UNIDAD 9. FUNCIONES.

SEGUNDA PARTE. FUNCIONES Y GRÁFICAS.

1. Función lineal 𝑦 = 𝑚𝑥……………………………………...….pág 22. Rectas de la forma 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 . .………………..……….pág 93. Rectas paralelas a los ejes……..……..…………………….pág 114. Función de proporcionalidad inversa…………………….pág 13

1. Función lineal .

■ Recuerda que dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al multiplicar o dividir a la primera por un número, la segunda queda multiplicada o dividida por el mismo número.

■ Al realizar el cociente de cualquiera de los valores de una variable y los correspondientes de la otra, obtenemos la razón de proporcionalidad directa k.

■

La representación gráfica de dos magnitudes directamente proporcionales es una recta que pasa por el origen de coordenadas.

Las funciones de proporcionalidad directa o funciones lineales son aquellas cuya gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas; su expresión algebraica es y = mx, siendo m la constante de proporcionalidad.

Ejemplo. Representa la recta 𝑦 = 2𝑥

Para ello hay que construir una tabla de valores y representar los puntos. La recta se obtiene uniendo los puntos.

x y

-2 -4

-1 -2

0 0

1 2

2 4

Elegimos al azar valores de la variable independiente x, teniendo en cuenta que los resultados sean fáciles de representar. En este caso elegimos para la x los valores: −2, −1, 0, 1, 2Pero puede ser cualquier valor que se le dé.El valor de y se calcula con la fórmula del enunciado: 𝑦 = 2𝑥

Las rectas tienen las siguientes características:

es la variable independiente.

es la variable dependiente.

es la pendiente de la recta, y es lo que diferencia una recta de otra.

Pasan por el origen de coordenadas punto .

Su dominio son todos los números reales, ya que se puede poner cualquier valor para la x:

Su recorrido o imagen también son todos los números reales, ya que la y acepta cualquier valor:

La pendiente 𝒎 mide la inclinación de la recta.Observa en los siguientes gráficos cómo varía la recta según vamos aumentando o disminuyendo la pendiente.

En esta gráfica los valores de la pendiente son positivos.Si 𝑚 aumenta la recta se hace cada vez más vertical.Si 𝑚 disminuye la recta se hace cada vez más horizontal.

En esta gráfica los valores de la pendiente son negativos y por tanto la inclinación cambia.

Por tanto, la pendiente mide la inclinación de la recta, es decir, mide el crecimiento o decrecimiento de la función lineal:

• Si 𝑚 es positivo, la recta es creciente.• Si 𝑚 es negativo, la recta es decreciente.

Podemos determinar la pendiente de una recta si tenemos su gráfica.

Solo necesitamos las coordenadas de dos puntos de la recta 𝐴(𝑥 , 𝑦 ) y B(𝑥 , 𝑦 ). Para obtener la pendiente se divide el valor de lo que sube la recta (y) entre lo que avanza (x).

𝑚 =𝑦 − 𝑦

𝑥 − 𝑥

𝑚 =𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑢𝑏𝑒 (𝑒𝑗𝑒 𝑌)

𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑣𝑎𝑛𝑧𝑎 (𝑒𝑗𝑒 𝑋)

Ejemplo:

Ejemplo: Si la recta es decreciente, la pendiente es negativa:

𝑚 =𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑏𝑎𝑗𝑎 (𝑒𝑗𝑒 𝑌)

𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑣𝑎𝑛𝑧𝑎 (𝑒𝑗𝑒 𝑋)=

−6

4=

−3

2-6

4

2. Rectas de la forma .

■ Vamos a comparar dos rectas: 𝑦 = 𝑥 con 𝑦 = 𝑥 + 3

𝑦 = 𝑥 𝑦 = 𝑥 + 3

x y

0 0

2 1

4 2

x y

0 3

2 4

4 5

Las dos rectas tienen la misma inclinación o pendiente 𝑚 = son rectas paralelas.

Observa que la recta 𝑦 = 𝑥 + 3 se ha

desplazado 3 posiciones en el eje Y, con

respecto a la recta 𝑦 = 𝑥

La recta 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 es paralela a la recta 𝑦 = 𝑚𝑥 (tiene la misma pendiente 𝑚) desplazada verticalmente n posiciones.

𝒏: se llama ordenada en el origen y es el punto donde la recta corta al eje Y.

