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UNIVERSIDADE BANDEIRANTE ANHANGUERA DE SÃO PAULO ODILTHOM ELIAS DA SILVA ARREBOLA
UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA SOBRE TRANSFORMAÇÕES LINEARES EM UM AMBIENTE DE GEOMETRIA DINÂMICA
SÃO PAULO 2013
UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA ODILTHOM ELIAS DA SILVA ARREBOLA
UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA SOBRE TRANSFORMAÇÕES LINEARES EM UM AMBIENTE DE GEOMETRIA DINÂMICA
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-graduação em Educação Matemática da Universidade Bandeirante Anhanguera de São Paulo como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre. Orientador: Prof. Dr. Luiz Gonzaga Xavier de Barros
SÃO PAULO 2013
Arrebola, Odilthom Elias da Silva A799s Uma sequência didática sobre transformações lineares em um ambiente de geometria dinâmica /Odilthom Elias da Silva Arrebola. -- São Paulo: Universidade Bandeirante Anhanguera, 2013.
XVi.:219 f.: il.; 31 cm. Dissertação (MESTRADO) – Universidade Bandeirante Anhanguera, 2013. Orientador: Prof. Dr. Luiz Gonzaga Xavier de Barros. Referências bibliográficas: f. 123 – 128.
1. Álgebra Linear. 2. Transformações Lineares. 3. Registros de Representações Semióticas. 4. Sequência Didática 5. Cabri-Géomètre.
I. Barros, Luiz Gomzaga Xavier de. II. Universidade Bandeirante Anhanguera
IV. Título. CDD 512. 5
ODILTHOM ELIAS DA SILVA ARREBOLA
UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA SOBRE TRANSFORMAÇÕES LINEARES EM UM AMBIENTE DE GEOMETRIA DINÂMICA
DISSERTAÇÃO APRESENTADA À UNIVERSIDADE BANDEIRANTE ANHANGUERA DE SÃO PAULO,
COMO EXIGÊNCIA DO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA,
PARA OBTENÇÃO DO TÍTULO DE MESTRE EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA Presidente e Orientador
Nome: Luiz Gonzaga Xavier Barros Titulação: Doutor Instituição: UNIBAN-ANHANGUERA Assinatura: __________________________________________________
2ª Examinador
Nome: Marcos Antonio Santos de Jesus Titulação: Doutor Instituição: FEI Assinatura: __________________________________________________
3ª Examinador
Nome: Vicenzo Bongiovanni Titulação: Doutor Instituição: UNIBAN-ANHANGUERA Assinatura: __________________________________________________
Biblioteca
Bibliotecário: Assinatura:__________________________________Data____/____/____
São Paulo, ___de____________ de 2013.
Dedico esse trabalho “in memorium” à minha avó Deolinda Walser Arruda Pinheiro e
meu padrinho Maurício Barboza, que me criaram desde a tenra idade até a
adolescência, educando-me com rigor e religiosidade, aos meus pais Thomaz Arrebola
e Odirza da Silva Arrebola que deram continuidade a minha formação até a fase adulta
e a minha saudosa irmã Deoliza Carlota da Silva Arrebola Motta, amiga e companheira
de minha juventude.
AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus por, nesta fase de minha vida, ter me dado oportunidade de realizar
um antigo sonho. Depois à minha família, minha esposa Ines Villamarin Arrebola e
meus filhos, Fábio e Fernando, que em momentos de angústia, de incerteza,
incentivaram-me, deram-me chão nesta empreitada, sem o qual não me seria possível
realizá-la.
Aos professores, Tânia Maria Mendonça Campos e Ruy Pietropaolo por
proporcionarem-me um curso de bom nível em um ambiente agradável.
Às professoras Vera Helena Giusti de Souza e Verônica Yumi Kataoka, que após o
processo de seleção, prova de matemática, redação sobre o tema de Educação ou
Educação Matemática e análise do curriculum vitae, avaliaram-me em entrevista.
Ao meu orientador, Professor Dr. Luis Gonzaga Xavier Barros, pelas horas de
incansáveis dispensadas à leitura, à correção e à compreensão; além do apoio,
amizade e paciência comigo, fatores estes preponderantes que não me deixaram
desistir.
Ao professor Dr. Marcos Antonio Santos de Jesus, da Faculdade de Engenharia
Industrial – FEI que muito nos honrou ao aceitar o convite para participar da banca
examinadora.
Ao professor Dr. Vicenzo Bongiovanni por sua participação na banca examinadora e
também pelos conhecimentos que me foram transmitidos em Cabri II e 3D, ferramenta
importante nas atividades desta pesquisa.
A Dra. Marlene Dias Alves por ter me propiciado conhecimento na disciplina Álgebra
Linear que contribuiu à confecção deste trabalho, além de seus valiosos conselhos.
À coordenação e a todos os estudantes da instituição privada de ensino superior que
participaram do experimento, cuja contribuição no desenvolvimento e aplicação das
atividades foi cerne desta pesquisa, e, à direção do colégio privado de Santos que
disponibilizou seu laboratório de informática para a realização das atividades com
Cabri-Géomètre.
Ao professor Ms. Sávio Mendes França pela prestimosa ajuda e sugestões durante a
aplicação das atividades laboratoriais.
A todos os componentes do corpo permanente do Programa de Pós-Graduação em
Educação Matemática – Mestrado Acadêmico e Doutorado; em especial, Aparecida
Rodrigues Silva Duarte, Janete Bolite Frant, Maria Elisa Esteves Lopes Galvão, Maria
Helena Palma de Oliveira, Monica Karrer, Siobhan Victoria Healy (Lulu Healy) e
Solange Hassan Ahmad Ali Fernandes que foram meus professores nas disciplinas
referentes aos créditos.
Aos amigos que compuseram as disciplinas por mim cursadas, durante o mestrado,
pela amizade, carinho e respeito , assim como, as contribuições fornecidas durante as
discussões em grupo.
Não poderia deixar de agradecer aos bibliotecários da UNIBAN-ANHANGUERA, no
apoio às pesquisas e na orientação quanto às inúmeras normas brasileiras.
A todos, desde os mais simples funcionários aos mais graduados, minha eterna
gratidão.
Quem passou pela vida em branca nuvem, E em plácido repouso adormeceu; Quem não sentiu o frio da desgraça; Quem passou pela vida e não sofreu: Foi espectro de homem – não foi homem, Só passou pela vida – não viveu. Francisco Otaviano (poeta e político, RJ, 1823-1889)
(p.345 da “Antologia Brasileira do prof. Ely Werneck”, 21ª ed. Rio de Janeiro, Livraria Francisco Alves, 1941).
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ................................................................................................................. 1
1 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ............................. ................................................... 5
1.1 REGISTROS DE REPRESENTAÇÕES SEMIÓTICAS ....................................... 5
2 INFORMÁTICA NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA ................ .................................. 17
2.1 REVISÃO DE LITERATURA ............................................................................. 17
3 TRANSFORMAÇÕES LINEARES ........................... .............................................. 35
3.1 ESPAÇOS VETORIAIS REAIS ......................................................................... 35
3.2 BASES E DIMENSÃO ....................................................................................... 39
3.3 TRANSFORMAÇÕES LINEARES EM DIMENSÃO 2 ....................................... 43
3.3.1 Dilatação ou contração ou inversão ............................................................ 43
3.3.2 Cisalhamento .............................................................................................. 44
3.3.3 Reflexão ..................................................................................................... 46
3.3.4 Rotação ...................................................................................................... 49
3.4 TRANSFORMAÇÕES LINEARES EM DIMENSÃO 3 ....................................... 51
3.4.1 PRINCIPAIS TRANSFORMAÇÕES LINEARES EM R3 ............................. 51
3.4.1.1 Projeção ortogonal de um vetor sobre um plano coordenado ....................... 51
3.4.1.2 Simetria de um vetor em relação a um plano coordenado segundo um eixo coordenado. ................................................................................................................... 55
3.4.1.3 Simetria de um vetor em relação à origem (vetor simétrico) ......................... 58
3.4.1.4 Rotação de um ângulo θ
de um vetor em torno de um eixo coordenado ..... 59
4 MÉTODO, SUJEITOS E MATERIAIS ...................... ............................................... 62
4.1 SUJEITOS ......................................................................................................... 63
4.1.1 Material ....................................................................................................... 64
4.1.2 O software Cabri Géomètre ........................................................................ 64
4.1.2.1 Aspectos gerais ............................................................................................ 64
4.1.2.2 O software Cabri-Géomètre II ....................................................................... 65
4.1.2.3 O software Cabri 3D ..................................................................................... 65
4.2 MÉTODO .......................................................................................................... 66
4.2.1 A proposta de estudo .................................................................................. 66
4.2.2 O problema de pesquisa ............................................................................. 66
4.2.3 Objetivo ...................................................................................................... 66
4.2.4 Interesse do estudo .................................................................................... 67
4.2.5 Variáveis de controle do estudo.................................................................. 67
4.2.6 Delineamento da pesquisa ......................................................................... 67
4.2.7 Procedimentos ............................................................................................ 68
4.2.8 A sequência didática ................................................................................... 68
4.2.8.1 Objetivo da sequência .................................................................................. 69
4.3 MODELO PROPOSTO ..................................................................................... 69
4.4 ELABORAÇÃO DA SEQUÊNCIA DIDÁTICA .................................................... 70
4.5 PROCEDIMENTOS NA PRIMEIRA FASE ........................................................ 70
4.5.1 Instrumento da primeira fase ...................................................................... 70
4.5.2 Aplicação de instrumentos .......................................................................... 71
4.5.2.1 Atividade 1 - Aplicação do questionário exploratório em ambiente papel&lápis 71
4.5.2.2 Atividade 2 com o aplicativo Cabri II ............................................................. 73
4.5.2.3 Atividade 3 com o aplicativo Cabri 3D .......................................................... 75
5 ANÁLISE EM FUNÇÃO DOS RESULTADOS .................. ..................................... 77
5.1 DESCRIÇÃO E ANÁLISE DA I ATIVIDADE: APLICAÇÃO DO QUESTIONÁRIO EXPLORATÓRIO EM AMBIENTE PAPEL&LÁPIS ..................................................... 77
5.1.1 Procedimento.............................................................................................. 77
5.1.2 Análise e discussão dos resultados ............................................................ 81
5.1.2.1 Resultados dos sujeitos na I Atividade ......................................................... 85
5.2 DESCRIÇÃO E ANÁLISE DA II ATIVIDADE DE FAMILIARIZAÇÃO COM O APLICATIVO CABRI II ................................................................................................ 86
5.2.1 Descrição da estrutura de conteúdo do instrumento II Atividade com o aplicativo Cabri II ..................................................................................................... 86
5.3 DESCRIÇÃO E ANÁLISE DA III ATIVIDADE DE FAMILIARIZAÇÃO COM O APLICATIVO CABRI 3D ............................................................................................. 92
5.3.1 Descrição da estrutura de conteúdo do instrumento III Atividade com o aplicativo Cabri 3D .................................................................................................. 93
5.4 DESCRIÇÃO E ANÁLISE DOS QUESTIONÁRIOS RELACIONADOS COM AS ATIVIDADES DE FAMILIARIZAÇÃO COM O APLICATIVO CABRI II E CABRI 3D . 104
CONSIDERAÇÕES FINAIS .............................. ........................................................... 120
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................ .................................................... 123
ANEXOS ...................................................................................................................... 129
ANEXO A: I – ATIVIDADE 1 QUESTIONÁRIO EXPLORATÓRIO ........................... 129
ANEXO B: II – ATIVIDADE 2 COM O APLICATIVO CABRI II .................................. 130
ANEXO C: III – ATIVIDADE 3 COM O APLICATIVO CABRI 3D .............................. 131
ANEXO D: IV – ATIVIDADE 4:QUESTIONÁRIO FINAL AOS PARTICIPANTES DAS ATIVIDADES DO CURSO TÓPICO EXPLORADO: TRANSFORMAÇÕES LINEARES EM R2 E EM R3 ......................................................................................................... 132
ANEXO E: IV – ATIVIDADE 4:QUESTIONÁRIO SOBRE A II ATIVIDADE FAMILIARIZAÇÃO COM O APLICATIVO CABRI II TÓPICO EXPLORADO: TRANSFORMAÇÕES LINEARES NO R2 ................................................................. 133
ANEXO F: IV – ATIVIDADE 4:FAMILIARIZAÇÃO COM O APLICATIVO CABRI 3D TÓPICO EXPLORADO: TRANSFORMAÇÕES LINEARES NO R3 .......................... 134
ANEXO G: II ATIVIDADE – PRODUÇÕES DOS SUJEITOS COM CABRI II ........... 135
ANEXO H: III ATIVIDADE – PRODUÇÕES DOS SUJEITOS COM CABRI 3D ........ 158
ANEXO I: QUESTIONÁRIO FINAL AOS PARTICIPANTES ..................................... 176
SUJEITO 1 ................................................................................................................ 176
SUJEITO 2 ................................................................................................................ 177
SUJEITO 3 ................................................................................................................ 178
SUJEITO 4 ................................................................................................................ 179
SUJEITO 5 ................................................................................................................ 180
SUJEITO 7 ................................................................................................................ 181
SUJEITO 9 ................................................................................................................ 182
SUJEITO 10 .............................................................................................................. 183
SUJEITO 11 .............................................................................................................. 184
ANEXO J: QUESTIONÁRIO SOBRE A II ATIVIDADE ............................................. 185
SUJEITO 1 ................................................................................................................ 185
SUJEITO 2 ................................................................................................................ 186
SUJEITO 3 ................................................................................................................ 187
SUJEITO 4 ................................................................................................................ 188
SUJEITO 5 ................................................................................................................ 189
SUJEITO 7 ................................................................................................................ 190
SUJEITO 9 ................................................................................................................ 191
SUJEITO 10 .............................................................................................................. 192
SUJEITO 11 .............................................................................................................. 193
ANEXO K: QUESTIONÁRIO SOBRE A II ATIVIDADE ............................................. 194
SUJEITO 1 ................................................................................................................ 194
SUJEITO 2 ................................................................................................................ 195
SUJEITO 3 ................................................................................................................ 196
SUJEITO 4 ................................................................................................................ 197
SUJEITO 5 ................................................................................................................ 198
SUJEITO 7 ................................................................................................................ 199
SUJEITO 9 ................................................................................................................ 200
SUJEITO 10 .............................................................................................................. 201
SUJEITO 11 .............................................................................................................. 202
LISTA DE FIGURAS
Figura 1. Adição de vetores de R². ................................................................................. 37 Figura 2. Representa a multiplicação de um escalar real por um vetor de R². ............... 37 Figura 3. Representa a multiplicação de um escalar por um vetor real de R³. ............... 39 Figura 4. Um vetor genérico de R² como combinação linear da base canônica............. 41 Figura 5. Dilatação ou contração ou inversão de um vetor de R². .................................. 44 Figura 6. Cisalhamento de um vetor de R² na direção do eixo dos x. ............................ 45 Figura 7. Cisalhamento de um vetor de R² na direção do eixo dos y. ............................ 46 Figura 8. Reflexão de um vetor de R² na direção do eixo dos x. .................................... 47 Figura 9. Reflexão de um vetor de R² na direção do eixo dos y. .................................... 48 Figura 10. Reflexão de um vetor de R² em torno da origem. ......................................... 49 Figura 11. Rotação de um vetor de R² por um ângulo teta............................................. 50 Figura 12. Projeção ortogonal de um vetor de R³ sobre o plano coordenado xy............ 52 Figura 13. Projeção ortogonal de um vetor de R³ sobre um plano coordenado xz......... 53 Figura 14. Projeção ortogonal de um vetor de R³ sobre um plano coordenado yz......... 54 Figura 15. Representa a simetria de um vetor v de R³ no plano yz, segundo o eixo x. .. 55 Figura 16. Representa simetria de um vetor v de R³ no plano xz, segundo o eixo y...... 56 Figura 17. Representa simetria de um vetor v de R³ no plano xy................................... 57 Figura 18. Representa simetria de um vetor v de R³ em relação à origem. ................... 58 Figura 19. Representa a rotação de um vetor v de R³ em torno do eixo z por um ângulo dado. .............................................................................................................................. 59 Figura 20. Representa a rotação de um vetor v de R³ em torno do eixo y por um ângulo dado. .............................................................................................................................. 60 Figura 21. Representa a rotação de um vetor de R³ em torno do eixo x por um ângulo dado. .............................................................................................................................. 61 Figura 22. Produção do sujeito S1 nas questões 1 e 2. ................................................. 82 Figura 23. Produção do sujeito S2 nas questões 1 e 2. ................................................. 83 Figura 24. Produção do sujeito S4 na questão 3............................................................ 83 Figura 25. Produção do sujeito S4 nas questões 1, 2 e 3 na I Atividade: Questionário Exploratório. ................................................................................................................... 84 Figura 26. Produção do sujeito S2 na questão 2 da II Atividade com o uso do aplicativo. ....................................................................................................................................... 90 Figura 27. Produção do sujeito S10 na questão 2 da II Atividade com o uso do aplicativo. ....................................................................................................................... 91 Figura 28. Resposta do S10 ao questionário sobre III Atividade. ................................... 95 Figura 29. Produção do sujeito S3 nas questões 1 e 2 da III Atividade com o uso do aplicativo. ....................................................................................................................... 96 Figura 30. Resposta do S3 ao questionário final. ........................................................... 97 Figura 31. Produção do sujeito S7 nas questões 2 e 3 da III Atividade com o uso do aplicativo. ....................................................................................................................... 97 Figura 32. Produção do sujeito S3 na questão 3 da III Atividade com o uso do aplicativo. ....................................................................................................................................... 98
Figura 33. Produção do sujeito S4 na questão 3 da III Atividade com o uso do aplicativo. ....................................................................................................................................... 99 Figura 34. Produção do sujeito S5 na questão 3 da III Atividade com o uso do aplicativo. ....................................................................................................................................... 99 Figura 35. Produção do sujeito S2 na questão 4 da III Atividade com o uso do aplicativo. ..................................................................................................................................... 102 Figura 36. Produção do sujeito S4 na questão 3 da III Atividade com o uso do aplicativo. ..................................................................................................................................... 102 Figura 37. Produção como exemplo da questão4 da III Atividade com o uso do aplicativo. ..................................................................................................................... 104 Figura 38. Resposta do sujeito S4 na questão 1 do questionário final. ........................ 105 Figura 39. Resposta do sujeito S5 na questão 2 do questionário final. ........................ 106 Figura 40. Resposta do sujeito S11 na questão 3 do questionário final. ...................... 106 Figura 41. Resposta do sujeito S5 na questão 4 do questionário final. ........................ 107 Figura 42. Resposta do sujeito S9 na questão 5 do questionário final. ........................ 108 Figura 43. Resposta do sujeito S5 na questão 6 do questionário final. ........................ 109 Figura 44. Resposta do sujeito S5 na questão 1 do questionário sobre II Atividade. ... 110 Figura 45. Resposta do sujeito S10 na questão 2 do questionário sobre II Atividade. . 111 Figura 46. Resposta do sujeito S2 na questão 3 do questionário sobre II Atividade. ... 111 Figura 47. Resposta do sujeito S10 na questão 4 do questionário sobre II Atividade. . 112 Figura 48. Resposta do sujeito S8 na questão 8 do questionário sobre II Atividade. ... 113 Figura 49. Resposta do sujeito S4 na questão 1 do questionário sobre III Atividade. .. 114 Figura 50. Resposta do sujeito S5 na questão 1 do questionário sobre III Atividade. .. 114 Figura 51. Resposta do sujeito S3 na questão 2 do questionário sobre III Atividade. .. 115 Figura 52. Resposta do sujeito S10 na questão 2 do questionário sobre III Atividade. 115 Figura 53. Resposta do sujeito S1 na questão 5 do questionário sobre III Atividade. .. 116 Figura 54. Resposta do sujeito S4 na questão 8 do questionário sobre III Atividade. .. 118
LISTA DE QUADROS
Quadro 1. Classificação dos diferentes tipos de registros. ............................................. 11
Quadro 2. Representação do objeto matemático transformação linear plana em diferentes registros. ........................................................................................................ 13
Quadro 3. Tipo de registro do mesmo tipo com diferentes registros. ............................. 14
Quadro 4. Representação do objeto matemático transformação linear em diferentes registros.......................................................................................................................... 16
Quadro 5. Exemplo de resolução da I Atividade – Questionário Exploratório. .............. 80
Quadro 6. Tabulação das resoluções dadas pelos sujeitos. .......................................... 81
Quadro 7. Tabela com as respostas dadas pelos alunos. .............................................. 82
ÍNDICE DE TABELAS
Tabela 1. Distribuição dos resultados dos sujeitos na I Atividade. ................................ 85
RESUMO
Esta pesquisa pretendeu contribuir na investigação e análise das dificuldades
encontradas pelos estudantes do ensino superior no tópico transformações lineares, o
qual é abordado na disciplina Álgebra Linear nos cursos de graduação de ciências
exatas. O referencial teórico adotado foi a Teoria dos Registros de Representações
Semióticas introduzida e desenvolvida por Raymond Duval (DUVAL (1993, 1995, 2003,
2011)). A questão do trabalho foi verificar “Como alunos do curso superior reagem ao
lidar com o conceito de transformação linear num ambiente de geometria dinâmica”.
Numa primeira fase foi feita a revisão bibliográfica de livros didáticos e artigos que
abordam o tema, visando adquirir familiaridade com o assunto e situar o problema de
pesquisa. Depois, foi feita uma revisão de artigos que tratam das consequências do uso
de ferramentas de informática no processo de ensino e de aprendizagem de Álgebra
Linear. Em seguida, fez-se uma descrição do software Cabri-Géomètre, mostrando
suas ferramentas e algumas funcionalidades. Para estudar a reação de estudantes do
curso superior ao conceito de transformação linear num ambiente dinâmico foi
elaborada, aplicada e analisada uma sequência didática sobre transformações lineares
em R2 e em R3. As produções desses sujeitos mostraram que houve um ganho na
aprendizagem do objeto matemática nesse ambiente geométrico dinâmico em relação à
aprendizagem em um ambiente papel&lápis. Além disso, os questionários aplicados ao
final da pesquisa vieram favorecer a ideia de que a reação foi, predominantemente,
favorável à aprendizagem nesse ambiente dinâmico. Desta forma, a resposta à questão
da pesquisa enunciada foi positiva tanto do aspecto de motivação do software como do
conteúdo abordado.
Palavras – chave: Álgebra Linear. Transformações Lineares. Registros de
Representações Semióticas. Sequência didática. Cabri-Géomètre.
ABSTRACT
This research intended to contribute to the investigation and analysis of the
difficulties encountered by students in higher education on the topic linear
transformations, which is addressed in the course Linear Algebra in graduate exact
sciences. The theoretical reference was the Theory of Representations Records
Semiotics introduced and developed by Raymond Duval (Duval (1993, 1995, 2003,
2011)). Initially we made a literature review of textbooks and articles that address this
issue to gain familiarity with the subject and situate the research problem. The question
of the study was to "As college students react to deal with the concept of linear
transformation in a dynamic geometry environment". After a review was made of articles
dealing with the consequences of the use of computer tools in the teaching and learning
of Linear Algebra. Then we made a description of the software Cabri-Géomètre,
showing his tools and some features. To study the reaction of college students to the
concept of linear transformation in a dynamic environment was developed, implemented
and analyzed “a didactical sequence of linear transformations in R2 and R3." The
productions of these subjects showed that there was a gain in learning mathematical
object that dynamic geometric environment in relation to learning in an environment
paper & pencil. Furthermore, questionnaires at the end of the research came to favor the
view that the reaction was predominant in this environment conducive to learning
dynamic. Thus, the answer to the research question was stated positive aspect is the
motivation of software as the content covered.
Words - Tags: Linear Algebra. Linear Transformations. Semiotics Representations
Registers. Didactical sequence. Cabri-Géomètre
1
INTRODUÇÃO
A Álgebra Linear é um ramo da Matemática que serve como base para muitas
outras áreas da Matemática. Suas aplicações são importantes nas ciências exatas e
humanas, por isso, a relevância do ensino e aprendizagem dessa disciplina na
Educação Matemática atrai muitos pesquisadores de Educação Matemática com a
finalidade de estudarem as dificuldades encontradas pelos estudantes nesse processo.
O livro “The Teaching of Linear Algebra in Question” (DORIER, 2000), editado por Jean
Luc Dorier, traz uma retrospectiva das principais pesquisas envolvendo o processo de
ensino e aprendizagem de Álgebra Linear nas décadas de 80/90 do século XX
realizadas na França e alguns outros países, incluindo algumas experiências brasileiras
como o trabalho da pesquisadora ALVES DIAS (1998).
Desde a década de 70, com o desenvolvimento das pesquisas em Educação
Matemática, surgiram teorias educacionais que têm sido desenvolvidas em ambientes
escolares, facilitando análises dos processos educacionais. Dentre elas, uma se
destaca: a Teoria dos Registros de Representações Semióticas de Raymond Duval
(DUVAL (1993, 1995, 2003, 2011)), que tenta explicar o processo cognitivo do
aprendizado, baseando-se em aspectos da Semiótica e da Psicologia Cognitiva. Essa
teoria é tratada no Capítulo 1 desta dissertação.
Por outro lado, a utilização de ferramentas da informática nos processos de
ensino e aprendizagem de Matemática tem se intensificado ao longo dos últimos 30
anos, e essa intensificação estimulou o aparecimento de mais um caminho de pesquisa
de problemas educacionais: o de examinar as consequências dessa utilização. Sendo
assim, no Capítulo 2 desta dissertação, buscou-se fazer um panorama do estado da
arte dessas pesquisas.
Para isso, embasado nas ideias de BORBA e PENTEADO (2010), procurou-se
relacionar a aprendizagem dos alunos com seu desenvolvimento na construção do
conhecimento.
2
Consultou-se a obra de GIRALDO e CARVALHO (2004), onde se encontrou uma
boa revisão bibliográfica sobre a utilização de ferramentas da Informática nos processos
de ensino e aprendizagem de Matemática. Esses autores, entendendo que a máquina
não encerra em si nenhum atributo intrínseco à qualidade de sua utilização no ensino,
também destacam a observação de que o uso de tecnologia pode constituir uma
importante alternativa para o modelo tradicional da aula de Matemática. Entretanto,
afirmam que isso não depende do fato de usar computadores por si só: tal perspectiva
só pode ser concretizada por meio do planejamento cuidadoso de atividades de
laboratório que estimulem a formação de uma postura investigativa por parte dos alunos
e da preparação e motivação dos professores para conduzi-las.
Estudou-se também a tese de doutorado de KARRER (2006), intitulada
“Articulação entre Álgebra Linear e Geometria: Um estudo sobre as transformações
lineares na perspectiva dos registros de representação semiótica”, que serviu de
inspiração e de baliza para a abordagem do tema deste trabalho. É importante realçar
que em sua tese, a pesquisadora consegue estabelecer relações entre o processo de
ensino e aprendizagem de Álgebra Linear com a teoria dos Registros de
Representações Semióticas, utilizando exclusivamente uma abordagem informática por
meio do software Cabri-Géomètre. Nas suas conclusões finais, ela afirma:
“O aspecto dinâmico do Cabri-Géomètre foi o diferencial para explorar situações não usuais no ensino convencional, tais como a relação dinâmica e simultânea entre as representações algébrica, gráfica e tabular, a análise geométrica das condições de linearidade e reflexões diferenciadas sobre as condições necessárias para a obtenção de uma transformação linear.” (KARRER, 2006).
O tema “transformações lineares planas e espaciais” que desperta bastante
interesse nos estudantes, seja por sua ligação direta com a Álgebra Linear, seja pelas
aplicações geométricas que estão associadas a ele.
Após a leitura de CANDIDO (2001) e de BARROS e KARRER (2011) foram
encontradas as motivações finais e definida a seguinte questão de pesquisa:
3
“Como alunos do curso superior reagem ao lidar com o conceito de
transformação linear num ambiente de geometria dinâmica?”.
