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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Uma Introducao a Otimizacao sob Incerteza
Bernardo Kulnig Pagnoncelli1 e Humberto Jose Bortolossi2
1 Departamento de Matematica
Pontifıcia Universidade Catolica do Rio de Janeiro
2 Departamento de Matematica Aplicada
Universidade Federal Fluminense
III Bienal da SBM
Universidade Federal de Goiania
6 a 11 de novembro de 2006
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
1a
aula
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Sumario
1 Introducao
2 O problema do fazendeiroIntroduzindo cenariosEVPI e VSS
3 O problema do jornaleiroEnunciado e formulacaoSolucaoExemploOutras interpretacoes para o problema
4 Referencias
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Sumario
1 Introducao
2 O problema do fazendeiroIntroduzindo cenariosEVPI e VSS
3 O problema do jornaleiroEnunciado e formulacaoSolucaoExemploOutras interpretacoes para o problema
4 Referencias
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
O que e otimizacao?
Segundo J.L. Nazareth, “Optimization is the art, science, andmathematics of finding the “best” member of a finite orinfinite set of possible choices, based on some objectivemeasure of the merit of each choice in the set”.
A area de otimizacao tem uma longa historia de sucesso,tanto no plano teorico quanto nas aplicacoes.
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
O que e otimizacao?
Segundo J.L. Nazareth, “Optimization is the art, science, andmathematics of finding the “best” member of a finite orinfinite set of possible choices, based on some objectivemeasure of the merit of each choice in the set”.
A area de otimizacao tem uma longa historia de sucesso,tanto no plano teorico quanto nas aplicacoes.
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
O que e otimizacao?
Segundo J.L. Nazareth, “Optimization is the art, science, andmathematics of finding the “best” member of a finite orinfinite set of possible choices, based on some objectivemeasure of the merit of each choice in the set”.
A area de otimizacao tem uma longa historia de sucesso,tanto no plano teorico quanto nas aplicacoes.
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Selecao de portfolio
O modelo de Markowitz (1952):
minimizar σ2p = x
TVx
sujeito a xtµ = Rp,xT1 = 1.
As incertezas µ e V sao definidas a priori, usando por exemploseries historicas dos ativos. E possıvel incorpora-las ao modelode alguma forma?
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Selecao de portfolio
O modelo de Markowitz (1952):
minimizar σ2p = x
TVx
sujeito a xtµ = Rp,xT1 = 1.
As incertezas µ e V sao definidas a priori, usando por exemploseries historicas dos ativos. E possıvel incorpora-las ao modelode alguma forma?
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Selecao de portfolio
O modelo de Markowitz (1952):
minimizar σ2p = x
TVx
sujeito a xtµ = Rp,xT1 = 1.
As incertezas µ e V sao definidas a priori, usando por exemploseries historicas dos ativos. E possıvel incorpora-las ao modelode alguma forma?
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
A resposta e dada por otimizacao estocastica. E uma areavoltada para a modelagem e resolucao de problemas queenvolvem incertezas.
Diferentemente de otimizacao determinıstica, as incertezasestao explicitamente descritas nos modelos atraves devariaveis aleatorias.
Ao inves de definicoes formais, vamos comecar com umaaplicacao de otimizacao estocastica.
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
A resposta e dada por otimizacao estocastica. E uma areavoltada para a modelagem e resolucao de problemas queenvolvem incertezas.
Diferentemente de otimizacao determinıstica, as incertezasestao explicitamente descritas nos modelos atraves devariaveis aleatorias.
Ao inves de definicoes formais, vamos comecar com umaaplicacao de otimizacao estocastica.
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
A resposta e dada por otimizacao estocastica. E uma areavoltada para a modelagem e resolucao de problemas queenvolvem incertezas.
Diferentemente de otimizacao determinıstica, as incertezasestao explicitamente descritas nos modelos atraves devariaveis aleatorias.
Ao inves de definicoes formais, vamos comecar com umaaplicacao de otimizacao estocastica.
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Sumario
1 Introducao
2 O problema do fazendeiroIntroduzindo cenariosEVPI e VSS
3 O problema do jornaleiroEnunciado e formulacaoSolucaoExemploOutras interpretacoes para o problema
4 Referencias
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
O problema do fazendeiro
Joao e um fazendeiro especializado em tres culturas: trigo,milho e cana-de-acucar.
Ele precisa decidir durante o inverno o que plantar em seus500 ha de terras.
Cada um dos cultivos possui um custo associado, em R$/ha.
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
O problema do fazendeiro
Joao e um fazendeiro especializado em tres culturas: trigo,milho e cana-de-acucar.
Ele precisa decidir durante o inverno o que plantar em seus500 ha de terras.
Cada um dos cultivos possui um custo associado, em R$/ha.
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
O problema do fazendeiro
Joao e um fazendeiro especializado em tres culturas: trigo,milho e cana-de-acucar.
Ele precisa decidir durante o inverno o que plantar em seus500 ha de terras.
Cada um dos cultivos possui um custo associado, em R$/ha.
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Duas divisoes possıveis de terra
milho cana-de-açúcar
trigo milho
cana-de-açúcar
trigo
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Restricoes
O gado precisa de pelo menos 240 T de trigo e 200 T demilho.
Joao pode comprar milho e trigo no mercado local, a precoselevados. Seu excedente tambem pode vendido paraatacadistas.
