una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas
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Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas
2
2
2 2
22
df xkf x x
dx
d xm F
dt
it m x
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Una ecuación diferencial es ordinaria si la función desconocida depende de solo una variable
2
2
2 2
22
df xkf x x
dx
d xm F
dt
it m x
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Una ecuación diferencial es ordinaria si la función desconocida depende de solo una variable
0
32 2
3
sin cosdf x
x xf x xdx
dvav x
dt
d y dyx xy y x ydx dx
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Una ecuación diferencial es parcial si la función desconocida depende de varias variables
2 2
2
2
2
22
2 2 2 2 2
2
2
, ,, 0
1 1 1sin 4 , ,
sin sin
ˆ
it m x
q x y q x yq x y
x y
r rr r r r r
r
r
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El orden de una ecuación diferencial es el orden de la mayor derivada que aparezca en ella
22
2
3
3
5
0
Segundo orden
Tercer orden
Primer orden
Orden 5i
i ii
d f x dfkf x x
dx dx
b at x
d za b
dz
d g p
dp
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Una solución de una ecuación diferencial en la función desconocida f(x) y en la variable independiente x en el intervalo I, es una función f(x) que satisface la ecuación diferencial idénticamente para toda x en I
3 22 3 3 2
3 2
3sin
4 2 12 cos 3 cos 6 sin 0
,
La función es solución de la
ecuación diferencial ordinaria de tercer orden
en el intervalo
y x
d y d y dyx x x x x x x x xdx dx dx
Ya veremos más adelante más ejemplos
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Una solución de una ecuación diferencial en la función desconocida f(x) y en la variable independiente x en el intervalo I, es una función f(x) que satisface la ecuación diferencial idénticamente para toda x en I
•Una solución particular es cualquier solución.
•La solución general es el conjunto de todas las soluciones.
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•Una solución particular es cualquier solución.
•La solución general es el conjunto de todas las soluciones.
0
La ecuación diferencial más sencilla que existe:
dy
dx
2
con es la solución general
es una solución particular
y a a R
y
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•Una solución particular es cualquier solución.
•La solución general es el conjunto de todas las soluciones.
3
33 8
dy dydt dy dt dt
dt dt
y t a
y t
y t i
dy
dt
es la solución general
es una solución particular
es
donde es una constan
otra solución partic
te
ular
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•Una solución particular es cualquier solución.
•La solución general es el conjunto de todas las soluciones.
2
2
1
1
2
1
2
es una solución particular
con es la solución general
da tt
dt
a t t t
a t t t C
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•Una solución particular es cualquier solución.
•La solución general es el conjunto de todas las soluciones.
2 0
0
1/
es una solución particular
es una solución particular
y y
y
y x
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2
2
2
2
11
0
0dy
ydxdy
y y
ydx
dy
y dx
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2
2
2
11
1
1
1
dy
y dx
dydx dx
y dx
dydx
y
cy
yx c
x
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•Una solución particular es cualquier solución.
•La solución general es el conjunto de todas las soluciones.
2 0
1
dyy
dx
y xx c
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2
2
22
2
10
1
1 10
Veamos que sí es solución:
dyy y
dx x c
dy
dx x c
dyy
dx x cx c
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•Condiciones iniciales y condiciones de frontera
•Primer orden
•Ecuaciones separables
•Ecuaciones que se reducen a separables
•Ecuaciones exactas
•Ecuaciones lineales
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Una ecuación diferencial con condiciones
subsidiarias en la función desconocida y sus
derivadas, todas ellas dadas para el mismo
valor de la variable independiente, constituye
un problema de condiciones iniciales (initial-
value problem).
Las condiciones subsidiarias son las
condiciones iniciales.
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Una ecuación diferencial con condiciones subsidiarias en la función desconocida y sus derivadas, todas ellas dadas para el mismo valor de la variable independiente, constituye un problema de condiciones iniciales (initial-value problem).Las condiciones subsidiarias son las condiciones iniciales.
0 con la condición inicial i
dva v v
dt
dv dva dt adt dv adt
dt dt
0 iiv t at c v c vc v
iv t v at
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Una ecuación diferencial con condiciones subsidiarias en la función desconocida y sus derivadas, todas ellas dadas para el mismo valor de la variable independiente, constituye un problema de condiciones iniciales (initial-value problem).Las condiciones subsidiarias son las condiciones iniciales.
