une approche dynamique pour l’optimisation des trajectoires de n véhicules à guidage automatique

Afr. Mat. (2013) 24:169–178DOI 10.1007/s13370-011-0047-5

Une Approche Dynamique pour l’Optimisation desTrajectoires de n Véhicules à Guidage Automatique

Salimata Guèye Diagne · André Langevin ·Youssou Gningue

Received: 24 November 2010 / Accepted: 20 August 2011 / Published online: 20 October 2011© African Mathematical Union and Springer-Verlag 2011

Abstract We propose an analytic method based on dynamic programming for determiningoptimal trajectories in a rather delicate problem of transport: by Automated Guided Vehicles(AGV). These are driverless electric vehicles used in many fields including industry. Langevinet al. (Int J Flex Manuf Syst 8(3):247–262, 1996) showed how to determine the optimalsolution in the case of two vehicles. Our method generalizes them with some modificationsto not generate an exorbitant number of states. For a given state and a mission we offer asingle successor instead of n and we prove that the states, in considerable number, that weexclude are not in the optimal trajectory.

Résumé Nous proposons une méthode analytique basée sur la programmation dynamiquepour la détermination des trajectoires optimales dans un problème de transport relativementcomplexe : celui par AGV(Automated Guided Vehicles ou Véhicules à Guidage Automa-tique). Ce sont des véhicules électriques sans conducteur ou robots utilisés dans plusieursdomaines et particulièrement dans l’industrie. Langevin et al. (Int J Flex Manuf Syst 8(3):247–262, 1996) ont montré comment on détermine la solution optimale dans le cas de deuxvéhicules. Notre méthode généralise la leur avec certaines modifications pour ne pas générerun nombre exorbitant d’états. Pour un état et une mission donnés nous proposons un seul suc-cesseur au lieu de n et démontrons que les états, en nombre considérable, que nous écartonsn’appartiennent pas à la trajectoire optimale.

Keywords Dynamic programming · AGV · Automated guided vehicles · Analyticsolution · Scheduling · Dispatching · Conflict free routing

S. G. Diagne (B)Université C.A.D de Dakar, Dakar, Senegale-mail: [email protected]

A. LangevinEcole Polytechnique de Montréal, Montreal, Canada

Y. GningueUniversité Laurentienne Sudbury, Sudbury, Canada

123

170 S. G. Diagne et al.

Mots clés Programmation dynamique · AGV · Solution analytique · Ordonnancement ·Répartition · Routage sans conflit

Mathematics Subject Classification (2000) 90C25

1 Introduction

L’intérêt porté sur les AGV a été à l’origine de nombreux articles traitant différents prob-lèmes concernant l’implantation de leur système et leur utilisation. Des auteurs ont dresséun état de l’art et les perspectives sur leur design et leur contrôle: Vis [13], Le Anh et DeKoster [11], Laumond [10], Ganesharajah et al. [7], Co and Tanchoco [2]. Pour résoudreles problèmes de routage de façon non conflictuelle, les modèles analytiques sont rares[5,12]. Certains auteurs [1,4,6,8,14] proposent un contrôle du trafic en temps réel, desstratégies et règles de répartition pour éviter les collisions et les obstacles, ou agissentsur la configuration du réseau. Ce qui peut faire surgir d’autres problèmes. Ici nous sug-gérons une méthode analytique basée sur une approche dynamique. Langevin et al. [9]montrent comment on atteint l’optimum dans le cas de deux véhicules. Pour un état etune mission donnés, ils génèrent deux états successeurs immédiats en affectant la mis-sion à chacun des deux véhicules. Nous présentons une méthode qui généralise la leuravec certaines modifications. En fait pour un nombre n quelconque de véhicules, si ongénéralisait simplement leur méthode, on aurait, pour un état et une mission donnés, n étatssuccesseurs immédiats et le nombre des états à considérer en programmation dynamiquerisquerait d’exploser. Alors nous avons généralisé mais en proposant une méthode quiproduit, pour un état et une mission donnés, un seul successeur immédiat au lieu den. Après avoir posé le problème de transport à optimiser et décrit la méthode de réso-lution basée sur une approche dynamique, nous faisons suivre des résultats qui, d’unepart justifient l’algorithme que nous présentons et d’autre part, démontrent que dans cettegénéralisation de la méthode de Langevin et al. à n AGV, les modifications et réduc-tions importantes que nous faisons, consistent en la suppression d’états ne conduisantpas à l’optimum.