A cana-de-acucar pode ser vendida por 36 reais por tonelada(R$/T). O governo impoe uma cota em 6000 T. A partirdesse valor a cana-de-acucar e vendida por 10R$/T.
Baseado em experiencia pessoal, Joao sabe que osrendimentos medios de trigo, milho e cana-de-acucar sao 2.5,3.0 e 20 T/ha respectivamente.
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Restricoes
O gado precisa de pelo menos 240 T de trigo e 200 T demilho.
Joao pode comprar milho e trigo no mercado local, a precoselevados. Seu excedente tambem pode vendido paraatacadistas.
A cana-de-acucar pode ser vendida por 36 reais por tonelada(R$/T). O governo impoe uma cota em 6000 T. A partirdesse valor a cana-de-acucar e vendida por 10R$/T.
Baseado em experiencia pessoal, Joao sabe que osrendimentos medios de trigo, milho e cana-de-acucar sao 2.5,3.0 e 20 T/ha respectivamente.
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Restricoes
O gado precisa de pelo menos 240 T de trigo e 200 T demilho.
Joao pode comprar milho e trigo no mercado local, a precoselevados. Seu excedente tambem pode vendido paraatacadistas.
A cana-de-acucar pode ser vendida por 36 reais por tonelada(R$/T). O governo impoe uma cota em 6000 T. A partirdesse valor a cana-de-acucar e vendida por 10R$/T.
Baseado em experiencia pessoal, Joao sabe que osrendimentos medios de trigo, milho e cana-de-acucar sao 2.5,3.0 e 20 T/ha respectivamente.
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Restricoes
O gado precisa de pelo menos 240 T de trigo e 200 T demilho.
Joao pode comprar milho e trigo no mercado local, a precoselevados. Seu excedente tambem pode vendido paraatacadistas.
A cana-de-acucar pode ser vendida por 36 reais por tonelada(R$/T). O governo impoe uma cota em 6000 T. A partirdesse valor a cana-de-acucar e vendida por 10R$/T.
Baseado em experiencia pessoal, Joao sabe que osrendimentos medios de trigo, milho e cana-de-acucar sao 2.5,3.0 e 20 T/ha respectivamente.
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Dados para o problema do fazendeiro
Trigo Milho Cana-de-acucar
Rendimento (T/ha) 2.5 3.0 20Custo de producao (R$/ha) 150 230 260
Preco de venda (R$/T) 170 150 36(≤ 6000 T)10(> 6000 T)
Preco de compra (R$/T) 238 210 –Mınimo para o gado (T) 200 240 –
Total de terra disponıvel: 500 ha
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Enunciado
O Problema do fazendeiro
Encontrar uma divisao de terras que maximize o lucro dofazendeiro sujeito as restricoes relativas ao gado, a cotagovernamental e a dimensao da propriedade.
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Formulacao determinıstica
minimizar 150 x1 + 230 x2 + 260 x3+238 y1 − 170w1 + 210 y2 − 150w2 − 36w3 − 10w4
sujeito a x1 + x2 + x3 ≤ 500,2.5 x1 + y1 − w1 ≥ 200,
3 x2 + y2 − w2 ≥ 240,w3 + w4 ≤ 20 x3,
w3 ≤ 6000,x1, x2, x3, y1, y2,w1,w2,w3,w4 ≥ 0.
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Esse e um problema de otimizacao linear! Podemos escreve-loem AMPL, uma linguagem apropriada para otimizacao e facilde aprender (http://www.ampl.com/).
Existem resolvedores eficientes disponıveis gratuitamente(http://www.ampl.com/DOWNLOADS/cplex80.html).
A solucao completa do problema foi obtida atraves doresolvedor CPLEX.
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Esse e um problema de otimizacao linear! Podemos escreve-loem AMPL, uma linguagem apropriada para otimizacao e facilde aprender (http://www.ampl.com/).
Existem resolvedores eficientes disponıveis gratuitamente(http://www.ampl.com/DOWNLOADS/cplex80.html).
A solucao completa do problema foi obtida atraves doresolvedor CPLEX.
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Esse e um problema de otimizacao linear! Podemos escreve-loem AMPL, uma linguagem apropriada para otimizacao e facilde aprender (http://www.ampl.com/).
Existem resolvedores eficientes disponıveis gratuitamente(http://www.ampl.com/DOWNLOADS/cplex80.html).
A solucao completa do problema foi obtida atraves doresolvedor CPLEX.
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Solucao do problema
Trigo Milho Cana-de-acucar
Area (ha) 120 80 300
Total produzido 300 240 6000
Total vendido 100 – 6000
Total comprado – – –
Lucro total: R$118 600
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Introduzindo cenarios
Pronto, o problema esta resolvido!
Mas...
Joao nao tem tanta certeza sobre os valores dos rendimentosmedios, afinal mudancas climaticas podem alterar bastantesuas estimativas e, consequentemente, seus lucros.
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Introduzindo cenarios
Pronto, o problema esta resolvido!
Mas...
Joao nao tem tanta certeza sobre os valores dos rendimentosmedios, afinal mudancas climaticas podem alterar bastantesuas estimativas e, consequentemente, seus lucros.
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Introduzindo cenarios
Pronto, o problema esta resolvido!
Mas...
Joao nao tem tanta certeza sobre os valores dos rendimentosmedios, afinal mudancas climaticas podem alterar bastantesuas estimativas e, consequentemente, seus lucros.
