐ฅ + 1> 1 โน โ
2
๐ฅ + 1> 0 โน ๐ฅ + 1 < 0 โน ๐ฅ < โ1
๐ฅ โ (โโ,โ1)
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
183
4. Dokazati da za pozitivne brojeve ๐, ๐ i ๐ vrijedi nejednakost
๐๐(๐ + ๐) + ๐๐(๐ + ๐) + ๐๐(๐ + ๐) โฅ 6๐๐๐ . Rjeลกenje:
๐๐(๐ + ๐) + ๐๐(๐ + ๐) + ๐๐(๐ + ๐) = ๐2๐ + ๐๐2 + ๐2๐ + ๐๐2 + ๐2๐ + ๐๐2 =
= (๐2๐ + ๐๐2) + (๐๐2 + ๐๐2) + (๐2๐ + ๐2๐) =
= ๐(๐2 + ๐2) + ๐(๐2 + ๐2) + ๐(๐2 + ๐2) โฅ ๐ โ 2๐๐ + ๐ โ 2๐๐ + ๐ โ 2๐๐ = 6๐๐๐
5. Na fudbalskom turniru za pobjedu se dobiva 2 boda, za remi 1 bod, a za poraz 0 bodova.
Zna se da je svaka ekipa igrala sa svakom jedanput i da je pobjedniฤka ekipa na kraju
osvojila 7 bodova, drugoplasirana 5 bodova, a treฤeplasirana ekipa 3 boda. Koliko bodova je
imala ekipa koja je bila poslednja na turniru ?
Rjeลกenje:
Neka je ukupan broj ekipa ๐ tada je ukupan broj bodova koje su osvojile ekipe ๐(๐ โ 1).
Kako je ๐(๐ โ 1) โฅ 7 + 5 + 3 โน ๐ โฅ 5. Ekipa koje su se plasirale iza treฤeg mjesta ima
๐ โ 3, i svaka od njih je osvojila manje od 5 bodova, pa je
๐(๐ โ 1) โค 15 + 5(๐ โ 3) โน ๐ < 6.
Iz svega ovog slijedi da je ๐ = 5. Ukupan broj bodova je 20, pa su ฤetvrto i petoplasirana
ekipa osvojile 3, odnosno 2 boda.
6. Koliko ima cijelih brojeva ๐ฅ za koje vrijedi 1
4<2โ๐ฅ
7<11
12.
Rjeลกenje:
7
4< 2 โ ๐ฅ <
77
12
โ7
4> ๐ฅ โ 2 > โ
77
12
1
4> ๐ฅ > โ
53
12
โ45
12< ๐ฅ <
1
4
๐ฅ โ {โ4,โ3,โ2, โ1,0}
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
184
7. Za koje vrijednosti promjenljive ๐ izraza 2๐โ
3
4
1โ๐
2
ima vrijednost manju od 17?
Rjeลกenje:
2๐ โ34
1 โ๐2
< 17 โบ10๐ โ 7
2 โ ๐< 0 โบ
10๐ โ 7 < 0 โง 2 โ ๐ > 010๐ โ 7 > 0 โง 2 โ ๐ < 0
} โน ๐ โ (โโ,7
10) โช (2,+โ)
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
185
Prosti i sloลพeni brojevi. Djeljivost
1. Dokaลพi da je broj 201612 + 210 sloลพen.
Rjeลกenje:
201612 + 210 = (20166 + 25)2 โ 2 โ 25 โ 20166 = (20166 + 25)2 โ 26 โ 20166 =
= (20166 + 25)2 โ (23 โ 20163)2 =
= (20166 + 25 โ 23 โ 20163)(20166 + 25 + 23 โ 20163)
Dakle, kako su oba faktora veฤa od 1, dati broj je sloลพen.
2. Dokazati da je izraz: ๐5 โ 5๐3 + 4๐ (๐ โ ๐) djeljiv sa 120.
Rjeลกenje:
๐5 โ 5๐3 + 4๐ = ๐(๐4 โ 5๐2 + 4) = ๐(๐2 โ 1)(๐2 โ 4) =
= ๐(๐ โ 1)(๐ + 1)(๐ โ 2)(๐ + 2) = (๐ โ 2)(๐ โ 1)๐(๐ + 1)(๐ + 2)
Posljednji proizvod predstavlja proizvod pet uzastopnih cijelih brojeva od kojih je
uvijek jedan djeljiv sa dva,jedan sa tri, jedan sa ฤetiri i jedan sa pet pa je ovaj
proizvod djeljiv sa 2 โ 3 โ 4 โ 5 = 120.
3. Odredi sve vrijednosti prirodnog broja za koje je razlomak 3๐+29
๐+2 cijeli broj.
Rjeลกenje:
3๐ + 29
๐ + 2โ ๐
๐ + ๐ + ๐ + 2 + 2 + 2 + 23
๐ + 2=(๐ + 2) + (๐ + 2) + (๐ + 2) + 23
๐ + 2= 3 +
23
๐ + 2
3 โ ๐ โน23
๐ + 2โ ๐ โน (๐ + 2) treba da bude djeljivo sa 23 โน
โน ๐ + 2 โ {โ25, โ3,โ1, 21}
4. Dokazati da je za ma koji prirodni broj ๐ izraz ๐2
2โ2๐
3+๐3
6 cijeli broj.
Rjeลกenje:
๐2
2โ2๐
3+๐3
6=3๐2 โ 4๐ + ๐3
6=๐ โ (๐2 + 3๐ โ 4)
6
๐2 + 3๐ โ 4 = ๐2 + 4๐ โ ๐ โ 4 = ๐(๐ + 4) โ 1(๐ + 4) = (๐ + 4)(๐ โ 1)
} โน
โน๐ โ (๐2 + 3๐ โ 4)
6=๐ โ (๐ โ 1)(๐ + 4)
6=๐ โ (๐ โ 1)(๐ + 1 + 3)
6=
=๐ โ (๐ โ 1)(๐ + 1) + 3๐(๐ โ 1)
6=๐ โ (๐ โ 1)(๐ + 1)
6+๐(๐ โ 1)
2
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
186
๐ โ (๐ โ 1)(๐ + 1) โ proizvod tri uzastopna prirodna broja pa je ovaj proizvod djeljiv sa 6,
pa vrijedi ๐โ (๐โ1)(๐+1)
6โ โค
๐(๐ โ 1) โ proizvod dva uzastopna prirodna broja pa je ovaj proizvod djeljiv sa 2, pa vrijedi ๐(๐โ1)
2โ โค
na osnovu prethodnih relacija zakljuฤujemo da ๐โ (๐โ1)(๐+1)
6+๐(๐โ1)
2โ โค, odnosno
๐2
2โ2๐
3+๐3
6โ โค
5. Naฤi sve proste brojeve ๐ za koje je 1
1+โ2+
1
โ2+โ3+
1
โ3+โ4+โฏ+
1
โ๐+โ๐+1 prirodan broj.
