+ (- fi) - f a 32 = - y = P (11 ’) Tqor T-4m ”i”” “407 -405 -405

zu schreiben und ergibt sich die Lo- sung (- f a ) mit Hilfe des Astes - +.

B -405

383 Band 7, Heft 5 Oktober 1927 Fische r , Verfahren zum Entwerfen vOn graphischen Rechentafeln

fiber ein neues allgemeines Verfahren zum Entwerfen von graphischen Rechentafeln (Nomogrammen), insbtsondere von

Fluchtlinienfafeln. 11.’) Von ALEXANDER FISCHER in Gdding (Mllhren).

111. E i n i g e A n w e n d u n g e n 3 . 1. Einige Fluchtlinientafeln der ersten beiden kanonischen Formen. a) Ala

erstes Beispiel diene die bekannte Oleicbung fur s p h i r i s c h e S p i e g e l u n d L i n s e n ’):

Sie gehort der ersten kanonischen Form an. Abb. 5 zeigt die bekannte Figur in dem Koordinatenbystem mit 60° 81s Aohsenwinkel, die man bei Verwendung gewiihnlicher Ma& sttlbe erhiilt.

. . . . . . . . . . . Es ergibt sich als GI. d. A. G . : fi +fax = y (0, als Q1. des L.K.: x = 1 . (W,

Die B. erfolgt nach y = f, . . . . . . . . . . . (111). . . . . . . . . . .

4 3

Abb. 6a zeigt den Fall A = 2, B = 4, C = - . b) fi < 0, fi > 0, l f i i < IfiI. Es ist (I) dann zu schreiben

+ (- f i ) + p II: = y . . . . . . . . . . (1’) und ergibt sich die Losung -+fa mit Hilfe des Astes f -.

Abb. 6 b zeigt den Fall A = - - , B = 3 , C=6. C) f i < o , f a > o , l f i l > I f a I . Es

+(- fi) - f a r = - y = P (11.’) ist (I) dann in der Form

zu schreiben und ergibt sich die Lo- sung (- fa) mit Hilfe des Astes - +.

1J VergI. dlesen Bd. 8. 2 1 1 bis 217. - Es sei au die Bedeutung der Abkarzungen erfnnert: G1. = Gleichung, A. G. = Ablesegerade A. F. = Ablesefaden, A. K. = Ablesekreis, L. I(. = losende Kurve, B. = Beziffernng.

2, NB. Von der ausdrllcklichen Einfllhrung von MaSstabfaktoren wurde meist abgesehen. I n den Abbildungen sind Hilfsliuien des Entwurfs, insbesondere Asyrnptoten, gestriehelt.

3, Vergl. 8. B. M. d ’ O e a g n e ( I ) , 9. 211.

26.

Ztschr. I. angetft. Math. und Me&. 381 F i s ch er, Verfahren zum Ihtwerferi von graphischen Rechentafeln

Abb. 6 0 Zeigt A = - - , B = 3 , C = - 6 . Da die kaponisohe Form in Bezug auf fi und f a symmetrisoh ist, SO geniigt die

Behandlung der drei Ftllle. Die Untersnohung der absoluten Werte geschieht duroh die Tafel selbst, indem, falls sich keine Losung fur die betreffende Aststellung ergibt, die des anderen mit entgegengesetztem Vorzeichen zu nehmen ist.

Bezgglich der Qeradenbildtafel ist rolgendes ein fiir alle Ma1 zu sagen: Die Gerade .z (5. Abb. l a ) ist anf den Fnnktionswert ihres Koeffizientsn, die Wagrechte 1 auf jenen des ihren einzustellen. Der Sohnittpunkt dee betreffenden duroh die 01. d. A.G. vor- geechriebenen Astes mit der L.K. gibt die LGsung.

y ) Ein Beispiel fur k r e i s f o r m i g e A b l e s e l i n i e gibt die M u l t i p l i k a t i o n s t a f e l A B = C gewlhlt. (Logarithmieren!) Abb. 7 zeigt die LSsnng fur A = 5, B = 2, C = 10.

Abb. 7. Abb. 8.

6) Reohensoh iebe r : Die Tafel fiir die in a) und p ) behandelte Gleiahung zeigt Abb. 8. Es ist hierbei wie stet8 - wenn nioht ausdrucklich das Qegenteil vermerkt ist - die Transformationsgleichnng (a) benutet worden. Das sngegebene Beispiel zeigt A = 4,

4 3

3 = 2 , C=-. Zwei te k a n o n i s c h e Form.

a) QewShnl i che Mafisttibe. Ein Beispiel fur die unmittelbare Verwendung der eweiten kanonischen Form gibt die folgende T a f e l f u r d i e D ioke d e r R i jh ren u n d Zy l inde r , die auf Grnnd der Formel

entworfen wurde l). Hierin bedeutet m das VerhLlltnis zwischen Dioke und innerem Halbmesser des Rohres fur die Werte p und R des inneren Druckes und des Maximums der Materialspannung in der Rohrwand. Nach Trennung der Verkderlichen ist

(m + l P + 1 3 x p - P (m + 1)a- 1 *

1 2 1 Setzt man (m+ I ) ~ - 1 = i, p = - - SO ist mit y, = - , pa = 1, - a = c = 1, 2 Y ' 2

ko = - 1, ki = kz = 0 die 01. d. A.O.: -- x + R y = l . . . . . . . . . . (11,

die 01. d. L.K. x = 2 (W, (111) die B. erfolgt nach: (s. Abb. 9). p = - . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . 1

Y

I ) Siehe R. Soreau ( l a ) , S. 187.

Band 7. Heft 5 Oktober 1927 F i 8 c h e r , Verfahren zum Entwerfen von EraDhischen Reohentafeln 385

_ _ _ _ _ - _

\.

0 ,

-2 -7 b 7 - 2 8 \

t -I -2

-2 -0.5 7 -7

-45 - A

-~~ - _ ?

1" :;+&$e

:I5 4%

-2

\, 70

4 2 ? c=-ro ' A-O' -5 - 4 -3

-2

I) 8. 180. - Auch in dem Werke von V. Lhska-V. H r u S k a (1) 5nden sloh mit diesen-Abbil- dungen wesentlich identische rnit verscbiedenw Herleitung.

Band 7. Heft 5 Oktober 1927 F i 8 c h e r , Verfahren zum Entwerfen von EraDhischen Reohentafeln 385

8) Als Anwendung k r e i s f o r m i g e r A b l e s e l i n i e ist die M u l t i p l i k a t i o n s -

Die eingezeiohnete 1 1 t a fe l A B = C in der Form f i = -, fa = B, f 3 = - - zu benntzen. C A

Stellung gibt A = 1, B = 2, C = 2 (Abb. lo). y ) R e o h e n s c h i e b e r : Die M u l t i p l i k a -

t i ons t a fe l ist fur die erste Wahl der Transforma- tionsgl. (a) in Abb. 11 gegeben. Sie ist in der Form - = - . - m i t f i = C , f i = - , f a = - B zu vertafeln, I n Abb. 11 ist mit a = 1 die Multi- plikation A = 0,5, B = 5, C= 2,5 dargestellt.

Die Anwendung von Multiplikatoren ist bei jenen FBllen angezefgt, wo beide Zahlen entweder sehr grofi oder sehr sehr kIein sind oder von verschiedener Cfr66enordnnng sind. Es ist die gegebene Gleiohung zn sohreiben

1 1 1 1 0 A B A

m > 10" A. 10" B = lo"'+" C 1 0,

wo m und n passende Zahlen sind. Im letztgenannten Falle sind m und n von ver- schiedenem Vorzeiohen en nehmen.

2. Dreigliedrige alsebraische Gleichungen: z'" + a&' + b = o (a, b beliebige, m,a festgelegte Konstanten). Es ist also

fa G x"', f i b, f i a, g3 xn. a) Gewohn l i che Mafistlbe. Als besonderer Fall m6ge die quadratisohe Olei-

chung behandelt werden. Fur diese gibt H. S o h w e r d t (1) bereits Taleln in Kartesischen Roordinaten; es sollen 'seine Ergebnisse naoh dem neiien Verfahren hergeleitet werden. Die GI. laute: ya + ay + P = 0.

Die Anwendung der allgemeinen Vorschrift gibt rnit a = 0, c = 1 1

+ l = 0. Y a + (B + b) __ y a - b y a - b

Je nach der Wahl der Konstanten b, @I, pa erhIlt man die Abb. 1 2 und 13, die

a) Setrt man b = 0, pl = 1, pa = I, EO erglbt sich mit den Ahb. 95 and 96 des Buches von H. Schwerdt ' (1) identisoh Bind').

als G1. d. A.G.: c t ~ - + - ~ l ~ = - - - l . . . . . . . . * * (I), als Ol. d. L. K.: y1= 15 . . . . . . . . . . . . (11), ihre B. erfolgt nsch: y = - a oder anoh y = v q . . . . . . . . (W. (S. Abb. 12 , die mit I = 0,5 entworfen warde.)

I) 8. 180. - Auch in dem Werke von V. Lhska-V. H r u S k a (1) 5nden sloh mit diesen-Abbil- dungen wesentlich identische rnit verscbiedenw Herleitung.

Ztsclir. f. augew. Math. und Mech.

b) Will man einen Kreis als L.K. erhalten, SO ist zu setzen: [& =-a, pa = ua,

386 F i s ch er , Verfahren zum Entwerfen von graphischen Rechentafeln

1 b = - - man erhllt dann a2 '

als Gl. d. A.G.: q a a + ( l - p a " ) 5 = 1 . . . . . . . . . (0, als 01. d. L.K.: p + q a = 5 . . . . . . . . . . . (11), ihre B. erfolgt nach: . . . . . . . . . (111).

Die Teilung auf dem Kreis ist, wie H. S o h w e r d t bemerkt, stereographisch (8.

Benutat man schiefwinklige Koordi- Abb. 13, die von ihm mit a = 1 entworlen wurde). naten, so geht der Kreis in eine Ellipse iiber.

-?t I

Abb. 1 2 . Abb. 13 .

p) L o g a r i t h m i s c h e M a b s t l b e : Es werde hier von der Gleichung a x1m + 1, x1n + c = 0

ausgegangen, worin a, b, c beliebige, m, n feSt0 Konstanten sind.

Es lautet dann Die R. Mehmkesche Losung wird erhalten, indem man setzt: zIvL = y, xin = 2.

