Ú R O K O V Á N Í

Finanční matematika

B A N K A

věřiteldlužník

věřitel dlužník

?

chtějí odměnu

zisk úrok=

vrací větší částku než si vzali

B A N K A

dál

• Poskytne-li věřitel dlužníkovi na

určitou dobu nějakou peněžní částku

(vklad klienta do banky, půjčka banky

klientovi), požaduje nazpět částku,

která je větší než byla půjčena.

dál

Základní pojmy:

jistinaúrokúroková míraúrokové období

dál

JISTINA

Počáteční jistina

J0

Konečná jistina

J0

POČÁTEČNÍ JISTINA

J0

POČÁTEČNÍ JISTINA

J0

ÚROK za

úrokovacích období

+zpět

POČÁTEČNÍ JISTINA

• označujeme J0

• původní částka peněz, která se půjčuje nebo byla vložena (tzv. počáteční kapitál – vklad)

zpět

POČÁTEČNÍ JISTINA

J0

KONEČNÁ JISTINA• označujeme Jn

• je to půjčená částka, ke které se připočítávají úroky dané úrokovou mírou za n úrokovacích období

POČÁTEČNÍ JISTINA

J0+ =

ÚROK za n

úrokovacích období POČÁTEČNÍ

JISTINA

J0

ÚROK za n

úrokovacích období

Jn

zpět

ÚROK• je peněžní částka, kterou klient

zaplatí věřiteli, za půjčení peněz • rozumíme částku, o kterou splatná

částka převyšuje základ (jistinu) vkladu či půjčky

ÚROK

JISTINA půjčená částka

odměna za půjčení peněz

dál

ÚROK

» označujeme U• úrok je určen:

– velikostí úrokové míry

– jistinou

– úrokovým obdobím

zpět

ÚROKOVÉ OBDOBÍ» označujeme t

• je to doba, během které se musí splatit dlužná částka a úroky

• doba, během které se vklad nebo půjčené peníze úročí

12

měsíců16,5 roků

27 dnů

30 měsíců

22 let

dál

Pro výpočet úrokového období se používají 2 základní metody:

Anglická obchodní metoda

Německá obchodní metoda „30/360“

- vychází z přesného počtu dní - včetně

přestupného roku

- zjednodušuje počet dní

- každý měsíc má 30 dnů rok má 360 dníukázk

a

ÚROKOVÁ MÍRA• označujeme ji p

• je velikost úroku za jednotkové období

• vyjadřuje se v procentech za čas

roční

úrok p.a.

čtvrtletní

úrokp.q.

měsíční úrok p.m.

4,5%

p.a.6,1% p.a.

8% p.m.zpět

Výpočet úrokového období pomocí 30/360

1) Metoda číselné osy 2) Odčítací metoda

Př.: Peníze byly půjčené od 13. 5. – 16. 9.

16. 9. - 13. 5. 3 + 4 * 30 = =123 dní

příklady

3) Metoda podle vzorcet = 30(m2 – m1) + (d2 – d1)

Peníze byly půjčené

od 1. 1. 2006 – 1. 4.

2006.

Peníze byly půjčené

od 18. 7. 2002 – 1. 10.

2006.

Peníze jsou půjčené

od 28. 11. 2000 – 1. 4.

2012.

Peníze byly půjčené od 2. 9. 2002 – 13. 7. 2006.

Peníze byly půjčené

od 14. 10. 2003 – 13. 1.

2006.

Peníze byly půjčené od 23. 5. 2006 – 8. 11. 2006.

Vypočítejte:

zpět

Druhy úrokování

jednoduché složené

konec

Jednoduché úrokování

– úrok se za stejné úrokovací doby nemění

– počítá se stále z téže původní jistiny J0

– úrok je lineární funkcí času

dál

Vzorec:

Jn = J0 . ( 1 + i . t)

konečná jistina

počáteční jistina

úroková míra

úrokové období

i - je převedeno z procenta na desetinné číslo i = p / 100

zpět

příklady

Vypočtěte:

KONTROLA

Na jakou částku vzroste Kč 7 500,- za 8 let při 12% p. a.?

Na jakou částku by vzrostla Kč 1,- za 200 let při 10% p. a.?