Rjeลกenje:
Racionalisat ฤemo svaki od razlomaka pa ฤemo dobiti:
1
1 + โ2= โ2 โ 1;
1
โ2 + โ3= โ3 โ โ2;
1
โ3 + โ4= โ4 โ โ3;โฆ ;
1
โ๐ + โ๐ + 1= โ๐ + 1 โ โ๐
ลกto nakon uvrลกtavanja umjesto polaznih ralomaka daje:
โ2 โ 1 + โ3 โ โ2 + โ4 โ โ3 +โฏ+โ๐ + 1 โ โ๐ = โ1 + โ๐ + 1 = โ๐ + 1 โ 1
Sada imamo โ๐ + 1 โ 1 = ๐, ๐ โ โ, a odavde nakon prebacivanja jedinice na desnu stranu i
kvadriranja dobijamo:
๐ + 1 = (๐ + 1)2โน ๐+ 1 = ๐2 + 2๐ + 1 โน ๐ = ๐2 + 2๐ = ๐ โ (๐ + 2)
Vidimo da ฤe ๐ biti prost jedino ako je ๐ = 1 pa ฤe biti da je ๐ = 3
6. Koliฤnici 3๐5๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ : 36 i 4๐7๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ : 45 su prirodni brojevi. Koji je koliฤnik veฤi?
Rjeลกenje:
Odredimo ove koliฤnike.
Iz uslova 36|3๐5๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ โน 4|3๐5๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ โง 9|3๐5๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ .
Iz uslova 4|3๐5๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ โน ๐ = 2 โจ ๐ = 6.
Iz uslova 9|3๐5๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ โน 9|(3 + ๐ + 5 + ๐) โน 9|(8 + ๐ + ๐) โน ๐ + ๐ = 1 โจ ๐ + ๐ = 10.
Za ๐ = 2 โน ๐ = 8, odnosno 3๐5๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ = 3852, pa je 3852: 36 = 107.
Za ๐ = 6 โน ๐ = 4, odnosno 3๐5๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ = 3456, pa je 3456: 36 = 96.
Iz uslova 45|4๐7๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ โน 5|4๐7๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ โง 9|4๐7๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ .
Iz uslova 5|4๐7๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ โน ๐ = 0 โจ ๐ = 5.
Iz uslova 9|4๐7๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ โน 9|(4 + ๐ + 7 + ๐) โน 9|(11 + ๐ + ๐) โน ๐ + ๐ = 7 โจ ๐ + ๐ = 16.
Za ๐ = 0 โน ๐ = 7, odnosno 4๐7๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ = 4770, pa je 4770: 45 = 106.
Za ๐ = 5 โน ๐ = 2, odnosno 4๐7๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ = 4275, pa je 4275: 45 = 95.
Dakle, ako je (๐, ๐, ๐, ๐) โ {(8, 2, 7, 0), (8, 2, 5, 2), (4, 6, 5, 2)} โน 3๐5๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ : 36 > 4๐7๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ : 45.
Ako je (๐, ๐, ๐, ๐) โ {(4, 6, 7, 0)} โน 3๐5๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ : 36 > 4๐7๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ : 45.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
187
7. Koje dvije cifre nedostaju u zapisu broja
1376๐ฅ7530912263450463159795815809024๐ฆ0000000ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ
koji je jednak umnoลกku prvih 37 prirodnih brojeva? Odgovor obrazloลพi.
Rjeลกenje:
U proizvodu prvih 37 prirodnih brojeva figurira 8 faktora 5 (5, 10, 15, 20 i 30 po jedan, a u
broju 25 dva) i joลก viลกe faktora 2, pa proizvod zavrลกava sa 8 nula, ลกto znaฤi ๐ฆ = 0. Poลกto
ovaj proizvod sadrลพi i faktor 9, to zbir svih njegovih cifara mora biti djeljiv sa 9, tj.
9|(150 + ๐ฅ) โน ๐ฅ = 3.
8. Odredi sve proste brojeve ๐, ๐ i ๐ takve da je ๐ โ (264๐ + 4๐) = 2008.
Rjeลกenje:
Napiลกimo broj 2008 u obliku proizvoda prostih faktora: 2008 = 2 โ 2 โ 2 โ 2 โ 251. Poลกto je
264๐ + ๐ > 8, โ๐, ๐ โ โ โน ๐ = 2, odnosno 264๐ + 4๐ = 1004.
1004: 264 < 4 โน ๐ < 4, pa ๐ moลพe biti 2 ili 3.
Ako je ๐ = 2 imamo ๐ = (1004 โ 264 โ ๐): 4 = (1004 โ 264 โ 2): 4 = 486: 4. Meฤutim,
rezultat dijeljenja 486: 4 nije prirodan broj.
Ako je q = 3, imamo ๐ = (1004 โ 264 โ ๐): 4 = (1004 โ 264 โ 3): 4 = 212: 4 = 53.
53 je prost broj, kao i brojevi 2 i 3, pa je rjeลกenje zadatka (๐, ๐, ๐) = (2, 3, 53).
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
188
Trougao i ฤetverougao. Mnogougao
1. Dokazati da je zbir polupreฤnika upisane i opisane kruลพnice pravouglog trougla jednak
aritmetiฤkoj sredini kateta.
Rjeลกenje:
Neka je ๐ centar upisane kruลพnice i neka je ๐ njen polupreฤnik. Znamo da je polupreฤnik
opisane ktuลพnice ๐ =๐
2. ฤetverougao ๐๐ท๐ถ๐ธ je kvadrat pa je ๐ต๐ท = ๐ โ ๐ i ๐ด๐ธ = ๐ โ ๐.
Iz podudarnosti trouglova ๐๐ท๐ต i ๐๐น๐ต slijedi da je ๐ต๐น = ๐ โ ๐, a iz podudarnosti trouglova
๐๐ธ๐ด i ๐๐น๐ด slijedi da je ๐น๐ด = ๐ โ ๐. Sada imamo
๐ = (๐ โ ๐) + (๐ โ ๐) โง ๐ = 2๐ โน ๐ + ๐ =๐ + ๐
2
2. U jednakostraniฤni trougao stranice 3cm razmjeลกteno je 12 taฤaka. Dokazati da se u
svakom sluฤaju mogu naฤi dvije taฤke ฤija je udaljenost manja ili jednaka od 1๐๐.
Rjeลกenje:
Podijelimo dati jednakostraniฤni trougao na 9 podudarnih jednakostraniฤnih trouglova,
podjelom stranica datog trougla na po tri jednaka dijela, a zatim povlaฤenjem paralela
sa stranicama. Kako je 9 trouglova, a 12 taฤaka, u bar jednom trouglu stranice 1๐๐ naฤi
ฤe se bar dvije taฤke ฤija ฤe udaljenost biti manja ili jednaka 1๐๐.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
189
3. Obim paralelograma je 30๐๐. Zbir povrลกina kvadrata konstruisanih nad dvjema susjednim
stranicama je 113๐๐2. Kolike su duลพine tih stranica?
Rjeลกenje:
2๐ + 2๐ = 30, ๐ + ๐ = 15
๐2 + ๐2 = 113
(๐ + ๐)2 = 225
๐2 + 2๐๐ + ๐2 = 225
2๐๐ = 112
๐๐ = 56 pa zakljuฤujemo ๐ = 8๐๐, ๐ = 7๐๐.
