u (ku1,,ku2, - selvyblog.files.wordpress.com · • vektor-vektor dapat dinyatakan secara geometris...
TRANSCRIPT
-
1
3. RUANG VEKTOR
3.1 VEKTOR (GEOMETRIK) – PENGANTAR
• Jika n adalah sebuah bilangan bulat positif, maka tupel-terorde (ordered-n-tuple)
adalah sebuah urutan n bilangan riil (a1, a2, ..., an). Himpunan semua tupel-terorde
dinamakan ruang-n dan dinyatakan dengan nR .
• Dua vektor u = (u1, u2, ..., un) dan v = (v1, v2, ..., vn) pada nR dinamakan sama jika
nn vuvuvu === ,,, 2211 …
jumlah u + v didefinisikan oleh
( )nn vuvuvu +++=+ ,,, 2211 …vu dan jika k adalah sembarang skalar, maka perkalian skalar ku didefinisikan oleh
( ),,2,1 ,, nkukukuk …=u
• Vektor-vektor dapat dinyatakan secara geometris sebagai segmen-segmen garis
terarah atau panah-panah di ruang-2 atau ruang-3; arah panah menentukan arah
vektor dan panjang panah menyatakan besarnya. Ekor panah dinamakan titik awal
(initial point) dari vektor, dan ujung panah dinamakan titik terminal (terminal
point). Selanjutnya vektor akan dinyatakan dengan huruf kecil tebal misalnya, a, v,
w, dan x. Bila membahas vektor, maka bilangan akan dinyatakan sebagai skalar.
Semua skalar merupakan bilangan riil dan akan dinyatakan oleh huruf kecil biasa
misalnya, k, dan l.
• Jika, seperti pada gambar 3.1 a titik awal vektor v adalah A dan titik terminalnya
adalah B, maka kita tuliskan
v = AB
-
2
Gambar 3.1 (a). Vektor AB (b). Vektor-vektor ekivalen
• Vektor-vektor yang mempunyai panjang dan arah yang sama walaupun mungkin
diletakkan pada kedudukan yang berbeda-beda, seperti vektor-vektor pada gambar
3.1b dinamakan ekivalen. Jika v dan w ekivalen maka kita tuliskan
v = w
• Definisi. Jika v dan w adalah sebarang dua vektor, maka penjumlahan didefinisikan
oleh
v + w = w + v (gambar 3.2)
Gambar 3.2
-
3
• Jika v adalah sebarang vektor yang tak nol, maka vektor w yang memenuhi v + w = 0
adalah negatif dari v (gambar 3.2)
w = - v
• Definisi. Jika v dan w adalah sebarang dua vektor, maka pengurangan didefinisikan
oleh v - w = v + (-w) (gambar 3.3)
Gambar 3.3
• Soal-soal yang melibatkan vektor seringkali dapat disederhanakan dengan
memperkenalkan sebuah sistem koordinat siku-siku. Misalkan v adalah vektor dalam
bidang (ruang-2), dan anggaplah seperti dalam gambar 3.4, bahwa v telah didudukkan
sehingga titik permulaannya berada di titik asal sebuah sistem koordinasi siku-siku.
Koordinat-koordinat (v1, v2) dari titik terminal v dinamakan komponen-komponen
dari v, dan kita menuliskannya sebagai
v = (v1, v2)
Gambar 3.4
-
4
• Operasi penambahan vektor dan operasi perkalian oleh skalar sangat mudah untuk
dilaksanakan di dalam komponen-komponen, seperti yang dilukiskan dalam gambar
3.5, jika v = (v1, v2) dan w = (w1, w2), maka
v + w = (v1 + w1, v2 + w2)
Gambar 3.5
• Jika v = (v1, v2) dan k adalah sebarang skalar, maka dengan menggunakan argumental
geometrik yang melibatkan segitiga-segitiga yang serupa, dapat diperlihatkan bahwa
kv = (kv1, kv2 ) (gambar 3.6)
Gambar 3.6
-
5
3.2 NORMA VEKTOR; ILMU HITUNG VEKTOR
• Teorema 1.
