um método numérico utilizando a teoria de cosserat para

SENAI CIMATEC

PROGRAMA DE POS-GRADUACAO EM MODELAGEM

COMPUTACIONAL E TECNOLOGIA INDUSTRIAL

Mestrado em Modelagem Computacional e Tecnologia Industrial

Dissertacao de mestrado

Um Elemento de Cosserat para Simulacao de Vigascom Raio de Curvatura e Secao Transversal de

Mesma Ordem de Grandeza

Apresentada por: Adchon Angelo Gomes da Silva

Orientador: Josemar Rodrigues de Souza

Maio de 2012

Adchon Angelo Gomes da Silva

Um Elemento de Cosserat para Simulacao de Vigas

com Raio de Curvatura e Secao Transversal de

Mesma Ordem de Grandeza

Dissertacao de mestrado apresentada ao Programa de Pos-gra-

duacao em Modelagem Computacional e Tecnologia Industrial,

Curso de Mestrado em Modelagem Computacional e Tecnologia

Industrial do SENAI CIMATEC, como requisito parcial para a

obtencao do tıtulo de Mestre em Modelagem Computacio-

nal e Tecnologia Industrial.

Area de conhecimento: Interdisciplinar

Orientador: Josemar Rodrigues de Souza

SENAI CIMATEC

Salvador

SENAI CIMATEC

2012

S586e

Silva, Adchon Angelo Gomes da

Um elemento de cosserat para simulação de vigas com raio de curvatura e seção transversal de mesma ordem de grandeza. / Adchon Angelo Gomes da Silva. 2012.

106f.; il.; color.

Orientador: Prof. Dr. Josemar Rodrigues de Souza.

Dissertação (Mestrado em Modelagem Computacional e Tecnologia Industrial) - Faculdade de Tecnologia Senai-CIMATEC, Salvador, 2012.

1. Peças flexíveis. 2. Vigas de cosserat. 3. Elemento helicoidal. 4. Simulação computacional. 5. Energia de deformação. I. Faculdade de Tecnologia Senai-CIMATEC. II. Souza, Josemar Rodrigues de. III. Título.

CDD: 620.00113

Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca da Faculdade de Tecnologia SENAI CIMATEC

Nota sobre o estilo do PPGMCTI

Esta dissertacao de mestrado foi elaborada considerando as normas de estilo (i.e. esteticas

e estruturais) propostas aprovadas pelo colegiado do Programa de Pos-graduacao em Mo-

delagem Computacional e Tecnologia Industrial e estao disponıveis em formato eletronico

(download na Pagina Web http://ead.fieb.org.br/portal faculdades/dissertacoes-e-teses-

mcti.html ou solicitacao via e-mail a secretaria do programa) e em formato impresso

somente para consulta.

Ressalta-se que o formato proposto considera diversos itens das normas da Associacao

Brasileira de Normas Tecnicas (ABNT), entretanto opta-se, em alguns aspectos, seguir um

estilo proprio elaborado e amadurecido pelos professores do programa de pos-graduacao

supracitado.

Faculdade de Tecnologia SENAI CIMATECPrograma de Pos-graduacao em Modelagem Computacional e Tecnologia Industrial

Mestrado em Modelagem Computacional e Tecnologia Industrial

A Banca Examinadora, constituıda pelos professores abaixo listados, aprova a Defesa

de Mestrado intitulada “Um Elemento de Cosserat para Simulacao de Vigas com Raio

de Curvatura e Secao Transversal de Mesma Ordem de Grandeza”, apresentada no dia

11 de maio de 2012, como parte dos requisitos necessarios para a obtencao do tıtulo de

Mestre em Modelagem Computacional e Tecnologia Industrial.

Dedico este trabalho a minha mae D. Rosilda Oliveira Angelo.

Agradecimentos

Gostaria de agradecer a todos aqueles que de forma direta ou indireta contribuıram para

que fosse possıvel a realizacao deste trabalho. Agradeco a minha mae, D. Rosilda, pela

educacao que me deu (ainda hoje, em meus atos procuro o seu olhar, mesmo que a ima-

gina-lo, de aprovacao), pois assim fui capaz de mais este passo no meu crescimento pessoal

e profissional. Agradeco a minha companheira Andreza principalmente pela inspiracao e

tambem pela paciencia e incentivo durante este perıodo tao decisivo. Sou sinceramente

agradecido ao meu orientador professor Josemar de Souza pela confianca e apoio indis-

pensaveis para que pudessemos alcancar juntos o objetivo deste trabalho. Pelos muito

bem-vindos comentarios, crıticas e elogios, agradeco aos membros convidados para a banca

examinadora, professores doutores Ramiro Willmersdorf, Marcelo Magalhaes e Alex San-

tos. Aos professores do Programa de Pos-Graduacao em Modelagem Computacional e

Tecnologia Industrial do SENAI-CIMATEC, especialmente ao coordenador professor Her-

nane Borges e professores Gilney Zabende, Liliane Antonio, Lynn Alves, Marcelo Moret

Goncalves, Renelson Sampaio, Valter de Senna e Lucas Travassos Jr., meu muito obrigado

pela aprendizagem que proporcionaram a mim e a todos os meus colegas de sala de aula,

aos quais tambem deixo meu agradecimento e abraco e desejo de muito sucesso. Nao

poderia deixar de agradecer a Ricardo Muneratto e Alexandre Pinto, respectivamente,

gerente e ex-gerente da Ford Motor Company, pelo apoio a parceria da companhia com o

SENAI-CIMATEC. A Andre Beduschi, meu supervisor direto, meu muito obrigado pelo

apoio e incentivo. Aos meus amigos, colegas e ex-colegas de trabalho: Leandro Machado,

Cauby Feitosa, Thiago Silva, Thiago Murari, Marco Tulio, Marcelo Martins, Robinson

Freitas e Vinıcius Prata, muito obrigado pelo incentivo e sugestoes que me ajudaram a

dar forma a este trabalho.

Salvador, Brasil Adchon Angelo Gomes da Silva

11 de maio de 2012.

Resumo

Devido a crescente demanda por programas computacionais que servem de auxılio no

processo de desenvolvimento de produtos, na intencao de assim diminuir o tempo e os

custos envolvidos neste processo, existe atualmente um maior interesse em modelos ma-

tematicos capazes de descrever os mais diversos mecanismos. Tais modelos devem ter

precisao satisfatoria, porem nao devem resultar em aplicativos pesados, que necessitem

de investimentos em equipamentos especiais e caros. Devido ao amplo campo de utilizacao

de pecas flexıveis, os modelos matematicos voltados para descricao de mecanismos envol-

vendo estas pecas tem recebido atencao especial. A teoria de Cosserat para vigas tem sido

utilizada na ultima decada para desenvolver modelos para simulacao de uma variedade

de pecas esbeltas flexıveis. Neste trabalho e formulado um elemento finito a partir da

Teoria de Cosserat para Vigas. Denominado elemento helicoidal, este elemento tem uma

formulacao mais complexa que o elemento baseado na Teoria do Ponto de Cosserat, porem

se vale da hipotese de que sua curva de referencia possui curvatura e torcao constantes

para obter as suas equacoes de equilıbrio e constitutivas, por meio de integracao, a partir

da teoria do contınuo tridimensional. Tal elemento helicoidal teria a vantagem de ser

capaz de oferecer resultados mais precisos quando a peca flexıvel que modela tem um raio

de curvatura da mesma ordem de grandeza que a altura de sua secao transversal.

Tambem neste trabalho e apresentado um procedimento numerico que exemplifica o uso

do elemento desenvolvido. Com um programa computacional que utiliza este metodo

numerico foi simulada uma viga com curvatura e torcao que varia ao longo de seu com-

primento, mas que possui material e secao transversal constantes. Os resultados obtidos

com este programa para varias configuracoes de materiais, forcas externas e diametros da

secao desta viga sao mostrados ao fim deste trabalho.

Palavras-chave: Pecas flexıveis, Viga de Cosserat, Elemento Helicoidal, Simulacao Com-

putacional, Energia de Deformacao.

i

Abstract

Due to the increasing demand for computer programs that serve to aid in the process of

product development -with the intention of thereby reducing time and costs involved in

this process- there is now a greater interest in mathematical models capable of describing

many different mechanisms. Such models should have satisfactory accuracy, but should

not result in heavy applications, which require investment in special and expensive equip-

ment. Due to the wide field of application of flexible parts, the mathematical models

aimed at describing the mechanisms involving such parts have received special attention.

The Cosserat Theory for Beams have been used in the last decade to develop simulation

models for a variety of flexible slender parts. In this work a finite element is formula-

ted from the Theory of Cosserat Beam. Called helical element this element has a more

complex formulation than the element based on the theory of Cosserat point, but relies

on the assumption that their reference curve has constant curvature and torsion to get

their balance and constitutive equations through integration on the theory of continuous

three-dimensional. This helical element would have the advantage of being able to offer

more accurate results when the modeled flexible part has a radius of curvature of the

same order of magnitude as the height of its cross section.

Is also presented in this work a numerical procedure that exemplifies the use of the ele-

ment here developed. With a computer program that uses this numerical method a beam

was simulated with bending and torsion that varies along its length, but that has homo-

geneous material and constant cross section. The results obtained with this program for

various configurations of materials, external forces and cross sectional diameters for this

beam are shown at the end of this work.

Keywords: Flexible Bodies, Cosserat Rod, Helicoidal Element, Computacional Simula-

tion, Deformation Energy.

ii

Sumario

1 Introducao 1

1.1 Definicao do problema - Motivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Trabalhos Anteriores Sobre Modelagem de Pecas Flexıveis . . . . . . . . . 3

1.4 Organizacao da Dissertacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Breve Revisao da Teoria do Contınuo Tridimensional 5

2.1 Notacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Configuracoes e Deformacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Leis de Conservacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3.1 Conservacao da Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3.2 Conservacao do Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3.3 Conservacao do Momento Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4 Potencia de Deformacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.5 Equacoes Constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.5.1 Materiais Elasticos Anisotropicos Nao-lineares . . . . . . . . . . . . 12

2.5.2 Modelo de Mooney-Rivlin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Teoria de Cosserat para Vigas 16

3.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2 Modelo de Cosserat para Vigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2.1 Configuracao de Referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2.2 Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3 Leis de Conservacao. Derivacao da Teoria Tridimensional . . . . . . . . . . 20

3.3.1 Conservacao de massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3.2 Conservacao do Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3.3 Conservacao dos Momentos Diretores . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3.4 Conservacao do Momento Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.4 Energia de Deformacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.5 Materiais Elasticos Anisotropicos Nao-lineares . . . . . . . . . . . . . . . . 31

iii

SUMARIO SUMARIO

4 Elemento Helicoidal Homogeneo para Vigas Curvas 34

4.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2 Modelo do Elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2.1 Configuracao de Referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2.2 Cinematica e Deformacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.3 Energia de Deformacao Tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.4 Obtencao dos Vetores-Tensao por Integracao . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.5 Outras Especializacoes para o Elemento Helicoidal . . . . . . . . . . . . . . 56

4.5.1 Massa do Elemento, Inercias e Forcas Externas . . . . . . . . . . . 56

4.5.2 Integracao dos Vetores tα ao Longo do Elemento Helicoidal . . . . . 58

4.5.3 Integracao da Energia Elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5 Aplicacao: Um Procedimento Numerico 63

5.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.2 A Viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.3 Discretizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.3.1 Orientacao das Trıades de Vetores Diretores . . . . . . . . . . . . . 67

5.3.2 Obtencao da Geometria do Elemento Helicoidal . . . . . . . . . . . 68

5.3.3 Equilıbrio Estatico do Elemento Helicoidal . . . . . . . . . . . . . . 74

5.3.4 Energia Total do Elemento Helicoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.4 Equilıbrio estatico da Viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.5 Minimizacao da Energia da Viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.5.1 Funcao Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.5.2 Metodo (Fletcher-Reeves) do Gradiente Conjugado . . . . . . . . . 82

5.5.3 Criterios de Parada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.6 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6 Conclusoes 88

A Formas Locais da Conservacao da Massa e do Impulso 89

Referencias 92

iv

Lista de Figuras

4.1 Elemento helicoidal em sua configuracao de referencia. . . . . . . . . . . . 34

5.1 Vista do modelo CAD da viga utilizada como exemplo. A esquerda, vistado plano xy. A direita, vista do plano xz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.2 Vista da curva de referencia da viga dada pela equacao (5.2.1). A esquerda,

projecao da curva em coordenadas polares no plano xy. A direita, vistaespacial da mesma curva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.3 Nos e trıades de vetores diretores di sobrepostos na curva de referencia daviga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.4 Ilustracao do metodo de definicao dos vetores en. . . . . . . . . . . . . . . 68

5.5 Ilustracao do metodo de definicao dos vetores nD1 e nD3. . . . . . . . . . . 69

5.6 Ilustracao do metodo de definicao dos vetores 1D1 e 1D3. . . . . . . . . . . 70

5.7 Esquema para obtencao da curvatura nodal κ∗, adaptado de [GReGOIRE,2007, pg. 32]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.8 Fluxograma geral do processo de simulacao da deformacao da viga. . . . . 80

5.9 Diferentes valores para o modulo de cisalhamento do material leva-nos adiferentes quantidades de deformacao na curva de referencia de uma viga.Raio da secao = 5mm e aceleracao da gravidade = 9, 81m/s2 . . . . . . . . 85

5.10 Diferentes quantidades de deformacao na curva de referencia da viga, resul-tantes de diferentes raios da secao utilizados. Curva de referencia da viganao-deformada em azul. Modulo de cisalhamento = 0, 01GPa e aceleracaoda gravidade = 9, 81m/s2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.11 Diferentes quantidades de deformacao na curva de referencia da viga, re-sultantes de diferentes valores de aceleracao da gravidade utilizados. Raioda secao = 5mm e modulo de cisalhamento = 0, 01GPa . . . . . . . . . . . 86

5.12 Evolucao das coordenadas dos pontos em funcao do numero de iteracoes. . 86

v

Lista de Sımbolos

z . . . . . . . . . . . . . Vetor posicao de um ponto material no espaco 3D.

θi . . . . . . . . . . . . Conjunto de Coordenadas convectivas.

t . . . . . . . . . . . . . Coordenada de tempo.

gi,gi . . . . . . . . . Sistemas covariante e contravariante de coordenadas convectivas.

g . . . . . . . . . . . . . O determinante da matriz de termos gij .

gij . . . . . . . . . . . As metricas dos espacos definidos pelos produtos internos gi · gj .

da, dv, ds . . . . . Elementos infinitesimais de area, de volume e de linha.

δji . . . . . . . . . . . . O delta de Kronecker.

F,F∗ . . . . . . . . . O gradiente de deformacao na teoria de Cosserat e na teoria do contınuo tridimensional.

J, J∗ . . . . . . . . . . O fator de dilatacao na teoria de Cosserat e na teoria do contınuo tridimensional.

P, P0 . . . . . . . . . Configuracao em um tempo qualquer e configuracao de referencia de um corpo contınuo.

∂P . . . . . . . . . . . Superfıcie externa de um corpo contınuo.

ρ, ρ∗ . . . . . . . . . . A massa por unidade de comprimento de uma viga e a densidade de um ponto material.

c∗ . . . . . . . . . . . . A forca de corpo por unidade de massa atuando em um ponto material.

t∗ . . . . . . . . . . . . O Vetor tensao agindo sobre um elemento de area.

n∗ . . . . . . . . . . . . Vetor unitario normal.

T∗ . . . . . . . . . . . O tensor tensao de Cauchy.

K,W . . . . . . . . . A Energia cinetica e a taxa de trabalho realizado por forcas externas sobre um ponto material.

U,P,P∗ . . . . . . . A energia total de deformacao da viga, a potencia de deformacao por unidade de comprimento

da viga de Cosserat e a potencia de deformacao de um ponto material.

L∗,D∗,W∗ . . . O gradiente de velocidade de deformacao e suas partes simetrica e antissimetrica.

Σ∗ . . . . . . . . . . . A energia de deformacao por unidade de massa de um ponto material.

Q . . . . . . . . . . . . Um tensor rotacao arbitrario.

R∗,U∗,V∗ . . . Tensores resultantes da decomposicao polar do tensor F∗.

C∗,B∗,C,B . Os tensores de deformacao de Cauchy-Green direito e esquerdo e seus analogos na teoria de

Cosserat.

S∗ . . . . . . . . . . . . O segundo tensor tensao de Piola-Kirchhoff.

ti∗ . . . . . . . . . . . Os tensores tensao principais, relativos ao sistema de coordenadas gi.

Ii . . . . . . . . . . . . Os invariantes principais do tensor C∗.

I . . . . . . . . . . . . . O Tensor identidade.

di,di . . . . . . . . . Base de vetores diretores da viga de Cosserat e sua correspondente contravariante.

x,v . . . . . . . . . . Vetor posicao e vetor velocidade de um ponto pertencente a curva de referencia da viga de

Cosserat.

wi . . . . . . . . . . . Vetor velocidade angular dos vetores di.

d33 . . . . . . . . . . . Metrica do elemento de linha da curva de referencia da viga de Cosserat.

ξ . . . . . . . . . . . . . Variavel auxiliar para representar valores de θ3.

A, ∂A . . . . . . . . A secao transversal e a curva que limita esta secao.

λα,Λα . . . . . . . Tensores introduzidos por Rubin para representar a taxa de distorcao dos vetores dα e Dα,

respectivamente, ao longo da coordenada θ3.

d1/2, d33 . . . . . . . A metrica do espaco definido pelo produto d1×d2 · d3 e a metrica do espaco definido por d3 · d3.

m . . . . . . . . . . . . A massa por unidade de θ3 de uma viga de Cosserat.

yα, yαβ . . . . . . . Os coeficientes de inercia dos vetores diretores di.

c, cb, cc . . . . . . . A forca especıfica total, a forca de corpo especıfica e a forca de contato especıfica por unidade

de massa atuando em um ponto da curva de referencia da viga de Cosserat.

t3 . . . . . . . . . . . . A forca total atuante em uma secao transversal da viga de Cosserat.

cα, cαb , cαc . . . . . O momento especıfico total, o momento especıfico da forca de corpo e o momento especıfico do

forca de contato, relativos a um ponto da curva de referencia da viga de Cosserat.

vi

LISTA DE SIMBOLOS LISTA DE SIMBOLOS

tα,mα . . . . . . . Os momentos relacionados as quantidades tα∗ e o momento do vetor tracao agindo em uma secao

transversal.

L,D,W . . . . . . O gradiente de velocidade de deformacao na teoria de Cosserat e suas partes simetrica e antis-

simetrica.

κα,βα . . . . . . . . Tensores de medida da deformacao da viga de Cosserat.

α, l, κ, τ, r, i . . . O angulo central e comprimento de um segmento de helice, a curvatura, a torcao, o raio e a

inclinacao e de uma helice circular.

C,C0 . . . . . . . . . A curva de referencia de um elemento helicoidal e a configuracao de referencia desta curva.

φ, µ, ν . . . . . . . . A razao de distorcao do angulo central da curva de referencia do elemento helicoidal e as taxas

de deformacao da secao transversal.

p,b . . . . . . . . . . O vetor normal principal e o vetor binormal da curva de referencia do elemento de helice.

κα . . . . . . . . . . . . O comprimento das projecoes do vetor κp nas direcoes dα.

β, τc . . . . . . . . . . O angulo entre os vetores p e d1 e a torcao dos vetores diretores dα.

h . . . . . . . . . . . . . O vetor das distorcoes das fibras normais a uma secao transversal de um elemento helicoidal.

Zjmn . . . . . . . . . . Os produtos de inercia em relacao ao raio de curvatura de um elemento.

A0,M, L . . . . . . A area inicial da secao transversal, a massa total e o comprimento inicial da curva de referencia

de um elemento helicoidal.

kinp . . . . . . . . . . . O valor das integrais dos vetores diretores ponderados com as grandezas κα, ao longo do elemento

helicoidal.

EE ,EG,ET . . . . A energia de deformacao elastica, a energia potencial gravitacional e energia total de um elemento

helicoidal.

ϕi . . . . . . . . . . . . Os angulos de Euler dados em radianos.

en . . . . . . . . . . . . Vetores unitarios da orientacao dos segmentos internodais.

α∗, κ∗ . . . . . . . . O angulo entre dois segmentos internodais consecutivos e a curvatura nodal.

x . . . . . . . . . . . . . O centro de gravidade ou centroide do elemento helicoidal.

EE , EG, ET . . . A energia de deformacao elastica, a energia potencial gravitacional e energia total de uma viga.

F, P,a . . . . . . . . A funcao objetivo, a funcao penalidade e a variavel de projeto do processo de minimizacao da

energia total da viga.

vii

Capıtulo Um

Introducao

Entre os maiores objetivos estrategicos da industria de bens de consumo estao as reducoes

de tempo e custos dispensados ao desenvolvimento de novos produtos. Com o proposito de

conseguir estas reducoes, tem-se tornado cada vez mais frequente o uso de programas de

computador que usam modelos virtuais nao so para a modelagem de pecas e mecanismos,

mas tambem para modelar os processos de montagem e manutencao, a ergonomia e outras

interacoes entre usuarios e produtos. A realidade virtual, as analises por elementos finitos

e outros metodos semelhantes utilizados atualmente mostram-se de grande utilidade como

ferramentas para reducoes de tempo e custos de desenvolvimento de produtos, uma vez

que tais metodos tem sido validados de forma reiterada pelos resultados ja alcancados, ao

ponto de serem capazes de substituir quase que totalmente os prototipos fısicos. Alie-se

ao objetivo de reducoes de tempo e custo as cada vez mais potentes estacoes de trabalho

dedicadas ao desenho auxiliado por computador (CAD, na sigla em ingles) de produtos

e processos de montagem e uso destes produtos, e teremos uma maior demanda por

aplicativos computacionais que sejam capazes de simular as condicoes de uso e montagem

destes produtos de forma rapida, com resultados confiaveis e que possam ser administrados

sob demanda pelo proprio desenhista da peca, em sua estacao de trabalho. Encontrar um

modelo leve, mas fiel ao problema fısico passa a ser fundamental no desenvolvimento de

tais aplicativos.

1.1 Definicao do problema - Motivacao

Uma das maiores dificuldades encontradas no uso de modelos virtuais para analises do

funcionamento de mecanismos e de simulacoes de montagem e manutencao envolvendo

pecas flexıveis e a falta de representatividade dos atuais modelos CAD para tais pecas.

Isto e percebido principalmente quando trata-se de simular as deformacoes destas pecas

quando solicitadas, por exemplo, pelo contato com outras pecas ou quando ha movimento

relativo entre os pontos aos quais esta peca esta montada. Pecas flexıveis reais sao na-

turalmente solicitadas a deformar durante a montagem, na movimentacao normal dos

mecanismos e devido ao proprio peso. Porem, num modelo CAD, estas deformacoes nao

sao representadas e estes modelos virtuais nao diferenciam pecas flexıveis de pecas rıgidas.

Pecas feitas de materiais tais como espumas e tecidos se enquadram perfeitamente na ca-

tegoria de pecas difıceis de se representar como modelo virtual dentro de um ambiente

onde existam interacoes com outras pecas. Numa outra categoria de pecas flexıveis, mas

com esta mesma dificuldade de representacao, estao as pecas denominadas esbeltas ou

1

Capıtulo Um 1.2. Objetivos

unidimensionais, assim chamadas pelo fato de uma das suas dimensoes ser preponderante

sobre as outras duas e por poderem ser representadas por uma linha no espaco. Exemplos

desta categoria sao laminas, cabos (condutores eletricos ou utilizados para acionamento),

mangueiras e tubos, pecas que tenham uma secao transversal de dimensoes pequenas em

relacao ao comprimento. Esta categoria de pecas flexıveis, que podemos classificar gene-

ricamente de vigas flexıveis, se diferenciam das demais pelo fato de ser a geometria, nao o

material de que sao feitas, a caracterıstica determinante de seu comportamento flexıvel.

Podemos resumir a geometria dessas pecas como uma linha envolvida com algum mate-

rial confinado a uma regiao finita delimitada por uma ou mais superfıcies laterais, duas

superfıcies perpendiculares a esta linha nas suas extremidades, e cuja secao transversal e

relativamente pequena em relacao ao comprimento dessa linha.

Atualmente os programas de computador mais utilizados para a modelagem de pecas e

mecanismos nao distinguem as pecas rıgidas das pecas flexıveis durante simulacoes do

funcionamento dos mecanismos ou de interacoes humanas durante uso ou manutencao.

Existem alguns poucos programas comerciais que se propoem a simular vigas flexıveis,

menos ainda sao as informacoes sobre a eficacia destes programas no caso destas vigas

apresentarem em suas configuracoes iniciais raios de curvatura da mesma ordem de gran-

deza da altura da secao transversal.

A teoria do ponto de Cosserat e uma teoria do contınuo nao-linear que necessita da

definicao de equacoes de equilıbrio e equacoes constitutivas, similarmente a teoria do

contınuo tridimensional. Porem, a teoria do ponto de Cosserat e uma simplificacao da

teoria do contınuo tridimensional, pois, ao contrario desta, a teoria do ponto de Cosserat

tem um numero finito e reduzido de graus de liberdade.

Na ultima decada, a teoria do ponto de Cosserat tem sido usada para formular solucoes

numericas para problemas dinamicos envolvendo vigas elasticas nao-lineares [RUBIN,

2000; RUBIN, 2001; RUBIN, 2005; ALAMO, 2006; GReGOIRE, 2007]. Em seu artigo,

Rubin [RUBIN, 2005] desenvolve um procedimento numerico capaz de prever o comporta-

mento de vigas elasticas submetidas a flexao pura. Ele compara os deslocamentos obtidos

com o resultado exato do calculo do estado plano de tensoes generalizadas bidimensional

para a mesma viga. Porem, no mesmo estudo tambem e demonstrado que com aquela

formulacao o erro relativo na previsao das tensoes e deslocamentos cresceu exponencial-

mente nas situacoes onde a razao entre o raio de curvatura e a altura do perfil da viga

eram menores que cinco para um. Isto mostrou, e o autor indica isso em suas conclusoes,

que sao necessarios mais estudos dedicados a estes casos.

1.2 Objetivos

O Objetivo principal deste trabalho e formular um elemento especializado de viga de

Cosserat e desenvolver um metodo numerico baseado nesta formulacao para a simulacao

2

Capıtulo Um 1.3. Trabalhos Anteriores Sobre Modelagem de Pecas Flexıveis

de vigas inicialmente curvas que, em algum intervalo de comprimento, apresentem raio de

curvatura da mesma ordem de grandeza que a medida da altura da secao transversal. Este

estudo entao complementaria o procedimento apresentado por Rubin [RUBIN, 2005].

E tambem objetivo deste trabalho utilizar o metodo numerico aqui desenvolvido para

criar um aplicativo de exemplo simples que simule deformacoes de uma viga curva de

secao circular por meio da obtencao dos deslocamentos nodais em um modelo discreto.

1.3 Trabalhos Anteriores Sobre Modelagem de Pecas Flexıveis

O estudo de grandes deformacoes em vigas tem sido de interesse por causa do grande

campo de aplicabilidade desse tipo de estrutura, que pode ser utilizada para modelar, por

exemplo, as laminas rotativas de helicopteros, cadeias de DNA, bracos roboticos flexıveis,

aparelhos de endoscopia, umbilicais de plataformas marıtimas de petroleo e ate fios de

cabelo.