4. Izraฤunaj povrsinu kruลพnog prstena kojeg cine opisana kruลพnica i upisana kruลพnica u
kvadrat stranie ๐ = 6๐๐.
Rjeลกenje:
5. Uglovi deltoida koji obrazuju dijagonale sa nejednakim stranicama su 50ยฐ i 70ยฐ. Koliki su
uglovi deltoida?
Rjeลกenje:
๐ผ + 50ยฐ + 50ยฐ = 180ยฐ
๐ผ = 180ยฐ โ 100ยฐ
๐ผ = 80ยฐ
๐ฟ + 70 + 70 = 180ยฐ
๐ฟ = 180ยฐ โ 14๐ยฐ
๐ฟ = 40ยฐ
๐ผ = 80 ๐ฟ = 40 ๐พ = 120
๐ = (๐
2)2
๐ โ (๐
2)2
๐ โน ๐ = [(๐โ2
2)
2
โ (๐
2)2
] ๐
๐ = 9๐๐๐2
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
190
6. Naฤi sve pravougaonike ฤije su dimenzije (duลพina i ลกirina) prirodni brojevi, a kojima su
obimi brojno jednaki njihovim povrลกinama.
Rjeลกenje:
๐, ๐ โ โ, ๐๐ = 2๐ + 2๐ โน ๐๐ โ 2๐ = 2๐ โน ๐ =2๐
๐โ2
๐ =2๐ โ 4 + 4
๐ โ 2=2(๐ โ 2)
๐ โ 2+
4
๐ โ 2= 2 +
4
๐ โ 2
Da bi dimenzija ๐ pravougaonika bila prirodni broj treba da vrijedi 4: (๐ โ 2) โ โ, pa
zakljuฤujemo da ๐ โ {3, 4}.
Za ๐ = 3 โน ๐ = 6.
Za ๐ = 4 โน ๐ = 4, tj. u ovom sluฤaju imamo kvadrat sa osobinom da mu je mjerni broj
obima i povrลกine jednak.
Dakle, postoji samo pravougaonik sa dimenzijama 6 i 3 te kvadrat sa dimenzijama 4.
7. Neka su ๐ i ๐ stranice, a ๐1 i ๐2 dijagonale paralelograma. Dokazati da je:
๐12 + ๐2
2 = 2(๐2 + ๐2).
Rjeลกenje:
Neka su visine ๐ถ๐ธ = ๐ท๐น = โ, a odsjeฤci ๐ด๐น = ๐ต๐ธ = ๐ฅ. Trouglovi โ๐ด๐น๐ท i โ๐ต๐ธ๐ถ su
pravougli i vrijedi: ๐2 = ๐ฅ2 + โ2. Posmatrajmo sada trougao โ๐ด๐ธ๐ถ i on je pravougli pa
vrijedi ๐12 = (๐ + ๐ฅ)2 + โ2 tj. ๐1
2 = ๐2 + 2๐๐ฅ + ๐ฅ2 + โ2. Posmatrajmo trougao โ๐น๐ต๐ท i
on je pravougli pa vrijedi ๐22 = (๐ โ ๐ฅ)2 + โ2 tj. ๐2
2 = ๐2 โ 2๐๐ฅ + ๐ฅ2 + โ2.
Zamjenom prethodne dvije jednakosti u poslednju jednakost dobijamo:
๐12 = ๐2 + 2๐๐ฅ + ๐2
๐22 = ๐2 โ 2๐๐ฅ + ๐2
Sabiranjem ove dvije jednakosti dobijemo ๐12 + ๐2
2 = 2(๐2 + ๐2)
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
191
8. Na suprotnim obalama rijeke rastu dva drveta. Visina jednog drveta je 20๐, a drugog 30๐
i udaljenost izmeฤu njih je 50๐. Na vrhu svakog drveta sjedi po jedna ptica. Odjednom na
povrลกini rijeke pojavi se riba. Obje ptice polete prema ribi u isto vrijeme, istom brzinom i
istovremeno dolete do ribe. Na toj udaljenosti od niลพeg drveta se pojavila riba?
Rjeลกenje:
๐ด๐ถ = ๐ดโฒ๐ถโฒ pa je
202 + ๐ฅ2 = (50 โ ๐ฅ)2 + 302 โบ ๐ฅ = 30
Na udaljenosti od 30๐ se pojavila riba od podnoลพja niลพeg drveta.
9. Naฤi obim mnogougla sa slike ako je ๐ด๐ธ = 13๐๐, ๐ต๐ถ = 7๐๐, ๐ธ๐ท = 8๐๐ i ๐ถ๐ท = 6๐๐ i
ako je โข๐ธ๐ด๐ต = โข๐ด๐ต๐ถ = โข๐ถ๐ท๐ธ = 90ยฐ.
Rjeลกenje:
Kako je ๐ธ๐ถ = 10๐๐ i ako na ๐ด๐ธ odaberemo taฤku ๐น tako da je ๐ด๐น = ๐ต๐ถ = 10๐๐, tada je
๐ด๐ต๐ถ๐น pravougaonik, a ๐ถ๐ธ๐น pravougli trougao.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
192
Dalje imamo ๐ด๐ต = ๐ถ๐น = โ102 โ 62 = 8๐๐.
Dakle, ๐๐ด๐ต๐ถ๐ท๐ธ = 8 + 7 + 6 + 8 + 13 = 42๐๐.
10. Ako sa ๐๐ oznaฤimo broj dijagonala iz jednog tjemena koveksnog mnogougla, a sa ๐ท๐
ukupan broj dijagonala tog mnogougla, odredi mnogougao za koji vrijedi 9๐๐2 โ ๐๐
2 = 0.
Rjeลกenje:
๐๐ = ๐ โ 3
๐ท๐ =๐(๐ โ 3)
2
} โน 9(๐ โ 3)2 โ (๐(๐ โ 3)
2)
2
= 0 โบ (๐ โ 3)2 โ (9 โ๐2
4) = 0
โบ (๐ โ 3)2 = 0 โจ (9 โ๐2
4) = 0 โบ ๐1 = โจ ๐2 = 6
Dakle, jednakost 9๐๐2 โ ๐๐
2 = 0 vrijedi za trougao i ลกestougao.
11. Ako je broj dijagonala mnogougla 5 puta veฤi od broja njegovih stranica, koliko stranica
ima taj mnogougao?
Rjeลกenje:
๐ โ broj stranica mnogougla
๐(๐ โ 3)
2โ broj dijagonala mnogougla
} โน๐(๐ โ 3)
2= 5๐ โบ ๐ = 13
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
193
Racionalni izrazi
1. Izraฤunati: 220 โ โ(1 + 211 + 220)(1 โ 211 + 220)
Rjeลกenje:
Uoฤimo da je:
1 + 211 + 220 = 1 + 2 โ 210 + 220 = (1 + 210)2
1 โ 211 + 220 = 1 โ 2 โ 210 + 220 = (1 โ 210)2
Sada je:
220 โโ(1 + 211 + 220)(1 โ 211 + 220) =
= 220 โ |1 + 210| โ |1 โ 210| =
= 220 โ (1 + 210)(210 โ 1) = 220 โ (220 โ 1) = 1
2. Tarik je napisao sve trocifrene brojeve i za svaki od njih odredio proizvod njegovih
cifara. Nakon toga odredio je i zbir svih tih proizvoda. Koji je broj dobio?