2 1 2 con la condición inicial dg
z gdz
2 2 2dg dgz dz z dz dg z dz
dz dz
3 1 23 3
23
g z c g cc
3 1 23
g z z
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2
2
0 0 0Condiciones iniciales i i
d xa
dtdx
x x v t vdt
2
2
d x dx dv dva v a dt a dt dv a dt
dt dt dt dtv at
dx dx dxv at dt at dt dx at dt
dt dt dt
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21
2dx at dt x t at t
00x x
20
1
2
dx tx t at t x at
dt
00dx
vdt
20 0
1
2x t at v t x
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lim
es un simbolo, no una fracción
y "no existen" independientemente
x x
y x y xdyx
dx x x
dy
dx
dx dy
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Una ecuación diferencial con condiciones subsidiarias en la función
desconocida y sus derivadas, todas ellas dadas para el mismo valor de
la variable independiente, constituye un problema de condiciones
iniciales (initial-value problem).
Las condiciones subsidiarias son las condiciones iniciales.
Si las condiciones subsidiarias se dan para más de
un valor de la variable independiente, el problema
se llama de valores a la frontera (boundary-value
problem) y las condiciones se llaman de frontera
(boundary conditions).
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2
2
( ) 0 0Condiciones de frontera:
dkx
dxa b
30 1
30 1
06
06
ka a c a c
kb b c b c
22
02
2 30 0 1
1
21
2 6
d ddx k xdx kx c
dx dxd k
dx k x dx c dx x c x cdx
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3 30 1 0 10 0
6 6
k ka c a c b c b c
3 30 0
6
ka b c a b
2 20 6
kc a ab b
![Page 28: Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/5665b4e21a28abb57c9471d6/html5/thumbnails/28.jpg)
3 30 1 0 10 0
6 6
k ka c a c b c b c
2 21 10 00 0
6 6
k c k ca c b c
a b
2 21
1 10
6
ka b c
a b
1 6
kc ab a b
![Page 29: Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/5665b4e21a28abb57c9471d6/html5/thumbnails/29.jpg)
2
2
30 1
2 20 1
3 2 2
( ) 0 0
6
6 6
6 6 6
Condiciones de frontera:
dkx
dxa b
kx x c x c
k kc a ab b c ab a b
k k kx x a ab b x ab a b
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2
2
( )Condiciones de frontera:
dkx
dxa A b B
30 1
30 1
6
6
ka a c a c A
kb b c b c B
22
02
2 30 0 1
1
21
2 6
d ddx k xdx kx c
dx dxd k
dx k x dx c dx x c x cdx
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3 30 1 0 16 6
k ka c a c A b c b c B
3 306
ka b c a b A B
2 2
0 6
A B kc a ab b
a b
![Page 32: Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/5665b4e21a28abb57c9471d6/html5/thumbnails/32.jpg)
3 30 1 0 16 6
k ka c a c A b c b c B
2 21 10 06 6
k c A k c Ba c b c
a a b b
2 21
1 1
6
k A Ba b c
a b a b
1 6
Ab Ba kc ab a b
b a
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2
2
30 1
2 20 1
3 2 2
( )
6
6 6
6 6 6
Condiciones de frontera: d
kx a A b Bdx
kx x c x c
A B k Ab Ba kc a ab b c ab a b
a b b a
A Bk k Ab Ba kx x a ab b x ab a b
a b b a
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![Page 35: Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/5665b4e21a28abb57c9471d6/html5/thumbnails/35.jpg)
,dy
y f x ydx
![Page 36: Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/5665b4e21a28abb57c9471d6/html5/thumbnails/36.jpg)
,,
,
, , 0
M x ydy dyy f x y
dx dx N x y
N x y dy M x y dx
![Page 37: Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/5665b4e21a28abb57c9471d6/html5/thumbnails/37.jpg)
, , 0
, ,
0
Si y
N x y dy M x y dx
M x y A x N x y B y
B y dy A x dx
![Page 38: Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/5665b4e21a28abb57c9471d6/html5/thumbnails/38.jpg)
0
Solución general:
donde es una constante arbitraria
B y dy A x dx
B y dy A x dx c
c
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sin 0
sin
n
0
c s 0
si
o
cos
dy xdx
dy xdx
y x c
dyx
dx
y x c x
![Page 40: Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/5665b4e21a28abb57c9471d6/html5/thumbnails/40.jpg)
2
2
3
2
1
3
dydx x d dy x dx
dx
x
y
x
c
dyx
d
x
![Page 41: Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/5665b4e21a28abb57c9471d6/html5/thumbnails/41.jpg)
2
2
2
2
2
1/
2
2
exp
exp 0
exp 0
1exp 0
02 2
2
1
erf
erf
xdf
dx f
dff xdxdf
f dx x dxdx
d fdx x dx
dx
x
x
f c
f x c
![Page 42: Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/5665b4e21a28abb57c9471d6/html5/thumbnails/42.jpg)
0
0
0
0
ln ln
exp exp exp
0 ex
e
p
0
xp
dN dNkdt k dt c
N NN kt c N c kt
N t c
dN tkN t
kt c
N t N k
N Ndt
kt
N c N
t
![Page 43: Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/5665b4e21a28abb57c9471d6/html5/thumbnails/43.jpg)
0
0
exp
100 1/ 4
N t N kt
N k
![Page 44: Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/5665b4e21a28abb57c9471d6/html5/thumbnails/44.jpg)
ln
;
exp ex
0
exp exp
p
m
m
m
m
m m
dT
dT dTdt dt c
T T T T
T T t c T T c t
tT T
d
T t T c t
t
![Page 45: Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/5665b4e21a28abb57c9471d6/html5/thumbnails/45.jpg)
lim exp exp
.