. . . . . . . . . . die (fl. d. A. G. a y + b x + ~ = 0 (9, die G1. d. L. K. y = X74" . . . . . . . . . . . . (11), deren B. nach x, = x'/,n . . . . . . . . . . . (111)

erfolgt. Hierbei kann die B., wie dies Mehmke tut, in einfachster Weise iiber das (geradlinige) Bild der durch G1. (111) dargestellten Kurve erfolgen (8. Abb. 14).

Qeht man, von xl = u / v aus, so dal3 die Gleichung

- Abb. 1 4 .

- lautet :

(a), schreibt fur die beiden Glieder in der Klammer 8. B. vor:

und setzt u n = x , v n = y , SO hat man auch eine durch die Geradenbildlafel loabare Form, Lafit man die Veranderlichen u, TI, 80 hat man den von R. Mehmke behandelten Fall der Auflosung eines Paares von dreigliedrigen Gleichungen mit zwei Unbekannten. Ebenso kann man Potenzen von neuen Unbekannten einfuhren oder auoh die 01. (a) durch ur us (T , s beliebige Eonstanten) dividieren und dann erst den Klammerausdruck - a gleiohsetzen, u. &.

I n Abb. 1 4 ist die Losung der quadratischen Gleiohung

durchgefuhrt. Es ist hierbei, wie schon erwahnt, die Ge- radenbildtafel SQ zu orientieren, dab zunachst die mit ac be-

a + .p - n (bun +&vn) = 0 . . .

b U" + evn = - a ,

x i 2 + 2 ~ ~ - 1 1 5 = O

Band 7, Heft 5 Oktober 1927 Fischer. Verlaliren zum Entwerfen von graphischen Rechentafeln 387

ergeben, die ebenfalls nach dem angegebenen Verfahren

stehenden als uberfliissig. Es sollen nun diese Beispiele ebenfalls besprochen werden:

Mit a= 0, b = - 1, c = 1, p = p a = 2 ergibt sich

behandelt werden konnne, erweist sich nach dem Vor-

a) Quadra t i s che 61. za + p z + q = 0.

65lq

1,

' 3

2

. . . . . . *---* -7 . . . . . . - 7

-2--

-3 .

als GI. d. L. K. y = - 2 (I[) ihre B. erfolgt nach: z = - xi2 (111). [(S. Abb. 15.) Daselbst ergeben sich fiir die GI. za+ a - 2 = 0 die Losungen z = 1, a = - 21. Wie R. S o r e a u bemerkt (abaqne 83) ist diese Losung rnit der nach dem Verfahren von E. L i l l erhaltenen I) identisoh. Mit a = 0, b = - 1, c = 1, p1 = p p = 1 ergibt sich ferner der i m EEEE Anschlufl an die G j e r s s e w a n o f f schen Tafeln von

lichen rnit abaque 83 identisoh ist.

Mit a = - 1, b = 0, c = 1, pl = b i z = 2 ergibt sich

R. S o r e a u gegebene abaque 130a) der also im wesent- Abb. 15 .

b) R e d u z i e r t e k n b i s c h e Gl. z 3 + p a + q = 0.

1;

als Q1. d. A. K. - ( p - l ) - - . - q q , - - , = l . 2 8 2 Y . . . . . . . x 2 + y a 2 + y

als GI. d. L. K. y a = 2 x . . . . . . . . . . . . (11), deren B. nach a = y / 2 . . . . . . . . . . . . (111) erfolgt. In Abb. 16 ist die Lomug der G1. z 3 + 3 a - 4 = 0 gezeigt, es ergibt sich als die einzige reelle Wurzel z = 1 (abaque 84) ".

a) R e c h e n s c h i e b e r : a) Qurtdratische Gl. z a + p z + q = O . Die erste Wahl er- gtlbe mit pl = pa = - 1 als L. K. die Hyperbel x y = - 1, deren B. nach a = - x erfolgte. Die zweite WahI ergibt rnit l /z = - yip, sa = x, [GI = - pa = 1 ale GI. d. A. F. - q/z+pylx = 1 . . . . . . . . . . ( I ) , ale GI. d. L. K. y"=" (111, ihre B. erIolgt nach z = - y . . . . . . . . . . . . (111).

. . . . . . . . . . . .

Abb. 17 zeigt die Losung der G1. za + z - 2 = 0, es ergibt sich z = 1, zd = - 2.

mit L a 1st in der gegebenen 01. p und q sehr grol, so ergibt sich nach ihrer Multiplikation

(n 2)' + p I(?. a) + q ?.a = 0.

I ) 5. a. V. L t i s k a - V . I i r u i k a (l), S 6 3 . 2, R. S o r e a u (lb), S. 174.

Ueber das Lfl lsche Verfahren s. e. U. Mehrnke (I).

Es sei erwiihnt, daD dfese GI. auch in dcm Lehrbuch von V. Ltiska-V. H r u l k a (1) behandelt wird. Hier wird jedocli eunachst eine Kurve :;. Ordnung erhalten und diese durch Inversion in die quadratisrhe Psrabel Ubergefllhrt. Wie ferner dem Aufsatee P. L u c k e y (3 ) eu entnehmen ist, findet sich diese Tafel auch in einem mir nlcht zugiingllchen Aufsatee von A. A d l e r , Graph. AuflOsung der Gleichuogen der ersten vier Grwle. Zeitschr. d. Oest. 1ng.- und Arch.-Vereins Bd. 4 2 (1890J, S. 1 4 6 .

Ztsclir f. n n w w 388 Fi s c h e r , Verfahren sum Entmerfen von graphischen Rechentafeln Math. und && --

Es ist fiir n < l eine passende Potenz von 10 zu wghlen und (1 z ) als neue Unbekannte anzusehen. Wird I = - 1 gewahlt, so ist es moglich, mit bloD einer

Abb. 1G. Abb. 17.

als Gl. d. L. K. ihre B. erfolgt nach

I I

I 4

Hallte der Parabel das Auslangen zu finden. Da diese Substitution bloB das Zeichen von p Lndert, so kann folgende physikalische Deutung ausgesprochen werden : Wurzeln ungleichen Vorzeichens liegen auf dem Einfalls- und Reflexionsstrahla mit dem Einfalls- winkel a = arctgp.

Die erste Wahl erg&be mit pl = - pa = 1 als L. R. x ya = 1, deren B. nach z = f 1; ertolgte. Die zweite Wahl ergibt

b) K u b i s o h e GI. z 3 + p z + q = 0.

als 01. d. A. F. - p y /z + q /x = 1 . . . . . . . . . . (I), y 3 = x . . . . . . . . . . . . (11),

(111). z = - y . . . . . . . . . . . . I n Abb. 18 ergibt sich als reelle Wurzel der G1. z 3 + 3 z - 4 = 0: z = 1.

3. Keplersche Gleichung l) : Sie lautet:

u - e sin a = p. Hierin ist p die mittlere, a die exzen- trische Anomalie, beide im BogenmaO gemessen, e die Exzentrizitat der Planetenbahn.

a) Q e w o h n l i c h e MaOstabe: Die einfachste Annahme uber die freien Konstanten ergLbe eine ungunstige Tatelform. Es wurde daher c = 1,

as 0 , 2 , b = 1 gewlhlt. als GI. d. A. 0. ( e + 1 ) y + ( p + l ) z + 1 = 0 . . . . . . . . (I),

D a m ergibt sich

Abb. 18.

als 01. d. L. K. ’ = a - 0,2 sin a - 1

a 1 (11) y = x sin a . . . . . . . 2 = \ a - 0,2 sin a - 1

Es gestaltet sich die Tafelkonstruktion in sinngerntider Uebertragung des von M. d ’ O c a g n e gegebenen Weges folgendermaCen : EN wird gemaD (11’) durch die einzelnen a-Werte einer sin-Hilfsleiter der Strahlenbuschel gezogen. Da ferner fur e = 0, a = p ist, so ergibt der Schnittpunkt der Verbindungslinien von e = 0 mit dem Werte a = p bereits auf den Strahlen die u-I’unkte. Die Kurve schlPngelt sich in unendlioh vielen Windungen gegen den Null- punkt hin; 8s wurde jedoch in Abb. 19 bloil der Ast 0” - 180° gezeichnet. (Vergl. das spater Gesagte 1)

l) M. d ’ O c a g n e (l), S. 223. Fr. S c h i l l i n g (l), S. 32.

TBand 7, Heft 5 Okhber igz7 Fi 8 c h e r , Verfahren zum Entwerfen von graphkchen Rechentafeln

,9) L o g a r i t h m i s c h e MaBstgbe: 1. Wahl: Setzt man mit c = 1, u = b = 0, 5 = I&, 7 =x/y, so ergibt sich

als G1. d. L. K.

erfolgt. Die Konstruktion der Tafel ist sehr ein- [m fach: Die L. K. ist der geometrische Ort aus (11)

e = 0,15, ,u= 0,5, was a = 30' im Schnitt mit dem Ast + + ergibt. Die Kurve hat, wie friiher gesagt, anendlich viele Aeste, die ab- wechselnd das Zeichen + + und - 3- tragen, von denen aber bloi3 der Ast O o - 180° gezeichnet ist. Die - + Aeste entstehen aus negativem x, wenn 2 n > a > II ist; es ist d a m (I) zu sohreiben

i"" als G1.d.A.G. p + a ~ = ~ . . . . . (I), da die B. naoh a = y . . . . . . (111) A ' . " ' . . : +

030p . . . . O?,;o",~o~ 900 60" rp"so.*b ,OD oo

x = sin y = sin n (11),

-P 3 2 I 4s

und (111) (6. Abb. 20a). Dieselbe zeigt der Fall Abb. 19.

g = - e ( - x ) + p . . . . . . . . . . (1'). 2. Wah l : Mit c = 1, a = b = 0, f = xly, 7 = 1/y erhltlt man

als Gl. d. A. G. y = e + p x . . als (31. d. L. K. . deren B. nach a = arc sin , . erfolgt. Die Abb. 20 b zeigt die Liisung fiir den Fall p = 1,90, e = 0,30 was im Schnitt

Hier besteht die Kurve aus abwechselnden

y = x arc sin 1/x .

der beiden + + Aesten a = 120' ergibt. 9

P

Y 700 t

56 3 ZL 10

5 270: ------

Abb. 208.