Jakou částku musíme dnes uložit při 8% p. a., aby nám vzrostla za 10 let na Kč 150 000,-?

Jak vysokou částku musíme uložit, aby nám za 9 let vzrostla při 13% p. a. na Kč 100 000,-?

Za jak dlouho vzroste jistina Kč 75 000,- na Kč 222 860,- při 9,5% p. a. ?

zpět

Složené úrokování

– na konci každého úrokovacího období se připíše k předešlé jistině (konečná jistina) úrok za plynulé období

– v příštím úrokovacím období se pak nový úrok počítá z počáteční jistin a připsaných úroků z předešlých období

dál

Vzorec:

Jn = J0 . ( 1 + i )n

konečná jistina

počáteční jistina

úroková míra

úrokové období

i - je převedeno z procenta na desetinné číslo i = p / 100zpě

tpříklady

Zadání: Paní Opatrná uložila na konci roku do banky 16 800 Kč na termínový vklad na 4 roky s úrokovou mírou 5.1%. Úrokuje se jednou za rok. Kolik korun bude paní Opatrné v den splatnosti vkladu vyplaceno?

jn = j0 . ( 1+ 10085,0 p

)n

jn = 16 800 . ( 1001,585,0

)4

jn = 16 800 . ( 1+ 100335,4

)4

jn = 16 800 . ( 1+ 0,04335 )4

jn = 16 800 . ( 1,04335 )4

jn = 16 800 . 1,185

Jn = 19 908,10 Kč

Paní Opatrné bude vyplaceno 19 908,10 Kč.

Příklad 1.

Pan Skrblík si založil na začátku roku vkladní knížku a uložili na ni 17 300Kč. Banka úročí vždy na konci každého pololetí, používá složené úročení. Kolik korun obdržel pan Skrblík od banky po dvou letech za předpokladu, že úroková míra byla po celou dobu neměnná a činila 1,9%.Výpočet:Jn2 =17 300( 1+ )2

100

9,185,0

Jn2 =17 300×1,016152

Jn2=17863,3

Pan Skrblík obdržel přibližně 17 863 Kč.

Příklad 2.

Příklad 3.

Paní Lakotná uložila dne 26.6. částku 180 000 Kč na termínovaný účet na tři měsíce s revolvingem. Banka zaručuje dlouhodobě neměnnou roční úrokovou míru 1,9%. Úrokovací období jsou 3 měsíce, užívá se standart 30A/360. Úrok je klientce připisován na běžný účet na konci každého tříměsíčního období. Kolik Kč připsala dohromady banka na běžný účet, byl-li vklad úročen sedmkrát?

Řešení: Jo=180 000 T=3 měsíce p=1,9%

U=

U=

U=

Banka připsala na běžný účet 5087,25 Kč

85,0100

tpjo

85,0100

25,09,1180000

25,5087

Začátkem roku jsme uložily na vkladní knížku 135 000Kč.Banka úročí vklad s úrokovou mírou 2,3% jednou ročně,vždy na začátku následujícího roku,užívá standart 30A/360; úrok převádí na náš běžný účet .Kolik korun činí úrok po zdanění za tři roky?

Jo=135 000Kčp=2,3%t=3 roky

u=jo.p =135 000.2,3 = 3105 100 100

Uz=2639,25Kč.3 Uz=7917,75 Kč

Úrok činí po zdanění 7917,75 Kč.

Příklad 4.

Vypočtěte:

KONTROLA

Na jakou částku vzroste Kč9 500,- za 9 let při 8% p. a.?

Na jakou částku by vzrostla Kč 1,- za 50 let při 13% p. a.?

Jakou částku musíme dnes uložit při 6% p. a., aby nám vzrostla za 20 let na Kč 150 000,-?

Jak vysokou částku musíme uložit, aby nám za 11 let vzrostla při 9% p. a. na Kč 100 000,-?

Za jak dlouho vzroste jistina Kč 75 000,- na Kč 222 860,- při 8% p. a. ? zpě

t

Prezentaci vypracovali žáci devátého ročníku:

Petra ValentováVendula Skalová

Eliška DostálkováAneta BarešováZdeněk Dušek

Jaroslav Bareš a

Zuzana Kropáčková

Dne 22.5.2009

Konec