una forma geométrica de medir irracionalidad
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Una forma geometrica de medir irracionalidad
Pedro Morales-Almazan
Department of MathematicsThe University of Texas at Austin
Universidad del Valle de GuatemalaGuatemala, 6 de enero de 2016
Pedro Morales-Almazan Math Department
Irracionalidad
“Los problemas no pueden ser resueltos al mismo nivel depensamiento en el que fueron generados.”
Albert Einstein
Pedro Morales-Almazan Math Department
Irracionalidad
Historia
¿Que tan irracional puede ser un numero?
α ∈ Q, α /∈ Q
Pedro Morales-Almazan Math Department
Irracionalidad
Historia
¿Que tan irracional puede ser un numero?
α ∈ Q, α /∈ Q
Pedro Morales-Almazan Math Department
Irracionalidad
Historia
¿Que tan irracional puede ser un numero?
α ∈ Q, α /∈ Q
Pedro Morales-Almazan Math Department
Irracionalidad
Historia
• La irracionalidad es una propiedad, no una medida.
• Todo real es aproximable por racionales.
Pedro Morales-Almazan Math Department
Irracionalidad
Historia
• La irracionalidad es una propiedad, no una medida.
• Todo real es aproximable por racionales.
Pedro Morales-Almazan Math Department
Irracionalidad
Historia
• La irracionalidad es una propiedad, no una medida.
• Todo real es aproximable por racionales.
Pedro Morales-Almazan Math Department
Irracionalidad
Historia
Medir irracionalidad
Sea α ∈ R. La irracionalidad de α se puede estudiar por medio deanalizar el conjunto de racionales p/q tales que∣∣∣α− p
q
∣∣∣ < 1
qµ,
para distintos valores de µ.
Pedro Morales-Almazan Math Department
Irracionalidad
Historia
Medir irracionalidad
Sea α ∈ R. La irracionalidad de α se puede estudiar por medio deanalizar el conjunto de racionales p/q tales que∣∣∣α− p
q
∣∣∣ < 1
qµ,
para distintos valores de µ.
Pedro Morales-Almazan Math Department
Irracionalidad
Historia
limn→∞
pnqn
= α
1 Razon de crecimiento de qn
2 La sucesion pnqn
mas eficiente (qn creciente)
Pedro Morales-Almazan Math Department
Irracionalidad
Historia
limn→∞
pnqn
= α
1 Razon de crecimiento de qn
2 La sucesion pnqn
mas eficiente (qn creciente)
Pedro Morales-Almazan Math Department
Irracionalidad
Historia
limn→∞
pnqn
= α
1 Razon de crecimiento de qn
2 La sucesion pnqn
mas eficiente (qn creciente)
Pedro Morales-Almazan Math Department
Irracionalidad
Historia
limn→∞
pnqn
= α
1 Razon de crecimiento de qn
2 La sucesion pnqn
mas eficiente (qn creciente)
Pedro Morales-Almazan Math Department
Irracionalidad
Interpretacion geometrica
Pedro Morales-Almazan Math Department
Irracionalidad
Interpretacion geometrica
Pedro Morales-Almazan Math Department
Irracionalidad
Interpretacion geometrica
1 α es la pendiente de la recta L
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Irracionalidad
Interpretacion geometrica
2 El sector circular Sr es simetrico al rededor de L.
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Irracionalidad
Interpretacion geometrica
3 Sr no contiene ningun punto entero.
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Irracionalidad
Interpretacion geometrica
4 Medir el area A(r) de Sr .
Pedro Morales-Almazan Math Department
Irracionalidad
Problema
Analizar el comportamiento de A(r) cuando r →∞.
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Irracionalidad
Problema
Analizar el comportamiento de A(r) cuando r →∞.