. . . . . . . . . (0, . . . . . . . . . (Il),

. . . . . . . . . @ I 1 1

+- + und + - Aesten; vom letzteren ist jener von 180' - 360° gezeicbnet. a>m, x<O, y<O, es geht daher (I) in y = - e + p e (I") flir 2 m > c c > n iiber.

werde p1 = 2, pt = I 0 gewllhlt, ferner u = b = 0, c = 1 gesetzt. Es ergibt sich

Es ist fur

7) Kre i s f i i rmige Ablese l in ie : Da e nur von 0 bill 0,4 in Betracht kommt,

3 2 +ezw- i o y - 1 (I), ah GI. d. A. K. . . . . . . . . . Z - p als 01. d. L. K. deren B. a m

y = l / 5 x sin a . . . . . . . . . . . (W, 010 23 + I= a = - . . . . . . . . . . .

2 2

hervorgeht. den a-Strahlen den gesnchten Skalenpunkt a der 18senden Kurve. den mit Pfeil versehenen Kreisbogen fiir a = SOo sngedeutet.)

Hier ergibt der Kreis dnrch den Ursprung mit dem Mittelpunkte a =,u au! (In Abb. 21 dnrch

Da am (111) folgt

Ztechr. f. angew. 390 Fi s c 11 e r , Verfahren zum Entwerfen von graphischen Rechentafeln Yath. undbloch.

und sin (n - a) = sin a, so liegt auf dem Strahl a noch der Punkt fur den Snpplement- winkel, der ganz entsprechend (aus p = II - a) erhalten wird. Wie leicht einzusehen, konnten die iiber R hinansgehenden Leiternwerte der sich in immer grbfleren Amplituden um die p Achse schllngelnden Kurve bestimmt werden. Es werde aber davon abgesehen nnd der bisher noch nicht angewandte, von M. d ' O c a g n e zwecks Verkleinerung des Abbildungsraurnes benutzte Knnstgriff besprochen, der dazn dient, den gezeichneten Ast auch fur das Interval1 180' bis 360' beniitzen zu kiinnen.

Ziebt man nElmlich von beiden Seiten der vorgelegten Gleichung die Cfriifle 2 II s b ( 1 2 - 2 n ) - e e r i n o r = p - 222

und setzt CL - 2 n = - A, p - 2 n = - M, so bleibt fiir die neuen VerPnder- lichen die Gleichungsform erhalten. Es sind aber, wie in Abb. 2 1 ansdruck- lich bemerkt, die mit

bezifferten Unterseiten der Linien von den Oberseiten streng auseinanderzuhal- ten. Dieser Kunstgriff ist nnr desbalb miiglich, weil stets u und p g l e i c h - r e i t i g gr66er oder kleiner sind a18 m, was aus der Ql. nnmittelbar herausge-

leaen werden kann. Die Abb. 2 1 gibt e = 0,1, p = 2, den Wert 01 = 120 O.

8) R e c h e n s c h i e - b e r : Hier ergibt die Wahl 8 = lix, 11 = y/x die Abb. 22. Die not- wendigen Qleichungen (I) bis (111) entstehen sue denen von p) durch Vertauschung von x mit y. Das in den Abb. eingezeichnek Beispiel gibt fur p = 2 , e = 0,4 denWert a=132'. Die

L Y . = ~ ~ - A , ti=Zn--M

! sin-Hilfsleiter ist in den Abb. angedeutet. Die zweite Wahl ergllbe keine so giinstige und rasch entwerfbare Tafel.

-i- Abb. 22.

4. Fresnelsche Formein fiir die Glasreflexionl). Sie lanten:

Hierin ist n der Brechungsindex der durchslchtigen Oberflticho, i der Einfallswinkel, ha und ka die Fresnelscben Koeffizienten.

a) mit den abkiirzenden Bezeichnungen ' = y', cosa i = P ergibt sich:

Baud 7, lleft, 5 oktober 1~

also eine, der kanonisohen Form (11) zugehiirige G1. ko = 1, kl = k~ == 0 ergibt sich:

Fischer, Verfahren sum Entwerfen yon graphisohen Bechentafeln 39 1

=pa = 1, 6- 1 a = - I , Mit

a) G e w o h n l i c h e Maljstilbe. als G1. d. A. G. .u/ql - v/z = 1 . . . . . . . . . . . (I), ale G1. d. L. K. u = 1 . . . . . . . . . . . . ( I n , deren B. nach n = sin i . . . . . . . . . . . . (III)

die (31. d. A. Q. y=x /z f l / rp . * * * (0, y = 1 . . . . . . . . . . . . ([I),

deren B. nach n a z 1 - z . . . . . . . . . . . (111)

erfolgt. ,@) L o g a r i t h m i s c h e Ma6stBbe. Mit zl= l iy, v P - z/y ist

. . . . . . . die Gl. d. L. K.

erfolgt. (Dnroh Einfiihrung von - P == X ergibt sich der Ast - +) ( 8 . Abb. 23).

Y. -k it

45-1 4'160. 43

Abb. 23 . Abb. 24.

b) Mit denselben Abkiinungen und einfachster Konetantenwahl ergibt sich: a) Gewohn l i che Mabs tabe .

als Q1. d. A. Q. als cfl. d. L. I(.

ulap - vlz = 1 (I), u = (v + 1)2 (10,

deren B. erfolgt nach u=f24 . . . . . . . . . . . . (111).

die G1. d. A. Q. y = m/z + l/rp . . . . . . . . . . . (l), die (31. d. L. K. (y - z)2= y . . . . . . . . . . . (11), deren B. erfolgt nach n 4 = 1 ly . . . . . . . . . . . . (111).

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

1.3) L o g a r i t h m i s c h e Mabettibe. Mit u = liy, v = - z/y ist

(S. Abb. 24.) Auch hier i s t der Ast - + durch Fiofiihrung von - x = X in die 01. (1) bis (111) entstanden.

5. Winkelverbesserung durch Entfernungrmessung beim mittelbaren Schiegen. I n Band 11 gibt R. Soreau ' ) die Tafeln wieder, die von R icc i und J. Clark fur diesen Zweck entworfen wurden. Die zugrundegelegle (31. wird folgenderma6en hergeleitet: Eine Batterie sohieDe auf ein unsichtbares Ziel B (Abb. 25). Ein Beobachter C, der sich in der Eotfernung A C - welche als Lgngeneinheit genommen werden moge - befindet, telephoniert dem Batteriekommandanten die Entfernung C B = e und den Winkel X C B = q, unter dem or das Ziel

A X A

Abb, 25.

Ztschr. f. angew. Math.undMech. 392

beobachtet. Es handelt sich daram, daraus die Verbesserungen a und E herzuleiten, die an e und cp angebracht werden mussen, um die wahre Entfernung A B und wahre Rich- tung X A B zn erhalten. Die zu entwerfende Tafel betrifft die Winkelverbesserung E . Aus dem Dreieck A B C folgt

F i sche r , Verfahren xum Entwerfen von graphischen Rechentafeln .. ~

a) L o g a r i t h m i s c h e Mafisttibe: Es ergibt die Division durch 00s y, als 01. d. A G. y = z tg E - e . . . . . . . . . . . (I), als Q1. d. L. K. x % + y 2 = 1 (IU, . . . . . . . . . . . deren B. erfolgt nach z = sin tp oder y = cos q~ . . . . . . . . . (111).

Y Der Schnitt der in Abb. 26 gezeicbneten Kurve mit dem +- Ast der Geradenbildtafel gibt die an der Kurve angeschriebenen Q, - Werte, derjenige mit dem Ast - + die Werte 180° - cpo an.

@) R e c h e n s c h i e b e r : Die Form (b) der T r a n s formationsgleichung gibt bie Abb. 27 die mit dem gleiohen Formel-Apparat entworfen wurde. Hier ist

70

- I I

9’

l R 3 7 O l 4 P C

Abb. 26 . Abb. 27 .

die L.K., sowie der LIlnfer mit der regelrntifiigen Kreisteilung versehen, so dai3 die Konstruktion der Schieber die allereinfachste ist. Das gewfhlte Beispiel gibt fur e = 1, cp = 120° den Wert E = 60° .

Die Tafel kann auch statt jener, die die Einzeichnung der Rad3chaufeln des S a g e - bien-Wasserrades behandelt ’), verwendet werden, worauf aber nicht weiter eingegangen werden kann.

6. Als Beispiel fur die vierte kanonische Form werde das dem soeben behan- delten entsprechende u n m i tt e lb a r e S ch ie fi e n mi t E n tf e r n n n g s m e s s u n g a) gewlhlt. Es schiei3e eine Batterie A auf ein Ziel B, das von A aua sichtbar ist, und dessen Ent- fernung CB von einem Entfernungsmesser beobachtet wird, der sich in einem dnrch o, und A C = 1 festgelegten Punkt C befindet. Es sei C B - @, A B = e +a. Es ist die Verbesserung a zu bestimmen, die ZII p hinzuzufugen ist, urn die Entfernung A B zn

erhalten. 1 + aa

2 Das Dreieck A B C gibt - e cos a + (@ - 00s a)) a + ~- = 0.

2 -- M=p-ooso , , N = - e cos w. 2 n Es ist mit

a) G e w o h n l i c h e Maflstlbe:

f i=-cos 0 , z=- 1+a” ’ - 1 +ag’

M s + N y + l = O (I), (II), die Q1. d. L. K. 2 ” + ( 2 / - l ) a = 1 . . . . . . . . . .

deren B. erfolgt nach a = -l 1 2 / ? / - 1 . . . . . . . . . . (111).

. . . . . . . . . . . . die 01. d. A. G.

~~ ~

I ) R. S o r e a u ( la ) , S. 2 2 8 (abaque 16). 2, R. S o r e a u ( l a ) , 8. 218 (abaque 41).

393 Band 9, Heft 5 Oktober 1927 Fischer, l‘erfahren zum Entwerfen von graphischen Rechentafeln

Dle B. der Ersatzdoppelparabel x 3 = y erfolgt nach: Q = - l / x und con (u= l /x (a. Abb. 29).

Eine vielleicht giinstigere Auordnung ergibt sich durch Division der GI. durch f l t z f a [s. Abb. 30, die i m wesent- lichen mit Abb. 203 von R. Sorean (lb)’) ubereinstimmt].

Ll A 7 C /RA’oyzzsI

Abb. 28. Abb. 29. Abb. 30.

8) R e c h e n e c h i e b e r : Die Trsnsformationsgleiohilng (a) gibt fur die 1. Wahl: als (31. d. L. K. y% - 2 x y + 1 = 0 deren B. erfolgt nach a = l/y . . . . . . . . . . . . (ID).

