Sumatoria y progresiones474

3. Σi = 1

n

k μi = k μiΣi = 1

n

k = constante

4. Σi = 1

n

(μi – μi – 1) = μn – μo (propiedad telescópica)

Ejercicios resueltos

5. Algunas sumas importantes y de uso frecuente:

a) Σi = 1

n

i = 1 + 2 + 3 + ... + n =

b) Σi = 1

n

i2 = 1 + 4 + 9 + ... + n2 =

c) Σi = 1

n

i3 = 1 + 8 + 27 + ... + n3 = n n + 1

2

2

Observación:

Sean m y n números naturales tales que m £ n, entonces:

μiΣ

i = m

n

= μiΣi = 1

n

– μiΣi = 1

m – 1

1. Desarrollar las sumatorias:

a) Σi = 1

n

(– 1)i – 1 (i2 + 1) b) k – 1

k + 1Σ

k = 1

∞

Solución:

a) 2 – 5 + 10 – 17 + 26 – ... + (– 1)n – 1 (n2 + 1)

b) 0 +1

3+

2

4+

3

5+

4

6+...

2. Calcular el valor de Σi = 1

12

(i – 1) (i + 1)

Solución:

(i – 1) (i + 1) = i2 – 1

Σi = 1

12

(i – 1) (i + 1) = Σi = 1

12

(i2 – 1) = Σi = 1

12

i2 – Σi = 1

12

1

= 12 12 + 1 2 • 12 + 1

6– 1 • 12

= 12 • 13 • 25

6 – 12 = 638

Se aplicó la fórmula

i2Σi = 1

n

=n n + 1 2n + 1

6

n(n +1)2

n n + 1 2n + 1

6

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Sumatoria y progresiones 475

CAPÍTULO 12

3. Calcular la suma de los n primeros términos de:

1 • 6 + 2 • 7 + 3 • 8 + 4 • 9 +...

Solución: Observando los términos de la suma nos damos cuenta que

el término general es ai = i (i + 5); por lo tanto, la suma se expresa como:

i i + 5Σi = 1

n

= i2 + 5 iΣi = 1

n

= i2 + 5Σi = 1

n

iΣi = 1

n

= n n + 1 2n + 1

6+ 5

n n + 1

2

= n3 + 9 n2 + 8 n

3

4. Calcular el valor de: k + 1 2 k – 3Σk = 5

12

Solución:

Sabemos que: μk = μkΣk = 1

n

– μkΣk = 1

m – 1

Σk = m

n

y (k + 1) (2 k – 3) = 2 k2 – k – 3, luego

k + 1 2 k – 3 = 2 k2 – k – 3 – 2 k2 – k – 3Σk = 1

4

Σk = 1

12

Σk = 5

12

= 2 k2 – k – 3Σk = 1

12

– 2 k2Σk = 1

4

+ kΣk= 1

4

+ 3Σk = 1

4

Σk = 1

12

Σk = 1

12

= 2 •12 • 13 • 25

6–

12 • 13

2– 3 • 12 – 2 •

4 • 5 • 9

6+

4 • 5

2+ 3 • 4 =

= 1.300 – 78 – 36 – 60 + 10 + 12 = 1.148

\ k + 1 2 k – 3 = 1.148Σk = 5

12

5. Si μi =n2 + 3 n

2Σi = 1

n, hallar μi

Solución:

μn = μiΣi = 1

n

– μiΣi = 1

n – 1

= n2 + 3 n

2–

n – 1 2 + 3 n – 1

2

= n2 + 3 n – n2 + 2 n – 1 – 3 n + 3

2=

2 n + 2

2= n + 1

Como μn = n + 1, entonces μi = i + 1

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