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Irracionalidad
Graficas de A(r)
(a) α = e (b) α = π
(c) α =√2 (d) α =
√3
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Irracionalidad
Graficas de A(r)
(e) α = e (f) α = π
(g) α =√2 (h) α =
√3
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Irracionalidad
Definiciones
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Irracionalidad
Definiciones
θ(r) = 2∣∣∣ arctan(α)− arctan
(p
q
) ∣∣∣ , pq∈ Q y p2 + q2 < r2 .
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Irracionalidad
Definiciones
A(r) =r2
2θ(r)
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Irracionalidad
Fracciones Continuas
h0 = a0
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Irracionalidad
Fracciones Continuas
h1 = a0 +1
a1
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Irracionalidad
Fracciones Continuas
h2 = a0 +1
a1 +1
a2
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Irracionalidad
Fracciones Continuas
h3 = a0 +1
a1 +1
a2 +1
a3
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Irracionalidad
Fracciones Continuas
h = a0 +1
a1 +1
a2 +1
a3 +1
. . .
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Irracionalidad
Fracciones Continuas
h = a0 +1
a1 +1
a2 +1
a3 +1
. . .
h = [a0; a1, a2, a3, . . . ]
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Irracionalidad
Fracciones continuas: Ejemplos
110
7= [1; 2, 3] = 1 +
1
2 +1
32 φ = [1; 1]
3√
2 = [1; 2]
4√
3 = [1; 1, 2]
5 e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, . . . ]
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Irracionalidad
Fracciones continuas: Ejemplos
110
7= [1; 2, 3] = 1 +
1
2 +1
3
2 φ = [1; 1]
3√
2 = [1; 2]
4√
3 = [1; 1, 2]
5 e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, . . . ]
Pedro Morales-Almazan Math Department
Irracionalidad
Fracciones continuas: Ejemplos
110
7= [1; 2, 3] = 1 +
1
2 +1
32 φ = [1; 1]
3√
2 = [1; 2]
4√
3 = [1; 1, 2]
5 e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, . . . ]
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Irracionalidad
Fracciones continuas: Ejemplos
110
7= [1; 2, 3] = 1 +
1
2 +1
32 φ = [1; 1]
3√
2 = [1; 2]
4√
3 = [1; 1, 2]
5 e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, . . . ]
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Irracionalidad
Fracciones continuas: Ejemplos
110
7= [1; 2, 3] = 1 +
1
2 +1
32 φ = [1; 1]
3√
2 = [1; 2]
4√
3 = [1; 1, 2]
5 e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, . . . ]
Pedro Morales-Almazan Math Department
Irracionalidad
Fracciones continuas: Ejemplos
110
7= [1; 2, 3] = 1 +
1
2 +1
32 φ = [1; 1]
3√
2 = [1; 2]
4√
3 = [1; 1, 2]
5 e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, . . . ]
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Irracionalidad
Propiedades
• Todo real tiene representacion en fraccion continua.
• Las convergentes producen la aproximacion mas eficiente deun numero.eg. π ∼ [3] = 3
π ∼ [3; 7] =22
7= 3.142857...
π ∼ [3; 7, 15] =333
106= 3.141509...
π ∼ [3; 7, 15, 1] =355
113= 3.141592...
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Irracionalidad
Propiedades
• Todo real tiene representacion en fraccion continua.
• Las convergentes producen la aproximacion mas eficiente deun numero.eg. π ∼ [3] = 3
π ∼ [3; 7] =22
7= 3.142857...
π ∼ [3; 7, 15] =333
106= 3.141509...
π ∼ [3; 7, 15, 1] =355
113= 3.141592...
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Irracionalidad
Propiedades
• Todo real tiene representacion en fraccion continua.
• Las convergentes producen la aproximacion mas eficiente deun numero.
eg. π ∼ [3] = 3
π ∼ [3; 7] =22
7= 3.142857...
π ∼ [3; 7, 15] =333
106= 3.141509...
π ∼ [3; 7, 15, 1] =355
113= 3.141592...
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Irracionalidad
Propiedades
• Todo real tiene representacion en fraccion continua.
