ucsm analisis de la velocidad critica de un rotor
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4to Congreso Internacional de Ingeniería Mecánica, Mecánica Eléctrica y Mecatrónica
Arequipa, Perú 1 21-23 noviembre, 2012
Cuarto CIIMMEM Congreso Intenacional de Ingeniería Mecánica, Mecánica Eléctrica y Mecatrónica (CIIMMEM’2012), Universidad
Católica de Santa María, 21-23 de noviembre, 2012, Arequipa, Perú
Análisis de la Velocidad Crítica en el Rotor.
Juan Fernando Vilca Coronado Universidad Católica De Santa María, Arequipa, Perú, [email protected]
Consejero de la Facultad; Dr. Hermann E. Alcázar
Universidad Católica De Santa María, Arequipa, Perú
RESUMEN
En el presente trabajo se analizan la frecuencias naturales de vibración un prototipo de rotor para obtener la
configuración que ocasionaría obtener las velocidades críticas. Se estudiarán dos casos particulares: uno en el que
el eje presenta una fisura en la zona central y otro en el que no la presenta. Se verá como este hecho afecta a las
frecuencias propias. Se modelara el sistema, con ciertas variantes, en el programa Autodesck Simulation®.
Palabras claves: Rotor Jeffcott, Velocidad Critica, Frecuencia Natural, Analisis Modal, Método de Elementos
Finitos.
ABSTRACT
In this paper we analyze the natural frequencies of vibration of rotor prototype for the Configuration would cause
get the critical speeds. We will study two particular cases: one in which the shaft is cracked in the middle and
another that is not presented. We will see how this fact affects the natural frequencies. They modeled the system,
with variations, in the program Autodesck Simulation ®.
Keywords: Jeffcott rotor, Stall Speed, Natural Frequency, Modal Analysis, Finite Element Method.
1. INTRODUCCIÓN:
En la maquinaria industrial, los ejes rotativos son empleados en turbinas de gas y de vapor, turbogeneradores,
motores de combustión interna, compresores etc. Debido a la creciente demanda para la energía y el transporte a
alta velocidad, los rotores de estas máquinas se hacen muy flexibles, lo que conlleva que el estudio del
movimiento vibratorio sea una parte esencial del diseño. Los ejes de transmisión de estas máquinas se someten a
fuertes vibraciones de torsión y flexión y, en algunos casos, a condiciones inestables de operación.
Algunas máquinas rotativas tales como turbo-alternadores, sistemas de propulsión de buques, trenes de alta
velocidad…, pueden desarrollar esfuerzos excesivos de torsión, debido a las bajas frecuencias de torsión
natural de los sistemas que las componen. Por este motivo la determinación de las frecuencias naturales y las
formas modales, son muy importantes desde un punto de vista de diseño.
Por la importancia que tiene en el diseño las frecuencias propias la velocidad crítica de un eje rotativo, se
analizará en este proyecto el comportamiento de un rotor Jeffcott. Para ello, por medio de los elementos finitos se
propondrán varios modelos de rotores estudiando sus frecuencias propias.
1.1 ROTOR JEFFCOTT
Este rotor está compuesto de un eje y un disco que se encuentra instalado en el centro del eje. El sistema se
encuetra apoyado sobre dos soportes rígidos, como se puede observar en la figura 1.
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Figura 1: Modelo rotor Jeffcott.
En este modelo se asume que los soportes son infinitamente rígidos. El único amortiguamiento que hay es
el derivado del medio fluido que rodea al rotor, en nuestro caso se trata de aire.
Al añadir mayor masa al disco se obtiene una mayor flecha debido al giro y a la gravedad a la que está
sometido el conjunto.
1.2 VELOCIDAD CRITICA
La frecuencia natural es la frecuencia a la que un sistema mecánico continúa vibrando una vez que se ha
quitado la señal de excitación. La frecuencia natural de un rotor depende de la rigidez del eje y de la masa del
disco que soporta el eje.