Jika u =(u1, u2, ..., un), v = (v1, v2, ..., vn) dan w = (w1, w2, ..., wn) adalah vektor –
vektor pada nR dan k serta l adalah skalar , maka :
(a) u + v = v +u
(b) u + (v + w ) =(u + v) + w
(c) u + 0= 0 +u = u
(d) u + (-u) =0, yakni, u – u = 0
(e) k(lu) = (kl)u
(f) k(u + v) = ku + kv
(g) (k + l)u = ku + lu
(h) lu = u (Ingat: 1 adalah skalar bernilai 1)
• Panjang sebuah vektor v seringkali dinamakan norma dari v dan dinyatakan dengan
||v||. Jelaslah dari teorema Phythagoras bahwa norma sebuah vektor v = (v1, v2) di
dalam ruang-2 adalah 2221 vv +=v
Jika v adalah vektor dalam ruang-3, maka 2322
21 vvv ++=v (gambar 3.7)
Gambar 3.7
• Jika P1 = (x1, y1, z1) dan P2 = (x2, y2, z2) adalah dua titik didalam ruang-3, maka jarak
diantara kedua titik tersebut adalah norma vektor 21PP (gambar 3.8)
),,( 12121221 zzyyxxPP −−−=
-
6
Maka jelaslah bahwa
( ) ( ) ( )212212212 zzyyxxd −+−+−=
Gambar 3.8
• Jika u = (u1, u2, ..., un) dan v = (v1, v2, ..., vn) adalah sembarang vektor pada nR ,
maka hasil kali dalam Euclidis (Euclidis inner product) u . v kita definisikan
dengan
u . v = ( )nn vuvuvu ⋅++⋅+⋅ …2211
3.3 RUANG -n EUCLIDIS
• Definisi. Jika V adalah sebuah ruang hasil kali dalam, maka norma (atau panjang)
vektor u dinyatakan oleh ||u|| dan didefinisikan oleh 2
1
,uuu =
• Definisi. Jika V adalah sebuah ruang hasil kali dalam, maka jarak antara dua titik
(vektor) u dan v dinyatakan oleh d(u,v) dan didefinisikan oleh
d(u,v) = ||u – v||
-
7
• Teorema 2.
Jika u,v, dan w adalah vektor pada nR dan k adalah sembarang skalar, maka :
a) u . v = v . u
b) (u + v) . w = u . w + v . w
c) (ku) . v = k(u . v)
d) v . v ≥ 0, Selanjutnya, v . v = 0 jika dan hanya jika v = 0
3.4 RUANG VEKTOR UMUM
• Misalkan V sebarang himpunan benda yang dua operasinya kita definisikan, yakni
penambahan dan perkalian dengan skalar (bilangan riil). Penambahan tersebut kita
pahami untuk mengasosiasikan sebuah aturan dengan setiap pasang benda u dan v
dalam V, yang mengandung elemen u + v, yang kita namakan jumlah u dan v ;
dengan perkalian skalar kita artikan aturan untuk mengasosiasikannya baik untuk
setiap skalar k maupun setiap benda u pada V yang mengandung elemen ku, yang
dinamakan perkalian scalar (scalar multiple) u oleh k.
• Jika aksioma aksioma berikut dipenuhi oleh semua benda u, v, w pada V dan oleh
semua skalar k dan l, maka kita namakan V sebuah ruang vector (vector space) dan
benda – benda pada V kita namakan vector:
a) Jika u dan v adalah benda – benda pada V, maka u + v berada di V.
b) u + v = v + u c) u + (v + w) = (u + v) + w d) ada sebuah benda 0 di V sehingga 0 + u = u + 0 = u untuk semua u di V.
e) Untuk setiap u di V, ada sebuah benda – u di V yang kita namakan negatif u sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0.
f) Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang benda di V, maka ku berada
di V.
g) k(u + v) = ku + kv
h) (k + l)u = ku + lu
i) k(lu) = (kl)(u)
j) lu = u
-
8
• Teorema 3.
Misalkan V adalah sebuah ruang vektor, u sebuah vektor pada V, dan k sebuah
skalar; maka :
(a) 0u = 0
(b) k0 = 0
(c) (-1)u = - u
(d) jika ku = 0, maka k = 0 atau u = 0
3.5 SUBRUANG
• Subhimpunan W dari sebuah ruang vektor V dinamakan subruang (subspace) V jika
W itu sendiri adalah ruang vektor di bawah penambahan dan perkalian skalar yang
didefinisikan pada V.
• Teorema 4.
Jika W adalah himpunan dari satu atau lebih vektor dari sebuah ruang vektor V,
maka W adalah subruang dari V jika dan hanya jika kondisi-kondisi berikut berlaku.
(a) Jika u dan v adalah vektor-vektor pada W, maka u + v terletak di W.
(b) Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang vektor pada W, maka ku
berada di W.
• Sebuah vektor w dinamakan kombinasi linear dari vektor-vektor v1, v2, ....,vr jika
vektor tersebut dapat diungkapkan dalam bentuk
w = k1v1 + k2v2 + ... + krvr dimana k1, k2, ...., kr adalah skalar.