Rjeลกenje:
Proizvod cifara trocifrenog broja kojem je cifra desetica ili cifra jedinica jednaka nuli iznosi
0. Takvi brojevi neฤe uticati na ukupan zbir svih proizvoda.
Promatrajuฤi brojeve prve stotice lako se vidi:
- zbir proizvoda cifara brojeva 111, 112, 113,โฆ , 118, 119 je 1 + 2 + 3 +โฏ + 8 + 9 = 45
- zbir proizvoda cifara brojeva 121, 122, 123,โฆ , 128, 129 je 2 ยท (1 + 2 + 3 +โฏ + 8 + 9) = 2 ยท 45
- analogno, slijede zbirovi proizvoda 3 โ 45, 4 โ 45,โฆ , 8 โ 45 i 9 โ 45.
Ukupan zbir proizvoda prve stotice iznosi
45 + 2 โ 45 + 45 โ 3 + โฏ+ 8 โ 45 + 9 โ 45 = 45 โ (1 + 2 + 3 +โฏ+ 8 + 9) = 45 โ 45 = 452
Za brojeve druge stotice taj je zbroj umnoลพaka dvostruko veฤi (zbog znamenke stotice 2) i
iznosi: 2 โ 452
Analogno, za ostale su trocifrene brojeve zbirovi proizvoda cifara jednaki su:
3 โ 452, 4 โ 452, ..., 9 โ 452
Konaฤni zbir svih proizvoda iznosi
452 โ (1 + 2 + 3 +โฏ+ 8 + 9) = 452 โ 45 = 453.
3. Izraฤunaj vrijednost izraza ๐2
๐๐+๐2 ako omjer brojeva ๐ i ๐ iznosi 2: 5.
Rjeลกenje:
๐: ๐ = 2: 5 โน ๐ =2๐
5
๐2
๐๐ + ๐2=
(2๐5)2
2๐5โ ๐ + ๐2
=
4๐2
257๐2
5
=4
35
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
194
4. Ako je ๐ฅ = โ12 + 2โ35 โ โ12 โ 2โ35 odrediti koliko je (๐ฅ โ 2โ5 โ 1)2016
?
Rjeลกenje:
Prvo ฤemo transformisati vrijednost ๐ฅ, pa ฤemo dobiti:
๐ = โ12 + 2โ35 โ โ12 โ 2โ35 = โ12 + 2โ7 โ 5 โ โ12 โ 2โ7 โ 5 =
= โ12 + 2โ5 โ โ7 โ โ12 โ 2โ5 โ โ7 =
= โ7 + 5 + 2โ5 โ โ7 โ โ7 + 5 โ 2โ5 โ โ7 =
= โ7 + 2โ5 โ โ7 + 5 โ โ7 โ 2โ5 โ โ7 + 5 =
= โ(โ7 + โ5)2โ โ(โ7 โ โ5)
2= โ7 + โ5 โ โ7 + โ5 = ๐โ๐
(๐ฅ โ 2โ5 โ 1)2016
= (2โ5 โ 2โ5 โ 1)2016
= (โ1)2016 = 1
5. Izraฤunati vrijednost izraza โ19 โ 4โ11 โ 4โ7 โ โ7.
Rjeลกenje:
โ19 โ 4โ11 โ 4โ7 โ โ7 = โ19 โ 4โ4 + 7 โ 4โ7 โ โ7 =
= โ19 โ 4โ22 โ 2 โ 2โ7 + (โ7)2โ โ7 = โ19 โ 4โ(2 โ โ7)
2โ โ7 =
= โ19 โ 4(2 โ โ7) โ โ7 = โ19 โ 8 + 4โ7 โ โ7 = โ11 + 4โ7 โ โ7 =
= โ4 + 7 + 4โ7 โ โ7 = โ4 + 4โ7 + 7 โ โ7 = โ22 + 2 โ 2 โ โ7 + (โ7)2โ โ7 =
= โ(2 + โ7)2โ โ7 = 2 + โ7 โ โ7 = 2
6. Ako je ๐(๐ + ๐) = ๐๐ (๐
2004โ 1) gdje su ๐, ๐, ๐ โ โ+ izraฤunati
1
๐+1
๐+1
๐.
Rjeลกenje:
- ๐(๐ + ๐) = ๐๐ (๐
2004โ 1)
๐๐ + ๐๐ =๐๐๐
2004โ ๐๐ โน ๐๐ + ๐๐ + ๐๐ =
๐๐๐
2004
- s druge strane imamo: 1
๐+1
๐+1
๐=๐๐+๐๐+๐๐
๐๐๐
โน1
๐+1
๐+1
๐=
๐๐๐2004๐๐๐
=1
2004
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
195
7. Ako je ๐ฅ + ๐ฆ = 6 i ๐ฅ ยท ๐ฆ = 8 pokazati da je ๐ฅ4 + ๐ฆ4 = 272
Rjeลกenje:
(๐ฅ + ๐ฆ)2 = 36
๐ฅ2 + 2๐ฅ๐ฆ + ๐ฆ2 = 3
Iz uslova zadatka ๐ฅ ยท ๐ฆ = 8 ovdje je 2๐ฅ๐ฆ = 16.
๐ฅ2 + ๐ฆ2 = 36 โ 16
๐ฅ2 + ๐ฆ2 = 20 / โ 2
(๐ฅ2 + ๐ฆ2)2 = 202
๐ฅ4 + 2๐ฅ2๐ฆ2 + ๐ฆ2 = 400
๐ฅ4 + ๐ฆ4 = 400 โ 2 ยท 64
๐ฅ4 + ๐ฆ4 = 400 โ 128
๐ฅ4 + ๐ฆ4 = 272
8. Reduciraj izraz ๐ฅ โ ๐ฆ4๐ง โ
4๐ง๐ฅ โ ๐ฆ
14๐ง โ
1๐ฅ โ ๐ฆ
Rjeลกenje:
๐ฅ โ ๐ฆ4๐ง โ
4๐ง๐ฅ โ ๐ฆ
14๐ง โ
1๐ฅ โ ๐ฆ
= ๐ฅ โ ๐ฆ + 4๐ง
9. Naฤi sve trocifrene brojeve koji su jednaki treฤem stepenu zbira svojih cifara.
Rjeลกenje:
Neka je broj ๐๐๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ rjeลกenje zadatka, tj. ๐๐๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ = (๐ + ๐ + ๐)3. Imamo: 43 < 100 i 999 < 103, pa
vrijedi 4 < (๐ + ๐ + ๐) < 10.
Za ๐ + ๐ + ๐ = 5 โน (๐ + ๐ + ๐)3 = 53 = 125, 1 + 2 + 5 โ 5.
Za ๐ + ๐ + ๐ = 6 โน (๐ + ๐ + ๐)3 = 63 = 216, 2 + 1 + 6 โ 6.
Za ๐ + ๐ + ๐ = 7 โน (๐ + ๐ + ๐)3 = 73 = 343, 3 + 4 + 3 โ 7.
