una prospettiva logica sull'interazione...
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Una prospettiva logica
sull’interazione razionale
Hykel Hosni
Centro di Ricerca Matematica E. de Giorgi, Scuola Normale Superiore, Pisahttp://homepage.sns.it/hosni/
12 giugno 2009
Hykel Hosni (SNS Pisa) Una prospettiva logica sull’interazione razionale12 giugno 2009 1 / 36
Logica e interazione razionale
1 Problemi di interazione razionale
2 La prospettiva
3 Decisione individuale
4 Scelta collettiva
5 L’orizzonte logico della razionalita
6 Letture
Hykel Hosni (SNS Pisa) Una prospettiva logica sull’interazione razionale12 giugno 2009 2 / 36
Decisione individuale
No, no... allora non vengo. Che dici vengo? Mi si nota di piu sevengo e me ne sto in disparte o se non vengo per niente?
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Decisione sociale
qual e una buona soluzione al problema dello sbarco dei migranti?
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Negoziazione
come si risolve una questione sindacale?
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Tripartizione (accademica)
Teoria della decisione comportamento razionale individuale
Teoria della scelta sociale meccanismi razionali diaggregazione
Teoria dei giochi concetti risolutivi in situazioni strategiche(cooperative o di conflitto)
Tratto comuneModelli normativi del comportamento degli agenti: si cerca di capirecosa dovrebbero fare gli agenti per comportarsi in modo razionale
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Tripartizione (accademica)
Teoria della decisione comportamento razionale individuale
Teoria della scelta sociale meccanismi razionali diaggregazione
Teoria dei giochi concetti risolutivi in situazioni strategiche(cooperative o di conflitto)
Tratto comuneModelli normativi del comportamento degli agenti: si cerca di capirecosa dovrebbero fare gli agenti per comportarsi in modo razionale
Hykel Hosni (SNS Pisa) Una prospettiva logica sull’interazione razionale12 giugno 2009 6 / 36
Tripartizione (accademica)
Teoria della decisione comportamento razionale individuale
Teoria della scelta sociale meccanismi razionali diaggregazione
Teoria dei giochi concetti risolutivi in situazioni strategiche(cooperative o di conflitto)
Tratto comuneModelli normativi del comportamento degli agenti: si cerca di capirecosa dovrebbero fare gli agenti per comportarsi in modo razionale
Hykel Hosni (SNS Pisa) Una prospettiva logica sull’interazione razionale12 giugno 2009 6 / 36
Tripartizione (accademica)
Teoria della decisione comportamento razionale individuale
Teoria della scelta sociale meccanismi razionali diaggregazione
Teoria dei giochi concetti risolutivi in situazioni strategiche(cooperative o di conflitto)
Tratto comuneModelli normativi del comportamento degli agenti: si cerca di capirecosa dovrebbero fare gli agenti per comportarsi in modo razionale
Hykel Hosni (SNS Pisa) Una prospettiva logica sull’interazione razionale12 giugno 2009 6 / 36
Agenti
Gerarchia
agente individuale
agenti collettivi (societa, gruppi eccetera)
individui che interagiscono in situazioni strategiche
Modularita
agenti collettivi intesi come individui
individui intesi come gruppi di agenti
FattoL’accuratezza predittiva dei modelli normativi di razionalita decrescequanto piu ci avviciniamo all’agente individuale
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Ipotesi di razionalita
gli agenti dispongono di informazioni sullo stato del mondo esono motivati dal raggiungimento di determinati scopi
gli agenti decidono sulla base del proprio stato di informazionee delle proprie motivazioni
L’ipotesiGli agenti razionali scelgono in modo da massimizzare il propriointeresse personale
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Ipotesi di razionalita
gli agenti dispongono di informazioni sullo stato del mondo esono motivati dal raggiungimento di determinati scopi
gli agenti decidono sulla base del proprio stato di informazionee delle proprie motivazioni
L’ipotesiGli agenti razionali scelgono in modo da massimizzare il propriointeresse personale
Hykel Hosni (SNS Pisa) Una prospettiva logica sull’interazione razionale12 giugno 2009 8 / 36
Ipotesi di razionalita
gli agenti dispongono di informazioni sullo stato del mondo esono motivati dal raggiungimento di determinati scopi
gli agenti decidono sulla base del proprio stato di informazionee delle proprie motivazioni
L’ipotesiGli agenti razionali scelgono in modo da massimizzare il propriointeresse personale
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Ipotesi di socialita
La teoria delle decisioni andrebbe applicata soprattutto allaricerca di un optimum per la collettivita, e solo poi, in viasubordinata, all’analoga ricerca a livello settoriale oregionale o addirittura aziendale o familiare o individuale
Sidovrebbe pensare, avanti a tutto, alla preservazione dellavita della biosfera, e quindi all’uomo col compito della suaregolazione, se sapra raccogliere il messaggio di rarichiaroveggenti come Peccei, Huxley, Salk [. . .] Soltanto inquesta prospettiva puo esserci speranza per il futuro. (deFinetti 1977)
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Ipotesi di socialita
La teoria delle decisioni andrebbe applicata soprattutto allaricerca di un optimum per la collettivita, e solo poi, in viasubordinata, all’analoga ricerca a livello settoriale oregionale o addirittura aziendale o familiare o individualeSidovrebbe pensare, avanti a tutto, alla preservazione dellavita della biosfera, e quindi all’uomo col compito della suaregolazione, se sapra raccogliere il messaggio di rarichiaroveggenti come Peccei, Huxley, Salk [. . .]