• Contoh 1
Perlihatkan bahwa w = (9, 2, 7) merupakan kombinasi linier dari u = (1, 2, -1) dan v
= (6, 4, 2). Tunjukkan pula bahwa w’ = (4, -1, 8) bukan merupakan kombinasi linier
dar vektor u dan v tersebut
Jawab
Supaya w merupakan kombinasi linier dari u dan v, maka harus ada skalar k1 dan k2
sehingga w = k1u + k2v; yakni
-
9
(9, 2, 7) = k1(1, 2, -1) + k2(6, 4, 2)
Penyamaan komponen-komponen yang bersesuaian memberikan
7224296
21
21
21
=+−=+=+
kkkkkk
Dengan memecahkan sistem ini akan menghasilkan k1 = -3, k2 = 2 sehingga
w = 3 u + 2 v
Demikian juga supaya w’ merupakan kombinasi linier dari u dan v, maka harus ada
skalar k1 dan k2 sehingga w = k1u + k2v; yakni
(4, -1, 8) = k1(1, 2, -1) + k2(6, 4, 2)
Penyamaan komponen-komponen yang bersesuaian memberikan
8214246
21
21
21
=+−−=+=+
kkkkkk
Sistem-sistem persamaan ini tidak konsisten (buktikan) sehingga tidak ada skalar k1
dan k2 yang memenuhi w = k1u + k2v. Dengan demikian jelas w’ bukanlah kombinasi
linier dari u dan v.
• Definisi. Jika v1, v2, .....,vr adalah vektor-vektor pada ruang vektor V dan jika masing-
masing vektor pada V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear v1, v2, ....,vr maka
kita mengatakan bahwa vektor-vektor ini merentang V.
• Teorema 5.
Jika v1, v2, ....,vr adalah vektor-vektor pada ruang vektor V, maka :
(a) Himpunan W dari semua kombinasi linear v1, v2, ....,vr adalah subruang V.
(b) W adalah subruang terkecil dari V yang mengandung v1, v2, ....,vr dalam arti
bahwa setiap subruang lain dari V yang mengandung v1, v2, ....,vr harus
mengandung W.
-
10
3.6 KEBEBASAN LINEAR
• Jika S = {v1, v2, ....,vr} adalah himpunan vektor, maka persamaan vektor
k1v1 + k2v2 + ... + krvr = 0
mempunyai paling sedikit satu pemecahan, yakni
k1 = 0, k2 = 0, ...., kr = 0
Jika ini adalah satu-satunya pemecahan, maka S kita namakan himpunan bebas
linear (linearly independent). Jika ada pemecahan lain, maka S kita namakan
himpunan tak bebas linear (linearly dependent).
• Contoh 2.
Himpunan vektor-vektor S = {v1, v2, v3} dengan v2 = (1, 2, 5, -1), v3 = (7, -1, 5, 8)
adalah himpunan tak bebas linier karena 3v1 + v1 + v3 = 0
• Teorema 6.
Himpunan S dengan dua vektor atau lebih adalah
(a) Tak bebas linear jika dan hanya jika paling tidak satu diantara anggota
himpunan vektor S dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari anggota
himpunan vektor S lainnya.
(b) Bebas linear jika tidak ada anggota himpunan vektor S yang dapat dinyatakan
sebagai kombinasi linear dalam anggota himpunan vektor S lainnya.
• Teorema 7.
(a) Jika sebuah himpunan mengandung vektor nol, maka himpunan itu takbebas
linear.
(b) Sebuah himpunan yang mempunyai persis dua vektor takbebas linear jika dan
hanya jika salah satu dari vektor itu adalah perkalian dari skalar lainnya.
• Teorema 8.
Misalkan S = {v1, v2, ....,vr} adalah himpunan vektor-vektor pada Rn. Jika r > n,
maka S takbebas linear.
-
11
3.7 BASIS DAN DIMENSI
• Jika V adalah sebarang ruang vektor dan S = {v1, v2, ....,vr} merupakan
himpunan berhingga dari vektor-vektor pada V, maka S kita namakan basis
untuk V jika
(a) S bebas linear ;
(b) S merentang V
• Contoh 3
Misalkan v1 = (1, 2, 1) , v2 = (2, 9, 0), dan v3 = (3, 3, 4). Perlihatkanlah bahwa
himpunan S = { v1, v2, v3} adalah basis untuk R3.
Jawab.
Untuk memperlihatkan bahwa S merentang R3, maka harus ditunjukkan
bahwa sembarang vektor b = (b1, b2, b3) dapat dinyatakan sebagai kombinasi
linier
b = k1v1 + k2 v2 + k3v3
dari vektor-vektor S. Dengan menyatakan persamaan ini dalam komponen-
komponennya maka akan memberikan
(b1, b2, b3) = k1(1, 2, 1) + k2 (2, 9, 0)+ k3 (3, 3, 4)
atau
(b1, b2, b3) = (k1 + 2 k2 + 3 k3, 2k1 + 9k2 + 3k3, k1 + 4 k3)
atau
331
2321
1321
439232
bkkbkkkbkkk
=+=++=++
Jadi untuk memperlihatkan bahwa S merentang V, maka kita harus
perlihatkan bahwa sistem persamaan (3.1) mempunyai pemecahan untuk
semua pilihan b = (b1, b2, b3). Untuk membuktikan S bebas linier (BL), harus
ditunjukkan bahwa satu-satunya pemecahan dari
k1v1 + k2 v2 + k3v3 = 0
adalah k1 = k2 = k3 = 0.