0
0 exp exp 0 exp
e
e
x
xp; p0 e
x
x
p
e p
Condiciones "finales":
independientemente de
Condiciones iniciales:
m m
i
m
m
m i
i m
m i
m
m
tT T c t T
c
T T
T T c T c T
c T T
T t T T T t
dT tT T
tT t T t
dc
![Page 46: Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/5665b4e21a28abb57c9471d6/html5/thumbnails/46.jpg)
exp
40 60 1/ 4m i m
m i
T t T T T t
T T
![Page 47: Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/5665b4e21a28abb57c9471d6/html5/thumbnails/47.jpg)
22
2
3 2
3 2
sin 2 0
sin 2
1cos
31
arcc
2
o3
sin
s
y dy x x dx
y dy x x dx c
y x x c
y x x x c
dy x x
dx y
![Page 48: Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/5665b4e21a28abb57c9471d6/html5/thumbnails/48.jpg)
3
3
3
3
3
1 0
1 0
ln 1
1
0
exp 1
dsx dx
sds
x dxs
s x dx
dss x
c
s x c
d
x
t
dx
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2
2
2
2
2 2
01
1
sin cos1
cos cosarcsin
cos1 1 sin
arcsin ln arcsin ln
s l
1
in n
dy dx
xy
dy dxc
xy
dyy dy d
y
dy d
ydy
d
dd y
y
y x c y c x
y x x
x
c
x
![Page 50: Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/5665b4e21a28abb57c9471d6/html5/thumbnails/50.jpg)
0
2
0
20
20
exp exp
1exp
2
2 exp
0 2 exp 0 2 1
11
2
2
e
e
p0
x
x
p 1
d t dt d t dt c
t c
t c t
c c
c
t t
d t t
dt
![Page 51: Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/5665b4e21a28abb57c9471d6/html5/thumbnails/51.jpg)
2
2 22 1
12
1ln
1 1ln ln1 ln
2
11
ln2
1 2
g z
gz
dg dz dg dz
g z g z
zg
z zg
g z
dg z gg
d
z
z z
![Page 52: Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/5665b4e21a28abb57c9471d6/html5/thumbnails/52.jpg)
0
Solución general:
donde es una constante arbitraria
B y dy A x dx
B y dy A x dx c
c
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Miércoles 29 de marzo del 2006
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1 2
1 2
1 2
1 2
, ,..., , ,
, , ,..., , , 0
n n n
n n n
n n n
n n n
d y d y d y dyf y x
dx dx dx dx
d y d y d y dyF y x
dx dx dx dx
![Page 55: Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/5665b4e21a28abb57c9471d6/html5/thumbnails/55.jpg)
1 2
1 2
1
, , ,..., , 0
La ecuación no contiene la función buscada , y sus
derivadas hasta el orden inclusive:
Se hace el cambio de variable
y entonces queda
n n n k
n n n k
k
k
n k
y
k
d y d y d y d yF x
dx dx dx dx
d yp
dx
d pF
1 2
1 2, , ,..., , , 0
que es de orden
n k n k
n k n k n k
d p d p dpp x
dx dx dx dx
n k
![Page 56: Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/5665b4e21a28abb57c9471d6/html5/thumbnails/56.jpg)
2
20
d x
dx
La ecuación de Laplace en coordenadas cartesianas
en una dimensión
es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden
lineal y homogenea.
