UNIDAD 17: SUCESIONES Y PROGRESIONES lgebra Nova

Prof. Juan Carlos Ramos Leyva - 1 -

Captulo. 17.1. Sucesiones

01. 1 1 1 1; ; ; ; ...1! 2! 3! 4!

n1tn!

=

CLAVE : A

02.

CLAVE : D

03. nn! n(n 1)!

a n(n 1)! (n 1)!

= = =

20a 20=

CLAVE : B

04. 1

1 2

2

2L 21 L L 20L 01

= =

+ =

= =

CLAVE : B

05. 63 4 5 6 7 8P 4 5 6 7 8 9

=

63 1P9 3

= =

CLAVE : C

06.

0; 3; 8; 15; 24; 35; ..

21 1

22 1

23 1

24 1

2nt n 1=

CLAVE : D

07. {a5 + b5} = (5; 9 + 25) = (5; 34)

{b3 - a3}=(3; 9 5)=(3; 4) 34+4=38

CLAVE : D

08. La sucesin acotada es n n 1n 3

+

CLAVE : A

09. Segn la teora I) V II) V III) V

CLAVE : C

10. 2108 2n n 3

8 n 1+ +

=

+

227 2n n 32 n 1

+ +=

+

27n + 27 = 4n2 + 2n + 6

2 34n 25n 21 0 n 7 n4

= = =

n = p = 7

CLAVE : C

11. La sucesin que no es acotada es n3

n 1n

CLAVE : E

12. 3

3n2n 7 2Lm

55n +

=

CLAVE : A

13. n 4n 4

a a 0,8n 1 5

= = =+

CLAVE : D

14. 5S 2 2 2 2 2 2= + + =

CLAVE : A

15. 1 1 1 1; ; ; ; ...2 4 6 8

2 13 2

6 14 35 46 5

=

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n1t

2n=

CLAVE : D

16. n 1 n 1

n nn

5 3L Lm5 3

+ +

+=

+

n 1

nn

311 05L Lm 511 1 3 055 5 5

+

+ +

= = =

+ +

CLAVE : C

17. 2n 1 10000004+

>

2n 3999999>

n > 1 999,9 n 2000

CLAVE : B

18. Correccin de clave:

D)FVV

En cada caso I) F II) 2a 1= 3a 2 1= +

3a 3= (V) III) V FVV

CLAVE : D

19. En cada caso: I) V II) V III) F CLAVE : E

20. n

k 1

1 1 13 k 1 k 4

=

= + +

n

k 1

1 1 1 1 1 1 13 k 1 k 2 k 2 k 3 k 3 k 4

=

+ + + + + + + +

n1 1 1 1 1 1 1

a3 2 n 2 3 n 3 4 n 4

= + + + + +

nn

1 1 1 1 13n : Lm(a )

3 2 3 4 36

= + + =

CLAVE : B

Captulo. 17.2 Progresiones aritmticas 01. 4 2 x Observa que: r = 2

31 1a a 30r ( 4) 60= + = + 31a 56=

CLAVE : B

02. 2 2x 3x 10x

Razn = 2

2 2

5x 10x x 2

2x 10x 3x= =

=

Razn = 8

CLAVE : D

03. 2 2m 34

Razn = 4m 12

m 3

2m 5 7 2m=

=

=

CLAVE : A

04. Razn = 8 x = 4x 12 20 = 5x 4 = x

5 9 13

10 1a a 9r 5 36 41= + = + =

105 41S (10)

2+

=

10S 46 5=

10S 230=

CLAVE : C

05. 1 2 3a a a

Se cumple: 1 32a a

a2+

=

2 1 32a a a= +

Condicin:

