u1 aed2 di_grafos_11
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13/09/2011
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DIGRAFOS
Karim Guevara Puente de la Vega
Algoritmos y Estructura de Datos II
UCSM - 2011
Agenda
Alg
oritm
os y
Est
ruct
ura
de D
atos
II
2
Digrafo DFS Dirigido Alcanzabilidad Fuertemente conexo Algoritmo fuertemente conexo
Clausura transitiva Floyd-Warshall: clausura transtiva Algoritmo Floyd-Warshall
Grafos ponderados Problema del camino más corto - ruta mínima Algoritmo de Dijkstra
DiGrafos
Alg
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os y
Est
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ura
de D
atos
II
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Es un grafo cuyas aristas son todas dirigidas
Propiedades Sea un grafo G=(V, E) tal que
cada arista va en una dirección
Si G es simple, m≤n(n-1)
Aplicaciones Planificación: Arista (a,b)
significa que la tarea a debe ser completada antes que la tarea b empiece
DFS Dirigido
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de D
atos
II
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Especialización de los algoritmos DFS y BFS, para recorrer un grafo a lo largo de la dirección de sus aristas
En el algoritmo DFS dirigido, se tiene cuatro tipos de aristas: arista discovery, back, fordward, cross
DFS dirigido determina a que vertices podemos llagar a partir de un vértice determinado s.
DFS Dirigido
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de D
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II
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Back edge(v,w) w es un ancestro de v en el árbol
de aristas descubiertas Forward edge(v,w)
v es un ancestro (pero no el padre) de w en el árbol de aristas descubiertas
Cross edge(v,w) w esta en el mismo nivel que v o
en el siguiente nivel en el árbol de aristas descubiertas
Discovery edge(v,w) v es el padre de w en el árbol de
aristas descubiertas
Back edgeForward edgeCross edgeDiscovery edge
Alcanzabilidad
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de D
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El árbol DFS con raíz en v: Vértices alcanzables a partir de v vía las rutas dirigidas
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Fuertemente conexo
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de D
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Un dígrafo G es fuertemente conexo, si para cualquier par de vértices u y v de G, u es alcanzable desde v, y viceversa
Cada vértice es alcanzable desde todos los vértices
Algoritmo fuertemente conexo
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de D
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Elija un vértice v en G Realizar DFS desde v
Si hay algún vértice w no visitado, imprimir “no”
Sea G’ el grafo G con los vértices invertidos Realizar DFS desde v in G’ si hay un w no visitado, imprimir
“no” sino, imprimir “si”
Tiempo de ejecución: O(n+m)
Clausura transitiva
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de D
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II
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Dado un dígrafo G, la clausura transitiva de G es el dígrafo G* tal que: G* tiene los mismos vértices
que G Si G tiene una ruta dirigida
de u a v (u≠v), G* tiene una arista dirigida desde u a v
La clausura transitiva provee información de la alcanzabilidad del dígrafo
Cálculo de la Clausura Transitiva
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Se puede realizar DFS iniciando en cada vértice O(n(n+m))
Alternativamente… aplicar Programación dinámica: Algoritmo Floyd-Warshall
Si hay un camino desde Aa B y de B a C,
entonces hay un camino desde A
a C
Floyd-Warshall: Clausura Transitiva
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Idea 1: número de vértices 1,2, …, n Idea 2: considerar las rutas que use solamente los
vértices 1,2, …, k como vértices intermedios
Floyd-Warshall
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de D
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En v1
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Floyd-Warshall
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de D
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En v1
En v2
Floyd-Warshall
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de D
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II
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En v3
En v2
Floyd-Warshall
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de D
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II
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En v3
En v4
Floyd-Warshall
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de D
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En v4
En v5
Floyd-Warshall
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de D
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En v5
En v6
Floyd-Warshall
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de D
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En v6
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Floyd-Warshall
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de D
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En v7
Algoritmo de Floyd-Warshall
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de D
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II
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Numera los vértices de G: v1, …, vn y calcula una serie de digrafos G0, …, Gn
G0 = G Gk tiene una arista dirigida (vi,
vj) si G tiene una ruta dirigida desde vi a vj con vértices intermedios en el conjunto {v1,…,vk}
Se tiene que Gn = G* En la fase k, el digrafo Gk es
calculado desde Gk-1
Tiempo de ejecución: O(n3), asumiendo que areAdjacent es O(1)
RUTAS MINIMAS
Karim Guevara Puente de la Vega
Algoritmos y Estructura de Datos II
UCSM - 2011
Grafos Ponderados
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de D
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Un grafo ponderado es aquel, en donde cada una de las aristas tiene un valor asociado, denominado peso.
Este peso puede representar: distancias, costos, etc. P.e.:
Problema del camino más corto
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de D
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Dado un grafo ponderado y dos vértices u y v, encontrar el camino con el menor peso que hay entre u y v. P.e.: el camino más corto entre PVD y HNL Aplicaciones: Enrutamiento de paquetes en internet Reservaciones de vuelos
Problema del camino más corto
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de D
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II
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Propiedad: Una subruta de una ruta corta es por si misma una ruta corta
Una fuente de rutas cortas: Dado un grafo ponderado G y un vértice s de G, las rutas más
cortas de s a cada uno de los otros vértices los encontraremos en un árbol.
