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UAIFacultad de Tecnología

InformáticaOrganización y Estructura de

DatosUnidad 4.2

Planeamiento y Planificación de Proyectos CPM

Prof. José Horacio Amorena

2008

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Introducción

Algunos Conceptos Básicos:• Proyecto: Sucesión de tareas en un determinado

orden.• Planeamiento: que debe hacerse y en que orden.• Programación: cuándo debe hacerse. • Control: verifica el Proyecto, Planeamiento y

Programación.

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IntroducciónP.E.R.T. y Gant - C.P.M.La creciente complejidad de la planificación, programación y control de la ejecución de un proyecto ha creado la necesidad de contar con técnicas que permitan encarar esas tareas en forma racional y eficiente y que a tales fines surgieron, merecen destacarse por su sencillez, efectividad y amplio campo de aplicación Gant - C.P.M. y P.E.R.T.En Gant - CPM se considera que la duración de cada una de las tareas que componen un determinado proyecto es determinada, mientras el PERT tiene un aspecto probabilístico, por lo tanto, se supone que dicha duración es aleatoria.

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Diagrama de GANTEs una de las técnicas mas utilizadas en la administración de proyectos y consiste en representar las tareas por medio de barras, cuya longitud es proporcional a la duración de las mismas y aun se lo sigue utilizando como complemento en el seguimiento de proyectos.• Ventajas: sencillez, facilidad de comprensión al

integrar gráficamente la planificación, la programación y el progreso del proyecto.

• Desventajas: no permite determinar el impacto de atraso o adelanto de alguna tarea sobre la fecha de terminación del proyecto, pues las tareas no están interrelacionadas.

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Diagrama de GANT

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Redes. Conceptos básicos• La red está formada por un conjunto de arcos (o

flechas) orientadas.• Dos o más arcos pueden tener un vértice (o nodo).• Dos arcos son adyacentes si el vértice final del

primero es el vértice inicial del segundo.

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Redes. Conceptos básicos• Un camino es una sucesión de arcos adyacentes que

permiten pasar de un vértice a otro.

camino 1 = {(A,B),(B,E)}camino 2 = {(A,B),(B,C),(C,D),(D,E)}camino 3 = {(A,B),(B,D),(D,E)}

etc.

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Redes. Conceptos básicos• Si existe un camino del nodo I al nodo J , se dice

que: – I es nodo ascendente del nodo J– J es nodo descendente del nodo I

En la figura: B es ascendiente de C, D y E; D es descendiente de B y C.

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Redes. Conceptos básicos• Un circuito es un camino cuyo vértice inicial

coincide con el final.

Circuito 1 = {(A,B),(B,C),(C,A)}Circuito 2 = {(A,C),(C,A)}

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Problema lEl plan correspondiente a un proyecto dado, comprende 6(seis) actividades (a,b,c,d,e,f) tales que: a es la actividad inicial,

– b y d suceden a a, – c sucede a b y precede a e , – e sucede a c y precede a f, – f sucede a d y e y es la actividad final.

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Problema 1 (cont.)

Al identificar los nodos con números, las actividades quedan unívocamente determinadas por los números de los nodos inicial y final del arco correspondiente. Así, es indistinto hablar de la actividad a ó 1-2 actividad b ó 2-3, actividad c ó 3-4, actividad d ó 2-5, actividad e ó 4-5, actividad f ó 5-6El nodo 1 indica que se inicia el proyecto con el comienzo de la actividad a el nodo 2 indica el acontecimiento: fin de la actividad a y comienzo de las actividades b y d, el nodo 3 indica el fin de la actividad b y comienzo de la actividad c, etc.

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Matriz de procedenciasLa matriz de procedencias del problema 1 es la siguiente

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Reglas imperativas

Son necesarias para mantener exactitud y consistencia en la

presentación de la red.

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Reglas imperativas• Existe solo un acontecimiento (nodo) al que no concurre

ninguna actividad (arco), el acontecimiento inicial.• Existe solo un acontecimiento (nodo) del que no emerge

ninguna actividad (arco), el acontecimiento final.• Con excepción de las actividades inicial y final, todo

acontecimiento (nodo) tiene al menos una actividad (arco) que lo precede y una que lo sucede.