1 3 2

2 2

2

2

a a a 48

2a a 483a 48a 16

+ + =

+ =

=

=

CLAVE : D

06. Sean los nmeros: n1; n; n+1 3n 3 7n 10n+10

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Razn: n 7

4n 3 3n 10=

+ = +

Razn = 31

CLAVE : D

07. 4 1 1r r25 5 25

= =

20 1a a 19r= +

20 201 19 14

a a5 25 25

= =

CLAVE : C

08. a2 = 7 r = 4

n 1a a (n 1)r= +

1n

2a (n 1)rS n2

+ =

2(3) (n 1)(4) (n) 8202

+ =

n = 20

CLAVE : B

09. a r a a + r

* a r + a + a + r = 42 3a = 42 a = 14

14 r 14 14 + r

* (14 r) (14) (14 + r) = 2688 196 r2 = 192

r2 = 4 r 2=

Rpta: 16

CLAVE : D

10. (a 2) a (a + 2) (a 2) (a) (a + 2) = a3 + 12 a

3 4a = a3 + 12

a = 3 Rpta: 5

CLAVE : D

11. a r a a + r

a r 2 a 3 a r 810 25 50

+ + + += =

P.P.P.: 2a 10 a 360 25+ +

=

a 5 a 36 5+ +

=

5a + 25 = 6a + 18 7 = a

* 10 15 r25 50

+=

20 = 15 + r 5 = r Los nmeros son: 2; 7 y 12

CLAVE : E

12. n5 (4n 1)S (n)

2+ +

=

S = 2n2 + 3n

CLAVE : C

13. 64 74 84, ., 2974

an = a1 + (n 1)r 2974 = 64 + (n 1) 10 2910 = (n 1) 10 291 = n 1

n = 292

CLAVE : B

14. 4 1 4 99 1

a a 3ra a 5r

a a 8r= +

= = +

9 + 6 = 5r

15 = 5r 3 = r

CLAVE : B

15. 17; 21; 25; 29;

121t 17 120(4) 17 480= + = + 121t 497=

CLAVE : C

16. 25 13S a 25=

25S 3025 750= =

CLAVE : C

17. Correccin del enunciado: El producto del primer y quinto trmino de una progresin aritmtica creciente de cinco trminos es igual al cuadrado del trmino central disminuido en 4. Encontrar la razn.

(a1)(a1 + 4r)=(a1 + 2r)2 4

2 2 21 1 1 1a 4a r a 4a r 4r 4+ = + +

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21 r r 1 r 1= = =

r = 1

CLAVE : D

18. n 1 2 3 nS a a a .... a= + + + +

1 12

2 1 2

S a 5a 12

S a a 17= =

== + =

Razn = 2 1a a 12 5 =

Razn = 7

CLAVE : C

19. 1 3............. 2 4

3 1 1(n 1)4 2 64

= +

1 n 14 64

= 16 = n 1

17 = n Rpta: 15

CLAVE : C

20. a ,.. a30

a1 + a2 + a3 + . + a30 = 2400

* a30 = a1 + 29r

1 30a a (30) 24002

+ =

1 1a a 29r 160+ + =

12a 29r 160+ = (1) * 40 1a a 39r= +

1 40a a (40) 36002

+ =

1 1a a 39r 180+ + =

2a1 + 39r = 180 (2) (2) (1) : 10r = 20 r = 2 En (1): 2a1 + 58 = 160 a1 + 29 = 80 1a 51=