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Solucao otima com rendimentos 20% acima da media.
Suponha que num ano particularmente favoravel, osrendimentos das culturas foram 20% acima da media. Qual ea solucao do problema neste caso?
Trigo Milho Cana-de-acucar
Area (ha) 183.33 66.67 250
Total produzido 550 240 6000
Total vendido 350 - 6000
Total comprado - - -
Lucro total: R$167 600
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Solucao otima com rendimentos 20% acima da media.
Suponha que num ano particularmente favoravel, osrendimentos das culturas foram 20% acima da media. Qual ea solucao do problema neste caso?
Trigo Milho Cana-de-acucar
Area (ha) 183.33 66.67 250
Total produzido 550 240 6000
Total vendido 350 - 6000
Total comprado - - -
Lucro total: R$167 600
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Solucao otima com rendimentos 20% acima da media.
Em um ano particularmente desfavoravel, os rendimentos dasculturas foram 20% abaixo da media. Qual e a a solucao doproblema neste caso?
Trigo Milho Cana-de-acucar
Area (ha) 100 25 375
Total produzido 200 60 6000
Total vendido - - 6000
Total comprado - 180 -
Lucro total: R$59 950
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Solucao otima com rendimentos 20% acima da media.
Em um ano particularmente desfavoravel, os rendimentos dasculturas foram 20% abaixo da media. Qual e a a solucao doproblema neste caso?
Trigo Milho Cana-de-acucar
Area (ha) 100 25 375
Total produzido 200 60 6000
Total vendido - - 6000
Total comprado - 180 -
Lucro total: R$59 950
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Sensibilidade da solucao
Mudancas de 20% nos rendimentos das culturas em relacaoao rendimento medio fazem o seu lucro variar de R$59 950 aR$167 667!
Pensando na cana-de-acucar, Joao tem o seguinte dilema: sea area reservada para a cana-de-acucar for muito grande e osrendimentos forem acima da media, entao ele tera que venderparte da producao a um preco desfavoravel.
Por outro lado, se ele reservar uma area muito pequena e osrendimentos foram abaixo da media, entao ele tera perdido aoportunidade de vender cana-de-acucar a um preco favoravel.
Como encontrar uma solucao que seja satisfatoria para todosos cenarios?
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Sensibilidade da solucao
Mudancas de 20% nos rendimentos das culturas em relacaoao rendimento medio fazem o seu lucro variar de R$59 950 aR$167 667!
Pensando na cana-de-acucar, Joao tem o seguinte dilema: sea area reservada para a cana-de-acucar for muito grande e osrendimentos forem acima da media, entao ele tera que venderparte da producao a um preco desfavoravel.
Por outro lado, se ele reservar uma area muito pequena e osrendimentos foram abaixo da media, entao ele tera perdido aoportunidade de vender cana-de-acucar a um preco favoravel.
Como encontrar uma solucao que seja satisfatoria para todosos cenarios?
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Sensibilidade da solucao
Mudancas de 20% nos rendimentos das culturas em relacaoao rendimento medio fazem o seu lucro variar de R$59 950 aR$167 667!
Pensando na cana-de-acucar, Joao tem o seguinte dilema: sea area reservada para a cana-de-acucar for muito grande e osrendimentos forem acima da media, entao ele tera que venderparte da producao a um preco desfavoravel.
Por outro lado, se ele reservar uma area muito pequena e osrendimentos foram abaixo da media, entao ele tera perdido aoportunidade de vender cana-de-acucar a um preco favoravel.
Como encontrar uma solucao que seja satisfatoria para todosos cenarios?
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Sensibilidade da solucao
Mudancas de 20% nos rendimentos das culturas em relacaoao rendimento medio fazem o seu lucro variar de R$59 950 aR$167 667!
Pensando na cana-de-acucar, Joao tem o seguinte dilema: sea area reservada para a cana-de-acucar for muito grande e osrendimentos forem acima da media, entao ele tera que venderparte da producao a um preco desfavoravel.
Por outro lado, se ele reservar uma area muito pequena e osrendimentos foram abaixo da media, entao ele tera perdido aoportunidade de vender cana-de-acucar a um preco favoravel.
Como encontrar uma solucao que seja satisfatoria para todosos cenarios?
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Forma extensa de um problema estocastico
minimizar150 x1 + 230 x2 + 260 x3
−1
3(170w11 − 238 y11 + 150w21 − 210 y21 + 36w31 + 10w41)
−1
3(170w12 − 238 y12 + 150w22 − 210 y22 + 36w32 + 10w42)
−1
3(170w13 − 238 y13 + 150w23 − 210 y23 + 36w33 + 10w43)
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Restricoes
sujeito ax1 + x2 + x3 ≤ 500
3 x1 + y11 − w11 ≥ 200, 3.6 x2 + y21 − w21 ≥ 240,w31 + w41 ≤ 24 x3, w31 ≤ 6000,
2.5 x1 + y12 − w12 ≥ 200, 3 x2 + y22 − w22 ≥ 240,w32 + w42 ≤ 20 x3, w32 ≤ 6000,
2 x1 + y13 − w13 ≥ 200, 2.4 x2 + y23 − w23 ≥ 240,w33 + w43 ≤ 16 x3, w33 ≤ 6000
x1, x2, x3 ≥ 0,y11, y21, y12, y22, y13, y23 ≥ 0,
w11,w21,w31,w41,w12,w22,w32,w42,w13,w23,w33,w43 ≥ 0
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
As variaveis xi sao ditas de primeiro estagio: seu valor deveser determinado antes que se conheca a condicao climatica.