3.1
3.2
-
12
Seperti sebelumnya jika persamaan 3.2 dinyatakan dalam komponen-
komponennya, maka pembuktian BL akan direduksi menjadi pembuktian
bahwa sistem tersebut homogen , yaitu
040392032
31
321
321
=+=++=++
kkkkkkkk
yang hanya mempunyai pemecahan trivial. Perhatikan bahwa persamaan
(3.1) dan (3.3) mempunyai matriks koefisien yang sama. Selanjutnya tinjau
kembali bagian (a), (b), dan (d) dari teorema 12 handout kuliah pada bagian
“Hasil Selanjutnya mengenai Sistem Persamaan dan Keterbalikan” (atau
Howard Anton teorema 15 pada bagian 1.7). Menurut bagian tersebut jelas
secara serempak dapat dibuktikan bahwa S bebas linier dan merentang R3
dengan memperlihatkan bahwa matriks koefisien
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
401392321
A
pada persamaan (3.1) dan (3.3) dapat dibalik (mempunyai inverse). Hal ini
sama dengan membuktikan bahwa det (A) ≠0, yaitu
( ) 1401392321
det −==A
Jelas karena det (A) ≠0, maka menurut A dapat dibalik. Jadi, S adalah sebuah
basis untuk R3.
• Contoh 4
Misalkan
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
1001
1M , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡0010
2M , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡0100
3M , dan ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡1000
4M
Himpunan S = [M1, M2, M3, M4] adalah sebuah basis untuk ruang vektor M22
dari matriks-matriks 2 x 2. Untuk melihat bahwa S merentang M22,
perhatikanlah bahwa sebuah vektor khas (matriks)
-
13
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡dcba
dapat kita tulis sebagai
1111
1000
0100
0010
0001
dMcMbMaM
dcbadcba
+++=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
Untuk melihat bahwa S bebas linier, anggaplah bahwa
1111 dMcMbMaM +++=
yakni,
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡0000
1000
0100
0010
0001
dcba
maka
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡0000
dcba
Jadi a = b = c = d = 0 sehingga S bebas linier
Basis S dalam contoh ini disebut basis baku untuk M22.
• Definisi. Sebuah ruang vektor taknol V dinamakan berdimensi berhingga
(finite dimensional) jika ruang vektor tersebut mengandung sebuah himpunan
berhingga dari vektor-vektor { v1, v2, ....,vn } yang membentuk sebuah basis.
Jika tidak ada himpunan seperti itu, maka V dinamakan berdimensi
takberhingga (infinite dimensionel). Tambahan lagi, kita akan menganggap
ruang vektor nol sebagai ruang vektor berdimensi berhingga walaupun ruang
vektor tersebut tidak mempunyai himpunan bebas linear, sehingga basis pun
tidak ada.
• Teorema 9.
Jika S = { v1, v2, ....,vn } adalah basis untuk ruang vektor V, maka setiap
himpunan dengan lebih dari n vektor adalah takbebas linear.
-
14
• Teorema 10.
Sebarang dua basis untuk ruang vektor berdimensi berhingga mempunyai
jumlah vektor yang sama.
• Dimensi sebuah ruang vektor V yang berdimensi berhingga didefinisikan
sebagai banyaknya vektor pada basis untuk V, Tambahan lagi, kita
mendefinisikan ruang vektor nol mempunyai dimensi nol.
• Teorema 11.
(a) Jika S = { v1, v2, ....,vn } adalah sebuah himpunan n vektor bebas linear
pada sebuah ruang V yang berdimensi n, maka S adalah sebuah basis untuk
V.
(b) Jika S = { v1, v2, ....,vn } adalah sebuah himpunan n vektor yang merentang
ruang V yang berdimensi n, maka S adalah basis untuk V.
(c) Jika S = { v1, v2, ....,vn } adalah sebuah himpunan bebas linear pada ruang
V yang berdimensi n dan r < n, maka S dapat diperbesar menjadi basis
untuk V ; yakni, vektor-vektor vr+1 ,....,vn sehingga {v1, v2,,....,vr,vr+1,....,vn}
adalah sebuah basis untuk V.
3.8 RUANG BARIS DAN KOLOM MATRIKS; RANK; PENERAPAN TERHADAP PENCARIAN BASIS
Tinjaulah matriks m x n
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
mnmm
n
n
aaa
aaaaaa
A
21
22221
11211
Vektor-vektor
-
15
( )( )
( )mnmmm
n
n
aaar
aaaraaar
,,,
,,,,,,
21
222212
112111
=
==
terbentuk dari baris-baris A yang kita namakan vektor-vektor baris A, dan vektor-
vektor
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
1
21
11
1
ma
aa
c ,
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
2
22
12
2
ma
aa
c , ... ,
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
3
23
13
3
ma
aa
c
terbentuk dari kolom-kolom A yang kita namakan vektor-vektor kolom A.