Visando responder essa questão, este estudo propôs a análise e discussão do
desempenho dos sujeitos em relação às transformações lineares na perspectiva de um
ensino e aprendizagem com o auxílio da ferramenta computacional, através do uso do
software geométrico dinâmico CABRI. Para verificar esse aplicativo como ferramenta
auxiliar no processo de ensino e aprendizagem, uma sequência didática sobre
transformações lineares em R2 e em R3 foi elaborada, aplicada e analisada.
É inegável que hoje, com o desenvolvimento tecnológico, as formas de ensinar
vêm sofrendo modificações e estudiosos da área de educação matemática estão
focalizados na introdução dos computadores no processo de ensino e aprendizagem,
visando torná-lo mais dinâmico e moderno. Esta preocupação com o ensino da
matemática é refletida no artigo (JESUS et AL, 2010) intitulado: “A utilização de
software educacional em sala de aula e a mudança de atitudes dos alunos em relação à
Matemática”, na citação a seguir:
...cabe a cada um dos educadores envolvidos nesse processo de ensino-aprendizagem intervir com técnicas adequadas, visando que seus alunos melhorem as atitudes em relação à disciplina ministrada por ele. (JESUS (2005) apud (JESUS et AL (2010)).
No Capítulo 3, é desenvolvido o conteúdo matemático relativo à parte da Álgebra
Linear que interessa a este trabalho: as transformações lineares no plano e no espaço.
Para isso, foram aproveitadas as qualidades de representação gráfica do software
Cabri-Géomètre para apresentar as ilustrações dessas transformações.
O capítulo 4 desta pesquisa, cujo título é “Método, sujeitos e materiais”,
procurou-se elaborar uma sequência didática que foi aplicada e analisada segundo a
teoria de registros de representações semióticas de DUVAL (1993, 1995, 2003, 2011).
Também se fez uma descrição da metodologia dos instrumentos utilizados na
4
avaliação; assim como da trajetória de pesquisa, sujeitos, método e dos materiais. Na
parte de material, realizou-se uma apresentação sucinta do software Cabri-Géomètre,
que serviu de apoio informático para as atividades deste trabalho, descrevendo-se os
aspectos gerais e algumas das funcionalidades dessa ferramenta.
No capitulo 5, denominado “Análise em função dos resultados” são apresentadas
e analisadas as produções efetuadas pelos sujeitos que participaram das atividades
desse experimento. Foram realizados sete encontros, sendo quatro no Laboratório de
Informática do colégio particular de ensino médio e três em sala de aula de uma
universidade privada, ambos da cidade de Santos, no Estado de São Paulo. Os sujeitos
em questão cursavam a graduação: Bacharelado em Matemática. Assim, procurou-se
avaliar a reação desses estudantes ao lidarem com o conceito de transformação linear
num ambiente de geometria dinâmica.
Por último, nas “Considerações Finais” são apresentadas as principais
conclusões da pesquisa e sugestões.
5
1 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Nessa seção apresentou-se o referencial teórico da pesquisa, procurando
evidenciar sua importância em relação ao estudo das transformações lineares.
1.1 REGISTROS DE REPRESENTAÇÕES SEMIÓTICAS
A Teoria dos Registros de Representações Semióticas, introduzida por Raymond
Duval e exposta em diversos artigos e livros (DUVAL (1993), (1995), (2003), (2011)), é
o suporte teórico desta pesquisa.
DUVAL (2011) baseou-se nos estudos efetuados pelos filósofos e lógicos
Charles Sanders Peirce (1839-1914) e Gotlob Frege (1848-1925) para desenvolver sua
teoria. Antes disso, o autor afirma que os trabalhos de Leibniz (1663-1652) e Wallis
(1616-1703) com a introdução das letras no lugar das grandezas e dos números, já
tinham feito emergir, pela primeira vez, a questão do papel dos signos no pensamento
matemático. Ele cita também a construção das representações gráficas das figuras
geométricas feita em 1637 por Descartes (1596-1650), bem como, a extensão semiótica
do mundo das representações, verificada em trabalhos de Newton (1642-1727) em
1669 e de Leibniz em 1672, como aberturas para novas notações, fazendo aparecer à
natureza da atividade e do conhecimento matemático. Condillac (1715-1780) ao referiu-
se à emergência da álgebra como criação de um simbolismo que constituiu “a língua
dos cálculos”, dando início a uma nova fase no desenvolvimento matemático.
Todavia, o estudo propriamente dito dos signos, com a elaboração dos modelos
de análise concernentes à diversidade deles e seu papel de funcionamento das
atividades científicas e comunicação, apareceu quase ao mesmo tempo, com os
trabalhos de dois pesquisadores, os quais são explicitamente associados à fundação da
Semiótica como disciplina: o trabalho de Pierce entre os anos 1890-1910 e o de
Saussure, com a publicação da obra “Cours de Linguistique Générale”, em 1916, em
Genebra. Assim, unem-se esses trabalhos aos dois artigos publicados por Gotlob Frege
em 1892 e 1894 no estudo da Semiótica.
6
A escolha da Teoria dos Registros de Representações Semióticas justifica-se na
medida em que esta tem se mostrado muito útil como apoio a pesquisas que envolvem
a abordagem de temas matemáticos em diferentes situações, e pelo fato de que o
acesso a objetos matemáticos só é possível por meio de representações desses. Dado
que o aprendizado de Matemática se dá por meio de atividades cognitivas fundamentais
como a conceitualização, o raciocínio, a resolução de problemas e mesmo a
compreensão de textos, por conseguinte, essas atividades cognitivas requerem a
utilização de sistemas de expressão e de representação de escritas algébricas e
lógicas, de figuras geométricas, de perspectivas geométricas, de gráficos cartesianos,
diagramas, esquemas, além da própria linguagem natural e das imagens. Esse uso de
muitos sistemas semióticos de representação, cuja pluralidade de registros é de suma
importância no ensino e aprendizagem da Matemática, constitui-se em uma das
principais ferramentas para a apreensão conceitual, para o raciocínio ou para a
compreensão de enunciados.
Conforme BARROS (2011), em Matemática toda a comunicação se estabelece
por meio de representações. Esse autor afirma que os objetos de estudo da Matemática
são conceitos, propriedades, estruturas, relações, e, para o seu ensino, é necessário
considerarmos as diferentes representações de um mesmo objeto, tais como: escritos,
símbolos, desenhos, gráficos, notações que representam os objetos matemáticos.
Assim, essas representações estão entre os problemas estudados na Educação
Matemática, com a finalidade de:
• Descrever como se dá a aquisição do conhecimento matemático:
• Analisar de que forma se processa a aprendizagem.
Para DUVAL (2009), é evidente que não se pode ter compreensão em
Matemática, se não houver capacidade de distinguir um objeto de sua representação.
Assim, há de separarem-se os objetos matemáticos; por exemplo: os números, as
funções, as retas, etc., de suas representações, quer dizer, as escritas decimais ou
fracionárias, os símbolos, os gráficos, os traçados das figuras. Além disso, um objeto
matemático pode ser dado através de representações muito diferentes, de tal forma que
esse autor é enfático ao afirmar que confundir o objeto com sua representação provoca
uma perda de compreensão com o decorrer do tempo.
7
Cabe aqui ressaltar BARROS (2011), para quem a semiótica é uma ciência
ligada a signos, cuja função é a comunicação. Assim, esse autor vê um sistema
semiótico como conjunto de signos que se articulam segundo regras próprias. Além
disso, Barros afirma que uma representação semiótica de um objeto é o resultado do
ato de criar uma cópia ou produzir alguma expressão que lembre esse objeto. Desse
modo, segundo o autor, toda representação semiótica se caracteriza por ter forma e
conteúdo, coincidindo com as ideias de DUVAL (1993), quando este explicita que as
representações semióticas são relativas a um sistema particular de signos cuja
dualidade é apresentada pela sua forma (o representante) e pelo seu conteúdo (o
representado).
Duval faz distinção entre os termos semiósis e noésis, sendo o primeiro termo, a
apreensão ou a produção de uma representação semiótica, enquanto o segundo termo,
a designação do ato de compreensão conceitual dos fatos cognitivos como apreensão
conceitual de um objeto. Pareceria evidente admitir que a noésis fosse independente da
semiósis, ou, no mínimo, que a semiósis orientasse a noésis, mas, todavia ele enfatiza
que não existe noésis sem semiósis, o que quer dizer que não existirá noésis sem o
recurso da pluralidade, ao menos potencial, dos sistemas semióticos e da sua
coordenação pelo próprio sujeito.
Desse modo, em Matemática, as representações semióticas não são somente
indispensáveis para fins de comunicação, elas são necessárias ao desenvolvimento da
atividade matemática. Além disso, a possibilidade de efetuar tratamentos sobre o objeto
matemático, como afirma DUVAL (2009), depende diretamente do sistema de
representação semiótica utilizado, e, do fato dos tratamentos matemáticos não poderem
ser efetuados independentemente de um sistema semiótico de representação, por isso
a noção de representação para DUVAL (2009) é tão essencial em Psicologia quanto à
noção de comportamento para estudar a aquisição dos conhecimentos e os modos
como funcionam permitem tratamentos e apreensão.
Enfim, de um ponto de vista genérico, as representações mentais e as
representações semióticas não podem ser opostas, como dois domínios totalmente
diferentes, dado que o desenvolvimento das representações mentais se efetua como
interiorização das representações semióticas da mesma maneira que as imagens
8
mentais são uma interiorização das percepções. Também para DUVAL (2009), a
existência das representações mentais, isto é, o conjunto de imagem e de
conceituações que um indivíduo pode ter sobre o objeto, sobre uma situação e sobre
aquilo que lhe é associado, tem, nas representações semióticas, as produções
constituídas pelo emprego de regras de sinais (enunciado em língua natural, fórmulas
algébrica, gráfico, figura geométrica, etc.) o meio de que o indivíduo dispõe para
exteriorizar suas representações mentais, tornando-as visíveis ou acessíveis a outro.
Desse modo, contemplariam apenas as funções de comunicação, assim, a necessidade
das representações semióticas para certas funções cognitivas fundamentais e a
implicação recíproca das representações mentais e das representações semióticas,
parece legitimar que não há noésis sem semiósis a qual determina as condições de
possibilidade e de exercício da noésis.
A questão da natureza do laço que liga o funcionamento cognitivo e a utilização
de vários sistemas semióticos de representação toca, então, um verdadeiro problema,
sob o ponto de vista teórico quanto para a prática do ensino. De acordo com DUVAL
(2009), tanto a análise dos problemas da aprendizagem de matemática quanto os
obstáculos contra os quais os alunos nos diferentes níveis de ensino de matemática
chocam-se regularmente permite observar a persistência de uma separação entre as
representações que não enfatizam da mesma forma o sistema semiótico. Fenômenos
familiares e frequentes na atividade matemática deixam de ser evidentes e espontâneos
para a maioria dos alunos. Isto acontece quando há passagem de um sistema de
representação a outro ou a mobilização simultânea de vários sistemas de
representação no decorrer de um mesmo percurso. Frequentemente, os estudantes não
reconhecem o mesmo objeto através das representações que lhes podem ser dado nos
sistemas semióticos diferentes. Nota-se que, no processo de ensino, tal separação
persiste mesmo após a utilização desses diferentes sistemas semióticos de
representação, devido a pouca atenção que lhe é dada, resultado do fenômeno de não
congruência entre as representações de um mesmo objeto que enfatizam sistemas
semióticos diferentes.
9
É na produção, a primeira atividade cognitiva associada a uma representação
semiótica, tal como enfatiza BARROS (2011), que o sistema semiótico ao qual essa
representação estará vinculada é determinado pela forma da representação semiótica.
Existem ainda outras duas transformações cognitivas que podem ocorrer em
uma representação semiótica. São elas: o tratamento e a conversão. Enquanto, o
tratamento se dá no interior do sistema semiótico onde a representação foi produzida; a
representação é transformada em outra representação sem mudança da forma e do
conteúdo. Embora isso aconteça, o sistema semiótico se mantém.
Já a conversão se dá entre sistemas semióticos distintos com a representação
transformada em outra representação, havendo para isso mudança de sua forma,
portanto, muda-se o sistema semiótico, porém, o conteúdo permanece. Desse modo, a
fim de clarificar as conversões de representações semióticas, DUVAL (2009) cita como
exemplos: a construção de um gráfico a partir de uma equação; a escrita de uma
equação a partir de um gráfico; a transformação de uma afirmação dada em uma língua
natural para uma simbologia algébrica e a interpretação em língua natural de uma
sentença dada em simbologia algébrica.
Os sistemas semióticos que permitem que as representações semióticas a eles
vinculadas possam sofrer as três transformações cognitivas: a produção, o tratamento e
a conversão, são chamados de registros de representações semióticas . Logo, são
exemplos de registros de representações semióticas em Matemática os registros
algébricos, os registros numéricos e os registros gráficos.
Os registros podem ser classificados quanto à sua natureza em multifuncionais
ou monofuncionais. Enquanto os registros multifuncionais são aqueles usados em
vários campos da cultura, tanto para fins de comunicação como para tratamento,
embora, tenham como característica disponibilizar uma série de tratamentos cognitivos
diversificados, essas formas de tratamento não são algoritmizáveis; de outro lado, os
registros monofuncionais que são aqueles desenvolvidos para um tipo específico de
tratamento, com a finalidade de se obter melhores desempenhos. Dessa forma, num
registro monofuncional, o tratamento semiótico assume um caráter técnico e o uso de
sinais ou de expressões depende, principalmente, da forma pela qual se realiza tal
10
tratamento, considerando-se que tratamentos técnicos são formais, então, admitem um
tratamento algorítmico.
Ainda, os registros podem ser discursivos ou “não discursivos”. Essa função de
discursividade depende da presença ou não de um discurso para sua expressão; por
conseguinte, DUVAL (1995) afirma que as funções discursivas de uma língua natural
não podem ser separadas das funções cognitivas e considera que elas têm um papel
especial no conjunto dos variados e possíveis sistemas semióticos empregados pelos
humanos, pois “seria a organização semiótica por excelência”. Não obstante, os
registros “não discursivos” constituem-se naqueles relacionados às figuras, tabelas,
gráficos e outros diagramas, ou seja, aqueles que interagem mais com as formas
gráficas dos desenhos e figuras. Desse modo, os registros de representação semiótica
podem ser de quatro tipos diferentes:
• Registros da língua natural (discursivos e multifuncionais).
• Registros figurais (não discursivos e multifuncionais).
• Registros simbólicos (discursivos e monofuncionais).
• Registros gráficos (não discursivos e monofuncionais).
DUVAL (2011) enfatiza que, entre os registros discursivos, é evidente não se
consideram apenas as línguas naturais e formais; ou as escritas simbólicas originárias
do mesmo tipo de representação. Assim como para os registros “não discursivos” não
se consideram somente as imagens, as figuras geométricas, os gráficos cartesianos ou
os esquemas originários do mesmo tipo de representação visual.
Com a finalidade de ressaltar de maneira mais sintética as noções sobre tudo
que foi até aqui explanado, usa-se o quadro a seguir contendo a classificação dos
diferentes tipos de registros utilizados em Matemática apresentado na página 118 de
DUVAL (2011) do livro “Ver e Ensinar a Matemática de outra forma – Entrar no modo
matemático de pensar: os registros de representações semióticas”:
11
REGISTROS DISCURSIVOS
(Linearidade fundamentada
na sucessão para a
produção, apreensão e
organização das expressões)
REGISTROS NÃO DISCURSIVOS
(Apreensão simultânea de uma
organização bidimensional)
REGISTROS
MULTIFUNCIONAIS
(Os tratamentos não são algoritmizáveis)
REGISTROS DA LÍNGUA
NATURAL
(Associações verbais -
conceituais)
Três operações
hierarquicamente incluídas
designação de objetos,
enunciação e raciocínio.
Duas modalidades de
produção: oral/escrita.
REGISTROS FIGURAIS
(Figuras geométricas planas ou em perspectivas)
Icônica: produção à mão livre,
conservação interna das relações
topológicas características das
partes do objeto.
Configuração Geométrica:
Três operações independentes
(construção instrumental, divisão e
reconfiguração merológicas,
desconstrução das formas).
REGISTROS
MONOFUNCIONAIS
(Os tratamentos algoritmizáveis)
REGISTROS SIMBÓLICOS
(Sistemas de escrita)
Operações de substituições
ilimitadas (sistemas de
numeração, escrita algébrica,
línguas formais).
Uma modalidade de
produção escrita.
REGISTROS GRÁFICOS
(Gráficos cartesianos)
Junções entre pontos, nós, e
orientação marcada por flechas.
Operação de zoom, interpolação,
mudança de eixos.
Esquemas.
Quadro 1. Classificação dos diferentes tipos de registros.
De acordo com DUVAL (1993), o entendimento matemático requer o
estabelecimento da coordenação entre pelo menos dois registros, em que um é
multifuncional e o outro monofuncional. Além disso, o autor afirma que, nos níveis mais
avançados do ensino, existe predominância de registros monofuncionais. Na maioria
dos casos, os livros didáticos privilegiam um registro em relação aos outros. Tal fato é
12
corroborado por KARRER (2006) em sua pesquisa focalizada nas questões relativas ao
ensino e aprendizagem da álgebra linear através de atividades sobre o objeto
matemático “transformações lineares”, num ambiente de geometria dinâmica, ao fazer a
análise de livros didáticos mais utilizados por instituições de Ensino Superior do Brasil
na disciplina “Álgebra Linear”.
A Álgebra Linear utiliza-se dos seguintes tipos de linguagem:
• Abstrata, inerente à teoria geral e associada aos espaços vetoriais, subespaços
vetoriais, operadores, dentre outros;
• Algébrico, relacionada aos aspectos mais específicos do Rn, tais como, n-uplas,
matrizes e soluções de sistemas lineares;
• Geométrica, que engloba a geometria dos espaços de dimensões 2 e 3,
apresentada por vetores geométricos, pontos, retas, planos e transformações
geométricas.
Isso mostra a importância da utilização dos registros de representações
semióticas quando se estudam os processos de ensino e aprendizagem da Álgebra
Linear.
Para concluir, DUVAL (2011) afirma que a teoria dos registros foi desenvolvida a
partir da metodologia que cada registro permite efetuar operações de transformação
das representações que não são possíveis em outros registros.
Apresentam-se, em seguida, exemplos de registros de representações
semióticas do objeto matemático “transformação linear em R2”, ou seja, no plano.
13
Representação Registro Tipo de registro
Representação R1
Consideremos uma transformação linear T
que leva cada vetor v do plano num vetor de
mesma direção e sentido de v e cujo módulo
vale o triplo do módulo do vetor v.
Registro na
língua portuguesa
Língua natural
Representação R2
T: IR2 →IR2
T(x, y) = 3. (x, y).
Registro
algébrico
Simbólico
Representação R3
Registro em
forma de
desenho
Figural
Representação R4
Registro
cartesiano
Gráfico
Quadro 2. Representação do objeto matemático transformação linear plana em diferentes registros.
Percebe-se facilmente que quando se muda da representação Ri para a
representação Rj, com i ≠ j, tem-se uma conversão de representações.
14
Representação Registro Tipo de registro
Representação R1
T: IR2 →IR2
T(x, y) = 3. (x, y).
Registro
algébrico
Simbólico
Representação R2
T: IR2 →IR2
T(x, y) = (3x, 3y).
Registro
algébrico
Simbólico
Representação R3
3
ax x
y y
Registro
algébrico
matricial
Simbólico
Representação R4
ax 3 0 x
y 0 3 y
Registro
matricial
Simbólico
Quadro 3. Tipo de registro do mesmo tipo com diferentes registros.
No caso do quadro 3, embora todos os registros sejam do mesmo tipo, ou seja,
simbólicos, percebe-se que a transformação da representação R1 para a representação
R2 é um tratamento, enquanto de R1 para R3 é uma conversão, pois há mudança na
forma da representação e consequentemente, também há mudança de registro.
Apresentam-se em seguida exemplos de registros de representações semióticas
do objeto matemático “transformação linear em R3”, ou seja, no espaço.
15
Representação Registro Tipo de registro
Representação R1
Uma rotação em R3 é um operador linear que gira
cada vetor em R3. Em torno do eixo de rotação “x”
por um ângulo �.
Registro na
língua portuguesa
Língua natural
Representação R2
T: IR3 →IR3
T(x, y, z) = (x, ycos (ɵ)-zsen (ɵ), ysen (ɵ) +zcos
(ɵ)).
Registro
algébrico
Simbólico
Representação R3
1
x 1 2 3 2
3
w = x
T (x, y, z) = (w , w , w ): w = ycos ( )-zsen ( )
w = ysen ( ) +zcos ( )θ θ θ
θ θ
Registro
algébrico
Simbólico
Representação R4
x
1 0 0 x
T (x, y, z) 0 cos sin y
0 sin cos zθ θ θ
θ θ
= −
Registro matricial
Simbólico
Representação R5
Registro
cartesiano
Gráfico
16
Quadro 4. Representação do objeto matemático transformação linear em diferentes registros.
No caso do quadro 4, percebe-se facilmente que quando se muda da
representação R1 para a representação R2, tem-se uma conversão de representações,
enquanto em R2, R3 e R4 todos os registros são do mesmo tipo, ou seja, simbólicos.
Percebe-se que a transformação da representação R2 para a representação R3 é um
tratamento, enquanto de R3 para R4 é uma conversão, pois há mudança na forma da
representação e consequentemente, também há mudança de registro, assim como de
R4 para R5.
17
2 INFORMÁTICA NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Este capítulo leva em consideração os aspectos que a utilização da informática
na Educação Matemática produz no ensino e aprendizagem de um conteúdo
matemático. Primeiro, fez-se uma revisão da literatura sobre Informática na Educação
Matemática e sobre teses e dissertações que abordam a utilização do software no
processo de ensino e aprendizagem de Geometria Analítica e Álgebra Linear.
2.1 REVISÃO DE LITERATURA
Em plena era digital, conectado às inovações tecnológicas, não nos é possível
ignorar a importância do uso da informática na construção do saber, consequentemente
a informática no ensino tem como objetivo oferecer ao aluno a simulação, a
manipulação e o dinamismo. Portanto, embasado nas ideias de BORBA e PENTEADO
(2010) procurar-se-á relacionar a aprendizagem dos alunos com seu desenvolvimento
na construção do conhecimento.
Segundo os autores, a relação entre a informática e a educação matemática
deve ser pensada como transformação da própria prática educativa. Para eles, existe
sempre uma mídia envolvida na produção do conhecimento, dependendo da
disponibilidade. Essas mídias poderão ser tais como a oralidade, lápis&papel e a
informática. De acordo com BORBA e PENTEADO (2010), uma nova mídia, como a
informática, abre possibilidades de mudança dentro do próprio conhecimento, logo, é
possível haver uma ressonância entre uma dada pedagogia, uma mídia e uma visão de
conhecimento.
Além do mais, BORBA e PENTEADO (2010) assinalam que a informática é:
Uma nova extensão de memória, com diferenças qualitativas em relação às outras tecnologias da inteligência e permite que a linearidade de raciocínios seja desafiada por modos de pensar, baseados na simulação, na experimentação e em uma “nova linguagem” que envolve escrita, oralidade, imagens e comunicação instantânea. (BORBA e PENTEADO 2010, p.48).
18
Cabe aqui ressaltar, BORBA e PENTEADO (2010) afirmam adotar uma
perspectiva teórica apoiada na noção de que o conhecimento é produzido por um
coletivo formado por seres humanos com mídias, portanto, trazer uma mídia informática
para a sala de aula significa abrir a possibilidade dos alunos falarem sobre suas
experiências e curiosidades.
Ainda, com o intento de ampliar o conhecimento sobre a utilização da tecnologia
computacional aplicada ao processo de ensino e aprendizagem no ensino da
matemática, procuramos, dentre os trabalhos, os de pesquisadores que abordassem o
tema de tal forma que pudéssemos tê-los como norte em nossa pesquisa. Sendo assim,
além de BORBA e PENTEADO (2010), centrou-se atenção no artigo científico dos
pesquisadores GIRALDO e CARVALHO (2004), cujo foco é uma revisão de literatura
brasileira e internacional de educação matemática sobre o uso da tecnologia
computacional no ensino nas últimas décadas. Esse artigo contém discussão sobre
potencialidades e limitações da tecnologia com a finalidade de procurar características
dos recursos computacionais que sejam favoráveis à aprendizagem matemática.
GIRALDO e CARVALHO (2004) ressaltam a importância de planejar o ensino de
forma a explorar a tecnologia de foram positiva, daí a opção de aplicar nessa pesquisa
o uso de ambiente dinâmico através de software que nos proporcionasse questionar os
caminhos até então usados no ensino de transformações lineares em um curso de
ensino superior. Para os autores, os vários estudos citados por eles corroboram para
que novas abordagens sejam possíveis graças aos recursos computacionais, além de
exporem aspectos dos conceitos, antes, pouco explorados.
Sabe-se que os autores, ao afirmarem isso, estão preocupados em nos alertar
quanto à exploração da abordagem pedagógica no uso da tecnologia. Sendo assim, é
claro que nossa intenção foi utilizar o software Cabri-Géomètre, mostrando suas
ferramentas e algumas funcionalidades, para tê-lo como ferramenta “auxiliar no
processo de ensino e aprendizagem sobre transformações lineares em R2 e em R3”.
No texto “Uma Breve Revisão Bibliográfica sobre o Uso de Tecnologia
Computacional no Ensino de Matemática Avançada”, os autores GIRALDO e
CARVALHO (2008) citam que embora houvesse preocupações sobre os efeitos de
19
tecnologias computacionais no ensino e na aprendizagem de matemática em diversas
pesquisas, para DOERR & ZANGOR (2000, p. 144), o uso prático de recursos
computacionais no ensino de matemática cresceu sem que os resultados de pesquisa
elucidassem de maneira significativa sua efetividade, enquanto para TALL (2001), os
efeitos do uso de tecnologia no ensino de matemática estão na forma como estes são
usados.
Para DOERR & ZANGOR (2000) e PENGLASE & ARNOLD (1996), diversos
estudos se restringem a analisar efeitos e concluir sobre o sucesso ou fracasso do uso
de ferramentas computacionais, desconsiderando o contexto pedagógico. Esses
autores afirmam que a questão a ser investigada não está em saber se a tecnologia é
positiva ao ensino e sim como planejar o ensino de forma a explorá-la em suas
potencialidades e limitações. Assim como alguns estudos identificaram dificuldades
atribuídas à natureza das representações computacionais para objetos matemáticos,
GOLDENBERG (1987) observa que estudantes percebem erroneamente
representações gráficas visualizadas na tela, formulando e generalizando a partir daí
regras incorretas. GUIN & TROCUHE (1999) focalizam a confusão onde os estudantes
podem ter dificuldades quando não conseguem distinguir um objeto matemático de sua
representação computacional. Cabe ressaltar alguns resultados relatados por
pesquisadores brasileiros que também apontam nesta direção, dentre eles, ABRAHÃO
(1998). Essa autora conclui que a tecnologia gráfica pode ser uma ferramenta
importante para aprendizagem de matemática; no entanto, para que esse objetivo seja
atingido, é necessário que o professor tenha acesso a materiais de apoio, desenhados
para estimular a conexão crítica entre diferentes representações, de natureza
computacional e não computacional.
Em seu trabalho DRIJVERS (2000), (apud. GIRALDO e CARVALHO (2008))
utiliza o termo obstáculo para referir-se a uma barreira trazida por um sistema de
computação simbólica que impede o estudante de desenvolver os esquemas para uso
do sistema da maneira que ele tenha em mente; e, embora DRIJVERS declare acreditar
em possíveis benefícios, apresenta tais obstáculos como aspectos negativos. Nas
conclusões do trabalho, chamando atenção para a importância de não se desprezar
obstáculos como estes a fim de obter um resultado positivo do uso de tecnologia no
20
ensino de matemática. Além disso, DRIJVERS cita “as limitações e as dificuldades em
fornecer estratégias algébricas para ajudar os estudantes a ultrapassar estas
limitações” como um dos obstáculos que podem impedir ou dificultar a aprendizagem de
matemática apoiada por tecnologias computacionais. Também MILLS et AL. (1990)
mencionam uma série de limitações técnicas que podem gerar confusões nos
estudantes. Ao relatar o experimento, os autores inferem que o uso de tecnologias
computacionais em sala de aula deve estar acompanhado da reflexão sobre a natureza
da matemática envolvida para entender os resultados gerados.
