entspricht die A i r p s c h e Funktion

Durch Differentieren nach z , das beliebig fortgesetzt werden kann, erliblt man : q = - In (y2+zz ' ) . , . . . . . . ((4bt

dem entsprichl

I.:benso durch Integration bis auf nebenslchliche Inlt~grationskonstnnte:

(I, = In ( z + Vrs + . z 2 ) . . . . . . . . . ((;a),

(tibl.

s 1 Q t l z - r y a r c t g ' - z I n (ys+ z') -t 2 2

.\uf Qriind dieses Zusammenhanges lassen sich nach geivissen bekannten Liisungeii des eirien (iebietes die entsprechenden Losunpen des anderen Qebietes anfstellen. h i spielsnaise lauiot fur die Halbebene : > 0, die im Nullpnnkt durch die, Zugkralt 1' be- lasiet ist, die Ai rysche Spannungsfunktion:

dein entspriclit . . . . . .

Die Uindrehungsfnnktion fiir den Halbraurn mit der Kraft P im Sullpunkt ergiijt siclt hieraus nach GI. ( l a ) und 1 Ga):

1roraii8 riach GI 1 die Spauiiungen zu finden sind. 15s ist mir gclungen, das Scheibenproblem eines Streifens, der durch z = 1: I

begrenzt und durch eine Einzelkraft 1' belastet ist, durch eine lteihe von Funktioncn mit Unstetigkeitspunkten fiir y : 0 und z = . . . - - I , + 1 , + 3 . . . zu losen nnd hier nach auch Fiir die I'latte mit einer Einzelkraft die Liisung in obiger Weise durrh eine Funktion mit Unstetigkeitspunkten auf der z-Achse zn bilden. I)ie Veroffentlicbung wird nach 13:rledigung einigrr rioch vorzunehmeiider numerischer 13erechnungen erfolgeri I R

Uber die Sfabilifaf der beiderseits eingespannfen Elastika und ahnliche Fragen.')

Von PAUL FUNK in Preg

ine Untersuchung der Stahilitlt der elastiRchen Linie auE Grund der Theorie tier zweiten Variation Iindet sich zwar in der Dissertation von B o r n ?), aber insbesondert\ E fdr den Fall, wo die elastische L i n k fest eingeklemmt ist, gelangt B o r n zu lreineni

iibersichtlichem Ergebnis, wie e r selbst ausdriicklich hervoi hebt. Diese Liicke sol1 hier unter Heranziehurig geometrischer Gesichtspunktc iiusgefiillt werden.

Es sei 8 der Winkal mit einer festen Achse untl s die Bopenliinge, dann ist iln.er Ausgangspunkt dns folgende Variationsproblvm.

, I s -* Min.,

wobri die Gi+Xeri

I 1

vorgegeben sind. I )ic Extremale geniigt der Qleichung 9" + a cos 8 c b sin 8 = o . . . . . . . . " I ) .

L'.rwvltcrtc I):irstc~lluiir? meincs Vortriipes be1 dor Innsl~rucki~r . I : i l ~ r e f l r ~ r ~ i ~ r n i i i I i i i i ~

- I l ; t \ I ~ I ~ I I l ) l$3. : ~ ~ i i t t l n ~ e i i l ! l ( l ( i ,

Ohne Schadigung der Allgemeinheit kann miin fur die zu untersuchende Extremale annehmen a = 0, Z, = 1 ; es kommt dns auf eine zweckmHdige Wahl der Achse nnd des LBngenmaDstabes hinaus. Wir brzeichnen die I<rummnng mit x und den Krummungs- radius mit H, also: 9' = x z

1

I: . Es ist somit

. . . . . . . . . I?" = io = - sin 6

x = - y,

. \ I a), hierans ergibt sich durch Integrieren bzw. Differenzieren

wobei B den grodten Winkel bezeichnet, den die Elartika mit der z-Achse einschliedt. Das Stabilitatskriterium auf Grund der zweiten Variation ( J a c o b i mhes Rriterium)

verlangt - roh gesagt - zu untersuchen, ob eine den oben angegebenen Orenz- und isoperimetrischen Bedingungen geniigende unendlich benachbarte Extremale miiglich ist. Genauer gesagt heiSt dies folgendes:

Aus (1) denken wir nns gewonnen: 6 = 4 (s, a, 11, Cl, C?), wobei Cl und C, Inte- grationskonstanten sind. Wir fassen a, b, C,, C? als Fnnktionen eines Parameters a auf, "' roit z