Soltanto inquesta prospettiva puo esserci speranza per il futuro. (deFinetti 1977)
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Ipotesi di socialita
La teoria delle decisioni andrebbe applicata soprattutto allaricerca di un optimum per la collettivita, e solo poi, in viasubordinata, all’analoga ricerca a livello settoriale oregionale o addirittura aziendale o familiare o individualeSidovrebbe pensare, avanti a tutto, alla preservazione dellavita della biosfera, e quindi all’uomo col compito della suaregolazione, se sapra raccogliere il messaggio di rarichiaroveggenti come Peccei, Huxley, Salk [. . .] Soltanto inquesta prospettiva puo esserci speranza per il futuro. (deFinetti 1977)
Hykel Hosni (SNS Pisa) Una prospettiva logica sull’interazione razionale12 giugno 2009 9 / 36
Logica e interazione razionale
1 Problemi di interazione razionale
2 La prospettiva
3 Decisione individuale
4 Scelta collettiva
5 L’orizzonte logico della razionalita
6 Letture
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Coerenza
Non si valutano convinzioni e preferenze (e intenzioni ecc.) sulla basedel loro contenuto, ma ne studiamo le condizioni di coerenza
My own view is that nothing is to be gained in the long runby inventing versions of rationality that allow theirproponents to label brands of ethics or metaphysics otherthan their own as irrational [. . .] I prefer to emulate thelogicians in seeking to take rationality out of the firing lineby only adopting uncontroversial rationality principles [. . .]There is a reward for following the straight and narrow pathof rectitude. By so doing, we will be able to avoid gettingentangled in numerous thorny paradoxes that lie in wait onevery side. (Binmore 2009)
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Incoerenza nelle convinzioni
Definiamo P(A) = p il prezzo che un agente i e disposto a pagareper giocare una scommessa che gli da un guadagno netto di
1− p se A e vero
−p se A e falso
Dutch BookSupponiamo che i scommetta .51 su A e .51 su ¬A. Qualunque cosasucceda incorrera in una perdita netta di .2 (paghera 1.02 perricevere 1).
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Incoerenza nelle convinzioni
Definiamo P(A) = p il prezzo che un agente i e disposto a pagareper giocare una scommessa che gli da un guadagno netto di
1− p se A e vero
−p se A e falso
Dutch BookSupponiamo che i scommetta .51 su A e .51 su ¬A. Qualunque cosasucceda incorrera in una perdita netta di .2 (paghera 1.02 perricevere 1).