No entanto, há outros resultados de pesquisa mostrando que certas limitações
pedagógicas do uso de tecnologia no ensino de matemática podem não ser geradas por
limitações técnicas dos recursos computacionais utilizados, mas sim às suas
potencialidades técnicas. Por exemplo, a de HUNTER et AL. (1993), ao observar um
grupo de estudantes durante um curso de conteúdo matemático baseado em recursos
computacionais, ministrado exclusivamente no laboratório de microcomputadores,
através de um programa computacional, sem outro tipo de abordagem, antes e depois
do curso. Os pesquisadores arguiram os participantes sobre o conteúdo da referida
disciplina, observou-se que nenhum dos estudantes que havia errado a resposta no
pré-teste conseguiu acertar no pós-teste. Os autores comentam que os resultados
indesejáveis se deveram ao fato de que, durante o curso, os estudantes ficaram presos
à digitação e à observância do que aparecia na tela, perderam a habilidade em
responder.
De forma semelhante, MONAGHAN et AL. (1994) compararam os resultados de
cursos de mesmo conteúdo matemático em escolas britânicas que usavam e que não
usavam recursos computacionais. Após o curso, os estudantes da amostra foram
entrevistados sobre alguns dos conceitos da disciplina em questão. Os autores
descrevem os resultados citando que estudantes que utilizaram os recursos
computacionais desenvolveram concepções do tópico sem as ideias conceituais,
entretanto, a manipulação simbólica aplicada a uma expressão era tida como rotina.
Portanto, esses trabalhos analisam efeitos negativos do uso de computadores no
ensino com limitada ênfase para a abordagem pedagógica. Enquanto outros autores, ao
21
contrário, atribuem tais efeitos ao contexto instrucional em que os recursos
computacionais estão inseridos.
Daí, GIRALDO e CARVALHO (2004) utilizam o termo efeito de estreitamento
para se referirem a situações em que características específicas de recursos ou
representações, utilizados em certo contexto pedagógico, se convertem em limitações
nas imagens consequentemente desenvolvidas pelos estudantes.
LAUDARES & LACHINI (2000) observaram, em 2000, o processo de implantação
de um laboratório de informática para o ensino de conteúdo matemático em uma grande
universidade brasileira, cuja abordagem adotada era tradicionalista. Os autores
realizaram um estudo amplo e detalhado, sobre a atuação dos professores e alunos.
Quanto aos professores, evidenciou-se que na maioria deles, as atividades no
laboratório era perda de tempo, pois, o uso do computador deveria se restringir à
checagem de resultados dos exercícios, à simulação de modelos matemáticos e à
realização de cálculos muito pesados.
Dos alunos, observou-se que se restringiam à digitação dos dados do problema,
seguido do acionamento de comando para resolução e, por último, a leitura da resposta
na tela. Consequentemente a incerteza da resposta estava na falta de domínio do
conteúdo da matemática, não sabiam se a resposta está certa. Observa-se dificuldade,
não só na manipulação da máquina, como no entendimento do significado do resultado
apresentado pelo computador. Mesmo conversando bastante sobre a atividade em
execução, os alunos mostram não perceber quais os objetivos do que estão fazendo.
No laboratório, prevalece o uso do computador como máquina, tendo os alunos
interesse em ter respostas prontas e mostram-se avessos ao esforço de procurar
soluções, bem como às tentativas de erro/acerto.
Apesar desses resultados, LAUDARES & LACHINI (2000) notam que o uso de
tecnologia constitui uma importante alternativa para o modelo tradicional de aula de
matemática. Entretanto, os autores afirmam que isto não depende do fato de se usar
computadores por si só, sugerindo um planejamento cuidadoso de atividades de
laboratório, a fim de estimular a formação de uma postura investigativa por parte dos
alunos e da preparação e motivação dos professores para conduzi-las.
22
Prosseguindo, GIRALDO e CARVALHO (2008) também observam que
ambientes computacionais podem ser usados para motivar a combinação de raciocínio
qualitativo e raciocínio. Segundo os autores, YERUSHALMY (1997) relata um
experimento planejado para explorar e documentar a aprendizagem de conteúdo
matemático em uma abordagem conduzida pelo professor com o apoio de exploração
computacional. A autora afirma que a tecnologia pode oferecer uma opção para a
aprendizagem baseada em memorização. YERUSHALMY (1997) ressalta que um dos
maiores potenciais desse tipo de abordagem é justamente evidenciar a complexidade
que fica ocultada na abordagem tradicional.
Assim, os resultados positivos do experimento devem-se ao contexto em que o
computador foi usado, à abordagem pedagógica, aos ciclos de construção e dilemas
dos estudantes apoiado pelo software. Segundo a autora, esta perspectiva possibilitou
que a concretude dos objetos não limitasse o pensamento dos estudantes, mas, ao
contrário, motivasse a exploração.
HADAS et AL (2000) discutem o papel de situações de surpresa e incerteza no
desenvolvimento do raciocínio dedutivo de estudantes realizando tarefas especialmente
desenhadas em um ambiente de geometria dinâmica. A experiência de arrastar objetos
geométricos em um ambiente de geometria dinâmica permite a verificação da
invariância de uma propriedade, como um atributo de uma classe de objetos serve para
convencer estudantes da veracidade de conjecturas por si só, tornando a compreensão
do papel de sua necessidade de demonstrações ainda mais distante, como constata
YERUSHALMY (1997).
Portanto, com esta motivação teórica, HADAS et AL (2000) desenvolveram duas
atividades no ambiente de geometria dinâmica para provocar surpresa e incerteza. A
primeira atividade foi desenhada com o objetivo de provocar surpresa a partir de
resultados contrários à intuição dos estudantes, tendo sido observada, a segurança dos
estudantes sobre as respostas dadas pelo computador, apesar destas serem contrárias
à sua intuição. Na segunda atividade, a incerteza manteve-se ao longo das tarefas. A
proporção de explicações dedutivas aumentou significativamente na segunda atividade.
ARCAVI (1999), em particular, relata que professores secundários expressaram
grande desconforto ao lidar com situações em que a visualização de resultados na tela
23
do computador era contrária a sua intuição inicial, mas que este desconforto se
converteu em motivação para um estudo teórico mais detalhado do problema. Arcavi
conclui que o uso de ambientes computacionais pode introduzir um componente
empírico ao pensamento matemático.
Tanto nos experimentos descritos por HUNTER et AL (1993) e por MONAGHAN
et AL (1994), quanto na experiência relatada por LAUDARES & LACHINI (2000), os
efeitos de estreitamento observados não estão associados a qualquer limitação técnica
inerente aos recursos computacionais utilizados, mas podem ser interpretados como
tendo sido causados pelo uso pedagógico inapropriado de potencialidades técnicas – a
facilidade de obter resultados operacionais rápidos através do mero acionamento de
comandos. É bom observar que o mesmo ocorre às potencialidades técnicas de
recursos tecnológicos usados que não se convertem, por si só, em potencialidades
pedagógicas, ao serem empregadas na experiência relatada por LAUDARES &
LACHINI (2000) em um planejamento adequado.
Analogamente, limitações técnicas dos recursos não estão associadas,
necessariamente, a limitações de ordem pedagógica da abordagem.
DRIJVERS (2000) e MILLS et AL (1990) alertam que é necessário ter
consciência das limitações e obstáculos da tecnologia para que seu uso seja
periodicamente proveitoso. Ainda, Drijvers é enfático ao afirmar a possibilidade de tirar
vantagem desses obstáculos “tornando explícita a matemática por trás deles”.
DOERR & ZANGOR (2000) relatam os resultados de um estudo qualitativo nos
Estados Unidos, baseados em observação de salas de aula, sobre o uso de tecnologia,
focalizando o papel do professor, seus conhecimentos e crenças, a relação entre o
papel do professor e os conhecimentos e crenças dos estudantes, a forma como eles
usavam a ferramenta como apoio à aprendizagem, além de algumas limitações
surgidas da prática de sala de aula, interpretar dados e generalizar relações além da
situação particular tratada.
As autoras afirmam que a atitude da professora e sua consciência das limitações
em relação ao uso da tecnologia e foi determinante para os resultados do experimento,
ao contrário das preocupações prévias. De acordo com ela, normas estabelecidas às
24
interpretações dos erros numéricos deviam embasar-se em justificativas matemáticas, e
não à máquina.
As autoras concluem que a atitude da professora em relação à máquina e de sua
abordagem pedagógica foi fundamental para a formação de uma postura crítica por
parte dos alunos.
Em GUIMARÃES et AL (2002), os autores argumentam que os ambientes de
geometria dinâmica além de apoiar a formulação de conjecturas e a compreensão da
necessidade de demonstrações, ainda ajudam os estudantes a expandirem sua
concepção de um diagrama como desenho para figura. No mesmo sentido de
PARZYSZ (1998) para quem um desenho seria como uma representação material
singular de um objeto concreto específico, enquanto uma figura corresponde à
representação de uma classe de desenhos com um mesmo conjunto de especificações
ou propriedades. Isto fica evidenciado quando um aluno que percebe a imagem de um
quadrado desenhado no papel como a representação de um único quadrado específico,
ou seja, a imagem como um desenho. Outro aluno que percebe esta mesma imagem
como um representante da classe de todos os polígonos que têm lados iguais e ângulos
iguais, a concebe como figura.
O conjunto dos resultados de pesquisa citados até aqui, mostra a inexistência de
uma relação direta entre potencialidades ou limitações técnicas de recursos
computacionais e seus efeitos pedagógicos, isto é, potencialidades ou limitações do seu
uso no ensino de matemática. Em particular, pode-se inferir que, como observa TALL
(2001), os efeitos positivos ou negativos do uso de tecnologia no ensino de matemática
não são atributos inerentes às ferramentas computacionais empregadas e sim ao
contexto pedagógico no qual estas se inserem. Muitas potencialidades pedagógicas do
uso de tecnologia têm sido identificadas na literatura recente de educação matemática.
Geralmente, estas potencialidades estão associadas às abordagens que exploram
positivamente as especificidades da própria disciplina matemática, bem como as
especificidades dos recursos tecnológicos. Por exemplo, NOSS & HOYLES (1996)
apontam a visualização e a dinâmica em ambientes de geometria dinâmica como
características fundamentais que podem contribuir efetivamente para a resolução de
problemas e para o desenvolvimento do raciocínio dedutivo na demonstração de
25
teoremas. Os autores destacam que tais potencialidades dificilmente poderiam ser
reproduzidas sem o uso desses ambientes. BRUCKHEIMER & ARCAVI (2001)
acrescentam que esses ambientes estabelecem um contexto em que teoremas se
convertem de simples proposições aguardando uma prova a projetos de exploração e
BORWEIN (2005) denota por “matemática experimental” uma faceta da aprendizagem
matemática que só pode ser criada com o uso de tecnologia computacional.
NOSS & HOYLES discutem diferentes abordagens (algumas das quais usando o
computador), produzidas por pesquisadores em educação matemática, para resolver
um mesmo problema, a diversidade de conhecimento, estilo e solução envolvidos em
cada abordagem, desse modo, eles argumentam que a escolha do meio para resolver
um problema media uma gama de significados e conexões que estruturam a iteração e
emanam dela.
Esta discussão nos remete a alguma questões:
• Que especificidades das tecnologias computacionais são adequadas ao ensino e
aprendizagem de matemática?
• Que especificidades da disciplina matemática (e, em particular, de matemática
avançada) motivam o uso de tecnologias computacionais?
• Que novos paradigmas de ensino e aprendizagem de matemática podem se
estabelecer com a entrada de tecnologias computacionais?
Um caminho para resposta dessas perguntas, pelo menos parcialmente, pode ser
vislumbrado através da análise da literatura recente de educação matemática.
GIRALDO e CARVALHO (2008) observam que o ensino de matemática em
computadores possui especificidades e novos paradigmas, sendo assim, citam diversos
pesquisadores, tais como ARCAVI & HADAS (2000), que afirmam que ambientes de
geometria dinâmica constituem laboratórios virtuais em que os estudantes podem
investigar e aprender matemática, desde que acompanhados de materiais curriculares e
práticas de sala de aula. Desse modo, ARCAVI & HADAS (2000) enumeram uma série
de características:
• Visualização - a concretude de imagens visuais.
26
• Experimentação - ambientes de geometria dinâmica permitem aos estudantes
aprender a experimentar, medindo, comparando, mudando (ou mesmo
distorcendo) figuras, e a fazer construções que sirvam de apoio.
• Surpresa- situações em que as atividades tragam resultados inesperados ou
contrários à intuição.
• Resposta da Máquina - o ambiente computacional reage simplesmente da
maneira que é solicitado, motivando a necessidade de verificar suposições
prévias e induzindo a necessidade de demonstrar.
• Necessidade de Demonstração - observações e revisões do próprio processo de
experimentação. O ciclo resposta-reflexão fornecendo argumentação que ajuda a
explicar e demonstrar uma afirmativa.
Por conseguinte, ARCAVI & HADAS (2000) relatam uma atividade em um
ambiente de geometria dinâmica com estudantes secundários em Israel, lidando com
conteúdo matemático cujo planejamento das atividades foi inspirado pela perspectiva
teórica dos registros de representações semióticas, de acordo com a qual um
componente essencial de aprendizagem de matemática é a coordenação de diferentes
representações de uma dada ideia ou conceito, que implica na manipulação e na
tradução através dessas representações.
Esses os autores afirmam que foi na tradução entre a representação gráfica e a
situação geométrica que mais sutilezas do problema foram expostas. Desta forma, a
ausência de simbologia na etapa inicial evitou que os alunos envolvidos na manipulação
algébrica eventualmente se distanciassem dos significados iniciais do problema. A
transição dinâmica ao longo do fenômeno geométrico não apenas revela padrões,
assim como ser uma fonte de intuição e construção de significado. Logo, é preciso
estudar uma situação geométrica lidando primeiro com a própria situação e em seguida
interpretar suas representações, isto parece contribuir para uma melhor compreensão
tanto da própria situação quando das representações.
Esta perspectiva marca o trabalho de HADAS et AL (2000), em que os autores
relatam que a abordagem adotada não contribuiu para que a concretude dos objetos
matemáticos representados no ambiente de geometria dinâmica comprometesse a
27
percepção dos alunos da necessidade de demonstrações, como havia sido observado
por YERUSHALMY (1993).
HAZZAN & GOLDENBERG (1997) relatam uma experiência na qual estudaram a
compreensão, por estudantes, do conceito de função, por meio de atividades
desenvolvidas em um ambiente de geometria dinâmica.
Os autores planejaram atividades em que certos elementos de uma dada
construção geométrica dinâmica apresentavam relações de dependência funcional
entre si, por conseguinte, comentam que exemplos como estes, que seriam facilmente
citados pelos estudantes em sua forma algébrica, não foram identificados no contexto
de geometria dinâmica.
HAZZAN & GOLDENBERG (1997) concluem que ambientes de geometria
dinâmica podem servir como uma importante ferramenta para o ensino de funções. Eles
ressaltam que a comparação de objetos matemáticos de vários pontos de vista é uma
considerável oportunidade de aprendizagem – em particular, que a identificação de
semelhanças em contextos aparentemente distintos é um ato de abstração que
dificilmente poderia se desenvolver da mesma forma em outro contexto instrucional.
De maneira semelhante ao constatado por ARCAVI & HADAS (2000) e por
HAZZAN & GOLDENBERG (1997), o trabalho de BELFORT et AL (2004) sugere que a
apresentação da situação problema, inicialmente sem as representações simbólicas é
importante para a compreensão dos conceitos matemáticos envolvidos, assim como o
papel das próprias representações simbólicas – e o ambiente computacional.
TALMON & YERUSHALMY (2004) investigam relações de hierarquia de
dependência em construções em ambientes de geometria dinâmica, relações de pai-
filho, enfatizando que comportamento dinâmico pode servir como uma ferramenta para
a aprendizagem de relações de dependência hierárquica de objetos matemáticos. E de
acordo com as autoras, diversos outros trabalhos que enfocaram relações de
dependência de objetos em geometria dinâmica, identificando potencialidades
pedagógicas e dificuldades.
Destaca-se que, para LABORDE (1993), o movimento produzido ao arrastar
objetos em geometria dinâmica é uma forma de destacar o conjunto de relações que
distinguem um desenho de uma figura no sentido de PARZYSZ (1988).
28
Prosseguindo, GIRALDO e CARVALHO (2008) citam que os trabalhos de
TALMON & YERUSHALMY (2004) usam as noções de instrumentalização e
instrumentação, essa abordagem instrumental é largamente enfocada pela literatura de
pesquisa recente.
Cabe realçar um importante aspecto da abordagem instrumental: a relação
bilateral entre usuário e ferramenta, chama-se instrumentalização o modo como os
conhecimentos e crenças do usuário determina o uso da ferramenta e, por outro lado,
instrumentação a forma como as características particulares da ferramenta influenciam
a forma, as estratégias e concepções desenvolvidas pelo usuário.
Há ainda a possibilidade – de outra forma indisponível – de ambientes
computacionais para o enriquecimento da compreensão conceitual por meio de
múltiplas representações interconectadas, largamente exploradas na literatura recente
de educação matemática.
YERUSHALMY (2005), ao analisar a elaboração de livros textos eletrônicos
comenta que, em certas situações, figuras estáticas em papel têm capacidade
relativamente limitada para promover habilidades matemáticas, pois a estrutura
matemática da situação não está suficientemente aparente nestas – no máximo mostra
um estágio particular do processo, o que fica evidenciado quando YERUSHALMY
sugere e examina algumas dimensões de análise de diagramas interativos.
GIRALDO e CARVALHO (2008) citam HOYLES & NOSS (2003). Segundo estes,
em ambientes interativos de aprendizagem, linguagens de programação e ferramentas
de programas se transformam de maneira que um adquire características do outro, o
que abre novas perspectivas para a aprendizagem.
Assim, é evidente que há diferentes formas de combinar texto e representações
semióticas. E, a forma como diagramas em livros textos são interpretados pelo leitor
estão fortemente sujeitos à forma de apresentação. Como participante na autoria da
página, fica mais clara a comparação de diagramas tradicionais e interativos. Além
disso, um texto interativo é direcionado pelas imagens, enquanto no texto tradicional as
imagens estão subordinadas à lógica do texto verbal.
Em todos esses trabalhos, as conclusões dos autores indicam que o resultado foi
significativamente determinado pelas características específicas dos recursos
29
computacionais e do tipo de atividades implementadas, tais como: visualização,
experimentação, dinâmica, interatividade, surpresa e – talvez, sobretudo – o fato dos
ambientes computacionais serem essencialmente regidos por leis matemáticas.
Agora se abordarão alguns documentos acadêmicos. Começar-se-á com a tese
de doutorado da pesquisadora Monica Karrer (KARRER (2006)) que realizou uma
pesquisa com estudantes de um curso de Engenharia da Computação de um instituto
particular de ensino superior do estado de São Paulo.
Essa pesquisa enfoca questões relativas ao ensino e aprendizagem da álgebra
linear através de atividades sobre o objeto matemático “transformações lineares” num
ambiente de geometria dinâmica, tendo como base a teoria dos registros de
representação semiótica.
A pesquisadora começa seu estudo, fazendo análise dos livros didáticos da
disciplina “Álgebra Linear”, aqueles mais utilizados no Brasil por instituições de ensino
superior, com a finalidade de verificar como são feitas as abordagens dos registros e
das conversões das representações no conteúdo específico das transformações
lineares.
Segundo a pesquisadora, essa análise aponta deficiências naquelas abordagens.
Isso veio corroborar com a premissa de seu estudo que partiu do confronto entre
DUVAL (2003) e outros pesquisadores, segundo os quais, tais obras privilegiam os
registros: simbólico - algébrico e o numérico, sendo o gráfico pouco desenvolvido.
O motivo dessa primeira intervenção, segundo Karrer se deve ao papel de
referência que os livros didáticos desempenham na atividade da profissão de professor.
Depois, a autora centra sua atenção em relação à exploração de diferentes
registros principalmente os matriciais e gráficos por parte dos estudantes sujeitos da
pesquisa. De acordo com a pesquisadora, foi constatado que os estudantes
apresentam muita dificuldade nesses quesitos. Diante dessa situação, ela coloca que
sua preocupação didática foi motivar a prática na área de ensino e aprendizagem de
álgebra linear e para isso, a pesquisa utilizou recursos computacionais no ensino da
matemática, cujo objetivo é o impacto da utilização do software Cabri-Géomètre nessa
área.
30
Embora a Álgebra Linear no curso de computação seja pré-requisito à disciplina
de Computação Gráfica, KARRER (2006) constatou em seu estudo que o uso de
alguma ferramenta computacional não é direcionado a fundamentos geométricos,
portanto, ela conclui que seria fundamental ao estudante dessa área dominar os
registros gráficos e matriciais, o que não acontece.
A análise do desempenho das produções efetuadas pelos alunos nas atividades
de abordagens em “transformações lineares”, elaboradas pela pesquisadora, com o
objetivo de introduzir os estudantes aos conceitos de transformações lineares, indica
que eles não possuem apreensão satisfatória das diversas representações e nem o
domínio da coordenação entre os diversos registros apresentados.
Enfim, essa pesquisa teve por questão avaliar em que medida, a exploração de
diversos registros e conversões, principalmente o registro gráfico influencia a
conceitualização da transformação linear no plano em ambiente de geometria dinâmica
com o software Cabri-Géomètre.
Nesse estudo, a pesquisadora aponta os seguintes fatores com relação do objeto
matemático “transformações lineares” e as dificuldades dos estudantes diante das
diversas representações e conversões:
- carência nos livros didáticos de álgebra linear;
- desconhecimentos dos alunos quanto aos aspectos geométricos das
transformações lineares;
- modesta ou inexistente utilização de recursos computacionais nos livros didáticos
de álgebra linear;
- dificuldades dos estudantes na aprendizagem de álgebra linear, devido à
formalização abstrata dessa disciplina.
CÂNDIDO (2010) abordou o ensino e aprendizagem de vetores desenvolvido na
disciplina de Geometria Analítica em cursos de Ciência Exatas baseado na teoria dos
registros de representação semiótica, visando explorar a relação entre os diversos
registros, principalmente o gráfico utilizando o ambiente papel & lápis e o dinâmico
geométrico com Cabri Géomètre 3D. Sua intenção foi avaliar em que aspectos essa
ferramenta de informática influenciaria a realização de atividades propostas no tópico
em questão da disciplina de Geometria Analítica. Ao adotar esse software dinâmico,
31
tinham em mente que isso, provavelmente, permitiria a elaboração e verificação de
conjectura por parte dos alunos, sujeitos de seu experimento.
Para a pesquisadora, na disciplina de Geometria Analítica, é necessário realização
de mudanças entre questões visuais e simbólicas, e isto requer o estabelecimento de
conversões, envolvendo representações do registro gráfico e algébrico. Tais
preocupações com as representações encaixam-se nessa pesquisa onde o foco é a
coordenação dos diversos registros de representação semiótica utilizados nos conceitos
de transformações lineares, um dos conteúdos da disciplina de Álgebra Linear.
Cândido busca, no estudo de SIERPINSKA et al. (1999) sobre Álgebra Linear
envolvendo o recurso computacional Cabri-Géomètre, base para fornbecer uma
abordagem que desse aos alunos suporte para superarem o obstáculo do formalismo.
Além disso, no tocante à Álgebra Linear, CÂNDIDO (2010) cita a pesquisa de
CELESTINO (2000), assim como, a de DORIER (2000). A primeira relata a situação do
ensino e da aprendizagem dessa disciplina no cenário brasileiro, enquanto a segunda
relata os resultados de estudos sobre a referida disciplina efetuados por diversos
pesquisadores de diferentes países.
Portanto, Cândido observa que o problema tanto em Geometria Analítica quanto
em Álgebra Linear não é de exclusividade o contexto brasileiro.
Em seu experimento, Cândido descreve os enunciados das atividades concebidas
com base na teoria dos registros de representação semiótica de Duval, seguidos de
análise preliminar e de algumas telas de Cabri contendo possíveis resoluções dos
alunos. Também, o autor apresenta análise das produções dos alunos após a aplicação
das atividades propostas.
Na tentativa de encontrar resposta à questão da pesquisa, realizou-se uma
revisão bibliográfica de livros didáticos e artigos que abordam o tema, visando adquirir
familiaridade com o assunto e situar o problema de pesquisa. Além disso, tanto como
aluno ou professor foi possível observar as formas diferentes de reação quando do uso
de tecnologia associada às aulas expositivas, portanto, estes fatos foram de relevância
a este estudo.
Para finalizar, a análise do ponto de vista de como é ensinada a disciplina
“Álgebra Linear” é feita através da pesquisa efetuada por ZORAIDE (2003).
32
Esta pesquisadora cita que a disciplina Álgebra Linear, foco de diversos
pesquisadores na área de Educação Matemática, é tida como uma disciplina –
problema, fato que, segundo ela, é evidenciado nas pesquisas desenvolvidas por
DORIER (2000) e seu grupo de pesquisadores franceses, ao creditar essa dificuldade
apresentada pelos alunos no ensino e aprendizagem da referida disciplina ao problema
da abordagem das noções da Álgebra Linear, o formalismo, a generalização, a
simplificação e a unificação. A pesquisadora, trabalhando com Álgebra Linear há três
décadas em cursos de Licenciatura em Matemática e Ciência da Computação,
constatou a dificuldade apresentada pelos alunos quando da aprendizagem dessa
disciplina.
Dessa sua preocupação, a autora passou a integrar o grupo de estudos “Álgebra
e Análise: especificidades, inter-relações e relações com outros domínios da
matemática nos diversos níveis de ensino” onde está inserido o subgrupo de estudos
que tem por objetivo específico investigar questões relativas ao ensino e aprendizagem
da Álgebra Linear.
Assim, ela utiliza a metodologia da alavanca meta (DORIER (2000)), como
suporte teórico para realizar sua pesquisa junto aos seis professores que lecionam a
disciplina de Álgebra Linear através de entrevistas com o objetivo de analisar e
investigar recursos meta sugeridos por professores a fim de facilitar a compreensão da
noção de espaço vetorial.
Após cada análise do discurso do professor apresentado, a pesquisadora expõe
uma conclusão parcial com observações feitas pelo professor sobre o ensino da álgebra
linear e sua contextualização. A autora cita que tais elementos podem estar diretamente
ligados aos recursos que surgiram no discurso do entrevistado.
Os professores participantes do experimento foram assim selecionados: três de
universidades públicas, isto se deve a sua crença que o discurso do professor depende
de sua “clientela” e os alunos das universidades públicas geralmente provem de ensino
médio melhor. Os outros professores eram de escolas particulares das cidades de São
Paulo e Santos.
33
Em uma primeira fase, ela elaborou sua pesquisa considerando os tópicos:
formação acadêmica, tipo de pesquisa efetuada pelo entrevistado e um último item
relacionado à docência de Álgebra linear tais como tempo e tipo de curso.
Objetivando obter dados sobre o contexto em que ocorre o curso de Álgebra
Linear, na segunda fase de sua pesquisa, ela utilizou os seguintes itens nas entrevistas
junto aos professores:
• Importância da Álgebra Linear para formação do aluno;
• Tópicos prioritários em um primeiro curso de Álgebra Linear;
• Relação da Álgebra Linear com outras matérias do curso (aplicações, etc.);
• Necessidade de pré-requisitos para acompanhar um primeiro curso de Álgebra
Linear;
• Taxa de aprovação de Álgebra Linear.
Na terceira fase, as questões tiveram o intuito de liberar o professor para emitir
suas opiniões sobre abordagem da noção de base, considerando atividades, exercícios
e exemplos mais utilizados.