Za ๐ + ๐ + ๐ = 8 โน (๐ + ๐ + ๐)3 = 83 = 512, 5 + 1 + 2 = 8.
Za ๐ + ๐ + ๐ = 9 โน (๐ + ๐ + ๐)3 = 93 = 729, 7 + 2 + 9 โ 9.
Jedini takav broj je broj 512.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
196
10. Pokazati da izraz (3๐+1)2โ(1โ๐)2
2+ 1 predstavlja neparan broj za svako ๐ โ โ.
Rjeลกenje:
(3๐ + 1)2 โ (1 โ ๐)2
2+ 1 =
9๐2 + 6๐ + 1 โ (1 โ 2๐ + ๐2)
2+ 1 =
8๐2 + 8๐
2+ 1 =
= 4๐2 + 4๐ + 1 = (2๐ + 1)2 A ovo je kvadrat neparnog broja.
11. Dokazati nejednakost: ๐2 + ๐2 + ๐2 โฅ 1; (๐, ๐, ๐ โ ๐ , ๐๐ + ๐๐ + ๐๐ = 1).
Rjeลกenje:
๐2 + ๐2 + ๐2 โฅ 1 โบ ๐2 + ๐2 + ๐2 โฅ ๐๐ + ๐๐ + ๐๐ /โ 2 โบ
โบ ๐2 โ 2๐๐ + ๐2 + ๐2 โ 2๐๐+๐2 + ๐2 โ 2๐๐ +๐2 โฅ 0 โบ
โบ (๐ โ ๐)2 + (๐ โ ๐)2 + (๐ โ ๐)2 โฅ 0.
Kako kvadrat svakog realnog broja ne moลพe biti negativan, to je dobijena nejednakost istinita
za sve ๐, ๐, ๐ โ ๐ . Vrijedi jednakost ako i samo ako je ๐ = ๐ = ๐.
12. Za koje vrijednosti promjenljvih x i y izraz: A = 2x2 + 2xy + y2 โ 2x + 2y + 2,
(x, y โ R ) ima najmanju (minimalnu) vrijednost?
Rjeลกenje:
Dati izraz moลพemo rastaviti na sledeฤi naฤin:
๐ด = 2๐ฅ2 + 2๐ฆ๐ฅ + ๐ฆ2 โ 2๐ฅ + 2๐ฆ + 2 =
= (๐ฅ2 + 2๐ฅ๐ฆ + ๐ฆ2 โ 2๐ฅ + 2๐ฆ + 1) + (๐ฅ2 โ 4๐ฅ + 4) โ 3 =
= (๐ฅ + ๐ฆ + 1)2 + (๐ฅ โ 2)2 โ 3.
Zbog (๐ฅ + ๐ฆ + 1)2 โฅ 0 i (๐ฅ โ 2)2 โฅ 0, (๐ฅ, ๐ฆ โ ๐ ) moลพemo zakljuฤiti da je najmanja
vrijednost izraza ๐ด za ๐ฅ + ๐ฆ + 1 = 0 i ๐ฅ โ 2 = 0, tj. kada sredimo dobijemo ๐ฅ = 2 i
๐ฆ = โ3. Dakle, najmanja vrijednost datog izraza je: ๐ด = โ3; za ๐ฅ = 2 i ๐ฆ = โ3.
13. Dokazati da je broj 20072005 โ 2007 djeljiv sa 90.
Rjeลกenje:
20072005 โ 2007 = 2007 โ (20072004 โ 1) = 9 โ 223 โ (20072004 โ 1)
Poslednja jednakost je sigurno djeljiva sa 9. Da bi izraz bio djeljiv sa 90 on mora biti djeljiv i
sa 9 i sa 10. Broj 20074 se zavrลกava sa cifrom 1, pa se i broj 20072004 zavrลกava sa cifrom 1,
pa ฤe biti da se izraz 20072004 โ 1 zavrลกava sa cifrom 0 pa ฤe izraz 20072004 โ 1 biti djeljiv
sa 10. Buduฤi da je 20072005 โ 2007 djeljiv i sa 9 i sa 10 to je on djeljiv i sa 90.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
197
Analitiฤka geometrija. Mnogougao
1. Zadane su taฤke ๐ด(1, 1), ๐ต(4, 3) i ๐ถ(โ1, 5). Napiลกi jednaฤinu pravaca na kojima leลพe
stranice trougla ๐ด๐ต๐ถ.
Rjeลกenje:
Stranica ๐ด๐ต leลพi na pravoj koja prolazi kroz taฤke ๐ด i ๐ต, stranica ๐ต๐ถ leลพi na pravoj koja
prolazi kroz taฤke ๐ต i ๐ถ i stranica ๐ด๐ถ leลพi na pravoj koja prolazi kroz taฤke ๐ด i ๐ถ. Na osnovu
navedenog i opลกteg oblika linearne funkcije ๐ฆ = ๐๐ฅ + ๐, dobijemo sisteme:
1 = ๐ + ๐ 3 = 4๐ + ๐ 1 = ๐ + ๐ 3 = 4๐ + ๐ 5 = โ ๐ + ๐ 5 = โ ๐ + ๐
Rjeลกavanjem sistema dobijemo jednaฤine traลพenih pravaca: ๐ฆ =2
3๐ฅ +
1
3, ๐ฆ = โ2๐ฅ + 3 i
๐ฆ = โ2
5๐ฅ +
23
5.
2. U pravouglom koordinatnom sistemu zadan je pravougaonik sa svojim vrhovima A(0,0),
๐ต(6, 0), ๐ถ(6, 4) i ๐ท(0, 4). Napiลกi jednaฤine pravaca na kojima leลพe dijagonale pravougaonika.
Rjeลกenje:
Dijagonala ๐ด๐ถ leลพi na pravoj koja prolazi kroz taฤke ๐ด i ๐ถ, dok dijagonala ๐ต๐ท leลพi na pravoj
koja prolazi taฤkama ๐ต i ๐ท. Na osnovu navedenog i opลกteg oblika linearne funkcije
๐ฆ = ๐๐ฅ + ๐, dobijemo sisteme:
0 = ๐ 0 = 6๐ + ๐ 4 = 6๐ + ๐ 4 = ๐
Rjeลกavanjem sistema dobijemo jednaฤine traลพenih pravaca ๐ฆ =2
3๐ฅ i ๐ฆ = โ
2
3๐ฅ + 4.
3. Zadane su taฤke ๐ด(2, 2), ๐ต(5, 0), ๐ถ(7, 3) i ๐ท(4, 5). Da li je ฤetverougao ๐ด๐ต๐ถ๐ท
paralelogram? A pravougaonik?
Rjeลกenje:
Pronaฤimo jednadลพbe pravaca na kojima leลพe stranice ฤetverougla. To su :
๐ด๐ต: ๐ฆ = โ2
3๐ฅ +
10
3
๐ต๐ถ: ๐ฆ =3
2๐ฅ โ
15
2
๐ถ๐ท: ๐ฆ = โ2
3๐ฅ +
23
9
๐ด๐ท: ๐ฆ =3
2๐ฅ โ 1 }
โน
Iz koeficijenata smjera zakljuฤujemo da su naspramne stranice paralelne ลกto znaฤi da je ovaj ฤetverougao paralelogram. Takoฤeriz koeficijenata pravca zakljuฤujemo da su susjedne stranice normalne, ลกto znaฤi da je ฤetverougao ๐ด๐ต๐ถ๐ท pravougaonik.
