u teoriji životnog osiguranja · 2019-10-25 · 1.3. tablice mortaliteta ... finansijske rente u...

UNIVERZITET U NIŠU

PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET

DEPARTMAN ZA MATEMATIKU

Primena programskog paketa MATHEMATICA

u teoriji životnog osiguranja

Master rad

Mentor: Student:

dr Jasmina Đorđević Aleksandra Bradić

Niš, 2019.

1

Sadržaj

UVOD ...................................................................................................................................................... 3

Glava 1 .................................................................................................................................................... 5

1.1. Uvodni pojmovi životnog osiguranja .......................................................................................... 5

1.2. Intenzitet mortaliteta .................................................................................................................. 6

1.3. Tablice mortaliteta ...................................................................................................................... 7

1.4. Analitičke raspodele za preostali životni vek T ........................................................................ 14

1.5. Broj potpunih preostalih godina života za osobu starosti 𝒙 .................................................... 25

1.6. Verovatnoće smrtnosti za delove godine ................................................................................. 27

Glava 2 .................................................................................................................................................. 30

Životno osiguranje ................................................................................................................................ 30

2.1. Osnovni tipovi životnog osiguranja .......................................................................................... 30

2.1.1. Doživotno osiguranje ......................................................................................................... 31

2.1.2. Osiguranje sa rokom .......................................................................................................... 33

2.1.3. Osiguranje doživljenja ........................................................................................................ 34

2.1.4. Mešovito osiguranje........................................................................................................... 35

2.1.5. Odloženo doživotno osiguranje ......................................................................................... 36

2.1.6. Osiguranje kod kojeg se suma osiguranja isplaćuje u trenutku nastupanja smrti

osiguranika ................................................................................................................................... 37

2.1.7. Osiguranje kod koga se suma osiguranja isplaćuje na kraju 𝒎−tog dela godine u toku

kojeg nastupa smrt osiguranika ................................................................................................... 40

2.2. Opšti tipovi životnog osiguranja ............................................................................................... 42

2.3. Standardni tipovi promenljivog životnog osiguranja ............................................................... 46

Glava 3 .................................................................................................................................................. 54

Finansijske rente u životnom osiguranju ............................................................................................. 54

3.1. Sadašnje i akumulirane vrednosti renti sa jednakim isplatama i jednakom učestanošću ..... 54

3.1.1. Rente sa jednakim godišnjim isplatama koje se realizuju sa jednakom učestanošću ..... 54

3.1.2. Finansijske rente čije se isplate vrše 𝒎 puta godišnje ...................................................... 57

3.1.3. Neprekidne rente ............................................................................................................... 58

3.2. Finansijske rente sa promenljivim isplatama ........................................................................... 59

3.2.1. Rastuće finansijske rente ................................................................................................... 59

3.2.2. Opadajuće finansijske rente .............................................................................................. 60

3.2.3. Neograničene rente sa promenljivim isplatama koje nisu opadajuće ili rastuće ............ 62

Glava 4 .................................................................................................................................................. 63

Životne rente ........................................................................................................................................ 63

2

4.1. Osnovne životne rente .............................................................................................................. 63

4.1.1. Doživotne rente .................................................................................................................. 63

4.1.2. Rente sa rokom .................................................................................................................. 65

4.1.3. Odložene rente ................................................................................................................... 66

4.2. Životne rente sa isplatama 𝒎 puta godišnje ............................................................................ 67

4.2.1. Doživotne rente sa 𝒎 isplata godišnje .............................................................................. 67

4.2.2. Odložene rente sa 𝒎 isplata godišnje ............................................................................... 69

4.2.3. 𝒏-togodišnje rente sa 𝒎 isplata godišnje.......................................................................... 71

4.3. Rente sa necelobrojnim starostima osiguranika ...................................................................... 72

4.4. Promenljive doživotne rente .................................................................................................... 74

4.5. Standardni tipovi doživotnih renti ............................................................................................ 77

Glava 5 .................................................................................................................................................. 80

Neto premije ......................................................................................................................................... 80

5.1. Osnovni tipovi životnog osiguranja .......................................................................................... 80

5.1.1. Doživotno osiguranje ......................................................................................................... 80

5.1.2. Osiguranje sa rokom .......................................................................................................... 81

5.1.3. Osiguranje doživljenja ........................................................................................................ 82

5.1.4. Mešovito osiguranje........................................................................................................... 83

5.1.5. Odloženo doživotno osiguranje ......................................................................................... 84

5.1.6. Osiguranje kod kojeg se premijske uplate vrše 𝒎 puta godišnje..................................... 84

5.2. Opšti tipovi životnog osiguranja ............................................................................................... 85

5.3. Povraćaj premija........................................................................................................................ 85

Glava 6 .................................................................................................................................................. 87

Neto premijske rezerve ........................................................................................................................ 87

6.1. Neto premijske rezerve u doživotnom osiguranju ................................................................... 87

6.2. Promene ugovora o doživotnom osiguranju ............................................................................ 88

6.3. Neto premijske rezerve mešovitog osiguranja ........................................................................ 89

6.4. Neto premijske rezerve osiguranja sa rokom .......................................................................... 90

Glava 7 .................................................................................................................................................. 91

Troškovi opterećenja ............................................................................................................................ 91

7.1. Premija opterećena troškovima ............................................................................................... 91

7.2. Rezerve premija opterećenih troškovima ................................................................................ 92

ZAKLJUČAK ............................................................................................................................................ 94

Literatura .............................................................................................................................................. 96

3

UVOD

Osiguranje nastaje kao metod upravljanja rizikom i zasniva se na poverenju i sigurnosti, što je i značenje tog pojma. Osiguranje se definiše kao iznos koji nadoknađuje štete nastale nad osiguranim stvarima, odnosno licima u slučaju kada su štete posledica delovanja rušilačkih sila ili nesrećnih slučajeva, pri čemu naknade imaju određenu cenu. Tako definisano osiguranje podrazumeva prenos rizika sa lica koje se osigurava na osiguravajuće društvo.

Jedna podela osiguranja je na životno i neživotno. U osnovi životnog osiguranja je rizik da će doći do narušavanja zdravlja ili nastupanja smrti, usled delovanja nepredvidivih faktora. Takođe, kod neživotnog osiguranja, može doći do gubitka imovine ili nekog njenog dela, kao posledica nepredvidivih događaja. Predmet osiguranja ne može biti događaj čija je realizacija unapred poznata. Time, postojanje rizika povlači sklapanje ugovora o osiguranju.

U praksi postoje određene zakonitosti koje predstavljaju osnovu aktuarstva i njegove teorije. Kada dođe do nesrećnog događaja, on ima za posledicu finansijski gubitak koji treba nadoknaditi. Iz perspektive osiguravajuće kompanije, osiguranje predstavlja udruživanje svih onih lica koja su potencijalno izložena posledicama realizacije određenog rizičnog događaja, gde će samo neki od njih pretrpeti štetu. Svrha tog udruživanja je upravo zajedničko učešće u naknadi šteta koje će zadesiti samo neke od njih.

Osiguravač, odnosno osiguravajuća kompanija je pravno lice koja se ugovorom o osiguranju obavezuje da će nadoknaditi štetu ili isplatiti određeni novčani iznos - sumu osiguranja osiguraniku ili licu koje osiguranik odredi. Isplate se vrše nakon realizacije odgovarajućih osiguranih rizičnih događaja. Obe strane potpisuju dokument koji se naziva polisa osiguranja, a koja mora sadržati određene podatke.

Najčešće polisa osiguranja sadrži:

• ugovorne strane (osiguranik, osiguravač);

• osiguranu stvar (osigurano lice kod životnog osiguranja);

• rizik obuhvaćen osiguranjem;

• trajanje osiguranja;

• premiju osiguranja;

• sumu osiguranja, način i trajanje njenih isplata;

• datum izdavanja polise;

• potpise ugovornih strana.

Kada se govori o životnom osiguranju, treba napomenuti da osnov za isplatu sume ovog osiguranja je realizacija nekog rizičnog događaja koji je u vezi sa preostalim životnim vekom osiguranika, kao što je nastupanje smrti osiguranika ili događaj da je osiguranik doživeo određenu starost. U prvom navedenom slučaju, suma osiguranja se isplaćuje licu koje je osiguranik odredio. Drugi primer životnog osiguranja predstavlja neki oblik štednje. U Srbiji samo 4% ljudi ima polisu o životnom osiguranju. Razlozima za tako mali broj ljudi smatraju se veoma mala primanja i neobaveštenost. Međutim, u svetu se ljudi sve više interesuju za takav vid štednje.

4

Programski paket MATHEMATICA može biti od velike pomoći u računanju premija, sadašnjih vrednosti suma osiguranja i ostalih relevantnih podataka ugovora o životnom osiguranju. Ovakav paket ubrzava sam proces sklapanja ugovora, način poslovanja i isplate suma osiguranja, kao i rešavanje problema koji su u vezi sa raznim ugovorima o osiguranju.

5

Glava 1

1.1. Uvodni pojmovi životnog osiguranja

Razmatra se osoba starosti 𝑥 godina, njen preostali životni vek 𝑇, ili tačnije 𝑇(𝑥), dok 𝑥 + 𝑇 predstavlja njen ukupan životni vek.

Preostali životni vek 𝑻 je slučajna promenljiva sa funkcijom raspodele

𝐺(𝑡) = 𝑃(𝑇 < 𝑡), 𝑡 ≥ 0. (1.1.1)

Funkcija 𝐺(𝑡) predstavlja verovatnoću da osoba neće doživeti narednih 𝑡 godina, odnosno verovatnoću da će ukupan životni vek te osobe biti u intervalu [𝑥, 𝑥 + 𝑡) , za fiksirano 𝑡. Pretpostavlja se da je funkcija 𝐺 poznata, apsolutno neprekidna i da postoji njena funkcija gustine 𝑔(𝑡) = 𝐺′(𝑡). Tada je

𝑔(𝑡) ⅆ𝑡 = 𝑃(𝑡 ≤ 𝑇 < 𝑡 + ⅆ𝑡) = ∫ 𝑔(𝑠) ⅆ𝑠𝑡+ⅆ𝑡

𝑡, (1.1.2)

što predstavlja verovatnoću da će u intervalu [𝑥 + 𝑡, 𝑥 + 𝑡 + ⅆ𝑡) biti ukupan životni vek osobe. Prethodni izraz se tumači kao verovatnoća da će osoba starosti 𝑥 godina doživeti starost 𝑡, ali ne i starost 𝑡 + ⅆ𝑡, gde je ⅆ𝑡 beskonačno mala veličina.

Sve vrednosti koje su važne u teoriji životnog osiguranja se mogu predstaviti u terminima funkcije raspodele preostalog životnog veka 𝐺 i funkcije gustine 𝑔. Međutim, međunarodna aktuarska društva koriste tradicionalne aktuarske oznake koje se navode u nastavku.

• Verovatnoća nastupanja smrti osiguranika u toku od 𝑡 godina, odnosno verovatnoća da osiguranik starosti 𝑥 neće doživeti starost 𝑥 + 𝑡 je

ₜ𝑞ₓ = 𝐺(𝑡) = 𝑃(𝑇 < 𝑡), 𝑡 ≥ 0. (1.1.3)

• Verovatnoća doživljenja narednih 𝑡 godina za osobu starosti 𝑥, odnosno verovatnoća da će osoba starosti 𝑥 doživeti bar 𝑥 + 𝑡 godina je

ₜ𝑝ₓ = 1 − 𝐺(𝑡) = 1 − ₜ𝑞𝑥 = 𝑃(𝑇 ≥ 𝑡), 𝑡 ≥ 0. (1.1.4)

• Verovatnoća da će osoba starosti 𝑥 živeti bar još 𝑠 godina, ali kraće od 𝑠 + 𝑡 godina je

s|t𝑞𝑥 = 𝑃(𝑠 ≤ 𝑇 < 𝑠 + 𝑡) = 𝐺(𝑠 + 𝑡) − 𝐺(𝑠) = ₛ₊ₜ𝑞𝑥 − ₛ𝑞𝑥. (1.1.5)

• Verovatnoća da će preostali životni vek osobe starosti 𝑥 biti bar 𝑠 + 𝑡 godina, pod uslovom da je osoba živela još bar s godina, 𝑡 ≥ 0, je (tzv. memoryless property- svojstvo odsustva memorije)

ₜ𝑝𝑥+𝑠 = 𝑃(𝑇 ≥ 𝑡 + 𝑠|𝑇 ≥ 𝑠) =𝑃(𝑇≥𝑡+𝑠|𝑇≥𝑠)

𝑃(𝑇≥𝑠)=

𝑃(𝑇≥𝑡+𝑠)

𝑃(𝑇≥𝑠)=

1−G(t+s)

1−G(s) . (1.1.6)

6

• Verovatnoća da će preostali životni vek osobe starosti 𝑥 biti kraći od 𝑠 + 𝑡 godina, pod uslovom da je ona živela bar 𝑠 godina je

ₜ𝑞𝑥+𝑠 = 𝑃(𝑇 < 𝑡 + 𝑠|𝑇 ≥ 𝑠) =P(s≤T<t+s)

P(T≥s)=

G(t+s)−G(s)

1−G(s)= 1 − ₜ𝑝𝑥+𝑠. (1.1.7)

Od velikog značaja su sledeći identiteti:

ₛ₊ₜ𝑝𝑥 = 𝑃(𝑇 ≥ 𝑠 + 𝑡) = 1 − G(s + t) =1−G(s+t)

1−G(s)· (1 − G(s)) = ₜ𝑝𝑥+𝑠 · ₛ𝑝𝑥 , (1.1.8)

ₛ₊ₜ𝑞𝑥 = 𝑃(𝑇 < 𝑠 + 𝑡) = 𝐺(𝑠 + 𝑡) = 1 − ₛ₊ₜ𝑝𝑥 . (1.1.9)

s|t𝑞𝑥 = ₜ𝑞𝑥+𝑠 · P(T ≥ s) = ₜ𝑞𝑥+𝑠 · ₛ𝑝ₓ (1.1.10)

Očekivani preostali životni vek osobe starosti 𝑥 je 𝐸(𝑇), označava se sa 𝑒ͦ 𝑥 i definiše na sledeći način

𝑒ͦ 𝑥 = ∫ 𝑡𝑔(𝑡) ⅆ𝑡+∞

0= ∫ [1 − 𝐺(𝑡)]ⅆ𝑡

+∞

0= ∫ ₜ𝑝𝑥ⅆ𝑡

+∞

0 . (1.1.11)

Ukoliko je 𝑡 = 1, tada se ta jedinica izostavlja iz aktuarskih oznaka, kao na primeru: ₁𝑝𝑥 → 𝑝𝑥, gde ovo predstavlja verovatnoću doživljenja naredne godine za osobu starosti 𝑥.

1.2. Intenzitet mortaliteta

Intenzitet mortaliteta u aktuarskom smislu predstavlja stopu smrtnosti na godišnjem nivou. Intenzitet mortaliteta za osobu starosti 𝑥 godina u periodu [𝑥, 𝑥 + 𝑡) je

𝜇𝑥+𝑡 =𝑔(𝑡)

1−𝐺(𝑡)= −

ⅆ

ⅆ𝑡ln[1 − 𝐺(𝑡)] = −

ⅆ

ⅆ𝑡lnₜ𝑝𝑥 , 𝑡 ≥ 0. (1.2.1)

On predstavlja gustinu u jedinici verovatnoće doživljenja. Integracijom prethodnog izraza dobija se:

∫ 𝜇𝑥+𝑠𝑡

0ⅆ𝑠 = −lnₜ𝑝𝑥 + ln ₀𝑝𝑥 = −lnₜ𝑝𝑥, (1.2.2)

odakle sledi da je ₜ𝑝𝑥 = 𝑒ͦ−∫ 𝜇𝑥+𝑠ⅆ𝑠𝑡0 , 𝑡 ≥ 0. Kada 𝑡 raste, −∫ 𝜇𝑥+𝑠ⅆ𝑠

𝑡

0 se smanjuje.

Iz (1.1.2) i (1.1.4) sledi da je verovatnoća umiranja u intervalu 𝑡 i 𝑡 + ⅆ𝑡

𝑃(𝑡 ≤ 𝑇 < 𝑡 + ⅆ𝑡) = ₜ𝑝𝑥 · 𝜇𝑥+𝑡ⅆ𝑡. (1.2.3)

Sada je očekivani preostali životni vek osobe starosti 𝑥

𝑒ͦ 𝑥 = ∫ 𝑡 · ₜ𝑝𝑥 · 𝜇𝑥+𝑡ⅆ𝑡+∞

0. (1.2.4)

7

1.3. Tablice mortaliteta

Posmatra se grupa koju čine 𝑙0 novorođenih osoba, odnosno osoba starosti 0. Da bi ocene koje budu dobijene bile relevantne, pretpostavlja se da u toj grupi nema novih rađanja, useljavanja, niti iseljavanja. U toj populaciji se broj članova samo smanjuje vremenom i to isključivo usled nastupanja smrti nekih od njih. Tablica mortaliteta ili tablica smrtnosti je reprezentacija smrtnosti takve grupe.

Tablica mortaliteta predstavlja model doživljenja izražen pomoću broja članova grupe koji su doživeli određenu starost u odnosu na početni broj članova 𝑙0. Prvu tablicu mortaliteta je konstruisao engleski astronom Edmond Halley 1693.godine. U današnjoj praksi, bez njih je teško poslovati u okviru osiguravajućeg društva.

Tablice mortaliteta su statističke tabele koje pokazuju kolika je verovatnoća da će osoba koja pripada nekoj kategoriji doživeti određenu starost. Te kategorije se formiraju na osnovu pola, rase, vrste posla ili prema nekom drugom kriterijumu koji može uticati na smrtnost. U tablici mortaliteta se za svaku starosnu grupu pojedinačno (u potpunim tablicama mortaliteta), odnosno za petogodišnju starosnu grupu (u skraćenim tablicama mortaliteta) prikazuje intenzitet mortaliteta.

Početni broj u tablici 𝑙0 naziva se koren tablice. Najčešće je 𝑙0 jednako 100000. U nekim tablicama mortaliteta koren tablice se ne odnosi na broj novorođenih osoba, već na neku starost 𝑥0 > 0. Takav je slučaj, na primer, sa penzionim osiguranjem.

Vrednost 𝒍𝒙 u tablici mortaliteta predstavlja broj osoba koje su doživele starost 𝑥 godina. Svrha tablica mortaliteta je da se dobijene vrednosti, koje nastaju posmatranjem jedne populacije, mogu iskoristiti za predviđanje smanjenja broja osoba na drugu populaciju sa istim stopama smrtnosti kao i početna populacija. Ako su date samo vrednosti 𝑙0, 𝑙1, 𝑙2,..., one neće biti od velikog značaja u osiguranju. U osiguranju je značajan odnos broja 𝑙𝑥 i korena tablice 𝑙0, kao i odnos broja 𝑙𝑥 i broja 𝑙𝑦, gde je 𝑦 = 0,1, … , 𝑥 − 1.

Sa 𝜔 se uvek označava granična starost u tablicama mortaliteta. To je minimalna

starost za koju važi da je 𝑙𝜔 = 0. Količnik 𝑙𝑥

𝑙0 predstavlja verovatnoću da će novorođena osoba

doživeti starost 𝑥. Podatak 𝑙1 = 99364 u tablici mortaliteta ukazuje na to da je 636 osoba umrlo u prvoj godini života, što se vidi iz tablice mortaliteta na Slici 1.2. Istu informaciju pruža i podatak ⅆ0 = 636. U tablici mortaliteta vrednost 𝒅𝒙 predstavlja broj osoba koje su doživele starost 𝑥, ali nisu doživele starost 𝑥 + 1. Prema tome,

ⅆ𝑥 = 𝑙𝑥 − 𝑙𝑥+1, za svako 𝑥 = 0,1,2, … , 𝜔 − 2, ⅆ𝜔−1 = 𝑙𝜔−1 − 𝑙𝜔 = 𝑙𝜔−1, ⅆ𝜔 = 0.

Na osnovu uvedenih oznaka sledi da se broj osoba koje će doživeti starost 𝑥 može predstaviti kao

𝑙𝑥 = 𝑙𝑥 − 𝑙𝑥+1 + 𝑙𝑥+1 − 𝑙𝑥+2 +⋯+ 𝑙𝜔−1 − 𝑙𝜔 = ∑ ⅆ𝑘𝜔−1𝑘=𝑥 . (1.3.1)

Može se uočiti da 𝑙𝑥 predstavlja zbir broja osoba koje su doživele starost 𝑥, ali ne i starost 𝑥 +1 (njih ⅆ𝑥), broj osoba koje su doživele starost 𝑥 + 1, ali ne i starost 𝑥 + 2 (njih ⅆ𝑥+1)...

8

Verovatnoća 𝑞𝑥 da će smrt osobe starosti 𝑥 nastupiti pre dostizanja starosti 𝑥 + 1 može se predstaviti u obliku

𝑞𝑥 =ⅆ𝑥

𝑙𝑥=

𝑙𝑥−𝑙𝑥+1

𝑙𝑥= 1 −

𝑙𝑥+1

𝑙𝑥. (1.3.2)

Analogno, verovatnoća da će osoba starosti 𝑥 godina doživeti starost 𝑥 + 1 je

𝑝𝑥 = 1 − 𝑞𝑥 =𝑙𝑥+1

𝑙𝑥. (1.3.3)

Ako je 𝑡 > 0, verovatnoća da će osoba starosti 𝑥 doživeti narednih 𝑡 godina je

ₜ𝑝𝑥 =𝑙𝑥+𝑡

𝑙𝑥=

𝑙𝑥+1

𝑙𝑥⋅𝑙𝑥+𝑡

𝑙𝑥+1= 𝑝𝑥 ⋅

𝑙𝑥+1+𝑡−1

𝑙𝑥+1= 𝑝𝑥 · ₜ₋₁𝑝𝑥+1 = 𝑝𝑥 · 𝑝𝑥+1 · ₜ₋₂𝑝𝑥+2

= ⋯ = 𝑝𝑥 · 𝑝𝑥+1 · … · 𝑝𝑥+[𝑡]−2 · 𝑝𝑥+[𝑡]−1 · ₜ₋₍ₜ₎𝑝𝑥+[𝑡]. (1.3.4)

Činioci u prethodnom izrazu, osim poslednjeg, odnose se na celobrojne starosti, tako da se mogu pročitati iz tablice mortaliteta.

Ako 𝑡 nije ceo broj, onda se poslednji činilac ₜ₋[ₜ] 𝑝𝑥+[𝑡] ne može očitati na osnovu

tablice, već je za njegovo određivanje potrebno odrediti raspodelu preostalog životnog veka 𝑇, ili primeniti neki postupak aproksimacije. Takođe, može se uvesti neka dodatna pretpostavka koja bi olakšala izračunavanje tog izraza. Ako je 𝑡 ceo broj, tada je ₜ₋[ₜ] 𝑝𝑥+[𝑡] =

₀𝑝𝑥+[𝑡] = 1, i tada se ₜ𝑝𝑥 može odrediti na osnovu podataka iz tablice mortaliteta.

Verovatnoća da osoba starosti 𝑥 neće doživeti narednih 𝑡 godina, odnosno verovatnoća da osoba neće doživeti starost 𝑥 + 𝑡 je

ₜ𝑞𝑥 = 1 − ₜ𝑝𝑥 =𝑙𝑥−𝑙𝑥+𝑡

𝑙𝑥. (1.3.5)

Pored toga, verovatnoća da će osoba starosti 𝑥 doživeti narednih 𝑠 godina i da će njena smrt nastupiti u toku narednih 𝑡 godina je

s|t𝑞𝑥 =𝑙𝑥+𝑠−𝑙𝑥+𝑠+𝑡

𝑙𝑥⋅𝑙𝑥+𝑠

𝑙𝑥+𝑠= ₜ𝑞𝑥+𝑠 · ₛ𝑝𝑥. (1.3.6)

Specijalno, ako je 𝑠 = 0:

0|t𝑞𝑥 = ₜ𝑞𝑥. (1.3.7)

Potrebno je dalje uspostaviti relaciju između intenziteta mortaliteta i broja osoba koje će doživeti određenu starost. Poznato je od ranije,

ₜ𝑝𝑥 = 𝑒ͦ−∫ 𝜇𝑥+𝑠 ⅆ𝑠

𝑡0 = 𝑒ͦ−∫ 𝜇𝑠 ⅆ𝑠

𝑥+𝑡𝑥 , 𝑡 > 0, (1.3.8)

kao i

ₜ𝑝𝑥 =𝑙𝑥+𝑡

𝑙𝑥. (1.3.9)

9

Iz prethodna dva izraza sledi

𝑙𝑥+𝑡

𝑙𝑥= 𝑒ͦ−∫ 𝜇𝑆 ⅆ𝑠

𝑥+𝑡𝑥 . (1.3.10)

Za novorođene osobe prethodna relacija postaje:

𝑙𝑡

𝑙0= 𝑒ͦ−∫ 𝜇𝑠 ⅆ𝑠

𝑡0 , (1.3.11)

odakle je broj novorođenih osoba koje će doživeti starost 𝑡 izraženo sledećom relacijom

𝑙𝑡 = 𝑙0𝑒ͦ−∫ 𝜇𝑠 ⅆ𝑠

𝑡0 , 𝑡 > 0. (1.3.12)

Pretpostavka da se broj osoba koje će doživeti određenu starost modelira funkcijom 𝑙𝑡 koja je diferencijabilna po 𝑡, dovodi do formule intenziteta mortaliteta uz pomoć 𝑙𝑡.

Na osnovu izraza 𝑙𝑡

𝑙0= 𝑒ͦ−∫ 𝜇𝑠 ⅆ𝑠

𝑡0 , dobija se

𝜇𝑡 = −(𝑙𝑛 𝑙𝑡)′. (1.3.13)

Intenzitet mortaliteta ne zavisi od korena tablice 𝑙0.

Analitički, srednje trajanje života osobe starosti 𝑥 se definiše rekurzivno i to na sledeći način:

𝑒ͦ 𝑥 = 0.5 + (1 − 𝑞𝑥)(𝑒ͦ 𝑥+1 + 0.5). (1.3.14)

U praksi, ali i teoriji, osim pola, rase, generacije ili tipa osiguranja, veoma važan uticaj na sklapanje ugovora i ostale njegove podatke ima starost osiguranika u trenutku sklapanja ugovora o osiguranju. Ugovore o životnom osiguranju sklapaju osobe dobrog zdravlja, i to vrlo često nakon lekarskih pregleda. Iz tog razloga se pretpostavlja da je osoba određene starosti koja je sada sklopila ugovor o osiguranju boljeg zdravlja nego osoba iste starosti koja je sklopila ugovor o osiguranju pre nekoliko godina. Prirodno je pretpostaviti da pri svim istim uslovima osim trenutka sklapanja ugovora o osiguranju imamo različite stope smrtnosti, čak i za osobe iste starosti. Ovakav fenomen je poznat kao efekat odabira i on se uzima u obzir u tablicama mortaliteta sa odabirom u kojima verovatnoće zavise od starosti osiguranika u trenutku sklapanja ugovora.

Neka je 𝑥 starost osobe u trenutku sklapanja ugovora o osiguranju. Oznaka 𝑞[𝑥]+𝑡 predstavlja verovatnoću da osoba starosti 𝑥 + 𝑡, koja je sklopila ugovor o osiguranju

kada je imala 𝑥 godina neće doživeti narednu godinu, tada je 𝑞[𝑥] < 𝑞[𝑥−1]+1 < 𝑞[𝑥−2]+2 < ⋯.

Dakle, najveća verovatnoća nastupanja smrti je za one osobe koje su najranije sklopile ugovor o osiguranju, iako sve osobe imaju istu starost. Obično se efekat odabira gubi nakon nekoliko godina, odnosno 𝑟 godina od trenutka sklapanja ugovora. Period nakon kojeg nestaje efekat odabira naziva se period odabira. Tada je

𝑞[𝑥] < 𝑞[𝑥−1]+1 < 𝑞[𝑥−2]+2 < ⋯, (1.3.15)

10

𝑞[𝑥−𝑟]+𝑟 = 𝑞[𝑥−𝑟−1]+𝑟+1 = ⋯ = �̅�𝑥, (1.3.16)

gde je �̅�𝑥 verovatnoća da osoba starosti 𝑥, koja je sklopila ugovor o osiguranju pre više od 𝑟 godina, ne doživi narednu godinu. Kada istekne period odabira, posmatraju se krajnje tablice mortaliteta koje sadrže podatke �̅�𝑥+𝑟 , �̅�𝑥+𝑟+1, �̅�𝑥+𝑟+2, …, za sve starosti 𝑥.

Tablica u kojoj se nalaze podaci prikazani u tablicama sa odabirom i krajnjim tablicama, naziva se krajnja tablica sa odabirom.

Na Slici 1.1 predstavljena je jedna tablica sa odabirom i periodom odabira od 2 godine, koja je vezana samo za nekoliko starosti 𝑥. Pritom važe sledeće formule:

ₛ𝑝[𝑥]+𝑡 =𝑙[𝑥]+𝑡+𝑠

𝑙[𝑥]+𝑡, (1.3.17)

ₛ𝑞[𝑥]+𝑡 = 1 −𝑙[𝑥]+𝑡+𝑠

𝑙[𝑥]+𝑡. (1.3.18)

Slika broj 1.1: Tablica sa odabirom od 2 godine.