Portanto, no atual estudo foi considerada a visão de alguns teóricos quanto à
influência, em situação de ensino e aprendizagem, da variável desempenho utilizando
da tecnologia computacional. Para isso se realizar, utiliza-se como suporte teórico a
teoria de registros de representações semióticas de DUVAL (1993), adaptada à
proposta de pesquisa, e, principalmente, após a leitura de CANDIDO (2001) e de
BARROS e KARRER (2011) foram encontradas as motivações finais e definida a
seguinte questão de pesquisa:
“Como alunos do curso superior reagem ao lidar com o conceito de
transformação linear num ambiente de geometria dinâmica?”.
Para responder essa questão, este estudo centrou-se em analisar e discutir o
desempenho em relação às transformações lineares na perspectiva de um ensino e
uma aprendizagem com o auxílio da ferramenta computacional através do software
34
geométrico dinâmico CABRI. Para verificar esse aplicativo como ferramenta auxiliar no
processo de ensino e aprendizagem, uma sequência didática sobre transformações
lineares em R2 e em R3 foi elaborada, aplicada e analisada.
35
3 TRANSFORMAÇÕES LINEARES
Neste capítulo serão tratados os tópicos básicos da Álgebra Linear: a noção de
espaço vetorial real, a noção de base e dimensão e a noção de transformações lineares
entre espaços vetoriais. Além disso, na medida do possível procurar-se-á relacionar
alguns registros de representações desses objetos matemáticos com os registros figural
e cartesiano que podem ser obtidos por meio do software Cabri-Géomètre.
Para o estudo dos conceitos da Álgebra Linear, será admitido conhecido o corpo
dos números reais, o qual será denotado por R.
3.1 ESPAÇOS VETORIAIS REAIS
Definição: Um espaço vetorial real é um conjunto não vazio, cujos elementos serão
chamados vetores, munido de duas operações, uma interna chamada adição de vetores
e outra externa chamada de multiplicação de um vetor por um número real, as quais
gozam de uma série de propriedades. Mais explicitamente, um espaço vetorial real é
um conjunto não vazio V um conjunto não vazio, no qual estão definidas as operações:
i. Adição de vetores:
→a
V x V V
(u,v) u+ v
ii. Multiplicação de um vetor por um número real:
α α
→a
x V V
( ,v) .v
R
As quais gozam das seguintes propriedades:
A1: Para todos ∈u, v , w V tem-se (u + v) + w = u + (v + w).
A2: Existe um elemento em V, denotado por 0, tal que para todo ∈v V tem-se que:
0 + v = v + 0 = v.
A3: Para todo ∈v V , existe um elemento em V, denotado por –v, tal que:
v + (-v) = (-v) + v = 0.
36
A4: Para todos ∈u, v V tem-se que u + v = v + u.
M1: Para todos α β ∈, R e para todos ∈v V tem-se que α β α β β α.( .v) = ( . ).v = .( .v) .
M2: Para todos α β ∈, R e para todos ∈v V tem-se que ( )α β α β+ .v = .v + .v .
M3: Para todos α ∈ R e para todos ∈u,v V tem-se que .(α α αu+v)= .u + .v .
M4: Para todos ∈v V tem-se que 1.v = v.
O conjunto Rn = {(x1, x2, ... ,xn) | xi ∈R, i = 1,2, ... , n} é um exemplo clássico de
espaço vetorial real, e neste trabalho, serão os únicos espaços vetoriais que serão
estudados.
No caso específico de n = 2, tem-se o espaço R2, no qual as duas operações são
definidas da seguinte maneira:
Para todos α ∈ R e todos u = (x1, x2) e v = (y1, y2)∈R2, definem-se:
u + v = (x1, x2) + (y1, y2) = (x1+y1, x2+y2) e
α .u = α .(x1,x2) = (α .x1, α .x2) .
Esta é uma representação algébrica dos vetores e das operações que definem o
espaço vetorial R2. Com o auxílio do software Cabri-Géomètre, podemos converter essa
representação algébrica para uma representação gráfica. As figuras a seguir ilustram
esse fato.
Por exemplo, na figura abaixo, vem que dados os vetores u = (3;1) e v = (1; 2) , então u + v será o vetor w, tal que, w = u + v = ((3;1)) + ((1; 2)) = (4; 3).
37
Figura 1. Adição de vetores de R².
Assim como, na figura 02, tem-se que dados o vetor u = (3;1) e o número real 2, então 2.u será o vetor w, tal que, w = 2.u = 2.((3;1)) = (6; 2).
Figura 2. Representa a multiplicação de um escalar real por um vetor de R².
38
No caso de n = 3, tem-se o espaço R3, e as duas operações são definidas da
seguinte maneira:
Para todos α ∈ R e todos u = (x1, x2, x3) e v = (y1,y2,y3)∈R3, definem-se:
u + v = (x1, x2, x3) + (y1, y2, y3) = (x1+y1, x2+y2, x3+y3) e
α .u = α . (x1, x2, x3) = (α .x1, α .x2, α .x3) .
É comum escrevermos v = (x, y, z) ou v =
x
y
z
para designar os elementos de R3.
A primeira forma se chama vetor-linha e a segunda se chama vetor-coluna.
Novamente, esta é uma representação algébrica dos vetores e das operações
que definem o espaço vetorial R3. Com o auxílio do software Cabri-Géomètre, podemos
converter essa representação algébrica para uma representação gráfica. As figuras a
seguir ilustram esse fato.
Por exemplo, na figura 03, vem que dados os vetores u = (2; 2; 0) e v = (2; 2; 3) ,
então u + v será o vetor w, tal que, w = u + v = ((2; 2; 0)) + ((2; 2; 3)) = (4; 4; 3).
Figura 03; Adição de vetores em R³.
39
Já figura 04 ilustra a multiplicação de um número real por um vetor de R3.
Figura 3. Representa a multiplicação de um escalar por um vetor real de R³.
Assim, por exemplo, dado o vetor v = (2; 3; 3) e o número real r = 2, então r.v
será o vetor u = r.v = 2(2; 3; 3), logo, u = (4; 6; 6).
3.2 BASES E DIMENSÃO
Definição: O vetor v é uma combinação linear dos vetores v1, v2, v3,... e vn, se existem
números reais r1, r2, r3, ... e rn tais que podemos escrever v = r1.v1 + r2.v2 + ...+ rn.vn .
Definição: Um conjunto de vetores {v1, v2, v3,..., vn} é chamado linearmente dependente
se podemos escrever um dos vetores como combinação linear dos outros (n-1) vetores.
Quando isso não acontece, dizemos que o conjunto de vetores é linearmente
independente.
Pode-se provar que se um conjunto de vetores de R2 é linearmente independente, ele
possui no máximo 2 vetores.
40
Definição: Um conjunto linearmente independente de vetores de R2 com exatamente 2
vetores se chama uma base de R2. Como toda base de R2 tem exatamente 2 vetores,
diz-se que a dimensão de R2 vale 2.
Proposição: Seja {v1, v2} uma base de R2 e seja v um vetor qualquer de R2. Então
números reais r1 e r2, determinados de forma única, tais que. v = r1. v1 + r2.v2 .
Definição: Os vetores e1 e e2 definidos por:
11 2
2
e = (1, 0) 1 0ou e = e e =
e = (0, 1) 0 1
Logo “e1” e “e2” formam uma base, chamada a base canônica de R2. É comum também
chamarmos e1 por ri e e2 por
rj .
Proposição: Seja v = (x, y) um vetor de R2. Então v = x. e1 + y. e2 , isto é, v = (x, y) = x. (1, 0) + y. (0, 1) = x. e1 + y. e2
ou
1 2
x 1 0v = = x. + y. = x.e + y.e
y 0 1
O software Cabri-Géomètre “desenha” um vetor por meio de um representante
desse vetor, isto é, um segmento orientado que tem a sua origem na própria origem do
sistema de coordenadas. Embora o representante do vetor não seja o vetor, as
propriedades dos vetores podem ser visualizadas por meio de seus representantes. Por
comodidade e abuso de linguagem, nos referiremos aos representantes como se
fossem os próprios vetores.
A figura a seguir apresenta um vetor v = (x,y) como combinação linear da base canônica do R2, tal que v = x. (1,0) + y.(0,1) = x.e1 + y.e2.
41
Figura 4. Um vetor genérico de R² como combinação linear da base canônica.
Analogamente, pode-se provar que se um conjunto de vetores de R3 é
linearmente independente, ele possui no máximo 3 vetores.
Definição: Um conjunto linearmente independente de vetores de R3 com exatamente 3
vetores se chama uma base de R3. Como toda base de R3 tem exatamente 3 vetores,
diz-se que a dimensão de R3 vale 3.
Proposição: Seja {v1, v2, v3} uma base de R3 e seja v um vetor qualquer de R3. Então
números reais r1, r2 e r3, determinados de forma única, tais que v = r1. v1 + r2.v2 + r3.v3.
Definição: Os vetores e1, e2 e e3 definidos por:
, .
1
2 1 2 3
3
e = (1, 0, 0) 1 0 0
e = (0, 1, 0) ou e = 0 e = 1 e e = 0
0 0 1e = (0, 0, 1)
Logo e1, e2 e e3 formam uma base, chamada a base canônica de R3. É comum
também chamarmos e1 por ri , e2 por
rj e e3 por
rk .
Proposição: Seja v = (x, y, z) um vetor de R3. Então v = x. e1 + y . e2 + z .e3 , isto é, v = (x, y, z) = x. (1, 0, 0) + y. (0, 1, 0) + z. (0, 0, 1) = x. e1 + y . e2 + z .e3
ou
42
1 2 3
x 1 0 0
v = y = x. 0 + y. 1 + z. 0 = x.e + y.e + z.e
z 0 0 1
O software Cabri-Géomètre “desenha” um vetor por meio de um representante
desse vetor, isto é, um segmento orientado que tem a sua origem na própria origem do
sistema de coordenadas. Embora o representante do vetor não seja o vetor, as
propriedades dos vetores podem ser visualizadas por meio de seus representantes. Por
comodidade e abuso de linguagem, nos referiremos aos representantes como se
fossem os próprios vetores.
Na figura 06, por exemplo, o vetor v = ((4,3); (3,4); (4,1)) é apresentado como
combinação linear da base canônica do R3, ou seja, v = (4,3). e1 + (3,4) . e2 + (4,1) . e3.
Figura 06. Um vetor como combinação linear da base canônica do R³.
43
3.3 TRANSFORMAÇÕES LINEARES EM DIMENSÃO 2
Definição: Uma transformação linear de R2 em R2, ou simplesmente um operador linear
em R2, é uma função T: R2 → R2 da forma:
T(x, y) = (a1. x + b1. y, a2. x + b2. y) Ou
. .
. .
+ = +
1 1
2 2
a x b yxT
a x b yy
A cada operador linear T em R2 podemos associar a matriz A =
1 1
2 2
a b
a b e vale a
seguinte igualdade . .
.. .
+ = = +
1 1 1 1
2 2 2 2
a b a x b yx xT
a b a x b yy y .
Observemos que T(e1) =
=
1
2
a1T
a0 e T(e2) =
=
1
2
b0T
b1, portanto para
construirmos a matriz A basta considerarmos T(e1) e T(e2) na forma de vetores-colunas,
e cada um deles, nessa ordem, será a correspondente coluna da matriz A.
Estes são transformações especiais no plano. Estas transformações são usadas em
aplicações práticas e numéricas.
3.3.1 Dilatação ou contração ou inversão
2 2T: →R R
T(x,y) = k.(x,y)
Matricialmente: .
→
Tx k 0 x
y 0 k y
44
Geometricamente:
Figura 5. Dilatação ou contração ou inversão de um vetor de R².
3.3.2 Cisalhamento
i. Na direção do eixo dos x
2 2T: →R R
T(x, y) = (x + k.y, y)
Matricialmente: .
→
Tx 1 k x
y 0 1 y
45
Geometricamente
Figura 6. Cisalhamento de um vetor de R² na direção do eixo dos x.
ii. Na direção do eixo dos y
2 2T: →R R
T(x, y) = (x, k.x + y)
Matricialmente: .
→
Tx 1 0 x
y k 1 y
46
Geometricamente
Figura 7. Cisalhamento de um vetor de R² na direção do eixo dos y.
3.3.3 Reflexão
i. Na em torno do eixo dos x
2 2T: →R R
T(x, y) = (x, ɵy)
Matricialmente: .
→ −
Tx 1 0 x
y 0 1 y
47
Geometricamente
Figura 8. Reflexão de um vetor de R² na direção do eixo dos x.
ii. Na direção do eixo dos y
2 2T: →R R
T(x, y) = (ɵx, y)
Matricialmente: .
− →
Tx 1 0 x
y 0 1 y
48
Geometricamente
Figura 9. Reflexão de um vetor de R² na direção do eixo dos y.
iii. Em torno da origem
2 2T: →R R
T(x, y) = (ɵ x, ɵ y)
Matricialmente: .
− → −
Tx 1 0 x
y 0 1 y
49
Geometricamente:
Figura 10. Reflexão de um vetor de R² em torno da origem.
3.3.4 Rotação
2 2T: →R R
T(x, y) = (x.cosɵ ɵ y.senɵ, x.senɵ + y.cosɵ)
Matricialmente: cos sen.
sen cos
θ θ θθ θ
− →
T=Rx x
y y
50
Geometricamente:
Figura 11. Rotação de um vetor de R² por um ângulo teta.
Para determinar a matriz transformação linear da rotação de um ângulo teta θ e
a expressão em função de x e y.
Como ao rotacionar um vetor, o módulo, isto é, o comprimento desse vetor não
altera, logo, I u I = ρ , onde u = (x, y) e usando as relações trigonométricas, obtém-se:
x’ = ρ.cos (α + ɵ) = ρ.cosα.cosɵ ɵ ρ.senα.senɵ
e
y’ = ρ.sen.(α + ɵ) = ρ. senα.cosɵ + ρ.cosα.senɵ
Porém, x= ρ.cosα e y = ρ.senα
Logo, x’ = ρ.cos (α + ɵ) = x.cosɵ ɵ y.senɵ
e
y’ = ρ. sen.(α + ɵ) = y.cosɵ + x.senɵ = x.senɵ + y.cosɵ
Portanto, vem que:
T(x, y) = (x’, y’) = x.cosɵ ɵ y.senɵ, x.senɵ + y.cosɵ)
De onde se obtém: cos sen.
sen cos
θ θθ θ
− =
x xT
y y
51
3.4 TRANSFORMAÇÕES LINEARES EM DIMENSÃO 3
Definição: Uma transformação linear de R3 em R3, ou simplesmente um operador linear
em R3, é uma função T: R3 → R3 da forma:
T(x, y, z) = (a1. x + b1. y + c1. z, a2. x + b2. y + c2. z, a3. x + b3. y + c3. z)
Ou
.
.
.
=
.x+b .y+
T .x+b .y+
.x +b .y +
1 1 1
2 2 2
3 3 3
x a c zy a c zz a c z
A cada operador linear T em R3 podemos associar a matriz A =
1 1 1
2 2 2
3 3 3
a b c
a b c
a b c
e vale a
seguinte igualdade .
.
.
=
b .x +b .y +
.x +b .y +
.x +b .y +
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3
x a c x a c zT y = a b c y a c z
z a b c z a c z .
Observemos que:
T(e1) =
=
1
T1
2
3
a0 a0 a
, T(e2) =
=
0
T1
2
3
b1 b0 b
e T(e3) =
=
0
T1
2
3
c0 c1 c
.
Portanto para construirmos a matriz A basta considerarmos T(e1), T(e2) e T(e3) na forma
de vetores-colunas, e cada um deles, nessa ordem, será a correspondente coluna da
matriz A.
3.4.1 PRINCIPAIS TRANSFORMAÇÕES LINEARES EM R3
3.4.1.1 Projeção ortogonal de um vetor sobre um plano coordenado
a. Sobre o plano xy
É a transformação linear T: R3 → R3 definida por:
52
T (x , y , z) = (x , y , 0) ou
=
x
T y
xyz 0
.
Observemos que:
T(e1) =
=
1
T
10 00 0
, T(e2) =
=
0
T
0
01 10
e T(e3) =
=
0
T
00 01 0
.
E, portanto a matriz associada é A =
1 0 0
0 1 0
0 0 0
.
A figura a seguir ilustra a projeção de um vetor v no plano xy.
Figura 12. Projeção ortogonal de um vetor de R³ sobre o plano coordenado xy.
O vetor ((4,3); (3,4); (4,1)) é levado no vetor ((4,3) ; (3,4) ; (0)), isto é, o vetor
(4,3).e1 + (3,4).e2 + (4,1).e3 é levado no vetor (4,3).e1 + (3,4).e2 + (0).e3 , logo, o vetor
(4,3).e1 + (3,4).e2 + (0).e3 = (4,3).e1 + (3,4).e2.Em notação simbólica, vem que:
T((4,3); (3,4); (4,1)) = ((4,3); (3,4); (0))
53
b. Sobre o plano xz
É a transformação linear T: R3 → R3 definida por:
T (x, y, z) = (x, 0 , z) ou
=
x
T 0
xyz z
.Observemos que:
T(e1) =
=
1
T
10 00 0
, T(e2) =
=
0
T
0
01 00
e T(e3) =
=
0
T
00 01 1
.
E, portanto a matriz associada é A =
1 0 0
0 0 0
0 0 1
.
A figura a seguir ilustra a projeção de um vetor v no plano xz.
Figura 13. Projeção ortogonal de um vetor de R³ sobre um plano coordenado xz.
O vetor ((3,6); (2,1); (3,1)) é levado no vetor ((3,6); (0); (3,1)), isto é, o vetor:
(3,6).e1 + (2,1).e2 + (3,1).e3 é levado no vetor (3,6).e1 + (0).e2 + (3,1).e3 , de tal modo
(3,6).e1 + (0).e2 + (3,1).e3 = (3,6).e1 + (3,1).e3.Em notação simbólica, obtém-se:
T((3,6); (2,1); (3,1)) = ((3,6); (0); (3,1)).
54
c. Sobre o plano yz
É a transformação linear T: R3 → R3 definida por:
T (x, y, z) = (0 , y , z) ou
=
0
T y
xyz z
.
Observemos que:
T(e1) =
=
1
T
00 00 0
, T(e2) =
=
0
T
0
01 10
e T(e3) =
=
0
T
00 01 1
.
E, portanto a matriz associada é A =
0 0 0
0 1 0
0 0 1
.
A figura a seguir ilustra a projeção de um vetor v no plano yz.
Figura 14. Projeção ortogonal de um vetor de R³ sobre um plano coordenado yz.
O vetor ((3,3); (1,9); (2,4)) é levado no vetor ((0); (1,9); (2,4)), isto é, o vetor, logo
v = (3,3). e1 + (1,9).e2 + (2,4).e3 é levado no vetor (0).e1 + (1,9).e2 + (2,4).e3, portanto
55
tem-se o vetor (0).e1 + (1,9).e2 + (2,4).e3= (1,9).e2 + (2,4).e3. Em notação simbólica,
vem que: T((3,3); (1,9); (2,4)) = ((0); (1,9); (2,14)).
3.4.1.2 Simetria de um vetor em relação a um plano coordenado segundo um eixo
coordenado.
a. Em relação ao plano yz segundo o eixo x
É a transformação linear T: R3 → R3 definida por:
T (x, y, z) = (- x, y, z) ou
=
-x
T y
xyz z
.
Observemos que:
T(e1) =
=
1
T
-10 00 0
, T(e2) =
=
0
T
0
01 10
e T(e3) =
=
0
T
00 01 1
.
E, portanto a matriz associada é A =
-1 0 0
0 1 0
0 0 1
.
A figura a seguir ilustra a simetria de um vetor v no plano yz, segundo o eixo x.
Figura 15. Representa a simetria de um vetor v de R³ no plano yz, segundo o eixo x.
56
O vetor ((1,4); (1,8); (2,9)) é levado no vetor ((-1,4); (1,8); (2,9)), isto é, o vetor:
(1,4). e1 + (1,8).e2 + (2,9).e3 é assim levado no vetor (-1,4).e1 + (1,8).e2 + (2,9).e3 ,
portanto, (-1,4).e1 + (1,8).e2 + (2,9).e3 = (-1,4).e1 + (1,8).e2 + (2,9).e3. Em notação
simbólica, obtém-se: T((1,4); (1,8); (2,9)) = ((-1,14); (1,8); (2,9)).
b. Em relação ao plano xz segundo o eixo y
É a transformação linear T: R3 → R3 definida por:
T (x , y , z) = (x , - y , z) ou
=
x
T -y
xyz z
.
Observemos que:
T(e1) =
=
1
T
10 00 0
, T(e2) =
=
0
T
0
01 -10
e T(e3) =
=
0
T
00 01 1
.
E, portanto a matriz associada é A =
1 0 0
0 -1 0
0 0 1
.
A figura a seguir ilustra a simetria de um vetor v no plano xz, segundo o eixo y.
Figura 16. Representa simetria de um vetor v de R³ no plano xz, segundo o eixo y.
57
O vetor ((3,0); (2,0); (2,3)) é levado no vetor ((3,0); (-2,0); (2,3)), isto é, o vetor:
(3,0). e1 + (2,0).e2 + (2,3).e3 é levado no vetor (3,0).e1 + (-2,0).e2 + (2,3).e3 , portanto,
(3,0).e1 + (-2,0).e2 + (2,3).e3 = (3,0).e1 + (-2,0).e2 + (2,3).e3. Em notação simbólica, tem-
se: T((3,0); (2,0); (2,3)) = ((3,0); (-2,0); (2,3)).
c. Em relação ao plano xy segundo o eixo z
É a transformação linear T: R3 → R3 definida por:
T (x, y, z) = (x, y, - z) ou
=
x
T y
xyz -z
.
Observemos que:
T(e1) =
=
1
T
10 00 0
, T(e2) =
=
0
T
0
01 10
e T(e3) =
=
0
T
00 01 -1
.
E, portanto a matriz associada é: A =
1 0 0
0 1 0
0 0 -1
.
A figura a seguir ilustra a construção do vetor simétrico de um vetor em relação ao
plano xy.
Figura 17. Representa simetria de um vetor v de R³ no plano xy.
58
O vetor ((-2,2); (1,8); (2,8)) é levado no vetor ((-2,2); (1,8); (-2,8)), isto é, o vetor:
(-2,2). e1 + (1,8).e2 + (2,8).e3 é levado no vetor (-2,2).e1 + (1,8).e2 + (-2,8).e3. Em
notação simbólica, vem que: T((-2,2); (1,8); (2,8)) = ((-2,2); (1,8); (-2,8)).
3.4.1.3 Simetria de um vetor em relação à origem (vetor simétrico)
É a transformação linear T: R3 → R3 definida por:
T (x, y, z) = (- x , -y , -z) ou
=
-x
T -y
xyz -z
Observemos que:
T(e1) =
=
1
T
-10 00 0
, T(e2) =
=
0
T
0
01 -10
e T(e3) =
=
0
T
00 01 -1
.
E, portanto a matriz associada é A =
-1 0 0
0 -1 0
0 0 -1
.
A figura a seguir ilustra a construção do vetor simétrico de um vetor em relação à
origem
Figura 18. Representa simetria de um vetor v de R³ em relação à origem.
59
O vetor ((2,2); (1,6); (2,8)) é levado no vetor ((-2,2); (-1,6); (-2,8)), isto é, o vetor
vale v = (2,2). e1 + (1,6).e2 + (2,8).e3 é levado no vetor (-2,2).e1 + (-1,6).e2 + (-2,8).e3.
Em notação simbólica, T((2,2); (1,6); (2,8)) = ((-2,2); (-1,6); (-2,8)).
3.4.1.4 Rotação de um ângulo θ
de um vetor em torno de um eixo coordenado
a. Rotação em torno do eixo z
Neste caso a terceira coordenada do vetor (z) permanece inalterada e a projeção
do vetor no plano xy sofre uma rotação de um ângulo θ. Tem-se então a transformação
linear T: R3 → R3 definida por:
T (x, y, z) = (x.cosθ - y.senθ, x.senθ+ y.cosθ, z) ou
=
T
x x.cosθ - y.senθy x.senθ + y.cosθz z
.
Observemos que:
T(e1) =
=
1
T
cosθ 0 senθ0 0
, T(e2) =
=
0
T
0
- senθ1 cosθ0
e T(e3) =
=
0
T
00 01 1
.
E, portanto a matriz associada é A =
- 0
0
0 0 1
cosθ senθsenθ cosθ .
A figura seguir ilustra a rotação de 45o do vetor (3, 2, 3) em torno do eixo z.
Figura 19. Representa a rotação de um vetor v de R³ em torno do eixo z por um ângulo dado.
60
O resultado é o vetor T(3, 2, 3) = ((0,7); (3,4); (3)).
b. Rotação em torno do eixo y
Neste caso a segunda coordenada do vetor (y) permanece inalterada e a
projeção do vetor no plano xz sofre uma rotação de um ângulo θ.Tem-se então a
transformação linear T: R3 → R3 definida por:
T (x, y, z) = (x.cosθ - z.senθ, y, x.senθ+ z.cosθ) ou
=
T y
x x.cosθ - z.senθyz x.senθ + z.cosθ
.
Observemos que:
T(e1) =
=
1
T
cosθ 0 senθ0 0
, T(e2) =
=
0
T 1
0
010
e T(e3) =
=
0
T 0
- senθ01 cosθ
E, portanto a matriz associada é A =
-
0
0
cosθ 0 senθ0 1
senθ cosθ.
A figura seguir ilustra a rotação de 90o do vetor (2,3; 3,1; 2,3) em torno do eixo y.
Figura 20. Representa a rotação de um vetor v de R³ em torno do eixo y por um ângulo dado.
61
O resultado é o vetor T((2,3); (3,1); (2,3)) = ((-1,9), (3,1), (2,3)).
c. Rotação em torno do eixo x
Neste caso a primeira coordenada do vetor (x) permanece inalterada e a
projeção do vetor no plano yz sofre uma rotação de um ângulo θ. Tem-se então a
transformação linear T: R3 → R3 definida por:
T (x, y, z) = (x, y.cosθ - z.senθ, y.senθ+ z.cosθ) ou
=
T
x xy y.cosθ - z.senθz y.senθ + z.cosθ
.
Observemos que:
T(e1) =
=
1
T 0
0
100
, T(e2) =
=
0
T
0 1 cosθ0 senθ
e T(e3) =
=
0
T
00 - senθ1 cosθ
.
E, portanto a matriz associada é A =
-
0
1 0 00 cosθ senθ
senθ cosθ.
A figura seguir ilustra a rotação de 90o do vetor ((4); (1,4); (0)) em torno do eixo x.
Figura 21. Representa a rotação de um vetor de R³ em torno do eixo x por um ângulo dado.
O resultado é o vetor T((4,0); (1,4); (0)) = ((4,0); (0); (1,4)).
62
4 MÉTODO, SUJEITOS E MATERIAIS
Neste capítulo fez-se uma descrição da metodologia dos instrumentos utilizados
na avaliação e a análise dos resultados obtidos quando de sua aplicação sob o ponto
de vista da teoria dos registros de representação semiótica, dado que a preocupação do
presente estudo envolve explorar a diversidade desses registros ao se estudar
transformações lineares, quer seja no plano, isto é, em R2, quanto no espaço, ou seja,
em R3. A finalidade foi elaborar uma sequência didática para explorar um ambiente de
geometria dinâmica, visando auxiliar o processo de ensino e aprendizagem de
transformações lineares. Desse modo, era esperado que aprendizagem desse tópico da
álgebra linear se desenvolvesse progressivamente entre os vários sistemas de
representação semiótica, conforme propôs DUVAL (2000). Também era esperado que o
entendimento do objeto matemático – “transformações lineares no plano e no espaço”
se dessem entre pelo menos dois registros: um multifuncional e o outro, monofuncional.
Por se tratar de um experimento baseado em representação, alguns aspectos foram
considerados, tais como:
• Em que sistema a representação é produzida;
• Relação entre representação e o objeto representado;
• Análise do objeto sem a representação semiótica;
• Motivo pelo qual a representação é necessária.