As variaveis yis e wis sao de segundo estagio: elas saoescolhidas apos a definicao dos valores de xi e doconhecimento do clima. Elas corrigem possıveis deficits naalimentacao do gado gerados pelas escolhas xi de primeiroestagio.
O problema estocastico na forma extensa e linear e pode serresolvido da mesma forma que fizemos para a formulacaoinicial.
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
As variaveis xi sao ditas de primeiro estagio: seu valor deveser determinado antes que se conheca a condicao climatica.
As variaveis yis e wis sao de segundo estagio: elas saoescolhidas apos a definicao dos valores de xi e doconhecimento do clima. Elas corrigem possıveis deficits naalimentacao do gado gerados pelas escolhas xi de primeiroestagio.
O problema estocastico na forma extensa e linear e pode serresolvido da mesma forma que fizemos para a formulacaoinicial.
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
As variaveis xi sao ditas de primeiro estagio: seu valor deveser determinado antes que se conheca a condicao climatica.
As variaveis yis e wis sao de segundo estagio: elas saoescolhidas apos a definicao dos valores de xi e doconhecimento do clima. Elas corrigem possıveis deficits naalimentacao do gado gerados pelas escolhas xi de primeiroestagio.
O problema estocastico na forma extensa e linear e pode serresolvido da mesma forma que fizemos para a formulacaoinicial.
![Page 46: Uma Introduc¸˜ao `a Otimizac¸˜ao sob IncertezaIntroduc¸a˜o O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referˆencias Restric¸˜oes O gado precisa de pelo menos 240 T de](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022070217/611f563a6ef27a33ed0e977f/html5/thumbnails/46.jpg)
Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Solucao estocastica
Trigo Milho Cana-de-acucar
1o estagio Area (ha) 170 80 250
s = 1 Rendimento (T) 510 288 6000(Acima) Venda (T) 310 48 6000
(preco favoravel)Compra(T) – – –
s = 2 Rendimento (T) 425 240 5000(Media) Venda (T) 225 – 5000
(preco favoravel)Compra(T) – – –
s = 3 Rendimento (T) 340 192 4000(Abaixo) Venda (T) 140 – 4000
(preco favoravel)Compra(T) – 48 –
Lucro total: R$108 390
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Analise da solucao
A solucao otima do problema estocastico nao e igual anenhuma das solucoes encontradas anteriormente:(x1, x2, x3) = (170, 80, 250).
No caso em que os rendimentos sao 20% abaixo da media,temos a necessidade de se comprar milho no mercado devido abaixa produtividade.
Queremos agora estudar a qualidade da solucao estocastica,isto e, queremos mensurar o ganho em se considerar asvariacoes climaticas bem como o quanto se deixa de ganharpor nao se conhecer com exatidao o futuro.
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Analise da solucao
A solucao otima do problema estocastico nao e igual anenhuma das solucoes encontradas anteriormente:(x1, x2, x3) = (170, 80, 250).
No caso em que os rendimentos sao 20% abaixo da media,temos a necessidade de se comprar milho no mercado devido abaixa produtividade.
Queremos agora estudar a qualidade da solucao estocastica,isto e, queremos mensurar o ganho em se considerar asvariacoes climaticas bem como o quanto se deixa de ganharpor nao se conhecer com exatidao o futuro.
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Analise da solucao
A solucao otima do problema estocastico nao e igual anenhuma das solucoes encontradas anteriormente:(x1, x2, x3) = (170, 80, 250).
No caso em que os rendimentos sao 20% abaixo da media,temos a necessidade de se comprar milho no mercado devido abaixa produtividade.
Queremos agora estudar a qualidade da solucao estocastica,isto e, queremos mensurar o ganho em se considerar asvariacoes climaticas bem como o quanto se deixa de ganharpor nao se conhecer com exatidao o futuro.
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
EVPI e VSS
Valor esperado de informacao perfeita (EVPI)
O EVPI mede o quanto perdemos por nao saber com exatidaoo futuro.
Para calcula-lo temos que fazer a media entre os rendimentosobtidos conhecendo-se cada um dos cenarios climaticos esubtrair esse valor do ganho com a solucao estocastica.
Temos
EVPI = RP − WS =
− 108 390 +R$ 59 950 + R$ 167 667 + R$ 118 600
3= R$ 7 016.
![Page 51: Uma Introduc¸˜ao `a Otimizac¸˜ao sob IncertezaIntroduc¸a˜o O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referˆencias Restric¸˜oes O gado precisa de pelo menos 240 T de](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022070217/611f563a6ef27a33ed0e977f/html5/thumbnails/51.jpg)
Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
EVPI e VSS
Valor esperado de informacao perfeita (EVPI)
O EVPI mede o quanto perdemos por nao saber com exatidaoo futuro.
Para calcula-lo temos que fazer a media entre os rendimentosobtidos conhecendo-se cada um dos cenarios climaticos esubtrair esse valor do ganho com a solucao estocastica.
Temos
EVPI = RP − WS =
− 108 390 +R$ 59 950 + R$ 167 667 + R$ 118 600
3= R$ 7 016.