Paso 1. Con un cambio de variable le bajamos en uno
el
0
d
dx
d
dx
orden. Haciendo
la ecuación queda
![Page 57: Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/5665b4e21a28abb57c9471d6/html5/thumbnails/57.jpg)
2
20 0
0
0
0
d d d
dx dx dx
d
dx
d
d
a
a
Paso 1.
y
Paso 2. La ecuación se separa y se
integra facilmente
donde es una constante de integración
![Page 58: Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/5665b4e21a28abb57c9471d6/html5/thumbnails/58.jpg)
2
20 0
0 0 0
d d d
dx dx dx
dd d a
dx
da
dxd
adx
Paso 1. y
Paso 2.
Paso 3. Regresamos el cambio de variable.
Si (paso 1) y (paso 2) entonces
![Page 59: Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/5665b4e21a28abb57c9471d6/html5/thumbnails/59.jpg)
da
dx
d adx
d adx a dx
ax b
Es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden
de variables separables. Ponemos de un lado la variable
dependiente y del otro lado la independiente
Integramos
y da
don bde es una variable de integración
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2
20
d x
dx
x ax b
La ecuación de Laplace en coordenadas
cartesianas en una dimensión
tiene como solución general
![Page 61: Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/5665b4e21a28abb57c9471d6/html5/thumbnails/61.jpg)
22
10
d rdr
r dr dr
d
dr
La ecuación de Laplace para problemas con
simetría esféricas es
Para resolverla:
Paso 1. Bajarle el orden con el cambio de variable
![Page 62: Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/5665b4e21a28abb57c9471d6/html5/thumbnails/62.jpg)
22
2
2 2 2
10
0
0 0
d rd dr
r dr dr dr
dr
dr
d r d r r a
a
Paso 1.
Paso 2. Queda
que es de variable separables y se pone
donde es una constante de integración.
![Page 63: Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/5665b4e21a28abb57c9471d6/html5/thumbnails/63.jpg)
2 22
2
2
2
10
d rd dr r a
r dr dr dr
d a
dr ra
d drr
ad dr
ra
r br
Paso 1. Paso 2.
Paso 3.
![Page 64: Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/5665b4e21a28abb57c9471d6/html5/thumbnails/64.jpg)
22
10
d rdr
r dr dr
ar b
r
La ecuación de Laplace para problemas con
simetría esféricas es
La solución general es
![Page 65: Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/5665b4e21a28abb57c9471d6/html5/thumbnails/65.jpg)
Ejemplo
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Ejemplo
![Page 67: Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/5665b4e21a28abb57c9471d6/html5/thumbnails/67.jpg)
![Page 68: Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/5665b4e21a28abb57c9471d6/html5/thumbnails/68.jpg)
( ) ( 1)1 1 0
1 1
1 1 01 1
1
...
...
Una ecuación diferencial ordinaria de orden es lineal
si es de la forma
n nn n
n n
n nn n
in
i ii
n
b x y b x y b x y b x y g x
d y x d y x d y xb x b x b x b x y x g x
dx dx dx
d y xb x g x
dx
![Page 69: Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/5665b4e21a28abb57c9471d6/html5/thumbnails/69.jpg)
0
10 0 0 1 0 2 0 1
0,1,2,...,
0
, , ....,
Si y , , son continuas en un
intervalo que contiene a y si en ,
entonces el problema de valores iniciales
de la ecuación diferencia
j
n
nn
g x b x j n
I x b x I
y x c y x c y x c y x c
( ) ( 1)1 1 0...
.
l ordinaria de orden lineal
tiene una única solución en
n nn n
n
b x y b x y b x y b x y g x
I
![Page 70: Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/5665b4e21a28abb57c9471d6/html5/thumbnails/70.jpg)
( ) ( 1)1 1 0...
0
Ecuación diferencial ordinaria de orden lineal
1) Si entonces la ecuación es homogenea,
si no es inhomogenea
2) Si TODOS los son constantes se dice que
tien
n nn n
j
n
b x y b x y b x y b x y g x
g x
b x
e coeficientes constantes, sino se dice que los
coeficientes son variables
![Page 71: Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/5665b4e21a28abb57c9471d6/html5/thumbnails/71.jpg)
( ) ( 1)1 1 0
( ) ( 1)1 1 0
...
0 ,
0,1,2,..., 1
...
Ecuación diferencial ordinaria de orden lineal
Si en un intervalo podemos escribir
donde
y
n nn n
n
jj
n
n nn
n
b x y b x y b x y b x y g x
b x I
b x ga x j n x
b x
y a x y a x y a x y x
n
x
b x
![Page 72: Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/5665b4e21a28abb57c9471d6/html5/thumbnails/72.jpg)
1 1
1 1 01 1
( ) ( 1)1 1 0
ˆ ...