Após uma análise prévia das condições experimento, foram elaboradas
atividades que consideravam dois ambientes distintos: um ambiente padrão, em que o
lápis e o papel eram as únicas ferramentas disponíveis, e um ambiente dinâmico, em
que o aplicativo Cabri-Géomètre foi introduzido. As atividades foram aplicadas a um
grupo de estudantes do ensino superior que cursavam bacharelado em matemática em
uma universidade particular da cidade de Santos no estado de São Paulo.
Quanto aos procedimentos, inicialmente, utilizou-se como instrumento, na análise
da primeira fase, a atividade 1 composta de cinco (5) questões referentes à álgebra
63
linear a fim de verificar o conhecimento dos sujeitos do experimento no conteúdo
transformações lineares através do ambiente usual: lápis&papel. Esse material foi
elaborado de modo a explorar as diferentes representações dos registros tais como a
língua natural, o registro simbólico e o gráfico.
As questões selecionadas foram retiradas dos livros: “Álgebra Linear com
Aplicações” (ANTON&RORRES, 2002), “Álgebra Linear e Aplicações” (LAY, 1999) e
“Álgebra Linear” (STEINBRUCH&WINTERLE, 2000), que compõem a referência
bibliográfica dessa pesquisa.
Logo, o objetivo foi relembrar os conceitos de aplicação, domínio e
contradomínio, apresentar conceitos teóricos da definição de transformação linear e de
suas principais propriedades, calcular a imagem e a matriz associada a uma
transformação linear. Ou seja, verificar se o aluno seria capaz de compreender os
fundamentos que servem de base ao desenvolvimento do conteúdo da disciplina
álgebra linear no tocante às transformações lineares no plano e no espaço. Convém
ressaltar que essa avaliação visou verificar se as questões estão dentro dos padrões de
compreensão ou se há necessidade de reestruturação.
4.1 SUJEITOS
Os sujeitos envolvidos neste experimento foram alunos de ambos os gêneros
regularmente matriculados no 7º semestre do curso superior de graduação Bacharelado
em Matemática do período noturno de uma instituição privada de ensino superior da
cidade de Santos no estado de São Paulo. Foram selecionados levando em conta o fato
de já terem cursado a disciplina de álgebra linear, entretanto, antes da participação da I
Atividade, houve uma familiarização com o software e uma breve introdução ao
conteúdo do tópico transformações lineares no plano, isto é, R2 e no espaço, em R3.
Para análise dos dados foi considerada a fase de aplicação de instrumentos, ou seja, a
coleta dos dados em relação ao desempenho em cada um dos participantes nas
atividades. Eles participaram voluntariamente das atividades em quatro (4) encontros
realizados no laboratório de informática de um colégio particular de ensino médio da
cidade de Santos, gentilmente cedido para esse fim. Ainda, com o propósito de garantir
64
o anonimato, embora os alunos tenham sido designados por seus nomes nas fichas de
atividade, para efeito de tabulação usou-se a termologia simbólico-numérica, por
exemplo, S1 a Sn. Além disso, também houve uma análise com foco na utilização dos
pressupostos de DUVAL (1993, 1995, 2000, 2003, 2006, 2011).
4.1.1 Material
Os materiais utilizados no ambiente papel&lápis eram de uso instrucional tais
como papel, lápis, régua, borracha. Enquanto, no ambiente computacional, foram
utilizados os softwares Cabri II e 3D.
Em seguida é feita uma descrição do software Cabri-Géomètre, sobre o qual a
presente pesquisa se apoiou.
4.1.2 O software Cabri Géomètre
Realiza-se, agora, uma apresentação sucinta do software Cabri-Géomètre, o qual
serviu de apoio informático para as atividades deste trabalho.
4.1.2.1 Aspectos gerais
A palavra Cabri é a abreviatura de cahier de brouillon interactif, que significa
caderno de rascunho interativo. Cabri-Géomètre II marca registrada de propriedade da
Université Joseph Fourier, é um software didático computacional desenvolvido por
Jean-Marie Laborde e Franck Bellemain no Instituto de Informática e Matemática
Aplicada da Universidade Joseph Fourier de Grenoble (França), em colaboração com o
Centro Nacional de Pesquisas Científicas (CNRS) e a empresa Texas Instruments.
Esse software permite construir e explorar de forma interativa os objetos do
universo da geometria elementar em uma linguagem muito próxima ao do ambiente
“papel & lápis”. As figuras construídas a partir dele podem ser deformadas a partir do
deslocamento de seus elementos básicos, conservando-se as suas propriedades.
65
4.1.2.2 O software Cabri-Géomètre II
Por meio de menus e botões, as versões do Cabri-Géomètre II e do Cabri-
Géomètre II – Plus apresentam interfaces gráficas amigáveis. Suas principais
características são:
• Construção de pontos, retas, triângulos, polígonos, círculos e cônicas;
• Utilização de coordenadas cartesianas e polares, para atividades em Geometria
Analítica;
• Criação de macros para construções que se repetem com frequência;
• Diferenciação dos objetos criados, através de atributos de cores e estilos de
linha;
• Exploração das transformações de simetria, translação e rotação;
• Ilustração das características dinâmicas das figuras por meio de animações.
Também, permite criar novas ferramentas e adicioná-las na barra de menus, além
de possibilitar que seus arquivos sejam convertidos para a linguagem Java e sejam
compartilhados em rede.
4.1.2.3 O software Cabri 3D
Assim como o anterior é um software dinâmico com base na tecnologia CABRI
lançado em 2004 pela Cabrilog. Suas principais características são:
• Fornecer recursos e elementos para orientar a representação visual;
• Oferecer novos pontos de vista de um objeto;
• Mudar as características das figuras;
• Rever todos os passos da construção do objeto em estudo.
66
4.2 MÉTODO
4.2.1 A proposta de estudo
A proposta deste estudo foi analisar e discutir a satisfação em relação às
transformações lineares na perspectiva de um ensino e uma aprendizagem com o
auxílio da ferramenta computacional através do software geométrico dinâmico “CABRI”.
E a fim de estudar essa reação de estudantes do curso superior ao conceito de
transformação linear num ambiente dinâmico foi elaborada, aplicada e analisada uma
sequência didática sobre transformações lineares em R2 e em R3.
4.2.2 O problema de pesquisa
No atual estudo, foi considerada a visão de alguns teóricos quanto à influência,
em situação de ensino e aprendizagem, do objeto matemático utilizando a tecnologia
computacional. Para isso, utiliza-se como suporte a teoria de registros de
representações semióticas de DUVAL (1993), adaptada à proposta de pesquisa. Assim,
se apresenta o seguinte problema:
Como alunos do curso superior reagem ao lidar com o conceito de transformação
linear num ambiente de geometria dinâmica?
Com base no problema proposto, a seguir, apresentam-se os objetivos
específicos da atual pesquisa.
4.2.3 Objetivo
Os objetivos são os seguintes:
1. Elaborar uma sequência didática para explorar um ambiente de geometria
dinâmica, visando auxiliar o processo de ensino e aprendizagem de
transformações lineares.
67
2. Investigar e analisar de maneira exploratória as dificuldades encontradas
pelos estudantes do ensino superior na disciplina Álgebra Linear, em
particular, no tópico “transformações lineares” na primeira fase de aplicação
de instrumentos e o ambiente papel&lápis.
3. Investigar e analisar de maneira exploratória as dificuldades encontradas
pelos estudantes do ensino superior na disciplina Álgebra Linear, em
particular, no tópico “transformações lineares” na segunda fase de aplicação
de instrumentos e o ambiente de geometria dinâmicas através do software
Cabri II e numa terceira etapa, com o Cabri3D.
4.2.4 Interesse do estudo
Verificação das dificuldades em transformações lineares: diz respeito à resolução
de cada um dos sujeitos nas questões que contêm operações com transformações
lineares. A pontuação varia de 0 (zero) para a resposta errada e 1 (um) ponto para a
resposta correta. Essa variável será analisada qualitativa e quantitativamente.
4.2.5 Variáveis de controle do estudo
1. Nível de escolaridade: ser aluno regularmente matriculado no 7° semestre do
xx ano do curso de Bacharelado em Matemática no período noturno e no ano de 2013;
2. Setor de educação: instituição privada de ensino superior;
3. Aprendizagem através de tecnologia computacional usando os softwares
Cabri II e 3D.
4.2.6 Delineamento da pesquisa
Neste estudo não existiu manipulação experimental e nem tratamento
diferenciado para o grupo de sujeitos.
68
4.2.7 Procedimentos
Para análise dos dados foram considerados sete (7) encontros contendo quatro
atividades de aplicação de instrumentos; dentre essas, três foram através de uma
sequencia didática e a última atividade foi composta de três questionários. Tais
encontros realizaram-se durante os meses de abril e maio de 2013, sendo os dados
coletados com os instrumentos em relação às transformações lineares. Já no primeiro
encontro realizado, houve uma atividade de caráter exploratório em ambiente
lápis&papel, anexo A. Após uma semana, a II Atividade com aplicação do software
Cabri II, anexo B. Na última semana de abril, a III Atividade utilizando o software Cabri
3D, anexo C. Ainda, houve a IV Atividade com 3 questionários, anexo D e dois sobre
aplicação do software Cabri II e 3D, anexos “E” e “F”, respectivamente.
A seguir é apresentada descrição detalhada dos procedimentos adotados
durante a coleta de dados.
4.2.8 A sequência didática
As atividades apresentadas tiveram o aporte teórico das representações de
registros semióticos de DUVAL (1993), que foi utilizado para a concepção e modelagem
da sequencia didática. Os objetivos de cada atividade que compõe a sequência foram
expostos, direcionando o futuro uso do material. Também foi apresentada uma
descrição de cada uma das atividades desenvolvidas nesse experimento. Desse modo,
a sequência didática foi apresentada, destacando sua concepção, os procedimentos
adotados na execução, a descrição das atividades propostas e os objetivos de cada
atividade. Ressalta-se que, neste trabalho, não havia pretensão de determinar a melhor
forma de trabalhar conceitos, propriedades no ensino e aprendizagem de
transformações lineares um dos tópicos que compõe a disciplina Álgebra Linear, mas,
sim, de criar propostas metodológicas alternativas na aquisição de técnicas que
propiciassem a compreensão dos conceitos relacionados a alguns registros de
representações desses objetos matemáticos com os registros figural e cartesiano que
possam ser obtidos por meio do software Cabri-Géomètre.
69
4.2.8.1 Objetivo da sequência
O objetivo da sequência nas atividades foi elaborar uma sequência didática para
explorar um ambiente de geometria dinâmica, visando auxiliar o processo de ensino e
aprendizagem de transformações lineares a alunos do curso de Bacharelado em
Matemática que cursaram a disciplina de Álgebra Linear. Nessa elaboração foram
considerados os seguintes aspectos:
• Apresentação aos alunos dos diferentes registros de representação e como
mobilizá-los na aquisição de uma situação problema.
• Solicitação de figuras geométricas figurais e cartesianas associadas a definições
e propriedades;
• Compreensão para transitar entre os registros de representações semióticos
utilizados no objeto matemático “transformações lineares”;
• Oferta de subsídios que levem o aluno a verificar a validade de definições, em
pelo menos dois registros de representação: um monofuncional e outro
multifuncional.
4.3 MODELO PROPOSTO
O modelo proposto teve as ideias embasadas na teoria de Registros de
Representação Semiótica e as atividades foram assim adaptadas pelo pesquisador
desse trabalho tendo os livros de álgebra linear dos autores que constam da referência
bibliográfica.
Para a execução, as atividades foram elaboradas em fichas, para cada um dos
sujeitos do experimento. Tais atividades foram propostas nos ambientes papel&lápis e
de geometria dinâmica em Cabri II e Cabri 3D, utilizando-se, como ambiente de
trabalho, um laboratório de informática de um colégio particular de ensino médio da
cidade de Santos, gentilmente disponibilizado, pois, esse local estava equipado com
ambos os softwares.
70
4.4 ELABORAÇÃO DA SEQUÊNCIA DIDÁTICA
Com a finalidade de trabalhar as transformações lineares utilizando a ferramenta
auxiliar de geometria dinâmica Cabri, a sequência didática proposta teve como objetivos
principais:
- Trabalhar, inicialmente, definições e propriedades de transformações lineares
no plano, isto é, em R2.
- Evidenciar o efeito produzido pelas transformações lineares em R2 através de
figura geométrica cartesiana produzida pelo software Cabri II.
- Estabelecer relações entre as representações figurais e matriciais.
Para se alcançar os objetivos, dividimos a sequência em 3 atividades, cada qual
com um objetivo específico.
Portanto, após a elaboração da sequência didática, esta foi aplicada e analisada.
4.5 PROCEDIMENTOS NA PRIMEIRA FASE
4.5.1 Instrumento da primeira fase
No primeiro encontro, realizado no dia 16 do mês de abril do ano de 2013, as
atividades foram aplicadas a um grupo de doze alunos que cursam 7º semestre do 4º
ano de Bacharelado em Matemática de uma universidade privada localizada na cidade
de Santos, São Paulo. Tendo como instrumento a primeira atividade cuja finalidade foi
investigar e analisar de maneira exploratória os conhecimentos fundamentais da
álgebra linear, base ao tópico transformações lineares em um ambiente papel&lápis
(anexo A).
O instrumento da atividade 1 foram questões de tipo aberto que requeriam do
aluno conhecimento de aplicação, definição de transformação linear e de suas
principais propriedades, cálculo de imagem por simples substituição de valores ou por
definição e a identificação da matriz associada a uma transformação linear. Ainda,
esperava-se que o aluno tivesse capacidade de interpretar, descobrir, analisar e avaliar
os enunciados.
71
4.5.2 Aplicação de instrumentos
4.5.2.1 Atividade 1 - Aplicação do questionário exploratório em ambiente papel&lápis
Objetivos:
1. Verificar se a transformação é ou não linear.
2. Obter a Matriz Canônica.
3. Calcular numericamente a transformação linear.
4. Descrever, usando a linguagem natural, o efeito de multiplicar um vetor por uma
matriz.
5. Determinar a imagem de uma transformação linear.
6. Representar geometricamente a transformação linear em uma representação
cartesiana.
Q1. (Steinbruch & Winterle, 1987, p.157 c.4 ex.06 itens a,b. p.212). A projeção
ortogonal do IR3 sobre o plano xy
T: IR3 ______ IR3
(x, y, z) (x, y, 0)
(a) É linear? Verifique.
(b) Faça sua representação geométrica.
Q2. (Steinbruch & Winterle, 1987, p.212 c.4 ex.03 item d) A transformação do IR2
definida pela seguinte lei
T: IR2 ______ IR2
T(x, y) = (x+ 1, y)
É linear? Verifique.
Q3. Descreva em palavras o efeito geométrico sobre o vetor v = (x,y) ao multiplicá-lo
pela matriz A.
(a) 1 0
A0 1
=
72
(b) 1 0
A0 0
=
(c) 1 0A
0 1
− = −
(d) 1 0A
0 1
= −
Q4. (Lay, 2007, p.69 c.1 ex.19) Seja T: IR2 __ IR2 uma transformada linear que leva
1u
5
=
em 2
0
e 3
v1
=
em 1
4
−
. Use o fato de que T é linear para determinar as
imagens por T de 2u, 3v e 2u+3v.
Q5. (Anton & Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.03) Encontre a matriz canônica da
transformação linear T: IR3 ___ IR3 dada por:
w1 = 3x1 + 5x2 – x3
w2 = 4x1 – x2 + x3
w3 = 3x1 + 2x2 – x3
E em seguida calcule T (- 1, 2, 4).
Na segunda etapa, embasado na teoria dos registros de representação
semióticas, procurou-se observar e explorar o desempenho dos sujeitos do experimento
ao fazerem uso da ferramenta de geometria dinâmica Cabri Géomètre II quando das
representações e conversões que envolviam registros gráficos. Dessa forma, foi
possível também verificar como esses estudantes interagiam com o computador para a
aprendizagem do conteúdo, “transformações lineares no plano”, isto é, em R2, além de
verificar o que era necessário a fim de que os mesmos dominassem o sistema do
software utilizado, no nosso caso, o Cabri-Géomètre II, para em seguida estabelecerem
manipulações diretas com o objeto matemático em questão.
73
Será que a utilização de novos recursos possibilita novas construções,
transformando operações complexas em simples, permitindo aos estudantes evoluir de
acordo com a ampliação de seus conhecimentos?
Será que só a interação com a máquina é suficiente para garantir a
aprendizagem?
O que se esperava dos sujeitos desse experimento era a capacidade de
relacionar alguns registros de representações dos objetos matemáticos “transformações
lineares” com os registros figural e cartesiano, os quais podem ser obtidos por meio do
software Cabri-Géomètre. É evidente que, para o estudo dos conceitos da álgebra
linear, admitiu-se ser conhecido o corpo dos números reais, o qual será denotado por R.
4.5.2.2 Atividade 2 com o aplicativo Cabri II
Objetivo:
1. Esboçar geometricamente os vetores com o ponto inicial na origem.
2. Encontrar a transformação linear especial de um vetor.
3. Encontrar a imagem de uma transformação linear.
5. Ser capaz de, dado uma representação geométrica de uma transformação, encontrar
sua matriz canônica.
6. Determinar a imagem de uma transformação linear.
7. Representar geometricamente a transformação linear em uma representação
cartesiana.
Eis a segunda atividade:
Abra o aplicativo Cabri II Q1. (Anton & Rorres, 2001, p.105 c.3.1 ex.02) Esboce os seguintes vetores com ponto inicial na origem.
a) v1 = (3, 6) b) v2 = (– 4, –3) c) v3 = (5, – 4)
Q2. (Anton & Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.08). Encontre a reflexão de (–1, 2) em torno: (a) do eixo x (b) do eixo y (c) da reta y = x
74
Q3. (Anton & Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.10). Encontre a projeção ortogonal do vetor v = (2, –5) sobre:
(a) O eixo x (b) O eixo y
Q4. (Anton & Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.12) Encontre a imagem do vetor (3, – 4) quando girado por um ângulo de:
(a) ɵ = 30º (b) ɵ = – 60º (c) ɵ = 45º (d) ɵ = 90º
Q5. (Kolman & Hill, 2006, p.235 c.4 ex.26- adaptação) Seja L uma transformação linear
tal L: IR2→IR2 definida por:
x x yL =
y x+y
−
Represente-a geometricamente em coordenadas cartesianas, em
seguida, encontre sua matriz canônica e a imagem do vetor (2, 3), mude os valores
desse vetor, o que se observa.
Na terceira etapa, realizada em dois encontros, também embasada na teoria dos
registros de representação semióticas foi possível observar e explorar o desempenho
dos sujeitos do experimento ao fazerem uso da ferramenta de geometria dinâmica Cabri
3D quando das representações e conversões que envolvam registros gráficos. Dessa
forma, foi possível verificar como esses estudantes interagiam com o computador para
a aprendizagem do conteúdo, “transformações lineares no espaço”, isto é, em R3, ao
utilizar o software o Cabri-Géomètre, nesse caso, o “3D”, a fim de pudessem
estabelecerem manipulações diretas com o objeto matemático em questão.
75
4.5.2.3 Atividade 3 com o aplicativo Cabri 3D
Objetivo:
1. Esboçar geometricamente os vetores com o ponto inicial na origem.
2. Encontrar a transformação linear especial de um vetor.
3. Encontrar a imagem de uma transformação linear.
5. Ser capaz de, dada a representação geométrica de uma transformação encontrar sua
matriz canônica.
6. Determinar a imagem de uma transformação linear.
7. Representar geometricamente a transformação linear em uma representação
cartesiana.
Eis a terceira atividade:
Abra o aplicativo Cabri 3D
Q1. (Anton & Rorres, 2001, p.105 c.3.1 ex.01) Esboce os seguintes vetores com ponto
inicial na origem.
(a) v1 = (3, 4, 5)
(b) v2 = (–3, –4, 5)
(c) v3 = (–3, 0, 0)
(d) v4 = (3, 0, 3)
Q2. (Anton & Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.09) Encontre a reflexão de (2, –5, 3) em
torno:
(a) Do plano xy
(b) Do plano xz
(c) Do plano yz
Q3. Observe a representação da figura em coordenadas cartesianas e preencha a
seguinte tabela referente ao gráfico da Q2:
76
REPRESENTAÇÕES ITEM
REGISTROS SIMBÓLICOS: ALGÉBRICO MATRICIAL NUMÉRICO LÍNGUA NATURAL
a
b
c
Q4. (Anton & Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.13) Encontre a imagem do vetor (–2, 1, 2)
quando girado de:
(a) 30º em torno do eixo x
(b) 45º em torno do eixo y
(c) 90º em torno do eixo z
77
5 ANÁLISE EM FUNÇÃO DOS RESULTADOS
Neste capítulo são feitas a análise e a discussão de resultados obtidos pelos
sujeitos do experimento depois das aplicações das atividades sobre transformações
lineares no plano e no espaço, tanto em ambiente “lápis&papel” quanto em ambiente de
geometria dinâmica através do programa Cabri II e Cabri 3D.
Todas as produções feitas com o “Cabri II” e o “Cabri 3D” pelos participantes
deste estudo, após serem salvas em pen drive, tiveram as figuras transferidas para o
papel, com a finalidade de compor os anexos dessa dissertação.
5.1 DESCRIÇÃO E ANÁLISE DA I ATIVIDADE: APLICAÇÃO DO QUESTIONÁRIO
EXPLORATÓRIO EM AMBIENTE PAPEL&LÁPIS
O primeiro encontro de caráter exploratório foi realizado em dezesseis de abril de
dois mil e treze, às 20h30min, com duração de 01h30min, no laboratório de informática
de um colégio particular de ensino médio localizado em Santos. Estavam presentes,
além de doze alunos de ambos os gêneros, sendo seis de cada, regularmente
matriculados no sétimo (7º) semestre do curso de Bacharelado em Matemática de
universidade privada de Santos no Estado de São Paulo, seu professor e dois
colaboradores, professores de escolas estaduais de Santos.
5.1.1 Procedimento
Inicialmente, o pesquisador, após apresentação pessoal, citou qual era razão do
encontro, cuja finalidade era a aplicação de uma sequência didática em ambiente de
geometria dinâmica através dos softwares Cabri II e 3D. Ainda, foram citados mais seis
encontros que deveriam ser realizados, cujos resultados constariam de sua dissertação
de mestrado. Em seguida, em slides, apresentaram-se, aos alunos presentes, os
objetivos da primeira atividade, que é um questionário exploratório contendo cinco
questões em transformações lineares em dimensão 2 e 3. Também, foi realçada a
importância desses alunos como sujeitos da pesquisa.
78
A fim de preservar o anonimato, eles foram designados, por S1 a S12. Além
disso, foi feita uma pequena recordação sobre tópicos da álgebra linear, tais como:
base, combinação linear e principalmente, o assunto transformação linear - definições e
propriedades. Depois, foram distribuídos os materiais utilizados no ambiente papel &
lápis, tais como, papel, lápis, régua e a folha de papel com a Atividade I. O professor
dos sujeitos nos auxiliou, tanto na apresentação quanto na explicação dos objetivos do
questionário.
Logo depois de explicada a Atividade I, foi realçada aos alunos que estes
deveriam fazer primeiro as questões consideradas fáceis. Entretanto, ao iniciar a
atividade, alguns alunos sentiram um pouco de dificuldade em algumas questões, talvez
devido à ansiedade ou ao estigma que palavra “avaliação” carrega. Salvo a questão 5,
cujo enunciado foi alterado por sugestão do professor dos sujeitos, com a inserção na
definição de T:R3 → R3 da seguinte afirmação: T(x1, y1, z1) = (w1, w2, w3), o grupo de
sujeitos compreendeu bem as questões e o que se estava sendo solicitado. A finalidade
era verificar como os alunos se colocariam diante de situações, tais como a da
verificação da linearidade ou não, da obtenção da matriz canônica, do cálculo numérico
da transformação linear, da descrição usando a linguagem natural o efeito de multiplicar
um vetor por uma matriz, da imagem de uma transformação linear e da representação
geometricamente a transformação linear em uma representação cartesiana, usando os
instrumentos instrucionais do ambiente lápis & papel, foram permitidas algumas
intervenções tanto do professor pesquisador quanto do professor dos sujeitos, além da
permissão de troca de ideias entre os sujeitos. Portanto, essas ações permitiram criar
interações entre eles. Após, vinte e cinco minutos, as atividades foram recolhidas.
Segue um exemplo de resolução esperada à Atividade I.
Q1. (Steinbruch & Winterle, 1987, p.157 c.4 ex.06) A projeção ortogonal do IR3 sobre o plano xy,
T: IR3 ______ IR3
(x, y, z) → (x, y, 0)
(a) A projeção ortogonal é linear? Verifique.
R.: Sim.
Seja u= (x1, y1, z1) e v= (x2, y2, z2), dois vetores quaisquer, tais que por definição:
T(u) = (x1, y1, 0) e T(v)=( x2, y2, 0), então, T(u) + T(v)=( x1, y1, 0) +( x2, y2, 0),
79
Logo, T(u) + T(v) = (x1+x2, y1+y2, 0), como T(u+v)=T(( x1, y1, z1) +(x2, y2, z2)),
Então, T((x1+x2, y1+y2, z1+z2)) = (x1+x2, y1+y2, 0), logo, T(u+v) = T(u) + T(v).
(b) Faça sua representação geométrica.
Q2. (Steinbruch & Winterle, 1987, p.212 c.4 ex.03 item d) A transformação do IR2 definida pela seguinte lei:
T: IR2 ______ IR2
T(x, y) = (x+ 1, y)
É linear? Verifique.
Não. Porque T(u+v)≠ T(u) + T(v).
Por definição: T(u) =T(x, y) = (x+ 1, y).
Seja u= (x1, y1) e v= (x2, y2,), dois vetores quaisquer, tais que por definição:
T(u) =T(x1, y1)= (x1+1, y1) e T(v) =T(x2, y2) = (x2+1, y2),
então, T(u) + T(v) = (x1+1, y1) + (x2+1, y2),
Logo, T(u) + T(v) = (x1+x2+2, y1 +y2).
Agora, como T(u+v) =T((x1, y1) + (x2, y2)) =T((x1+ x2, y1+ y2)), por definição, obtém-se:
T(u+v) = (x1+ x2+1, y1+ y2), portanto, (x1+ x2+1, y1+ y2)≠ (x1+x2+2, y1 +y2), desse modo, T(u+v)≠ T(u) + T(v).
Conclui-se que a transformação não é linear. Ela é uma translação.
Ou:
T(0,0) = (0+1, 0), ou seja, T(0,0) = (1,0), logo, T(0,0) ≠ (0,0).
Ou: T(x, y) = (x, y) + (1,0), i.e, T(u) =v + w
Portanto, T(u) é uma translação. E a transformação translação não é linear.
Q3. Descreva em palavras o efeito geométrico sobre o vetor v = (x, y) ao multiplicá-lo pela matriz A.
(a) 1 0
A0 1
=
R.: Redução à identidade.
(b) 1 0
A0 0
=
R. Projeção ortogonal ao eixo Ox.
(c) 1 0A
0 1
− = −
R.: Reflexão em relação à origem xOy.
(d) 1 0A
0 1
= −
R.: Reflexão em torno do eixo O x.
80
3 5 1
A 4 1 1
3 2 1
−= −
−
1
2
4
3 5 1 3
Av 4 1 1 2
3 2 1 3
−
−= − = −
− −
A fim de efetuarem as respostas em linguagem natural, os alunos deveriam relembrar o efeito produzido pela
multiplicação matriz da transformação dada por um vetor genérico. Desse modo, bastariam:
a) 1 0
Av0 1
x x
y y
= =
; b) 1 0
Av0 0 0
x x
y
= =
; c) 1 0
Av0 1
x x
y y
− − = = − −
e
d) 1 0
Av0 1
x x
y y
= = − −
.