. . . . . . . . . . (I),

(8. Abb. 31) . . . . . . . . (I). Die B. der Ersatzdoppelhyperbel erfolgt nach:

I= - c, 5 = COB

Es ergibt sioh fur e = 1, (u = 6G0 der Wert a = 0, a = - 1, so da6 damit die eine Asymptotenrichtung der Hyperbel der L. K. angegeben wird. Die andere Asymptote ist symmetrisoh zur Winkelhalbierenden des 1. Quadranten. Wie in dar Abb. aogegeben, ist der zweite Teil des Hyperbelastes un- brauohbar.

als GI. d. L. K. deren B. erfolgt nach x l /a .

folgt nach:

Die 2. Wahl ergibt ----- x a - x y + = 0

Die B. der Ersatzdoppelbyperbel er-

. . . (I). -1 1 x z - , x = - e COB a,

Wie ersichtlich, kommt man bei dieser kanonischen Form zu einer Schieber€orm, bei der der Liiufer unkotiert ist; er ist da- her in der Abbildnng weggelassen. Seine hbb. 31.

Anwendung ergabe - obwohl sie prinzipiell mSglich ist - praktisch gewisse Unzukiimmlichkeiten, da seine Einstellung nur durch ein gewisses Tatonnieren miiglioh wBre.

Als Beispiel fur die Darstellong der kanonischen Form I1 durch ein Parabel- nomogramm werde das dort gewlhlte ’) wieder behandelt :

+ 1 = 0 . m s P - 1 oder -- p ( l + m P + l R - p R ( 1 + d 2 - l

a. a. O., 5. 125. ?) M. d ’ O c a g n e (l), S. 235.

F i 8 c h or, Verfahreh 2dm Entwerfen v0n graphischen Rechentafeln 7tschr Math. LndMech. f. anges. . -- ._ - - .~ 394 _ _ -

ES ist

Die B. der Ersatzdoppelperabel erfolgt nach z = - l ip ,

7. Als Beispiel fur die fiinfte kanonische Form diene das von R. S o r e a u ' ) behandelte fur die Ans f lub - g e s c h w i n d i g k e i t des W a s e e r s d u r c h e i n e r e c h t e c k i g e Mi indung i n e i n e r v e r t i k a l e n W a n d . Sie erfolgt nach der Formel

x = R (Abb. 32) .

wenn zwei Seiten des Rechteoks horizontal siod, ihre Ent- fernung vom Wasserspiegel hl und ha (in m) betragt und v

in mls gemessen wird: (*= 3 0,335). Abb. 32.

Diem 01. hat die Eigentilmlichkeit, daO die Fnnktionen f1 und f a , ebenso gl und g2 die gleichen sind und der Unterschied nur in den Argu- menten liegt.

= - h2%, g, = - ha, a) Gewohn l i che Maflsthbe: Es ist f i = hl3/*, gl = hl, g3 = 0,338 9. Die GI. d. A. 0. ist M x + 0 , 3 3 8 v y + 1 = 0 , . . . . . . . . (1) I die G1. d. L. K. iet y 3 = - - 2 . . . . . . . . . . m 1

ihre B. erfolgt nach x = hl% oder y = - h1-% . . . . . . . . (111) 1

die G1. d. Ersatzkurve p y3 = - d, ihre B. erfolgt nach

die 01. d. L. K. ,*= -

deren B. erfolgte nach einer der GI.

2 = + hS% oder y = - hl-'h (s. Abb. 33). 8) Reohensch iebe r : 1. W a h l : Hier ist

Y3 I

xa= - Y 3 * die (31. d. Ersatzkurve p

- x 5 hl%, - 1/ = hi bzw. - x = hr'l?, - 2/ = hz.

Die B. auf dem hier ebenfalls nicht praktischen und daher nicht einge- zeichneten Laufer ergLbe sich zu -* wird aber

der Mittelpunkt des Laufers auf die X-Achse in den Abstand - 1 vom Ur- sprung verlegt, so sieht man, dal3 der nntere Teil der Y-Achse die 0,338 v- Leiter trftgt. Es ist dann F der Festpunkt, durch den das rechtwinklige Zweiachsenkreuz stets hin- durchzugehen hat. In Ab-

Abb. 33. Abb. 34. bad. 34 ist hl= 1, hl= 0 ; 8 s ergibt sich 2) -. 3 mls.

- R. S o r e a u ( l a ) a ) gibt in (ab. 78) eine projektiv verllnderte Tafel. - Die reziproke Form der vorgelegten 01. ergLbe eine Bhnliohe Tafel.

1 0,338 v '

-- ~

l) R. S o r e a u ( la) . 9. 225, cab. 48). a) a, 8. 0. S . 358.

hand 7, Heft 5 Oktober i g z F i sc h e r , Verfahren zum Entwerhn von graphischen Rechentateh 396

Die zweite Wahl gibt die bereits bekannten Ergebnisse und zwar fiir die reziproke Form den von R.Soreau ( la) gegebenen abaque 45').

8. Allgemeine Gleichungsformen. a) S t r a h l e n t a f e l n Die von H. S c h w e r d t (1) als Beispiele fur diese Tafeln gewiihlten Mul t ip l ika t ions t a fe ln 7 = a p - die auch geschrieben werden konnen I Y ' ~ = I a" p, wobei ein MaOstabfaktor und n ein sogenannter freier Parameter ist, der sich aus dem Bereich der Tafel ergibt - gehen durch besondere BediDgungsgleichungen hervor.

Wird I@'= vlu gesettt, so erhPlt man znniichst 1 y"u = a" v. Schrelbt man vor u = a", so ergibt sichv = I y". Tafeln dieser Art bezeichntt H. S c h w e r d t nach C b e n e v i e r , der n = 1 wllhlte.

Wird in 117, y" = 111 a" p" gesetzt 111 y" = u/v, so ergibt sich zunSchst u = lln a" @' v. Schreibt man vor u = a"', so erhPlt man v = 1 @-", welche Tafeln von C r 6 p i n (n= 1) und Fi i r le (n = ' / a ) eingeliihrt wurden. Abbildungen dieser Tafeln sind in dem Bnah von H. S c h w e r d t zu finden2).

b) D o p p e l s t r a h l e n t a f e l n und v e r a l l g e m e i n e r t e D o p p e l s t r a h l e n t a f e l n . Es moge das von M. d ' 0 c a g n e und R. S o r e a u (la)") gewPhlte Beispiel der Tafeln fur St i i t zmauern fur E r d m a s s e n , d i e n a c h i h r e r na t i i r l i chen B o s o h u n g ab- f a1 1 e n , gewghlt werden.

Hierin bedeutet K das VerhSltnis der Qrundlinie zur HBhe einer Mauer von rechteckigem Querachnitt, die eine unter dem Boschungswinkel y~ abfallende Erdmasse stiitzt, wiibrend p das VerhPltnis der 6peZifiEohen Qewichte der Erdmasse und des Manerwerks angibt.

Ee gelmgt dabei folgende Formel zur Anwendung Ka + Kp sin (p cos y~ - p / 3 cosa 9 = 0 . . . . . . . (a).

1. a) Fiihrt man K = ulv ein, so ergibt sich ua + u v p sin (p cos (p - p / 3 v* cos2 y = 0.

u + p v sin y, cos cp = p , Schreibt man vor so lautet . . . . . . . . die Ql. d. A. Q.

deren B. nach U = K V . . . . . . . . . . . . (111)

ulp + v sin cp COB y, = 1 * (I), die 01. d. L. K. u = v3/3 cos . . . . . . . . . . . (11),

erfolgt. Die Tafel hat also far die Verlinderliche (p ein .iiberzabliges Syatema. p) Man kann aber auch die VerPnderlichen trennen, indem man vorschreibt: u cos cp sin (p - v / 3 cosa q~ = - 1.

Dann ist die Q1. d. A. G.

coal 'p - u COB cp sin p + v ~ - - 1

ihreB. erfolgt nach u = Kv . . . . (111). Die Schar der A. Q. kann, da nur yon e i n e m Parameter abhlingig, in die Tafel eingezeichnet werden; es ist diese also eine Strahlentafel (Abb. 35) I m logarithmischen System besteht dae Grundblatt aus zwei Systemen paralleler Qeraden, wlhrend die Geradenbildtafel jeweils in bekannter Weise einzustellen ist.

2. Qeht man hingegen von der identi- schen Form

aue und fiihrt hier t gy ,=u /v ein, so erhlllt i. I!

(0, 3 . . . . die G1. d. L. K. uJ = p u m,

K 2 (1 + tg' F) + Kp tg 9 - p,'3 = 0

man vorerst:

') a. a. 0. S. 226. a ) Vergl. auch M. d 'Ocagne (I), 8. 45, 58. 3, 9. 111. 4, R. S o r e a u (la): abaques 18, 19, 20, 80, 81, 82,

Siehe auch Fr. S c h i l l i n g (11, S. 22.

Ztschr. f. angew. 396 Fischer. Verfahren zttm Entwerfen von praphischen Rechentafeln Math.undMech.

Durch verschiedene Bedingungsgl. erhttlt man die bekannten Ergebnisse R. So r eaus bzw. M. d ' o c a g n e s : v = K (abaque 18) , v = 3 K (u + 1) (abaqne .19), ua+ v a = p v (abaqne 20).

I n allen 3 Ffillen entstehen Strahlentafeln, die eine Schar Kreise und zwei Scharen Oeraden enthalten. Schliedlioh erhfilt miln rnit u2 + va = p eine Strahlentafel rnit 1 Schar Hyperbeln nnd 1 Schar Kreise, die aber in parallele Geraden ubertiihrt werden kiinnen.

c) Netz ta fe ln mi t 2 R r e i s s c h a r e n . Aus der Form 18) des vorhergehenden Punktes b) erhllt man mit u = 2 0 V , L

x d + y * f x'd + 1 2

als G1. d. A. R. x p + g'

als Q1. d. L. K.

deren B. durch erfolgt. Der Ort der Mittelpunkte

. . . . . . . . . . . . X = K Y (111) der Ablesekreise ist die feste Kurve rnit den Koordinaten

. . . . . . . . . . (I!), x = - cos sp sin sp ?J = '/a COE'

also nach Elimination von p dle Ellipse von der Ql. 4 sa+ 36 (y - '/6)'= 1 . . . . . . . . . Wl

die nach einer der GI. (1') nach sp zu beziffern wLre. 2 X 2 Y Aus der Form 2 a) (abaqne 18) erhfilt man hingegen rnit u = __ x'+Ya* '==a

(8. Abb. 36) als G1. d. Kreissysteme 12 - K , ( ~ - 3 ) ' + y ' - 9 + p , - 2 r

xz + y' als G1. d. Geradenschar

diesen Fall gegebene Gleichung

ebenfalls vertafelt.

y tg p = x .

aa ba + 2

d) N e t z t a t e l mit 3 K r e i s s c h a r e n : Hierfiir werde die von R. Soreau ( lb) ' ) fur 1 1 1 -=-

Es ergeben sich die 3 Kreisscharen:

(z - u)' + (y - a)' = 2 a 4 ,

w

I

I I

I

2 2 1 2 Y 1 x'+ y1 b' ' x'+ y' as

-== - -- (8. Abb. 37).