![Page 52: Uma Introduc¸˜ao `a Otimizac¸˜ao sob IncertezaIntroduc¸a˜o O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referˆencias Restric¸˜oes O gado precisa de pelo menos 240 T de](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022070217/611f563a6ef27a33ed0e977f/html5/thumbnails/52.jpg)
Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
EVPI e VSS
Valor esperado de informacao perfeita (EVPI)
O EVPI mede o quanto perdemos por nao saber com exatidaoo futuro.
Para calcula-lo temos que fazer a media entre os rendimentosobtidos conhecendo-se cada um dos cenarios climaticos esubtrair esse valor do ganho com a solucao estocastica.
Temos
EVPI = RP − WS =
− 108 390 +R$ 59 950 + R$ 167 667 + R$ 118 600
3= R$ 7 016.
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Valor da solucao estocastica (VSS)
O VSS mede o ganho em se considerar o modelo estocasticoao inves de assumir rendimentos medios.
Para calcula-lo, pense que Joao e um fazendeiro teimoso: eledivide suas terras supondo que os rendimentos sao os medios.Resolve-se o problema inicial para cada cenario, fixando(x1, x2, x3) = (120, 80, 300).
Dessa forma o VSS e dado por
VSS = EEV − RP
−R$ 55 120 + R$ 118 600 + R$ 148 000
3+ R$108 390 = R$ 1 150.
![Page 54: Uma Introduc¸˜ao `a Otimizac¸˜ao sob IncertezaIntroduc¸a˜o O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referˆencias Restric¸˜oes O gado precisa de pelo menos 240 T de](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022070217/611f563a6ef27a33ed0e977f/html5/thumbnails/54.jpg)
Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Valor da solucao estocastica (VSS)
O VSS mede o ganho em se considerar o modelo estocasticoao inves de assumir rendimentos medios.
Para calcula-lo, pense que Joao e um fazendeiro teimoso: eledivide suas terras supondo que os rendimentos sao os medios.Resolve-se o problema inicial para cada cenario, fixando(x1, x2, x3) = (120, 80, 300).
Dessa forma o VSS e dado por
VSS = EEV − RP
−R$ 55 120 + R$ 118 600 + R$ 148 000
3+ R$108 390 = R$ 1 150.
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Valor da solucao estocastica (VSS)
O VSS mede o ganho em se considerar o modelo estocasticoao inves de assumir rendimentos medios.
Para calcula-lo, pense que Joao e um fazendeiro teimoso: eledivide suas terras supondo que os rendimentos sao os medios.Resolve-se o problema inicial para cada cenario, fixando(x1, x2, x3) = (120, 80, 300).
Dessa forma o VSS e dado por
VSS = EEV − RP
−R$ 55 120 + R$ 118 600 + R$ 148 000
3+ R$108 390 = R$ 1 150.
![Page 56: Uma Introduc¸˜ao `a Otimizac¸˜ao sob IncertezaIntroduc¸a˜o O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referˆencias Restric¸˜oes O gado precisa de pelo menos 240 T de](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022070217/611f563a6ef27a33ed0e977f/html5/thumbnails/56.jpg)
Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Sumario
1 Introducao
2 O problema do fazendeiroIntroduzindo cenariosEVPI e VSS
3 O problema do jornaleiroEnunciado e formulacaoSolucaoExemploOutras interpretacoes para o problema
4 Referencias
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Enunciado e formulacao
O problema do jornaleiro
Joao tem um irmao na cidade chamado Jose, que e jornaleiro.
Toda manha ele vai ao editor do jornal e tem que decidirquantos jornais comprar sem saber a demanda daquele dia.
Seu poder de compra e limitado, ou seja, ele pode comprarate uma quantidade fixa u. Alem disso, os jornais naovendidos podem ser devolvidos ao editor, a um preco menordo que o valor pago no inıcio do dia.
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Enunciado e formulacao
O problema do jornaleiro
Joao tem um irmao na cidade chamado Jose, que e jornaleiro.
Toda manha ele vai ao editor do jornal e tem que decidirquantos jornais comprar sem saber a demanda daquele dia.
Seu poder de compra e limitado, ou seja, ele pode comprarate uma quantidade fixa u. Alem disso, os jornais naovendidos podem ser devolvidos ao editor, a um preco menordo que o valor pago no inıcio do dia.
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Enunciado e formulacao
O problema do jornaleiro
Joao tem um irmao na cidade chamado Jose, que e jornaleiro.
Toda manha ele vai ao editor do jornal e tem que decidirquantos jornais comprar sem saber a demanda daquele dia.
Seu poder de compra e limitado, ou seja, ele pode comprarate uma quantidade fixa u. Alem disso, os jornais naovendidos podem ser devolvidos ao editor, a um preco menordo que o valor pago no inıcio do dia.
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Formulacao
min0≤x≤u
{cx + Q(x)}
onde
Q(x) = Eξ[Q(x , ξ)]
eQ(x , ξ) = min −qy(ξ) − rw(ξ)
sujeito a y(ξ) ≤ ξ,y(ξ) + w(ξ) ≤ x ,
y(ξ),w(ξ) ≥ 0.
![Page 61: Uma Introduc¸˜ao `a Otimizac¸˜ao sob IncertezaIntroduc¸a˜o O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referˆencias Restric¸˜oes O gado precisa de pelo menos 240 T de](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022070217/611f563a6ef27a33ed0e977f/html5/thumbnails/61.jpg)
Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Assim como no problema do fazendeiro, o problema dojornaleiro e estruturado em dois estagios: no primeiro estagioJose decide quantos jornais vai comprar atraves da variavel x .