Cada rotor tiene un número de frecuencias naturales, asociada con cada frecuencia natural existe un modo de
vibración, que es una forma característica en la que vibra el rotor. Cuando una de las frecuencias naturales es
excitada por el desequilibrio rotativo del rotor (debido a la velocidad del eje), entonces la velocidad del eje, la
cual coincide con la frecuencia natural es conocida como velocidad crítica. Ésta es la velocidad de rotación en la
que el eje se vuelve dinámicamente inestable y es probable que se desarrollen grandes vibraciones
perjudiciales para el funcionamiento del rotor.
1.3 MODELACIÓN DE LA GRIETA
La presencia de una grieta transversal en un eje altera la flexibilidad de éste, la hace máxima cuando la fisura
cierra y mínima cuando la fisura abre, y por lo tanto describe el comportamiento dinámico del rotor. Por todo
esto, es necesario conocer las variaciones de flexibilidad en el tiempo que introduce la grieta cuando el eje rota.
En los ejes de máquinas rotatorias, las grietas se abren y se cierran regularmente, por lo que se requiere
formular un modelo que considere el ‘respiro’ de la grieta o su ‘apertura y cierre’. Los modelos utilizados
se pueden clasificar en dos grupos. El primero lo forman los modelos que determinan la flexibilidad que introduce
la grieta en el eje para cada grupo de apertura de ésta. Y el segundo son los modelos que determinan las
flexibilidades extremas cuando la grieta está totalmente abierta y totalmente cerrada, y proponen una ley
predeterminada de variación entre estos valores.
2. MODELADO DEL ROTOR
2.1 FASE DE PRE-PROCESO
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El eje será de aluminio, y los discos de aluminio. El eje estará sin fisurar y también se estudiara fisurado al 50%,
la fisura se encontrara a la mitad del eje, en las figuras a continuación se muestran los detalles de las partes
utilizadas en el análisis.
Figura 2: Discos
Figura 3: Eje
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Figura 4: Detalle de Fisura
Las dimensiones de los elementos mostrados en la figuras 3 y 4 son:
Tabla 1: Dimenciones de los elementos del rotor
Longitud (L)
[mm]
Diámetro Exterior (De)
[mm]
Diámetro Interior (Di)
[mm]
Disco 1 52 152 20
Disco 2 60 120 20
Eje 500 20 --
Se configura el evento (figura 6) para buscar las primeras diez frecuencias naturales que se encuentran en 2000Hz.
Figura 5: Parámetros de Análisis
Posteriormente se imponen las condiciones de contorno o ‘boundary condition’, el rotor estará apoyado
sobre dos rodamientos uno a cada lado. Para simularlo empleamos una condición que encastrará (esto es
bloqueará los movimientos) la zona de los rodamientos como se ve en la figura 7.
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Figura 6: Condiciones de Contorno
Por último se procede a efectuar el mallado del conjunto, la malla en este caso será poco densa de 5 mm (figura
8), para agilizar el cálculo.
Figura 7: Mallado poco denso
2.2 FASE DE SOLUCIÓN
Se procede a ejecutar el análisis, mediante la herramienta ‘Run Simulation’ ubicada en la pestaña ‘Analysis’ el
resultado nos dará los modos naturales. El programa tarda un pequeño lapso de tiempo en resolverlo.
2.3 FASE DE POST-PROCESO
En esta última fase se visualiza el resultado obtenido. Se obtienen los diez primeros modos propios
menores de 1000 Hz, ya que así se configuró en el paso de frecuencia.
Para comprender mejor que son los modos propios, ver la figura 9, donde se puede comprobar como afecta cada
modo al sistema. En esta figura se ven las deformaciones que sufre el rotor cuando alcanza una frecuencia natural
de vibración. En los primeros cinco modos el elementos que más sufre dichas deformaciones es el eje, mientras
que en los restantes modos es el disco el que se deforma notablemente.
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Modo 1
Modo 2
Modo 3
Modo 4
Modo 5
Modo 6
Modo 7
Modo 8
Modo 9
Modo 10
Figura 8: Modos Propios del Rotor
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2.4 RESULTADOS.
Configuracion 1: Disco_1 de aluminio desplazado 10 mm del centro del eje.
Tabla 2: Resultados de la configuración 1.