Originalmente, nos trabalhos de Kirchhoff e Euler, a curva de referencia de uma viga era

modelada como inextensıvel, e a secao transversal sendo rıgida e devendo permanecer

perpendicular a curva de referencia no ponto de interseccao. Antman [ANTMAN, 2005]

generalizou esta formulacao para poder representar a extensao da curva de referencia e

o cisalhamento da secao, tangente a linha de referencia. Utilizando a teoria de Cosserat

para vigas, Green, Naghdi e Wenner [GREEN; NAGHDI; WENNER, 1974a; GREEN;

NAGHDI; WENNER, 1974b] desenvolveram uma teoria mais geral que inclui a extensao

da linha de referencia, cisalhamento da secao transversal ocorrendo tangencialmente a

esta linha, e tambem extensao e cisalhamento da secao ocorrendo em planos normais a

linha de referencia. Em seu livro [RUBIN, 2000], Rubin apresenta uma abordagem ampla

sobre as teorias das cascas, das vigas e dos pontos de Cosserat. Tanto no livro quanto em

outros trabalhos seus [RUBIN, 2001; RUBIN, 2005], podem ser encontrados ainda alguns

metodos numericos utilizando o ponto de Cosserat.

Independentemente da teoria utilizada, se focarmos nos trabalhos dedicados a modelagem

de corpos flexıveis esbeltos, independentemente da area de utilizacao, poderemos destacar

alguns trabalhos. Gregoire [GReGOIRE, 2007] utiliza um sistema massa-mola generali-

zado para simular mangueiras e cabos, onde as orientacoes dos nos sao parametrizadas

utilizando-se quaternions unitarios, e a deformacao e obtida por minimizacao de uma

funcao de energia. Pai [PAI, 2002] utiliza a teoria de Cosserat para simular linhas de su-

tura utilizadas em cirurgias, atraves de um sistema de equacoes diferenciais ordinarias com

condicoes de contorno. Alamo [ALAMO, 2006] utiliza a teoria para viga de Cosserat para

simular equipamentos de perfuracao de pocos de petroleo, utilizando o metodo da per-

turbacao para solucionar um sistema de equacoes diferenciais ordinarias para o equilıbrio

estatico, e o metodo de Newmark para resolver as equacoes do movimento. Em seu ar-

tigo, Manning et al [MANNING; MADDOCKS; KAHN, 1996] desenvolve um modelo a

3

Capıtulo Um 1.4. Organizacao da Dissertacao

partir da teoria de Cosserat para simular deformacoes em moleculas de DNA. Bertails

et al [BERTAILS et al., 2006] criou um modelo helicoidal baseado na mecanica Lagran-

geana, para ser utilizado em animacoes feitas por computador e que simula a dinamica

de diferentes tipos de cabelo. Spillmann e Teschner [SPILLMANN; TESCHNER, 2007]

desenvolveram um modelo baseado tambem na teoria de Cosserat para vigas e utilizam

o metodo dos elementos finitos para computar a energia de deformacao dos elementos e

simulam o comportamento dinamico da viga integrando numericamente as equacoes de

movimento de Lagrange resultantes.

1.4 Organizacao da Dissertacao

Este trabalho esta estruturado da seguinte forma:

� Capıtulo um: Esta introducao.

� Capıtulo dois: Uma breve revisao da teoria do contınuo tridimensional classica. Se

trata de um resumo das principais definicoes do campo da mecanica do contınuo que

serao recorrentemente utilizadas no decorrer deste trabalho. As principais fontes

foram os livros-textos Introduction to the Mechanics of a Continuous Medium de L.

E. Malvern [MALVERN, 1969] e Non-Linear Elastic Deformations de R. W. Ogden

[OGDEN, 1997].

� Capıtulo tres: Resumo da teoria de Cosserat para vigas, tendo como principal fonte

o livro-texto Cosserat Theories: Shells, Rods and Points de autoria de M. B. Rubin

[RUBIN, 2000].

� Capıtulo quatro: Apresentacao do elemento helicoidal baseado na teoria de Cosserat

para vigas, sua geometria, equilıbrio e integracao a partir das teoria tridimensional

para obtencao das equacoes constitutivas, constituindo a maior contribuicao deste

trabalho.

� Capıtulo cinco: Apresentacao de um procedimento numerico utilizando o elemento

helicoidal, introduzido no capıtulo anterior, para simular a deformacao elastica de

uma viga inicialmente curva.

� Capıtulo seis: Resultados e conclusoes deste trabalho.

4

Capıtulo Dois

Breve Revisao da Teoria do Contınuo Tridimensional

Neste capıtulo faremos uma revisao das expressoes utilizadas na teoria do contınuo tridi-

mensional que servirao como bases no desenvolvimento da teoria de Cosserat, principal-

mente na derivacao dos termos usados nas leis de conservacao da teoria.

Textos bem mais abrangentes introdutorios a teoria da mecanica do contınuo podem ser

encontrados em [OGDEN, 1997] e [MALVERN, 1969].

2.1 Notacao

Nesta secao apresentaremos alguns sımbolos e convencoes que serao utilizados ao longo

de todo o texto. Outras notacoes serao introduzidas em partes especıficas, ao longo do

desenvolvimento de algumas expressoes e a medida em que se tornarem necessarias.

Nomenclatura da teoria tridimensional

Usaremos na teoria de Cosserat e na teoria tridimensional uma mesma nomenclatura para

pares de grandezas analogas (porem geralmente de valores diferentes). Para evitar con-

fusoes, as grandezas pertencentes a teoria tridimensional que tiverem analogas na teoria

de Cosserat serao grafadas com um asterisco (∗) sobrescrito, de modo a diferencia-las das

grandezas da teoria de Cosserat.

Tensores, matrizes e vetores

Variaveis representando tensores, matrizes e vetores serao sempre escritas em negrito. As

operacoes entre vetores e tensores serao representadas da maneira usual como a ·b, a×b

e a⊗b para produto interno, produto vetorial e produto tensorial, respectivamente, onde

a e b sao vetores ordinarios.

Quando for necessario expressar o valor de um vetor em sua configuracao inicial ou de

referencia, este sera escrito com uma letra maiuscula, enquanto o seu valor em um tempo

t qualquer sera representado por uma letra minuscula.

Somatorio de Einstein

Utilizaremos a notacao de Einstein para somatorio, como e usual em mecanica do contınuo.

Nesta notacao quando um ındice (subscrito ou sobrescrito) e repetido mais de uma vez em

um termo de uma expressao isto implica que esta e igual ao somatorio dos termos obtidos

quando o ındice e substituıdo por seus valores possıveis. Convencionamos que, quando

nao especificado de outra maneira, os ındices repetidos representados por letras gregas

5

Capıtulo Dois 2.2. Configuracoes e Deformacao

minusculas (α,β,...) implicam o somatorio de um a dois, e os ındices representados por

letras latinas minusculas (i,j,k,...) implicam o somatorio de um a tres. Por exemplo, o

termo abaixo expande-se em um somatorio de termos com os valores possıveis dos ındices

i e j:

ajbj = a1b1 + a2b2 + a3b3 .

Por outro lado, o termo ai representa um conjunto de tres termos distintos (a1, a2, a3),

e θα e um conjunto de dois termos (θ1, θ2), pois i e α sao ındices livres, ou seja, nao se

repetem no termo. Similarmente, a expressao

aij = bij + cij

representa um conjunto de nove equacoes, uma para cada combinacao de valores que os

ındices i e j podem ter.

Funcoes e diferenciacao

Dada uma funcao vetorial∧f , a cunha (∧) ou outros sımbolos, quando usados acima do

nome da funcao, servirao para diferencia-la do vetor f , que e o valor retornado pela funcao.

Porem, poderemos nao utilizar nenhum sımbolo sobre o nome da funcao sempre que es-

tiver claro que a partir do contexto que estamos nos referindo a funcao.

Um ponto acima do nome da funcao sera utilizado para indicar a diferenciacao desta

funcao em relacao ao tempo. Por exemplo, poderemos escrever

f =∂∧f (θi, t)

∂t,

para representar a diferenciacao no tempo de∧f , mantendo-se constante as demais variaveis

nas quais esta funcao depender.

Assim sera representada a derivada parcial de uma funcao∧f , dependente de coordenadas

espaciais e do tempo, em relacao a uma coordenada espacial θi:

f ′i =∂∧f (θi, t)

∂θi.

2.2 Configuracoes e Deformacao

Coordenadas convectivas

No desenvolvimento da teoria do ponto de Cosserat, utilizaremos um sistema de coor-

denadas convectivas, tambem conhecido como sistema de coordenadas intrınsecas. Este

sistema tem a caracterıstica de que seus vetores da base movimentam-se e deformam-se

de acordo com o movimento e deformacao do corpo a que esta acoplado, deste modo, um

6


ponto material sempre tera as mesmas coordenadas convectivas, independentemente do

tempo transcorrido.

Um determinado ponto material de um contınuo tem sua posicao z, relativa a um sistema

de coordenadas fixo, dada em funcao das coordenadas convectivas θi e do tempo t:

z =∧z(θi, t) , (2.2.1)

e a velocidade em relacao a este sistema de coordenadas fixo e escrita

z =∂∧z

∂t. (2.2.2)

Os vetores gi definidos por

gi =∂∧z

∂θi= z′i (2.2.3)

sao os vetores que formam a base covariante ou base natural do sistema de coordenadas

convectivas, sao linearmente independentes e sao orientados de acordo com a regra da

mao direita:

g1/2 = g1×g2 ·g3 > 0 , (2.2.4)

onde g e o determinante da matriz de termos gij,

g = det (gij) , (2.2.5)

e gij sao as metricas do espaco definido pelos vetores gi:

gij = gi ·gj = gji . (2.2.6)

Com a ajuda de (2.2.4), podemos definir a expressao para o elemento de volume dv como

dv =∂z

∂θ1dθ1× ∂z

∂θ2dθ2 ·

∂z

∂θ3dθ3 = g

1/2 dθ1dθ2dθ3 . (2.2.7)

A base gi e a base contravariante ou recıproca da base natural e e assim definida:

g1 = g−1/2g2×g3 , g2 = g

−1/2g3×g1 , g3 = g−1/2g1×g2 , (2.2.8)

que tambem sao vetores linearmente independentes e orientados de acordo com a regra

da mao direita:

g−1/2 = g1×g2

·g3 > 0 . (2.2.9)

7


Com as relacoes acima e facil demonstrar que os vetores das bases covariante e contrava-

riante exibem as seguintes relacoes:

gi =∂θi

∂∧z

(2.2.10)

gi ·gj = δji , (2.2.11)

onde δji e o delta de Kronecker [MALVERN, 1969], que toma valor 1 quando i = j e 0

quando i 6= j.

Configuracoes

Um corpo tridimensional identificado por Y e considerado um conjunto de pontos ou

partıculas materiais. Mapearemos cada um destes pontos no espaco euclideano E3 com

uma relacao um-para-um, e a regiao resultante R de E3 chamaremos de configuracao do

corpo em um instante atual t. Assumimos que esta regiao e contınua, regular e delimitada

por uma superfıcie fechada ∂R.

Em um instante t atribuiremos um vetor posicao z a cada ponto material de Y , entao o

deslocamento podera ser especificado pela funcao vetorial (2.2.1).

A posicao dos pontos de Y em sua configuracao inicial e independente do tempo e e

representada por

Z =∧Z(θi) . (2.2.12)

Gradiente de deformacao

Uma linha dz em sua configuracao no instante t e mapeada em termos de sua configuracao

inicial, dZ atraves do gradiente de deformacao F∗

dz = F∗ dZ , (2.2.13)

tal que

F∗ =dz

dZ, (2.2.14)

e a condicao matematica que permite que este mapeamento seja inversıvel e que o deter-

minante de F∗ nao seja igual a zero.

Por definicao, o gradiente de um tensor arbitrario T, de ordem maior ou igual a um, e

um tensor que pode ser escrito da seguinte forma:

grad T =dT

dz=∂T

∂θi⊗ ∂θi

∂z= T′i ⊗ gi . (2.2.15)

8


Entao podemos escrever o gradiente de deformacao F∗ em sua forma tensorial:

F∗ =dz

dZ=∂z

∂θi⊗ ∂θi

∂Z= gi ⊗Gi , (2.2.16)

tal que

gi = F∗Gi , (2.2.17)

onde os vetores Gi formam a base recıproca de Gi e sao, respectivamente, a base contra-

variante e a base covariante na configuracao inicial ou de referencia. Entao, similarmente

as bases gi e gi, temos as relacoes:

G1/2 = G1×G2 ·G3 > 0 , (2.2.18)

G1 = G−1/2(G2 ×G3) ,

G2 = G−1/2(G3 ×G1) ,

G3 = G−1/2(G1 ×G2) ,

(2.2.19)

G−1/2 = G1×G2

·G3 > 0 , (2.2.20)

Gi ·Gj = δji , (2.2.21)

dV = G1/2 dθ1dθ2dθ3 . (2.2.22)

Com as definicoes acima e possıvel mostrar que o determinante de F∗ pode ser escrito da

seguinte forma:

det F∗ = J∗ = (g1×g2 ·g3)(G1×G2

·G3) = g1/2G

−1/2 , (2.2.23)

onde J∗ e chamado de fator de dilatacao. Com a ajuda da expressao acima, de (2.2.7) e

(2.2.22) para os elementos de volume, J∗ pode ser tambem expresso da forma

J∗ =dv

dV. (2.2.24)

9

Capıtulo Dois 2.3. Leis de Conservacao

2.3 Leis de Conservacao

2.3.1 Conservacao da Massa

Consideraremos que a massa total de um elemento contınuo tridimensional e invariante

no tempo e isto e expresso como

d

dt

∫P

ρ∗ dv = 0 , (2.3.1)

onde ρ∗ = ρ∗(θi, t) e o valor da densidade do ponto material de coordenadas θi em um

tempo t, e dv e o elemento infinitesimal de volume.

Se definirmos uma densidade ρ∗0 na configuracao de referencia, e usarmos o resultado

(2.2.24), poderemos converter a integral em (2.3.1) em uma integral sobre a configuracao

de referencia P0. Devido a conservacao da massa, exigimos que a integral resultante seja

igual a integral de ρ∗0 sobre o volume de P0. Chegaremos entao a forma local

ρ∗J∗ = ρ∗0 . (2.3.2)

2.3.2 Conservacao do Impulso

O princıpio da conservacao do impulso estabelece que existe a igualdade entre a variacao

do impulso de um elemento material ordinario de um corpo e o somatorio de todas as

forcas externas agindo sobre este elemento.

Se P e o elemento em questao, este princıpio pode ser representado da forma

d

dt

∫P

ρ∗ z dv =

∫P

ρ∗ c∗ dv +

∫∂P

t∗ da , (2.3.3)

onde c∗ = c∗(z, t) e a forca de corpo por unidade de massa atuando em um ponto material

z do elemento P , e t∗ = t∗(z, t,n) e o vetor tensao agindo sobre o elemento de area

infinitesimal da localizado no ponto de coordenadas z na superfıcie ∂P , tal que n = n(z, t)

e o vetor unitario normal a ∂P no mesmo ponto. Pode ser mostrado que o vetor t∗ e uma

funcao linear do vetor unitario normal n, tal que

t∗ = t∗(z, t,n) = T∗(z, t)n , (2.3.4)

onde T∗ e o tensor tensao de Cauchy [OGDEN, 1997, sec. 3.3].

10

Capıtulo Dois 2.4. Potencia de Deformacao

2.3.3 Conservacao do Momento Angular

O princıpio da conservacao do momento angular diz que, referente a um ponto fixo, a

taxa de variacao do momento angular de um elemento material ordinario de um corpo e

igual ao somatorio de todos os momentos externos aplicados neste elemento.

Considerando-se que, em relacao a um ponto de referencia fixo, a posicao de um ponto

material contido em um corpo e dada por z, a conservacao do momento angular pode ser

escrita comod

dt

∫P

z×ρ∗ z dv =

∫P

z×ρ∗ c∗ dv +

∫∂P

z×t∗ da . (2.3.5)

2.4 Potencia de Deformacao

Do ponto de vista da teoria puramente mecanica, a taxa instantanea de variacao da

energia de um elemento P sera considerada como igual a taxa W de trabalho realizado

pelas forcas externas atuando em cada ponto do volume e na superfıcie deste elemento no

mesmo instante:

W =

∫P

ρ∗ c∗ · z dv +

∫∂P

t∗ · z da , (2.4.1)

e a taxa instantanea de variacao da energia associada a deformacao deste elemento, sera

a parte da taxa de trabalho realizado pelas forcas externas que nao foi transformada em

variacao da energia cinetica K do elemento. Podemos escrever entao∫P

P∗ dv = W− K =

∫P

ρ∗ c∗ · z dv +

∫∂P

t∗ · z da− d

dt

∫P

1

2ρ∗ z · z dv , (2.4.2)

onde P∗ e a potencia de deformacao de um ponto material do elemento P , que e integrada

sobre o volume do elemento para se obter a sua potencia de deformacao total.

Assumindo continuidade suficiente das funcoes, usando o teorema do divergente e utili-

zando em seguida o resultado

div(z ·T∗) = z · divT∗ + T∗ ·L∗ , (2.4.3)

onde L∗ e o gradiente de velocidade definido em (A.0.7), poderemos escrever

P∗ = ρ∗ c∗ · z + divT∗ · z + T∗ ·L∗ − d

dt

[1

2ρ∗ z · z

]. (2.4.4)

Podemos separar L∗ em suas partes simetrica D∗ e anti-simetrica W∗,

L∗ = D∗ + W∗ , D∗ =1

2

(L∗ + L∗T

)= D∗T , D∗ = −W∗T . (2.4.5)

11

Capıtulo Dois 2.5. Equacoes Constitutivas

Assim, com o uso do resultado (A.0.14), e pelo fato de o tensor T∗ ser simetrico, reque-

rendo que so a parte simetrica de L∗ contribua com o resultado, chegaremos a expressao

P∗ = T∗ ·D∗ . (2.4.6)

Importante atentar para o fato de a energia cinetica K e a taxa de trabalho W serem alte-

radas por um movimento de corpo rıgido, enquanto a potencia mecanica P∗ nao [RUBIN,

2000, sec. 3.3].

2.5 Equacoes Constitutivas

Diferentemente das equacoes das leis de conservacao de massa, impulso e momentos direto-

res e angular, que sao validas para qualquer material, as equacoes constitutivas dependem

diretamente das hipoteses tomadas em relacao ao tipo de material de que o elemento e

formado.

Primeiramente desenvolveremos expressoes gerais assumindo que o elemento e constituıdo

de um material elastico anisotropico nao-linear, para posteriormente derivar expressoes

especıficas para um material cuja energia de deformacao e modelada por uma funcao de

Mooney-Rivlin [OGDEN, 1997, sec. 4.3].

2.5.1 Materiais Elasticos Anisotropicos Nao-lineares

Nesta secao iremos mostrar o desenvolvimento de equacoes constitutivas para um elemento

constituıdo de um material anisotropico nao-linear idealmente elastico. Um material

elastico e caracterizado pelas hipoteses:

1. Existe uma funcao Σ∗ para a energia de deformacao especıfica (por unidade de

massa) que e funcao apenas do tensor deformacao F∗;

2. A energia de deformacao especıfica e invariante sob movimento de corpo rıgido (MCR);

3. A taxa instantanea de variacao de energia de deformacao e igual a potencia de

deformacao, tal que

ρ∗Σ∗ = P∗ = T∗ ·D∗ . (2.5.1)

A terceira hipotese impoe restricoes a formulacao Σ∗ = Σ∗(F∗) para a energia especıfica de

deformacao. Como demonstrado em [MALVERN, 1969, sec. 6.7], um corpo sob MCR tem

seu gradiente de deformacao F∗ transformado de modo que F∗+ = Q F∗, onde o sinal ’+’

indica uma grandeza submetida a um MCR , e Q e um tensor referente a rotacao imposta

12


pelo MCR . No entanto, a segunda hipotese requer que

Σ∗+ = Σ∗ , (2.5.2)

sendo que

Σ∗+ =

∼Σ∗ (F∗+) =

∼Σ∗ (Q F∗) (2.5.3)

deve ser valido para qualquer valor de Q, para que a terceira hipotese seja obedecida. Isto

quer dizer que precisamos de uma outra forma funcional para Σ∗ que satisfaca (2.5.2).

Utilizaremos o teorema da decomposicao polar para separar F∗ multiplicativamente em

um tensor rotacao R∗, e um tensor positivamente definido: U∗ ou V∗, de maneira que

F∗ = R∗U∗ = V∗R∗ ,

R∗T R∗ = R∗R∗T = I , det R∗ = 1 ,

U∗ = U∗T , V∗ = V∗T ,

(2.5.4)

e ainda definiremos dois tensores C∗ e B∗ tais que

C∗ = F∗T F∗ = C∗T , (C∗)1/2 = U∗ , (2.5.5)

B∗ = F∗F∗T = B∗T , (B∗)1/2 = V∗ . (2.5.6)

Na teoria tridimensional C∗ e B∗ sao conhecidos como tensores de deformacao de Cauchy-

Green direito e esquerdo, respectivamente.

Podemos entao escrever (2.5.3) da forma

Σ∗+ =

∼Σ∗ (F∗+) =

∼Σ∗ (Q R∗U∗) . (2.5.7)

Esta expressao deve ser valida para qualquer MCR , entao iremos escolher uma rotacao

arbitraria Q, que pode ser uma funcao da posicao do ponto material z, para responder

tambem a deformacoes nao-homogeneas. Especificamente, se fizermos Q = R∗T , entao

(2.5.7) poderia ser escrita da forma

∼Σ∗ (F∗+) =

∼Σ∗ (R∗T R∗U∗

)=

∼Σ∗ (U∗) . (2.5.8)

Considerando-se (2.5.5) podemos encontrar entao a forma funcional

∼Σ∗ (F∗+) =

∼Σ∗ (U∗) =

∧Σ∗ (C∗) , (2.5.9)

onde∧Σ∗ e uma nova funcao de C∗, de onde podemos entao deduzir que C∗ e invariante

com MCR , ou seja C∗ = C∗+, e que para respeitar a terceira hipotese, a energia de

deformacao Σ∗ deve depender do tensor deformacao F∗ apenas atraves do tensor C∗.

Utilizando (2.5.9), a definicao (2.5.5) e a expressao (A.0.6) para a derivada em relacao ao

13


tempo de F∗, teremos

Σ∗ =∂Σ∗

∂C∗· C∗ =

∂Σ∗

∂C∗·

(F∗TF∗ + F∗T F∗

)=∂Σ∗

∂C∗·F∗T

(L∗T + L∗

)F∗ , (2.5.10)

que, se usarmos a definicao (2.4.5), pode ser escrita da forma

Σ∗ = 2∂Σ∗

∂C∗·F∗TD∗F∗ = 2F∗

∂Σ∗

∂C∗F∗T ·D∗ . (2.5.11)

Utilizando esta formulacao em (2.5.1), teremos

T∗ ·D∗ = 2ρ∗F∗∂Σ∗

∂C∗F∗T ·D∗ . (2.5.12)

Como D∗ pode ser um tensor simetrico arbitrario, independente dos valores de F∗, temos

que a condicao necessaria para que (2.5.12) seja valido, sera

T∗ = 2ρ∗F∗∂Σ∗

∂C∗F∗T . (2.5.13)

Se definirmos um tensor S∗ tal que

J∗T∗ = F∗ S∗F∗T , (2.5.14)

e utilizarmos (2.3.2) para a conservacao de massa, obteremos para o valor de S∗

S∗ = 2ρ∗0∂Σ∗

∂C∗, (2.5.15)

Na teoria do contınuo tridimensional o tensor simetrico S∗ e conhecido como o segundo

tensor tensao de Piola-Kirchhoff.

Podemos ainda utilizar (2.3.2) juntamente com a definicao (2.2.23) para J∗, a definicao

(A.0.17) e o resultado (2.5.13) para escrever

ti∗ = 2ρ∗0G1/2F∗

∂Σ∗

∂C∗Gi . (2.5.16)

2.5.2 Modelo de Mooney-Rivlin

No caso de um material elastico isotropico nao-linear, a funcao de energia de deformacao

Σ∗ e uma funcao isotropica de C∗ [OGDEN, 1997, sec. 4.2.6], o que significa que deve

depender apenas dos invariantes principais de C∗

Σ∗ = Σ∗ (Ii) , (2.5.17)

14


onde Ii sao os invariantes principais, e estes podem ser expressos como

I1 = I1 (θi, t) = C∗ · I ,

I2 = I2 (θi, t) =1

2

[(C∗ · I)2 −C∗ ·C∗T

],

I3 = I3 (θi, t) = det C∗ = J∗2 .

(2.5.18)

Entao poderemos escrever

∂Σ∗

∂C∗=∂Σ∗

∂Ii

∂Ii∂C∗

=∂Σ∗

∂I1I +

∂Σ∗

∂I2

[(C∗ · I) I−C∗

]+∂Σ∗

∂I3I3C

∗−1 . (2.5.19)

Para um material que apresenta aproximadamente um comportamento incompressıvel a

funcao de energia de deformacao tem dependencia apenas nos dois primeiros invariantes.

Como um caso especial de modelo de material incompressıvel, o modelo conhecido como

Mooney-Rivlin tem demonstrado boa correlacao com ensaios fısicos, e teve um papel

importante no desenvolvimento da teoria da elasticidade nao-linear.

O modelo de Mooney-Rivlin tem a seguinte formulacao

Σ∗ = Σ∗ (Iα) = K1 (I1 − 3) +K2 (I2 − 3) , (2.5.20)

onde Kα sao constantes fısicas determinadas experimentalmente.

Podemos agora escrever

∂Σ∗

∂C∗= K1I +K2

[(C∗ · I) I−C∗

]. (2.5.21)

E com este resultado, escrever os tensores T∗, ti∗ e S∗ da forma

T∗ = 2ρ∗F∗[K1I +K2

[(C∗ · I) I−C∗

]]F∗T , (2.5.22)

S∗ = 2ρ∗0

[K1I +K2

[(C∗ · I) I−C∗

]], (2.5.23)

ti∗ = 2ρ∗0G1/2F∗

[K1I +K2

[(C∗ · I) I−C∗

]]Gi . (2.5.24)

15

Capıtulo Tres

Teoria de Cosserat para Vigas

3.1 Introducao

No contexto tridimensional, a teoria de Cosserat descreve um contınuo direcionado que

tem o movimento caracterizado por vetores de posicao e por grandezas vetoriais chama-

das diretores, definidos em cada ponto material. Por esse motivo, alem das equacoes

de equilıbrio e de conservacao de massa, serao necessarias expressoes para descrever os

equilıbrios dos vetores diretores de modo a possibilitar a determinacao dos valores das

densidades e das posicoes e os campos vetoriais dos diretores.