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
198
4. Povrลกina trougla je 8, a dva njegova vrha su u taฤkama ๐ด(1,โ2), ๐ต(2, 3). Odrediti
koordinate treฤeg vrha ๐ถ ako on leลพi na pravcu 2๐ฅ + ๐ฆ โ 2 = 0. Rjeลกenje:
Neka su ๐ฅ i ๐ฆ koordinate vrha ๐ถ. Koordinate tada zadovoljavaju jednadลพbu ๐ฆ = โ2๐ฅ + 2.
Iz uvjeta za povrลกinu trougla dobijamo:
๐ =1
2|1 โ (3 โ ๐ฆ) + 2 โ (๐ฆ + 2) + ๐ฅ โ (โ2 โ 3)| โน 2๐ = |7 + ๐ฆ โ 5๐ฅ|
Uvrลกtavajuฤi ๐ฆ = โ2๐ฅ + 2 i ๐ = 8 imamo 16 = |9 โ 7๐ฅ|.
Razlikujemo dvije moguฤnosti:
9 โ 7๐ฅ = 16 โน ๐ฅ1 = โ1,
9 โ 7๐ฅ = โ16 โน ๐ฅ2 =25
7.
Uzimajuฤi u obzir ๐ฆ = โ2๐ฅ + 2 dobijamo odgovarajuฤe ordinate ๐ฆ1 = 4 , ๐ฆ2 =โ36
7 .
Koordinate treฤeg vrha ๐ถ su (โ1, 4) ili (25
7,โ36
7 ).
Primjenjujuฤi formulu za raฤunanje udaljenosti dvije taฤke u pravouglom koordinatnom
sistemu imamo |๐ด๐ต| = โ26 i kako je ๐ = 8 to iz formule ๐โ๐ด๐ต๐ถ =|๐ด๐ต|โ๐ฃ๐
2 dobijamo da je
๐ฃ๐ =8
13โ26 . Visina ๐ฃ๐ je udaljenost vrha ๐ถ(๐ฅ๐, ๐ฆ๐) od pravca ๐ด๐ต kojem je jednaฤina
5๐ฅ โ ๐ฆ โ 7 = 0. Dakle:
๐ฃ๐ =|5๐ฅ๐ โ ๐ฆ๐ โ 7|
โ26=8
13โ26 โน |5๐ฅ๐ โ ๐ฆ๐ โ 7| = 16 .
Smjenom ๐ฆ๐ = โ2๐ฅ๐ + 2 dobijamo jednadลพbu |7๐ฅ๐ โ 9| = 16 .
Dva su rjeลกenja ๐ถ1(โ1, 4) i ๐ถ2 (25
7,โ36
7 ).
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
199
Simboli. Formule
๐ด โฉ ๐ต โ presjek dva skupa
๐ด โช ๐ต โ unija dva skupa
๐ด โ ๐ต โ razlika dva skupa
๐(๐ด) โ broj elemenata/ฤlanova datog skupa
๐ผ, ๐ฝ, ๐พ, โฆ , โข๐ด๐ต๐ถ,โฆโ oznaka za uglove
๐ผ + ๐ฝ = 90ยฐ โ komplementni uglovi
๐ผ + ๐ฝ = 180ยฐ โ suplementni uglovi
๐ ๐ข๐ ๐๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐ข๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐ ๐ข๐๐๐๐ฃ๐ โ uporedni uglovi
๐ โ jednocifren broj
10 โ ๐ + ๐ = ๐๐ฬ ฬ ฬ โ dvocifren broj
100 โ ๐ + 10 โ ๐ + ๐ = ๐๐๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ โ trocifren broj
๐ฅ + ๐ฆ โ zbir dva broja
๐ฅ โ ๐ฆ โ razlika dva broja
๐ฅ โ ๐ฆ โ proizvod dva broja ๐ฅ
๐ฆโ koliฤnik dva broja
๐ โ 1, ๐, ๐ + 1 โ tri uzastopna prirodna broja
2๐ โ 2, 2๐, 2๐ + 2 โ tri uzastopna parna prirodna broja
2๐ โ 3, 2๐ โ 1, 2๐ + 1 โ tri uzastopna neparna prirodna broja
๐ฅ = ๐ โ ๐ฆ + ๐ โ broj zapisan uz pomoฤ zbira proizvoda koliฤnika (๐), djelioca (๐ฆ) i ostatka
(๐) ๐ฅ โ ๐
๐ฆ โ ๐โ proลกirivanje razlomka
๐ฅ: ๐
๐ฆ: ๐โ skraฤivanje razlomka
๐ฅ
๐ฆยฑ๐ง
๐ฆ=๐ฅ ยฑ ๐ง
๐ฆโ sabiranje/oduzimanje razlomaka istih nazivnika
๐
๐ฅยฑ๐
๐ฆ=๐ โ ๐ ยฑ ๐ โ ๐
๐๐๐(๐ฅ, ๐ฆ)โ sabiranje/oduzimanje razlomaka razliฤitih nazivnika
๐ฅ
๐ฆโ ๐
๐=๐ฅ๐
๐ฆ๐โ mnoลพenje razlomaka
๐ฅ
๐ฆ:๐
๐=๐ฅ: ๐
๐ฆ: ๐โ dijeljenje razlomaka
๐ฅ
๐ฆ โ
๐ฆ
๐ฅโ reciproฤna vrijednost zadatog razlomka
๐ฅ
๐ฆ:๐
๐=๐ฅ
๐ฆโ ๐
๐โ dijeljnje razlomaka ako se brojnici/nazivnici ne mogu podijeliti
|๐| = { ๐, ๐ โฅ 0โ๐, ๐ < 0
โ apsolutna vrijednost cijelog broja
0. ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = 0. ๐๐๐๐โฆโ periodiฤni decimalni broj
๐ผ + ๐ฝ + ๐พ = 180ยฐ โ zbir uglova u trouglu
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
200
๐ผ + ๐ฝ + ๐พ = 360ยฐ โ zbir spoljaลกnjih uglova trougla
๐ผ + ๐ผ1 = ๐ฝ + ๐ฝ1 = ๐พ + ๐พ1 = 180ยฐ โ odnos unutraลกnjeg i njemu susjednog spoljaลกnjeg ugla
trougla
๐ผ + ๐ฝ = 90ยฐ โง ๐พ = 90ยฐ โ uglovi pravouglog trougla
๐ผ = ๐ฝ = ๐พ = 60ยฐ โ uglovi jednakostraniฤnog trougla
2๐ผ + ๐ฝ = 180ยฐ โ zbir uglova jednakokrakog trougla
๐ โ ๐ < ๐ < ๐ + ๐ โ odnos stranica trougla
๐๐, ๐๐ , ๐๐ โ simetrale stranica trougla
๐๐ผ, ๐๐ฝ, ๐๐พ โ simetrale unutraลกnjih uglova trougla
๐ก๐, ๐ก๐, ๐ก๐ โ teลพiลกnice trougla
โ๐, โ๐, โ๐ โ visine trougla
๐0 = 1, ๐1 = ๐
๐2 = ๐ โ ๐ โ kvadriranje broja
๐3 = ๐ โ ๐ โ ๐ โ kubiranje broja