Abb. 37.

397

e) R e c h e n s o h i e b e r fur die Formel des Board of T r a d e fur z w e i r e i h i g e

t l l p + 4 d ) ( p + 4 d )

Band 3, Heft S Oktober 19.27 F i 8 che r , Verfahren zum Entwerfen von graphischen Rechentafeln

Zio Be a c k n i e t n n g ’) :

e = ) / - 10

Hierin ist d der Durchmesser des Niets, p der Abstand zweier Nieten, e der Abstand der Nietreihen. Ausgeschrieben lautet diese Gl.

10 e 2 = l l p a + 4 8 p d + 16 da. Wird gesetzt d = ulv, so erhlllt man zuniiohst

16 ua + 48 u v p + 1 1 pa va = 10 ea va. Schreibt man vor

10 e 2 v - 48 u p = 1 , so folgt weiter

1 6 u a + l l p ’ u a = v .

Wird nun gesetzt u = v = __ so erhillt man 4 x ’ X f Z ’

als Ql. d. A. F.

ale Ql. d. L. K.

1 10 ep- - 1 2 p X = 1 . . . . . . . . .

0 1/11 X

‘ 1

Yd=G(x- f i p ’ ) . . . . . . .

(111). d = - y . . . . . . . . . . . deren B. erfolgt nach d11 4

Es ist leicht ersichtlich, daB auch die allgemeine Form

vermBge der in (11) ausgedruckten Besonderheit - die 01. (11) stellt eine Schar paralleler, nach y bezifferter Parabeln dar - die Konstruktion von Schiebern gestattet, die ein Qrund- blatt (*Stab((), ein verschiebbares durobsiohtiges .Zungenblatt*, sowie den fur alle diese Tafeln charakteristischen Lllnfer bestBen (8. Abb. 38).

Auf dem Stab ist - in der Ansnehmung - die e-Leiter anfgetragen, sowie ferner eine p-Leiter. Auf dem Zungenblatt befindet sich die durch (11) bestlmmte Parabel mit der d-Leiter [nach (III)], sowie eine Einstellmarke fur p. Der LHufer triigt ebentalls eine p Leiter. Die Ablesung fur e als gesuchte QriiSe gestaltet sich folgendermaflen:

e f a a = Uii fi’+ 2 U19 fi f i +ass fa’ (e = f 1).

Das Znngenblatt wird zu- nachst mittels der Einstell- marke auf den p-Wert ein- gestellt: dann wird der auf den p-Wert eingestellte Ab- lesefadcn des LBufers duroh den Punkt d a d dem Zungen- blatt hindurchgefuhrt. Sein Sahnitt mit der e-Leiter gibt den gesuohten Wert e. (Ab- bild. 38 zeigt den Fall p = 50, d = 40; es ergibt sich e = 123.) In der Ab- bildung ist die Einstellmarke des Zungenblattes bereits in p = 50 fixiert; der Ursprung des Koordinatensystems 0 ist links nnten in der Ecke an- gegeben 3.

I) Siehe W. K r e t s c h m e r (l), diem Zeitachr., Bd. 5 (1,925), E). 162, daselbst auch weitere Lite- Vergl. anch P. Luckey (3). a) Verlegt man die p- , bzw. e-Leiter auf die obere, bzw. untere QleitfllLohe zmisohen Stab und

ratur.

Zunge, so kann letztere auch nu8 undurchsichtlgem StofZ sein.

26

ttachr. f. an ew. Math. und ?&oh. 398 F i 8 c her , Verfahren zum Entwerfen von graphischen Rechentafeln

9. Beziehunden zwischen mehr als drei Verilnderlichen. Doppelle

a) Rechensch iebe r fiir d i e Form fi + f a = f a + f 4 . Als Beispiel ist in Abb. 39 Mit l / A + l / B = l / D - l / C = 115 ergibt sich

Fluchten.

die 01. 1/D = 1 /A+ 1/B + 1/C vertafelt. diese gemtii3 Abb. 8. In der Abb. 39 ist A = 4, B = 2, C = 4, D = 1.

\ I

Abb. 39. Abb. 40.

B) R e c h e n s c h i e b e r fiir d i e F o r m f i f g =f3f4. Als Beispiel ist in Abb. 40 die Multiplikationstafel A B C= D wiedergegeben. Sie ergibt sich durch Uebereinanderlagerung aus Abb. 11.

Als weiteres, nnter diese Formen fallendes Anwendungsbeispiel konnten Tafeln statt der von Q. E i f f e l erdachten Tafeln mit logarithmischen Vektoren fur die Wahl einer Luft- schraube I) entworfen werden. Es wiire hierzu bloB eine leicht ersichtliche Umformung der gegebenen Gleichung erforderlich.

Hier ist A = 0,5, B = 5 , C= 2, D = 5 .

y) K a n o n i s c h e F o r m f i g s + f g = f a g4 + f 4 .

Q e w o h n l i c h e MaBstabe : Es werde bloB die von M. d ’ 0 c a g n e ( 1 ) q behandelte Darstellung der B a z i n - schen Formel

87 V F J U=- I t - Y

liz besprochen. Hierin bedeutet U die mittlere Qeschwindig- keit in mls, R den mittleren Radius in m, J die Neignng des Kanals und y einen von der Natur der Seitenwand abhiingigen Koeffizienten, der zwischen 0,06 nnd 1,75 schwankt. Die Formel kann durch Einfiihrung einer Hilfs- vergnderlichen 5 in die beiden Teilsysteme

Abb. 41.

R e c h e n s c h i e b e r fur 1. Sys tem: 01. d. A. F. 01. d. L. K. deren B. erfolgt nach

871/J+U5=0. . . . . (2) zerfiillt werden (siehe Abb. 41). d a s g l e iohe Beisp ie l : 1. Wahl: 5 = l/z, 7 - yiz.

y 1 / x + c y / x = 1 . . * . . . * * . . (0, ? I = xz . . . . . . . . . . . ( I n

z = - 1-R . . . . . * . . . . , ([TI).

I ) 8. R. S o r e a u (lb), S . 188. a) M. d’Ocagne (11, S . 280. - R. Sorssu ( l a ) , S. 307 (abaque 62).

Band 7 Heft 5 Okt&r 19n

2. Sys tem:

01. d. A. F.

F i 8 cher , Verfahren zum Entwerh von graphischen _____ Rechentafeln 399

U 1 - u (a?+l)3r+lIJ;=l . . . . . . . . . (I), GI. d. L. K. 5 = 1 . . . . . . . . . . . . (11), deren B. erfolgt nach c = l / y . . . . . . . . . . . . (111). (&he Abb. 42.) Hierzn ist zu bemerken: Will man mit dem gewohnlichen Ltiufer das Auslangen finden, EO ist zuntlohst die Fadenstellung dnrch die Richtung y R festzulegen. Eine Verschiebung in den Ursprung 0 ergElbe auf der Zapfenlinie den Wert 5; Einstellung des Fadens auf J und Hindurchfiihrung desselben durch 5 ergibt auf der U-Seite den gemohten Wert U. Wie aus der Abb. 42 ersichtlioh, kann durch die Anbringung von Fadenparallden am Lluferglas die Ablesnng auoh obne Versohiebung nach 0 gesohehen, bzw. geht der Liiuferfaden in Stellnng (11) stets durch den Punkt U = 1 und zeigt die Parallele zu ihm dnrch den c-Wert den Wert U auf der U-Leiter an. Es liegt also in diesem Fall der >)Parallelenindex mit Festpnnkta vor.

Abb. 42. Abb. 45.

2. Wahl: { = J/x, 1 = l /x . 1. System: 01. d. A. F. f l x t y y/x= 1 . . . . . . . . . . . (I), 01. d. L. K. y = xa . . . . . . . . . . . . (II), deren B. folgt nach VR= - l/X . . . . . . . . . . . . (III). a. System:

(31. d. A. F. . - . (0, -+(81+1);=1. 1/J u Y . . . . . .

. . . . . . . . . . . . 01. d. L. K. y = x (1% deren B. erfolgt naoh C = x = y . . . . . . . . . . . . (111). AUS Abb. 43 ist zu ersehen, da3 zwei Zapfenlinien erforderlioh sind, zwischen denen die Parallelen zur y-Achse die Verbindung herstellen. Es ist der Faden auf y einzustellen und durch den R-Wert bindurohzufuhren, wa8 auf den Zapfenlinien den Wert 5 gibt. Hier- auf ist der Ltlufermittelpunkt auf den J- Wert einzustellen nnd der Faden auf den Zapfen- wert 5 zu drehen. Er ergibt a d der U-Skala dee Ltiufers den gesnohten U-Wert.

Als Beispiel diene die Tatel fur die W a s s e r g e s c h w i u d i g k e i t i n e inem K a n a 1 m i t T r a p e z q u e r s c h n i t t , fur welchen Fall M. d ’ 0 c a g n e (1)’) eine von Wolff kon- struierte Tafel wi6dergibt. In der (31.

b d + d a

’) M. d’Ocagne (0 , S. 287. 2 6*

400 __-___ Ztschr. f. angew. Math. und Mech. Fiecher , Verfahren zum Entwerfen von graphiechen Rechentafeln ___ _ ~ . _ _ _ _ _ _ . ~

ist V die Oeschwindigkeit in mls in einem solchen Kana1 von der Seitenneigung ' / I , der Bodenbreite b in m, der Spiegelhohe h in m und der Kanalneigung s.

sofort ergibt, so entstehen die Teileysteme

Werden beide Seiten der OroDe 51rn gleichgesetzt, wobei sich m =

m ( b d + d 2 ) = b E + v s E d . . . (1)) r n ( y + E 4 0 s I , . . * . . ( 2 ) .