A viga como descrita pelos irmaos Cosserat tem caracterısticas geometricas que a tornam

especial, ela pode ser considerada uma curva material que pode ter uma forma arbitraria e

com pequena secao transversal em comparacao com o seu comprimento. A sua formulacao

e a de um corpo contınuo, mas com um numero finito de graus de liberdade.

Utilizaremos a teoria de Cosserat para vigas para desenvolver um elemento finito na

discretizacao de uma viga, e modelaremos para cada elemento a resposta resultante da

interacao deste elemento com os seus elementos vizinhos. Deste modo sera obtido um

conjunto finito de equacoes diferenciais ordinarias que irao descrever o comportamento

estatico ou dinamico de toda a viga.

Uma abordagem ampla sobre as teorias das cascas, das vigas e dos pontos de Cosserat

e alguns metodos numericos utilizando o ponto de Cosserat podem ser encontrados no

livro de Rubin [RUBIN, 2000] em em outros trabalhos [RUBIN, 2001; RUBIN, 2005], nos

quais esta baseado todo o desenvolvimento das proximas secoes. Nestas secoes procura-

remos condensar os aspectos mais importantes da teoria de Cosserat que serao utilizados

neste trabalho, especificamente as expressoes para a conservacao da massa, conservacao

do impulso e conservacao dos momentos diretores e angular e as equacoes constitutivas.

3.2 Modelo de Cosserat para Vigas

No inıcio deste capıtulo definimos a viga de Cosserat como uma curva material com

pequenas dimensoes, exceto no comprimento, e que pode ter formas arbitrarias de secao

transversal. Adicionalmente, pela teoria de Cosserat para vigas, esta curva carrega uma

estrutura de vetores em cada ponto seu. Em resumo, estes vetores servem para descrever

as deformacoes e taxas de deformacoes elementares ao longo da secao e comprimento da

viga de Cosserat, seja pela mudanca de magnitude de um vetor, indicando tracao ou

compressao da viga na direcao deste vetor, ou pela mudanca de angulo entre dois vetores

16

Capıtulo Tres 3.2. Modelo de Cosserat para Vigas

diretores, indicando que ocorre cisalhamento no plano definido por esses vetores.

3.2.1 Configuracao de Referencia

A estrutura de vetores de que e dotada a viga de Cosserat sao seus vetores diretores, e na

configuracao de referencia estes sao dados por

Di = Di(θ3) , (3.2.1)

onde a coordenada θ3 sera medida ao longo do comprimento da curva, designada para

mapear pontos especıficos desta curva. Estes vetores sao linearmente independentes e

formam uma base orientada obedecendo a regra da mao direita:

D1/2 = D1×D2 ·D3 > 0 . (3.2.2)

Se considerarmos Di como um sistema curvilinear convectivo de coordenadas, que se

move e se deforma junto com o material da viga, e considerarmos θi as coordenadas de

um ponto na viga em relacao a este sistema, o movimento e a deformacao neste ponto

(2.2.1) tornam-se independentes das coordenadas θi e dependente apenas do tempo.

Na configuracao inicial ou de referencia, e em relacao a uma origem fixa, a curva de

referencia C0 de uma viga de Cosserat tem a posicao de seus pontos dada por

X = X(θ3) , (3.2.3)

e suas coordenadas θα serao iguais a zero: X(θ3) = Z(0, 0, θ3).

Pela definicao de θ3, o vetor D3 sera tangente a curva de referencia, se definido da forma

D3 = D3(θ3) =

dX

dθ3= X′3 . (3.2.4)

O elemento de comprimento de linha dS sera dado por

dS = D1/233 dθ

3 , (3.2.5)

onde

D33 = D3 ·D3 . (3.2.6)

Seja P0 a configuracao de referencia do contınuo descrito pela viga de Cosserat, neste

momento este contınuo e delimitado por uma superfıcie lateral ∂PL0 e duas superfıcies

∂P10 e ∂P20, nas suas extremidades, e sua curva de referencia sera denominada C0.

Assumiremos que a superfıcie lateral ∂PL0 sera contınua e suave e que as superfıcies nos

extremos do elemento contınuo sejam planas.

Referente a um sistema de coordenadas fixo, um ponto material pertencente a este

17


contınuo pode entao ter sua posicao determinada pela adicao do vetor posicao de um

ponto da curva C0 com a posicao relativa deste ponto material em termos dos desloca-

mentos θα ao longo dos vetores diretores Dα:

Z = Z(θi) = X(θ3) + θαDα(θ3) . (3.2.7)

Podemos agora dizer que as superfıcies ∂P10 e ∂P20 sao definidas pelos planos Z(θα, ξ1) e

Z(θα, ξ2), onde ξα sao constantes representando os valores extremos de θ3, tal que

ξ1 ≤ θ3 ≤ ξ2 , (3.2.8)

e que a superfıcie lateral ∂PL0 sera dada por uma funcao F (θα, θ3) = 0, cuja interseccao

com um plano θ3 = constante e uma curva fechada ∂A(θ3) que delimita a secao transver-

sal A(θ3).

Convenientemente definiremos agora a base recıproca ou contravariante Di pelas ex-

pressoes

D1 = D−1/2(D2×D3) ,

D2 = D−1/2(D3×D1) ,

D3 = D−1/2(D1×D2) ,

(3.2.9)

D−1/2 = D1×D2

·D3 > 0 , (3.2.10)

Di ·Dj = δji . (3.2.11)

Definiremos agora os dois tensores de segunda ordem Λα, que depois serao uteis no de-

senvolvimento de expressoes para as deformacoes de um elemento de viga:

Λα = (Dα)′3 ⊗D3 , (Dα)′3 = ΛαD3 , ΛαDβ = 0 , (3.2.12)

de modo que os vetores Gi e Gi e o valor G1/2 possam ser escritos [RUBIN, 2000, pg. 193]

Gi = (I + θαΛα) Di , (3.2.13)

Gi = (I + θαΛα)−T Di , (3.2.14)

G1/2 = D

1/2 det (I + θαΛα) = D1/2 (1 + θαΛα · I) . (3.2.15)

18


3.2.2 Cinematica

Em um instante t, o elemento que foi descrito na secao anterior tem uma configuracao P

e sua curva de referencia C tem os pontos mapeados pela coordenada θ3:

x = x(θ3, t) . (3.2.16)

O vetor d3 e o elemento de comprimento de linha ds serao dados por

d3 = d3(θ3) =

∂x

∂θ3= x′3 , e (3.2.17)

ds = d1/233 dθ

3 , (3.2.18)

onde

d33 = d3 ·d3 . (3.2.19)

Os vetores dα = dα(θ3, t) juntamente com d3 formam a base di, de acordo com a regra

da mao direita, tal que

d1/2 = d1×d2 ·d3 > 0 . (3.2.20)

Igualmente a configuracao de referencia, poderemos representar um ponto material de P

em sua configuracao referente a um instante t da forma:

z = z(θi, t) = x(θ3, t) + θαdα(θ3, t) . (3.2.21)

Com esta expressao podemos definir as relacoes entre os vetores das bases gi e di como

gi = z′i , gα = dα , g3 = d3 + θα (dα)′3 , (3.2.22)

e a base contravariante di como

di ·dj = δij . (3.2.23)

Torna-se conveniente agora introduzirmos o conceito de velocidade de um ponto na curva

v e velocidade dos vetores diretores wi:

v = v(θ3, t) = x (3.2.24)

wi = wi(θ3, t) = di . (3.2.25)

Deste modo, a velocidade do ponto material dada por (2.2.2) pode ser escrita da forma

z =∂z

∂t= v + θαwα . (3.2.26)

Seguindo o trabalho de Rubin [RUBIN, 2000], definiremos os tensores de segunda ordem

19

Capıtulo Tres 3.3. Leis de Conservacao. Derivacao da Teoria Tridimensional

F = F(θ3, t) e λα = λα(θ3, t) como

F = di ⊗Di , di = FDi , F−1 = Di ⊗ di , (3.2.27)

det F = J = d1/2D

−1/2 . (3.2.28)

λα = F−1[(dα)′3 ⊗D3

], (dα)′3 = FλαD3 , λαDβ = 0 , (3.2.29)

onde J e na teoria de Cosserat o analogo ao fator de dilatacao da teoria tridimensional.

Desse modo, os vetores gi e o valor g1/2 podem ser escritos [RUBIN, 2000, pg. 196]

gi = F (I + θαλα) Di , (3.2.30)

g1/2 = d

1/2 det (I + θαλα) = d1/2 (1 + θαλα · I) . (3.2.31)

Com a expressao (2.2.16) para F∗ da teoria tridimensional e com os resultados (3.2.30) e

(3.2.14), podemos escrever a relacao entre os tensores F∗ e F da maneira

F∗(θi, t) = F (I + θαλα)(I + θβΛβ

)−1. (3.2.32)

Nesta expressao fica claro que F∗ = F quando θα = 0, nos pontos da curva C.

Nota-se que a descricao da viga por (3.2.21) restringe a deformacao do elemento, pois

requer que os pontos de uma secao transversal com θ3 constante permanecam alinhados

e no plano definido pelos vetores dα. A formulacao (3.2.21) para a posicao de um ponto

material dentro do contınuo P servira para deduzirmos as quantidades que Rubin chama

de inercia dos diretores, porem a teoria de Cosserat e independente desta formulacao

[RUBIN, 2000].

3.3 Leis de Conservacao. Derivacao da Teoria Tridimensional

As expressoes para a lei de conservacao de massa da teoria de Cosserat para vigas sao

similares aquelas da teoria tridimensional, pois usaremos equacoes para determinar a

densidade e as posicoes dos pontos da curva C, porem, por causa de a teoria de Cosse-

rat introduzir as grandezas dα, precisaremos de mais duas expressoes para determinar

os equilıbrios do que chamaremos de momentos dos vetores diretores ou, simplesmente,

momentos diretores.

20


3.3.1 Conservacao de massa

Se utilizarmos a relacao (2.2.7) para o elemento de volume dv, e pelo fato da relacao

(3.2.8) ser independente do tempo t, pois θ3 e uma coordenada convectiva, poderemos

escrever ∫P

ρ∗ dv =

∫ ξ2

ξ1

[∫A

ρ∗g1/2 dθ1dθ2

]dθ3 . (3.3.1)

Definiremos as grandezas m e ρ da seguinte forma

m = m(θ3) = ρ d1/233 =

∫A

ρ∗g1/2 dθ1dθ2 , (3.3.2)

onde ρ sera a densidade por unidade de s, e m sera a massa por unidade de θ3.

Agora podemos escrever o lado direito de (3.3.1) da forma∫ ξ2

ξ1

mdθ3 =

∫ s2

s1

ρ ds =

∫P

ρ ds , (3.3.3)

onde os valores s1 e s2 podem ser obtidos por uma funcao que relacione o parametro de

comprimento de linha S com o seu valor s, na configuracao em um tempo t:

s =∧s(S, t) , s1 =

∧s(S1, t) , s2 =

∧s(S2, t) . (3.3.4)

Assim temos que a expressao global para a conservacao de massa para o elemento P sera

dada pord

dt

∫P

ρ ds = 0 . (3.3.5)

Para obtermos a forma local da lei de conservacao de massa, iremos transformar a integral

que aparece na expressao global, que e sobre o elemento variante no tempo P , por outra

integral sobre a configuracao de referencia, que e tempo-invariante.

O elemento ds e relacionado com seu valor dS na configuracao de referencia pela expressao

ds = d1/233 D

−1/233 dS . (3.3.6)

Dada uma integral sobre P do produto entre uma funcao arbitraria φ e ρ, podemos

escrever sua derivada no tempo da forma

d

dt

∫P

ρ φ ds =

∫P0

d

dt

[ρ φ d

1/233

]D

−1/233 dS , (3.3.7)

pois D−1/233 , dS e P0 sao constantes.

Podemos ainda escrever

d

dt

[ρ φ d

1/233

]=(ρ φ+ ρ φ

)d1/233 + ρ φ

˙(d1/233

)= d

1/233

[ρ φ+ φ (ρ+ ρ divsv)

], (3.3.8)

21


onde foi utilizada a definicao

˙(d1/233

)=

d

dt

(ds

dθ3

)=

d

dt

(ds

dx·dx

dθ3

)=

d

dθ3·v = d

1/233

d

ds·v = d

1/233 divsv , (3.3.9)

obtida derivando-se (3.2.18), e que substituiremos em (3.3.7) para obter

d

dt

∫P

ρ φ ds =

∫P

[ρ φ+ φ (ρ+ ρ divsv)

]ds . (3.3.10)

Se fizermos φ = 1 nesta expressao, usarmos a forma global (3.3.5), a definicao (3.3.2) para

m e a definicao (3.3.9), teremos a forma local da conservacao de massa

ρ+ ρ divsv = 0 , ou m = ρ d1/233 = ρ0D

1/233 , m = 0 . (3.3.11)

3.3.2 Conservacao do Impulso

Considerando-se a expressao (3.2.26) para a velocidade de um ponto material contido no

elemento P , e a expressao (2.2.7) para o volume infinitesimal dv, a variacao do impulso

(2.3.3) de um elemento P pode ser escrita da forma

d

dt

∫ ξ2

ξ1

[∫A

ρ∗g1/2(v + θα wα) dθ1dθ2

]dθ3 =∫ ξ2

ξ1

[∫A

ρ∗g1/2 c∗ dθ1dθ2

]dθ3+∫

∂PL

t∗ da+

∫∂P1

t∗ da+

∫∂P2

t∗ da . (3.3.12)

Seguindo os trabalhos de Rubin [RUBIN, 2000; RUBIN, 2001; RUBIN, 2005], definiremos

a expressao para os coeficientes de inercia dos diretores yα como

yα =1

m

∫A

ρ∗g1/2 θα dθ1dθ2 . (3.3.13)

Com esta definicao, com a definicao (3.3.2) para a massa por unidade de θ3, e sabendo

que as quantidades v e wα sao independentes das coordenadas θα, poderemos escrever a

quantidade de impulso como∫ ξ2

ξ1

[∫A

ρ∗g1/2(v + θα wα) dθ1dθ2

]dθ3 =

v

∫ ξ2

ξ1

[∫A

ρ∗g1/2 dθ1dθ2

]dθ3 + wα

∫ ξ2

ξ1

[∫A

ρ∗g1/2 θα dθ1dθ2

]dθ3 =∫

P

ρ(v + yα wα)ds . (3.3.14)

22


Agora definiremos a forca de corpo especıfica cb com a expressao

cb =1

m

∫A

ρ∗g1/2 c∗ dθ1dθ2 , (3.3.15)

tal que a forca de corpo agindo em P sera escrita como∫ ξ2

ξ1

[∫A

ρ∗g1/2 c∗ dθ1dθ2

]dθ3 =

∫P

ρ cb ds . (3.3.16)

Para expressar as integrais sobre as superfıcies ∂PL, ∂P1 e ∂P2 como integrais sobre o

elemento P , determinaremos primeiro expressoes para o elemento de area da e para o

vetor normal n nestas superfıcies.

A interseccao da superfıcie lateral ∂PL com um plano θ3 = constante qualquer resultara

na curva fechada ∂A(θ3). Se definirmos uma funcao∧θα(ζ, θ3), onde ζ e um parametro

que define um ponto ao longo da curva ∂A, esta funcao descrevera a superfıcie ∂PL se

fizermos

ζ1 ≤ ζ < ζ2 , ξ1 ≤ θ3 ≤ ξ2 , (3.3.17)

com ζ1 e ζ2 mapeando o mesmo ponto em ∂A(θ3).

Agora podemos escrever que para um ponto na superfıcie ∂PL

n da =∂z

∂ζdζ×z′3 dθ

3 ,

n da =

(gα∂∧θα

∂ζ

)×(

gβ∂∧θβ

∂θ3+ g3

)dζ dθ3 ,

n da = g1/2

[∂∧θ2

∂ζg1 − ∂

∧θ1

∂ζg2 +

(∂∧θ1

∂ζ

∂∧θ2

∂θ3− ∂

∧θ2

∂ζ

∂∧θ1

∂θ3

)g3

]dζ dθ3 . (3.3.18)

Se definirmos um vetor normal η da forma

η(ζ, θ3) =

[∂∧θ2

∂ζg1 − ∂

∧θ1

∂ζg2 +

(∂∧θ1

∂ζ

∂∧θ2

∂θ3− ∂

∧θ2

∂ζ

∂∧θ1

∂θ3

)g3

], (3.3.19)

poderemos entao escrever o vetor unitario normal

n =η

|η|, (3.3.20)

da = g1/2 |η| dζ dθ3 . (3.3.21)

Agora a forca total aplicada a superfıcie lateral pode ser escrita da forma∫∂PL

t∗ da =

∫P

ρcc ds , (3.3.22)

23


onde cc e a forca de contato especıfica aplicada na superfıcie lateral, e e dado por

cc =1

m

∫∂A

g1/2T∗η dζ =

1

m

∫∂A

g1/2 |η| t∗ dζ . (3.3.23)

Para um ponto na superfıcie plana ∂P1, temos que n aponta na direcao negativa de g3:

n da = −(z′1 dθ

1×z′2 dθ2)

= −g1×g2 dθ1dθ2 = −g

1/2g3 dθ1dθ2 , (3.3.24)

n = − g3

|g3|, (3.3.25)

da = g1/2∣∣g3∣∣ dθ1dθ2 . (3.3.26)

Em um ponto da superfıcie ∂P2, a normal n aponta na direcao positiva de g3:

n da = g1/2g3 dθ1dθ2 , (3.3.27)

n =g3

|g3|, (3.3.28)

com da dado por (3.3.26).

Definimos agora o vetor t3 como sendo a forca total atuando na secao transversal A:

t3 =

∫A

T∗ n da =

∫A

g1/2T∗ g3 dθ1dθ2 =

∫A

t∗3 dθ1dθ2 , (3.3.29)

onde foi utilizada a expressao (A.0.17). Com esta definicao e resultados acima, podemos

escrever as integrais sobre as superfıcies ∂P1 e ∂P2 como∫∂P1

t∗ da = −t3(s1) e

∫∂P2

t∗ da = t3(s2) , (3.3.30)

e a expressao global da lei de conservacao do impulso para o elemento de viga na teoria

de Cosserat serad

dt

∫P

ρ(v + yα wα)ds =

∫P

ρ c ds+ t3∣∣s2s1. (3.3.31)

onde c e a soma da forca de corpo especıfica (3.3.15) com a forca de contato (3.3.23):

c = cb + cc , (3.3.32)

e t3∣∣s2s1

e definido por

t3∣∣s2s1

= t3(s2)− t3(s1) . (3.3.33)

Para desenvolver a forma local para a conservacao do impulso na teoria da viga de Cos-

serat, utilizaremos a expressao (3.3.10) juntamente com a forma local de conservacao de

massa (3.3.11) para escrever

d

dt

∫P

ρ φ ds =

∫P

ρ φ ds . (3.3.34)

24


Entao o lado esquerdo da forma global para a conservacao do impulso pode ser escrita

d

dt

∫P

ρ(v + yα wα)ds =

∫P

ρ(v + yα wα)ds . (3.3.35)

Nota-se tambem que (3.3.33) pode ser representada por

t3∣∣s2s1

=

∫P

∂t3

∂sds , (3.3.36)

nos permitindo (desde que se assuma continuidade suficiente) escrever a forma local para

a conservacao do impulso na teoria da viga de Cosserat na forma

ρ(v + yα wα) = ρc +∂t3

∂s, (3.3.37)

ou,

m(v + yα wα) = mc +(t3)′3. (3.3.38)

3.3.3 Conservacao dos Momentos Diretores

Por conveniencia, antes de desenvolvermos as expressoes para a conservacao do momento

angular iremos desenvolver as expressoes para a conservacao dos momentos dos vetores

diretores ou, simplesmente, momentos diretores.

Como consequencia do uso dos vetores diretores, precisamos de mais duas expressoes que

descrevam a conservacao do que chamaremos de momentos diretores. Usaremos uma

forma ponderada da lei de conservacao do impulso como a medida deste momento. Mais

precisamente, utilizaremos a forma local (A.0.19) desenvolvida no Apendice A.

Seja φ = φ(θi) a funcao peso, tal que

φ = 0 , (3.3.39)

multiplicaremos a forma local da lei de conservacao do impulso (A.0.19) por esta funcao

para obtermos

ρ∗g1/2 φ z = ρ∗g

1/2 φ c∗ + φ(tj∗)′j,

que pode ser reescrita como

ρ∗g1/2 φ z = ρ∗g

1/2 φ c∗ +(φtj∗)′j− tj

∗φ′j . (3.3.40)

Considerando-se que o divergente de um tensor T de ordem maior igual a um, escrito na

forma

div T = T′j ·gj , (3.3.41)

25


pode ser reescrito

div T =(T ·gj

)′j−T ·

(gj)′j, (3.3.42)

e que diferenciando-se (2.2.11) em relacao as coordenadas θi, temos(gi)′j

= −[(gi)

′j ·gj

]gi = −

[(gj)

′i ·gj

]gi . (3.3.43)

(gi)′j = (gj)

′i , (3.3.44)

e que ainda diferenciando-se (2.2.9), e com as propriedades do produto escalar triplo,

temos (g1/2)′j

= g1/2(gm)′j·gm ,

(gj)′j

= −g−1/2(g1/2)′jgj ,

(g1/2gj

)′j

= 0 , (3.3.45)

poderemos escrever o operador de divergencia em relacao a z

div T = T′j ·gj = g

−1/2(g1/2 T gj

)′j. (3.3.46)

Com esta expressao e a expressao (A.0.17) poderemos escrever (3.3.40) da forma

ρ∗g1/2 φ z = ρ∗g

1/2 φ c∗ + g1/2 div (φT∗)− g

1/2 T∗ ·φ′j gj , (3.3.47)

ou

ρ∗φ z = ρ∗φ c∗ + div (φT∗)−T∗ ·φ′j gj . (3.3.48)

Integrando-se esta expressao, utilizando o teorema do divergente (A.0.15), a definicao dos

vetores ti∗ (A.0.17) e a expressao (A.0.14), a lei de conservacao do impulso ponderada

pela funcao φ pode ser escrita da forma

d

dt

∫P

ρ∗φ z dv =

∫P

(ρ∗φ c∗ − g

−1/2 φ′j tj∗ )dv +

∫∂P

φ t∗ da . (3.3.49)

Usaremos as coordenadas θα no lugar da funcao peso φ e aplicaremos as expressoes (2.2.7)

para o elemento de volume e (3.2.26) para a velocidade, assim teremos a expressao

d

dt

∫ ξ2

ξ1

[∫A

ρ∗g1/2 θα

(v + θβ wβ

)dθ1dθ2

]dθ3 =∫ ξ2

ξ1

[∫A

(ρ∗g

1/2 θα c∗ − tα∗)dθ1dθ2

]dθ3+∫

∂PL

θα t∗ da+

∫∂P1

θα t∗ da+

∫∂P2

θα t∗ da , (3.3.50)

onde foi considerado o fato que (θi)′j = δij e que δij tj∗ = ti∗.

Ainda seguindo os trabalhos de Rubin [RUBIN, 2000; RUBIN, 2001; RUBIN, 2005],

26


introduziremos agora outros coeficientes de inercia dos diretores

yαβ = yβα =1

m

∫A

ρ∗g1/2 θαθβ dθ1dθ2 , (3.3.51)

de modo que poderemos escrever∫ ξ2

ξ1

[∫A

ρ∗g1/2 θα

(v + θβ wβ

)dθ1dθ2

]dθ3 =

∫P

ρ(yα v + yαβ wβ

)ds . (3.3.52)

Tambem definiremos o momento especıfico da forca de corpo como

cαb =1

m

∫A

ρ∗g1/2 θα c∗ dθ1dθ2 , (3.3.53)

o momento especıfico da tracao t∗ na superfıcie lateral como

cαc =1

m

∫∂A

g1/2[∧θα |η| t∗

]dζ , (3.3.54)

os momentos relacionados as quantidades tα∗ (A.0.17) como

tα =

∫A

tα∗ dθ1dθ2 , (3.3.55)

e o momento do vetor tracao agindo em uma secao transversal

mα =

∫A

θα t3∗ dθ1dθ2 , (3.3.56)

onde foi utilizada a expressao (3.3.26) para da.

Com as expressoes (3.3.52) a (3.3.56) poderemos escrever a lei de conservacao dos mo-

mentos diretores da forma global:

d

dt

∫P


)ds =

∫P

(ρcα − d

−1/233 tα

)ds+ mα

∣∣s2s1, (3.3.57)

onde cα e a soma do momento especıfico de corpo (3.3.53) com o momento especıfico de

contato (3.3.54):

cα = cαb + cαc , (3.3.58)

e mα∣∣s2s1

e definido por

mα∣∣s2s1

= mα(s2)−mα(s1) . (3.3.59)

Para obtermos a forma local para a lei de conservacao dos momentos dos diretores, usa-

remos a expressao (3.3.34) para reescrever o lado esquerdo da forma global como

d

dt

∫P


)ds =

∫P


)ds , (3.3.60)

27


e a expressao (3.3.59) pode ser reescrita como

mα∣∣s2s1

=

∫P

∂mα

∂sds . (3.3.61)

Assumindo suficiente continuidade das expressoes, podemos escrever a forma local para a

lei de conservacao dos momentos dos diretores como


)= ρcα − d

−1/233 tα +

∂mα

∂s, (3.3.62)

ou,

m(yα v + yαβ wβ

)= mcα − tα + (mα)′3 . (3.3.63)

3.3.4 Conservacao do Momento Angular

Ao substituir na expressao (2.3.5) as definicoes (3.2.21) para a posicao z, (3.2.26) para a

velocidade z, (2.2.7) para o elemento de volume dv, a conservacao do momento angular

pode ser escrita como segue

d

dt

∫ ξ2

ξ1

[∫A

ρ∗g1/2[x×(v + θα wα) + dα×

(θα v + θαθβ wβ

)]dθ1dθ2

]dθ3 =∫ ξ2

ξ1

[∫A

ρ∗g1/2[(x×c∗) + (dα×θα c∗)

]dθ1dθ2

]dθ3 +∫

∂P

[(x×t∗) +

(di×θi t∗

)]da , (3.3.64)

onde ∂P = ∂PL + ∂P1 + ∂P2.