Las rectas 𝒚 = 𝒎𝒙 e 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒏 se llaman funciones lineales, aunque a las segundas también se les llama funciones afines.

Ejemplo. Representa la función 𝑦 = 2𝑥 − 3

Características:Pendiente: 𝑚 = 2 (recta creciente)Ordenada en el origen: 𝑛 = −3

Representación:

x 𝐲 = 𝟐𝐱 − 𝟑

-1 −2 − 3 = −5

0 0 − 3 = −3

1 2 − 3 = −1

2 4 − 3 = 1

3. Rectas paralelas a los ejes.

■ Rectas horizontales.

La inclinación o pendiente es cero: 𝑚 = 0

La ecuación es 𝑦 = 𝑛 (donde 𝑛 es un número cualquiera)

Se llama función constante.

Ejemplo: La función 𝑦 = 2

■ Rectas verticales.

En la siguiente recta, paralela al eje de ordenadas Y, podemos observar que los puntos situados en la misma presentan ordenadas distintas para el mismo valor de la abscisa, x = 2. Por tanto, la gráfica no es la de una función ya que para un único valor de x, en este caso 2, le corresponden infinitos valores de y.

Algunos puntos de la recta son (2, -1), (2, 0), (2, 2), …

4. Función de proporcionalidad inversa.■ Recuerda que dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al multiplicar o dividir a la

primera por un número, la segunda queda dividida o multiplicada por el mismo número.

■ Al realizar el producto de cualquiera de los valores de una variable y los correspondientes de la otra, obtenemos la razón de proporcionalidad inversa k.

Ejemplo. Representamos la velocidad de un ciclista con respecto al tiempo, cuando recorre una distancia de 10 m. El movimiento que describe es un movimiento rectilíneo y uniforme luego la fórmula que representamos es 𝑣 = y como el espacio que recorre el ciclista es de 10 metros, la

fórmula queda 𝑣 =

Las magnitudes que representamos son:• Velocidad: variable dependiente.• Tiempo: variable independiente.Son magnitudes inversamente proporcionales.

La función de proporcionalidad inversa se define mediante la expresión:

𝑦 =𝑘

𝑥Donde 𝑘 es un número cualquiera, y representa la razón de proporcionalidad inversa.La gráfica de la función se llama hipérbola.

Representamos la función 𝑦 =

No es válido en esta función el valor de x=0, no forma parte del dominio:

𝐷𝑜𝑚 = (−∞, 0) ∪ 0, ∞

Además tampoco es posible el valor y = 0, por tanto el recorrido o imagen es:

𝐼𝑚 = (−∞, 0) ∪ 0, ∞

Ejemplo. Representar 𝑦 =

Función decreciente.

𝐷𝑜𝑚 = (−∞, 0) ∪ 0, ∞𝐼𝑚 = (−∞, 0) ∪ 0, ∞

x -8 -6 -4 -2 -1 -0,5 -0,25 -0,1 -0,01

y -0,25 -0,33 -0,5 -1 -2 -4 -8 -20 -200

Hasta el valor de 𝑥 = −1 decrece suavemente, entre -1 y 0 decrece más rápidamente, por tanto en este tipo de funciones tomamos varios valores en este intervalo.

x 0,01 0,1 0,25 0,5 1 2 4 6 8

y 200 20 8 4 2 1 0,5 0,33 0,25

Para los valores positivos decrece muy bruscamente en el intervalo de 0 a 1, por lo que tomamos varios valores. Después decrece suavemente según aumenta el valor de x.

Ejemplo. Representar 𝑦 =

Función creciente.

𝐷𝑜𝑚 = (−∞, 0) ∪ 0, ∞𝐼𝑚 = (−∞, 0) ∪ 0, ∞

x -8 -6 -4 -2 -1 -0,5 -0,25 -0,1 -0,01

y 0,25 0,33 0,5 1 2 4 8 20 200

x 0,01 0,1 0,25 0,5 1 2 4 6 8

y -200 -20 -8 -4 -2 -1 -0,5 -0,33 -0,25

Hasta el valor de 𝑥 = −1 crece suavemente, entre -1 y 0 crece más rápidamente, por tanto en este tipo de funciones tomamos varios valores en este intervalo.

Para los valores positivos crece muy bruscamente en el intervalo de 0 a 1, por lo que tomamos varios valores. Después crece suavemente según aumenta el valor de x.