P.e.: el árbol de rutas cortas desde Providence (PVD)
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Algoritmo de Dijkstra
Alg
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de D
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II
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El más famoso de los algoritmos para el cálculo del camino de costo mínimo.
Escoge un vértice como raíz de la búsqueda. Luego calcula el costo mínimo para todos los demás
vértices. Puede ser usado en grafos dirigidos y no dirigidos.
Algoritmo de Dijkstra
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oritm
os y
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de D
atos
II
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Funcionamiento del algoritmo: Sea PERM el conjunto que contiene inicialmente el vértice
raíz s. PERM contiene todos los vértices para los cuales ya fueron
determinados los menores caminos usando apenas vértices en PERM.
Para cada vértice z fuera de PERM mantenemos la menor distancia en D[z] de s a z.
Es necesario almacenar también el vértice adyacente (precedente) a z en path[z].
Algoritmo de Dijkstra
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de D
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II
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Funcionamiento del algoritmo (cont.): Se toma el vértice (de los que aún no están en PERM) con la
menor distancia D. Este vértice es adicionado a PERM, lo llamaremos current, y
se recalculan las distancias (D) para los vértices adyacentes a él y que no estén en PERM.
D[z] = min(D[z], D[z]+peso) Puede haber un camino menor a partir de s pasando por el
vértice current Si hay un camino más corto se necesita actualizar path[z]
Algoritmo de Dijkstra
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os y
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de D
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II
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P.e.:1. Se define el nodo origen (s) y se lo incluye en PERM. Se
atribuye cero a su distancia, el resto tiene distancia infinita ().
vértice PERM D path
s si 0 -
u no -
x no -
v no -
y no -
Algoritmo de Dijkstra
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de D
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II
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P.e.:2. A partir de s se calculan las distancias de los vértices
adyacentes (u y x). A estos les llamaremos z:if ( D[z] > D[s] + peso(s,z)){
D[z] = D[s] + peso(s,z);path[z] = s;
}
vértice PERM D path
s si 0 -
u no 10 s
x no 5 s
v no -
y no -
Algoritmo de Dijkstra
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oritm
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Est
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de D
atos
II
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P.e.:3. Entre los vértices que no pertenecen a PERM se escoge el de
menor distancia (x).
vértice PERM D path
s si 0 -
u no 10 s
x no 5 s
v no -
y no -
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Algoritmo de Dijkstra
Alg
oritm
os y
Est
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de D
atos
II
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P.e.:4. Incluir a x en PERM y a partir de x se consultan los vértices
adyacentes a él que no estén en PERM (y, u y v), y se recalculan sus distancias.
vértice PERM D path
s si 0 -
u no 8 x
x si 5 s
v no 14 x
y no 7 x
Algoritmo de Dijkstra
Alg
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os y
Est
ruct
ura
de D
atos
II
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P.e.:5. Entre todos los vértices que no pertenecen a PERM se escoge el
de menor distancia (y).
vértice PERM D path
s si 0 -
u no 8 x
x si 5 s
v no 14 x
y no 7 x
Algoritmo de Dijkstra
Alg
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os y
Est
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ura
de D
atos
II
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P.e.:6. Se incluye y en PERM y a partir de y se consultan los vértices
adyacentes a él que no están en PERM (v), calcular sus distancias.
vértice PERM D path
s si 0 -
u no 8 x
x si 5 s
v no 13 y
y si 7 x
Algoritmo de Dijkstra
Alg
oritm
os y
Est
ruct
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de D
atos
II
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P.e.:7. Entre todos los vértices que no están en PERM se escoge el de
menor distancia (u).
vértice PERM D path
s si 0 -
u no 8 x
x si 5 s
v no 13 y
y si 7 x
Algoritmo de Dijkstra
Alg
oritm
os y
Est
ruct
ura
de D
atos
II
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P.e.:8. Se incluye u a PERM y a partir de u se consultan los vértices
adyacentes a él que no estén en PERM para calcular sus distancias.
vértice PERM D path
s si 0 -
u si 8 x
x si 5 s
v no 9 u
y si 7 x
Algoritmo de Dijkstra
Alg
oritm
os y
Est
ruct
ura
de D
atos
II
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P.e.:9. Entre todos los vértices que no están en PERM se escoge el de
menor distancia (v).
vértice PERM D path
s si 0 -
u si 8 x
x si 5 s
v no 9 u
y si 7 x
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Algoritmo de Dijkstra
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os y
Est
ruct
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de D
atos
II
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P.e.:10. Finalmente v es incluido en PERM. En este punto todos los
vértices están en PERM y la búsqueda finaliza.
vértice PERM D path
s si 0 -
u si 8 x
x si 5 s
v si 9 u
y si 7 x
Algoritmo de Dijkstra
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Extensión del algoritmo Dijkstra
Alg
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os y
Est
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Se puede extender el algoritmo de Dijkstrapara retornar el árbol de rutas cortas desde un vertice inicial a todos los otros vértices.
Se almacena con cada vértice z etiquetas que permitan seguir el camino de regreso (la arista antecesora en el arbol):
Arreglo P[z].
Algorithm DijstraShortestPathsTree(G,s). . .for all v G.vertices(). . .
P[v] = . . .
whileQ.isEmpty()uQ.removeMin()for each vertex z adjacent to n such
that z is in Qif D[z] > D[u]+weight(u,z) then
D[z] D[u]+weight(u,z)change to D[z] the key of z in QP[z] edge(u,z)