• Entre dos acontecimientos (nodos) existe a lo sumoa lo sumo una actividad (arco)

• No deben haber circuitos.• Un acontecimiento tiene lugar (un nodo es alcanzado) si y si y

solo sisolo si han concluido todas las actividades (arcos) que a él concurren.

• Una actividad puede comenzar si y solo sisi y solo si, se a producido el acontecimiento del cual parte.

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Reglas no imperativasSe refieren a la numeración de los nodos y han sido impuestas por la naturaleza de los procedimientos de procesamiento de datos.

– Los nodos se numeran con una sucesión de números naturales, generalmente a partir del que es asignado al nodo inicial.

– Un nodo se numera sólo cuando han sido numerados todos los nodos que son origen de los arcos que a él concurren.

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Actividades ficticiasAlgunas de las situaciones particulares que dan lugar al empleo de actividades ficticias son:

a) Actividades paralelas

Por ejemplo, sean 4 actividades a,b,c,d , tales que b y c pueden desarrollarse en paralelo y suceden a a, d sucede a b y c.•La regla 4 no se cumple.

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Actividades ficticiasb) Actividades dependientes e independientesSupongamos, la siguiente relación de orden entre 4 tareas: a,b,c,d donde:

c sucede a a y b

d sucede a a

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Acontecimientos a ser destacadosSupongamos que en un programa se desea resaltar que un acontecimiento muy importante debe tener lugar en una fecha dada y para ello se ha indicado dicha fecha en el nodo de la red correspondiente al acontecimiento en cuestión, según la primer figura. Sin embargo, el significado de esa fecha no queda suficientemente claro, pues puede representar la representación de la tarea c, la terminación de las tareas a y b, o el comienzo de la tarea c. Esto se aclara introduciendo actividades ficticias.

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Ordenamiento de la redLa red representativa del plan debe ser suficientemente clara. El método usado es de clasificación de “nodos” o “arcos” en niveles, donde veremos que:

• Los nodos del primer nivel, no tengan ascendientes. • Los nodos del último nivel no tengan descendientes.• Los nodos de un mismo nivel no tengan

ascendientes en el nivel siguiente.• Los nodos de un mismo nivel. no estén ligados entre

sí por arcos.

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Ordenamiento de la red (cont.)Clasificación de “nodos” en niveles

Problema 2Ordenar la siguiente red: El primer paso consiste en construir una matriz que resuma las procedencias (secuencias) inmediatas de los nodos de la red.

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Ordenamiento de la red (cont.)Ahora procedemos a sumar horizontalmente los 1 (uno) de las filas y su resultado se coloca en los casilleros de la columna X l. De la columna Xl, cuyo resultado sea 0 (cero), se anularán la fila que ocasiona ese cero, como también la columna que coincide con la letra de la fila antes dicha, no volviendo a incluirse en las operaciones siguientes.A continuación repetimos lo anterior usando las columnas X2 X3 … Xn

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Nodo Xl

Ordenamiento de la red (cont.)

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Nodo X2

Ordenamiento de la red (cont.)

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Nodo X3

Ordenamiento de la red (cont.)

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Nodo X4

Ordenamiento de la red (cont.)

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Nodo X5

Ordenamiento de la red (cont.)

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Nodo X6

Ordenamiento de la red (cont.)

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Ordenamiento de la red (cont.)

Nodo X7

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Ordenamiento de la red (cont.)