CLAVE : C

21. 4x 3y (x + y) = 3x + 5y (4x 3y) 3x 4y = 8y x

4x = 12y x = 3y

CLAVE : A

22. 107 = 23 + 7r 84 = 7r 12 = r

CLAVE : B

23. 1 1 22 1 2

S a 4a 11

S a a 15= =

== + =

Razn: 2 1a a 7 =

Final: 21 1a a 20r= +

21 21a 4 140 a 144= + =

CLAVE : B

24. 3 1 1 1a 4a a 2r 4a= + =

2r = 3a1

6 1a 17 a 5r 17= + =

13a 15r 51+ =

2r + 15r = 51 17r = 51

r = 3 1a 2=

18

2a 7rS (8)2+

=

84 21S 8 100

2+

= =

CLAVE : E

25. 2 2 2 2b (a c) a (b c) c (a b) b (a c)+ + = + +

2 2 2 2 2 2 2 2ab b c a b a c ac bc ab b c+ = +

ab(b a) c(b a)(b a) bc(c b) a(c b)(c b) + + = + +

(b a)(ab ac bc) (c b)(bc ac ab) + + = + +

b a = c b 2b = a + c

a c 2

b+

= CLAVE : B

26. 2nS 3n n= +

1a 4=

1 nn

a aS (n)2+

=

2 na 43n n (n)2+

+ =

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na 43n 12+

+ =

6n + 2 = an + 4

6n 2 = an

Final: x = 3n2 + n 4 6n + 2

x = 3n25n 2

CLAVE : C

Captulo 17.3. Progresiones geomtricas

01. x 2 2x 1x x 2+ +

=

+

2 2 2x 4x 4 2x x x 3x 4 0+ + = + =

CLAVE : C

02. S = 0,2 + 0,04 + 0,008 +

0,2 0,2 2 1S1 0,2 0,8 8 4

= = = =

CLAVE : B

03. x 1 x 3x x 1+ +

=

+

2 2x 2x 1 x 3x+ + = +

1 = x

1 : 2 : 4 : 8

CLAVE : A

04. x x 2x 4 x

+=

2 2x x 2x 8=

2x = 8 x = 4 42z

2 + 4 = z 2 z = 8

3y 9y 6y 1 3y

=

+

2 29y 9y 3y 6= +

6 = 3y 2 = y

CLAVE : D

05. 2 21 1 1 1t t q t q 28 t (q q 1) 28+ + = + + =

* 1 3t 4t= 2

1 1t 4t q=

21 1q q4 2

= =

* 11 1t 1 284 2

+ + =

11 2 4t 28

4+ +

=

1t 16=

CLAVE : B

06. Correccin del enunciado: Interpolar cinco medios geomtricos entre 3 y 192 indicando como respuesta la razn de la interpolacin.

3: .: 192

6 6192 3q 64 q= = 2 = q

CLAVE : C

07. n

n 1q 1S t1 1

=

7

72 1S 3 3(127)2 1

= =

7S 381=

Ahora: 7S S 3 192=

S = 381 195 S = 186

CLAVE : A

06. Correccin de clave:

D)3/ 2

Razn = 90 x 60 x110 x 90 x

=

P.P.P: 30 60 x20 90 x

=

3 Razn2

=

CLAVE : D

09. 1 2 3t : t : t

* 2

1 3 2t t t=

Condicin: 1 3 2t t t 64=

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22 2t t 64=

32 2t 64 t 4= =

CLAVE : B

10. Correccin de enunciado: La suma de los infinitos trminos de la sucesin:

1 1 1, , ,... , es:3 12 48

Suma lmite

1 13 3S 1 31

4 4

= =

4S9

=

CLAVE : B

11. 5

11

t q 12t1 q q 1

=

5 51 1q 1 q2 2

= =

5 1 q2

=

CLAVE : E

12. 2 31 1 1 1t : t q : t q : t q

1 1 1 22 3

1 11

* t t q 1 t (1 q) 1Divido : q 16

*t q t q 16 1q 4 t5

+ = + = =

+ = = =

CLAVE : B

13. 10

10 1q 1S tq 1

=

1010

2 1S 3 3(1023)2 1

= =

10S 3069=

CLAVE : D

14. * 3 6t t 26 =

23

56

t q27 27t q

= =

1q3

=

* 2 5

1 1t q t q 26 =

( )2 31t q 1 q 26 = 1

1 26t 269 27

=

1t 243=

CLAVE : C

15. 8 : ....... : 5832

65832 8q 3 q= =

Final: 4

5 1t t q= 45t 83 881= = 5t 648=

CLAVE : B

16. 1 1 1t : 4t : 16t

* 1 1 14(t 4t ) 16t 28+ = + 1 120t 16t 28= +

1t 7=

N mayor = 16.7 = 112

CLAVE : E

17.