Utilizando-se as definicoes ha pouco apresentadas, esta expressao pode ser reescrita para

obtermos a forma global

d

dt

∫P

ρ[x× (v + yα wα) + dα×

(yα v + yαβ wβ

)]ds =∫

P

[(x×ρc) + (dα×ρcα)

]ds+

[(x×t3

)+ (dα×mα)

]∣∣∣s2s1. (3.3.65)

A forma local da conservacao do momento angular pode ser obtida da mesma maneira

que a formas locais da conservacao do impulso e dos momentos diretores. Utilizaremos a

expressao (3.3.34) para reescrever o lado esquerdo da forma global como

d

dt

∫P


(yα v + yαβ wβ

)]ds =∫

P


(yα v + yαβ wβ

)]ds , (3.3.66)

28

Capıtulo Tres 3.4. Energia de Deformacao

e escreveremos a expressao[(x×t3

)+ (dα×mα)

]∣∣∣s2s1

=∫P

[(x× ∂t3

∂s+ dα×

∂mα

∂s

)+ d

−1/233

(d3×t3 + (dα)′3×mα

)]ds , (3.3.67)

para obtermos

x× (v + yα wα) + dα×(yα v + yαβ wβ

)=

(x×ρc) + (dα×ρcα) +(x× ∂t3

∂s+ dα×

∂mα

∂s

)+

d−1/233

(d3×t3 + (dα)′3×mα

). (3.3.68)

Se utilizarmos as formas locais para a conservacao do impulso e dos momentos diretores,

a forma local da conservacao do momento angular pode ser reduzida a

ti×di + mα×(dα)′3 = 0 . (3.3.69)

Se considerarmos a propriedade do tensor permuta ε que diz que para dois vetores a e b:

a×b = ε · (a⊗ b) , (3.3.70)

para escrever a lei de conservacao do momento angular (3.3.69) da forma

ε ·[ti ⊗ di + mα ⊗ (dα)′3

]= 0 , (3.3.71)

e definirmos um tensor T da forma

d1/233 T = ti ⊗ di + mα ⊗ (dα)′3 , (3.3.72)

chegaremos a conclusao que a lei de conservacao do momento angular requer que o tensor

T seja simetrico (assim como seu analogo na teoria tridimensional, o tensor tensao de

Cauchy T∗).

3.4 Energia de Deformacao

Com a expressao (3.2.26) para a velocidade de um ponto material contido no elemento de

viga de Cosserat, podemos reescrever a expressao (2.4.1) para a taxa W como

W =

∫ ξ2

ξ1

[∫A

ρ∗g1/2 c∗ · (v + θα wα) dθ1dθ2

]dθ3 +

∫∂P

t∗ · (v + θα wα) da , (3.4.1)

29

Capıtulo Tres 3.4. Energia de Deformacao

onde ∂P = ∂PL + ∂P1 + ∂P2, e podemos escrever para a energia cinetica

K =

∫ ξ2

ξ1

[∫A

1

2ρ∗g

1/2 (v + θα wα) ·(v + θβ wβ

)dθ1dθ2

]dθ3 . (3.4.2)

Com as definicoes apresentadas ate agora, podemos escrever de forma mais simples:

W =

∫P

ρ(c ·v + cα ·wα)ds+[t3 ·v + mα

·wα

]∣∣s2s1, (3.4.3)

K =

∫P

1

2ρ(v ·v + 2 yα v ·wα + yαβ wα ·wα)ds . (3.4.4)

Definimos agora a potencia de deformacao P para a viga de Cosserat da seguinte forma∫P

P ds = W− K . (3.4.5)

Com as expressoes (3.3.34), (3.2.24) e (3.2.25), e considerando a expressao

∂

∂s

[t3 ·v + mα

·wα

]=[∂t3

∂s·v +

∂mα

∂s·wα

]+ d

−1/233

[t3 ·w3 + mα

· (wα)′3

], (3.4.6)

podemos chegar a seguinte expressao para a potencia de deformacao para a viga de Cos-

serat:

d1/2 P = ti ·wi + mα

· (wα)′3 . (3.4.7)

Motivados pela expressao (A.0.8), definiremos um tensor L, tal que

L = wi ⊗ di , wi = L di , (3.4.8)

que se considerarmos (3.2.27) nos leva a

F = L F , (3.4.9)

que por sua vez, ao considerar (3.2.29) nos permite escrever

(wα)′3 = L(dα)′3 + F λα D3 . (3.4.10)

Ao substituir este resultado em (3.4.7), podemos reescrever a potencia de deformacao na

forma

P = T ·L + d−1/233

(FTmα ⊗D3

)· λα . (3.4.11)

Assim, se separarmos L em suas partes simetrica D e anti-simetrica W,

L = D + W , D =1

2

(L + LT

)= DT , D = −WT , (3.4.12)

30

Capıtulo Tres 3.5. Materiais Elasticos Anisotropicos Nao-lineares

poderemos escrever (3.4.11) da forma

P = T ·D + d−1/233

(FTmα ⊗D3

)· λα . (3.4.13)

Por conveniencia, definiremos agora para usarmos mais adiante os tensores κα e βα como

medidas da deformacao do elemento

κα = λα −Λα . (3.4.14)

βα = κα D3 = F−1(dα)′3 − (Dα)′3 , (3.4.15)

onde foram utilizadas as definicoes (3.2.12) e (3.2.29) para observar que κα Dβ = 0.

Podemos entao escrever a potencia de deformacao de forma

P = T ·D + d−1/233

(FTmα

)· βα . (3.4.16)

3.5 Materiais Elasticos Anisotropicos Nao-lineares

Nesta secao iremos mostrar o desenvolvimento de equacoes constitutivas para um ele-

mento do tipo viga de Cosserat, assumindo que o elemento e constituıdo de um material

anisotropico nao-linear idealmente elastico. Assumiremos que tal material respeita quatro

hipoteses basicas:

1. Existe uma energia especıfica de deformacao Σ tal que

ρ Σ = P = T ·D + d−1/233

(FTmα

)· βα . (3.5.1)

2. A energia especıfica de deformacao e apenas funcao dos tensores deformacao F e βα

Σ =∼Σ (F,βα) . (3.5.2)

3. A energia especıfica de deformacao e invariante sob movimento de corpo rıgido (MCR);

4. O tensor T e independente da taxa de deformacao L.

O elemento de viga de Cosserat tem uma energia total de deformacao U definida por

U =

∫P

ρΣ ds , (3.5.3)

tal que, devido a primeira hipotese e a conservacao de massa, pode-se deduzir que

U =

∫P

ρ Σ ds =

∫P

P ds , (3.5.4)

31


que pode ser utilizada para reescrever (3.4.5) da forma

W = U + K , (3.5.5)

que e uma maneira de declarar que a taxa W de trabalho realizado pelas forcas externas

sobre um elemento transforma-se em variacao da energia cinetica e em potencia de de-

formacao desse elemento.

A terceira hipotese impoe restricoes a formulacao (3.5.2) para a energia especıfica de

deformacao. Pode-se demonstrar que um corpo sob MCR tem os tensores F e βα trans-

formados de modo que F+ = Q F [MALVERN, 1969, sec. 6.7] e βα = β+α , onde o sinal

’+’ indica uma grandeza submetida a um MCR , e Q e um tensor referente a rotacao

imposta pelo MCR . No entanto, a terceira hipotese requer que

Σ+ = Σ , (3.5.6)

sendo que∼Σ

+ =∼Σ(F+,β+

α

)=

∼Σ (Q F,βα) (3.5.7)

deve ser valido para qualquer valor de Q, para que a terceira hipotese seja obedecida.

Isto quer dizer que precisamos de uma outra forma funcional para Σ que satisfaca (3.5.6).

Utilizaremos o teorema da decomposicao polar para separar F multiplicativamente em

um tensor rotacao R, e um tensor positivamente definido: U ou V, de maneira que

F = R U = V R ,

RTR = RRT = I , det R = 1 ,

U = UT , V = VT ,

(3.5.8)

e ainda definiremos dois tensores C e B tais que

C = FTF = CT , C1/2 = U , (3.5.9)

B = FFT = BT , B1/2 = V . (3.5.10)

Na teoria de Cosserat, C e B sao analogos aos tensores deformacao de Cauchy-Green

direito e esquerdo, respectivamente, na teoria tridimensional.

Sob argumentos similares aqueles da teoria tridimensional (secao 2.5.1) chegaremos a

conclusao que a funcao de energia de deformacao dependera de F apenas atraves do

tensor C:∼Σ(F+,βα

)=∧Σ (C,βα) , (3.5.11)

onde∧Σ e uma nova funcao de C, de onde podemos entao deduzir que C e invariante com

MCR , ou seja C = C+.

Aplicaremos (3.5.11), a definicao (3.5.9) e a expressao (3.4.9) para obter a derivada em

32


relacao ao tempo de F

Σ =∂Σ

∂C· C +

∂Σ

∂βα· βα =

∂Σ

∂C·

(FTF + FT F

)+

∂Σ

∂βα· βα =

=∂Σ

∂C·FT

(LT + L

)F +

∂Σ

∂βα· βα , (3.5.12)

que, se usarmos a definicao (3.4.12), pode ser reescrita da forma

Σ = 2∂Σ

∂C·FTDF +

∂Σ

∂βα· βα = 2F

∂Σ

∂CFT

·D +∂Σ

∂βα· βα . (3.5.13)

Aplicaremos esta formulacao em (3.5.1) para obter

T ·D + d−1/233

(FTmα

)· βα = 2ρF

∂Σ

∂CFT

·D + ρ∂Σ

∂βα· βα . (3.5.14)

Como D e βα podem ser tensores arbitrarios, independentes dos valores de F e βα, temos

que a condicao necessaria para que (3.5.14) seja valido, sera

T = 2ρF∂Σ

∂CFT , e mα = mF−T

∂Σ

∂βα, (3.5.15)

onde utilizamos a definicao (3.3.2) para m.

Por associacao com o desenvolvimento da teoria tridimensional, podemos definir um tensor

simetrico S, analogo ao segundo tensor tensao de Piola-Kirchhoff, tal que

JT = F S FT , S = 2ρ0∂Σ

∂C, (3.5.16)

onde uso foi feito da expressao (3.3.11) para a conservacao de massa, juntamente com a

definicao (3.2.28) para J. Podemos tambem definir uma expressao para os tensores ti, a

partir de (3.3.72)

ti =[d1/233T−mα ⊗ (dα)′3

]di = 2mF

∂Σ

∂CDi −mα

[(dα)′3 ·d

i]. (3.5.17)

Nas secoes 3.3.2 e 3.3.3 derivamos as grandezas ti e mα a partir de integrais baseadas na

formulacao (3.2.21), o que serviu tambem para evidenciar a dependencia destas grandezas

na geometria do elemento, diferentemente da teoria do contınuo tridimensional. Porem,

como dito anteriormente, a teoria de Cosserat e independente desta formulacao, e estes

valores podem ser obtidos a partir da forma estabelecida para a energia de deformacao

Σ, por meio das equacoes constitutivas (3.5.15) e (3.5.17).

33

Capıtulo Quatro

Elemento Helicoidal Homogeneo para Vigas Curvas

4.1 Introducao

Neste capıtulo sera proposto um elemento do tipo Viga de Cosserat com caracterısticas

geometricas especiais e serao desenvolvidas formas especializadas para as grandezas que

aparecem nas leis de conservacao e equacoes constitutivas para o elemento de Viga de

Cosserat. Um conjunto destes elementos servira para descrever o comportamento de uma

Figura 4.1: Elemento helicoidal em sua configuracao de referencia.

viga curva ou partes curvas de uma viga composta de partes retas e curvas.

O elemento a ser proposto respeitara as seguintes hipoteses:

1. O elemento sera constituıdo de material homogeneo;

2. No elemento em questao a linha de centroides coincidira com uma curva helicoidal

circular e permanecera helicoidal circular independentemente da deformacao sofrida

pelo elemento;

3. O raio de curvatura e o passo da helice poderao mudar, de acordo com uma relacao

a ser definida;

34

Capıtulo Quatro 4.2. Modelo do Elemento

4. As secoes transversais deste elemento poderao deformar-se apenas expandindo ou

contraindo-se;

5. As secoes transversais deverao permanecer perpendiculares a curva de centroides e

serem iguais em toda a extensao compreendida pelo elemento.

4.2 Modelo do Elemento

4.2.1 Configuracao de Referencia

Dada uma helice circular [KREYSZIG, 1991] e um solido esbelto, se as interseccoes deste

solido com planos perpendiculares a esta helice geram secoes fechadas cujos centroides

sao pontos pertencentes a helice, estas secoes serao chamadas de secoes transversais, o

solido sera chamado de helice solida e a helice circular sera chamada de curva de referencia

deste solido. A configuracao de referencia P0 de um elemento (figura 4.1) sera definida

pelo setor deste solido encerrado entre dois planos perpendiculares a helice nos pontos

distintos P1 e P2, de coordenadas dadas pelos vetores P1 e P2, relativas a um sistema

de coordenadas fixo. Na configuracao de referencia, o segmento de helice entre P1 e P2

sera a curva de referencia C0 do elemento. Este segmento de helice tem raio R, inclinacao

I e comprimento L e angulo central α0.

Em relacao a uma origem fixa global, o ponto medio M de C0 sera dado pelo vetor M e

a localizacao da projecao perpendicular de M sobre o eixo da helice sera o ponto Pc de

coordenadas dadas pelo vetor Pc.

Defina-se um sistema de coordenadas cilındricas (u, θ, z) com polo no ponto Pc, eixo polar

coincidente com o vetor resultante da operacao Pc −M e eixo da altura coincidente com

o eixo central da helice, de modo que o sentido positivo de θ coincida com o sentido

crescente do parametro de comprimento de linha (ou parametro natural) S da helice.

Defina-se agora um sistema cartesiano de coordenadas xi de origem comum, eixo das

coordenadas x1 paralelo ao eixo polar e eixo das coordenadas x3 paralelo ao eixo da

altura z daquele sistema cilındrico. Se definirmos ainda

θ3 = θ , −α0

2≤ θ3 ≤ α0

2, α0 > 0 , (4.2.1)

teremos que, em relacao ao sistema de coordenadas cartesianas ha pouco definido, os

pontos de C0 podem ser descritos pelo vetor

Y = Y(θ3) =[R cos θ3 R sin θ3 Iθ3

], (4.2.2)

onde I e dado em termos de variacao na altura z por unidade de θ percorrido. Deste

modo, os pontos contidos em C0 terao suas coordenadas em relacao a origem fixa global

35


definidas pelo vetor

X = X(θ3) = Pc + Q0Y(θ3) , (4.2.3)

ξ1 ≤ θ3 ≤ ξ2 , (4.2.4)

ξ1 = −α0

2, ξ2 =

α0

2, (4.2.5)

onde Q0 e um tensor ortogonal proprio -ou de rotacao- (det Q0 = 1 , QT0 Q0 = I), tal que

P1 = X(ξ1) e P2 = X(ξ2).

Derivando-se (4.2.2) em relacao a θ3, e possıvel mostrar que o elemento de comprimento

de linha dS e o comprimento L da linha C0 podem ser dados por

dS =√

X′3 ·X′3 dθ

3 =√R2 + I2 dθ3 = D

1/233 dθ

3 , (4.2.6)

L =

∫C0

dS =

∫ ξ2

ξ1

√R2 + I2 dθ3 = α0

√R2 + I2 = α0D

1/233 , (4.2.7)

D33 = X′3 ·X′3 = R2 + I2 . (4.2.8)

Definiremos os vetores Dα = Dα(θ3) iguais aos vetores unitarios normal principal e binor-

mal da curva C0, respectivamente, e o vetor D3 = D3(θ3) sera colinear ao vetor unitario

tangente [KREYSZIG, 1991], tal que

D1 =X′′S|X′′S|

=

∣∣∣∣X′′3D33

∣∣∣∣−1 X′′3D33

=X′′3|X′′3|

= Q0Y′′3R

, (4.2.9)

D2 = D−1/233 D3×D1 , (4.2.10)

D3 = X′3 = Q0Y′3 , (4.2.11)

onde foi utilizada a convencao X′S, com a quantidade de sinais de derivacao (′) a indica

quantas vezes derivou-se a quantidade X em relacao a S, e tambem foram considerados

os resultados

X′′S =d2X

dS2=

d2X

(dθ3)2(dθ3)

2

dS2=

X′′3D33

, (4.2.12)

|X′3| = |Q0Y′3| = |Y′3| =

∣∣∣[−R sin θ3 R cos θ3 I]∣∣∣ =

√R2 + I2 = D

1/233 , e (4.2.13)

|X′′3| = |Q0Y′′3 | = |Y′′3 | =

∣∣∣[−R cos θ3 −R sin θ3 0]∣∣∣ = R , (4.2.14)

36


de modo que Di formarao uma base ortogonal com as propriedades

D1/2 = D1×D2 ·D3 = D

1/233 , (4.2.15)

Dα = Dα , D3 = D−133 D3 . (4.2.16)

Os vetores diretores Di(θ3) sao os valores dos vetores di(θ

3, t) na configuracao de re-

ferencia. Estes formam um sistema de coordenadas convectivas, ou seja, deformam-se e

movem-se juntos com o elemento, e utilizam as coordenadas convectivas θi para mapear

os pontos materiais deste elemento.

A posicao de um ponto material arbitrario dentro do elemento que estamos a descrever,

em sua configuracao de referencia, pode ser entao dada por

Z(θi) = X(θ3) + θαDα(θ3) , (4.2.17)

com X dado por (4.2.3).

Utilizaremos os conceitos da Geometria Diferencial para curvatura e torcao de uma curva

e as formulas de Frenet [KREYSZIG, 1991] para reescrever os tensores Λα (3.2.12). A

curvatura κ0 e a torcao τ0 da curva C0 serao dadas pelas expressoes

κ0 = |X′′S| =|X′′3|D33

=R

D33

, (4.2.18)

τ0 =∣∣(D2)

′S

∣∣ = D−1/233

∣∣(D3)′S×D1 + D3×(D1)

′S

∣∣ = D−1/233

∣∣∣∣X′3×X′′′3R

∣∣∣∣ =I

D33

, (4.2.19)

onde foram considerados as definicoes para os vetores Di e o paralelismo entre os vetores

(D3)′S e D1.

As formulas de Frenet aplicadas as definicoes de Di, podem ser escritas da forma

(D1)′S = −κ0

D3

D1/233

+ τ0D2 , (4.2.20)

(D2)′S = −τ0D1 , (4.2.21)

(D3)′S

D1/233

= κ0D1 . (4.2.22)

Com o uso das expressoes (3.2.12) e das definicoes acima, podemos escrever

(D1)′3 = Λ1D3 = −κ0D3 + D

1/233τ0D2 , Λ1 =

[−κ0D3 + D

1/233τ0D2

]⊗D3 , (4.2.23)

(D2)′3 = Λ2D3 = −D

1/233τ0D1 , Λ2 = −D

1/233τ0 D1 ⊗D3 . (4.2.24)

37


Os vetores generalizados Gi (3.2.13) podem ser entao escritos da forma

Gα = Dα , G3 =(1− θ1κ0

)D3 −D

1/233τ0

(θ2D1 − θ1D2

). (4.2.25)

Com as definicoes acima, podemos escrever para a quantidade G1/2 (3.2.15)

G1/2 = D1×D2 ·

[(1− θ1κ0

)D3 −D

1/233τ0

(θ2D1 − θ1D2

)]= D

1/233

(1− θ1κ0

), (4.2.26)

e com estes resultados e os resultados (2.2.19) e (4.2.16), os vetores recıprocos Gi poderao

ser escritosG1 = D1 + D

1/233τ0 (1− θ1κ0)−1 θ2 D3 ,

G2 = D2 −D1/233τ0 (1− θ1κ0)−1 θ1 D3 ,

G3 = (1− θ1κ0)−1 D3 .

(4.2.27)

4.2.2 Cinematica e Deformacao

Em um instante t o elemento assumira sua nova configuracao, o segmento de helice entre

P1 e P2 tomara a forma do segmento de helice limitado pelos pontos p1 e p2 e a curva

de referencia sera chamada de C. Este novo segmento de helice tem raio r, inclinacao i e

comprimento l.

Em relacao a origem fixa global, o ponto medio m de C sera dado pelo vetor m, e a loca-

lizacao da projecao perpendicular de m no eixo da helice sera o ponto pc, de coordenadas

dadas pelo vetor pc.

Se definirmos um sistema de coordenadas cilındricas (u, θ, z), como o definido na secao

anterior, porem referente a configuracao atual, podemos descrever a curva C como

y = y(θ3, t) =[r(t) cos (φθ3) r(t) sin (φθ3) i(t)φθ3

], (4.2.28)

onde φ e a razao de distorcao do angulo central da curva de referencia, e e dado por

φ = φ(t) =α

α0

, (4.2.29)

onde α e a diferenca entre as coordenadas angulares θ dos pontos p1 e p2, em relacao ao

sistema de coordenadas cilındricas (u, θ, z).

38


Os pontos materiais contidos na curva C serao dados por

x = x(θ3, t) = pc(t) + Q(t)y(θ3, t) , (4.2.30)

ξ1 ≤ θ3 ≤ ξ2 , (4.2.31)

ξ1 = −α0

2, ξ2 =

α0

2, (4.2.32)

onde Q = Q(t) e um tensor ortogonal de rotacao (det Q = 1 , QTQ = I), tal que

p1 = x(ξ1, t) e p2 = x(ξ2, t).

O elemento de comprimento de linha ds = ds(t) e o comprimento l = l(t) de C serao

dados por

ds =√

x′3 ·x′3 dθ

3 = φ√r2 + i2 dθ3 = d

1/233 dθ

3 , (4.2.33)

l =

∫C

ds =

∫ ξ2

ξ1

φ√r2 + i2 dθ3 = α0 d

1/233 , (4.2.34)

d33 = x′3 ·x′3 = φ2

(r2 + i2

). (4.2.35)

Definiremos agora os vetores unitarios p e b, respectivamente o vetor normal principal e

o vetor binormal [KREYSZIG, 1991] a curva de referencia do elemento helicoidal, como

p =x′′3|x′′3|

=x′′3φ2r

= Qy′′3φ2r

, (4.2.36)

b =d3

|d3|×p = d

−1/233 d3×p , (4.2.37)

onde o vetor d3 permanecera tangente a curva de referencia e formara com os vetores dα

uma base ortogonal, tal que

d3 = x′3 = Qy′3 , (4.2.38)

|d1| = µ , |d2| = ν , |d3| = d1/233 , (4.2.39)

onde µ = µ(t) e ν = ν(t) sao as taxas de deformacao da secao transversal nas direcoes d1 e

d2, respectivamente. Dados os valores dos componentes ao longo de dα da distancia entre

quaisquer dois pontos materiais contidos em uma secao transversal do elemento, e dados

tambem os valores dos componentes em Dα desta distancia entre estes mesmos pontos,

medidas na configuracao de referencia, as taxas µ e ν sao as razoes entre os valores destes

componentes destas distancias, respectivamente.

Estas definicoes para os vetores di sao coerentes com as hipoteses apresentadas na in-

troducao deste capıtulo. Podemos ainda utilizar a ortogonalidade entre os vetores direto-

39


res di para escrever as propriedades

d1/2 = d1×d2 ·d3 = µν d

1/233 . (4.2.40)

d1 = µ−2d1 , d2 = ν−2d2 , d3 = d−133 d3 . (4.2.41)

d−1/2 = d1×d2

·d3 = (µν d1/233)−1 . (4.2.42)

Para uma viga de secao transversal considerada indeformavel, as taxas µ e ν serao cons-

tantes e iguais a unidade.

Com as definicoes acima, a posicao de um ponto material pertencente ao elemento sera

expressa por (3.2.21), repetida abaixo

z(θi, t) = x(θ3, t) + θαdα(θ3, t) , (4.2.43)

e a velocidade v de um ponto pertencente a curva C e a velocidade dos vetores diretores

wi, dadas respectivamente por (3.2.24) e (3.2.25), podem ser especificadas por

v = x = pc + Qy + Qy , (4.2.44)

wi = di . (4.2.45)

Em um instante t, a curvatura κ e a torcao τ da curva C serao dadas pelas expressoes

κ = κ(t) =r

r2 + i2, (4.2.46)

τ = τ(t) =i

r2 + i2. (4.2.47)

e as formulas de Frenet aplicadas as definicoes de p, b e d3, podem ser escritas da forma

p′s = −d−1/233 κd3 + τ b , (4.2.48)

b′s = −τ p , (4.2.49)

(d3)′s

d1/233

= κp . (4.2.50)

Os vetores p e b podem ser escritos como combinacoes dos vetores diretores dα, tal que

κp = κ1d1

µ+ κ2

d2

ν, (4.2.51)

b = d−1/233 d3×p =

κ1κ

d2

ν− κ2

κ

d1

µ, (4.2.52)

40


onde κ1 e κ2 sao as projecoes do vetor κp nos eixos dα, de onde concluımos que

κ1 = κp ·d1

µ, κ2 = κp ·

d2

ν, (4.2.53)

κ2 = κ21 + κ22 . (4.2.54)

Se β = β (s, t) e o angulo entre os vetores p e d1, podemos ainda escrever

κ1κ

= cos β ,κ2κ

= sin β , (4.2.55)

[κ1κ

]′s

= −β′s sin β = −β′sκ2κ,

[κ2κ

]′s

= β′s cos β = β′sκ1κ, (4.2.56)

onde β′s e a taxa de variacao do angulo β ao longo da curva de referencia do elemento.

Consideraremos que β′s e constante ao longo do elemento, ou seja, que o angulo entre p e d1

varia linearmente quando percorremos a linha de referencia do elemento, nos permitindo

escrever

β′s = β′s(t) =β (s2, t)− β (s1, t)

l. (4.2.57)

Com isto, podemos escrever agora

p′s =[κ1κ

]′s

d1

µ+κ1κ

(d1)′s

µ+[κ2κ

]′s

d2

ν+κ2κ

(d2)′s

ν,

= −β′sκ2κ

d1

µ+κ1κ

(d1)′s

µ+ β′s

κ1κ

d2

ν+κ2κ

(d2)′s

ν,

=κ1κ

(d1)′s

µ+κ2κ

(d2)′s

ν+ β′s b , (4.2.58)

b′s =[κ1κ

]′s

d2

ν+κ1κ

(d2)′s

ν−[κ2κ

]′s

d1

µ− κ2

κ

(d1)′s

µ

=κ1κ

(d2)′s

ν− κ2

κ

(d1)′s

µ− β′s p . (4.2.59)

Se igualarmos esses resultados as formulas de Frenet, isolarmos os termos contendo (dα)′se com a expressao (3.2.18) para o elemento de linha, teremos

(d1)′3 = d

1/233

µ

κ(τ − β′s) (κ1b + κ2p)− µκ1 d3 , (4.2.60)

(d2)′3 = d

1/233

ν

κ(τ − β′s) (κ2b− κ1p)− νκ2 d3 . (4.2.61)

41


Utilizando (3.2.22) e as expressoes acima, o vetor g3 pode ser escrito da forma

g3 = d1/233

(τ − β′s)κ

[(µθ1κ1 + νθ2κ2

)b +

(µθ1κ2 − νθ2κ1

)p]

+(1− µθ1κ1 − νθ2κ2

)d3 . (4.2.62)

De agora em diante, chamaremos o resultado da expressao (τ − β′s) de τc. Esta e a torcao

material (ou dos vetores convectivos) e e diferente de τ , que e a torcao da curva de re-

ferencia.

Se substituirmos na expressao (4.2.62) as formas (4.2.51) para p e (4.2.52) para b, con-

seguiremos reduzir esta expressao para

g3 = d1/2τc

(θ1d2 − θ2d1

)+(1− µθ1κ1 − νθ2κ2

)d3 , (4.2.63)

onde tambem fizemos uso dos resultados (4.2.40) e (4.2.41). Com isto podemos escrever

para a quantidade g1/2 (2.2.4)

g1/2 = g1×g2 ·g3 = d

1/2(1− µθ1κ1 − νθ2κ2

).