De la matriz podemos identificar: final inicio

nodos

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Ordenamiento de la red (cont.)Un primer orden resultante de la clasificación efectuada, es el de la figura:

La red ordenada resultante de la clasificación efectuada es el de la figura:

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Ordenamiento de la red (cont.)Clasificación de “arcos” en niveles

Volviendo al problema 2, en que los arcos han sido designados arbitrariamente, la red será:

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Ordenamiento de la red (cont.)La matriz que surge de los arcos será:

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Ordenamiento de la red (cont.)Comparando y aplicando las reglas imperativas 1 y 2:

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Programación: Método CPMSe denota con t(I,J) la duración de una actividad (I,J).La fecha esperada del. nodo inicial, FE (nodo inicial) es la que indica el instante inicial en la ejecución de un proyecto. Se supone que empieza en cero de tiempo relativo.La fecha esperada del nodo J, F(J), es la fecha en que se han completado todas las tareas que convergen al. nodo J y pueden comenzar todas las tareas que emergen de él. Luego:

 FE(J) = max. (FET(I,J)) I<JLa fecha esperada de terminación de la actividad (I,J), FET(I,J) es la fecha en que se espera termina dicha actividad.

 FET(I,J) = FE(I) + t(I,J) 

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Programación: Método CPMProblema 3

Supongamos que la duración de cada una de las actividades que integran el plan representada por 1a siguiente red:

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Programación: Método CPMSe asigna la fecha esperada del nodo inicial FE(1) = 0.

Se pueden calcular 1as fechas esperadas de terminación de las actividades que emergen del nodo 1.

FET(1,2) = FE(1) + t(1,2) = 0 + 1 = 1

FET(1,3) = FE(1) + t(1,3) = 0 + 2 = 2

Se representan 1as fechas esperadas del nodo:

 

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Programación: Método CPM

Del mismo modo se tiene:

FE(3) =FET( l, 3) = 2

Al nodo 2 concurre solo una actividad (l,2), luego, terminada ésta pueden iniciarse todas las actividades que emergen de él.

FE(2) = FET(1,2) = 1

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Programación: Método CPMPuede ya calcularse las fechas esperadas de terminación de las actividades que emergen de los nodos 2 y 3.

FE(2,4) = FE(2) + t(2,4) = 1 + 3 = 4 FE(3,4) = FE(3) + t(3,4) = 2 + 3 = 5 FE(3,5) = FE(3) + t(3,5) = 2 + 2 = 4

Para calcular la fecha esperada del nodo 4, hay que tener en cuenta que concurren a él dos actividades. Como la fecha esperada de un nodo es la fecha en que se han completado todas las actividades que a él concurren, se tiene que:  FE(4) = max. (FET(2,4), FET(3,4) ) = max.( 4,5) = 5

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Programación: Método CPMCompletado los cálculos correspondientes a la red: FET(4,6) = FE(4) + t(4,6) = 5 + 5 = 10

FET(4,7) = FE(4) + t(4,7) = 5 + 4 = 9

FE(5) = FET(3,5) = 4

FET(5,7) = FE(5) + t(5,7) = 4 + 1 = 5

FET(5,8) = FE(5) + t(5,8) = 4 + 3 = 7

FE(6) = FET(4,6) = 10

FET(6,8) = FE(6) + t(6,8) = 10 + 5 = 15

FE(7) = max.(FET(4,7), FET(5,7)) = max.(9,5) = 9

FET(7,8) = FE(7) + t(7,8) = 9 + 3 = 12

FE(8) = max.(FET(5,8), FET(6,8), FET(7,8)) = max.(7,15,12) = 15

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Programación: Método CPMLos resultados obtenidos se indican en la red:

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Programación: Método CPMLa última fecha admisible del nodo final UF(nodo final) es la última fecha en que puede admitirse que el proyecto sea terminado.

UF(nodo final) >= FE(nodo final)La última fecha admisible del nodo I , UF(I) es la última fecha en que puede admitirse que los acontecimientos tengan lugar sin que se atrase la última fecha admisible del nodo final.

UF(I) = min (UFC(I,J)) I < JLa última fecha admisible de comienzo de la actividad (I,J), UFC(I,J), es la última fecha en que puede admitirse que comience la actividad (I,J) de manera que finalice en la última fecha admisible del nado J.