Die Behandlung des Systems (1) fiihrt nach Division durch

Mit I = d 1% y = d' 1s ergibt sich die Parabel x2 = 18 y als L. K., deren B. nach einer dieser GI. erfolgt. Die Ersatedoppelparabel tragt die nach z = - b, 5 = 5 er- haltenen Teilungen. - I m Teilsystem (2) tragt diese Parabel

v i -- halten werden. Die B. der y Achse erfolgt nach ?/ = (z)s?V 8

(8. Abb. 44).

die Teilnng fur 5 nnd s, die nach x = E und x = - ~ ' 1 4 er-

20

10. Tafeln mit Doppelkotenpunkten. a) G e w o h n l i c h e Mal l s tabe u n d l o g a r i t h m i s c h e e

Abb. 44. System: 1. Hier wLiren vorerst die v i e r g l i e d r i g e n alge- b r a i s c h e n GI. zu behandeln.

xnr+ a x n + b e r + c = 0.

(a, b, c beliebige, m > n > T festgelegte Konstanten). Hier ergeben sich durch die Kombi- nation von xnr mit einer der Oroflen a, 6 ) c drei Falle von Kurvenscharen fur die losenden Kurven, wozu noch durch die verachiedenen freien Konstanten weitere Verallgemeinerungen

Bei den f u n f g l i e d r i g e n alge- -5 braischen Olelchungen trlgt sowohl

festes als auch bewegliohes Blatt eine Kurvenschar, was auch dann der Fall ist, wenn man auf den Fall des Obi- chung3paare zuruckgeht.

2. T o n n e n g e h a l t d e r Yach ten . Die alte Formel der Union des Yachts franpais lautet:

130 T = ( L p - p"4) 15, worin T den Tonnengehalt, L die Lange an der Wassertracht in m, p den Umfang in N, S die Oberfllohe des Segelwerks bedeutet. R. S o r e a n (la)) ') gibt eine von C h a n c e l ent- worlene Netztafel mit 2 Geraden- scharen, sowie eine von ihm ent- worfene Fluchtlioientafel 9, wieder. Ee

- - -- - - - - X ergibt sich im l o g a r i t h m i s c h e n S y s t e m : als Gl. d. A. Q.

sich ergeben.

y = 4 L x - - 1 . (I), v:

als G1. d. L. K. y = 5 2 0 T x a (I& Abb. 45. deren B. nach y = p x . (111)

' f a. a. 0. S. 295 (ab. 59), M. d'Ocagne (1) 9. 1'29. a. a. 0 5. 340.

Band 7 Heft 5 Okt&r 1927 Fischer , Verfahren zum Entwerfen von graphischsn Rechentafeln 401

erfolgt. Es sind hier also im logarithmischen Bild (11) und (111) Parallelenscharen (siehe Abb. 45). Wie leioht ersiohtlloh, kann diese Tafel auch a16 verallgemeinerte Doppelstrahlen- tafel fur 4 Verlnderliche aufgefafit werden.

Einen ganz Phnliohen Bau hltte die Tafel fur die n e u e Formel 1000 lz T = (L p - AS',

also fur 5 VerPnderliohe, worin jetzt p den um die doppelte Hohe des Bordes (bord6) iiber der Wassertraoht verminderten Umfang in m, M den eingetauchten Hauptteil in ms bedentet und die ubrlgen OroDen die gleiohe Bedeutnng wie fruher besitzen. Es ist dabei die T entspreohende Qeradensohar mit z = T l% za beriffern, woraus sich T = 2L durch

eine Verschiebung um 1% ergibt, zu welchem Zweoke auf einem der Blatter eine IZ-Lei te r anzubringen wllre.

3. Auch fur die bereits behandelte B a z i n s c h e F o r m e l kann eine Tafel mit Doppelkotenpunkten entworfen werden.

1/%

Die O1. lautet ausgesohrieben : 87 R I J - UYR- U y = O .

ID logarithmisohem System ergibt sich -

als G1. d. A. 0. y = - y x + 1 / J . . . . . . . . . . . (I),

deren B. erfolgt naoh y = 1 / R x . (m. als Ql. d. L. E. Ya=E u z . . . . . . . . . . . . (11),

- . . . . . . . . . . . Die Tafel ist der vorhergehenden gasz Phnlich.

4. Fur die restlioh zu besprechenden Ftille, die im wesentlichen mit den von M. d ' 0 c a g n e (1) besprochenen Unterflllen 2 und 3 der allgemeinen Auflosung der sphbisohen Dreiecke l) identisch sind, werde ZunPchst die Konstruktion der Tafeln in gewohnliohen MaOstlben besproohen und hieranf diejenige einer Ta f el im logarithmischen System mit blo5 e i n e r Kurve und zwei geradlinigen Leitern - wobei vom Stechzirkel Oebrauoh zu maohen ist, - bzw. eines I n s t r u m e n t s , das solort beschrieben werden wird. AuDerdem wird in den Unterftlllen 2 und 3 die Oeradenbildtafel als Ablesegertlt beniitzt; beide sind aber fur alle 3 Unterfalle brauohbar.

die Tafel von J. Mandl wieder, die auf Qrund der Formel

sin h = sin lo sin d + cos 10 00s d COB A H entworfen worden ist. Hierin bedebtet h die soheinbare SonnenhGhe, lo die geographisohe Breite des Ortes, d die Deklination zur betreffenden Jahreszeit und A H den Stundenwinkel.

- sin h + a sin d + b 00s d COB p = 0.

a) W a h r e S t u n d e n a o h d e r S o n n e n h o h e . Hierfiir gibt R. S o r e a u

Mit den Abkiirzungen sin lo = a, 00s 1, = b, A H = p ergibt sioh

G e w o h n l i o h e MaBstPbe: Einfachste Wahl aller freien Konstanten, also Division b

a sin a ' a gibt mit =- ' q=-cotgd

als Ql. d. A. 0. (I), als Ql. d. L. E. sina A 0 5 ' - tga lo q a = 1 . . . . . . . . . (II),

(111) deren €5. nach

erfolgt.

die also, bei verlnderlichem 10 mit jener der lo zusammenfallt. Scharen sind die Qeraden

Es ergibt sich also eine der M. d 'ooagneschen Tafela) - die Ellipsenscharen enthllt - entspreohende, die wle diese fur alle Kombinationen der gegebenen ar6Oen brauohbar ist,

t s i n h - qcos p= 1 . . . . . . . . . .

1 sin h sin d = __ - -- sinIoE-sinIZo . ' . ' ' ' ' '

Es ergibt sich fur die Kurven gleioher d die Hyperbelschar sinad 5 ' - t g a d q a = 1 ,

Die Einhullende dieser

E = & q * - + .

*) S. 332 bis 339 . 2, S. 201, ab. 40. 3, M. d 'Ocagne (11, 6. 339. - R. S o r e a u ( l a ) , 8. 432 (abaque 100).

Ztschr. f. angew. Math. undMech. 402 Pi scher, Verfahren zum Entwerfen von graphischen Rechentafeln

L o g a r i t h m i s c h e M a l s t a b e : Hier ergibt sich mit .T E: y cotg d, y = sin d

* * * (11, x”y2=l . . . . . . . . . . . (II),

(IW deren B. nach * s i n d = y . . . . . . . . . . . .

1 y = ‘f cotglo cos cpx+--sin h . . . . sin 1,

als 01. d. A. 0.: als 01. d. L. K.:

erfolgt. Das untere Vorzeichen ergibt den Ast fur die zweite Lijsung von d. Es ist also auf der y-Ache die cotg Lo- bzw. cosec I,-Leiter aufzutragen nnd nach Festlegung

Abb. 46.

der zn dem gegebenen 1; gehiirigen Punkte hieran mit dem Steohzirkel die zu q und h gehijrenden cos (I,- und sin (I,-Leiterstrecken. Es sind daher diese beiden Leitern auf der Tafel anzubringen. - Das erwBhnte Instrument, das eigentlich erst i n den folgenden Abschnitt 11 gehBrt, besitzt (8. Abb. 46) ein Qrnndblatt aus festem Material, in dessen rechteckiger Ausnebmung zwei Zungen gegeneinander verschieblich sind. An den beiden Rilndern der Ausnehmung ist die cotglo- bzw.

cosec l o - Leiter aufgetragen, an der gemeinsamen Qleitfllche der

-x Pol Zungen - in die die y-Achse Zen;# hineinfallend zu denken ist -

auf den Zungen die 00s- bzw. sin - Leiter. Die Benutzungs- weise ist der beim gewijhnlichen Rechenschieber vollkommen ent- sprechend. Die Tafel, sowie das Instrument sind, da in bezug auf 10 und d symmetrisch, stets

9 Sfern

Abh. 47.

brauchbar. ist LO abzulesen.

mente. Ornnd der GI.

entworfene Tafel wieder.

Es ist dann bei gegebenem d wie bei gegebenem lo vorzugehen und etatt d

8) S t u n d e n a z i m u t u n d B e z i e h u n g d e r v i e r a a f e i n a n d e r f o l g e n d e n E le - geben die hierfur von P e r r e t auf R. S o r e a u ( la ) ’ ) und M. d ’ 0 c a g n e

sin y cotg d + sin cp cotg A - 00s y 00s cp = 0 (Die Bedeutung der einzelnen QroDen zeigt Abb. 47.)

+g ‘p Qewohn l i che MaBstiibe: Division duroh COB y 00s cp gibt mit 5 = 9 , 7 = ___ COB Ip 008 y

als 01. d. A. G. als 01. d. L. K.

5 ootg 6 + 7 cotg A = 1 . . . . . . . . . (I], q a cotga (I, - 5 2 cotg’ (I, = 1 . . . . . . . . . (II),

deren B. nach 00s y = ~ tg . . . . . . . . . . . (111) 4

erfolgt. Die Kurven gleichen y sind die Hyperbelschar ta cotgay - T~ cosa y = I .

Sie entsteht aus der q-Schar durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden des 1. Quadranten; es ergibt sich so eine der P e r r e tschen ahnliche Tafel, die ebenfalls Hyperbelsoharen enthiilt.

L o g a r i t h m i s c h e MaOstLbe: Es ist ootg 6

y = II: __ + tg cp cotg A . . . . . . . . . (I), die GI. d. L. K. 3Ca + yl = 1 . . . . . . . . . . . (IL), ihre B. erfolgt nach z = siny . . . . . . . . . . . . (111).

y = z ~ + cotg 2 cotg A

008 y die 01. d. A. G.

Wird statt (I, das Komplement z = n/2 - (I, in (I) eingetragen, so erhBlt man C O t g 6 . . . . . . . . (1’). ain 2

’) 6. 437 (abaque 102). a, s. 3 4 3 .