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Incoerenza nelle preferenze sociali
Supponiamo che gli individui {1, 2, 3} abbiano i seguenti profili sullealternative sociali {f , d , v}
f ≺1 d ≺1 v (1)
d ≺2 v ≺2 f (2)
v ≺3 f ≺3 d (3)
Paradosso di CondorcetL’aggregazione a maggioranza semplice e incoerente:
f ≺ d , d ≺ v e v ≺ f
Hykel Hosni (SNS Pisa) Una prospettiva logica sull’interazione razionale12 giugno 2009 13 / 36
Logica e interazione razionale
1 Problemi di interazione razionale
2 La prospettiva
3 Decisione individuale
4 Scelta collettiva
5 L’orizzonte logico della razionalita
6 Letture
Hykel Hosni (SNS Pisa) Una prospettiva logica sull’interazione razionale12 giugno 2009 14 / 36
Problemi di decisione
Una situazione di decisione, e una n-upla 〈S, E, A, F,≤〉, dove:
S e un insieme non vuoto di stati del mondo s1, s2, . . . ;
E e l’insieme degli eventi E1, E2, . . . (sottoinsiemi non vuoti diS);
F e l’insieme degli esiti f , g , h, . . . ;
A e l’insieme delle scelte α1, α2, α3, . . . che associano uno statoa un esito:
A = {α | α : S −→ F} ;
≤ e una relazione di preferenza individuale sulle scelte (lettacome “non e preferito a”).
Hykel Hosni (SNS Pisa) Una prospettiva logica sull’interazione razionale12 giugno 2009 15 / 36
Come si misura l’interesse individuale?
Due caratterizzazioni operative:
si associa a ogni esito di un problema di decisione un valorenumerico: teoria matematica dell’utilita
si deduce la preferenza di un agente dal suo comportamentomanifesto: razionalizzazione della funzione di scelta
L’analisi economica della scelta razionale inizia conl’assiomatizzazione di von Neumann del concetto di preferenzarazionale (o coerente):
Se le preferenze di un agente sono coerenti (complete, transitive earchimedee) allora esiste una funzione a valori reali u (unica a menodi trasformazioni lineari) tale che un agente preferisce l’esito e ′ a e see solo se u(e) ≤ u(e ′).
Hykel Hosni (SNS Pisa) Una prospettiva logica sull’interazione razionale12 giugno 2009 16 / 36
Come si misura l’interesse individuale?
Due caratterizzazioni operative:
si associa a ogni esito di un problema di decisione un valorenumerico: teoria matematica dell’utilita
si deduce la preferenza di un agente dal suo comportamentomanifesto: razionalizzazione della funzione di scelta
L’analisi economica della scelta razionale inizia conl’assiomatizzazione di von Neumann del concetto di preferenzarazionale (o coerente):
Se le preferenze di un agente sono coerenti (complete, transitive earchimedee) allora esiste una funzione a valori reali u (unica a menodi trasformazioni lineari) tale che un agente preferisce l’esito e ′ a e see solo se u(e) ≤ u(e ′).
Hykel Hosni (SNS Pisa) Una prospettiva logica sull’interazione razionale12 giugno 2009 16 / 36
Tipi di decisione
Il tipo di informazione disponibile all’agente determina tre categoriedi problemi di decisione:
certezza: l’agente conosce (perfettamente!) tutti gli esiti delleproprie scelte
rischio: l’agente conosce la distribuzione di probabilita con cuisi danno gli esiti delle proprie scelte
incertezza: gli esiti delle scelte dell’agente sono completamentealeatori (nessuna informazione a priori sulle distribuzioni)
Hykel Hosni (SNS Pisa) Una prospettiva logica sull’interazione razionale12 giugno 2009 17 / 36
Decisioni in condizioni di incertezza
Leonard Savage
(20 November 1917 1 November 1971)
Hykel Hosni (SNS Pisa) Una prospettiva logica sull’interazione razionale12 giugno 2009 18 / 36
Teorema di rappresentazione (Savage 1954)
Convinzione e preferenze possono essere assiomatizzate in modo taleda garantire l’esistenza di una funzione di probabilita w definita suglieventi E e una funzione a valori reali u definita sugli esiti F tali chese
(i) Ei , i = 1, . . . , n e una partizione di S e α e una scelta con esitofi su Ei e
(ii) E ′i , i = 1, . . . , m e un’altra partizione di S e α′ e una scelta con
esito f ′i su E ′i ,
allora, α ≤ α′ se e solo se
n∑i=1
u(fi)w(Ei) ≤m∑
i=1
u(f ′i )w(E ′i ).
Inoltre la funzione u e unica a meno di trasformazioni lineari positive.
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Razionalita individuale
I postulati di Savage (“logic-like criteri[a] of consistency in decisionsituations”) determinano univocamente
una funzione di probabilita
una classe di equivalenza di funzioni di utilita
attraverso cui e possibile formalizzare regola di decisione razionalecome
Massimizzazione della speranza matematicaUn agente e razionale se le sue preferenze su esiti incerti sonoconsistenti (nel senso degli assiomi di Savage) e si comporta come semassimizzasse la propria utilita prevista.