UFC(I,J) = UF(J) - t(I,J)

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Programación: Método CPMVolviendo al problema 3, se comienza con asignar un valor a la última fecha admisible del nodo final,

UF(8) = FE(8) = 15Se puede calcular las últimas fechas admisibles de comienzo de todas las actividades que a él concurren:

UFC(5,8) = UF(8) – t(5,8) = 15 – 3 = 12 UFC(6,8) = UF(8) – t(6,8) = 15 – 5 = 10UFC(7,8) = UF(8) – t(7,8) = 15 – 3 = 12

Representando estos valores en la parte inferior derecha del nodo:

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Programación: Método CPMDel nodo 6 emerge sólo la actividad (6,8) por lo tanto la última fecha admisible del nodo 6 es igual a la última fecha de comienzo de la actividad (6,8). De igual forma en nodo 7

UF(6) = UFC(6,8) = 10UF(7) = UFC(7,8) = 12

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Programación: Método CPM

Al nodo 7 concurre la actividad (5,7). Luego:UFC(5,7) = UF(7) – t(5,7) = 12 – 1 = 11

Del nodo 5 emergen dos actividades, luego:UF(5) = min. (UFC(5,7), UFC(5,8)) = min. (11,12) = 11

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Programación: Método CPMLas restantes últimas fechas de la red son:

UFC(3,5) = UF(5) – t(3,5) = 11 - 2 = 9

UFC(4,6) = UF(6) – t(4,6) = 10 - 5 = 5

UFC(4,7) = UF(7) – t(4,7) = 12 - 4 = 8

UF(4) = min. (UFC(4,6), UFC(4,7)) = min.(5,8) = 5

UFC(2,4) = UF(4) – t(2,4) = 5 - 3 = 2

UFC(3,4) = UF(4) – t(3,4) = 5 - 3 = 2

UF(3) = min.(UFC(3,5), UFC(3,4)) = min. (9,2) = 2

UF(2) = UFC(2,4) = 2

UFC(1,3) = UF(3) – t(1,3) = 2 - 2 = 0

UFC(1,2) = UF(2) – t(1,2) = 2 - 1 = 1

UF(1) = min.(UFC(1,2), UFC(1,3)) = min.(1,0) = 0

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Programación: Método CPMCon los valores obtenidos son:

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HolgurasHolgurasAl calcular las fechas esperadas y últimas del plan representado por la red del problema 3, se observa que en algunos casos es posible posponer la realización de una o más actividades sin que ello afecte las últimas fechas admisibles de comienzo de las tareas subsecuentes y por consiguiente la última fecha admisible del acontecimiento final.En esta situación surge 1a noción de holguras o márgenes.Holgura total de la actividad (I,J), HT(I,J) representa el mínimo tiempo que puede posponerse la iniciación de la actividad (I J) sin que se atrase la última fecha admisible del nodo J. Indica también cuánto tiempo es posible alargar su duración, t(I,J), sin riesgo de que se atrase 1a última fecha admisible del nodo J.

HT(I,J) = UF(J) – FET(I,J)

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HolgurasEn la siguiente figura, en el eje t se han representado las fechas esperadas y últimas fechas de los nodos I y J. Suponiendo que la actividad (I,J) comienza en la fecha esperada (I), a partir de este punto se ha representado una flecha de longitud proporcional de la duración t(I,J) de la actividad, obteniéndose así el punto de la fecha esperada total. (I,J). La diferencia entre UF(J) y FET(I,J) es la HT(I,J).

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Camino críticoCalculadas las fechas y holguras del plan, se esta en condiciones de determinar el camino crítico.

Se entiende por camino crítico de una red, al camino con menor holgura total.

Las actividades que componen el camino crítico son llamadas actividades críticas. Son aquellas tareas sobre las que hay que centrar la atención durante la ejecución de un proyecto, puesto que cualquier demora en su ejecución implicaría un atraso en la fecha de finalización de un proyecto. El camino crítico es el mas largo entre los acontecimientos inicial y final del plan.

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Camino críticoCamino crítico es la suma de las duraciones de las actividades que lo componen determina la duración total de proyecto.

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Bibliografía

• Lic. Bione, Elida – Apuntes de cátedra de Probabilidad y Estadística. Univ. J.F. Kennedy