( i j a). -" wobei (L = 0 der zu untersuchenden Extremale entspricht. Wir bezeichnen

und fragen, ob es eine von Null veraohiedene Funktion I gibt, die den dorch Differen- tiation nach a aus den Rand- bzw. isoperimetrischen Bedingungen hervorgehenden Gleichungen

'/, 9'' - cos it - cos 6, X " = - cos 6 Y . . . . . ( I b ) ,

. . . . :7 (sI) = 7 (s2) = r cos 8 c.! s = I sin if t l s = o (2 ) ( si s geniigt. aus ( I )

Dnrch Differenzieren nach (L und nachtragliches Nullsetzen von a erhalten wir

. . . . . . . 7 " + COB 7 = C1 cos 9 + C2 sin 3 (3).

wobei CI = - (?)a) (; = - f'*) ~ r c c: - 0 ' O n a L - o

ist. eine lineare homogene IXfferentialgleichung vierter Ordnung :

L, (2) =- o Aber auch ohne diese Differentlialgleichung ausfiihrlich anzuschreiben, konnen wir sofort ein vollstandiges Losungsspstem dieser Differentialgleichung augeben, nnd zwar auf Orund folgender Ueberlegung.

Durch zweimalige Differentiation und Klimination yon C1 und C.$ erhalten wir fur I

. . . . . . . . . . . ( 3 a).

Sei 6 (s) eine LSsung von ( I ) , dann ist von vornherein einleuchtend, daD auch 6 (s) f- a, bzw. 8 (s i a), bzw. 3 (s eU)

Estremalen darstellen. Sullsetzen von 11, daO

LGsnngen von (3a) sind. Da 7, bereits der zu (3) zugehorigen homogenen Gleichung geniigt, ergibt sich leicht eine zweite Losung dieser homogenen Oleichung und somit eine vierte Losung von (:!a):

Somit ergibt sich durch Differentiation nach u und uaohtragliches

71 = 1, 72 2 x , 73 = S X

F u r das zuletzt angcschriebene Integral, das wir zur Abkurzung mit t bezeichnen, ergibt sich, wie man unmittelbar durch Differentiation mit Berufung auf (1 a), ( 1 b) fest- stellen kanri

t = ' ( M sin 6 - Sill* /3

Der willkiirlichen Integrationskonstanten entspricht die Willkiir des Anfangspunktes fur 2 und s.

Zur obigen Formel wird man unmittelbar gefiihrt durch die Theorie der elliptisohen Funktionen. Urn den Anschlud an die ublichen (8 . A. S o h w a r z) Bezeichnungen zu ge- winnen. setze man

Zunlchst sei sowohl 2 als auch s vom Scheitel am gerechnet.

1 cns ,I cos p 1 C U S B

+ 6 ' S = U , e l = - + 3 ' e 3 = - 2 2 6 '

Ztschr. f. angew. Math. und Mech. ,170

also

U II k , U e h r die Stabilitilt der heiderseits eiiigespaniitoii IClastika

1 9' ' = - 4 ( p [ Z L + 031 - e2) 1 - ( p [u + W l l - C 2 . L 4'' - sin' p Um den Zusammenhang des gesochten Integrals mit den anschaulichen Or06en z

und 0 zu finden, ist es naheliegend, den Integrationsweg vom Punkt uI + m i iiber die Punkte ? / I + ( ~ 3 7 r 2 + 033 zum Punkt / / a + LU~ zii leiten. Das Additionstheorem der

sol1 nun eine von Null varschiedene lineare Kombination dieper vier Funktionen Funktion ergibt d a n n die oben angenchriebene Formel.

bestehen, die den Bediilgungen (2) geniigt, so ergibt sich unrer Verwendung von

nach einigen naheliegenden Anwendungen von partieller Integration das J a c o b i schc Kriterium in der Form

~~ -~ . -

TI = I , 7 9 = X , 73 = ( S - sI) X , 7 4 = ( t - t i ) x ')

1 XI 0 0 1 %? [s]; X I [tx i(g

[z]: [sin 83: [s]: sin 02 - [yx [t]: sin 9-2 - [ ~ ] i [y];' I - cos 31 - [s]: 00s 0) + [..I;

= 0 ,

[t]; (cos /3 - cos i)?) + 2

durch leichte Umformung ergibt sich 1 1 0

1 ( 1 1

suhtrahiert man die zweite und dritte Kolonne von der ersten, bezeichnet man die Eoordi- naten des I(riimmungsmitte1punktes mit 5 , 9 nnd setzt man ferner zur Abkiirznng

L: = j- B' 2 ds = 2 (32 - cos /j s ) ,

1 so erh#lt man unter Weglassung des b'aktors

/ I

I

I I I

'Y

0

I

\bb. I .