403 Band 7 Heft 5 Oktobir 1927 Fischer , Verfahren zum Entwerfen von graphisohen Reohentafeln

1

sin 5 Dal die Reihenfolge von ootg z und I gegenuber der Gl. (1’) im vorhergehenden

Beispiel umgekehrt ist, maoht niohts am, da dies ja nur die Festlegnng der Geradenbild- tafel beeinfldt. Anstatt der friiheren Leitern COB 9 und sin h sind jetzt ootg d und ootg A zu setzen und ist auf dem Grundblatt der Tafel noch eine ootg-Leiter zu vermerken, von der aus mit dem Steohzirkel abznnehmen ist; anf den beiden Zungen des Instruments ist j e eine solohe (au€ den Unterseiten) anzubringen. - 1st y eine der gegebenen Verllnder- lichen und Q, gesncht, so ist aut der ootg 7-Leiter, bzw. ant der bewegliohen Zunge A rnit 8 BU vertansohen und auoh wieder atatt y sein Komplement zu nehmen.

Der 1. Unterfal l , die Bereohnnng elnee vierten Bestimmungsstuokes aus der (31. sin A sin b = sin a sin 3

ergibt sioh mit Hilfe der sin-leitern, - ganz analog wie beim logarithmi- sohen Reoheniohieber - durchlogarith- misohe Addition mittels des Steoh- zirkels, bzw. auf dem Instrument mit Hilfe der cosec-Leiter, en welohem Zweoke eine solohe anch auf der ent- sprechenden Zunge (s. Abb. 46) auf- zutragen ist. Es tritt hier also das Ableseblatt uberhaupt nioht in Ao- wendung.

Das fiir die letsten beiden Flllle dienende Cfrnndblatt hlltte im wesent- lichen - bis auf die auf der yAohse angebraohten Teilungen den gleiahen Anfban wie Abb. 2 6 ; es wnrde daher von einer gesonderten Konstruktion abgesehen.

/3) Kreis farmige Ablese- l inie: 1. Auf Seite 212 seines Lehr- buchee gibt H. Sohwerdt (1) eine Tafel fur die Gl.

a ( y - 4 == B + y + 8, bei der die Skalen fur a und /3 auf den parallelen Trtigern adgetragen sind. Es sol1 nun das dieser Tafel entsprechende Bild konstrniert werden,

Abb. 48.

wobei aber betont werden mnl. daO sich hier zwe&mll3ig a und fi unter den gegebenen Gr89en befinden miissen, da’ sonst die Tafel nicht unmittelbar verwendet werden k6nnte.

Nach leiohter Umiormung ergibt sioh

2 2 @-=l 2 Y . . . . . . . . . (I), ale Q1, d. A. R. a - - x9+ x + y =

deren B. durch die Schar (e+ 1)1 + (y - 2 Y ) ~ = 1 f- 4 y a . . . . . . . . (111) erfolgt.

als GI. d. L. K. (a: - l)‘d+(y- 2 8)1= 1 + 4 8 2 . . . . . . . . (II),

Abb. 48 gibt far a = 5, /3 = 2, y = 2, 8 == 1.

2. In? Ansohlul hieran werde das von M. d’0oagne (1) l) gegebene Btrigonometrische Es kntipft an die im Vorstehenden bereits behandelte Formel

00s a = 00s b 00s c + sin b sin c COB A

Gittera knrz besprochen. der sphllrisohen Trigonometrie und Astronomie

I ) S. 299. - R. S o r e a a ( l a ) , 8. 433; V. L l s k a - V. E r u S k a U ) , S. 112.

Ztschr. f. angew. Math. und Mech. 404

an, die anfgeschrieben werden kann:

mit q1,2 = b f c.

Fischer, Verfahren zum Entwerfen von graphischen Bechentafeln

2 C08 u = (008 'pa + 00s Ti) + cos A (COS 9, - COB Vi)

Nach Division durch den 1. Klammerousdruck erhlllt man als Gl. d. A. Q. COB u a: - COB A y = 1 . . . . . . . . . . (I),

2

eo8 Fa + 008 ~1

COB pa - COB 91 ' = cos v a + co8 pi

als GI. d. L. K. X = y=tCOSTa- l , oder

x = - x 00s T I + 1. und der B.

Es ergeben sich wieder lineare Gl. fur die cpt- und q2-Scharen, so daO die hierfiir ent- worfene Tafel diejenige des 1. Beispiels ganz Bhnlich w2lre. SelbstverstBndlich konnen diese >>Gitteru nur bei gegebenem b und c u n m i t t e l b a r benutzt werden. M. d ' 0 c a g n e gibt aber a. a. 0. ein Verfahren an, wie man m i t t e l b a r ebenfalls zum Ziele gelangen kann, wenn b oder c unbekannt sind.

7) Rechensoh iebe r : Als 1. Beisp ie l werde das eben besprochene 1. Beispiel des vorhergehenden Punktea $ wiedergewghlt. Hier ist, da die Qerade ale Ableaeelement dient, die gegebene Einschrhknng gegenstandslos.

I. Wahl [fur die Transformationsgleichung (a)] :

X (0, 01. d. A. F.: _ - a / 3 - = 1 . . . . . . . . . . .

G1. d. L. K. : - + 2 8 - = 1 . . . . . . . . . . . (11),

Y X

1 Y

deren B. nach

erfolgt: also beides Geraden durch den Punkt x = f 1 (8. Abb. 49).

-- x z +2,:; = 1 . . . . . . . . . . (111) 1

. . . . . . . . . . (1)' G1. d. L. K.: y = x - 2 8 (10,

deren B. erfolgt naoh: y = - (a: - 2 y) . . . . . . . . . . (111);

2. Wahl: Ql. d. A. F.: -- p + . x = 1 X X

. . . . . . . . . . .

beides sind Parallelenscharen (a. Abb. 50). In den Abb. 4 9 und 50 ist das Beispiel f = 1, y = 2, 8 = 1 : a = 4 durchgefuhrt.

Abb. 49. Abb. 50.

2. Beisp ie l : Hierliir diem die bereits behandelte BBestimmung der wahren Stunde nach der Sonnenheheg, mit der Form der Transformationsgleichung (b) und den Bezeichnungen von C. R u n g e (1). 1st h die Hohe, a das Azimut und 8 die Deklination des Hirnmelsk6rper8, sowie cp die geographische Breite des Beobaohtungsortes (u ist hier das Supplement des Winkels PZS), 80 lautet die Gleichung zwischen diesen Verhder- lichen sin 8 = sin cp sin h - con cp COB h cos a.

1 t'h mit :=- I q = T . sin p E h h' ' - tg Y Y ' Y

Nach Bekanntem ergibt sich aus dem System 5 = -~ - -

Band 7, Heft 5 Oktober 1927 Fischer , Verfahren eum Entwerfen von graphischen Rechentafeln 405

. . . . . . . . . . ale Gl. d. A. F.: y = x COB Q, + sin 8 (11, als GI. d L. K.:

deren B. erfolgt nach:

. . . . . . . . . X ) Yl -+--=1 . . . . .

cos" 8 sing8

also in vollkommener Uebereinstimmung mit C. Runge . Die entspreohende Abbildung zeigt die Fig. 70 des Rungeschen Buches. Der Liiufer enthtilt die 006 9-Leiter (nicht die reziproke), die sin 8-Leiter ist auf der y-Achse aufzotragen. Es w&re zu der Fig. 70 zu bemerken, dal3 die rechte Lotrechte (fur a) wohl ebenfalls gestrichelt eu zeichnen wEre, da sie sioh anf dem verschieblichen Ableseblatt befindet.

J. W. N. L e H e u x (1)') bemerkt im AnschluB an diese Tafel, daQ man dieselbe - iibrigens wie viele der Tafeln mjt Doppelkotenpunkten - fur 8 = 0 ale Multiplikation- stafel gemtid der Formel

benutzen k5nnte. EE sol1 hier gezeigt werden, da8 auch der dritte Unterfall - des sphtlrischen Sinussatzes - durch die Tafel erledigt wird. Setzt man nPmlich a= 90 O,

so entsteht zunliohst sin 8 9 0 = sin Q, sin h.

Dnrch Anwendung des Prineips der Zap€enlinie kann der Wert d9, bei der Zerfallung des Sinussatzes

a16 Hilfswert angesehen werden. a = 90 O bedeutet aber, da8 die Wagerechte dnrch den Punkt A, b auch das Wertepaar a, B enthtilt. Wie leicht ersichtlicb, ist dabei der LEtufer mit blod e i n e m Faden nicht verwendbar; es ist also entweder die Anwendung eines Lineals oder des Laufers mit Parallelfgden erforderlich.

Die zweite Wahl werde ebenso wie bei C . R u n g e nicbt weiter behandelt. Als 3. Be i sp ie l werdo die ebenfalls bereits vertafelte Beziehung zwischen Dekli-

nation 8, Azimut a und Stundenwinkel t des Himmelskitirpers, sowie der Breite cp den Beobaohtungsortes wieder gewghlt.

t g q t g h - O

sin a sin B = sin 890 , sin A sin b = sin &,

Es ist in der Rungeschen Bezeichnungsweise sin t C 0 8 'p

tg 6 = tg Q: cos t - -- cotg a

1 1 ta t ch bekannter Y Y Mit 5 =-, v = E ergibt sich aus dem System E = - - tg p 008 t' ?I== na

Rechnnog ale GI. d. A. F. : . . . . . . . . . . y = x cotg a + tg 6 (I),

olls (31. d. L. K.:

deren B. nach: 6 9 cos2 (I, + ya cotg' Q, = 1 . . . . . . . . . (111) erfolgt. Der Laufer .hatte die Eigentumlichkeit, daf3 die Teilung auf ihm die regelmtifiige Kreisteilung mit dern Nullpunkt auf dem lotrechten Durchmesser ist. Die Strahlen zu den eineelnen Punkten dieser Teilung sind bei der Lage des LEtnfers im Nullpunkt gemED einer Be- merkung von C. R u n g e die Asymptoten der t-Hyperbeln. 10 der Fig. 71 wtiren & der Deutlichkeit halber gestrichelt zu denken, da sie ja als verschiebbares Ableseblatt ge- dacht sind.

Die Fig. 71 des Rungeschen Buohes zeigt das entsprechende Orundblatt.

Auch hier b6te die zweite Wahl keine neuen Schwierigkeiten.

11. Darstellung mif Hilfe beweglicher Ableseelemente. Fiir das Oegenstuck des AblesegerPtes mit Parallelenschar i m logarithmischen System sollen jene beiden Beispiele gegeben werden, die auch M. d 'Ocagne (1) zu diesem Behul heranzieht.

Schreibt man nlimlich im logarithmischen System vor :

Dam e r s t e Beispiel betrifft die S t u t z m a n e r n (8. 0.).

p (u sin p cos q - v/3 cosa Q,) = - 1 ') Beginselen der Nomographie, Deventer 1926, 8. 47.

