ukuran posisi
DESCRIPTION
ukuran dispersiTRANSCRIPT
UKURAN POSISI DAN
SIMPULAN DATA KATEGORIK
1
SIMPULAN DATA KATEGORIK
Ukuran Kuartil
• Bila suatu distribusi yang tersusun secara array dibagi 4 bagian hasil pengamatan yang sama.
• Kuartil I (K1) merupakan 25% dari seluruh distribusi. Kuartil II (K2) merupakan 50% atau sama dengan median.
• Kuartil III (K3) merupakan 75% dari seluruh
2
• Kuartil III (K3) merupakan 75% dari seluruh distribusi.
• Seperti halnya range, pengukuran kuartil pun hanya berdasarkan perbedaan dua nilai yaitu jarak antara K3 dan K1 yang disebut jarak antara kuartil (Inter Quartile Range = K3 – K1).
• Jarak antara kuartil
25%
25%
3
K1 K2 K3
25%
Kelebihan kuartil dari range:1. Dengan digunakannya 50% bagian tengah dari
distribusi, pengaruh nilai ekstrim dapat
dihilangkan.
2. Dengan adanya pembagian menjadi kuartil,
posisi hasil pengamatan pada
4
K1, K2 dan K3 dapat dihitung.
3. Dengan adanya K2 yang mempunyai posisi
sama dengan median, dapat dihitung
penyimpangan terhadap median.
4. Distribusi dengan interval kelas terbuka dapat
dihitung dispersinya.
Untuk data yang tidak
dikelompokkan
a. Letak dan nilai K1 ditentukan dengan
rumus:
Letak K1 = data ke ¼ (n + 1)
Nilai K = L + b(S – L)
5
Nilai K1 = L + b(S – L)
dimana L = nilai sebelum K1 tercapai
S = nilai dimana K1 berada
b = kekurangan unit untuk mencapai K1
b. Letak dan nilai K3 ditentukan dengan
rumus:
Letak K3 = ¾ (n + 1)
Nilai K1 = L + b(S – L)
dimana L = nilai sebelum K3 tercapai
S = nilai dimana K berada
6
S = nilai dimana K3 berada
b = kekurangan unit untuk mencapai K3
Contoh:Hasil pemeriksaan cholesterol darah 10 orang penderita hipertensi adalah sebagai berikut: 150, 152, 160, 165, 167, 169, 171, 174, 175, 598
K3 terletak pada data ke ¾ (10 + 1) = 8,25 (8 + 0,25)
Ini berarti terletak antara data ke-8 dan ke-9
Nilai K3 = 174 + 0,25 (175 – 174) = 174,25
K terletak pada data ke ¼ (10 + 1) = 2,75 (2 + 0,75)
7
K1 terletak pada data ke ¼ (10 + 1) = 2,75 (2 + 0,75)
Ini berarti terletak antara data ke-2 dan ke-3
Nilai K1 = 152 + 0,75 (160 – 152) = 152 + 6 = 158
Jarak antar kuartil = K3 – K1 = 174,25 – 158 = 16,25
Range dari distribusi di atas = 598 – 150 = 448
Ini merupakan suatu bukti bahwa dengan ukuran kuartil, pengaruh nilai ekstrim dapat dihilangkan.