S o n d e r f a l l A: Betrach- ten wir nun den Fall, da8 die beiden Klemmstellen, dnrch die die Stabilitltsgrenze ge- keunzeicbnet ist, symmetrisch liegen. DaB es ein solches Paar geben mu8, folgt darans, da8 jeder Verriickuog der einen Klemmstelle eine gleich- sinnige Verriicknng der an- deren entsprechen mu& In diesem Fall ist yl = y2, RI = R2. Somit wlrd unsere De- terminantengleichung erfiillt durch

(1. h., wenn die beiden Klemm- stellen einen gemeinsamen Kriimmungskreis haben. Da6 sich in diesem Fall in der Tat eine unendlich benachbarte

1 % = 0,

' I Der Zeigor I bzw. 2 bedeutet hier und im t'olgentlrn. dn5 dio betreEerlden Fonklionell 811

cier htello (11 bzw. 53 zii nehmen aii id.

Extremale angeben lafit, ist auch ohne weiteres einleuchtend. Man denke sich dem zii untersuchenden Extremalenstuck um den gemeinsamen Kriimmungsmittelpnnkt elne un- endlioh kleine Drehung erteilt vergl. Abb. 1, schneide ein infiniteaimalee Stiick a n der einen Stelle a b nnd fiige es a n der anderen Klemmstelle hinzu. Um aber tatslichlich behaupten zu konnen, daS dnrch diese Bedingung die StabilirKtsgrenzen gekennzeichnet sind, muD man noch zeigen, dal3 die Determinante fur kein der Symmetrieachse nliher- liegendes Klemmstellenpaar verschwinden kann. D a es ztber ein symmetrisohes Klrmm- stellenpaar fur die Stabilitatsgrenze geben muD, konnen wir uns auf die Betrachtung symmetrischer Paare beschranken. DaO vor dem ersten Wendepunkt keine Nullstelle auftreten kann, ergibt sich aus der S c h w a r zschen Ungleichung . Fiir das erste Wendepunktpaar hat die Determinante den Wert 1 4 w l u

und somit

: 0. Nach dem ersten Wendepunkt gilt fur das in Betracht kommende Interval1 $ > 0

Wilre nun hier

so mul3te (2:1 - cos" p ,s') > s 2 also 2'' > .yYl

I

sin2 sein, was offenbar unmoglich ist.

S o n d e r f a l l B: Aus der entwiokelten Formel (4) gebt auch die von Born im AnschluS an Esperimente angefiihrte Tateache hervor, daO die Stabilitlitngrenze dann eintritt, wenn die eine Klemmstelle in einem Wendepuukt und die andere Klemmstelle in dem zweitnlichsten Wendepunkt angebracht wird. Zur nHheren Eriirterung dieses Falles ist es aber zweckrn!i6ig, jptzt den Anfangaponkt der BogenlBnge und den Koordinaten- anfangspunkt in den Wendepunkt zti vrrleyen, so daS also x, x , u ungerade Fnnktionen der Bogenllinge sind and t durch die gleicbe Formel wie fruher eiklBrt sein mtige, also ebenfnlls eine ungerade Funktion von s ist. Aus demselben Orunde wie friihw mnfl es ein P a a r konjugierter Punkte geben, die urn das gleiche Bogenstuck vom Koordinaten- anfangnpunkt entfernt sind. Somit lli6t sioh nun unnere Determinantengleichung unter Verwendung des Loaungssystems 1 , x , s x, t x in der Form schreiben:

1 --x s x f x 1 + x s x f x

2 x o 3 (s sin 0 - y) 2 (t sin 9 - a) a y 0 - 2 (s cos 9 - x) 2 ( t (c0sB - cos9) +P) 2

Y - ( s c o s 6 - x ) t ( c o s p - c o s ~ ) + B a s = ',

Um den StabilitHtsbeweis zu erbringcn, ist nun noch nachzuweioen, dal3 diese dreireihipe Determinante nicht vor dem ntlcbsten Wendepunkt verschwinden kann. Auf dieselba Determinante wird man aber auch gefiibrt, wenn man die Stabilitlts-~ntersuchung durchfuhrt fur den Fall, daB die Elastika a n einem Ende eingnklmmt nnd a n dem an- deren Ende gelenkig gelagert ist ]). Das Variationsproblem hierfur kann sonst so wie

') DIeser Fall ist verwirkliclrt beim Umblattern eines nicht (allzu dieken) Ilurhecl: dle Flnger- spitzen ermtsprechen der Klemme, die Bi4estigunp des Hlattes nm Buehrfrckrn kann 01s gelenkig lietrachtet werden. Beim eehr dicken Bucli treteti in der Formullerung des Varlatiunsprotlleiiig noch Ungleichuugen r l s Nehenbedingungen auf.