ˆ ...
ˆ
Definimos ahora el operador
de tal manera que
La ecuación diferencial ordinaria de orden lineal
la escribimos entonces como
n n
nn n
n nn
d d dL a x a x a x
dx dx dx
L y y a x y a x y a x y
n
L y
x
![Page 73: Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/5665b4e21a28abb57c9471d6/html5/thumbnails/73.jpg)
1 2
ˆ 0
, ,...,
La ecuación diferencial ordinaria de orden lineal
homogenea
siempre tiene soluciones linealmente
independientes.
Si representan dichas soluciones,
entonces la solución general de
n
n
L y
n
y x y x y x
1 1 2 2
1 2
ˆ 0
...
, ,...,
es
donde representan constantes arbitrariasn n
n
L y
y x c y x c y x c y x
c c c
![Page 74: Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/5665b4e21a28abb57c9471d6/html5/thumbnails/74.jpg)
ˆ
La solución general de la ecuación diferencial ordinaria
de orden lineal inhomogenea
es
donde
es la solución general a la ecuación homogenea
asociada, y
es cualquier solución par
h
p
n
L y x
y x
y x
phy x y x y x
ticular de la ecuación.
![Page 75: Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/5665b4e21a28abb57c9471d6/html5/thumbnails/75.jpg)
![Page 76: Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/5665b4e21a28abb57c9471d6/html5/thumbnails/76.jpg)
( ) ( 1)1 1 0... 0n n
ny a y a y a y
![Page 77: Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/5665b4e21a28abb57c9471d6/html5/thumbnails/77.jpg)
( ) ( 1)1 1 0
11 1 0
11 1 0
... 0
exp
exp exp ... exp exp 0
... 0
exp
Si se propone una solucion
se tiene
Eliminando la exponencial
Si es raiz de esta ecuación,
n nn
n nn
n nn
y a y a y a y
y x x
x a x a x a x
a a a
es solución de la
ecuación diferencial
x
![Page 78: Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/5665b4e21a28abb57c9471d6/html5/thumbnails/78.jpg)
( ) ( 1)1 1 0
11 1 0
... 0
... 0
A la ecuación
se le llama Ecuación característica.
n nn
n nn
y a y a y a y
a a a
![Page 79: Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/5665b4e21a28abb57c9471d6/html5/thumbnails/79.jpg)
( ) ( 1)1 1 0
11 1 0
1 2 3
1 1
... 0
... 0
, , ,...,
exp
Ecuación característica:
Sean las raices de la ecuación
característica
Si todas son distintas, la solución general es
n nn
n nn
n
y a y a y a y
a a a
n
y x c x
1 2
2 2
, ,...,
exp ... exp
siendo constantes arbitrariasn
n n
c c c
c x c x
![Page 80: Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/5665b4e21a28abb57c9471d6/html5/thumbnails/80.jpg)
( ) ( 1)1 1 0
11 1 0
1 2 3
... 0
... 0
, , ,...,
Ecuación característica:
Sean las raices de la ecuación característica
Si la raiz tiene multiplicidad habrá asociada con el
n nn
n nn
n
k
y a y a y a y
a a a
n
p
2 1exp , exp , exp ,..., exp
la
soluciones linealmente independientes dadas como
La combinación lineal de las soluciones
linealmente independientes es la solución general.
pk k k k
p
x x x x x x x
n
![Page 81: Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/5665b4e21a28abb57c9471d6/html5/thumbnails/81.jpg)
22
2
22
2
2 2
2 2
1 2
1
Forma estandar: 0
Ecuación característica: 0
Raices de la ecuación característica:
d f x
f x dx
d f xf x
dx
i i
![Page 82: Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/5665b4e21a28abb57c9471d6/html5/thumbnails/82.jpg)
22
2
1 2
1 2
1 2 1 1
1
Raices de la ecuación característica:
exp exp
Formula de Euler: exp cos sin
cos cos sin sin
cos sin
i
d f x
f x dx
i i
f x c i x c i x
i e i
f x c x c x i c x c x
f x A x B x
![Page 83: Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/5665b4e21a28abb57c9471d6/html5/thumbnails/83.jpg)
22
2
22
2
2 2
2 2
1 2
1
Forma estandar: 0
Ecuación característica: 0
Raices de la ecuación característica:
d f x
f x dx
d f xf x
dx
![Page 84: Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/5665b4e21a28abb57c9471d6/html5/thumbnails/84.jpg)
22
2
1 2
1 2
1
Raices de la ecuación característica:
exp exp
d f x
f x dx
f x c x c x