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MONTPELLIER JUIN 2008

INTRODUCTION THÉORIE DE LA DÉCISION BAYÉSIENNE CONSTRUCTION DE L’ UTILITÉ ROBUSTESSE CALCUL APPLICATION

Une méthode de calcul en théorie de la décisionbayésienne robuste

Christophe Abraham

UMR ASB, Montpellier SupAgro



Exemple 1 : Pêche du saumon

• Décision d : taux d’exploitation

• Capture Ct ∼ Bin(At , d) (année t)

• At : nombre d’adultes (année t)

At = p1Rt−3 + p2Rt−4 + p3Rt−5

Rt = St eα−βSt eεt (Ricker)

At = Ct + St (St : stock)

εt ∼ N(0, σ2)

• θ = (α, β, p1, p2, p3, σ2)

• Observation x ∼ Pθ

• Utilité U(θ, d)



Exemple 2 : Hauteur d’une digue

• Décision d : hauteur d’une digue

• Observations des hauteurs d’eau des dernières crues :x = (x1, . . . , xn) ∼ Pθ

• Utilité : U(θ, d)



Les élèments

• La décision d ∈ D• Le paramètre θ ∈ Θ

• La loi a priori θ ∼ π

• L’observation x ∼ Pθ

• La fonction d’utilité U(θ, d)



Le principe

• Mise à jour de l’information sur θ

→ construction de la loi a posteriori πx (théorème de Bayes)

• La décision optimale maximise l’utilité a posteriori :∫Θ

U(θ, d)πx(dθ)



Les conséquences

Choix de U ?

• R : conséquence de choisir d si le paramètre est θ

• R ∼ ξθ,d à valeurs dans R• u(r) l’utilité de la conséquence r ∈ R• On pose

U(θ, d) =

∫R

u(r) ξθ,d(dr)



Exemples

1. Pêche du saumon• R = C1000 : capture dans 1000 ans• R ∼ ξθ,d• u(r) ↗ sur [0,∞)

2. Digue• R = d − H• H ∼ ξθ : hauteur d’eau d’une crue• u(r) = ?

• inondation si r < 0• digue trop haute si r >> 0



Construction deu

• Subjective• Par comparaison entre des conséquences certaines et

conséquences aléatoires• Soit r∗ (resp. r∗) la plus mauvaise (meilleure) conséquence• On pose u(r∗) = 0 et u(r∗) = 1• r ∈ R : on cherche α ∈ [0, 1] tel que

r ∼ αδr∗ + (1− α)δr∗ ,

alors u(r) = α



Construction deU

• Ne permet pas de construire une utilité unique• On obtient plutôt une classe du type :

V = {u : R→ R : ak ≤ u(rk ) ≤ bk , k = 1, . . . , K}

• Eventuellement, avec des contraintes de formes et derégularité (S)

• Finalement,

U = V ∩ S



Exemple : Pêche du saumon

• D = [0, 1]

• R = [0,∞)

• S = {u : [0,∞) → [0, 1], croissante, continue, concave}



Exemple : Digue

• D = [0, 1]

• H ∈ [0, 1]

• R = [−1, 1]

• S = {u : [−1, 1] → [0, 1], continue,croissante sur [−1, 0], décroissante sur [0, 1]}

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0



Récapitulatif

• u ∈ U• U(θ, d) =

∫R u(r) ξθ,d(dr)

•

uµ(d) =

∫Θ

U(θ, d) πx(dθ)

=

∫R

u(r)∫

Θξθ,d(dr) πx(dθ)

=

∫R

u(r) µd(dr)

• Finalement : R ∼ µd et uµ(d) = E(u(R))



Robustesse

• u ∈ U• M(u) = {d ∈ D : uµ(d) = supt∈D uµ(t)}• Si D ⊂ R, on pose

• d−u = inf M(u) et d+u = sup M(u)

• d−U = infu∈U d−u et d+U = supu∈U d+

u

• Problème : calculer d−U et d+U .



La stratégie

Une exploration aléatoire de U avec attraction pour lesfonctions u associées à des d−u petits (resp. d+

u grands).