Subruang Rn yang direntang oleh vektor-vektor baris yang kita namakan ruang
baris (row space) A dan subruang Rm yang direntang oleh vektor-vektor kolom
kita namakan ruang kolom (column space) A.
• Contoh 5
Misalkan ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=413012
A
Vektor-vektor baris A adalah
r1 = (2, 1, 0) dan r2 = (3, -1, 4)
Vektor-vektor kolom A adalah
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
32
1c , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=1
12c , dan ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
40
3c
• Teorema 12.
Operasi baris elementer tidak mengubah ruang baris sebuah matriks.
• Teorema 13.
Vektor-vektor baris taknol berbentuk eselon baris dari matriks A membentuk
basis untuk ruang baris A.
-
16
• Contoh 6.
Carilah sebuah basis untuk ruang yang direntang oleh vektor-vektor
v1 = (1, -2, 0, 0, 3), v2 = (2, -5, -3, -2, 6), v3 = (0, 5, 15, 10, 0)
v4 = (2, 6, 18, 8, 6)
Jawab. Ruang yang direntang oleh vktor-vektor ini adalah ruang baris dari
matriks
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−−−
−
68186201015506235230021
Dengan mereduksi matriks ini menjadi bentuk eselon baris (buktikan sendiri!),
didapatkan
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
00000011000231030021
Vektor-vektor baris taknol pada matriks ini adalah
w1 = (1, -2, 0, 0, 3), w2 = (0, 1, 3, 2, 0), dan w3 = (0, 0, 1, 1, 0)
Vektor-vektor ini membentuk basis bagi ruang baris tersebut dan sebagai
konsekuensinya maka akan membentuk basis untuk ruang yang direntang
oleh v1, v2, v3, dan v4
• Teorema 14.
Jika A adalah sebarang matriks, maka ruang baris dan ruang kolom A
mempunyai dimensi yang sama.
• Dimensi ruang baris dan ruang kolom matriks A dinamakan rank A dan
dinyatakan dengan rank (A).
-
17
• Teorema 15.
Jika A adalah matriks n x n, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen
satu sama lain.
(a) A dapat dibalik.
(b) A x = 0 hanya mempunyai pemecahan trivial.
(c) A ekivalen baris dengan In.
(d) A x = b konsisten untuk tiap-tiap matriks b yang berukuran n x 1.
(e) det(A) ≠ 0.
(f) A mempunyai rank n.
(g) Vektor-vektor baris A bebas linear.
(h) Vektor-vektor kolom A bebas linear.
• Teorema 16.
Sebuah sistem persamaan linear Ax = b adalah konsisten jika dan hanya jika
b berada pada ruang kolom A.
• Teorema 17.
Sebuah sistem persamaan linear Ax = b akan konsisten jika dan hanya jika
rank dari matriks koefisien A sama dengan rank dari matriks yang diperbesar
[A|b].
• Teorema 18.
Jika Ax = b adalah sistem linear konsisten dari m persamaan n bilangan
takdiketahui, dan jika A mempunyai rank r, maka pemecahan sistem tersebut
mengandung n – r parameter.
3.9 RUANG HASIL KALI DALAM
• Sebuah hasil kali dalam (inner product) pada ruang vektor riil V adalah
fungsi yang mengasosiasikan bilangan riil vu, dengan masing-masing
pasangan vektor u dan v pada V sedemikian rupa sehingga aksioma-aksioma
-
18
berikut dipenuhi untuk semua vektor u, v, dan w di V dan juga untuk semua
skalar k.
1) uvvu ,, = (aksioma simetri)
2) wvwuwvu ,,, +=+ (aksioma penambahan)
3) vuvu ,, kk = (aksioma kehomogenan)
4) 0, ≥vv ; dan 0, =vv (aksioma kepositifan)
jika dan hanya jika v = 0
Sebuah ruang vektor riil dengan sebuah hasil kali dalam dinamakan ruang
hasil kali dalam riil (real product space).
• Teorema 19.
Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor pada ruang hasil kali dalam riil dan k
sebarang skalar, maka
(a) 0,, == 0vv0 u
(b) wuvuwvu ,,, +=+
(c) vuvu ,, kk =
3.10 PANJANG DAN SUDUT DI RUANG HASIL KALI DALAM Di R2, panjang vektor u = (u1, u2) diberikan oleh
22
21 uu +=u
yang dapat kita tuliskan dalam ruas-ruas hasil kali dalam titik sebagai
( ) 21uuuuu ⋅=⋅=
Dengan cara yang sama, jika u = (u1, u2, u3) adalah vektor di R3, maka
( ) 21232221 uuu ⋅=++= uuu
Selanjutnya diperoleh definisi berikut
• Definisi. Jika V adalah sebuah ruang hasil kali dalam, maka norma (atau
panjang) vektor u dinyatakan oleh u dan didefinisikan oleh
-
19
21uu,u =
• Definisi. Jika V adalah sebuah ruang hasil kali dalam, maka jarak antara dua
titik (vektor) u dan v dinyatakan oleh d(u,v) dan didefinisikan oleh
( ) vuvu, −=d
• Contoh 7.