Untuk data yang dikelompokkan
a. Kuartil diubah menjadi jumlah unit dengan
rumus:
x = ¼ (n )
dimana k = kuartil ke-1, 2, 3
n = jumlah pengamatan
8
b. Nilai kuartil ditentukan dengan rumus:
Kk = L + i(x – F)/f
dimana L = tepi bawah kelas dimana kuartil berada
i = interval kelas
F = frekuensi kumulatif sebelum kuartil
f = frekuensi dimana kuartil berada
Contoh:• Sebaran umur penderita hepatitis di suatu Rumah Sakit
adalah sebagai berikut
Golongan Umur Frekuensi f kum
10-19 2 2
20-29 23 25
30-39 15 40
9
30-39 15 40
40-49 11 51
50-59 9 60
60-69 5 65
70+ 2 67
Jumlah 67
• Letak K1 = ¼ (67) = 16,75 (terletak antara kelas ke-1 dan 2)
• Nilai K1 = 19,5 + 10 (16,75 - 2)/23 = 19,5 + 6,4 = 25,9
• Letak K3 = ¾ (67) = 50,25 (terletak antara kelas ke-3 dan 4)
• Nilai K = 39,5 + 10 (50,25 - 40)/11 = 39,5
10
• Nilai K3 = 39,5 + 10 (50,25 - 40)/11 = 39,5 + 9,3 = 48,8
• Jarak antar kuartil = K3 – K1 = 48,8 – 25,9 = 22,9
• Dengan range, distribusi ini tidak dapat dihitung.
Deviasi Kuartil
(Quartile Deviation)
• Rumus
• Deviasi Kuartil = Dk = = setengah
jarak antar kuartil
• Median atau K dapat dirumuskan
2
KK 13 −
11
• Median atau K2 dapat dirumuskan
sebagai: 2
KK 13 +
• Dari contoh sebelumnya:
a. Untuk data yang tidak dikelompokkan:
Deviasi Kuartil = = 8,125
Median = = 166,125
Ini berarti deviasi kuartil terhadap
2
16,25
2
158174,25 +
12
Ini berarti deviasi kuartil terhadap
median adalah 8,125
b. Untuk data yang dikelompokkan:
Deviasi Kuartil = = 11,45
Median = = 37,35
Ini berarti deviasi kuartil terhadap median
2
22,9
2
25,948,8 +
13
Ini berarti deviasi kuartil terhadap median
adalah 11,45
Ukuran Desil (Decile)
• Bila distribusi yang tersusun secara array
dibagi menjadi 10 bagian yang sama.
Prinsip perhitungan sama dengan kuartil,
tetapi dengan desil.
14
tetapi dengan desil.
Untuk data yang tidak
dikelompokkan
a. Letak Dd = data ke (n + 1)
d = desil ke-1, 2, 3, ..., 9
n = jumlah pengamatan
b. Nilai D = L + b(S – L)
10
d
15
b. Nilai Dd = L + b(S – L)
dimana L = nilai observasi sebelum Dd
S = nilai dimana Dd berada
b = kekurangan unit untuk
mencapai Dd
Untuk data yang dikelompokkan
a. Letak Dd = x = data ke (n)
d = desil ke-1, 2, 3, ..., 9
n = jumlah pengamatan
Jadi desil terletak pada unit ke-x
b. Nilai D = L + i(x – F)/f
10
d
16
b. Nilai Dd = L + i(x – F)/f
dimana L =tepi bawah kelas dimana Dd berada
i = interval kelas
F = frekuensi kumulatif sebelum Dd
f = frekuensi dimana Dd berada
Ukuran Persentil (Percentile)• Bila distribusi yang tersusun secara array dibagi menjadi
100 bagian yang sama.
• Prinsip perhitungan sama dengan kuartil atau desil.
• Posisi relatif dari suatu hasil pengamatan yang menyatakan nilai di bawahnya disebut jenjang persentil (percentile rank).
• Misalnya, hasil pemeriksaan Hb terhadap 200 orang ibu
17
• Misalnya, hasil pemeriksaan Hb terhadap 200 orang ibu hamil yang datanya disusun secara array.
• Bila seorang ibu dengan Hb 11 gr% terletak pada posisi ke-50, berarti bahwa 25% ibu-ibu tersebut mempunyai Hb kurang dari 11 gr% atau 75% ibu-ibu tersebut mempunyai Hb lebih dari 11 gr%.
• Dalam hal ini dikatakan bahwa ibu itu mempunyai jenjang persentil 25%. Nilai dari suatu jenjang persentil disebut persentil.