2 Position du problème

On suppose connu, sur un horizon donné, l’ensemble T des requêtes de transport que les nvéhicules doivent effectuer, compte tenu du plan de production de l’atelier flexible. Ce dernierest représenté par un réseau de stations et plots reliés par des arcs correspondant aux segmentsoù les véhicules se déplacent.

On procède à la répartition des missions de transport et à la planification des trajectoiresdes véhicules de façon non conflictuelle avec comme objectif principal: minimiser le tempsde fin des transports des n véhicules.

On définit des plans de transport de la façon suivanteUn plan de transport partiel correspond à un routage et un horaire associés à une répartition

d’un sous-ensemble de missions aux différents véhicules. Un plan de transport se construitde façon itérative en ajoutant, une à une, chacune des requêtes à effectuer, à un plan existantdéjà pour en arriver à des plans complets qui satisfont toutes les requêtes.

Tout ajout de requête à un plan partiel donne naissance à un nouveau plan de transport.L’ajout d’une mission à un plan suppose deux déplacements :

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Une Approche Dynamique pour l’Optimisation 171

• un qui amène le véhicule choisi de sa position courante à l’origine de la tâche• et un autre déplacement de la source à la destination de la requête.

Pour une mission donnée, le véhicule choisi est celui qui pourra accomplir la mission leplus rapidement et sans conflit. On parlera d’affectation au ” meilleur ” véhicule dans unsens que l’on indiquera plus loin. Pour régler le problème de conflit on utilise l’algorithme deplus court chemin avec fenêtre de temps (cf. Desrochers et Soumis [3]). Le dernier itinéraireprolongé par la nouvelle requête étant le seul susceptible d’être changé, les autres itinérairespréexistants restent fixés. Les fenêtres de temps sur les nœuds et les arcs du réseau sontdéterminées par les intervalles d’occupation des routes fixées.

Pour résoudre le problème, on utilise une approche dynamique.

3 Méthode de solution: approche dynamique

Un état correspond à un plan de transport partiel. Il est défini par :

E = {�1, M1, t1, d1, �2, M2, t2, d2 . . . �n, Mn, tn, dn, Z} (1)

où�i est l’ensemble des missions accomplies par le véhicule i,

V l’ensemble des véhicules 1, 2, 3, . . . , nMi est l’horaire associé au véhicule iti est le temps de fin des transports du véhicule idi est la position finale du véhicule iZ est la valeur de la fonction objectif

Z(E) = max{t1, t2, t3, . . . , tn} = maxi

{ti } (2)

on notera t El , d E

l et Z(E) pour indiquer l’état E associé et ti , di , Z , s’il n’y a aucune craintede confusion.

�E = �1 ∪ �2 ∪ . . . ∪ �n = ∪i=1,...,n�i

�E

est l’ensemble des missions non encore satisfaites par �E . Si T est l’ensemble des

requêtes, �E = CT �E .

Les missions dans �E

sont ordonnées selon leur temps de début.Une mission k est définie par :

• son origine Ok,

• sa destination Dk,

• son temps de collecte αk

• son temps de livraison βk .

On part d’un état initial E0 où les véhicules n’accomplissent aucune tâche

E0 = {�01, M0

1 , t01 , d0

1 . . . �0n, M0

n , t0n , d0

n , Z0} (3)

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�0i est l’ensemble vide

d0i est le point de départ du véhicule i, son dépôt éventuellement

t0i = M0

i = 0 et Z0 = Z(E0) = 0Ensuite, on construit successivement des successeurs, par ajout d’une mission par suc-

cesseur, pour en arriver à un ensemble d’états finaux E f tels que �f1 ∪ �

f2 ∪ �

f3 ∪· · · ∪ �

fn

corresponde à l’ensemble T des requêtes de l’horizon.L’ensemble des états générés constitue un arbre d’énumération. Parmi les états dont les

successeurs n’ont pas été générés (liste active) on choisit l’état E qui minimise la valeur dela fonction objectif, et on génère son successeur E . E est enlevé de la liste active et E estplacé dans la liste active ou bien dans une liste finale s’il est un état final.