Substituiremos as definicoes (3.2.22), (4.2.63) e (4.2.27) na expressao (2.2.16) para obter,

apos alguma reorganizacao, o valor especializado de F∗:

F∗ = dα ⊗Dα +

[D

1/233τ0 − µ−2d

1/2τc(1− θ1κ0)

θ2 d1 −D

1/233τ0 − ν−2d

1/2τc(1− θ1κ0)

θ1 d2

]⊗D3 +

+(1− µθ1κ1 − νθ2κ2)

(1− θ1κ0)d3 ⊗D3 , (4.2.64)

Se definirmos um vetor h = h(θi) tal que

h =D

1/233τ0 − µ−2d

1/2τc(1− θ1κ0)

θ2 d1−D

1/233τ0 − ν−2d

1/2τc(1− θ1κ0)

θ1 d2 +(1− µθ1κ1 − νθ2κ2)

(1− θ1κ0)d3 , (4.2.65)

poderemos reescrever

F∗ = dα ⊗Dα + h⊗D3 , (4.2.66)

e seu transposto F∗T , invertendo a ordem dos produtos tensoriais:

F∗T = Dα ⊗ dα + D3 ⊗ h . (4.2.67)

E o tensor deformacao direito de Cauchy-Green C∗ (2.5.5) podera ser expresso da forma

C∗ = F∗TF∗ =(Dα ⊗ dα + D3 ⊗ h

) (dβ ⊗Dβ + h⊗D3

). (4.2.68)

42

Capıtulo Quatro 4.3. Energia de Deformacao Tridimensional

Utilizando a propriedade distributiva dos tensores de segunda ordem podemos escrever

C∗ = (Dα ⊗ dα) (dβ ⊗Dβ) + (Dα ⊗ dα)(h⊗D3

)+

+(D3 ⊗ h

)(dβ ⊗Dβ) +

(D3 ⊗ h

) (h⊗D3

). (4.2.69)

Utilizando agora a ortogonalidade entre D1 e D2, e entre d1 e d2, e tambem a propriedade

do produto tensorial para a composicao de dois tensores [ITSKOV, 2009, pg. 21]

(a⊗ b) (c⊗ d) = (b · c) (a⊗ d) , (4.2.70)

onde a, b, c e d sao vetores arbitrarios, podemos escrever

C∗ = (dα ·dα) Dα ⊗Dα + (dα ·h) Dα ⊗D3 + (dβ ·h) D3 ⊗Dβ + (h ·h) D3 ⊗D3

= |dα|2 Dα ⊗Dα + (dα ·h)[Dα ⊗D3 + D3 ⊗Dα

]+ |h|2 D3 ⊗D3 . (4.2.71)

Podemos agora, por virtude de (2.5.9), encontrar uma forma especializada para a energia

de deformacao relacionada a teoria tridimensional.

4.3 Energia de Deformacao Tridimensional

Mencionamos na secao 3.5 que as grandezas ti e mα (e consequentemente o tensor T), que

aparecem nas equacoes de conservacao, poderiam ser obtidas a partir das equacoes consti-

tutivas (3.5.15) e (3.5.17), uma vez determinada uma forma para a energia de deformacao

Σ. Neste trabalho tiraremos vantagem das hipoteses para o elemento helicoidal (listadas

no inıcio deste capıtulo) e das expressoes especializadas obtidas ate agora para obter os

valores para ti e mα atraves das integrais (3.3.29), (3.3.55) e (3.3.56). Primeiro preci-

saremos obter uma expressao para a energia de deformacao tridimensional Σ∗, e depois

utiliza-la para obter os valores t∗i (2.3.4), tambem provenientes da teoria tridimensional.

Escolhemos o modelo de Mooney-Rivlin (secao 2.5.2) para descrever o comportamento do

material do elemento helicoidal, pois se trata de um modelo simples, mas que representa

com boa aproximacao o comportamento de materiais que podem ser considerados incom-

pressıveis (varios tipos de borrachas, por exemplo).

A equacao da energia de deformacao do modelo de Mooney-Rivlin (2.5.20) e de sua deri-

vada em relacao ao tensor C∗ (2.5.21), alem das expressoes para os invariantes Iα (2.5.18)

43

Capıtulo Quatro 4.3. Energia de Deformacao Tridimensional

do tensor C∗, estao aqui repetidas

Σ∗ = K1 (I1 − 3) +K2 (I2 − 3) ,

I1 = C∗ · I ,

I2 =1

2

[(C∗ · I)2 −C∗ ·C∗T

],

∂Σ∗

∂C∗= K1I +K2

[(C∗ · I) I−C∗

].

Substituindo com o resultado (4.2.71) em (2.5.18), lembrando que Dα sao unitarios e

perpendiculares a D3, e que o produto interno entre um tensor A qualquer e o tensor

identidade e igual ao traco de A, poderemos escrever I1 de forma especializada, tal que

I1 = |dα|2 Dα ·Dα + (dα ·h)[Dα ·D3 + D3

·Dα

]+ |h|2 D3

·D3

= |dα|2 + D−133 |h|2 . (4.3.1)

Para obter uma expressao especializada para I2, lembremos tambem que C∗ = C∗T e que

existe uma propriedade do produto interno de produtos tensoriais entre vetores arbitrarios

a, b, c e d [ITSKOV, 2009, pg. 26], tal que

(a⊗ b) · (c⊗ d) = (a · c) (b ·d) . (4.3.2)

possibilitando escrever

C∗ ·C∗T = |dα|4 + |dα|2[2 (dα ·h)

(Dα ·D3

)+

|h|2∣∣D3

∣∣2 (Dα ·D3)2]

+ (dα ·h)2[2∣∣D3

∣∣2 + 2(Dα ·D3

)2]+

2 (dα ·h) |h|2(Dα ·D3

) ∣∣D3∣∣2 (D3

·Dα

)+ |h|4

∣∣D3∣∣4 , (4.3.3)

que pode ser simplificada da forma

C∗ ·C∗T = |dα|4 + 2 D−133 (dα ·h)2 + D−233 |h|4 . (4.3.4)

Com esta expressao e (4.3.1), poderemos entao escrever para I2

I2 =1

2

[(|dα|2 + D−133 |h|

2)2 − |dα|4 − 2 D−133 (dα ·h)2 −D−233 |h|4]

= |d1|2 |d2|2 + D−133

[|dα|2 |h|2 − (dα ·h)2

]. (4.3.5)

Com este resultado e com (4.3.1), a equacao de energia do modelo de Mooney-Rivlin pode

entao ser escrita

Σ∗ = K1

[|dα|2 +D−133 |h|

2−3]

+K2

(|d1|2 |d2|2 +D−133

[|dα|2 |h|2− (dα ·h)2

]−3). (4.3.6)

44

Capıtulo Quatro 4.4. Obtencao dos Vetores-Tensao por Integracao

E a derivada desta expressao em relacao ao tensor C∗ (2.5.21) sera reescrita da forma

∂Σ∗

∂C∗= K1I +K2

(|dα|2 + D−133 |h|

2) I−

K2

[|dα|2 Dα ⊗Dα + (dα ·h)

[Dα ⊗D3 + D3 ⊗Dα

]+ |h|2 D3 ⊗D3

]. (4.3.7)

Poderemos utilizar agora esta expressao para obter o tensor-tensao de Cauchy-Green

T∗ e os vetores-tensao ti∗. Podemos tambem integrar a expressao (4.3.6) no volume do

elemento helicoidal para encontrar uma expressao global para a energia do elemento. Para

isto, precisaremos de expressoes para as integrais de |h|2 e dα ·h no volume do elemento.

Por conveniencia, isto so sera apresentado na secao 4.5.3.

4.4 Obtencao dos Vetores-Tensao por Integracao

Assumindo a hipotese (3.2.21) para a descricao material do elemento de viga de Cosserat,

os vetores ti e mα da teoria de Cosserat estao relacionados com a teoria tridimensional

atraves das integrais (3.3.55), (3.3.29) e (3.3.56). Utilizaremos as expressoes especializadas

obtidas ate agora para obter expressoes tambem especializadas para estas grandezas da

teoria de Cosserat, integrando as grandezas da teoria tridimensional atraves da secao

transversal do elemento helicoidal.

Ao adotarmos o modelo de Mooney-Rivlin para a energia de deformacao, as grandezas ti∗

serao obtidas a partir das equacoes constitutivas dadas pela expressao (2.5.24), repetida

abaixo

ti∗ = 2ρ∗0G1/2F∗

[K1I +K2

[(C∗ · I) I−C∗

]]Gi ,

que foi obtida substituindo a expressao para a derivada da energia de Mooney-Rivlin

(2.5.20) na expressao para os vetores-tensao ti∗ (2.5.16).

Igualmente, se substituirmos∂Σ∗

∂C∗com (4.3.7) na expressao (2.5.16), teremos

ti∗ = 2ρ∗0G1/2

[[K1 +K2 |dα|2

]F∗Gi +K2D

−133 |h|

2 F∗Gi −

K2

(|dα|2 F∗ (Dα ⊗Dα) Gi + (dα ·h) F∗

(Dα ⊗D3

)Gi +

(dα ·h) F∗(D3 ⊗Dα

)Gi + |h|2 F∗

(D3 ⊗D3

)Gi)]

. (4.4.1)

A fim de obtermos as expressoes especializadas para as integrais (3.3.55), (3.3.29) e (3.3.56)

iremos primeiro desenvolver separadamente as integrais para cada parcela desta expressao.

Se utilizarmos as expressoes especializadas para F∗ (4.2.66), a propriedade (4.2.70) e a

definicao do produto tensorial

(a⊗ b) c = (c ·b) a , (4.4.2)

45


onde a, b e c sao vetores arbitrarios, poderemos escrever

F∗Gi =(dα ⊗Dα + h⊗D3

)Gi

=(Gi

·Dα

)dα +

(Gi

·D3)h , (4.4.3)

F∗ (Dα ⊗Dα) Gi =(Gi

·Dα

) (dβ ⊗Dβ + h⊗D3

)Dα

=(Gi

·Dα

) [(Dα ·Dβ) dβ +

(Dα ·D3

)h]

=(Gi

·Dα

)dα , (4.4.4)

F∗(Dα ⊗D3

)Gi =

(Gi

·D3) (

dβ ⊗Dβ + h⊗D3)

Dα

=(Gi

·D3) [

(Dα ·Dβ) dβ +(Dα ·D3

)h]

=(Gi

·D3)

dα , (4.4.5)

F∗(D3 ⊗Dα

)Gi =

(Gi

·Dα

) (dβ ⊗Dβ + h⊗D3

)D3

=(Gi

·Dα

) [(D3

·Dβ

)dβ +

(D3

·D3)

h]

= D−133

(Gi

·Dα

)h , (4.4.6)

F∗(D3 ⊗D3

)Gi =

(dα ⊗Dα + h⊗D3

) (D3 ⊗D3

)Gi

=[(

Dα ·D3)dα ⊗D3 +

(D3

·D3)

h⊗D3]Gi

= D−133

(Gi

·D3)

h . (4.4.7)

Motivados por estes resultados, usando as expressoes especializadas para Gi (4.2.27) e

lembrando que Dα = Dα sao vetores unitarios, escreveremos

Gi·Dα = δαi , (4.4.8)

G1·D3 = D

−1/233 τ0 (1− θ1κ0)−1 θ2 ,

G2·D3 = −D

−1/233 τ0 (1− θ1κ0)−1 θ1 ,

G3·D3 = D−133 (1− θ1κ0)−1 ,

(4.4.9)

onde δαi e o delta de Kronecker.

Com o resultado (4.2.26) para a metrica G1/2, e dos resultados (4.4.3) para o produto

F∗Gi, podemos escrever∫A

G1/2F∗Gi dθ1dθ2 = D

1/233

∫A

(1− θ1κ0

) [(Gi

·Dα

)dα +

(Gi

·D3)

h]dθ1dθ2 , (4.4.10)

46


D−133

∫A

G1/2 |h|2 F∗Gi dθ1dθ2 =

D−1/233

∫A

(1− θ1κ0

) [(Gi

·Dα

)dα +

(Gi

·D3)h]|h|2 dθ1dθ2 . (4.4.11)

Com o auxılio das expressoes (4.4.8) e (4.4.9), a expressao (4.4.10) assume, respectiva-

mente para i = 1, 2, 3, as formas

D1/233

∫A

[(1− θ1κ0

)dα + D

−1/233 τ0 θ

2 h]dθ1dθ2 =

D1/233 dα

[∫A0

da− κ0∫A0

θ1 da

]+ τ0

∫A0

θ2 h da =

D1/233A0 dα + τ0

∫A0

θ2 h da , (4.4.12)

D1/233

∫A

[(1− θ1κ0

)dα −D

−1/233 τ0 θ

1 h]dθ1dθ2 =

D1/233 dα

[∫A0

da− κ0∫A0

θ1 da

]− τ0

∫A0

θ1 h da =

D1/233A0 dα − τ0

∫A0

θ1 h da , (4.4.13)

D1/233

∫A

D−133 h dθ1dθ2 = D−1/233

∫A0

h da , (4.4.14)

onde A0 e a secao transversal na configuracao de referencia, cujos area e elemento de area

sao respectivamente A0 e da = dθ1dθ2. Utilizamos tambem acima o fato de a segunda

integral das duas primeiras expressoes ser igual ao momento estatico, ou primeiro momento

da secao transversal na configuracao de referencia A0. Esta integral sera igual a zero, pois,

segundo a hipotese 2, as coordenadas θα do centroide de qualquer secao transversal do

elemento serao iguais a zero.

De maneira similar, a expressao (4.4.11) assume, respectivamente para i = 1, 2, 3, as

formas

D−1/233

∫A

|h|2[(

1− θ1κ0)dα + D

−1/233 τ0θ

2 h]dθ1dθ2 =

D−1/233 dα

[∫A0

|h|2 da− κ0∫A0

|h|2 θ1 da]

+ D−133 τ0

∫A0

|h|2 θ2 h da , (4.4.15)

D−1/233

∫A

|h|2[(

1− θ1κ0)dα −D

−1/233 τ0 θ

1 h]dθ1dθ2 =

D−1/233 dα

[∫A0

|h|2 da− κ0∫A0

|h|2 θ1 da]−D−133 τ0

∫A0

|h|2 θ1 h da , (4.4.16)

47


D−1/233

∫A

|h|2 D−133 h dθ1dθ2 = D−3/233

∫A0

|h|2 h da . (4.4.17)

Com o resultado (4.4.4) para os produtos F∗ (Dα ⊗Dα) Gi podemos escrever∫A

G1/2 F∗ (Dα ⊗Dα) Gi dθ1dθ2 = D

1/233dα

∫A

(1− θ1κ0

) (Gi

·Dα

)dθ1dθ2 . (4.4.18)

Com o auxılio de (4.4.8), para Gα, esta expressao assume a forma

D1/233dβ

∫A

(1− θ1κ0

)dθ1dθ2 = D

1/233dβ

[∫A0

da− κ0∫A0

θ1 da

]= D

1/233A0 dβ , (4.4.19)

com somatorio sobre dβ, β = 1, 2, e assume o valor zero para G3.

A parcela de (4.4.1) contendo o produto F∗ (Dα ⊗D3) Gi (4.4.5) pode ser reescrita da

forma∫A

G1/2 (dα ·h) F∗

(Dα ⊗D3

)Gi dθ1dθ2 =

D1/233

∫A

(1− θ1κ0

)(dα ·h)

[(Gi

·D3)

dα]dθ1dθ2 , (4.4.20)

que assume, com a ajuda de (4.4.9), respectivamente para i = 1, 2, 3, as formas

D1/233

∫A

(1− θ1κ0

)(dα ·h)

[D

−1/233 τ0

(1− θ1κ0

)−1θ2 dα

]dθ1dθ2 =

τ0 dα

∫A0

(dα ·h) θ2 da , (4.4.21)

D1/233

∫A

(1− θ1κ0

)(dα ·h)

[−D

−1/233 τ0

(1− θ1κ0

)−1θ1 dα

]dθ1dθ2 =

− τ0 dα

∫A0

(dα ·h) θ1 da , (4.4.22)

D1/233

∫A

(1− θ1κ0

)(dα ·h)

[D−133

(1− θ1κ0

)−1dα

]dθ1dθ2 =

D−1/233 dα

∫A0

(dα ·h) da . (4.4.23)

A parcela de (4.4.1) contendo o produto F∗ (D3 ⊗Dα) Gi (4.4.6) pode ser reescrita da

48


forma∫A

G1/2 (dα ·h) F∗

(D3 ⊗Dα

)Gi dθ1dθ2 =

D−1/233

∫A

(1− θ1κ0

)(dα ·h)

[(Gi

·Dα

)h]dθ1dθ2 , (4.4.24)

que assume, com a ajuda de (4.4.8), o valor zero para i = 3 e a seguinte forma para

i = 1, 2

D−1/233

[∫A0

(dα ·h) h da− κ0∫A0

(dα ·h) θ1 h da

]. (4.4.25)

Com o resultado (4.4.7) para o produto F∗ (D3 ⊗D3) Gi, podemos escrever∫A

G1/2 |h|2 F∗

(D3 ⊗D3

)Gi dθ1dθ2 =

D−1/233

∫A

|h|2(1− θ1κ0

) (Gi

·D3)

h dθ1dθ2 , (4.4.26)

que assume, respectivamente para Gi, as formas

D−133 τ0

∫A0

|h|2 θ2 h da , (4.4.27)

−D−133 τ0

∫A0

|h|2 θ1 h da , (4.4.28)

D−3/233

∫A0

|h|2 h da . (4.4.29)

A partir da expressao (4.4.1), com os resultados (4.4.12), (4.4.15), (4.4.19), (4.4.21),

(4.4.25), (4.4.27) e alguma reorganizacao, poderemos escrever da seguinte forma o vetor

t1, definido em (3.3.55):

t1 = 2ρ∗0

[K1D

1/233A0 dα +

[K1 +K2 |dα|2

]τ0

∫A0

θ2 h da+

K2D−1/233 dα

(∫A0

|h|2 da− κ0∫A0

|h|2 θ1 da)−K2τ0 dα

∫A0

(dα ·h) θ2 da−

K2D−1/233

(∫A0


(dα ·h) θ1 h da

)]. (4.4.30)

Com os resultados (4.4.13), (4.4.16), (4.4.19), (4.4.22), (4.4.25), (4.4.28), o vetor t2 podera

49


ser escrito da forma

t2 = 2ρ∗0

[K1D

1/233A0 dα −

[K1 +K2 |dα|2

]τ0

∫A0

θ1 h da+

K2D−1/233 dα

(∫A0

|h|2 da− κ0∫A0

|h|2 θ1 da)

+K2τ0 dα

∫A0

(dα ·h) θ1 da−

K2D−1/233

(∫A0


(dα ·h) θ1 h da

)]. (4.4.31)

Com os resultados (4.4.14), (4.4.17), (4.4.23), (4.4.29) e alguma reorganizacao, o vetor t3,

definido em (3.3.29), podera ser escrito da forma

t3 = 2ρ∗0 D−1/233

[[K1 +K2 |dα|2

]∫A0

h da+K2 dα

∫A0

(dα ·h) da

]. (4.4.32)

Para obter as expressoes especializadas para os vetores mα (3.3.56), multiplicaremos os

integrandos em (4.4.32) pela coordenada θα, obtendo

mα = 2ρ∗0 D−1/233

[[K1 +K2 |dβ|2

]∫A0

θα h da−K2 dβ

∫A0

(dβ ·h) θα da

]. (4.4.33)

Podemos observar que nos resultados acima para cada vetor ti e mα obtivemos integrais

envolvendo o vetor h ou seu produto interno h ·h, na forma de |h|2. Abaixo resolveremos

separadamente cada uma dessas integrais. Primeiro integraremos o vetor h, definido em

(4.2.65), sobre a secao A0:∫A0

h da =

[(D

1/233τ0 − µ−2d

1/2τc

)∫A0

θ2

(1− θ1κ0)da

]d1 −[(

D1/233τ0 − ν−2d

1/2τc

)∫A0

θ1

(1− θ1κ0)da

]d2 +[∫

A0

(1− µθ1κ1 − νθ2κ2)(1− θ1κ0)

da

]d3 . (4.4.34)

Motivados por esta expressao, definiremos as grandezas Zjmn da forma

Zjmn =

∫A0

(θ1)m(θ2)n

(1− θ1κ0)jda , m, n, j ≥ 0 , (4.4.35)

onde poderemos omitir o j quando igual a um, e omitir m e n quando ambos forem iguais

a zero. Estas grandezas sao constantes para um determinado elemento, independentes

do tempo, e consideram a influencia conjunta das geometrias da secao transversal e da

curva de referencia do elemento helicoidal. Nota-se que para j = 0 e com (m,n) = (2, 0)

ou (0, 2), teremos que Zjmn sera respectivamente igual ao momento de inercia da secao

50


em relacao ao eixo D2 ou D1. Caso j = 0 e m = n = 1, Zjmn sera igual ao produto de

inercia da secao transversal. Para estes casos usaremos as nomenclaturas I11, I22 e I12,

respectivamente, e estes momentos e o produto de inercia da area da secao transversal A0

serao calculados da forma

I11 =

∫A0

(θ2)2 da =

∫A

(θ2)2 dθ1dθ2 , (4.4.36)

I22 =

∫A0

(θ1)2 da =

∫A

(θ1)2 dθ1dθ2 , (4.4.37)

I12 =

∫A0

θ1θ2 da =

∫A

θ1θ2 dθ1dθ2 . (4.4.38)

Com estas definicoes poderemos escrever∫A0

h da =[D

1/233τ0 − µ−2d

1/2τc

]Z01d1 −[

D1/233τ0 − ν−2d

1/2τc

]Z10d2 +

[Z − µκ1Z10 − νκ2Z01

]d3 . (4.4.39)

Similarmente, considerando (4.4.34), podemos escrever∫A0

θ1 h da =[D

1/233τ0 − µ−2d

1/2τc

]Z11d1 −[

D1/233τ0 − ν−2d

1/2τc

]Z20d2 +

[Z10 − µκ1Z20 − νκ2Z11

]d3 , (4.4.40)

∫A0

θ2 h da =[D

1/233τ0 − µ−2d

1/2τc

]Z02d1 −[

D1/233τ0 − ν−2d

1/2τc

]Z11d2 +

[Z01 − µκ1Z11 − νκ2Z02

]d3 . (4.4.41)

Para resolver as integrais envolvendo o produto interno h ·h usaremos a expressao (4.2.65)

para h para escrever

h ·h = |h|2 =

[D

1/233τ0 − µ−2d

1/2τc(1− θ1κ0)

]2µ2(θ2)2 +[

D1/233τ0 − ν−2d

1/2τc

(1− θ1κ0)2

]2ν2(θ1)2 +

[(1− µθ1κ1 − νθ2κ2)

(1− θ1κ0)

]2d33 , (4.4.42)

51


onde utilizamos os resultados di ·di = |di|2 e (4.2.39). Se utilizamos as definicoes (4.4.35

- 4.4.38) e o resultado acima, poderemos escrever∫A0

|h|2 da =[D

1/233τ0 − µ−2d

1/2τc

]2µ2Z2

02 +[D

1/233τ0 − ν−2d

1/2τc

]2ν2Z2

20 +[Z2 + (µκ1)

2Z220 + (νκ2)

2Z202 − 2µκ1Z

210 − 2νκ2Z

201 + µνκ1κ2Z

211

]d33 , (4.4.43)

De maneira similar, podemos chegar ao resultado∫A0

|h|2 θ1 da =[D

1/233τ0 − µ−2d

1/2τc

]2µ2Z2

12 +[D

1/233τ0 − ν−2d

1/2τc

]2ν2Z2

30 +[Z2

10 + (µκ1)2Z2

30 + (νκ2)2Z2

12 − 2µκ1Z220 − 2νκ2Z

211 + µνκ1κ2Z

221

]d33 . (4.4.44)

As proximas integrais a serem resolvidas apresentam o produto interno dα ·h no inte-

grando. Se utilizarmos a definicao (4.2.65) e a ortogonalidade entre dα e d3, poderemos

escrever

d1 ·h =µ2D

1/233τ0 − d1/2τc

(1− θ1κ0)θ2 , d2 ·h = −ν

2D1/233τ0 − d1/2τc

(1− θ1κ0)θ1 , (4.4.45)

∫A0

(d1 ·h) da =[µ2D

1/233τ0 − d

1/2τc

]Z01 , (4.4.46)

∫A0

(d2 ·h) da = −[ν2D

1/233τ0 − d

1/2τc

]Z10 , (4.4.47)

a partir das quais podemos deduzir que∫A0

(d1 ·h) θ1 da =[µ2D

1/233τ0 − d

1/2τc

]Z11 , (4.4.48)

∫A0

(d2 ·h) θ1 da = −[ν2D

1/233τ0 − d

1/2τc

]Z20 , (4.4.49)

∫A0

(d1 ·h) θ2 da =[µ2D

1/233τ0 − d

1/2τc

]Z02 , (4.4.50)

∫A0

(d2 ·h) θ2 da = −[ν2D

1/233τ0 − d

1/2τc

]Z11 . (4.4.51)

52


Com as definicoes (4.2.65) e (4.4.45) podemos escrever os produtos (dα ·h) h da forma

(d1 ·h) h =

[D

1/233τ0 − µ−2d

1/2τc(1− θ1κ0)

]2µ2(θ2)2 d1 −[

µ2D1/233τ0 − d1/2τc

(1− θ1κ0)

][D

1/233τ0 − ν−2d

1/2τc(1− θ1κ0)

]θ1θ2 d2 +[

µ2D1/233τ0 − d1/2τc

(1− θ1κ0)

][θ2 − µθ1θ2κ1 − ν(θ2)2κ2

(1− θ1κ0)

]d3 , (4.4.52)

(d2 ·h) h = −

[D

1/233τ0 − µ−2d

1/2τ

(1− θ1κ0)

][ν2D

1/233τ0 − d1/2τ

(1− θ1κ0)

]θ1θ2 d1 +[

D1/233τ0 − ν−2d

1/2τ

(1− θ1κ0)

]2ν2(θ1)2 d2 −[

ν2D1/233τ0 − d1/2τc

(1− θ1κ0)

][θ1 − µ(θ1)2κ1 − νθ1θ2κ2

(1− θ1κ0)

]d3 , (4.4.53)

que ao integrarmos sobre a secao transversal obteremos∫A0

(d1 ·h) h da =[D

1/233τ0 − µ−2d

1/2τc

]2µ2Z2

02 d1 −[µ2D

1/233τ0 − d

1/2τc

] [D

1/233τ0 − ν−2d

1/2τc

]Z2

11 d2 +[µ2D

1/233τ0 − d

1/2τc

][Z2

01 − µκ1Z211 − νκ2Z02

]d3 , (4.4.54)

∫A0

(d2 ·h) h da = −[D

1/233τ0 − µ−2d

1/2τc

] [ν2D

1/233τ0 − d

1/2τc

]Z2

11 d1 +[D

1/233τ0 − ν−2d

1/2τc

]2ν2Z2

20 d2 −[ν2D

1/233τ0 − d

1/2τc

][Z2

10 − µκ1Z220 − νκ2Z2

11

]d3 . (4.4.55)