As variaveis de segundo estagio representam quanto eleconseguiu vender (y(ξ)) e quanto ele devolveu ao editor(w(ξ)).
Jose procura a quantidade otima de jornais a comprar deforma a maximizar seu lucro esperado sob incerteza dedemanda.
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Assim como no problema do fazendeiro, o problema dojornaleiro e estruturado em dois estagios: no primeiro estagioJose decide quantos jornais vai comprar atraves da variavel x .
As variaveis de segundo estagio representam quanto eleconseguiu vender (y(ξ)) e quanto ele devolveu ao editor(w(ξ)).
Jose procura a quantidade otima de jornais a comprar deforma a maximizar seu lucro esperado sob incerteza dedemanda.
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Assim como no problema do fazendeiro, o problema dojornaleiro e estruturado em dois estagios: no primeiro estagioJose decide quantos jornais vai comprar atraves da variavel x .
As variaveis de segundo estagio representam quanto eleconseguiu vender (y(ξ)) e quanto ele devolveu ao editor(w(ξ)).
Jose procura a quantidade otima de jornais a comprar deforma a maximizar seu lucro esperado sob incerteza dedemanda.
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Solucao
O primeiro passo para encontrar uma solucao explıcita doproblema do jornaleiro e resolver o problema de segundoestagio.
A solucao e imediata: y∗(ξ) = min{ξ, x} ew∗(ξ) = max{x − ξ, 0}.
Com isso temos Q(x) = Eξ [−q min{ξ, x} − r max{x − ξ, 0}].
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Solucao
O primeiro passo para encontrar uma solucao explıcita doproblema do jornaleiro e resolver o problema de segundoestagio.
A solucao e imediata: y∗(ξ) = min{ξ, x} ew∗(ξ) = max{x − ξ, 0}.
Com isso temos Q(x) = Eξ [−q min{ξ, x} − r max{x − ξ, 0}].
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Solucao
O primeiro passo para encontrar uma solucao explıcita doproblema do jornaleiro e resolver o problema de segundoestagio.
A solucao e imediata: y∗(ξ) = min{ξ, x} ew∗(ξ) = max{x − ξ, 0}.
Com isso temos Q(x) = Eξ [−q min{ξ, x} − r max{x − ξ, 0}].
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Vamos aprender mais a frente que a funcao Q e convexa,contınua e, se ξ e v.a. contınua, derivavel.
Como estamos no intervalo [0, u], se cx + Q′(0) > 0, entao aderivada nao troca de sinal no intervalo e solucao otima ex∗ = 0.
Se cx + Q′(u) < 0, entao a solucao otima e x∗ = u.
Vamos procurar por solucoes de cx + Q′(x) = 0.
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Vamos aprender mais a frente que a funcao Q e convexa,contınua e, se ξ e v.a. contınua, derivavel.
Como estamos no intervalo [0, u], se cx + Q′(0) > 0, entao aderivada nao troca de sinal no intervalo e solucao otima ex∗ = 0.
Se cx + Q′(u) < 0, entao a solucao otima e x∗ = u.
Vamos procurar por solucoes de cx + Q′(x) = 0.
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Vamos aprender mais a frente que a funcao Q e convexa,contınua e, se ξ e v.a. contınua, derivavel.
Como estamos no intervalo [0, u], se cx + Q′(0) > 0, entao aderivada nao troca de sinal no intervalo e solucao otima ex∗ = 0.
Se cx + Q′(u) < 0, entao a solucao otima e x∗ = u.
Vamos procurar por solucoes de cx + Q′(x) = 0.
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Vamos aprender mais a frente que a funcao Q e convexa,contınua e, se ξ e v.a. contınua, derivavel.
Como estamos no intervalo [0, u], se cx + Q′(0) > 0, entao aderivada nao troca de sinal no intervalo e solucao otima ex∗ = 0.
Se cx + Q′(u) < 0, entao a solucao otima e x∗ = u.
Vamos procurar por solucoes de cx + Q′(x) = 0.
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
A expressao para Q e
Q(x) =
∫ x
−∞
(−qt − r(x − t))f (t) dt +
∫ ∞
x
−qx f (t) dt.
Rearrumando, temos
Q(x) = −(q − r)
∫ x
−∞
t f (t)dt − rxF (x) − qx(1 − F (x)).
Usando integracao por partes obtem-se
Q(x) = −qx + (q − r)
∫ x
−∞
F (t)dt.
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
A expressao para Q e
Q(x) =
∫ x
−∞
(−qt − r(x − t))f (t) dt +
∫ ∞
x
−qx f (t) dt.
Rearrumando, temos
Q(x) = −(q − r)
∫ x
−∞
t f (t)dt − rxF (x) − qx(1 − F (x)).
Usando integracao por partes obtem-se
Q(x) = −qx + (q − r)
∫ x
−∞
F (t)dt.
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
A expressao para Q e
Q(x) =
∫ x
−∞
(−qt − r(x − t))f (t) dt +
∫ ∞
x
−qx f (t) dt.
Rearrumando, temos
Q(x) = −(q − r)
∫ x
−∞
t f (t)dt − rxF (x) − qx(1 − F (x)).