Jika u = (u1, u2, ..., un) dan v = (v1, v2, ..., vn) adalah vektor pada Rn dengan
hasil kali dalam Euclidis, maka
222
21
21, nuuu +++== uuu
dan
( )
( ) ( ) ( )2222211
21,
nn vuvuvu
d
−++−+−=
−−=−= vuvuvuvu,
Amatilah bahwa persamaan ini tak lain dari rumus baku untuk norma
Euclidis dan jarak yang dibahas pada sub bab “Ruang-n Euclidis”.
• Teorema 20.
(Ketaksamaan Cauchy-Schwarz). Jika u dan v adalah vektor pada sebuah
ruang hasil kali dalam, maka
vvuuvu ,,, 2 ≤
Berikut adalah tinjauan terhadap sifat-sifat yang paling penting dari panjang
Euclidis dan jarak Euclidis dalam R2 dan R3 dalam bentuk tabel
Sifat-sifat dasar panjang (L) Sifat-sifat dasar jarak (D) L1. 0≥u D1. ( ) 0, ≥vud L2. 0=u jika dan hanya jika 0=u D2. ( ) 0, =vud jika dan hanya jika vu =L3. uu kk = D3. ( ) ( )uvvu ,, dd = L4. vuvu +≤+ (ketaksamaan segitiga)
D4. ( ) ( ) ( )vwwuvu ,,, ddd +≤ (ketaksamaan segitiga)
-
20
Teorema berikutnya akan mengakui definisi-definisi mengenai normal dan
jarak pada ruang hasil kali dalam
• Teorema 21.
Jika V adalah ruang hasil kali dalam, maka norma 21
,uuu = dan jarak
d(u,v) = ||u–v|| memenuhi semua sifat yang didaftarkan pada tabel di atas.
• Definisi. Dalam ruang hasil kali dalam, dua vektor u dan v dinamakan
ortogonal jika 0, =vu . Selanjutnya jika u ortogonal terhadap setiap vektor
pada himpunan W, maka kita katakan bahwa u ortogonal terhadap W.
• Teorema 22.
(Teorema Pythagoras yang digeneralisasi). Jika u dan v adalah vektor-
vektor ortogonal pada ruang hasil kali dalam, maka
||u + v||2 = ||u||2 + ||v||2
3.11 BASIS ORTONORMAL; PROSES GRAM-SCHMIDT
• Definisi. Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam dinamakan
himpunan ortogonal jika semua pasangan vektor-vektor yang berada dalam
himpunan tersebut ortogonal. Sebuah himpunan ortogonal yang setiap
vektornya mempunyai norma 1 dinamakan ortonormal.
• Contoh 8
Misalkan ( )0,1,01 =v ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
21,0,
21
2v dan ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=
21,0,
21
3v
Himpunan S = {v1, v2, ....,vn} ortonormal jika R3 mempunyai hasil kali dalam
Euclidis, karena 0,,, 323121 === vvvvvv dan
1321 === vvv
-
21
Jika v adalah vektor taknol pada ruang hasil kali dalam, maka menurut sifat
L3 dari teorema 20 vektor
vv1 mempunyai norma 1, karena
111 == vv
vv
Proses pengalian vektor v taknol ini dengan kebalikan panjangnya untuk
mendapatkan vektor yang normanya 1 dinamakan menormalisasikan v.
Himpunan ortogonal dari vektor taknol selalu dapat dikonversikan terhadap
ortonormal dengan menormalisasikan vektornya masing-masing
• Contoh 9
Himpunan S = {u1, u2, u3}, dimana
u1 = (0, 1, 0), u2 = (1, 0, 1), dan u3 = (1, 0, -1)
adalah ortogonal, karena 0,,, 323121 === uuuuuu .
Karena 11 =u , 22 =u , dan 23 =u , dengan
menormalisasikan masing-masing vektornya akan menghasilkan himpunan
ortonormal pada contoh 8
• Teorema 23.
Jika S = {v1, v2, ....,vn} adalah basis ortonormal untuk ruang hasil kali dalam
V, dan u adalah sebarang vektor dalam V, maka
nn vvuvvuvvuu ,,, 2211 +++=
• Teorema 24.
Jika S = = {v1, v2, ....,vn} adalah himpunan ortogonal vektor taknol dalam
ruang hasil kali dalam, maka S bebas linear.
-
22
• Teorema 25.
