Um modelo para a dinâmica de terremotos

FAP-100 2003 (diúrno)

Carmen P. C. Prado

O que causa um terremoto?

A maioria dos terremotos ocorre em áreasA maioria dos terremotos ocorre em áreas bem definidasbem definidas !

Por volta de 1920 os cientistas já tinham notado que os terremotos se concentram em zonas bastante específicas e bastante estreitas.

O mapa ao lado é de 1954, J. P. Rothé, Royal Society of London

A superfície da Terra está dividida em 7 grandes7 grandes (e várias pequenas) placasplacas , cada uma com cerca de 50 milhas de espessura.

Essas placas se movem se movem umas em relação às umas em relação às outrasoutras, algumas polegadas a cada ano.

Existem três tipos de movimento entre as placas: convergente, divergente e transversal.

O encontro das placas coincide com as zonas onde O encontro das placas coincide com as zonas onde ocorrem os terremotosocorrem os terremotos

Atlântico sul

América Central

Tem duas escalas de escalas de tempo distintastempo distintas, com separação quase infinita:

Escala lenta, associada ao movimento da crosta (muitos anos)

escala rápida, a do terremoto (segundos)

Obedece a uma lei de lei de potênciaspotências universal

Lei de Gutemberg-Richter

onde E é a energia liberada durante um terremoto

Lei de Omori (aftershocks)

n(t) ~ t-A

BEEP )(

A dinâmica de terremotos é, provavelmente, o melhor A dinâmica de terremotos é, provavelmente, o melhor exemplo experimental de um sistema com SOC...exemplo experimental de um sistema com SOC...

Sismógrafos ondas sísmicas

1935 C. F. Richter1935 C. F. Richter introduziu pela introduziu pela primeira vez a idéia de escala de primeira vez a idéia de escala de magnitudesmagnitudes. . Até então os Até então os terremotos eram classificados terremotos eram classificados essencialmente pelo estrago essencialmente pelo estrago causado.causado.

Comparar os terremotos por Comparar os terremotos por meio da amplitude das ondas meio da amplitude das ondas sísmicas, acrescentando um sísmicas, acrescentando um

termo de atenuação para levar termo de atenuação para levar em conta a distância do em conta a distância do

epicentro.epicentro.Como havia uma variação muito Como havia uma variação muito grande entre os grandes e os grande entre os grandes e os

pequenos terremotos, B. pequenos terremotos, B. Guttemberg sugeriu o uso de Guttemberg sugeriu o uso de

logaritmoslogaritmos

AA = amplitude da onda superficial = amplitude da onda superficial

TT = período da onda = período da onda

= distância epicentral= distância epicentral

0.2)(log66.1)/(log TAM s

Essa é uma lei empírica. Evolução da sismologia Essa é uma lei empírica. Evolução da sismologia tornou factível medir o tamanho dos terremotos tornou factível medir o tamanho dos terremotos

através do momento sísmico, definido por:através do momento sísmico, definido por:

7.10log32

0 MMW

udM

0

= módulo de cisalhamento= módulo de cisalhamento, u = movimento relativo eu = movimento relativo e é área da falhaé área da falha

Nova escala, mais precisaNova escala, mais precisa

A quantidade de energia liberada oferece uma medida do A quantidade de energia liberada oferece uma medida do poder destrutivo do terremoto. Em geral ela é feita por poder destrutivo do terremoto. Em geral ela é feita por meio de uma outra relação empírica , estabelecida por meio de uma outra relação empírica , estabelecida por

Gutember e RichterGutember e Richter

c 11, d = 1 (pequenos) e d = 3/2 (grandes)

)(log amdcE

A quantidade N de terremotos com magnitude m > mA quantidade N de terremotos com magnitude m > m00 obedece a uma lei de potênciasobedece a uma lei de potências : :

a = nível de atividade sísmica;

a = [0,8 , 1.06] (pequenos)

a = [1.23 , 1.54] (grandes))(log bmbaN

(a) + (b) Bdb

EEEEN ~)0(

Modelo de Burridge-Knopoff (1967)Modelo de Burridge-Knopoff (1967)

Placa fixa

Placa que se move

Modelo massa-mola

Stick-slip models

Qual a força que age no bloco i?

V

k

i - 1 i i + 1 atrito

• Força elástica devida a interação com o bloco i - 1

• Força elástica devida a interação com o bloco i + 1

• Força elástica devida a interação com a placa superior

• Força de atrito estática, devida ao contato com a placa inferior

i - 1 i

)( 01 iiei xxkF

i I + 1

iidi xxkF 10

) 2 (1 1i i id e

mx x x k F F F x = vt

Como é pequeno , fazendo aproximação linear...

)( ip xvtF

) ( ) 2 (1 1i i i i ix vt x x x k F

iiii xxkFFF '' 2

kFxx ii 2

'

O bloco i fica parado até que essa força exceda o limite da força O bloco i fica parado até que essa força exceda o limite da força de atrito estático.de atrito estático.