Q4. (Lay, 2007, p.69 c.1 ex.19) Seja T: IR2 __ IR2 uma transformada linear que leva:
1 2 3 1u em e v em
5 0 1 4
= = −
Use o fato de que T é linear para determinar as imagens por T de 2u, 3v e 2u+3v.
R.: Como T é linear, logo, T(2u) =2T(u), i.e., T (21
5
)=2(2
0
), assim, tem-se: T (2 1
5
)=4
0
.
Analogamente, para, T(3v)=3T(v), i.e., T (33
1
)=3(1
4
−
), assim, tem-se: T (33
1
)= 3
12
−
.
Portanto, achar T(2u + 3v) = 2T(u) + 3T(v), basta somar :T(2u + 3v)= 4
0
+ 3
12
−
=7
12
−
.
Q5. (Anton & Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.03) Encontre a matriz canônica da transformação linear: T: IR3 ___ IR3 dada por: T(x1, x2, x3)= (w1, w2, w3). w1 = 3x1 + 5x2 – x3 w2 = 4x1 – x2 + x3
w3 = 3x1 +2x2 – x3 E em seguida calcule T (- 1, 2, 4).
R.: A matriz é:
Cálculo de T(x1, x2, x3)= (w1, w2, w3) por substituição direta nas equações:
1 1 2 31 1 1
2 2 1 2 3 2 2
3 3 33 1 2 3
w = 3x + 5x x x w 3( )+ 5( ) ( ) w 3
T ( 1, 2, 4): x e w = 4x x + x w 4( ) ( ) + ( ) w 2 T ( 1, 2, 4) (
x w 3( )+ 2( ) ( ) w 3w = 3x
1 1 2 4
2 1 2 4
4 1 2+ 2 x 4x
− −−= = − = − = − ⇒ = − ⇒ = − ∴ − = = = − = −−
−−
3, 2 3, )− −
multiplicação matricial. Ou por:
Quadro 5. Exemplo de resolução da I Atividade – Questionário Exploratório.
81
5.1.2 Análise e discussão dos resultados
Para efeito de tabulação usaram-se as seguintes legendas como codificação das
respostas dadas pelos sujeitos do experimento: B = em branco; NS = não sei = B; C =
resposta certa; E = resposta errada; LNC = linguagem natural correta; LNI = linguagem
natural incorreta; SLN= sem linguagem natural; VC= verificação certa; Vi = verificação
incompleta; RGC=representação geométrica correta; RGI=representação geométrica
incorreta. Respeitando as respostas dadas na folha da Atividade 1, o Quadro 6 mostra
os resultados obtidos.
TABULAÇÃO DAS RESOLUÇÕES DADAS PELOS SUJEITOS
Q
SUJEITOS S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 S11 S12
1a1 B C C NS=B C B B B C E B B
1a2 B B Vi NS=B VC B B B B B B B
1.b B RGI RGI NS=B B B B B RGC RGI B B
2a1 C E C NS=B B B B B E C B B
2a2 B B VC NS=B Vi B B B B B B B
3.a SLN LNC SLN LNC SLN SLN LNC LNC SLN LNI SLN LNC
3.b SLN LNI SLN LNC SLN SLN LNC LNC SLN LNI SLN LNC
3.c SLN LNI SLN LNC SLN SLN B B SLN LNI SLN LNC
3.d SLN LNI SLN LNC SLN SLN B B SLN LNI SLN LNI
4a1 C C C C C B C E C C C C
4a2 B C C C C B C B C C C C
4a3 B C C C C E C B B B C C
5a1 C C C E C E C C E C B C
5a2 C C C E C E C C B B E C
Quadro 6. Tabulação das resoluções dadas pelos sujeitos.
A seguir, será apresentado um quadro contendo as quantidades de respostas
certas, erradas e em branco.
82
R Questões
1 2 3 4 5
1a1 1a2 1.b 2a1 2a2 3.a 3.b 3.c 3.d 4a1 4a2 4a3 5a1 5a2
C 4 1 1 3 1 5 4 2 1 10 9 7 8 7
E 1 1 3 2 1 1 2 2 3 1 0 1 1 2
B 7 10 8 7 10 6 6 8 8 1 3 4 3 3
Quadro 7. Tabela com as respostas dadas pelos alunos.
Observa-se que na questão 1, na primeira parte do item “a” houve maioria de
respostas em branco, ou seja, sete (7). Entretanto, quatro (4) sujeitos foram capazes de
responder corretamente quanto à linearidade, mas não quanto à verificação. Embora, o
sujeito S3 tenha lembrado parte da definição de linearidade, não “a” foi capaz de
concluir. Apenas o sujeito S5 foi capaz de usar a definição para verificar a veracidade
da resposta. Já no item “b” da mesma questão, quatro sujeitos fizeram a representação
geométrica da situação, porém, somente o sujeito designado por S9 fez de forma
correta. O contraexemplo de linearidade é apresentado na questão 2. Três sujeitos
acertaram a primeira parte do item “a”, mas apenas um, o sujeito S3 foi capaz de
verificar. Já os sujeitos S2 e S9 que haviam acertado sobre a linearidade da questão 1,
erraram ao afirmar que a translação do objeto de estudo da questão 2 era linear. As
figuras abaixo ilustram as produções realizadas pelos sujeitos:
Figura 22. Produção do sujeito S1 nas questões 1 e 2.
83
Figura 23. Produção do sujeito S2 nas questões 1 e 2.
Quanto à questão 3, que versa sobre o uso da linguagem natural para descrever
o efeito geométrico sobre o vetor genérico v produzido pela matriz dada, somente o
sujeito S4 respondeu corretamente todos os itens, enquanto os sujeitos S2, S4, S7, S8
e S12 responderam alguns itens corretamente e outros incorretamente ou deixaram
sem respostas. Ainda existiram seis (6) sujeitos que não utilizaram a linguagem natural
em suas respostas. A seguir a figura da resposta produzida por S4
Figura 24. Produção do sujeito S4 na questão 3.
84
A questão 4, sobre o uso da transformação linear para determinar o produto de
um número real pelos vetores e em seguida a adição dos mesmos foi a que apresentou
melhor resultado, pois, sete (7) sujeitos, S2, S3, S4, S5, S7, S11 e S12 acertaram os 3
itens dessa questão. Porém, ainda houve dois itens com respostas erradas. Também, a
questão 5, que pedia a matriz canônica da transformação linear de um sistema de
equações e o cálculo numérico dessa transformação, teve um grande número de
acertos. Segue um exemplo de produção incompleta realizada por S10 como ilustração
através da figura abaixo:
Figura 25. Produção do sujeito S4 nas questões 1, 2 e 3 na I Atividade: Questionário Exploratório.
Portanto, analisada essa primeira atividade, pode-se observar que tanto a
condição de linearidade e não linearidade, quanto à representação geométrica mais a
linguagem natural para expressar o efeito geométrico não são dominadas pelos
estudantes desse experimento. Já a representação algébrica e matricial para o cálculo
das transformações não apresentaram dificuldades. Para isso, basta verificar as
85
questões 4 e 5. Talvez isso se deva ao fato de serem essas representações
extremamente exploradas pelos livros didáticos adotados como referência bibliográfica
nas instituições de ensino superior em curso de ciências exatas. Desse modo,
procurou-se, dentro do possível, cumprir um dos objetivos da pesquisa que era
investigar e analisar de maneira exploratória as dificuldades encontradas pelos
estudantes do ensino superior na disciplina Álgebra Linear, em particular, no tópico
“transformações lineares” em ambiente de papel&lápis.
5.1.2.1 Resultados dos sujeitos na I Atividade
Outro objetivo proposto no presente estudo previa verificar se existe relação
entre as dificuldades em transformações lineares, na primeira fase de aplicação de
instrumentos e o ambiente papel&lápis. A comparação foi feita entre a variável de
interesse do estudo desempenho com todos os alunos (N=12), formando apenas uma
amostra.
Na Tabela 1 é feita a apresentação de resultados da distribuição seguindo
parâmetros qualitativos dos catorze itens que compõem as cinco questões para
avaliação. Embora não se esteja interessado em dados estatístico, essa tabela serviu
de base, como indicador qualitativo do desempenho obtido pelos sujeitos da amostra,
do seguinte modo: péssimo (de nenhum acerto a 2 acertos), ruim (de 3 a 5 acertos),
regular (de 6 a 8 acertos), bom (de 9 a 11 acertos) e ótimo (de 12 a 14 acertos).
TABELA EXPLORATÓRIO EM AMBIENTE PAPEL&LÁPIS Resultados Nº de Sujeitos
ótimo 0 bom 0
regular 7 ruim 4
péssimo 1 TOTAL 12
Tabela 1. Distribuição dos resultados dos sujeitos na I Atividade.
86
5.2 DESCRIÇÃO E ANÁLISE DA II ATIVIDADE DE FAMILIARIZAÇÃO COM O
APLICATIVO CABRI II
Após uma semana, no dia vinte e três de abril de dois mil e treze, às 20h30min,
com duração de 01h45min, no laboratório de informática do colégio particular de ensino
médio, localizado no bairro Ponta da Praia, na cidade de Santos; foi realizada a
segunda atividade. Essa contava com cinco questões, tendo como ferramenta auxiliar,
o programa de geometria dinâmica “Cabri-Géomètre II”. Das cinco questões, apenas
duas, contendo seis itens, foram resolvidas nessa data. Suas resoluções foram salvas
individualmente em pen drive para, posteriormente, servirem de dados à análise da
aplicação daquela atividade. Estavam presentes, desta vez, nove alunos, sujeitos do
experimento, sendo quatro do sexo masculino, cinco do feminino, e seu professor de
graduação.
O professor-pesquisador distribuiu a folha contendo o instrumento, II Atividade,
cujo conteúdo de álgebra linear no tópico transformação linear deveria ser resolvido
através de ferramenta auxiliar: o software dinâmico Cabri II. Também se comentou que
essa segunda atividade foi construída de modo a explorar as relações entre os diversos
registros associados ao registro gráfico cartesiano. Em seguida, foi aberto o slide da
aula que trazia A II ATIVIDADE COM O APLICATIVO CABRI II. Os objetivos dessa
atividade eram: esboçar geometricamente os vetores com o ponto inicial na origem;
encontrar a transformação linear especial de um vetor; encontrar a imagem de uma
transformação linear; encontrar a matriz canônica a partir de uma representação
geométrica de uma transformação; determinar a imagem de uma transformação linear e
representar geometricamente a transformação linear em uma representação cartesiana.
A seguir, apresenta-se uma descrição detalhada dos procedimentos adotados.
5.2.1 Descrição da estrutura de conteúdo do instrumento II Atividade com o aplicativo
Cabri II
O instrumento II Atividade foi composto por cinco questões, num total de 13 itens,
retiradas dos livros que constam nas referências bibliográficas desse trabalho. Essas
87
questões requeriam do estudante as construções através do software Cabri II, cujos
objetivos são:
1. Esboçar geometricamente os vetores com o ponto inicial na origem.
Q1. (Anton & Rorres, 2001, p.105 c.3.1 ex.02) Esboce os seguintes vetores com ponto inicial na origem.
a) v1 = (3, 6) b) v2 = (– 4, –3) c) v3 = (5, – 4).
2. Encontrar a transformação linear especial de um vetor.
Q2. (Anton & Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.08) Encontre a reflexão do vetor (–1, 2) em torno:
a) Do eixo x b) Do eixo y c) Da reta y = x.
3. Encontrar a imagem de uma transformação linear.
Q3. (Anton & Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.10) Encontre a projeção ortogonal do vetor (2, –5) sobre:
(a) O eixo x (b) O eixo y.
4. Encontrar sua matriz canônica a partir de uma representação geométrica de uma
transformação.
Q5. (Kolman & Hill, 2006, p.235 c.4 ex.26- adaptação) Seja L uma transformação linear
tal L:IR2→IR2 definida por : x x yL =
y x+y
−
Represente-a geometricamente em
coordenadas cartesianas, em seguida, encontre sua matriz canônica e a imagem do
vetor (2, 3), mude os valores desse vetor, o que se observa.
5. Determinar a imagem de uma transformação linear.
Q4. (Anton & Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.12) Encontre a imagem do vetor (3, – 4) quando girado por um ângulo de:
(a) ɵ = 30º (b) ɵ = – 60º (c) ɵ = 45º (d) ɵ = 90º
88
6. Representar geometricamente a transformação linear em uma representação
cartesiana.
Q5. (Kolman & Hill, 2006, p.235 c.4 ex.26- adaptação)
O professor-pesquisador distribuiu a folha contendo a II Atividade cujo conteúdo
de álgebra linear no tópico transformação linear deveria ser resolvido através de
ferramenta auxiliar, o software dinâmico Cabri II. Também, o professor-pesquisador
comentou que essa segunda atividade foi construída de modo a explorar as relações
entre os diversos registros associados ao registro gráfico cartesiano.
Ao iniciar o experimento, cada um dos sujeitos teve, individualmente
disponibilizado, um computador com o programa “Cabri II” e um pen drive, para sua
produção que seria posteriormente analisada pelo pesquisador. Após abertura do
aplicativo, o professor-pesquisador leu a primeira questão, cujo objetivo era esboçar
vetores no sistema coordenado cartesiano no plano, ou seja, na dimensão 2,
representado por S= (0, ,i jr r
), tal que o ponto inicial coincidisse com a origem. Em
seguida, detalharam-se quais ferramentas deveriam ser utilizadas, mostrando como
acioná-las. Também foi alertado que existem diferentes modos de se fazer a mesma
construção. A maioria optou por construir as coordenadas do ponto, utilizando o terceiro
comando, do décimo ícone da barra de ferramentas, denominado: “Edição Numérica” e,
em seguida, usar o oitavo comando do quinto ícone: “Transferência de Medidas”. Ainda,
do mesmo ícone, utilizou-se o primeiro comando, “Reta Perpendicular”, para construir
duas retas perpendiculares respectivamente, uma ao eixo dos x e outra ao eixo dos y.
Depois, determinou-se o ponto de intersecção entres essas retas, através do terceiro
comando do segundo ícone: “Pontos de Intersecção”. Finalmente, utilizou-se o quarto
comando do terceiro ícone da barra de ferramentas, “Vetor” para construí-lo. O motivo
dessa construção é que essa permite determinar os outros vetores apenas
movimentando a barra de rolagem do comando utilizado. Assim, é possível observar
não somente os vetores pedidos na questão, mas uma infinidade de vetores.
Dentre os sujeitos presentes ao experimento, apenas o S11 não conseguiu fazer
e, mesmo com ajuda, encontrou enorme dificuldade. Além dele, o S1, embora tenha
89
encontrado dificuldade, após a ajuda do professor-pesquisador conseguiu realizar a
tarefa solicitada.
Cabe ressaltar alguns comentários feitos pelos sujeitos na folha de atividade.
Segundo o relato do sujeito S1: “só faltou acompanhar melhor”. O S2 escreveu: “não
achou difícil, porém preciso praticar”. O S3 afirmou que “a questão pareceu um pouco
difícil, porém com as explicações, foram facilitadas com o uso do Cabri”. Além desses, o
S5 citou: “a dificuldade na questão foi falta de afinidade com o Cabri” e o S7 afirmou
que “a maior dificuldade minha é não ter muita prática no PC”. Entretanto, S9 afirma:
“Senti facilidade, pois o Cabri II é comunicativo até mesmo para leigos. Assim aprendi
mostrar eixos, comentários, equações e coordenadas, simetria axial, ponto, ponteiro,
cor, espessura, vetor... são tópicos familiares após a aula”. O S10 achou “fácil de
exercitar, mas a explicação foi muito rápida”. O indivíduo S11 nada relatou. Por último,
o S12 afirmou que “o Cabri Géomètre se apresenta de maneira clara e objetiva,
facilitando as construções dos vetores no exercício 1”.
A resolução da questão 2, cujo objetivo era encontrar a reflexão de um vetor
dado em torno dos eixos coordenados e da reta y=x, revelou uma melhora na
construção por partes dos sujeitos participantes do experimento. Apenas S1 e S11, não
conseguiram fazer.
90
Para o sujeito S3: “o exercício no papel parece complicado, mas depois do uso
do Cabri, o exercício pareceu bem mais fácil, pois tem a possibilidade de mudança de
cores da linha, fazendo um melhor entendimento e facilitando a resolução do exercício
proposto”. Eis a figura de sua produção:
Figura 26. Produção do sujeito S2 na questão 2 da II Atividade com o uso do aplicativo.
Também com mesma ideia de S3, o sujeito S4 afirma que “(2) Muito interessante
e gostoso de fazer”. De acordo com S5, embora houvesse “falta de afinidade com o
Cabri 2, no entanto, o uso do Cabri 2 permitiu visualizar melhor as transformações e
como elas ocorrem”. O S9, diz: “(2) Agora, nesta questão, já senti bastante dificuldade...
seria capaz de fazer a questão 1 sozinha, porém a questão 2, já não”. Também, S10
cita: “(2) simples de realizar a atividade, mas encontrei dificuldade em acompanhar a
explicação do professor”, entretanto sua construção foi significativa. Ei-la na figura
abaixo:
91
Figura 27. Produção do sujeito S10 na questão 2 da II Atividade com o uso do aplicativo.
O sujeito S11 que afirma: “achei difícil de acompanhar com a informática”,
entretanto, para S12: “o Cabri se apresenta de maneira clara e objetiva, facilitando as
construções e representado as simetrias do exercício2” (sic).
Dado que o objetivo fora explorar o conceito da transformação linear “Reflexão”
ou “Simetria” partindo do enfoque gráfico e estabelecendo relações com os registros
simbólicos, tais como: os numéricos e algébricos, e coordenados, as conversões
requeridas na atividade; as resoluções e respostas parecem mostrar que os
participantes tiveram uma reação favorável ao lidar com o conceito de transformação
linear num ambiente de geometria dinâmica.
Mais dois encontros foram realizados nos dias 14 e 21 de maio de 2013, na sala
de aula da universidade onde os sujeitos cursam a graduação em Bacharelado em
Matemática, com o uso de notebook do professor-pesquisador. Participaram os sujeitos
S1, S2, S3, S4, S5, S7, S10 e S11. As resoluções das questões de número 3 e 4 não
apresentaram nenhuma dificuldade, talvez porque já eram conhecimentos adquiridos na
construção da terceira atividade feita com o Cabri 3D. Embora a construção da questão
92
5 fosse realizada corretamente, os alunos sentiram dificuldade em enxergar o que
acontecia ao mudar os valores do vetor.
5.3 DESCRIÇÃO E ANÁLISE DA III ATIVIDADE DE FAMILIARIZAÇÃO COM O
APLICATIVO CABRI 3D
No dia 30 da última semana de abril de 2013, estavam presentes nesse
encontro, além de nove alunos, sujeitos do experimento, o seu professor de graduação.
Houve a terceira atividade contendo quatro questões de transformações lineares em
dimensão três (3) que teve como aporte auxiliar a aplicação, o software Cabri 3D. Tal
como a II Atividade, a III Atividade pedia a resolução de duas questões, com um total de
sete itens, com a utilização do aplicativo Cabri 3D. A questão 3, continuação da 2,
agora em ambiente tradicional, com uso do instrumento “papel&lápis”. O restante dessa
atividade foi finalizado em 07 de maio, no quarto encontro, ambos realizados no colégio
particular de ensino médio.
O professor-pesquisador distribuiu a folha contendo a III Atividade cujo conteúdo
de álgebra linear no tópico transformação linear deveria ser resolvido através de
ferramenta auxiliar: o software dinâmico Cabri 3D. Também comentou que essa terceira
atividade foi construída de modo a explorar as relações entre os diversos registros
associados ao registro gráfico cartesiano. Ele abriu o slide da aula que trazia a III
ATIVIDADE COM O APLICATIVO CABRI 3D cujos objetivos eram: esboçar
geometricamente os vetores com o ponto inicial na origem, encontrar a transformação
linear especial de um vetor, encontrar a imagem de uma transformação linear, encontrar
a matriz canônica a partir de uma representação geométrica de uma transformação,
determinar a imagem de uma transformação linear e representar geometricamente a
transformação linear em uma representação cartesiana.
93
5.3.1 Descrição da estrutura de conteúdo do instrumento III Atividade com o aplicativo
Cabri 3D
O instrumento III Atividade era composto de quatro questões, num total de 13
itens, retirados dos livros que constam das referências bibliográficas desse trabalho.
Essas questões requeriam do estudante as construções através do software Cabri 3D,
cujos objetivos são:
1. Esboçar geometricamente os vetores com o ponto inicial na origem.
Q1. (Anton & Rorres, 2001, p.105 c.3.1 ex.01) Esboce os seguintes vetores com ponto
inicial na origem.
(a) v1 = (3, 4, 5)
(b) v2 = (–3, –4, 5)
(c) v3 = (–3, 0, 0)
(d) v4 = (3, 0, 3)
2. Encontrar a transformação linear especial de um vetor.
Q2. (Anton & Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.09) Encontre a reflexão do vetor (2, –5, 3) em
torno:
(a) Do plano xy
(b) Do plano xz
(c) Do plano yz
3. Encontrar a imagem de uma transformação linear.
Q4. (Anton & Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.13) Encontre a imagem do vetor (–2, 1, 2)
quando girado de:
(a) 30º em torno do eixo x
(b) 45º em torno do eixo y
(c) 90º em torno do eixo z
4. Encontrar a matriz canônica a partir de uma representação geométrica de uma
transformação encontrar sua matriz canônica.
94
5. Determinar a imagem de uma transformação linear.
6. Representar geometricamente a transformação linear em uma representação
cartesiana.
Q3. Observe a representação da figura em coordenadas cartesianas e preencha a
seguinte tabela referente ao gráfico da Q2:
REPRESENTAÇÕES ITEM
REGISTROS SIMBÓLICOS: ALGÉBRICO
MATRICIAL NUMÉRICO LÍNGUA NATURAL
a
b
c
Esperava-se que os sujeitos deste experimento fossem capazes de relacionar
alguns registros de representações dos objetos matemáticos “transformações lineares”
em dimensão (3) três, isto é, no espaço, com os registros figural e cartesiano que
podiam ser obtidos por meio do software Cabri-Géomètre 3D. Também, houve uma
breve explanação do professor-pesquisador, sobre o software e sobre o conteúdo das
questões.
Ao iniciar o experimento, realizaram-se os mesmos procedimentos do encontro
anterior, cada um dos sujeitos teve individualmente disponibilizado, um computador
95
como o programa “Cabri 3D” e um pen drive, para salvar a sua produção para posterior
análise do pesquisador.
Após, a abertura do aplicativo, o professor-pesquisador leu a primeira questão,
cujo objetivo era esboçar vetores no sistema cartesiano espacial tridimensional, isto é,
em R3, representado por S= (0, , ,i j kr r r
), tal que o ponto inicial coincidisse com a origem.
Um dos participantes questionou sobre a semelhança da questão nº 1 da
atividade anterior realizada com Cabri II e a de nº 1 dessa terceira atividade realizada
com o Cabri 3D. Então, o professor-pesquisador explicou-lhe que as questões
apresentadas nessa atividade em sequência, semelhantes as da segunda atividade,
foram construídas propositalmente dessa forma, a fim de que eles, sujeitos, de posse
de conhecimentos anteriores, tivessem facilidade em mobilizá-los ao efetuar as
questões. Assim, talvez as ferramentas utilizadas nas construções através do Cabri 3D
seriam facilitadas, pois estabeleceriam relações entre as construções feitas em Cabri II.
Fato salientado pelo sujeito S10 ao responder questão 1 do questionário sobre a
III Atividade – familiarização com o aplicativo Cabri 3D, cuja pergunta estava
relacionada à dificuldade na resolução daquela atividade. Ela foi enfática ao dizer: “não,
relembrando com o R2 ficou mais fácil o R3”. Figura abaixo ilustrando a citação:
Figura 28. Resposta do S10 ao questionário sobre III Atividade.
Em seguida, detalharam-se quais ferramentas deveria ser utilizadas, mostrando
como acioná-las. Também foi alertado aos sujeitos que existem diferentes modos de se
fazer a mesma construção.
96
De maneira geral, os participantes presentes ao experimento fizeram a
construção correta da questão1; apenas o sujeito S2, que embora tenha apresentado
ao professor, as soluções corretas na tela do Cabri, o mesmo não aconteceu no pen
drive, onde, os vetores representados são outros, que não os solicitados.
Quanto à questão 2, que se referia à reflexão do vetor nos planos xy, xz e yz,
embora o S1 a tenha feito, usou outro vetor que não o da questão. Já o S2 tal qual S1,
também usou outros vetores. O S9 e o S11 fizeram corretamente a reflexão do vetor
dado ao plano xy, porém as outras reflexões não aparecem. Os demais sujeitos: S3,
S4, S5 e S7, fizeram corretamente o que foi solicitado. Vale ressaltar as construções
feitas por S3, tanto na Q1 quanto na Q2, cujas figuras ilustrativas das produções são
mostradas a seguir:
Figura 29. Produção do sujeito S3 nas questões 1 e 2 da III Atividade com o uso do aplicativo.
Dado que ao responder a questão Q3 do questionário final aos participantes das
atividades do curso sobre experiência anterior com o software Cabri, ele optou por
afirmar: “Não”. A figura abaixo ilustra sua afirmação:
97
Figura 30. Resposta do S3 ao questionário final.
Prosseguindo, a questão 3, cujo objetivo era observar a representação da figura
gráfica da questão 2 em coordenadas cartesianas, isto é, registro gráfico e figural para
em seguida preencher a tabela referente a essa construção utilizando os registros de
representação semiótica, apresentou os seguintes resultados: o sujeito S7 deixou-a em
branco, tendo apenas iniciado o algébrico escrito T: R3 →R3: T(x, y, z) = ?. Todavia, na
questão 2 utilizou corretamente a representação, como mostra a figura abaixo:
Figura 31. Produção do sujeito S7 nas questões 2 e 3 da III Atividade com o uso do aplicativo.
98
O sujeito S1 foi capaz de utilizar dois registros: os simbólicos, destes apenas o
algébrico, porém corretamente, e os registros de língua natural, já o S3 utilizou
corretamente os registros simbólicos, algébrico e o matricial e confundiu o numérico,
talvez por não relembrar como se efetua o produto de matrizes, também foi capaz de
usar os registros de língua natural, vide figura ilustrativa abaixo:
Figura 32. Produção do sujeito S3 na questão 3 da III Atividade com o uso do aplicativo.
Prosseguindo, o sujeito S10 utilizou corretamente os registros simbólicos:
algébrico, matricial e numérico, porém não utilizou os de língua natural. Os demais
sujeitos, S2, S4, S5, S9 e S11 utilizaram corretamente os registros simbólicos e os de
língua natural. Dada à importância da utilização da Teoria dos Registros de
Representações Semióticas, introduzida por Raymond Duval, faz-se necessário
99
exemplificar a utilização dos tipos de registros: simbólicos e de língua natural,
evidenciadas nas produções efetuadas pelos sujeitos, S4 e S5, ilustradas nas figuras a
seguir:
Figura 33. Produção do sujeito S4 na questão 3 da III Atividade com o uso do aplicativo.
Figura 34. Produção do sujeito S5 na questão 3 da III Atividade com o uso do aplicativo.
100
Portanto, de modo geral, os conceitos de registros de representações semióticas
através do “ver geométrico” envolvido na obtenção das respostas do objeto matemático
de transformação linear “reflexão do vetor em torno dos planos” foram compreendidos e
mais de um registro foi corretamente utilizado corroborando com as ideias de Duval
(1995). De tal modo, nessa atividade a representação figural geométrica cartesiana
serviu de apoio na obtenção do preenchimento requerido pela tabela.
Após 1h45min, ainda com uma questão, a de número quatro a ser resolvida, deu-
se por encerrado o terceiro encontro, ficando essa questão para o próximo. Como de
costume, o professor-pesquisador recolheu os materiais: folhas da atividade e pen
drive.