Misalkan V adalah ruang hasil kali dalam dan = {v1, v2, ....,vn} adalah
himpunan ortonormal dari vektor-vektor V. Jika W menyatakan ruang yang
direntang oleh v1, v2, ....,vn maka setiap vektor u dalam V dapat diungkapkan
dalam bentuk
u = w1 + w2
dimana w1 terletak di W dan w2 ortogonal terhadap W dengan memisalkan
nn vvuvvuvvuw ,,, 22111 +++= …
dan
nn vvuvvuvvuuw ,,, 22112 −−−−= …
(Lihat gambar3.9 untuk melukiskannya pada R3)
Gambar 3.9
Menurut gambar 3.9 maka kita namakan sebagai proyeksi ortogonal u pada W
dan menyatakannya dengan proyw u. Vektor w2 = u - proyw u kita namakan
komponen u yang ortogonal terhadap W. Dengan notasi ini rumus (3.3) dan
(3.4) dapat dituliskan sebagai
nnw vvuvvuvvuu ,,,proy 2211 +++= …
(proyeksi ortogonal u pada W)
nnw vvuvvuvvuuuu ,,,proy 2211 −−−−=− …
(komponen u ortogonal terhadap W)
3.3
3.4
3.5
3.6
W
u
w2
w1
-
23
• Contoh 10.
Misalkan R3 mempunyai hasil kali dalam Euclidis dan misalkan W adalah
subruang yang direntang oleh vektor-vektor ortonormal ( )0,1,01 =v dan ( )53542 ,0,−=v . Proyeksi ortogonal u = (1, 1, 1) pada W adalah
( )( ) ( )( ) ( )253,2545354512211
,1,0,0,1,01
,,proy
−=−−+=
+= vvuvvuuw
Komponen u yang ortogonal terhadap W adalah
( ) ( ) ( )2528,2521253,254 ,0,11,1,1proy =−−=− uu w Perhatikanlah bahwa uu wproy− ortogonal baik terhadap v1 maupun v2
sehingga vektor ini ortogonal terhadap setiap vektor para ruang W yang
direntang oleh v1 dan v2 sebagai mana yang diharapkan.
• Teorema 26.
Setiap ruang hasil kali dalam berdimensi berhingga taknol mempunyai
sebuah basis ortonormal.
Misalkan V adalah sebarang ruang hasil kali dalam berdimensi berhingga
taknol dan misalkan S = {u1, u2, ..., un} adalah sebarang basis untuk V. Urutan
langkah-langkah berikut akan menghasilkan basis ortonormal {v1, v2, ..., vn}
untuk V Proses Gram-Schmidt
Langkah 1. Misalkan 111 uuv = . Vektor v1 mempunyai norma 1.
Langkah 2. Buat/bangun vektor v2 yang normanya 1 yang ortogonal terhadap v1.
Caranya adalah hitung komponen u2 yang ortogonal terhadap ruang
W1 yang direntang oleh v1 dan kemudian normalisasikanlah
komponen u2 tersebut; yakni
1122
1122
212
2122 ,
,proyproy
vvuuvvuu
uuuu
v−
−=
−−
=w
w
-
24
Gambar 3.10
Langkah 3. Buat/bangun vektor v3 yang normanya 1 yang ortogonal terhadap v1
maupun v2. Caranya adalah hitung komponen u3 yang ortogonal
terhadap ruang W2 yang direntang oleh v1 dan v2 dan
menormalisasikannya (gambar ...); yakni
2231133
2231133
323
3233 ,,
,,proyproy
vvuvvuuvvuvvuu
uuuuv
−−
−−=
−−
=w
w
Gambar 3.11
Langkah 4. Buat/bangun vektor v4 yang normanya 1 yang ortogonal terhadap v1,
v2, dan v3. Caranya adalah hitung komponen u4 yang ortogonal
terhadap ruang W3 yang direntang oleh v1, v2 dan, v3 dan
menormalisasikannya. Jadi,
proyw1 u2
W1
v1
v2
u2
u2- proyw1 u2
v1
u3
u3- proyw2 u3
v2
W2
v3
proyw2 u3
-
25
3342241144
3342241144
434
4344 ,,,
,,,proyproy
vvuvvuvvuuvvuvvuvvuu
uuuu
v−−−
−−−=
−−
=w
w
Dengan meneruskannya dalam cara ini, kita akan mendapatkan himpunan
ortonormal dari vektor-vektor {v1, v2, ...., vn}. Karena V berdimensi n dan karena
setiap himpunan ortonormal bebas linier, maka himpunan {v1, v2, ...., vn}akan
merupakan basis ortonormal untuk V.
Pembentukan langkah demi langkah diatas untuk mengubah sembarang
basis ke basis ortonormal dinamakan proses Gram-Schmidt diperlihatkan
bahwa pada masing-masing tahapan proses ini, vektor-vektor v1, v2, ...., vk membentuk basis ortonormal untuk subruang yang direntang oleh u1, u2, ...., uk
Contoh 11.
Tinjaulah ruang vektor R3 dengan hasil kali dalam Euclidis. Terapkanlah proses
Gram-Schmidt untuk mentransformasikan basis u1 = (1, 1, 1), u2 = (0, 1, 1), dan
u3 = (0, 0, 1) ke dalam basis ortonormal.