a : b : c : d

aq2aq

3aq

2 2 2E (a c) (b c) (b d)= + + 2 2 2E a 2ac c b 2bc= + + +

2 2 2c b 2bd d+ + +

2 2 2 2 4 2 2 2 3E a 2a q a q a q 2a q= + + +

2 4 2 2 2 4 2 6a q a q 2a q a q+ + +

2 3 2 6 3 2 2E a 2(a)(aq ) a q (a aq ) 8 64= + = = =CLAVE : A

18. a ra a r +

a r + 2 : a + 1 : a + r + 5 Condicin:

a r + 2 + a + 1 + a + r + 5 = 35

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3a + 8 = 35 3a = 27 a = 9

11 r : 10 : 14 r +

Se cumple: 10 14 r11 r 10

+=

100 = 154 3r r2

r2 + 3r 54 = 0

(r 6) (r + 9) = 0 Como P.A. es decreciente: r = 9 20 : 10 : 5

Rpta: 12

y 1000

CLAVE : A

19. Por diagrama de rbol, el nmero de comunicaciones en 60 minutos es 6.

1 + 2 + 4 + 8 + . = 27 1 = 127

En forma similar para Ericka:

1 + 3 + 9 + 27 + .. = 37 1 = 1093

CLAVE : C

20. 7 1

2 7 3 1 82801 3 3 ... 3 32803 1 2

+

+ + + + = = =

(lo perdido) En la ctava apuesta: 83 6561= Neto= 6561 3280 = 3281

Se retira con 10000+3281=13281

CLAVE : E

21. 3k 2 5k 6 Razn qk 2 3k 2

+ += = =

+ +

2 29k 12k 4 5k 16k 12+ + = + +

24k 4k 8 0 =

2k k 2 0 =

(k 2)(k 1) 0 k 2 k 1 + = = =

Como PG es creciente k=2, luego: q = 2 m : 4 : 8 : 16 : n Observa que: m = 2 n = 32 m + n + k = 36

CLAVE : B

22. 5

6 19 4

10 1

t 4 t q 1Divido : 161t t q q4

= =

=

= =

71

1q t 22

=

10 5 2 9 510 1 10 1 10 1P (t t ) (t t ) (t q )= = =

14 9 5 5 5 2510P (2 2 ) (2 ) 2= = =

CLAVE : C

23. 3 51 1 1t q t q t q 546+ + =

2 41t q(1 q q ) 546 + + =

2 41 1 1t t q t q 182+ + =

2 41t (1 q q ) 182 + + =

Al dividir: 546q182

=

q = 3

CLAVE : B

24. * 6

1q 1t 364q 1

=

* 3 2

1 1 1t q t q 6t q =

2q q 6 0 =

(q 3)(q 2) 0 + = Si: q = 3 t1 = 1

Si: q = 2 152t3

=

CLAVE : A

25. Correccin de enunciado: () Determine el nmero de ellos, sabiendo que el ltimo trmino es 1023 veces mayor que el primero.

Correccin de clave

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A)4 B)8 C)6 D)10 E)12

1 2 3 2nt : t : t : ..... : t

2 2n 11 1 1 1t : t : q : t q : ....... : t q

*

2n2 4 2n 2

1 1 1 1 1q 1t 5(t t q t q ... t q )q 1

= + + + +

2n 2 n

2q 1 (q ) 15 q 1 5q 1 q 1 q 4

= + = =

* 2n 1 1t 1023 t t= +

2n 11 1t q 1024t =

2n 1 10 54 2 4 2n 1 52n 6

= = =

=

CLAVE : C