• Las convergentes producen la aproximacion mas eficiente deun numero.eg. π ∼ [3] = 3
π ∼ [3; 7] =22
7= 3.142857...
π ∼ [3; 7, 15] =333
106= 3.141509...
π ∼ [3; 7, 15, 1] =355
113= 3.141592...
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Irracionalidad
Propiedades
• Todo real tiene representacion en fraccion continua.
• Las convergentes producen la aproximacion mas eficiente deun numero.eg. π ∼ [3] = 3
π ∼ [3; 7] =22
7= 3.142857...
π ∼ [3; 7, 15] =333
106= 3.141509...
π ∼ [3; 7, 15, 1] =355
113= 3.141592...
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Irracionalidad
Propiedades
• Todo real tiene representacion en fraccion continua.
• Las convergentes producen la aproximacion mas eficiente deun numero.eg. π ∼ [3] = 3
π ∼ [3; 7] =22
7= 3.142857...
π ∼ [3; 7, 15] =333
106= 3.141509...
π ∼ [3; 7, 15, 1] =355
113= 3.141592...
Pedro Morales-Almazan Math Department
Irracionalidad
Propiedades
• Todo real tiene representacion en fraccion continua.
• Las convergentes producen la aproximacion mas eficiente deun numero.eg. π ∼ [3] = 3
π ∼ [3; 7] =22
7= 3.142857...
π ∼ [3; 7, 15] =333
106= 3.141509...
π ∼ [3; 7, 15, 1] =355
113= 3.141592...
Pedro Morales-Almazan Math Department
Irracionalidad
Propiedades
Aproximacion geometrica
Los puntos enteros mas cercanos a la recta y = αx estan dadospor las convergentes de α.
Pedro Morales-Almazan Math Department
Irracionalidad
Propiedades
Aproximacion geometrica
Los puntos enteros mas cercanos a la recta y = αx estan dadospor las convergentes de α.
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Irracionalidad
Propiedades
Aproximacion geometrica
Los puntos enteros mas cercanos a la recta y = αx estan dadospor las convergentes de α.
Pedro Morales-Almazan Math Department
Irracionalidad
Sucesion de areas
h0 < h2 < h4 < · · · < α < · · · < h3 < h1
mn = (p2n + q2
n)∣∣∣ arctan(α)− arctan(hn)
∣∣∣Mn = (p2
n+1 + q2n+1)
∣∣∣ arctan(α)− arctan(hn)∣∣∣
Pedro Morales-Almazan Math Department
Irracionalidad
Sucesion de areas
h0 < h2 < h4 < · · · < α < · · · < h3 < h1
mn = (p2n + q2
n)∣∣∣ arctan(α)− arctan(hn)
∣∣∣Mn = (p2
n+1 + q2n+1)
∣∣∣ arctan(α)− arctan(hn)∣∣∣
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Irracionalidad
Sucesion de areas
h0 < h2 < h4 < · · · < α < · · · < h3 < h1
mn = (p2n + q2
n)∣∣∣ arctan(α)− arctan(hn)
∣∣∣
Mn = (p2n+1 + q2
n+1)∣∣∣ arctan(α)− arctan(hn)
∣∣∣
Pedro Morales-Almazan Math Department
Irracionalidad
Sucesion de areas
h0 < h2 < h4 < · · · < α < · · · < h3 < h1
mn = (p2n + q2
n)∣∣∣ arctan(α)− arctan(hn)
∣∣∣Mn = (p2
n+1 + q2n+1)
∣∣∣ arctan(α)− arctan(hn)∣∣∣
Pedro Morales-Almazan Math Department
Irracionalidad
mn = (p2n + q2
n)∣∣∣ arctan(α)− arctan(hn)
∣∣∣Mn = (p2
n+1 + q2n+1)
∣∣∣ arctan(α)− arctan(hn)∣∣∣
Pedro Morales-Almazan Math Department
Irracionalidad
mn = (p2n + q2
n)∣∣∣ arctan(α)− arctan(hn)
∣∣∣Mn = (p2
n+1 + q2n+1)
∣∣∣ arctan(α)− arctan(hn)∣∣∣
Pedro Morales-Almazan Math Department
Irracionalidad
mn = (p2n + q2
n)∣∣∣ arctan(α)− arctan(hn)
∣∣∣Mn = (p2
n+1 + q2n+1)
∣∣∣ arctan(α)− arctan(hn)∣∣∣
Pedro Morales-Almazan Math Department
Irracionalidad
Cotas
Teorema sobre cotas inferiores
mk <
(h2k + 1
α2 + 1
)(qkqk+1
)(1 +
3√
3
16(α2 + 1)εk
),
(h2k + 1
α2 + 1
)(qkqk+1
) 1
1 + 1ak+2
(qk
qk+1
) − 3√
3
16(α2 + 1)εk
< mk .