E as ultimas integrais envolvidas no calculo dos vetores ti serao dadas por∫A0

(d1 ·h) θ1 h da =[D

1/233τ0 − µ−2d

1/2τc

]2µ2Z2

12 d1 −[µ2D

1/233τ0 − d

1/2τc

] [D

1/233τ0 − ν−2d

1/2τc

]Z2

21 d2 +[µ2D

1/233τ0 − d

1/2τc

][Z2

11 − µκ1Z221 − νκ2Z12

]d3 , (4.4.56)

53


∫A0

(d2 ·h) θ1 h da = −[D

1/233τ0 − µ−2d

1/2τc

] [ν2D

1/233τ0 − d

1/2τc

]Z2

21 d1 +[D

1/233τ0 − ν−2d

1/2τc

]2ν2Z2

30 d2 −[ν2D

1/233τ0 − d

1/2τc

][Z2

20 − µκ1Z230 − νκ2Z2

21

]d3 . (4.4.57)

Com os resultados (4.4.41), (4.4.43), (4.4.44), (4.4.50), (4.4.51), (4.4.54), (4.4.55), (4.4.56)

e (4.4.57) substituıdos em (4.4.30), teremos

t1

2ρ∗0= K1D

1/233A0 dα + τ0

[K1 +K2 |dα|2

]([D

1/233τ0 − µ−2d

1/2τc

]Z02 d1 −[

D1/233τ0 − ν−2d

1/2τc

]Z11 d2 +

[Z01 − µκ1Z11 − νκ2Z02

]d3

)+

K2D−1/233

(µ2[D

1/233τ0 − µ−2d

1/2τc

]2[Z2

02 − κ0Z212

]+ ν2

[D

1/233τ0 − ν−2d

1/2τc

]2[Z2

20 − κ0Z230

]+

d33

[Z2 − κ0Z2

10 + (µκ1)2(Z2

20 − κ0Z230

)+ (νκ2)

2(Z2

02 − κ0Z212

)−

2µκ1(Z2

10 − κ0Z220

)− 2νκ2

(Z2

01 − κ0Z211

)+ 2µνκ1κ2

(Z2

11 − κ0Z221

)])dα −

K2τ0

([µ2D

1/233τ0 − d

1/2τc

]Z02 d1 −

[ν2D

1/233τ0 − d

1/2τc

]Z11 d2

)−

K2 D−1/233

([D

1/233τ0−µ−2d

1/2τc

]2[Z2

02−κ0Z212

]µ2d1+

[D

1/233τ0−ν−2d

1/2τc

]2[Z2

20−κ0Z230

]ν2d2−[

D1/233τ0 − µ−2d

1/2τc

][D

1/233τ0 − ν−2d

1/2τc

][Z2

11 − κ0Z221

][ν2 d1 + µ2 d2

]+[

µ2D1/233τ0 − d

1/2τc

][Z2

01 − κ0Z211 − µκ1

(Z2

11 − κ0Z221

)− νκ2

(Z2

02 − κ0Z212

)]d3 −[

ν2D1/233τ0 − d

1/2τc

][Z2

10 − κ0Z220 − µκ1

(Z2

20 − κ0Z230

)− νκ2

(Z2

11 − κ0Z221

)]d3

). (4.4.58)

54


Com os resultados (4.4.40), (4.4.43), (4.4.44), (4.4.48), (4.4.49), (4.4.54), (4.4.55), (4.4.56)

e (4.4.57) substituıdos em (4.4.31), teremos

t2

2ρ∗0= K1D

1/233A0 dα + τ0

[K1 +K2 |dα|2

]([D

1/233τ0 − µ−2d

1/2τc

]Z11 d1 −[

D1/233τ0 − ν−2d

1/2τc

]Z20 d2 +

[Z10 − µκ1Z20 − νκ2Z11

]d3

)+

K2D−1/233

(µ2[D

1/233τ0 − µ−2d

1/2τc

]2[Z2

02 − κ0Z212

]+ ν2

[D

1/233τ0 − ν−2d

1/2τc

]2[Z2

20 − κ0Z230

]+

d33

[Z2 − κ0Z2

10 + (µκ1)2(Z2

20 − κ0Z230

)+ (νκ2)

2(Z2

02 − κ0Z212

)−

2µκ1(Z2

10 − κ0Z220

)− 2νκ2

(Z2

01 − κ0Z211

)+ 2µνκ1κ2

(Z2

11 − κ0Z221

)])dα −

K2τ0

([µ2D

1/233τ0 − d

1/2τc

]Z11 d1 −

[ν2D

1/233τ0 − d

1/2τc

]Z20 d2

)−

K2 D−1/233

([D

1/233τ0−µ−2d

1/2τc

]2[Z2

02−κ0Z212

]µ2d1+

[D

1/233τ0−ν−2d

1/2τc

]2[Z2

20−κ0Z230

]ν2d2−[

D1/233τ0 − µ−2d

1/2τc

][D

1/233τ0 − ν−2d

1/2τc

][Z2

11 − κ0Z221

][ν2 d1 + µ2 d2

]+[

µ2D1/233τ0 − d

1/2τc

][Z2

01 − κ0Z211 − µκ1

(Z2

11 − κ0Z221

)− νκ2

(Z2

02 − κ0Z212

)]d3 −[

ν2D1/233τ0 − d

1/2τc

][Z2

10 − κ0Z220 − µκ1

(Z2

20 − κ0Z230

)− νκ2

(Z2

11 − κ0Z221

)]d3

). (4.4.59)

Os resultados das integrais (4.4.39), (4.4.46) e (4.4.47), quando substituıdos de volta na

expressao (4.4.32), e com alguma reorganizacao, completam a especializacao do vetor t3:

t3 = 2ρ∗0 D−1/233

[[K1 +K2 |dα|2

]([D

1/233τ0 − µ−2d

1/2τc

]Z01 d1 −[

D1/233τ0 − ν−2d

1/2τc

]Z10 d2 +

[Z − µκ1Z10 − νκ2Z01

]d3

)+

K2 dα

([µ2D

1/233τ0 − d

1/2τc

]Z01 −

[ν2D

1/233τ0 − d

1/2τc

]Z10

)]. (4.4.60)

Os resultados das integrais (4.4.40), (4.4.41), (4.4.48), (4.4.49), (4.4.50) e (4.4.51) quando

substituıdos de volta na expressao (4.4.33) completam a especializacao dos vetores mα:

m1 = 2ρ∗0 D−1/233

[[K1 +K2 |dα|2

]([D

1/233τ0 − µ−2d

1/2τc

]Z11 d1 −[

D1/233τ0 − ν−2d

1/2τc

]Z20 d2 +

[Z10 − µκ1Z20 − νκ2Z11

]d3

)+

K2 dα

([µ2D

1/233τ0 − d

1/2τc

]Z11 −

[ν2D

1/233τ0 − d

1/2τc

]Z20

)]. (4.4.61)

55

Capıtulo Quatro 4.5. Outras Especializacoes para o Elemento Helicoidal

m2 = 2ρ∗0 D−1/233

[[K1 +K2 |dα|2

]([D

1/233τ0 − µ−2d

1/2τc

]Z02 d1 −[

D1/233τ0 − ν−2d

1/2τc

]Z11 d2 +

[Z01 − µκ1Z11 − νκ2Z02

]d3

)+

K2 dα

([µ2D

1/233τ0 − d

1/2τc

]Z02 −

[ν2D

1/233τ0 − d

1/2τc

]Z11

)]. (4.4.62)

4.5 Outras Especializacoes para o Elemento Helicoidal

As expressoes globais para a conservacao de massa (3.3.5), impulso (3.3.31) e momento

dos vetores diretores (3.3.57) para o elemento de Cosserat, nesta ordem, estao sumariadas

abaixo:

d

dt

∫P

ρ ds =d

dt

∫ ξ2

ξ1

mdθ3 = 0 ,

d

dt

∫P

ρ(v + yα wα)ds =

∫P

ρ c ds+ t3∣∣s2s1,

d

dt

∫P


)ds =

∫P

(ρcα − d

−1/233 tα

)ds+ mα

∣∣s2s1,

Alem dos vetores-tensao ti e dos momentos mα, podemos especializar outras grandezas

que aparecem nestas expressoes, se para isto considerarmos as hipoteses apresentadas no

inıcio deste capıtulo.

4.5.1 Massa do Elemento, Inercias e Forcas Externas

A grandeza m e definida por (3.3.2), repetida abaixo.

m(θ3) =

∫A

ρ∗g1/2 dθ1dθ2 .

Com a definicao (2.2.23) para J∗, considerando-se um elemento helicoidal constituıdo de

um material homogeneo, poderemos escrever a forma local da lei de conservacao de massa

da teoria tridimensional (2.3.2) da forma

ρ∗g1/2 = ρ∗0 G

1/2 . (4.5.1)

56


A densidade tridimensional na configuracao de referencia ρ∗0 para tal elemento homogeneo

e constante e independente das coordenadas θi. Com este fato, a expressao acima, e o

resultado (4.2.26), poderemos escrever a integral (3.3.2) da forma:

m = ρ∗0 D1/233

∫A

(1− θ1κ0

)dθ1dθ2 = ρ∗0 D

1/233

[∫A0

da− κ0∫A0

θ1 da

]= ρ∗0 D

1/233A0 , (4.5.2)

onde A0 e a area, e da = dθ1dθ2 e o elemento de area da secao transversal do elemento

na configuracao de referencia. Nota-se que a integral envolvendo θ1 nesta expressao sera

sempre nula, pois trata-se do primeiro momento, ou momento estatico de area da secao.

Com isso, a massa total do elemento sera constante e podera ser calculada da forma

M =

∫ ξ2

ξ1

mdθ3 = α0 ρ∗0 D

1/233A0 = ρ∗0 LA0 . (4.5.3)

Com a ajuda da expressao (4.2.26), a definicao para as inercias dos diretores yα (3.3.13)

pode ser especializada para um elemento helicoidal homogeneo da seguinte forma

yα =1

A0

∫A

(1− θ1κ0

)θα dθ1dθ2 =

1

A0

[∫A0

θα da− κ0∫A0

θ1θα da

]. (4.5.4)

A primeira integral desta expressao sera sempre nula, pois trata-se do momento estatico de

area da secao. Portanto, para o elemento helicoidal, as expressoes para yα serao reduzidas

a

y1 = − κ0A0

I22 , y2 = − κ0A0

I12 , (4.5.5)

onde I22 e I12 sao respectivamente o momento de inercia em relacao ao eixo D2 e o produto

de inercia de area da secao transversal A0, e sao dados por (4.4.37) e (4.4.38).

Para um elemento helicoidal homogeneo submetido a uma forca de corpo igualmente

homogenea, teremos

cb =1

m

∫A

ρ∗g1/2 c∗ dθ1dθ2 = c∗ . (4.5.6)

Por sua vez, a forca de contato cc e dependente da forma da secao transversal, atraves

do vetor normal η, e do vetor tracao t∗. A secao transversal pode ter as mais diversas

formas, assim como a distribuicao da forca de contato sobre sua borda. Por este motivo,

nao especializaremos a expressao para a forca de contato para o elemento helicoidal dada

por (3.3.23), porem podemos simplificar substancialmente a expressao para o vetor normal

η dada por (3.3.19). Devido a hipotese 5, deduz-se que a normal a superfıcie lateral nao

tem componente na direcao de g3, pois esta hipotese significa que as funcoes∧θ2 serao

independentes de θ3. A expressao para a normal sera entao reduzida a

η(ζ, θ3) =∂∧θ2

∂ζg1 − ∂

∧θ1

∂ζg2 , (4.5.7)

57


que pode ser substituıda em (3.3.23) para obtermos o valor da forca de contato resultante

cc agindo na superfıcie lateral do elemento.

Aproveitando-se da hipotese 2, a exemplo das quantidades yα, as inercias dos diretores

yαβ podem ser especializadas para o elemento helicoidal da forma

yαβ = yβα =1

m

∫A

ρ∗g1/2 θαθβ dθ1dθ2 =

1

A0

∫A

(1− θ1κ0

)θαθβ dθ1dθ2 , (4.5.8)

y11 =1

A0

[∫A0

(θ1)2 da− κ0∫A0

(θ1)3 da

]=I22A0

, (4.5.9)

y22 =1

A0

[∫A0

(θ2)2 da− κ0∫A0

θ1(θ2)2 da

]=

1

A0

(I11 − κ0Z0

12

), (4.5.10)

y12 = y21 =1

A0

[∫A0

θ1θ2 da− κ0∫A0

θ2(θ1)2 da

]=

1

A0

(I12 − κ0Z0

21

). (4.5.11)

A grandeza cα e a soma do momento especıfico cαb , resultante da forca de corpo, com o

momento especıfico cαc , resultante das forcas de contato na superfıcie lateral do elemento.

Nao iremos especializar a expressao para cαc pelos mesmos motivos porque nao o fizemos

para cc, porem podemos utilizar a expressao simplificada para o vetor normal (4.5.7) para

obtermos seu valor. Por sua vez, a expressao para o momento especıfico cαb (3.3.53) pode

ser simplificada se considerarmos uma forca de corpo homogenea c∗ agindo sobre um

elemento helicoidal de viga como o descrito nas hipoteses iniciais deste capıtulo, obtendo-

se assim a seguinte expressao:

cαb =1

m

∫A

ρ∗g1/2 θα c∗ dθ1dθ2 = yαc∗ . (4.5.12)

4.5.2 Integracao dos Vetores tα ao Longo do Elemento Helicoidal

Para integrarmos os vetores-tensao tα sobre a curva de referencia do elemento helicoi-

dal, como e requerido na forma global da lei de conservacao dos momentos dos vetores

diretores, partiremos das expressoes (4.4.58) e (4.4.59). Se considerarmos que a taxa

β′s e constante ao longo do elemento (e, portanto, constante tambem a torcao material

τc) poderemos observar que nestas expressoes as unicas grandezas que tem dependencia

na coordenada θ3 sao os vetores di e os escalares κ1 e κ2. Importante resolvermos pri-

meiro, separadamente, as integrais que envolvem estas grandezas que aparecerao nestas

expressoes quando as integramos ao longo do elemento helicoidal.

Se definirmos um vetor kinp = kinp (t, θ3) como

kinp =

∫κn1κ

p2 di dθ

3 ,

∫ ξ2

ξ1

κn1κp2 di dθ

3 = kinp∣∣ξ2ξ1, (4.5.13)

58


poderemos representar todas as integrais que precisam ser resolvidas nas expressoes (4.4.58)

e (4.4.59), e poderemos escreve-las da forma

1

2ρ∗0

∫t1 dθ3 = K1D

1/233A0k

α + τ0

[K1 +K2 |dα|2

]([D

1/233τ0 − µ−2d

1/2τc

]Z02k

1 −[D

1/233τ0 − ν−2d

1/2τc

]Z11k

2 + Z01k3 − µZ11k

310 − νZ02k

301

)+

K2D−1/233

(µ2[D

1/233τ0−µ−2d

1/2τc

]2[Z2

02−κ0Z212

]+ ν2

[D

1/233τ0− ν−2d

1/2τc

]2[Z2

20−κ0Z230

])kα +

K2D−1/233 d33

[(Z2 − κ0Z2

10

)kα + µ2

(Z2

20 − κ0Z230

)kα20 + ν2

(Z2

02 − κ0Z212

)kα02 −

2µ(Z2

10 − κ0Z220

)kα10 − 2ν

(Z2

01 − κ0Z211

)kα01 + 2µν

(Z2

11 − κ0Z221

)kα11

]−

K2τ0

([µ2D

1/233τ0 − d

1/2τc

]Z02k

1 −[ν2D

1/233τ0 − d

1/2τc

]Z11k

2

)−

K2D−1/233

([D

1/233τ0−µ−2d

1/2τc

]2[Z2

02−κ0Z212

]µ2k1 +

[D

1/233τ0−ν−2d

1/2τc

]2[Z2

20−κ0Z230

]ν2k2−[

D1/233τ0 − µ−2d

1/2τc

][D

1/233τ0 − ν−2d

1/2τc

][Z2

11 − κ0Z221

][ν2k1 + µ2k2

]+[

µ2D1/233τ0 − d

1/2τc

][(Z2

01 − κ0Z211

)k3 − µ

(Z2

11 − κ0Z221

)k310 − ν

(Z2

02 − κ0Z212

)k301

]−[

ν2D1/233τ0 − d

1/2τc

][(Z2

10 − κ0Z220

)k3 − µ

(Z2

20 − κ0Z230

)k310 − ν

(Z2

11 − κ0Z221

)k301

]), (4.5.14)

1

2ρ∗0

∫t2 dθ3 = K1D

1/233A0k

α + τ0

[K1 +K2 |dα|2

]([D

1/233τ0 − µ−2d

1/2τc

]Z11k

1 −[D

1/233τ0 − ν−2d

1/2τc

]Z20k

2 + Z10k3 − µZ20k

310 − νZ11k

301

)+

K2D−1/233

(µ2[D

1/233τ0−µ−2d

1/2τc

]2[Z2

02−κ0Z212

]+ ν2

[D

1/233τ0− ν−2d

1/2τc

]2[Z2

20−κ0Z230

])kα +

K2D−1/233 d33

[(Z2 − κ0Z2

10

)kα + µ2

(Z2

20 − κ0Z230

)kα20 + ν2

(Z2

02 − κ0Z212

)kα02 −

2µ(Z2

10 − κ0Z220

)kα10 − 2ν

(Z2

01 − κ0Z211

)kα01 + 2µν

(Z2

11 − κ0Z221

)kα11

]−

K2τ0

([µ2D

1/233τ0 − d

1/2τc

]Z11k

1 −[ν2D

1/233τ0 − d

1/2τc

]Z20k

2

)−

K2D−1/233

([D

1/233τ0−µ−2d

1/2τc

]2[Z2

02−κ0Z212

]µ2k1 +

[D

1/233τ0−ν−2d

1/2τc

]2[Z2

20−κ0Z230

]ν2k2−[

D1/233τ0 − µ−2d

1/2τc

][D

1/233τ0 − ν−2d

1/2τc

][Z2

11 − κ0Z221

][ν2k1 + µ2k2

]+[

µ2D1/233τ0 − d

1/2τc

][(Z2

01 − κ0Z211

)k3 − µ

(Z2

11 − κ0Z221

)k310 − ν

(Z2

02 − κ0Z212

)k301

]−[

ν2D1/233τ0 − d

1/2τc

][(Z2

10 − κ0Z220

)k3 − µ

(Z2

20 − κ0Z230

)k310 − ν

(Z2

11 − κ0Z221

)k301

]). (4.5.15)

59


4.5.3 Integracao da Energia Elastica

A energia de deformacao elastica de um elemento helicoidal sera denominada EE, e em

uma configuracao P sera obtida integrando-se a energia de deformacao tridimensional no

volume do elemento:

EE =

∫P

ρ∗Σ∗ dv = ρ∗0D1/233

∫P

(1− θ1κ0

)Σ∗ dθ1dθ2dθ3 , (4.5.16)

onde utilizamos as definicoes de dv (2.2.7) e G1/2 (4.2.26), a propriedade (4.5.1) e a hipotese

de homogeneidade do material do elemento. Desta maneira, integrando-se no volume do

elemento a expressao para a energia do modelo Mooney-Rivlin (4.3.6), poderemos escrever

EE

ρ∗0D1/233

= A0α0

(K1

[|dα|2 − 3

]+K2

[|d1|2 |d2|2 − 3

])+

D−133

[K1 +K2 |dα|2

](∫ ξ2

ξ1

[∫A0

|h|2 da− κ0∫A0

|h|2 θ1 da]dθ3

)−

K2D−133

(∫ ξ2

ξ1

[∫A0

(dα ·h)2 da− κ0∫A0

(dα ·h)2 θ1 da

]dθ3

). (4.5.17)

Com a ajuda dos resultados (4.4.45), poderemos escrever

(d1 ·h)2 =

[µ2D

1/233τ0 − d1/2τc

(1− θ1κ0)

]2(θ2)2 , (4.5.18)

(d2 ·h)2 =

[ν2D

1/233τ0 − d1/2τc

(1− θ1κ0)

]2(θ1)2 . (4.5.19)

Com estes resultados e a definicao de Zjmn (4.4.35), poderemos ainda escrever∫

A0

(d1 ·h)2 da =[µ2D

1/233τ0 − d

1/2τc

]2Z2

02 , (4.5.20)

∫A0

(d2 ·h)2 da =[ν2D

1/233τ0 − d

1/2τc

]2Z2

20 , (4.5.21)

∫A0

(d1 ·h)2 θ1 da =[µ2D

1/233τ0 − d

1/2τc

]2Z2

12 , (4.5.22)

∫A0

(d2 ·h)2 θ1 da =[ν2D

1/233τ0 − d

1/2τc

]2Z2

30 . (4.5.23)

Com os resultados acima e os resultados (4.4.43) e (4.4.44) substituıdos em (4.5.17) e

60


alguma reorganizacao, chegaremos a seguinte expressao:

EE

ρ∗0D1/233

= A0α0

(K1

[|dα|2 − 3

]+K2

[|d1|2 |d2|2 − 3

])+

D−133

[K1 +K2 |dα|2

]([D

1/233τ0 − µ−2d

1/2τc

]2µ2α0

[Z2

02 − κ0Z212

]+[

D1/233τ0 − ν−2d

1/2τc

]2ν2α0

[Z2

20 − κ0Z230

]+[

α0

(Z2 − κ0Z2

10

)+ µ2

(Z2

20 − κ0Z230

)∫ ξ2

ξ1

κ21 dθ3 +

ν2(Z2

02 − κ0Z212

)∫ ξ2

ξ1

κ22 dθ3 − 2µ

(Z2

10 − κ0Z220

)∫ ξ2

ξ1

κ1 dθ3 −

2ν(Z2

01 − κ0Z211

)∫ ξ2

ξ1

κ2 dθ3 + µν

(Z2

11 − κ0Z221

)∫ ξ2

ξ1

κ1κ2 dθ3]d33

)−

K2α0

D33

([µ2D

1/233τ0 − d

1/2τc

]2[Z2

02 − κ0Z212

]+[ν2D

1/233τ0 − d

1/2τc

]2[Z2

20 − κ0Z230

]). (4.5.24)

Definiremos β′3 como a taxa de variacao do angulo β (entre os vetores p e d1) por unidade

de θ3 e que possui as seguintes relacoes:

β′3 = β′3(t) =β(ξ2, t)− β(ξ1, t)

α0

, β′3 = d1/233β′s . (4.5.25)

A partir da expressao acima e de (4.2.55) e (4.2.56), considerando-se que β′3 6= 0, podere-

mos escrever ∫ ξ2

ξ1

κ1 dθ3 = κ

∫ ξ2

ξ1

cosβ dθ3 = κsinβ

β′3

∣∣∣ξ2ξ1

=κ2β′3

∣∣∣ξ2ξ1, (4.5.26)

∫ ξ2

ξ1

κ2 dθ3 = κ

∫ ξ2

ξ1

sinβ dθ3 = −κcosβ

β′3

∣∣∣ξ2ξ1

= −κ1β′3

∣∣∣ξ2ξ1, (4.5.27)

∫ ξ2

ξ1

κ21 dθ3 = κ2

∫ ξ2

ξ1

cos2β dθ3 = κ2β + sinβ cosβ

2β′3

∣∣∣ξ2ξ1

=β + κ1κ2

2β′3

∣∣∣ξ2ξ1, (4.5.28)

∫ ξ2

ξ1

κ22 dθ3 = κ2

∫ ξ2

ξ1

sin2β dθ3 = κ2β − sinβ cosβ

2β′3

∣∣∣ξ2ξ1

=β − κ1κ2

2β′3

∣∣∣ξ2ξ1, (4.5.29)

∫ ξ2

ξ1

κ1κ2 dθ3 = κ2

∫ ξ2

ξ1

cosβ sinβ dθ3 = κ2sin2β − cos2β

4β′3

∣∣∣ξ2ξ1

=κ22 − κ21

4β′3

∣∣∣ξ2ξ1, (4.5.30)

61


que substituiremos em (4.5.24) para obter a expressao especializada para a energia de

Mooney-Rivlin do elemento helicoidal:

EE

ρ∗0D1/233

= A0α0

(K1

[|dα|2 − 3

]+K2

[|d1|2 |d2|2 − 3

])+

D−133

[K1 +K2 |dα|2

]([D

1/233τ0 − µ−2d

1/2τc

]2µ2α0

[Z2

02 − κ0Z212

]+[

D1/233τ0 − ν−2d

1/2τc

]2ν2α0

[Z2

20 − κ0Z230

]+[

α0

(Z2 − κ0Z2

10

)+

µ2

2β′3

(Z2

20 − κ0Z230

)[β + κ1κ2

]ξ2ξ1

+

ν2

2β′3

(Z2

02 − κ0Z212

)[β − κ1κ2

]ξ2ξ1− 2

µ

β′3

(Z2

10 − κ0Z220

)κ2∣∣ξ2ξ1

+

2ν

β′3

(Z2

01 − κ0Z211

)κ1∣∣ξ2ξ1

+µν

4β′3

(Z2

11 − κ0Z221

)[κ22 − κ21

]ξ2ξ1

]d33

)−

K2α0

D33

([µ2D

1/233τ0 − d

1/2τc

]2[Z2

02 − κ0Z212

]+[ν2D

1/233τ0 − d

1/2τc

]2[Z2

20 − κ0Z230

]). (4.5.31)

No caso especial de β′3 = 0 teremos κ1 e κ2 constantes, e as integrais (4.5.26) a (4.5.30)

terao as formas ∫ ξ2

ξ1

κ1 dθ3 = α0κ1 ,

∫ ξ2

ξ1

κ2 dθ3 = α0κ2 , (4.5.32)

∫ ξ2

ξ1

κ21 dθ3 = α0κ

21 ,

∫ ξ2

ξ1

κ22 dθ3 = α0κ

22 , (4.5.33)

∫ ξ2

ξ1

κ1κ2 dθ3 = α0κ1κ2 , (4.5.34)

e a energia de deformacao elastica do elemento sera escrita

EE

ρ∗0D1/233

= A0α0

(K1

[|dα|2 − 3

]+K2

[|d1|2 |d2|2 − 3

])+

D−133 α0

[K1 +K2 |dα|2

]([D

1/233τ0 − µ−2d

1/2τc

]2µ2[Z2

02 − κ0Z212

]+[

D1/233τ0 − ν−2d

1/2τc

]2ν2[Z2

20 − κ0Z230

]+[(Z2 − κ0Z2

10

)+ µ2κ21

(Z2

20 − κ0Z230

)+

ν2κ22(Z2

02−κ0Z212

)−2µκ1

(Z2

10−κ0Z220

)−2νκ2

(Z2

01−κ0Z211

)+µνκ1κ2

(Z2

11−κ0Z221

)]d33

)−

K2α0

D33

([µ2D

1/233τ0 − d

1/2τc

]2[Z2

02 − κ0Z212

]+[ν2D

1/233τ0 − d

1/2τc

]2[Z2

20 − κ0Z230

]). (4.5.35)

62

Capıtulo Cinco

Aplicacao: Um Procedimento Numerico

5.1 Introducao

Neste capıtulo desenvolveremos um procedimento numerico para resolver um problema

especıfico, com a intencao de demonstrar o uso do elemento helicoidal desenvolvido no

capıtulo anterior. Uma vez desenvolvido, o procedimento sera utilizado para pegarmos

uma viga homogenea e inicialmente curva e modelarmos como uma sequencia de elemen-

tos helicoidais, e assim simularemos deformacoes elasticas nesta viga. Embora empregado

na simulacao de uma viga especıfica, este procedimento podera ser generalizado para a

simulacao de uma grande variedade de vigas, necessitando para isto que sejam introduzi-

dos rotinas para adaptar o procedimento para casos em que as curvas de referencia das

vigas apresentam trechos retos ou pontos de inflexao.