Hykel Hosni (SNS Pisa) Una prospettiva logica sull’interazione razionale12 giugno 2009 20 / 36
Razionalita individuale
I postulati di Savage (“logic-like criteri[a] of consistency in decisionsituations”) determinano univocamente
una funzione di probabilita
una classe di equivalenza di funzioni di utilita
attraverso cui e possibile formalizzare regola di decisione razionalecome
Massimizzazione della speranza matematicaUn agente e razionale se le sue preferenze su esiti incerti sonoconsistenti (nel senso degli assiomi di Savage) e si comporta come semassimizzasse la propria utilita prevista.
Hykel Hosni (SNS Pisa) Una prospettiva logica sull’interazione razionale12 giugno 2009 20 / 36
Logica e interazione razionale
1 Problemi di interazione razionale
2 La prospettiva
3 Decisione individuale
4 Scelta collettiva
5 L’orizzonte logico della razionalita
6 Letture
Hykel Hosni (SNS Pisa) Una prospettiva logica sull’interazione razionale12 giugno 2009 21 / 36
Come si misura il bene collettivo?
Due interpretazioni1 modelli di aggregazione delle preferenze
I come possiamo aggregare preferenze individualmente razionalinella preferenza (razionale!) della collettivita? (Il vincolo,ovviamente, e che la preferenza collettiva dipenda da quelleindividuali)
2 modelli di funzioni di sceltaI quali sono i vincoli razionali che devono essere soddisfatti da
una qualsiasi funzione di scelta definita su alternative sociali?
Hykel Hosni (SNS Pisa) Una prospettiva logica sull’interazione razionale12 giugno 2009 22 / 36
Come si misura il bene collettivo?
Due interpretazioni1 modelli di aggregazione delle preferenze
I come possiamo aggregare preferenze individualmente razionalinella preferenza (razionale!) della collettivita? (Il vincolo,ovviamente, e che la preferenza collettiva dipenda da quelleindividuali)
2 modelli di funzioni di sceltaI quali sono i vincoli razionali che devono essere soddisfatti da
una qualsiasi funzione di scelta definita su alternative sociali?
Hykel Hosni (SNS Pisa) Una prospettiva logica sull’interazione razionale12 giugno 2009 22 / 36
Aggregazione
Kenneth Arrow
(New York City 1921 - )Premio nobel per l’economia 1972
Hykel Hosni (SNS Pisa) Una prospettiva logica sull’interazione razionale12 giugno 2009 23 / 36
Assunzioni
gli individui hanno un profilo di preferenze consistente (completoe transitivo)
tipicamente individui distinti hanno profili di preferenza distinti
ProblemaDefinire funzione di bene sociale che mappi i profili individuali in unprofilo interpretato come la preferenza della collettivita
IdeaL’enfasi e sulla caratterizzazione condizionale della scelta razionale:posto che gli individui siano razionali, quale meccanismo diaggregazione delle preferenze produce un esito razionale nel senso dirispondere a criteri di giustizia, democrazia e uguaglianza?
Hykel Hosni (SNS Pisa) Una prospettiva logica sull’interazione razionale12 giugno 2009 24 / 36
Assunzioni
gli individui hanno un profilo di preferenze consistente (completoe transitivo)
tipicamente individui distinti hanno profili di preferenza distinti
ProblemaDefinire funzione di bene sociale che mappi i profili individuali in unprofilo interpretato come la preferenza della collettivita
IdeaL’enfasi e sulla caratterizzazione condizionale della scelta razionale:posto che gli individui siano razionali, quale meccanismo diaggregazione delle preferenze produce un esito razionale nel senso dirispondere a criteri di giustizia, democrazia e uguaglianza?
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Scelta sociale binaria
Desiderata per i metodi di aggregazione delle preferenze di unnumero finito di agenti per un’agenda binaria:
Monotonia
Anonimicita
Neutralita
Theorem (May 1952)
Se Y e un’agenda binaria e il numero di votanti N e disapri, l’unicomeccanismo di aggregazione che soddisfa monotonia, anonimicita eneutralia e il voto a maggioranza semplice.