11

Ako su u tablicama mortaliteta dati samo podaci koji zavise od starosti osiguranika, tj. ako se zanemaruje efekat odabira, takve tablice se nazivaju agregatne tablice mortaliteta. U nastavku biće prikazana jedna takva tablica, i u radu će ovakav tip tablice biti referentan (kraće će se nazivati samo “tablice mortaliteta”).

Na osnovu podataka o broju živih osoba na teritoriji Republike Srbije u odnosu na 100000 ljudi, kao korenu tablice, dobija se tablica mortaliteta za celobrojne starosti koja je prikazana na Slici broj 1.2.

13

𝑙𝑥 − broj živih, ⅆ𝑥 − broj mrtvih, 𝑞𝑥 − verovatnoća smrti, 𝑝𝑥 − verovatnoća doživljenja, 𝑒ͦ 𝑥 − srednje trajanje života.

Slika broj 1.2: Tablica mortaliteta Republike Srbije 2010-2012 godine.

14

1.4. Analitičke raspodele za preostali životni vek T

Funkcija raspodele 𝐺 slučajne promenljive 𝑇 se naziva analitičkom ili matematičkom ako se može predstaviti nekim matematičkim izrazom. Modeliranjem preostalog životnog veka mnogi načnici su pokušavali naći univerzalan model. No, ne postoji univerzalan model, već on zavisi od populacije koja se posmatra.

U tablicama mortaliteta postoji puno važnih podataka među kojima su podaci o broju osoba koje su doživele određenu starost, gde se podaci u tim tablicama najčešće odnose na celobrojne vrednosti.

Po istraživanjima Statističkog zavoda Republike Srbije, dobijeni su podaci, prikazani na Slici 1.3, o broju živih osoba u periodu od 2010. godine do 2012. godine:

Slika broj 1.3: Tablica broja živih na teritoriji Republike Srbije u periodu 2010-2012.

Na Slici broj 1.4 možemo videti kako se broj živih menjao u odnosu na godine starosti, (primenom programskog paketa MATHEMATICA):

15

Slika broj 1.4: Grafik broja živih na teritoriji Republike Srbije u periodu 2010-2012 u odnosu na starost osoba.

Određivanje funkcije raspodele 𝐺 je dovoljno da bi se odredili intenzitet mortaliteta, verovatnoće doživljenja različitih starosti, verovatnoće nastupanja smrti u proizvoljnim periodima i broj osoba koje će doživeti određenu starost. Potrebno je da se odredi analitička raspodela preostalog životnog veka 𝑇, a da ona odgovara postojećim podacima. Takođe, za razliku od tablica mortaliteta, sve navedene veličine bi se mogle odrediti za proizvoljne, a ne samo za celobrojne starosti.

U nastavku se navodi nekoliko modela analitičkih raspodela preostalog životnog veka.

De Moivre (1724) je uveo zakon u kome je smatrao da modeli preostalog životnog veka zavise od procenjene maksimalne starosti osoba u nekoj populaciji. Ako je 𝜔 maksimalna starost, slučajna promenljiva 𝑇 koja opisuje preostali životni vek, ima uniformnu raspodelu na intervalu (0, 𝜔 − 𝑥). Gustina raspodele preostalog životnog veka je

16

𝑔(𝑡) = {1

𝜔−𝑥, 𝑡𝜖[0, 𝜔 − 𝑥),

0, 𝑡 ∉ [0, 𝜔 − 𝑥). (1.4.1)

Intenzitet mortaliteta za osobu starosti 𝑥 godina u periodu [𝑥, 𝑥 + 𝑡) je

𝜇𝑥+𝑡 =𝑔(𝑡)

1−𝐺(𝑡)=

1

𝜔−𝑥𝜔−𝑥−𝑡

𝜔−𝑥

=1

𝜔−𝑥−𝑡, 0 ≤ 𝑡 < 𝜔 − 𝑥 . (1.4.2)

Prethodno navedena funkcija je rastuća funkcija po 𝑡.

Verovatnoća da će osoba starosti 𝑥 doživeti 𝑡 godina je

ₜ𝑝𝑥 = 𝑃(𝑇 ≥ 𝑡) = 1 − 𝐺(𝑡) = 1 − ∫ⅆ𝑠

𝜔−𝑥

𝑡

0

= 1 −𝑡

𝜔−𝑥, 0 ≤ 𝑡 < 𝜔 − 𝑥. (1.4.3)

Broj novorođenih osoba koje će doživeti starost 𝑡 je jednaka:

𝑙𝑡 = 𝑙0 ⋅ ₜ𝑝0 = 𝑙0 ⋅𝜔−𝑡

𝜔 . (1.4.4)

Maksimalna starost u navedenom primeru, na Slici 1.5, je 101 godina, jer se ona definiše kao najmanja starost za koju je broj živih jednak nuli. Upoređujući podatke sa ove slike i one koji su dobijeni popisom, formule koje se primenjuju u ovom zakonu nisu baš verodostojne, jer je broj osoba koje su žive u 99. godini po ovom zakonu 1980, a po popisu je njihov broj 83.

17

Slika broj 1.5: Zakon De Moivre

Razlika koja se pravi između prakse i ove teorije je prikazana na Slici 1.6. Uočava se da najviše ljudi umire između 60 i 80 godina, jer tu je najveći pad krive 𝑙𝑡, dok prema ovom zakonu broj ljudi koji umire linearno opada, prikazano crvenom pravom.

18

Slika broj 1.6: 𝑙𝑡 u realnosti i teoriji po zakonu De Moivre

l : Table 0, 100000 , 1, 99364 , 2, 99321 , 3, 99295 , 4, 99279 , 5, 99269 , 6, 99258 , 7, 99248 , 8, 99241 , 9, 99230 , 10, 99217 , 11, 99203 ,

12, 99187 , 13, 99169 , 14, 99150 , 15, 99126 , 16, 99100 , 17, 99070 , 18, 99035 , 19, 98996 , 20, 98951 , 21, 98902 , 22, 98852 , 23, 98800 ,

24, 98748 , 25, 98691 , 26, 98631 , 27, 98568 , 28, 98502 , 29, 98432 , 30, 98358 , 31, 98280 , 32, 98197 , 33, 98108 , 34, 98012 , 35, 97912 ,

36, 97807 , 37, 97695 , 38, 97575 , 39, 97445 , 40, 97304 , 41, 97145 , 42, 96969 , 43, 96772 , 44, 96549 , 45, 96296 , 46, 96010 , 47, 95689 ,

48, 95324 , 49, 94913 , 50, 94462 , 51, 93962 , 52, 93419 , 53, 92811 , 54, 92144 , 55, 91412 , 56, 90614 , 57, 89754 , 58, 88829 , 59, 87835 ,

60, 86769 , 61, 85629 , 62, 84414 , 63, 83123 , 64, 81741 , 65, 80264 , 66, 78686 , 67, 77004 , 68, 75220 , 69, 73320 , 70, 71294 , 71, 69105 ,

72, 66753 , 73, 64225 , 74, 61508 , 75, 58604 , 76, 55495 , 77, 52193 , 78, 48711 , 79, 45087 , 80, 41335 , 81, 37493 , 82, 33643 , 83, 29825 ,

84, 26085 , 85, 22471 , 86, 19031 , 87, 15812 , 88, 12856 , 89, 10201 , 90, 7873 , 91, 5888 , 92, 4247 , 93, 2939 , 94, 1939 , 95, 1210 ,

96, 707 , 97, 383 , 98, 189 , 99, 83 , 100, 32

x : Function u, If u 0, l u 1, 1 , 0

lx : Function u, l u 1, 2

lt : Function t, 100000 101 t 101

lttable : Table lt t , t, 0, 100

lttable N

100000., 99009.9, 98019.8, 97029.7, 96039.6, 95049.5, 94059.4, 93069.3, 92079.2, 91089.1, 90099., 89108.9, 88118.8, 87128.7, 86138.6, 85148.5,

84158.4, 83168.3, 82178.2, 81188.1, 80198., 79207.9, 78217.8, 77227.7, 76237.6, 75247.5, 74257.4, 73267.3, 72277.2, 71287.1, 70297., 69306.9, 68316.8,

67326.7, 66336.6, 65346.5, 64356.4, 63366.3, 62376.2, 61386.1, 60396., 59405.9, 58415.8, 57425.7, 56435.6, 55445.5, 54455.4, 53465.3, 52475.2, 51485.1,

50495., 49505., 48514.9, 47524.8, 46534.7, 45544.6, 44554.5, 43564.4, 42574.3, 41584.2, 40594.1, 39604., 38613.9, 37623.8, 36633.7, 35643.6, 34653.5,

33663.4, 32673.3, 31683.2, 30693.1, 29703., 28712.9, 27722.8, 26732.7, 25742.6, 24752.5, 23762.4, 22772.3, 21782.2, 20792.1, 19802., 18811.9, 17821.8,

16831.7, 15841.6, 14851.5, 13861.4, 12871.3, 11881.2, 10891.1, 9900.99, 8910.89, 7920.79, 6930.69, 5940.59, 4950.5, 3960.4, 2970.3, 1980.2, 990.099

ListPlot l, lttable , Joined True

20 40 60 80 100

20 000

40 000

60 000

80 000

100 000

19

Gompertz (1824) ima pretpostavku da se intenzitet mortaliteta menja onako kako se menja eksponencijalna funkcija. Naime, osnovna pretpostavka ovog zakona je

𝜇𝑥+𝑡 = 𝐵 · 𝑐𝑥+𝑡, 𝑡 ≥ 0, (1.4.5)

gde su 𝐵 i 𝑐 pozitivne konstante.

U skladu sa ovim modelom je

ₜ𝑝𝑥 = 𝑒ͦ−∫ 𝜇𝑥+𝑠 ⅆ𝑠

𝑡0 = 𝑒ͦ−𝐵𝑐

𝑥 1

ln𝑐[𝑐𝑡−1] i 𝑙𝑡 = 𝑙0 · 𝑒ͦ

−𝐵

𝑙𝑛𝑐·[𝑐𝑡−1] , 𝑡 ≥ 0. (1.4.6)

20

Slika broj 1.7: Model Gompertz

l : Table 0, 100000 , 1, 99364 , 2, 99321 , 3, 99295 , 4, 99279 , 5, 99269 , 6, 99258 , 7, 99248 ,

8, 99241 , 9, 99230 , 10, 99217 , 11, 99203 , 12, 99187 , 13, 99169 , 14, 99150 , 15, 99126 ,

16, 99100 , 17, 99070 , 18, 99035 , 19, 98996 , 20, 98951 , 21, 98902 , 22, 98852 , 23, 98800 ,

24, 98748 , 25, 98691 , 26, 98631 , 27, 98568 , 28, 98502 , 29, 98432 , 30, 98358 , 31, 98280 ,

32, 98197 , 33, 98108 , 34, 98012 , 35, 97912 , 36, 97807 , 37, 97695 , 38, 97575 , 39, 97445 ,

40, 97304 , 41, 97145 , 42, 96969 , 43, 96772 , 44, 96549 , 45, 96296 , 46, 96010 , 47, 95689 ,

48, 95324 , 49, 94913 , 50, 94462 , 51, 93962 , 52, 93419 , 53, 92811 , 54, 92144 , 55, 91412 ,

56, 90614 , 57, 89754 , 58, 88829 , 59, 87835 , 60, 86769 , 61, 85629 , 62, 84414 , 63, 83123 ,

64, 81741 , 65, 80264 , 66, 78686 , 67, 77004 , 68, 75220 , 69, 73320 , 70, 71294 , 71, 69105 ,

72, 66753 , 73, 64225 , 74, 61508 , 75, 58604 , 76, 55495 , 77, 52193 , 78, 48711 , 79, 45087 ,

80, 41335 , 81, 37493 , 82, 33643 , 83, 29825 , 84, 26085 , 85, 22471 , 86, 19031 , 87, 15812 ,

88, 12856 , 89, 10201 , 90, 7873 , 91, 5888 , 92, 4247 , 93, 2939 , 94, 1939 , 95, 1210 , 96, 707 ,

97, 383 , 98, 189 , 99, 83 , 100, 32



Clear B, c

tp0 : SurvivalFunction GompertzMakehamDistribution Log c , B Log c , t

tp0

B 1 ct

Log c t 0

1 True

lt : Function t, 100000 tp0

B : 0.0005

c : E^0.09

tp0

0.00555556 1 0.09 t

t 0

1 True

Plot tp0, t, 0, 100

20 40 60 80 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0


ListPlot l, lttable

20 40 60 80 100

20000

40000

60000

80000

100000

21

Ovaj zakon bolje opisuje evoluciju broja populacije tokom vremena od prethodno navedenog zakona i otklanja pretpostavku o maksimalnoj starosti 𝜔, što se može videti na Slici 1.8 gde su krive umiranja ljudi po ovom zakonu i u realnosti približnije nego u slučaju prethodnog zakona.

Slika broj 1.8: 𝑙𝑡 u realnosti i teoriji po zakonu Gompertz-a

Zakon koji je konstruisao Makeham (1860) pretpostavlja da je 𝜇𝑥+𝑡 = 𝐴 + 𝐵 · 𝑐𝑥+𝑡, 𝑡 ≥ 0, pri čemu mora važiti 𝐴 ≥ −𝐵.

Za razliku od prethodnog zakona, u ovom zakonu je uvedena dodatna konstanta koja je u izrazu intenziteta mortaliteta i ona ukazuje na to da su uzeti u obzir neki slučajni faktori koji nisu u vezi sa starošću. Odavde sledi

ₜ𝑝𝑥 = 𝑒ͦ−𝐴𝑡−

𝐵𝑐𝑥

ln𝑐[𝑐𝑡−1] i 𝑙𝑡 = 𝑙0 · 𝑒ͦ

−𝐴𝑡−𝐵

ln𝑐[𝑐𝑡−1], 𝑡 ≥ 0. (1.4.7)

broj živih osoba u realnosti

Gompertz-ov zakon

22

Slika broj 1.9: Zakon Makehama

l : Table 0, 100000 , 1, 99364 , 2, 99 321 , 3, 99295 , 4, 99279 , 5, 99 269 , 6, 99258 , 7, 99248 ,

8, 99241 , 9, 99230 , 10, 99217 , 11, 99203 , 12, 99 187 , 13, 99169 , 14, 99 150 , 15, 99126 ,

16, 99100 , 17, 99 070 , 18, 99035 , 19, 98996 , 20, 98951 , 21, 98902 , 22, 98852 , 23, 98800 ,

24, 98748 , 25, 98 691 , 26, 98631 , 27, 98568 , 28, 98502 , 29, 98432 , 30, 98358 , 31, 98280 ,

32, 98197 , 33, 98 108 , 34, 98012 , 35, 97912 , 36, 97807 , 37, 97695 , 38, 97575 , 39, 97445 ,

40, 97304 , 41, 97 145 , 42, 96969 , 43, 96772 , 44, 96549 , 45, 96296 , 46, 96010 , 47, 95689 ,

48, 95324 , 49, 94 913 , 50, 94462 , 51, 93962 , 52, 93419 , 53, 92811 , 54, 92144 , 55, 91412 ,

56, 90614 , 57, 89 754 , 58, 88829 , 59, 87835 , 60, 86769 , 61, 85629 , 62, 84414 , 63, 83123 ,

64, 81741 , 65, 80 264 , 66, 78686 , 67, 77004 , 68, 75220 , 69, 73320 , 70, 71294 , 71, 69105 ,

72, 66753 , 73, 64 225 , 74, 61508 , 75, 58604 , 76, 55495 , 77, 52193 , 78, 48711 , 79, 45087 ,

80, 41335 , 81, 37 493 , 82, 33643 , 83, 29825 , 84, 26085 , 85, 22471 , 86, 19031 , 87, 15812 ,

88, 12856 , 89, 10 201 , 90, 7873 , 91, 5888 , 92, 4247 , 93, 2939 , 94, 1939 , 95, 1210 , 96, 707 ,

97, 383 , 98, 189 , 99, 83 , 100, 32



tp0 : SurvivalFunction GompertzMakehamDistribution Log c , B Log c , A B, 0 , t

tp0

A tB 1 ct

Log c t 0

1 True

lt : Function t, 100000 tp0

A : 0.001

B : 0.0005

c : E^0.09

tp0

0. 0.00555556 1 0.09 t 0.001 tt 0

1 True

Plot tp0, t, 0, 100

20 40 60 80 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0


ListPlot l, lttable

20 40 60 80 100

20000

40000

60000

80000

100000

23

Potvrdu da je Gompertzov zakon specijalan slučaj Makehamovog zakona možemo videti i na Slici 11, gde su one približno jednake.

Slika broj 1.10: 𝑙𝑡 u realnosti i teoriji po zakonu Makehama.

broj živih osoba u realnosti

Makehamov zakon

24

Slika broj 1.11: Broj živih osoba na osnovu Makehamovog zakona, Gompertzovog zakona i u realnosti.

20 40 60 80 100

20000

40000

60000

80000

100000 Gompertzov zakon

Makehamov zakon

broj živih osoba u

realnosti

25

Specijalno, ako je 𝑐 = 1 kod zakona Gompertz ili 𝑐 = 1 i 𝐴 = 0 kod zakona Makehama važi da je 𝜇𝑥+𝑡 = 𝜇, za bilo koje 𝑥 ≥ 0 i 𝑡 ≥ 0, odnosno ne zavisi od 𝑥 i 𝑡. Tada funkcija raspodele slučajne promenljive 𝑇 dobija eksponencijalnu raspodelu sa parametrom 𝜇. Ova pretpostavka da preostali životni vek ima eksponencijalnu raspodelu u opštem slučaju nije u skladu sa praksom, međutim ima teorijski značaj.

Sada je

ₜ𝑝𝑥 = 𝑒ͦ−∫ 𝜇ⅆ𝑠

𝑡0 = 𝑒ͦ−𝜇𝑡, 𝑡 ≥ 0. (1.4.8)

1.5. Broj potpunih preostalih godina života za osobu starosti 𝒙

Celobrojni preostali životni vek osobe starosti 𝑥 koji se označava sa 𝐾 = 𝐾(𝑥) je diskretna slučajna promenljiva koja predstavlja broj potpunih preostalih godina života osobe starosti 𝑥. Slučajna promenljiva 𝐾 predstavlja ceo deo slučajne promenljive 𝑇, odnosno 𝐾 =[𝑇]. Raspodela verovatnoća slučajne promenljive 𝐾 je

𝑃(𝐾 = 𝑘) = 𝑃([𝑇] = 𝑘) = 𝑃(𝑘 ≤ 𝑇 < 𝑘 + 1)

= 𝐺(𝑘 + 1) − 𝐺(𝑘) = ₖ𝑝𝑥 − ₖ₊₁𝑝𝑥, 𝑘 ∈ ℕ0. (1.5.1)

Na osnovu jednakosti (1.1.8) sledi

𝑃(𝐾 = 𝑘) = ₖ𝑝𝑥 − ₖ𝑝𝑥 · ₁𝑝𝑥+𝑘 = ₖ𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑘. (1.5.2)

Očekivani preostali celobrojni životni vek osobe starosti 𝑥 je matematičko očekivanje slučajne promenljive 𝐾. Definiše se kao

𝑒ͦ𝑥 = 𝐸𝐾 = ∑ 𝑙∞𝑙=0 ⋅ 𝑃(𝐾 = 𝑙) = ∑ 𝑙∞

𝑙=0 ⋅ ₗ𝑝ₓ ⋅ 𝑞𝑥+𝑙 = ∑ 𝑙 ⋅ ₗ𝑝ₓ ⋅ 𝑞𝑥+𝑙∞𝑙=1 . (1.5.3)

Vrednost 𝑒ͦ𝑥 se može ekvivalentno predstaviti na sledeći način

𝑒ͦ𝑥 = ₁𝑝ₓ ⋅ 𝑞𝑥+1 + 2₂𝑝ₓ ⋅ 𝑞𝑥+2 + 3₃𝑝ₓ ⋅ 𝑞𝑥+3 +⋯

= 𝑃(𝐾 = 1) + 2𝑃(𝐾 = 2) + 3𝑃(𝐾 = 3) +⋯. (1.5.4)

Na osnovu prethodnog izraza sledi

𝑒ͦ𝑥 = ∑ 𝑙∞𝑙=0 ⋅ ₗ𝑝ₓ ⋅ 𝑞𝑥+𝑙 = ∑ 𝑃(𝐾 ≥ 𝑙)∞

𝑙=1 = ∑ 𝑃(𝑇 ≥ 𝑙)∞𝑙=1 = ∑ ₗ𝑝ₓ∞

𝑙=1 . (1.5.5)

U praksi se raspodela slučajne promenljive 𝐾 lakše može odrediti, jer je diskretna, nego raspodela slučajne promenljive 𝑇, otuda je i njena analiza važna u osiguranju. Prethodne formule imaju prednost u odnosu na odgovarajuće formule za 𝑇 u onim slučajevima u kojima raspodela za 𝑇 nije poznata.

Slučajna promenljiva 𝑇 je zbir dve slučajne promenljive, 𝑇 = 𝐾 + 𝑆, gde je 𝑆 slučajna promenljiva apsolutno neprekidnog tipa, čiji je skup vrednosti (0,1). Uopšteno, za određivanje raspodele slučajne promenljive 𝑇 potrebno je znati

26

• zajedničku raspodelu za 𝐾 i 𝑆, ili

• raspodelu slučajne promenljive 𝐾 i uslovnu raspodelu slučajne promenljive 𝑆 pod uslovom 𝐾.

Prethodno navedene potrebne raspodele nije jednostavno odrediti, zbog čega se često u konkretnim izračunavanjima primenjuju neke aproksimacije ili se uvode dodatne pretpostavke. Na primer, očekivana vrednost slučajne promenljive 𝑆 se može aproksimirati sa 1

2. Tada je

𝐸𝑇 = 𝐸𝐾 + 𝐸𝑆 ≈ 𝐸𝐾 +1

2 . (1.5.6)

Uslovna raspodela slučajne promenljive 𝑆 pod uslovom 𝐾 je:

𝑃(𝑆 < 𝑙|𝐾 = 𝑘) =𝑃(𝑆 < 𝑙, 𝐾 = 𝑘)

𝑃(𝐾 = 𝑘)=𝑃(𝑆 + 𝐾 < 𝑘 + 𝑙, 𝐾 = 𝑘)

𝑃(𝐾 = 𝑘)

=𝑃(𝑇 < 𝑘 + 𝑙, 𝑘 ≤ 𝑇 < 𝑘 + 1)

𝑃(𝑘 ≤ 𝑇 < 𝑘 + 1)=𝑃(𝑘 ≤ 𝑇 < 𝑘 + 𝑙)

𝑃(𝑘 ≤ 𝑇 < 𝑘 + 1)=𝐺(𝑘 + 𝑙) − 𝐺(𝑘)

𝐺(𝑘 + 1) − 𝐺(𝑘)

=ₖ𝑝ₓ−ₖ₊ₗ𝑝ₓ

ₖ𝑝ₓ+ₖ₊₁𝑝ₓ=

ₖ𝑝ₓ−ₖ𝑝ₓ·ₗ𝑝ₓ₊ₖ

ₖ𝑝ₓ−ₖ𝑝ₓ·𝑝ₓ₊ₖ=

ₖ𝑝ₓ(1−ₗ𝑝ₓ₊ₖ)

ₖ𝑝ₓ(1−𝑝ₓ₊ₖ)=

ₗ𝑞ₓ₊ₖ

𝑞ₓ₊ₖ. (1.5.7)

U cilju određivanja raspodela, pretpostavlja se da su slučajne promenljive 𝑆 i 𝐾 nezavisne. Tada je prethodni izraz funkcija koja zavisi samo od 𝑙, a ne zavisi od 𝑘, odnosno

𝐻(𝑙) =ₗ𝑞ₓ₊ₖ

𝑞ₓ₊ₖ za 𝑙𝜖(0,1). Odavde je

ₗ𝑞ₓ₊ₖ = 𝐻(𝑙) · 𝑞ₓ₊ₖ, 𝑙𝜖(0,1). (1.5.8)

Uz pretpostavku da su 𝑆 i 𝐾 nezavisne slučajne promenljive i da je poznata raspodela za 𝑆, na osnovu podatka 𝑞ₓ₊ₖ iz tablice mortaliteta možemo odrediti ₗ𝑞ₓ₊ₖ, 𝑙𝜖(0,1). Pored nezavisnosti 𝑆 i 𝐾, pretpostavlja se da 𝑆 ima uniformnu raspodelu na intervalu (0,1). Tada,

𝐸𝑆 =1

2 i 𝐷𝑆 =

1

12.

U aktuarskoj praksi je često od značaja krajnji trenutak nekog dela godine u toku koje je nastupila smrt osiguranika, jer u tom trenutku osiguravajuća kompanija isplaćuje sumu osiguranja. Zato se u toku godine posmatra period dužine 1

𝑚 godina. Definišu se slučajne

promenljive 𝑆(𝑚) =1

𝑚[𝑚𝑆 + 1]. Ako je 𝑆𝜖 [

𝑘

𝑚,𝑘+1

𝑚), znači da je u tom periodu nastupila smrt

osiguranika, pa je 𝑆(𝑚) krajnji trenutak onog perioda dužine 1𝑚

godina u toku kojeg nastupa

smrt osiguranika. Raspodela ove slučajne promenljive je

𝑃 (𝑆(𝑚) =𝑘

𝑚) = 𝑃 (

1

𝑚[𝑚𝑆 + 1] =

𝑘

𝑚) = 𝑃(𝑘 ≤ 𝑚𝑆 + 1 < 𝑘 + 1)

= 𝑃(𝑘 − 1 ≤ 𝑚𝑆 < 𝑘) = 𝑃 (𝑘−1

𝑚≤ 𝑆 <

𝑘

𝑚). (1.5.9)

𝐾 i 𝑆(𝑚) su nezavisne, jer je 𝑆(𝑚) Borelova funkcija slučajne promenljive 𝑆. Ako 𝑆 ima uniformnu raspodelu na intervalu (0,1), tada je

27

𝑃 (𝑆(𝑚) =𝑘

𝑚) = ∫ 1ⅆ𝑡

𝑘

𝑚𝑘−1

𝑚

=1

𝑚 , za svako 𝑘 = 1,2, … ,𝑚. (1.5.10)

Odnosno, 𝑆(𝑚) ima diskretnu uniformnu raspodelu

𝑆(𝑚): (1

𝑚 2

𝑚

3

𝑚 ………

𝑚−1

𝑚 1

1

𝑚 1

𝑚 1

𝑚 ……….

1

𝑚

1

𝑚 ). (1.5.11)

1.6. Verovatnoće smrtnosti za delove godine

Pomoću tablice mortaliteta, jednostavno je odrediti verovatnoću doživljenja, verovatnoću nastupanja smrti i intenzitet mortaliteta za celobrojne starosti. Međutim, u praksi osiguranja, često se javlja potreba za određivanjem ovih parametara koji se odnose na necelobrojne starosti. Tada neće biti dovoljno poznavati samo tablicu mortaliteta, odnosno raspodelu celobrojnog preostalog životnog veka, 𝐾.

Da bi se rešio problem, određuje se raspodela preostalog životnog veka 𝑇 ili se primenjuje neki od postupaka aproksimacije, kao što je interpolacija ili razvoj u Tejlorov red. Kao rešenje datog problema, može se uvesti i neka od dodatnih pretpostavki.

Dakle, da bi se odredilo l 𝑝𝑥, l 𝑞𝑥, 𝜇𝑥+𝑙 za 0 < 𝑙 < 1, uvodi se neka od sledećih pretpostavki:

1. Pretpostavka A

Linearnost funkcije ₗ𝒒𝒙 , 𝟎 < 𝒍 < 𝟏.

Funkcija ₗ𝑞𝑥 je neopadajuća funkcija po 𝑙. Interpolacijom tačaka između 𝑙 = 0 i 𝑙 = 1, dobija se pretpostavka

ₗ𝑞𝑥 = 𝑙 · 𝑞𝑥 , 0 < 𝑙 < 1. (1.6.1)

Sada se ₗ𝑞𝑥 može odrediti pomoću tablice mortaliteta.

Ova pretpostavka je ekvivalentna pretpostavci da su 𝐾 i 𝑆 nezavisne slučajne promenljive i da 𝑆 ima uniformnu raspodelu na intervalu (0,1).

Iz prethodnog izraza sledi

ₗ𝑝𝑥 = 1 − 𝑙 · 𝑞𝑥 , (1.6.2)

𝜇𝑥+𝑙 =𝑞𝑥

1−𝑙⋅𝑞𝑥 . (1.6.3)

2. Pretpostavka B

Intenzitet mortaliteta 𝝁𝒙+𝒍, 𝟎 < 𝒍 < 𝟏, konstantan.

Obično se pretpostavlja da je intenzitet mortaliteta u toku jedne godine konstantan, ali da se razlikuje po godinama. Ova pretpostavka podrazumeva da je intenzitet mortaliteta u godini [𝑥, 𝑥 + 1] jednak intenzitetu mortaliteta na sredini te godine, odnosno jednak je 𝜇

𝑥+1

2

.