Quando isso ocorre, Quando isso ocorre, o bloco i deslizao bloco i desliza, indo parar na posição x’, indo parar na posição x’i. i. . .

A nova força no bloco i é então:A nova força no bloco i é então:) ( ) 2 (

' '1 1

'i i i i ix vt x x x k F

apenas o bloco i se move

O movimento do bloco i afeta as forças que agem nos blocos i-1 e i+1:O movimento do bloco i afeta as forças que agem nos blocos i-1 e i+1:

iiii xxkFF 11O bloco i puxa o bloco a

esquerda e empurra oda direita, de forma

que Fi1’ > Fi1 sempre

Como

kFxx ii 2

FkkFF ii

211

A força nos sítios vizinhos i-1 e i+1 pode vir a exceder o limite do atrito estático. Esse(s) bloco(s) então também se movem, alterando as forças nos vizinhos seguintes, numa reação em cadeia

Isto nos leva às regras de atualização:Isto nos leva às regras de atualização:

thati FFFSe max

iii

i

FFFFentão

11

0

ondeonde

kk

2

Note que F = Fporque F’i = 0

A dinâmica que governa o processo de relaxação é discreta:

Fi (t+1) = 0

Fi+1(t+1) = Fi+1(t) + Fi(t)

Onde

kk

2

kk

4

041

a

ComoComo

O que significa que os blocos estão desconectados à placa que se move : impossível!impossível!

O parâmetro O parâmetro controla a “conservação” do modelo. controla a “conservação” do modelo.

Perturbação:Perturbação: ),(),( jiFjiFCaso haja algum sítio “ativo” , isto é, um sítio para o qual F > Fth, o sistema relaxa:

Relaxação:Relaxação: 0),( jiF

),()1,1()1,1( jiFjiFjiF

(i,j)

(i-1,j)

(i+1,j)

(i,j-1) (i,j+1)

Fij

Os 4 sítios vizinhos, (i,j -1), (i,j+1), (i -1,j) e (i+1,j) são comparados com Fth. Se, para algum deles, F > Fth, a etapa de relaxação é repetida.

O processo é repetido até que, para todos os sítios da rede, F < Fth

Olami et al, PRL 68, (1992); Christensen et al, Phys. Rev. A 46, (1992).

(a) condições de contorno livres (ou fechadas)(a) condições de contorno livres (ou fechadas)

Os sítios da borda tem três ou dois vizinhos (cantos). Nenhum “F” se perde pelas bordas do sistema, é como se o conjunto estivesse desconectado do resto.

Quando um sítio da borda relaxa, cada um dos 3 vizinhos recebe:

jiFjiFjiF ,34,

31,

Quando um sítio do canto relaxa, cada um dos 2 vizinhos recebe:

jiFjiFjiF ,2,,

(b) condições de contorno abertas(b) condições de contorno abertas

Todos os blocos tem 4 vizinhos. É como se o conjunto de blocos estivesse preso a uma “moldura” estática. A quantidade “F” é dissipada também na borda do sistema.

Fij?

Quando um sítio da borda relaxa, a quantidade F(i,j) é “perdida”.

Quando um sítio do canto relaxa, a quantidade 2 F(i,j) é “perdida”.

(c) condições de contorno periódicas(c) condições de contorno periódicas

Condições de contorno periódicas são geralmente usadas para representar um sistema infinito. No caso do modelo OFC, elas destroem o comportamento crítico. Com condições periódicas, o modelo sincroniza.

Quando um sítio da borda relaxa, Nada se perde. Não há assimetrias, todos os sítios são idênticos

Identificando o transiente... Identificando o transiente...

Tensão média Tensão média X X

tempotempo

),(),(1,

jiFjiFN ji

L = 128 e = 0.25

A distribuição de tamanho dos “terremotos” obedece a uma lei de A distribuição de tamanho dos “terremotos” obedece a uma lei de potências, reproduzindo a lei de Gutemberg-Richter;potências, reproduzindo a lei de Gutemberg-Richter;

Resultado da simulação do modelo para L = 50,100 e 200.L = 50,100 e 200.

Note que o “cut off” escala escala com o tamanho da redecom o tamanho da rede.

Modelo conservativo: = 1/4

Josué X. Carvalho

Formação de correlações espaciaisFormação de correlações espaciais

Configuração inicial (aleatória)

25.00.0),( jiF

50.025.0),( jiF

75.050.0),( jiF

00.175.0),( jiF

Josué X. Carvalho

Formação de correlações espaciaisFormação de correlações espaciais

Configuração após 2.000.000

avalanches

25.00.0),( jiF

50.025.0),( jiF

75.050.0),( jiF

00.175.0),( jiF

Josué X. Carvalho

Formação de correlações espaciaisFormação de correlações espaciais

25.00.0),( jiF

50.025.0),( jiF

75.050.0),( jiF

00.175.0),( jiF

Configuração após

100.000.000 avalanches