Tous les états possibles transitent implicitement par la liste active. Cette dernière finirapar se vider. En effet pour chaque état de cette liste active, il y a trois issues possibles :

• soit il est supprimé car il existe un état avec les mêmes missions accomplies ou plus etune fonction objective de valeur inférieure ou égale

• soit il est enlevé et remplacé par son successeur immédiat qui le prolonge.• soit il est enlevé et le successeur immédiat qui le prolonge correspond à un plan de

transport complet et est alors placé dans la liste finale.

L’état optimal ne se trouve ni dans les états supprimés, ni dans la liste active qui est soitvide, soit ne contient que des états incomplets. Il se trouve dans la liste finale et l’état finalayant la fonction objectif de plus petite valeur correspond à la solution optimale de notreproblème.

Langevin et al. ont résolu le problème pour deux véhicules. Pour chaque état donné etpour chaque mission donnée ils génèrent deux successeurs en affectant la mission à chacundes deux véhicules.

Puisqu’ici nous travaillons avec n véhicules, si on généralise simplement l’algorithme deLangevin et al., le nombre des états à considérer risque d’exploser.

Nous allons donc faire certaines propositions de modifications et de réductions des états.

D’abord pour un état E donné et une mission k donnée appartenant à �E, au lieu de générer

n successeurs immédiats de E en affectant la mission k à chacun des n véhicules, nousproposons de produire un seul successeur immédiat.

Ensuite pour un état donné E, nous n’allons pas toujours générer l’ensemble des suc-

cesseurs associés à toutes les missions k de �E

.Avec ces modifications et réductions l’optimum de Langevin et al. n’est pas perdu puisque,

la généralisation considère tous les états possibles; et pour l’ensemble des états que noussupprimons, nous avons établi que ce sont des états dominés (Définition p. 8, Propositions 4.1,5.1, 5.3 ; Corollaire 5.2 et Conséquences 1 et 2).

4 Premières réductions du nombre des états

Définition On dira qu’un état E1 est préférable à un état E2 ou que E1 domine E2 et onnote E1 � E2 si

�E2 ⊂ �E1et Z(E1) ≤ Z(E2) (4)

Si l’inclusion ou l’inégalité est stricte, on dira que E1 est strictement préférable à E2 eton note E1 � E2.

Soit E un état donné et k une mission de �E

.

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Si E ′ désigne le successeur immédiat de E issu de l’affectation de la mission k au véhiculel, on écrira E ′ = S(E, k, l) et E ′ = S(E, k) si on ne s’intéresse pas au véhicule ayant effectuéla mission.

Pour tout véhicule l, on désigne par �l(A, B) le plus court chemin pour le véhicule l pouraller de A à B sans conflit et on pose:

θ El,k = t E

l + 1

v[�l(d

El , Ok) + �l(Ok, Dk)] (5)

où Ok et Dk sont respectivement l’origine et la destination de la mission k et v la vitesse duvéhicule.

Pour E et k fixés désignons par V l’ensemble des véhicules l tels que θ El,k soit inférieur à

la date de livraison de la mission k.

Remarque �l(Ok, Dk) n’est pas une constante. Elle dépend de l’itinéraire sans conflit de lpar rapport aux autres véhicules circulant dans le réseau.