Ztschr. f. angew. Math. undMech. Pi soher , Verfahren aum Entwerfen von graphischen Rechentateln ____--- 406

und setzt u = l / y , v = i / y , so erhalt man: als GI. d. A. G.: I . . . . (I), als Gl. d. L. K.: x y s 1 . . . . . . . . * . . . (11), ihre B. erfolgt nach: K = 1 / ~ , , , . . . . . . . . . (111).

_____...

1 - sin 9 cos 9 + 5 cosa cp = - y . . . 3 P

Das Grundblatt enthalt dann nur die bezifferte Gerade (11); es ist aber das Ab- leseblatt n a c h Einstellung des 9-Wertes um l i p zu verschieben, was die Anbringung einer l/p-Leiter parallel zur y-Achse erforderlich macht. Der Schnitt der v e r s c h o b e n e n Geradenbildtafel mit (11) gibt dann die Lasung.

A16 z w e i t e s Beispiel diene die Bszinsche Formel (s. o.), Setzt man nzmlich

so erhiilt man

als 01. d. A. G.: . . . als 01. d. L. K.: y = xa . . . . . . . . . . . - (II),

- ihre B. erfolgt nach: y = x 1 / R . . . . . . . . . . . . (111).

Hier hat das Ableseblatt also n a c h der Einstellung in y eine d o p p e l t e Ver- schiebung parallel zu sich selbst mitzumachen. Die benatigte Ifz-Leiter ist aus der Konstruktion der Tafel (YR!) vorhanden; die regelmM3ige U-Leiter ist rnit der regel- mPf3igen y -Leiter identisoh. Die Verschiebungsstrecken sind - wie auch im Vorher- gehenden - duroh Einstechen auf dem Ableseblatt zu vermerken.

12. Einige Fluchtlinienfafeln auf der Kugel. Anhaugsweise sollen einige Fluchtlinientafeln auf der Kugel in Orthogoualprojektion abgebildet werden, wodurch sich, wie bereits im ersten Teil erwlhnt, ebenfalls Fluchtlinientafeln in der Ebene rnit Ellipsen- buschel als Ablesegerlt ergeben. Die Konstruktion dieser Tafeln an6 iener rnit gerader Ableselinie ist ebenfalls bereits genau besprochen worden, so daI3 sich alles weitere eriibrigen durfte. In den Abbildungen ist - oben - die BUrtafel. rnit geklammerter BeziEerung angegeben.

Abb. 5 1 zeigt die Tafel fur 1/C= 1/A + 1 /B; es ist der Fall A = 1, B = 3, C= 0,75 eingezeiohnet. Im linken oberen Quadranten ist die Konstruktion des Punktes B = 2 (gemPl3 Abb. 4 b) erlhtert.

Abb. 5 2 zeigt die Divisionstafel A = C/B; fur C= 2, B = 1 ergibt sich A = 2.

Abb. 51. Abb. 52.

Band 7, Heft 5 Oktober 1927 Fi scher, Verfehren zum Entwerlen von graphischen Rechentafeln 407

Abb. 53. Abb. 54.

Abb. 53 zeigt die LSsung der qnadratischen Qleichung 7' + it y + @ = 0 mit Hilfe der Parabel (nach Abb. 12). EE ist die besondere Wahl a = 1, /3 = - 2 durchgefuhrt, die ale Liisung die Werte 7 = 1, y = - 2 ergibt.

Abb. 5 4 gibt die a m Abb. 29 entstandene Tafel fur das Bunmit te lbare Schieaen mit Entfernungsmeasungc( gemllB der Gleichung - e 008 co +(e 2 COB co) a+ - = 0 wieder.

Die Wahl a = 0 , m = 4 5 gibt Q = -.

(V) herangeeogene Beispiel a = @ + y ebenfalls gew&hlt worden. die Identittit

i + a0 2

1

12 I n Ahb. 55 ist schlieBlich das von H. Schwerdt (1)') fur diem kanonische Form

H. Schwerdt benutzt

a cos,!?-cosy

2 sin - s iny * -tg-=

Durch Uebergang en den hyperbolischen Funktionen ergibt sich

Abb. 558. Abb. 55b .

') 8. 188 (Abb. 99)

Ztschr. I. angew. Kurze Auszuge Math. und Mech. __- __ 4 08

en sind dann in der ))Urtafelu die L. K., sowie die Ersatzkurve p die beiden zusammen-

- (statt der gleichseitigen Hyperbel bei H. Schwerd t ) , - deren B. naoh q = &fl p, bzw. &o y erfolgt. Aut der q-Achse ist die Gotg Wa-Leiter aufzntragen. I n den Abbildungen

ist eine *Verhfferungu vorgenommen worden, d. h. es ist der Anfangspunkt der Leitern urn 2 bew. 4 verlegt worden, gemll3 der (31. a + 4 = ( / 3 + 2 ) + ( y + 2 ) . Das i n Abb. 55a eingetragene Beispiel betrifft die Wahl p = 2, y = 4. Der Besonderheit des vorliegenden Falls enkpreohend, sind auch die beiden an- deren Projektionsbilder leioht herstellbare Tateln. Abb. 55b gibt den Fall B = 2, y = 3, Abb. 55c den in Abb. 55a gewiihlten wieder.

Abb. 5 8 c . Die Konstrnktion und Benutzung der im Vorstehenden sonst behandelten Fluoht-

linientafeln, sowie anderen Nornogramme ist, wie leicht ersichtlich, ohne neue Schwierigkeit ebenfalls miiglich. Bei den Tafeln mit mehrfachen Flucbten kann die Einstellung des Ablesegerlts ebenfalls durch reins Drehung bewerkstelligt werden.

fallenden Kreise ??+fa= 1 ,

704 Goding (Mlhren), im Juli 1926.

KURZE AUSZOGE Hydromechanik

Druckverteilung an Luftrchtffkilrpern. Die Verlcilung tlcs Iiydraulischcii Drucltes, wie sic sic11 an cincm rotnlionss~niinclrisclicii Luft- scliil'fltcirper bei ~~cl ieh igr r 1~ahrtriclitung chi- stellt, uiitcrsncht T1i. v. I<BrmBn (Abh. a. d. .4erotly11.. Inst. A:rclien 11. 6, 1027, S. I bis 15) inil d a i Illittclu dcr 'Tlieoric idealcr, inltoiu- prcssihlcr Ii1iissi:lteitcn. Die syninietrischcn Verhiiltnissc hei Fahrt in der Achsrichtung gc- winnt man in bekanntcr Weisc, wcnn nian ein StrBniiingsbild aiis cincr Anzahl von in drr bchsc liegerideri Quellcii zusammensetzt und tlic Ergiebiglteit der ciiizclnen Quellcn durch die Erfullung der IXandtmliiigungen bestinimt. Neu und fruchtbar ist der Gedanke, fur Fahrtrich- tun8 senltrecht zur Achse oder Anstriimung des Luftschiffltorpcrs in diesem Siiiiie ciiie Losuiig der Glcichtingen durch Annahine vuit Iloppelr~uelleri, die in der Dreliaclise liegeri untl nach clcr AnstrBmrichtung orienlicrt sind, hcr- zustellcn. Durch Verbindung der b'eidcn L ~ S L I U - geri erhll t inan den allgeineinstcn Fall. Die rom Verfasser crzieltcii Rechnungscrgebnissc stimnirn iii befrietligender Weise mit d'en neue- ren Ikohachtungen von R l c r n p e r e r und den Bltereii hIessungen voii F n l i r m a n n iiberein. Eine gewisse Abweichung im Fall der scnk- rechtai Aiistriirnurig wird nuf Wirbelbildung hinter den1 1 .uttschiffkiirper zurtickgef uhrt, zii deren Abschatzuiig man die Gedanlteiigtingc dcr P r a n d t 1 schen Tragflugelthe~orie hcranzichen kann.

Sfrilmunpr- und Druckverlauf an Wider- rfandrkdhpern. An zylindrischen Streben YOU I(reisquersc,liiiitt u n c l Tropfenqiicrscli~iilt sowie an Iiugcln hat I€. Erin i s c h in1 hachc-

und Hydraulik. iicr Iiistilut Stromurig uud 1)rnchvcrlauf bei vcrschiedciieii (;escliwindigltcileii unlersncht, \roriiI)er e r in 11. G der A h h a ~ ~ d l . a. d. Acro- tlyti. Iiist. Aacheii (S. 18 bis 50) herichtet. Es zcigt sich stcls, dab im vordercn Tcil dcs an- gestriimten Kiirpcrs die Beobachtungcn niil der l'olc~itialslriinii~iig, tlic nacli dcr Thcoric der idralcn Fliissigkcit I)erccliuel ist, gut iillerein- slinimcn. Die Ucobaclituiigeu, die sich iiii wei- toren Verlauf der Stroinuiig ergeben, wrrden in sanbcrcr Weisc experinicntell festgeslellt, ohm daB es miiglicli wBre, sic in befriecligender Wcisc tliroreliscli zii erkldrcn. Von Intcrcsse ist :uch die Cegeiiubcrslclluiig dcs bcohaelikteii Gesaiiilwiderslandes uud der aus dein gcinessc- 11 en Druckverlauf bereclineleu Witl'erstaiidsltraft, clic nalurgemib iiur ciiien Teil des ers tcren bildet.

Exirfenzproblem in der Hydrodynamik. Weit abseils roil den1 Gcbiel, das die RIehrzahl der licutc init Hydrmomechanik BescliHfLigteii interessiert, fiilireii iins zwei uinfangreiche Ar- hciten von L. L i c h t c n s t c i n uber sogenannte Esisteiizprobleme der Ilydr~odyiianiik (hIatli. Zeitschr. 23 (1925), S. 89 bis 309, 26 (1927), S. 196 I)is 323). Es haiidelt sich uni inltornpressible ideale I~lussigkeiten, in der zweilen Abliandlung uin solche, deren Dichle nicht an jcdcr Stelle die gleiche ist. Bewiesen wird im wesmtlichcn der folgende allgcmeine Satz: Gegebcn sci zu Ileginn des betrechtel~en Zcitraums Ilichtr und (;escli\rindiglteil der Pliissigkcit in jedeni I'unltlc iunerhnlb dcs die Flussigkeil unischlieWerbdeir Gefibcs, fcriicr fiir den ganzen in Betracht Bomnienden Zeitraum die B e w e p i g dcs Ge- fHl3es; d a m gib.t es eiiie urid nur cine den