friiher gefaDt werden, nur mit der Ausnabme, daS nur 8(s1) , aber nicht S(0) gegeben ist. Statt dessen kommt hier die Gleichung 8' (0) = 0 hinzu. Dementsprechend lanten die Iledingungen fur z

r ' ( 0 ) = z isl) =i'r cos 3 d s = ( r sin it (1 s = u . 0 ( 1

Der StabilitltRbeweis, d. h. der Beweis daB die dreireihige Deterriiinanle in dem betrachteten Iiltervall nicht Null werden kann, ist somit mit Riicksicht auf die Anmerkuog auf eine ans der taglichen Erfahrung gelxufige Tatsache euriickgefiihrt , riamlich , daO beim Umblattern nur dann ein Ausspringen aus der Gleicbgewichtslage stlittfindet, wenn ein Wendepunkt vorhanden ist.

Auf eino Anregung des Herrn v. Mises ' ) hin behandle ich auch noch kurz den Fall, daO die Elastika an einem Ende fest eingespannt ist und am anderen Ende frei beweglich und durcb ein Gewicht belastet ist vergl. Abb. 2 . Es bedeute E den Elastizitats- modul, J das Trlgbeitsmoment., P das belastende Qewicht. Um das SchluDresultat in miiglicbst anschaulicher Form aus+prechen zu konnen, machen wir jetzt keine Festsetzung iiher den LangenmaBstab. Die Bogenlange zahlen wir vom belasteten Ende an, div 2- 4cli.e denken wir uns vertikal nach abwarts gerichtet und fur die zu untersucbende Estremale frlle d:ts brlasiete Ende mit dem Koordinatenanfangspunkt zusamme,n. Das J'ariationsproblem lautet

1 I.:Jw+ i - ' c O s o d.9 +Mil l , 2 )

I1

wobei I') ( s I ) = 0, gegeben und 4 (0) frei walilbar zu denken ist, so daO also 0' (0) = 0 ist. Die E u l c r - 1 , a g r a u g e s c b e Gleichung lautet:

I

E J 2 9' ' 1 - sin 8 = 0 also - I C J ~ ' ' = P ( C O ~ {f - ~ COB . . . (c)!

dio , I a c o b i sclle Gleichung und die zugehorigen Randbedingungen lauten : 1'

E J 7" 1- cos 8 I = 0 , I ' ( 0 ) = 0 , 7 ( S I ) = 0.

Fiir den Fall 3 = 0 ergibt aich die E u l e r s c h e Knickformel in der iiblichen Weise. Fiir 8 1 0 ergeben sich als Partikulatliisungen wie friiher

von denen bei analytischer Fortsetzung iiber das freie Ende hinaus die ercte eine ungerade, die zweite eine gerade Funktion von s ist. Wenn die Klemme an der StabiliiStsgrenze eingesetzt ist, so er-

- ,q5 '7 r I = x , I : = x EZsin 6 -- (

gibt sich: 71' (0) T P ' (0) = o 21 ( 8 1 ) 72 (Sl)

also 12 ( \ I ) o somit wegen (5)

. Also: Sitzt die Klemme ~ i u der Stabilitatsgrenze, so ist die lbformationsenergie gleicb der doppelten Arbeit, die man leisten miiBte, um das die Deformation hervorrufende G e h c h t von der Klemmstelle bis zum zugebor gen Kriimmungsmittclpunkt zu heben. IIieraus geht unmittelbar hervor, da0 sich diem Klemmstslle unter- halb des erl;ten Scheitels und oberbalb des ersten Wendepunktes befinden mu0. Oberhalb des ersten Scheitels nimmt ja diese Ilub- arbeit nnr negative Werte an, in dem bezeichneten Stuck aber nimmt sie jeden beliebigen positiven Wert an. a-J 0 5

' 1 l3ei der Diskussion uacli meineiii Iiinabrucker Vortrag. Fl'ic icli berolts da~iials hcworhob. iat d i u dioahcziialiche S tah l l i~~~~suntrr~uc lrung in tler erwllhntcn .\rbeit voii I ( o r n bereits rollstilndig ~ l u r ~ ~ h p c f l i h r t . Durcli tinbere Forinel erhillt sic cine nnschnuliclie Jleutung. Vergl. aueh eine Arbci t von i. h l i s c s (dicse Zc i i sc l i r ) Hd 3 (14231 . S . 4 2 2 . Vergl. :mch eiiie Sote yon v . Alises in dieser %eitsclkr. l3d I (19241, S. 1351.136.