Proposition 4.1 Soit E un état donné, k ∈ �E

etE = S(E, k, l) unsuccesseur de E tel que

θ El,k

= minl∈V

θ El,k

alors

E � E ′ ∀E ′ = S(E, k, l ′) avec l ′ ∈ V − {l}Démonstration

1) �E = �E ∪ {k} = �E ′(6)

2) Z(E) = max{t E1 , t E

2 , ...t El−1

, t El

, t El+1

, ...t En }

Z(E ′) = max{t E ′1 , t E ′

2 , ...t E ′l ′−1, t E ′

l ′ , t E ′l ′+1, ...t

E ′n }

or pour l = l on a t El = t E

l

et pour l = l′

on a t E ′l = t E

l

d’autre part t El

= θ El,k

et t E ′l ′ = θ E

l ′,k

avec t El

≤ t El

et t El ′ ≤ t E ′

l ′

ce qui entraine Z(E) = max{Z(E), θ El,k

} et Z(E ′) = max{Z(E), θ El ′,k}

or θ El,k

≤ θ El ′,k ce qui implique

Z(E) ≤ Z(E ′) (7)

(6) et (7) entrainent E � E ′.

Conséquences 1Ainsi au lieu de généraliser simplement l’algorithme de Langevin et al. à n véhicules, nousallons modifier la façon de générer les états successeurs d’un état E donné en attribuant la

mission k ∈ �E

au véhicule l qui réalise le minimum des θ El,k .

Ainsi au lieu de n successeurs directs pour chaque mission, on a un seul successeur direct.Ceci correspond à une première série de réductions.

En éliminant les successeurs E ′ = S(E, k, l) pour l = l, et avec E ′ toute sa descendance,on procède à une réduction considérable.

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La proposition suivante donne une idée du nombre des états réduits pour un état E donné

et une mission donnée k ∈ �E.

Proposition 4.2 Avec cette modification pour un état E et une mission k ∈ �E

donnés,le nombre R d’états réduits est

R = (n − 1) + 1

p

p∑

i=2

(ni − 1)Aip (8)

où n est le nombre de véhicules et p = card(�E)

Démonstration. Soit E un état donné et k ∈ �E

(a) Une généralisation simple de l’heuristique consisterait, tout au long du processus,à générer, pour chaque état de la descendance de E et pour chaque mission restante, nsuccesseurs en affectant la mission considérée à chacun des n véhicules. Dans ces conditions,le nombre de successeurs pour l’état E et la mission k ∈ �

Eserait:

n +p∑

i=2

(p − 1)(p − 2) . . . (p − i + 1)ni avec n = card(V ) et p = card(�E ) (9)

En effet à un stade j ≥ 2 quelconque correspond un nombre de successeurs de rang j égal à:

N j = n j (p − 1)(p − 2)....(p − j + 1)

Faisons une démonstration par récurrence:C’est vrai pour j = 2 c’est-à-dire N2 = n2(p − 1)

L’affectation de la mission k ∈ �E

à chacun des n véhicules donne n états descendantsdirects de E c’est-à-dire n successeurs de rang 1, et pour chacun d’eux, le nombre de nouvellesmissions restant à affecter est p − 1 = card(�E − {k}). Pour chaque descendant direct,l’affectation de chacune de ces p − 1 nouvelles missions aux n véhicules crée n(p − 1)

nouveaux états et comme ces descendants directs sont au nombre n on obtient N2 = n2(p−1)

successeurs de rang 2.Supposons que N j = n j (p − 1)(p − 2)....(p − j + 1).Montrons que N j+1 = n j+1(p − 1)(p − 2)....(p − j).

Nous avons N j successeurs E de rang j avec card( �E) = p − j missions dont chacune

est à affecter à chacun des n véhicules. Ce qui va générer n (p − j)N j états d’où N j+1 =n(p − j)N j = n j+1(p − 1)(p − 2)....(p − j).

La somme des n descendants directs et de tous les descendants de rang j ≥ 2 donne pour

l’état E et la mission k ∈ �E

fixés initialement un total deS1 = n + ∑p

j=2(p − 1)(p − 2) . . . (p − j + 1)n j successeurs.

(b) Par contre, pour l’état E et la mission k ∈ �E

fixés initialement, le nombre S2 d’étatsconservés avec la modification est :

S2 = 1 +p∑

j=2

(p − 1)(p − 2) . . . (p − j + 1) (10)

en appliquant le même raisonnement que dans a) et sachant que pour un état et une missiondonnés au lieu de n successeurs correspondant à l’affectation de la mission aux n véhiculeson a un seul successeur.