Dada a geometria da configuracao de referencia de uma viga, esta configuracao repre-

sentara um estado em que a energia de deformacao elastica desta viga e nula e a sua

energia potencial gravitacional e qualquer numero real. As deformacoes elasticas a se-

rem simuladas nesta viga serao resultantes da prescricao de deslocamentos numa de suas

extremidades enquanto mantemos a extremidade oposta fixa e da atuacao de uma forca

gravitacional sobre a viga, cabendo-nos utilizar o procedimento numerico para determinar

a nova configuracao desta, ou seja, a deformacao e a nova posicao de cada elemento que

a constitui. Destacamos que nesta nova configuracao a viga se encontrara em equilıbrio

estatico e alem da energia potencial gravitacional ela possuira alguma energia de de-

formacao elastica armazenada.

Partiremos de alguns princıpios para obter numericamente a configuracao de equilıbrio

estatico de uma viga curva:

1. No equilıbrio estatico da viga cada elemento individualmente tambem estara em

equilıbrio e tera associada a si uma energia de deformacao e uma energia potencial

gravitacional;

2. O somatorio das energias de deformacao elastica de todos os elementos determinara

a energia de deformacao elastica da viga, e o somatorio das energias potenciais

gravitacionais de todos os elementos determinara a energia potencial gravitacional

da viga;

3. A energia total da viga e a soma da sua energia de deformacao elastica com a sua

energia potencial gravitacional;

4. Prescritos o deslocamento e nova orientacao dos vetores diretores num ponto extremo

da curva de referencia da viga, a configuracao de equilıbrio estatico relacionada a esta

63

Capıtulo Cinco 5.2. A Viga

prescricao e aquela, dentre as infinitas configuracoes possıveis para esta prescricao,

na qual a energia total da viga e a menor.

5.2 A Viga

Nesta secao apresentaremos a viga especıfica que utilizaremos no exemplo de aplicacao

do modelo. A viga sera dada como uma haste curva, construıda de material que con-

x

y

x

z

Figura 5.1: Vista do modelo CAD da viga utilizada como exemplo. A esquerda, vista do planoxy. A direita, vista do plano xz.

sideraremos incompressıvel e homogeneo, de densidade ρ∗ conhecida, com secao circular

constante ao longo de seu comprimento. Na configuracao de referencia, as coordenadas

-50

-25

0

25

50 -50

-25

0

25

50

0

25

50

x y

z 10

20

30

40

50

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

R

θ3

Figura 5.2: Vista da curva de referencia da viga dada pela equacao (5.2.1). A esquerda, projecaoda curva em coordenadas polares no plano xy. A direita, vista espacial da mesma curva.

64

Capıtulo Cinco 5.3. Discretizacao

dos pontos pertencentes a curva de referencia desta viga serao dadas atraves da equacao

X(θ3) =

[R(θ3) cos θ3 R(θ3) sin θ3

θ3

4π

], 0 ≤ θ3 ≤ 3π

2, (5.2.1)

com R dado por

R(θ3) =1

2− θ3

4π. (5.2.2)

As grandezas X e R serao dadas em metros (m), θ3 sera dado em radianos, e o aspecto

da curva de referencia pode ser observado na figura 5.2.

Este formato de viga nos permitira a analise do comportamento do modelo em funcao da

variacao do raio de curvatura ao longo do comprimento da viga. Iremos tambem medir

o comportamento do modelo em funcao do valor do diametro da secao da viga. Tambem

devido a simplicidade da geometria da viga, nao precisaremos nos preocupar com pontos

de inflexao e se limitarmos os deslocamentos da extremidade livre da viga tambem nao

precisaremos nos preocupar em lidar com inversoes de curvatura, dispensando-nos de

preparar o procedimento numerico para estes casos.

5.3 Discretizacao

Para que possamos medir a energia total e as tensoes agindo sobre os elementos da viga,

precisaremos descrever a posicao e a deformacao de cada elemento desta. Entao se faz

necessario que a divisao da viga em elementos helicoidais se de na configuracao de re-

ferencia. A quantidade de elementos em que uma viga pode ser dividida e a princıpio um

1

n

n – 1

n + 1

N + 1

23

NN – 1

Figura 5.3: Nos e trıades de vetores diretores di sobrepostos na curva de referencia da viga.

65


numero arbitrario, porem, e certo que quanto mais elementos tivermos em um modelo de

viga (discretizacao mais refinada), maior sera a correspondencia do modelo discretizado

com a viga real, e maiores tambem serao os recursos computacionais consumidos durante

os calculos. Por outro lado, quanto menor a quantidade de elementos (discretizacao mais

grosseira), mais precaria sera a correspondencia do modelo com a curva de referencia da

viga real, e menores os recursos computacionais consumidos durante os calculos. Na ver-

dade, a quantidade de elementos que um modelo deve ter e uma preocupacao intrınseca

a qualquer metodo que usa elementos finitos para descrever um contınuo, mas nao discu-

tiremos neste trabalho a quantidade ideal de elementos em que deverıamos dividir a viga

que utilizaremos como exemplo.

Utilizando um metodo arbitrario, na configuracao de referencia da viga descrita na secao

5.2, criaremos N+1 pontos cujas coordenadas em relacao a um sistema fixo sejam distintas

entre si e incidam sobre a curva de referencia desta viga. Faremos isso de modo que ao

final exista um ponto em cada extremidade desta curva, e cada ponto assim criado sera

chamado individualmente de no. Rotularemos os nos sequencialmente de 1 a N+1, ao

longo da curva de referencia, dividindo-se assim esta curva em N segmentos que serao

representados no modelo de viga por elementos helicoidais rotulados sequencialmente de

1 a N , que por sua vez podem ter comprimentos de curva, raios de helice e inclinacoes de

helice diferentes entre si. Para nos referirmos a grandezas relacionadas a um elemento ou

no especıfico, utilizaremos o rotulo de tal elemento subscrito ou sobrescrito nessas gran-

dezas. Tal subscrito ou sobrescrito podera ser um numero ou uma expressao numerica

que resulte no numero do rotulo do no a que a grandeza se refere, porem podemos nos

abster de utilizar os rotulos em grandezas relacionadas a um no ou elemento arbitrario n.

Alem dos elementos e dos nos, o modelo da viga tera um conjunto finito de trıades de

vetores diretores nDi e ndi, em sua configuracao de referencia e num instante t qualquer,

respectivamente, com n = 1, . . . , N+1 indicando o no onde a origem da trıade se encon-

tra. As orientacoes dos vetores 1D3 e N+1D3 serao obtidas a partir da viga original, na

configuracao de referencia. Embora com suas magnitudes ainda por definir, sabemos que

os vetores 1D3 e N+1D3 serao colineares aos vetores normais as superfıcies que definem as

respectivas extremidades da viga, e que tambem serao tangentes a curva de referencia da

viga, respectivamente, no no 1 e no no N+1. As orientacoes dos vetores 1di serao iguais

as orientacoes originais de 1Di, assim como as coordenadas do no 1 serao mantidas fi-

xas, pois consideraremos esta extremidade como engastada. Ja as orientacoes dos vetoresN+1di serao prescritas, assim como as coordenadas do no N+1, como parte da simulacao

da deformacao da viga. Na viga deformada as orientacoes de todas as outras trıades

de vetores diretores dos outros nos serao variaveis do problema, porem sera garantida a

ortogonalidade e a regra da mao direita entre os vetores de cada trıade.

Um dado elemento rotulado como n compartilhara com os elementos vizinhos n−1 e n+1

os nos n e n+1, respectivamente, e estes nos limitarao o elemento como extremidades de

sua curva de referencia (ver figura 5.3).

Mais adiante descreveremos o procedimento que usaremos para atribuir a um elemento

66


n os valores da sua curvatura κ e torcao τ , partindo das coordenadas dos nos e das

orientacoes das trıades localizadas nos nos n e n+1 nas suas extremidades, porem, por

conveniencia, definiremos a seguir como serao medidas as orientacoes das trıades de veto-

res diretores.

5.3.1 Orientacao das Trıades de Vetores Diretores

Descreveremos a orientacao das trıades no espaco atraves de angulos de Euler [KUIPERS,

1998] na sequencia ZYX, ou sequencia aeroespacial. No caso dos vetores diretores di,

aplicaremos primeiro uma rotacao de magnitude ϕ1 = ϕ1(t) em torno do eixo d3, depois

uma rotacao de magnitude ϕ2 = ϕ2(t) em torno do novo eixo d2, e, por fim, uma rotacao

de magnitude ϕ3 = ϕ3(t) em torno do novo eixo d1. As grandezas ϕ1, ϕ2 e ϕ3 serao os

angulos de Euler dados em radianos. Utilizaremos uma matriz R = R(t) para transformar

os vetores de uma trıade constante d0i , dada por

d01 =

1

0

0

, d02 =

0

1

0

, e d03 =

0

0

d1/233

, (5.3.1)

em uma trıade di = di(t) parametrizada com os angulos de Euler ϕi. Esta matriz sera

escrita da forma

R =

cosϕ1 cosϕ2

(cosϕ1 sinϕ2 sinϕ3 −

sinϕ1 cosϕ3

) (cosϕ1 sinϕ2 cosϕ3 +

sinϕ1 sinϕ3

)

sinϕ1 cosϕ2

(sinϕ1 sinϕ2 sinϕ3 +

cosϕ1 cosϕ3

) (sinϕ1 sinϕ2 cosϕ3 −

cosϕ1 sinϕ3

)

− sinϕ2 cosϕ2 sinϕ3 cosϕ2 cosϕ3

, (5.3.2)

obtida compondo-se as matrizes de rotacao em torno dos eixos coordenados d0i , na sequencia

i = 3, 2, 1. As componentes dos vetores di em relacao ao sistema de coordenadas global

serao obtidas efetuando-se o produto

di = Rd0i . (5.3.3)

Por outro lado, se quisermos obter os angulos ϕi a partir das componentes (dix, diy, diz)

dos vetores de uma trıade posicionada no espaco, poderemos utilizar o produto acima

para extrair expressoes tais como

d1z = − sinϕ2 , d1x = cosϕ1 cosϕ2 , d2z = cosϕ2 sinϕ3 .

67


Ainda podemos reescrever estas expressoes como

ϕ2 = arcsin (−d1z) , −π2≤ ϕ2 ≤ π

2, (5.3.4)

ϕ1 = arccos

(d1x

cosϕ2

), 0 ≤ ϕ1 < 2π , (5.3.5)

ϕ3 = arcsin

(d2z

cosϕ2

), 0 ≤ ϕ3 < 2π . (5.3.6)

Podemos entao encontrar o valor de ϕ2 pela primeira expressao acima e substituir o

resultado nas demais para encontrar os angulos restantes. Os limites para os valores

desses angulos nos garantem o mapeamento um-para-um entre ϕi e o grupo das rotacoes

tridimensionais SO(3).

5.3.2 Obtencao da Geometria do Elemento Helicoidal

Definimos os vetores Xn e xn, n = 1, . . . , N+1, como os vetores que determinam a posicao

conhecida de cada no n da viga, respectivamente, em sua configuracao de referencia e em

um instante t qualquer. Definimos tambem os vetores unitarios (veja a figura 5.4) En e

o

n

n+1

xn

xn+1

xn+1 – xn

n–1

xn – xn–1

xn–1

Cn-1

Cnên–1

ên

Figura 5.4: Ilustracao do metodo de definicao dos vetores en.

en, n = 1, . . . , N , da forma

En =Xn+1 −Xn

Ln, en =

xn+1 − xnln

, (5.3.7)

68


onde Ln e a distancia entre os nos n e n+1 na configuracao de referencia, e ln e a distancia

entre estes mesmos nos num instante t. Estas distancias tem seus valores dados por

Ln = |Xn+1 −Xn| , ln = |xn+1 − xn| . (5.3.8)

Utilizaremos estas distancias nodais Ln e ln para aproximar, respectivamente, os compri-

mentos dos segmentos das curvas nC0 e nC correspondentes a um elemento arbitrario n.

0

n+1

nD1

n–1Ên–1

Ên

Ên– Ên–1

n

nα∗

Ên+ Ên–1nD3

Figura 5.5: Ilustracao do metodo de definicao dos vetores nD1 e nD3.

Os vetores unitarios normais as superfıcies das extremidades da viga serao conhecidos e

denominados Nα e n2, na configuracao de referencia e num instante t, respectivamente,

sendo N1 referente a extremidade do no 1, e N2 e n2 referentes a extremidade do no N+1,

estes vetores serao direcionados no sentido a apontar de dentro para fora da viga, nas

respectivas superfıcies.

Neste contexto, observando-se a figura 5.5, para n = 2, . . . , N , definimos o angulo nα∗0como o angulo entre os vetores En e En−1, e o angulo nα∗ como o angulo entre os vetores

en e en−1, e estes angulos serao dados pelas expressoes

nα∗0 = arccos(En−1 · En

)nα∗ = arccos

(en−1 · en

). (5.3.9)

Para n = 1 e n = N+1, estes angulos serao dados por (ver figura 5.6)

1α∗0 = 2 arccos(−N1 · E1

), 1α∗ = 2 arccos

(−N1 · e1

), (5.3.10)

N+1α∗0 = 2 arccos(EN · N2

), N+1α∗ = 2 arccos

(eN · n2

). (5.3.11)

69


N1

2

3

n=1

Ê1

Ê2

1D3

1D1 1α∗/20

Figura 5.6: Ilustracao do metodo de definicao dos vetores 1D1 e 1D3.

Com a ajuda destas definicoes, a trıade nDi com a origem em um no n = 2, . . . , N sera

dada por

nD1 =En − En−1

2 sin (α∗0/2), (5.3.12)

nD2 =En−1×En

sinα∗0, (5.3.13)

nD3 = nD1/233

nD3 , (5.3.14)

onde nD3 e o vetor unitario tangente a curva de referencia, dado por

nD3 = nD1×nD2 . (5.3.15)

Com o auxılio dos vetores unitarios normais, os vetores 1D3 e N+1D3 serao entao definidos

da forma

1D3 = −1D1/233 N1 , (5.3.16)

N+1D3 = N+1D1/233 N2 . (5.3.17)

70


Observando a figura 5.6, a partir dos vetores Nα e En, podemos deduzir as seguintes

formas para os vetores 1Dα e N+1Dα

1D1 =E1 + cos (α∗0/2) N1

sin (α∗0/2), N+1D1 =

cos (α∗0/2) N2 − EN

sin (α∗0/2), (5.3.18)

1D2 = 1D1×N1 ,N+1D2 = N2×N+1D1 , (5.3.19)

Os vetores 1dα serao constantes e identicos a 1Dα, devido a condicao de engaste desta

extremidade e por µ e ν serem iguais a unidade. A orientacao dos vetores N+1di sera

prescrita de forma a simular uma deformacao na viga, respeitando-se a ortogonalidade

entre eles. Por sua vez, os vetores ndi, n = 2, . . . , N , serao obtidos transformando-se os

vetores d0i atraves de (5.3.3), com R (5.3.2) parametrizado de acordo com os angulos de

Euler ϕin correspondentes. Por fim, o vetor normal principal p (4.2.36) e o vetor binormal

b (4.2.37) serao definidos nos nos n = 2, . . . , N da forma

np =en − en−1

2 sin (α∗/2), (5.3.20)

nb =en−1×en

sinα∗, (5.3.21)

e nos nos n = 1 e n = N+1 da forma

1p =e1 + cos (α∗/2) N1

sin (α∗/2), N+1p =

cos (α∗/2) n2 − eNsin (α∗/2)

, (5.3.22)

1b = 1p×N1 ,N+1b = n2×N+1p . (5.3.23)

Nota-se que usamos um asterisco nos valores α∗0 e α∗ com a intencao de caracteriza-los

como valores nodais, diferenciando-os de α0 e α, que usaremos para representar os valores

dos angulos centrais dos elementos helicoidais, valores estes definidos na secao 4.2. Os

angulos centrais dependem diretamente do comprimento, curvatura e torcao do elemento.

Estas duas ultimas grandezas serao calculadas a seguir.

Para calcular a curvatura κ0 de um elemento n em sua configuracao de referencia, usaremos

uma forma aproximada linearizada da expressao (4.2.22):

∆D3

Ln= κ0 D1 , (5.3.24)

onde utilizamos (5.3.14) e a definicao abaixo para o vetor D1 medio do elemento

D1 =n+1D1 + nD1

|n+1D1 + nD1|, (5.3.25)

71


e ainda a definicao da diferenca entre os vetores D3 dos nos nas extremidades do elemento:

∆D3 = n+1D3 − nD3 . (5.3.26)

Se efetuarmos o produto interno dos dois lados de (5.3.24) por D1 e reorganizarmos,

teremos

κ0 =1

Ln∆D3 ·D1 . (5.3.27)

Similarmente, a partir da expressao (4.2.50), chegaremos as expressoes

κ =1

ln∆d3 ·p , p =

n+1p + np

|n+1p + np|, ∆d3 = n+1d3 − nd3 , (5.3.28)

onde

d3 = d1×d2 . (5.3.29)

As componentes κ1 e κ2 definidas em (4.2.53) serao simplificadas e calculadas como gran-

dezas nodais, de forma que em um no n:

κ1 = κ∗ p ·d1 , κ2 = κ∗ p ·d2 , (5.3.30)

onde a grandeza κ∗ e a curvatura nodal, referente a um no n, definida por

κ∗ =2

l∗nsin

α∗

2, (5.3.31)

onde α∗ e o angulo definido em (5.3.9), (5.3.10) e (5.3.11) e l∗n e a distancia nodal media

em torno do no n. Quando n = 2, . . . , N , esta distancia sera dada por

l∗n =ln−1 + ln

2, (5.3.32)

e quando n = 1 e n = N+1, l∗n sera igual ao comprimento do unico elemento conectado

ao no:

l∗1 = l1 , l∗N+1 = lN , (5.3.33)

com ln dado por (5.3.8). Neste no n, o angulo β (4.2.55) entre os vetores np e nd1 sera

dado por:

β = arccos(κ1κ∗

). (5.3.34)

A expressao (5.3.31) para a curvatura κ∗ foi deduzida a partir da figura 5.7, adaptada de

[GReGOIRE, 2007, pg. 32], onde aproveitamos a semelhanca entre triangulos e a relacao

entre hipotenusa e cateto oposto num triangulo retangulo. Seguimos com a definicao

da geometria do elemento, definindo a taxa β′3 (4.5.25) como uma grandeza relativa ao

elemento n, constante ao longo deste elemento e calculada da forma:

β′3 =n+1β − nβ

α0

. (5.3.35)

72


nL

*

2nL

1nL −

*nL

*nL

*

2nL

*1nκ

o

nα∗

n–1

n

n+1

nα∗/2

Figura 5.7: Esquema para obtencao da curvatura nodal κ∗, adaptado de [GReGOIRE, 2007, pg.32].

Formas aproximadas linearizadas para as expressoes (4.2.21) e (4.2.49), com µ = ν = 1,

podem ser escritas da forma

∆D2

Ln= −τ0D1 ,

∆b

ln= −τp , (5.3.36)

com D1 e p definidos em (5.3.27) e (5.3.28), respectivamente, e com ∆D2 e ∆b dados por

∆D2 = n+1D2 − nD2 , e ∆b = n+1b− nb . (5.3.37)

Se fizermos o produto interno dos dois lados das expressoes em (5.3.36) por D1 e p,

respectivamente, teremos

τ0 = − 1

Ln∆D2 ·D1 , (5.3.38)

τ = − 1

ln∆b ·p . (5.3.39)

Combinaremos as expressoes (4.2.18) com (4.2.19) e (4.2.8), e (4.2.46) com (4.2.47), e

73


obteremos o raio de curvatura e inclinacao da helice em funcao da curvatura e torcao

R =κ0

κ20 + τ 20, I =

τ0κ20 + τ 20

, (5.3.40)

r =κ

κ2 + τ 2, i =

τ

κ2 + τ 2, (5.3.41)

nos permitindo ainda reescrever a grandeza D33 (4.2.8) em funcao da curvatura e torcao:

D33 = R2 + I2 =1

κ20 + τ 20. (5.3.42)

Com este resultado e a expressao (4.2.7), obteremos o angulo central do elemento helicoidal

na configuracao de referencia tambem em funcao da curvatura e torcao:

α0 = D−1/233 Ln = Ln

[κ20 + τ 20

]1/2, (5.3.43)

que usaremos juntamente com (4.2.34) para escrever

d33 =

[lnα0

]2=

l2nL2n (κ20 + τ 20 )

, (5.3.44)

que por sua vez sera utilizado em (4.2.35), juntamente com as expressoes para r e i

(5.3.41), com o objetivo de encontrar uma expressao para o angulo central α, em um

instante t: [lnα0

]2=

[α

α0

]2(1

κ2 + τ 2

),

α = ln[κ2 + τ 2

]1/2, (5.3.45)

onde utilizamos a definicao da razao φ (4.2.29). Utilizaremos as definicoes para D33 e d33

acima nas expressoes (5.3.14) e (5.3.1), respectivamente, completando as definicoes dos

vetores nD3 e nd3. Por fim, as inercias Zjmn (4.4.35), com j = 0, . . . , 2, m = 0, . . . , 3 e

n = 0, . . . , 2, serao determinadas para cada elemento por integracao numerica, utilizando

o metodo Newton-Cotes [HOFFMAN, 2001] com a regra do trapezoide.

Com as definicoes acima temos a geometria necessaria para determinar o equilıbrio e a

energia dos elementos do modelo da viga.

5.3.3 Equilıbrio Estatico do Elemento Helicoidal

Neste trabalho utilizaremos um metodo de otimizacao para minimizar a energia total da

viga. Em termos de metodos de otimizacao, teremos uma funcao objetivo cujas variaveis

serao as coordenadas dos nos e os angulos ϕi nao prescritos, que determinam respectiva-

74


mente as origens e orientacoes das trıades da viga. O valor desta funcao sera um numero

real associado a energia total e ao equilıbrio da viga. Os valores iniciais das coordena-

das e dos ϕi serao aqueles relativos a configuracao de referencia ou resultantes de uma

solucao imediatamente anterior. A cada iteracao, a partir dos novos valores obtidos para

as variaveis da funcao objetivo, determinaremos os valores das grandezas t3 e mα nas

extremidades dos elementos com as expressoes (4.4.60), (4.4.61) e (4.4.62), e determina-

remos tambem a energia total desses elementos com a expressao (4.5.24).

Tambem utilizaremos as expressoes de conservacao em conjunto com as equacoes cons-

titutivas para formar um sistema de equacoes nao-lineares que resolveremos para obter

as coordenadas dos nos e os ϕi da viga em equilıbrio. Mostraremos aqui as formas que

tomam as expressoes da conservacao do impulso e da conservacao dos momentos dos ve-

tores diretores para o caso especial da viga que iremos simular.

Consideraremos apenas as energias de deformacao elastica e potencial gravitacional, o que

exclui a energia cinetica, e consideraremos que os elementos que compoem a viga tem as

propriedades:

1. Em relacao ao sistema fixo escolhido, os elementos terao velocidade nula;

2. Os elementos se encontram em equilıbrio;

3. Os elementos estarao isentos de forcas de contato;

4. A forca da gravidade e a unica forca de corpo a atuar, e de forma homogenea, sobre

os elementos.

A incompressibilidade do material da viga e representada por J = 1 (2.2.24), e a ine-

xistencia de deformacao da secao transversal significa µ = ν = 1, o que requer que o

elemento de comprimento da curva de referencia seja constante: ds = dS (3.2.28, 4.2.15,

4.2.40 e 3.3.6), assim como a densidade ρ da teoria de Cosserat, como pode ser visto em

(3.3.5). Assim as expressoes para o vetor tensao t3 (4.4.60) e para os vetores mα (4.4.61,

4.4.62) podem ser simplificadas da forma

t3 = 2ρ∗0 D−1/233

[[K1 + 2K2

]([D

1/233τ0 − d

1/2τc

] [Z01 d1 − Z10 d2

]+

[Z − κ1Z10 − κ2Z01

]d3

)+K2 dα

([D

1/233τ0 − d

1/2τc

] [Z01 − Z10

])], (5.3.46)

m1 = 2ρ∗0 D−1/233

[[K1 + 2K2

]([D

1/233τ0 − d

1/2τc

] [Z11 d1 − Z20 d2

]+

[Z10 − κ1Z20 − κ2Z11

]d3

)+K2 dα

([D

1/233τ0 − d

1/2τc

] [Z11 − Z20

])], (5.3.47)

75


m2 = 2ρ∗0 D−1/233

[[K1 + 2K2

]([D

1/233τ0 − d

1/2τc

] [Z02 d1 − Z11 d2

]+

[Z01 − κ1Z11 − κ2Z02

]d3

)+K2 dα

([D

1/233τ0 − d

1/2τc

] [Z02 − Z11

])]. (5.3.48)

Se observarmos (3.3.11), deduziremos que a forma global (pois d33 e D33 sao propriedades

globais do elemento helicoidal) da lei de conservacao da massa do elemento reduz-se entao

a exigencia

d33 = D33 . (5.3.49)

Com a definicao para a massa do elemento (4.5.3), a definicao para a resultante de uma

forca de corpo homogenea (4.5.6), e pelas propriedades acima, a lei de conservacao do

impulso em sua forma global (3.3.31) sera reduzida a

0 = M c∗ + t3∣∣ξ2ξ1, ou t31 − t32 = M c∗ , (5.3.50)

onde t31 = t3(0) e o vetor forca atuando no elemento n, na extremidade do no n, e

t32 = t3(α0) e o vetor forca atuando no mesmo elemento n, porem na extremidade do no

n+1. Estes vetores serao calculados com a expressao (4.4.60). Por sua vez, c∗ e o vetor

aceleracao da gravidade, dado em metros por segundo ao quadrado (m/s2) e definido por

c∗ =[0 0 −9.81

]. (5.3.51)

Utilizando a expressao (4.5.12) para o momento especıfico de uma forca de corpo ho-

mogenea agindo sobre o elemento, e com as propriedades do elemento listadas no inıcio

desta secao, a forma global da conservacao dos momentos dos vetores diretores (3.3.57)

em nosso modelo sera escrita

0 = yαM c∗ −∫ ξ2

ξ1

tα dθ3 + mα∣∣ξ2ξ1. (5.3.52)

A inercia y2 (4.5.5) e nula para a secao da viga que estamos modelando, entao poderemos

reescrever a expressao acima da forma

m12 −m1

1 =

∫ α0

0

t1 dθ3 − y1M c∗ , (5.3.53)

m22 −m2

1 =

∫ α0

0

t2 dθ3 , (5.3.54)

com a inercia y1 determinada a partir do momento de inercia da area circular do elemento:

y1 = − κ0A0

I22 = − κ0A0

πR4

4. (5.3.55)

76


Com estas expressoes e com (4.4.61) e (4.4.62) para os valores de mα1 = mα(0) e mα

2 =

mα(α0), nos nos n e n+1, respectivamente, encontraremos os valores das integrais contendo

tα. Estas integrais serao uteis na definicao do equilıbrio da viga.