Usando integracao por partes obtem-se
Q(x) = −qx + (q − r)
∫ x
−∞
F (t)dt.
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Derivando, chegamos a Q′(x) = −q + (q − r)F (x).
Finalmente, a solucao do problema e
x∗ = 0, se q−cq−r
< F (0),
x∗ = u, se q−cq−r
> F (u),
x∗ = F−1(
q−cq−r
)
, caso contrario.
Qualquer modelagem razoavel da demanda ξ admite que elaso assume valores positivos, e portanto nao temos x∗ = 0.
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Derivando, chegamos a Q′(x) = −q + (q − r)F (x).
Finalmente, a solucao do problema e
x∗ = 0, se q−cq−r
< F (0),
x∗ = u, se q−cq−r
> F (u),
x∗ = F−1(
q−cq−r
)
, caso contrario.
Qualquer modelagem razoavel da demanda ξ admite que elaso assume valores positivos, e portanto nao temos x∗ = 0.
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Derivando, chegamos a Q′(x) = −q + (q − r)F (x).
Finalmente, a solucao do problema e
x∗ = 0, se q−cq−r
< F (0),
x∗ = u, se q−cq−r
> F (u),
x∗ = F−1(
q−cq−r
)
, caso contrario.
Qualquer modelagem razoavel da demanda ξ admite que elaso assume valores positivos, e portanto nao temos x∗ = 0.
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Exemplo
Um exemplo numerico
Suponha que o custo do jornal para o jornaleiro seja c = 10,que o preco de venda seja q = 25, que o preco de devolucaoseja r = 5 e que o poder de compra e u = 150.
A demanda ξ e uma variavel aleatoria uniforme no intervalo[50, 150].
A solucao e x∗ = F−1(3/4) = 125.
![Page 78: Uma Introduc¸˜ao `a Otimizac¸˜ao sob IncertezaIntroduc¸a˜o O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referˆencias Restric¸˜oes O gado precisa de pelo menos 240 T de](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022070217/611f563a6ef27a33ed0e977f/html5/thumbnails/78.jpg)
Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Exemplo
Um exemplo numerico
Suponha que o custo do jornal para o jornaleiro seja c = 10,que o preco de venda seja q = 25, que o preco de devolucaoseja r = 5 e que o poder de compra e u = 150.
A demanda ξ e uma variavel aleatoria uniforme no intervalo[50, 150].
A solucao e x∗ = F−1(3/4) = 125.
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Exemplo
Um exemplo numerico
Suponha que o custo do jornal para o jornaleiro seja c = 10,que o preco de venda seja q = 25, que o preco de devolucaoseja r = 5 e que o poder de compra e u = 150.
A demanda ξ e uma variavel aleatoria uniforme no intervalo[50, 150].
A solucao e x∗ = F−1(3/4) = 125.
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
VSS
Inicialmente precisamos calcular a solucao otima paraξ = 100. A solucao e trivial: se a demanda e 100, entaocompre x∗ = 100 jornais!
Precisamos calcular o EEV, que e igual a
Eξ[10 · 100 + Q(100, ξ)] = 1000 − 25 · 100 + 20
∫ 100
50
ξ − 50
100dξ
= 1000 − 2500 + 20
(
75
2− 25
)
= −1250,
Conclui-se que VSS = 1312.5 − 1250 = 62.5.
![Page 81: Uma Introduc¸˜ao `a Otimizac¸˜ao sob IncertezaIntroduc¸a˜o O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referˆencias Restric¸˜oes O gado precisa de pelo menos 240 T de](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022070217/611f563a6ef27a33ed0e977f/html5/thumbnails/81.jpg)
Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
VSS
Inicialmente precisamos calcular a solucao otima paraξ = 100. A solucao e trivial: se a demanda e 100, entaocompre x∗ = 100 jornais!
Precisamos calcular o EEV, que e igual a
Eξ[10 · 100 + Q(100, ξ)] = 1000 − 25 · 100 + 20
∫ 100
50
ξ − 50
100dξ
= 1000 − 2500 + 20
(
75
2− 25
)
= −1250,
Conclui-se que VSS = 1312.5 − 1250 = 62.5.
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
VSS
Inicialmente precisamos calcular a solucao otima paraξ = 100. A solucao e trivial: se a demanda e 100, entaocompre x∗ = 100 jornais!
Precisamos calcular o EEV, que e igual a
Eξ[10 · 100 + Q(100, ξ)] = 1000 − 25 · 100 + 20
∫ 100
50
ξ − 50
100dξ
= 1000 − 2500 + 20
(
75
2− 25
)
= −1250,
Conclui-se que VSS = 1312.5 − 1250 = 62.5.
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
EVPI
Se conhecemos o valor da demanda ξ, entao a solucao ex∗ = ξ.
Assim, temos que
WS = Eξ[cξ + −qξ] = −15Eξ(ξ) = −1500.
Logo, EVPI = 1500 − 1312.5 = 187.5.
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
EVPI
Se conhecemos o valor da demanda ξ, entao a solucao ex∗ = ξ.
Assim, temos que
WS = Eξ[cξ + −qξ] = −15Eξ(ξ) = −1500.
Logo, EVPI = 1500 − 1312.5 = 187.5.
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
EVPI
Se conhecemos o valor da demanda ξ, entao a solucao ex∗ = ξ.