No dia 07 de maio de 2013, foi feito o último encontro no Laboratório de
Informática do colégio particular de ensino médio, usado para dar continuidade à
terceira atividade, porque nesse local estava disponibilizado o aplicativo Cabri 3D, e a
partir dos procedimentos usais, deu-se inicio ao experimento com a resolução da
questão 4. Todos os participantes do quarto encontro resolveram facilmente as
construções.
Embora, fossem capazes de “ver geometricamente” que as transformações
lineares obtidas pela “rotação” do vetor dado em relação aos eixos tridimensionais
levavam a obtenção das imagens dessas aplicações, foram incapazes de obter a
representação em registro simbólico do tipo matricial, isto é, a matriz canônica da
rotação.
Então, o professor-pesquisador mostrou como se obtém a matriz canônica de
rotações em R2 e em R3, além de lembrar aos participantes que lhes havia
disponibilizado uma apostila, por ele elaborada e intitulada “Cabri Géomètre II” e “Cabri
3D” módulo II. Essa construção e os questionamentos sobre a mesma foram até o final
da aula.
Desse modo, cabe aqui relembrá-las:
Rotação em torno do eixo z tem-se então a transformação linear T: R3→ R3
definida por:
101
T(x, y, z) ( , , ) ou
− = − =
T
x x.cosθ y.senθx.cosθ y.senθ x.senθ + y.cosθ z y x.senθ + y.cosθ
z z
Observando-se que:
1 2 3
z
a matriz a
T(e ) ,T(e ) e T(e )
A .
− = = = = = =
− ∴ =
cosθ senθ 00 senθ 1 cosθ 0 00 0 0 1 1
cosθ senθsenθ cosθ
1 0 0
T T T
0
0
0
0 0 1ssociada
Analogamente, tem-se Rotação em torno do eixo y e em torno de x,
respectivamente as matrizes associadas:
y xA e A .
= = − −
cosθ 0 senθ 1 0 00 1 0 cosθ senθ
senθ cosθ senθ cosθ0
0 0
102
Como ilustração da produção dos alunos à questão 4, usar-se-á a do S2 , cujas figuras
a seguir são:
Figura 35. Produção do sujeito S2 na questão 4 da III Atividade com o uso do aplicativo.
Figura 36. Produção do sujeito S4 na questão 3 da III Atividade com o uso do aplicativo.
103
Portanto, a maior dificuldade centra-se não nos elementos que estão explícitos
na construção figural cartesiana (imagens, ângulos), mas nos elementos implícitos (as
matrizes canônicas que produzem as imagens), fato evidenciado quando da passagem
da imagem obtida pela rotação do vetor dado em relação aos eixos segundo um ângulo.
Nenhum dos alunos foi capaz de lembrar-se da matriz canônica associada à rotação.
Essa conversão não foi realizada, talvez porque envolvesse elementos trigonométricos.
Sendo assim, no momento de questionamento, foi oportuno ao professor-
pesquisador falar sobre a importância de recordar que o ângulo entre a projeção
ortogonal do vetor dado e a projeção ortogonal do vetor obtido pela rotação é que
determina o ângulo usado para rotacionar em R3 e como esse ângulo varia entre 0° e
180°, basta relacionar as funções trigonométricas (seno, cosseno) com os ângulos dos
arcos e os seus valores numéricos. Desse modo, o professor falou da importância de
começar sempre por algo conhecido, por exemplo, ɵ=45°, pois sen (45°) = cos (45°)
cujo valor é 2
2.
A questão Q4, item “b” é um bom exemplo para explorar a rotação,
principalmente porque y=0. Logo, basta verificar a operação entre as coordenada (x, z)
e multiplicar pelo valor numérico das funções trigonométricas referentes ao ângulo ɵ
=45°.
Portanto, tem-se que T(−2, 1, 2) = (2
2(−2+2), 1,
2
2 (2+2)) = (0,1, 2 2 ).
Logo, ilustrou-se a situação através da produção do exemplo feita com o
software Cabri, na figura a seguir:
104
Figura 37. Produção como exemplo da questão4 da III Atividade com o uso do aplicativo.
5.4 DESCRIÇÃO E ANÁLISE DOS QUESTIONÁRIOS RELACIONADOS COM AS
ATIVIDADES DE FAMILIARIZAÇÃO COM O APLICATIVO CABRI II E CABRI 3D
A IV Atividade foi constituída de três questionários anexos, um final e outros dois,
relacionados às Atividades II e III. Todos com o objetivo de fornecer subsídios ao
questionamento da pesquisa:
Como alunos do curso superior reagem ao lidar com o conceito de transformação
linear num ambiente de geometria dinâmica?
Dado que o investigador não deve influenciar sobre a questão “Como”, isto é,
sobre o enfoque “a reação dos participantes”, esses questionários foram entregues no
penúltimo encontro, ao final da aula, a fim de que os participantes do experimento
respondessem individualmente e entregassem no último encontro, realizado em 24 de
maio de 2013. Essa quarta atividade teve como meta analisar se nos dados obtidos
pelas respostas aos questionários trazia evidências que explicavam o uso da
ferramenta auxiliar, neste caso os aplicativos Cabri II e 3D, como instrumentos propícios
105
ao ensino e aprendizagem das transformações lineares em R2 e em R3, além da reação
que esses mesmos instrumentos trariam aos participantes desta pesquisa.
Foram considerados somente os questionários dos sujeitos 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9,10 e
11, pelo motivo de terem participado de todas as atividades do experimento. Dentre
eles, a maioria cursou tanto o ensino fundamental como o médio em escola pública.
O instrumento Questionário final era composto de seis questões apresentadas a
seguir com seus objetivos e com as respostas dadas pelos sujeitos.
A questão 1 visava verificar se havia entre os participantes, alguém que tivesse
exercendo a profissão de professor, pois todos têm Licenciatura em Matemática. Eis a
questão: “Q1. Você leciona? Em que nível?”. Dentre esses nove sujeitos, apenas dois
lecionam S4 e S9, ambos tiveram a mesma resposta.
Figura 38. Resposta do sujeito S4 na questão 1 do questionário final.
A questão 2 visava saber o que motivou a participação no experimento: “Q2. O
que lhe motivou fazer o curso (isto é, participar do experimento)?”. Para o S3 foi “ter um
leque maior para ensinar os alunos”; enquanto, para S4, “o professor e a vontade de
conhecer coisas novas”. Já para o sujeito S7 “foi o interesse de aprender mais...”, ainda
S9 diz: “busca da tecnologia para colocar em prática em sala de aula”, ideia que vai ao
encontro do sujeito S5, cuja resposta à questão está apresentada a seguir:
106
Figura 39. Resposta do sujeito S5 na questão 2 do questionário final.
A questão 3: “Q3. Você já possuía experiência anterior com o software Cabri?”,
procurou saber dos alunos se houvera contacto anterior com esse aplicativo. Somente
um já a tivera, o sujeito S11. Eis a resposta ao questionamento dada pelo S11:
Figura 40. Resposta do sujeito S11 na questão 3 do questionário final.
107
Sobre a questão quatro: “Q4. Quando você estudou álgebra linear teve
dificuldade em transformações lineares (TL)?”. De maneira geral, a reposta foi sim;
entretanto, S1 disse “mais ou menos”; já S3 e S7 disseram que “Não”. Nessa questão
convém salientar a resposta dada por S5:
Figura 41. Resposta do sujeito S5 na questão 4 do questionário final.
É evidente que tal dificuldade está centrada, de modo geral, na falta dos
estudantes estabelecerem conversões partindo do registro gráfico, o que foi
evidenciado pela pesquisadora KARRER (2006). Talvez, tal dificuldade seja devida a
não distinção de um objeto de sua representação, fato usado por DUVAL (2009).
Já a questão 5: “Q5. Você acha que o software Cabri-Géomètre pode auxiliar na
aprendizagem em “Transformações Lineares”? Por quê?”, visava verificar a opinião dos
sujeitos sobre a aprendizagem do tópico transformação linear com o auxilio do
aplicativo. Houve unanimidade na resposta “Sim”, cujo “por que” está centrado na
visualização das transformações lineares. Dentre as resposta, uma foi escolhida para
ilustrar a opinião dada pelos participantes, ei-la:
108
Figura 42. Resposta do sujeito S9 na questão 5 do questionário final.
As respostas dadas a essa questão vêm ao encontro das ideias de BORBA e
PENTEADO (2010). De acordo esses autores, uma nova mídia como a informática abre
possibilidades de mudança dentro do próprio conhecimento. Logo, é possível haver
uma ressonância entre uma dada pedagogia, uma mídia e uma visão do conhecimento.
Por último, a questão 6: “Q6. Dê avaliação pessoal sobre o curso (o experimento)
que você acabou de participar?”. De modo geral, os alunos que participaram dos
questionários apresentaram respostas que convergiram à aceitação da utilização do
software Cabri como um instrumento auxiliar ao ensino e aprendizagem das
transformações lineares. Como ilustração, realçou-se a resposta dada por S5:
109
Figura 43. Resposta do sujeito S5 na questão 6 do questionário final.
A resposta à questão 6 vem corroborar a ideia de GIRALDO e CARVALHO
(2004) que ressaltam a importância de planejar o ensino de forma a explorar a
tecnologia de forma positiva, além de explorarem-se aspectos dos conceitos antes
pouco explorados.
Os questionários sobre a II Atividade, familiarização com o aplicativo Cabri II cujo
tópico explorado foi: transformações lineares no R2 e a III Atividade, familiarização com
o aplicativo Cabri 3D, cujo tópico explorado foi: transformações lineares no R3, ambos
construídos de forma a apresentar oito questões semelhantes, dado que tanto em R2
110
quanto em R3, os objetivos eram verificar as dificuldades na resolução dessas
atividades, as dúvidas no conteúdo das Transformações lineares, os conceitos
conhecidos, aprendizagem de algum conceito novo, dificuldade em manusear os
softwares Cabri II e 3D, consulta a algum participante, professor ou professor-
pesquisador e sugestões que poderiam facilitar a aprendizagem, além da reação que os
participantes teriam ao fazer suas produções utilizando tais ferramentas.
O questionário sobre a II Atividade, (familiarização com o aplicativo CABRI II,
cujo tópico explorado foi: “transformações lineares no R2”), apresentou as seguintes
respostas:
Para a questão 1: “Q1. Você teve alguma dificuldade na resolução da atividade?
Justifique.” Apenas o sujeito S4 não teve dificuldade na resolução da atividade.
Enquanto para o S2 “somente houve pouca dificuldade por ser a primeira vez que
estava mexendo com o Cabri...”. Assim, também S5 afirma “sim, em escrever as
transformações na língua natural”. Já para os demais, sim; e, a fim de demonstrar como
foi o comportamento, essa pesquisa apresenta a resposta de S10 a seguir, como
ilustração:
Figura 44. Resposta do sujeito S5 na questão 1 do questionário sobre II Atividade.
A análise das respostas oferecidas pelos sujeitos desse experimento possibilita
que as dificuldades estejam no papel de situações de surpresa e incerteza no
desenvolvimento do raciocínio dedutivo de estudantes ao buscar pela representação
gráfica do conteúdo transformações linear através do instrumento de geometria
dinâmica, fato este que foi discutido por HADAS et AL (2000).
111
Para questão 2: “Q2. Qual conteúdo da Álgebra Linear no tópico Transformações
Lineares em R2 lhe causou dúvidas? Justifique.” De acordo com o S2 foi à projeção
ortogonal, enquanto para S4 e S5, as reflexões. Entretanto, para S9, o que lhe casou
dúvidas foi “na parte de vetores”, por conseguinte vale a pena apresentar a resposta de
S10:
Figura 45. Resposta do sujeito S10 na questão 2 do questionário sobre II Atividade.
Com relação às respostas dos sujeitos a questão 2, apresentou-se dificuldade na
conversão do algébrico para o gráfico, pois essa atividade foi realizada em ambiente de
geometria dinâmica.
Para questão 3: “Q3. Dos conceitos envolvidos na II Atividade: a) Qual você já
conhecia? b) Durante essa atividade, você aprendeu algum conceito?”. Todos, de certa
forma, já conheciam e para ilustrar essa questão é interessante apresentar a resposta
dada por S2. Ei-la:
Figura 46. Resposta do sujeito S2 na questão 3 do questionário sobre II Atividade.
112
Embora, os resultados de suas produções indicassem dificuldades entre o objeto
estudado e sua representação, tal como enfatiza DUVAL (1993).
Para questão 4: “Q4. Quanto à atividade proposta, os exercícios estavam claros
e objetivos? Justifique.”. A maioria, sim. Porém, de acordo com S10:
Figura 47. Resposta do sujeito S10 na questão 4 do questionário sobre II Atividade.
Diante das respostas, é evidente que ao recorrer a alguém para sanar suas
dúvidas, os participantes do experimento estavam com dificuldade em relacionar o tipo
de conversão envolvido. De acordo com DUVAL (2000), a conversão não é algo que o
estudante desenvolve naturalmente.
Para questão 5: “Q5. Você sentiu dificuldade em manusear o software Cabri-
Géomètre II?”. Cinco dos participantes, entre eles S1, S3, S4, S10 e S11 não
apresentaram nenhuma dificuldade, já S7 diz ter “mais ou menos...”, para S9, houve
“muitas”, também para S2, houve dificuldade “sim por ser a primeira vez...”, assim como
para S5, que apenas respondeu “Sim” sem justificar.
Este desconforto ocorre devido às potencialidades técnicas de recursos
tecnológicos usados não se convertem, por si só, fatos evidenciados nos experimentos
descritos por HUNTER et AL (1993) e por MONAGHAN et AL (1994).
Para as questões 6 e 7, “Q6: Durante essa atividade, você consultou algum
colega, seu professor ou o professor-pesquisador para tirar dúvidas? Qual?” e “Q7: No
caso de dúvidas, estas foram esclarecidas?”. As respostas “sim” foram unânimes.
Analisando as respostas para questões 6 e 7, é possível identificar que tal fato
relacionado à consulta ocorre porque os sujeitos dessa pesquisa apresentam
113
deficiência no domínio dos registros das representações semióticas solicitada nas
questões.
Finalmente a questão 8: “Q8. Apresente sugestões que poderiam facilitar sua
aprendizagem durante as aulas de álgebra linear supondo que você fosse o professor
dessa disciplina.” Apresentaram-se as seguintes colocações: o sujeito S1 menciona o
uso do “próprio software”, também o S2 cita que “todo esse processo do Cabri seria
importante em aula em tempo real o que o texto queria mostrar...” reforçado por S3
quando afirma que “... usando o software para facilitar e melhorar o que estou
mostrando”. Já S10 diz que “acho que o uso do software é um bom auxilio”. Além de S4
e S9 que compartilham do mesmo pensamento ao dizerem de modo semelhante “antes
de mostrar a teoria, mostraria a prática, utilizando o Cabri, facilita o entendimento”.
Ainda, o sujeito S11 enfatiza que “em um contexto complexo, com aplicação prática”.
Todavia, sujeito S5 foi enfático ao afirmar que:
Figura 48. Resposta do sujeito S8 na questão 8 do questionário sobre II Atividade.
Diante de tudo que até aqui foi exposto é possível conceber que os tópicos
explorados nas questões existente na II Atividade com a ferramenta auxiliar Cabri
propiciaram aos sujeitos dessa pesquisa a compreensão dos conceitos relacionados a
alguns registros de representações do objeto matemático transformações lineares em
R2 tais como os registros figural e cartesiano que podem ser obtidos por meio do
aplicativo Cabri II.
O questionário sobre a III Atividade, familiarização com o aplicativo CABRI 3D,
cujo tópico explorado foi: transformações lineares no R3, apresentaram as seguintes
respostas:
114
Para questão 1: “Q1. Você teve alguma dificuldade na resolução da atividade?
Justifique.”. Os sujeitos S2, S3, S9 e S10, responderam “Não”, talvez devido à
semelhança entre as questões de transformações lineares em R2 e em R3. Isso lhes
proporcionou melhor familiaridade com o Cabri 3D. Basta verificar a resposta de S4 a
seguir:
Figura 49. Resposta do sujeito S4 na questão 1 do questionário sobre III Atividade.
Enquanto para S3, S7 e S11, a respostas foram “Sim”, tendo como justificativa a
não familiaridade com o computador ou com o aplicativo. Já para S1 “apenas quanto ao
melhor conhecimento das ferramentas dos ícones”. Também para S5, cuja resposta é
usada como ilustração à primeira questão:
Figura 50. Resposta do sujeito S5 na questão 1 do questionário sobre III Atividade.
A resposta à questão 1 realça que após o primeiro contato com o software Cabri
II quando da I Atividade, a III Atividade, agora, com a utilização do Cabri 3D veio facilitar
de modo razoável, aos participantes desta pesquisa, a compreensão para transitar
entre os registros de representações semióticos utilizados no objeto matemático
“transformações lineares”.
115
Para a questão 2: “Q2. Qual conteúdo da Álgebra linear no tópico
Transformações Lineares em R3 lhe causou dúvidas? Justifique.”. O sujeito S1 disse
que “as que eu tive foram sanadas”. Porém, os sujeitos S7 e S11 preferiram não
responder, já para S9 foi “a parte de vetores”. Segundo os sujeitos S5 e S2, foi
“escrever as transformações na forma matricial”. Também o sujeito S3 teve dúvidas,
convém observar sua colocação abaixo:
Figura 51. Resposta do sujeito S3 na questão 2 do questionário sobre III Atividade.
Todavia, os sujeitos S4 e S10 responderam “nenhum”, sendo que a resposta de
S10 traz como realce o “ver” através do aplicativo. Eis sua resposta:
Figura 52. Resposta do sujeito S10 na questão 2 do questionário sobre III Atividade.
Cabe ressaltar que o aspecto dinâmico do Cabri, permitiu aos sujeitos desse
experimento compreender as transformações lineares, assim como lhes proporcionou
explorar as representações algébrica, gráfica e tabular. Daí, a resposta realce o “ver”
através do aplicativo. Embora, haja dificuldades em escrever as transformações
116
lineares na forma matricial causadas pela não distinção entre matriz da transformação
linear em relação à base canônica e àquela formada pelos vetores na base canônica.
Para questão 3: “Q3. Dos conceitos envolvidos na III Atividade: a) Qual você já
conhecia? b) Durante essa atividade, você aprendeu algum conceito?” Houve
unanimidade tanto ao item “a” tendo por resposta “Todos”, quanto no item “b”, cuja
resposta foi “Sim”. Também a questão 4: “Q4.Quanto à atividade proposta, os
exercícios estavam claros e objetivos? Justifique.”, todos responderam “Sim”.
Ao analisar as respostas dessa questão 3 deste grupo de estudantes que
compuseram a III Atividade, é possível evidenciar, através de suas produções, que os
conceitos presentes nas questões vêm ressaltar o aspecto dinâmico do Cabri,
permitindo-lhes compreender as transformações lineares, assim como lhes
proporcionou explorar as representações algébrica, gráfica e tabular.
Para a questão 5: “Q5. Você sentiu dificuldade em manusear o software Cabri
3D?”. Os sujeitos S3, S4, S5 e S10 disseram “Não”, enquanto S9 afirmou “Muitas”; e
S11, apenas, disse “Sim”. Para S1, “Somente a primeira vez”, e também para S1, cuja
resposta abaixo serve de ilustração:
Figura 53. Resposta do sujeito S1 na questão 5 do questionário sobre III Atividade.
117
Diante das respostas à questão 5, é possível que o aspecto de abordagem
instrumental baseado na relação bilateral entre o usuário, isto é, os sujeitos do
experimento, e a ferramenta (software Cabri) influenciaram de maneira positiva na
produção de suas atividades.
Para a questão 6: “Q6. Durante essa atividade, você consultou algum colega, seu
professor ou o professor-pesquisador para tirar dúvidas? Qual?”. Somente S10
respondeu “Não”, os demais sujeitos do experimento, responderam “Sim”.
Já para a questão 7: “Q7. No caso de dúvidas, estas foram esclarecidas?”.
Apenas S9, não respondeu “Sim”, mas sim “Médio”.
Finalmente para a questão 8: “Q8. Apresente sugestões que poderiam facilitar
sua aprendizagem durante as aulas de álgebra linear supondo que você fosse o
professor dessa disciplina.”. O sujeito S9 diz que “antes de mostrar a parte teórica,
mostraria na prática para melhor entendimento”, enquanto S1, S3 e S11 usariam “a
informática para mostrar ao aluno”. Também comunga da mesma ideia S10, pois ela
cita que “a utilização do software desde a apresentação dos conceitos iniciais”.
Já S5 cita que “trabalhar mais com as transformações na forma geométrica, pois
permite visualizar melhor as transformações lineares”. Com ideias convergentes, os
sujeitos S2 e S4 utilizariam o Cabri. Apresenta-se como ilustração de tal fato, a resposta
de S4:
118
Figura 54. Resposta do sujeito S4 na questão 8 do questionário sobre III Atividade.
Essas respostas vêm ao encontro das ideais de GIRALDO e CARVALHO
(2008) ao citarem HOYLES & NOSS (2003). Segundo esses, em ambientes interativos
de aprendizagem, linguagens de programação e fermentas de programas se
transformam de maneira que um adquira características do outro, o que abre novas
perspectivas para a aprendizagem.
Partindo da descrição das respostas dos sujeitos dessa pesquisa aos três
questionários aplicados como instrumentos, pode-se concluir que, apesar do impacto do
primeiro contato, a reação dos sujeitos à utilização do software como instrumento
auxiliar ao ensino e aprendizagem das transformações lineares em R2 e em R3, foi uma
reação positiva. A experiência possibilitou contato com esse conteúdo de maneira
diferenciada, tal como “ver”, ou seja, visualizar os registros de representações
semióticas contidos na questão de maneira agradável. É evidente que as dificuldades
de manuseio presentes no início, quando da aplicação do Cabri II, desapareceram ao
se usar o Cabri 3D, dado a familiaridade do conhecimento adquirido anteriormente. A
119
maioria dos sujeitos associou os problemas que encontraram como obstáculos na
construção pela falta de habilidade no manuseio do software. O argumento sobre a
praticidade do uso do aplicativo parece ser convincente à reação favorável. A resposta
à pergunta “Como” é um evento comportamental, portanto os dados coletados nos
questionários foram relevantes para mostrar a motivação que cada um dos participantes
dessa pesquisa experimentou durante as aplicações das atividades.
120
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Esta pesquisa foi desenvolvida baseada na Teoria dos Registros de
Representações Semióticas de Duval com a intenção de contribuir na investigação das
dificuldades encontradas pelos estudantes do ensino superior no tópico transformações
lineares, o qual é abordado na disciplina Álgebra Linear nos cursos de graduação de
ciências exatas.
Procurou-se responder à seguinte questão de pesquisa: “Como alunos do curso
superior reagem ao lidar com o conceito de transformação linear num ambiente de
geometria dinâmica”.
Os sujeitos envolvidos no experimento foram doze alunos de ambos os gêneros,
regularmente matriculados no 7° semestre de um curso superior de graduação em
Bacharelado em Matemática do período noturno de uma instituição privada de ensino
superior da cidade de Santos, no Estado de São Paulo. Para efeito da análise dos
resultados foram considerados apenas os nove sujeitos que participaram de todos os
encontros.
Os dados para análise foram coletados por meio de três atividades sobre
transformações lineares: uma de caráter exploratório no ambiente papel&lápis e duas
outras, em ambientes de geometria dinâmica utilizando como ferramentas auxiliares, os
aplicativos, Cabri II para o plano e Cabri 3D para o espaço.
A fim de verificar a influência de tais aplicativos, foi elaborada, aplicada e
analisada uma sequência didática sobre transformações lineares em R2 e em R3. Além
disso, foram aplicados mais três questionários que visaram verificar a questão desse
trabalho: ”Como alunos do curso superior reagem ao lidar com o conceito de
transformação linear num ambiente de geometria dinâmica”.
Esse estudo pretendeu:
1. Elaborar uma sequência didática para explorar um ambiente de geometria
dinâmica, visando auxiliar o processo de ensino e aprendizagem de
transformações lineares.
2. Investigar e analisar de maneira exploratória as dificuldades encontradas
pelos estudantes do ensino superior na disciplina Álgebra Linear, em
121
particular, no tópico “transformações lineares”, na primeira fase de aplicação
de instrumentos e o ambiente papel&lápis.
3. Investigar e analisar de maneira exploratória as dificuldades encontradas
pelos estudantes do ensino superior na disciplina Álgebra Linear, em
particular, no tópico “transformações lineares”, na segunda fase de aplicação
de instrumentos e o ambiente de geometria dinâmicas através do software
Cabri II e numa terceira etapa, com o Cabri3D.
As produções executadas pelos sujeitos participantes do experimento mostraram
que houve um ganho na aprendizagem do objeto matemático “transformações lineares
em R2 e R3” num ambiente de geometria dinâmica em relação à aprendizagem em um
ambiente de papel&lápis.
Cabe ressaltar que o aspecto dinâmico do Cabri, permitiu aos sujeitos desse
experimento compreender as transformações lineares, assim como lhes proporcionou
explorar as representações algébrica, gráfica e tabular.
O presente estudo considerou a importância da teoria dos registros de
representação semiótica quanto ao uso no contexto de explorar as transformações no
plano, isto é, em R2 auxiliado pelo aplicativo Cabri II e no espaço, isto é, em R3
auxiliado pelo aplicativo Cabri 3D. As dificuldades encontradas pelos sujeitos em
relação ao tratamento e às conversões de representações semióticas vêm corroborar
os resultados da pesquisa efetuada por KARRER (2006).
Essas dificuldades surgiram principalmente da falta de conhecimento do
software. Ao adquirir a habilidade de manuseá-lo, tudo se tornou mais fácil. Basta
verificar quando da aplicação da III Atividade. Diante disso, duas interrogações
desencadearam-se: Qual será o desempenho dos alunos do curso superior no
conteúdo de transformações lineares quando avaliados somente em ambientes da
geometria dinâmica? Será que aprendizagem só da forma expositiva tradicional
influencia negativamente na aprendizagem desse conteúdo?
Os três questionários aplicados ao final vieram reforçar a ideia de que a reação
dos participantes foi predominantemente favorável à aprendizagem num ambiente
dinâmico, embora tenha havido impacto ao primeiro contato. Dessa forma, a resposta à
122
questão de pesquisa pode ser enunciada, com base nos dados analisados: a reação
dos estudantes ao lidar com o tópico transformações lineares num ambiente de
geometria dinâmica foi altamente positiva, seja do aspecto de motivação do software
como do conteúdo abordado.
Diante dos resultados obtidos nas produções das atividades com o aplicativo
Cabri, é possível entender algumas respostas favoráveis dos questionários, pois o
ambiente clássico instrucional não permitia aos sujeitos participantes deste experimento
o “ver” dinâmico, dado que ele é estático.
O software adotado possibilitou contato com o conteúdo “transformação linear” de
modo diferenciado; o que se pôde observar quando os sujeitos dessa pesquisa têm
interesse em aprender de maneira nova, através da tecnologia. Todavia é sabido que
há limitações no uso de quaisquer que sejam os aplicativos utilizados no ensino e
aprendizagem de um conteúdo matemático, também se sabe da importância de
planejar o ensino de forma a explorar a tecnologia de forma positiva, como ressaltam
GIRALDO e CARVALHO (2004). Daí a opção, nesta pesquisa, pelo uso de um
ambiente dinâmico através de um software que nos proporcionasse questionar os
caminhos até então usados no ensino de transformações lineares em um curso de
ensino superior.
Portanto, o argumento sobre a praticidade do uso do software parece ser
convincente. Isso sugere que a utilização de um software dinâmico como ferramenta
auxiliar, quando no ensino e aprendizagem desse tópico da disciplina Álgebra Linear,
favorece os sujeitos na tarefa de explicar, verificar, esclarecer e validar a existência de
um objeto matemático.
Assim, espera-se que os resultados encontrados e apresentados nesse trabalho,
embora considerando o alcance e limitações de uma pesquisa circunscrita a uma
determinada amostra, possam contribuir a outros projetos de pesquisa que venham a
surgir.