28

Ukoliko se posmatra jednakost 𝜇𝑥+𝑡 = −ⅆ

ⅆ𝑡𝑙𝑛 ₜ𝑝𝑥, dobija se: 𝜇

𝑥+1

2

= − 𝑙𝑛 𝑝𝑥, odakle

sledi

ₗ𝑝𝑥 = 𝑒ͦ−𝑙𝜇

𝑥+12 = (𝑝𝑥)

𝑙, 0 < 𝑙 < 1. (1.6.4)

Matematičko opravdanje za uvođenje ove pretpostavke predstavlja sledeća relacija

𝑝𝑥 = 𝑒ͦ−∫ 𝜇𝑥+𝑙 ⅆ𝑙

10 ⇒ −𝑙𝑛 𝑝𝑥 = ∫ 𝜇𝑥+𝑙 ⅆ𝑙

1

0 ⇒(teorema o srednjoj vrednosti za integrale)

∫ 𝜇𝑥+𝑙 ⅆ𝑙1

0≈ 𝜇

𝑥+1

2

= ∫ 𝜇𝑥+

1

2

1

0

ⅆ𝑙 ⇒ 𝑝𝑥 = 𝑒ͦ−∫ 𝜇

𝑥+12

ⅆ𝑙

1

0 = 𝑒ͦ−𝜇

𝑥+12. (1.6.5)

Zatim važi jednakost

ₗ𝑞𝑥 = 1 − (1 − 𝑞𝑥)𝑙 , 0 < 𝑙 < 1. (1.6.6)

Ukoliko se i dalje posmatra 0 < 𝑙 < 1, tada je uslovna funkcija raspodele slučajne promenljive 𝑆 pod uslovom 𝐾 = 𝑘, 𝑘 ∈ ℕ0:

𝑃(𝑆 < 𝑙|𝐾 = 𝑘) =ₗ𝑞𝑥+𝑘

𝑞𝑥+𝑘=

1−(1−𝑞𝑥+𝑘)𝑙

𝑞𝑥+𝑘 = 1−𝑝𝑥+𝑘

𝑙

1−𝑝𝑥+𝑘 . (1.6.7)

U ovom slučaju, 𝐾 i 𝑆 nisu nezavisne.

Specijalno, za 𝑞𝑥+𝑘 → 0, granična vrednost prethodne verovatnoće biće 𝑙, pa slučajne promenljive 𝐾 i 𝑆 postaju nezavisne, gde je 𝑆: 𝑈(0,1).

3. Pretpostavka C

Linearnost funkcije ₁₋ₗ𝒒𝒙+𝒍, 𝟎 < 𝒍 < 𝟏.

Poznata kao Balducci pretpostavka, ona podrazumeva da je ₁₋ₗ𝑞𝑥+𝑙 = (1 − 𝑙)𝑞𝑥, 0 < 𝑙 < 1.

To povlači sledeće jednakosti:

ₗ𝑝𝑥 =𝑝𝑥

1−ₗ𝑝𝑥+𝑙=

1−𝑞𝑥

1−(1−𝑙)𝑞𝑥 , (1.6.8)

ₗ𝑞𝑥 =𝑙𝑞𝑥

1−(1−𝑙)𝑞𝑥 , (1.6.9)

𝜇𝑥+𝑙 =𝑞𝑥

1−(1−𝑙)𝑞𝑥, (1.6.10)

𝑃(𝑆 < 𝑙|𝐾 = 𝑘) =ₗ𝑞𝑥+𝑘

𝑞𝑥+𝑘=

𝑙

1−(1−𝑙)𝑞𝑥+𝑘, 0 < 𝑙 < 1. (1.6.11)

Iz prethodnog sledi da 𝑆 i 𝐾 nisu nezavisne slučajne promenljive.

29

Međutim, kao i kod prethodne pretpostavke, u graničnom slučaju kada 𝑞𝑥+𝑘 → 0, uslovna funkcija raspodele slučajne promenljive 𝑆 pod uslovom 𝐾 = 𝑘, 𝑘 ∈ ℕ0 teži ka 𝑙, pa su 𝐾 i 𝑆 nezavisne, gde je 𝑆: 𝑈(0,1).

U skladu sa svakom od navedenih pretpostavki, intenzitet mortaliteta ima prekid u celobrojnim vrednostima. Još nerealnija posledica pretpostavki ovog modela je da se intenzitet mortaliteta smanjuje između uzastopnih celih brojeva.

Ukoliko se određuju verovatnoće smrtnosti za delove godine, primenom neke od navedenih pretpostavki, dobija se odgovarajuća tablica mortaliteta za ovaj slučaj.

30

Glava 2

Životno osiguranje

Ugovori o osiguranju se sklapaju onda kada postoji mogućnost nekog rizičnog događaja, a sve u cilju neutralizacije štete. Nekada je suma osiguranja unapred poznata, deterministička veličina i neizvesnost takvog ugovora postoji jedino u pogledu vremena realizacije rizičnog događaja. Kod nekih drugih tipova životnog osiguranja suma osiguranja je određena kao funkcija preostalog životnog veka osiguranika. Dakle, ona je slučajna promenljiva, tako da kod takvih ugovora postoji neizvesnost i u pogledu iznosa sume osiguranja i u pogledu vremena realizacije rizičnog događaja.

Neka je suma osiguranja 𝑏𝑡 koju će u trenutku 𝑡 osiguravajuća kompanija isplatiti, ako u tom trenutku nastupi smrt osiguranika, neka je kamatna stopa jednaka svake godine, odakle će slediti da je sadašnja vrednost sume osiguranja slučajna promenljiva 𝑏𝑇𝑣

𝑇. Suma koju će osiguranik platiti osiguravajućoj kompaniji u trenutku 𝑡 = 0 kada se sklapa ugovor o osiguranju jednaka je očekivanoj sadašnjoj vrednosti sume osiguranja, tj. 𝐸(𝑏𝑇𝑣

𝑇). Ona se naziva jednokratna neto premija. Pojam jednokratna ukazuje na to da se ceo iznos ove premije uplaćuje odjednom. Pojam neto ukazuje na to da ova premija ne obuhvata nikakve troškove koji mogu pratiti ugovor o osiguranju kao što su troškovi sudskog veštačenja, različite takse itd. Najčešće se sadašnja vrednost sume osiguranja označava sa 𝑍, gde je 𝑍 slučajna promenljiva. (Referentna kamatna stopa koja važi na tržištu Republike Srbije je 𝑖 = 2.5%, dok

je 𝑣 =1

1+𝑖.)

Pojmovi koji su u vezi kamatnih stopa će biti korišćeni u nastavku, pa se iz tog razloga navode.

Period konverzije predstavlja period na čijem kraju ili početku se isplaćuje kamata ili se obračunava kamata na kamatu. Ukoliko se na početku perioda konverzije obračunava kamata, reč je anticipativnoj kamatnoj stopi. Ako se kamata obračunava na kraju perioda konverzije, govori se o dekurzivnoj kamatnoj stopi. Efektivna kamatna stopa se obračunava ako se period konverzije poklapa sa osnovnom jedinicom vremena, godinom, u suprotnom je to nominalna kamatna stopa čijim deljenjem brojem perioda konverzije u toku godine nastaje efektivna kamatna stopa za taj period konverzije.

2.1. Osnovni tipovi životnog osiguranja

Postoji mnogo tipova ugovora o životnom osiguranju s obzirom na to da se takvi ugovori kreiraju u skladu sa potrebama osiguranika. Posmatra se nekoliko osnovnih tipova životnog osiguranja kod kojih je suma osiguranja unapred poznata deterministička veličina.

Bez gubljenja opštosti pretpostavlja se da je suma osiguranja jedinična. U praksi, suma osiguranja nije jedinična, što će značiti da dobijenu formulu za sumu osiguranja treba

31

pomnožiti vrednošću date sume. Najpre se analizira slučaj kada se suma osiguranja isplaćuje na kraju godine u kojoj će nastupiti smrt osiguranika.

2.1.1. Doživotno osiguranje

U slučaju doživotnog osiguranja osiguravajuća kompanija isplaćuje korisniku osiguranja jediničnu sumu osiguranja na kraju godine nastupanja smrti osiguranika. Obavezu da se uplati odgovarajuća jednokratna neto premija u trenutku sklapanja ugovora ima osiguranik. Sadašnja vrednost sume osiguranja je

𝑍 = 𝑣𝐾+1. (2.1.1)

Suma osiguranja se isplaćuje u trenutku 𝐾 + 1, gde je 𝐾 = [𝑇] celobrojni preostali životni vek osiguranika. Raspodela verovatnoća slučajne promenljive 𝑍 je

𝑃(𝑍 = 𝑣𝑘+1) = 𝑃(𝐾 = 𝑘) = ₖ𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑘, 𝑘 ∈ ℕ0. (2.1.2)

Odgovarajuća jednokratna neto premija je 𝐴𝑥, gde 𝑥 predstavlja starost osiguranika u trenutku sklapanja ugovora, i ona je sledećeg oblika

𝐴𝑥 = 𝐸𝑍 = 𝐸𝑣𝐾+1 = ∑ 𝑣𝑘+1ₖ𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑘+∞

𝑘=0. (2.1.3)

Na Slici 2.1 se uočava da ukoliko osoba starosti 99 godina želi da sklopi ugovor o osiguranju, jednokratna neto premija bi bila 0.599471, odnosno 59.9471 % sume osiguranja. Ako je nastupila smrt osiguranika u toku druge godine života od trenutka sklapanja ugovora o osiguranju, tada bi suma osiguranja bila 0.928599.

32

Slika broj 2.1: Doživotno osiguranje.

Disperzija sadašnje vrednosti sume osiguranja je od velikog značaja za sam ugovor o osiguranju, jer ona govori o izloženosti riziku osiguranika i osiguravača. Što je manja disperzija, manji je rizik. Ovu informaciju ne pruža jednokratna neto premija. Kod doživotnog osiguranja sa jediničnom sumom osiguranja koja se isplaćuje na kraju godine nastupanja smrti osiguranika disperzija sadašnje vrednosti sume osiguranja je

𝐷𝑍 = 𝐸𝑍2 − (𝐴𝑥)2. (2.1.4)

Ako je 𝑣 = 𝑒ͦ−𝛿 , tada je 𝑍 = 𝑒ͦ−𝛿(𝑘+1) i 𝑍2 = 𝑒ͦ−2𝛿(𝑘+1). Zbog toga se 𝐸𝑍2 često naziva jednokratna neto premija sa dvostrukim intenzitetom kamate.

33

2.1.2. Osiguranje sa rokom

Kod ugovora o životnom osiguranju sa rokom jedinična suma osiguranja se isplaćuje na kraju godine u kojoj će nastupiti smrt osiguranika, samo ako smrt osiguranika nastupi u roku od 𝑛 godina od trenutka sklapanja ugovora o osiguranju. Ako smrt osiguranika nastupi posle isteka 𝑛 godina osiguravajuća kompanija ne vrši nikakvu isplatu. Sadašnja vrednost sume osiguranja je

𝑍1 = {1 ⋅ 𝑣𝐾+1, 𝐾 = 0,1, … , 𝑛 − 10 , 𝐾 = 𝑛, 𝑛 + 1,…

. (2.1.5)

Jednokratna neto premija je

𝐴�̂�:𝑛˥ = EZ1 = ∑ 𝑣k+1ₖ𝑝𝑥n−1

k=0𝑞𝑥+𝑘, (2.1.6)

gde se sa 𝑥 označava starost osiguranika u trenutku sklapanja ugovora.

Na Slici broj 2.2. se uočava da kada se sklapa ugovor o osiguranju sa rokom od 5 godina, a osoba je starosti 2 godine, ona će vrlo malo platiti ugovor, tek 0.000691544 od sume osiguranja, i to iz razloga što je vrlo verovatno da će ona živeti narednih 5 godina, pa neće biti potrebe za isplatom sume osiguranja. Osoba koja je starosti 99 godina i želi da sklopi ugovor o osiguranju sa rokom od jedne godine će daleko više morati da plati ugovor, 0.599471 pomnoženo sa sumom osiguranja, s obzirom na to da je veća verovatnoća da neće živeti još godinu dana. Sadašnja vrednost sume osiguranja iznosi 0.928599 za osobu koja je sklopila ugovor o osiguranju sa rokom od 5 godina, a smrt je nastupila u toku druge godine od dana sklapanja ugovora.

Slika broj 2.2: Osiguranje sa rokom.

Disperzija slučajne promenljive Z1 je

𝐷𝑍1 = 𝐸𝑍12 − (𝐴�̂�:𝑛˥)

2. (2.1.7)

34

Specijalno, ako je 𝑣 = 𝑒ͦ−𝛿, tada je

𝐸𝑍12 = 𝐸[𝑒ͦ−2𝛿(𝑘+1) ⋅ 𝐼{𝑘<𝑛}]. (2.1.8)

Ovo očekivanje se naziva jednokratna neto premija sa rokom osiguranja od 𝑛 godina i dvostrukim intenzitetom kamate.

2.1.3. Osiguranje doživljenja

Prethodna dva tipa osiguranja imaju isplate sume osiguranja usled nastupanja smrti osiguranika. Međutim, kod osiguranja doživljenja osiguravajuća kompanija isplaćuje jediničnu sumu osiguranja osiguraniku u trenutku 𝑛 ako on doživi 𝑛 godina nakon trenutka sklapanja ugovora. Sadašnja vrednost sume osiguranja je

𝑍2 = {0, 𝐾 = 0,1, … , 𝑛 − 1,1 ⋅ 𝑣𝑛, 𝐾 = 𝑛, 𝑛 + 1,… .

(2.1.9)


𝐴𝑥:𝑛˥̂ = 𝐸𝑍2 = 𝑣𝑛 ⋅ 𝑃(𝐾 ≥ 𝑛) = 𝑣𝑛 ⋅ 𝑃(𝑇 ≥ 𝑛) = 𝑣𝑛ₙ𝑝𝑥. (2.1.10)

Slika broj 2.3: Osiguranje doživljenja

Sklapa se ugovor o osiguranju doživljenja, pri čemu je osiguranik osoba starosti 2 godine, sa parametrom 𝑛 = 1. Osiguravajuća kompanija će isplatiti jediničnu sumu osiguranja ukoliko ova osoba živi 1 ili više od jedne godine i premija takvog osiguranja je 0.975354. Ukoliko smrt osobe ne nastupi u toku prve godine života posle sklapanja ugovora o osiguranju, već u drugoj, sadašnja vrednost sume osiguranja bi bila 0.97561 (Slika 2.3).

Disperzija sadašnje vrednosti sume osiguranja je

𝐷𝑍2 = 𝑣2𝑛𝑃(𝐾 ≥ 𝑛) − (𝐴𝑥:𝑛˥̂)2 = 𝑣2𝑛ₙ𝑝𝑥 · ₙ𝑞𝑥. (2.1.11)

35

2.1.4. Mešovito osiguranje

Kao kombinacija prethodna dva tipa životnog osiguranja, javlja se nova vrsta ugovora o životnom osiguranju, tzv.mešovito osiguranje. Kod mešovitog osiguranja osiguravajuća kompanija isplaćuje jediničnu sumu osiguranja na kraju godine nastupanja smrti osiguranika ako smrt nastupi u prvih 𝑛 godina trajanja ugovora. U suprotnom, ako osiguranik doživi 𝑛 godina osiguravajuća kompanija isplaćuje jediničnu sumu osiguranja u trenutku 𝑛.

Sadašnja vrednost sume osiguranja je

𝑍 = {𝑣𝐾+1, 𝐾 = 0,1, … , 𝑛 − 1𝑣𝑛, 𝐾 = 𝑛, 𝑛 + 1,…

= 𝑍1 + 𝑍2, (2.1.12)

gde su 𝑍1 i 𝑍2 sadašnje vrednosti sume osiguranja kod osiguranja sa rokom i osiguranja doživljenja, respektivno.

Jednokratna neto premija mešovitnog osiguranja je

𝐴𝑥:𝑛˥ = 𝐸𝑍 = 𝐸𝑍1 + 𝐸𝑍2 = 𝐴�̂�:𝑛˥ + 𝐴𝑥:𝑛˥̂. (2.1.13)

Dakle, jednokratna neto premija mešovitog osiguranja predstavlja zbir jednokratnih neto premija osiguranja sa rokom i osiguranja doživljenja.

Slika broj 2.4: Mešovito osiguranje

Premija mešovitog osiguranja sa parametrom 𝑛 = 5, ukoliko je osoba starosti 2 godine, je 0.883896 od sume osiguranja, dok premija mešovitog osiguranja sa parametrom 𝑛 = 1 , a osoba starosti 99 godina iznosi 0.97561 pomnožena sa sumom osiguranja. Kada je suma osiguranja velika, tada se ove dve premije puno razlikuju, što znači da će prva osoba manje platiti ugovor, od druge, koja ima starost od 99 godina i njoj će suma osiguranja biti isplaćena ranije zbog malog parametra 𝑛 (Slika 2.4).

36

S obzirom da su 𝑍1 i 𝑍2 zavisne slučajne promenljive i 𝑍1 ⋅ 𝑍2 = 0, važi sledeća jednakost

𝐷𝑍 = 𝐷(𝑍1 + 𝑍2) = 𝐷𝑍1 + 𝐷𝑍2 + 2𝑐𝑜𝑣(𝑍1, 𝑍2) = 𝐷𝑍1 + 𝐷𝑍2 − 2𝐴�̂�:𝑛˥ ⋅ 𝐴𝑥:𝑛˥̂. (2.1.14)

Prethodna relacija pokazuje da je ugovor o mešovitom osiguranju manje rizičan nego situacija kada su sklopljeni istovremeno dva ugovora: jedan o osiguranju sa rokom i drugi o osiguranju doživljenja.

2.1.5. Odloženo doživotno osiguranje

Kao glavna karakteristika ovog tipa osiguranja je postojanje perioda odlaganja, što nije slučaj kod doživotnog osiguranja. Sve ostale osobine doživotnog osiguranja ima i odloženo doživotno osiguranje. Neka je period odlaganja 𝑚 godina. Tada odloženo doživotno osiguranje podrazumeva da osiguravajuća kompanija ne vrši nikakve isplate ako smrt osiguranika nastupi u toku prvih 𝑚 godina trajanja ugovora o osiguranju. Ako osiguranik doživi bar 𝑚 godina osiguravajuća kompanija isplaćuje jediničnu sumu osiguranja na kraju godine nastupanja smrti osiguranika.


𝑍 = {0, 𝐾 = 0,1, … ,𝑚 − 1,

𝑣𝐾+1, 𝐾 = 𝑚,𝑚 + 1,… . (2.1.15)


m|𝐴𝑥 = 𝐸𝑍 =∑ 𝑣𝑘+1𝑃(𝐾 = 𝑘)+∞

𝑘=𝑚= ∑ 𝑣𝑙+𝑚+1𝑃(𝐾 = 𝑙 + 𝑚)

+∞

𝑙=0

=∑𝑣𝑙+𝑚+1+∞

𝑙=0

ₗ₊ₘ𝑝𝑥 · 𝑞𝑥+𝑙+𝑚 =∑𝑣𝑙+𝑚+1+∞

𝑙=0

ₘ𝑝𝑥 · ₗ𝑝𝑥+𝑚 · 𝑞𝑥+𝑙+𝑚

= 𝑣𝑚ₘ𝑝𝑥∑ 𝑣𝑙+1ₗ𝑝𝑥+𝑚 · 𝑞𝑥+𝑙+𝑚+∞

𝑙=0= 𝑣𝑚ₘ𝑝𝑥𝐴𝑥+𝑚 (2.1.16)

Slika broj 2.5: Odloženo doživotno osiguranje

37

Osoba starosti 25 godina sklapa ugovor o odloženom doživotnom osiguranju sa periodom odlaganja od 5 godina, i za takav ugovor plaća 0.299775 od sume osiguranja, dok osoba starosti 80 godina potpisuje ugovor o istom osiguranju sa periodom odlaganja od 10 godina i plaća 0.852842 pomnoženo sa sumom osiguranja, što je više od prethodnog ugovora. Ovakva razlika se pravi zbog oba parametra, i starosti i perioda odlaganja (Slika 2.5).

Ovakvim postupkom premija odloženog osiguranja za osobu starosti 𝑥 godina izražena je pomoću jednokratne neto premije doživotnog osiguranja za osobu starosti 𝑥 + 𝑚 godina. Alternativno, m|𝐴𝑥 se može izraziti na sledeći način

m|𝐴𝑥 =∑ 𝑣𝑘+1ₖ𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑘 =+∞

𝑘=𝑚∑ 𝑣𝑘+1ₖ𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑘 −

+∞

𝑘=0∑ 𝑣𝑘+1ₖ𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑘

𝑚−1

𝑘=0

= 𝐴𝑥 − 𝐴�̂�:𝑚˥ (2.1.17)

2.1.6. Osiguranje kod kojeg se suma osiguranja isplaćuje u trenutku nastupanja smrti osiguranika

Do sada je analizirano osiguranje kod koga se suma osiguranja isplaćuje na kraju godine u kojoj je nastupila smrt osiguranika, dok se u nastavku pretpostavlja da se suma osiguranja isplaćuje u trenutku nastupanja smrti osiguranika.

Trenutna vrednost sume osiguranja u slučaju doživotnog osiguranja je

𝑍 = 1 ⋅ 𝑣𝑇. (2.1.18)

U skladu sa ovom sumom osiguranja, jednokratna neto premija bi bila:

�̅�𝑥 = ∫ 𝑣𝑡ₜ𝑝𝑥𝜇𝑥+𝑡 ⅆ𝑡+∞

0, (2.1.19)

koja proizilazi iz jednakosti 𝜇𝑥+𝑡 =𝑔(𝑡)

1−𝐺(𝑡), 𝑡 ≥ 0 i �̅�𝑥 = ∫ 𝑣𝑡𝑔(𝑡) ⅆ𝑡

+∞

0.

Ukoliko treba odrediti ovu premiju, potrebno je znati raspodelu slučajne promenljive 𝑇. Međutim, to nije uvek poznato, pa se uvode neke dodatne pretpostavke koje će omogućiti izračunavanje premije, i to primenom raspodele slučajne promenljive 𝐾 ili uslovne raspodele slučajne promenljive 𝑆 pod uslovom 𝐾 = 𝑘 (𝑇 = 𝐾 + 𝑆).

Neka važi pretpostavka A (iz 1.6.1), što je ekvivalentno sa tim da su 𝐾 i 𝑆 nezavisne slučajne promenljive, pri čemu je 𝑆: 𝑈(0,1). Uočimo

𝑇 = 𝐾 + 𝑆 = (𝐾 + 1) − (1 − 𝑆), (2.1.20)

odakle je

𝐸𝑣𝑆−1 = ∫ (1 + 𝑖)1−𝑥 ⅆ𝑥1

0= −

(1+𝑖)1−𝑥

𝑙𝑛(1+𝑖)|0

1

= −1

ln(1+𝑖)[1 − (1 + 𝑖)] =

𝑖

ln(1+𝑖)=

𝑖

𝛿. (2.1.21)

Pritom, 𝛿 = 𝑙𝑛(1 + 𝑖) je godišnji intenzitet kamate.

Konačno,

38

�̅�𝑥 = 𝐸(𝑣𝑘+1)𝐸((1 + 𝑖)1−𝑆) =

𝑖

𝛿⋅ 𝐴𝑥. (2.1.22)

Premija koju bi osiguranik starosti 20 godina trebalo da plati sklapanjem ugovora o osiguranju prethodno navedenog tipa je znatno niža od one koju bi osiguranik starosti 45 godina trebalo da plati, što se može videti na Slici broj 2.6. Ukoliko je 𝑇 = 25 trenutak nastupanja smrti osiguranika, onda će sadašnja vrednost sume osiguranja biti 0.539391 od jedinične sume osiguranja, odnosno vrednosti sume osiguranja.

Slika broj 2.6: Doživotno osiguranje kod kojeg se suma osiguranja isplaćuje u trenutku nastupanja smrti osiguranika.

Do sada je posmatran ugovor o doživotnom osiguranju. Neka se posmatra osiguranje sa rokom od 𝑛 godina, pri čemu se suma osiguranja isplaćuje u trenutku nastupanja smrti. Sadašnja vrednost sume osiguranja je

𝑍 = {𝑣𝑇 , 𝑇 < 𝑛,0, 𝑇 ≥ 𝑛.

(2.1.23)

Jednokratna neto premija koja odgovara ovoj vrsti životnog osiguranja je

�̅��̂�:𝑛˥ = 𝐸𝑍 = ∫ 𝑣𝑡𝑔(𝑡) ⅆ𝑡𝑛

0. (2.1.24)

Za izračunavanje prethodne premije potrebno je poznavati raspodelu slučajne promenljive 𝑇. Zamena takvom potrebnom uslovu je uvođenje pretpostavke A (poglavlje 1.6). Tada je

�̅��̂�:𝑛˥ =𝑖

𝛿𝐴�̂�:𝑛˥. (2.1.25)

39

Na Slici broj 2.7 je prikazana prethodno definisana premija i razlika između premija sa različitim parametrima koji se odnose na starost i rok ugovora o osiguranju.

Slika broj 2.7: Osiguranje sa rokom od 𝑛 godina kod kojeg se suma osiguranja isplaćuje u trenutku nastupanja smrti osiguranika.

Analiziranjem ugovora o osiguranju doživljenja, uočava se da je prethodno definisan takav ugovor identičan ugovoru iste vrste sa isplatom sume osiguranja u trenutku nastupanja smrti osiguranika zbog toga što se jedinična suma isplaćuje u trenutku 𝑛.

Posmatra se sada mešovito osiguranje koje obuhvata isplatu jedinične sume osiguranja u trenutku nastupanja smrti osiguranika ako smrt nastupi u toku prvih 𝑛 godina trajanja ugovora. No, ako osiguranik doživi 𝑛 godina, tada se jedinična suma ispaćuje u tom trenutku 𝑛.

Sadašnja vrednost sume osiguranja pomenutog ugovora je

𝑍 = {𝑣𝑇 , 𝑇 < 𝑛,𝑣𝑛, 𝑇 ≥ 𝑛.

(2.1.26)

dok je jednokratna neto premija

�̅�𝑥:𝑛˥ = �̅��̂�:𝑛˥ + �̅�𝑥:𝑛˥̂. (2.1.27)

Uvođenjem pretpostavke A (poglavlje 1.6), izraz (2.1.27) je

�̅�𝑥:𝑛˥ =𝑖

𝛿𝐴�̂�:𝑛˥ + 𝐴𝑥:𝑛˥ − 𝐴�̂�:𝑛˥ = (

𝑖

𝛿− 1)𝐴�̂�:𝑛˥ + 𝐴𝑥:𝑛˥. (2.1.28)

40

Slika broj 2.8: Mešovito osiguranje kod kojeg se suma osiguranja isplaćuje u trenutku nastupanja smrti osiguranika.

Na Slici broj 2.8, prikazani su različiti iznosi premija za vrstu isplaćivanja istih u trenutku nastajanja smrti, u zavisnosti od parametara te premije.

2.1.7. Osiguranje kod koga se suma osiguranja isplaćuje na kraju 𝒎−tog dela godine u toku kojeg nastupa smrt osiguranika

Neka je 𝑚 > 1. Kada se sastavljaju ugovori o osiguranju sa isplatom sume osiguranja na kraju 𝑚-tog dela godine u toku koje će nastupiti smrt osiguranika, potrebno je poznavati

slučajnu promenljivu 𝑆(𝑚) =1

𝑚[𝑚𝑆 + 1]. Ona predstavlja krajnji trenutak onog perioda

dužine 1

𝑚 godina u toku kojeg će nastupiti smrt osiguranika.

Kod doživotnog osiguranja, suma osiguranja se isplaćuje u trenutku 𝐾 + 𝑆(𝑚), pa je njena sadašnja vrednost

𝑍 = 𝑣𝐾+𝑆(𝑚)

. (2.1.29)

Jednokratna neto premija, uz pretpostavku A (iz poglavlja 1.6) i uz pomoć jednakosti

𝐾 + 𝑆(𝑚) = (𝐾 + 1) − (1 − 𝑆(𝑚)), iznosi

𝐴𝑥(𝑚) =

𝑖

𝑖(𝑚)𝐴𝑥, (2.1.30)

pri čemu se u postupku izračunavanja koristi sledeća jednakost:

𝐸 [(1 + 𝑖)1−𝑆(𝑚)] =∑ (1 + 𝑖)1−

𝑘

𝑚

𝑚

𝑘=1⋅1

𝑚=

1

𝑚⋅

1

(1+𝑖)1𝑚−1

=𝑖

𝑖(𝑚), (2.1.31)

gde je 𝑖(𝑚) je godišnja dekurzivna nominalna kamatna stopa sa m perioda konverzije.

41

Slika broj 2.9: Doživotno osiguranje sa isplatom sume osiguranja na kraju 𝑚−tog dela godine u toku koje će nastupiti smrt osiguranika.

Ako smrt osiguranika nastupi u poslednja dva meseca krajnje godine njegovog života, a u trenutku sklapanja ugovora on ima 35 godina, osiguravajuća kompanija će tada platiti jediničnu sumu osiguranja. Premija ovog ugovora iznosi 0.381901 jedinica valute (Slika 2.9).

Kod osiguranja sa rokom od 𝑛 godina, ovakav način isplate sume osiguranja dovodi do njene isplate na kraju 𝑚-tog dela godine u toku kojeg će nastupiti smrt osiguranika, ako je do smrti došlo pre kraja 𝑛-te godine. Sadašnja vrednost sume osiguranja je

𝑍 = {𝑣𝐾+𝑆(𝑚) , 𝐾 = 0,… , 𝑛 − 1,0, 𝐾 = 𝑛, 𝑛 + 1,… ,

(2.1.32)

dok je neto premija uz pretpostavku A (poglavlje 1.6)

𝐴�̂�:𝑛˥(𝑚) =

𝑖

𝑖(𝑚)𝐴�̂�:𝑛˥. (2.1.33)

42

Slika broj 2.10: Osiguranje sa rokom i isplatom sume osiguranja na kraju 𝑚−tog dela godine u toku koje će nastupiti smrt osiguranika.