Difficile (impossible) car :

• U espace de dim ∞• u ∈ U doit satisfaire des contraintes

• Pas de calcul rapide pour d−u (ou d+u ) à u fixée

Solution

• Approximation simultanée de U et R→ calcul rapide de d−u• Algorithme de recuit simulé → prise en compte des

contraintes de U .



Hypothèses

H1 U = V ∩ S est constitué de fonctions continues

H2 Conséquence de la forme R = d − Y , Y ∼ ξθ

H3 D = Y = [0, 1] et R = [−1, 1]

H4 µ admet une densité / Lebesgue sur [0, 1]

Contexte assez général (estimation, prévision)

uµ(d) =

∫Y

u(d − y) µ(dy).



Calcul ded−u etd+u

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

• u(r) ≈ uγ(r) =∑j

l=−j γlFl(r)

• µ(dy) ≈ µj(dy) =∑j

i=1 µi δi/j(dy)

• r = d − y

uµ(d) ≈j∑

l=−j

γl

∫Y

Fl(d − y)µ(dy)

≈j∑

l=−j

j∑i=1

µiγlFl(d − i/j) =

j∑l=−j

j∑i=1

µiγlFl+i(d)



RésultatsHypothèses• R est de la forme R = d − H avec H ∼ ξθ

⇒ uµ(d) =∫

u(d − h)µ(dh)

• D = [0, 1], R = [−1, 1],

Approximations• Il , intervalle de longueur j−1, R = ∪l Il• u(r) ≈ uγ(r) linéaire par morceau de pente γl on Il• µ(dy) ≈ µj(dy) discrète qui charge les points l/j

Résultats• Si M(u) = {du}, pour j assez grand du ≈ duγ où

M(uγ) = {duγ}• u

µjγ est linéaire par morceau avec la pente b′lγ sur Il• bl ne dépend pas de γ•

∥∥uµγ − uµj

γ

∥∥∞ → 0 as j →∞

• Résultats analogues pour la dérivée de uµjγ



Résultats théoriques

• Duµjγ =

∑2jl=−j(a

′lγ) Fl

• al indépendant de γ• supd∈D

∣∣Duµγ (d)− Duµj

γ (d)∣∣ ≤ Aj(µ) maxl∈{−j,...,j} |γl |

• uµjγ =

∑2jl=−j(b

′lγ) Fl

• bl indépendant de γ• supd∈D

∣∣uµγ (d)− uµj

γ (d)∣∣ ≤ Bj(µ) maxl∈{−j,...,j} |γl |

• Si M(u) = {du}, ∃(uγj ) telle que, si j →∞• uγj → u unif.• tj → du où {tj} = M(uγj )



Exploration aléatoire deU

• Algorithme (recuit simulé) :A l’iteration n, l’algorithme est à γ(n).

1. Simuler γ avec la loi Pγ(n)

2. Accepter γ(n+1) = γ avec la probabilité

ρn = exp{−βn(d−γ − d−

γ(n))}∧ 1 ; prendre γ(n+1) = γ(n)

sinon.

• Contraintes V ∩ S → 1.• γ ∼ Pγ(n) , γ = (γ−j , . . . , γj)

• i ∼ U{−j,...,j}• γi ∼ U{uγ∈V∩S}

• γ = (γ(n)−j , . . . , γ

(n)i−1, γi , γi+1, γ

(n)i+2, . . . , γ

(n)j )

• Convergence vers d−U → 2.

• Preuve pour βn = Cte log(n + e)



Construction d’une digue

• La classe U

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0




• Duµj

γ(n) pour n = 3000, 105, 4× 105

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0




• Chaines du recuit simulé

0e+00 1e+05 2e+05 3e+05 4e+05

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7




• Histogrammes de d−γ(n) et d+

γ(n)

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

05

10

15

20

25

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

010

20

30

40




• Fonctions d’utilité uγ(n) pour d−Ujet d+

Uj

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0




• j = 20

• µ = Beta(5, 7)

• [d−Uj, d+Uj

] = [0.2408, 0.6624]

(entre 1/4 et 2/3 de la hauteur maximum)

• nombre d’itération : 4× 105

• durée du calcul < 2 minutes

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