๐๐ = ๐ โ ๐ โ โฆ โ ๐โ nโfaktora
โ stepenovanje broja
(โ๐)2๐ = ๐2๐ โ stepenovanje negativnog broja parnim eksponentom
(โ๐)2๐โ1 = โ๐2๐โ1 โ stepenovanje negativnog broja neparnim eksponentom
๐๐ โ ๐๐ = ๐๐+๐ โ mnoลพenje brojeva istih baza
๐๐: ๐๐ = ๐๐โ๐ โ dijeljenje brojeva istih baza
(๐๐)๐ = ๐๐โ ๐ โ stepenovanje stepena
๐๐
๐๐= (
๐
๐)๐
โ stepenovanje razlomka
๐โ๐ =1
๐๐
(๐
๐)โ๐
= (๐
๐)๐} โ stepenovanje negativnim eksponentom
โ๐ โ โ๐ = โ๐ โ ๐, ๐, ๐ โฅ 0 โ mnoลพenje korijena istog stepena
โ๐: โ๐ = โ๐: ๐, ๐ โฅ 0, ๐ > 0 โ dijeljenje korijena istog stepena
โ๐
๐=โ๐
โ๐, ๐ โฅ 0, ๐ > 0 โ korjenovanje razlomka
โ๐
โ๐=โ๐
โ๐โ โ๐
โ๐=โ๐ โ ๐
(โ๐)2 =
โ๐ โ ๐
๐, ๐ โฅ 0, ๐ > 0
โ๐
โ๐ + โ๐=
โ๐
โ๐ + โ๐โ โ๐ โ โ๐
โ๐ โ โ๐=โ๐ โ ๐ โ โ๐ โ ๐
(โ๐)2โ (๐)2
=โ๐ โ ๐ โ โ๐ โ ๐
๐ โ ๐, ๐ โฅ 0, ๐ > 0, ๐ > 0, ๐ โ ๐
โ๐
โ๐ โ โ๐=
โ๐
โ๐ โ โ๐โ โ๐ + โ๐
โ๐ + โ๐=โ๐ โ ๐ + โ๐ โ ๐
(โ๐)2โ (๐)2
=โ๐ โ ๐ + โ๐ โ ๐
๐ โ ๐, ๐ โฅ 0, ๐ > 0, ๐ > 0, ๐ โ ๐
}
racionalisanje nazivnika
1% =1
100= 0.01 โ postotak
๐ฆ = ๐ โ ๐ฅ โ procentni iznos, ๐ โ procenat, ๐ฅ โ glavna vrijednost/veliฤina
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
201
๐ฆ = ๐ฅ ยฑ ๐ โ ๐ฅ โ procentualno poskupljenje/poveฤanje ili pojeftinjenje/smanjenje
๐ฅ2 โ ๐ฆ2 = (๐ฅ โ ๐ฆ)(๐ฅ + ๐ฆ) โ razlika kvadrata
(๐ฅ ยฑ ๐ฆ)2 = ๐ฅ2 ยฑ 2๐ฅ๐ฆ + ๐ฆ2 โ kvadrat zbira/razlike
(๐ฅ ยฑ ๐ฆ)3 = ๐ฅ3 ยฑ 3๐ฅ2๐ฆ + 3๐ฅ๐ฆ2 ยฑ ๐ฆ3 โ kub zbira/razlike
๐ฅ3 ยฑ ๐ฆ3 = (๐ฅ ยฑ ๐ฆ)(๐ฅ2 โ ๐ฅ๐ฆ + ๐ฆ2) โ zbir/razlika kubova
๐๐ฅ ยฑ ๐๐ฆ = ๐(๐ฅ ยฑ ๐ฆ) โ izluฤivanje zajedniฤkog faktora ispred zagrade
๐2 = ๐2 + ๐2 โ Pitagorina teorema
๐: ๐ = ๐: ๐ โน ๐๐ = ๐๐ โ rjeลกavanje proporcije
๐(๐ด๐ต) = โ(๐ฅ2 โ ๐ฅ1)2 + (๐ฆ2 โ ๐ฆ1)2 โ udaljenost dvije taฤke u ravni
๐ =1
2|๐ฅ1(๐ฆ2 โ ๐ฆ3) + ๐ฅ2(๐ฆ3 โ ๐ฆ1) + ๐ฅ3(๐ฆ1 โ ๐ฆ2)| โ povrลกina trougla u koordinatnom sistemu
๐๐ฅ = ๐ โบ {๐ฅ =
๐
๐, ๐ โ 0 โ linearna jednadลพba ima jedinstveno rjeลกenje
0 โ ๐ฅ = ๐, ๐ = 0 โง ๐ โ 0 โ linearna jednadลพba je protivrjeฤna0 โ ๐ฅ = 0, ๐ = ๐ = 0 โ linearna jednadลพba je neodreฤena
๐ โ stranica kvadrata
๐, ๐ โ stranice pravougaonika
๐ โ dijagonala kvarata i pravougaonika
๐ = 4๐, ๐ = ๐2 โ obim i povrลกina kvadrata
๐ = ๐โ2 โ dijagonala kvadrata
๐ = 2(๐ + ๐) = 2๐ + 2๐, ๐ = ๐๐ โ obim i povrลกina pravougaonika
๐ = โ๐2 + ๐2 โ dijagonala pravougaonika
๐, ๐, ๐ โ stranice raznostraniฤnog trougla
๐ = ๐ + ๐ + ๐, ๐ =๐โ๐
2=๐โ๐
2=๐โ๐
2โ obim i povrลกina trougla
๐ โ osnovica jednakokrakog trougla
๐ โ krak jednakokrakog trougla
โ โ visina jednakokrakog trougla
๐ = ๐ + 2๐, ๐ =๐โ
2โ obim i povrลกina jednakokrakog trougla
๐2 = โ2 + (๐
2)2
โ krak jednakokrakog trougla
๐ โ stranica jednakostraniฤnog trougla
โ โ visina jednakostraniฤnog trougla
๐ = 3๐, ๐ =๐2โ3
4โ obim i povrลกina jednakostraniฤnog trougla
๐, ๐ โ katete pravouglog trougla
๐ โ hipotenuza pravouglog trougla
๐ = ๐ + ๐ + ๐, ๐ =๐๐
2โ obim i povrลกina pravouglog trougla
๐ โ poluobim trougla
๐ =๐+๐+๐
2โ poluobim trougla
๐ = โ๐ (๐ โ ๐)(๐ โ ๐)(๐ โ ๐) โ povrลกina trogula
๐ โ polupreฤnik opisanog kruga
๐ โ preฤnik kruga
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
202
๐ โ polupreฤnik opisanog kruga
๐ = ๐ ๐ โ povrลกina trougla
๐ =๐๐๐
4๐โ povrลกina trougla
๐ โ osnovica romba
โ โ visina romba
๐1, ๐2 โ dijagonale romba
๐ = 4๐, ๐ =๐1โ ๐2
2=๐โ
2โ obim i povrลกina romba
๐2 = (๐1
2)2
+ (๐2
2)2
โ osnovica romba
๐, ๐ โ osnovice trapeza
๐, ๐ โ kraci trapeza
๐ = ๐ + ๐ + ๐ + ๐, ๐ = ๐ + 2๐ + ๐ โ obim trapeza i jednakokrakog trapeza
๐ =๐+๐
2โ โ โ povrลกina trapeza
๐ = 2๐๐, ๐ = ๐2๐ โ obim i povrลกina kruga
๐ผ โ centralni ugao kruga
๐๐ =๐ผ
360ยฐโ ๐2๐ โ povrลกina kruลพnog isjeฤka