Osoba starosti 75 godina sklapa ugovor o osiguranju sa rokom od 10 godina i dvomesečnim periodom konverzije. Osiguravajuća kompanija će isplatiti jediničnu sumu osiguranja na kraju tog dela godine u godini nastupanja smrti, ako ne prelazi 10 godina od trenutka sklapanja ugovora. Premija je 0.543289 jedinica valute (Slika 2.10).

Kod mešovitog osiguranja jednokratna neto premija uz pretpostavku A je

𝐴𝑥:𝑛˥(𝑚) = 𝐴�̂�:𝑛˥

(𝑚) + 𝐴𝑥:𝑛˥̂ = (𝑖

𝑖(𝑚)− 1)𝐴�̂�:𝑛˥ + 𝐴𝑥:𝑛˥. (2.1.34)

Slika broj 2.11: Mešovito osiguranje sa isplatom sume osiguranja na kraju 𝑚 −tog dela godine u toku koje će nastupiti smrt osiguranika.

Na Slici broj 2.11, prikazani su iznosi premija mešovitog osiguranja sa periodom konverzije 𝑚 za različite parametre.

2.2. Opšti tipovi životnog osiguranja

Suma osiguranja koja je do sada izučavana u raznim vrstama ugovora o životnom osiguranju je bila konstantna, nije zavisila od preostalog životnog veka osiguranika. U ovom slučaju će se preostali period života uzimati u obzir, i ovde se smatra da se suma osiguranja isplaćuje na kraju godine u kojoj nastupa smrt osiguranika.

Neka je 𝑐𝑗 suma koja se ispaćuje na kraju 𝑗-te godine trajanja ugovora o osiguranju ako

u toj godini nastupi smrt osiguranika. Posmatrajući doživotno osiguranje, sadašnja vrednost sume osiguranja je

43

𝑍 = 𝑐𝐾+1 ⋅ 𝑣𝐾+1. (2.2.1)

Zbog toga što je raspodela slučajne promenljive 𝑍 određena verovatnoćama

𝑃(𝑍 = 𝑐𝑘+1𝑣𝑘+1) = 𝑃(𝐾 = 𝑘) = ₖ𝑝𝑥 ⋅ 𝑞𝑥+𝑘, 𝑘 ∈ ℕ0, (2.2.2)

jednokratna neto premija je

𝐸𝑍 = ∑ 𝑐𝑘+1𝑣𝑘+1ₖ𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑘

+∞

𝑘=0. (2.2.3)

Slika broj 2.12: Doživotno osiguranje sa sumom osiguranja 𝑐𝑗.

Ova premija može biti predstavljena pomoću premija nekih jednostavnijih tipova ugovora o osiguranju, kao u nastavku.

𝐸𝑍 = 𝑐1 ⋅ 𝑣 · ₀𝑝𝑥 ⋅ 𝑞𝑥 + 𝑐2 · 𝑣2 · ₁𝑝𝑥 · 𝑞𝑥+1 +⋯

= 𝑐1 ⋅ 𝑣 · ₀𝑝𝑥 ⋅ 𝑞𝑥 + 𝑐1 · 𝑣2 · ₁𝑝𝑥 · 𝑞𝑥+1 +⋯+ (𝑐2 − 𝑐1) · 𝑣

2 · ₁𝑝𝑥 · 𝑞𝑥+1 +⋯

= 𝑐1𝐴𝑥 + (𝑐2 − 𝑐1)₁|𝐴𝑥 + (𝑐3 − 𝑐2)₂|𝐴𝑥 +⋯. (2.2.4)

Dakle, jednokratna neto premija ovog opšteg tipa osiguranja, kada se sume osiguranja razlikuju među godinama, predstavlja se kao zbir jednokratnih neto premija doživotnog osiguranja sa sumom osiguranja 𝑐1, odloženog osiguranja sa periodom odlaganja od jedne godine i sumom osiguranja 𝑐2 − 𝑐1, jednokratne neto premije odloženog osiguranja sa periodom odlaganja od dve godine i sumom osiguranja 𝑐3 − 𝑐2…, pri čemu se sve ove premije odnose na osiguranja sa isplatom sume osiguranja na kraju godine nastupanja smrti osiguranika.

Kod osiguranja sa rokom od 𝑛 godina sa istim karakteristikama kao kod prethodnog tipa osiguranja, sadašnja vrednost sume osiguranja i jednokratna neto premija su, redom

𝑍 = {𝑐𝐾+1𝑣

𝐾+1, 𝐾 = 0,1, … , 𝑛 − 1,0, 𝐾 = 𝑛, 𝑛 + 1,… ,

𝐸𝑍 = ∑ 𝑐𝑘+1𝑣𝑘+1ₖ𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑘

𝑛−1

𝑘=0. (2.2.5)

Slika broj 2.13: Osiguranje sa rokom i sumom osiguranja 𝑐𝑗.

44

Na Slici broj 2.13 prikazana je premija za sumu osiguranja u obliku 𝑐𝑗 za ugovor o

osiguranju sa rokom, dok je na Slici broj 2.14 data premija za isti oblik sume osiguranja, ali za ugovor o doživotnom osiguranju.

Ukoliko je potrebno ovakvu premiju svesti na jednostavnije premije, kao u prethodnom slučaju, koriste se sledeće jednakosti

𝐸𝑍 = 𝑐1 ⋅ 𝑣 · ₀𝑝𝑥 ⋅ 𝑞𝑥 + 𝑐2 · 𝑣2 · ₁𝑝𝑥 · 𝑞𝑥+1 +⋯+ 𝑐𝑛 · 𝑣

𝑛 · ₙ₋₁𝑝𝑥 · 𝑞𝑥+𝑛−1

= 𝑐𝑛 ⋅ 𝑣 · ₀𝑝𝑥 ⋅ 𝑞𝑥 + 𝑐𝑛 · 𝑣2 · ₁𝑝𝑥 · 𝑞𝑥+1 +⋯+ 𝑐𝑛 · 𝑣

𝑛 · ₙ₋₁𝑝𝑥 · 𝑞𝑥+𝑛−1 + (𝑐1 − 𝑐𝑛) ⋅ 𝑣 · ₀𝑝𝑥 ⋅𝑞𝑥 + (𝑐2 − 𝑐𝑛) · 𝑣

2 · ₁𝑝𝑥 · 𝑞𝑥+1 +⋯+ (𝑐𝑛−1 − 𝑐𝑛) · 𝑣𝑛 · ₙ₋₂𝑝𝑥 · 𝑞𝑥+𝑛−2

= 𝑐𝑛𝐴�̂�:𝑛˥ + (𝑐𝑛−1 − 𝑐𝑛)𝐴�̂�:𝑛−1˥ + (𝑐𝑛−2 − 𝑐𝑛−1)𝐴�̂�:𝑛−2˥ +⋯+ (𝑐1 − 𝑐2)𝐴�̂�:1˥. (2.2.6)

Ako se suma osiguranja isplaćuje u trenutku 𝑡 ≥ 0 kada je nastupila smrt osiguranika, onda će ona biti oblika 𝑐(𝑡).

U slučaju doživotnog osiguranja sadašnja vrednost sume osiguranja je

𝑍 = 𝑐(𝑇)𝑣𝑇, (2.2.7)

dok je jednokratna neto premija

𝐸𝑍 = ∫ 𝑐(𝑡)𝑣𝑡𝑔(𝑡) ⅆ𝑡+∞

0= ∫ 𝑐(𝑡)𝑣𝑡𝜇𝑥+𝑡 · ₜ𝑝𝑥 ⅆ𝑡.

+∞

0 (2.2.8)

Za izračunavanje ovako date premije, potrebno je znati raspodelu slučajne promenljive preostalog životnog veka 𝑇, ili uvodimo dodatne pretpostavke kako bi ovaj izraz predstavili pomoću raspodele slučajne promenljive 𝐾.

Sledi

𝐸𝑍 =∑𝐸(𝑍|𝐾 = 𝑘)

+∞

𝑘=0

⋅ 𝑃(𝐾 = 𝑘) =∑𝐸(𝑐(𝑘 + 𝑆) · 𝑣𝑘+𝑆|𝐾 = 𝑘)

+∞

𝑘=0

⋅ 𝑃(𝐾 = 𝑘)

= ∑𝐸(𝑐(𝑘 + 𝑆) · (1 + 𝑖)1−𝑆|𝐾 = 𝑘)

+∞

𝑘=0

· 𝑣𝑘+1 ⋅ 𝑃(𝐾 = 𝑘)

= ∑ 𝑐𝑘+1𝑣𝑘+1ₖ𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑘

+∞

𝑘=0, (2.2.9)

gde je

𝑐𝑘+1 = 𝐸(𝑐(𝑘 + 𝑆) · (1 + 𝑖)1−𝑆|𝐾 = 𝑘). (2.2.10)

Poslednji dobijeni izraz je istog oblika kao jednokratna neto premija opšteg tipa životnog osiguranja kod kojeg se suma osiguranja isplaćuje na kraju godine u kojoj je nastupila smrt osiguranika.

45

Ukoliko uvedemo pretpostavku A (poglavlje 1.6), tada su 𝐾 i 𝑆 nezavisne slučajne promenljive, pri čemu je 𝑆: 𝑈(0,1). Odakle sledi da je

𝑐𝑘+1 = ∫ 𝑐(𝑘 + 𝑢)(1 + 𝑖)1−𝑢 ⅆ𝑢1

0. (2.2.11)

U slučaju da važi pretpostavka B

𝑐𝑘+1 = ∫ 𝑐(𝑘 + 𝑢)(1 + 𝑖)1−𝑢𝜇𝑥+𝑘+

12

⋅𝑝𝑥+𝑘𝑢

1−𝑝𝑥+𝑘ⅆ𝑢

1

0

. (2.2.12)

Kako bi ilustrovali prethodno dobijene rezultate, posmatrajmo sledeći primer:

Neka je suma osiguranja oblika 𝑐(𝑡) = 𝑒ͦ𝜏𝑡 i neka važi pretpostavka A, za 𝜏 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 > 0. Tada je

𝑐𝑘+1 = 𝑒ͦ𝜏𝑘 ⋅

ⅇ𝛿−ⅇ𝜏

𝛿−𝜏, (2.2.13)

sa već uvedenom oznakom 𝛿 koja predstavlja intenzitet kamate koji je ekvivalentan sa

efektivnom kamatnom stopom 𝑖, pa je faktor diskontovanja jednak 𝑣 = 𝑒ͦ−𝛿.

Na Slici broj 2.14 se uočava da, za parametar 𝜏 = 20, osoba starosti 50 godina plaća premiju izračunatu kao premija[50,20].

Slika broj 2.14: Premija doživotnog osiguranja i sumom osiguranja 𝑐(𝑡) = 𝑒ͦ𝜏𝑡.

Ako važi pretpostavka B, tada je intenzitet mortaliteta 𝜇𝑥+𝑢 konstantan i

𝜇𝑥+𝑢 = 𝜇𝑥+

1

2

, 𝑢 ∈ (0,1), pa sledi

𝑃(𝑆 < 𝑢|𝐾 = 𝑘) =1−𝑝𝑥+𝑘

𝑢

1−𝑝𝑥+𝑘, (2.2.14)

a odgovarajuća uslovna gustina za 𝑆 < 𝑢|𝐾 = 𝑘 je

𝑔(𝑢|𝑘) =ⅆ

ⅆ𝑢𝑃(𝑆 < 𝑢|𝐾 = 𝑘) =

ⅆ

ⅆ𝑢(1−𝑝𝑥+𝑘

𝑢

1−𝑝𝑥+𝑘) =

𝑝𝑥+𝑘𝑢 ·𝜇

𝑥+𝑘+12

1−𝑝𝑥+𝑘. (2.2.15)

46

Sledi

𝑐𝑘+1 = 𝐸(𝑐(𝑘 + 𝑆) · (1 + 𝑖)1−𝑆|𝐾 = 𝑘) = ∫ 𝑐(𝑘 + 𝑢)(1 + 𝑖)1−𝑢

𝜇𝑥+𝑘+

12

⋅𝑝𝑥+𝑘𝑢

1−𝑝𝑥+𝑘ⅆ𝑢

1

0

. (2.2.16)

2.3. Standardni tipovi promenljivog životnog osiguranja

Postoje tipovi ugovora o životnom osiguranju kod kojih sume osiguranja imaju neki karakterističan oblik, bilo da se suma osiguranja isplaćuje na kraju godine nastupanja smrti osiguranika, bilo da se isplaćuje u trenutku nastupanja smrti. U nastavku će biti obrađeni neki od njih.

❖ Neka se suma osiguranja isplaćuje na kraju godine nastupanja smrti osiguranika. Tada: ➢ Kod ugovora o standardnom rastućem doživotnom osiguranju koji podrazumeva

isplatu sume osiguranja u iznosu 𝑐𝑗 = 𝑗, 𝑗 = 1,2,3, … na kraju 𝑗-te godine trajanja

ugovora, ako smrt osiguranika nastupi u toj godini, sadašnja vrednost sume osiguranja i jednokratna neto premija su, redom:

𝑍 = (𝐾 + 1)𝑣𝐾+1 , (𝐼𝐴)𝑥 = 𝐸𝑍 = ∑ (𝑘 + 1)𝑣𝑘+1+∞

𝑘=0ₖ𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑘. (2.3.1)

Drugačiji način da se zapiše ova vrsta premije je

(𝐼𝐴)𝑥 = 𝑣 · ₀𝑝𝑥 · 𝑞𝑥 + 2 · 𝑣2 · ₁𝑝𝑥 · 𝑞𝑥+1 + 3 · 𝑣

3 · ₂𝑝𝑥 · 𝑞𝑥+2 +⋯

= 𝑣 · ₀𝑝𝑥 · 𝑞𝑥 + 𝑣2 · ₁𝑝𝑥 · 𝑞𝑥+1 + 𝑣

3 · ₂𝑝𝑥 · 𝑞𝑥+2 +⋯+ 𝑣2 · ₁𝑝𝑥 · 𝑞𝑥+1 +

2𝑣3 · ₂𝑝𝑥 · 𝑞𝑥+2 +⋯

= 𝐴𝑥 + 𝑣2 · ₁𝑝𝑥 · 𝑞𝑥+1 + 𝑣

3 · ₂𝑝𝑥 · 𝑞𝑥+2 +⋯+ 𝑣3 · ₂𝑝𝑥 · 𝑞𝑥+2 +⋯

= 𝐴𝑥 +₁|𝐴𝑥 +₂|𝐴𝑥 +⋯. (2.3.2)

Dakle, premija je prikazana kao zbir jednokratnih neto premija doživotnih odloženih osiguranja čije se sume osiguranja isplaćuju na kraju godine nastupanja smrti osiguranika, pri čemu su periodi odlaganja 0,1,2, … godina.

47

Slika broj 2.15: Standardno rastuće doživotno osiguranje.

Kako bi osiguranik starosti 60 godina imao pravo na isplatu sume osiguranja u iznosu 𝑗, ako je u 𝑗-toj godini od dana sklapanja ugovora nastupila smrt, on mora platiti 11.0789 jedinica valute (Slika 2.15).

➢ Kod ugovora o standardnom rastućem osiguranju sa rokom od 𝑛 godina sa sumom osiguranja koja se isplaćuje na kraju godine nastupanja smrti osiguranika, sadašnja vrednost sume osiguranja i jednokratna neto premija su, redom:

𝑍 = {(𝐾 + 1)𝑣𝐾+1, 𝐾 = 0,1, … , 𝑛 − 1,

0, 𝐾 = 𝑛, 𝑛 + 1,… , (𝐼𝐴)𝑥:𝑛˥ =∑ (𝑘 + 1)𝑣𝑘+1

𝑛−1

𝑘=0ₖ𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑘. (2.3.3)

Prethodno navedena premija se može predstaviti kao zbir jednokratnih neto premija osiguranja sa rokom na sledeći način

(𝐼𝐴)�̂�:𝑛˥ = 𝑛 · 𝐴�̂�:𝑛˥ − 𝐴�̂�:𝑛−1˥ − 𝐴�̂�:𝑛−2˥ −⋯− 𝐴�̂�:1˥. (2.3.4)

Sklapa se ugovor o standardnom rastućem osiguranju sa rokom od 5 godina, a osiguranik je starosti 40 godina. Za takav ugovor on će platiti 0.030473 jedinice valute (Slika 2.16).

48

Slika broj 2.16: Standardno rastuće osiguranje sa rokom.

➢ Neka je sklopljen ugovor o standardnom opadajućem osiguranju sa rokom od 𝑛 godina, koje podrazumeva isplatu sume osiguranja u iznosu 𝑐𝑗 = 𝑛 − (𝑗 − 1), 𝑗 =

1,2,3, … , 𝑛 na kraju 𝑗-te godine ugovora o osiguranju ako u toj godini nastupi smrt osiguranika. Sadašnja vrednost sume osiguranja i jednokratna neto premija su, redom:

𝑍 = {(𝑛 − 𝐾)𝑣𝐾+1, 𝐾 = 0,1, … , 𝑛 − 1,

0, 𝐾 = 𝑛, 𝑛 + 1,… , (𝐷𝐴)�̂�:𝑛˥ =∑ (𝑛 − 𝑘)𝑣𝑘+1

𝑛−1

𝑘=0ₖ𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑘. (2.3.5)

Slika broj 2.17: Standardno opadajuće osiguranje sa rokom.

Premija koju će osoba starosti 30 godina platiti za ugovor o standardnom opadajućem osiguranju sa rokom od 5 godina je znatno manja od one koju bi platio za ugovor sa rokom od 30 godina, zbog očigledne činjenice da je duži vremenski period kritičniji za osiguravajuću kompaniju, jer su veće mogućnosti za nastupanje smrti osiguranika u periodu trajanja ugovora (Slika 2.17). Jednokratna neto premija se takođe može predstaviti kao zbir odgovarajućih premija:

(𝐷𝐴)�̂�:𝑛˥ = 𝐴�̂�:𝑛˥ + 𝐴�̂�:𝑛−1˥ + 𝐴�̂�:𝑛−2˥ +⋯+ 𝐴�̂�:1˥. (2.3.6)

49

❖ Neka se suma osiguranja isplaćuje u trenutku nastupanja smrti osiguranika.

Suma osiguranja, u ovom slučaju, jednaka je 𝑐(𝑡) = [𝑡] + 1, 𝑡 ≥ 0, gde se 𝑡 smatra trenutkom smrti osiguranika. Sadašnja vrednost sume osiguranja i jednokratna neto premija su, redom:

𝑍 = 𝑐(𝑇)𝑣𝑇 = ([𝑇] + 1)𝑣𝑇 = (𝐾 + 1)𝑣𝑇, (𝐼�̅�)𝑥 = ∫ ([𝑡] + 1)𝑣𝑡𝑔(𝑡) ⅆ𝑡+∞

0. (2.3.7)

Neka važi pretpostavka A (poglavlje 1.6), tada je

(𝐼�̅�)𝑥 = 𝐸((𝐾 + 1)𝑣𝑇) = 𝐸((𝐾 + 1)𝑣𝐾+1+𝑆−1 = 𝐸((𝐾 + 1)𝑣𝐾+1) · 𝐸𝑣𝑆−1

= (𝐼𝐴)𝑥 ·𝑖

𝛿. (2.3.8)

Korisnik osiguranja će u trenutku nastupanja smrti osiguranika, u primeru, trideseta godina, dobiti sumu osiguranja u iznosu od 31 jedinica valute, pri čemu će osiguranik to platiti 14.2848 jedinica valute u trenutku sklapanja ugovora (Slika broj 2.18).

Slika broj 2.18: Ugovor sa sumom osiguranja 𝑐(𝑡) = [𝑡] + 1.

❖ Ako suma osiguranja ne raste sa povećanjem broja godina koje osiguranik doživi, već raste na kraju svakog perioda određene dužine, ali kraćeg od godine koji osiguranik doživi, tada se analiziraju sledeće vrste ugovora:

➢ Ugovor o doživotnom osiguranju čija suma raste 𝑞 ∈ ℕ puta godišnje i to za iznos 1

𝑞

na kraju svakog perioda dužine 1

𝑞 godina koji osiguranik doživi.


𝑍 = (𝐾 + 𝑆(𝑞))𝑣𝑇 , (2.3.9)

gde je 𝑆(𝑞) krajnji trenutak onog perioda dužine 1

𝑞 godina u toku kojeg nastupa smrt

osiguranika.

50

Za izračunavanje odgovarajuće jednokratne neto premije potrebno je da važi pretpostavka A (poglavlje 1.6), ali se koristi i sledeća jednakost

𝑍 = (𝐾 + 1)𝑣𝑇 − 𝑣𝑇 + 𝑆(𝑞)𝑣𝑇 = (𝐾 + 1)𝑣𝑇 − 𝑣𝑇 + 𝑆(𝑞)𝑣𝐾+1𝑣𝑆−1. (2.3.10)

Dakle,

(𝐼(𝑞)�̅�)𝑥= 𝐸(𝐾 + 1)𝑣𝑇 − 𝐸𝑣𝑇 + 𝐸𝑣𝐾+1𝐸(𝑆(𝑞)𝑣𝑆−1)

= (𝐼�̅�)𝑥 − �̅�𝑥 + 𝐴𝑥𝐸(𝑆(𝑞)𝑣𝑆−1). (2.3.11)

Za već uvedenu oznaku 𝑣 =1

1+𝑖 je

𝐸(𝑆(𝑞)𝑣𝑆−1) = 𝐸 (1

𝑞[𝑞𝑆 + 1] · (1 + 𝑖)1−𝑆) =

1

𝑞∫[𝑞𝑢 + 1]

1

0

(1 + 𝑖)1−𝑢ⅆ𝑢

=1

𝑞

(

∫1 ·

1𝑞

0

(1 + 𝑖)1−𝑢ⅆ𝑢 + ∫2 ·

2𝑞

1𝑞

(1 + 𝑖)1−𝑢ⅆ𝑢 +⋯+ ∫ 𝑞 ·

1

𝑞−1𝑞

(1 + 𝑖)1−𝑢ⅆ𝑢

)

=1

ln(1 + 𝑖) ⋅ 𝑞⋅ ((1 + 𝑖)

1𝑞 + (1 + 𝑖)

2𝑞 +⋯+ (1 + 𝑖)1 −

𝑞

ln(1 + 𝑖) ⋅ 𝑞

=1

ln(1 + 𝑖) ⋅ 𝑞· (1 + 𝑖)

1𝑞 ·

𝑖

(1 + 𝑖)1𝑞 − 1

−1

ln(1 + 𝑖)

=1

𝛿⋅ (1 +

𝑖(𝑞)

𝑞) ⋅

𝑖̇

𝑖(𝑞)−1

𝛿=𝑖

𝛿(1

𝑖(𝑞)+1

𝑞) −

1

𝛿

=𝑖

𝛿·1

ⅆ(𝑞)−1

𝛿=𝑖 − ⅆ(𝑞)

𝛿 ⅆ(𝑞),

(2.3.12)

pri čemu je 𝑖(𝑞) = 𝑞 ((1 + 𝑖)1

𝑞 − 1) dekurzivna nominalna kamatna stopa sa 𝑞 perioda

konverzije, a ⅆ(𝑞) =𝑖(𝑞)

1+𝑖(𝑞)

𝑞

anticipativna nominalna kamatna stopa sa istim brojem

konverzije.

Kako je izračunato sve što je bilo potrebno da bi se dobila formula za računanje tražene jednokratne premije, sledi

(𝐼(𝑞)�̅�)𝑥=

𝑖

𝛿(𝐼𝐴)𝑥 −

𝑖

𝛿𝐴𝑥 +

𝑖−ⅆ(𝑞)

𝛿 ⅆ(𝑞)𝐴𝑥. (2.3.13)

Osoba starosti 65 godina će za ugovor o doživotnom osiguranju čija suma raste 5 puta godišnje platiti 9.67097 jedinica valute (Slika 2.19).

51

Slika broj 2.19: Doživotno osiguranje sa parametrom q.

➢ Ugovor o osiguranju sa rokom od 𝑛 godina čija suma raste 𝑞 ∈ ℕ puta godišnje i to za

iznos 1

𝑞 na kraju svakog periodna dužine

1


Sadašnja vrednost sume osiguranja i jednokratna neto premija su, redom:

𝑍 = {(𝐾 + 𝑆(𝑞))𝑣𝑇 , 𝐾 = 0,1, … , 𝑛 − 1,

0, 𝐾 = 𝑛, 𝑛 + 1,… . (2.3.14)

(𝐼(𝑞)�̅�)�̂�:𝑛˥

=𝑖

𝛿(𝐼𝐴)�̂�:𝑛˥ −

𝑖

𝛿𝐴�̂�:𝑛˥ +

𝑖−ⅆ(𝑞)

𝛿 ⅆ(𝑞)𝐴�̂�:𝑛˥. (2.3.15)

Slika broj 2.20: Osiguranje sa rokom i parametrom q.

Osoba starosti 30 godina u trenutku sklapanja ugovora sa rokom od 10 godina i sumom osiguranja koja tokom godine raste 5 puta godišnje treba platiti 0.0507971 jedinica valute (Slika 2.20).

52

➢ Ugovor o osiguranju sa rokom od 𝑛 godina čija suma osiguranja na početku perioda

trajanja ugovora iznosi 𝑛 jedinica valute, a zatim opada 𝑞 ∈ ℕ puta godišnje i to za

iznos 1

𝑞 na kraju svakog periodna dužine

1



𝑍 = {(𝑛 +

1

𝑞− 𝐾 − 𝑆(𝑞)) 𝑣𝑇 , 𝑇 < 𝑛,

0, 𝑇 ≥ 𝑛= ((𝑛 +

1

𝑞) 𝑣𝑇 − (𝐾 + 𝑆(𝑞))𝑣𝑇) · 𝐼{𝑇<𝑛}, (2.3.16)

dok je jednokratna neto premija koja odgovara ovoj sumi osiguranja

(𝐷(𝑞)�̅�)�̂�:𝑛˥

= (𝑛 +1

𝑞) �̅��̂�:𝑛˥ − (𝐼

(𝑞)�̅�)�̂�:𝑛˥

. (2.3.17)

Slika broj 2.21: Opadajuće osiguranje sa rokom i parametrom q

Osoba starosti 30 godina u trenutku sklapanja ugovora sa rokom od 10 godina i sumom osiguranja koja tokom godine opada 5 puta godišnje treba da plati 0.037242 jedinica valute, što je manje od slučaja rasta sume osiguranja (Slika 2.21).

❖ Posebno interesantan slučaj ugovora o doživotnom osiguranju je sa sumom osiguranja

𝑐(𝑡) = 𝑡, 𝑡 ≥ 0 koja se isplaćuje u trenutku t, ako je smrt osiguranika nastupila u tom trenutku.

𝑍 = 𝑇𝑣𝑇. (2.3.18)

Jednokratna neto premija u vezi sa ovom sumom je

(𝐼�̅̅�)𝑥 = ∫ 𝑡𝑣𝑡𝑔(𝑡) ⅆ𝑡+∞

0. (2.3.19)

Prethodno navedena premija je, ustvari, granični slučaj jednokratne neto premije

(𝐼(𝑞)�̅�)𝑥

kada 𝑞 → ∞ , odnosno

(𝐼�̅̅�)𝑥 =𝑖

𝛿(𝐼𝐴)𝑥 −

𝑖

𝛿𝐴𝑥 +

𝑖−𝛿

𝛿2𝐴𝑥. (2.3.20)

53

Slika broj 2.22: Ugovor sa sumom osiguranja 𝑐(𝑡) = 𝑡

Osiguravajuća kompanija se obavezuje da će u trenutku 𝑡, ukoliko tada nastupi smrt osiguranika, isplatiti sumu osiguranja u iznosu 𝑡. Ukoliko je osiguranik starosti 50 godina u trenutku sklapanja ovakvog ugovora, na Slici 2.22 može se videti da će on takav ugovor platiti 12.8217 jedinica valute, dok će ona osoba starosti 90 godina platiti mnogo manje, čak 2.89296 jedinica valute.

54

Glava 3

Finansijske rente u životnom osiguranju

Ugovori o životnom osiguranju često podrazumevaju uplate premija u vidu renti od

strane osiguranika ili isplate na ime osiguranja u vidu rente od strane osiguravajuće

kompanije. Takve rente, u opštem slučaju, imaju trajanje ili iznose koji predstavljaju slučajne

promenljive koje su u funkciji preostalog životnog veka osiguranika. U četvrtoj glavi se uvodi

zavisnost između preostalog životnog veka osiguranika i trajanja renti.

Obzirom da će u narednoj glavi biti razmatrane vrste životnih renti u programu

Mathematica, a koje predstavljaju finansijske rente čije trajanje je slučajna promenljiva koja

zavisi od preostalog životnog veka osiguranika, rente iz ovog poglavlja će biti tada kodirane.

3.1. Sadašnje i akumulirane vrednosti renti sa jednakim isplatama i

jednakom učestanošću

Pojam renta podrazumeva niz jednakih novčanih isplata odnosno uplata koje se

realizuju sa jednakom učestanošću. Međutim, pored ovih osnovnih renti, postoje i one sa

promenljivim isplatama ili sa isplatama koje se javljaju sa promenljivom učestanošću. Osim

navedenih, definišu se i takozvane neprekidne rente. Svi navedeni tipovi biće opisani u

nastavku.