Hykel Hosni (SNS Pisa) Una prospettiva logica sull’interazione razionale12 giugno 2009 25 / 36
Scelta sociale binaria
Desiderata per i metodi di aggregazione delle preferenze di unnumero finito di agenti per un’agenda binaria:
Monotonia
Anonimicita
Neutralita
Theorem (May 1952)
Se Y e un’agenda binaria e il numero di votanti N e disapri, l’unicomeccanismo di aggregazione che soddisfa monotonia, anonimicita eneutralia e il voto a maggioranza semplice.
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Scelta arroviana (non binaria)
Desiderata:
Dominio universale (U)I nessuna preferenza e esclusa a priori
Optimum Paretiano (P)I se x ≺i y ∀i ∈ N allora x ≺ y
Indipendenza dalle alternative irrilevantiI Dati due profili individuali, se questi coincidono su ogni coppia
di alternative (x , y) ∈ X , allora la preferenza collettiva tra x e ydeve essere la stessa
DittatorialitaI ∃i ∈ N tale che se x ≺i y allora x ≺ y
Hykel Hosni (SNS Pisa) Una prospettiva logica sull’interazione razionale12 giugno 2009 26 / 36
Teorema di impossibilita
Arrow 1951Dato un numero finito di individui e almeno tre alternative sociali(distinte), se una funzione di preferenza collettiva soddisfa U, P e I,allora e dittatoriale.
Un risultato strettamente correlato e:
Gibbard-Satterthwaite 1974Per un numero finito di individui e almeno tre alternative sociali, seun meccanismo di aggregazione e a prova di voto strategico allora edittatoriale.
Hykel Hosni (SNS Pisa) Una prospettiva logica sull’interazione razionale12 giugno 2009 27 / 36
Teorema di impossibilita
Arrow 1951Dato un numero finito di individui e almeno tre alternative sociali(distinte), se una funzione di preferenza collettiva soddisfa U, P e I,allora e dittatoriale.
Un risultato strettamente correlato e:
Gibbard-Satterthwaite 1974Per un numero finito di individui e almeno tre alternative sociali, seun meccanismo di aggregazione e a prova di voto strategico allora edittatoriale.
Hykel Hosni (SNS Pisa) Una prospettiva logica sull’interazione razionale12 giugno 2009 27 / 36
Funzioni di scelta sociale
Amartya Sen
(Santiniketan 1933 - )Premio Nobel per l’economia 1998
Hykel Hosni (SNS Pisa) Una prospettiva logica sull’interazione razionale12 giugno 2009 28 / 36
Idea
Non e necessario assumere un ordinamento “razionale” (transitivo ecompleto) delle preferenze per formulare il problema della sceltasociale.
ExampleSupponiamo che K = {x , y , z} sia un insieme di alternative sociali ex � y , y � z , z ≈ x . L’insieme degli massimi R(K ) di K e semprenon vuoto
R({x , y}) = {x}R({y , z}) = {z}R({z , x}) = {z , x}R({x , y , z}) = {x}
ma l’ordinamento non e transitivo.
Hykel Hosni (SNS Pisa) Una prospettiva logica sull’interazione razionale12 giugno 2009 29 / 36
Funzioni di scelta sociale
Gli ingredienti del modello sono:
X un sottoinsieme di un dato insieme universale U
una funzione di scelta R tale che ∅ 6= R(X ) ⊆ X
R(X ) ( detto l’insieme scelto) contiene quegli elementi di X chel’agente ha ragione di preferire a ogni altro elemento di X .
Una funzione di scelta R e razionalizzabile da una relazione di(pre-)ordine ≺ se l’insieme scelto R(X ) seleziona gli elementi≺-massimali di X :
R(X ) = max�
(X ) = {x ∈ X | 6 ∃y ∈ X , y ≺ x}
Lemma (Esistenza dell’insieme scelto)
Se � e riflessivo e completo allora R(X ,�) e definito per un X finitose e solo se � non contiene cicli.