Untuk data yang tidak
dikelompokkan
a. Letak Pp = data ke (n + 1)
p = desil ke-1, 2, 3, ..., 99
n = jumlah pengamatan
b. Nilai P = L + b(S – L)
100
p
18
b. Nilai Pp = L + b(S – L)
dimana L = nilai observasi sebelum Pp
S = nilai dimana Pp berada
b = kekurangan unit untuk
mencapai Pp
Contoh:Pemeriksaan berat badan (kg) 15 orang calon mahasiswa sebagai berikut: 45, 46, 47, 48, 50, 51, 54, 55, 56, 57, 59, 60, 61, 63, 65
Bila seorang mahasiswa dikatakan mempunyai berat badan dimana 30% terletak di bawahnya, berapakah berat badan mahasiswa tersebut?
19
P30 terletak pada data ke (15 + 1) = 4,8 = 4 + 0,8
Nilai P30 = 48 + 0,8 (50 – 48) = 48 + 1,6 = 49,6 kg
100
30
Untuk data yang dikelompokkan
a. Letak Pp = x = data ke (n)
p = desil ke-1, 2, 3, ..., 99
n = jumlah pengamatan
Jadi desil terletak pada unit ke-x
b. Nilai P = L + i(x – F)/f
100
p
20
b. Nilai Pp = L + i(x – F)/f
dimana L =tepi bawah kelas dimana Pp berada
i = interval kelas
F = frekuensi kumulatif sebelum Pp
f = frekuensi dimana Pp berada
Contoh:
Pemeriksaan Hb terhadap 50 orang dewasa
dan telah diperkirakan bahwa 30%
menderita anemia. Hb berapakah yang
dianggap anemia?
Hasil pemeriksaan adalah sebagai berikut:
21
Hasil pemeriksaan adalah sebagai berikut:
Hb (gr%) f f kum7 – 8 4 4
9 – 10 6 10
11 – 12 20 30
13 – 14 15 45
15 – 16 5 50
Jumlah 50
22
• P30 terletak pada data ke (50) = 15
• Berarti terletak pada kelas interval ke-2 dan ke-3
• Nilai P30 = 10,5 + 2(15 – 10)/20 = 10,5 + 0,5 = 11 gr%
Jumlah 50
100
30
• Sebaliknya bila ditentukan bahwa Hb 11 gr% adalah anemia, berapa jenjang persentilnya?
• Jenjang persentil =
=
= 30
[ ]{ }100
n
fFL)/2(11 kum ×+×−
[ ]{ }100
50
102010,5)/2(11×
+×−
23
= 30
• Kesimpulan: Hb 11 gr% mempunyai jenjang persentil 30 atau 30% dari 50 orang tersebut mempunyai HB kurang dari 11 gr%.
50
Simpulan Data Kategori
• Data kategori dapat juga disusun distribusi
frekuensinya. Nilai simpulan yang dapat
digunakan untuk data kategori hanyalah
nilai modus (mode).
24
nilai modus (mode).
Contoh:Jumlah seluruh penderita yang dirawat
di Rumah Sakit “X” pada tahun 1999
Bagian Jumlah
Penyakit Dalam 152
Anak 120
Kebidanan 105
25
Kebidanan 105
Bedah 98
Syaraf 73
THT 65
Penyakit jiwa 57
Jumlah 580
• Ketika variabel diukur untuk sejumlah
individu, data yang dihasilkan dapat
diringkas dengan menghitung rata-rata
dan variasinya. Namun, kadang-kadang
ukuran kemencengan juga berguna.
Bentuk nilai tengah dan ukuran variasi
tergantung pada bentuk variabel dan
26
tergantung pada bentuk variabel dan
bentuk distribusinya.
Tabel 1. Contoh pemakaian ukuran nilai tengah
dan ukuran variasi
Variabel Bentuk
distribusi
Ukuran nilai
tengah
Ukuran
variasi
Kontinus atau
diskrit
Simetris,
unimodal
Mean Simpangan
baku
Kontinus atau Menceng, Median Jarak antar
27
Kontinus atau
diskrit
Menceng,
unimodal
Median Jarak antar
kuartil
Kategori Modus