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Ainsi le nombre d’états réduits est:

R = S1 − S2 = (n − 1) + 1

p

p∑

i=2

(ni − 1)Aip (11)

5 Deuxièmes réductions du nombre d’états

Proposition 5.1 Soit E1 et E2 deux états tels que E1 � E2,

si E′1 = S(E1, k) et E

′2 = S(E2, k) sont des successeurs respectifs de E1 et E2 associés

à la mission k ∈ �E1 alors E

′1 � E

′2.

Démonstration: E1 � E2 �⇒ �E2 ⊂ �E1 et Z(E1) ≤ Z(E2).

Soit k ∈ �E1

�E2 ⊂ �E1 �⇒ �E2 ∪ {k} ⊂ �E1 ∪ {k} c’est-à-dire �E′2 ⊂ �E

′1 . (12)

Soient l1 et l2 tels que

θE1

l1,k= min θ

E1l,k et θ

E2

l2,k= min θ

E2l,k

tE ′

1

l1= t

E ′2

l2= βk et Z(E1) ≤ Z(E2)

⇒ max(Z(E1), tE ′

1

l1) ≤ max(Z(E2), t

E ′2

l2) ⇒ Z(E ′

1) ≤ Z(E ′2) (13)

(12) et (13) impliquent E′1 � E

′2.

Corollaire 5.2 Soit E un état donné, E le successeur de E associé à k ∈ �E. Si E ′ et E ′′

sont respectivement les successeurs de E et E associés à la mission k′ ∈ �E

alors:

Z(E) = Z(E) ⇒ E ′ ≺ E ′′.

Démonstration: E = S(E, k) ; φ E = φE ∪ {k}

⇒ φ E ⊃ φE (14)

Par hypothèse

Z(E) = Z(E) (15)

(14) et (15) impliquent E � E .

D’autre part (14) implique φ E ⊂ φE donc k′ ∈ φ E ⇒ k′ ∈ φE

E ′ = S(E, k′) et E ′′ = S(E, k′) ; k′ ∈ φ E d’après la Proposition 5.1 où l’on remplace E1

par E ; E2 par E ; E ′1 par E ′′ ; E ′

2 par E ′ et k par k′ on en déduit E ′ ≺ E ′′.

Proposition 5.3 Soit E1 et E2 deux états dont l’un n’appartient pas à la descendance del’autre et tels que E1 � E2 alors les successeurs de E2 ne conduisent pas à l’optimum.

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Démonstration: E1 � E2 �⇒ �E2 ⊂ �E1 �⇒ �E1 ⊂ �

E2

Considérons l’ensemble (ordonné selon les temps de début)

{k1, k2, ..., ki , ...km−1, km} = �E1 = �

E1 ∩ �E2

Soit Eij le descendant de E j issu de l’affectation successif de k1, k2, ..., ki à E j , j = 1, 2

D’après la Proposition 4.1: Ei−11 � Ei−1

2 �⇒ Ei1 � Ei

2Donc

E1 � E2 ⇒ Em1 � Em

2 ⇒ �Em2 ⊂ �Em

1 et Z(Em1 ) ≤ Z(Em

2 )

�Em1 = �E1 ∪ {k1, k2, . . . , ki , . . . km−1, km} = �E1 ∪ �E1

⇒ Em1 est un état final E f

1 et Z(E f1 ) = Z(Em

1 ).

Tout état final E f2 issu de Em

2 sera tel que Z(E f2 ) ≥ Z(Em

2 ) ainsi

Z(E f1 ) = Z(Em

1 ) ≤ Z(Em2 ) ≤ Z(E f

2 ) et par conséquent Z(E f1 ) ≤ Z(E f

2 ) puisque d’autre

part �E f1 = �E f

2 on obtient E f1 � E f

2 .

Conséquences 2La deuxième série de réductions, correspond à l’élimination:

• de tous les états de type E′2 de la Proposition 5.1,

• de ceux E ′spécifiés dans le Corollaire 5.2,

• des états dominés de la Proposition 5.3

• et de tous leurs successeurs.

Les dominances mises en évidence dans le cas de deux AGV sont aussi englobés ici.