Jawab
Langkah 1. ( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛===
31,
31,
31
31,1,1
1
11 u
uv
Langkah 2.
( )
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
−=−
31,
31,
32
31,
31,
31
321,1,0
,proy 1122212 vvuuuu w
Maka,
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=
−−
=6
1,6
1,6
231,
31,
32
63
proyproy
212
2122 uu
uuv
w
w
-
26
Langkah 3.
( )
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−=
−−=−
21,
21,0
61,
61,
62
31,
31,
31
311,1,0
,,proy 2231133323 vvuvvuuuu w
Maka,
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
−−
−−=
−−
=2
1,2
1,021,
21,02
,,,,
proyproy
2231133
2231133
323
3233 vvuvvuu
vvuvvuuuuuuv
w
w
Jadi,
,3
1,3
1,3
11 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=v ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
61,
61,
62
2v , ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=
21,
21,03v
membentuk basis ortonormal untuk R3.
3.12 EIGEN DAN VEKTOR EIGEN Jika A adalah matriks n x n, , sering kita jumpai tidak ada hubungan geometrik
yang nyata diantara vektor x dan bayangannya Ax di bawah perkalian oleh A
(gambar 3.12 a). Akan tetapi ada beberapa vektor tak nol yang sering memetakan
A ke dalam skalar dengan perkalian skalarnya sendiri (Gambar 3.12b). Pada
bagian ini akan ditunjukkan bagaimana mencari vektor-vektor ini.
Gambar 3.12
• Definisi. Jika A adalah matriks n x n, maka vektor taknol x di dalam Rn
dinamakan vektor eigen (eigenvector) dari A jika Ax adalah kelipatan skalar
AxAx
(a) (b)
-
27
dari x, yakni, Ax = λx untuk suatu skalar λ. Skalar λ dinamakan nilai eigen
(eigenvalue) dari A dan x dikatakan vektor eigen yang bersesuaian
• Contoh 12.
Vektor x ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
21
adalah vektor eigen dari ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=18
03A yang bersesuaian
dengan nilai eigen λ = 3 karena Ax =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=63
21
1803
3 x
Untuk mencari nilai eigen matriks A yang berukuran n x n maka dapat
dituliskan kembali Ax = λx sebagai
xx IA λ=
atau secara ekivalen
( ) 0x =− AIλ Supaya menjadi nilai eigen, maka harus ada pemecahan tak nol dari
persamaan ini. Menurut teorema 15 bagian “Ruang Baris dan Kolom Matriks;
Rank; Penerapan terhadap Pencarian Basis” maka persamaan (3.1) akan
mempunyai pemecahan tak nol jika dan hanya jika
( ) 0det =− AIλ Ini dinamakan persamaan karakteristik A; skalar yang memenuhi persamaan ini
adalah nilai eigen dari A.
• Contoh 13
Carilah nilai-nilai eigen dari matriks ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=0123
A
Jawab.
Karena ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=−
λλ
λλ1
230123
1001
AI
maka polinom karakteristik dari A adalah
3.1
-
28
( ) 231
23detdet 2 +−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−=− λλ
λλ
λ AI
dan persamaan karakteristik dari A adalah
0232 =+− λλ
Pemecahan-pemecahan persamaan ini adalah 1=λ dan 2=λ ; inilah nilai-
nilai eigen dari A.
• Contoh 14
Carilah nilai-nilai eigen dari⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
8174100010
A
Jawab. Sebagaimana contoh-contoh terdahulu, maka
( ) 041788174
1001
detdet 23 =−+−=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−=− λλλ
λλ
λλ AI
Maka nilai-nilai eigen dari A harus memenuhi persamaan pangkat tiga
4178 23 −+− λλλ
dengan memecahkan persamaan ini, maka diperoleh pemecahan nilai-nilai
eigen dari A adalah (Buktikan sendiri!)
4=λ 32 +=λ dan 32 −=λ
• Teorema 34.
Jika A adalah matriks n x n, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen satu
sama lain
(a) λ adalah nilai eigen dari A
(b) Sistem persamaan (λI - A)x = 0 mempunyai pemecahan yang taktrivial
(c) Ada vektor taknol x di dalam Rn sehingga Ax = λx
(d) λ adalah pemecahan riil dari persamaan karakteristik det (λI - A) = 0
3.3
3.1-Vektor (Geometrik)-Pengantar3.2-Norma VEktor; Ilmu Hitung Vektor3.3-Ruang-n Euclidis3.4-Ruang Vektor Umum3.5-Subruang3.6-Kebebasan Linier3.7-Basis dan Dimensi3.8-Ruang Baris dan Kolom Matriks; Rank3.9-Ruang Hasil Kali Dalam3.10-Panjang dan Sudut di Ruang Hasil Kali Dalam3.11- Basis Ortonormal;Proses Gram-Schmidt3.12-Eigen dan Vektor Eigen