Hykel Hosni (SNS Pisa) Una prospettiva logica sull’interazione razionale12 giugno 2009 30 / 36
Consistenza delle funzioni di scelta
Possiamo caratterizzare la razionalita delle funzioni di scelta socialeanalizzando le proprieta desiderabili per la funzione R :
Contrazione - Proprieta α
se X1 ⊆ X2, allora X1 ∩ R(X2) ⊆ R(X1)
Espansione - Proprieta γ
R(X1) ∩ R(X2) ⊆ R(X1 ∪ X2)
Sen 1971,1979Una funzione di scelta R e razionalizzabile da un preordine se e solose R soddisfa α and γ
Hykel Hosni (SNS Pisa) Una prospettiva logica sull’interazione razionale12 giugno 2009 31 / 36
Consistenza delle funzioni di scelta
Possiamo caratterizzare la razionalita delle funzioni di scelta socialeanalizzando le proprieta desiderabili per la funzione R :
Contrazione - Proprieta α
se X1 ⊆ X2, allora X1 ∩ R(X2) ⊆ R(X1)
Espansione - Proprieta γ
R(X1) ∩ R(X2) ⊆ R(X1 ∪ X2)
Sen 1971,1979Una funzione di scelta R e razionalizzabile da un preordine se e solose R soddisfa α and γ
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Consistenza delle funzioni di scelta
Possiamo caratterizzare la razionalita delle funzioni di scelta socialeanalizzando le proprieta desiderabili per la funzione R :
Contrazione - Proprieta α
se X1 ⊆ X2, allora X1 ∩ R(X2) ⊆ R(X1)
Espansione - Proprieta γ
R(X1) ∩ R(X2) ⊆ R(X1 ∪ X2)
Sen 1971,1979Una funzione di scelta R e razionalizzabile da un preordine se e solose R soddisfa α and γ
Hykel Hosni (SNS Pisa) Una prospettiva logica sull’interazione razionale12 giugno 2009 31 / 36
Logica e interazione razionale
1 Problemi di interazione razionale
2 La prospettiva
3 Decisione individuale
4 Scelta collettiva
5 L’orizzonte logico della razionalita
6 Letture
Hykel Hosni (SNS Pisa) Una prospettiva logica sull’interazione razionale12 giugno 2009 32 / 36
Razionalita e logica
1 Correlazione intrinsecaI coerenza/consistenza
2 Correlazione indirettaI formalizzazione logica dei concetti chiave dell’interazione
razionaleF es: formalizzazioni modali dei giochi
I tecniche e strumenti per la logica basate sui giochiF es: gioco di Ehrenfeucht - Fraısse
Hykel Hosni (SNS Pisa) Una prospettiva logica sull’interazione razionale12 giugno 2009 33 / 36
Razionalita e logica
1 Correlazione intrinsecaI coerenza/consistenza
2 Correlazione indirettaI formalizzazione logica dei concetti chiave dell’interazione
razionaleF es: formalizzazioni modali dei giochi
I tecniche e strumenti per la logica basate sui giochiF es: gioco di Ehrenfeucht - Fraısse
Hykel Hosni (SNS Pisa) Una prospettiva logica sull’interazione razionale12 giugno 2009 33 / 36
Razionalita e inferenza
Rationality [...] is a process of logical inference [...]. Itproceeds from knowledge of a problem to knowledge of ananswer to it (in the sense of a method of handling it). Itraises questions such as what is meant by “knowing”something and in what sense can we infer or otherwiseproceed form knowing some propositions to knowing others.(Arrow 2004)
Hykel Hosni (SNS Pisa) Una prospettiva logica sull’interazione razionale12 giugno 2009 34 / 36
Logica e interazione razionale
1 Problemi di interazione razionale
2 La prospettiva
3 Decisione individuale
4 Scelta collettiva
5 L’orizzonte logico della razionalita
6 Letture
Hykel Hosni (SNS Pisa) Una prospettiva logica sull’interazione razionale12 giugno 2009 35 / 36
Savage, Leonard, The Foundations of Statistics. New York:Wiley 1954.
de Finetti, Bruno Decisione, Enciclopedia Einaudi (1977).
Binmore, Ken, Rational Decisions, Princeton University Press,Princeton (2009).
Arrow, Kenneth J., Social Choice and Individual Values. Wiley,New York. 2nd ed. (1963)
Sen, Amartya, Collective Choice and Social Welfare, Holden-Day,(1970)
Gaertner, Wulf, A Primer in Social Choice Theory, OxfordUniversity Press, (2006)
Aumann, R. J., and S.Hart, eds. Handbook of Game Theorywith Economic Applications. North-Holland, (1992 - 2002.)
Hykel Hosni (SNS Pisa) Una prospettiva logica sull’interazione razionale12 giugno 2009 36 / 36