Remarque 5.4 (1) Les premières et deuxièmes réductions conduisent donc aux mêmesrésultats que si pour un état E donné et une tâche k donnée appartenant à �E ongénérait n successeurs immédiats de E en affectant la mission k à chacun des nvéhicules, c’est-à-dire si on généralisait directement la méthode de Langevin et al. àn véhicules. En effet l’optimalité est préservée par les deux séries de réductions pro-posées puisque la généralisation de la méthode de Langevin et al. considère tous lesétats possibles; et parmi ces états, tous ceux que nous supprimons, par le biais de cesréductions, sont des états dominés qui ne conduisent donc pas à l’optimum. Aucunétat appartenant à la trajectoire optimale n’a donc été supprimé. La preuve que tousles états supprimés (Conséquences 1 et 2) sont des états dominés a été établie par lesdémonstrations des Propositions 4.1, 5.1, 5.3 et du Corollaire 5.2. L’état final ayant lafonction objectif de plus petite valeur correspond à la solution optimale de notre prob-lème car une condition nécessaire pour être un état optimal est de correspondre à unplan de transport complet donc de se trouver dans la liste finale; et une condition suff-isante d’optimalité pour un état final est d’avoir une fonction objectif de valeur mini-male.

(2) Nous avons une suite de problèmes statiques correspondant chacun à un ensemble de mis-sions à satisfaire sur un horizon donné. Chacun de ces problèmes est résolu par la méthodedécrite par l’algorithme ci-dessous.

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Certains facteurs:

• panne sur le réseau,

• modification apportée à une mission: ajout, élimination, ou modification par impossibilitéde respecter les dates,

• écoulement du temps de l’horizon planifié,définissent de nouvelles conditions et introduisent un nouveau problème statique àrésoudre sur un nouvel horizon de temps. Ainsi la planification est effectuée sur unhorizon fuyant.

L’élimination de tous les états dominés et ceux redondants se fait au fur et à mesure.

6 Algorithme

Dans cet algorithme nous avons deux listes: une liste active et une liste d’états finaux.

Etape 1 Placer l’état initial Eo dans la liste activeEtape 2 Répéter jusqu’à ce que la liste active soit vide :

(a) Supprimer les états dominés des propositions 5.3, 5.1du corollaire 5.2 de la liste active et supprimer la redondance(b) Choisir dans la liste active l’état E qui minimise la valeur de la fonctionobjectif et ordonner les missions de �E

(c) Répéter jusqu’à ce que �E soit vide:Pour chacune des missions ordonnées k ∈ �E ,

(i) Générer un successeur immédiat E dans E en affectant k au meilleurvéhicule l tel que θ E

�,k= min

�∈vθ E�,k comme indiqué par la proposition 4.1.

(ii) Mettre tout successeur E dans la liste active ou dans la liste finales’il est un état final et enlever E de la liste activeSi Z(E) = Z(E) alors aller en b)

Etape 3 Sélectionnner le meilleur état final.

7 Conclusion

Relativement à l’ordonnancement, la répartition et le routage sans conflit des AGV, nousavons présenté une méthode dynamique qui généralise celle de Langevin et al.. Nous avonsdémontré que notre approche, en produisant pour un état et une mission donnés un seulsuccesseur immédiat au lieu de n, nous achemine vers l’optimum visé, en évitant de générerun nombre considérable d’états qui ne conduisent pas vers la solution optimale. D’autrepart, la contribution de cette recherche est purement théorique. Toutefois, elle est impor-tante car elle peut servir de base à ceux qui font des applications. Nous avons procédé àcette généralisation compte tenu de la rareté des modèles analytiques et de l’insuffisancede l’utilisation de certains outils de l’optimisation mathématique dans le domaine des AGV.L’aspect théorique a été notre principale préoccupation. Le développement de logiciels etdes études comparatives avec mesures de performance en fonction des valeurs de n sontenvisageables.

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Il serait aussi intéressant de prévoir des modèles analytiques pour la détermination du nombreoptimal des AGV. Une approche basée sur la programmation dynamique comme ici ou surla relaxation Lagrangienne est possible.

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