3.1.1. Rente sa jednakim godišnjim isplatama koje se realizuju sa

jednakom učestanošću

Rente se dele na osnovu trenutka kada se realizuju isplate odnosno uplate. Na osnovu

tog kriterijuma, postoje prenumerato i postnumerato rente. Isplate/uplate kod prenumerato

renti se realizuju na početku perioda konverzije, dok kod postnumerato na kraju perioda

konverzije.

Podrazumeva se da je kamatna stopa jednaka svake godine i da su sve isplate renti

jedinične, što u praksi neće biti slučaj, ali se uvođenjem ove pretpostavke neće izgubiti

opštost.

Kod 𝒏-togodišnje prenumerato rente sa jediničnim isplatama, isplate se vrše na

početku svake od 𝑛 uzastopnih godina, pri čemu je prva isplata u sadašnjem trenutku.

Sadašnja vrednost ove rente označava se sa �̈�𝑛˥, koju osiguranik treba platiti osiguravajućoj

kompaniji, kako bi stekao pravo na isplatu definisane rente. Tada je

55

�̈�𝑛˥ = 1 + 𝑣 + 𝑣2 +⋯+ 𝑣𝑛−1 =

1−𝑣𝑛

1−𝑣. (3.1.1)

Ako je ⅆ godišnja anticipativna efektivna kamatna stopa ekvivalentna stopi 𝑖, tada je ⅆ =𝑖

1+𝑖,

pa se prethodni izraz svodi na

�̈�𝑛˥ =1−𝑣𝑛

ⅆ. (3.1.2)

Postnumerato 𝒏-togodišnja renta sa jediničnim isplatama predstavlja niz od 𝑛

jediničnih isplata koje se realizuju na kraju svake od 𝑛 uzastopnih godina. Njena sadašnja

vrednost je

𝑎𝑛˥ = 𝑣 + 𝑣2 +⋯+ 𝑣𝑛 = 𝑣

1−𝑣𝑛

1−𝑣=

1−𝑣𝑛

𝑖. (3.1.3)

Veza između ove dve rente je

�̈�𝑛˥ = 𝑎𝑛˥�̇�

ⅆ= 𝑎𝑛˥(1 + 𝑖) = 1 + 𝑎𝑛−1˥, (3.1.4)

odakle se zaključuje da je sadašnja vrednost 𝑛-togodišnje prenumerato rente sa jediničnim

isplatama jednaka sadašnjoj vrednosti postnumerato rente koja je akumulirana u odnosu na

period od jedne godine (𝑛 ≥ 2). Ovaj zaključak ima sledeću primenu u praksi: investitor je u

istoj situaciji ako primi 𝑛-togodišnju prenumerato rentu sa jediničnim isplatama i ukoliko

primi jedinicu valute u trenutku 𝑡 = 0 i postnumerato rentu sa jediničnim isplatama koja traje

𝑛 − 1 godinu.

Često investitor želi da odredi ukupnu vrednost štednje, ukoliko je vršio ulaganja na

bankovni račun u vidu rente. Pretpostavlja se da je investitor ulagao na bankovni račun

jedinicu valute i to svake godine u toku 𝑛 uzastopnih godina. Kada bude želeo da podigne

novac sa bankovnog računa od ukupne štednje u trenutku poslednjeg ulaganja, štednja će

vredeti

𝑆𝑛˥ = 1 + (1 + 𝑖) + (1 + 𝑖)2 +⋯+ (1 + 𝑖)𝑛−1 =

(1+𝑖)𝑛−1

1+𝑖−1=

(1+𝑖)𝑛−1

𝑖. (3.1.5)

Ako investitor podiže sa bankovnog računa štednju godinu dana nakon poslednjeg ulaganja, ona tada vredi

�̈�𝑛˥ = (1 + 𝑖) + (1 + 𝑖)2 +⋯+ (1 + 𝑖)𝑛 =

(1+𝑖)𝑛−1

ⅆ. (3.1.6)

Prethodno definisane vrednosti nazivaju se akumuliranim vrednostima renti.

Mogu se uočiti sledeće jednakosti:

𝑆𝑛˥ =(1+𝑖)𝑛−1

𝑖= (1 + 𝑖)𝑛

1−(1+𝑖)−𝑛

𝑖= (1 + 𝑖)𝑛

1−𝑣𝑛

𝑖= (1 + 𝑖)𝑛𝑎𝑛˥, (3.1.7)

�̈�𝑛˥ =(1+𝑖)𝑛−1

ⅆ= (1 + 𝑖)𝑛

1−(1+𝑖)−𝑛

ⅆ= (1 + 𝑖)𝑛

1−𝑣𝑛

ⅆ= (1 + 𝑖)𝑛�̈�𝑛˥. (3.1.8)

56

Isplata rente ne mora početi u sadašnjem trenutku, već može početi u nekom trenutku 𝑘 > 0. Tada se govori o odloženim rentama sa periodom odlaganja 𝒌 godina.

Neka se počev od trenutka 𝑘 na početku svake od narednih 𝑛 godina vrše jedinične isplate. Ovako opisana renta je, ustvari, 𝒏-togodišnja prenumerato renta sa jediničnim isplatama i periodom odlaganja 𝒌 godina. Njena sadašnja vrednost je

k|�̈�𝑛˥ = 𝑣𝑘 + 𝑣𝑘+1 +⋯+ 𝑣𝑘+𝑛−1 = 𝑣𝑘�̈�𝑛˥ = �̈�𝑛+𝑘˥ − �̈�𝑘˥. (3.1.9)

Ako se počev od trenutka 𝑘 na kraju svake od narednih 𝑛 godina vrše jedinične isplate, tada je to 𝒏-togodišnja postnumerato renta sa periodom odlaganja 𝒌 godina, čija je sadašnja vrednost

k|𝑎𝑛˥ = 𝑣𝑘𝑎𝑛˥ = 𝑎𝑛+𝑘˥ − 𝑎𝑘˥. (3.1.10)

Postoje i rente čije se isplate vrše u neograničenom periodu. Nazivaju se neograničenim rentama. Sadašnja vrednost neograničene prenumerato rente sa jediničnim isplatama je

�̈�∞˥ = 1 + 𝑣 + 𝑣2 + 𝑣3 +⋯ =1

1−𝑣=

1

ⅆ. (3.1.11)

Sadašnja vrednost neograničene postnumerato rente sa jediničnim isplatama je

𝑎∞˥ = 𝑣 + 𝑣2 + 𝑣3 +⋯ = 𝑣�̈�∞˥ =1

𝑖. (3.1.12)

Iz prethodne dve definicije je

�̈�∞˥ − 𝑎∞˥ = 1, (3.1.13)

�̈�∞˥ = 1 + 𝑣 + 𝑣2 + 𝑣3 +⋯+ 𝑣𝑛−1 + 𝑣𝑛 + 𝑣𝑛+1 +⋯ = �̈�𝑛˥ + 𝑣𝑛(1 + 𝑣 +⋯)

= �̈�𝑛˥ +n|�̈�∞˥ = �̈�𝑛˥ + 𝑣𝑛�̈�∞˥, (3.1.14)

gde je n|�̈�∞˥ sadašnja vrednost neograničene odložene prenumerato rente sa jediničnim isplatama i periodom odlaganja od 𝑛 godina. Ova relacija govori o tome da je za investitora ekvivalentno da primi neograničenu prenumerato rentu sa jediničnim isplatama ili da primi 𝑛-togodišnju prenumerato rentu sa jediničnim isplatama koja počinje u sadašnjem trenutku kada počinje i neograničena renta, i još jednu neograničenu rentu koja je prenumerato sa jediničnim isplatama, ali isplate počinju u trenutku 𝑛.

Važila je pretpostavka da su isplate jedinične. Međutim, ako neka od prethodnih renti ima proizvoljne konstantne isplate C, tada se njihove sadašnje i akumulirane vrednosti određuju tako što se prethodno dobijeni izrazi koji se odnose na jedinične isplate pomnože vrednošću C.

57

3.1.2. Finansijske rente čije se isplate vrše 𝒎 puta godišnje

U praksi se javlja više isplata rente u toku jedne godine. Zbog toga, pretpostavlja se da

u toku godine postoji 𝑚 perioda konverzije dužine 1

𝑚 godina. Isplata koja se odnosi na jednu

godinu je jedinična, dok se u toku te godine vrši 𝑚 jednakih isplata u iznosu od 1

𝑚 u svakom

periodu konverzije.

𝒏-togodišnja prenumerato renta sa 𝒎 isplata godišnje je takav tip renti kod kojih se

isplate u iznosu 1

𝑚 vrše na početku svakog perioda konverzije dužine

1

𝑚 godina u toku 𝑛

uzastopnih godina. Anticipativna nominalna kamatna stopa sa 𝑚 perioda konverzije je

označena sa ⅆ(𝑚). Sadašnja vrednost ovakve rente je

�̈�𝑛˥(𝑚) =

1

𝑚+

1

𝑚(1 −

ⅆ(𝑚)

𝑚) +

1

𝑚(1 −

ⅆ(𝑚)

𝑚)2

+⋯+1

𝑚(1 −

ⅆ(𝑚)

𝑚)𝑚(𝑛−

1

𝑚)

=1

𝑚

1−(1−𝑑(𝑚)

𝑚)

𝑚𝑛

1−(1−𝑑(𝑚)

𝑚)=

1−(1−𝑑(𝑚)

𝑚)

𝑚𝑛

ⅆ(𝑚). (3.1.15)

Neka anticipativna nominalna kamatna stopa ⅆ(𝑚) za period od 1

𝑚 godina odgovara

dekurzivnoj efektivnoj kamatnoj stopi 𝑖. To znači da buduća vrednost neke sume nakon godinu dana, koja se dobija primenom ove nominalne kamatne stope je jednaka budućoj vrednosti

iste te sume primenom efektivne kamatne stope. Odnosno, 𝑣 =1

1+𝑖= (1 −

ⅆ(𝑚)

𝑚)𝑚

. Sledi

�̈�𝑛˥(𝑚) =

1−𝑣𝑛

ⅆ(𝑚). (3.1.16)

Postnumerato renta sa 𝒎 isplata godišnje sa rokom od 𝒏 godina je niz isplata u

iznosu 1

𝑚 koje se realizuju na kraju svakog perioda konverzije dužine

1

𝑚 godina. Njena

sadašnja vrednost je

𝑎𝑛˥(𝑚) =

1−𝑣𝑛

𝑖(𝑚). (3.1.17)

Sadašnja vrednost neograničene prenumerato rente sa 𝒎 isplata godišnje je

�̈�∞˥(𝑚) =

1

ⅆ(𝑚). (3.1.18)

Sadašnja vrednost neograničene postnumerato rente sa 𝒎 isplata godišnje je:

𝑎∞˥(𝑚) =

1

𝑖(𝑚). (3.1.19)

Neka je investitor ulagao sume 1

𝑚 u svakom periodu konverzije dužine

1

𝑚 godina u

toku 𝑛 uzastopnih godina. U slučaju da želi da podigne ukupan iznos štednje u trenutku poslednje uplate, ta suma sada ima vrednost

58

𝑆𝑛˥(𝑚) =

1

𝑚+

1

𝑚(1 +

𝑖(𝑚)

𝑚) +

1

𝑚(1 +

𝑖(𝑚)

𝑚)2

+⋯+1

𝑚(1 +

𝑖(𝑚)

𝑚)𝑛𝑚−1

=1

𝑚·(1+

𝑖(𝑚)

𝑚)

𝑚𝑛

−1

𝑖(𝑚)

𝑚+1−1

=(1+

𝑖(𝑚)

𝑚)

𝑚𝑛

−1

𝑖(𝑚). (3.1.20)

Ukoliko bi investitor želeo da podigne ukupnu štednju 1

𝑚 godina nakon poslednjeg ulaganja,

ona bi iznosila

�̈�𝑛˥(𝑚) = 𝑆𝑛˥

(𝑚) · (1 +𝑖(𝑚)

𝑚) =

(1+𝑖(𝑚)

𝑚)

𝑚𝑛

−1

ⅆ(𝑚), (3.1.21)

jer je 1

ⅆ(𝑚)=

1

𝑖(𝑚)+

1

𝑚.

3.1.3. Neprekidne rente

Neprekidne rente se javljaju u slučaju kada broj perioda konverzije u toku jedne godine neograničeno raste, 𝑚 → ∞. Neka je 𝛿(𝑡) godišnji intenzitet kamate u trenutku 𝑡, neka je 𝑟(𝑡) godišnja stopa isplate rente u trenutku 𝑡 ≥ 0, i neka je 𝑣(𝑡) faktor diskontovanja koji odgovara periodu [0, 𝑡] i intenzitetu kamate 𝛿(𝑡). Tada je

𝑣(𝑡) = 𝑒ͦ−∫ 𝛿(𝑠)ⅆ𝑠𝑡0 . (3.1.22)

Sadašnja vrednost 𝒏-togodišnje neprekidne rente, čije se isplate vrše po stopi 𝑟(𝑡) u periodu [0, 𝑛] je

�̅�𝑛˥ = ∫ 𝑟(𝑡)𝑣(𝑡)ⅆ𝑡𝑛

𝑜= ∫ 𝑟(𝑡)𝑒ͦ−∫ 𝛿(𝑠)ⅆ𝑠

𝑡0 ⅆ𝑡.

𝑛

𝑜

(3.1.23)

Ako je u prethodnom slučaju intenzitet kamate konstantan i stopa isplate jedinična, tada je

�̅�𝑛˥ = ∫ 𝑒ͦ−𝛿𝑡ⅆ𝑡 =1−ⅇ−𝛿𝑛

𝛿.

𝑛

𝑜

(3.1.24)

Akumulirana vrednost ove rente je

𝑆�̅�˥ = ∫ 𝑟(𝑡)𝑒ͦ∫ 𝛿(𝑠)ⅆ𝑠𝑛𝑡 ⅆ𝑡.

𝑛

𝑜

(3.1.25)

Sadašnja vrednost neograničene neprekidne rente sa godišnjom stopom isplate 𝑟(𝑡) u trenutku 𝑡 iznosi

�̅�∞˥ = ∫ 𝑟(𝑡)𝑒ͦ−∫ 𝛿(𝑠)ⅆ𝑠𝑡0 ⅆ𝑡.

+∞

𝑜

(3.1.26)

Za 𝛿(𝑡) ≡ 𝛿 I 𝑟(𝑡) ≡ 1 ovaj izraz je

�̅�∞˥ = ∫ 𝑒ͦ−𝛿𝑡ⅆ𝑡 =1

𝛿.

+∞

𝑜

(3.1.27)

59

3.2. Finansijske rente sa promenljivim isplatama

Za razliku od prethodno opisanih tipova renti, kod renti koje se opisuju u nastavku, isplate su promenljive. Te isplate mogu biti u rastućem ili opadajućem poretku.

3.2.1. Rastuće finansijske rente

Rastuća finansijska renta određena je pomoću dva parametra:

• broj isplata u toku godine , 𝑚,

• broj porasta u toku godine , 𝑞.

Neka postoji 𝑙 ∈ ℕ, tako da je 𝑚 = 𝑙 · 𝑞. Tada u svakom periodu dužine 1

𝑞 godina ima 𝑙

perioda dužine 1

𝑚 godina.

Neograničena prenumerato rastuća renta sa parametrima 𝑚 i 𝑞 je predstavljena sledećom tabelom

PERIOD TRENUCI ISPLATA U PERIODU ISPLATE

[𝟎,𝟏

𝒒=𝒍

𝒎] 0,

1

𝑚,2

𝑚,3

𝑚,… ,

𝑙 − 1

𝑚=1

𝑞−1

𝑚

1

𝑚𝑞

[𝒍

𝒎,𝟐

𝒒=𝟐𝒍

𝒎]

𝑙

𝑚=1

𝑞,𝑙 + 1

𝑚,… ,

2𝑙 − 1

𝑚=2

𝑞−1

𝑚

2

𝑚𝑞

[𝟐

𝒒=𝟐𝒍

𝒎,𝟑

𝒒=𝟑𝒍

𝒎]

2𝑙

𝑚=21

𝑞,2𝑙 + 1

𝑚,… ,

3𝑙 − 1

𝑚=3

𝑞−1

𝑚

3

𝑚𝑞

⁞ ⁞ ⁞

Sadašnja vrednost ove rente je

(𝐼(𝑞)�̈�)∞˥

(𝑚)=

1

𝑚𝑞+

1

𝑚𝑞𝑣1𝑚 +

1

𝑚𝑞𝑣2𝑚 +⋯+

1

𝑚𝑞𝑣𝑙−1𝑚 +

2

𝑚𝑞𝑣𝑙𝑚 +

2

𝑚𝑞𝑣𝑙+1𝑚 +⋯

=1

𝑞�̈�∞˥(𝑚) + 𝑣

1𝑞(𝐼(𝑞)�̈�)

∞˥

(𝑚)

⇒ (𝐼(𝑞)�̈�)∞˥

(𝑚)=

1

𝑞·

1

ⅆ(𝑚)·

1

1−𝑣1𝑞

=1

ⅆ(𝑚)ⅆ(𝑞). (3.2.1)

Sadašnja vrednost neograničene postnumerato rastuće rente sa parametrima 𝑚 i 𝑞 je

(𝐼(𝑞)𝑎)∞˥

(𝑚)= 𝑣

1

𝑚 · (𝐼(𝑞)�̈�)∞˥

(𝑚)=

1

𝑖(𝑚)ⅆ(𝑞). (3.2.2)

60

Prikaz tabelom 𝒏-togodišnje rastuće prenumerato rente sa 𝑚 isplata godišnje i 𝑞 porasta godišnje je


[𝟎,𝟏

𝒒=𝒍

𝒎] 0,

1

𝑚,2

𝑚,3

𝑚,… ,

𝑙 − 1

𝑚=1

𝑞−1

𝑚

1

𝑚𝑞

[𝒍

𝒎,𝟐

𝒒=𝟐𝒍

𝒎]

𝑙

𝑚=1

𝑞,𝑙 + 1

𝑚,… ,

2𝑙 − 1

𝑚=2

𝑞−1

𝑚

2

𝑚𝑞

⁞ ⁞ ⁞

[𝒏 −𝟏

𝒒, 𝒏] 𝑛 −

1

𝑞, 𝑛 −

1

𝑞+1

𝑚,… , 𝑛 −

1

𝑞+𝑙 − 1

𝑚= 𝑛 −

1

𝑚

𝑛𝑞

𝑚𝑞=𝑛

𝑚

Njena sadašnja vrednost je

(𝐼(𝑞)�̈�)𝑛˥

(𝑚)= (𝐼(𝑞)�̈�)

∞˥

(𝑚)− 𝑛 · 𝑣𝑛 · �̈�∞˥

(𝑚) − 𝑣𝑛 · (𝐼(𝑞)�̈�)∞˥

(𝑚)=

�̈�𝑛˥(𝑞)−𝑛𝑣𝑛

ⅆ(𝑚). (3.2.3)

Sadašnja vrednost 𝒏-togodišnje rastuće postnumerato rente sa 𝑚 isplata godišnje i 𝑞 porasta godišnje je

(𝐼(𝑞)𝑎)𝑛˥

(𝑚)= 𝜈

1

𝑚(𝐼(𝑞)�̈�)𝑛˥

(𝑚)

=�̈�𝑛˥(𝑞)−𝑛𝑣𝑛

𝑖(𝑚). (3.2.4)

Kod rastućih renti analizira se slučaj kada se isplate vrše neprekidno, odnosno 𝑚 → ∞. Sadašnja vrednost neprekidne rastuće neograničene prenumerato rente je

(𝐼�̅̅�)∞˥ = ∫ 𝑡𝑒ͦ−∫ 𝛿(𝑠)ⅆ𝑠𝑡0 ⅆ𝑡

+∞

0, (3.2.5)

dok je za 𝛿(𝑡) ≡ 𝛿, 𝑡 ≥ 0

(𝐼�̅̅�)∞˥ = ∫ 𝑡𝑒ͦ−𝛿𝑡ⅆ𝑡+∞

0=

1

𝛿2. (3.2.6)

Sadašnja vrednost odgovarajuće neprekidne rastuće neograničene postnumerato rente je

(𝐼�̅�)∞˥ = ∫ (𝑡 + 1)𝑒ͦ−∫ 𝛿(𝑠)ⅆ𝑠𝑡0 ⅆ𝑡

+∞

0. (3.2.7)

Ako je intenzitet kamate konstantan 𝛿(𝑡) ≡ 𝛿, 𝑡 ≥ 0, sledi

(𝐼�̅�)∞˥ = ∫ (𝑡 + 1)𝑒ͦ−𝛿𝑡ⅆ𝑡+∞

0=

1

𝛿2+

1

𝛿. (3.2.8)

3.2.2. Opadajuće finansijske rente

Opadajuća finansijska renta određena je pomoću dva parametra:

• broj isplata u toku godine , 𝑚,

61

• broj pada u toku godine, 𝑞.

Promenljivost isplata u ovom slučaju podrazumeva da te isplate opadaju sa protokom vremena, što je suprotno postupku u slučaju rastućih renti.

Opadajuća 𝒏-togodišnja prenumerato renta sa 𝑚 isplata godišnje i 𝑞 pada godišnje predstavlja se na sledeći način


[𝟎,𝟏

𝒒] 0,

1

𝑚,2

𝑚,3

𝑚,… ,

𝑙 − 1

𝑚=1

𝑞−1

𝑚

𝑛𝑞

𝑚𝑞=𝑛

𝑚

[𝟏

𝒒,𝟐

𝒒]

𝑙

𝑚=1

𝑞,𝑙 + 1

𝑚,… ,

2𝑙 − 1

𝑚=2

𝑞−1

𝑚

𝑛𝑞 − 1

𝑚𝑞

⁞ ⁞ ⁞

[𝒏 −𝟏

𝒒, 𝒏] 𝑛 −

1

𝑞, 𝑛 −

1

𝑞+1

𝑚,… , 𝑛 −

1

𝑞+𝑙 − 1

𝑚= 𝑛 −

1

𝑚

1

𝑚𝑞

Ukoliko se uporede opadajuća 𝑛-togodišnja prenumerato renta sa 𝑚 isplata godišnje i 𝑞 pada godišnje i rastuća 𝑛-togodišnja prenumerato renta sa 𝑚 isplata godišnje i 𝑞 porasta godišnje, može se zaključiti da njihov zbir predstavlja 𝑛-togodišnju prenumerato rentu sa 𝑚

isplata godišnje, pri čemu je svaka isplata jednaka 1

𝑚(𝑛 +

1

𝑞). Dakle

(𝐼(𝑞)�̈�)𝑛˥

(𝑚)+ (𝐷(𝑞)�̈�)

𝑛˥

(𝑚)= �̈�𝑛˥

(𝑚) (𝑛 +1

𝑞). (3.2.9)

Iz prethodnog izraza dobija se formula kojom se može računati sadašnja vrednost tražene opadajuće rente

(𝐷(𝑞)�̈�)𝑛˥

(𝑚)=

𝑛−𝑎𝑛˥(𝑞)

ⅆ(𝑚). (3.2.10)

Sadašnja vrednost opadajuće 𝒏-togodišnje postnumerato rente sa 𝑚 isplata godišnje i 𝑞 pada godišnje je

(𝐷(𝑞)𝑎)𝑛˥

(𝑚)= 𝑣

1

𝑚(𝐷(𝑞)�̈�)𝑛˥

(𝑚)=

𝑛−𝑎𝑛˥(𝑞)

𝑖(𝑚). (3.2.11).

U ovom slučaju nema svrhe posmatrati neograničene opadajuće rente, baš zbog pada iznosa renti koji ne može biti neograničen.

62

3.2.3. Neograničene rente sa promenljivim isplatama koje nisu opadajuće ili rastuće

Neograničena renta sa godišnjim isplatama 𝑟0, 𝑟1, 𝑟2, … koje se realizuju u trenucima 0,1,2, …, redom, ima sledeću sadašnju vrednost

�̈� = 𝑟0 + 𝑟1𝑣 + 𝑟2𝑣2 +⋯ = 𝑟0 + 𝑟0𝑣 + 𝑟0𝑣

2 +⋯+ (𝑟1 − 𝑟0)𝑣 + (𝑟2 − 𝑟0)𝑣2 +⋯

= 𝑟0�̈�∞˥ + (𝑟1 − 𝑟0)𝑣�̈�∞˥ + (𝑟2 − 𝑟1)𝑣2 + (𝑟3 − 𝑟1)𝑣

3 +⋯

= 𝑟0�̈�∞˥ + (𝑟1 − 𝑟0)𝑣�̈�∞˥ + (𝑟2 − 𝑟1)𝑣2�̈�∞˥ +⋯. (3.2.12)

Dakle, ova renta je zbir prenumerato odloženih renti sa isplatama 𝑟0, (𝑟1 − 𝑟0),… i periodima odlaganja 0,1, … godina,redom. Odakle sledi da je

�̈� = �̈�∞˥(𝑟0 + (𝑟1 − 𝑟0)𝑣 + (𝑟2 − 𝑟1)𝑣2 +⋯). (3.2.13)

Prethodno navedeni postupak svođenja neograničene rente na zbir odgovarajućih renti je dobar onda kada ne postoji nikakva pravilnost među isplatama 𝑟0, 𝑟1, 𝑟2, …, ali je uočena pravilnost između isplata 𝑟0, 𝑟1 − 𝑟0, 𝑟2 − 𝑟1, … .

63

Glava 4

Životne rente

Kao što je napomenuto u uvodu prethodne glave, da bi se analizirale životne rente, koje predstavljaju rente sa trajanjem ili iznosima koji su slučajne promenljive u funkciji preostalog životnog veka osiguranika, potrebno je bilo obraditi finansijske rente. Sada će biti lako govoriti o životnim rentama koristeći već dobijene formule.

Životna renta je niz isplata ili neprekidni novčani tok čije trajanje zavisi od preostalog životnog veka osiguranika. Ova renta može početi u trenutku važenja ugovora o osiguranju ili sa nekim kašnjenjem određenim u ugovoru. Isplate i njihov iznos su određene ugovorom o osiguranju.

Različite vrste ugovora o osiguranju određuju različiti dogovori o premiji i sumi osiguranja, koji mogu biti u vidu renti. Dakle, jedan tip životnog osiguranja može podrazumevati uplatu jednokratne neto premije, a isplatu sume osiguranja u vidu rente. Ili, premija može biti naznačena kao renta, odnosno može se govoriti o premijskim uplatama. Takav niz čini jednu životnu rentu, dok suma osiguranja može biti isplaćena jednokratno ili je definisana kao renta.

U ovoj glavi, posmatraju se ugovori o životnom osiguranju sa jednokratnom neto premijom i sumom osiguranja koja se isplaćuje u vidu rente.

4.1. Osnovne životne rente

U skladu sa tim kakva je vrsta ugovora o osiguranja, u smislu isplate sume osiguranja, razlikovaćemo različite tipove životnih renti.

4.1.1. Doživotne rente

Doživotna prenumerato renta sa godišnjim jediničnim isplatama sa realizacijom na početku svake godine preostalog životnog veka osiguranika je prikazana pomoću sadašnje vrednosti te sume

𝑌 = 1 + 𝑣 +⋯+ 𝑣𝐾 = �̈�𝐾+1˥ =∑ 𝑣𝑘𝐼{𝑘≤𝐾}+∞

𝑘=0. (4.1.1)

Ova slučajna promenljiva je diskretnog tipa i njena raspodela verovatnoća je

𝑃(𝑌 = �̈�𝑘+1˥) = 𝑃(𝐾 = 𝑘) = ₖ𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑘, 𝑘 ∈ ℕ0. (4.1.2)

Da bi osiguranik stekao pravo na isplatu prethodno navedene rente, u obavezi je da u trenutku sklapanja ugovora o osiguranju uplati osiguravajućoj kompaniji jednokratnu neto premiju. Ta premija se izračunava na sledeći način

64

�̈�𝑥 = 𝐸𝑌 = ∑ �̈�𝑘+1˥ₖ𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑘+∞𝑘=0 . (4.1.3)

Ili, pomoću relacije (4.1.1), vrednost premije je

�̈�𝑥 = 𝐸𝑌 = 𝐸(∑ 𝑣𝑘𝐼{𝑘≤𝐾}) =+∞

𝑘=0∑ 𝑣𝑘𝐸(𝐼{𝑘≤𝐾})

+∞

𝑘=0= ∑ 𝑣𝑘ₖ𝑝𝑥

+∞

𝑘=0. (4.1.4)

Kako je predstavljeno relacijom (4.1.4), jednokratna neto premija doživotne prenumerato rente sa jediničnim isplatama je zbir jednokratnih neto premija osiguranja doživljenja starosti 0,1,2, … godina, gde su sve sume osiguranja jedinične.

Iz (4.1.1) se uočava

𝑌 =1−𝑣𝐾+1

1−𝑣=

1−𝑣𝐾+1

ⅆ=

1−𝑍

ⅆ, (4.1.5)

pri čemu je 𝑍 sadašnja vrednost jedinične sume doživotnog osiguranja kada se suma osiguranja isplaćuje na kraju godine nastupanja smrti osiguranika. Sledi da je jednokratna neto premija

�̈�𝑥 = 𝐸𝑌 =1−𝐸𝑍

ⅆ=

1−𝐴𝑥

ⅆ, (4.1.6)

1 = ⅆ�̈�𝑥 + 𝐴𝑥. (4.1.7)

Sledi da osiguranik sa uplaćenom jedinicom valute u korist osiguravajuće kompanije, stiče pravo da mu ista na početku svake godine života isplati anticipativnu kamatu ⅆ, a na kraju godine nastupanja smrti osiguranika korisniku osiguranja bi bila isplaćena jedinica valute.