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Irracionalidad
Cotas
Teorema sobre cotas inferiores
mk <
(h2k + 1
α2 + 1
)(qkqk+1
)(1 +
3√
3
16(α2 + 1)εk
),
(h2k + 1
α2 + 1
)(qkqk+1
) 1
1 + 1ak+2
(qk
qk+1
) − 3√
3
16(α2 + 1)εk
< mk .
Pedro Morales-Almazan Math Department
Irracionalidad
Cotas
Teorema sobre cotas superiores
Mk <
(h2k+1 + 1
α2 + 1
)(qk+1
qk
)(1 +
3√
3
16(α2 + 1)εk
),
(h2k+1 + 1
α2 + 1
)(qk+1
qk
) 1
1 + 1ak+2
(qk
qk+1
) − 3√
3
16(α2 + 1)εk
< Mk .
Pedro Morales-Almazan Math Department
Irracionalidad
Cotas
Teorema sobre cotas superiores
Mk <
(h2k+1 + 1
α2 + 1
)(qk+1
qk
)(1 +
3√
3
16(α2 + 1)εk
),
(h2k+1 + 1
α2 + 1
)(qk+1
qk
) 1
1 + 1ak+2
(qk
qk+1
) − 3√
3
16(α2 + 1)εk
< Mk .
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Irracionalidad
Fracciones continuas eventualmente periodicas
α = [a0; a1, . . . , ak , b1, b2, . . . , bn]
Teorema
1
Ci + 1bi+1
≤ lim infk→∞
ml+kn+i−1 ≤1
Ci.
Pedro Morales-Almazan Math Department
Irracionalidad
Fracciones continuas eventualmente periodicas
α = [a0; a1, . . . , ak , b1, b2, . . . , bn]
Teorema
1
Ci + 1bi+1
≤ lim infk→∞
ml+kn+i−1 ≤1
Ci.
Pedro Morales-Almazan Math Department
Irracionalidad
Fracciones continuas eventualmente periodicas
α = [a0; a1, . . . , ak , b1, b2, . . . , bn]
Teorema
1
Ci + 1bi+1
≤ lim infk→∞
ml+kn+i−1 ≤1
Ci.
Pedro Morales-Almazan Math Department
Irracionalidad
Teorema
lim supk→∞
Ml+kn+i−1 ≤ Ci ,
C 2i
Ci + 1bi+1
≤ lim infk→∞
Ml+kn+i−1 .
Pedro Morales-Almazan Math Department
Irracionalidad
Fracciones continuas eventualmente periodicas
√3 = [1; 1, 2]
Pedro Morales-Almazan Math Department
Irracionalidad
Fracciones continuas eventualmente periodicas
√3 = [1; 1, 2]
Pedro Morales-Almazan Math Department
Irracionalidad
Fracciones continuas eventualmente periodicas
√2 = [1; 1]
Pedro Morales-Almazan Math Department
Irracionalidad
Fracciones continuas eventualmente periodicas
√2 = [1; 1]
Pedro Morales-Almazan Math Department
Irracionalidad