Figura 9: Cuadro comparativo de configuración 1
Figura 10: Eje y disco de aluminio.
mode frequency frequency frequency frequency
number (rad/sec) (Hertz) (rad/sec) (Hertz)
1 1135,6 180,74 1142,1 181,78
2 1143,4 181,98 1144,3 182,12
3 1328,0 211,36 1319,7 210,03
4 3780,5 601,68 3791,1 603,38
5 3803,4 605,33 3795,7 604,10
6 9756,1 1552,7 9572,5 1523,5
7 9811,7 1561,6 9611,6 1529,7
8 10583 1684,3 10516 1673,7
9 12308 1958,9 12233 1947,0
10 12413 1975,6 12235 1947,3
SIN FISURA CON FISURA
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Configuracion 2: 2 Disco_1 de aluminio desplazado 10 mm del centro del eje.
Tabla 3: Resultados de la configuración 2.
Figura 11: Cuadro comparativo de configuración 2
Figura 12: Eje y 2 discos de aluminio.
mode frequency frequency frequency frequency
number (rad/sec) (Hertz) (rad/sec) (Hertz)
1 969,0 154,22 961,5 153,03
2 972,4 154,76 962,9 153,25
3 1001,5 159,40 1032,0 164,24
4 3255,4 518,12 3200,7 509,41
5 3272,0 520,75 3206,7 510,36
6 4802,0 764,3 4608,8 733,5
7 6566,4 1045,1 6284,8 1000,3
8 6575 1046,4 6299 1002,6
9 9534 1517,4 9257 1473,2
10 9870 1570,9 9665 1538,2
SIN FISURA CON FISURA
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Configuracion 3: Disco_2 de aluminio situado a 20 mm del centro del eje.
Tabla 4: Resultados de la configuración 5.
Figura 13: Cuadro comparativo de configuración 5
Figura 14: Eje y 1 disco de aluminio
mode frequency frequency frequency frequency
number (rad/sec) (Hertz) (rad/sec) (Hertz)
1 1404,3 223,50 1403,0 223,29
2 1931,0 307,33 1411,2 224,60
3 1946,5 309,80 1840,1 292,86
4 2447,9 389,59 2185,5 347,84
5 6401,6 1018,80 2511,8 399,77
6 6872,3 1093,8 2521,8 401,4
7 8300,4 1321,1 7210,9 1147,7
8 9518 1514,8 7239 1152,1
9 9828 1564,2 9110 1449,9
10 12659 2014,7 9146 1455,6
SIN FISURA CON FISURA
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3. CONCLUSIONES
Para analizar los resultados se empleará la siguiente aproximación de la frecuencia natural de oscilación, donde;
Es la rigidez del eje
Es la masa del disco
Se observa que la frecuencia depende de la rigidez del eje y de la masa del disco. Como se ha visto anteriormente,
la presencia de una fisura afecta negativamente a la rigidez del eje, por lo que es lógico esperar que las
frecuencias naturales de los casos con fisura tengan valores menores que cuando el eje se encuentra en
perfecto estado. Esto se cumple tal y como se ve en las tablas y gráficos anteriores.
Respecto a los materiales, se ha diferenciado entre discos aluminio pero de diferentes masas. De acuerdo a la
expresión Ec.1, al ser mayor la masa del disco, la frecuencia es menor y de nuevo esto se comprueba en los
resultados.
Para finalizar, se observa que la posición de los discos en el eje es un factor importante. A medida que el
disco se aleja del centro del eje y se sitúa en posiciones más cercanas a los rodamientos, las frecuencias
propias son menores y se aprecia menor diferencia entre el caso sin fisura y con fisura.
Con todo esto, se puede decir que el caso más crítico (frecuencias menores) es aquél en el que el disco
más pesado se posicione en el centro del eje fisurado. Este caso es el correspondiente a la configuración 3.
REFERENCIAS
Wikipedia. Enciclopedia Libre. http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_los_elementos_finitos
Autodesk Education community. http://engineeringexploration.autodesk.com/content/section-2-linear-material-
analysis
Wikipedia. Enciclopedia Libre. http://es.wikipedia.org/wiki/Frecuencia_natural
Tesis virtuales. http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/lim/lopez_sa_ja/capitulo7.pdf
Autorización y Renuncia
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