Potrebno je posmatrati disperziju slučajne promenljive 𝑌 i uporediti sa disperzijom slučajne promenljive 𝑍 i na osnovu tog poređenja doneti određene zaključke.

𝐷𝑌 =𝐷(1−𝑍)

ⅆ2=

𝐷𝑍

ⅆ2> 𝐷𝑍. (4.1.8)

Ova nejednakost je posledica toga što broj isplata rente može varirati u zavisnosti od celobrojnog preostalog životnog veka 𝐾, a kod doživotnog osiguranja osiguravajuća kompanija je u obavezi da izvrši tačno jednu isplatu, što povlači za sobom manji rizik ulaganja u takvu vrstu ugovora.

Doživotna postnumerato renta sa jediničnim isplatama, za razliku od odgovarajuće prenumerato rente, podrazumeva isplate u trenucima 1,2,3, …𝐾, odnosno one se realizuju na kraju svake godine koju osiguranik doživi. Sadašnja vrednost ove rente i jednokratna neto premija su, redom:

𝑌 = 𝑣 +⋯+ 𝑣𝐾 = 𝑎𝐾˥, (4.1.9)

𝑎𝑥 = �̈�𝑥 − 1. (4.1.10)

Pomoću jednakosti (4.1.6) dobija se sledeći niz jednakosti

65

𝑎𝑥 =1−𝐴𝑥

ⅆ− 1 =

1−ⅆ

ⅆ−𝐴𝑥

ⅆ=

1−𝑖

𝑖+1𝑖

𝑖+1

−𝐴𝑥𝑖

𝑖+1

=1−(1+𝑖)𝐴𝑥

𝑖, (4.1.11)

što je analogno relaciji (4.1.7) i takođe se može o njoj diskutovati.

Osoba starosti 45 godina potpisuje ugovor o doživotnom osiguranju, pri čemu uplaćuje 21.571 jedinica valute u trenutku sklapanja ugovora, na račun osiguravača (Slika 4.1). Na osnovu jednokratne neto premije, osiguravajuća kompanija ima obavezu da isplaćuje sumu osiguranja u vidu rente, pri čemu za jednu godinu isplaćuje jediničnu sumu. Isplate se vrše na početku svake godine do nastupanja smrti osiguranika. Ukoliko bi ista osoba uplatila premiju od 21.0449 jedinica valute, osiguravač isplaćuje jedinične sume na kraju svake godine koju osigurana osoba doživi od trenutka sklapanja ugovora. Razlika koja se pravi između ova dva ugovora nastaje jer kod prvog ugovora osiguranik će sigurno dobiti sumu osiguranja u godini nastupanja smrti, dok u drugom ugovoru to se verovatno neće desiti.

Slika broj 4.1: Sadašnje vrednosti i premije postnumerato i prenumerato doživotnih renti.

4.1.2. Rente sa rokom

Sadašnja vrednost 𝒏-togodišnje prenumerato rente je

𝑌 = {�̈�𝐾+1˥, 𝐾 = 0,1, … , 𝑛 − 1,�̈�𝑛˥, 𝐾 = 𝑛, 𝑛 + 1,… .

(4.1.12)

Odgovarajuća jednokratna neto premija je

�̈�𝑥:𝑛˥ = ∑ �̈�𝑘+1˥ₖ𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑘𝑛−1𝑘=0 + �̈�𝑛˥ₙ𝑝𝑥, (4.1.13)

što je ekvivalentno sledećoj jednakosti

�̈�𝑥:𝑛˥ = ∑ 𝑣𝑘ₖ𝑝𝑥𝑛−1

𝑘=0. (4.1.14)

Sada je, takođe, 𝑌 =1−𝑍

ⅆ, međutim 𝑍 je sadašnja vrednost 𝑛-togodišnjeg mešovitog

osiguranja. Sledi

�̈�𝑥:𝑛˥ = 𝐸𝑌 =1−𝐴𝑥:𝑛˥

ⅆ ⇒ 1 = ⅆ�̈�𝑥:𝑛˥ + 𝐴𝑥:𝑛˥. (4.1.15)

66

Slika broj 4.2: Sadašnje vrednosti i premije prenumerato renti sa rokom.

Neka je sklopljen ugovor o osiguranju sa rokom od 15 godina između osiguranika starosti 45 godina i osiguravajuće kompanije, koja garantuje jediničnu isplatu na početku svake godine koju osiguranik doživi, ne više od 15 godina. Osiguranik za takvo pravo plaća 12.279 jedinica valute (Slika 4.2).

4.1.3. Odložene rente

Sadašnja vrednost odložene prenumerato doživotne rente sa jediničnim isplatama i periodom odlaganja 𝑚 godina je

𝑌 = {0, 𝐾 = 0,1, … ,𝑚 − 1,

𝑣𝑚 + 𝑣𝑚+1 +⋯+ 𝑣𝐾 , 𝐾 = 𝑚,𝑚 + 1,… . (4.1.16)

Koristeći (4.1.4) i (4.1.14), jednokratna neto premija ove odložene rente je

m|�̈�𝑥 = �̈�𝑥 − �̈�𝑥:𝑚˥ = ∑ 𝑣𝑘ₖ𝑝𝑥+∞

𝑘=𝑚= ∑ 𝑣𝑙+𝑚ₗ₊ₘ𝑝𝑥

+∞

𝑙=0= 𝑣𝑚∑ 𝑣𝑙ₘ𝑝𝑥 · ₗ𝑝𝑥+𝑚

+∞

𝑙=0

= 𝑣𝑚ₘ𝑝𝑥∑ 𝑣𝑙 · ₗ𝑝𝑥+𝑚+∞

𝑙=0. (4.1.17)

U prethodnoj jednakosti navedena je poznata suma, odakle sledi

m|�̈�𝑥 = 𝑣𝑚ₘ𝑝𝑥�̈�𝑥+𝑚. (4.1.18)

Osiguranik starosti 45 godina plaća 16.8504 jedinica valute, kako bi mu na početku svake godine koju doživi osiguravajuća kompanija uplaćivala jedinične sume, ali tek posle pet godina od trenutka sklapanja ugovora (Slika 4.3).

Slika broj 4.3: Sadašnje vrednosti i premije prenumerato odloženih renti.

67

4.2. Životne rente sa isplatama 𝒎 puta godišnje

Životne rente sa isplatama 𝑚 puta godisnje su ugovori osiguranja kod kojih se premija uplaćuje jednokratno, dok se suma osiguranja isplaćuje u vidu rente, pri čemu se te isplate

realizuju 𝑚 puta godišnje u iznosu 1

𝑚 i isplate sume osiguranja su jedinične na godišnjem

nivou.

4.2.1. Doživotne rente sa 𝒎 isplata godišnje

Doživotna prenumerato renta sa parametrom 𝒎 se definiše kao renta čije se isplate

u iznosu 1

𝑚 realizuju na početku svakog perioda dužine

1

𝑚 godina koje osiguranik doživi.

Poslednja isplata se dešava na početku perioda dužine 1

𝑚 godina u toku kojeg će nastupiti

smrt osiguranika. Njena sadašnja vrednost je

𝑌ⅆ(𝑚) =

1

𝑚+

1

𝑚𝑣1

𝑚 +⋯+1

𝑚𝑣𝐾+𝑆

(𝑚)−1

𝑚. (4.2.1)

Odgovarajuća jednokratna neto premija, kao uslov za isplatu sume osiguranja, je

�̈�𝑥(𝑚) = 𝐸𝑌ⅆ

(𝑚) =1

𝑚𝑃 (𝐾 = 0, 𝑆(𝑚) =

1

𝑚) + (

1

𝑚+1

𝑚𝑣1𝑚)𝑃 (𝐾 = 0, 𝑆(𝑚) =

2

𝑚) +⋯

+(1

𝑚+1

𝑚𝑣1𝑚 +⋯+

1

𝑚𝑣𝑚−1𝑚 )𝑃 (𝐾 = 0, 𝑆(𝑚) =

𝑚

𝑚)

+(1

𝑚+1

𝑚𝑣1𝑚 +⋯+

1

𝑚𝑣𝑚𝑚)𝑃 (𝐾 = 1, 𝑆(𝑚) =

1

𝑚) +⋯

=1

𝑚𝑃 (0 ≤ 𝑇 ≤

1

𝑚) + (

1

𝑚+1

𝑚𝑣1𝑚)𝑃 (

1

𝑚≤ 𝑇 ≤

2

𝑚) +⋯

=1

𝑚∑ 𝑣

𝑘

𝑚ₖ։ₘ𝑝𝑥+∞𝑘=0 . (4.2.2)

Iz prethodne relacije sledi da jednokratna neto premija zavisi od verovatnoće doživljenja

necelobrojnih starosti 𝑘

𝑚, što znači da je potrebno poznavati raspodelu slučajne promenljive

𝑇, odnosno zajedničku raspodelu slučajnih promenljivih 𝐾 i 𝑆(𝑚). Na osnovu izraza (4.2.1), sledi

𝑌ⅆ(𝑚) =

1

𝑚·1−(𝑣

1𝑚)

𝑚(𝐾+𝑆(𝑚))

1−𝑣1𝑚

=1−𝑣𝐾+𝑆

(𝑚)

ⅆ(𝑚). (4.2.3)


�̈�𝑥(𝑚) = 𝐸𝑌ⅆ

(𝑚) =1−𝐴𝑥

(𝑚)

ⅆ(𝑚), (4.2.4)

68

gde je 𝐴𝑥(𝑚) jednokratna neto premija doživotnog osiguranja kod kojeg se jedinična suma

osiguranja isplaćuje na kraju perioda dužine 1

𝑚 godina u toku kojeg nastupa smrt osiguranika.

Iz relacije (4.2.4) se može zaključiti

1 = ⅆ(𝑚)�̈�𝑥(𝑚) + 𝐴𝑥

(𝑚), (4.2.5)

a ova relacija govori o tome da osiguranik, ukoliko uplati jedinicu valute , stiče pravo da mu

budu isplaćene sume ⅆ(𝑚)

𝑚 na početku svakog perioda dužine

1

𝑚 godina koji doživi. Zatim,

osiguravajuća kompanija ima obavezu da na kraju perioda dužine 1

𝑚 godina u toku kojeg

nastupi smrt osiguranika isplati jedinicu valute onome koga je osiguranik odredio kao

korisnika osiguranja, , što je u izrazu (4.2.5) 𝐴𝑥(𝑚).

Ukoliko je potrebno da se prethodno definisana premija izrazi pomoću slučajne promenljive 𝐾, to se postiže uvođenjem nekih dodatnih pretpostavki, kao što je pretpostavka A (poglavlje 1.6, pretpostavka se uvodi jer smrt osiguranika može nastupiti u 𝑚-tom delu godine, što znači da neće biti ceo broj). Sa pretpostavkom A dolazi i relacija

𝐴𝑥(𝑚) =

𝑖

𝑖(𝑚)⋅ 𝐴𝑥 , (4.2.6)

odakle sledi

�̈�𝑥(𝑚) =

1

ⅆ(𝑚)−

𝐴𝑥(𝑚)

ⅆ(𝑚)=

1

ⅆ(𝑚)−

𝑖

𝑖(𝑚)ⅆ(𝑚)𝐴𝑥. (4.2.7)

Na osnovu relacije (4.1.7) sledi

�̈�𝑥(𝑚) =

1

ⅆ(𝑚)−𝑖(1−ⅆ�̈�𝑥)

𝑖(𝑚)ⅆ(𝑚)=

𝑖ⅆ

𝑖(𝑚)ⅆ(𝑚)�̈�𝑥 −

𝑖−𝑖(𝑚)

𝑖(𝑚)ⅆ(𝑚)= 𝛼(𝑚)�̈�𝑥 − 𝛽(𝑚), (4.2.8)

gde je

𝛼(𝑚) =𝑖ⅆ

𝑖(𝑚)ⅆ(𝑚) , 𝛽(𝑚) =

𝑖−𝑖(𝑚)

𝑖(𝑚)ⅆ(𝑚). (4.2.9)

Doživotna postnumerato renta sa parametrom 𝒎, čije se isplate u iznosu 1

𝑚 realizuju

na kraju svakog perioda dužine 1

𝑚 godina koje osiguranik doživi, se razlikuje od doživotne

prenumerato rente definisane isto u ovom odeljku po tome što ne sadrži isplatu u iznosu 1

𝑚

u trenutku 𝑡 = 0. Jednokratna neto premija ovakvog tipa rente je

𝑎𝑥(𝑚) = �̈�𝑥

(𝑚) −1

𝑚=

1

𝑚∑ 𝑣

𝑘

𝑚ₖ։ₘ𝑝𝑥+∞𝑘=0 −

1

𝑚. (4.2.10)

Sa pretpostavkom A (poglavlje 1.6), ova premija postaje

𝑎𝑥(𝑚) = �̈�𝑥

(𝑚) −1

𝑚= 𝛼(𝑚)�̈�𝑥 − 𝛽(𝑚) −

1

𝑚. (4.2.11)

69

Slika broj 4.4: Sadašnje vrednosti i premije postnumerato i prenumerato doživotnih renti sa m isplata godišnje.

Osoba starosti 50 godina je potpisala ugovor o doživotnom osiguranju sa isplatama

sume od 1

4 jedinice valute na početku svakog kvartala u godini do trenutka nastupanja smrti,

pri čemu on uplaćuje premiju u iznosu od 19.061 jedinica valute. Za isplate sume od 1

4 jedinice

valute na kraju svakog kvartala do trenutka smrti, on plaća 18.811 jedinica valute (Slika 4.4).

4.2.2. Odložene rente sa 𝒎 isplata godišnje

Odložena doživotna prenumerato renta sa periodom odlaganja 𝑛 godina i isplatama 1

𝑚 koje počinju nakon isteka 𝑛 godina u odnosu na trenutak sklapanja ugovora i realizuju se

na početku svakog perioda dužine 1

𝑚 godina koje osiguranik doživi ima sadašnju vrednost

𝑌𝑜(𝑚) = {

0, 𝐾 = 0,1, … , 𝑛 − 1,1

𝑚𝑣𝑛 +

1

𝑚𝑣𝑛+

1

𝑚 +⋯+1

𝑚𝑣𝐾+𝑆

(𝑚)−1

𝑚, 𝐾 = 𝑛, 𝑛 + 1, … . (4.2.12)

Jednokratna neto premija koja odgovara ovom tipu renti je

n|�̈�𝑥(𝑚) = 𝐸𝑌𝑜

(𝑚) =1

𝑚∑ 𝑣𝑛+

𝑘

𝑚ₙ₊ₖ։ₘ𝑝𝑥+∞𝑘=0 . (4.2.13)

Drugačije, premija odložene rente se zapisuje

n|�̈�𝑥(𝑚) = 𝑣𝑛ₙ𝑝𝑥�̈�𝑥+𝑛

(𝑚) . (4.2.14)

Uvođenjem pretpostavke A (poglavlje 1.6), na osnovu (4.2.8) zaključuje se

n|�̈�𝑥(𝑚) = 𝑣𝑛ₙ𝑝𝑥 (𝛼(𝑚)�̈�𝑥+𝑛 − 𝛽(𝑚)). (4.2.15)

70

Slika broj 4.5: Sadašnje vrednosti i premije prenumerato odložene rente sa m isplata godišnje.

Osoba starosti 50 godina je sklopila ugovor o osiguranju i za to platila 16.3032 jedinica valute. Time je stekla pravo da joj osiguravajuća kompanija uplaćuje na početku svakog

kvartala u godini njegovog života 1

4 jedinice valute, ali ne više od 5 godina (Slika 4.5).

Odložena doživotna postnumerato renta sa periodom odlaganja 𝑛 godina i isplatama 1

𝑚 za razliku od odgovarajuće prenumerato rente ne obuhvata isplatu u trenutku 𝑛, čija je

sadašnja vrednost jednaka 1

𝑚𝑣𝑛. Jednokratna neto premija, kao očekivanje sadašnje

vrednosti sume osiguranja, je

n|𝑎𝑥(𝑚) = 𝑣𝑛ₙ𝑝𝑥𝑎𝑥+𝑛

(𝑚) , (4.2.16)

dok uz pretpostavku A (poglavlje 1.6), pomoću (4.2.11), ova premija je oblika

n|𝑎𝑥(𝑚) = 𝑣𝑛ₙ𝑝𝑥 (𝛼(𝑚)�̈�𝑥+𝑛 − 𝛽(𝑚) −

1

𝑚). (4.2.17)

Slika broj 4.6: Sadašnje vrednosti i premije postnumerato odložene rente sa m isplata godišnje.

71

Ugovor o osiguranju za osobu starosti 50 godina, sa dvomesečnim isplatama sume 1

6

jedinica valute, pri čemu tih isplata nema do kraja 10-te godine od trenutka sklapanja ugovora, košta 13.5281 jedinica valute (Slika 4.6).

4.2.3. 𝒏-togodišnje rente sa 𝒎 isplata godišnje

Prenumerato 𝒏-togodišnja renta sa parametrom 𝒎 podrazumeva isplate iznosa 1

𝑚

na početku svakog perioda dužine 1

𝑚 godina koje osiguranik doživi, ali ne duže od 𝑛 godina.

Njena sadašnja vrednost je

𝑌𝑛(𝑚) = {

1

𝑚+

1

𝑚𝑣1

𝑚 +⋯+1

𝑚𝑣𝐾+𝑆

(𝑚)−1

𝑚, 𝐾 = 0,1, … , 𝑛 − 1,

1

𝑚+

1

𝑚𝑣1

𝑚 +⋯+1

𝑚𝑣𝑛−

1

𝑚, 𝐾 = 𝑛, 𝑛 + 1,… . (4.2.18)

Posmatrajući (4.2.12) i (4.2.18), uočava se da važi

𝑌𝑛(𝑚) + 𝑌𝑜

(𝑚) = {

1

𝑚+

1

𝑚𝑣1

𝑚 +⋯+1

𝑚𝑣𝐾+𝑆

(𝑚)−1

𝑚, 𝐾 = 0,1, … , 𝑛 − 1,

1

𝑚+

1

𝑚𝑣1

𝑚 +⋯+1

𝑚𝑣𝐾+𝑆

(𝑚)−1

𝑚, 𝐾 = 𝑛, 𝑛 + 1,…= 𝑌ⅆ

(𝑚). (4.2.19)

Obzirom na to da je već poznato kako se mogu dobiti jednokratne neto premije doživotne prenumerato rente sa 𝑚 isplata godišnje i odložene prenumerato rente sa periodom odlaganja 𝑛 godina i 𝑚 isplata godišnje, može se odrediti i jednokratna neto premija tražene 𝑛-togodišnje rente

�̈�𝑥:𝑛˥(𝑚) = �̈�𝑥

(𝑚) − n|�̈�𝑥(𝑚) = �̈�𝑥

(𝑚) − 𝑣𝑛ₙ𝑝𝑥�̈�𝑥+𝑛(𝑚) . (4.2.20)

Ako važi pretpostavka A (poglavlje 1.6), na osnovu (4.2.8), premija je

�̈�𝑥:𝑛˥(𝑚) = 𝛼(𝑚)�̈�𝑥 − 𝛽(𝑚) − 𝑣

𝑛ₙ𝑝𝑥(𝛼(𝑚)�̈�𝑥+𝑛 − 𝛽(𝑚)). (4.2.21)

Da bi osoba starosti 35 godina dobila 1

8 jedinica valute na početku svake osmine

godine života, ali ne više od 10 godina,mora platiti 5.80684 jedinica valute (Slika 4.7).

72

Slika broj 4.7: Sadašnje vrednosti i premije prenumerato rente sa rokom i m isplata godišnje.

Jednokratna neto premija 𝒏-togodišnje postnumerato rente sa 𝒎 isplata godišnje jednaka je

𝑎𝑥:𝑛˥(𝑚) = 𝑎𝑥

(𝑚) − n|𝑎𝑥(𝑚) = 𝑎𝑥

(𝑚) − 𝑣𝑛ₙ𝑝𝑥𝑎𝑥+𝑛(𝑚) , (4.2.22)

dok je sa pretpostavkom A (poglavlje 1.6), pomoću (4.2.11), predstavljena sledećom formulom

𝑎𝑥:𝑛˥(𝑚) = 𝛼(𝑚)�̈�𝑥 − 𝛽(𝑚) −

1

𝑚− 𝑣𝑛ₙ𝑝𝑥 (𝛼(𝑚)�̈�𝑥+𝑛 − 𝛽(𝑚) −

1

𝑚). (4.2.23)

Osiguranik starosti 60 godina će dobijati polovinu jedinice valute na kraju svakog polugodišnjeg perioda, ali ne više od 10 godina, ako za to plati 5.08703 jedinica valute (Slika 4.8).

Slika broj 4.8: Premija postnumerato rente sa rokom i m isplata godišnje.

4.3. Rente sa necelobrojnim starostima osiguranika

Veoma važan i neophodan podatak o osiguraniku u trenutku sklapanja ugovora je njegova starost. Kako u opštem slučaju, starost osiguranika nije ceo broj u tom trenutku, potrebno je odrediti rente koje se isplaćuju osiguranicima necelobrojne starosti.

73

Posmatra se doživotna prenumerato renta sa jediničnim isplatama koje se realizuju na početku svake godine koju osiguranik doživi. Neka je odgovarajuća premija �̈�𝑥+𝑙, 𝑥 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈(0,1). Tada je

�̈�𝑥+𝑙 = ∑ 𝑣𝑘ₖ𝑝𝑥+𝑙+∞𝑘=0 . (4.3.1)

S obzirom na to da 𝑥 + 𝑙 nije ceo broj, prethodna premija se ne može odrediti na osnovu tablice mortaliteta, već je potrebno uvesti neku dodatnu pretpostavku. Uvođenjem pretpostavke A (poglavlje 1.6), na osnovu relacija (1.1.6), (1.1.7) i (1.1.8) dobija se niz jednakosti koje će biti potrebne za određivanje premije.

ₖ₊ₗ𝑝𝑥 = ₗ𝑝𝑥 ⋅ ₖ𝑝𝑥+𝑙 = ₖ𝑝𝑥 · ₗ𝑝𝑥+𝑘 ⇒ (1 − 𝑙 · 𝑞𝑥)ₖ𝑝𝑥+𝑙 = ₖ𝑝𝑥(1 − 𝑙 · 𝑞𝑥+𝑘)

⇒ (1 − 𝑙 · 𝑞𝑥)∑𝑣𝑘ₖ𝑝𝑥+𝑙

+∞

𝑘=0

=∑𝑣𝑘ₖ𝑝𝑥

+∞

𝑘=0

− 𝑙 · (𝑖 + 1)∑𝑣𝑘+1ₖ𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑘

+∞

𝑘=0

⇒ (1 − 𝑙 · 𝑞𝑥)�̈�𝑥+𝑙 = �̈�𝑥 − 𝑙 · (𝑖 + 1)𝐴𝑥. (4.3.2)

Koristeći (4.3.2) i (4.1.7) dobija se premija ovog tipa osiguranja.

�̈�𝑥+𝑙 =�̈�𝑥−𝑙·(𝑖+1)𝐴𝑥

1−𝑙·𝑞𝑥=

�̈�𝑥(1+𝑖·𝑙)−𝑙·(1+𝑖)

1−𝑙·𝑞𝑥. (4.3.3)

Poznato je da je �̈�𝑥 = ∑ 𝑣𝑘ₖ𝑝𝑥+∞

𝑘=0 , odakle sledi

�̈�𝑥 = 1 + 𝑣𝑝𝑥�̈�𝑥+1. (4.3.4)

Sada je

�̈�𝑥+𝑙 =�̈�𝑥(1−𝑙)+(𝑙+𝑙·𝑖)�̈�𝑥−𝑙·(1+𝑖)

1−𝑙·𝑞𝑥=

�̈�𝑥(1−𝑙)+𝑙(1+𝑖)(�̈�𝑥−1)

1−𝑙·𝑞𝑥=

�̈�𝑥(1−𝑙)+𝑙(1+𝑖)𝑣𝑝𝑥�̈�𝑥+1

1−𝑙·𝑞𝑥. (4.3.5)

Dakle, premija se može predstaviti kao težinska suma jednokratnih neto premija �̈�𝑥 i �̈�𝑥+1, odnosno

�̈�𝑥+𝑙 =1−𝑙

1−𝑙·𝑞𝑥�̈�𝑥 +

𝑙𝑝𝑥

1−𝑙·𝑞𝑥�̈�𝑥+1. (4.3.6)

Ugovor o osiguranju će osoba starosti 35.5 godina platiti 25.3092 jedinica valute, da bi na početku svake godine svog života od trenutka sklapanja ugovora dobijala jedinične sume (Slika 4.9).

74

Slika broj 4.9: Premija prenumerato doživotne rente sa necelobrojnim starostima.

Ukoliko se umesto pretpostavke A (poglavlje 1.6) primeni linearna interpolacija, može se odrediti jednokratna neto premija �̈�𝑥+𝑙 i to na sledeći način

�̈�𝑥+𝑙 ≈ (1 − 𝑙)�̈�𝑥 + 𝑙�̈�𝑥+1, 𝑙 ∈ (0,1). (4.3.7)

Formule (4.3.6) i (4.3.7) se podudaraju za male verovatnoće 𝑞𝑥, a što većim porastom 𝑞𝑥, one se značajnije razlikuju.

Uz linearnu interpolaciju se približno određuju jednokratne neto premije sa 𝑚 isplata godišnje, koje se odnose na osiguranike necelobrojne starosti. Za takvu doživotnu prenumerato rentu važi

�̈�𝑥+𝑙(𝑚) ≈ (1 − 𝑙)�̈�𝑥

(𝑚) + 𝑙�̈�𝑥+1(𝑚) , 𝑙 ∈ (0,1), (4.3.8)

što je na osnovu pretpostavke A, uz ranije izvedenu relaciju (4.2.8), približno jednako

�̈�𝑥+𝑙(𝑚) ≈ (1 − 𝑙)(𝛼(𝑚)�̈�𝑥 − 𝛽(𝑚)) + 𝑙(𝛼(𝑚)�̈�𝑥+1 − 𝛽(𝑚)), 𝑙 ∈ (0,1). (4.3.9)

4.4. Promenljive doživotne rente

Uplaćivanjem jednokratne neto premije u trenutku sklapanja ugovora o osiguranju, osiguranik može steći pravo na isplatu rente sa iznosima 𝑟0, 𝑟1, … , 𝑟𝐾 i njihovim realizacijama u trenucima 0,1, … , 𝐾, respektivno. Njena sadašnja vrednost je

𝑌 = ∑ 𝑣𝑘𝑟𝑘𝐼{𝑘≤𝐾}+∞𝑘=0 . (4.4.1)

Jednokratna neto premija definiše se kao očekivana vrednost ove slučajne promenljive, odnosno

𝐸𝑌 = ∑ 𝑣𝑘𝑟𝑘𝑃(𝑘 ≤ 𝐾) = ∑ 𝑣𝑘𝑟𝑘+∞𝑘=0

+∞𝑘=0 ₖ𝑝𝑥. (4.4.2)

Ako se uvede matematička pretpostavka da su 𝑟𝑘 = 𝑘, 𝑘 < 11, 𝑟𝑘 = 𝑘 + 1, 𝑘 ≥ 11, tada se može ilustrovati ovakav tip rente. Ova pretpostavka ne mora biti realna.

75

Slika broj 4.10: Promenljiva doživotna renta sa iznosima 𝑟𝑘, 𝑘 = 0,1, … , 𝐾.

Na Slici broj 4.10 prikazana je premija promenljive doživotne rente, gde su iznosi renti 𝑟𝑘 = 𝑘, 𝑘 = 0,1, … ,10, 𝑟𝑘 = 𝑘 + 1, 𝑘 = 10,11,… , 𝐾 , uz pomoć kojih se otplaćuje suma osiguranja. Uplaćivanjem jednokratne neto premije u iznosu 386.768 jedinica valute, osiguranik starosti 40 godina ostvaruje pravo na isplatu rente na početku prve godine, od trenutka sklapanja ugovora, jedinicu valute, na početku druge godine dve jedinice valute, … , na početku desete godine deset jedinica valute; zatim na početku jedanaeste godine 12 jedinica valute, na početku dvanaeste godine 13 jedinica valute, … Ovaj postupak se nastavlja do trenutka smrti osiguranika.

Kao uopštenje prethodnog tipa rente, neka se vrše isplate u iznosu

𝑧0, 𝑧 1𝑚

, 𝑧 2𝑚

, … , 𝑧𝐾+𝑆(𝑚)−

1

𝑚

u trenucima 𝑜,1

𝑚,2

𝑚, … , 𝐾 + 𝑆(𝑚) −

1

𝑚, redom, odnosno na početku

svakog perioda dužine 1

𝑚 godina koji osiguranik doživi. Sadašnja vrednost ovakve rente je

𝑌𝑚 = ∑ 𝑣𝑘

𝑚 · 𝑧 𝑘𝑚

· 𝐼{𝑘≤𝐾+𝑆(𝑚)−

1

𝑚},+∞

𝑘=0 (4.4.3)

a jednokratna neto premija je

𝐸𝑌𝑚 = ∑ 𝑣𝑘

𝑚 · 𝑧𝑘𝑚

+∞𝑘=0 · ₖ։ₘ𝑝𝑥. (4.4.4)

Potrebno je sada odrediti iznose 𝑟𝑘 čija isplata u trenutku 𝑘 je ekvivalentna isplatama

𝑧𝑘, 𝑧𝑘+ 1

𝑚

, … , 𝑧𝑘+

𝑚−1

𝑚

sa realizacijama u trenucima 𝑘, 𝑘 +1

𝑚, … , 𝑘 +

𝑚−1

𝑚, 𝑘 ∈ ℕ0.