5.3.4 Energia Total do Elemento Helicoidal

Para os fins de simular a deformacao da viga em equilıbrio estatico, a energia total de um

elemento helicoidal, representada pela variavel ET , num instante t, sera a soma da sua

energia potencial gravitacional com a sua energia de deformacao elastica, representadas

respectivamente pelas variaveis EG e EE. Isto esta declarado na relacao

ET = EG + EE . (5.3.56)

Na configuracao de referencia o elemento tera energia de deformacao nula, e sua energia

total sera a energia potencial gravitacional:

E 0T = E 0

G . (5.3.57)

A energia potencial gravitacional de um elemento n sera dada em Joules (J) e definida da

forma classica, como

E 0G = M c∗ ·X , EG = M c∗ ·x , (5.3.58)

onde M e a massa do elemento, em quilogramas (kg), definida por (4.5.3), e X e x sao as

coordenadas do centro de gravidade do elemento n, aproximadas pelo ponto medio nodal

do elemento, tais que

X =Xn+1 −Xn

2, e x =

xn+1 − xn2

, (5.3.59)

onde X refere-se a configuracao de referencia.

A energia de deformacao elastica sera dada tambem em Joules pelas expressoes (4.5.31)

e (4.5.35). Porem, devido as restricoes a deformacao da secao transversal e a incom-

pressibilidade do material, estas expressoes podemesta expressao pode ser simplificadas e

77

Capıtulo Cinco 5.4. Equilıbrio estatico da Viga

reescritas da forma

EE

ρ∗0D1/233

= −A0α0

[K1 + 2K2

]+

D−133 α0

[K1 +K2

] [D

1/233τ0 − d

1/2τc

]2(Z2

02 + Z220 − κ0

[Z2

12 + Z230

])+

D−133

d33

β′3

[K1 + 2K2

](α0

[Z2 − κ0Z2

10

]+

1

2

[Z2

20 − κ0Z230

][β + κ1κ2

]ξ2ξ1

+

1

2

[Z2

02 − κ0Z212

][β − κ1κ2

]ξ2ξ1− 2[Z2

10 − κ0Z220

]κ2∣∣ξ2ξ1

+

2[Z2

01 − κ0Z211

]κ1∣∣ξ2ξ1

+1

4

[Z2

11 − κ0Z221

][κ22 − κ21

]ξ2ξ1

), (5.3.60)

quando β′3 6= 0, ou

EE

ρ∗0D1/233

= −A0α0

[K1 + 2K2

]+

D−133 α0

[K1 +K2

] [D

1/233τ0 − d

1/2τc

]2(Z2

02 + Z220 − κ0

[Z2

12 + Z230

])+

D−133 α0

[K1 + 2K2

](Z2 − κ0Z2

10 + κ21

[Z2

20 − κ0Z230

]+ κ22

[Z2

02 − κ0Z212

]−

2κ1

[Z2

10 − κ0Z220

]− 2κ2

[Z2

01 − κ0Z211

]+ κ1κ2

[Z2

11 − κ0Z221

])d33 , (5.3.61)

para os elementos que tem o valor β′3 proximos de zero.

5.4 Equilıbrio estatico da Viga

No nosso modelo, para considerarmos que uma viga esta em equilıbrio estatico, requeremos

que os nos estejam nesta mesma condicao. Desde que nao estamos considerando forcas

nem momentos concentrados aplicados nos nos, um no estara em equilıbrio se forem iguais

os valores da tensao t3 e dos momentos mα nas duas extremidades de elemento que este

no define. Isto nos leva a escrever

nt32 = n+1t31 ,nmα

2 = n+1mα1 , n = 1, . . . , N − 1 , (5.4.1)

onde o sobrescrito do lado esquerdo indica o elemento ao qual a grandeza se refere. Reque-

rimentos deste tipo sao referidos por autores como Rubin como equacoes de acoplamento

cinematico [RUBIN, 2005].

Se observarmos a segunda expressao em (5.3.50) e a primeira expressao acima e definirmos

78

Capıtulo Cinco 5.5. Minimizacao da Energia da Viga

a massa total da viga como

M =N∑n=1

Mn , (5.4.2)

onde Mn e a massa do elemento n, como definida em (4.5.3), chegaremos a

1t31 − Nt32 = M c∗ , (5.4.3)

o que e o esperado, se olharmos a viga como um corpo rıgido sob a acao do proprio peso e

das forcas 1t31 e Nt32 nas extremidades. De maneira similar, se observarmos as expressoes

(5.3.53) e (5.3.54) e a segunda expressao em (5.4.1), poderemos escrever

Nm12 − 1m1

1 =N∑n=1

[∫ α0

0

nt1 dθ3 − y1nMn c∗]

=N∑n=1

[nm1

2 − nm11

], (5.4.4)

Nm22 − 1m2

1 =N∑n=1

∫ α0

0

nt2 dθ3 =N∑n=1

[nm2

2 − nm21

]. (5.4.5)

As expressoes (5.4.1), (5.4.3), (5.4.4) e (5.4.5) formam o conjunto que agora chamaremos

de equacoes de equilıbrio da viga.

5.5 Minimizacao da Energia da Viga

Consideraremos que depois de prescrevermos deslocamento e orientacao na extremidade

do no N+1 da viga, deveremos encontrar as novas coordenadas e orientacao dos nos livres

que definem um novo equilıbrio estatico da viga. Nesta nova configuracao a soma das

energias totais dos elementos tera o menor valor possıvel no qual as condicoes de contorno

e a condicao de equilıbrio individual dos elementos ainda e respeitada. Claramente trata-

se de encontrarmos os valores das coordenadas dos nos e as orientacoes das trıades que

satisfacam simultaneamente todas as equacoes de equilıbrio dos elementos e da viga, e isto

resultaria no menor valor para a soma das energias totais dos elementos, dadas as condicoes

de contorno. Este e basicamente um problema de resolucao de um sistema de equacoes

nao-lineares com 6×(N−1) variaveis, onde N e a quantidade de elementos no modelo,

pois teremos N−1 nos livres com tres coordenadas de posicao e tres angulos de Euler

cada. O que propomos nesta secao e trocar este sistema de equacoes por um problema

de minimizacao de uma funcao. O problema de minimizacao, ao inves de envolver uma

funcao (no caso, o somatorio das energias totais dos elementos) com restricoes (equacoes

de equilıbrio), sera reduzido, a seguir, a minimizacao sem restricoes de uma outra funcao.

Esta outra funcao sera obtida adicionando-se penalizacoes ao somatorio das energias totais

dos elementos, penalizacoes estas calculadas em funcao do quanto as tensoes e momentos

encontrados nas extremidades dos elementos desrespeitam as equacoes de equilıbrio da

79


viga, que sao as equacoes (5.4.1), (5.4.3), (5.4.4) e (5.4.5).

5.5.1 Funcao Objetivo

Por conveniencia, definiremos o vetor a, cujos elementos aj, j = 1, . . . , 6(N−1), serao

definidos da forma

aj =

xin se j = 6 (n− 2) + i

ϕin se j = 6 (n− 2) + i+ 3; n = 2, . . . , N ; i = 1, 2, 3 , (5.5.1)

onde xin e o i-esimo componente de xn e ϕin sao os angulos de Euler da orientacao das

trıades ndi, portanto o vetor a contem em sequencia as coordenadas de todos os nos

internos e angulos de Euler de todas as trıades internas da viga, onde nao ha prescricao

de condicao de contorno ou deslocamento. Este vetor em conjunto com as condicoes de

contorno no no 1 e do deslocamento e orientacao no no N+1 nos fornecerao a geometria

e a deformacao da viga, como foi mostrado na secao 5.3.2, e a sera o que chamaremos de

vetor das variaveis de projeto (ou vetor de projeto) do nosso problema de minimizacao,

sendo as energias potencial e de deformacao elastica da viga funcoes deste vetor. A

InícioDescrição do material e

seção da viga

Fim

Prescrição do deslocamento

Vetor a inicial

IteraçõesResultado

Figura 5.8: Fluxograma geral do processo de simulacao da deformacao da viga.

energia potencial gravitacional EG e a energia de deformacao elastica EE da viga serao a

soma das energias potenciais gravitacionais e a soma das energias elasticas dos elementos,

respectivamente:

EG = EG(a) =N∑n=1

EG , EE = EE(a) =N∑n=1

EE . (5.5.2)

80


A energia total da viga sera representada pela variavel ET , que entao sera a soma das

energias EG e EE da viga:

ET = ET (a) = EG + EE . (5.5.3)

A funcao objetivo no nosso problema de minimizacao sera a soma da energia total da viga

ET com a funcao penalidade P :

F = F (a) = ET + P , (5.5.4)

onde a funcao penalidade P = P (a) sera definida como

P = W1

N∑n=1

[nd33 − nD33

nD33

]2+W2

N−1∑n=1

[∣∣nt32 − n+1t31∣∣2 +

∣∣nmα2 − n+1mα

1

∣∣2]+

W3

∣∣1t31 − Nt32 −M c∗∣∣2 +W4

∣∣∣∣Nmα2 − 1mα

1 −N∑n=1

[nmα

2 − nmα1

]∣∣∣∣2 +

W5

N−1∑n=1

[arccos

(n+1d1 · (en+1 − en)

|en+1 − en|

)]2+

+W6

N∑n=1

[(nκ− nκ∗

nκ∗

)2

+

(n+1κ∗ − nκ

nκ

)2], (5.5.5)

Podemos perceber que a funcao penalidade leva em consideracao os restos das expressoes

de equilıbrio da viga e das leis de conservacao da massa, impulso e conservacao dos momen-

tos diretores. Alem disso, as duas ultimas parcelas desta expressao inserem penalidades

com dois objetivos: O primeiro e manter os planos definidos pelos vetores dα de cada

trıade perpendiculares a curva de referencia, e o segundo e manter os vetores d1 contidos

no plano osculante [KREYSZIG, 1991] da curva de referencia.

Na expressao (5.5.5) os termos Wm, m = 1, . . . , 6, sao os pesos das diferentes fontes de

penalidade do modelo. Estes pesos servem para homogeneizar as ordens de grandeza de

cada parcela da funcao penalidade e tambem para que seja atribuıda uma prioridade en-

tre as restricoes que resultaram nestas penalidades. Podemos observar que a primeira e

as duas ultimas parcelas sao grandezas relativas. Com a finalidade de termos as mesmas

unidades entre as parcelas e mantermos a proporcao entre a funcao penalidade P e o valor

da energia F independente da geometria e material, os pesos Wm terao a forma

W1 = C1M

ρ∗(K1 + 2K2

), W2 = W3 = W4 =

C2

A30

, (5.5.6)

W5 = C5M

ρ∗(K1 +K2

), W6 = C6

M

ρ∗(K1 + 2K2

), (5.5.7)

onde C1, C2, C5 e C6 sao fatores multiplicadores que usaremos para definir o grau de

severidade de cada restricao considerada na penalidade.

81


5.5.2 Metodo (Fletcher-Reeves) do Gradiente Conjugado

A figura 5.8 ilustra os passos que precisam ser percorridos por um metodo numerico

iterativo para simular a deformacao da viga. Para encontrar o vetor a∗ que minimizara a

funcao objetivo (5.5.4) utilizaremos o metodo do gradiente conjugado, tambem conhecido

como o metodo Fletcher-Reeves [RAO, 1996; NOCEDAL; WRIGHT, 2006].

O procedimento do metodo Fletcher-Reeves pode ser resumido da seguinte forma:

1. Inicie com um valor a0.

2. Determine a primeira direcao de busca p0:

p0 = −∇F (a0) = −∇F0 , (5.5.8)

onde ∇F0 e o gradiente da funcao F , em relacao aos componentes do vetor a, no

ponto a0.

3. Faca k = 1

4. Encontre ak com a expressao

ak = ak−1 + λ∗k−1 pk−1 , (5.5.9)

onde λ∗k−1 e o passo otimo na direcao de busca pk−1.

5. Com o gradiente ∇Fk = ∇F (ak) faca

pk = −∇Fk +|∇Fk|2

|∇Fk−1|2pk−1 . (5.5.10)

6. Calcule o passo otimo λ∗k na direcao pk e encontre o novo vetor ak+1:

ak+1 = ak + λ∗k pk . (5.5.11)

7. Teste o vetor ak+1 com os criterios de parada. Se algum criterio de parada foi

alcancado, pare o processo. Se nao, faca k = k + 1 e volte ao passo 5.

Utilizaremos a formula da diferenca finita central [RAO, 1996] para a aproximacao dos

componentes do gradiente ∇F (a), assim estes componentes serao dados por

∂F (a)

∂aj=F (a + h aj)− F (a− h aj)

2h, j = 1, . . . , 3(N−1) , (5.5.12)

onde aj e um vetor unitario cujo componente aj e o unico diferente de zero, e h e um

incremento pequeno o suficiente para que a expressao acima aproxime-se do valor real dos

82


componentes do gradiente, porem grande o suficiente para evitar erros de arredondamento

durante o calculo numerico.

O incremento otimo λ∗k e o valor que minimiza a funcao Fλk = F(a(λk)

), que e o conjunto

de valores de F obtidos a partir de valores de a restritos pela equacao

a(λk) = aλk = ak + λk pk , (5.5.13)

onde λk e uma variavel escalar.

Para encontrar o incremento otimo λ∗k, usaremos o metodo quasi-Newton [RAO, 1996]

para a minimizacao unidimensional de Fλk , com λk sendo a variavel de projeto. Usaremos

a formula da diferenca finita central adaptada para a aproximacao da primeira e segunda

derivadas de Fλk , dadas respectivamente por

dFλk

dλk= F ′λk =

F(ak + [λk + h] pk

)− F

(ak + [λk − h] pk

)2h

, (5.5.14)

d2Fλk

(dλk)2 = F ′′λk =

F(ak + [λk + h] pk

)− 2Fλk + F

(ak + [λk − h] pk

)h2

. (5.5.15)

A derivada F ′λk tambem poder ser obtida da forma

F ′λk =dFλk

daλk

·daλk

dλk= ∇Fλk ·pk , (5.5.16)

onde ∇Fλk e o gradiente de F nos pontos aλk . Se usarmos o valor inicial λ0k = 0, tornando

Fλ0k= Fk, nos sera permitindo escrever

F ′λ0k= ∇Fk ·pk , (5.5.17)

e a primeira iteracao pode ser entao escrita da forma

λ1k = −

h[F(ak + hpk

)− F

(ak − hpk

)]2[F(ak + hpk

)− 2Fk + F

(ak − hpk

)] . (5.5.18)

Nas demais iteracoes, os valores de λk serao dados por

λm+1k = λmk −

h[F(ak + [λmk + h] pk

)− F

(ak + [λmk − h] pk

)]2[F(ak + [λmk + h] pk

)− 2Fλmk

+ F(ak + [λmk − h] pk

)] . (5.5.19)

83

Capıtulo Cinco 5.6. Resultados

5.5.3 Criterios de Parada

O processo de minimizacao cessara por ocasiao de convergencia ou se o limite de iteracoes

kmax for atingido. Serao encerrados com status de convergentes os processos de mini-

mizacao que, estipulado um erro admissıvel ε > 0, atingirem um dos seguintes criterios

durante o processo de iteracao:

1. A distancia entre os valores da funcao objetivo Fk obtidos em duas iteracoes conse-

cutivas e menor ou igual ao erro admissıvel:

|Fk − Fk−1| ≤ ε . (5.5.20)

2. A norma do gradiente ∇Fk e menor ou igual ao erro admissıvel:

|∇Fk| ≤ ε , (5.5.21)

3. A norma da diferenca entre os valores do vetor de projeto ak obtidos em duas

iteracoes consecutivas e menor ou igual ao erro admissıvel:

|ak − ak−1| ≤ ε . (5.5.22)

No caso de algum dos criterios acima ser testado positivamente, teremos encontrado o

vetor a∗, que minimiza a funcao F , que sera retornado junto com o status de convergencia.

No caso de o numero maximo de iteracoes ser atingido, o ultimo valor ak sera retornado

juntamente com o status de nao-convergencia.

5.6 Resultados

Abaixo mostraremos ilustracoes com linhas e pontos representando as diferentes con-

figuracoes que assumem a curva de referencia e os nos da viga descrita na secao 5.2,

quando modificamos os parametros que descrevem a geometria ou o material desta viga

ou quando a forca da gravidade e alterada. O modelo reagiu apropriadamente as mu-

dancas no material da viga, como mostram as linhas na figura 5.9, onde estao mostradas

linhas resultantes de quatro simulacoes com o modulo de cisalhamento igual a 0, 0001,

0, 01, 1, 0 e 100GPa, intervalo que abrange modulos de cisalhamento da maioria dos ma-

teriais utilizados em pecas de maquinas, de borrachas macias a metais de alta resistencia.

Nestas simulacoes utilizamos aceleracao da gravidade de 9, 81m/s2, e diametro de 5mm.

Na figura 5.10 podemos ver a influencia do diametro da secao da viga na deformacao

resultante. Podemos notar que para o diametro de 1, 5mm a deformacao e menor. Isto se

deve ao menor peso desta viga em relacao as outras duas. No entanto, a viga de 30mm

84


Módulo de

Cisalhamento (GPa)

0,0001

0,01

1

100

Figura 5.9: Diferentes valores para o modulo de cisalhamento do material leva-nos a diferen-tes quantidades de deformacao na curva de referencia de uma viga. Raio da secao = 5mm eaceleracao da gravidade = 9, 81m/s2

Raio da Seção (mm)

Config. de Referência

1,5mm

5

30

Figura 5.10: Diferentes quantidades de deformacao na curva de referencia da viga, resultantesde diferentes raios da secao utilizados. Curva de referencia da viga nao-deformada em azul.Modulo de cisalhamento = 0, 01GPa e aceleracao da gravidade = 9, 81m/s2

de diametro tem deformacao menor que a de 5mm. Isto se deve a rigidez conferida a viga

pelo diametro maior de sua secao. Quanto a sensibilidade do modelo a variacao no valor

da aceleracao gravidade, podemos observar nas figuras 5.11 que esta de acordo com o que

e esperado do comportamento fısico de uma peca real. Nesta figura, vigas com diferentes

diametros reagem de maneira diferente aos mesmos valores de aceleracao da gravidade.

85


0

5

9,81

Aceleração da

Gravidade (m/s2)

Figura 5.11: Diferentes quantidades de deformacao na curva de referencia da viga, resultantesde diferentes valores de aceleracao da gravidade utilizados. Raio da secao = 5mm e modulo decisalhamento = 0, 01GPa

Nas simulacoes de onde foram obtidas estas curvas nao houve deslocamento aplicado as

extremidades.

Para obtermos a figura 5.12 uma curva foi desenhada a cada cinco iteracoes de uma oti-

mizacao com um erro maximo permitido muito pequeno, de modo que foram necessarias

muitas iteracoes para se chegar a solucao e pudessemos obter um grande numero de linhas.

0

100

200

300

400

500

Iterações

Figura 5.12: Evolucao das coordenadas dos pontos em funcao do numero de iteracoes.

86


Nesta figura podemos observar que a convergencia obtida pelo metodo de otimizacao uti-

lizado e relativamente lenta, se comparada com o metodo de Newton, por exemplo.

87

Capıtulo Seis

Conclusoes

O procedimento numerico foi bem sucedido na obtencao do estado de equilıbrio (como

definido nas hipoteses do inıcio do capıtulo 5) para diferentes valores nas variaveis de

caracterizacao do material, raio da secao e deslocamentos utilizados para simular a viga

descrita no capıtulo anterior, embora tenha sido necessario um numero de iteracoes con-

siderado elevado para o metodo utilizado (se considerarmos que para um algoritmo de

gradiente conjugado otimo a solucao seria encontrada em n iteracoes, onde n e a di-

mensao do vetor de projeto).

Quanto a formulacao do elemento helicoidal, por ser mais complexa que a formulacao do

elemento desenvolvido por Rubin, baseado no ponto de Cosserat, se justifica teoricamente

quando o elemento e usado para vigas espessas, onde as dimensoes da curvatura e do

diametro da secao sao equivalentes.

Embora o exemplo utilizado nao tenha nos permitido comparar de forma direta a con-

veniencia de cada modelo, pode-se demonstrar que o modelo do ponto de Rubin seria

equivalente a um caso especial de elemento helicoidal. Concluımos que uma viga espessa

que apresentasse secoes retas e curvas poderia ser modelada aproveitando-se os pontos

fortes de cada modelo: A simplicidade e eficiencia dos elementos de ponto para represen-

tar as secoes retas e a fidelidade geometrica dos elementos helicoidais em representar os

trechos com curvaturas e secao transversal de mesma ordem de grandeza.

Propostas de Desenvolvimento Futuro Seria interessante para a continuidade das in-

vestigacoes sobre a representatividade do elemento e sua praticidade em modelos mais

complexos. Para isto e necessario o aprimoramento do procedimento numerico inici-

ado neste trabalho. Seria interessante verificar o impacto no tempo de simulacao se

utilizassemos o metodo do gradiente conjugado em conjunto com outros metodos de oti-

mizacao, por exemplo, o metodo de Newton. Neste caso, o metodo do gradiente conjugado

seria utilizado para chegarmos a uma aproximacao da solucao, a partir da qual o metodo

de Newton seria empregado, e garantir ao ponto de partida deste ultimo a proximidade

necessaria da solucao, como requerido.

Importante tambem que este trabalho seja continuado com a comparacao entre o erro

relativo obtido quando aplicamos o elemento helicoidal aquele obtido quando aplicamos

o modelo de Rubin quando comparamos as solucoes encontradas a um exemplo de viga

cuja solucao analıtica seja conhecida, e que esse erro seja comparado ao mesmo exemplo.

88

Apendice A

Formas Locais da Conservacao da Massa e do

Impulso

Para simplificar o desenvolvimento da teoria de Cosserat expressaremos as equacoes

d

dt

∫P

ρ∗ dv = 0 ,

d

dt

∫P

ρ∗ z dv =

∫P

ρ∗ c∗ dv +

∫∂P

t∗ da ,

respectivamente, a conservacao de massa (2.3.1) e a conservacao do impulso (2.3.3), em

suas correspondentes formas locais ou eulerianas.

Para tanto, e preciso desenvolver expressoes para a derivada em relacao ao tempo de uma

integral sobre uma regiao P do espaco, e utilizar o teorema do divergente para transformar

uma integral sobre a superfıcie ∂P em uma integral sobre o volume.

Uma integral sobre uma regiao P pode ser transformada em outra sobre a regiao P0, que e

a regiao associada a configuracao inicial ou de referencia de P . Basta para isto utilizarmos

a expressao (2.2.24) para a transformacao∫P

f dv =

∫P0

fJ dV , (A.0.1)

onde f e uma funcao escalar ou vetorial.

Como P0 e invariante no tempo, e assumindo a continuidade das funcoes, poderemos

permutar a diferenciacao no tempo com a integral no volume P0:

d

dt

∫P

f dv =d

dt

∫P0

fJ dV =

∫P0

d(fJ)

dtdV , (A.0.2)

Para continuarmos o desenvolvimento, devemos transformar o lado direito da expressao

anterior de volta a uma integral sobre a regiao P .

O fator de dilatacao J e uma funcao do gradiente de deformacao F∗. Utilizando a regra

da cadeia, sua derivada em relacao ao tempo pode ser escrita como

J =dJ

dF∗· F∗ . (A.0.3)

E por F∗ nao ser singular, pode-se escrever

dJ

dF∗= J(F∗)−T . (A.0.4)

89

Capıtulo A

Utilizando (2.2.14) e derivando F∗ em relacao ao tempo, obteremos

F∗ =∂F∗

∂t=

∂

∂t

(∂z

∂Z

)=

∂

∂Z

(∂z

dt

)=∂z

∂Z=∂z

∂z

(∂z

∂Z

), (A.0.5)

ou

F∗ = L∗F∗ , (A.0.6)

onde

L∗ =∂z

∂z(A.0.7)

e o gradiente de velocidade relativo a posicao z.

Uma forma conveniente de se representar L∗ pode ser obtida se considerarmos um sistema

de coordenadas convectivas θi, onde θi = 0, tal que

L∗ =∂z

∂z=∂z

∂θi⊗ ∂θi

∂z= wi ⊗ gi . (A.0.8)

Com estas definicoes, podemos reescrever (A.0.3) deste modo

J = J(F∗)−T · (L∗F∗) = J[(F∗)−T (F∗)T

]·L∗ = JL∗ · I = J div z . (A.0.9)

Podemos agora escrever (A.0.2) da forma

d

dt

∫P

f dv =

∫P0

d(fJ)

dtdV =

∫P0

J(f + f div z

)dV =

∫P

(f + f div z

)dv . (A.0.10)

Com a definicao acima, poderemos escrever a conservacao da massa (2.3.1) da forma

d

dt

∫P

ρ∗ dv =

∫P

(ρ∗ + ρ∗ div z) dv = 0 , (A.0.11)

que devido a continuidade do integrando, nos leva a forma local ou euleriana da con-

servacao de massa

ρ∗ + ρ∗ div z = 0 . (A.0.12)

Nas expressoes (2.3.3) e (2.3.5) para a conservacao do impulso e conservacao do momento

angular, respectivamente, encontramos termos que sao derivadas em relacao ao tempo

de integrais cujos integrandos consistem da densidade de um ponto material ρ∗ multipli-

cada por alguma funcao. Para definirmos uma expressao geral para esse tipo de termo,

usaremos a expressao (A.0.10) e a regra da derivada do produto:

d

dt

∫P

ρ∗f dv =

∫P0

(ρ∗f + ρ∗f

)J dV =

∫P0

[ρ∗f + f (ρ∗ + ρ∗ div z)

]J dV . (A.0.13)

90

Capıtulo A

Com a forma local de conservacao de massa (A.0.12), podemos ainda simplificar este

resultado:d

dt

∫P

ρ∗f dv =

∫P

ρ∗f dv . (A.0.14)

Agora precisamos converter a integral sobre a superfıcie ∂P em uma integral sobre o

volume P . Para isto, lembremos do teorema do divergente:∫∂P

fn da =

∫P

(div f) dv . (A.0.15)

Agora a lei da conservacao do impulso (2.3.3) pode ser escrita em sua forma local, com

ajuda das duas ultimas expressoes e da relacao (2.3.4):

ρ∗ z = ρ∗ c∗ + div T∗ . (A.0.16)

Se definirmos tres vetores ti∗ tais que

ti∗ = g1/2 T∗ gi , (A.0.17)

g1/2 T∗ = ti∗ ⊗ gi , (A.0.18)

a conservacao do impulso podera ser escrita de uma forma alternativa:

ρ∗g1/2 z = ρ∗g1/2 c∗ +(ti∗)′i. (A.0.19)

91

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Adchon Angelo Gomes da Silva

Salvador,

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