๐ = ๐(๐12 โ ๐2
2) โ povrลกina kruลพnog prstena
๐ต โ baza prizme, piramide, valjka, kupe
๐ โ omotaฤ prizme, piramide, valjka, kupe
๐ป โ visina prizme, piramide, valjka, kupe
๐ โ povrลกina prizme, piramide, valjka, kupe
๐ โ zapremina prizme, piramide, valjka, kupe
๐ = 2๐ต +๐, ๐ = ๐ต๐ป โ povrลกina i zapremina prizme i valjka
๐ = ๐ต +๐, ๐ =1
3๐ต๐ป โ zapremina prizme, piramide, valjka, kupe
๐ โ osnovica, osnovna ivica prizme, piramide
โ โ visina boฤne strane piramide
๐ โ boฤna ivica kupe
๐ท โ dijagonala prizme
๐ โ dijagonala boฤne strane prizme, dijagonala osnove prizme i piramide
๐ = 2๐2 + 4๐๐ป, ๐ = ๐2๐ป โ povrลกina i zapremina pravilne ฤetverostrane prizme
๐ = 6๐2, ๐ = ๐3 โ povrลกina i zapremina kocke
๐๐ = 2๐ + 2๐ป, ๐๐ = ๐๐ป โ obim i povrลกina dijagonalnog presjeka pravilne ฤetverostrane
prizme
๐2 = ๐2 + ๐ป2 โ dijagonala boฤne strane pravilne ฤetverostrane prizme
๐๐ = 2๐ + 2๐, ๐๐ = ๐2โ2 โ obim i povrลกina dijagonalnog presjeka kocke
๐ท = ๐โ3 โ dijagonala kocke
๐ = 2(๐๐ + ๐๐ + ๐๐), ๐ = ๐๐๐ โ povลกrina i zapremina kvadra
๐๐ = 2๐ + 2๐, ๐๐ = ๐๐ โ obim i povrลกina dijagonalnog presjeka kvadra
๐ท = โ๐2 + ๐2 + ๐2 โ dijagonala kvadra
๐2 = ๐2 + ๐2, ๐2 = ๐2 + ๐2, ๐2 = ๐2 + ๐2 โ dijagonala boฤnih strana kvadra
Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uฤenika osnovnih ลกkola za takmiฤenje
203
๐ =๐2โ3
2+ 3๐๐ป, ๐ =
๐2โ3
4๐ป โ povrลกina i zapremina pravilne trostrane prizme
๐ = 3๐2โ3 + 6๐๐ป, ๐ =3๐2โ3
4๐ป โ povลกrina i zapremina pravilne ลกestostrane prizme
๐๐ = 4๐ + 2๐ป, ๐๐ = 2๐๐ป โ obim i povrลกina dijagonalnog presjeka ลกestostrane prizme
๐2 = ๐2 + ๐ป2 โ dijagonala boฤne strane pravilne ลกestostrane prizme
๐ = ๐2 + 2๐โ, ๐ =1
3๐2 โ ๐ป โ povลกrina i zapremina pravilne ฤetverostrane piramide
โ2 = ๐ป2 + (๐
2)2
โ visina boฤne strane pravilne ฤetverostrane piramide
๐ 2 = โ2 + (๐
2)2
โ boฤna ivica pravilne ฤetverostrane piramide
๐ 2 = ๐ป2 + (๐
2)2
โ boฤna ivica pravilne ฤetverostrane piramide
๐๐ = ๐ + 2๐ , ๐๐ =๐๐ป
2โ obim i povrลกina dijagonalnog presjeka pravilne ฤetverostrane
piramide
๐ =๐2โ3
4+3๐โ
2, ๐ =
โ3
12๐2๐ป โ povrลกina i zapremina pravilne trostrane piramide
๐ =3๐2โ3
2+ 3๐โ, ๐ =
โ3
2๐2๐ป โ povrลกina i zapremina pravilne ลกestostrne piramide
๐ 2 = ๐ป2 + ๐2 โ boฤna ivica pravilne ลกestostrane piramide
โ2 = ๐ป2 +3๐2
4โ visina boฤne strane pravilne ลกestostrane piramide
๐๐ = 2๐ + 2๐ , ๐๐ = ๐๐ป โ obim i povrลกina dijagonalnog presjeka pravilne ลกestostrane
piramide
๐ = 2๐๐(๐ + ๐ป), ๐ = ๐2๐๐ป โ povrลกina i zapremina valjka
2๐ = ๐ป โ odnos polupreฤnika i visine jednakostranog valjka
๐๐ = 4๐ + 2๐ป, ๐๐ = 2๐ โ ๐ป โ obim i povrลกina popreฤnog presjeka valjka
๐๐2 = ๐ป2 + 4๐2 โ dijagonala osnog presjeka valjka
๐ = 6๐2๐, ๐ = 2๐3๐ โ povrลกina i zapremina jednakostranog valjka
๐๐ = 8๐, ๐๐ = 4๐2 โ obim i povrลกina popreฤnog presjeka jednakostranog valjka
๐๐2 = 8๐2 โ dijagonala osnog presjeka jednakostranog valjka
๐ = ๐๐(๐ + ๐ ), ๐ =1
3๐2๐๐ป โ povลกrina i zapremina kupe
๐ 2 = ๐2 + โ2 โ boฤna ivica kupe
๐๐ = 2๐ + 2๐ , ๐๐ = ๐๐ป โ obim i povrลกina popreฤnog presjeka kupe
๐ป = ๐โ3 โ odnos visine i polupreฤnika jednakostrane kupe
๐ = 2๐ โ odnos polupreฤnika i boฤne ivice jednakostrane kupe
๐ = 3๐2๐, ๐ =โ3
3๐3๐ โ povrลกina i zapremina jednakostrane kupe
๐๐ = 6๐, ๐๐ = ๐2โ3 โ obim i povrลกina popreฤnog presjeka jednakostrane kupe
๐ = 4๐2๐, ๐ =4
3๐3๐ โ povrลกina i zapremina kugle
๐ฅ โ polupreฤnik malog kruga kugle
๐ โ udaljenost centra kugle od centra malog kruga kugle
๐2 = ๐ฅ2 + ๐2 โ polupreฤnik kugla
๐๐ฅ = 2๐ฅ๐, ๐๐ฅ = ๐ฅ2๐ โ obim i povrลกina malog kruga kugle