𝑟𝑘 = 𝑧𝑘+𝑧𝑘+ 1

𝑚

𝑣1

𝑚 +⋯+ 𝑧𝑘+

𝑚−1

𝑚

𝑣𝑚−1

𝑚 = ∑ 𝑧𝑘+

𝑗

𝑚

𝑣𝑗

𝑚𝑚−1𝑗=0 , 𝑘 = 0,1, … , 𝐾. (4.4.5)

Sadašnja vrednost ove rente je

𝑌𝑚 = 𝑧0+𝑧 1𝑚𝑣1𝑚 +⋯+ 𝑧𝑚−1

𝑚𝑣𝑚−1𝑚 +𝑧1𝑣 + 𝑧1+ 1

𝑚𝑣𝑚+1𝑚 +⋯+ 𝑧

𝐾+𝑆(𝑚)−1𝑚𝑣𝐾+𝑆

(𝑚)−1𝑚

= 𝑟0 + 𝑣𝑟1 + 𝑣2𝑟2 +⋯+ 𝑣

𝑘𝑟𝑘 − 𝐴𝑘, (4.4.6)

gde je sa 𝐴𝑘 označen korektivni član koji iznosi

𝐴𝑘 = 𝑧𝐾+𝑆(𝑚)𝑣𝐾+𝑆(𝑚) + 𝑧

𝐾+𝑆(𝑚)+1

𝑚

𝑣𝐾+𝑆(𝑚)+

1

𝑚 +⋯+ 𝑧𝐾+

𝑚−1

𝑚

𝑣𝐾+𝑚−1

𝑚 . (4.4.7)

Smrt osiguranika je nastupila u godini 𝐾, gde je 𝑆(𝑚) krajnji trenutak dela godine u kojoj

nastupa smrt, pa je poslednja isplata rente u trenutku 𝐾 + 𝑆(𝑚) −1

𝑚. Korektivni član se

76

odnosi na sve one isplate od trenutka smrti osiguranika do kraja godine u kojoj je nastupila smrt osiguranika, a koje se neće realizovati.


𝐸𝑌𝑚 = ∑ 𝑣𝑘𝑟𝑘+∞𝑘=0 ₖ𝑝𝑥 − 𝐸𝐴𝑘. (4.4.8)

Da bi se odredila očekivana vrednost korektivnog člana, uvodi se pretpostavka A (poglavlje 1.6). Tada je

𝐸𝐴𝑘 = 𝐸[𝐸(𝐴𝑘|𝐾)] = ∑ 𝐸(𝐴𝑘|𝐾 = 𝑘)+∞𝑘=0 · 𝑃(𝐾 = 𝑘) (4.4.9)

i

(𝐴𝑘|𝐾 = 𝑘):

{

𝑧𝑘+ 1

𝑚

𝑣𝑘+1

𝑚 +⋯+ 𝑧𝑘+

𝑚−1

𝑚

𝑣𝑘+𝑚−1

𝑚 , 𝑆(𝑚) =1

𝑚,

𝑧𝑘+

2

𝑚

𝑣𝑘+2

𝑚 +⋯+ 𝑧𝑘+

𝑚−1

𝑚

𝑣𝑘+𝑚−1

𝑚 , 𝑆(𝑚) =2

𝑚,

…

𝑧𝑘+

𝑚−1

𝑚

𝑣𝑘+𝑚−1

𝑚 , 𝑆(𝑚) =𝑚−1

𝑚,

0, 𝑆(𝑚) =𝑚

𝑚.

(4.4.10)

odakle sledi traženo uslovno očekivanje koje figuriše u sumi po 𝑘

𝐸(𝐴𝑘|𝐾 = 𝑘) =1

𝑚∑ 𝑗 · 𝑧

𝑘+𝑗

𝑚

𝑚−1𝑗=1 · 𝑣𝑘+

𝑗

𝑚 = 𝑣𝑘+1𝑐𝑘+1, (4.4.11)

gde je

𝑐𝑘+1 = ∫ ∑ 𝑧𝑘+

𝑗

𝑚

𝑚−1𝑗=1 · (1 + 𝑖)1−

𝑗

𝑚1

0=

1

𝑚∑ 𝑗 · 𝑧

𝑘+𝑗

𝑚

𝑚−1𝑗=1 · (1 + 𝑖)1−

𝑗

𝑚. (4.4.12)

Potrebna očekivana vrednost korektivnog člana je

𝐸𝐴𝑘 = ∑ 𝑣𝑘+1𝑐𝑘+1ₖ𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑘+∞𝑘=0 . (4.4.13)

Sledi da je jednokratna neto premija jednaka

𝐸𝑌𝑚 = ∑ 𝑣𝑘𝑟𝑘+∞𝑘=0 ₖ𝑝𝑥 − ∑ 𝑣𝑘+1𝑐𝑘+1ₖ𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑘

+∞𝑘=0 . (4.4.14)

77

Slika broj 4.11: Promenljiva doživotna renta sa iznosima 𝑧𝑘+

𝑗

𝑚

= 𝑘 +𝑗

𝑚.

Osoba starosti 35 godina je sklopila ugovor o doživotnom osiguranju i uplatila jednokratnu neto premiju 1762.11 jedinica valute. Osiguravajuća kompanija će na početku

svakog kvartala u godini, od trenutka sklapanja ugovora, isplaćivati osiguraniku sume 𝑘 +𝑗

𝑚,

gde je 𝑘 +𝑗

𝑚 broj kvartala od trenutka sklapanja ugovora, sve do trenutka smrti osiguranika

(Slika 4.11).

4.5. Standardni tipovi doživotnih renti

Kada se govori o standardnim tipovima podrazumeva se da će sume osiguranja biti nekog specijalnog oblika predviđene ugovorom o osiguranju. Razmotra se nekoliko takvih ugovora.

• Standardna rastuća doživotna renta predviđa isplate suma 𝑟𝑘 = 𝑘 + 1, 𝑘 = 0,1, … , 𝐾 na početku svake godine života osiguranika. Njena sadašnja vrednost, pod pretpostavkom da su kamatne stope konstantne, je

𝑌 = 1 + 2𝑣 + 3𝑣2 +⋯+ (𝐾 + 1)𝑣𝐾

= 1 + 𝑣 + 𝑣2 +⋯+ 𝑣𝐾 + 𝑣 + 𝑣2 +⋯+ 𝑣𝐾 +⋯+ 𝑣𝐾

=1 − 𝑣𝐾+1

ⅆ+ 𝑣

1 − 𝑣𝐾

ⅆ+ 𝑣2

1 − 𝑣𝐾−1

ⅆ+⋯+ 𝑣𝐾

1 − 𝑣

ⅆ

=1+𝑣+𝑣2+⋯+𝑣𝐾−(𝐾+1)𝑣𝐾+1

ⅆ. (4.5.1)

Jednokratna neto premija ove rente je

(𝐼�̈�)𝑥 = 𝐸𝑌 =�̈�𝑥−(𝐼𝐴)𝑥

ⅆ, (4.5.2)

gde su �̈�𝑥 i (𝐼𝐴)𝑥 jednokratna neto premije doživotne prenumerato rente sa jediničnim godišnjim isplatama i jednokratna neto premija standardnog rastućeg

78

doživotnog osiguranja kod kojeg se suma osiguranja (𝐾 + 1) isplaćuje na kraju godine nastupanja smrti osiguranika, respektivno.

Slika broj 4.12: Standardna rastuća doživotna renta.

Na Slici broj 4.12 prikazana je premija, 198.55 jedinica valute, koju bi trebalo da plati osoba starosti 56 godina za ugovor o standardnoj rastućoj doživotnoj renti, što znači da će na početku svake godine svog života dobijati sume 𝑟𝑘 = 𝑘 + 1, 𝑘 = 0,1, … , 𝐾. Dakle, na početku prve godine svog života od trenutka sklapanja ugovora dobiće jedinicu valute, naredne dve jedinice valute i tako do kraja svog života.

• Neka je sklopljen ugovor o osiguranju, pri čemu se suma osiguranja isplaćuje u vidu

rastuće rente, a isplate se vrše na početku svakog perioda dužine 1

𝑚 godina koji

osiguranik doživi. U 𝑘-toj godini, vrednost isplate je 𝑘 i to na godišnjem nivou, dok je

vrednost svake isplate 𝑘

𝑚, što znači da su isplate

𝑧𝑘+

𝑗

𝑚

=𝑘+1

𝑚, 𝑗 = 0,1, … ,𝑚 − 1 (4.5.3)

u trenucima 𝑘 +𝑗

𝑚, 𝑘 = 0,1, … , 𝐾 − 1. Za poslednju godinu života osiguranika, isplate

su u trenucima 𝐾,𝐾 +1

𝑚, … , 𝐾 + 𝑆(𝑚) −

1

𝑚 i one su oblika:

𝑧𝑘+

𝑗

𝑚

=𝐾+1

𝑚, 𝑗 = 0,1, … , 𝑆(𝑚) − 1. (4.5.4)

Sledi da je jednokratna neto premija

(𝐼�̈�)𝑥(𝑚) = 𝐸𝑌𝑟

(𝑚)

= ∑(∑1

𝑚· 𝑣

𝑖𝑚

𝑗−1

𝑖=0

)𝑃 (𝐾 = 0, 𝑆(𝑚) =𝑗

𝑚)

𝑚

𝑗=1

+∑(∑1

𝑚· 𝑣

𝑖𝑚

𝑚−1

𝑖=0

+ ∑2

𝑚· 𝑣

𝑖𝑚

𝑚+𝑗−1

𝑖=𝑚

)𝑃 (𝐾 = 0, 𝑆(𝑚) =𝑗

𝑚)

𝑚

𝑗=1

+⋯

=1

𝑚𝑃 (𝐾 = 0, 𝑆(𝑚) =

1

𝑚) + (

1

𝑚+1

𝑚𝑣1𝑚)𝑃 (𝐾 = 0, 𝑆(𝑚) =

2

𝑚) +⋯

+ (1

𝑚+1

𝑚𝑣1𝑚 +⋯+

1

𝑚𝑣𝑚−1𝑚 ) 𝑃 (𝐾 = 0, 𝑆(𝑚) =

𝑚

𝑚)

+(1

𝑚+1

𝑚𝑣1𝑚 +⋯+

1

𝑚𝑣𝑚−1𝑚 +

1

𝑚𝑣𝑚𝑚)𝑃 (𝐾 = 1, 𝑆(𝑚) =

1

𝑚)

+ (1

𝑚+1

𝑚𝑣1𝑚 +⋯+

1

𝑚𝑣𝑚−1𝑚 +

2

𝑚𝑣𝑚𝑚 +

1

𝑚𝑣𝑚+1𝑚 )𝑃 (𝐾 = 1, 𝑆(𝑚) =

2

𝑚)

79

+⋯

+1

𝑚𝑣𝑚𝑚𝑃 (𝐾 = 1, 𝑆(𝑚) =

1

𝑚) + (

1

𝑚𝑣𝑚𝑚 +

1

𝑚𝑣𝑚+1𝑚 )𝑃 (𝐾 = 1, 𝑆(𝑚) =

2

𝑚)

+⋯

= �̈�𝑥(𝑚) +1|�̈�𝑥

(𝑚) +2|�̈�𝑥(𝑚) +⋯. (4.5.5)

Primenom relacije (4.2.14) važi da je

(𝐼�̈�)𝑥(𝑚) = ∑ 𝑣𝑘ₖ𝑝𝑥�̈�𝑥+𝑘

(𝑚)+∞𝑘=0 , (4.5.6)

dok uz uvođenje pretpostavke A (poglavlje 1.6) dobija se sledeća jednakost

(𝐼�̈�)𝑥(𝑚) = ∑ 𝑣𝑘ₖ𝑝𝑥(𝛼(𝑚)�̈�𝑥+𝑘 − 𝛽(𝑚)) = 𝛼(𝑚) (𝐼�̈�)𝑥 − 𝛽(𝑚)�̈�𝑥.

+∞𝑘=0 (4.5.7)

Slika broj 4.13: Standardna rastuća doživotna renta sa parametrom 𝑚.

Osoba starosti 60 godina je potpisala ugovor o osiguranju sa jednokratnom neto premijom u iznosu 154.963 jedinica valute, pri čemu će osiguravajuća kompanija na račun osiguranika uplaćivati sume osiguranja, početkom svakog šestomesečnog perioda do nastupanja smrti osiguranika, čiji je iznos broj odgovarajućeg

šestomesečnog perioda, odnosno za treći šestomesečni period 3

2 jedinica valute, za

peti šestomesečni period je to 5

2 jedinica valute (Slika 4.13).

80

Glava 5

Neto premije

Premija osiguranja je novčani iznos kojim osiguranik plaća osiguravajućoj kompaniji preuzimanje rizika sklapanjem ugovora o osiguranju.

Do sada su analizirani ugovori o osiguranju sa uplatom jednokratne neto premije. Međutim, sve učestalije se sklapaju ugovori o osiguranju sa premijama koje se ne uplaćuju jednokratno, već se uplaćuju periodično, u vidu rente. Nekada su iznosi uplata konstantni, mada mogu biti i promenljivi. Sve važne faktore, kao što su iznosi periodične premije, učestalost njihovih uplata i trajanje, osiguravač i osiguranik preciziraju ugovorom o osiguranju. Najčešće se premijske uplate vrše na početku godine ili nekog drugog perioda konverzije.

Za polisu osiguranja koja se potpisuje dogovorom o osiguranju, veoma je važan gubitak osiguravača koji može nastati na ime te polise. Takav gubitak se modelira slučajnom promenljivom 𝐿, koja predstavlja razliku sadašnjih vrednosti svih plaćanja osiguravača na ime sume osiguranja i sadašnjih vrednosti svih premijskih uplata za vreme trajanja polise osiguranja. Uslov koji traže i osiguravač i osiguranik je da je očekivana vrednost definisanog gubitka 𝐿 jednaka nuli, odnosno

𝐸𝐿 = 0. (1)

Ovaj uslov se naziva uslov ekvivalentnosti. Ukoliko ne bi bio ispunjen ovaj uslov, neka važi da je 𝐸𝐿 > 0, tada bi ova situacija bila nepovoljna za osiguravajuću kompaniju.

5.1. Osnovni tipovi životnog osiguranja

U odnosu na ugovore koji su do sada analizirani, u nastavku će biti reči o premijama koje će biti uplaćivane periodično, dok je suma osiguranja jedinična.

5.1.1. Doživotno osiguranje

Neka se jedinična suma osiguranja isplaćuje na kraju godine nastupanja smrti osiguranika. Da bi ostvario pravo na tu isplatu, osiguranik je u obavezi da na početku svake godine svog života uplaćuje osiguravaču neto premije u iznosu 𝑃𝑥. Sadašnja vrednost svih plaćanja osiguravača je 𝑣𝐾+1, dok je sadašnja vrednost svih njegovih prihoda na ime polise 𝑃𝑥 + 𝑣𝑃𝑥 + 𝑣

2𝑃𝑥 +⋯+ 𝑣𝐾𝑃𝑥. Sledi da je gubitak osiguravača

𝐿 = 𝑣𝐾+1 − 𝑃𝑥 · �̈�𝐾+1˥. (5.1.1)

Potrebno je ispitati uslov ekvivalentnosti i predvideti pojavu gubitka, odnosno naći očekivanu vrednost.

𝐸𝐿 = 𝐸(𝑣𝐾+1 − 𝑃𝑥 · �̈�𝐾+1˥) = 𝐴𝑥 − 𝑃𝑥 · �̈�𝑥 = 0 ⇔ 𝑃𝑥 =𝐴𝑥

�̈�𝑥. (5.1.2)

81

Iz uslova ekvivalentnosti sledi da je neto premija jednaka količniku

𝑃𝑥 =𝐴𝑥

�̈�𝑥, (5.1.3)

gde je 𝐴𝑥 jednokratna neto premija doživotnog osiguranja i �̈�𝑥 jednokratna neto premija doživotne prenumerato rente.

Slika broj 5.1: Premijske uplate – doživotno osiguranje.

S obzirom da je osiguranik starosti 46 godina uplaćivao 0.0228788 jedinica valute na početku svake godine svog života, korisniku osiguranja će biti isplaćena jedinična suma osiguranja na kraju godine u kojoj je nastupila smrt osiguranika (Slika 5.1).

Ukoliko je 𝐿1 gubitak osiguravača na ime ugovora o doživotnom osiguranju sa jediničnom sumom osiguranja koja se isplaćuje na kraju godine nastupanja smrti osiguranika i sa jednokratnom neto premijom, tada on iznosi

𝐿1 = 𝑣𝐾+1 − 𝐴𝑥 . (5.1.4)

Rizik kome je izložen osiguravač je definisan kao disperzija ove slučajne promenljive.

𝐷𝐿1 = 𝐷(𝑣𝐾+1 − 𝐴𝑥) = 𝐷𝑣

𝐾+1. (5.1.5)

Rizik kome je izložen osiguravač na ime ugovora o osiguranju sa periodičnom premijom je

𝐷𝐿 = 𝐷(𝑣𝐾+1 − 𝑃𝑥 · �̈�𝐾+1˥) = 𝐷 (𝑣𝐾+1 − 𝑃𝑥 ·

1−𝑣𝐾+1

ⅆ) = (1 +

𝑃𝑥

ⅆ)2

𝐷𝑣𝐾+1. (5.1.6)

Kako je 𝐷𝐿 > 𝐷𝐿1, osiguravač je izložen većem riziku ukoliko je zaključio ugovor sa periodičnom premijom.

5.1.2. Osiguranje sa rokom

Neka se sklapa ugovor o osiguranju sa rokom od 𝑛 godina, pri čemu osiguravač isplaćuje jediničnu sumu osiguranja na kraju godine nastupanja smrti osiguranika, ako do toga dođe u toku prvih 𝑛 godina od trenutka sklapanja ugovora. Zatim, osiguranik na početku svake godine svog života, ali ne duže od 𝑛 godina, uplaćuje neto premije 𝑃�̂�:𝑛˥. Gubitak osiguravača je sada

𝐿 = {𝑣𝐾+1 − 𝑃�̂�:𝑛˥ · �̈�𝐾+1˥, 𝐾 = 0,1, … , 𝑛 − 1,

−𝑃�̂�:𝑛˥ · �̈�𝑛˥, 𝐾 = 𝑛, 𝑛 + 1, … . (5.1.7)

Drugačiji način zapisivanja gubitka je

𝐿 = 𝑣𝐾+1 · 𝐼{𝐾<𝑛} − 𝑃�̂�:𝑛˥ · (�̈�𝐾+1˥ · 𝐼{𝐾<𝑛} + �̈�𝑛˥ · 𝐼{𝐾≥𝑛}). (5.1.8)

82

Uslov ekvivalentnosti je ispunjen za sledeći oblik premijskih uplata:

𝐸𝐿 = 𝐸 (𝑣𝐾+1 · 𝐼{𝐾<𝑛} − 𝑃�̂�:𝑛˥ · (�̈�𝐾+1˥ · 𝐼{𝐾<𝑛} + �̈�𝑛˥ · 𝐼{𝐾≥𝑛})) = 0

⇔ 𝑃�̂�:𝑛˥ =𝐴�̂�:𝑛˥

�̈�𝑥:𝑛˥. (5.1.9)

Na osnovu ekvivalentnosti, sledi da je neto premija

𝑃�̂�:𝑛˥ =𝐴�̂�:𝑛˥

�̈�𝑥:𝑛˥, (5.1.10)

gde je 𝐴�̂�:𝑛˥ jednokratna neto premija osiguranja sa rokom, a �̈�𝑥:𝑛˥ jednokratna neto premija prenumerato rente sa rokom.

Slika broj 5.2: Premijske uplate – osiguranje sa rokom.

Osiguranik starosti 45 godina sklopio je ugovor o osiguranju sa rokom od 10 godina. On na početku svake godine uplaćuje osiguravaču 0.00493438 jedinica valute, pri čemu će osiguravač isplatiti korisniku osiguranja, kojeg je osiguranik odredio, jediničnu sumu, na kraju godine nastupanja smrti osiguranika, samo ako smrt nastupi do isteka 10 godina od dana sklapanja ugovora (Slika 5.2).

5.1.3. Osiguranje doživljenja

Kod ovog tipa osiguranja, sklapanjem ugovora o osiguranju, osiguravač stiče obavezu da će u trenutku 𝑛 isplatiti osiguraniku jediničnu sumu osiguranja ako osiguranik doživi bar 𝑛 godina, a ako smrt osiguranika nastupi pre trenutka 𝑛 osiguravač ne vrši isplate. Pritom, osiguranik uplaćuje neto premije 𝑃𝑥:𝑛˥̂ na početku svake godine svog života, ali ne duže od 𝑛 godina. Gubitak osiguravajuće kompanije je prikazan na sledeća dva načina:

𝐿 = {−𝑃𝑥:𝑛˥̂ · �̈�𝐾+1˥, 𝐾 = 0,1, … , 𝑛 − 1,

𝑣𝑛 − 𝑃𝑥:𝑛˥̂ · �̈�𝑛˥, 𝐾 = 𝑛, 𝑛 + 1,… , (5.1.11)

⇔ 𝐿 = 𝑣𝑛 · 𝐼{𝐾≥𝑛} − 𝑃𝑥:𝑛˥̂ · (�̈�𝐾+1˥ · 𝐼{𝐾<𝑛} + �̈�𝑛˥ · 𝐼{𝐾≥𝑛}). (5.1.12)

Iz uslova ekvivalentnosti sledi

𝐸𝐿 = 𝐸 (𝑣𝑛 · 𝐼{𝐾≥𝑛} − 𝑃𝑥:𝑛˥̂ · (�̈�𝐾+1˥ · 𝐼{𝐾<𝑛} + �̈�𝑛˥ · 𝐼{𝐾≥𝑛})) = 0

⇔ 𝑃𝑥:𝑛˥̂ =𝐴𝑥:𝑛˥̂�̈�𝑥:𝑛˥

. (5.1.13)

Uslov ekvivalentnosti važi za neto premiju oblika

𝑃𝑥:𝑛˥̂ =𝐴𝑥:𝑛˥̂�̈�𝑥:𝑛˥

, (5.1.14)

83

gde je 𝐴𝑥:𝑛˥̂ jednokratna neto premija osiguranja doživljenja i �̈�𝑥:𝑛˥ jednokratna neto premija prenumerato rente sa rokom.

Slika broj 5.3: Premijske uplate – osiguranje doživljenja.

Osiguranik koji trenutno ima 50 godina dobiće jediničnu sumu osiguranja ako živi više od 15 godina od trenutka sklapanja ugovora. Za takvo pravo će na početku svake godine svog života uplaćivati iznose od 0.0487698 jedinica valute, ali ne duže od 15 godina (Slika 5.3).

5.1.4. Mešovito osiguranje

U ovom delu, ugovor o mešovitom osiguranju podrazumeva obavezu osiguravača da

isplati jediničnu sumu osiguranja na kraju godine nastupanja smrti osiguranika, ako smrt

nastupi u prvih 𝑛 godina trajanja ugovora, ili ako osiguranik doživi 𝑛 godina osiguravajuća

kompanija isplaćuje jediničnu sumu osiguranja u trenutku 𝑛. Obaveza osiguranika je da

uplaćuje neto premije 𝑃𝑥:𝑛˥ na početku svake godine svog života, ali ne duže od 𝑛 godina.

Gubirak osiguravača je

𝐿 = {𝑣𝐾+1 − 𝑃𝑥:𝑛˥̂ · �̈�𝐾+1˥, 𝐾 = 0,1, … , 𝑛 − 1,

𝑣𝑛 − 𝑃𝑥:𝑛˥̂ · �̈�𝑛˥, 𝐾 = 𝑛, 𝑛 + 1,… . (5.1.15)

Na osnovu uslova ekvivalentnosti, premijska uplata, koja odgovara mešovitom tipu

osiguranja, definiše kao zbir premijske uplate u osiguranju sa rokom i premijske uplate u

osiguranju doživljenja. Sledi

𝑃𝑥:𝑛˥ = 𝑃�̂�:𝑛˥ + 𝑃𝑥:𝑛˥̂. (5.1.16)

Slika broj 5.4: Premijske uplate – mešovito osiguranje.

Osiguravajuća kompanija i osiguranik starosti 60 godina su potpisali ugovor o mešovitom osiguranju sa parametrom 10 godina, koji podrazumeva da će osiguravač isplatiti jediničnu sumu osiguranja na kraju godine nastupanja smrti osiguranika, ako se to desi pre isteka 10 godina od trenutka sklapanja ugovora. Ako osiguranik doživi narednih 10 godina od trenutka sklapanja ugovora, tada će osiguravač na kraju te godine isplatiti jediničnu sumu osiguraniku. Osiguranik za takvo pravo plaća 0.0951401 jedinica valute na početku svake godine od trenutka potpisivanja polise, svih deset godina (Slika 5.4).

84

5.1.5. Odloženo doživotno osiguranje

Odloženo doživotno osiguranje sa periodom odlaganja od 𝑛 godina podrazumeva obavezu osiguravača da isplati jediničnu sumu osiguranja na kraju godine nastupanja smrti, ali samo ako smrt nastupi posle 𝑛 godina od dana sklapanja ugovora o osiguranju. Osiguranik će uplaćivati neto premije ₙ|𝑃𝑥 na početku svake godine od trenutka sklapanja ugovora o osiguranju. Gubitak osiguravajuće kompanije je

𝐿 = {−ₙ|𝑃𝑥 · �̈�𝐾+1˥, 𝐾 = 0,1, … , 𝑛 − 1,

𝑣𝐾+1 − ₙ|𝑃𝑥 · �̈�𝐾+1˥, 𝐾 = 𝑛, 𝑛 + 1, … . (5.1.17)

Na osnovu uslova ekvivalentnosti je

𝐸𝐿 = 𝐸 (𝑣𝐾+1 · 𝐼{𝐾≥𝑛} − ₙ|𝑃𝑥 · (�̈�𝐾+1˥ · 𝐼{𝐾<𝑛} + �̈�𝐾+1˥ · 𝐼{𝐾≥𝑛})) = 0

⇔ ₙ|𝑃𝑥 =ₙ|𝐴𝑥

�̈�𝑥. (5.1.18)

Premijska uplata je

ₙ|𝑃𝑥 =ₙ|𝐴𝑥

�̈�𝑥 (5.1.19)

Slika broj 5.5: Premijske uplate – odloženo doživotno osiguranje.

Ukoliko za osobu starosti 30 godina smrt nastupi pre 60. godine, ona neće dobiti nikakvu sumu osiguranja, a platiće ugovor 0.00982894 jedinica valute na početku svake godine svog života od trenutka sklapanja ugovora. Međutim, ako živi više od 60 godina, onda će korisniku osiguranja biti isplaćena jedinična suma osiguranja na kraju godine u kojoj je nastupila smrt osiguranika (Slika 5.5).

5.1.6. Osiguranje kod kojeg se premijske uplate vrše 𝒎 puta godišnje

U ovom delu analiziraju se sve navedene vrste osiguranja u delovima 5.1.1. do 5.1.5, ali se pretpostavlja da se premijske uplate vrše 𝑚 puta u toku godine. Tada su formule za premijske uplate doživotnog osiguranja, osiguranja sa rokom od 𝑛 godina, osiguranja doživljenja i mešovitog osiguranja, respektivno:

𝑃𝑥(𝑚) =

𝐴𝑥

�̈�𝑥(𝑚), (5.1.20)

𝑃�̂�:𝑛˥(𝑚) =

𝐴�̂�:𝑛˥

�̈�𝑥:𝑛˥(𝑚) , (5.1.21)

𝑃𝑥:𝑛˥̂

(𝑚)=

𝐴𝑥:𝑛˥̂

�̈�𝑥:𝑛˥(𝑚) , (5.1.22)

85

𝑃𝑥:𝑛˥(𝑚) = 𝑃�̂�:𝑛˥

(𝑚) + 𝑃𝑥:𝑛˥̂

(𝑚). (5.1.23)

Uslov ekvivalentnosti se radi analogno prethodnim ugovorima o osiguranju, pri čemu je broj premijskih uplata tokom godine jednak 𝑚. Shodno tome, mogu se kodirati i ove formule. U skladu sa tim, ponavlja se postupak i primenjuju već kodirane jednakosti iz dela (4.2.3) i poglavlja (2.1).