Assim, temos que
WS = Eξ[cξ + −qξ] = −15Eξ(ξ) = −1500.
Logo, EVPI = 1500 − 1312.5 = 187.5.
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Outras interpretacoes para o problema
Custo marginal
Vamos usar o conceito de ganho marginal para derivar asolucao do problema por uma outra trilha.
A expressao ganho marginal em economia se refere aocrescimento no lucro obtido quando se aumenta em umaunidade a quantidade vendida ou adquirida de umdeterminado bem.
Suponha que jornaleiro comprou k jornais. Qual e o lucroesperado na venda do k-esimo jornal?
A resposta e
lucro esperado = P(ξ < k)(r − c) + P(ξ ≥ k)(q − c).
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Outras interpretacoes para o problema
Custo marginal
Vamos usar o conceito de ganho marginal para derivar asolucao do problema por uma outra trilha.
A expressao ganho marginal em economia se refere aocrescimento no lucro obtido quando se aumenta em umaunidade a quantidade vendida ou adquirida de umdeterminado bem.
Suponha que jornaleiro comprou k jornais. Qual e o lucroesperado na venda do k-esimo jornal?
A resposta e
lucro esperado = P(ξ < k)(r − c) + P(ξ ≥ k)(q − c).
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Outras interpretacoes para o problema
Custo marginal
Vamos usar o conceito de ganho marginal para derivar asolucao do problema por uma outra trilha.
A expressao ganho marginal em economia se refere aocrescimento no lucro obtido quando se aumenta em umaunidade a quantidade vendida ou adquirida de umdeterminado bem.
Suponha que jornaleiro comprou k jornais. Qual e o lucroesperado na venda do k-esimo jornal?
A resposta e
lucro esperado = P(ξ < k)(r − c) + P(ξ ≥ k)(q − c).
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Outras interpretacoes para o problema
Custo marginal
Vamos usar o conceito de ganho marginal para derivar asolucao do problema por uma outra trilha.
A expressao ganho marginal em economia se refere aocrescimento no lucro obtido quando se aumenta em umaunidade a quantidade vendida ou adquirida de umdeterminado bem.
Suponha que jornaleiro comprou k jornais. Qual e o lucroesperado na venda do k-esimo jornal?
A resposta e
lucro esperado = P(ξ < k)(r − c) + P(ξ ≥ k)(q − c).
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Se o lucro esperado for negativo temos jornais encalhados e seo lucro for positivo temos excesso de demanda. A situacaoideal ocorre quando esse lucro e zero.
Nesse caso temos
lucro esperado = 0
= P(ξ < k)(r − c) + P(ξ ≥ k)(q − c)
= F (k)(r − c) + (1 − F (k))(q − c).
Devemos entao comprar
k = F−1
(
q − c
q − r
)
jornais.
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Se o lucro esperado for negativo temos jornais encalhados e seo lucro for positivo temos excesso de demanda. A situacaoideal ocorre quando esse lucro e zero.
Nesse caso temos
lucro esperado = 0
= P(ξ < k)(r − c) + P(ξ ≥ k)(q − c)
= F (k)(r − c) + (1 − F (k))(q − c).
Devemos entao comprar
k = F−1
(
q − c
q − r
)
jornais.
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Se o lucro esperado for negativo temos jornais encalhados e seo lucro for positivo temos excesso de demanda. A situacaoideal ocorre quando esse lucro e zero.
Nesse caso temos
lucro esperado = 0
= P(ξ < k)(r − c) + P(ξ ≥ k)(q − c)
= F (k)(r − c) + (1 − F (k))(q − c).
Devemos entao comprar
k = F−1
(
q − c
q − r
)
jornais.
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Estoque zerado
A probabilidade de se vender todos os jornais e
P({vender tudo}) = P(ξ ≥ x) = 1 − F (x).
Para a escolha x∗ temos
P({vender tudo}) = 1 − F (x∗) = 1 −q − c
q − r=
c − r
q − r.
Conclui-se que se r = 0 entao a quantidade de jornal a sercomprada deve ser escolhida de maneira que a probabilidadede se vender todos os jornais seja igual a razao custo/precounitario.
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Estoque zerado
A probabilidade de se vender todos os jornais e
P({vender tudo}) = P(ξ ≥ x) = 1 − F (x).
Para a escolha x∗ temos
P({vender tudo}) = 1 − F (x∗) = 1 −q − c
q − r=
c − r
q − r.
Conclui-se que se r = 0 entao a quantidade de jornal a sercomprada deve ser escolhida de maneira que a probabilidadede se vender todos os jornais seja igual a razao custo/precounitario.
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Estoque zerado
A probabilidade de se vender todos os jornais e
P({vender tudo}) = P(ξ ≥ x) = 1 − F (x).
Para a escolha x∗ temos
P({vender tudo}) = 1 − F (x∗) = 1 −q − c
q − r=
c − r
q − r.
Conclui-se que se r = 0 entao a quantidade de jornal a sercomprada deve ser escolhida de maneira que a probabilidadede se vender todos os jornais seja igual a razao custo/precounitario.
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Sumario
1 Introducao
2 O problema do fazendeiroIntroduzindo cenariosEVPI e VSS
3 O problema do jornaleiroEnunciado e formulacaoSolucaoExemploOutras interpretacoes para o problema
4 Referencias
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Introducao O problema do fazendeiro O problema do jornaleiro Referencias
Internet
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