123
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129
ANEXOS
ANEXO A: I – ATIVIDADE 1 QUESTIONÁRIO EXPLORATÓRIO
I. QUESTIONÁRIO EXPLORATÓRIO
Nome:____________________________ Sujeito S__ Q1. (Steinbruch & Winterle, 1987, p.157 c.4 ex.06) A projeção ortogonal do IR3 sobre o plano xy
T: IR3 ______ IR3
(x, y, z) → (x, y, 0)
(a) A projeção ortogonal é linear? Verifique.
(b) Faça sua representação geométrica.
Q2. (Steinbruch & Winterle, 1987, p.212 c.4 ex.03 item d) A transformação do IR2 definida pela seguinte lei
T: IR2 ______ IR2
T(x, y) = (x+ 1, y)
É linear? Verifique.
Q3. Descreva em palavras o efeito geométrico sobre o vetor v = (x, y) ao multiplicá-lo pela matriz A.
(a) 1 0
A0 1
=
(b) 1 0
A0 0
=
(c) 1 0A
0 1
− = −
(d) 1 0A
0 1
= −
Q4. (Lay, 2007, p.69 c.1 ex.19) Seja T: IR2 __ IR2 uma transformada linear que leva:
1 2 3 1u em e v em
5 0 1 4
= = −
Use o fato de que T é linear para determinar as imagens por T de 2u, 3v e 2u+3v
Q5. (Anton & Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.03) Encontre a matriz canônica da transformação linear T: IR3 ___ IR3 dada por: T(x1, x2, x3)= (w1, w2, w3). w1 = 3x1 + 5x2 – x3 w2 = 4x1 – x2 + x3
w3 = 3x1 +2x2 – x3 E em seguida calcule T (- 1, 2, 4).
130
ANEXO B: II – ATIVIDADE 2 COM O APLICATIVO CABRI II
II - ATIVIDADE DE FAMILIARIZAÇÃO COM O APLICATIVO CABRI II Nome:____________________________ Sujeito S__ Abra o aplicativo Cabri II Q1. (Anton&Rorres, 2001, p.105 c.3.1 ex.02) Esboce os seguintes vetores com ponto inicial na origem.
(a) v1 = (3, 6) (b) v3 = (– 4, –3) (c) v4 = (5,– 4)
Q2. (Anton&Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.08) Encontre a reflexão do vetor (–1, 2) em torno: (a) Do eixo x (b) Do eixo y (c) Da reta y = x
Q3. (Anton&Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.10) Encontre a projeção ortogonal de (2, –5) sobre : (a) o eixo x (b) o eixo y
Q4. (Anton&Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.12) Encontre a imagem do vetor (3, – 4) quando girado por um ângulo de: (a) ɵ = 30º (b) ɵ = – 60º (c) ɵ = 45º (d) ɵ = 90º
Q5. (Kolman&Hill, 2006, p.235 c.4 ex.26- adaptação) Seja L uma transformação linear tal L:IR2→IR2 definida por :
x x-yL =
y x+y
Represente-a geometricamente em coordenadas cartesianas, em seguida, encontre sua matriz
canônica e a imagem do vetor (2, 3), mude os valores desse vetor, o que se observa?
131
ANEXO C: III – ATIVIDADE 3 COM O APLICATIVO CABRI 3D
III – ATIVIDADE DE FAMILIARIZAÇÃO COM O APLICATIVO CABRI 3D Nome:____________________________ Sujeito S__
Abra o aplicativo Cabri 3D Q1. (Anton&Rorres, 2001, p.105 c.3.1 ex.01) Esboce os seguintes vetores com ponto inicial na origem.
(a) v1 = (3, 4, 5) (b) v2 = (–3, –4, 5) (c) v3 = (–3, 0, 0) (d) v4 = (3, 0, 3)
Q2. (Anton&Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.09) Encontre a reflexão do vetor (2, –5, 3) em torno: (a) do plano xy (b) do plano xz (c) do plano yz
Q3. Observe a representação da figura em coordenadas cartesianas e preencha a seguinte tabela referente ao gráfico da Q2 :
REPRESENTAÇÕES ITEM
REGISTROS SIMBÓLICOS: ALGÉBRICO MATRICIAL NUMÉRICO LÍNGUA NATURAL
a
b
c
Q4. (Anton&Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.13) Encontre a imagem do vetor (–2, 1, 2) quando girado de : (d) 30º em torno do eixo x (a) 45º em torno do eixo y (b) 90º em torno do eixo z
132
ANEXO D: IV – ATIVIDADE 4:QUESTIONÁRIO FINAL AOS
PARTICIPANTES DAS ATIVIDADES DO CURSO TÓPICO EXPLORADO:
TRANSFORMAÇÕES LINEARES EM R2 E EM R3
QUESTIONÁRIO FINAL AOS PARTICIPANTES DAS ATIVIDADES DO CURSO TÓPICO EXPLORADO: TRANSFORMAÇÕES LINEARES em R2 e em R3
Santos:____/____/2013. Laboratório de informática do Colégio Universitas. NOME__________________________IDADE____ SUJEITO S____ CURSO___________________________________PERÍODO___________ Responda onde você cursou o Ensino Fundamental em escola: ( ) Pública ( ) Privada ( )Ambas O Ensino Médio: ( ) Pública ( ) Privada ( )Ambas Q1. Você leciona? Em que nível. Q2. O que lhe motivou fazer o curso (isto é, participar do experimento)? Q3. Você já possuía experiência anterior com o software Cabri? Q4. Quando você estudou álgebra linear teve dificuldade em transformações lineares (TL)? Q5. Você acha que o software Cabri-Géomètre pode auxiliar na aprendizagem em Transformações Lineares? Por quê? Q6. Dê avaliação pessoa sobre o curso que você acabou de participar?
133
ANEXO E: IV – ATIVIDADE 4:QUESTIONÁRIO SOBRE A II ATIVIDADE
FAMILIARIZAÇÃO COM O APLICATIVO CABRI II TÓPICO EXPLORADO:
TRANSFORMAÇÕES LINEARES NO R2
QUESTIONÁRIO SOBRE A II ATIVIDADE FAMILIARIZAÇÃO COM O APLICATIVO CABRI II TÓPICO EXPLORADO: TRANSFORMAÇÕES LINEARES NO R2
Santos:____/____/2013. Laboratório de informática do Colégio Universitas. NOME______________________ SUJEITO S____ Q1. Você teve alguma dificuldade na resolução da atividade? Justifique. Q2. Qual conteúdo da Álgebra Linear no tópico Transformações Lineares em R2 lhe causou dúvidas? Justifique. Q3. Dos conceitos envolvidos na II Atividade:
a) Qual você já conhecia?
b) Durante essa atividade, você aprendeu algum conceito? Q4. Quanto à atividade proposta, os exercícios estavam claros e objetivos? Justifique: Q5. Você sentiu dificuldade em manusear o software Cabri-Géomètre II? Q6. Durante essa atividade, você consultou algum colega, seu professor ou o professor-pesquisador para tirar dúvidas? Qual? Q7. No caso de dúvidas, estas foram esclarecidas? Q8. Apresente sugestões que poderiam facilitar sua aprendizagem durante as aulas de álgebra linear supondo que você fosse o professor dessa disciplina
134
ANEXO F: IV – ATIVIDADE 4:FAMILIARIZAÇÃO COM O APLICATIVO
CABRI 3D TÓPICO EXPLORADO: TRANSFORMAÇÕES LINEARES NO
R3
FAMILIARIZAÇÃO COM O APLICATIVO CABRI 3D TÓPICO EXPLORADO: TRANSFORMAÇÕES LINEARES NO R3
Santos:____/____/2013. Laboratório de informática do Colégio Universitas. NOME______________________ SUJEITO S____ Q1. Você teve alguma dificuldade na resolução da atividade? Justifique. Q2. Qual conteúdo da Álgebra linear no tópico Transformações Lineares em R3 lhe causou dúvidas? Justifique. Q3. Dos conceitos envolvidos na III Atividade:
a) Qual você já conhecia?
b) Durante essa atividade, você aprendeu algum conceito? Q4. Quanto à atividade proposta, os exercícios estavam claros e objetivos? Justifique: Q5. Você sentiu dificuldade em manusear o software Cabri 3D? Q6. Durante essa atividade, você consultou algum colega, seu professor ou o professor-pesquisador para tirar dúvidas? Qual? Q7. No caso de dúvidas, estas foram esclarecidas? Q8. Apresente sugestões que poderiam facilitar sua aprendizagem durante as aulas de álgebra linear supondo que você fosse o professor dessa disciplina
135
ANEXO G: II ATIVIDADE – PRODUÇÕES DOS SUJEITOS COM CABRI II
Soluções apresentadas pelo sujeito S1. Q1. (Anton&Rorres, 2001, p.105 c.3.1 ex.02) Esboce os seguintes vetores com ponto inicial na origem. (a)v1 =
(3, 6); (b) v2 = (– 4, –3) e (c)v4 = (5,– 4)
Q2. (Anton&Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.08) Encontre a reflexão de (–1, 2) em torno do:
eixo x; (b)eixo y e (c) reta y = x
136
Soluções apresentadas pelo sujeito S1Fl2. Q3. (Anton&Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.10) Encontre a projeção ortogonal de (2, –5) sobre : (a) o eixo x e (b)o eixo y
Q4. (Anton&Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.12) Encontre a imagem do vetor (3, – 4) quando girado por um ângulo de: (a) ɵ = 30º; (b) ɵ = – 60º; (c) ɵ = 45º e (d) ɵ = 90º
137
Soluções apresentadas pelo sujeito S1Fl3 Q5. (Kolman&Hill, 2006, p.235 c.4 ex.26- adaptação) Seja L uma transformação linear tal L:IR2
→IR2 definida por
:
x x-yL =
y x+y
Represente-a geometricamente em coordenadas cartesianas, em seguida, encontre sua
matriz canônica e a imagem do vetor (2, 3), mude os valores desse vetor, o que se observa?
138
Soluções apresentadas pelo sujeito S2. Q1. (Anton&Rorres, 2001, p.105 c.3.1 ex.02) Esboce os seguintes vetores com ponto inicial na origem.
(a)v1 = (3, 6); (b) v2 = (– 4, –3) e (c)v4 = (5,– 4)
Q2. (Anton&Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.08) Encontre a reflexão de (–1, 2) em torno do:
eixo x; (b)eixo y e (c) reta y = x
139
Soluções apresentadas pelo sujeito S2Fl2. Q3. (Anton&Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.10) Encontre a projeção ortogonal de (2, –5) sobre : (a) o eixo x e (b)o eixo y
Q4. (Anton&Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.12) Encontre a imagem do vetor (3, – 4) quando girado por um ângulo de: (a) ɵ = 30º; (b) ɵ = – 60º; (c) ɵ = 45º e (d) ɵ = 90º
140
Soluções apresentadas pelo sujeito S2Fl3 Q5. (Kolman&Hill, 2006, p.235 c.4 ex.26- adaptação) Seja L uma transformação linear tal L:IR2
→IR2 definida por
:
x x-yL =
y x+y
Represente-a geometricamente em coordenadas cartesianas, em seguida, encontre sua
matriz canônica e a imagem do vetor (2, 3), mude os valores desse vetor, o que se observa?
141
Soluções apresentadas pelo sujeito S3. Q1. (Anton&Rorres, 2001, p.105 c.3.1 ex.02) Esboce os seguintes vetores com ponto inicial na origem.
(a)v1 = (3, 6); (b) v2 = (– 4, –3) e (c)v4 = (5,– 4)
Q2. (Anton&Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.08) Encontre a reflexão de (–1, 2) em torno do:
eixo x; (b)eixo y e (c) reta y = x
142
Soluções apresentadas pelo sujeito S3Fl2. Q3. (Anton&Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.10) Encontre a projeção ortogonal de (2, –5) sobre : (a) o eixo x e (b)o eixo y
Q4. (Anton&Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.12) Encontre a imagem do vetor (3, – 4) quando girado por um ângulo de: (a) ɵ = 30º; (b) ɵ = – 60º; (c) ɵ = 45º e (d) ɵ = 90º
143
Soluções apresentadas pelo sujeito S3Fl3 Q5. (Kolman&Hill, 2006, p.235 c.4 ex.26- adaptação) Seja L uma transformação linear tal L:IR2
→IR2 definida por
:
x x-yL =
y x+y
Represente-a geometricamente em coordenadas cartesianas, em seguida, encontre sua
matriz canônica e a imagem do vetor (2, 3), mude os valores desse vetor, o que se observa?
144
Soluções apresentadas pelo sujeito S4. Q1. (Anton&Rorres, 2001, p.105 c.3.1 ex.02) Esboce os seguintes vetores com ponto inicial na origem.
(a)v1 = (3, 6); (b) v2 = (– 4, –3) e (c)v4 = (5,– 4)
Q2. (Anton&Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.08) Encontre a reflexão de (–1, 2) em torno do:
eixo x; (b)eixo y e (c) reta y = x
145
Soluções apresentadas pelo sujeito S4Fl2. Q3. (Anton&Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.10) Encontre a projeção ortogonal de (2, –5) sobre : (a) o eixo x e (b)o eixo y
Q4. (Anton&Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.12) Encontre a imagem do vetor (3, – 4) quando girado por um ângulo de: (a) ɵ = 30º; (b) ɵ = – 60º; (c) ɵ = 45º e (d) ɵ = 90º
146
Soluções apresentadas pelo sujeito S4Fl3 Q5. (Kolman&Hill, 2006, p.235 c.4 ex.26- adaptação) Seja L uma transformação linear tal L:IR2
→IR2 definida por
:
x x-yL =
y x+y
Represente-a geometricamente em coordenadas cartesianas, em seguida, encontre sua
matriz canônica e a imagem do vetor (2, 3), mude os valores desse vetor, o que se observa?
147
Soluções apresentadas pelo sujeito S5. Q1. (Anton&Rorres, 2001, p.105 c.3.1 ex.02) Esboce os seguintes vetores com ponto inicial na origem.
(a)v1 = (3, 6); (b) v2 = (– 4, –3) e (c)v4 = (5,– 4)
Q2. (Anton&Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.08) Encontre a reflexão de (–1, 2) em torno do:
eixo x; (b)eixo y e (c) reta y = x
148
Soluções apresentadas pelo sujeito S5Fl2. Q3. (Anton&Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.10) Encontre a projeção ortogonal de (2, –5) sobre : (a) o eixo x e (b)o eixo y
Q4. (Anton&Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.12) Encontre a imagem do vetor (3, – 4) quando girado por um ângulo de: (a) ɵ = 30º; (b) ɵ = – 60º; (c) ɵ = 45º e (d) ɵ = 90º
149
Soluções apresentadas pelo sujeito S5Fl3 Q5. (Kolman&Hill, 2006, p.235 c.4 ex.26- adaptação) Seja L uma transformação linear tal L:IR2
→IR2 definida por
:
x x-yL =
y x+y
Represente-a geometricamente em coordenadas cartesianas, em seguida, encontre sua
matriz canônica e a imagem do vetor (2, 3), mude os valores desse vetor, o que se observa?
150
Soluções apresentadas pelo sujeito S7. Q1. (Anton&Rorres, 2001, p.105 c.3.1 ex.02) Esboce os seguintes vetores com ponto inicial na origem.
(a)v1 = (3, 6); (b) v2 = (– 4, –3) e (c)v4 = (5,– 4)
Q2. (Anton&Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.08) Encontre a reflexão de (–1, 2) em torno do:
eixo x; (b)eixo y e (c) reta y = x
151
Soluções apresentadas pelo sujeito S7Fl2. Q3. (Anton&Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.10) Encontre a projeção ortogonal de (2, –5) sobre : (a) o eixo x e (b)o eixo y
Q4. (Anton&Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.12) Encontre a imagem do vetor (3, – 4) quando girado por um ângulo de: (a) ɵ = 30º; (b) ɵ = – 60º; (c) ɵ = 45º e (d) ɵ = 90º
152
Soluções apresentadas pelo sujeito S7Fl3 Q5. (Kolman&Hill, 2006, p.235 c.4 ex.26- adaptação) Seja L uma transformação linear tal L:IR2
→IR2 definida por
:
x x-yL =
y x+y
Represente-a geometricamente em coordenadas cartesianas, em seguida, encontre sua
matriz canônica e a imagem do vetor (2, 3), mude os valores desse vetor, o que se observa?
153
Soluções apresentadas pelo sujeito S9. Q1. (Anton&Rorres, 2001, p.105 c.3.1 ex.02) Esboce os seguintes vetores com ponto inicial na origem. (a)v1 =
(3, 6); (b) v2 = (– 4, –3) e (c)v4 = (5,– 4)
Q2. (Anton&Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.08) Encontre a reflexão de (–1, 2) em torno do:
eixo x; (b)eixo y e (c) reta y = x
154
Soluções apresentadas pelo sujeito S10. Q1. (Anton&Rorres, 2001, p.105 c.3.1 ex.02) Esboce os seguintes vetores com ponto inicial na origem.
(a)v1 = (3, 6); (b) v2 = (– 4, –3) e (c)v4 = (5,– 4)
Q2. (Anton&Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.08) Encontre a reflexão de (–1, 2) em torno do:
(k) eixo x; (b)eixo y e (c) reta y = x
155
Soluções apresentadas pelo sujeito S10Fl2. Q3. (Anton&Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.10) Encontre a projeção ortogonal de (2, –5) sobre : (a) o eixo x e (b)o eixo y
Q4. (Anton&Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.12) Encontre a imagem do vetor (3, – 4) quando girado por um ângulo de: (a) ɵ = 30º; (b) ɵ = – 60º; (c) ɵ = 45º e (d) ɵ = 90º
156
Soluções apresentadas pelo sujeito S10Fl3 Q5. (Kolman&Hill, 2006, p.235 c.4 ex.26- adaptação) Seja L uma transformação linear tal L:IR2
→IR2 definida por
:
x x-yL =
y x+y
Represente-a geometricamente em coordenadas cartesianas, em seguida, encontre sua
matriz canônica e a imagem do vetor (2, 3), mude os valores desse vetor, o que se observa?
157
Soluções apresentadas pelo sujeito S11. Q1. (Anton&Rorres, 2001, p.105 c.3.1 ex.02) Esboce os seguintes vetores com ponto inicial na origem.
(a)v1 = (3, 6); (b) v2 = (– 4, –3) e (c)v4 = (5,– 4)
Q2. (Anton&Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.08) Encontre a reflexão de (–1, 2) em torno do:
eixo x; (b)eixo y e (c) reta y = x
158
ANEXO H: III ATIVIDADE – PRODUÇÕES DOS SUJEITOS COM CABRI
3D
Soluções apresentadas pelo sujeito S1. Q1. (Anton & Rorres, 2001, p.105 c.3.1 ex.01) Esboce os seguintes vetores com ponto inicial na origem:
(a)v1 = (3, 4, 5); (b)v2 = (–3, –4, 5); (c)v3 = (–3, 0, 0) e (d)v4 = (3, 0, 3).
Q2. (Anton & Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.09) Encontre a reflexão do vetor (2, –5, 3) em torno do:
(a)plano xy; (b)plano xz e (c) plano yz.
159
Soluções apresentadas pelo sujeito S1. Fl2 Q3. Observe a representação da figura em coordenadas cartesianas e preencha a seguinte tabela referente ao
gráfico da Q2:
Solução lápis & papel. Vide folha da III atividade. Q4. (Anton & Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.13) Encontre a imagem do vetor (–2, 1, 2) quando girado de :
(a) 30º em torno do eixo x; (b)45º em torno do eixo y e (c)90º em torno do eixo z
160
Soluções apresentadas pelo sujeito S2. Q1. (Anton & Rorres, 2001, p.105 c.3.1 ex.01) Esboce os seguintes vetores com ponto inicial na origem:
(a)v1 = (3, 4, 5); (b)v2 = (–3, –4, 5); (c)v3 = (–3, 0, 0) e (d)v4 = (3, 0, 3).
Q2. (Anton & Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.09) Encontre a reflexão do vetor (2, –5, 3) em torno do:
(a)plano xy; (b)plano xz e (c) plano yz.
161
Soluções apresentadas pelo sujeito S2. Fl2 Q3. Observe a representação da figura em coordenadas cartesianas e preencha a seguinte tabela referente ao
gráfico da Q2:
Solução lápis & papel. Vide folha da III atividade. Q4. (Anton & Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.13) Encontre a imagem do vetor (–2, 1, 2) quando de:
(a)30º em torno do eixo x; (b)45º em torno do eixo y e (c)90º em torno do eixo z
162
Soluções apresentadas pelo sujeito S3. Q1. (Anton & Rorres, 2001, p.105 c.3.1 ex.01) Esboce os seguintes vetores com ponto inicial na origem:
(a)v1 = (3, 4, 5); (b)v2 = (–3, –4, 5); (c)v3 = (–3, 0, 0) e (d)v4 = (3, 0, 3).
Q2. (Anton & Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.09) Encontre a reflexão do vetor (2, –5, 3) em torno do:
(a)plano xy; (b)plano xz e (c) plano yz.
163
Soluções apresentadas pelo sujeito S3. Fl2 Q3. Observe a representação da figura em coordenadas cartesianas e preencha a seguinte tabela referente ao
gráfico da Q2:
Solução lápis & papel. Vide folha da III atividade.
Q4. (Anton & Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.13) Encontre a imagem do vetor (–2, 1, 2) quando girado de :
(a) 30º em torno do eixo x; (b)45º em torno do eixo y e (c)90º em torno do eixo z:
164
Soluções apresentadas pelo sujeito S4. Q1. (Anton & Rorres, 2001, p.105 c.3.1 ex.01) Esboce os seguintes vetores com ponto inicial na origem:
(a)v1 = (3, 4, 5); (b)v2 = (–3, –4, 5); (c)v3 = (–3, 0, 0) e (d)v4 = (3, 0, 3).
Q2. (Anton & Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.09) Encontre a reflexão do vetor (2, –5, 3) em torno do:
(a)plano xy; (b)plano xz e (c) plano yz.
165
Soluções apresentadas pelo sujeito S4. Fl2 Q3. Observe a representação da figura em coordenadas cartesianas e preencha a seguinte tabela referente ao
gráfico da Q2:
Solução lápis & papel. Vide folha da III atividade.
Q4. (Anton & Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.13) Encontre a imagem do vetor (–2, 1, 2) quando girado de:
(c) 30º em torno do eixo x; (b)45º em torno do eixo y e (c)90º em torno do eixo z
166
Soluções apresentadas pelo sujeito S5. Q1. (Anton & Rorres, 2001, p.105 c.3.1 ex.01) Esboce os seguintes vetores com ponto inicial na origem:
(a)v1 = (3, 4, 5); (b)v2 = (–3, –4, 5); (c)v3 = (–3, 0, 0) e (d)v4 = (3, 0, 3).
Q2. (Anton & Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.09) Encontre a reflexão do vetor (2, –5, 3) em torno do:
(a)plano xy; (b)plano xz e (c) plano yz.
167
Soluções apresentadas pelo sujeito S5. Fl2 Q3. Observe a representação da figura em coordenadas cartesianas e preencha a seguinte tabela referente ao
gráfico da Q2:
Solução lápis & papel. Vide folha da III atividade. Q4. (Anton & Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.13) Encontre a imagem do vetor (–2, 1, 2) quando girado de :
(a) 30º em torno do eixo x; (b)45º em torno do eixo y e (c)90º em torno do eixo z
168
Soluções apresentadas pelo sujeito S7. Q1. (Anton & Rorres, 2001, p.105 c.3.1 ex.01) Esboce os seguintes vetores com ponto inicial na origem:
(a)v1 = (3, 4, 5); (b)v2 = (–3, –4, 5); (c)v3 = (–3, 0, 0) e (d)v4 = (3, 0, 3).
Q2. (Anton & Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.09) Encontre a reflexão do vetor (2, –5, 3) em torno do: (a)plano xy;
(b)plano xz e (c) plano yz.
169
Soluções apresentadas pelo sujeito S7. Fl2 Q3. Observe a representação da figura em coordenadas cartesianas e preencha a seguinte tabela referente ao
gráfico da Q2:
Solução lápis & papel. Vide folha da III atividade. Q4. Q4. (Anton & Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.13) Encontre a imagem do vetor (–2, 1, 2) quando girado for de :
(a) 30º em torno do eixo x; (b)45º em torno do eixo y e (c)90º em torno do eixo z
170
Soluções apresentadas pelo sujeito S9. Q1. (Anton & Rorres, 2001, p.105 c.3.1 ex.01) Esboce os seguintes vetores com ponto inicial na origem: (a)v1 =
(3, 4, 5); (b)v2 = (–3, –4, 5); (c)v3 = (–3, 0, 0) e (d)v4 = (3, 0, 3).
Q2. (Anton & Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.09) Encontre a reflexão do vetor (2, –5, 3) em torno do: (a)plano xy;
(b)plano xz e (c) plano yz.
171
Soluções apresentadas pelo sujeito S9. Fl2 Q3. Observe a representação da figura em coordenadas cartesianas e preencha a seguinte tabela referente ao
gráfico da Q2:
Solução lápis & papel. Vide folha da III atividade.
Q4. (Anton & Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.13) Encontre a imagem do vetor (–2, 1, 2) quando girado de:
(d) 30º em torno do eixo x; (b)45º em torno do eixo y e (c)90º em torno do eixo z
172
Soluções apresentadas pelo sujeito S10. Q1. (Anton & Rorres, 2001, p.105 c.3.1 ex.01) Esboce os seguintes vetores com ponto inicial na origem:
(a)v1 = (3, 4, 5); (b)v2 = (–3, –4, 5); (c)v3 = (–3, 0, 0) e (d)v4 = (3, 0, 3).
Q2. (Anton & Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.09) Encontre a reflexão do vetor (2, –5, 3) em torno do: (a)plano xy;
(b)plano xz e (c) plano yz.
173
Soluções apresentadas pelo sujeito S10. Fl2 Q3. Observe a representação da figura em coordenadas cartesianas e preencha a seguinte tabela referente ao
gráfico da Q2:
Solução lápis & papel. Vide folha da III atividade. Q4. (Anton & Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.13) Encontre a imagem do vetor (–2, 1, 2) quando girado de :
(b) 30º em torno do eixo x; (b)45º em torno do eixo y e (c)90º em torno do eixo z
174
Soluções apresentadas pelo sujeito S11. Q1. (Anton & Rorres, 2001, p.105 c.3.1 ex.01) Esboce os seguintes vetores com ponto inicial na origem:
(a)v1 = (3, 4, 5); (b)v2 = (–3, –4, 5); (c)v3 = (–3, 0, 0) e (d)v4 = (3, 0, 3).
Q2. (Anton & Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.09) Encontre a reflexão do vetor (2, –5, 3) em torno do: (a)plano xy;
(b)plano xz e (c) plano yz.
175
Soluções apresentadas pelo sujeito S11. Fl2 Q3. Observe a representação da figura em coordenadas cartesianas e preencha a seguinte tabela referente ao
gráfico da Q2:
Solução lápis & papel. Vide folha da III atividade. Q4. (Anton & Rorres, 2001, p.146 c.4.2 ex.13) Encontre a imagem do vetor (–2, 1, 2) quando girado de :
(a) 30º em torno do eixo x; (b)45º em torno do eixo y e (c)90º em torno do eixo z
176
ANEXO I: QUESTIONÁRIO FINAL AOS PARTICIPANTES
SUJEITO 1
177
SUJEITO 2
178
SUJEITO 3
179
SUJEITO 4
180
SUJEITO 5
181
SUJEITO 7
182
SUJEITO 9
183
SUJEITO 10
184
SUJEITO 11
185
ANEXO J: QUESTIONÁRIO SOBRE A II ATIVIDADE
SUJEITO 1
186
SUJEITO 2
187
SUJEITO 3
188
SUJEITO 4
189
SUJEITO 5
190
SUJEITO 7
191
SUJEITO 9
192
SUJEITO 10
193
SUJEITO 11
194
ANEXO K: QUESTIONÁRIO SOBRE A II ATIVIDADE
SUJEITO 1
195
SUJEITO 2
196
SUJEITO 3
197
SUJEITO 4
198
SUJEITO 5
199
SUJEITO 7
200
SUJEITO 9
201
SUJEITO 10
202
SUJEITO 11