5.2. Opšti tipovi životnog osiguranja

Neka je 𝑐𝑗 suma osiguranja koja se isplaćuje na kraju 𝑗-te godine trajanja polise

osiguranja, ukoliko u toj godini nastupi smrt osiguranika. Neka osiguranik izvršava premijske uplate 𝛱0, 𝛱1, 𝛱2, … , 𝛱𝐾 u trenucima 0,1,2, … , 𝐾, redom. Tada je gubitak osiguravajuće kompanije

𝐿 = 𝑐𝑘+1𝑣𝐾+1 − ∑ 𝛱𝑘𝑣

𝑘𝐾𝑘=0 . (5.2.1)

Na osnovu uslova ekvivalentnosti slede formule za izračunavanje premijskih uplata

0 = 𝐸𝐿 ⇔∑ 𝑐𝑘+1𝑣𝑘+1ₖ𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑘

∞

𝑘=0= ∑ 𝛱𝑘𝑣

𝑘ₖ𝑝𝑥∞𝑘=0 . (5.2.2)

Ovaj slučaj je, ustvari, uopštenje mnogih specijalnih slučajeva životnog osiguranja. Na primer, neka je 𝑐𝑗 = 1, 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 i 𝑐𝑗 = 0, 𝑗 = 𝑛 + 1, 𝑛 + 2,… ,

𝛱0 = 𝛱1 = 𝛱2 = ⋯ = 𝛱𝑛−1 = 𝑃𝑥:𝑛˥, 𝛱𝑛 = −1, 𝛱𝑘 = 0, 𝑘 ≥ 𝑛 + 1. (5.2.3)

Tada je 𝐿 gubitak osiguravača koji je sklopio ugovor o mešovitom osiguranju sa godišnjom neto premijom 𝑃𝑥:𝑛˥.

5.3. Povraćaj premija

U praksi se sklapa veliki broj ugovora o osiguranju. Ti ugovori pripadaju različitim vrstama. U skladu sa tim, nije praktično računati za svaki od njih neto premiju. Rešenje ovog problema je računanje mogućeg gubitka 𝐿, a zatim primena uslova ekvivalentnosti, odnosno ispitivanje pod kojim uslovima važi 𝐸𝐿 = 0. Ovaj slučaj se prikazuje na primeru.

Primer: Zaključuje se ugovor o mešovitom osiguranju, pri čemu postoji jedan specifičan uslov. Suma osiguranja se isplaćuje nakon 𝑛 godina, ali ako smrt osiguranika nastupi pre trenutka 𝑛, uplaćene premije se vraćaju bez kamate. Koliko iznosi godišnja neto premija, ako premija koja je naplaćena premaši godišnju neto premiju za 40%? (Ovih 40% se koristi za pokrivanje troškova)

Neka je sa 𝑃 označena godišnja neto premija. Gubitak osiguravača je

𝐿 = {(𝐾 + 1)(1.4𝑃)𝑣𝐾+1 − 𝑃�̈�𝐾+1˥, 𝐾 = 0,1, … , 𝑛 − 1,

𝑣𝑛 − 𝑃�̈�𝑛˥, 𝐾 = 𝑛, 𝑛 + 1, 𝑛 + 2,… . (5.3.1)

86

Primenjujući uslov ekvivalentnosti, tražena premija je

1.4𝑃 · (𝐼𝐴)�̂�:𝑛˥ + 𝐴𝑥:𝑛˥̂ − 𝑃�̈�𝑥:𝑛˥ = 0 ⇔ 𝑃 =𝐴𝑥:𝑛˥̂

�̈�𝑥:𝑛˥−1.4(𝐼𝐴)�̂�:𝑛˥, (5.3.2)

gde je (𝐼𝐴)�̂�:𝑛˥ jednokratna neto premija standardnog rastućeg osiguranja sa rokom, 𝐴𝑥:𝑛˥̂ jednokratna neto premija osiguranja doživljenja i �̈�𝑥:𝑛˥ jednokratna neto premija prenumerato rente sa rokom.

Ova premija za osobu starosti 56 godina i parametrom doživljenja od 20 godina je 0.0407173 jedinica valute (Slika 5.6).

Slika broj 5.6: Povraćaj premija.

87

Glava 6

Neto premijske rezerve

Neka se polisa osiguranja finansira periodičnim premijskim uplatama. U trenutku sklapanja ugovora o osiguranju proverava se uslov ekvivalentnosti, odnosno zahteva se da očekivana sadašnja vrednost budućih premijskih uplata bude jednaka očekivanoj sadašnjoj vrednosti isplate sume osiguranja. Očekivani gubitak, u tom slučaju, jednak je nuli. Odnos budućih isplata sume osiguranja i budućih premijskih uplata se tokom vremena gubi. Zbog toga se definiše slučajna promenljiva ₜ𝐿 u trenutku 𝑡, kao razlika između sadašnje vrednosti budućih isplata sume osiguranja i sadašnje vrednosti budućih premijskih uplata. Neka je 𝑇 >𝑡 i ₜ𝐿 nije identički jednako nuli. Neto premijska rezerva u trenutku 𝑡 je uslovno očekivanje slučajne promenljive ₜ𝐿 pod uslovom 𝑇 > 𝑡, odnosno

ₜ𝑉 = 𝐸(ₜ𝐿| 𝑇 > 𝑡).

Neto premijska rezerva treba biti bar nenegativna, ali da još uvek postoji zainteresovanost za sklapanje ugovora o osiguranju. Sledi da će očekivana vrednost budućih isplata sume osiguranja premašiti očekivanu vrednost svih premijskih uplata. Kako bi nadoknadio razliku, osiguravač treba posedovati dovoljno novčanih sredstava, odnosno obezbediti ₜ𝑉.

6.1. Neto premijske rezerve u doživotnom osiguranju

Posmatra se doživotno osiguranje sa jediničnom sumom osiguranja, koja se isplaćuje

na kraju godine nastupanja smrti osiguranika. Neto premija se uplaćuje na početku svake

godine trajanja ugovora u iznosu 𝑃𝑥. Rezerva neto premije ovog ugovora u trenutku 𝑘 je

ₖ𝑉𝑥 = 𝐴𝑥+𝑘 − 𝑃𝑥�̈�𝑥+𝑘, (6.1.1)

gde su 𝐴𝑥+𝑘 i �̈�𝑥+𝑘 jednokratna neto premija doživotnog osiguranja i doživotna prenumerato

renta za osobu starosti 𝑥 + 𝑘, respektivno.

Slika broj 6.1: Neto premijska rezerva u slučaju doživotnog osiguranja.

Osoba starosti 45 godina sklopila je ugovor o doživotnom osiguranju sa jediničnom

sumom osiguranja, pri čemu se premija uplaćuje periodično. Posle 20 godina, neto premijska

rezerva iznosi 0.415095 jedinica valute, što predstavlja razliku koja se napravila između

sadašnje vrednosti budućih isplata sume osiguranja i sadašnje vrednosti budućih premijskih

uplata (Slika 6.1).

88

Za 𝐴𝑥+𝑘 = 1 − ⅆ�̈�𝑥+𝑘 (4.1.7) sledi

ₖ𝑉𝑥 = 1 − (𝑃𝑥 + ⅆ)�̈�𝑥+𝑘, (6.1.2)

što znači da je neto premijska rezerva jednaka osiguranoj sumi, umanjenoj za očekivanu

sadašnju vrednost budućih premija i neiskorišćene kamate.

Iz (6.1.1) i 𝑃𝑥+𝑘�̈�𝑥+𝑘 = 𝐴𝑥+𝑘, (5.1.3) sledi:

ₖ𝑉𝑥 = (1 −𝑃𝑥

𝑃𝑥+𝑘)𝐴𝑥+𝑘, (6.1.3)

ₖ𝑉𝑥 = (𝑃𝑥+𝑘 − 𝑃𝑥)�̈�𝑥+𝑘. (6.1.4)

Ako osiguranik starosti 𝑥 + 𝑘 sklopi ugovor o doživotnom osiguranju, godišnja neto

premija bi iznosila 𝑃𝑥+𝑘. Iz (6.1.4) sledi da neto premijska rezerva jeste očekivana sadašnja

vrednost razlike koja se javlja u isplati premija.

Ako je �̈�𝑥+𝑘 =1

𝑃𝑥+𝑘+ⅆ, tada

ₖ𝑉𝑥 =𝑃𝑥+𝑘−𝑃𝑥

𝑃𝑥+𝑘+ⅆ. (6.1.5)

6.2. Promene ugovora o doživotnom osiguranju

Tehnički, rezerva neto premije pripada osiguraniku. Ona se može koristiti za finansiranje nekih promena u samoj polisi osiguranja.

Neka su osiguravajuća kompanija i osoba starosti 𝑥 godina sklopili ugovor o doživotnom osiguranju sa jediničnom sumom osiguranja i godišnjim neto premijama 𝑃𝑥. Pretpostavlja se da je osiguranik živ na početku 𝑘-te godine od trenutka sklapanja ugovora, ali iz opravdanih razloga ne može dalje uplaćivati premije. Tada se, na osnovu (6.1.3), rezerva neto premije ₖ𝑉𝑥 može smatrati jednokratnom neto premijom doživotnog osiguranja sa osiguranom sumom

ₖ𝑉𝑥

𝐴𝑥+𝑘= 1 −

𝑃𝑥

𝑃𝑥+𝑘. (6.2.1)

Slika broj 6.2: Promene ugovora o doživotnom osiguranju.

Osoba starosti 45 godina je sklopila ugovor o doživotnom osiguranju sa jediničnom sumom osiguranja i periodičnom neto premijom. Međutim, osiguranik nakon 20 godina ne može više uplaćivati neto premije, pa će se time ugovor promeniti. Sada će osigurana suma biti 0.599868 jedinica valute. Sledi da u trenutku nastupanja smrti osiguranika, osiguravajuća

89

kompanija neće isplatiti jedinicu valute, već novu osiguranu sumu. Za takvu promenu će platiti jednokratno neto premiju u iznosu 0.415095 jedinica valute u trenutku promene ugovora, koja pokriva rezerve prethodne neto premije (Slika 6.2).

Ovaj tip promene polise životnog osiguranja na osiguranje koje se isplaćuje do smrti osiguranika, a nije potrebno do kraja plaćati premije se naziva paid-up osiguranje.

Promene ugovora o osiguranju su česte u slučajevima mešovitog životnog osiguranja, kada su neto premijske rezerve prilično velike.

Vrsta osiguranja poznata kao “univerzalno životno” ili “fleksibilno životno” osiguranje, koju omogućava savremena obrada podataka, pruža osiguraniku najveći mogući stepen fleksibilnosti. Naime, osiguranik može da podešava parametre polise osiguranja periodično (npr. na godišnjem nivou). Osiguranik koji ima premijsku rezervu ₖ𝑉 u trenutku 𝑘 može promeniti bilo koji od navedenih parametara:

- 𝛱𝑘, naredna premija koju treba da plati,

- 𝑐𝑘+1, suma osiguranja u slučaju smrti osiguraniku u narednoj godini,

- ₖ₊₁𝑉, planirana vrednost štednje osiguranika u narednoj godini.

Osiguranik sklapanjem univerzalnog životnog osiguranja odlučuje o visini premije za sledeću godinu, kao i o raspodelama premije u korist štednje i sume osiguranja. Obično se osiguraniku daju neka ograničenja kako ne bi napravio pogrešan ili po njega štetan izbor. Ograničenje može biti da suma osiguranja u narednoj godini ne bi trebalo da bude veća od trenutne sume osiguranja.

6.3. Neto premijske rezerve mešovitog osiguranja

Posmatra se ugovor o mešovitom osiguranju sa rokom od 𝑛 godina, jediničnom sumom osiguranja koja se isplaćuje na kraju 𝑛-te godine, ako osiguranik živi više od 𝑛 godina, ili na kraju godine u kojoj je nastupila smrt osiguranika. Osiguranik plaća ugovor o osiguranju premijskim uplatama 𝑃𝑥:𝑛˥ na početku svake godine, ali ne duže od 𝑛 godina. Tada je neto premijska rezerva

ₖ𝑉𝑥:𝑛˥ = 𝐴𝑥+𝑘:𝑛−𝑘˥ − 𝑃𝑥:𝑛˥ �̈�𝑥+𝑘:𝑛−𝑘˥, 𝑘 = 0,1,2, … , 𝑛 − 1, (6.3.1)

gde je ₀𝑉𝑥:𝑛˥ = 0. 𝐴𝑥+𝑘:𝑛−𝑘˥ je jednokratna neto premija odgovarajućeg mešovitog osiguranja i �̈�𝑥+𝑘:𝑛−𝑘˥ jednokratna neto premija 𝑛 − 𝑘-togodišnje prenumerato rente.

Neto premijska rezerva 20 godina nakon sklapanja ugovora, za osiguranika starosti 45 godina, je veća ukoliko je sklopio ugovor o mešovitom osiguranju sa rokom od 40 godina, nego sa rokom od 55 godina. To je posledica dužeg roka ugovora o osiguranju (Slika 6.3).

90

Slika broj 6.3: Neto premijska rezerva u slučaju mešovitog osiguranja.

6.4. Neto premijske rezerve osiguranja sa rokom

Neka je sklopljen ugovor o osiguranju sa rokom od 𝑛 godina, jediničnom sumom osiguranja koja se isplaćuje na kraju godine nastupanja smrti osiguranika, ako do toga dođe u tih 𝑛 godina. Osiguranik plaća neto premije 𝑃�̂�:𝑛˥ na početku svake godine, ali ne više od 𝑛 godina. Odgovarajuća neto premijska rezerva je

ₖ𝑉�̂�:𝑛˥ = 𝐴𝑥+�̂�:𝑛−𝑘˥ − 𝑃�̂�:𝑛˥ �̈�𝑥+𝑘:𝑛−𝑘˥, 𝑘 = 0,1,2, … , 𝑛 − 1, (6.4.1)

gde su 𝐴𝑥+�̂�:𝑛−𝑘˥ i �̈�𝑥+𝑘:𝑛−𝑘˥ jednokratna neto premija osiguranja sa rokom i jednokratna neto premija 𝑛 − 𝑘-togodišnje prenumerato rente, respektivno.

Slika broj 6.4: Neto premijska rezerva u slučaju osiguranja sa rokom.

Osiguravajuća kompanija je za ugovor o osiguranju sa rokom 40 godina i osiguranikom starosti 45 godina odvojila rezerve neto premija u iznosu 0.317842 jedinica valute, 20 godina nakon sklapanja ugovora o osiguranju (Slika 6.5).

Postoje i druge vrste životnog osiguranja, kao što je višestruko osiguranje, o kome ovde neće biti reči. Višestruko osiguranje podrazumeva osiguranje života kod više osiguravača.

Mogu se odrediti i neto premijske rezerve neprekidnog modela, nekih standardnih tipova životnog osiguranja, kada su potrebne i dodatne pretpostavke o isplatama sume osiguranja i premijskih uplata. Međutim, u ovom radu to neće biti analizirano.

91

Glava 7

Troškovi opterećenja

Ugovore o osiguranju prate različite vrste troškova, kao što su:

• troškovi nabavke,

• troškovi naplate i

• troškovi administracije.

Svaki od ovih troškova može znatno uticati na ugovor, a samim tim i na zainteresovanost za sklapanje istog.

Troškovi nabavke obuhvataju sve one troškove u vezi sa sklapanjem ugovora o osiguranju (lekarski pregled, pisanje polise, agencijske provizije i putni troškovi,…). Ovi troškovi se naplaćuju u sklopu polise kao jedinstveni iznos koji je proporcionalan stopi 𝛼 u odnosu na sumu osiguranja.

Troškove naplate osiguranik uplaćuje na početku svake godine u kojoj uplaćuje i premiju, i njihov iznos je proporcionalan stopi β u odnosu na premiju osiguranja.

Svi ostali troškovi spadaju u grupu troškova administracije (stanarine, plate, porezi,…), i oni su proporcionalni u odnosu na stopu 𝛾, a uglavnom su uključeni u anuitetske isplate vezane za sumu osiguranja.

Stope 𝛼, 𝛽 i 𝛾 zavise od vrste ugovora o osiguranju.

7.1. Premija opterećena troškovima

Premija opterećena troškovima 𝑷𝒂 je iznos godišnje premije čija je očekivana sadašnja vrednost dovoljna da se pokriju isplate sume osiguranja i nastali troškovi polise osiguranja. Tada je

𝑃𝑎 = 𝑃 + 𝑃𝛼 + 𝑃𝛽 + 𝑃𝛾 , (7.1.1)

gde je 𝑃 neto godišnja premija, a 𝑃𝛼 , 𝑃𝛽 , 𝑃𝛾 su navedeni troškovi opterećenja.

Kod ugovora o mešovitom osiguranju sa rokom od 𝑛 godina, jediničnom sumom osiguranja koja se isplaćuje na kraju godine nastupanja smrti osiguranika starosti 𝑥, ako smrt nastupi u roku od 𝑛 narednih godina, osiguranik na početku svake godine svog života, ne duže od 𝑛 godina, uplaćuje premije opterećene troškovima 𝑃𝑥:𝑛˥

𝑎 . Ta premija zadovoljava uslov

𝑃𝑥:𝑛˥𝑎 ⋅ �̈�𝑥:𝑛˥ = 𝐴𝑥:𝑛˥ + 𝛼 + 𝛽 · 𝑃𝑥:𝑛˥

𝑎 ⋅ �̈�𝑥:𝑛˥ + 𝛾 · �̈�𝑥:𝑛˥. (7.1.2)

Sledi

92

𝑃𝑥:𝑛˥𝑎 =

𝐴𝑥:𝑛˥+𝛼+𝛾·�̈�𝑥:𝑛˥

(1−𝛽)�̈�𝑥:𝑛˥. (7.1.3)

Slika broj 7.1: Premija opterećena troškovima.

Na Slici 7.1 se primenom koda primećuje znatna razlika između premije koja je opterećena troškovima, 0.0739138 jedinica valute, i neto premije, 0.0491214. Sledi da će troškovi koji nastaju biti pokriveni ovom većom premijom.

Za ugovore o odloženom doživotnom osiguranju sa uplatama premije opterećene troškovima, troškovi nabavke su obuhvaćeni premijskim uplatama, a ne sumom osiguranja. To omogućava osiguravaču da nadoknadi troškove u periodu odlaganja pre nego što nastupi smrt osiguranika.

7.2. Rezerve premija opterećenih troškovima

Rezerva premije koja je opterećena različitim troškovima je

ₖ𝑉𝑎 = ₖ𝑉 + ₖ𝑉𝛼 + ₖ𝑉𝛾, (7.2.1)

gde je ₖ𝑉 rezerva neto premije, ₖ𝑉𝛼 rezerva premije namenjena troškovima nabavke, odnosno 𝑃𝛼, i ₖ𝑉𝛾 su rezerve namenjene pokrivanju troškova administracije. Poslednja navedena rezerva je razlika očekivanih sadašnjih vrednosti troškova administracije i 𝑃𝛾. Za velike vrednosti stope 𝛼, u prvim godinama ugovora o osiguranju rezerve premije namenjene troškovima nabavke, ₖ𝑉𝛼, mogu biti negativne.

Kada se govori o osiguranju sa rokom od 𝑛 godina, pri čemu su premije opterećene troškovima, važi

93

ₖ𝑉𝑥:𝑛˥𝛼 = −𝑃𝛼 · �̈�𝑥+𝑘:𝑛−𝑘˥ = −𝛼 ·

�̈�𝑥+𝑘:𝑛−𝑘˥

�̈�𝑥:𝑛˥= −𝛼(1 − ₖ𝑉𝑥:𝑛˥), (7.2.2)

dok je ₖ𝑉𝛾 = 0, 𝑘 = 1,2, … , 𝑛, pri čemu je ₖ𝑉𝑥:𝑛˥ neto premijska rezerva odgovarajućeg ugovora o osiguranju.

Sledi da je tražena premijska rezerva

ₖ𝑉𝑥:𝑛˥𝑎 = (1 + 𝛼)ₖ𝑉𝑥:𝑛˥ − 𝛼. (7.2.3)

Slika broj 7.2: Rezerva premije koja je opterećena troškovima, osiguranje sa rokom.

Neka je osoba starosti 45 godina sklopila ugovor o osiguranju sa rokom od 40 godina. Nakon 20 godina od trenutka sklapanja ugovora, osiguravač će izdvojiti rezerve neto premije 0.317842 jedinica valute. Za rezerve premije opterećene troškovima sa stopom 3% troškova nabavke, odvaja se 0.297378 jedinica valute. Osiguravajućoj kompaniji će biti potrebno manje rezervi za premije opterećene troškovima, jer će osiguranik pokrivati te troškove svojim premijama (Slika 7.2).

94

ZAKLJUČAK

Osiguravajuće kompanije predlažu različite tipove osiguranja, sa različitim premijama

i sumama osiguranja, sa njihovim uplatama i isplatama na različite načine. Osiguraniku je

prepuštena odluka koji ugovor o osiguranju želi da sklopi sa osiguravačem. Svakako,

osiguranik treba analizirati svaki od parametara od kojih zavisi ugovor o osiguranju i predvideti

koji ugovor će najviše odgovarati njegovim očekivanjima. U ovom radu je naveden veliki broj

ugovora o životnom osiguranju, i načini na koje parametri utiču na ugovor.

U prvom delu ovog rada navedeni su relevantni podaci bez kojih osiguravajuće

kompanije ne bi mogle da posluju, kao što su tablice mortaliteta. U nastavku je analiziran veliki

broj ugovora o osiguranju. Najpre, analizirani su ugovori o osiguranju sa jednokratnom neto

premijom i jednokratnom isplatom sume osiguranja. U Glavi 3 definisane su finansijske rente

koje su bile neophodne za analizu životnih renti, kao tipu finansijskih renti čije trajanje je

slučajna promenljiva koja zavisi od preostalog životnog veka osiguranika. Ugovori o osiguranju

čija se suma osiguranja isplaćuje u vidu rente, a premija uplaćuje jednokratno, obrađeni su

pod nazivom životnih renti. Drugačiji tip osiguranja, ugovori sa isplatom sume osiguranja

jednokratno i premijskim uplatama analizirani su u Glavi 5. Takvi ugovori o osiguranju

omogućuju osiguraniku uplaćivanje neto premije periodično, što je često za njega velika

prednost.

Kako osiguravajuće kompanije mogu poslovati sa gubitkom, neophodno je predvideti

isti. Predviđanjem gubitka, osiguravajuće kompanije odvajaju novčana sredstva namenjene

rezervama kojim bi nadomestili eventualne nedostatke. Međutim, rezerve ne prevazilaze

određene granice, kako bi osiguranici i dalje bili zainteresovani za sklapanje ugovora o

osiguranju.

Premije opterećene troškovima ili bruto premije, obrađene u Glavi 7, se češće javljaju

u praksi, nego što je to slučaj sa neto premijama. Osiguravajuće kompanije sve moguće

troškove pripisuju uplatama premija od strane osiguranika. Na taj način, osiguravajuća

kompanija iznova može računati potrebne rezerve.

Posebno interesantna vrsta osiguranja je univerzalno životno osiguranje, definisano u

Glavi 6, kojim je osiguraniku dozvoljeno upravljati svojim predstojećim obavezama u odnosu

na ugovor. Osiguranik može predvideti narednu premijsku uplatu, narednu isplatu sume

osiguranja ili štednju koju će ostvariti u narednom periodu. Od osnovnih ugovora o osiguranju

je manje rizičnije ulagati u mešovito osiguranje, nego u osiguranje sa rokom i osiguranje

doživljenja istovremeno, zbog sigurne isplate sume osiguranja kod mešovitog ugovora o

osiguranju.

U razvijenim zemljama stanovništvo je shvatilo značaj životnog osiguranja. Životno

osiguranje nije luksuz, već potreba ljudi da osiguraju svoje živote. Ljudi u Srbiji ne pridaju

važnost toj vrsti osiguranja, i osiguranju generalno. Smatra se da je skupo osiguranje života,

ali minimalna cena te premije kod pojedinih osiguravača je oko 1.000 dinara. Idealan trenutak

za sklapanje ugovora o osiguranju ne postoji, međutim duže ulaganje u osiguranje, povlači

95

veći iznos štednje. Što je osoba starija, veća je verovatnoća nastupanja smrti, a samim tim i

premija osiguranja je veća.

Prednosti životnog osiguranja su:

• štednja za sigurniju budućnost,

• obezbeđivanje lične sigurnosti i sigurnosti svoje porodice,

• polisa životnog osiguranja, kao hartija od vrednosti, se može koristiti za obezbeđenje

vraćanja duga (vinkulacija, zaloga),

• učešće u dobiti društva za osiguranje, ukoliko ono dobro posluje i ako je to ugovoreno.

96

Literatura

[1] H. U. Gerber, Life Insurance Mathematics, Springer, 1997.

[2] Marija Milošević, Aktuarska matematika, autorizovana predavanja, Univerzitet u Nišu,

Prirodno-matematički fakultet, Niš

[3] D. Promislow, Fundamentals of Actuarial Mathematics, Second Edition, John Wiley &

Sons, Ltd, 2011.

[4] J. A. Veeh, Lecture Notes on Actuarial Mathematics, 2006.

97

Biografija

Aleksandra Bradić, devojačko Matić, rođena je 05.04.1995. godine u Nišu. Završila je

osnovnu školu „Stojan Novaković“ u Blacu, kao nosilac Vukove diplome. Zatim, završila je

srednju školu „Pravno-poslovna škola Niš“ u Nišu 2014. godine, takođe kao nosilac Vukove

diplome.

Osnovne akademske studije na Departmanu za matematiku Prirodno-matematičkog

fakulteta u Nišu upisala je školske 2014/15. godine i završila ih 2017. godine. Iste godine je

upisala master akademske studije na Prirodno-matematičkom fakultetu u Nišu, smer

Verovatnoća, statistika i finansijska matematika. Poslednji ispit položila je oktobra 2019.

godine.

98

ПРИРОДНO - MАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ

НИШ

КЉУЧНА ДОКУМЕНТАЦИЈСКА ИНФОРМАЦИЈА

Редни број, РБР:

Идентификациони број, ИБР:

Тип документације, ТД: монографска

Тип записа, ТЗ: текстуални / графички

Врста рада, ВР: мастер рад

Аутор, АУ: Александра Брадић

Ментор, МН: Јасмина Ђорђевић

Наслов рада, НР: ПРИМЕНА ПРОГРАМСКОГ ПАКЕТА МАТHEMATICA

У ТЕОРИЈИ ЖИВОТНОГ ОСИГУРАЊА

Језик публикације, ЈП: српски

Језик извода, ЈИ: енглески

Земља публиковања, ЗП: Р. Србија

Уже географско подручје, УГП: Р. Србија

Година, ГО: 2019.

Издавач, ИЗ: ауторски репринт

Место и адреса, МА: Ниш, Вишеградска 33.

Физички опис рада, ФО: (поглавља/страна/ цитата/табела/слика/графика/прилога)

97 стр

Научна област, НО: математика

Научна дисциплина, НД: примењена математика

Предметна одредница/Кључне речи, ПО: Таблица морталитета, животно осигурање,

премија, сума осигурања, резерве, трошкови

УДК 519.21

004.42

368.91/.914

Чува се, ЧУ: библиотека

Важна напомена, ВН:

99

Извод, ИЗ: У овом раду се генеришу таблице морталитета на

основу задатих расподела вероватноћа

преосталог животног века осигураника, применом

програмског пакета Mathematica. На основу

таблица и актуелне каматне стопе се одређују

сложеније актуарске функције. На тај начин се

стиче детаљнији увид у проблем одређивања

премија за различите типове животног осигурања,

као и за различите претпоставке о динамици

смртности популације којој припада клијент.

Поред тога, акценат је на разматрању утицаја

релевантних фактора (стопе смртности, каматне

стопе, захтева клијената) на поступке одређивања

премија животног осигурања.

Датум прихватања теме, ДП: 5.12.2018.

Датум одбране, ДО:

Чланови комисије, КО: Председник: др Миљана Јовановић

Члан: др Марија Крстић

Члан, ментор: др Јасмина Ђорђевић

100

ПРИРОДНО - МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ

НИШ

KEY WORDS DOCUMENTATION

Accession number, ANO:

Identification number, INO:

Document type, DT: Monograph

Type of record, TR: textual / graphic

Contents code, CC: master thesis

Author, AU: Aleksandra Matić

Mentor, MN: Jasmina Đorđević

Title, TI: APPLICATION OF MATHEMATICA SOFTWARE PACKAGE

IN LIFE INSURANCE THEORY

Language of text, LT: Serbian

Language of abstract, LA: English

Country of publication, CP: Republic of Serbia

Locality of publication, LP: Serbia

Publication year, PY: 2019

Publisher, PB: author’s reprint

Publication place, PP: Niš, Višegradska 33.

Physical description, PD: (chapters/pages/ref./tables/pictures/graphs/appendixes)

97 p.

Scientific field, SF: mathematics

Scientific discipline, SD: applied mathematics

Subject/Key words, S/KW: Table of mortality, life insurance, payment, sum insured,

reserve, expense loadings

UC 519.21

004.42

368.91/.914

Holding data, HD: Library

Note, N:

101

Abstract, AB: In this thesis mortality tables are generated based on

given probability distributions of the remaining life of the

insured, using the Mathematica software package. Tables

and current interest rates determine more complex

actuarial functions. This provides a more detailed insight

into the problem of setting premiums for different types of

life insurance, as well as for different assumptions about

the mortality rate of the population to which the client

belongs. In addition, the focus is on considering the

impact of relevant factors (mortality rates, interest rates,

customer requirements) on life insurance premium pricing

procedures.

Accepted by the Scientific Board on, ASB: 5.12.2018.

Defended on, DE:

Defended Board, DB: President: dr Miljana Jovanović

Member: dr Marija Krstić

Member, Mentor: dr Jasmina Đorđević

u teoriji životnog osiguranja · 2019-10-25 · 1.3. tablice mortaliteta ... finansijske rente u...

Documents